2023年陕西省中考数学标准答案。
这是一道二零二三年陕西省中考数学倒数第三道解答题，呃，远综合这个题稍微有点难度，我们一块来看一下。在三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 是 圆 o 的， 呃，内接三角形，其中角 b、 a、 c 是 四十五度， 呃，四十五度，这个角非常特殊，我们要重视一下。然后呢，过点 b 做 bc 的 垂线，这个角的度数啊，是直角，那么就来想， 直径所对的圆周角是九十度，那么九度的圆周角所对的弦，它肯定也是一个直径。那此时啊，我们可以直接就连接 c、 d 了，连接 c、 d 之后，那么肯定是这个 o、 d、 c 三点共线，这个在答题的过程要给他说一下。接下来我们继续做 b、 f 垂直于 a、 c、 b、 f 在 这， a、 c 是， 那这个角是九十度直角。然后第一问要证明 b、 d 等于 bc， b、 d 等于 bc， 那 也就说这是一个等腰直角三角形，那太简单了，因为 bc 是 这个弧啊，他所对了两个圆周角，第一个是这， 还有第二个是在这里，同弧所对的圆周角是相等的，所以这个角的度数就是四十五度，它是四十五度以后，那么这就是一个等腰直角三角形了，所以直接就搞定了。接下来我们来看一下第二个，若圆 o 的 半径 r 等于三， 半径是三，所以 c、 d 的 长度它是直径，它应该是等于六，然后 bc 是 等于 b、 d 的 话，那么就来思考，嗯，等腰直角三角形，它们的三边关系一比一，比根号二，那用三角函数我们就能算得出来， bc 的 长度就应该是拿六去除以根二， 六除以根号二，二应该是等于三倍的根号二的，这个要会。 bc 的 长度是三倍的根号二， b d 的 长度也依然是三倍的根号二。然后继续往下走， b e 等于六， b e 等于六，写下这个长度是六， 那它是六，它是三倍的根号二。立马我们是不是用勾股定律是能算出来 c e 的 长的，我们先放这算出 c e 的 长度， 让我们去求线段 b f， b f 不 简单， b f 不 简单的话，我们先把 c e 算出来试一下吧。 c e 它应该是就等于三倍的根号二的平方，再加上一个六的平方开根号就可以了，算出来的结果应该是三倍的根号六，我们写上啊，就是 c e 的 长度是三倍的根号六，这要会， 呃，接下来求 b f 的 长度。 b f， 首先我们就来想 b f 在 不在某一个直角三角形里边，此时它不在， 不在的话，如果去连接一下在不在，连接 cf 的 话，它也是不在的，我们可以尝试着连一下，试一下。连接 cf 的 话，它也是不在，不在的话，那接下来我们继续再想，能用相思吗？这个相思好像也用不成， 用成相似的话，那接下来我们第三个方法就叫分割线段了，能不能把这个 b f 分 割成两条线段的和，那么 b f 我 们可以分解成 b m， 再加上一个 m f 就 行了。那么 m f 我 们看能算出来不？这应该是个九十度直角， 这是四十五度，四十五度所对的弧是弧。 bc， 那 这样的话，这个角 f 啊，他也应该是四十五度，所以呢，接下来这就简单，他就是一个等腰直角三角形， 等腰直角三角形的话，那么 m f 的 长度就应该是等于 c m 的 长度，我们来看转化一下看行不行？它就等于 b m 再加上一个 c m， 那 么 b m 和 c m 它是不是一个直角三角形？是的， b m c， 它就是一个直角三角形，而且是 这个直角三角形的两个直角边。那我就知道了，我只要把这个直角三角形的两个直角边给它算出来一加，然后呢， b f 的 长度我们就算出来了。 好了，让你又落到了相似上，要求这两个边，那看有没有一个三角形和它是相似三角形呢？呃，这个很好看，就是哪个三角形？