初三二模2026北京数学技巧
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13:13查看AI文稿AI文稿几何快，代数稳心定，还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲韩式的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师啊，精讲的是我们初三下双提二模的这道函数压轴题啊， 这道题目呢，可以说是非常综合一道题目了啊，这一道题真的可以顶好几道题，它既考验了咱们同学们，首先从能力上，你具不具备我们的定一动，一种有序动 哎，以及就是你具不具备构造新函数这种式子表一切的能力，包括函数题要想做的快，最重要的就是你能不能够挖确定啊，在不确定当中挖出确定， 哎，这几项能力，各位同学其实就等于中考会考察到的全部的带宗的解析能力了啊，再加上这个题的考点，同学们这种公共点问题的处理方法，这种哎，增减性问题最值问题的处理方法，各位同学，哎，这两个考点你是不是掌全面掌控， 所以这道题真的能很好的检验咱们同学们在带宗这块的一个基本功的扎实程度啊。好，如果这道题做的不好，同学来认真听，向老师给你们讲一讲啊，我手把手再教教大家都是怎么操作的。 好，首先来看一下啊，这个呢，首先过二斗夫三 a 啊，这个对称轴还是非常好算的是吧，往里一带能算出这个对称轴是一啊。并且同学们像这种解析式，因为他的 a、 b、 c 都含有同一个字母 a， 那 这个式子我能看出来它是可以因式分解的，是不是你可以另一个 a a 变成 x 方 减二， x 减三，然后在这里就可以进行一个十字相乘，是吧？变成 x 加一乘， x 减三，所以能很轻松地看出它与 x 轴的交点应该是负一零和三零 啊。并且这个其实就是肖老师给大家总结过的我们的跳绳模型，是不是因为它的与 x 轴交点是确定的，然后它的顶点是不确定的，那说白了就是它可以啊，让顶点沿着这个对称轴从上往下跳，对不对？比如说它可能会长成 这样，也可能会长成这样，是不是？哎，这种跳绳结构啊，跳绳模型好， ok， 等会如果需要有序动这个抛物线的时候，同学们就可以去看看这个就可以用跳绳模型啊。 接着来看第二问，已知点 a n 逗四啊，我们永远要善于只关注确定的 n 逗四，这个是 n 加六逗四，哎，纵坐标确定。所以说白了，这个 ab 两个点呀，它就是 在外等于四这根线上动，是不是？哎，在外等于四这根线上动，小老师画一下啊，大概这个意思，是不是在外等四根线上动？嗯， 好。并且呢，他们两个人虽然横坐标是不确定的，但是他们俩的横坐标的宽度是定的，是不是就是六个格？所以他其实说白了就是一个宽度为六的一条横线，有毛病吗？同学们， 哎，就是宽度为六的一条横线，然后在这个 y 等于四上，然后这个点就是咱的点 a 点 b， 然后从左往右动呢，是不是？同学们，是吧？哎，这就是点 a 点 b， 然后他再从左往右这样式， 再咚咚咚咚咚咚咚咚咚，哎，咚咚咚，是吧？ ok， 好， 他说，若使得，若存在 n 啊，若存在 n， 使得抛物线和线段 a b 有 两个不同的焦点，注意，他找的是两个焦点，让咱们直接写出 a 的 范围。 好，这道题我们来看一看啊！同学们，来，这种公共点问题啊！同学们基本就都是动图啊，因为咱们知道，肖老师给大家讲过， 做函数题第一步是画出第一图，一定要先把图给画出来，画完图之后，要么可能是玩图，要么可能是玩士子。那大家记住，这种公共点问题，这种焦点问题， 我们都是干嘛都是玩图啊，就是对这个图进行有序动。 好， ok， 那 咱们就开始干。那怎么动呢？有同学说，老师，这个抛物线也动，这个线段也动，太烦了， 定一动一啊，对不对？抛物线也动，线段也动，那当然没法做了，所以咱可以先把抛物线给定住，对不对？哎，定住这个抛物线，你就动这根线段不就行了吗？是不是？那你就跟肖老师动啊，比如说，同学们，如果这个线段长这， 请告诉我，这个抛物线和线段有两个公共点吗？ no， no， no， 继续动动动动动，哎，有了吗？没有，还是只有一个，是不是？继续动动动动动动动，直到动到泪 b， 干嘛从右边出去，对不对？现在才满足存在，两个两个两个两个两个两个，对不对？哎，现在我们就看懂了啊，长成这个造型就是存在， 是不是？哎，明白了吧，这种就是，你看，继续往右动，又没有，没有又不行，不行不行不行不行不行，是吧？是哎，只有长成这个造型才是存在，是不是？好，那这个时候你就再看看他，那他长成这个造型就一直存在吗？各位同学， 那你这个时候可以动动抛物线呀，是不是？同学们，比如说肖老师把这个抛物线画小一点， 哎，我把这个抛物线画小一点，哎，你会发现这个时候行不行呀？这个时候也是行的，是不是？哎，那如果向老师再把这个抛物线整大一点呢？同学们， 哎，哎，这个时候呢？哎，这个时候你会发现也刚刚好是行的，是不是？那如果我再整大一点呢？ 你会发现这个时候是不是就不存在了，对吧？你不管这个 a b 动到哪，它都不存在了，有发现吗？ 你动动动，你甭管这个 a b 动到哪，它都跟这个绿色的不可能有两个公点了，是不是因为这个绿的太胖了，所以临界，大家看见了吗？临界就是黄色，这个是不是？临界就是黄色这个情况？因为这个是最极限的胖， 对吧？这个是最极限的胖，如果再胖，你甭管他动到哪，他都不行了，所以绿色黄色这个是最极限的胖， 是不是？哎，所以同学们，我们就把握住了这个临界情况，就是长成这根，那咱们就算呗，因为这个宽度总共是六，然后这个对称轴是一，所以左边是三个格，所以这个此时他的横坐标就是负二， 对不对？也对吧？横坐标就是负二，也就是他过负二斗四的时候，哎，那我们就把负二斗四带到抛物线，就可以算出来，此刻 a 等于五分之四，然后咱们再进行让范围确认，哎，对吧？开口得变大变小能行啊？同学们，这个是最临界的胖了，所以开口得变 小，对不对？得变成紫色这样才行吧，对不对？得变成紫色这种情况才行啊， ok， 对 吧？这样的话才能才能存在，对吧？所以这开口变小，那就是 a 变大，所以 a 大 于等于五分之四啊，就是开口向上， 好，那咱们再看开口向下。各位同学，开口向下呢？咱们先画画啊，首先他既然得满足有两个造型。同学们，咱们先画画啊，首先他既然得满足这个造型，同学们，能行吗？ 那肯定不能行，对不对？至少他俩得先挨着，对不对？得先挨着，哎，那再确认一下，哎，那我先画一个挨着的啊，是不是？至少他也先长成这样，哎，那再跨，只要挨着都行吗？那我再有序动一下这个抛物线啊，只要挨着都行吗？各位同学，来，肖老师画一下粉色，这个行不？ 肯定是存在的，大家有没有发现因为什么？因为此刻这个抛物线呀，他在这个位置才宽四个格，他这儿肯定特瘦，能懂不？他这儿肯定特瘦，所以你拿一个 y 等于那个宽度为六的一个线去跟他 肯定有两交点，肯定存在有两交点，大家能理解这个道理吧，对不对？你拿一个宽为六的去跟这种开口向下的抛物线进行找找，两个公共点指定有 对不对？指定是有的，因为他这这才宽四个格，对不对？你上面要拿一个宽六个格的，肯定肯定是嘎一下穿过去的，是不是？哎？所以这个开口向下，只要他能跟 ab 这条横线啊，能跟这条横线过去，对不对？只要他能长成这个造型，对吧？只要能，他能有俩焦点，他就一定能符合题，是不是？好？所以说白了就是我们只需要满足一对的这个外值，一对的这个外值要大于等于四 就行，是不是就能穿过去了？哎，有俩就有公共撵就行啊。所以咱们就把 x 等于一带到抛物线解一式算出来是大于四啊， ok， 就 能解出 a 小 于负一了。所以综上这个题答案就这两个答案，好吧，哎，这就是我们的第二问， 来，那我们再看一下第三问啊，各位同学，第三问呢，又是我们非常熟悉的这种新函数问题了是不是？那同学们首先画出第一幅图 哎，然后他让咱们去研究谁呢？研究 m n 的 距离，那咱们就视字表一切去表示 m n， 是 不是 m n 表示完这个啊？然后第三步， 只要表示完新函数，那咱们就画出新函数图像，就长这德行是不是？第四步，把它的范围标在图上，注意提醒同学们，只要标范围，同学们一定要 看清这个等号，等号的情况，所以你会发现他左边是可以取等的，右边是不取等的哦，所以六啊，这个六肯定讲价啊，他是个空心。那咱们就看 a 加一讲哪吧！同学们， 哎，有同学是不是分了好几种情况啊？这个题最易错的点，最麻烦的点来了啊，有同学是不是分 a 加一讲价， a 加一讲价，一个一个看的呀？ no no no no no， 麻烦了，同学们，如果你真的非常善于关注精读，非常善于去挖确定，各位同学，只要你善于挖确定，你就能比别人做得快，别人讨论四种，你一种拿下 怎么说？首先各位同学，肖老师反复给大家讲过，强调过，只要看到这种范围当中带字母的同学们一定要注意什么？只要看到范围当中带字母的，要有前提确认，也就是 a 加一得小于六啊。 a 小 于五 好，再加上同学们，这些地儿真的都需要咱讨论吗？嘎，家人们，大家想想，如果你真的精读了它，要满足始终都得满足大于等于五 a 是 吧？不小于五 a 不 就是大于等于五 a 吗？ 它的距离始终都得大于等于五 a， 同学们，始终处处。所以你琢磨琢磨，如果这个线长这儿， 他在这个范围上还真的能满足处处大于五 a 吗？那不是瞎说八道吗？因为这个地已经是零了 对不对？所以不可能满足，包括他在这，如果动到这，各位同学，也不行吧，对不对？ a 加一如果动到这是不是也不行呀？他在这块也不能满足处处吧，也是包含零的呀，对不对？所以这就意味着家人们 a 加一必须大于四， 他只能在这一块才有可能满足始始终大于五 a， 家人们，大于等于五 a 是 不是最必须 a 加一得大于 四啊？也就是说 a 得大于三才有才有的商量啊。 ok， 那 接着他要满足处处都大于五 a 大 于等于五 a， 那 是不是就找这个最低最低的？ 只要最低的大于等于五 a 就 都大于了？所以咱们就把 a 加一带到这个抛物线解析式啊，那这个时候，因为它肯定是个正的，所以咱们不用加绝对值也行了，把一加一带到解析式，让它大于等于五 a 啊，然后把这个解一下方程，就能解出这个 a 的 取值范围啊，再结合咱们的前提确认， 我们就可以把这个负二给灭了啊，就是 a 大 于等于四，哎，所以最终答案就是 a 大 于等于四小于五啊，这个前提确认 好。第三问，同学们有没有发现肖老师做的 so easy， 为什么？因为我太善于精读，太善于挖确定了，所以同学们一定要看清他给的这个，只要看到范围当中带字母，一定要做前提确认啊，始终， 哎，始终，那就意味着你需要满足，处处都怎么怎么着，那你就会发现这些都不可能啊。排除掉那些情况，会发现只有一种情况，根本就不用分类讨论，那就嘎嘎一顿算就好了。 好吧，哎，刚才肖老师说了，这道题呢，难度还是有的啊，并且综合性还是挺强的，非常值得同学们在中考之前再反复刷两遍。把肖老师刚才说的这种精读呀，范围确认呀，包括这种有序动啊，包括这种跳绳模型呀，哎， 这种一定一动有序分析啊，这种能，这种能力和意识一定要再强化一下啊，这些都是我们中考必考的一些能力。
01:57查看AI文稿AI文稿西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。
