很多同学遇到一次函数与图形结合不会做，我们重点是把几何的位置性质体现出来，再结合点的坐标与直线的位置关系。 y 等于负二， x 加四绕着 a 点，所以 a 点坐标可以确定它是零四，那么 b 点坐标也可以确定 y 等于零，解出 x 等于二， 所以你得到了 o b， o a 的 差。竖形结合，把这条直线绕着 a 点 逆时针方向旋转四十五度，这个角四十五度得到了这个图像，让我们去求这个图像对应的函数表达式， 它也是一次函数，设 y 等于 k， x 加 b， b 就是 经过这个 a 点的坐标加四，所以我们再找到一个焦点坐标，即它与 s 轴的那个焦点即可，我们把它延长 这个焦点，把它计算出来，这只是一个示意图，那么这个四十五度怎么用呢？四十五度离不开九十度，所以我们在 b 点这做出一个垂直， 那这样你看这两三角形并不全等，所以我们不能找这个点的坐标，我们看利用了一线三垂直，这我们再做垂直，你就得到了这两个三角形全等。 所以我们确定这个 c 点坐标做 c d 垂直。 s， c， d 等于 o， b 等于二， b， d 等于 o， a 等于四，所以 c 点坐标就是六二，把六二代入减式即可求出 k 的 值。
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02:23查看AI文稿AI文稿一个方案设计的这个课后题的一个练习，这个题干呢，提供的是两个型号的机器人，他们的分减量以及单价，现在公司呢，计划购十台，每小时的分减量总和呢，不少于八千五百件。 那第一问呢，他已经给我们设出来一个未知数，也就一个变量假形机器人的数量是 x 台，我们可以写到这个对应的就是十减 x 台，这是提供的数据。 第一问问购买这十台机器人所花费的总费用。 y 与 x 关系，那其实很简单，就是 y 等于五， x 加上三乘以十减 x， 然后我们化减就可以了，它等于二 x 加三十的啊，这就是第一问的一个结果。 到第二问呢，他说这十台机器人呢，购买几台假型号的机器人，能使所花费的总费用最少，而且最少经费有多少？那么知道假是 x 台， 但是我们要列出它的总费用呢？是在这个函数解析式上，那甲呢，是买的，由于这二是大于零的 y， x 增大而增大，所以甲买的越少呢，它的费用是越低的。 那我们要知道甲它最少能买多少个？最少那就是一个不等量关系，要利用这个不等式来分析，所以看分解量是一千乘以甲的个数，再加上八百乘以乙的个数，它呢应该是不少于是大于等于八千五百的。这个过程中我们很容易解出来 x 大 于等于二点五 啊，当我们解出这个之后呢，我们就知道这里边 x 取整数， x 的 最小值就等于三。那么来分析一下，因为 y 是 等于二， x 加三十的，写这个二是大于零的，所以我们写了这样一句话，也就是增减性分析一下 y， x 增大而增大的 啊，表明我们知道这个函数的分析方法。所以呢，当 x 等于它的最小整数，也就是三十， y 呢，也取的是最小值，我们直接把最小值算出来，它是等于三十六的。那最后我们再总结， 总结的时候呢，是回答它的两个问题，第一是购买三台假机器人时费用最少啊，就把这个抄下来，然后呢最少费用 是三十六万元啊。这里面最重要的分析呢，就是对于一层来说，这个增减性的分析在我们这个减用题的过程呢，要体现出来。另外这个解析式包括取的范围我们是要考虑的，而且还是考虑取正整数。
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21:41查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的复习题，先看它的复习巩固。第一个，王芳现有存款一千五百元，他计划今后三年每个月都存五十元，他的存款总金额是 y 元， 随着时间 x 的 变化而变化，这个 x 呢，单位是 y 啊，写出 y 关于 x 的 函数解析式， 那么他已经有一千五百元了，然后每个月都往这个存款当中再存五十元，对不对？你一个月存五十元，那么加进去两个月，那就一共存了一百元，再加进去，就这个意思，知道吧？那你想一下， 它这里是三年，一年是十二个月，三年就是三十六个月，所以呢，它这个时间也就是 x 月份，它的取值范围一定是零到三十六，知道吗？好，这里我们简单写一下，它的总存款 会等于现存款， 加上每月存款 乘上月份，对吧？每月存五十元，一个月就乘一，两个月就乘二，对吧？好，然后呢，他说这里是三年，对不对？三年等于三十六个月， 等于啊，这是等于不是二三年等于三十六个月，所以呢，这个 x 的 取值范围小于等于三十六，大于等于零，然后我们再根据它的关系式写出来， 总存款是 y 元，对应写 y， 现存款是一千五百元，我们对应写一千五百， 然后每个月的存款呢，是五十元，对应五十乘上月份，他的月份呢，用时间 x 来表示，所以就乘 x， 所以 这个解析是 y 就 等于 五十， x 加上一千五。那么这样写的话呢，就是方便我们对应依次函数的，一般是 y 等于 k， x 加 b， 知道吧？然后呢，你再把它的取值范围写过来，就是 x 小 于等于三十六，大于等于零，那么 关 y 关于 x 的 函数解析式咱们就写出来了，因为这是一个实际问题，所以你一定要把它 x 的 取值范围写出来，知道吗？实际问题一般都是有取值范围的啊，千万不要忘记了。 再看第二题，判断下列各点是否在直线， y 等于二 x 加六上，并且求出这条直线与坐标轴的交点。那么首先判断下列各点是否在直线上，那么你就把它的横坐标当做 x 带进去， 看它算出来的 y 是 否等于它的重坐标就可以了。我这里写一下它的判定标准， 判断点是否在直线 y 等于二 x 加六上面我们就将这个点的横坐标当做 x 带入解析式当中进行计算，算出来的 y 值，看看这个算出来的 y 值是否等于这个点的纵坐标， 如果相等的话，那么这个点就在直线上，如果不相等的话，这个点就不在直线上， 当然你反过来也是可以的。什么叫反过来？就是你把它的重坐标替换掉 y 值，看看它的 x 是 否等于它的横坐标，如果等于也是在这个点上的，就是你无论把 x 带进去还是把这个 y 带进去，都可以，知道吗？啊， 只要你不要带错了就行了，记住，重坐标替换 y， 横坐标替换的是 x 啊。如果你带入的是重坐标，替换掉 y 之后，你就看 x 是 否等于负五。如果你带入的是横坐标，就替换掉 x， 看它的 y 值是否等于负四就可以了。我们来把这四个都算一下就可以了。好吧，来 先看这个点点负五负四啊，带入这个 x 等于负五，咱们得到 这个 y 就 等于二乘负五再加六，二乘负五加六等于几啊？等于负四，你看和它的重坐标是不是相等啊？那既然和它的重坐标相等，是不是说明这个点在直线上啊？对不对啊？我们就写它的判定与重坐标 相等，所以是在直线上。 好，再看第二个，第二个点是负七二十，那我们就代入谁啊？代入 x 等于负七，对不对？就可以得到 y 等于二乘负七再加六，它等于几啊？等于负八，对不对？这里是负十四加六等于负八，而你看负八和这个二十相等吗？它并不等于它的重坐标并不等于二十，所以我们就说不在直线上， 可以了。再看第三个点，第三个点呢，是负二分之七一。 好，咱们就代入 x 等于负二分之七，就可以得到这个 y 等于二乘负二分之七，再加上六，那这个一层的话，它约掉等于负七，负七加六等于负一， 那你看一下负一会等于一吗？负一和一并不相等，对不对啊？所以呢，不在子线上。 好，再看最后一个点，这个点是三分之二，七又三分之一，那么你就代入 x 等于三分之二，你就可以得到 y 等于二乘三分之二再加六， 那这里一层的话，等于三分之四加六，三分之四加六，而这个六呢，等于三分之十八，对不对？三分之十八加上四等于三分之二十二， 然后写成带分数，写成带分数就是七又三分之一，没有问题，对吧？啊？就是拿二十二除以三，二十二除以三等于七于一，那么就是七又三分之一，好，那么是和它的重坐标相等的，所以呢，这个点它在直线上 就 ok 了。那这四个点呢，咱们就判断完了，它还有一个要求，叫我们求出这条直线与坐标轴的交点， 对不对？焦点坐标，那么你看一下坐标轴有几条啊？有 x 轴对不对？还有 y 轴， 那么在 x 轴上，什么坐标为零呢？它的纵坐标为零，如果在 y 轴上呢？在 y 轴上的话，就是横坐标为零，对不对？你要搞清楚。那么这里呢，我们要求这个 y 轴的话， 求与 y 轴的交点，那我们就当 x 等于零的时候，那么这个 y 就 等于二乘零加六等于六，所以 与 y 轴交点 为零六，对吧？你想要求与 x 的 交点，那么与 x 轴交点，它是纵坐标为零，所以你就当 y 等于零的时候， y 等于零，就零等于二， x 加六，一项一项，那么这个二 x 就 等于负六啊，然后这个 x 就 等于负三，所以呢，与 x 轴交点 为负三零，好，那么它这里的两个要求咱们就都算完了，对吧？判断这四个点是否在直线上，再求出这条直线与坐标轴的两个交点，因为有两个轴啊， x 轴和 y 轴，那么你就要求这两个点就 ok 了。 第三题考察的是依次函数的图像性质，也就是看 k 值和 b 值，那么 k 值大于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，对不对？ b 大 于零呢？那就交于 y 轴的正半轴，如果 b 小 于零的话，就交于 y 轴的负半轴就可以了。好，那我们根据这四个性质 去判断直线经过哪些象限对不对？好，先看第一个， 第一个 y 等于三分之二， x 加上二分之一，那我们要知道，一般式是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那对应的这个 k 值是不是就是负三分之二啊？对不对？所以这里我们写，因为这个 k 等于负三分之二，是正数还是负数？ 它是负数，是小于零的，所以 y 随 x 增大而减小，对不对？所以 y 随 x 增大而减小。 然后呢，再看它的 b 值， b 值是等于正的二分之一啊，因为 b 值等于二分之一，而这个二分之一是正数，是大于零的。所以呢，怎么样与 y 轴交于正半轴，与 y 轴交于正半轴。 好，那我们可以先把它的大致图像画出来，这里你不要先画 y 随 x 增大而减小，不要直接先这样画，你先看它与 y 轴的交点是正半轴，先把这个点 好大致画一下，然后你再经过这个点， y 随 x 增大而减小，那么它经过的象限就是一、二四象限，这是第三象限嘛，对不对？所以它经过的是什么？一二四象限？ 好，那么 y 随 x 的 增大而减小就可以了啊。再看第二个 直线， y 等于三， x 减二， y 等于三， x 减二，当中它的 k 值是什么？它的 k 值对应的是几啊？ k 值对应的是三嘛，对不对？好，它的 k 值对应的是三，因为 k 等于三，是正数还是负数？是正数大于零，对吧？所以我们就说 y 随 x 的 增大 而增大 啊。再看，那因为它的 b 值是等于负二的，而负二呢？是小于零的，所以我们知道 与 y 轴的交点在负半轴。交于负半轴， 那我们也可以把它的大致图像画出来，先画直角坐标系 与 y 轴交于负半轴，就在这个位置，对不对？然后 y 随 x 的 增大而增大，斜着向上画好了，那么它经过的是一三四象限， 所以我们这里就写一三四象限， y 随 x 的 增大而增大 就可以了。再看第四题，根据下列条件，分别确定函数 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。 第一个， y 与 x 成正比例，当 x 等于五的时候， y 等于六，那我们就要知道正比例函数的一般式是什么，对不对？好，我们这里就写，因为 y 与 x 成正比例， 所以呢，我们设比例系数为 k， 并且 k 不 等于零，所以 y 比上 x 就 等于 k， 你 就可以得到 y 等于 k， 乘 x 比号其实就相当于是除法的计算，对不对？你除以 x， 那 移过去就变成了乘 x， 这也是为什么正比的函数可以写成这个样子的原因。好，那么他说，当 x 等于五， y 等于六，因为当 x 等于五的时候， y 等于六，所以我们可以得到啊，你把这个 y 换成六，把这个 x 换成五，所以六等于 k 乘五， 那么这个 k 那 就五， k 就 等于六， k 就 等于六除以五，六除以五，就直接写成六分之五啊，五分之六就可以了，所以 y 等于六，五分之六， x 就 完事了啊。再看第二个直线， y 等于 k， x 加 b， 经过点三六与二负二分之一，那么这个就是一个非常标准的经过两个点，确定直线解析式对不对？好，那么这里直接用待定系数法啊，将 三六与二分之一、负二分之一带入解析式， y 等于 k， x 加 b 当中，我们就可以得到啊， 一个二元一次方程组，注意你不要带错了啊。