就是 bce 这个三角形， 这个三角形和这个小的三角形它是相似三角形比较简单，看大的三角形和这个小的三角形是相似三角形。 那在这一块呢，可以用相似，也可以用面积法，也可以做。呃，因为大的三角形呢？呃，这是直角边乘直角边，它等于斜边，从斜边上的高乘 b m 也能算得出来，因为这是六， 这是三倍根号二 c e 的 长度我们算出来了，应该是等于三倍的根号六，非常轻松的就把这个 b m 的 长度就给它算出来了，用相似也行，等面积也行。然后呢， b m 算出来 c m 的 长度也可以了，那我在这里写一下。嗯，三角形 b m c 就是 这个三角形， 这个三角形它是和大的三角形它是相似的，我们把这写对应就可以了。然后呢， b m 看第一个字母，第二个字母比成 e， b 看第一个字母，第二个字母等于 bc， 看 bc 比的是谁？比的是 ec， 然后呢， mc 比的是 bc。 完了之后，接下来代值就可以了，它一比等于多少？ 呃，三倍的根号二，比三倍的根号六。然后呢，接下来上面的这个也是一样的，看他们两个之间也是一样， m c 比上三倍的根号等于三倍根二比三倍高六，前两个一合并。然后呢，我们就把 b m 算出来等于二倍的高三，后面的一一综合，它就等 算出来 mc 的 长度就应该是等于根号六，那 mc 算出来等于根号六，所以 m f 也等于根号六，那这样的话， b f 的 长度就应该是二倍的根号三，再加上根号六。那么这一年的二零二三年陕西的中考真题这一块啊，预算量稍微大一些啊，稍微有点难度。把这个题好好进行收藏整理一下。
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03:42查看AI文稿AI文稿我是只讲基础，带你中考数学稳拿九十五的小熊老师。今天我们来做二零二四陕西中考数学解答题第十一道， hello， 同学们，挑战中考数学只做基础题，带你稳定拿到九十五分！ 二零二四年陕西中考试卷呢，我们已经累积做了二十一分的分数，距离我们的九十五分只差四分了。今天我们来看二十四题。 二十四题是一个关于圆的几何图形问题。圆，这里呢，也是我们中考数学中的一个非常重要的考点啊，重难点。那首先呢，我们来看题目， 如图，直线 l 与圆 o 相切于点 a 相切于点 a， ab 还是圆的直径， ab 是 直径。哎，那我们相切了点 a， 点 ab， 这个点 a 延伸出来的 ab 还是圆的直径，那这里是不是又垂直了呀？ 啊，相切我们就想到垂直啊。然后这个切点与圆心的连线就是半径或者直径与这个切线近是一个垂直的关系，这个问题吧， 好。然后点 c 的 在直线 l 上，且位于点 a 的 两侧，连接 b、 c、 b 的 分别与圆 o 交于点 e、 f 连接 e、 f， af 连接这两个 e、 f 和 af 两条线。那第一问呢，让你求证的是一对角相等，我们先找一下这一对角在哪？角 b a、 f 角 b a、 f 在 这 与角 c 得 b， c 得 b， 哎，它俩相等。 b a、 f 与角 c 得 b， 这两个角相等，那这两个角怎么相等呢？ 我们来分析一下。哎，刚才我们把这个垂直标出来了，根据相切和直径得到了一个垂直，那这个角 b、 a、 f 是 直角的一部分，对吧？角 b、 a、 f 加上角 fa d 是 九十度，对吧？它是直角的一部分，那这里我们看到那这个角 c 的 b 怎么办呢？如果它也是直角的一部分，是不它俩就有可能相等。并且假如说人家角 b、 a、 f 加上角 f、 a、 d 是 九十度，那你要是加上角 f、 a、 d 也是九十度的话，是不是你俩就能相等了？