189绝对值老师
12:10查看AI文稿AI文稿几何快，代数稳，新定义还能提值上？大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的海淀新定义，这道题还是挺有意思的啊。 然后呢，首先这个定义同学们给了你， theta 给了你，这些东西看上去很乱是吧？首先第一个，按照老谢的哲学，别提一天焦虑， theta 和 k 会有的，面包会有的啊。然后呢，另外，各位一旦看到一个点，一定要和圆，一定要看圆内圆外圆上。人家说了圆外，这是个前提，也是个细节确认， 因为它会涉及到有些啊，要是虚线的缘。另外一个呢，看到这种定义很害怕的话，我告诉你，你要用我的决定性思维，你会发现，如果一个 a p b 这样的三角形，比如说啊， 它给了你 c， 它还给了你这两个边的比例，它不就给了你这个三角形的形状吗？所以这道题它其实已经给了你一个三角形 a p b 的 形状了 啊。然后呢，并且如果这道题是一个动态的题，很有可能会用我们讲的很多遍的以动致静，加个体到整体啊，俗话说的瓜豆原理啊，比瓜豆原理更拓展的一个一般化的一个东西啊，以动致静，加个体到整体啊。第二个开始就用了啊。第三个呢， 就是还是跟昨天我录的西城的一样，以原为背景的新意，只要研究一种情况，因为从原心看，哪个角度都是正方向。 好，第一问的话呢，我们先从负四零切入，我们会发现非常巧，命题老师这个设计的就是当他在负四零的时候，你呢，先往这个圆做两条切线，会发现，因为这个长度是四， 这个长度是二，所以这个角正好是三十度，这个角正好是三十度，因为你能看出来六十度杠一，按照这个定义，其实就是他说的是 p， a b 是 个等边三角形， 你会发现，当点 p 在 这里的时候，哎，点 a 在 这里，点 b 在 这里，你会发现它正好是一个 p， a b 是 个等边三角形。并且你会发现，如果 p 离得远一点， 这个成色的这个六十度的角就和圆就没交点了。所以点 p 离圆心的距离不能超过四， 但是如果近一点，肯定有啊，甚至还不止一个， ok， 所以呢，这样的话，第一问就很轻松了啊，零多号五肯定不行了，因为太远了啊，二多号二呢？因为比四近是吧？二多号二到圆形的距离是二倍的，根号二还是小于四的，所以这个 p 一 和 p 三应该是，你们看我有没有算错啊？这第一问 到第二问，各位，我们就要用个题到整体了，是吧？根据定义，根据六十度杠二，就说 a p b 等于六十度， 并且 pa 等于 pb 的 两倍。我们不难发现，这面题老师其实给了一个非常简单的三六九好。那有的同学说，老师我研究这个，研究这个算，这个 o， p 的 长度不好算哎，你要直接算，可能不太好算。这个时候我们可以用以动之境。啥意思啊？ 就是我们可以看一看啊，咱们这个 ab， 按照我们双提的讲吸引力的方法，这叫埃涅湾大法，我们随便画一个 ab， 点 b 在 圆上，点 a 在 圆上啊，然后呢，咱们可以把点 p 看成什么呀？看成 a， 以 b 为圆中心，哎，顺时针，当然你也可以逆时针啊，你算完以后会发现是一样的啊，顺逆时针， 然后呢卷九十度，并且因为三六九，所以这个长度是这个长度的根号三倍，所以这就变成原来的三分之根号三了， 所以你会发现一个点 p， 就是 一个点 a， 绕一个啊，绕点 b， 哎，逆时针或者顺时针旋转六十度，并且缩小为原来的三分之根号三倍，得到的那么一个点 p 是 这么得到的，那么所有点 p 呢？就是所有点 a， 所有点 a， 因为点 a 的 身份就是在圆上，所以它能代表圆，也就是整个圆 o 绕点 b， 按顺时针旋转九十度，并且缩小为圆的三分之根号三倍得到了。好了，我们接下来要让圆 o 绕着点 b， 顺时针旋转九十度，或者逆时针旋转九十度 啊，并且半径变成原来的三分之根号三，所以各位，这个时候我们会发现，基于我的决定性思维，旋转圆就是旋转圆心啊，也就是咱们这时候，首先各位啊，首先 我们把这个圆心 o 绕着点 b 旋转九十度，并且这个边变成原来的三分之根号三倍，咱们就找到了圆心 啊，找到了圆心以后，各位，你会发现这个时候啊，然后呢圆心在这里，半径呢就变成原来的三分之根号三倍了，也就是二除以根号三，这个半径是二除以根号三， ok， 这个时候我们会发现点屁的轨迹是啥呀？各位，这是点屁的轨迹是在圆外这个圆弧，这个 u 弧差不多啊，各位， 那么咱们这是研究的是任意一种情况，咱们圆心以圆为背景的圆，我们只需要研究点 p 到圆心的距离，你会发现根据双截棍模型，最长的时候就是这种情况下， 然后这个长度，这个长度因为三六九，因为它是转了九十度，这个边是这个边的根号三倍啊，那么这个边就是它的二倍啊，是这个 o e b 的 二倍，所以根号三分之四，加上这个绿圆的半径，所以 o p 的 最大值 就等于根号三分之四，加上根号三分之二，等于根号三分之六，就是二倍的根号三。 ok， 这个时候我们就会发现点 p 到 o 最远是二倍的根号三，最近是无限贴近于那个圆 啊，那么这个时候我们就会得到圆环了，这个青色的圆环半径就是二倍的根号三，里边这个就是圆 o 啊，我算了一个答案，你们看对不对啊？因为我着急尽快给你们录视频，这是第二个的答案啊，我们接下来再看第三位， 有了第二问打底，我们第三问，至少我们还可以先研究三角形的形状了，别被这个根号七吓着，别被这个七的绝对值吓着，没啥啊各位，我们先随便画出来这样一个 a， p b 等于一百二十度， 并且 pa 等于二倍的 pb， 我 们用初二的知识不难算出来，这个时候你会发现人家给的这个根号七，太巧了，这个时候如果 pa 等于二 m， pb 等于 m， 那 么 ab 就 等于根号七倍的 m， 那 么我们要以动致敬的话，我们要让点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 并且你看啊，原来 a 到 b 的 距离是根号七，现在变成一了，所以就变成原来的根号七分之一， 所以跟第二问是一样的啊，还是典型的从个体到整体好，在这种情况下，各位，我们就知道，哎，怎么通过点 a 得到点 p 了，跟第二问一样，各位 啊，我们随便画一个 ab， 然后各位你们体会体会，我们还是啊，点 a 绕着点 b 旋转 alpha， 刚才那个 alpha 的 正切值咱们是知道的，就是这个 alpha， 它的正切值是根号三比上二啊，然后呢，我们让 这个 a 绕着 b 旋转 alpha， 就 会得到点 p， 那 么所有的点 a 就是 整个这个圆 t 啊，整个圆 t 绕着点 b 旋转 alpha 啊，并且变成原来的根号七分之一倍就得到 t 撇，各位，这种情况下啊，你自己可以算一算，也就是说 我们得到这样一个圆以后，我们照样算点 p 到圆心 t 的 距离的最大值就是那个圆环的外外径啊，我们算一算，根据那个图，这是 t， 这是根号七 t， 这是二 t， 还记得吗？来再看看这个图啊，二 t， 那 么并且这个半径是 t 的 绝对值啊，我都只是说 t， 其实就是 t 的 绝对值，那么这个也是 t 的 绝对值，所以你会发现，最远的这个 p 到 pr 圆心的距离最大是三倍的根号 t 啊，三倍的 t 的 绝对值不是根号 t 啊，然后呢，最小的话还是啊，但是还不能取等，就是这个半径，所以到这个时候各位，我们就得出来， 就是说我们的这个点 p 的 轨迹还是一个圆环啊，内径就是原来的圆 t 啊，根号七 t 的 绝对值，外径就是三倍的 t 的 绝对值，这个可以去等。 ok， 到这的话呢各位，我们就把 p 的 轨迹找到了，很多同学看到至少存在两个的时候，可能被两个给吓着了，是吧？这个昨天西城的，今天也是两个， 我告诉你，如果你看不懂，今天老谢关于这道题给你说了两次，不要提前焦虑，你到了高考要做题的话，也要用我这种哲学，别自己吓唬自己啊，车到山前必有路，把能做的都做了，做着做着就咋回事了啊，就知道咋回事了。 好啦，那么接下来各位同学你可以暂停一下啊，然后呢，看一看，给你分析到这以后，你知道了点 p 的 轨迹，然后点 t 还在 y 等于 x 上动啊，你让他全面系统去动，看能不能想到临界情况以及临界情况对应的数值。 好，那我们接下来呢，就让这个点 t， 让它一开始在这个 y 等于 x 的 最右，最右上方啊，对，从右上方啊，不是左上方，右上方向，左下全面吸的有序中啊。然后呢，一开始因为你会发现这个点 t 在足够靠右上的时候，他这个圆非常大，因为这个这个半径是你的这个这个这个横坐标的根号七倍吗？对吧？就非常大，所以呢，就没有，所以各位同学你就会想到他的第一个临界情况，就是这个点 t 往下走，往左下走，然后呢，正好那个圆环 啊，正好那个圆环，这个圆环的内径是吧？就是还是根号七 t， 外径是三 t， 还记得吧，这是第一个临界情况，然后他再往下，再往下。各位，这是第二个临界情况 啊，临界情况呢？我刚才让邵老师给大家算了一下啊各位，这个数算的啊，让人真的有点发虚啊，因为这个数算的太那什么了啊，然后各位，算完以后，这两种临界情况对应的是啊，一个是 这个二分之一到五分之三倍的根号，十减一，因为他需要俩点，所以虽然临界情况二这是已经是可以取一个了，但是人家需要俩 啊，那你呢？还得这种情况不行，也就说得刚刚从好几个啊，缩小为一个的时候啊，那么其实是无数个了啊，因为一个圆环和一个线段，要么没焦点是吧，要么像现在这种情况，一个焦点，要么再来的话就无数个焦点 啊， ok， 这是第一个临界情况，第二个临界情况，他继续往下走，哎，这个圆环，这，这个半径啊，本来呢，往这边走了以后，他因为他这个 t 越来越小，他这个圆越来越小，所以和这个就没有了，没有呢，慢慢慢慢过了这个负的这个圆点以后， 因为这个 t 的 绝对值在变大，所以这个圆的半径也在变大，所以呢，又开始接触上了啊，然后呢，这是一个临界情况，然后再大，大到一定程度，这个圆还会很大，因为虽然这个点往这边走，但是他的半径是他根号七倍啊，是他绝对值的根号七倍，所以各位同学请看啊，这是 邵老师给大家啊算的啊。来，各位，这就是 最后这个答案啊，两个临界情况，因为这种怎么算呢？各位，其实这个算倒不难，因为就是两点之间距离嘛，因为你只要在圆周上到圆心的距离就是半径嘛，是吧，这个整个这四个临界情况的算法都是这样的，然后呢，大家看一看啊，这是我们算的， 哎，后边啊，临界三、临界四对应的这数，然后呢，这是我们刚才临界一、临界二对应的数，如果答案有问题的话，咱们再探讨啊，反正这道题的思路呢，就是我们这个视频是给大家提供这个思路啊，有新的思路咱们再进行探讨，这是我看到题以后第一时间给大家录出来的。
24:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。
33栗子老师教数学
04:13查看AI文稿AI文稿ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。
