威海近几年数学中考真题
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00:32查看AI文稿AI文稿同学们好，我们来看一下二零二四年山东的中考整体分式， x 加三分之二有意义，则 x 取之范围是什么？ 这个题考的是分式的意义，那我们知道说要是分式有意义，分母不可以等于零，也就是 x 加三不等于零， x 就 不等于负三，所以 x 的 取值范围就是 x 不 等于负三，你会了吗？
14李李
00:16查看AI文稿AI文稿学生党必备工具，锐角正切，指向这种求正切值的题，直接测三秒做完，大家一定要多练习，考试考的就是这把尺子上面的常见数据模型，有不懂的欢迎评论区留言。
16奇变偶不变
03:46查看AI文稿AI文稿这套卷子的一到二十一题，难度和题型非常贴近我们的省统考证题风格。二十二、二十三，这两道压轴题比较常规，适合大家用来查漏补缺，巩固方法。接下来我们一起来看题。前六道选择题，它都是一个基础题，大家千万不能马虎， 在这里呢也可以给大家一个应试的建议，就是你在中考的考场上难免会紧张，所以前面的基础题可以做的慢一点，而且做完你就立刻的去检查一遍，用简单的题去把心态稳住，把信心提起来，这样你后面答题的状态就会更好，然后你的正确率也会更高。 第七题，它是一道跨学科的融合题，同学们需要结合着物理公式去判断它是正比例还是反比例。第八题，古代数学问题，这种题我们平时练过不下五十次了，一定要看清楚这个母数还有价格，不要列错方程。第九题， 去求扇形的面积，那你首先要知道扇形的面积公式，三百六十分之 n 派 r 方，所以先要找到 n 和半径 r， 在 这里需要借助格点去求出来角， e a f 是 一个四十五度，然后勾股定律去求半径。 第十题，最值问题，求 e g 的 长度，其实可以给它进行一个转化，那延长 e f 之后你会发现其实 e g 的 长度和我们的 m g 长度是相等的， 所以 e g 的 最小值其实就是 mg 的 最小值，很显然是一个三。接下来是填空题，十一题绝对值。十二题，平行线倒角过拐点做平行，也可以直接套用我们的模型结论， 十三题，对称加平移。在这里要提醒大家，除了要知道点的平移和对称，还要知道二次函数的平移和对称，这个也是我们中考的常考内容。 十四题，伟达定律加上一个整体代入法。十五题，找规律问题这道题的思路和我们二四二五年统考的找规律问题如出一辙，如果有在这道题上丢分的同学，那你需要把这种题目进行一个专项的训练。 解答题部分，十六题，分式的化简求值，这里要注意分母不能为零，所以取值要舍去不能用的数。十七题，这里给出了我们尺规作图的文字描述，大家需要先判断出来我们实际做的是一个什么图形，那在这里第一步他做的是一个角平分线，第二步做的是一个中垂线， 所以我们去证明四边形 a、 e、 h、 f 是 菱形的时候，就用平行加邻边相等就可以。然后后面第二问，我们可以直接用相似三比五去算边长。十八题，依次函数的应用题，题目当中明确地说明我们的总费用和打印张数是一个依次函数的关系， 所以直接代入两组数值就可以求出我们的这个解析式。第三问还结合着不等式的知识点去考察大家题目比较简单，十九题考察了一个中位数种数，还有数据的评价，以及用样本去估计总体。 二十题，圆综合的问题，这里有两个关键点，一个是圆的内接四边形，对角互补，外角等于内对角。第二个是直径所对的圆周角是一个九十度。这样第二问你就可以直接用相似去求 b 的 长度。二十一题，三角函数的实际应用，这个题要注意，计算的时候要先带着根号， 最后呢再近次取值去减小误差。二十二题，二次函数第二问，我们可以确定的是这个抛物线的对称轴是直线 x 等于 a， 所以其实 a 点它是在这个对称轴的左端，那现在 b 点的位置是不确定的。通过题目条件我们可以知道 b 点是在 a 点的上方，所以我们就进行了一个分类讨论。第三问，你把图画出来，然后连立方程组就可以。 二十三题，几何压轴，前两问问题不大，我们就是通过全等去进行一个导边操作。三、这里需要进行分类讨论， e 在 b c 上，还有 e 在 c d 上，两种情况都要考虑到。 在第二种情况这里我们同学先要进行一个倒角的操作，证明 a c 等于 c f， 然后才可以求出来我们这个 b 的 长度。 总的来说，整套卷子比较注重基础，强调细节，难度、题型和我们前两年的统考真题是高度贴合的，大家完全可以把它当成一套全真的模拟来用，一定要认真对待，那你做完之后就好好复盘，收获一定会非常大。
28章鱼数理
03:09查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我，持续更新韩速，我们来看一道山东威海的中考真题。在同一条公路连接了 a、 b、 c 三地， b、 d 在 a、 c 两地之间。好 哎，抱抱 b、 c 去。甲、乙两车分别从 a、 d、 b、 d 同时出发前往 c、 d。 好， 接着甲直指乙 通知前往 c。 嗯，甲、乙、甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间继续行驶。下图表示甲、乙两车之间的距离 y 与时间 s 的 函数关系式，下点正确的是 好，我们看见一个怀疑是 a。 开始这个曲线是越来越大的，函数值越来越大，此时甲、乙都在以一个匀速行驶，而且由这个曲线我们可以判断乙的速度是比甲的速度要大的。 然后等到两小时以后，距离开始紧，想说明此时已车开始休息，等到三小时时，距离又开始缩减，已车休息以后继续行驶，所以他整个的休息时间应该是一小时， 所以 d 是 错误的，应该是一小时。再来看一小时，原来甲和乙相距是四十公里，三小时以后， 甲超过了一，超了二十公里，所以甲一共行驶了六十公里， 那么甲的速度为甲，就等于它的距离六十公里，比上时间一小时，所以为六十公里每小时，因此 c 是 错的。 b、 a、 c 两地相距两百二十公里，我们看一下，行一共行驶了至少有四个小时，两车再次相遇， 四小时的总路程还是假错，就等于六十乘以四，等于两百四十公里， 所以 a、 c 两地的距离至少是大于两百四十公里的，因此 b 也是错的啊。注意，这题只有选 a， 我 们来看下 a 是 否正确。假车行驶三分之二小时与车相遇啊。假车在前面已经行驶了两个小时，关键就是看这样一段的时间， 这段时间假车由于已车休息，假车一共行驶了四十公里，所以这里的时间大约为 t。 这因此就有懂路程是四十比上岸 速度六十等于啊，三分之二小时，再加上一起没有两小时，所以总的时间 t 数就等于二，加上三分之二等于三分之八小时。宁子，这是对的。
14哨子老师
03:48查看AI文稿AI文稿好的孩子们，接下来我们来录制一下主体解析，来，跟着我的笔触，我们一起来搞一下这一份题。 这个题目，首先我们刚才说了第一题，第二题，第三题、第四题，包括第五题都比较简单。第一题考察的要点就是有理数的比较大小，就是竖轴上的右边的比左边的大，两个负数比较大小，绝对值，大的反而小。 所以这个题依据这个概念来求出的。最低的城市最终应该选的是哈尔滨，其实按照地理上来说，我们也知道最终要选的也是哈尔滨。 好，这是第一个题目，我的笔略微有一些问题，请谅解。好，我们再来看第二个题目。第二个题目给定的是三式图儿问题，在这里要求的是左式图儿的话，其实也是一个送分题，这个题选 c。 在这里需要注意的就是对于三式图的考察，还是有一些真题题目的，需要明白的就是，嗯， 一定程度上需要知道先画哪一边比较重要，但是基本不出错。好，下一个题目是个基础运算题，我们就不多做赘述了， 这个基础运算说的就是有关于整式和分式的运算问题。这个题目其实一定要注意上来的第一个步骤，建议大家都先进行定号，所以这个题最终选的是四号 d， 四号 d 的 话就是它是正的，那个 a 纯属瞎扯，那个二号 b， 我 们来看一下，二的三次方和六没关系，那个 c 和 d 之间我们可以先看四号 d， 四号 d， 它的符号的一致性的情况下，结果是正的，所以就是正 b。 好，这是这个题目。好，我们再看第四题。第四题其实在物理和数学上有一个通用的问题叫千积毫微 纳匹菲，比方说就长度单位来说就是千米，基础单位是米 meter， 然后是毫米、微米、纳米、匹米菲米。 而每两个我写的单位之间差十的三次方，那么皮是在哪？是在这个位置，是在我的基础单位之下， 十的负三十的负，三十的负，三十的负三，它就意味着十的负十二次方。所以这个题去掉两个零之后，这题答案直接选 a， 选项，千机好危，那皮飞记住哦。 好，紧接着下一个题目，第五题。第五题考察的要点是什么？第五题考察的问题 其实是平行线之拐点，辅助线猪蹄模型。猪蹄模型有的就是左角之盒，等于右角，其实这个角给定的是角二 啊，我管他叫阿尔法，那么这个题给定了角 a 是 三十度的情况下，猪蹄模型的加持之下，事实上就相当于给定角 b 是 六十度， 猪蹄模型的结论是，角一加上我的角，阿尔法铁定得等于六十度。这个题接下来注意，孩子们无需进行验算，可以利用我们的个位数来直接进行排除，因为你这里的尾数是八，所以这个阿尔法的尾数 b 为二，答案直接选 a。 好，这是前面的这些题目，大家如果想了解啊，具体的应试的其他同类真题也可以进一下参考。好，前面五个题我们就说到这，感谢收听！
06:56查看AI文稿AI文稿大家好，我是体育数学的梁老师。今天呢，我们来讲二零二五年的威海中考题，第十六题是填空题的最后一道题啊，看一下题目，一张矩形纸片，如图一，把它切成什么四个全等的直角三角形 啊，然后呢四个直角三角形呢？拼接如图二和图三这样的拼接，已知这个矩形呢长是 m， 宽呢是 n， 把它切成四个全等角三角形，那么这四边形呢叫 e、 f、 g、 h， 也是这一边的这个四边形， 它的面积呢是等于四边形 a， b， c 面积的啊，两倍，让你去求这个 m 比上 n 的 值，那也就说明我们可以通过这个面积关系呢，去建立 m， n 的 一个等式， 那 m 呢是一个等式，两个未知数，所以呢要去求它们的比例关系，或者是它们的数量关系的话，那这个时候呢，有两种思路，一种呢叫整体思想，一种呢是叫什么？哎， 叫阻延法，对吧？那接下来呢，我们把这个的面积用 m、 n 表示，然后确定他们的关系，那么这个呢，我们知道直角三角形呢，这个直角边呢是 m， 那 么另一个直角边呢，就是二分之 n， 那 对他来说呢， 那对他来说斜边是往里的，那么较长呢，这个呢是 m， 很 明显我们这个题目呢是 m 是 怎么样 比 n 大 的，那也就说明 m 比上 n 的 比值呢，是大于一的，对吧？所以待会我们求出比值，如果有不同的解，我们要去懂得舍取法， 那这个时候呢，我们这个另一个直角边呢是二分之 n， 那 根据全等我们可以知道这个 e、 f、 g、 h 是 一个正方形，它的面积呢是等于边长的平方，而边长的 g 的 e、 h 的 平方，其实是勾股定里面的什么斜边的平方，所以它的面积，这个的面积我们就可以得出 m 的 方去加上二分之 n 的 方， ok， 大家看这个 a、 b， c， d， 这个呢也是得出一个结论，就是也是一个正方形，我们把它直角边啊，把它边传出来就行了，这条是大的直角边 m， 对 吧？然后这个结呢，是这个直角三角形的另一个直角边是二分之 n， 所以 ab 的 长度呢是 m， 减去二分之 n 啊，然后平方的两倍，然后给它展开 m 方，这个是四分之 n 方，这个是 m 方。加上四分之 n 方，中间项的是乘积的两倍，所以是减去 m n， 括号乘二。