沈阳中考数学二模答案步骤
沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频用了两种不同的方法给大家讲解的第二问，我相信大家收获一定会非常大，那么今天给大家讲解第三问， 那这个第三问，我也是用两种不同的方法给大家讲解，也是非常经典的模型。而当角 a、 b、 c 等于一百二十度， ab 的 延长线与 fe 啊交汇记点。 第一问，他让我们求角 b、 g、 e 的 度数，因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么这个角是不是等于六十度啊？ 我们要求这个角的度数，那不就是要求 b、 e、 g 的 度数吗？因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，所以我们可以得到角 a、 d、 c 等于六十度，因为这两个角是互补的，又因为 ad 等于 dc， 所以说这个三角形它是一个等边三角形，那么三角形 d、 c、 f 也是一个等边三角形，所以我们可以得到角 a、 c、 d 也是六十度，角 d、 c、 f 也是六十度，那么这个角是不是一百二十度？ 所以我们很容易得到角 b、 a、 c， 它是等于角 e、 c、 f 的， 因为它们两个加上角 a、 c、 b 都是等于六十度， 又因为 a、 c 等于 c、 f， 那 么这个时候啊，就出现了一个非常经典的模型，一边一角，模型 就是一条边相等，并且有一个角它是相等的，那么这个时候我们很容易想到使另外一条边相等，构造全等三型，那我们很容易想到延长 c、 e 使得 c、 m 等于 ab， 那么这个时候是不是构造的全等三角形？三角形 b、 a、 c 和三角形 m、 c、 f 是 全等的，那么全等之后是不是可以得到角 abc 等于角 m 等于一百二十度，并且 bc 它等于 f， m， ab 等于 c， m， ab， 它又是等于 b、 e 的， 那么跟第二个问题是不是一样， c， m 等于 b， e， 又因为有一个公共边 c， e， 那 我们就可以得到 bc 等于 fm， 又因为 bc 等于 fm， 所以 我们就可以得到三角形 e， m， f 是 一个等幺三形，又因为这个顶角 m 等于一百二十度，那我们就可以得到角 f， e， m 等于三十度，所以说这个角 b、 e、 g， 它也是三十度， 那么最终我们是不是可以得到角 b， g， e 等于九十度，那么这个就是一边一角模型啊，是一道非常经典的模型，大家一定要掌握啊，在中考当中啊，考的非常多，尤其我们辽宁的中考啊，多次考察，大家一定要掌握。我们再来看一下第二问， 他告诉我们 ab 的 长度等于八， f， c， g 等于一百五十度，让我们刚刚已经得到了这个角为一百二十度， 这个角 b、 g， e 等于九十度，那我们是不是可以把角 ac g 求出来一百八十度，减出一百二十度，再减出一百五十度，是不是很容易得到角 ac， g， 它等于九十度啊？这个地方非常关键啊， a， b， c 等于一百二十度，所以说角 e， b、 g 等于六十度，大家发现没有，这个一百二十度，六十度啊，都是非常好的角。又因为三角形 a、 c、 g， 它是一个直角，三角形告诉我们 ab 的 长度， 那我们是不是很容易想到，我们要过 c 点向 a、 g 做垂线，因为 ab 等于八， e 也是等于八，那我们是不是可以解三角形 b g e， 那 我们就可以求出 b g 等于四 g， e 等于四倍的根号三，他让我们求 b c 的 长度，那我们现在设一下 b h 为 x， 设一个最小的线段， 那么 bc 就是 二 x， 那 我们要求 bc 的 长度，那我把 x 求出来就行了。那我们是不是要建立一个等式？三角形 a c， g 是 一个直角，三角形 c h 是 高，那么这个时候我们会出现相似，出现相似之后啊，那我们就可以用射影定律， 那么这个时候是不是可以得到 a c 的 平方等于 a h， 再乘以 a g， 这个哈是收敛定理哈，我建议初中的学生啊，一定要掌握，就这个定理啊，非常好正，你用一下相似就出来了，但是我们知道他，那我们这个思路一下子就来了，那么这个时候我们就可以读到 a c 的 平方，他应该是等于八，加上 x， 再乘以 a g， a g， 它应该是八，加上四等于十二，所以我们就可以得到九十六，加上十二 x， 那 我们要列一个等式，那我们是不是要想办法把 a、 c 用其他方式再表示出来，然后它们两个相等。 三角形 b h， c 当中 c h， 我 们是不可以求出来，这个角为六十度，那么 c h， 它应该是等于 b h 乘以贪金六十度， 所以说 c h 应该是等于根号三 x， 那 么在三角形 a h c 当中，我们可以用勾股逆理把 a c 的 平方也表示出来， 那么 a c 的 平方，它应该是等于 a h 的 平方，就是八，加上 x 的 平方，再加上 c h 的 平方，就加上三 x 平方，那么这两个式子它肯定是相等的。好，那我们把它展开，所以我们就可以得到 六十四加上 x 平方加上十六 x 加上三 x 平方等于十二 x 加上九十六，四 x 平方加上四 x 再减去三十二 等于零，所以我们就可以得到 x 平方加上 x 减去八等于零。那我们再用一下求根公式，就可以把 x 解出来， x 等于二， a 分 之负， b 加减根号下 b 的 平方减去四 a c， 所以 它应该是等于二分之负一加减根号三十三，负值舍掉啊，所以我们就可以得到二， x 应该是等于 根号三十三减去一，那么最终 b c 的 长度就等于根号三十三减去一。你看这个题是一道非常好的题吗？他首先用了一下三角函数，然后用射影定律和勾股定律啊建立等式关系，那么最终我们可以解出 x， 那 么这个题大家听懂了吗？ 关注孔老师，那么下期视频孔老师讲解第二种方法，这个方法不一样，它是完全不一样的思路，也是非常经典的模型，我们下期视频见。
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03:06查看AI文稿AI文稿这道题呢，是刚考完的沈阳二模的二十一题啊，这个圆其实非常的简单，但是啊，我问了几个同学，有的同学括号一都没做上来，我觉得非常可惜啊，这个有什么呀？ 首先呢，题干上告诉我的是，这个圆有一个内接四边形，是吧？ a、 b、 c、 d， 然后 ab 为圆 o 的 直径，那么还有弧相等啊，弧 a、 d 等于弧 bc。 所以 说，我们看到这道题，马上就应该能想到的是，圆的内接四边形对角互补， 然后还有弧相等，它所对的圆周角和圆心角也都是相等的，对吧？第一个问，让我正平行，那么正平行的话，就是要么内错角，要么同位角，要么同行内角，就这些呗。 那么我们这道题怎么做的呢？首先，圆的内接四边形是对角互补的，是不？它告诉了我这个弧是对应相等的，那么就因为弧 a、 d 等于弧 bc， 我们可以把中间的这个弧 c 对 加上呗，所以弧 a 对 加上弧 c 对， 它就等于弧 bc 加上弧 c 对， 是吧？哎，那么我们就能得到弧 a、 c 和弧 b 对 是相等的，那弧 a、 c 如果和弧 b 对 相等，它们所对的圆周角是不是就相等啊？你看，弧 a、 c 对 的就是角 b， 看到了吗？ 角 b， 然后弧 b 对 对的就是角 a 啊，所以角 b 和角 a 它俩是相等的，然后你看，因为圆的内接四边形对角 a， 它俩是不是就等于一百八十度呀？ 那替换一下，所以角 a 加上角对就等于一百八十度，对吧？哎，那同边的角互补了，所以两条线就平行了，所以 a、 b 平行 c 对。 这道题的方法有很多啊啊，我看连接 o 对 和 o c， 然后等腰，然后去导这个角的上下平行也是能导出来的。 然后还有的同学呢，他去连这个 a c 和 b d 啊，这也是能做出来的，那你看一下老师，这个，哎，一条线都不用连，我们也是能做出来的啊，就是看你自己想怎么做的。然后我们看一下这个第二个问，第二个问呢，他是做了一个啊，切线是吧？做切线， 然后他说弧 c d 等于弧 c g 啊，弧 c d， 弧 c g 啊，能看得到是不是？哎，那这个时候呢，我们其实是可以做条辅助线的啊，把 c g 连上，如果连接 c g 的 话，这个位置是不是应该也是一个直角啊？告诉我 b e 长度是根号二，让我求弧 bc， 如果想要求一个弧的长度的话，我们是不是用弧长公式，你得找圆心角啊， 我们得看一下这个角度是多少度，对不对？还得知道半径是多少。好，那 b e 是 根号二的话，我们可以过点 o 再做一个垂直，然后因为这个弧的 c 和弧 c g 它们两个是相等的，这个 c 是 弧的 g 的 中点， 所以说这个叉角和这个叉角它俩应该是相等的，对吧？我们上面的这个叉呢，是弧 c d 对 的，然后左边左下的这个叉呢，它是弧 c g 对 的，这俩角是等弧所对的圆周角相等，那它俩就都得四十五度呗。那其实很明显啊，我们如果做一个这个 c h， 如果做一个这个 o h 垂直的话，这个三角形，它应该是一个等腰直角三角形，因为 o d 和 o c 它俩都是半径长度相等，哎，那都是四十五度对不对？那既然 o h c 是 等腰直的话，那 o c 这个半径是不是就是根号二？再乘根号二就得二了？ 那么我们直接代弧长公式呗。啊，弧长公式等于一百八十分之 n pi r， 那 就应该等于一百八十分之 n pi r 等于上下平行啊。四十五 pi 乘二答案，二分之 pi。
