大一下向量与空间解析几何思维导图
今日分享高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用全套高清思维导图、知识点公式全部整理，高一学生、老师自学，家长可转发给孩子点赞关注不迷路！高考解析大招，学习干货不断更新，持续更新期末考点！
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00:17查看AI文稿AI文稿高中数学最难的立体几何全部吃透！逆袭最强黑马立体几何的向量方法，利用向量球空间距离、向量球空间角、向量球夹角、意面直线所成的角学习误区。
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05:56查看AI文稿AI文稿欢迎来到空间向量与立体几何的世界，在这里，我们将用全新的视角理解三维空间。看一个正方体，从虚空中浮线金色棱边勾勒出完美的几何形体。 从顶点射出的彩色箭头就是空间向量，它们如同无形的利箭，穿透空间的每一个角落。 黄色的方向向亮指引着直线的走向，青色的法向亮垂直于平面，红色的位置向量标记着点的坐标。空间向亮就是打开立体几何大门的钥匙。 首先建立三维坐标系， x 轴红色、 y 轴绿色、 c 轴蓝色。三条轴线互相垂直。空间中任意一点都可以用三个坐标为一确定。比如点 p 的 坐标是二、三、四， 从 p 向三个坐标平面做垂线垂足，分别对应坐标的投影连接圆点 o 和点 p 的 黄色箭头就是位置向量 o。 p 向量加法遵循平行四边形法则，向量 a 加向量 b 就是 以 a 和 b 为邻边构造平行四边形。对角线就是 a 加 b。 给定空间中两点 a 和 b， 过这两点的直线可以用方向向量来描述。方向向量 v 等于向量 ab， 它指明了直线的方向。 直线上的任意一点 p 都可以表示为 p， 等于 a 加 t 乘以 v， 其中 t 是 参数。当 t 从零变化到一时，点 p 从 a 运动到 b。 值得注意的是，方向向量并不唯一任何非零的标量倍数，比如二 v 也是这条直线的方向向量。 两条直线所成的角可以通过他们的方向向量来计算。设两方向向量分别为 v 一 和 v 二，则加角的余弦等于 v 一 点乘 v 二的绝对值除以两项梁模的乘积， 代入 v 一 等于一，二二， v 二等于一，一零。计算的余弦值等于一。除以三倍根号二。 对于意面直线，它们不共面，此时我们可以通过平移其中一条直线，使它们相交，然后求方向向量的夹角，这就是意面直线所成的角。 平面可以用三个不共线的点来确定过。这三点的平面具有一个特殊的向量法向量，它垂直于平面内的所有向量。法向量 n 与面内任意向量 a 和 b 的 点击都等于零。 例如，已知面内向量 a 等于一，零负一， b 等于二，一零。设法向量为 x， y， z， 通过解方程组 x 减 z 等于零，二 x 加 y 等于零，可以得到法向量 n 等于一，负二一 三。垂线定力是立体几何中的重要定力。如图所示，平面 alpha 上有一条直线 l， 平面外有一点 p， p， o 垂直于平面， alpha 垂足为 o， o， a 垂直于直线， l 垂足为 a 连接 pa， 那 么 pa 也垂直于 l。 这就是三垂线定里平面内的一条直线。如果和穿过这个平面的一条斜线在平面内的摄影垂直，那么他也和这条斜线垂直，立定里同样成立。如果平面内一条直线和斜线垂直，那么他也和斜线在平面内的摄影垂直。 直线与平面的夹角是直线与其在平面内摄影所成的锐角射直线方向向量为 v， 平面法向量为 n， 则夹角的正弦等于 v， 点乘 n 的 绝对值除以两项量膜的乘积， 例如，当 v 等于一，二二， n 等于一，零负一时， v 点乘 n 等于负一， v 的 模等于三， n 的 模等于根号二，所以正弦 f 等于一，除以三倍。根号二约等于十三点六度。 二面角是两个相交平面所成的角，在交线上取一点，分别在两个平面所成的角，就是二面角的平面角。 用向量法求解时，只需要计算两平面法向量的加角 f i， 二面角等于 f i 或派减 f i 取锐角或直角。 例如，在正方题中，对角面与底面所乘二面角，底面法向量为零零一，对角面法向量为一零一，计算的余弦 f i 等于一，除以根号二，所以二面角等于四十五度。 空间中常见的距离有三种，第一，两点距离，直接用距离公式计算。第二点到直线距离，利用向量差基地等于 a p 差乘 b 的 魔，除以 v 的 魔，其中 a 是 直线上任意一点， v 是 方向向量。 第三点到平面距离，利用向量点击 d 等于 a p 点乘 n 的 绝对值，除以 n 的 模，其中 n 是 平面法向量。例如点屁股二负三到平面 x 加 y 加 z 等于二的距离，计算得二，除以根号三。 至于线面距离和面面距离，都可以转化为点面距离来求解。让我们回顾本章的知识体系。 中心是空间向量分支，包括基础概念，空间、直线、平面的法向量、空间中的角以及空间中的距离。 核心公式有两直线夹角公式、直线与平面夹角公式、点到平面距离公式以及法向量的差级公式。空间向量为我们提供了统一的工具来解决立体几何问题，竖形结合是解析的关键。感谢观看！
45P_sir
56:20查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们学习的是零基础十五课里面的第十课啊，立体几何与空间向量。得二空间向量。 嗯，那之前我们已经讲过立体几何了，对不对？平行垂直啊，然后体积表面积啊，大家都学的怎么样呀？好，那这节课的话就是主要针对于什么大题的第二问， 一定会考一个空间向量的， ok 吗？那空间向量跟平面向量非常像，可以说非常像，我们先回顾一下平面向量 ok 吗？我们就是平面向量的坐标表示， 平面向量的坐标表示，而 a 向量它是末尾，然后可以写成 x y， 可以 吗？好，如果有两个向量，一个是 a， 一个是 a 向量，一个是 b 向量， a 向量 x 一 y 一 b 向量呢？ x 二 y 二。好，那 a 向量加 b 向量就是横坐标加横坐标，重坐标加重坐标，大家有印象吗？ 好，如果是减的话，那就减减减呗。 a 向量加 b 向量，那就很坐标加很坐标，可以吗？ x 一 加 x 二， y 一 加 y 二， 如果减的话就减，好，乘的话就乘呗。 a 向量乘 b 向量会等于什么呢？ x 一 x 二加 y 一 y 二，对不对？不要打括号， y 一 y 二。嗯，好，然后还有什么求求夹角的 cosine 等于什么呢？ a 向量乘 b 向量除以 a 模， b 模好，等于。 嗯， a 向量乘 b 向量就是 x 一 x 二加 y 一 y 二呗，除以根号，呃，除以根号下 x 一 方加 y 一 方，乘根号下 x 二方加 y 二方， ok 吗？这边 a 的 模会等于根号下 x 方加 y 方，可以吗？ y 一 方， x 一 方加 y 一 方，大家有记得这些吧？这些是我们学空间向量的基础啊因为空间向量它就是平面向量加了一点点东西。好 那平面向量只有 x 轴和 y 轴那空间向量呢多一个 z 轴 ok 然后如果大家不会解析的话。哎因为我以前呃比较迷糊所以我自己发明了一种 独创的手法啊这不是鸡爪这是我的手这是我的手这不是鸡爪。哈哈这个看起来更像这不是鸡爪这是我的手。好的那怎么我怎么来判断呢大家伸出你们的左手的鸡爪 左边的鸡爪子然后比个耶我称为比耶法。啊比耶精细法。你左手比个耶。你看这是 x 这是 y ok 吗？ 啊比个耶这是 x 这是 y 可以 吗食指这是中指中指中指是 x 食指是 y ok 吗然后然后让他躺地下让他躺地下让他躺地下这是 y 哦这是 x 哦然后呢然后大拇指竖起来这是 z 哦 为了录这个我我都特意剪了一遍手指甲呢剪的干干净净的。嗯好这样的话我们就建立一个指甲坐标系。 好它分为 x 轴、 y 轴和 z 轴 ok 吗嗯它比 x 就是 它比平面多了一个 z 而已啊 ok 吗好那我们来建一个好看一点点的吧。 嗯如果觉得手好看的话愿意请我去当手模可以后台私信我啊哈哈哈我会盛情地接受的。呃多给点钱呜。来 我们来建个比较好看的戏吧。好我们来看一下啊好呃。这边这边是什么呢这边是 x y 还是 z 呢 这边是 x y 还是 z 呢还有这边这边是 x y 还是 z 呢。好所以首先伸起你们的左爪子左手比个耶 啊比个耶。不是这里是 x 这是 y 哈，比个耶，然后让他躺下，听的懂意思吗？让他躺下，躺到 就是贴在你的就是书上，然后把大拇指竖起来，这是 z 轴， ok 吗？好，也就是大拇指在这个方向，大拇指在这个方向，然后你的手不是先就比个耶，然后平躺下来吗？就是放在你的书本上吗？然后朝着自己方向挪动一下， ok 吗？ 中指朝着自己方向挪动一下，旋转一下，好，这边是 z， 好， 中指方向是 y， ok 吗？这是固定的， 就是你比个耶，中指是 x， 食指是 y， 然后，嗯，把大拇指竖起来，这是 z， 然后一直拿着它旋转就好了，你记住中指是 x 就 行， ok 吗？在任何里面都是这样子的，可以吧？好了，那建完系之后的话，我们第一个是认坐标， ok 吗？认坐标， 好，这不是一个就是正方形吗？对不对？正方形。首先我假设它边长为二， ok 吗？然后这个点是 a， 这个点是 c， 这个点是 d， 然后这边是 a 一， 这边 a 二啊，这边 b 一， 这边 c 一， 这边 d 一， ok 吗？好，我假设它边长为二哈。我们把所有的坐标表出来， a 是 零零零 b 呢？ 