02:08查看AI文稿AI文稿北京中考数学的选择压轴题很看重技巧，因为从二零二三年开始，这道题型就改成了从一系列结论中选出正确结论序号的这种形式，这种形式就有很强的推理技巧存在。 出题老师在出题的过程中也会考虑到学生可以使用技巧，因此有些选项故意设置的比较难，而我们可以绕开它。如果你没有使用技巧，很容易产生浪费时间的现象。以西城二模的这道选择压轴题为例，我们看一看。首先第一个 结论是比较容易判断的，我们通过观察 m 点，从 a 点运动到 b 点，再运动到这个外轴上交点，这个过程中间这条线 o b 最长，也就是 m 和 b 重合，此时比较容易算出来它是长度为二，因此第一个结论正确。此时我们要结合选项了，这是我们讲的常用技巧， e 优先结合选项。因为通过观察选项，我们发现一和三、一和四是搭配的，没有和二进行搭配， 二不用看就知道 b 错，然后三和四不要着急，从三开始，我们经常讲你要去选那个比较容易下手的选项开始观察可得。三是反比例函数问题。大部分同学对于反比例函数，它的熟悉度不如纯几何，因此我们可以优先从四 入手观察四这个选项。第一个 d 大 于 b， 说明啊 m 点不可能在这一段，否则它的坐标就比 n 高好，那因此 o m 和 o n 都只能在 a b 上， o m 又等于 o n， 说明什么？找到对称轴，一个是 o n， 一个是 o m， 他 俩必然对称，只有这样才能够满足他俩相等。由此我们就可以得出这两个点他俩的纵坐标相加 等于中间的这个点 p 的 纵坐标二倍，他俩的横坐标相加等于中间这个点 p 的 横坐标的二倍，而这个 p 点的坐标很容易判断， 它的横坐标是二分之三，因此 m 和 n 的 横坐标之合就是三四是对的。由此我们快速选出本题答案为 b。 这就是我们常讲的常用技巧，一是优先选择易判断的结论，二是结合选项进行判断。 类似的技巧在我们的元东带东、几东新定义中都大量出现，大家只有把这些技巧掌握了，在考试中才能更好更快的做出这些题。
24北京初数程老板
04:59查看AI文稿AI文稿距离北京中考还有三十二天的时间，这条视频呢，我给大家传递焦虑啊，我还是来给大家分享干货，今天给大家分享的是这个选择压轴，在前边的视频当中呢，其实我已经提到了，关于今年的选择压轴，一定会是以这个反比例函数综合为主，而且这个题目难度一定会增大， 那么同学们需要做的就是在平时当中的，呃，在平时的练习当中，一定要去把这个一些固有的一些结论可以去记住，然后去运用就可以了。好，我们来看这道题啊， 这个题目第三道题，这个题是海淀西城、东城啊，各大学校都已经考过的一道题，这个题目呢，我觉得，呃，可以去挖掘点还是非常多的，那我们就来看这道题啊，他说的是这个反比函数，然后过了一些条件等等之类的，对吧？然后给出结论，那我们来看下第一个结论， 看到比例，我相信百分之九十九的学生都会去想到一个点叫什么叫相似，但是我们在整个的比例当中，你不仅仅是要想到一个点叫什么叫相似，但是我们在整个的比例 除了要想到的是相似之外，还有一个是什么是交叉相乘，好，交叉相乘， 我们来看这个题目当中，你如果说第一个思路是找相似， ok， 那 就是 f g 是 这，然后呢？ f b 是 这，大部分同学都会觉得是这个八字相似，但是有一个问题，你找不出任何的相似的判定，所以说这样我们就不能够沿着这条路走了，只能干嘛，只能转化，干嘛去找这个乘积，对吧？也就是说 f g 乘以 a g， f g 乘以 a g 是 这个三角形的面积，那么呃，是不是它面积吧？是它的面积的一半，然后呢？是它面积的二倍啊？说错了，然后这个 e g 乘以 b， 这个 b g， 那应该是这个，呃， e b 这面积的二倍。那么我们再去想一件事，所有的反比例我已经说过了，在遇到的时候，我们百分之九十五以上的情况，在选填当中一定会想到的是它的面积，它的几何意义，对不对？那这道题也是一样的，那么我们可以怎么着？过点 a 向外轴做垂直， 好，过点 b 向这做垂直， ok， 这是 m， 这是 n， 那 么我们现在能得到的是这个的面积和这个的面积相等，为什么？因为这个的面积等于这个的面积中间交错了一块这个面积， 所以就能得到的是这个矩形和这个矩形面积相等啊，这第一个结论就已经瞬间正完了， 没问题吧？很简单啊，说的比较多，那么第一个对了，第二个就一定错了，为什么？你把比例关系列出来，你就知道了， f g 这个时候是比上的是谁？是比上的是 e g， 所以 一定是错误的，你可以写出来自己验证一下。 做到这的时候，其实这道题已经完成了啊，我讲用了三分钟，但是你做的话一定会非常快啊，这个第二个是错的，所以一三四答案就直接选择 d 选项了， ok， 因为我们现在不是在考场上，所以我们现在必须得明白，就是我们的这个三和四到底为什么是对的，是吧？好，我们来看下这个第三个 面积。好，也就是说这个 a、 f、 b 的 面积，这个三角形的面积和 a、 e、 b 的 面积相等，为什么啊？一定是这个面积和这个面积相等，再加中间这个 a、 g、 b 的 面积，是不是自然就有两个大的相等了？没错吧？所以第三个也自然就成立了。那第四个呢？我给同学们讲啊，我们现在无论是就是这样的一个图形，呃， 给大家呃，写一下，就是无论是，比如说这个反比例啊，他是这样的，对吧？和这个交点，然后组成这个啊，这两部分面积相等还是什么样的情况啊？那么我们都会去想到跟面积相关，是吧？那这个时候也是一样的，你看啊， a、 d 等于 bc 吗？等于，也就是说这个三角形和这三角形一定是全等的啊，只要这组成了一个矩形，无论什么情况下它都是全等的啊。为什么？我给大家说一下，刚刚已经证明了什么面积相等，那就过这个做垂直，好过这个做垂直。 因为两个三角形的面积相等底是一样的，所以高就相等，高相等，我们知道的是，就是这个是和这个相等的，并且是平行的，那我就直接干嘛连接这 是吧？为什么？因为平行线间的距离相等，也就这个和这个是平行的。这个结论我们可以直接用，就是我刚刚所总结的，只要 中间是一个矩形，你就可以用这和这是平行，能明白吧？好，那你就自然知道了，这个和，呃，就这个和这个是相等的，因为是个平四嘛，是吧？好，那同样的这个和这个是不是也是平行的？ 没错吧？好，也是个平四，这是个平四，这是个平四， ok， 所以 自然就得出来了。第四个是对的，那上下这两个三角形的面三角形是不是也是全等的 也就得出来了。所以说这些结论呢，我们需要在平时多去总结，多去归类呢，这个三老师都会带着我所有的中考冲刺班同学们一定要把它总结好，然后我们在考场上就可以非常快速的选出这正确答案，我们这个题目能够稳稳拿下这二分。 所以说我跟大家讲，我们整个的讲解内容一定是有重点的，在最后这个阶段，大家也是一定要分成你能够够得着的，能够去拿下的这个板块先去解决，这样的话呢，一步一步的能够把 把你所之前不会的全部功课之后，你的分数再就能够提升啊。所以说我们下一周啊，基本上像海淀，像这个朝阳都要进行这个二模了，那么还有像我这个通州，对吧？大部分地区都要进行二模了，所以一定要在这个这个周六日一定要做好复习，这样的话呢才能够拿下二模的高分。
65讲数学的森叔
06:07查看AI文稿AI文稿好，我们继续来讲海淀初三按摩的这个几种体啊。第二个方法，我们说这种体的话，他其实我们在看到这个图的第一反应，对吧？他是有一个双垂直共切边问题，对吧？我们先观察啊， 来看一下题，题目当中 b、 a、 c 是 九十度，就知道是一个九十度， a， b， c 是 一个阿尔法点， e 是 一个终点，这个角是一百八减二阿尔法，连接 e a， 把 e a 的 话，绕着点 e 逆时针旋转一百八减二阿尔法，然后得到个 e f， 现在让你求成它这个九十度， 我们刚刚说过，对吧？它第一反应是有个双垂直共斜边问题啊。所以如果大家要是有这个方向的话，我们就可以延长 b a， 把它给延长，然后过点 d 向它做垂直，这里要来一个 s， 取什么呢？取 b d 的 中点 q， 然后连接什么？连接 s q， 对 吧？把它给连接起来，我再连接什么？再连接 f q， 我们需要做的就是你要去挣什么呢？挣的是上下两个东西，一个翻折的，所以我们在这缺条件，缺哪个条件呢？还需要连接这个东西， 这是考验大家对于几种的一个功底了，对吧？好，我再重复一下思路啊，也就是我们第一步要想用双垂直空斜边的话，我们首先要构造一个直角三角形，对吧？我取中点嘛，如果这个边等于这个边，对吧？等于他，等于他，这肯定是个九十度， 那么这个边是等于它的，对吧？我再连接下它嘛，只不过这根线不太好想，我只需要证明什么呢？这个边 等于 a， 对 吧？只要证明它们两个边相等，我是不是就可以得出也等于它 对不对？那如果要是等于它的话，中间一个公共边，再找一个夹角，上下两个三角形全等，这题就结束了。但是我们怎么样去证明这两个边相等是这个题的一个难点， 对吧？这个时候我们回头看，题目当中有个条件我们还没用，点一是个终点，所以我们可以干嘛？可以去背藏，背藏哪个东西？大家看好啊，我们需要背藏这个东西， 倍长 e， 倍长 e， 然后呢，把它也给延长了， 它们两个交于点 t， 也就是说我在这个地方再构造一个直角三角形， 对吧？与什么呢？就相当于是延长 a e 与 s d 的 延长线交于点 t， 大家要注意注意哪个地方？这两个线是一个平行关系，平行加重点出八指，所以说这两三角形是个全等， 那么它就相等了。所以我先给大家写下过程啊，过点 d， 做一个 d， h 垂直于 b， a 于点 h 取 bc 取 b d 的 中点 q 连接 q f 和 q h， 对 吧？还要连接谁？连接 h e， 对，我们把 h e 也给连接起来，好，我们还要干嘛？这个时候我们是得出这两个线的个平行吗？平行加中点出八字，我们还要延长 a e 交什么了？ h d 的 延长线与点 t， 所以 这两个线平行有一个，这两个边相等，有一个夹角，一个内错角，我们是有一个八字全等 三角形 a、 c， e 全等于三角形 t d e， 我 们也就得出 a e 等于个 t， e 等于个 h e， 对 吧？为什么？因为这是一个直角三角形，又一个斜中线， 所以说这就把这个边转到这了，还转到这了，对吧？中间一个公共边，我们只需要证明这俩加角相等就行。好，那么这俩加角相等的话，应该怎么处理？可以跳角，这是一个 bet， 这是一个九十度减 alpha， 对 不对？所以说这个角就是九十度减 alpha， 再减 bet， 那 么它的对顶角， 这个对零角的话，也是一个九十度减二法再减摆头，对吧？那整个大角多少度呢？是一百八减二法，所以说下边的话应该是九十度减二法加摆头。 好，大家完了吗？没有，大家要注意，这个地方是有一个摆头，上面也是有一个摆头，对吧？因为这是一个直角三角形，里边呢有一个摆头，对吧？因为这个角是二摆头， 所以我们是能够得出二 bet， 加了一个九十度减二法减 bet， 是 等于九十度减二法加 bet， 下边也是九十度减二法加 bet。 我 们通过导角 是能够得出角 h e q 等于一个角 f e q， 对 吧？这两个角相导，然后呢？ s a s 去证明三角形 h q e 全等于 f q e， 那 么也就得出 h q 等于 f q 等于 b q d， 所以 角 b f d 等于九十度，这是我们通过斜中线的一个角度去思考的啊，当然它不是那么好想，对吧？没有我们的中线好想啊，好，这是我们的方法。二。
