2023石家庄数学模拟立体几何
来看一下二零二三年这个二卷的例题，几何题三能追 a、 b、 c、 d， d， a 等于 db 等于 dc， b、 d 垂直于 c， d。 角 a、 d、 b 等于角 a， d、 c 等于六十度，这两个角都等于六十度， e 为 b、 c 的 中点。第一题证明 b、 c 垂直于 d， a， 这条垂直于这条，那么这个我们先把已知的条件看一下啊， 既有边相等，又有中点，所以我们先给 d、 e 和 a、 e 连接起来，连接起来之后，由于你的 b、 d 等于 c， d、 b、 d 等于 c、 d， 那 我们能够得到 d、 e 是 垂直于 bc 的。 由于 由于 dc 等于 d a， 并且这个角等于六十度，所以我们可以得到三角形 a、 d、 c 是 一个等边三角形，等边三角形 a、 d 等于 b、 d 这个角也等于六十度，所以你的三角形 a、 d、 b 也是等边三角形，也是等边三角形，那能够得到 a、 c 等于 ab， e 又是中点，所以你可以得到 a、 e 垂直于 bc， bc 垂直于 a， e 又垂直于 d、 e。 这两条线交于同一个点 e， 所以 bc 垂直于平面 a、 d、 e、 b、 c 垂直于平面 a、 d、 e， 那 就垂直于这个平面内的任意一条直线，所以 b、 c 可以 垂直于 a、 d。 好。 第二问点， f 满足向量 e、 f 等于向量 d、 a 求二面角 d， a、 b、 f 的 正弦值，要求二面角的正弦值，那么所以需要去求面 d、 a、 b 与面 f、 a、 b 的 法向量， 那要求法向量的话，我们就需要去建立空间直角坐标系。哎，我们能够看到，在这里，如果你以 e 点为圆点， d、 a 所在 这条为 x 轴，这条为 y 轴，这条为 z 轴，那你的坐标肯定是很容易能找出来的，但是在这里我们只得到了 bc 垂直于 a、 e， dc， bc 垂直于 d、 e， 我 们需要得到是两两垂直，才能做你的空间直角坐标系。所以现在我们还要去证明 a、 e 应该是垂直于 d、 e 的， 我们擦一下来正一下， 我们还要得到 a、 e 应该是垂直于 d、 e 的， 那么这个怎么正呢？它已经给了你 d， a 等于 d， b 等于 d、 c， 你 只需要令这个长度为二，因为它有中点，令为二的话要算一点， 这个长度等于二，这个也等于二，这里是等于九十度。那你可以得到 b、 c 等于二倍根号二， b、 c 等于二倍根号二，这个是 b、 c 的 一半，所以这条就等于根号二。 d、 e， 这里是垂直垂直的，所以 d、 e 也等于根号二， g 等于二。我们看到刚刚我们已经求出来了，你的 a、 c、 a、 b 是 相等的，并且 a、 b、 d 是 一个等边三角形，所以 a、 b 也等于二。 a、 b 的 长度等于二， a、 e 又垂直于 bc， 所以 这条也等于根号二。 那我们能够看到 d、 e 的 平方，加上 a、 e 的 平方，就等于 a、 d 的 平方，所以你可以得到 d、 e 垂直于 a、 e。 现在我们就得到了这三条线， a、 e、 b、 c、 d、 e 这三条线两两垂直，所以我们可以以 e 点为圆点， 以 e 点为圆点， d、 e 所在直线为 x 轴， e、 b 所在直线为 y 轴， e、 a 所在直线为 z 轴。建立如图所示的空间直角坐标系，要去求这两个平面的法向量，那么我们需要去求点 d、 a、 b、 f、 a、 b 这些点的坐标。我们先来求一下 d 点的坐标， d 点的坐标，这里是根号二，在 x 轴上，所以是根号二零。零。 a 点的坐标 a 点在 z 轴上，所以是零零。根号二 b 点的坐标 b 点在 y 轴上，所以是零，根号二零。那么 假设平面 d、 a、 b 的 一个法向量为向量 n， 那 你现在求出向量 d、 a， 向量 d、 a， 就 等于 d、 a。 点坐标减去 d 点坐标横，坐标减算横坐标就是负的根号二零。根号二，向量 d、 b， 这个就等于 负的根号二，根号二零。由于是法向量，那么法向量是垂直于平面内的任何一个向量的，所以点成为零。那么由这个式子，我们就可以求得向量 n， 向量 n。 这里有一个小技巧，怎么算呢？由于它是点成的 d 和 d、 b， 你 就把这两个向量写两遍，横着写两遍，先写， 先写限量 d、 a。 负的根号二零。根号二，限量 d、 b。 负的根号二，根号二零。负的根号二，根号二零。写两遍之后去首尾 a。 那 么你的 x、 c 就 由这两列决定。怎么决定呢？ 零乘零，零乘零，减去根号二乘根号二，这个就是 x， x， 就 得到它是负的二。那你的 y 由这两个决定， 由这两列决定。是负的交叉相乘，再相减，根号二乘负的根号二，减去负的根号乘以零，所以是负二。你的 z 由这两列决定， 负的根号二乘根号二，减去负，根号二乘零，所以是负二。那为了计算减变呢？这个法向量我们可以取成与它平行的向量，所以我们算出来是负二，负二，负二，那可以直接取负二，就得到是一一一。 接下来我们要去求平面 f、 a、 b 的 法向量，那就需要把你 f 点的坐标算出来， f 点怎么算呢？这里已经告诉我们了，向量 e、 f 等于向量 d、 a， 你 只需要把你的 f 点的坐标设成 x、 y、 z， 那么我们就可以代进去算。向量 e、 f、 e 点的坐标是零零零，所以向量 e、 f 就是 x、 y、 z 等于向量 d， a。 向量 d、 a， 我 们刚刚已经算过了， 就等于这个。这两个向量相等，那就是横坐标等于横坐标，坐标等于坐标，所以 x 等于负的根号二， y 等于零， z 等于根号二， 那么你就得到了 f 点的坐标是负，根号二，零根号二。那么接下来计算这个平面内的两个向量，平面 f、 a、 b， 向量 fa 点的坐标减去 f 点的坐标， a 点坐标在这里减去 f 点的坐标， 那就是根号二零零。向量 f、 b 就 等于 b 点的坐标减去 f 点的坐标，得到根号二， 根号二，负根号二。假设这个平面的一个法向量为向量 m， 向量 m 点，成像量 fa 等于零，向量 m 点成像量 f、 b 等于零，所以我们可以把向量 m 给它解出来， 同样的写两遍，根号二，零零，根号二，零零， 根号二，根号二，负根号二，根号二，根号二，负根号二去首尾。 x 由前两列决定，零， y 由中间两列决定。是根号根号二乘以零，减去根号二乘以负的根号二，所以得到的是二。 z 由后两列决定， z 由这两列决定，所以是二。那么为了使它减变，同时除以二，得到零一、一两个法向量我们都已经算出来，所以可以得到 cosine 向量 m， 向量 n， 这个就等于向量 m 点成向量 n 的 模，向量 n 的 模，向量 m 点成向量 n， 二对应相乘，再相加向量 m 的 模，根号二，向量 n 的 模，向量 n 的 模是根号三，所以这个等于 根号六分之二。那大家能够看到你的这个二面角 d， a， b， e， 这个二面角很显然是个钝角。那你求出来的 cosine 值应该是个负值，所以 cosine c 它应该是等于负的。根号六分之二要求的是它的正弦值。正弦值的话， 我们直接利用平方关系， c 以 c， 它就等于一减 cos 以 c， 它的平方等于根号。下一减六分之四， 最后等于六分之二，六分之二的话是三分之一，三分之一再开根三分之根号三。
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10:42查看AI文稿AI文稿众所周知，二零二二年的新高考一卷数学非常难，里面立体几何的大题出的也是可圈可点，如果现在你还在纠结立体几何大题究竟使用间隙法还是几何法，杨老师，我强推间隙的方法， 因为不需要你有多么好的空间感，只需要你的计算能力过关就可以了。那我们现在来看一下新高考一卷立体几何那道大题。这道大题的话分成两问，先来看第一问啊，题干中首先告诉你值三棱柱它的体积了， 直，三棱柱直是什么意思啊？就是侧棱，比如说 a、 e， a， b， e， b、 c、 e、 c 这三条侧棱垂直于上墙底面，这样的棱柱呢，就叫直棱柱啊。然后又告诉你，图中 注意是空间中啊，空间中这样一个三角形， a、 e、 b、 c， 它的面积呢？是二倍，根号二，我把这个面 面积的写上，然后现在问的是点 a 到这样一个平面， a、 e、 b、 c 的距离怎么去做呢？我首先看了 我想问一个问题，现在我画的这个红色部分，这样一个空间图形是什么？是三棱锥吧，对于同底等高的三棱锥和三棱柱，你说他们的体积之比是多少？当然是一比三了，所以现在看好了啊，第一问的话，我们接起来先写个解字吧。 好，第一问的话，这样这样来做啊。嗯，来， a 一， a、 b、 c 就是以 a、 b、 c 为底嘛，然后它是等于三分之一的。谁啊？三分之一的这样一个三轮柱的体积的， a 一， b 一， c 一，然后 a、 b、 c 咱写清楚， 然后当然等于三分之四了。那么三分之一底乘高的话，我们以谁为底呢？换一下嘛。 那么换了之后的话，实际上我们完全可以换成以这样一个 a 点为顶点，然后 a、 e、 b、 c 为底，对吧？那他的话就变成了谁三分之一底面积乘高吧。底面积其实就是 a、 e、 b、 c 面积其实已经告诉你了啊，然后再乘这样一个距离，我们假设点 a 到平面，距离呢，就是 d， 这样就可以，这个距离就是高啊，他是等于多少？等于三分之四的 面积，等于二倍根号二，你带入吗？所以很快就把这个 d 算出来了， d 呢，算出来以后等于二。所以第一问非常简单，我们主要是来看第二问啊，间隙的话，大家要注意一个问题，这道题直观上来看，大家也知道啊，稍微读一下题 也知道，肯定是以点币为空间中的这样一个坐标元点，对吧？ x 轴 y 轴、 z 轴这样来间隙的， 这个没问题吧？但是有一个问题，你凭什么要这样间隙？你得保证点臂出发的。谁呀？点臂出发的？我写一下，你得保证这个 ab 是垂直于 bc 的。 当然了，这个 b、 e、 b 的话就不用多说了，因为 b、 e、 b 垂直于整个底面， a、 b、 c， 所以 b、 e、 b 和 a、 b 是垂直的，这个不用正啊，直接说就行了。然后 b、 e、 b 呢，也是垂直于 b、 c 的， 主要是说明为什么他是垂直的，然后才可以间隙。能明白我的意思吧。好了，现在目标很明确了，就是想证明这个 a、 b 和 b、 c 是互相垂直的。第二问啊，我把这个思路呢先说清楚，看一下。他首先说明的是点地是终点， 不用着急啊，一会都好求。然后又说明这个 a a 一等于 a b， 也就是说 a a 一。我问一下啊，你说这是个什么图形？首先它肯定是个矩形，其次这个矩形零边相等啊，零边相等。其实我想说的是这个侧面 a e a b b， 就我画的这个图形呢，它是正方形，能清楚吧？啊？正方形。然后又告诉你哪两个平面是互相垂直的，就是刚刚我画出来的正方形所在的这样一个平面 和第一问中三角形 a e b c 所在的这个平面，这两个平面是垂直的，其他呢？没有说。然后让你求的是 谁啊？二面角吧，二面角的正弦值，咱们肯定选择间隙的方法看了，这样来啊，如何证明呢？我们的目标现在很明确，就 就是想要证明 a、 b 是垂直于 b c， 怎么去正呢？我们完全可以这样来证，可以先证明谁呀？可以先证明整个 b、 c， 它是垂直于平面的。垂直于谁所在的平面啊？垂直于 a b 所在的平面呗，垂直于整个平面，我写清楚啊，就是 a 一， a b b 一。那么如何证明线面垂直呢？原因很简单，你只需要证明 b、 c 垂直于平面里头两条相交直线就行了。那么哪两条相交直线啊？看了啊，我们可以连接一下 a b 一吧。连接完这个 a、 b 一之后的话，首先看了 b、 c， 它肯定是垂直于 b、 b、 e 的，这个不用证明，这就是直三轮柱的这样一个特点，直接写就行。另外的话，我还想 想看一下，你说这个 b c， 它还垂直于谁呀？ b c， 实际上我想说明的是，它还是垂直于 a。 嗯， b 一的，就我连的这条线，为什么垂直于它？你看，又要正了啊。现在我们证明的是 b、 c， 为什么 要垂直于 a、 b？ 一、原因其实也很简单，因为 a、 b 一垂直于 b、 c 所在的整个平面。哪个平面啊？就是第一问中所说的三角形那个平面 a e、 b c 这个平面。 那么接下来如何证明 a、 b 又垂直于第一文中平面 a、 e、 b、 c 呢？也是简单的嘛，现在已知条件终于派上用场了，是不是垂直于交线则垂直于平面啊？你看一下这样的两个平面，它首先是垂直的吧，其次它的交线是谁？它的交线质量， 两个互相垂直的平面，它的交线显然就是 a、 e、 b 啊。垂直于交线，你说是否垂直于整个平面是垂直的啊？ a、 e、 b 垂直于 a、 b、 e， 这是正方形的性质吗？再加上画圈的这两部分就推出来了。 嗯，现在思维线列清楚之后的话，后边过程我就直接给大家写出来了啊。这个还是简单的，后边都说明了，把详细的过程都写出来， 现在就可以间隙了啊。所以说，这道题除了间隙法之外，他其实也考察了一点点立体几何线面垂直这样一些判定定理和性质定理。所以这道题的话，不仅间隙法得清楚一些，比较简单的立体几何的 判断定理也不要忘记啊。那么好了，接完戏之后的话，肯定是以点 b 为坐标，原点以 b c x 轴， b a 所在方向外轴，然后 b b 一是 z 轴。 那么间隙完了之后的话，现在又来了哪一问啊？他只给了体积，只给了面积，第一问中也求了一个 d， 这个没啥帮助啊，你得知道谁？你得知道 ab 的长度，得知道 b 四的长度，还得知道 bb 的长度吧。所以这道题又有坑了，怎么来求呢？ 这样，首先我们很快刚才已经推出来是正方形，所以正方形的边长 b a 和 b b 这个加时成 x 是没有任何问题的，对吧？好，这没问题。另外的话，还有 b c 啊， b c 的话怎么去求？不着急啊，来，其实跟低问这个面积还是有点关系的。嗯，我问一个问题，现在我标的这条红线，他应该标什么？肯定是根号二位的 x， 因为正方形对角线和边长之比就是根号二比一对吧。然后 b c b c 怎么求？咱就直接写 乘 b c 就行了啊。首先呢，看好了，呃， b c b、 c 写成 y 吧。好，面积那面积的话，显然就是二分之一乘根号二 x 啊，然后再乘多少啊？二分之一乘根号二倍的 x， 再乘 y， 这就是二倍根号二。但是一个式子不可能把 x y 都解出来，那不是还有体积吗？体积多好好说， 体积的话就变成了二分之一 x y， 这个告诉我是谁？其实也就是三角形 a b c 这个底面，它的面积对吧？面积求出来之后， 它呢，就看成高，这就是 b b 的这样一个高，等于体积四吧。根据这两个式子，是可以把 x 和 y 都算出来的，能清楚吧？所以呢，最后算出来这个 x y， 其实最后都是等于多少？都是等于二 二的就算完了。算完都是等于二的话，所以该有的坐标都有了吧。 b 点坐标当然是零零零了，他就是坐标原点 a 点坐标，因为他是在外头上，所以是零二零，然后该写的都写出来了， 那么包括点地、坐标，点地为什么是它？因为点地它是 a、 c 的终点嘛。根据终点公式，二分之二加零，二分之零加二，然后二分之零加二，所以说一一一就出来了，那么该求的点都求完了。二面角，二面角。其实我们需要求两个东西，一个是平面 a、 b、 d， 它的发现量，另一个是平面 b、 d、 c， 它的发现量，对吧？好看了啊！我们先求 a、 b、 d 它的发现量， a、 b、 d 的发现量。怎么求？先假设为 n 吧，取一组合适的发现量就行了。你最后求出来的发现量肯定是无数个，因为两个方程把 x、 y、 z 求出来 是不可能完全确定的，所以是有无数组减啊。好了，求一下最后 x、 y、 c 求出来一个发项量吧， a、 b、 d 的一个发项量，那同样的道理也可以求出 b、 c、 d 的发项量，是不是？那么两个发项量求出来了，那么接下来我们直接套公式就行了吧。 发现了他这样一个口三的值等于多少？你要带的话，其实就是口三，他等于多少呢？等于 m 点成，嗯，这是分子啊。然后这个分母的话，就是 m 的 膜，再乘这个 n 的膜，那么接下来就简单了吧，显然 n 的膜是根号下一的平方，零的平方，再加上负一的平方，根号二吧，包括这个发行量 m， 他的膜也是根号二，所以是根号二乘根号二啊。咱们写一下这个公式，然后 m 和 n 的点乘是多少啊？一乘零，零乘一，负一 乘负一就是一，所以最后求出来一个二分之一。当你把这样一个余弦求出来之后的话，正弦肯定是正数啊，他这个假角，因为他这个二面角的范围，他就是多少度，他肯定是小于一百八十度的嘛，所以三按肯定是个正数。那三按的话，我们直接 套公式一减去扣三的平方，最后呢，就求出来是二分之根号三也就可以了。那么现在这节课应该学会了 去年新高考一卷这套立体几，靠大题了吧，他不仅考察了间隙法，其实还考察了一些立体几何，纯几何的方法，所以大家都需要掌握啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
