微积分的定义
什么是积分？他和导数有什么关系呢？为了开始理解这一点，首先让我们试图找到圆面积的方程。开始，你可以试着把圆分为几个部分，并确定这些部分的面积。 请注意，当你在圆的边缘放大足够远时，它实际上看起来像一条直线。这意味着随着部分数量的增加，这些部分将接近三角形，所以我们展开的部分把它们变成一个接近矩形的形状。 通过观察，圆的周长等于丙圆乘以直径，所以形状的底部是圆周长的一半，或丙图乘以直径的一半。 由于直径是半径的两倍，那么矩形的底部等于 n 乘 容易半径。矩形的高度等于部分的高度只是图的半径，所以圆的面积是 n 乘以二乘以二或 n 二的平方。 让我们把一个形状分成更小的碎片相法应用到另一个问题上，曲线下的面积，我们试着看能否找到曲线下的面积。 xx 等于四平方，再点等于一和 x 等于二之间。 也许我们可以从矩形分割的这个区域开始，可以很容易的找到矩形的面积。这些矩形的高度只是 x m 在矩形开始的位置。底座设置可能会出现一些差异。 x 或 d x 这个 d x 减小。我们可以看到面积的近似值在提高。所以当 dx 接近零时，这个形状的真实面积等于所有这些矩形的面积之和。正因为如此，我们不把它作为一个规则的总和来谈论，更多的是这些总和的接近。我们称之为积分使用的型号。 我们想要一和二之间的积分，因为我们想要的举行积分是 x 乘以 d f 的积分，这有效的给了我们一个平滑的总和。无限小的区域构成了我们曲线下的区域。 最后一个问题，这到底与微分或变化有什么关系？这种联系可以通过寻找一种方法，从 x 的导数 f 被折导到 x 的原始函数下来找到。或者换句话说，我们如何通过 dm 从 d y 算出 y。 这里的关键是 y 或 d 的差异， y 实际上等我们的差异与 y 的平滑和。我们知道我们可以把这个移动和写成积分，所以 d y 的积分等于我们的原始函数 y。 这很有趣，但是我们仍然要弄清楚如何隔离我们的 diy 值。让我们看看如果我们尝试用矩形得到倒数曲线下的面积会发生什么。 和以前一样，每个矩形的宽度等于 d x。 在这种情况下，高度等于 x f 或者号，所以面积是 x 乘以 d， x， f 或者号。我们可以用 d y 代替 d， x， f 或者号， 并抵消 df。 所以我们的矩形等于我们需要的 dy 值。因此得到我们曲线下的面积相当于逆转微分过程 是，我们将此称为反倒数。如果我们把这个写出来，这和看到 xf 破折号乘以 dx， 积分等于 xf 是一样的。我们可以用这些知识来反转我们的曲线，就像你现在看到的。 但是为什么我们的新曲线没有与旧曲线重叠？当我们取曲线的导数时，我们得到了它的变化率，它不受 x 轴高度的影响。 我们的两条曲线是相同的，但是与 x 轴的高度不同。我们通过在结果中添加一个长数 c 来对此进行解释。
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20:36查看AI文稿AI文稿什么？你说你还不会为积分？经常在网上刷到这么一个梗，他说人再笨总不至于十四岁还不会为积分吧？在上大学之前，我一直觉得这句话是在凡尔赛，可是上完大一之后我才发现，其实这句话说的还挺对的。 那上了大学你就会发现，微积分这门课其实是大学专业课里面最简单的一门课了，那要不然他也不会大一就开始教是吧？那么为什么大部分人在上大学之前，他就是学不会微积分呢？那原因只是因为他没有去学而已。 那所以今天这期视频，我将会从小学的基础开始，从方程讲到函数，再到导数，微分和积分让你彻底学会微积分，这个看似高大上，实际上并没有那么难的知识。 那以后要是再有人说人再笨，总不至于十四岁还不会记分的时候，你就直接把这个视频甩给他，然后说一句确实 好的，点赞收藏，我们马上开始。首先我们来介绍一下方程，什么是方程？含有未知数的等式就叫做方程。那如画面所示，五加 y 等于二十，这就是一个方程，我们可以轻松的得到 y 的 值，就是十五。 那如果我把方程换成五加 y 等于三十呢？这个时候 y 就 等于二十五，那如果我把它换成五加 y 等于 x 呢？这个时候 y 等于多少啊？没错， y 等于 x 减五， 而 y 等于 x 减五，这个式子它就是函数。准确的来说，我们现在还不能把它称作为一个函数，你可以说它是一个二元一次方程，但现在它还不是一个函数，怎么样才能让它变成一个函数呢？ 我们要先规定将 x 看做输入，将 y 看做输出。在这句话的前提之下， y 等于 x 减五，这个二元一次方程才能被看做一个函数。那这个时候又有学习过函数知识的同学要问了，那主播，主播为什么平时 y 等于 x 减五这个式子就可以直接说是函数呢？ 那是因为我们在通常的学习中，默认就是将 x 看做输入，将 y 看做输出的，所以定义随时输入输出这一个步骤 就已经是一个默认条件了。在这个条件之下， y 等于 x 减五，就可以被看作一个函数。那到底什么是函数呢？那函数其实并不是一个具体的数，所谓函数是用来描述一种对应关系的规则。就好比我们刚才的那个式子， y 等于 x 减五， 在加入了随时输入、随时输出的说明之后，就是在描述一种对应关系，每一个 x 减去五，就是当前所对应的 y。 而函数并不一定要用一个式子来描述，任何能够用来表达对应关系的东西，都可以被称作函数。比如 把 x 看作输入， y 看作输出， y 的 取值始终比 x 小 五，这句话本身也可以是一个函数。 函数描述了一种对应规则，也就是输入对应输出，这也就规定了函数必须要有输入和输出。那需要注意的是，并不是所有的对应关系都可以被称作函数。函数必须严格要求一个输入只能对应一个输出。 比如如果我们把 x 看作输入， y 看作输出的话，那么 y 方等于 x 这个式子，它就不是一个函数，因为此时我们输入一个 x， 就 会得到两个 y 值， 那么有没有可能把这个式子也变成一个函数呢？那当然是可以的，比如你这么说，我把 x 看作输入， y 方看作输出， 那么 y 方等于 x 这个式子，它就可以作为一个函数，因为一个输入 x 只会对应唯一的输出 y 方。或者这么说，我们把 x 看作输出， y 看作输入，那么 y 方等于 x， 这个式子也可以是一个函数，因为一个输入 y。 那总结一下，什么是函数呢？函数就是在定义了输入与输出的前提之下，描述输入与输出对应关系的规则，这就是函数。 