初二上册几何动态模型。对称轴模型
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01:27查看AI文稿AI文稿初二七十八的孩子注意了，这个暑假只要掌握这二十八个几何模型，开学后轻松领跑其他同学。很多孩子呢，他几何学不好，不是不聪明，是学习方法错了 啊。先来说三角形的章节，角度计算题里面常考的模型有 a 字形，八字形，飞镖模型，封层模型啊，以及角平分线模型的啊，内内型，内外型，还有外外型，那难度再往上走的话呢，会把两到三个模型结合起来，比如说会把飞镖模型，或者呢，把双八字模型和角平分线结合。那接下来呢，是全等三角形。 常考的模型包括一线三垂直模型，手拉手模型啊，对角互补半角模型，辅助线的构造技巧啊，有背长中线，截长补短，角平分线，辅助线呢，有四种做法啊，双垂直做延长，做对称，做平行线。最 后呢，还有一个老大男的动点问题，与全等三角形的结合，那难度呢，就又上了一个台阶呃，再说轴对称的常见，通常考的呢是等腰三角形的构造方式，还有等腰三角形的啊，其他辅助线的技巧。 其实考试的出题逻辑啊，他就是把多个三角形要么拆开，要么旋转，要么折叠隐藏，然后呢，把它揉在复杂的图形里面。 定理呢，只能让孩子看的懂题啊，模型才能让孩子做的出题，小的转换全等学不透，那后面的相似啊，圆，那孩子就彻底就听不懂，跟不上了，最后那几道大题基本上就全部放弃，没无缘了啊，马上要放暑假了，如果 不知道该怎么预习，没有完善的学习规规划，到了八年级会非常被动，想初二预习没有完善的家长们赶快安排起来。
03:26查看AI文稿AI文稿今天我们来聊一聊几何当中的加权逆等线模型，这个模型呢主要是用来解决带系数的双动点线段和的最值问题。没错，这个确实是很多同学的痛点。咱们先说说 什么叫加权逆等线模型，它会有什么样的考试形式？就是通常会有两个动点分别在两条边上运动，然后它们会满足 c q 等于 k 倍的 bp， 其中这个 k 是 一个不等于一的常数，嗯，然后让我们求 q b 加上 k 倍的 pa 的 最小值。对，如果 k 等于一的话，它就变成了一个普通的逆等线问题。 好的，那遇到这种加权逆等线问题，咱们一般是用什么样的核心思路或者说什么样的步骤来做呢？核心思路其实就是要通过相似三角形把 k 倍的 pa 这条线段，嗯，转化成另外一条和它相等的线段， 比如说我们可以把它转化成 q d， 这样的话，原来要求的 q b 加上 k 倍的 pa 就 变成了 q b 加上 q d， 对， 就变成了一个将军引马问题。然后我们就可以利用两点之间线段最短来求出它的最小值。那具体的解析方法呢？你可以再展开讲一讲吗？ 可以，具体的有六步。第一步就是要先确定这是一个加权逆等线的模型，就是题目当中出现的双动点，并且有线段乘比例，最后求的是一个带系数的线段和的最值。对，第二步就是要找到这个定角和定比例系数 k。 第三步就是要通过做等角， 并且按照比例去缩放边长来构造出相似三角形。嗯，第四步是把带系数这条线段用等长的线段去替换掉，这样就可以把系数消掉。第五步是把它转化成将军引马问题，然后用两点之间线段最短去求这个最值。 嗯，第六步就是计算出结果。明白了，那有没有什么口诀可以帮助我们记忆这些步骤呢？有啊，这个口诀就是见比例造相似，消系数，转线段，华将军引马求最短。 ok， 我 们再来看一下这个标准的解析步骤。嗯，我想问一下，在这个图里面， 具体是怎么去通过做辅助线和构造相似三角形，把这个带系数的线段和的最值问题转化成一个我们熟悉的问题的。 首先我们要做一个角 q c d 等于角 p b a， 然后使 c、 d 的 长度等于 k 倍的 b a。 嗯，接着我们连接 q d 和 b d， 这样的话，我们就可以证明三角形 q c、 d 和三角形 p b a 相似，从而得到 q d 等于 k 倍的 p a。 哦，所以原来的 q b 加上 k 倍的 p a 就 可以转化成 q b 加上 q d。 那 当 b q d 三点共线的时候，它的最小值就是 b d 的 长度。我还有个疑问啊， 是在这个具体的例题当中啊， ab 等于 bc 等于三，然后 e 是 bc 上的一个动点，并且满足 c， e 等于二倍的 b d。 那 我们怎么去求 a， e 加上二倍的 c d 的 最小值呢？ 这道题我们还是按照套路来。首先由这个比例关系，我们可以知道 k 是 等于二的。嗯，然后我们过点 c 作 c， f 垂直于 c b， 并且使 c f 等于六。接着我们就可以证明三角形 f c b d 和三角形 c、 b、 d 相似， 然后就可以得到 e f 等于二倍的 c d， 所以 原来的 a e 加上二倍的 c d 就 可以转化成 a e 加上 e f， 那 当 a e f 三点共线的时候，它的值最小 就是 a f 的 长度。最后我们通过计算可以得到 a f 等于三倍的根号十。所以你看，我们今天讲了这个加权逆等线模型的原理，讲了解题步骤，又讲了具体的例题。 其实说白了就是通过构造相似三角形，把带系数的问题转化成我们熟悉的将军一马问题，然后就可以轻松地求出这个最小值了。
47雨博韵潇2023
58:20查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年制作共计一百五十分钟，带你一口气学完八年级数学所有几何模型，先点赞收藏再细品吧！孩子们，接下来继续 看十一个模型 k 子模型 k 子模型讲究一线三垂直，就一根线上有一个垂直，两个垂直，三个垂直，并且它告诉你了， ab 等于 ad， a b 等于 a d， 然后你又发现这个角一加上这个角三是不九十度，角一加角二又又是九十度，所以发现角二是不顶就等于角三好，角二等于角三的话，那你这两个三角形是不就全等了？ 全等完之后好，接下来全等完之后，你就会发现这个 a e 是 不就等于 bc 好，这个 a c 是 就等于 d e， 所以 我的 c e 是 不就等于 d e 加 b c 了，也就一个红的加一个紫的好。还有，如果说是这种一线三垂直的话，哎，那么它结果什么呢？还是你主要的就是正，这两个三角形它是全等的 好，全等完之后，所以就会发现 a e 是 不就等于 bc， 然后呢， d e 是 就等于 a c， 所以 c e 等于 a c 减 a e， 那 a c 等于 d e， a e 等于 bc， 然后就证完了。好，接下来看 哎！第十二个手拉手模型手拉手模型的结论非常多，咱们一一讲解。什么叫手拉手模型呢？第一个，它的条件是 c a 等于 c b c d 等于 c e， 并且两个的顶角相等，那么这种模型都叫手拉手模型。好看一下，那它怎么去证明呢？ 好看，首先第一个它全等，你会发现这个 b c 是 不是跟 a c 相等？ 哎，还有呢，这个 c d a 是 不是和 c e 相等，再加上这两个大角，它是不是相等？所以你会发现，我把这个 b d 一 封，然后我把 a 一 封，这个红的算型跟这个紫的算型是不就全等？好，全等完之后， d 给郑华拉第二个。 好，他说这两个这角 o， 欸，这个角 o 肯定等于它那个顶角度数，又等于这个角 bca， 为什么呢？欸，这又发现你这个角四是不等于角五用钢中全等了呢？ 然后呢，这个对顶角值不白相等，所以你又发现这个八字模型，欸，这个八字模型当中的这个角 o 是 不是跟这个角 bca 就 绝对相等了呀？