这个 x 是 可以用横坐标替换的，这个 y 呢，是用重坐标替换的，所以我们把这个六和三替换进去，就变成了这个样子，所以是六等于 三 k 加 b， 那 这里把二分之一和负二分之带进去的话，那 y 就 等于负二分之一， x 就 等于二分之一，所以是负二分之一等于二分之一 k 加 b， 两式一减，你就可以求出来了，一式减二式， 六减负二分之一就等于加二分之一等于六，又二分之一三 k 减二分之一等于二分之五，所以是二分之五 k， 那这个 b 值减 b 值就抵消掉了，就不用写出来了。然后这里通分一下，二分之二六十二加一等于十三等于二分之五 k， 所以 二分之五 k 就 等于二分之十三，除以二分之五，除以二分之五呢？怎么样呢？ 等于乘以五分之十三 k 算出来了，等于五分之十三。你再带入任意一个式子，就可以把 b 算出来了。将 a 等于五分之十三带入到一式当中，那么六就等于三乘五分之十三，加上 b， 那 么六就会等于五，这里三三得九，一三得三，三十九加上 b， 那 么这个 b 就 等于六，减去五分之三十九。通分，这个是 六的话，是五分之三十，五分之三十减去五分之三十九，三十减三十九就等于负九，所以 b 就 等于负的五分之九，那么这个 k b 值我们就求出来了。 k 等于五分之十三， b 等于负五分之九，所以这个解析式就是， y 等于五分之三，五分之十三， x 减去五分之九就 ok 了，那么这个两个解析式我们就都求出来了。 再看第五题，根据函数 y 等于三 x 减十五的性质，或者是图像确定 x 取和值的时候， y 会大于零，和值的时候 y 会小于零，那么这种题目如果是填空题的话， 你如果实在不会看，你就直接算对不对？因为这里的 y 呢，是等于三 x 减十五的啊，这里呢，我先把这种方法给大家讲一下，如果他已经告诉你解析式了，那么叫你求 y 大 于零的时候， x 的 取值范围， 那么这里因为 y 等于三 x 减十五，对不对？所以 y 大 于零就可以变成什么，就可以变成三 x 减十五大于零，那么三 x 就 大于十五， x 就 大于五，那么这个就第一位 啊，那第二个的话呢？一样的啊，因为这个 y 是 等于三 x 减十五的，所以 y 小 于零，你就可以得到是三 x 减十五小于零，那么三 x 就 小于十五， x 就 小于五，那么 x 小 于五啊，就求完了啊，这两个就是它的答案 啊，这个是纯计算，但是有些题目他不会告诉你解析式的，他只会画个图像，而且这个图像呢，一般不会告诉你两个点啊，他就只告诉你一个点，那这样的话，你就求不出来解析式了，对不对？那这个时候怎么办呢？这个时候才是用图像的时候，不过这道题主要是考察我们对图像的理解，那么我们呢， 就先把这个图像画出来，好吧，这种呢是选择填空题的做法，那如果这是解答题的话，你还是老老实实的画图对不对？好，那么这里我们要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零。如果要求与 y 轴的交点，就让 x 等于零，那我们先求 x 的 交点， 先求与 x 轴的交点，当这个 y 等于零的时候，这个零就会等于三 x 减十五，一项算一下，你就会得到三 x 等于十五，就会得到 x 等于五，所以与 x 轴的交点 就是五零，所以它会过五零这个点。如果你要求与 y 轴的交点，那么就是当 x 等于零，那么这个 y 就 等于三乘零减十五，那么 y 就 等于负十五， 所以它就会过零负十五这个点。好，现在我们把图像大致画一下， 这里是 x 轴，这里是 y 轴，这是圆点，零啊，然后过我们这里画小一点，这里是五零这个点，然后还有一个是零负十五，我们放在这个位置，然后把这两个点连起来， 好，把这个点连起来，他说要 y 大 于零，那 y 大 于零在哪个上面呢？那 y 大 于零，好，这里我写一下啊。 y 大 于零，那么翻译成这个什么？翻译成图形语言的话，就是必须在 x 轴上，因为在 x 轴上， x 轴上方的这个图像的所有点的 重坐标是不是都大于零？好，我这里写一下。 y 大 于零，其实对应的就是点的重坐标 大于零，那么这个点的这个图像上的点，它的重坐标要大于零，就在 x 轴的上方，则在 x 轴上方。 在 x 轴上方的话，你再看这个在 x 轴上方的这些点的横坐标是不是都比五大呀？你看这个点的横坐标是不是比这个五要大， 这个点的横坐标是不是也要比五啊？对不对？所以它的结果从从图像上去看的话，就是 x 大 于五，就是跟我们计算的结果是一样的，知道吧？好， 这些在 x 轴上方的点，这些点则在 x 轴上方的点，横坐标 都大于五，所以 x 大 于五。当然你自己写的时候是不需要把这里写出来的，你只需要写因为 x 大 于零，然后由图可知，所以 x 大 于五就可以了，你可以直接这么写，知道吧？ 好，那么第二个通过图像来看，它是要 y 小 于零， y 小 于零对应的就是点的纵坐标小于零， 那么如果一个点的纵坐标小于零，并且在这条直线上，那么只能是在 x 轴下方的部分，在 x 轴下方的这个图像上的所有的点对应横坐标是不是都比这个五要小啊，对不对？这个点的横坐标是不是都比五小，对不对？这些点，所以 则在 x 轴下方的点，横坐标 小于五，所以 x 小 于五啊。然后呢，像这种话啊，如果你看答案，他也是不会告诉你的啊，他也不会写出来，他一般都是 因为 y 大 于零，由图可知，所以 x 大 于五就可以了，他一般都这么写的，所以我们自己写的时候呢，这些你如果描述不清楚，干脆不要写，你把图画出来，你会。
62毕老师细讲数学
03:22查看AI文稿AI文稿我们再来看一个经典的城乡运输问题，这是一次函数的经典的一个分析啊，我们这种问题呢，先进行一个分析呢，用表格来整理一下数据，这个很重要，一般遇到这种城乡运输问题呢，我们画一个三行三列的表格 啊，这里比如说是 a 城和 b 城往 c、 d 两个乡镇去运物品，对吧？ a 城的物品呢，我们是二百吨， b 城呢是三百吨，到 c 的是二百六十吨。把数据写到这儿， 这时候选择一个突破口，也就是 a 往 c， 假如说是运输了 x 吨，那 a 往 d 呢？只能是二百减 x 吨，因为它总共才二百吨的弧，那 c 呢？ b 往 c 运输的时候就是二百四十减 x， 因为它总共需要二百四十吨。那 d 呢？无论是你竖着看还是横着看，都能够找到 d 的 这个 表达式，就是 b 往 d 运送的时候，可以竖着看，是二百六十减，去二百减 x， 那 化简完之后就是 x 加六十，当然你同时也可以横着来看，就是三百减二百四十减 x 这个东西，所以也是 x 加六十。好，这个折叠出来后面就简单了，我们来解答这道题。前面是分析过程，我们设 a 乘 往 c 相运 x 顿啊，运费 x 顿，那剩下的我们不再去一一列了，然后再把它的运费设出来，这个变量出来，运费为外元， 那 y 直接列式就等了啊， y 这个式子呢，我们在列的时候呢，是它是等于二十，是 a 往 c 的 运费是二十元每吨，二十 x 加上 a 往 d 是 二十五乘以二百减 x， 再加上 b 往 c 是 十五乘以二百四十减 x， 最后是 b 往 d 是 二十四乘以 x 加六十。好，最后我们再来进行化简，化简的结果呢，应该是四 x 加上一零零四零，好这样一个关键词，那么发现 y x 之间也是一个一次函数，而且是四大于零， y x x 大 增大的，那我们找到 x 的 值范围就行，这个 x 的 值范围呢，需要保证你每一个运输的结果是 这个 a 往 c， a 往 d， b 往 c， b 往 d， 它这个运送的物品呢，都是大于等于零的，所以它需要列出四个不等式 啊。大家不要觉得这个很麻烦，其实接起来很简单，这个解对五等式组呢，就能得到的结果是 x 大 于等于零，小于等于二百的啊。所以呢，我们根据上面这个分析，就是接着上面分析时，因为四大于零，所以 y 随 x 的 增大而增大，所以这个增减性分析还是非常重要的，所以当 x 就 等于零的时候， y 是 有最小值的，直接算出来一零零四零就可以了 啊。最后我们再总结怎样调运的问题，因为你 x 等于了，对吧？所以我们可以依次写出总结的东西。这个答案稍微长一点，也就是从 a 乘到 d 乘运送二百吨， 从 b 乘到 c 乘运送二百四十吨，再从 b 乘到 d 乘呢，运送六十吨，也就说白了，这个 a 到 c 呢是零吨，对吧？他就不用再写了，这是运送方案，这个时候呢，费用最小为啊， 费用最小最少为一零零四零元就行了啊。整个这个题目呢，分析的起点就是我们要把 a 到 c， a 到 d， b 到 c， b 到 d 呢这些用一个字母来表示，然后列出它的一次函数，然后利用函数的增减性来分析。
31乐其数学
17:11查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数的数学活动，活动一，水龙头的滴水量，水龙头关闭不严的话，就会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可以进行下面的实验与探讨。 第一步，在滴水的水龙头下面放置一个能够显示水量的容器，并且每五分钟就记录一次，这个容器当中的水量填写在下边。好，一开始的时候，对吧？ 是零分钟，然后五分钟，十分钟，确实是每五分钟记录一次，而下面的水量呢，是要我们自己去做实验啊，得到的结果，那么这里呢，我就自己编一个数据出来，方便我们计算就可以了。好吧， 那么一开始肯定没有水，对不对？水是零毫升，过五分钟变成十毫升了，再过五分钟变成二十，再过五分钟变成三十，再过五分钟变成四十，五十六十，我就这样去设计它的。第二步， 要求我们建立平面直角坐标系，并且以横轴表示为时间 t， 重轴表示为水量微。好，我们自己大概画一下，啊， 这个横轴为时间 t， 纵轴为水量 v。 啊，这个是零，对吧？在最开始的时候，零零 零零，说明过的是零零这个点，然后五十或是五斗十，然后十分钟二十毫升就是十，二十，十五分钟三十毫升就是十五，三十二十分钟就是二十，四十， 二十五分钟五十毫升就是二十五，五十，三十分钟六十毫升，所以是三十六十。好，把这些点全部标上去，这里我就标上 五十、十五，二十，二十五、三十，然后上面呢就标这里就标六十， 三十，五十，四十，这就是二十，这就是十，然后把这些点全部点上去，在这里，对吧？先把它连起来，大概就长这样啊？在这里 在这里在这里在这里，这里。我画的稍等一下啊，这里画的稍微歪了一点啊，稍微歪了一点， 对齐之后你再连起来，它大概率是一条直线上的， 实际上它就是一条直线上的，只是我这里画歪了，你们用尺子画的话，可能会画的标准一点。好吧，我这里瞄一下，点这个点 就长这个样子，就是把这些点全部挂在直角坐标系当中，然后把它连起来就可以了，你会发现它是一条直线的，知道吧？所以他说， 呃，描述上面实验所得的数据为坐标的各点，并且观察它们的分布规律，它们的分布规律呢？就是在一条经过原点的直线上，对吧？好，我们这里写一下， 在一条经过原点的直线上， 然后呢，你会发现它这个是不是一个正比例函数啊？并且是正比例关系吧，对不对？所以我们就说水量 v 与时间 t 成正比例关系， 我们要说出它的这个图形的规律以及它的这个数量关系就可以了。好吧，啊，写的字里行间可能写的有点不是很好看啊，然后再看。第三步，尝试写出 v 关于 t 的 函数解析式，并且 并据此估计这种漏水状态下一天的漏水量。好，那么这里的话呢，我们就可以通过它是正比例关系，把它设为正比例函数，对不对？好，我们这里设 这个写，这里先写，因为因为它们是正比例关系，再写啊，因为 v 和 t 成正比例关系， 所以我们这里就设 v 等于 k 乘以 t 啊，然后呢，我们可以把这几这几个点带进去算啊，带入随便带两个点， 比如说带入这个五十这个点就可以了，因为我们随便带一个点就够了，因为它是正比例函数，我们这里唯一不知道的就是这个 k 值对不对？好，那么带入这个五十的话，那么你就把这个十换成 v 啊，这个五换成 t 就 可以了 啊，就把 v 换成十， t 换成五，那么这个 k 就 会等于二， 反过来写五 k 就 等于十， k 就 等于二，所以这个解析式呢，就是 v 等于二 t， 同时你要把它的这个 t 的 曲子范围写上去，因为它是一个实际问题，时间不可能倒流，所以这个时间必须是正数 或者是零，对吧？然后呢，他问的是一天的漏水量，那么一天等于多少分钟呢？因为我们这里的 t 单位是分钟嘛，对不对？我们就看一天有多少时间， 一天是多少分钟呢？我们写一下，那就是二十四小时乘上六十等于一千四百四十分钟， 他一天有这么多分钟，我们把这个带进去，把 t 等于一千四百四十分钟，带入 v 等于二 t， 那 么这个 v v 就 等于二，乘一千四百四十就等于 两千八百八十毫升，所以我们就答一下，所以一天的漏水量，这一天的漏水量 为两千八百八十毫升就可以了啊，这个就是活动一，这里的数据需要自己去举例的啊，方便自己算就可以了。