西宁二模数学答题技巧
同学们好，今天我们来讲解一下这个二零二六年锡林二魔解三角形的这道大题啊。我们可以看到，整道题出的就是比较的幼稚啊， 题目比较言简意赅，比如说第一问，他这个题干里面不是三倍的三 a 等于二倍的三 a、 c， 很 明显来个边角互化对不对？然后结合这个 a、 b、 c 乘等差竖列，然后套余弦定义，逆定义，就能得第一问，然后第二问呢，就是更简单，套个面积公式就结束了啊。好，我们来走一个流程啊。第一问 解，他说三项乘等差数列，那就满足等差中项就是中间的二倍等于前加后，也就是二 b 是 等于 a 加 c 的， 这是其一。 其二，他说三倍的三引 c 等于两啊，三倍的三引 a 等于两倍的三引 c， 很 明显可以进行一个边角互化，就全部处理成边的问题， 所以也就是三 a 等于二 c。 那 么接下来呢，不用去找什么关系啊，你直接赋值啊，直接赋值，但是这是一个大题，你赋值之前呢，你把它带个 t 字母啊，具体什么意思呢？请看我的操作。我们可以把 a 设计成二 t， a 设计成二 t 的 话， c 就 可以设计为三 t， 对 吧？那么 a 是 二 t， c 是 三 t 的 话，这个地方就相当于十个二 t 的 三 t 就是 五 t， 五 t 的 话， b 就 等于二分之五 t。 嗯，好了，哎，那早知道 a 整个四 t 对 不对？ 嗯，好，我看 a 等于二 t， c 等于三 t， 加起来是五 t， 然后 b 等于二分之五 t， 没有毛病。那么第一问，我们就可以套个余弦的一厘米可算 b 等于什么东西呢？等于 a 方加 c 方减 b 方除以个二 a c a 方，那就是四。二 t 的 平方减是四 t 方加上九 t 方减掉一个四分之二十五的 t 方， 除一个两倍的 a 是 二 t， 然后 c 是 三 t 啊，上下的 t 方我们就约掉，再不写了。然后我们看看答案是几啊。 九加四是十三，减去一个四分之二十五，除以二得四三四十二，我们可以上下同乘一个四，画一个减八十三，乘四的话是一个五十二，然后减去一个二十五，底下乘个四的话是四十八 五十二，减二十五的话是一个，嗯，二十七， 二十七，然后底下是一个四十八，我们可以除个 除个三啊，除个三上面是九啊，底下是十六。所以说第一问的答案就是十六分之九啊，第一问就结束了。好，我们接下来看一下这道题的第二问，我们先画一个，哎呦， 先画一个简短的示意图哈，当然这道题非常简单，其实不画图也能做啊。 abc， 我 们 b， 他 不是说等于五吗？那 b 等于五了之后，说明我们刚才的这个 t 就 应该是等于几的， t 应该是等于二了，是吧？ t 等于二了之后，那 c 就 马上就等于六， 马上就得六，然后 a 就 等于。哎，我刚才说 t 等于几来着啊？ t 等于二，那么 a 就 等于四哈，然后求三角形的面积。 这出题，这怎么回事啊？那解决它的面积呢？可以考虑用海伦公式，也可以正常的去算啊。嗯，我们科普一下海伦公式吧，其实大部分同学应该知道啊，但是用处不大啊，尽量别用啊。 呃， p 等于 a 加 b 加 c 除二， s 等于根号下 p 倍的 p 减 a， 然后 p 减 b， 然后 p 减 c。 哈，好，这题咱们还是正常的做吧。 嗯，先找个可算。哎，都不用找了，可算有啊，可算有啊，那把可算换成三就好了呀，对不对？你说，因为可算 b 等于十六分之九， 所以说三隐 b 就 能出，我们利用三隐方加括号，三方等于一，对不对？好，那就是根号下一减十六分之九的平方啊。然后呢，由于在这个解三角形当中， 那么 b 的 角一定是零到一百八，所以说三一定是正数，对不对？没有任何问题啊。好，接下来我们来进行一个计算。我写这啊，根号下 一减去十六的平方是二百五十六，然后九的平方是八十一，那就是二百五十六分之，然后用二百五十六去减去一个八十一，应该是一个一百七十五这样子的啊。 我按二五六开出来是十六一七五的话，一七五，我们考虑除不除的进啊？除的进，那就是五倍。 根号七。好，这就是三引就好了。所以 s 等于二分之一的 a， c 三引 b， 二分之一的 a 是 多少来着？ a 是 四， c 是 六，三引 b 是 十六分之五倍，根号七，我们把该约的约好。 嗯，这个和这个一约得个四，二四得八八分之六，八分之六就是一个四分之三，这还有一个五，那就是四分之十五倍。根号七， 应该就是这道题的正确答案了。
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00:37查看AI文稿AI文稿二模以后做好这三点题，分三十家不是难事。一、二模以后千万不要再盲目刷题，刷题要刷，但是主要是保温，这时候最重要的是复盘， 分析试卷，找到不入环节，分析十分的原因，读题错误，计算错误，步骤扣分，知识点掌握不牢固，找到自己的十分的原因之后及时进行总结。二、不要做无头苍蝇，就剩下二十几天，规划很重要，不是每天随便拿本作业就写写的，老板效率不高的一定要合理安排， 什么学科，花多少时间，语文的虚词诗词，英语高频词汇，物理公式等等。三、心态比什么都重要。这时候焦虑，患得患失，想赢怕输，兵家大忌，一定调整好节奏，相信自己，你能行！
160初高中数学克洛泽老师
08:54查看AI文稿AI文稿同学们好，这节课我们讲解一下西宁市初三二模数学的试题，这道题整体是偏简单的，但是有些题呢，我们还是有必要讲解一下，如果是特别简单的，我们就不再讲解，如果大家需要答案的话，可以私信我， 我们一起看一下这个第六题。这道这道题呢，主要考察的是正六边形的性质，如果大家在课堂上认真听讲的话，那这道题呢，是直接就秒掉了吧。如果是一个正六边形的话，我们习惯上是把对角线连起来， 那么他就能分割成六个正三角形，你看这个边长是二，那么这个小三角形，当然这个边长也是二了，因为这是正三角形。我们看一下第一问啊，中心角是六十度，中心角他想说的是这个小角啊，这个小角那当然是六十度了。 第二个呢是 b， 内角是一百二十度，他想表达的是这个正六边形，这样内角啊，一个内角是一百二十度，当然是了，对不对？ 因为一个角是六十度，两个加起来当然是一百二十度，当然大家也可以通过这个多边形，它的内角和求出来啊，然后除以六啊，就是一个内角，当然也可以通过外角，对吧？外角是三百六，那么一个外角呢，就是六十度，那么你看啊，这是一个外角，这就是六十度啊， 那所以说跟它相邻的这个角是不是就是一百二十度，因为邻布角嘛，大家都可以通过各种方法求出来啊。 我们再看一下 c， 边心距是一，那什么是边心距呢？就是从这个中心这做边的垂线，这个距离是多少？也就是等边三角形的高，那当然了，如果大家还是在课堂上，如果认真听讲的话，我们知道这个应该是根号三吧，我们把这个正三角形单独拉出来，这是二，对吧？做高的话，因为这是三十度， 那所以三十度对的直角边是前面的一半，所以这一半是一，而这个长的直角边是短的直角边的根号三倍吧，所以这个直接就是根号三， 然后他说的半径为二，半径是什么意思呢？