是吧，这个非常的简单呐。然后接下来咱们继续这个就正完了。 o c 是 不是平分角 b o e？ 好， 还记得吗？刚刚咱们说的这个三角形 a c e 和这个三角形 b c d， 它是全等的呀。好，全等完之后，你会发现我做对应边的高，也就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高角相等了，对应边高相等的胎角对在角平面线上了，为什么呀？因为一个点到两边的距离相等念那，所以这个点 b 在 角平面线上，所以我就正完第三个了。好，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，你会发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么呢？就这两个角是不都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不跟 c f 就 相等了，我就完事了。好，所以我第四位证完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个他说这个角是等边三行，那肯定的，因为 c j 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它也等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b e 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲。模型是三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，哎，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d， 哎，背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d， a 倍长，我是不是形成这么一个八字结构？ 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，接下来继续咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢？中间出现了一个中点，就 e f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么轻轻延长就能行。好，你只要延长，你就跟 n、 q、 o、 q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了，也就是这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b o 和 a d o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d o 全等嘛。 哎，签单完之后让 a、 b 就 等于 a d 了，同时 o， b， e、 d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型， 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 a、 b、 g， 好，你又翻 a、 b 和 a、 d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角，你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五？哎，这个是不四十五， 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a、 e、 f 和这个 a g、 e 是 不就全等了？去吧。啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的，全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e、 f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c、 f 的 周长，你翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了？ a， 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a， 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了， 好，家人们继续来看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b e f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完呢？那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能正相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀，还继续继续第四个， 第四个来，这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当看上一上一个模型啊， 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是也相等 啊？对应边就是，哎，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？那所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就相等了？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 来，我还是我把这个，呃，这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a、 b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，欸，刚刚这个红的欸，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 an 的 等于 ag， 所以 所形成的这个啊， agm 和这个 an m， 它是不是圈，等圈等完之后，你这 m n 转哪去了呀？ m n 是 不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？ d n d n 是 不是转这儿来了啊？转这儿来了，所以再加上这个是四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b g b 方就肯定等于 g m 方嘛， 哎，然后呢？哎，我，所以我就挣完了嘛。说啊，这就想起了一个证明过程。好，家人们看第十七个模型叫斜适应定律。