哎，这坐标怎么看呢？以前只有两个坐标的时候，我们要求这个点的坐标，我们是看一下 x 方向有多远， y 方向有多远，那就是 x 方向多远就是 x， 就是 横横坐标。 y 轴方向多远，那就是纵坐标， ok 吗？举个例子 举个例子。这边举个例子。这边是三二， ok 吗？那他 x 轴的方向就是二，他就这样读的三二， ok 吗？然后这边也是我们来看啊， 这边是零零零， x 轴的方向是零嘛？ y 轴方向也是零，这轴方向也是零嘛，所以零零零，可以吗？那 b 呢？ b 在 x 轴的方向是二， 觉得啰嗦的可以跳过啊，这边教零基础的同学一下。嗯，这边 x 轴的方向是二，然后 z 轴方向也是零， y 轴方向没有，对不对？没往这跑呢？零，然后 z 轴方向也是零，可以吗？所以是二零零，可以吗？ 好， c 呢？ c， 首先 x， c 怎么到 c 呢？从 a 到 b 再到 c， ok 吗？这样走的，沿着 x 轴走二，然后沿着 y 轴走二，所以是二二， ok 吗？然后就到了，那就是二，逗号二，然后呢，这一轴又是零，可以吗？好，第一点好，还是一样的， x 轴上没有，然后 y 轴上没有，所以是零二，零， 这点一定要会啊。好， a 撇呢， x 轴上没有， y 轴上没有，然后 z 轴上是吗？二， ok 吗？ 所以是 a 一 是零零二好， b， 一 呢，首先从 a 点到 b 一 点，怎么走？从这边往 x 轴方向二，然后往 z 轴方向是零二，零二， ok 吗？ 二，零二，哎呀，多好。二好，再来， c 一 呢？ c 一 好， c 一， 怎么从 a 点怎么到 c 一 点？先往 x 轴方向二，然后再往 y 轴方向二，再往 z 轴方向二， ok 吗？二，二二，二 二，二二。好的，我们差最后一个第一撇哦，第一呢， x 方向零， y 方向二， z 方向二，所以是零二零，好， 大家会标坐标了没有？好，标完坐标的话，我们就求向量啊，我们求向量之前平面里面已知两个坐标，已知 a 点是 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 二，对不对？那我们要求 ab 坐标，怎么去求的呀？是不是后减前啊？就是 x 二减 x 一， 逗号 y 二减 y 一 呀，对不对？ 好，这边也是一样的。那只不过什么呢？只不过这边坐标等会是干嘛呀？就是多了个 z 而已嘛。 z 的 话你前面 x 减了， y 减了， z 也跟着减就行了。他，他学他学他的学前面的，照猫画虎呢，知道吗？好， 来随便写两个哈。比如说，呃， b c 吧。 b c 向量就是用 c 的 坐标去减 b 的 坐标 ok 吗？ c 的 坐标是二零二。 看错了，二二零， b 的 坐标是二零零，可以吗？所以坐标就是用 c 的 减 a， c 的 减 b 的 二减二，逗号二减零，逗号零减零， ok 吗？所以就是零二零， ok 吗？这就是 b c 向量可以吧？ 好，那更多的我们等会在题目中来展现。好吧，这边只演示一个。好，那我们来看啊， 那我们就有很多东西了。如果是两个项链，空间项链啊， a 项链， b 项链，哎，这边有一点弧，这是我那个知识点总结里面的 ok 吗？做的标记的都是大家可以直接，有的话直接可以拿到那个看一下。好， a 项链告诉你是 x 一 y 一 z 一， b 项链告诉你是 x 二 y 二 z 二。 好，现在问 a 向量加 b 向量，那就是横坐标加横坐标，正坐标加正坐标， z 轴坐标加 z 轴坐标是，你看反正就多了个 z， 其余的没区别。这个 z， 而且还会学前面的， ok 吗？ 用，用我们这边的话说就叫后永毕业，就是他学前面的一样，你知道吗？哈哈哈，我怎么说这个？继续继续。我在说啥呀？那剪的话就是前前面剪后面，前面剪后面，前面剪后面可以吗？加加的话就正常加了，剪的话就正常剪了 ok 吗？ ok， 然后 number 背的 a 像那样的话就是 number x 一 number y 一 number， 这一可以吗？就乘乘进去就好了， number 乘进去，嗯， 好。然后平行的话啊，平行的话，那就不能 y 比 x 等于 y 比 x 了，因为它有一个 z， ok 吗？那就不能这样子了，平行的话是背出关系， 这是我们刚开始学向量的时候，学的就是 a 向量，如果平行 b 向量的话，那它们之间是有倍数关系的，就是 a 向量可以等于几倍的 b 向量， ok 吗？举个例子， 比如说现在 a 向量等于一二三，那 b 向量等于什么呢？二四六，你看一下它们之间是不是倍数关系，你看是不是乘二乘二乘二，对不对？所以 a 向量二， a 向量等于 b 向量，是不是倍数关系嘛？ 你可以蓝的倍的 a 向量等于 b 向量，也可以蓝的倍的 b 向量等于 a 向量，这个蓝的是一个常数，就是随便就是这边，刚才这边是二， a 向量等于 b 向量嘛，对不对？ 所以这个这个常数蓝的 a 向量等于 b 向量，那这个蓝的就是二嘛，对不对？其实倍数关系很好，看出来，直接看就行了， ok 吗？如果是倍数关系，就是都会倍数是一样的嘛。乘二乘二乘二 长，那他俩是平，他俩是平行的，可以吗？很好看出来的啊，可以不用特意记这个，你记住这个就行。倍数关系可以吗？然后等会也会遇到类似的题。 好，接着往下垂直， a 向量乘 b 向量， ok？ 刚才我刚才好像没有讲过就是 a 向量乘 b 向量啊。 a 向量乘 b 向量会等于 x 一 x 二加 y 一 y 二， y 一 y 二加 z 一 z 二， 你看这是不是跟我们平面相的一模一样？它只是多了一个 z 一 z 二， z 二还选前面的一样呢，对不对？前面怎么样？那 z 一 z 二也这样子可以吧？ 好，所以垂直的话，那 a 向量乘 b 向量会等于零，那就 x 一 x 二加 v 一， v 二加 z 一 z 二等于零，可以吗？然后接着就是模，模的话就是根号像 x 一 方加 y 一 方，然后加 z 一 方，你想一下平面向量是不是 x 一 方加 y 一 方开根号呀？ 哎，开开开，开根号呀，这边就多了个 z z， 还会学前面的， ok 吗？好，就是这个，然后求夹角 口三，如果两个向量，我要求夹角，就是等于什么？ a 向量乘 b 向量除以 a 模 b 模， ok 吗？那公式是不是一模一样的？然后这边用空间向量的坐标表示是 x 一 x 二加 y 一， y 加 z z 二，是不是一模一样？模的话，这边 x 一 方 y 一 方 z 一 方改根号，然后 x 二方加 y 二方加 z 二方改根号，可以吗？ 这是这个，然后两点之间距离哈，空间间两点之间距离，这是 ab 膜。好， 我们来先写一下 ab 的 膜， ab 的 膜用后面的减，前面的有印象吧？我说错了，我说 ab 向量 ab 向量 ab 向量 ab 向量，它会等于后减前，就是 x 二减 x 一 逗号， y 二减 y 一 逗号， z 二减 z 一 逗号，可以吗？ 啊？括号，这是 ab 模。哎，说错了，我在说啥呢？这是 ab 向量 ok 吗？然后我们要求他的模，怎么求呢？根号下他的平方，他的平方，他的平方相加，可以吗？嗯，就是这个， 然后还有一个东西叫做法向量。法向量什么东西呢？如果一个平面哈就是垂直于一个平面的向量我们叫做法向量比如说这个向量这个向量与这个面垂直垂直我们就说它是它的法向量那这个法向量怎么去求呢 我们一般是这样子的它如果垂直这个面的话它是不是与这个面的两条线会垂直啊对不对。这个线会跟两条线垂直同样的 这个项链也会跟平面里面的随便找两个项链垂直 ok 吗。假设这个法项链是 m 项链然后这边是呃 a 项链和 b 项链 ok 吗那么 m 项链就垂直什么 b 垂直 a 项链 m 项链垂直 b 项链 那么就可以求到这个法项呢。好具体怎么去求等会我们来解释 ok 了。这别人等会等会等会到后面因为这边太抽象了没有具体题大家看不懂的好了然后我就把我这两个鸡爪删了 哈哈大家大家要留个纪念吗哈哈。我不想我留个纪念算了我留个纪念我擦掉了好像鸡爪呀。 ok ok 我们继续。嗯好记得怎么去比耶比耶解析吗。比个耶。中指是 y 食指是啊中指是 x 啊别说错了中指是 x。 我 总这是中指呢这是食指呢然后比个比就是把大拇指竖起来那是这一种呢可以吧 啊如果是学校间系的没学会可以学我这个可以吧啊大家就这样子。好的好的那我们继续吧。好还有一些东西啊就是之前平面向量有的空间向量都有举个例子就什么东西啊 就是呃向量的投影比如说 b 向量在 a 向量上的投影可以吗。空间向量也可以哦空间向量也可以哦，一样的哟。投影的话影子长度。先把影子长度求出来，这边就是相对于复习前面的公式喽。 这个投影 b 在 a， b 到 a 上的投影可以吗？投影是 b 模 cosine c， 它 set 投影向量呢？投影向量是加一个什么？加谁的方向呀？加 a 的 方向， b 在 a 上面，是加 a 的 方向 ok 吗？ 好，大小加方向虽然说是加，但是是乘方向 ok 吗？方向是 a 的 方向， a 向量除以 a 的 模， ok， 这是投影向量，等会用得到。嗯，我们来吧来吧，来做题吧。好，首先，哎，给了你两个向量对不对？空间向量了，有 x， y， z 可以 吧？ 好，他说二 a 向量加 b 向量平行， a 向量平行的话，那我们看一下是不是倍数关系，我给他写出来就行了。二 a 向量加 b 向量，二 a 向量。首先二 a 向量先立一下呗，二 a 就 乘个二，负四减二几。呃，二可以吗？乘二嘛，乘二乘二等于负四， 负二二 ok， b 向量呢？三四五 ok 吗？