半径他说的是外接圆的半径啊，因为从看这个中心这到各个顶点的距离都是圆的半径吧，因为外接圆吧， 这样的对不对？所以当然是二了，也就是这个正三角的边长啊，就是二，所以说我们选择 c 啊，因为选择错误的。我们再看一下第七题，这一次函数 y 一 和另外一个一次函数 y 二，它的图像告诉我们了，让我们判断正确的是那 a 选项 k， 对 于 k 来说，那就是 y 一 中的 k 吧， k 是 显然是小于零吧，因为它走二次相线，所以说 a 是 错误的。 我们看一下 b 选项 b 选项的话，它让我们判断小 a 的 正负，那我们看 y 二， y 二这条直线是 x 加 a， 而这个 a 呢，是不是与外轴的交点呢？明显是交在外轴的负半轴，所以说是个负值，所以说 b 也是 错误的。我们再看一下 c， c 的 话说当 x 等于二十， y 等于 y 二，那何时 y 等于 y 二呢？是不是他俩相交的时候啊？你看这个交点，这那明显横坐标，是不是 x 等于三的时候吧， y 一 才等于 y 二，所以说这个 c 也是错误的， 那当然我们就选 d 了，那 d 为什么对呢？你看他说的是 k x 加 b 大 于等于 x 加 a， 那 其实就是表达的 y 一 啊，大于等于 y 二吧，也就是 y 一， 这个图像何时比 y 二高啊？你看，明显是这段吧， 因为这是焦点的位置吧，是不是这个就是我们的 y 一， 看是不是比底下这个 y 二要高啊？那是不是横坐标要小于三呢？就是往左边，是不是？所以说 x 小 于等于三是，显然是正确的啊。选择 d， 我 们再看一下第八题， 下表是给了二次函数的部分 y 与 x 的 对应值，让判断下面结论正确的是看第一个， 这个二次函数图像对称轴是 x 等于一负一。那怎么看呢？我们观察一下啊，你看看这个，当 x 等于负二时， y 是 c， 当 x 等于零时， y 也是 c， 那 是不是纵坐标相等啊？大家想一下啊，对于一个二次函数来说， 为什么这两个点的纵坐标相等啊？是不是这两个点是关于对称轴对称的，那这个对称轴是不是 x 就 等于负一 啊？当怎么求中间的值？这课堂上大家如果认真听的话，也应该知道啊，就是零加上个负二比上二，这不就等于负一啊。 好，我们继续看，所以说这个一是正确的啊，我们再看一下这个二，让我们判断 abc 之几的正负，我们如何来看？当然我们可以自己描几个点啊，就能判断这个图像大致长什么样子了。我们先画一下，这个坐标系是 x 轴，这是 y 轴， 你看它经过什么呢？一个是经过零 c， 而这个 c 呢，它是一到二，也就是个正值吧起码，所以说它经过这个点， 然后对称轴呢，是 x 等于负一，刚才我们判断出来了啊，还有一个就是什么呢？经过负二 c， 那 负二 c， 那 负二大概在这，那 c 也是个正值，而且是对称的啊，所以说经过这两个点，而且当 x 等于几的时候啊？等于负二分之五的时候，对吧？我们找一下这个点坐标负二分之五吧，因为这是负二，那负二点五大概在这， 纵坐标是零，那显然在对称轴的左侧，你看它的图像是不是像长这个样子，也就是 x 越大， y 越大，那所以说它明显是开口朝下的吧，所以说 a 是 小于零的， 而这个 c 呢，那 c 的 话显然是大于零的，因为它告诉我们了这个 c 是 大于零的，对吧？那这个 b 呢？我们如何判断呢？是不是根据对称轴的正负啊？你看这个对称轴明显是负的，所以说 ab 是 不是同号啊？因为 ab 同号，对称轴是小于零的， ab 叶号对称轴大于零哈，所以说 b 也是小于零的吧。 那么 a 乘 b 乘 c， 是 不是显然是大于零的？那所以说二也是正确的。我们再看一下三， m 小 于 n， 这个 m 是 什么呢？ m 是 对应的负三的纵坐标吧，负三是不是应该在这 对应的纵坐标大概在这个位置啊？那还有 n 呢？ n 是 谁？ n 是 二对应的纵坐标，对不对？那二应该在哪呢？ 是不是二大致在这吧，那么谁对应的纵轴越大？那当然我们这个图可能是有误差，所以说我们从图像入手是不是有点不严谨？但是我们是不是有个结论呢？开口朝下的话，是不是谁离对称轴越远谁越小啊？ 那你看看这个负二，这个二离对数轴有多远，是不是有三的距离？因为这是负一啊，而这个负三距离这个负一是不是有二的距离？那显然这个是。当横坐标是二的时候，距离对数轴远，所以说它纵坐标确实是低的， 那么 n 是 小的，所以说 m 应该大于 n， 所以 说三是错误的。我们再看一下第四个， y 有 最小值，是 a 减 b 加 c， 这个显然是直接就是错误的啊，因为这开口勺下没有最小值，是不是？他想说的是什么呢？想说的有最大值啊，如果是最大值的话就对了，那显然这当 x 等于负一的时候，也就是当 x 等于对顺轴的时候 有最大值吧。那最好，呃，正好是，就是把 x 等于负一带进去，正好就是 a 减 b 加 c， 那 我们再看看第五个，当 x 是 零到一的时候， y 有 最小值 m， 那 我们看一下这个图像，零到一显然是这段吧，对不对？ 零到一，那起码是在外轴的右侧。那所以说当 x 越大，是不是 y 越小啊？那所以说当 x 等于一的时候，是不是它应该有最小值，是吧？因为要这段图像吗？ x 越大 y 越小啊，因为 x 最大值是一吗？那所以说它最小值应该是几啊？ 那 x 等于一的时候，纵坐标是没给，但是我们可以怎么办呢？你看 x 等于一，它是不是到这个对数轴的距离是几啊？是不是二啊？那我们关于对数轴对称， 是不是正好是 x 等于负三的时候哦？ x 等于负三，在这它对应的纵坐标是几啊？是不是 m？ 你看 x 等于一，还有 x 等于负三，它是关于对伸轴对称的啊，大家要注意，因为它到对伸轴都是二的距离，所以纵坐标应该是相等的。那所以说当 x 等于一的时候，确实纵坐标是 m， 此时当然 y 是 最小的啊，所以说五是正确的， 那么我们就选择一二五，所以说选择 b。 好 的，这节课我们就说到这里。
51K老师(河南)