然后我们继续展开 m 方，加上四分之 n 方，它等于二倍的 m 方，加上二分之 n 方，减二 m n， 我 们再给它乘四倍去分母，所以是四 m 方 加 n 方，它等于乘四倍的是八 m 方，乘四倍的话是二 m 方，乘四倍是八 m n， 那 么把这个左侧移向到右边来，所以这移向过来的话，这个就是四 m 方， 这移向过来减掉一个是加 m 方，减去这个是八倍的 m n， 那 么我们看 b 种思路，思路一，我们叫整体思想， 整体思想，也就说你不要出现 m 去除以 n 的 一个比值，那根据我们的等式呢？分母没有 n， 我 们可以借助等式的性质，二等式的左右两边呢，除以一个不为零的数，等式成立， 所以呢，这个 m 呢，我们就是默认式正数了，所以我们两边除以 n 方，所以 n 方呢，这个就是等于四倍的 m 去除 n 的 平方，如果除以 n 方的话，其实就是就是一 除以 n 方呢？约掉一个 n， 所以 是剩八倍的 m 除以 n 等于零，其实那这个等式的左右两边去除 n 方就可以了。那我们可以用画圆，你这个作为一个整体，作为一个字母来看待，我们换成 x， 也就是说这个 m 比上 n， 我 们用 s 来表示，那这里移到这边来，这个是负 y， x 加一等于来解这个一元二次方程，对这个方程来说，它是 b 方减四 a， c 啊，它是等于六十四，减去十六等于四十八，它是大于的，说明它有两个相等的数根，对吧？二 a 分 之负 b， 正负根号四十八开方呢，是等于十六乘三，所以十六开方是四倍的根号三，然后你给它上下再约四 正负，这个是那个呃，根号三。第一个解出来的就是二分之二加根号三 x 二呢，是二分之二减根号三。那刚才我们说了，这个 x 代表的是 m 比上根的比值是要大于一的，所以对这个来说呢，这个是小于一的，对吧？所以我们要舍取。 因此呢，我们可以得到 m 比上根的值呢，是等于什么？二分之二加根号三，这个就是这题的答案啊。第二种思路，我们可以用主元法， 主元法也就说明对一个的，对一个式子，或者是对一个题目来说，当我们未知数的个数多于什么 等式的个数的时候，比如说现在有两个未知数，但是等式只有一个，所以我们这种采取用一个未知数当做主元，其他的未知数呢当做奇数。所以主元法呢，我们以 m 为主元， 那这样子的话，我们就可以得到四个 m 的 方，然后呢这个是主圆啊，那个就相反，这个 n 就是 它的系数，所以它的一次项呢就是负八 n m， 对 吧？然后再加 n 方 等于零，那这个时候呢，同样解出来 m 的 值，灯塔值呢，用 m 来表示，就想他也是算起来是二分之二，正负根号三个 n， 同样呢也要舍去什么，哎，舍去这个这个值，其实呢，我们可以得出的就是 哪个舍去呢？因为我们这个 m 呢是要大于 n 的， 所以这个 m 呢，应该是取正的二加根号三 n， 所以呢我们同样得到 m， 比上 n 呢，也是的二分之二加根号三，也就是说你把这个 m 当做未知数， 这个 n 呢当做已知数，所以呢，我们得到了这个关于 m 的 一个一元二次方程，它的平方减去四 a c 啊，也是得到四十八 n 方的啊，这个呢自己算一遍啊，那么今天呢，这个讲解视频呢就到这，谢谢大家。
0思跃培优
06:24查看AI文稿AI文稿今天我们一起来学习中考一对一的一个专项培优的一个题目，是关于反比例函数的一道中考真题。呃，如图，我们的点 a 是 在反比例函数 y 等于 x 分 之四的图像上， b 在 另一个反比例函数图像上是 y 等于负的 x 分 之二。 呃，剩下的就是连接，这有个条件，若 o a 和我们的 b o 是 垂直的， 我们认真的把每个条件分析一下，因为中考它是相对比较综合一点。呃，第一个就是反比例函数啊，我们遇到反比例函数，呃，一个就是它的一些图像性质，我们要知道还有一个就是我们的什么反比例函数配的绝对值的几何意义？ k 的 绝对值的几和 e， 它是不是代表的是我们反面函数的上的点分别做 x 轴， y 轴的垂线得到的这个矩形的面积，对不对？当然了，我们也要知道，二分之 k 的 绝对值代表的是，比如说过点 b 做 y 轴的垂线，然后呢，怎么样 再连接我们的 o b 得到的这个是小三角形的面积，对不对？好，呃，这是我们要注意的，一个是小三角形的面积是二分之 k 的 绝对值， 这是一个。呃，第二个就是我们这出现了一个什么呢？很特殊的角，是直角啊，我们做题做多了，一定要有这样一个意识，出现直角， 然后我们这个题目又是在一个直角坐标系里头，所以这个辅助线到底出现点 a， 点 b 辅助线到底应该怎么做呢？优先要想到有可能会用到我们的什么呢？ 一线三直角，很明显它这条线上中间出现了一个直角，对不对？那我们就要优先想辅助线有可能要过点 b 做 y 轴的垂线，过点 a 做 y 轴的垂线， 呃，交于一点，这交于一点 c， 这交于一点 d 做垂线。呃，那它的依据有两个，一个就是我们的一线三直角，另外一个就是我们刚刚说的，它不是刚刚好会得到一个 obd 这个三角形的面积吗？对不对？以及什么呢？ aoc， 这个三角形的面积一定是可以知道的，我们稍微写一下， 其实就是三角形 b o d 的 面积，它是不是就是二分之一的什么呢？呃，负二的绝对值得到的就是一。那另外一个三角形 a o c， 它是不是就是二分之一四的绝对值得到的就是二？好，这两个部分面积是知道的。 呃，那根据一线三直角的话，我们是不是也能得到这两个三角形什么呢？我们的 d o b 一定相似于三角形什么呢？ c o a 啊，这是比较容易得到的。但是怎么来证明呢？比如说我们这有一个角，我们标一下， 这有一个角一，好，这有一个角二，然后这边有一个角三，那我们很明显知道就是角一加角二等于九十度，角二加角三又等于九十度，那么必然就能得到一个结论，是不是 角一等于角三，所以它们相似，对吧？好，呃，那看一下问题啊，问题他说现在要求 tan 这个角什么呢？ b a o， 那 他的正切值 b a o 这个角的正切值不就是我们的对边比零边，也就是 o b 比 o a 吗？对不对？呃，通过我们刚才分析了一通， 这里要求的这个正切值不刚刚好就是我们这两个相似三角形的一个对应边的比吗？对不对？呃，当然 o、 b 和 o a 的 比值 结合我们这个题里头是不是出现两个什么三角形的面积？当然我们这里还需要知道的就是我们的两个相似三角形，它们的面积比应该等于相似比的平方，这个千万不能错。好，大概我们就可以有一个思路，现在就是怎么样能把这个过程来写一下， 正着写一遍其实就可以了。首先我们需要做的辅助线就是过点 a， 做我们的 a、 c 垂直 y 轴，简单的写一下，然后，嗯，过点 b， 嗯，做我们的什么 b、 d 垂直 y 轴。好，呃，那接下来我们是不是，嗯，可以得到我们的这个？呃，两个角就等于九十度 角，嗯， d、 d、 o 是 不是等于角 a、 c、 o。 当然同时角 a、 o、 b 是 不是都等于九十度，对不对？所以能得到角一 加角二是不是等于角二加角三，所以角一就等于角三结合九十度，所以这两个三角形 d、 b、 o 就 相似于三角形 c、 o、 a 用的是两角对应相等，两个三角形相似，那当然我们说了，呃，想要它们的对应边的笔是不是由它们的 面积来得到的，对不对？所以我们先把它的面积来单独写出来。又因为我们的三角形 b、 o、 d， 它是不是等于什么呢？二分之一 k 的 绝对值九十一，然后三角形 a、 o、 c， 它的面积等于二分之四的绝对值九十二， 那我们是不是就能得到这两个三角形相似，所以就能得到什么呢？它的对应边的比一， 嗯，的平方就等于相似比一，所以三角形 d o d b o b o b 一个意思，比上三角形 a、 o c， 它就应该等于我们的什么 o b， 比上 o a 的 平方，那得到的不就是我们的 o b b o a 刚刚好就是等于什么 根号下我们的一比二，对不对？稍微化解一下就是我们的什么二分之根号二，那自然我们的什么要问的 ten 角 b a o 不 就刚刚好是我们的二分之根号二吗？ 呃，相对来说这个题还是比较综合一点啊，所以我们在中考一定要具备的就是一个，呃，综合应用的一个能力。那后续如果我们有需要一对一的可以私信了解，主要涉及到三个部分，就是一个基础的查漏补缺。第二就是类似的一些综合题的一个专项的培优。 嗯，把一些元二次函数啊，特殊的平行四边形相似分板块来练习。第三，我们随时在晚上十二点以前，呃，有什么问题的话可以随时进行一个答疑。那有需要我们可以私信了解。
03:25查看AI文稿AI文稿咱们山东二零二六中考马上就来了啊，今天我拿着这个纵横卷的闭卷主体，对标咱们山东中考真题，给咱们泰安还有山东各地的家长和中考的孩子把一把。咱们今年中考数学到底会考什么？坑在哪里？怎么避坑？ 那首先呢，我们可以看选择题的前四题啊，第一题实数比大小，第二题轴对称，中心对称，第三题，科学技术法，第四题，左视图。那这四道呢，就是山东中考送分基础题，每年必考 科学计数法啊，一定是考小数的形式，但是图有一种必考图，那肯定是左视图啊，对吧？那孩子这些部分必须全对，错一道咱就亏大了。重点来了啊，就是第六题，分式方程应用题，滑雪板单价数量问题，这个就是咱们山东中考必考的分式方程实际应用。那山东中考近五年年年考分式方程 一定是带数量差，价格差很多孩子错在找不对那个等量关系啊，忘了检验纵横卷这题完全复刻咱们中考的考法，练透这道中考分式方程不丢分！还有第八题，正方形加呼长公式，第九题，依次函数加反比例实际应用啊， 山东中考最爱考这种生活情境函数题，你像饮水机啊，气温啊，行程啊，是吧？结合反比例，一次函数考图像考区间的取值，很多孩子不会找焦点，不会算时长，那这道题就是中考原题的模板。 第十题，二次函数抛物线实际应用。那广场弧形轮廓考解析式，定点平移焦点。山东中考二次函数哈，他必考实际应用，加图像性质加平移。那宋红卷这个题呢，完美对标中考，尤其是选项 d， 你 平移之后和 x 轴的焦点是中考高频易错坑点。 那填空题，咱们看第十四题，反比例函数规律题第十五题，矩形加等腰直角三角形最短路径。第十四题啊，是山东中考最爱考的反比例函数，找规律啊，你像这种倍数规律啊，年年考。 第十五题，最短路径加等腰直角几何最值问题，山东中考填空压轴必考，考动点考等腰直角考最短距离纵横卷直接压重题型啊， 那大体部分第十六题，不等式组加上分式化简求值，咱们山东中考第一道大题，固考，这个啊，就是分母，不能是零 选整数代入，咱不要踩坑啊！十七题，使规作图加角平分线加垂直中考几何基础题考垂直平分线，角平分线的性质，送分题必须拿满分啊！重点压轴二十一题，圆的切线证明直角三角形外接圆考切线判定三角函数， 山东中考员的大题啊，切线证明加三角函数是固定组合。那纵横卷这个题呢，完美贴合了中考啊，占 a 等于三分之一，这种给了三角函数值求半径的，也是中考必考的套路啊。最后二十三题，正方形综合压轴四小问层层递进，全等垂直动点面积， 这个就是山东中考几何压轴大题，正方形矩形组合考，全等啊，垂直啊，最直啊，面积问题，中考最后一个大题就是这个难度，这个题型。那整体总结一下啊，就是纵横卷 b 卷，完全对标了山东中考考纲题型难度一错点， 基础题全是送分题，函数啊，分式方程啊，圆啊，正方形压轴全是中考高频考点！咱们中考的孩子啊，刷透这套卷就等于刷透了山东中考百分之八十的必考题型！还没刷的赶紧给孩子安排上中考数学，想要提分就抓紧这个核心考点，避开易错坑！
25初中数学房老师
