沪科版数学七下的尺规作图有哪些？
大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
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02:10查看AI文稿AI文稿中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。
1.2万腾飞说数学
10:02查看AI文稿AI文稿好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！
502数理黑板
07:43查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家好，我们今天来给大家操作一下这个尺规作图该怎么来详细的去操作啊，因为大家每次看视频的时候没有实际的圆规，去做一下的话，就是总是感觉这个模棱两可的是不是？那常见的有哪些类型啊？第一种呢，就是垂直平分线，当然还有角平分线，这两个是最基础的， 那除此以外，我们会些拓展啊，比如说，哎，我们做一个角等于一直角呀，哎，那么它的相关拓展呢，就是有可能还要做平行线呀，是不是？哎，然后这块做垂垂直平分线的拓展呢？就是做垂线，它有两大类，是不是？以及将军一马的吃亏作图该怎么做？其实我们还有类啊，这个过河拆桥 都是要做的，是不是？好，我们挨个来看一下，去给大家模拟一下啊，当然是拿出圆规是不是好，第一种呢？先来复习一下，比较简单，是不是？我们取一个差不多的半径，但是不要太小，也不要太大啊，我们分别扎在 a 和 b 所在的位置，是不是？哎，取好这个半径之后呢，哎，咱们来画这个弧啊，画这个弧 对不对？好，画这个弧的时候呢，不要整个圆都画出来，只要在这个上下呢，等会呢确认大概焦点在什么位置就可以了， 是不是啊？然后这个半径不要动，然后扎在 a 的 位置呢，我们去画这个这个弧，是不是？哎，然后这边呢也会有个焦点，是不是？好，这个画完之后呢，有两个焦点，咱们把这个尺子呢，哎，这两个焦点处画出来这条线，这个就是咱们所谓的这个垂直平面线就画出来了， 这是第一个，那么第二个做角平分线呢？哎，咱们圆规呢，哎，把它扎在这个位置对不对？取稍微差不多的半径是不是？哎，我们取一个画一个弧，哎，画一个弧，哎，画个弧之后呢，会有创造出两个新的交点，所以呢，这时候半径呢，你可以随便选一个都行啊，比如说再扎在这两个点处，你看我们在这再画一个弧， 是不是这个，这时候半截就不要动了啊？哎，然后呢，这个点呢，再扎在这个位置，看到了，哎，我们再去画这个弧，是不是就会有一个新的交点，然后呢，我们这个线就可以被画出来了啊？这个就是角平分线， 懂了吧？这两个是基础啊。好，那么接下来有一种题呢，比如说这块呢，有个 r 发的角，我们让让你过，再做一个跟他一样的角，那怎么办呢？第一步，我们首先先选好一个射线，因为画角的话是两条射线嘛，对不对？所以先随机的选一条线 啊，那么端点，比如定在这，哎，我们的做法就是呢，哎，这块不是有个角吗？好，拿出你的圆规在这呢，随机的画一条弧， 画一条弧之后呢，哎，我们在这不要动它，我们在这呢也画一个跟它一样的弧，知道吗？也画一个一样的弧啊，然后拿出你的圆规去量一下这段，哎，大概你看去动一下它，是不是量一下这段长多长，是不是？哎，然后你扎在这看吧，也是这样的，一个相同的长度，这时候是不是就形成了一个焦点？ 看到，哎，就形成一个焦点，考试的时候不太清楚，你稍微瞄一下就可以了，那么这个焦点被创造出来之后呢？这么一连，这就画的角就跟他一样，懂了吧？ 好，那么接下来跟他相关的我们会有种提醒，比如有条线让你过这个点去画他的这个平行线，那么有画平行线当然有画垂线的，是不是？他的做法就是你在这上面的随机找一个点，你随机拉一条线， 是不是会形成一个角，那么就跟刚的一样的，你过这个点，你想想看，如果你画出来是平行线的话，你这个角等会是不是跟这个角相等，是不是？哎，所以跟刚的操作呢？一模一样，哎，再来一遍就可以了，你看圆规扎在这，是不是？哎？随机的去画一个弧，是不是随机的画一个弧， 哎，画一个弧是不是？然后呢？半径不要动他，然后呢我们再去画一个弧，就相当于画一个角等于一只角了，是不是？哎，然后这个时候因为你刚不是画了一个弧吗？量一下这段，看他，量一下这段长，是不是？然后呢？哎，量一下这段长之后呢？圆规把它扎在这个位置，因为这是个定点吗？是不是然后去画你这个 弧，跟刚才做法一模一样，懂吗？一模一样啊，哎，然后呢就创造出这个点了，所以我们把它连起来就可以了。 看到，哎，这个平行线就画出来了，嗯，刚拌了一下啊，看到，其实本质上他是不是就在于，其实就是做一个角等于一只角就可以了， 那么紧接着垂线该怎么做呢？如果这个点他在这个线上，一样的圆规他有扎的地方，是不是？哎，所以取个半径，随机取一个半径，是不是扎在这个点处，是不是？哎？然后画一个弧， 哎。这边画一个，这边是不是也会有一个焦点？两个焦点创造出两个焦点之后呢？继续这两个焦点画在上面，画下面都可以啊，比如说我们画在上面取一个差不多的半径，看到，哎，在上面画一个弧，这个半径不要动它，再扎在这个位置，看到，再扎到这， 哎，然后我们是不是会有一个焦点，这个焦点跟这个点的进行连接，那这个就是垂线了，听懂了吗？所以他接下来方法一模一样，我们还是扎在这个位置，看到了，哎，然后你可以创造，哎，我们随机的画一个弧， 是吧？哎，这个有点跑啊，看他是不是，哎。也就是说这块呢，两个焦点是不被创造出来了，接下来呢？再以这两个焦点是不是被创造出来了？接下来呢？再以这两个焦点是不是被创造出来了？接下来呢？再以这画在下面 看，随便选，对吧？哎，在这，然后你再扎在这个位置，还是这个板筋不要动他，是不是？哎？就会有个焦点，然后我们这个垂线呢？就画出来这么一连，这块一定垂直， 是不是？那将军马其实跟他将军马的尺规作图差不多，知道吧？他是差不多的，怎么做呢？你想我如果真的去做，肯定是对称点，但是这个对称点怎么呈现？你想一下做对称点是不是首先得做垂直，然后延长，对不对？那你做垂线吗？对吧？ 好，我们以这个点跟这个方法一模一样，是不是啊？然后呢？哎，我们把这个线稍微画长一点啊，把这个线稍微画长一点，是不是？哎？然后随机的取一个半径，对吧？哎，但这个半径要适可啊，你不能说连焦点都没有，那不行，是不是？哎，咱们这边那创造出两个焦点之后，继续是不是画半径？ 哎？画，然后半斤不要动，扎在这画是不是？好，那这样子，这个垂线是不是先给它呈现出来？垂线呈现完了之后，你什么叫做对称点呢？你这两段是不得相等，所以拿出你的圆规扎一下这段长有多长，是不是？哎？去量一下这段长是不是去截取，然后拿出圆规去截， 哎，一结不就代表这上面这段跟下面这段相等，所以你的对称点不就出现了吗？是不是那对称点都有了？你这么一连，你这道题不就出来了吗？看到了，是不是？哎？焦点不就是我们要的这个 p 的 位置，所以就是这不就出来了吗？ 但是我们这个学霸，我们也讲了一个东西，还有过河拆桥，他什么叫过河拆桥呢？你看啊，比如说，哎，这块有条河，这里有个 a， 这里有个 b， 是不是？哎，那么这个人呢？