陕西中考圆与二次函数专题
二零二七届的陕西中考生看过来，你暑假预习的重点，学习的重点是啥？给你看一下，首当其冲的就是二次函数的性质，二次函数的性质一定是围绕对称轴展开的增减性的问题， 最值的问题。第二个就是圆的综合题，圆的综合题里面一定要把圆和相似搞的非常明白。圆和圆和三角函数搞的非常明白，隐形圆也得搞的非常明白。 各类圆的综合题，相似结合的弦切角的问题，不管是母子相似还是八字相似还是共角相似，都得搞明白。三角函数题不管是直接用还是让你去构造直角三角形，都要搞的非常明白。训练各类题型。 二次函数除了你要去搞性质，也一定要把这种实际实际应用背景的题型去 训练，这样的话，你在九上的时候，人家进度快的时候，你就能跟得上。而且圆和二次函数相似，这个是中考压轴题的重点。
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08:02查看AI文稿AI文稿咱们来看一下二零二六年陕西省数学中考真题的一个学习看二十五题，二十五题也是咱们那个压轴大题。已知如表，给出了二次函数的一组数据， 看，形容 x 等于负二啊，负一零一四，它对应的 y 有 五零负三、负四五， 咱们的要求是什么呢？根据咱们这一组数据画出咱们的函数图像，那好，咱们把这个函数图像在咱们的坐标系里面给它给画出来 看，咱们的第一个点是不是负二五呢？好，那咱们形容把负二五在咱们这个 点描出来， a 对 这个点是不是就是负二五呢？好，咱们只要在这个方格网上把它负二五描出来，这个点描出来之后，再把其他的点一样的跟它也一样描出来。好，第二个点是负一零，负一零是不是在这里？ 还有一个是不是零负三，零负三是不是在这里？ 还有一个是不是一负四，一负四， a 负四，在这里还有一个四五四是不是 x 等于四五，是不是这个五点在这里？好，咱们用一个顺滑的曲线把它这个点给它串起来 看，这是咱们那个表的这个数据，咱们在呃放高往上画出来，用这个曲线串出来，这就是咱们一个串出来一个二次函数的一个图像。 好，来看咱们的第二位选择正确的，它有 a 大 于零， b 减 b 平方减四， a c 大 于零，还有当 x 等于一时，最低点为负四，还有当 x 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。 那咱们看一下这些选项到到底哪一个是对的呢？咱们把那个图像在这大概描一下， 咱们是不是有一个负二，一个负一，还有一个零，还有一个一，还有一个 四， 这是 y 等于五， 它是不是还有一个负三， 还有一个负四？那大概的图像函数图像是不是就是这样子的？一零，这有也有，也有一个焦点，这也有一个焦点， 一一负四，这也有一个焦点，最后一个焦点它是在这里。 好，这就是咱们一个一个大概函数的一个大概图像，它说是 a 是 大于零的，那咱们看这个函数的图像开口是向上的，那它第一个肯定是对的， b 平方减 c， a、 c 是 大于零的，它是一个什么东西呢？它说判定一个函数根是不是如果 b 平方减 c， a、 c 大 于零的话，它是有两个根，意思就是有一个 x 一 存在，还有一个 x 二存在。 x 一 和 x 二都存在的话，它是不是表明这个函数图像和这个 x 轴有两个焦点？ 咱们现在你来看的话，这个函数图像是不是和 x 轴有两个焦点？确定是的，说明这个也是对的。 当 x 等于一时，最低点为负四，是不是它有一个最小值？咱们在这个图像上来看的话，哦，最低点也是一个四。负四刚好的意思是 x 等于一时，它是咱们这条抛物线的一个对称轴，这也是咱们的一个最小值。 咱们再看一下，这个是当 x 大 于零时， y 随 x 的 增大而增大。 那咱们在这个图像上来看一下， x 大 于零时， x 大 于零时，它的右半轴，这个是 x 大 于零。咱们看看 x 大 于零时，它在零到一之间， 它是 y 随 x 的。 呃， y 随 x 的 增大，它 y 是 减小的，所以它就不对， 只有当 x 大 于一时，是不是 y、 c， x 的 增大而增大，它是一个正极力？ 好，咱们来看第二十五题压轴题第三问，抛物线向下平移六个单位长度与 x 轴交于 ab 两点，求 ab 的 一个长度。 好，咱们再看一下子，这个抛物线向下平移六个单位，咱们直接先把抛物线的那个解析式给它求出来。 抛物线的一般是，是不是就等于一个 y 等于一个 a， x 平方加 b， x 再加上 c 啊？因为它这个函数解析式过这个，这一二三四五五个点，咱们其实只有只要有三个点，呃，就可以求出它的一个函数解析式。咱们把这个 啊，负二五，负一零零负三全部带进去，带进去时，咱们之后会求得一个 a 等于一， b 等于一个负二， c 就 等于一个负三。那咱们这个函数的解析式是不是就等于一个 x 的 平方减二， x 再减三，是吧？这个是一个函数的一般式，咱们把它换成一个顶点式， 是不是就有一个 x 减一的一个平方再减四呢？ 好，咱们看一下，它原题是说是向下平移六个单位，咱们向下平移的话，是不是就是上加下减， 等于这个式子就变成了一个 x 减一的平方，再四再减上一个六，就是它这个向下平移六个单位的一个后面的一个变式，咱们把它变成的一般式，是看一下子是不是它就变成了 y 等于 x 的 平方减二， x 再减去一个九，咱们这个抛物线向下平移六个单位长度以后，与 x 都交于 ab 两点，咱们就是形容这样子的 交于 ab 两点，这是 a 点，这是 b 点，求 ab 两点的一个长度，那是不是求 x 的 两个根之间的一个绝对值的一个距离啊？是不是它这个咱们这个 x 的 根求出来是多少呢？是不是 x 它就等于一个 一，咱们用一般的根式一求，用求根公式求的，求得的话，是不是就等于一个一加减根号十？好，咱们一减根号十，是不是就等于负的？那它就在 y 轴的一个左边， x 的 x 轴的一个左半轴。 一加十是不是正的？它就在 y 轴的右边，就在 x 轴的右半轴， 那是不是就是等于一加一减十的绝对值，再加上一个一加十的绝对值。咱们把这个数值求出来，它就是 ab 的 一个长度，那它这个数值等于多少呢？是不是就等于一个 二倍的根号十？那它 a 线段 ab 的 一个长度，它就是一个二倍的一个根号十。关注李老师数学不迷路。
02:27查看AI文稿AI文稿今天我们看一下二六年陕西中考的第二十五题，也就是二次函数。总体来看，今年的二次函数题目比较简单，题目给了我们二次含典的坐标。第一问时让我们画出函数图像，这就是一个送分题了。 我们直接利用秒点法就可以在平面直角坐标系中把二次函数的图像画出来。与此同时，通过简单的计算， 可以得到这个二次函数的解析式。一般式式 y 等于 x， 平方减二， x 减三，顶点式为 y 等于 x 减一，整体的平方再减四。第二问说，在下列结论中正确的有，我们来看，第一个说 a 大 于零， 那我们已经把二次函数的解析式算出来，算出来最终的 a 等于一，那所以第一个就是正确的。第二个结论说的是 b 平方减四倍， a， c 大 于零，这个就考察到了二次函数跟一元二次方程的关联性了， 只要抛物线和 x 九有两个交点，那么 b 平方减四， a， c 肯定大于零。我们观察一下这个函数图像， 它跟 x 轴有两个交点，所以第二个就是对的。第三个说，当 x 等于一时，最低点为负四，结合我们刚才算出来的顶点式，很明显第三个也是对的。最后再来看第四个， 第四个说，当 x 大 于零时， y， y 随 x 的 增大而增大。我们可以通过观察函数图像 发现，当 x 的 增加， y， y 是 在减小的，所以第四个就是错的。 最后我们再来看一下这个第三问。第三问说，当抛物线向下平移六个单位长度与 x 轴交于 a b 两点，然后让我们求 a、 b 两点之间的距离，我们可以结合刚才的顶点式，快速地把平移后的新函数解析式写出来。平移后的新函数的解析式 就是 y， y 等于 x 减一的平方，再减去时，它说 a、 b 两点分别是二次函数与 x 轴的交点，所以我们只要令 y 等于零，然后算出的 x 值分别就是 a、 b 两点的横坐标了。 经过计算，我们发现 x 一 等于根十加一，然后 x 二等于负根十加一，那 a、 b 两点之间的距离，我们只要用 x 一 减 x 二就能得到了，最终结果就是两倍根十。
