不行浙江省中考数学大题圆应该怎么写
各位，我们今天来学用小设法突破圆综合比例相关的综合大体，我们看如图，点 e 是 圆 o 的 弦，比例上的一个动点，过点 e 做 a， c 垂直比例交圆 o 于 a， c， 两点连结， a， b 比 c c d a， d 过点 b 做比 f 垂直 a， d 于点 f 交 a， c 于点距 洛 a， c 等于比 d。 这里重点来了，这里，是啊，这个 x 指的是 a g 比上取 e 等于 x， 比 e 比上比 d 等于 y， 我 们求 y 关于 x 的 函数表达式，那么这道题呢，它的难点就在这个地方，我们这个 x 和这个 y 啊，它们指的是两条线段之间的比例， 所以说我们怎么啊建立这两组线段之间的比例呢？我们直接去构建，难度是非常大的，对吧？啊，那我们今天老师教大家一个巧设法来巧妙的突破。我们可以设 g， e 等于 a， 那 么则 a， g 呢，等于 a x， 这里的 a 为常数，我们要建立的是两组比例之间的关系式，这道题对吧？就变成一个简单的代数问题， 那么怎么表示 y 呢？我们只要用这个 a 和 x， 然后把比 e 和比 d 表示出来，那么这个函数表达式立马就出来，对吧？啊，我们看图啊，我们这里设的是 g， e 是 a， a， g 呢是 ax， 那 么也就是说这个比 e 和比 d 各是多少？我们这里还有一个重要条件，当然这也是唯一的一个条件，除了两个垂直之外，对吧？啊，那我们来看好，那么 ac 等于比 d 有 什么用呢？ 因为 a， c 等于 b， d， 所以 弧 a， c 等于弧 b、 d 这两条弧同时减掉中间的公共弧，所以弧 a， c 减去弧 啊， cd 等于弧，比 d 减去弧 cd， 所以 弧比 c 等于弧 a d 好， 这两个弧相等，那么他们所对的圆周角也相等，也就是说这个角等于这个角， 所以我们就可以得到角 e 比 a 会等于角 e a b， 所以我们发现比 e 就 等于 a， e 等于 a 加上 a x 啊，它是 a 加上 a x， 所以 接下来我们只要表示比 e 就 可以了，我们把比 e 表示出来，那么比 d 写 a 键也可以得到了，对吧？那么通过观察呢，我们很容易就可以得到，这里面还有一个全等的三角形啊，老师，这个地方就一正了啊，一正三角形 b， e 全等于三角形 啊！ a e d， 所以 举 e 就 等于 e d， 那 么 e d 也等于 a， 所以 比 d 就 等于 啊，比 e 加上 e， d 就 等于 ax 加上二 a， 所以 y 等于比 e 比上比 d 就 等于 a 加 ax 比上 二 a 加 a x， a 同时约掉，这里 a 我 们指的是常数，对吧啊，而且它当然不等于零啊，所以可以直接约掉，所以就等于呃， x 加二，分之 x 加一啊，如图啊呃，这就是老师说的用巧设法来突破。 那么大家在圆综合中碰到的所有比例相关的问题，我们都可以用这种巧设法，比如说让我们求一角的三角函数啊，或者说已知一个角的三角函数，然后让我们求其他边之间的关系啊等等，但凡涉及比例相关，都可以用巧设法 来进行这样的一个解题。那么巧设法一设呢，我们会发现啊，我们一个复杂的比例问题就变成了一个基本的代数问题啊，基本的一个代数集合问题。
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00:26查看AI文稿AI文稿每位浙江中考生必做的圆综合。此道题目来自二四年的浙江省统考的最后一题，题目设问由易到难，层层引导，梯度清晰。最后一问可以从全等和相似入手，设计巧妙，区分度合理，是典型的基础答题、难题拉分的经典好题。下面提供六种解法供参考。
73宁波朱老师
01:12查看AI文稿AI文稿浙江中考想要充满分折叠或者对称问题，一定要掌握三种思路，这类题通常放在填空最后一题压轴题的位置。第一种思路是大部分同学都知道的，找对应边对应角，但不是找你一眼看到的对应边对应角，而是地毯式的排查所有对应边对应角，把有用的等量关系找出来。 第二种和第三种是大部分同学不知道或者不熟练的，一个是连接对应点，因为你只要把这个对应点连起来，折横或者对称轴就变成了对应点连线的中垂线。 把这层关系用起来，思路就打开了。尤其是圆当中的折叠问题，经常需要我们去连接对应点，甚至有的时候没有对应点，你自己去画一个也要把它们连起来。第三种，两平一等腰。 特别是平行四边形当中的折叠问题，当然也包括菱形、矩形、正方形，因为折叠问题中的对应角很多时候是挨着的，那这个时候折痕不就可以看成角平分线了吗？再结合平行线，把这个等腰三角形找出来，问题就解决了。总结一下，第一个， 地毯式排查所有对应边对应角，第二个，连接对应点，让折痕变成中垂线。第三个，把折痕看成角平分线，两平一等腰。掌握以上三种思路，中考遇到折叠或者对称问题就不怕了。
48数学金老师
08:24查看AI文稿AI文稿今天我们一起来学习一对一专项培优的二五年浙江的一道真题。呃，那么先看一下题目。第一个条件，他说在这个三角形 abc 中， ab 和我们的 ac 是 相等的，那 ab 和 ac 相等的话，必然能得到我们的一些对应角相等， abac 相等。那这个时候我们的角 c 是 不是就和这里的这个角标一个角一是不是相等？ 第一个结论，角 c 等于角一。呃，再往后我们还有一个重要的条件，它是，呃，我们的 a c 和 以 o 为圆心， o b 为半径的这个圆是相切的。呃，那出现相切的话，一定要用到切线的一个性质，是不是就是我们圆的切线 a c 垂直于过切点的半径，也就垂直于我们的 o e， 这有个角是直角。第一个问题，我们要求证 o d 和我们的 o e 是 垂直的，那看一下我们这两个角之间的关系，这是我们要正的想要证明它是直角，然后这个角是已知的直角，那很明显，这两个角的位置关系，其实就是这两条线 被这条线所截所得的同旁内角。我们只要知道，呃，他们两个互补不就可以了吗？那互补又是怎么来的？不就证明这两条线平行吗？那平行主要是根据什么来的呢？是不是主要根据这些角题里面告诉我们，角一和角 c 已经相等了。当然，我们这里很明显会发现 o b 和 o d 相等，那么角一是不是就等于我们的角二？自然角二也等于角 c， 所以 我们就串起来了。 呃，稍微写一下，呃，因为我们的 o b 等于 o d， 所以 角一等于角二，最终能得到角二，就等于我们的角 c 平行了，自然剩下的就能得到了。所以我们把第一问稍微简单的写一写。 首先我们可以得到，根据题里面的条件，我们的 o， 呃，第一个条件 o b 等于 o d， 那么我们就能得到这里的角一是不是和角二相等。