沈阳二模刚考完，不少同学卡在压轴题上别发愁，今天带大家彻底吃透二十二、二十三两道压轴大题。这套试卷整体难度不高，压轴题全是日常高频题型，无偏题、怪题， 基础扎实就能充满分。先看二十二题，二次函数压轴题目呢是梯度合理，上手很简单。第一问，纯送分题，带入坐标，求解析式，基本功过关就能稳稳拿分，千万别失分。第二问， 考察线段相等问题，核心就是 a 形相似，找准对应边角，理清比例关系，轻松解题，题型常规，没有陷阱。 第三问，测重函数平移与面积取值范围，牢记核心，函数平移就是顶点平移，抓住顶点变化写出坐标，结合面积公式计算，不用复杂预算，掌握规律就能得分。 说完函数，重点来看二十三题的几何题，专题里的几何题型高度相似，都是经典必考模型。 第二问，核心是一线三垂直，利用角度不余倒角快速找出等角等边，解析思路一目了然。第三问，进阶为一线三等角，解析思路一脉相承，倒角出角度后，结合三角函数和勾股定律， 逐步的计算，就能求出所有的边长。五道题不用复杂的辅助线，计算量也很小，吃透往期的专题模型，做起来格外顺手。最后给沈阳中考生画重点，本次二模压轴核心考察的就是基础模型掌握度和解析的功底。 中考压轴题拼的从来不是偏题难题， a 字相似，一线三垂直、一线三等角、函数平移这些核心考点练熟吃透，守住基础，分牢抓不周分，数学高分稳稳到手。冲刺阶段别盲目的去刷题，紧跟杨老师第八期初中数学压轴题复盘经典的模型巩固解析思路，高效提分，全力备战中考！
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07:00查看AI文稿AI文稿今天这期视频是八下几何模型辅助线总结系列视频的最后一期，前三期视频没没看过的同学一定要去看一下。很多同学几何模型辅助线他比较乱，没有系统的梳理，难道题根本不知道往哪个方向去想，思路是乱的？ 所以建议大家一定把这个系列的视频完整的去听完，建立一个完整的知识体系，这样你遇到压轴题的时候，你能知道往哪个方向去想，该用哪个辅助线，同时你听完之后你也能知道八下的几何模型辅助线都有哪些，那对于哪块你不熟悉的，就可以去重点对应，去练哪个专题。 今天咱们讲的是第四部分，这个正方形的基本型，这块的内容非常非常重要，只要数学想上一百一这部分是必学的内容，需要电子版资料的评论区留言。像正方形里的旋转手拉手、绊脚模型这些东西，前面系系列视频都已经讲过了，所以咱们这里 不再去重新说了。那这里咱们重点看的是三个内容，第一个是十字架，这个是正方形里出现频率可以说是特别高的一个， 那十字架只要正方形里面出现两条线是相互垂直的，那他俩一定相等，反过来出现相等也一定是垂直的。那十字架时候，咱们解决方式他经常会和共顶三等腰结合到一起，那就是属于很难的一个处理方式了， 或者是和平移的角度。第二个就是和平移角度结合到一起，第三个也可以从直接做垂去勾到全等这个角度去结合到一起的，那这个的话相比于难度来说，他可能会稍微简单一些。在这几个里面，那第二个是一线三等角，一线三等角都是大家非常熟悉的，因为咱们在学 在学全等三角形的时候，可能最熟悉的就手拉手，其次就是这个一线三角，一线三垂也叫 k 字型了，那出现一线三角的时候，他这里面指的是在正方形里如果有两条相互垂直的线，他跟第一个很类似啊，就是有两条相互垂直的线，那基本上他俩也是相等的。 同时如果他俩相等，你也能去正出垂直，那这里你可以通过做垂一线三垂去正，也可以通过共顶三等腰，我把这个 e c 连上 去，证明这个共点三等腰去倒角去推也可以。那关于这个正方形的一线三垂里面有两个很重要的基础的正法以及它的逆推形式，大家要去看一下。 这里面常见的两种逆推指的是第一种是已知垂直正相等，第二种是已知相等正相等正垂直。咱们看一下这里的条件啊，首先他给的是 a b c， d 是 正方形， c， e 是 角平分线。第一种是已知 a f 和 e f 垂直，要咱们去证明 a f 等于 e f。 很多同学拿到这题直接过 e 做垂直， 然后想证明这俩一线三角全等，然后就挣不出来了。你绝绝大部分没学过的孩子肯定是这个思路啊，是这样做，垂去正全等肯定挣不出来。 所以咱们这里采用的是另一个方式，我是在 a d 上取一点 m， 那 这时候是不是就可以使这个 dm 等于 df？ 它俩相等之后，咱是不就能推出这里的 am 等于 f c 有 am 等于 f c， 你 再看那现在这个角是四十五度的，所以它的邻补角是不就一百三十五，同时 f c e 是 也是一百三十五度的， 哎，那此时我们就看有 f c 等于 am， 同时因为垂直，咱是不能通过导角导出这两个点角相等，那现在是不就有这俩三角形是 s a s， 嗯，是 a s a 全等， 全等之后是不才能证出 e a 等于 ef 等于 fa？ 这个很多同学还能想出来，那第二问的话，同学们想起来能做出来的其实真的是寥寥无几。 我们看第二问他给的已知条件啊。第二问是已知 a f 等于 f e 的 情况下，已知它们俩相等去正垂直，那这个就很多同学都没证出来。你不管是做垂还是向上一问，这样我截相等边都是差条件。截相等边的话，你能发现这是一百三十五，然后 f c e 也是一百三十五， 同时还有这个边等，那这时候你发现它是一个边边角的条件，它是正不完全等的。所以那咱们就想到了第一个常规思路，你边边角是不能正全等，但是实际上绝大多数的边边角是可以去正全等的，那你可以去再额外去构造辅助线正全等，那那方法就比较麻烦了。所以咱们换一个简单一点的，你可以直接连接 ac， 连完 ac 之后，你把这里的 ac 延长，延长是不就相当于这个 fc 是 ac 和这是 m， 是 这个 acm 的 角平分线，这俩角是不都是四十五度的？ 那有角平分线，还有 fa 等于 fe， 咱是不就可以去构造垂直，去做双垂？是不可以过 f 向 ec 和 ac 去做垂垂足分别是 m 和 n。 那此时咱是不是直接就能推出这里的 f n 等于 f m， 再加上原来的 a f 等于 e f， 是 不就有这俩三角形？ a， f， n 全等于三角形 e， f， m， 那 他们俩全等之后，我们是不就能得到这里的对应边？对应角是相等的了，对吧？那全等之后你再看，那现在的话，我们想证这两个角是等于这个角了， 我再加上这个叉弧加叉是不就是九十度的角？因为这个 n f， m 是 不九十度的，所以弧加叉九十，也就是说 a， f， e 是 不是九十就可以挣出来了？ 第三种，他是一个根号二倍的问题，他其实不是属于一个基本型啊，就是属于正方形里常出现的问题。正方形里的压轴题经常会让咱们证明根号二倍的问题，那我们就要知道，你需要正根号二的话，肯定是要构造等效值的，那构造等效值大概率大多时候是需要构造手拉手相等的。 我们先看这里的第一题啊，那现在他给的已知条件是 a e 垂直 c e， 想正这个角四十五度，那我们看我之前说过，在正方形里是不是容易出现对角互补四边形？你看 a， e， c， b 这个四边形是不是对角是互补的？ 同时两组邻边 b a 和 b c 是 不相等，所以那对角互补四边形，咱是不是通过旋转的方式去构造手拉手相等， 所以直接延长 e c， 然后做一个 b m 垂直 b， b m 垂直 b e， 然后你就能证出这俩方程全等了，有全等是不就能得到这个你要求的角 a e b 是 等于 b m c， 那 因为咱做垂之后，你再证全等能得到这里的 b e 等于 b m， 所以 b m 是 不等腰值？等腰值，那这个角 b m e 是 不是四十五度的？这个就完事了？然后第二问，我们再看 第二问，想证明它俩是相加等于根号二的 b e。 所以 你的思路是，我既然要证明根号二 b e， 我 是不是就要以 b e 为直角边去做一个直角等腰直角三角形，那斜边是不是等于根号二的 b e？ 所以 跟刚才一样的思路，我还是做一个 b m 垂直 e c， 那 b m 垂直 b e 做完除以之后一样这俩三角形全等全等之后，是不是就能得到这里的 e m 是 等于根号二的 b e？ 那 同时 e m 是 不是就等于 e c 加 c m c m 是 不是等于 a e 的 这个也就能证出来了？这个是属于比较简单好证的根号二倍的问题。