38数学张老师
11:04查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，给同学们来解析一下刚刚结束的海淀区初三二模的压轴题啊。先来说一下今年的函数压轴题， 坦率讲啊，这个确实是做了一些这个改变啊，那么跟我们往常说那个什么动点跟线段关系问题呢啊，明显的还是不太一样的，但它的本质呢，还是没有变啊。我们其实北京考察二三数的核心就是树形结合， 好，来，我们来看一下。第一个问题，不多说了啊， a 点 b 点在抛物线上不重合啊，那么 a 等于一的时候， m 跟 n 的 大小关系带进去算一下就行了，对吧？带进去算一下啊， 好，第二个，当抛物线在 ab 之间的时候为图形 g， 那 么在抛物线上面的点 p a 加二逗号 t 做直线啊，就是水平线垂直于 y 轴嘛，那么直线 l 如果与图形 g 有 且只有一个公共点，求 a 的 去的范围。 好，那么其实这个题目呢，从本质或者说从逻辑上来讲呢，跟我们前些年非常喜欢考察的比大小的问题呢，非常的像啊，非常的像， 那么它的核心呢，是你做一条水平线要与呃， ab， 就是 这个图形 g， 尤其只有一个公共点，核心是要确定 a b p 在 图像上的位置啊，在图像上的位置， 那么这个是核心，所以竖形结合是最关键的。那么所谓的竖形结合就是当我确定因为 a 不 等于零啊，当我确定了 a 大 于零，就是开口朝上的时候， a b p， 它到底在对称轴的左边呢？右边呢？还是在同侧呢，还是在异侧呢 啊？那么我们这个就需要严格的分类讨论，所以从思路上面来讲，它还是非常清晰的，就是 确定啊，或者说对 a。 分 类讨论，当 a 大 于零的时候，我们判断 a、 b、 p 在 对称轴的左侧或者右侧，谁更高谁更低，是吧？那么当 a 小 于零的时候，同样的道理好，那么只不过这道题目呢，确实讨论的情形呢，稍微繁琐一些啊，我们来看一下， 当 a 大 于零的时候，我们刚刚已经解释过了，这是一个开口方向朝上的二次函数，对称轴是 x 等于 a。 好， 同学们注意，因为 a 点的坐标呢，它是负 a， 所以 a 大 于零的时候，负 a 小 于零，此时 a 点一定在对称轴的左侧啊，一定在对称轴的左侧。 那么呃， p 点呢？ p 点呢？横坐标是这个 a 加二，所以同学们要知道， p 点一定在哪呢？ p 点一定在对称轴的右侧， 这个是 x 等于 a， 对 吧？ a 加二一定大于 a， 但是 b 呢？因为 b 点的横坐标同学们知道是三 a 减六，三 a 减六，我们就并不清楚三 a 减六到底是在对称轴的左边呢还是右边呢？ 不清楚对吧？不知道。而且那如果说他在左边的时候，有没有可能就是因为我们除了确定他的位置之外，还要确定他们的高低就是左右，还有高低就是谁更高谁更低， 那么 b 点有可能还在 a 点的左侧， b 点也有可能在 a 点的右侧，当然 b 点有可能还能越过对称轴，对吧？好，但是点 p 呢？同学们要注意一下， p 点一定在对称轴的右侧。 好，那么接下来我们就需要对 b 的 位置进一步的讨论，讨论什么 b 点如果在 a 的 左侧，那么什么样 p 点在哪的时候，才能确保只有一个公共点呢？对吧？好， p 点在啊， b 点在 a 的 右侧，但是在对称轴左侧以及 b 点跑到对称轴右侧，那么它的位置不同，那么我们所做的图形也不太一样。 好，那么我们先来看按照定向分析啊，所谓的定向分析就是我们假定 b 点从左往右看， 那么 b 点如果是在呃对称轴的左侧，并且还要在 a 点的左侧， 意味着什么呢？意味着，同学们看，保证 b 点的横坐标三 a 减六啊，要小于呃，这个负 a 啊，要小于负 a。 好， 但是注意一下，三 a 减呃，这个三 a 减六，要小于负 a， 那 么这个时候呢，就能确保点 b 在 点 a 的 左侧， 那我要过 p 点，因为 p 点在对称轴的右侧，要能够画一条线，于这一段图像有一个公共点，那么什么情形？ 就是找出 p 点关于对称轴的对称点 p 撇，当然这个很好算啊，它是 a 加二都好提，那么这个呢，对称轴是 a， 所以 就是二， a 减去 a 加二，就是 a 减二，所以 p 撇点的坐标就是 a 减二，都好提， 那么同学们看，只需要满足。如果 b 点在 a 点的左侧的时候，只需要满足 p 点的对称点， p 撇位于 a b 之间，是不就一定可以了？ 好，那么因此大前提是三 a 减六小于负 a 的 时候，当然同学们算一下， a 呢，应该是小于二分之三，当然前提 a 要大于零啊。好，那么只要保证 b 点的横坐标三 a 减六，小于等于 a 减二， a 减二呢？小于等于负 a 啊，当然有人说老师在这边怎么取到等于号了啊， 因为他其实取等的情况呢，并不完全相同啊，所以你稍微解一下好解得这个范围应该是 a 要小于等于一，当然大前提是零到二分之三啊，所以最终呢，是零到一。那么因此 b 点在 a 点的左侧是满足的， 但我们也讲了，也有可能就是 b 点还是在对称轴的左侧，但是 b 点呢，在 a 点的右侧，对吧？也就是说三 a 减六， b 点的横坐标要小于等于 a， 但是它要严格大于负 a 好， a 大 于二分之三，小于等于这个三的时候，那么这个时候要保证，因为 a 到 b 是 递减的啊，所以只要 p 点的对称点屁撇位于这个之间就行了，对吧？相同的式子就是保证对称点屁撇的横坐标。 a 减二要大于等于负， a 小 于等于三， a 减六， 当然算得 a 大 于等于一， a 大 于等于二，同大取大， a 大 于等于二，当然前提小于等于三，所以 a 在 二到三之间也可以好。那么当然第三种情形呢，就是 b 点除了在对称轴左侧，还可能跑到对称轴右侧， 那么在如果 b 点跑到对称轴右侧大，前提就是三 a 减六一定要大于 a。 但是同学们要注意一下，那要是老师在对称轴右侧的话， a 跟 b 谁高谁低呢？ 请注意， a 点一定更高。为什么呢？因为 a 点关于对称轴的对称点呢，是三 a， 逗号 m， 因为 a 点是负 am 嘛，是吧？那么对称点 a 撇就是三 a， 三 a 肯定是大于三 a 减六的啊， 也就是说 a 撇点的横坐标一定在 b 点啊的右侧，就是 a 撇点一定在 b 点的右侧。 好，那么在这种情况下，同学们更要注意了，如果只有一个公共点，那屁点只能在哪？屁点只能在这，是吧？也就是说，屁点要位于 a 撇 b 之间，并且注意，不能与 b 重合， 不能与 b 重合，因为如果你屁点与 b 重合完了，这个地方就有两个焦点了，这地方一定要注意一下，所以保证屁点的横坐标啊，本来就是 a 加二啊，一定要严格大于三， a 减六，注意啊，严格大于三， a 减六啊，不能等啊！ 好，那么并且小于等于三， a， 就是 p 点跟 a 点重合，行不行？行，它只有一个焦点啊，因为我们说了， a 撇点一定在 b 点的上方啊，就是 a 撇点在 b 点的右侧。好，那么当然这种情况算下来呢，是一小于等于 a 啊，要小于四，当然 a 要前提大于三啊，因为它跑到右侧来了，所以三到四， 当然二到三，三到四，把这两个一结合，那就是二到四，对吧？好，那么当然 b 点呢，也有可能呢，继续跑，但是他在 a 点的下方，那有没有可能这种情形啊？ 注意，也就是说， b 点的横坐标如果比 p 点的横坐标来的大，行不行呢？不行啊，此时一定不行。为什么？因为这个时候同学们画出来的线一定就有俩焦点了吗？他就不满足要求了 啊，不满足要求了，对不对？所以如果你 b 点继续往右跑，跑到 p 点上方，这种情形是一定不可以满足要求的啊，一定不能满足要求啊，所以这种情况呢，也就是不成立了，是吧？已经不成立好， 那么当然第二种情况呢，相对好讨论一点，就是 a 小 于零， a 小 于零的时候，开口朝下负 a 大 于零，所以 a 点在对称轴的右侧，三 a 减六呢，一定小于零在对称轴的左侧，并且对称过来之后， a 撇点呢，横坐标呢，是三 a， 那 么我们知道三 a 肯定是大于三 a 减六的，那么 a 撇点还是在点 b 的 上方， 那么当然 p 点是 a 加二， a 加二肯定也在对称轴的右侧，所以你只需要保证对称的 p 撇点位于 a 撇 b 之间，同时还要注意 p 撇不能与 a 重合啊， a 撇重合啊， 因为一重合的话呢，你又能画出两个点了啊。所以，呃，要保证 p 撇点的横呃，横坐标就是 a 减二，严格的小于三， a 大 于等于 当 a 减六啊，当然算一下就是小于等于二或者大于负一，那么当然前提小于零啊，所以最终呢，我们只要算得 a 是 再负一到零好，那么最后我们也就把这问题明确好了 好，所以同学们会发现呢，我们在解决这一类问题的时候呢，海淀区的这个题目，我觉得更加看重的是从本质出发。什么叫本质？就是我们去或者说北京中考所研究的二次函数，我们研究的是什么？无论是这个 呃，前面比大小的问题，还是说这个什么公共点的问题，其实核心就一个，就是明确点在函数图像上面的具体位置， 而位置呢，考虑两个维度，一，在对称轴的左侧还是右侧？二，谁更高谁更低 是吧？那么我们根据定向分析，当 b 点从左往右依次讨论，看看它是否能够满足要求 好，所以这样一来就可以做到不重复不遗漏啊。当然最终把该合并的合并一下啊，所以 a 的 范围在负一到零，零到一以及二到四，注意一下啊，等于号哪些可取哪些不可取啊。 那我想的这道题目应该来说得分率应该比往就往期的题目要来的更低一点啊。确实有一点这个难度啊，讨论什么的难度好啊，所以这道题目呢，我们就给大家分析到这里啊。
25栗子老师教数学