53:51查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题，这是二零二四年甘肃定西的中考题。下面我们来看题。如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，弧 bc， 弧 bc 等于弧 b d 点 e 在 a、 d 的 延长线上，且角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b。 第一问，求证 b 是 圆 r 的 切线。第二问，当半径为二时， b、 c 等于三，求看正极角 a、 e、 b 的 值。 那么下面我们先来看第一问，我们把这个图向上移一下。 好， 那我们看第一问。第一问，让我们证明 b 是 圆 r 的 虚线。同学们要记住， 要证明一条直线是圆的虚线，这是中考 b 考，那么要证明一条直线是圆的虚线。当然我们就要用极限的判定，极限的判定就是 经过半径的外端，并且垂直于这条直线直线并且垂直于这条半径的直线是圆的虚线。满足两个条件，这条直线必须要和半径垂直， 而且还要经过半径的外端。那我们经常用的方法有两个，我们在这块可以总结为圆半径正垂直方法， 那我们可以写一下。我们证明一条直线 使圆的切线的方法有两个，第一个是做垂直 正半径， 做垂直正半径。在这块要注意的就是 如果这条直线和圆没有公共点，那我们就过圆形 o 做这条直线的垂线， 然后再说明圆形 o 和垂足之间的距离是这个圆的半径，那我们就可以说明这条直线是圆的虚线。第二个方法是做半径正垂直， 做半径 正垂直。 做半径正垂直。那么就是如果这条直线和圆有公共点，那我们就要连接圆形和这个公共点，然后再说明 这个圆形和公共点之间的线段是半径，那么再说明这条半径和这条直线垂直，那我们就可以说明这条直线是圆的。奇线 经常用这两个方法。那么如果比如说这个题，我们发现 已经有 o、 b 和 b、 e 之间的关系，那我们就不需要再做辅助线，那我们集合提射条件，看能不能直接证明 o、 b 和 b、 e 垂直。 那么 首先提射条件当中给我们给出来的是 a、 b 是圆 o 的 直径。谈到直径，同学们马上想到直径所对的圆珠角，是啊，直角， 然后弧 bc 又等于弧 b d， 弧 bc 等于弧 b、 d。 那 么从这个图当中我们观察 弧 bc 是 这段弧 弧 bc， 弧 bc 所对的圆周角是这个角， 弧 b 字是这段弧， 弧 b 字所对的圆周角是这个角 啊，这个角和这个角， 那如果我们把这个角看作是角一，而把这个角看作角二， 同弧所对的圆周角相等，所以说角一就等于角二。那么在这块我们发现角一是等于角二的， 角一等于角二。然后又说角 a、 d、 c 等于角 a、 e b。 角 a d c a d c 是 这个角，它等于角 a、 e、 b 这两个角相等，这两个角相等，那我们发现它恰好是 c、 d 和 b、 e 被 ab 所截形成啊，不是被 a、 e 所截形成的同位角啊，是同位角，是被 a、 e 所截形成的同位角。那么 我们根据同位角相等，两只线平行，就可以说明 c、 d 平行， b、 e c 字平行 b、 e。 那 么现在我们要证明 b、 e 是 圆 o 的 切线，那我们只要说明这个角角 o、 b、 e 等于九十度是直角， 那么现在如何来说明它是直角？现在题目当中又告诉我们， ab 是 圆 o 的 直径， 那么直径所对的圆周角是直角，那我发现这个角 a、 c、 b 是 直角，它和正明这个角是直角，好像没有什么关系。 那如果我们连结 b、 d， 它会怎么样？如果连结 b、 d 的 话，同学们发现这个角 它也是直角啊，这个角也是直角，而这个角刚好是 b、 c、 b、 d、 c 这个角如果把它看成角三、角三， 角三加角 a、 d、 c 刚好是九十度，我们发现角三加角 a、 d、 c 就 等于九十度， 角三加角 a、 d、 c 等于九十度。 那现在如果我们把这个点记作是点 f 的 话， 就是 c、 d 和 ab 的 交点记作是点 f， 那 如果我们能说明这个角是直角的话，而我们刚才又知道 c、 d 和 b 平行， 那么我们根据两线平行，同一角相等啊，就可以说明这个角 a、 b、 e 和角 a、 f、 g 相等，刚好等于九十度， 刚好等于九十。那么现在的问题就是如何来证明这个角 a、 f、 d 是 九十度，要证明角 a、 f、 d 是 九十度，只要我们说明角一加角 a、 d、 c 是 九十度， 角一加角 a、 d、 c 是 九十度，那么现在 我们发现这个角三又等于这个角， 把这个角记作角四，也就是 c、 a、 b 记作角四的话，角三和角四也相等，我发现角三也等于角四， 它都是弧 bc 所对的圆周角，一条弧所对的圆周角相等， 那么这时候我们就得到了角一等于角二，角三也等于角四。而题目当中又告诉我们，弧 bc 等于弧 b、 d。 弧 bc 等于弧 b、 d， 所以 说 弧 b、 d 所对的角是角一，而弧 bc 所对的角是角三和角四， 所以说角一就等于角二，还等于角三。角四。角一等于角二，它还等于角三，还等于角四， 这四个角相等。角一等于角二等于角三等于角四 等于角四。那么现在 我们又发现这个角是直角， 角三加角 a、 d、 c。 角三加角 a、 d、 c 是 九十度，而角三又等于角一，在这块换上 角三又等于角一，所以说角一加角 a、 d、 c 就 等于九十度 啊！在这个地方注意等量代换，角一等于角二等于角三等于角四，那么角三加角 a、 d、 c 等于九十度， 所以说角一就加角 a、 d、 c 等于九十度。角一加角 a、 d、 c 等于九十度。那么在三角形 a、 f、 g 中，我们发现角 a、 f、 g 就 等于九十度， 那么角 a、 f、 g 等于九十度。又提问当中又告诉我们， 角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 说 c、 d 它和 b、 e 平行。 同位角相等，两直线平行，那么 c、 d 和 b、 e 平行，所以说角 a、 b、 e 就等于角 a、 f、 g 就 等于九十度。 两线平行，又用了平行线的性质，同位角相等，那么这时候我们就证明了角 a、 b、 e 等于九十度， a、 b 等于九十度。说明 o、 b 和 b、 e 垂直 线， o、 b 是 远 o 的 半径， 所以 b、 e 是 远 o 的 切线 啊。在这块同学们要注意的，要证明一条直线是圆的七线，必须要满足两个条件，半径和这条直线垂直，并且这条直线要经过半径的外端，必须把这两个条件写清楚， 比如说这块的 o、 b 垂直， b、 e 写 o， b 是 圆 o 的 半径。有这两个条件就可以证明 b、 e 是 圆 o 的 期限， 这就是第一问啊，对于期限的判定和期限的性质是中考必考。然后整理思路，写出证明过程，我们看 具体的证明过程是证明连接 b、 d。 因为弧 b、 c 等于弧 b、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 c、 d。 又因为角 b、 c、 d 等于角 b、 a、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 a、 d。 啊。在这块同学们也可以把所用到的角用角一、角二，角三角四，这样表示出来， 可能比你用三个字母表示角要方便。对于 就是等量代换要看的更清楚，这也是经常做题涉及到的一个方法。 由 ab 是 远凹的直径，所以角 adb 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 就 等于九十度，所以角 afd 就 等于九十度。 f 这个点表示的是 f。 又因为角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 c、 d 平行 b、 e， 所以 角 a、 b、 e 等于角 a、 f、 d 等于九十度，所以 ab 垂直 b、 e。 且 a、 b 是 远凹的直径，说直径也行，说半径也行，所以说 b、 e 是 远凹的曲线。这就是第一问，然后我们看第二问， 接下来看第二问，当半径是二， b、 c 是 三，让我们求 tanh 角 a、 e、 b 的 值 给我们给出来，半径是二， b、 c 是 三， b、 c 等于三，半径等于二，半径是二，我们就可以知道直径 a、 b、 a、 b 就是 四， a、 b 就是 四。让我们求个探证题，角 a、 e、 b a、 e、 b 求这个的正切值，而角 a、 e、 b 又等于角 a、 d、 c。 已知条件中给我们给出来，又等于角 a、 d、 c 和这个角相等 啊，这个角又等于这个角。我们发现弧 a、 c 所对的圆珠角是角 abc 和角 adc， 所以 说我们发现这块， 我们发现角 abc 等于角 a、 d、 c， 而角 a、 d、 c 又等于 角 a、 d、 c 又等于角 a、 b、 c， 所以 说我们就可以得到角 a、 b、 c 就 等于角 a、 b、 a、 d、 c 就 等于角 a、 e、 b 啊，不是 a 对 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b， 那 么让我们求的是角 a、 e、 b 的 正切值， 让我们求的是角 a 与 b 的 正切值，那只要我们求出角 a、 b、 c 的 正切值，就可以知道角 a 与 b 的 正切值。在这块同学们要知道就是相等的角的 三角函数值相同，那可能让你求正弦与弦，在这块呢，让我们求的是正切值， 那么角 a、 b、 c 的 正切值看我们能不能求出来，因为 ab 是 圆 o 的 直径，刚才我们知道直径所对的圆周角是直角，那在这个直角三角形 a、 b、 c 中， 那么我们把西边是四， b、 c 是 三，那我们把 a、 c 可以 求出来，所以说因为 ab 是 圆 o 的 直径， 所以说角 a、 c、 b 就等于九十度。那么在二次三角形 a、 c、 b 中， 我们根据勾股定律把 ac 就 可以求出来， ac 就是 根号下的 ab 的 平方，减 bc 的 平方 就等于根号下的四的平方减三的平方，四的平方是十六，三的平方九 九十七，所以说 a、 c 求出来就是根号七， a、 c 求出来根号七，所以说在这个直角三角形 a、 c、 b 中，它整体角 abc 的正切值就是对边比邻边，那么就是 a、 c 比 b、 c 就 等于 a、 c 换上是根号七， b、 c 舍三， 所以说求出来就是三分之更好奇。而角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 又相等，所以说它正极角 a、 e、 b 的 正奇值求出来就是三分之更好奇 啊！这就是我们要求的角 a 一 b 的 正切值啊！在这块同学们要记住，就是求一个角的正切值，要么你就找这个角所在的直角三角形中看它的 三角函数值，看它的三条边，知道吗？如果不知道的话，那你就转化 转换，看能能找到和这个角相等的角。如果你求出跟他相等的角的三角函数值， 那么我们根据相等的角的三角函数值相同。就像刚才的，只要我们求出来角 abc 的 正奇值，那你就可以知道角 a、 e、 b 的 正奇值， 因为角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 相等，相等的角的三角函数值相同啊！这就是第二问。然后我们看一下它的 解析过程，整理思路，写出解析过程， 请看第二问。因为 o、 b 等于二，所以 ab 等于四，又因为 bc 等于三， ab 是 圆 o 的 直径，所以角 abc 等于九十度。