那他如果想加上角 f、 a、 d 是 九十度， 那你看 f、 a、 d 在 这，它在这，它俩相加，如果等于九十度的话，是不说明这个 f、 a、 d 这个三角形里面的第三个角就是九十度呀， 是吧？那如果我们能得到这个第三个角是九十度，是不它俩相加就是九十度了，那它俩就相等了，那第三个角是不是九十度？来看一下，角 a、 f 的是九十度，也就是说角 a、 f、 b 是 九十度。哎，这里能看到关于九十度，我们圆里面与九十度有关的知识点 没几个，一个是相切，还有一个是直径。哎，看到直径，其实我们刚才读题的时候，看到直径也应该直接去想到这个九十度的啊，直径所对的圆周角 是九十度，对吧？ ab 是 直径，那 ab 所对的圆周角角 bfa 是 不就是九十度啊？ 所以角 b、 f、 a 是 九十度，那么角 a、 f 得也就是九十度。哎，好了，角 fa 得加上角 c 得 b 等于九十度。哎， fa 得加上角得 b， 嗯， b、 a、 f 还是九十度。哎，那你加它是九十度，我加它也是九十度，那咱俩就相等 没问题吧？第一问非常简单啊。第一问这四分，你看，一共八分，第一问这四分我们是必须要拿到的，非常简单。嗯，那来整理一下这个第一问的做题过程吧， 同学们可以看到这是第一问的做题过程啊，证明过程，因为直线与他相切，然后并且切点延伸出来的线是直径，那么这几个角都是九十度了，那么他俩相加就等于他俩相加等于九十度，所以他俩相等，这个没有问题啊。第一问非常简单。
99汪小熊讲数学
16:56查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天来看一道二五年啊，陕西数学中考真题的第二十四题， 也是一道压轴题的难度。好，首先我们来读题，点 o 在 三角形 a、 b、 c 的 边， a、 c 上啊，点 o 呢？在 a、 c 上， o、 c 是 半径啊，以 o、 c 为半径的这个圆啊， 相切于地点，与 a、 b 相切于地点，那么我们很自然地想到连接这个 o、 d， 对 吧？这个是九十度，这是切点的定义。 o、 d 切相切于 d 点之后，与 b、 c 呢，这个啊，相交于 e 点，这是交的 e 点啊，然后 e、 f 是 直径啊，你也过了圆心嘛，它是直径。嗯， e、 f 是 直径，没问题。然后 f、 d 于 a、 c 相交于这点， f、 d 与 a c， f 跟 d 与 a c 相交于这点啊，也没问题。这个角角 f 啊，是四十五度。现在让我证明 a、 c 这条弦跟 ab 这两节 o 弦相等。好，有点乱，我们重新作图，连接 o、 d， 由于地点是切点，所以角 o、 d、 c、 o、 d、 b 说错了， o、 d、 b 是 九十度。嗯，然后题目又已知了，这个角呢，是四十五度啊， 好让我们证 a、 c 和 ab 相等啊，那我要证 a、 c 跟 ab 相等。 嗯，首先长度相等，我们可以一一一个一式通过求，比如说我求出来 a、 c 等于五了， ab 也等于五，可以证明它俩相等 啊。但是呢，题目上已知条件并没有给出关于长度有关的 啊。已知条件，所以我们这条路呢，是行不通的啊。然后呢，我们就想着去，哎，那我去试着证明这个角一啊，跟上这个角二相等，那 a、 c 跟 ab 不 就相等了吗？对吧？俩底角啊相等，它的这个腰是相等的， 所以我们就把证明这个转化成，我要正角一要等于角二，对不对 啊？角一跟角二相等了之后它俩就相等，那我要正角一跟角二相等， o o c 跟 o e 是 相等的，这没毛病，就是它都是半径，那么角一呢？跟角三就相等，对不对？那角一呢？也等于角三， 那那我们我们写到这里，角一等于角三，那我们想证角一等于角二，我们现在知道角一等于角三，再来一个什么条件，我们就能推出角一等于角二了。来了， 那再来一个角二也等于角三，我们是不是就能推出角一跟角二相等了？ 