人教数学必修二立体几何课后习题
好，同学们，咱们今天来看一道去年的例题，几何高考真题。这个题目我想给大家 讲的一个点就是如果大家在高一第二学期发现一些题目的第二问，第三问不好做的时候，大家其实可以去尝试间戏法， 那这个间隙虽然是在往后的课程中才会学的，但是原理其实也比较简单。我们以这个题为 d 来看一下。第一问，它让我们证明一个常规的面面垂直给我们给了 pa 垂直于底面， ab 垂直于 ad， 那 这个很简单， 我们知道 pa 垂直于底面，所以可以得到 pa 垂直于 ad， 又因为 ab 垂直于 ad， 所以 ad 就 会垂直于 pa b 这个面， a， d 又在 p a， d 这个面内，所以面面垂直。第一问很简单，那第二问，我们发现他给我们给了 p a， p b， b， c， a， d 的 长。第一小问让我们证明的是点 o 在 a， b， c， d 内， o 是 谁？ o 是 那个球的球心。那这个题怎么做？大家其实一眼想上去，没有思路，我们就可以尝试间隙。 所谓间隙，在立体几何中呢，就肯定不能去建平面直角坐标系，而要去构建的是一个空间直角坐标系。 所谓空间直角坐标系，它其实就是比平面直角坐标系多了一个轴，叫 z 轴，我们按照这样的顺序， x， y， z 哎，这个方向，它两两互相垂直，就构建这个系。 这个图中我们发现 pa 垂直于 ab， pa 也垂直于 ad， 所以 正好可以以 pa ab ad 去构造空间直角坐标系。 好，我们来写一下。首先我们要先说清楚它的 x、 y、 z 的 三个轴的正方向，所以我们说以 a 为坐标原点， ab 向量，这个是方向， ad 向量也是方向， ap 向量也是方向，建立 空间直角坐标系。那么这个题的第一问就变成了一个很简单的步骤，因为他要说的是 o， 如果要在 a、 b、 c、 d 面内，那其实就是要去解这个点， o， 他的数坐标就这个 z 坐标为零， 不管他是几度几度零，他必须得是零。那么这个题目就结束了，我们来看一下 b 点坐标，我们可以直接去写出来他的 坐标，因为他在 x 轴上，所以我 b 点坐标肯定是 y 坐标和 z 坐标都是零，他只有横坐标，横坐标是几？他说 ab 的 长是根号二，那所以就是根号二逗零逗零。 c 点坐标，我们观察这个 c 点，他是说 bc 的 长是二， 但这个方向的二是在沿着 y 轴方向，所以代表的是他的纵坐标为二。横坐标是沿着 x 轴方向，那么他应该和 ab 是 一样长， 所以它的横坐标也是根号二，纵坐标为二。竖坐标呢？它是指在这个相当于是 x、 o、 y 平面内，那所以它肯定是没有竖坐标的，它在数值方向上没有一个延展，所以应该是根号二逗二逗零。 然后我们可以继续去写地点，地点坐标，横坐标为零，竖坐标为零，它就只有纵坐标多长，一加根号三，还有个屁坐标，还有在 z 轴上的就零逗零逗 很好二。那么球心具有什么性质呢？那是不是球心这个点到这四个点的距离都相等，所以我们可以直接去写 o b 的 模等于 oc 的 模等于 o， d 的 模 等于 o p 的 两点之间距离公式，我们这个地方直接把它拓展成三维的，其实就是从二维是 x 一 减 x 二的平方，加 y 一 减 y 二的平方开根号啊，三维就是再给他多一个 z 一 减 z 二是一模一样的，设出来点 o 的 坐标为 a、 b、 c， 那 么就是 a 减根号二的平方，再加上 b 的 平方，再加上 c 的 平，这就是相当于是 o b 的 距离，那么它会等于 o c 的 距离。 o c 就是 a 减根号二 的平方，再加上 b 减二的平方，再加上 c 的 平方，那么这个式子中我们可以解出来这个 b， b， b 解出来应该是一，然后我们再去解剩下两个东西， o d 和 o p， o d 的 话，应该是 a 的 平方，再加 b 减一减根号三的平方， 再加 c 的 平方，等于 a 的 平方加 b 的 平方加 c 减根号二的，我们这个地方可以解出来 c， 因为 b 是 一，我们解出来 c 应该是零， 那需不需要减 a 呢？其实不需要减 a 了，因为我们只需要知道点 p 啊，这个点 o 的 竖坐标，这个 z 坐标，它是零，那就代表着它一定不会在 数值方向上有一个延展，那就代表着它只能落在这个 x o y 平面内，因为这个 z 坐标为零，所以 o 就 永远在 x o y 平面内， o 在 a、 b、 c、 d 内。这第一问就证明结束了，那么这个第二问他其实在我们高一现在也会有非常高频次的出现概率，所以我们现在要看一下，如果考试的过程中你找不到 a c 与 p o 这两个线，它怎么去夹的时候，我们就完全可以通过间隙去解决。好，那我们因为第二问要用点 o 的 坐标，所以我们根据第一问的东西继续把它解出来，点 o 坐标，再去连立一个式子，我们可以得到 点 o 的 坐标为零到一到零，那么第二问我们就只需要表示。大家注意一下第二问，它是有一个规定的步骤，我们只需要表示 ac 向量， ac 向量和 之前学的平面向量是一个做法，就只是多了一个 z 坐标而已。 a c 向量就应该是 c 减去 a 根号二减零，根号二零，二减零是二，零减零是零。还有一个 o p 向量 p o 向量，它是零到一到负根号二， 那么一样，我们要求的是假角的余弦值，我们要求的假角余弦值，那么这个 cosine theta 就 会等于数量级除以模之级， a， c 乘以 po， 再除以它们的模， a， c 的 模乘以 po 的 模， a， c 的 模是多少呢？那就还是一样，两点之间距离公式，根号二的平方加二的平方加零的平方开根号 就是根号六，再乘以 p o 的 模式一的平方加根号二的平方开根号，那么数量积这地方，大家只需要把它乘进去，它乘它加它乘它加它乘它，一模一样，所以我们最后它只有一个二，那么最后这个答案就三分之根号二。
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02:15查看AI文稿AI文稿假期在预习高一下就是 b 修二这本书的时候，你只需要预习两张就可以了，就是第六张和第八张，因为第七张、第九张、第十张这三张内容和高一其他章节比来说，就是一加一等于二，根本就不值得你花太多时间。首先说第六张向量这一张，它在高考当中一般是出一道小题，这个大题是在正余弦定理，这在 在以前六道大题的时候，他是必考的，一般就是第一题或者第二题，现在六千五有可能去掉了，也就说按照我们原来高考的习惯，这个第六张自己就占了一道大题，一道小题就是十八分打底。那第八张立体几何的一道大题，一道小题，而且这道大题大概是不会去掉的，因为六道大题当中他算比较特别的一个，所以说这一张自己也至少占了十八分， 这两张加起来在高考当中占了三十六分，你说重不重要？第七张复数这个东西，上学你就跟着听一遍就行了，这道题就一道小题五分，不是第一题就第二题一体生成得到，所以根本不需要专门花时间预习。第 九章和第十章往往不单独命题，他是跟高二的统计联合这么命题的，所以他占的篇幅是很小，所以这两张到后面学的时候，你就跟着学校学一遍就差不多了。 重点一定是放在第六章第八章上。那第六章难点就有两个地方，一个是向量的数量机，这向量数量机这图形多方法多运算又比较困难，所以很多人到这块就卡住了，但是这是一个重难点，你一定要花大量时间去突破，再 就是正弦定律的大题要是出的话，他算是几道大题当中最简单的一个，所以比较好拿下。你一定要把大题写的非常熟练，但是因为他结合的知识点比较多，比方说高一上学期的很多三角的公式基本不等式，你要尽可能在假期的时候把这个正弦定律的大题 归类，包括方法给他提取明白了，还有立体几何，考大题的时候，这个几何法非常非常重要，每一次都一定要强调，你不能光等着高二上学。空间向量只会间隙 立体几何这道大题，他一般第一问是证明，第二问是求值，就是求角度或者距离，第二问的这个求值是用空间向量比较简单，但是往往第一问的话就是几何法正比较简单，你几何法几步就出来了，有的人间隙证明的话，他就非常麻烦。 所以在假期时间不太充分的时候，你预习高一下学期只是三个地方比较重要，一个是向量的数量积，一个是正弦定律大题，还有就是立体几何大题， 你把这三个如果假期拿的差不多，下学期学就比较轻松，而且高一下学期这个必修二这本书算是五本书上最简单的一本书，因为真正有难度的只有这么两张内容，所以它属于占的分多，但是难点和重点又比较少，是比较好把握的。
3082小孟哥数学（周中晚间直播）
12:53查看AI文稿AI文稿十分钟带你拿下考试必考的垂直，证明所有题型！一个万种方法带你解决线面垂直、线线垂直到面面垂直的所有题型。听完我这节课啊，考试全是人齐分数，嘎嘎齐！首先是线线垂直问题， 咱核心就是找一个线面垂直，比如说我要证这个直线 l 与 bc 垂直，那 l 和 bc 这个异面直线题目一般不会告诉你它很坏。咱们通过证明 l 垂直 ab 以及 l 垂直 ac， 这样整个 l 是 不是就垂垂平面 r 法了，从而得到了 l 垂直另外一个直线 bc。 那如何正线面垂直呢？咱就是要找两个线线垂直，特别好找，比如我要正 l 垂垂平面 r 法，那咱就在 r 法里面找两个相交直线 m 和 n， 它们分别和 l 垂直 l 垂垂 m， l 垂垂 n。 然后呢，大体你再稍微说一下， m、 n 都在 r 法里面，同时 m 和 n 呀，是相交直线的，这样直接得到了 l 垂垂 r 法。 而最后这个面面垂直啊，更简单了，咱直接找一个线面垂直，在其中一个面里面找一条线和另外一个平面垂直。比如咱找到了哎， a 垂直阿尔法，然后这个直线 a 又在贝塔里面，那直接阿尔法垂直贝塔 这些方法适用于所有的考试真题以及高考真题。那接下来我们实操一下，赶紧截图呀，愣着干嘛嘞！ 首先是线面垂直套路，就是找两个线线垂直，所有的题啊，都是套路，我只要在平面里面找两个交线都和这个直线垂直，那就线面垂直了。好，直接看题，第一题给了个四棱锥，然后底面 a、 b、 c， d 是 菱形，菱形什么垂直？请扣在弹幕里，对角线垂直，所以赶紧先连接下 b d， 还告诉了你 p a 是 垂直底面的，那 p a 是 不是和底面任意一个线都垂直了呀？相当于 p a 就是 我这个几何体的定海神针了。然后 e f 入中点，让你证明 b d 垂直平面， p a， c， p c 这个平面给它画一下哦，证明这个蓝线和红面垂直，我只需要在这个红面里面找两个线和它垂直，两个线垂直即可了。哎，题目已经告诉了 p a 垂直底面 a， b， c， d， 那 所以第一个线就是 p a 垂直于 b d， nice， 而第二个线呢，是菱形哎，菱形咱是不是又可以得到了啊？这个 b、 d 是 垂直于 a c 的 哎，我一不小心这道题就拿满分了。你看这个 b， d 啊，已经垂直于两个 a c 和 p k 了，那是不是已经找到两个线平行了？然后你再说明一下，两个直线是相交的，所以直接 b、 d 垂直于平面， p a， c 满分到手。这些题啊，所有详细的过程我会放在本节课的最后，咱们先讲方法。 ok， 接着赶紧看第二个题，还是一个线面垂直 四棱锥这玩意 p a 垂直，这，哎，又是一个 p a 垂直平面了。 ok， p a 是 一个定海神针，那说明 p a 和平面的任何一个直线都垂直。然后给了这么多条件，说白了， a d 平行 bc， 然后底面的 b a， d 九十度哦，底面是一个直角梯形，它的这些直角边眼分别是一一一二。 好，最后让我正这个 dc 垂直平面 p a， c， 哎，线面垂直还是找两个线垂直在哪个平面呢？ p a c 里面找两个线和 d c 都垂直，来，咱看一下嘛， d c 在 这， 而 p a c 呢，是我的这个弧面，这个弧面里面是不是已经有了一个 p a 垂直 c d 啊？啊？因为根据线面垂直的性质，所以第一个线垂直已经找到啦， 而第二个，各位小小们，大家猜一下，这个 c d 它是和 pc 垂直呢？还是和 ac 垂直呀？底面是个直角梯形咱都知道了，所以底面这个垂直肯定是能正出来的。那所以第二个条件其实就是，哎， cd 垂直于 ac 了。 ok， 这个其实是一个垂直的小妙招，在这种一一二的直角梯形里面，它的对角线和这个斜边是垂直的，我给大家简简简单正 来，先把它的平面图形画出来，把一个立体几何问题转化成平面几何问题，它是直角，然后这个是一一二。我家猫都看出来 c d 怎么算呀，它是不是就等于 啊，这里再做一个平行， ok， 这个是一，这个是一，那一一根二， c d 就是 根号二，漂亮。 然后我们连接 ac， 小 子看好了，这一笔会很帅，那这个 ac 一 一，哎，又是一个根号二了， ok， 在 三角形 cad 中哇，根号二，根号二，这是个勾股书眼那所以直接角 a c d 就是 九十度了，请把 nice 扣在单位里。 这个其实是一个必须要掌握的二一结论啊，相当于垂直模型了。在 b c r 系统课中呢，我给大家讲了垂直模型的至少五种，这五种是考试常考的一些小垂直，你只要能找到，那么答案很快就出来了。 ok， 结合这两个，那我家猫都会正了， c d 也不就垂直于平面 p a c 了，直接 nice， 这两个题呢，也记录在必须要系统课中是讲一六十五页题型二，线线垂直。刚也讲了线线垂直，万能的办法就是找线面垂直的， 因为一般题目出题老师比较坏，他会让你证明两个异面直线垂直。比如说，我想证这个 a p 和 b c 垂直，哎，它都没有焦点哎，所以咱通过构造这么一个平面， 哎，我能证出来 pa 是 垂直于 a c 的， 同时 pa 还垂直于 ab， 那 这样 pa 是 不是就垂直于平面 abc 了？然后再根据线面垂直的性质得到了线线垂直， 所以是通过另外两个线线垂直来证这个异面直线垂直。好，直接。看题给了一个四棱锥，底面是平行，然后 abc 呢？是个一百二十度啊，这个一百二十度我知道了， 噢耶， ab 是 一 bc 是 四号， m 是 中点 pd 垂直 bc。 哦，有一个小垂直了。好，现在让你证明 ab 垂直于 pm， ab 是 在这呢， pm 是 在这呢。哇，这两个八杆子打不着呀。 但是呢，我家猫看出来了， ab 是 平行 bc 的， 所以我其实是让证这个 bc 垂直 pm 好 找吗？太好找了呀，你看，这里是 bc， 然后咱刚已经知道了这个 dc 啊，垂直 pd， 题目告诉你了呦。哎，我想证明 dc 垂直 pm， 你 说我再证明 dc 垂直哪个线就行了呀？请在弹幕里扣出来。不就是这个线段 dm 吗？直线 dm， 所以 我只要证 dc 垂直 dm 是 不就完事了？好，思路有了， 问题来了，这个 dc 垂直 dm 如何正呢？哎呦， dc 和 dm 不 就在这个平行边形 a， b， c， d 中吗？肯定是利用平面几何知识啊，所以根据这么多条件，咱肯定可以把这个 dc 垂直 dm 给它正出来来试一试。 你看，我知道在平行边形这个 a b， c d 中， mc 是 二的，而 dc 是 等于一的，你想证明这个垂直是不是直接勾五点零，一点零就完事了？所以咱把 dm 求一下，如果它等于根三，这个事就成了。 哎，如何正呢？这是个解三角形问题啊，别忘了，题目还告诉你 abc 一 百二十度，那根据平行 c 边形这个平行的关系啊，这里是不是就是六十度了呀？ 好，平面图形提取出来之后，相当于我知道这么多条件，一二六十度，然后只需要正这个角 m d， c 是 九十度，这不是易如反掌吗？ 我女朋友都会证，先用 cosine 六十度算出来这个 dm 呀，是一个根号三的，然后根据勾股定律逆推理，哎， dc 方加 dm 方等于 cm 方，那咱直接就得到了这个角 mdc 是 九十度，所以 md 垂直 dc 了， ok， 正比 好，这两个连理下，你会非常惊奇的发现哦， c d 和这个 p d 垂直哦， c d 还和这个 m d 垂直，那自然这个 c d 是 不是就和整个这个红色的面 p d m 垂直了？从而间接的挣出来了这个 c d 和另外一个 e 面直线 p m 它是垂直的。 请把 nice 扣在弹幕里呀呼，那拿下了，线面垂直，还有线线垂直。最后再来一个二零二二年全国一卷高考真题的面面垂直问题。 另外，本节课的知识点啊，全都在必修，系统课是讲过的，在这个八点六的垂直专题，包含了线线线面面它的垂直证明以及垂直性的利用，以及还有这个线线线面二面角空间角问题。 好，回顾到这个题目必须要系统课呢，在我的主页即可获取面面垂直。刚刚说了，就是找一个线面垂直，比如我想证阿尔法垂直贝塔，如果贝塔里面有个直线 a 和阿尔法垂直，那直接就证出来面面垂直。所以你需要去找一个线和面垂直，而线面垂直是不是又需要去找线线垂直啊？ 所以其实我要告诉大家哦，三花猫金句，所有的垂直问题啊，都给它翻译成线线垂直，线线垂直，垂直啊，是所有垂直问题的一个根基，核心是桥梁。 哎，如图，在这个四面体这玩意中， a、 d 垂直于 c， d。 赶紧标一下这里小垂直， ok， a， d 又等于 c d？ 我 的天呀， oh my god， a d， c 呢？是个等腰值的 nice， 然后角 a， d， b 等于角 b， d， c， 呃， a， d， b 和 b d， c， 哎，没毛病吧？好，接着啊，说了，这个 e 为 a c 的 终点，让你证明 b， e， d 和 a c， d 垂直，来找一下吧， b， e、 d 呢，是这个平面， 而 a、 c， d 啊，就是刚刚的等腰直角三角形了。好想证明这个弧面和子面垂直，那我需要在弧面和或者说子面里面找这么一个线与另外一个面垂直即可了。而想这线面垂直，又需要回归到线线垂直了。所以你先去找这个题目中已知的垂直条件，有没有线线垂直呢？ 哎，有呀，你看这个，因为它是等腰三角形， d， a 等于 d， c 又是一个中点，那所以这个 a、 c 是 不是垂直于 d 啊？ 好，各位猜一下，我已经有一个 a、 c 垂直 d 了，然后我现在想证明这个 a、 c 与子面垂直，是不是我再来一个 a、 c 垂直于 e、 b 就 好了呀？哎，如果能指出它，那这个题就可以得到 a、 c 垂直平面 b e、 d， 那 平面 b， e、 d 就 垂直平面 a、 c d 了， nice， 所以问题在于这个 a、 c 垂直 e、 b 能不能找到呢？哎，别忘了这个 e 还是一个重点，所以 a、 c 垂直 b e。 咱还是利用这个等幺三角形的三线合一，我只需要能证出来这个 c、 b 是 等于 ab 的， 那这道题就犹如探囊取物呀！好，现在问题又简化了，相当于给了这么多条件，我只需要证明这个 c、 d 等于 ab 即可。那如何挣嘞？ 这个两个角向的条件怎么用呀？咱高中也没有学过这种角向的转换呢，但咱再观察一下 c、 b 和 a b。 呃，这儿， 哦，这儿噢！而别忘了，刚刚咱们得到了 a、 d 等于 c、 d， 以及这两个角相等，哎， d、 b 又是个公共线，哇哦，这不就是三角形全等吗？ s a s 呀！各位同志们， 在两个三角形中，咱这把这个条件一列，你发现它就是 i c s 了，所以，这不是一个高中数学问题，还高考题呢，这不就是个初中数学题吗？哎呦，然后接下来我就得到这两个三角形全等了，是不是得到 c、 b 等于 a、 b 了？漂亮！ 好了，回到梦开始的起点， c、 b 等于 a、 b 了，我是不是得到了 a、 c 等于 e b 了？哎，这两个条件都有了呀，那么 a、 c 呢？就垂直于平面 d e、 b 了， 也就是咱的这个，哎，紫色平面，那 a、 c 垂直平面第一 b， 我 要证明 b、 d 和 a、 c、 d 垂直了， a、 c 又在这个 a、 c、 d 里面了，所以直接 a、 c、 d 垂直平面比 amazing 全部拿下了高考题不过如此。那么最后撒谎猫再把这个垂直方法给大家总结一下，线面垂直，说白了是找哎，线面垂直，间接的去挣了， 说白了找两个线线垂直啊，然后再证明另外一个，一面直线垂直，而线面垂直，找两个线线垂直面垂直呢？只需要找一个线线线面垂直，但其实所有问题啊，你想找这个线面垂直，想找线面垂直，是不是还是要回归到线线垂直了？所以说，其实所有垂直问题都是线线 垂直问题，以及下面这种特殊梯形的，这都是些垂直的小模型了，这是两个模型，总共有五六种的。 ok， 再到这个线线线垂直了， 我们通过证明 dc 垂直平面 pdm， 从而间接的证出来 dc 垂直 pm 以及呢这个高考正题面面垂直用了一个小小的全等。那接下来啊，就是非常套足了，一个线线推线面，再用线面推面面了，全部拿下数学七栋必需要系统课呢，也在我的主页 这里展示了系统课这个立体几何的板块，以及它所包含的题型啊，那我们下个视频再见！