那二 a 加 b 向量呢？加起来横坐标加横坐标，二 a 加 b 向量等于负四加三等于负一，这个口算不要我教吧。好了，负二加四等于二， 二加五，五等于七等于七。好，这个他说这个向量会与 a 向量平行，你看得出来他俩是倍数关系啊，不是吧，你看一到七乘了七，负一到二，那不是啊，对不对？正经的，反正经的平行向量是这个啊，倍数关系。乘二乘二，乘二 可以吗？乘二得到下一个，乘二得到下一个就是二 a 向量等于 b 向量可以吧？这不是，这不是，所以猜错了。嗯，好，这是第二个 五倍的 a 模等于根号三倍的 b 模。好，那求一下呗。 a 的 模怎么求呀？ a 的 模等于根号下 x 方加外方加这一方，负二的平方就是四，负一的平方就是一，可以吗？ a 模等于根号下 x 方加外方加这一方呀，可以吗？就十，就 x y z 平方呀，平方呀，会吧会吧。根号六，根号六，根号六， 所以就是五根号六等于。看一下等不等于呗。 b 的 模呢？ b 的 模等于什么呢？根号下三的平方加四的平方加五的平方。好，三的平方加四的平方就是五的平方呀，可以吗？所以是五的平方加五的平方，那两个五的平方可以吗？ 可以吧，两个五的平方，五的平方可以拿出来五根号二，五根号二，然后前面有个根号三，所以就是五根号二乘根号三，根号四，三乘根号二，根号六。哎，发现一模一样，所以 b 可以。 ok， 好，接着我们继续啊。 c 选项，它是说什么？ a 向量垂直，五， a 加四， b 垂直的话，乘积是相等的， ok 吗？乘积的话要先把它们坐标求出来，五 a 向量五 a 向量，先求一下 b， 五 a 向量等于什么？乘五，那就负十 啊，负五，然后一乘五的话是五，可以吗？啊？四 b 呢？ 三四十，二十二，四四十六，四五二十可以吗？然后他俩加起来五， a 向量加上四 b 向量会等于什么？这边加起来负 a 负十加十二等于二， 负五加十六等于十一，五加这边五加，那就是二十五，可以吗？好的，然后他说他与 a 向量垂直，那他跟 a 向量相乘呢？很 a 向量给他标出来呗。 a 向量等于负二负一一，可以吗？ 然后向量相乘横坐标乘横坐标加纵坐标乘纵坐标加这一种坐标乘这一种坐标可以吗？那这边就是负二乘二，二乘四， 然后加上负一乘十十一，那就负十一，然后一加上二十五，一乘二十五加上二十五，可以吗？ 负十五加二十五肯定不等于零啊。等于零它才是垂直，可以吗？所以它错了。好的，最后一个投影向量， a 在 b 上面的投影向量。首先 a 在 b 上面是 a 摩口塞西塔 投影项链，这是投影，这是投影哦， a 在 b 上面的哦， a， 这是 a， 这是 b 哦，可以吗？ a 在 b 上面就是 a 模可塞西达哟，就是这个影子长度可以吗？ a 模可塞西达。 然后项链项链还要加方向，加 b 的 方向， b 模除以就 b 项链除以 b 的 模，可以吗？好，这个公式一定要记住啊。然后这个公式不一定要硬算的，因为口塞希塔是什么？口塞希塔是口塞希塔会等于什么？ 它两之间夹角等于 a 向量乘 b 向量除以 a 模 b 模， ok 吗？给它带进去啊，给它带进去。果三 c， 它等于这玩意。我们看一下有时谁可以约掉的模，哎， a 模 a 模是不是约掉了？模是长度，长度是可以约的哦，可以吗？ 长度是可以约的，向量是不能乱约的，可以吗？模是可以约的，然后 b 模 b 模 b 模乘 b 模，是不是 b 模方呀？给它。嗯，搞到右边来。好，也就是我们只需要把右边算出来就行了。然后这边 b 向量放前放最前面去，可以吗？ a 向量乘 b 向量，你别把这个乘到这边去啊。不行啊，你要先把它算出来向量的乘积是一个固定搭配啊 a 向量乘 b 向量等于哎，就横坐标横坐标加纵坐标加 z 轴坐标 z 轴坐标 ok 吗？ a 向量乘 b 向量直接写来 负二乘三那等于负六 a 向量乘 b 向量吗横坐标乘横坐标负六然后负一乘四那就负四 一乘五等于加五可以就是负五可以吗负六减四等于负十负十加五负五 ok， 好， 所以负五好除以多少呀。 b 魔方 b 魔方 b 魔刚才 b 的 魔等于这个 b 魔方的话就是五五二十五 五乘以这边根号二的平方二也就是五十五十然后 b 向量 ok 吧所以五和五和五十约成十分之一负十分之一 b 向量哎对了 嗯大家一定要自己算一下啊。好吧然后我的草稿我也会同步到呃那个老地方大家自取一下就好。好的那我们学完了我们再来一个 别看这边很枯燥哈感觉没学到东西一样哈这边是打基础的因为你刚开始你刚把这些公式学会还没到那个直接写大题的程度呢知道吗 所以先通过前面两个例题先帮大家干嘛呀把前面学的那些就是加减乘除啊先给他学一遍 ok 吧所以大家不要着急可以吗 要耐得住寂寞啊学习哈哈哈啊不过也要赶紧了时间不多了好吗。 ok 这边擦掉一点点。 ok， 我 们来看一下。 好，这个 c 是 已经帮我们建好了啊如图所示空间直角坐标系中 abcd 都是正方形 ef 分 别是它们的终点。 好然后他问这两个垂不垂直这两个垂不垂直这两个夹角等于等不等于六十度？ 好，注意哈，我们现在学空间向量哈，我想判断两个线是不是垂直，我只要求他们的向量，如果他们的向量求完之后乘积等于零，比如说求到是 a 向量，就是乘他俩向量哈， 乘积等于零可以吗？假设他是 a 向量，他是 b 向量，我懒得写 a c a e c 向量这两个字。乘积等于零，那说明垂直 ok 吗？如果乘积不等于零，那就不垂直， ok 吧，比较简单，可以吧。 我先先我们先说一下思路啊，还没，还没往度涂上去呢。然后如果两个线要所乘的夹角为六十度，那我就找他们两个的什么找他们那两个的向量，然后口算一下，就是口算一 口塞希塔会等于 a 向量乘 b 向量除以 a 模 b 模吗？可以吗？好，这两个向量都能找到那向量乘积，然后除以它们的模，然后就可以求到口塞希塔，口塞希塔就能求到它的角， ok 了。 好的，这边也是一样的。然后最后主要是讲最后这一个法，向量 ok 了。好，我们先把前面三个小问解决掉啊。 好，一般的话，一般在大体里面有的时候他是没有长度的，没有长度说明要我们自己设。一般都是我们自己设的， ok 吗？他有的时候会建好系，有的时候没建好系，这个就是没。呃，这是已经建好系了的，但这种题比较少了，一般都得我们自己建系 好。他已经建好系了，建好系了，但是没有长度，没有长度我们就设。一般我们设什么？一般设二比较好一点，因为这边有中点的话要用到 e 和 f， 如果我们设一的话，等会这边长度就二分之一，这不好算，所以我们一般设二。所以为什么知，知道老师为什么每次都是二吗？哎，老师为什么不设一？因为设二好看一点， ok 吗？大家现在知道就行，可以吧？ 好，所以设它能长为二可以吗？能长为二，然后把我们需要用到的点给它标出来，我们看一下要用哪些点啊？ a 一， 呃， a， a 也要标出来 a， a 一 好，然后再来 b， b 也要标出来 b， b 呢？ b 也要标出来， 我们把所有的点都标出来。 c 用得上的点标出来， ok 吗？所以我们提前在这里面找呀，不要一股脑全都标了。 c 好， 还有 d， d， d 一， d， d 一 好，还有 f 呢？ f 也要用得上 f， 哎， e 也要用的上 e， f 都要， ok 啊，我们就要标这么些点，可以吗？好，我们去这边标吧。 首先 a， a 是 多少？就是长度为二吗？对不对？那 a 的 话就是啊，二多少？零零可以吗？刚才是不是已经标过一遍了，现在是不是非常顺手啊？ a 撇呢？二零二，可以吗？二零二， 好，再来 b 撇， b 点呢？ b 点是二二零可以吗？二二零。 b 撇呢？二二二， ok 吗？二二二，对好。 c 呢？零二零， ok 吗？零二零，一定要仔细点啊，标错一个坐标就万劫不复啊，就怎么算都算不对。 d， 零零零，好， d 撇呢？ d 撇的话是零零二 ok 吗？零零二， 一呢？一在哪？哎，一是一半呢，所以横坐标是一半。二分之二，二分之一乘二嘛，就是一，所以横坐标是一，然后纵坐标为二。一二零一，二零 f 呢？ f 在 哪？ f 在 这，零二一， ok， 零二一，零二一， ok 啊，我们把这些标出来，我们就可以写了哦，又给它拿过去， 所有点都标出来了，然后我们就直接把对应的向量写出来， ok 吗？然后我们写向量的时候一定要仔细了，你要看清字母 a、 c， 用 c 的 坐标去减 a 一 的坐标，不要去减 a 的 坐标。为什么要强调这个？因为我刚刚录的时候录错了，这，我重新把那个减了，再录的 c 的 坐标去减 a 一 的坐标。零减二等于负二，二减零等于二， 零减二等于负二，所以是负二二负二， ok 吧？负二二负二一定要仔细点。 a、 b 一 呢？ a、 b 一 零二二， ok 吗？二减二等于零，二减零等于二， ok， 结束。 然后它们的乘积 a 一 c a 一， 这是一 a、 c 乘以 a、 b 一 的乘积，这边等于零，不用写二二得四， 然后这边负二乘二，负四等于零。哎，发现乘积等于零说明什么？说明他俩垂直嘛， ok 吧，乘积是什么？ x 一 x 二加 y 一 y 二加 z 二，可以吗？嗯，好的，就是这个。好，那么接下来下一个 线与线的角，线与线的角，我们就找项链与项链的角， ok 吗？那 a、 e、 b 和谁呀？和 a、 d、 e ok， a、 e、 b。 大家是不是看的是这种无聊呀？嗯，再写一个啊，我就不写了。好吧，剩下你们自己来。 a、 e b a、 e、 b 好， 这个二减二等于零，二减零等于二，零减二等于负二。好， a、 d 一 呢？ 