高一数学必修二立体几何点到面的距离
hello， 同学们，大家好，这一课我们来看一下立体几何的点面距关系啊。点面距关系其实大家在做的时候应该已经知道了，我们用等体积法作为几何法来作为表示， 那首先我们还是先来看一下，尽快把这一个题讲一遍吧。好吧，那首先我们在做的时候，四棱锥给你一个关系， pa 垂直于底面，那相当于 pa 本身就可以当成什么了， 是当成高了这样有关系。而底面什么关系呢？你来看底面是一个直角梯形，直角所在位置 a b 和 a 搭垂直， 并且长度关系，我们把它标出来，那看啊， p a 等于四， a b 等于四， a 大 也等于四，而最后的 b c 是 它的二分之一嘛？是二一点作为中点。 好，那首先我们来看一下第一问，在作业表示的时候，我们要找到 c 一， 它是和我们平面， 和我们的平面平行，那 c 一 和平面平行的话，那首先要找个问题啊，我们在平面上是不是要找到一根线 与这根线平行线平行于面，线平行于面上，一根线是不是就平行面，那怎么来呢？这个可以很简单的，因为一点是中点嘛，在后面那个面上一点中点，那中点后面那个面散到中位线，所以说取到 pa 的 中点 是不是取到 pa 的 中点？比如说 m， 那 m 一 是不是就平行于 a 搭， m 一 是平行 a 搭，而 a 搭已知条件和 b c 是 平行的，所以说当我们在这取了之后的话，所得到的这样一个图形，是不是就可以有 m 一 平行于 b c， 并且中位线还有个什么关系？长度关系 一半嘛，对不对？好，所以说我们在做的时候就来理一下。所以第一问取我们 a p 中点 m 连接 m e m b， 那 这样子在做的话，我们就可以得到一个东西。啥？因为一为是 p 叉中点，那两个中点就可以得到我们的 m e 为三角形 a p 搭的中位线，那中位线关系可以得到中位线平行于第三边，且等于第三边的 是一半。那又因为我们本身的条件里面存在了我们的什么 bc 是 不是和 a 搭是平行的？那等量代换的话，是不是就可以得到 m e 和 bc 是 平行？那并且我们还有啥呢？ bc 是 不是也等于二分之一 a 搭，因为你那个 a 搭等于二倍 bc 嘛？ 那所以说我们就得到 m e 和 b c 怎么样？是不是也相等？那现在得到关系 e 组对边平行且相等，说明它是平行四边形 b c e m， 那 平行四边形就可以得到对边，要的是 c e 平行于平面上面的 b m， 那 线平行线有了，加上 线不在平面 p a b 上，和线在平面 p a b 上，所以说得到最终结果。 好，这是第一问，再作为证明关系，那我们把它想清楚， 那第二问呢？ 所以说大家在做的时候就开始来看第二问，需要体积一个变化形式，所以说我们在做的时候找到我们要的关系，你要找的是搭点到 p b c 的一个距离，那大家想一想嘛，如果有一个面上面有一个点，是不是到它距离本身应该做垂线，找到是不是这个长度？但如果我们找不到，我们可以怎么办呢？那我们将它围成一个 什么东西是三棱锥，那三棱锥里面在作为表示的时候，可以用底面积 是不是乘以高，乘以三分之一表示体积？那如果我把某一个面看成了底面呢？ 那高的话，是不是就是另外一个顶点垂上去的？是不是这个长度？ 这两个都表示什么吗？是不是这个三轮锥的体积？那这样在做的时候我们就可以怎么办呢？我们就可以把题目里面本身就说搭点往这边垂垂哪，我找得到不？我不好找 那，但是我们给它围成三轮锥，是不是？所以说把搭屁、 搭 b 和搭 c 连起来，那这样子的话，它是不是就是一个三菱锥关系？而这个三菱锥关系我们就相当于来体积又变成什么呢？这很呢？体积相当于本身应该找的是搭， 是 p、 b、 c， 那 如果我把顶点看成 p、 b、 c， 那 如果我把顶点看成 p、 b、 c， 那 下面的底面是不是就是 bc 搭这个面， 而 bc 它这个面能算不可以？而 p 和下面这个底面什么关系？垂直垂线是哪一个？ a p， 因为题目告诉你的嘛， pa 垂直于平面 abc， 它 说相当于 pa 就是 它的高，而底面积就是哪一个？ bc， 它是不是？所以说变成关系的话，就说相当于可以变成三分之一，采用底面积是 pbc， 然后得到什么呢？高 h， 我 们用它的这个距离用 h 来表示啊， 然后另外一个三分之一底面是不是相当于 b、 c 端那高就是哪一个是 pa？ 所以说现在我们来算一下要的东西。好，我们来算一下东西， p a 本身是有的底面积， b、 c、 d 的 面积是需要底面积， p b、 c 的 面积是需要，所以说我们来看每一个面的关系，好吧？来先来看 首先底面，我们先来看底面吧，好吧，我们把它画出来， 就说明底面在作为表示的话，可以是这个样子的，垂直长度为四四二，那现在你要找到底面几 是这个阴影，那这个很简单，因为啥？因为相当于是不是就是二分之一， d c 高的话，垂下来是不是就和 ab 一 样的啊？所以说我们在做的时候相当于后面这一个，我们现在知道了， 是二分之一乘以 b， c 乘以 ab， 再乘以高， pa 面积是不是就可以表示出来，那前面呢？ 前面呢？三角形 p b c 呢？那作为想的是我们就要去看那三角形 p b， c 是 我们最后要找的这个面积关系， b c 知道导为二，那 p b， p b 可以 看左边的这一个 图形噻， p b 可以 看左边这个图形就是来 a b， p a b 等于四垂直下面是不是也是四，那 p b 多少？是不是四倍根号二，是不是这关系？所以 p b 是 可以知道是四倍根号二的，那 p c 呢？ 大家说 pc 不好找了，那 pc 其实在这儿，因为你的 pa 怎么样垂直于面，那垂直于面的话，面上找一根线，找 a c， 那 说明这两个线什么关系？是不垂直，那说明在作为表示的时候就应该是哪一个， 是不是就应该是这一个是直角三角形，而撇等于四，那 a c 等于多少？来看右边啊，右边这一个底面 a c 是 不是在这儿？ 那 a c 是 不是就是四二，对不对？所以结果根号二十嘛，二倍根号五，所以说 a c 可以 得到为二倍根号五，那么最终结果是不是可以来了，所以得到 p c 等于六， 那这样子的话，我们就能够找这个三角形的面积里面的一个角，然后用二分之一 a b 三 c 是这个公式去求出它的面积，那所以说我们现在来把它整理一下。 首先我们先看蓝色嘛，因为蓝色这一个在做的时候，可能让我来算一下蓝色在做的时候有个啥？因为你的 pa 垂直于平面， a、 b、 c 搭，那所以说 p a 是 垂直于任意一根线，包括你的 a b， 也包括你的是 a c， 好， 这样子我们就能来了啊，那现在来 在我们的直角三角形，我们先从左边一个个来嘛。红色三角形 a、 b p 中，那你的 a b 是 等于四的，你的 pa 也是等于四的，那所以说你的 p b 就 出来了，是不等于四倍根号二， 那继续在我们蓝色这个三角形是不是？那首先要找到什么？找到底面，是不是在底面 a、 b、 c、 d 中，我们现在有 a b 是 等于四， bc 是 等于二，那么所以说我们可以得到 a c 是 等于根号二十二，倍根号五， 并且我们还在这一起来算了，所以三角形面积是可以在这一起算的啊，我们现在就只算这个长度。然后最后我们再来在我们的蓝色这个三角形是不是 r t 三角形 p a、 c 中， 那我们的 p a， a c 是 不是可以算了？ 就这样一个关系，好，我们先把这个面积擦了，等一下我们再写，好吧，好，所以来看一下在我们的这个三角形中了， 在三角形 b、 c p 中，那我们能够去任意找一个角的关系来表示嘛？你觉得哪样算好？算一些就角就行了。那其实有根号的话，用这个可能好一点啊，比如说我们去找到 c 这个位置，角为 c 它啊， c 这个角为 c 它，那得到的关系我们就用这个图来直接写了，好吧， 就用这个图来直接写，那得到角对应边的平方 等于零，边平方 减去二倍相乘，再乘以假角的是 cosine 值，那先带进去嘛， 所以说三十二等于三十六加四，再减去二乘以六乘以二乘以 cosine。 好，所以这就是我们在做为表示的这样一个类型啊，那就把这一个 cosine 值给它算出来一下 啊。有同学他说这看起来是一个直角三角形在做为表示，哪个角为直角 b 啊？你能够得出也可以，我们不找特殊情况啊，我们找方法好，所以说自己在做的时候得出最终的结果，你看吧， 八等于四乘六 cosine， 所以 说 cosine 是 三分之一。 好，那现在我们要找什么呢？我们找面积关系公式，你就要想到啊，你最后要求到什么？这个算什么面积 来。二分之一邻边相乘，再乘以夹角的三因子，所以说你需要得到三因子，三因子公式一，减 cosine 的是平方， 所以说三分之二倍根号二嘛，三分之二倍根号二啊，那这我们敢算出来，两二分之一乘以六乘以二乘以三分之二倍根号二，那最终的结果是把它表示出来， 所以说等于四倍根号。好，这个面积出来了。来，现在我们要的东西，刚刚说的体积。来啊，刚刚说的体积由体积 p b、 c 和体积 p b、 c 搭相等能够得到的关系啊。三 b b c 乘以我们要求的高等于三分之一， 底面积 b c 大 乘以 pa， 是 不是这个高，那现在我们就可以得到三分之一，这个底面积有了四倍，根号二，刚刚算的吗？ 是不是？然后再乘以 h 等于三分之一来底面积二分之一，刚刚这个图形是不是二乘四， 二分之一乘二乘四，高 p a 也是四，再乘以四， 那所以说最终得到结果就是我们要找到距离，那 这就是我们自己在做的时候去表示的一些关系啊，大家在做的话就要去理清楚本身你要做的一个类型需要什么，有哪些长度需要找啊？ 任意三角形里面的边角关系，以三个条件能怎么去算其他条件啊？或者说面积公式，二分之一 a b 啊，就是说再乘以假角的三因子， 二分之一 b， c 乘以 a， 二分之 a， b 乘以 c， 是 不是这些东西？所以说在做的时候的话怎么去求边的长度？已知三角形的三个条件，求另外三个条件一定是要会的这一选定律啊，所以说我们这个位置就说到这，下一个再见。
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05:38查看AI文稿AI文稿嗨，宝宝们，今天我们来给大家讲一讲立体几何中的这一个点到面的距离的题目。点到面距离，那么点到面的距离在立体几何里面的话，我们常用的方法有哪些呢？我们给大家总结一下。第一个呢，我们是用垂线段法， 垂线段法。第二个呢，垂线段法就是如果我要求一个点到一个面的距离的话，那么我们呢就是说，嗯，过这个点，比如说过这个 b 点，我们直接做这个垂线段，对吧？做这个垂线段下来，那么 o 点我们求这个的距离。第二个的话呢，我们是用啊体积法，体积法，我们常用的这个等体积法来求距离，不一定要做垂线， 我们可以用过 b 点呢，构造这样的一个体积啊，算在这个它的它的距离 d， 对 不对？算在这个 d 好。 第三个的话呢是转化法， 像转化法我们是用的比较多的，转化的话呢，其实我们又分两种，第一种呢，我可以通过怎么样呢？平行进行转化啊，我们通过线面平行 线平面进行转化，因为当一个线平行，比如说这条线，嗯，平行这个面的话，那么线上的求 b 点到这个面阿法的距离，那我可以转化成十一点到阿法的距离，对吧？它是一样的，所以点平行线平行面，那么我们距离是相当通过这个转化。第二点还有一个转化呢，就是我们啊，很不保证，容易忽略的就是我们利用斜线上的成比例啊， 斜线乘比例，这什么意思呢？斜线乘比例是什么意思啊？就是如果，比如说我们这个有一条斜线啊， 斜线啊，这个这个跟它相交于这个地点啊，斜线 b， d， 那 我要求 b 到这个阿法的距离啊，我们啊不好求，那我可以通过这个上面某一点 a， 我 们已知 b a 和 a d 的 比值，那我们就可以通过 a 点到它的距离，通过它的这个 d 撇，从而得到求出 d， 这是我们的这一个斜线乘比例的这个类型的。 好，我们可以来看一道题目，比如说像这个十八题啊，这上面这个十八题，他说四边形，这个啊， p d， c， e 为矩形啊，这个地方都垂直的直线， p d 垂直于这个下面这个梯形所在的平面，然后 a， d， c 和 d a， b 都是直角，那么也就是这个直角梯形 f 是 终点啊， f 是 终点，很重要的，要告诉我， p d 的 长度是这个根号二， a， b 等于 a， d 等于一，然后呢？ c， d 是 等于二的好，然后这个是根号二，对吧？这个长度都知道好，第一问的话，我们是求 a c 啊，平行平面，这个 d， e， f 啊，在第一问的话，我们就比较容易，我们设这个点为这个 o 点的话，那么利用 o f， o f 平行 a c， 对 吧？中位线 o f 平行这个 a c 可以 得到 o， f 就 平行于这个， 这个 a b， a c 就 平行 o f 所在的平面 d， e f， 对 吧？这是第一问啊，第一问的话我们就稍微写一下，第一问的话 就是 a c 啊，它平行于这个 f o， 对 吧？通过 a c 平行 f o， 我 们可以推出这个 a c 平行平面啊，步骤大家自己去写啊， d f 好， 主要是我们来看第二个，第二个求点 f 到平面 b， c， p 的 距离点， f 到 b c， p 好， 大家可以看到，我们往往求点到平面的距离，往往同学们就会想到啊，那我使用过 f 找这个面的垂线，好不好找呢？不太好找，感觉上对不对？那么很多同学就想着用体积法，体积法就想用 f、 b、 p、 c 转化进行转化，但实际上如果说这道题啊，你用 你用这个 f f， v f， b， t、 c 啊，你转化成其他的，好像并没有很好的这个，嗯，换个顶点，换哪个顶点呢？ p 点为顶点，这个高也不好求，换 c 为顶点，其实啊，都不是很好求的，所以这个时候我们呢，用斜线乘比例，我们将这道题啊对问啊，分析， 我们将什么样呢啊？设 f 到平面 b、 c， p， 距离 为 d， 这个时候你会发现啊，我们的这个 a、 p 是 这个平面 b、 c、 p 的 一条斜线，对不对？