811三花猫讲数学
43:49查看AI文稿AI文稿请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？
79汤老师
00:29查看AI文稿AI文稿立体几何对于一百三十以上的同学来说，他们的拉分地方就是二面角的求法，在平时的月考和期末考试中，这绝对是压轴体， 想要上一百四十，这些方法一定是要学习的。这里谢老师通过多年教学经验，给孩子总结规范了二面角的五种常用方法，孩子可以配套视频讲解来自学老师也可以来给孩子培优拔高，也是非常适合的。
13:48查看AI文稿AI文稿朋友们好，这节课我们来看立体几何初步这一张，第二节就是立体图形的直观图，直观图就是表示空间图形的平面图，就是把空间图形在平面中画出来。 那直观图会涉及两种类型，第一种是水平放置的平面图形，它的直观图。第二种是空间几何体的直观图。 我们画直观图的方法叫做斜侧画法。我们先来看水平放置的平面图形的直观图，它的直观图怎么画呢？ 我们要先给原来图形选定平面直角坐标系 x、 o、 y。 我 们以三角形为例，我们选一条边所在直线为 x， 中 这条边所对应的高为 y 轴，那这样三角形的三个顶点都在坐标轴上，会比较方便。那斜二测画法的核心步骤叫一斜二侧 一斜，就是把原来的平面直角坐标系啊，把它变成斜坐标系，那平面直角坐标系 x 轴和 y 轴是呈九十度的， 而在斜坐标系中， x 一 撇轴和 y 一 撇轴成四十五度或者一百三十五度都可以，那二测就是测量线段的长度。 对于原来图形中平行于 x 轴的线段，在斜坐标系中，在直观图中，它就是平行于 x 一 撇轴的，而且它的长度是不变的。 比如说原来图形中的 bc 这条边，它平行于 x 轴，所以在直观图中，它就是平行于 x 一 撇轴的，那坐标原点 o 点是不变的，所以 bc 就 变成了 b 一 撇， c 一 撇， b 一 撇， c 一 撇的长度和 b c 的 长度是一样的。那原来平行于 y 轴的线段，比如说 o a 这条线段，那在斜坐标系中，它就是平行于 y 一 撇轴的，但它的长度只有原来一半。 假设原来图形中 o a 的 长度是二，那在斜坐标系中对应的 o a 一 撇，它的长度就是一。那这样点， a 一 撇的位置我就确定下来了。那我把 a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇连起来， 那我们得到的就是水平放置的三角形的直观图。那如果 x 一 撇轴和 y 一 撇轴的夹角是一百三十五度，那我用一写二次的步骤画出来，图形就是这样子的。 我们来总结一下，我们在选坐标系的时候，我们让三角形的三个顶点都落在坐标轴上，那这样能让我们的画图啊变得比较简洁那因此在原图中选用恰当的坐标系，能够简化我们的画图步骤。 斜二次画法的第二步二测测的永远都是平行于 x 轴的线段和平行于 y 轴的线段。那 a b 这条线段，这条边，它既不是和 x 轴平行的，也不是和 y 轴平行的，那我们怎么办呢？ 我们就用平行于 y 轴的线段 o a 去把 a 点对应的 a 一 撇的位置确定下来， 再用平行于 x 的 线段 o b 去把 b 一 撇的位置确定下来。我连接 a 一 撇， b 一 撇，我就得到了 ab 这条线段在斜坐标系中对应的线段。 也就是说，对于那些与 x 轴、 y 轴都不平行的线段，我先用与坐标轴平行的线去确定端点的位置，再连线即可。那我把这个步骤总结成八个字，就叫一斜侧连点成线。 我们看个例题，画出正五边形的直观图，我们选择正五边形的中心作为坐标原点， 然后画相互垂直的 x 轴和 y 轴那对应的 o 一 撇点、 x 一 撇轴和 y 一 撇轴。我们假设上面这个顶点是点 a， 那 o a 这条线段是平行于 y 轴的，所以在直观图中，它就是平行于 y 一 撇轴的。那 o 一 撇 a 一 撇，它的长度就等于 o a 长度的一半， 那 a 一 撇就在这里。我们假设左边这个顶点是 b 点，我们过 b 点做 x 的 垂线，假设垂足是 c 点， 那 o c 这条线就平行于 x 轴，所以在直观图中， o 一 撇 c 一 撇，它就平行于 x 一 撇轴，且 o 一 撇 c 一 撇的长度是等于 o c 的 长度的，那 c 一 撇点就在这里。 那 bc 这条线段是平行于 y 轴的，所以在直观图中， b 一 撇、 c 一 撇就平行于 y 一 撇轴，而且 b 一 撇 c 一 撇的长度是等于 bc 长度的一半， 那我们就过 c 一 撇这个点，做一条平行于 y 一 撇的线，然后取 b 一 撇、 c 一 撇， 使它的长度等于 b c 的 一半。接着看其他顶点，假设 x 轴下方的两个顶点是 d 点和 e 点，而且线段 d 的 中点是 f， 那 o f 这条线段是平行于 y 轴的，所以在直观图中， o 一 撇 f 一 撇就是平行于 y 撇轴的，而且 o 一 撇 f 一 撇的长度是等于 o f 长度的一半，那 f 一 撇这个点在这里。 那 d e 这条线段是平行于 x 轴的，所以 d 一 撇一撇也是平行于 x 一 撇轴的，而且 d 一 撇一撇的长度是等于 d e 的 长度的， 那 f 是 d e 的 中点，所以 f 一 撇就是 d e 一 撇的中点。再看原图中右边这个顶点 g， 那找 g 点。在直观图中，对应点的方法和找 b 点对应点的方法是一样的，我们过 g 点做 x 的 垂线， 假设垂足是 h， 那 o h 是 平行于 x 轴的，所以 o 一 撇 h 一 撇是平行于 x 一 撇轴的，而且 o 一 撇 h 一 撇的长度是等于 o h 的 长度的， 那 h 一 撇这个点就在这里。那 g h 是 平行于 y 轴的，所以 g 一 撇 h 一 撇就平行于 y 一 撇轴，而且 g 一 撇 h 一 撇的长度是等于 g h 长度的一半， 那我就过 h 一 撇这个点做 y 一 撇轴的平行线，然后我取 g 一 撇 h 一 撇的长度等于 g h 长度的一半，就在这里。好，那这个正五边形在直观图中的五个顶点我们都找到了，然后我们再连点成线， 那这就是正五边形的直观图。那对于空间几何体的直观图，同样道理，我们要先在原来的几何体中找出相互垂直的 x 轴、 y 轴和 z 轴，那设置合适的坐标轴，可以让绘图步骤简化。 那接下来同样是一斜二侧，那空间几何体相对于平面图形多了一个 z 轴，那对应的 z 一 撇轴怎么画呢？ 我们还是先画 x 一 撇轴和 y 一 撇轴，使得 x 一 撇轴和 y 一 撇轴呈四十五度或者一百三十五度， 那这个和平面图形的直观图是一样的，它表示水平面。然后我们画 z 撇轴，我们让 z 撇轴和 x 撇轴成九十度。 那接下来就是测长度。对于原来图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中，它就是平行于 x 撇轴的，而且长度不变。 对于原来图形中平行于 y 轴的线段，在直观图中它就是平行于 y 一 撇轴的，但是此时线段长度只是原来的一半， 那对于原来图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中，它就平行于 z 一 撇轴，而且长度不变。 我们结合例题具体操作一下，用斜线画法画出长宽高分别是八、六、三的长方体的直观图，那过长方体一个顶点的三条线是相互垂直的，那我们假设这个顶点就是 o 点，以长所在的边为 x 轴， 以宽所在的边为 y 轴，以高所在边作 z 轴。 那我们再画 x 一 撇轴、 y 一 撇轴和 z 一 撇轴，我们一个平面一个平面来看，这样不会乱。 假设这个顶点是 a 点，那 o a 这条线段是平行于 x 轴的，所以 o 一 撇 a 一 撇就平行于 x 撇轴，而且它的长度和 o a 的 长度是相等的， 那 a 一 撇的位置我们就能确定了。再来看这个 b 点，这个顶点，那 a b 是 和 z 轴平行的， 所以 a 一 撇 b 一 撇就是和 z 一 撇轴平行，而且 a 一 撇 b 一 撇的长度和 ab 的 长度是一样的，那我们过 a 一 撇 b 一 撇的长度等于 ab 的 长度等于三。 再看 z 轴上的顶点 c， 那 o c 是 平行于 z 轴的，所以 o 一 撇 c 一 撇就平行于 z 一 撇轴，而且 o 一 撇 c 一 撇的长度等于 o c 的 长度等于三，那 c 一 撇，这个点就在这里。 再来看 y 轴的顶点 d， 那 o d 是 平行于 y 轴的，所以 o 一 撇 d 一 撇就平行于 y 撇轴，而且 o 一 撇 d 一 撇，长度是等于 o d 长度的一半的， 那就等于三。那 d 一 撇点就在这里。再来看这个顶点 e， 那 d e 是 平行于 z 轴的，所以直观图中的 d 一 撇一撇就平行于 z 一 撇轴，而且 d 一 撇一撇的长度等于 d， e 的 长度等于三。那我们过 d 一 撇点做 z 一 撇轴的平行线， 在这条平行线上取 d 一 撇 e 一 撇的长度等于三。再来看这顶点 f， 那 e f 是 平行于 x 轴的， 所以 e 一 撇 f 一 撇就平行于 x 一 撇轴，而且它的长度和 e f 长度是相等的，等于八的，那我就过 e 一 撇这个点做 x 一 撇轴的平行线。 在这条平行线上，我取 e 一 撇， f 一 撇，长度等于八。最后我们再来看这个顶点 g 点， 那 f g 是 平行于 z 轴的，所以 f 一 撇 g 一 撇是平行于 z 一 撇轴的，而且 f 一 撇 g 的 长度等于 f， g 的 长度等于三， 那我就过 f 撇这个点做 z 一 撇轴的平行线，在这个平行的下方，我取 f 一 撇， g 一 撇的长度等于三。 那八个零点我们都找出来了，接下来我们就连点成线。在连点成线的时候，同学们要注意一下，对于看不见的线，我们要画成虚线，看得见的线，我们画成实线， 那这样我们就得到了这个长方体的直观图。如果原来图形中有圆的话，那在直观图中我们就画成椭圆就可以了。这个画椭圆的过程和细节，椭圆不需要掌握，比如说圆柱的上下底面是两个圆， 那在直观图中我们就画成两个椭圆。好，那本节课我们介绍了直观图的斜二侧画法，我们总结的八字画法叫一斜二侧连点呈现。 然后我们学习了如何画水平放置的平面图形的直观图，以及如何画空间几何体的直观图。 那掌握了这些基础知识之后，下节课我们会节课例题给大家讲如何由直观图还原平面图形，以及直观图和原图之间相关量的关系。好，那本节课到此结束，下节课我们再见。
225千帆
42:25查看AI文稿AI文稿老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。
230汤老师
02:13查看AI文稿AI文稿学学，学个屁，好同学们，咱们今天来看一道高三的立体几何题目， 这个题目他第一问很简单，让我们求他的体积，我们就不求了，主要看第二问，他让我们去证明的是一个慢慢面垂直， 那么我们要清楚，要证明面面垂直的方法有大概几种。第一种就是很简单，我们通过定义去求，我们只要去找到其中一个面的垂线，在另一个面内他就垂直了。所以其实就是先先要去正线面垂直，再去正线在面内，那么就面面垂直。 这个方法，呃，我相信很多同学大家都能做出来，比如说观察到它是一个棱长为一的正方体呢，代表着 c、 e、 b 和 c、 e、 d 两个边都是面对角线，所以两个边相等，那么直接找到 b、 d 的 中点，连接 c、 e、 o， c、 e、 o 就 会垂直于 b、 d， 再连接 a、 o， 再连接 ac， 那 就可以得到 a、 o 也是垂直于 b、 d 的。 通过这个东西我们可以推出来 b、 d 是 垂直于面 a、 c、 e、 o， 所以 又可以推出来我的 b、 d 是 垂直于 c、 e、 d 的， 那么既然 b、 d 既垂直于 c、 e、 d， b、 d 又垂直于 c、 e、 o， c e o 和 c、 e、 d 又交在点 c， 所以 代表着可以推出来 b、 d 垂直于面 c e、 b d。 那 b、 d 垂直于面 c、 e、 b d， b、 d 又在下面这个平面内，所以我们就可以得到面面垂直面垂直于面 这个思路其实大家要做起来要很顺，但是我们今天要提供一种新的思路，就是如果你这个题目你没有办法在短时间内看出来这些辅助线，那么你就要通过二面角的大小去判断它垂直， 如果这两个面垂直，代表他们的二面角一定是九十度，所以要通过 b、 d 这个边的棱上的点分别在两个面内做垂线。要去求角 a、 o、 c 夹九十度， 那么其实就要求出来 a、 o 的 长度， o、 c 的 长度，还有体对角线的长度。利用我们的余弦定律去求这个角度的余弦值，也是一样的做法。
37函数魔导师
01:53查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天来看下一个模型，也就是我们的要求一些相关的距离问题。这个距离问题包括了点面距离、线面距离，还有面面距离。我们今天先来看第一种 这道题，它让我们求的是长方体 a、 b c d a b c d e 中第一问是 b 一 点到 这个面的距离，第二问是 b 一、 c 一 到这个面的距离。那么其实这两问我们其实可以发现，不论是第一问还是第二问， b 一、 c 一 到该面的距离和这个点到这个面的距离其实是一样的。原因是因为我 b 一 c 一 它肯定是平行 bc 的， 所以我这个 b 一、 c 一 肯定是平行这个面的， 那么线面如果平行，我们知道，比如说这条这个面与这个线平行，那么线上某个点到面的距离肯定是处处相等。所以我们这个题的本质其实就是只求一个东西，就是要求 b 一 这个点 到这个面的距离，那我们过点 a 或者过点 b 一， 这样做一条垂直于 a 一 b 一 的垂线，我们就可以发现 b、 e、 e 是 垂直于 a b 的， 然后 b、 c 又是垂直于这个正面的，所以我们可以知道 b、 c 一定会垂直于 b e、 e， 那 么 b e、 e 既垂直于 b c b e e 又垂直于 a e b， 那 是不是代表着 b e、 e 垂直于我们的这个已知平面？那也就代表着我的点 e 其实就是点 b e 的 投影点， 那既然是投影的话，它们的长度就是距离。所以我们第一问其实就是在求 b e 的 长度，那 b、 e 的 长度我们利用等面积法 就很简单可以求出来，它应该是五乘以十二，再除以十三，它就应该等于十三分之六十。
48函数魔导师
13:40查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们天赋不够，努力来凑。今天我们要进入到直观图的讲解了，但如果这个视频对大家有些启发，请留下一个免费的关注，谢谢。那什么叫直观图呢？我们先来一起再回顾一下它。首先是有三遍， 哪三遍呢？第一，坐标轴的夹角改变， 它是由九十度变为四十五度。第二个与外轴平行的 线段长度变为原来的二分之一。第三，图形 的形状改变。 好，那有哪三不变呢？ 一、线段平行关系不变。 二、与 x 轴平行或重合 的线段长度不变，与这一周 平行重合的长度不变。三点的相对位置不变。 什么意思呢？第一个，如果说我们要画长方形，怎么画呢？首先这是九十度，那它原来的坐标轴是这个样子， x、 y， 那 首先我要找九十度。第一步 找九十度，这里有个九十度， a、 b、 c、 d， 那 我首先把 ab 标出来，把九十度变为四十五度。四十五度，所以这是 x， 现在的 y 变成了四十五度， 然后它的这一轴，这一轴是不变的，这一轴变成九十度。啊。好，第一个 我们去找九十。第二个是找长度， ab 的 长度，如果说这是三，那么这一段还是三。如果 bc 的 长度是二，那么这个时候它要变为原来的二分之一，那就是一了， 所以就变成 a、 b、 c、 d， 所以 这个长方形就这样去画完了。啊。好，我们来讲一个三角形的面积，那比如说一个三角形的面积， a、 b、 c、 b、 c、 a、 d 垂于最高，所以 s 圆的面积，它是等于 a、 d 乘以 b、 c 除以二，对不对？那我设 a、 d 等于 h， 那 就等于二分之 b、 c 乘以 h 了， 那现在我要用直方图去把它画出来，那直方图的面积又是多少呢？首先直方图看到九十度了没？所以我先把 b、 c 画出来 b、 c， 然后找到九十度 d 的 位置， d 的 位置，哦，这个是 x， 所以 我这边直方图，哎， 这样去画，九十度变成四十五度，然后这个是 y h， 这是 h， 所以 外周会变成二分之一，所以这个是二分之 h。 二分之一，所以 a 到这里了，那么这个时候的三角形就变成了 a 撇 b 撇 c 撇了，那现在它的面积怎么求呢？ 是不是还是等于二分之一 b 撇 c 撇，然后乘以新的高啊？那新的高怎么求？ 新的高？我过 a 点做 b 撇 c 撇的垂线为一，对不对？那我们把这个直角三角形把它画到这边来，这是 a 撇，这是 d， 这是四十五度 做他的垂线，这个是二分之 h， 所以 a 一 等于多少？二分之 h 除以根二分之一了吧？一，一根二，对不对？一，一根二了，勾股数了，所以他应该杀的根二分之一， 也就等于四分之根二 h， 那 这个时候我们会发现新的高，他是等于原高的。四分之根二 h， 那 这个时候我们会发现新的高，他是等于二分之 b 撇 c 撇 乘以四分之根二为，因为 b 撇 c 撇，它是横轴，所以它应该是与圆的横轴的长度是相同的，对不对？所以它就等于四分之根二倍的 s 圆， 所以我们要做这种面积怎么办呢？第一种，如果是三角形，我们记得公式，四分之根二倍的话，那你就直接用公式，那如果说你不记得怎么办？你就先去还原， 你先去把直方图还原为原图，还原完原图之后，然后再去找对应的边，然后去算啊。好，我们现在来看一下第一题，那我们来画一下正六边形，那正六边形我们先把它的原图形先画出来， 这是原图形，那画直方图我们是不要找到九十度，第一步，要找九十度吧，九十度在哪里呢？我把它一连， 我再把这个中点一连，这个是不是九十度，给它取个名字， a、 b， c， d， e、 f， 那 是怎么画呢？首先它的横轴、重轴是不是要改变？这是九十度，横轴 x 画出来， f、 o， c， f、 c 是 不变的吧？那这个手 g、 h， g、 h 是 不是要改变？ g、 h 的 长度是不是要变为原来的二分之一？所以画一个四十五度出来，那 g、 h， g 就 在这里了， h 是 不是在这里？ 那么 e、 d 是 平行于 ab 的 来， e、 d， e、 d 的 长度是不变的， ab 的 长度它也是不变的， 所以这个是一，这个是 d， 这个是 a， 这个是 b， 对 应的连接他们的点就画完了啊。所以我们这第一步找九十度， 然后将九十度变为四十五度。第二步，然后确定确定 f、 c 的 点及长度。 第三步，确定 g、 h 的 点 及长度，这个长度是变为原来的二分之一，还是等于原来的长度啊？第四步，确定 e、 d， a、 b 的 位置，因为 e、 d 平行于 f， c， 平行于 a、 b， 对 不对？而且和原长度相等， 长度和圆的相同。好，然后第五步，连接 e、 f、 f、 a、 d， c、 c、 b 即可。好，那么我们来看一下第二道题目，他让我们画一下四棱锥，四棱锥就是立体图形了，立体图形我们应该怎么画呢？首先四棱锥，它是有一个底的， 然后一个高的。第一步画底， 正是能锥，正是底面为正方形的直，能锥，对不对？好，它的正方形，所以底面是正方形，那我就要画正方形了，那底面正方形怎么画来？比如说 a、 b、 c、 d， 找到九十度，找到 a、 b 的 位置， a、 b 九十度，四十五度，九十度变四十五度，然后变为原来的二分之一， 所以这个时候就是 c、 d 底面正方形画完了，它是直楞柱，直楞柱，它的位，直楞，它是直楞锥，它是直楞锥的，它的位置关系是不会变的。找到它的中心点，画出它的高，它的高， 它的长度等于底边的长度来高，所以这个点叫做它的顶点，然后依次把它相连 结束。所以这种题目应该怎么画？首先画底，画完底了之后画高，高的，位置 不变，长度不变。 好，我们来看一下第三道题目，画长方体，长方体它依然是先画底的，它的底是一个长方形，那长方形本身它是有直角的，对不对？所以我们先来一起看，直角变四十五度，所以这是 x， 这是四十五度。又因为长方体，它是一个空间图形，所以我们要画出它的高 z 来，它的长，它的长为三，三是依然不变的，它的宽是二，所以由二变为一，一， 这是一，它的高是一点五，一点五是不变的 一点五，所以它的位置关系也是不变的。做它的平行且相等的直线，平行且相等的直线，平行且相等的直线 就结束了。所以这个题目我们要怎么画呢？首先取 a、 b、 c、 d。 第一步，先画底， a、 b、 c、 d 长度和原来的相同宽度变为原来的二分之一。第二步，找高 高的长度，长度不变，位置 也不变，相对的位置他也是不变的，然后再连接起来就好了啊，然后确定点的位置， 根据平行关系啊， 所以我们都是先确定底面，然后根据平行关系去确定其他的点，然后连起来就好。 好，那么我们来看一下第四题，他说他的直观图，那这种题目我们应该怎么做呢？首先要把它还原还原，我先找一下横轴，横横轴这上面与 x 轴平行的长度是不变的，所以这是 o 撇， b 撇。我们给他先换一下直图， 所以他的长度外轴与外轴平行，要变为原来的二分之一才变成直观度，现在他是四，所以还原的话应该是八。 对对，所以这是八，这是 a 撇撇，那么把它连起来， 把它连起来，那这个时候因为这是四十五度，所以还原来就是九十度了。所以 s 三角形， o 撇撇， b 撇撇， a 撇撇，它应该底乘以高吧，所以等于二分之一， o 撇撇， b 撇乘以， a 撇撇乘以，给它取个名字 a 一。 因为这段长度是八，横轴与横轴，横轴去平行的线度都不变，所以这是四， 那就是等于二分之一，乘以八乘以四等于十六。那今天的视频就到这里，再见。