注意看啊， a、 d 一 好，首先是零减二等于负二，然后再零减零等于零，二减零等于二。好的，口算一下，口算 a、 e、 b 向量与 a、 d、 e 向量 乘以 a、 d、 e 向量除以 a、 b 的 模， a、 d 一 的模， ok， 来看一下上面的话，乘起来等于零，乘起来等于零。零乘六数都得零吗？它要相乘吗？横坐标，横坐标中坐标中坐标这手坐标这手坐标。所以就是负四了，可以吗？好，下面呢？根号下 啊，这膜怎么消？根号下 x 方加外方加这一方可以吗？ f 方，外方则一方零方，二方负二方，那就是四加四等于八， ok 吗？这边也是根号下，负二的平方加零的平方加二的平方，那就也是八，所以下面就是八， 所以就是负的什么？负的二分之一， ok 吧。好，口三等于负二分之一好，还是念口诀？一二三三二一。这个口诀我好像提到好多遍了，如果一二三三二一都搞不清楚的话，一定要去那个三角函数第一课学一下，好， ok 吗？ 一二三三二一应该在这好，这是三分之派，负的那就是三分之二派， 所以他们之间假角三分之二派。但是有个问题，项链的假角不是线的假角哦，他们有一点点区别。什么意思呢？你看这两个项链哈，他的假角是三分之二派，但失身人线的假角只有三分之派，为什么？ 因为线与线之间他有两个角，我们默认是小的那个角， ok 吗？所以虽然向量是三分之二派，但是线与线的夹角只能是三分之派，这个一定要注意好吧，不是说求到口算，线是几就是几，我们还要判断一下算出来的不能是 什么，不能是钝角，因为我们不不认这个，我们认的是锐角， ok 吗？线与线之间是零到九十度。嗯，向量与向量之间是都 ok 嘛？反正线与线是不行，可以吧，我们用的是 向量，但是实际表示的是线，那线的话是六十度是没有问题的，三分之半嘛。嗯，好，然后 d 选啊， c 选项，大家去自己写一下。好吧，然后我们着重讲一下 d 选项。好，我们要找平面 a， e， f 的 法向量。 a， e， f， 好， 我们要找法向量。是这样子的，我就设它的法向量为 m 啊，他这边有 m 了，我就设为 n 吧，可以吧，等会给给跟大家说啊，就是他已经说了有个法向量嘛，我先别管他，我直接自己求一下法向量可以吗？我求他的法向量为 n， 我 设为什么呢？ x y z 可以 吗？ 然后呢？这里面的法向量法向量是垂直于这个面的 ok 吗？垂直于这个面是不是垂直于这面里面的任意一个法啊？任意一个向量呀？所以我在这个面里面找两个向量，然后他两个向量，首先还有焦点，我找那两个呢？ 注意哈，找的时候也是有点小技巧的，你找的时候就从从 a 点出发，就 a e a f e a ok 吗？那我们这边从 a 出发吧， 哪个点出发都 ok 嘛？随便找两个项链就行。 a 一 项链， af 项链 ok 吗？找这两个项链干嘛呢？这两个项链都会跟。嗯，干嘛？垂直啊， ok 吗？找两个项链跟它垂直可以吧？ a 一 项链，我先标一下呗，我先把它列出来呗。 a 一 项链等于是多少呢？ a 一 向量好，一减二等于负一，二减零等于二，零减零等于零，好， af 呢？ af 向量零减二等于负二，二减零等于二，一减零等于一。好，标完这两个向量，然后我们会有一个等式， a e 向量乘 n 向量， af 向量乘 n 向量会等于零， ok 吗？反向量是垂直于面的呀，垂直面就垂直于面里面所有的向量，我在面里面找两个向量 ok 吗？它都会垂直， 垂直就乘积等于零，那乘积等于零，我这边用他们的坐标表示，乘一下就它乘，它会等于负。负一乘 x， 负 x， 负 x 加上二乘 z， 二乘 y， 二 y 加上零乘 z， ok 吗？等于零。 好，下面这个也一样的，也乘一下负二 x 加上二 y 加上 z 等于零， ok 吗？好， 那我们会发现其实他是三个未知数，但是只有两个式子没有关系，我们要的就是这种效果。为什么等会说等会我们解，解完了再说， ok 吗？好，第一，从第一个式子里面零 z 就 不要了，零乘任何数都得零吗？然后第一个是把 x 移到右边， 那我们就得到了 x 等于二 y， 可以 吗？这个偷偷写在草稿纸上可以吧？好，另外第二个式子呢？ x 不是 等于二 y 吗？对不对？那我给他带进去，那就是负二乘二 y， 那 就负四 y， 负四 y 加二 y， 那 就是负二 y， 负二 y 加 z 等于零， 那把负二 y 移到右边，那 z 等于二 y 呗，可以吗？ z 等于二 y， 好， 从这个式子找到的只有 x、 y、 z 之间的关系， 那我们具体要求 x、 y、 z 呢？我们要自己另一个。哎，这就是有意思的地方了，因为法项链有 n 多个，我们射出来的只只其中一个， 我们用两个项链去乘它，然后得到的是 x、 y、 z 之间的关系，这个时候我们可以自己另 x 等于几？ 比如说我这边另 x 等于一啊，等等于二，另一个好算的。 x 等于二的话，那 y 就 等于一了，那 z 就 等于二了，可以吗？你别另个一啊，另个一等会这边是二分之一就不好算了。能理解吧，你另谁都行，你另你另四也行。四的话那 y 等于二， z， z z 也等于啊。 z 等于四， ok 吧。 y 等于二， z 等于四，可以吧。你另谁都行，但是要另一个好算的，可以吗？ 好，有的同学问，哎，为什么我不直接三个项链乘它。那这不是三个方程三个等式吗？不行，这样的话只求到其中一个 ok 吗？我们最好就是这样子啊，规定规定规定，你别跟我犟规定。先把这个学好啊。 就只需要两个向量，然后乘以法向量就行，就能求到法向量，这求到的是关系，然后再另自己另一个就好了，可以吗？然后中间这一步我们是写到草稿纸上，我们如果考试的时候是直接 直接得答案的，就是写完这个等于零嘛，然后你直接另嘛，另完之后的就得到另 x 等于二，那 y 和 z 都知道了，可以吗？这个偷偷写草稿纸上一定要写啊，不然的话很难算啊。好吧， 一棒你一定要把这阵中间步骤写一下， ok 吧。好，这样的话嗯，我就找到了等于什么。二一二。好吧。好，我跟他给的法项链对比一下。 哎，有没有发现这两个。这两个项链干嘛呀，是不是倍数关系啊。你看成个二，成个二成个二，哎，说明他俩平行呀。跟法项链平行的项链也是垂直于他呀，也是他的法项链，所以这就是他的法项链可以吗？ 好，那这个题就完美解决了，这就是乘法项了。好，那你接着可以正式地做一下题目了。好，来，看到这边。 好在四轮追 p， a、 b， c、 d 中底面是梯形，然后 a、 b 与 c、 d 是 平行的， a、 d 垂直 c， d， a、 d 垂直， c、 d 这边是垂直，然后呢？ c、 d 等于二倍的 a、 b。 先别读这么多，忘记看题目了。第一问，证明题要先看题目啊，我要证明 b 一 垂直是。呃，平行谁啊？平行 p a d p a、 d 要证明线平行面的话，记得我们上节课怎么讲的吗？尺子对不对？尺子给它挪上去，然后连，对不对？连着，嗯，好了， 然后再给他连起来，一般作图都这样喽。好，那我们来看啊，开题了，那我们就可以开题了。等会我要正的就是他平行，他就好了。哎，明眼人都看出来他平行且相等嘛，对不对，那就看他给的条件喽。 好， a、 b 与 c、 d 平行，然后 a、 d 垂直， c、 d 这边是垂直的垂直还是要画垂直？然后 c、 d 等于 c、 d 等于二倍的 a、 b， 那 a、 b 就是 它一半喽。平行且等于它一半，可以吗？ 因为 a、 b 平行， c、 d， c、 d 等于等于二倍的 a、 b， 所以 a、 b 平行且等于 一半的 cd。 嗯，好，然后他说 p、 a、 d 是 正三角形，一是中点，一是中点，然后我们取取。我们刚开始开局要说啊，开局要先取点啊， 取 p、 d 中点。呃， a、 b， c d， e f 没有 f f 连 a f， e、 f 好， 连起来了。好，然后我们刚才不是已经挣到了它平行且等于它一半吗？现在就是它平行且等于它一半。怎么挣呢？我们要写啊，在 p、 d、 c、 中， e、 f、 e 分 别为读读读读中点，所以 e f 平行且等于二分之一的 d c 二 cd 好， 所以 ab 平行且等于 e f 可以 吗？它平行且等于一半的它，它平行且等于一半的它，所以它俩平行且相等。所以啊，所以它是平行四边形。 所以平行四边形可以吗？我就不写字了。 a b e f 平行四边形， ok 吧。所以 a f 平行 b e。 哎，写错了，所以 b e 啊，因为我等会要 b e 平行那个面嘛，所以 b e 写前面平行 a f 可以 吗？然后，呃， b e 不 在这个面里面，不在 p a d 里面，平面我就懒得写啊。然后 a f 又在这个面里面， p a d 里面，所以，哎，呃， b f 平行平面所有的步骤大概就这样写啊， p a d。 嗯，好，这是第一问，应该比较简单哈，思路一想就会啊，主要是步骤大家。嗯，尽量能不审就不审吧，多写点吧，好吧。嗯， 好，第一问结束之后我们来看到第二问，我们先看一下它问题是什么哈，它问题是什么？直线 a b 与 p b c 所成角的正弦值。哎，这个是啥呀？嗯，这就是今天的重点了，刚才所有的都是前系，那最重要的还是学这个。 我们要求面与线的夹角，我们求的是这个角，就这个线随便找一个点做一根垂线下来，然后， 然后这边有个焦点，然后把这个点连起来，然后所成的角，我们叫做线与面的夹角。然后，啊，这个角，你看，只是有这个角，没有这个角，不是这个角。哦，只有这个角 ok 吗？锐角，锐角，锐角呢？嗯，下是锐角啊。 好，我们要求这个角，怎么求呢？好，你看，那这这个是啥？