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14:14查看AI文稿AI文稿我正在用四期视频系统梳理八下的几何模型和辅助线，帮孩子建立一个完整的知识体系，至少让孩子知道遇到压轴题，知道往哪个方向去想，以及这个思路是怎么来的。 一共分了四个模块，前两期视频已经讲了第一部分和第二部分，那今天咱们讲的是第三期这个倒角的基本型，那这一期视频的话难度非常大，也是压轴题，如果你想冲一百一十五以上是必须要掌握的，当然如果你是一百一以下的， 你只做一个了解就可以了，那需要电子版资料的评论区留言。倒角问题的难点除了孩子们不知道怎么倒，最大的问题就是孩子根本想不起来去倒角，因为很多题他不需要倒角，他就可以直接做，所以孩子根本想不起来，你需要进行复杂的倒角，最后找出角的疏远关系，才能决定你怎么做副线。 那常见的涉及到倒角的问题有以下几种，第一个就是咱们要说的这个二倍角，关于二倍角的话，那属于几何压轴里面一个比较重要的专题，同时也难度比较大。那二倍角的常见的处理方式有四种，第一个是等腰法， 等腰法的意思是你可以以这个二倍角为外角去构造这个等腰三角形，你看咱们以二倍角为外角构造等腰的时候，现在里面这个等腰三角形，它的底角是不就是 r 法？ 那第二个等腰法，你也可以以这个小的 r 法为等腰三角形的底角去做一个等腰三角形，这样你做完之后是不就能把这个二倍角转化出来了，外面这个角就是二倍角， 那不管哪种方法倒角的核心，这个二倍角的核心都是要转化相等角，你要么把二倍角变变成它的半角，要么把这个半角变成它的二倍角。 那第二种方式就是很直接，直接做这个二倍角的角平分线就可以了。你做完角平分线，有角平分线，是不就可以想到角平分线的那些相关辅助线。 第三个是对称法，是把这个 r 法，把这个半角以它的一条边为对称轴进行翻折，比如说我这里就把下面这个角往上翻折，是不就构造出来了一个新的二倍角？ 那还有一种方法就是咱们这个顶角法，也是常说的那个绝配角。好多同学其实听过绝配角，但是不知道怎么用。绝配角很简单，就是以这个顶角，以这个二阿法二倍角为顶角去构造等腰三角形。凡是涉及到绝配角的问题，一般难度都非常大。 那顶角这个顶角法指的就是出现二倍角的时候，你可以以这个二倍角为顶角去构造等腰，构造完等腰，这个等腰的两个底角就都是九十减二法。 然后我们再看一些二倍角通常和哪些东西是组合到一起的。第一种就是二倍角和角平分线的结合，那如果遇见二倍角，像我这个图里有二倍角，有单倍的小角，还有一个角平分线，那我们肯定想我要构造的是 角平分线的翻折的辅助线，那我可以把这小的三角形 a、 d、 c 往上翻，就是第二个图里面我翻上来啊，我这个是翻的是第三个图啊， 比如说第三个图里，我先把这个 a 得 c 往上翻，翻上来之后，那这个二阿尔法是不就跑到这来了？那再加上这个角 b 是 阿尔法，所以是不就能得到这个角？ bdf 也是阿尔法， 也就是说此时这个 bdf 是 不是就是一个等腰三角形？那第二种翻的方式就是我这第二个图里，我可以把这个 a、 b、 d 这个三角形以角平行线为对称进行翻折，翻到 a、 d、 e 这块了，翻完之后，我是不就把这个阿尔法这个小角转移到角 e 的 位置上来了？ 再加上这个 a、 c、 b 是 阿尔法，你是不是就能正出三角形？ c、 d、 e 也是一个等腰三角形？第二种组合方式就是二倍角加直角，当二倍角它同时出现在直角三角形里的时候，那咱们的方式有很多。第一种 你可以以这个 r 法，就这以这个单倍的小角，以它的直角边为对称轴进行翻折。我把这里的 a、 c、 d 是 不可以翻到 a、 c、 e 这上来，你翻完之后是不就能得到这里的角 e 是 九十减 r 法，你得到它有什么用？你再加上原来的角 b 是 r 法，你发现这个角 b、 a、 e 是 不也是九十减 r 法？ 所以是不就能推出一个等腰 b、 a 等于 b、 e 来？这是一个方式。那还有一个方式是我可以直接翻折这个大的三角形，我把 a、 b、 c 以 a、 c 为对称轴翻过来，翻完之后你就能得到这里的倒角，就能得到 e， a 是 等于 e、 d 的， 它是一个等腰。 或者是我可以以这个二倍角为外角去构造一个大的等腰三角形，那这时候当 b a 等于 b e 的 时候，咱是不就能出现新的 alpha 这个小角？ 那第二个二倍角里的问题就是绝配角。绝配角它其实也是肯定是涉及到导角出来二倍角的问题，那什么是绝配角？它的定义指的就是一个角和它一半的余角就是绝配角。什么意思？比如说阿尔法和它的一半是阿尔法，那阿尔法的余角是不是九十减阿尔法， 所以一个角和它一半的余角，这两个角是能组成绝配角的。那为什么要绝配角呢？因为这两个角你放到一个三角形里的时候，正好它是这个，它会变成一个等腰，因为你去推的话，另一个角它肯定也是九十加二， 所以绝配角它指的就是两个角是能构成等腰三角形的。那什么时候你涉及到绝配角的时候，你可以去以二倍角为顶点去勾到这个等腰三角形。 第二种就是题里比如说给你了角 a 等于九十减去二分之一角 b 这种，那这时候是不是就是出现了角 a 和角 b， 他 们俩就是满足绝配角的关系的？因为 a 是 不是正好是角 b 一 半的余角？如果题里给你这种角的数量关系，那也是涉及到绝配角的， 那绝配角咱们的常用的方法是什么？第一种就是你需要倒角，出现绝配角肯定是需要倒角，因为很多时候你看题里给你两个角是绝配角，但是你最后实际用的不是他俩，是你自己倒角倒完之后其他的角，你发现其他的角也有绝配角，你是用的其他的角， 那咱们在倒角的时候，常见的是设这个等腰的顶角是二阿尔法，那等腰的底角就是九十减阿尔法。你像我下面这三个图里都是，我可以设这个，第一个图里顶角是二阿尔法，底角就是九十减阿尔法。 那第二种就是出现二倍角的时候，咱们就可以以这个二倍角为顶角去勾到等腰。那常见的几组绝配角都有什么？第一个就是二阿尔法和九十减阿尔法与四十五加上阿尔法， 那反过来是不是就可以变成九十加上阿尔法和四十五减阿尔法，他俩是不也能组成绝配角？同样的是六十减阿尔法与六十加上阿尔法，或者是六十加上阿尔法与六十减阿尔法， 这都是可以组成绝配角的，出现这些角你要知道，哎，那大概率是会出现同样的形状，那跟绝配角特别像的一个东西。其实你也可以看成绝配角的变形，就是一个叫镜面角的东西， 它指的是咱们可以把这个 d、 c 看成是一个入射的光线，那经过镜子 a、 b 反射之后， c、 e 就是 一个反射光线，那这时候是不就有这入射角 alpha， 等于这个反射角这 alpha， 所以 咱们是给它降成镜面角，给它看成一个镜面的反射光线的问题。那对于镜面角，咱们核心思路就是将相等的角转转移， 那咱们这里转移的方式有两种，第一种我可以把这个其中一个角的线延长，比如说我可以把这个 e、 c 延长，延长之后是不是就能把这两个相等的角转化到这来了？那比如说第一个图里现在是不是就变成了 a、 c 平分 角， d、 c、 f 平分之后，咱是不是就可以用翻折角平分线，翻折的辅助线构造一个全等？那第二个图也是， 那或者是你在这组光线就入射光线和反射光线之间做一个平行线，就做这个镜子。平行线做完平行线之后，是不是就能把这两个相等的角转化到 m 和 n 这两个角的位置？转化到这之后，你发现这里的 c、 m 和 c、 n 是 不是就变成一个等腰三角形了？ 接下来咱们要说的是这个等腰基本形。等腰基本形指的不是像手拉手等腰这种的，指的是三个东西，第一个共底双等腰，第二个是共顶三等腰，第三个是 共底共腰双等腰指的是这三个双等腰。那出现这种双等腰的时候，咱们肯定是需要倒角的。那咱们看啊，先看这个共底双等腰什么意思？它是指两个等腰三角形，底边在同一直线上。比如说像这两个图 都是属于 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 e、 c 也是等腰，那这两个等腰上角，你看它们的底边是不在同一直线上， 同时其中一个腰，一个等腰上角的顶点是在另一个等腰的腰所在直线上。比如说第一个图里点 d 是 不是在 ab 上？ 第二个图里点 a 是 不是在 d、 e 这条线上？这都是属于共底双等腰。共底双等腰重点强调的是底是在同一条直线上的，那出现这种共底双等腰的时候，我们一定是需要导点的。然后有同学就说，老师这里有没有结论？有结论的 那结论是这些每个图里都有结论，所以大家不要去硬记这些结论啊，你就记住一点，出现共底双等腰，你需要去倒角就可以了。那像这里面，比如说第一个图里，你习惯了之后，你能直接导出这两个角相等的，后面这图里也是这俩角相等的，这个图里就是这俩角是互补的。