好吧， 大家看活动二纸杯的高度图一是一个纸杯和六个叠放在一起的纸杯的示意图，这是一个纸杯，这是六个纸杯叠放在一起， 请你自行定义变量和常量，来建立一个函数模型，探究叠放在一起的杯子的总高度与杯子数量之间的关系。当一定数量的纸杯叠放在一起的时候，你能根据探究得到的数量关系预估纸杯的高度吗？ 这里就需要我们自己去设计这个函数了。那么首先杯子的高度你不知道对不对？然后呢，每增加一个杯子会加多少厘米，咱们也不知道对不对？所以呢这些都需要我们自己去设，那我们设一下，假设一个杯子的总高度，咱们把它设为 a， 增加一个杯子之后，它这个高度会增加 b， 好 吧，那所以呢，我们就这样去设一下，我们先把这个长量设一下啊，咱们设单个纸杯 的高度为 a 厘米，这个 a 呢就是我们的长量，它是不变的，对不对？一个杯子的高度它是不变的，然后每增加一个叠放的纸杯， 这里要说清楚啊，你不要说增加一个纸杯，那增加纸杯的话，那在旁边增加可不可以呢？对不对啊？所以呢，我们一定要说清楚，是叠放的啊，每增加一个叠放的，每增加一个叠放的纸杯， 它的总高度 就会增加 b 厘米， 这个呢也是常量。 好，那么这个是常量，我们如果说你根据这个具体的数字去算，你肯定会好算一点，但是我们这里设计出来的都是字母，对不对？你一个杯子，那我们这里再把杯子数量设为 x， 杯子的数量 为 x 个，并且这个 x 呢是大于一个的，你不能一个都没有，对不对啊？ 然后我们把杯子的话是数量设为 x 个，那我们就可以去算它的总高度了，对不对？好，一个杯子那有多高呢？一个杯子 高为 a， 所以 对应的点就是 e a， 它对应的点就是 e a， 然后两个杯子呢？两个杯子它高就是 a 加 b， 单位是厘米。那你看，如果两个杯子的话，下面是 a， 那 两个杯子的高度就是 a， 加上这个 b， 对 不对？好，那我们对应的点呢？就是二 a 加 b。 其实我们可以写出第三个，如果三个杯子的高度，如果是三个杯子的话，它的高度就是什么？首先有一个 a， 加了一个 b， 是 不是？再加一个 b， 对 不对？所以它的高度 就为 a 加二 b， 单位是厘米，对应的点呢？坐标是三 a 加二 b， 那 你会发现它是一个依次函数模型，对不对？它是匀速增长的，对吧？啊？增加一个，加一个 b， 加一个，再加一个 b， 对 不对？匀速增长，所以我们可以把它设计为依次函数的，这个模型，我们就设， 所以就可以设为 总高度 为 y 厘米，而这个 y 呢？等于 k x 加 b。 哎，等会儿这里有 b， 而这里也有 b， 那 么我们就把它设为 k x 加 m 吧，这样的话就不冲突了啊， 好，这里的 k 呢？不能等于零，对吧？带入，随便带入两个点，这三个点你随便带两个，你甚至可以写出第四个点，第五个点，对不对？好，你随便带两个，我们将 e a 与二 a 加 b， 带入 到 y 等于 k x 加 m 当中。啊，那么这个式子呢，就可以写成，因为这里的是一，这里是 a， 你 把这个 y 换成 a， 把这个 x 呢换成一，那就变成了 a 等于 k 乘一加上 m 啊，那一乘 k 的 话就是 k， 所以 我们直接写成 k， 然后再把这个带进去， y 换成 a 加 b， 然后这个 x 换成二，二乘 k 等于二， k 加上 m， 这是一式和二式，我们把两式一减，拿二式减一式，左边减左边 a 和 a 减掉了，还剩一个 b， 右边减右边 m 减 m， 没了二， k 减 k， 还剩一个 k， 所以 k 就 等于 b， 所以 k 是 等于 b 的。 注意啊，这里我是把 a 和 b 设为常数啊， 再把这个 k 减 b 带入到一式当中，那么这个式子就变成了 a 等于 b 加 m， 那 么这个 m 呢？把这个 b 移过来， a 减 b 就 会等于 m， m 就 会等于 a 减 b， 所以 这个解析式， y 就 会等于 b 乘上 x 加上 a 减 b， 然后你会发现都有 b， 对 不对？你甚至可以把这两个 b 提出来啊，把它合并同类项，对吧？ y 可以 写成 b， x 减 b 再加 a， 你 把这个 b 提出来，就变成了 这个 b 乘上 x 减一，再加 a， 那 你也可以写成这个样子。 好了，那么这个数学模型当中的函数啊，我们就把它给算出来了，对不对？好，他说，当一定数量的纸杯叠放在一起的时候，你能根据探求出来的数量关系预估这个杯子的高度吗？那我们这里呢，就怎么样呢？ 就把这个杯子的个数设为 n 个，所以我们这里就写当啊一定数量，那么就当做是 n 个纸杯了。当 x 等于 n 的 时候， 这个 y 就 会等于 b 乘上 n 减一加上 a， 那 么它这个杯子的高度 就是这样的，就是 b 乘上 n 减一加上 a， 当然你也可以写成 y 等于 a 加上 b 乘 n 减一，这样也是一样的，知道吗？所以我们就说当 n 个杯子 叠放在一起时，叠放 在一起的时候，杯子的个数，杯子的这个总高度，总高度就为 a 加 b 乘 n， 减一 厘米就可以了。好吧，这个呢，就是我们通过具体的 生活实力抽象出来的数学函数模型啊，然后通过函数模型的代数形式表示出来。那么如果你知道了这个一个杯子，它本身，比如说高十厘米，你叠放之后增加两厘米，就是你知道了具体的 a 等于十， b 等于二之后，那么这个解析式它就会变成什么呢？ 他就可以写成这个样子，那么就是什么 y 等于二， x 加上十减二，这里 a 减 b 就是 十，减二就是加八，那么你就可以直接写出具体的形式来了啊。这个时候，假如说你又知道这个杯子的具体个数，比如说有九个杯子对不对？那你就把 x 换成九， 那么 y 就 等于二乘九加八，二乘九就是十八，十八加八等于二十六，那你知道这个总高度是二十六厘米就可以了，知道吗？那么这里呢，就是没有具体的数字，所以呢，你算起来会有点难受， 那我这里也可以把这个刚才举的例子写出来，假如说这个就对应的是十厘米 等于十厘米，然后这个 b 呢等于两厘米，那么这个解析式，当 a 等于十厘米的时候， b 等于两厘米的时候，那么这个解析式 y 就 等于什么？ y 就 等于二， x 加上十减二， y 就 等于二， x 加上八，对吧？好，那么这就是个具体的一次函数，然后当有九个啊，九个杯子， 那么它的高度就是 y 等于二乘九加八，二九十八加八等于二十六厘米，这个就是我们举的具体的例子 啊，而这个呢，就是我们抽抽象出来的这个函数模型，知道吗？啊？再整体看一下。
41毕老师细讲数学
50:56查看AI文稿AI文稿你这个年龄段，你这个阶段你睡得着觉？ 首先跟大家说一下，本期视频呢，会讲七道以上的压轴题，所以说你们最好要跟下来，然后今天给大家讲的是一次函数的综合与新定义函数问题， 他的压轴题，七种模型的全攻略，那么这个课间呢，完全是根据新课标和新中考来讲的，所以说大家你们要注意听，然后也跟大家说一下，你要是想要这份课间的话，在评论区留下你的年级，我这边会发给你。 好的，那么我们废话不多说，直接来看一下一次函数呢，这里面呢，他会考到哪些问题呢？我这里整理了一些简单的啊，就是比较有代表性的像与三角形的问题，还有呢和三角形全等的问题，包括一次函数和三角形存在的问题， 折叠问题，分段函数，还有绝对值一次函数，包括大家最喜欢的新定义的一次函数啊，所以说本期课程呢，大家记得点赞关注加收藏啊，值得反复观看的。好的，我们先来看一下开胃菜啊，一次函数与三角形的面积问题， 其实这种类型题呢，我们只需要抓住一个什么点呢，你就抓住三角形的面积，很多同学呢，一看到三角形面积，他就开始蒙了，因为你本身吧，我三角形面积和一次函数呢，我分别都知道，你要是放一起的话，我该怎么算呢？ 这里面本身是没有那么难的，大家看啊，三角形面积我们是不是都知道，它是二分之一乘上底， 再乘上个高，对吧？所以说呢，我们这里面可以用他的一个最原始的公式，也可以用什么呢？用面积差来求啊。所以说，我们来看一下，这一页会给大家讲两道啊，一道是例题，然后一道是这个吧， 大家最喜欢的大题，像面积比，对吧？这个面积比呢，很多同学可能会出问题啊，我们先来看下第一个啊，第一个，如图，直线 y 等于负的三分之四， x 加四与 y 轴交于点 a 与直线这个交于点 b， 然后且直线它与 x 轴交于点 c， 求 a、 b、 c 的 面积。这里面呢，大家要看好啊，哪个线？是哪条线？很明显，这个呢，是 y 等于负的三分之四， x 加四的，然后上面这条线是 y 等于五分之四， x 加上五分之四的， 它让你求 a、 b、 c 的 面积。其实这道题是不是感觉还可以，没有那么复杂，怎么求啊？你三角形 a、 b、 c 的 面积，我能不能用什么底层高 在初二啊，那这里面很多同学一看，哎，我会这道题，这个三角形 abc， 他的公式等于什么呢？二分之一乘上 ab， 他 再乘成个 bc， 这不就解决了吗？非常简单对不对？那么恭喜你，你就掉入了你在数学生涯中的第三千零二十四个坑，是什么呢？就是瞎猜，纯是瞎猜啊，谁告诉你这个是直角的对吧？ 没人告诉你啊。然后很多同学，那这个看着不就像吗？你看着像的东西多了去了，对吧，我还看这个面积像二了，那能这么说吗？ 所以说大家注意啊，这种呢，我们没有实质性的，绝对不能够去用啊，绝对不能去用，尤其是像这种解答题，那他怎么做呢？这个很明显啊，三角形 a、 b、 c 的 面积呢，我们可以用个补法，是什么呢？可以用三角形 a、 c， 这个点是点的吧， a、 c、 d 的 面积再减去三角形 b、 c、 d， 它的一个面积不就可以了吗？而且这里面呢，我把这个 垂直符号去掉，总让大家觉得它好像是垂直的，而且这里面呢，我过点 b， 我 还做个垂，这是 b、 h 吧，你看我是不是有 a、 c、 d 的 面积呢？就等于二分之一乘上个 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 它再减去什么呢？ 它再减去一个二分之一，它乘上一个 c、 d， 它就乘上个 b、 h， 看到没有，所以说就等于二分之一的 c、 d， 它再乘上一个 a、 o， 减去个 b、 h， 你 看就完事了。而且这里面呢，你这里的点 a 坐标点 b 坐标点 c 坐标点 d 坐标，你都能求出来啊，那么这道题呢，它的结果是什么？它的结果呢，就得四啊， 大家感兴趣的可以自己算一下。好了，我们再来看一下我们最喜欢的变式训练。我们首先来看一下，首先这道题呢，看起来呢，还是挺友好的。第三问的直接是在线段 a 的 上，是否存在有一个点 m， 使得 abm 的 面积与四边形 bm 的 c 的 面积 a， 它的面积比是四，比上二十一，若存在， 则求出点 m 的 坐标，若不存在呢？请说明理由。那么我们整体来看一下这道题吧。如图，在平面直角坐标系中，依次函数它的图像 与 x 轴、 y 轴分别交于点 ab， 那 也就是这两个，对吧？然后 y 二等于负三分之一， x 加 b 的 图像与 x 轴、 y 轴分别交于点的和 e， 就是 交于这两个，且两个函数图像相交于点 c 就交会证，那么其实大家看到没有哎，你这里我好像能求出来你们的一个点坐标吧， 就是点 c 坐标，包括你这个 b， 我 也能求，怎么求啊？大家看一下，简单给大家写一下，它是不是等于 x 加二啊？ 然后下面这个等于什么？它是不是 y 等于负的三分之一 x 加 b 啊？那我们就可以知道，什么他们两个交于这个点，它的坐标呢，是 m 到五，那也就是说你点 c 呢？它是在这条线上的，所以说呢， 五就等于 m 加二，那么什么是不是 m 他 就等于三呢？你看就完事了吧。所以说 c 点坐标呢，我就可以写成什么是三斗五，那么三斗五呢？他还在这条函数图像上，所以说就等于 五，等于负的三分之一乘上个三，再加上个 b 就 等于什么？是不五等于负一加上个 b， 那 么 b 就 等于什么？ b 是 不是等于六啊？所以说他就得六， 看到没有？那么第二问呢？他说求 a、 c、 d 的 一个面积，那这个就太简单了吧，因为你这个面积是不是等于二分之一，乘上一个谁呀？ o d 再乘上一个就是 c 点它的纵坐标啊， 就等于二分之一 a d 它等于什么？点 a 坐标是多少啊？点 a 坐标呢？是负二到零，根据这个求来的，所以说是负二到零，点 d 坐标呢？根据这个我们可以写成负三分之一 x 加上六，对不对？那么 d 点坐标啊，它实际上就是十八，所以说呢，它就是十八到零，那么 a、 d 的 长不就是二十吗？所以说二分之一乘上二十，再乘上一个五就等于多少啊？是不是等于 五十啊？好， a、 c、 d 的 面积求完之后呢？紧接着我们再来看大家最喜欢的第三问啊， 在线段 a、 d 上是否存在一点 m， 使得 abm 它的面积与四边形它的面积比是四比上二十一，若存在，求出点 m 的 坐标，若不存在，说明理由。好，那么既然这样的话，我们就给它擦掉， 对吧？因为我们现在呢，要画图了。