太原二模数学标准答案
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35:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们来看一下二零二六年太原市二模重点题目讲解，在这里呢，我重点讲解第十题，十五题、二十一题，二十二题、二十三题，那么请同学们呢， 重点听一下第十五题，二十二题的第三问，尤其是二十二题的第三问啊。呃，然后呢，二十三题你也可以重点听一下。好，我们先来看一下第十题，这个其实没有什么太多说的哈，就是讲的这个， 只要那个平移，那么在这里请同学们注意一下，如果说你我们的什么以及这次的考试题目里面都出现了这样的一个平面直角坐标系的这样那种新题型啊，嗯，所以你要注意下，如果最近做这种题目不是太理想的话，那你要找一点这种题目做一下 啊，把三角形这个 a， b， c 啊，呃，沿着这个啊， x 轴的正半轴向正方向啊，沿着正半轴来进行平移， a 点坐标告诉我们了是负三斗零，那么所以在还还告诉我们平移之后的那个 f 点的坐标呢， f 点坐标是我们的 a 斗 b， g 点的坐标呢，是我们的 c 斗 d， 这个呢，就是说你就算是你不会做的话，你也应该能排除出来选项哈。首先第一个，你要知道 b 和 d 的 关系，它俩是互为相反数，所以相加为零，所以 a 和 c 是 不对的，所以在 b 和 d 里面去选，那 b 和 d 里面去选呢？比较特别的就是你看 a 等于 c 等于三，和 a 等于 c 小 于三 啊，那这个 a 是 什么东西呢？你要知道 a 就是 我们的这一角的长度， bf 的 这个长其实就是我们的平移距离啊，他说的，他说这个一点在三角形内部啊，一点在三角形内部，说明这个平移距离应该小于三。哈，这第四题， 第十五题啊，当我拿到这个题目的时候，我看到这个里面有一个四十五度，有一个根号二的时候，其实我可能就隐隐约约想到了啊，可能一二三四五模型能行 啊，就我看见这两个条件的时候，我估计就一二三四五模型能行啊，那你们要注意啊，同学们在第十五题的时候看到四十五度啊，我们想到等腰值和一二三四五模型 啊，自己加三数模型是什么啊？不知道同学你自己去搜一下。好吧，那题目上告诉我们的角 b 呢，等于四十五度，告诉我们的 ab 的 长呢，等于三倍根号二，告诉我们的 bc 的 长呢，等于我们的九，那这样一来的话呢，我们的 ac 的 长马上就要能求出来，要求 ac 的 长呢，我们做一个高 a h， 那 么得到 b h 等于三， a h 也等于三，那么 h c 就 等于六，看见没有，一比二， 哎，一比二比根号，我看啊，一比二比根号五，一比二比根号五， 所以我们的 a c 的 长呢， a c 的 长就多少， a， c 的 长就是三倍根号五啊， a c 的 长就是三倍根号五。而题目当中又紧跟的告诉你，他说 a d 呢，等于二倍的 dc， 相当于 d 点，四点是一个靠下的三等分点，所以我们的 a d 的 长就等于二倍根号五啊， dc 的 长呢，也等于啊，就等于根号五了， 所以这样一来，我们这些场子求出来了啊。然后呢，题目当中还告诉我们了， d 一 是等于 d a 的， d 一 等于 d a， 那 说明它也是等于二倍根号五，所以在这里我们发现了一比二比根号五，说明 c 这个角是多少度啊？ c 这个角是我们的二十六点五度 啊， c 这个角是二十六点五度，那么这样一来的话，这个里面所有的角度都能求得出来，题目当中让我们去求 d f 的 长，题目当中让我们去求 d f 的 长，那么的目标是什么呢？啊？那么怎么做呢 啊？同学们，这个告诉我们 d a 等于 d 一 了，这是三项合一，对不对？三项合一，我们可以考虑做垂直吧， 可以考虑做垂直吧，其实做完垂直之后啊，我们这方标个字母 m， 做完垂直之后，我们就能把 am 和 m 一 都能求出来，这怎么求的？同学们， 呃，我们的角 c 是 二十六点五度，角 b 是 四十五度，所以我们 a e， a c 这个角度，我们就知道 啊，一 a c 这个度数呢，是我们的这个啊，一 a c 这个度数啊，是我们的这个，呃，四十五度加上二十六点五度，那所以我们的 m， d， a 这个角的度数我们就知道了，是多少呢？ 啊？是我们的，呃，这个十八点五度，而十八点五度的上面比例关系是多少呢？是一 比三比根号十，看见没有？所以这样一来，我们的 am 的 长就求出来了， am 长等于多少呢？等于二倍的根号五，比上一个根号十正好就等于根号二啊，所以我们的 m 一 呢，也等于根号二 啊，这些长度你求出来了，那你老是求第一啊，你还没求第一啊，好这个地方呢啊，我觉得其实方法上来讲还是挺挺挺挺好理解的哈，因为题目当中很重要的突破口就是 a、 d 等于二倍的 d、 c， 这是个比例关系，这个比例关系我们做什么呢？我们做一个平行， 做一个水平线 啊，做一个水平线，我们这个地方标一个 n， 那 做完这个水平线你会发现啊，呃，做完这个水平线之后，我们的 a、 n、 d 呢，也是等于四十五度呀， a、 n、 d 也是等于四十五度，说明 m、 n、 d 是 一个点二值二上行。 是一个点二值二上行啊，而且我们刚刚也求了这个 am 了啊，包括我们这个 m、 n 呢，也是三倍的根号二， 对吧？啊，所以这个里面我们就可以利用我们的这个 a 字形的这个比例，就是 e、 b 以上，我们的。呃， e、 n 以上，我们的 n、 b， e、 n 以上，我们的 n、 b 就 等于 e、 d 以上， d、 f、 d、 f 就 求出来。而 e、 n 的 长是多少呢？ e、 n 的 长就是三倍根号二加根号二，是四倍的根号二。嗯？ e、 b 呢？ e、 b 呢？啊？ e、 b 这好求啊啊，因为我们的 a、 n 也能知道，因为我们的 mb 是 三倍根号二，而我们刚刚求了 m， a 是 根号二，所以 a、 n 呢，就多少？ a， n 就是 二倍的根号二，而我们的 a、 b 呢，是三倍的根号二，所以我们的 b、 n 呢，就是根号二 啊，根号。你不要觉得说，老师你这个好复杂，同学们，这个计算没有没有量哈，只有计算没有量，没有计算量啊，然后 e、 d 是 多少呢 啊？ e、 d， e、 d 是 我们的二倍的根号五，那除以我们的 d、 f， 那 所以我们的 d、 f 就 出来了，等于二倍的根号五，除以个四就等于二分之根号五，当你知道这一些关系之后啊，那你可以衍生出来的方法就太多了啊，那衍生出来的方法就太多了 啊，我们在这里也可以干嘛呢？也可以做了这个三线合一之后啊，延伸出来的方法就很多了哈，我们也可以这里做完这个三线合一之后，我们在这里再做一个垂直 啊，用这个解，只要上学的这个思想呢，来解决我们的 d f 啊，这是一点问题都没有的，这是一点问题都没有的，用完用完这个锤子之后，你会发现啊，你会你你，你，这个地方也是可以去求吗？啊，这里面的每一条长都能求得出来 啊， d c。 知道我们在这里呢，我们可以把 m c 呀， d m 呀这些都能求得出来，当然也可以过一点往下做垂线，这都是可以的啊，这个地方 a 这方做垂线之后啊，所以思路就有蛮多了哈，思路就有蛮多了，你不要觉得老师你在这里写了一大坨啊，真的是计算没有量哈， 所以这个呢，我觉得在应试状态之下，嗯，我觉得是完全可以出来的，当然呢，这个地方我也可以给大家提一点。嗯，你这个地方呢，你可以看一下，你学过一个东西叫飞鱼模型。没有 啊，飞鱼模型胡乱做平行啊， 当然我在这里我就不拓展讲了哈，我给你把飞翼模型给你放这，你不清楚的同学你截个屏好吧。啊，这就是这个飞翼模型，就是这个飞翼模型，你看这俩图是不一样啊，看见没啊？看这俩图完全一样，看见没？ 这俩图完全一样，然后做的辅助线里面有这样的一个辅助线，看见没？鲱鱼模型胡乱做平行，所以衍生出来的很多很多方法衍生出来很多很多方法。这好好， 那个你可以截个屏啊，你可以截个屏，你可以去了解一下啊。当然我们这一届初三没有给大家讲过哈，没有给大家讲啊，这后面下一届就可以可以讲，放到我们相似里面去讲。 好，第二是议题呢，这个我其他的不想说了，有第一问，第二问没有什么说的，我重点就是想说一下第三问， 因为我们在。呃，我们在五一的时候啊，因为当时上课人比较少，呃，就是给同学们去答疑的时候，有同学讲述这种材料阅读题不知道怎么做， 当时我就把二零一六年考的那个阿金彼得哲学给大家拿出来给大家说了一下，说，哎，这种，嗯，这一类型的材料阅读题怎么做？这种类型的材料阅读题就是题目怎么说，我怎么做，题目怎么说，我怎么做。 那这道题目你看一下第三问是怎么说的呢？你，你这个里面有很多同学可能被这个最短路线给搞晕了 啊，你就按照我们图二教你的这个方法去做就可以了。它是不是把我们的 a 点和对称中心 o 一 连，然后呢？做这个对称对不对？但在这里我们的正方形没有，没有，没有星啊？刚才是计算没有亮，现在这里是啊，没有星。 正方形的对称中心是很好的，很好做的嘛，啊，一个圆，一个正方形，所以呢，我们只需要把我们的 a c 和我们的 b d 一 连，那这个点就是我们的 o， 就是 我们的圆里面那个点，然后呢，我们需要做的事情就是什么呢？把我们的 c o 一 连，然后呢？加倍一延长 啊，加倍延长。当然我这个地方是水手画的哈，那这个地方就是 p 一 撇儿点，然后呢？然后呢？我们再把这个 p 一 撇儿和 q 一 连，然后做这个 p 一 撇儿 q 的 垂直平分线 啊，做垂直平分线做垂直平分线，然后呢？和它相交于 一个点啊，相交于这个点，那当然和这个这个点不，不在同一个地方啊，不一定在同一个地方，因为这是我随手画的哈。呃，这我随手画的，还是给大家适当画的，适当的画的标准一点。我先把这个垂直平面线画出来啊，大概应该是在这个下边这个位置 啊，划出的屏幕线，然后这个点就是我们要的。呃，这个什么点？ q 到 n， 这个点就是我们的 n 点，然后再过 n 点连，这个对，正中心啊，移过来 啊，相交这个点就是我们的 m 点，所以我们再把这个图连起来啊，这个图连起来就长这个样子， 所以你说，嗯，老师，我这个为啥你不需要为你，当你通过第一问和第二问，你可能隐隐约约知道也知道是为啥了 啊，在这里你就仿照我们的图二去画就可以了，仿照我们的图二去画，当然呢，图二是要在你在第二问里面用此个做的方式把它画出来之后，你才会画。第三问的 好，所以这个地方注意下，就是纯纯的造猫画虎，纯纯的说造猫画虎 啊，你不能多想你不能多想啊。好，这是第二十一题，二十二题计算量稍微大一点点。当然呢，这道题目呢，我一问，第二问不讲，但是我第二问，我想提一句， 写哪一句？同学们，你注意刁文的问法，我上课时候专门给大家讲了，我们说什么呀？他让我们求这个收费金额最大时的房价是多少？最大时有没有让你去求最大值？ 没有啊，那有很多同学，他算完之后，他把这个一百八，他就带到这个里面去，把这个最大值算出来，你算它做什么呢？所以在这种题目当中，你一定要搞清楚题目让你求的是什么东西，他没有让你去求那个最大值，只是问你最大时那个自变量 x 等于多少， 对吧？肯定有同学就把这个一百八带上去，哐呲哐呲一顿算啦他，他这个算完之后，觉得老师这个计算量好大呀！同学，你做的是无用功，你没有人证读题 啊。在上上课的时候专门给大家强调这个问题，有的时候是最大值，有的时候是最大十啊，再给大家写一遍，最大十和最大值 不一样的，你自己去体会啊。当然呢，我的方法，我就是这样去，我就是这样去写的哈，我是用这种方法去写的，去求这个最值的。在这里我们说一定要注意自变量的取值范围，因为我们这个对正轴必须在这个 取值范围里边的时候，我们才能说在这个对正轴这个地方取的最大值 啊，所以，所以，所以你们要注意一下啊，这个范围必须得带啊，这个范围必须得带啊。那么关键是要讲的是什么呢？关键是要讲的是我们的第三问。 第三问好，我不先讲一下第三问的考点考的是啥？同学们，这就是我在寒假课的这个版书哈，你看我通知，通知找了半天，我把寒假课的版书找出来了， 我平时也不拍照，都是助教拍的啊。我突然间发现，哎，我讲这次的时候，这个版书居然是我拍的，要是助教拍的，我就下不下来了啊，照片都过期了。那是正好是我拍的。所以，你如果不懂这道题目怎么做的？同学，来，你把这两道题目做了， 这两道母题，你把它做了，你截个屏，你看下你会不会做这种题目。 这是我们讲述什么典型的动轴动区间问题。动轴动区间里面，在我们初中会考到的只有两种，一个叫动轴定区间，一个叫定轴动区间，大多数常考的就是动轴定区间。那这种题目，所以同学们注意一下。 好，那我们来看具体来讲是什么意思。他说酒店为了为入住客人啊，客房赠送当地的特色礼品，每间房赠送一份，每份礼品的成本为 m 元 m 小 于二十，这里面自己有个范围，已知已知每间人每间啊，每间入住客房的固定成本，他有个固定成本为三十块钱。呃，酒店希望在房价不超过二百块钱的时候，房价是什么？房价就是这个地方的 x 自变量， 那说明这个地方有一个隐含条件，就是 x 不 超过，就是小于等于二百。说日毛利润仍随房价的增大而增。 直接写出礼品成本 m 的 范围。请问龙提醒你了，日毛利润怎么算？好，我们说日毛利润为 w 等于多少？等于日营收金额，日营收金额是我们的第二个，里面的东西 有多少呢？负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x。 好， 减，固定总成本，减礼品总成本，固定总成本。每间房呢？ 多少间房？多少间房？就是我们这个第一问里面那个空口啊。第一问里面那个空口，所以呢是多少呢？是负的五分之三 x 加上二百一十六， 乘以每间房有个三十块钱的成本，对不对？每间房还有一个 m 的 成本，就是礼品的成本，我把它加到一块了，加上一个 m， 这个你们懂， 所以这个就是我们的后面这两个成本。好，这个整理一下， w 等于多少呢？ w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x 加上五分之三 m， x 加上十八 x 减去二百一十六 m 减去六四八零。好，整理一下， w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百啊，二百一十六，加上个十八是二百三十四， 加上一个五分之三 m， x 减去个二百一十六 m 减去个六四八零。好，它要求什么？它要求 x 在 小于等于二百这个范围内的时候 不超过二百块钱吗？在这个范围的时候，我们的 w 应该随着 x 的 增大而增 啊。我们说一定要借助图像来看来，这是一个什么图像？这是一个开口向下的一个二次函数，但是是，呃，对称轴，不确定在哪里， 但是我现在范围是知道的，我现在需要啊，就是要求同学们要求 x 小 于等于二百的时候， w 要随 x 的 增大而增大，从图像上来看就应该是向上的一个范围，向上的一种情况，那我们来看，所以我们这个时候把图像画出来啊，我们先画这个范围， x 小 于等于二百，就是这个范围， 意思是什么呢？意思就是说 x 在 这个范围内的时候，我的图像都要怎么办？都要往上跑，都要往上跑。那你想一个二次函数在这个范围里面的时候，它的图像要往上跑，那具体是什么情况？ 具体什么情况？我们说我就让这个二次函数对准轴从左往右来调整，你看在这边的时候，你看一下满不满足啊？行不行啊？不行吧？因为你在 x 在 零到二百这个范围内的时候，你是往下逃的， 你是往下跑的，所以这种情况不行，这种情况不行来临界状态是什么呢？临界状态我们看一下，正好等于这个时候，行不行？你看这个二字函数画出来成这个样子 行不行呢？也不行，因为在这个范围的时候也是往下跑的。那再看，如果我现在对准轴正好在零到二百之间的这个范围呢？我画一个，你看一下 行不行呢？你会发现在零到二百这个范围的时候，他图像有往上跑的这部分，看见没？也有往下跑的那部分，说明这也不行。那所以极端情况是什么呢？极端情况就正好对应轴就是二百的时候， 那你看图像满不满足呢？哎，你就会发现正好这个图像在零到二百这个范围内，就是往上跑的，没有往下跑的部分，那我对准轴在二百的右边行不行呢？那你来看图像画出来大概长这个样子。 图像画出来大概长这个样子啊，画的就比较长了啊。图像画出来大概长这个样子啊。重新在这画个图吧， 零到二百这个范围，我的对准轴现在在二百右边。那你看图样画出来大概长这样，那你会发现在零到二百这个范围，它就是往下走。那所以这样呢，我们就知道了，我们的对正轴应该怎么样呢？对正轴应该在二百或者是二百的右边就可以了， 所以对正轴是大于等于二百的，那我们来求对正轴，对正轴 任意角 x 等于负的二乘以 a 负的五分之三 b， 也就是二百三十四加上五分之三 m， 它应该怎么样？它应该大于等于二百，然后再去算它就行了。 那所以呢，这个是我们的啊，符号和符号就没了啊。那就是二百三十四加上一个五分之三 m 大 于等于，嗯，二百乘以。嗯，二百乘一个多少乘一个五分之六。 好，呃，计算过程，计算过程挪出来，那就是二百三十四加上五分之三 m 大 于等于。呃，二百四， 那就是五分之三 m 大 于等于二百四，减二百三十四就是六，所以 m 大 于等于十。好，这是 m 的 下限，你看，那你答这个方法行不行？不行啊，因为题目当中有一个 m 小 于等于二十，所以我们最后这个方法就是 m 大 于等于十，小于等于二十。 典型的什么题目？嗯，动轴定曲线啊， 当然，没学过的同学啊，你现在补还来得及啊。没学过的同学，你现在补还来得及啊。来补。怎么补？就通过这两道题目来补啊。通过这两道题目来补啊。 好，你截个屏，把这恶补一下，好吧。嗯，有啥不懂的可以再私信我哈。然后我们再来看第二十三题， 二十三题题目当中告诉我们一个平行四边形啊，长边是短边的二倍，然后呢，又找了一个长边的一个中点，然后做这个平行第一问，让我们证明这个 a、 b、 e、 o 的 形状啊，是个菱形啊，这没啥说的啊。 好，我们看第二问，在第一问的基础之上，把我们的 d、 e 一 连和我们的 ab 呢延长线相交于点 f， 然后再连接到我们的 c、 f， 然后再把 a、 e 一 连延长和我们的 c、 f 相交。有点记，那我们判断什么呢？判断这个 a、 e 和 e、 g 的 数量关系好，这个数量关系呢？嗯，你可能猜不好猜啊，你猜不好猜，尤其是不会的同学啊，我们说猜不好猜啊，那你就拿圆规去卡一下拿圆规去卡一下，嗯， 让我们来看一下，在这里我们怎么来做呢？怎么来做呢？呃，又到处都是重点哈，而且这个地方形成了个八字形的，全等哈，这些都要清楚啊，这些都要清楚，那么我们要把这个图形里面的关系呢？我们把它整清楚啊，先把这个图形里面的关系整清楚， 因为我们的 a、 b、 e、 o 和我们的 o、 e、 c、 d 都是菱形，都是菱形，那么我们看一下啊，这可以标一下，都是 a 啊，没问题啊，这都是 a， 这都是 a 啊， 啊，这都是 a， 然后呢， 你有没有发现这个地方有啥啊？而且是个菱形啊，菱形叉角等于叉角，菱形圈角等于圈角，说明这个地方是个九十度，这个地方是个九十度，所以呢，看见这个九十度呢，可以联想到我们做一下，连一下我们的 o c， 连项目都 c， 这个地方我们标个 a、 b， c， d， e 啊，标个 m 吧。