那角二要等于角三，我们怎么怎么证啊？你似乎是，呃，不好意思，我的那个手机它响了。你要证明角二跟角三相等，我们再往后退，我们就要证明啥 o e 要平行于 d b， 也就是说我要正这点和这是平行的，那角二就跟角三想的，那我要想正这两条线是平行的，我现在知道这是九十度了，我再知道个啥，这两条线就能平行？我是不是在知道这个角如果等于九十度的话， a 同旁那角互补，它，它就平行了？好，那我们再往下接着写，我们就是要证明角 e o d 等于九十度，那我要怎么样才能证明这个角等于九十度了？继续，你又想， a， 我 怎么证明它等于九十度？ 我如果知道这个角是九十度的话，那他自然就是九十度了，对吧？ 啊？我，我如果角 f o d 等于九十度的话，那他自然就是九十度，那我咋证明这个 f o d 这个是九十度呢？题目给了这四十五度，那这 因为 o f 根号 o d 相等，那所以这边也是四十五度，对吧？这个也是四十五度，那所以他就是九十度呀，对不对？那，那我那如果他是九十度的话，那他也是九十度呀， 因为 e f 是 直径嘛，啊，这是一个平角一百八十度，这是九十度，那这也是就是九十度，那如果这个角 角 e o d 是 九十度，再加上题目的已知条件，这个角九十至九十度，我们可以知道 e f 平行于 ab， 那 e f 跟 ab 平行的话，是不是角二和角三相等？那又因为 角这个 o c 跟 o e 相等，对不对？角角那个角一跟角三相等啊，然后 角三又跟角二相等，所以角一跟角二相等，所以 a c 等于 ab。 是 这这么个思路啊，所以大家要培养自己逆着逆着去思考的这个个过程，我们从论证的结果 啊，结合着我们的一些已知条件，充分的去啊，逆着去思考，这样子解题呢，会更加的顺畅。好，那第一第一问我们就求完了。好，然后我这里把没用的信息擦掉， 接下来我们来看第二问，第二问呢，是给了一个角号 c a 等于三比五， 就是这个 c a， 哦，我们知道这是九十度，那 c o a 的 话，那就是 o d 比上 o a， 那 我们知道啥？我们先写呗，写出来嘛，对吧？ c a 等于 o d 对 比上斜等于三比五，然后还给了 ab 是 八啊，我们标着 ab 是 八啊，好，让我们求啥？求 d j 的 长，我把这个 要求的给咱画成红色的，醒目一些，要求 dj 的 长，那么这是一个求长度的问题。求长度？我们初中学过，什么勾股定律是一个对不对？可以算长度， 还有啥相似，是不是也可以通过一些相似的这个笔啊？三角形相似啊，三角形相似来求的，对吧？啊，目前呢，就是 啊，这两个方向，但是，呃，你看这 d g 我 们怎么构造直角三角形啊？好像我不知道这个角是多少度啊？ 角，阿方，这是多少度？我也不知道这个角是多少度，我知道这个角的话，那这个角我知道四十五度，那我这就能求出来，但我这个角我不知道啊，所以呢，我们第一种思路就是放弃我们，我们考虑相似，一般初中的这个大体呢，他这个， 呃，历年来都是以以通过相似来解的。好，所以我们就想，呃，从相似着手那从相似着手，那我 dj 啊，在，在这个三角形里面，也在这个三角形里面， 那，那我先看一下我应该，嗯，怎么去求啊？那现在到这儿的话，我们就，呃 先把这个已知条件利用一下，我们看看我们能得到什么啊，然后我现在开始写，我把这个擦掉。好，好， 下面我们接着讲，我们现在是从这个相似的这个方向出发去求 dj 的 长度啊。 好，那因为第一问呢，我们这边是知道这个角是四十五度的 啊， a b 和 a c 呢？相等啊，第一问已经正过了，那题目给的 a b 是 八，那所以这边是八， ac 也是八，我就写着 ac 也是八 啊，然后他又给了 c a 这个角等于三比五，也就是 o d， o d 对 比斜比 o a， 那 o d b， o a 等于三比五等于啥？ o d 是 半径 r， 那 就是等于二， o a 呢？ o a 是 不是等于八减 r a c 总长是八， o a 是 二，八减二等于 o a 的 长，八减二。 好，我们这个把这个 o d 和 o a 都用一个函数，这一个未知数来表示，那在这个方程里面，我们能解的半径 等于多少？握耳等于二十四十四相乘减三耳，然后八耳等于二十四耳就等于三啊。半径是三，那就半径是三的话， 那我就直接写上了，这里是三，那这是八减二，对吧？ o a 等于八减二，它是多少？它是等于五的，那这是直角三角形，三五立马能想到这段是四三四五 六八十五十二十三，这三对勾股数给我刻在脑子里边，这是非常喜欢考的，必须看见三四就反应五啊。那 a 镜是四的话， 那 woof 也是半径对吧？半径是三，它是三。好，那我，我现在想的是，我证明哪两个三角形劝等了，求 dj 的 场呀。 呃，地地问的已知信息，你看还没有挖掘完呢。这两条直线是平行的， e f 跟 a b 平行，那这四十五度，这也是四十五度，对吧？我用同一个颜色标记，这个角是四十五度，内错角相等，这个角也是四十五度， 这两个角对顶角相等吧，这两个角内错角相等吧。角，角角，我证明了。 s 三角形 o f g 相似， 相似于三角形 a d 制， 这两个三角形是相似的，相似的之后，那我们 d j 它对应的这个 边呢？是 f g， 怎么看呢？ d j 对 应的角是这个角，这个角和这个角是相等的，蓝色的，那这个角对应的边是 f g？ 好， 我们是这样找的， f g 呢？就跟 d j 这个对应的比，那 o f 跟上 a d 的 比，我们是知道三比四呗，那 f g 比上 g d 也是三比四，那我们知道了，这个我写一下， f g 比上 g d 也等于三比四的话 啊，等于这个 o f 比上 a d 嘛。那我要求 d g 有 两种方式。第一种方式，我把 f g 求出来啊，我把这个 f g 求出来之后， 那就，那你只看这边，那，那那 d g 我 不就求出来了吗？对不对？只剩它一个未知量了吗？但是 a g 好 像不好求，不好求，那我还有什么方式呢？ 我，我求 f d 不 行吗？我转换一下 f d 在 这个直角三角形里面呀。第一问，正过的，这这这个，这两条直线平行，这是切点九十度，这个角也是九十度， 这是九十度。那，那我把 df 总长求出来。我又知道你占三份啊，啊，你呢？是占四份的，我用总长除以七算出来一份的长，然后我除以一个四， 呃，算出来一份儿的长，我再乘以一个四还，就是吗？啊，那所以现在我就转换成我求 d f 的 长了，求出 d f 嗯，长，然后用 df 的 长除以，总共是七份儿，我们再乘以上一个 d， 任意它占了三份儿嘛。啊，四份儿乘以四就是了，那 df 的 长怎么求 df 的 长？ 这是三，半径都是三，那它是多少？ 勾股定律呗。 d f 就 等于根号下三的平方加三的平方 十八倍十八。根号下十八等于三倍的根号二， d f 是 三倍根号二，那它其实 d g 就 等于三倍的根号二除以七乘以四，对吧？所以第二问的这个答案呢，是是 十二倍的根号二比七啊。所以这道题我觉得他这个也比较难啊。第二问，他突破的点就在于， 首先你得很快速的知道 c a 等于这个比这个，那你知道这个能用 r 表示，那这个呢？就是总长是八，净是 r， 八减二， 这两边都用 r， 还有一个未知量， r 的 表示了它等于这个题目给了三比五，我迅速的就把 r 解出来， r 解出来，这个长度有了，这个八减二，长度是不是也有了？ r 已经解出来了， 这个长度也有了，算出来这是三，这是四。啊，这是五，八减三等于，那迅速的知道这是九十度，这就是四，因为这边是九十度，所以这个 id 就是 四，那这个是四，这个是三。