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11:29查看AI文稿AI文稿这是新高考一卷的立体几何的大题，我们看这这十八题，这是给了一个正四棱柱 a b， 他说等于二，我们把它标出来， a b 下面底面，上下底面都是正方形啊，这是二，那这个棱长呢？是四啊，整体是四啊，那 a a 二是一，这个是，这个是二，这个是 d d， 二是二，然后 c c 二是三，然后把它标在这上面，然后我们要证明的是 b 二 c 二 平行于 a 二 d 二，我要证明这两个平行，那么正这两个平行。哎，这个是正思棱柱啊，直接就可以间隙，那正面平行，那我把把这四个点的坐标表示出来 啊，我把它向量表示来，只要是向量，他们是倍数关系，那么他就是平行的，那这个用向量的方法是很容易去证明的。那第二问，第二问是当二面角，这个是为一百五十度的时候，那我就把这两个 二面角都表示出来，这这个平面，还有这个平面，这两个平面的法相量，我都可以把它 表示出来，把它法限量表示出来，我带着公式就可以把二面角求出来，那就可以建立一个等量关系，这里面只有这个批点， p 点是个动点，这个 p 点我们就可以把它的设一下，设设的坐标设一下，那我们就可以把这个设置这个参数求出来，从而最后求出这个 brp 啊，这是我们的分析，我们整体整体的策略就是用 向量的方法，间隙，然后把一和二两个问都做出来啊。我们来看第一步，先间隙那间隙， 间隙当然就是以 c 点为圆点，以 c d 为 x 轴，以 c b 为外轴，以 c c、 e 为 z 轴，我建立空间直角坐标系，那我就直接写个间隙了，你考试时候你要详细的写啊，那 我要把需要点的坐标把它标出来， b 二点的坐标， b 二点的坐标就是指在呃它的横坐标是零，纵坐标是二，然后竖坐标也是二，指 b 二点的坐标，然后再看 c 二点的坐标， c 二点的坐标 在 z 轴上，那就是零零三。还有我们要 a 二点的坐标， a 二点的坐标呢，是二二一，还有就是 d 二点的坐标， d 二点的坐标在这，在这里，在这里呢，就是二零二。 哎，我把坐标表示出来以后，然后我们现在要表示他的向量和他的向量，把它表示出来，那么 b 二、 c 二的向量，那就是用 c 二点坐标减去 b 二点坐标，那就 等于零负二一，然后 a 二 b a 二 d 二这个项量，那么等于零负二一，也是，那么那及这两个项量是相等的，这两个项量是相 相等的。另外一个 b 二 c 二和 a 二 d 二，它两个又不在一个平面内啊，所以说这两个 它不在，不在一起不贡献啊，不重不重合，那么所以这两个肯定是平行关系，那么所以 b 二 c 二 他们这两个直。 brc 二这个直线和 a 二 d 二这个直线是平行关系，第一问就解解决了啊，只要证明这两个项量是倍数关系，那就说明这两个是平行的，那第一问解决第二问，再看第二问。第二问，我们需要求出法项量这个平面 p a 二 c 二这个法相量和 a 二 c 二 d 二它的法相量，这两个法相量把它求出来，那 我们来求，那求这个发项量时候比较麻烦一些，因为我们要设出来这个批点，那我们先怎么来求这个他的发项量？第二问， 我们设 p 点的坐标，设 p 点的坐标， p 点是在这个 b b 一这个棱上，那么 p 点的坐标的横坐标是零， 纵坐标是二竖坐标。我设成 t， 那个 t 的范围呢？就是 t 应该是大于等于零，小于等于四的这个范围。那 p 点坐标弄出来了以后，然后我就在这个我要求 p a 二 c 二，它这个 这个平面的法相量呢？那我们就要在这个平面内找到两个相交的相量，一个是，嗯， c r p， 我可以找 c r p 这个相量和 a 二 c 二这个项链，这俩项链我把它表示出来， c 二的坐标我们是零零三零零三，这个一减，那么就是 p 点坐标减去 c 二点的坐标，那也就是零 二 t 减三，然后 c 二点的坐标减去 c 二点坐标减去 a 二点的坐标就是 a 二 c 二， a 二点的坐标，那就是负二负二二， 嗯，就是，那我们可以设设这个平面 p a 二 c 二的发像量， 法项量为 n 等于 x y z， 那 x y z， 我们把这个这个法项量和这两个项量是垂直关系，所以说他俩数量级是等于零的，这是我们求法项量的固定的套路。 等于零，那么即我把它展开乘，把它乘起来，让变成我们的不定方程组，那它俩一乘呢？就是二 y 加上一个 t 减三 z 等于零，然后他俩一乘呢，就是负二 x 减去二 y， 再加上二 z 等于零，那么这个这个时候我们这是不定分成组，我们要去先确定一个数，那么我们求出这个法项量，我们这个法项量 n 呢？ 我们可以怎么怎么设呢？这个是我先，我可以确定先设这个 z 是等于二的，我另这个 z 等于二，为什么等于二？就是避免分式等于二，我把它移过来，把这个二二约掉了。那么就是如果 z 等于二的话， 这个 y 呢？就等于三减 t， 三减 t， 那这个我再把这个带到这里面，我就可以得出来是 x， x， 这个是 z 呢，就等于 x 加 y， 它俩加起来 z， x 加 y， z 就减去减去它，那么也就是等于 t， 就是 z 减 y， 应该等于 x 啊， z 减 y 等于 x， 它减它，那就是 t 减一，就是 x 呢， t 减一，我们就可以得出来它的作， 这个项量就是 t 减一，三减 t 和二，这是法项量啊，法项量我们求出来了，那么同理我们要把把另外一个法项量求出来，同理平面 p 啊，不是 p a 二 c 二 d 二的发向量 m， 求出它的法线的 m， 我们就不在这求了，那么直接给出答案，它是等于一一二， 我可以他是他的一个发项量，发项量一一二，那我们得出来他，我们就可以哦，他的夹角是二面角呢，是一百五十度，那我们给由 提议，有提议我们可以得， 那就是 cosin 一百五十度，它的绝对值应该等于 n 这个法相量乘列 m 这个法相量的绝对值，然后除以 n 相量的模， 除以 m 项链的膜，这俩应该是相等的。因为我们求这个法项量，不知道他们的夹角和他和这两个法项链的夹角和这个一百五十度有可能是相等，也可能是互补，所以说我们就加绝对值啊，我们算算就加绝对值，我们来求一下，那么及 我们 cosin 一百五十度加绝对值，那就是二分之根号三，那么这个呢？他俩一乘，他俩一乘一乘，会发现啊，这是 t 减一，加上一个三 减 t， t 就没有了，那就是二，这二乘二四六，上面是六，那么下面呢？这个是根号下 t 减一的平方，加上一个 三减 t 括号的平方，再加上二的平方，哎，这是 n 的发向量 n 的模，然后在 m 的模呢，就是一的平方，这是四六，根号六。 哎，我们再解这个方程，把 t 求出来，我们把这个根号六约约掉，这这六除以根号六，是根号六，这根号三约掉，那么就是根号二， 根号二。我们把两个平方平方以后，那么就会化成这个可以，这可以推出，所以这个是 t 呢，可以得出来，我们把它展开以后化减，我们就可以得出来是 t t， 嗯，算出来，这个是 t 是等于 t 的方二，一个二次方程， t 减 t， 方减去四， t 加上三等于零，那么我们可以得到 t 等于一，或者是 t 等于三， 或者 t 等于三，我们可以倒着它，那所以我们就可以不管是 t 等于一，还是 t 等于三，也就是不管不管是这个 t 等于一的，是在这个点啊，这个 b b 二的终点，那么 t 等于三的话，就是在这个 b b 二 b 一的重点，那不管是他，我们现在要求的选求是 b 二 p， 那所以 b 二 p， 他就等于这个不管是三还是一，那么这 他和和这个二相减就行了，所以是二减去 t 的绝对值，是减那一，那就等于一，不管是一还是三都等于一啊，距离就等于一，那么这个就得出来了，所以 最后的答案是一啊。 brp 就是一，我们这两个两问，一个是证明，另外一个是求这个线段的长，不管是哪一个，那我们都是 先间隙，可以统一用间隙的方法把它求出来啊。第一问也是用间隙的方法，很简单，把他的把这个向量表示出来，他俩字号倍数关系就是平行的。
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14:41查看AI文稿AI文稿大家好，今天我来讲一下二零二三年全国假卷的立体几何大题。通过这道大题的讲解，我其实想告诉大家一个道理啊，就是间隙法在立体几何大题中真的不是万能的，很多立体几何的大题，其实不能用间隙法或者用间隙法，它的计算量太大 来，真正聪明的同学啊，应该是立体几何，他的间隙的方法还有纯几何的方法都应该掌握，都应该灵活运用。我们看一下这道题，他说的是三棱柱中，这个三棱柱的话，他可不是直三棱柱，他这个侧棱是斜着的啊，这一看就能看出来， 然后呢，继续往后读，他说什么呢？他说的是 a a 一等于二，就是侧棱长啊， a a 一， b b 一， c c 一其实都等于二。他告诉你谁垂直于底面呢？他说的是 a、 e、 c 这样一个侧面的面对角线， 它是垂直于 a、 b、 c 这样一个底面的，它垂直啊，并且告诉你这个角，也就是说 a c 和 b c 夹角是九十度吧，也就是说什么呢？ a e、 c a c、 b c 这三条线两两之间是互相垂直的，可能到这之后的话，很多人就直接 x 轴、 y 轴、 z 轴写上了。这第一问肯定不是这样来正的啊，根本就没有必要去间隙，不是用间隙法来做的。那么我们看一下 它最后还有一个条件， a 一到平面，它的距离是一。我呢，反正读完题之后，我就看到了一个一，一个二， 反正再加上两个垂直呗。好，一二垂直，那你能不能想到在直角三角形中，斜边中线等于斜边一半这样一个一比二的道理啊？肯定能吧，那么我们来看一下 这道题啊，第一问的话，真的特别简单，我们就找重点啊，斜边重点等于斜边一半，哪个平面呢？我们把这个侧面啊，也就是 a e a c c e 这样一个平面呢，他这个侧面画出来他的平面图，画完这个平面之后的话，首先垂直底面，不用多说了吧， 既然你这个 a e c 是垂直于整个底面 a b c 的，它肯定垂直于 a c 啊，那进而也垂直于 a e c e 啊，是不是？好了，肯定这个垂直是好得出来的，得完这个垂直之后的话，为什么要找终点呢？首先斜边中点的一些密码，这是二吧， 这是一吧，点 o 在哪啊？你要注意啊，在这样一个立体几何的原图中，这个点 o 它指的是 c c 一的终点，那么点 o 它记在 c c 一上面，那肯定就是在平面 b c c b 以上的。好了，不用多说了，看好了啊，因为什么我们分析一下这道题，很容易证明呢？这个 a e c 是垂直于 a e c e 的， 并且呢，再来看这个 a e o 斜边中线等于斜边一半吧，它就是斜边 c c e 的一半，等于一啊， 那么既然点 o， 他是在什么？他是在平面上的，我知道了，其实你看了啊，因为 a 一点到，请告诉我，在初中阶段学过这样一个定理，没有点到直线，除以现在最短吧，那高中的话，我们就知道了，点到什么？ 点到平面，他其实也是垂线段最短的，最短最短，最，就是唯一的意思啊，就是那个垂足只有一个的意思， 其实那个点 o， 它就是点 a 一到平面，哪个平面我写清楚啊？到平面 b c c 一 b 一的这样一个垂组，那个点 o 就是垂组，懂了吧？它的距离 我写清楚了，距离为一，所以再加上什么，所以我就知道了呀，其实 aeo 它就是垂直于整个平面 b c c 一 b 一的，剩下不用多说了吧。然后呢，也很容易证明的一点是什么？也很容易证明的一点是，首先我们可以通过证明谁通过证明这个 b c 垂直于整个 侧面 a c c 一 a 一，然后进而证明两个平面，也就是说平面 a c c 一 a 一，它是垂直于我们的 目标平面 bccebe 的。为什么呢？原因很简单，首先我已经分析过了，两两之间互相垂直吧，既然他这样一个 bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以就垂直于整个平面，进而呢，就得出来这样一个面面垂直了，那得出来面面垂直的话，你说这两个平面 它的胶线是谁啊？这肉眼可见的嘛。胶线，两个垂直，平面的胶线就是它垂直于胶线则垂直，平面，垂直于平面则垂直于它俩的胶线吧，这是一个定力点，所以其实 a u 它是垂直于整个 c c e 这样一个胶线的。 那既然证明完这一条的话，所以不用多说了吧。点 o 既是垂直的，它也是终点，所以 a u 是什么？是中垂线呀？中垂线它的性质定理是什么？中垂线上的点到 线段，两个端点距离相等，所以它这个 a e c 等于什么？就等于 a e c e 啊，那 a e c e 显然是等于 a c 的，不就证明完了，就这么简单， 懂了吧？点到平面垂线呢，最大它的距离就是一，这道题给的太明显了，一个二，一个一，加上两个垂直，肯定是要想直角三角形中斜边中线等于斜边一半这样一个定律的。我们继续来看第二问啊。第二问的话，如果你要选择用间隙的方法，不是说不能做，我说一下 间隙的方法有什么缺点啊？间隙的方法的话，咱们根据第一问这个图形的话，很容易判断这个 a e c 和 a c 它的距离的话，肯定是等于根号二的啊，这个都很容易算，也就是说 a 一点，还有 a 点我们坐标呢，都是可以写出来的， 然后包括这个 a 一点，我们可以写什么？那 z 轴当然是零，逗号零，根号二了，但是 你想写 b 点吧， b 点的坐标你得假设了，只能假设零多少 t 零，你还得把这个 t 求出来。根据线与线的这样一个距离， 是不是还得做辅助线，比如说 b 点啊，做了一个垂直，比如说垂直于他，然后 bh 的长度是等于二的，然后再进而用什么用 啊？要么是点臂到向量的距离公式，要么就是根据平面向量他这样一个投影的公式，当然 他这个空间下来也可以用投影公式啊。所以说这道题的话，剩下的计算量会很大，然后再把这个 t 具体的话是等于根号三算出来。这个咱不推荐这种方法，你看看如果这道题 用纯几何的方法，他有多简单啊。看了，首先这道题的话，有一点很明确，你看刚才我们在证明的时候，这个 aeo 是不是垂直于整个平面点好， 这道题的话，我连接一下 a b 一，为什么连接这个 a b 一呢？道理很简单，因为你求的就是 a b 一和整个目标平面的它夹角的正线值。这个平面的话不用多说了吧，我就擦掉了啊，平面是在这样一个位置的，在后边， 那么看线面角，它的平面角需要找出来。其实线面角它得有三个要素。首先第一个要素就是 就是斜足，斜足就指的是斜线 a b 一和平面的焦点，斜足当然是 b 点了，不用多说，斜点的话是我发明的这样一个名词，其实就是斜线上的异于斜足的一个点，那就写成 a 点， 没他有这样一个点过， a 点还得做出些什么，他其实缺少了。第三个要素，缺少了垂足，对吧？比如说我们做 am 是垂直于整个平面哦，所以当你想到这一点的时候，我觉得辅助线其实就很明确了。首先第一条辅助线我先告诉你啊，我们只需要做 am 怎么样？ am 是平行于 d 问中的 aeo 的，他俩之间是平行的呀，再加上别的平行交臂啊。知道了，那有了这样一个平行之后的话，再加上这个 aae 是平行于 cce 的，肯定很容易出现一个平行字边形吧。咱们写上啊， 这个平行四边形呢，就是 a m o a e 能得出来，那根据平行四边形结论的话，是不是很容易就得出来 a m 的长度了呀？它和 a u 的长度其实都是等于一的， 对不对？那做完这个之后的话，效果是什么？你为什么要做这个 a m 平行于它呢？道理很简单，因为在第一文中我们已经说明了 a e o， 它就是 下面垂直的那样一条垂线，它是垂直于整个目标平面 b c c 一 b 一的。所以既然平行的话，你这个 a m 是不是也垂直于整个平面 b c c 一 b 一啊？它想告诉你的就是说 m 点， 他就是线面垂直的这样一个垂足呀。得出这个垂足来之后，你看线面角的三要素都有了啊， a m 是整个平面 b c c e b 一他的垂足吧，点臂是斜足，他是，哦，连接起来我知道了，如果我再说的明 这些，其实就是这么的回事，这是 a 点，这是 m 点，这是 b 一点，那这个 am 等于一。已经算出来了啊，它的长度等于一，那么其实我们只需要算一下 bm 或者说啊 ab 的长度就行了。 这道题我们选择算一下 b、 e、 m 的长度，是不是就把这个正弦值算出来了呀？因为这道题，他这个线面角的平面角其实就是垂啊，我写出来他这个线面角的平面角，其实就是让我们求哪个角，求这个角 a b e m 它的正弦值，显然它的正弦值 a b e m 是等于谁比上谁了，你就告诉我，其实就是等于刚才我画的那样一个直角三角形 a m b e 中的它这样一个 a m 的长度，再比上谁的长度，再比上 a、 b、 e 的长度， a b e 长度的话，我觉得不太好算啊， a b 是斜边，我们就用勾股定理来算吧， a m 显然等于一， 它下边这个斜边。关于这个 a b 一的话，我们就用这个 a m 的长度的平方，再加上 b e m 的平方。所以这道题其实我们只需要算，是到现在为止我分析清楚了，只需要算 b e m 的长度啊，你既然要算 b e m 的长度的话，是不是要涉及到勾股定理啊？ b e m。 好，现在看了 b e m 可以放，把它放到哪个直角三角形中看了， 这是不是一个直角三角形？我们分析一下，肯定是直角三角形的吗？其实后边的话，他这个平面你看看好了啊， bc 是不是垂直的？