4金榜奥数
12:31查看AI文稿AI文稿所有陕西方考生看过来，二零二六，二次函数考应用题还是二次函数综合题？最近有好多学生在问我这个问题，但凡问我这个问题的，我 打保票，他肯定二次函数综合题就没复习好。我告诉你，所有的运气都是努力的必然体现， 别人复习好的，管他考啥呢？我给你把二次函数存在性问题放在后面，你好好去看，花上五分钟，花上五分钟，十分钟，看完之后动手用上一个半小时做一下，就不用怕了。二次函数存在性问题是学生在初中几何 和二次函数学习阶段非常惧怕的问题，因为他是一次 最难的函数和几何的融合，那这里面呢？他的思维含量也很丰富。今天我们拆解一下二次函数存在性问题。 存在性问题主要分为线段问题、面积问题，还有我们的等腰三角形，特殊三角形的存在性问题。等腰今天举例子，和直角三角形存在性问题 相似，和全等列为一类，四边形列为一类好，我们如果说是从刚开始的角度去讲的话，那就是线段和面积问题， 因为我们其他的所有的问题的本质的落脚点其实都在线段问题啊，你面积是不是也是以线段为他的，以唇膏，以线段为维度讨论的？然后你相似问题，四边形存在问题也是以对角线或者是相似的每一条线段三角形的每一条线段讨论的。 然后我们的等腰三角形或直角三角形存在问题也是一样的啊，都是以线段为维度，所以线段是首先要被讨论的问题。那线段的话，我们可以是利用坐标差、 勾股定律全等相似求解，对吧？这个其实是所有问题的底层逻辑啊，如果说我们遇到了跟将军野马造桥选址模型结合，我们是另外 说，但是他实际本质是解几何体做这个，而函数只是提供了一个坐标而已。好，如果说是我们的面积问题呢，就是要用面积公式去解决，那最简单的就是一边的坐标轴或平行于坐标轴，比如说这种情况，那这个横平竖直是不是很好求啊？ 那如果不平行呢？这个也是学生比较害怕的啊，我们用这个割和补两种方法给大家讲解。第一种横平竖直好求吧， d 等于 d 的 纵坐标减去 e 的 纵坐标，高等于 f 的， 呃，那个 g 的 横坐标减去 f 的 横坐标，这个就是最简单最直接的面积公式的应用。同样的 ab 乘以 c h， 一 样的，用 b 的 横坐标减去 a 的 横坐标， c 的 纵坐标减去 h 的 这个纵坐标，就可以直接求解。 然后如果是我们这种不规则的 abc 图形呢？如果是不规则的，我们是不是需要去给他要么割要么补 啊？那这个方法我们先割，可以横着切啊，切一个 c、 d、 e 的 底，也可以竖着切，切一个 b、 d 二的底，那这个时候跟刚才的做法就一样了，切成两个三角形，以它为底，然后以它为高，以它为高啊，对吧？ 好，这个做法就是第一类问题的一个衍生。好，第二个，如果用补的方法呢？把它补成矩形，补成矩形之后，这些全都会底下的，上面的全都会变成常规的直角三角形的模式，那我们是肯定是可以会求解的吗？对吧？ 这个比如说我们的这个 c、 b、 f 这个三角形怎么求解？它这个 c、 f 是 不是等于 c 的 纵坐标减去 b 的 纵坐标？因为 f 和 b 的 纵坐标是一样的啊，那这是高低呢？是不是用 c 的 横坐标减去 b 的 横坐标，因为这个，呃，这个 c 和 f 的 横坐标是一致的。好，其他的一样的算法啊。这个里面设问的时候也有可能会问你这个三角形面积的 对值问题，如果说是这 abc 三个点分别在比如说抛物线上或者某一条直线上，那他们最后列出来的跟 x 有 关的表达式，用顶点式解决 面积对质问题。然后我们接下来看我们的等腰三角形存在性问题。等腰三角形存在性问题呢？其实它本质上就是让你去画， 画完之后用两种方法，要么就是用勾股定律，要么就是垂直斜率为负一角。好，我们看如果我们以 a、 b 为，以 a、 b 为这个底边， 那我们垂直平分线的性质，垂直平分线上一点到线段，两段点距离相等，那 c、 e、 b、 a 是 不是我们第一个等腰三角形？ 那这个的方法就是我刚才说的斜率为负一，这个表达式可求这个表达式斜率跟他相成为负一，比如说这个表达式可以求出来是三分之二，那他的 表达式的这个 k 就是 负二分之三，对吧？然后呢，这个终点要用终点公式求解这个 d 的 坐标，然后代入之后这个就可求了，求完之后令什么 y 等于零，这个 x 是 不可解。好，这个以 b 为圆心画圆，这个以 a 为圆心画圆得到的这个三角形， a， b， c， a， b， c， 这个是等腰三角形，我们可以把它连上啊，可以连上，这是等腰三角形，对吧？这是我们的等腰三角形，然后完了之后，我们以 b 为圆心还原，得到了一个新的 a、 b、 c， 对 吧？我们给它连上，然后完了之后我们的 a、 b、 c， 这都是我们得到等腰三角形， 那他是不是就是以这个腰围，腰围我们的半径画圆，对吧？跟这个坐标轴的焦点就是我们要找的 c 点。接下来只是求解的问题了，就两种方法去解决，一种是勾股定律，一种是垂直的话斜率为一 不一， ok， 那 这个里面明显我们要用勾股定律解析了，这个东西可求， 对吧？因为我们的这个坐标标可直，然后完了之后啊，我们这个横，这个圆的这个半径也是可求的， 然后完了之后我们是用两点之间距离公式求的，所以我们底下的这些用垂线定力可以解题，在这个三角形里面也要用一次勾定力可以解题。好吧，三四五的三角形红利这边的也是利用 咱们的这个 a、 b 的 线段是已知的， a b 的 线段已知，也就是这个半径是已知的，然后这个是 x y y a y a， 然后完了之后去解这个 长度就可以了，然后这边是对称过来的，然后坐标呢，就是直接书写就可以了。好，总结一下，就是我们在存在性问题里面，等腰三角形存在性问题就是用垂直斜率为负一或者勾股定律去解题，我们可以把这个写上， 但是它不管是画了圆，还是用坐标，还是用股股定律，还是用这个我们的斜率求表达式，这个都是我们学过的内容啊，不是我们没有学过的内容。我们把这个 a b 两点之间距离公式，也就这道题里面，它用到了你二函数和几何用到的几乎所有的信息。 然后我们再看我们的直角三角形存在性问题，同样的先得画出这个东西来，那 b 点为 直角，直角顶点的时候，那 a 点为直角顶点的时候，然后如果是 ab 为斜边的时候，那就需要画这个什么直径随对圆周角为九十度啊，那我们找到这个 ab 的 中点垂直平分线可以做到啊。然后完了之后以这个，比如说这是 o 点， 或者是我们标一个别的点吧， w 点可以以 w a 为圆的半径，这个为 w a 圆心画圆，画圆之后发现有两个焦点， 这个怎么求呢？一线三垂直啊，我们设哪个都可以，但是它本质上它的一线三垂直我们解一次就可以啊，就是 这个三角形是和这个三角形相似的，然后相似的话我们设某一个这个 c 的 点坐标，然后去解他的一线三垂直的相似，就能解出这个 点。