哎， 我，我的天，这是对顶角，这内错角，这内错角，角角角，这两个三比一，相似，相似比也知道了，三比四，相似比。知道之后 我是不是知道这个，他让我求的 g d 的 这个边儿在在另一个三角锥映的就是 f g， f g 跟 g d 的 笔。我知道了，那我总长度，我知道，这不好，我这不是 就能求出 d g 的 长了？你看这个式子，看这个式子，我先要求 g d 的 长，对吧？我是不是求出 f g， 我 就找 g d 的 长，但 f g 很 明显不在直角三角形里面，求不出来， 那我把换，换个思路，我求总长，总长知道了，你，你们一共是七份，除以七，算出来一份乘以四，就是 d g 的 长。啊，这个也是比较难的一个，我们要刻意的去找直角三角形， 好的计算其线段的长度。好的，这道题就分享到这里。
00:5429物理资料库
05:56查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家下午好，今天是二零二六年的五月二十六号，也就说不到一个月的时间，我们就要中考考场前了，那么截止到今天呢，应该陕西的中考题已经出炉了。好，那我们今天大胆的预测一下，今年陕西中考继续阅读的主旨方向，题材， 包括具体的题型。好，那今年呢，从体材上来说，肯定是百分之七十，考嗓的可能性非常非常大啊。我，我现在就基本能够确定是考的是三万，因为陕西连续已经三年在考销售阅读，在整个初中的继续文的学科体系里头，嗓门是一个非常重要的 一个分支，小说呢，是，反而是我们高中的一个重点。好，第一个，体裁确定式三文。那么紧接着考什么类别的三文？什么类别？三，我们三文可以分为写人的人物类三个修饰类三文， 也可以分为写景、抒情类的散文，也可以分为托物、言志类散文，包括状物类散文。那么今年呢，陕西极大的可能考的是叙式类散文，难度并不是很大。好，我们把 体裁确定了，把散文的类型确定了。那主旨，陕西今年会考考什么主旨呢？主旨，今年陕西的，我大胆的预测一下啊，是，今年陕西的散文主旨 绝大多数会考家国情怀，但是这个家国情怀不是我们之前理解家国情怀啊，包括打仗呀，军事呀， 啊，战争呀，包括写黄河这类的。那么今天的家国情怀呢？可能我们是通过一个探访古迹，探访一个自然景观或者一个村庄 啊，通过蓄势的过程中，了解这种古迹文物，包括这个村庄的一个人物，来体现对陕西文化的赞扬，对人文精神的赞美， 从而呢体现对家和家国情怀的一个处事的一个体现。好，那今年呢，我们会 考什么样的题型呢？这是非常非常重要的啊，很多同学可能觉得嗓门比较难读啊，或者读不懂，对嗓门有畏难情绪，其实在嗓门里头呢，我们同学们一定要去构建每一个学科体系的思维的轮廓，学科论思维 啊，就是我们的，我们的这个空间。其实嗓门呢，第一点他肯定是要考，你读懂了什么？我要读懂呢，那大家的命题就非常多了，也非常简单了，概括文章内容，文章中讲了几件事情， 甚至某一个词，他有什么样的理解，有什么样的言外之意，这种题型我觉得同学们做了很多，那第二类是什么呢？第二类散文，他一定是语言之美 啊，咱们的语言比小说的语言要优美很多，所以必然呢，是要考赏析题的。那赏析题无非就是句子赏析和加点字词赏析，句子赏析，同学们不要再去局限于修辞和描写角度赏析， 我们应该把眼光聚焦在，比如说特殊句式的赏析，用词的赏析，包括标点符号的赏析。 如果是景物赏析、环境描写赏析呢？同学们思维中应该去搭建 有没有五绝的描写，动静、远近这种角度的描写进行赏析。好，那第三个维度呢？作为散文来说的话，它一定是考的是情感。考情感可以考哪些题呢 啊？对某一个句子的理解，朗读的设计啊，通过在朗读过程中，我们的情感的基调，我们的重读字，我们的停联，来考对情感的把握， 那最后一个也就是我们情感加主旨了。