他说啊，是 a b m， 那 就假设 m 点在这儿，他说在线段 a、 d 上啊，那 m 它就是在 a d 中间嘛，面积比为四比二十一，那我就假设呗，我可以设 m 的 坐标是 t 到零，那么 s 三角形 a b m， 它的面积怎么求啊？是不是二分之一乘上一个 a m， 它就乘上个 b o 就 等于什么？是不是等于二分之一，它乘上 a m， 大家注意啊，它是 t 加二， 为什么？因为你是 m 在 这， a 在 这， m 在 a 的 右边，所以说是，咱是大减小，是求距离的，也就是说什么呢？ t 再减去个负二，所以说变成 t 加二，然后再乘上一个 o b 多长啊？ b 点坐标，咱是不也知道是零到二，所以说再乘上个二，也就是说它等于什么呢？ t 加二， 然后他说呢，面积比为四比二十一，那也就意味着我们是把五十，还记不记得它的面积是五十啊？五十分成了二十五份吗？那一份是多少？是不是一份就是 二啊？对不对？那也就是说，你这里呢， abm 的 面积呢，它是四份，那么它就等于八，所以说 t 就 等于什么？ t 得六，也就说 m 的 坐标呢，就是六到零，看到没有就完事了啊，怎么样 做两道开胃小菜？还可以吧，我们再来往下看一下啊，再来往下看一下。第二个呢，就是大家最喜欢的全等问题啊， 全等问题呢，在考试中确实是一个考点，而且大家发现没有，就是我们在讲一次函数这类题型的时候，实际上你真的不会的是这些题吗？其实不是的，你真正不会的点是它隐藏在这些题里的几何知识，函数知识，你不会的是这些东西啊。 那么我们来看一下，还是啊，先讲个例题，如图呢，直线 y 等于二 x 减四，你就是这条呗，和 y 轴分别交 ab 两点，射线 ap 垂直 ab 于点 a， 然后点 c 呢，是射线 ap 上的一个动点，那就是 c 点。在这儿， 你看，我也是随便画的啊，点的呢，它是 x 轴的一个动点，且以 a、 c、 d 为顶点的三角形，与 a、 o、 b 全等， 则 o 的 长。这里面那个条件是比较明显的，因为大家看好啊，你角一加角二是不是得九十度？你角二加角三是不还得九十度？也就是说我们有角一，它等于角三，那么你这里你既然有三角形 a、 o、 b， 它是全等于三角形，谁呢？它是 c a， 我 就是随便写一下，因为这里能确定的就是你这个角三得角一。所以说呢，我这 a 对 应着一个 b 啊，就是这个三角形，它的点 a 啊。好，那么我们看，如果说你们两个三角形全等的话，你这里面 三角形 o、 a、 b， 它是直角三角形，那么你这个 a、 c、 d 啊，它肯定也是个直角三角形。现在呢，这个角它是定了的，那无非就两种情况嘛，要不然你就是 c 点，它为 直角顶点，要不然你就是 d 点，它为直角顶点，所以说两种情况，那么 o d 的 长，你这很明显，如果说它要是这样的话， 就是按照我现在怎么画，那是不是这两个三角形，它是 k 字形相似啊，就是一线三等角。那么你这里你看我们是不是有，它是 y 等于 二， x 减四的，那么我们可以通过什么呢？可以通过直线看到啊，你这个 x o a 的 什么是不是得二啊？然后你这个 o b 是 不是就得四？那么此时是不是我们有 a、 d 是 得 o b 的， 所以说它就是四，那么点 d 的 坐标就是六到零，所以说就得六。 那么第二种情况呢？那就非常明显了，它应该是什么？是不是 c 点，它为直角顶点的时候，就在这 这种情况，那也就说什么呢？你这个时候我们是不是有 a 的，是得 a、 b 的， 因为我对应着你是斜边相等，那也就是说这个你是二，你是四，他是二倍根号五，因为是一比二比根号五啊，够五厘米，所以说你这个就是二倍根号五，那么就是六或二，加上二倍根号五，看到了吗？这样就求完了，求完了。 好的，那么这道题完事之后，我们再挑一道啊，再挑一个，就挑个这个吧。第四个吧，这是八年级浙江绍兴的 已知，如图呢，平面直角坐标系中一次函数，它的图像分别与 x 轴、 y 轴交于点 a 和 b， 点 c 的 坐标呢，是三到零，那么我们能知道什么呢？大家看好，我们是不是可以把 b、 c 的 解析式求出来，因为你看我可以通过这个函数把点 a 的 坐标什么 二分之一到零，还有零到负一写出来，那么 c 点坐标是三到零，所以说它的表达是 得多少啊？因为你与 y 轴交点是负一，所以是 y 等于 k， x 减一，然后呢，因为你的什么呢？ o b 比上 o c， 它是一比三，然后呢，它还是这么画的，所以说呢，就是 k 得正三分之一，就是三分之一 x 减一啊，完事了， 刚才这部没听懂的同学呢，建议你去看一看我之前发的一次函数的视频，在这里呢，详细讲了这个 k 怎么求得的啊？希望呢，你能在中考之前学会我这个方法，因为你要学会了的话，在中考考场上你至少能省下来很多时间的啊。 好的，我们再来看一下，就是 ab 上有一点 p， 且 pbc 的 面积，它等于二倍的 abc 的 面积。哎呀， 那么我们看一下啊， p、 b， c 的 面积和 a、 b， c 的 面积，这两个面积有什么相同的点呢？ 大家看好啊，我在这里呢，标个点 p 吧，假设这个是 p b、 c 啊，这里面呢，三角形 a、 b、 c 的 面积，它等于什么？是不是等于二分之一乘乘个 a b， 他再乘上一个谁呢？他再乘上一个 c 到 a b 的 距离呀？我就简写了是 h。 哎，那么同理，大家看啊，你这个三角形 p、 b， c 的 面积是不是就等于二分之一乘上谁啊？乘上 p b， 他 再乘上点 c 到 ab 的 距离呀？ 看到没有？就是这两个，大家能不能看懂，你要是能看懂的话，那就非常好了，因为你会发现这里面二分之一相同， h 是 相同，我要求的呢，仅仅就是 p b 和 ab 它的一个关系，那么因为你的面积是二倍，所以说呢，我就知道我的 p b 也是你 ab 的 二倍，就相当于我高一样，我底是你的二倍长， 能理解吧？所以说，从这个角度来讲，这道题呢，它就很简单了。但是呢，大家注意啊，你们是跟着我走的，实际上呢，我们不一定在考试中一下能找到哪个是底，哪个是高，所以说你们要在考试的时候自己注意一下。好的，那么我们既然找到了，那就很简单了，你这里面呢，你 ab， 它是不是等于 二分之根号五？怎么求的二分之一一啊？一比二比根号五，然后那你 p b， 那 自然而然不就得等于根号五吗？所以说呢， p 点 就很明确了。第一个 p 点呢，在上面，你这个时候 p b 呢，它恰好是等于二倍的什么 ab 的， 那么此时点 p 坐标怎么求啊？ 有很多种方法，讲一个比较简单的直接钟点公式啊，直接钟点坐标公式，你可以设它是 x y， 然后呢，这个点 b 不是 零到负一吗？那我们是不是具有二分之 x， 它再加上一个零，它是等于 x， a 就是 a 点的横坐标，还有什么呢？二分之 y， 它加上一个负一， 等于 y， a 也就是 a 的 纵坐标，那也就是什么呢？ x a 是 不是等于二分之一啊？ y a 是 不是等于 零啊？那么也就推出来，你这里的 x， 它是等于谁呀？ 是不是得一的？然后呢，你这里的 y 是 得谁呀？是不是也得一呀？所以说 p 点坐标求出来了， 第一个就是一到一，没有去玩的。第二个是不是我们说你这个 p b， 你 得等于二倍的 ab 啊，所以说第二个肯定就在这呗，那就是点 p 的， 这你 p b 的 长呢？是根号五，你这个 ab 的 长是什么？他就得 二分之根号五。那么这个时候呢，就再教大家另外一个方法啊，你这里面如果说我过点 p， 我 还做个垂啊，我们是不是有这个三角形，他跟这个三角形相似的？如果说你现在听不懂什么叫相似的话，你要注意啊， 就是这个三角形，他的三边比是一比二，比根号五的，那么这个大的三角形，他的三边比也应该是一比二比根号五。换句话来讲，你这个斜边是二分之三倍，根号五的话，那么你这个就是二分之三，你这个他就得三， 能理解吗？所以说此时 p 点，他的横坐标就是负一， 因为你是这个是二分之三，你这不二分之一吗？所以说它横坐标是负一，纵坐标是什么？就是负三啊，看到了吗？当然大家这种方法呢，可能有些地区没有学，你比如说相似，我还没学，没关系啊，直接怎么样？因为你这样你可以直接得答案吗？ 这个答案一定是对的。那有些时候你比如说我知道这个题该怎么做，不就是 p b 的 长，它乘上这个高，对吧？它等于什么呢？它等于 这个三角形的面积，等于二倍的 a、 b、 c 的 一个面积。那么我是不是可以设 p 点坐标是 x， 横坐标是 x， 纵坐标呢？是什么？因为它在这个图像上，所以说就是 x dot 二 x 减一，那么 两点之间距离公式也求出来了吧，那是不是它就等于二倍的它呀？你看式子列完答案一写就完事了啊。好的， 紧接着呢，就是到了我们最喜欢的第三题啊。第三题呢，在直线上方是否存在一个点 m， 使得 m、 b、 c 三点构成的三角形与 abc 全等？那也就是说什么呢？他说要与他全等， 哎呀，那你与他全等的话，你 bc 肯定就相等了，那也就意味着有一个边固定了，那个两个边其实位置不也已经固定了吗？ 无非就几种情况，他说若存在，请直接写出点 m 的 坐标，若不存在，请说明理由。好，我们来看一下这道题呢， bc 很 明显它是固定了的，那么既然你是跟 a、 b、 c 它全等的话，我们为什么不直接过点 a 做一条与 bc 相关的平行线呢？然后呢，我们在这啊，求个点是什么呢？ 就是我们要求他点 m， 这个时候 bmc 他 是不是就是 a 跟他全等的，因为我们只需要令 mc 等于 ab 即可。那么他说让你求 m 的 坐标直接写出，其实直接写出就意味着，要不然你就直接算， 那就比较复杂，要不然你就有解面方法。这道题呢，是有解面方法的，你可以直接算的。首先，大家看好你这个 b c 解析式，我们是不是求出来了， b c 它等于三分之一 x 减一，那就意味着你 am 这条线，它就等于三分之一 x 加 b， 对 吧？我现在只需要把 b 求出来即可。 那么你 m 点在这个函数图像上，那我是不是可以设 m 的 横坐标是 a， 纵坐标就是三分之一 a 加 b 啊？然后那我 m c 得 ab 得二分之二五，不就完事了吗？ 这样用勾股定律就直接求出来了，而且呢，求完之后应该是两个结果，还能把这个点求出来，因为他没有说 m 不 能跟 a 点重合呀，对吧？所以说这样求完之后呢， m 和 a 它分别就是两种情况，第一种呢是什么？ m 他 就是二分之一到零，第二种呢就是 m， 他 是二到二分之一啊，这两个大家你们都要自己回去算，因为我在这里要算的话，那么这个计算量就特别大了， 毕竟接下来我们还有五部分呢，对吧？好的，我们再来看一下依次函数与三角形的一个存在问题，那么考点三呢，他就是三角形的存在性，那无非就是求什么 等腰直角三角形或者是其他三角形，对吧？我们来看一下这两个呢，我们就做下这一篇吧，好吧，这两道题， 然后这里面大家可以直接看这个问啊，因为前面呢都是求三角形面积的一个问题，那么接下来他说呢，第四象限内是否存在一个点 p 使得 p a f 是 以 a f 它为直角边的等腰直角三角形，那也就是说什么呢， 我要不然就是以 a 点他为直角顶点，这么画对不对？然后这样出来一个直角三角形，要不然呢，我就以 f 点他为直角顶点，这么画这来一个 直角三角形。不过目前你不管哪种情况，你好像肯定是有一个点，大概率是在第四象限的，那么我们就简单看一下啊，这里面他如果要是这样画的，那么点 p 就 在这。 那么此时我们再看一下题目中哪些可用的条件。依次函数 y 得 k 加 b， 分 别与 x y 轴交于 a 和 b， 就是 交于这个两点啊，那这条线就知道了。那么垂直这条线它的解析式我就能够知道， 点 f 呢，是线段 a b 上的一个动点，连接 o f， 设点 f 的 横坐标为 x 啊，那也就是这个是 x x 都是什么呢？还是得求依次函数解析式吗？ 因为它是这么画的，所以说它的 k 小 于零， k 小 于零的话， o b 比 o a 得多少啊？是不是得二分之一？所以说你的函数解析式就是 y 等于负的二分之一， x 再加上一个五，那么你 f 点它的纵坐标不就是负的二分之一， x 加上五， 对吧？这里呢，跟大家说一个点，你但凡在函数中看到什么呢？看到等腰直角三角形的话，首先要想到什么？首先要想到一线三等角啊，也就是 做垂直，那么换句话来讲，我过点 f， 往这做个垂，和我过点 p 往这做个垂，一个是 m， 一个 n， 你 这两个三角的内折叠啊，内折叠模型，所以说呢，这个角 为什么全等呢？边等都是直角，你还有个角等，然后那你看我们是不是就有三角形， 我简单写一下，三角形 a f m， 它是全等于三角，是谁呢？ e p， n 的， 对吧？然后判定方法是角角边啊，那么其实我们就有你这个 a p， 它是等于 af 的， 包括你谁呢？你 an 就 等于 fm， 还有就是你的 a m， 它就等于 p n， 能理解吧？所以说，其实我们想求点 p 的 坐标，那么我不就是求 an 的 长和 np 的 长，不就是在求 fm 的 长和 am 的 长，那么 fm 和 am 这里面该怎么求？ 