18:17查看AI文稿AI文稿大家好，今天上午刚刚考完的沈阳初三二模数学哈，我是刘德老师带大家一起看一下这套卷啊，这套卷的话和大连这个一模哈，有一点点相似之处，就是什么，它的这个二十二题是二次函数，二十三题是什么？几何哈， 然后其余的题，我觉得整体的卷的难度还是不错的哈，还是可以的。让我们来一起看一下前面题就比较正常哈，我把这张卷做了一下， 我们来看一下这个第呃，十五题哈，从第十五题我挑一些题讲，大家可以自己划这个进度条啊。十五题的话，这个是一个什么？ 是一个四边形， a， b， c， d， 哎，角 a， b， c 等于九十度，然后 b， c 是 大于 a、 d 的， 然后他在做什么？他这个什么做出来，做的是角，平分线，加角相等又平行，平行加角平分线就会出现，什么就会出现等腰哈， 哎，然后这两个平行，这两个三角形是相似的啊，这是四，这是二，这是三，这是二分之三。勾股定力三四五，这个就能知道它是二分之五，总长就知道。这有两种方法，第一种看见等到三角形，我可以怎么办？我可以做垂直， 对不对？哎，做垂直那总长是五加二分之五，是不是二分之十五？哎，你一半是不是二，二分之十五，再除以二四分之十五。在这个三角形里面，你这个角和这个小的里边是不是都是一样的？三四五吗？ 他这个点点对应的边就是四，哎，这就是三，这就是五分，那你就可以是他除以三乘以五，哎，这是第一种方法啊。 第二种方法的话，我可以用勾股定律，我可以过点 a 往下做垂直，对不对？我就设这个长是 x， 那 这个长是不是也是 x？ 这个是三，这是二分之三，这是不是二分之九？所以说这小段就是 x 减二分之九，在这里面用个勾股定律，它方等于它方，加它方就可以把 x 解出来了哈，这个也可以哎，四分之二十五，哈，这是第十五题。 然后，哎，这个十七题考了一个我觉得还不错的啊，考了一个什么，哎，分式方程的应用应用啊，这里边你解完之后一定要什么？一定要检验，哎，很多同学总也想不起来检验啊，一定要检验啊。 然后十八题考了一个这个三角函数啊，我们一模没有考三角函数，他考了个三角函数，这个的话就正常做规范书写，还要再约哈。然后十九题，这个也比较常规一些啊。 然后二十题，哎，二十题的话就正常做就行了。他求周长的最小值，哎，我们以前求周长的最小值，经常会用到什么长度最小值，或者周长最大值，或者什么最大值，一般都是二次求最值，问题对不对？哎，这道题里边其实 出了一个什么，出了一个一次函数求对式周长。你通过把直线解式表示出来，直线解式表示出来， d 点就不要设出来，然后 d 和 e 等高，说明它的弯相同，把它的横度要设出来，把 d 长度表示出来，把 d 这长度表示出来，它还加一起乘以二，就是它的周长，哎，你算到最后你会发现它是一个关于 n 的 一次函数， 关于 n 的 一次函数的话，如果它前面系数是大一点呢，是 y x s 增大而增大，哎，然后 y x s 增大而减小，如果是系数要小一点，你看这块是二啊，对不对？而 n 给了范围， n 是 不是大一点，负一，小一点一的，所以这里边那就是 c 随 n 的 增大而增大，他让你求最小值，那我就把负一带回去，所以周长是六哈，然后二十一题，哎，这道题的话，嗯， 跟我们以前烤那块一样，这种切线不太一样哈，和我们那个，你看他给的弧长相等，哎，那弧等是不能推相对在同圆或等圆中相等的弧能推圆周角相等，那直接是不是内侧角相等，这两条直线就平行了？ 而第二个，哎，这道题我觉得出的也还不错哈，也不是很难。现在这个圆哈，好像都没有像以前出的那么特别难了啊。他说这个 d c 弧和这个 c g 弧相等，那你可以把它连上，那同弧所对的什么是相等的呀？ 哎，同时对的。首先圆周角是相等的，对不对？这俩圆周角相等，那这块是直角，是不是说明它是等腰直啊？你一连上这个 o 又是中点，这块是不是直角？这是四十五，这是四十五，两根之间平行，这是不是四十五？这块是九十。其实你只需要求出它是四十五就可以了， 因为他让你求的是什么？哎，求的是 bc 弧啊，那是不是要求它求的圆心角是多少度？那我要求半径啊。这个长是什么？根号二，这是垂直，垂直，垂直，这是不是矩形了？那这个就是根号二，这个是不是应该是个等腰直 o h c 啊？那这个就是二弧长公式一百八十分之 n pi r 就 可以了哈，求出来是二分之 pi。 然后我们来二十二题，二十三题，呃，稍微详细的讲一讲啊。二十二题，第一个问，正常把两点带进去，就可以求出它的紧式哈，一定要紧式，要求准确，求完之后一定要把这个点再带回去，看他成不成立哈，这要成立才行，你这紧式都求的是错的，后面全错了哈。 然后第二个他说什么？如图一啊，这个点 p 是 它上一个点哎，点 p 在 外面右边，然后 e 是 它的什么终点呢？ e 是 不是它的对称轴，对称轴是不是直线 x 等于一啊？ 哎，那这里边的话，这个是负三到零，这是它。如果我能知道终点公式，可以直接用哈。嗯，但是我们也可以用全的，或者用相似来正一下啊。 你看这个一点的横坐标是一，哎，这是负三的零，是不是他俩的横坐标加一起除以二就是一点的横坐标，他俩的纵坐标加一起除以二就是一点的纵坐标吧，对不对？你只需要知道它的对称轴是一，那是不是 t 减三，然后你再除以二，就应该等于一吧，你就能解出来 t 等于几？ t 等于五啊， t 等于五，把它带过去，你的 p 点的纵坐标是不是就可求了？如果不用中点坐标公式的话，你可以用全等来求，你也可以用相似来求，怎么求都行啊。 这是框二，框二也还可以，框三是稍微费点劲的啊。我们来看一下框三，读一下题，他说将二次函数它的图像沿着射线来，你要把射线圈上啊， b c 的 方向平移，平移后的二次函数图像与 x 轴的两个交点中， 右边这个点是 f， 按连接 a c， c， f 射平以后到二次函数，它的对称轴为直线， x 等于 m， 当你 f 不 与它重合的时候，这也是要画重点，这肯定是有范围要求的，对不对？说这个三角形的面积小于二分之三，让你直接写出 m 的 平方， a 直接写出， 就喜欢直接写出，不用有过程，对不对？哎，那来看一下你第一个二次函数的解析，知道你另外等于零，是不是可以把 a 点 b 点的坐标解出来了？ a 点的坐标你解出来应该是什么？负一到零，哎， b 点的坐标解出来是多少？三到零啊，对不对？那对式中也知道 c 点坐标是不是也可以求出来 c 点是不是就令 x 为零，你就能解出来它应该是多少？零到负的二分之三？哈， a 点 c 点知道 afc， 那 这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个三角形的面积是不是跟 af 它的长度有关？哎，那我们来看一下这个是多少？ af 是 不是就是二分之三？ 哎，二分之三，二分之三约掉，说明 a f 就 要小于二，且你这个 f 和 a 不 重合， a f 是 不是不等于零了？他 不等于零，哎，那 a 点的坐标是负一到零，那他俩之间的距离你可以加个绝对值的，是不就说明你可以射，是不是 x f 减去负一就是加上一，他是不是小于二？绝对值小于二是不是说明他在负二到二之间？哎，你再加再减去这个一，是不是在负三和这个一之间？ 哎，可以的哈。所以你最后就能解出来什么，我的 f 点的横坐标是在负三到一，且不等于负一，那这三个是不是都是借点？ 负三是借点，一是借点，负一是借点。那我们就把这个抛物线移动后的这个抛物线解释给它搞出来，是不是就可以了？哎，然后你把这借点带出去，带回去是不是能求出那个小 m 了？哎，那我们来看一下怎么去求？你不是沿着它往左边移吗？对不对？哎，你去看啊，这条直线， 这条直线这个点的坐标是 o， 哈，这个点是那个 c， 你 看你这个是 b， ob 长是不是应该是三， oc 长是不是应该是二分之三？说明这个小角的弹性值是不是一比二？哎，然后你往下平移啊，它零点坐标是不是也相当于是沿着这条直线方向进行平移？ 它的角是不是应该都是一样的？你看这个小角啊，应该是一样的。那往左移这块，假设这块给个什么呢？给个 p q 吧，这个顶点就当没给啊。