对数新宠公式推导
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05:15查看AI文稿AI文稿对数运算换底公式不会用，我今天教你不用公式怎么算，现在我有一个小小的要求， 给我学会，再点赞，不用换底公式，把这些题都做出来。第一题你说太简单了，口算都出来了，是不是二乘二得四？好， 那第二题呢，你还能口算出来吗？不太能了吧，但是我能是吧。三为什么很简单啊？这个四和这个四怎么着能够消掉，就变成 log 二八， 也就是解，也就是三，原理就是什么呢？ log ab 乘以 log bc 等于 log a， c 就是 这两个 b， 怎么着，只要一样一上一下就干嘛消掉？那你看第三题，是不是这个二和这个二怎么着消掉，变成什么 log 三三， log 三三是几，是不是一呀？ 懂了吗？能做所有的乘法题啊，然后再来。哎，你知道第四个怎么 不一样了是不是？那怎么办呢？那咱就给它变一变啊，在对数当中呢，只要这个数能写成几的几次方，就给它写一下，你看 log 三八就可以写成什么 log 三，然后呢？八写成二的三次方， 这个三呢，是可以往前提的啊，就变成三倍的 log 三二， 那下一个呢？落个四九，我就可以写成什么啊？这个四变成二的二次方，这个三呢？变成三的二次方，这个二往前提变成分子，也就是和这个三一样啊，也就是二倍的。 那这这个二呢？要干嘛？变成分母，也就是二分之二。注意了啊，上面这个数往前提 变成分子，下面这个数变成什么分母？二除以二，是不是一啊？所以就变成这个东西啊，就变成 log 二三了， 最后就变成什么三。 log 三二乘以 log 二三等于几啊？等于三，为什么？这俩玩意一一乘是不是变成一了？剩个三能跟上吗？ 第五题怎么做呀？你看啊，这个 log 二二十五，我是不是写着什么 log 二五，是不是五的平方呀？我直接怎么着往前写乘以什么呀？这时候我已经看见了啊，看着 log 三二 二能跟上吗？为什么？因为四，我要写成二的二次方，再乘以什么 log 五三二， 然后啊，你看啊，我先把这些数都乘一块，二二二是不是得八呀？ log 二五 乘以 log 五三，就变成 log 二三，因为五五怎么着消掉，那 log 二三再乘以 log 什么三二是不是一呀？最后答 八。那你看第六题啊，第六题毁了，是不是出什么了？出这个分母了。那怎么办呢？ 一除以 log 三二十一，就会写成 log 二十一三， 老师，为什么呀？就因为这，你看他俩相乘是几是一，这叫什么？互为倒数，也就是 log 二十一三加上 log 二十一七， 这怎么用啊？这个有一个公式叫做里积外合，你现在不会也没关系啊，以后我会讲到里积外合。什么意思啊？现在？现在是合给它变成里边变成积二十一，三七，二十一等于一， 就这样直接去倒数就行了。那第七题怎么做？ log 三四乘以 log 四八乘以 log 八 m。 你 说老师我已经都会了啊，四四怎么着消掉乘 log 三八八，再怎么着消掉 log 三 m， 等于 log 三分之一七。那接下来怎么做呢？它是不是这是三呀？这是什么？三分之一我就给它变一下，我给它写成什么 log 三的负一次方，然后七，这个负一是不能往前提。当然了啊，记着一提变成什么？ 变成分母负一分之一，是不是还是负一？所以这个啊，注意了这个式子，这有点乱了，就写成负的 log 三七，但是还没有完呢啊，他说 log 三 m 等于什么？我再把这个负一啊， 摆到这个什么七上边，就变成 log 三七的负一次方是七分之一，所以 log 三 m 等于 log 三七分之一， m 等于多少 七分之一。记着啊，这个方法所有的乘法都能用，这只是换底公式的一个。嗯，叫什么变换，讲完你听懂了吗？
1966百分高考数学
02:43查看AI文稿AI文稿来，学长讲一下这道题哈，刚刚我改试卷的时候，好多人这道题都选错了，怎么都跑到选 c 去了呢？来，我们来分析一下哈， 来看 a 选项，我们是不是讲过两个相加的时候就是增数部分相乘是吧，它们两个相乘等于它们相乘。我们来写一下啊， a 选项是 log 五加上 log 三，是不应该等于 log 五乘以三呀，对吧？公式，我们的公式哈，是不是等于 log 十五？完全不对啊，错了，我们来看 b 选项哈， b 选项相减怎么办？就是这两个东西消除呗，对吧。 来看 log 五减去 log 三等于 log 五除以三，怎么会等于二呢？ 排除哈。哎呀，这一题， c 选项那么多人选，我们来看这个到底用到什么？这个是 log， 这个是 l n， 很 明显用到什么是我讲过 n 遍的。