18:53查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看一下这个二零二六年锡林二魔的立体几何大题啊。 本道题呢，难度系数比较低，可以说是历年来的难度系数最低档啊。他说有这么一个四轮锥，底下是一个直角梯形， a、 d 和我们的 bc 是 平行关系，而且 c、 b、 a 是 九十度，我们在这标一下，那呢，顺手这个地方也是九十度，是吧？ pa 和底面垂直，那么 pa 和整个底面的每一条线都垂直。呃， ab 等于 bc 等于二，分之 a， d 等于一，我们把数据填好， ab 的 长度是一， bc 的 长度是一，然后 a、 d 的 长度是二。呃，然后 pa 的 长度没有给第一问，他问 pc 和 cd 垂直， 我们给大家稍微画一下啊， pc 这条线和我们的 cd 这条线，这两条线呢，目前为止它是处于一个相交的关系，它让我们去挣这两条直线垂直。我们方案有如下的几种啊，我们来一一破解。 嗯，我们高三的同学们，复习立体几何一定要追求一题多解啊，不然的话，我们老师只用一个做法的话，这个在高考里面会吃大亏的。 法一，法一呢，就是找这两条线的长度啊，包括 p d， 包括 p d， 把 p d 长度也找出来，然后证明三条线的长度满足勾股定律，那可以这样垂直，对吧？这个思路也是行得通的。好，那我们实施一下 a、 c 的 长呢？大家都知道，这个肯定是根号二，不用我说，然后 cd 的 长，我们来给大家划一下， 一，一，二，我们挪，挪过来，挪下来啊，这是一，这是几，那就是一，这一移过来，所以这边是什么呢？根号二 好，根号二，所以 c、 d 的 长出来了，接下来我们看一下 p c 的 长，那么 a p 的 长这个题目当中没给我们可以设 a p 的 长为 t， 设 a p 的 长为 t 了之后，那这个 p c 的 长自然就是根号下替方加二 没有问题，因为 pa 和整个底面垂直， ac 在 底面上，所以 pa 和 ac 垂直啊。呃，根据勾股定律，根号下梯方加二，那这个 p d 长也是一个道理， pa 是 垂直 a d 的， 所以说这个地方是根号下 梯方加四，然后我们来看一下。呃， p， c， c， d， pd 这三条边的这个数量关系， 一个是根号二，一个是根号下梯方加二，一个是根号下梯方加四。我们把三个平方发现是可以满足勾股定律的，他的平方是几呢？他的平方是二，他的平方是一个梯方加二，他的平方是一个梯方加四啊，然后我们可以发现他加他是等于他的满足勾股定律，所以说垂直啊。 好，我现在把它擦掉。法一，我们就留个名就行了啊。通过这个勾股定力，我们看一下法二，线面垂直 初级者想问 pc 这条直线还是给大家标一下啊？嗯， pc 这条直线和 cd 这条直线垂直，那么我们可以通过线面垂直来得到实线， 我们会发现 cd 它和 pac 这个面挺像垂直的。 如果我们能证明 cd 和 pac 这个面垂直，那么目的也就自然达成了。 cd 和 pa 垂直，这是非常这个显而易见的，因为题目里说 pa 垂直于底面， a， b， c， d， 然后我们的 cd 又包含在 a， b， c， d 上，所以呢， pa 自然是和这个 c d 垂直，那么 c d 也就自然和 pa 垂直，这是一条，我们需要再找一条，因为大家都知道线面垂直需要正线垂直面内的两条相交直线，所以光 c、 d 垂直 pa 还不够，我们可以再来一条，比如说 c d 垂直于 a、 c， 那 么怎么去解决？可以根据数据去解决，我们刚才标过数据了哈， ab 等于一， bc 等于 e， a d 等于二，那么而且这是个直角，那这个地方是根号二，刚才这一块我们也给大家计算过了，这个地方是根号二，刚才算过啊，我们会发现根号二，根号二，二满足这个勾股定律，所以呢， c、 d 也就和我们的 a、 c 是 垂直关系。 最后别忘了一定要去交代一下，我们的 pa 和我们的 ac 是 相交于点 a 的， 这个不能忘，忘了就得扣分。所以我们的 cd 自然就和平面 pac 是 垂直的， 然后又因为我们的 pc 是 包含有平面 pac 的， 所以呢，我们的 cd 自然就和 pc 垂直，那么 pc 就 和 cd 自然垂直。这就是这道题的法二。好，我们接下来看法三， 法三基底， 这个是什么意思呢？我们给大家表述一下。嗯，大家都知道，空间向量当中啊，可以选三条不共面的来当基底， 然后借助这三条基底呢，可以表示其他的任何向量。大家注意，这三条基底不一定是垂直的啊，你可以随便选，比如说你选个 a c， a d， a p 都是可以的啊，只要它是不在一个平面上就行，至于垂直不垂直无所谓。 哎，我们把数据还是标上啊，这是一，这是一，这是二，然后呢， a p 的 场，不知道哈，接下来怎么去使用这个基底呢？我给大家展示一下。 那么出题者他不是想让我们证明这个 c p 啊， p 啊，这个 c p 和这个 cd 是 垂直关系吗？是吧？ 好，我们一个一来，比如说我们把 c、 d 用我们的肌底给它转化出来，那 c、 d 如何转化成肌底呢？ c、 d 向量，同学们，是不是等于 c、 b 向量加上 b a 向量，再加上一个 a d 向量，这一点是毋庸置疑的。 接下来啊， c、 b 是 我们的基底吗？不是，因为我们选的是 a b， a d， a p 啊，那所以说 b c 呢啊，这个 c、 b 就 换成基底，怎么换？ c、 b 和 ad 是 有关系的，我们发现 c、 b 的 长是 ad 的 长的一半，而且还是平行的，但是要值得注意的是， c、 b 和 ad 是 反着的，所以说 c a、 b 要写成负二分之一的 ad， 然后 b a， 我 们要的基底是 ab， 是 吧？所以说呢， b a， 我 们就写成这个负的 ab 啊， 好，写成负的 ab， 然后 ad 保留 a、 d 画个点和平同的一项二分之一的 a d 减去 a b 啊，这就是我们写出来的 c、 d 这个距离。 接下来我们继续写我们的这个 pc 啊，或者说这个 c p 啊， cp 吧， pc 都一样啊，都一个画 pc， 我 们可以通过 pa 加 ac， 当然减法啊，向量的减法，熟练掌握的同学就写减法，效率会高啊。 pa 呢，是基底吗？ pa 是 ap 这个基底的反方向啊，所以写成负 ap， 然后加 ac。 接下来呢，我们就想办法把这个 a、 c 和 g、 d 挂上钩，可以做个平行四边形啊，大家能看得出来吧，相当于是我做了一个 a、 b， c h 这样的一个平行四边形，甚至是个正方形啊，所以 a c 向量是等于 ab 加 a h， 负 a p 加 a c， 刚才我们说等于什么呢？等于这个 a b 加 a h 啊， a b 加 a h， a h， 我 一次性写成二分之一的 a d 吧。 好，这就是我们的 pc 向量就写完了。接下来出题者要我们去证明，这个 pc 和这个 cd 是 垂直的，我们可以借助两个向量的点积为零来得到实线 pc 点成 cd。 嗯， pc 我 们刚才写的是什么呢？写的是这个负 ap 加 ab 加二分之一的 ad 乘以 cd， 那 就是二分之一的 ad 减去一个 ab。 接下来我们括号打开啊， ap 和 ad 一 碰头 就不用写了，因为 ap 和 ad 还有什么 ab 啊，这三条线是两两互相垂直的，一碰头就是点七为零啊。所以说什么 apad 再不写了， apab 也就不再写了， a b a d 不 再写了，然后这个地方是个啥？这个地方是个负的 ab 方啊，这个要写一写，然后这是什么呢？这是四分之一的 a d 方，这个要写一写，然后其他的碰头都是零啊。好，接下来我们把数据往里面待一待， 大家都知道向量方等于向量的模的方， ab 的 模式几一，那一的平方还是一，那就是负一，这一个 a d 的 模式几是二二的平方四四再乘四分之一得一，然后等于零。 所以得出结论，我们的 p c 确实和我们 c d 是 垂直的，这就是这种题的思路三。好，接下来我继续查找 我们换思路四。