什么叫斜适应定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你，角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易地得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c？ 然后呢？这个 b p 定的谁？ bp 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇面。这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a， 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢， l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题。好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与热核相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在核的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值？好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值 y， 你 发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m？ 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 pm， 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不是最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了。 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连？那 p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看。模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能变的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按求求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么最小？这个时候是一样的了，你把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 是 不等于 a p 啊？ 那你 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这，这儿，这儿， a 撇 p 加上 p， q 加上 q b 问题了，这跟他们刚刚讲的没啥区别。它怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 一 撇儿 p， a 一 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 一 撇儿 q， a 撇儿 q， a 撇儿 q 加上 q b， 再这样 p q 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇儿 b， a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，他就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单， 哎，比如说 a 和 b， a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p， a 减 p， b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗。哎，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二、模型九， a 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点 p 呢，是合上一个动点 p， a 减 p， b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候，刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？ 好，接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似来看下这种模型特点。第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也只四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？也是它垂直的？好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b、 e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b、 c 和 d b、 e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b， a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形小的三角形 d、 q， n 和 a p n 是 不全等。全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下，这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是？咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个 c、 e 等于二位的 b、 n、 c、 e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊？ b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下，这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等， a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b e、 m e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？ 那 bc 呢？又和 b a 相等，那所以这个 b a 是 不是和 m e 相等？那我在这一封，这一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？ 