那么我们发现啊，这个时候，你看，你也要知道，我们的 e f 呢，和我们的 e d 呢，也是相等的，而这个地方呢，又是个呃对角线，所以呢，这个地方有个关系啊，有个关系， 有关系是 e m 等于 m 一 啊，等于，然后呢，我们的 e f 是 它的二倍， e f 是 它的二倍，那所以我们得到了我们的这个地方也是个垂直的，所以我们的 e g 啊，和我们的这个 m， 和我们这个 mc 的 比，我们是知道的哈。哎，这个地方，这个图有点小哈，大家给大家说一下吧，因为本身确实也不难哈，我不知道哪些同学在反映这道题目难嘛？啊， 当然有其他方法啊，我们先讲一下这个方法。呃，我们这样吧，我们说这个是 a， 这个是 a， 这个是二 a， 看见没有？那所以我们的 e g 和 e c 的 比就是多少呢？啊，就是我们的二比三嘛，是不是二比三，而呃，不叫 mc 啊，不叫 e c， 叫 mc 啊， e g 和 mc 的 比 十二比三，而 m c 又等于什么？ m c 是 不是又等于我们的 o m， 对 吧？而这个地方呢，因为是个呃平行四边形啊，这个 a e c o 可以 去简单的说明一下，平行四边形，所以得到我们的 a e 就 等于我们的谁啊，等于我们的 o c 啊，啊，这个地方啊，你要知道，我们的 m c 又等于我们的 o m 啊， m c 等于 o m， 那 么所以我们的 e g 比上谁呢？比上我们的这个 o c 就 相当于等于二比六， 而 oc 又等于谁呢？ oc 又等于我们的 a 一， 那就得到了 eg 比上我们的 a 一 等于多少呢？等于二比六，也就是等于一比三啊，所以呢，我们就要知道哈，我们这个地方的 a 一 是等于三倍的 eg 的。 好，这是这个方法啊，这是这个方法，当然呢，参考答案呢，你们看了之后呢？参考答案的方法也挺好的啊，参考答案的方法就是把我们这个 o e 啊 e 延长， 先交这个地方，我们说个这个 n 吧，那就说这个 n， 那 这个时候我们要知道哦，我们的这个， 我们看一下我们的这个比例关系啊，看一下这个比例关系 啊，因为我们的 b 一 和我们的 e c 是 相等的，而我们的这个 o n 呢，又和我们的这个 a f 呢是平行的，所以呢，这个 e n 呢是个中线， e n 是 个中线，那所以呢，这角是一份的话，这个就是二份， 而我们的我们刚刚正八字形的时候，我们又知道我们的 b f 的是等于我们的 cd， 也等于我们的 ab 的， 所以这个也是二份， 对吧？ 啊？然后再去求我们的 a e 和我们的 e g 的 比，那是多少？看能不能反应过来哈，看能不能反应过来 呃， e n 和 a f 的 比是一比四，那么所以 e g 和 e a 的 比就多少呢？就是一一三啊，这方法导一下比例啊，这方法导一下比例啊，过程，看你怎么样去写哈，如果不会写过程的，你看一下那个参考答案的过程来参考答案的过程 啊，其实通过这个比例我们得到是什么呢？我们得到是 e g 和我们的 g a 的 比是一比四，然后再倒这个比例一比三，再倒这个比例一比三。好吧，我们重点看一下这个最后一页哈，重点看一下最后一页 最后一位啊，说这个还是在图前面图的基础之上叠加了一个特殊条件，你看，正好我们这个星期上课的时候啊，正好我们这个星期上课的时候也是有这样的一个题目，也是有这样的一道题目，呃，同学们都要去构图，我说可以不用构图，我说可以不用构图 啊，当然这道题目呢，也可以不用构图，因为首先第一个幅二给到我们这个图和这个 c d g 为直角上，行，你看， 那我们说第一个 c 点这个角是个直角，是吧？挺像，对不对？非常像。而我们刚才我们其实要知道，就是说我们中间这个地方啊，是一个九十度啊，刚才我讲方法一的时候讲了，叉叉角等于叉叉角，圈角等于圈角，所以叉加圈等于九十度，所以这地方是个九十度。 而我们的这个 c d 呢，和我们的这个 a f 呢，又是个九十度，所以这地方有个啥呀？这地方有个什么？这地方有个射线点， 同时你还要观察到同学们，我们的 e、 f 等于 d f， 这个地方又是个垂直的，那说明这个地方不光有个摄影机里还有个什么，还有个帧型， 其实 af、 g、 d 是 帧型，就这个图形呢，在变化过程当中，我们这个 g f 呀，和这个 g、 d 是 相等的，我们的 a f 呀，和我们的 ad 也是相等的，所以这个地方是个啊，帧型 啊，为什么要这么讲？一会我们在第二种情况里面，我们要知道哈，第二种情况你们要知道，所以当我们知道这个地方有这样的一个摄影地理和这样的一个帧型的时候， 和这样那个帧型的时候，我们这个题目就比较好做了啊，这地方摄影地理，而我们在第一问里面，我们知道，我们知道 eg 和我们 a 一 的比是一比三 啊，那么我们就知道了，我们 e、 f 的 比是多少？射线定律， e、 f 的 方等于什么呢？等于我们的 e、 g 乘以我们的 a、 e， 所以 它的比是根号三， 而 e、 f 和我们的 e、 d 是 相等的，也是根号三，所以我们的 d 一 比上，我们的 a、 e 就 等于多少呢？呃， 这正好就等于我们的啊，三分之根号三，三分之根号，这第一种情况，我们的角 e、 c、 g 等于九十度啊，所以这个图不需要画 好，那这种情况呢？正常来讲是可以做得出来。然后第二种情况就是说，呃，我们还有个角 g， 或者说角 d 等于九十度，对不对？有的同学就考虑，老师这个图我怎么构造啊？我的图怎么构造？第二个就是我们的角 d、 g、 c 等于九十度，我的图怎么构造？ 其实你在这个地方，你可以理解为我们利用的是平行四边形的不稳定性来构图， 它不是我们大家理解的说有个点在运动啊，有个点通过通过什么旋转在运动，通过折叠在运动，而这个地方是因为什么呢？它们的比例关系存在，然后因为这个四边形，平行四边形 a、 b、 c、 d， 它一个的一个不稳定性 啊，他可以往下，那可以往往往左边压，就压成了。我现在这个图他也可以往右边压啊，形成另外一个图，所以通过这个平行四边形的不稳定性啊，来出来的这样一种图形 啊。当然呢，就是说如果你知道了这样的一些关系之后 啊，有构图也是可以的，但是构图你就要考虑到这是个平行四边形的不稳定性，那么我们啊，把这个平行四边形 a、 b、 c、 d 往左边压到无限的这个窄的时候，我们这个图就构造出来了， e、 g、 c 等于九十度， 那在这个过程当中，我们还知道九十度的关系仍然存在，一比三的关系仍然存在， 一比三的关系仍然存在，真形的关系仍然存在，那就是说我们的 d、 g 和我们的 f、 g 是 相等的，那这个时候你有没有发现我们的 d、 g、 c 等于九十度，说这个地方也是个九十度，说明我们的 d、 g、 f 是 个等腰直角上弦，而 e 点又是个中点，所以正好这个地方是两个等腰直角上弦， 那所以 e、 g 就 等于了谁啊？等于了 e、 d 啊，它也是一分，所以这样一来，你看没有计算量，所以 d 一 比上我们的 a 一 就等于多少，一比三，零比三 啊，没有计算量，就是说你需要把这个图弄清楚，当然呢，你就在我们这个题目，在这个原图上面，我们也是可以去处理的，只要你知道了这些关系之后，你在这个图上啊，这个时候这个角点九十度，这个角点九十度，那说明在这个点上知道，行吧啦吧啦是一样的 啊， c 压的啊，所以同学们注意一下，那第三种情况，就是我们 g 这个地方这个角是个九十度，当然呢，你可以通过 把这个平行四边形向左压去勾个图，向右压去勾个图，那么你就会发现这个 d 这个角啊，是不可能是九十度的啊， d 这个角啊，它不可能是九十度 啊，你比如你可以画一个向右的一个图，大概给它大概画一个 啊，你可以，你可以这样画一个，你可你看一下趋势， 你看一下趋势，你看向右的时候，我们的这个 c 这个地方这个角，它变成钝角更大了啊， 而往左再去再压的话，你就会发现 d， g、 c 就 变成钝角，所以 d 这方角啊，它不可能是个九十度啊。 好，这个就是我们的这个太原市二模的这个题目，那么其实呢，这个我觉得哈，嗯， 你不会做这个二十三题的，这个第三的时候也是可以，也是一定要把答案猜上去啊，吸取一下我们什么那次考试的这个经验嘛，你当时有可能猜对答案了，就说不要空，不要空，哪怕画出来我的第二个图之后，我拿 元哥去卡一下，我也我我我卡，观察不出来这个图形，我在这个动点过程当中，我没有找到固定不变的这种啊，线段关系和角度关系这种几何关系的时候啊，我去卡一下，大概差不多我也能猜啊，好，同学们，再见。
5西山老孟
10:32查看AI文稿AI文稿尘埃落定，二零二六年太原市二模二十二题，我们来好好看一下这道题到底该怎么理解啊？ 呃，其实这道题最早呢，是在二五年，我发的一份资料上就有同类型的题目，当时呢就有很多同学在问啊，这个题是怎么去理解？一九年湖北十堰的中考题就有他的一个最早的一个原题型， 那我们来看这道题，说问题情境。随着旅游热度的上涨，来山西的游客日渐增多啊，且客房入住量也随之增加，巴拉巴拉巴拉，总共有一百二十间客房，那么来看到这啊，房价 第一天，第二天，第三天，第四天、第五天，然后分别是价格在变化，住房人数在变化，但是同学们他是一个乱序的。其实从去年的这个太原市模考的时候呢，我们的教员老师就提过啊，我们在给数据的时候呢，以往都是按照正常的顺序，比如从小到大排列， 那么其实完全可以是乱序排列，乱序排列之后，需要你重新自己排列顺序，然后再去找到他们的关系，所以这你需要重新捋一下 啊，一百六，然后呢，一百七，一百八，一百九，两百对应下数据，那这样的话我们就能看出来，来自变量，每增加十 音，变量要减少六，那么我们就应该能看出来，它的 k 值应该等于负的十分之六，也就是负的五分之三。建立模型， 酒店经理发现入住房间数、营收金额都随着每日房价的变化而变化，设每日房价为 x 元，每间客房入住为 y 间啊，那么日日营收金额为 z 元，其中 x、 y、 z 均为正整数，且 一百六小于等于 x 小 于等于二百四。根据表所提供的信息，解决下列问题，好。第一，客房入住人数 y 是 房价的什么函数？能看到自变量每增加时因变量固定减少一个六，说明它是一个正常的一次函数。 那么接下来要写出 y 与 x 之间的函数关系式，那么显然应该是 y 等于负的五分之三， x 再加 b。 我 们随便带一组数字进去，比如说我把二百和九十六带进来， 来，九十六等于负的五分之三乘以二百，再加上 b， 算出来 b 应该等于一个二百一十六， 好，搞定。所以 y 等于负的五分之三， x 再加二百一十六。那么第二问，当该酒店客房日营收金额 z 最大时，求这一天的房价。 好，那这里的话也很简单，来，第二问啊，文字去数我们就不多说了。来， z 应该等于 x 乘 y 对 吧？单价乘数量等于 负的五分之三， x 再加二百一十六，再乘以 x， 整理之后变成了负的五分之三， x 的 平方再加二百一十六， x 给它做配方， 负的五分之三提走 x， 平方减去，这是一个三百六十， x 再加一次项系数一半的平方下来是一个三二四零零。好，这边应该再减三二四零零，乘以负的五分之三，最后结果应该是加 一九四四零。好，整理之后，负的五分之三， x 减去一百八十的平方，再加一九四四零。那么这个时候我们就要去分析了啊，来，因为负的五分之三小于零 z 为 x 的 二次函数。同时呢，这还有一定要把自变量的取值范围取在了一百六到二百四， 又有一百六十小于等于 x 小 于等于二百四十，这三点都一定要说全。所以再说，当 x 等于一百八十十啊， z 有 最大值为一九四四零。好了啊，就第二问就搞定。那么这道题最关键的它是第三问啊！这个第三问，几乎是我觉得全太阳市也没有几个同学可能能直接做对了。为了吸引顾客， 酒店决定为入住房客赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为 m 元，那 m 小 于等于二十， 已知每间入住客房的固定成本为三十块钱。若酒店希望在房价不超两百的时候，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本 m 的 取之范围，好，他给了你日毛利润等于日营收金额减固定成本，再减礼品总成本。好，那么来， 那这个时候呢，我们就可以去设它的日毛利润为 w， w 等于什么呢？ w 等于日营收金额，我们刚才已经写过了，就是这个 z 好， 再减去固定总成本。 一间客房的固定成本是三十，那我们有外间客房，对吧？所以是三十 y 好， 再减去一个。一间客房的礼品成本是 m， 那 么外间客房就是 m y 好。整理化简之后，我们得到的式子应该是负的五分之三 x 平方再加二百一十六 x 减去三十倍的负五分之三 x 再加二百一十六，再减去 m 倍的负的五分之三 x 再加二百一十六，给他做化简化到最简之后，应该是负的五分之三 x 平方加上二百三十四，再加上五分之三 m， 再乘 x 减去一个 六四八零，再加上二百一十六 m。 那 么同学们得到这个式子之后，我们已经知道了日毛利润的函数了，我们要求什么呢？日毛利润能随着房价的增大而增大，就要看他的 增减区间啊，增减范围，所以你要去找他的对称轴啊。所以来负的二 a， 分 之 b 等于好，负的二乘 负的五分之三，分之二百三十四，再加上五分之三 m， 那 么给这个式子画到最简是一百九十五，再加上二分之一 m。 注意啊， 正常情况咱们应该考虑开口向下的一个二次函数对称轴在一百九十五再加二分之 m， 要让二百之前啊，房价不超过二百二百之前，日毛利润随着房价的增大而增大，所以 二百应该在一百九十五加二分之一 m 的 左边啊。但是这道题是这样吗？正常按照这个去解的话，解出来就应该是十小于等于 m 小 于等于二十了 啊。但是同学们你要注意，这道题里面有个很重要的信息，叫做其中 x y 均为正整数 来，咱们考虑到这一点，我们能够看到 y 和 x 是 有直接关系的，负的五分之三 x 再加二百一十六，对吧？ 就是要让 y 是 整数， x 必须是五的倍数，那这个 x 的 取值要是五的倍数的话，在二百之前就是一百九， 一百九十五，二百他只能取这样的整数点，也就是一百九十五到二百之间，这个 x 是 没有取值的。那么我们为了要让音变量随着自变量的增大而增大，也就是说只要让二百的函数值比一百九十五的函数值大就可以了，这个时候 如果左边是一百九十五的函数值大就可以了，这个时候如果左边是一百九十七点五的位置， 现在一百九十五和两百的函数值是不是应该对称相等？所以其实我只要让对称轴在一百九十七点五以右，对称轴比一百九十七点五更大，让二百离的 对称轴更近啊，让一百九十五离的对称轴更远，那么这样的话，就会使得二百的函数值肯定比一百九十五的函数值大， 这就已经能够保证在二百之前，随着自变量的增加。因变量要增加，所以同学们我们不需要去考虑说对称轴以右，它这个函数是下降的，因为函数对于一百九十五到二百之间，它是没有任何曲值的， 他是一个三点型的函数。所以最后这个题应该是一百九十五加二分之一 m 让这个对称轴大于一百九十七点五就行了，这样的话，解出来 m 应该大于五，所以啊，最终 m 的 取值范围是五小于 m 小 于等于二十。 好，那在这呢，还可能有些同学有细节上的不明白，我再给大家再来详细解释一下。就是你要明白一件事，这个函数的 x 取值，只要保证它是整数就行， y 的 取值要让整数的话，那么 x 就 得是五的倍数。同时对于 m 的 取值， m 的 取值对 x 和对 y 没有任何的影响， 无论 m 怎么取，都不会对 y 和 x 产生直接关联。 m 只跟一个东西有关系， m 跟谁有关系呢？ m 只跟对称轴有关系，而对于这个函数来说，对称轴是不是整数，其实无所谓 啊，对称轴可以不需要是整数，也就是说随着 m 的 变化，这个函数可能会出现，比如说 这是一百九十五，这是两百，对吧？哎，这是两百零五，好，对称轴在这，那对称轴再往左移，那我们又会变成了，哎，这是两百，这是两百零五，哎，这是一百九十五， 好，继续对称轴变化，看函数图像又能变成了来，这是两百，哎，这是一百九十五，好，这又是一百九。随着 m 的 改变，其实这个函数的 对称轴的位置在改变，所以你会发现，最终我们只需要让两百的函数值比一百九十五大，那么就已经满足了 啊，这个随着自变量增大，应变量要增大，那么至于 m 的 去值， m 从五到二十之间，每一个数字都能去。
1010陈进步讲数学
04:36查看AI文稿AI文稿二零二六太原市二模数学第十五题首先我们来看这道题他给了哪些条件，第一个条件，角 b 等于四十五度。第二个条件， ab 等于三倍，根号二， bc 等于九。第三个条件，他给了 ad 等于二倍的 dc， ad 是 两份， dc 是 一份。 最后一个条件， d， e 等于 d， a， 最后让你求 d、 f 的 长。当我们看到第一个条件角 b 等于四十五度的时候，想到什么呀？等腰直角三角形， 所以大部分同学都可以想到过点 a 做 a g 垂直于 bc， 这样就构造了等腰直角三角形，就可以得到 a， g 等于 b， g 等于三啊，因为它是一比一，比根号二还可以得到角 b， a、 g 等于四十五度，给了 b， c 等于九，紧接着就可以求出来 c， g 就 等于九减三等于六，那么求出来 a g 和 c g 的 长，紧接着就可以求出来 a c 啊，也是 r t 三角形 a、 c、 g 中 a、 c 的 长就可以根据勾股定律求出来，也就是说它等于根号下 a g 方加 c g 方就等于三倍。根号五，第三个条件， a， d 等于二倍的 d， c， 哎，它给的是两个线段之间的这个数量关系， 我们也可以想联想到相似，对吧？最后他让你求 d、 f 的 长，那么我们可以联系相似去解决 它给的这个 cd 和 ad 的 这个数量关系，我们就容容易想到，哎，去构造相似，构造什么相似呢？构造 a 字形相似，也就说我们可以过点 a 做这个 a、 h 平行 e、 f， 它就可以得到三角形 c， d、 f 相似于三角形 c， a、 h 可以 得到 d， f 比 a h 等于谁呀？ c， d 比 a c， c， d 是 一份， a， c 是 三份，直接可以得到它是一比三，所以我们只要求出来 a、 h 的 长，就可以求出来 d、 f 的 长，那么 a、 h 如何去求呢？我们还有一个条件没有用，那就是 d e 等于 d a 好，那么 d e 等于 d a， 我 们想到了什么？等腰三角形的三线合一，等边对等角，比如说我们利用等边对等角，我们可以得到角 e 等于角 eac， 我 们又知道角 eac 是 三角形 a b、 c 的 外角，也就它等于角 b 加角 c 好，角 b 呢是四十五度，角 c 呢，我们比如说说它是而法吧，那么它就等于四十五度加而法，所以这两个底角都是四十五度加而法， 再结合两直线平行，可以得到同位角相等，也就是说可以得到这个角 b a、 h 等于角 e， 是 吧？也等，也就是等于四十五度加而法， 这样的话，我们就角 b， a、 h 呢，又等于角 b a g 加角 g a h， 也就是说角 g a、 h 等于 r 法，角 g， a、 h 和角 c 就 相等了，又又可以得到 一对三角形，相似谁呢？那就是三角形 g， a、 h 相似于 三角形 g c， a 可以 得到 a h 比上 c a， 哎，等于 a g 比 c g 就 可以求出来 a h 等于 二分之三倍根号五。最后我们再把 a、 h 带回去，刚才相似比是一比三的这个比例式中就可以得到 df， 就 等于二分之根号五， 所以正确答案是二分之根号五。最后我们再总结一下，看到四十五度，我们要想到等腰直角三角形以及边角关系，根据勾股定力去求出来一些应用的线线段。当我们看到等腰三角形的时候，我们要想到什么？等边对等角三线合一， 哎，当我们看到两条线段的数量关系的时候，可以联想到相似，最后构造相似，根据相似去求出 e、 f 的 长。