39派大星星星💫
07:05查看AI文稿AI文稿各位高中的小伙伴大家好，不管你是高一高二还是即将参加高考的高三同学，这个视频的内容都值得你去看一下。 我们本视频将用三个典型例题，把二面角的常用三种方法跟大家讲明白，并且给大家准备了完整版的讲义视频，回复讲义即可领取。首先我们来看一下第一种方法，本条视频我们讲前面两种方法，第三种方法在下条视频会详细讲解， 根据二面角的定义直接去求解。那首先我们把这个方法给大家看一下，如图所示，以二面角棱 a 上任意一点 o 为端点，在两个面内分别做垂直于 a 的 两条射线 o a 和 o b， 那么这样的话， a o b 这个角就是我们二面角的一个平面角，那这个很简单，其实我们一句话概括就是我们找到两个平面交线的两条垂线。好具体我们看这个题目在我们题目当中的一个应用，如图，在四面体 p a、 b、 c 中， 三角形 a、 b、 c 三角形 p、 b， c 是 边长为二的正三角形 pa 等于三， d 为 pa 的 中点，则二面角 d， b、 c、 a 它的大小为多少？那其实我们就是要来找到刚才这个题目要我们求的这个二面角的一个平面角，那这里我们可以直接取 b、 c 的 中点 e 点，然后把 a e 给它连接起来，把 d， e 给它连起来， 那这个角也就是角 d e， a 是 不是我们这个二面角的平面角？我们可以简要的首先来证明一下，因为是三角形 a、 b、 c， p、 b c， 它是正三角形，所以我们可以直接得出 pe 垂直于 bc， 同理 ae 垂直于 bc， 并且 pe 交 ae 有 交点为异点，并且 pe 都是属于我们这个平面 pe， 那 根据线面垂直的判定，这个我们可以直接得出 b c 垂直于平面 p a e 平面 p a e， 然后 d， e 是 属于平面 p a e， 所以 这里呢，我们又可以得出 d， e 是 垂直于交线 b c， 然后 a， e 本身就是垂直于交线 b c。 这个就回到了我们这个二面角的定义，所以我们可以得出角 d， e a 为这个二面角的一个平面角。然后这个计算就相对来讲是比较简单的，我们直接在 t 三角形 a， d， e 当中运用三角函数就可以解决掉，那就是三角 d， e， a 应该等于 a d 比上 a e， a， d 是 pa 长度的一半，所以它是二分之三 a， e 是 我们正三角形的高，他应该是边长的二，二分之根号三倍，那边长为二，所以这个 a， e 应该是根号三，所以他应该是二分之根号三， 所以这个角应该是六十度，那也就是我们这个二面角应该就是六十度。好，我们通过这样的一个典型的立体，把这个常用的定义法给大家 讲解了。接着我们来看一下第二种方法，因为在我们实际考试当中，有时候遇到交线垂线不好找的一些情况，那就是我们有了这种第二种方法，叫做三垂线法，我们具体来把这个方法给大家看一下。 在平面阿法内选一点 a 向另一个平面贝塔做垂线， ab 垂直为 b， 再过点 b 向棱 a 做垂线， b o 垂直为 o， 然后连接 a o， 那 么这个角 a o b 就是 我们二面角的平面角。 好，我们来看一下他为什么这样去做，那这个角就是我们二面角的平面角，我们也简单的来证明一下啊，因为我们首先过平面阿法力的一点 a 向贝塔做了一个垂线，那也就是 ab 垂直垂直于平面 贝塔，我们这个棱 a 是 属于平面贝塔，所以呢， ab 肯定是垂直于棱 a 的 好。然后第二个是我们自己做出来的，也就是 b o 垂直于棱 a， 并且 ab 交 b o 有 交点，然后 ab b o 属于平面 a b o。 好， 通过这个条件我们就可以直接得出能 a 是 垂直于平面 a b o， 并且 a o 这条线是属于我们平面 a b o， a o 属于平面 a b o， 所以 我们得出 能 a 垂直于 a o， 然后 b o 本身是垂直于 a， 这个就是我们回到了我们二面角的定义，所以最终我们能得出角 a o、 b 是 我们二面角的平面角。 好，在我们小题当中选填当中，如果采用这种方法，当然是不需要去写这个过程，我们只需要记得这个结论就行。但是如果是在大题当中，我们不能直接写结论，必须把我们严格的证明过程给他写出来。好，具体我们也用一个例题 来把这个方法的应用来讲解一下。好，我们看例二，如图，四棱锥 v a b c d 底面 a b c d 是 边长为二的正方形，其他四个侧面都是侧棱，长为根号五的等腰三角形，则二面角 v a b c。 它的大小是多少？ 首先根据我们题目这样的一个描述，这个棱锥它应该是一个正四棱锥，也就是说它的顶点向底面的射影应该是底面 中心，所以这里呢，我们过 v 点向底面做一个垂线，假设垂足为 o， 那 这个 o 就是 我们底面正方形对角线的交点。 然后根据我们刚才讲的这个方法，我们过 o 点向 ab 做一个垂线，垂足为 e， 最后我们把 v e 给它连接起来，我们把 v e 连接起来，那么也就是角 v e o 即为它的一个平面角，那这个计算是比较简单的，那这个证明杠的过程跟刚才完全一样，所以这里我就不再证了。那我们把这个计算给它算一下，因为 va 是 等于根号五， a， e 是 二分之一的边长，所以它应该是一，所以根据勾股定律，我们可以把 v e 给它求出来， v e 应该是根号下五减一等于二，然后 o e 的 长度应该是边长的一半，那就是二分之一乘以二等于一。 好，那么在这样的一个直角三角形当中，这是 e， 这是 o， 这是 v 的 长度是二，它是，它的长度是一，所以我们直接可以用扩散扩散角 v e o 应该是等于 e o 比上 v e， 那 就是二分之一，所以 v abc 的 大小应该是六十度，六十度。好，那这第二种方法我们就讲到这里， 视频回复讲义，就把本节的内容的详细版的奖励可以找我领取，拿回去仔细的去练一练。好，这本条视频就讲到这里，再见。
01:01查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来看一下二面角中的下一个定力，也就是我们的三正弦定力，或者叫最大角定力。三正弦定力的内容是，我们二面角的正弦值等于 sine 线棱角的正弦值。除以 sine 线棱角的正弦值， 那么当线面角最大的时候，就会等于二面角。以这个题为例，我们来理解一下这个公式，他说二面角大小是六十度，所以我们可以得到，哎，这地方应该是散影六十度， 然后 ab 与 l 所成的角是三十，那这个 ab 与 l 是 不是正好就是我们的线与棱所成的角，那也就是散影 三十度应该在这个位置，它让我们求的是 a、 b 与平面 b， 它的缩成角，也就是线面角。那么我们根据这个公式就可以直接求出来这个三以三线面角就等于四分之二三。
116函数魔导师
23:29查看AI文稿AI文稿哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，巧筹以盼的计算问题来啦，这个视频我们要学习的是空间中的角度问题，融合平行垂直关系是立体几何综合题的核心考点， 不管是利用传统几何法还是空间向量法，都是高考的高频考点。当然观看视频肯定不够披星的，我为大家准备了配套练习后专题，一个视频带你理清如何利用传统几何法解角度。 接下来让我们开始吧。哈喽同学们，我们来讲一下如何利用几何法去求立体几何当中的角度问题。那在这里呢，首先要知道我们常见的有哪些，常见的，比如说像一面直线所呈角线面角还有二面角，那我们逐一来看一下。首先先来看一面直线所呈角， 那我们说涉及到这种角度问题啊，首先你要先确定它对应的这个取值范围，比如说一面直线所乘角，我们对应的取值范围呢，应该是零到二分之八就零到九十度，但是这里有一个点要去注意，就是它的开 b 区间，我们是怎么去取的？那如果是一面直线所乘角，一定要注意，这里我们是左开右 b， 那 如果说是这个两直线所乘角，那这个时候我们对应的都是 b 区间，为什么这里会有一个区别？这个就涉及到我们一面直线的一个概念， 意面直线的概念，我们说是要满足，既不平行也不相交，所以你会发现啊，我们意面直线不能满足平行，但是如果说你两条意面直线加角为零，那这个时候也就意味着这两条直线是平行的，所以他才是开区间啊，这个地方稍微注意一下，注意一个区分啊就可以了。 那接下来我们来讲一下，一面直线锁成角怎么去求。我们说一面直线锁成角，利用几何法的话，主要就是平移平移至它们两条线在同一个平面上，只不过说我们一般来做的时候，可能大部分情况下都平移至它们相交即可啊，所以这个时候我们一面直线 锁成角，它对应求的方法就是平移至相交，那接下来平移至相交，我们只需要去把 这个两个直线所在的这个三角形啊，在这个三角形当中，我们去解三角形，对应的去解这个角就可以了，可以是利用正弦定米啊，余弦定米啊，都可以把各个边线段给它解出来。好，这是我们一面直线所乘角，然后接下来呢我们再来看线面所乘角， 也就是我们对应的角线面角线面角的话呢，也是一样，要知道它的一个取值范围，它同样也是零到二分之派，但这个时候它就是同时取 b 区间就可以了。因为我们说直线和平面所成角如果是零的话，代表什么呢？直线在平面内，那如果是二分之派，代表直线和平面垂直， 那这个时候我们对应的线面角一定不可能是这个钝角啊，稍微注意一下就可以了。那我们线面角怎么去计算呢？比如说我们现在这里有一个 平面 alpha， 然后呢有一条线，比如说这个是 p， 这个是 a 啊，我们从线上找两个点，那此时我们要算 p a 和底面 alpha 所形成的夹角，那我们说定义法是什么呢？定义就是你过直线上一个点，向平面做垂直过，比如说过 p 做一个垂直下来，垂直为 o 连接 a o， 那 这个时候我们所对应的线面角就是角 p a o 啊，所以这个是我们算线面角的一个办法。那这但是这个方法会有一个限制，就是我们必须是不是得 知道这个三角形 p a o 的 一些条件，比如说你要知道线段长，我才能去算这个加角，对吧？所以这呢就会涉及到我们必须需要去知道 p o 或者 a o 之间的任意一个，然后我们才能去直接去解，那如果说我两个都解不出来，也就是说我这个时候垂足的位置不确定怎么办？那这个地方又涉及到我们之我们在之后距离里面会讲的一个方法，叫利用等体积法去求点到面的距离。 等体积法是一个什么意思？这个我们先简单来说一下，等体积法呢？是我们往往在三轮锥当中啊会用到的一个呃，方法，就是利用三轮锥当中的这个顶点轮换去解点到面的距离。比如说我们现在这里有一个三轮锥， 还是 p 杠 a b c， 那 我们正常来讲，我们说对于三棱锥而言，底面是一个三角形，而你发现它所有的侧面，包括底面都是三角形，那也就意味着我以哪一个面为底面是不是都可以，对吧？也就意味着它顶点也是可以去做轮换的。所以这个时候我想比如说算 a 到面 p b c 的 距离， 我就可以看成是以 a 为顶点， p b c 为底面的三轮锥，它同时这个体积我也可以看成是以 p 为顶点，以底面 a、 b、 c 为底面的一个三。呃，这个三轮锥两个方法，我可以把三轮锥的体积解出来，那这个时候 所有的是所有的这个呃值，你解出来之后，唯一的变量只有 a 到 p、 b、 c 的 距离是不确定的。其也就是说以 a 为顶点的时候，这个对应的高啊 确定，那你一个方程一定是能把高解出来的，所以这也就涉及到啊，这么一个区别，能确定垂足，直接解三角形即可。如果不确定垂足，那我们可以利用等体积法去求线段长度。好，然后接下来最后一个二面角。 二面角的话呢，这个时候也是一样啊，要注意它的一个取值范围， c 塔对应的应该是零到派的 b 区间，那会想为什么二面角的时候，我们想过它的定义，它并不是两个平面所成角， 两平面所成角和它是有区别的啊，两平面所成角它对应的范围就应该是零到二分之派了。 加角这个时候是零到二分之派。为什么会有这么一个区别？是因为二面角我们给的定义是什么？它是两个半平面 所形成的夹角，什么叫做半平面？就是我们正常来讲，面应该是无限延伸的，对不对？但是呢，我们在这里算二面角的时候，我这个面不无限延伸，我只到这个交线为止。比如说像这里，我正常来讲，面应该继续往下，然后呢，这边还有一个面， 它也可以往左往右，但是对二面角而言，到交线为止，到这就没有了啊，所以这个地方稍微去注意一下概念上的一个区分。好，然后接下来我们来讲一下怎么去算这个二面角。那我们说二面角它对应的定义法是在两平面内分别去做交线的垂线，比如说这是 a 面，这是 beta 面， 在两平面内分别去做交线垂线。一个是比如说这个是 a o， 然后呢？这个这边呢是 b 能满足 a o 垂直于交线 l， 然后 b o 垂直于交线 l， 那 这个时候我们就可以说角 a o b 就是 我们要求的二面角，所以第一个方法是做两垂直， 但是做两垂直这个时候我们要尽量去保证看呃满足它的这个垂足是重合的， 如果说你的垂足不重合怎么办？那就转换成了，我可以去呃，相当于算是两个一面直线所成角，所以这个时候若垂足不重合，则去平移，平移至它们重合即可。 好，这个是我们第一个方法做两垂直。那除此之外，我除了做两垂直，我还可以怎么做呢？假如说有一个面内，我就是这个垂直，我就是不好确定，或者说我线段长就是不好解，那我们也有一个办法，你可以去做为单独的一个垂直，也就是我在这个面阿法内找一个垂直 a o， 那 这个时候我就可以给等价去看成变成了 a o 这条线和底面 b 所形成的夹角。所以还有一个方法是只做一个垂直去转换成线面角的问题。 好，这也是一个处理思路啊。好，然后接下来我们对应的呢，还有就是涉及到我们的这个呃三，呃这个三垂线定理的一个应用。三垂线， 这个主主要主的是指，主要指的是什么意思呢？就是假如说我现在这里有一个面，然后呢，我现在过这个面上的任意一个点，向底面阿尔法，呃，向底面贝塔去做一个垂直，假如说这是 p， 我 做一个垂直下来垂足为 o， 那 这个时候我再过 o 向交线做一个垂直 a 点，那么角 p a o 就 一定会是我的二面角，那这个根据是什么原因？这个地方其实会涉及到一个证明，我简单来说一下，就是我们刚才说满足的条件是 p o 垂直于贝塔，然后呢，满足 o a 垂直于交线 l， 那我们现在要去证明的是吗？因为我们说二面角定义应该是在两平面内分别垂直于交线，所以我们接下来要证的应该是 pa 是 垂直于 l 的， 那怎么去证？根据 po 垂直于 beta 面，所以我可以得到 po 垂直于 beta 面上任意一条直线，也就是 po 是 垂直于 oa 的， 同时 oa 又垂直于 l， 所以 我 l 和这个 po 又是有交点的，对吧？ l 和这个，呃，等一下， po 是 垂直于 oa 的 po， 是 啊，对，没问题啊，这个时候我们得到啊，这个时候我们要去给它看成是 p o 垂直于 l 会比较好看啊，给它转换成 l， 好， 那这个时候你就会发现 l 是 不是同时垂直于 o p 也垂直于 o a， 而这两条直线有交点 o 点，所以我就可以转换成 l 是 垂直于面 p o a 的， 那这个时候我们就可以去转换成可以先面垂直性质定理，我就可以得到 l 呢，是垂直于 pa 的， l 垂直于 pa 呢，我就可以满足在两平面内分别有两条垂线垂足于交线，那这两条垂线的夹角就是二面角啊，所以这也是这个性质啊，我们计算方法简单来说一下， 那接下来我们来具体看例题，比如说我们来看一下这个第一道例题，第一道例题是说在一个四轮锥当中，底面为平行边形，没有给图，那这时候我们往往要自己画图哈，然后角 d a、 b 为三分之派，然后给了一些线段比例，好，我们来画一下。 首先呢，这个地方有一个 p d 垂直于底面，所以我们可以先垂呃，先确定 p d 这一点，假如说是 d 点，然后呢，又已知了 p d 是 呃 ab 的 二分之一，所以我们的 ab 和这个 dc 可以 画长一点啊，然后这边是相等，你给它连一下， 就是我们在画图的时候尽量的去保证一点，这个比例看起来比较合理一点啊， 那比如说这个是 a， 这是 b， 这是 c， 好， 然后呢，脚踢 a、 b， 这也是三分之派，然后又已知了线段的比例，线段比例的话，那这里因为是一道小题，所以我们就可以不妨令它分别是一和二，所以我们标一下啊，比如说我们令 p d 等于一， 等于 a， d 等于一，然后呢，这个时候 a、 b 和 c、 d 就 应该是都等于二啊。好，然后接下来我们来看选项，首先 a 选项 p a 垂直于 b、 d， 像这里的话呢，我们可以从验证的角度，或者说你可以从证明的角度都可以，那比如说像这里，如果说我们从验证的角度就是如果 p a 垂直于 b、 d， 那 会发生什么对不对？那你就想 p a 是 垂直于 b、 d 的， 结合提干的条件， p d 垂直于底面，也就线面垂直，其实我们还能再推一个线线垂直，我同样是不是也可以推出来 b、 p、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那如果说这样都要满足，就 a 选项要成立的话，那这两个式子同时发生，我就可以推出来一个条件，就是这个时候我 b、 d 一定会垂直于面 p a、 d， 因为这也是小题，所以我没有严谨的去写这个证明的步骤啊啊，那 b、 d 如果垂直于 p a、 d 又要满足什么呢？