那我们发现用刚才那种方法描述函数实在是太复杂了，不管是用自然语言描述，还是用式子来描述对应的规则，是不是都要先定义随时输入，随时输出？有了这两个定义，我们才能把对应关系称之为函数。那有没有一种方法可以用一个简洁的符号来描述函数呢？ 有的，那就是 f x。 我 们来看看 f x 这个符号是如何满足我们对函数的三个要求的。首先是括号里面的 x， 它代表着定义输入为 x， f 代表的就是对应的规则。 那这个时候有同学就要问了主播，主播，我咋没看到输出的定义呢？那其实输出就是 f x 这个整体本身，也就是定义 f x 为输出。 所以说 f x 这个符号到底想表达一个什么意思呢？它表达的就是把 x 看做输入，把 f x 看做输出，输入与输出通过 f 这个规则来对应， 你看这是不是严格而优雅的满足了我们对函数的前提定义，有输入，有输出，而且一个输入严格只对应一个输出 f x。 那这个时候又有同学要问了，主播，主播，我就想把输出定义为 y 怎么办？那我们可以用到这么一个式子， y 等于 f， x 这个式子就代表着用 y 来承载函数的输出，也就是把 x 看作输入，把 y 看作输出，输入与输出之间通过 f 来对应。来考考大家 在 f x 这个式子中，哪一个是函数本身？那没错，答案就是 b 选项， f 这个对应规则就是函数。 那这个 f 到底可以是什么东西呢？它可以是一个约定的 x 为输入， y 为输出的算式，也可以是像这样一句描述的话语，输入永远比输出小五。 理解了这一点，我们再来看这么一个式子， f x 等于 x 方加二， x 加三。我们来好好理解一下这个式子到底是什么一个意思。首先我们有一个函数 f， 它代表着输出等于输入的平方， 加上两倍的输入，再加上三这么一个关系。无论这个关系是用自然语言描述的，还是用算式描述的，这个 f 就 代表这个对应规则本身。那么 f x 是 什么呢？就是再说我把 x 这个输入丢进这套规则之后得到的输出。 所以 f x 等于 x 方加二， x 加三，后面的 x 方加二， x 加三到底是什么？它是把 x 丢进输出等于输入的平方，加上两倍的输入，加上三这么一个规则之后得到的输出。 如果你丢进是 y， 那 么你得到的就是 f， y 等于 y 方加二， y 加三，丢进去的是 z， 那 你就得到了 f， z 等于 z 方加二， z 加三，你甚至可以丢进去一只小猫，就会得到小猫咪。 所以 f 到底是什么意思呢？ f 其实就是 function 的 缩写，那这个单词看不懂也没关系，我们可以假装 f 是 factory 的 缩写， 那 factory 这个词大家一定都认识，就是工厂的意思吗？其实函数的本质就是一个工厂输入原材料，然后输出一个产品。那现在我们假设你是这个工厂的老板，那你的工厂叫做 f x 等于 x 减五，那你想知道你的工厂产货的效率怎么样？那该怎么办？ 那啥是效率呢？我们定义效率为产出的增长比上多投入的原材料，那比方说我们现在投入原材料 x， 你 的输出是 f x， 对 吧？那我多投入一点原材料，比如我现在投入 x 加四，那就比原来多四，那输出涨了多少呢？ 当输入一的时候，输出负四，现在多投入四，也就是输入五，得到输出零，输出也涨了四。 当投入十一的时候，输出六，现在多投入四，也就是输入十五，输出得到十，还是长了四。其实不难发现，是不是对于我们这个工厂，我们多投入多少原材料，我们的输出也会相应的增长多少值呀？ 假设我们第一次投入了 x 一， 产出了 f x 一， 第二次投入了 x 二，产出 f x 二，那么多投入的原材料就是 x 二减 x 一， 而产出的增长就是 f x 二减去 f x 一， 那对于我们这工厂代入效率的公式，效率就等于 x 二减 x 一 分之 f x 二减 f x 一 等于一， 所以说我们这个工厂，它的效率始终是一，但是对于一些其他的函数，比如 y 等于 x 方，我们发现 如果我们改变 x 一 和 x 二的位置，所算出来的效率并不是每次都相同的。所以我们干脆给效率安排一个更加合理的名字，比如从 x 一 到 x 二的效率，或者我们叫它从 x 一 到 x 二的平均变化率。 现在我们拥有了平均变化率的概念，接下来我们要引入下一个概念，叫做瞬时变化率。第一次接触到这概念的同学可能觉得有些奇怪，在一个单一的时刻，为什么会有变化率呢？就像著名的飞矢不动问题。 话说古希腊的时候，有一位哲学家叫芝洛，向来喜欢用奇特的思辨打破人们对常理的认知。有一天，人们正在讨论飞驰而过的见识，大家都说离弦的箭是飞速向前的，是实实在在在运动的。但是芝洛却提出了不一样的看法， 他这么说，他说我们不妨仔细思索，一只飞行的箭在任意一个极短的时刻里，都会停留在一个固定的位置之上，刚好占据了他自身大小相等的空间。在这一个瞬间，这个箭既没有向前移动，也没有向后移动，此时此刻，他分明就是静止不动的。 而时间就是由无数个这样的转瞬即逝的瞬间拼接而成的。既然每一个箭在单独的瞬间都是静止的，那把所有静止的瞬间叠起来，整只飞行的箭自始至终也是静止的，没有真正的运动。 那旁人听完之后都陷入沉思，明明亲眼看见箭矢在飞驰，可是顺着他的思路推演，既然第一时间也找不出反驳这个结论的理由，这便是经典的飞矢不动之说。 是的，在一个单独的点上，我们如何去定义这个点的变化率呢？难道只落说的真的是对的吗？但是与此同时，我们又能很直观的感受到，红色点位的变化率明显是比绿色点位的变化率要大的，我们应该如何去描述这种感受呢？ 我们再回到刚才说的平均变化率，其实仔细想想，你就会发现，两点之间的平均变化率本质就是连接这两个点的直线的斜率。那我们现在换一个写法，令 x 二等于 x 一 加德特 x， 这个意思就是说在 x 一 的基础上多走一小段距离德特 x， 我 们把这个关系带入平均变化率的公式。 随着德特 x 不 断变小， x 二会一点点向 x 一 靠近，当两点挨的越来越近的时候，这条直线的斜率逐渐逼近一个固定的值，这一刻，两点连线的平均斜率就收敛成了 x 一 这一个点上的瞬时变化率。 那这个时候又有同学要说了，哎呀，无限趋近也不代表完全相等呢， x 二只是趋近于和 x 一 完全重合，那代表还没重合呢。那怎么能说这一段变化率就只属于 x 一 这一个点呢？ 那要想明白这一个问题也很简单，如果你能够理解为什么零点九无限循环等于一，那你就可以想明白这个问题。 