我们的换底公式啊， 我再来说一下哈，换底公式很多人不熟，怎么换？你看 log 以 a 为底的 b 可以 换成什么？就是 log 随意换一个东西哈， b 是 在上面的，底数是在下面的，你们就搞错了。然后我们来看这个怎么换 log 五。首先我们先知道 log 是 等于什么，是不是 log 以十为底啊，我们把它换成这种形式哈， 是不等于劳格以十为底的五啊，是不等于这个？然后换底公式嘛，他们换什么底啊，换以 l n 为底嘛？来继续换 l n 套公式嘛，直接套公式。 b 是 不是等于五啊？它在上面的 l n 五， l n 底数 a 是 在下面的呀，所以说这个十是在下面的，你看一样吗？不一样啊，不选 c 啊，你看一样是在下面的，你看一样的选项哈，你没有判断是第一选项的吗？ log 一 一百分之一等于等于负二吗？我们来算一下哈。这一个我们先把它这个底给它换回来哈。平换 log 以十为底的一百分之一是不是继续化减一百分之一是不是等于十的负二次方啊？是吧？十的负二次方底数变成导数十分之一的平方等于一百分之一啊，所以等于这个 log 以十为底的十的负二次方指数有负二。提前呀，提到前面去，负二的 log 以十为底的十底数跟指数相同等于一化掉是不等于二？选择四 d 选项哈，秒杀。怎么连这个都做错嘞，认真看哈大家。
445做个蜘蛛网🕸️
01:57查看AI文稿AI文稿好，同学们，大家好啊，徐老师这期为大家分享是求向量的通项公式的对数啊，那么什么时候用对数的模型呢？假如说你遇见的是 a n 加一， b 乘 a n 方，当然这里的 b 和 a n 各向都是数啊， b 与 a n 各向都是正数，那么如果你发现了这个 a n 上边有平方或者有密， 那么往往取对数，那么这个取对数啊，其实我们取谁为底都行，但是我们最常用的两种，第一种是取 c 为底的，那么它可以写成 a n 加一等于以 c 为底， b 乘以 n 方， 那么我们先来看一下它的真数，上边儿是一个乘法，乘法就可以写成两个同底的，所以说进行相加，那所以它就可以写以 c 为底， a n 加一等于一，加上二倍的 e 为底 n。 好， 那么同学们看一下，你发现带有 a n 加一和 a n 的 地方， 它俩的图形一样了，所以我们就把它看作是边加一，一加上二倍的 b n， 那 么又回到了代号，好，这是第一种，那么第二种呢？还可以以 c 为底，你说呢？比如说你这个数列的首项 a 一 是已知的啊，首项 a 一 是已知的， 那么我们就可以写以 a 一 为底， a n 加一的一种。那么这个时候啊，我们看一下， a 一 为底， a n 加一等于以 a 一 为底，加上的是二倍的以 a 一 为底 n， 对 吧？好，那么我们现在看一下在这里的它的模型，它的模型都是一样的，所以这是不是就是 b n 加一 等于以 a 一 为底， b 加上的是二倍的 n， 那 为什么以 a 一 为底呢？因为你要是以 a 一 为底的话，这个竖列的首项不就是以 a 一 为底 a 的 对手， 所以你要想以 a 一 为底的时候，其实就是我们出来的这个竖列的首项，它就是定的啊，所以这种方法不是唯一的 a 为底不行啊。记得点赞关注哦。
36沈阳徐思数学
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01:26查看AI文稿AI文稿ok， 我 们来看一下这个对数函数的换底公式，这两条公式我看下怎么运用它们，我们看这里，这里是，这是一样的，刚被我画到了吧，重新写了一下。 ok， 我 们看一下 a， 它这里的 a 是 不是等于二， a 等于二，然后 m 是 等于九的，然后就把它抄过来，我们用这条公式嘛，一 g 九乘一个一 g 二乘以一个一 g 四，一 g 三。 ok， 我 们看下是谁的平方一九是不是三的平方，然后二还是二，因为它不是谁的平方，一 g 三乘以个一 g 二的平方，对吧？ ok， 我 们看下这里平方，我们把这个平方提到前面来，所以它就等于这样子的把平方提到前面。 ok， 你 看我这样是不是有相同的，我把相同的约掉，是不是二乘以二等于四，我直接把秒了，第一题就等于四。 ok， 第二题我们还是按刚才的步骤， a 是 不是等于四？ a 是 等于五的，所以我们把它抄下来，一 g 四乘一 g 五，然后第二个 m 是 等于二十五的， 一 g 八。 ok， 我 们看一下四是谁的平方，是不是二平方，然后五，我来照抄，乘以一个一 g 二十五是谁的平方？五的平方，一 g 二，三次方。 