这个时候你就会发现，哎，他要满足 b、 d 必须是垂直于 a、 d 的， 那接下来我只需要去变成验证 b、 d 是 不是垂直 a、 d， 我是 不就能确定我这个整个链路上是不是都成立？如果我正出来它确实是垂直，这个链路就是对的，那如果说证明出来它不垂直，那这个链路上的每一项应该都是错的。 所以这个地方我们接下来就验证 b、 d 和 a、 d 是 否垂直，那我怎么去验证呢？我给它放到底面中去解就可以了。比如说像这我们连接 b、 d， 已知这个角是三分之派，又已知两边一和二，那我是不是可以利用弦定力去把第三边解出来？ 或者说像这里，因为他这个边长包括角都比较特别，你会发现，哎，我这边有两倍关系，其中还有个六十度角，如果有九十度，那我就知道另一个角是不一定是三十度，所以你也可以从验证的角度去看，那这个时候如果这个地方是六十度，这个地方是三十度， 那这个时候发现，哎，这边好像确实是垂直的，对吧？正好符合这个关系啊。所以这个时候我们验证出来， b、 d 呢，确实是垂直于 a、 d 的， 所以这个时候呢，确定 b、 d 的 长度是刚好三啊。那这个时候我知道 最终符合这个条件成立，那你往后往前去推，所有的链路应该都是正确，所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项 p b 与底面 a、 b、 c、 d 所成角，那这个就涉及到我们说线面角的一个计算方法， 我们说线面角，根据定义法是从直线上找一个点去做底面的一个垂直，然后接下来我们对应的就转换成这个 p a 这条直啊， p b 这条直线与底面我们做出来的那个投影，这两个线之间所形成的夹角。 好，那来看我们过 p 点向底面做垂直，你会发现，哎，这个垂直其实就是 p d， 对 吧？因为题目说了吗， p、 d 是 垂直于底面的，所以这个时候我们对应的这个线面角，其实就是我们的角 p b、 d。 那接下来解角 p b、 d 怎么解呢？那我们就可以给它放到一个三角形当中，对吧？我们可以放到三角形 p b、 d 的。 呃， p b、 d 当中，由于 p d 垂直于底面，所以我能确定 p d 垂直于 b、 d， 所以 它是一个直角三角形啊。在 r、 t 三角形 p b、 d 中， 那长度都是已知的，这是一，这是根号三，这是二，对吧？这都是我们标过的啊，不对，这个二标的是 b、 c、 d 啊，但 p b 你 用勾股定律也是能算的，对吧？那这个时候你对你的角 p b、 d 自然而然也就可以解了，它解出来呢，确实是六分之派啊，所以 b 选项正确。 再来看 c 选项， e 面直线 ab 与 pc 所形成的这个夹角的余弦值，那我们说 e 面直线所成角，我们要怎么做？平移，对吧？平移至相交啊，所以这个地方呢，我们可以去 把这两条线平移到同一个平面内，或者说平移是相交，那我们平移谁比较好呢？那显然你会发现，由于底面是一个平行四边形，所以我肯定是平移平行四边形更好，所以这个时候我们可以把 ab 平移至 cd 的 位置， 所以这个时候我们对应的 p c 与 ab 所形成夹角，就变成了 cd 与 p c 所形成的夹角。那我想算它们俩夹角，我就可以怎么办？我可以放到三角形 p d， c 当中，那也是一样的， p d 垂直于底面，所以 p d 垂直于 c d， 那 这个三角形它也是一个直角三角形。在 r t 三角形 p c， d 当中，已知的线段有 p d 等于一， 然后呢， c d 等于二，所以斜边我也能算，对吧？那这个时候斜边我们解出来的话，应该是 p c 等于根号五，那你接下来要算这个余弦，自然也就可以算了。所以 cosine 角 p c， d 啊，就应该等于二，比上根号五，所以解出来应该是五分之二倍根号五，所以 c 选项错误。再来看 d 选项， d 选项，这二面角呢，相对来说计算会比较复杂，这个其实用空间向量会更简单，放在这里用几何法的话呢，这个推导的步骤可能会比较麻烦，但是 我们这一次稍微讲一下思路，就是我们说二面角用定义法做，应该是在两平面内分别做交线的垂线，对不对？那这里的话，它对应的两平面应该分别是 p a b 和 p b、 c 这两个面， 那我们只需要分别去过 a、 c 两点去做 pp 的 垂足，而垂线，那这个时候你可能解出来，万一垂足不重合， 如果不重合呢？这个时候我们就把其中一个线段去做一个平移，平移之后再解三角形就可以了。那这里呢，我们简单讲一下思路，因为这个计算量可能比较大，这里呢，我把这个步骤提前写下来了，然后呢，你可以自己先尝试去做一下，然后来核对一下，看这个步骤啊是否正确。 好，然后接下来我们再来看第二道例题。第二道例题呢，相对来讲会比较简单一点，因为它这个图是正方体，比较规整，而且给了图唯一可能稍微麻烦一点，就涉及到这个动点问题，但是每个问题我们一样可以来分析。 首先来看正方体棱长为一，然后 e 呢，是这个棱 c、 d 上对应的点。首先 a 选项三轮锥 a 一 杠 ab 一 e 的 这个体积为定值。好，那首先就要回忆一下我们说三轮锥的体积怎么去进行计算，我们说三轮锥的体积公式应该是三分之一底面积再乘以高，对吧？那你会发现啊，如果说这个我们按照以 a 一 为这个顶点的话， 一点一直在运动，所以我会发现 a、 b， e、 e 这个三角形面积在变，同时 a 到这个面的距离是不是也在变？两个变量我并不能确定，对吧？那这里考什么呢？这也就考到涉及到三轮锥，你要注一定要记住一个点，它是可以轮换顶点，轮换顶点也就涉及到等体积， 所以看似让我们去算 a 一 杠 a b e 的 这个体积，我实际上可以去给它转换。转换成什么呢？转换成以 e 为顶点，为什么以 e 为顶点？因为以 e 为顶点，这个时候你的底面是谁？是 a a， 呃，这个 a a 一 b 一， 对吧？那这个时候我能保证它的底面是一个固定的三角形，也就是相当于我把其中一个量定下来了，唯一的变量只是点到面的距离啊，所以这个地方我们去给它转换，转换成 v e 杠 a e a b 一。 那这个时候我可以确定的是 a 一 a b 一， 这个底面积是定值，那接下来我只需要去验证一点到这个面的距离是不是为定值就可以了，那这个我们会发现它显示一个定值，为什么呢？是因为这个时候我能确定 c d 是 平行于面， a a 一 b 一 b 的， 这个的话你可以直接去根据这个呃线面平行的判定定领角去正因为 c、 d 是 平行于 a b e 嘛啊？所以线面平行，线面平行，它就会涉及到一个结论，线上的任意一个点到面上的距离均相等，所以这里我可以确定 点到面的距离为定值，顶面面积也是定值，所以这个三棱锥的体积一定是一个定值，所以这个地方涉及到一个转换，所以 a 选项正确。再来看 b 选项 e b 一 垂直于 a d 一， 那也是一样。我们的处理思路，你可以选择是去呃这个检验它是否正确，或者说你可以考虑我直接怎么去正， 那像这里呢？ e、 b 一 和 a、 d 一 的这个垂直，我们可以把这个线画出来啊，这个是 a、 d 一， 这个是 e、 b 一。 好，那他俩垂直怎么去看呢？那这个时候我们会想，由于 e 是 一个动点，所以我直接观察肯定不好观察，所以这个时候我们要把这个动点去转换成一个定 固定的一个直线或者一个面的问题。那显然 e 是 动点，我没办法找到定直线，但是我可以确定 b、 e、 e 这个线是不是一定会在一个固定的平面内，它一定会在以 b、 e 和 c、 d 这两这三个点构成的平面内，所以也就是 e、 b、 e 在 面 b 一、 c、 d 上。好，那接下来我是不是只要证明 a、 d 一 垂直于这个面，我就能确定 a、 d 一定垂直于面对任意一条直线，显然就一定会垂直于 b 一。 好，那接下来怎么去证明 a、 d 一 垂直于这个面？那我们对应的你可以把这个面做一个延展，对吧？因为这个面我们目前的话画出来应该是这么一个面啊。 b 一 c、 e、 c、 d， 那 这个时候显然这个面我是可以给它补到 a、 e、 b、 e 上，所以这个面和 a、 e、 b、 e、 c、 d 它是同一个面，所以接下来就变成了即 证明 a、 d、 e 垂直面 a、 e、 b、 e、 c、 d， 那 这个好不好证？那它显然就好证了，对不对？哎，这个时候我可以去证明 a、 d、 e 呢，这个时候是垂直于，根据对角线垂直于 a、 e、 d， 那同时我再根据 a、 d 一 是垂直于这个 a、 a 一 b 一 的， 那显然我就可以得到了，对吧？那 a 一， 呃，这个 a d 一 垂直， a 一 b 一 是怎么来的？根据 a b 一 垂直于侧面得来的啊？下面垂直，所以这个地方我们能挣出来，它对应确实满足 a d 一 垂直于这个面，那它垂直面上任意直线，所以 b 选项就成立的。 再来看 c 选项，二面角 e 杠 a 一 b 一 杠 a 的 二面角的这个大小为四分之派，那还是一样的问题，这涉及到一个面的拓展等价面的一个问题。 e 杠 a 一 b 一， 那这个时候其中两个面分别是 a e b e e 和 a e b e a e 好，那这个时候这两个面所形成的这个夹角呢？我们按照之前逻辑，我们是说过两面上分别去做交线的一个垂线，对吧？但这里呢，我们为了方便去判断，所以这个面呢，我们其实是可以去给它 扩展一下的。我们这里看似是 a e b e， 但实际上我是不是可以给它延展成面 这一往下写啊？它对应的可以看成是面 a 一 b 一 c d， 因为 e 是 在 c d 上运动的嘛。那同理， a 一 b 一 a， 我 是不是也可以给它补全它的面？我其实是可以去说成 a 一 b 一 ab， 呃，准确来讲应该是 b a b a 啊，他俩这应该要有顺序，所以接下来是不是就变成解这两面所形成的夹角，那你就会发现这两面他都是一个矩形，那我要做交线，垂线其实就是两个棱，所以他这个时候交线是 a 一 b 一， 那我对应的垂线在哪呢？可以直接找这个 d a 一 和 a a 一， 那也就是这两条都是垂线，那垂线所形成的夹角就是我对应的二面角，那这两条垂线的夹角是多少？显然在正方形内，对角线和我直角边所形成夹啊，和这个正方形的边所形成夹角是四分之派啊，所以 c 选项是正确的。 在这里的最简单的办法就是你把这个面呢给他补全，补全之后你就会相对来说好看很多。再来看 d 选项， 例选项问，存在某个点 e， 使得 a e 与底面所形成夹角为六十度。好，首先我们先不管 e 点到底在哪个位置，我们说对于线面角你要去处理，我们说是过线上一点向底面做垂直，对吧？那这个时候 e 呢？是在底面上， 所以我们选择从 a 一 向底面做垂直，那这个时候我就会发现我过 a 一 向底面做垂直，其实就是 a e a， 所以 我们现在要求的角其实就是哪个角，就是角 a e e a 这个角，所以这个时候啊，它对应的所乘角角 a e e a， 那这个时候由于 e 在 运动，所以你接下来是不是可以去求临界的情况？比如说当 e 点在 d 点的时候，这个时候就变成了我们刚才讲的正方形的对角线和正方形的边数形成夹角，这个时候临界值是四分之派。 然后接下来你就想当我的 e 离它越来越远，也就是越来越靠近 c 的 时候，我们模拟一下这个画画法，或者说你可以多画几个情况来找一下规律，你会发现这个角加角是不是只会越来越小？所以这个时候我们对应的你会发现啊，它在 d 点的时候应该取到加角最大，在 c 点的时候取到加角最小，那在 c 点加角最小是多少呢？我们也可以算一下啊，我把这个给它挪过来一点。 好，那这个时候我们只需要去解线段长就可以了。对于 a c 来讲呢，是根号二，然后这边是一，这边是根号三，所以这个时候这个夹角你就能解了，对吧？这个夹角对应的是正切值的话，应该是 二分之根号二，具体的这个角是不是一个特殊角啊？所以我们不用表示，但我知道这个角是不一定比四分之 pi 小， 而四分之 pi 是 不是显得又比六十度小？我最大都小于六十度，也就意味着我不可能取到六十度，所以 d 选项是错误的，所以这道题答案应该选 abc。 那所以这就是我们借着这两道例题呢，就相当于把我们角度问题一些比较常见的处理，我们都稍微来说一下。但是像做这种题呢，最主要肯定还是要去结合图像，通过大量的练习，你才能去巩固这些方法。
188张张讲数学
08:48查看AI文稿AI文稿嗨，宝子们，今天我们来做一道立体几何里面的一些动点问题，还有锥子问题啊，这道题大家来看呢，嗯，它是在一个正方体里面啊，然后能长为二，然后嗯， q， 它是这个的中点啊，动点 p 在 这个侧面上运动，然后满足 b p 等于 lamba 的 b， c 和 lamba 等于零到一， lamba 等于零到一，然后再把香料里面的一些字放到这里面来了。第一问，当 lamba 和 lamba 的 二分之一的时候，求这个的嗯，四面体 q， 嗯， p b， c 的 体积。那么对于第一问来说的话呢，我们 啊很容易可以知道，因为你的 number 等于 u 等于二分之一的话，那我们的这个 p 就 应该是在 b b， c 上，对吧？呃，对不对啊？所以呢， p 是 这个线段 充电啊，那么我们这个，嗯，体积，这个 v q p b c， 它就等于嗯，三分之一的 s 三角形 p b， c， 对 吧？乘以一个 h h 这个高的话，那么高起来是 q 点这个到这个 p b， c 的 这个距离， q 点到这个面 p e， c 的 距离，对吧？那这个距离的话呢，实际上就是 h， 它就应该是等于我们写的分析过程啊，步骤大家自己去写啊。那么这个 h 就是 等于我们的这个啊， 它这一点到这个对面面的距离相就是这个轮长 h 就是 等于二的，所以这个就等于三分之一啊，乘以一个，乘以一个，这个二分之一的 b， c 是 二， 嗯，再乘以这个高，高是一，再乘以 h， h 是 等于二的，所以等于三分之二。那第一问的话还是比较简单的好，第二问，里面他说是否存在一个点 p 啊，使得这个 p q 它平行这个平面叫 b e a d e 这个三角啊，三角形，这个面 要 p q 平行这个面，那么如果存在的话呢，我们要求出它的这个长度最小是不成，说明理由。那现在我需要找这样的一个把点 b 点 p， 在 这个侧面上找到合适点，让这个 p q 平行这个面，那这里涉及到这个线面平行啊，线面平行，其实我们就有两种思路，第一个我要得到这个线面平行，我就一个是在这个面上找一根线跟 p q 平行， 找根线跟它平行，如果我找到一个面平行的时候，那么另外一个面上任意一条线就跟这个面平行的， 那我们稍微看一下这个图形，我们稍作思考，我们会发现什么呢？发现的话，我实际上是比较容易做出，因为这个 p 点只要在这面就可以了， q 点是定的，我过这个 q 的 话，我在这面找点，很容易做出这个 a、 b、 e 的 平行平面的。为什么这么说？因为 q 点是中点，我只要取怎么样呢？取这个 b、 b、 e 的 中点，假设这个中点是 r， 把这个连起来。 好，那么我们可以知道在这个 d b、 b、 d 上，我的这个 q r 是 平行这个的，所以我的这个 q r 就 平行这个三角面。好。那么接下来的话呢，我要做出一个平行这个面的，那我还要再做一个线，而 a、 d、 e 它是平行 b、 c、 e 的， 对吧？平行 b c、 e， 所以 我只需要再找这个的终点，假设是 s， 我 们连接 q， 连接 s r， 那 么 s r 是 平行于 b、 c、 e 的 这条线呢？而 b c 又平行 a、 d、 e 又平行于 a、 d、 e 的。 好，我们把这个思路啊写一下啊，我们得到 s、 r 是 平行于 a、 d、 e 的， 好，我们把这个 q、 r 它是平行 b、 d 的， 所以我们可以推出，怎么样呢？我们的这个 q、 r 是 平行于这个平面 a、 b、 d 的 啊，过程大家自己去完善啊。然后我们的 s、 r 它是平行于这个 a、 d 的， 对吧？那也一样的，可以推出 s、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 所以我们有这个啊，联合起来可以推导出我们的平面 s、 q、 r 是 平行平面 a、 b、 d 的， 也是在这里的话，我们这个面，这个面画出来这个面它是平行于这个三角面的，那么我们的这个 q 点，它在这个在这个侧面上，那么 q 点它所存在的位置就应该在 sr 上，那么 q 点在 sr 任意一个地方，对吧？ q 点在这上面任意一个地方，那么我们的这个 这个 p 点呢？ p 点在在这个任意上， p 点说错了，然后这个 q、 p 是 一定是平行这个平面，因为两个平面平行的话，那我一个平面上任意一条线，对吧？任意一条线，那么我们的这个 p、 q， 它平行平面 a、 b、 d， 那 p 点是什么呀？ p 点 p 在 哪个上面？在 s、 r 上，对吧？ p 点就在 s、 r 上了。好，接下来的话，那么对 s、 r， 像他接下来说，我们 p 点是存在的，对吧？存在 p 点，嗯，存在了，好，帮他求出 pr 长度的最小值，这个时候在做立体几何的时候，把这个平面呢？我们可以放出来，对吧？我们把这个平面放出来看一下啊，这个是 q， 这个是我们的 r， 这是 s， 那 我们 p 点在这上面运动，那么他说是求 p q 的 长度，最小的 p q 长度，那就应该是过 q 点了，往这里做垂线，那么这个地方 p 点就应该是最小的。好，我们来研究一下长度。首先这个 q r， 这个 q r 的， 它是等于 b d 的， 等于 b d， 所以 它就等于根号二。 s r s r， 它就等于二分之一的 b 是 一的，所以它就等于根号二。那么这个 q s 怎么做呢？ q s， 你 相当把这里连起来，然后你先算出 d s， 对 吧？这个地方是二，这个地方是一，那么这个地方是根号五，根号五的话，这个地方是一，然后所以勾股，所以它是根号六 啊，你会发现呢？这是根号六，根号二，这个地方是二倍，根号二，我们发现这个角就是直角的，满足勾股数，所以的话，我们的这个啊，当 p 在 哪里？当 p 就 在这个 s 点的时候，在 s， 嗯时，我们的 p q， 它是最小的，最小，对吧？它的最小是等于多少呢？就是我们的这个根号六， 这是第二个第二个题啊，我们把它分析一下，找到了这个啊，动点的这个 p， 它的存在，存在的它的轨迹，像它的轨迹就是这这个线段上的，它的轨迹是在这个 sr 的 这个线段上。好，接下来第三问。第三问说，若这个 number 加 m 等于一啊， number 加 m 等于一，这是我们向量里面的，对吧？那么这个 b p， 它等于这个 b c 加这个 b b， 它的在前面相加，等于，说明什么呢？说明三点共线，对吧？所以的话，我们的 p 点在哪里啊？哎，我们的 p 在 线段 c b 上，对吧？ p 就 在这个线段 c p 上好，也就是 p 在 这个 c b 这个线段上，好，接下来他说求 a p 加 p q 啊， a p 加 p q 的 这样的一个啊最小值，那么相当于在这里的话，我们大家可以看到这个， 我们把这个看起来，这 a b c 是 一个平面， q b e c 也是另外一个平面，然后这样的两个平面上呢，找到一个 p 点，对吧？在这个上面找一个 p 点，然后使得距离最小，那么这是一个这个折叠问题，对不对啊？这是一个折叠展开图问题，所以我们把在这里我们把这个 a b c 和这个 q b c 进行展开，我们去画一个图，嗯， 这个地方是 a， 这个地方是这个 c， 然后这个是 b 一， 这个就是中间的这根线，对吧？ b c p 就 在这上面活动，然后这个是 q 这两面，那么我们要求在这上面这个 p 点 a p 加 p q 最小呢？也就是当它这个地方，是吧？呈直线的时候展开，呈直线的时候那么是最小的，也就是我们将这两个面将平面 a c b 一 a c b 于平面这个 q b c 展开啊，展开展开的话，接下来我们来看一下啊，然后我们要求这个最小值，就是 a q 嘛 a q 的 最小值，那么来看一下已经知道的信息，在这里的话，我们的 q b 一 啊，在这里 q b 一 这个长度我们之前是有求过的， 是等于怎么样呢啊？是等于这个三的，这个是等于三啊，然后还有 q c q c 的 话啊， q c 我 们也是可以求的这个 q c 啊，借助下面的这个直角三角形 q c 我 们是等于根号五的， 然后然后这个 b 一 b 一 c， b 一 c 啊， b c， 那 么很容易得到，它是等于二倍的根号二的。好，接下来我们知道这三边，然后我们要求这个 a q， 这个时候我们的思路啊，大家就要就要开阔一点，因为我们在这里使用这个平面的几何的这样一个问题，像我要求 a q， 那 么我们将这个解三角形的方法放到这里，那么我们在三角形 q， b， e， c 中啊， 我们有可算角 q b， e， c 啊，我们通过这个余弦定律啊， 加比一 c 的 平方减 q， c 的 平方除以二比一 q 乘以一比一 c， 等于我们把它算出来是等于二分之根号二的，所以我们可以推出我们的角 q b， e c 啊， q b c， 这个角是等于四分之派的 四分之派，然后呢这个角是四分之派，而我们的这个 a c， 我 们的 a c， b e 啊， a c， b e， 在 这个里面我们可以很容易知道他们这个三边全部是面的对角线，所以呢，它是一个等边三角形啊，画个圆圈笔啊，没墨了， a b、 c 为等边三角形， 等边三角形，所以的话我们的角 a， b、 e、 q， 它就是等于四分之派，三分之派，对吧？加三分派有这个角我们知道 最小知道我要求 a q 的 话，然后这个边也知道，那我们就这个 ab 也知道，对吧？ ab 一 我们也是知道的，它叫做二嘛，对吧？所以的话我们需要用个余弦定律就可以知道，那么当然我们这个扩散扩散角 a， b， e， q 啊，等于四分之，这个是这个七十五的话，那么是四分之根号减六啊，这个大家可以学记的，然后在 三角形 a b e q 里面我们用余弦定零，对吧？余弦定零我们就可以求出 a q a q 的 平方是等于 b e q 方加 b e a 方减二啊，把余弦定写圆 b e a 再乘以口上 角 a b e q， 对 吧？嗯，所以我们可以得到它是等于十一加六倍的平方三，这样去算一下啊，所以我们的这个 a q 就是 等于根号下十一加六倍的平方三，这个就是它就是等于这个 a p 加 p q， 它的这个最小是什么？ 那这个这个第三位呢？啊，结合了这一个我们的解三角形，对吧？解三角形的这工艺，这道题的话综合性还是比较强的，好，懂了吗宝子们？