好，我就证完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看非常关键的。全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一 a， 这角二吧，用刚 b 二，角二，这儿是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，那个角二加角三，这也也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好，正吧，刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 a p 等于二二， a d 等于二倍的 b p a d， 咱们刚输了，全等， a d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍？所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形， 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的，这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下，为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这儿呢，角 e 是 不是在这儿呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是相等啊？ 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等，相等完之后， f m 是 不等于 f a， f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角 a 是 不在这儿呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看，我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角，都是九十度吗？对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加周角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了，好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度 a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊，好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个角，咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e c 啊？ e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角， e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f b c 和 a f e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a e 也等于 a c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠说像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 ef， 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a， j 是 不就等于 a， d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折对对角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型好，进来看一下，说在正方形 a、 b， c、 d， 哎，内部，然后在 a、 b， b， c， d， d， a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样？它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成个正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， a 总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎，由竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。哎，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 p c， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 p c 方，是吧？ p a 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢这个 p c 呢？就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 诶，比如说有这么一个三角形，等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一，所以勾股定律是不是直接可以求出 a e 啊？ a e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方， a 一个长的棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看有的之后呢，他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆的周长？圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形，就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的一叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b。 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方？ a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分子力的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型二十九，叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了。所以说它既是矩形，又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，凡是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b、 e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 上再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边的三角形全等就行，对吧？还是全等，全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部，如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一，梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧，首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c， q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 a b 啊？所以就二分之一的 a b 扣入平方，加上 c， b 方开根。 也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步，咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之隔大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说可以是等于圆，等于就知道了。那这个 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你的 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于 a b， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这一串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊，相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d， c， a， d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积，我这是九十度。好，我在求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e、 u 等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补，是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这儿了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题哈，是不跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加对角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 所以 证完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说，因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个，也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊。首先第一个 o d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你又意味着我这儿是不是六十度？这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比，是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，反而等边塞形的面积，公式是四分之根三倍的 边长平方也就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b， 在 这儿应错了，而是 b o， b o， 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角面积也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c、 d 等于 c e， 而 c、 d 为什么等于 c、 e 呢？这个咱们看一下，也很简单， a、 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 验 c、 d 撞到了 c、 e、 z、 i， 我 就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转，旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第二个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方，等于这个 等于它，哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转来，转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中，还转到 a、 p 是 不是就等于 a、 d 啊？ a、 p 等于 a、 d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 ap 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这是不也是个三呢？这是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这来了，所以三、四、五，太棒了，这就是九十度，这是六十度，六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就挣完了，哎，又挣完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚挣出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边三型，然后等边三面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四，这是四的话，这是几， 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西，那所以算形 abc 面积等于四分之三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来。哎，咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候，转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？哎，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一，哎，底儿乘以高，二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊。四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的，哎，边上平方。