然后这里呢，大家看一下题干啊，我们呢，因为刚才是直接看的第二题，所以说呢，第二题的题干它有一个小的条件，当这个 o a f 的 面积等于二分之一的 o a b 的 面积的时候，那一下不就知道了吗？那我不就一下知道，你这个 f m， 它实际上不就等于二分之一的 o b 吗？ 因为你 a o f 的 面积能等于它的一半，你底是 o a， 那 你高只能是一半啊，所以说你这个就是二分之五，然后你 an 就是 二分之五，那么你接下来 f 点不就求出来了吗？对吧？然后第二种情况呢？就是什么？第二种情况，我们还是 过点 f 往这做个垂，然后呢点 p， 它是在这的，此时呢，你这个 a p e f， 它是等腰直角三角形，其实呢，我们还是要万变不离其中，什么意思啊？因为你既然是等腰直角三角形的话，我是不是还是过点 f 做个垂，你这个点是 h 的 话，我再给它延长， 然后呢，交于这个点为点 k， 那 么我是不是有三角形 a f h， 它是全等于三角形，谁呢？ f p e k 的， 对吧？所以说还是啊，你这个 p e、 k 不 就等于谁呀，不就等于 f h 吗？ 就得二分之五啊。那么此时你这个 p e 点的坐标不就相当于是谁呀？不就相当于是点 f， 它往下先平移 f k 个单位，对吧？然后呢，再往哪啊？再往左平移 p e k 个单位就求出来了。 所以说呢，是两个角，第一个呢是什么？是二分之五都负的二分之五。第二个是什么呢？就是二分之十五都负五啊，这个记住，所以说你看 第四项线有两个点啊，然后我们就接着来往下看啊，就下面这个便是训练，他说呀，这里面呢，在平面角坐标系中，直线 a b 呢？ y 等于这个与 x 轴交于点 c， 写点 a 是 负一逗 m， b 是 n 逗负二。那其实这里面是不是我能把 c 点坐标和 ab 点的坐标都求出来呀？对不对？ 所以说呢，第一问，你看 c 点的坐标呢，我就直接写上了是什么五分之七逗零，然后呢，第二个求圆点 o 到 ab 的 距离， 那么他求的是什么？那这里面很多同学，哎，他求这个我不知道怎么做呀，其实不是你不知道怎么做，而是说你这个线没画出来，他求的不就是这条线吗？ o h 这个长，因为你是点到直线的距离，那就是做垂啊，那这个的话其实就有点明显了，就没有那么难。那这个其实怎么做呢？我们可以用等面积法啊，大家看好，假设这个是点的，那么我就知道你这个三角形 o c 的， 它是等于 二分之一，乘上谁啊？乘上 o c， 再乘上个 o d， 然后还等于谁呢？二分之一乘上个 c d， 然后再乘上个 o h 嘛，对吧？就是等面积法，所以说我们具有谁呢？你这个 o c， 它乘上 o d， 等于 o h， 它乘上个 c d， 这里面你这个点 d 坐标是不是能求出来呀？ 所以说你看这样做是不是就是比较简单，那么直接呢，这个结果呢，就等于四十一分之七倍，根号四十一啊，不是什么特别好的一个数，但是你要说它难度呢？其实还可以，我们看下最后一个， 在 x 轴是否存在点 p 使得三角形 a c p 是 直角三角形，若存在点 p， 看好啊，他说使三角形 a、 c、 d 是 直角三角形，这种题怎么做呀？ 这种题它但凡要正哪个三角形？是啊，什么三角形？你就看这个三角形它的一个特征，直角三角形它最大的特征，那不就是直角吗？九十度。所以说我们归根结底呢，我们就可以看一下你这个三角形 a、 c p， 我可以令谁为九十度啊？是不是角 a， 角 c 还有角 b 啊，对吧？所以说你看，那这样的话，我就先令角 a， 它是九十度，那我们就怎么样啊？我们过点 a 呢，做 ab 的 一个垂线，然后呢交 x 角，你看 是不是有一个点 p 啊， p 一 对吧？对应的 p 一 啊，那 p 一 怎么求啊？ p 一 呢？我们直接可以用什么呢？因为你 a b 这条线不是 y 等于这个吗？所以说与它垂直的不就是 y 等于什么 五分之四 x， 然后再加上个 b 吗？那这里面它是不是同时过 a 点坐标啊？ a 点坐标得多少？ 他是负一逗三啊，这个你要算第二个的话就会算出来，我这里给大家讲的是思路，因为如果要正常讲这样一个大题的话，可能得需要二十分钟左右， 但是那样讲的话，我们可能这期视频就奔着好几个小时去了，所以说呢，大家你们听着也会很累。那么你看这里面呢， 我就紧接着再把点 a 的 坐标带进去，就是 a， 点坐标是负一到三，那么我就可以把这个解析式求出来，它与 x o 的 交点坐标，不就是点 p 的 一个坐标吗？ p 一 这不就求出来了吗？ 这个呢，求完是负的四分之十九到零啊，然后呢，第二种情况，你说角 c 得九十度， a c， 哎，大家发现没有，你这个 a c p， 你 不管是 p 在 这还是 p 在 这，你这个角和这个角它都不可能是九十度，对吧？因为你这个角它已经是定了的， 那么就意味着第二种情况它是不存在的，就是这个它是不行的啊。那么第三种情况呢，就是角 p， 它是九十度，哎，这个呢，就有意思了，其实这里才是最简单的，就是我过点 a， 我 还做个垂， 这个就是 p 啊，对吧？ p 二不就直接求出来吗？负一斗零，因为你点 a 的 坐标不是负一斗三吗？你看是不是没有想象那么难，对吧？ 依次函数，大家注意啊，就是他这个题，虽然说看着挺难，但实际上他真的没有那么难。我们其他的题也是，不管你是几何还是函数，唯一的呢，你就是先把题读懂啊，这个是需要注意的。好，我们再来看下一个，下一个呢，就是大家最喜欢的折叠问题，折叠问题呢， 我们还是，那就这页这两道吧啊，大家可以暂停，然后看一下题，自己先做一下啊。这里面呢，我就直接来做了， 如图一，在同一平面构造波形中，直线 ab 是 它与直线 ac 是 它相交于点 am， 四与 x 轴交于点 b， 负四到零， 哎，那你说 ab 是 哪条线啊？是不是 y 等于二， x 加 b 啊？因为你的 k 大 于零啊，那么你这个 ac 是 哪条线呢？是不就是 y 等于 k， x 加三呢？ 他是这个交于点 a， 这点是 m 就是 四。那其实你这个 m 是 不是能求出来呀，因为你不还有一个点 b 坐标呢，负四到零，对吧？你其实这里的 b、 m、 k 就 都求出来了啊，你把负四到零带入到这里， 你这个 b 不 就求出来了吗？然后你再另 y 得四 m 不 就求出来了吗？对不对？这个呢，直接给大家写上了，是 b 呢， 带进去它是得八 m 的 负二 k 等于负的二分之一啊，就完事了。第二个如图，二点的为线段 bc 上的一个洞点，将 a c 的 沿直线翻折，得到 三角形 a e 的 就是它将这个翻到这了。线段 a e 交 x 点 f， 它交于这个点，是点 f， 求线段 a e 的 长，那 a e 不 就是 a c 的 长吗？对吧？ 换句话来讲，你 a 点坐标是什么？负二到四 c 点坐标是不是六到零啊？ 两点之间距离公式直接就能求出来 a e 多长啊？ a e 就 等于四倍根号五啊，因为它是得 ac 的 啊。 当然这里其实大家发现没有，你这个 a e 呢，它其实是固定不变的。换句话来讲，一点的运动轨迹是什么？ 你是不是你不管在哪， a e 都这么长，对吧？都是四倍根号五，那你是由一个定点，然后呢？还有定长，那不就是他的运动轨迹是个弧吗？ 如果大家听不懂的话，那就是个圆。我这么说啊，第二问啊，当点 e 落在 y 轴上的时候，求 e 点的坐标，他要落在 y 轴上，哎，右边他没有图，对吧？点 e 落在 y 轴上，那就是在这，那我们看一下， 此时呢 a e 是 知道的四倍根号五，那么实际上点得不就在这吗？那其实我们是不是有你这个得 e， 他 得 c 得啊， 对吧？那我 o c 是 不是得六啊？因为你点 c 坐标不六到零吗？所以说他得六的话，我设 o d 是 x， 那 这个不就是什么？这个就是六减 x。 哎，那你说我现在求一点坐标，我是不是就求 o e 的 长就可以了？ 那你要这么看的话，我是不是在三角形 o d e 中直接用勾股定律，谁呀？ o d 方再加上个 o e 方等于 d e 方即可呀？因为你现在你 o d 不是 x 吗？你 d e 不是 六减 x 吗？所以说你就是它呀， 我把你表示出来不就完事了吗？你是 x 也好，还是你是个数也好，能算出来就行呗。那么我们就看一下你这个 o e、 o e 的 话吧，你这么一看好像没有什么思路， 然后，但是别忘了，我们知道 a e 它长是四倍，根号五，你既然有 a e 的 四倍，根号五， a 点坐标呢？是负二到四，那我就知道，如果我说我过点 a 往下做个垂，这个是点得 a d， 它是不是得二啊？那么你同时还有 a e， 它得 四倍，根号五，我是不是就有什么呢？我其实就有，在三角形 a d e 中是不是有勾股定律啊？就是 a e 方 减去 a d 方，它是等于 d e 方的，也就是说什么呢，根号下八十减去二的平方就等于二倍，根号十九，所以说呢，你这个 d e 它就是二倍，根号十九。 哎，那你说你 o 的 它是多长啊？ o 的 是不是四啊？因为你 a 点的纵坐标不是四吗？所以说呢，你 o e 它是多长？就是二倍，根号十九减四，它求什么？ 他是不是求点 e 的 坐标啊？哎，那你看，其实这个时候我们这个高股定律好像是不是不用了？我们现在是不是都已经知道 o e 多长了，那一点坐标不就能求了吗？就是什么四减去啊，四减二倍，刚好十九，为什么？因为他不是小于零吗？对吧？ 好，那么这个点 e 坐标就是零到四减去二倍，刚好十九。我们再来看第三个， 若这个三角形它为直角三角形，谁啊？的 e f、 f 呢？是线段 a e， 它与 x、 o 的 交点，那也就是说什么呢？我这么画吧，假设点的在这， 然后呢点 e 在 这连接，这个之后呢，它与 x、 o 的 交点，这个是 f， 它说三角形的 e、 f， 它是直角三角形。 好，那么还是啊，这里面根据我们刚才跟大家讲过的，你要是他属于什么三角形，那直接我们就看他属于这个三角形有什么特点。直角那是不是还是九十度？ 九十度的话还是分三个啊，第一个呢就是角 f、 d， e， 它得九十度。第二个呢就是角 e， 它得九十度。第三个呢就是角 d、 f、 e， 它得九十度， 三种情况啊，看看哪个我们能用。这里面其实角 e 这个可以排出来，因为这个角 e 不 等于角这个 a、 c、 b 吗？ 所以说这个首先排除，那么我们就分两种情况，第一个角 f、 d， e， 它是九十度，那我就画个九十度呗，这个是点 d， 然后呢？这个是点 e， 这是点 f， 然后呢我们是沿着 a、 d 这条线它翻折的。 哎，那么大家这里发现没有啊，你这个既然是九十度的话，然后他们两个角等，所以说这个是不是就一百三十五度啊？这个也是一百三十五度，那么同理我就在这写了，大家跟上这一块，他是不是就四十五度？ 四十五度我们首先想什么？是不是得想到等腰直角三角形啊？那换句话来讲，我要过点 a 往下做个垂，这个是 a h， 我 们是不是三角形？ a h 等于它就是一个什么呢？等腰直角三角形， 然后你 a h 还得四，你这个还是二，所以说你 o d 不 就得二吗？那么你看点 d 的 第一个坐标不就求出来了吗？他求什么？都点坐标吗？所以说第一个坐标就是什么二到零啊。那么第二种情况呢？我把它写在这吧。 第二种情况就是它角的 f e 得九十度的， f e 要到九十度。哎，我们重新画一下，这个其实还挺好画的，为什么呢？因为只有这种情况，你只有说 a f 它垂直于 x 角，它才可能，对吧？那你要这么看的话，好像这个就 更简单了，因为大家记不记得我们刚开始用勾股定律来做的，那其实这个完全可以用啊，我如果要设它是 x， 它就是 x， 你 这里面呢？ a 点的横坐标是负二，你 c 点的横坐标是什么？是不是六啊？那你这个距离不就能知道是多少啊？是不是得八，对吧？然后呢？ f 得不就是八减 x？ 同理呢，你 a c 还得四倍根号五，然后你 a f 还得四，所以说你 e f 不 就能求吗？ 那么它不就是四倍根号五减四吗？三个边都知道了，然后来用一下勾股定底，对不对？所以说第二个点都是坐标呢？ 就是什么？就是二倍根号五减四啊，大家感兴趣的话可以回去算一下。那么听到这呢，你已经非常非常厉害了，非常厉害了，再坚持一下，再坚持一下啊，至少把这道题听完，然后我们再休息一会，好吧， 好，我们来看一下，这个也是大家最喜欢的折叠，当然这个呢，没有那么难已知呢，直线 y 等于四分之三， x 加六与 x 就 y 轴分别交于 a 点和 b 点，点 c， 在 线段 o a 上将这个折叠后，哎，它是什么意思？ 它是把 a b o 沿 b c 折叠点 o 恰好落在点得数，那么你这里呢？我们是不是就默认它是个直角啊？然后你这个直线 y 等于四分之三， x 加六，那么你说你这里是不是 o b 就 得六， o a 它就得八呀， 对不对？