是啊，垂直于 cce 啊，所以后边这样一个平面，他其实是一个矩形的， 对吧？这个很容易得嘛，根据九十度，根据垂直就可以得出来矩形。矩形的话来看，是不是需要先求一下 b 一 c 一的长度，再求一下下边？我觉得不用多求了吧，肯定很容易求出来的啊。我们容易得到的是， 其实有一个全等的，谁呢？三角形 a m c， 它是全等于三角形 a e o c e 的，你这个 c e o 的长度等于一点二，是终点吗？它的长度也是一，所以下面这个 c m 的长度， 它是不是就等于这个 c e o 的长度等于一？它都是一啊，所以我这个 c e m 的长度就等于一加一加一等于三就算出来了。关键在于我这个 b 一 c 一是多长？ b 一 c 一。好，第二条辅助线看好了啊，第二条辅助线要干嘛呀？要找一个 b e c e 的终点，因为点 o 已经是终点了，点 n 也也是终点那 o n 的长度，哎，能理解吧。看了啊，千万不要着急，这道题首先看好了。 嗯哪呢，我要换一种颜色吧，千万不要混了看。首先， c c e 它是怎么样的？它是垂直于 a e o 的吧。第一问已经解决过了， 并且呢，根据矩形的特性，这个 c c e， 它也是垂直于这个 o n 的吧？你垂直 c c e， 垂直于整个平面里头两条相照直线，它不就垂直于整个平面 a e、 o n 吗？ 所以进而就推出来，这个 c c、 e 是垂直于整个平面里头的最后一条线。垂直于谁？垂直于 a e n？ 当你求完垂直于 a e n 之后的话，你这个 a、 e、 n 是不是垂直于 b b e？ 来看看 看啊，新增那些条件，括号二，增加了个什么条件？他说这个 aae 和 bb 这两条平行线之间距离就是二，那不就是点 ae 到 bbe 的距离，这个 aen 不就是那个距离等于二吗？对吧？根据已知条件，这个 a、 e、 n 的长度，根据垂直，他就是两个平行线 a a 一和 b b 的距离等于二。好了，剩下呢，不用多说了吧，所以能算了啊。好，我把剩下的东西呢，该擦的都擦掉来。 a e o 等于多少吧？等于一吧。然后呢，这个 a e n 等于多少？等于二吧。那你说这个 o n 等于多长呢？ o n 肯定是等于二的平方减去一的平方。勾股定理啊，它是等于根号三的， o n 等于根号三，所以说 b 一 c 一其实也是根号三，所以 记得很清楚啦， b e m， 它的长度是等于根号下 b e c e 的平方，再加上 c e m 的平方， b e c e 的话，平方就是三，这个 c e、 m 的平方就是九，对吧？三的平方等于九，等于根号十二二倍根号三呀。 那么我们要算的最终的结论不是就有了吗？刚才在这样一个位置我已经写过了这个三角 a b e m， 它是等于谁比上谁的，它就是等于这样一个直角边 a m 比上斜边 a b 一的其实也好算啊。那 a m 的话就是一它的平方啊。根据勾股定理，这个 a b 一，它是等于 a m 的平方，其实就是一的平方，再加上谁再加上这个 b e m 的平方吧。那显示等 等于十二点，最终结果就是根号下一加十二，根号十三分之一，也就是说十三分之根号十三就解决完了。所以这道题的话，其实我主推的方法是什么？就是几何的方法。当然，如果你真的要用间隙的方法也能算啊。也不是说不能算，那么真正 聪明的同学是立体几何，间隙的方法也得掌握。还有立体几何纯几何的方法也得掌握清楚了吧。分享课堂知识，感受数学之美。我是安分老师，下节课再见！
4297会放羊的教书匠
07:48查看AI文稿AI文稿二十题，如图三棱锥 a， b、 c、 d 中 d， a 等于 d， b 等于 d， c。 然后 b、 d 呢？垂直于 c， d 就是角 b、 c、 d 它是九十度到 a， d、 b 等于角 a， d、 c 都等于六十度 e 为 b， c 的终点，低温让我们求啊 b， c 垂直于 d， a。 我们看 b， c 垂直于 d， a， 它要怎么正呢？因为题目中给了我们呀 d， a 等于 d， b 等于 d， c 啊，所以三角形啊 b、 c、 d 和三角形 a、 c、 d 啊，以及三角形 a、 b、 d 啊，它都是等腰三角形，相当于它又给了呢 e 为 b、 c 的终点，我们连接一下 d， e 啊， 那么 d， e 是不是就垂直于 b， c。 因为 e 是 b、 c 的终点，然后 b、 c、 d 它又是等腰三角形， 所以呢 d、 e 它就垂直于 b、 c， 然后它让我们求证的呢是 b、 c 垂直于 d， a， b、 c 才垂直于 d， e。 那么 b、 c 它是不是就垂直于平面 d， a、 e 呀？又 它如果要垂直于平面 d、 a、 e 的话， b、 c 是不是要垂直于 a、 e 呢？显然它也是成立的，因为角 a、 d、 b 等于角 a， d、 c 等于六十度，并且呢， a、 d 等于 c， d 等于 b、 d。 所以三角形呢 a、 d、 c 和三角形 a、 d、 b 啊，它都是等边三角形，这样的话，我们就能给它求证了，像这样分析过后，我们再给它写一下啊。 第一问，连接 d， e， a、 e 因为呢 d， a 等于 d， b 等于 d， c， 所以三角形 b、 c、 d 是等腰的， 又因为呢，意为 b、 c 终点，所以呢 d、 e 垂直于 b、 c， 我们证明了一个垂直了。然后又因为呢，角 a、 d、 b 等于角 a、 d、 c。 所以啊，三角形 a、 d、 c 和三角形 a、 d、 b 都是等边的，等边三角形，全等的这两个三角形是全等的，所以呢， a、 c 等于 a、 b， 所以呢， a、 e 它又垂直于 b、 c， 所以 b、 c 又垂直于 a、 e 和 d、 e 所在的平面平面 a、 d、 e， 所以 b、 c 垂直于 d a 第一位我们就给它正出来，下面我们看第二位 点， f 满足 e， f 向量平行于 d， a 向量 求，让我们求二面角 d， a、 b、 f 的正弦值，我们看一下 能不能求出二面角的平面角，然后给他求解呢？我们这么看，好像用几何方法是不太好求的，那么我们就给他建细吧。建细要怎么建呢？因为这个 b、 c 他垂直于平面 a、 d、 e 啊，我们看到根据第一位所求的啊， b、 c 它是垂直于 d， e， b、 c 还垂直于 a， e 的。 a、 e 是不是垂直于 d， e 的十二 d， b 等于二，那么 b、 c 呢？因为 b、 d 是垂直于 c、 d 的， 那么 b、 c 它就等于二倍的根号二，所以这个 d、 e， 它就等于 a， e 等于根号二。 a、 d 呢？ a、 d 它也是二， 所以这个 d、 e 方加上 a、 e 方就等于 a、 d 方。所以啊， a、 e 啊，它是垂直于 d、 e 的。 又因为 a、 e 垂直于 b、 c， 所以 a、 e 它是垂直于平面 b、 c、 d 的。我们以啊 e 为原点， e， d 呢为 x 轴， e， b 呢为 y 轴， e、 a 呢？为 z 轴。建立空间坐标系，我们把各个点的坐标给表示一下，那么 d 点的坐标呢，就是根号二零零， b 点的坐标呢，就是零，根号二零，然后 a 点的坐标呢，就是零零，根号二， 然后一点的坐标就是零零零。又因为啊， e、 f 向量它是等于 d、 a 向量的， 从而我们就可以求出 f 点的坐标是负的根号二零，根号二点的坐标我们都求出来了。下面我们分别表示一下这个二面角的两个呃法项量， d， a 项量，我们给他表示一下 d， a 项量就等于负的根号二零，根号二， 然后 a、 b 相量它就等于零。根号二，负的根号二， 然后 a、 f 相量，它就等于负的根号二零零。 然后平面 d， a、 b 的反向量 我们表示为 n 一 x 一 y 一 z 一。我们给它写一下啊， n 一乘以 d a 负的根号二倍的 x 一，加上根号二倍的 z 一等于六。 a 一乘以 a， b 呢，跟上二倍的 a， y 减去跟上二倍的 z 等于几？从而就求出 n 一，它就等于一一一。 然后平面 f， a、 b 的发向量我们记为二二 x 二 y 二 z 二是根号二倍的 y 二，减去根号二倍的 z 二得六。 还有负的根号二倍的 x 二得零，从而就求出 n 二啊， 它就等于零一一。然后二面角呢，我们给它记 v c 的， 从而求出 cosin c 的就等于 n 一乘以 n 二，比上 n 一的模，乘以 n 二的模， 他就等于两个式子相乘，一加一等于二。比上一个根号三，乘以根号二，就等于三分之根号六。 上一 c， 它呢？同时上一 c， 它就等于根号下一减它的平方三分之根号三。所以这样就求出来了。这题我认为大家这一块的得分点是要都得到的，要不然就太可惜了。
23讲数学的小宫哥
26:11查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学博士能力者啊，我们的今年的高考题呢已经出炉了。 然后呢，今天我首先来讲解一下这次的理科立即几何题啊，因为大家普遍反映今年的立即几何题呢，不太好做啊。然后今天那道题以后呢，我也看到了，这道题目考察的呢，比较全面 啊，一共有三问，第一问呢，是一个线面平行。第二问呢，面面垂直。第三问呢，考察了一个二面角，所以基本上呢，立体几何里面的重点内容呢，全部都考到了。 而且呢，还有一个问题，就是这个图呢，它不是很好识别。好，首先我们来读一下条件啊，在三棱锥中角， a、 b、 c 是九十度，也就 就说底面是一个直角三角形， a b 十二， b， c 是二倍，根号二，然后 p、 b 和 p c 长度相等，都是根号六， a、 d 的长度是根号五倍的 o、 d， 然后 b、 f 和 a、 o 是垂直的， o、 d、 e 分别是 b、 c、 b、 p 和 a c 的终点。 好了，所以这就是题目给的所有条件。好。第一问呢，求证的是 e、 f 平行于平面 a、 o、 d。 其实第一问呢，还是比较容易找条件的啊，大家其实能观察到 e、 f 和 a、 o、 d 里面的谁平行呢？这很明显吗，和 o d 是平行的，所以我们只需要正一下 e、 f 跟 o d 平行就可以了。然后又因为 o d、 e 都是终点，所以大家想一想，作为中位线， o d 和 p c 本身就是平行的， 那 e、 f 只要也平行于 p c， 这个问题不就解决了吗？那再换句话说，我们这道题，其实本质上要正的东西就变成了 f 是 a、 c 的终点，我只要正出来，这个问题就解决了。 所以呢，通过分析，大家就要明白我们要挣的是什么啊，我们最终要挣的东西就是 f 是 a c 的终点。好，那这个事怎么挣呢？ 其实大家就会发现，这道题已经变成了一个平面结合问题啊，他跟立体结合也没有什么关系了。好，那是这样啊，我们直接画出底面的这个平面图。 好，我们直接画出底面的平面图啊， a b c， 角 b 呢，是九十度，然后呢， o 是 b c 的终点，连接 a o， 接下来呢，我过 b 做 a o 的垂线 哎，跟 a c 交于 f， ok， 那现在呢，我假设这个点是 m 啊，这个焦点是 m。 好了，这个图已经画完了。 所以说呢，我们现在来观察这个题怎么做啊？其实就是一个平面几何的问题，非常简单，这个边是二， b c 是二倍，根号二啊，所以这两段都是根号二。所以其实大家观察一下啊， a b 比上 b o， a b 比上 b o 是不是刚好是根号二？而 b c 比上 a b 呢，是不是也是根号二 a 比例相等，然后它俩呢，中间那个角 b 是九十度。所以我们是不是得到了一件事啊，三角形 a b o， 它是相似于三角形 c b a 的 哎， a b o 和 c b a 两个三角形是相似的，那么从相似我们就得出来了一个结论啊，角 b a o 是等于角 c， 呃， a c b， 哎， b a o 和 a c b 这两个角是相等的相字样行吗？对应角相等好了，然后我们接着往下看啊，又，因为 b m 是不是垂直于 a o 呀？这是题目给的对吧？ b f 垂直于 a o 嘛，所以这个 b m 是直角三角形斜边的中线，对吧？好的，那我们就很容易得到了。所以角 b a o 还等于谁呢？ 是不是等于叫 o b m 哎， o b m 这个角。 好的，那综上我们就知道了啊，角 b a o 同时等于这两个角，所以角 a c b 等于角 o b m。 看 a c b 和 o b m 这两个角相等，所以我们就知道了，这个三角形 b c f 就是个等腰三角形啊，对吧，因此 b f 等于 c f， 看懂了吧， b f 就等于 c f 了。那么同理，那底下的这个 b f 和这个 a f 是不是肯定也是相等的直角三角形嘛？大家都知道，这叫斜边的中线，是不是等于斜边的一半 啊？好了，所以呢，我们就正出来了啊，所以 f 为 a c 重点， ok， 我们就正出来了。好了，我们刚说了， f 如果是 a c 终点，这个题就已经正完了啊，因为 e f 是中位线， o d 也是中位线，因此呢，都与 b c p c 是平行的， 这道题就整完了。所以第一问呢，其实本质上就是一个平面结合问题啊，没有大家想的那么复杂。 好，那么接下来我们来说一下第二步呢，其实 第一问，我们这样顺利正完了以后呢？第二问对我们来说也就非常简单了啊。第二问，利用第一问的结论啊，直接去写就可以了。 你看第二问，要正的是 ado 这个面和 bef 这个面面垂直，那大家知道，面面垂直本质上找的其实就是一个线面垂直，对吧？而哪个线呢，也很容易看啊，因为题目已经给了个条件了， bf 垂直于 ao 嘛， 所以大家可能能看出来， ao 应该就是我们要找的那条线，因为 bf 看起来不太像，是垂直于 ado 的样子，对吧？而 ao 呢，就比较像， 所以我们只需要正一下 a o 垂直于两条相交直线，但是大家发现没有， a o 垂直， b f 不用正，题目给了， 所以我们再正一个， a o 垂直谁呢？哎，大家就发现， a o 还垂直于， 其实还垂直于 e f， 因为我们第一问，刚刚用过的是什么呢？ e f 跟 d o 是平行的，大家记得吧？第一问刚刚正过啊，所以 a o 只要垂直于 d o， 这个问题不就解决了吗？ 好，所以呢，我们直接写一下吧，来，题目给的条件啊， a d 等于根号五倍的 d o， 而 d o 呢，是 p c 的一半，对吧？那就是根号五乘二分之一 p c 对了吧，也就是二分之根号三十啊，这是 a d 的长度， o d 呢，是二分之根号六， 对吧？然后呢， a o 呢，是根号六， a o 呢？用勾股定理可以算出来啊，角 b 是直角，对吧？所以这三个边呢，刚好形成了勾股定理啊， d o 方加上 a o 方，哎，刚好等于 a d 的平方哎，所以我们就得到了，什么呢？ d o 是垂直于 a o 的， 对吧？又因为什么呢？ d o 平行于 e f， 这是第一文刚正过答，所以呢， a o 就垂直于 e f 了， 对吧？又因为 a o 呢，还垂直于 b f， 这是题目给的啊，好了，所以正完了， a o 就垂直于平面， b e f 对吧？ a o 呢，最终就垂，呃，最终面面 垂直也就挣出来了啊，最后一步就不写了啊。所以呢，其实有了第一问打底之后，第二问其实也就比较好挣了啊。好，那前两问挣完以后呢，我们先来看一下第三问啊， 第三问呢，这个题确实是比较复杂一些啊，那么首先呢，我先给大家用最传统的方法讲一遍啊，就是因为大家大部分同学拿到这个题以后，第一反应肯定是间隙，这是现在高中生的一个，对吧？通用的做法啊，大家一般情况下都是先间隙的， 所以这道题如果我们见细的话，应该去怎么做呢？好，很多人发现角 b 是九十度，对吧？那见细呢，没啥好说的啊，我们直接用 b a 做 x 轴，用 b c 做 y 轴，然后过 b 点 画一个垂直，然后当做 z 轴。哎，这是一个非常传统的间隙方法，但大家就会发现，这样间隙只有一个最大的问题，就是屁点的坐标我们很难写出来。 然后很多同学会默认说，哎，后面这个面好像跟底面垂直是吧？嗯，然后就用垂直间隙了，那这个题就错了啊，他后面并不垂直啊。好，那这个 p 点坐标应该怎么求呢？哎，我给大家讲解一下这个问题啊，其实 p 点的坐标呢，应该是用这样的一个方法来完成的。 首先我们在三角形啊，我们在三角形 a、 b、 p 中， 这个这边这个侧面上啊，我们用一下余弦定理。来，我们用一下余弦定理啊， 看 cosine 角， a、 b、 p 就是 cosine 这个角啊。 好，首先我们在小三角形 a、 b、 d 里边写一下这个预线定理，也就是 a b 方加 b d 方减 a d 方，然后呢，比上二倍的 a b 乘 b d， 然后这个角的余弦，我在大三角形 a、 b p 里边再写一遍啊， a b 方加 b p 方减去 a p 方， 然后呢，比上二倍的 a b 乘 b p， 对吧？这两个是同一个角的余弦，它们俩是相等的， 然后呢，他就发现这个式子里面所有的边，我们其实都知道，除了 a p 之外啊，因此呢，我们其实只需要把 a p 写一下就可以了， 对吧？从这个式子里边呢，我们带数字把 a p 解出来就好了，所以从这个方式子里面呢，我们解一下 a p 啊， 好，这个 a p 呢，解出来以后是什么呢？是根号十四啊，因为其他所有的编的都是一致的啊。