126Tina的三分钟
16:19查看AI文稿AI文稿同学们好，这节课我们来看一下第八张立体几何初步第一节基本立体图形的常考题型。 那本节常考题型会有两种，第一种是考几何体的结构特征，第二种是考洁面问题。几何体的结构特征会有两种考法，第一种是考七种简单几何题的结构特征， 简单几何题包括多面题和旋转题，多面题包括能助、能追、能抬三种， 我们重点要关注他的底面、侧面、侧轮和顶点啊。旋转体包括圆柱、圆锥、圆台球四种，我们重点要关注轴、底面、侧面和母线。 那第二种是考不规则图形旋转形成的几何体，那对于不规则的图形，我们要把这个图形分割分割成一些我们常见的图形，然后再对每一个小部分进行旋转，然后再定形状。 我们来看题目判断真物。第一，正楞椎的所有侧棱都相等。正楞椎的底面是正多边形，我们以三角形为例，那底面的三条边边长相等， 而且正楞椎的顶点到底面中心的连线是垂直于底面的， 那因此我们就能得到正楞锥的侧面都是全等图形，因此正楞锥的所有侧棱都相等。那第二道题直角柱的侧面都是全等的矩形， 直楞柱只是侧楞和底面垂直，但是直楞柱的底面并不一定是正多边形，也就是说底面的边长并不一定相等，所以直楞柱的侧面并不一定都是全等的矩形，所以第二小题错误。 第三小题圆柱的母线垂直于底面，圆柱的母线是平行于旋转轴的，而圆柱的旋转轴是垂直于底面的，所以圆柱的母线也就垂直于底面。第三小题正确。 第四小题用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是等腰三角形， 我们用经过旋转轴的平面结圆锥，那这个平面和圆柱的侧面会相交，形成两条线，而且这两线的长度是相等的，因为它们都是圆锥的母线，所以结面是等腰三角形，而这个三角形的底边就是底面圆的直径。 所以第四小题是正确的。好，下一题，如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是。 a。 该几何体由两个同底的四人锥组成， a 是 正确的，这两个四人锥是底对底组合在一起的。 b 选项，该几何体有十二条人，六个顶点，我们数一数，一二三四 五六七八九十十一，十二十二条人，然后一二三四五六六个顶点。好， b 选项正确。 c 选项，该几何题有八个面，并且各个面均为三角形，我们和 d 选项一起看。 d 选项是说该几何题有九个面，其中一个面是四边形，区域面均为三角形， 两个同底的四连锥，这样底对底组合在一起之后啊，那原来这两个四连锥的两个底面在新的几何底中，它就在图形的内部， 他并不是围成这个新的几何体的平面，所以就不是这个新的几何体的面。那因此啊，这个新的几何体只有八个面，就是原来两个四轮锥的侧面。 c 选项正确。 d 选项错误。 好，下一题，在曲边图形 a、 b、 c、 d、 e 中，曲边 d、 e 是 四分之一圆周圆心在 a、 e 上，该曲边图形绕 a、 e 所在直线旋转一周形成的几何体有什么结果特征？ 我们把这个图形进行分割，分割成我们常见的图形， 标注下序号。这是第一部分。这是第二部分。这是第三部分。这是第四部分。第一部分是一个三角形，那三角形以直角边所在轴旋转形成的就是圆锥。 第二部分是一个直角梯形，直角梯形绕直角腰所在的直线旋转形成的就是圆台。第三部分是一个矩形，矩形绕直角边旋转形成的是圆柱。 第四部分是四分之一圆周，四分之一圆周绕直径所在的直线旋转得到的就是一个半球。 我们来画一下旋转之后的几何体，就这个样子。这是第一部分的圆锥，这是第二部分的圆台。这是第三部分的圆柱，这是第四部分的半球。 好，下一题。在如图所示的几何体中，四边形 a、 a、 e、 b、 b 是 边长为三的正方形， c、 c 一 的长度是二，且 c、 c 一 平行于 a、 a 一。 这个几何体是棱柱吗？ 棱柱要求所有的侧面都是平行四边形，但很明显，四边形 a、 a、 e、 c、 e、 c 就 不是平行四边形，所以它就不是棱柱。 若不是，请用一个平面截去一部分，使剩一部分是一个侧棱长为 r 的 三棱柱，并指出截去的几何体的特征。在立体图中画出截面，要使剩一部分是一个侧棱长为 r 的 三棱柱，那我们就在 a、 a、 e 中取一点 d， 使得 a、 d 的 长度等于 r， 那 我们连接 c、 e、 d， 那我们就很容易得到 c、 c、 e 是 平行且等于 a、 d 的。 同样的，我们在 b、 b、 e 上取一点 e， 使得 b、 e 的 长度等于 r， 连接 c、 e、 e， 那 我们很容易证明 c、 c、 e 是 平行且等于 b、 e 的。 那我们再连接 d、 e， 那我们很容易证明 a、 d 是 平行且等于 b、 e 的。 那由这三个条件我们就知道侧面都是平行四边形， 那么 a、 c 就是 平行且等于 d c、 e 的。 a、 b 就是 平行且等于 d， e 的。 c、 b 就是 平行且等于 c、 e 的。 也就是说三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 c、 e 这两个底面是平行且全等的。好，这涉及到了后面的知识，那此时这个棱柱 abc， d， e、 c、 e 就是 侧棱长为 r 的 三棱柱，那我们截去的这个几何体就是 c e d a e b e e， 它就是一个四棱锥。 那第二种题型是结面问题，会考两种题型，第一种题型是结面形状问题， 那对于圆柱、圆锥、圆台来说，有轴结、横结其他三种方式， 那对于球来说，结面是个圆，而且球心和结面圆心的连线是垂直于结面的，那对于多面体来说，就要根据题目条件，每道题目单独讨论了。 那第二类题型是已知一个结面，让我们求值，那这里的结面可以分为静态结面和动态结面两种。动态结面就是结面有个点或者有条边在移动，结面是变化的，然后让我们去求这个结面的面积或者其他参数，它的一个范围或者最值问题。 好，我们来看题目，圆锥的结面形状不可能是 a 等腰三角形， 如果这个结面是过圆锥的顶点的，那么这个结面和圆锥的侧面相交，就会有两条线段，而且这两条线段都是圆锥的母线，所以这两条线段是大小相等的， 所以这个三角形就是等腰三角形。 d 平四平行是不可能的。 c 圆，如果我们用平行于底面的平面去截这个圆锥的话， 那我们得到的截面它就是圆。 d 椭圆，那我们用一个平面斜着去截这个圆锥，那得到的截面就是一个椭圆， 所以 a、 c、 d 都是可能的。 b。 平行四边形是不可能的。那平行四边形为什么不可能？因为圆锥的侧面它是一个曲面，而平行四边形的四条边都是线段，都是直的。虽然母线是线段，但是平行四边的两条边不可能是两条母线。 好，下一题。已知，一个能长为六厘米的正方体塑料盒子是没有上盖的，上口放着一个半径为五厘米的球， 则球心到盒子底部的距离为多少？这个球的直径是大于正方体盒子的边长的，所以球是一部分进入到了正方体盒子的内部，那我上盖这个平面结，这个球就形成了一个结面。我们在正视图里面画一下， 我们假设结面的圆的圆心是 a， 球心是 o， 那 我连接 o a， 再把 a 点和盒子的边缘连起来，那这样我就构成了一个直角三角形， 那 o、 c 就是 球的半径，就是五，那 a、 c 就是 正方体塑料盒子的一半的长度， 就是三，所以 o、 a 就是 球心到结面圆心的距离就是根号下五的平方，减三的平方等于四， 那球心到盒子底部的距离就是这个 o a 再加上正方体的边长六就等于四，加六等于十厘米。 好，下一题。从一个底面半径和高度都是 r 的 圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体。如果用一个与圆柱下底面距离为 l， 且平行于底面的平面去截这个几何体，则截面的面积是多少？ 那这个平面和圆柱会有一个截面，和这个圆锥也会有一个截面，而且这两个截面都是圆。所以最终这个平面去截这个几何体，它得到的截面就是大圆和小圆之间的圆环， 那这个圆环的大圆，它的半径就是耳，那这个圆环的小圆的半径。我假设是小耳，那我们连接圆柱上下底面的圆心， 那这个连线肯定过这个小圆的圆心，再把小圆的半径画出来，那这也是小耳，那我们就能得到小耳比上大耳是等于 l， 比上 r 的 平行线分线呢？成比例或者三角形的相似定律，所以小耳就等于 l， 那截面这个圆环的面积就是 pi 乘以大而平方，减掉 pi 乘以小而平方，就等于 pi 乘以大而平方减 pi 乘以 l 的 平方。所以，做立体几何的题目，知道截面是什么，看懂图形非常重要。 好，下一题已知。一、圆锥的母线长是 r， 底面圆的周长是 r 倍根号三 pi。 那 我们假设底面圆的半径是 x r， 那 就 r pi 乘以 x r 等于 r 倍，根号三 pi， 所以 x 等于根号三。问，你则过圆锥顶点的截面面积最大值是多少？ 那过圆锥顶点结面与圆锥相结，形成图形，就是一个等腰三角形，这个三角形的两条腰就是圆锥的母线。 那么假设这个三角形的顶角是 r， 那 s 就 等于二分之一乘以二，乘以二乘以 r 就 等于二倍乘以 r 法。 那角阿法所对的弦在底面圆内，它就是变化的，所以角阿法也是变化的。那角阿法的范围是多少呢？ 那当这条弦是底面圆的直径的时候，这时候角阿法是最大的，因为大边对大角。我们来看下这个阿法最大值是多少。我们过顶点做底面的垂线， 底面半径是根号三，母线长是二，那在这个直角三角形中，就是这个画蓝色线的三角形。那我们知道 sine 六十度是等于二分之根号三的，也就是这个角 是六十度，所以角阿法的最大值就是六十度。乘以二 等于一百二十度，所以角阿法就属于零到一百二十度。一百二十度是能取到的，而在零到一百二十度这个范围内撒，硬是先单调递增，再单调递减。 所以当 alpha 等于九十度的时候， sign alpha 此时取得最大值就是一，所以面积的最大值就是二乘以一等于二。 好，本节课讲的是例题几何的基础知识，是学习其他知识的前提，那高考单独考这节的可能性是不大的，更多的是把这节课的知识和其他知识结合在一起。因为例题几何所有的题目都离不开本节的知识，所以本节一定要掌握好。 那我们这节课就到此结束，我们下节课再见。
126千帆
30:37查看AI文稿AI文稿骚猫讲数学，立体几何是高一数学最难的板块了，但在这节课中呀，我把立体几何所有的解析技巧，解析妙招给大家总结了出来，用最通俗易懂的语言，让你拿下立体几何的六大解析技巧。废话不多说，赶紧开始吧，数学启动 一体几何究竟有多难呀？从八点一到八点六，此行猫呢，用这个必修二的系统课给大家把考点题型整理了出来，来请大家把自己觉得最难的板块的标题扣在弹幕里，是八点一还是八点二，还是到后面的八点五八点六了，以及中间补充了一个外接球与内接球专题。 那接着给大家欣赏一下本节课会讲到哪些解题妙招，以及针对哪种题型。第一个凑对称，来自二零二四年天津高考的真题体积问题。第二个妙招呢，是以尺子在这种正平行的题里面去找线线平行 这题看起来是一个小桥，但其实它包含了四个大题，看起来简单，其实一点也不难哟。接着呢，是换顶点问题，针对于求三棱锥的体积以及呢到了化解面问题，来自二零二一年全国二卷以及二零二三年全国一卷的高考真题 前脚转化两两垂直化为长方体以及向量法来求这种线线垂直的问题。一面直线垂直，这个可是很难的呦。 那首先第一个凑对称，针对于求体积问题，如果给了一个复杂的几何体， 那一般的思路就是割补法了，但不管是割还是补，它都是有依据的。比如这种遇到了结构对称的几何体，那咱们就抓住对称来直接看题。二零二四年天津高考，给了一个五面体，然后棱 a、 d、 b、 c、 f， 哦，这三条棱是 平行的，两两平行， ok， 互相平行，两两之间的距离为一，那说白了就是你这个棱之间的距离呀，哎，都为一，都为一， ok， a、 d、 b、 c、 f 分 别为一、二、三。问你五面问题的体积哇，这个五面问题，首先它很不规则，但是我知道这三条棱的长度分别是一、二、三。那各位学小猫，请在弹幕里扣一下，这个题怎么解决呢？是割还是补一？割成什么样子，补成什么样子， 哎，可能有同学想到的是去给他割一下，但割完之后其实非常难受，比如这里我找一个一啊，那这样，然后这里呢？找个三等分点，下面也是一， ok， 这个看起来呢，下面是一个棱台在上面，这个不太好求啊，上面再去割一下，那也蛮复杂的啊，有同学想到补了，很好，一、二、三，哎，你看这个三呀，他差了一个，差了一个一，那这补一个一出来， nice， 这里再补一个二出来啊，这么一连的话， ok， ok， ok， 哦，这个呢，就是整个一个棱台了，然后这是一个二二，这是一个一，但是看着还是很不爽，因为这个棱台，哎，他，你补出来了，这一部分也不规则呢，很难求，那咋办呢？ 哎呦，聪明的小黄猫，一看，一二三是个什么呀？各位小小猫，请在弹幕里扣一下一、二、三，这不就是等差熟练吗？那你何必补个一和二呢？一二三，我给他干嘛呀？我给他补个三二一出来，那这样不就非常完美，非常对称了吗？来，直接操作，你看这个，我给他补一个三， ok， 那 这个呢？我给他补一个二出来， 那这个呢？咱给他补一个一啊，这个三，我们再画长一点， ok， 到这里了，好，这三个线呢，长度分别为三二一，那这样你连一下就会非常惊奇的发现，哦，这一连到这了，这边一连呢？到这了， ok， 这二连呢？又到这里了，哦，这整个就是一个三棱台了，三棱柱，并且不仅补上了一个三棱柱，他还是一个非常规则非常对称的图形啊，没有发现吗？咱要求的是这块黑色部分的体积，而补出来这块红色部分的体积。 黑和红，他俩咋了呀？哦，他俩是一对啊，天生一对三二一一二三，他俩非常互补结合在一起了，是一对 cp。 那 我想用这个黑色体积不就是整个体积的二分之一吗？ amazing， 请把六六六扣在弹幕里， 那咱的五面体体积直接二分之一为这个三楞柱？好，三楞柱体球乘一个二分之一，答案嘚儿一下就出来了， 哎呦，那这个三棱柱体积怎么求嘞？两两之间距离为一啊，那说明这个三棱柱它中间之间的啊，这三个棱的距离一一一，哎，我家猫的名字一一，嘿嘿， 那这个结面就是一个边长为一的等边三角形了，等边三角形的面积，也就是底面积直接四分之根号三 a 方，那就四分之根号三乘以的平方四分之根号三。那么高的话，咱补完之后这个棱长都是四了呀，所以高就是一个四。 nice， 那 么最后的答案请扣在弹幕里， 二分之根号三选 c， 漂亮。也就是说遇到这种结构对称的几何体或者复杂的几何体，你可以给它补成结构对称。有的题呢，可能出来一个就是结构对称的，那么你其实只要求哎成个二分之一就行了，或者把总的求出来乘一个二分之一， nice， 另外这个两两之间距离为一，可以翻译成啊，这个棱柱啊，它的直径为一的等边三角形。 关于这玩意，怎么详细的证明在 b c r 系统课中啊，咱的配套讲义七十三页，本节课题目啊，均来源于三花猫 b c r 系统课配套讲义在 b c r 系统课也都是给大家进行全面的讲解了，只不过是把其中一些题型给大家抽了出来，所以需要 b c r 系统课的哎，可以在我的主页获取。 好，那各位是小毛，咱再回归到这个目录，我向大家比较难受的就是这个表面积体积问题，尤其这个体积问题啊，哎，刚刚就讲了一个呦！ 另外在必修二系统课中啊，丝毫把这些所有的知识点，题型技巧以及解题妙招全给大家讲完了。 系统课呢，不仅包含立体几何，还包含了必修二其他的章节，比如什么解三角形，平面向量以及统计概率等等。 最近好多小伙伴私信需要 bcr 系统课的，并且已经下单了。那小黄毛再给大家说一下， bcr 系统课有个五一假期特惠哦，仅针对于五一假期这两天。这些呢，就是跟着小黄毛学 bcr 系统课的部分截图啊。 三皇冠必修二系统课最大的特点呢，就是通俗易懂，我会用非常简洁的人话把一些很难的题型给大家拿下来啊，比如这位同学啊，说在学校听得一言难尽，然后三皇冠真的全靠你了。哎呦，系统课让他对数学重燃了斗志， 因为 pc 二系统不仅包含了全套 pc 的 课程视频，还包含，哎咱的配套讲义，一百页，总共一百页的哦，并且答案也是有的，包括电子版以及纸质版，还包含色号猫四个月大一最后的价格，大家直接在我的主页或者在本视频的链接获取，就能看到优惠完的价格了。 并且不管你的数学是多少分呀，其实都适合这个必选系统课的，因为每节课呢，我都会给大家讲哎最基本的知识点，然后接下来讲解题妙招。最后呢，讲这个题型的通法，哪怕你是零基础，你刚开始看知识点也是能看懂的，从零到一百分，以及再从一百分到一百三十分，把所有的题型全部拿下。 如果你的高中数学在学校学的难受，那必修二系统课就是你的法宝，包含了直指讲义，哪怕你平时在学校没有时间，也可以先做题，回来再看视频，因为每个视频的长度是三十到四十分钟，所以你每周去看一个板块就 ok 了，完全足够了，非常高效，非常通俗易懂。 那接着妙招二，移尺子哎，考试的时候可以带尺子的哟，就是对这种让你证明平行问题，说白了其实是找线线平行。比如你看这个第二题，哎，给了这么多条件问你不满足直线 m n 平行平面 abc， 那 我反过来思考杯，我就证明，哎，直线 m n 平行于平面 abc。 所以 这个题不简单嘞，它有四个选项，每个选项都需要你去判断一下或者证明一下 m n 是 否平行这个平面了。 那证明线面平行的方法是啥呀？在 b c r 系统课讲过了哦。啊，就是找线线平行，在平面 a b c 中找这么一个直线和 m n 平行，找线线平行。