39初数张老师
02:51查看AI文稿AI文稿同学们好，一起来看一下太原二模的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。 根据题中的已知信息，角 b 是 四十五度， a、 b 等于三倍，根号二，于是你过点 a 做了高，得到了一个等腰直角三角形，并且得到了这些边的数据。而整个 b、 c 是 九，那么你又得到了 g、 c 等于六， 于是又得到了 a、 c 的 长度，而 a、 d 等于二倍的 c、 d， 于是又得到了 a、 d 和 c、 d 的 长度， 最终目标是求 d、 f。 所以 你想到了将 d、 f 构建在相似三角形或直角三角形中，其中一种方法就是可以或点 d 去做 b、 c 边上的高， 这样就得到了一个小三角形 d、 k、 f。 咱们只要能知道这个三角形的两个直角边，就能求出来 d、 f 的 长度。根据题中一比二的那个信息，咱们能得到 d、 k 的 长度，因为这两三角形是相似的， a、 g、 c 和 d、 k、 c 相似，比为一比三，所以 d、 k 的 长度等于一。 目前还有一个重要的信息没有使用，就是 de 等于 da， 那 说明 da 是 一个等腰三角形，而等腰三角形能给咱们提供的无非就是腰相等、底角相等，还有三线合一，咱们这里可以借用底角相等来解决问题。 这两底角怎么分别能表示为阿尔法加四十五度，但这里是把角 c 记为阿尔法，那么角 e、 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 一个外角角 b 是 四十五度，角 c 是 阿尔法，所以这里角 e、 a、 d 就是 阿尔法加四十五度， 那么角 e 也是 r 加四十五度。利用内角和，咱们就能表示出来这个等腰三角形的顶角就是九十度减二 r 法，那么它的对顶角 c、 d、 f 也是九十度减二 r 法。 然后在三角形 d i 在 三角形 d、 k、 c 中利用锐角互余，就能表示出来 k、 d、 f 的 长度。 拿九十度减 alpha， 再减这个 c、 d、 f， 得到的就是 k， d、 f 恰好也是 alpha， 说明这个小三角形 d、 k、 f 它的三边之底也应该是一比二比根号五。而目前已经知道 d、 k 是 一了， 所以就可以顺利地求出来 d、 f 的 长度为二分之根号五。 这边左下角有针对二零二六年的中高模拟卷，有需要的同学可以点击了解一下。
163李亮老师
24:09查看AI文稿AI文稿大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。
29婉男
16:45查看AI文稿AI文稿同学们好，我们来看一下。嗯，太原二模的这个材料阅读题 下面是一篇数学小短文的一部分，请你认真阅读并完成相应的任务。这个题目是让你利用对称来作图。 呃，因为阅读理解啊，就是这个关键还是，呃，要进行一个首先通过阅读来理解 这个材料里面给的一个方法或者一个图形。呃，本题的主题是利用对称来做图，我们先看一下这个阅读材料。 在平面几何中，我们经常需要根据条件用尺规做出满足特定几何关系的图形。下面介绍一个有趣的作图问题，已知如图，一点 ab 是 圆 o 外的两点 a b o， 三点不共线，且 o a 不 等于 o b， 让你求作圆 o 的 直径 p q， 使得 a p 等于 b q。 给了一个问题，这儿他把解决这个问题的思路， 嗯，给了咱们一些思路。为解决这个问题，我们先画出目标图形的草图，并探索做法。 如图二，假设直径 p q 已经做出且满足 a p 等于 b q， 借助草图可发现作图的关键是确定直径端点 q， 或者 p 在 圆上的位置有圆的对称性。想到直径 p q 的 端点 p q 关于圆心 o 对 称，因此可以做点 a 关于圆心 o 的 对称。点一撇，只要确定了点 q， 使得 a 撇 q 等一个 b q， 就 可以得到 ap 等一个 b q。 这个思路梳理就就来，就是给了咱们解决问题的一个基本的方法。然后，呃，我们看这个 思路的梳理，我们要圈画他的一些关键词，我把这个图放的稍微大一点啊。 我们一般解决复杂的尺规作图问题的时候，一般是要把呃要先画出满足题的一个这个图形，然后再探索做法，这个是我们解决复杂尺规作的问题的一个方法， 这这里也是他是先假定了这个 p q 已经做出，他已经满足 a p 等于 p q， 然后关键是确定 q 和 p 的 位置有缘的对称性， 然后得到了一些呃结论。然后最后的话，他是做点 a 关于圆心 o 的 对称点 a 撇，这个是一个关键， 做点 a 关于圆心 o 对 称点 a 撇，然后这样的话确定了点 q， 使得 a 撇 q 等于 b q， 这个这也是一个关键。然后我们结合题目来进行一个分析， 我们看一下第一题，它由思路梳理中的分析过程可得点 a 撇与点 a 与点 a 撇关于点 o 对 称， 且 p q 为圆 o 的 直径。让你根据上述条件借助图二来说明，当 a 撇 q 等于 b q 时， ap 等于 p q， 这是这个第一题，让你进行一个证明， 它已经给了对称 a 和 a 撇关于点 o 对 称，那么 o a 和 o a 撇，它就相等。然后又告你了这个 a 撇 q 等于一个 b q， 这样的话我只需要证明 a 撇 q 等于 a p， 那 么 a p 就 等于个 b q， 这样的话 做出的这个图形就是满足题的图形。第一题还比较简单哈，它其实本质上就是证明了证明三角形全等，就是证明三角形 a o p 和三角形 a 撇 o d， 证明这两个三角形全等。我们我们看一下，首先 a 撇 o 等于一个 a o， 然后又 p q 是 一个直径，呃直径，所以说 op 就 等于 o q， 它们都是半径，而且这又又有一组对顶角相等， 很明显这两个三角形是全等的哈，全等判定的依据就是 s a s 哈， 所以说我们正常的推理就行了。嗯，这个是第一题，第二题， 咱们来看一下，他说在图一中完成作图，完成作图。嗯，要求此规作图，保留作图痕迹，不写做法，做出一种符合要求的直径 p q 就 可以。 根据上述的阅读材料，我们发现这个题目的核心就是确定直径 p q 的 一个位置，确定 p q 的 一个位置，然后 第一个题目他是已经假定，假定 a 撇 q 等于一个 b q， 假定 a 撇 q 等于一个 b q， 所以 我们找找直径的一个。找直径的时候，最核心的就找到一个点， 比如说我找到一个点 q 以后，我连接 o q， 其实这个直径就确定了，关键是找这个点。怎么找这个点呢？核心就是根据 a 撇 q 等于 b q， a 撇 q 等于一个 b q， 相当于找一点让它到点 a 撇和点 b 撇的距离相等，本质上就是要做线段 a 撇 b 的 一个 垂直平分线。所以我们明明确了思路以后，我们现在就来开始完成这个第二题。完成第二题哈，呃，首先根据根据作图的一个这个 过程，我们还是要要根据这个做做图的过程，我们看看他是第一步是什么？他第一步是先找了一个，其实他是找了一个 a 关于 o 的 一个对称点，这个用此规则做图就是， 嗯，比如说我先把 o a 把它连接起来， 然后做了一条射线，做了一条射线以后，我就是要过找它的对称点，就是过以点 o 为圆心，以点 o 为圆心，以 o a 为半径。在这边，在这边先确定一个点， 画一条弧，比如说这个点确定到这以后，这个点就是 a 撇点的位置， 然后第二步就是确定，第二步就是确定点 q 的 位置， 我换一个颜色啊，确定点 q 的 位置，也就是我要做 a 撇 b 的 一个垂直平分线，所以说我现在我把 a 撇 b 连接起来， 我只要做出 a 撇 b 的 一个垂直平分线，让他跟这个圆有一个交点就可以了。做垂直平分线，这个是一个基本的尺尺规作图啊，我这就，我这就不嫌弃说了哈，大概画的弧的位置就是这样， 比如说这个是这个是他的，他的两条弧，这样的话 我把这个连接起来，这个就是它的一个垂直平分线，比如说它这个这个焦点是一个 q， 这个焦点是一个 q 吧，这个焦点是一个 q， 现在我就把这个 q 点找见了，我连接 o o q， 连接 o q 并延长 和这个圆交于另外一点 p， 这样的话 p q 就是 我们 p， q 就是 我们所求作的这个圆的一条直径哈，大概的此此规作图。我再重复一下，第一步就是，嗯， 连接 o a， 连接 ao 并延长 ao， 做一条射线， 嗯，第二步就是过一点 o 为圆圆心， o 为半径，然后画一条弧，就确定了 a 撇的位置。三步就是连接 a 撇 b， 做 a 撇 b 的 一个垂直平分线，然后和圆交于一点 q， 呃， 然后这个垂直平分线跟圆有可能有两个焦点，取哪个焦点都都可以哈。呃，当然这个是，这个是过点 做这个 a 撇，关于 o 的 一个对称点，当然这个题目也可以呃过点 o 做 b， 关于 o o 的 一个对称点 b 撇，哈，这个方法道理是一样的哈，这个是 呃，第二题，我们看一下，再看一看一下第三题，第三题他的方法其实和和这个第二题他本质上他是一样的哈，我们看一下第三题， 他说是如图上有一个正方形养殖场 abcd 点 pq， 表示养殖场外部的两个饲料存放点，要在养殖场内规划一条笔直的通道， m n， m n 均在养殖场的边界上，若 m n 平分养殖场的面积， m n 平分养殖场的面积，且从点 p 到 m 的 最短路线与点 q 到 点 n 的 最短路线相等，请在图三中用此规做出表示。通道的向端 m n 要求饲料从饭点到通道端点的最短路线不能经过养殖场的内部啊。 首先我们看一下这个题目，他肯定是要用到前面第二封的一个思路哈，首先，嗯，他要求 m n 平分养养殖上的面 积，正方形内一条线段平分养殖上的面积，那么我们根据之前学的一些知识，我们就知道这个 m n 他 是他是必然过这个， 嗯，这个正方形的中心就是这个正方形对角线的一个焦点，所以说解决这个问题，我要先把它的对角线连接起来， 而且根据 这个题目此规作图的一个依据，他也是要利用对称来作图，所以也需要我们找到这个正方形的对称中心，比如说这个点是个 o， 确定了点 o 的 位置以后，我们现在就能，我们现在就能用 这个。第二，呃，第二题的一个思路，思路方法哈，首先我还是连接 q o， 连接 q o， 然后我做一条还是做一条射线？ 嗯，做一条射线，然后我以 o 为圆心， o q 为为半径，然后我做一条弧，我做一条弧， 我做一条弧，然后我假设这个点是一个 p， 假设这个点是一个 p， 假设这个点是个 p， 这是第一步，第二步的话我就需要第二步的话我就需要连接，我把这个，呃，这个 p 不 行哈， p 已经用过了哈，我换一个字母啊， 比如说是这个 m 吧。第二步就是我要连接 mp， p 吧，我就做，我在做 mp 的 一个垂直平分线，比如说做垂直平分线， 然后交于一点 m， 我 再给你换一个字母吧， m 也用过了啊，换一个字母，换一个 e 吧。 当然做这个垂直平分线它是需要，它是需要一些轨迹哈，需要做平峰线的一个基本方法，比如说 我这做了一条垂直平分线这个 m， 然后完了我还需要第第三步确定它点 m 的 位置，我还需要把 m o 连接起来，然后让它再延长跟 跟 c d 交一点 n， 这样我就我就做出了 m n， 这样我就做出了 m n， 这样的话我就做出了 m n， 呃， 本质上跟第二题的方法一样，只不过他是把那个对称的一个图形换成了一个正方形，需要先找到正方形的对称中心， 当然这个也可以通过通过证明哈，通过证明，通过证明来完成一些我们的这个，呃，确定他是一个相等最短的路线哈。这个题目咱们今天就分享到这哈。
39初中学习规划
08:27查看AI文稿AI文稿太原二模第十五题我们说三种方法，题中知道了 a、 d 与等于二倍的 d、 c 知道比例，我们做平行线， 做了平行线，我们就可以知道 a、 d 与 a、 c 的 比是二比三，那么 d、 j 的 长我们就知道了，它等于 六，因为 b、 c 是 九， a、 j 和 b、 j 的 长也知道了 a、 j， 它就等于二倍根二， 那 b、 j 就 等于根二。 我们又知道 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等等腰三角形三线合一，或者我们发现角 b 是 四十五度角， d、 j、 e 也是四十五度见四十五度向等腰直角三角形。所以我们过点底做垂线， 它就有多重作用。 b、 a 长是根二， 那 d、 a 长是六等腰直角三角形，就可以知道 d、 f 的 长， d、 f 的 长就是三倍根二， 那么 a、 f 的 长 就等于根二， g、 f 是 三倍根二， a、 g 是 二倍根二， a、 f 是 根二，那么它就等于 ef 的 场三线合一。 在三角形 ef 地中，利用勾股定律就可以求出 e、 d 的 场是二倍根五， 而 j、 d 平行于 b、 f 利用平行线分线段成比例， e、 j 比 j， b 就 等于 e、 d 比 d、 f， e、 d 知道， e、 j 知道， g、 b 知道，所以 d、 f 的 长就求出来了， d、 f 就 等于二分之根。 这是第一种做法。 第二种做法，我们知道角 b 是 四十五度， 角 c 不知道，那么我们可以设角 c 为 r， 那 么这个角角 d、 a、 e 的 度数就是四十五加 r 了， 那么角 e 的 度数和角跌液度数相等也是四十五加二法 利用三角形内角和定，就可以知道角 d、 f、 b 的 度数是九十减二法 见四十五度构造等腰直角三角形，所以我们过点 a 做 b、 c 边的垂线， 我们就会发现角 c、 a 这个度数也是九十减二法， 这里就出现了相似三角形，而 ab 的 长是三倍根二， 那么 a、 j 等于 b， j 就是 三，那么 c、 j 的 长是六，所以 a、 j、 c 三边 b 为一， b 二 b 根，所以我们这个时候再过点 d 做这四边的垂线， a、 d 是 二倍的 dc， 所以 dc 与 ac 的 比是一比三，那么 d、 h 的 场就可以求出来是一，而三角形 d、 f、 h 和三角形 c、 a、 j 相似，所以一比二， b 跟五，所以就求出了 d、 f 的 场是二分之根五。 方法三、间隙法，我们要求 d、 f 的 长，只需要求出 d 点和 f 点的坐标， 而如图所示，间隙我们知道了 b 点的坐标， a 点的坐标直线 b、 a 的 表达式就有了， 所以我们重点是要求 d 点和 e、 f 点的坐标， 其中知道了 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等，所以我们在这里会可以想到过点 d 做 y 轴的垂线， 过点 e 做 x 轴的垂线，过点 a 做这条轴的垂线。 因为 ad 与 dc 的 比是二比一， ad 与 ac 的 比是二比三，所以就可以求出 d 点的横坐标是四， 二比一，又可以求出 d 点的纵坐标为一，所以 d 点的坐标就有了。其中知道 ad 的 长和 d、 e 的 长相等，而 ad 的 长它是二倍根五，那么 d、 e 的 长也应该是二倍根五， 所以要求一点坐标。我们设一点的横坐标为 x， 因为这里是个等腰直角三角形四十五度，所以这条边也是 x。 利用 e、 d 的 长和 a、 d 的 长相等，所以我们需要这个题，它是 x， 那 么这段的长 d i 的 长就是四减 x， 这一段长是二，这一段长是 x， 所以 e i 的 长就是二加 x， 利用勾股定律就可以求出 x 值为二， 那么它的纵坐标就是五， e d 直线有了，所以 f 点的坐标也就求出来了， 那么就可以求出 d f 的 长。