假设这是 p， 这是 q， 哎， p q 之间的长度 是不就应该是从一到 m， 因为他说往左移，哎，那一到 m 移动多少？是不是一减 m 的 单位长度？ 然后这不弹性的值不是一比二吗？那说明这个也就是 ph， 这个 h 是 新的抛物线的顶点坐标，哦，那 ph 长是不是二分之一， 二分之一减 m 长，哎，那这个 h 点的坐标横坐标是 m， 纵坐标是不是在负二的基础上再往下走二分之一减 m， 你 就用它减去它，是不是就可以求出来了？哎，就会发现它是二分之 m 减五，那这个抛物线的解释我就可以大概给它写出来喽，就长成这样， 然后我就把那几个界点带进去哈，把一到零带进去解出来，还有两个。把负三到零带进去，你解出来也有两个，那你说我要哪个？哎，正常情况下，你想啊，过这个一到零是不是左边有一个，右边有一个，你是往左滑呀， 对不对？你是不是沿着射线往左边走嘛，对不对？所以他一定要取得那个负的两个负的那个哈， 然后你要再把那个负一到零给我带进去，就不等的那个点，你带完之后，一个是 m 不 等于负四，一个是 m 等于负四，一个是 m 等于一，哎，一就是最原始的那个，那一定是要把这个扣掉，把负四这个扣掉哈， 所以说你去看他俩谁大谁小，哎，肯定是从最小的到最大的，然后把这个负四扣掉，你看负四在不在这里边，在这里边就给他扣掉，哎，这个就是二十二题，二十四题啊， 这个题我觉得出的也挺好的啊，前两个相对来说简单，第三个呢，还是有一定难度的啊，尤其是求这个，第一步你要先会求平移之后这个抛物线，哎，它的解析你要通过顶点来求它的开口大小没有变，所以说它的那个 a 二分之一是没有变的啊， 这是二十二题哎，我们来看一下二十三题。注意到题啊，这是一道几何题啊，这道几何题我觉得出的也还挺好的啊， 也不是那么特别特别难。括号三的圈二是有一定难度的啊，第一个问正常倒角就行了， 哎，记住哈，这个几何题哈，他都是给你，就是给你搭梯子。第一个问求出来的肯定第二个问有用，第二个问求出来一般可能第三个问有用，对不对？你要一点点的，他如果直接让你求这个，那可能稍微有点费劲，对不对？那我们来看一下这里边，嗯，给了说他俩 是那个互补，对不对？这俩又相等，那我就是阿尔法，阿尔法，这是一百八十减二阿尔法，这是不是阿尔法？给它翻折过来，这是不是阿尔法？哎，这三个蓝色的边都相等啊，那你看这个是阿尔法呀，这是不是也阿尔法？哎，那他俩加在一起是不是一百八十减阿尔法，他俩加一起是不是也是一百八十减？阿尔法？ 哎，同角和五角相等，这俩角是不相等，所以说括号一是不就出来了？那这两个角相等在之后的题中都可以应用了啊。那我们来看一下括号二，括号二，他说角 abc， 这个角是九十度， 他如果是九十度，互补吗？这个角是不是九十度了？哎，旁边这角就是九十度了，这俩又相等，说明这小的是等腰值，等腰值，这个大的是不是也是等腰值啊？也就是我的 c a， c f 是 不是应该是相等的？哎，可以的。然后他现在想让你求证， bc 等于 b e bc 啊， bg 等于 b e， 这是 bg， 这是 b e 啊。这块你知道是直角了，你想证明它俩相等，是不是证明有一个角是四十五度就行了，就能证出来它是等腰直了啊？哎，那我去观察这里怎么看？我看到刚才这个 acf 是 等腰直，我可能就会想到什么， 想到一线三垂直，哎，因为这块是直角，这块也是直角啊，我就不点 f 往下做垂线交 bc 的 延长线，一点 h， 你 就会发现这个三角形和这个三角形它俩是全等的， 它俩一乘等的话，你看这个绿色的边和这个绿色边相等，本身它告诉你了 a、 b 和 e 是 相等的，哎，它等于它。那剩下那俩小段是不是相等了？这一段和这一段是不是相等了？这俩算成乘等，我这 bc 和我这 f、 h 是 不是相等了？ 哎，所以这个小的 h、 e， 它就应该是什么等腰值了？它是等腰值，这点是不是四十五度？对顶过来是不是四十五度？我都是延长的，它是四十五，它是九十，这个是不是应该是等腰值了？ 哎，所以我就能得到 b、 g 和 b、 e 相等这道题，我这么做也可以，当然我还可以选择第二种方法，我就是在这块截一截，这不相当于一边一角了吗？我知道我的 c、 a 和 c、 f 是 相等的，我可以在 a、 b 上截取个 a、 h 和我这个 c、 e 相等，然后你一连接 h、 c， 那 这两个小细条的三角形是不是就全等了？ 当然全等，哎，那我就有什么对应的角相等，这个角和这个角肯定是相等的，哎，这两个红色的边相等，那 b、 h 和 bc 是 不是相等了？ 所以 b、 h、 c 是 不是应该是等腰直角三角形，这是直角这四十五，这一百三十五，这是一百三十五，这是不是四十五了？它如果是四十五，这块又是等腰直了，我这个 b、 g 和 b、 e 是 不是又可以证出来它俩相等了，哎，可以的啊，这个是 第二个问哈，也可以用两种方法来做。然后我们来看第三种第三题哈，科二三，科二三，他说当他是一百二十度，这个题我觉得考的很好哈，就是我觉得很有梯度，你看你这个科二一、科二，其实科二都在考初二的内容，这个全等对不对？而科二三的圈三就设就涉及到了相似， 哎，就把这难度往上提了一下哈，而且计算量也是有的。这里边他让你求角 b g、 e， 他的度数哦，给了什么条件？给了这个角 abc 是 一百二十度，他是一百二十度，他是不是六十度， 这两边相等呀？这是六十、六十、六十，这都是六十，这是一百二十度，哎，这不是又是那个类似于一线三三等角吗？对不对？之前一线三等角都是等腰直，这个是一百二十度，一百二十度。当然这个题你也可以用刚才那两种方法，一种是什么？你可以做一个，就是做个大的， 就再做一个大的全等。另外一种你可以做个什么？可以截一个，截一个，一边一角正全等，哎，我们一个，我第一个， 你可以怎么办？你可以我延长 c e 至 h， 使我这个 c h 啊，和我这个是相等的，那这俩三角形是不是边角边全等了？全等，你这角是一百二十度，这角是不是一百二十度？ 哎，可以的呀，然后你去抖边的关系哦，这个 ab 等于 c h 等于我的什么？等于我的 b e， 哎，那这两个小绿边是不是相等了？ 本身这俩三角形全等呀，这俩三角形全等，你这个 b、 c 和我这 f h 是 不是相等？所以说就可以导出这两个绿边相等，这俩绿边相等，那是不是等于三角形？一百二十度，三十度，三十度，他是三十度，这是三十度，这是一百二，这边是不是六十、 三十、六十，那这个角是不是九十度？他不让你证明这个角是多少度吗？哎，证出来了，九十度，三十、六十，还是个特殊的三角形，一定有点用哈，可以这么做，也可以 在这上结就结， a、 h 等于我的 c、 e 长连接，证明俩小三角形全等呀，对不对？小三角形全等。你看这个 ab 等于 b、 e 这俩小边相等，那我的 b、 h 和 bc 是 不是相等？一百二十度的等腰是不是三十？三十？一百五，一百五，这是不是三十，这是不是六十？这不又回来了， 都可以哈，都可以。然后，哎，他是九十度，那我来看最后一个问哈，圈二，他若 ab 等于八角 f， c g 等于一百五十度，让你求 bc 的 长，哎， a 这是八， 然后呢？这个角 g c f， 哎，是一百五十度，哎，这跟我们刚才有个一百五十度是不是很像啊？你看刚才这个角，我是不是得出的是一百五十度了？ 所以如果我用这个方法的话，然后这个题当然也是两种方法啊，就是我去看，哎，一百五十度，这个角也是一百五十度，这一看就有个反应相似了， 对不对？但是你也得仔细去观察你才能看出来啊，不可能一眼就看出来。那我们来看一下他让求谁长，他让求 bc 长啊，我们一般求什么射什么，对不对？我就求 bc， 我 就射的是小 a， 这就是小 a 一 百二十度的等腰三 a， 哎，这个也是刚好三 a， 哎。然后你去看这个长是多长，这个长是八呀，对不对？哎，这长是八， ab 是 八，那 b e 是 不就是八？ 哎？ b e 如果是八的话，这不三十对角随的边西边一半，这是四，这是不是四倍刚刚三。我的 g c 长是不是四倍刚刚三？ 哎，那我来看一下，这里边我三角形，我的这个 f c e 和我这个 f g c 反 a 相似，对不对？哎，这个是刚好三 a， 那 你这个 f g 是 刚好三 a， 再加四倍，刚好三。如果我能把 c f 用含 a 的 式子写出来，这是不是就可以列列个方程了？ 函数的方程，我这小 a 是 就可以解了，这道题就出来了，那我就想怎么去呢？这又是一个解三角形啊，什么叫解三角形？在三角形里边可能给你一个角，给你两个边，哎，让你去求其他的条件，其他边，其他角，或者给你什么那个几个边，然后让你去求角，一般可能会什么， 给你一个角，两个边，让你去求其他的边哈。哎，那我来看一下，我把这个给它拿出来，我把这个 abc 给它拿出来啊， abc 给它拿出来了， ab 长是八呀， bc 长是不应该是小 a 吧， 对不对？哎，那在三十个在这个直角三角形中，三十根弦的边形的一半，这是二分之 a， 这是二分之二三 a， 那 你看在这个直角三角形 a m c 中，是不是 a c 的 平方，应该等于 am 的 平方加 m c 的 平方啊， 而 am 是 不是八，加二分之一的平方加上二分之二、三的平方，你可以把它打开整理哈，它可以化简合并到这块，就是 a 方加八 a 加上六十四。 哎，那由于这个三角形和这个三角形它俩反义相似啊。反义相似我是不是能得到谁啊？我能得到我的 c f 的 平方就等于我的 f e 乘以 f g。 哎， c f 的 平方不就是 ac 方吗？而我的 ac 方是多少？我的 ac 方不就是刚才写的这个吗？ 你直接给他带进去，让它等于根号三 a 乘以它，把它打开整理化简合并就能得到关于 a 的 一元二次方程。你可以解出 a 有 两个，一个是根号三十三减一，一个是负根号三十三减一。这肯定舍了。哎，留它啊，这种可以上面这个一样的呀， 对不对？没有什么区别啊，也得利用这个 a c a， c 方也是这个啊，就是一样的。 所以说整体看一下这个卷哈，我觉得，哎，还是挺好的，就是让适合自己能力的孩子得到自己适合的分数哈。一定要严谨一些，拜拜。关注刘老师，再见。