好了，那有了 a p 之后呢？ 来，那接下来我们写一下已知点的坐标， a 点是二零零，对吧？ c 点呢是二呃，零，二倍跟二零， o 点是零 跟二零 f 呢，是一跟二零。底面上这几个点都比较好写啊。好，然后呢，我们设 p 点的坐标是 x、 y、 z， 那么根据我们刚刚求出来的 p a 是根是四，对吧？ p b 和 p c 呢，都是根号六，我们就可以列出三个方程， 就直接用距离公式列三个方程啊，你比如说 p b 就是 p 点到零零零的距离啊， x 方加 y 方加 z 方等于六， 对吧？ p a 呢， x 减二的平方加 y 方加 z 方等于十四， p c 呢， x 方加上一个 y 减二倍跟二的平方加 z 方也等于六，看懂了吧，三个方程，三个位置量，我们就可以求出 p 点的坐标了，对吧？这个方法虽然有点麻烦啊，但是呢，它一定是可以做的啊，一定是可以做的， 那对这个方程组呢，很多人就说这这好麻烦啊，其实呢，这个方程组并不难解啊，我们两两做差之后，平方一定都没有了， 听懂了吧，哎，平方一定都没有两两座差，会得到三个方程，就是三元一次方程组。哎，那这个时候呢，我们只要去求解就好了啊， p 点的坐标呢，是负一根号二 更好散啊，这是最后的一个答案。好，那 p 点出来了呢，其他的就很好写了，你比如说 d 点坐标，那就是 p 和 op 和 b 的终点， 负二分之一，二分之根二和二分之根号三。好了，所以点的坐标都有了之后，那这个二面角就非常好求了啊，然后呢，我们只需要求一下这个面 o、 d、 a 的发销量就可以了， 因为底面的发香量 o， a、 c 是不用写的，对吧？底面的发香量我们直接取 z 轴就可以了啊，让我们求一下 o d、 a 的发香量啊，然后呢， 直接求一下二面角的余弦值就好了。好吧，所以呢，这道题呢，用间隙的方法呢，是可以做的啊，只不过呢，他这个 p 点的坐标比较难写一些啊。好，我把最后的答案写一下啊， 里面的发项量呢，就是零零一啊，然后呢， o， a、 d 的发项量呢，就是一跟二跟三，因此呢，我们最终得到的 cosinc， 它呢是二分之根号二 啊，这是用这两个香料求出来的啊，但实际上大家能看出来，这个 sata 其实应该是个钝角，对吧，所以最终呢，我们求的二面角应该是一百三十五度啊， 所以这是这个题的一个最传统的做法啊，就是键坐标系。好，那我还想说另外两个方法啊， 其实我们的二面角啊，本身有一个比较简单的方法啊，就是找他的平面角，二面角的平面角就是一个纯几何的方法了啊。你比如这道题的话呢，其实我们的经过 第一问啊，已经证明了一个事，叫什么呢？叫做 d o， 它是垂直于 a o 的，对吧？这个 d o 我们刚用过了啊，那 d o 垂直于 a o 的话呢？说明一个事啊， 说明什么呢？说明这个二面角的棱 a o， 对吧？ d o 是不是已经垂直于它了？ 所以呢，我们找二面角的平面角，就找棱的两根垂线就可以了，因此我现在在底面上再找一条线，垂直于 ao 就可以了， 对吧？而这个线呢，非常好找，因为题目已经说了， b f 垂直 a o， 是吧？所以呢，我们找一下 f c 的终点 h 连接 o h 啊，然后呢，我们再连接 d h， 为什么呢？因为 o h， 你看中位线平行于 b f， 对吧？所以 o h 就垂直于 a o 了，对吧？这个 o h 也垂直于 a o 啊， 看懂了吧？哎，那这样的话呢，我们就得到了什么角？ d o h 即为二面角，对吧？这个二面角的平面角， 哎，角 d o h 就是这个二面角的平面角。好，那我们现在下来的问题就是把这个角求出来就好了，对吧？把这个角求出来就好了。然后呢，这个怎么求呢？因为我们知道的 d o 的长度已经知道了， 叫二分之根号六，对吧？而 o h 呢？呃，它也可以知道它是我们 b f 的一半，对吧？哎，也就是谁呢？也就是二分之根号三啊，这个其实已经也已经知道了，最麻烦的是个 d h 啊，这个 d h 要怎么求呢？ 好，我们来说一下这个问题啊，好，我们把上面这个 b e 和 a d 的交点呢，设成 n 点，然后我们连接一下 n 和 f， 对吧？哎，这个线是关键啊，把它连起来，连接了以后呢，其实大家就发现一个问题啊，就是 n 为三角形 a b p 的重心，所以呢，我们就知道了，这个 a n 呢，它是二倍的 n d， 对吧？ a n 是二倍的 n d， 然后呢，底下呢， a f 是不是本来就是二倍的 f h？ 因为我刚 h 找的是终点，对吧？ 哎，就是一终点的终点，四等分点，是吧？哎，它也是二比一的关系，所以我们就得到了一件事，叫 n f 呢，它其实平行于 d h， 对吧？ n f 和 d h 是平行的啊，而且呢，我们还知道一件事儿啊，就是这个 d h 的长度呢，它其实是二分之三倍的 n f， 好的，那这个 n f 怎么求呢？哎，这也是这个题的一个关键点啊， n f 呢，这样乍看起来确实也不是很好求，是吧？但是呢，我们去可以去观察一下这个三角形啊，三角形 b e f， 那 b e f 其中呢，这个三角形 b e f 中啊，首先呢，这个 b f 是一致的， 根号三，是吧？然后 e f 是一致的，它是二分之，根号六，对了吧？好，然后呢，这个 b e 怎么办呢？其实大家发现 b e 呢，我们跟那个前面的那个 就是这个 p a 一样啊，我们其实应该用余弦定理，可以把它算出来，因为 b e 呢，是这个三角形 a b p 的一个中线， 他三边都知道的话，求中线的长，我们是要用到余弦定理的啊，对吧？所以这个余弦定理我就不写了，经过余弦定理的计算呢，发现 b e 呢，也是二分之根号六 哎，所以我们就发现一件事啊，这个三角形 b e f 是个等腰直角三角形，对吧，也就是 b e 是垂直于 e f 的 啊，这个地方是个直角啊。好的，所以呢，那这个 f n f 呢，其实就知道了，可以用勾股定理直接求出来了，懂了吧，那这个 n f 呢，就是三分之根号十五啊，是可以直接求出来的。 好了，那 n f 知道了以后呢，那 d h 其实也都知道 d h 等于二分之三倍的它嘛，那也就是二分之根号十五 好了，所以呢，大家会发现，这个 d h o 这个三角形三边我全都知道了，因此直接用余弦定力求一下这个 d o h 就可以了， 对吧，三遍都知道啊，我们直接写就好了。好，那么接下来的步骤我就不写了啊，结果是一样的，算出来就是负的二分之根号二啊，一百三十五度。 所以这个方法呢，是比较传统的用平面角的方法去解答的。这个立体结合题啊，其实我还是比较推荐这个方法的，大家要多思考立体图形本质，而不是说哪道题就盲目的见系，因为有些题现在的系确实不是很好见 好。那么这道题呢，其实还有最后一种方法啊，这种方法其实我个人觉得比前面两个方法都要简单一些， 因为你看，我们刚说了，间隙不是很好间，这个方法呢，虽然看起来简单，但是里面有些边的长度也不是很好求，是需要用到预线定里的啊。好，那我们来看一下 最后一种方法啊，好，这个方法可能比较新一些啊，很多同学没有见过。那么首先呢，我们刚刚已经给大家解释过了啊，这个 b f 垂直于 a o， 而 d o 呢，也垂直于 a o， 这两个事都是已经知道了，对吧？ b f 这个是题目给的， d o 是我们刚刚证明 好的，那既然这两个线都和棱垂直，那大家看一下 d o 呢，在这个面 a d o 里面，对吧？ b f 呢，就在底面里面，所以呢， 大家思考一个问题，那 b f 与 d o 是不是所乘的角，这两个线所乘的角啊？是不是 g 为 二面角的平面角？ d a o c 的平面角没问题了吧？就虽然说这两个角呢，其实它这两个线并不挨着它一面之线啊，但是它俩所乘的角其实就是我们要的，是吧，二面角的平面角， 听懂了吧？好，那我们现在直接设该角 v c 塔啊，那我们就引入这样一个方法啊，我们直接用 b f 点成 o d， 大家想一想，两个相量的数量积是不是等于的是这两个相量的摩长， 再乘以夹角的余线，这个没问题，这是数量级的公式，对吧？ 而 b f 和 o d 的长度我们都知道，是吧？带一下啊，跟三乘二分之跟六倍的 call 三 in c 塔，对吧？也就是二分之三倍跟二 call 三 in c 塔。 所以大家现在想个问题，如果这个数量机我能从别的方法把它求出来，那我是不是直接从这里就可以解除 call c a c 它了？好，所以我们现在想办法再从另一个角度去求一下这个数量机啊， 好，那 b f 乘 o d 还可以怎么求呢？来，我们接下来就是平面销量问题了啊，好，我把 b f 看， b f 是底面的中线，所以把 b f 拆成二分之一倍的 o a 啊，不是 o a， 应该是 d b a 啊， b a 加 b c 是不是乘 o d， 对吧？好，那接下来呢，再拆啊，这个 b a 是谁呢？ b a， 我直接拆成 o a 减 o b， 你看，我直接跟 o 挂上钩， 那这个 b c 呢？ b c， 大家就会发现它刚好是负二倍的 o b。 好了，全部转化成 o a o b 了啊，然后继续往下写，那就是二分之一倍的 o a 减三， o b 再乘 o d。 好，那接下来我把它乘开啊，二分之一的 o a 乘 o d 减二分之三的 o b 乘 o d， 然后大家就发现 o a 和 o d 是垂直的，我们刚刚正过了，所以前面这个数量即是零，也就变成了负的二分之三倍的 ob 乘 od。 好，那我们展开了啊， ob 的膜， od 的膜乘以什么 cosine 角， dob 没错吧？好，那我们继续往下求啊！来，大家会发现 o b 的模二我们是知道的，对吧？根号二， o d 的模二呢？我们也知道二分之根号六好了，就剩一个扣三也什么呢？ d o b 了。 哎，大家想， dob 其实是不是和这个 pcb 是相等的？平行线同位角对吧？而这个角呢，大家记得 pbc 是个等腰三角形吧，根号六，根号六， 对吧？底边是不二倍根号二，所以你做一个高，这个叫做余弦，是不就是根号二比根号六好了。这样的话呢，我们应该就完整的算出来了，他就是负的二分之三。 好，那根据我们刚才说的， b f 乘 o d 呢？是不是两个 b f 乘 o d 应该是相等的是吧？所以二分之三倍的根二 call 三 in c 塔是不是也等于负等二分之三？ 于是考参与 c 塔解出来了，答案是负等二分之更好。二，所以 c 塔是一百三十五度。所以我个人觉得这个方法其实才是比前面两个都要简单的一个做法。 好的，那么今年的这个立体几何题呢？我们就给大家分享到这啊，如果大家还有别的方法，希望我们在评论区看到大家的发言。 ok， 关注我，带你玩转高考数学！
300数学果实能力者
01:47查看AI文稿AI文稿自从新高考出现了多选题，你看这种多选题的压轴位置，是不是非常容易出现这种立体几何的动态问题？今天我们就以五月份石家庄二模刚刚考完的这道题为例，来讲解如何破解立体几何的动态问题。简单读一下题啊，这是个正方体，能长十一， p 呢，是在 ab 一上动的， n 呢是 cc 的一个终点，那 p 点动的过程当中回答这几个问题啊， a 选项，要想判断这个 pd 和 cd 一是不是垂直，你要看出动的过程当中谁没有变， cd 一没有变对不对？没有变，那 pd 动的时候，他动的过程当中，他在哪个面上动一个定直线去证明他垂直动直线，那实际上就是要证明这个定直线垂直动直线所在的那个面，这个方法你要学会。 动直线呢，在的就是这个面， cd 一垂直，这个面是显然的，为什么呀？因为 cd 一垂直， cd 还垂直 一 c 一，所以 a 选项是正确的，它是一道线线垂直的正面问题。接着呢，我们看看 b 选项， b 选项是说这个三龙锥， c 一 a e p d， 这个三龙锥的体积是不是定制， 我们也要来看一下这个洞的过程当中，他这个底面 aecd 没有变，那么就要看 p 到底下这个面的距离是不是定制，就是你动的过程当中，他到底面的距离一直是定制吗？这种呢，往往是考察线面平行，你看这条线，如果平行面，那么线上的所有点方面的距离都是一样的， 显然你看跟这条线是平行线，线平行线在面外，所以线面是平行的，所以 b 选项也是正确的。我们前两个选项的解题过程当中都是用到了动态过程当中，找到它的不变的量以及不变的位置关系。
1852河北石家庄高中数学刘老师
02:07查看AI文稿AI文稿大家好，我是初中数学老师毛毛老师，初中几何压轴题不会翻译出题干里边的潜台词是一个大问题。 初中几何压轴题做不出来，或者是没有做对过的学生，要说一个非常扎心的真相，就是孩子们连读压轴题的勇气都没有，哪怕他是有读压轴题的勇气，连题干中说的意思到底是什么，他都不太理解。 比如说一个尺规作图的操作题的压轴题，人家给了我们一些操作步骤，让我们去判断这个角是多少度， 我告诉你，每一个做题步骤都能得到一个相等的角，或者是相等的边，或者是垂直平分线，再接着就是角平分线，但是孩子们他读不懂每一步骤都是在做什么，所以更谈不上把这道题给做明白做对。 还有一个就是中考常出的这种最直类的这个问题，当我们被问到线段的和什么时候最短，或者是求某一个线段长的时候，那这些前边有的这么长的一个操作步骤，肯定是在帮我们去建立这个做辅助线的一个前提，或者是帮我们去建立一个解析思路， 连每一个字都认识，每一句话完全的翻译不出来，那出题人让他干什么呀？那这就是我们初中几何压轴题做不出来的一个最主要的一个原因。 那我问你，当你都知道了我们要干什么了，或者是辅助线也知道怎么做了，那压轴体里边的最后的解析方法就是相似全等解照三行勾股定律，再加上这种解析的每一步综合起来，那每一步都不是算太难的了，就算他的计算量再大，或者是 不会相似，或者是找不到图形的相似，或者是向量函数你找不着，那这些都不是最重要的，因为我们连题干都翻译不出来是什么意思， 这就是我们最主要的一个问题。所以我们接下来得去一步一步的去分析题干里边的每一步 出题人是想表达什么意思，想考察我们什么内容，这样的话我们才有能力去有时间去把这个题做对做准。关注我，我是初中数学老师，宝宝老师跟着我一起探索数学的奥秘。
42饱饱是个数学老师
09:08查看AI文稿AI文稿我们来看一下这道题啊，这道题做的很一般啊，做的不是特别好，咱们先读题，嗯，矩形的话给了个三，给了个四，那么这里面看到三，看到四，我们考虑到的是三角函数，而不是所谓的三四五。三四五的话，初二的学生们也都会啊， 然后这又做了垂直，这又做了垂直啊，后面的话就是各种操作啊，这个大家慢慢去读吧啊，至少这题怎么的，读两遍吧。啊？ 读两遍啊，那第一个来看，第一个让我们说这个元欧与 a k 相切时，让我们去求 r， 那 这个题的话，我看大家做了五花八门啊，唯独没有用三角函数的，什么单勾股啊，双勾股啊，又什么等积法啊，做半天啊， 这题最好的是什么呢？你看他这块是这个相切的时候，这里面是不是肯定垂直啊，对吧？那 b k 是 不是就是我的直径，所以我的 r 是 不是等于二分之 b k？ 这题只要把 b k 给求出来就行了啊？那 ab 是 四，我设界角为 r 法，对吧？ 这个 b k 比上四就等于什么呢？是不就等于这个 cosine r 法是不就等于四逼成五啊？所以 b k 就 等于五分之十六，那么 r 就 等于五分之八啊。 然后下一个，他说 b c 落到圆内的部分，圆内的部分是不是就这段，对不对？比如说我们给个 b h 吧，啊，是不是求 b h， 求 b h 怎么求啊？啊？这是求什么？求弦长，弦长当然是垂径定里了，各位， 垂径定里的话，是不是要做垂直啊？从圆心 o 这做垂直，比如说我设这段啊， b t 吧，啊， bt v x 吧， 对不对啊？或者说咱不是 x 也行也，这个东西都知道平分嘛，是不是？然后你看啊，这个 bt 比上我们的这个 bo 啊，是不是就等于什么呢？就等于 cos 角这个，呃， o b c 啊，啊？ o b c， 对吧？然后这个重新写一下啊，咱们可以写这个啊， cosine 角 dbc 就 等于什么呢？就等于我的 b t 啊，比上 bo 啊，这个 b t 的 话 bo 是 多少啊？ bo bo 的 话我们刚才刚求出来是五分之八呀，对吧？是五分之八，然后呢就等于什么呢？就等于这个三 b 乘五啊，三角函数三比五，然后我们能求出来这个 b t 的 话，就等于啊，二十五分之二十四，所以说这个 b h 就 等于二十五分之四十八啊。呃，这样的话，我们第一问这两个小的就结束了， 然后我们说一下这个第二个啊，我们来说下这个第二个，我把其他先擦一下， 说一下这个第二个，然后第二个方法有很多啊，我先说一下啊，我先说一下我学生他们的做法， 就是 c m 跟 c n 是 相等的话呢，那这个是不是自然我做三线合一啊？做垂直是不是做垂直啊？做垂直的话，这里面我们会发现一个什么问题呢？就是 这个角跟这角相等，对吧？然后呢，这边是不是也垂直啊？所以这个是不是八字形，对吧？所以说这个也是不是叉啊？然后还有什么呢？还有就是这个叉加上这个角等于 九十度，那这个角加上他是不是也得九十度？所以说底下这个是不是也是一个叉啊，对吧？说明的什么呢？说明 b n 啊，说明 b n 是 不是平分角这个啊？ d b c 啊， 啊？角平分线吗？是吧？角平分线我可以做垂直啊，我可以做一个垂直，然后注意看啊，注意看我这个角，我蓝色这个角的三角函数是不是知道是不是还是三四五啊？ 