这道题虽然说简单哈，但是我们为什么要讲这么多，是因为想构建这个 给一套完整的线线垂直的证明逻辑啊。我们给出四个方法，我们在高和当中就能这个随机应对啊，此法不通，我就马上换路吗？间隙， 好，由于这些是拿来互相垂直的，我们刚才已经论这个啊，我们就给它间隙。那么我们用的是这个右手啊，右手坐标系啊，所以这个 ab 方向是 x 轴， 这个是 y 轴，这个是 z 轴。细线完了之后，我们就直接上来就写坐标啊，他要正的那两个垂直。我先，哎呦，咋这么粗，我给大家描描一下啊， ok， 来， p 的 坐标是什么？是零零 t， 因为 a p 的 长度给是多少？没给是吧？然后 c 的 坐标还记得吗？应该是个幺幺零啊，我再不标了，这个地方的坐标应该是个零二零。好，我们现在把这些该写的向量写出来， 那么 p c 向量， p c 向量就是 c 的 去减，去 p 的 终点减起点嘛，幺幺零，减去零零 t 就 得幺幺负 t， 然后再搞一个 c、 d 就 好了呀， c d 就是 d 的 减 c 的， d 的 减 c 的， 也就是负一，然后一，然后零，然后我们将 p c 和 c、 d 进行一个点击，横乘横，然后加纵乘纵，然后数乘除，没有就不写了，然后等于零， 所以 pc 和 cd 垂直啊，这就是法四。这以上就是我们在立体几何当中这两条直线垂直，那么最常用的四种解决思路就是这样。 好的同学们，我们接下来看一下这道题的一个第二问啊，嗯，他说 a 杠、 p、 c、 d， 我 把这几个顶点标一下啊， a 杠， p， c、 d 这四个点所形成的是个三轮锥啊。然后大家对这种题已经见得多的麻木掉了，直接就肯定是要换底的， 他把 a 当顶点， p， c， d 当底面，这个底面也不太好算，高更不好算了啊。所以我们把它换成 v p 杠 a， c， d 啊， v a 杠 p， c， d 给它换成 v p 杠 a， c， d， 这样就稍微好算一点。我们把数据标一下啊，幺幺，根号二，这是二，这是根号二，刚才都是算过的，底下是个等腰直角三型 s， a、 c、 d 的 面积等于根号二乘，根号二乘二分之一，也就是等于一， 所以 v 等于三分之一的 s h， s 是 一， h 不知道，然后等于这个三分之一，所以现在 h 知道了 h 等于几一。 那么我们按这个 p 杠 a、 c、 d 去算的话，那个高肯定是 pa 啊。因为我们知道 pa 和整个底面是垂直的，这是题目的已知信息，所以说这个东西等于一。 那么接下来我们看一下，他问的又问的是什么东西啊？他问的是这个 pc 和 pa 啊，我把这个猜一下，给大家标一下啊， pc 这个东西和我们的谁呢？ pa 所成的夹角的正切值。那么这种题啊，就是求向量角，主要的思路有两种法，一是几何法， 就是不去间隙啊。但是大家要知道，一般情况下能用几何法做出来的这个立体几何，尤其是第二纹，都是比较水的啊，那么这道题也不出意外啊，水都不能再水了。嗯， 用几何法的话，那就要从这个 c 点往这个平面啊，往我这个平面角是不是做垂线嘛？我要去找这个线面角是不是做垂线？那垂线都不用做，就是 c b 啊，为啥就是 c b 呢？那我们想 c b 和 ab 垂直吗？垂直呗，这是题目的信息。 c b 和 pa 垂直吗？垂直，因为 pa 垂直地面， c b 在 地面上，所以 pa 和 c b 垂直，所以 b c g 和 ab 垂直，还和 pa 垂直，所以 c a b 和这个平面内的两条相交直线垂直，所以 c b 和整个平面垂直 啊。那既然和整个平面垂直了之后，那所以我们过 c 点往这个 pa b 面上做垂线垂足，就自然是 b。 然后呢，那所以说线面角很容易就知道就是谁啊？就是 cpb， 就是 我们的线面角 c， 它，那接下来我们解决这个角的正切值了，就相当容易了，来个对边比上里面就好了。这个数据我记得是一吧， 然后我看这是一，这是一，这就是根号二啊，而且这还是个直角，因为 c b 和整个底面垂直的，那么 c b 自然就和 p b 也是垂直的， 所以说 c b p 是 直角三角形，那么 c 塔的对边比零边就是一，比根号二就是 f 这个号。好，接下来我们看一下法，二，就是间隙， 我们把刚才的过程全部擦掉，现在我们来给它建上一个细， 嗯，那就这样，这样这样啊，我们采取的是右手系，所以这是 x， 这是 y， 然后这是 z， 然后计算这个平面的发向量以及 pc 的 向量。当然这个平面的发向量就太过于简单啊，不用见啊，不用，不用求，因为 p a b 它是处于 x 和 z 所构成的平面内，所以外轴上的东西都是它的发向量，所以 它的发向量我们直接编一个在外轴上的就行了，比如说零和零。好，这个发向量就好了。接下来就求一下这个 pc p 的 坐标是多少呢？ p 的 坐标应该是零零幺啊，然后 c 的 坐标的话应该是个幺幺零哈，所以说我们的 pc 向量就是一个 c 的， 像 p 的， 那就是幺，然后幺，然后负幺，紧接着给这个东西来个点击除，什么机？触摸机？ cosine p c 法向量。就是啊，你也可以不加啊，点击触摸键，那就是横乘横一乘零，不写了啊，纵乘纵一乘一，然后竖乘竖负一乘零，不用写了，整个加下来就乘一。 摩羯呢，他的模式一我们就不写了，他的模式根号下三就是根号三，你要化简化就是三分的高三，那可以说，哎，为啥不对呢？那这个地方就要注意，有一个小小的细节就有点阴啊，希望大家这次考试没有被阴到。 嗯，这是 c， 这是 p， 这是一个平面的方向量。我们现在算的什么？算的是这个角的和弦是吧？这个角的和弦 cosine 怎么 cosine 怎么搞？零边比斜边啊。那么这段就相当于是个根号三，这段呢，就相当于是个三啊，这段就是根号六。 那么这个初级者问的是什么？这个 pc 和这个平面，对吧？在这儿，所以 这道题的最终答案应该是这个角的正切值，那就对边比零边根号三，比根号六，所以是根号二分之一，所以是二分之根号二， 所以说这里要从这个三分之三转化到这来。这个地方确实有点阴啊，平时我们做的这种其实很少，你看平时我们大部分遇到的问题是啥？线面角的那个，那个正弦值比较多一点啊？今天问的是正切值。好，本道题到此结束。