因为你不是四分之三嘛，所以说你 o b 比 o a 就是 三比四，看到没有，那么点 a 的 坐标呢，就是 负八到零，注意啊，点 b 的 坐标呢，就是零到六，紧接着 a b 多长， a b 多长呢？我们来看一下，那不就是十吗？六八十，对不对？ oc 呢？ oc 的 话，它其实就看我们用什么方法， 如果说你要对一二三四五模型特别了解的话，那直接就出来了，这个就是什么，这个直接就得三。那如果咱要不知道的话，哎，也没有关系， 我们可以说它是 x， 这个就是 x， 因为你是十，这是六，所以说这是四，然后呢，这个是八减 x 勾股定律啊， x 方加上四的平方等于八减 x 的 平方，看到没有？所以说解出来 x 就 得三啊，所以说 o c 得三。 听到这，你已经超过百分之八十的同学了啊，还有最后三类，希望大家坚持住分段函数呢，这个给大家讲一道题吧，因为看这题干就比较友好。 在依次函数中呢，我们经历了列表瞄点连线画图像，结合图像研究函数性质的过程。小红，哎，对函数它的图像和性质进行了如下探讨，请同学们认真阅读探索过程的一个解答。 第一个，请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中啊画出该函数的一个图像，那么我们来看一下，首先就是补充完整呗， x 的 二的时候， y 的 什么？ y 的 一， x 的 三的时候，哎，是不是带不进去了？ 因为这里大于等于三，那他就去二，所以说这个图像大家发现没有，我在大于等于三的时候，我的 y 全是二，那么也就意味着三的话在这，二的就在这，那么他是这么画的， 就是在 x i 等于三的时候，那在他之前，你比如说 x 得二的时候呢？他是不是得一啊？因为这个 x 减一很好画，那么他就是大概这样画的。好的，那么到这为止，哎，大家发现没有，你这是 y 得 x 减一吗？你这个是 y 得二吧， 因为 y 的 二十条横线啊，大家注意啊，它是个横线。哎，那你说你这段怎么画呢？这个时候我们就睡到一个点，叫临界值，是不是 x 的 三的时候是它的一个临界值啊？那也就是说什么呢？ 我得看一下你上面，虽然说你取不到三，但当我无限接近于三的时候，就是我 x 得三的时候，你上面这个等于什么？是不是也得二？那也就是说，其实你在无限接近于这个点的时候，你这个图像也是在无限接近于二的，所以说我们这个图像他就可以这么画， 他是连上的这块。那么根据函数图像以下判断该函数的性质，说法正确的是。第一个函数图像关于 y 轴对称，这个对吗？很明显不对啊，此函数无最小值， 这是对的，因为你 x 的 范围是无限的，所以说呢，第二个是对的。第三个，当 x 小 于三的时候， y 随 x 增大增大，当 x 大 于等于三的时候， y 的 值不变。小于等于三的时候，是不是 x 越大 y 越大，然后再大于等于三的时候， y 是 不变的， 第三个也是对的，所以说这个也是对的。那么你看啊，若直线它与函数的图像只有一个焦点，则必得多少？好，那么涉及到焦点问题了， 这个怎么做？他说他与他只有一个焦点。那首先你看啊，这个时候我们就学到了之前教过大家的，该怎么画这个 y 的 二分之一 x， 它的 k 是 二分之一，你 y 的 x 是 这么画，那 y 的 二分之一 x 就 在下面大概率是这么画的， 他呢？如果要是这么画的话，那你看什么时候会有一个焦点呢？是不是在这啊？对吧？在这种状态下会有一个焦点，那也就是说他得恰好过这个点是什么呢？是不是三到二啊？ 对吧？所以说呢，就是当 x 的 三的时候， y 的 二，那么就是什么二等于二分之三，加上 b b 就 得二分之一，看到了吗？ 就是其实大家发现没有，我这边讲完之后好像，哎，还可以，没有想象那么难，但是呢，你在自己做的时候，你可能就蒙了，因为我刚才呢，前提是啊，我们看到 y 的 二分之一 x 一下就知道他这图像是要比 y 的 x， 他 是更靠近 x 轴的， 所以说，当意识到这个的时候，这道题就非常容易了。但如果说你之前你要不知道这个的话，哎，那其实这道题就有点难。 好，我们再来看下面这个考点啊，就是绝对值的一次函数。这个呢，我们来看一看哪道题呢？看看幸运观众，这个我们来看一下河南的吧， 毕竟是考试大神。我们来看一下有这样一个问题，探求函数它的图像与性质，下面是小明的探索过程，请补充完整函数它的自变量 x 的 取值范围。哎，这个是什么？ 他有说 x 不 能得什么吗？是不是没有啊，所以说他的取值范围就是任意实数啊， 不要不敢写，有可能同学就是不太敢写，然后不知道怎么去做，其实本来没有那么难的，下表的是 x 与 y 的 几组对应值，哎，那么大家看一下，其实这里就往里带就可以了，他这里有个 m， 那 肯定就带进去呗，那就是 m 得一。然后呢，第三个， 他说在如图网格中建立平面坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点， 并画出该函数的图像。其实呢，这道题鸟是描点的话，确实是做题的一个方法，但是呢，我更希望说通过这道题来给大家讲一下依次函数的绝对值，它到底是怎么画的， 大家看一下，以这个函数图像为例， y 等于 x 加一的绝对值。如果说你要每道题你都这么描点连线的话，那别人都做完了，你可能连一半还没描完 呢。那这个时候我们来看，原来这个函数是不是 y 等于 x 加一的绝对值，它其实难，是不是就难在哪呢？它就难在你这个绝对值，那么绝对值我们怎么处理？它一般是不是去掉，去掉的话，我不就得讨论一下你绝对值里面是正负吗？ 那么我就知道了，当 x 加一它大于等于零的时候，我 x 是 不是得大于等于负一啊？此时你这个 y 是 不得 x 加一，就本身不变， 那么当我 x 加一小于零的时候，我 x 是 不就小于负一啊？ y 呢，就等于负 x 减一， 看到没有，我就整体给加了个符号，这里面呢，这个等号啊，前面呢，不用纠结放在哪里，你要是放在一部分，另一部分就不带就可以了啊。那其实做到这，我是不是就知道，实际上你这个函数图像呢，它是在 x 负一这条线 作为一个分界线，大家注意啊，在我做过戏的时候，有很多细节，因为我要知道，我待会呢，要以负一到零这个点，他所在的这条竖线作为分界线，所以说我会把 y 轴画的偏右一些， 看到了吗？那么这个是 x 等于负一这条线，在 x 大 于负一的时候，图像是不是 x 加一啊？那也就是说此时图像是这么画的，这个呢，是实心点啊，因为你不是能取到负一吗？ 在 x 小 于负一的时候， y 是 不是负 x 减一啊？那也就是什么呢？他是这么画的，大家看好。所以说，其实这个就是我们要求的 y 的 x 加一的绝对值，它的一个图像。但是吧，在考试的时候呢，我仍然不建议大家这么画，为什么呢？因为你画的还是太慢了，大家可以怎么样呢？ 我们可以把原来 y 的 x 加一这条直线呢，给它补全，你就会惊喜的发现，假设我 x 它得负二的时候，我原来啊，是得什么，是不是得负一啊？ 但是现在呢，我 x 的 负二代入到这个式子中，是不是对应着得一啊？对不对？同理，你负三代入进去，你发现黑色的线和绿色的线，它们 同一个 x 值，对应的 y 值是互为相反数的，也就是说什么呢，我们从图像的意义来看啊，你这个画的线，你不管画的什么线，你对应的是不是都是 y 得多少啊？那么在这个前提下，你这个 y 是 不是就不可能是小于零， 对吧？因为你加起对值了，所以说你原来函数图像，你令 y 取得小于零的，这些都要翻上来 看到了吗？实际上他们两个是关于 x 轴对称的，也就是说，以后你看到这种绝对值，你首先要想到关于 x 轴对称，这样的话呢，你就会省去大量的时间，因为这道题，你比如说我来看到这个了， x 加一的绝对值啊，直接这么一连往上一翻就完事了， 你看这样理解是不是更快？好的，那么这个图像就画完了啊，我就不在左边画了，大家听懂为主，听懂为主，学会了才是自己的。小明根据画出的函数图像写出此函数的两条性质，那就是太简单了，你比如说 x 小 于负一的时候， x 越大越小，然后呢，第二条 x 大 于负一的时候， x 越大越大，都可以啊。好的，那么这个就是这道题接下来 最后一道啊，最后一道呢，我们就来看一下第一个吧，新定义型啊，新定义是大家最喜欢的函数图像了， 它在平面状坐标系中，函数它到两坐标轴的距离之和等于 n 的 点，叫做该函数图像的 n 结合点。例如二度一为依次函数 y 得 x 减一的三结合点。 好的，那么我们看啊，它其实是不是就是这个点，它与 x 轴作垂和 y 轴作垂，然后两个距离相加呀，不就这个意思吗？那么若点负二都二是 y 关于 x 的 正比例函数 m 的 n 结合点，则 m 的 什么？ 那就带进去呗，带进去 m 就 得负一，然后 n 呢？ n 就 代表着它们两个距离相加呀， 就是这个点到 x 轴和 y 轴的距离吗？那不就是四吗？因为你二加二，对吧？好，那么第二个，若 y 关于 x 的 依次函数，它的图像经过这个图像的期结合点。好，我们重新读一题啊，可能大家没有太读懂 这个函数，它经过这个函数图像的期结合点，那就意味着在 y 等于 x 加一，这个函数图像上含有 一个点点 a， 假设这个点 a 呢，它是 x 到 x 加一，我们这里呢，是不是 x 的 绝对值加上 x 加一的绝对值，它是得七的， 对吧？这个才叫它的七结合点嘛。然后呢，我们还有你他呢，还经过这个点 a 啊，那我不就相当于要把 x 求出来吗？ 对不对？而且这里呢，大家发现没有啊，你这里好像只有两种情况，要不然你就全去到绝对值，要不然你 x 和 x 加一就都大于零，就是 x 加上 x 加一，它是得七的，此时你 x 得三， 那 x 加一不就得 y 不 就得四吗？所以说你第一个坐标就是三道四，那你第二个坐标呢？就是他俩都小于零，为什么？就是他是这么写的，负 x 减去 x 减一得七，那此时 x 不 就等于负四吗？然后 y 得负三。好，那么这个要给大家讲一下，为什么我这么写， 正常来讲，我们不应该分着讨论吗？你 x 大 于零，然后 x 加一小于零，这也有可能啊，那为什么我只讨论它俩同时大于零或同时小于零？ 因为大家发现没有，你在 y 等于 x 加一这条函数图像上，你会发现啊，我们刚才如果要讨论 x 它大于零， x 加一小于零的情况呢？就是它们两个符号不同，就是 x 和 y 的 符号不同，那也就是只有在第四象限，对吧？因为它经过一三四象限， 只有第四象限，这符号是不同的。那么在这个象限中，你不管你到 x 轴的距离还是到 y 轴的距离，你怎么相加，你都不可能等于七，因为你这两个点，一个是一斗零，一个是零斗负一， 发现了吗？所以说其实他这种情况就是不存在的，他只有可能是同时都大于零和同时都小于零，所以说咱们直接带第二种就可以了，那么这两种带完之后， 记住它是两个点，第二个点是负四到负三，把它们都带入到 y 的 k， x 减二中，然后呢？ k 这不就求出来了吗？ k 一 呢就得二， k 二呢就等于四分之一啊，两个值。好的，那么听到这给自己鼓个掌啊， 大家要是想做其他的，记得去评论区留言，然后我会发给你。整体来讲呢，就是跟大家简单讲了一下， 做一些题，然后一次函数的一些定义。其实呢，归根结底大家发现没有，按照目前的新课标趋势呢，他是没有一些固定的解析模板的，但是呢，我们要根据这个题来理解啊，每道题他要考你什么？ 好，那么本期视频到这，我们下期视频再见。
196三观超正的数学爱好者