那第三个图里也是这俩角是 有数量关系的，那我们该怎么去记？你不需要去记哪个图里该有什么数量关系，你就知道出现这些图里，你需要去倒角，那至于哪些角有数量关系，这个是需要记的，你记着是腰与腰的夹角，左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系的。 你看这里面每个角是不是都是左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系，你不需要去记。什么数量关系啊，你只要知道它是有数量关系的，然后你遇到题，你自己去倒就可以了，你要记的话是容易记乱的。那怎么去倒？咱们就是 倒角的基本方法就是设等腰上学的顶角为阿尔法，一个是阿尔法，这个角是二倍的，那第二个图也是一个等角，这是阿尔法，另外一个是二倍的，你把你要倒的这个角倒出来就行。比如这是阿尔法，这是二倍的，你倒完之后肯定是倒，能倒出这两角是有什么数量关系的，要么相等，要么互补的。 那对于底下这些，拿到电子版资料，同学你不要去记啊，你一定不要去背，你要去会导，可以自己去尝试导。那咱们共底双等腰导完之后，通常都会出现一边一角相等的一个情况， 所以就是咱们上期讲的，你通过导角之后，就要变成了边角构造全等的一个思路，去一边一角去挣全等。那除了共底双等腰，第二个就是共顶三等腰。 共顶三等腰他他的特点更明显啊，就是指同一个顶点引出三条线段，他跟构造手拉手的那个鸡爪图是非常像的，但是区别在于构造手拉手的那个鸡爪图，那三个线段不一定相等的， 但是共顶三等腰里，它这三个线段一定相等，比如说这三个图里都有 a、 b 等于 a、 c 等于 a、 d， 有 它们三相等，你发现我是不就能出现三个等腰？比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 是 不就是一个等腰？ a、 b、 d 是 不也是一个等腰？ acd 是 不也是一个等腰？所以它们叫共顶三等腰。 共顶三等腰里，它的角数量关系更多了，所以大家不要去记啊，越记越蒙，一定记着你就出现这种倒角的，你就去设未知数倒角就可以了。 那第二个图、第三个图都是共顶三等腰，那咱们常见的是在正方形里，因为正方形里头四个边相等，在菱形里面也常见共顶三等腰。那比如说我现在把一个正方形的边旋转旋转之后，哎，你发现这三边是不相等的， 所以这里面就一定会出现共顶三等腰。在正方形里面旋转的时候出现共顶三等腰，大家一定要注意去倒角啊，好多时候都是你通过倒角去倒出特殊特殊的度数来，比如说九十啊，垂直啊，或者是四十五度啊这种的，你进而决定了你要用什么思路。 那对于共顶三等腰，咱们也是倒角，一般思路倒角倒角之后通常有一边一角相等或一边一角互余，然后我们再去构造，手拉手去等。 那第三个就是共腰双等腰。共腰双等腰的话比前两要稍微简单一点，但是它的频率我感觉要比前两高一点，那也是在初三的几何压轴里面出现的比较多的。你像这回大人的异模就是初三的异模，就出现了共顶三那个共腰双等腰的一个问题。 那我们看啊，这里面共腰双等腰指的是两个等腰三角形，只要腰在同一直线上就可以。比如说这个图里面 ab 和 abc 和 abd， 他 们的腰是不是就在同一条直线上， 所以这个就属于共腰双等腰。那这个共腰双等腰的结论你可以记一下，因为这个比较简单，它的结论就是 底两个底的夹角与不共线的那两个腰夹角是存在数量关系的，就两个底的夹角是不共线的两个夹角的一半。至于你到底判断谁是谁，谁是谁的哪个角， 谁是谁的一半，你就自己去倒角就行了。你比如说这里的角 f， 你 怎么判断它到底是 b e c 的 一半还是 a b 的 一半啊？你看不出来对吧？那你就去倒一下就完事了。 那对于第二个图里很容易看了，两个底的夹角是不这个角 g， 那 两个不共线的两个腰的夹角是不是这里的这个角？ 那是不就是角 g 很 明显是等于一半的个 h c 吧，不可能是不等于 a、 a、 h 的 一半，所以这里面它是比较好挣的。那对于共腰双等腰的话，咱们有一个特殊的情况，就是当共腰、双等腰，那两个不共线的腰是垂直的时候。比如说这样， 我这样画一下，现在假如说这里有一个等腰三角形 a、 b、 c， 我 写一下 a、 b 等于 a、 c， 同时这里面还有 be 等于 b、 f， 有 个 be 等于 b、 f， 那 当它们相等，你看这是属于共腰、双等腰，然后同时不共线的两个腰 b、 f 垂直 a、 c， 这时候一定会出现一边一角互余、勾全等，我们通过导角是能导出这个角 f、 b、 c 与这个 a、 b、 c 是 互余的，这两个角互余，同时它们的邻边 b、 f 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以那两个角互余，两个角是邻边相等，那咱们就直接做垂，过到全等就行了。过 f 向下做个垂，再过 e 向下做个垂，就能得到这两个三角形，他们俩是全等。大家要记住这共腰相等腰，这里共线，两个腰垂直，这个情况它是非常常见的。
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09:46查看AI文稿AI文稿大连最近各个学校的期中考试已经结束了，那么三十四中的这个八年级的期中几何压轴题绝对是属于难度最高的那一道。这里面咱们用了平移加上倒角用了这两个思想，那这两个东西都是孩子们在几何里面最薄弱的地方， 平移虽然是属于图形三大运动之一，但是用的比较少，所以同学们一般掌握的不太熟。其次倒角，倒角一直是几何里面的最难点之一，那我们通过这个题来看一下怎么去平移倒角。首先你看这里给的条件，第一问他给这个条件的情况下，想证明他是等腰， 那咱们说给三边关系，那思路肯定是截长补短，是想法要把这两边之合转移到同一个线上，对不对？所以你要想法把这个 ab 加 cd 转移到一起去，那怎么转移？你发现当把这个 cd 平移下来， 或者你可以看成是把这个 b、 d 平移到右面来，是不是也可以？那所以咱们这里的辅助线，你可以说延长 ab 至点 m， 使 bm 等于 cd。 也就是说你平移之后是一定构造一个平行四边形的。大家要知道平移你能推出来的两个点， 第一个平移的辅助线是能推出平行四边形，第二个平移大多数是跟等腰是有关系的，你推完之后是要看看有没有等腰。那这里面我们做完之后，你发现这里的 d、 b、 m、 c 是 不就是一个平行四边形？那平行四边形咱们是不就能得到这里的 a m 等于 a c， 因为 a、 m 现在是不就属于 ab 加 bm？ 然后呢，你再看它俩相等之后，是不就能推出这两个角是相等的。 那根据平移平行四边形同为角相等，是不就能得到 a、 c、 m 是 不就等于角 afb？ 同时这个角 m 是 不就等于角 abf， 所以 现在是不就有 af 等于 ab， 第一个就挣出来了？ 那我们第一问，正完这个平行四边形以及等腰三角形之后，你就发现这些角是不都是相等的关系？说明这个 c、 d、 f 是 不也是一个等腰？然后我们再来看第二问，第二问，这里说 a、 d、 b 这个角现在是四十五度， 然后 d f 等于 b f， d f 比 b f 一 比二一比二的关系，那我们设 d f 是 a， b， f 是 不就是根号二 a 的 关系？ 现在想证明这个二倍角，那我们想啊，你想证明这个，假如说你设 c a 个是 alpha， 这个 c a、 b 是 不是一定是 alpha？ 当然这个我们是没推出来，我们需要推这个，那你需要证明二倍角的思路都有哪些？我们想 我们上一位，你做完那个辅助线之后，哎，我给它放下来啊，你做完这个辅助线，是不是现在说明了三角形 a、 c、 m 也是个等腰？所以呢，是不是就是既然它是相当于二倍角，那你还想倒等角，我是不就可以做这个二倍角的垂线？ 你做完它垂线之后，是不就能推出来一个单倍的角？我设这是 n， 这是 q 啊，那咱们现在做一个 a n 垂直 m c， 所以 这两个角是不相等的，那我接下来只要证明它俩是等于这个角，得 a、 c 是 不就行？ 那现在问题是不是就变成了，我要证明角的 a、 c 这个 d a、 c 等于角 n a c， 那 想正角平分线，我这块还有垂直，因为它这里面是不是有 d b 平行 c m 咱们做的 a n 垂直， c m 是 不是也有 a n 垂直， b d 有垂直。你看，我想证明角平分线，我还有一个垂直，那咱们角平分线的常规做法是不是就过这个点向角里面做垂，所以过 f 向 a d 做个垂 h？ 