要先走到这，然后再过来，然后再这样走，问整总的路程他应该怎么走？是最小的 那一样的方法，这是平移的一个思路，对不对？我们讲过这个问题了啊，这原理就不再跟大家解释，就是往下平移几个单位，是不是这么个思路，是不是？或者这个点往上平移，对不对？哎，因为你想，哎这样子走，再过来，再这样走， 相当于本质上我在这做一个平行四边形，我直接这样走，是不就是最小的时候了，所以它本质就有一个平移的一个过程了，那你想假如我们选择 b 点，那平移多长呢？平移这段长，你要平移四边形，这两段不是一样吗？那所以你得知道我过点 b 是 不是得先做垂线？ 那我这个就不再详细尺规做的，我指点一下思路做垂线，因为刚讲过了，是不是你自己去画刚才模拟的过程，画稍微长一点，是不是？哎？这个垂线把它画出来画一下，让这段是不是也等于它？ 我们把 b 撇是不就找到了？那 b 撇有了之后，相当于我平移好了，连接这个相应的 a b 撇，所以上面这个点是不是就先找到了？是不是然后过这个点再往下面去做垂直？ 听懂了啊，再往下面去做垂直就可以了，或者有同学说我做这个平移线行不行？可以啊，对不对？哎，做垂直，那下面这个 q 是 不就找到了？做垂直不用多说了吧，因为跟刚刚的方法是一致，我这个就指点思路了， 懂了吧？他整个走的路程就是这样子走，再走到这就行了。这个东西呢叫过河拆桥，问题就是我过河，但是我不能先看这个桥，我桥要拆掉去看待这个问题，懂了吧？一共就这么多种这个坐腿的思路啊，来，大家再整理一下，好吧。
1272扬州梁欢数学
04:22查看AI文稿AI文稿同学们好，利用这个视频我给大家讲解一下青年下册涉及到的一些取规作图的方法，希望大家看了这个视频之后，在期中考试期间取规作图能够不失分。好，咱们先看第一个角平分线。 首先题目里面会给一个角，那咱们第一步该干嘛呢？第一步，先把这个针尖放在这个角的这个位置，然后呢以任意的这个半径来画弧，这个弧呢，不要距离这个圆形位置太近，也不要太远。好， 他会和这个角的两个边有两个交点。好，这就来到了第二步。第二步该怎么办呢？选中其中的一个交点， 同样的再选一个不要太长也不要太短的这样的一个半径画弧，同样的半径，在这个地方还是画一个弧，这个时候呢，你会发现这两个弧会有一个交点，那这个交点和这个角这个位置所构成的这个连线 就是我们要画的这个角平分线。好，这是我们画的第一个第二个垂线，垂线。这里面的话，我给大家总结了三种垂线，第一个是告诉了明确的线段 ab， 我们做这个 ab 这条线段的垂直平分线好。第二个是什么呢？告诉一条直线 l， 同时这条 l 上面有一个 o 点，要过 o 点来做一条垂线垂直于 l。 第三个这个 o 点呢？在外面了， 还是做一条垂线垂直于 l 好。 怎么画呢？首先第一个，如果是给的是线段，我们分别以 a 和 b 作为圆心，长度要大于 ab 长度的一半画弧， 上面画一个弧，下面画一个弧。同样的如法炮制，以 b 为圆心画弧，那么这四个弧所交的这两个交点连线就是我们要画的这个垂直平分线， 好，这是第一个。第二个，如果说这个 o 点是在这个 l 上面的话，怎么办呢？以这个 o 点作为圆心半径呢？不要太长，也不要太短，交这条直线 l 又有两个交点好，确定这两个交点之后， 就找到了我们要画的 a 和 b， 那 这个 a 和 b 其实可以类似于我们刚才画的第一幅图里面的 a 和 b， 那 下面该怎么办呢？和第一个图画法一样，分别 a 和 b 为圆心画弧， 这里面的话你可以画两个焦点，可以画一个焦点，为什么可以画一个呢？因为这里面已经给了一个 o 点，两点确定一条直线，所以说你只只需要画一个焦点就 ok 了。当然了，我可以画两个 好连接，这个时候我们就画到了过 o 点，切垂直于 l， 好。 第三个，如果这个 o 点是在这个直线外面怎么办呢？一样的 o 为圆心，画两个弧好，这个弧交直线 l， 这个时候呢，又确定了我们要画的这个 a 和笔画法还是一样的， 以 b 圆心画弧，以 a 圆心画弧，这个时候你可以画两个弧，也可以画一个弧， 这个焦点和这个 o 点所连接的这条线就是我们要画的这个垂线 啊。刚才我说了，因为已经告诉你个 o 点了，第二幅图和第三幅图都已经告诉一个 o 点了，所以说这个时候你其实只要画两个弧的交点就 ok。 当然了，你要非要画四个弧所交的两个点也一样可以。 跑到这里面的话，会有同学问，为什么要这样画呢？其实咱们目前来说还没学到这部分呢，这部分内容是属于咱们初二的全等三角形相关的内容原理咱们学完之后就能够知道是为什么了，所以说限阶段的话，咱们只要记住究竟应该怎么来画就可以。
792大黄老师初中理科
01:16查看AI文稿AI文稿无刻度直尺作图可是近几年数学里的重难点，很多同学都在这上面犯了难。别担心，今天我用六十秒把用无刻度直尺做垂线的方法掰开了，揉碎了， 给大家讲得明明白白。第一步，找到线段 a、 b 所在的直角三角形，数出竖着直角边的长度，将这个长度平放在这条边对面顶点 a 所在的水平线上，得到左侧的红点 d。 第二步，数出另一条直角边的长度， 将这个长度放在 d 点的正上方，得到点 e， 连接 a t 两点，构造这两个粉色三角形。因为边角边全等，对应角相等，所以线段 a e 就 垂直 ab 了。现在解决了过点 a 做 ab 垂线的问题。过途中任意点 m 做垂线呢？ 其实就是将 a e 平移到 m 处，让 e 点对应 m， 找 a 的 对应点 a 相对于一点向下平移了 b 格 m 也是同样操作， a 相对于一点向右平移了 a 格 m 也是同样操作。得到红点 n 连接 m n， m n 平行于 a， e 自然也就垂直于 a b 了。擦出多余的丝路线条，你再看看只用了几条辅助线。
63江旭教数学
07:53查看AI文稿AI文稿好的，我们来看一下旗下最基础的尺规作图之一，作一线段，等于已知线段，已知如图，线段 a b 作线段， a 撇 b 撇，使 a 撇 b 撇等于 a b。 这个时候呢，这个时候呢，我们可以先用直尺作一射线， a 撇 p。 然后再拿出圆规，以 a 为圆心， 截取 ab 的 长度，再以 a 撇为圆心，以 ab 的 长为半径，做一个小圆弧，这个时候与 a 撇 b 交于一点，就是 b 撇， 这个时候，我们就做出了 a 撇 b， 使它等于 ab。 已知如图，角 aob 做角 a 撇， o 撇 b 撇，使角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 aob。 首先我们要知道，两个角的相等并不是它们射线的长度，而是角度的大小。那么我们做这道题的时候，可以先做一条射线， a 撇， o 撇、 b 撇。 然后呢，我们再拿出圆规，以 o 为圆心，任意长度为半径，做一条弧， 得到的这个点为 m 点，这个点为 n 点。然后我们再拿出圆规，以相同的 o 撇为圆心， 相同的长度就是 m o n o m 的 长度做一条弧， 做完这条弧之后，再用圆规截取，截取出 m n 的 长度， 在这里以 m 为圆心，嗯， m n 为半径做一条弧，这个点就是 n， 这个点就是 m。 连接 o 撇， 连接 o 撇 m 就 可以得到射线 o a。 那 么我们就做出了 a 撇 o 撇， b 撇等于角 a o b。 