04:02查看AI文稿AI文稿初中数学考试啊，万能的答题技巧，考场能够直接用！明天啊，二模考试了，今天我在这里再啰嗦几句啊，之前也就重复给大家说了好几遍了。考前五分钟，一定要先浏览全卷，分清简单题、中档题、压轴题，心里规划做题的顺序， 把公式易混的知识点在草稿纸上快速的写一遍，防止考卷上忘记了。第二个就是选择题的技巧，第一个就是代入法，把选项直接代入题目验算，比硬算要快很多。第二个，排除法， 先排除明显错误的选项，缩小它的范围。第三个，特殊指法，遇到代数式函数，不懂式，代零一负一，简单的这些数秒出答案。 第四个，估值法，几何的长度，角度，不用精算，看图估算，排除。第五个，不会的题一定不要空着，绝对不能留白凭直觉选一个。 第三个，填空题的技巧等。腰三角形，直角三角形，方程动点一定要考虑多种情况，注意单位正负号取值范围，整数的限制。 结果一定要化成最简的讲分式约分，根式的化简分数，你不约分，你肯定直接扣分的，能够用特殊图形特殊位置秒杀的，不用常规硬算。 第四个，解答题通用的技巧，步骤分，一定要拿满，大题是按步骤给分，哪怕结果错，过程写对也是能答 一大半的分的。第二个，先写解，证明格式规范，不跳步，不省略关键的理由。 第三个，不会做，也写相关的公式列式，能蹭步骤分。第四个，做完立刻带入验算 方程啊，应用题一定要检验。第五个，计算题，解方程一定要变号啊！第二个，一向 就是必须要变号的，不懂事，系数化为一，负数要反转，不懂号。第三个，分式方程必须写，检验分母不能为零，一定不能忘。第六个， 几何题的技巧，一个先标图，把已知的角边长相等的线段给它标在图上，一目了然。实在不会的角度，咱用量角器量，大概知道个呃方向。 第二个，像那个辅助线，不会做的像正点连正线，角平分线做垂线，平行线，我就是什么截线段。第三个，证明题，按照条件、定理、结论去写， 条理清晰才能不扣分。像折叠旋转动点，抓住不变的边长，不变的角度进行解析。应用题，比如说方程类的，还有函数类的， 先设未知数，再找等量关系列式子。实际问题，字面量的范围必须要写，结果要符合实际啊，比如说人数的长度不能为负，小数是不是？第三个，最值问题，看顶点，看区间，端点看整数点。第八个，考场的时间分配， 选择填空题，大概二十五分钟左右到三十分钟啊，不纠结难题。第二个，争当解答题，稳做稳拿分。压轴题，先做前两小问，最后一问，能写多少写多少。 第三个，留十分钟，整体检查有没有漏题，有没有看错数的，有没有符号出错了，单位我漏写的， 呃，有没有多结，我少写了的。那么最后再整体检查一下，先查正负号，小数点抄错的数，再查有没有漏解，漏单位，漏范围， 呃，向大题看步骤，我缺不缺格式，规不规范。总之，希望大家明天考出一个好成绩！
61初中数学胡老师
04:57查看AI文稿AI文稿讲解的是省实验二模的第十五题。如图，平面直角坐标系中，点 g 的 坐标是零到二，在半径为四的圆与 x 轴交于 a、 b 两点，半径是四，所以 c、 g 的 长就等于四， 于 y 轴交于 c， d 两点 e 是 圆记上移动点 c、 f 垂直， a， e 于点 g， 那 么这里有两个动点，一个 e 在 圆周上运动，还有动点 f 随之运动。在运动的过程中，角 afc 等于九十度。由于 a 和 c 都是定点， f 是 动点，但是满足角 afc 等于九十度，说明角 afc， 它是在以 a、 c 为直径的圆周上运动，因为 九十度的圆周角所对的弦是直径，那么接下来我们就可以以 a、 c 为直径，以 a、 c 为直径作圆， 那么 f 就 在这个圆周上运动。那么想求 cf 的 最小值，那就转化成了 点圆问题，点到圆上的最大距离和最小距离， 那这标准的一线一箭穿心问题了，那我们就要找到这个圆，以 a、 c 为直径的这个圆的圆心好，找到 a、 c 的 中点 o 撇，它就是圆心，那么过点 o 撇和 g 做一条直线， 与圆周有两个交点，一个在右下边，一个在左上角，那么这里分别是 c、 f 最小值，这个 c、 f 就是 最大值，那么这个最值就可以最小值，那就可以用半径 o 撇 f 减 o 撇 g， 那 就要求半径如何求半径， 其中给了这个 g， c 等于四，那连结 a g 大 圆的半径 a g 也等于四，那么 g 的 坐标零度二，那 o g 就 等于二，所以角 c a o 等于三十度， 接下来那么这个角就等于六十度。 三角形 a g c 就是 顶角为六十一百二十度的 等腰三角形，它的三边之比是一比一，比根号三，所以 a、 c 的 长就等于四倍，根号三，那所以小圆 o 片的半径就等于二倍，根号三。那么接下来我们还要求 o 撇儿 g 的 长， o 撇儿 g 的 长如何求 o 撇儿 g 的 长？它在三角形 a、 c、 c 中， o 撇儿是 a、 c 的 中点。等腰三角形三线合一，所以这里也是九十度角。 a、 g、 c 一 百二十度，所以上面角 a、 c、 g 就 等于三十度三角形。 c 撇儿 c， o 撇 g 中三十度角所对的直角边等于斜边的一半， g， c 是 四，所以 o 撇 g 就 等于二，那所以 这里的 c f 一， 也就是 c f 的 最小值，它等于半径二倍，根号三减 o 撇 g 的 长减二，那么 c f 的 最大值， 也就是这里的 g f 二，它等于 o 撇 f， 也就是半径加上 o 撇 g， 也就是二， 也就是二倍，根号三加二，所以 f g 的 最小值就是二倍，根号三减二，最大值是二倍，根号三加二，这里是一线穿心问题。
36数学仝老师
10:46查看AI文稿AI文稿如果我说有一种题型，高考强考，而作为青海高中生的你，听都没听过，你学还是不学？而他就出现在这次二模的导数题中，没错，就是端点验证法。第一种两问啊，第一问就是横乘地球三，第二问是不等式的证明。先看第一问， 那么大多数同学看到第一问这个横乘地球三，就会想到什么呢？就会想到参变分离， 就是说因为 x 大 于零，所以我把 x 除过去，变成 f x 除以 x， 然后呢，我去求这个新函数的最值，去得到 a 的 取值范围，那么这样做在一般的题里是没有问题的，那这道题会出问题，为什么呢？因为到最后你会发现你需要把零带入进去， 那么我如果把零带进去，就是捞零加一除以零，哎，你会发现这个值它没有意义啊，对吧？所以我们得不到这个值的 是啥啊？当然如果你学习过诺必达的话啊，诺必达法则的话啊，这个指你是知道的，那么这里我就不再过多赘述啊，那么他真正想考察你的是什么呢？是端点 验证法啊，或者说叫端点效应。那什么是端点验证法呢？就是说当题目给我这样一个事件，我先对它进行处理一下 啊，那我把 f x 也一并带入进去，就是说 a x 减绕引 x 加一，等于。 首先解释一下什么叫端点验证法，就是说对于这样一个事件，我们不要直接去讨论，或者说参点分离，我们可以先干嘛？先看一看这个函数 他在给定区间上的端点值是多少？你看题目的给定区间是零到正无穷，那端点是什么？显然就是这个零吧，我把这个零带进去看一下， 哎，那这道题这个零等于零减零刚好是零。哎，如果端点值能满足等于零这种情况，它刚好是一个临界情况的话， 我们就考虑这道题可能会使用端点验证法。啊，好，那什么是端点验证法？当我们发现有这样一个条件，我们先画一个图， 你想啊，现在让题目给我们这个条件是不是转化成这样，那是不是就等价于 j x 大 于零， 然后去求 a 的 平方，那既然让 j x 大 于零，现在我知道 j 零等于零， 那是不是在零以后我得增呀？我不能减呀，能理解这个事吗？首先这是 g x 的 图啊，现在我知道这个 g 零是等于零的。再强调一下， 你想，如果我这个零往后我开始单调递减了，那是不是显然不对啊？是吧，我至少零以后我得增嘛， 对吧？那我们就求导研究一下，导函数 j 导 x 呢？