这个图给的不太准， 你看我们只要能证出这里的 f h 等于 f q， 我 是不是就能得到 a f 的 角平分线了？也进而就能推出这个二倍角了？那所以咱们怎么去证明它俩相等？那接下来你就是需要用到这个这个比例关系了。 你看，那这里因为这个 a、 d、 b 是 四十五度，所以咱们搓完锤之后，这个 f h 是 不就是等于 d f 除以根号二，也就是等于二分之根号二 a， 那 这里的 f q 是 不等于二分之一的 f b 也是等于二分之根号 a。 哎，你发现此时这个 f h 是 不等于 f q， 所以 这两三角形是不就是 h l 全等 全等之后是不就能得到角 a f h？ 我 设 a f h alpha， 所以 这个 fa q 是 不也是 alpha， 那 这里的 b a、 q 是 不就也是 alpha 了？因为咱做的等腰乘法三项合一， b a q 等于 c， a n 都是 alpha， 所以 现在这个二倍角是不就出来了？那这里面是在第一问这个平移的基础上，你再做个垂，去通过二倍角去导的。 然后我们再来看这里的最后一问，最后一问是这里难度非常大的题，他是以前一个初三的一个模拟题，我们看啊，这里面他首先他给的一个条件是角 a、 d、 b 是 等于六十度的，这个角是六十。 然后现在他又说这个角是等于他俩，那所以这个 d、 a、 c 等于 d、 b、 e， 咱们标下角，那现在 d、 c 是 二， b、 e 是 五， 咱们先推这里的角，那首先咱们上面第一问是不是推出来了三角形 a、 b、 f 是 等腰，同时三角形 c、 d、 f 也是等腰，那等腰三角形倒角，咱们是不是就射顶角是二 alpha， 那 底角这是不是就九十减 alpha， 同时 a、 b、 f 是 不也是九十减 alpha？ 那此时你根据这个 a、 f、 b 这个外角和这个角 a、 d、 f 六十，是不是能推出这个外角？这个点角 f、 a、 d 现在是不是就变成了三十减二法？那所以跟它相等的这个小角， 这是不也是三十减二法？哎，那此时你看这个大的 a、 b、 g， 这个角是不是就变成了一百二十减二二法？ 这是一百二十减二 f， 那 此时你看我们能得到啥？这个角是一百二减二 f， 然后角 c、 a、 b 是 二 f， 所以 你是不是能发现这个角 a、 g、 b， 它是等于六十度的，对吧？那我们现在得到一个六十了，我们再看这里还有什么， 那我把这个一百二减二 f 的 咱们刚才推的， 那此时这个角它是不是等于三十加 alpha， 那 你能发现什么？一百二减二 alpha 和三十加 alpha 是 不是正好是一组绝配角，能组成等腰造型呢？ 那也就说它们俩放到一个三角形里是能组成等腰的，所以这两个角它所在的三角形是不是一个等腰三角形？也就是说咱们把这里的 a、 d 与 b、 e 延长，延长之后交于点 m， 那 此时是不就能得到这个角？ m 也是等于 三十加二法，所以是不就有这个 b a 等于 b m 那 个条件？那有他们俩相等之后，咱们接着怎么去办？那此时你看啊，那有他俩相等之后，那我们这里面因为这个 d e 是 不是也平行 ab 的？ 所以这个角就这两个点点是不是都？哎，不能用点了，已经标过点了，这两个角是不都可以用叉来表示？所以这里的 e m 是 不是还等于 d e？ 然后我们再看，那这里又给了你 d c 是 二，那我们是不是就可以设未知数兼有 d c 是 二， d e 它和 e m 相等，你是不是可以设 d e 是 x， 所以 em 是 不是也是 x， e c 就是 二减 x， 那 这里还能表示谁？那这里现在他还给了一个 b e 是 五，所以 b m 是 不就等于五加 x， b m 是 五加 x， 那 ab 是 不是也是五加 x？ 那 接下来怎么办呢？ 你看这里面咱们之前用的是平移，如果你再平移这个 b g 的 话，你跟上一回一样，你能平移过来，你看你发现跟你要求的关系， a c 虽然在这个三角形 a c n 这里，但是你求不出来呀，对不对？ 你求不出来 x 值是多少？你只能得到 b n 等于 dc 等于二啊？这，这是二，那也就是说这里 a n 是 不就是七加？但是你不知道 x 值， 那所以咱们就换一个平移，你看这里是不是给了咱们一个 b e 是 五，那咱们就把这个五这个边平移，因为咱们这个角是不是六十度的？咱们平移通常就是叉型的线段，这种 x 型线段，你把其中一个线平移，是不就能把这个角给整到这了？ 哎，所以我们通过平移是不能把这特殊角六十给它转化一下，所以那这里辅助线就可以说延长 a b 至点 n 十， b n 等于 e c 指数变相等有 b n 等于 e、 c 之后，那这个 b、 n 是 不是也是二减 x？ 哎，那你就发现此时这里的 a、 n， 它是不是就是五加 x 加上二减 x 是 等于七的，那所以 a、 n 是 七，你看我标一下，那咱们平移之后，这个 ebnc 是 不是平行四边形，平行四边形同一角相等，那这个角 a、 c、 n 是 不是也是六十度的？同时，那 e、 b 是 不是等于 c n 等于五？咱们想求 a、 c， 你 在这个三角形 a、 c、 n 里面， 它是不是五和七所在的三角形，而且有一个角是六十度，那咱们求第三边，已知两边一角，是不是接下来就是解三角形的时候了？所以辅助线是直接过 n 向 a、 c 作垂， 做一个做一个 q 吧，做完垂之后，咱是不是就能求出 c q 是 等于二分之五， 因为这个角 c 这是六十，所以这个角是不是就三十？那三角所对直角边斜边一半， c q 就 等于二分之一， c 点等于 二分之五，它是二分之五，那这里的 n、 q 是 不是还等于二分之五倍？根三，你再加上 a、 m， 接下来在三角形 a、 n、 q 这里面，是不是就可以勾股定底去求 a、 q 了？ a、 q 求完再加上 c q， 是 不是就咱要求的最后的 a、 c 的 值？
218喜欢数学的张张张张
04:53查看AI文稿AI文稿好朋友们，那么今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型中的第三十九个模型，叫胡不归模型，那么陈老师也叫它为外卖模型，啥意思呢？我们在直线 l 上 有一个定点 a， 在 直线 l 外有一个定点 b， 那 么 p 点在 l 上动，那么它在动的过程中，让我们求的是 ap 和 bp 的 最大值和最小值的关系。 它如果说直接让我们求 ap 加上 bp 的 最大值和最小值，那直接就是连接 p 点在这的时候就行了，是不是？ 好了，那他肯定不会这么去求他为什么叫胡不归呢？他是这样说的，一个人从 a 点要想回家，他发现如果说我直接从 a 点到家的话，这个速度太慢了，比如说这个速度是 b， 而他又发现我要是在这条路上走，速度会快一点，假设是二 b， 假设是二米，那么这个时候他发现我可以先走一段，再这样去走，可以比较节省时间的到到达闭眼，虽然路程有点遥远，是不是？但时间比较短， 那我们如何表示时间呢？孩子们，那么表示时间的话，这一段是不是 a p 除以二 b， 这段是不是 b p 除以 v， 我 们把 v 提出去之后，它就变成了二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值， ok， 孩子们，如果说这个地方不是二分不是二，而是三，该怎么处理呢？我们先看二哦，大家仔细观察一下这个地方，让我们求的是二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值。 我们再去算线段和的最小值的时候，从来不会涉及到系数不一样的，如果说系数不一样，我也得把它转化成系数一样的形式， 而转化二分之一，屁，那我们的方法太多了，那么这个时候我们用的是三六九三角形，孩子们听好，我们过 a 点在直线 l 的 下方做一条直线，使射线使得这个角啊等于三十度， 并且过 p 点做这条射线的垂线。假设垂足是 c， 孩子们，这个时候二分之一的 a p 是 不是就等于 p c 啊？那就相当于让我们算的是 p c 加上 p b 的 最小值， 而这个永远是垂直的。现在让我们算它的最小值，是不是等价于过 b 点做这条线的垂线，那么永远会满足 p c 加 p b 大 于等于 p c e 的。 