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20:45查看AI文稿AI文稿大家好，我们现在来看一下，嗯，刚结束的这个太原市二模的一到十四体一个简单的分析，然后整个来说这个这次太原二模的话，嗯，总体的一个 题型情况都比较正常，然后题型的话也没有什么太偏太难的，个别个别的地方啊，细节上发生了一些变化。比如说第十题他没有考咱们那个常见的阴影部分的面积啊什么的，他把 圆这块呢放到十四题，这有一个弧长的一个计算，然后总体的这个选择题来说，他这个难度的话，一到五题的话就是一星的难度啊，一颗星他基本上是顺分题，就是最最基础的一些定义啊，运算什么的啊。然后 六题开始到九题吧，就有一点的灵活度，需要计算的计算量也有需要你思考一下才能去选选出正确的答案。然后第十题的话， 第十题的话就是稍稍有一点的综合度了啊，而且有一点点就是给你挖的那个陷阱的意思，就是你不小心会掉到那个他挖的坑里头啊。这个是总共选择题的部分，那填空题的话是 十一十二都是比较简单，十三题的话 需要我们简单的进行一些计算，它是一个反比零函数，在以实际问题为背景下的一个对准问题的计算啊。 然后十四题的话，原理头弧长的计算问题，但是它结合了这个五边形，它比较综合啊，它这里面要涉及到你求弧长的话，会涉及到一些 圆心角啊，半径，需要结合起它具体的背景啊。咱们从第一个来一个个来看一下啊。第一个第一题的话， 第一题它是一个考察一个答案的有理数的绝对值问题，这个很明显啊，很明显这个答案就不用说了，它绝对值越小，然后它的型号越强啊，也就是数字看起来越小的。 然后第二题是他考察的是个轴对称图形，那轴对称图形简单的来说他就是对折起来能重复的图形，这个图形就是轴对称，所以我们不要局限的就认为他只能是横平竖直的去对折的时候 才能是轴对称图形。像正确选项 a 的 话，它是需要沿着这个外框线这个正方形的对角线去对折的话，它才能两边图形的两侧才能完全重合，才是轴对称。然后第三题的话是 密运算，乘方运算，简单的一个结果啊，就是密的本质运算是到底什么 mx m 个 x 的 话，他就是 x 的 m 次方啊，然后他又算了的逆匀算的乘方，匀算到底最后是什么？这个是七年级的时候学的啊。然后第四题的话，第四题他考察了三十图三十图，这里面需要注意的就是 b 和 c 肯定都能一下看出来是 bc， 但是这里头不一样的， b 和 c 就是 实线和虚线条数的区别， b 是 两条虚线， c 是 一虚一实，所以这这个需要我们去学会去判断，一般的这种三十图的选项里头都会 考到这个虚线的问题啊，所以他虚线就是你最后要求的是左视图嘛，对吧？所以要要求的是左视图，那叫他从这个左侧去看过去，左侧看过去的话，他会有挡的地方， 挡的地方比如说这个这条线他是挡的地方，他就是虚线，然后还有另另外一条像这这块的，他从左边这个视角去看，他也是虚线，所以应该是选项 b 两条虚线啊， 所以他主要考察的是这个虚线的识别，至于这样子外观的话，我觉得 一下都能看出来。然后第五题就是啊，你会发现最近几次的考试啊，他这个科学计数法不是单纯的就是直接来一个数字，让你把它表示出来什么，他会融入一个什么简单的一个计算，需要我们简单的进行一个预算以后 得出来的数字，再用正确的科学计数法去表示，所以这儿是你看他写的是每秒可处理数据这么多条，那运行三千六百秒后， 这个最后的处理的数据量用科学计数法表示。所以我们这个先需要我们去计算什么，二点五乘以十的六次方，再乘一个三千六，需要把这个东西算完以后啊，再去选，那最后就是九乘十的九次方条啊。然后那么前面这五道题的话，就是 基本上算是顺分题啊，大家应该一般是没什么问题。然后第六题的话需要你进行一定的几何计算，咱们仔细看一下这个第六题啊，第六题是一个三十度角直角三角板的 a、 b、 c 和一个长方形的直角， 然后摆放出来一个图形里头的一些度数的计算，角 b 等于九十度，这个地方是九十度，然后角 c 是 三十度啊，这是个三十度角的直角板，他们两个分别为，嗯，直尺的一条边交于 d 和 e， 然后告诉角 r、 f 是 五十度，这个是五十度， 然后要求的是 a、 d、 e 的 度数啊，要求的是 a、 d、 e 的 度数。 我们现在的话就是要求这个度数的话，我们要么是把这个三角形 a、 d、 e 中另外两个角的度数算出来，用一百八去减掉，利用内角和一百八啊。再一个要么就是求这个角，对不对？ 你要求 a、 d、 e， 它这个是个和，它 a、 d、 e 是 个对零角，所以如果这个角求出来，那 a、 d、 e 也算，那这个角你会发现这个地方是个直角， 你能不能看出来？看出来这个地方有我们学过的一个模型，什么模型啊？你看包括这个线和这个直角，然后到这个地方就把从从这儿 开始往这边呢？咱们不看啊，咱们不看，给他放起来，他是不是咱们学过的这个主体模型这个样子啊？这两个线是平行的，然后呢？这个角是九十度，对吧？这个角是九十度，然后这个要求的是这个角，所以我们如果知道这个角的话，那这个也求出来了， 现在的话就转移到求这个角啊，这个角再看他和这边也是个对顶角，所以就这个知道了，他就知道了，那么接着来往后推， 那这够了， r 角是五十度，那五十度可以很明显可以看成是什么，这个角和角 c 的 一个外角，所以五十度等于角 c 加上这个角，角 c 是 三十度，那这个角就是多少度，就是二十度，那转移到这他就是二十，他这二十的话，用猪蹄模型， 这个朝右开口方向的角等于左边这两个角的和，那这个是二十度了，那这个就是多少度啊？就是七十度啊，这个也就是这个地方的角就是七十度，他和所求的 a、 d 是 一个 对顶角，所以最后 a、 d、 e 就是 七十度啊，这里头考察一个平行线常见的一个模型，主体模型。然后第七题是概率问题定义的一个理解啊，他一般以某一事情发生的概率是二分之一，那这个二分之一怎么去理解啊？ 那 a、 a、 b、 c、 d 的 话，这很明显啊，该事件一定会发生五十次，肯定不是第一次没有发生，第二次一定会发生，这也不是啊，这也不确定该事件必定会发生一次，这是一个意思啊， a、 b、 c 其实是一个意思，然后我们回归到概率的 本身的，他是怎么定义概率的就能知道了，他是频率啊，概率是一重复做一个事情，他的频率稳定在多大，那说明这这个事情发生概率就是多少，所以最后是选项 d 啊。第八题是考察了圆， p 是 圆外的一点，然后而且考察这里面什么出现了切线啊？ pc 和 p b 都是切线， a、 c 是 圆 o 的 直径，那这都是常规的圆考察的一个，嗯，点啊，就是点，那考察了圆的直径啊，圆的直径就会想什么 直径所对的圆周角是直角，对吗？还有一个是切线，那切线就是已知的切线，我们肯定是要去找他的半径，去找他的半径，所以我们现在的话，那肯定是 pp 是 他的一个切线， p、 c 也是切线呢， a、 c 已经连起来，所以现在的话我们就会去想先把这个起来，这是 p、 b 的 切线，连起来半径以后，它 o、 b 就 垂直于 p b， 对 吧？然后还有一个就是 a、 c 是 直径，我们会去想着去连这个 b c 啊，连起来它所对的圆周角就是直角， 那这样的话，我们需要的就通过已知条件想到的都给他，把这个辅助线就是水到渠成的就给做出来了。做出来以后咱们先再看他要求的 p 的 度数， 你看这辅助线连完以后， o p 垂直于 p b 对 不对？ o c 垂直于 p c， 这都是两条切线得出来的结论。那这样的话， p b、 o c 这个四边形一组对角是加起来一百八，说明他们 四点是共圆的啊。 p b、 o c 四点共圆，也就是另外一组对角共圆的四边形的任意组对角都是一百八，所以它和角 p 就是 和，就是一百八， 那要求角 p 呢？这个角求出来角 p 就 知道了，这个角又是什么？这个角是不是又等，又是它的 aob 这个三角形的外角，它和它的和就等于角 boc， 那 看再看这个 a 角，这是多少度啊？角 a 是 六十五度，对吧？那 o a 和 o b 又是半径，所以角 b 这个地方也是六十五，那总共这个外角就等于它俩的和的话，就是一百三了，对不对？一百三十度了，那它们和 p 又是互补，那就是五十了啊， 这样的话就是 c 选项就出来了，然后第九题，第九题就是简单的一个图像的理解， 这个题的话他其实难度也啊没那么大，然后仔细看图的话都能选出来。 a 选项是碳酸钠的溶解度随温度的升高而增大，你会发现他是一个曲线有下降的时候，所以他不是一直 增大的，这个就不选二十摄氏度是氧化钠的溶解度大于碳酸钠的溶解度，这个是很明显，是不是二十度的时候，碳酸钠在这，氧化钠在这，所以这个 是正确的。绿化，那的溶解度随温度的升高而显著增大，这个明显是基本上趋近于一条直线，所以他不是显著增大， 这是很明显的错误。绿化，那他和那的溶解度相同的时候，他的温度是三十度，那这个虚线他指的是相同的 一个点，那这个时候他还不到三十度，所以这个是不对的，这个很正，很明显的就能把这个正确选项 b 选项就选出来了啊，其实是很好办排除的，就是你仔细的去看图，就能选对这个图题。 然后第十题，平面坐标系统三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 x 轴负半轴上，顶点 b、 c 在 y 轴上，且关于 x 轴对称，将 a、 b、 c， e， x 轴正方，正半轴方向平移，那说明这道题是以考察的是平移这个知识点啊。我们看到这个平移的话， 我们就会就去想，平移有几个要素啊？平移有两大要素啊，一个是平移的方向，对吧？平移的方向， 再一个是平移的距离啊，平移的这个两个要素要知道了，我们就能知道从什么地方去下手。 abc 的 对应点分别为 e、 f、 g， 那 就是 abc， a 平移到 e 上， b 平移到 f 上， c 平移到 g 点上。所以还要知道 平移过程中每一组对应点它平移的距离是相等的啊，每组对应点平移的距离相等，所以我们来看完以后，它 f、 a、 a 点的坐标是个负三零啊，这个地方是负三零， f、 g 坐标分别为 ab 和 cd， 然后怎么去看这个选项啊？ 你要知道 f、 g 分 别是由 b 点和 c 点平移过去的对应的两个点，原来 b 点和 c 点它是什么？关于这已知条件都说了， b、 c 是 关于 x 轴对称啊， 在外轴上，并且是关于 x 的 对称，那既然是关于 x 的 对称，说明它 ob 和 o c 就是 相等的，而且是一正一负的，一正一负的， 那它平移到 f、 g 这个这个地方的时候，那仍然是关于 x 轴对称，所以它俩的重坐标啊，它俩的重坐标 b、 d 肯定不可能相等，对吧？一个在上面，一个在下面，首先我们可以通过这个， 我们把 a、 c 这两项就排除了，对吧？ a、 c 这两项就排除了，那剩下的测 b、 d、 b、 d 的 话， 那 b 加 d 等于零，这个没问题啊，它关于 x 走对称，它它一正一负加起来，是啊，抵消了。然后 b 和 d 的 区别就是 a， 一个是 a 等于 c 等于三，一个是 a 等于 c 小 于三，这就是考考你什么平移距离， 平移距离的话啊，咱们很明显的是 x 走上的这个啊，从 a 点到 e 点，从 a 点到 e 点的坐标是负三到零，也就 o a 的 长度是个三， 那 o、 a、 e 他 要求的是什么？这有一个细节啊，一定要看，当点 e 在 三角形 a、 b、 c 内部的时候，说明什么？ a、 e 肯定是小于三的，是吧？如果这个 e 点 a、 e 要是大于三的话，那他就跑到外头了，是不是大于三的话，就跑到外头了？因为 o、 a 是 个三吗？所以从这就能确定他是小于三的选项 d 是 正确的啊，这就是前面的一到十题的选择题，咱们接着看填空题， 填空题的话，第一题是要简单的一个二次根式的化简，这个不用说了，这个二维根式我觉得大多数都能一眼都能写出来。然后再看十二题，是考察统计中的一个简单的判定好坏的一个填空题，然后给了四个同学，要 从中选出一名成绩好且发发挥稳定的同学参加最后的比赛。最合适的是什么？ 成绩好且发挥稳定，那成绩好这个首先是他们是从什么地方，从方差和平均数这两个这两个角度去考察，那成绩好的话，首先平均数一定要是好的，对吧？平均数要好，然后发挥稳定的话，就是方差要小的， 那么咱们去咱们去比较，就是他横轴表示的是平均数，重轴是方差，然后那平均数首先要有好的，那 甲乙是在前面啊，在前面，那肯定就把甲乙这个排除了，对吧？剩下就有丙和丁来去判断哪个好，那方差小，方差小就是越低是越小的，所以 丁也排出来，对吧？仔细一下，丙这个就是丙同学最合适参加比赛。这个第十二题，第十三题的话，第十三题是一个考察了我们一个反比例的 表达式的运算啊，他一开始是匀速行驶的，速度是三米，然后前引力是 二十，那首先根据题的话，他这个前引力是和速度是成反比例的关系呢？就是 v v 分 之 k， 先把他正常这个你说这个 k 的 话，就应该等于 f v， 那 f 是 二十， 对吧？ v 是 三，所以这个 k 就是 六十，这样的话我们把这个表达式就能算出来是 f 等于 v 分 之六十。 然后最后问你的是，为保证这个耕地的效果，牵引力 f 不 能低于四十牵牛，然后拖拉机的速度的最大值它不能低于这个。这个地方啊，有一个大小关系是不低于，就是 i， 说明 f 是 大于等于四十， f 大 于等于四十，在这就是它大于等于四十，是吧？反过来推出来就是 v 小 于等于四十分之六十，那换讲一下就是等于二分之三啊，答案就是这就是二分之三啊，这个是十三题， 然后再看十四题啊，十四题刚才一开始就提到了它这个考察一个五边形和圆弧的一个结合， 那要求最后要求什么？他这个对称图形啊，他是由两个五边形和两组弧构成的，那他 啊告了一个边长，五边形的边长是个四后这个轴对称图形的周长，也就是最外圈的这一圈的周长。那你先观察他这个周长是由哪些线条构成的啊？你看会发现他是由 一个边、两个、三个、四个、四条五边形的边长加上两个上下两个圆弧构成。所以我们现在 四条边长的话是四四十六，这个就不用说了啊，十六加上主要是两个弧长，两个弧长要求弧长最关键的就是把它的半截和圆形角确定了，那这个要确定它的圆形角的话， 就要涉及到什么，谈谈就说这个角二 c、 a、 d 要确定它圆形角，因为两个上下两颗是全等的，所以我们算出来一个乘以二就可以了。 求它的圆形角会发现它是和五边形的两个内角加起来是总共是三百六，所以我们这里头又考察了五边正五边形的一个内角的计算啊， 那他五边形的内角和的话，就是五减三乘一百八，他是五百四，这是五边形的内角，那内角和除以五就是一个的，那算下来是一百零八，对吧？一个一百零八，两个就是二百一十六，三百六减去二百一十六，他是算下来是一百四十四，对吧？ 圆心角是一百四十四，那弧长公式的话，就是等于一百八十分之 n， 一 百四十四乘以派，再乘以它的半径就是五边形的边长乘以四，那这样圆一下就算出来啊，分之三十二派，那最后就是十六加 五，分之三十二派，就它的周长啊。好了，这就是前面的一到十四题的一个简单的 说明啊。总的来说这个题还是比较中规中矩的，就是灵活度以及结合实际问题的。这个这个题比较侧重了，就是 灵活性增强了，不光是比较死的，就是概念记住就可以了。比如说像这个第五题这个地方啊，他需要我们去简单的一个计算，而不是说是看到一个科学计数法直接就给你写完。
17婉男
03:51查看AI文稿AI文稿太原二模数学分析来喽！很多家长老师，孩子们都在议论这份卷出的好不好，那我在最后二十四天，那 什么叫做好？我把这个问题问给孩子们，孩子很直接，考的高，那几个卷就出的挺好，如果考的不行，那就出的他，他就出的不好。有道理， 临近二十四天，你出一份卷，故意刁难孩子们，如果说他考的很糟糕，有什么意义呢？有没有可能有些孩子因为 这个交情绪的焦虑，或者说成绩不良，不理想，就自我否定呢？自我摆烂呢？有可能的，对吧？所以说我觉得这个卷的好不好呢，因人而异，但是我觉得这份卷的二十三题 是有难度的，然后整体的试卷的难度属于一个正常的一个难度。那我们做一个简要的一个分析。首先我觉得第一个比较好的就是他的第十题，大十题是通过一个平面直角坐标系来去探讨一个平移的问题， 很新很棒，点个赞。然后就是我们第十二题，他是将我们的方差和平均数在一个平面直角坐标系里面，让你去分析横坐标和纵坐标搭配方差和平均数的这个关系。 呃，然后就是十五题，我觉得十五题的话就是常规难度很适中，他就是让你去探究相似解直角、三角形，还有一些特殊角，如果说你能对特殊角很熟悉的话，其实我觉得这个题也可以解出来的。 然后就是我们统计图，我觉得这个统计图的题完全就是贴合这个学情调研的难度，他让你去研究中位数和平均数的关系，那他想要的是 大于中位数而不是平均数，所以说十八题要圈起来要注意哦。呃，简直要三角形。这一次的话，我就觉得你碰到这种中等或者说难度偏低的题，嗯， 呃，去完善你的过程吧，好不好？既然他难度已经下来了，那就不要再让他扣分了，比如说约等于，比如说，呃，对边比邻边这些 过程要写的清晰，不要因为这些细节而扣分，这才是最重要的。然后就是我们的二次函数，很明显他就是一个非几何的建模的一个问题，我觉得。 嗯，怎么说呢？如果说你基础中等偏低的话，很容易在这个第一题求这个函数这出问题。因为这个出题人好聪明啊，他把第一点、第一个点和第二点 他的成绩 x 和 y 的 成绩是一样的，很多孩子们就会误以为他是一个反比例函数，其实不然，从第三个点的他成绩就变了，所以说要小心一点。 他的小三问的话，我觉得主要是理解为什么要对称轴，要与腰一百九十七点五去做比较，进而理解他的这个变量。 呃，最后一道二十三题的话，我和你讲。总结总结总结，很多老师和孩子们讲说啊，出题人太厉害了。这个总结没有用了，魔高一尺，道高一丈，那是小三， 他的二十三题压轴大题的小一小二还是很需要这个总结的。很明显。中点，呃。中位线， 斜边上的中线等于斜边的一半，然后平行加中点等于八字形的全等，对不对？拿着这三点一定是可以做出来的，当然他的小三， 嗯，我只能说他很贴近中考的二零二四和二零二五的中考考点，所以说我就觉得其实并不难，你可以去思考一下。
60鸿禧数理化
17:34查看AI文稿AI文稿二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。
1011陈进步讲数学
04:43查看AI文稿AI文稿太阳初三二模这幅试卷吧，这幅试卷的难度并不是太大，就是二次函数那个计算量有点大，十五题和二十三题，他俩考的是同一个知识点，并不是太难。咱们先说一下前面选择题的 前十个选择题没有难度，就是第九个，有的学生会有可能会选错选 d， 为啥呢？因为他只给了一部分，而你当你沿把它划完之后，他实际还有一个焦点，说明他有两个点，而不是一个。 嗯，然后就是下来，咱们就说一下。呃，这次考的垂直平分线考的真不少，就是考那个，嗯，大体的第二个和画图题，他俩考的实际上都是垂直平分线，如果你能想明白，特别是画图那个想能画垂直平分线，那这个题就非常简单，非常非常简单了。 如果不知道，那这个题相对说比较难。然后十五，咱们说下十五题，十五题和二十三题我觉得本质是一样，都考的平行线，他考前面十五题，一看比例关系，一定要想到平行线，成比例关系嘛，然后 把边过比出来之后，边求出来之后，然后干嘛呢？又遇到了四十五度肯定构造直角三角形，并且 由于讲等幺三九，肯定三线合一，所以说刚好构成一个什么直角梯形，然后就可以找到高了，然后就可以找到了边了。 包括最后一个题，最后一个题也是你要直到 a 平行线 a， 他 有个终点，立刻马上想到什么全等的问题，全等的问题，立刻马上就可把第二位就能搞出来了。这是不是勾到一个相似一比三，那第三位呢？第三位实际上他是在第二位的基础之上，你这里面需要 嗯，讨论分论，讨论到哪个点是一个嗯，直角呢？到底哪个角是一个直角呢？如果角 d、 c、 g 是 九十度，那就可以嘛。这两个三角形是不是刚好全等？ d、 c、 g 和 d、 e、 g 全等刚好是干嘛呢？ 用 h、 l 来证明全等，证明全等说明那个角是六十度，那个角是三十度，那然后不是一比、二比和三的关系吗？ 第二个就是干嘛呢？当你 d、 g、 c 是 九十度的时候， d、 g、 c 是 九的时候，咱们干嘛？是不是这里面 e 是 一个中点，刚好直角三角形对直角三角形的什么？斜边的中线等于斜边的一半。所以说什么你 e、 g 是 不是就刚好就等于 d、 e 刚好？咱们在直角三角形 a、 e、 g 中， a， e、 d 中，那不是一比三的关系吗？所以答案就是一比三，所以这个题不难。那二十二题呢？二次函数，这个前两位非常简单，二十二题 前两位别算错，特别一次函数的表达。是，你记住啊，咱们考试不会去做蒙这个题，也得蒙一次函数的。是一次函数，一般来说不会是反比例函数。反比？什么是反比例函数呢？就是 x、 y 乘一个定值，但这两不是一个定值，肯定是一次函数呗。 那一次函数咱们求出解析式之后，然后咱们就会列就行了，列出一般就是 x 乘以 y 后面那个，你看列的第三位列的非常复杂，他又没让你算，他只说是啊，不， 不超过他，不超过他，那就说明什么意思？对称轴在哪里呢？不超过二百，一定要注意，对称轴一定是在二百的右侧呢，知道吧？一定在对称轴，一旦二百的右侧，说明你只要知道对称轴大于等于二百，那这个题就出来了。 如果咱们这个题没有读懂，第三位咱们要死算，我觉得这个题应该是算不出来的，所以这一份题吧，整体来说难度不是太大。如果咱们是中等生了，我觉得除了第十五题和二十三题的最后一位，以及二十二题的 和画图题的最后一位，其他题应该都得给我写，对吧？并且有的人说啊，这未来一定要会考圆的问题，但这次 大体里面，特别是十，特别是十七题，十七题他没有考圆，知道吧？所以说咱们不用去纠结说我肯定考圆的，没有这么说。 然后那个我觉得填空题有一个题出的非常不错，就是一个什么，就是一个第十四题，第十四题他让你求这个图形的周长，这个周长好多学生容易数错，特别是两个五边形好多，所以他是几个九个。 而你这里面的圆心，这里面的角，正五边形的内角以及外角该怎么求呢？有的学生内角我记不住，那你能不能记住外角呢？外角不是三百六十度吗？ 三百六十除以一个边数，那不是外角求出来，外角求出来呢？一百八十度减去一个是不等于内角了，然后就可以算出来什么 cad 这个圆形角了，这个这个角度了，角度，然后咱们就可以算出 转换成三百六十度之后，然后就可以转换成他的什么周长的弧度了。所以说咱们这种题吧，没有不是太难，但是下去了之后，咱们看自己哪里有问题，咱们一定要及时的盯正。