17:10查看AI文稿AI文稿一个视频带你复习一次函数这一张我们首先进行知识点的回顾，然后是立体讲解，然后再是自我检测，这是本章的知识结构图。 接下来我们复习一下一次函数的概念，形容 y 等于 k， s 加 b， k 不 等于零的函数叫做一次函数。当 b 等于零的时候，它就变成 y 等于 k s， y 等于 k， s 叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数。接下来进入最重要的部分，也就是函数图像。首先我们来看一下正比例函数的图像， y 等于 k x， k 不 等于零的图像是一条直线，当 k 大 于零的时候，它经过一三象限，图像从左到右上升， y， x 的 增大而增大。 当 k 小 于零的时候，它经过二次象限，图像从左到右下降， y 是 x 的 增大而减小。接下来是一次函数的图像， 一次函数 y 等于 k， s 加 b， k 不 等于零的图像可以看作是正比例函数的图像。平移 b 的 绝对值个单位长度。当 b 大 于零的时候是向上平移， b 小 于零的时候是向下平移。 那我们研究一次函数的图像的话，也是分为 k 大 于零和 k 小 于零两种。当 k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大， k 小 于零的时候， y 随 x 的 增大而减小。接下来我们看一下函数图像，对于一次函数的图像，我们主要也是分为 k 大 于零和 k 小 于零两大类。 这个 k 大 于零前面我们已经说过，它会导致函数是从左到右是上升的，也就是 y x 的 增大而增大。除此之外，对图像造成影响的还有 b 的 值。 对于 y 的 k， x 加 b， 假设我们令 x 等于零，就会得到 y 是 等于 b 的， 也就是说函数图像是经过零 b 这个点 从这里相信大家已经看出来了。当 b 带零的时候，图像跟 y 轴交于正半轴， b 小 于零的时候，图像跟 y 轴交于负半轴，那么 b 等于零的时候，它就经过原点，也就是变成正比例。函数 k 小 于零的时候，函数图像从左到右是下降的，也就 y x 增大而减小。 b 带零， b 小 零和 b 等于零的图像。在这里请大家自己看一下，我们小结一下吧。当 k 带零， b 带零的时候，图像是经过一、二、三象限。 k 带零， b 小 零的时候，图像是经过一、三、四象限。 k 小 零， b 带零的时候，图像经过一、二、四象限。当 k 小 于零， b 小 于零的时候，经过二、三、四象限。 接下来我们做题练一练。当 m 小 于负二时，一次函数 y 等于 m 加一， x 加上一减 m 的 图像，可能是图中的哪一个？我们说一次函数的形式是， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那么对应上去的话，这个 m 加一就相当于 k， 一 减 m 就 相当于 b。 我们现在要判断一下 k 和 b 的 范围，也就是 m 加一的范围以及一减 m 的 范围。条件说了 m 是 小于负二的，根据这个条件，这里两边同时加上一之后，可以得到 m 加一是小于负一的，也就是小于零， 那就是说这一个是负值，而一减 m 一 减去一个负数之后，肯定是比原来要大，那它就大于一嘛，那肯定是比零要大喽。所以这里是正的 k 小 于零， b 大 于零，答案就选这一个啦！ 第二题，一次函数，它的值随着 x 的 增大而增大， 说明它对应的 k 值是大于零的，也就是这里的三 m 加一是大于零，解到 m 是 大于负的三分之一，它叫我们写出一个满足条件的 m 的 值，你随便写，比如说零、一、二、三、四、五等等等等，它都是大于负三分之一的，你选一个写进去就可以了。 第三题，一次函数 y 等于 k， s 加 b 的 图像经过点 m， 并且 y 随 x 的 增大而增大，因此它对应的 k 值是大于零的， 图像从左到右是上升的才对。所以等一下我们做题的时候，要看把这个 a、 b、 c、 d 描进去之后，看一下图像有没有从左到右上升，比如说我们看一下 a 答案正不正确，把 four 二这个点标进去，你看一下， 如果给 m 和 n 连起来的话，那么图像从左到右并没有起到上升，所以这个不对。那么二一对不对呢？把二一给它描进去， 如果是这样标的话，从左到右连起来是下降的，也不符合题一样好。就这样按这个思路去选，就可以选到答案是这个了。 在弹性限度内，弹簧的长度 y 是 质量 x 的 一次函数，所以我们可以设它是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零， 它不挂物体的时候，长度是十二点五，也就是说当 x 等于零的时候， y 是 等于十二点五，那么如果质量是二的时候，弹簧就是十三点五。把这两组数值带进去函数里面就可以得到 十二点五等于 b， 十三点五是等于二， k 加 b， 所以 就可以解到 k 等于零点五以及 b 的 值， 所以原函数就是 y 等于零点五， x 加上十二点五。接下来他问了，质量是五千克的时候，质量是 x 嘛，对吧？当 x 等于五的时候，带进去就可以算到 y 是 等于十五了。 第五题，一次函数 y， e 等于 a， x 加 b， y 二等于 m， x 加 n 的 图像如图所示。问结论错误的是， 首先看一下 a 答案， y e 随着 x 增大而增大，你看一下 y， e， 在 这里它的图像确实是上升的 a， 答案是正确的。看一下 b 答案， b 小 于 n， 你 令 x 等于零，就可以得到 y， e 等于 b。 好， 这个点在这里就可以得到 b 是 等于零的， 那么 y 二等于 mx 加 n， 你 令它的 x 等于零， y 二就等于 n， 所以 这个点是零 n， 从这里可以看到 n 是 大于 b 的 好，看一下 c 答案，看一下 c 答案，当 x 小 于二的时候，可以看到这一个点是两个函数的交点，也就当 x 等于二的时候， y 一 跟 y 二是相等的。 当 x 小 于二的时候，也就是在这条线往左的部分，我们可以看到 y 二，它是高于 y 一 的，所以 x 小 于二的时候， y 二是大于 y 一 才对。哈，你这样选错误的好，所以选这个。接下来看一下平移。 对于一次函数， y 等于 k， s 加 b， 如果是上下平移的话，那我们应该在它的长竖向这里改变，上加下减。 我这里假设 m 大 于零，哈。当我们把原函数往上平移 m 个单位的时候，它就变成 y 等于 k， s 加 b， 再加 m， 往下平移 m 个单位的时候，它就变成 y 等于 k， s 加 b 减去 m。 但如果是左右平移的话，改变的是自变量，这里左加右减，如果往左平移 m 个单位，它就变成这样 法。但这些算法是帮助我们去算出函数的解析式的。假设题目给了一些条件，比如说他给出某一个函数，经过哪两个点，让我们去算他的解析式的话，就可以用这种方法。 这时候我们先设数，先设这个一次函数是 y 的 k s 加 b， k 不 等于零，然后把题目给出来的条件，比如说他给出的两个点给它带进去，我们就会得到一个方程组， 把分子组解出来，得到 k 和 b 的 值，再带回刚开始设的数里面，就可以得到解析式了。 来我们做一道题，这道题说的是过点一零零二的直线向上平移三个单位长度之后，平移后的直线经过的点的坐标是哪一个呢？ 对，我们应该分两步进行，第一步，先把每平移之前的直线给它算出来，然后再根据平移的规律去操作，得到后来的直线。接下来再看一下 a、 b、 c、 d 哪个点带进去后来的直线里面可以满足。好，我们开始吧。假设原来是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，然后我们就将一零零二给它代入，那么就会得到零等于 k 加 b， 二等于 b， 然后就解得 k 等于 four， b 等于二。所以原来的函数解析式是 y 等于 four x 加二。 接下来进行平移，那就可以得到。我们刚刚说上下平移改变的是常数项这一个部分，上加下减嘛，那就变成 y 等于 four x 加二，再加三，也就是 y 等于 four x 加五。 接下来把这些选项带进去，可以让这个函数左右两边相等的话，那么这个减的坐标就可以 选择一个。接下来我们看一次函数跟一元一次方程，一元一次方程 k s 加 b 等于零的解，实际上就是它对应的函数跟 x 轴交点的横坐标。 一元一次不等式 k x 加 b 大 于零的解集，实际上就是它对应的函数在 x 轴上方部分对应的自变量的取值范围。举个例子， 比如说题目叫我们算 x 减一大于零，它对应的解集，那么我们可以找到它对应的函数，也就是 y 等于 x 减一， 把它的图像画出来之后，你会发现它跟 x 的 交点是一零。从图像上可以看到这个函数在 x 轴上方的部分，也就是这一部分， 它的 y 是 大于零的嘛？所以我现在标注的这一部分，它是满足 x 减一大于零的，它对应的自变量的取值范围就是 x 大 于一。我们来做一道题，画出函数 y 等于二 x 减一的图像， 利用图像去计算这个方程的减，那我们要画函数图像的话，一条直线，我们至少要确定两个点，对吧？首先我们令 x 等于零，它对应的 y 就 等于负一，再令 y 等于零，它对应的 x 是 等于二分之一，也就是它过零负一点和二分之一零这个点， 这个方程的解实际上就是它对应的函数跟 x 的 交点的横坐标，所以 x 就 等于二分之一，就是这个方程的解了。第二问不等式二 x 减一小于零的解集， 那我们刚刚已经把 y 等于二 x 减一的图像画出来了，小于零的话，也就是在 x 的 下方。好，我把它标出来，那我现在标注的这一部分，它对应的 x 的 范围也就是 x 小 于二分之一了， 这就是它的解集。第三问，当 y 大 于等于负一小于等于一的时候， x 的 取值范围。我们先来看一下 y 等于负一的时候，以及 y 等于一的时候，它对应的 x 值是多少。我们令 y 等于负一，也就是二 x 减一等于负一解到 x 等于零， 再令 y 等于一，那么二 x 减一就等于一解到 x 等于一。好，那现在我们把这两个点标出来，也就这里和这里，也就是题目让我们算的这一个范围，也就是这一段， 那么它对应的 x 的 取值范围，那就在零和一之间，也就是这一段。 接下来我们看一下实际问题。以一次函数，一般会从以下三个方面来考察，利用它的增减性、利用图像法和利用不等式。我们来做一道题，看一下。 为了提高工作效率，买 a、 b 两种智能机器人，相关的信息如下哈，如果 a 的 机器人是一台， b 机器人是三台的话，合计是两百六十万元 啊。当然这里还有另外一种数量，以及它相应的价格，大家自己看一看。这样我们算 a、 b 它的单价。 那么根据这一个信息，我们就可以对应列出， x 加三， y 等于两百六十。接下来再根据这一个信息就可以得到，三 x 加二， y 等于三百六十，解出 x 也等于八十， y 等于六十。 因此 a 型机器人它的单价是八十万元， b 型机器人的单价是六十万元。 第二问，该企业准备用不超过七百万元购买 a、 b 两种型号的机器人，共十台，那哪一种方案能够使到件数最多呢？好，首先把前面算到的 a 和 b 的 单价都写进来。 行，假设 a 型号的机器人有 a 台，那么它们一共十台，那 b 的 数量就是十减 a 台， 用 a 的 单价乘以它的数量，加上 b 的 单价乘以 b 的 数量，合起来就是它的成本，它要不超过七百万，也就小于等于七百万。因此可以列到这个不等式 解出来， a 是 小于等于五的，但是 a 作为计算人的台数，它不能小于零，所以要大于零，并且它还要是整数才可以哦。 接下来要算键数最多是什么时候，那我们先把它的键数设为 z， 我 们表示一下这个 z 吧。 z 是 等于 a 每天处理的键数，加上 b 每天处理的键数。 a 每天处理的总数可以看成是 a 的 数量乘以等于 a 每台的键数， b 每天的总数就等于 b 的 数量 乘以 b 每台的键数。好，我们把它相应的带进去， a 的 数量是 a 台，它每台可以处理二十二万键。 a 一 共有十减 a 台，它每台可以处理十八万件，所以 z 的 表达式就出来了。好，把它们去括号整理一下之后就可以得到四。 a 加上一百八十， 这是一个一次函数，并且次变量的范围在这里， a 大 于零，小于等于五，并且是整数。我们可以看得到这个一次函数，它是从左到右是上升的。 z 值的 a 的 增大而增大，因此 a 取到它范围内的最大值五的时候， z 就 可以取得最大值。 接下来是自我检测，请大家做完自己的答案。
158陈老师与初高数学
