期中数学考试八年级这个题目呢，对八年级的同学来说难度比较大来看题目， ab 等于六， f 是 外角平分线，角 dce， 这个外角的平分线也就这两边是四十五度的，以 c、 f 为边作矩形， g 点呢，恰好落在边 a d 上， g f 与 c、 d 相交点， p 连接 a f 和 h f， h f 呢，二倍根号十，求 a f 的 长度，求这个长度。我们看到这个题干信息提供的时候呢，就是角平分线，我们想到往角两边做垂线，那么做一个垂线，发现这四十五度以后，这个角落里就有一个等腰直角三角形， 那要求 a、 f 的 长度呢？我们需要把 a、 f 放在一个直角三角形中，那我们可以尝试 f 向 a d 所在的直线也做一个垂直，就点 q， 那 这个位置呢？我们发现 q f， m 呢，肯定是共线的，同时 q m 呢也等于六， 也就是说我们只要能够想办法求出 q f 和这边 a q 的 长，勾股定律就能求出 a、 f 的 长。这里我们可以尝试设一个未知数出来，因为这边是个等腰直角三角形，我们从这里下手，这两边假如都是 x， 上边呢是一个六减 x， 但是发现这边呢，无法用 x 来表示，只有 d， q 呢是，这里是 x 的， 现在缺一个 g d 的 长度。 g d 我 们连接 g c， 因为矩形呢，它给了个 h f， 我 们这个长度没有用矩形的，对角线是相等的， c g 是 等于 h f 的， 等于二倍根号十，再加上我们知道 d c 的 长度是六，因此我们可以通过勾股定律在直角三角形 g d、 c 中 可以解除 g、 d 的 长度等于二，这里是二，我们发现这里是四十五度，那九十度旁边呢？ g f q 也是四十五度，那就是直角三角形 g q f 是 一个非常特殊的直角三角形，它是等腰直角三角形，所以呢，在这个三角形中呢，我们可以得到 g q， 它是等于 q f 的， 跟我们写的这个关系是二加 x 是 等于六，减 x x 正好也等于二，好，我们就已经求解出来这个是二，那 q f 呢？这里是四， 由于 a d 的 总长呢，它也是六，所以最后 a q 呢等于八， q f 等于四，因此最后 a f 的 长度就能求解出来四倍根号五。 整个题目呢，需要的辅助线比较多，要要求同学们能够清晰地应用到矩形的对角线性质，还有角平分线的性质，以及等腰直角三角形的特性，综合要求是非常高的。
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所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？
337喜欢数学的张张张张
03:34查看AI文稿AI文稿通过这道题，我们来学三种辅助线，巩固六个知识点。题目当中给出了一个直角三角形斜边的长度和一个锐角十五度，让我们求直角三角形的面积，既然他已经给出了斜边的长度，那么我们求出斜边上的高不就可以了吗？ 如何来求这个斜边上的高呢？很简单，我们要用好这个直角和这个十五度，在直角三角形当中，斜边上的中线 就等于斜边的一半。通过这个知识点呢，我们可以做出弧线，我们取 a、 c 的 中点， e 点连接 b， e。 斜边上的中线等于斜边的一半，很显然 b 的 长度就等于四厘米， e、 c 的 长度也等于四厘米等边对等角，那么这个角呢，就是十五度，这个外角就等于这两个角相交，自然就等于三十度。 这个时候再来求这个 b 的 长度，我们可以放到直角三角形 b、 d 当中来求三十度角，手对着直角边就等于斜边的一半，很显然它就等于两厘米斜边上的高。 b、 d 求出来，那么底乘以高除以二，轻松搞定。三十度、 四十五度，六十度是三个常用的特殊角，那么这个十五度的角，我们只需要再做一个十五度的角， 两个十五度就构造出了三十度延长。 ab 与这条边相交于地点 进来看一下这个三角形 abc 和 dbc 是 什么关系，这两个角呢？直角相等一条公共的边，两个十五度的角相等角边角，很显然这两个三角形呢是全等的关系。 既然全等，那么他们的面积呢，自然也是相等的，我们只需要求出整个三角形 a、 d、 c 的 面积再除以二就可以了，这个角是三十度，那么我们过 d 点做 a、 c 的 垂线， 三十度的角所在直角边等于斜边的一半，那么 d 的 长度呢，就等于 d、 c 的 一半。 d、 c 和 a、 c 是 相等的，都等于八厘米，那么 d 呢，就等于四厘米， d 的 长度求出来了， d 乘以高除以二，就可以求出整个三角形 a、 b、 c 的 面积，你用全等再除以二就可以了。可以看得出来，这个三角的角所列的直角边等于斜边的一半，也是一个非常有用的知识点。 由十五度构造三角的角，我们可以通过这种方式来构造，有没有其他方法呢？当然有，我们可以运用等腰三角形的外角， 我们只需要过 a 点做一个十五度的角出来就可以了。十五度，十五度，很显然，这个三角形 a、 d、 c 呢，它是一个等腰三角形，那么这个外角等于这两个角相加，自然就等于三十度。 三十度角所对的直角边等于斜边的一半，那么在这个三角形 a、 b、 d 当中， ab 的 长度就等于 a、 d 的 一半。我们可以设 ab 的 长度为 x， 那 么 a、 d 呢，就等于二 x， dc 呢，也等于二 x， 这个 b、 d 的 长度呢，可以运用勾股定律，就等于根号三 x， 这个时候我们用一下勾股定力，并结合一下方程，就可以求出 x。 在 这个直角三角形当中， a、 b 的 平方，也就是 x 的 平方加上一个 b、 c 的 平方， 根号三 x 加二 x 的 平方，就等于 ab 的 平方。八八六十四。通过这个方程把 x 求出来，两个直角边的长度都有了，那么这个直角三角形的面积呢？轻松求出来。
39木子老师初中数学
01:21查看AI文稿AI文稿好，今天咱们来看一下这道八年级下册的折痕问题。折痕问题在八下中是经常考的，但是我们经常要用到两到三次的勾股定力，甚至要做辅助线， 是很麻烦的，而且这其中很容易出错。但是今天刘老师教大家一个斜修公式，保证大家简单且好上手。这个公式呢，它只适用于三折后对角顶点重合时， 那我们看今天这道题目，如图，矩形纸片， abc 的 边， a 的 等于九， ab 等于三，将其沿 e f 折点，使点的与点 b 重合， 这里就刚好符合我们公式使用的范围。让我们求 e f 的 长。好，那我们直接代入我们的公式， e f 呢，就等于我们的宽除以长，就是我们的根号下三的平方加上九的平方， 快减一下得出三分之一乘以我们的三三得九，加上八十一就是根号下九十 等于三分之一乘以三倍根号十，就得出根号十的答案。好，大家看一下跟你原来的方法对比，是不是这个要简单的多呢？好，今天的讲解就到这里。
10:49查看AI文稿AI文稿同学们好，今天学习的是平行四边形长考模型十字架， 我们可以看到南昌五中二零二四年到二零二五年八年级下期末第二十三题有考场。南昌一中二零二三年至二零二四年八年级下期末第二十三题有考场。 什么是十字架模型？针对我们初二这个阶段，我们可以看到这个图当中，它有一个正方形，有两条线段互相垂直，形如 十字，称为十字架模型。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，我们能看到一点呢，它在线段的 c 这条边上， f 是 在 b、 c 这条边上， 然后并且呢会告诉大家这两条线段它是有垂直的关系的，它会让我们求证这两条线段相等。如图，我们要求证 a、 e 等于 d、 f。 首先在这个图当中，我们能看到它出现垂直，垂直，我们可以想到什么东西？ 垂直，我们可以想到他会有九十度，那我们正常从前往看信息，我们也能看到正方形，正方形一旦出现呢，说明他考正方形有关的性质。也就在这个图当中呢，我们有很多个九十度，比如说这个蓝色角是九十度 方法技巧，多个九十度的时候，他会有什么？他会有角相等，在这个角相等当中呢，因为角二加角三等于九十， 角二加角一也是九十度，所以呢可以得什么？角一是等于角三的同角的与角相等，那我们得到这个角相等用来干什么呢？我们一般来讲得到新的条件，他是为了后面做铺垫的有角相等，我们并且发现这两个角他不在同一个 三角形当中，所以的话呢，它很可能是用来正全等的，那正全等的话呢，它条件够不够呢？在这个图当中我们能看到它其实够的，为什么？因为它本身就有正方形，也是这条这条线段的有角一角一所在的三角形 与角三所在的情况下，还有正方形，它有角，是九十度的情况下， 黄色三角形和这个绿色三角形它会有全等的关系，是由角边角来证明的。在这里的话呢，九十度加九十度其实相当于什么是正方形？当正方形当中碰到线段，它互相有垂直的关系的时候， 就可以得到它们之间线段会相等，其实是因为有全等才得的线段，它的相等也就是可以证出 a e 是 等于得 f 的。 我们来看下一个图形，这个图形当中跟上一个图形有什么相同的地方呢？我们能看到它也是有一个正方形，然后其次呢，它还可以得到什么？就是这两条线段它会有垂直的关系，也就是 he， 它是垂直 于 d f 的， 也就是这个图形跟上个图形它其实很像，但是也有不同地方。在这个背景下呢，我们是否能够证明出一样的结论，也就是 h e 会等于的， f 是 可以的，我们可以 把这个图形转换成我们之前上一个图形，也就是通过平移，我们可以通过平移把线段往上平移 h e 先平移到 a e p， 通过平移的方式，我们再证明什么呢？我们证明 a e p 等于 多 f， h e 等于多 f， 所以主要借用了一个平移，如果往上平移的话，我们可以怎么去写呢？我们可以写过 a 点做 a 一 撇平行 h e， 然后因为 a 一 撇平行 h e， 然后并且呢它本身正方形，所以呢 a h 平行一撇 e， 所以 四边形 a h e e 撇为平行四边形， 所以可以得到 a 一 撇其实是等于 h e 的， 然后通过上一个图形去证明，再加一个等量代换，就可以得到我们 这一问需要得到的一个结果。那我们再把图形稍微进行一个变形，也就是 g 点呢，它不再和得点重合， h 点它也不再跟一点 a 点重合， 这个时候条件还是一致的，有正方形和垂直，请问这两条线段它是否相等？很多同学就反应过来了，它仍然是相等的，我们可以借助上一个图形类似的方法，将这些线段呢进行一些平移，使得 图形变成这种形式，证明红色线段相等，然后再得一些平移之间的转换，得到我们最后想要的结果。这道例题是南昌五中二零二四年 的一个考题真题二十三题，他考的是一个压轴大题。在这个题当中呢，首先我们可以看到的是他出现了正方形，我们刚刚说了什么时候是十字架木形，是当正方形 遇到了垂直的时候，我们可以得到的是这两条线段他会有相等的关系。 好，现在我看到了正方形的这个背景，但是呢，在题目后面给的信当中没有出现垂直，那他是否不是考察十字架模型呢？ 