13高效学习
04:43查看AI文稿AI文稿二零二六太原市第二次模拟考试，那么这份卷子，尤其看到十五题，呵，看到他，我仿佛看到了我们的模考最初的样子啊，太原市的出题老师终于回归了初心啊，再次回到了我们常规的一些数据组，不再用一些奇怪的数据，是让我们去算去了。好，这道题出的啊， 非常的典型，那么就是我们的通信通法啊，各种各样的方法可能都会有。来，陈老师永远给你讲两个核心思路，第一，平行产生的相似三角形。第二，解直角三角形 啊，那么这道题里面由于它出现了这个特殊角，所以一二三组模型马上直接秒啊！来，角 b 四十五度角 ab 的 长度是三倍根号二 啊，那么 bc 的 全长是一个九点， d 是 a， c 上一点有一个 a， d 和 dc 的 二比一比例关系，点 e 在 b a 的 延长线上连接了 e、 d， 并延长交 bc 与点 f， 若 d e 等于 d a 好， 则 d、 f 的 长为多少？来，先看快速的方法啊，看到了四十五度，看到了三倍根号二，来过点 a 向下做垂直，马上这边咱们有三倍根号二嘛，四十五度角，则这边是三和三 九减三，这个长度 h、 c 的 长度应该是个六啊，有了六之后，马上能看到啊，这个角尔法角他对应的三边比例关系，三比六是一比二比刚好五的比例关系。 那么这个时候的角一，他作为外角出现，外角等于不相邻两的角和角一等于四十五度加尔法。 同学们，角一再加上一个角就是九十度，那角一本身是四十五度加尔法，再加贝塔等于九十度，是不是尔法加贝塔等于另一个四十五度？ 那就说明尔法是一比二比根号五的情况下，那贝塔肯定是一比三比根号十。所以其实角一是谁？角一就是一三根号十的大锐角 来等腰三角形，直接三线合一往下做垂直来，垂直过来，给个点 g。 好， 我们能看到这个 a、 c 的 全长应该是个三倍根号五，根据二比一的比例关系，这边应该是二倍根号五。好，那这边也是二倍根号五。 dc 的 长度为根号五，这个角 e、 d、 a 他是一三杠十的二倍，那一三杠十的二倍肯定是三四五的小锐角，所以直接来过点 f 做垂直，给一个 n 点来，左边三角形三四五，右边三角形一二根号五。 设 n、 f 的 长度为三 x， 则 n、 d 的 长度是四 x， 则 n、 c 的 长度是六 x。 直接十 x 等于根号五， x 等于十分之根号五。我们要求的 d、 f 是 五 x， 五 x 等于二分之根号五。搞定 啊！所以这道题的话，其实前面的一堆东西，只要你对于特殊角的关系是熟悉的话，能够立马瞬间判断出来啊，这个三四五和一二根号一下就出来了。方法二，还是平行线出相似来过 点 d 做平行线。为什么过他做平行线呢？因为我想把这个二比一的比例关系得用起来，所以来这边给一个点 g 啊，直接九二比一的比例关系二比三，所以这应该是一个六。 同理，三倍根号二过来二比三，那么这是二倍根号二，这是根号二。好了啊， 再接下来四十五度角直接平移上来，这边也是四十五度角过点 d 做垂直，既能出三线合一，又能把四十五度角放进直角三角形中去， 显然斜边长为六的话，那么这个 d h 啊，到这 g h 长度应该是一个三倍根号二，减去二倍根号二，这是根号二，那么这也是根号二。我们看到这个 h d 的 长度显然还是三倍根号二 啊，那么因为它跟这个 h g 相等啊，所以 e、 d 的 长度你看又求出来了，对吧？一比三比根号十，二倍根号五。 好，那这个时候直接看 e j 比 j b 等于 e d 比 d、 f， 这不就出来了吗？ 所以上半截是根号二，根号二，二倍根号二，四倍根号二比下面的根号二，四比一的比例关系，所以二倍根号乘以四分之一等于二分之根号啊！ d f 搞定。其他方法欢迎大家评论区留言。
962陈进步讲数学
11:07查看AI文稿AI文稿每天一道题，轻松学数学，各位同学们大家好，今天我们一起来看一下刚刚考过的太原市二模的第十五题。首先如图，三角形 abc 中角 b 是 四十五度。好，我们先标好角 b 四十五度， a， b 是 三倍根号二， bc 是 九点， d 是 a， c 上的一点，且 a、 d 等于二倍的 d， c。 好， 我们首先看到了这个四十五度以后啊，我们肯定会画一个辅助线，这是我们的突破口哈，所以呢，我们过点 a 去做 bc 的 垂线啊，把它分成了一个四十五度的等腰三角形， 所以呢， am 就是 三， bm 也是三，那么 mc 就 变成六了，对吧？好， mc 就 等于六。 好，又，因为我们 ad 和我们 dc 的 关系是二倍关系，所以我们现在可以算出来， ac 是 三倍根号五，所以 ad 就是 二倍根号五， c、 d 就是 根号五。好了，那么继续往后读题点， e 是 在 b、 c 的 延长线上连接 e、 d， 那 么且 d， e 等于 d a， 那 么这也是一个二倍根号五，它是一个等腰三角形。 好了，这就是我们所有的条件。问， d、 f 等于几啊？先说我们如果看到这个题上的数据，我们首先要想到的是要使用 特殊角的方法，那么他有没有特殊角呢？当然有了，对吧？我们除了能够看到一比一比根号二的这个数量关系以外，还看到了一个什么 三比六，那就是一比二吧，那一比二的特殊角就是二十六点五度。 好，遇到特殊角，那我们首先需要把这道题当中的所有有关于角度能求的都求出来哈。好，那我们来看一下这个等腰三角形的角度， d， a、 e 多少度？那这个又是四十五度加二十六点五度，好，七十一点五度， 所以角 e 也是七十一点五度，好。通过等腰三角形，两个角是七十一点五度，所以可以很快的得出来角 e、 d、 a 的 度数就是三十七度。 好，为了方便我们后面计算啊，所以因为看到了等腰三角形，我做一下三线，好，那每一个都是十八点五度，那也就是一比三的关系，对吧？一比三比根号十好，所以二倍根号五。我算一下，除以根号十，正好是根号二 好，那么 n、 d 的 长度就是三倍根号二好， n、 e 也是根号二好。其，此时这个题我们其实早就能做完了哈，我们把这个对顶角三十七度用好了，那么关于底下 d、 f、 c 这个三角形 两个特殊角了，是不是可以去列一个方程了？好，我现在使用放大镜啊，我把这个三角形给大家放大了， 好，这个是 d、 f、 c， 好， 这是三十七度，这个是二十六点五度，所以过点 f 去做 d、 c 的 垂线， 好，那我们可以去设一个未知数啊，三十七度所对的边是三倍的关系，所以我设是三 a 好， 四 a， 所以 这个是我来一个 g 啊，那 g、 c 的 长度就应该是一比二的关系，那么他就应该是六 a， 好，所以我们可以很快算一下啊，四 a 加六 a 等于根号五，哎，我们可以把 a 解出来啊， a 就 等于十分之根号五 好。最后的问题问的是 df， 那 df 在 这块是五 a， 所以 df 就 等于五乘上十分之根号五，所以答案就是二分之根号五 好，那我们这个题就是利用好了我们特殊角，把它解完的。好，我们接下来再来看第二种方法。那么我们学校里呢，老师呢，讲了很多种关于定比分点做平行的方法啊， 因为题目当中出现了这个二比一的关系，所以一定会用到相似三角形。好了，那怎么做呢？把前面条件我先都标好了哈，接下来我可以过点 a 去做 e f 的 平行线 啊，当然也可以过点 b 啊，去做 e d 的 平行线。哎，也可以，也可以过点 d 去做 bc 的 平行线， 也可以过点 c 去做 e f 平行线，方法太多了。好吧，那么李老师给大家先演示几种哈，比如说我就过点 a 去做 e f 的 平行线吧。当然同学们也可以将自己的方法我们写在评论区啊。好比如我教于点 m， 那么这样做完以后，我们来找找相似三角形吧。好，三角形 a b m 和 e b f 相似，这是一个。还有呢， a m c 和 d f c 好， 这是一个。好了，那相似比，并且我现在都知道，对吧？先来看这个小的 c d 比上 c a， 它的比是一比三，对吧？好，那 c d 比 d a 就是 一比二了。好，那我现在比如说我设 f c 是 a， 那 m f 就 应该是二 a 的 关系。 好，那我们再来看左面，左面的话， a e 比上 ab 是 二比三，所以 f m 比上 b m 就 也应该是二比三吧。好了，那我现在呢就知道了，这个就是三三 a， 又因为知道 bc 是 九，是不是我们可以把 a 求出来？好了，那我来列一下三 a 加二 a 再加 a 等于九，所以很快 a 就 等于二分之三。好了，我们就做出来了啊，那么问的问题是啊， dmdf， 所以 我首先得先把这个 am 是 不是先求出来？好，那 mf 等于几啊？ 因为三 a 三 a 的 话是 b m 三 a 减啊，咱就先算三 a 吧， 所以是二分之九，那 m n 是 不就知道了？就是二分之九减三，所以二分之六，那还是二分之三，对吧？所以 n m 就是 二分之三。 好，那我现在去求一下 am， 这是一个一比二的关系，所以算出来它是二分之三倍根号五。 好，再根据我们的相似比，是一比三的关系啊，所以 df 我 们就可以求出来了，那就是二分之根号五。好吧，那这个我们就用了两次啊，相似三角形好，再比如说，我们再换一种啊，看看同学们还有没有其他的方法好，我们再来一个。 好，还是这些条件啊？比如说，刚才李老师还说了一下，我还可以过点 c 去做，当然差不多了啊，做一下 b， 做一下 e f 的 平行线吧。 好，咱们这交于点 m， 我 们还是先去找一下这个相似三角形。 好，大家找到了吗？啊，先来看这个大的，对吧，这个大的肯定毫无问题哎，它是相似的，还有没有啊？啊，还有没有相似哎，这个小的也是一个 a 字，相似三角形，所以我现在要干的事情要想求 d f， 肯定是 e f 减去 e d， 哎，这么求， 对吧？好，我们先来看第一种啊，先看这个像素三角形，我们搞出来，因为是二比一的关系嘛，对吧，所以我可以算一下 em 的 长，对吧？因为这个是二，这个是一，所以这个是二，这个是一，所以这是二倍根号二，那我就知道了， em 就是 根号二， 好，它就根号二好，接下来我们再来看，还知道啥？ f c m c 是 不是也能求出来，对吧？因为这是二倍根号五，哎，这个是不是也就可以算出来，所以它是二比三的关系嘛？所以它就是三倍根号五，好，我们把已知能求的都算一下啊，三倍根号五， 好，接下来我们再来看另外一种，我再来看大的啊，我给大家画一下，好，这个大的 a 字三角形， 好，找到了相似比了吗？对吧？是不是在这块啊？我们可以给大家画一下，这是 好，这个是五倍根号三好呢？全场是六倍根号三，所以是一个五比六的一个关系，对吧？所以这是三倍根号五，它占的是六份，那 e f 是 不就能求出来了？所以我先去求一下 e f 的 长度。 好，那就是三倍根号五，乘上六分之五，好，正好我们约一下， 答案就是二分之五倍根号五，对吧？二分之五倍根号五。最后问的是 df 的 长，那么 df 就 应该等于 e f 减去 e d 二分之五倍根号五，再减去二倍根号五，所以正好答案还是一个二分之根号五， 所以也一样，对吧？他们的做题逻辑其实是差不多的，所以接下来同学们可以自行去操作啊，想怎么做怎么做，我只需要定一笔分点去做平行就可以。哎，你比如说我这样做， 对吧？我这样做的话，把这个擦掉了啊，好，那这样做的话，那我可以啊，看一看这个相似三角形也是 ok 的， 对吧？首先这是一个啊， a 字相似三角形，那还有没有啦，对吧？我们可以再找一下， 可以了吗？其实这个就现成的了，一步到位，我发现因为这个可以用特殊角，对吧？这个是可以用我们的特殊角度的啊，因为这是二比，哎，在这块啊，这是二比一的关系，所以这块呢，也可以算一下啊。好，那我把这个也算一下，这个是二倍根号二， 好，那这个就是根号二了，对吧？好，那我们就可以找到了这个相似比了，这是二二倍根号二，二倍根号二，四倍根号二，再比上根号二，对吧？那就是四倍根号二，比上五倍根号二，那还是四比五的关系，那所以这边也是四 比五的关系。好了，所以我们可以很快的求一下 df 乘好，那 df 就 等于二倍根号五， 应该是除以四是不就可以了，算出一份，对吧？所以就是二分之更好。好，也是可以做出来的。好了，同学们，如果你们有更好的方法，可以给李老师打在评论区。好，我们每天一道题，轻松。
16数学Li老师
01:02:23查看AI文稿AI文稿朋友们好，我们来一起分享一下刚刚结束的太原市二模考试数学卷。这张卷子的整体出的还是比较好的， 一是从题型的新颖度，二他已经已经反常识了，就是里面很多东西啊，要么回归课本，要么他出，其的这种场景已经有了新的创新性的改变， 对吧？而且呢，这这个卷子里面的十五题和二十三题出的都非常的好，还是一样反套路，反模型。好吧，我们一道一道来讲解一下这套卷子。看第一题， 衡量手机信号强弱最准确的指标即参考信号接收功率。他说其数值范围呢，通常在负五十和负一百三之间，绝对值越小，信号越强。那么下列四部手机的参考信号接收功率中， 其中信号最强的是最强，就要绝对值最小，它的绝对值是七十二，它的绝对值是七十八，它的绝对值是八十三，它的绝对值是九十六，很明显，七十二最小。所以第一题应该选择 a 选项。 第二题他说的是文字上方的部分是轴对称，图形的式轴对称，肯定选 a 了，对吧？这个对号不对称，这个人的左右两边不对称，这个也不是轴对称， a 轴对称，他的对称轴，要么是他，要么是他，对吧？哎，这是第二题，我们直接选择 a 选项 看第三题，这是课本上的知识点，对不对？我们在讲密的乘方的时候的一个公式，已知 m、 n 均为正整数，计算它的结果是多少。 括号里面是 x 乘以 x 一 直乘 x 乘多少个呢？ m 个 x 相乘，那就是 x 的 m 次方，括号的 n 次方，那就是逆的乘方，底数不变，指数相乘，所以这题应该选择二 b 选项。 第四题，如图是时间小组利用三 d 打印技术制作的多功能支架及其主视图，其左视图正确的是 正面是这样，左是要从这边看了，对吧？所以我们后面这个你看主图告诉我们这个比较低，所以我们从左边看的话，其实看不到后面这个的，那就是虚线，对吧？两条线和这条线都是虚线啊，还有这条线它都是虚的，所以有两条虚线，直接选二 b 选项就好了。我们再来看第五题，科学计数法。 某人工智能超算中心每秒可处理数据二点五乘以十的六次方条，若该中心持续运行三千六百秒，则这段时间内能处理的数据量用科学计数法表示。为什么 一秒可以处理这么多条？那就是二点五乘以十的六次方，再乘上一个三千六百秒，三千六就是三点六乘以十的三次方。好，那就是二点五乘上一个什么乘上一个三点六 再乘以十的一个九次方。好了，那二点五乘以三点六，就是二点五乘以四，再乘以零点九 再乘以十的九次方，这是十，这就是九乘以十的九次方。所以这题应该选择 c 选项。当然，我们可以直接排除掉 a 选项和 b 选项的原因是因为科学计数法是 a 乘以十的 n 次方，对 a 的 要求是大于等于一小于十的，所以可以直接排除 ab 选项。 我们再来看第六题。如图，将含三十度角的直角三角板 a、 b、 c 啊放到这个位置， 和长方形直角按如图方式摆放在同一平面内，其中角 b 是 九十度，角 c 呢是三十度。然后呢，他告诉我说，三角板的边 ab 与 ac 与直角的一条边，两个交点分别为点 d、 点 e。 阿尔法等于五十度，这个角是五十度，所以通过外角的定义，我们知道这个角就是二十度，以为这个角也是二十度，你让我觉得是 a、 d、 e 的 度数，很明显，这是一个铅笔猪蹄模型， 对吧？那就用九十减二十等于七十，所以对顶角就是七十度，选四 d 就 可以了。再来看第七题， 已知某一事件发生的概率是二分之一，下列说法正确的是，又回归课本了。做一百次重复实验，该事件一定会发生五十次，这就不叫二分之一了，这就百分之百了。其实这个 a 的 选项和这个 c 选项说法是一致的， 两次重复实验中，该事件必定发生一次，那也是百分之百的概率，那不叫百分之五十了，对吧？两次就一定发生，一定发生的概率就是百分之百。 b 选项，第一次实验，该事件没发生，第二次实验该事件一定会发生，也错了，概率这个东西就不能说一定这两个字对不对好。第四， b 选项，重复多次实验，该事件发生的频率稳定在百分之五十左右，选四 d 就 好了。 第八题，如图，点 p 是 圆 o 外一点 pc 与 p b 与圆 o 相切于点 bc 既然是切点，那我们就知道肯定是要连接切点和圆心，对吧？那它肯定是垂直的关系嘛。所以我们直接连接这个 o、 b 好， 这个地方必然是垂直，那这个地方必然也是垂直。 ac 是 圆 o 的 直径，然后 a 连接 ab 角， a 等于六十五度，这个角是六十五度，那意味着这个角也是六十五度。 原因是因为 o a 等于 o， b 六十五，六十五就一百三，所以这个角就是五十度。你现在问我角屁的度数，那就是五十度， 为什么呢？因为这个角是九十度，这个角也是九十度。那么我们知道四边形 o、 c、 p、 d 对 角互补，那既然对角互补的话，角屁加这个角一百八，这个角加这个角也是一百八，同一个角的补角是相等的关系，所以角屁就等于五十度。 这是第八题。我们再来看第九题，一道化学题对不对？主要就是考你图像啊， 溶解度的问题我就不读题了啊。如图是氧化钠和氧化碳酸钠的溶解度曲线。根据图像下列说法，正确的是。 a， 碳酸钠的溶解度随温度的升高而增大，很明显过了这一块就不是了，所以 a 肯定错误。 b 二十摄氏度时，氧化钠的溶解度大于碳酸钠的溶解度，比较溶解度肯定要受温度，对吧？化学里面的质点二十摄氏度时，应该是氧化钠大于碳酸钠溶解度，没毛病，所以 b 选项正确。 c 选项氧化钠的溶解度随温度升高而显著增大。我们都知道氧化钠的溶解度受温度影响变化不明显，对吧？ 四、 d 铝化钠和碳酸钠的溶解度相同时，温度为三十摄氏度。好，它俩的焦点代表它们溶解度相同，但是这个肯定没到三十，这才是三十呀，所以它也是错的。所以这道题选择二 b 选项到目前为止还没有出现难题哦！ 第十题，如图，平面直角坐标系中，三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 x 轴的负半轴上，顶点 b、 c 在 y 轴上，且与关于 x 轴对称，将三角形 a、 b、 c 沿 x 轴正方向平移 点 a、 b、 c 的 对应点分别是 e、 f、 g。 已知点 a 的 坐标是负三代号零点 f、 g 的 坐标分别为 a 逗号 b 和 c 逗号 d。 因为我们知道 f、 g 肯定是关于 x 轴对称的，所以它们的横坐标一定一样，也就意味着 a 肯定等于 c， 那 它们的纵坐标肯定互为相反数，所以 b 加 d 肯定等于零。