做完相等角之后，我们再来做平分线，已知角 aob， 求角 aob 的 平分线 o p。 我 们这个时候呢，拿出圆规， 以 o 为圆心，任意长度为半径画弧。这时相交于 o， a 和 o， b 于 m 和 n。 这个时候呢，再以 m 为圆心，任意长度为半径，做一个小弧， 再以 n 为圆心相等的长度做一个弧。 这个时候呢，我们就可以得到一点 p 连接 o p 就是 这个角 a o b 的 平分线。 我们再来看一下这种题型做已知线段的垂直平分线。首先要懂得垂直平分线的概念，就是一就是过这个线段 的垂直线，二这个垂直线把 ab 分 为两个完全相，长度完全相等的部分。好，我们来看一下这道题目 还要做 ab 的 垂直平分线，那么我们可以先以 b 为圆，以 b 为圆心 任意半径，注意这里的半径千万不能小于小于这个 ab 的 一半，要稍微大一点，在这里差不多。然后下面也来画一条， 再以 a 为圆心与刚相等的半径，则再画一条小圆弧，下面也是，这时就会出现两个点连接两个点， 这个就是 m n， 就 做出了 ab 的 垂直平分线， m n 已知直线 l， 直线 y 一 点 p 做过点 p 做做 l 的 垂线。首先我们以 p 为圆心，任意长度 为半径，做两个圆。还有这里注意，这里的半径一定要稍微大一点，确保他能在与 l 有 两个相交点，这样我们才能做出来接下来的这过 p 的 l 的 垂线。 我们设这两个与 l 相交的点为 m 和 n 的 点为圆心， 随机的半长度为半径，做做两个圆弧。注意这两个圆弧的半径要是相等的。然后呢，又可以得到一点 q， 设它为 q， 这时连接 p q， 就 做出了过点 p l 的 垂线。 我们再来看下这道题啊，这道题目跟刚不同的地方在于，这个点 p 位于直线 l 内，我们这个时候就可以直接拿出圆规，以 p 为圆心，任意 任意本长度为半径，做两个小圆弧交于 l， 这时就可以出出出现两个点 m n， 再以这两个点 m 和 n 为圆心，任任意长度为半径，做两个小圆弧交于一点，设这个点为 q， 连接 p q， 我 们就可以得到过 p l 的 垂线， 记得关注再走哦！
11陈老师数学课堂
02:47查看AI文稿AI文稿初中的尺规作图题看起来是在考五种基本尺规作图，它其实是对于初中所有的图形性质 判定的极致考验。判定包括相似判定、全等判定。性质包包括矩形判定，菱形判定、正方形判定， 呃，等腰直角三角形判定，这些全部都包括。然后性质包括角平分线性质，垂直平分线性质，矩形、菱形、正方形等腰直角三角形等边三角形， 这些相似的两个三角形，全等两个三角形的性质的极致考验包括四十五度角直角三角形的性质的极致考验，包括四十五度角一比二比根号三， 三十度角的一比二比刚好三的极致考验。你看这道题要求做相似，做这个，在这个矩形中找到 a、 c 上一点 p， 使它相似。首先要知道这个 p 相似的给了之后，他这个 p 点对应就是 b 点， d 点对应就 a 点， 那这个 b 点是不是对应的这个 p 点就得是直角？你是不是必须对于相似三角形的性质搞明白，它是对应点，你才能知道？在这上面要做一个直角，那做一个直角是不是过直线外一点做已知直线的垂线？ 然后呢？这个 a 点和 c 点是对应的，你看 a 点和 c 点刚好是等角，对吧？那这个有一个九十度是不是就相似了？是不是对相似的性质的考验？下面这个做一个矩形，做一个矩形是不是对矩形性质的考验？矩形性质是什么？ 四条边的关系是什么？对边平行且相等且是直角，对不对？所以他的做法是不是做垂线？做垂线完了之后，跟上面做垂线是一样一模一样的，过直线外一点做垂线，然后截取等线段，因为你要依据他对边相等 是不对矩形性质的考验。好看在这做菱形，做菱形，而且还有个六十度的菱形，有一个六十度的菱形的话，你先画出一个菱形，如果这是六十度连接他的对角线之后就会出现， 因为离边相等出现等边三角形，等边三角形具有三线合一，三线合一之后是不是可以确定这个点的位置，然后因为菱形的性质是 对角线互相垂直，是不是在做这个垂线就可以垂直平分线就可以好做了一个垂线，做了一个垂直平分线。这三个题最主要的一个共同点是不是都是做了什么？做了过直线外一点做已知直线的垂线是不是所以吃亏？做图是真的 倒逼你要去把初中所有的图形性质判定搞明白的一个很好的题目。
188初中数学夫妻档
02:28查看AI文稿AI文稿初中数学中考有一类题型，孩子是分还是蛮多的，最近看了一下，是哪类问题呢？就是尺规作图，尺规作图考察了孩子的实际动手能力，那么以及对敬意敬礼的深刻认识。而尺规作图常用的五种 必须具备啊，像做已知线段，做一个等角，做一个角的平分线，做线段的垂直平分线，以及过一点做已知线段的垂线，这五个基本作图必须吃透，了解明白，那么才能对接下来的实物作图进行 合理的分析。那么什么做图的解析，主要的这个思路和步骤就是逆向思考，按照已知条件先画出草图，那么根据草图去分析如何才能达成 他的要求，然后再通过已经学到的精益敬礼功力进行这个操作的，那万变不利。其中他主要还是来自刚才讲的五个基本要点。那么目前中考比较常考的有做这个二倍角、三倍角的作图，以及 做面积等分，而面积等分这近来模考属于高频这个热点考察啊，他的主要的思路就是这个 平行之间，平行线之间距离处处相等，也就是我们俗称的拉窗帘这个原理。那么通过线的转化， 再把面积转化后，其实还是落实到中点啊，中点三角形的中位线可以平分三角形的面积，这个主要的这个企业还是不离这个我们学习到的最基本的知识点啊。那还有做切线，切线也是近年来考的比较多的， 做切线也是用的垂直平分线定律啊，所以这个只顾作图，要想把分拿全，那么平时就要多练，多练是一个非常重要的，再一个你要学会逆向思考。 那么第三个一些新颖的这个骑行要进行这个练习下，那么找样他初期的内在命棋这个要求 也就说你掌握几层？第五、五个的基本操作，然后加上你已经学到的几何知识啊，近一近的去推演，然后进行分析，就能快速在考场上把这个分数拿到。
66陈星简易数学
31:57查看AI文稿AI文稿哈喽各位，前几天呢，我们更新了河南中考数学二一年到二五年关于尺规做图的题目的考察的一个讲解啊。这个视频更新完之后呢，就有很多家长跟学生来问我，我们在做尺规做图的时候呢，经常是通过死记硬背，然后进行一个做图，但是呢，这里头关于什么角平分线，垂直平分线以及垂线，这些尺规做图经常容易做乱 记混，不太能够理解，他为什么要这样去做尺规做图，他为什么这样做出来的图，他就是符合他垂直平分线的要求呢？ 所以呢，我们数学是不太推崇大家去死记硬背的。那么既然大家有这样的问题，我们就专门出一期尺规做图的一个视频，来讲一讲关于尺规做图的一些做图的步骤，它的原理是什么？对它进行一个详细的拆解啊。我们先来看一下初中的五种尺规做图啊，那既然说尺规做图了， 所以我们先把它的工具，你用什么工具在做图呢？先把它的工具了解一下，取规做图用什么呢？顾名思义，直尺和圆规，但是这个直尺呢，跟我们平时用的尺子不一样，有啥不一样点呢？它是一个无刻度的直尺， 那你想这个直尺啊，它没有刻度，所以它不能干嘛？不能测量长度，它只能干啥呢？只能画线，所以这个无刻度的直尺，它就是用来画直线，或者说画射线。 