那我们在二次三角形 a、 c、 b 中，根据勾股定律， a、 c 就 等于根号下 a、 c、 a、 b 的 平方减 b、 c 的 平方就等于四的平方，减三的平方就等于根号七。所以说它整体角 a、 b、 c 就 等于 a、 c 比 bc 就 等于三分之。根号七。 又因为角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c， 角 a、 d、 c 又等于角 a、 e、 b， 所以 角 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b， 所以 它正题角 a、 e、 b 就 应该等于它正题角 a、 b、 c 就 等于三分之根号奇。 谢谢 你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习圆综合题，是二零二五年甘肃定西的中考题， 下面我们来看二十五题。如图，四边形 a、 b、 c、 o 的 顶点 a、 b、 c 在 圆 o 上 角 b、 a、 o 等于角 b、 c、 o 直径 b、 e 与弦 a、 c 相交于点 f， 点 g 是 e b。 延长线上一点角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 第一问，求证 c、 d 是 圆 o 的 虚线， 首先要证明一条直线是圆的期限，当然我们就要用期限的判定，我们学习的期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的期限，它满足两个条件，首先要这条直线和 这个圆的半径垂直，而且必须要经过半径的外端， 那我们经常用的两个方法就是做垂直正半径和做半径正垂直。在这块同学们要 记住这两个方法，第一个方法是 坐垂直正半径 就是坐垂直 正半径。 第二个方法是做半径正垂直，做半径 正垂直， 那在这块的意思就说，如果有半径的话，那只要你证明这条半径和直线垂直， 那如果没有半径的话，那我们就要做出他的半径，然后再说明半径和这条直线垂直。那么具体的我们看， 对于这个题来说，我们要如何证明 c、 d 是 圆 o 的 虚线？我们首先看奇数条件，奇数条件当中给我们给出来角 b、 a、 o 角 b a、 o 等于角 b、 c、 o。 那 我们来分析一下，他说角 b a、 o b a、 o 是 这个角等于角 b、 c、 o 是 这个角啊，这两个角相等。然后又告诉我们 直径 b、 e 和斜 a、 c 相交于点 f， 那 b、 e 是 圆 o 的 直径，排到直径，首先我们就要想到 圆周角定律里边的一个直径所对的圆周角是直角，那么在这块 b 所对的圆周角我们还找不到， 是不是要做辅助线？过会儿我们再看。然后呢，他又说，角 b、 c、 d。 等于二分之一的角 a、 o、 b。 角 b、 c、 d。 是 这个角， 它等于二分之一的角 a、 o、 b。 是 这个角二分之一角 a、 o、 b。 那么现在呢，我们观察图形发现，只要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，那么要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，只要我们能说明角 o、 c、 d。 只要我们能 说明这个角 啊，只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 是 直角。要说明角 o、 c、 d。 是 直角，只要我们能说明角 o、 c、 d。 等于九十度，那我们看如何来说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度。我们观察发现， 只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度， 那么角 o、 c、 d。 我 们发现刚好是角 b、 c、 d。 和角 b、 c、 o。 的 和。 如果能说明角 b、 c、 d。 加角 b、 c、 o。 等于九十度，而角 b、 c、 o。 刚好又是角 b、 a、 o。 那 能不能说明这两个角的和是九十度，那么角 b、 c、 o。 又是角 b、 a、 o。 然后呢，题目当中又告诉我们 b、 e 是 直径，那我们不妨连接 a、 e。 我 们试一下把 a、 e。 连上。如果连接 a、 e 的 话， 我们观察发现角 a、 e、 b。 我 们发现这个角 a、 e、 b。 它等于二分之一的角 a、 o、 b。 那么角 b、 c、 d。 也等于二分之一的角 a、 o、 b。 那 由这两个式子 我们就可以得到角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 而角 a、 e、 b。 刚好又是这个角角 o、 a、 e。 因为 o， a。 等于 o， e 等边对等角，所以说角 b、 c、 d。 它等于角 o， a， e o， a， e 啊 a、 e、 b。 等于角 o， a、 e。 所以 说角 b、 c、 d。 就 等于角 o、 a、 e。 然后呢，我们又发现 这个角是直角，因为 b、 e。 是 啊，直径，直径所对的圆珠角是直角， 所以说角 b、 a、 e。 它又等于九十度。 而角 b、 a、 e 刚好又是角 b、 a、 o 和角 o， a、 e 的和，所以说角 b、 a、 o。 加角 o， a、 e。 就 等于九十度。而角 b、 a、 o。 刚好又是角 b、 c、 o。 所以 说角 b、 c、 o。 加角，而 o、 a、 e 刚好是 b、 c、 d。 刚才我们证明的，我们换上等量代换，就是加角 b、 c、 d。 等于九十度， 那么角 b、 a、 o。 加角啊！ b c、 d。 角 b c、 d。 加角 b、 c、 o。 我 们确实证明了它等于九十度， 那么它等于九十度的话，所以说我们就可以发现角 b、 a、 o 啊，所以说就是在这个地方，我们证明了 角 b、 c、 o。 加角 b、 c、 d。 等于九十度。而角 b、 c、 o。 加角 b、 c、 d。 刚好是， 刚好是角 o、 c、 d 啊，所以说 我们就可以说明 角 o、 c、 d。 等于九十度，那么角 o、 c、 d。 等于九十度，所以说 o、 c。 它和 c、 d。 垂直，而且 o、 c 又是圆 o 的 半径， 所以我们就可以说明 c、 d。 是 圆 o 的 虚线 啊。要证明一条直线是圆的虚线，必须要满足半径和这条直线垂直，并且说明 某条线段是圆的半径必须要满足这两个条件，就可以说明 c、 d 是 圆 o 的 切线啊。这就是第一问，那我们整理思路，写出第一问的证明过程， 它就是下面的证明。首先我们连结 a、 e， 所以 说角 a、 e、 b 就 等于二分之一角 a、 o、 b 这块用了一条弧所对的圆周，角 是圆形角的一半。那我发现弧 a、 b 所对的圆周角是角 a、 e、 b。 它所对的圆心角是角 a、 o、 b。 所以 说一条弧所对的圆周角是圆形角的一半，所以就是角 a、 e、 b 等于二分之一的角 a、 o、 b。 因为角 a、 e 等于角 a、 e、 b。 半径相等。在圆当中一个引号条件，同学们一定要记清楚，半径相等， 所以说这块的 o a 等于 o e， 所以 说角 o、 e、 a 等于角 o a、 e。 这个角和这个角相等。等。边对等角， 所以说角 a、 e 就 等于二分之一的角 a、 o、 b。 等量代换，把这里边的角 a、 e、 b 用角 a、 o、 e 换上。 又因为角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 已知条件，所以说有这两个式子，我们就可以得到角， 嗯，有这两个式子，我们就可以得到角 o、 a、 e 等于角 b、 c、 d。 又因为 b 是 圆 r 的 直径，所以说角 b a、 e 等于九十度。直径所对的圆周角是直角 b、 e 所对的圆周角是角 b a、 e。 而这个角 b、 a、 e 又是角 b a、 o 和角 o a、 e 的 和啊，所以说这两个角的和等于九十度，而角 b、 a、 o 刚好是角 b、 c、 o。 已知条件， 所以说角 b、 c、 o 加角 b c、 d 就 等于九十度。 那这样我们就可以得到角 o、 c、 d 就 等于九十度， 所以说 o、 c 就 垂直 c、 d。 且 o、 c 是 圆 o 的 半径。把这两个条件必须要起到一块，所以说 c、 d 是 圆 o 的 期限。有这两个条件就可以推出 c、 d 是 圆 o 的 期限， 这就证明了 c、 d 是 这个圆的极限。第一问，接下来我们看第二问。 第二问说，若四边形 abc 是 平行四边形， g、 f 是 三，求 c、 d 的 长， 那我们分析要让我们求 cd 的 长， cd 是 这条线段 给我们给出来 e、 f 的 长是三，而又说这个四边形 abc， 它说四边形 abc 是 平行四边形， 这个四边形是平行四边形。然后我们又发现 o、 a 等于 o、 c， 半径相等，说明这个四边形 abc 是 菱形， 由 o a 等于 o、 c， 所以 说四边形 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么这个四边形是菱形。我们根据菱形的判定，一组菱边相等的平行四边形是菱形，所以说 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么 a、 b、 c、 o 是 菱形，说明这四条边相等。因为菱形的四条边相等，所以说我们就得到 a 等于 o、 c， 它等于 a， b 还等于 b、 c、 b、 c。 然后呢，又跟我们说 b、 f 等于三， c、 f 等于三，我们发现 e、 f 刚好是 o o f 和 o e 的 和， 所以说就是 o f 加 o e 就 等于三，然后 o、 e 刚好又是 o、 b， 都是半径。刚才我们又证明了这个四边形 abc o 是 a、 b、 c、 o， 它是菱形，那么根据菱形的性质，菱形的四条边相等，并且它的对角线互相平分垂直， 说明这个 f 是 b、 o 的 中点还是 a、 c 的 中点，互相平分垂直，还平分每一次对角。嗯，所以说这块的 o、 f 就 等于 f b， 所以说 o、 f， 它就是二分之一的 b， o， 那 么就是二分之一的 o， b 加 o b 就 等于三， 那我们把 o、 b 就 可以求出来，所以说就是二分之三的 o， b 就 等于三，所以 o、 b 就 等于二， 我们求出来半径是二， o、 b 是 二，那么 o、 c 也是二，而 o、 c 等于 o， b 还等于 b、 c， 说明这个三角形 b、 c、 o 它是等边三角形。然后我们发现， 所以说 o、 b 等于 o、 c， 它还等于 b、 c， 说明这个三角形 b、 c、 o 是 等边三角形， 那这个三角形是等边三角形。等边三角形的每个角都是六十度，所以说角 b、 o、 c 就 等于六十度。 角 b、 o、 c 等于六十度， o、 c 是 二。而由第一问，我们又得到这个角 d、 c、 o 是 直角， 因为 c、 d 是 圆 o 的 切线， o、 c 和 c、 d 垂直，我们根据其线的性质，圆的切线垂直于过起点的半径，所以说这个角 o、 c、 d 是 直角， u、 c、 d 是 圆 o 的 切线。