我们看到小明将这个三角形 a b e 沿 a e 翻折，得到另一个三角形，通过翻折我们可以得到他其实有垂直的关系， 所以它满足十字架模型，红色三角形以及黄色三角形，它其实是有全等的关系， a e 等于 b f， 原理就是正方形加上垂直，正方形当中会有九十度， 垂直当中会有九十度，也就是同一个角的与角会相等。这个角相等可以用来干嘛呢？可以用来正全等，正全等以后呢？从而就可以得到我们证明的线段相等。 第二问这个图形呢，较之前发生一些变化，但整体来说呢，还是会出现十字架模型，因为首先第一个它的背景是在正方形的背景下，其次呢，它还涉及到了一个翻折，也就是我们需要的一个 垂直，所以它的核心方法跟我们一开始讲的那个模型是一致的。我们也能发现这道题当中 g 点它并没有跟 a 点进行重合， 需要把它转换成重合的形式去得到。所以将 g e 这条线段我们可以平移到 a 一 撇，从而可以证明出这个四边形它是一个平行四边形。 接下来就可以正常的去证明这个黄色三角形与这个黄色三角形它是有全等的关系。我们再来看一下我们这么做对于这道题的问题是否有帮助。 a g 这条线段以及 c e 这条线段，以及 得 f 这条线段，他们之间的一个数量关系，数量关系最后要得什么呢？其实就是这三条线段最后放在一个等式当中，通过红色的平四边形 a， g， e， e 撇，我们可以将 a g 转 转成一一撇，因为平四边形它对边会相等，并且在几何题当中能够进行转换的，我们都会进行转换，所以可以得到 a g 和另一条线段， a g 和另一条线段它就可以拼在了一起，原本是 a g 和 e c， 由于它转换以后呢， a g 转换成了一一撇，一一撇，加上 e、 c 可以 加在一起，它可以拼成线段一撇 c。 好， 那现在我们可以去研究什么呢？去研究新的这条线段和我们要求这条线段有什么关系？ 当然也就是正图当中两条蓝色线段的关系。我们也知道这种题的核心本质还是在于正方形和垂直，它得到的一个全等得到线段相等，所以黄色三角形全等情况下，我们发现哈， 比如说这条线段是 x 的 情况下，是不是这条线段也是 x， 因为它们两个是全等三角形，黄色三角形、全等三角形的对应线段最后的一个结果就是的 f 的 长度会等于这个正方形的边长减去 x， e 也会等于正方形的边长减去 x， 所以 它们是会有相等的关系， 然后我们把它再变回去，就可以得到 d f 其实是等于 a g 加上 e c 的。 好了，这一老师给大家准备了另一道题，是南昌一中二零二三年到二零二四年的一个真题。第二、三题是一道压轴题， 我们可以利用今天我们学习的方法来进行一个挑战。
05:28查看AI文稿AI文稿特殊四边形的性质综合题作为八年级下册期末必考题型非常重要，请大家务必先收藏保存下来。今天要和大家分享的是一道和正方形有关的线段最小值问题，题目来自于二零二五年杭州下城区八下期末模拟的第十五题。 好，我们来看题，题目是如图，正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为四，我们可以标记一下，它是四点， g 是 边， a 岛的中点，那么 g 呢，是 a 岛边的中点，那么意味着这两条边相等，分别等于二。我们也可以标记一下 点， e 是 边， c 岛上的洞点，这个 e 呢，是 c 岛边上的一个洞点。 并且呢，我们连接 b e， 将 b、 c、 e 沿 b e 翻折，得到了三角形 b f、 e， 那 么既然 b、 f、 e 是 由三角形 b、 c、 e 翻折得到的，那么这两个三角形就有个全等的关系，对吧？连接 g f， 当 g f 最小时， c、 e 的 长为多少？那么要求呢，是这个，但是他有个条件，这个时候的记 f 要最小，那么这个 g f 什么时候最小呢？我们来看一下题目，这个 g 点呢，是一个定点，对吧？但是 f 点呢，是因为点 e 的 变动会导致它位置的变化， 那我们再回到刚刚的翻折，那么通过翻折呢，我们知道 b、 f 呢，是等于 b、 c 的， 对吧？而 b c 呢，是正方形的边长四，所以 b、 f 呢，它是一个定值，而且这个 g 呢是定点。那么我们如果连接这个 b g 的 话， 连接 b g 的 话，这条边 b、 g 也是一个定值，因为在直角三角形 a、 b、 g 中呢，这个 a g 等于二， ab 呢等于四，所以 b g 呢也是一个定值，根据勾股定律很容易得到， b g 呢，是等于二根号五， 我们比值是一比二，比根号五嘛，所以这个是二根号五。所以我们会发现，对于 g f 来说啊，它在三角形 b f g 中，那么有两条边呢，它是定值了，就是 b g 和 b f， 那 么根据三角形的三边关系，那么第三边呢，它是 大于两边之差，小于两边之和，对吧？那么我们这个 g f 呢，它一定是大于这两个的差的。但是也有一种情况，就是当这三个点共线了，不是三角形的时候，那么这个 g f 呢，它就可以去等号，也就是 b f g 三点共线时，这个 g f 可以 取到最小。那我们来看一下它共线的时候是什么情况。 我们看到这个图，这个图呢是 b f g 已经共线了，那么现在要求的是这个 c e， 对 吧？那这个时候 c e 怎么来求呢？我们求边长的话，通常有两种方法， 就是直接法和间接法。那么其中直接法当中呢，在我们整个初中阶段，一般是三种方法，第一种就是勾股定律，第二种是初三学到的相似三角形对应边乘比例。 那么在这里的话呢，我们是八年级下册，所以不涉及到相似，那我们就看一下勾股和面积法。那对于这个翻折来说呢，这个角 b f e 呢是直角， 而这个 e f 呢，是等于 c e 的， 对吧？所以这两条边呢，又是相等的。那我们看一下整个这个题目呢，已知的正方形的边长，已知的这些这个中点，对吧？也是知道的， 那所以这道题的话呢，我们用勾股或者面积是都可以的啊，那我们设一下 c e， 假如设 c e 为 x， 如果用面积法的话，我们可以观察到这个梯形 bc 倒记，这个面积它是由三块三角形的面积构成的，一个是三角形，这个倒溢记， 还有一个就是 b g e， 对 吧？那如果我们用面积法的话，是很容易表示出来一个关于 x 的 一个方程的，可以列出来，那么 x 值可求，那如果用勾股定律的话呢，这个导 e 的 话呢，是等于四减 x， 那记忆呢？在这个直角三角形当中，它可以表示出来，对吧？那么在 g f e 这个直角三角形中呢，也可以表示出来，因为 b f 呢，是等于四的嘛，然后这个 g f 呢，是等于 b g 减 b f 也是可以的。 呃，计算来说呢，是面积法更简单，所以等下的过程我会把用面积法这个过程给大家呈现一下。 那所以这道题的关键呢，是找到什么时候 g f 是 最小，也就是确定 b f g 三点共线，然后其次就是用一下我们这个翻折前后对应边的一些关系，以及用面积法去求解都是关键。 那么对于我们翻折题来说，前后对应的边，前后对应的角，也就是说这两个全等的图形一定要找到，这也是很关键的信息。 好，今天这道题我们就分享到这里，如果觉得对你有所帮助，可以给黄老师点个赞，加个关注，谢谢大家。
18:01查看AI文稿AI文稿大家好，我是讲数学的。好小何老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百五十四页练习 啊，这页练习呢，主要讲的也是加权平均数，但是这里面的加权平均数呢，他的这个 权，他不像前面呢，他给的特别明显啊，这里边呢，有人数啊，作为权的，这个呢？ 嗯，还有这个，嗯，这个应该是人数作为全的啊，然后你的第三题呢，这里的就是频数啊，也就是这个人数作为全的，那还有呢，是百分比作为全的，所以说这里边呢，嗯，这练习里边呢，他主要的练习的，你看啊，这就是 啊，一组，一是每组数据的平均数和百分数啊，然后呢，二是每组数据的个数，也就是频数或每组数据个数所占的比值，也就是频率。 根据这两类信息呢，以频数和频率为权，看到了没？以频数和频率为权，然后再去计算加权平均数，所以说这里边呢，还是加权平均数，只不过呢，他的权给的不明显了啊。那我们看第一题，他说某跳水队为了 未了解运动员的年龄情况，做了一次年龄调查，结果呢，如图所示，求这个，这个跳水队运动员的年龄结构取整数。 那这平均连进来的，你看一下啊，他的这个十三岁的啊，有八个人，十四岁的有十六个人，十五岁的有二十四个人，十六岁的有两个人，那这里边的人数八十六，二十四和二就是分别是年龄十三、十四、十五的权， 就是表示他有多少个啊，说白了就是你十三岁有几个啊，这不就是那个权吗？啊，那也算十五岁占的那个比中比较多一些啊，这就是权。所以说来，我们列一下第一题 啊，平均数啊，用 x 八来表示，那他求的是平均年龄，那我就要用总年龄去除以总人数啊，总年龄除以总人数，那也就是十三岁的有八个人，那十四岁的有十六个人，十五岁的有二十四个人， 那么十六岁得有两个人，然后除以总总人数，就是八加十六加二十四再加二，然后我们计算一下啊，他的结果保留整的，说明他得约，等 咱先直等一步吧啊，要个数据是吧？嗯，我们来计算器算一下啊， 十三乘以八，一百零四，加上十四乘十六，再加上十五乘二十四，再加上十六乘二，等于七百二， 然后下面呢是他俩四十，这一共是五十，所以再去除以五十 呀，怎么算的呀？呀，七二零除以五十等于保留整数，就是约等于十四十四啊，十四岁， 那四舍五入呗，是不是？所以这呢是第一题，要分清哪个是权啊，然后第二题呢？嗯，这个题有点计算量太大了啊，你看这里的数， 这都四千两千啊，上千来这个呢？来看一下题啊，说某超市有五家分店，其中一天的营业情况统计结果如下表所示， a 店结账人次有四千人， 每人次平均消费金额是四十六元，非现金结账的百分比占了百分之七十， 那这百分之七十就是这四千人有百分之七十。是啊，小微信啊，支付宝啊，就是非现金结账的啊，然后其他的我就不念了。那我们看问题，他说这家超市的每人次平均消费金额 和非现金结账百分比分别是多少？那么第一问就是每人次平均消费金额， 那你说每人次不就是平均一个人消费多少钱吗？那你这家超市这五个分店是不得一起算，所以是，嗯，五个分店的结账总人次， 能听懂吗？叫什么？五个分店的消费总金额去除以五个分店的结账总人次，然后求出平均一个人啊，那个消费多少钱 啊？那么这个这个道理听懂之后来我们列一下算式啊。我这个呢，不写具体的小步骤了，他这个数太大了，算式也太长了啊，那么我先写一下啊，叫嗯， x 八 叫消费总金额，我把公式写在这啊，消费总总金额去除以这个结账总人次呀，账都写错了 啊，消费总金额除以结账总人次，那么等于这个老长一个算式了，来 结那个消费总金额。你看 a 分 店是有四千个人结账平均是啊，四十六块钱，那就是四千乘以四十六 加上一分啊。 