斜线，那么我们相当于这个地方啊，这个上面这个平面就是 b、 c、 p 这个平面，然后你的这个 p 点是这个与它的交点，然后 f 在 这里，然后你的 a 点在这里。我要求 f 到这个面的距离，实际上我可以转换成 a 到它这个面的距离，也就是则 a 到平面，因为 f 是 它的中点，对不对？平面 b、 c， p， 距离为二为二 d。 好，这样的话，我们就可以利用体积 v， a， b， c， p， 那 我求这个，这个二 d 就 好了，对不对？ a， b， c， p， 那 么这个就比较好转换，转换成换个，换个顶点，换成 p 为顶点，因为 p a、 b、 c 的 距离是直接是 p d 嘛？ v p a， b、 c， 那 我就等于三分之一的 s 三角形 b， c， p 乘以一个这个高，就是 a 到它的 a 到这个面的距离是二 d， 对 吧？等于三分之一 s， 三角形 a， b、 c 乘以这个高啊。因为 p d 到这个下面，因为 p d 是 垂直于地面的，所以直接是 p d。 好，接下来的话，我们就可以来算算一下这个 s， 三角形 b， b， p、 c， 这个三角形 b， p、 c， 这个三角形我们可以看一下。首先的话，嗯， b、 d， b、 d 的 话，我们在这里 b、 d， 我 们算的是根号二，根号二，然后我们呢？ b， p、 c， b， p、 c， 那 么这个是 b， c 是， 这个是根号，然后这个是根号，这个是二，对吧？然后这个 b， p 的 长， b， p 长，这个是根号，根号，这个就是二，然后 p、 c， p、 c， 我 们知道这是二根号，就是怎么样呢？对，我们就发现它其实是一个垂直的，对不对？ 嗯，然后六，它是垂直的，所以这个是三分之一，乘以一个，嗯，二分之一乘以一个根号，二乘以一个二，然后再乘以一个二 d， 对 吧？等于三分之 a， b， c， a， b， c 的 等于 二分之一，乘以一，乘以一个啊一，然后再乘一个 p， d， p， d 是 等于根号二，这样我们可以轻松的算， d 等于四分之一， d 等于四分之一，也就是我们的 f 平面，这个 f 到平面它的距离就是这个 d 嘛？ d 相当于我通过这个这个长，这个长是这个二 d， 对 吧？我要求 d， 然后我去求这个长，这就利用斜线乘比例来求得的，好，懂了吗？宝子们？
88Tina的三分钟
03:48查看AI文稿AI文稿同学们好，咱们再来看一下这个例二，它让我们求的是线段面的距离，这个怎么求呢？很有考究哦。例二是说已知棱长为二的正方体 a、 b、 c、 d， a、 b、 c、 d 中，那直接建立空间直角坐标系就行了啊，因为是正方体，很好找。三条互相垂直的直线 emn 分 别是终点，则 a、 c 与平面的距离。那我想带着你去想一想，你说能是哪种情况呢？第一种啊， 直线和平面有个交点，这种我让你去求距离，你能求出来吗？什么叫做距离呢？是不是我们也不知道啊？解不了。 那么唯一的一种情况就是直线和平面是平行的，那么我就可以转化成直线上任意点和它的距离就可以了呀，是不是就是这样吗？ 点到平面距离咱们学过呀，所以整体思路就是这样。但是这道题呢，他又没有说 a c 和平面平行，但是哪道题你就知道啊，他一定是平行的，因为不平行这道题咱们是求不了的。好，那直线和平面平行咱们怎么去做呢？我们之前用 向量也讲过啊，是不就是直线和平面的法向量垂直啊。那我们第一步其实就证明 a c 平行于 emn， 那 我们要先求一下 emn 的 发行量，我们把这几个坐标写上啊， a 点坐标，其实因为它的 x 轴就是二零零， c 点坐标它在 y 轴上就是零二零， 我们还需要 m 点坐标， m 点坐标也在 x 轴上就是一零零，我们还需要 n 点坐标， n 点是在 c c 一 上，所以 e 点坐标就是二一二。 到这里你就知道所有这道题我们都能够去解了，那下面我们先来看 m n e 的 发行量，是个发行量吧，等于 x y z 在 这里简写了啊，那么我可以求出来啊， m e， 它就等于一一二，我还可以写一个 m n 等于负一二一。已经看到这里，同学肯定都能够非常快的把这个发行量去求清楚啊，就是 x 加 y 加二倍的 z 等于零， 然后负 x 加上二， y 加上 z 等于零。因为三个位置变量，两个方程，所以我们要设啊，其中一个变量等于一个值，这里你就设简单的啊，令 y 等于 x 等于一的话，那么 y 就 可以求出来，也是一 z 等于负一， m， 也就是法向量就出来了啊，一一负一， 那因为我们要去证 ac 和 emn 的 关系，那我们还要把 ac 再写一下 ac 呢，写完之后就是负二二零，显然它们不平行，那我们看一下是不是垂直， ac 乘以 m 刚好就是负二加二等于零，垂直啊， ac 垂直于反向量，那么 ac 就 平行于平面 emn。 这个因为如果是大题考的话，你一定要写下这些步骤啊，这是证明的过程，但是呢，其实我们在看到这道题的时候就心里非常明确，他们应该是平行的，所以这道题也就转化成了 a 点到 emn 的 距离，点到面的距离是不是就好解了呀， 我直接就写公式了啊， d 就 等于这个，大家啊，跟老师一起写一下，是不是 m a， 你 取其他的也行啊， n a 啊，或者是 e a 都可以乘以它的反向量， 比上反向量的模，当然这个可以取个绝对值，这大家自己往里面带一下数吧啊，最终答案就是三分之根号三，同学们，你看我们在这个系列视频中最重要的应该是什么呢？就是 点到面的距离，这个是重中之重，只要这个你学会了，那么线到面，面到面你也就会了，唯一一个就是点到线的距离公式还需要再重新学一下就可以。好，那这个视频咱们就到这里。
14:07查看AI文稿AI文稿高一数学期末复习之例题，几何端午节假期随便看上那么几分钟，回去证明题思路大开了，哈哈哈，那我们分享一下线面垂直的判定啊，他指的就是一个直线呢，如果想垂直于这个面，那现在他需要垂直于这个面的两条相交直线， 那么这个线就可以判定为跟这个面垂直了。那反过来，如果说啊，一个线呢，他依然垂直于这个面了，那我们就可以得到他跟这个面里的所有的直线全都是垂直的。好吧，好，那我们看一下这立一立一的话，他想让你证明这个 e f 垂直于平面， a c c e a e 来 a c c 一 a 一 啊，这样的一个面。好，那现在 e f 是 不是就得垂直于这个面里的两个相交的直线，对不对？好，那么我的 e f 首先看它能不能垂直于 a c， 那首先这样，它是个正方体，我把这个 d b 如果连上的话，正方体它底下是一个正方形，正方形对角线相互垂直，所以说 a c 跟 b d 垂直，又因为 d b 啊，它跟这个 e、 f 是 不是一个三角形中位线的关系？那这个 e f 跟 d b 平行，它也就垂直于 ac， 对 吧？好的，那所以说我的 e f 垂直于 ac 面里边的谁呢？我们看这个 e f， 它能不能垂直于 a a 一 啊？ 呃，那这个 ef 垂直于 a a 一， 应该怎么去证明呢？啊？它，其实我们可以通过什么？通过我的这个 a a 一， 它是不是因为是个正方体的关系，它垂直于底面 a b c d 吧， 对不对？好，那这个线垂直于底面，这个线就垂直于底面里的所有的线，那 a a e 就 垂直于底面的 e f， 好 吧，好，那现在 e f 垂直于这个平面里的两个相交直线，这件事我们完全正完了啊，那所以说就能够反证明 e f 垂直于这个平面 啊，然后我们再看一下例二啊，例二的话，他想让你证明 a、 d 垂直于平面 b b e c e c 啊，那想要证明他的话，他的上一步一定是 a、 d 要垂直于这个平面里的两个相交直线。首先他 a d 啊，能不能垂直于 bc 呢？ 那这个题当中给你了啊，他说 a b 等于 ac， 这是一个等腰三角形，然后 d 是 中点，那等腰三角形三线合一， a d 垂直于 bc， 很好搞定。然后我们再看我们的 a、 d 能不能垂直于 b e b 啊？ 啊，这个怎么办呢？那我的 b 一 b， 它是不是应该因为是个直角柱的关系，我的 b b 一， 它是不是应该垂直于面？ a b c 啊，垂直于底面，那么 b b 一 就垂直于底面里的所有的线，那 b b 一 就垂直于 a d 了，对吧？好的，那所以说一个线面垂直，又推得了 a d 垂直于 b b 一， 那现在它们两个一起就能够怎么样？哎，推出我的 a d 呢，是垂直于 b b 一 cc 一 这个面呢？ 这两个比较简单的题啊，我们对它进行一个盘点，就是第一件事情，我们想要证明线面垂直，我们要用倒推的思想啊，它的上一步应该是正 线线垂直，对不对？而且是什么？是不是两条线啊？一个线跟两条线都要垂直，那么它这个正线线垂直的这个过程你会发现啊，你看这个题， a d 呢，它有可能是跟，哎，跟这个要垂直的线呢？它是有交点的 啊。然后你看这个 ab 是 不是也有可能跟他要垂直的？ b b 一 有可能他没有焦点，那么有焦点代表了什么？代表是在同一平面，对吧？那没有焦点的话，那就不在同一平面，可能就是异面。那你看，其实如果在同一平面的话，那你看相交相交直线就能确定一个一个平面，那在同一平面内，我们是不是就可以用平面几何的知识 去证明垂直，对吧？那如果说不在同一平面内，那其实我们用的是什么？我们是不是就是啊，想办法去通过什么？通过线面垂直正出要的这个线线垂直啊，那我们现在先说啊，那，呃，平面几何想要去证明线线垂直都有很都有哪些呢？我们盘点一下。那比方说等腰三角形底边上的中线是高 啊，刚才这个是不是三线合一啊？包括我们勾股定律、逆定律，就是说如果给你三边的话啊，那三边的话，如果说是一组勾股数，那么就能得到一个垂直啊，那包括菱形或者正方形，它的对角线相互垂直，那这个也是在同一平面内能够证明垂直的，就像这个利益，对吧？你看对角线相互垂直， 那还有呢，就是直角所对应的角是一个圆周角，那这个也在平面当中也可能能得到垂直关系，对不对？还有呢，就是包括相似啊，全等啊，得到角边之间的等量关系，间接的推出垂直 啊，啊，然后我再补充一点啊，就像刚才这个，你看是不是我们是垂平行，一组平行直线，一个垂直于这个线了，另一个也就有垂直关系了，对不对啊？有点像传递性，我们也能够推得垂直的，那我们现在把平面上的这个推垂直的这些盘点完了之后啊，我们再说意面直线，其实我们在证明线线垂直的时候呢，它其实有可能是 a、 d 垂直于 b、 b、 e 所在的那个面啊，也有可能是 b、 b、 e 垂直于 a、 d 所在的那个面，对不对？就是现在这两个线呢？它谁出面 我们拿不准。但是你可以通过这个题的一个倒推顺序啊，就是你要证的是 a、 d 垂直于 b、 b、 e 所在的面，对不对？这是你要证的。那所以说我们倒推的时候，我们现在在这一步，你想要证明它俩线线垂直于 b、 b、 e 所在的面了，你不是 往这推了吗？对不对？所以说你一定要什么？你一定要是反过来要让 b、 b、 e 哎，垂一个 a、 d 所在的面去证 b、 b、 e 垂直于 a、 d， 然后再拿它去推后面这个条件， 然后我们再看下题型二，证明线线垂直，那立一的话，让你证明 a、 c 垂直于 b、 d， a、 c 垂直于这个 b、 d 啊，那你看啊，因为什么它给你三个中点，那 f、 g 它其实是三角形 a、 d、 c 的 中位线，对吧？ f、 g 跟这个 ac 平行啊，然后我的这个 b、 d 呢？它跟这个 j、 e 是 不是应该也是平行的，对吧？那所以说啊，我们的这个 f、 g 啊，垂直于这个 j、 e 的 话， 是不是就能够证明 a、 c 就 垂直于 b、 d， 对 吧？好，那现在 f、 g 和 j、 e 你 看它们有交点，其实就是在同一个平面当中了，同一个平面当中，我们说想要去证明垂直关系，那你看它还给了，给你了一堆数，对不对？ 那就应该是，呃， f、 g 等于二， g、 e 等于根号五，然后这个是三，你分别平方二的平方加上根号五的平方，再然后这是三三得九，你会发现怎么样？正好满足勾股定律。所以说这个应该是一个垂直关系 啊。好，那所以说我们证明线段垂直呢，如果在同一平面内，我们就用平面几何的知识去证明垂直，好吧，那我们再看这个例二，例二的话，想证线段垂直，让你证明这个 a、 e、 c 是 垂直于 b、 d 的， 你明显看到了，这两个线怎么样？不在同一平面， 对吧？那你看你要用什么方式去证？你肯定要去证明这个上一步啊，应该是 a、 e、 c， 它垂直于 b、 d 所在的面啊，或者是我的这个 b、 d 呢？垂直于 a、 e、 c 所在的面， 对吧？哎，两种情况，那你看啊，我的这个 a、 e、 c 如果垂直于 b、 d 所在的面，那 b、 d 谁呢？看起来像 b、 d、 c、 e 是 吧？呃，有一点好像看起来不是太好正的样子，然后我们再看另一个啊，两个都看完了，再判断选谁。我们如果说 b、 d 垂直于 a、 e、 c 所在的面呢？ b、 d 垂直于 a、 e、 c 所在的这个面，看起来就好正， 对不对？正方体底下有一个相互垂直的关系，先有一组线线垂直了啊，然后再来一个，差不多了，是吧？所以说我们再选择上一步啊，算了，写在这吧。啊，我们的上一步呢，就用这个好不好？好，那你看上一步的话，我们想证 b、 d 垂直于 面， a、 a、 e、 c， 对 不对？你想要上一步证明线面垂直，你这个 b、 d 就 得垂直于这个面的两个相交直线，那再上一步，我的 b、 d 呢？就得是垂直于 ac 啊，那这个很好，正，对不对？它俩有交点，在 a、 b、 c、 d 这个面当中，我们的正方形对角线相互垂直，很好搞定。然后 b、 d 再垂直于什么 a、 e、 a 啊？因为你看你 a、 e、 c、 a 这个面里边，你外乎就这三条线段嘛。你 b、 d 要是垂直于 a、 e、 c 的 话，那怎么样？直接这个答案就让你正出来了，是吧？所以说你肯定不会选择这个线，你选择 a、 e、 a 这个线，然后又因为 a、 e、 a， 你 看着啊，暂且它跟这个 b、 d 没在同一个面当中没有交点，对吧？ 