119大连倍多分刘丹数学
13:50查看AI文稿AI文稿同学们好啊，我们讲一下这个沈阳二模考试，呃，二十二题啊，那么这张卷纸整体来说其实不算特别难，但是有的部分计算量还是比较大的啊。来，我们看一下二十二题。 首先它说 y 等于 a， x 方减 x 加 c， 这个图像与 x 轴的交点是 a 点和 b 点，然后与 y 轴交于点 c。 首先呢，我们这个 c 点与 y 轴交点就是小 c， 对 吧？ 那么它就是 y 等于 a， x 方减 x 减二分之三呗，哎，然后把 a 点坐标再带进去，小 a 就 求出来了。那么第一个问是白给的啊，老师直接告诉你答案，它是 y 等于二分之一， x 方减 x 减去二分之三。 我们看一下第二个问，第二个问也是白给的，它说如图一点 p 是 这个图像上的一个点，并且它还在对称轴的右侧，在直线 bc 的 上方。来，我们 划一下啊，直线 b c 是 这条线对吧？还在对称轴的右侧，那对称轴不是一个虚线吗？也就是说我们只能是哪段抛物线呢？哎，只能是这一段对不对？哎，得在 b、 c 的 上方，还得在对称轴的右侧好，那么既然 p 点在这个蓝色这条线上，哎，我们继续去求啊。点 d 是 b 点，关于 y 轴的对称点，我们已经知道具体的解释了呀， y 等于二分之一， x 方减 x 减去二分之三，那么我们就可以直接求出来啊，如果令 y 得零的话，是不是就能求出 a 点和 b 点的坐标了呀？ 这个 a 点的坐标算完是负一到零，这个 b 点的坐标算完是三到零。然后由于 d 和 b 是 关于 y 轴对称的，所以 d 点的坐标应该是负三到零，对吧？好，那 d 点坐标知道了，负三到零，然后这个 e 点它不是对称轴吗？哎，我们是可以求出来这个顶点坐标的，是不是一到负二啊？哎，那么也就是说我们这个抛物线它的对称轴 就是谁啊？ x 等于一，对吧？哎，也就是说一点的横坐标，哎，就是一，这儿点的横坐标就是负三，哎，那么我们通过钟点坐标公式就可以求出 p 点的横坐标了，对吧？为什么呢？因为题干上告诉我了呀， pe 等于 d， e， 这个 e 是 钟点钟点坐标公式啊，我们可以求出 p 点坐标是五啊， 对吧？没有问题。好，然后 p 点的横坐标求完了之后，因为减一式是知道的，所以我们把这个 x 等于五代入到抛物线的减一式当中，一求就完事了啊。求通坐标代入的话，应该是 y 等于二分之一， x 方就是二十五，再减去五，再减去二分之三，对吧？这个算完得六，也就是说 p 点的坐标是五到六啊，这是我的第二个问， 然后我们看一下第三个问啊，首先这个第三个问呢，他说我们现在要把这个抛物线哎，沿着射线 b、 c 的 方向进行平移，他是斜着平移的，对吧？平移后的二次函数的图像与 x 轴的两个交点当中，右边交点是 f， 然后连接之后，我们设平移后的这个图像的对称轴是 x 等于 m， 并且 f 和 a 不 重合啊，这个可能是要舍解用的，并且我们还满足面积小于二分之三，请直接写出 m 的 取值范围。 其实只要是求取值范围的题，我们只需要去求临界值就可以了，那么我们根据他给我的这个图二啊，现在能看得出来， a 点是不动的，是负一的位置，然后他把抛物线向下平移之后， f 点是在这的，对不对？然后他说 a c f 的 面积是小于二分之三的， a c， f 是 这个三角形啊，那么我们想要先表示出 a f 的 长度，然后高，我是 o， c 是 已知的对不对？ o c 的 长度固定啊，就是二分之三，因为我们这个 c 点的坐标是已知的。好，我们表示出 a f 底升高除以二，让它等于二分之三求邻值就可以了。那么我们把这个图像放大，然后老师带你算一下。 首先呢，圆抛物线的解式啊，是 y 等于二分之一， x 方减， x 减去二分之三的，对吧？ 我们这个抛物线呢，它是沿着 bc 进行平移的，它是整体平移的，所有的点平移的方式啊，距离啊都是一样的，那么我们就可以去表示新的抛物线的解释，那这块有的同学就不会了，我们其实可以用顶点式来表示表示顶点啊。首先，哎，我们看一下啊，这条线是什么意思呢？就是我们 我们可以看一下这条线，因为我们这个抛物线整体平移的时候是沿着直线 b c 的 方向进行平移的，所以它的顶点平移的方式也是沿着 b c 平移的，对不对？ 我们可以先求一下这个 b c 的 解释啊， b 点的坐标是三到零，然后 c 点的坐标呢，是零到负二分之三，所以说我们能求出 b c 的 解析式，对吧？ b c 的 解析式是 y 等于二分之一， x 减去二分之三， 然后我们表示出 b c 之后呢？我们新画的红色这条线，它的斜率和 b c 也是一样的，因为两条线是平行的，对吧？哎，这个的 k 它也等于二分之一啊，那么我们就可以 表示出这条线的解析式啊，它 y 应该等于二分之一 x 加上 b， 然后因为我的这条红色的线啊，就可以写个 y 红，是吧？哎，它是经过我们原抛物线的顶点的， 原抛物线的这个顶点的坐标呢，是一到负二，所以说我们把顶点这个一到负二带进去就可以了，那你能算的出来应该是负二等于二分之一加 b， 对 不对？算完 b 等于负二分之五，那也就是说我们 y 红色老师画的这条线啊，它的解析式二分之一 x 减去二分之五。 求这条线的目的是什么呢？是表示一下新的抛物线它的顶点的坐标，因为旗杆上告诉我了，新抛物线对称轴是 x 等于 m， 对 不对？哎，那么我们就可以把 新抛物线啊，这个顶点的坐标，新顶吧，是吧？哎，表示出来新顶的横坐标是 m， 纵坐标就是在这条线上的，对不对？所以我们应该表示为 m 到二分之一 m 减去二分之五，这个是我新的抛物线顶点的坐标，然后我们可以用顶点式来表示我们新的抛物线的几何式 啊，新的抛物线怎么表示呢？因为它是进行平移的，所以它的开口方向和开口大小是不变的，那么小 a 就 不变，小 a 还是二分之一 啊， y 等于 a 倍的 x 减 h 的 平方加 k， 这个是我们学的顶点式，对吧？然后我们把顶点坐标带进去的话，啊， a 等于二分之一，是不，二分之一倍的 x 减 m 的 平方，然后再加上谁啊？哎，这个式子就是二分之一 m 减去二分之五，这个就是我新的抛物线它的解析式， 然后接下来我们别忘了啊，最终的目的不是要让这个 a c f 的 面积让它等于二分之三吗？对吧？我们求邻界值的时候都是按等于号算的，那么我们就要表示出 f 点的坐标， f 点怎么表示呢？就是我们新抛物线与 x 轴交点的坐标，那我们让这个式子为零不就可以了吗？ 啊，这块多画了一个弧。 好，那么我们就让这个新抛物线啊，啊，二分之一倍的 x 减 m 的 平方，加上二分之一 m 减去二分之五，让它等于零。我们首先第一步，所有项全乘二 x 减 m 的 平方，加上 m 减去五等于零，然后里边的给它打开啊，首平方啊，加上尾平方乘积的二倍啊，不用非得放中央加 m 减五等于零，然后整理成一般形式，对不对？哎，然后这个时候呢，我们可以要求 x 的 话就进行配方呗，那 x 方这个 然后带 x 的是减去二 m x， 对 吧？好，然后 把其他的部分全都扔到等于号的另外一边，等于负 m 方减 m 加上五。然后接下来呢，我们得配方配方，我们看应该加多少能配成完全平方呢？应该是 x 方减去二 m x 加上一次项系数一半的平方，一次项系数的一半是负 m 平方，好像正好是 m 方，是不？ 那两边都加上 m 方呗，那这头这个 m 方就抵消掉了，那就剩五减 m 了，是这样的吧，也就是说 x 减 m 的 平方等于五减 m， 哎，你看一下这个五减 m， 它是不是正数啊？肯定是因为这个 m 是 小于五的，对吧？