ok， 我 们把它的平方抄过来， 乘以一个，把平方一 g 五，一 g 不 对三，一 g 二。 ok， 我 们看约一 g 二跟这个一 g 二约掉，一 g 五跟这个一 g 五约掉，是不是？这剩下一个二，这剩下一个三等于三分之四，对三分之四，我们就把它秒。 ok， 我 们看第三道题， 这第三道题我们还剩下这公式来，这公式 m 是 等于二，是等于二的，对吧？然后 a 是 等于三，所以一 g 二乘以个一 g 三乘以一 g 九，一 g 三乘以一 g 九是谁的平方？三的平方。 a， 我 们这个是照抄的， 乘以我把它的平方提到前面来，一居三，然后这个是等于二，一居二， ok， 这样子，对吧？然后我们来约分，这个跟这个约掉，是不是？然后一居三跟一居三约掉二分之二等于一， ok。
220苹果学姐
03:18查看AI文稿AI文稿hello 宝宝们，这期我们来讲一下对数函数，然后它来看第一题，它已知函数 f x 等于 log 三 x， 则 f 三的根号三等于多少，我们就来看嘛，它这里 x 就 代替三个三又根号三，对吧？那我们就把它写进去啊， l g 三 x 嘛，那你就是等于 l g 三三又根号三，对吧？然后 我们就来有个关键的，就是把三个根号三写成三的逆次形式，方便。我们就来有个关键的公式， l g a a n， 然后就等于 n， 对 吧？这是不是有个这样的公式呀？ 然后我们就来把这部分给他换了吗？三用根号三就是等于三的一次方吗？然后乘以三的二分之一啊，因为你根号他就是等于二分之一，对吧？所以然后这里这部分就是三的，然后一加二分之一，然后就是等于三的，嗯，二分之三的， 然后我们换成这样公式，再到头来倒回来，我这里不是把它变成这样子吗？三的二分之三吗？然后这里我们就直接选 boy 来看第三题，函数 f x 等于 log 三，然后报一减三 x 的 定义域，对吧？这道题它考的是对数函数的定义域，它也是高中高考里面超高频的考点，几乎它每年都有考。然后我们必须要记住的就是整数里面的一定要大于零，所以就是一减三 x 大 于零，负三 x 大 于负，一 x 小 于三分之一， 那这样子的话，它就是负五重到三分之一，所以我们就选 c 的。 然后我们来看第七题，他说在函数在定义上单调递减的式，对吧？我们来看嘛， 它考的是，我们来区分一下，首先指数函数 y 等于 a x， 它就是说当它 a 大 于一，那它就是单调递增，所以它这个是，你看它是二就是大于一的嘛，所以就是单调递增，所以就不选嘛。然后我们来看选项 boy， 它就是等于对数函数来的 l n 以 l m 嘛，然后就是等于 l o， g， e， x， 然后它当 a 以一为底啊，对吧？这里就是等于 l， o， g， e， x 嘛，它 e 约等于二点多，所以它也是增函数。然后我们来看 c， 看 y 等于 log 三 x， 它底数三呢，也是大于一，所以也是增函数，对吧？然后我们来看 d 选项，它这个是零点五，大于零小于一，它就是减函数呀。 我们记住一个底大一往上跑，底小一往下跑，知道没有？这个公式应该挺好记的吧，我感觉有点像那种，就是口诀差不多很好记的。我们来看十一题，他说 urlog 二 x 大 于零的实数的 x 的 取值范围。他这个题目考的是对数不等式的解法。我们 来，我们先把右边的零，右边的零换成 log 二一，因为它 log a 一 等于零嘛，这是对数的基本性质，然后它的不等式就变了，这个 log 二 x， 然后，嗯，就变了这边了嘛，哦，跟它一样啊，这边二一啊，然后我们就来变，我上一期不是也讲了这种类似的吗？跟它差不多的呀，我们就可以来这样子做， 我们就可以来看，我们知道它底数二大于一，那它就是单调递增函数，单调递增函数，它的符号不变，对吧？所所以它 x 是 大于一，知道没有？ x 大 于一，但是就是这样子，它 x 大 于一，但是它同时对数函数的定义域是 x 大 于零，然后因为这里 x 大 于一，它已经满足了，所以它的取值范围就是一到正无穷。选 a 易错题型解不等式。就是这种对数的不等式，一定要先看底数是大于一还是小于一，然后再判断它的单调性，去呃，解不等式。还有不要忘记查看它的定义域知道没有。 好了，这期就讲到这里啦，看一下整体全部对吧。好了，这期讲到这里了，有什么不懂的问题可以发在评论区哦。还想看哪一期？呃，因为姐姐现在是打算做本练习册，就是往后往后去讲，然后每章节都选四五到底来讲，如果你们有想听的话，我可以重点来呃，找多一些，讲多几期去。好了，就这样子啦，拜拜。
136荔枝ღ³