解出这个点之后，他是直接就是我们的坐标出来了，然后这边呢还是用垂直斜率为负一，因为这个 是可求的，这个表达式是可求的，可求完了之后呢，他的这个表达式是 a 是 二分之一，那他跟他斜率乘积为负一呢？他的 k 肯定是负二，对吧？是负二之后，我们因为经过 a 点，然后完了之后可以求求出来之后，另外等于零减法跟上面也有一致性。然后接下来我们看相似存在性的问题啊，相似我们得先知道他这里面本身 a、 o、 b 是 一个什么样的三角形。 a、 o、 b 我 们可以画出来，明显的要看出来是一比二比根号、五这样的一个三角形，那我们在左侧同样会存在一个跟它一模一样的全等，也是相似的一种哦。然后我们接下来在这个坐标轴上要去找 找跟他相似的，这块也有个一比二比根号，这同样的对称也有，所以我们在找找的过程中，其实就是找这个特殊的直角三角形。 这个题很简单，然后接下来看我们四边形的存在性问题，核心就是分类对角线、对角线分类讨论的情况，用重点公式解析， 那我们已经知道了这个 a、 b、 c、 d 是 平行四边形了，是不是？那我们这个图其实是可画可不画，你可以自己画一下视意图啊，它本质的解析的时候是怎么解的呢？是利用对角线对角线，比如说这个 a、 b、 c、 d， 我 们要不任意画一处感受一下啊？比如说我们的这个 a、 c、 b、 d， 嗯， a、 c、 b、 d 就是 以 a、 b 为这个对角线， c、 d 为对角线的时候，因为它两的对角线互相平分，然后且这块是中点， 这个就是利用对角线的性质解析的，然后这个中点我们给它标一个数字，比如说以等于一， 然后完了之后我们就会发现这是终点，不管是横着的终点还是竖着的竖着的终点，它就是我们的平行四边形的终点，对不对？从几何上说它是终点，从代数函数上它也是终点坐标，那我们怎么求呢？它的横坐标加它的横坐标，等于它的横坐标 加他的红坐标，因为他其实他的红坐标加他的红坐标除以二就是他的红坐标，他的红坐标加他的红坐标除以二也是他的红坐标，所以他们用的是重点公式集中表示这个 e 点，同样的纵坐标加这个纵坐标，也等于这个纵坐标加加这个纵坐标，这是其中一种存在的可能性，也就是我们第一个讨论的 ab、 c， a、 b 为对角线， c、 d 为对角线的时候啊。同理 a c b d， 同理 a d， b c 这个计算也很简单，所以其实我们更难的是我们的等腰三角形和直角三角形的整个的计算过程， 但是它也绕不过两个东西，就是一个是我们的这个垂直的斜率，一个是勾股定律啊。
131陕西中考李老师
03:06查看AI文稿AI文稿二六年陕西中考第二十五题二次函数，这个题真的是非常简单，把第八题的题位放到了二十五题的这个位置，那也是对大家非常友好了。看，给你了一个表格，然后呢，让你去分析这个图像，你看第一位，让你画图，那我们需要求表达式吗？ 一般情况下，尽量不要去求表达式，因为它计算量太大了，实在没办法了，我们去求表达式，那先看什么？先看它的纵坐标相等的。为什么？因为纵坐标相等的它一定是关于 y 轴对称的， 我们马上能找到它对称轴，很明显，在这个表格里面，你看负二队的 y 值是五，四队的 y 值也是五，哎，这俩 y 值相等，那说明它俩 横坐标。关于对称轴对对称，那说明我能马上得到对称轴，应该是一。朋友们，这里是一到负四，那应该取最值。而你想象一下，零的时候取负三，负三比负四高，那肯定开口朝上，你看大概图像长成这个样子。 通过这里我们来分析第二个，这就非常简单了，第一个是 a 大 于开口朝上，很明显 a 大 于零。第二个 b 方减 c， c 这个东西是啥呀？ der 它吗？ der 它确定与 x 的 交点交点有几个呢？两个吗？所以 der 它是大于零，很明显。第二也是对的， 除 x 等于负一的时候，取最低点为负四，明显你看 x 等于一的时候，应该是最低点是负四。 ok， 没问题。 第四个说 x 大 于零的时候增大而增大，对吗？大于零的时候先降后增，很明显。第四个不对，所以第二问还是非常友好的，那看第三问。抛物线下移六个单位之后，与 x 轴交于 a、 b， 问你 a、 d 的 长度， 那这个你是不是得去求表达式啊？平移嘛，咱马上要想到他的八字真言，左加右减，上加下减。那我们求一下原函数表达式。那你去设 y 等于 a， x 方加上 b， x 加上 c， 然后带坐标呗， 随便带，但是这里边尽量去给他找好算的。你看他不是给咱一个对称轴是负二， a 分 之， b 应该是等于一的呗，他是不是还过负一到零， 同时它还过零斗负三，零斗负三呢？ c 确定的是与 y 轴的交点，所以 c 不 就等于负三了？那这个时候咱再带一个 负一斗零，所以 a 等于一， b 等于负二， c 等于三。你带进去之后，那表达式不就出来了吗？原来处表达式出来了，下移六格之后呢？那给 c 进行变化，上加下减，所以新的表达式也就出来了，应该是 这个减九，然后再接着下来。那图像长成啥样？大概就长成这个样子呗，它与 x 轴交点为 ab， 那 交点坐标你得知道呀，因为它让求 ab 之间的距离，那交点坐标怎么求呢？那我让 y 等于零好了， x 一 x 二分别是等于二加减根号十，然后再接着我们要求的距离距离你可别忘了，千万不敢把这俩相加哦，应该是大减小嘛，所以 a、 b 的 距离应该是二倍根十。
00:50查看AI文稿AI文稿二零二六选择题亚洲题怎么这么简单啊？秀说有一头喷水泥，我的妈呀，喷出水流形状的形如二次函数 y 等于负零点一， s 平方加六 x 图像，则喷出水流的最高点应该是顶点坐标公式， 负二 a 分 之 b 四 a 分 之四， a， c 减一方，其中的 a、 b、 c 呢，分别是我们的二次项系数、一次项系数和长数项。首先我们来看我们的二次项系数应该是 a 等于负零点一， 那一次项系数呢？那就是 b 等于六，长数项没有了，那就是 b 等于六，长数项没有了呢？得到我们的顶点坐标应该是三十九十。这道题你做对了吗？
11寨老师（数学）
09:41查看AI文稿AI文稿今天是二零二六年六月二十九号周一，今天白天有两个咱们大庆市的 初三，马上升初四的，九月份上初四的就是初三，新初四的家长和我联系，这个非常有代表性，我说一说。呃，第一个呢，是咱们新村边的，这样回学校，嗯，说一下孩子呢，这个原来在初一初二，即使初三上半年成绩也非常不错， 但是在这个初三下半年三月一号开学以后，学到了相似的位置，这个成绩就开始下滑了。后期随着这个地理生物节业，没有多少心思，没有多少精力去学呃，数学了，就是也放松了。呃，之后这个数学成绩下滑的非常非常严重啊，因为是女生，说本来 成绩之前还可以简单点，能考到一百零几，差点也九十多，但现在是根本就不行，有的时候可能就六七十分倒考啊，说就吓唬的非常严重，说这个得怎么学？因为这个情况啊。嗯，就是最好最好的方式啊，就是你线下要补课， 因为。呃，几点原因吧。第一个，他现在九年级的课呀，是比较难的，你看现在像亮湖六十九，他们都学到了啥？学到了三角函数九下，第一章九下，还有一个二次函数和圆就学完了。 呃，虽然说只有两张，但是内容非常多，一个二三数，这就得好多节，是不是得六七节？那么语文更是按照老教材有八节课的内容，那这两节课就是单单从知识点本身就将近十五六节课的内容。那你在家稍微扩展一点，额外的去做一做这个变形题，那这内容非常非常多， 所以说呢，需要咱们去线下的通过，老师呢，你详细的把基础知识点给你讲一遍，中档题领你做一遍之后能爬爬高，能拓展拓展的 各种二次函数存在性啊，角度问题是吧？