那其实我们就又可以在上一步通过什么？是不是就可以通过我的这个 a、 e、 a 它垂直于 b、 d 所在的面，哪个面啊？是不？ a、 b、 c、 d 面啊， 对吧？进而 a、 e、 a 就 垂直于 a、 b、 c、 d 面里的这个 b、 d 了啊？你在这想证线线垂直，你肯定要挑选一个线去垂直于另一个线所在的面，那你挑选的是谁？你肯定要挑选 a、 a、 e 啊， 对吧？你不能挑选 b、 d， 你 b、 d 再想办法再垂直于 a、 e、 a 所在的面，那不还是刚才我们到这了吗？对不对？所以说我倒推法一定不能跟前面一样，要给它调换过来，好不好？那所以说这个也得正了，那现在他们两个都得正了，这个也得正，这个也得正，那我们这个就得正了，听懂没？好的。 嗯，好，那我们刚才是小试牛刀，我们接下来再来一个这个，呃，相互转化这种需要做辅助线的这种题啊，好，那 b m 啊，让你证明垂直于平面， a、 b、 e、 c 啊，线面垂直，那线面垂直的话，我的上一步应该是我的 b m 要垂直于这个面里的两个线吧，对不对？好，那这两个线你看面上是不是就有 a c 啊， b e c 啊，和这个 a b e 这三条线，你选两条呗， 是不是？当然了啊，有些题当你做的多了之后，你就要先去考虑什么呢？这几个线你会发现全跟 b m 没有交点，没在同一平面内，你就要想就有没有可能我给他做辅助线，研究一个在平面内部跟 b m 他 是垂直的那种线，有没有可能我们要先考虑到，是吧？ 好，那现在我们这个样子啊，既然说想要研究一个跟 b m 同一平面的线，那我们现在是不是这个 m 啊？他已经说了是这个 a e、 c 的 中点，是不是？那我这边我再找一个中点，然后我把这个 m m 撇给它连上，然后 b e m 和 b m 撇，就这个四边形，我给它连上啊，现在这四点是不是应该共面，对不对？然后我再把这个 b e、 m 给它连上，你看起来，哎，如果说他俩是个垂直关系， 是不是就好了？那我的 b m 不 就垂直于 a b、 e、 c 这个面里的 b e、 m 这个线了吗？是不是？这不就把这两个，把这个线线垂直引入到一个面当中吗？那现在你看这个题的一个数据啊， 这个题的数据，它这个意思是，这是个一百二十度，对吧？哎，这一百二十度，这也是一百二十度，那我们画个平面图啊，那现在这个 这个 abc 跟 a 一 b 一 c 一 一样啊，这一百二十度，那这就六十度吧，对不对？那这是中线，那这个这个相等，是吧？好，三线合一，那这垂直， 那他说了啊，他说 ab 等于 bc 等于二倍的 a a e， 那 设这个为小 a， 那 这个应该是二 a， 对 吧？这也是二 a， 然后我们这个就二 a， 然后我的这个 b m 是 不是就应该是 a， 对 吧？那这个 b e m 啊，和这个 b m 撇 啊， bm 平，这不都是 a 吗？这也是 a， 然后这个这个是 a， 然后这个也是 a， 这也是 a。 正方形的对角线相互垂直，果然，好吧，哎，先找到了一组什么线线垂直了，然后我们再来一个啊，那我的 bm 再垂直一个谁呢？ 垂直于这个面里的一个了，是不是？我们接下来你看啊，你看起来这个和这个它俩好像是有点对称，有点相同的意思，是吧？那我们就挑一个有特点的，单一的，这个就是 bm， 看能不能垂直于 ac， 那 bm 想跟 ac 垂，你会发现 bm 跟 ac 不 在同一平面，是不是啊？他是个异面，异面的话他就应该有上一步，就是说其中一个线垂直于另外一个线的所在的面，那你看，你是应该用 ac 垂直于 bm 所在的面呢？还是应该用 bm 垂直于 ac 所在的面？ 你如果说 bm 垂直于 ac 所在的面都得正了，那你 bm 垂直于 ac 不 就怎么样？哎，就能正出来了吗？对不对？好吧，包括你最后要正的是 bm 垂直于平面 abec， 是吧？你这个面里边不是包含 a c 吗？所以说你的上一步，你一定要反过来就是说我的这个 a c 啊，得垂直于我们的 b m 所在的一个平面，对吧？好，那应该是 a c 是 不应该垂直于 b b e m m 一 啊？ a c 想正垂直于这个面，那 a c 想正垂直于这个面的两个相交直线，那 a c 垂直于 b m 一 啊， b m 撇都行啊，不重要啊，那 是不是这个很好证明？因为什么？那你看这是不是等腰三角形三线合一，对吧？哎，这个很好证明啊，然后再来一个 ac 能不能垂直于 m m 撇呢？ 啊？这个的话呢，虽然说 ac 跟 m m 撇有个交点，但是它其实证明呢，并不是利用了平面几何证明的。其实它是利用什么？因为你看这个 m m 撇都是中点，那么我们是不是异正 m m 撇，它平行于 a 一 a， 是 不是？然后因为它这个三棱柱啊，它说了这个 a a 一 垂直于底面，一个棱垂直于底面，那所有棱都垂直于底面，所以它是个直三棱柱，它是个直三棱柱的话，我的 mm 撇它跟它平行，那所以说我的 mm 撇啊，它就应该是垂直于底面 a b c， 那所以说 mm 撇就垂直于底面 a b c 里所有的线，对不对？哎，好，那这个也就得正了，那一两组线线垂直得到了 a c 垂直于这个面， a c 垂直于这个面里的 b m， 那 b m 就 垂直于 a c， 那 b m 又垂直于这个，是刚才我们通过什么，通过这个正方形对角线会垂直得到的，然后它俩在一起，又挣得了 b m 垂直于这个面， 这个就是稍微复杂一点的啊，我们的线线线面垂直，相互转化的证明好不好？那我们再来一个立二啊，立二的话，他想让你证明 c、 e、 m 垂直于 b， e、 d。 那 你看，你是应该拿 c、 e、 m 垂直于 b， e、 d 所在的面，还是拿这个 b， e、 d 垂直于 c， e、 m 所在的面？很显然是前者，是不是你 c、 e、 m。 你 垂直于这个 b、 e、 d 所在的什么？ a、 b e、 b a， 你 垂直于这个面，看起来就好正，是不是因为首先呢？它的上一步，你这个 c、 e、 m 啊， 它首先就这有个等腰三角形，是不是三线合一，它先垂直于这个面里的一个 a、 b 一 了，一组搞定，是不是？你这个 c、 e、 m。 你 再垂一个这个面里的其他一个，哪个呢？那我们往往这种什么所谓的直三棱柱，对不对？它就告诉你 c、 c、 e 是 不是垂直于垂直于底面了，是吧？那它是个直三棱柱，它是告诉你了，所以说 c、 e、 m。 我们想想办法让它垂直于 a、 a 一， 对吧？但是这个的话，你上一步应该怎么去正呢？是不应该我就应该换了啊？我就想办法让这个 a、 a 一 要垂直于 c、 e、 m 所在的面，对不对？那 c、 e、 m 所在的面是什么？是不应该是 垂直于面？ a 一 b 一 c 一， 对不对？垂直这个面，那我们就能推得 a， a 一 就垂直于 a， c、 e、 m。 然后它也搞定了，那这两个都搞定了，那反过来呢？这个就搞定了，是不是？哎，那反过来命题得正，那这也是我们的相互转化的题啊。好，这堂课我们就先讲到这里了，听懂没？
442王喆数学
04:45查看AI文稿AI文稿嗨，宝子们，嗯，就这个宝子说在例题里面啊，关于这个洁面的问题啊，是大家的一个难点啊，就是如何去做出洁面啊，我们其实做洁面的话，我们一般的话是有两种方法，第一，第一个呢是过过这一个啊，这个面上里字的点做平线 常见的啊这两种。第二个呢就是啊，我们可以怎么样啊？延长椅子，椅子面的上的那个线，延长椅子面的线， 椅子面上的线，一般呢有这两种方法啊，嗯，我们来看一下，通过一道题来体会一下这个方法。大家看到这个是我们的高一的一个期末考试的一个卷子上的第十一题， 正三棱柱 a、 b、 c、 d 啊，我把图画在这里画的比较大啊，方便大家看高四四啊贴那些球啊，那些球，这个那些球 o， 然后过 o、 a、 b 三点的平面结，该三棱柱舍得的结面为阿法，那么啊，则第一问，第二问的话啊，我就先不讲，我们来看看 c 啊结面，阿法是等腰梯形，那我必须知道这个结面是什么样子的，那我们来看一下， 嗯，这个首先定位一下他的这个内切球正三楞柱，正三楞柱的话，那么他的内切球，首先啊，内切球的话，他首先他跟各个面相比，要跟上底和下底相切，所以的话，他的这个内切球的球心，我们可以根据他的这个完美的这个正三楞柱，他的一定是在上下底面中心 o 一 o 二的这个中心的连线的中点，这个 o 是 他的这一个啊，内切球的球心好，内切球球心定下来之后，那么过 o、 a、 b 三点的平面， 过 o a、 b 三点的平面，那么跟这个三等柱得到的解面阿法该怎么样去画出来呢？我们看一下，在这个 o， 以这个阿法面，已知的是有 o、 a、 o、 b 和 ab 这三条线，那么我们来看一下，要么是通过做平移线，要么是延长已知面上的线， 那么这个三条线的话，我们去看一看啊，如果我通过做平移线的话，嗯，其实暂时大家可以尝试一下，发现并不好太去想，这时候我们想想我能不能延长已知线，比如说 a o 啊， b o 啊， ab 啊， 那么延长哪一个线呢？因为 o 点是处在这个正上的柱的中心，这个时候我们延长线啊，延长线，不是啊，我把它把它画长一点就可以了，不是的，延长线一定是要寻找，怎么样呢？寻找这个线所在的面， 所在的面的，你这样延长，你才能知道它延长到哪个位置，对不对？好，那么大家看到我们这个 a l a o， 举个例子， a o， 那 么它所在哪个面呢？大家可以看到我们这个啊，这个上下底面是等边三角形的， e f 是 它的这个啊，这个终点，对吧？那么我们可以看到这个 o o e 是 它的这个中心， 那么 a o 就 在这个平面 a e a f e 这个上面，所以的话呢，我们在这个面上，我延长 a o， 那 么我们就会交 e f 为一个点，为 g 点。好，那么这个时候呢啊，我们延长 a o， 交 e f 为 g 点，大家看到 g 点在哪个上面呢？ g 点它在这个 e f 上面，那 e f 在 哪里呢？在这个 b c c 这个啊， b e 这个面上， 所以的话，记点的话，记点的话，他就是在这个面上，大家知道什么叫解面，怎么样化解，就是画出这个阿法面与这个三棱柱的各个面的这个交线，对吧？所以大家可以看到，我现在记点在这个这个面上，而这个 b 点也在这个面上，所以的话我们在这个啊， a、 o b 这个确定的这个平面阿法他与平面 bc 他的这个交线，我们就可以画出来了，那么就是这一条 啊，这条啊，它这个 o、 o 二是里面的线啊，里面的这个点啊，不要，不要搞混了，那么我连接 b g 延长交这个为 k 点， 那么我们已经就画出来这个 alpha 平面与这个侧棱所在的这个啊这个焦点了，同理啊，大家可以看到这个啊，图形呢是一个完美的对称图形， a o b， 它对于这个，对于这个三棱 住的话，它是处于中心位置的，所以它在后面这个面 a、 c 这个面上，它同样的有这样的一个性质，所以它同样可以找到这个点，这个啊 p 点的，同样的可以在后面找到的一样的方法啊，就不重复的去说。 好，那么也就说我们知道了。然后呢接下来 pk 都在上面这个面，我们把 pk 连起来， 那么我们的这个界面就画出来了界面 ar 吧， ar 我 们就画出来了，那么刚才的这个方法的话，我们就是通过延长椅子面上的线啊，然后去得到了这样的一个啊界面 啊，因为呢我们刚才说了这样的一个图形，它是关于这一个 a、 b o 这样的一个，它这个是完美的一个对称图形的，对吧？对，它是一个对称图形，所以它这个 p 和 k 是 关于这一个，是关于这一个啊中线的，它是完美的一个对称的。 那么我们可以知道 c k 比上一个 c b 是 等于 c p 比上一个 c a 一 的，所以的话它就平行 a b， a b 又平行 a b， 所以 p k 它一定是平行 a b 的， 所以的话我们得正这个啊，它这个洁面是个等腰梯形，就是对的啊。好，这个今天主要是给大家讲讲这种做啊洁面的其中的一种方法。好，懂了，宝贝们。
77Tina的三分钟
01:48查看AI文稿AI文稿好，我们在学习完棱锥和一些几何体的内切球公式以后， 我们可以来看一下圆锥的内切球问题。圆锥的内切球公式其实相对来说更简单，我们今天来推导一下。假设一个圆锥它有个内切球，那就代表着这个球心，它到这个各个面的距离依然是一样的，那么我们把它展开， 我们用这个圆锥的轴结面，我们就可以发现圆锥的轴结面中间会有一个最大的圆面，那这个最大的圆面 所对应的这个半径其实就应该是我们球的半径，那么这个球的半径无外乎就是我们轴结面这个等腰三角形的内接圆的半径， 那这个半径我们求一下。利用等面积法，等面积法把它分开以后，我们可以发现啊，这个 abc 的 面积 可以表示为这三块三角形的面积之和，那这三块三角形的面积之和就是 ab 乘以 r 加上 ac 乘以 r， 加上 bc 乘以 r， 再给他除以二， 他就一定会等于我们的 bc 乘以 h， 这个 bc 就是 我们里面的直径， 这个 h 就是 我们圆锥的高。所以我们可以得到一个式子，二， l 加二， r 乘以 r 等于二， r 乘以 h， 所以 r 就 等于 r 乘 h 除以 l 加 r， 其中这个 l 为母线， h 为高， r 为底面半径。
51函数魔导师