那总有人说零点九无限循环和一是不相等的，那不管怎么样，他们都相差了一点，我们今天就来比较一下嘛，要比较两个数是否相等，那最简单的方法就是两个数作差嘛，如果结果为零，那就相等，如果不为零，那就不相等，那我们来试一下呗。我们用一来减零点九无限循环，我们能得到什么？ 那从我们的第一感觉来看，我们应该会得到一个零点零零零零，非常多的零，然后最后有一个一。但是一旦我们仔细去思考这个过程， 我们就会发现一个问题，一旦你尝试去写下这个一，那就代表这个数在此处结束了。但是零点九无限循环，它是无限循环的呀，它永远都不会结束，这就代表你永远也无法写下他们的差，最后的那个一，最后那个一永远都不会出现。 也就是说一和零点九无限循环作差，在完全意义上它就是等于零的，所以说这两个数字相等。 所以回到这个式子，相信你现在一定能够理解，为什么当 delta x 无限趋近于零的时候，平均变化率就是 x 一 处的瞬时变化率。 我们用这个式子来描述函数在 x 一 时刻的瞬时变化率，记作 fpx 一， 那如果是任意一点 x 的 瞬时变化率呢？我们记作 fpx， 而这个 fpx 也就是函数的导数。 这个时候又有同学要疑惑了，不是说分母不能为零吗？为什么一个趋近于零的 delta x 可以 放在分母呢？那其实呢， limit delta x 无限趋近于零这个动作 是在所有预算都结束之后才生效的，那在计算的过程中，这个 delta x 还不是零呢？当我们完成了所有的计算，才去执行这最后一步，把 delta x 变成零，我们来尝试推导一下常见函数的导数，来体会一下这句话是什么意思。 第一个函数 f x 等于 x 减五，我们将 f x 代入得到这么一个式子，然后把可以相互抵消的项给消除，最后我们发现分子和分母都只剩一个德塔 x 可以 相互抵消得到一，这个时候我们已经没有德塔 x 了，所以说这个值就直接就等于一了。 来看下一个例子， f x 等于 x 方加二 x， 我 们带入公式，然后展开平方向，然后把可以抵消的向相互抵消，我们发现上下又可以约掉一个德泰 x， 这个时候我们就得到内面德泰 x 趋近于零，二 x 加德泰 x 加二，这个时候我们再去执行最后一步，德泰 x 趋近于零， 我们得到了最终的结果，就是二 x 加二。还有两个函数没有上高中的同学可能不太认识，而且求解的过程中也涉及到了泰勒展开，那关于泰勒展开是什么？如果大家感兴趣的话，我以后也会出一期视频来讲，那这期视频就不过多赘述了。 这两个函数导数的推导也跟前面那两个函数的基本思路是一致的，都是在最后一步让得 x 趋近于零，然后去得到我们最终的一个结果，所以这两个函数我就不过多解说了，大家看一下动画就可以了。 ok， 让我们现在回到我们这个导数的定义式，我们发现这个写法是不是又要写个 limit， 又要写个笔直的，就非常的复杂，那有没有一个符号可以优雅的同时表示取极限和笔直的关系呢？那有的我们可以把它写成这样，我们记 f p x 等于 df x 比上 d x， 这个 dx 代表的就是 delta x 趋近于零的这个过程，它不是一个具体的数，它表示的是 delta x 无限靠近零，但永远贴着零走的这么一个动态的过程。 我们把导数的这两种形式做一下对比，我们上下分开看，那 dx 代表的就是下面这个部分，而 dfx 代表的就是上面这个部分，那它们各自代表什么意思呢？ dx 和 dfx 就 分别是自变量 x 和因变量 fx 的 微分， 那要如何去理解微分呢？那大家肯定知道这么一件事叫屏幕分辨率，无论是电脑屏幕还是手机屏幕，它其实都是由一个个最小的像素点组成的。那现在假设我们是生活在一个屏幕世界当中的人，那我们的世界也有一个最小的分辨率， 那这个时候你在你的世界中拿出了一个连续的函数，你对着横轴一直放大放大，哎，你会突然发现横轴居然也变成了一段一段的，而这某一段不属于 x 的 宽度，他就是 d x。 但是我们来到数学的世界， 这个世界是纯粹存在于大家的思想和逻辑当中的，我们的精神世界中，这个最小的分辨率，他会不断的向零靠近，但永远又不到零。 那每当你以为你抓住了它的值，它又会向零靠近一点，这个思想的过程是无穷无尽的，那所以我们才说 dx 并不是一个固定的数，它是用来专门表示 dx 无限靠近零的动态过程，你永远也抓不住它具体的值，这就是 dx 等于 limit dx 趋近于零 dx 的 含义。 那么因变量 f x 的 微分 d f x 呢？它代表的就是当 x 走过最小分辨率 d x 时，函数所对应的微小高度变化就是 d f x。 那 回到之前的公式，这就是 d f x 等于厘米的特特 x 趋近于零 f x 加特特 x 减去 f x 的 几何意义？简单来说， d x 是 横轴最小像素的跨度，而 d f x 就是 跟着这个跨度函数所产生的最小高度的变化。而问大家一个问题啊， 如果从 a 点开始，我把每个点的最小像素宽度，也就是微圆 d x 全部累加在一起，一直加到 b 这个点，那我们得到的这个总长度会是多少呢？那很简单，把 a 到 b 之间所有无穷小的微圆加在一起，一段一段拼起来，那拼出来的线段长度就是 b 减 a 的 长度吗？ 那如果 b 在 a 的 左边呢？这个时候我们要明确一个核心规则，就是我们这个相加，它并不是一般的相加，它是一个有方向的相加。我们定义这么一个符号，我们叫它积分号 a 到 b d x， 它代表着严格从下限 a 开始， 一步一步加到上限 b。 当我们是从左往右顺着方向累加时，每一个微元 d x 都是正的，那总长度自然就等于那总和，自然就等于线段的长度。可是当我们从右往左立着正方向去加时，我们跨出的每一步都是在倒退，那相当于微元就变成了负 d x， 那 既然全是负的， 哪加的结果？当然要带一个负号。正是因为引入了这种方向性，不管是 a 和 b， 它们的大小关系怎么变，永远都满足。积分号 a 到 b d x 等于 b 减 a， 这就是最简单最基础的积分。这个拉长的 s 叫做积分号，它的意思就是把下线到上限的这个区间所有的对应的微小量全部累加起来，但一定要注意，这个累加是有方向的， 那我们顺着这个思路往下想，如果不是对 d x 积分，而是对 dfx 积分，也就是积分号 a 到 b dfx， 它的结果又会是什么呢？ dfx 是 函数在每一个点随着 dfx 而变化的微小高度， 那我们把 a 到 b 的 每一处微小的函数的变化量 d， f x 全部累加起来，所有的微小高度变化拼在一起，叠加在一起，最后得到的就是函数从 a 到 b 整体一共变化了多少。这个用式子直白的写出来，就是这个样子，那记住这个公式我们后面还用的上 好了。最后我们来看到这样一个式子，积分号 a 到 b f x 乘以 d x， 那 这个式子是什么意思呢？我们先看这一个部分， d x 就是 一小段的宽度，而 f x 就是 这一段的高度，那么相乘不就是这一小块的面积吗？ 然后把 a 到 b 所有这样小块的面积加起来，那是不是曲线之下到 x 轴这一整块的面积？ 那我们要如何计算这个值呢？假设我们有一个函数大 f x， 他的导数恰好等于小 f x， 也就是小 f x 等于 d 大 f x。 比上 d x， 我 们直接把这个式子代入到积分号 a 到 b 小 f x d x 中， 发现整个式子变成了这个样子，然后分式里面的分母 d x 和后面的微分 d x 居然可以相互抵消， 那么最后我们剩下的就是积分和 a 到 b d 大 f x。 还记得我们刚才推导过的那个式子吗？积分和 a 到 b d 小 f x 等于小 f b， 减去小 fa， 我 们直接把这个小 f 换成另一个函数大 f， 这个式子依然也是成立的， 也就是变成了这样，所以我们直接就把它代换过来。这就是震惊整个数学界的超级公式，牛顿来不离此公式，其中的大 f x 就 被叫做小 f x 的 原函数，也就是导数式小 f x 的 函数。那我们应该如何去求解这个原函数大 f x 呢？ 既然大 f x 的 导数是小 f x， 那 么求原函数其实就是一个导数的逆运算过程。比如谁的导数是二 x， 那 很容易想到 x 平方的导数就是二 x， 但是等一下， x 平方加一的导数好像也是二 x， x 平方减一百的导数也是二 x， 那是因为常数的倒数是零，他在求导的时候消失了。这就意味着一个函数的原函数他不止一个，而是一整个家族，他们的形状长得一模一样，只是在纵轴的高低位置不同。 那为了表示这个家族，数学家们在积分号的基础上，把上下线 a b 去掉，直接用一个积分号，这就叫做不定积分，总结成一般的形式就是这个样子。 那看到这里，恭喜你，你已经成功掌握了微积分。那什么是微积分呢？说白了就两句话，微分就是把连续的整体拆分成无穷多最小的微元像素，那积分就是把指定区间的所有微元重新一块一块的拼回整体。 好了，这期视频到这里就结束了，如果你觉得视频对你有用的话，欢迎点赞、收藏、转发和关注，那我们下期再见！
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11:01查看AI文稿AI文稿如果你看过一些优秀的微积分科普视频，大概率会觉得自己学懂了积分。毕竟我们看过太多次那样的演示，一条曲线之下，被小心翼翼的切分成无数个细长的矩形， 他们不断变薄，无限逼近，最终求和。大多数人都告诉你，这就是积分的本质，一种用无穷分割来求面积的精妙技巧。然而，作为牛顿的忠实粉丝，我每次看到这里都难免感到遗憾，因为这只是莱布尼茨建立微积分的思路。 虽然历史上牛顿和莱布尼茨关于微积分的发明权存在争议，但却鲜有人知他们是已截然不同， 甚至可以说是互补的思路，各自构建出微积分的体系。莱布尼茨从静态的几何问题出发，他研究曲线下的面积，通过分割与求和，逐步摸索出导数的概念。 而牛顿则从动态的物理视角切入，他在计算运动物体的瞬时变化率时，先定义了流数，再从变化率的逆过程得出积分。这其实非常有意思，因为两位大师的研究手法真的能鲜活的反映出思维的风格。莱布尼茨的入局是比较自然的， 通过技巧去慢慢解剖，逐步建立起重要的数学概念，这个流程精巧的像在做外科手术。而牛顿的方法则非常霸道，直接从运动的本质入手，构建整个体系，那种颠覆性和力量感堪称是一粒顶十惠的暴力美学。 历史上，牛顿确实更早创立了微积分，但由于莱布尼茨的符号系统实在太简洁太好用，随着微积分日渐数学化、工具化，牛顿那套充满智慧与物理直观的原始思想反而逐渐被掩盖，这无疑是可惜的。 所以，牛顿为什么是神？在谈论这个问题前，我想先说说其他数学家，相较于牛顿，究竟差在哪里。莱布尼茨的面前摆着一个三角形，长和宽都知道如何去计算面积，小学生都知道是长乘宽除以二。然而，莱布尼茨当时恰好在潜心研究数列的问题。 有句话说的好，一个手上拿锤子的人，看什么都像钉子。莱布尼茨非要用竖列来捣鼓。他是这么做的，把这个三角形一层一层撕开，面积就被分割为 n 块，其中每一段的宽就是 n 分 之一。计算其中的一个个长方形，面积 加起来就是一串竖列。这个竖列的最后结果和嗯，这个变量有关。莱布尼茨意识到，如果分割的足够多，嗯，足够大，这个式子的最后比值将会逼近三角形的真实面积，也就是两分之一。 这个方法看起来绕，却有一个好处，他能推广到一般函数。于是莱布尼茨继续思考，原来求曲线下的面积可以先找竖列的求和公式，然后令间隔系数趋于零就行了。 那在已知通向公式的情况下，怎么得到求和公式呢？他们的关系式就是这样，这就是最关键的转折点。怎么理解这个式子，其实就是牛顿与莱布尼茨的区别所在。莱布尼茨思索片刻后，豁然开朗， 为什么要让通向公式求和，必须要把它表示成两者之差？因为这样一相加，就刚好能产生列项相消的效果，使得中间的求和全部抵消，结果就只需要一前一后两项来表示， 所以面对一个一般的函数，我们用同样的方法来探讨如何计算其面积。首先先将面积分成很多块，然后求和。根据前面说的，为了计算出这个求和，需要把其中每一项单独拆分为作差的形式， 因为这样在求和的时候才能像多米诺骨牌一样把中间项全部互相抵消。那么最关键的任务就是找到能表示成这种形式的函数。 从图像上看，上面这段微小的面积就会对应着下面这个函数在这个区间内的出没差值，也就是这一小段。如果把德塔挨克死除过去呢？左边就是函数值， 而右边是一个需要被定义的重要数学概念。我们先看看它的几何意义是什么？ 它代表这个函数值的增量比上自变量的增量，也就是这条连线的斜率。当增量非常短， 出没位置非常接近的时候，这条线段也就成了在对应位置点处的切线。莱布尼茨意识到这是个重大的发现，为了方便表达，他在变量前面加一个字母 d， 代表着取这个变量的极短增量，也就是微分， 所以切线的斜率就被表示成了 d y 比上帝艾克斯，这被称为导数。