哎，四十五度角问题，哎，各种各样的指范问题，以及圆的啊，隐形圆阿，是圆，这些东西都得需要你拓展，这个绝不简单，说是我就学完这个基础知识就完事了， 因为这个中考题，咱们大庆目前这个现行的中考政策里面这个大题最后两个题一定是二三数和圆的，那你包括选天的压轴也是二三数的概率性这个偏大，所以说这两个章单元几乎决定了你整个中考数学的上限，就是你的上限 是什么样的，是几乎他俩决定的，所以说这块非常非常的关键。另外一个这个难度比较大，如果说你想自学啊， 你说我自己在家看看知识点，我自己在家这个练练基础题，对你整个拔高来说考出成绩来说不起作用，因为它太难了，不是你简单的就能理解的了的啊。一些类型题，一些这个中档难一点题，你自己想把它做会， 这个消耗的时间是比较多的啊。你说说原来基础比较好孩子呢，也比较有定力，能够做进去也是可以的，但是更多的情况下，像这刚才说这，呃，现在只有六七十分，这种孩子你可能大多的，你需要去补补课，一定要去学，不要自己在家，呃，随便练点题或者不学，这样是最不可取的啊， 因为学校将来讲也会非常非常快，他不会很等你的这两个单元我们就要从九月一号一直学到大概十月中下旬将学，两个半月就把它学完了。 但是呢，我刚才说了，内容比较多，难度比较大，你自己学不一定学的明白，所以说尽量去补一补课。如果说想跟我们这个小班学的，我们呢是在 这个下午的时间哎，可以这个私信我跟我们小班去学一学。刚才说的把基础知识点讲完之后呢，呃，练练中档题，户外拓展拓展把，这个引擎员是员啊，以及各种类型题，能练的尽量多练一练之后。呃，我们再去， 哎，相对说把把高，那这样整体的你的基础巩固完了之后呢，就开学之后才能跟得上学校。这前提是只是讲一部分，那实际上这个二三十和语文拓展的内容远远不是说你几节课就能讲完的，即使我们假期二十节课都去讲二三十和语文，你内容就是完全拓展完也是讲不完的，因为内容非常非常多。 呃，像二三数，一个二三数就有各种各样类型的，那太多了对不对？呃，这个不逐一而说了，所以说呢，这块需要你消耗很大的精力和时间， 并且我经常说一句话，你孩子得扛得住难度，你扛住难度成绩还是要下降的。这是咱们这个亮胡子。呃，初三升初四的女生家长跟他聊的我的一些建议规划啊，对吧？这样的。 另外一个还有一个咱们大庆一中的这个男生，这个男生说他这在寒假的时候已经把这个二次函数学完了。语文呢说基本上差不多少了，因为他是自学的，比较这个快，基本上说暑假一放假呀，学段时间语文也学完了，学个一两周左右就能学完， 但是他说他没什么题可练的，他说呢，他现在就买了点钟点这种练习册做这种练习册说基本的呢，还能做下来，但是说稍微拓展一点的还是不行，因为第一遍学另外一个，他说啥呢？现在市面上的这些题啊，尤其是这二三数什么的，他都是支离破碎的，他说他去网上找了各种啥题，他说没有一个系统的， 都是比较支离破碎的。之后呢，这个东边一个题型，右边一个模块的，再一个什么模型之类的，他说孩子抓不住这个系统，抓不住关键的位置，问我说咱们大庆这个油田，大庆的北师大版比较特殊，说我们应该咋学呢？这个基本知识点不用管了，就是拔高的问题， 这个拔高分为两层，第一层你还是通过我们这个什么天海图为这里函数篇里面你要把二次函数相对应的这些啊，中档题你给他练差不多， 这里是中档的，中档题给练差不多，那你看一看，实际上我们这里这个本身的中档题就非常多，对不对？这个二次函数表达式啊，函数几何变换对吧？二次函数应用啊，最值问题，二次函数综合问题，这种中档题你去练一练就对，你本身 这个二三数的拓展就很强的，这个就是引导作用。另外一个圆我之前说了，这个圆的内容非常非常多，因为圆属于几何，咱们几何变化是比较多的，你看我们的圆的内容啊，这圆的内容， 这个本身知识点专题就八个专题，该讲圆的内容的，并且你看重难点型专题，这里是什么？垂直定律，圆周角与形有关的圆综合 扇，扇弧长及扇形面积最值问题，那这突然题型又有八个，你就你需要把啊，用 t 海突围把什么呢？这个二三式和圆这个中档题你刷一遍， 家长也提出疑问了，说老师听说你这个 t 海突围是什么呢？是整个初中的，那你看我们只用两本，那其中那个几何上和代数篇我们用不着啊，怎么办？是这样的， 二次函数和圆，它俩属于函数和几何，因为你用到函数和几何，也不仅你这两个单元之前你相似，没有学好，反比例函数没有学好，三角函数没学好，你都可以练一练，说你都可以做一做，练一练，不一定说非得练这两张啊，如果把圆学完了，都可以往前练一练，并且 咱们这个代数篇里面的一元二的方程里面也有好多好类型题，你也可以去练一练，扩展扩展。所以说啊，咱们作为初四，作为一轮复习的 基础资料也是可以的，你挑这个重点章节里面你不会的内容集中去复习，集中去这个练习都是可以的。所以说呢，用它去 学二次函数和圆的八高，以及呢九上九下的，包括八下的一些拓展题，一些八高题，每个单元里面你做一做，练一练，对你一轮复习都非常好处的，或者你一轮复习以它为主就可以了，这是这个说中档题。另外的第二层就是关于这里的函数模型，函数模型，函数压轴题， 这几盒的，还有横的函数压轴题，哎，这两个拔高的，将咱们这个中考的选填压轴，大题压轴，这里的函数的类型题，矮模型题都从咱们这里出现的， 哎，你像这个二次函数的，比如说里面很多了啊，就比如说这个三角形存在性的框问题，这里包括全等三角形、相同三角形、四边形存在的平行四边形、菱形、矩形、正方形，存在性的，与角有关的相等的角，哎，平行线勾到角，利用圆周角勾到角，二倍角，半角， 是不？各种各样问题都需要你去集中攻克的，他不是说我这个，呃，做的普通练习册我就能把这问题找到的，你在普通练习册里面，哎，根本找不到这个类型，所以说这个就是需要你去集中攻克二次函数的那些压轴的内容，这针对于二次函数压轴的 同样道理。还有这圆的压轴，刚才我说了圆的压轴，那你看这里面别的咱不说了，咱就说这个什么三个圆，点圆，线圆，隐形圆，这几个圆的这个压轴的问题是不是这块 点二线圆阿？是圆胡不归瓜豆园里的，是不是因为瓜豆园里面有圆形的？那这几个位置都需要你去什么？去集中去攻克一下，要不然你这个拔高成问题，将来你得一轮复习，因为我们一轮复习，记住 也是去拔高，后期都是难题，就亚洲题，难题在难为你，在质疑着你，在阻碍你考高分，不是前两天中等题，我们练一练，刷刷过去就可以了。最后实际上影响我考高分的就是这个什么这个几何模型，函数模型，它的影响你这两个影响你考高分 啊。另外一个按照之前的规划和计划说这个二零二六年中考啊，数学啊，大庆的应该是比较简单， 但是从目前考完在没有出分的情况下，学生的反馈来看，说大庆二零二六年的中考题相对说比较难，物理什么的也比较难，整个理科比较难，那这种情况下 你看着没有，那这个数学、数学和物理的难度是不是又成为了我们中考高分的关键？所以说大家呢，还是要把我们重心和核心往啥上放往数学的什么难题上来了？压轴题不好，你的成绩上不来，那高分得不着， 那你可能考你理想的学校，比如考实验，考 a 班，那可能就成就成为呃，一个幻影了，对不对？所以说难题要抓住，最后我们练的全是难题，你不就就这一句话，你记住，完事了，就是你难题什么时候练透，什么练会，你这个分数自然然就上去了。 就是练难题，练压轴题，练这种模型类型题，把这模型类型题不管是眼下的二三和圆的这个暑假要解决的，还是将来九月份十月份要解决的，其他的一些模型，一些几何模型还是模型都模型都解决掉了，你这个中考成绩就稳住了，你才能考出高分来。