b 分 店的两千乘以三十二，加上 c 的 乘以六十八，加上七千乘以个九十五，再加上四千乘以八十， 这是消费总金额去除以你的结账总人次，四千加两千加三千加七千再加四千，然后等于，嗯，上面的啊，我们来计算一下， 是四十六乘以四千，加上三十二乘以两千，加上六十八乘以三千， 加上九十五乘以个七千，再加八十乘以 四千，等于一四三七零零零，这是消费总金额。那我们再算一下你的总结上这种人次啊，四千加两千 四加二加三加七，再加四等于二十一二三。这么多种人次啊，那我们再算一下，等于 一四三七零零零除以二万，嗯，等于七十一点八五元。 第一问就答完了，第一问就做完了啊，那么第二问他说非现金结账啊，百分比。 非现金结账百分比啊，那么非些那个什么什么的非现金结账百分比你得用啊，非现金结账百分比你得用你的这个，嗯， a 分 店里边非现金结账的人数，然后加上 b 分 店里非现金结账的人数，再加 c。 啊。商店里非现金结账的总人数一直加到 e， 用你们这个非现金结账的总人数去除以你结账的总人数，就能求出他所对应的百分比了啊。我再说一遍， 叫做非现金结账 总人数 去除以这个结账总人数， 然后乘以什么？乘以百分之百，不就求百分比了吗？啊，所以来咱们来算一下啊。等于， 呃， a 商店是四千乘以百分之七十。有这么多百，那个非现金结账的两千去乘以百分之七十六， 加上你的三千乘以百分之七十三，加上你的七千乘以百分之八十五，再加上四千乘以百分之八十二， 去除以你的四千加两千加三千加七千加四千，等于下面是二万，对吧？那上面我们得算一下， 上面是，嗯，四千乘以零点七呀，可以口算，四千乘以零点七，加上你的两千乘以零点七六，加上你的三千 乘以个零点七三，加上七千乘以零点八五，再加四千乘以个零点八二， 是一五七四零，一五七四零，然后乘以百分之百等于，嗯，一五七四零，再去除以两万， 嗯，所以等于百分之七十八点七啊，百分之七十八点七 啊，所以是第二题没有地方答了，我就不答了啊。然后第三题说，对于一个班学生上学路上所需的时间进行调查，说统计结果如下表所示， 那么所需时间在一到十一分钟的有十八个人，占了百分之三十六啊。十一到二十一分钟的占的百分比是百分之四十六，是二十一到三十一分钟的有七个人。然后三十一到四十一分钟的是两个人，占了百分之 四啊。然后呢，第一个问呢，是让我们将统计表补充完整，那统计表补充完整，那统计咱们都会是不是？那么，呃，一到十一分钟的人数也知道，百分比也知道，最后这个档呢是人数也知道，百分比也知道。那我要求的是总人数 啊，我可以先求总人数，对不对？要，因为你这还差个人呢。所以呢，你把总人数求了，那总人数怎么求呢？来括号一的啊，总人数 它等于，呃，它也等于冒号啊。用你说你的百分比，是不就是一到十一分钟，这十八个人占总人数的百分之三十六， 那么总人数应该是单位一啊，未知，所以用你的部分人数去除以他部分人所占的分率，那么等于，嗯，五十人 啊，总人数应该是五十人。那我这个十一到二十一分钟的人数就是五十减十八，减七减二，那么他应该等于十三啊。然后你的这个百分比这边， 你可以用一减百分之三十六，减百分之四十六，再减百分之四，就能求出这所占的百分比，这俩是五十八，十六，百分之十四呗。 啊，这个就把表格填完了。那么第二问说这个班级学生上学路上平均所需要的时间 啊？平均所需要的时间，那不就是求平均时，呃，还不是平均速度，平均时间是不是？那么平均时间怎么求？ 平均时间是不得用你的。呃，总的这个总时间 啊，就是你五十个人啊，五十个人所用的总时间去除以这五十个人，是不就可以求出，就可以求出他的平均时间了 啊？再说一遍，叫做用你这五十个人的总时间去除以你总总人数啊，总时间除以总人数就是平均一个人所需要的时间啊。我把这个公式呢给它写在这儿， 叫做 x 八，应该等于的是总时间 除以总人数啊，那我们可以列式。那你说老师列式，这怎么列啊？我这个十八个人的总时间怎么求啊？他给的是一个取之范围。那我怎么确定这十八个人的那个 嗯，所用的时间呢？所以这里就要用到了我们前面所提到的那个权 啊，那这个权十八人就是这段时间里的权啊，就这个时间有十八个人，这个时间里有十三个人，你说十八、十三、七个二，是不都是权？ 关键时间怎么确定啊？这就要用到我们前面啊，以前学统计的时候用到的一个词叫做祖宗子值，叫祖宗值啊， 祖宗值，那么这个祖宗值怎么求呢？就用你的这个取值范围当中的前面这个头，加上后面这个尾，除以二等于六，也就是这段里的啊，时间就是六。 然后呢，这段里的时间呢，就是十一加二十一除以二等于十六，那这个是二十一加三十一除以二，等于五十二是二十六， 那这个就应该是三十六啊。三十一加四十一除以二，等于三十六， 用他们的祖宗值来当时间十八，人数是全，所以呢，总时间就是六乘十八，加上十六乘十三，加上二十六乘七，加三十六乘二，再去除以总人数。 我这是不已经有总人数。如果你第一问只需要填表，不需要列算式的话，那你这个位置你就列一个算式。如果你第一问列算式了啊，那么我这块直接可以写五十，然后来计算一下， 是十十八乘以六，加上十六乘十三，加上二十六乘七，加上三十六乘二，等于五百七。 五百七，再去除以五十等于 十一点十。哎呀，我算错一个数，好像 这个是二十七，哎呀，这是二十三啊， sorry， sorry， 这玩意是二十三，你看数算的不对了才知道啊。数算的不对了，这个你看才十一分钟， 二十三啊，算错一个数，那我们再把这块再重算一遍，就是十八乘以六，加上十六乘以二十三加上二十六乘以七，加上三十六乘以二，等于七百三， 七百三，再去除以五十呀，这回就对了。嗯，等于是十四点六，要求取整，那就约等于十五十五，单位啥呀？分钟吧。啊，所以就可以答了。
43讲数学晓红老师
00:36查看AI文稿AI文稿八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三！一、平行线角平分线七、中点四边形模型 十四、对角互补型十五、鸡爪模型 失误最短路径问题圆柱长方体完整版分享！
113小芋绵绵
11:22查看AI文稿AI文稿同学你好，很高兴为你讲解这一题。这一期呢，我们来讲解矩形、菱形、正方形当中求定值的问题，哎，是个综合型的问题。 这个求定值问题，什么是定值呢？就是说在这个题目当中，无论它旋转呢？你比如咱们第一问它有旋转，第二问呢，它是动点，就不管我怎么题目当中条件怎么动，哎，怎么变化，那我这个结果它是定值，也就是它结果不变的意思。 你比如像第一题，他说啊，如图边长为定值的正方形 a、 b、 c、 d， 就是 说我这个正方形 a、 b、 c、 d 的 边长，它是不变的啊，是个定值。 他说这个正方形的中心，哎， a、 b、 c、 d， 正方形的中心与正方形 e、 f、 g、 h， 它的顶点 e 重合，什么意思呢？就这个点 e， 它既是我这个三角形 a、 b、 c、 d 的 中心，中心就是我这个点，哎，到我四个顶点的距离相等，哎，这是这这中心，而且这个点 e 呢？还是我这个正方形 e、 f、 g、 h 的 一个顶点，哎，这是第一个条件。 然后呢他就说，啊，什么且与边 a、 b、 b、 c 交于点 m、 n， 这个不重要，他说什么呢？阴影部的面积即为 s， 现在阴影部分面积就这个四边形 e、 m、 b、 n， 这个阴影部分面积面积是记为 s 两条线段，这个 b、 m 和啊 b、 n， 它的长度之和记为 l， 两两个变量，对吧？然后呢他就说，哎，哎，两两个，两个符号，两个变量。他又说什么呢？将正方形 e、 f、 g、 h， 他 是绕点 e 逆时针旋转的，哎，绕这个点，这个正方形他是转起来的，旋转的。然后呢他说适当的角度则有， 你看 a、 b、 c、 d， 它又在说我这个阴影部分面积 s 和我这个 b e m 加 b n 这个长度之和是怎么？是变还是不变？就是，是不是定值的问题。 首先你看啊，这里呢，我们连接了这个 e b 和 e c， 当我连接 e b c 的 时候，你可以想象成什么样子呢？ 就是它在旋转的过程中，它转到什么位置呢？就是这个 ef， 它和我的 e b 重合啊，我的这个 e e h 和 e c 重合，它转到大概是这样的位置的时候，嗯，好，那转到这个位置的时候，我就连接我的 e b 和 e c， 我给它放大一下。啊，好，这里呢，我为了方便表示，我标了个角，角一，角二，角三，看到了吧？嗯，那这三个角看好了，我可以去证明这三角形，哎，这个 b e m 和这个三角形 c e n 这俩三角形可以正全等， 对不？那那有什么条件呢？首先，因为点 e 是 中心吗？所以我的 e b 就 等于 e c 这一个 s 找着了，对吧？ 还有呢，看好了，我这个角和这个角是相等的，怎么相等呢？你看你连出去，连出去，哎， 这样子，这样，那我这个角四十五度，这个角是不是也是四十五度啊？所以这俩角相等，哎，找到了一个角，找到了一条边， 那另外呢，就是我标这个角一，角二，角三，这，这里了，看好了，角一加角二是九十度吧，角三加角二是不也是九十度，所以角同角互余，那相等的角互余，同角互余，那我这个角一就等于角三， 好，那是不是就是我的 a s a 啦？这俩三角形全等。这俩三角形全等之后呢？第一部分我们就可以知道我们所求的阴影部分的面积，也就是这个四边形啊， e、 m、 b、 n 这四边形的面积，它就等于我这个三角形 面积，这两个三角形面相等，对吧？我就把这个阴影部分面积转移成了我这个 e、 b、 c 的 面积， 而我这个三角形 e、 b、 c 的 面积呢？它正好是我这个矩形。啊，不，这个，这个正方形，哎，这个正方形 a、 b、 c、 d 面， a， b， c、 d 面积的四分之一， 对吧？那正好是我正方形面积的四分之一。我正方形边长是定值，面积肯定也是定值，所以硬部的面积它就是个定值，也就是不变。哎，定值就是不变，所以 s 是 不变的。 好，呃，那，那继续 b、 m 和 b n 呢？好了，因为我们刚证了这两个三角形全等，所以我们的 b、 m 是 不应该等于 n， c 呀，或 c n 呐。 好，那我的 b m 加 b n 就 转成了我的 b n 加 c n， 也就是 b c， b， c 是 谁？它是正方形 a， b， c， d 的 边长边长是定值，所以我们的 l， 也就是 m， b 加 b n， 它也是个定值。 那也就说他所让我们去，让我们去啊，去讨论的这个阴影部分面积，这个 s， 以及我们的 b， m 加 b n， 这个 l， 它都是定值，都是不变的，所以 s 与 l 均不变， 发现了吧？哎，好，这是第一题，我们再来看第二题。嗯，第二题呢？他说如图，在矩形 a、 b、 c、 d 当中 点 e 呢？