7584数学思维阳老师
00:48查看AI文稿AI文稿五十秒帮你捋清各种必考几何模型，你学过几种？证明三角形全等手拉手二、一线三等角三背长中线四截长补短五、绊脚模型，证明三角形相似 a a 字形二、八字形三、摄影定力四、旋转相似 动点求最值问题一，将军一马二胡不归三阿是圆四、费马点 源于辅助线一、四点共线二，定弦定角引圆三、切线模型。中点与面积模型一、中点模型二，面积模型 学霸们还有补充的吗？评论区留言，你学会了吗？关注我，后期详细讲解！
9数学老k
02:34查看AI文稿AI文稿几何模型，几何辅助线这两套书有姐妹说不知道该怎么选，一套是实验班的，一套是爱麦斯的，那么今天咱们就根据他们的优缺点做一个对比视频，先从几何模型开始， 这边是艾麦斯的，这边是实验班的，通过目录咱们先去做一下啊，模型数量上面的对比，三角形这一部分呢，是属于我们八上几何的一个重点章节。那么实验班这里面呢，它是一共有十个模型，像里面的 a 字模型、封正模型，在艾麦斯里面它是没有涉及到的，艾麦斯应该是六个模型， 包括后面的全等三角形啊，实验班这边也是比较多一点，还有八下的轴对称将军引马这个模型啊，实验班一共是六个模型， m s 这一块呢，是四个模型，包括 m s 的 拓展模型。在实验班这块呢，它的拓展模型是有九个， 一共加起来是六十八个模型， m s 一 共是四十九个模型。然后我们再看一下它们里面内容啊，像实验班这一本， 它是把像铅笔模型、猪蹄模型这种相似模型放到了一个表里面，通过图形条件还有我们一些推导过程需要做的辅助线，包括最后的结论，在一个表里面就非常清晰的给我们展示出来了。然后整个的推导过程都是有视频讲解的。 爱麦斯它是属于一个模型一个模型的帮我们做推导，比如说猪蹄模型，我们只讲这一个模型，然后推导过程也是有它的视频讲解。实验班在模型这一部分，它还有一个亮点，就是它会有一个叫做拓展模型， 大部分的几何模型书上主要就是这种一级模型，那这种模型呢，相对我们来说就是一些个简单结论，当我们在考试的时候呢，如果遇到了一些个复杂的图形，单用一些简单模型是没有办法让孩子秒出答案的，那么我们可以通过这些个拓展模型的结论，帮孩子快速的解题。 再来咱们说一下后面的练习题啊，爱麦斯呢，它是每道题都是有视频讲解的，嗯，里面呢有选择，有大题上面的，也就说后面的练习题多数是以大的推导题为主的。 实验班的题呢，就是相对来说更全更平均一些，比如说选择题啊，填空题，还有些大题难题，他的选择填空题是没有视频的，然后大题和难题也都配有视频讲解。 再看一下他的答案部分啊，答案部分，他每个步骤用到了哪些结论，给我们标注的也都很详细。再有就是实验班的这本几何模型，他每一个章节后面都有一个阶段性的模型 t o 训练， 整体在题的数量上面来说呢，实验班就会更多一些。同时实验班在解析的思路上面也一直在给孩子做强调，比如说我们先去识别模型，怎么去识别模型，然后套用模型的结论，把结论带入到题里面，按照这个过程去做一道题。
1300米妈有力气
00:11查看AI文稿AI文稿求 s 一 加 s 二的最大值。 s 一 是 p 一 到 a b 的 高差乘底。 s 二是 p 二到 x 轴的高差乘底，凑成二次函数顶点坐标，求最大值。
04:39查看AI文稿AI文稿刷了一百道题辅助线还是靠蒙？不是你笨，是没有人教透你底层逻辑。今天我只用三分钟时间，带你彻底吃透绝配角的根源原理，学会直接碾压百分之九十九的同学。 这个题目中，他给了直角，却给了这段的线段长，还给了这些线段的长度。所以你猜这个题 我们后续在计算过程中一定会用到的知识是什么？我们在读题干的时候，你就要有一个方向，有的题目肯定是不会涉及到很多计算的，但是有的题目给了你这样的直角信息，往往你就要借助直角去进行计算。所以这道题你一看它给的这些线段关系，勾 股定律，这题大概率要用上。那接下来开始看题干。题干中我们得分析一下，告诉我们 a b 和 a d， 哦，这俩是相等的，那这里相等，我应该可以得到的结论是， 比如说在这和在这，这两个角一定都得是四十五度的角。等腰直角三角形吗？我在读题的时候我可以想到这些。另外题目还告诉你， d e 是 角平分，线 平分角 abc， 这就很尴尬，这块很容易搞乱，因为你会发现这出现了三个角。但是 d e 平分的是我现在标注的两个大红，看一下 大红，两个大红，他俩大小是一样的，被 d e 平分。然后呢，我知道的角是这部分，加上他这个四十五度很难用， 这个四十五度也许还能知道该怎么用一下。好，我们先放在这题目，还给了角 a 等于等于角 c， 然后呢，我们最后要求的是 d e 的 长度。来，咱们可以反向去思考一下这道题归根到底我们要怎么去做？前两天我给大家讲过一个知识点，叫做绝配角，我不知道还有没有同学记得我说， 凡是角的关系，能够满足像这样的关系的角就叫做绝配角。而在这道题目中考察到的又是和绝配角相关的另一种辅助线思路。想把这个题从根上学明白，这个基础你必须得搞明白。 其实绝配角我们最开始研究，它是出现在这样的一个等腰三角形中，在这个角我们假设它是二倍的 r 法，你会发现这个是九十减去 r 法，这个也一定是九十减 减去 r 反，这就是一组绝配角，二倍的 r 反和我们九十减 r 反是一组绝配角。或者我现在说在一个等腰三角形中，咱们就简单一点来， 现在随便给你个三角形，这个角就是 r 角，这两个角都是 beta 角，它们三个的和也一定满足等于八十度。接下来咱们来看一下今天我们拿到的这个题，你应该用什么样的思路把辅助线能做出来。现在咱们假设一下，假设小红呢？它的大小，嗯，用 x 来表示吧。 好，两个小红，它们的大小都是 x， 那 么对应着我们假设两个小绿大小咱们都用 y 来表示，在这里面 x 加上 y 等于多少度？这应该很直接，一眼就能看出来，在一个直角三角形中，老师你是逗我玩的吗？它俩的和一定是九十度啊。由此我应该可以得到的是二倍的 x 加上二倍的 y 等于一百八。我们把这样的一个式子写出来以后，这道题辅助线思路往往就已经能够想到该怎么去做老师，它能带给我的是什么呢？大家来看，这出现的是二倍的 x， 这出现了一个 y， 所以 你可以理解成二 x 和 y 是 构成绝配角的关系的，因为在这个式子中， r 反和 beta 是 构成绝配的关系，所以只要再给他补上一个角，让这个角的大小跟外相等，他就一定是三角形。换句话说，如果我把他直接已知的边全部给他延长出去，嗯，延长 c、 b， 然后再延长 d， a。 大家来看， 现在咱们就这样给他去把延长做出来。在这种情况下，这样出现的这个角，你只要给他补成三角形，借助这个关系，你一定可以知道它的大小是 y。 所以 这道题的关键 完全取决于你能不能想到这个辅助线的连接。现在这个角是外，这个角是外，那么就意味着 c、 d 的 长度和 d、 p 的 长度是完全相等的，整个这段的长度就应该是六倍的根号五。而且你又会发现，下边的这个三角形 b、 a、 p 和上面的这个三角形 d、 a、 e 这俩三角形一定会满足什么关系。因为题目中上来就告诉我们， ab 和 ad 是 相等的直角，直角它们俩也都有，然后我们对应的角，比如说这个角角外，这个角角外也有。由题目给出这些关系，我们可以得到全等的信息，也就是说我们会发现 d、 a、 e 这个三角形和 b、 a、 p 这个三角形一定全等，所以这一段的长度和 a 一 样，这就是二倍的 根号五，那么对应着上边就应该是四倍的根号五，这是二倍根号五，这是四倍根号五。最后我们要求低 是不是就变得非常容易了？这就是我们整个这个题的解析信息，所以这道题的正确答案，你可以求出。借助勾股定律二倍根号五平方，四倍根号五平方之合开根号，结果等于十，这个题我们就求出来了，数学找老钱，进步会很甜。