情感和主旨考试的方向非常多啊，你比如说我们作者写作这篇文章的意图目的，这就是考主旨， 甚至题目的含义，题目的作用也在一定程度考了主旨。 还有我们这两年呢，特别会重点考的。是啊，比如说通过 心理活动来反推描写书啊，这是，这应该是刚才上一个陕西题里头的啊，心理活动的描写，还有个非常重要的题，通过一个句子的理解，结合权威谈谈你的理解，考的也是文章的主旨。 那主旨还会怎么考呢？有一种特别特别重要的题，吴老师在课堂给大家一再强调，就是我们的概括题，抽象概括什么，什么东西 为什么值得一来？什么什么为什么难以忘记？比如说这样的啊，比如说包括我们前年的成都的市体里头 那个嚷嚷和江麦声，为什么嚷嚷声中最动听的声音，最动听的声音类似，这样体是今年的一个重体。 好，当然的，关于今年的中考的一些具体的题型，那么我们本周六、本周天我们课堂上见，希望对同学们有所帮助。
581吴老师中考语文
00:24查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看一下二三年河北中考整体解方程，三 x 减六等于零， x 等于多少？这个题呢，考的是一元一次方程，那我们知道说一项 b 编号， 所以三 x 等于六， x 等于六，除以三等于二，所以答案就是二，你会了吗？
13李李
03:27查看AI文稿AI文稿数学基础比较弱的一定要看完陕汽中考每年都必考的测高问题，对于基础弱的孩子来说，这立体是数学上九十五的关键，所以最好也能拿到满分。 今天把兴工大刚考完的期末这道测高问题讲一下，理清思路。我是在西安高新讲解数学知识点的张老师，每天三分钟数学更轻松。来看一下题说有一座桥要测一个桥的高度，而无人机在这个桥塔 ab 的 上方 c 处 测得有一个角 d， c， a 三十七度，然后又测得另一个角 d， c、 b 是 六十度。无人机沿着水平方向，注意是水平方向有点 c 飞行一百七十五米到达点 d， 所以 c、 d 的 距离是一百七十五，而角 a、 d、 c 是 四十五度。 最后说 ab 是 垂直于 e、 f 的， 求 ab 的 高度。这道题我们拿到数据只有 ab 的 等于一百七十五， 所以最终我们要求 ab 的 长度的话，我们肯定要和 c、 d 去挂钩。而且有一些特殊角，比如说六十度、四十五度，那么看到六十度就要去想三十度、六十度、九十度的直角三角形。看到四十五度就要去想等腰直角三角形。所以我们要做 过点 a 做 c、 d 的 垂线垂足可以记为 j， 那 么三角形 a、 d， j 就是 一个等腰直角三角形，所以我们可以设 d j 为 x， 则 a、 j 也肯定是 x， 而 c、 d 是 一百七十五的时候，那我们就知道 c、 j 就 等于一百七十五减 x， 而又已知 a、 c、 j 这个角是等于三十七度的，所以我们其实可以看到 tan 值的三十七度就等于 a j 比 c j， 也就是 x 比上一百七十五减 x， 而 tan 的 三十七是等于零点七五，也就是四分之三，所以我们四分之三就等于 x 比上一百七十五减 x， 那 么 x 就 能算出来 等于七十五，所以算出来 a j 就 等于七十五，而 c j 就 拿一百七十五减七十五等于一百。所以 a j 算出来之后，我们要求 ab 的 长度，那么很明显 ab 是 由 b j 减去 a j 得到的， 所以我现在要想办法把 b j 求出来，而 c j 现在等于一百了，而 b j 比上 c j 是 等于看成的六十度的，因为这个大角而看成的六十度是等于根号三，所以我们最终 b j 就 算出来是一百倍的根号三， 因为精确到一米，所以最后答案等于一百七十米，而最终的 ab 就 等于一百七减七十五等于九十五米，这道题也就做完了。所以对于侧高模型来说，我们注意一些特殊角，六十度看到六十度就要去想 三十度，六十度，九十度的直角三角形，看到四十五度就要去想等腰直角三角形，这就是我们做此类侧高问题的一个关键，对于基础稍弱的孩子来说，一定要明白其中的原理。 好，今天的讲解就先到此结束，希望各位能够继续多多点赞，多多支持，把这些有用的知识分享给身边的每一个人。