是对角线上的一个点，嗯，这点 e， 然后说 a， e 等于 ab， 等于根号三倍的 bc， 还告诉我们 bc 是 a， 如果 bc 是 a 的 话，你可以标志是 a， 那 我们的 a、 e 这个还有 ab 就 都是根号三 a， 那 同样我们的 cd 也是根号三 a， 对 不对？或者说这个矩形的长就是根号三 a， 宽就是 a。 好， 他说点屁是一动点好了吧？动屁是动动的啊，点屁是一动点，他说则点屁到 a b 边 a b 和 a c 的 距离之和，那他到点屁到 a、 c 的 边距离就是 pm， 到 ab 边距离就是 p n 就垂线嘛，对吧？它说它的距离值和就是 pm， 你 看 pm 加 p n， 它的值有最大值，最小值是定值还是定值？二分之一，定值二分之根三 a 啊，你要如果是有最值，你把最值给我求出来，如果是定值呢？把定值也求出来。 好，那我们具体分析一下，给它放大一下这个图看一下啊。首先好了，既然我们的宽是 a， 长是根号三 a， 那 作为对角线，这个 a c 是 不是能求了？哎，就等于 a b 方加 b， c 方都可以啊， a d 方加 c， d 方也可以，就等于二 a， 所以 a c 的 长，这个 a c 的 长是知道的。好，如果 a c 的 长知道好了， 我这里做了什么辅助线呢？第一点呢，我就是把这个 a p 连起来了，这个 a p 连起来，大家应该能知道为什么。你看这个 p m 在 这，然后 p n 在 这，它好像应该需要连起来，是不是？哎，这是带一个体感连起来，那除此之外，这是个什么东西呢？看好了， 这个点过点 b 做 b f 垂直 a c， 我 可以说我的 b f 是 我这个边 bc 的 高。看好了，那首先 我的三角形 a b c， 哎，这个大三角形 a b c， 嗯，它是不等于二分之一 ab， 我 用 ab 乘 ac， 再乘二分之一，那我还可以用什么呢？还可以用我的 a c 去乘刚才我做的高，这个 b f， 是不是？那我的 b f 是 不就能已知了？通过这个式子，为什么？因为我的 a b b c 和 a c 我 都已知的，带进去之后， b f 就 能求出来是二分之根三 a。 那 我为什么要求这个 b f 呢？也就是跟刚刚我们连接这个 a f a a p 有 关系了。看好了， 在这个三角形当中，你的 a b m 三角形当中，是不？我连接 ap 之后，它是不可以给我分成两个三角形啊？就把这个 a b e 分 成了这个啊， a p e 和这个 a p b 这样三角形，那对于这个 a a p e 这个三角形来说，它的面积我是不可以用上我的 pm， 对不？ pm 是 不是它高，我就可以用 a e 去乘 pm a e 长我也知道啊，那对于这个三角形来说呢，就是我的 a p b 三角形来说呢，我可以用的 ab 去乘我的 p n， 是 不是？好， 那也就是三角形 a b e， 它就是三角形 a p e 加 a p b。 嗯，那除了我把这个三角形 a b e 分 成这样两个三角形之外，我还可以用它怎么去求它面积呢？ 就可以用我的 a e 去乘我的这个 b f， 看到没？所以这个 b f 它不仅可以是 a c 边上的高，它也可以是 a e 边上的高呀，对吧？所以就会有这样的一个啊，这样，这样的一个 就三角形 a b e， 它的面积可以表示成 a e， 我 的 a e 乘我的 b f b f 刚刚求出来了，是不是？嗯， a e 也是已知的，那这里面好了，三角形 a p e 刚才我们说这个三角形 a p e， 它就是我的底 a c a e 去乘我的 pm， 是 不是同样呢？这个三角形 a p b， 也就是二分之一乘 ab 乘 p n。 好， 现在因为好了，我的 a e 是 等于 ab 的， 是不是？所以我就可以把这的 a b 换成 a e， 为什么换成 a e？ 因为这里有 a e。 好， 所以这一部分，我把 a b 换成 a e 之后，把二分之一 a e 提出来， 这边只剩个 pm， 这边只剩个 p n 了，对吧？就是二分之一乘 a e 乘 pm 加 p n， 这两部分对照一下， 发现了吗？都有二分之一 p e， 那 我的 b f 是 不是要等于 pm 加 p n？ 刚我的 b f 求出来了呀？ 是不是？所以 pm 加 p n 的 值，它是个定值，是二分之根在 a， 它为什么是定值呢？因为我这个 b f， 它做的是 a c 边的高， 我这个 b f， 它和这个动点 p 没有任何关系，当点 p 动动起来的时候，在变化的时候，我的 b f 长度是不变的，对吧？ b f 是 不变的。那我这个 p m 加 p n， 它等于 b f 的 话，它就是定值，是二分之根。三 a， 它不是有最小值， 你看有最大值，最小值代表它是，它不是个定值，它变化的是不是？嗯，所以这是我们的啊，第一、第二题。嗯， 好。那关于这个定值问题呢？我们就两两道题，这样的那两道题，这是咱们的第二题，这是咱第一题。好。
19靖小默
10:09查看AI文稿AI文稿八下数学十四大期末必考压轴题型，每道题都有解析思路，规范解析，规范总结，多学一道，多长五分。我们直接开始。 同学你好，我们一起来看这道题。这是一道平面几何题，如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中， ab 等于四角， b、 c、 d 等于六十度， e 是 线段 a、 e、 b 沿 b、 e 翻折点 a 落在点 f 处， b、 f 垂直于 a、 d。 垂足为点积连接 d、 f、 c、 f， 则三角形 e、 f、 g 的 周长多少？三角形 c、 d、 f 的 面积是多少？先来看三角形 e、 f、 g 的 周长， 它的周长就等于 e、 f 加 e g 加 f g。 根据翻折前后的两个图形形状大小完全相同，可以得到三角形 a、 b、 e 和三角形 f、 b、 e 形状大小完全相同，是全等的。那么 e、 f 就 等于 e， a 加 e、 g 就 等于 a g。 所以 三角形 e、 g 面积就等于 a、 g 加 f、 g。 可以 看到 a、 g 就是 直角三角形 a、 b、 g 的 一条直角边。 在这个直角三角形中，角 b、 a、 g 等于六十度。因为题目中给到角 b、 c、 d 等于六十度，而菱形的对角相等，所以角 b、 a、 g 等于角 b、 c、 d 等于六十度。 直角三角形两锐角互余，那么角 ab、 g 就 等于三十度。在直角三角形中，三十度角所对直角边是斜边，长度的一半已经给到 ab 等于四，那么 a、 g 就 等于 ab 的 一半，等于二。接着只要求得 f、 g 的 长，就可以求得三角形 e、 f、 g 的 周长。可以看到 f、 g 就 等于 b、 f 减 b、 g 由反折可值 b、 f 等于 ab 等于四，求得 b、 g 的 长就可以。 勾股定律 b、 g 就 等于 ab 的 平方与 ab 的 平方的差的算数平方根求得 b、 g 等于二倍的根号三。用 b、 f 减去 b、 g 就 可以求得 f、 g 等于四减二倍的根号三。 a、 g 加 f、 g 就 等于二加四减二倍的根号三，等于六减二倍的根号三。把结果写到横线上，三角形 e、 f、 g 的 周长等于六减二倍的根号三。 接着来求三角形 cdf 的 面积。可以看到三角形 cdf 不 论以任何一条边为底，它们的高都不容易求得，所以我们可以利用整体减部分的思想来求这个三角形的面积。三角形 cdf 的 面积就等于四边形 bcdf 的 面积减去 直角三角形 bcf 的 面积。为什么三角形 bcf 是 直角三角形呢？因为 bf 垂直于 a、 d， 而菱形的对边互相平行， bc 是 平行于 a、 d 的， 所以 bf 也垂直于 bc。 而四边形 bcf 的 面积该怎么来求呢？可以看到这个四边形的形状并不规则， 可以利用分割法连接 b、 d 得到四边形 b、 c、 d、 f 的 面积等于三角形 b、 c、 d 与三角形 b、 f、 d 的 面积之和。那么角形 c、 d、 f 的 面积也就等于三角形 b、 c、 d 与三角形 b、 f、 d 的 面积之和。减三角形 b、 c、 f 的 面积。来看一下三角形 b、 c、 d 的 面积。 菱形的一条对角线会将菱形分为完全相同的两部分，所以三角形 b、 c、 d 的 面积就占到菱形 a、 b、 c、 d 的 一半。菱形 a、 b、 c、 d 的 面积就等于 a、 d 乘 b、 g 等于 四乘二倍的根号三，等于八倍的根号三。那么三角形 b、 c、 d 的 面积就等于四倍的根号三。再来看三角形 b、 f、 d 的 面积，这个三角形以 b、 f 为底的话， b、 f 边上的高就是 d， g 已经得到 b、 f 等于 ab 等于四， a、 g 等于二，而菱形四边等长， a、 d 等于 ab 等于四。用 a、 d 减去 a、 g 可以 求得 d， g 等于二，那么三角形 b、 f、 d 的 面积等于二分之一，乘四乘二等于四。最后来看直角三角形 b、 c、 f 的 面积，这个直角三角形两条直角边可以作为一组底和高。 菱形四边等长，所以 bc 等于 ab 等于四，所以这个三角形的面积等于二分之一乘四乘四等于八。 带入到上面这个十字中，就可以得到三角形 c、 d、 f 的 面积。等于四倍的根号三加四 减八，也就等于四倍的根号三减四。把结果写到横线上，具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下，总结一下。要知道菱形的基本性质，菱形四边等长， 对边平行对角相等，菱角互补。还要知道折叠的性质，折叠前后的两个图形形状大小完全相同，并且要知道直角的角形中，三十度角所对直角边是斜边长度的一半，还要掌握勾股定律，也就是直角的角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方， 最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方，最后要掌握利用整体减部分的思想，求图形的平方。最后要掌握利用整体减部分的平方的平方。最后要掌握利用整体减部分的题， 这是一道平面几何题。如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 交于点 o 角 b、 a、 c 的 平分线交 b、 c 于点。一、连接 o、 e， 已知 o、 e 等于根号十。角 a、 e、 o 等于四十五度，则 a、 b 等于多少 a、 b 与 o、 e 并没有直接的联系。先看一下题目中的条件能够推得怎样的结论。四、边形 a、 b、 c、 d 是 矩形， 而矩形的两条对角线等长且互相平分，所以 o a 等于 o， b 等于 o， c 等于 o、 d。 