哦，那怎么找呢？哎，你偏平行这种感觉哦，用尺子一下不就出来了吗？这道题呢，也是 b c r 系统课配套讲义的五十六页 好，比如你看第一个 a 选项，我要证明 m n 平行这个平面 a b c。 那 在 a b c 中找一个线和 m 平行就完事了呀，怎么找呢？移尺子呀。啊，你看我这个尺子比了 m n， 然后往下移，我的眼睛就是尺一过一过，哎，它正好和 a c 平行了呀，平行吧，真的平行呀，那怎么正呢？ 哎，有了这个思路，先把它写上呗。我说白了就是证明 a c 平行于 m n 啊，如何证呢？我现在已经找到了。那你就哎顺着它的思路去思考。你看 a c 是 两个这个哎，终点一连 m n 也是两个终点了，但只不过这个终点小一点点，所以我需要去找这么一个面儿对角线让它变大。哦，那这我记为一个啊， p q 吧，所以通过 ac 平行 p q 以及 m n 平行 p q 平行线的传递性，那直接 ac 平行 m n 了，就挣出来了。 nice， 好， 接下来这个第二个，看我怎么移到这个东西你可能看着比较难受了，需要移尺子来，先把 m n 给它描一下 啊，当然，你们到时候用尺子移就行。你先用尺子比着 m n 啊，然后呢，给他往下移，下移，你看哪里平行了？一到 a 点啊，不行，这里太抽象，有点， 哎，看着有点难受了，他不在这个面里面，那一到 b 点都不得行哎，好像德行哦，一到 b 点呢，这边是一个 b， 这边交于了这个棱的中点了，那说明这个面呀，它太小了，给它延长一下啊，这里给它连接， ok， 这里也给它连接，连接到这里 来，我们用虚线吧。 ok， 这里给它记为一个 q 吧。啊， q 币，那整个这个 abc 平面是不是就相当于 a q c b 这个平面了？哦，那我只需要证明 m 平行， q b 就 完事， 那很明显，这个 m 和 q b 是 好正的，所以线面平行了啊，注意，这个平面和直线可以无限延伸的哦，你平完之后可以延伸了，那答案就出来了。好，接着第三个 m n 平行 abc 来，再用移尺子，哎，神奇的小尺子，移一移，这是 m n， 给它往左边移啊，移完之后， 哎，跑这了，焦点在哪呢？哦，焦点就在这个棱的中点啊。给大家也记为一个 q 吧，那连接 c q， 再连接 a q， ok， 你 会非常惊奇的发现，平面 abc 其实就是平面 abc， 那 我证明 m n 平行于 q b， 完事。 好，那通过移尺子，你发现 a b c 都是对的，那所以我肯定不能选 a， b c 就 要选大了，哦耶，答案就出来了，请在弹幕里扣出六六六移尺子，大家考试的时候一定要带尺子，这个非常关键，它是你至胜的法宝哟。啊，当然你也可以把三花猫带上，嘿嘿， 那这时候可能有好奇的小小猫了，三花猫呀，那最后一个移出来也是对的呀，为啥错了呢？最后一个，大家确实移出来，你发现 m n 和这个 a c 啊，它是平行的 啊，然后就觉得，哎， m n， 那 不就平行平面 abc 了吗？有这个思想的同学，我送你四个字啊，拖洋，拖死你跑，太年轻，太单纯呀。哎，这个 m 和 a c 是 平行的呀，但是注意这个正方形。给大家再补充一下，你没发现刚刚在 b 选项和 c 选项里面，我们都把这个面啊给他扩充了一下， 扩充其实就好看了，而这个 abc 你 看它非常的小，咱也可以给它扩充一下呀。你看 abc 在 棱的中点，那我多找几个中点呗。啊，这里 n 也是中点啊，咱把这个 b 和 n 连接一下。 欧耶， m 已经连接了。好，这我也找一个中点，把 c 和这个中点一点，再把 m 和这个中点一点。哎，你发现整个这个平面其实是啥呀？再来记为一个 a， c， q， m n， 它就是一个六边形，而咱要求的这个直线 m n， 它是包含在这平面里面的哟，包含在平面 abc 的， 因为咱把平面 abc 给它扩充一下，你发现是包含 m n 的， 那线和面平行需要啥呀？线不在面内才行呀，这个是线在面内，所以它就错了，这是一个易错点哦，注意正方体，你几个棱的中点相连，可以构成一个 正六边形，这也是一个场合的模型啊。 nice， 接着妙招三，转化顶点输入在 b c 二，系统课配套奖励的四十一。 好，直接看你三杠一，哎，值。三棱锥这玩意给了这么一堆条件，问你，三棱锥 b 杠 p a c 啊， b 是 一个顶点， p a c 呢？是一个底面。 ok， 没问题。那何为换顶点啊各位，就是针对于三棱锥的体积，这是个高频考点哦，咱干嘛呀？换高？因为三棱锥的体积众所周知是 v 等于三分之一 s、 h， 而在这个公式里面，最难搞的其实就是这个 h 了。 s 一 般好求，有了减三角形，二分之一 a、 b 三 c 就 求出来了。那这个 h 有 时候真的不好找，因为立体几何很抽象。比如你看这个题，我要求 v、 b 杠 a、 p、 c， 那 是不是需要从点 b 向这个平面 a、 p、 c 做一个垂线段才能找到这个高呀？ 那问题是，垂线它落在哪里呢？你做完之后落在这还是落在这？还是呢？落在这个棱上了，它不好找，因为找完之后，你这个长度也不好求。那所以其实呀，你如果以 b 为顶点去求这个高，真的难受，咋办呢？ 转换顶点，换顶点，换高，刚刚是以 b 为顶点高做出来这样子的，那我能不能以谁啊？以 c 为顶点，或者以 p， 或者以 a 为顶点。 三棱锥是有四个顶点的，那我以谁为顶点，其实都一样的呀。那你觉得哪个顶点好一些呢？各位，在 a、 b、 c、 b 中， ok， 请扣在弹幕里，那肯定是 p 好 点，为何呢？因为 a、 b、 c 这三个顶点都是二十六字母的前三个哟。嘿嘿，那 a、 b、 c 肯定是好球的。但是开个玩笑，这也是一个思路，你想想吧，点 p 是 这个 a、 c、 e 的 终点， a、 b、 c， 它就是这个三棱柱的底面哟，你看， a、 b、 c 不就这个三层柱的底面吗？那这个底面的面积非常好求呢？那我不就是求这个点屁到这个底面的高呢？那点屁到底面的高怎么求呀？哎，这个屁是个中点，你别忘了是个中点，那我通过这个点，屁往底面做了一个高， ok， 那 其实它是啥呀？它这个 c 到底面高的一半了，因为屁是它的中点，那我说白了就是 c 到它高，再乘二分之一就完事了。 好，有了这个思路，转换顶点启动，咱以 p 为顶点，把 v b 杠 abc 这个三棱锥给它转换成了 v p 杠 abc 啊，顶点换到 p 了，那咱刚又说了， p 是 终点，那 a c 一 的话，它是一条这个线， 那所以 c 到底面的距离是 p 到底面距离的两倍了。哎，这个很好看出来吧，那所以直接变成了五，哎，二分之一 v c 一 杠 abc 了。 其实这两步呢，都是这个三等球体积的两个妙招，我给大家标注一下，在这个 b 圈系统课都是讲过的， 第一步就是一个换顶点，第二步是比例放松，相当于出现了中点或者几等分点，那这样他的高也是他的几分之几啊，进行相应的放松就 ok 了，但一般这两个都是结合在一起出的，所以换顶点加比例放松。欧耶， 好，那现在这个就很简单了呀，直接二分之一啊， s 三角三分之 s 时，那就是三分之一 s 三角形 a b c 再乘一个高，高就是 c c 一 呀， nice， 所以其实我只要把 a 三角形 a b c 求出来就完事了。 a b c 的 面积怎么求呀？哎，他给了这个 a b 是 根号二， ok， bc 又是一个一，还给了 cos 角 a c b 是 三分之根号三，相当这个角的 cos 就 知道了。哎，那不就是解三角形问题吗？那怎么解？各位小伙伴自己操作一下吧， 四号猫马上公布答案。 ok， 四号猫要公布答案了，最后的答案如图所示，十二分是科二，各位学小猫算对的，请在弹幕里扣一个。 nice， 主要解三角形的过程我展示到这里了，先利用这个考材值算出来三边之长，然后再利用面积公式算一下三，答案就出来了。好，另外，这个三个二留作一个练习题，也对应于必须要系统课配套讲义的四十一页，大家做完了直接在系统课中对答案即可，或者在评论区抠出你的答案。 接着第四个妙招，化解面。呃，立体几何难就难在它是一个三维图形，但我们可以通过化解面把一个三维问题转化为一个二问题，也就是把一个立体几何问题转化为平面几何问题。 最突出，考的最频繁的你，像二零二一年全国二卷以及二零二三全国一卷，都考到了一个棱台的体积问题。棱台的体积我要去干嘛呀？哎，找这个高是最关键的。 ok， 棱台的体积公式还记得吗？来，记得的小小猫，在弹幕里面扣一个一， 是不是 v 等于三分之一？哎， s 一 加 s 二乘以个啥玩意呢？乘以个 h 漂亮， s e s r 好 求，主要这个 h 难求，所以其实求体积问题啊，说白了就是求高，求这个定海神针了。哟，那棱台这个高如何求呢？哎，我们先画一个图嘛。 ok， 如图所示。那我去找这个高啊，上里面中心，下里面中心，这么一连高就找到了。好，现在题目给了侧棱的长为二，说白了这个为二，那上下里面这个边上也知道，那我怎么求这个高呢？哎，这个二我都知道了，我要去找这个高，那说白了，哎，把这两个一连，这两个一连开心。 好，这是一个啥呀？因为他是高，所以这两个是垂直的。那这玩意其实是一个啊，直角梯形，那相当于这个轮胎，我通过把高移，哎，棱长，这个一连是不是做出来一个结面了？好，这个结面图形给它提取出来，如果还看不懂，可以提取一下呦。 提取完之后，直角梯形，这个腰长为二，那上下底边呢？哎，注意，上底边是啥呀？是整个上底面的对角线的一半啊，上里面这个边长为二对角线二倍根二乘以一个二，一半是一个根号二，同理下里面是二倍根号二。好，现在问你这玩意那不就是一个平面几何问题吗？ 怎么求呢？来，这再做一个平行，那这是根号二，那求他是不是直接勾一下就是一个根号二？漂亮， 所以求出来这个 h 就 等于根号二，欧耶。那接下来把这个东西一带，答案嘚儿一下就出来了。来，请把这道题的答案扣在答案里，快速算一下。 ok， 最后的答案如图所示。 选大。那这个题拿下了，给大家留个小小的练习题，四杠二，二零二三年全国一卷的题哦。 这个画界面其实它是一个非常重要的思想，也就是把立体结合问题给它转换成平面结合问题，多去把立体结合的界面画出来，因为咱们一般采用的斜二插画法，导致你在立体结合里面看图的时候非常难受， 那以及更多的方法，系统的讲解都在发红包，必秀二系统课，大家在我的主页获取或者该视频连接获取即可。 妙招五，墙角转化各行者们有没有玩过我的世界呀？简称 m c， 在 我的世界里面，我记得我小时候刚玩的时候就是去追那个猪打， 但发现这个猪每打一次就会乱跑，所以我就把它按到一个墙角，啊，边打啊，然后边这个它就跑不掉了。 那墙角是啥东西呢？就像我的世界一样，因为它我的世界那每个东西都是一个方块，那不就是个正方体或者长方体吗？哦，那咱们看题， 就相当于你看五杠一啊，三棱锥这玩意中给了 p a， 这不重要，重要是这句话， p a， p b， p c， 两两垂直。哦， 它都有个公共点， p， 两两垂直，那不够就构成了一个墙角吗？啊，你看，这里是 p b， 那 这是 pa， 这是一个 pc， ok， 是 不是构成一个墙角啊？这三个是两两垂直的啊，相当于我的世界里面一个角角落了。 那既然能勾出一个墙角，你想想，两两垂直，哎，他是我的世界一个方块的，一个一边喽。啊，一部分，那所以可可以把它放到一个方块里面，也就是放到一个长方体里面，好给他标一下吗？都是一个根三，哎，根三根三根三，长度还一样，那所以出来应该是个正方体，啥意思呢？ 如图所示，在这个正方体里面，既然刚刚这个 p 是 在这 p a p b， p c， 那 好，我用这个 p 在 这个正方体的顶点，那这里不就是 a b c， 哎， 你把一个三棱锥啊放到正方体里面了，每个三棱锥的顶点都在正方体的顶点上，我再给大家连接一下，现在是不是看得更舒服了啊？这个顶点 p 下面底面 a b c， 他 问你三棱锥的外接球， 哎，那这样这么一放到正方体里面，三棱锥的外接球其实就是谁呀？啊，这个蓝色的正方体的外接球，请把六六六扣在弹幕里， 那我求他的外接球，直接求正方的外接球，这个题答案就出来了。好，我先给大家梳理一遍思路，就相当于如果遇到一个三棱锥， 他出现了，哎，三条相邻的棱，两两垂直，那么这就是一个墙角模型了。利用墙角转化，把它当成一个墙角，那其实就是正方体的一个角了，那就给他转换成正方体外接球了。当然这个给的比较特殊，三条棱相等是正方体，有时候可能转化出来是一个长方体， 也输入在 b c 二系统个配套奖励的四十八页里面，给大家整理出来了这个三棱锥，哎，三棱锥外接球的各种球法，各种模型，这只是其中一种。 好了，各位学小猫大家自己求一下这个长方体它的外接球的体积。四号猫马上公布答案，最后的答案如图所示， 选报各位学小猫做对了，请在弹幕里扣一个， ok， 欧耶， nice， 都可以！ 那最后这个五杠二留作一个练习题吧，也是在 b c 二系统和配套讲义的。四十八 e， 注意这个正方体的外接球啊，它就是体对角线的一半，所以直接它的公式就是二分之根号三 a 了啊， a 是 这个正方体的棱长了，而在这道题里面，棱长就是一个根号三，所以咋把 a 等于根号三带进去，那算出来就是一个二分之三了。 nice！ 那 本节课的最后一个妙招，向量法。哎呦，各位同学们还能还没有学过空间向量，但至少你学过平面向量吧。所以向量法在解决一些立体几何问题的时候非常舒服，哪怕今天你还没有学，在学校没有学没关系，塞红包直接给大家讲懂，特别简单。 那直接看题吧，他说一个正方体 ok， 然后呢？ ab 呢？都是顶点， e f 是 终点，在途中满足 ab 垂直， e f 的 图形有哪些？ ab 垂直， e f 是 不是线线垂直呢？ 而在 b 圈系统给大家讲过证明线线垂直的思路，其实有三个。第一个啊， e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形，你把两个 e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形。求一下这个夹角如果是直角，那就完事。 第二种思路，别忘了，线面垂直有一个性质，线面垂直是不是可以推线线垂直啊？所以第二个，你可以通过证明线面垂直，然后再来证线线垂直。哎，相当于垂直之间的一个转化了。另外第三种思路，这个就比较牛了，也是撒哈密最喜欢的一种办法哎，向量法。 好，那我们可以先看一下这个啊，第六个的第一个。另外各位学长们可以猜一下这个题答案有几个嘞？他说满足垂直的图形的个数为几个？各位可以按个暂停键自己试一下啊，你可以试一找，这道题难度其实非常大，如果你用皮筋和线面垂直，做起来非常难受。 好，我们看第一个啊，比如有同学想问，这个平移的办法可以吗？我给大家讲一下，这是 ab， 而这个呢，是个啊， e f。 那 现在我把这个 ab 到现在给它平移一下，平移完之后，呃，它能和这个 e f 放到一起共顶点，那是不是就好了？比如平移到这里， 哎，这里可以吗？哎，可以，平移完之后呢？你看这就交于了这个棱的中点了，所以这边呢，我找一个中点给它接为 q， 连接 q e， 好在连接这个 eq。 大家看一下，这个 eq 和 ab 平行吗？太平行了，因为 eq 是 这个啊，和这个红色的直线平行，它是中位线吗？而这个红线和它又平行，根据平行间的传递性。好，我只要能证出来这个角是九十度就完事了。 那问题是咋证的？各位小小猫，那你要把 q e 长度求出来， q f 长度以及 e f 长度都求出来，然后就勾股定律验证一下，解三角形。 那这三个长度其实求起来计算量蛮大的呦，虽然他是个正方，你都可以设他为一个二，但其实计算量也不小啊，在考试的时候，你未必想的出来，或者说未必能算出来，算完之后时间没了。好，我们不管这个方法了，不用平行法了，来换一个办法。那有同学说那第二个办法用线面垂直可以吗？当然可以，那问题是你去找哪个垂直呢？ 那现在如果告诉你这道题答案就是一，或者他想让你证明这个一成立，我们就假设他成立，也就是假设 ab 已经垂直到 e f， 哎，假设我想正他是慢慢去，往后，从后往前推呢？ 那如果在 e f 里面再做一条线，因为 e f 我 一个在这中间，一个在这中间，看着难受， ab 是 个对角线，看着舒服。 那众所周知， ab 对 角线在正方形中，对角线是不是互相垂直呀？ ab 和它垂直的哟，那它和谁又平行哎，它，我这里再找一个中点，给它接为一个 q， 连接 f q f q 是 不是和 ab 垂直呀？那如果 ab 又和 e f 垂直，那 ab 就 和这个 q f e 整个平面垂直了，所以我再连一下，哦，我说白了，只要证明 ab 垂直两个线，然后 ab 就 垂直这个平面了， ab 就 垂直 e f 了。 这个看起来是挺简单的，但是你这个辅助线确实不好想。那所以大家下面垂直如果学的不好也难受呀，那咱们干嘛呀？我给他教一个万能的办法，向量法， 正方体中去找向量。你想证明 ab 垂直 e f， 哎，如果把这个向量 ab 以及向量 f e， 我都给他用另外的这个项链来表示，两个项链数量即为零，不就挣出来了吗？那怎么去表示呀？这两个项链肯定难受，他的家教你看不出来，如果能看出来，那还挣个什么哟。哎，没关系，四号猫有方法， 找啥呀？找基底，在平面相中，我们找了两个基底，那咱们在空间中就去找三个基底，正方的基底非常好找，我以 a 为这个圆点 好，这一个项链 nice， 这一个项链 nice， 以及上面还有一个项链给它都记为一个项链 a， 项链 b 以及项链 c。 欧耶， 那 abc 是 啥呀？它是三个两两垂直的项链，其实每个项链的长度是不是都相等呀？我给它都记为一个一嘛。 abc 毛长你都知道了，加角都是九十度，加角也知道了，它可以作为空间中的三个基底，请把 ok 扣在弹幕里。 那这几个也一样的，我都以这个 a 为定点，去找这么一个基点。好，那用这三个向量把这个 a b 以及 f e 表示一下，大家看下这个向量 a b a b 不 就是向量 a 加向量 c 吗？根据平行四边形法则，那所以直接这个 a b， 哦， a 加 c 完事了。 那这个 fe 呢？ fe 在 哪呀？哦，它在这呢。 fe 还比较复杂呢，但是没关系，其实也简单， fe 它是不是就等于 fa 加上一个 a e 呢？ 哦， fa 是 啥呀？ fa 是 负二分之一 c， a e 是 啥玩意呢？ a， e 是 这个向量 b 加上二分之一 a， 那 就是二分之一 a 加上一个向量 b。 好，现在我想求这两个向量的加角，那么根据加角公式，我先求下两个向量的数量积，好吧，所以 ab 与 f e 的 数量积。 那其实就是啥呀？就这个基底的向量积， a 加 c 是 ab， ok， 再乘了一个啥？二分之一 a 加上 b， 减去二分之一 c， 我 给它调换一下顺序， 按照这个字母的顺序来写。好两千的数量积一乘，如果是零，那是不是就垂直了？自己算一下呗。哎，你同学说三花猫呀，二项式乘三项式难受呢。哪里难受了？ a 我 们一个算吧， a 乘二分之一，我们非常惊喜的发现，哎，它们共起点，所以就是一个二分之一 a 方了。这一项出来了。好，第二项， a 乘以 b， a 模 b 模扣上 c 的， 求个啥用？ a 和 b 不 就是垂直的吗？所以这一项直接是一个零了。 nice， 同理， a 乘负二分之一 c 也是一个零呀， abc 两两垂直，你看我找的多好呀，请把好扣在单位里。 那接下来另外三个 c 乘二分之一哎，也是零，垂直的 c 乘 b 也是零，最后一个 c 乘负二分之一 c， 所以 减去一个二分之一 c 方， 哎，你在三棱，在这个正方体里面， a 和 c 摩擦相等，所以二分之 a 方减二分之 c 方就是一个零。好， ab 点 e f， 它的数量积就是一个零，所以 ab 垂直于 e f。 nice， 这个就是一个项链的办法呀，我通过找了这么三个基点，然后求出来这个向量为零，答案就出来了，所以向量法用起来特别舒服，特别简单。 ok， 在 正方体里面向量也特别的好找，因为考试其实他就喜欢考这种正方体哎！ nice！ 好，剩下三个选项，各位学友们大家自己用这个来向量法给它正一下吧，我给大家透露一下答案哦！这个题其实有几个呀？啊，这个确实有点坑人了，四个全都是垂直的，嘿嘿，所以你如果用平移和向量垂直，它正起来真的非常复杂，向量法一步搞定，全部拿下。 给大家总结一下，通过这节课的学习，大家都理解和里面一些比较难的题，有了一些非常好的妙招了。凑对称题里面想到结构对称，解决了这个二零二四年天津高考，以及以尺子找线线平行，再到幻顶点求三棱锥的体积啊，再到这个棱彩的体积，我们去无脑的化解面 墙角转换，针对于两两垂直的一个棱锥以及向量法啊，用这个基底来表示求下就完事了。以上所有的题啊，都输入在这个三红猫 b c 二系统课里面对应的这个页数也都给大家做了一个标注的。 另外我们可以再看一下这个历史几何的一个啊，他的这个知识点以及知识框架都收入在三皇冠必学系统课呦，哪个板块最难可以扣在弹幕里啊？必学系统课五一节特惠我也放到这里了，大家有任何疑问的可以私信我，也可以直接点击链接。 另外下单了之后一定要私信我，我把这个纸版的讲义和笔记给你邮寄过去呀！吼，那咱们下个视频再见！