所以呢，我们肯定在 b、 d 里面选，那 a、 c 是 不是就错了？ 好了，那 a 等于 c 到底是是等于三呢？还是小于三呢？这考的又是八年级的平移的问题吗？对不对？因为 a 点和 e 点是对应点，所以 a、 e 就是 平移的距离，那明显是小于三的，因为你告诉我了， e 点是三角形 a、 b、 c 的 内部， o、 a 的 长度才是三，那 a、 e 肯定是比三要小的，那就意味着这节的长度也是平移距离，它也小于三，所以它们的横坐标都比三小。这个题可选择四、 d 选项，这就是十道选择题，一点难度都没有，可以说几乎都没有考到九年级的知识啊同学， 对不对？来，我们继续看十一题，将二次根式根号十二化为最减二次根式四倍四乘以三，那就是二倍的根号三。看十二题，如图，是八年级一班甲、乙、丙、丁四位同学抛石星球十次训练成绩的方差与平均数。 哎，这个题出的比较好，我以前我们都是列表法，还这个用了一个数轴来给你表示啊，用坐标系来给你表示。 他说若要从中选一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最适合的是哪位同学？注意，同学们，你要结合实际情况去看，他说的是体测项目友谊赛，那肯定是平均数越高成绩越好，这点是没问题的吧，对不对？ 大家要注意。之前有一次考过一道题，说的是这个数据里面给的是发芽的这个时间长短，当我们是希望种子发芽时间短一点，让他尽快成长，所以那个时候平均数越高，反而说明他发芽的越慢， 所以还不选他。所以你一定要结合场景去选题，并不是每道题里面都是平均数越高就越要选平均数， 对吧？这里面是体测的，那体测成绩，当然平均数越高，成绩越高了，所以我们看横轴上给的是平均数，那甲乙丙丁，那肯定是丁和丙的平均数是一样的，对吧？所以都比甲乙大，那肯定在他俩里面选 平均数相同的情况下，当然就是方差了，选方差越小，数据肯定越稳定，也就成绩越稳定，所以肯定选丙同学了吗？毫无疑问，对吧？好，这是十二题。我们再看十三题， 他说无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率啊，保持恒定，牵引力 f 与速度 v 满足反比例函数关系，那就意味着 f 乘以 v 应该是个定值。 已知某无人机驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为三米每秒的时候， v 等于三， 牵引力 f 等于 v， 应该等于六十，所以 f 等于 v 分 之六十，这就是它的反比例函数关系式， 它为保证耕地的效果，牵引力 f 不 能低于四十牵牛。那拖拉机的速度 v 最大值是多少？甭管它的增减性了，直接让速度等于四十带进去。答案是，不就是二分之三呀， 对不对？他没问你的增减性，那你没必要嘛，你直接写个二分之三就好了。好吧，这就是十三题。再来看十四题，回头以线段 a、 b 为边，在其两侧做正五边形，分别以 a、 b 为圆心， ab 的 长度为半径作弧 c、 d 和弧 e、 f 得到扇形 c、 a、 d 和 b、 e、 f 两个正五边形组成一个轴对称图形，其中点 c、 d、 e、 f 均为五边形的顶点。告诉你， ab 的 长度等于四，则这个轴对称图形的周长是多少？ 首先你得搞明白，周长就是外围的这些，这两个弧和一、二、三、四这四条边长的总和，对吧？那我们知道正五边形的边长可能都相等，所以他俩就是四四，他俩也是四四，也就说我们像是八，啊，不，不，是八十六，对吧？ 四个四，它就十六十六，加上两个弧长，这两个弧肯定是一样的，原因是因为什么呢？这个角一百零八，这个角一百零八，所以这个角就是一百四十四，对吧？用一百零八乘以二，二百一十六， 三百六减去二百一十六，这是四，这五减一也是四，一百四十四度，所以它的圆心角就是一百四十四度。那求它的弧长那是不是一百四十四？比上一个二 pi 再乘以 r 呀，它的 r 就是 四嘛， 对吧？这是一个弧长，但是他有两个，再乘以二，加起来就可以了。好吧，来，我们来约分一下吧，那这就是四和四，给它消掉，这就变成了九十，对不对？那就是九十分之四乘以幺四四 pi。 好 了，那九十的话，我们不妨这样， 给他再除以二，给他再除以二是四十五，对不对？然后再来四十五，里面还有个九，所以再来呢，就是九，乘上一个五分之二，再乘以十二，再乘以 pi 九和九，九和削掉一个三，这变成一个四，再削掉一个三，这变再变一个四，然后二四得八四八三十二，那就是五分之三十二派， 所以最后答案就是他十六加上五分之三十二派，他没有单位，所以我们连括号都不需要带，答案直接就是他就可以了。好吧，这就是第十四题。接下来我们再来看一下这个十五题。很明显，看到这个图一定能想到没念牢词典里， 既然你能想到美尼尔词，那就一定可以用美尼尔词来解好我们这个题呢，给大家我能看到的两种方法，好吧，一种计算量稍微大一点，一种计算量就少一点，就是美尼尔词了。来，先用美尼尔词来讲，好吧， 把美尼尔词放在这吧。啊，好，我们来看一下题，他说如图，已知三角形 a、 b、 c 中角臂呢，是一个四十五度，我们换一个 角， b 是 四十五度，然后呢， ab 的 长度等于三倍的根号二， bc 等于九。边读题边说， ab 等于三倍的根号二，角 b 等于四十五度。所以特殊角放在直角三角形里面一定会过点 a 做他的垂线。 好，我们垂线一做之后，假如这是点 p 吧。好吧，那根据一比一比根号二，他的长度就是三，他的长度也是三， pc 的 长度当然也就是六了， 所以这一节的长度如果是六的话呢，就是一比二比根号五，所以 a、 c 的 长度就是二倍的根号五吧，对不对啊？不是三倍的根号五，说错了啊，三倍的根号五 好，然后点 d 是 a， c 上一点，并且 a、 d 等于二倍的 c， d， a， d 等于二倍的 c、 d， 它被点 d 分 成了一比二份，那这个长度就是根号五，这个长度就是二倍的根号五，所以这个呢，我们就不要了，好吧，根号五和二倍的根号五， 然后点 e， 在 b、 a 的 延长线上连接 e、 d， 并延长交 b、 c 于点 f， 然后告诉你 d， e 等于 d， a， d， e 的 长度也等于二倍的根号，则 d、 f 的 长度是多少？ 好，我们求到这，把这个给擦掉了啊，我们看到明显它是一个梅尼劳斯定律，对不对？那我们在想嘛，如果是梅尼劳斯，你让我求 d、 f， 那 最后肯定回到了 e 点上去了，所以我们就从 e 点出发，写上就是 e， a 比上一个 ab， 乘上一个 ac 啊，不是乘上一个 bc 啊，因为它是一个长 bc 比上一个 c， f 再乘上一个 d， f 比上一个 e， d， 是 不是应该等于一啊，对不对？哎， e、 a 长度是多少？暂时不知道。 ab 长度虽然知道 bc 呢，知道 cf 又不知道 df 也不知道 e、 d 知道。哎，你发现这里面没法求啊，对不对？没法求，那怎么办呢？好，它不能求的原因就是因为未知向量太多了。有的同学说，老师，你不是说了吗，一个不行，再来一个。对，我们要再来一个，你看，我在写， 如果我们倒着来，从 c 点开始，那就是 c， f 比上 b， f 乘上 be 比上 a， e 再乘上 a， d 比上 d， c 等于一。 哎，你再看这个呢？ c、 f 不 知， b、 f 不 知。也就说，如果我设一个未知数，那它俩都可以表示出来，对不对？ b、 e 不知， a、 e 已知， a， d 比 d， c 一 比二，而二比一也也已知。所以这个相对于他来说，好像字母未知数没有那么多了，对不对？但是你发现了，反正不管怎么说，至少这里面有三条线段未知。你比方说 a、 e 不 知， cf 不 知， df 不 知，这三条线段不知，那门尼劳斯肯定暂时不能用，所以我们至少要求出这三条线段中的一条才能来用门尼劳斯吧， 对不对？那如何来求呢？求哪条线的最好求呢？那很明显， a、 e、 d 这个里面是最容易求解的，为什么呢？因为它比较特殊。三角形 a、 e、 d 是 一个等腰三角形，而且它们的腰长。知道， 也就是说，看到等腰三角形，你一定会考虑去做高，如果我们做了高了，来，我们把它移过来。如果我过点 d 做了 a、 e 边的垂线，那这个肯定是终点。假如这是 m， 如果我能求出 am， 自然 a 也就出来了， a、 e 出来，你就翻一连串东西就能解决了， 对不对？好，那怎么办呢？ am 如何来求呢？直角三角形 a、 d 知道，我只要知道这个角圈的三角函数值是不就可以了， 对不对？那这个角圈的三角函数值该怎么求啊？怎么办呢？哎，你看好这个四十五度啊，同学，你别以为你用过一次了就没用了，四十五度要放在直角三角形里面，所以这个时候看我的辅助线该怎么做。我们直接过点 c 再去做他边上的垂线 啊，做他边上的垂线。好，这假如，这是假如，这是 c m 吧，我就写成 m， 这个地方是垂直，那同学们， m b c 就是 一个等腰直角三角形， b c 的 长度是九，所以 c m 的 长度我们是不是就求出来了？九九除以根号二，那就是二分之九倍的根号二。好了， c m 知道， a c 也知道，那 a m 的 长度，或者说没必要求 a m， 我 们是不是就知道角圈的正弦值了， 对不对？那正弦值是多少呢？来，那就是 sine， 角圈儿应该等于一个二分之九倍的根号二，比上一个三倍的根号五吧。应该等于 c m 的 长度，比上 a c 的 长度，那就是一个二分之九倍的根号二。乘上一个 三分之根号三倍的根号五分之一，消掉，消掉，那就是一个十分之根号十吧，没写错吧？我看，啊，十分之三倍的根号十啊，用消掉，上面有个三根号，五分之根号五。对，十分之三倍的根号十， 十分之三倍的更好使。说明什么？正弦值知道了，对吧？正弦值知道了，那我们，嗯，我们就是要求它的。哦，这也行，正弦值知道就行了。来，正弦值知道，我们就可以求了，然后把它擦掉了，啊，这就没用了， 把它擦掉，然后把这个 m 也擦掉，它也没用了。然后我们再回到刚才我们那个垂线上，去过点 d 做它的垂线了，对不对 啊？做他的垂线，好，这样正是那个 m。 来，我们求一下这个 dm 的 长度， 那正弦值知道了，是三分之十倍的。十分之三倍的根号十，那意味着 md 比上一个二倍的根号五，应该等于十分之三倍的根号十，所以我们是不是就把 md 给它求出来了？多少看一下。 十分之三倍的根号十，乘上一个二倍的根号五，消掉，消掉，这是一个五，对不对？这是一个五，然后五十是五倍的根号二，那就是十五倍的根号二，比上一个五等于三倍的根号二，所以 md 的 长度是三倍的根号二，也就意味着 am 的 长度，我们也就求出来了， 二倍的根号五，平方是二十，三倍的根号二是十八，所以这个长度就是根号二，那这个长度也就是根号二。同学们，好了， a e 只要出来，现在美尼尔老师就可以用了，现在美尼尔老师就可以出来。你看二倍的根号二，三倍的根号二。短短长短 短短，对吧？哎，或者是短短长短短短。好了，我们这个时候就可以求 c f， 就 可以求它了。你看 c f， 不知道我们讲 c f 是 x， 那 b f 是 不是就九减 x， 对吧？比上 b e、 b e 长度有多少？这三倍的根号二加二倍的根号二是五倍的根号二。比上 a e， a e 是 二倍的根号二，再乘上 a d 比上 c d 是 二比一等于一，所以 x 比上九减 x， 乘上一个五比一 等于一，那这边就是一比五吧。啊，我把它直接写过来，它就等于一比五，所以五 x 等于九减 x， 那 就是六， x 等于九， x 等于一个多少？二分之三，对吧？ x 等于二分之三。好了，那就 c f 的 长度是二分之三， 这节二分之三出来了， c、 f 知道， a， e 知道呢，就会再带到这里面去，是不是什么都解决了，对吧？ e a b a， 嗯嗯， e， a 比上 a， b， bc 比上 c， f。 好 了，完事了同学， 完事了，带到第一个式子里面去， e、 a 是 多少？ e， a 是 二倍的，根号二， ab 的 长度是三倍的根号二乘上一个 bc， bc 是 九。比上一个 c f， c， f 是 二分之三，再乘上一个 df， 要求的比上一个 e， d， e， d 的 长度是根号二倍的根号五 等于一。好了， df 是 不是就串了？消掉，消掉，然后这就是三分之二乘上一个啊，九除以它，那就乘上一个九，再乘一个三分之二吧，对不对？然后再乘上一个二倍的根号五分之 df 等于个一。 我再看一遍啊，九除，九除以三分之二，九乘以九除以 f 乘以三分之二。消掉，消掉是六啊，对着没毛病啊， 这消掉三六，消掉四，四，消掉是二，然后根号五分之二倍的 d， f 就 等于一，所以 d、 f 就 等于一个二分之根号五。答案就出来了，好吧，这就是二分之根号五。这我们用什么方法？就用我们枚尼劳斯， 实际上我们就是为了求这个三角函数值，角圈的三角函数值就可以把 a、 e 求出来了。好吧，这是第一种方法，我们再来看第二种方法。第二种方法呢，就是直接用相似就好了，其实也不是太难， 你比方说我给大家说过哈，我们仅现在二零二五年的中考前夕就给大家说过，因为那年就发生改变了。这个题里面的条件有个 a， d 比上 c、 d 等于个二比一，这样一个条件非常重要，当然我们把刚才那个数据给它求出来，这是三倍的根号二，对吧？啊？ 然后这个是二倍的根号五，这是根号五，这也是二倍的根号，我们先把它写上，然后我跟大家说过，只要看到这样的一条线段被它交点相分割，然后狭有比例关系，是二比一。那这个时候我们肯定要想到八字相似。好，我们不妨过点 a， 直接做一个 b、 c 的 平行线， 做 b、 c 的 平行线，比方说做完平行线之后呢，这个点呢？我给它标成点 p 吧。好吧，这个长度是二倍的根号，我先写上啊，点 p， 然后你会发现三角形 a、 p、 d 和三角形 c、 f、 d 应该是相似的关系，相似比肯定是二比一，对吧？那我们就可以设这个长度，如果是 x， 那 这个长度是不是就是二 x， 对吧？那这个长度要是 y， 这个长度是不是就是二 y 啊？没毛病吧？好了，那现在你会发现，其实 e、 p 的 长度就等于什么了， e、 p 的 长度等于二倍的根号五，减去一个二 y， 所以 这里面有两组相似， 哪两种相似呀？就首先有个 a 字相似，三角形 e、 a、 p 相似，有三角形 e、 b、 f， 还有一个八字相似，八字相似我们也用过，那我们就直接把这个 s 相似的相似笔给它写出来，那相似笔是几呢？那是不就是二倍的根号五？减二 y， 比上一个什么呢？ 比上一个，我看它比上它，那就是二倍的根号五啊。再加个三 y 呢？就是加一个 y， 对吧？等于相似比，是不是等于 a p 比上 b、 f 呀？对吧？ a p 比上 b f， a p 是 不是二 x， b f 是 不是就是九减 x？ 好 了，这是不是关于 x y 的 第一个方程啊，对不对？那我们还能再找到一个方程来，你看勾股定力，刚才这个长度 我们知道，假如这是 q 的 话，这些长度是三，这些长度也是三，对不对？来，我们再继续过点 p， 再做它的垂线， 完了以后，我们知道这个长度就是二 x， 假如这是 k， 好 吧，这个长度就是二 x， 那 k f 的 长度我们是不是就表示出来了， k f 的 长度是不是应该是一个？我看应该是，这是六，减去一个三 x 吧，对吧？因为这个 q c 的 长度就是六，然后六减去三 x 好了，然后这个长度是三，所以你会发现，在直角三角形 p k f 中，根据勾固定理，我们可以得到三的平方，加上一个六减三 x 的 平方，就等于三 y 括号的平方。好了，第二 个式子就出来了，关于 x y 的 二元二次方程组啊，你不要跟我说你不会解，肯定可以解啊。第一个式子就可以导出 x y 之间的关系，然后直接带到第二个里面去，变成了一个字母的谓关于 y 的 一个一元二次方程，然后求解就完事了， 好吧，所以这就是第二种方法，这个计算量稍微大那么一丢丢，但是也还好啊，不算太大。好吧，大家可以自己算一下，这就是十五 t， 我 们再往下看，十六 t， 第一个负三的绝对值就是三。第二个一减七等于负六，负六乘以五，六分之五减五就好了，减去二分之一的负二次方，二分之一的负一次方是二，再减去一个四，所以答案就是负六。 这个先同分，那就是 a 减三分之， a 加一，乘一个 a 减三，再减一个 a 减三分之， a 方减一，中括号除以它就乘以它的倒数，这就是 a 减三的平方。好，括号里面 a 减三分之， a 方减二， a 减三， 减 a 方再加一，那就是一个。我直接算了啊，括号里面 a 减三分之，这个，这个负二， a 减二。好， 那这个就是 a 减三分之负二。括号 a 加一，乘上一个 a 加一分之 a 减三的平方。消掉，消掉消掉消掉，它就是负二倍的括号， a 减三，它就六减二 a 就 可以了。这是十六题，你再来看十七题 后头已知三角形 a、 b、 c 中点， d 是 b、 c 边的中点，所以 b、 d 等于 c、 d 连结 a、 d， e 点是 a、 d 上一点，并且告诉你 e、 b 等于 e、 c， 再加上 e、 d 等于 e、 d 边边边两个三角形全等式判断 线段 a、 b 和线段 a、 c 的 数量关系，那肯定就是相等了嘛，对吧？ a、 b 等于 a、 c 好， 要证明 a、 b 等于 a、 c 也好说。你比方说我们刚才通过边边边已经证明了三角形全等，那全等之后，这个角是不是直角，这个角是不也就直角了？既是终点又是什么？ 就是这个垂线，那三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 是 不是也再次通过边角边得到全等就可以了？好吧，过程呢？我简单写一下吧。啊，简单写一下吧。呃，这个，因为 d 为 bc 中点， 所以 b、 d 等于 c， d 因为 b、 e 等于 c、 e， 然后 e、 d 等于 e、 d， 所以 三角形 b、 e、 d 全等于三角形 c、 e、 d， 对 吧？所以角 b、 d、 e 等于角 c、 d、 e， 然后在三角形 a、 d、 b 与三角形 a、 d、 c 中，这三这两个三角形里面， b、 d 等于 c、 d， 角 b、 d、 a 等于角 c、 d、 a， 然后一个 a、 d 等于 a、 d， 所以 三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 d， 所以 ab 等于 ac 就 可以了。好，这第十七题我们再看十八题， 图呢，我就就题，我就不读了，反正是从七年级学生中随机抽取了这么四十名学生进行阅读素养的测评，满分之二十分，将测评小组呢分成了五组啊，每组都是含最小值，不含最大值。 在第十七大于等于十七小于十八组的这十个数据为他，其他各组的数据均无重复。第一问，他说四十名同学阅读素养测评成绩分析数据表，统计表， 那肯定让你求中数和中位数了，平均数已经知道了，那种数就是出现次数最多的那个数。他已经说了，其他各组的数据均无重复，也就是他没有再出现任何一个多次出现的数据， 那只有十七到十八的这个数据里面出现了重复的。