又给到 a、 e 平分角 b、 a、 c。 看到角平分线就要想到它的性质， 角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点 e 做 e、 h 垂直于 a、 c 与点 h。 由于矩形的四个内角都是直角角 a、 b、 e 等于九十度，所以 e、 b 垂直于 a、 b， 由此就可以得到 e、 h 等于 e、 b。 题目中还给到 角 a、 e、 o 等于四十五度，我们知道有一个内角为四十五度的直角的绕行，是等腰直角的绕行，所以故点 o 作 o p 垂直于 a、 e 于点 p， 那么三角形 o、 e、 p 就是 一个等腰直角的角形，并且它的斜边 o、 e 长度为根号十。根据勾股定律，可以推出等腰直角的角形斜边是直角边长度的根号二倍，所以 o、 p 等于 p， e 等于 o e 除以根号二，等于根号五。接着该如何和 a、 b 的 长度联系起来呢？既然 o、 a 等于 oc， 那么点 o 是 a、 c 的 中点，过点 o 作 o， f 垂直于 b、 c 与点 f， 那 么 o、 f 就是 三角形 a、 b、 c 的 一条中位线。根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半， 可以得到 o， f 就 等于 ab 的 一半。不妨设 o， f 等于 a， 那 么 ab 就 等于二。 a a、 e 平分角 b a c。 那 么角 b a、 e 就 等于角 c a、 e。 不 妨设这两个角都等于。阿尔法可以看到角 c、 o、 e 是 三角形 a、 o、 e 的 外角，三角形的外角等于三角形中与它不相邻的两内角的和。所以角 c、 o、 e 就 等于角 c a、 e 加角 a e、 o 等于二法加四十五度。在直角形 a、 b、 e 中，角 b a、 e 和角 a e、 b 互余随角 a、 e、 b 就 等于九十度减二法， 那么角 c、 e、 o 就 等于一百八十度减角 a、 e、 o 再减角 a、 e、 o 等于一百八十度减九十度加二法减四十五度求得角 c、 o、 e 等于角 c、 o， e 等于角 c e、 o。 这意味着三角形 c、 o、 e 是 一个等腰三角形， 它的两腰长度相等。由于 e、 h 垂直于 o， c o f 垂直于 e c。 根据等腰三角形两腰上的高等长，就可以得到 e h 等于 o， f 等于 a r， e 等于 e h 也等于 a a， b 等于二 a。 在 直角梯形 a、 b、 e 中，根据勾股定律，斜边 a、 e 就 等于 a b 与 b e 的 平方和的算术，平方根等于根号五。 a、 a、 e 是 三角形 a、 o、 e 的 一条边，并且这条边上的高是 o p， o、 p 的 长度已经求得，等于根号五，那么三角形 a、 o、 e 的 面积就等于二分之一乘 a， e 乘 o p 等于二分之一乘根号五。 a 乘根号五。同时 e、 h 垂直于 a c， 所以 e、 h 是 三角形 a、 o、 e a、 o 边上的高，这个三角形的面积还等于 二分之一乘 a o 乘 e、 h 也就等于二分之一乘 a， o 乘 a。 同一个三角形的面积是相等的， 就得到二分之一乘根号五乘 a 乘根号五等于二分之一乘 a， o 乘 a。 两边的二分之一乘 a， 可以 约去得到 a、 o 就 等于根号五乘根号五等于五。 a、 o 同时是直角的绕行 a、 o、 p 的 斜边。 根据勾股定律，直角边 ap 就 等于斜边 a、 o 的 平方与直角边 o、 p 的 平方的差的算数。平方根 求得 a p 等于二倍的根号五，而 p e 等于根号五。用 a p 加 p e 求得 a， e 等于三倍的根号五。前面已经得到 a， e 等于根号五乘 a， 这意味着根号五乘 a 等于三倍的根号五。所以 a 就 等于三， ab 等于二， a 也就等于二乘三等于六。具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 总结一下。这道题目用到的知识点比较多，要知道矩形对边平行且相等，四个内角都是直角，他的两条对角线等长且互相平分， 还要掌握角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。有一个内角为四十五度的直角三角形，是等腰直角三角形。根据勾股定律，可以推出 等腰直角的角形，斜边是直角边长度的根号二倍。当看到四十五度角时，就要想到构造等腰直角的角形，并且要知道三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半。题目中还用到等面积法来求线端的长度，这道题就讲解到这里，同学们再见！
15:54查看AI文稿AI文稿八下数学十四大期末必考压轴题型，每道题都有解析思路，规范解析，规范总结，多学一道，多长五分。我们直接开始。 同学你好，我们一起来看这道题。这是一道平面几何题，如图，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于四， a、 d 等于三 点 e 在 折线 b、 c、 d 上运动点 e 关于 a、 c 的 对称点为 f， 连接 b f。 在点 e 从点 b 运动到点 d 的 过程中， b、 f 的 最小值为多少？点 f 是 点 e 关于 a、 c 的 对称点，点 f 会随着点 e 的 移动而移动， 但是呢，确定点 f 的 运动轨迹比较困难，所以可以换一种思路，取点 b 关于 a、 c 的 对称点，将它标志为点记，连接 e 记， 由此就可以得到线段 b、 f 和线段 g、 e。 关于直线 a、 c 成轴对称，那么这两条线段等长，点 b 的 位置固定，那么点 g 的 位置也是固定的。 g、 e 始终等于 b、 f。 求 b、 f 的 最小值就转化为求 g、 e 的 最小值。点 e 在 折线 b、 c、 d 上运动，它有可能在线段 b、 c、 d 上，也有可能在线段 c、 d 上。这个问题就可以叙出为，当点 e 运动到什么位置时， g、 e 的 长度最小。点 e 在 线段 b、 c 上时，可以发现，当点 e 与点 c 重合时，它到点 g 的 距离最近，连接 c g。 也就是说，当点 e 在 线段 b、 c 上时，它到点 g 的 最短距离就等于线段 c、 g 的 长。 而当点 e 运动到线段 c、 d 上时，点到直线的所有连线中，垂线段最短。当 g、 e 垂直于 c、 d 时， e 取得最小值。在直角三角形 c、 e、 g 中，斜边 c、 g 的 长度一定大于直角边 g、 e 的 长度。这意味着， 综合来看，当点 e 运动到线段 c、 d 上，并且使得 g、 e 垂直于 c d 时， g、 e 的 长度最小，那么 b、 f 的 长度也就最小。读一下，当 g e 垂直于 c d 时， g、 e 的 长度， 这个长度就是 b f 的 最小值。将 b g 与 a、 c 的 交点标注为点， o 与 c、 d 的 交点标注为点 h 分 分钟给到 ab 等于四， ad 等于三。根据矩形的四个内角都是直角，可以得到角 abc 等于九十度。 由矩形对边等长可以得到 bc 就 等于 ab 与 bc 的 平方。和的算术，平方根求得 ac 等于五 点 b 和点 g。 关于 a、 c 对 称，根据对称轴是对称点，连线的垂直平分线可以得到 a、 c 垂直平分线段 b g， 那 么点 o 就是 b g 的 中点 o b 垂直于 a c， 那 么 o b 就 可以看作是三角形 a b c a c 边上的高，这个三角形的面积就可以表示为二分之一乘 a c 乘 o b。 直角三角形的两条直角边可以作为一组底和高， 它的面积还等于二分之一。乘 ab 乘 bc， 由此就可以得到 o b 等于 ab 与 bc 的 乘积。除以 ac 求得 o b 等于五分之十二。在直角三角形 b、 o、 c 中，根据勾股定律， o c 就 等于 bc 的 平方与 o b 的 平方的差的算数，平方根 求得 o c 等于五分之九。 o、 c 同时是直角三角形 o、 c h 的 直角边，设这个直角三角形的另外一条直角边 o h 长度为 x， 那 么 b h 就 等于 o b 加 o h 等于五分之十二加 x。 在 直角三角形 o、 c、 h 中，根据勾股定律，斜边 c h 的 平方就等于 o c 与 o h 的 平方和 c h 同时还是直角的角形。 b c h 的 直角边。在这个直角的角形中， c h 的 平方就等于 b h 的 平方。减 b， c 的 平方。将 o c 等于五分之九， o h 等于 x， b h 等于五分之十二。加 x bc 等于三。代入 得到一个关于 x 的 方程，可以求出 x 等于二十分之二十七，也就是说， o h 等于二十分之二十七。 由对称可知， o g 等于 o， b 等于五分之十二。用 o g 减去 o h， 就 可以求得 g h 等于二十分之二十一。 c h 等于 o c 与 o h 的 平方。和的算数平方根 求得 c h 等于四分之九。由于 g e 垂直于 c d， 那 么 g e 可以 看作是三角形。 c h g c h 边上的高， 这个三角形的面积就可以表示为二分之一。乘 c h 乘 g e， 而 o c 垂直于 og， 那 么 o c 就 可以看作是三角形。 c h g h g 边上的高， 这个三角形的面积还可以表示为二分之一，乘 g h 乘 o c， 由此就可以得到 g e 等于 g h 与 o c 的 乘积。除以 c h 就 得 e 等于二十五分之二十一，这说明 b f 的 最小值为二十五分之二十一。 具体解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下，总结一下。要知道，点到直线的所有连线中，垂线段最短。 这道题目利用轴对称的性质，将求 b f 的 最小值转化为求 g e 的 最小值，还要掌握句型的基本性质以及勾股定律，并且要会利用等面积法求线段的长。这道题就讲解到这里，同学们再见！ 同学你好，我们一起来看下这道题，这是一道关于线段最直的一个问题，我们一起来看一下。如图，点 p 是 矩形 a， b， c， d 对 角线 b、 d 上的一个点，然后点 m、 n 呢？分别是 ab 的 这样的一个中点啊，那也就说 m n 其实也是定点，对吧？然后连接 p m p n， 若 ab 等于三， b， d 等于六啊， b， d 指的是这个对角线等于六啊， 然后他说则 p m 加 p n 的 这个最小值为多少？