05:25查看AI文稿AI文稿好的同学们，今天我们来看一下，嗯，空间立体几何中求点到平面的距离如何去做？我们以这道题为例来大家一起读一下题。 已知 e、 f 分 别是正方形 a、 b、 c、 d， a、 d 和 ab 的 中点 e、 f 交 ac 于点 p， g、 c 垂直于平面 abcd。 那第一问我要证的是什么呢？是 e、 f 垂直于这个平面 g、 p、 c， 我 们证的是线面垂直，那线面垂直。根据线面垂直的定律的话，我们应该是在这个面内找两条相交直线分别和 e、 f 垂直就可以了。 那这我们来看一下，哪两条直线应该是与它垂直的呢？首先 g、 c 肯定是与 e、 f 垂直的，这个很容易找到。另一条的话，是不是这个对角线 d、 b 与 a、 c 是 垂直的？因为 e、 f 是 a d、 a、 b 的 中点嘛，所以说这个时候那 e、 f 就 平行于 d、 b， 所以 说 e、 f 也是垂直 a、 c 的， 那这样我们就把两条相交直线找到了。然后我们来看一下具体的过程应该是怎么去写。首先是因为 g、 c 是 垂直于平面 abcd 的。 二、写上这个 e、 f 包含于平面 a、 b、 c、 d， 这句话我们是不能漏掉的，漏掉的话是会被扣分。所以说这个时候我们的 g、 c 就 垂直于 e、 f 了。 又因为 e、 f 分 别为 ab、 ad 中点， 嗯，所以说 ef 那 就平行于 d、 b， 又因为这个 a、 b、 c、 d 是 为正方形， 所以 a、 c 是 垂直于 d、 b 的。 那么所以我们就可以得出这个 e、 f 也是垂直于 a、 c 的， 因为 a、 c 是 交集 c 于点 c， 同时写上 a、 c， g， c 是 包含于平面 g、 p、 c 啊，所以这个时候我们就能得出 e、 f 是 垂直于平面 g、 p、 c 的。 好，我们接下来看一下第二问是怎么去做。那第二问的话，它是告诉了你 ab 的 长度等于四， g、 c 的 长度是二。 也就这时候让我们去求的是什么？点 b 到平面 e、 f、 g 的 距离。那这个时候我们来看一下，分析一下。这道题的话， 我们临时选择用间隙的方法来做这道题是比较好间隙的，所以说我们直接用间隙的方法做就可以了。那我以 c 点间隙，以 c、 d 为 x 轴嘛，以 c、 b 为 y 轴， 以 g、 c 为内轴间隙就可以了。好，这是我们把他们的需要的坐标斜线，那我们要求的是点 b 到平面 e、 f、 g 的 距离。所以说我们首先要把这个平面 e、 f、 g 的 法向量取出来，让我们来看一下， f 的 坐标的话，应该是四二零， e 的 坐标应该是二四零，然后 g 的 坐标是零零二， 同时我们还需要一个点 b 的 坐标，点 b 的 坐标的话是零四零。好，这时候我们来看一下， e、 f 向量就应该等于二负二零，同时这个 g、 e 向量就应该是二四负二。 ok， 我 们这时候去设平面 e、 f、 g 法向量 为 m 向量，那它的横轴坐标分别是 x、 y、 z， 这是 m 向量。是不是点乘上这个 e、 f 向量就应该等于零，同时这个 m 向量点乘上 g 一 向量，它应该也是等于零的。那这时候我们列式看一看，这个时候是得到二 x 减去二 y 等于零，二 x 加上一个四 y 减去二 z 是 等于零的。好，这时候我们令 x 等于一，就可以解出这个 m 向量等于一一三， 看出平面 e、 f、 g 的 法向量之后，我们就把 b 一 向量同时也写出来，那 b 一 向量的话应该是二 零零的。好，那根据点到平面的距离公式， d 就 应该等于的是 b 一 向量，点成一个 m 向量的绝对值，除以一个 m 向量的摩擦， 这样一代数一算就是上面是二，然后下边的话应该是根号十一，所以这就应该等于十一分之二倍根号十一， 这就是我们今天间隙的方法，求点到平面的距离。好，后续如果大家还有什么想听的或者有疑惑的地方，我们可以在评论区留言。
07:11查看AI文稿AI文稿大家好，我是超越老师，我们再看一下这个第三十三题，前面讲过，如果只是让你正垂直的话，其实还不是很难。正垂直不是很难啊，他往往要结合计算，比如说计算距离啊，计算前面角的二面角啊，陷面角这些就会变得比较难，对不对？主要是有的题他的位置你不好确定啊。我们看一下这个第三十三题， 你看他说是两个矩形，然后又告诉你 ab 等于二倍的 ad， 对， 看到这个你要想的起我们前面讲的啊，就是他长和宽是两倍关系，它里面就有可能垂直啊，你看像这样， 像这样啊，但前提是这个 m 点是中点啊， m 点中点，然后他说 e d 等于根号二倍的 a d， 那 咱们给他把未知数设出来，题目说这个三角形沿着这个 e c 给他折叠过来，刚好落在 m 点，对不对？然后他确实没有提到 m 是 终点。第一个题不要找 一个平面的某条线垂直于另一个平面，对不对？那找谁？我们说要看百顺条件，对，题目中是不是两个都矩形啊？所以这个 d e 和 a d 看着都像百顺条件啊，那我们找谁？我们怎么样？可以随便先试一个。我们就比如说我们找这个 d e， 为什么找 d e？ 其实你想想这个 d e 跟这个什么折叠这个平面也有关系，看到没有，就已知条件里面更多都围绕着他的，是不是啊？所以我们肯定是优先找这个 d e， 对不对？那首先看这个百上条件，这个 d e 是 垂直于 dc 的， 这是第一条，那我要再找一条。对，我们讲过再找一条，你就看还有几条，你看这上面有好多， 有好多，你看 ad， 然后 dmcm， 还包括这个 cb 都可以，对不对？ cb 和 ad 同时是一个意思啊，对不对？那你找谁对比？我们讲过，我们首先考虑找这个，这个能不能找？可以啊，这个能找啊，怎么找？我们来讲一下啊。 你想这个长是二 x， 这是二 x， 那 我只要知道这个长，咱们不就可以用勾股定律吗？对不对？能不能用啊？能用， 你看一下，因为这个这个是垂直的，你看这个折过来，这个是不是仍然是根号二 x 啊？你用勾股，你算这是 x， 这个就可以算出这个长是 x， 你 就会发现它的终点啊。但是我们接着往下走，这边也是 x， 这个就是根号 x， 所以 这个就算出根号二 x， 对 不对？这就是勾股定律。看到没有？这是我们 正垂直里面非常常用的，只要知道线段的长度或者它的长度关系、比例关系，就能用勾股定律啊。这第一个啊，第二个就是如果你没找到这个 dm， 对 不对？那你能不能找 cm 呀？可以，我们讲过垂直里面最常用的是一个二次垂直， 这个 d e 和 c m 它怎么样？它没有连在一起，所以我们要证明 c m 是 垂直于包含 d e 这个线的某个面，然后就得出 c m 垂直 d e 了，对不对？那哪个面你一看是不是就这个 d m e？ 对， 为什么？因为这个里面又有一个百分条件，因为这个 c m 垂直于 m e， 它折完之后它的角度是不会变化的，对不对？然后我只要知道这个 c m 垂直于 d e 是 不是？怎么？这还是刚才这样， 你只要算到这个是 x， 它是终点了，然后就稍微写一下，这就垂直了，看到没有？我就不讲了，是不是这样的？第一个是不是就正道了？我就不讲了啊？两个方法都可以用勾股定，你用二次垂直都行啊，我们再看下一个啊，他说告诉你 ab 是 二，那我们这个 x 全都是一了啊，那那那就，那就给他改掉啊。 然后让你去求这个 b 到这个平面做投影，或者说 b 向这个平面 做垂线那个垂足。首先你要找到啊，通过我们前面第一问的计算，这两个是相等的，他其实一个等腰直角三角形，他的那个斜边刚好在这个平面上，那他的那个投影在什么地方？这个你要知道啊，我们可以拿这个比比一下，你看 比如说我这个平面就是这个 emc 这个平面，你看一个等腰这样靠在这对斜，在这，这个的投影的位置大概在哪？你想一下，你正面做垂线过去， 咱们根据对称性你可以想一下，他是不是一定会过这个斜边的中垂线的那个上面去看懂了吗？是不是这样的？所以他的投影大概在哪？就是要过这个点，看到没有过这个点做一个中垂线啊，我们给他连一下啊，为了好做，因为这是垂直的，我们就怎么把这个连一下，看到没有？然后延长 准备连好啊？延长，延长，延长，是不是这个地方你把它做出来，就会在这个地方，我们还是要拿出一个辅助平面图帮助你理解啊，辅助平面图是非常非常重要的，比如这个点，我们给他 给他取一个，这叫 p， 对 不对？这叫 q， 对 不对？他的那个图大概就是这样的，你看这就是，这就是 q， 然后这个点就是 p， 看到没有？然后你延长之后，他的那个垂轴就会落在下面，对不对？落在下面，比如这个叫 o 啊，然后这个地方叫 b， 看到没有？是不是这样的？你是要算这个高，对不对？算这个高，首先这个长度你不知道这个，也不知道对不对？但是这个题你这个长和这个长都能算，包括你把这个的连线 连起来，是不是要在这个三角形里面把这三个解出来，然后你就可以算出这个，这个可用余弦定，你算出这个扩散一 c 塔，看到没有？然后在这边扩散 c， 这是扩散一 c 塔，这是扩散 r 法，再去算这个三 e r 法，然后就可以算出这个了，看懂了没有？ 长度，你看这个长度在这啊，算一下这是不是二分之根号二，你看这是二分之根号二，然后这个长，这个长是它中位线啊，这个长是二，然后所以这个长是不是一，对不对？然后这个长怎么算啊？我们这个地方有点看不清啊，我们来在这个上面算啊，就是 这个长不是一吗？看到没有？然后你在这个地方中点往下做一个垂线，看到没有？这个长是不是也是一？这个 q b 啊？你去连一下它其实是一个相当于相当于以这个 b q 为对顶的那种长方体的一个位置，看懂了吗？我就不画了，这个画画乱掉。你想一下啊，你想一下，你看这个长是根号二，然后再做这个长是二分之根号二，看到没有？是不是？所以他就是 你看二分之根号二的平方加上这个边的是不是一的平方？再加上这个边的平方，看到没有？是不是一的平方？开根号就是这个长啊，就这个长。 然后剩下的我就不讲了啊，因为这有更好的办法，我只是教你怎么找这个位置，这个位置你要学会找，有的题要找这个位置，不然的话你做不出来啊，这个题有更好的，对不对？我们刚刚说的，你看这个题麻烦，就是找这个位置不好找，对不对？那我能不能不找这个位置？因为我只要求这个距离，对不对？你在哪 不重要，这个时候我们就要利用到一个很重要的知识点，叫什么叫等体积法求高还记得吗？所以我们最好的办法是什么？就是这个 v e 杠，什么 m b c， 它是等于 v， 然后 b 杠，什么 e m c， 这个体积很好算的，你看它等于二分，三分之一乘以底面积，就这个小面积啊，等于二分之一乘以 一，一乘以一，再乘一，对不对？然后再乘一个高，高就这个再乘以根号二，对，他等于在另一个，是不是三分之一乘以这个三角形的面积？其实就这个三角形面积看到没有？那就是二分之一乘以一个二，再乘以根号二， 对不对？然后再乘以那个 h， 就是 我们要求的，看到没有？是不是？等底求高最简单？然后你去约分啊，去约一下， 全部约完了，是不是这样的？那最后 h 刚好等于二分之一就做出来了啊？你如果有兴趣，这个你也去算一下啊，看它是不是二分之一去试一试？我就不讲了啊？这个题我们就讲到这啊？
12超越数学
09:15查看AI文稿AI文稿好，我们现在复习的是第八章的立体几何。首先我们来看一下表面积和体积它对应的公式，那我们首先会把它分成四大类，第一类是柱体，第二类是锥体，第三类是台体以及第四类是球体。 对于表面积，就是把各个面的面积，底面和侧面所有的面的面积加在一起，就是我们的表面积，那对于圆柱来讲，它特殊的是，因为如果我们已经知道了半径和高，那圆柱的表面积就可以直接去带进去求值， 有对应的公式，等于两个底面，两个圆 pi r 方，然后再加上侧面展开，对应的是一个长方形。二， pi r 乘以高以及我们柱体， 它的体积公式的话，就等于底面乘以高。那么对于特殊情况下我们的圆柱来讲，那它的底面呢？就是 pi r 方乘以高。第二个锥体 像圆锥，如果我们把圆锥展开的话，那么它实际上就是一个扇形，扇形的面积就等于派饵料， 我们确定了它的半径以及它的母线，或者说知道它高，三个里面知道两个勾股定律，就可以求另外一个。所以圆柱它的底面 pi r 方，再加上侧面 pi r， 要以及我们锥体的体积， 不管是棱柱还是圆柱都会符合的。锥体的体积那就等于三分之一底面积乘以高，所以特殊的圆锥 带进去等于三分之一底面 pi r 方乘以高。第四个我们的台体台体， 那么就是上底面的面积加下底面的面积，再加上侧面的面积。特殊的， 如果我们已经知道了上底面下底面的面积，上底面的半径，下底面的半径以及它的高和母线的话，那么我们可以直接带进去求解圆台的表面积。 pi 而上的平方再加上 pi 而下的平方，再加上 pi 而上乘以母线， pi 而下乘以母线，这个可能不常考，但是要需要背一下，那我们首先啊，这个知识点可以扩展一下，比如说我把这个提出来， 那比如说我们说啊，这四个条件如果单单知道 高，或者说单单知道母线去求另外的怎么办呢？半径如果也确定的话，我们可以直接去做垂直下来， 那么这一段的长度就可以用嗯而下减去而上的差的绝对值，那么这一段的长度是 h 勾不定理 啊，三边就可以直接确定啊，四个里面知道三个，那么另外一个就可以求。所以像我们的圆台的体积，台体的体积呢，它有对应的公式，就等于上三分之一的 上底面的面积加下底面的面积，再加上上底面和下底面面积乘积。开根号这个整体乘以我们的高，直接带进去的话，原材的体积也可以出来 三分之一的 pi 而上的平方加 pi 而下的平方，再加上根号下开完之后就是 pi 而上乘以而下，这个整体乘以我们的高， 所以如果只给了半径和母线的话，高，实际上我们也是可以通过这一个来求的。第四个关于球的话，球一般情况下他可能会，如果已经确定好半径，那么关于他的表面积，球的表面积 就等于四 pi r 方球的体积就等于三分之四 pi r 的 立方。那我们就小结 第二个内容，就是我们线面点线面之间会有什么样的位置关系呢？首先第一个线线之间的位置关系， 我们可以先分成两大类，第一个它共面吗？第二个它是否异面？如果共面呢？共面我们又可以分成两种，要么平行， 要么相交。在一个平面内，要么平行，要么相交。如果不共面，那么它们就是异面直线。 我们还有一个知识点，就是啊，如何去确定一个平面呢？确定一个平面的本质，根据我们基本事实的一二三可以得到。那么我们之前如何去确定一个平面？它的本质就是不贡献的三点 可以确定唯一的平面， 那比如说我们现在，呃，我们知道任意的两个点，两点可以确定一条直线啊，比如说现在有两个点，我们如果第三个点不在这条直线上的话，那么就是有且只有 能确定唯一的一个平面，那我们，嗯，其他的什么平行直线可以确定一个平面本质也是一样的。两条平行直线，那么在任意在一条直线上可以取两个不同的点，在另外一条直线上再取一个点，那么也是本质上 不共线的。三点可以确定为一的平面以及相交直线啊。相交直线，除了交点以外，另外两条直线各取一个不一样的点，那也是不共线的。三点可以确定为一的平面，其实都是一样的，所以 如果能平行或者相交，它实际上都是共面的，那除了平行和相交，那么这种情况就是我们的异面直线。异面直线，举个例子，我们比较常见的就是我们的长方体，什么样的会是异面直线呢？ 比如说这条直线，我们正常来讲这个是不是肯定跟他是异面的？因为他既不平行又不相交，以及这条直线也是跟他是异面直线。还有吗？ 第二个线面之间的位置关系。直线与平面有多少种位置关系呢？第一个线与面相交一种， 第二个线在面内，那么他们就会有无数个交点，这个就是只有一个交点，线在面内 无数个交点以及线与面平行，那么它就零个交点， 线面只有这三种位置关系。第三个面，面之间的位置关系。面与面之间，第一个面与面之间要么平行，没有任何的交点， 要么就是相交，会有一条公共直线，那么公共直线直线实际上就是我们的点集，那么它就是有无数个交点。