08:09查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下海淀初三七初三二波的这个带中题啊，这个带中题的话，猛一看就是公共点的问题，对吧？ 但是呢，他考察的核心依然是我们春季课讲过的一道题，哪个题呢？给大家看一下啊，是我们春季课后边补充的带中里面的这个八一的联轴题，就是过他做外周的垂线 l 图像记，他这个函数段最高点和最低点分别位于 l 的 上方和下方， 基本上和这个题的思路是一样的啊，只不过海淀的二模体这是需要分析。分析什么？分析 a， 所以 说我觉得我们的课程是能够覆盖就现在的考试个体型， 所以说大家就是不要盲目的去做新题啊，更多都是把讲过的题给理解透，因为万变不离其宗啊。好，我们废话不多说，直接看一下这个海淀的二模题，我们接下来看第二吧。啊，抛线在 ab 之间的部分为图形记，对吧？这是一个函数段的问题啊， 抛线到一个点，做垂直于外周的垂线 l 与图形记有一个公分点，那不就是最高点和最低点一个在上一个在下吗？ 对吧？但是它有一个东西可以怎么了？可以重合，对吧？相当于是有一个东西可以重合到，这也可以。好，我们在做这个点的时候，第一步先分析对称轴 负的二 a 分 之 b 等于个 a， 所以 这个 a 的 话，加括号里边说的是 a 不 等于零，我们要分两种情况啊，第一种，也就是说如果是当 a 大 于零， 它是一个开口向上，这样子，对吧？我们把它都画出来啊，放到这个地方，好，然后呢，这是一个 x 等于 a， 我们要学会定位，对吧？这个 a 的 话，一定是在左侧这种，比如说来一个负 a 多少？一个 a 有 一个什么？有一个 a 加二， a 加二的话，我假设在这个地方，我们给它来一个对称， 对吧？人家说的是直线 l 与平行 g 有 一个公共点嘛？我们先把整个图给它分析一下啊，逐步分析，对吧？这张是有一个 a 减二。好，大家想一个问题啊，也就说整个图是在这个地方，这是什么？这是咱们的 y 等一个 t， 对吧？它是个 y 等于 t 啊，然后呢？ ab 之间，对吧？ ab 之间的图形为一个 g， 而且人家说的与它有一个共点，所以我们先勾图在这，这就是我们的 b 点，它的横轴是几？横轴是一个三， a 减六， 所以我们有一个限定，有一个图不等式一写不就出来了吗？对吧？不等式应该怎么写？负 a 小 于等于 a 减二， 对吧？小于等于三， a 减六，三 a 减六怎么了？小于 a 加二，他不能等于 a 加二啊，如果他要等于 a 加二的话，这地方应该是两个交点了，对吧？只要这个头和他不接触，他都有一个交点， 那么我们来解一下这个不等式，这地方是二， a 大 于等于二， a 大 于等于一，第二个的话是二， a 小 于八， a 小 于个四，所以二小于等于 a 小 于四， 这是我们的第一种情况啊。好，我们继续调整，把这个图继续往右走，准确来说应该是往左边啊， 对吧？把这个图像继续往左边走，怎么样走呢？大家看好啊，这是我们的负 a， 对 吧？他是一个负 a 啊， 往这边挪一下，然后我们刚刚什么，刚刚是让这个三 a 减六在右边，那么三 a 减六，它能不能在左侧呢？ 当然可以，这是 a， 这是 b， 这是我们的图形 g 与什么呢？与这个 t 有 一个交点，就是这是 y 等于 t， 这是一个 a 加二，这个地方应该是一个 a 减二， 对吧？它也有一个交点，所以说这种图的话，应该是三 a 减六小于等于 a 减二小于等于负 a， 对吧？然后咱们一项二， a 小 于等于四， a 小 于等于二，二 a 小 于等于二， a 小 于等于一，因为 a 是 大于嘛？这个零小于 a 小 于等于一，好到这完了吗？没有，我们还有第三种， 对吧？第三个应该怎么了？开口向下嘛，对吧？如果它的开口向下的话，我们这个图它应该怎么处理呢？这是有一个对准轴，这个对准轴的话是一个 a， 对 吧？ 这是个 x 等于 a， 这地方呢有一个负 a， 这个时候负 a 应该是在右侧啊，负 a 在 右侧，好，然后我们要去区分什么呢？区分一个 a 加二，对吧？我第一种情况啊，我把这个 a 加二呢，放到这 左边，有个有一个是 a 减二，对吧？然后人家说的是在 a b 之间的图形为一个 g， 所以 它现在有个什么？有一个是三 a 减六，三 a 减六，肯定是一个负的，对吧？ 它肯定是一个负的啊，负的，我们可以来算一下，先把这个图给它补一下啊，你说这是一个题， 这个三 a 减六，应该是这样子，对吧？这是一个 a 点，这是个 b 点， 所以它的不等式也就出来了， a 减二小于三， a 减六小于等于 a 加二小于等于负 a， 对吧？ a 加二小于等于负 a， 好， 我们来算一下啊，这段应该是四小于二 a a 大 于二，这就一定舍掉了，因为这个不等式主，它的解集与咱们的 a 小 于零是不符的啊。好，我们继续再来分析第四种情况 往这走。呃，然后有一个什么呢？有一个是负 a， 它肯定是在右边，对吧？这是有一个负 a， 或者说我往左边划一下， 这是个 a， 对 吧？我们刚刚说这个负 a 的 话，是比 a 加二大啊？它有没有可能 a 加二跑到这呢？当然有可能， 对吧？这是一个 a 点，这是一个 a 加二，左边这是一个 a， 减二，对吧？那么这个时候我们只需要什么？我们只需要这个 b 的 话，是在哪个地方？在下边是不就可以了？这样， 这是一个，这是一个比，它的横坐标是一个三 a 减六，对吧？这是个三 a 减六，所以不等式也就出来了嘛，我们只需要让这个三 a 减六小于等于 a 减二， 让这个负 a， 对 吧？小于谁？小于个 a 加二， 对不对？他要小于一个 a 加二啊？但呢，他们俩能不能相等？大家想一个问题， 如果他要跑到这的话，对吧？他如果要跑到这的话，和咱们的左边他就两个焦点了啊，这就不符合了，对吧？所以说我们在解这个不等式主，解这个不等式主的话，他应该是一个，呃，上边应该是 a 二， a 小 于等于二， a 小 于等于一，左边的话，应该是 a 大 于个负一， 所以说它是 a 小 于零，大于负一，小于零。所以这个题的答案应该是有三个啊， 中上负一小于 a 小 于零，或者是零小于 a 小 于等于一，或者是二小于等于 a 小 于四。好，这是这个题的一个思路解析。啊，好，这个题我讲到这里。
112数学张老师
16:03查看AI文稿AI文稿写活快，带树稳新定义还能提智商。哈喽，各位同学们大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家精讲一下我们海淀二模这道函数压轴题啊，这道题目同学们在考场上感觉做的怎么样呀？现在的你心情如何 啊？这道题很容易在考场上让人把把人搞烦是吧？如果我猜中了，你能不能在弹幕上扣个一啊？ 好，首先就是第一个会感觉这个题浓浓的不确定性，是不是点 a 不 确定，横纵坐标都不确定，点 b 横纵坐标都不确定，抛物线也都不确定，开口呀，对称轴呀，好像就只能看到过零零，其他的都不确定， 哎，包括又给我一个点屁，我这 a b 还没搞明白呢，又来了个屁，是不是都是不确定的，浓浓的不确定性啊。所以这个时候有些同学可能就已经不知道该咋办了， 哎，对吧，这是第一了。第二个就是有同学可能知道，哎，不确定，那我就挖确定呗，对不对？再加上我就勇敢的画图对不对？哎，这种同学就已经很棒了啊，哎，那但是坐着坐着会感觉这题好乱呀，怎么分类一定是清晰全面又有序，然后让自己不累的呢？同学们， 是不是我就知道我只要这么分，如果我跟米奇老师答案不一样，一定就是他错了。我希望我的同学们对有序分析能够有分类，讨论这个方面能够有这样的自信啊，等会肖老师都会给你示范啊，我是怎么进行有序分析的。 第三个就是可能感觉这个题需要列的式子好多，是不是算着算着感觉心态崩了，算乱了。其实这个的原因还是因为跟前面一样，你没有进行有你的分类讨论的逻辑是不清楚的。我举个例子，同学们，什么叫有序分析？如果肖老师让你让你背啊，让你背 三点一四一五九二六五七五八，你肯定感觉很烦，为什么？因为无序对不对？你肯定感觉非常累是不是？我背个背个，别说背个五十位了，你背个二十位十位你就累了是不是？但是如果让你数一二三四五六七八九十十一十二十三， 你肯定毫无感觉，你能，你能数到天亮，只要你嗓子不干，是不是？为什么？因为这有序，所以有序才能让人心态不崩不乱。所以函数压轴题，无论是今年的西城二模、朝阳二模、海淀二模，他都透露出一个特点，有序分析的重要性 啊，我相信咱们的新定义题肯定也是这个特征啊，以及最后一点就是取等确认没做对，是吧？好，那肖老师，这道题我着重想给大家就是示范我是怎么确认这个题该怎么分类讨论的，从而让我这个题做起来不累，不重不漏 啊。好，首先同学们，我先进行画图啊，任何函数题都要先画出第一图，这样我才能看懂他在干嘛啊。画抛物线，肖老师早就给你们总结完口诀了，只要画抛物线，那就是开周定 是吧？那开就是我们的开口，那这个题肯定就一个，我先画一个开口向上，因为开口不定，我就先按开口分，对不对？哎，我先画一个开口向上啊， a 大 于零， 然后它的对称轴就是 x 等于 a 是 吧？ x 等于 a 画上， 哎，好。然后接着你就会发现，同学们，此时此刻有没有发现有定的了？ 你本来感觉 a 也不定， b 也不定，那你看现在有没有定的了。我早就跟大家说过，函数题就像多米诺骨牌一道真的出的很好的函数题。海淀这个题就出的非常好，他每个参数之间都有浓浓的关联性啊，一旦发现一个东西定了，就像多米诺骨牌的第一个 块被你推倒了，后面就噼里啪啦的全都定了。所以来，同学们，你们可以告诉我，这道题 a 和 b 谁已经定了吗？ 哎，对， a 点已经定了，此时此刻他一定在轴左，对不对？此时此刻他一定在轴左啊，因为他是因为此刻 a 是 正的，所以负， a 是 负的，所以他一定在轴左，是不是？哎，那就这个点就是点 a， 好， 同学们，那你看一的这个题一共就研究 a b 俩点，定了一个点之后，你是不是感觉无比幸福了？ 是不是？你就把你都已经定了一个点了，您就把 b 再给他动一圈，分几种情况不就一目了然了吗？对不？哎，所以只要把 b 动一圈，同学们，你就会发现情况一目了然，哎！ 第一种，咱们让点 b 涨价，是不是？哎，这是第一种。第二种，咱们继续动动动动动，让点 b 涨价， 对不对？哎！第二种，第三种，继续咚咚咚，咚咚咚，让点 b 涨价，对不对？哎！第四种，继续咚咚咚，让点 b 涨价， 哎，对不对？你可能会想到，哎，那我就可以分四种啊，但是你放心，一般他都不会让你分那么多种的，老师都会给你设计好的啊，如果你这个题哎，你算了一下点 a 关于 x 等于 a 的 对称点，各位同学， 哎，你算一算这个数，你就会发现，因为这个点 a 的 横坐标是负 a 啊，如果你算一下这个对称的话，这个应该是三 a 三 a 三 a。 同学们，点 b 是 多少？是三 a 减六什么意思啊？ 你是三 a， 我是 三 a 减六，什么意思？那意味着点 b 能干到这吗？根本干不到，跑不了那么远，他只能在这嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟嘟，他只能在这跑， 对不对？哎，他只能在这跑那。你可能会说，向老师，那你为什么要分这这这各一种呢？因为我发现他的图形形状变了 啊，只要图形形状变了，我基本上都会给他分，第二两种情况都会给他分一分。你看，因为如果当 b 在 这，他就是一个单减的图像，如果 b 动到这就拐弯了啊。所以通过这样的有序分析，同学们我就非常轻松的 get 到了开口向上这个题，我就分 one two three 是不是？然后我就一个一个做就行了。哎，好，那同学们，如果你学会了这个分类讨论，同学们你也可以先暂停肖老师这个视频，自己去试一试啊。其实这道题主要在于你能不能想到怎么分类讨论啊，当然还有开口向下啊，开口向下，等会肖老师会说一说啊，你已经就学会了这个题的百分之九十九。 嗯，好，那向老师具体给大家示范一下这个题是怎么有序分析的呢？首先就跟刚才向老师跟你们说的是一样的啊，这个题我在做的时候，开口向上，我会分这三种情况，是不是？嘚嘚嘚没问题吧？我会分这三种啊。那接着， 因为只要 ab 这个图像定了，各位同学，只要 ab 这个图像，这已经定了，如果当 b 在 这的时候，它就是这样的一个图像，对吧？那这个时候他说过抛物线上一点 p， a 加二。各位同学， a 加二， a 加二长哪？ 因为对称轴是 a， 所以 a 加二肯定长在轴右，对不对？也就是它的意思就是我要过轴右的一点，然后呢？做一条直线，垂直于外轴啊，也就做一条横线呗， 然后干嘛能跟咱们这个图形 g 只有一个公共点，那同学们，这 so easy 吧？ 要过 y 轴啊，要过对称轴右边的一个点，然后呢，能跟做一条横线，这个横线能跟咱们这个图形 g 只有一个公共点，那是不是 so easy？ 