那么当 p 点在这的时候，它就取到了最小值，而且 p 点在这的时候，你会发现二分之一的 a p 还是还是等于 c p 一 撇的， 对不对？那么这样子的话，我们就把二分之一 a p 给转化成了一个线段，把它给算出来了，那么这个我们就认为弧不规模型，或者称为外卖模型。那有的孩子说了，如果说不是二分之一呢？是三分之一呢？ 好孩子们如果说他是三分之一，那么我们仍然是在下方做一个射线，但是这个角是多少度我不知道了，但是我必须得使得这个角它的正弦值 是等于 c p 比上 a p 必须得等于三分之一的。 也就是说我们去研究这个模型的时候，这个系数是几，我画的这个角的正弦值就得等于几， 那这样子的话，你会发现我就可以将它转化成这样一段子，这是第一个，第二个，我们去研究这个活不规模型的时候， ip 的 系数必须得是比一小的， 那也就是说我们准确的来说研究的是 k 倍的 a p 加上 b p 的 最小值，其中 k 一定属于零到一的， 那么这样子的话，我们研究它的过程中就可以用弧不规在直线的下方做一个角就可以研究出来了。 这个弧不规模型对于我们来说很重要啊，大家要找清楚它的方法，我们经常会和菱形、矩形、正方形还有平行四边形结合起来一起去研究 啊。大家搞清楚这个胡不龟或者是卖外卖模型的特点，根据我们视频后面给大家准备的几道题，大家去感受一下，然后需要录播课的随时找我。
38数学陈老师
01:58查看AI文稿AI文稿沈阳七下的数学有三个绝对的难点，第一个就是三角线跟平线，第二个三角形，第三个轴对称。而且这三个难点的话，你会发现他在期中期末的时候是必出这个压轴题的。 那很多孩子在学的这个过程当中，是不是遇到了非常非常多的这个卡点？就比如说明明已经学了对顶角跟临补角，但是做题的时候就是看不出来， 尤其是几何条件一多，那咱们的这个几何逻辑直接就乱掉了，完全不知道我应该先写哪一步。三角形的内角和外角定义明明都知道公式，但是就是不知道我应该先算哪个角。一遇到轴对称的这个折叠问题，你会发现我就找不到这个相等的边跟相等的角了。 那所以说咱们家长啊，就一定要让孩子去学模型，相交线与平行线有五个模型，三角形的话有八个模型，全等三角形，它有七个模型 揉对称当中最难的就是将军印马模型，光这个模型的话它就会有五个变形，那像这些模型的话，我都已经全部都整理好了配套的专题，所以说有需要的家长的话，你可以直接在评论区里边冲我要一下 就行。那咱们家孩子只要把这些模型彻底的给他掌握了，那他做题的时候一看到这个几何图形，那一眼就能够识别出来 它对应的是哪个模型，这道题的套路是什么。那么快速的找出这个隐藏的这个边角关系，那他推理的步骤就会非常的条理清晰，那做题的时候再也不会卡住思路了，那所以说压轴题它难起来啊，它 真的是可以绕各种各样的知识点，然后层层嵌套在一起，就是为了为难孩子。但是你学透模型的话，其实就啥呀，让孩子再去吃透这个底层的原理，然后直接帮助咱们家孩子去解题。 所以说话不管说是期中期末啊，咱们遇上这个几何大题压轴难题的话，咱们家孩子都能够稳住心态，然后有思路有方法， 不会说，在对着这个题目发呆抠脑袋，然后轻轻松松的就能够拿下这个几何的分值，不拉分不丢分，那这样的话，咱们整个七年级的数学成绩，他是绝对能够稳稳的往上走的。
37沈阳数学孟老师
01:00查看AI文稿AI文稿二零二六年大连二模数学这套卷命题点出的决绝子，贴合今年辽宁中考的命题趋势。先说基础部分，选择填空前八题全是核心基础加易错陷阱，不偏不怪，但想满分，必须系心 中党题。十六到二十一题，重过程、重逻辑、重书写，特别强调步骤分，这和沈阳、大连近几年中考完全一致，重点看压轴二十二题几何综合、二次函数，完全是新情境加旧模型， 不考死套路，考的是知识迁移和临场发挥建模能力。这和杨老师第八期初中数学压轴题群的视频一脉相承。尤其是二十三题二次函数结合几何变换和二零二五年辽宁中考压轴题高度同源，但更灵活，整体难度、基础不送分， 中档不卡壳，压轴不偏怪，非常符合二零二六年中考稳中有变、素养保向的打方向。距离中考还有三周，想冲一百一十五加辽宁考生跟着杨老师第八期数学压轴题群的节奏，最后三周冲分，加油！
01:47:07
07:14查看AI文稿AI文稿沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频用了两种不同的方法给大家讲解的第二问，我相信大家收获一定会非常大，那么今天给大家讲解第三问， 那这个第三问，我也是用两种不同的方法给大家讲解，也是非常经典的模型。而当角 a、 b、 c 等于一百二十度， ab 的 延长线与 fe 啊交汇记点。 第一问，他让我们求角 b、 g、 e 的 度数，因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，那么这个角是不是等于六十度啊？ 我们要求这个角的度数，那不就是要求 b、 e、 g 的 度数吗？因为角 a、 b、 c 等于一百二十度，所以我们可以得到角 a、 d、 c 等于六十度，因为这两个角是互补的，又因为 ad 等于 dc， 所以说这个三角形它是一个等边三角形，那么三角形 d、 c、 f 也是一个等边三角形，所以我们可以得到角 a、 c、 d 也是六十度，角 d、 c、 f 也是六十度，那么这个角是不是一百二十度？ 所以我们很容易得到角 b、 a、 c， 它是等于角 e、 c、 f 的， 因为它们两个加上角 a、 c、 b 都是等于六十度， 又因为 a、 c 等于 c、 f， 那 么这个时候啊，就出现了一个非常经典的模型，一边一角，模型 就是一条边相等，并且有一个角它是相等的，那么这个时候我们很容易想到使另外一条边相等，构造全等三型，那我们很容易想到延长 c、 e 使得 c、 m 等于 ab， 那么这个时候是不是构造的全等三角形？三角形 b、 a、 c 和三角形 m、 c、 f 是 全等的，那么全等之后是不是可以得到角 abc 等于角 m 等于一百二十度，并且 bc 它等于 f， m， ab 等于 c， m， ab， 它又是等于 b、 e 的， 那么跟第二个问题是不是一样， c， m 等于 b， e， 又因为有一个公共边 c， e， 那 我们就可以得到 bc 等于 fm， 又因为 bc 等于 fm， 所以 我们就可以得到三角形 e， m， f 是 一个等幺三形，又因为这个顶角 m 等于一百二十度，那我们就可以得到角 f， e， m 等于三十度，所以说这个角 b、 e、 g， 它也是三十度， 那么最终我们是不是可以得到角 b， g， e 等于九十度，那么这个就是一边一角模型啊，是一道非常经典的模型，大家一定要掌握啊，在中考当中啊，考的非常多，尤其我们辽宁的中考啊，多次考察，大家一定要掌握。我们再来看一下第二问， 他告诉我们 ab 的 长度等于八， f， c， g 等于一百五十度，让我们刚刚已经得到了这个角为一百二十度， 这个角 b、 g， e 等于九十度，那我们是不是可以把角 ac g 求出来一百八十度，减出一百二十度，再减出一百五十度，是不是很容易得到角 ac， g， 它等于九十度啊？这个地方非常关键啊， a， b， c 等于一百二十度，所以说角 e， b、 g 等于六十度，大家发现没有，这个一百二十度，六十度啊，都是非常好的角。又因为三角形 a、 c、 g， 它是一个直角，三角形告诉我们 ab 的 长度， 那我们是不是很容易想到，我们要过 c 点向 a、 g 做垂线，因为 ab 等于八， e 也是等于八，那我们是不是可以解三角形 b g e， 那 我们就可以求出 b g 等于四 g， e 等于四倍的根号三，他让我们求 b c 的 长度，那我们现在设一下 b h 为 x， 设一个最小的线段， 那么 bc 就是 二 x， 那 我们要求 bc 的 长度，那我把 x 求出来就行了。那我们是不是要建立一个等式？三角形 a c， g 是 一个直角，三角形 c h 是 高，那么这个时候我们会出现相似，出现相似之后啊，那我们就可以用射影定律， 那么这个时候是不是可以得到 a c 的 平方等于 a h， 再乘以 a g， 这个哈是收敛定理哈，我建议初中的学生啊，一定要掌握，就这个定理啊，非常好正，你用一下相似就出来了，但是我们知道他，那我们这个思路一下子就来了，那么这个时候我们就可以读到 a c 的 平方，他应该是等于八，加上 x， 再乘以 a g， a g， 它应该是八，加上四等于十二，所以我们就可以得到九十六，加上十二 x， 那 我们要列一个等式，那我们是不是要想办法把 a、 c 用其他方式再表示出来，然后它们两个相等。 