没咋啦高数强化
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01:56查看AI文稿AI文稿二七章宇强化讲义他到底怎么样？主播昨天也是拿到了这本书，然后花了一天时间给大家测评了一下。首先， 二七强化讲义他基本上没怎么改，部分讲他就改了一两题，整体上改动不大。章宇的强化讲义与基础讲义最大的区别就是基础讲义东西很多，无论是考的还是不考的都塞给你，而且例题也是按照知识点的排布去出，知识点偏多，例题偏少， 但强化讲义他没有很多知识点，他一讲是根据考察的题型进行大分类，各个大分类，你再进行小分类，配有题目，相当于解析出告诉你有哪些考法，并给出题目的例子。逆题的难度是不低的，你可以直接当习题特去刷 部分比较难或者比较经典的题，他配有详细的蓝框解释。总体看下来，大多数的题型分类还是不错的， 但是某些太抽象的题型还是没有必要，比如欧拉碎碎念的多元函数。其次，这道例题从二五年开始一直都有。然后就是张宇强化，他二六和二七的定位都是主要教错题，二四年是教知识点加做题，有点类似于武中央强化，所以你们跟二四年张宇强化的要要规划好你的时间跟做题也是比较长的。 那么对于张宇强化，我个人的建议是，因为大多数人高中基础学完的，要规划好你的时间跟做题也是比较长的。那么对于张宇强化，我个人还做了新习册。 所以如果你高数基础跟章宇，你高数强化不准备跟章宇的，你后面有时间可以刷一下强化十八讲，当习册刷就完了。 如果你不知道跟谁，或者不知道怎么安排的，我个人最推荐的打法就是你自己去刷强化十八讲，加一些币，不会的，你去看专题课，或者选听章宇的强化课补充。 当然有的人基础比较差，如果你在强化的时候自己做题根本做不下去，正确率远低于百分之四十。那我建议你还是看一下系统课，张宇的武中强的都可以，要规划好做题，那么张宇强化后面我会给大家出上面的重要与非重要部分。关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。
2963亚瑟爱数学*
03:18查看AI文稿AI文稿大家问的最多的问题，高速强化到底是跟章鱼 e b 还是帕纳迪鱼？还是说一起学？首先直接排除一起学是肯定不行的，这是他们所有人都不建议的方法，也是我极其不建议的方法。你一起学的话，你可能学到明年你还在看课，好吧，所以我直接开进入正题进行一个锐评， 这个后面的所有都是读仅个人观点好吧，仅个人观点。首先强化你一定是以做题为主啊，一定是做题为主，他们所有老师也是这样建议的，我一个个讲， 比如章鱼老师，今天的三十六点我已经拿到手了，三十六点的话我大概测评了一下，跟去年的话差不太多，但是他没有像二五年那样厚的一股，二五年的话直接让大家骂完了吧，让他根本学不完。 二二六年他二七年是没问题的。这个书今年的话主要是教你做题为主，就是例题难度提升了不少，没有讲那么多高大上的这个东西。这个强化的时长的话，这个差不多七十小时啊，书一的话就三百加起来。 然后基础跟章宇他你学的比较扎实，而且很喜欢宇哥的强硬风格，就可以无脑的继续跟他这个三十六讲过一遍讲话，对吧？而且也没啥问题嘛，你基础跟他强硬跟他也不影响你考多少分，考多少分不影响，并且你可以把一千多强硬部分给刷掉， 同时也可以加一本八八零冲刺高分，对吧？但如果说强化你不选择技术功能与他，我觉得你也可以去买一本这个强化测试，讲纯刷好题，他今天他只要是教你做题，教你方法为主了，做一个后续的补充，比如你讲话跟着其他老师，你也可以去买一本强化测试讲啊，作为一个刷题测是一样的道理。 然后第二个 e p， 今年他也是买的这个强化课，他定位就是个体系的这个全面的强化课，他这个强化课就是一个完整的课啊，他的时长的话也是达到七十四小时，不亚于章鱼。所以说很多同学考虑强化，不仅听章鱼，吴承祥，又听 e p 的 强化课，这个是万万万万不行的好吧，他本人也非常不推荐， 千万不要变成这个耐听王了好吧，千万不要变成耐听王了，千万不要这样子干。但是今年 e p 的 课程，把这个课程为常规和拔高讲解，就是如果说你基础学的很扎实，你想冲刺拔高，你可以直接考虑全程跟 e p 的 这个全程班， 然后他如果说那水平不是很够的，你有想这个也没有就冲顶峰的想法，你也可以直接看到这个专题的强化课程，就比如说你在张宇那边没有看懂的课程中，可以在他那边进行一个专题的补充，就比如你很多想冲高峰同学，你知道 e p 的 这证明题，还有概念题深度理解，讲的是非常的通透的啊，很多人反馈也非常好，也可以值得去学习一下 啊。第三个帕拉迪与大关，他的大关是干嘛呢？很多人可能不了解，他就是把市面上一些典型的好题，以及所有的这个真题啊，分章节的知识点给整理出来，也是带你刷题，所以他的这个大关也是强化用的，你基础不要去干这个东西啊。好吧，你现在基础还没学完的人不要去干这东西一批。也是同理啊，这个强化用的这目的就是让你能够 做推题，能够拿到分，这是他比较推崇的强化，多刷题，少听课。然后我觉得对这个大官来说，你像潍坊城大官以及这个积分大官都是很多博主公认的比较好的专题了，对吧？大家公认的肯定好。 然后这个的话，如果说你跟章鱼专题感觉一般严重，自己不会复盘总结，可以去听一下这几个专题的一个补充，它的这个时间也是比较紧，看的都在五小时左右啊，也不是很影响你的这个整体的这个进度。而且它的课程是全部免费的，这个我觉得你想听的话可以听，不听的话其实没必要喷它，因为这个是完全免费公开的， 我是博主，也知道制作的视频确实不易。好吧，然后对我补充一点，如果你基础是红开的，那强化一定要跟着舞绳啊。好吧，这个你基础是跟其他老师的，可以参考这些东西。好，最后还是那句，关注熊三，用最通俗易懂法，带你一张，一起就把娃娃收死。
3910熊三
01:58查看AI文稿AI文稿二十七款的朋友你们好，今天给大家讲一期高速强化，跟着武忠祥周阳新没咋了，强化结束后的保姆级规划，狠狠的拿下一百四十加。 由于存在一批寒假老粉问我跟武忠祥周阳新没咋了，强化结束后该如何做，所以我将提前出一期视频，没有强化完的继续按照我的规划强化， 千万不要落下任何一个必要的步骤。你听完强化课，有没有二刷完基础讲义的？有没有把基础阶段做的习得测错题给做了呢？有没有其他章节的识到错题好好做呢？千万不要盲目的赶进度。强化结束之后，跟武忠祥的同学应该二刷辅导讲义，搭配八八零的基础 和强化延展题的错题，按顺序做，不太建议拼好卷，除非强化阶段你的延展题正确率非常高。每天五到其他章节的强化阶段产出的错题啊，比如你二刷到了第二张了，你的错题应该选择第二张之外的，而且我推荐各个章节这个雨露均沾一点。如果强化期间没做延展题啊，建议先做完延展题再考虑八八零 跟中航新的同学应该二刷强化讲义，搭配八八零的基础和八百一十题。或者说如果你做的是去年二六的，那就是八百题的强化篇的错题， 按顺序做，不建议拼小卷，除非强化阶段你的八百题的强化部分正确率非常高。每天五到其他章节强化阶段产出的错题，比如你二刷了第二张了，你的错题应该选择第二张之外的。那跟没涨的同学应该二刷强化奖励搭配八八零基础和六百题，或者说强化阶段你做的那本习题测的错题，按顺序做，也不建议拼小卷， 除非你强化阶段六百题的强化部分正确率非常高。那错题的任务依然是和上面是一致的。以上便是高速的任务啊，只是讲义和学习册不一致了而已。那为什么是五道高速的错题呢？不再是十道呢？因为要进入现代了，进入现代之后，记得开始每天现代啊，五道错题， 那高速现代时间占比五五开，错题的任务也是五五开，这已经是偏重于高速了，因为高速已经基本不需要看课了。 大家在二刷强化讲页的过程中，相对很弱的章节，记得看一下 up 的 专利课或者其他老师的强化课，不要当极端的在刷啊。咱们实在是不太理解的章节，看一点课没毛病。还是那句话，我要带领关注我的同学们干碎二期考研！