等于 a 减 x 加一分之一。 好，这个函数很明显是一个单调递增的函数，为什么呢？因为 x 加一分之一是单调递减的，那么负的 x 加一分之一就是单调递增的。 你想，我既然为了让零往后我得是增的，那么最起码这个 j 倒零，它得大于等于零吧。 因为如果知道零比零小的话，那圆函数在这个零附近，是不是他会单调递减就不是我们想要的吗？能理解这个什么？ 好，那我们把这个来求一下，把零带住，那就是 a 减一要大于等于零，那我们就能得到 a 大 于等于一。如果你记得这道题答案的话，你会发现这道题答案就是 a 大 于等于一， 但是啊，写到这一步还不能完啊，为什么呢？因为我们其实只证明了必要。什么意思？就是说，我现在心里明白，最起码 a 得大于等于一，但这个是不是答案是需要我去验证的？怎么验证呢？我就得验证高 a 大 于等于一时啊，这个 g x 啊，它确实比零大，也就是说这个式子，题目里的这个式子，它的成立， 如果我能证明出来，那说明 a 大 于等于一，就是答案啊，这一步必须要有，不然是没有分数的。嗯，那怎么证明呢？看，因为这个 g 到 x， 它是单调递增，它是不是大于 g 到零啊？ 那 j 导零呢？又大于等于零，我就推出导函数是恒正的。那既然导函数恒正，是不说明 j x 单调递增啊，那 j x 是 不是就大于 j 零啊， 对吧？那 j 零的值呢？刚好是零哎，所以我就证明出了 j x 大 于零到 a 大 于等于一的时候是成立的。哎，所以说 a 大 于这个参数的曲子范围呢，就是一道重无穷好看。第二个， 第二个是一个不等式的证明。在以后啊，尤其是在最后两题，一定要记住一句话啊，什么话呢？就是 没有无缘无故的。 第一问什么意思啊？就是说，如果有三问的话，前两问大概率是为了第三问做铺垫的，也就是说，我需要用到前面的结论。 那这道题有两问，第二问就有可能会需要用到第一问的结论。第一问，我们得到什么？我们得到 a 的 范围是一到正无穷式，能得到一个式子，什么式子？ a x 大 于 f， x 是 成立的。 对， f 是 谁让我带一下 a x 大 于 n， x 加一，那我就想办法往这个不等式上去凑吧，对吧？但那我可能看着这个右边最好凑，我可能会怎么想？我就令这个 x 等于 n 减一， 左边是 a 倍的 n 减一大于 n， 你 会发现右边确实出来了，但左边 a 倍的 n 减一是不是不搭边啊？ 因为左边是很多像求和嘛，所以说这样做就不对嘛，我们就先凑左边，而不是先去凑右边。我们看一下，左边是 n 分 之一加 n 加一分之一，一直加到 n 方分之一。那我就一下想凑嘛，我先看一下 n 分 之一怎么来的？ 这个记怎么来的呢？就是当 a 等于一时， x 大 于烙印 x 加一， 那我就令这个 x 等于 n 分 之一嘛。得到什么呢？ n 分 之一是大于烙印。多问一下， n 分 之一加一就是 n 分 之 n 加一嘛？ 我再令这个 x 等于 n 加一分之一， n 分 之 n 加一分之一呢，就大于烙印 n 加一分之 n 加二，对吧？然后我就一直往下写，我最后就令 x 等于 n 方分之一，因为最后一项是 n 方分之一嘛。 n 方分之一呢，就大于这个烙印 n 方分之 n 方加一。 哎，那左边是不是要累加起来呀？那我就累加一下，累加完的就是 n 分 之一加 n 加一分之一，一直加到 n 方分之一。右边呢？大于。 呃，我们先看两项啊，那绕名 n 加一除以 n 加上绕名 n 加二除以 n 加一，是不是可以合并啊？你想合并完之后是不是 lo 零 n 加一除以 n 乘上 n 加一分之 n 加二，这样是不是约掉了？那 n 加二具体跟啥吵的话，是不是这些全部约掉了，最后剩谁？分母的 n 方也没了？剩一个 n 方加一，对吧？那就是 lo n 方加一减去烙印 n， 我 再把它拆开。啊，那它呢？它是不是跟这个烙印 n 可能就 有关系啊？那我就要想办法把这个东西放缩成和烙印 n 相关。怎么放缩呢？我们要对它进行处理。你想啊，这个相当于被减数，它是一个单调递增的函数。 那烙印 n 方加一是不是肯定比烙印 n 方大呀？啊？那后面的这个烙印 n 我 不变，你想烙印 n 方减烙印 n， 是 不是？烙印 n 方除以 n， 那 不就是烙印 n 吗？ 对吧？所以说这个不等式我们就就没完了啊，就是这样一道题目。
75万万数学
08:29查看AI文稿AI文稿各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。
41伍斌的数学思维
02:00查看AI文稿AI文稿二模考试之后，数学学科应该如何规划再做提升？李老师给大家分享一下经验。 第一，我们一定要分析一下这个试卷扣分的主要原因，你是粗心马虎了？还是说这个知识点存在一些漏洞，还是说难题的这个部分我们就没有经过学习和练习？ 第二，一定要抓重点，分析完问题之后，一定要回归基础，再加专题练习。我们知道数学的最高境界就是要把会的全部做对，所以基础题一定要全部都拿到分。 第三，一定要抓专题，不熟悉的专题，比如说二十一题元，二十二题解直角三角形和二十三题依次函数。每天练习两道题，重点是要分析好它的解析思路。 第四，一定要控制时间。昨天数学刚考完，有同学跟老师说，老师二十五题我是会做的，但是我们说完卷子了，我才把那道题写完。所以， 所以我们非常明显的感知到，今年的中考数学一定会让大部分的同学在会做题的基础上时间不够，所以我们要做到的就是 基础和中等题熟练练习，压缩时间，给压轴题留有很多足够的时间去解题。 所以我们的最终目标是一百分钟之内，我们的基础题全对中等题全对 压轴题，量力而行。第一问必须得分，第二问，尽量把所有的步骤都写全面，思路要清晰。第三问不要纠结计算，计算量非常大，重点写步骤，加油中考生！
24芥茉Carol
07:34查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一道中考模拟题，这是一道选择压轴，呃，这道题啊，动口性比较强，考察了正方形的各个知识，以及三角函数还有相似等各方面。那我们先来读题，如图，在正方形 a， b， c， d 中点 e， 在 线段 d， c 上连接 a， e， b， d 相交于点 f 点 g 呢，是在 a、 e 的 延长线上连接 d j， 若 g， d 等于 g f， 且它的角 a， f， b 等于四，则 d j 比上 a、 e， 它的值是多少？ 那这道题呢，首先咱们观察一下啊，是一个正方形，然后呢，有一些这个边的等的关系，以及啊，三角函数这样一个值，那么这里面呢，没有边的具体的长度， 那所以说呢，这种题一般说是设参数啊，适而不求，那或者呢是另某一些边的长度啊，干脆直接为一就可以了啊，因为是选择题啊，选择填空这样的题呢，都可以这样来设， 那咱们先来看一下，找一下这个突破口，那这呢， g， d 等于 g， f 这个等幺，那另外呢，还有参数的 a， f， b 等于四， 哎，这呢， afb 这个单点型啊，它不是一个直角单点型，所以说咱们需要构造，那一般来讲就是做垂直啊，没有其他的，这个没有太多的其他方法。 