584三花猫讲数学
43:06查看AI文稿AI文稿变化的东西光折后还在同一个平面里面呢，那他就关系就不会变。他不在平面里面，但不在同一个平面里面，那他的性质就发生变化了。 那我们在弯折的时候，其实就是一种旋转的变化，所以这条轴很重要，那么旋转的话就跟旋转体是相关的，那也就是说 垂直于轴，那旋转起来是一个什么图形？也就直角三角，如果绕着直角边旋转出来，它是一个圆锥，所以垂直于轴旋转起来，它是一个， 是一个圆，可以提出一个圆，圆所在的平面跟轴是垂直的。 好，那第一类问题，旋转完以后位置关系呢？好，那我们看一下第一个问题， 如图，等腰直角三角形， a、 b、 c 角， b 是 等腰，然后 a、 t、 g 分 别为 a、 c 跟 b、 c 的 中点，那 a、 d、 e 和 b、 c、 f 是等边三角形，现在沿着 ab 跟 bc 把它折起来，折在翻折过程中，下列结论中可能正确的是 z、 o 关系，就是平行跟垂直的关系。 好，那我们看第一个问题， a、 e 跟 b、 c 有 可能垂直的，但翻折以后它就意面呢？那意面垂直，我们一般怎么判断？ 硬面，对吧？硬面把它固面，怎么变成固面呢啊？只要把硬面的线变成固面的线，这个 a、 e 对 b、 c 来讲， b、 c 在 底面 向线要跟它垂直转化。为什么垂直来摄影会不会垂直？是吧？就摄影会不会垂直？会， 所以我现在是绕着 a、 b 这个轴运动，那一点的射影在哪里啊？所以我们过一点去做 ab 的 啊， 过一点做 ab 的 垂线吧。你说绕着轴来转，所以它的轨迹是什么？一点的轨迹是什么？是一个圆，这轨迹是一个圆弧， 对不对？好，那他的摄影有没有可能啊？这个摄影有没有可能跟 b c 垂直啊？ 那你只要是一点的摄影师，谁就会跟 b c 垂直？哎，是不是在这上面点数都有啊？那只要是 ab 的 什么点就好了。中点，那你要是摄影是 ab 中点，所以 a e b 这个面绕到什么程度？垂直于里面 n 的 九十度，是不是垂直的？所以有没有可能垂直 空间两条线垂直，一条射影到另外一条手在平面，那就把 e 面变成什么呀？所以 e 是 可以的。二、 f c 跟 a e， 哎，那现在他们都是什么空间两条线的 学生？哎，你这两个三个旋转的，那我们就给他怎么样， 看他变化过程。特殊位置，哪个位置最特殊啊？重在一起的时候，那这个图形是什么图形啊？ 这两段是等腰，然后这条呢？ a c 数还是根号？二，这两段数都是一，所以合在一起的时候 a e c 就 变成什么九十度，等一下再换一 啊。所以会不会垂直？会垂直啊？只要把它们变成一个啊。这个 e 点跟 l 点怎么样？重合在一起？这不就行了啊？那两个平行关系， e a t f g t e a t f g t 有 没有可能平行啊？啊？ 面面平行，那我们应该这样子考虑，什么线跟面平行，而要线跟面平行去找什么？有线线平行吗？中位线啊，所以 t c 是 平行的，面呢？ 还有没有平行的啊？哦，那你就是 mg 吧，对不对？ mg 什么时候会跟他平行？你这个 mg 跟底下垂直上，那这个也垂直上？说是平行啊， 你要找两条线，你这个在弯折过程中，弯折过程中，我只要是图一个平面的垂线，这两条线就平行了，所以，所以可以找两条线啊，平行一面，所以会平行。 那 b、 c 跟 a、 e 是 平行的，我们能，嗯，他们，他们什么关系？哎，异面，为什么是异面呢？ 来异面呢，我们有判定的定义，对吧？从判定两线异面或平面内一点跟平面外一点的直线与 平面内读过，该点的直线都是一面的，是这样来判断，所以这个就搞定了。啊，所以这是一面的 啊。首先在垂直这一类关系里面，如果是线线垂直，我们经常用三垂线定，对吧？把意面的空间转化为平面的 好，那第二个弯折里面的长度问题，如果在同一个平面内，两点间距离是不会改变的，那么你再翻起来，不在同一个平面内，它们距离就等于是改变。 好，那我们看长方形， ab 是 两个单位， 然后长是四个单位， e 是 终点，把 a、 b、 e 绕着 a、 e 关起来，关起来，然后把这些都连起来。 那么在翻折过程中， p 点 p 点到 a、 c、 d 距离的最大值是多少？那 p、 d 中点 f 的 尾极长度是多少？ 谁是旋转的轴？ a、 e， 那 再轴同色的路径有没有改变？没有，所以我们这关起来以后， p、 a 定不存在的。 等腰直角，因为 p、 a、 e 就是 跟 a、 b、 e 是 全等的， 等腰直角 c 加零二根号二啊，那 a、 e、 t、 d 还是一个直啊？等啊，直角梯形是吧？两边直角， 大家往下轴是谁啊？ a， 轴是 a， 所以 哪个东西很重要？垂直于轴的，垂直于轴的， 那么我们把这一个点叫做 h 点吧，垂直于轴的，当翻起来以后，点 b 的 轨迹是什么？是一个圆， 那翻动过程中是一个圆，对吧？那 p h 的 长度有没有改变 啊？没有改变。 p h 长度没有改变，它等于多少啊？除以根号二，没有改变，明白吗？那这个 p e p h 度乘以是 ab a e， 那你绕着它转的时候怎么样？始终保证 p 点到 a 的 距离有没有改变？没有改变。 p 点到 a 的 距离没有改变，所以点 p 到 a、 c、 d 的 线段，点到面的距离。 哎，如果 p h 垂直于面呢？那它是不是这个值？如果它垂直的，那就等于几根它二，如果不垂直呢？不垂直，那我过点 p 做面的垂线， 对吧？那这个 p 点到正面的距离比 p h 来的小，所以我翻起来立起来是要减去最高的，所以最大值等于高二。那么请问点 f 的 轨迹是什么呢？ 你说点 p 运动，败着谁运动？ l 点运动，那，那么你就左边，我想到哪一条线？中卫线，中卫线，怎么个中卫线法？哎，把谁连起来 啊？哎，把谁连起来？ 都把这里的 dh 都连起来。为什么连 dh？ 各位，嗯， dh 的 终点，终点 g 点是不是定点？ 那你刚才你这个是定时是吧？始终是不这样子的，所以你这边呢？啊，是不是这边做他的什么线？平行线，你是不是也是这样子来运动的啊？ 这上面 a 点跟 d 点就一点一点的这样子描出来吧，你是一个圆的，他这个终点呢， 是不是也是一个圆？是不是也是一个圆？所以我们就想到中位线，那你的长度呢？ 你到近点的距离呢？哎，二分之根号二，然后你转一转多少？转半圈？说半圈，那应该是二分之根号二，说二乘以圆心角 啊，搞定了吗？ 好，来，那我们继续再看一下距离。对， a、 b、 c 六十度边长为一个菱形， 这个菱形就是两个等边三角形啊，套在一起的菱形是吧？ 那么绕着 a、 c 弯折，弯到什么程度？弯到它的二面角是 c 角，求折后两条对角线之间的距离的最小值， 这穿起来就叫做空间式变形 来目标最小距离的最小值， 我们把这个最小的就叫做意面直线灯来距离是吧？也就是它的空锤线段的 空锤线段的长度来。那怎么求空锤线段长度呢？ 那我们就要翻折过程中它的位置关系呢？你这样子翻起来以后点 b 在 里面摄影是谁啊？ 摄影在哪里啊？在 b、 d 上，是不是从 b、 d 上？所以翻起来以后， b 撇 b， 恰好在 a、 c 的 成片上啊，所以 b 撇 b 跟 a、 c 恰好是垂直的，是不是垂直的？ 所以我要做 a、 c 的 垂线，是不是到它的垂面里面去 做？它的垂面是谁啊？ a、 c 的 垂面是谁？ b 撇 o、 d， 做 b 撇 o、 d， 而且 b 撇 o、 d 恰好是什么？是二面角呢？平面角吧，做二面角，平面角。 然后呢？现在在这个面里面，我现在这面里面所有的线数都跟 a、 c 都垂直了， 那现在我只要在这面里面再跟谁垂直就好了，一撇地垂直，而这翻起来的这个面是什么？是二零幺呢？所以我只要取什么中点，这一边数也垂直的啊，所以这是公垂线段，公垂线段长度是 最短的距离，所以我要取的是不是这条，那这个二面角的平面角是不是就是 b 撇 o b 啊？那这角度是不是斜长？ 那电场为一，所以最大等于几？二分之根号三。所以 o g 的 长度就等于谁啊？二分之根号三来可算以二分之，那二分之 c 呢？是三十到六十之间， 二分之 c 呢？在三十到六十之间。那，那什么时候是最小的？六十六十二分之一，所以最小的？各位， 四分之根号三，四分之根号三。所以最关键我们要理解清楚，它们之间距离的最小值就是公弦线段呢？怎么找公弦线啊？怎么找公弦面？ 第三，旋转中的角度问题。 好，我们看题，在边长为二的正三角形中， e f 是 终点。现在我沿着 e f 把这个三角形 c f 翻起来，翻完以后，我记作 p e f 翻到什么程度？翻到 p e 跟 a e 垂直的程度 啊。翻到 p e 跟 a e 垂直的程度，则 p b 跟 p e f 所成角正弦值是多少呢？ 各位，这 p e 跟 a e 对 不对？人不在 p e， 对 于 c e 啊， a e 来讲，叫什么线？ a 是 那个底上，那 p e 就 叫什么线。斜线，那斜线跟它是垂直的，摄影是垂直的。那请问 p e 在 里面摄影是 e 什么？是不是这意思？ b 在 里面射出 e 怎么办？那 e 怎么会跟 a e 垂直啊？在底面啊，你是等边呢？是 e b 是 不是跟它是垂直的？ 所以点 b 在 底面射在哪里？水翻到什么程度？翻到死的。 p e b 跟底面怎么样？垂直，对的， 就放在这层度啊，所以 p e b 跟底面是垂直的， p e b 跟底面垂直的。咱们接下来要求下大家思考一下， 接下来呢，这个几何体的结构不清了吗？我们看一下长度，这条是一，这条呢？一，这个是根号三。一一根号三， 然后呢？哎，那我这个 p g 垂直于 g 点怎么算？ 哎， p e 等于 p f， p e 等于 p f， 所以 怎么样？那 p e p e 要相等，那设也要不等啊，设也要等，那 g 点在哪里？ g e 要等于谁？ g f g e 要等于 g f， 那 g e 要等于 g f， 那 就啊，在 e f 的 形线上，中垂线上，而且我们是绕着 e f 来旋转的，所以哪条线很重要？ 所以这个轴是很重要，我们把它记错，分别记做 m 跟 m 啊，那刚才，刚才 p e 等于 p f， 那 它设要不等， 你翻起来是对称的对不对？所以你这个 g 点恰好是谁啊？是不是恰好从这个终点上面？那不就在在 m n 上面吗？所以这个点就是你的终点。 那这是几等分点？这是几等分点？哎，是一比二，是不是三等分点？那整条根号三，所以一 g， 哎，三分之根号三，一 g， 是 不是三比到三， 所以，所以它的位置是不是这样子的？ 而且你是轴，所以点 b 的 射影数都在我 m a 上，这个是点 b 在 里面，射影数都在 m a 上 啊，所以你的射影要刚好是 m a 跟 e b 的 交点的上 b 才会保证 p e 跟 a e 是 怎么样垂直的？因为这个射影它会垂直吧？啊，那剥清它的结构以后， 我要求谁 p b？ 跟正面所讲讲，各位， p b 现在长度是多少啊？根号 二是吧？根号二， p b 是 根号二。线面角怎么写啊？哎，那应该说做垂直，那做垂直连起来是这个角， 那它的正弦值就是等于 b 点到这个面的距离，那就是 b o 的 长度比去 b b 的 长度， b o 是 不是点到面的曲？点到面的曲两种处理方式，一种，一种是等底形，第二种直接记住， 那距离在哪里啊？在垂面里面做交界的垂线，就在垂面里面做交界的垂线， 但是很可惜，避免的垂面有没见到？没有？没有。换一个地方，哪一个地方？刚才距点这边有没有垂面？ 我们这折起来的 p m g p m a 是 不是就是 p e f 的 垂面啊？ 对吧？所以我过继去做谁的垂线？ p m 的 垂线， g k 垂直于 pm， 所以 g k 就 会垂直谁，哎， p e f， 对 吧？所以这是不是点击它的距离， 所以点 b 到它的距离呢？哎，点 b 到的 g b o 是 g g k 的 几倍，也就是它的距离不是这个距离三倍。 而刚才 p g m 是 什么概念？哎，直角三角形，是不是直角三角形， 对吧？这一段长度是几啊？我们的高速根号三，然后这一段是二分之根号三的三分之一，所以这段等于几？六分之根号三， 这 g m 是 六分之根号三啊，然后 pm 是 多少？ pm 是， 哎，二分之根号三，对吧？那我要求的是 g 点到它的距离是 g k， 这是二分之二的，哎，给他六倍一下吧。六分之根号三的六倍，那这是一，这是几三，那这条是几二倍？根号二，所以 p 七的长度是？哎， p 七的这么多，在乘以谁 三分之二六啊，所以用的面积能把 g k 取出来。 g 点到这面的距离 b 点是到那面，距离是它的几倍啊？三倍，是不是三倍？所以，所以这个 b、 o 的 长度是怎样的？那把 b、 o 除以 c、 e、 p 是 不是它们的正弦值的？ 他转那么多后门也可以，用什么啊？整体体来的，那整体体，我要求 b 点到正面的距离，是吧？所以我们去研究哪一个体型来一 p e、 f， 而 p e、 f 数这个等边上移，所以它等于三分之一的 b o 乘以 p e、 f 的 面积， p l 面等于几？四分之。另外一个方面呢？ 这体积有位，等于以谁为定点？那 b、 e、 f 的 b、 e、 f 的 面积可求吗？啊， b、 e、 f 的 面积，那就等于谁啊？就等于整个面积的四分之一， 就等于整个面积的四分之一。这块啊，四块就是四分之一，所以它等于三分之一。啊，四分之一的面积，面积是四分之二三，然后 p 点到正面的距离，这是谁啊？ p g 是 不是 p g？ 那 p g 的 长度怎么算啊？是换个直角算， p m g 里面算， p m g 里面算，所以算出来刚才说是三分之几，根号六，是不是三分之根号六 啊？所以第一 o 的 长度就等于谁啊？约掉约掉等于十二根之，又成十二个单位啊。 啊，所以他们所什么叫啊？那么它的基础还是在于我们这个旋转变化里面。我们注意到轴是 e、 f， 所以 跟轴垂直的这条线很重要啊，跟轴垂直的这条线， 哎，继续再看一下三角形， a、 b、 c 角 a 是 九十角 b 是 三十， a、 e 等于二 点， d 是 b、 c 的 中点，然后把 a、 c、 d 翻起来，翻起来给它记作 a、 d、 n， 把 a、 c、 d 改成 a、 d、 n， 那 这个 l 也就是起点， 那角 a 是 九十，那这个角度是。哎，三十，是不是这个角度？三十， a、 c 的 长度为二，这长度为二， 所以 a、 b 的 长度就等于几。哎，二倍根号三，然后那这个斜边 a、 c 就 等于几？ 斜边是为四，然后这个地点刚好是在终点，所以这段呢？呃，这段，呃，这段也是，所以它几何里的结构是什么？这个 a、 c、 d 是 等边三零啊，等边三都是攀起来了，那 a、 g、 b 是 什么概念 啊？等腰三角形，而且这顶角是几度？一百二，一百二，弯起来啊，这个结构宽起来，那这样太辛苦了，你就把层面先画出来啊，平面图先画出来啊，平面图先画出来 啊。那现在外接球的半径为二，求 a、 a 跟底面 abd 所成的角平行 关关到什么程度？关到外接球的半径刚好是。 那我们研究的锥底到外边，球锥底到外边，哪个形体很重要？ 哎，结面小圆是不很重要，前面讲我们先研究哪个结面？ a、 d、 b、 a、 d、 b， 它的小圆的半径是怎么算啊？ 小圆的半径我怎么算？三角形 a、 b、 d 外切圆的半径是吧？那我们就用什么定律来算？正弦定律属于二等于谁 啊？ a、 d 属于谁？三 b， a、 d 属于三， b 等于几？等于四，所以小二等于几？ 小二的。你看把球星啊，我们的球星刚好在哪里啊？这球星刚好是不是你这个这个小圆的手腕？ 这小圆圈什么圆？大圆，所以穿起来以后啊，这个就是他的钝角三，所以外外心在哪里？三角形外，三角形外，所以现在这个图形是不是更特殊了？ 刚才有评论就提到说正四面体，有正四面体吗？ 有正室面体吗？有哪一个是正室面体啊？啊？哦，原来这个是不是正室面体？各位，这个是不是正室面体 啊？因为 a， o， d 它是不是边上的都是二， 然后呢？ o， a 也是几二，而而 n， a， n， d 呢？ 都是二二，那能利用这个来求线面角吗？这样跟 abd 所成角结束了，就是正正四面体来能跟底面所成角，对吧？ 棱跟里面所成角，它是什么值？鱼弦值，射棱长为 a 啊，所成角线面角的线面角的鱼弦值棱为 a， 那高数是谁？三分之二开根号是三个，根号六，那求出来他正什么值啊？正弦值，那余弦值呢？三分之根号一下搞定了没？ 所以把这问题转化为你们熟悉的，你就可以把它熟悉的你这里有外界学，我们就这样了。 来求二面角余弦值的最小值，感的是什么呢？ 等等，他说他是平面四边形， a， b， c， d， 那 我 一开始也不要那么讲究了，就先给他画什么？ a， b， c， d， 你 先画等一下再调整一下，对不对？ 然后呢？ a， b， a， a， b， 还有呢？ a， c 还有 c， d 都是一，都是一，再来呢？ a， d， c， a， d， c 几度？三四，那这三只这呢？ 三十，这个也三十了，能要吧？那这个角度呢？一百二，这个角度一百二， 还有呢？还有哪个角度？ a， b， c 三十，三十变成一百二， 这是怎样？ d， a， b 是 一百二，那我看错了， d， a， b， c 一 百二，那这几度啊？哎 哎，这个是 a， b， c 三十，那这是一百二 b， a， b， 那 这是多少？ 所以我们可以图形一下，如果可以精确的话啊，那这边是什么？看？ abc 是 等腰直角，那这角度四十五， 然后这边要和在一起是多少？一百二啊？自己要一百二，那自己要一百二，那应该是这样子，是吧？ 这两个，这是 e， 这是 e， 这是 e， 是 吧？好，那现在呢？现在我们要沿着谁折起来？ ac， 把 ac 沿着这折起来，那么折起来动点 p， 动点是 p 啊，那画成直观图啊， 然后这个 a c p， a c p， 那 始终保持是等腰三角形， 这一点是 p， p 就是 原来的什么 d 啊。图形给大家画好了，来思考一下。求 a c p b 这个二面角的余弦值。什么是要被最小？二面角余弦值要最小，那就这个二面角要最大。最大是什么时候呢？ 我要把 a、 c、 d 关起来，那翻折过程中什么意思？最关键 我们的轴是谁？ a c 那 点 p 呢？点 p 的 位置在哪里呢？ 非常好，要去做轴的成线， 那我就把这条给延长这里做垂直过来，这是一个单位，这角度几度？六十，所以这个等于几？二分之一阶段， 所以我这边要在几个单位过来，二分之一个单位过来，是不是 啊？我们把这点记作 e 点吧。那 p 点在哪里啊？ p 点的轨迹是什么？ p e 的 长度是几？二分之根号三，然后让他 啊就转起来了，所以点 p 数在这个圆上运动，数在这个圆上运动， 因为我们绕着谁来翻折，就是什么呀？旋转体嘛，做旋转体，所以绕着这个方折，翻完以后，请问 a p p 什么？ pcb， 这个两个半里面所乘角最大是多少呢？是不是这意思？所乘角最大的一个，那一些是最小吧？啊啊，课后十点不再，我们下一节课再讲啊，大哥们。