259老咸讲数学思维
03:33查看AI文稿AI文稿好了老铁们，那么今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型的第三十六个模型，手拉手相似模型。 那我们之前在讲模型的时候提到过手拉手全等模型，那个里面的线的条件比较多，那么手拉手相似模型，那大家来看一下它会有哪些特点呢？首先我们来看它的条件是啥？在这样的题型中，它会给我们一个条件说三角形 abc 相似于三角形 a、 d、 e。 我 们之前讲到手拉手全等模型的时候，也是会提到相似，但是没有听那个词，但是他必须得是等腰三角形对不对？ 而这个时候他不一定是等腰三角形了，只要两个三角形相似，那么他们对应的角都是相等的，那你会发现这个角就等于这个角， 那么我们同时减去中间的这个角，大家会发现角 r 法就等于角 r 法， 那么又因为它们俩相似，所以说 a、 b 和 a、 c 的 比是等于 a dog 和 a、 e 的 比的，那就相当于我们由列这两个三角形相似，我们就推导出来了三角形 a、 b、 d 也是相似于三角形 a、 c、 e 的， 也是相似于三角形 a、 c、 e 的， 那么这样子的话，大家会发现 b、 d 和 c、 e 不 再像全等里面是相等的了，而它们的比值就等于这个三角形的相似比， 也就是说此时的 b、 d 与 c、 e 的 比值是等于圆三角形的相似比的， 这是第一个，第二个咱们来观察一下 b、 d 和 c、 e 的 夹角，这个我们在讲 手拉手模型全等模型的时候，给人家说过 b、 d 与 c、 e 的 夹角，我们利用是八字模型给大家正出来的，大家想不起来去翻一翻我们前面讲的手拉手模型的 全等模型啊，我给大家写的非常详细，那么这个时候 b、 d 和 c、 e 的 夹角是谁呢？是角 b、 a、 c 或其补角， 因为两条直线的夹角是不可能大于九十度的，如果说 b、 a、 c 大 于了九十度，那我们就取其补角。大家仔细看我画的这个图，我在画的过程中， b、 d、 e 三点是不是有可能是在一条直线上的？ 哎，它如果说有可能在一条直线上的话，孩子们你会发现这个角就是角 a 了，角 b、 a、 c 了，对不对？ 好，那么我们对于这种手拉手相似模型，我们经常会和等腰直角三角形放在一起手拉手，而等腰直角三角形在手拉手全等模型里面，我们经常是让直角顶点 a 是 重合的， 而我们现在学了相似之后，我们就可以让它的四十五度角是重合的，而我们得到的结论和这个是一样的，大家根据我们给大家准备的课后练习去感受一下，需要路过课的随时找我。
28数学陈老师
04:53查看AI文稿AI文稿好朋友们，那么今天我们利用这个视频来给大家讲一讲四十二个模型中的第三十九个模型，叫胡不归模型，那么陈老师也叫它为外卖模型，啥意思呢？我们在直线 l 上 有一个定点 a， 在 直线 l 外有一个定点 b， 那 么 p 点在 l 上动，那么它在动的过程中，让我们求的是 ap 和 bp 的 最大值和最小值的关系。 它如果说直接让我们求 ap 加上 bp 的 最大值和最小值，那直接就是连接 p 点在这的时候就行了，是不是？ 好了，那他肯定不会这么去求他为什么叫胡不归呢？他是这样说的，一个人从 a 点要想回家，他发现如果说我直接从 a 点到家的话，这个速度太慢了，比如说这个速度是 b， 而他又发现我要是在这条路上走，速度会快一点，假设是二 b， 假设是二米，那么这个时候他发现我可以先走一段，再这样去走，可以比较节省时间的到到达闭眼，虽然路程有点遥远，是不是？但时间比较短， 那我们如何表示时间呢？孩子们，那么表示时间的话，这一段是不是 a p 除以二 b， 这段是不是 b p 除以 v， 我 们把 v 提出去之后，它就变成了二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值， ok， 孩子们，如果说这个地方不是二分不是二，而是三，该怎么处理呢？我们先看二哦，大家仔细观察一下这个地方，让我们求的是二分之一的 a p 加上 b p 的 最小值。 我们再去算线段和的最小值的时候，从来不会涉及到系数不一样的，如果说系数不一样，我也得把它转化成系数一样的形式， 而转化二分之一，屁，那我们的方法太多了，那么这个时候我们用的是三六九三角形，孩子们听好，我们过 a 点在直线 l 的 下方做一条直线，使射线使得这个角啊等于三十度， 并且过 p 点做这条射线的垂线。假设垂足是 c， 孩子们，这个时候二分之一的 a p 是 不是就等于 p c 啊？那就相当于让我们算的是 p c 加上 p b 的 最小值， 而这个永远是垂直的。现在让我们算它的最小值，是不是等价于过 b 点做这条线的垂线，那么永远会满足 p c 加 p b 大 于等于 p c e 的。 那么当 p 点在这的时候，它就取到了最小值，而且 p 点在这的时候，你会发现二分之一的 a p 还是还是等于 c p 一 撇的， 对不对？那么这样子的话，我们就把二分之一 a p 给转化成了一个线段，把它给算出来了，那么这个我们就认为弧不规模型，或者称为外卖模型。那有的孩子说了，如果说不是二分之一呢？是三分之一呢？ 好孩子们如果说他是三分之一，那么我们仍然是在下方做一个射线，但是这个角是多少度我不知道了，但是我必须得使得这个角它的正弦值 是等于 c p 比上 a p 必须得等于三分之一的。 也就是说我们去研究这个模型的时候，这个系数是几，我画的这个角的正弦值就得等于几， 那这样子的话，你会发现我就可以将它转化成这样一段子，这是第一个，第二个，我们去研究这个活不规模型的时候， ip 的 系数必须得是比一小的， 那也就是说我们准确的来说研究的是 k 倍的 a p 加上 b p 的 最小值，其中 k 一定属于零到一的， 那么这样子的话，我们研究它的过程中就可以用弧不规在直线的下方做一个角就可以研究出来了。 这个弧不规模型对于我们来说很重要啊，大家要找清楚它的方法，我们经常会和菱形、矩形、正方形还有平行四边形结合起来一起去研究 啊。大家搞清楚这个胡不龟或者是卖外卖模型的特点，根据我们视频后面给大家准备的几道题，大家去感受一下，然后需要录播课的随时找我。
39数学陈老师