4004考研的秘密
02:00查看AI文稿AI文稿如果你跟我一样选择高数强化跟武志强老师，那么这个视频你必须要看，为什么？因为他会给你讲清楚整个强化阶段怎么做，做哪些题型就够了，一定会帮你少走很多弯路。此外，我会在评论区里抽五位送吴老师的高等数学辅导讲义。 首先需要的讲义就是吴老师的高等数学辅导讲义需要的习题测就是严选题。我特别强调一点就是你不要看网上刷多少本习题测什么的。对于大部分同学来说，能强化阶段能主，刷完一本习题测就已经很不错了，尤其是对于数一的同学， 习题测的难度都很大，你需要花很多时间去定力纠错，刷题在精不在量。其次，具体讲强化跟辅导讲义应该怎么去做。 吴老师的语速是比较慢的，大家完全可以开倍速去听，完全是没有问题的。但是遇到你不理解的地方，一定要停下来思考， 因为吴老师的强化课对于概念的理解确实是比较深刻的，需要一定的思考空间。如果你遇到吴老师课上做例题，就一定要停下来自己先做一遍。你这样子虽然看起来学的慢，但是一定是学的最扎实的， 因为只有你先做了，你才能知道你做这类题哪里卡壳了，然后这类题的易错点在哪里。你之后听吴老师讲解的时候，你的印象就会更深刻，并且这类题目你基本上都会了， 这是听课部分，听完一章的课再去做对应章节的题型。大家在做题的时候一定要注意一点是你不要时不时去看答案， 最好大家做完半张题目之后再去答案，这样效率会比较高，因为否则的话你一边看答案一边做题目，这样会非常影响你做题的思考，也能够把错的学会之后你再去做剩下的题目，一定要把不会的题目去给它弄懂了，除了一些特别复杂的，难度太大的，你怎么学都学不会的，你可以选择适当放弃。 最后补充一下，就是如果大家进度比较快，一本随机的刷完之后，可以再补充一本六六零或者八八零，但前提是你前一本你都二刷完了，你彻底弄明白之后，如果没能刷两本也没有关系，大家不要有任何的焦虑，完全是足够的你如果你刷一本的话。
1437吃点薯条🍟
06:54查看AI文稿AI文稿比如说求极限，那么拿到以后我们首先得判别什么类型？这当然是零比零，零比零。我们立马想到常用的方法，几个就三个，洛比塔等级代换泰勒， 那好了，洛贝塔好用吗？这一看就不好，等价代换也不好用。这种题一看就是传统的泰勒公式的题，泰勒公式的题目，那这个时候就是把这个里边都写成多项式的形式。那好了，这已经是多项式了， 那关键是用泰勒公式把它写成多项式，那写到几次项呢？用哪个公式呢？当然是用一加 x 二法次方。那我这个泰勒公式写到几次项？当然网上还有很多书上给我们总结什么 a 除 b 的 形式，上下同密。 实际上吴老师说这个总结的这个原则是不对的。那你很多情况下你可能就上当了。 那你比如说这个题下面多少次密我还不知道，但是及时知道。如果这个题下面给写个十次方上下同密，你是不把这个要斩到十次下。如果人家下面写个一百次方，按照上下同密，你是不是要把这个写到一百次？ 所以那个原则是不对的。如果你背住这个原则，那我问你为什么要上下同？能讲讲这个道理吗？没道理，所以这个原则不对。原则是什么？ 最低次密元次啊？这个什么叫最低次密元次？就是这已经是多项式，你要把它写太乐，那就是写到哪里为止，就找出整个分子的最低次密就行了，不用再往后写了， 这就叫最低自密原则啊。那按照这个东西我写到哪里呢？如果只写个一，写到这不行，因为什么这个时候你看他和他一剪就剪没了，没找到整个分子的最低自密啊？所以我再往后面写一项， 那么你这个跟这个剪没了，这不就最低次密，所以就是这个写泰勒公式的原则，就是找到整个这个分子或者整个分子的最低次密， 这就叫最低次密原则，跟你下面是一百次方，一万次方没关系啊。好，那这个不用泰勒公式了，这个等级代换，那这个两个做差写泰勒公式是不是也牵扯到写到多少次项？ 那也是最低次密原则。你看这个和这个，你如果光写这个两一节剪没了，再往后写一项， 那就发现他们两个做差的最低一次就是二次。所以注意是不管是两个相处，还是两个相结，两个相加，用泰勒公式只有一个原则，就是最低次密原则，这些原则一定要很清楚， 然后呢把它带进去整理，你看上面最低次米四次，下面最低次米四次，最后就是两个四字相相辅之比，这就是传统的做法。你看我们过去书上这个题，基本上都是这样做的， 但是我们仅仅有这个传统是不够的，我们上了考场，可能速度不一定比别人快，准确率不一定比别人高， 所以我们在这个地方要有提升，要有跨越。那么这题除过这样做还有什么办法？那这个时候大家注意，这个不是就可以等价代换吗？ x 平方，那这个呢？ 哎，也可以把它改写，它也是个无穷小，那么把它改写以后，这是两个无穷小的差， 那么这个呢？等价于负二分之一 x 平方，这个等价于 x 平方减法能不能换？ 吴老师讲过，符合条件就能换。符合什么条件？两个减项不等价就能换，所以这个时候两个减项不等价可以换，那这个就等价于他？对啊，这个又等价于 x 平方。父母不用泰乐公式，父母用等级贷款， 那位同学说，那你父母用等级贷款，你份子不是还得用泰乐？我说份子不用泰乐也可以，那用谁？洛比塔？ 有同学说，你这个洛贝塔太烦了，洛贝塔再往后很麻烦。我没有说一直要洛贝塔，所以一定要灵活方法，我用一次洛贝塔， 那么大家看，就这一次洛贝塔就做出来了，为什么？因为这个 x 跟下面削的一个下面就剩平方， 后面这个用等价代换啊，一减它不是就可以写成一减上一加 x 平方的负二分之一次方，然后再用我们什么节呢？再用我们一加 x 的 二法次方减一等加于二法 x 呀，一次洛贝塔， 然后呢？消去 x， 一个等价代换就做出来啦，是不是就是等价代换加洛贝塔 比刚才太乐还做的简单啊，这题能不能做的更简单呢？那这个时候大家注意，那么我们用等价代换，最后就写成这个，关键是做这个分子，分子呢？我们刚才用洛贝塔等价代换，但实际上这个分子大家注意有没有注意看？提一个二分之一出来， 那边剩下谁？ x 平方加二减二倍的根号一加 x 平方， 那这不是就可以写成二分之一，那么这写成 x 平方加一减二倍根号 x 平方加一，然后再加一吗？你看这个东西不是刚好是它的平方吗？这就是个完全平方呀。 但你说这题是不做的更简单啊？分母用刚才的思想，用等价代换，而分子二分之一往出一提， 那么最后就成了这个完全平方，而这个东西又等价于谁呀？二分之一 x 平方，你看这才做的更简单。所以呢，我们强项阶段就对这种重点的题型 求极限，是个重点类型，我们知道那些方法以后我们多练多总结，那么这样子我们才可能找到更简洁的方法。你看这题用这个方法是不是来的更快，看到没有？ 那你注意，你这个解法一就几个地方都用泰勒公式，是传统的做法，但是要写三个泰勒，第一麻烦，第二步骤多，容易出错，所以往往就导致速度慢，准确率还低。如果你方法选择的好， 那么这个时候你速度快，你准确率还高，那你就肯定能得高分啊，这就是差异。所以对于重点的内容要多练多总结，那么这样子我们以后做题速度快，准确率高，得高分。