那可以看到这道题 m， n 是 定点， p 呢？是动点，动点呢，是在这个直线上运动的，对吧？线段上运动啊，那这个题其实就是一个将军一马问题，标准的将军一马问题，两定一动，那咱们是不要做对称， 然后连接 n 和这个对称点，那交的这个点其实就是会使得这个两个线段之和值最小值的对应的 p 点，对吧？那接下来其实就主要是求解的这个过程，那咱们一般去求这个 n 点 和这个对称点距离的时候，那一般是要建立直角三角形的，那咱们可以先做一下，我们做 m 关于这个 b、 d 的 一个对称点， 哎，我们记为 m 撇，然后呢，咱们可以将这里去补齐成一个直角三角形啊，因为可能一会还涉及到对应的这个具体的一个求解，我们记这呢为 e。 然后咱们要想去求这个最小值，是不得连接下 m 撇和 n， 对 吧？ 哎，也就是这样的 m 撇和 n， 此时咱们要算 m 撇 n 的 长度，对应的其实就是这个最小值。想算 m 撇 n 还要建立直角三角形，那咱们还要在这做垂线 a， 那 这块呢，既为 f。 好 的啊，那对应的其实就是这样的一个情况，这是一些基础的这个辅助线，当然一会呢，咱们也要去描述一下。好的，那咱们写一个解， 首先我们做 m 关于 b、 d 对 称点 m 撇，然后我们过 m 撇去做 m 撇， e 垂直于 ab， 然后交 ab 延长线 于 e 点，然后我们过 m 撇去做 m 撇， f 垂直于 a， d 于 f 点，对吧？然后我们还要连接 m 撇 n 连接 m 撇和 n， 然后交 b d 于 p 撇点啊，那此时这个点其实就是 p 撇。好的，然后我们还要连接一下这个 p 撇 m 和这个 p m 撇啊， p 撇 m 在 这 还有 p m 撇啊，应该在这边。好的，那这个呢，就是咱们所有的辅助线，其实最基础的就是做这个对称，然后以左边的这个直角三角形和上面这个直角三角形，好吧？ 好，然后那咱们书写一下，那所以基于上面这个角 a， f m 撇是不是就应该等于九十度？还有角 e 是 不是也是九十度啊？那所以啊，又因为四边形 a， b， c， d 为矩形，那所以角 a 是 不是就等于九十度了？所以四边形 a， e m 撇 f 啊，也就是这个狭长的这样的一个图形，它也是矩形， 那所以 a f 是 不等于 e m 撇， a e 等于 f m 撇，对吧？然后由对称，哎，我们知道 b d 对 应的 b， d 应该垂直平分 mm 撇， 垂直平分 m m 撇， 那所以我们对应的 m p 是 不是就等于 m 撇 p 啊？那所以咱们就转换了， m p 加 p n 应该等于 m p 加 n， p 是 不要大于等于 m p n 啊，其实对应的这个最小值就是 m p n 这样的一个长度，那也就是当 m 撇 n 还有 p 三点共线， 哎，三点共线的时候，那对应的 m p 加 n p 去最小 啊，然后那接下来就是求解了，因为 a b 是 等于三的， b d 等于六，对吧？那所以对应的 a d 啊，先把这个长求出来， a d 应该是等于根号下六方减三方，那应该是一个三倍的根号三， 好，然后咱们再看，接下来呢，我们要求一下这个 m m 撇，那咱们可以先求这个 m m 撇的这个一半，对吧？那可以看到这应该呢是一个直角，我们要确定一下这个角度，那这是 三啊，然后这边呢是 b d 是 六，这是三倍根号三，这应该是一个三十度啊，六十度，那当然咱们也可以啊，就是连接 a c 交这个点为 o 点，证明这是一个等边，其实也是可以的，对吧？啊，我们连接 这个 a c 交 b d 与 o 啊，那当然这个图就会看上去比较复杂，其实你可以重新画一个图，也是 ok 的。 哎，我们这样连接一下之后，这个为 o 啊，我们就可以去证明这个是等边，从而证明这个是六十度。 哎，其实这里也是比较好证的啊，就我们可以得到这个 o b 应该是等于 o d 等于 o a 啊，等于 o c 的 啊，然后又因为这个 a b 是 等于二分之一的 b d 的， 对吧？所以 a b 就 等于 o b 等于 o a 了， 那所以三角形 a o b 就 为等边三角形。 哎，所以咱就推出了角 a b d， 这个比较关键呢，它是一个六十度，对吧？也就说这个 b m 到这个点，这个三角形是一个三十、六十、九十的一个三角形啊，所以就说角 b m m 撇 是等于三十度的，然后又因为 m 为 ab 的 这个中点， 对吧？这个 m 是 ab 的 这个中点。那我们对应的 m m 撇是不应该等于二分之三乘以二分之根号三，然后再乘以二，所以是二分之三倍的根号三。那所以 em 撇呢？ e m 撇应该就是一个四分之三倍根号三，那所以 m e 就 应该是二分之三倍根号三。乘以二分之根号三，等于四分之九。哎，其实就是在反复的去导边，对吧？那对应的 m e 咱们也就求出来了。然后又因 n 为 a d 中点啊，那所以对应的 a n 应该等于二分之三倍的根号三， 所以对应的 f n 应该就等于二分之三倍根号三。减去四分之三倍根号三，所以应该是一个四分之三倍根号三。其实最终呢，就是要放在这个 fm 撇 n 这个直角三角形，因为最终要求的是 m 撇 n 嘛，对吧？那所以 m 撇 n 是 不应该等于 f n 的 平方加 fm 撇的平方，它应该等于根号下 四分之三倍根号三的平方。加上四分之十五的平方，它应该等于二分之三倍的根号七。那所以对应的 pm 加 p n 这个最小值，咱们也就求出来了，应该是二分之三倍根号七。咱们将答案写在这里， 具体的解答过程在这里同学们可以暂停看一下，或者截图保存一下。 接着我们归纳总结下这道题，那这道题考察的是线段最值问题和这个将军印码问题啊。我们本题为将军印码问题啊。那处理此类问题，咱们依据常规的这个模型，其实做其中一定点，关于这个直线的一个对称点，然后连接另一定定点和这个对称点。 和直线的这个焦点呢，其实就是对应的这个线段值和最小值对应的这个位置啊，然后咱们进一步再建立直角三角形，就可以帮助我们完成求结了。 那结合刚才我们的这个总结，我们也拓展延伸一下，那这道题其实考察的主要就是这个轴对称的一个最值啊，其实他有一个名字叫将军印马模型啊，大家要把这个模型记住。然后这个模型呢，其实也是在咱们中考中 经常容易考到的一个知识点。那这个将军印马模型咱们刚才在总结的地方也总结了，他是有标准的这个处理步骤的， 也说咱们要先做对称，然后再去连接啊，那一般利用这个模型，咱们就都可以转换这个对应的这个线段啊，最终求解这个最值。所以在这个过程中呢，咱们也用到了这个等量转化的这个思维啊，咱们是借助对称的这个性质进行的一个转化。 这块呢，大家也可以再去把对应的将军密码模型啊，再去熟悉一下这道题，就讲解到这里，同学们再见。
06:45查看AI文稿AI文稿烧脑的几何题，不知道要死多少脑细胞哦！ 八年级数学下册的第一章的第十五题，我们看到如图，在三角 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 等于六十度，角 a、 c、 b 等于四十度。角 p 是 点 p， 点 p 是 角 abc 和角 a、 c、 b 的 平行线的交点。 呃，在这里大家搞清楚，三角形的三条角平分线的是交汇点的，其实两条角平分线的交点呢，其实也是第三条角平分线的这个交点啊，把这个问题啊，这些有的呃，说不上这些性质，要把它给搞清楚。 那么角 a、 b、 c 等于六十度，所以这两个角每个角都等于三十度。我们学会在图上跟着我一起把它标清楚，有助于理解。你看，这个 c、 p 是 角 a、 c、 b 的， 所以每个角都等于二十度， 咱们标在这里看清楚。那么这样的角 b、 a、 p， 角 c、 a、 p 这个六十四十一、百度，八十度，那么所以这个角啊，每个角都得四十度 啊，这里每个角都等于四十度啊，这个角 b、 a、 p 等于角 c、 a、 p 都等于四十度，那当然这个角那就等于一百三十度，因为这三十加二十等于五十，对吧。呃，一百八十减五十一百三。 呃，因为题目告诉了这些这些度数现在要求着 a、 b 等于 c、 p 这两条线段又不在一个三角形当中。呃，所以说这道题啊，就 挺费力的，从哪里开始呢？所以我们得要去多做题目，总结规律啊，咱们就想方设法呀，把这个 a、 b 跟 c、 p 啊，变处在一个三题当中，或者借助某一条 一个三角当中的边。哎，这里大家发现这里有六十度的角，多看一看，多发现一下。如果说这个六十度的角的话，这个我们这里要找到一个等边三角形的话 好，比如说我们找到一个等边三角形的画好，当然有可能有画的不太标准，是吧？啊？比如我们这里，嗯，做一个 b q 等 b a， 比如我们在这里，在 b c 上，我们取 b q 等 b a， 由于这个角六十度，所以我们得到正三角形 a b q。 正三角形 a b q 的 话，刚才这个 b a q 六十减四十，这不就是二十度吗？而我们刚才说这个 c a p 是 四十至二十，那么这边不也是二十度吗？ 哎，大家来观察一下啊，这个叫做三角形，叫做 p b c 啊，三角形，这个，呃叫做 a c p 啊，咱们说三角形 a c p a c p 的 话，这是二十度， 这个是 a c， 然后这个 a c p 这四十度，四十度 a p 二十度和这个三角形 c a q， 咱们看呢？ c a q 是 什么呢？二十度 a c 四十度， 好，大家有没有发现三角形 p a c 前等三角形 q c a 哎，这个是 p a c 啊，或者说 p c a q a c 好， 这个是 a s a。 当两个三角形等的时候，我们就有了，这个叫做 p c c p 啊，这个 c p c p 就 等于 a q a q 就是 ab， 对 中完了，嗯，看懂了吗？好，来看一下啊，这里的我这个手写的这个过程，第十五题 啊，第十五题，我们看到如图，在三 a b c 中，角 a b c 等于这个六十度角 a c b 的 四十度，这个图画的标准一点啊，我这里手手操的时候画的标准 p 是 角 a b c， 如角 a c b 的 平分线的交点要求证 a b 等于 c p， 对吧？好，我们的证明，在 b c 上截取 b q 的 b a 连接 a q a p 角 a b c 等于六十度， b a 等于 b q 有 一个角是六十度的，等压则是等边三角形，所以我们就得到三角形。这个 a b q 等边三角形，那么 ab 就 等于 a q 也等于 b q 三边相等，而且三个角都是六十度， ab 等于 a q 啊， 嗯， b a q 等于六十度。因为 b p 平分角 a b c c p 平分角 a c b 角 a c b 等于六十度，所以这个角 b a c 就是 八十度，对吧？六十，四十，八十。呃， b b c 等于一百三十，而 a p 平分角 b a c 的 话 啊，所以就是这里为什么 a p 平分？为什么写的，所以后面呢？因为就是刚才我们说的三点线的三条角平分线是交于一点的，已知两条角平分线必定第三个也是角平分线，所以呢，我们就可以知道这个二十度，这里二十度，这里二十度，这二十度都知道了 啊，这节过程呢，可能没有一定念完 a p c 和 q c a q 啊，我这里 a p c c q a a c a p c q a 啊，对应的写好。嗯，四十度等于四十度， ac 等于 c a 二十度等于二十度。两个三角形切等之后，所以这个 a q 等于 c p 啊，由于 a q 等于 ab， 所以 ab 等于 c p 啊，这个我觉得这题还是有一定的难度的， 或者们多练一练。呃，也记住给我点赞关注，以后更好的题目便如你找到，记得点赞关注哦！