然后又告诉我们 ab 等于 ac， 所以 就能得到一个结论，就是这里的角 b， 呃， ab 等于 ac， 这里的角一是不是就等于角 c， 那 最终就能得到结论，我们的角二是不是就等于角 c， 也就是 o d 就 和我们的谁 ac 是 平行的， 那平行了以后，自然呃我们，呃，因为 a c 是 与这个圆 o 怎么样相切的，切点是 e， 所以 我们就能得到这有个现成的 o e 是 垂直 a c 的， 那又因为我们刚刚说的平行，所以是不是就能得到我们的角？呃， e， o d 也是直角，那自然直接就能得到我们的 o d 就 垂直 o e 就 可以了。好，这是我们第一个问题啊。第二个，他说，呃，若我们的 ab 等于 bc， 嗯，刚刚我们已经知道 ab 和 ac 相等了。再补充一个， ab 又等于 bc 的 话，说明这三条边都相等，那自然它就是一个什么三角形。等边三角形， abc 等边三角形的话，那是不是就有特殊的角度六十度？ 特殊的角度六十度。呃，那这个时候我们告诉 o b 等于根号三， o b 其实相当于半径等于根号三，那说明除了 o b 是 不是 o d， 以及我们的 o e 是 不是都等于根号三？好，现在我们要求这个四边形的面积，其实这个四边形我们把它描出来，你会发现它说的是 o d c e， 那 自然它是一个什么呢？直角梯形？那这个直角梯形的面积是不是自然就是 什么呢？二分之一倍的上底是 o d 知道，然后下底是 c e 暂时不知道，然后乘以它的高 o e 又是知道的。所以这个问题就落在了哪里， 是不是只要把我们的 c e 求出来就可以了？当然要求 c e 的 话，我们是不是得看一下 它是一个什么三角形？等边三角形？呃，我们要求，呃 c e 的 话，可以把它放大一点， 是不是可以用我们的 a c 减去 a e 就 好了？那要求 a c 是 不是可以把它转换成求 a b， 对 不对？那要求 a b 的 话，我们来认真看一下，现在已经知道 o b 等于根号三， o e 也等于根号三，而且我们知道它是一个等边三角形， 那我们是不是就可以通过重叠看这样一个什么三角形？小的直角三角形 o e 知道的话，我们的 o e 也能求出来，自然 a b 也能求出来， a e 求出来的话， c e 也能求出来。所以我们大概的思路就是，你要把它放在一个 r t 三角形 o a e 里头， 通过我们的什么呢？ o e， 把 a e e 以及我们的 o a 求出来就可以了。好呃，大概有个思路，我们就稍微写一下，因为 a b 等于 bc， 同时 ab 又等于 a c， 所以 我们能得到三角形 abc， 它是不是是一个 等边三角形？那自然我们就能得到一个最特殊的角度角 a 是 不是就等于六十度？好呃，现在我们呃已经知道我们的 o e 是 不是垂直 a c 的 同时这里的 o d， e 的 长度和 o e 的 长度以及 o b 的 长度都等于根号三。那我们现在要求 a e 的 话，可以怎么求呢？ 是不是可以把它放在这样一个直角三角形里头？呃， o e 知道了 a e 要求的话，可以用这个六十度的什么呢？正切对不对？好，我们稍微写一下，在 r t 三角形 o e 中。 呃，那我们知道 tangent 六十度是不是就等于 o e 比上我们的 a e， 所以 我们是不是就能得到 a e 就 等于 o e 比上 碳六十度？呃，当然我们知道 o e 是 不是等于根号三，碳六十度也等于根号三，所以 a e 就 等于一。对不对？那类似的，我们是不是也能把我们的 a o 求出来？这个时候用的是什么呢？呃，是不是一个是六十度的 对边，一个是它的斜边，所以可以用三。 a 六十度是不是就应该等于 o e 在 比上，在六十度得到的就是根号三，比上二分之根号三，最终算一下得到的是二。那现在我们就可以把这里的谁呢？ a c 是 不是？ 呃，最终？呃，能把我们的先把我们的 ab 求出来，因为什么 ac 是 不是就和我们的 ab 是 一样的？ ab 就是 a o， 再加上 ob 得到的就是二加根号三。呃，自然我们也可以把 ec 就 求出来了，是不是就是二加根号三，减去我们的 a e， a e 是 一，得到的是一加根号三。那这个时候我们简单写一下，这个四边形 o d c e 的 面积不就是二分之一倍的，上底是根号三，下底不就是一加根号三？高不就是我们的根号三，最终得到的是 三加二分之括号三，我们自己算一下就可以了。好，呃，那么一个例题就先学习到这里，后续如果我们有需要一对一的可以私信了解，涉及到的是三个部分，一个就是我们的基础的一些知识点的练习，第二就是一些专项的， 呃，培优或者一些模型的补充，呃，再就是如果我们有问题的话可以集中进行一个答疑，有需要的话。
02:06查看AI文稿AI文稿今天我们来看一道数学模拟考的填空压轴题，圆内求两条线段和的最大值问题。老规矩，先读题半径为五倍，根号二的一个圆 c 轴是垂直 a b， a， b 是 圆内的一根弦，弦长是十四，那么要求 a c 加 c 轴， 它的最大值是多少？记住，求线段和最值，首先要想到的就是截长补短，我们就是要把 a c 和 c 倒放在一根直线上，那么我们就延长倒 c， 使得 c e 等于 a c， 然后连接 a e， 因为这是九十度，而且这两条边相等，所以它是一个等腰直角三角形，这个角是四十五度， 那么也就是随着这个倒 c 在 ab 弦上面动来动去，这个 e 点就是在四十五度夹角的这根直线上运动，那我们 e 点的轨迹就可知道了。 所以我们要求的 ac 加 c 倒就变成了求 d e 的 最大值。那么 d e 这条线段它的最大值怎么求呢？ 这就是第二个尚老师要说的地方，当你要探求一条线段的最直的时候，就往另一条线段上做投影，也就是做垂线。 那么在这个直角三角形 d f 当中， d f 越大， d e 就 越大，而且不然得到因为是四十五度的关系，所以它又是一个等腰直角三角形。 导 e 和导 f 还是根号二倍的关系。那么请问导 f 什么时候最大呢？ a e 是 一条定线段， 这条垂线在 a e 上滑动，导点是在圆上的一个点，什么时候这根垂线最长，就是过圆心的时候，这条垂线段最长， 那么最终他的最大值是多少呢？把你的答案打在评论区吧，我是数学少老师，每天分享数学干货技巧，点点关注，谢谢大家！
92杭州数学邵老师
00:23查看AI文稿AI文稿这是浙江近期一模最难的圆综合题目，设问由浅入深，层层引导，梯度清晰。第三问难度陡增，区分度高，对综合能力要求极强。 如果你能独立搞定这道题，说明你的圆综合掌握非常扎实。这里提供个人几种解法供参考。
222宁波朱老师