1479考研数学武忠祥老师
04:21查看AI文稿AI文稿如果你高数基础阶段是跟了武忠祥老师的一个基础课，并且搭配有刷完吴老师的一个基础严命题，可能有同学也做完了对应的一个六六零那个题目强化，建议还是继续去跟着吴老师的一个强化课，这样整体的一个进度还是比较顺畅的， 而且呢，也不用担心成为我们所说的一个耐听王内容去重复听了。下面我们就是从不同的一个目标分数段啊，去给大家提供一些学习规划上的一个建议。首先呢，目标一百三到一百四十分，那个同学，如果你的严小题整体正确率比较高，六六零的正确率也比较高， 高数基础结束比较早，有可能有的同学已经开始学习现代的一个部分了，那直接去听吴老师的一个强化课，在刷题部分，如果说你时间比较充足，那我建议 可以先去做高数强化的一个严命题，然后搭配着八八零的一个综合篇，包括拓展篇。你初二想去追求高分，还是必须要去做二六二七版高数强化严命题，新版它是删除了不少的一个证明题，高分，你还是不能去放弃这样的一个证明题。 如果说你刷题时间比较紧张，那我建议只做高数强化严命题就可以了，去仔细复盘错题。 对于数一的部分，比如说线面积分，还有极数的一个部分，建议去看一看吴老师强化课对应的专项，他讲的都是比较详细的， 对应的薄弱专题。像呢，比如说像我们证明题比较难的一个部分，像中指定点还有积分不等式，那我们还是去跟着吴老师一个强化课中的一个对应的一个部分去进行一个学习，因为他讲的这些内容都是讲的比较详细的，而且是结合了一些例题，经典的一个例题来去 把这个知识点去讲透。第二个目标，一百一十分到一百三十分，那个同学如果说你的严选整体的正确率一般， 六六零的正确率也比较一般，我们在听吴老师的一个强化课之后刷题，如果说你时间比较充裕，那首先去做八八零的一个基础篇，拓展篇先不用做，再去做 吴老师的一个强化严命题的一部分。如果说你时间比较紧张，那我们还是直接去做高数强化严命题，听完一章的课，你要去做一张的题目，及时去复盘， 吃透高数的一个严选择题，不要再单章去停留太久，这样太耽误时间了。这个数一的一个专题补充的一部分，还是和我说上面说的是一样的，对应我们 一些有难度的一个专题部分，我们还是比如说像中科地理泰勒展开式这样的一个基础的一个证明题，我们至少要拿下像二六年数一难度的一个这样的一个证明题， 或者说你像二五年证明题，我去拿一半分，达到这样的一个程度基本上就可以了。对应的中制定理，还是我们去找一下吴老师的一个强化课中制定理的一个专题部分，来搭配着高数强化研试卷中中制定理基础证明题的一个部分去认真整理一下，应该说这部分就 基本上差不多了。如果说你的目标分数是低于一百三十分，那积分不等式你可以不用看。第三呢是目标分数在九十到一百分的一个同学，那基础课，你比如说如果说你听了五中学老师的课，但是还是做不动严选题， 那下面直接去看强化课。如果说你刷题时间足够了，先去保证回顾六六零那个基础篇，再去二刷基础的严选题， 做不做错的题目，一定要去及时的看讲解，进行复盘并进行整理。我们还是听完一张要做一张的题目证明题呢，只需要去掌握简单的题，还包括有一些题，你只要会做第一问就可以了。我们后续的去展开真题分类的一个训练， 因为真题他确实是最重要的一个题型，这个是你必须要去做的。强化严选题这个讲解呢，我们还是推荐吴忠祥老师搭配的一个视频讲解，他是讲的非常详细的真题的一个讲解，那我们可以包括去看一下吴忠祥老师的一个 真题全解，讲析对应的薄热的一个部分。如果说你觉得中之经理或者说泰勒展开式这些题目比较难，可以先放到后面，我们放到大概十月份这样再去攻，那我们先保证一个基础篇一定要去给他拿下来，一定要去把基础部分要打得非常的牢固。
26老王的锅炉核弹厅
09:55查看AI文稿AI文稿吴老师强化重点题型，同学们要认真学习。我们来看这道题，吴老师在讲一边写的结论和在题目里面用的结论 是上了考场可以直接用的，那么这一点呢，一定要特别注意，但是市面上的一些书，或者一些网上给你讲的这些东西，这些结论能用不？那就不一定能用，你上了考场用了以后，那你自己吃亏。 好，我们在这看一个例子啊，比如说我们不要举太难的例子，比如说你看 x 一 等于二， x n， 它给了 x n 和 x n 减一的关系，求这个极限，这就是递推关系定义数的极限。 那么这个时候我们首先讲到第一个方法，那就是第一正它极限存在，用谁代表有界？第二等式两边取极限。 那么这样大家肯定有个问题，老师我是正这个数列单增还是单减？但是呢，按照我们通常我们现在把这个写出来， x n 等于 f， x n 减一，我现在把这个递推关系写出来，那么所以在这个地方呢，你可以改写一下啊， 大家注意，我可以得到 x n 和 x n 减一的关系。那有同学说，老师这是单增还是单减，那我从哪里入手呢？一种最基本的方法，你就先看一下前两项是增还是减啊？ 哦，那这个时候呢， x 一 等于二，然后呢，你把它往里边一带， x 一 等于二， x 二你算是它，那你看 x 一 是二， x 二是三分之一，显然前两项是增的关系， 那我就初步想，它整体会不会是单调增，但是是不是单调增，你得证明呀，如何证呢？那我们最基本的方法，后项减前项， 所以我可以用它的后项 x k 加一减去 x k， 那 就这个是 x k 加一，这个 x k 俩一减得到这个，哎，这是 x k 加一减， x k 减一啊，那显然应该用归类法来证明啊。你看弱 这个 x k 减一小于 x k， 那 么这样子利用这个递推关系，我们是不是立马可以知道这个 x 的 这个 k 小 于 x k 减一， 那也就是说，我通过前两项做初步判断，它单调增，然后呢，再用归类法来证明整体单调增，这就是常用的一个基本的方法归类法啊，先看前两项初步判断，然后再用归类法再证明。 那么单调增呢？你要证明极限增，增就得正上有界啊。单调增肯定正上有界，但上有界，这个不超过谁啊？把它改写一下啊，大家注意，给这双加个一减个一，减个一加个一，这就变四了 哦，那这样子，你看它是不是可以写成这个，但是注意，我们的 x n 都是正的，那么这样子可以知道所有 x n 都不超过四呀，这是说明它单调增，这是说明它上有界。 单调增上有界，那么就知道它收敛，这就证明它极限存在。既然极限存在，我肯定这个极限等于 a， 然后等式两边取极限，那么等式两边取极限，我们就得到一个代数方程，这个时候解 a， 这是个一元二次方程，解出来 a 有 两个值， 但是我们极限只能有一个呀，那到底是谁呢？