那圆规呢，既然尺尺不能来测量了，所以呢，给他搭配了一个好搭档，圆规，圆规呢，他的任务就是来测量长度，或者说取相等，取长度啊，取个相等的长度，所以他们两个进行一个搭配，一个是画线，一个是取长度， 就可以把我们五种基本指标做图全部给做出来了。那这五种基本指标做图是啥呢？分别都在我们七年级和八年级进行一个学习啊，八年级上册基本上就已经学完了。首先第一个就是做一条线段等于已知线段，这是在七年级学的，对吧？ 第二个呢，是做一个角等于已知角，这是在八年级全等的时候学的，我说我说的年级的版本是人教的版本啊，以人教为主。然后下面呢，这几个其实都是在八年级学的， 他是在全等学的。角平分线呢，也是在全等的时候学的。垂直平分线和垂线呢，他俩是一块学的，都是在我们的轴对称这一张学习的也是八年级上册， 所以我们八年级上册都已经把五种基本指标做图做完了，学完了。然后呢，我们中考的时候，这个是一个必考点，所有的省市的中考卷都在考啊， 所以他一定是一个我们百分百要去学会学透的一个点。那么我们来看一下啊，做一条线段等于一只线段是最简单的一个了，做一个角等于一只角，就是做一个等角，上面是等线段，下面是等角，这两个呢是指归做图的基础， 然后下面是角平分线，那这俩呢，是在全等的时候进行学习的，为什么放在全等呢？一会讲到它的原理的时候你就明白了啊。然后下面两个是垂直平分线和垂线是在我们轴对称的时候学的，因为垂直平分线画的是线段，那么线段它的对称轴就是它的垂直平分线，所以是在这个位置学的。那为什么同时学到了垂线呢？ 你想垂直平分，垂直平分，你画出来垂直平分线，是不是也就意味着你画出来了垂线？是的，所以呢，学完垂直平分线之后，你就知道了垂线怎么画了啊？但是呢，垂线不太一样的是，它是过直线画的垂线段， 过一点做直线的垂线。那这一点在什么位置呢？也就有我们的两种情况了，这个点呢，可以是在线上，也可以是在线外，你可以过直线外一点做这条直线的一个垂线，对吧？ 不管是上一点还是外一点，它的尺规作图的过程完全一模一样啊，我们一会来看一下就知道了。 我们先来看第一种，做一条线段等于已知线段。我们做一条线段 a 撇 b 撇等于已知线段 a b， 所以 先给了我们一个线段 a b。 那 怎么做呢？它的工具就两个，一个直尺，一个圆规。 指尺没有刻度，只能画线。圆规是测量长度的，所以既既然要做线段相等，所以我们需要取相等的长度。取相等这个任务就交给了圆规了。那你取相等的前提，你是不是得先画出来一条线呢？ 那画线这个任务交给谁了呢？交给无刻度的指尺了。所以呢，我们第一步应该是先有了这条线，然后再去这条线上取一个相等的线段，对吧？所以第一步就出来了啊，先做一条射线， 我们先用我们的直尺，虽然它有刻度，但是这个刻度我们也不能用，先用直尺画出来一条射线， 这个射线呢称之为 a 撇 c， 画出来之后呢，就是取长度了啊，我们把圆规取长度用的是圆规，对吧？我们把圆规的两个角呢放到了点 a 和点 b 这里，那么这两个角之间的距离就是 a b 这条线段的长度了，然后把它不动移过来，两个角之间的距离不动啊，移过来，移过来之后， 它一个端一个端点，再点 a， 着另外一个端点呢，进行一个画圆弧。 画圆弧，那它的圆弧的半径是谁啊？是不是就是我们 ab 的 长度？所以呢，第二步是啥？以 a 撇为圆心，谁的长度为半径？ ab 的 长度为半径画圆弧，那么跟我们所画的射线的交点就是我们的点 b 撇，那么此时的 a 撇 b 撇就是等于 ab 的 长度了。 所以我们的第二步就是在射线 a 撇 b 撇上截取 a 撇 b 撇等于 a b， 怎么截呢？用圆规截取就可以了，这就是我们的第一个指规，做图做一条线等于已知线段，用直尺画射线，用圆规取长度， 非常简单啊，只有这两步。然后是第二个就是画相等的角了，等角和等线段是最基础的啊，但是等角呢会稍微麻烦一些，你看他左边的步骤，他虽然麻烦，但是其实过程理解上来说也是很简单的，而且他的原理一会跟你说了之后，你就知道为什么他要这样去做了啊。 我们先来看一下，还是同样的，你既然要做一个角， a 撇 o 撇 b 撇，这是一个 b 撇， a 撇 b 撇等于 aob， 那这个角由谁构成呢？由两条边构成，对吧？两条边张开一定的角度就构成了一个角， 那这两条边的话，我们要去画一个角，首先我们是不是得先确定它一条边的一个位置，然后根据它的一个角度去看它另外一条边在哪里，对吧？所以呢，我们还是第一步先去干啥？画线，先把它其中一条边给它画出来，然后再去确定另外一条边的位置，那么我们第一步也是做一条射线， o 撇 a 撇， 我们来做一条射线 o 撇 a 撇，然后呢就是确定另外一条边的长度了，那另外一条边人家这个假角这么大，那我们是这样画呢？还是这样画呢？还是这样画呢？怎么画呢？我们来一步一步看啊。 第二步呢，是以点 o 为圆心，以它原来的角为顶点为圆心，然后呢任意长或者说适当长为半径做一个弧，那么我们还是用我们的圆规 适当长为半径啊，适当长为半径画一个弧，那么这个弧呢，跟我们的这个角它就会有两个焦点，那这两个焦点分别命名为点 c 和点 d， 然后呢同样的再以我们画的这条射线的 o 撇，这个端点为圆心，相等的长度为半径，其实就是全部就是模仿嘛，相等的长度为半径， 那我们得看一下人家刚刚的长度是多长，对吧？所以还是把圆规放到这，先取一个 o d 的 长度，然后呢把它移过来一个端点，再 o 撇另外一个端点呢，画一个圆弧， 那么这个圆弧呢，就跟我们的 o 撇 a 有 了一个交点，这个交点呢，我们称之为点 c 撇，称之为点 c 撇。 然后呢我们继续，因为你画了这个之后呢，你的另外一条边是这样的还是这样的？还是确定不下来，那怎么办呢？怎么确定是这样还是这样呀？是不是就是 c、 d 这个长度你就可以确定下来了？其实就是这条弦的长度嘛，你这个角相当于是一个圆心角了，你这个圆心角所定的这条弦，它有多长？是不是固定的？ 所以呢，我们下一步是干嘛呢？以 c 撇为圆心，谁的长度为半径？ cd cd 啊， cd cd 的 长度为半径，然后做弧，与我们刚刚的这条弧会有一个交点，所以呢，我们还是用圆规来啊， 用我们的圆规放到了 c 撇儿，放到了 c d 上，放到 c d 上之后呢，再把它移过来，移到 c 撇儿这里，然后进行一个画圆弧， 那么这个圆弧跟我们上一个圆弧呢，就会有一个焦点，这个焦点呢，我们命名为 d 撇儿，然后连接一下 o 撇、 d 撇。 连接完了之后呢，我们的角 连接完了之后呢，这条射线我们命名为 o 撇、 b 撇，然后我们的 a 撇、 o 撇、 b 撇就出现了，对吧？那这里头字母的顺序你都可以自己随意的改变啊， a、 b 颠倒也可以， c、 d 颠倒也可以，只要你的弧画对了就行， 所以它其实就是画了三个圆弧。第一步，先画一条线，打基础射线， o 撇、 a 撇，画完了之后呢，在原来的角上再画一个弧，画一个弧 c、 d， 把这个弧呢移到 你所画的射线上面，就形成了 c 撇、 d 撇。那你这个 c 撇、 d 撇知道了之后，这是第二个弧了，那这个角的张开的角度怎么去确定呢？ 其实就是我们 c、 d 之间的一个距离了，所以呢，我们再以点儿 c 撇为圆心， c、 d 的 长为半径，再做一个弧，那这个弧与我们上一个弧呢，有一个交点，这个交点连接我们的 这个角的顶点就形成了另外一条射线，这另外一条射线就是我们这个角的另外一边了，所以它是这样一个做图的过程啊。