05:53查看AI文稿AI文稿二零二六年陕西中考数学试卷分析，这套试卷难度适中，并非网传的很难，是最近三年陕西中考最简单的一套试卷。 这张试卷呢，没有偏题、怪题，整体难度呢，大幅下调，思维量和计算难度对比去年直接下了一个档次。但这套试卷也给咱们初一初二的孩子敲响了非常关键的备考警钟。 首先，我们先看选择部分，这张试卷的选择题没有任何难度，所有的题目都是平时高频训练的常规题型。今年试卷最大的一个改动，也是唯一的一个变化，就是考点互换。 往年呢，我们第八题考察的都是二次函数的基础性质。第二十五题大体考察二次函数的实际运用或几何组合， 而今年呢，刚好反过来。选择题第八题考察了二次函数的实际运用。而在二十五题考察了二次函数的细致。除了这一处的调整之外，整张试卷的题型、考点排布几乎没有变化，非常的常规。 再来看填空题的部分，前几道填空题全是常规题型，只要孩子基础扎实，基本都能稳稳拿分。大家最关注的是第十四题填空小押注，很多学生考完反馈说这个题做不出来，拿不到分，但说实话，这道题的难度真的很低。这道题的核心的解法特别固定， 就是做水，然后构造求得 c l c， 先求出 c l c 的 勾，再直接计算面积。那为什么很多孩子不会做，根本原因呢？不是题目难，而是没有进行系统性的亚洲专题的训练。 如果孩子从初一初二开始坚持做亚洲体练几何模型，这道题呢，就是速算题，我的很多学生都能够轻松应对，所以这道题十分的孩子，问题完全暴露在平时积累不足，亚洲体体系太少，练的太少，这呢也是很多初中生的一个通病。 接下来我们说解答题，整套解答题难度十足，重点给大家去讲一讲两道核心的题型。第一呢是二十四题圆，这道圆的大体题型和考法与二零二二年陕西中考的副题几乎是一模一样。 我在考前给学生做圆的专项训练时，专门讲过七八道同类型的题目，这里有一个固定的解析思路，就是题目中 在圆里面出现了平行加直角这个条件，那就要延伸半径，结合垂直力推出等线。这道题的解析逻辑特别清晰，唯一的小难点就是数字的计算，和我们平时训练的整数简单的分数不一样， 但思路呢，完全不变，只要孩子不粗心，稳得住，这道题满分应该没有问题。然后是大家关注的二十五题，二次函数的大题。今年这道题可以说是学霸的福利题。往年二十五题呢，基本上都是考察二次函数有几个组合或者是实际有问题。但今年呢，进行全新的改版，除考二次函数的细致， 这也是我一直反复给学生强调的一个重点。从初三开始学二次函数，我就给孩子们总结了二次函数必考的六大核心考点，分别为对式形问题、参数判断问题、图形变换问题、区间最值问题、函数值比大小问题以及度轴递区间问题。 今年二十五题完全贴合我的考点总结，第一步考察二次函数的解析画图，第二步考察参数判断，第三步考察图形变化。全是常规的必考题型，而且考前两周我还专门带着孩子们去刷了今年西安五大名校所有的二次函数选择亚洲题的真题， 全部覆盖了这些考点。所以说，我的学生拿到这道题，基本上就是提笔就写作题，非常顺手。最后呢，我们来讲整张试卷的天花板，二十六题，几何大亚洲， 今年的大压轴，第一问第二问都是常规题，基础扎实的孩子呢都能够拿分，重点是第三问难度相比去年大幅下降。这道题的核心题干前置条件和铁一珠八磨的小压轴几乎一模一样，那解题的核心就是利用相似三角形进行倒角，推出十字架模型， 进而呢，出现了一个直角，那就定直角，定边快速的可以得到度点 m 的 轨迹。最后呢，求出 b m 的 最值状态，剩下呢，就是算就完了。 整道题的思维逻辑很简单，没有复杂的几何推导和辅助线，但是有一个明显的特点就是计算量很大，而且数字给的也很大，很多孩子能够理清思路，看懂题型， 最后呢，却做不出来结果，算不对答案。这里一定要提醒所有的同学，大数又算以及是中考高考的必考趋势， 不光是初中数学，高中数学、物理考试，全部都是大数又算，复杂又算的考察，今年这套简单的试卷，恰恰拉开了分数差距。风水里就有两个能力， 第一呢是几何压轴的积累，第二呢是扎实的计算基本功。最后呢，给所有初一初二的家长和同学们做一个核心的总结和备考建议。初中数学想要在中考拿高分，绝对不能等到初三再突击，初一初二必须 落地系统性的压轴题训练几何模型、函数与几何组合。小亚洲一定要常态化的练习，不然简单的压轴题照样是分，到了初三根本补不过来。第二，一定要狠抓计算机本步，不要觉得会做题就够了，大数又算，复杂的公式又算，根式又算，必须天天练，日日练。 未来中考不再是刻意的为难思维，但是呢，会持续性的为难计算， 计算我算的对就是最大的优势。总的来说，二零二六年陕西中考数学难度有所降低，更加侧重于基础的积累，日常的训练以及计算能力。 这对于新一届的出租车来讲，只要稳扎稳打，坚持专项训练，航驶计算机本科中考数学呢，完全可以拿到高峰甚至满分。记得点赞关注哦！
96靖边数学张老师
02:04查看AI文稿AI文稿八升九的这个属相，是咱们初中家长最后一次关键的超车机会。数学规划做明白，整个初三秋季绝不掉队！ 年后三轮复习，分数稳稳的往上走，先点赞收藏慢慢看！先跟大家说清初三的节奏， 秋季学习就是把九年级全部的新课讲完，过完寒假直接就进入一轮二轮三轮的总复习， 根本没有多余的时间。不薄弱点，数学暑假的预习就是重中之重。初三数学不用整本书从头到尾的泛读，抓住三个中考核心的重难点就行。二次函数原相似三要素， 那么这三块定律、公式、判定条件呢？特别多，每一块都是单独的答题，二次函数和相似更是压轴题，直接决定孩子能不能冲高分。 先说二次函数基础一定要啃透，一般式、顶点式、焦点式怎么灵活的转换？ abc 分 别对应图像什么特点 函数结合方程不等式的综合题型，每一类题型单独要列出，再设相似三角形，各类的相似判定模型，线段比例、几何。综合题题型变化多，光看知识点没有用，必须配套刷题 园的切线园、周角园、心角园内，综合计算也是必考大题，集中时间去攻课自学，摸不清思路的找配套系统网课跟着学。如果拆解知识点，每主题型呢，要练到位，千万别走马观花。翻完整本教材， 把这三大板块深挖透，练，足量习题效果也好过于全部章节浅学一遍。暑假呢，把这三大板块吃透，秋季校内讲课孩子轻松能跟上，做题也不卡顿，后期复习不用回头补数学稳稳的稳住分数，不拖后腿。
15延安数学刘老师
06:38查看AI文稿AI文稿好，我们一起来看这道题目，二次函数与最值问题的结合。我们想一下，我们之前是不是说了，二次函数跟最值问题结合 在初中阶段，一般你求最值有哪几种方法啊？哪几种方法？哎，是不是三大种方法呀？哪三大种？我们再复习一遍。将军印马，三角形三边关系和二次函数法。 第一个是不是就是将军印马呀？哎，第二个呢？三角形的三边关系，第三个呢？二次函数法，也就是咱们的代数方法，求对值。 哎，那我们来看看这道题目呢，用的就是咱们的将军印马模型来求对值。好，我们来看一下啊，看一下，把它清掉。 我们来读题，说，已知抛物线 y 等于 x， 平方减二， x 减三，与 x 轴交于 a， b 两点与 y 轴交于点 c， d 是 抛物线的顶点。说在抛物线的对称轴上找一个点 p， 使得 p a 加 p， c 最小， 是不是？哎，是不是最小啊？哎，那么你看怎么来做这道题目呢？怎么来做这道题目呀？ 你看到首先看到啊，看到这个条件，看到这个条件，看到这个条件， 你就想到了什么呀，这不就是将军印嘛。我们先来看一看，将军印嘛，指的是什么呀？ 哎，将军马，给你一条直线 l， 让你找两个点 a 点和 b 点，找点 a 和点 b， 然后呢，有一个点 p， 让你找什么动点 p， 求得 a p 加 b p 的 和最小。 哎，这怎么求啊？这怎么求啊？哎，方法是不是很简单，也是固定的解题套路哦，做对称化，折为直， 画这位置，做点 a， 关于 l 的 对称点， a 撇点。然后呢，你看，根据对称性， a p 是 不是等于 a 撇 p 啊？