好，然后 x 减 m 就 应该等于正负根号下五减 m， 那么 x 就 应该等于，哎，正负根号下五减 m 加上 m， 对 不对？好，然后我们求的这个 x 呢，其实应该是新抛线与 x 轴的这两个交点的坐标，对吧？哎，加法的是 f， 减法的是另外这一边，所以说我们要表示 f 的 话，那 f 点就应该取正的， 那我们就取正的这个根号下五减 m， 对 吧？再加 m 都零，这个是我们 f 点的坐标。好，然后接下来我们是不是要表示 a f 乘上 o c 除以二等于二分之三就可以了？有同学一看，怎么还带根号又带字母的，这个没法算了呀，其实还是非常好算的， 我们把这个式子列一下啊。首先呢， a f 的 这个长度应该是 f 减 a， 对 吧？右减左表示距离，那我们应该是根号下五减 m 加上 m， a 点是不是应该是加一啊？这个是 af， a f 乘上 o c 的 长度是二分之三， a f， 对 吧？乘上 o c， 然后再除以二等于二分之三，是这个吧，我们求邻界值，让它面积等于二分之三，这个没有问题啊。好，这个式子也非常好求，我们可以用平方把根号抵消掉的。 首先这两个二分之三是不直接就抵消掉了呀，对吧？把这个二乘过去啊，所以说， 所以说呢，根号下，所以说呢，根号下五减 m 加上 m 加上一，是不应该等于二啊？然后把不带根号的部分全都扔过去啊，移过去，二减一减 m， 那 就是一减 m 两边同时平方， 五减 m 等于一减 m 的 平方，对吧？好，那么这个式子给它打开啊，那五减 m 等于一加 m 方减去二 m， 那么我们整理成一般式， m 方减去 m 减去四等于零，那剩余的部分老师就不不跟你说了，是吧？这个式子我们把它配方 m 减去二分之一的平方等于四分之十七啊，我们就能求出来这个 m 的 值了，那这个 m 的 值呢？应该等于的。是啊，正负 二分之，根号十七加上二分之一，那我要哪一个呢？肯定是要减法的，这个对不对？因为我们 m 点表示的是新抛物线的对称轴的位置啊，如果这个位置要是取加法的话 啊。答案，如果要是二分之，根号十七加二分之一，它这个啊， m 的 值都应该对称轴在 b 的 右边了，因为 b 点是三，对不？哎，如果你这个答案是二分之，根号十七加上二分之一，这好像是三点多， 那对称轴怎么可能是在 b 的 右边呢？因为它是沿着射线进行平移的，只能往下平移， m 只能小于三，所以这个是舍掉的，对吧？所以说我们这个 m 的 值呢，就应该等于的是负的二分之，根号十七加上二分之一，那这个 m 等于它啊，只是我们右半边的这个答案，我是还得求一下左半边啊。 好，我们看一下另外一种情况啊，老师在电脑上画的，可能有点有点抽吧，是吧？啊，不太好看啊，但是是这个意思，就是我们把这个抛物线继续向下平移的这个过程当中，它还会出现一种情况，让这个三角形的面积是二分之三的，对不对？我们求的是临界值吗？哎，刚才 f 点在这的时候， 这个 a、 f、 c 的 面积二分之三，还有可能 f 在 左边的时候，它的面积是二分之三，那么这个时候我们应该怎么去求那个小 m 的 值呢？ 其实还是非常简单的啊，我们刚才的那个 f， 它的坐标已经表示过了，是根号下五减 m 加 m 到零，这个是不变的，对吧？然后只不过 f 和 a 换位置了，那这个时候我们右减左表示距离，那就用 a 减 f 呗， a 点坐标是负一到零，所以此时的这个 a f 的 长度应该是用 a 点的这个负一，然后减去 f 这个整体，那我变号啊，全变号是吧？再减 m， 这个是 a f 的 长度，然后我们 o c 的 这个高是不变的，它是个钝角三角形，高不变啊，那么我们 表示一下啊，就是 a f 乘上 o c 除以二，还等于二分之三，对吧？那也就是负一减去根号下五减 m， 再减 m 这个整体，然后乘上二分之三，再除以二，还等于二分之三，是这个吧？哎，那这个时候二分之三也是一样的，直接约掉了，然后其余的部分我们正常去算就可以了。 那这个算法呢？跟刚才是一模一样的啊，我们正常把它表示完之后呢，整成一般形式是 m 方加上七， m 加上四等于零，你配方也行，公式也行，我们是能求出 m 的 值的，这个 m 算完是正负二分之，根号三十三，减去二分之七。当然了，我们要的肯定是哪个呀？哎，带负号的这个啊，所以说我们要的是 m 等于负的 二分之，根号三十三减去二分之七，就是我们现在这种情况就临界值，当这个阴影三角形的面积正好是二分之三的时候，这个对称轴 x 就是 负的二分之根号三十三减去二分之七。 好，然后这个里头呢？题干中有一句话啊，当 f 和 a 不 重合的时候，那你是否还要在 判断一下啊？就是我们这道题，应该是从这个抛物线绿色的这个平移到下边红色的这个抛物线，这个过程当中 m 的 取值范围是不是？哎，一个刚才这个是 x 等于啊，二分之 一减去根号十七，对吧？然后这个在这个位置，那我们的基本范围就知道了啊，这个 m 它应该是大于 二分之负根号三十三减七到二分之一减二十七，这个范围内的，对不对？由于 f 是 不与 a 重合的，所以说 m 有 一个点是取不到的，你要给我扣出来，那这个扣出来的点怎么求的呢？ 扣出来的这个点就应该是这个新抛物线，这个 f 点正好和 a 重合，这个点是要扣出来的，对不对？哎，那我怎么去算此时的 m 的 值是多少呀？我们就可以把 a 点代入到新抛物线的解析式当中就可以了， 这个是新抛物线的减一式，然后我们这个黄色的新抛物线，它不是经过 a 点，这个点要抠出去吗？ f 不 能和 a 重合对不对？ a 点的坐标是负一到零，把负一到零带进去， 零等于二分之一倍的啊，负一减 m 的 平方加上二分之一， m 减去二分之五，然后给它全部都乘以二，那么就是负一减 m 的 平方加上 m 减去五等于零，是吧？ 把它打开整理一下就可以了。一加上 m 方加上二， m 加上 m 减去五等于零， m 方加上三， m 减去四等于零啊，你十字相乘一下就可以了，是吧？这个应该是 m 减一乘上 m 加上四等于零 啊。 m 一 等于一， m 二等于负四，那当然了，一这个肯定是不对的呀，对吧？哎，所以是负四啊。那么我们还要再写一个，并且 m 不 等于负四，那这个就是我们二十二题括号三的答案。这个二十二题只有括号三，他的这个计算量稍微大一点啊。但是 这道题是请直接写出 m 的 取值范围的，所以说他还是比较白给的。但是最起码第一个问和第二个问题是要给老师算出来的。
120沈阳初中数学桥老师
06:05查看AI文稿AI文稿辽宁沈阳二模居然把二十三题放入了一个几何题，一边一角构造全等，好，我们看一下这道题，我们先来看一下这个题，就是整体他虽然是有折叠，但是呢这个折叠啊，可能在我们在证明的过程当中吧， 用的不是说特别特别多，可能只用到了一个对应边和对应角相等就可以了，比如说 ac 折到了 cf， 这个对应角 ac 对 啊，和角对 cf 相等啊。然后呢，我们第一问主要就讲那个什么包角，它是一个类三等角， 这里边就是我们再去做这个题的时候，你可以进行一些标注，比如说这里边画上它加上这个，比如说角一角二，角 b 合起来，三角形内角合，对吧？那这时候进行一反折的时候，让证明的是这个角 b、 a、 c 啊，和这个角 e、 c、 f 能够相等。然后我们去看一下这里边要想相等的话，实际上那就是 这个角要想得到它是角一，很明显你看这个俩圈啊，加上角二和这边是一百八十度，那通过这个三角形，我们知道角一加角二加上角 b 也等于一百八十四，你只需要证明角 b 和 a、 c、 f 能够怎样相等是不就可以了，对吧？哎，这就是一类三等角的问题啊。然后呢我们往下 照第二问的时候，如果说给它一种特殊情况，它是一个九十度的情况下，哎，这 abc 九十度实际上就是我们角 abc 和角 acf 是 能够得出相等的，那它也是一个等效值，哎，在这那这个时候我们可以直接记住，第二问当中我们可以锁定哪个点呢？就是我们第一问当中的这俩角怎样相等？角 b、 a、 c 和角 e、 c、 f 也是相等，这就是属于什么？ 一边一角你可以进行什么构造？这边是一个直角，那我就搁这边做一个 f、 n 垂直 bc 延长线于点，这时候我会得到 e、 f、 c， n 和 abc 全等。全等以后就是你永远记住到中考那天也是要去找对应边和对应角相等，这里边我去找这个对应边相等，就是 ab 对 的是 c、 n， 然后我们还知道 ab 还和 b、 e 也在那相等，你看 abbe， c、 n 相等说明了什么？中间这个横屏的当中有 b， e 和 c， n 相等，去掉公共段，说明了 b、 c 和 e、 n 也相等。同时全等的另一组边 f、 n 和 b、 c 也相等，说明了 f、 n 和 n， e 是 怎的， f、 n 和 n、 e 能够相等。什么形的等腰直角三角形，说明这多少度？四十五度，那这也是多少？