那这里头为什么画出来的这个角， a 撇， o 撇 b 撇，就等于这个角了呢？这个字母给你反一下吧，看着怪别扭的， 那它为啥就等于它了呢？这里头呢，需要连接一下 c、 d 和 c 撇 d 撇啊，因为毕竟是以人家的长度为半径做的弧嘛，所以根据我们三次做弧，你看一下左边这个角和右边这个角，这里头两个三角形的关系。 通过我们的第一个做弧，是弧，以 o 为圆心，任意长为半径，换了 c、 d 这个弧，然后呢，同样的以 o 撇为圆心，相等的长度为半径，所以这个长度和这个长度是不是一样的？ o、 c 等于 o、 d， 因为都是半径， o d 撇也是半径， o d 和 o d 撇呢，是相等的，因为这两个弧的半径是相等的，所以根据前两个弧，我们可以得到 o c 等于 o c 撇， o d 撇，其实这四条线段都相等，对吧？ 然后呢，最后一个弧，第三个弧是以谁为半径的？ c、 d 为半径，所以你看一下，那么 c、 d 和 c、 d 撇什么关系啊？也是相等的呀，以 c、 d 为半径，产生了 c、 d 撇， 所以它也是相等的。那既然这三条边都相等，也就可以得出来啥了，哪两个三角形什么关系？全等，对吧？三角形 c、 o d 全等于三角形 c 撇 o d， 它的全等的判定方法就是 s s， 所以它为什么画这么多弧呀？因为画弧就会产生半径，半径什么关系呢？半径是相等的，半径相等呢，也就意味着边相等， 所以边相等呢，就可以得到等边，从而证明了全等。所以它的原理就是通过你做图的过程，我得到了线段相等，从而证明出来了全等，所以这两个角相等，这就是它的原理。 然后因为我们只归作图，通常括号里头都会给你写一个什么保留作图痕迹，不写做法，对吧？所以这里头保留作图痕迹的话，保留的是哪一部分呢？给大家看一下啊。这是彩色的线的部分，这个粉色和这个绿色，这个绿色你可以不画，粉色是一定要画的粉色，也就是我们刚刚画的三个弧， 这就是保留这一部分就可以了，因为你画的是弧，不需要画整个圆，其实保留的部分就是你所需要用到的这些弧所形成的焦点， 因为你需要靠焦点去连线啊。这是我们第二个做一个角等于已知角，就是画了三个弧，通过全等证明出来了角相等，这是它的一个原理。然后下面一个呢，是做一个角的平分线，也就是说把这个角呀一分为二，在这个角的内部呢，再画一条射线，让这俩角相等，对吧？那我们来看一下它的步骤是什么呢？ 首先第一步是以点 o 为圆心，因为它做角平分线的话，就是在它本身的图上面去做，不需要另外做图了，所以我们的第一步就不去，不需要再去另外的画线了，对吧？那我们先以点 o 为圆心， 那我们先以点 o 为圆心，然后呢，以适当长为半径进行一个画弧， 那么这个弧呢，就跟我们的这个角的两条边会有一个交点，这个交点呢， o a 的 交点命名为点 m， o b 的 交点命名为点 n， 然后再分别以 m n 为圆心，大于 m 二分之一 m n 的 长为半径做弧。这里头有一个特殊的大于二分之一 m n， 那 你想为什么呢？为什么要这样做弧呀？它上一步做弧的时候，以适当长为半径做弧，然后我们 我们刚刚做一个角等于已知角的时候，是以 c d 的 长为半径做弧。人家的， 那到这呢，出了一个要求，就是以大于二分之一 m n， 你 想想为什么？因为啥它这两个弧啊，要在角的内部交于点 c， 如果说你这一个点，两个点，以这两个点为圆心，它的圆半径非常小，那这两个弧有交点吗？没有， 如果它的半径等于它俩之间的一半呢？相切了大于一半呢，就有相交了两个点了，对吧？所以这就是为什么是以大于二分之一 m n 的 长为半径，就是因为呢，它要有交点，是让这两个弧相交啊，所以我们再来画一下， 我们可以先以 m 为圆心，然后呢，以大于二分之一，大于的话大概在这吧，大于二分之一 m 的 长呢，为半径画一个弧。 然后同样的，我们再来以点 n 为圆心，相等的长度为半径进行一个画弧。 那么画完之后，这个弧呢，它通常会有两个焦点，对吧？其实这两个焦点我们取一个就可以了，因为它还要跟我们的顶点相连接，因为一条线嘛，两点确定一条线，三点当然也没有问题，所以我们把它进行一个连接，它的第三步就是作射线 oc， 它的焦点这个点和这个点你取一个就行。比如说我们取的是这个点，是点 c， 然后我们连接一下 oc， 它是在一条线上的，连接这个点也行，连接这个点也行，都是在一条线上的。那连接完 oc 之后，那这个射线 oc 就是 我们角 a b a o b 的 一个平分线了。那这里头的作图原理又是啥呢？同样的，它也画了三个弧，所以呢，它跟上一个异曲同工之妙， 有弧就有什么半径，就有什么半径相等。所以我们来看一下啊，根据第一个弧 m n 这个弧， 我们可以得到什么 o m 等于 o n， 再根据第二个弧和第三个弧，它要有一个焦点，第二个弧和第三个弧呢？分别以 m n 啊，这里头应该加个逗号，分别以点 m、 点 n 为圆心了，它们的半径呢，是相等的。所以呢，我们可以连接一下 c m 和 c n， 也就是说 c m 和 c n 是 什么关系啊？相等的，因为 c m 和 c n 都是它的半径，以大于二分之一 m n 的 长为半径画弧， c m 和 c n 是 这两个弧的半径，所以它俩也是相等的。那同样的再加上一个啥 o m m c， 还有一个什么 o c 是 个啥？公共边，所以呢，这里头还是用什么来判定的？全等，对吧？所以根据 o m 等于 o n， c m 等于 c n， 这是根据我们作图过程当中的半径相等得到的，然后再根据 o c 等于 o c 这个公共边可以判定谁和谁全等呢？ 三角形 c o、 m 全等于三角形 c o、 n， 所以呢，根据全等的性质对应角相等，所以角 c o m 等于角 c o n 这俩角相等，那不就是平角平分线吗？对吧？ 所以他也是通过我们全等去证明的。所以也就是为什么这两个作图他是放到了我们八年级人教八年级上册的全等这一张去学习，因为他的作图原理是全等，这是我们的作角。那同样的作角呢？你在考试的过程当中也是保留作图痕迹的话，他应该是这个样子的啊，往上移一下，他应该是这样一个样子的， 就是这些彩色的线是我们画出来的线，其实你的这两个弧是可以连在一起的，连不连都可以，中间可以断开，也可以连着啊， 你看一下它所保留的这些弧，其实都是我们过程当中所必要的一些交点点 m 点 n 是 不是留下了，以及最后的交点 c， 这都是一些交点，交点处的弧都会留下来。那后面呢，我们还剩下一个中垂线和垂线，对吧？这俩就简单了，超级简单。 来看一下垂直平分线，也叫做中垂线做线段 a、 b 的 垂直平分线 c、 d 怎么做呢？ 首先呢，第一步是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，这里头这次大于，为什么跟上一个是一样的，为啥大于呢？因为两弧啊，要相交，所以呢要大于二分之一。那我们来画一下， 首先以点 a 为圆心，大于二分之一 a、 b 的 话，在这吧 好画了一个弧，然后呢，我们再把它放到点 b 这里，以相同的半径进行一个做弧，哎呀，那个弧刚刚画的有点小了，把那个弧给它补一下吧。 