好，我们重新梳理一下来，布尼茨发现了什么？ 他发现要求一段曲线下的面积，首先要将这段区域无限分割，然后将中间每一段微小的面积求和。 同样的，他用这个符号来代替这个求和方式，也就是积分。根据前面说的，要算出这个积分，需要去找一个能使得中间列项相消的函数，使得刚好中间全部抵消，只剩下了末端减出端。 这个函数被称为圆函数。那么具体形式是什么呢？刚才讨论出来了，他在一点处切线的斜率就是 f 函数的值，而这就是著名的牛顿莱布尼茨定律。举个例子，比如这个函数，我要计算从零到一的面积，该怎么去运用这个定律呢？ 他告诉我们需要找到一个函数的导数，是他注意到这个函数在求极限变化率后，恰好就是艾克斯的平方，所以他也就是我们要找的原函数。那么我们只需要把出末位置带入这个原函数，然后做差，就得到了答案。所以牛顿莱布尼兹公式很简单， 简单的就像是一句废话，无非就是在说最终的积累量等于中间所有积累之合。但他解释的规则非常深刻，因为一切事物的发展都有两个要素，就是端点与过程。而原出形式的牛顿莱布尼茨公式告诉我们， 一维坐标轴上内部的形式累积和临维端点处的值存在着密切联系，内部的信息会反映于边界处，这是未来物理学的场论和现代数学中流行理论的基础思想。 一流的数学家就像魔术师总能跟变戏法一样，把重要的数学概念引出来。但切换到牛顿的视角，你会发现，天才看见的是常人看不见的东西。回忆一下，我们前面是怎么得到面积的，是靠不断累积， 这非常符合直觉，因为我们的目标就是求面积，貌似需要靠不断的努力求和来得到它。但牛顿不那么认为，他认为没有预先存在的面积快。面积是一个正在被创造出来的东西，函数值以及函数下包围着的面积都是随着自变量的变化而在运动。 换句话说，面积是生长出来的，它的形式也是天然存在的，我们用累积求和得到它只是一种片面的理解。 于是牛顿直接把面积作为函数假设出来。从运动的角度说，面积不是由函数值积累得到的，而是和函数具有同等地位，都是关于位置的函数。那现在目标很明确了，如何在已知 f 函数的情况下求解面积函数的表达式呢？ 这启发我们需要去探求面积的生长过程。观察一条运动的垂直线段，从初端移动到末端，他像一把刷子一样扫过平面，是不是有感觉了？很明显，函数值越大，略过的面积越大，这意味着函数值其实就能反映这段面积的变化率。 这是不是莫名熟悉？前面我们说过，牛顿发明了流速法，用位移关于时间的极限变化率得到了瞬间速度，那么这里直接类比，立马可得。 s 的 流数就是 f， 而 s 也就被牛顿称为 f 的 逆流数。这反应在函数图像中就是 s 会在一段自变量区间内产生增量， 当这个区间取得非常小的时候，左右两端的函数值是近似不变的，这个增量和 f 就 显现出了关系， 面积的留数就是函数值。一句话，道尽微积分最核心的关系，整个过程没有做任何累积求和。所以并非牛顿不懂发明符号，而是他根本没有发明符号的机会，他凭借强大的物理直觉，一眼看穿了变化与积累之间本质的联系。 这种从运动与生长中洞察数学真理的方式充满原始的力量感，也让我们看到微积分不仅是计算工具，更是理解世界如何变化的语言。 但这里有一个小问题，细心的观众肯定也注意到了，这个方程中要想解除面积函数也并非意识，因为这个关系式只是面积函数的必要不充分条件，哪怕函数再加上任意一个常数，两者作差后，这个增量仍然不变。为什么会这样？ 因为我们的面积函数貌似从头到尾就没有规定过起点，只有选定起点后才能解除具体形式， 这个起点对应的就是物理学中的边界条件。另一方面，我们也可以这样想，我们在乎的其实本来就只是一段区间内，中间的面积。 起点是什么不重要，因为在给定前后端点做差后都抵消了这种积分，被称之为定积分。而没有确定边界条件时，得到的面积函数形式就被称为不定积分。 当我们回顾这段历史时，会发现莱布尼茨的工作像一位技艺高超的工匠，为我们打造了一套无与伦比的工具。 牛顿的工作则像一位洞悉宇宙奥秘的哲人，为我们揭释了变化如何创造积累的物理学原理。微积分基本定律的伟大之处正在与他完美融合了这两种视角。 他最直接的表述是，要计算一个连续变化过程的净积累。你不需要进行无穷次复杂的加法，只需找到描述该过程的原函数，并比较其起点与终点的状态。更深刻的说，一个区域内部的全部信息可以完全由其边界上的信息所 决定。这种内部蕴涵于边界的思想是近代物理学和现代数学的基石。所以，微积分远不止是关于切磋型或求谐律的计算学，它是一门关于变化与积累的通用语言。莱布尼茨给了我们语法和词汇，让这门语言得以书写和传播， 而牛顿则直指这门语言所要表达的终极真理着既然万物皆在流动，那么把握其流变之律，便知吸其整体之行。 下次当你使用微积分时，希望你能同时感受到莱布尼茨符号之下的精巧优雅与牛顿思想之中那股源于自然法则的磅礴力量。
4.9万万物建模师
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06:07查看AI文稿AI文稿很多同学想了解什么是微积分，但是呢啊，如果自己去翻这个高等数学的书，好像有特别难，因为在讲微积分之前呢，他有很多的铺垫，就是如何去 用数学语言去表达这些概念，因为数学嘛，他要严格啊，不出一点差错，所以他每一件事情他都会讲的非常细，就会导致了很多啊这些数学语言的出现，比如说 apsum 调查语言，那如果你没有 听过老师的课的话呢，可能这些语言你是看不懂的。那实际上微积分是一个非常简单的一个概念，他跟我们的加减乘除是一样的。我们小学都知道啊，加和减是一个互利的， 比如说三加一，他会变成四，四呢，返回来减去一就会等于三，对吧？乘法也是三乘以四 等于十二，十二呢，除以四就会回来一个数，经历了一个互利的运算，他就会回来，比如说这这个反过来十二除，先除以四等于三三，再乘以四就会回来，等于十二。 那么我们微积分就是一个互利的运算，微积分呢，他分为微分和积分， 微分其实就是求导啊，积分呢，就是导数的逆运算。如果你高中还知道一些基本的求导的概念的话，你应该会知道 x 平方求导会变成二 x， 那后面我会 知道，求导这个其实就是微分，他的微分的本质就是求导，只不过他有一些形式上的呃，不同而异的本质是一样的。所以呢，我们定义的时候，就把这个二 x 的积分定义为 x 平方， 只要你这个函数的倒数是等于它，那么它的积分就会是 x 平方。 