19:30查看AI文稿AI文稿好，那么接下来我们来一起学习对数。首先我们也是先来看对数的运算啊，嗯，对数运算的话会比指数难一些，那它对应的这个运算的规律啊，运算率啊，运算的性质什么的，会比指数要稍微难记一些，而且类型也比较多， 所以同学们打起精神，我们认真来听这个对数。首先呢，对数的运算其实是我们没有接触过的，包括前面我们讲的指数，其实在初中也或多或少有接触过一些啊，就像算这个平方啊之类的我们也都有见过，但对数实际上他的运算我们是没有见过的。 所以在这边我们先举一个例子，来带大家回忆一下对数是怎么算的。可能有些同学对这个可能高音没有学的很好的话，连怎么算对数可能都有点不记得了，那比如说举一个最简单的例子啊，假如说我们知道二的 x 次方，比如说我们知道二的三次方等于八，那如何来用对数表示呢？那用对数表示的话，就是 log 以二为底，然后呢， 八的对数等于三。同学们能看懂这个意思吗？就是底数换成对数之后，同样在底数位置，然后得数八呢，变成了对数当中的真数，然后这个指数位置的三呢，变成了我们的得数，同学们在看的时候可以看作是底数的 得数，指数等于真数，是这样的一个步骤，也就是二的三次方等于八。那现在我们再用字母来看，比如这边他给了一个 a 的 x， 四方等于 n， 那 x 等于什么呢？ 指数等于以底数为底数，然后呢，得数为真数，也就是 x 等于 log， 以 a 为底， n 的 对数，就这个意思 能看懂了吗？那翻译过来就是以 a 为底， x 的 指数等于 n， 就 这个意思了啊。这个就是我们指对之间的一个互化，同学们首先要会去转化这个运算，才能做后续的题目。然后呢，对数的运算率会稍微多一点，我们一个一个来看， 首先他这边先给了一个指数跟对数的关系呢，这个就是我们刚刚所解释的，同学们一定要牢牢的记下来，比如说我们给你一个二的 x， 四方等于七，像这种问题我也可以解了，我不知道二的多少，四方等于七，那我可以用对数表示，那 x 是 不是就等于 log 以二为底，七的对数就是这样来写的了 啊？底数还在底数，得数是真数就可以了。好，然后呢，我们看一些呃，特殊的问题啊，比如说，首先第一个 log a 一 等于零，那就是 a 的 零，次方等于一，能看懂吗？就是这样计算的啊，这个纸对之间的互相计算， log a 一 的意思就是 a 的 多少次方等于一呢？答案是零啊，那么 log a 等于一，同样道理， a 的 多少次方等于 a 呀？一次方等于 a， 就 这个意思了。 那后面这个要求同学们把它牢牢的背下来啊。 a 的 log a n 次方等于 n， 这个我们把它叫做对数横等式，和我们等一下的运算法则一样的，这个要把它牢牢背下来。 也就是说同底的时候，如果底数有一个 log a n 的 这样一个指数形式，如果这时候的两个底数一样，答案直接等于这个时候对数的真数就可以了啊， 然后他说复数和零是没有对数的，这个其实我们说过，就是我们之前在讲定域的时候讲过，对数函数的真数 x 要大于零啊，这个我们等一下讲对数函数的时候再特意去强调。我们现在先来看运算啊。 呃，底数的取值范围跟前面指数是一样的啊，因为毕竟是一个相互转化运算，你的这个同样位置的这个呃字母，它的取值范围是相同的， 那么运算率这边我们讲三个，可能老师还要再补一个啊。首先第一个呢，我们前面讲了，指数只能算乘除，不能算加减，那么对数刚好反过来，对数是可以算加减，不能算乘除啊。 好，那么对数的加减法，同底数对数相加，底数不变，真数相乘。同底数对数相减，底数不变，真数消除。看到了吧。哎， 那然后这边这个呢，也是要牢牢把它记下来的，也就是说，如果 log 以 a 为底， m 就是 真数有一个 n 次方，那这个 n 可以 直接挪到前面来。 这边老师再补充一个，那如果现在老师把这个 n 次方变到了底数的指数位置，那这个时候挪到前面来，要变成 n 分 之一，这个直接背下来，这都是运算率啊，所以一定要把它背的清清楚楚的。 也就是说，如果这个指数在真数的位置上直接挪到前面来，如果这个指数在底数的位置上呢，变成 n 分 之一，挪到前面来就可以了。 好，然后最后有一个换底公式，换底公式注意， log 以 a 为底， b 可以 任意的换成你这个 c， 随便啊， c 只要是满足我们的大于零且不等于一就可以，只要满足底数最基本的要求就可以了。你想换成以几为底都可以，就是以 c 为底，真数的对数除以以 c 为底 底数的对数。那这时候我们也补充一个性质，同学们看一眼。比如说老师现在再重新写一个，那么 log b a 呢？它是不是可以换成 log， 以 c 为底 a 除以一个 log 以 c 为底 b。 那 你看一下这两个之间是什么关系， 是不是分子分母？