我 们只要让 a 加二，怎么说？如果是，以第一种情况为例，我们是不是只要让 a 加二 在这个在这段上动就行了？这不就刚好是一个一个一个一个，对不对？因为它图像就长这么一轱辘嘛，对不对？哎，所以说白了，就是让那个 a 加二要 落在点 a 的 对称点和点 b 的 对称点之间，有问题不？ 只要让 a 加二落在这个范围之间。同学们，那我过他做横线都能有一个，都能跟图像 g 有 一个公共点，是不是？哎，好，那咱们来写一下过程啊。这种情况呢，其实 任何的分类讨论都应该先写前提条件。同学们，此刻就是点 b 在 a 的 左边，也就是点 b 的 横坐标。三 a 减六要小于负 a， 是 不是要小于负 a 啊？因为他说不能重合，所以三 a 减六要小于负 a， 那这个时候我们能解出一个关于 a 的 前提范围，是不是？哎，前提范围啊，当然，对吧，这个时候我做的是 a 大 于零啊，还有大于零这个前提，然后这个时候咱们只需要让这个 a 加二，同学们，让 a 加二， 它要落在这个点和这个点之间，是不是也就是落在这个三 a 和 负 a 加六之间，对吗？同学们，哎，落在三 a 和负 a 加六，因为我已经算了，这个点的对应点是三 a， 这个点的对应点是负 a 加六啊，我就让它落在三 a 和负 a 加六之间啊，好，然后咱们再做一下取等确认啊，如果咱们这个 a 加二 就落这了。同学们，此时此刻它跟这个图像是不是只有一个公共点呀？是的，对不对？没毛病啊，如果它就落在这了，它跟咱们这个图像是不是也只有一个公共点呀？是的，所以两边都是可以取等的啊，等于三 a 和等于 a 加二也都中啊， 好， ok， 所以 这个呢，我们就解出来这个范围了，然后再和我们的前提取一个公共部分。哎，好，第一种情况就拿捏了， 好，二三都是一模一样的啊。同学们，你可以继续暂停肖老师这个视频，自己再试一试，讨论一下第二种，第三种。 好，来跟我对一下答案。第二种呢，就是当点 b 落在这股落在这的时候啊，继续先写前提， 也就是说当点 b 的 横坐标啊，点 b 的 横坐标，三 a 减六，应该是落在负 a 和 a 之间的时候，对不对？落在这轱辘的时候啊？ ok， 然后解出来 a 的 前提范围，这个时候怎么能符合题意呢？ 还是那个意思，我要让 a 加二，同学们，我要让它外轴对称轴右侧有那么一个点，我只要过这个点做一个横线，哎，都能跟这段图像只有一个公共点。那很简单，说白了就是落在这个点 b 的 对称点和点 a 的 对称点之间，有毛病不？咱们只要让 a 加二落在这两个点之间，同学们，是不是 你过它做横线都能跟咱们此刻的这个图形 g 有 一个公共点啊，跟刚才一样一样的啊，好，所以就是 a 加二要大于等于咱们点 b 的 对称，就应该是这个啊，负 a 加六是不是要小于等于咱们点 a 的 对称三 a 是 不是？哎，这是负 a 加六啊， 要在负 a 加六和三 a 之间啊，让咱们的 a 加二落在这个取等的原因跟刚才一样啊，所以这个再结合我们的前提条件，就能算出第二组答案。 好，第三组同学们，也是一样的啊，当点 b 落在这两个点之间了呢，对不对？落在这轱辘了呢？ 也就是说，当三 a 减六要大于 a 啊，你不用操心，他不会动到这的，对不对？因为他这个是三 a 减六，不可能大于啊，不可能大于三 a 的， 是不是？刚才咱们也说过了，他只要大于 a 就 行了，好，解出一个前提，然后这个时候，同样的，我们这个时候这个 a 加二只能落在哪呢？ 哎，只能落在哪呢？同学们，只能落在这个点和这个点之间，对不对？因为你只有过这两个点之间的任何一个位置，你去做一个横线，才能跟咱们的图形，这也就蓝色这个图像有一个公共点， 如果您落这了，对不对？你一做就几个了，就变成两个了，所以这个题变成两个也能做啊，你们可以自己试试啊，好，对吧？那他只能落在这轱辘，也就是让咱们的 a 加二要落在咱们点 b 啊。这个也就是 啊，三 a 减六和三 a 之间，是不是落在三 a 减六和三 a 之间？这个时候敲黑板，同学们，请一定要认真看取等确认啊！这个题三 a 减六能不能取？ 如果当 a 加二等于三 a 减六了，同学们，这个时候你过他去做横线，你会发现几个？公共点了两个，两个，两个，所以注意哦，这块是不能取等的啊，这块没毛病，是不是？你过这个做横线仍然是一个，是不是？好嘞，这是第三种啊，好，那咱们再看一下，开口向下啊，开口向下， 开口向下，因为对称轴仍然是我们的 a 点， 是吧？因为对称轴是 a， 此刻 a 是 个负数了啊，因为 a 小 于零了，所以此刻 a 是 个负数了，那这个时候负 a 就 应该在轴右点， a 就 定了， 是不是 a 就 长这长这，哎，长长轴右，那我们刚才已经算过对称了，负 a， 关于对称轴的对称是三 a， 那 这个人是三 a 减六，所以肯定在这，对不对？同学们，肯定在三 a 的 更左了呀， 对不对？肯定在三 a 的 更左边了，三 a 剪映应该在这，所以他这个时候的 ab 图像是确定的，不需要分类讨论了。 并且老师还是挺善良的吧，他不敢再让你讨论三种，他怕你骂他啊，所以他一般来讲就是开口向上，开口向下，他不可能都是各玩三种啊，实在是太麻烦了是不是？哎，这个时候就一种情况，已经定了，开口向下就定死，就这一幅图 啊。那这个时候咱们只需要去找这个 a 加二应该长哪呢？同学们，咱们应该过哪去做横线就欧了呀！首先 a 加二还是在轴用啊，那这个时候很明显，它是不是只要落在这个点和点 b 的 对称点之间哎，只要过这个区域内的点做图像做横线，就能跟咱们这个图形 g 有 一个公共点呀， 是不是也就落在这个负 a 和这个负 a 加六之间，是不是？哎，也就是让 a 加二落在负 a 和负 a 加六之间，仍然要注意这个取等确认。家人们 啊，它不能等于负 a， 因为这个时候你看你做图看确认一下，这个时候又变成两个公共点了，是不是？所以这个时候不能取等啊。好，然后再进行一个前提确认，所以这个是最后一个答案， 然后这个可以合并啊。当然这道题如果你有序动完之后，你会发现二三两种，其实合并也行啊，但是我觉得不合并这样更清晰，是不是啊？这个题最后答案应该是三段答案啊。 ok， 好， 其实每种情况都不太复杂对不对？但是这个题说实话确实情况很多啊，我也比较能共情大家啊，确实情况还是比较多的啊，但是每种情况都不复杂， 对不对？越是这样的题，同学们越考验你的耐力啊，这种题拼的就是你会不会有序分析，你在考场上能不能持续告诉自己这题对吧？每种情况只要我耐心算，我都能算。对，每种情况都不复杂 对不对？哎，像这样的有序分析的这种能力和耐力，同学们难道不也是应该咱们修炼的吗？万一今年中考考场考一个这样的题，可能大家都有点思路，那你有没有信心你比别人就能够分的更全更清晰，然后更不烦呢？ 对不对？那如果这样的话，那你不就赢了吗？同学们，所以在最后一个月，这样的耐力也是我们应该去修炼的啊，所以肖老师在这种函数专题课上也会特意给大家选个两三道类似于这样的 比较考验大家有序分析耐力的题目啊。我的目的就是为了让同学们在这个方面也能比别人建立一些优势啊，从而能够让你在考场上发挥的更稳 啊。像肖老师和胡老师，我们在二模之后开的这个这个冲高分的专题课上，我们重点就是帮助大家怎么能够从一个四分的带中选手变成一个六稳稳的啊，在各个方面都稳稳的六分的带中选手 啊。所以同学们，如果大家在这方面你觉得自己还有提升的空间的话，可以跟我们老师咨询我们的课程，嗯。
03:29查看AI文稿AI文稿北京初三的二模考试明天就要开始了，刚刚结束呢，一天十二个小时课程，最近课程排的非常慢，因为马上就要中考了，我也特别能够理解同学和家长的心情，那么这条视频呢，我就来给大家分享一下关于北京二模考试之前必会的数学的一些方法总结，希望能够帮助到屏幕前每一个正在努力的同学们。 首先第一点，我先分成基础题目啊，就是大家一定要明白，基础题目你是绝对不能扣分的，那对于这样的题目呢，你是一定要做到心细，而且要专注度足够够你能够选出正确的答案，并且涂在你的答题卡上，或者写在你的答题卡上，这是必须的。 第二，对于中难度的题目呢，你要尽力的去拿分，比如说像这个一次函数的综合，比如说像这个方程的实际应用，对吧？这些你一定要去认真去审题，找出题目当中的等量关系，利用你平时的方法去做就可以了。那么在这一块呢，我也不给大家做过多的赘述，那么主要是第三板块，对于我们的原宗，代宗和几， 我们到底应该怎么样才能够拿到更好的一个分数？首先我先说原宗大概率呢，这个题目难度呢会增大，因为我们整个的中考的一个趋势就是原宗可能会去以成为一个拉开水平这样的一个题型。那么对于原宗，我们第一问基本上都是来去正切线的，那么 通过这种切线的我们可以去想一件事，切线有两个方向的证明，第一个是看有没有切点，如果说是有切点，那就是连接圆心和切点正垂直，如果没有切点，让你这种切线怎么办？做垂直正半径。对这第一问经常用的两大方向思路。 第二个对于我们的第二问来讲，一般来讲是求解线段长度啊，这个最近几年的这个北京中考这个原宗渐渐的成为这个固定的一个模模式啊。那么对于这个线段长度，我们有两个方向，第一个是 构直角，第二个方面是造相似，对吧？那么我们就是通过直角三角形，比如说我们利用的是三角函数，因为现在构建我们不用了，那么主要是三角函数，如果三角函数实在做不了，那么干嘛 去造相似，对吧？一定会用到相似，如果你没有这样去做，那很可能这个题目你就呃做的方向或者是整个的题目就拿不上分啊，这是我们的原宗。那么对于代宗来讲的话，大家一定要去审清题，题目第一问的话必须要做对，千万不能做错，因为第一问做错的话，第二问很可能就拿不到分了，所以说第一问我们保证做对前提下，那么对于 第二问来讲，我们一定要看清楚是增大而增大，还是增大而减小，或者是题目当中有哪些呃相关的这个变化的一些要素一定要分清楚， 你要相信我所有的二函数都来自于整个二函数的基础性质啊，只要你能够理解清楚，运用好，那就绝对没有问题。 对于我们的大家都比较头疼的己松啊，我预测的这个题型呢，大概率会偏向于终点的这类考察，那么对于终点呢，其实我们可以往这三大方向去走啊，第一大方向是可以去想中位线，第二大方向是斜中就是斜中线，第三大方向是垂直平分线啊，你只要遇到终点，你可以往这 这三个方向去走，大概率是没有什么问题的，因为手拉手考察的太多了，所以说基本上这个考察手拉手再加终点呢，可能性不太大，但不 排除啊，所以说大家一定要根据我的这个总结，你再去看一看，对吧？我们之前做过的一些题目，总结一下这类几宗常见的一些方法思路，那么相信呢，在考场之上呢，你也能够 更好的去发挥。呃，那我也要跟大家讲一下，无论这个二模考试你考的到底怎么样，都不用有任何的焦虑，因为我们的考试更多的是发现问题，能够让你锻炼好你的心态，对 吧？在考场之上的时候，在真正的中考当中的时候，你就能够更好的去发挥，所以说考试分数重要，但不是绝对重要的，是相对重要的，你能够通过这个考试发现自己更多问题，去不断的解决问题，相信你在中考的时候，也能够拿下中考数学的高分。
14讲数学的森叔