当然有些同学说，那我 x 平方加一的导数也是等于二 x 啊，因为一的导数等于零嘛。那么 二 x 积分是不是也等于 x 平方加一呢？是的啊，这种我们叫做不定积分，就是不确定的。那么这个积分啊，我们求导是用一撇 x 平方，这个求导用这个符号来记积分呢，是用这个拉长的 s 来记的，这个就是的 x 偏方。当然你可以说啊，我加一行不行可以，加二行不行呢？也可以，那为了能够描述所有的这些长数，我们就加上一个 c 啊，这个就叫做不定积分，因为他是不确定的，这个有个 c 在变动，但是只能是常数，不能是别的，那这个就是一个微积分，就是这么简单，这叫不定积分。我们再回顾一下一个函数，如果他的倒数是等于 这个 r x， 那么 r x 的积分就会等于 x 平方，我们后面会把这个东西叫做原函数，原本的那个函数，任何一个函数的积分，你只需要找到它的原函数出来就行了。 那我们都知道 v 积分呢，是由牛顿和莱伯尼斯共同发明创造的，那他一开始发明这个 v 积分 到底用来干嘛？小学的时候都学过一些很规则的图形的面积，比如说长方形，单面积是等于长乘以宽，三角形 等于底乘以高。那这些规则的图形呢？他有个特点，就是他的每条边全都是直线或者线段的，那如果有一条边呢？他变成弯了，我们基本上在中学就求不出来了 啊。你比如说我给你一个函数，这个函数呢，就就是抛物线，那这个抛物线呢？他在零到一的时候投影下来的这个面积就是一个曲边的三角形， 我们知道这个我们是求不出来的，没有公式，那么我们的积分就是去解决这个面积的最好的工具了，我们把这个面积就直接记为 这个积分啊。我们首先要知道这个函数的名字，就是直接积分就可以了，因为不同的这这个底啊，他是不一样的，面积是不一样的，比如说你从负一到负一到一，那会加上这一段，对吧？我们就把这个底 在这里写，零到一写在这里啊，等一下我们再讲怎么去把这个零到一转化出来，那我们首先要把这个积分给算出来，对吧？刚刚已经讲了，你要去算这个积分，就要去问 谁的倒数等于里面的这个东西，那现在我要问你，谁的倒数会等于 x 平方，只要你找出来，那么这个 就是 x 平方的积分，对吧？那如果你高中的这个导数还记得住的话，那这个应该是三分之一 x 的三次方，因为求导呢会减一的，这 三减一就变成二了，那这个三要放下来就约掉了，所以 x 平方的积分就是他。那么当我们知道了这个元函数之后，我们就可以去算出来了，这里零到一 他有一个公式叫做牛顿莱布尼斯公式，就是把零和一分别带进去做差就可以了，所以这个是等于三分之 x 的三次方，那就是三分之一一的三次方。然后下面呢要减去把零带进去， 这个零呢是把零带到这里来得到的这一段，这里把一带到这里来得到第一段，然后两个相差就可以了，这个是等于三分之一，也就是说这个阴影部分的 面积，他就是等三分之一，这个就是我们积分的最开始想要达到的目的，他对于求这个曲边的形状的面积是非常有效的。
4.1万数学那些事儿
54:37
01:12查看AI文稿AI文稿微积分的本质就是小学就学过的加减乘除，遇上了无穷这个麻烦事。那为什么学微积分要有极限思维呢？因为极限可以驾驭无 穷。微分是差，加上极限。积分是和，加上极限，而导数是三，加上极限。微分是减法，遇上了无穷，把整体拆成无限小的变化，极限把我们抓大放小，留下变化的核心。导数是除法，遇上了无穷， 要算清两个变化的比例极限帮我们绕开零比上零的死局，定做瞬时的快慢。积分式加法遇上了无穷，把碎片拼回完整的整体，极限帮我们终结无穷累加的玄学，算出精准的总量。 加减乘除是我们认识世界的基础工具，无穷是现实世界里无处不在的动态变化， 而极限是架在两者之间的桥梁。他没有颠覆最朴素的四折运算，只是给这套小学就懂的规则，一把能驾驭无穷，算尽所有变化的钥匙，这就是微积分最核心的本质。有启发吗？关于微积分更深刻的内容，可以预约直播呦！
3505成其老师
09:26
00:50查看AI文稿AI文稿微积分是什么？这个生活中的案例可以给到大家一些启发，如果一杯水的最上面一层水分子蒸发了，那么水层就减少了一个非常小的高度，这是一个微分的过程。 如果水蒸气在容器中冷却凝结成水，水分子一层又一层的累积起来，这就是一个积分的过程。为什么要有微积分？是因为在十七世纪的生产实践中，遇到了一系列新问题， 促使数学由研究常量向研究变量转化。比如人们想要定量的预测某种变化的趋势，要寻找生活中的某些最优解，要研究量变如何累积为质变，这就需要微积分这个工具。 关于微积分是如何实实在在的解决问题的，大家可以预约直播，给大家带来详细的解释。
1097成其老师
01:57查看AI文稿AI文稿微积分是个啥？早在古希腊，阿基米德就用穷解法，计算员的面积虽然没有极限语言，却已触摸到积分的雏形。但真正让微积分火起来的，是十七世纪的两位巨人刘顿和莱布尼斯。刘德为了描述行星如何运动，发明了刘树树，也就是岛树， 用来刻画速度和加速度的变化。而莱布尼茨则从几何出发，思考如何求曲线下的面积，并创造了我们今天熟悉的积分符号。有趣的是，他们各自独立发明了微积分， 却因此爆发了一场著名的优先权之争。但历史最终证明，这不是一个人的功劳，而是一个时代的必然。但积分本身是个极限概念，我们怎么看到它呢？现在我们通过求取面下的体积来直观展现微积分思想。在微积分里， 用二重积分来计算这样的体积。看这个函数，在区间零斗派上，它像一座起伏的小山丘，现在用细小的柱子去逼近。一开始，我们只用十乘十，也就是一百根小柱子，每根柱子的高度取它所在小方块里函数的最小值，这叫值下核。 这时候估损的体积还比较粗糙，大约只有三点一四。但别急，当我们把网格越分越细，二百二十五、 四百个，一直到一千六百根柱子，你会发现这些柱子越来越贴合曲面，扩散的体积，也一步步逼进真实之四。看，这就是微积分的神奇之处。用无数个简单的长方体制逼进一个复杂的曲面体积，当划分无限精细， 进四就变成了精确。而你刚才看到的下颌逼进，正是莱布尼茨思想的直观体现，把复杂区域切成小块，每块进四为简单形状， 再把它们加起来，最后让分割无限系。这不仅是数学的美感，更是现代科学和工程计算的基石。从物理模拟到人工智能，背后都有这种分割逼近求和的思想。
165高斯实验室