对吧？所以说我就设这个为三 a， 这个为五 a， 对 吧？那这个是不是也就是三 a 了？ 所以说八 a 的 话就等于多少呢？就等于五分之十二，因为 c p 是 等于五分之十二等积法， a 是 不是就能求出来了，对吧？啊？这个 a 就 可以求出来了， a 求出来以后，那这段是不是就知道， 对不对啊？这段就知道，这段知道的话，我们的三角函数是不是就知道了？那这个题的话，你看啊，这个题，那我这个边知道了，对不对？然后我这个边就也可以求这个边，是不是就也可以求这个面积，是不是就出来了？是不啊？这是我学生他们的做法， 然后呢？我当时呢也考虑到了这个直接做垂直，但是我知，但是我当时想的是什么呢？我当时想的是我直接做垂直以后，这个角和这个角他们的三角函数不是特殊的，所以说我是怎么处理的呢？我是这样去处理的，你看 这角，这角，这角是不是都相等，对吧？所以说我知道，如果说我从点 m 这做一个垂直的话， 比如说 h， 我 这个角的三角函数和这个角的三角函数，我是不是都知道，对吧？啊？这个都知道，所以说我这个时候呢，我还是一样啊，我怎么处理？就是我发那个图片，我是设这个边为 a， 不好用啊？不，这个不好算，射谁呢？射 c m 为五 a， 那 这就是四 a， 这个呢？就是三 a， 他 是三 a 的 话，因为 c m 等于 c n 吗？这就是二 a， 所以 说，所以说这个角正切就是一比二， 对不？所以说这个角正切也是一比，也是一比二，那这个 pm 就 等于什么呢？等于五分之十二减去五 a， 然后这个边的话啊，这个边是等于五分之九， 所以说五分之十二减去五 a 比上五分之九，就等于一比二，然后这个 a 是 不是就可以求了？ a 可以， a 能求出来的话，他就知道了，他也知道了，然后这个就知道了，明白不啊？ 这是我们的这个括号二啊，括号二，然后我们再看一下这个三啊，这个三，这个三的话，我也说一下这个三的话，他给了一个角的正切是三，对不对？那这个角正切是三，我们能得到什么关系呢？那这个角对顶角吧，正切肯定也是三， 然后他是让我们求下 ak 的 长啊，让我们求下 ak 的 长，你看这个角的三角函数是不是比较特殊啊？是不还是三四五的关系，是不是？所以说我就从点 k 呢？我往这做一个垂直，看到没 啊？呃，如果我能求出来 bk 的 长，我这个边就知道啊，就是 bk 乘五分之四，那他知道了，那他就知道， 那他知道，他知道这个勾五定律就可以了，对吧？所以说这道题最后就转换成，求谁呢？是不是就求 bk 啊？ bk 是 不是等于二倍的小 r 啊？对不对？是不是就求小 r 就 可以了？ 那我们来处理一下，你看这个正切是三，那这个角正切也是三，然后我知道这个 b p 是 等于这个五分之九，所以说我能得到 pm 是 不是等于五分之三呢？ 对吧？啊？ pm 等于五分之三，然后我怎么去构造一个关于 r 的 一个等式呢？其实很简单啊，这是五分之三， 对不？整个的 b p 是 五分之九，你看，我只需要把 o m 给连接，这是 r， 这也是 r， 这一段 o p 是 多少呢？是五分之九啊？是五分之 五分之九减 r， 对 吧？五分之九减 r， 然后我们是不是可以在这个呃，直角三角形当中去看啊？它的这个是五分之九减 r， 然后这是一个五分之三 啊，这是一个 r 购物定例。 r 是 不可以求，对吧？ r 可以 求，那 bk 就 知道，对不 啊？ bk 就 知道了，你 bk 知道了，那这个边就知道啊？这个边知道，这个边也知道，然后他俩就可以勾到勾股定律了。
108石家庄数学陈老师
07:19查看AI文稿AI文稿hello， everybody 我是 神奇小猪。比如二零二三年新高考二卷，既是不能直接见的，你要先正， 再见。三棱锥， d， a， d， b， d， c 相等，嗯，歪着的。然后 b、 d 垂直于 c、 d。 啊，你俩垂直，哎，你既相等又垂直，那底面这个三角形就是一个等腰直角三角形。太好了，就到这，是不是出现等腰三角形了？等腰三角形有可能要考什么呢？题目又说了易是终点，这些大概率啊，你这 d 是 不是连起来 这三线合一，你一记中点，这应该也是垂直有可能要用的，这是我在读题过程当中发现的。然后呢，继续往后看，他说俩角相等， a、 d、 b 等于 a， d、 c 停， 哎，就这模型，高考已经出现好几回，不下三回。底面两条边相等，然后你支出来一条线，然后使得这条线跟这个俩边的夹角也相等。哎，就这模型，我们经常找全等三角形， a、 c、 d 那 个面三角形跟着大面 a、 d， b 三角形边边相等啊，还共用一条边。然后啊，假角也相等，那是不是就形成了 s a s s a s 初中几何啊？全等了，全等意味着 a、 c 跟 a、 b 也相等，那不就又有新的等腰三角形又有垂直小妙招了？等腰三角形三线合一。 所以我刚把题目读完，你会发现，辅助线我已经帮大家连好了，垂直小妙招太关键了，这 b、 c 既跟这条线垂直，也跟这条线垂直，那就跟这两条线所形成的面儿线面垂直。哎，你线面一垂直，线跟面上任何一个线，包括 a、 d 就 垂直。第一问正完了呀， 然后看第二本，他说 e、 f 这向量跟 d a 向量是相等，哎，你向量相等，那形成的这个东西本身就是一个平行四边形，对吧？然后让我求一个角度，那我这是求角度，那我在这道题里面我要间系呀，不间系的话，很多同学都更不会了。那系在哪？ 整个图形啊，它有个名字叫鳄鱼小嘴模型，你看这两条边相等，这两边也相等，像一个小鳄鱼张开了它的小嘴。那具体这张嘴张了多少度，题目当中肯定没有直接告诉我。 你不能说是现在直接就一点间隙了啊，你这么见，你这的确是九十度，但是谁说 e a 一定垂直于底面了？叔没说呢，你得正啊，题目当中有哪个条件还没用上呢？这这这都用上了，这六十度，这个度数本身还没用， 它是六十度，意味着，哎，题目说你底下不是这俩相等吗？那六十度的等腰三角形，那就是等边三角形，那另外那个边啊，这个 a c、 d 也是等边三角形，然后底面呢？还是一个等腰直角三角形。那如果我设 我设什么呢？我设边长不设一，我设二啊，因为这里面涉及到终点了，设二的话你就没有分数了。一比一比根号二， bc 长度就是二倍，根号二，那 bc 的 一半，这一点点就是根号二。 d 长度等于斜边一半也是根号二。给我六十度，就是让我来计算的，有些垂直是可以算出来的。继续 ab 啊，这是不等边吗？不二吗？那么在这个直角三角形当中，根号二二， 呃，这条边也是根号二，勾股定里，然后我发现，哎，你 a d 按照我设的，它也是二啊。那么我算完的根号二，根号二二正正好好也能形成一个直角三角形。我通过一切的证明和计算才可以解析。 现在 a、 e 跟 d， e 垂直， a， e 还和 b、 c 垂直，那 a、 e 就 跟整个底面是线面垂直的。由此开见 x 轴， y 轴、 z 轴开始写坐标 d 根号二零零 a 零零，根号二 b， 呃，零，根号二零， 这里面就差谁了呢？就差这个 f 点坐标。你求二面角的话，你这 f 是 是必须要求的。那怎么求呢？那停住了， e、 f 向量和这个 d、 a 向量是相等的，那 e 本身就是圆点了，所以 e、 f 向量它就是 f 点坐标。所以想知道 f 点坐标，我直接用 d、 a 向量来表示就好了。 d、 a 向量中点减起点 负根号二零，根号二。那接下来就有老生常谈的问题啦， d、 a、 b 选俩项量，我选 d a 和 d b 坐标，分别求出来罚限量一算，直接口算找零啊，这是零，它俩比例关系是负一比一，所以放到这来，我就写一比一， 具体中间是多少？负根号二，加根号 y， 加零等于零， y 就是 一相同过程。再求一遍 a、 b、 f 面上俩向量一写法向量一，求向量夹角一列式分子，它乘它，它乘它，它乘它二分母，这根号三，这根号二，算完三分之根号六， 让我求什么呢？求二面角正弦值。我如果设它是而法，那么这个三而法二面角不变明，那二面角正弦有好处，无论你是锐角、钝角， sin 值永远是正的。 所以 cosine 是 三分之高六，那我 cosine 就是 根号下一减九分之六，算完就是三分之根号三，轻松又愉快。 这是一道高考题，需要你先证明啊，先计算一下哎，才可以解析。咱们再来道模拟题。长得很像的哈色棱锥， a， b， a， d 相等， c， d， c， b 相等哦，底面是一个风筝型，然后 a、 c 整个长度还是。哎， 一比二比根号三，这这这这。直角三角形三十六是九十的，所以底面图形非常非常特殊，上面三十六是九十一个，下面三十六是九十，又一个，非常对称。然后他给我了一个面面垂直，是 eac， 这一面跟整个底面，呃，面面垂直。出现面面垂直，就想那么一件事，做交线的垂线。 所以这题不管他问我什么，我一定是过这个 e， 哎，做交线垂线垂足，随便随便写一个啊，比如说是 o， 那 e， o 跟整个底面线面是垂直的。我先来看他，问我什么，他，如果现在两面交线是 l， a， b， e 还有 c， d， e， 哦，这交线他，他没给我画出来是吧？那我问他，你能不能画出来？ of course 哦，我把 dc 还有 ab 都都延长呗，你 l 图形里面不好看，我在平面图形来做这 e 延长，比如这是一个 h 点吧， 那这蓝面 e， a、 b 就 沿着 a、 b 延展成为 e a， h 了。小绿面 e， d， c 沿着 d， c 就 变成 e d， h 了， 所以交线出现了啊，就就是 e h 嘛。所以我想证明 e、 b 跟它平行不平行，你 m 是 终点，那 b 只要也是终点，那就是中位线，那 b 是 中点不？呃，我这头画的不准啊，这九十度啊，这三十，三十，这六十，那意味着这个角也是三十度， 那在 a、 c， h， g 三角形当中，两角相等，它就是等腰三角形，那这个 c、 b 还垂直于底边， b 就是 中点，三线合一吗？所以这道题最简单的一个正法，我直接把这个交线 l 找到了。 那直接我们来看第二本，他说 a、 c、 e 六十度，哎，这是在做什么？还告诉我 c、 e 常用的是一，你这一这二，这六十度，那这又是啥？三角形？是不是还是三十、六十九十的一比二比根号三的三角形？ 所以说白了啊，这立起来的三角形跟这三角形和这三角形是同一个三角形，是是全等关系。那他问我这个线面角，我先不管问什么，你是不是要间隙？你间隙以谁为圆点来间隙哈，你总不能以地点你，你这么间隙吧， 要利用上题目当中的这个对称星。刚才说面面不垂直了吗？哎，你线还跟交线垂直，那你线面就垂直，我以 o 点见最简单， 这肯定是 z 轴了。呃，那关键是 x、 y 轴在哪？这 o 点是个什么点呀？呃，我就在这个小三角形里面给大家看哈。这六十度，这是一，意味着 o、 c 长度应该是二分之一， 如果在平面里面把 b、 d 连接的话，这是不同一个小三角形，这六十度，这一，这也是二分之一，所以实际上这个 o 点就是 b、 d 的 连线，所以 c 好 见了，这垂直的 x 轴， y 中， z 中。宝贝们，每一个点的坐标都相当好，求对不对？在他最后问我什么线面角变成套路题了，最后答案自己来算，七分之根号七。
91一数儿的课高二
13:59查看AI文稿AI文稿正方形十字模型基础压轴，跟着李老师一次学会好！同学们在学完八下的四边形的几何知识模块之后呢，我们肯定会遇到 正方形里边最重要的一个模型，十字模型。那我们今天呢，就重点来学习一下这个模型，它的模型呢，基本上的 图形呢，有这么三幅，我们来看最基础的一个基础图形图一，那图一呢，是一个正方形，里面有两条线段， a e 和 b f 相交于点 z， 并且可以得出这样两个结论。第一个呢是如果 a e 垂直于 b f b 可以 得到 a e 等于 b f， 那 相反的呢？如果 a e 等于 b f， 我 们也可以反向地推出 a e 一定垂直于 b f， 那 怎么来的呢？结论我们看一下，重点就是利用 呃，就是这个垂直垂直之后，构造等角来构造全等关系。那看一下这个 d a、 e 这个角呢，我们可以把它命名为 r 法，那可以看到，因为这里垂直呢，这个 r 法和这个 a、 f b 倍是互余的， 那因为 a f b 呢，和这个 a、 b、 f 呢，它也互余，所以这里也可以命名为 r。 那 这样的话呢，我们就可以得到两对儿等角， d， a e 和这个 a、 b、 f 是 相等的，相等的话，加上一个直角，再加上一个直角，以及一组正方形的等边的边长，我们很容易可以构造出一组全等是 b， a、 f 是 全等于三角形 a d、 e 的， 所以相应的就肯定可以得到 a， 它们的斜边 a、 e 是 和 b f 相等的， 那相应的呢？如果这两个边相等呢？我们就利用什么呢？利用 h l 呗，斜边直角边构造出全等，全等了以后，对应的边相等，那 alpha 等于 alpha， alpha 和 beta 有 互余，从而构造出了 点，这处一定是垂直，一定是垂直的，这是最基础的模型。那来看一下图二和图三究竟怎么得到的。 图二呢，是这个 b f 呢，相当于这是蓝条蓝色区，蓝色的线段啊，相当于它往右平移了一下，平移到 g f， 那 不管它怎么平移，仍然是互余码， 我们仍然可以得到相应的相等关系。如果这个时候 a e 垂直于 g、 f 的 话，那我们怎么构造全等呢？那这个时候看到看不到全等了怎么办？那一定是做一个辅助线，我们通过这呢来 向 a d 做垂线，那这个时候可以看到，呃，如果垂足为 h 的 话，哎，一定可以得到相应的方法是可以得到 g， h， f 一定是全等于三角形 a， d， e， 那 从而呢， b f 和 a e 呢，也是相等的， 同样的方法呢，在图三种呢，相相类似的，其实就是把原来的 a e 和 b f 完全全部都进行了平移嘛，平移到和它的边儿相交了，从而也可以得到相应的 就是等边关系啊，同学们可以自己推一下。那这样的结论，首先我们有了，以后呢，我们来做一下。呃，练习 好，那我们来看一下我们，嗯，就是实体演。好，那下面我们来进行实体演练，如图，正方形 a， b， c， d 中点 p 为线段 b， c 上的一个 动点，如果 m n 呢？垂直于 a p， 这里垂直，哎，就是我们模型的基础条件。 交 a p 与点 e 的 话，分别交线段 a， b， c， d 于点 m。 求证， a p 等于 m n， 那 是我们刚才图形二的最基础的结论吗？这个就不正了，我们来看。 呃，第二个问题，如图二，一个新的图形正方形 a， b， c， d 中点 p 呢？为线段 b c 上一个点线段 m n 垂直平分 a p， 这里和这里是相等的，不光垂直还平分，那垂直是我们的基础条件，还加了一个平分，那分别交 a、 b、 a p、 b、 d、 b、 d、 c 于这四个点 m e、 f n。 求证 e f 等于 m e 加 f n， 也就是说要求证这里一节等于剩下的这两节呢？那其实这个 e f 等于 m e 加 f n 呢？我们可以把它转换一下，相当于就是求证 e f 等于二分之一 m n。 那 根据我们的基础结论，其实我们知道 m n 和 a p 是 相等的呀，所以其实我们可以转换一下，就是要求证 e f 呢， 它是要等于二分之一 a p， 这里其实就和我们已知条件稍微有点儿联系了，为什么？因为题干里告知了 m n 垂直平分 a p 啊， 那这里 e f 就是 m n 上一节嘛， e f 也垂直平分 ap， 那 这个时候肯定会想到 e f 什么时候等于二分之一 ap 呢？那我们八上的时候学了一个三角形最重要的定律， 斜边中线定力，斜边上的中线等于斜边一半，那 e f 如果是 a p f 斜边上的中线的话，它肯定等于二分之 a p。 也就是说我们需要证明这个 a p f 是 一个直角三角形角 af p 等于九十度，那 af p 是 否等于九十度？因为这个角 b 等于九十度，这里如果等于九十度的话，也就是说这两个和是一百八。 哎，没有思路了。但是这里相当于我们如果把这个 a、 b、 p、 f 这个四边形， 把它把它这个不规则四边形，然后如果这个 b a、 f 和这个 b， 哎，我们把它转化为求角 b a f 加角 b p f 等于一百八， 如果这两个角等于一百八的话，他俩互补的话，那角必等于九十度，这个角绝技等于九十度了， 我们就直接推到结论，那这两个角等于不等于一百八呢？又没有思路了。再回到题盖中看一下这个点， f， 这个点呀，他非常特殊，点 f 呢？第一呢，他是在这个 a p 的 垂直平分线 m n 上，所以我们连接 a f 连接 p f 很 容易得到 a f 是 等于 p f 的。 根据垂直平分线的性质， 那再来看一下，因为 f 呢，又是在它对角线 b、 d 上，那正方形的对角线 b、 d 呢，它是它的对称轴呀，所以 a f 和 f c 呢，也是相等的。 好，那相当于我们就可以得到 a f 是 等于 f， c 是 等于 f p 的， 那如果 f p 等于 f c 的 话，这是个等腰三角形，两个底角相等， 而根据正方形的对称性，我们知道这里这个 f c p 呢，和这个角它也是对称相等的， 也就是说 b a f 和 f p c 是 相等的， 那这个相等的话，因为 f p c 加上这里这个角等于一百八，那从而我们肯定可以得到 b a f 加上 b p f 也等于一百八， 因为角 b p f 加上角 c p f 等于一百八吗？ 