那咱们看一下，如果说直接过点 a 做 bf 的 垂线啊，其实这样呢，没有必要，为什么呢？因为有正方形，咱们其实可以直接连接 ac 啊，这样呢，直接连接 ac 呢，自然会产生一个直角， 连接 a、 c 中呢，咱们交 b， d 于 o， 那 这样呢，自然就是垂直的啊，这是正方形的一些特点，那所以说三角形 a o， f 啊，它就是一个直角三角，那这样的话呢，它这个角 a f b 等于四，那么咱们可以令 o f 等于一，那这呢，一般如果说大写的话呢，可以令 o f 等于 a， 那 因为这呢是选择填空，咱们其实令 o f 等于一啊，是比较好算的啊，接下来各方面都比较简变 好，那这样的话呢， a o 呢，就等于四啊，因为弹起的这个角呢，是啊，这个四，那四比一，所以呢，这个一，这个就是四，所以 对等线 a c 自然是等于八啊，这个呢非常明显，那 b d 呢，也等于八。另外呢，咱们还可以直接通过这个一比一比根二这样一个关系，得到了这个正方形的各个边，它的长度 都等于四倍的根二，这个呢也比较好求，咱们就略过，直接写结果。好，接下来再看一下啊，要求 d g 比成 a e， 那 我们需要把 d g 还有 a e 这个长度给它表示出来，那当然，这样呢， d g 是 等于 g f 的 啊，如果表示一下 g f 也可以，那既然这有垂直了，咱们想想，刚才也说过了啊，这是个等腰，咱们不妨过点这样再做一个垂直， 那么立刻有了一个三线合一，就这样呢，假设是要垂直为 h， 一个呢，是这样呢，是垂直的。再一个呢， f h 和 h d 都是相等的，那其实刚才这个 o f 等于一， 那 a o o c 等于四，其实 b o o d 啊，哎，也等于四，就是 o c b o， 还有这个 o d 呢，都等于四，那 o f 等于的话呢，咱们可以得到 d f 就 等于三，那 三线合一， h d 呢，是垂直于这个底边的，所以说呢，它就平分这个底边，所以说呢，这个 f h 啊，还有 h d 呢，都等于二分之三。 好，这样一个关系。那另外呢，咱们再来看一下这个要求， a e 怎么去表示这个 a e， 既然 a d 等于四了，如果说能表示出来这个 d e， 那 么 a e 就 能求了，这个 d e 怎么求呢？哎，咱们这呢，可以另一个相似 啊，因为有正方形，这样一个平行就出一个相似，就是三菱形 d e f 和三菱形 b a f 相似啊，这个呢，也是在正方形当中比较常用的啊，非常常用。那这样呢，咱们看一下，应该是对应边乘以比例， d e 比上 ab 等于 df 比上 f 啊，这个呢就非常明确了， df 呢是等于三的，而 f b 呢啊，这没写。咱们 f b 呢，应该等于 o f 是 一， o b 呢，是这个 四啊，所以说呢，是一加四等于五。哎，所以啊，这个 d e 比上 ab 乘以五分之三， ab 呢是 a b 的 话，应该是四倍的根二。好，四倍根二乘以五分之三，就等于五分之十二倍的根二。那这样呢，咱们把 d 表示出来， 接下来咱就可以表示 a e 了，那 a e 的 话，直接固定点啊， a e 呢，就等于根号下啊，这个方加这个方就是 a 地方，再加上地方，咱们把 d 一 啊，还有 a d 啊， a d 呢，这也有了，咱们直接代入，然后呢计算啊，那这样的话，咱们可以再然后呢，再开方就可以得到这个长度呢，是等于五分之八倍的根下十七。 好，这个呢计算咱们一定要过直接写结果。好，这样的话呢，求得了 a e， 那 么下一步呢，要求的是啊，这个 d j d g， 其实呢，咱们可以用 f g， 为什么要用 f g 呢啊？因为这呢有一个对角，这垂直，这垂直，这个 a f o 和 g f h 相色，哎，这个相似呢，可以另一下， 那因为这个相似比呢，就是这个边比这个边应该是一比上二分之三啊，一比二分之三，那相当于这个边比这个边呢，也是一个一比二分之三。那咱们这样呢，需要把 af 求下啊，这个 af 呢比较简单， 呃，直接就是这样呢，是个四， a o 是 四， f o 呢是一，它就是一个根下十七，所以说啊， af 就是 根下十七，比上 f g 啊，这个边比这个边等于这个边比这个边呢是一比上二分之三啊，通过这个化简计算，咱们可以得到，那么 f g 的 长度呢，就是 二分之三倍的根下十七啊，通过这个比例关系就知道了。那么这样的话呢， d g 比上 a e 啊，就可以算了，那因为 d g 呢是等于 f g 的， 那就相当于二分之三倍的根下十七，然后再比上 a e a 一 的长度呢，是五分之八倍的根下十七，那这呢根下十七约掉了，就二分之三，再乘以八分之五，也等于十五比十六。那么这个答案呢，就是选 a， 那 这个题啊就得到了解决。好，感谢大家收看，再见。
14老马数学空间
03:18查看AI文稿AI文稿今天带大家刷一下二零二六西宁市初三二模数学试卷来，同学们，今天咱们看一下西宁市二零二六年初三二模试卷，好吧，这个试卷整体它是没有任何难度的。来，第一个， 足球的质量超过即为正，不足即为负。那他说最接近标准质量的是就是最接近一的，好吧，那第一题选不会选项，第二题结果是负数的是，那这个一定是正数，这个一定是正数，这个里面看到平方一定是正数。 来选 c 选项，整体难度没有特别难。第三个，他说甲乙丙丁四名同学射击成绩如图所示， 在比赛中成绩又好又稳定的是来看他给了平，平均成绩，成绩又好的那八点五咱们一定排除了，然后这个方差剩了一个 ab， 方差越小越稳定。好吧，这个是咱们的口诀， a 选项直接写上。第四个， 图形变换，包括平移、旋转、对称轴相似。下列图形中过程可用平移现象解释的是，那平移现象解释的，咱们不就是 a 吗？很简单啊，很简单。来。第五个， x 加 y 的 平方根。来，这个很明显就是零加零模型，咱们初一学过的，咱们初一学过的，好吧，来，我给大家演示一下 啊。 x 加二 y 等于二十九，好，这是第一个式子。第二个式子二 x 加 y 等于三十一，好，这俩式子来组合成三 y， x 加三 y 就 等于六十，好，我得到了什么？ x y 不 就等于二十吗？ x y 等于二十。平方根下来之后选不为选项，好吧，不为选项 不会算的，下去之后自己算。第六题，正方形边长是二，这个正方形中结论错误的是，那你看它的中心角，不就是 n 等于三百六十分之六，就等于六十度，好吧。 正确来，内角是部位选项，内角是一百二十度，对吧？那咱们可以简单画一个，可以简单画一个， 你看整体七百二十度，内角分个除以一个六，对吧？下来就是一百二十度，没问题啊，没问题。第三个边心距，那看边心距，他是什么？从他的距离是这个啊， 他的边长是二的话，那这个距离是一。来，我单独画出一个图像，这个是一，对吧？这个是六十度，这个是九十度。三十度左对边是斜边的一半，所以他的斜边就是二。 那你看他的变心句就是根号三，可以吗？来，变心句，根号三。 c 选项错误，半径是二，正确。好吧，半径是二正确。 来关注小李老师下期讲一下七八以及填空题。好吧，整体这套卷子是没有任何难度的散会。