我们第一问中证明的， 所以说 oc 它和 c、 d 垂直， 所以说我们就得到角 oc 等于九十度，所以说这个三角形 oc、 oc 是 x 三角形，所以说在这个 x 三角形中，我们知道角 c、 o、 d 是 六十度， o、 c 是 二，那我们用正七值 就可以把 c、 d 求出来，所以说我们发现就是 tan 值。角 c、 o、 d， 它应该等于对边比邻边 c、 d 比 o、 c， 而角 c、 o、 d 刚好是六十度，所以说就是 tan 值六十度， 就等于 c、 d 比 o、 c 是 二，所以说 c、 d 就 等于二倍的 tan 值六十度。 套数角的三角函数值我们要背下来，而 tan 值六十度是根号三，所以说它就是二乘的根号三就是二倍的根号三 把三十度六十度、四十五度的正弦， 正弦与弦，正弦，同学们都要记清楚特殊角的三角函数值，所以说 c 在 我们求出来就是二倍的根号三这里边。然后我们整理思路，写出它的证明过程。 证明过程就是因为四边形 a、 b， c、 o 是 平行四边形 o， a 等于 o， c， 所以 说四边形 a、 b， c， o 是 菱形，所以 o、 c 等于 o， a 等于 ab 等于 bc， o， f 等于 b， f 等于二分之一的 b， o 等于三，所以二分之一的 b， o 加 b， o 等于三，所以 b、 o 等于二， oc 等于 o， b 等于 bc 等于二，所以说三角形 b、 o、 c 上等边三角形，所以角 bc， b、 o， c 等于六十度。 又因为 c、 d 是 圆 o 的 切线，所以 o、 c 垂直了 c、 d， 所以 说角 o， c、 d 等于九十度。 在 h 三角形 o、 c、 d 中，胎正蹄角 d， o， c 等于 c， d 比 o， c， 所以 胎正蹄六十度就等于 c， d 比二，所以 c、 d 就 等于二倍的胎正蹄六十度等于二倍的根号三 啊。这就是二零二五年甘肃定西的中考题，原综合题二十五题。那我们回过头来再来分析一下。 嗯，在这个题目当中看考到的知识点应该是第一问，他要我们证明 c、 d 是 远奥的期限，当然我们就要用期限的判定， 然后集合已知强近。在整个过程中用到了直径所对的圆周角是直角，一条弧所对的圆周角是圆形角的一半圆形角定力。 再一个就是期限的判定。在第二问当中又用到了期限的性质，并且应用第一问的结论， cd 是 远凹的期限。 然后第二问中要让我们求 cd 的 长。在这个解析过程中，我们发现它用了 第一问的结论， c、 d 是 圆 o 的 期限，从而应用期限的性质，期限的性质是圆的期限垂直于过起点的半径，说明这个三角形 o、 c、 d 是 直角三角形，然后再结合已知条件， 证明了三角形 b， o、 c 是 啊，等边三角形，说明了这个角 c、 o、 b 是 六十度。 在证明的过程中，结合已知条件，运用了嗯，菱形的判定和菱形的性质，用了一组菱边相等的平行四边形是菱形，然后再说明 如果它是菱形，用了它的性质，四条边相等。嗯，对角线互相垂直，平分还平分每一处对角用了菱形的有关判定和性质 啊，然后说明了这个三角形是啊，等边三角形，然后再说明这个三角形 o、 c、 d， 是 啊，直角三角形，然后 要求 c 的 长。我们发现，直到一个角和一条边。在直角三角形中，马上用特殊角的三角函数的概念，也就是应用了嗯，三角函数的正切值， 判正题角 c、 o、 d 等于对边比邻边。再另外，在这块同学们要清楚的就是特殊角的三角函数值和三角函数的概念，同学们一定要记清楚， 特殊角的三角函数值就是三十度、四十五度、六十度的正弦与弦正切一定要记清楚。好，谢谢。
25:39查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题，这是二零二四年甘肃定西的中考题。下面我们来看题。如图， a、 b 是 圆 o 的 直径，弧 bc， 弧 bc 等于弧 b d 点 e 在 a、 d 的 延长线上，且角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b。 第一问，求证 b 是 圆 r 的 切线。第二问，当半径为二时， b、 c 等于三，求看正极角 a、 e、 b 的 值。 那么下面我们先来看第一问，我们把这个图向上移一下。 好， 那我们看第一问。第一问，让我们证明 b 是 圆 r 的 虚线。同学们要记住， 要证明一条直线是圆的虚线，这是中考 b 考，那么要证明一条直线是圆的虚线。当然我们就要用极限的判定，极限的判定就是 经过半径的外端，并且垂直于这条直线直线并且垂直于这条半径的直线是圆的虚线。满足两个条件，这条直线必须要和半径垂直， 而且还要经过半径的外端。那我们经常用的方法有两个，我们在这块可以总结为圆半径正垂直方法， 那我们可以写一下。我们证明一条直线 使圆的切线的方法有两个，第一个是做垂直 正半径， 做垂直正半径。在这块要注意的就是 如果这条直线和圆没有公共点，那我们就过圆形 o 做这条直线的垂线， 然后再说明圆形 o 和垂足之间的距离是这个圆的半径，那我们就可以说明这条直线是圆的虚线。第二个方法是做半径正垂直， 做半径 正垂直。 做半径正垂直。那么就是如果这条直线和圆有公共点，那我们就要连接圆形和这个公共点，然后再说明 这个圆形和公共点之间的线段是半径，那么再说明这条半径和这条直线垂直，那我们就可以说明这条直线是圆的。奇线 经常用这两个方法。那么如果比如说这个题，我们发现 已经有 o、 b 和 b、 e 之间的关系，那我们就不需要再做辅助线，那我们集合提射条件，看能不能直接证明 o、 b 和 b、 e 垂直。 那么 首先提射条件当中给我们给出来的是 a、 b 是圆 o 的 直径。谈到直径，同学们马上想到直径所对的圆珠角，是啊，直角， 然后弧 bc 又等于弧 b d， 弧 bc 等于弧 b、 d。 那 么从这个图当中我们观察 弧 bc 是 这段弧 弧 bc， 弧 bc 所对的圆周角是这个角， 弧 b 字是这段弧， 弧 b 字所对的圆周角是这个角 啊，这个角和这个角， 那如果我们把这个角看作是角一，而把这个角看作角二， 同弧所对的圆周角相等，所以说角一就等于角二。那么在这块我们发现角一是等于角二的， 角一等于角二。然后又说角 a、 d、 c 等于角 a e b。 角 a d c a d c 是 这个角，它等于角 a、 e、 b 这两个角相等，这两个角相等，那我们发现它恰好是 c、 d 和 b e 被 ab 所截形成啊，不是被 a、 e 所截形成的同位角啊，是同位角，是被 a、 e 所截形成的同位角。那么 我们根据同位角相等，两只线平行，就可以说明 c、 d 平行， b、 e 性质平行 b e。 那 么现在我们要证明 b、 e 是 圆 o 的 切线，那我们只要说明这个角角 o、 b、 e 等于九十度是直角， 那么现在如何来说明它是直角？现在题目当中又告诉我们， ab 是 圆 o 的 直径， 那么直径所对的圆周角是直角，那我发现这个角 a、 c、 b 是 直角，它和正明这个角是直角，好像没有什么关系。 那如果我们连结 b、 d， 它会怎么样？如果连结 b、 d 的 话，同学们发现这个角 它也是直角啊，这个角也是直角，而这个角刚好是 b、 c、 b、 d、 c 这个角如果把它看成角三、角三， 角三加角 a、 d、 c 刚好是九十度，我们发现角三加角 a、 d、 c 就 等于九十度， 角三加角 a、 d、 c 等于九十度。 那现在如果我们把这个点记作是点 f 的 话， 就是 c、 d 和 ab 的 交点记作是点 f， 那 如果我们能说明这个角是直角的话，而我们刚才又知道 c、 d 和 b 平行， 那么我们根据两线平行，同一角相等啊，就可以说明这个角 a、 b、 e 和角 a、 f、 g 相等，刚好等于九十度， 刚好等于九十。那么现在的问题就是如何来证明这个角 a、 f、 d 是 九十度，要证明角 a、 f、 d 是 九十度，只要我们说明角一加角 a、 d、 c 是 九十度， 角一加角 a、 d、 c 是 九十度，那么现在 我们发现这个角三又等于这个角， 把这个角记作角四，也就是 c、 a、 b 记作角四的话，角三和角四也相等，我发现角三也等于角四， 它都是弧 bc 所对的圆周角，一条弧所对的圆周角相等， 那么这时候我们就得到了角一等于角二，角三也等于角四。而题目当中又告诉我们，弧 bc 等于弧 b、 d。 弧 bc 等于弧 b、 d， 所以 说 弧 b、 d 所对的角是角一，而弧 bc 所对的角是角三和角四， 所以说角一就等于角二，还等于角三。角四。角一等于角二，它还等于角三，还等于角四， 这四个角相等。角一等于角二等于角三等于角四 等于角四。那么现在 我们又发现这个角是直角， 角三加角 a、 d、 c。 角三加角 a、 d、 c 是 九十度，而角三又等于角一，在这块换上 角三又等于角一，所以说角一加角 a、 d、 c 就 等于九十度 啊！在这个地方注意等量代换，角一等于角二等于角三等于角四，那么角三加角 a、 d、 c 等于九十度， 所以说角一就加角 a、 d、 c 等于九十度。角一加角 a、 d、 c 等于九十度。那么在三角形 a、 f、 g 中，我们发现角 a、 f、 g 就 等于九十度， 那么角 a、 f、 g 等于九十度。又提问当中又告诉我们， 角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 说 c、 d 它和 b、 e 平行。 同位角相等，两直线平行，那么 c、 d 和 b、 e 平行，所以说角 a、 b、 e 就等于角 a、 f、 g 就 等于九十度。 两线平行，又用了平行线的性质，同位角相等，那么这时候我们就证明了角 a、 b、 e 等于九十度， a、 b 等于九十度。说明 o、 b 和 b、 e 垂直 线， o、 b 是 远 o 的 半径， 所以 b、 e 是 远 o 的 切线 啊。在这块同学们要注意的，要证明一条直线是圆的七线，必须要满足两个条件，半径和这条直线垂直，并且这条直线要经过半径的外端，必须把这两个条件写清楚， 比如说这块的 o、 b 垂直， b、 e 写 o， b 是 圆 o 的 半径。有这两个条件就可以证明 b、 e 是 圆 o 的 期限， 这就是第一问啊，对于期限的判定和期限的性质是中考必考。然后整理思路，写出证明过程，我们看 具体的证明过程是证明连接 b、 d。 因为弧 b、 c 等于弧 b、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 c、 d。 又因为角 b、 c、 d 等于角 b、 a、 d， 所以 角 b、 d、 c 等于角 b、 a、 d。 啊。在这块同学们也可以把所用到的角用角一、角二，角三角四，这样表示出来， 可能比你用三个字母表示角要方便。对于 就是等量代换要看的更清楚，这也是经常做题涉及到的一个方法。 由 ab 是 远凹的直径，所以角 adb 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 等于九十度，所以角 adf 加角 bdc 就 等于九十度，所以角 afd 就 等于九十度。 f 这个点表示的是 f。 又因为角 a、 d、 c 等于角 a、 e、 b， 所以 c、 d 平行 b、 e， 所以 角 a、 b、 e 等于角 a、 f、 d 等于九十度，所以 ab 垂直 b、 e。 且 a、 b 是 远凹的直径，说直径也行，说半径也行，所以说 b、 e 是 远凹的曲线。