07:01查看AI文稿AI文稿嗯，好，同学们，我们看一下二六年刚刚考完的拱出一模的第二十四题啊，这一个圆的综合题目。 呃，我是觉得这道题是相对其他区的。呃，亚洲题还是比较简单的啊。呃，很适合基础同基础比较弱的同学。好，我们一起看一下这道题。第二十四题，他说圆 o 是 一个三角形 a、 b c 的 外接圆 a 到平分，读到平分我们就给他标啊，去标角一等于角二，那么对应这个相等呢？而且我们会得到弧 b 到等于弧到 c 的 对不对？ 然后又有平分，这边又有个平分，我们还是给它标准啊， c e 平分角 a c b， 那 么我们去标角三等于角四，红色角相等，蓝色角相等。第一问，第一问弱啊。我把这个图重新复制一遍。先 第一问，若角 a、 c、 e 等于三十五度，红色角等于三十五度，换个颜色，在下面标这三十五度，角 a、 b， c 等于五十度。 让我们巧求 b 一 倒蓝色角是不是很好求的？根据内角和就行了吗？这整个大角是不是就等于七十了？然后所以上面这个角就等于一，根据三角形 abc 内角和一百二减五十减七十等于六十，六十再除以二吗？第一问， b 一 倒是不是等于三十度啊？很好做的对不对？ 那我们看第二问啊，求证第二问，求证 c 倒等于倒 e， 这一问也是比较简单的啊，同学们， c 倒等于倒 e， 这个中间的蓝色边跟右边蓝色边相等， 非常简单。你看啊，你们就像我这样用去做圆中倒角， 怎么导呢？就去买一些不同颜色的笔，用相同颜色表示相同的角。我每天都在给我的学生这样讲的啊，角一等于角二，跟角一角二蓝色角相等，角是不是还有个角五啊？因为都是这个弧 b 导所对应的嘛，角一等于角五的对不对？ 那么这个时候我们观察一下，证明现现在相等的，那就等幺就证明等角呗，这个角等于什么呢？角二加角三，也就是红加蓝啊， 红色角加蓝色角，对吧？那右边这个角呢？是不是也是红加蓝啊？角四加角五吗？所以是不是两个角相等啊？所以这一问就出来了，简单吧，就是圆中倒角就行了啊。 我们看第三问，第三问稍微难一点啊。第三问这题我觉得还是比较不错的， 他说 ab 加 ac 等于一个二倍的 bc， a 加 ac 等于二倍的 bc， 三角形三边的关系让我们证明 a 倒也是等于一个倒一的，这段也是一个蓝色线段。哎呦，那这怎么证明呢？ 这个贴要用到相似啊，很多同学不会构造，我们看这个边加这个边等于二比一的， 我们想啊，我们要证明这个线段刚好是这段等于这段，其实也就相当于这个二比一，对吧，或者左边这个三角形有一个二比一， 我们怎么想呢？我们要么截长，要么补短，我们用截长， 我们用补短啊，截长或者补短，把两个不挨着的线段，它俩不是相加吗？对不对？不挨着的线段我们给它变挨着补短，怎么补呢？ a c 这条边啊， 再换一条 a c 这条边，我们给它延长 b a 同样的长度到 m 吧，延长 b a 至 m 十 a m 等于一个 a c， 这有什么用呢啊？再连接 m c， 那这个时候则我们讲 ab 加 am 啊，是不是就等于 ab 加 ac 了呀？就等于二倍的 bc 了，对不对？ 现在看啊，我们描一下子，这个边就等于它的两倍了，对不对？是不是出现一个三角形了呀？ 那我们在想，这个二比一的三角形能不能跟这个 a、 b 倒，或者说跟 a、 d、 c 相似呢？可以的，怎么证明呢？你看这个边已经等于这个边了，再跟外角 角一加角二，这两个角的和，等于角 m 加角 c 的， 所以其实角一等于角二，也等于角 m 也等于角 c 的 蓝色角相等，能明白吗？这个角等于他俩的和吗？也就角一加角二除以二就行了。这两个角相等， 那么这个时候已经很明显了。同学们，你看这个角 m 是 等于角二的，对不对？ 角 m 等于角二的，然后还有吗？然后这个角 b 啊，不能说角 b， 应该说谁啊？这个角跟这个角标一个字母，角六跟角七相等的，能理解吧？ 所以说相似已经出来了啊。又因为角 m 等于角二，这证明出来的角六等于角七，所以三角形看好了啊，黄色的描一下子，黄色三角形跟谁呢？我再描一个绿色的， 跟这个绿色的相似的，这样看清楚吧，三角形 m， b， c 相似于三角形 a， d， c， 所以 a 倒比上一个倒 c 啊，就等于 b m m b 比上一个 bc， 对 吧？等于二比一的呀，或者说 对，就等于二比一的，所以 a 倒等于一个二倍的倒 c 嘛。因为倒 c 不 就等于一个倒 e 嘛。刚才证明过了，等于二倍的倒 e， 是 吧？这由二得的啊， 二倍的导 e， 你 看 a 导等于二倍的导 e 了，那所以 e 值是不是中点？所以 a e 是 不是就等于个导 e 了？哎，这一问题证明完了，听清楚了吗？
34浙江数学李
04:19查看AI文稿AI文稿嗯，好，同学们，我们一起看一下二六年拱墅区 一模的填空题小压轴啊。第十六题，这个题我个人觉得还是相对比较简单的啊，他用到什么知识点呢？弧中点对吧？对应角相等 还有个什么呢？矩形的性质还有什么呢？就是简单的勾股定律了啊，主要是这三个知识点。那我们开始读题 点 e f 分 别是弧上面的点怎么怎么样了？弧 a， e 等于弧 af， 你 看弧 a， e 等于弧 af， 这两个角，这两个弦相等。当我读到这的时候，我就想，弧相等对应的是什么呢？ 对应的有角相等，下面这个弧对应的是角谁啊？角 a b f 对 吧？我标一个角 e 好 不好？然后下面这个 a e 对 应的弧，是不是这个角 a 得 e 啊？我标一个角二，角一等于角二的，明白不？ 然后又有什么呢？这中间是矩形，所以这是九十度对不对？好，然后再看啊，他说 a g 等于三，等于三倍的 g b， 哎，我用红色笔标吧，这个长度是三，这个长度是一， a h 等于二，这个边等于二，让我们求直径的，求直径的好， 当我们把条件标完之后，还是那句话，我们就只看图就行了。那这个题怎么做呢？你看，因为首先第一步，因为角一等于角二，所以是不是能得到相似？谁跟谁相似啊？有个公共的九十度吗？三角形 a， b， h 是 不是相似于三角形 a d？ 谁啊？这个字母没有的是吧？ m 吧。好吧，相似的人 a d m， 那 看这吧，这个三角形跟这个三角形相似的，对不对？ 那么因为有相似，所以长比短是不等于二比一的，这四乘二啊，所以 a 倒比上一个 a g， 哎，不是 a g 是 am 是 吧？ am 等于个 a， 懂对吧？分别交 a， a， 对 的。是的啊，没标错，这 m 是 我标的字母啊，你看，也就是长比短是不等于长比短 a， b 比 a h 呀， 几什么？ a 倒比上一个 am 是 等于三，就等于一个三加一，四比二，所以 a 倒等于几呢？ a 倒等于六，所以 h 倒等于几啊？六减二，这个边是不等于四的， 清楚吧？那这个时候怎么求呢？我们要求的是直径，我们求直径， 我们总要连出来一个直径吧，对不对？那在这个圆中一个内接矩形啊，是不是矩形的对角线就是一定经过圆心的， 那么 b 倒即是直径。老师，为什么我可以给你证明一下子啊？因为角 b a 倒不是等于九十度吗？是吧？ 是不是在圆中直径所对的圆周角才会等于九十度的，能明白吗？那剩下会了吗？剩下是不是在勾股就行了呀？ 勾股 b 倒的平方不就等于一个 ab 的 平方加上一个 a 倒的平方开根，对吧？等于多少？等于四的平方加 六的平方吗？所以 b 倒就等于什么？等于根号下面四的平方加六的平方等于二倍的根号。十三。直接算出来就好了好吗？这个题是不是不太难的，对吧？我觉得还好啊。