那我们看下哪个出现最多？十七点八，十七点八，十一点八出现了三次，十七点九出现了两次，十七点六，十七点六出现两次，所以明显是十七点八，所以 a 就 等于十七点八， b 是 中位数，中位数。我们知道中位数指的是四十名同学的中间那个数，对吧？那四十名可能知道是二十和二十一的平均数，应该是偶数吗？所以第二十从小到大六加七十三个数，十三，那 再加十是二十三，所以二十二十一都在十七十八这里面去，对吧？所以从小到大来找就可以了啊。这十三了，我们找一下十四吧，那十七点二，最小的第十四个数，第十五个数就是他了， 对吧？这十五个数，十七点三，完了，就十七点六了。这十六个数，十六点数六完，十七点七，十八， 十九，二十二，十一，啊不， 这是二十一，对吧？二十二，二十一还是十七点八，所以加起来除以啊，依然是十七点八。 好，若将阅读素养测评得分不低于十七分化为良好，由此可估计该校七年级共四百名学生中，阅读数量达到良好等级的约有多少人。 那就是用四百乘以，我们总共抽取了四十个人，看这四十个人里面有多少个人是不低于十七分的，不低于十七分呢？就这三个，十加九加八，那就是二十七， 二十七好，消掉，消掉呢，就是二百七十，所以这个答案就是二百七就可以了。第三问，学校对数据进行分析以后啊，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰。小王 说，我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能收到表彰。他的分析合理吗？啊？肯定是不合理的， 对不对？我们看一下数据，我们已经知道了，中位数就是十七点八，也就说只有当你的分数大于等于十七点八的时候，你才有可能获得表彰。你说你的分数比平均数高，平均数是一十七点六五，十七点六明显小于十七点八， 所以不一定是十七点八，对吧？你十七点六五，也有可能十七点八呢，所以他的分析是不合理的。好吧，这就是十七题。十八题，我们再看十九题。 山西流利这门东方古法记忆某文创店主从厂家购买了五个流利小马摆件和三个流利笔架摆件，共花费八百七十元。他的同伴购买两个流利小马摆件和三个流利笔架摆件，共花费五百一十元。 求流利小马摆件和流利笔架摆件的单价，我就简单的设为指数了。求流利小马呢？流利小马的摆件单价是 x， 玻璃笔架的摆件单价是 y。 根据题我们可以得到，来五 x 加上一个三 y 应该是等于个八百七十的。第二个是不是可以得出二 x 加上一个三 y 等于五百一十呀？那这两个取方程组解得 x 等于多少， y 等于多少就可以了。好，它来一做减法，是不是三 x 就 等于一个三百六，所以 x 应该等于一百二，当 x 等于一百二的时候，就二百四，二百四，这是一个零七二百七，那将就是一个九十就可以了。好吧， 来，那就最终你们自己答一下，我就不答了。好吧，自己答一下。第二问。该店主发现啊，这两种摆件都很畅销，他准备用五千元购入流利小马摆件和波利流利笔架摆件，共五十个销售， 他最多可以购入流利小马摆件多少个？那么杰舍他最多可以购入流利马摆件 m 格，那这个摆件要是 m 格的话，那笔架的摆件 是不是五十减 m 个呀？对不对？那根据题可得一个不等式，那就是琉璃小马的摆件单价是多少来着？ x 是 一百二，就是一百二十 m 加上一个什么，加上一个九十倍的括号五十减 m， 这是不总共要花的钱，备用金是五千元，不能超过五千，那就小于等于五千就可以了。两边同除以这个这个这个同除以几啊？同除以十吧。十二 m 加上九，括号五十 减去一个九， m 小 于等于五百，所以三 m 小 于等于五十， m 小 于等于三分之五十， 三分之五十多少呢？五十除以三一三得三，二十三六一十八，二十十六点六六记六六六啊，不能超过十点六六，那就是十六个就好了，到不了十七个，所以最多可以买十六个啊，最多可以买十六个摆件。这十九题我们再看二十题， 如图，一是街角公园的俯视图，已知街角公园 p 一 零两段互相垂直的小路 a、 c 与 ab， 其中呢路段 a、 c 的 长为一百二十米， 路段 ab 的 长是五十三米。接到 ef 平行于小路 ac 点 d 表示接到 ef 上的一盏灯。然后时间小组同学呢，利用测角仪器测的角， b、 d、 e 这个角度数是六十八点二度， c、 d、 f 的 度数是五十六点三度。根据上述测量结果，求出小路 ac 与 ef 之间的距离。 好要求两个平行线之间的距离，那肯定是要做垂线了，所以我们不妨过点 c， 直接做一条它的垂线下来，这是一个，我们再过点 b 或者延长 a、 b 就 可以了，对不对？延长 a、 b 交 e、 f， 我 们不妨把它设成 m， 把它设成 n 就 可以了。好，我们来看一看，该如何来求呢？你要设的，你要求的是全长，对吧？所以我们不妨设 c、 n 的 长度就是 x， c 要是 x 的 话，那 d n 是 不就表示出来了？ d n 的 长度就等于 x 比上一个它减去五十六点三度。好，那它要是 x， 这节也就是 x 了，它是五十三，所以这节的长度就是 x 减去一个五十三，所以我们是不是就能表示出 md 的 长度了？ m e 的 长度是不就是 x 减去五十三，比上一个它减去六十八点三度啊，六十八点二度啊。 好啦，那 d n 加 m， d 是 不就是 a c 等于一百二啊？所以式子就出来了，就是 x 比上一个 time 五十六点三，加上 x 减五十三，比上一个 time 六十八点二，它就等于一个 a， c 也就等于一百二十。代入数字 x 比上一个 find 五十六点三十一点五，加上一个 x 减五十三，比上 find 六十八点二，二点五，等于个一百二十。好，两边同乘以一点五，二点五就变成了二点五。 x 加上一点五， x 减去一个五十三，乘以一点五是多少？ 三，五十五，五五二十五，二十六，一三得三，一五得五，五九七七十九点五，就等于一个一百二十，乘上一个一点五，再乘上一个二点五。好，那这边就是一个四 x 减去七十九点五，就等于一个 来一百二十，我们先给它乘上一个四四，给它乘到里边是不是十四乘一个四乘以二点五是十十乘以三十是三百三百乘以一点五，是四百五，等于四百五，所以四 x 就 等于个九二五点五。 我看啊，九过来，五加七是十二五，五百二十九点五，没毛病，所以减到 x 多少呢？ 五百二十九点五，比上一个四一四得四，一二得二三四一十二。上一个九，二四得八，一点五点三四一十二，三十 七，那就是精确到一米，那就是一百三十二就可以了啊。有约等于 x， 约等于一百三十二米就完事了。好吧，这就是二十题，我们再来看二十一题， 从现在开始，慢慢就有难度了啊。在平面几何中，我们经常要需要根据条件用尺规做出满足特定几何关系的图形。下面介绍一个有趣的作图问题，已知如图。一点 a b 是 圆 o y 的 两个点 a b o 三点不共线，且 o a 不 等于 ob， 求作圆 o 的 直径 p q， 使得 a p 等于 b q。 为解决这个问题呢，我们先画出了目标图形的草图。探索方法，如图案，假设直径 p q 已经做出了，且满足 a p 等于 b q。 接触草图，可以发现，做图的关键是确定直径端点 q 或者是 p 在 圆上的位置， 由圆的对称性。想到什么呢？想到直径 p q 两个端点，关于圆 o 对 称，圆心 o 对 称。对此，因此啊，可以做点 a 关于圆 o 的 对称，点 a 撇。 然后这就上就是一个八字全等，对吧？只要确定点 q 啊，使得 a 撇 q 等于 a p， 然后再做一个 b q 等于 b q， 那 就可以得到 a p 等于 b q 了， 对吧？哎，这个逻辑给的非常简单了啊，已经很明确了。第一问，他说由思路梳理中的分析过程，可得点 a 与点 a 撇。关于点 o 对 称，且 p q 为圆 o 的 直径。根据上述条件，借助图案说明， 当 a 撇 q 等于 b q 时， a p 确实等于 b q。 为什么这个样子啊，就是因为八字全等，它等于它，它等于它对菱角相等，所以它俩全等。全等之后， a p 等于 a 撇 q， 因为 a 撇 q 等于 b p 便是 b q， 所以 a p 就 等于 b q 了。 这个过程我就不写了，谁都能得分，非常简单。第二个，在图一中完成作图，要求只归作图，保留作图痕迹，不写做法，写出一种符合要求的 p 直径 p q 即可。好了，那这个简单，他已经把方法告诉你了。怎么做？来，我们自己把图放在这。 首先第一问，他说了要先做什么？ a 点，关于 o 点的对称点。所以呢，我们这个时候怎么样连接 a o？ 我 们直接连接 a o。 等一下啊，调整一下。好吧， 就这样啊，我们连接 a o， 然后呢？齿轮作图啊，我把这个几何齿轮作图拿出来。齿轮作图，哎，这什么啊？几何？ sorry 啊。等一下，齿轮在这连接 a o， 然后呢，我们用圆规来以点 o 为圆心， 然后找到，哎，这干嘛呢？撤回，这样啊，到这儿来，然后我连出它，连出它，好，然后我们再转回来，在这截它一个长度出来，哎，一截，这个 a 撇是不是就出来了， 对吧？ a 撇出来了。好了，我们要找到，在圆上找到一个点，使得 q a 撇等于 q b， q a 撇等于 q b， 那 这个时候我们是不是应该干什么？应该需要找到什么？找到这个 a 撇 b 的 垂直平分线，对吧？ a 撇 b 的 垂直平分线，所以我们这个时候直接连接 a 撇 b 就 可以了。来，把 a 撇 b 点。我这个呢，做图尽量尽量按尺规的方法给大家做，做的仔细一点啊。 来呦，稍微转一点点， 差不多了，就它了啊，我们连接 a 撇 b， 好， 然后再过点 a 撇，还有点 b， 对 吧？哎呀，可以啊，这可以啊，这可以没问题。画一个弧，然后这边也得画一个弧，对吧？在这边也得画，因为做垂直平分线啊， 我在这也画一个弧，然后再以点 b 为圆心，同样的长度，我一般就再去画一个弧来在这， 然后在这边来啊，在这边再画一个弧好了，然后连接这两个弧，连接这两个弧 好了。 ok， 那 它跟这个圆的交点，这是不是我们要找到点 q， 对 吧？那此时是不是 a 撇 q 就 等于 b q 啊，对不对？你让我求的是什么？我再看一遍啊，让人家让我们找到，找到要求符合指定的 p q， 所以 我们这个时候再连接什么？再连接圆心就可以了。再连接 q 和圆心，找到 p 点就完事了，好吧，找到 p 点， a 过了，对吧？ 再来一点，差不多了，就这了啊，找到 p 点，好，这就是我们要找的 p 点， 此时就满足 a p 等于什么？等于 b q， 没毛病啊，这就是我们要做的图，非常简单，对吧？好了，这是这个题，我们再来看第三小，问，他说如图三有一个正方形，我把这个正方形给它截出来，放大一点啊，方便我们做图。 有个正方形养殖场 a、 b、 c、 d 点 p q 表示养殖场外的两个饲料存放点。 现在呢，想要在养殖场内规划一条笔直的通道， m n、 m n 均在养殖场的边界上，若通道 m n 平分养殖场的面积， 这个很重要啊，有那么一条直线平分 a、 b、 c、 d 的 面积。那这还有什么好说的呢？同学，这一定要怎么样？先连接对角线啊，对吧？正方形嘛，那你直接过正正方形对角线的点， 过正方形，对角线的任意一条直线是不是都可以平分这个正方形，对吧？好，那这个点，假如这这就是正方形的点，只要这条 m n， 只要过这个，只要过这个红色的点，它就一定可以平分这个正方形。 然后呢，且从点 p 到点 m 的 最短距离，最短路线与点 q 到点 n 的 最短路线相等， 朋友们要注意审题，什么叫最短路线？有些同学说垂线段最短，错了，哪有垂线段？这个里面说的是点到点啊，点到点那两点之间当然是线段最短，哪来的垂线段对不对？只有点到直线的距离中，垂线段才是最短的啊。题，一定要理解透了啊，所以找的就是线段啊，说的就是线段。 请在图三中用尺规作图表示通道线段 m n， 然后从饲料存放点到通道端点的最短路线不能经过养殖场内部。好了， 来吧，那就说我们随便找一个你，比方先来说 m 在 这， n 在 这，反正就是 pm 要等于 n q 了， 那 p m n 等于 m n 肯定是过这个什么的，肯定是过这个这个这个正方形的中心的，对不对？好了，那假如是这样子的话，其实还是一个道理嘛，跟刚才原图是一个道理，就先做它的对称点嘛，对不对？我们可以先点 p 先关于这个对称点，给它对称过去就完事了。来， 方法是一模一样的啊，换汤不换药，来，我们先把对称点给它做出来。那怎么做呢？我先把它连一下啊，先连一下就是连接点屁和这个对称中心，然后看尺寸图选归来，然后以这个中心为圆心。 干嘛呢？不让你画，你乱画，哎，又乱画。这样好，然后来吧，截个图出来。 截上了吗？哎，截上了，好，这个截出来了。这什么？这是屁撇，哎，这就是 a， 这就是屁撇。好吧，然后呢？ pm 要等于什么啊？要等于 p 啊，等一下，我看他说的是 p， 点到 m 呢，就是 p m 要等于 q n 了，对不对？ q n 好 了，那这个上面直接找到 n 点就完事了嘛，对不对？所以我们这个时候连接 q p 撇， 连接 q p 撇来，把它连起来， 然后做这个线段的垂直平分线就可以了啊，做这个线段垂直平分线，把它先刮掉，然后以点 q 为圆心， q p 撇长度为半径，或者任意长度把大于二分之一长度为半径。画弧都可以啊，来，画弧吧，管它呢，先画 来，就这了啊，然后这边也给它画一下。干嘛呢？好，重来啊，到这给它画一下。好，再一点， p 撇圆心图案的长度，帮你画弧。这边也是啊， 好，连接起来，把它垂直平面给它连起来。 好，垂直平面一连。那这个点是不是我们找到点 n 啊，对不对？然后再连接 n 点和正方形的中心点交令，你愿意点 m 就 可以了啊， 就跟刚才那个圆是几乎是一毛一样的，对不对？几乎一毛一样啊，好了，那 m 点就出来了。 好，这就是我们要找的 m。 好， 这就是我们要找的 m， 它现在让我们找。什么叫我再看一遍啊？请在图三中用尺规作图，表示通道 m n 的 长度。好了，出来了， m n 完事。好吧，这就是第二十一题，来，我们把它全关掉了啊！ 尺规作图完事了，如图即为所求。好吧，来我们看二十二题。随着旅游社的热热度的上涨，来山西的游客呢，日渐增多，且客房入住数量也随之增加。 某古镇特色酒店有放客房一百二十间，酒店经理计划调整房价以获取最大利润。经过前期调研，获得如下信息，房价和客房入住间数。房价一百六，房价二百，房价一百九，房价一百七，一百八。 客房入住间数啊，这个这个数字，你想他这么写的就是为了故意打乱你的思路，让你看不到他们间的规律。实际上你只需要知道，他们房价之间每每次房价调整都是以十元为标准，你看一百六，一百七，一百八，一百九，二百，是不是都是以十元为标准上涨的对不对？所以你看一下，一百六涨到一百七，房价涨到十， 数量是不是减少了六？一百七涨到一百八，又涨了十，是不是又减少六，对不对？所以他经常是均匀变化，他一定是依次函数关系嘛。 所以我们知道了第一个客房入住数 y 是 房间 x 的 一次函数， y 与 x 的 函数关系式。我们直接设 y 等于 k， x 加 b 直接带进去，当 x 等于一百六的时候呢，就一百六十 k 加 b， y 等于一百二十。 第二个的话就是随便带一个，当 x 等于二百的时候，二百 k 加 b 等于个九十六，所以它的一减呢，就是四十 k 应该等于一个负的二十四， 对吧？这是一个四对负二十四 k 等于四十分之负二十四。好了，那除以除以一个八吧，负三负五分之三，这就是 y 等于负的五分之三， x 加一个 b， 当 x 等于二百的时候，或当 x 等于一百六吧，二百吧，来点这个。 x 等于二百的时候， 负五分之三乘上一个二百，再加一个 b 等于个九十六，消掉消至四十。负一百二加 b 等于九十六，所 b 等于一百二，加九十六等于六一，二百一十六。所以解一式就是 它就是 y 等于负的五分之三， x 加上一个二百一十六就可以了啊。好的，第一小问 来。第二小问，继续往下看。建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随着每日房价的变化而变化，设每日房价为 x 元，客房入住数为 y， 其日日营收金额为 z， 其中 x、 v、 z 均为正整数，其 x 大 等于一百六，小等二百四。根据表格所提供的信息解决下来问题，而且他告诉你日营收金额是等于房价乘以客房入住率的入住数啊。 第二问，当该酒店客房日营业收入 z 最大时，求这一天的客房单价 z， z 是 什么呢？日日营业金额、日营业金额等于房价乘以客房入住数，那就是 x 乘以 y 嘛？房价是 x， 客房入住是 y， 就是 x 的 括号。负五分之三， x 加上二百一十六，所以你发现 z 上是关于 x 的 二次函数，负五分之三， x 方加上二百一十六， x 当 x 等于负，或，你这么写啊，因为负五分之三小于零，所以 z 有 最大值。 当 x 等于负二， a 分 之 b 时，二百一十六乘上一个六分之五消掉，消掉就是三十六乘上一个五五六，三十三，五十五，一百八，对吧？ 对吗？我再看一下啊。六六，三十六，三六十八，二百一十六，就这里，三，五十五，六，三十三，五十五，一百八，没毛病，当 x 等于一百八十元时，它的时候，客房的这个营收最大，对吧？这第二小问，我们再来看第三小问。 为了吸引顾客，酒店决定为未入住客房、未未入住的房客赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本呢是 m 元， m 小 等于二十，以至于每间入住客房的固定成本含保洁费、水电费为三十元， 那他就是每间客房的成本是不是变成了 m 加三十了，对不对？若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本 m 的 取之范围。 日毛利润等于什么呢？等于日营收金额减去固定总成本，再减去礼品总成本。好了，那不妨设日毛利润为 w， 那 就是 w 就 等于什么呢？日营业金额是不是杠上？就是 x 乘上一个负五分之三 x 加上一个二百一十六，这日日营收金额减去固定成本，再减去礼品总成本。那我们知道固定成本和礼品成本，固定成本就是三十元，礼品成本是 m 元，每间客房都要给，所以呢，总共有多少间客房呢？总共就是这么多间客房，就是负 五分之三 x 加上二百一十六间客房，对吧？因为 y 是 客房，入住客房入住数每一间房的成本是多少？三十加 m。 好 了，现在就总共这么多成本，减去这些成本就是它的日毛利润。我们把它整理一下，就是 w 等于负 五分之三 x 方，加上二百一十六 x， 然后这个的话就减去括号。我先把后面的关键词乘一下，三十乘以它， 这是一个负三六一十八，负十八 x 减去五分之三 x m， 然后再加上一个三六一十八，一三得三四一三得六六千四百八，再加上二百一十六 m， 好，那 w 等于负五分之三 x 方，加上二百一十六 x， 加上一个十八 x， 再加一个五分之三 m x 再减去六千四百八，再减去二百一十六 m w 等于什么？来整理一下，负五分之三 x 方，加上二百一十六，加十八是一个二百三十四，再加一个五分之三 m， 括号 x 再减六千四百八， 再减去二百一十六 m。 