所以 a 撇 p 加 b p 的 最小值不就是直接连接 a 撇 b 吗？ 哎，这是我们先复习了一下啊，最基础款的将军印码模型。将军印码模型， 好，那么你看这道题目这种设问方式是不是也是将军马问题的这种求解方式啊？哎，那这种解析的思路呢？是不是一定的呀？你做对称，然后化折为止，那么做谁的对称呢？注意看做谁的对称， 是不是你做点 a， 关于对称轴的对称是不是较为容易啊？哎，较为容易？为什么呀？我们看一下，你先把这个二函数的解析式， y 等于 x， 平方减二， x 减三，我们说了给它化成两根式，或者是交点式， x 减三， x 加一，然后呢，令 y 等于零的时候，你是不是解出了 x 等于三， x 等于负一，所以你是不是立刻写出了 a 点的坐标是负一零， b 点的坐标是不是三零啊？ 哎，那么你标出来这是不是你的已知点呀？好，那么对称轴呢？为什么要写出对称轴？因为人家让你在对称轴上确定一个点，屁，那么对称轴是多少呀？哎，负的二， a 分 之 b 是 不是就等于一啊？ 哎，等于一啊，那么我问你，做 a 点关于什么呀？对称轴也就是 x 等于一的对称点。 是谁啊？是不是就是点 b 呀？哎，是不是就是点 b 呀？哎，我们说了两个根，哎，也就是与 x 轴的两个交点，它一定是关于对称轴，什么呀？对称的 a 点，关于对称轴的对称点就是点 b。 好， 那你看，我现在要求 pa 加 pc 的 最小值，那你翻译翻译 pa 加 pc 等于什么呀？ pa 是 不是就等于 pb 啊？哎，所以你翻译翻译就是求 pb 加 pc 的 最小值， 哎，这怎么求啊？哎，化折为直啊，是不是很简单呀？ a 点的对称点是 b， 那 我只需要连接 b， c 就 ok 了，连接 b， c 就 ok 了。 好，连接 b， c 就 ok 了，连接 b， c， 然后呢，你是不是要求什么呀？求此时点 p 的 坐标，那点 p 的 坐标怎么求啊？哎，是不是也简单呀？哎，人家并没有让你求它的最小值哦， 求它的最小值，你也会求 p， b 加 p， c 的 最小值，是不是它就大于等于 bc 啊？哎，它的最小值就等于 bc 哦，你直接可以口算出来的。口算出来等于多少啊？口算出来是不等于三倍的根号二？哎，是不等于三倍的根号二？ 为啥三倍的根号二？ ab 这一段是三， c 的 坐标是负三零，那么 oc 原点啊， ocob 都等于三等腰直角三角形口算三倍的根号二， 哎，是不是三倍根号二？那么现在让你求 p 点的坐标，你怎么求啊？你就要连力就 ok 了。连力，那你就不用连力了啊， 你什么呀？写出，首先要写出直线 bc 啊。直线 bc 怎么写呀？也很简单啊， c 点的坐标你也有了， c 点是零负三，我们写出来，你把 b 点和 c 点带进去，设它的解析式是 y 等于 k， x 加 b 带入啊，带入之后就可以解得 y 等于 x 减三。然后呢，对称轴，注意啊， p 点在对称轴上，当 x 等于几啊？等于一时， y 等于几啊，带进去是不是等于负二啊？所以此时的屁点就是一负二。 好，你看这道题目是不是就轻松化解掉了呀？哎，我们说了啊，二次函数与最值结合的问题，我们已经讲了两类了。啊？讲了两类了， 这是什么呀？与将军一马模型的结合是不是很简单？你只要看出来他是将军一马化折为直就 ok 了，就 ok 了。好，来，这就是我们讲的这道题。
04:40查看AI文稿AI文稿大家好，我们看一下这道题，这是陕西网记的一道选择小压轴，我们看一下已知两点， a b， 它告诉我们横坐标、纵坐标 y 一 y 二均在函数啊，均在这个二次函数。抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， a 不 等于零上 点 cx 零外零是抛物线的顶点啊，在这块注意这个顶点，然后这块有什么呢？ y 一 大于 y 二大于等于 y 零大于等于 y 零， y 零，这个是顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标最小，那所以这个函数它就有什么特点呢？这个函数它就有最小值， 有最小值，有最小值的话说明什么呢？这个函数他开口向上 啊，在初中我们接触的二次函数，要么开口向上，要么开口向下，开口向下对应的是 a 小 于零，开口向上对应的是 a 大 于零，所以在这个函数当中， 二次项系数 a 它是大于零的， a 是 大于零的，我们再看他问什么呢？ x 零的取值范围 x 零的取值范围，那我们刚说了，这个函数它的图像大致是这样的啊，开口向上有最小值，有最小值。那么看一下 y 一 大一 y 二，这个怎么用呢？那 y 一， 我们看 y 一， 它等于什么呢？ y 一 等于我们把这个负带进去，那就是对应的是 y 一 啊，负带进去二十五 a， 然后减五 b 加 c， 这是 y 一 y 二把三带进去。九 a 加三 b 加 c， 那 y 一 在这块大于 y 二，那也就说二十五 a 减五， b 大 于， 把这个 c 也加上加 c， 它大于九 a 加三 b 加 c， c， 在 这一块直接我们可以约掉，那在这一块我们把这个换算一下， 然后我们把这个二十五 a 九 a a 挪过来，这个是个二十五减九十六 a， 然后把大于把这个五 b 挪过去，这个是个八 b 八 b， 那 这个把这个 a 挪过去的话，这个是 二 a 分 之 b 小 于零，小于一小于一啊，那二 n 分 之 b 是 什么呢？我们看稍微把它变形一下，负的二 a 分 之 b 是 不就大于负一了？ 大于负一了说明什么呢？这个它是什么？这个是二次函数，它的对称轴 啊，这个是负二 a 分 之 b 负二分。负二 a 分 之 b 对 应的是横坐标，是什么呢？就是 x 零，所以 x 零在这块就等于负二 a 分 之 b， 也就 x 零，它的取值范围就是什么呢？大于负一，所以这个题选 b 啊，选 b。 那我们看一下这道题他考了一个什么呢？告诉我们两点，通常在做函数题的时候，告诉我们点坐标，我们要有一个意识，把这个点带入什么呢？解析式 啊，把点代入解析式，然后给我们解析式，给我们 c 顶点坐标，有了顶点坐标，那结合它这个大小关系，我们就可以得知这个函数它是开口向上有最小值的，这个信息应该得到，这个是第二点， 有了这两点，我们把这个点带进去之后，就可以得到 y 一 y 二的关系， 通过它们之间的关系，我们就可以求出这什么呢？负的二 a 分 之 b， 所以 这个是第三步啊，负二 a 分 之 b， 有 了负二 a 分 之 b， 我 们知道它对应的就是 x 零，那么 x 零的取值范围 就有了。好了，这个题我们就说到这。
32数学苗老师