03:09查看AI文稿AI文稿这马上中考呀，老师就用两分钟用普通话给大家把题讲一下，怕讲方言一些娃听不懂啊。这个题难度比较大，我们直接算的话肯定算不出来，嗯，大家也听不懂。这时候我们做这个题之前，我们先来几个铺垫， 那么第一个铺垫就是给了一个三角形，我们怎么算它的面积呢？如果这个边上是小 a， 这个边是小 b， 这是角 c 的 话，这时候我们过点 a 往这做垂直把这高算出来，这个高的话，应该等于这个 b 乘上 c， 没啥问题。这三角函数这时候的面积化二分之一乘以 a 乘以 b， 再乘以 c， 是 这个三角形的面积， 而这个 b 乘以 c 是 这个三角形的高啊，底是 a。 好 了，这时候如果说这个角 c 是 六十度的话，怎么算面积呢？那二分之一乘以 ab 乘以 c 六十度， 那就是四分之根号三 ab。 好 了，如果说这个角是三十度的话，面积应该是二分之一， ab 乘上一个三引三十度，应该等于一个四分之一倍的 ab。 好 了，这个角是六十度，它的面积等于这个角是三十度，面积的根号三倍啊。这第一个知识点啊，要铺垫一下。接下来我们看我们经常考的正方形里面给的一个角度， 然后问这个三角形面积的一个最小值问题呢？这个大家应该都会把这个三角形给他绕着点 c 旋转九十度旋转过来。 好了，旋转过来之后，这时候，嗯，我们会发现这个三角形的面积，它这个夹角是三十度，而 这个三角形它的面积它是加，这个夹角是六十度，我们会发现这个三角形的面积的根号三倍应该等于这个三角形面积啊，所以说 s 三角形 c、 h、 f 面积等于根号三倍的 s 三角形 c、 f、 h 撇。好了，这时候怎么算它的面积最小值呢？那只要我算出这个面积最小值，然后乘根号三倍就行了吗？它的面积最小值，这就很很简单了，经常我们考考过的模型叫定高定角形圆，我们把这个圆画出来，最后能算出 f、 h 撇的最小值，我就不算了，因为这太太太普通了，那么这个最小值应该算出来，就是这个答案。 好了，有底有高，那么这个面积的最小值我们就出来了。好了，那这个面积乘根号三就行了吗？ 好了，这时候我们再看这个题，这个题就变得非常 so easy 了，那看这个题怎么处理呢？这个题的话，问这个三角形面积最小值不太会，这时候我们过点 c 往两边做个垂直构造一个矩形，这个矩形里面有一个三角形，问这个三角形面积最小值， 我们说正方形里面有个三角形面积不会处理怎么办？把矩形给它弄成正方形，所以说我们把它变成一个正方形， 然后变成个正方形之后，这时候我们把它沿一下啊，沿一下，这之后你会发现这个三角形面积，请问和这个三角形面积是什么关系呢？这时候我们看一下，这个三角形应该和这个三角它是相似的，那么这是六比上六倍根三应该等于这段比上这个全长， 嗯，我们就发现 c e 和 c h 也是个一比三的关系，而这个三角形和这个三角形它高是相等的，所以面积比，等底值比，那底值比是一比三，那面积比是一比三，所以说这个小的三角形面积最后转化成这个三角形面积给它除以根号三倍。 好了，这时候我们怎么算这个面积最小值呢？那这个面积最小值就是一个正方形，边长是六倍，根号三，然后里面有个六十度角，求这个三角形面积最小值，我们刚算出来，在这放着呢。好了，那最终答案就出来了。好了，搞定。我是王一森老师，有十年教学经验，每天参会道中考题，关注我，不迷路。
17王益森老师聊数学