三角形 b h， c 当中 c h， 我 们是不可以求出来，这个角为六十度，那么 c h， 它应该是等于 b h 乘以贪金六十度， 所以说 c h 应该是等于根号三 x， 那 么在三角形 a h c 当中，我们可以用勾股逆理把 a c 的 平方也表示出来， 那么 a c 的 平方，它应该是等于 a h 的 平方，就是八，加上 x 的 平方，再加上 c h 的 平方，就加上三 x 平方，那么这两个式子它肯定是相等的。好，那我们把它展开，所以我们就可以得到 六十四加上 x 平方加上十六 x 加上三 x 平方等于十二 x 加上九十六，四 x 平方加上四 x 再减去三十二 等于零，所以我们就可以得到 x 平方加上 x 减去八等于零。那我们再用一下求根公式，就可以把 x 解出来， x 等于二， a 分 之负， b 加减根号下 b 的 平方减去四 a c， 所以 它应该是等于二分之负一加减根号三十三，负值舍掉啊，所以我们就可以得到二， x 应该是等于 根号三十三减去一，那么最终 b c 的 长度就等于根号三十三减去一。你看这个题是一道非常好的题吗？他首先用了一下三角函数，然后用射影定律和勾股定律啊建立等式关系，那么最终我们可以解出 x， 那 么这个题大家听懂了吗？ 关注孔老师，那么下期视频孔老师讲解第二种方法，这个方法不一样，它是完全不一样的思路，也是非常经典的模型，我们下期视频见。
04:56查看AI文稿AI文稿刚刚考完的二零二六辽宁省丹东市二模数学填空压轴第十五题，全校没几个同学做出来，看着是旋转难题，其实只考两个，中考必考模型 旋转不变性加直角三角形斜边中线性质，听懂这道题，中考几何最直直接通关！在读题之前，我们先简单的复习一下旋转的性质。 第一，旋转是一个全等变换，对应角、对应边全部相等。第二，旋转中心到对应点的距离都相等。第三，对应点与旋转中心的连线所形成的夹角都相等，都等于旋转角。 好，接下来我们先读题，干抓核心条件，如图，直角三角形 abc 角 bc 等于九十度， a， c 等于四， bc 等于二倍的根号十三。这样我们可以用勾股定律快速的得到 ab 的 长度等于六， 那么 d 为 ab 的 中点，那么这样我们就可以得到 a， d 等于三， b、 d 等于三。现在呢，将三角形 abc 绕着点 d 逆时针旋转一个 c， 它角度得到了三角形 a 撇 b 撇 c 撇。那么这个旋转角我们不知道，但是我们知道它旋转角是零到九十度， 而且根据旋转的性质，我们可以知道角 a 撇 d， a 其实就是那个旋转角 c， 它 好连接 c、 c 撇。若 c 撇 b 撇刚好经过点 a， 让我们计算 c、 c 撇的线段长度。首先我们可以利用旋转的性质得到 a 撇， c 撇 也等于四， a 撇 d 等于三， b 撇 d 也等于三。当我们标注完这些线段长度之后呢，你会发现两个特殊的数字，三和四， 而且我们发现三和四呢，还在一个直角三角形里，所以我们自然会联想到连接 c、 d 和 c 撇 d， 因为连接完之后呢，他俩的长度直接就是五， 这时候呢，细心的你就会发现，在地点出现了四条线段， a 撇 d， a、 d 长度都等于三， c 撇 d， c， d 长度都等于五，而且角 a 撇 d， a 等于角 c 撇 d， c， 这是一个很标准的旋转相似， 所以这时候我们自然想到把 a 撇 a 连起来，三角形 a 撇 d， a 和三角形 c 撇 d， c 就 相似，相似的原因呢是 s a s， 而且相似比正好是三比五， 所以 a 撇 a 比上 c 撇 c 就 等于三比五。那么我们只需要计算出 a 撇 a 的 长度，就可以利用相似比求出 c 撇 c 就 等于三比五。那么 a 撇 a 到底要怎么求呢？我们接着看， 我们观察地点呢，还会发现一个特点，也就是 d a 等于 d， a 撇等于 d b 撇，这时候呢，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的这个性质定律的逆定律， 我们就可以得到三角形 a 撇 a， b 撇是一个直角三角形，或者你也可以通过导角最终可以导到 a 撇 a， b 撇等于 九十度。这时候呢，题目当中就会出现一个共边共角母子形相似的特殊情况，也就是摄影定律的基本图形。我们看三角形 a 撇 b 撇 c 撇 a 撇 a 垂直于 b 撇 c， 这就是一个很标准的摄影定律的模型。所以我们直接利用三角形 a 撇 a， b 撇相似于三角形 a 撇 b 撇 c， 那 么相似的元音呢，也很简单，就是 a a， 然后利用对应边乘比例，我们就可以求出 a 撇 a 的 长度，最后将 a 撇 a 的 长度带入到上面的比例关系中，我们就可以求出 c 撇 c 的 长度等于十三分之二十倍的根号十三到这呢，这道题就计算完毕，因为时间原因，可能还有别的方法也可以解决这道题， 欢迎大家评论区进行交流。最后呢，我们把这道题呢做一个总结。这道二零二六丹东二模数学填空压轴题，核心考点就是，第一，旋转的三个性质。 第二，直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。第三，等腰三角形，旋转相似。第四，摄影定律知透这道题中考旋转几何题就掌握了一半。关注我丹东中考数学压轴题，一道一道给你讲透！
11:50查看AI文稿AI文稿今天呢，我们来讲一个模型，什么模型呢？半角模型， 那么为什么叫半角模型呢？咱看一下那么这个图形的特点，首先 a、 b、 c 的是正方形，那么正方形咱们就知道每个角都是九十度，那你看 b、 a 的 等于九十度，那么中间这个角 f、 a、 e 得四十五度。好了，那你看九十度，中间有一个四十五度，那么四十五度是九十度的一半，所以咱们把这个模型叫半角模型， 好叫半角模型啊。好了，那半角模型咱们一般怎么处理辅助线呢？为什么咱们讲一下这个半角模型呢？ 你们这次连线去二模十五题考察，就是一个半角模型的一个小变形啊，咱们讲一下半角模型你怎么处理，因为这是八年级非常经典的一个模型啊，不是很难比较套路的一个题，你要能听懂，下次你要能看见他就能会啊。咱们看一下半角模型怎么处理， 首先第一步构造，第一步全等，第一步全等怎么构造呢？咱们九年级也做过这种题，九年级咱们用的是旋转，但是如果用旋转吧，你得证明贡献， 那咱就不用旋转了，咱直接用截长补短的方法解决这个半角模型。好，那第一步怎么干呢？第一步， 第一步怎么看？你看的 e 在 这边， b f 在 这边，咱们半角模型的第一步是把的 e 想办法给它转移到 b f 这边， 所以呢， b、 f 这条线上，所以咱们用截长不短的形式怎么办呢？延长，延长 f b 就是 它的套路啊，延长 f b 至点 h， 延长 f b 至点 h， 使 d e 等于 b h 连接 a h 啊。第一步处理完，那有的同学说，那这么处理的目的是干什么呢？你看，我是 使 b h 等于的 e， 那 你看这两个边相等，然后正方形 a、 b、 c 的 a 的 和 ab 也相等， 那么又因为角的得九十度，然后呢， a、 b、 h 也得九十度，是不是？那非常好理解啊，因为 a、 b、 c 得九十度啊，所以它的角也是九十度。那么你看边角边，边角边，这两个三角边，这两个三角边是什么的 全等，是不是？所以我半角模型的第一步构造，第一步全等，就是三角形 a 就是 一，全等于三角形 a、 b、 h。 判定条件 s a s 好， 第一步全等，那么咱们半角模型要构造两次全等，那第二次全等就非常简单了。你看第二次全等， 这是第一次全等啊，第二次全等，你观察，咱们已经证明出 a、 d、 e 和 a、 b、 h 全等，那么所以我就得到的条件是， 角一得角二。 a、 e 等于 a、 h 啊，由全等可知。我就简写了，角一，它得角二啊，这是角一，写明显点啊， 这是角二，角一得角二。然后呢，由全等可知， a、 e 等于 a h 啊，那你观察， 继续观察啊，你看角一得角二，那么咱再看，咱再标一个角，咱设这个角是角三。那你看啊，原来我简化了， b、 a 的 得九十度， 那么 e、 a、 f 的 四十五度，所以我就能得到角一加角三等于多少度？四十五度，那现在角一又得角二了，所以角二角三就得四十五度，是不是？