那么大家注意，从前面这个地方，你看这是二，这是三分之十一，它又是增的，所有 x n 都等于零， 它又单调增，极限肯定是正的，那么这样的话，你这个减肯定是错的，所以就知道极限是它。这就是我们讲的第一个方法，用单调有界。第一步用单调有界准则证明这个极限存在。 那么第二步呢？令极限等于 a 等式，两边取极限，且代数方程。大家看第二步简单，难点就在第一步， 但是呢，这个单调有界的证明，你看我们通过这个例子是不是记了一个基本的方法啊？先带前两项做初步单调性的判定，然后再用规范法证明整体的单调性。 好，这是解法一，还有没有别的方法呢？这个单调性判定是用归纳法，这个有点啰嗦，还有没有别的方法？ 那么大家注意，这个 x n 等于它，哎，单调性判定，还有一个递推函数的单调性 判定，这个它这个单调性啊。哎，有的同学说，老师你咋不用那个 x n 加一比 x n 这个题目，你要 x n 加一比 x n， 它不方便。但这个时候大家注意它的递推函数是谁啊？它的递推函数是它 这个是个单调增的，为什么 x 增加的时候，这个减小，减的东西减小整体就增，那我们讲过递推函数单调增， 竖列一定单调，但是单增单减是看谁前两项，哎，我们前两项刚才这算过呀，你看 前两项我们已经看过，是增的啊，由于这增前两项又是增，那我们知道，根据递推函数的单调性，我们就知道这个单调增，那么大家注意，你看这个说明它单调增，比刚才用这个归纳法，这个要简单很多。 所以利用这个递推函数的单调性来说明这个竖列的单调性，再给我们提供了一个新的思路，好了，上有界跟这个地方证明是一样，那这个解法二显然比解法一要来的更好， 但是呢，这个解一和解二都是用的我们刚才那个用代数这准则证明存在，但是两边取极限，哎，这题能不能用方法二呢？先窄后做啊，你看我们刚才呢，哎，可以重复我们刚才的过程，算出来一个初步结果， 算出来一个初步结果以后呢？啊，那么这个时候呢，我们来证明这个呢，确实是它的极限，如何证呢？我们刚才说了一个基本思路，那么要证明它是 x n 的 极限，就只要证明 x n 减 a 的 绝对值，曲线零。 但是怎么证明这个呢？我们刚才说了一个基本的思想，就是只要能证明 x n 减 a 绝对值和 x n 减一减 a 的 绝对值，那么这个地方有这个关系，不超过这个 r， k 大 于零小于一，就这里有个压缩系数， 只要能证明递推一次，前面多一个 k， k 大 于零小于一就占出来了。但是大家肯定要问他说如何占这个呢啊，你就把这的 x n 用这个递推关系带进去， 那这个 a 呢？如果你把这个数字带进去，那就太麻烦了，但是大家注意这个 a 呢，那不要用这个数字带进去，用谁带进去？因为这个 a 是 通过这个方程解出来的， 所以 a 也是等于四减一加一分之一，这步是一个技巧啊，这个我们提供了很大的方便，为什么这样写更容易得到你要的这个呀？好，两个四减没了，一整理就得这个。那么大家注意，上面已经出现了这个了，那关键就是前面这个系数， 这个呢要用一个常数来控制，那大家想这个 x n 是 大于零的，那么把这个用一换缝变小，值就变大了，那当然这个地方呢，我们再看，因为这个 a 呢，就这个值，它肯定是比一大， 那我把这个 a 呢也换成一，为什么胆子这么大，就把它，把它放大成这个呢？因为我们这个原则知道，只要这个 k 大 于零，小于一就行了， 所以你看这个地方呢，就这一步很关键，把 x n 用 x n 减一的递推关系带进去，把 a 应该他用，他买足这个方程的带进去，再经过一个放缩，正出这一步， 这是 x n， 这是 x n 减一，递推一次多一个二分之一，后面就不用写了，打点，然后这到 x 一 前面就二分之一的 n 减一，由于 n 趋向无穷，这个趋向零，这是个常数，那么这边又大于等于零做完了，这就是用的方法二。 那么大家看，通过这样的题目，你练一练两种方法，用一用一点点总结一下这个做题的这个思想方法和规律，这样子以后拿到这种题我们也不怕了，正是卷子变难题啊。所以这种难点重点 就是在老师规范总结的基础上，一定要通过练习多练多总结，那这种难点重点都能突破， 这就是如何突破重点难点，所以强化阶段呢？总结一下。吴老师认为主要做四件事情，第一，按章总结知识点，那么请把握整体，形成体系，这个吴老师做了，书上有，但是你自己要用你自己的语言来规范总结。 另外呢，总结每一章常考哪几种题型，常用哪些方法，吴老师也在书上做了，但是你自己要用你自己的语言，把它变成你自己的规范总结。第三， 对重点要强化练习，提高减脂速度，减脂的准确率，这个要多练，对一些难点也要多练啊，就是重难点的东西，那要重点复习啊，那么经过重点的复习，重点的练习，那这种重难点才能够掌握， 这就是强化阶段我们应该做的四件事情。那么关于这个强化阶段的复习，那这个吴老师主要给大家这样一些建议啊，当然以后我们上课的时候有什么问题也可以再做交流。 那么后面呢，用一点时间就介绍一下我们这个强冲班这个系列的其他的一些内容啊。
48武忠祥高数强化
04:45查看AI文稿AI文稿后面的时间呢，大家也都陆陆续续要进入到高速强化这个部分啊，下面的话，我们就这个横开怎么样去强化，来去讲一下。 大家都知道吴老师的强化要过两轮，我推荐呢，第一轮强化，写严命题的一个强化版，如果你在基础写了六六零，那么在这个强化一轮的时候呢，一定要二刷六六零的错题。 第二轮强化，再选一本新的题型测，比如八八零，并且呢，在强化的过程中呢，按照我说的方法去整理题型，在后续的刷题中不断的完善啊。首先第一轮 我推荐写严命题强化，严命题这本书呢，无论是难度还是题型，都可以说是辅导讲义例题的一个延伸， 所以说当你学完一张辅导讲义，再把例题写一遍之后，再去写研试卷， 不仅呢会感觉到你衔接是比较顺畅的，而且呢也能巩固，并且呢就是提升你上课学到内容的一个深度。 还有一个很重要的一个点啊，就是严命题上的一个题目，大多数呢都是真题或者说真题改编题，它是有一定的一个难度的，但是呢，又没有那么偏，整体的质量是非常好的。 配套的严命题呢，每一道题都是吴老师精心去筛选的，嗯，偏题，怪题这些都比较少，都是比较贴合考研真题难度的一个经典题。 然后呢，每道题讲义里面的一个知识点和题型技巧啊，学完一章另一章，这样的话就是你能够检验自己的一个学习成果，查漏补缺就是避免了无效的一个刷题。 然后呢，把这一本书吃透之后呢，你就可以有一个可观的保底分数了啊。此外呢，还有一个重点就是这本书的讲解呢，是吴老师亲自录制的啊， 你完全不用担心找不到合适的一个讲解视频。我知道啊，很多同学都踩过资料的一个坑，就是要么知识点太浅了，跟不上考研的一个难度。要么呢题型太偏了，浪费 复习的一个时间。要么呢，就是讲解太晦涩，看半天也是看不懂，但是这套资料呢，完全不会出现这些问题。嗯，吴老师的一个讲讲解的一个风格呢，就是比较接地气，而且有耐心， 把复杂的一个高数概念呢，也能拆解的很清楚，哪怕呢是基础比较薄弱的一个同学，也能跟得上啊，就像一位资深的一个教授在身边一样，手把手的去教你 啊。