四十五，四十五，这直角说明了角 g 也为多少？四十五。在这是不是形成了一种 a、 b、 b、 e 和 b、 g 又都怎念相等的一个图形结构了？好了，这你就证明了它俩怎念。 而到了第三问，把这个特殊的直角又变了，变成多少度了？一百二十度了，就是由非特殊到特殊直角，再到特殊一百二，始终都是这一问题，条件没有变，所以你的方式方法不变。那我们到第三问的时候，直接就锁定这个一边一角在哪呢？ 在这依然是那个 n， 字母都不用变，我会得到的是 c、 n、 f 和 abc 依旧是全等，而且这地方是多少度？一百二十度，同时我还是能够得到 e、 n 和 f， n 是 能够相等的，那么它就为多少度了。 三十度，三十度是这样一一百二的一个等式象形吗？把这个三十度刚才还是四十五对顶过来，现在是三十对顶过来，这边一百二的股角六十，说明这多少三角形内角和 多少九十度了，哎，这是这个括号三的圈一，紧接着给你来个圈二，那么我再给你们讲题的时候，就是要把这个圈一的结论依然还要用上，它是一个直角，而且是一个三六九。好了，再去看数据，如果给了 ab 等于 八的情况下，同时现在 ab 和 b 相等，我利用这个三六九是不是得出 b g 等于四这两个数据？ ab 和 bg 很 有意思啊，他俩是什么关系？二比一的关系。那这时候我们如果以我的方式讲，就是一种以特殊节点 八和四十二比一，我可以去进行构造相似，相似的话，这个典型的一个什么八字形，我可以去过点 g 做一个 g s 垂直的这个水平线，也可以过点 a 做这个水平线垂直线八字形 a b m 和 g、 b s 相似，相似比是二比一，通过三六九，我们知道四二二倍根号是三八，四四倍根号是三。好了，那这个时候你要想求 b c 的 长度差一个谁，差一个 c s， 那 我就把 c s 设为 a 好 了。这里边还有条件，一百五，没用的，一百五在这，这一百五， 哎，你看之前我们是不是会得到这点多少跟他是相等多少？一百二，一百二，一百五合起来多少了？两百七十度了，说明了这点多少度一圈是不是三百六十度，说明他 acg 角 acg 也为多少度九十度了？ 再看这个是一个什么？是不是类似于三垂直的一个相似三角形 c h g 和三角形 a c m 依然相似，那我就把 c h 设为 a 这里边，他俩一旦相似以后， c h 是 对应了那边的 am， 反过来这边这个长一点的这个 g h 对 的是这个谁？ mc 列方程呗。 c h 设为 a， 对 上 am 是 四倍，根号三等于的是 g h， g h 多少？ g h 是 二倍，根号三对 a 在 这看这 mc 这是不是有二有四？有二加上一个 a 就是 六，加 a 交叉相乘 a 方加六， a 等于二十四，配个方就可以了，加三平方等于三十三，最终解完 a 等于根三三减三没算完，你要求 b 七格外加个什么二就可以了。所以最终 b 七长度是根三三减三，加二等于根三三这么一道题 啊。这是其中一个方法。还有我们可以，如果你已经知道这是什么九十度角以后，包括我们还可以把进行给什么延长这个，因为他是一百五十度角，我们可以去找一百五十度的补角多少度三十度我们可以将这延回去。我也可以通过这个直角三角，比如说来一个 k 吧， c k g 和 a c g 是 不是一种子母？双垂直的子母相似，所以说这不设整数里面对就是它，你也可以通过设数去解方程， ok 吧？好，这是我们刚刚考完的这个二十三题，它放在最后 一题了，哎，说明它的难度肯定要比二十三数难度要大一点啊。这是我们这个题，然后具体这个方法，如果想要有这方法的可以私信我。
97数学狂人张老师
03:19查看AI文稿AI文稿沈阳市初三试模的卷数学卷我刚做完，做了一下，十五题，还有二十二题，二十三题还有二十一题，然后这道题做了，然后像是前面那个三角函数题，我简单看了一眼，嗯，就是正常，我们知道一边去导边题都不需要去设方程，这还是比较简单的，主要说一下十五题、二十二题和二十三题。 十五题这里头孩子只要能找出一个一维相似，二维平线之间出现了角平面线，那么他一定会出现，等到三角形这题就完事了啊，勾股一列，这就 ok， 很 简单。那我之前说吧， 以后我们这种正经八百大考里，十五题他不会给你出难的，因为现在一个这两年趋势就是这样。然后是二十二题和二十三题，看到二十二题的时候，其实我心里有数，这道题一定不会难，为什么？ 因为他在二十三题的时候，他的难度都没有说特别特别大，那种就任何的大型考试都算上，那么把他这道题挪到了二十二题，难度他也会再降低那么一点点。 二十二题前两问非常简单，就正常，你是上课能听课，然后我们对于咱们一轮复习也好，或者是数学学习稍微认真一点，这题前两问就必须得拿分的题， 你说要是基础不好时，第二问费点劲，那可能会出现这种情况啊。然后括号三，面积问题呀，那看到这题都得乐开花了啊，面积问题，多少年没有这么去考过了呀？放到最后一题，那给了 a、 c、 f 的 面积小于二分之三，直接确定 f 点位置，但这里头仍然有个坑， 他考察的是抛物线的平移问题，平移表达解析式的问题，这是我压轴课第一节课我就讲的内容，也是我一轮复习当中重点讲的内容，表示 解析式，但是在表示解析式的过程当中，它出现一点 b c 的 解析式是什么？沿着 b c 走，但是不按这个来要求出顶点的解析式，这样的话就能表示出来了，然后把这个点一确定，咔往里一带，人家说不与 a 重合，然后把 a 那 个点咔砍掉，两个范围一取完事。 二十二题还是挺简单的啊，然后我本来是怀着很忐忑的心做了二十三题。二十三题第一问，还可以啊，做的挺顺利。第二问，哎，也还行，这里头会出现了一个手拉手，构造相似， 整个手拉手相似才能做出来，一下就整出来，整出来之后括号三圈一能也能算出来，它跟那个括号二是一样的，但是到圈二时候可能会稍微费劲一点， 因为这里头会用到这个。另外一个相似的问题，我没研究还有没有什么其他的方法啊，反正我是用相似去做，用相似去做反正不是特别的难，但是这个相似在考试有限的时间之内，这可能稍微费劲一点， 所以在这一次考试当中，我总结一下啊，有关于拔高同学啊，二十二题的第三问和二十三题的第三问，二十三题的缺二，我觉得你要是在有限时间没答上来的话，有情可原吧，但是这是能答上来的题。然后对于二十二题的括号三，如果你连第一个 f 点的位置都没找到的话， 那这学习绝对是不到位不过关的啊。然后如果你都没有表示出平移之后的二次函数表达式，那学习也是不过关的。这种正常老师肯定都会讲，而且我的课堂当中讲了不止一次了啊。其他题就是正常题，包括语文那道题我也做了，很简单，比之前做的题要简单很多。 我们沈阳市这次出题啊，手下留情了。然后这套卷呢，也是非常值得大家做的一套卷的评论区留言，一个数学卷，让孩子练一练。
26徐老师数学思维
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.9万亮亮巧解数学
03:31查看AI文稿AI文稿沈阳刚刚考完这个二模啊，达到这个分数的，咱们沈阳或者辽宁省才有一战之力啊。这里边精华的题唐老师已经挑出来了，咱们其他城市的小孩把这道题领回去做一做压轴题。老于老师的视频讲解，咱们家长要领取这个按摩卷的留言，沈阳按摩，下面咱们进行详细的实表分析。 前面前四道题呢，白给分的啊，你给先替你小孩去做，他也能会啊。往下来我们这个这几道题啊，其实都不难， 主要是一个第九题，稍微有一点的难度啊，可能给小孩卡住。这块呢，你用这个角和这个角呢，余弦值相等啊，处理这个问题是最简单的，当然了，你用相似，用乘比利他也行一个道理，如果间戏，那你可以耽误时间了啊。 这道题我觉得它的难度啊，比这个第十的难度还要高一点，他俩其实应该调换一下位置啊，这个第十题比较简单。 剩下我们这个前面这四道题也都挺简单啊，主要第十四题是这个平四的面积点成高，你能不能想到啊。然后十五题考察耻辱作图，那么耻辱作图结合着我们这个角分线加平行等于等腰，就是这个考点啊，有相似，有勾股并离， 还有我们往下来这块的题是白给分的啊，都比较简单，没啥说的。然后我们这个这块啊，注意就是别马虎，别出错，求中位数的时候，从小到大排列一下再求啊。剩下我们后边的这个这道题的话，我们也是第一问白给分的，第二问的话，射坐标， 射坐标表示距离，一定要记住啊，是右减阻上减下才表示的是距离，别马虎，别出错，他就是一个依次函数，求对质问题啊，最后这话该说的说啊，不要看我这个简单的过程。 然后我们二十一题啊，这一问，其实啊，不用做辅助线也能去正，甚至能更正啊，你只要证明这两点相等就 ok 了，怎么正啊，圆周角相等，对应的弧相等就完事了。 你用这两个左右两个弧，分别先加上下面这个弧，左右两个弧，再同时加上上面这个弧，哎，你就可以解决这个问题， 那个后边这块是个相似，那么孩们，这道题两种方法可以尝试啊。下面这个二十二题，本来这个位置应该是这个几何的，这次出成函数了，我觉得反而很友好啊。这次啊，我们这函数题还是比较简单的 啊，第一问，姐姐是白给分的。第二问啊，你利用这个相似写过程啊，可别利用中间的办公室，万一你扣分呢啊，你看这样来个这个什么就是一个中一线，那多好啊，对吧。 然后后边这块，我觉得我童老师的方法挺简单啊，就是你平移，你平移之后的那个对称轴是 m， 之前的对称轴是那个什么？那个一， 那么你平移的那个方向或者平移的距离就是 e g m， 然后这个是你水平平移的，那么竖直方向平移的就下降了这几个单位长度。所以直接你把平移之后的解决式求出来啊，写出来之后，完了把这三个点咔咔往里一带，这道题就解决了。 那么欢迎咱们家长关注，从老师啊，之后的视频讲解，这道题马上要录出来了啊，然后后边这个二十二题还是啊两种方法都是咱们必须要掌握的，一个是构造 手拉手，还有一个是一线三垂直也叫一线三角啊，这个两种方法咱们小孩都掌握一下，包括这块用外角方式处理比较简单。 第三问啊，我觉得啊，可以用这两种方法中哪一种都行，但是都不如我们这块来一个双勾股简单，你看一个式子解个方程就 ok 了。留意老师这个视频讲解，看看让孩吸收一下老师的思路啊。