00:32查看AI文稿AI文稿二模考试结束了，很多孩子反馈在各科上丢分五到十分， 如果咱们孩子在这个范围之内，请不要着急批评孩子。就拿数学举例，基础题占百分之五十，但是基础题隐蔽条件比较多，中等难度题占百分之三十， 中等难度题是跨模块迁移，能力要求比较高。如果想让孩子三十天之内逆袭，领取提分攻略，下午三点直播间。
25新哥说教育
02:58查看AI文稿AI文稿初三的二模出成绩了，那么你是在关心你的成绩还是关心你那些不会做的题呢？我们来看一下数学里边第十一个选择题， 我们来学习一下他，呃，我们看他给出的条件和要求的条件，那么他们两个呢？和他是差了两个数，和他也差了两个数，这个是差减两个数，这个加两个数。 那么我们看观察到这个关系以后，我们就可以用换元的方法来代替我们要求的这个 m 减去二千零二十四括入的平方，然后我们再用完全平方公式来展开，就能巧妙的算出它的值，那么我们来解一下解， 设 m 减二零二四，它等于 a， 然后带入以后，我们用 a 来代替它，以后我们就多减了两个数，那么我们把多减的那两个数加回来， 然后加上一个，我们要用 a 来代替它的话，我们就少减了两个数，那么我们把少减的那两个数呢？再减去， 这样就把它变成了 m 减二千零二十四，再减个二，就等于减二千零二十六，那么它的平方等于四十， 我们再用完全平方公式把它展开，它是 a 的 平方，加上一个 b 的 平方是四，再加上它是 a 的 平方，减二 a b， 然后加上一个 b 的 平方，二的平方，然后等于四十。那么我们看一下 a 的 平方和 a 的 平方，他们俩合并同类项是二， a 的 平方加 二， a 乘以二减二， a 乘以二，那么他们两个相的合并的时候就没有了，这加了四，这加了个四，那么一共是加了八， 然后他就等于四十，他等于四十。现在我们来看一下 a 的 平方等于多少呢？ a 的 平方他就减这个方程就行了。 a 的 平方呢，他等于四十减八三十二，三十二除以二等于十六。 那么也就说我们就巧妙的算出了他的平方 m 减去二千零二十四，他的平方呢，就等于十六。那么 c 对 里外选 c， 同学们不要光盯着你的分，去看看我们哪有漏洞可以补一下，我们可以中考拿一个更高的分。 这选择题呢，一共有十二个题，但是他前几个题是不难的啊，我拿六年级的孩子去试做了一下，今天中午从十二点零四一直做到十二点十一，他就能做了七个题，全对了。
01:49查看AI文稿AI文稿这两天总有学生问我，刘老师，二模各区基本上都考完了，哪些区的题值得刷一刷呢？那今天呢，我就来给大家聊一聊语文一定要去刷和平的试卷，和平的语文试卷出的真的是太好了，他出的非常思变，也是咱中考的出题方向。 数学呢，刷刷南开区的。南开区出的数学试卷考的全是中考范围之内的，但是很多孩子在考场上会感觉如坐针毡，这是为什么呢？ 就是因为这次考试出题很灵活，计算量呢又非常大，以前是给 a 求 b， 现在呢，是给 b 求 a， 非常考验孩子的倒推能力。 南开区的数学试卷值得所有的孩子在考前刷两遍，让孩子找到这个考点，从不同的方位去考的话，该怎么去推理英语这个学科呢？单选去刷和平的阅读，刷河西和和平的作文，刷河西和河东的 物理一定要刷刷南开的。哎，南开区的这个试卷，很多孩子考完之后呢，觉得并没有那么难，但是这套试卷非常有区分度，化学要去刷刷和平和和谐的 和平，文字量大，河西图像多，这都是中考化学为难孩子的方向，所以也要让孩子在中考之前把化学的和平和河西的试卷至少刷两遍。道法历史刷难开的这两科给孩子的感觉就是，我好像在书里看过，但是呢，我用书里的原话回答不了， 所以很考验孩子的总结规划能力，以后道法和历史考书上原话的概率会越来越少，他肯定是更希望孩子通过自己的理解去写出答案。这就是南开区二模试卷的一个答题风格，甚至南开区的历史，还考察了天津本土话， 这一定是天津中考的出题方向。看你们手里的二模试卷全吗？刘老师已经把二模各区所有的试卷都整理完了，没有的来找我。
02:34查看AI文稿AI文稿好，同学们好，我们来讲这样一道联合题，二模数学压轴题的最后一题，如图，平行四边 a、 b、 c、 d 顶点 a、 d 分 别在 e、 f、 g 上 e、 f、 g 上 b、 c。 求 s 四边形 a、 b、 c、 d 比上 s 三角形 e、 f、 g 的 最大值。拿到这样一个题目啊，其实看到这个题目，我们知道它一定脱不开 e x 平行 a， b 平行 c、 d， 那 交 a、 d 与 i， 那这样的话，我们找找他们的比例关系。可以找这一段，我们要是我们令 f h 等于一， f h 等于一， f、 b 等于 x， 那 这样的话 b、 h 就 等于一减 x， 那 a、 r、 n 也是一减 x。 好， 那这样我来找 s 三角形 a、 b、 f， 因为这个 a、 b、 h、 i 这个四边形我们不好找，我们可以通过先找 a、 f、 b 的 面积， a、 e、 i 的 面积跟 e、 f、 h 的 关系，我们先这样去找 a、 f、 b 比上 s 三角形 e、 f、 h 的 面积。比就等于什么呢？对应边比的平方就是 x 比一的平方， 那同样 s 三角形 a、 e、 i 比上 s 三角形 e、 f、 h 就 等于对应边 e 减 x 比上 e 的 平方 好，那这样我们要求的是这个四边形 a、 b、 h、 i 的 面积占 e、 f、 h 面积的面积面积关系，我们就通过可以通过单位一减去它的面积，减去它的面积，也就是一减。我们要求的这个 s、 a、 b、 h、 i 就 等于一减 x 比一的平方减，一减 x 比一的平方上的这个就是 e、 a、 b、 h、 i 所占 e、 f、 h 的 面积里，那就等于我们划点一下，一减去 x 平方减去 x 平方加二 x 减一就等于负二 x 平方加二 x， 那我们知道这是一个一元方程，对称轴是负二， a 分 之 b 开口向下，这样负二分之 b 就是 二分之一开口向下的一个。那我们同时我们知道 x 呢？因为这一段 f b 是 x， 这一段 f、 h 是 一，因此 x 要大于零，小于一，在这样一个范围内取得最大值。只有在 x 等于二分之一的时候， x 等于二分之一，我们可以取得最大值是多少？负二乘以四分之一，负二分之一加一，也就是等于二分之一，也就是我们得到得到这样一组关系， a、 b、 h、 i 占 e、 f、 h 的 面积的最大值是二分之一。同样的，因为右边跟左边是对称的，相相对的，成比例的关系，那这个面积占 s 三角形的面积依然是二分之一的关系。因此 a、 b、 c、 d 占 e、 f、 h 的 e、 f、 g 面积的最大值就是二分之一，你听懂了吗？
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