00:28查看AI文稿AI文稿八、下数学最难的十五道压轴题，命中率百分之九十七、赤透逆袭前三、竖形结合面积问题，竖形结合。二、平行转换竖形结合三、等线段问题， 竖形结合四、全等与依次函数竖形结合。五、平行转换与铅垂法解决面积问题，竖形结合。七、依次函数与前等相结合，竖形结合。八、依次函数与四十五度角模型共八大题型完整区间码。
15作为世界第一
11:36查看AI文稿AI文稿从今天开始，我们将开启一个新的系列八年级下学期期末高频考点复习。根据近两年南昌各个学校的期末正题分析，有一些题型的考察频率是非常高的，那我们今天第一期要讲的是对角互补模型。 首先我们来看一下这两年在我们南昌市的期末考试当中，有哪些学校考到了对角互补模型。首先是去年南昌市期末考试的第二十题， 以及前年南昌市期末考试的第二十题，二五年南昌二中期末考试的第二十二题，以及南昌县去年期末考试的第二十二题。那这些题目考察的都是我们的一个对角互补模型。 那话不多说，接下来我们就正式进入到对角互补模型的一个学习。那首先我们要搞清楚什么是对角互补模型， 他指的是在我们一个四边形当中存在一组对角是互补的，也就是这两个角的度数加起来等于一百八十度。同时呢，这四边形还会满足对角线，是他的角平分线， 或者有一组邻边相等的情况，就是这种情况。对角互补加角平分线，我们这四道题目当中所有出现的对角互补模型都满足这种情况， 以及第二种第二个特征，对角互补加菱边相等的情况。那同样的这些角互补四边形当中也满足菱边相等，也就是我们图中的绿色的线段。 那从角度上来考虑的话，对角互补模型常考的有两种，一种是九十度加九十度的对角互补，一种是一百二十度加六十度的对角互补。 好，那接下来我们来看怎么样来处理对角互补模型。首先我们来看到第一种情况，对角互补加角平分线的情况。根据题目已知条件，角 a、 o、 b 等于角 d， c、 e 等于九十度。 o， c。 平分角 a、 o、 b。 那 这里就是主对角互补以及我们的角平分线。 那么今天我们要讲的这一种做法呢，是去做双垂，我们过点 c 分 别去做 o、 a、 o、 b 的 垂线垂足为 m 和 n， 那我们就可以得到角 c、 m， d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度。同时根据角平分线的性质定律，角平分线上的点到角两边的距离相等，那么我们也可以得到 c， m 会等于 c、 n。 同时再根据题目给的对两个九十度，我们可以得到四边形 o， d， c、 e。 对 角是互补的， 也就是角 a、 o、 b 加上角 d， c、 e 等于一百八十度。因为四边形内角和三百六，所以我们可以得到这个四边形的另外两个内角，也就是角 o， d， c 加上角 o， e， c 等于一百八十度啊！这里用角一角二来表示， b 加角二等于一百八，那同时我们的角 o、 d， c 和角 a， d， c， 也就是我们角一和角三，它是一一对零补角，角一加角三也等于一百八。根据同角的补角相等，那我们就可以得到角 o， e， c 会等于角 a、 d、 c。 那 现在我们就可以利用这三个条件， c， m 等于 c， n。 角 c， m， d 等于角 c、 n、 e 以及角 o， e， c 等于角 a、 d， c。 这三个条件，正出三角形 c、 m、 d 全等于三角形 c、 n、 e。 那三角形对应边相等，我们就可以证出 c， d 会等于 c， e。 在 第二问当中，我们要证 o d 加 o e 等于根号二倍的 o c。 好，那么在这里我们 o e 可以 把它表示成 o n 加上 n e， 那 在第一问当中，我们证出了三角形 c m， d 全等于三角形 c n e， 那 么 n e 呢？会等于 dm 啊，我们就可以把 n e 给它换成 dm， 那 o d 加上 dm 就是 等于 o m， 所以 o d 加上 o e， 它就会等于 o m 加上 o n， 那我们可以去证到三角形 o c m 和 o c n 的是等腰直角三角形，那 o m 和 o n 都会等于二分之根号二倍的 o c， 那 也就是 o m 加 o n 等于根号二 o c。 所以 第二个结论我们就可以证出来了。那么第三个结论，三角形 o， c， d 的 面积加上三角形 o， c， e 的 面积等于二分之一 o c 的 平方。 那么根据我们第一问证出来的全等，我们就可以把三角形 c， n， e 的 面积给它转移到三角形 c d m 这里，那么我们这个对角互补的四边形的这个面积就可以转化为这个正方形 o m， c n 的 面积， 那正方形的面积等于对角线乘积的一半，而正方形的对角线是相等的，所以它的面积就会等于二分之一 o c 的 平方。这是我们第一种情况，对角互补加角平分线的情况。 那接下来我们来看到第二种情况，对角互补和零边相等的情况。像我们这里给的条件，角 a o b 等于角 d， c e 等于九十度，那这里就是对角互补的情况， 然后再加上 c d 等于 c e 一 组邻边相等，那接下来要我们去正 o c 平分角 a、 o、 b。 要我们去正角平分线， 那我们同样的过点 c 去做 a、 o、 b 的 垂线，垂足分别为 m 和 n， 那 我们就可以得到角 c、 m、 d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度，那同时根据这两个九十度的角 a、 o、 b 和 d， c、 e 等于九十，我们就可以得到它们相加等于一百八， 那根据四边形内角和等于三百六十度，我们就可以得到另外一组对角的，是互补的，也就是我们这里的角一和这里的角二， 那同时角 o、 d、 c 加上角 a、 d、 c 是 一组零补角，它们相加也等于一百八十度，就是我们这里的角一和角三，那我们就可以得到角 o、 e、 c 会等于角 a、 d、 c， 也就是角二等于角三。 那么再加上题目给的 c、 d 等于 c、 e 这个条件，我们就可以去正到三角形 c、 d、 m 和三角形 c、 e、 n 全等， 那全等，我们就可以得到 c、 m 会等于 c、 n。 再利用角平分线的判定定律到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，那我们就可以得到 o、 c 会平分角 a、 o、 b。 这个后面的第二、 第二个结论和第三个结论的和我们刚才的正法是一样的啊，我们这里就不再正了，那由此我们可以得到我们这种对角互补四边形的一个做法啊，首先是去做双垂， 接下来再去找边和面积之间的一个关系。好，那接下来我们通过一道例题再来强化一下我们刚才的一个方法啊。我们来看到去年南昌县期末考试的第二十二题， 大家可以先暂停一下，看一下题目。好，那我们可以看到我们这道题目三问都是出现了比较明显的一个对角互补模型啊。我们接下来我们就依次来看一下。接下来我们先来看到第一问， 已知 p、 q 分 别在菱形 a、 b、 c、 d 的 边 b、 c、 c、 d 上滑动，且角 p a、 q 等于角 b。 如图一，若 a、 p 垂直于 bc， 要我们求证 a、 p 等于 a、 q， 那 根据菱形的性质，我们可以得到角 b 和角 b、 c、 d 是 互补的，那同时角 p a、 q 又等于角 b， 那 我们就可以得到角 p a、 q 和角 c 相加等于一百八十度。那也就是我们这个四边形 a、 p、 c、 q， 它是一个对角互补的四边形， 同时菱形的对角线会平分一组对角，那我们连接 a、 c 之后，就可以得到 c、 a 会平分角 b、 c、 d。 这里也就出现了我们刚才所讲的对角互补加角平分线的情况。好，那接下来我们来证明一下。 首先根据平四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 a、 b 平行于 c、 d， c， a 平分角 b、 c、 d 等于一百八十度。 又因为角 p a、 q 等于角 b， 所以 角 p a、 q 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度。又因为 a、 p 垂直于 b、 c， 所以 我们就可以得到角 a、 p、 c 会等于角 a、 q、 c 等于九十度， 就可以得到 a、 p 会等于 a、 q。 好， 那这是第一问。接下来我们看到第二问，若 a、 p 与 b、 c 不 垂直，一中的结论还成立吗？ 好，那么它是成立的。好，根据我们刚才的分析， c、 a 会平分角 b、 c、 d， 那 这里就有我们的对角互补加角平分线。所以我们过点 a 去做 双垂，作出 a、 m 垂直于 c， b， a、 n 垂直于 c、 d， 那 么我们就可以得到角 a、 m、 p 等于角 a、 n、 q 等于九十度。同时四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 ab 平行于 c， d， c， a 平分角 b、 c、 d， 那 么我们接着就可以证出 a、 m 等于 a、 n。 利用角平分线的性质定律，那同时 通过倒角，我们又可以去证出我们的角角 a、 q、 c 会等于角 a、 p、 m， 也就是我们这里的角一会等于角。二，因为对角互补，所以角 a、 q、 c 加上角 a、 p、 c 会等于一百八十度。好，那现在我们就可以证出我们三角形 a、 m、 p 和三角形 a、 n、 q 全等，那全等的话，我们就可以得到 a、 p 等于 a、 q， 那这是我们的第二问好，接下来第三问， a、 b 等于四角 b 等于六十度。要我们直接写出这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积。 好，我们同样的是去连接 a、 c， 然后过点 a 去做两边的垂线，那么我们可以正到我们三角形 a、 m、 p 会全等于三角形 a、 n、 q， 那么我们这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积，它就会等于三角形 a、 m、 c 的 面积。加上三角形 a、 n、 c 的 面积， 那因为角 b 等于六十度，它是菱形，所以我们可以得到三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形。等边三角形，那么 a、 c 的 a、 c 就 会等于 ab 等于四，那根据三十度角所对直角边等于斜边的一半， c、 m 就 会等于二。 在勾股定律可以求出 a、 m 的 长等于两倍的根号三好，所以它 a、 m、 c 的 面积就等于二分之一乘以二乘以两倍的根号三。 好，那同样的 a、 n、 c 也是啊，这里也是六十度，它的面积是跟 a、 m、 c 的 面积相等的，所以我们这里给它乘一个二就可以了，所以最终我们得到这个四边形的面积，它就是四倍的根号三。 好，那这就是我们用双做双锤的方法来解决我们八年级下册常考的对角互补四边形。 那么最后给大家留一道同类型的题目，作为我们这个视频的作业，那这道题来自去年南昌二中教育集团初中部联考八年级下学期期末考试的第二十二题， 大家课后可以认真完成，画出辅助线，写出详细的解题过程。你把你的解答过啊，发在我们的评论区，到时候老师会一一进行解答。