这个垂直的是啥呀？垂直的是不是面的反向量呀， ok 吗？我们找到面的反向量跟什么线的相等。 我求一下这个角，假设的话为而法角，我求到了而法角。而法角与 set 有 没有关系啊？有的有的，兄弟有的，这个 cosine r 就是 等于 set。 为什么 为什么？因为 alpha 加 si 等于什么？等于九十度，也就是二分之 pi sine 会等于 cosine 啊， sine 西它会等于 cosine 而而法呀，可以吗？怎么来的呀？又是三角函数的内容了，大家这边一定要去学一下那边哈，好吧。嗯 啊，辅助角公式嘛。 alpha 等于二分之 pi 减 c 塔， cosine alpha 等于 cosine 二分之 pi 二分之 pi 减 c 塔，然后即便偶不变，即变变成 sine c 塔啊。 cosine alpha 等于 cosine 了。那就这么来的呀，可以吗？擦掉这条过程直接记吧。 嗯啊，也就是我求 cosine 它就能求到 cosine， 它好， cosine 的 它就结束了， ok 吗？但是有个问题啊，其实哎，线的向量可以朝这边也可以朝这边啊，法向量可以朝上也可以朝下呀，对不对？所以其实我们不一定是这个 r 法角 也可能是哪个角呢？假设就是法向量朝向啊，然后这边线朝上这边，哎，求到的是这个角，假设为 b 塔角，可以吗？这个 b 塔角哎，这个 b 塔角与它有关系吗？有 又有关系？我先培塔，先去通过培塔，因为我求到的是可参培塔嘛。可参培塔和可参 alpha 什么关系啊？相反数的关系可以吗？这边是负的，这边是正的嘛，没有关系啊，你求到的可参培塔，你加个绝对值不就是可参 alpha 了吗？对不对？是不是？ 所以有的时候你求到可参培塔，对不对？就是求出来是负的？没有关系，你先添个绝对值。好，所以我们就有个道理了， 你不用管了，反正只要是线与面，你求到的东西，你就都加个绝对值就行，可以吗？ 你不一定是这个 beta， 就是 这，可能是它，也可能是它啊，你别管 beta 了，就是可能是这边是 alpha， 可能是这边是 alpha， 不 过都没有关系，因为这两个角的值是一样的，只不过正负有正负有区别而已。所以不管是求到哪个，不管是求到是负的还是正的，我都填个绝对值， 可以吗？假设阿尔法就是这个，阿尔法就是这两个向量，求出来是负的，没有关系，你填个绝对直线与面，你要求出来的口塞，你填绝对值，这样的话，你求到的永远是这玩意，可以吗？求到的永远是这个角。嗯，这样的话它就等于三，可以吧。 好，那这样就美美结束了，那我们可以做题了。好，那做这种题之前我们要先间系啊，那间系的话，有第一个就先要找到 x 垂直 y， ok 吗？然后再找到最垂直这两条线。好， 所以我们先找 x 垂直 y， 然后再找 z 垂直于这两条线，或者 z 直接垂直这个面也还行，可以吧？好，我们来看一下啊，要求的是 a， b p， b， c。 好， 那我要求 a a， b 向量以及 b p， b c p 的 法向量， ok 吗？ 刚才不是，刚才这边不是演示了吗？我要求线的项链以及面的法项链， ok 吗？朝这边，朝这边或者朝上朝下都无所谓了，我等会求出来的口三就加绝对值就行。好，我们来看到这边。 好，先见信嘛？信，还没见呢。好，我们来看一下。他说 a d 等于二，根号三， 好，然后他说 p a d， p a d 会垂直这个面，好，然后 p a d 又是什么？正三角形，所以这边等会儿做，就是取中点连起来，是不是垂直于交线？垂直于交线就垂直这个面， ok 吗？ 这还是比较好想的嘛，垂直于交线，垂直这个面好，取它中点为 o， 可以 吗？然后 o p 是 不是就垂直于这个了？那迷眼人都想得到，这是 z 轴半，可以吗？然后这边是 x 轴半，那 y 轴呢？ y 轴在这呢，你做根平行线可以吗？ 做根平行线，做 a、 b 的 平行线，嗯，这个就是 y 轴了，可以吗？好， x y z。 好， 那你可以写取 a、 d 中点哦，连 o p 过 o 作 a b 平行线， 即为 y 轴，好似图所示，建立直角坐标系。走走走走。 好的，这图是要画在那个试卷上的哟，知道吧？好，然后我们就可以标点了， 我们看一下需要用到哪些点啊？不要着急，把所有的点都标上去啊。我们要用到 a b 和 p c， ok 吗？一共就四个点，所以别着急。 a b c 和 p a 点。首先长度 这边 a d 等于多少？ a d 等于二，根号三，所以这边就是根号三了，可以吗？把长度标上去，偷偷的 根号三，这边呢？ a b 呢？是二， a b 等于四，那 a b 等于二，然后那这边就是等于四了， 好了，然后这边因为是正三角形，所以这边是根号三，所以这边是根号三。乘根号三就是三了，可以吗？反应得过来吧，这边是正分三角形嘛，然后这边中点的角平分线三十度，三十度的边等于斜边的一半，这边是 反，这边是二，根号三了，这边是根号三倍了，可以吗？不信的话你自己勾股定力吧，这边一二根号三，这个倍数关系一定要知道哈。好吧， 高中很多题里面都是这样用的啊。好的，那我们就可以把 a 点找出来，根号三，根号零零， b 点呢？ b 点是？根号三二零，根号三二零， c 点呢？ c 点是喔，反方向，这是正方向，这是反方向。反方向是负的， ok 吗？负根号三，负根号三四零，可以吧？四呢？然后零，然后 p 呢？ p 的 话是零零 零三， ok， 好， 这样的话我们就 ab 向量就可以求了， ab 向量直接写出来等于 根号三减，根号三零二零，可以吧？好，然后我们要找他的法向量，怎么找呢？随便先找两找两条。什么找两个向量？ 我们这边先设啊，设 p b c 法向量为 m x y z 可以 吗？ y z， 我们要找两个向量，跟什么？跟这个 m 向量相乘等于零，然后去进而去求 m， 可以 吗？怎么找呢？我想找 b e p 和 b c， ok 吗？随便你找，你找 p， 你 找。哎呀， 你找 p b p c 或者 c b c p 都 ok， 主要是从哪一点出发你就找哪哪点的， ok 吗？这样比较好算。你也可以找 b c 和 c b p 啊，没有关系啊，但是这样我觉得难算一点，我觉得就是积食点一样，你就一样， ok 吗？你就这样子，这样会好算一点， 我找的是 b c 和 b p， ok 吗？这样的话求坐标的时候只需要 c 减 b 的 和 p 减 b 的， 这样不会乱， ok 吧？好， c 减 b 的 坐标那等于 c 减 b 的， 那负二杠三，负二杠三好，四减二等于零，减零等于零。好， b p 呢？ b p 呢？那它减它负二杠三， 然后零减二等于负二，然后三减零等于零，二三减零等于二三。慢一点再检查一下 负的，减负的负两倍的四减二等于二，然后零减零等于零。不用写，零减刚好三，负刚好三，零减二等于负二三没有问题。好，然后我们理解是式子就行， b c 乘以 m 向量， b p 乘以 m 向量，等于乘起来 负二，根号三 x 加上二， y 加上零乘 z 等于零。下面这边负根号三 x 减二， y 加三 z 等于零，可以吗？好，这边零 z 也就不用写了。好， 他是这样的，找到关系，首先上下上面这边。哎呦，根号三 x 加上 y 可以 吗？左右两边除以一个二，然后给他等到右边来，根号三 x。 好， 这第一个式子 y 等于根号三 x， 那 带进去呗。负根号三 x 减去二，根号三 x， 这边把那个 y 等于根号三 x 带进去，加上三 z 等于零，那这边就是负三，根号三 x 加上三 z 等于零， 三三，左右两边约掉，然后根号三 x， 好 的， z 等于根号三 x。 好， 那求到这边我们就可以写了，我们就另就好了。另， x 等于根号三呗，那就 y 就 等于三呗， z 呢？也等于三呗，可以吗？就另一个比较好算的数嘛。 y， 呃， x 如果等于三的话，那它就等于。呃，就是 x 等于根号三的话，根号三乘根号三等于三， 这边也是一样的， ok 吗？你等于一也行啊，等于一的话 y 就 等于三， z 等于根号三。说错了，等于一的话， y 就 等于根号三 z 就 等于根号三， ok 吗？嗯，但是这样子好，求到这个的话，所以 你就可以写所以了。 m 向量等于根号三三三 ok 吗？ 然后我们跟那个 ab 求一下夹角可以吧？注意啊，面与线，我要求法向量求出来的是这个，这个与这个 c 它是一样的， ok 吗？就是口三以 f 等于塞 c 的。 那我先求一下呗，口三以什么？ ab 与 m 的 夹角等于列公式， ab 乘 m 除以 ab 乘 m 等于 ab 乘 m， ab 零二零。给它复制一份下去，别看错了。嗯， 好，零乘任何数都等于零，不用写了不用写了。好，主要是二三得六除以根号。注意这边下面下面根号下二的平方，那就根号二的那四，根号四等于二。好，下面这边的话根号下。注意啊，根号三的平方是三， 加上三三得九，加上三三得九可以吗？二九十八，那是二十一，根号二十一，然后这边二和这个六约成三上下同时乘根号二十一， 然后这个三和三七二十一七分之。根号二十一， ok 吗？好的， 那口三就等于这个要求的是啥呀？要求的正弦值啊。好，要求的正弦值正好口三这个就等于这个， ok 吗？好，我们还记住哈。如果求出来是负的怎么办？填个绝对值，所以就是不管正负，其实你都填个绝对值会好一点，因为正的我一般是不填的， 负的是一定要填，正的是可以不填， ok 吗？但是建议大家还是都填一下啊，怕你们蒙忘记吧。就求线与面的话一定要填个绝对值可以吗？