然后第二轮我比较推荐二刷辅导讲义或者说研试卷的错题啊，再加一本别的题型，比如说八八零，这个时候呢，通过第一轮的学习，你已经有了比较好的一个基础了， 再加上第二轮的二刷，会让你对整个数学这个体系的理解更进一步。然后呢，再把你做的细提册上，你遇到的题目，补充到你一轮就开始做的题型总结上 啊，这样一直循环下去，你会发现，所有的题型啊，所有的方法你都能掌握，考高分就是水到渠成的事 啊。最后我要叮嘱一句啊，不管是刷题还是我让你，你们去做的题型总结，最终的目的啊，还是为了让你们去记住题目和讲解方法。 刷的太多了，你记不住写过的题目，相当于白刷啊，所以还是要多看自己总结的一个题型，做到要对刷过的题目足够熟悉。数学呢，就是不断反复巩固的过程， 在不断的练习中呢，把这个计算能力啊，还有思考能力去不断的提升，这样才是最正确的一个备考的一个方法啊。所以呢，如果你是二七二八的一个考研， 想在高数上呢，去少走弯路，想从啊目前比较低的一个分的一个水平冲到一百多分啊，甚至一百二，一百三，想去摆脱学高数就崩溃的一个困境。我建议啊，你可以去选择配套的五中祥老师的辅导讲义加严选题就可以了 啊，这九章内容是全覆盖了所有的一个考点，三大重点章节，比如说函数极限连续 一元函数微微分学啊，一元函数积分学都讲的比较细致，所以跟着这套资料去学呢，能够把知识点去学透啊，提醒自己在反复的去练，去练熟啊，就可以了，所以学高数真的不用慌，牛逼牛逼！
50老王的锅炉核弹厅
17:00查看AI文稿AI文稿吴老师强化重点题型，同学们要认真学习，我们来看这道题，拿到求进线题目，我们总结过有九种方法，但是用什么方法呢？为了大家选择方法方便，我们是不是总结了题型，根据题型选方法。 那么大家看首先这个判别，这个什么类型，那么大家一看就是零比零，零比零，我们专门给大家总结过，常用的方法就三个，第一就是洛贝塔，第二个就是等价待换，第三个就是泰勒。 这就是你一上了考场，你一看到零比零，脑子里面立马就闪现出三个方法，诺贝塔等级太快，太乐。好，那我们首先看诺贝塔好用吗？ 那么大家注意，你看这个平方，这还是烙印，另外下面又是四次方，那这个烙起来就很麻烦，那等价代号好不好用？有同学说，老师我可知道这个东西等价与 x， 所以 这个等价与 x 平方， 但是它减一等加于负 x 方，这是个加的关系，这个和两支笔就相当于负一，它不符合加法用等加代换的条件啊。所以你看洛菲塔不好直接用，等加代换也不好直接用， 那现在就剩下泰勒，那么用泰勒的话，大家注意这已经是多项式了，代表泰勒的伟大意义就是把函数写成多项式。那么大家注意，这个的泰勒我们非常熟悉， 但核心就这个逻引平方这个泰勒，关键是这个逻引，这个泰勒怎么写， 这就是这个题的关键点。那么逻引这个泰勒怎么写？有没有现成的结论来写它没有，那怎么办？但这个时候注意逻引求导数，这是个基本结论，就这个东西求导等于它， 但泰勒好写不。那我们知道这个时候你用一下这个结论，就是我们一加 x 的 二法次方，那这个有泰勒，他应该等于一加二法 x 加， 那我们这个实际上就是一加 x 平方负二分之一次方，所以我们这地方就把它写成这个形式，用它的泰勒。 那有同学说，你咋写到这你就不写了，那为什么写到这就不写了？因为这是导数，你要得到他的胎了，你还得积分，那你一积分以后，这个地方已经是三次项。为什么写到三次项？这不是四次项吗？ 因为这有平方，看到没有那么平方，你想这个东西的平方，你要找四次项以前的项，那写这写到三次就够了。 好了，这一步就很关键，写出他的泰勒很关键，那这个 e f x 方泰勒大家都会写。那好了，这个时候倒影这个地方，把这个泰勒带进去，整理一整理上面这个分子的最低次项，四次项极限就求出来。 所以这个解法一实际上主要是用了三大方法里边的第三个方法就是用的是泰勒。 这个难点在于什么？它的难点就在于写出这个烙印这样一个泰勒，但是这个泰勒没有现成的题呢？我们怎么写的？求导数写泰勒再积分 这个思想，要知道，那这个题也可以做的比较简单，那么这个题除过这样做还有没有别的方法？那大家注意，我们刚才是想到了泰勒这个好写，这个易好写， 这个太乐不好写。有同学说，老师我就想不到用这个办法去写太乐，那这个题能不能做？你可以换一个思路， 你这个太乐你会写，你就先写这个太乐，这个太乐你不会写，你先可以不写，这个时候这个题照样可以做。 所以你看我们做的时候，那好，太乐我们不会写，我们把它留到这，但这个太乐我们会写，写到几次下，那这个时候注意，这是四次，我就写到四次下。 把我熟悉的泰勒写出来有什么好处？大家注意看拆的思想，大家注意，这样就减没了，看到没有？大家注意看，这一部分极限是存在的，等于多少？二分之一，这个可以先算出来， 那前面就剩下谁？有同学说剩下他减，他除四方，剩下这个保留，所以你看后面用泰勒写开，把这部分的极限先算出来，那么最后就核心剩下算这个极限，这个还是很容易想的， 那我再往下做。那大家肯定要问了，说，老师，那你这个极限怎么求？这还是个零比零， 你要用洛贝塔方便吗？不方便。那还有什么方法？注意这个平方，这不是有两竖平方差吗？那我知道根据初等数学，两竖平方差，可以把它写成两竖和乘上两竖差， 但是这个时候注意把它拆成两个极限。求极限的时候，拆的思想很重要，把一个复杂的东西拆成一些简单东西，你看我们刚才这块拆成两 项分别算这地方就把它拆成两个因子。那位同学就问了，老师，你四次方，为什么这写三次方？ 是因为大家知道绕引一加这个东西是等价于 x， 所以 这样拆了以后，第一项极限是存在的，所以要这样拆，这样拆了以后，你看这个极限可以先算这个答案二， 那么这个极限怎么算？这是个零比零，那这个时候注意，这没有平方了，我可以用后面上一用，他就知道这个求导等于谁，这个求导等于根号一加 x 八分之一，这个求导是一 再往下做，这个是个零比零，但这个零比零怎么做啊？因为这个东西就等于谁，它就等于一加 x 平方，负二分之一，平方减一。 为什么写这个呢？因为我们知道一加 x 二法次方减一等价于谁，二反 x， 所以 这个时候分子就等价于负二分之一 x 平方，这样前面就是负三分之一，负三分之一加二分之一，六分之一。 大家注意这个解法就要比刚才那个更容易想，更简单，但是他用到了谁啊？他用到了泰勒，我把我熟悉的这个先把他泰勒写出来，拆一项， 在这个地方处理这两项的时候，用到了诺贝塔，也用到了等价代换，后面也用到等价代换。 所以你看这个解法里边，他就是把我们处理零比零极限常用的三大方法灵活使用， 而不是一味的用一个方法，就是泰勒、诺贝塔等价代换。实际上大家注意一个题目要做的简单， 一定是灵活使用各种方法，题目才能做的简单。那么除过这样做，还有什么办法可以做这个题目？那这个时候注意，你看我们刚才这个地方，是这个太乐不好写，我没写他，但这个太乐我们熟悉， 我们在这个地方我们就写了这个太乐。但是大家注意这地方，对于这样的，像我不写太乐，我能不能做？那你可注意，你看这个 e 负 x 方减一，这是个四次方。 大家注意，我们是不是有这样一个结论，我们就是 e x 减一减 x， 大家知道这个等价于谁？