这就是第一问，然后我们看第二问， 接下来看第二问，当半径是二， b、 c 是 三，让我们求 tanh 角 a、 e、 b 的 值 给我们给出来，半径是二， b、 c 是 三， b、 c 等于三，半径等于二，半径是二，我们就可以知道直径 a、 b、 a、 b 就是 四， a、 b 就是 四。让我们求个探证题，角 a、 e、 b a、 e、 b 求这个的正切值，而角 a、 e、 b 又等于角 a、 d、 c。 已知条件中给我们给出来，又等于角 a、 d、 c 和这个角相等 啊，这个角又等于这个角。我们发现弧 a、 c 所对的圆珠角是角 abc 和角 adc， 所以 说我们发现这块， 我们发现角 abc 等于角 a、 d、 c， 而角 a、 d、 c 又等于 角 a、 d、 c 又等于角 a、 b、 c， 所以 说我们就可以得到角 a、 b、 c 就 等于角 a、 b、 a、 d、 c 就 等于角 a、 e、 b 啊，不是 a 对 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b， 那 么让我们求的是角 a、 e、 b 的 正切值， 让我们求的是角 a 与 b 的 正切值，那只要我们求出角 a、 b、 c 的 正切值，就可以知道角 a 与 b 的 正切值。在这块同学们要知道就是相等的角的 三角函数值相同，那可能让你求正弦与弦，在这块呢，让我们求的是正切值， 那么角 a、 b、 c 的 正切值看我们能不能求出来，因为 ab 是 圆 o 的 直径，刚才我们知道直径所对的圆周角是直角，那在这个直角三角形 a、 b、 c 中， 那么我们把西边是四， b、 c 是 三，那我们把 a、 c 可以 求出来，所以说因为 ab 是 圆 o 的 直径， 所以说角 a、 c、 b 就等于九十度。那么在二次三角形 a、 c、 b 中， 我们根据勾股定律把 ac 就 可以求出来， ac 就是 根号下的 ab 的 平方，减 bc 的 平方 就等于根号下的四的平方减三的平方，四的平方是十六，三的平方九 九十七，所以说 a、 c 求出来就是根号七， a、 c 求出来根号七，所以说在这个直角三角形 a、 c、 b 中，它整体角 abc 的正切值就是对边比邻边，那么就是 a、 c 比 b、 c 就 等于 a、 c 换上是根号七， b、 c 舍三， 所以说求出来就是三分之更好奇。而角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 又相等，所以说它正极角 a、 e、 b 的 正奇值求出来就是三分之更好奇 啊！这就是我们要求的角 a 一 b 的 正切值啊！在这块同学们要记住，就是求一个角的正切值，要么你就找这个角所在的直角三角形中，看它的 三角函数值，看它的三条边，知道吗？如果不知道的话，那你就转化 转换，看能能找到和这个角相等的角。如果你求出跟他相等的角的三角函数值， 那么我们根据相等的角的三角函数值相同。就像刚才的，只要我们求出来角 abc 的 正奇值，那你就可以知道角 a、 e、 b 的 正奇值， 因为角 a、 b、 c 和角 a、 e、 b 相等，相等的角的三角函数值相同啊！这就是第二问。然后我们看一下它的 解析过程，整理思路，写出解析过程， 请看第二问。因为 o、 b 等于二，所以 a、 b 等于四。又因为 b、 c 等于三， ab 是 圆 o 的 直径，所以角 abc 等于九十度。那我们在二次三角形 a、 c、 b 中，根据勾股定律， a、 c 就 等于根号下 a、 c、 a、 b 的 平方减 b、 c 的 平方就等于四的平方，减三的平方就等于根号奇。所以说它整体角 a、 b、 c 就 等于 a、 c、 b、 c 就 等于三分之根号奇。 又因为角 a、 b、 c 等于角 a、 d、 c 又等于角 a、 e、 b， 所以 角 a、 b、 c 就 等于角 a、 e、 b。 所以胎正蹄。角 a、 e、 b 就 应该等于胎正蹄角 a、 b、 c 就 等于三分之根号。七，谢谢！
03:21查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，今天我们来看一道二五年威海中考真题，是关于反比例函数与一线三垂直相似的题型。先来读题，如图，点 e， 在 反比例函数 y 等于 x 分 之的线上，点 b 呢，是在 y 等于负的 x 分 之二线上连接 o a o b a b， 那 么如果说 a o 垂直于 b o 得 弹值的角 b a o 等于多少？那这道题啊，一个非常关键的信息是， a o 垂直于 b o， 但在多标系当中啊，有垂直这个条件，那么构造一线三垂直， 或者是勾到一线三垂直相似，或者是一线三垂直全等，都是非常常见的方法。那这个题啊，反比例加座位细再加啊垂直这个方法呢，那用起来是非常方便的，几乎是首选的选择。好，那这样呢，我们要过点闭啊，做一个 垂直来，这是 m， 好， 再过点 a， 做一个垂直点 n， 那 么三角形 b o m 相似于三角形啊， b o m 对 应的应该是呃， o n o a n 三角形 o a n 这样一个对应关系， 那这样的话呢，就是可以得到均边乘比例，那这可以得到啊， bm 啊，这个边应该比上 o n， 比上 o n， 然后呢，就等于 o m o m 比上啊，这呢是 a n， 那 当然也等于 b o 比上 a o。 而且啊， 这个地方呢，通常适用呢，是啊， k 的 几和一啊， k 的 绝对值几和一，那就说点 b 啊，在反面函数上，那么他向两边的多边线去做垂直，那么围成的矩形啊，就等于 k 的 绝对值，那当然，如果是这样一个三角形的话啊，就这个面积呢，他应该是等于二分之 k 的 绝对值的一半， 说二分之二的负二的绝对值等于二，二分之二等于一，哎，所以说这个 s 三角形 b m o 啊，就等于一，那同理，这个三角形它的面积呢，应该等于四的绝对值，一半也是二， s 三角形 a o n 等于二， 那我们知道两个三角形相似啊，他们的面积之比应该是等于相似比的平方啊，也说那这个面积比，这个面积是一比二，所以说呢，这个相似比应该等于一比跟二， 这个应该非常的明确了，这个是相似的性质，那这样的话，所以说可以得到什么？得到 b o 比成 a a o， 就 说一比二， 而这个地方要求的是 tan 的 角 b a o， 哎，这样又垂直，那正好是 b o 比上 a o， 所以 说 tan 的 角 b a o 啊，它就等于 b o 比上 b o， 那 么就等于根二分之一，那当然咱们这样要画成二分之根二啊，这样一个对折的形式，注意填空题来讲， 所以说这个题啊，就得到解决，那么利用一线三垂直相似啊，再加上反比例函数，加上多倍系，是非常容易的去解决一些这样的图像问题，那么这个题啊，就通过这样一个方式来解决。好，感谢大家收看，再见。
32老马数学空间
02:22查看AI文稿AI文稿继续看九街一日一练打卡练习是山东的一个中考真题，咱们在一个句型 a， b， c， d 当中啊，给你折叠了，同学，对吧？对，折，折叠、翻折、旋转、平移都会有对称，对称就会有全等，同学，对吧？所以说这个啊，你一定要清晰地知道， c 落在 c 一 撇处，对吧？折痕为这个 m， n 点 d 落在 d 撇，点 d 落在 d 撇，对吧？那么这个焦点易弱， b m 等于三。同学，来标一下啊， b m 在 这 等三，对吧？ b c 一 撇是等四的， b， c 一 撇等四，哎，勾股定律，它就是五了。同学，翻折，这就是五了，同学，能跟上吧？哎，把你知道的信息全部给它进行竖形结合， a， c 一 撇是等三的，找一下，哎，说明这个宽就是七了，没问题吧？ 啊，那翻折过去，这里有直角，同学，你跟上没有？哎，你发现没有，在这有一线三垂直，同学，哎， 一线三垂直，同学，有没有跟上，对吧？就说这个三角形和这个三角形一定全等，为什么有 b m 等三，这个 a、 c 撇也等三，所以说我们就很容易得到三角形 a， c， e 撇 e 啊，它要全等于三角形 b， m， c e 撇，同学， 这个能懂不？所以说你就知道了，这个 c e 撇 e 也会等于五，那这个 a e 呢？它也会等于四。同学，没问题。好，继续。我们确定的目标是求 d n 的 长，对吧？ d n 在 哪里呀？ d n 在 这里， 对吧？ d n 在 这里。你翻上去，同学， d n 是 要等于第一撇 n， 这有直角啊，那么我们就想到用方程的思想勾股定的去求，那怎么求？同学，显然，对吧， 整个是八，同学，跟上了，没有很简单吗？所以说这哥们是不是就是四了？跟上，没有啊，我设他是 x， 你 会不会表示 d n， x 呢？这个就是四减 x。 同学，你会不会 答？一定会。那翻过来，这个 d， e， c， d， c 是 七， d 撇 c 也是七，所以说 d 撇 e 就是 二了，七减五等于二。同学，跟上没有？所以啊，我们就很容易在二 t 三角形 d 撇 e， n 当中 啊，我们是有这个 s 平方加上二的平方是等于四减 x 夸平方的。同学，所以说我们就很容易 s 平方加四就等于十六，减去一个八 x 加上 x 平方， x 平方消掉了，那八 x 就 等于这个是十二 x 应该就等于三分之四。同学 啊，除以四，对吧？除以四啊，对吧？同学，这个你计算认真一点就好了，两边同时除以四，那就是二分之一个三。同学，明白没有？答案就是二分之三。在 这个题目当中主要考察的知识点对吧？句型的一个翻折折叠的性质对吧？好。第二个考察什么勾股定律，一线三垂直对不对？权的三角形的性质和判定比较重要。同学，这个题你一定要拿下。
00:26查看AI文稿AI文稿孙博士，你在干什么呢？哦，我在看书呢，这个书是我们刚刚编写的威海中考数学十年真题的核定本，那么在这个书中包含了从二零一六年到二零二五年每一年的威海市中考数学真题。 那么真题是同学们数学提分的关键抓手，如果你想提高你的数学成绩，一定要多刷真题。那怎么样能获得这个真题呢？很简单，你在评论区输入威海数学，我把题目发给大家。