09:28查看AI文稿AI文稿第一问，第二问，基本上都没太大问题，但第三问，百分之九十同学都坎坷。我们先看题，第一个，如图二次函数， y 等于 a x 平方加 b x c， a 大 于抛线开口向上的与坐标轴交于 a、 b、 c 三点，且 o a 等于一， o b o c 等于三。求二函数的解析式。 我们根据题中给的已知条件，我们很容易得到 a 点坐标多少？ a 点坐标是不是负一零？抛线与 f 轴负半都有交点， b 点坐标那就是三零， 那 c 点坐标呢？ c 点坐标是不是零复三，因为与外轴的负半轴有交点，那求它函数的解析式， 求二函数解析式。我直接把坐标带进去就行。把这三点坐标带到这个原函数解析式里面，那第一个是不是就得到一个 a 减 b， 把 a 点坐标带进去，得到 a 减 b 加 c 等于零了，是这样吧。然后把 b 点坐标带进去，是不是得到九 a 加三， b 加 c 等于零了？ 然后还有把 c 点坐标带进去，是不是就得到 c 等于负三了？ c 等于负三，这样一来的话，我们直接第一个式子就变成什么样了？把负三带进去，第一个式子就变成了拿红的，拿红的写好看点。那是不是第一个式子就变成 a 减 b 减三等于零了？那第二个式子是不是九 a 加三， b 减三等于零了？ 一是，二是，一是乘以三，一是乘以三是得到了一个三， a 减三， b 减九等于零，是这样的吧。 那么这两个式子夹着三十二和三十一相加，是不是得到了一个十二？ a 减十二等于零，那因此 a 等于一，我们解的结果呢？是 a 等于一， a 等于一的时候， b 等于多少呢？那么带着这个式子就可以了， a 等于一， a 等于 c 等于负三，那因此 b 等于负二呢？ b 等于负二， c 等于负三。那么这个函数的解析式是不是很容易就求出来了？我们把这可以擦掉，占用空间， 擦掉以后，我们现在看一下它的函数解析式是多少呢？是不是 y 应该等于 a 等于一，那就是 x 平方， b 等于多少， b 等于负二减二， x， c 等于负三减三，这就是我们求的二次函数的解析式。 y 等于 x， 平方减二， x 减三。好了，我们再看出第二问。第二问， 写出顶点坐标和对准轴方程。顶点坐标的时候，我们通常运用的方式是什么呢？配方法，那假如说这是 y 等于 x， 平方减二， x 减三，我们如何配方？ x 平方减二， x 倒写，然后填的长竖向就是一字向 一次项系数一半的平方，那不就是加上负一的平方，加了它，我们是不是还要减一个它，那是不是还要减去负一的平方？减一再减三、减三是原来的，因此我们前面这个式子，前面这个式子不就是一个平方差公式，完全平方差公式了吗？就得到 x 减一，括弧的平方减四， 这也就是写出顶点坐标，那很容易，他的顶点坐标是多少呢？写出顶点坐标。顶点坐标，那我这几个字都不写了，那不就是 x 等于一，一逗号负四，那就是顶点坐标了。顶点坐标出来以后，然后和对准轴的方程。对准轴方程我们刚才都知道 x 等于一吧，因此 x 等于就是对准轴方程。这道题看一问和二问，好多同学都没有问题，然后我们最主要的问题是，说的什么呢？第三问 好，我们来看第三个怎么来解。他说，点 m n 在 外等于 a， x 平方加 b， x 加 c 的 图像上， n 在 点 m 的 右边，且 m n 平行， x 以 m n 为直径，与且与 x 轴相切的圆的半径。我们先把刚才那个解析式记下来啊，它的解析式是 y 等于 x 平方减二， x 减三的，对吧？ 我们知道 m n 是 在这个抛物线上的，但是呢， n 又是在 m 的 右边，且 m n 平行 x 轴 m n 是 不是这样平行的？那就是 m n 平行 x 轴 m n 有 可能在上半轴在 x 轴上半的，也有可能在 x 轴下半。以 m n 为直径，以 m n 为直径，且以 m n 为直径。我讲我随便画出来，假设 m n 在 这 是吧，加上 m 在 这，可以吧，这是 m， 这是 n 以 m 为直径切与 x 相切相切的话，那这样一来，那就是相当于这是半径一样，这圆的半径，这是圆心吧，那说明 圆心在哪个位置？这是我们考第三道题的最核心的一个点。为什么呢？因为我们知道抛线呢？二还是抛线，它是一个轴对称头型，轴对称头，那圆也是轴对称头型，因此圆心一定是在对称轴 x 等一上，是不是这样的？那这样一来，我们就可以确定圆心的坐标。圆心的坐标既然是，它一定是 在对数轴 x 等于一上。我刚才讲圆是个轴对称图形，那么二函数抛物线也是个轴对称图形。因此我们知道圆心在对称轴 x 等于上，那圆心的坐标一定是一， 那么它的半径是多少？因为他光说 m 轴啊，他说 m n 是 平行于 x 轴， m n 平行于 x 轴，他没有说在上下，那 m n 有 可能在上半轴，也有可能在下半轴，在 x 轴的下半轴。这样一来的话，我们就知道，当这个圆心在 x 轴上半轴的时候，那么圆心的坐标一定是 e 和 r， 通过这可以看，那有可能还有一种情况， m o 在 这吧。假如这是 m 撇， n 撇是吧？圆形在这的话， 圆形在 x 的 下半周，那么圆形的坐标一定是圆 o， 是 不是它 x 的 位置不变，也就是对称轴，对称轴，它始终是通过这个图像看它在外轴的右侧，对吧？这样一来，那因此它的横坐标 还是移不变，只是它的纵坐标有变化，因为 m n 这个时候呢，跑到 a 轴下边来了，所以它的半径一定是个负二，这个搞清楚。而且还有说这个 n n 呢，它强调点在 m 的 右侧，那因此我们也能求出 n 的 坐标。 n 的 坐标怎么来求呢？我们都知道 原先在 x 轴的上半轴，原先在 x 轴的上半轴，那么它呢？我们知道这段原先在这是一，那到这来，既然是圆，与这个什么呢？ x 轴会相切，是吧？相切的时候，那么 n 点的坐标是多少？ n 点坐标一定是横坐标，是一加 r， 你 看嘛，原先在这，在这个轴 x 等于一上，那在这的话，那就是刚好是一个圆，半径就是一加，那它的重坐标在 x 轴的上方的时候， n 的 重坐标是 r， 它是个正值。 如果说当 n 跑到下面来了，跑到 x 轴的下面来了，这个时候 n 的 坐标，它的横坐标肯定是不变的，还是个一加 r， 然后它的重坐标是多少？ 重坐标是一个负 r， 因为它在外轴的下半轴，也就哦，同时呢，那就是说这个 m n 呢是 x 轴的下半轴，所以呢， n 的 重坐标是负 r， 这个时候我们就要把这两点 n 的 坐标代入函数解析，是 y 等于 x 平方减二， x 减三，里面计算就可以了，我们来试一下啊，看怎么来算啊。 来算的时候，首先我们把第一个这个不要带错了，带错了一会就算不出来了，那就是 x 平方，那是不是一加 r 的 平方减去二倍的一加 r 减三，是不是等于 r 呢？是这样的吧，这个时候左边呢，我们给他展开一的平方加二 r， 再加上 r 平方减二减二， r 减三， r 移过来也行，减 r 等于零，是，是这样的吧， 我们来看这一个二 r， 这二 r 消了，是吧？长竖向看，所以结果得到 r 行方减 r 减四等于零，这个能看清吗？能看清了，我们可以把上面这一行消掉，节省空间。擦掉，节省空间。 好，既然知道是 r 平方减 r 减四等于零，我们这个时候要求出 r， 也就是说求以 m o 为直径切与 m 所相切的圆半径，我们就求出来，我们刚设圆半径为 r， 那 因此 r 我 们怎么来求呢？ r 怎么来求？我们求根公式可以吧，那 r 就 应该等于正负，因为 r 半圆半径不考虑负值，我们就等于二 a 分 之，负 b 加减，根号下 b 平方减四 a c， 对 吧？ 二 a 二次项系数为一，是不是二二分之二负 b 负 b 这样式，它的相反数，那就是负一，那就正一加上。因为我说了 r 它是一个正值，因此呢，我们不考虑负值，所以加减减就掉了。加减根号下 b 平方一一减去四 a c， 这是负四，那就是加上四 a c 四四十六吧。因为 a 等于一的， 这里来 r 是 不是应该等于多少？这就擦掉了啊， r 就 等于二分之一，加根号十七好了。那么与 x 相切圆半径 r 等于二分之一，加根号十七。但是刚才我们说了 n 点有两个坐标，那我们刚才带的是正 r， 那 还有一种是负 r， 我 们刚才带的是正 r 还是负 r， 我 都忘了。 所以说，如果我们刚带的是正 r 啊，好，下来，同底是负 r 的 时候，我们也可以。呃，能推算一下，他这应该估计是一个减号，看他在哪。