1椰子数
11:11查看AI文稿AI文稿求点到平面的距离呢，也是立体几何当中非常常考且重要的一个题型，很多同学觉得这个距离难计算，是因为他不知道这个距离如何去求解，或者说他不知道哪种题型对应哪一个答题方法。 但实际上呢，只要我们掌握他的一个答题方法，这就是非常常规且模板化的一个题型。那今天呢，我们就一起来梳理一下求点到平面的距离， 他的一些解析方法以及我们的常用方法。首先呢，就是求点到直线的距离公式呢，有向量法，等体积法，几何作图法，线面平行转化法以及 比例转化法，就涉及相似分点的时候会用它，那我们一般常用的呢，就是向量法以及等体积法。那今天我们一起来梳理一下这两个解析方法。首先等体积法，它是用于无垂直、不好间隙，侧面三角形面积好球的几何体， 比如能锥、斜楞柱。然后它的核心是什么呢？就是同一个三等锥换底换高体积相等，比如说就是 v， 它等于三分之一，然后呢我们找了其中的一个面，为这个第一个底， 然后它对应的高即为 h 一， 然后这个三等锥的体积我又可以用另外一组去表示，就是三分之一，找了另外一个底底二， 然后再乘以 h 二，那通过这个等式就可以解除我们想要求的这个点面距离，也就是其中的某一个 h， 就是 这个点面距离。那接下来我们来看一下这个具体的题目， 这个第一题，首先第一问证明线面平行，可以通过借助中位线来证明线面平行是比较简单的，我们就过啊，主要来看一下这个第二问，第二问的话是求这个 b 一 到平面 a 一 bc 一 的一个距离，那我们先找一下这四个点，首先这个是 b 一， 然后 a 一、 b、 c 一 四个点呢，是可以构成一个三等锥的。然后在这个三等锥当中，我们观察一下前面的这个已知条件，首先呢就是侧面 b、 c、 c 一 b 一， 然后 a、 b、 b、 a 均为正方形， a、 b 等于 b， c 等于一角， a、 b、 c 等于九十度点， d 呢是棱 a、 c 的 一个中点，那根据现有的已知条件，那我们可以知道这个三等锥，假如说我底去选择这个 a 一 b 一 的话，它的高是不是就 b b 一， 那很明显就可以算出这个三等锥的一个体积，而我们要的是谁呢？ 要的是 b 一 到这个平面 a 一、 b、 c 一 的一个距离，那如果说我设这个距离为 h， 那 则首先我根据等体积法，是不是可以去计算这个三等锥的一个体积，然后体积呢，我写到这就是 v， 我 们先以这个 平面就是三角形 a 一 b 一、 c 一 为底的时候，它就是 b 杠 a 一， b、 c 一， 然后等于 v， 我 们要求到 b 一 到这个 a 一 bc 一 可以这么去表示，然后呢再把它展开，第一个呢就是三分之一乘以 s， 三角形 a、 e、 b、 e、 c、 e 再乘上一个，那这个高就是 b b、 e， 然后这边呢就是三分之一 s， 三角形 a、 e、 b、 c、 e 乘上一个 h。 好， 那我们现在呢就是需要分别计算这两个三角形的一个面积，首先因为这个 abc 等于九十度，所以说呢，我们就可以直接得到这个三角形， a 一 b 一 c 一， 它的一个面积等于二分之一，乘以一乘一等于二分之一，然后 b、 b 一 呢是等于一的，接下来我们算这个三角形的面积。好，来这里观察一下我们 a 一 b、 c 一 这个三角形，那有已知条件呢，可以得到，它呢是一个等腰三角形，因为这个 a 一 b 等于 bc 一， 然后呢又因为 d 是 它的一个中点，所以说这个面积也是相对好算的。那首先呢，我们可以算出这个就是 a、 e、 b， 它呢是等于 bc 一， 就等于根号二， 然后呢， a、 e、 c 一 是等于 ac， 是 等于根号二的，那么呃，因为 d 是 中点，所以说 a、 e、 d 就 等于二分之根号二。接下来我们就是比如说我要算它的这个高高的话就是 b、 d 了。 呃， b、 d 是 垂直于他的吗？ b、 d 呢，就等于这个根号下根号二的平方，减去二分之根号二的平方，然后就等于二分之根号六。所以说 s 三角形 a 一 b、 c 一， 它的一个面积就等于二分之一乘以 a、 c 一 根号二，再乘以二分之根号六，那就等于二分之根号三。 好，我们现在回带回去这里呢，就是等于三分之一乘以二分之一乘以一，然后等于三分之一乘以二分之根号三，再乘以 h， 从这里我们就可以解出 h 它是等于三分之根号三的样子的话，我们这个距离就求解出来了，这呢就是等体积法。 所以我们再来回顾一下等体极法他的一个做题要点。首先呢，就是适用于什么呢？无垂直、不好间隙，侧面三角形面积好求的几何体，注意一定是侧面三角形，我们里边的三角形面积好求，比如说这个棱锥、斜楞柱等等。然后呢就是 去表示这个三等锥的一个体积，通过这个等体积法，然后找到这样子一个公式，我们就可以解出这个 h 了。好，那我们这个方法就先讲到这，接下来的话，我们再来看一下这个向量法如何去求解。首先向量法呢，就是已知平面 法，向量就是求的是点到平面的距离的那个平面的法向量 n 向量，它呢是等于 x， y， z， 比如说我们已经算出来了，然后呢知道平面内任意点 p 零，那则代求的那个点啊，就是求点到平面的距离，是那个点 p 到平面的一个距离，然后那距离公式呢，我们 d 就 等于谁呢？就等于 p 零， p 向量乘以法向量的数量积，然后再除以这个法向量的一个周长就可以了。然后什么意思呢？就是说向量法去做的时候，是要先求那个平面的法向量，然后在平面内正取一点这个 p 零，和我们平面外的那个点 p 连线构成一个新的向量。然后呢接下来就套公式， d 等于 p 零， p 乘以这个法向量数量积的绝对值处一定要加绝对值，再除以这个法向量的魔长就可以了，它呢是用于就是能够间隙坐标齐全的。这个呢，我们是首选高考首选间隙的这个啊，好，那我们来看一下这个第二题。第一问呢，证明线面垂直我们也是比较好正的，那我们这里就不正了，主要来看一下这个第二问， 要问的是，若异面直线 p b 与 c、 d 所成角为三分之派，求点 b 到平面 p c、 d 的 一个距离。首先我们来观察一下这个已知条件，在四等锥 p 杠 a b c d 中， p a 垂直平面 a b c d a b 垂直 a d a d 平行 b c a b 等于 b， c 等于二， a d 等于四 啊，那因为这里有很多垂直，它是比较好间隙的，所以说呢，我们就直接间隙，间隙的时候呢，就是尤提呢，我们就以这个 a b 为 x， 这个呢为 y， 这个呢为 z， 接下来要写点的坐标，那在写点的坐标的时候呢，会发现我们这个 p 点的坐标无法去写，但是呢，前面有一个已知条件，一面直线 p b 与 c d 所成角为三分之派，所以索性呢，我就设这个 p a 的 长度为 n， 这样子的话，那我们建好系之后，写下对应点的坐标， b 点坐标呢，就是 二逗号零零，然后 c 点坐标二二零，那么 d 点坐标就是零四零，然后这个 p 点坐标就是零零这个 n。 接下来那我可以得到 p b 向量 它的一个坐标，注意 p b 向量的坐标是后减前就是 b 点减去一个 p 点的，所以它呢是二零负 n。 好， 然后再写一下 c d， 他的一个坐标呢，就是负二二零。然后因为 p b 与 c d 所乘角为三分之派，所以说呢，我们 cos 以三分之派，就是根据 e 面直线所乘角的那个公式啊，等于这个 p b 乘以 c d 数量基础一定要加上绝对值，因为向量向量加角是零到派，而 e 面直线所乘角是零到二分之派，所以这里一定要加绝对值啊，再除以 p、 b 向量的模长，乘以 c、 d 向量的模长，那就等于。 好，我们算一下，上面的话是这个负四的绝对值，然后除上一个 p、 b 的 魔长就是四，加上一个 n 平方，再乘上一个 c、 d 的 魔长，四加四。然后呢， cosine 三分之派等于二分之一，然后给它进行一个求解，那我们这里解出来 n 平方呢，就等于四，注意，因为这个 a p 的 长度我们设的是 n， 所以 说这个 n 在 这里是大于零的，那么 n 就 等于二，所以 p 点的坐标呢，就是零零二。接下来我们求 p 到平面 p、 c、 d 的 一个距离，那首先是需要求这个平面 p、 c、 d 的 一个法向量的，那法向量的话，那我们在求解的时候，就需要先求出 p、 c 向量的这个坐标，二二负二，然后 p、 b 向量的坐标，它就等于二零负二。然后设这个平面 p、 c、 d 的 法向量 n 向量，它的坐标呢是 x、 y、 z， 那 则我们法向量呢，是与这个 p、 c 向量垂直，随数量计为零。法向量同时它也与 c、 d 向量垂直，随数量计也等于零。那我们带回去 乘以 p、 c 的 话，就是二 x 加上一个二 y 减去一个二 z 等于零，然后乘以 c、 d 的 话就是负二， x 加上一个二 y 等于零。注意，我们这里写的时候呢，你可以先稍微化解一下这个式子，下面呢很容易得到 x 等于 y， 上面呢就是 x 加 y 是 等于二 z 的， 所以我就令这个 x 等于 y 等于 z， 所以 z 呢就等于二， 从而我们可以得到这个法向量呢，坐标就是一一二。接下来我们设这个点 b 到平面 p c d， 距离为 d， 则这个距离 b 呢？怎么套公式？首先就是平面外的这个点 b 与平面内的其中某一个点连线构成的向量，因为前面已经算了这个 p b， 那 我们就直接用 p b， 那 就 p b 向量乘以这个平面的法向量 n 向量，然后再除以法向量的一个模长，我们给它带回去，它这里相乘的话，就是绝对值里面二 减去一个四，再除以法向量的模长根号下一加一加四，然后就等于 三分之根号六，这样子的话我们这道题就完成了。那我们再来总结一下这个向量法求点到平面的距离，它的一个公式呢，就是首先我们需要算出这个平面的法向量 n， 然后就是平面外的这个点 p 与平面内任意一个点 p 零，先组成一个新的向量 p 零 p， 然后求出法向量，之后呢就是这套这个距离公式 d 就 等于 p 零 p 向量与法向量数量积的绝对值， 再除以这个法向量的模长就可以了。这个公式呢，一定要牢记，这是属于套公式的一个题型。就以上两种，等体积法以及向量法是咱们求点到直线的距离 必须掌握的两种方法啊。那今天的话我们就先讲解到这里啦，大家如果有什么还有什么其他想听的知识点可以在评论区留言哦。我是博老师，那我们下期再见，拜拜。
01:59查看AI文稿AI文稿就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。
1.3万数学王超子老师
07:34查看AI文稿AI文稿今天给大家通过纯几何法来给大家讲解一下今年全国一卷的这道高考大题，同时呢也给大家分享一下关于线面平行辅助线的找法，以及线面距离的解析思路。第一问，在直三棱柱 a、 b、 c， a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度，也就是这个角是九十度，那么上面也是 ac， 等于 bc， 那么这意味着这个值三棱柱的上下两个底面的三角形是等腰直角三角形 d、 e 分 别为 a、 c、 a、 b 和 a、 c、 e 的 中点。那么第一问，证明 d、 e 平行于平面。 b、 c、 c、 e、 b e。 以前就给大家讲过关于找辅助线的问题，现在要证的是线面平 行，那么我们一般要通过线平行于线来证明，那么也就是我们要在平面里找到这条和已知直线平行的线，那么这条线怎么找呢？看啊，一般我们表示一个平面要么用四个字母，要么用三个字母来表示它，那么这个平行线，这个辅助线啊，就可以从这些字母里边来下手。那么 这几个字母怎么来去找呢？一共有四个，那么你就看这个四个字母里边和你要证明的这条线 d、 e 有 哪几个点和他们是在一个直线上的。根据图我们就可以看到 a 这个 e 和 c， e 是 在 a、 c、 e 这个直线上的，而 d 和 b 是 在 a、 b 这条直线上的，那么我们就又找到了这个点，这个连线的负直线就是 c、 e、 b。 第一问，证明连接 c、 e、 b 由提至 d、 e 分 别为 a、 b、 a、 c、 e 中点，所以 d、 e 平行于 b、 c、 e 的 中位线，又 d、 e 不 属于平面。 b、 c、 c、 e b e b c e 属于平面 b c c e b e 这两个步是在写证明过程当中的时候不能遗漏的，也就是其中一条直线不属于这个平面，并且它平行于属于平面的一条直线，所以我们就可以得出结论， d e 平行于平面 b c c e b e 然后提问我们就做好了，接下来我们来看第二问。 第二问给大家写一下关于线面角以及这个线面距离的问题，先写一下解析步骤。第一步，我们已知条件里边有一个 d， e 和平面组成，角为四十五度，我们肯定要先找到这个线面角，也就是找到线面角的平面角。 第二步，利用边长关系确定值。 什么意思呢？