28:12查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题，是二零二五年甘肃定西的中考题。下面我们来看二十五题， 如图，四边形 a、 b、 c、 o 的 顶点 a、 b、 c 在 圆 o 上角 b、 a、 o 等于角 b、 c、 o 直径 b、 e 与弦 a、 c 相交于点 f， 点 g 是 e b。 延长线上一点角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 第一问，求证 c、 d 是 圆的虚线， 首先要证明一条直线是圆的虚线，当然我们就要用虚线的判定，我们学习的虚线的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的曲线，它满足两个条件，首先要这条直线和 这个圆的半径垂直，而且必须要经过半径的外端。 那我们经常用的两个方法就是做垂直正半径和做半径正垂直。在这块同学们要 记住这两个方法，第一个方法是 做垂直正半径， 就是做垂直 正半径。 第二个方法是做半径正垂直，做半径 正垂直， 那在这块的意思就说，如果有半径的话，那只要你证明这条半径和直线垂直， 那如果没有半径的话，那我们就要做出它的半径，然后再说明半径和这条直线垂直，那么具体的我们看， 对于这个题来说，我们要如何证明 c、 d 是 远 o 的 期限？我们首先看奇数条件，奇数条件当中给我们给出来角 b、 a、 o 角 b a、 o 等于角 b、 c、 o。 那 我们来分析一下，他说角 b、 a、 o b a、 o 是 这个角等于角 b、 c、 o 是 这个角啊，这两个角相等。然后又告诉我们 直径 b、 e 和斜 a、 c 相交于点 f， 那 b、 e 是 圆 o 的 直径。排到直径，首先我们就要想到 圆珠角定律里边的一个直径所对的圆珠角是直角，那么在这块 b 所对的圆珠角，我们还找不到， 是不是要做辅助线？过会儿我们再看。然后呢，他又说，角 b、 c、 d。 等于二分之一的角 a、 o、 b。 角 b、 c、 d。 是 这个角，它等于二分之一的角 a、 o、 b。 是 这个角 二分之一角 a、 o、 b。 那 么现在呢，我们观察图形发现，只要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，那么要证明 o、 c 和 c、 d 垂直，只要我们能说明角 o、 c、 d。 只要我们能 说明这个角 啊，只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 是直角。要说明角 o、 c、 d。 是 直角，只要我们能说明角 o、 c、 d。 等于九十度，那我们看如何来说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度。我们观察发现， 只要我们能说明这个角 o、 c、 d。 等于九十度，那么角 o、 c、 d。 我 们发现刚好是角 b、 c、 d。 和角 b、 c、 o 的 和。 如果能说明角 b、 c、 d。 加角 b、 c、 o。 等于九十度，而角 b、 c、 o。 刚好又是角 b、 a、 o。 那 能不能说明这两个角的和是九十度，那么角 b、 c、 o。 又是角 b、 a、 o。 然后呢，题目当中又告诉我们 b、 e 是 直径，那我们不妨连接 a、 e。 我 们试一下把 a、 e 连上。如果连接 a、 e 的 话， 我们观察发现角 a、 e、 b。 我 们发现这个角 a、 e、 b。 它等于二分之一的角 a、 o、 b。 那么角 b、 c、 d。 也等于二分之一的角 a、 o、 b。 那 由这两个式子 我们就可以得到角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 角 b、 c、 d。 等于角 a、 e、 b。 而角 a、 e、 b。 刚好又是这个角角 o， a、 e。 因为 o， a。 等于 o， e。 等边对等角，所以说角 b、 c、 d。 它等于角 o， a， e o， a， e 啊 a、 e、 b。 等于角 o， a、 e。 所以 说角 b、 c、 d。 就 等于角 o， a、 e。 然后呢，我们又发现 这个角是直角，因为 b、 e。 是 啊，直径，直径所对的圆珠角是直角， 所以说角 b、 a、 e。 它又等于九十度， 而角 b、 a、 e。 刚好又是角 b、 a、 o 和角 o， a、 e 的和，所以说角 b、 a、 o。 加角 o， a、 e。 就 等于九十度，而角 b、 a、 o。 刚好又是角 b、 c、 o。 所以 说角 b、 c、 o。 加角，而 o、 a、 e。 刚好是 b， c、 d。 刚才我们证明的，我们换上等量代换就是加角 b、 c、 d。 等于九十度， 那么角 b， a、 o。 加角啊 b c、 d。 角 b， c、 d。 加角 b、 c、 o。 我 们确实证明了它等于九十度， 那么它等于九十度的话，所以说我们就可以发现角 b、 a、 o 啊，所以说就是在这个地方，我们证明了 角 b、 c、 o。 加角 b， c、 d。 等于九十度，而角 b、 c、 o。 加角 b、 c、 d。 刚好是， 刚好是角 o、 c、 d 啊，所以说 我们就可以说明 角 o、 c、 d。 等于九十度，那么角 o、 c、 d。 等于九十度，所以说 o、 c。 它和 c、 d。 垂直，而且 o、 c 又是圆 o 的 半径， 所以我们就可以说明 c、 d。 是 圆 o 的 期限 啊。要证明一条直线是圆的期限，必须要满足半径和这条直线垂直，并且说明 某条线段是圆的半径，就可以说明 c、 d。 是 圆 o 的 期限 啊。这就是第一问，那我们整理思路，写出第一问的证明过程， 它就是下面的证明。首先我们连接 a、 e， 所以 说角 a、 e、 b 就 等于二分之一角 a、 o、 b。 这块用了一条弧所对的圆周，角 是圆形角的一半。那我发现弧 a、 b 所对的圆周角是角 a、 e、 b。 它所对的圆形角是角 a、 o、 b。 所以说一条弧所对的圆周，角是圆形角的一半，所以就是角 a、 e、 b 等于二分之一的角 a、 o、 b。 因为 o a 等于 o e， 所以 角 o a、 e 等于角 a、 e、 b。 半径相等。在圆当中一个引含条件，同学们一定要记清楚，半径相等，所以说这块的 o、 a 等于 o e， 所以说角 o e a 等于角 o a、 e。 这个角和这个角相等。等。边对等角， 所以说角 o、 a、 e 就 等于二分之一的角 a、 o、 b。 等量代换，把这里边的角 a、 e、 b 用角 o、 a、 e 换上。 又因为角 b、 c、 d 等于二分之一的角 a、 o、 b。 已知条件，所以说有这两个式子，我们就可以得到角 嗯，有这两个式子，我们就可以得到角 a、 e 等于角 b、 c、 d。 又因为 b 是 圆 r 的 直径，所以说角 b a、 e 等于九十度。直径所对的圆周角是直角 b、 e 所对的圆周角是角 b a、 e。 而这个角 b、 a、 e 又是角 b a、 o 和角 o a、 e 的 和啊，所以说这两个角的和等于九十度，而角 b、 a、 o 刚好是角 b、 c、 o。 已知条件， 所以说角 b、 c、 o 加角 b c、 d 就 等于九十度。 那这样我们就可以得到角 o、 c、 d 就 等于九十度。 所以说 o、 c 就 垂直 c、 d。 且 o、 c 是 圆 o 的 半径，把这两个条件必须要起到一块，所以说 c、 d 是 圆 o 的 期限。有这两个条件就可以推出 c、 d 是 圆 o 的 期限， 这就证明了 cd 是 这个圆的虚线。第一问，接下来我们看第二问， 第二问说，若四边形 abc 是 平行四边形， g、 f 是 三，求 cd 的 长， 那我们分析要让我们求 cd 的 长， cd 是 这条线段 给我们给出来 e、 f 的 长是三，而又说这个四边形 abc， 它说四边形 abc 是 平行四边形， 这个四边形是平行四边形。然后我们又发现 a 等于 o、 c， 半径相等，说明这个四边形 abc 是 菱形。 由 a 等于 o、 c， 所以 说四边形 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么这个四边形是菱形。我们根据菱形的判定，一组菱边相等的平行四边形是菱形，所以说 a、 b、 c、 o 是 菱形， 那么 a、 b、 c、 o 是 菱形，说明这四条边相等。因为菱形的四条边相等，所以说我们就得到 a 等于 o、 c， 它等于 ab， 还等于 b、 c、 b、 c。 然后呢，又跟我们说 e、 f 等于三， c f 等于三，我们发现 e、 f 刚好是 o， o f 和 o e 的 和， 所以说就是 o f 加 o e 就 等于三，然后 o、 e 刚好又是 o、 b， 都是半径。刚才我们又证明了这个四边形 a、 b、 c、 o 是 a、 b、 c， 哦，它是菱形，那么根据菱形的性质，菱形的四条边相等，并且它的对角线互相平分垂直， 说明这个 f 是 b、 o 的 中点还是 a、 c 的 中点，互相平分垂直，还平分每一次对角。嗯，所以说这块的 o、 f 就 等于 f b， 所以说 o、 f， 它就是二分之一的 b， o， 那 么就是二分之一的 o， b 加 o b 就 等于三， 那我们把 o、 b 就 可以求出来，所以说就是二分之三的 o、 b 就 等于三，所以 o、 b 就 等于二。 我们求出来半径是二， o、 b 是 二，那么 o、 c 也是二，而 o、 c 等于 o、 b 还等于 bc， 说明这个三角形 b、 c、 o 它是等边三角形。然后我们发现， 所以说 o、 b 等于 o、 c， 它还等于 bc， 说明这个三角形 b、 c、 o 是 等边三角形， 那这个三角形是等边三角形。等边三角形的每个角都是六十度，所以说角 b、 o、 c 就 等于六十度。 角 b、 o、 c 等于六十度， o、 c 是 二。而由第一问，我们又得到这个角 d、 c、 o 是 直角， 因为 c、 d 是 圆 o 的 切线， o、 c 和 c、 d 垂直，我们根据切线的性质，圆的切线垂直于过起点的半径，所以说这个角 o、 c、 d 是 直角， u、 c、 d 是 圆 o 的 切线。我们第一问中证明的， 所以说 oc 它和 c、 d 垂直， 所以说我们就得到角 oc 等于九十度，所以说这个三角形 oc、 oc 是 x 三角形，所以说在这个 x 三角形中，我们知道角 c、 o、 d 是 六十度， o、 c 是 二，那我们用正七值 就可以把 c、 d 求出来，所以说我们发现就是 tan 值。角 c、 o、 d， 它应该等于对边比邻边 c、 d 比 o、 c， 而角 c、 o、 d 刚好是六十度，所以说就是 tan 值六十度， 就等于 c、 d 比 o、 c 是 二，所以说 c、 d 就 等于二倍的 tan 值六十度。 套数角的三角还竖直，我们要背下来，而 tan 值六十度是根号三，所以说它就是二乘的根号三，就是二倍的根号三。 把三十度，六十度、四十五度的正弦， 正弦与弦，正弦，同学们都要记清楚特殊角的三角函数值，所以说 c 在 我们求出来就是二倍的根号三这里边。然后我们整理思路，写出它的证明过程。 证明过程就是因为四边形 a、 b、 c、 o 是 平行四边形 o， a 等于 o， c， 所以 说四边形 a、 b， c， o 是 菱形， 所以 o、 c 等于 o， a 等于 ab 等于 bc， o， f 等于 b， f 等于二分之一的 b， o 加 b， o 等于三，所以 b、 o 等于三，所以 b、 o 等于二， oc 等于 o， b 等于 bc 等于二，所以说三角形 b、 o、 c 上等边三角形，所以角 bc， b、 o， c 等于六十度。 又因为 c、 d 是 圆 o 的 切线，所以 o、 c 垂直了 c、 d， 所以 说角 o， c、 d 等于九十度。 在 h 三角形 o、 c、 d 中，胎正蹄角 g， o， c 等于 c， d 比 o， c， 所以 胎正蹄六十度就等于 c， d 比二，所以 c、 d 就 等于二倍的胎正蹄六十度等于二倍的根号三 啊。这就是二零二五年甘肃定西的中考级原综合级二十五级。那我们回过头来再来分析一下。 嗯，在这个题目当中看考到的知识点应该是第一问，他要我们证明 c、 d 是 远奥的期限，当然我们就要用期限的判定， 然后集合已知强项。在整个过程中用到了直径所对的圆周角是直角，一条弧所对的圆周角是圆形角的一半圆形角定力。 再一个就是期限的判定。在第二文当中又用到了期限的性质， 并且应用第一问的结论， c、 d 是 远凹的极限。然后第二问中要让我们求 c、 d 的 长。在这个检测过程中，我们发现它用了 第一问的结论， c、 d 是 圆 o 的 期限，从而应用期限的性质，期限的性质是圆的期限垂直于过起点的半径，说明这个三角形 o， c， d 是 直角三角形，然后再结合已知条件， 证明了三角形 b， o， c， 是 啊，等边三角形，说明了这个角 c、 o， b 是 啊，六十度。 在证明的过程中，结合已知条件，运用了嗯，菱形的判定和菱形的性质，用了一组菱边相等的平行四边形是菱形，然后再说明 如果它是菱形，用了它的性质，四条边相等。嗯，对角线互相垂直，平分还平分每一处对角用了菱形的有关判定和性质 啊，然后说明了这个三角形，是啊，等边三角形，然后再说明这个三角形 o， c， d， 是 啊，直角三角形，然后 要求 c 的 长。我们发现，直到一个角和一条边。在直角三角形中，马上用特殊角的三角函数的概念，也就是应用了嗯，三角函数的正切值。 判正题角 c， o， d 等于对边比邻边。在。另外，在这块同学们要清楚的就是特殊角的三角函数值和三角函数的概念，同学们一定要记清楚， 特殊角的三角函数值就是三十度，四十五度、六十度的正弦与弦正切一定要记清楚。好，谢谢。