22浙江数学李
01:50查看AI文稿AI文稿如果这道题你不会做，你一定没有掌握与内心有关的基本辅助线的做法。这是一道来自今天刚刚考完的浙江宁波磁系的二模填空压轴题目，给出了两个角的度数，其中 a 是 内心，也就是三角形 a、 b、 c 三条角平分线的交点， 然后告诉我们做了个圆，半径是二，求弧长。我们可以这样思考，已知半径要求弧长。 根据弧长公式必须知道角 d、 i、 e 的 度数。而题目里告诉我们的已知条件就包括了两个角的度数以及 i 式内心。所以我们就从角的方向去思考。我们连接 i、 b 射 a、 b 交沿 i 与点 f 连接 i、 f。 通过简单的到角，我们得到角 b、 a、 i 等于四十度，且角 a、 f、 i 和角 b、 a、 i 相等也是四十度。 根据 b、 i 是 角平分线，根据角平分线和圆的对称性可知，三角形 a、 i、 g 和三角形 e、 i、 d 全等都是底角为四十度的等腰三角形。 如果一定要做出全等的严格证明，我们可以过圆心做 a、 b 和 b、 c 两边的高，这两条高相等理由是角平分线上的点到角的两边距离相等， 再结合 i、 f 等于 i、 d， 那 么根据直角三角形中一条斜边，一条直角边相等的两个三角形全等，就可以证明这两个直角三角形全等。 所以角 d、 i、 e 等于角 a、 i、 f 等于一百度。那么根据弧长公式求得弧长等于九分之十派。
153几何之美
10:11查看AI文稿AI文稿呃，好，我们看一下这个第四十五题啊，这道题也是比较难的，光看这个图，两个圆交在一起，又有这么多三角形的线，都已经晕掉了是吧？不着急，我们慢慢来啊，我们先去分析好吗？ 我把这些擦掉重新来过啊，就是首先 p a 是 切线，那只要有切线，肯定要连接圆形和切点的，肯定会得到垂直的，对不对？ 然后又有割线啊， p b c， p b c 是 这个圆的割线，那么就要想到割线定律，知道吗？割线定律是什么呢？割线定律是说在一个圆中 任意画两条线啊，外面一个点 p a c 倒，那么 p a 乘一个 pb 等于 pc 乘以 p 刀的，这叫根弦定义，还等于什么呢？如果再来一个切线啊，原来这是一个切线 m 吧，就是 p a 乘一个 pb 等于 pc 乘以 p 刀还等于 pm 的 平方呢， 这就割线定律啊，割线定律证明呢？我们就不证明了，如果不懂的话，我回头再录一个专门的视视频。所以说这个题里面，我们由割线定律那个 p a 的 平方是等于一个 p b 乘以 p c 的， 能明白吗？ p a 乘以 p a 等于一个 p b 乘以 p c 的， 哎，就这个这边啊，那么还有题上还给了一个垂直 a 导是垂直的， 那这个地方呢？你看，上面有垂直，下面也有垂直，这是一个摄引力的图啊，摄引力图，所以得到一个 p a 的 平方等于一个 p 导等于 p o， 这也是没问题的。 p 刀等于 p o， 是 吧，那这个时候，所以啊，所以是不是这两个就相等了呀？就是 p b 乘一个 p c 就 等于 p 刀乘以 p o， 然后由这能得到什么啊？由这能直接得到四点共圆了， 这四个点共圆的， 所以到 b c o 四点共圆。 为什么呢？为什么呢？我们连一下它，再连一下它。我说一下，为什么会四点共圆啊？同学，就是我们可以证明的，我们可以用 s a s 来证明 s a s 来证明什么呢？反 a 相似 能看出来吧，也就这个 p b d 跟这个太阳形相似的。那相似之后能得到什么呢？能得到一些角啊，能得到这个角，角一 等于这个角，角二等于角三。哎，不是左边这个不是角三啊，再连一下它。嗯，图也比较小，擦掉 还等于谁呢？还等于这个角四， 然后是可以推出角一等于角二等于角三等于角四。为什么啊？首先圆 四点共圆的外角不是等于内对角的吗？是吧，或者刚才反 a 等于相似就行了。然后这个 o b 是 等于 o c 的， 所以角二等于角三的，然后四点共圆，这个同弧所对角相等的呀，所以角四等于角三的，明白吗？哎，时间关系，我就视频时长关系我就不写了啊。 然后能得到什么啊？我再说一下，上面是有垂直的，这是垂直的，所以啊，看好了，所以会有什么呢？还有，呃，这个角 是等于这个角的，当角一等于角四之后啊， 又因为角 p b 倒等于角到 o c， 这能看出为什么吗？这还是圆内角四边形吗？外角等于内对角吗？对吧？ 看好啊，所以关键信息来了，所以三角形谁呢？ p b 倒相似于三角形， pp 到这个小三角形相似于这个三角形， c o 到，能明白吧？如果不懂的话，仔细看一看啊，那这两个三角形相似之后，所以， 所以就会得到边的比啊。同学，谁呢？就是右边这个三角形短的角四的两边对应边成比例的， 所以导 o 比上一个导 c 是 等于一个导 b 比上一个导 p， 所以 外向极内向极，所以导导 p 乘以一个导 o， 外向极等于内向极等于导 c 乘以导 b， 对 吧？有这段乘这段等这段乘这段能理解吧？ 那然后看啊，又来了啊，又因为啊，又因为甚原理？ 上面这个只要它想行中吗？甚原理吗？高的平方不是等于左乘以右的吗？ a d 的 平方等于一个 d， p 乘一个 d o， 对 吧？ 你倒 p 乘以 o， 倒 p 乘以 o 呀，这部分相等的呀，所以 a 倒的平方是等于一个倒 c 乘以倒 b 的， 这一步也很难想。就这高的平方等于这段乘以这段的，能理解吗？ 那这个时候是不是很容易看出这个角等于这个角的？好继续往下啊？ 又因为又因为啥呢？ a 倒垂直于 p o 的 嘛，所以角 a 倒 p 等于角 a 倒 o 等于九十度，对吧？ 所以角 a 倒 p 加角一，等于角 a 倒 o 加角四，对吧？那不就即角 a 倒 b 等于一个 a 倒 b 等于 a 倒 c 吗？对不对？是吧？你看，我们由这个式子上面这个式子变形，一下子这个式子变形，所以， 所以 a 倒比上一个倒 b， 是 不是等于一个倒 c 比 a 倒，能明白吗？ 然后呢？所以你看这个角， 又因为上面这个 a 倒比上一个倒 b， 我 给它抄下来吧。等一个倒 c 比 a 倒，是不是 s a s 相似了， 所以看好了，所以谁呢？所以 a 到 b 三角形 a 到 b 相似于三角形 c 到 a， 能理解吗？我讲这么多是为了证明什么啊？我讲这么多，你看 a 到 b 这个三角形， c 到 a 这个三角形，我不就是为了得到这个红色角 跟这个红色角相等的吗？ 能听见吗？是吧？然后呢？也就是就所以我直接标字母吧，一二三四五六吧，能听见吗？也就是 所以角五等于角六了，对吧？那然后还有呢？再看好了啊，又一个关键的，那这个角七本身是不等于这个角八的，因为他们都是同弧所对的角嘛。角七等于角八，是吧？ 所以又因为角七等于角八，所以角五加角七，是不是等于角六加角八，能明白吗？那不就是几角 b a e 等于角 a c b 吗？对吧？ 能懂吧？哎，这道题很复杂，是不是很复杂的啊？好，就这样啊。