那我们把这个 c、 p、 f 转化为这个角 b、 a、 f 的 话，从而就得到我们相应的互补关系了，从而就可以得出结论了。那我们来把这个过程写一下，从正向来书写一下 过程。那首先呢，我们要连接 a， f， f p 和 f c， 因为 m n 垂直平分 a p， 那 b， d 为 a， b， c， d 正方形对称轴，哎，所以呢，我们是可以得到这三条线段相等的， a， f 是 等于 f， p 是 等于 f c 的， 那所以呢，角 f p c 就 等于角 f c p， f c， p 呢？又等于角 f a p， 哎，我就写 b a f 吧。那因为角 f、 c， p 是 加上一个角 b， p， f 是 等于一百八的，它俩是邻补角，那么等角的 五角也相等，那所以角 b a、 f 加上角 b， p， f 也等于一百八 a， 这两个角也等于一百八。那四边形 a， b p， f 中角 b 等于九十度， 其实我们就可以得到角 a， f， p 呢，是等于 九十度大。因为 m n 垂直于 ap 嘛，平分 ap 角，所以加上这个直角关系，所以斜边中线等于斜边一边。 e f 是 等于二分之一 ap 的， 那所以也等于二分之一 m n 了，这是我们第一个结论可以证明的相等。 那 e f 等于二分之一 m n 了，那所以 e f 呢，一定等于 m n 减去 e f 加上 f n， 这是第二题。那我们来看一下第三题。第三题说正方形 a， b， c， d 的 边长是二，哎，它的边长是二， 那 e f 长度，它最小值和最大值是多少？那既然上一个结论我们得出了 e f 等于二分之一的 m n， 哎，也等于二分之一的 ap， 那要求 ef 的 最小值其实就是 m n 最小，或者 ap 最小的时候嘛，那它什么时候最小呢？因为 p 是 一个动点，那 p 动点什么时候最小呢？第一种情况， p 和 b 重合的时候，那 ap 呢， 一定有最小值，是等于 ab 等于二的，那所以 ef 的 最小值呢，也等于二分之一， a b a p 最小值等于一。第二种情况呢，它最大的时候，那 p 动点什么时候最大呢？它在 b c 上运动，所以 p 和 c 重合的时候， a p 一定最大值呀。 a p 最大值。利用勾股定律或者利用三角函数很简单啊，我们是可以得到变成了根二倍的，所以是等于根二倍的， a b 是等于二倍的，根号二，那所以 e f 的 最大值一定等于二分之一， a p 的 最大值， 那等于根号二啊，所以我们可以看到啊，就是后期这些衍生出来的结论，比如说 e f 等于 m， e 加 fn 了，它有最大最小的这些结论呢，其实都是在我们实质模型它这个最基础的结论 这三个结论基础上得出的。其实最根本的也就是图一中这第一个结论吧，同学们理解了之后呢，进行相应的变换啊，布置 就可以得到相应的其他一些结论。然后呢，再结合我们在学习几何中相应的直角三角形了，勾股了，垂直平分线了，对称性了等等一些知识点 来进行综合起来以后呢，就形成我们看似比较难度提升拓展性的这样的第五题。好，本题讲解完毕。
18:11查看AI文稿AI文稿我们来看一下石家庄二模的这个填空的压轴题啊，这个题呢，米奇老师真的是想恶心大家一下啊， 呃，他说呢，在母线与底面左上角为三分之派的圆锥里面，放了三个半径为一的球，这三个球呢，两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切啊，第一个空挡让咱们求圆锥的底面半径， 那么为了让大家呢，更方便理解这个题啊，我把这个图呢大概做了一下，注意啊，大家看的时候要注意，后面还有一个球呢啊，也就是前面两个，后面一个，当然上面这个球是为第二个做第二个做准备的啊，它是咱们球这个球的半径，圆锥的底面半径。 那么要想做出这个题来呢，我们只需要做两个图就可以了，第一个呢是， 嗯，洁面图啊，哪个洁面图呢？假如是这三个底面的球的球心呢，分别是， o 一， o 二， o 三，注意啊， o 三在后面呢啊，在后面呢，我就不标了啊， o 三，那么这三个呢，由于这个球啊，是规则的对顺图形，圆锥呢，也是规则的对顺图形，所以说呢， o 一， o 二， o 三一定可以构成一个什么形啊？等边三形， 对吧？ o 一， o 二， o 三可以构成一个等边三角形，那么我们想啊，既然这三个球呢，分别与侧面和底面向切，所以它肯定是关于谁对称啊，中心对称嘛，那对称中心是谁啊？对称中心呢，实际上就是我们这个等边三角形的 圆形 o， 那 么他说呢，这三个小球的半径呢，全是一，所以呢，这个等边三角形的边上呢，就是二，所以说呢，我们可以求出谁来， o e o 的 长就是高的三分之二呗，对吧？那么我们知道等边三角形的高 h 呢？等于二乘以的二分之根号三，所以呢，等于根号三， 那么呢， o e o 就 等于呢，高的三分之二，三分之二 h， 所以 等于三分之二倍根号三， 三分之二倍根号三， ok， 那 么 o e o 我 们就求出来了，那么 o e o 有 了之后呢？我们怎么去求这个底面 圆的半径的？这个呀，我们找一个洁面图就可以了，为了方便的理解呢，我们做把它的俯视图和 斜轴洁面图做出来啊。俯视图，我们先看俯视图，俯视图呢，大概是长这样的，嗯，这有一个圆， 这有个圆，这呢？还有一个圆，是一坨啊，这个画的不是很圆。 ok， 然后呢，那个我们说的等分三角形的中心呢？在这，这是 o 一 o 二 o 三， 对不对？然后呢，外边还有一个大圆，就是他让咱们求外边这个大圆的半径，外边这个大圆的半径呢，实际上就是求这段距离呗，是吧？假如说这个大圆的圆心是 o o 撇吧， 不能跟我们这个等边三角形的圆心给重合掉，其实让咱们求的是 o 片 a 的 距离，对不对？这是俯视图啊，那么 o 片 a 呢？我们怎么去理解这个俯视图？我们来看啊，实际上我们还得把它的这个呃 轴结面可以做出来。轴结面做谁呢？就是轴结面千万不能做正视图啊，不是正图，这个做的轴结面不是正视图。为什么不做正视图嘞？因为你正视图做出来是这样的， 这有一个圆，这有，呃， 这有一个圆，这有一个圆，对不对？好像感觉着，嗯，为什么不做这个正视图了？因为这个正视图 我们跟底面圆的圆心啊，没办法建立联系是不是？那他两个，这两个 o 一 o 二连线的终点呢？也不是，不是，什么呀，不是底面圆的圆心， 对不对？所以说做正视图是不行的啊，那我们做的是什么图呢？我们我们在这个左边这个图当中简单画一下，是 s， 假如这是 a， 这是 b， 我 们做的是这个这个界面，嗯，这我画成虚线吧， e 是 从底面穿过去的啊，不是从这个球面穿过去的，做的是这个轴界面， 大家懂懂这意思吗？就这个轴结面啊，这个要要包住这个点，就是他是这么斜着结过去的， 因为只有斜着结过去才有可能我们找到这个中心嘛，这个中心在顶上投影才是啊。假如说这是 o 了，这是 o 片了，我们我们俯视图当中的这个，呃， o 片啊，就是老师刚才画的这个，这是俯视图啊， 俯视图中 o 片是这个位置，大家能看，大家能想得出来吗？并不是正视图当中的这个位置啊，并不是正视图当中的这个位置，这个位置可不是 o 片， ok 吧？好，我们再做一个这样的图啊，把这个界面给拿出来，就是 s， 这个点，就表表一个 b 吧， s a b， 这个界面 拿出来， 对不对？然后呢，这是 o 一， 这是 o 了，你看这有一个 q q o 一 啊， q o 一， 对不对？这是 o 一， 然后呢，他跟侧面相切和底面向切，对不对？然后呢？这一段距离啊，注意啊，这段距离可不是正视图当中的这段距离啊，而是我们谁呀？ o e 到 o 的 距离，对不对？那么 o e o 的 距离呢？我们已经求出来了，是多少啊？ o e o 是等于呢？三分之二百杠三。那么实际上这个半径就是 o 撇 a 的 长嘛，那么 o 撇 a 呢？就是 r， 我 们要求的半径大， r 是 o 撇 a， o 撇 a 等于谁啊？等于呢？ o e o o e 我 标得远了， o e 实际上指的这个位置 o 片 a 呢？等于 o e o 加上谁啊？假如说这个点是 d 点吧，加上 ad， 那 么 ad 怎么求呢？ ad 就 放在这个直角三角形当中来求了，因为等于呢？ o e， o 加上呢谁啊？ a o e 应该是 o e d o e d 除以谁啊？它这个，呃，它这个六十度，是不是 六十度？所以呢，我们来求一下，它等于多少呢？ o e o 的 差是三分之二倍根号三，就是因为 o， e， d 是 等于半径一嘛，所以就变成了三分之二倍根号三， 加上呢三分之三倍根号三了， 对吧？根号三， 我们来看一下啊，这个是不是 v d 一， 这是三十度了，这个角是三十度，因为他说，呃，母线和底面的夹角呢，是六十度，所以这个一半是三十度了， 对吧？ a d 呢？应该等于贪婪三十是对比斜啊，贪婪三十。我们写一下啊，贪婪的三十 是等于的，对比斜的对 o e， d 除以谁啊？ a d 嘛？哦，所以这写错了，这稍微出点问题，应该不是除以贪婪，就是除以贪婪三十。 把这个写清楚一下啊，就是他那个三十，因为这个大角是换个颜色吧，这个翘角是三十度啊，因为母线和这个大角这个角，这个绿色的角是六十度嘛，所以紫色的角就是三十度了，所以呢，我们来求一下啊， 黑色篮球再写一下弹性的三十，弹性的三十是等于谁啊？ o e d 除以谁 a d 嘛， 对吧？所以说 a d 应该等于谁啊？这应该是三分之根号三，加上呢一除以弹性的三十，就是三分之根号三， 对吧，也就等于呢，三分之二倍根号三加上根号三喽，所以这个以通分呢，等于三分之五倍根号三，对吧？所以第一问呢，这个半径大 r 呢，就等于三分之五倍根号三， ok， 那 么第一问搞定了吧？第二问呢，就相对来说简单一些啊，所以命题老师呢，觉得第一问做出来了，第二问就顺理成章了。那么第二问怎么做呢？第二问还是用我们最后结的这个 s a b 这个结面，我们再重新画一下这三角形啊， 放在这， 这是 s a b， 这呢有一个球，画一个球就可以了， 然后呢，它说上边啊，还有一个球跟它相切，然后呢，也跟，这个 大概是这么个意思啊，这是 o e， 其实就是我们这个上面这个图当中最上面这个球给他取个什么名字嘞？嗯，叫 m 吧， 求 m 吧，可以吧，这，这个这个球啊，这个球在上面标一下这个球，就是求 m， 球心是 m， 那 么这是 m 点在这呢，对不对？ 所以说呢，我们当然显然这个球就更是对称的了，是不是？这个什么意思嘞？就是说这个点 m 啊，一定是在这个圆锥的 轴线上，对吧？圆锥的轴线上，要不然他不可能跟三个小球同时相切，然后呢，跟圆锥的侧面也都相切，是吧，所以他是不可能达到这个的啊， 哦，他没说啊，是的，所以呢，我们来看啊，这个怎么办呢？因为现在呢，第一问，我们已经算出来了，这段距离， 也就是说绿色的这段距离啊，就是说球心 o 一 啊，是三分之二倍根号三，注意啊，这个还是不能跟正视度高混了啊，不能觉得他是一啊，这个呢，这个绿色的长度是三分之二倍，根号三， 给他取个名字吧，叫做 m n， 这点是 n 对 不对？也就是说 o e n 啊，由第一问，我们已经知道了，是三分之二倍根号三， 对不对？然后呢，我们知道这个球的半径呢，是一，也就说这段距离 n n o 撇是吧， n o 撇就是 o 撇， n 是 一的。然后呢，又因为这是相切的， 这是相切的，因为这个球 m 和侧面相切嘛，那么我假设呢，这个小球的半径呢，是小 r 小 r， 那 么所以呢，因为母线跟底面的夹角，这是六十度，所以呢，这个角必然是多少度啊？三十度， 我们知道三十度所处的角边呢，斜边的一半，所以说呢， ms 就 等于二 r 对 不对？那么由于呢，上面这个球和下面的球都是相切的，所以说 m o 一 呢，是等于 r， m o e 呢，是等于二加一的，那所以说呢，由这个我们就可以推出来，推什么来？呃， m n m n 的 场应该是多少啊？购物定律嘛，是不是等于根号下 r 加一的平方减去呢？三分之四，减去三分之四，对不对？那么由第一问呢，我们已经求出来了，就是底面圆的半径呢， r 等于谁啊？ o 片 a 等于呢， o 撇 b 等于呢？呃，三分之五倍，根号三，所以说呢，我们可以求出来这个圆锥的高 a h 是 等于五的， 对不对？怎么求的呀？根据正弦值嘛，这我可以写的详细一点，就是弹性的六十 等于谁啊？ h 除以 r 吗？所以呢，我们求出来 h 是 等于五的， h 是 等于五的，没错吧，那么 h 又怎么表示呢？ h， 这就是五等于 h 等于谁啊？等于 o 撇 n 加上 m， n 加上谁啊？ n m s 是不是？所以呢，那么我们就可以表示了啊，就是 四，我们代一下数吧，不挑拨啊，代一下数，六计算，换成黑色的来计算，就是五等于呢， o 撇 n 呢是一对吧，加上 m n 呢，是根号下 r 加一回来的平方减去了三分之四，加上呢 m s， m s 是 二二，所以我们解这方程就可以了啊， ok， 放到上面了，所以呢，我们知道了，四减二二 是等根号下哦，完全平衡公式可以展开了啊， r 方加上 r， r 减去的三分之一，所以呢，我们两边同时平方，那么我们就得到了再化简，就是 十六减去八，二十四个八，这是十六， r 加上呢四 r 方等于呢， r 方加上二 r 减去呢三分之一， ok， 我 们一项整理呢，就 得到了。嗯，三 r 方减去呢十八， r 加上十六，加上三分之一等于一，所以呢，这个分式化整式等于零啊，不是等于一，所以就是九 r 方 进去呢，五十四， r 加上了四十九等于零，所以呢，我们就解这个方程就行了啊，有一点计算量， r 呢，等于二， a 分 之十八，负 b 五十四加减更好， b 方减 c， c 就是 五十四乘以五十四 比方吧，减去 c， c 四乘以九乘以呢，四十九，然后呢，这里面就五十四。加减呢，里面先提出一个九来，九开出来变成三， 然后呢，再提一个四，四开出来是二，所以呢，这变成了提个九呢，剩个六，对吧？呃，六，再开出一个四是九九，八十一，这八十一减去呢，四十九， 除以了十八，所以呢，这个就变成了。呃，三分之消掉了一个六嘛，九加减的。嗯， 根号下八十一，减三十二， 三十二，所以呢，就等于三加减三分之四倍。根号二嘛。啊，因为你这个圆锥的高才十五了，所以它不可能是加啊，所以等于呢，所以二等于三减 三分之四的一点二。 ok 啊，这个题呢，还是有难度的啊，不好想，就是不好，容易错。在哪呢？容易把这个正视图啊，当成我们要做题的这个图啊，这两个图容易搞混。
775笛卡尔金