03:15查看AI文稿AI文稿好，来，我们先看下这个题啊，有两个边长相等的正六边形啊，正六边形，公共边 b、 d， 然后相交 o 一 o 二，分别是两个正六边形的中心。求 tan 角 o 二 a c o 二 a c 这个角， 这个角的话，我们就需要找一个直角三角形啊，直角三角形，那我们就往下做个垂直呗，哎，往下做垂直啊， a b， c， d 啊， e 吧， 做了垂直以后，那么这个摊证它角 o 二 a c， 比如说这个角，这个角所对的边比上邻边吧，哎，对边比邻边上，哎，对比邻，也就是啊，就是 o 二 e， 比上个 a e 吧。 好，你看正六边形，正六边形，我们想什么？一个角多少度？一个角是不是一百二？哎，一百二，一百二，一百一百二，我们学过，是吧？那你看现在，哎，我这么一连接，我这么一连接，你看这个角是多少度了？六十了吧，这个角呢？是不是六十？那这个角呢？是不是也六十？都平分了，哎， 那这个 o 二 bc 和这个 o 二 c b 都是六十，那这个角也是六十，说明这是一个什么三角形？好，三角形，这个 o 二 bc 是 不是就是等边三角形？ 好，我们摇一下，等边三角形，你看这个边对不对？那等边三角形的话，三个边都相等啊，因为这个角还是直角，这个角多少？是不是三十？哎，三六九模型吧， 我们想三六九模型，我们经常做的三十六十三十度所对的边是斜边的一半啊，这是一，这是二，这是根号三吧。好，那这个边我们就表示出来了吧， 你看 o 这个 o e 的 话，哎，那这是一，这是根号三，这就是二了吧。啊，那我就可以设一个最短那个边，然后比如说我们设 b e e 为 a 的 话，你看 b e， 这是如果是 a， 那 这个怎么表示？ o e？ 哎，那这个 o 二 e 是 不是就是根三根三，那不就根三三 a 吧。那这个，呃， b o 二 b 呢？ 哎，是不是就是二 a 啊？是不是一比一，一比三，比二吧，它是二 a， 那 这个边呢？ ab 呢？ ab 是 不是也是要你看，哎，两个什么啊？是不是边长相等的， 然后它分成六个，是不是等于三角形？一样的吧，这边是，这边是二 a， 那 这边是不是也是二 a 啊？等于三角形吗？这边是不是也是二 a？ 好， 这不是出来了吧？所以说你看一下这个 o 二 o 二 e， 我 们表出来是不是根号三 a 已经出来了哈，还有什么变呢？这个 a e， 这个 a e 是 几 a 加二 a 加 a 是 不是等于五 a？ 所以 说这个 tan 的 值是不是就出来了？ tan 的 角啊？ o 二 a c 就是 a e 比上个这个 o e 啊， o e 比上个 a e 吧，所以根号三 a 比上个五 a， 把 a e 消掉，是不是就五分之根三就出来了吧？哎，这个题还是比较简单的哈， ok， 学会了没有？
9大洋老师
07:47查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看一下奖励一百零五面的第二道例题啊，那他给了一个 三角形， a、 b、 c 角 a， b， c 是 九十，那说明我这是一个直角三角形啊。然后 b、 d 呢，又是 a、 c 的 一个中线，既然是中线，那在这里各位第一反应你要联想到且 中线定里直角三角形斜边上的中线等于斜面的一半啊，好，过点 c 来做了一个垂直，这个垂直是 c， e 垂直于 b、 d 在 这， 那这个垂直的话，呃，再往下走，你再看啊，过点 a 又做了一个 b、 d 的 平行线哦，你在这里面两直线平行 同一角相等，你有没有发现这里出现了我们中点专题讲的一个小模型啊，我们说这两个直角三角形共一个斜边，而且还给了这个中点， 对吧？共一个斜边都给了这个中点，那么就考察了这个斜中线，那 d、 f 和 b、 d， 它应该这两个边是相等的关系，在一开始你读的时候就应该有读得出来啊，就这两个边是相等的。 那第一小题呢啊，不出意外，他让你证明这个四边形是一个菱形，那菱形的判定是不是说有一组菱边相等的这个平行四边形是菱形呀？那第一个，我们来先证明他为什么是个平行四边形， 但平行四边形很好证啊，题目都告诉你了，我 f g 等于 b、 d， 而我们的这个 a、 g 平行于 b、 d， 那 所以首先根据这两个条件啊，我们叫一组对边平行且相等的四边形 为，呃，一组这边平行且相等的四边形为平行四边形啊，好，那么因为 a、 g 呢，是平行于 b、 d， 题目告诉你了，而题目是不是又告诉你了，我的 f、 g 应该是等于 b、 d 啊？好，所以我们可以得到这个四边形 b、 g， f、 d 为平行四边形，在这里面你就不要用符号缩写啊，这个东西是个大体证明，该写中文的写中文啊，你不要在这瞎瞎代替啊。 好，那到这里面，那我们刚刚是不是说了，先用斜中线，哎，你平行四边形结束了，是不是一组邻边相等的平行四边形为菱形啊，你这个邻边为什么相等？那我刚刚跟你说了，是不是用两个斜中线啊？啊，所以在， 然后再往下啊，在 r、 t 三角形的这个 a、 b、 c 当中啊，那我们说，呃， b、 d 为 d 点为 a、 c 的 中点，那么在这里是不是用到了一个斜中线定义，所以我们可以得到 b、 d 呢？它应该是等于二分之一的 a、 c。 同样的道理啊，放在我们的 r、 t 三角形的 c、 f a 当中， a、 f、 c 当中啊，啊，那么我们又来一个 d 点为 a、 c 的 终点，那就说明这里是一个斜中线呗。啊，所以我们的这个 d、 f 呢，它也等于二分之一的 a、 c 啊，那通过上面这两个，所以是不是 b、 d 等于 d f 呀？那你看，我们两个联系在一起啊，我们说一组 菱边相等的平行四边形为菱形，这是一个平行四边形，然后再来一个这个菱边相等啊，结束，所以最后各位下一个结论啊，所以我们的四边形 b、 d、 f、 g 为菱形。 好，那第一题就结束了，那第二小题我们再来啊，那现在说，如果说这个 a、 g 呢，它是等于十一的啊，那现在说，如果说这个 a g 呢，它是等于十一，而 c f 等于八，那紫色的这个 c f 为八啊，求四边形 b d g f 的 周长， 你要求这个菱形的周长，只要求一条边不就可以了吗？那我现在随便设一条边，那我们肯定是跟下面十一挂钩啊，你这个八在这里跟菱形边可没挂钩，我设 g f x 啊，那这里是不是有四个 x？ 各位， 四个 x， 其实你往上走，因为你斜中线啊，那所以我们的 a、 c 是 不是应该是二 x 啊？还有 af 也可以出来， af 是 十一减 x 啊。 然后到这一步了，各位，你有没有找到一个三角形，三边都能表示出来啊？已经有了哦，你看你的三角形 c f b 啊，啊， c f a 这个直角三角形当中，有一个边是八，一个边十一减 x， 一个边是二 x， 那 不就可以了吗？啊，我们勾股定你就可以了。 好，来第二小题啊，那么首先我们设这个 g f 等于 x 啊， 好，那此额这里面的边都可以表示，那我想要这个，呃， f d f 也等于 x， 所以呢，我们的 a、 c 这条边不就是二 x 吗？除此之外呢， a、 f 这条边也可以出来，是不是十一减 x 啊？然后我们说 就到勾股定律了，勾股定律是放在你 r t 三角形的 a、 c、 f 当中啊，这个东西你要讲清楚。好，谁等于九十角？ a f c 这个角为九十度， 那么你有了九十，所以我就可以用勾股定律了。好，谁方加谁方啊？ a f 的 平方加 c f 的 平方，直角边的平方等于 a c 的 平方，那就说明是十一减 x 的 平方，再加上 c f， c f 是 不是八的平方？题目告诉你了，等于 a c， a c 是 不是二 x 的 平方啊？好，那么到这里把 x 求出来，来去括号一百二十一，减去二十二倍的 x， 再加上 x 的 平方，再加上一个六十四啊，右边就变成了四 x 的 平方， 那我们全部移到左边来啊，那到这一步解方程吗？三 x 的 平方我全部挪到右边啊，那就是加二十二 x， 然后再减去一个幺八五，等于零。到这一步，有些同学对于解这个方程是比较困难的，那我们可以看一下左边是不是 相乘二次项三 x x 啊，用十字相乘啊，要快很多。一百八十五其实只有一种分解，一百八十五除五刚好是三十七，那么五和三十七，各位你有没有发现，我直接这样子， 你看这里的是三十七，这里是十五，相减不就是二十二吗？恰好是负一百八十五，负的给谁啊？负的给五就好了，那是不是应该这样？ 所以到最后你可以得到我这个式子应该是三 x 加上一个三十七，再乘上一个 x 减五等于零，那你看 x 就 可以解出来了。 x， 那 么最终应该是等于五啊，也就 x 等于五 好， x 二 x 一 等于负的三分之三十七，这个东西给它舍掉啊。 那最后呢？他问什么？最后是不是问的是菱形的周长，那一个边是五，那这个菱形的周长不就应该等于二十吗？周长用大 c 代替啊。好，那么这个是我们的第二道大题，第二道大题我给大家总结一下啊， 那么在这里面你遇到了什么呢？遇到了两个直角三角形共斜边的时候， 到初三还会有，到时候会有一个四点共圆的东西啊，两个的直角三角形共斜边，而且出现了一个中点，这个点是中点，则我们就可以得到这里和这里是不是应该相等？ 就这里会相等啊？那么我给你荧光画一下，用了两次斜中线，对不对？啊？那这个是我们的第三道答题。