108佟老师数学
02:12查看AI文稿AI文稿沈阳按摩的曲二 s 函数这道题第三问，对所有的考生来讲是一个查缺补漏的过程，可能有很多同学平时在做的时候呢，不一定，最近做到了抛物线沿斜线平移的时候情况，这是第一个，第二个呢，这里面有一个，一看沿斜线我也会，就是把顶点用直线的截式来表示，你这也会， 但是有一点，给的 bc 是 方向，而顶点不在 bc 上，所以就出现了你一不小心一兴奋， 然后呢，你就把顶点当成在 b c 上了，就用 b c 的 解释来表示顶点的坐标了，那么可能后面就错了。另外一个呢？这个二次函数这道题呢，其实对学生来讲，我觉得复习是有益处的。关于方程根的分布，不管将来考不考， 这个关于用素形结合，利用函数图像来研究一元二次方程根的分布，实际上是高中学习所必备的这个二次函数。最后这一问，考察的点，我觉得跟高中学习还是有直接的关系，将来也算是核心的知识点，将来学习所必备的。如果有的人说老师这道题用根据系数关系啊去讨论， 觉得出卷人呢，不应该是想用根据习俗关系来想，以前的竞赛奥数的要求里面很多内容，现在就是正常学习的要求你比如塑性结合，以前对学生来讲是在复习阶段，将来中考也好，为了高中的学习也好，我觉得是有益的。我会建议学生，对初三的学生来讲，二次函数的问题，不管将来考不考， 其实都应该认真做一做，当然最后可以能涉及到的解不等式，涉及到一元二次不等式解法，那么你也可以用塑形结合，书本上也有用函数观点来研究不等式。所以这个问题我觉得对学生学习或者复习，我觉得是有益的。有的人可能就讨论这个题简单还是难，你一兴奋错了， 你说将来是简单还是难，看你会了，觉得你行了，我们觉得自己就沉不住了，那这个事就容易出错。凡是遇到有的人就像同样的道理，有的人觉得后面为什么错呢？孩子为什么总是前面错呢？同样的道理其实是一样的， 所以我们一定要教育好孩子。真正最可怕的就是把小事做好，把自己能做的事做好。通过做这个沈阳的卷啊，我希望分享给大家一个观点，一定要教育孩子一件事，把小事做好，把能做的事做好，这个 是让人家最恐惧的事情，就这个人失误越少，从来不失误，这个是最好，记得点赞关注哦！
104张斌数学
03:04查看AI文稿AI文稿沈阳初三阶段的家长注意了啊，这个沈阳的这个二模，这个考试当中的数学啊的这个二十三题，这一个几何的这个压轴题啊，是一道将这个对角互补，还有这个翻折结合的这一道这个压轴题 啊，要是孩子们在这道题上去，你要是丢分的话，那就是你就没有搞清楚这个出题人的这个他的最根本的一个逻辑啊。 所以咱们也别那个那个背什么什么各种那个模型了啊，就是那个就是你完全就把它给搞混乱了，各种模型对不对 啊？真到考试的时候，这个时间他本来就那么少的时间，对吧？时间很紧迫，你压力又大，孩子对吧？孩子根本就想不起来他到底往哪一个模型里面来靠，对不对？所以对应的是哪一个模型，哪道题他根本就抓不住，对吧？这个本质抓不住， 所以这道题从始至终就是围绕着这个一条线上的这个三个等角啊，就围绕着这一点来出的啊。 那怎么去说呢？这种题当这一个角度处于九十度的时候，我们自然会想到什么，这个一线三垂直嘛，对不对？当这个时候只只需要做出两条这个垂直的这个线段就完事了，对不对？我们用横着等于竖着，竖着等于横着就完事了，对吧？ 当角度是一百二十度的时候，它就转变成什么了，变成了一线三等角了啊，在这个时候，我们截取两段的长度相等的一个线段，就把这个问题给解决掉了。食指上是这个本指，它都是利用这个角度相等来构造一个全等的一个三角形啊，只不过呢，这个形式有了这个变化啊，核心是一样的啊， 啊，练这道题的时候呢，就就我们要着重这个四个方面来那个练习啊。其一呢，就是在倒角的时候啊，不用那个设这个具体的数字，我们就用这个阿尔法贝克这种利用这个对角互补翻折前后这个角相等啊，这样一整套的一个方法就能把这个问题给解决啊，这个这样就不会那个乱啊。 其二呢，就是这个辅助线你得学会进行一个迁移啊，不能仅仅只会做这个直角的那种情况，对吧？像这个六十度了，一百二十度了，对吧，这种情况你也得掌握，对吧？核心之处就是构造这个等角，对吧？构造全等就完事了呗，对不对？ 或者是相似，对吧？其三呢，你得明白这个出题人的套路，对吧？从一一般的这个四边形到九十度，再到这个一百二十度，就是从一般的情况到特殊的情况，对不？条件一旦发生这个变化，那等腰直角就变成等边的那种情况了，对吧？ 其四呢，就是最后一问，可别慌张啊，最后一问是这个几何，我们得设这个未知数，设这个圆，对吧？用相似或者这个三角函数来列这个方程和这个解三角形，对吧？ 把这个摄影定理你给那个就那一套，那个公式你得给他背熟熟练了往这里面套就行了啊。整体来讲呢，这道题的最后一问啊，还是稍微有一点这个难度的啊，但是这个难度也不是特别特别那么高啊，因为考察了这个解三角形和摄影定理类似这种情况啊， 这个几何方面的压轴题呢？相那个相比而言啊，比拼的这个不是那个，我们正常这个对这个模型的堆砌的一个程度，你虽会，再多的模型你不会用也没有用啊。 所以是是我们对那个，对这道题能不能看清他的本质是什么，对吧？把复杂的问题能不能给他猜解明白，对吧？把它变成简单的题目啊。
32沈阳数学宇老师
01:43查看AI文稿AI文稿沈阳二模刚考完，不少同学卡在压轴题上别发愁，今天带大家彻底吃透二十二、二十三两道压轴大题。这套试卷整体难度不高，压轴题全是日常高频题型，无偏题、怪题， 基础扎实就能充满分。先看二十二题，二次函数压轴题目呢是梯度合理，上手很简单。第一问，纯送分题，带入坐标，求解析式，基本功过关就能稳稳拿分，千万别失分。第二问， 考察线段相等问题，核心就是 a 形相似，找准对应边角，理清比例关系，轻松解题，题型常规，没有陷阱。 第三问，测重函数平移与面积取值范围，牢记核心，函数平移就是顶点平移，抓住顶点变化写出坐标，结合面积公式计算，不用复杂预算，掌握规律就能得分。 说完函数，重点来看二十三题的几何题，专题里的几何题型高度相似，都是经典必考模型。 第二问，核心是一线三垂直，利用角度不余倒角快速找出等角等边，解析思路一目了然。第三问，进阶为一线三等角，解析思路一脉相承，倒角出角度后，结合三角函数和勾股定律， 逐步的计算，就能求出所有的边长。五道题不用复杂的辅助线，计算量也很小，吃透往期的专题模型，做起来格外顺手。最后给沈阳中考生画重点，本次二模压轴核心考察的就是基础模型掌握度和解析的功底。 中考压轴题拼的从来不是偏题难题， a 字相似，一线三垂直、一线三等角、函数平移这些核心考点练熟吃透，守住基础，分牢抓不周分，数学高分稳稳到手。冲刺阶段别盲目的去刷题，紧跟杨老师第八期初中数学压轴题复盘经典的模型巩固解析思路，高效提分，全力备战中考！
113杨老师（初中数学）
00:49查看AI文稿AI文稿沈阳初三这次二模全部考完了，全科试卷和答案已经拿到手了。分析了一下，今年中考趋势也是比较明显了，数学难度略高于中考，尤其第二十二、二十三题 综合性和计算量略大，适合作为冲刺阶段的模拟训练。物理听说孩子们都考崩溃了，第十五题需要逆向推理，第二十四题阅读量大，信息量大，建模要求高，整体难度还是比较大的。化学难度与中考基本持平，选择题偏简单，非选择题有一定思维量。 与数学、物理相比，化学卷计算量较小，但信息提取和实验推理要求最高。建议各位家长和们考完试带着孩子们重点试卷分析，二刷时要限时批注错误原因，没有试卷的口令。二模试卷和答案我发给你。