04:38查看AI文稿AI文稿刚拿到海淀二模试卷，整体试卷看了一下，难度确实依然在啊。我们这个视频来说一下几宗的考察。首先先说一下他很有水平，他跟二五年海淀的那个模考题大差不差。好，那首先我们来看一下应该是怎么做的。他 告诉我们说，在三角形 a、 b、 c 当中，角 b， a、 c 等于九十， a， b， c 等于阿尔法。点 d 在 bc 的 延长线上， e 是 c， d 中点好，那看到九十度就去标角就好了， a、 b、 c 等于阿尔法，又看到有一个 e， a 旋转一百八十度减二，阿尔法得到 e、 f， 所以题目当中有的信息都给它标好。第一问告诉我们说阿尔法等于四十五，我们把它写出来。好，这个角是四十五度，那这也是四十五度，所以它就会是一个等腰值好，等腰值出来了之后， c、 d 又等于 bc， 所以 这就是 终点，对吧？点 c 的 位置会是一个终点的位置。接下来告诉我们说，求证 c、 f 垂直 bc， 这个时候我们要注意的是，阿尔法是四十五度，那一百八十度减二，阿尔法就可以得到九十。当你看到在一条线上出现了一个角，这个角刚好是九十度的时候，并且这个角的两条边相等，那你手想的一定是三垂， 所以我做的辅助线就是过 a 点做 am 垂直 bc， 为什么我要往这个方向去做？因为我 c 这个位置是不是要让我去正垂直的？好，那接下来我就去证明这两个三角形全等就好了，怎么去正倒角？可以得到的是这个角 m， a， e 等于我们的角 c， e、 f 一个角等。其次第二个一条边等， 再来第三个，我们又可以根据终点得到 am， 是 不是等于我们的 bm 等于 mc， 所以 am 就 应该等于 bc 的 一半，而 c e 呢，等于 cd 的 一半，所以等量代换 c e 就 等于 am。 那 现在一组边等，一个角等，另外一组边又等，所以这两个三角形全等，一旦全等了就会出现，这是九十，所以第一问考察到的是三垂模型。 好，那接下来我们来看第二问。第二问就看图二了啊，因为这比较小，所以我单独画了一个，他说直接写出我们的角 b、 f、 d 的 大小看好了。首先第一步，即使你正不出来，你是不是也得把它的大小先写出来，肉眼可见，它应该是一个什么 九十度啊，所以你要先写出它等于九十度，那接下来怎么去证明？还记不记得我们之前就不断反复的跟大家去说过，看到题目当中有阿尔法有一百八十度减二阿尔法，就要想什么 想互补的关系，什么意思？就是阿尔法和一百八十度减二阿尔法什么关系？没关系对不对？但是一百八十度减二阿尔法和二阿尔法是不是互补的，对吧？所以我的辅助线就一定得去想他们之间怎么能构造相关的点，这是第一个思路。其次，第二个，我接下来要想的就是点 e 是 终点，他为什么要给我这件事？ 当我们看到题目当中有终点的时候，我们那几个终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个点 e 是 终点模型就可以去使用了。所以呢，现在我们来去看，结合刚刚我所说的这两点，一个看到阿尔法变成二阿尔法，就 和一百八十度减二阿尔法可以去结合。好，那怎么去做阿尔法？在这怎么变成两个阿尔法？是不是最好用的方式是什么？做对称，所以我去延长 c a 到点 m 是 am， 等于 ac 连接 bm， 那 这个时候是不是这就有一个二阿尔法了？ 好，那在我做完这个之后结束了吗？并没有，你会发现，当我把它加倍延长出去之后， a 点就是终点， a 点是终点， e 点是终点，所以 a e 就 可以构成中位线，那我再去连接 md 就 好了， m d 等于二倍的 a e， 这是第一个，那接下来我们会发现 a e 这条边就被我转移到 m d 上去了，那我能不能把 e f 也给它转移掉呢？那怎么去转移？还是一样的思路， e 点是中点，那我除了做这边的中位线之外，我还可以做这边的，所以我去延长 d f 到点 n 时， f n 等于 d f。 好， 那接下来连接 c n 连上之后， c n 这条线段就等于二倍的 e f 也是中位线，所以现在 m d 和 c n 就是 对应相等的，这是一组边等。 其次第二个 b m 等于 bc， 这是两组边等看到了这两组边对应相等，找加角就够了吧，找出来加角之后，就能证明这两个三角形是手拉手了。 好，那怎么去找加角？倒角就用上了。首先我们可以看到的是这个一百八减二阿尔法暂时还没有用，对吧？好，那我接下来就可以去把我已知的角都标上，这是九十减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法。好，那接下来我们又可以根据这一个角，比如说我说这是贝特， 好，如果这是 beta 的 话，那是不是也就意味着这个角就是九十度减阿尔法减 beta？ 用外角的定律。好，那这个角就是九十度减阿尔法减 beta， 所以 这整个大角就是一百八十度减二，阿尔法减 beta， 看到了吗？一百八十度减二阿尔法减 beta， 一 百八十度减二，阿尔法在哪来着？在这， 对吧？好，那它减掉一个 beta， 是 不是就是这边的这个角 c e f 这个角，那 c e f 因为平行的关系就等于我们的 b c n， 所以 这也是一百八十度减二，阿尔法减 beta。 那 现在是不是就出现了边角边两个三角形全等，一旦全等了，结论是什么？ b n 就 等于我们的 b d， ok， b n 如果等于 b d， 说明 b n d 是 一个等腰三角形，等腰三角形底边有一个中点，所以它就会构成三线合一，那这就是直角九十就结束了， ok 吧，这个思路跟我们去年的思路是完全一致的啊。那今天因为时间的关系，就没有给大家去录多解，后面有时间的话可以给大家去多讲一讲关于我们几种的辅助线的思路构成。好，那我们就先说到这，拜拜。
202绝对值老师
06:41查看AI文稿AI文稿结构快，但是我新定义还能提示商。哈喽，大家好，我是玉浩老师啊，那么咱们今天一块来看一下海淀二摸的这个选择加注题，那这个选择加注题呢？各位啊，它就是一个考察动点问题的一个题，那这道题其实你只要分析好动点问题，限制的什么，没限制什么，那做起来还是比较简单的 啊。你就比方说在题干当中，各位，你会发现，首先直线啊，它给了我们 k 小 于零， b 大 于零的一个限制，但是具体是多少没有给 好。菱形 o m a n 当中呢？这个线段 m n， 它有什么限制呢？你会发现，作为对角线， a m n， 它必须在 a o o 的 中垂线上， 这是老师给你的一个限制，就是它限制了 m n 的 位置，但是它没有限制什么呢？各位，它没有给你限制 m n 的 长度，它只是告诉了你点 n 要在第一项线就 n 点一定要在上边， m 点一定要在下边，这就是它的一个限制。 所以当你分清楚了这个限制了之后，你就会发现第一问就特别好做了。第一问 k 和 b 给了你之后说菱形是不是存在无数个？那各位，就是刚才我说的，它只是限制了 m n 的 位置，但是没有限制 m n 的 长度，所以你想让点 n 在 哪？ 你想要点 n 距离 o a 多长都可以，所以那肯定就是无数个，依旧是正确的。好，那接着我们来看圈二圈二，哎，说当 b 等于二的时候，也就是 b 线确定了， b 确定之后，说对于 k 的 每一个确定的值。各位，也就是说你虽然在研究它的时候不知道 k 是 多少，但是你在研究具体一种情况的时候， k 一定是个确定的， 那在这种情况下，各位 k 确定， b 确定，其实在你研究的那种情况下，三角形的周长就是确定 好，那在三角形 a、 o b 周长确定的时候，它让你去找什么呢？让你找是否存在菱形的周长和三角形的周长相等。那各位，在这种情况下，你就会发现了， 也就是说我们要在 o a b 都确定的情况下去看，去探究 m n 他 们在的位置，能不能让菱形的周长和三角形的周长相等啊？因为啥？因为叫对每一个确定的值，我们可以把 k 就 看成确定 好，那在这种情况下，各位，我们就可以使用什么呢？使用我们的极端性原理加连续性原理。哎，我们就干嘛呢？我们就找点 n， 在刚刚一开始，也就是说刚刚冒个头的时候啊，各位，我们会发现，当点 n 刚刚冒头的时候，我们所形成的这个菱形 o m a n 的 面积呢？啊，这个周长呢？它可能 啊，或者不是它可能，它就明显不如。什么呢？不如 o a 加 ab 的 面积啊， o a 加 ab 的 这个长度， 各位，就是点 n 刚刚出头的时候，他刚刚出头一点，那这种情况下，你知道 o n 加 a n 虽然会比 o a 要大，但是也大不了多少去，那在这种情况下啊，大不了多少去呢？那 ab 很 明显就会远远比他们的 ab 加上 o a， 两条线段之隔就肯定会比菱形的这个周长要大，那更别说再加上一个 o b 了。 所以刚开始的时候呢，菱形的周长一定是小于三角形周长。好，然后你在干什么呢？极端性，你再找一个最远的时候，就远到什么时候呢？远到光靠 o n 一 条线段的长， 对吧？反正你也没有限定点 n 的 位置，我就让点 n 足够远，然后 o n 一 条线段长，它的长度呢，就超过三角形的周长。那你会发现，刚开始的时候，菱形周长小于三角形周长， 而最后菱形周长一定大于三角形周长。那中间，因为点 n 是 一个连续的从下方往上方移动，那肯定有一个时刻是存在他们两个周长相等的，所以圈二也是对的 啊。好，再来看圈三圈三这道题，老师所给的提示其实挺多的。首先第一个老师特意提醒你，哎，我在圈三的时候对点 n 有 限制了，点 n 要在 ab 上。 好，那这个限制我们就来研究一下呗。我们之前已经说了，哎，点 n 它首先在 a o 的 中垂线上，那现在点 n 又在 ab 上，那其实点 n 的 位置对于这个图形来说就是唯一确定的，它一定在哪呢？一定在 ab 的 中点上面。 为啥？因为点 p 是 o a 的 中点呀，然后 n p 又是垂直 o a 的， 那很明显， n p 就 和 o b 构成了一个中位线的一个结构，所以点 n 就是 ab 的 中。 好，这是第一个题型。第二个题型老师非常奇怪的给了一个点 a 的 坐标，为什么说它奇怪呢？因为点 a 的 坐标竟然是单纯的用 b 来表示的， 所以在这种情况下我们会干什么？哎，我们会想，另外一个跟 b 有 关系的是谁呢？大 b 的 坐标零都 b。 好， 那在这种情况下，我们就会发现，点 n 又是 ab 的 中点，那点 n 的 坐标是不是我们就能够用中点坐标公式给它求出来？ 好，那各位，你会发现 a、 b、 n、 o 四个点的终点坐标我们都知道，甚至点 p 的 终点坐标，哎，你如果想标的话也能标出来，那接下来让你去找菱形 o m， a， n 面积是不是有最大值？那各位，你是不是应该首先看到菱形的面积啊？ 怎么看到菱形的面积呢？各位，就是式子表一切嘛，老师都把这个饭喂到你嘴里了，都给了你点的坐标了，那你接下来肯定是式子表，一切有式子就能一直算下去。所以各位，我们直接用菱形面积等于对角线之积除以二，发现 它其实就等于 o a 乘以 p n， 那 我们列完之后，它的一个式子就是负的 b 方加 a 加五 b， 那各位，这不就变成了我们函数压轴题当中经常研究的那个新函数吗？对吧？ s 是 关于 b 的 一个函数， 那关于 b 的 一个函数，我们注意到二次向系数为负，一开口向下，那也就是说 b 在 等于 a 使用一个对称轴的一个坐标公式二分之五的时候， s 取到最小值 啊，取到最大值，那各位，这个时候别忘了检验一下，你会发现此时 b 点的坐标是零到二分之五， a 点的坐标是五到零 a， 这两个点呢都是存在并且合理的，所以他肯定会有最大值啊，我们就做完了 好了啊，那各位，这就是我们海淀二模的选择大问题啊，如果你对于这三个选项有问题，可以在评论区里啊提问，或者说你对这三个选项有更好的一个求解的方法，也都可以在评论区里面去跟大家分享。好，那我们就讲到这里。