所以也就说明什么 f ha 角 fha 的 四十五度，那你再观察，已知条件告诉你， eaf 的 四十五度，所以现在有两个角相等，都是四十五度，再看 af 是 公共边。 刚刚证明出 a e 等于 a h， 所以 我又得到了第二次全等。哪两三次全等呢？又简化了啊，可正可正角 f a h 等于角 e a f 都得四十五度。那你看四十五四十五相等， e a 等于 h a f a 等于 f a， 所以 三角形我们就可证。 你就讲话可证什么呢？可证三角形 e a f 全等于三角形 h a f， 它们条件 s a s 没问题吧？你看 a h 等于 a e 四十五得四十五， a f 得 a f， 所以 这两个三角形全等，对不对？全等之后我就得到就可得 e f 等于 h f， 是 不是？哎，所以就证明出这个 它俩相等了，是吧？哎，证明出 f h 等于 e f 了。那么咱巴根基证的是啥呢？巴根基证的是什么呢？证明 e f 等于它俩相加。那现在就结论不就出来了吗？对不对？好了，那你看 f h 等于 b f 加什么 b h？ 你 看啊，我这脚还在这， 因为什么 f h 它等于 b f 加上 h b， 我 给你写上啊。可能说你跟不上，给你写上。那 f h 得谁呀？刚刚挣完呢，得 e f 啊，可以把 f h 换成 e f e f 不 动， 我做的是 h b 等于什么？等于根 e。 是 不是把，所以把 h b 换成根 e， 所以 就得到了八分之常考的一个结论。什么结论呢？就是 e f 等于这两个边之合，是不是 好？这是八分之非常经典的一个半角模型，要构造两侧全等。那么现在咱看连三区呢？二模十五题，这个 天空考的就是这个半角模型的一个小变形啊。那么咱解决一下这道题，我把这个题的主要题干 写在这了，你看你这条件，告诉你正方形 abc 的 abc 的 正方形，然后呢？ ab 的 三，就是说正方形的边上是三，接下来就告诉你的这个，这个 b f 的 e 啊，不是，这个 b e b f 的 e， 让咱求 e f 的 长啊。 b f 得一，这边得一， 这边得一啊，不是 b， 不是 b e 得一啊，是 b f 得一。好，那现在咱看， 如果你这半角模型你非常的熟悉，是不是？尤其是老师我做，做不完题，那你平时做题不熟啊？如果你非常熟的话，你一眼就能看出来呀，看出什么呀？看出这个 e f 等于什么？ 它俩之合啊，利用半角公式就能正啊，是不是我就不再正的了？那这个结论你就知道啊。 咦，这个半角公式是什么？ e f 等于 d e 加 b f 吗？对不对？好了，那所以 d e 不知道是不是，但是 b f 知道啊，那咱设一个未知数呗，求这个 e f， 咱们设 d e x， 舍得 e 为 x， 那 得 e 是 x， 那 么 ec 呢？就非常好表示了， ec 就 等于三点 x， 那 有的同学说，那这个 e f 线出来没？ e f 出来了， e f 咋表示啊？那 e f 不 等得 e 加 b f 吗？得 e 是 x， b f 是 一， x 加一吗？对不对？所以这个边是 x 加一，这个边是三减 x。 那 如果知道 f c， 那我就可以列勾股方程了，对不对？那 m c 非常简单呢？ b m 是 一正方形，边长是三，所以这边不就是二吗？是不是？所以在二 t 三角形，什么 二这三角形，这个 c e f 中根据勾的为得，是吧？所以 e f 方就等于 c f 方加上 c e 方，所以就有 x 加一的平方等于 c， f 是 二方，加上 c e 三减 x， 是 吧？好了，要平放，所以把这 x 解出来，那 e f 等于什么？ e f， e f 不 等于 x 加一吗？是不是？所以 e f 不 就出来了吗？对吧？非常的简单。那还是回到刚才的问题， 有的同学说考试作弊，那如果你非常熟悉这个半角模型，你非常的熟练，其实这道题你辅助线都不用做了，因为是一个填空题，你马上就能知道 e f 等于谁加谁呀？ e f 等于这两个边之合啊。刚才这结论已经给你证出来了，是不是填空你就不用再证一遍了。所以设得 e 是 x， e f 马上能表示 f 加一，然后 b f 是 一， c f 是 二，这边是三减 x 构方程 s 解出来， e f 的 x 加一，答案不就出来了吗？ 对不对？那你做题为啥慢呢？因为有一些你该会的形你都不熟，你在考场你都从头到尾推一遍，那当然慢了，是吧？所以这个能会的一些模型题必须 省会啊。好了，这道题半点模型够到两次全，等咱就给它解决完了。
04:57查看AI文稿AI文稿赶紧收藏一个视频带你看完中考几何四十八套模型，收藏起来慢慢看，看完绝对超值！ 中考几何模型一、双中点模型如果 m、 n 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点，不管点 c 如何变化， m n 始终等于二分之一 ab。 因为 m n 等于 mc， mc 是 mc 的 一半， mc 是 mc 的 一半，所以 m n 就 等于 ab 的 一半。中考几何模型二、双角平分线模型 若 o、 m、 o n 分 别为角 a、 o b， 角 p o b 的 平分线，那么角 m o n 始终等于二分之一角 a o b。 当 o p 在 角 a o b 内部的时候，角 m o n 等于角 m o p 加上角 n o b， 而角 m o p 和角 n o b 分 别为角 a o p 和角 p o b 的 一半， 所以角 m o n 相加就等于二分之一。角 a o b 外部的时候，角 m o n 等于角 n o b 减去角 m o p， 角 n o b 等于角 p o b 的 一半，角 m o p 等于角 p o a 的 一半，而 p o b 减去 p o a 正好等于角 a o b， 所以 角 m o n 等于二分之一角 a o b。 中考几何模型三、猪蹄模型若直线 m 平行于直线 n， 则阿尔法加贝塔等于伽马。证明方法非常简单，过点 h 做直线 m 的 平行线。根据平行线的传递性，可证明三条直线互相平行， 此时伽马被分成两个小角，这两个小角分别对应等于阿尔法和贝塔。中考几何模型四、铅笔头模型 模型结论，若直线 m 平行直线 n， 则阿尔法加贝塔再加伽马等于三百六十度。证明如下，过点 h 做直线，与直线 m 互相平行。根据平行线传递性，三条直线彼此平行，再根据两直线平行同旁内角互补， 得到两组互补内角相加总和就是三百六十度。中考几何模型五、鹰嘴模型如图，若直线 m 平行 n， 则角 c 等于角 a、 加角 b。 证明十分简单，只需要延长 a、 c。 根据两直线平行，同位角相等，得到角 b 等于外角，再利用三角形外角定里，外角等于角 a、 加角 b 直接得正。中考几何模型六、八字模型 先看普通版本，角 a、 加角 b 等于一百八十度，减去角 a、 o、 b、 角 c、 加角 d 等于一百八十度，减去角 c o d、 角 a、 o b 和角 c、 o、 d 是 对顶角，角度相等， 所以最终得出角 a、 加角 b 等于角 c、 加角 d。 再看进阶版本，利用普通八字模型结论进行推导即可。中考几何模型七、飞镖模型 普通版结论，角 a、 加角 b、 加角 c 等于外侧大角 d。 证明方法，连接内侧线段并延长外侧大角，分成两个外角，分别套用外角定里即可证明进阶版 就是两个普通飞镖模型叠加，证明思路完全一致。中考几何模型八、 a 字模型一共分为两种，正 a 模型和斜 a 模型。无论哪一种，核心都是三角形相似，对应边长成比例。 正 a 模型上下对应边，依次成比例。斜 a 模型找准对应边角，对应边长同样成比例。 做题务必分清类型，找准对应边，避免出错。中考几何模型九、老鹰抓小鸡模型模型结论，阿尔法加贝塔等于伽马加德尔塔。证明方法，连接内部两点，构造三角形，把阿尔法和贝塔转化为三角形，外角套用外角定理，直接证明 中考几何模型时，夹角高分模型， a、 e 为角平分线， a、 d 为高线，可快速求出两者夹角。当平行线遇见中点，会出现各类经典几何结论， 矩形三折翻折问题，找准线段关系，套用勾股定律即可求解大树折断经典题型， 结合生活场景，求出树木原本高度，蚂蚁爬行最短路径。掌握方法，轻松解题。对角线互相垂直的四边形，中点四边形一定是矩形，对角线相等，中点四边形直接变为菱形正方形。经典结论， e f 垂直 g h 就 一定能推出 e f 等于 g h。 快 速求解线段最值问题，对角互补模型，奔驰模型、飞马点模型全部梳理到位，熟记对应口诀，快速看懂衔接角定理， 一个视频看懂圆密定理全部用法，快速求解线段最直最短距离。中考必考一线三等角相似模型， 三角形相似经过旋转变形衍生各类考题。初中几何所有难题全部来源于各类模型的变形组合。关注我，掌握更多中考几何解析思路！