03:46查看AI文稿AI文稿沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频第二问用到的一线三垂直模型，那么今天我用第二种方法给大家讲解 共顶点等腰相似模型，在中考数学当中也是一种非常常见的非常重要的模型，我们来看一下，因为角 a、 b、 c 等于九十度，又因为角 a、 b、 c 加上角 a、 d， c 等于一百八，那么这个角也是九十度， a、 d 等于 c、 d 啊。这两个三角形是折叠过来的三角形，所以我们就可以得到这个角为四十五度，这个角也是四十五度，那是不可以得到角 a、 c、 f 就是 九十度， 并且 ac 等于 cf， 那 我们是不是可以得到三角形 acf 是 一个等腰 r t 三角形，对吧？同理，又因为 ab 等于 b、 e， 那 么三角形 a、 b、 e， 它也是一个等腰 r、 t 三角形， 那我们是不是要连接 a、 e 啊？那么大家发现没有，两个顶角相等的等腰三角形，并且共了一个顶点，那么这个模型是不是跟手拉手模型很相似？ 但它不是手拉手模型啊，手拉手模型的话是共顶点共这个等腰三角形的这个顶点，那么一般会出现全等， 但这个模型很相似哈，我命名为共顶点等腰相似模型，那么有什么奥妙？我们来看一下，因为这两个等腰三角形顶角都是九十度，那是不是说明这两个等腰三角形肯定是相似的？ 所以说三角形 a、 b、 e， 它要相似于三角形 a、 c、 f 相似之后，我们是不可以得到边乘比例，那我们就可以得到 a、 b 比上 a、 c 等于 a、 e 比上 a、 f。 大家发现没有 a、 b、 c、 a、 e、 f， 那 不就是这两个三角形 a、 b、 c 和 a、 e、 f 的 两条边吗？对不对？又因为角 b、 a、 c 等于角 e、 f 顶角相等，并且夹这个角的两边成比例，那我们是不是可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 f 就 相似的，你看是不是非常非常妙啊？ 共顶点等腰相似模型，它这个顶点啊，是这个等腰三角形的底角的这个顶点，那么这个时候就会出现两个相似，你看是不是非常非常的妙？那么这个时候我们是不是可以得到角 a、 e、 f 等于角 abc 等于九十度，这个角为九十度， 那我们是不是可以得到角 a、 e、 c 也为九十度？又因为 ab 等于 b、 e， 所以 这个角 a、 e、 c， 它应该是等于四十五度。那么最终我们是不是可以得到这个角 b、 e、 c 也等于四十五度，那么最终我们是不是可以得到 b、 g 等于 b、 e？ 好， 我把过程大概写一下，大家看一下这个方法是不是非常的妙，这个模型是不是也是很重要？ 这同样是第二问，我们用的不同的方法来做完全不一样，所以我希望大家在平时的学习过程中啊，尽量用到一题多解的思想。那么你做了一道题目，是不是相当于学了很多内容，那你能力肯定会提高，关注彭老师，那么下期视频啊，给大家讲。第三问。
03:02查看AI文稿AI文稿沈阳数学这个二模，这个第二十二题啊，这个二三数，这个压轴的这道题啊，这道题呢，有半数的孩子基本在第二问可能就被卡住了啊，这个胡乱的来电这个方程啊。第三问呢，可能就直接交这个白卷了啊，就是不会了。 所以我们来分析一下这个辽宁这个，呃，这个我们沈阳这块这个，呃，这回这个二模的这个所有的，包括这个这个中考啊，和这个他的常规的一个这个方向啊， 我们先来说一下这个第二问，也就是求这个 p e 等于这个 p 得啊，是这个 p 点的一个这个坐标，好多孩子这个一开头就去列这个两点之间这个距离的公式啊，完了，这个算着算着他就迷糊了啊，他就这个走错了这个路啊，他就走了弯路，对吧？所以我在沈阳教了那有十来年这个数学了啊，跟你说句这个真心话啊， 这个辽宁中考二三数里碰到这个等距加上共线的这种情况啊，百分之九十多他都是这个终点啊，没有那么多别的这种情况，对吧？所以你瞧这道题，他这个 e 既是这个 p 得这条线上的，这直线上面又是抛线的，均是轴上面，对不对？再加上 p e 等于这个得 e 三个条件，我们合起来这个 e 不 就是这个 p 的 的终点了吗？对不对？哪里是什么什么注水线上的点，对不对？直接我们套用这个终点这个坐标公式就完事了呗，对不对？ x p 减去这个三除以二等于一就完事了呗，这样的这个 p 点的横坐标直接就能求出来它就是十五了呗，对吧？ 完之后那个带入抛线，我们就能得到这个 y 得六，所以这个 p 点的坐标一下出来了，他是五和六嘛，就完事了，所以这个这一下，这个这个他就解决掉了，对吧？所以那个我们记住一个口诀啊，就是这个共线等距在我们这个辽宁啊，不用距离，用终点啊，光这一步我们就能够给你省一下这个五分钟左右这个时间啊。 之后我们看这个第三问啊，沿着这个 b d 方向进行平移啊，这一位问呢，难住了很多这个考生啊， 有一个这个独家的一个结论是什么？就是那个那个聊着中考这个平移的题啊，我不计算平移的距离啊，只考察这个顶点的轨迹的一个参数的变化啊，记住我刚才说的话啊， 因为原来这个顶点 m 是 这个一到负二，对吧？这个 b c 的 斜率是二分之一，对吧？平移之后顶点 n 肯定是过的 m， 且平行于 b c 的 直线上，对吧？那它的坐标就是 m， 这个横坐标是 m， 对吧？中坐标呢？那就是二分之一倍的 m 减去二分之五，对不？你往那个直线解式里一带就完事了呗，对吧？所以这样平移之后，这解式哎，我们就能得出来了，然后用面积来转化成这个横坐标，对吧？这这样大家就明白了，对吧？关键是这个换元之后，这个关键的一个这个陷阱啊，很多学生换元之后直接解的不等式， 可是忘了这个 t 的是根号啊，这个得大于等于零啊，所以这个 t 等于这个高下，这个五点 m， 那 么这个 f 点的横坐标就变成了这个 负 t 方加 t 加五了，对，解出来这个是横坐标，是这个大于这个负三小一。最后别忘了 t 不 能等于三的啊，要不 f 就 和 a 重合了，所以这样答案它基本就出来了，对不对？ 说你要怎么来讲这道题呢？那个木非那个并非是在考考大家这个计算你能力有多么强，对吧？考察你是否能够察觉出来这个命题人他这个偷懒的那一个方法啊，说你要把这个简那个复杂的问题给他简化化啊。
21沈阳数学宇老师
02:02查看AI文稿AI文稿沈阳初三的家长听好，这次按摩数学呢，就是你家孩子中考真实水平的照妖镜。这次按摩呢，不偏不怪，完全对标着沈阳中考的真题，难度分层呢，特别狠，很多孩子考完分数呢，不上不下，不是学不会，是假努力， 漏洞堆积，做题没体系。这次数学扣分呢，全是三类的固定问题。第一选择填空基础丢分，不是粗心，是审题不严谨，计算爱跳步，基础概念呢，模棱两可，送分题都白白扔了。第二是中档题，稳不住， 圆综合解，三角形函数应用题。题型呢，全是中考的必考母题，孩子看得懂，写不全，算不对，那步骤不规范，批量的扣步骤分。三呢，是这个压轴题，不会拿分。最后这个二次函数大题呢，多数孩子是直接空题 或者死磕，最后一问，浪费了大量时间。前面简单题呢，没有时间检查，得不偿失。按分数段啊，给所有沈阳的孩子定好最后三十天的提分方向，家长直接对号入座。八十五分以下的孩子， 放弃难题，别盲目刷压轴，狠抓你的选择填空基础接答题，把保底分稳稳拿住。中考稳提十到十五分。 八十五到一百分的中档上呢，这是最有逆袭潜力的分数段，你的短板不是不会，是不稳，专攻中档题型，改掉粗心的毛病，稳住基础，轻松突破一百零五。 一百分以上的尖子生啊，重点抓压轴的多解题型，答题规范和做题速度，改掉细节，丢分，冲刺一百一十五，加高分。最后我提醒所有家长啊，二模分数不重要， 二模错题才是中考提分的关键，距离中考仅剩一个月，不用熬夜，题海战术，针对性的补漏洞，抓对方法，中等生逆袭尖子生稳冲高分。沈阳初三想数学最后冲刺，家长直接评论区打冲刺，我带你精准抓考点，稳稳备战中考！
01:10查看AI文稿AI文稿沈阳二模这道几何题，据说考场上一半孩子都卡脖子了，但其实只要看懂一个隐藏条件，就是送分题。今天咱们不聊虚的，直接拆解上午刚考完的沈阳市二模数学卷，看看哪些题才是真正的分水岭。 先说整体感受，这套卷子满分一百二十分，我把它定义为中档偏上，但坑不多。基础题一到七题，十一到十三题占三十分，基本是送分的，但有个别题需要仔细，真正拉开差距的是第十五题、第二十二题和第二十三题。 这三道题加起来二十八分，是冲高分的必争之地。整张卷子计算量不算变态，但对几何直观和模型识别的要求很高。换句话说，光刷题没用，得会看门道。这套卷子适合多少分的同学做？ 九十分以下重点功课，一到九题，十一到十四题，十六到十八题，先抓基础，九十到一百零五分死磕第十五题。第二十题，几何最值，第二十一题元一百零五分以上 第二十二题，韩餐二次函数平移和第二十三题折叠构造是你拉开差距的核心。这套卷子电子版我已经整理好了，想让孩子练练几何模型思维的家长，敲二模数学，我分享给大家。
146小硕讲初中