好， 那这个二次函数就出来了，他说希望房价不超过二百元时，也就是当 x 房价是 x 小 于二百时，毛利润也就 w 随 x 的 增大而增大，那就意味着什么？它的对称轴应该是比二百要大的，对不对？你想一下，它这个函数应该这样子的，那小于等于二百，假如二百都在对称轴左侧，左侧是为增大而增大，所以只要把对称轴求出来就行了。对称轴是不是直线？ x 等于负二 a 分 之 b 加上五分之三 m， 这就是对称轴，它要怎么样？小于等于啊，不是大于等于二百， 对吧？大于等于二百，因为对准轴要在二百的右侧才行啊。好了，那我们就解一下这个 m 就 可以了，来这边正正没了，那就是二百三十四，加上一个五分之三 m， 大 于等于，这是一个 二加二乘一个五分之三，就是五分之六，那就是二百。乘上一个五分之六，那就是二百四，对吧？ 这就是一个二百四，所以就是五分之三。 m 就 大于等于一个六，所以的话消掉消折是二， m 是 不是大于等于十就可以了？但是我们说了， m 是 小于等于二十的，所以最终 m 的 取值范围就是 m 大 于等于十，小于等于二十就可以了。这是二十二题。我们再来看一下最后道题二十三题，如果一、已知平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于二倍的 ab， 比方说这个长度是 a， 这个长度也是 a， 这啊，不还没读完对吧？我们不能这么说啊，来重来， d 点呢？是 b、 c 的 中点啊， e 点是 b， c 的 中点，过点 e 做 a， b 平行于做 a、 b 的 平行线， a、 d 交于点 o， 判断四边形 a、 b、 e、 o 的 形状，并证明你的结论。 那首先呢，你是过点 a 做 ab 的 平行线，过点 e 做 ab 的 平行线，所以他和他平行，他和他平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加上因为一点是 bc 的 中点，所以他是 a， 他 也是 a， 那 他也是 a。 一 组邻边相等的平行四边形便是菱形，所以第一小问就结束了，菱形 不写个证明过程自己写啊。二、在图一的基础上连结第一，连结第一，这不是第二问，然后并延长连结第一，并延长交射线 a、 b 于点 f， 连结 a、 e， 并延长交线段 c、 f 于点 j， 其条件不变。探求下列问题第一个猜想图二中线段 a、 e 和线段 e、 j 的 数量关系，并说明理由。 我们可以先把数据标一下，因为我们知道 o 和 e 都是中点，他们都是菱形，所以不妨试这个边长是 a， 他 也是 a， 那 他就是 a a a a 这个我们都知道，包括这个是 a， 也知道了，对不对？好，然后我们说了 d e 延长之后，到了 e f， e 和 e f 是 什么关系呢？我们首先一下子就看到了这个三角形 a e f 和 a e d 可能是一个全等的关系，对吧？那怎么正它全等呢？很好，正因为这个里面有一个什么 菱形，菱形的对角线也是角平分线，所以这个是角圈，这个角圈，这个角叉，这个就是角叉呢，意味着圈加叉就是一个九十度。 所以呢同学，如果它是一个九十度呢？意味着它也是九十度，它也是一个九十度，又是九十度， 又是角平分线，我们是不是就可以证明三角形 a、 e f 和 a e d 是 全等的关系？角边角，那全等之后，这个是 r a， 这个是不也就是 r a， 所以 这个长度也是 a， 对 吧？所以三角形 a、 e f 和 a e d 全等之后，我们依然还知道 e f 是 等于 e、 d 的， 对不对？好了， 但是，但是 e f 等于 d 等于是不是 a 呢？这个我们现在是肯定是不知道的，对不对？好了，他现在让我们求的是 a e 和 e j 之间的关系，那明显 a e 和 e j 现在看起来好像联系不起来。但是你别忘了，刚才第一问里面，我们看到这两个菱形应该是全等的，就是因为 e 和 o 都是中点，所以这两个菱形全等。 所以呢，我们就可以把 a、 e 给它转换到了什么 o c 的 位置， e d 转到了 o c 的 位置， a e 和 o c 肯定是相等的，而且菱形的对角线互相垂直，所以这个地方也是一个直角。假如它是点 p， 所以 你会发现两个直角，也就是 e j 平行于 p c， 所以 三角形 e f g 和 p f c 应该是相似的关系，对不对？好，相似之后，你不妨说，我们来给它换一个字母来标吧， 那就意味着菱形的对角线互相垂直且平分。如果这个的长度是 b， 那 这个长度也就是 b， 那 这个是二 b， 那 刚才全等这个时候就是二 b， 所以 你发现它们的相似比，就是 它比上一个，它二比三，所以我们知道了 e j 比上这个 p c 就是 二比三。因为 p c 又等于 o p， 所以 e j 比上 oc 是 不是二比六，那也就是一比三，所以 e j 比上 a e 就是 一比三的关系， 对吧？所以的话， a e 就 等于一个三倍的 e j 就 可以了。这就是第二小问啊。好，我们再来看第三小问， 第三小问说啥呢？他说，若以点 c d j， c d j 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出 d e 比上 a e 的 比值。同学们，光这个比值的考法已经出现了，在今年的考试里面已经至少出现了两次了，一定要把它重点掌握，有可能就是中考的指向标哟！ 好吧，来，我们看第一个图，他说 c d j 为顶点的三角形，那来，我们看像这个图，我们把这个 d j 给它连起来，那这个地方就很像直角，我们不妨就把它当直角看。好了，这个图我们就不做微调了。来， 既然是这样子，这个地方是个直角，你要问什么？你要问 d e， d e 在 哪？ d e 在 这比上谁呢？比上 a e， a e 在 这 d e， b a， 我 们刚才已经知道它是直角了，所以这个角如果是阿尔法，这个角就是阿尔法呀。有人问阿尔法的正切值是多少，对吧？他是阿尔法同学，那这个角是不是就是二倍的阿尔法？ 因为这个角也是阿尔法，这个角也是阿尔法嘛，对吧？都是二倍的，因为这两个，这两个零性是全等的关系嘛。我们还是先把字母标一标，就是线段的长度，不妨换个颜色，这个长度是 a， 这个长度也是 a a a a a a a， 对 吧？然后我们还知道这个边也是 a， 好， 这是标出来的。别忘了，这个地方有个直角一点，刚才是中点，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如果是这样的话，这个长度是 a 呢？因为这个长度也是 a， 这个长度也是 a， 所以 这里面触发了等边三角形，对不对？也就这个角是一个六十度，这还垂直，那这个角不就是三十度吗？那他也就是三十度，所以你要的 d e 比上就是求三十度的正切值。 第一个答案，三分之根号三就出来了。好，我们再来看第二种情况。为什么这个题会出现第二种情况呢？ 就是因为这个菱形，也就是四边形，平行四边形 a b c d， 它是不确定的。一个平行四边形， 对吧？他只能确定你连结 o e 之后，他能是两个菱形，但是因为这个菱形呢？这个什么没确定啊？这个角度没确定，所以他是可以转的，应用四边形的不稳定性，对不对？所以呢，同学们要想确定这个这点，什么时候运动，运动到哪里， 然后地点怎么运动，运动到哪里，什么时候以 c、 d、 j 为顶点的三角形的时候，那你就找特殊的情况，你比方说我把它变成一个矩形的时候呢？ 看我我，我就找特殊的，找特殊的，如果不行，我再微调呗。这就是做图的基本的方法做图的基本的方法，你不要想着我一步就能把它做到位。不太现实啊，不太现实。好， 如果是这个样子来，这就是，哎，这就是 a， b， c， d， e， o。 好 延长 d， e， o， 好 延长 d， e 和 ab 交汇，点 f 和 ab 交于点 f， 嘿，这是 f， 对 吧？然后呢？再连接 f、 c， 然后这个时候什么连接 a， e 和 f， c 交于点 g。 那 你会发现，其实我画完这个图的时候，它是不现实的，因为这个时候，呃，这个 d、 c、 j 不 可能是九十的情况下， d、 j、 c 也不可能是九十度，所以微调方向错了，而且这个角越来越大了，所以我们应该往回调，对吧？不应该把它往这个方向转，应该继续往这个方向转，明白我的意思吧？好，那我们就再来转一下就可以了，就把这个变得扁平一点， 变得扁平一点。你比方说，我就这样啊，我就这样子啊，尽量变得扁平一点来，再来， 就这个样子吧，好吧，差不多吧啊，就这样啊，就这样。然后连接 e 和它 这个，再调整一下，就这个样子。好吧，就这个样子。然后这是 a、 b， c， d， e， o。 然后呢？跟刚才的意思一样，连接 d、 e 并延长和 ab 的 延长线交汇，点 f 交一点 f， 这就是点 f， 然后连接 f c， 嗯，连接 f c， 连接 f c， 然后你再连接 a e， 交 f c 于点 j， 交 f c 于点 j。 好， 这个就点 j， 然后我们连接 d j。 好，那你看这个时候垂直是不是就出来了？这个地方就是直角，对不对？我换个颜色给它标 a j c， d j c 是 九十度，对吧？此时 d j c 是 九十度。好，这种情况下，我们来求一下， d e 比上 a， e 是 几比几？ d e 在 这， a e 在 这。 那。同样，同学们，你别忘了，刚才我们其实我做的徒步标准不重要啊，你只要知道这个是角圈，这个是角圈，这个是角叉，这个是角叉，圈加叉，九十圈加九，所以这个地方还是九十度，所以我们依然要求的是这个角的正切值，阿尔法的正切值， 对不对？哎，依然是要求它的正切值。好，我们来标一标这个数字吧。我画的徒步标准跟我不标准啊，但是你自己要知道我们的要求啥？这个长度是 a， 这个长度就是 a a a a a， 对 吧？然后这个也是 a， 我 刚才看到求的，对吧？这个也是 a 啊，我图不标准啊，但是你知道啥意思就行。 这个地方应该是直角啊，这个地方应该是，这是直角。好，继续，那么的话，那这个长度你看这个地方变成直角了，它是中点，那我们可以标这个长度是 b， 换个颜色啊， 换成黑色吧。这个长度是不就是 b， 这个长度是不就是 b， 对 吧？ 这是直角三角形，斜边上中线等于斜边的一半，因为 a e 比上 e j 是 三倍的关系，所以这是 b， 那 这个长度是不是就是三 b 啊？所以这个角既然是直角，我们要求的是阿尔法的正切值 摊减，他阿尔法是不是等于 b 比上一个三 b 等于一比三啊？所以第二个答案就是一比三就可以了。好吧，这个图要做微调啊，微调一下你就知道它是垂直的时候，应该满足题。好吧，这就是这道题，下课。
132火柴数理化
02:00查看AI文稿AI文稿数学压轴题，十五题，你是不会添加辅助线还是不会解？你注意到题中重要的信息了吗？一个是四十五度角，一个是线段二倍关系，还有一个是等腰三角形， 四十五度角需要在直角三角形中被激活，而线段的二倍关系容易想到添加平行线出比例线段或相似三角形，等腰三角形能想到三线合一。 所以，如果这样添加辅助线后，你会做吗？你还有其他办法吗？
28数学白老师
08:06查看AI文稿AI文稿来我们太原二模的二十三题，前两问相对比较简单，第一问不用说菱形， 第二问根据它平行四边形，又使两边一比二的关系，知道了它化成了两个菱形之后，你看它开始连各种对角线，并延长交了一堆。它问 a、 e 跟 e、 g 的 数量关系。 由于这是两个菱形，我们不难想到，菱形对角线这么一连， oc 肯定和 ae 既平行又相等。那么 oc 是 不是现在就相当于是靠近了记忆了？靠的越近，他们两个的关系才越明显。由对角线互相平分，我们管焦点叫 h， 那 请问 c h 是 不是就等于 o h 等于 oc 的 一半， o c 整体又等于 a e， 所以 我们现在研究 o c 跟 e、 g 的 关系不就行了吗？好的，我们看。由于等分点以及平行关系，我们不难看出 f、 e、 g 三角形跟 f、 h、 c 这个三角形会形成一个正 a 字相似，没错吧？正 a 字相似，我们拿等分点一划 就很清楚。哎，刚才可以通过八字对顶正这两个三角形全等，对吧？啊，很容易正。所以 d、 e 是 不是就等于 ef， e 点就是他们的终点？ 有了这层含义，我现在是不是就很清楚，这是一份，这是两份， h， e 是 一份， e、 f 是 两份，所以 e 点就是 f、 h 的 三等分点。 既然你是三等分点，那么我们 eg 比 c、 h 是 不是肯定就是二比三啊？这是二比三。我们设 c h 是 三 a， o h 就是 三 a， 那 么 a e 就是 六 a， 因为 a e 跟 o c 相等，所以 a e 现在比 eg 是不是就等于六 a 比二， a 等于三，所以最终结论， a e 等于三， e、 g 也简单。搞定 好第二问，完事之后，千万不要忘记这个结论一直要这么放着啊。 a、 e 等于三倍的 e、 g 要作为提示，最后一问一定用得到，最后一问一定用得到。来，我们看他说就是在如此的变换过程中， c、 d、 g 三个点要成为直角三角形的时候，写出 d、 e 与 a、 e 之比。 观察原图连接 d、 g， 要让 d、 c、 g 三个点形成的三角形是 r、 t 三角形，看这个图二本身看着是不是就有点像。当角 c 为直角三角形的情况，我们说了，不管他有几种可能，途中一定会给你一个相对比较满足提议的其中一种可能，就省得我们画图了。好，这第一种 角 c 等于九十度的情况，他有了，那接下来是不是该讨论直角了？角 d 等于九十度，角 g 等于九十度，这三种情况依次讨论。我们在讨论角 d 等于九十度的时候，你，你就画图画去吧。这个平行四边形 a、 b、 c、 d 边比是二比一的平行四边形，你会发现根据他的要求， 这个四边形是可以压缩和拉伸的，也就是说左边哎，他可以哎朝右倾斜 哎，也可以稍微的立起来一点，反正你只要保证两条边的比例是二比一就行了，哎，立起来一点，你看都可以画出这么几种不同的情况。我们在画的诸多情况过程中，你会发现，无论你怎么画，比如说我们随便画一个连接 a、 e 并延长连接 d， e 并延长 与 a、 b 的 延长线交于 f 连接，这，这叫 g 点。你无论怎么画这个 g、 d、 c， 你 会发现它的角 d， 不 管这个平行四边形 a、 b、 c、 d 朝左倾斜，朝右倾斜还是立起来一点，它的这个角 d 都是锐角， 也就是说他不存在一个直角的情况。那么我们在考场上只能通过画草图大概进行取舍，我们就就知道角 d 不 可能等于九十度，这种情况就舍弃，舍弃完了之后，那我们就研究什么，研究在往左压缩，往右压缩或者让他立起来一点的这个 abcd 平行四边形的情况的时候，我们第三种角既等于九十度，我们来研究一下， 在画草图的过程中，你往左压缩这个平行四边形，你会得到我们画出草图啊。 a、 d 取中点 o 连接 o， e， 我 们延连接 a， e 延长 连接 d， e 延长与 a、 b 延长线交于点 f 连接 c， f 交于点 g。 好， 此时目测这个角 g， 它就有可能是一个九十度，看这垂直画的，所见即所得，看着像它基本上就是 好，也比较符合我们的命题规律。就是啥呀，三种情况，舍一种讨论两种情况，而且这两种情况里头有一个图，图二人家已经给出来了，所以我们只需要用备用途画一个就可以了啊，这种是出题人给咱们的一个比较便利的条件，那我们现在一个一个分析图二和备用途里面的这两种情况，角 c 和角 g 分 别当九十度的时候，我们看一看这个笔是多少。来，我们先看图二， 当角 c 为九十度的时候，那就意味着，哎，别忘了啊，刚才 f， e 可是等于 d e 的 啊，你 e 点是不是中点，你 e 点是中点，那直角三角形斜边的中点，我们就想到了斜中半，所以 c、 e 现在等于 d、 e 等于 f e， 所以 这个底角它就等于这个底角。而又因为是菱形，所以还等于 c、 d 这条边 c、 d 是 等于 c、 e 的， 所以你一下就看出来了， c、 d、 e 此时在角 c 是 九十度的情况下， c、 d、 e 它是一个什么三角形啊？是个等边三角形。既然是等边三角形，那可就太爽了，这里边全是三六九啊，三十度，六十度，九十度。 当我们判断出来了 c、 d、 f 这个直角三角形是三六、九的时候，我们就知道了，看同志们，这是不是也是个直角？因为啥呀？这不就是当年学过的平行四边形，两个同旁内角的角平分线互余，这肯定是垂直吗？所以角 a、 e、 d 肯定是九十度，它是九十度了。那由于平行， 你的角 b、 c、 b 是 六十度，那这是角平分线，肯定是三十度呀，这是三十度，这是九十度。所以直角三角形 a、 e、 d 中，很明显短直角边 d、 e 跟长直角边 a、 e 的 比例就是一比根号三。所以此时此刻角 c 等于九十度的情况下， d、 e 比 a、 e 就 等于三分之根号三。好，第一种情况搞定，我们再看第二种，当角记，我这说的角 d、 c、 g 指的就是在这个三角形 c、 d、 g 中啊，你不要说是老师，你这个角为啥不分开了？这样说直观一点，当在这个三角形中角记等于九十度的时候，我们看 这是九十度，这个就不太容易看的出来了，这需要我们有比较好的眼力，以及不要忘记第一问圈一我们挣出来的一比三的结论， 这里的垂直可以给我们带来什么？我们继续看一看。你别忘记，刚才 b、 f 这条边是等于 ab， 这条边是等于 c、 d 这条边的，所以 b、 f 和 c、 d 的 关系是平行且相的。所以我们连接一下 b、 d， 你 会发现 b、 d、 c、 f 就是 一个平行四边形，他是平四，你这刚才角 g 的 直角，我们马上就能内错上去，就能变成 b、 d、 g 是 九十度，他是九十度，又有什么用呢？观察 c 点 e 点是不是人家平行四边形 b、 f、 c、 d 的 对角线的交点好，从此开始就会有各种的线段相等，各种的对称出现， 所以你要注意一下这根线段，我们管它叫，这是 g， 这边的交点我们叫 h 吧。好，我们看 g、 h， 由于是一条过 平行四边形对角线交点的线段，是不是 g、 h 肯定是被 e 点平分了，它一被平分，同学们，你们想啊，别忘了啊，刚才角 a、 e、 d 还是九十度，现在 e、 h 等于 g、 e， 这是不是叫做两线合一 d、 e 线段两线合一，它就 b 三线合一 b 等腰，而且配合上角 h、 d， g 还是九十度。所以我画蓝色的这个三角形 h、 d、 g， 它一定是一个等腰，而 t 三角形， 它既是等幺 r t 三角形，那就意味着同学们，我的 d、 e 边是不是就等于 g、 e 边呀？好，你刚才刚证了 a、 e 等于三倍的 g、 e， 所以 由于 d、 e 等于 g、 e， 那 么我们的 a、 e 是 不是也就等于三倍的 d、 e 啊？就可以推出 a、 e 等于三倍的 d、 e？ 好，有了这个，那你这个在二七三角形 a、 e、 d 中， d、 e 比 a、 e 不 就等于什么一比三三分之一了？所以答案是三分之根号三和三分之一，两种情况搞定。