好，补完之后呢，看一下这两个弧呢，会有两个焦点，两个焦点分别是 c 和 d， 那 么两点确定一条直线，所以做直线 ab 啊，做直线 cd 就 会得到我们的垂直平分线了， 连接 cd， 那 么 cd 这条直线就是我们线段 a、 b 的 垂直平分线了。这种作图方法，它的原理是什么呢？为什么这样做了两个弧之后，有两个焦点，一连线就垂直平分 a、 b 了呢？ 它的原理呢，有很多种解释啊，我们先来一个最正规的，就是教材上是怎么解释的呢？教材上说的是根据我们线段的垂直平分线的一个判定， 也就是与线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以呢，我找到这样的两个点，因为两点确定一条直线， 我找到了点 c 到 a 和 b 的 距离相等，点 d 呢，到 a 和 b 的 距离呢也相等，所以点 c 和点 d 都在 ab 的 垂直平分线上，那么 cd 这条直线就是 ab 的 垂直平分线了，对吧？这就是它的一个原理啊。 那比较斜修的一个方法呢？斜修的原理是啥呢？我们刚刚说角平分线以及做等角的时候，我们连接了半径，根据半径得到的，对吧？那我们这里头也连接一下 a、 c、 b、 c 以及 a、 d、 b、 d， 根据我们的作图过程，半径相等，也就是 a c 等于 a d， b c 等于 b、 d， 同时呢， a、 c 和 b、 d 相等，因为它的这两个弧，它的半径都是以大于二分之一 a、 b 为长度，它是以相等的长度为半径做的两个弧进行了两个交点， 所以呢，根据它的作图过程，我们就得到了 a、 c 等于 b、 c 等于 ad， 等于 b、 d 四条边相等，所以 ad、 bc 是 一个什么四边形？菱形。 所以呢，我们画出来的这个四边形 ad、 bc， 它就是一个菱形了，那菱形的话， ab 是 它的什么对角线？ cd 呢？也是对角线，菱形的对角线什么性质呢？不就是互相垂直且互相平分吗？ 平分垂直，这就是它对角线的性质呀。所以呢，我们也可以用这种斜修的方法来进行一个解释，来进行一个理解啊。当然，最正统的方法还是从人家垂直平分线的一个判定来的，就是与 到线段两个段点距离相等的点在垂直平分线上，所以这两个点到它的距离都相等，那么这两个点都在这条线上，两点确定，一条直线一连接，就是它的垂直平分线了。那你画出来这一条线啊，能顶好几条线，非常厉害。这条线 很多功能，首先它是垂直，你做出来这条线，它是一个高，对吧？是一个垂线，对吧？而且呢，它还平分，也就是说你这个焦点是啥呀？是终点呀， 是终点。所以呢，如果考试的时候让你去画线段 a、 b 的 中点，让你去找到 a、 b 的 中点，你画什么？画垂直平分线？然后呢，让你去做 ab 的 一个垂线，你做什么？做垂直平分线，或者说给了你一个三角形 abc， 让你去做 bc 边上的中线，中线是啥呀？中线不就是确定一个中点吗？ 确定了，中点一连接就是中线了，所以它的关键点还是在中点这里，所以让你画中线，你做的也是垂直平分线，垂直平分线之后，这个焦点就是中点一连接就得到了中线了，所以垂直平分线呀，它真的功能相当多， 让你做中线也是做它，找终点也是做它，做垂线还是做它非常忙碌的一个线，对吧？那我们来看一下，既然做垂线也是做它了，那看一下，那做垂线它是做了一个直线的垂线，并不是做一个线断的垂线，对吧？ 所以呢，这里头跟做垂直平分线有一点点的区别，多了一步就多了一个第一步，下面的两步都是一模一样的啊。我们来看一下做已知直线的垂线，我们刚刚说了，它分成两种，过线外一点还是过线上一点，所以呢，这两种我们也都给大家去画一下。 首先呢，是过线外一点，我们先来看线外一点这种情况啊，过线外一点 c 做直线 ab 的 垂线，因为它现在这个直线 ab 它不是一个线段了，所以你没有办法去确定它的两个端点，然后以这两个端点为圆心做两个弧，对吧？它没有给我们这俩端点，那我们就没有了吗？我们也可以自己画呀， 所以呢，他的第一步来确定这两个端点，以点 c 为圆心，适当长为半径做弧，这个弧呢，跟 a、 b 这条直线交于了点 d 和点 e， 点 d 和点 e 就是 我们刚刚做垂直平分线的点 a 和点 b， 你 就可以把它想象成我做 d、 e 的 一个垂直平分线，来，我们先来做一下啊， 以 c 为圆心，适当长，那这个适当长，因为它要跟 a、 b 有 交点，所以呢，适当长也是有一点点要求的，它起码得大于它到 a、 b 这条线的距离吧，那就在这吧。 好，画完了之后呢，它跟这个圆啊，不，它跟 a、 b 这条线交于了点 d 和点 e， 那 有了这两个焦点之后，你看一下，其实就是做 d、 e 的 一个中垂线吧，是吧？做 d、 e 的 一个中垂线， 然后呢，下面步骤就是做中垂线呀，怎么做呀？以 d 和 e 分 别以点 d 和点 e 为圆心大于二分之一的长度为半径，画两个弧，这两个弧呢，有两个交点，那么我们先把这两个弧画出来，先以点 d 为圆心大于二分之一的 e， 那 就在这吧， 好，这是他的一个画长一点吧，防止刚刚的那种情况再出现。两个弧还没交点呢，画完了之后呢，我们再以点 e 为圆心，以相等的长度为半径画一个弧， 那么这两个弧呢，就会有这两个交点，我们换个颜色啊，有这两个交点，那这两个交点呢？我们使用其中一个就可以了，因为我们还有一个点 c 呢，毕竟人家是要过点 c 做一个垂线，两点确定一条线，所以我们点 c 和另外其中一个交点就可以， 比如说我们点 c 跟这个交点吧，这个点是 f， 然后我们去连接一下 c、 f， 它就是我们所要做的一个垂线了， f 在 这， c 在 这，那么此时的 c、 f 就 垂直于我们的直线 ab， 这是一个直角，那其实也就是我们的 c、 f， 那 其实也就是我们的直线 c、 f 怎么样？是我们 d、 e 的 垂直平分线，对吧？ 所以它跟我们垂直平分线的区别在哪里呢？就是第一步不一样，我们垂直平分线是它是线段的垂直平分线，它是有线段的两个端点的，然后做它的垂直平分线，但是它呢，它是一条直线，所以我们得先去确定两个端点 d 和 e， 所以 是以 c 为圆心，适当长为半径，跟这条直线有两个交点，那么我们做这两个交点所形成的这条线段的垂直平分线，就可以得到这个垂线了，然后这里头呢，需要说的一条线段的垂直平分线就可以得到这个垂线了。然后这里头呢需要说的一下 c、 d 啊， c d 和 c、 e， 为什么他做了 d、 e 的 垂直平分线，他就一定经过点 c 呢？我们知道他做了垂直平分线一定是垂直的，但是为啥他一定经过点 c 呢？因为啊，我们最开始第一步做的这个圆弧导致 c、 d 和 c、 e 是 什么关系呢？相等的，也就是说我们的三角形 c、 d、 e 是 什么三角形呢？ 等腰，对吧？它是一个等腰三角形，有啥性质呀？三线合一呀， 三线合一啊，那你既然做了这个等腰三角形底边上的垂线了，那根据三线合一，他肯定经过他的顶点呀，他是一个中垂线呀，肯定经过他的顶点，对吧？所以这就是他的一个原理啊， 根据一个等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的一个作图，这就是做垂线，那同样的，这是过线外一点，做垂线线上一点呢？