24浙江数学李
14:57查看AI文稿AI文稿好，来看一下这道题目，这个是二三年温州中考的真题，今年有考浙江中考的学生可以多关注一下。这道题目 非常的不能说非常简单，但是相对来，相对于其他是二三年及以前的亚洲体，以及二四年和二五年的中考的最后一道大题的难度来讲，还是简单了很多。好，来直接看一下题目，如图一。 呃， a， b 为圆的直径，然后 c 是 b， a 延长线上的一点，告诉我 c、 d 是 切半圆于点 d 的。 那读到这句话之后，很多很多题目你一定要形成这种思维，那切线肯定是连接圆心嘛？然后有一个直角， 然后告诉我 b， e 跟 c、 d 是 垂直的，交 c、 d 的 延长线于点 e， 交半圆于点 f， 告诉我 o i 等于二分之三， o i 是 谁啊？ o i 不 就是我们的半径吗？对不对？然后 a， c 等于一， a， c 等于一，给它标上去，然后来看图二，图二连接 a f， p 为线段 if 上的一点，然后过 p 点做 bc 的 平行线。也有说什么 m， n 和 n 和 bc 是 平行的，然后 b， e 交 m 和 n 交于 m 两点，然后过 p 点做 p h 垂直于我们的 ab， 然后告告诉我 p h 等于 x， 然后 m， n 是 y。 好， 来一起来看一下第一问，第一问是让我去求 c e 的 长，那也就是看我们的这个图一。那图一刚才我们已经分析过了， c、 d 切半圆于点 d， 它有一个切线，那切线用来干嘛？肯定是连接 连，连接圆心吗？那连接之后能得到什么？这两个三，他跟他是垂直的，垂直能推出什么？他俩 平行啊，平行之后能突出啥？这两个三角形是相似的呀，所以第一题的话，我就是每道题我不写完整的过程，我只是写大 大致的思路，它俩是平行的，平行不就说明那个啊，三角形 c、 d、 o 跟三角形 c、 e、 b 是 相似的吗？它俩相似能推出啥？那不就能够推出 o d 比上 e b 不 就等于 c o 比上我们的 c b 吗？那这个时候 o、 d 不 就是半径吗？ oc 不 就是 c i 加上 a c 吗？ 然后 c b 不 就是整个的直径加上我们的 c i 吗？所以说三条边都知道了，然后就可以得到了我们的 e b e b， 最终算出的答案是五分之十二， e b 知道了，那我们的 c、 b 不 就等于四吗？ 在这个直角三角形 c b e 里面，那 c、 e 的 长度不就直接算出来了，也就是五分之十六？好，大家一起来看一下第二问。那第一题的第二问，其实我个人感觉第一题的第二问是整个二十四题里面难度最高的。 值得欣慰的是，我的学生全部都做出来这一问了，但是这两位比较简单，竟然没有做出来，哎，还是有一点点难过的啊。来看一下这个，待会我们来说一下第二题，第三题怎么来分析。把它做出来，然后 y 关于 x 的 函数表达，是 y 是 谁？ y 不 就是 m 和 n 吗？ x 是 谁？ x 就是 p h。 好， 那做数学题干嘛？看我们的条件，然后去做来。第一个 a f 连接 a f， a f 在 哪个上面？ a f 不 就是在圆上吗？ 圆能推出啥？这个不就是一个直角吗？那我们之前讲过，直径所对的圆周角是直角，也就是它是直角，它是直角，那你立刻不就能反映出来，我们的 c、 e 不 就是平行于 a、 f 的 吗？ 然后再往下面读过点 p 做 b c 的 平行线交 c e。 呃， b e 于 m 和 n， 也就是它跟它是平行的，也就是 m 和 n 跟我们的 c、 b 是 平行的。两组 对边分别平行是一个什么线？不就是平行四边形吗？平行四边形的性质是啥？ 对边平行且相等，所以说平行是我们用来推出它这个平行四边形的，所以我利用它的性质不就是我们的 m p 不 就等于 c i 也就等于一。因为题目告诉我了，然后还有啥， c， m 不 就等于我们的 ap 吗？ 好，我再往下面读材料哈。他跟我说过，点 p 做 p h 垂直于 ab。 好， 这又是一个条件，这是一个直角，他跟他是平行的。那你能够立刻想到什么？ 这个三角形 a、 h， p 跟三角形 c、 b， e 是 平行的。那题目是让我去搞的 x 和 y 的 之间关系。那这这两个三角形还跟谁是平行？还跟谁是相似的呀？ 它跟它也是平行的，所以说这个 e、 c、 b 跟 emn 也是平行的，然后还跟这个， 呃 f， 呃，还跟这个 p、 a、 h 是 相似的，相似的。所以说这三个这个三角形跟这个大三角形跟这个小三角形，它们三个三角形是相似的，那我只要利用它们其中的一个相似就可以做出来了。试一试这道题，你利用这个三角形 a、 h， p 跟这个 e、 m、 f 是 相似的，可以做出来。你或者是利用 e、 m、 f 跟三角形 e、 c、 b 是 相似的，也可以做出来。利用它跟这个大三角形相似，做出来更简单，因为大三角形它的每一条边你都直接算出来了，而且是长竖更好算。 既然是相似的，我们已经分析出来，利用相似，那利用相似，我就要知道每一条至少要知道两条边，可是我现在只知道 m n， 我 还有没有其他的边知道，不知道对不对？但是我们刚才已经推出来了 c m 等于 ip， 那 ip 我 们能不能求出来呀？ a p 不 就这个角跟这个角不就是相等的吗？那我不就可以用三 in c 吗？三 in c 等于什么？不就等于 e b 比上我们的 b i 是 已知的三 in c 还等于谁比谁啊？不就等于 p h 比上我们的 a p 吗？也就相当于 p h 比上我们的 c m， 因为 ip 和等于 c m， 然后 p h 也就是 x 比上 c m 等于三 c， 最终我们是可以把这个 c m 等于三分之五 x 给它算出来了。那 c m 等于三分之五 x， 然后 m e 是 不是就算出来了？ m e m e 不 就等于我们的 c e 减去三分之五 x 吗？所以 m e 也知道了，也就说这个时候我们已经拥有了 x， 那 因此这个时候你可以不用麻烦再去写这个小三角形，跟这个三角形是相似的，当然了，你写也没有关系，都可以推出来。 然后这里的话，我就利用这个三角形 e m n 跟三角形啊 e c b 相似了，然后 根据它相似，你就可以推出来 m n 跟比上 b c 也就等于 m e 比上 c e， 最终我算出来的是 y 等于负的十二分之二十五 x 加四。好，这就是我们的第二问。这个第二问的话， 有两个学生没有做出来，我觉得非常非常的可惜，因为第二问他很简单，很简单。