因为已知条件里面我们只知道一个能长 c c e 的 值，而不知道另外的其他我们需要的这个。然后第三步就是求线面的距离了， 这是三个步骤来，我们开始做这道题，现在我们由一，我们现在发现缺少已知条件，什么已知条件呢？就是我们要找到这个线面角，我们要先把它找到，根据我们的观察，在这一个值三棱柱，那么我们取这个中点连接起来， 取 f 点，取 a， c 中点为 f， 然后连接 f， e， f， d 由提及 e 直 d f 平行于 bc 角 a， c， b 等于九十度可以得到 bc 垂直于 a， c 在 直三棱柱中， c c e 垂直于底面 a b c b c 垂直于 c c e。 因为 a c 交 c c e 于 c 点，所以 b c c e a e 由 d f 平行于 d c 得 d f 垂直于平面 a c c e a e 所以 角 d e f g 直线 d f 于平面 a c c e a e 所成角， 即角 d e、 f 等于四十五度。接下来就是利用边长关系，我们来确定这个边需要边长的值。 e f 为三角形 a c c e 的 中位线， 则 e f 等于二分之一的 c c、 e 在 直角三角形 d f， e 中 角 d e， f 等于四十五度，则 d f 等于 ef 等于 e。 接下来就是第三步，我们要确定这个线面的距离了，因为 d e 平行于平面 bc c e b e 直线 d e 到平面 b c c 一 比一的距离 等于 d 点到平面 b c、 c 一 比一的距离 右 a c 垂直于 b c a c 垂直于 c c 一， 并且 b c 交 c c 一 于 c 点，即 a c 垂直于平面 b c c 一 b 一 d 为 ab 中点 d f 平行于 bc， f 为 a c 中点点 f 到平面 bc c e b e 距离的距离 为 fc。 然后我们在上面写一下，还是第二步啊，这个地方我们把它擦掉。 由 d f 等于一， d， f 等于二分之一的 bc， 得 bc 等于 bc 等于 bc， 所以， 则 ac 也等于二 f 为 ac 中点， 所以，则 f c 等于二分之一， ac 等于一，即结论，直线 d e 到平面 b c c e b e 的 距离为一。好了，同学们，今天这道题就这样，拜拜。
63高中有数
16:07查看AI文稿AI文稿今天我们讲立体几何中五种距离问题，点线距、意面直线距、点面距，线面距、面面距。一个视频全讲到， 我们先讲一下点线距，这个很简单啊，就是过空间当中的一个点，他往这个直线上去引一个垂线段，那么这段长就是点线距啊。比方说这个立一，他说让你去求点 b 到这个直线 a、 c、 e 的 距离啊，那我们就演一个垂线 h、 b 啊，那么这段长呢？就是我们要求的距离，对不对？好，那么这段长具体应该怎么求呢？这里我们可以看得出来，就是我的这个 c、 e、 b 啊，它跟 ab 是 不是应该异正是个垂直关系， 对吧？那我们的三角形 a、 b、 c、 e， 它应该是个直角三角形，那所以说我们的三角形 a、 b、 c、 e 的 面积，它可以等于二分之一底，乘以个高， 对吧？哎，又可以等于什么呢？就是二分之一，我们的以 a、 c 一 为底，然后再乘以这个 h、 b， 那 也就是我们要求的这个距离啊，我连它为 d， 好 吧。嗯，好，那么现在看啊，我们重点是 ab 应该等于多少？ ab 棱长是一， 对吧？好，这两个二分之一约调啊，就能够得到那一，再乘以 bc 一， 那这是正方题一，一，这是根号二，对不对？ 应该就等于来 a、 c、 e， 怎么求？ a、 c、 e， 它是直角三角形 a、 b、 c、 e 的 一个斜边，对不对？根据勾股定律，这是根号二，这是一 啊，他方加他方啊，也就是说我的一的平方加上根号二的平方，应该就等于 a、 c、 e 的 平方，对不对？进而得到我的 a、 c、 e， 应该等于根号三倍的 d， 那 我们就能得到 d， 就 应该是等于根号二，比上个根号三，也就是三分之 刚好六，好吧，然后我们再说意面直线的距离啊，什么叫意面直线的距离呢？就是他在两个不同的面当中各有一个线，对不对？好，那现在啊，来，首先那这是一个 a， 这是一个 b， 他 俩好像在不同面内，对不对？我问一下大家， ab 能不能平行平行， 他是不是就在一个面里了，对不对？所以说我们的意面直线呢，是各在一个面内，并且我的另外一个线呢？啊，来，跟这个线他是不平行的一个关系。那么他们之间怎么确定距离呢？我们定义上说啊，就是说我的 a 所在的平面跟 b 所在的平面之间的距离，就可以作为这两个意面直线间的距离。 或者怎么理解更好理解？就是大家见没见过那个路标啊？我们有的时候在十字路口上，比方说是什么长安路啊，啊， 然后呢？哎，往这边指可能是一个什么长江路啊，好吧，那其实这两个路牌的一个方向啊，一个往这边，一个往这边，他其实就是所在啊，两个不同面当中的两个意面直线啊，那么这两个意面直线的距离呢，其实就可以看作是从这到这的一个距离， 能理解吧？所以说我们现在就要想办法去找一个线，什么样的线呢？就是它既垂直于这个线，又垂直于这个线，这个叫公垂线啊，也叫公垂线段啊，那其实一面直线的距离呢，就是这两个一面直线的公垂线段长。好吧，好，那我们现在看例一， 例一他说这个 s 是 矩形 a， b， c d， y 的 一点， s a 垂直于 bc， s a 跟 bc 没有交点，但是啊，我们根据什么呢？根据这个 啊，垂直的一个传递性啊，什么叫传递性呢？就比方说这个跟这个垂直了，然后这个还跟它平行，那这个就应该也跟这个线是个垂直关系。好吧，那所以说我们现在呢，你看我的 s a 跟 bc 是 垂直的，那 s a 应该跟 ad 是 不是应该也垂直？因为 ad 跟 bc 是 平行的呀， 对吧？那所以说我们这个角它是个直角，对不对？好，那么再看 b s 垂直于 c d， b s 在 这， c d 在 这，你看又是没有公共点，但是 c d 跟 ab 平行啊，我可以说它俩是垂直的，没问题吧？所以说这个角它也是个直角。 然后再往下看 s a 与 c、 d 所成角的大小， s a 跟这个 c、 d 所成角的大小一样道理，它俩虽然说没有公共点，但是呢，我们空间当中的角啊，其实可以平移的，对不对？我们 s a 跟 c、 d 所成的角，其实也就等于 s a 跟 b a 所成的角，对不对？也就是这个角 啊，也就是角 s a、 b 啊，这个角呢，为三分之派。然后他又说了 s、 d 跟 bc 所成的角，那把这个 bc 平移过去，那是不是就是说我的角 s d、 a， 它应该是六分之派，也就是三十度，对吧？好，然后呢，他说了 s a 等于一啊，让你分别求直线 s a 与 s d 啊，那他俩肯定是个异面，直线间的距离我们一个一个来。 首先 s a 跟 c、 d 这两个意面直线，我们就要找一个他们的公垂线段啊，既垂直于 c d， 又垂直于 s a， 那 我们现在看公垂线段是谁啊？是不是就这个 a d 对 不对？ a d 垂直于 s a 刚才说了 a d 跟因为是矩形，是不是垂直于 c d？ 所以 说现在啊，我们的 s a 与 c d 之间的这个距离，我们令它为 d e， 这个 d e 应该就是 a d 的 长，是吧？啊？然后再根据这是三十度，这是一个垂直，然后刚才呢，说了 s a 这块得一，那这是二，那这是不是应该是根号三，对吧？哎，好，第一个距离是根号三， 然后我们再看下一个距离，下个距离就是 s b 跟 a d 的 距离， s b 跟 a d。 啊，那我们就得找他俩之间的公垂线段了，是不是？你看 a b 的 话是不是跟 a d 相垂直，并且 a b 的 话还跟 s b 相垂直，所以说我们的这个他们俩之间的距离，我令他为 d 二， 这个 d 二其实就是 ab 的 长，对不？ ab 说了多长？没有？没有，还是根据这个 s a 等于一，这是个六十度，那么这个其实应该啊，等于二分之一，是吧？所以说 d 二的距离也就找到了。 然后我们再说一下点面具啊，点面具其实很好理解，那一个点，它往面这做一个垂直于面的垂线段，那么这段长呢，就应该是点面具好不好？那么我们具体的题当中啊，看这里，他说 ab 是 圆柱的一条母线，那说明 ab 是 不是垂直于底面，对吧？ bc 呢，是它的一条直径，那直径呢？这里有一个 d 点，那直径所对圆周角是直角，是吧？先找到一组垂直关系再说， 然后他说 ab 等于五， bc 也等于五啊， cd 等于三啊，啊，那 b d 得四呗，是吧？好，他让你求这个 b 到平面 a、 c、 d 的 距离， b 点到这个面的距离，那我觉得 b 点往这块引一个垂线段，是吧？哎，那垂足到底在哪呢？ 不知道，所以说具体的做题的过程当中啊，有的时候我们不会无缘无故的给你出现一个垂足，我们要先去什么呢？就假如说啊，你这边搞了一个 bh 吧，比方说啊，就是 bh， 假如说它是垂直于 a、 d、 c 这个面的， 那是不是我还需要去证明线面是垂直的，那是不是我还需要 bh 要垂直于 a、 d、 c 面上的两个相交直线， 对吧？好，那么所以说啊，我们有的时候在找找垂足的时候，我们要优先的去尝试，就是过 b 点呢，我如果往这个线程的直线上先做一个垂线段啊，垂足 h， 假如说在 a b 上，那么现在我是不是就先有了一个就 b h 先是垂直于 a b， 对不？然后我这个 b h 呢？如果再垂直于 a、 d、 c 面里边的硬另一条直线，是不是我的 b h 就 垂直于这个面了啊？那我 b h 就 理所应当就是，应该是什么是垂线段啊？它的长度应该就是距离了， 那么我们再看 b h 能不能垂别的呢？那这里还给了你个垂直关系，对不对啊？我的 c d 垂直于 b d， 然后这还有一个 a b 垂直于底面，好吧，那我现在先这样啊，我现在因为 c、 d 垂直于 b、 d， 这个我们能得到啊，然后呢？又因为我这个 a、 b 呢？它是不是垂直于呃， b、 c、 d 这个面吧， 对不对？那进而是不是能得到 a、 b 垂直于这个面里的所有的线，那 a、 b 应该垂直于 c、 d， 没问题吧？那反过来，也就是说我的这个 c、 d 也就垂直于 a、 b， 那 这个也得到了，那 c、 d 就 垂直于什么 a、 b 和 b、 d 所在的面，也就是 abd， 对 不对？好，那就得到了 c、 d 垂直于 abd 这个面，那 c、 d 也就垂直于 abd 面里边的所有线垂直于 b h， 那 c、 d 垂直于 b h， 是 不是就也垂直于 c、 d 啊？那 b、 h 垂直于 c、 d， 还垂直于 a、 d c， 那 其实 b、 h 也就垂直于面 a、 d、 c 了，是不是？ 好，那么我们现在做的这个 b、 h 啊，果然就是我们要的这个什么。哎，就是点到这个面的一个垂线段，也就是距离的长度，那现在我就变成了去求 b、 h 的 长了，那么我们易得 ab 是 不是垂直于底面呢？ ab 是 不是也垂直于 b、 d 啊？那这也是个直角三角形，对不对？ abd， 那现在我们根据面积就二分之一 b、 d 乘以个 a b， 是 不是应该就等于二分之一 a、 d 乘以个 b h， 进而去求出 b、 h 的 长就行了？好，那 b、 d 多长啊？刚才说了，这个是四，对不对 啊？二分之一约调啊，这是四， a、 b 多长啊，说的是五，对不对？然后 a、 d 多长了，那就是四的平方加五的平方 开根号，然后 bh 是 我们要求的，是不是？好，那现在我的 bh 应该就等于我的二十比上一个根号下四四十六加上二十五，那应该是四十一，对吧？啊，应该就是四十一分之二十倍的根号，四十一啊，是这么一个长度。 好吧，这是我们的点面距，然后我们再看线面距啊，线面距的话呢，我们现在比方说一个线啊，它跟平面之所以会有距离，那这个线一定是跟这个平面是平行的， 对不对？那我只需要从这个直线上找一个点，然后去做一个这个面的垂线段就可以了，对不对？也就是说我从这个直线上找一个点，去求点面距， 就像刚才这个题一样就可以了，对不对？因为什么？因为你看你一个面，如果说搞一个不平行于它的直线，那我怎么样？你说这个直线到这个面的距离到底是多少呢？你没法说，是不是？ ok， 好，现在看这想要求这个线到 a a c c 啊，就这个面的距离，那现在我们易得 b b e 是 不跟这个面是平行的，对吧？那我现在只需要找这个 b b e 上的一个点，去求它跟这个面的点面距就行了，找那个点，找 b 点， 对不对？那很容易得到我这个 b o， 它是不是应该垂直于这个面，能看出来吧，对不对？哎，因为你的 b o 先垂直于 ac， 这叫正方形的对角线， 然后又因为我这个 b o 是 不是应该也垂直于 a a 一 啊？为什么？因为这是个正方啊，对不对？ a a 一 垂直于底面， 那 a 一 就垂直于底面的所有的线，所以 a a 一， 它就垂直于 b o 或者 b d， 好 吧？ ok， 好， 然后这两个一起就得到了我的这个 b o 是 不是垂直于面 a a 一 c c e 啊？ 好，那只要求 b o 的 长就可以了，对不对？ b o， 它其实就对角线的一半，这是二，这是二，那这个是二倍根号二呢？ b o 就是 根号二，好不好？ 让我们再看面面距，呃，那这个是个值，三棱柱，对不对？ ab， 它是一个九十度啊。 abc， 这是个垂直的， 然后 bc 等于二啊，然后 c、 c 一， 它等于四， e 是 b、 b 一 上面的一点啊，然后 b、 e、 e， 它等于一整个，这是四，这也是四，然后呢？这个是一，然后他说了 d、 f、 g 啊，来， d、 f、 g 都是终点，然后 e、 f 呢？跟这个 b、 d、 e 交于这个 h、 d？ 问，让你求证， b、 e、 d、 b、 e、 d 垂直于平面 a、 b、 d 啊，这个线面是垂直的，那线面垂直这个线就得跟这个面的两个相交直线垂直，对不对？所以说我的 b、 e、 d 要想办法垂直于谁呢？垂于这个 b、 d， 看行不行啊？好，因为 d 是 终点，来，这个是不是二， 对吧？