08:58查看AI文稿AI文稿注意看，如果我们知道一个圆的半径，马上就可以计算出它的面积，因为圆面积就等于 pi 二平方。 在这里面，圆周率 pi 起到了一个非常关键的作用。那么问题来了，圆周率要到古希腊时期才有，阿基米德计算到三点一四，那在这之前呢，古人怎么计算圆面积呢？有朋友可能在想，要么我就把圆切成这种方块，然后再加在一起。 虽然会有些误差，但古人嘛，顶多就是计算个烧饼的面积了，要那么精确干嘛呢？呃，咱还是不要太小看古人啊，古人其实并没有那么傻。实际上，早在五千多年前的古巴比伦，人们就已经开始这样子计算圆面积。就是先用一根绳子绕圆一圈，测出周长 c， 然后再用一根绳子拉直，测出圆直径，然后计算出周长乘以直径，再除以四，这样就可以得到一个很精确的圆面积的数值。 不过，这是一个经验算法，古人用归用，但说不出个所以然来。直到古希腊时期，人类的逻辑思维突然间开始了莫名其妙的爆炸。一位名叫阿基米德的数学上古大神给出了一个证明。阿基米德说了，兄弟们，咱先把一个圆切成四块，然后再拼起来。哎，你看，我们就得到了一坨， 虽然形状不太好看，但我们很明确的知道，它的上下边长加起来就是圆周长，而左右边长加起来就是圆直径。那我们再把圆切成六块，再拼起来呢？那就是这样， 那要再切成八块，再拼起来呢？那就是这样，那要是再切成十块，再拼起来呢？那就是这样，再接着切，然后再接着拼， 其实不用切太多，当我们切到一百块的时候，它拼出来的形状就已经非常接近一个长方形了。而这个长方形的上下边加起来当然仍然是圆周长，而左右边长加起来也仍然是圆直径。那么我们直接计算这个长方形的面积，那就是周长乘以直径除以四了，而这也正是圆的面积。 现在我们回过头来看，阿基米德的这个证明已经具备了现代微积分的雏形。他形成了一颗种子，但这颗种子在落到地上之后，就进入了一个长达两千年的休眠期，没有人能够察觉到他内部所蕴藏的巨大能量。直到一六六五年，另一位巨人拿起了这粒种子。嗯，他心想，是时候该做点什么了。 本视频归属于合集微积分之美。这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。 这本书专注于硬核数学科普，它将由机械工业出版师出版，会在今年上半年正式发布。自己先做一个预告，好让我们继续。其实在我们的日常生活中，很少会有机会用上微积分， 我相信古人的生活应该比我们还简单。那到底是什么样的动机需要数学家整除微积分那么个玩意呢？在数学里有这么一句老话说的是，初等数学是静态的数学，微积分是动态的数学。 比如你要精细研究一个物体的运动，那你就必须要用到微积分。你这么说还是太模糊了，你就直接说历史上微积分诞生的那一刻，到底面临着一个什么样古典数学没法解决的问题？哎，你算是问到点子上了，还真有， 那就是如何裁剪开普勒定律。一六六五年的时候，一场瘟疫席卷了整个欧洲，人们为了躲避瘟疫，纷纷逃往人烟稀少的农村。这时候剑桥大学也选择了关门休学，学生们被要求各自回家， 这里面就包括当时二十二岁的牛顿同学。牛顿的家本来就在农村，所以他回到家后心情相当不错。于是到了夜晚，他就坐在院子里面仰望星空，这时候他想起一首歌，唱的就是我在仰望月亮之上。 不是啊，牛顿其实没有听过凤凰传奇，他当时想到的是行星的运行轨道是个椭圆。第二定律说的是行星在椭圆轨道上在相同的时间里扫过的面积是相等的。 开普勒在一六零九年的时候提出这两大定律，然而他的推导完全是依赖天文观测数据，也就是说，这两大定律最初只是经验判定，而并没有被严格的验证。牛顿于是心想， 那有没有办法来验证一下呢？然而这里面涉及到两个在当时完全没有办法进行的计算。首先，行星在椭圆轨道上运行，那我们怎么才能计算出他在任意时刻的运行速度？那就是把初始位置和最终位置相减， 在除以消耗的时间就得到了平均速度。即使是圆形轨道，我们也可以假定行星的速度是一个常数，从而也可以计算出一个平均速度将就一下。可是到了椭圆上，这个公式就完全不适用了，因为很明显，在椭圆的任意一个点上，行星的速度都在变， 那这就很尴尬了呀。于是牛顿心想，如果我们还是按照计算平均速度的方式来计算行星运行的速度呢？那就是把初时位置和最终位置相连，计算出它们的直线距离，然后再除以时间。但很显然，这个计算误差会非常大，因为行星划过的是一道曲线，而我们计算的却是直线段。 但是没关系啊，让我们逐渐把起始点向终点的位置移动，当他们重合在一起的时候，我们就计算出了瞬间速度。我们用大 s 来表示距离，用 t 来表示时间，牛顿的计算实际上就相当于是这样，这就是我们现在所说的导数了，但牛顿给他取的名字是流速。 好，那我们再来看看开普的第二定律，行星在相同的时间里划过的面积相等。那么问题又来了，给你一段时间，你要怎么计算行星划过的面积呢？ 牛顿再一次仰望星空，心里又想起一首歌，哎，好了，不开玩笑，牛顿在经过研究后发现，我们之前所计算出来的流数居然可以用来计算面积，这个就是微积分理极其重要的基本定律了，用现代数学语言表达出来就是这样。也就是说，计算面积和计算导数 正好相反的两个过程，这也就是现代数学里的积分了。利用积分，我们可以计算出相同时间里行星划过的面积到底是多少了。那牛顿计算下来，开普勒的经验定律到底成不成立呢？那当然是成立的了，接下来，牛顿还要从这两个定律来推导万有引力定律如果不成立，那还得了。 有趣的是，在有了微积分思维之后呢，要推导万有引力定律简直易如反掌。来，让我们一起来回顾这科学史上最激动人心的时刻之一。 在宇宙中，天体和天体之间几乎是真空状态，所以对于牛顿时代的人来说，天体运行逻辑上应该是直线运行。 牛顿一开始也是这么假设的，假设行星确实是在走直线运动，并且在一段时间里，它从 a 点移动到了 b 点，那么根据惯性原理，在没有外力的情况下，接下来的时间里它会匀速移动到 c 点。如果我们以 o 点为参照点，这两个三角形底边相等，高也相等，所以它们的面积是相等的。 也就是说，如果行星走的是直线，那么开普勒第二定律自然就是成立的。然而诡异的是，行星的运行轨迹是这样的。所以怎么解释这个奇怪的现象呢？ 貌似只有一种可能，那就是行星受到了来自 o 点的某种神秘力量所牵引。但是对于还没有形成微积分思维的牛顿同时代人来说，这个解释仍然是行不通的。因为如果行星受到来自 o 点的牵引力，那么这个牵引力必然是沿着直线 o c 把行星拉到了 d 点。 我们已经知道 o b c 和 o b a 同面积，那么 o b d 与 o b a 就 肯定不是同面积了。于是开辟第二定律就不能成立，那所有的观测数据就无法解释了。