来，我们一起读下题，他说当 p h 小 于 p n 的 时候， 且长度分别等于 p h、 p、 n、 a 的 三条线段与三角形 b、 c、 e 是 相似时。好，那其实这一 这个第二题他就只给了我这一个条件，就是这三条线段与这三条线段他们是相似的，那我就只能利用这个两个三角形相似能够推出就是有哪些性质。第一个 三个角都相等有用吗？没有对不对？因为他讲的是这个长度。那这个时候我们应该怎么样？那就是利用他的边呀，也就是说他每一条边的比值 跟它就是它的每一条边的比值跟它是成比例的，不就可以了吗？所以说这个第二题是非常非常简单的。刚才我们已经求过了三角形 bc 一个个边的边长，我直接来写那个答案了， b bc 它实际上等于四，然后 c、 e 的 话等于五分之十六， b、 e 的 话，它就等于十二分之五， 它们三条编织的比值不就变成了三比四、比五了吗？又因为什么？因为它告诉我 p h 是 小于 p n 的， 所以我们一共可以分成三种情况去讨论。第一种情况是什么？一定是 p h 和 p n 是 小于的，所以 p h 比上 p n， 它一定是等于三比四， 第二种情况是三比五，第三种情况是四比五，然后你把它的比值搞出来之后，然后对应的这个 a 也要跟它形成成比例，然后你就可以把 a 求出来了，每一个都给他算出来了。然后这个过程我就不写了， 然后再来看一下第三问。第三问的话，我要讲两种方法，第一种方法是我来做的，第二种方法是我的学生做的，所以说， 呃，自己在做题，如果你是老师或者是学生，或者是家长，如果任何学生，我觉得他有了想法和思路，不要打断他，告诉他啊，你应该怎么去做？因为数学题目他会有很多很多种方法， 所以说我在面对学生去问我题，如果他有任何思路的话，那一定要按照他的想法去走。好，我先来讲一下这个第三题我的思路， 他说 p n 交半源于点 q， 好， 这是 q 点，然后告诉我 n q 的 长度， 然后 n q 等于四分之十五 x 减三，让我求 m n 的 长， m n 是 什么？ m n 不 就是 y 吗？ y 是 什么？ y 不 就等于负的十二分之二十五 x 加四吗？那所以说啥？我只要能够把这个 x 求出来，那我答案不就算出来了吗？ 所以说这个 q 正好也就是在我的圆上，所以说我立刻就想到把这 o q 连起来，我只要就是能求出这个竖的这条垂直的线不就行了吗？那我从这边再做一条跟它平行的线不就可以了吗？所以说命这条边为 k 吧。 那也就是说在第一种第一种方法，在这个 r t 三角形 o k q 中， 那我也就是说 k q 的 平方加上 o k 的 平方就等于 o q 的 平方了吗？好，那我一起来看一下这些怎么去求。目前为止，我知道 o q 的 平方是半径二分之三， o k 的 平方不就是 x 方吗？那我只剩一下 k q 了， k q 是 啥？ k q 它不就等于 m q 减去 mp 减去 p k 吗？那 m q m q 不 就等于 m n 加上 n q。 所以 说，所以说这个 m q 我是 可以算出来的，那 mp 不 就等于 c i 吗？也就是等于一，我也可以算出来了。剩下的就是这个 p k p k 的 长不就等于 o h 的 长吗？ o h 它不就等于 a o 减去 a h 的 长吗？ l 不 就是半径吗？ a h 怎么算？ a h 我 已经呢知道它是 x 了，那我可以用 tangent 角 c， 那 你知道这条边比上这条边，那它实际上就得等于它比上大，所以说 a h 的 长我也可以算出来。最终的话，这个 o h 我 算的是等于二分之三减去三分之四 x， 最终我算出的这个 k i q， 它是等于三 x 减去二分之三的，然后利用我们的这个勾股定律，最终是可以把它的这个答案给它写出来的。 加上二分 x 平方，等于二分之三 x 平方，最终算出来的是 m n 等于八分之十七。好，这是第一题。然后我做的这个过程，然后来讲一下我那个学生的思路， 他也是同样，他既然交到了这个 q， 那 q 我 就找到这里，然后他是连接 q b， 然后又连接了我们的 i q， 然后还从这边做了一个垂直假设，他同样为 k， 他 怎么想的呢？他说就是在这个，因为 q 点也是在圆上， ab 是 直径，也就是说三角形 ab q 和三角形 a k， q 和 q b k 它们之间是相似的，那目前那因此的说的话，就是我就可以利用它们三角形相似之间把它去做出来，那 q k 它实际上不就等于 x 吗？那 x 比上 a k， 它不就等于这个 k b 加上 q x 吗？那 a k 加上 k b， 它不就等于 ab 的 值吗？所以说我只要能够把 a k 用 x 表示出来， k b 用 x 表示出来，然后最终得到二分之三，然后我也可以把把答案去求出来。然后我来讲一下这个 a k 和 k b 是 怎么算的？ a k 不 就是这一段吗？这一段它不就相当于整个的 a h 加上 h k 吗？ a h 加上 h k 刚才我们已经讲过了，怎么去求它我就不多说了， h k 不 就相当于 p q 这一段吗？ p q 这一段不就是 m q 减 m q 减去 m p 嘛？所以说我们的这个 a k 就 已经算出来了。然后我们再来看一下这个 k b， 刚才我们已经说过了，这个角它实际上等于哪个角？这个角不就等于这个角吗？那也就是说它 比上它，也就等于它比上它。目前为止，我们已经知道了 a k， 也已经知道了 n k， 也已经知道了这个三角形的 n k， 因此 k b 就 可以利用它俩之间的比值，等于它比它的比值，也就把 k b 求出来了。所以说最终答案也能算出来 m n 等于八分之十七 啊，已经有点晚了。所以说后面写的稍微有点乱，大家见谅。然后有什么问题的话，大家可以提出来讨论。然后再次想说一下，这个是温州中考之前的中考题，今年中考的学生可以多多关注一下。
3圆圆老师