说 bc 是 二，那这段长是不是也是二？那这是个垂直的吧，因为直三楞柱吗？对不对？好，那所以说这个等腰值，那这个就应该是二倍根号二，或者说啊，我们这是不是四十五度，那同样的，这也是二，那这也是等腰值，那这也是四十五度，那这个是不就垂直关系 b、 e、 d 是 不是垂直于 b、 d？ 得证了， 对吧？然后再来，呃，我们的 b、 e、 d 再想办法垂一个什么呢？是不是垂 a、 b 好 一些？因为 a、 b 跟 b、 c 有 个垂直关系，对吧？啊？你要通过条件去猜，那他如果想垂 a、 b 的 话， 我的这个 a、 b 啊，他先如果垂直于这个 b、 e、 d 所在的面儿的话，那是不是就固然垂直于 b、 e、 d 了？ 那现在我的 a、 b 依然垂直于 bc 了，这是刚才给到的，是不是？那我 a、 b 再垂直于这个面里边的另外一个线，不就垂直于这边这个面了吗？谁呢？那肯定是根据我们的直楞柱的一个特点，它是垂直于什么底面的？垂直底面所有线。好吧，好，那接下来呢，我们大致思路出来了，我就先说，首先我的这个 a， 呃， 这样吧，就 b 一 b 吧，啊，用这个来说， b 一 b， 它是不是垂直于 abc 面，对不对？那固然呢，我的 b 一 b， 它就垂直于这个底面里边的所有线，那么 ab 就 跟 b、 b 一 垂直好， ab 跟 b b 一 垂直了， 然后再加上我的这个 ab 又跟 bc 垂直，那 ab 其实就跟什么 b、 e、 c、 e、 bc 啊，跟这个面是垂直的好， ab 跟这个面垂直了，固然就能推得了我的 ab 跟这个面里边的 b、 d、 e 垂直， 然后又因为刚才说了， b、 d 不 也跟 b、 d、 e 垂直吗？那 b、 d、 e 就 垂直于这个面里边的两个线，所以说就得到了 b、 e、 d 啊，它就垂直于平面，是不是 abd 了？ 哎，第一问，正得了，然后我们再看第二问，第二问，他说让你去求啊，平面 e、 g、 f、 e、 g、 f 和平面 a、 b、 d 的 距离啊，这两个平行平面之间的距离，是吧？那好，那我们现在说了，如果说两个平行平面想要研究距离，其实呢，就相当于找其中一个面的一个点，然后去做另一个面的一个垂线段，是不是？也是啊，去求点面距就可以了， 对吧？好，那么现在我们重点是得去在其中一个面上找一个点，然后呢？呃，找那个垂线段。到第一问，我们求出了这个 b、 e、 d 啊，它是垂直于 a、 b、 d 这个面的，那现在我们可不可以说这个 h 点 就是 j、 f、 e 里边所找的那个点，然后 h、 d 不 就是跟 a、 b、 d 垂直的那个垂线段吗？我们现在只需要求垂这个 a、 h、 d 的 长度就可以了。 啊？那 h、 d 长度怎么求呢？你看来这是中点，这是中点。我要在这我再来一个 h 吧。 g i 来个 i， i 是 终点，行吧？好，来， i 是 终点的话，那现在我连接 c e i， 那 能不能得到我的 e、 f， 它其实是一个 b e， c， e， i。 的 一个中位线，对不对？我的三角形 b， e、 f， 它是跟三角形 b e i， c e， 它是应该相似的。相似比的话，我的 b e、 e 比上一个 b e i， 它就应该是等于 b e、 h 比上一个 b e， 接，行不行？ ok， 那 比值是多少呢？那肯定是一比二，对不对啊？这中位线吗？这是一份，这是两份，一比二。好，那我现在再说啊，那这 b、 e、 c、 e、 d i， 它其实是个正方形，对不对？这是二，这是二，这是二，那正方形，它的对角线相互垂直且平分。那其实我们的这个 这个 h、 d 啊，就是我们要求的这个距离，它应该是等于四分之三倍的 b、 e、 d 吧，对不对？好，那 b、 e、 d 能不能求多长？是不是就二分？这个，这个，这个二，呃， 二倍杠二吧，对吧？那最后其实就是二分之三倍杠二，就是我们要这个距离。
635王喆数学
09:41查看AI文稿AI文稿五分钟一道高中数学典例精讲。今天要讲的这道题，是前两天刚考过的 高考数学的第一道大题，立体几何的这道题，它里面用到的方法适合高一，也适合高二，所以一定是这次期末考试的重点了，一定是这次期末考试重点。大家看一下这个题，简单思考一下，然后跟着我往下看解析，五分钟把它给搞定。 好嘞，一块看一下。当你读完题之后，同学们，他说你应该能得到以下这些信息， c e c b e b a e a 这三条侧棱是垂直于上下底面的。这第一条，第二条，上下两个底面， a c b 和 a e c e b e 是 两个等腰直角三角形， 因为它是直楞柱，所以我得到侧楞垂直向下底面。因为 a、 c 垂直于 bc 又相等，所以向下底面是等腰这条项形，这是非常清晰的一些信息。第一问，让我正平行，我快速捋下思路就行。第一，要平行这个平面，那很好，正， e 是 重点， d 是 重点，我只需要连接一下， c e， b， e 是 c e a 的 中点，得是 b a 的 中点，所以得 e 是 三角形 c e a、 b 的 中位线，所以得 e 平行于 c e、 b， 又因为 c、 e、 b 在 这个平面内，得 e 不 在这个平面内，所以得 e 平行于这个平面，这就成完了。 思路就是过程，思路即过程，只要你的思路够严谨，因为什么，所以什么，捋的很顺，把文字写下来，用文字写下来，就是过程。好，我中间讲第二问，我中间讲第二问。我给大家用两种方法。第一个方法， 如果你是高一的学生，你还没有学空间向量，你还不会建空间这道题，那我能不能做这道题可以适合高一？第一种方法适合高一，待会再讲一种适合高二的，或者说高一、高二都可以用的一个办法。好，先看第一个，不用间隙。 首先我知道的唯一的长度是这个角，这个边长是二，那这些边长肯定都等于二，因为尺、棱、柱、侧棱都是相等的。 然后他说 d、 e 和这个平面的夹角是四十五度。来，同学们听听看啊。线和面的夹角，线和面的夹角，这是一个面，这是一条线，我要过这个线上任意点，往面上做垂线垂足和线面交点的连线，这个角叫做线和面的夹角。 所以如果我现在想找 d、 e 和这个平面的夹角，我必须要过这个上面一点，那大概就是点得往这个面上做垂线， 那我在读题的过程中，我已经发现 bc， bc 是 垂直于这个面了，为什么？因为侧棱它垂直于地面，所以 c、 e、 c 垂直于 c b， 那 反过来， c、 b 就 垂直于 c e c。 然后因为这个角是九十度，所以 bc 垂直于它， bc 垂直于它， bc 就 垂直于这个平面， 那我只需要给我点 d 做一个 bc 的 平行线，其实我就直接找到 c a 的 中点 o， 我 连接一下得 o， 因为 o 是 中点，得是中点的话，得 o 就 一定平行于它，那它垂直于这个平面呢？得 o 也垂直于这个平面。所以朋友们，这道题可以结束了，我再连接一下 e、 o 垂直这个平面的夹角，那给我点 d， d、 o 垂直于这个平面的夹角就是这个角，这个角就是四十五度， 这个角就是四十五度，这个角可是九十度，因为得 o 垂直这个平面，包括 o 一， 那这就是等腰直角三角形。那此时同学们，这是二，这边的长不就是一吗？ o 一 的长不就是一吗？ 中位线啊，他是二，中位线，他就是一，那就因为这个角是四十五度，那这就是等腰直角相形，这也是一，这也是一。那我就还能求出这个边是根号二，一一根号二。因为等腰直角相形，但是没有用啊，没有用。当他是一的时候，我就可以求出这条边也是二， 那 c b 和 c a 的 长是相等，那它也是二。然后你现在让我求这个得 e 这条线和这个面的距离，这条线到这个面的距离。同学们，第一位，我已经证明过，得 e 是 平行于这个平面，线和这个面平行，那这个线到面的距离其实就是线上任意点 点得到这个面的距离不就行了吗？那太好做了。因为 a c 这条线垂直这个平面， a c 垂直这个平面，所以我我只需要再这样再找到 bc 的 终点。比如说找到 bc 的 终点是 m， 我连接一下的 m， m 是 终点的，是终点，那的 m 就 平行于它，那它跟这个平面垂直，所以的 m 此时就和这个平面垂直，那的 m 的 长就是点。 d 到这个面的距离也是这条线到这个面的距离。答案是一， 这我就求出来了，得一到这个面的距离为一，这就是一个办法。好，我接下来讲第二问用到的办法。不是第二问，第二种方法就是高二也可以用的办法就是空间向量 间隙之前，我需要找三条两两互相垂直的直线，同学们，找三条两两互相垂直的直线，这样我就无脑，间隙就行，我也不不考虑那么多了。 好，我开始间隙。那我因为知道 c c e， c a 和 c b 是 三条两两互相垂直的线，那我直接这样间隙， x 轴， y 轴， z 轴这细就建起来了。然后因为我不知道，我只知道这边的长是二，那这个点坐标是零零二，这点坐标是这个长，我不知道，我就假设为 二 a 吧。同学们，二 a 到零零吧，我假设这边的长是二 a， 他 跟他一样都是二 a， 因为待会要求点一的坐标，我这样一中点，对吧，中点不会出现分数多好。零二 a 到零那点 d 的 坐标，你看他俩的中点啊， 横加横出一个 a， a 零点 d 也出来了。点一终点坐标横坐标是 a 零一，你看也出来了，这些点我如果想求的话，我都可以去求。 然后现在怎么弄？我先要利用这个线和这个平面的夹角是四十五度，线和面的夹角是四十五度， 那这个平面的法向量我非常好求啊，因为外周和它平行，那我法向量就可以求出来是零一零，我都不用求，我直接看出来了。那这个线和这个面的夹角是四十五度 啊，向量得一，向量一得都行，一得的坐标是零 a 负一， 那它俩的夹角也是四十五度。你不管用 c 还是用 cosine 都行，反正都是四十五度，那我就用 cosine 吧。 cosine 是 等于分子是它的乘积，零 a 分 子就剩了一个 a， 长度是 a， 加上根号下它方，它的模 比上一个它模乘它模嘛，一等于二分之根二等于二分之根二， 因为 cosine c 塔式 cosine 四十五度而分的根。这样你一算，两边一平方。同学们，你一算，你算出 a 就 等于几来着， a 就 等于一，你就可以轻松的算出 a 等于一了。 好，你算出 a 等于一之后，你就知道这段长是等于二，这段长也等于二，你都算出来了，这样这些点的坐标你瞬间就全有了， 然后他让你就得意到这个面的距离，得意到这个面的距离，那你一个点到一个面的距离。咱捋一下啊，点到面的距离， 一个点到一个面的距离。你可以用这个方法，虽然这道题用这个方法有点大材小用啊。那咱讲讲这类题的通法嘛。线到面的距离其实就是点到面的距离，因为这个线和这面一定是平行的关系。我在这个面上随便找一个点， 点 a 吧，我一连 a 形成一个向量，然后把这个平面的法向量一求。听清楚啊，我求一下这个平面的法向量，然后我求一下这个这个向量，新的向量在法向量上的投影， 新的向量在法向量上的投影，那就正好是这段长，那就代表点到面的距离 来。那比如说我现在要求点 d 到这个面的距离，点 d 到这个面的距离啊，线到面的距离其实就是点 d 到这个面的距离。那我随便找，我随便找。我找一个 b 的 吧，我找一个 b 的， 组成一个项链，我已经知道这是 b 的。 现在坐标应该是多少，这是一一零吗？这是零二零， 那必得就应该是一减零，是一负一零。然后这个平面的发向量太好求了，一零零，他在发向量的投影，投影怎么算？分子就是他俩的乘积，那就是一分母在谁上的投影就是谁的模， 分母在谁的投影就是谁的模。那是 a p 在 法向量的投影，那法向量的模还是一一比一就还等于几？这有点这有点，那个啥，大材小用啊。只是说我想用一个通法去给大家讲这种题。 第一种方法已经很好了，高一高二都能用，高三也能用。第二种方法就是只要你遇到了点到面的距离，你都可以去用好吗？包括线面角呀什么的，我都给大家说了一遍，非常典型的一道题啊，包含的面很广，但用到的知识并不复杂。
37张杰杰数学
08:29查看AI文稿AI文稿高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！
748老胡模型数学思维提升
02:31查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看一下书本上很少的啊，直线到平面距离以及两个平面的距离怎么去求？ 其实非常简单，只要你想清楚，就是把它们转化成点到平面的距离。就像这个例一样，两个平面如果是平行的，那么我只要找到一个平面的点到另外一个平面的距离就 ok， 这不就转化成我们之前学过的 点到平面的距离啊。那咱们来看一下这个例一。例一是说若 alpha 和 beta 分 别经过原点和点 a 二一一原点，我们写下坐标，其实就是零零零哈，且平面 alpha beta 的 一个反射量分别为 m 和 n， 大家观察一下，这 m 和 n 有 什么关系啊？ 其实啊， m 就 等于负根号三倍的 n， 这代表什么？意思是不 m 平行于 n， 进而我们就知道 alpha 其实是平行于 beta， 那 么两个平面互相平行，我们大概画一下啊，这里是我们说的一个 alpha， 下面是我们的一个 beta 题目，最终问的是两个平面的距离。平面的距离，那是否我就在 alpha 内随便找一个点， 在贝特内也随便找一个点，变成了点到平面的距离？好，那最终答案是不是就变成了什么 o 到贝特的距离啊？ 点到平面距离，大家还记不记得这里是 o 点，这里是 a 点，我是不是就找到 oa 以及贝特的一个发行量就可以了？ 好，那这道题就解决了呀，那 d 我 们看一下这个公式还记不记得是不？ o a 乘以法向量 比上法向量的膜就是这个一个答案啊。好，那么 o a 我 们也有了，就是二一一，然后法向量就是负一零一，那就是负一乘以二加上零乘以一，加上一乘以一，比上法向量的膜，也就是根号下 一加零加一，最终等于二分之根号二。那到这里这个视频其实这道题咱就讲完了啊，稍微总结一下，就是说点到平面的距离公式，我们是学过的， 那么如果后面出现了这种面到面的距离，那么这两个面绝对是平行的，因为不平行他就没有这个距离可言，所以我们可以把面到面进而转化成点到面的距离啊，这是我们求面面距离的一个思路。好，那这个视频咱们就到这里。