09:01查看AI文稿AI文稿那我们接着来说一下海淀这个几宗的这种问题，这次海淀的二模我觉得正常发挥它应有的水平， 这个几宗呢，是有一点难度的啊，我觉得比那个西城的几宗要难一点。带宗呢，还行，只要你正常的分析啊，不漏掉任何一种情况，难度的话也能够理解， 然后其他的难度就还一般。好，我们重点来说一下这个几宗的这道题啊， 我们先看条件，他说角 b a c 等于九十度，那就是说白了，我们这个角等于九十度，对不对？ 嗯，好，这个角是阿尔法，那我们简单的传染一下，这个角就是九十度减阿尔法啊。好，他现在告诉我们点 e 是 中点，我们知道了这个一般情况下中点是干什么用的？背长中线，中位线，对不对？都可以用啊。 又告诉咱们线段叶 a 绕着点 e 逆时针旋转到这个位置来，这个角度是一百八十度减二而法。好，我们现在知道了点 e 是 中点， 那你考虑一下有相等还有终点啊，我们就是旋转圈等，再加上终点模型啊，基本操作。第一问呢，老师就先不说了，我们主要来看一下第二问，他让你求的是这个角度是多少度啊？那很显然吧，他就是一个九十度， 但问题是怎么证明呢？好，我们首先来观察一下题目中所给的信息啊。首先像这种有直角的情况，老师之前有说过啊，上课的时候有说过，我们就直接给他进行一个倍长构造一个什么 等幺，对不对啊？这是我们之前说过的方法哦，同志们啊，上过课的应该都知道啊，行，然后呢？干嘛？我是不是得到了这个十二法？ 那你我是不是就构造出来，或者说其实我是能够干嘛？我是能够证明出来这是一个，呃，或者我去做延长线吧，我做延长线都行，或者说让点 a 是 终点都可以啊，然后接下来干嘛？点 a 是 终点，点 e 是 终点，我是不是这样一连呀？同志们，我是为了干什么？ 我是为了得到中位线呐，这是不是就是这条线的一半啊？相当于，我干嘛？ 我是不是又得到了一个终点？中位线，对不对？嗯，好，那他是他的一半，同理，他是他的一半，那我是不是也可以让这个 f 也是个终点呀， 对不对？那这个时候我要干什么？我是不是还是给他去做延长线？其实就是我上面这个图像啊，老师，把这个图像先擦掉，这就是老师上面这个图像， 呃，是这个图像啊，相当于是给它延长一下，到这来，到这来了以后，我的 f 是 终点，我的这个点 e 是 换个颜色啊，我这个点 e 是 终点，对不对？我这个点 f 是 终点，那是不是就还是一个中位线？它是不是等于它的一半记菱形？而我们刚才说了，这两个都相等，绿色的边都相等， 那是不是说他们的二倍也相等啊？也就是这两个蓝色的边都相等，对不对？好，那么我们已经有一个边相等了，然后呢，接下来题目当中又给到我们这两个，这是咱们自己作的，对不对？嗯， 终点加加延长嘛？啊？那这条线是不是就是，呃，阿尔法，对吧？好，行，那么这两个边相等了，我们现在三角形里面一个蓝色的边，一个粉色的边，那是不就只要让他们的加角相等就好了？也就是说这两个 紫色的角相等是不就可以了？那么我题目中只给了一个阿尔法，那我说是个贝塔，其实设谁都可以啊， 比如说你设这个角是贝塔，那么根据中位线，这个角是不是就是贝塔？ 好，那么根据外角是九十度减，而法，那么这个内角是不就可以等于九十度减去，而法这个角再减去，这个角就是九十度减，而法再减去贝塔就是黑色的角，对不对？ 好，那么我现在已经有这个角是九十度减二法再减贝塔了，那根据这个大角是一百八十度减二二法，我一减是不得到这个角就是九十度减二法加贝塔， 那么根据中位线对不对啊？中位线啊，那么这个角是不就是九十度减二法加贝塔，所以我是不是正出来了？粉色和蓝色中间的加角和粉色和蓝色中间的加角是不都是九十度减二法加贝塔？所以我这两个三角形就全等了。哪两个三角形全等呢？ 就是这两个三角形全等了啊，你这两个三角形全等了以后，你肯定是为了得到边相等，对不对？比如说我是不是就能够得到这条边等于这条边吧，对应边相等啊，这个紫色的边是不等于这个紫色的边啊？ 这两个边相等，我还自己做了一个中点，所以意味着什么呀？这儿是不就是垂直啊，单线和一嘛，所以我的这个垂直关系是不是就做出来了？都是利用中位线和旋转权等得到的？ 好，那么有没有别的方法？其实也可以有啊，就是斜边中线等于斜边一半，再加备上中线就可以。比如说这个图里面，我们本身是没有斜边中线的， 因为呢，这个图它在这儿，是吧？这是 r 法啊，那我要保留这个 r 法角的话，而且我还想要什么啊？保证这个斜边是完整的，也就是 b、 d 是 完整的，所以我是不是给它把这儿构造出来这个直角三角形啊？ 好，那么他也要证明他是个直角三角形，说白了，共用斜边的两个直角三角形，那是不是就斜边中线等于斜边一半？我是不是就可以连接一下这个终点，我令他是终点 q， 我 是不是只要能够证明这条边等于这条边的，他是不是就是直角了， 对吧？写中半码啊？好，那我怎么证明呢？我是发现我这个点 e 的 终点我还没有用过，所以呢，哎，我干脆一不做二不休，我直接就给他做一个延长八字全等，看见没有啊，这两个八字全等 好，注意，我是做延长啊，说白了就是让点 e 是 ak 的 中点好。延长了以后，这三个边是不是就相等了这两个三角形八字圈的，首先这两个对顶角相等对不对？ 又因为呢，这条线和这条线是平行的啊，为什么呢？因为他们都是直角嘛，所以这两条线是平行的，那平行是不是就有什么 相等角度内错角对不对？这个大的钝角和这个大的钝角是不根据内错角相等了，然后再加上题目中给的 c、 e 等于 e、 d 这两个八字就全等了啊， 这两个八字三角形全等了以后，我们再根据题目当中的终点是不是斜边中线连斜边一半，这三条紫色的边相等了吧？这三条紫色的边相等了，你想想它不是跟它还相等吗？ 他和他这四条边是不是都相等了？那这四条边都相等了以后，我们要做什么？ 我们是不是正全等就好了？也就是说这个边等于这个边，然后呢？我们还有一个公共边，对不对？所以是不是只要证明这两个夹角相等就行了啊？那我现在怎么证明这两个夹角相等？是不是还是去射角啊？你说老师我射谁真的很随便啊，就射这个小角为背，他 这个小角是贝塔，这个角外角是九十度减尔法，那么这个角就是九十度减尔法，再减去一个贝塔，根据对顶角相等，这个角也等于九十度减尔法，再减去个贝塔，那么这个 角角因为它加起来不是一百八十度减阿尔法吗？是不是啊？好，所以减掉它就是它九十度减尔法加贝塔，好，所以这个角 加上这个角就是九十度减尔法减贝塔，加上二贝塔，就是九十度减尔法加贝塔。跟下面这个角九十度减尔法加贝塔相等， s a s 就 全倒了，全倒了以后这个角是九十度，那这个角不也是九十度吗？对，答案就出来了， 好，这两个方法都行啊，都是用到我们斜中半再加背上中线啊，这个全等就是一个八字全等，我们这手拉手是被削弱的，非常简单的一个对称的啊。全等啊， 好，这是我们的几宗做法，两个方法都可以教给大家，一个就是看到垂足呢去补全等腰，一个就是又遇到斜中半加背上中线啊这两个方法。
05:12查看AI文稿AI文稿我们北京初三的家长们，昨天呢说朝阳二模呢，考完了这份题目相对于朝阳一模来说，难度有所提升，整体难度呢，还是重规重矩，可作性非常强，灵活度适中， 非常适合在中考前演练一下。一定要让孩子吃透这套试卷，张老师今天带着大家主题拆解下这套题目。 首先选择题还是基础稳拿分，压轴题更注重几何的推理，前七个依旧是常规的基础考点，三式图数轴与实数范围、多边形内角和平行线角度计算、概率统计、科学技术法 尺规作图与几何计算知识点整体平和，认真审题呢，基本不会丢分。压轴题第八题明显更灵活，以正方形旋转为背景线段，考线段相等角度关系、三角形三边关系的判断。重点呢，考察几何的直观等量转化， 严谨结论来进行判断，也是张老师课上反复强调的，先抓对称再倒角，最后验证结论不平。感觉呢？ 不填控题基础为主，卡轴题考察积分最优逻辑匹配前面几道题同样是以基础为主，包括了分式有意义、因式分解、一元二次方程、判别式、反比类函数对称性、方差比较圆、内接四边形、矩形翻折的面积都是必拿分的题目。 压轴题第十六题延续了朝阳的特色，选手与环节的积分匹配，总分最大化，阅读量整体适中， 情境呢，相对比较清晰。但是呢，需要孩子认真耐心审题，有序匹配，优先选高分，不重复、不不遗漏的 考逻辑梳理和最优方案，心细有机会冲击满分解答题前五道基础盘必须拿到满分，整体变化不大，题型呢，依旧是非常稳定，我们一分也不能丢。十七题，实数的混合运算，根数负指数，零指数。 十八题，解一元一次的不等式组。十九题，整式的化简，求值条件的整体代入。二十题，四边形综合解直角三角形，没有复杂的辅助线，整体平稳。 这二十一题依次函数综合依旧是直线的旋转，数形结合平稳过渡。这部分是我们分数托底的，要保护好我们的基础分高冲高分才有底气。中间三道中档的解答题呢，总体来说需要我们更加细心一些。 首先分式方程的应用题等等量关系清晰，注意分式方程检验的步骤不能少。 统计综合依旧是中位数与平均数为主导，频数表中位数样本估计百分比的推断，信息提取要准，结论必须结合图表来进行描述。 圆综合切线的性质，指直角三角形与等腰三角形的三线合一是这块的重点，重点呢还是解直角三角形加上倒角的转化难度不大，但整体来说更加灵活。步骤一定要写全， 做好圆综合才能够为后边的题目做好承上启下。图探究在最后一问设置了一些小阻碍，不过大家需要做好准备以及更加专注。 最后三道压轴题是冲高分的关键，带中的难度稍大，己中与新定义整体在压轴题中难度适中。 首先代数综合这个题目的区分度比较高，题目描述的很抽象，需要具象化的图，但是整体来说是新函数求最值问题，但加入了比大小抛物线与直线数线的长度区间最直。临界分析， 紧贴中考的风格，数形结合分段讨论临界值，注意取等号是否可取。这个也是我们反复练的重点， 几何综合旋转加倍长、中线构造八字全等模型非常清晰，旋转加倍长、构造八字全等的联名，这也是咱们课上重点强调的思路，顺了速，能拿到高分。 最后就是我们压轴的新定义，依旧是多动态的轨迹问题，关关联图形最小，覆盖员坐标平移的规则。动态轨迹最值问题 阅读量大，尤其是在第二问、第三问，需要结合存在性轨迹最值问题。这个题的设计还是非常巧妙的，能够做到这的同学可以好好体会一下。这个最后的一问，整体来说呢，是朝阳二模考点全，比难度 比朝阳一模的难度要大，整体的难度呢，不规中矩阶段，适合孩子练手感检验状态的一套卷子，同时让孩子对照自查 基础题是否稳定不丢分，中档题的思路是否顺畅，步骤是否规范，压轴题呢，能拿到第几问？卡壳点在哪里，把漏洞找出来，针对性的进行补强。 需要这份朝阳二模的试卷的家长，敲朝阳二模我发给你，一步一个脚印，把错题吃透，中考稳稳发挥，各位加油！