12张老师-学有方
01:56查看AI文稿AI文稿好，欢迎来看老师的全新更新的视频，接下来咱们将开启四十天的打卡挑战，每天吃透一个几何模型，觉得内容实用的话记得点赞、关注加收藏，跟着节奏稳不提升，咱们一起坚持学下去。今天我们要学习鸡爪模型啊，那么我们先简单看一下的鸡爪模型，就是在一个里有一个等腰 线段相等，中间角度是 ar， 那 很像鸡爪，就是再来一根线，短一点的线，这根线在里面或那面都可以。好，再来一根线，那么我们要做的就是将 a 一 也转 ar 角度，也转 ar 角度， 那么接下来就可以有手拉手拳的帮助我们做题啊。当然这个 a 一 在里面也是可以的。呃， ar 角度，如果 a 一 在里面也可以，那么我们继续转 ar 角度，在里面也是符合，那么它也有手拉手拳的，就可以帮助我们做题啊。好，然后我们看这道题， 这个题里面它给了 a、 b 三倍根号二， a、 c 为二，然后 b、 c 和 c、 d 是 一个等腰直角，然后求 a、 d 的 最大值，那么按照我们正我们的做法，我们就可以。哎，就按照我们的鸡爪模型的话，我们将 b、 a 也转九十度， b、 a 也转九十度，那么连起来它就会有手拉手全等。好，这一个也连起来， 这个是一啊，第一步手拉手就是 b、 d、 a 全等， bc 一 全等之后，就会有对应边相等， a、 d 和 e、 c 相等啊，那么接下来我们怎么做？怎么求，求 a、 d 最大，那就是 e、 c 最大，这里转的是九十度，我们用数据三倍根号二，三倍根号二，等腰直角的情况下，这个 a、 e 为六， ac 为二，那么我们要求 e c 的 最大值啊。 e c 有 三角形，它就小于两边之和， 只有当它三点共线的时候才会取到最大值等于号，所以这个最大值就是八。
205张博士讲数学
00:50查看AI文稿AI文稿初中数学最容易拉开差距的就是几何综合大题，题型一遍就理不清思路，单纯靠刷题很难掌握技巧，就给他准备这本初中几何模型图，描解几何再难，无非就考这六十个模型，初一八个模型，初二三十三个模型， 初三十九个模型，把它们提前吃透，初中三年的数学都不用愁了，像猪蹄模型、锯齿模型、八字模型、风筝模型、手拉手拳等模型，将军银马模型、 图不规模型等等，每个模型都有已知条件，辅助线怎么画、结论是什么，以及模型怎么证明的，都给你讲解的清清楚楚， 看不懂的还能扫码看视频讲解。最关键的是，他还用典型例题做了详细的剖析，辅助孩子更好的理解掌握模型。最后再搭配一本练习册，里面精选了各地考试真题，帮孩子巩固所学知识，学练结合，把这套书都吃透了，初中三年所有几何题，孩子就都不怕了！
11锦熙成长记
02:50查看AI文稿AI文稿前两天呢，有一个学生说，他们老师说了，在沈阳，我们这个数学模型不重要，现在考试不考啊，主要就是刷题，然后各个学校的模拟题，真题进行一个练习。那么这个观点呢，我是嗤之以鼻啊，觉得特别好笑， 那么再发这一期视频，当然这期视频的主题就是到底怎么去识别一个模型，怎么样做一个辅助线，在这个做这个视频 发这个啊主题之前，我还是好好的把沈阳的按摩题好写了一下，那么写完之后的感受呢，就是沈阳的这个按摩题，这个压轴题， 他的数学模型依然非常的重要。那这个道题很多同学可能就卡在第一问呢，其实第一问要是突破了，那么第二问，第三问真的是不是太难，给我的最贴切的感受。那我们看看这个沈阳的二模题，那么这个第一题啊啊，总结出来，其实就是一个一线三等角的模型，这个一线三等角其实他的本质 就是进行一个倒角，那么这个倒角出来之后啊，至于后面的辅助线，构造一个一线三等角的这么一个模型，那就 迎刃而解。所以说我们在进行备考，进行几何的这个突击训练的过程当中，我们一定要把这个模型当做呢重中之重。那么 到底怎么去识别模型，怎么去做辅助线，我呢给大家小小的总结了一下，那么今天是第一篇，就是关于一些常见题型的辅助线，比方说我们有这么一个题，那么这个题我们一看完之后，就知道它应该是一个加权型的 肺麻点问题，而肺麻点问题在我们平时的练习当中应该是非常常见，只不过它的难度系数加大了，我们对于肺麻点我们的处理还是进行一个旋转，那么在旋转的时候，我们要进一个加权系数，那么这里面设计了一些 旋转的这个边和角的比例啊，我们呃把这个东西拿下来就没问题。那么第二个题型呢，就是关于啊胡不归问题，那么关于这个胡不归问题，他的一个啊变异的形式啊，那么我们通过这么几道题来说明，首先是这么一道题 啊，还有这么个题，那么他两个呢，都是进一个胡不归的一个变形，而第一道题呢，是一个经经典的一个胡不归提一个系数，那么第二道题呢，他得用这个平行四边形进一个转化，转化之后，然后再构造平行四边形的一个形式 啊。那么第三类问题，就是关于垂线段最短的一个模型，这个模型呢，关于求线段的最值问题经常用到，而我们今天的这个两个例子呢，它主要是一个双动点问题，我们的原则还是把它转换成一个单动点问题，然后再用连到之间距离 呈现的最短啊这么一个思路。那么最后一个呢，就是这么个题，那么这个题呢，它的模型是什么？首先呢，第一个步呢，是很难看出来，经过啊仔细的分析之后，发现它是一个刮豆原理，所以我们呢一下做辅助线，刮豆一做就出来了。
03:46查看AI文稿AI文稿沈阳二模这次几何压轴题目出的真好，它是一道非常经典的中考常考的题型，我们上期视频第二问用到的一线三垂直模型，那么今天我用第二种方法给大家讲解 共顶点等腰相似模型，在中考数学当中也是一种非常常见的非常重要的模型，我们来看一下，因为角 a、 b、 c 等于九十度，又因为角 a、 b、 c 加上角 a、 d， c 等于一百八，那么这个角也是九十度， a、 d 等于 c、 d 啊。这两个三角形是折叠过来的三角形，所以我们就可以得到这个角为四十五度，这个角也是四十五度，那是不可以得到角 a、 c、 f 就是 九十度， 并且 ac 等于 cf， 那 我们是不是可以得到三角形 acf 是 一个等腰 r t 三角形，对吧？同理，又因为 ab 等于 b、 e， 那 么三角形 a、 b、 e， 它也是一个等腰 r、 t 三角形， 那我们是不是要连接 a、 e 啊？那么大家发现没有，两个顶角相等的等腰三角形，并且共了一个顶点，那么这个模型是不是跟手拉手模型很相似？ 但它不是手拉手模型啊，手拉手模型的话是共顶点共这个等腰三角形的这个顶点，那么一般会出现全等， 但这个模型很相似哈，我命名为共顶点等腰相似模型，那么有什么奥妙？我们来看一下，因为这两个等腰三角形顶角都是九十度，那是不是说明这两个等腰三角形肯定是相似的？ 所以说三角形 a、 b、 e， 它要相似于三角形 a、 c、 f 相似之后，我们是不可以得到边乘比例，那我们就可以得到 a、 b 比上 a、 c 等于 a、 e 比上 a、 f。 大家发现没有 a、 b、 c、 a、 e、 f， 那 不就是这两个三角形 a、 b、 c 和 a、 e、 f 的 两条边吗？对不对？又因为角 b、 a、 c 等于角 e、 f 顶角相等，并且夹这个角的两边成比例，那我们是不是可以得到三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 e、 f 就 相似的，你看是不是非常非常妙啊？ 共顶点等腰相似模型，它这个顶点啊，是这个等腰三角形的底角的这个顶点，那么这个时候就会出现两个相似，你看是不是非常非常的妙？那么这个时候我们是不是可以得到角 a、 e、 f 等于角 abc 等于九十度，这个角为九十度， 那我们是不是可以得到角 a、 e、 c 也为九十度？又因为 ab 等于 b、 e， 所以 这个角 a、 e、 c， 它应该是等于四十五度。那么最终我们是不是可以得到这个角 b、 e、 c 也等于四十五度，那么最终我们是不是可以得到 b、 g 等于 b、 e？ 好， 我把过程大概写一下，大家看一下这个方法是不是非常的妙，这个模型是不是也是很重要？ 这同样是第二问，我们用的不同的方法来做完全不一样，所以我希望大家在平时的学习过程中啊，尽量用到一题多解的思想。那么你做了一道题目，是不是相当于学了很多内容，那你能力肯定会提高，关注彭老师，那么下期视频啊，给大家讲。第三问。