18:02查看AI文稿AI文稿这个视频我们用几何法来做一下双距离单交线问题的这样一类题，一般也出现在嗯选择的压轴或者填空压轴的地方，或者是多选里面的某一个选项， 嗯，有的时候也叫它鳄鱼模型或者切瓜模型，嗯，我们用一道立体来看一下， 嗯，是说在一个四面体里面满足两个角是六十度，然后还有这两个三角形是等腰三角形，并且知道了一个边长，知道了一对夹角的大小，让我们求外接球的表面积， 要求外接球的表面积就是要找外接球的半径，对不对？所以我们的目的就是找这个外接球半径， 嗯，一般我们做的时候看到这个四面体，我们是不是就是，嗯，直接画一个四面体，然后他写的什么写这个是九十度，我们就标一个九十度，我们标一个， 然后什么边，我们这样子，嗯，但是其实这个样子，嗯，他做图的时候会有一点不方便，然后就会影响到我们去做题，为了让我们把图画的更标准一点的话，嗯，我们应该去在一个正方题里面去画，这样会更加切题一点。 那我们先开始他说这个角 abc 是 九十度，那我们就找一个九十度的这个 角角 abc 是 九十度， bcd 也是九十度，那画到这里我们嗯就很希望这个角是 d， 对 不对？如果它是 d 的 话，我们也满足这个，嗯，也满足这个等腰的这个这个地方就是好像一切都很顺利，那我们就假装它 d 就 在这里， 那如果 d 在 这里的话，他说 ac 是 二倍根号二，那也就是这个正方形的棱长是二，对不对？那 d 在 这里的话，我们再连一下 ad， 我 们很快可以算出来， ad 应该是根号加三乘以棱长的平方就是二的平方，也就是二倍根号三， 那么他这个地方 ad 就是 二倍根号三，然后 ac 是 二倍根号二， cd 是 二， 嗯，他说 ad 和 bc 的 夹角是六十度，嗯， ad 在 这里， bc 在 这里，要求它的夹角就要把两个平到一起，那我们把 bc 平到上面来记，这个点是 m 点， 那也就是角 d a m 这个角是六十度，对不对？嗯，那我们看一下这个角，嗯，到底是不是六十度把。这一连的话，这是二倍根号二，这是二。 那 cosine 角 b、 a、 m 就 等于，呃，四二二的平方加上二倍根号三的平方，减二倍根号二的平方再除以一个二乘二倍根号三， 再乘个二，嗯，那么上面减十八就是三分之根号三，对不对？呃，但是考三印六十度其实是二分之一，所以说我们算出来这个是错的，也就是说地点它并不在这里，所以这些都是错的，我们就把它擦掉吧。 呃，现在也就是说地点并不在这里，那么地点它在哪里呢？ b、 c 是 在这里，我们要时刻满足 b、 c、 d 是 九十度，这个条件，对不对？那侧面是一个，嗯，这个 b、 c 它是垂直于侧面的，也就是它垂直于侧面的任意一条直线，那么也就是说从 c 点，嗯，出发的 任意一条直线都满足于角 b、 c、 d 是 九十度，那么我们也就能知道 d、 c、 d 它其实就在侧面内，对不对？ d 点就在侧面里，然后我们又从这个等幺三角形那里那里知道 cd 其实就是二，那这里的话他是二，那 cd 那 d 点的轨迹不就是，嗯，绕着 c 点旋转，以二为半径的一个圆吗？在侧面里，那 d 的 轨迹，他是不是就是这个样子的 啊？我下面做的这段长也是二，那地点，地点就是在这里，在这个地方运动，这就是地点的轨迹。好，那我们先把它画一下，我们把下面这个面做出来， 那 d 点的轨迹就是这样的一个半圆啊。我们随便取个地方，就比如说取这里是 d 点吧，那我们连接一下 c、 d， 这是二，对不对？然后再连接一下 a、 d， 还有 a、 c， 嗯，这个四面体我就画出来了， a、 b、 c、 d， 这个四面体 就 ok 了。嗯，我们哦对这个点，这个 m 点啊，那我们根据这几个图形，我们看一下这个 c、 d 是 二，对不对？然后，嗯，他说角 a， 他 说 a、 d 和 bc 加角六十度，就是这个角是六十度，那这个角是六十，六十度的话，这是二，那 a、 d 就是 这个四，对不对？ 嗯，在这个直角三角形内，这里是直角啊，因为 am 是 垂直侧面的，所以他就垂直 m、 d 的 啊，所以这是直角，那 m、 d 就是 二倍根号三， 二倍根号三，那他是，他是二倍根号三，这一段是二，这一段也是二，那这个长是两个长的根号三倍，那我们是不是就可以知道这个角是一百二十度？根据我们的经验，所以我们可以来标一下这个地方， 这个地方就是一百二十度。嗯，好，那我们这个图就画完了，现在就可以来做题了。嗯，我们要求这个 r， 那 我们， 我们要求这个 r， 那 我们的第一步，我们要去找球心。 嗯，怎么找球心呢？就是根据这个地方，我我们想象一下，现在有一个球，嗯，过他的这个洁面的洁面圆的圆心，我们去做他的面垂线， 他这条线一定是过球心的，对不对？然后我们再找另外随便找一个洁面，这是他的圆心，再做一条面垂线， 这两条面垂线的焦点就是球星，所以说我们现在只要找到两个洁面圆的面垂线的焦点，就可以找到这个球星了。好，我们现在回到这里 找找洁面圆的话，也就是找他每一个面的外接圆，对不对？就是找每一个面的外接圆的圆心在哪里？只需要找两个面就可以了，哪个方便找哪个。那我们现在来找正面的吧，就是面 abc 的， 因为他是个等腰直角三角形，对不对？很好找。那他的 球心很明，圆心很明显就在这个地方，因为直角三角形它外接圆的圆心就在斜边的中点上，是因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。那，那你看一下，他这是 r 的 话，这也是 r， 这也是 r， 那 三个点很明显就是共圆的，对不对？ 所以说他的斜边中点就是这个，嗯，正面的这个，这个圆心。好，那我们再再过这个圆心，做正面的面垂线，他肯定是平行于这四条边的，对不对？啊？我们我们现在就做做一条他的面垂线， 现在我们要找第二个，第二个面的这个面面面面的外接圆圆心，还有做韩的面垂线。那我们找底面的吧。啊？为什么呢？因为底面也是一个直角三角形，发现了没有，它这个地方也是个直角。呃，为什么呢？因为 bc 是 垂直于 c d， 对 不对？提上，提上给了， 所以这是直角，那么它的外角原形就是 b、 d 的 中点，就在这个地方啊，上面记一个 o 一， 这里就记一个 o 二吧，然后再做 o 二，过 o 二，做它的垂线， 那这相交了，它就是球心，即为 o 点，我们现在就找到球心了。第一步完成了，嗯，第二步我们是要做距离， 也就是我们要过外接圆的圆心向交线引垂线。 现在我们找到两个面，一个是正面，还有一个是底面，那他们的交线就是 bc， 对 不对？那我们就是要过 o 一， o 二向 bc 引垂线。好，我们来做一下 引，一条垂线即为 h 点，它这是直角，这是直角，那这里 h 肯定是中点，对不对？那你这是，这是那个中点，这是中点，这一连的话也是垂直的，所以说它们的这个，嗯，垂线就是 o 一 h 和 o 二 h 啊，我们也就做好了。 嗯，那我们再练一下 o h， 把它做出来。我们现在看到有两个小三角，这里是直角，对不对？因为我们做的是面唇，这里是直角，嗯，两个小三角拼成的一个这样的一个四边形，就是这个东西，我们把它拿出来，把它放到这个地方来， o 是 球心， o 是 圆心， o 二是圆心， h 是 底面上的，这个我们做出来的点。嗯，那么 我们可以算出来这个啊，我们我们现在是做出的距离，对不对？做出距离，然后就是还要算出来这个距离，算出来这个距离的话，这是二，这是 o e h 中位线，所以 o e h 是 一，那 o r h 也是中位线，所以 o r h 也是一。 嗯，那，嗯，这小图里面就是，这是一，这是一。哦，那这两个三角形其实还是全等的，还是全等的呢？的话，嗯，那我想知道中间这个角也就这个 r 还是多少度，对不对？嗯，中间这个角就是再画到大图里面来，就是这个角， 那你看这个角它是不是就等于这个角？这是为什么呢？因为这条线平行于这条线， 这条线又是这条线的中位线，所以他们两个也是平行的。那两个平行线的夹角跟这个不就是一样大的吗？那他们就是一百二十度吗？所以就说明阿尔法是一百二十度，那我们再把它到这小图里面来， 一百二十度，那半个阿尔法就是六十度，对不对？六十度，那这是一，这就是二，这是刚好三，那我们就把 o h、 o h 算出来了。哦，原来 o h 是 二呀，是不是 o h 是 二？现在马上就要完成了 o h 二，那我们第三步就是那个要算半径了，我们的最后一步 算半径还是需要把它放到一个直角三角形里面去算。哦，我们现在想一下，它的半径其实就是要么是 o a 对 不对？要么是 o b， 要么是 oc， 要么是 o d， 都是一样长的任意一条线就是半径。那我们找一个好好算一点的好看的，比如说我们连接一个 oc， 嗯，在这个这样三角形面，我们知道这是二，这是一，那 o h 就是 根号五，对不对？那不就算出来了？半径其实就是根号五，就是 o c 的 长，就是半径，半径也算出来了。好，然后我们就可以算结果了。现在 那么它要求表面积的公式是四 pi r 方，把根号五带进来就是二十 pi 就 结束了。 好，现在我们来总结一下这个双距离单交线的问题。嗯，第一步， 第一步是找球心，嗯，怎么找球心呢？是要找圆形，找两个外七圆的圆形，嗯，哎，我的妈 找两个外接圆的圆形，分别过它们去做面垂线，它们的焦点就是球心。第一步结束， 第二步是做距离，要过圆心向交线引垂线，嗯，这个很重要，在我们这个图里面就是过圆心向交线， b c 引垂线，过圆心向交线引垂线， 然后我们就可以把这个图画出来了，嗯，基本每他每次都是这样，这是一个直角，这是一个直角，这样，这样的图我们可以把它放出来看这个小图。 做距离还要算距离啊？算距离，嗯，一般提倡的数据就可以算出来就完成。第三步就是算半径，半径，任意一个点的连线就是半径，找一个好看的放在一个直角三角形里面，就可以把半径算出来，就像这个题里面的这个根号五， 然后就他让你算什么，你就算什么就 ok 了。就是双距离单交线的一类题，嗯，其实他是有公式的，但是，嗯，我觉得公式的话有可能会记混，然后 这样子用几何图形做的话，就永远不会记错或者忘记什么的。嗯，比如说我们可以看一下这个公式 双距离单交线公式， 它是这个样子的， r 的 平方等于 m 方加 n 方减 r， m n cosine theta 加四分之一 l 方，嗯，你看它里面这么多字母，其实也嗯，没啥。比如说我们先一个一个来看 它这里的 m n 就是 双距离， m n 指的就是双距离，嗯。什么是双距离？是，嗯，双距离就是刚才我们这里第二步做的这个距离，就是在我们这小图里面是这两段，它就是 m 和 n， 然后 cosine theta 呢？ theta 就是 这个中间的这个夹角，嗯，比上三一平方 theta 再加四分之一的 l 方， l 就是， 呃， l 就是 这个交线的长度，我们这个是 bc， 对 不对？ 那放这个题面就是四分之一 bc 的 平方，呃，它这个是什么意思呢？这个其实跟我们刚才做是完全一样的。 r， 我 们是放在勾股定里算的，对不对？就是比如说在这个图里面，我们是在这个这个角三角形里面算的， 那这是 r 的 话，这这个就是它前面这部分算的啊，后面这个就是二分之 l 吗？二分之 l 的 平方不就是四分之 l 的 平方吗？所以它其实就是在这个三角形用了一次勾股定力，然后算出来的。 那么我们看它起啊，这个，这个很好动，我们来看它前面这个十字，前面这个十字其实算的就是 o h， 对 不对？就是这里这里这个 o h o h， 嗯，用的，用，它用了一个，上面用了一个余弦定力， 嗯，然后这里这里是，呃，什么情况呢？就是说这看下这个图，这，这是只要这四个直角对角互补，说明这四个点他们是四点共圆的， 四点共圆的，那么在这个四点共圆里面，你看它这是直角，这是直角，只有直径所对的圆周角是直角，对不对？所以这个 o h 它其实就是这个 o h 其实就是 r， r 对 不对？它就是直径啊，注意下这个 r， 它并不是我们最后求的这个 r 啊，那我们记一个 r 小 r 吧， r r 就是这个外积圆的这个的直径，那么在这个里面我们用那个余弦定力啊，正弦定力，我们知道 r r 是 等于，嗯，一个边长比上三盈对角，对不对？ 嗯，我们可以来推导一下。 r r 等于边长比上三盈对角，那我们这个边长的平方，刚才刚才说的是由正弦定力得出来的，对不对？就在这个这个三角形里面， 这是直角吗？我们由，呃，这个这个地方，哎呀，天呐，这个好乱呀，换一个笔吧，在这个三角形里面， 我们知道这一段是 m， 对 不对？这段是 n， 这个角是阿尔法，那我们就可以算出来，它这个边长的平方就是 m 方加 n 方减二 m n cosine theta 就是这个边长的平方，嗯，也就是 o 一 o 二的平方，对不对？那 o 一 o 二的平方，呃，这个，嗯，我们现在要算这个二 r 二 r 等于这个边长比塞进对角，那是不是等于 o 一 o 二比上 o 一 o 二的对角， o 一 o 一 o 二对角就是阿尔法，对不对？所以就是比上比上塞印阿尔法，嗯，好，就是它，就是，其实就是这个东西， 这个东西 o 一 o 二就是这个，把它带进来，嗯，就是上面这一坨，哦，这，这是平了方的，因为它固定不是要平方嘛，然后上面平方它，嗯，就是这一坨就直接带进来，然后下面平方就是三平方，带进来就 ok 了， 嗯，有一点乱，但是应该能懂吧？嗯，就是这个样子的它，你就可以去把它这个 r 算出来， 就是解释一下这个公式，嗯，但是我觉得你做题的时候如果你记下了，嗯，当然是挺好的，如果没记下也没关系，就像我们刚才这样去走一下 其实也不难，也可以，也可以算出来，第一步去找球心，然后找距离，最后去算半径，第三步算半径也就可以做出来了， ok。
104江江江江姜