45汤老师
14:45查看AI文稿AI文稿例题几何？千万别看老师遇到这种像洞点探索的问题，很多同学脑子直接卡壳，好不容易我咬着牙把答案看懂了，下次换道题，是不是还是不会做？是辅助线不会画吗？ 为什么？因为你在瞎找线。所以今天胡老师给大家讲的这招降维打击，就让你一眼能看出辅助线怎么画 别人可能题还没有看完，你就拿分走人了。期待不期待？期待好，我们来先看一下什么叫做动点探索的问题。读题，你看是否存在 p c 上的动点？ f 是 问你是否存在一个点，使得线和面平行，对吧？对，来这里棱上的一点是谁不知道，问他是否使得线面平行， 这叫做动点探索，使得它平行，可以探索，使得它垂直，是不是也可以探索啊？是的哎，使得夹角是多少线？线角线面角面面角都可以考你。咱一个一个来说，先说平行的问题好吗？好，好，那么对于这种平行的问题，我们的方法几个字， 核心思路叫做，谁不动？注意哈，谁不动，这是大方向啊，咱们就平移谁，就这， 你比如说像这道题目，你看，这是问你线面平行，大家也要注意一个点，线面平行的题目。探索问题，我们都是从后往前读题，不要从前往后读，就从后往前读，缺谁咱们就找条件吗？对吧？ 使得 pa 就 这根红线是否和这个蓝色的面平行，谁是动点？这个 f 点是动点，那意味着这个面就是移动的，对不对？那我们的核心是谁不动平移谁？你告诉胡老师本道题平移的是线还是平移的是面， 平移线还是平移面线？嗯，平移线还是平移面线。谁不动？平移谁？对啊，谁不动平移谁。 p 和 a 是 不是固定的？是的， f 运动导致这个面是不就运动的，所以谁不动嘛。就是这个线是不动的，所以我平移的是线。我为什么要平移线呢？ 因为你要证明线面平行。我们的原理是，你看这里啊，我给你画一个面，这是阿尔法面，这是 l。 如何证明线和面平行？ 线是不是只要和面中的一根线平行就可以了？如果能证明 l 平行于 m， 因为 m 来自于这个面， 所以 l 就 和这个阿尔法面平行了，没问题吧？没有。所以线面平行的核心就是只要证明线和面中的某一根线平行就可以了，没问题吧？没有。那么我平移线的目的就是为了找到这个面中的哪根线跟它平行， 这是目的，能理解。不？可以。那怎么去平移呢？我们平移的方法就是拿着你的尺子注意。哎哎哎呦，我的天呐，拿着你的尺子对着这个 pa， 把这根线推到面内去， 那这个线显然是比较长的，比较大的，你推到这个面内去，线会变小，会变短，对吗？对对，我们推的时候要让这个线尽可能的给它完全放到面内去， 一旦放进去，线就会变短。哎，这是第一个你要认知到的，第二个短就短呗。那怎么推进去呢？推的原则一般是保证线的某一个顶点和面的某一个顶点重合。那你告诉老胡屁点和谁重合？ 噔噔噔噔，推推推推推推。你看平行移动吗？这是你的卷子。来，拿着你的尺子移移移移移移。是 p， 推到 f 这来了，对吧？平行你就换一根跟他平行的线，那么 a 是 不是就移到这来了？是，我们给他起个名叫做 m， 你 找到了，你只要证明这个红线跟他平行，是不是线就和面平行了，对，对吧？这根线我们就找到了。 接下来就是你刚才是强行平移找到的，但是你写题的时候，你总不能给人家说我把它往前推吧？不是这样，这是你脑海里面的思路，我们写题过程不这么写，我待会教你们过程怎么写好不好？好好，那接下来你倒是找到这根线呢？ 你得给到严密的逻辑推理与证明。怎么正？告诉我怎么称正？ 当你把线推进去之后，注意这根线的长度改变没有？改变了，线的长度发生改变，我们证明的方法叫做三中。什么叫三中？ 三角形？中位线，你看，比如说我让你证明这两根线平行，咋正？三中哪个三角形呢？边边一连，边边一连，这是 a， 这是 b， 这是 c， 就 这个 abc 的 三角形， 是不是这个三角形就找到了？对，对啊，所以啊，那你告诉我要把他俩放到一个三角形里面去，把他俩放到哪个三角形里面去？你来告诉我， 放到三角形是不是也是一样的？边边一连，对不对？这个三角形辅助线你不就会做了吗？一连，然后呢？把这个边边是不给他连起来？对，看到没有？边边把这两边边一连。 对啊，然后延长，延长，延长，直到跟另外一个是不是有交点到 c 这了，所以在哪个三角形里面去正呢？在 p a、 c 红色三角形面去正就好了， 对吧？然后呢？平行线分线段对应成比例看，这个点是你的几等分点，那么 f 点就是 pc 的 几等分点，那么这个 f 点不就找到了吗？对，关键是先看这个 m 是 几等分点，自己看能看出来吗？ 对啊， m 点是几等分点呢？ m 点在哎呦，对角线上，对角线的什么位置？ 对啊， m 在 这看，这是对角线吗？这个是，你可以把它理解为半对角线。哦，这是终点。看题， e 为 a， d 的 终点，这个是终点，你可以理解为半对角线，所以这个 m 是 几等分点。 拿什么去看相似？哦，聪明点个赞，相似在立体几何里面用的非常多，是吧？这个三角形 是不是和大三角形？这个三角形是不是应该是相似的？一比二吧？对，所以呢，这段一比二，所以这是二 x， 这一段应该是 x， 是 不是应该是二比一，所以这一段应该是 二，比如说二 y， 这是 y， 是 不应该是二 b 一 就完了。所以人家题目问你说在 pc 上是否存在动点 f， 你 上来给人家写啥？第一 b， 第一句上来给大家说什么？上来先给人家说存在， 存在吧，存在。然后立马你找到这个 f 点是不应该是二比三的关系，或说二比一存在。你说此时 cf 比上一个 cp 等于二比三，就你找到这样的 f 了。 对，对，你就直接找到它的比例关系了。对，然后你带着这个比例关系去证明线面平行是这样写的， 能理解不？可以，你写的过程你不能说，哎呀，把这个线往进推，这是你心里的行为和操作，正儿八经写，就是存在。然后这个点是几等分点？直接表明，然后现在开始证明如下，就是你已经知道是几等分点，对吧？然后再说这个是几等分点，平行线，分线的对应成比例吗？ 当然，在证明之前，你要把该连的线全给人家连了。这个思路能听懂吗？可以，我就不写过程了，因为黑板确实写不下。带大家分析下思路，没问题吧？没有，没问题， ok， 这就是我们的平行的探索。那这样一做，大家觉得题目还难不难了？不难了，是不是辅助线就很好好找了？对，好，我们再来一道题目，看看你能不能找出来辅助线。然后这是我们在考试的过程中，以及你们参考资料里面出现频率极高的动点探索的小题来看题， 他是不是也是说，哎，一点是棱上的一个点，没说是哪一个点，然后说，哎，使得红线与这个蓝面平行， 没说是哪一个点，我们把它也理解为动点的探索嘛，就让你探索这个点是几等分点，能理解不？可以。好，那你现在告诉胡老师，现在是谁不动平移谁，我们要平移谁？ 嗯，平移线，平移线，因为第一和 b 就是 正方的顶点吗？固定的吗？这个一点是不确定的。把它理解为动点，动点，谁不动平移谁？拿着你的尺子把这个线往面内去推， 推的过程中，长度变了还是没变，长度变了还是没变？变了，长度变了，所以我们应该用的也还是三中，没问题吧？没问题，这是你心里的大方向。来，在推的过程中， d 一 和 e 重合吧。对，请问这个 b 点和谁重合？自己看 b 点和谁重合。你是不是认为 b 点应该到 c， 这 很多同学决定到 c， 这是吧？不是。那是不是这根线就变成这个线了？不是 是吧？如果是这根线，我问大家行不行？不行啊，他俩平行不平行我再说一遍，你肉眼看出来平行更好，但是如果你肉眼看出来不平行，不代表人家真的不平行，你得去用理性去证明能理解不？ 所以说，如果按照绝绝大多数，有的同学刚才觉得应该是这根线，如果是这根线，你看能不能把他们放到一个三角形里面去，如果能就 ok， 如果不能，说明这个点便宜到账是不成立的。忒矛盾了，能理解不？那他们能放到一个三角形里面去吗？ 思考一下，连吧，你这一连，噔噔噔噔，这是不是有个一条线啊？对，这边一连噔噔噔噔，这有一条线，请问是不是就放到哎这个三角形里面去啊？ 是还是不是？不是？为什么？不是，因为这两条线不在面，不在一个面类。你们还挺聪明的哈。有的时候胡老师这不就交于一个点了吗？这是你人为交的。 其实这根线是在上面的面上，这根线是在底下的这个面上，这两个面是平行的，永远不相交，你觉得面中的线能相交吗？ 不可能吧。所以你把 b 移到 c， 这是不成立的。我解释明白了吧？明白了，好，那不在 c 这在哪？ 连接 bc 不 在 c， 这。你想一下，他肯定跑这个棱上来了嘛，对不对？对，比如说在棱上这个位置我也不知道在哪，随便给个位置有可能平移过来之后，噔噔噔噔，到这了，我随便拉了一个。那有人说胡老师你画的这也不平行啊？ 好像看着不平行，但是你得正啊，这图目标准呗，是不是来正吧，肯定是在这个线的某一个位置了。那在哪一个位置呢？不知道是哪个位置，跟刚才的做法是一模一样的，干嘛？看他能不能放到一个平面的三角形里面去，我把你的脸 是吧？来吧，我再把你俩看。从这到这一连吗？是不？刚才那个思路，这个辅助线不就会画了吗？噔噔噔噔，连完交到这来，能放到一个三角形里面去吗？ 能不能？可以？可以啊，这个点是已经有一点了，这个点是 f 点，请问 f 点是什么点？ f 点是不是得在这条红线上来？我刚才连的 f 点还得在这个蓝线上，你告诉胡老师这个 f 点是什么点？中点， f 点是侧面正方形对角线的焦点，所以它是中点。完了， 这不找到了吗？找到了，所以当你技术比较高的时候，其实你一眼就能够看出来，往这一平一啪一拉，左上下一连，这个三角形就找到了。 所以不是说看答案，答案跟你说把这些一连，把这些一连，你顺着答案去看，你觉得答案说的好有道理，但是你发现你自己下次连不出来。所以这个线是怎么连的？我刚刚都教会你们了，把两个线的端点，两个线的端点延伸出来一个三角形，这个三角形是 ok 的 吧？ ok， 对 吧？所以我要证明的话，我是不是就在这个 d 一、 bc 一 这个三角形中去证明吧？是，那你这个 f 点是终点，我得保证两根这个线平行，这个得跟这个平行，你告诉我这个一点是什么点？中点， 中点。对，终点，一点只能是终点，这事不就结束了吗？是的，当我知道一点是终点之后，你让我求 c e 的 长度，这是 d 一， 这是 c e 背面那个面啊，这是 d， 这是 c， 你 让我求 c e， 是 不是求的是它？是的， 这是直角三角形啊，二分之一，边长为一，这是一，这是二分之一。根据勾股定律，一加四分之一，四分之五，二分之根五。小小探索问题，直接拿下，有问题吗？没有，这叫做什么的探索，平行的探索， 这只是平行探索的入门啊。今天的动点问题，这个面你是没有延展的，稍微难一点的题目就是这个正方体已经不能够满足你了，需要把这个某一个面给他，把这个体给他延展出来，需要拓展，这个题 就现出题了，就是升级难度的题目，没有问题吧？没有，所以这是第一个我们的平行探索，你知道他怎么去考你，难题怎么去考你？有了平行，前面讲过了，还有什么垂直，还有什么？还有夹角，这是一系列的探索问题，你都得会。 今天我们讲的是谁不动平移，谁平移的是谁线，是不是已经觉得很爽了？是的，但是动点探索里面更坑的是平移谁面面面还可以平移的思路一换，难度又翻倍了。所以百分之九十的学生同学们，大家会栽在这种平移面上。 所以说，不管是平一线还是平一面，还是说平行垂直夹角的整个探索问题，胡老师把这种类型的题目全部给大家放到了立体几何二十五大的必考题型专项训练里面了，里面全都是你们在画辅助线的过程中特别容易出错的那种辨识题， 你把这二十五大题型能够整明白，那么你立体几何这块的分就拿的死死的了，所以大家赶紧下载打印，跟着胡老师训练起来吧，好不好？好好下课。
592老胡模型数学思维提升
13:06查看AI文稿AI文稿一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完善逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c 一 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 那 么 此时我们连接这个节点和这个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸，哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点， o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到了另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的，所以你看，我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形， 后来他就问这个结面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下，这几个的讲义和扣细节，我全都整理好了，点击我的主页这里去撩，就可以免费领取。那么我们来看到第二道题型哈，求结面的周长。 在一个正方题当中呢，咱们的 a b 是 等于四的，咱们的 e 呢，是为一个中点，也是二二的，而咱们的 f 呢，是一个四等分点靠近第一的。那么此时我要过 a e f 去做一个结面，你们观察一下哈， a e f 中咱们的 a e 和 a f 它已经是结线了，结线就是说跟这个正方体表面所结的线段哈，那我们来看其他的几个结线到底在哪里嘞？哈，我们先来用一下平行线法哈， 我们先看我们要去找 a e 的 平行线怎么找嘞？其实就是去看，呃，在咱们的上平面怎么找到这个平行线哈，你会观察发现 这里是不是一个四比二的一个关系，对不对？那么我们如果说在这找到一个点哈，假设是咱们的 m 点，那么呢它也是满足一个四比二的关系，四比二就是二比一嘛，所以这如果 m 点我们取的是中点，那么他们俩绝对就是平行的， 但是这个平行咱们要怎么去证明呢？同学们其实也非常的好证明，你们知道为什么吗？因为我不妨哈，我在上面，这，我在左边这我再去取一个中点，假设说哈，我们取的是一个什么点呢？取的是一个 h 点， 那么我们去连接一个 c、 e、 h 的 哈，我们连接了 c、 e、 h 之后呢，你会发现咱们的这一个 f 和 m 肯定是咱们的 d e、 h 和 d e、 c e， 它的终点，对不对？所以说咱们的 f、 m， 它肯定是咱们这个三角形的中位线的，所以呢，它肯定是平行于它的。而咱们这一条为什么平行于这一条嘞？因为你看我连接起来，我连接起来之后你就会发现我这一条边是等于这条边的， 而我这一条边是等于这条边的，它绝对是平行于这条，所以同理，这里肯定是平行于这里的， 就我们就会得到了第一个平行线哈，我们得到了平行线，然后呢，我们继续来看一下，我们接下来还可以怎么去找哈，因为右边还是没找出来的， 我们继续来找平行线，哎，这里有一个多少是不是三比四的？那我们来看，我们在这一个右侧可不可以找到一个三比四的比例哈，这里为二，那么我要找到三比四的话，假设这个高度为 x， 三比四，也就是说二 以上 x， 它应该要比等于三比四，所以算出来了 x 它是等于三分之八的哈，所以呢，在这的高度应该是为三分之八。我们再去取一个点，比方说 n 点的，那我我们再连接一下 e、 n， 它， 它就是平行于咱们的 a、 f 这一条线的哈，那么它是怎么证明的嘞？其实跟刚才的证明方式是一样的哈，我在这取一个点时的这一条边为三，那么我在连接这一条边哈，那么此时嘞，我这一条边和这条边是平行的，而我这一个四边形，它又是一个平行四边形， 所以此时嘞，我们就会得到这条边平行于这一条边哈，然后你又会得到这条边又是平行于这条边的，所以你就会得到这条边平行于这条边的哈，所以它是同样的证明的方式， 那我们再去连接一下， ok， 我 们现在就会得到这个结面的五边形。我们来算一下周长哈。我们先来算一下咱们的 a e 是 等于多少？是不是根号下四方加二方的？而咱们的 a、 f 嘞，是等于根号下，这里是四三方加四方的。而咱们的 一 n 呢，它是等于根号下二方加上三分之八的平方。而咱们 m、 n 呢，它是等于根号下，这里，是啊，四减三分之八，也就是三分之四的 三分之四的平方，再加上一个，这里是二的二的平方的。我们再来看最后一个，咱们的 h m 呢，它是等于根号下一方加二方的，所以最后把它们加总在一块， 所以答案就出来了哈。我们再来看到第三个题型，就是求结面的面积，哎，已知一个正四棱柱，他指的是说我的上下底面都是正四边形，而且是一个直角柱，我并不是说我正四棱柱，我的高和我的长宽是相等的哈，你要理解。 然后呢，咱们的 b e 等于二， b e 等于二哈，所以这是二的，而 b b 一 是等于四分之一乘过去等于八的哈， b b 一 是等于八的，也就是说这段为六，这一整段就是为八的。 然后此时呢，四倍 a b 等于三倍 a a 一 a a 一 a a 一 在这，它是为八的，那么三倍 a a 一 就是二十四的，那么 ab 就是 等于六的哈， ab 等于六， ok， 这是六的，那么底面是一个正方形，就是六六六的。 这时候我们继续来看，则该四棱柱过，咱们的 a 一 a 一 在哪？在这，然后呢？ c 在 哪？在这，然后呢？过一这三个点，它的平面所截的了截面的面积。 那你来观察一下喽，我现在只要去做两组平行线就可以了，你看这组平行线是不是平行于后面这一个，我在这也相应的去取， 这是二，这是六，对不对？我就去取，所以说这一条和这一条它也是平行的，哎，这一条和这一条它也是平行的，所以我们直接就把这个结面给它取出来了，我们不妨拿出来看一下哈， 它不一定是一个长方形，它可能是一个平行四边形哈，所以呢，我们先画出来看一下，则此时咱们的一 c 是 等于多少啊？它是不是等于根号下二方加六方就等于二倍根号十的， ok， 然后呢，咱们的 a、 e、 f， 它也是一样的二倍，根号十。然后我们再来看 a、 e， 它是等于多少？六六，也就是六倍根号二的六倍根号二的。 那么此时我们要怎么去算这个平面所截得的截面面角？那么我们肯定是说，呃，把它看成是两个一模一样的三角形去计算的，但关键是咱们的 a、 e、 c 怎么去计算嘞？ a、 e、 c， 你 会发现至这个长方体的体对角线， 那么体对角形怎么算呢？根号下长宽高的平方加在一块哈，也就是为这么多。然后呢，计算出来之后，它是等于二倍根号三十四的。 ok 了，那么接下来我是不是要先在一个三角形里面，我去用一下余弦定理啊，对不对？我就可以把这个角给它算出来。 所以说，由于弦定里咱们的 cos 也角 e， 它是等于六倍根号二的平方，加上二倍根号十的平方，再减去二倍根号三十四的平方，除上二乘六倍根号二，乘上二倍根号十的解得嘞，它是等于负十分之根号五的。 现在咱们的三也 e 也已经出来了，等于根号下一减这一坨的平方的有等于十分之根号九十五的。 最后呢，咱们的这个面积是不等于二倍，这个小三角形 a、 e、 e、 c 的 面积，你入二倍二分之一乘上六倍根号二，乘上二倍根号十，再乘上撒盐角一，也是十分之根号九十五的。 算出来结果非常简单，十二倍根号十九。所以只要你听完我这节课，掌握了做结面的两种方式，你就会发现这些题已全部破解。 视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货，分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。 最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的评论区置顶蓝色链接，就可以免费领取！数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
1324北大糖的数学课