反过来了，通俗来说就是互为倒数的关系，对不对？那所以说同学们可以把这个记笔记记在边上。我们的换底公式推出了另外一个公式，就是当你把一组对数它的底数跟真数做一个互化的时候， 这个时候他们两个互为倒数，能明白不？这个要牢牢给它记下来啊。所以老师这边补充了两个特殊的啊，这个表格里没有的，同学们自己把它记下来，好吧， 好，那同学们可以看到，对数的这个运算的性质相对来说会多一些，公式之类的都会比我们指数稍微复杂一点，所以同学们要稍微比指数多花一点心思来专门准备专门记这一部分啊。 好，然后我们来看一下关于计算的题型啊，因为对数这边的运算稍微复杂一些，所以我们的题型也会稍微多一点，我们一共讲三道题啊，首先我们先来讲例三点一，嗯，稍等，老师看一下， ok， 那 么列三点一呢？他说首先两个啊，第一个在对数 y 等于 log x 减二，四减 x 中实数 x 的 取值范围来了。那这个其实考的并不是计算，而是一个取值范围问题。其实这个我们在定义域的时候就说过， 如果说这是一个对数，首先它的底数有要求，底数是什么？底数要大于零且不等于一，那么真数呢？ 回忆一下，定域根数大于零啊，所以说这样的话，我们把三个不等式解一下就行了。那么第一个 x 大 于二，第二个 x 不 等于三，第三个 x 小 于四，综合来说呢是什么？所以 x 应该在大于二小于四的范围，且 x 不 等于三。 填横线的时候呢，我们可以把它填成一个这个区间范围啊，可能更好写一点，那老师在这边写上，所以是二斗三并上一个三斗四。 好。第二小问的话，主要是一些纸对之间的转化计算，难度不是很大，主要我们让我们熟悉一下这个纸对的计算啊。第一个 log 六十四， x 等于负的三分之二。好，那这样我们来看，那我们前面讲了， x 等于什么呀？ x 就 等于 底数还是底数？六十四的负三分之二次方是不？这样就可以了，然后同学们可以来算一下这个式子，因为呢，我们前面讲了，指数是可以去化简的嘛，那么这时候我们在化简的时候呢，可以把六十四换成四的多少次方？ 四的三次方，然后呢，负的三分之二次方对不对？那把三一消掉，是四的负二次方，负二次方还记得吗？把它变成平方分之一就可以了，所以答案是十六分之一。这就是第一个 是不就只对转化计算啊，还是比较简单的了啊。那么第二个呢？是 log x 八等于六，问 x 等于几，那不就是 x 的 多少 底数的得数次方等于真数？那就是这样喽，那所以说 x， 因为我们这个底数啊，是在这个什么是在 啊， x 是 在底数位置，所以 x 是 不应该大于零啊，对吧？所以我们直接交代 x 是 大于零的，所以 x 可以 直接写成八，是不是开六次方根也就是八的多少六分之一次方吗？ 那一样的八给他写成几啊，是不是二的三次方？哎，那他的六分之一次方是不是直接二的二分之一次方就可以了，所以直接写根号二就行， 看到了吗？就这个意思啊。好，然后这边呢，我们发现三和四，是不是有些同学可能，呃，比较了解的可能会比较清楚一些，有些同学可能对这个部分知识真的是忘的有点干净，那我们稍微复习一下，这两个是特殊的，那么 log 以十为底， x 的 对数，我们通常会省略这个十，写成 l g， 这个 log 我 们也读作 log 啊。还有呢，一个特殊的是 log 以 e 为底。 x， 那 我们通常会直接写它 以这个 l n 啊，直接把 log 以 e 为底，改写成 l n， 就是 楞，这里我读楞啊，有的老师可能读 l n 什么的都可以一样的啊，就这个含义，同学们要知道特殊的以 e 为底，以十为底，要清楚什么意思。 其中这边 e 的 特， e 的 这个取值范围， e 的 值大约是二点七左右，我们不用记小数点后多少位，大概知道它是二点七多就行了啊。 好，然后我们来看，知道了这两个特殊的，那我们继续来看三和四。那么第三个问， log 一 百等于 x， 知道了 log 是 以十为底，是不就是十的 x 四方等于一百啊，那 x 直接出是不就是二了？很简单啊。 那么第四个他说 x 直接等于负的任意的平方，这个还记得吗？老师前面讲过的啊， 这个地方如果说有二，我是不直接把二给它放到前面来，记得吗？所以我们直接把二放到前面来，那后面是任意 论， e 是 啥意思？ log 以 e 为底， e 的 对数。这里呢，因为我们刚开始接触，所以老师可以稍微写一下，你们以后就这这一部分要省略哦，这一步要省略，因为我们考试时默认同学们都知道论是以 e 为底的，那这样看就知道了吧， e 的 多少次方是 e 啊？ e 的 e 次方对不对？