02:59查看AI文稿AI文稿来一道模型题，竟然让全班几乎没人能做的出来，这道题目呢，告诉我们，角 b 九十度， b、 d 是 等于 c、 e 同时等于 c、 f 的， 给了我们呢， a、 d 的 长度是根二， a、 e 的 长度是三，求 b、 c 的 长度这道题目的入手点，大家注意，有了直角，同时 b、 d 和 c、 f 又相等，而 c、 f 和 c、 e 也相等，有等腰三角形一定有三线合一啊， 所以咱们过点 c， 先去做出 e、 f 的 中垂线，咱们把这根线做出来之后，大概在这个位置，同时呢过点 f， 做出 b、 f 的 垂线，让这两根线相交，这个交点呢，咱们叫做点 m。 写到这之后，很多同学已经发现了，我知道 c、 f 是 等于 b、 d 的， 这俩一定是等的， 那么此时呢，角一这个角和角二这个角一定是等的，那么此时注意，这又一定是个垂直，所以你发现了角一这个角和这个小角角三也必定相等。那么此时来证明 m、 c、 f 和 f、 b、 d 全等就非常简单了， 这俩一全等，你会发现，那么 m、 f 的 长度和 b、 f 就 相等了。看到这俩三角形，想到了啥，这不就是玄图嘛，所以咱们就奔着正方形来进行补充。 我呢，先去连接一下 m、 e， 先连接，然后把 b、 a 延长出来，并且呢再过点 m 去做一下 b、 a 的 垂线，那么这个点我们叫做点 n。 把这几个点描出来之后，咱们再来连接一下 m、 a。 有了这个图之后，大家再来看。我首先能知道， m、 f、 c 一定全等于 m、 c、 e， 这俩三角形必定全等啊，所以 m、 f 的 长度和 me 一定是相等的， 而此时 b f、 m、 n 一定是正方形啊，所以 m n 的 长度和 m f 和 me 也相等啊。 那此时 m a n 和 m a e 一定全等。也就是说 a e 的 长度是三的话， a， n 的 长度一定也是三。而 a d 的 长度呢？它是个根号二。我们要求的是谁？要求的是 bc 的 长度。 那么 b， c 加上 c， f 是 正方形的边长，而 b， d 加上 n， d 也是正方形的边长，而 b， d 和 c f 等啊，所以 b， c 的 长度就是 n， d 的 长度，就是三加根号二。这题的本质就是一个弦图的模型， 像这种咱们在初中阶段考试中一定会考到的模型，我一共整理了五十八个，而且这五十八个模型，每个模型都配了讲解和析题。就在这本几盒小绿卡里头。如果你的孩子正在上初中，这个东西啊，一定要人手一份下课！
1394数学赵观察
01:16查看AI文稿AI文稿嗨，同学们，我们中考里经常出现一线三垂直的模型，到底是什么呢？第一个，我们先看同侧形，我们的结论有什么呢？ b、 c 等于 c、 e 的 时候，三角形 b、 a、 c 全等于三角形 c、 d、 e。 这个比较容易正角 a 等于九十度角 b、 c、 e 等于九十度角 d 等于九十度。那一条线上就有三个角等于九十度，角一加角二也等于九十度，所以角二等于角 a、 b、 c， 那么就有两个角相等，一个是九十度，然后角二跟角 a、 b、 c 相等。再加上如果题目给了 b、 c 等于 c、 e， 那 这两个三角形就全等了。第二个相似 b、 c 不 等于 c、 e 的 时候，那这两个三角形就是角角相似。第三个就是当 c 是 a、 d 的 终点时，那么就有三角形 b、 a、 c 相似于三角形 b、 c、 e。 这个比较难，我们来证明一下，通过第二个异证了。三角形 b、 a、 c 相似于三角形 c、 d、 e， 所以 a、 b 比上 c、 d 等于 b、 c 比上 c、 e。 因为 a、 c 等于 c、 d， 所以 a、 b 比 a、 c 等于 b、 c 比 c、 e， 所以 a、 b 比 b、 c 等于 a、 c 比 c、 e。 就 因为角 a 等于角 b、 c、 e 等于九十度，所以三角形 b、 a、 c 相似于三角形 b、 c、 e。 那 么我们这道题就正完啦！
43郑老师数学思维
01:02查看AI文稿AI文稿初中几何考来考去，无非就这六十个模型把他们都吃透，数学也就稳了。他把初一八个模型、初二三十三个模型、初三十九个模型都整理在这本初中几何模型图表解里了。让孩子从现在开始，每天掌握一个几何模型，等到考试小题套结论，大题套模型， 别提多轻松了。比如风筝模型、手拉手全等模型、将军印马模型、胡不归模型、点线圆最直模型等每一个模型的已知条件、辅助线、画法、 结论是什么、怎么证明的，都给孩子梳理的明明白白。搭配对应的典型真题，从找模型到套用模型，让孩子可以快速吃透每个考点。有了这本书，以后做几何题就像查字典一样简单，关键扫码，还有免费的视频讲解， 不怕孩子学不会。学完再用这本配套的练习册刷对应的真题，巩固提升，这样无论考试题型怎么变，都能从容应对，快速解析，初一、初二、初三都能用！家有初中生，快给孩子准备起来！
17洛洛上学去
03:30查看AI文稿AI文稿都说初二两极分化，分化的原因就在于我们初二阶段学到的模型和辅助线会大大增多，尤其是全等，这里我们光模型辅助线就有十大类，每一类又有成千上万种变形，所以我们很多孩子做题的时候都想不出来辅助线没有思路。 今天这个视频啊，我就把全等三角形这里最重要的一类模型，手拉手模型和结论给大家说清楚。那有关于全等三角形，这里的模型辅助线老师都给大家总结了出来， 每一类模型解析的方法，模型的结论都在这，如果咱们孩子几何思维还有问题，证明过程写不清楚，一定要打印出来，提前带着孩子把几何的模型思维建立起来。 下面咱们来一起看看手拉手模型是什么。首先手拉手模型是有关键要素的，它的关键要素是什么？跟我记笔记，第一个就叫做等腰三角形， 必须两个等腰三角形才能手拉手。而且这个等腰三角形咱们还有一个规矩，什么规矩叫做顶角相等，哎，你的角是阿尔法，我的角也得是阿尔法，你不能，我是三十度，你的顶角是四十五度，不行， 顶角相等，等腰三角形。接下来我们说他们想要形成手拉手模型，必须要头顶头，什么意思？哎，他们有一个共顶点等线段。拿这个图举例，这是那个公共的顶点，伸出两只大手，伸出两只小手， 两个三角形对应的角都是阿尔法，那两个顶角相等的等腰三角形，头顶头，我们就可以手拉手了。看，一条大手加一条小手，哎，连起来，那这个三角形就和这个三角形是什么样的？ 对了，就是全等的了，发现了吗？所以有两个三角形全等，那对应边角相等的关系，咱们就可以进步推导出来了，这个小叉等于这个小叉，这个小圈等于这个小圈。同样边，这里 牵手线这条线 a、 c 和这里的 b、 d 是 相等的，再往下拓展两条牵手线的假角，咱们也可以求出来来，我们把它放在这样的八字模型当中，你会发现这两个角都是小叉， 而八字模型这两个角的和等于这两个角的和，所以这是阿尔法呢，这也是阿尔法。所以手拉手模型的结论，除了有两三角形全等带来的边角关系相等，我们还有一个结论叫做牵手线的夹角等于什么？等腰三角形的顶角， 那你看在第二个图当中也是一样啊，在这里两个等腰，直手拉手，看共顶点，等线段，伸出两只大手，伸出两只小手，大手牵小手，哎，这个牵手线一连，那我们是不是就得到了？哎，这两个三角形全等 对应边相等，对应角相等，对不对？那我们对应这两条牵手线的夹角也可以求出来呀， 牵手线的夹角在这呢，这个角正常等于等腰三角形，顶角的度数应该等于多少？九十度，对不对？那我们在这验证一下，还是一样把它放在八字形当中， 这是小叉，这是小叉，这是九十度，所以这也肯定是九十度了，所以所有的结论都能称出来。那以后无论手拉手模型怎么变形，变成什么样的等腰，只要你抓住这几个关键，掌握我们所说的二次结论，我们就都可以迎刃而解。下个视频我们在题中练。
180依依老师初中数学