这个等价于二分之 x 平方， 那么大家注意，你看这有个减一，如果给这方加一个 x 平方，前面减一个 x 平方，那注意后面这个东西是不是可以利用这个结论， 这一项极限就可以算出来。所以基于这样一个想法，你看我们就有了解。法三啊，我们就处理一下这个看， 我们给这个地方你看，给他加了一个 x 平方，减了一个 x 平方，这地方又用到了拆项拆的思想， 有同学说，你为什么要这样拆？我之所以这样拆，就是因为我们知道这个结论， e x 减一减 x 等价于谁？二分之 x 平方，由于我们知道这个结论， 那么这样的话，我们可以知道这个分子因为这是负的，它等价于二分之负 x 平方的平方，所以上面是四次方，所以这样拆第二下就存在。 那么有同学经常问说，老师，你不是要拆的时候两个都要存在吗？实际上大家注意，你拆的时候只要拆出一个存在，那我说另外一个肯定存在，既然他让你求这个极限，那原来应该是存在的， 既然这个存在，这这个还能不存在吗？如果第一个不存在，存在加不存在，不是就不存在了吗？所以拆的时候只要拆出一个存在，那么另外一个肯定是存在。对于求极限的题目，这个思想要有， 好了，大家注意，你看后面这个就可以用这个等价代换，而前面这个，那不是就跟刚才解法二一样，两数平方差，我把它写成两数合成两数差。 所以这个时候你看这地方没有用泰勒，我只是给分子上这个地方给他减一个 x 平方，加一个 x 平方拆项。第二项用等加代换。第一项用刚才的方法分两个，一个用等加代换，一个用诺贝尔， 那么照样可以把这个题做出来，答案六分之一。而这个解法里边他没有用泰勒，他主要是用这个等价代换诺贝尔，你看他这一步就非常关键，就给分子上减一个 x 平方，加一个 x 平方拆项， 这步很关键，有了这一步，那后面一下子就变得简单了。好，那这题还有没有别的方法？你不是零比零吗？你为什么不用洛贝塔？能不能用洛贝塔做？我们说洛贝塔也能做这个题，大家看 x 去向零，这是个零比零， 那么零比零我们用一下洛贝塔，有的同学说这个洛贝塔很麻烦，但是用一次不麻烦，但是用一次后面好不好做？那你注意用一次，这就变解四 x 立方， 但是注意这一项，它以求导数是谁。它这是一个负二 x e 的 负 x 方， 这是立方，这出现 x， 那 如果给后面给他加一个二 x， 减个二 x， 是 不是也很好处理？所以基于这个想法，我们实际上落一次，后面就好处理了， 但是落一次不麻烦，大家看落背它法则一次底下就是四 x 的 立方，这个二倍的绕引乘绕引的导数根号一加 x 方分之一，但后面这地方是负二 x e 负 x 方， 大家注意这有个二，这个二，这个四，就把这个二分之一提出去，提出去以后你如果再要落， 那这个时候上面这两下越落就越多，这个当然就不方便了， 所以下面方法一定是要灵活使用，不是说零比零，我第一步用了洛贝塔，老想着这个洛贝塔这样落下去你就太麻烦， 那么这个时候怎么办呢？注意，二提走以后，这个地方有个负 x e 负 x 方，我给分子上可以加个 x， 减个 x， 把它怎么样拆向。大家注意看二分之一提走， 给分子上这方减一个 x， 加一个 x， 并且把它拆向。 那位同学问了说，老师你为什么想到去这样拆？因为我知道这个是存在的，因为这个东西你看大家看这个可以写成 t 个 x， 里边就是一减一的负 x 方， 等于谁前面 x 不 动，后面这个地方有两个符号，那实际上负的负 x 方，那就是 x 方 and 第二个极限就算出来了，所以第一步是用洛贝塔，第二步是减 x 加 x 拆项。好，那么大家注意，你看这一项用等价代换这个极限就好算， 那么前面这一项这还是个零比零，大家注意这个零比零，我们再用一次洛贝塔，再用次洛贝塔，这个就是三 x 的 平方，注意这个球倒，那，那我们先算这个他球倒，他不动， 它不动，这个求导，那最后就是三根号一加一上面会有个负 x， 还有一项是这个求导，这个不动，这个求导又出来个根号分之一，根号分之一跟它一乘，就是一加 x 方分之一， 那我说到这就做出来了，为什么就做出来？你看这方又是拆， 那大家注意看这个极限好算不好算，因为这个跟后面是乘积关系，但是知道这个等价与 x， 那 么这样这样乘是个负 x 平方，但是这个极限是等于一，可以先算，所以二分之一，前面这个算出来极限是负三分之一。完了以后大家看这个东西除三 x 平方， 那么这个东西不是就一加 x 的 负一次方，那这个上面又等价于谁？就负 x 平方，负 x 平方除三 x 平方，是不是又是个负三分之一，那么后面这个极限是谁？二分之一， 那么前面两个负三分之一加负三分之二，然后二一消三分，负三分之一，二分之一减三分之一，六分之一。那么大家注意，这个实际上一上来就是洛贝塔，用了两次洛贝塔，但是如果几次都用洛贝塔就比较麻烦，所以第一步是洛贝塔， 第二步这步很关键，就是减项加项，用等价代换。第三步对前面分出来这一项，又来了一次诺贝塔， 那么这样题目照样可以做出来，所以就这个题目诺贝塔也能做，但是不能一味的用诺贝塔，把诺贝塔和等价代换两者结合起来灵活使用，这个题照样可以做出来，并且不是很麻烦。 好，我们举了一个例子，就是零比零的极限通过，他就是说我们在平时练习的时候，就通过做这种题目，要总结 这种题型常用哪几个方法，但是拿到这个题目要根据这个题目的特点，要如何选择适合他的方法。 那么这个零比零我们一共给了四大方法，你看这四大方法过去就是我们讲的三个核心方法，诺贝塔、等价、代换、泰勒公式。所以大家想想零比零的极限，核心是掌握着常用的三大方法 叫诺贝塔、等价代换泰勒。关键是要根据题目要能够灵活的使用方法， 能够选择出更适合这个题目的方法。但是要到达这样一个程度，一定是要多练多总结。好，这是关于求极限这个重点，我们举个例子想启发大家以后拿到题目来，多思考， 勤思考，多总结，这样子你的做题的速度会越来越快，准确率会越来越高。
245武忠祥高数强化
02:26查看AI文稿AI文稿现代基础加强化仅需一个月甚至一个月不到，大家千万不要做传奇耐听王。最近很多同学都是现代基础快结束了，或者在学现代，可以大家谈谈我对于现代学习的心得。首先第一点就是我建议现代基础结束直接开强化，因为现代是一个很吃框架感的科目，它和高数不一样， 现在的一道选择题可能把你学的所有现在章节知识都涉及到，你目前是一张一张学的，但是做题其实是所有章节知识点可能体现在一道题目里，演绎如此就应该趁热打铁，趁着刚过完基础就去开强化。这里我主要推荐两个博主，一个是没咋了咋子哥嘛，另外一个是 kara 没咋的优点在于他讲题真的很清晰，层层递进，而且咋子哥也确实是经过无数上海学长验证过的，确实很好。 kara 的 话，他讲的课很符合现在这门课特点，他会给你把现在所有知识点做一个很好的串联架构，构建一个网络知识结构，就很符合我刚刚所说的这门课。一道题会涉及很多知识点， 并且在你脑子中如果有这个架构的话，就很容易立马反应过来这道题的到底是什么东西。第二点就是现在的刷题问题，刚刚我也说了， 其实题目写到后面是比较偏向套路化的，处理手法都非常类似。