所以这一步蓝笔这一步是直接省略掉的哦，我们就要知道任意就是 e 啊，所以这边直接就是负二就可以了，同学们看懂了吗？这里面我们就讲了只对的一个转化计算，同时还补充了两个特殊的，一个是 log 以实为底，一个是以 e 为底，该怎么表示？同学们看到不要不认识啊。 好，那这个是最基础的计算和取值范围。那接下来我们来看这个例，三点二，跟前面我们讲指数一样，也来讲两个这种常规的数值计算啊， 老师还是把这两个抄在这边，我们来写，因为他那个位置不太好，他这个输的排版有的时候不是很清楚啊。首先第一个 log 二十五加 log 二乘 log 五十，加上 log 二的平方。好，然后我们来解这个 对数呢，可能会稍微更难解一点。首先还是跟我们的指数一样，我们把能换成平方的呀，或者说能提公因式的都给它提出来。那么二十五是几的平方？很明显，五的平方先写， 然后呢，这边我们 log 二 log 五十可以改写成多少？是不是可以改写成 log 五乘十，没错吧，先这样写着，那么 log 二的平方，注意啊， log 二的平方和这个 他们两个是有很大区别的，一个呢，没有加括号，那没有加括号，它就等于两倍的 log 二，但这个就不行，因为这里我们所说的是整体的平方，那它是一个平方，是 log 二这个数值的平方啊，所以它俩是有区别的，同学们在做题，一定要仔细观察我们这里有没有括号啊。 好，接下来下一步。那这个二是不能放到前面来，两倍的 log 五，然后呢，我们可以把这个 log 五乘十。我们前面说过，对数相加，底数不变，真数相乘，那是不可以把它改写成什么 log 五加上 log 十。 log 十，因为现在你们不熟悉，所以老师就多写两步，正常来说是不需要写这么多的啊，所以说老师先写着，那这样的话呢，就变成了两倍的 log 五，加上一个 log 二乘 log 五， 然后呢， log 十是不就是一啊？所以直接 log 二，再加上 log 二的平方，每一项是不是除了第一项以外是不都有 log 二？那我后面就提出一个 log 二嘛， 提出一个 log 二，括号里变成什么 log 五加一，再加上一个 log 二。好，这里有一个非常关键的点就在于 log 二加 log 五， log 二加 log 五是 log 几，底数不变，真数相乘，是不是 log 十呀？哎，那同学们应该就知道了，所以这里是两倍的 log 五加上一个 log 二，括号里是 log 十加一， log 十还用写吗？只是现在你们不熟，所以老师才一遍一遍的写，接下来就不会再写这种 太简单的问题了。 log 十是一啊，所以直接变成两倍的 log 五加上两倍的 log 二。那然后呢，我们提出二括号，一样是 log 五加 log 二，我们就不用再赘述了，直接就等于一，所以这个答案是二， 这样就好了，还是比较简单的吧，是不是啊？所以这个就是我们的第一小问，看到了吗？这里面唯一需要注意的就是 log 五加 log 二这个特殊的点啊。呃，那这里的位置好像不是很够写，那老师把第二文写在这里下面吧。啊， 刚刚那个稍微啰嗦了一点啊，主要是怕有些同学真的是对对数太不通了，所以我们多讲一点， 下面我们来看第二个。那么第二个呢，我们会发现这里有个问题是，我们不是同底数的，那不是同底数，我们想把它变成同底数，但是四跟八的话，我们变成同底数该怎么变？ 是不他们会变成几分之几？那这个几分之几如果提不出来，是不是也不太好做？那这个时候呢，我们就可以直接用换底公式来做， 或者你们也可以想办法去把它配凑，但老师的建议还是直接直接用换底就好了。换底的时候，其实你任意选择，老师这边就换成以十为底，因为以十为底比较好表示啊。那么比如说第一个 log 四三，我们是 log 三除以 log 四， 那 log 八三呢？是 log 三除以 log 八吗？ log 三二， log 二除以 log 三，然后 log 二除以 log 九。好了， 好，现在我们来把能化简的化简。 log 三除以一个 log 四是 log 二的平方啊。 啊，我还是多写一部吧，怕你们看不懂啊。然后呢？ log 三，然后下面这个呢写成 log 二的三次方，这边呢 log 二除以 log 三，正常写就行，这里是 log 二除以 log 三的三平方啊。好，然后根据我们前面的这个性质，是不直接把这个， 把这个平方放到前面来，那它是 log 三除以一个两倍的 log 二，加上一个 log 三除以三倍的 log 二，再乘上一个 log 二除以 log 三，加上一个 log 二除以两倍的 log 三。好，然后接下来我们直接重开就可以了。