08:12查看AI文稿AI文稿好的同学们，今天我们来看一道依次函数与分段函数相结合的一道题，来看这样的一道题目哈，已知直线 y 等于三分之一， x 加二与这个函数它的图像相交于 ab 两个点， 其中呢，点 a 在 点 b 的 左侧，让我们去求 b 点的坐标，那么这道题其实让我们去求的是这个分段函数与直线的交点，那与分段函数的交点，所以说我们要分两段进行连立哈，并且要验证一下它的这个定域，定域是啥？其实就是 x 的 取值范围， 这一步很重要，不能漏哈。首先来看 x 大 于等于啊，负一这个阶段，那直线是 y 等于三分之一， x 加二，那这个函数分段函数是啥呀？ y 等于 x 加一，那这个时候其实我们就可以求出来一组解了哈， x 等于二分之三， y 等于二分之五，当然这个时候你需要验证一下 x 是 不是在我们索取的这个范围之内， a 发现是的， 符合这段这个定域，所以说这个解是有效的哈。嗯，那 b 点的坐标其实就已经求解完毕，二分之三，逗号 二分之五没有问题哈。嗯，当然了， a 点的这个我们也是需要进行连力求解，只不过连力的是 x 小 于负一这个阶段哈，因为第二位需要用到这个 a 点和，所以说我们现在也把 a 点进行一下计算哈。 来，就是当 x 小 于负一的时候，此时 y 等于 x 加一，这是直线，那分段函数变成了是负， x 减一来求解出来 x 和 y 的 值 来， x 求解出来是负的四分之九， y 求解出来是呃四分之五，当然发现这个也是符合我们的这个呃， x 小 于负一的这个范围之内，所以说它也成立的哈，那 a 点的这个坐标就是负的四分之九， 四分之五没有问题，这是第一问哈，也就是啊，二分之三，逗号二分之五没有问题。来，重点来看一下第二问，嗯，若坐标原点为 o， 坐标原点为 u， 将两个函数图像分别向右平移 m 的 单位，那么 ab 平移后，分别对应着 c 和 d， 连接了 oc 和 o d， 当 它最大的知识 m 的 指，为什么？那？其实很多同学在做到第二问的时候，其实是脑袋中没太有思路了，那当你没思路的时候，你要回想起来什么呀？我们之前学过的哪些知识你可以用到来？就比如说第一个 啊，看这一句话哈， ab 平移后，分别对应着 c 和 d， 这不就是运用到点的平移这个知识吗？你很显然我们就可以把 c 和 d 的 这个点的坐标写出来呀，来看看哈， a 点是负的四分之九，多号四分之五，那它向右 平移 m 个单位，对不对？得到了 c 点，那很显然 c 的 坐标就是什么，是不是横坐标相加呀，对不对？ 你注意哈，点的平移和我们的这个函数的平移，它是相反的，点的平移向右，我们就是加哈负的四分之九，多号加 m 动坐标是不变的四分之五，同理， b 点坐标来看一下啊， b 点坐标是二分之三，多号二分之五，对不对？它也是向右 平移 m 个单位，那得到了点 d 的 坐标，很显然，点 d 的 坐标我们也可以写出来，就是二分之三加 m 多少？二分之五。你看，现在我们其实已经把 c 和 d 写出来了， 嗯，又问连接了 o c 和 o d， 当它减它最大值是求 m 的 值来，首先你要思考一下哈， o c 和 o d， 它是两条线段呀， 它是两条线段，对不对？那两条线段之差的绝对值最大值是让我们去求 m 的 值。首先你来思考一下， o c 减去 o d， 它的最大值是是多少呢？ 好，很多同学可能又卡住了，没思路，这个时候怎么办？你要想我们在哪个知识学过两条线段之差，哎，其实经过这样一提醒，应该同学们就有思路了哈，是啥呀？是不是在三角形这个位置学过 三边关系，对不对？三角形的三边关系，但是你要是想用三角形的三三边关系，他还有一个前提，这三条线呢？他得怎么样呀？不共线，哎，所以说这就得到了第一个哈，就是这三个点不共线， 哪三个点？ o c 和 d， 它不共弦的时候， a， o c 减去 o d， 它的绝对值，两条线段之差一定是小于第三边，第三边是谁呀？是不是 cd？ 哎，这个时候它就出现了，你看 一个关系式了，对不对？当然在这里我们讨论的是不共线的时候，那有没有种可能他们三点都是共线的时候呀？ 那你思考一下，共线的时候， o c 减去 o d， 它的绝对值就变成了什么，哎，是不是就等于我们的 cd 了？ 所以说，你发现哈，我们总的来说， o c 减去 o d， 它的绝对值是不应该是小于等于 cd， 那 让你去求它的最大值，什么时候具有最大值呀？ 是不是当 o c、 d 三点共线的时候，它的最大值我们就求解出来是等于 c、 d 的 呀。嗯，知道这个，那接下来就做题就更简单了哈。好，那你思考一下哈， o、 c、 d 三点共线， 接下来我们求的是 m 了哈，注意，人家是平移了 m 个单位，目的就是求这个 m， 好， 梳理清楚问题哈，三点共线去求 m， 那 思考一下，我们应该怎么求？ 这个时候说明了 o、 c、 d， 这是干啥呀？说明它是在一条直线上，一条直线，你想到了什么？ 是不是想到了函数，所以说这个时候我们就舍哈，我们就假设 y 等于 k x 舍这条直线，舍证明的函数 y 等于 k x 加 b， y 等于 k x， 其中 k 不 为零哈，好，那 c 和 d 是 不是说明都在这条解析式上？那我们就分别代入呗。那得到的就是啊， k 去乘负的四分之九 m， 嗯，等于加加 m， 哈，加 m 等于四分之五，同理，地点带过去就是负可以去乘二分之三， 可以去乘二分之三，加 m 等于，嗯，二分之五。好，那这个时候其实我们就可以把 m 求出来了， m 等于几啊？ m 等于六，那么这个题就求解完毕了哈。 所以说，总结来说，这一道题有两个难点，一个难点是什么呢？就是你可能在做题的时候无从下手，那无从下手你就要思考我们之前学习过的哪些知识，你可以运用，就比如说我看到这个知识 a、 b 平移后对应的点为 c 和 d， 那 这个时候我就思考到 a、 o c 和呃，平移点的平移对不对？好，那第二个连接了 o c 和 o d， o c 和 o d， 它是两条线段呀，两条线段之差最大值， 或者说两条线段之差你想到了哪个支点？就是三角形，对不对？当然你还有一个前提条件，它得是不共线才能构成一个三角形。那共线的时候呢？发现 a 恰好就是共线的时候，它是最大值。那最大值说明了什么呀？ 说明了 o、 c、 d 三点共线。那三点共线我们就可以舍，它是一个证明的函数呀。舍 y 等于 k、 x。 啊，那 k， x， c 和 d 都带都在里面，我就代入求解。那求解是不就把 m 等于六求解完毕了呀？嗯，这是这一道题哈。
36:28查看AI文稿AI文稿好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？
382毕老师细讲数学
01:29查看AI文稿AI文稿九霄仙界的流光天梯是神仙往返人间的必经通道， 仙界工匠发现天梯的升降高度与运行时间满足标准的一次函数关系。 可近日，仙界系统更新，先测数据丢失，只留下了两组关键的运行数据。正在修炼的哪吒发现天梯测算失灵， 无法精准操控天梯往返人间，立刻拿出鸿蒙先机，拨通了八年级同学的视频连线，想要求助聪慧的同学们破解难题。 哈喽，各位同学大家好，我是哪吒，现在仙界天梯没有了函数公式，没办法精准控制升降轨迹，太不方便了。 我只找到了两组真实的运行数据，目前只知道这个轨迹是一次函数，但是我不知道怎么根据仅有的两组数据算出这个一次函数的完整解析式。 听说大家已经学会了一次函数的相关知识，请大家教教我如何算出这个一次函数解析式吧！
611课件PPT魔法屋
01:35查看AI文稿AI文稿这是一道让很多同学都无从下手的繁琐亚洲题，甚至得分率不到百分之十，大多数同学拿到这道题 都是懵的，无论可以取何指示，都过一个定点。那我们是不是想到了在七年级时候我们学过的，无论可以取何指示，无论参数取何指示，与这个参数的取值无关。这个题，那么解决思路， 那就是让它的系数等于多少？它的系数等于零。好，那这样呢，我们有了这个思路，这道题呢就可以进行解决了。好，我们给这个式子进行一个变形， 先去括号，接下来我们就把含有 k 的 放在一起，就可以写成，二， x 减 y 减一，括号乘以 k， 然后再减 x 减三， y 加十一等于零， 那与 k 的 取值无关。我们就让 k 的 系数等于零，也就是二 x 减 y 减一等于零。 好，那 k 的 系数等于零了， k 乘零等于零，那后面这一部分负 x 减三， y 加十一，是不是也是等于零的？这样等式才成立。好，我们解关于 x 和 y 的 二零一次方程呢，我们能够得到 x 等于 y 是 等于 三的，那这样呢，我们就能够证明这个意思，函数能够横过一个定点二，逗号三，那和 k 的 取值无关，这道题呢，就证明完成了。好，喜欢的朋友关注点赞也可以在评论区交流讨论，看看你有没有更好更简洁的思路方法。
64数学张老师
00:50查看AI文稿AI文稿一次函数在石家庄八年级下册期末考试时，通常会考一个利润相关类型的应用题，通常这道题呢，由两到三问组成，第一问是一个二元一次方程组，第二问是一个不等式，让我们去求取值范围。 第三问是让我们列出来利润最大或者是花销最小，并且去求利润最大值或者是花费最小值。那在解决第三问的时候，一定要注意它的考察点，是 k 大 于零还是 k 小 于零，根据 k 大 于零、 k 小 于零来去决定 我们对 x 的 取值，是取最大值还是取最小值，再增加一个难度。最后一问再给我们一个参数 a， 让我们去确定利润最大，这个时候要根据参数 a 的 范围来进行分类讨论。
09:27查看AI文稿AI文稿八年级期末复习这次选举的是二四到二五年桥西区第二十二题。如图，在平面直角坐标系里中，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 图像与 x 轴相交于 a， 负三斗零， b 与 y 轴相交于点， b 与正比例函数 y 等于三分之四， x 相交于点 c， 求 m 的 值。 第一问，因为点 c 第一问点 c 在 外等于三分之四 x 上，所以我们就可以得到三分之四， m 等于四，即 m 等于三嘛。 好，那 m 等于三，所以点 c 的 坐标就是三斗四。好，然后将 a 点坐标负三斗零， c 点坐标三斗四代入 y 等于 k， x 加 b， 我 们可以得到负三， k 加 b 等于零， 三 k 加 b 等于四，所以我们可以解得 k 等于 b 等于，两者相加，是不是就二 b 等于四， b 就 等于二呀？ b 等于二， k 呢？ b 等于二的话， k 是 不是等于三分之二呀？也就是 y 等于三分之二 x 加二，这个考的挺，第一问挺基础的。 好，然后第二本这个，那就 好，第二本让我们求三角形 o、 b， c 的 面积，好，我们可以求出来一提一得，对吧？通过提议我可以得到 这个 b 点坐标应该是一个它，这个是，这个是 y 等于， 这是 y 等于三分之四 x， 这个是 y 等于三分之二， x 加二，所以 b 点坐标就是零到二嘛。 s 三角形 o， b， c 就是 o， b 的 长度乘上 c 的 横坐标，所以就是二分之一 乘二，再乘三，也就是二，也就是三。对不起，对不起，也就是三。好，第一问，第二问，前两问的话，考的挺基础的，对吧？带电系数法求解解式。然后来看这个第三问，重点是第三问， 说点 d 在 x 轴上，并且呢，这个三角形 a、 b、 d 呢？还得是等腰三角形，哎，那让我们直接写出点 d 的 坐标， 所以这考到了什么呀？我们要找等腰，所以我们就看哪条边是等腰呗，哪条边以哪条边为腰。所以这个要用到什么呀？用到两圆，一中垂。 好，我们可以第一个，我们可以以 a 为圆心， ab 的 长为半径，然后画弧， 画圆。哎，这个时候跟 x 轴相交于两个点，嗯， d， 我 把这个叫第一，这个叫第二。好，第二种情况，我以 b 为圆心， b 为圆心， ab 的 长为半径画弧， 我这个时候跟 b 为圆心，然后这个时候我是不是还会 跟 x 轴相交于两点？我把这个角 第三第四。好，接下来我应该是做 a、 b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴 做 a， b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴相交于一点，称之为是 d。 五，哎，这里边的话，这里边的话，这个 a 点，这不是重复了吗？对不对？所以我们不记它啊，所以它应该有四个答案，至少应该是四个答案， 一二三四， 这是第三。 好，我们来求一下啊。啊，我们知道 a 点坐标就是它的，应该是以 a 为圆心，这样去找 ab 长为半径， 应该是有两个嘛。然后第二种情况就是以 b 为圆心， a， b 长为半径，应该也是两个，但是这个跟 a， 这不是重复了吗？ 所以以 a 为圆心， a 点坐标，我们知道它是负三到零， b 点坐标也知道零到二，那这个时候 a、 b 的 长，咱是不是就可以求出来勾股定律吗？ 四加九应该是根号十三，嗯，所以第一他应该是在负三的左侧，负三减根号十三，然后到零第一，第二， 第二在它的右侧，所以它应该是负三加根号十三，然后逗，零。好，然后第三，第三的话它是在这个。嗯，第三的话来看啊，圆心 可以求一下。 第三的话，第三跟这个点 a 是 不是应该是对称的呀？所以第三应该是一个三斗零， 然后还有一个是这个中垂线上这个点，中垂线上这个点，它这是一个垂直， 是一个垂直。 嗯，这个点可以怎么求呢？中垂线上的点到线段两端点都相等， ab 的 中点可以找一下， a 的 坐标有， b 的 坐标有，所以 ab 的 中点 中点坐标负二分之三到负二分之三到二分之一， 所以这个点的坐标就应该是一个负二分之三到一。嗯，然后呢？没有学相似呢？ a b 的 解析式，我们可以求出来， y a b， 它是一个。呃， a b 的 解析式就是三分之二 x 加二嘛。 所以那它的垂直平分线它是三分之二， x 加二，那它的垂直平分线应该是 y 等于负二分之三 x， 然后把这个点对它带进去， 负二分之三， x 负一嘛，然后这应该是减个四分之五， 负二分之三，应该是负四分之六，对不对？嗯，解出来它之后，那我们令 y 等于零， y 等于零的时候，可以解出来， x 应该等于负的六分之五，其实就它稍微不不太好减，第四的话就应该是负六分之五。逗，零， 啥意思？就是我们知道这个，他这是个垂直，所以可以求出来的学率，这个点可以出来，然后这个一次函数可以求出来，求出来之后找焦点，这是两元一中垂在期末里面的考法。
142石家庄讲数学的数学老师😄