08:13查看AI文稿AI文稿九年级的内容已经下放到我们八年级来考了四十三中，八年级期中考试的倒数第二道题，很多同学在考场上反馈啊，这道题做起来比最后一道题压力还要大，我们一起来看看他难在哪？ 如图，十七杠一到十七杠三在梯形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 b、 c、 d 中 ab 等于十五，告诉你，下底长了 b， a、 d 等于四十五。 ef 分 别为 a、 d 和 cb 的 中点。好，我们可以看到 ef 落在了这个梯形的腰的中点上， 它跟三角形类似啊，它应该是梯形的中位线。那么梯形的中位线有什么性质呢？哎，我们可以不妨在这拓展一下啊， e、 f 的 这个长度肯定跟上底和下底有关，有的同学可能猜到了啊，它应该是上底加下底除以二， 为什么呢？哎，老师可以带你证明一下，过点 d 去做 bc 的 平行线，然后这个点呢，交于点 g， 然后这边这个交点，它肯定是一个平行四边形， 因为平行平行，而且这小块，这小块都是平四边形，左侧呢，这是一个三角形哎， e 和 h h 应该也是终点了。那如果我现在想推 e f 的 长度的话，哎，我们就可以把它拆成 e h 加 h f， 那 么 e h 等于什么呢？等于二分之一的 ag。 再说， h f h f 其实就是 b g 嘛， b g 是 谁呢？ b g 不 就是 c、 d 吗？好，再来。那么 a g 和这个 a b 有 什么关系呢？应该等于 a b 减去一个 b g， 对 吧？ b g 刚才我们说了就是 c、 d， 我 往上倒。好，我们把这个括号打开，我们就可以发现，它应该等于二分之一的 ab 加上二分之一的 c、 d， 也就是推出来了梯形的中位线，应该等于上底加下底， 再除以二。好，我们来看第一问，如图十七杠一，连接 e、 f， 直接写出 e、 f 的 长度。哦，咱们刚才已经推出来了， 所以我们可以直接写了， e、 f 应该等于上底加下底，就等于二分之一 x 加上十五。 好，我们来看第二小问，若四边形 b、 c、 n、 m 为正方形，别忘了，题目中还告诉我们说 e 点是中点的，对吧？所以同学们应该很容易能够发现这个三角形和这个三角形啊，它应该是全等的， 而且呢，我们还知道这是四十五度，正方形这是九十度，所以这两个三角形是两个全等的等腰直角三角形，我们怎么求解呢？我们肯定要把 x 放到一个方程里面啊，列等式去求解，对吧？那等式有什么呢？哎，我们来分析分析。刚才咱们已经求出来 e、 f 的 长度了，应该是二分之 x 加十五， 然后这是 x 的 长度，对吧？那你别忘了，正方形这个长度应该等于这个长度，所以它也是二分之 x 加十五，那么一半的长度 就是四分之 x 加十五啊，所以这个长度就应该是四分之 x 加十五。方程是不是有了 这个三角形，也是一个等腰直角三角形，地点肯定是 a、 c 的 中点，所以它俩应该相等啊，四分之 x 加十五应该等于 x， 我 们把它解一下啊，四 x 等于 x 加十五， x 应该等于五 啊！第二问就求完了。好，我们来看第二问啊，如图，十七杠二、过点 f 去做 ab 的 垂线，分别交 ab 于点 h， 然后 cd 于点 g， 已知 x 的 长度等于一，别忘了 x 是 什么？ x 是 告诉我们 cd 的 长度啊， 这个长度等于一，还别忘了 ab 的 长度等于十五呢，对吧？啊？问，我们说，如果这是一个正方形的情况下， bc 的 值是多少？那同学们还是一样啊。这道题，我们就不断地、再反复地再去用这个梯形中位线的这个结论。 所以你上来，首先应该先知道 e f 的 长度应该等于多少，等于一加十五除以二，对吧？应该等于八啊！首先我们应该知道 e f 应该等于八，那么 e f 是 什么呢？ e f 不 就是正方形的边长吗？所以比如说 n m 就是 八， 那么如果 n m 是 八的话， e 点、 f 点都是中点，你这可以平分，你这是不是四，你这是不是四，四 四，对吧？哎，好，这些都出来了，我们发现我们想要求的是什么？求 bc 的 长度， 那你其实是要比如说求这个 f b 的 长度，再给它乘以二，怎么去求这个 f b 的 长度呢？哎，我们求出来这两条边不就好了吗？对吧？那这两条边怎么求呢？我们发现这是十五，这是一个四，我只要知道 m h 就 知道再减一下就行。 m h 等于几呢？等于八呀，十五，减去一个十二等于几？等于三，这个 f h 的 长度啊，注意，这不是等腰直角三角形啊，所以它长度应该等于这个等于四。 好，我们是不是可以根据勾股定律算出 f b 的 长度应该等于五呀？那么 bc 的 长度等于几呢？十吧。第二问就说完了啊，好，来看第三问啊， 如图，十七杠三 x 等于九， x 是 什么呀？ c d 的 长度啊，这是九加减，发现可以借助二中的方法画出正方形 m n g h， 使其可以由梯形 a、 b、 c、 d 减拼得到。那你看啊，他左边其实已经帮我们画出来了，非常多了，相信同学们也都知道怎么画，对吧？ 但是你看，它要求是借助尺规帮助加减完成作图。所以你此时的这个 g h 啊，我们都知道你应该是过 f， 应该做垂线，对吧？但是你不能通过指挥直接去做出垂线， 那怎么办呢？哎，我们可以这样啊，借助中垂线的方法来做，首先我们应该先延长 a b， 哎，你可以在 a b 这一段去构造一条线段， 然后这条线段的中垂线一定过 f。 那 怎么构造呢？我们可以以 f 为圆心，然后画一个圆，这个圆呢，要稍微大一点，大到 与这条直线交于两个点，能组成一条线段。那一般来说，尺规作图的方法是以 f 为圆心，然后在这条线的另外一侧找一个点，哎，以这个长度为半径去画好。同学们来看，现在这个圆啊，就与这条线交于了两个点，尺规作图，保留痕迹，你只需要 保留这两条弧就好了。那么现在呢？哎，它交于这两个点，比如说这边这个点，我们叫 p， 这边这个点呢，叫 q， 接下来 p q 的 中垂线一定过点 f， 对 吧？你只要再做 p q 的 中垂线就好了。好，我们保留作图痕迹。 好，那么你看这条线，它现在就是过点 f， 且垂直于上底和下底所在直线的一条线，上面这个点就是 g， 下面这个点就是 h。 再来，他说直接写出满足条件 a d 的 长度啊，那 a、 d 的 长度跟我们前面的求解方式也差不多啊。咱们知道 dc 的 长度是九，然后又知道 ab 的 长度是十五，所以马上可以求出来，这个梯形的中位线的长度应该是十五，加九等于二十四，再除以二等于十二。 那么既然它是一个正方形，那么 n、 m 的 长度也应该是十二，而且呢， e 点是中点，所以这个长度就是六，那这个长度也是六， 所以 a、 e 的 长度就是六倍，根号二。那么 a、 d 的 长度就是多少呢？两倍的它，十二倍的根号二。其实这道题啊，它参考了我们今年新华区驱模拟的第二十三题，也是一个图形减频也是这样去做 啊。所以你会发现，你看九年级的内容已经下放到我们八年级来考了。好，我们再看。最后一问啊，跟那道题也是异曲同工，他说，对于图三的梯形来说，奇迹说，我可以将四边形 a、 b、 c、 d 裁成四块，图形无重叠、无缝隙的重新拼接成一个正方形， 请在图十七杠四中画出奇迹的裁法。这道题啊，其实难度不大啊，因为前面已经告诉我们很多次是按照中点上下竖直的这样去切了，所以同学们呢，可以过点 e， 过点 f， 这样去切，我们就还可以根据刚才这样画，是吧？ 过点 e， 过点 f 去做。这道题不是让我们剪成四块吗？你看，这是一块，这是一块，哎，你还少了一块啊， 其实很简单嘛，你可以过 e、 f 做一条线嘛。哎，你拼完了这三块之后，你把它已经拼成了我们刚才的这个正方形，然后把上面这块再贴到下面来，是不是就可以哈？很简单。我的天呐，好，这道题啊，我们就讲完了， 对于图形减拼来说是咱们河北中考最近的热点，我们也发现他把九年级的内容下放到了我们八年级，同学们早一点接触啊，其实挺好的。最后这道题同学们还有其他的方法吗？你可以发在评论区，难题压轴不用处，曲老师带你有思路。
66屈笑圆周率
27:45查看AI文稿AI文稿这里是一百套高考数学讲解系列，今天我们讲二零二三年全国高考数学新课标二卷，看看你能坚持到第几题。零废话直接发车！直接来看第一题，在负平面内，一加三 i 乘以三减 i 对 应的点位于第几项线， 直接对其括号展开整理，得到六加八 i。 根据复数的几何意义所求复数对应的点为六八，位于第一项线， 所以答案选 a。 我 们来看第二题，题目给出两个集合，并且集合 a 包含于集合 b， 求 a 的 值。 a 包含于 b， 也就是集合 a 中的每一个元素都必须是集合 b 的 元素。集合 a 中的元素零，要么等于集合 b 中的 a 减二。若零等于 a 减二，解得 a 等于二，此时集合 a 并不包含于集合 b。 若零等于二， a 减二，解得 a 等于一， 此时的集合 a 为零负一，集合 b 为一负一零，满足提议，所以答案选 b。 第三题，某学校未了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查。 你从初中部和高中部两层共抽取六十名学生，已知该校初中部和高中部分别有四百名和二百名学生，则不同的抽样结果共有多少种？总人数一共六百人，初中部占比为四百比六百，高中部占比为二百比六百。 根据分层抽样的定义可知，初中部共抽取四十人，高中部共抽取二十人。根据组合公式和分布技术原理则不同的抽样结果共有 c 四百四十乘以 c 二百二十， 其中 c 四百四十就是四百个初中生抽取四十名学生的组合数 c 二百二十，就是从二百名高中生抽取二十名学生的组合数，所以答案选 d。 来看第四题给出一个函数，并且是偶函数，求 a 的 值。因为 f x 为偶函数， 所以 f 一 等于 f 负一，代入解得 a 等于零，带回 f x。 是 这样的，根据对数性质，这里必须大于零，也就是分子分母同号转化为解得 x 大 于二分之一，小于负二分之一，再验证 f 负 x， 计算可得是等于 f x 的， 所以 a 等于零，满足题，答案选 b。 我 们来看第五题。已知椭圆的左右焦点分别为 f 一、 f 二，直线与 c 交于 ab 两点，并且 f 一、 ab 的 面积是 f 二、 ab 的 两倍，求 m 的 值。题目说直线与椭圆交于两点，我们可以先连立一下，消去外整理一下。 因为直线与椭圆交于 a、 b 两点，所以判别式大于零。解得 m 大 于负二小于二，设 f 一 点到 a、 b 的 距离为第一， f 二点到 a、 b 的 距离为第二，容易算得 f 一 和 f 二的坐标，用点到直线的距离公式求得第一和第二。 又因为题目说三角形 f 一、 a、 b 的 面积是 f 二、 a、 b 的 面积两倍，并且它们的底边相等，所以第一比第二等于二，也就是解得 m 等于负三分之根号二或负三倍根号二。因为负三根号二不在范围内，所以舍弃，所以答案选 c。 来看第六题，题目给出一个函数，并且在区间一到二单调递增，求 a 的 最小值。函数在区间一到二单调递增，也就是说它的导函数在区间一到二一定是大于等于零的。 我们列一下，不难发现 a 一定大于零。一项整理得到 x 乘以 e 的 x 次方大于等于 a 分 之一。 我们将左边看成一个函数，设为 g x， 对 g x 求导是大于零的，所以 g x 在 一到二单调递增， g x 大 于 g 等于 e， 所以 a 分 之一小于等于 e， 即 a 大 于等于一分之一，所以 a 的 最小值为 e 的 负一次方。答案选 c。 我们来看第七题，已知阿尔法为锐角，口塞阿尔法等于四分之一，加根号五，求塞盈二分之阿尔法。根据二倍角公式，口塞阿尔法等于一减二倍，塞盈二分之阿尔法的平方等于题目所给的四分之一，加根号五。通过这个式子，并且阿尔法为锐角， 我们列一下可以算得塞赢二分之阿尔法等于四分之根号五减一。选 d 来看最后一道单选择题，既 s n 为等比数，列 a n 的 前 n 相和。若 s 四等于负五， s 六等于二十一倍， s 二求 s 八。 设等比数，列 a n 的 公比为 q， 首项为 a 一， 如果 q 等于一，那么 s 六就等于六， a 一 s 二等于二， a 一 并不满足题中所说 s 六等于二十一倍的 s 二，所以 q 不 等于一。既然 q 不 等于一，我们就可以对题中条件用求和公式展开。 由 s 四等于负五可得，由 s 六等于二十一， s 二可得，由二式可得。一加 q 方，加 q 的 四次方等于二十一，解得 q 方等于四， 即 q 的 四次方等于十六。把 s 八列出来，其中一减 q 的 八次方就是一减 q 的 四次方，乘以括号一加 q 的 四次方。前面这部分就是 s 四等于负五，将 q 四代入后面这部分计算可得，等于负八十五，所以答案选 c 来看第九题已知圆锥的顶点为 p， 底面圆心为 o， a、 b 为直径，角 a、 p、 b 为一百二十度， p a 等于二 点， c 在 底面圆周上，且二面角 p a、 c、 o 为四十五度。题目说角 a、 p、 b 为一百二十度，而 a、 p、 b 又是等幺三角形，所以角 p、 a、 b 等于三十度。连接 po， 所以 po 等于一， a、 o 等于 ob， 等于根号三。圆锥的体积为三分之一，乘以底面积乘以高，这里的高就是 o， p 等于一，计算可得面积等于 pi， 所以 a 正确。圆锥的侧面积为 pi r、 l 这里的母线 l 就是 a， p 等于二，计算可得，等于二。根号三。派 b 选项错误，设地为 a、 c 中点连接 o， d， p， d 则有 a、 c 垂直 o， d， a， c 垂直 p d， 所以 角 p、 d、 o 即为二面角 p a、 c、 o 的 平面角等于四十五度，所以 o、 p 等于 o， d 等于一， a、 d 等于 c， d 等于根号下 c、 o 方减 o， d 方等于根号二，所以 a、 c 等于二倍根号二，所以 c 正确。 p、 d 等于根号二，所以三角形 p、 a、 c 的 面积等于二分之一， a、 c 乘以 p， d 等于二 d。 错误。 第十题设 o 为坐标原点，直线过抛物线 c 的 交点，且与 c 交于 m、 n 两点， l 为 c 的 准线， 直线 y 等于负根号三， x 减一过 x， 轴点一零。题目又说直线过抛物线焦点，所以抛物线的焦点 f 坐标就是一零，可得二分之， p 等于一，解得 p 等于二。 a 选项正确， 我们可以设直线与抛物线交于 m、 n 的 坐标，将直线与抛物线连立，消去 y 并化简解得 x 一 等于三， x 二等于三分之一 线段 m n 的 长度等于 m f 加 n， f 的 长度， m 点作垂线垂直， l 垂足为 m 撇， n 点作垂线垂直， l 垂足为 n 撇。由抛线的性质我们知道， m f 等于 m n 撇， n f 等于 n， n 撇等于 x 一 加 x 二加 p 等于三分之十六，所以 b 选项错误。再来看 c 选项，以 m n 为直径的圆，与 l 相切，设 m n 中点为 a 及 a 到直线 l 的 距离为 m n 的 一半， 所以 m、 n 为直径的圆，与直线 l 相切。 c 选项正确。我们计算出 x 一 和 x 二之后，分别代入直线方程，可以算得 y 一 和 y 二， 也就是 m n 的 坐标，我们就算出来了。由两点间距离公式，我们可以计算出 o m 的 长度等于根号二十一， o， n 等于三分之根号十三。再结合 m n 的 长度，所以三角形 o， m， n 不是 等腰三角形 d 错误。 来看，第十一题给出一个含参函数，并且该函数既有极大值，也有极小值，求下列关于 a、 b、 c 的 关系。正确的有，不难发现函数的定义域为零到正无穷。 对函数求导，因为函数既有极大值，也有极小值，也就是说它的导函数在零到正无穷上有两个变号零点。并且题目说 a 是 不等于零的，所以这里的分子 x 方减 b， x 减二， c 等于零，有两个不等的正根， 于是我们就可以得到该二次函数的判别式，大于零，两根之合大于零，两根之积大于零，由这里得到 a、 b 相乘大于零，这里可以得到 a， c 相乘小于零，我们进一步得到 b、 c 小 于零。 a 错误， b、 c、 d 选项都正确。 我们来看最后一道多选择题。在信道内传输零一信号，信号的传输相互独立。发送零时，收到一的概率为阿尔法， 收到零的概率为一减。阿尔法发送一时，收到零的概率为 beta， 收到一概率为一减 beta。 读到这里，我们可以先列一下，考虑两种传输方案，单次传输和三次传输。 单次传输是指每个信号只发送一次，三次传输是指每个信号重复发送三次。收到的信号需要一码一码。三次传输时，收到的信号中出现次数多为一码， 就像这里的易出现的次数比零多，所以一码为一。先看选项 a。 单次传输时，依次发送一零一，求一次收到一零一的概率， 依次发送一零一，依次接收一零一这个事件是发送易接收一，发送零、接收零、发送易接收一的。三个事件的基相互独立，分别把它们的概率写出来，相乘就是所求概率，所以 a 正确 来看选项 b。 三次传输，若发送一，则依次收到一零一的概率是什么？三次传输发送一相当于依次发送一，一依次收到一零一的事件概率。发送一，接收一概率为一减贝塔，发送一，接收零概率为贝塔。最后这里也是一减贝塔， 相乘就是事件的概率，所以必正确来看 c 选项采用三次传输，若发送一，则一码为一的概率是多少？三次传输发送一则一码为一的事件有这四种， 其中前三种的概率为 c 三二乘以贝塔乘以括号一减贝塔的平方。 c 三二指的是三次接收中选两次接收为一，贝塔指的是接收零的概率。一减贝塔的平方指的是两次接收为一的概率相乘三次接收都是一的概率，自然就是一减贝塔的立方， 它们相加就是我们要求的概率等于一减贝塔的平方，乘以括号一加二。贝塔与 c 描述的答案不符，所以 c 错误。 当阿尔法大于零小于零点五时，若发送零，则采用三次传输方案，一码为零的概率大于单次传输方案一码为零的概率。由 c 选项的结论，根据对称性，我们可以得到三次传输发送零，一码为零的概率是一减阿尔法的平方乘以括号一加二。阿尔法 单次传输发送零，一码为零的概率为一减阿尔法，两个概率相减。因为阿尔法大于零小于零点五，所以这里都是大于零的，所以总体大于零。所以若发送零，则采用三次传输方案，一码为零的概率大于单次传输方案一码为零的概率 d。 正确 来看，第十三题已知向量 a、 向量 b 满足向量 a 减，向量 b 的 模长等于根号三，并且这两个复合向量的模长相等，求向量 b 的 模长。既然这两个模长相等，两边平方也相等， 展开整理得到向量 a 的 平方减二，向量 a 点乘向量 b 等于零，再对向量 a 减，向量 b 的 魔长等于根号三，两边平方展开，因为这部分等于零，所以向量 b 的 平方等于三，即向量 b 的 魔长等于根号三。 来看第十四题底面边长为四的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为二，高为三的正四棱锥，所得棱台体积是多少？截去四棱锥的底面边长为二，二比四等于二分之一。 截去的正四棱锥的高为三，所以圆正四棱锥的高为六，所以圆正四棱锥体积等于三分之一，乘以底面积乘以高等于三十二。截去的正四棱锥的体积等于三分之一，乘以底面积乘以高等于四棱台的体积，即为圆四棱锥的体积。减截去的四棱锥的体积等于三十二，减四等于二十八。 第十五题已知直线与圆 c 交于 a、 b、 c 面积为五分之八的 m 的 一个值， 设圆心 c 到直线 ab 距离为 d， 半径为二，由勾股定律再乘以二倍就可以得到弦长 ab。 