不管正的负的一定要改成正的，因为这样的话就是求的是这个角，然后要求三引这个的话，就直接求出来了，可以吧？然后直接答就行了。 答，所乘角的正弦值为七分之，根号二十一，不用特意去写，而法与西塔之间的关系，不用，这不是这边是默认你会的，知道吗？ 好，这是这个，那这边是求的正弦值，我如果要求余弦值怎么办呀？余弦值就是口三以西塔，对不对？口三以西塔等于根号加一减三以西塔方， ok 吗？好，这个怎么求呢？如果是这样的话，你就答 余弦值为什么根号下一减七分之，根号二十一，括号方等于，然后把它解出来，可以吧？如果是问余弦值，就就改一下答案的问题，不要去写这一堆， ok 吗？这是老师默认你会的，你不要去写了，反正写到这之后就直接答就行了。 这边如果是求正正弦，直接写余弦的话，答，然后根号下一减他的平方就行，可以吧？然后一定要等出来啊，一定要算出来啊。好吧，这边我们具体算一下也行，那我们来看一下，一减去七的平方四十九分之， 嗯，二十一，那就是四十通分，四十九分之四十九减去，那就是四十九，减二十一 等于二十八，然后开根号，开根号就等于七分之，根号二十八四七，二十八四乘七，所以四又可以开出来七分之二，根号七，嗯， 好，所以这就是如果问你余弦值的话，你就这样答就行了，可以吗？其他的不要动啊。好吧，好，那这就是线与面所成角的正弦值，怎么去求，可以吗？ 然后时长原因的话，还有面与面的等会发个小视频给大家讲一下，可以吧？好了，那么本期视频就到这，感谢大家收听。
2927番茄学数
14:35查看AI文稿AI文稿好，这个题它给了这个等长为一的正方题啊，求 f x 的 长度，一般我们求线段长度，我们是用几何法求的 线段的长度，我一般怎么去求一个线段的长度？勾股定律，直角三角形找勾股定律是不是啊？那么我们也可以啊，如果找不到直角三角形，那像这个长度 fh 这样直角三角形，你能不能找到？ 真爆炸，那这个时候我们就可以借助向量来解决是不是？那向量来解决的话，我们是不是可以直接间隙啦？啊，先间隙啊，怎么建呢？以这个的为圆点来间隙吧，那这就是是吧， s 轴，那就是 y 轴。 好，然后呢，这个就是 z 轴啊，全角合成来间隙 这种好，现在我只需要把 fh 的 向量这个坐标表示出来，那么它的摩擦是不是就出来了啊？那我们来写一下 f 的 坐标，整个长方正方体的轮长是为一，对不对？好用，乘以 f 点坐标为多少？ 二点坐标二分之一到二分之一多少？豆豆一豆零啊，是我，我要用另外一个那个 好用，这个好，再来看 h 点坐标呢 啊， h 点坐标呢？ 好，大家看我们的 h 点，在这里我们说如果我们写不来 h 点坐标的话，我们先给他投影下来，投影下来那个点呢？他的横纵坐标和 h 点的横纵坐标是一样的，当我们会发现其这个 h 点是 g 点和 c 点是什么？中点， g 点和 c 点是中点，我们可以利用中点的坐标公式来求 s 的 坐标啊，你看我们的 c 的 坐标好不好？写 好它的坐标，大家说一下， c 的 横坐标是零，纵坐标是一竖坐标，一好，再来看 g 点， g 点是几等分点？ 看题目 c， g 等于三，四分之一倍的 c。 勾是不是四等分点好，所以勾 g 的 长度应该是 四分之三，所以 g 点的坐标在这我们可以写出来啊。 g 点的坐标是多少？横坐标是 零，纵坐标四分之三，自己自己坐标零，那么它们的终点就是 h 点，那终点坐标个数怎么写呢？就是 他俩的横坐标加起来除以二，纵坐标加起来除以二，竖坐标加起来除以二，是不就是 h 点的坐标？好，我们来加一下零加零除二还是零，所以这个横坐标就是零，对不对？好，纵坐标是不是一加四分之三除二，一加四分之三等于四分之 七除二就是八分之七？好，八分之七好，再来看零加一除以二 啊，因为他终点很特殊的一个点，我们把端点的坐标好写啊，这个 c 一 点和 g 点坐标好写，那么他的终点通过终点坐标公式就可以写出来了。好，就可以。现在 f h 的 向量坐标能不能写了？ 截图啊？直接用 s 点的坐标点什么 f 点的坐标，赶紧转， 好，赶紧动手啊。 好，李心玉， f s 的 坐标是，呃，这个是负二， 负二分之一，负二分之一，负的八分八分之三，负的八分，负的八分之三，你确定吗？你去拿哪个点，哪个正的八分之三，然后，呃，负的二分之一，二分之一，二分之一 啊。所以它的魔长 f h 的 长度怎么算？ h， f 的 魔长是等于这个。呃， 呃，这个负二分之一的平方，负二分之一的平方，横方加纵方加竖方嘛，平方加二十一平方。 好，大家一起算。快点啊，快点 啊， 八分之根号四十一。好，接下来看一下第二问，求一面直线所成角，我们用几何法求一面直线所成角是怎么求的？平移，然后什么平移至 平行？香蕉构造角，是不是在三角形中来求这个角？好，那么如果我们用另一个的方法求这两条镜面之间组成角，其实我们可以找到 这两条直线所表示的向量， e f 向量和 c e g 向量吧，是不是转换成两项量的角角平平， 两直线的加减，能不能转换成两项量的加减？我们不是可以求口算奇塔吗？是不是？好，所以我们就可以把 e f 向量和 c e g 两个有向线段标成向量，对吧？好，所以我们先写一下 e f 还有 c e g 的 坐标。好， g 点坐标是多少？说一下。 零豆零豆，二分之一啊， f 点坐标有了啊，然后 c 的 坐标有了， g 的 坐标不也有了。好，现在大家表示这个 e f 向量 和这个 c e g 向量分别为多少？标题表示 e f 向量和 c e g。 用中减器 e f 向量和 c e g 向量。 好，不见不散。说啊，这一种 tf 的 坐标是 怎么办？到底用哪个点哪个？王华用哪个点哪个好？说是多少 直接说。结果我不想做啊，你坐下，孙毅，主要说下一个 c 一 指的坐标。 好，蹲下，好，那现在我们记这个角为 c 塔啊，我们求口算与 c 塔，是不是求这两个 一面直线的这个，这两条直线的夹角对不对？是不是这样的？嗯，好，那么我们就变成 cosine x， 它就等于 cosine 这两个向量 e f 向量和 c e g 向量 的夹角啊，求两直线的夹角转换成求两直线所表示的这个向量的夹角啊，那么两一面直线的夹角范围是什么？零的什么？ 两条直线的夹角会是超过九十度吗？不会嘛，是不是不会是零到九十度？所以这个椭圆一定是正直吧？ 是不是一定是正直？好，那所以现在大家看，我根据公式上面是不是就 e f 向量乘以什么 c g 向量啊？好，除以下面是 e f 向量的模，乘以什么 c g 向量的 两条直线的夹角传出来向量的夹角，因为我们的向量是用有限向量来表示的。好，接下来敲 啊，接着我们要看下个点啊，拿出笔记本 空间向量的应用啊，一点四点一，一点四。 好，前面这些都不是重点啊，主要是学着前面这些是为了能够让你听懂后面那些啊，你到前面都学不懂，到后面听不懂啊，我们在考的过程中主要是考后面内容啊。好，来看着啊。首先大家知道两个概念啊， 好，第一个概念叫做方向向量， 其实我们刚已经在用了这个东西，方向向量。什么叫方向向量呢？大家看一下这条直线， 这条直线 l， 我 们说是两点，可以确定一条直线，那么我们就在直线上任意取两个点， a 向 a 点和 b 点，那么我连接 ab， 画个箭头指向 b， 是 不是得到了一个 ab 向量，我把这个 ab 向量的平移出来，这就是一个 a 向量， ab 向量和 a 向量，等等 等等，那这个时候我们就把 a 向量叫做直线 l 的 方向向量。好，所以接下来 在 l 上任取两点 ab， 好， 认真听啊，如果你们不认真听的话，你们我就乱讲了啊， 随便讲啊，反正你们你们的听课状态指定会影响到我的上课状态，你们状态好我就状态好，你们状态不好我就状态不好，相互的啊，好在直线 l 上任取两点 ab， 漂亮啊。 然后呢？记这个 ab 向量等于 a 向量，这个 a 向量呢？我们就叫做直线 l 的 方向向量， 叫做直线 l 的 方向向量。好，我们来看一下方向向量是 a 向量，在这里是不是这个方向向量和直线 l 是 什么位置关系？ 顺平平的。好，那现在要告诉我，直线的方向向量只有 a 向量这一个向量吗？ 只有一个吗？不是，直线的方向向量有几个呢？无数个，只要和直线 l 平行，就都叫做直线 l 的 方向向量。好，所以在这里记住方向向量不唯一。 第一点，那切尔布为一是不是有无数个方向项链？这些方向项链有什么位置关系？平行啊，它们都平行， 这些方向项链它们都平行，那么这些方向项链会不会为零项链呢？不会，因为你取的就是两个点就不会重合，所以非零 对方向项链有这么几个关键点，大家注意啊。对，好，那么我们来练一个方向项链的题目。第四页第一， 第四页第一，其实我们刚刚说的，你看直线 e f 和 c e g， 是 不是就是这两条直线的方向项链？ 这两条直线上认出两个点嘛？是不是？好，大家看一下这个立衣的小创衣。