不过牛顿说了，兄弟们别着急，因为我们已经知道行星的运行轨迹是椭圆， 所以我们不能把这个 darth t 看的太大，而是要把它看成无穷小。当 darth t 区域无穷小的时候， o b 这条直线相当于没有移动，所以牵引力并不是沿着 o c 在 拉伸，而是沿着与 o b 平行的直线在拉伸， 所以接下来的地点不是在这里，而应该是在这里。好了，因为 c d 与 o b 平行，于是我们又一次得到了两个相同底边和相同高度的三角形，它们的面积又是相等了，于是 o b、 d 的 面积就等于 o b a， 完美的符合开普了第二定律。所以这个来自 o 点的牵引力确实是存在的，让我们把它叫做万有引力吧。 所以我们看到了万有引力从一开始就是一个假设，我们也完全可以不这样假设。比如后来的爱因斯坦就换了个假设，他说我们不需要引力，而是用空间趋律，也完全可以解释。 说不定再过个几十年，我们又可以再换一个假设，比如我们既不需要引力，也不需要趋律。我们完全可以说，宇宙中的一切其实只不过是大爆炸之后的热胀冷缩而已。嘿嘿，貌似也完全解释的通。 好了，让我们准备一下去领下一届落本奖吧。今天就到这里祝大家元宵节快乐！本视频归属于合集微积分之美，这是合集第七个视频，这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。这本书专注于硬核数学科普， 他将由机械工业出版书出版会在今年上半年正式发布。这里先做一个预告，好了，我们下集再见，拜拜。
1.4万科技3D视界
01:05查看AI文稿AI文稿很多人学数学最大的误会就是以为数学是为了刷题拿分，尤其是微积分，老师讲一遍，黑板写一堆，学生抄一堆，最后只剩一句，这玩意到底有什么用？但你仔细想想，人类为什么要发明微积分？不是为了让带学生挂科，而是为了回答普通数学回答不了的问题。 石头下落为什么越来越快？曲线下面的面积怎么算？行星为什么沿轨道运行？人口增长、天气变化、经济波动？怎么用数学描述？ 这就是微积分的意义。他不是一门静态的数学，而是专门处理变化和运动的数学。我看完斯普尔的微积分，真的有点相见恨晚。他不是指教你怎么解析，而是带你回到问题本身。 面积问题为什么会引出积分切线？问题为什么会引出导数极限？为什么是微积分的核心？微积分基本定律为什么能把两个看似不同的问题连接起来？ 你看，这本书的讲法非常细，他会用图像、数值、代数和文字反复解释同一个概念，还会配大量现实案例和分级练习， 不是让你硬背，而是让你真正看懂。长销四十年，影响全球超八百万学生，能成为经典不是没有原因的。正在学高数，准备补微积分基础，或者以前被微积分劝退过的人，这本书真的可以试试。
20图灵数学视界
01:08查看AI文稿AI文稿一提到微积分就犯难，其实它的核心非常简单，一分钟带你彻底看清微积分的本质。先记住这么一句话，微分研究变化率，积分研究变化量。在整个微积分当中，其实就是在用这两个概念去解决生活中所有的 变化问题，而且这两个还是一对完美的互逆操作。先来看微分，我们通过微分得出的结果是，在某一点，某一瞬间变化的快慢，就像车速表上的每一个数字，它都是在当下那一瞬间，你汽车行驶的速度快慢。再往深了说，微分就是把变化的过程无限细分，拆成一个一个的瞬间，把复杂的变化过程拆成无数个简单的瞬间不变。 好。再来看积分，积分对应的是一个区间内变化的总累计。我还是拿开车举例子，汽车的里程表其实就是把一段时间内每一个瞬间的速度累积在一起得出来的结果，也就是这一段区间内我们一共行驶了多少路程。 积分就是把微分拆出来的无数个瞬间重新拼装组合，最后加在一起，得到了原来的整个变化过程，这就是积分的本质。那么这里车速表跟里程表这两个概念分别就代表了我们微积分中的微分和积分， 是我们微积分最形象、最具体的一个，体现了两者互逆，一拼一拆。那么数学中所有关于变化的问题就都能够解决了，你学会了吗？
47无名氏备考
04:29查看AI文稿AI文稿在我们的常识里，数学要一步一步来，小学加减乘除，初中几何代数，到了高中或大学，才配接触微积分或者机器学习。这样高深的学问， 这种顺序真的对吗？如果有人说，一个十岁的孩子完全可以理解微积分，一个五岁的孩子就能明白机器学习的原理，他是不是在吃人说梦？ 康拉德沃尔弗拉姆揭开了一个数学教育的真相，他说，我们目前的课程顺序是按照手工计算的难度来排的，不是按照概念理解的难度来排的。 让我们来看看微积分。为什么微积分要放在大学才学？因为他的手工计算过程极其繁琐。为了能用手算出答案，你需要掌握复杂的代数变形技巧， 还要记住大量应对特殊情况的解析套路。这种对纯手工计算技巧的过度依赖，不仅耗费了学生大量的时间，也掩盖了微积分真正的数学思想。 微积分的核心概念难吗？一点也不难。积分的思想，其实就是去想象一个动态的极限过程， 把一个形状复杂的东西切成无数个极薄极薄的切片，当切片薄到趋近于无穷小时，再把它们累加起来。 这种推向极限的思维，十岁的孩子看一个动态演示动画， 完全能够理解其精髓。再看看机器学习，他的底层算法依赖于复杂的概率分布和梯度下降，必须依靠超级计算机才能完成，人类无法手算。 但他应用的概念呢？你给电脑看一堆猫或者狗的照片，告诉他这是猫，那是狗，然后拿一张新照片，让他认是猫还是狗。 这背后的核心思路就是通过特征来识别进行分类。 这和我们教三岁小孩认动物的概念非常相似。尽管机器需要海量数据，而孩子呢，也许需要少数几个样本，但这种分类的思想本身简单直观。 在没有计算机的时代，因为所有的计算都要靠人手来完成，所以我们只能先学那些算起来简单的，再学那些算起来复杂的。 也就是说，我们被计算的难度绑架了。但今天，计算机，甚至是你口袋里面的智能手机，能在瞬间极其精准的完成那些复杂的微积分或矩阵运算。 在这个领域，让人类去和机器比拼算力已经失去了意义。 一旦我们把计算交给电脑，神奇的事情就发生了。我们可以打破原有的壁垒，按照概念的复杂程度来重新安排孩子的学习顺序。 这就意味着，我们的孩子可以在很小的时候，就早早的去接触这个世界上最强大、最能解决实际问题的数学思想， 不必因为手算的门槛，剥夺了孩子早日见识星辰大海的机会。 我们要记住，孩子们根本不在乎数学工具是哪个世纪被发明的，他们在乎的是 这个东西是不是容易理解，能不能帮他们解决他们关心的问题。
33桑玉民