一样的道理啊，过线上一点，我们还是需要去确定这条直线上的两个端点，过这两个端点呢，做他的一个垂直平分线，对吧？所以步骤一模一样啊， 一模一样，第一步还是以点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。 点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。那么这个弧呢，就跟我们的直线 a、 b 会有两个交点， 那这个交点呢？还是一个点 d， 一个是点 e， 点 d 和点 e， 之后呢，再去画 d e 的 一个垂直平分线就可以了，那就是分别以 d e 为圆心，换一个颜色， 分别以 d e 为圆心，大于二分之一， d e 的 长为半径画弧。 然后我们 那么这两个弧呢，它就会有两个焦点，那这两个焦点同样呢，我们也是取其中的一个焦点就可以，比如我们用上面这个焦点把它命名为点 f， 然后连接一下 c f， 连接完了之后呢，这个 c f 这条直线就是我们所做的一个垂线了， 所以此时的 c f 还是我们的 d e 的 啥垂直平分线？ 那刚刚说了，刚刚为什么能够确定它所做的垂直平分线一定经过点 d 呢？我们说了它用了一个等腰三角形三线合一的性质，那在这里呢，是不是也是同样的 在这里呢，我们可以去连接一下 a f 和 e f， 那 f 呢？是这两个蓝色的圆弧的交点，那这两个蓝色的圆弧它是以相等的长度为半径画的，所以 a f 和 e f 还是相等的，那同样的还是三线合一，对吧？既然做了中垂线了， 垂直还是中点，所以他就满足他经过了点 c， 他 经过了点 c 啊，那么这是我们五种尺规作图以及他的作图原理，作图步骤。除此之外呢，在我们的数学的初中课标当中，还有另外的一些尺规作图，就是我们所谓的做三角形，做平行线，做等腰，做直角， 那这些尺规作图，它的本质都是我们五种基本尺规作图，那我们来对号入座一下啊。第一个呢是已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边做一个三角形， 这是在学全等的时候，尺规作图做三角形，因为我们全等三边不就是全等的 s s s 吗？然后是 s a s s， 然后是 a s a， 那 这里头无论是边还是角，是不是都是做的相等，做等边，做等角，对吧？所以它的原理是啥呢？ 就是这俩圈，第一种和第二种持规作图，做等线段和做等角是我们做三角形的本质原理。 然后第二个呢是做平行线，你想你做出来的这条线怎么得到它是平行线呢？怎么判定它是平行线呢？也就是说我们平行线的判定是啥呀？有啥 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同班内角互补，两直线平行，对吧？所以就是说我们如果做出来相等的同位角，或者是相等的内错角，那么我们是不是就可以做出来平行线了？所以平行线呢，它的一个本质是我们的作角相等， 做角相等，做等角、做相等的同位角，做相等的内错角，都可以做出来我们的平行线。然后下面呢是做等腰三角形和直角三角形。等腰三角形的条件是什么呢？知道了底边以及底边上的高，那你想你要做等腰三角形，底边上的高有啥性质呀？ 等腰三角形有啥性质？三线合一，这个性质非常重要啊，一定要记得。所以呢，你既然是做高，他还是啥？还是我们底边的中点，那既然有高，也就是有垂直，又有中点，所以呢他需要做什么？线？有垂直，有终点，也就是我们的，哎，垂直平分线也叫做中垂线， 所以呢，我们做等腰三角形，它的本质是啥？做我们底边的什么垂直平分线？ 你先用做一条线段，等于已知线段，这个把底边做出来，做完底边之后呢，再做底边的垂直平分线，然后在这个垂直平分线上去取跟高线相等的部分，然后连接另外两条边，就会得到我们的等腰三角形了，对吧？ 这是我们等腰三角形啊，然后下面呢还有一个直角三角形，它的所给的条件是一个直角边和一条斜边，让你去做直角三角形。直角三角形最大的特征是什么呢？它有啥直角？ 它有直角，所以直角是什么？垂直，那它的本质呢，就是做垂线，给了你一个直角边和斜边，我们先呢画出来这条直角边。直角边画出来之后呢，以直角边的一个顶点 过直角边的一个顶点，做这个直角边的一个垂线，这是不是就是我们过线上一点做这条线的一个垂线了？ 做完之后呢，我们就得到了它这个垂直，然后呢再去做斜边。斜边怎么做呢？以直角边的另外一个顶点为圆心，斜边的长为半径，画一个圆弧，那么这个圆弧呢，跟我们这条直角边的交点 就是我们另外一个顶点了，然后连接一下，它就是我们的直角三角形，所以它的本质是做垂线， 这是我们通过五种基本指标作图，进行了一些延伸的指标作图的一些内容。啊，做三角形的平行线，那么我们还是以这五种为主，他就是我们的地基，把地基打牢了之后，你往上面盖房子，你盖三角形的房子还是盖平行线的房子，都可以，都没有问题了，就啊。
300橙子老师-初中数学
01:44查看AI文稿AI文稿各位同学，今天我们讲解一下角平分线的尺规做图法。近几年中考基本上百分之一百，会考也非常重要，很多同学不知道如何去解决这种问题，所以呢，刚子老师今天抽时间给大家讲一下 尺规做图法，它是没有刻度的尺，它指的是尺规，指的是圆规，尺用来连接两点之间做直线的，圆规用来丈量尺 寸的，所以呢，我们通常用尺规做图法，可以做出很多的图形。那角平分线如何去用尺规做图法？首先比如我告诉你一个角，它是 a、 o、 b， 现在没有刻度尺，也没有其他的工具，要你去做出角 a、 o、 b 的 角平分线。那怎么做呢？通常我们会用圆规通过顶点去做一条符与直线的交点，分别是 c 和 d 两点， 再用圆规去取大于 cd 长度的一半，也就是说大于二分之一 cd。 比如说我取到这里，然后以 d 点为圆心作符， 相同长度，以 c 点为圆心作辅，有一个交点，此时连接的交点，比如说这个是 l， 那 么 o l 就是 角 a、 o、 b 的 角平分线，这是角平分线。用此规律作法使用的方法，给大家一个口诀，可以做比较。顶点一弧截，两边 大半交点做弧线，什么意思啊？解释一下啊。顶点一弧截，两边，就是以角 a、 o、 b 顶点为圆心做一个弧截，取我们角的两边就会有交点。那大半交点是什么意思呢？就是大于交点距离，这里是 c、 d 啊，也就是大于 c d 距离 一半，然后再作辅，分别以 d 和 c 为圆形，以相同的长度，那么下面你也取这个长度去作辅，有个焦点连接这个焦点，那此时就会出现角平分线，这一个口诀非常重要，全网你找不到，这是我们讲到角平分线如何去做。
55刚子数学