那么第一项的话就只剩下什么， 这里同学们也可以采用通分的方式，也可以两两相乘，这种方法都可以啊。那比如说我们要两两相乘的话，那第一个就是 log 三二分之两倍， log 二分之， log 三乘 log 三分之， log 二，划掉，直接是二分之一， 然后呢，再加上一个全部消掉的话，是四分之一嘛，然后我们再加上一个三分之一，最后再加上一个六分之一，所以这样我们最后算出的答案是四分之五 哦，同学们可以自己算一下，当老师这边就不再多算了啊，直接得四分之五就可以了。好，那这个就是我们第二问是不是也会更好做一点，同学们擅长去用他的这个公式就可以了，所以难的就在于啊，我们对数的公式比较多，所以同学们一定要对这些公式比较熟练的掌握啊，合适的时候选择正确的公式就行。 好，接下来我们来看例三点三，那这边同样两道题，我们一道一道来看。首先先来看第一道题，还是一样的，方法不一样啊。第一道题呢，二的 x 四方等于十二， log 二三分之一等于 y， 求 x 加 y， 既然要求 x 加 y， 得先把 x 算出来吧。那么二的 x 四方等于十二， x 等于什么？ log 底数放在底数位置，得数放在真数，是不？ log 二十二呀，这就可以了。所以说我们的 x 加 y 直接算嘛， log 二十二， 加上一个 y 是 log 二三分之一，底数不变，真数相乘，直接变成 log 二四， 那是不就问二的多少次方等于四，那不就平方呀？所以这道题直接等于二就行，是不是非常简单？所以第一小题其实没有什么过多的方法，直接计算，就使用它最基本的这个运算方法就够了啊。那么第二个呢？二的 a 次方等于五的 b 次方等于 m， a 分 之一加 b 分 之一等于二，求 m 是 多少？一样的，我得先把 a 跟 b 解出来嘛。二的 a 次方等于 m 的 话， a 是 不是 log 以二为底，底数还在底数，得数在真数，没错吧？那么五的 b 次方等于 m， 那 b 也一样给它写出来 以五为底，然后呢？ m 的， 嗯，以五为底， m 的 对数是不是就是 b？ ok， 这样就行了啊。那然后现在我们要求的是 a 分 之一，那所以说这里啊，我们刚刚讲了， a 和 a 分 之一是不互为倒数，那我们前面讲了什么换底公式？ 换底公式不就是说互为倒数，是把什么把底数跟真数交换呢？是不就可以了？那 b 分 之一一样的，是不是把底数跟真数交换就好了？那所以说 a 分 之一加 b 分 之一是不直接写成 log m 二加上 log m 五就等于二呀， 那所以说同底数相加，直接底数不变，真数相乘是不等于二，那它现在的意思其实就是 m 的 平方等于十， 那么 m 等于几？那么又因为我们的这个 m 在 底数位置啊， m 应该是大于零且不等于一的没错吧。哎，所以说 m 的 值只能等于多少正的根号式啊，所以这边空我们直接填根号式就行，所以第二小题用了换底公式，第一小题直接用我们的运算率就可以 能理解吧，所以这边我们的运算呢，就是把我们前面讲的对数的运算的方法都给他做了一个简单的规整啊。那同学们下去之后，重点是要复习我们对数这边的一个运算公式，能够正确的运用就可以了。 好吧，我们可以多复习一下，然后把它牢牢的背下来，这个地方就必须要动用你们的小脑袋瓜，把它全部备注了啊，没有别的更好的办法，熟能生巧，多练习就可以。好，那么我们运算就讲到这里啊，下面我们等一下，我们来一起看一下它的一个运，这个对数的函数和前面指数有什么区别。运算我们就先讲到这里。
21麦麦数学
04:23查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天学姐想要给你们分享的章节是对数函数运算这一张好，首先技巧就是我们要把这些式子都记在脑子里。 首先第一个就是积变和，也就是如果前面这里它的指数它是积的话，那我们后面就是变成加法，比如说 log a， 然后 m 乘以 n 的 话，那这里 log a n 就 变成加上 log a n， 就是 两个是分开的，所以我们也是可以这样子记嘛，这里相乘， 后面这就是相加，我们可以直接记它相乘等于相加好，然后这里商变差，比如说这里 log a n 分 之 n， 这也是 m 除以 n 嘛，然后这也就是变成了 m 减 n， 也就是我们这也是删除，这也是相减 好，然后这也是密题前，也就是前面这一个是 m 的 密指数嘛，那也是 log a m 的 n 次，然后这个时候我们就可以把这个 n 提到前面这里来，这个叫做密题前，也就是最后变成了在前面好，然后这个是我们最重要的一个快底公式，我们很多题目都会用到快底公式，就是说我们看到 log a b， 就是 当它的底数和指数是不是一个同一个数的时候呢？