abc 的 面积等于五分之八，解得 d 等于五分之四倍，根号五或者 d 等于五分之二倍，根号五 点 c 的 坐标为一，零有点到直线的距离公式可得 d 等于根号下一加 m 方分之二是等于五分之四倍，根号五或者等于五分之二倍，根号五的 解得 m 等于正负二或正负二分之一。这四个只任意一个都算答案。第十六题题目给出一个正弦函数，并且 ab 是 直线 y 等于二分之一，与曲线 y 等于 f、 x 的 两个交点。若线段 ab 等于六，则 f、 pi 等于多少？ 设 a、 b 点坐标，由 a、 b 长度为六分之派可以得到它们的横坐标之差即为六分之派。正弦函数中塞因 x 等于二分之一时， x 是 等于六分之派。加二 k pi 或者六分之五 pi 加二 k pi 的 z 属于整数， 把这里当成整体。有图可知， b 点横坐标比 a 点大，所以 b 点对应六分之五 pi 加二 k pi， a 点对应六分之 pi 加二 k， pi 相减等于三分之二 pi， 即 omega 乘以括号 x 二减 x 一 等于三分之二 pi 结合 x 二减 x 一 等于六分之 pi 解得 omega 等于四，观察图像可得 f 三分之八 pi 加 five 等于零，代入函数可得塞。因三分之八 pi 加 five 等于零， 所以三分之八 pi 加 pi 等于 k pi 一 项 k 属于整数。把 omega 和 pi 带入函数，所以 f、 x 要么等于四， x 减三分之二 pi 或者等于负塞盈四 x 减三分之二 pi， 我 们把零分别带入，再观察图像， f 零是小于零的，所以 f、 x 等于塞盈四 x 减三分之二 pi 把 pi 带入，结果等于负二分之根号三，所以答案就是负二分之根号三。 第十七题，即三角形的内角 a、 b、 c 的 对边分别为 a、 b、 c 已知面积为根号三， d 为 b、 c 中点，且 a、 d 等于一。第一小问， 若角 a、 d、 c 等于三分之派，求 tangent b 等于多少？在三角形中，因为 d 是 a、 b 中点角 a、 d、 c 等于六十度， a、 d 等于一， 所以三角形 a、 d、 c 的 面积等于二分之 a 的， 所以结果等于八分之根号三 a。 而 a、 d、 c 面积是等于 a、 b、 c 面积的一半的，所以等于二分之根号三。解得 a 等于四。再来看三角形 a、 d、 b 角 a、 d、 b 等于三分之二派，由余弦定理， 其中 b、 d 等于二， a、 d 等于一，解得 c 方等于七，所以 c 等于根号七。现在在 a、 d、 b 三角形中 已知三边，再利用余弦定理，我们列一下，可解得口塞 b 等于十四分之五倍，根号七可得塞盈 b 等于十四分之，根号二十一，所以 tangent b 等于五分之根号三。来看第二小问， 若 b 方加 c 方等于八，求 b、 c 在 三角形 a、 b、 d 中由余弦定里可得。在三角形 a、 c、 d 中由余弦定里可得。右边相加等于二分之， a 方加二，等于左边相加 b 方加 c 方。题目说 b 方加 c 方等于八，所以解得 a 等于二，根号三。 三角形 a、 d、 c 的 面积等于二分之一，乘以根号三乘以塞引角 a、 d、 c 等于二分之根号三解得塞引角 a、 d、 c 等于一，而 a、 d、 c 大 于零，小于派，所以角 a、 d、 c 等于二分之派，所以 b 等于 c 等于二。 第十八题， a、 n 是 等差数列，而 b、 n 是 一个分段数列， s、 n 和 t， n 分 别是 a、 n 和 b， n 的 前 n 相和 s 四等于三十二， t 三等于十六。第一小问，求 a、 n 的 通项公式，可以设等差数列， a、 n 的 公差为 d。 当 n 等于二， k 减一时， b， n 等于 a， n 减六。 当 n 等于二 k 时， b、 n 等于二 n， 那 么我们就可以把 b 一、 b 二、 b 三列出来，相加就是 t， 三等于十六，而等差竖列 a 二等于 a， 一 加 d， a 三就是 a 一 加二 d， a 四等于 a， 一 加三 d 前四项相加就是 s， 四等于三十二解的 a 一 等于五， d 等于二，所以 a、 n 等于二， n 加三。 再来看第二问，证明，当 n 大 于五十， t， n 大 于 s， n。 由第一问算出的 a、 n 通项公式，我们可以算的 s、 n。 将 a、 n 的 通项公式代入 b， n。 当 n 为偶数时，将 b、 n 减一加 b， n 等于六， n 加一， 将 b 一 加 b， n 看成首项，将 b n 减一加 b， n 看成末项。项数一共有二分之 n 项，首项就是十三，末项等于六。 n 加一等于二分之 n， 方加二分之七 n。 当 n 大 于五时， t n 减 s， n 等于二分 n 乘以括号 n 减一大于零，因此此时 t n 大 于 s n。 当 n 为基数时， t n 等于 t， n 加一，减 b， n 加一， 此时的 n 加一为偶数。适合这里的求和公式。将 n 加一代入 b， n 加一就是这里的通向公式。最后结果等于二分之三 n， 方加二分之五 n 减五，当 n 大 于五时， t n 减 s n， 而 n 大 于五， 所以这里大于零，所以整体大于零，因此 t n 大 于 sn。 综上，当 n 大 于五十， t n 大 于 sn 来看。第十九题某研究小组经过研究发现，某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异。经过大量调查， 得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布值。方图，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c。 将该指标大于 c 的 人判定为阳性，小于或等于 c 的 人判定为阴性。 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，即为 p c。 误诊率是将为患病者判定为阳性的概率，即为 q c。 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。第一小问，当漏诊率 p c 等于百分之零点五时，求临界值 c 和误诊率 q c。 漏诊率是指将患病者判定为阴性的概率，小于等于 c 的 人判定为阴性。我们来看患病者，这里最左边，这里的矩形面积为五乘以零点零零二，大于题所给的百分之零点五的漏诊率， 所以 c 就 在九十五到一百之间。 c 减九十五乘以零点零零二，等于百分之零点五，解得 c 等于九十七点五。 误诊率是指将未患病判定为阳性，也就是大于 c 来看未患者，这里此时的 c 等于九十七点五，计算一下这里大于 c 的 矩形面积，即可计算可得 q， c 等于百分之三点五，即误诊率等于百分之三点五。来看第二小问 函数 f c 等于 p c 加 q c。 当 c 属于九十五到一百零五时，求 f c 的 解析式，并求 f c 在 区间九十五到一百零五的最小值。 当 c 属于九十五到一百时， f c 的 解析式是这样的，其中 c 减九十五乘以零点零零二就是漏诊率。 p c 后面的一百减 c 乘以零点零一，加五乘以零点零零二，就是误诊率， 计算可得，等于负零点零零八。 c 加零点八二，结合 c 的 取值范围可得大于等于零点零二。当 c 属于一百到一百零五时， f c 是 这样的， 前面这里是漏减率，后面这里是误整率，计算可得等于零点零幺。 c 减零点九八大于零点二，整理可得 f c 的 解析式，所以 f c 的 最小值为零点零二。 来看第二式题，题目给出一个三棱锥，并且 d a 等于 d c， b d 垂直 c d 角 a， d b 等于角 a， d c 等于六十度异为 bc 中点。第一小问证明 bc 垂直 d a 连接 a e， d e。 因为异是 bc 中点， db 等于 dc， 所以 d e 垂直 bc， 因为 d， a 等于 db 等于 dc 角 a， d、 b 等于角 a， d、 c 等于六十度， 所以三角形 a、 c、 d 和三角形 a、 b、 d 均为等边三角形，所以 a、 c 等于 ab。 从而 a、 e 垂直 bc 由 e 二 a、 e 交 d， e 于点 e， a、 e 又属于平面 a， d、 e。 所以 b、 c 垂直平面 a、 d、 e 而 a、 d 属于平面 a， d、 e。 所以 b、 c 垂直 d、 a 来看第二小问点 f 满足向量 e、 f 等于向量 d、 e。 所以 b、 c 垂直 d、 a 来看第二小问。点 f 满足向量 e、 f 等于向量 d、 e 求二面角 d， a、 b、 f 的 正弦值。 不妨设 d， a 等于 d， b 等于 d， c 等于二。因为 b、 d 垂直 c、 d， 所以 b、 c 等于二根号二 d， e 等于 a， e 等于根号二， 计算 a、 e 方加 d， e 方等于四，是等于 a、 d 方的，所以 a、 e 垂直 d、 e 又因为 a、 e 垂直 b， c、 d、 e 交 b、 c 于点 e， d、 e 和 b、 c 都属于平面 b、 c、 d。 所以 a、 e 垂直平面 b、 c、 d 以 e 为圆点 e， d、 e、 b、 e、 a 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系。 如图所示，有了这里的线段长度和 e 为圆点后，我们就可以得出 d、 a、 b 的 坐标。设平面 d、 a、 b 和平面 a、 b、 f 的 法向量分别是 n 一、 n 二 二面角 d， a、 b、 f 的 平面角为 c 塔有 a、 b 两点坐标，可以得到向量 a， b 有 d， a 两点坐标，可得向量 d a。 题目说向量 d， a 等于向量 e、 f， 所以 f 点坐标为负根号二，零根号二。再结合 a 点坐标，可算出向量 a、 f。 接下来把步骤写到右上角这里。在三角形 d、 a、 b 中向量 d a 和向量 ab 垂直法向量 n 一， 所以向量 d a 点乘向量 n 一 等于零，向量 ab 点乘向量 n 一 等于零。取 x 一 等于一，解得 n 一 等于一，一同理可得 n 二向量，所以口塞 c 塔等于三分之根号六，从而塞盈 c 塔等于三分之根号三，所以二面角 d a、 b、 f 的 正弦值等于三分之根号三 来看第二十一题，已知双曲线 c 的 中心为坐标原点，左焦点为负二，根号五零，离心率为根号五。第一小问求 c 的 方程，先把双曲线设出来，由题目所给的左焦点坐标可得 c 等于二，根号五。 离心率 e 等于 a 分 之， c 等于根号五解得 a 等于二，所以 b 等于根号下 c 方减 a 方等于四，所以双曲线方程为四分之 x 方减十六分之外方等于一。来看第二小问 既左右顶点分别为 a 一、 a 二过点负四零的直线与 c 交于 m n 两点 m 在 第二项线直线 m a 一 与 m a 二交于点 p， 证明 p 在 定直线上。 由双曲线方程我们可以知道， a 一 和 a 二点坐标设 m n 点坐标，显然直线斜率不为零，并且过定点负四零， 所以设 m n。 直线方程为 x 等于 m y 减四，与双曲线连立。维达定律计算， y 一 加 y 二， y 一 乘以 y 二。因为 m n 两点的纵坐标一号，所以这里小于零，也就是四 m 的 平方减一小于零解得 m 的 范围 有 m a 一 点坐标可得 m a 一 直线方程，同理可得直线 n a 二方程 连立两条直线方程可得。将 x 一 带入这里的方程等于 m y 一 减四， x 二等于 m， y 二减四分子，这里多减去二 y 一， 后面加回来，凑出 y 一 加 y 二，将上面的 y 一 加 y 二和 y 一 乘以 y 二带入化简，可得等于负三分之一，所以 x 减二分之， x 加二等于负三分之一。解得 x 等于负一，所以点 p 再定直线 x 等于负一。上运动 来看最后一道压轴题，第一问，证明这个不等式在区间零到一横成立。先证明右边部分构建函数 f x 等于 x 减赛赢 x， 对 f x 求导是大于零的，对任意 x 属于零到一横成立， 所以原函数 f x 在 零到一上单调递增，可得 f x 大 于 f， 零等于零，所以 x 减赛赢 x 大 于零一项，可得 x 大 于赛赢 x。 再来证明左边部分同样构造一个函数对其求导，再构造一个 g x， 函数等于 g 撇 x， 求导是横大于零的，在零到以上，所以 g x 在 零到一单调递增，可得 g x 大 于 g， 零等于零，也就是 g 撇 x 大 于零，在零到以上， 所以 g x 在 零到一单调递增，可得 g x 大 于季零等于零。所以塞因 x 大 于 x 减 x 方中上所述来看第二问，给出一个 f x 函数，若 x 等于零是 f x 的 极大指点，求 a 的 取值范围， 函数是带对数部分的，所以这里大于零，所以函数的定义域是负一到一，若 a 等于零， f x 等于，因为 y 等于负，另一 u 在 定义域内单调递减， y 等于一减 x 方再负一到零，单调递增，在零到一单调递减， 所以 f x 再负一到零，单调递减。在零到一单调递增。此时的 x 等于零是 f x 的 极小值点，不合提意，所以 a 不 等于零。 当 a 不 等于零时， f x 是 这样的。根据余弦函数偶函数的性质，所以口塞 a x 等于口塞 a 的 绝对值， x 令 a 的 绝对值等于 b， 所以 就有此时的 f x 是 这样的，我们将负 x 代入，发现是等于 f x 的， 所以函数 f x 在 定义域内是偶函数。对 f x 求导。我们再来看回第一问，我们证明的不等式。塞因 t 是 小于 t 的， 当 t 属于零到一时，而要是这里的塞因 b x 可以 使用这里的不等式，则要 b x 大 于零小于一， 我们取 m 等于 b 分 之一合一的最小值。当 x 属于零到 m 时， b x 是 属于零到一的。为什么呢？ 因为当 b 分 之一大于一时，这时 m 取的最小值就是一， x 属于零到一， b 分 之一大于一，则必小于一，所以两个小于一的数相乘必定小于一。当然了，这里 x 和 b 都是大于零的。 反过来，如果一大于 b 分 之一，所以此时 m 取最小值。 b 分 之一， x 属于零到 b 分 之一时， b 和 x 相乘必定小于一。因为 b 乘以 b 分 之一等于一，而 x 小 于 b 分 之一。 搞清楚这里之后，我们就可以对这里的赛盈 b x 使用上述不等式有一可得。注意，这里是负号，所以不等式方向改变 整理可得。当 b 方小于等于二时，整体是大于零的。所以此时 f x 的 导函数大于零，即当 x 属于零到 m 时， f x 单调递增。又因为 f x 是 偶函数，根据偶函数的对称性， f x 在 负 m 到零单调递减， 此时 x 等于零，是 f x 的 极小值，不合提意。再来看 b 方大于二的时候，取 x 属于零到 b 分 之一， 此时的 b x 一定属于零到一。由于左边部分的不等式，可得整理得到对括号里面这部分构造一个新函数，等于这里对其求导。 这里的二次函数开口向下把零和 b 分 之一分别代入，发现都是大于零的，所以祈祷函数大于零。对任意 x 属于零到 b 分 之一。横成立可知， h x 在 区间零到 b 分 之一单调递增， h 小 于零， h b 分 之一大于零， 所以 h x 在 零到 b 分 之一存在为一零点 n。 当 x 属于零到 n 时， h x 小 于零，并且这里的 x 和一减 x 方均大于零， 所以此时的 f 撇 x 小 于零，即当 x 属于零到 n 时，则 f x 在 零到 n 单调递减。结合偶函数对称性， f x 在 负 n 到零单调递增， 所以 x 等于零是 f x 的 极大值，符合提议中上所述 b 方大于二，即 a 方大于二。解得 a 大 于根号二或小于负根号二。
2347一镜数学
01:31查看AI文稿AI文稿我们已经知道 e、 f、 g、 h， 它是什么四边形呢？平行四边形永远是的。那么什么时候是矩形呢？就是当 a、 c 垂直 b、 d 的 时候，这个黄色的四边形，它就是矩形。为什么？因为 h、 g 是三角形， a、 c、 d 的 什么中位线？那这个平行它吧，那这个九十度，那这个角多少度啊？同理， e、 h 是 哪个三角形的中位线？ a、 b、 d， 因为 e 是 ab 的 中点， h 是 ab 的 中点，所以 e、 h 是 三角形， abd 的 中位线，那这个就平行它，这个九十度，那这个角也多少度？ 九十度？ e、 f、 g、 h， 它是平行四边形的。现在正当中有一个角九十度，有一个角是九十度的。平行四边形是什么形呢？就是矩形。当 a、 c 和 b、 d 对 角线相等的时候，这是一个什么？ 里面黄色的四边形什么时候是正方形呢？ a、 c 和 b、 d 是 什么关系呢？垂直且相等，哎，垂直且相等，中间的四边形是什么形状， 取决于对角线和 b、 c 的是什么关系，数量关系、位置关系，跟 a、 b、 b、 c、 c、 d、 a、 d 的 长短一点关系也没有。