然后题目这边我就主要是推荐你，无论是跟着咋子哥还是 kara， 写他们一个人的讲义就够了，因为主播当年是都写了，我觉得都不错，但写一个是绝对够了的。 关于细提册的话，八八零的现在基础加上强化就够了，其他主播认为都不需要单写，因为等你八八零写完之后，后面的时间段肯定是要去念套卷的，所以 那个时候的体量主要就可以来源于往年的真题以及套卷，我觉得是完全足够的，因为现在真的是一个处理手法后续同质化很严重的科目，主要他的分值占比真的是不是很多，千万不要花费太多时间，基础加强化一个月绝对是足够的， 后续就可以转套卷。然后还有个非常重要的点就是现在的选择题用特指法真的很好用，包括主播都在考场的时候都是用的特指法，是又好用又准确啊。大家写题目的时候，我的建议是第一次解答的时候先按照正常解法来解，因为有些题目确实要按照正常解法，不能失去这个能力。 第二次就可以用特指法，看怎么快怎么来，这个目的就是去培养你用特指法的思维，让你做到在考场上也可以立马想起来带特指。现在基本上就是这样，做完这些事情拿个百分之八十九十的分数还是很容易的。上面就是本期视频内容有问题大家都可以打在评论区，感谢观看。
3121豪哥-令狐冲首席规划师
00:22查看AI文稿AI文稿纠结考研数学，强化用书看这里，武忠祥二零二七强化讲义，实力出圈，不做庸于内容极致，节省备考时间。摒弃无用知识点，直击核心实战考点 入门门槛极低，中途换师毫无压力。深挖数学重难点，深度解析，吃透概念专治，学完基础不会做题，提分效率拉满。
14考研数学王式安
05:23查看AI文稿AI文稿吴老师强化重点题型，同学们要认真学习，我们来看这道题， x 趋向于零，这个极限如何求？首先也是判别类型，选择方法，什么类型呢？ x 趋向零，一加 x， x 分 之一，这个就叫 e， e 比 e 是 一， 所以这仍然是一的无穷大次方，那么这个一的无穷大次方，我们给大家总结的是三步曲，所以我们先用我们三步曲的方法做，那就有了解。法一，那就说原式把它写成标准型，这里边要分一， 如何分一，那这里边我们来看给分子上是不是加个一，减个一，那所以这就写成谁啊？一加上，这就是一分之一加 x 的 x 分 之一，次方减一个一，加一减一 分一。第二步，就算二法乘上贝塔的极限，那么二法乘贝塔极限就应该算这个极限。 x 去向零， 那这写一下就是 e， 那 这个 x 上面就是一加 x 的 x 分 之一次方减去 e， 这个一看就是零比零，但是又出现密值函数，所以我们一个常用的思想就是密值函数指数化，所以写成 x， 就 像零 下面仍然是 e 乘 x， 这个写成 e 的 x 分 之一烙印的谁 e 加 x 减去 e， 然后写成这个形式以后，碰到两个 e 相减，我们过去都是 t， 用等价代换， 但是实际上大家看这可以用谁？拉格纳日中指定律，那作为这个一分之一放到外面去，这可以写成谁 x 去减零， x 上面就是 e， 可 c 乘上谁 b 减 a， p 减 a， 就是 x 分 之烙印，一加 x 减去一，实际上这也就是 x 分 之烙印的一加 x 减 x， 这位这个地方的可 c 是 加在谁？是加在 x 分 之烙印和 e 之间 去加 e， 他 去加 e， 所以 可 c 就 去下 e， 可 c 去下 e， 那 这个 e 跟 e 就 消掉了。 最后是要算这个极限，那就是 x 趋向于零的时候，这分母就是 x 平方，分子就是烙印的一加 x 减去 x， 那我们知道 log 加 x 减 x， 它是等价于谁负二分之 x 平方的，所以 x 去下零，那么这 x 平方上面是负二分之一 x 平方，这就等于谁负二分之一，这是第二步。 那么第三步就写结果，所以原式就等于一的负二分之一，这就是按照我们总结的三步曲。那这样做这个题目也比较简单，这第一步写标准型，第二步扫二法测贝塔极限，第三步写答案。 但是有时候我们也可以灵活一点，因为实际上是谁把这个 x 分 这侧方放进去，它实际上就是两个指数相除，所以你看这地方我们就有了解。法二， 也就是说这个原式实际上等于谁就等于 x 趋向于零的时候，下面就是 e 的 x 分 之一次方，上面就是 e 的 一加 x 的 x 方分之一次方。 所以这个时候呢，上面实际上是这个，它就是一加 x x 方分之一次方。 但是上面这个密值函数也可以写成 e 的 形式，所以就写成 x 去下零，底下是 e 的 x 分 之一，上面就是 e 的 x 方分之 烙印的 e 加 x， 这不就是同底数密相除吗？那我们知道就等于指数相减， 所以就可以写成 x。 就 像零的时候， e 的 指数相减，那这个时候就变成谁变成了上面就是 x 方分之零的一加上 x， 再减去一个，谁减去一个 x 分 之一，那此时就只要算谁算这个指数的极限。 也就是说我们只要算这个极限，就是 x 趋向于零的时候，这儿是 x 方分之烙印的一加 x 减去谁 x 分 之一， 这是个无穷减，无穷把它一通风，那最后不是变成 x 趋向零的时候， x 方分之烙印的一加 x 减谁呀？ x， 那上面这个等加于负二分之 x， 这照样可以得到谁负二分之一。所以原式极限仍然等于谁 e 的 负二分之一。
264武忠祥高数强化
01:00查看AI文稿AI文稿对于高速基础阶段已经结束的同学来说，比较合适的学习路径是先用六六零作为基础，过渡到强化的衔接习题测。这本习题测测中概念理解题目难度跨度较大，遇到概念考察较深的题目可以先做标记，方便后续二刷。刷完六六零后便可直接进入强化阶段。毕竟学习本身不必严格割裂基础与强化， 过度纠结细节反而会增加学习负担。强化阶段可以跟五中祥老师配合强化高速辅导讲义的例题和严小题的习题，足以 让大家对高数形成全新理解，并实现更深层次的掌握。在我看来，高数基础的核心只是搭建章节框架，大概弄清楚每个章节讲了什么，解决什么问题。很多同学焦虑的根源是基础阶段学不深入，但实际上基础阶段本就很难学的特别深入，带着一知半解的理解进入强化才是大多数人的路径。而强化阶段重点则是解决怎么做的问题， 弄清楚具体用到哪些方法，方法背后的原理是什么，这才是深入学习的关键。学习知识点也是同理，先理解定义，再研究计算过程，带着目标学习效率会更高。同时给每个学习任务合理分配时间，也是避免提前焦虑的关键。完成强化阶段之后，你就会发现自己独立做题和知识点的综合运用能力会得到很大的提升。
268罗Luo要上岸