24:01查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习元综合题。这节课是二零二三年甘肃定西市的中考题， 原综合中考必考。下面我们来看题。如图，三角形 abc 内接于圆 o， ab 是 圆 o 的 直径， d 是 圆 o 上一点 c o 平分角 b c d， c o。 那 我们边看图来分析一下， c o 平分角 b c d， 那 也就是这个角等于这个角就是角 o， c， d 等于角 o， c b， c e 垂直 a d， c， e 和 a d 垂直就是角 e 等于九十度垂足为 e a， b 与 c d 相交于点 f， a， b 和 c d 相交于点 f。 第一问，求证 c， e 是 远凹的曲线，让我们证明 c、 e 是 远凹的曲线。 要证明一条直线是圆的期限，中考必考。经常是圆当中的第一问，那也就是期限的判定和期限的性质。中考必考， 下面我们来分析。要证明一条直线是圆的期限，当然我们就要用期限的判定，期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的期限。把这个判定同学们一定要记清楚， 那也就是要证明一条直线是圆的曲线，必须要满足两个条件，只要我们能说明这条直线和这个圆的半径垂直，并且它经过半径的外端， 那如果没有半径，那我们就 一般用两个，两个办法，也就是圆半径正垂直。那么这块所说的就是，如果这条直线和圆有一个公共点，那我们只要连接圆形和这个公共点，再次证明 这条直线和半径垂直。第二种方法就是做垂直正半径，那也就是如果， 嗯一条直线和圆没有公共点，那我们就要过圆形 o 做这条直线的垂线，这个垂足其实就是起点，那么我们只要证明 圆形和这个垂足之间的距离刚好是这个圆的半径，那么我们就可以说明这条直线是圆的切线， 那么如果不需要我们做辅助线的话，那只要我们能说明半径和这条直线垂直，在此说明这条直线它经过半径的外端， 那么下面我们看具体的这块让我们证明的 c e 是 远凹的曲线，那么只要我们证明 oc 和 c e 垂直，要说明 oc 和 c e 垂直，只要我们能说明角 oc， 这个角等于九十度，那么只要说明这个角是九十度，我们就可以说明 c e 是 远 o 的 极限。 下面我们分析题设条件，看如何来证明这个角 o c e 等于九十度。题目当中告诉我们 ab 是 远 o 的 直径， a b 是 圆 o 的 直径，然后 c o c o 平分角 b c d c o 平分角 b c d， 那 也就是角 o c d。 我 们把角 o c d 看作角一，把角 o c b 看作角二。 在分析圆这样的总和题的时候，同学们把某些角可以用角一、角二，角三、角四等等的这样表示，对你姐姐有帮助。 然后 c e 垂直 a g， 那 也就是角 e 是 一个直角，等于九十度， 那么现在我们看能不能说明这个角 o c e 等于九十度，那么下面我们发现角 e 等于角二， 而在圆当中半径相等，所以说 o c 等于 o b， 这是一个隐含条件，同学们要记着一定要能用的就用。我们把这个角看成角三，那就是角二等于角三， 因为 o c 等于 o b， 因为 o c， 那 我发现就是 因为 o c 等于 o b， 所以 说角二等于角三，而 o c 平分角 b c d 平分角 b c d， o c 平分角 b c d。 所以 说角一就等于角二， 角一就等于角二，所以说就是角一等于角二就等于角三，所以说角一等于角二就等于角三。 然后我们观察，我又发现这块的弧 a c 弧 a c 所对的圆周角是这个角角质， 这个角角质和角三，也就是角质，它又等于角三。 角质等于角三，而角三又等于角一，还等于角二。所以说我们发现等量代换，也就是角质，它就应该等于角一， 所以说我们发现这个角质等于角一，而角质和角一刚好又是 第日和 c o b c d 所结形成的内错角，那我们根据内错角相等，两直线平行，所以说我们就得到第日 平行。 oc 第日和 oc 平行，那我们 又发现这个角 e 等于九十度， 而 g e 和 o c 平行，而这个角 e 和角 o c e 又是同旁内角 o c e 是 同旁内角，那我们根据两线平行，同旁内角互补， 所以说我们就得到角 o c， e 就 等于九十度 啊。这块是一百八十度开过来同旁内角互补，角 e 加角 o c， e 等于一百八十度，两线平行，同旁内角互补， 而角 e 是 九十度，所以说角 o c e 就 等于九十度，那角 o c e 等于九十度，所以说 o c 垂直， c e 垂足为 c， 垂足为 c， o c 是 圆 o 的 半径， 所以说 c 日 是圆 o 的 切线 啊。这又是第一问，那我们根据刚才分析，我们说要证明一条直线是圆的虚线，只要我们证明这条直线和半径垂直，并且经过半径的外端， 那么就刚才这个题，我们刚好证明了 oc 和 c 垂直，而且 c 刚好经过半径 oc 的 外端 c， 那么要说明它垂直，只要我们说明角 o、 c、 e 等于九十度，那通过前面的分析，我们发现这个 o、 c 和 e、 d 平行，因为我们又发现 角一等于角二，角二又等于角三，而角 d 又等于角三，从而就可以证明角 d 等于角一。那我们根据内错角相等，两只线平行，所以说 d 就 和 o、 c 平行， 那么再根据两线平行，同旁内角互补，发现这块的角一和角 o、 c 一 刚好是同旁内角， 而角 e 又等于九十度，所以说就可以证明角 o、 c、 e 就 等于九十度，所以就可以证明 o、 c 垂直 c、 e， 从而就可以说明 c、 e 是 与 o 的 平行。 这就是第一问。然后整理思路，述数证明过程 看证明第一问，因为 c、 e 垂直 a、 d， 所以 角 e 等于九十度。因为 c、 o 平分角 b c、 d， 所以 角 o c b 等于角 o c d。 因为 o b 等于 o c， 所以 角 b 等于角 b c o 等于角 d， 所以 角 d 等于角 o c d， 所以 o c 平行 d e， 所以 角 o c、 e 等于角 e 等于九十度，所以 c e， 所以 c e 垂直 o c， 因为 o c 是 远 o 的 半径，所以 c、 e 是 远 o 的 极限。 下面我们看第二问，第二问说当圆 o 的 半径为五三，以角 b 等于五分之三，求 c 日的长， c 日的长， 我们给出来半径等于五，所以说它的直径就是十，半径等于五，所以说因为 ab 是 圆 r 的 直径，所以说 ab 就 等于十， ab 就 等于十三。引角 b 等于五分之三， a、 b 是 直径，那我们根据直径所对的圆周角是直角， 所以说角 a、 c、 b 就 等于九十度。在这块我们来分析一下，因为 ab 是 圆 r 的 直径， 所以 ab 就 等于十 啊，半径是五给我们给出来，所以直径 a、 b 等于十角， a、 c、 b 就 等于九十度。直径所对的圆周角是直角。而用 知道三角 b 等于五分之三， 那我们在直角三角形 a、 c、 b 中就可以得到三角 b， 就 等于对边比西边，也就是 a、 c 比 ab， 所以说我们就可以得到五分之三。换上下角 b 是 五分之三，就等于 a、 c 比十， 所以我们把 a、 c 就 可以求出来， a、 c 就是 六， a、 c 是 六， a、 b 是 十，我们根据勾股数，勾股定律 b、 c 就 可以知道是八，勾股数六八十、 六八十， 那么要让我们求 c 一 c、 e。 刚才我们的在第一问已经证明 c、 e 上有凹的缺陷， c 是 圆 o 的 曲线，说明这个角它是弦七角。同学们知道弦七角这个概念，弦七角， 弦七角在课本当中没有出现，但是考试经常考弦七角就是 七线和一条弦 七线和在它一条弦所夹的角，弦七角。弦七角有这样一个性 质，弦七角就是弦七角，就等于它所夹的弧所对的圆周角， 那么弦起角所夹的弧就是弧 a、 c 这个弦起角角 a、 c 所夹的弧就是弧 a、 c 所对的圆珠角 a、 c 弧所对圆珠角就是角 b 角 b。 所以 说我们根据弦起角的性质，我们发现这个角 a、 c、 e 又等于角 b， 所以 说角 b 的 正弦值，它就等于角 a、 c、 e 的 正弦值， 角 e 等于九十度，因为告诉我们 c、 e 和 e d 垂直角 e 等于九十度，所以说在直角三角形 a、 e、 c 中， 三角 a、 c、 e 就 等于 a e 比 a c， 而三角 a、 c、 e 又等于三角 b 又等于三角 b。 相等的角的正弦指向同，而三角 b 是 五分之三，所以说它就等于五分之三， 而 a、 c 是 六，所以说就是 a、 e 比六就等于五分之三，所以 a、 e 就 等于五分之十八。 把六乘过来就是五分之十八，那么 a e 是 五分之十八，那么 c e 所以 说就是 c e。 再用勾股定律，就是根号下的 a、 c 的 平方减 a、 e 的 平方， 就是根号下的 a、 c 是 六六的平方减， 这块算对了没？ a、 e， 我 们再看一下，就是上一角 a、 c、 e 就 等于 a e 比 a c 就等于五分之三，所以说 a、 e 比 a c 是 六，就等于五分之三，所以说 a、 e 就是 五分之十八，合适，所以说就是根号下六的平方，减五分之十八的平方。 你在这块是不是算的不合适了啊？你这块就是五分之十八，就是三点六，所以说就是等于根号下的 a、 c 十六。 a 一 是五分之十八，就是三点六，就是六的平方减三点六的平方，平方， 平方以后就是四点八。在这块同学们下来自己算一下， 下面我们看一下具体的解体过程。解，因为 ab 是 圆 o 的 直径，所以角 a、 c、 b 等于九十度。因为三角 b 等于三角 d 等于五分之三，所以 ac 等于五分之三乘十等于六， 因为角 o、 c、 e 等于角 a， c、 o 加角 o， c， b 还等于角 a， c、 o 加角 a， c， e 等于九十度，所以角 a， c、 e 等于角 o， c， b 等于九十等于角 b， 所以三角 a， c， e 等于三角 o， c， b 还等于三角 b。 相等的角的三角函数之相同等于五分之三，所以 a、 e 比 a， c 等于五分之三， 所以 a、 e 等于五分之三。乘 a， c 就 等于五分之十八， 所以 c 一 就等于根号下 a、 c 的 平方减 a， e 的 平方就等于根号下六的平方减五分之十八。十三点六，十三点六的平方开方以后就剩四点八。谢谢。