我们就可以看成同一个底去算，比如说我们这里是 a 的 b 次方，是不是？那么这个时候我们可以把这个底数放在底下，但是我们可以啊放放在粪母的位置，但是我们这个底要换成同一个底，就是换成一个同一的，比如说我们用 c 来表示吧，我们这是 log c 的 a 次方分子 log c 的 b 次方，我们这个时候就要把这个 本来在底下的，你就把它放到粪母本来在上面，你就把它放到分子，我们就是这样子去看的，我们一定要把这个换底公式牢记，因为这个经常容易考 好。然后还有下一个就是倒数关系，倒数关系呢？这里 log a b 也是同样的，我们这里也是可以等于，就是如果我们假设忘记了换底公式，我们也是可以把这个 a 跟 b 的 位置换掉，然后把它放在分母的位置，变成一个倒数 log b a 四方分之一，就是这样子记这两个都可以，但是我们最最重要的还是要记住这个换底公式比较常用一点。然后还有一个是横等式，横等式就是 log a 的 一四方就是所有底数，不管它是什么， 然后是一次方的，就是这里要变成零，然后 log a 就是 这两个数是一模一样。比如说这里 log 三三，那咱们这里就是等于一好，这里也是一样的， log 三一的话，它就是等于零，好，我们就是这样仔细记好，我们来看一下具体的例题， 已知 log 三四等于 m， 则 log 四三等于多少好，我们这个时候是不是发现很熟悉，认得也见过，是不是上面就这个，他把这个 b 跟 a 的 位置调换了，是不是？那么这个时候我们就把第一个 log 三四就是快化成了 log 四三分之一，是不是？你看是不是对应的，先把它交换位置，第二步把它变成倒数。好，这个就是等于 m， 那 这个时候他问这个 log 四三等于多少，那这个等于 m 的 话，那 log 四三是不是等于 m 分 之一？ m 分 之一分之一的话呢？其实一除以 m 分 之一就是一乘以 m， 所以 这也就是 m， 所以 这个地方就是等于 m 分 之一。好，所以我们这道题目选的是 c 选项。好，我们来看下一道题目， log 二八加上二， log 二三，减去 log 二的九。好，这个时候我们看到这种题目啊，我们可以比如说你看这个八我们是不是等于二的三次方，那我们跨成 log 二乘以二的三次方，那我们是不是符合这一个 log a a 下面这两个一模一样，那我们可以把这个数给提前，就是你看这里跨了吗？这里跨成了， 这里已经没有了，然后我们这里把这个三提前就可以了。好，我们再看第二个二， log 二三，我们这个其实我们直接 把这个二提回到后面那里去，就好像我们这里其实是互通的嘛，你，你把这个 n 可以 放到前面，但是你同样可以把这个 n 给放到后面去，所以我们这道题目要学会举一反三，我们这里前面有一个二，那我们也可以把这个二放到后面这里来，也就是变成 log 二三的二次方嘛。所以我们这道题这里算到的是 log 二九。 好，那我们是不是跟后面这个刚好给抵消掉了？就是如果它再减去它的话，所以我们这道题目只剩下前面这个三了。好， 我们来看下一道题目， log 二十六加上 log 五加上 log 二十。好，这个是比较很熟悉的，可以说你看这里相加，我们这前面说到什么，如果它是相加的话，我们这个指数是不是要相乘？所以我们可以先解决后面这个，如果这个是相加的情况下，这个 log 这是二乘五乘以二十，好，这里是 logo 一 百，那我们这个 logo 其实它就是相当于 logo 十这个底。好，那我们这个 logo 一 百，其实就是相当于 logo 十一百，那我们一百的话是不是相当于十个平方，也就是这里是 logo 十十个平方，那我们就这里等于二。 好，那我们再看前面这里 log 二十六，那十六的话怎么怎么怎么看十六就等于二的四次方，所以我们这里是 log 二二的四次方，我们这里是四。好，这我们四加二等于六，所以我们这个题目最后答案是六。好。学员今天的分享就到这里，希望同学们有收获。
317平安🍎
01:37查看AI文稿AI文稿对数函数的求导公式如何推导的？请大家集中注意力，不要眨眼。 很多同学刷了无数真题，成绩却毫无起色，核心问题就在于盲目刷，不总结！抖音精选帮你破解这一难题所 一年高考数学真题，所有真题讲解都经过逻辑梳理，拒绝零散杂乱，让你每刷一道题都能吃透好点，掌握方法，告别无效内耗。章节分段学习模式，更懂考生需求。真题好点，按解题逻辑开分步骤拆解细致薄若，题型一键直达。打开抖音精选，让真题刷的有价值，分数稳不提升！