06:22查看AI文稿AI文稿吴老师强化重点题型，同学们要认真学习。第三种方法，我们来看这道题，比如说求极限，那么拿到以后，我们首先得判别什么类型？这当然是零比零，零比零。我们立马想到常用的方法，几个就三个，莫比塔等级代换太乐。 那好了，诺贝尔好用吗？这一看就不好，等价代换也不好用。这种题一看就是传统的泰勒公式的题，泰勒公式的题目，那这个时候就是把这个里边都写成多项式的形式。那好了，这已经是多项式了， 那关键是用泰勒公式把它写成多项式，那写到几次项呢？用哪个公式呢？当然是用一加 x 二法次方。那我这个泰勒公式写到几次项？当然网上还有很多书上给我们总结什么 a 除 b 的 形式上下同密。 实际上吴老师说这个总结的这个原则是不对的，那你很多情况下你可能就上当了。 那你比如说这个题下面多少次密我还不知道，但是即使知道，如果这个题下面给写个十次方上下同密，你是不把这个要斩到十次下。如果人家下面写个一百次方，按照上下同密，你是不是要把这个写到一百次？ 所以那个原则是不对的。如果你背着这个原则，那我问你为什么要上下同？能讲讲这个道理吗？没道理，所以这个原则不对。原则是什么？ 最低次密元次啊，这个什么叫最低次密元次？就是这已经是多项式，你要把它写太乐，那就是写到哪里为止，就找出整个分子的最低次密就行了，不用再往后写了， 这就叫最低私密原则啊。那按照这个东西我写到哪里呢？如果只写个一，写到这不行，因为什么这个时候你看他和他一剪就剪没了，没找到整个分子的最低私密啊？所以我再往后面写一项， 那么你这个跟这个剪没了，这不就最低次密。所以就是这个写泰勒公式的原则，就是找到整个这个分子或者整个分子的最低次密， 这就叫最低次密原则，跟你下面是一百次方，一万次方没关系啊。好，那这个不用泰勒公式了，这个等级代换，那这个两个做差写泰勒公式是不是也牵扯到写到多少次项？ 那也是最低次密原则。你看这个和这个，你如果光写这个两一节剪没了，再往后写一项， 那就发现他们两个做差的最低一次就是二次。所以注意是不管是两个相处，还是两个相结，两个相加。用泰勒公式只有一个原则，就是最低次密原则，这些原则一定要很清楚。 然后呢，把它带进去整理，你看上面最低次米四次，下面最低次米四次，最后就是两个四字相相辅之比，这就是传统的做法。你看我们过去书上这个题，基本上都是这样做的， 但是我们仅仅有这个传统是不够的。我们上了考场，可能速度不一定比别人快，准确率不一定比别人高， 所以我们在这个地方要有提升，要有跨越。那么这题除过这样做，还有什么办法呢？这个不是就可以等价代换吗？ x 平方，那这个呢？哎，也可以把它改写，它也是个无穷小，那么把它改写以后，这是两个无穷小的差， 那么这个呢？等价于负二分之一 x 平方，这个等价于 x 平方减法能不能换？ 吴老师讲过，符合条件就能换，符合什么条件？两个减项不等价就能换，所以这个时候两个减项不等价可以换，那这个就等价于他。对啊，这个又等价于 x 平方。父母不用泰乐公式，父母用等级贷款， 那位同学说，那你父母用等级贷款，你份子不是还得用泰乐？我说份子不用泰乐也可以，那用谁莫比他。 有同学说，你这个洛贝塔太烦了，洛贝塔再往后很麻烦，我没有说一直要洛贝塔，所以一定要灵活方法，我用一次洛贝塔，那么大家看，就这一次洛贝塔就做出来了，为什么？因为这个 x 跟下面削的一个，下面就剩平方， 后面这个用等价代换啊，一减它不是就可以写成一减上一加 x 平方的负二分之一次方，然后再用我们什么节的，再用我们一加 x 的 二法次方减一等加于二法 x 呀， 一次洛贝塔，然后呢？消去 x， 一个等价代换就做出来啦。是不是就是等价代换加洛贝塔 比刚才太乐还做的简单啊，这题能不能做的更简单呢？那这个时候大家注意，那么我们用等价代换，最后就写成这个，关键是做这个分子，分子呢？我们刚才用洛贝塔等价代换，但实际上这个分子大家注意有没有注意看提一个二分之一出来， 那边剩下谁？ x 平方加二减二倍的根号一加 x 平方， 那这不是就可以写成二分之一，那么这写成 x 平方加一减二倍根号 x 平方加一，然后再加一吗？你看这个东西不是刚好是它的平方吗？这就是个完全平方呀。 但你说这题是不做的更简单啊？分母用刚才的思想，用等价代换，而分子二分之一往出一提， 那么最后就成了这个完全平方，而这个东西又等价于谁呀？二分之一 x 平方，你看这才做的更简单。所以呢，我们强化阶段就对这种重点的题型 求极限，是个重点类型，我们知道那些方法以后我们多练多总结，那么这样子我们才可能找到更简洁的方法。你看这题用这个方法是不是来的更快？
56武忠祥高数强化
01:07查看AI文稿AI文稿考研数学强化阶段资料一定用！建议大家强化阶段首先应该看到一本书，就是高等数学辅导讲义，是专门为考研的同学强化阶段编的一个教材， 很受同学们的欢迎。每一章一开始先带着你系统梳理本章的核心内容，概念、定律、公式和性质， 把知识框架先搭稳，再通过典型例题总结考研常考题型，以及每种题型的解析思路和方法。全书只有三百页，重点带领大家总结梳理题型，抓住考研核心考点， 还有配套的严选题讲练结合，你可以在听了这个书以后，在规范总结这个基础上， 用你自己喜欢的方式和语言，把它变成你自己的规划总结。高速辅导讲义和严小题是经典的、久经考验的高速强化复习用书，希望大家放心使用，大家可以点击下方链接查看。
02:21查看AI文稿AI文稿本期视频回答一下二刷讲义他到底算不算强化，以及章宇强化他到底该怎么学？首先章宇老师在基础阶段就已经把知识点都教给你了，你把基础讲义过完之后开始做题就行了。如果要界定强化的标准，我觉得是你开始做一千强化的时候，因为章宇的强化他就是做题， 有的人看完基础课就能做的动一千币，这些人他需要强化吗？他不需要，因为他看完基础课就能开始做考研数学的难题和综合题，其他的题他都能做，哐哐做题就完了。 而对于你们大多数人来说，你是做不到听完基础课直接上手一千币的，所以需要二刷讲义去加强一下你的高数。 那么二刷讲义算不算强化？我觉得不算，前面已经说了呀，强化就是做一千币，如果你二刷讲义搭配一千币，那就是强化，没有搭配就只是复习以及巩固。那么复习三十讲的时间可以放到基础过渡到强化的过渡阶段， 即高数基础学完开现代的这段时间呢？去复习高数，边学现代边二刷高数讲义做一个难度介于一千 a 和一千 b 的 高数题过渡一下，比如六六零，比如八八零 基础的选填，这两个无论选择哪个都不是弯路，你就赶紧做就完了，别后面在现代学完的时候再单独的挑时间做一千 b， 那 么这段时间我们就可以给他称为叫高数强化，知道吗？做一千 b 就 等于高数强化， 张宇的强化就是做题，在你做一千币的时候，自己能做的动大部分就可以自学张宇的强化讲义，不会的你去看专题课，专题课的推荐上一个视频已经给你们讲过了，然后要讲的一个事情就是你在强化学完的时候，再去看武中扬的强化讲义。张宇的基础讲义和武中扬的强化讲义内容重复很多，你会发现 这个地方基础讲义好像也有，根本就分不清重点，学习思路会很乱。所以武中扬的强化讲义你想看可以，一定要放到强化之后， 如果你做张宇的一千币大面积，不会的，你就去看系统课，建议看二六或者二七的，因因为这个比较省时， 那么实在不行的话，你就去看无中央强化吧。好吧，那我就不阻拦你了，你就去看吧。要注意的就是规划好你的时间和做题，不要成为耐听王。最后想说一下，无论你什么时候做一千币，你只要安排好自己的学习规划就行了，你不要关心别人什么时候做，你关心你什么时候能把这做完。规划好自己在考试前能做多少题，按照自己的节奏， 现在离考试还有八个月，不要去着急，你如果觉得你的进度慢，每天就多堆点时间，不要在这空焦虑，关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。
4936亚瑟爱数学*