09:27查看AI文稿AI文稿哎，五一假期了，毕老师又要给大家带来好题了，今天带来的一道啊，是二零二四年浙江卷，号称史上最难的语文综合题。那说这种题到底该怎么破解呢？首先，毕老师今天选这道题的原因是什么？他特别符合咱们新中考的命题特点。 那有家长就要问了，毕老师，新中考什么命题特点呢？很多人都误以为啊，说新中考啊，考的东西真的是越来越难了，难题也越来越多了，但实际上 根本就不是，那都是人云亦云的吐槽，你相信那个对孩子没有任何帮助。今天毕老师就用这一道题，把新中考的两个关键字直接给大家讲清楚， 第一个字叫什么？叫做全。原来的中考题啊，往往都是套路，你就知道那个，哎，几个二级结论，然后就能解题了，对吗？但现在的中考题不是这样， 比如说语文的第一问，如果你让一个教了很多年的老师总结的话，他一定会告诉你，语文的第一问就考切线，只要弄明白，先切角，然后就搞定了。现在怎么样？我这里面一个切线都没有，我根本不考那个。 那么怎么样才能学的全呢？哎，那就要求我们原来是单点学习，现在要掌握整个体系。比如说在园中，毕老师先送大家三分，那就是与园所有相关的角一共有多少啊？一共有六个，第一个 学校里面都会的，这叫做圆心角。哎，紧接着公共端点，两弦夹角，这叫做圆周角。那再来说，我这是一条切线，这是一条弦，这叫弦切角。弦切角等于什么呢？等于同弦所对同侧 圆周角啊，那再来说，我一条弦不变，另外一条弦反向延长，那这个角又等于什么呢？这叫做圆周角的补角，它等于内对角， 哎，实际上就是他俩互补。圆内接四边形，对角还互补，这些定律你都得知道才行。那接下来啊，第五类就是圆内的角。 圆内的角，其实我们并不会，我们最会的就是圆周角和圆心角，对吗？那我怎么办？把这块连一条弧线，这个角三就等于角一加角二了，角一和角二都是圆周角，一个问题就解决。那同样两弦相交于圆内可以解决， 等弦相交于圆外呢？这个角呢？哦，我这么轻轻连一下你这个角二，减去我这个角一，是不是就等于要求这个角啊？ 当你把圆的六个角全掌握的时候，体系就建立起来了。那这个时候你再看题，有如神助，一起来看，说 a、 b、 c、 d 是 圆内接四边形，那一想到圆内接四边形，马上怎么样？对角互补吧。 ok， 再继续 a、 e 这个边长， 嗯，这个红线等于 a、 c， 哦，等于这个红线。再来角 a、 f 一 啊，说这个阿尔法等于角 a、 d、 c， 哦，等于这个角。最后让我们证什么？证明这两条线平行，刚刚毕老师说来的，对吧？圆中的问题，一定要知道它概念，这个角叫什么名？ 是不是叫圆周角？而且它是内接四边形的一个内角吧。哦，那圆内接四边形怎么样？对角互补。哎，刚刚倒塌的时候是不是用了啊？对角既然互补，那就说你是阿尔法，我这个角就应该是 一百八减阿尔法吧。哦，那你是一百八减阿尔法，我又是阿尔法，咱们两个加和刚好一百八，这叫同旁内角互补，两直线平行。所以这个被别人称为史上最难的浙江卷，第一问就这么样轻松拿下了。 哦，那说是不是第二问很难呢？大家你还真说对了，因为第二个问考的就是新中考的另外一个关键字叫什么叫做透。 注意了，很多东西之所以学生感觉到难，是因为他没有学透，比如说同样学一个全等 全等辅助线，对吗？那么很多同学总是抱怨，老师啊，那个巧妙的辅助线，我就是想不到，对吗？但实则什么原因 是因为你全等根本没学透。全等真的学透了，应该有四个层次。第一个叫做基本判定，也就是大家知道的五个判定定律啊，什么 s， s， s 那 些，对吧？好。第二个，从境界叫常用辅助线做法， 比如说见着中垂线，哎，就连线段两端，那么这样的辅助线一共有四个做法。第三，从境界 叫做常见模型，那就是有一些条件呢，他永远有一些固定的搭配，哎，什么叫普罗摩基多模型？什么叫绊脚模型？哎，他是特殊的，那么这种在咱们中考中常见的有十五个之多，但更重要的是第四种境界叫做构造， 那也就是怎么样啊，我要无中生有，这才是出题老师的思路，毕老师说清楚了吗？哦，那你想把一个东西巧妙的构造出来，你就要理解这些条件的 本质，所以如何把一个东西学透，两个字就是学它的本质。哎，那这回来说，我这回想干嘛呀？我想证明吧， b d 这个长，哎，这蓝线长这了，跟我园里面的任何一个条件 都没关系，对吗？你园里面这条边跟人家相等，这条边跟我连一个三角形都没在一起，对吗？园里面有了一个角阿尔法，这角阿尔法被我蓝线给破坏了，你发现了吗？园中任何一个完整的条件跟我蓝线都没关系，所以我怎么样？ 我要想正这个蓝线跟别人相等，我是不是得依据蓝线重新造一个三角形出来，对吧？哦，再继续说，我想证明它跟谁相等呢？想证明它跟 e f 相等， e f 这边就不用造了。为什么呀？ e f 这边说我 a e 就是 跟别人相等的呀， 这已知条件跟我就在一个三角形里啊，并且这个阿尔法也跟我也在一个三角形里啊，所以我只需把 e f 装在蓝色的三角形里面就可以了。大家这都没问题吧？那接下来如何巧妙呢？刚刚李老师说，学透的时候是不是得掌握这个本质？ 你知道圆这个东西在倒什么问题的时候特别好用吗？哎，甚至有些老师不惜超纲，一定要讲一个点，叫做四点共圆，他的目标是什么呢？ 其实就是倒角相等，因为圆中啊，只要我这两个圆周角相等了，哎，这个圆周角等于我这个圆周角，那么他们所对的弦 也是相等的，所对的圆心角也是相等的，所对的甚至弦心距都是相等的，所以圆周角相等非常重要。那这回大家来看啊，有了这些条件，我只需这么干一下 啊。说你这个目标呢，跟这个阿尔法是相邻的阿尔法呀，是吧？那这个相邻的阿尔法怎么造啊？哦， 我就硬造一个这的阿尔法可以不？那你这个阿尔法是不是叫圆周角啊？哎，我原来那个 a d c 那 个阿尔法是不是也是圆周角啊？所以，既然你圆周角相等，在同一个圆中，你所对的弦可就得相等喽。也就是说，这条弦它就等于 a c， 而 a c 已知条件告诉我们就得 a e， 你 看，我又来了一个边相等，我这还一个角相等，那么这个边和这个角还是相对的关系。所以，根据全等的基本判定，我们只需再正一个。什么？ 哎，一定要再正一个角啊，也再正一个边，那是 s s a s s a 不 让用啊，是这个道理吧？好，那再正一个角又该怎么办呢？ 大家再来看新中考的特点，是不是得考的全？请问我这个蓝色三角形中还一个关键的隐藏条件，你能看得见吗？那个关键的隐藏条件跟这个圆有关系，他还是一个角，请问是哪个？哎，太棒了！ 就是这个角，这个角是这个圆周角的补角，而这个圆周角在圆内接四边形中，跟这个角又互补，我说清楚了吗？所以， b 它等于 b， 它二法等于二法，边长等于边长， a a s 三角形全等于是对应边相等，轻松拿下 别人认为史上最难的浙江中考真题，就这样轻松拿下。所以，新中考，大家你得使那个巧劲，而不是人云亦云一味吐槽 他有多难。所以听到这，各位家长，毕老师要帮大家总结一下，毕老师讲一个中考题呢，其实也不完全是为了初三的学生服务的，而是提醒各位家长，我们要以中为始， 你知道新中考的特点，你就能更好的进行孩子初中学习，甚至是小升初衔接这种关键期的学习安排。新中考的特点就这两个字，学全、 学透！但凡一个课程没有做到这一点，那么他已经被时代淘汰了。如果各位家长还不知道新中考到底如何给孩子进行数学学科规划，可以下方评论区或者私信直接联系老毕。
276跟着毕老师学数学