02:31查看AI文稿AI文稿这些还认识吗？直尺和圆规啊，就用它们。你能画正六边形吗？这不简单吗？我小时候可是数学课代表。中心点，先画个圆，直径两个点，在这两个点，以半径为半径， 半径一样。每个三角形都是等边三角形，这角度六十度，这两个角加起来一百二十度，所以这是个正六边形。那等边三角形呢？这个就相当于正六边形圆心的两个点，这就是正三角形，当然也可以这样， 这个非常容易证明。正方形呢，有点难度，不过难不倒我。中心点一样，先画个圆直线，然后画一条它的垂线，用大于半径的，然后连接四个点， 这也非常容易证明这条线垂线，这是直角，等腰三角形四十五度角，同样这边四十五度角，然后这个角是九十度。这两条线，这两条线都相等，这两条线也相等，所以这是个正方形。 试试这五边形呗，这五边形是奇数个边和角。呃，这玩意能用尺规画出来吗？就这还数学课代表了，我来给你画中心点， 以 a 点为圆心，原来圆的半径为半径， b 点为圆心， b、 c 长为半径。以 c 点为圆心， c、 d 长为半径。连接 c、 e、 c、 e 就是 五边形的一个边，把刚才的四个点连接起来， 这就是正五边形。证明稍微有些麻烦，这里就不证明了，其实就是通过构造黄金等腰三角形。黄金等腰三角形的角度是七十二度，两个七十二度就一百四十四度，就是正五边形内角的角度。厉害，还有更厉害的，能用尺规画正十七边形，谁呀？这是 高斯，高斯在一八零一年就证明用尺规可以画出正十七边形，解决这道两千多年的难题。 尺规作图可以做加减乘除和开根号，这样就证明了正十七边形是我平常很少见的图形，居然是可以用尺规画出来 的。这个关键问题的解决就是把三角函数的东西变成了熟悉的代数计算，开创了用代数方法解决复杂几何问题的先和。同时也可以知道正七边形这样简单的图形反而无法用尺规做图，而正二百五十七边形和六万五千五百三七边形反而可以用尺规做出来。
200童趣知识星球
09:15查看AI文稿AI文稿呃，今天我们讲无刻度支持在中考做图当中的基本考点，那么在网格当中做做图呢？呃，一般情况下只限于利用格点来做。第一种做中线， 做中线呢，主要是找到这个线段的中点，所以我们利用隔点这个长方形啊，这个长方形 用对角线的焦点是中点，这样就能够找到 a、 b 的 中点或中点连线，那么呃，中线就做好。 第二，我们讲做垂线，如果要过点 c 做 ab 的 垂线呢，我们就先查 ab 所在的这个，呃，长方形呢，是 横一竖一二三四五，横一竖的对角线，所以我们过点西跟他做相反的长方形就可以了，就横五竖一连对角线就可以了， 那么这个横五竖一在这，那么这个连对这个点和点斜连线，那么这样 ab 的 垂线就做好了。 第三，我们讲做角平分线，嗯，呃，做一个角的平分线呢，我们可以借助等腰 等腰三线合一来完成啊。由于 ab 所在的这个边，我们看它正好是 三四五，所以 ab 得五，那么 ab 得五呢，我们从点 b 向右叉五格 啊，然后和这个点 a 连上，那么这样这个三角形就是等腰了，也就是说这个 ab 和这个边都得五。 接下来我们找到这个对角 b 对 边的中点就可以了，那么很明显呢，是这个焦点的位置 啊，也可以利用刚才找中点的方法啊，做矩形连另一个对角线 啊，也能找到，这样过点 b 和这个点连线，这样就是角平分线了。这个是利用等腰的三角一。 第四，做中垂线 啊，中垂线我们想象一下，首先是过中点这个位置，它有一个垂直啊，过中点这个位置， 那么垂直呢，应该是中垂线上所有的点到 a、 b 的 距离都是相等啊，到相等，所以我们再找一个点就可以了。另外一个点呢，那我们可以借助 呃，正方形的对角线呢，是中心来完成。也就是说跟刚才做垂线的方法一样，我们先看 a、 b 所在的格点，是 呃，横以竖四的对角线，我们利用这种格点呢，先做一个正方形，然后把对角线连上， 这样我们就过这个对角线，做这个 ab 的 垂线就可以了。 那我们先先找到 ab 的 中点，因为 ab 所在的是横一竖四的长方形，所以把另一条线连上，就是中点，这样过这两点做个直线就可以了。 也可以呢，呃，只做一个 ab 的 垂线，然后把这两个点连上， 然后分别利用矩形法来找这两个边的终点，一个是找这个边的终点 啊，找这个边的终点找到了。第二也是刚才那个 矩形，把这样的对角线连上，这样啊，过这个这两点也可以。 好，接下来我们讲比例分割。呃，比例分割呢，假如说要把 a、 b 分 成一个二比三的线段， 那么我们可以借助相似来完成。 由于上下平行啊，这两个八字形相似，相似比呢，正好是二比三，这样这两个边的交点 就是分成二比三的点。 那最后我们讲对称点啊，对称点呢，我们可以想象一下， 如果做点 a， 关于 b 起的对称点在这个位置，那么这里点 a 和对称点的连线就是一定垂直 啊，所以我们先画垂直。由于 b、 c 经历的对角线是横五竖一对角线，这样我们从点 a 向下叉五， 横着叉一格啊，这就是做垂线的方法。 垂线画完之后呢，我们在这个上截取相等的线段，就是 a 撇在这个位置，那怎么截取这个相等呢？我们可以利用 平行线间的距离处处相等来完成，也就是说我们首先呢过点 a 画 b， c 的 平行线，是 呃经历的格一样，就可以横五竖一，那就这样，那么 点 a 到点 b 是 向左一，左一下二，所以我们从点 b 向左插一格，向下插两格，就是在这个位置， 点 c 向左插一格，向下插两格，就在这个位置，这样我们这三个线， 这三个线平行，并且它们之间的距离处处相等，这样这两个线的交点啊，就是这个点的位置，就是点 a 对 称点的位置， 所以我们今天一共讲六种类型，所以大家记住在 网格当中作图呢，主要就是利用格点查格来完成，嗯，建议大家呢点赞收藏。
20小高手
01:55查看AI文稿AI文稿习老师，嗯，初中数学耻归做图，很多家长平台留言说不止考这五种呀，有时候让做内接圆或者外切圆啊，你给解释一下呗。 这个问题我们在前几个视频中已经都说过了啊，我们的耻归做图，他不可能到了中考了给你说，来吧，做一个这，来吧，做一个那。 哪有那么简单的，直接告诉你那几种最基本的吃亏做错让你去做呢？我们一定是要对题目进行分析，要做一个简单的几何题之后，然后再去知道做什么，你再去做什么， 你又没有个简单的分析，你肯定不知道那个题让我们做什么，对不对？比如说要做一个三角形的内切圆，那我们就要先分析那三角形的内切圆，圆心是在哪里，然后呢？为什么是内切的？ 通过简单的分析之后，哦，我们知道，原来他是让我们做的是三角形的三个角的角平分线， 然后他们有一个焦点，那个焦点就是内切圆的圆心，进而我们再去以那个焦点为圆心，再画他的内切圆呗， 行不行嘛？对着吧啊，所以我们要清楚这个点，如果要我们做一个三角形的外接圆，你要先分析啊，这个外接圆的圆心在哪里？ 那外接圆的圆形，我们通过简单的分析之后，哦，他应该是在这个三角形的每一个边的垂直平分线的焦点就是我们这个外接圆的圆线 啊，这样我们紧接着再去以它为圆心去画这个外接圆，那就是我们所求的吗？你得简单的分析，分析了之后人家让做啥，你再去做就可以了，不要被出题人的表面迷惑，对。
01:17查看AI文稿AI文稿二模考试之后，我的后台炸了，问的最多的并不是什么选择填空亚洲题，也不是什么二次函数题，他居然是画图题，为什么我家孩子每次做画图题，他就是一做就错，说了无数遍了，他还是错，这是为什么呢？ 那你刷到这条视频，你真的是太有福气了，不管你是哪个省的，哪个地区的，只要你家里边有七年级、八年级、九年级的孩子，考试的时候有画图的题，那赶紧把这条视频看完，后面的动画讲解真的是一下子就刻到他脑子里，我就不信他还能再错， 耽误你不到一分钟的时间，赶紧分享给你身边有需要的人。这个画图的讲解真的是太全了，有需要的赶紧安排上。
39初中数学资料分享
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