04:39查看AI文稿AI文稿一找方向，二找点，三写答案，四个文，你就按照我说的去做，这种题必须数，那把掐挑战，一分钟讲明白。数学第七十三天，昨天的视频跟大家讲了，只要是让咱们求一种图形，无论是平面 还是直线，你必须要找两个东西，第一个东西叫做方向，直线的方向就是他的方向，向量，无论是冲上的还是冲下的都可以，平面的方向就是他的法向量无论是冲下还是冲上都可以。第二个把点找出来， 第三个这个答案就出来了，我们先来看怎样去找方向。一般情况下题目里边大多数都是两个，那你把这两个方向拿出来之后做差乘即可。比如说这道题给了两个点，是不是就能出现一个向量了？那我们就把这个向量写出来。 我们在写 ab 向量的时候，是不一定是后面的点减前面的点，后面的每一个位置对应的去减前面的这个位置，那也就是一减去二，结果等于负一，三减去负一，结果等于正四，负四减去负一，结果等于负三。这个题里边还有一个向量在哪？是不是在这？它前面的系数 就是我们要找的向量，那这个时候我们可以写设平面， x 加二， y 减四， z 加八等于零的方向，向量为 n 一， 那这个时候 n 一 等于什么呢？我们只需要把这个式子里边的系数拿出来即可，那就变成了一二复四。有了这两个向量之后，我们该怎么办？对，是不是要做差乘了？所以下一步我们要求的是什么？求的是 我们要找的图形的方向，那我们一定要把这个图形给它设出来，设该图形的方向向量为 n 二，那这个时候的 n 二等于什么？这两个式子给它做差乘，差乘其实是以个行列式的形式来计算，对不对？那我们怎么写？第一行要写 i j k， 第二行写什么呢？你这两个项链无论写谁都可以直接放下来即可。那比如说第二行我写这个项链好，等于一二负四，第三行我们写这个项链负一四负三。有的朋友说，老师，我就不想像你这样写，我想把这两个位置颠倒一下，可不可以？完全可以，没问题，这个顺序没有什么关系的，这么写也可以。接下来我们就需要计算了， 去计算。还记得上个视频我给大家讲的吗？把这个式子再复制一份，把首尾去掉，相邻的两列计算即可。怎么样去计算？交叉相乘再相减，对不对？它俩相乘结果等于负六，它俩相乘结果等于的是负十六。负十六和负六之间做差，是不就是负六加上十六，结果等于正十吧，也就说第一个数应 该是十。好，第二个数相邻的两列交叉相乘，那这个时候是负四乘上负一，结果等于正七，那第二个数就是正七。 第三个数他俩相邻，让他们之间交叉相乘，再相减来吧。那一和四相乘，结果等于四，二和负一相乘结果等于负二。四减去负二，相当于是四加二，结果等于六。也就是说我们的方向向量求出来了。好，第一步，找方向搞定，第二步，找点。同学们，你们看 这道题里面是不是有两个点，你无论是带这个点还是带这个点，这个题都能做出来。有的同学说，老师我带 b 点，最后得到的答案如果跟 a 点不同怎么办呢？那这题你做错了还咋办？我们一般情况下就是找任意一点带入即可，怎么 代呢？你最后得到的这个平面的方程，它一定是长这个样子，就是 a 乘上 x 减去一个什么东西，加上 b 乘上 y 减去什么东西，加上 c 乘上 z 减去什么东西，结果等于零。或者你也可以写成什么样，就是 ax 加 b， y 加 c， z 加 d 等于零。也行，它俩是一个样子。好，如果你要写成这个样子，那你只需要把点代入求 d 即可。那如果说你要写成这个样子，那没关系，你把括号直接打开了，剩下那个数自然而然就能算出来了。那这个时候有的同学问老师，那 a、 b、 c 是 谁呢？就是你刚才求的十七、 六，这个十指的就是 a， 这个七指的就是这两个 b， 这个六指的就是这两个 c。 那 如果说用下面的这个式子，括号里边的应该写谁？就是你找的那个点，比如说你写的是二，负一负一，那这个位置就是二， 这个位置就是负一，这个位置就是负一，清楚了吗？好，所以说我们把这个给他代入到这个里边，那就变成了减去二加上一， 加上一等于零。别忘了我们这个里边的 abc 一定要把十七、六给我带进去。这个时候有的同学可能会问，老师，如果我这两行跟你写的不一样，那会影响结果吗？ 压根不会。如果你这两个位置交换了，你最后得到的数是负十、负七和负六，那这个时候这个地方就负十，这个地方是负七，这个地方是负六，你只需要在这个式子的等式两侧同时乘上负一，那你的结果一样了，只要你思路没有问题，计算没有问题，那这道题一定能算对。那 我们把这个式子给它化简一下，它的结果就是十 x 加七， y 加上六， z 减七等于零。第三步写出来了，第四步走人。
1620高数不高-刘赫
02:52查看AI文稿AI文稿p 为 a， d， 它都是中点，看这个 p 是 不是三等点了，还记得说了吗？这是重心 a， e 等于二倍的 b， d， 这也是三等点 一百啊 v p 是 不是三分之二的一百 d f 而 b f 可以 绕一下负 a， b 加二分之一 a， c， 整理一下负三分之二倍的 a 下面，三分之一倍的 a 下面，中奖啊， 简单不？这个角还是三分之二。让你求 b p 和 e d， 那 么 e d 好 求不？这个 c， d 有 啥？ e d， e d 我 等于 e a e a e a 有 个负三分之二的 a， d， 我 加上 a d， 知道 a， d 怎么了吗？中线相压，中线相压 r 分 之一的 a， b 加 a， c 加 r 分 之一的 a， c。 还记得吗？ 中线先加那 d 是 中线吗？然后我给你整理六分之四减六分之三，四分之四，六分之一 a， 这样再来 r 分 之一的 b， 先把它变成对角啊，我现在把 e、 d 放上来 换个颜色，这个呢，加好啊，不就是一 a 下来，二个一 b 下来，所以减一正的九分之一 a 五就是九六分之一， 一模四十六。还有交叉，这是负三分之一，这是负十八分之一。减去十八七，三乘以四乘以二十一。最后一页我就出来了，一加上三个八， 这是十二，一个叉，负三分之七，三分之四。
04:50查看AI文稿AI文稿你看 a e 第二章就不好了是吧？角度嘞，更不好了， 所以这属于一个典型的换基体，当然有一种换特殊基体，那就叫啥了？解析嘛，会有直角吗？这道题其实换基体换特殊基体就是解析，这这样行吗？ 最主要的是哪个点的动作要好好注意下来。第一点，注意角度啊，这个是多少度啊？四舍五入，因为你这个四舍五入， 这是三十度，这是这个数。好啦，把坐标都表示出来，然后当然把这个给他 c 的 时候自然而然就会了。 a 点做的很好， 怎么长一个都找不出来。我要先设这个为二行吗？ 这两点，也就是说我假设我设 a d 为二，一切是不是都有长度？ 这个加 h 吧， a h 是 不是就刚好了？因为四十五度，这个是不是 r v 刚好三， 那么乘以二个钢，这四个钢六对不对？ 好， et 坐标又等于两倍了，那就是钢化六。负根零当 b 点六，很简单是吧？ c 点坐标零， 刚好一点六呢？零三个叉度对吧？还有呢，一点六，三度标负刚好六减刚好二了， 重度标就是刚好算向下 a c， 这就刚好了是吧？ 然后嘞，打不打 a， 他 减他负杠二，杠二，杠二，杠 二，杠二，杠二杠二。哎呀妈 no， 也来 a 杠六，六 seven 个杠六好了。 number a 一 六倍的 a 一 杠六，六减根号二，三十的杠六六减加根号二，最后要等于 a c 杠六杠六，是吧？ 是不是放三 g 啊？六 g 减 gala 等于 gala 三分之 gala， 它要说的是 gala， 我 把它减出来了，它比以以以什么比为手掌，一切都能出来了。好，这两个瑜伽又出来了，是不是 三四位降到六？没有，二位降到六干掉，所以改就行了。 你这个其实可以约定一个格号了。 那那哪会改呢？刚好三乘以二十三减二十一个倒数， 那俩 c 比说出来了，所以推出来又比那高三。
10:47查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来精讲二零二五年立体几何三大压轴题。首先我们来看新高考挨卷第十七题。这道题以四棱锥为在内体，综合考察面面垂直的证明、外接球球心的定位以及意面直线夹角的计算。 题目告诉我们，四棱锥 p、 a、 b、 c、 d。 中底面 a、 b、 c、 d 是 直角梯形角带等于九十度， p、 a 垂直于底面 a、 b、 c、 d， 且 p、 a 等于 ab 等于 a、 d 等于根号二， bc 平行于 a、 d。 现在让我们先建立起这个几何体的三维模型。第二问，第一小问要求确定四棱锥外接球的三维模型。第二问要求确定球心到底面的距离。 解决外接球问题的核心方法是建立空间直角坐标系，然后利用球心到各顶点的距离相等来列方程求解。 首先，我们以 a 为圆点， a、 d 方向为 x 轴正方向， ab 方向为 y 轴正方向， ap 方向为 z 轴正方向建立坐标系。 由此可得各点坐标 a 零零零 b 零根号二零 d 根号三加一零零 p 零零根号二。由 b、 c 平行于 a、 d， 且 b、 c 长度为一，可以得到 c 二根号二零 射球 c、 o 的 坐标为 x、 y、 z。 根据外接球的性质，球心到四个顶点 b、 c、 d、 p 的 距离相等。由 o、 b 平方等于 o， c 平方代入坐标，计算后化简得到 x 等于一， 将 x 等于一，代入 o， b 平方等于 o， d 平方，计算得到 y 等于零。再将 x 等于一， y 等于零，代入 o、 b 平方等于 o， p 平方，得到 z 等于零，因此求其 o 的 坐标为一零零。 注意到这个坐标恰好位于底面 a、 b、 c、 d 内，所以球心到底面的距离为零。接下来我们看第二小问，求一面直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。第二问第二小问，求一面直线 a、 c 与 p、 o 所成角的余弦值。 使用向量法求解空间角度问题，关键是正确写出两条直线的方向向量由前面建立的坐标系，我们可以得到向量 a、 c 等于 c 减 a， 即二根号二。零 向量 p、 o 等于 o 减 p， 即一零负根号二。根据向量夹角公式，两个向量夹角的余弦等于它们的数量基础。以魔长的乘积 计算数量积二乘一加上根号二乘零，再加上零乘负根号二。结果为二。向量 a、 c 的 模长等于根号下，四加二加零，即根号六。 