02:13查看AI文稿AI文稿好，继续趁热答题哦。来看磁性二模的第十六题，也就是填空压轴这道题，别看他有什么内心啊，圆心啊，感觉乱七八糟的东西，但是你透过三角形和圆的本质去解析他，其实就是一道弱智题。 我们现在把相应的数据给标进去， a 博 c 是 六十度， a c 博 a 是 四十度。好，读到这里的时候，我可以把这个角给标出来，是八十度还是三角形 abc 的 内心，那有什么定义呢？内心到三角形各边的距离相等呗。 好，然后我们做三条垂线，这三条边是相等的，同时呃，这是一个，这是一个角平分线，因为角平分线上点到线段两端点距离相等。好，这是这句话引出来的，现在 a s 二，然后求弧，第一， 要知道弧 d e， 我 们需要知道角 dog i e， 所以 我们会把 dog i 和 i e 给连起来。好，要求 dog i e。 其实题目这边就已经做出来了，透过现象看本质的话， 你看 i 到 d e 的 距离和 i 到我这边写一下吧， i 到 d e 的 距离 是不是等于 a 到 ab 的 距离？那意味着什么呢？意味着弦心距相等，弦心距相等就意味着弧相等，然后弦相等，三角形相等。好，是一只子，题目已经做出来了， 这边标一个这吧好，也就是 a i j。 三角形是全等三角形 dog i e 的， 所以角 dog i e 等于角 a i j 等于一百八十，减去两个四十等于一百，所以呼 d e 等于。呃，三百六十分之一百乘上二拍二二十二 等于，这边是飘销四十三十。嗯，九分之十。题目非常简单。
59慈溪数学孙老师
00:24查看AI文稿AI文稿这是浙江近期刚考的中考二模最难原，综合此道题目分三小问层层递进，考察学生的倒角能力、相似的构造能力，尤其第三问对几何转化能力要求极高，是非常值得做的经典好题。下面提供三种方法供参考。
434宁波朱老师
05:20查看AI文稿AI文稿呃，好，我们看这个去年的零万一亩的第二十四题啊，不是二十五题，二十四题。嗯，这个题呢？最后一问，呃，他给了一个啊，前面我们由前面小问可以得到，这是有一个 k 字型的， 有 k 字形之后，它 m、 n 也是垂直于下面的，所以说这个 a、 b e 三角形跟这个 e、 n m 也是 k 字形，对不对？ 有 k 字形，我们可以得到什么呢？ a e 这条边比上一个 a b， 那 等于谁呢？斜边比长，这条边是不是 e m 比上一个 e、 n 啊？但是题上它给的是 a e 比 ab 等于 e， m 比上一个 b， e 比，这段说明什么？哎，是不是说明 b e 是 等于一个 e n 啊，就能得到这个啊？有 k 字形，所以说我们的 b e 这条长度是不是等于二？ e n 也是等于二的，对不对？那么我们由 k 的 形是不是就可以得到什么得到这个 m n 的 长度啊？ m n 等于多少？就三比二等于二比，这个 m n 对 不对？ m n 应该等于个三分之四，知道吧？它求的是 f g 的 长度。那怎么求呢？ 接着往下面看啊，就是当我们发现 e 是 整个 b n 的 中点之后， 这个就是我们讲的 k 字形加中点模型， k 的 中点模型三连相似了。 再讲一遍，三连相似是什么意思呢？左边跟右边除了相似之外，如果这个点是两个中点， 底边的中点，那么中间这个三角形跟左边跟右边也是相似的，怎么来呢？看好就是斜边比上这个边等于这个边比 这个边比这个边，再加上九十度，九十度相当于角吗？是不是 s a s s a s 相似了，所以我们可以得到这个角一等于角二了， 但这是垂直的，是吧？角一等于角二之后，你看啊，左边有个垂直，我这个时候能不能连一下 e f 呢？ 连接 e f， 因为 a e 是 直径，所以这个角也等于九十度，对不对？那么我们又会得到这个三角形啊，跟这个三角形是全等的。对的啊，全等的，你看角也够了，全等之后，所以这个边也是等于二嘞。 这边等于这边是不是也等于下面这个边啊？你看，这又垂直，这又垂直，那么我们是不是又进一步得到这个黄色三角形跟这黄色三角形全等的， 对吧？上面这个跟这个全等啊，也就是三角形 a b e 全等于三角形 a f e， 然后再再次全等，再三角形 e f m， 是 不是很好证明全等于三角形 e n m 呀，对吧？为什么呢？这边等于这个编码，公共编码又有九十九十度，是不是 h l 就 够了， h l 就 够了，那所以能得到什么？我们所以能得到 f m， 这条边等于 m n 的 等于三分之四，明白吧？那这个时候怎么做？剩下的就很好做了。双边等腰模型或者倒下角就行了，这也是垂直的。题上给了 f n f f h 是 垂直下面的，所以这两个边是平行的。全等。这又有角平分线嘛？这个角是等于这个角的，这个角又等于这个角内侧角啊。 双平等相模型，角平面加平行，所以是不是这个边等于这个边的，那就出来， f g 就 等于 f m 啊，就在双平等 得 f g 就 等于 f m 等于三分之四，所以答案就等于三分之四，知道吧？ 所有的压轴题它难在哪呢？它不是说所有的知识点都难，就它用了很多次知识点。全等啊，相似可能用的不止一次，然后又用到别的知识点。什么解散奥，行啊，什么东西的对吧？好看看啊。这里面主要是很好用的，一个就是 有 k 字形相似，之后又有终点了，那么就得能得到三个三角形连着相似啊。这三个相似都跟对应角相等了。好，就这样。好吧。
39浙江数学李
02:16查看AI文稿AI文稿大家好，关于圆的几何题总没有思路，掌握这四种必考模型直接秒解，今天我们来看第四种四点共圆，好看这个题目啊，三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， 知道这个角角到等于四十五度，同时还知道两条边的长度，问的是 bc 到的角度，其实这是一个典型的四点共圆的模型啊。那么大家会问，为什么要去证明四点共圆呢？因为共圆之后可以使用很多圆的特性 来帮助我们去证明。那如何去判定四个点是否共圆呢？其实这里面有两种方法，今天我们讲其中的一种， 如果有一个公共边，比如说 a、 c， 然后在它的同侧有两个相等的角，比如说角 b 和角到， 那么这四点 a、 c、 b 到就是共圆的。好，下一步我们来看共圆有什么好处啊？ b， a、 c 等于九十度，它也是一个圆周角，所以它所对应的弦就是直径了，然后直径对应的圆周角都是九十度，所以其实可以证明 b 到 c 也是九十度。 好，我们点一下这个辅助线，因为 b、 a、 c 等于九十度啊，所以 bc 是 圆的直径， 那么就可以证明这个角 b 到 c 等于九十度，那么这样我们就可以用上这些边的长度信息了。好，我们来看啊， a、 c 的 边长等于根号二，那么就可以求出这个斜边 bc 是 二，对吧？然后又知道 c 到等于根号三， 这样是不是根据勾股定律就可以求出 b 道的长度了，它是二的平方减刚刚三的平方等于一。 好细心的同学会发现 b 道会等于 bc 的 一半，那自然就会出发出有一个性质啊，在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这个直角边对应的角就是三十度， 所以我们可以证明 bc 到等三十度。想要圆的四种必考模型的完整讲义，请在评论区 q 圆模型。
47大嘴鸟姚老师