好，我们带着试一遍啊，试一遍没有关系，带一下，那就是说还是带到这个解析式，那还是前面还是不变。一加 r 的 平方 减去二倍的一加 r， 只是右边有变化，只是 r 现在等于负 r 了，是吧？那左边有变化，只是 r 现在等于负 r 了，是吧？刚才是不是呃，得到的是， 刚才得到的结果是 x 平方减二减四等于零。看嘛，这呢， r 是 个负 r， 移过来是正的，那因此把它化减了，变成一个什么呢？ x 平方加 r 减四等于零， 是不是这样的？而这个时候，如果我们求出 r r 这的话，负 b， 那 这一定是多少负一，所以说它的第二个值， r 应该是等于多少？ r 等于二分之负一加十，根号下十七。 因此我们说，求以 m n 为直径，且与 f 相切的圆的半径有两个，一个是 r 等于二分之一加根号十七，第二个是 r 等于二分之负， 一加根号十七。看着这个题，实际上我们考虑的是第三个是看着很难，但是如果我们把这个草图我们大概这样一分析， 也就是求圆的半径的时候，也就是圆心的坐标和这个 n 在 m 的 右侧， n 的 坐标。只要你把这两个隐藏条件找出来，那么做第三问是没有任何问题，也不会丢分。当然有的同学可能说求半径的时候，可能在计算当中，我们不要粗心就 ok 了。好，这道题呢，实际上它就是第三问，看着很复杂，但是它的隐藏条件找对了，那我们就是 两分钟把答案就写出来了。这道题下去整理一下，把题读懂，最主要把第三问的坐标是第三问解析的关键。
34初中数学每日干货
02:29查看AI文稿AI文稿距离中考又近了一步，你现在紧张吗？听张老师的，千万别紧张，现在正是我们吹响反攻号角的最佳时机，人的思维都是在越到最后越活跃，效率越高，不信的话，你就想想你在考试的最后几分钟打了多少题。 那么今天张老师带你们攻克一下我们陕西中考数学中的选择题第八题，也就是二次函数的性质。 要拿下这三分，你必须先搞定以下两个方面。首先，你得掌握二次函数的图像和其基本性质，比如说开口方向、对称轴与 x 的 交点，与 y 的 交点、顶点坐标，甚至包含它的增减性，这些基本性质特点你都必须掌握。 其次，你要能够根据题目描述画出二次函数的大致图像。接下来我们就把最常见的两种考法进行分析，还有总结。第一种就是四个选项，全部是关于系数 abc 的 式子，有的让你判断他的正负大小，有的让你判断这个等式是否成立。 对于这种考法，张老师可以帮大家总结一下，如果这个选项是关于 a、 b 的， 那么它大概率和对称轴有关，你可以根据对称轴的正负去进行判断。 如果是关于 a、 c 的， 你可以尝试根据开口方向还有和歪着的焦点的正负去进行判断。那如果选项是关于 a、 b、 c 的 呢？这种情况一般要么和 d、 c 有 关，而且提示也是非常明显的，里面会包含 b 平方或者四 a、 c 等字眼。 你可以结合函数和 x 的 焦点的数量去进行判断，要么就是你需要将一个已知点代入到解析式中，你就会得到一个关于 a、 b、 c 的 等量关系，然后再结合这个去进行判断。 第二种考法就是二次函数中的最值问题，这个最值不单是指它的顶点最值，这种考法往往比第一种考法难度更大，一般都是给你一个带字母的不确定的范围，对应着几个带字母的不确定的最值，然后让你判断或者求减相关问题。 这种问题的产生原因，它是因为我们的二次函数它是有增有减的，这就造成了在不同的范围内，函数的最值是一直变化的。 关于这块呢，张老师帮大家进行了总结，放在了屏幕下方，供大家学习参考。好了，今天就分享到这里，大家抓紧回去学习研究。
00:52查看AI文稿AI文稿呃，这个视频我先说一下第二十五题，二次函数。二次函数是一个常规解法，它告诉了你五个点的坐标。首先我们从坐标分析求出它的对称轴，又找到了它的顶点坐标，所以设一个顶点式，我们直接把 y 等于 a， b 的 x 减 h 的 方加 k， 把点顶点往里面一带，这个解析式就形成了。所以第一步就完成。第二步的时候，我们是求抛物线与 x 轴交点 a b 之间的距离，所以当 y 等于零的时候，求出这个方程的解，两个解之间的距离，以求利用距离公式。 呃，绝对值 x 一 减 x 二就 ok。 呃，二次函数就完成了。学习有方法，考试有范围，中考，考的我们都练习过了，所以只要你认真学，完全可以拿高分。
31姚鑫老师（宝鸡）
03:05查看AI文稿AI文稿各位未来九年级的家长朋友们，咱们今天来聊一聊二零二六年北师大的九年级上册数学新教材的一个变化情况。 那首先得说呢，这个新教材其实变化不小，如果现在实体书店还买不到的话，老师这里有电子版。如果你想让孩子暑假稍微预习一下，或者是咱们提前来了解下学习内容的话，可以给老师评论区留个言，老师给大家安排上啊。那咱们先来看一看这个目录，这个新版和旧版它都是六章，章节数量没什么变化，最大的变化是在这个第五章的二次函数这里。 那他原来的旧版教材呢？是九年级下学期学的，现在提到了九年级上册，那二次函数可里是我们初中函数中最难的，这下那九年级上册的压力可能会稍微大一点啊。再说一说这个重难点，就是第一张，这个特殊的平行四边形这里， 那几何综合型其实挺强的，难度不小。还有第三张，这个图形的相似也是几何的一个难点啊。刚刚我们提到的第五张的新增加这个二次函数啊，是这三张是我们这一册书中比较难一点的。 那第四张、第六张其实还挺简单的，大家心里有个数就行啊。接下来我们来具体看一下这个章节的变化。第一张特殊的平行四边形的知识点没什么变化，就是把几个概念从旧版的个分散情况啊，咱们单独给他拿出来了，放到第一小节这里来 学习了，相当于把概念单独整成了一小节。然后第二张这个一元二次方程整体没有特别大的变化，就是目录呢，他做了一下合并，就 就像求解这个一元二次方程啊，旧版的目录是分开写，那这个新版的是给它整合了的啊，新版是给它整合了的，但学的知识点还是那几种解方程的方法，没什么太大变化。第三张呢，知识点没有特别大的变化，但顺序有调整，比如说相似的多边形里面，把旧版的单独一节的平行线分线断成比例放进来了， 知识点本身它是一样的。那第四章，呃，目录没太大变化，知识点也没太大变化。第五章二次函数，就是我们说的把旧版的九下调整到了九上这一章节。那其实咱们都清楚，中考中二次函数的压轴题肯定是必考的呢， 那不管是代数综合类的，还是函数新定义类的，都得重视起来了啊，这个第五章一定要重视起来了，现在把这么关键的内容提前放到九上，就能给九下减轻了不小的一个负担，让孩子在九上就把中考里的几何压轴啊，还有第一章的内容，还有二次函数的压轴都搞明白，这样一轮复习的时候就可能会稍微轻松一点。 再说一些细节点，就比如说这个一元二次方程跟与系数的一个关系。好，他之前呢，就是我们大家常说这个伟大定律嘛，以前这是选学内容，现在啊，把选学内容给删掉了，他会成为一个重要的考点，这也给老师和学生们提了个醒啊，而且这个知识点对高中学习也非常有帮助， 高中其他函数的学习都和伟大定律有关系。那最后给大家画个重点，就是我们新版教材的九上的第一章，还有第二章、第三章， 还有后面的第五张，都是比较重要的一个章节，尤其是第二张，学生只要把教材上的所有题型都弄透了啊，这一张问题肯定是不太大的。 那我们就总结一下，就是我们旧版的九上的反比例函数和新版九上的二次函数互相掉了一个位置，其他的不管是目录、标题顺序其实变化呃，没咋变，知识点整体还是不变的啊。所以九年级是我们初中最难的一个阶段，大家可以让孩子在暑假把第一章、第三章和第五章学好， 今年暑假我们也会带着孩子一起来学习我们九上的一个课程，有需要的家长可以关注一下。