向量 p、 o 的 模长等于根号下一加零加二，即根号三。所以余弦值等于二，除以以根号六乘根号三。化解后得到根号二除以三。由于意面直线所成角的范围在零到九十度之间，余弦值应为正数，所以最终答案就是三分之根号二。 接下来我们看新高考二卷第十七题，这是一道典型的翻折问题。翻折问题是立体几何中的重点和难点，其核心在于理解翻折前后哪些量保持不变，哪些量发生变化。 题目给出的是一个四边形 abcd， 其中 ab 平行于 cd， 角带等于九十度。 已知 a、 d 等于一， ab 等于三， cd 等于二， f 是 cd 的 中点 e 在 ab 上，且 a、 e 等于一。 我们将四边形 e、 f、 d、 a 沿折痕 e、 f 翻折，使得平面 e、 f、 d、 a 与平面 e、 f、 c、 b 所成的二面角为六十度。首先我们在二维平面上画出这个图形， 现在我们来看翻折的动态过程，固定四边形 e、 f、 c、 b 部分不动，将四边形 e、 f、 d、 a 沿折痕 e、 f 向上翻折。 在翻折过程中，我们需要关注几个关键的不变量，首先，线段 a、 e 的 长度始终等于 a、 e 及一线段 d、 f 的 长度始终等于 d、 f 及一。其次， a、 e 始终垂直于 e、 f。 这些不变量是我们后续建立坐标系和求解问题的基础。当翻折角度达到六十度时，平面 e、 f、 d、 a 与平面 e、 f、 c、 b 所成的二面角就是六十度，此时角 a、 e、 b 等于六十度，这个角度将在后续计算中起到重要作用。 第一问，要求证明 ab 平行于平面 c、 d、 f。 证明线面平行的基本思路是在平面内找到一条直线与已知直线平行。 观察图形，我们发现 e、 b 平行于 fc。 因为 a、 b 平行于 c、 d， 而 e、 f 分 别是相应线段上的点，所以 e、 b 和 fc 平行且相等。由于 fc 在 平面 c、 d、 f 内。根据线面平行的判定定律， e、 b 平行于平面 c、 d、 f。 同样地， a、 e 平行于 d、 f。 因为翻折前后对阴边保持平行。由于 d、 f 在 平面 c、 d、 f 内，所以 a、 e 也平行于平面 c、 d、 f。 现在， e、 b 和 a、 e 是 平面 a、 e、 b 内的两条相交直线，它们都平行于平面 c、 d、 f。 根据面面平行的判定定律，平面 a、 e、 b 平行于平面 c、 d、 f。 因此，平面 a、 e、 b 内的直线 a、 b 必然平行于平面 c、 d、 f。 第二问，要求求二面角 d、 e、 f、 c、 b 的 正弦值，也可以理解为求平面 a、 e、 f、 d 与平面 e、 f、 c、 b 所成二面角的正弦值。解决这类问题的标准方法是建立空间直角坐标系，然后利用法向量来求解。 以 e 为圆点， e、 b 方向为 x 轴正方向， e、 f 方向为 y 轴正方向垂直于底面 e、 f、 c、 b 向上为 z 轴正方向。 根据前面的分析，各点坐标为一零零零 b 二零零 f 零一零 c 一 一零。 对于 a 点，由于角 a、 e、 b 等于六十度，且 a、 e 等于一，所以 a 的 坐标为二分之一零二分之根号三。 同理， d 的 坐标为二分之一一，二分之根号三。接下来我们求两个平面的法向量，平面 e、 f、 d、 a 的 法向量 n 一。 我们可以通过向量 e、 f 和 e、 a 的 差积得到，计算结果为根号三零。负一 平面 b、 c、 d 的 法向量 n 二，通过向量 c、 b 和 c、 d 的 差积得到，计算结果为根号三。根号三。一，两个法向量的夹角 f 满足于弦 f 等于 n 一 点乘 n 二，除以 n 一 的摩，乘以 n 二的摩， 计算的余弦 far 等于三，加零减一除以二乘以根号七，等于根号七分之二。由于二面角 f、 t 与法向量加角 far 相等或互补，所以余弦 far 等于余弦 far 的 绝对值，即根号七分之二。 最后正弦 far 等于根号下一减七分之四等于根号下七分之三。化简后得到三分之根号二十一。 第三问是本题的难点，要求判断在棱 b、 h 上是否存在点 g， 使得平面 h、 g、 d 与平面 f、 g、 d 所成的二面角等于平面 b、 f、 g 与平面 f、 g、 d 所成的二面角。 这是一个典型的存在性探讨问题。我们的解析策略是，假设存在这样的点 g， 然后通过界力方程来求 其向量 b， g 等于 t， 倍。向量 b h 由 b 二二二和 h 一 零一。向量 b h 等于负一，负二负一，所以 g 的 坐标为二减 t， 二减二， t 二减 t， 其中 t 在 零到一之间。 接下来我们需要求两个二面角的余弦值。对于平面 h、 g、 d 和平面 f、 g、 d 所成的二面角 l 法，我们分别求出两个平面的法向量。平面 h、 g、 d 的 法向量可以通过向量 g、 h 和 g、 d 的 差积得到。 平面 f、 g、 d 的 法向量可以通过向量 g、 f 和 g、 d 的 差积得到。通过计算，我们得到余弦 l、 f 等于三倍，根号三乘以三， t 减二的绝对值除以三倍。根号下十九， t 平方减二十八， t 加十二。 对于平面 b， f、 g 和平面 f、 g、 d 所乘的二面角贝塔，同理可得余弦贝塔等于十三， t 的 绝对值除以根号五乘以根号下三八， t 平方减五六， t 加二十四， 令余弦 l， f， i 等于余弦 beta 化简后得到幺四七， t 平方减三百， t 加一百四十等于零。解这个二次方程得到 t 等于四十九分之五十，加减四倍，根号三十。 由于 t 必须在零到一之间，我们验证发现只有 t 等于四十九分之五十减四倍，根号三十满足条件。最后 g、 h 与 b g 的 比值等于一减 t 除以 t 代入计算后得到最终结果，因此存在满足条件的点 g。 同学们，通过这三道高考真题的讲解，我们可以总结出例题几何大题的核心解题方法。 首先，对于垂直和平行关系的证明问题，我们要掌握列式推理的思路，从线线关系推到线面关系，再从线面关系推到面面关系。同时，向量法也是重要的工具，当两条直线的方向向量数量积为零时，这两条直线垂直。 其次，对于空间向量与角度计算问题，建立坐标系时要遵循垂直优先的原则，尽量选择两两垂直的边作为坐标轴法。向量可以通过叉 g 来求解，而一面直线夹角和二面角的计算都有固定的公式。 最后，对于动态与存在性问题，关键是要学会参数化动点，通常使用比例参数来表示动点位置， 然后将几何条件转化为代数方程，通过求解方程并简验解的合理性来得出结论。希望这些总结对大家的复习有所帮助，我们下期再见！
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05:16查看AI文稿AI文稿高考数学救命课第二十期今天我们用一个视频把立体几何这建器的事全说了。第一件事啊，就是建空间直角坐标器，非常非常简单，就是在我们原来的平面直角坐标器上多了一个 z 轴，在这里 z 轴就是立起来的轴啊。在这里我们要求这个 z 轴必须要有现成的线面垂直 啊，强到一个现成的或者现成的面面垂直也行。如果是现成的面面垂直的话，我们就去做两个面交线的垂线，根据面面垂直的性质，它也是垂直于底面的。好吧，务必强到一个现成的，不是现成的不行。 s 轴、 y 轴，我们就在底面找两个两两垂直的线就可以了。 你比如说我们这个图形 pa 垂直面 a、 b、 c、 d， 那 很明显谁是 c 轴啊？那 pa 就是 c 轴，以 a 为圆点间隙， 底面 abcd 是 个菱形。有同学他一着急， abx 轴， ady 轴，那大错特错。所以说为了避免这种情况的出现， 我们捎带连着第二步写坐标。老师一块跟大家说了，一定要画底面的这个图好吗？同学们，一定要画底面那个图什么意思？就是我们在草纸上 把这个底面的这个大图给他画在这个纸上，而且这个图两个要求，一是要画大，二是一定要画标准。同学们因为投影的原因，很多时候他这个直角并不像直角，六十度也不像六十度，画都跟平四边形似的。所以说我们一定要在草稿上把这个大图里画出来，就长这样， 那这个东西就好办多了。在某个轴上的点， x 轴点除了 x、 y、 c 都是零， y 轴点除了 y、 x、 c 都是零，那这样的话，各个点坐标我们都非常非常容易求出来， 好吧？然后紧接着重点同学们，老师重点说一下，这个四 d， 他 不在轴上，不在轴上的点一定分别向两个轴做垂线，好吧？你比如说这是个六十度的菱形二，一根号三，然后同时连中点得垂直，我一定这个 o、 c 是 所谓的 y 轴， 对吧？等边三角 a、 b、 c 当中连接 o、 c 取中点得垂直，三线合一吗？同时这个角三十，这个角六十，这个是不垂直啊。 所以说这段长平行于 x 轴，是他的 d 的 横坐标的绝对值，这段长平行于 y 轴，是这个 d 的 y 的 绝对值。同时你这个点 d 在 x 轴的这个圆点的另一侧，所以说是负二，很合理。 所以说大家一定一定要记住这个，今后如果底面是个平行四边形、菱形、三角形这种你不太方便，一定要画底面平面图好吗？两个要求，同学们一是要画大，二是要画标准。 第三重点涉及到平面，我们要求这个平面的法向量。怎么求这个平面的法向量？我以这个平面 bcd 为例， pcd 为例。首先第一件事，我一定要在这个面里找两条相交直线的向量平行不好使， 去跟法向量相乘，等于零法向量，你就设成 x、 y、 z 就 行。然后 p、 c 向量跟平面向量一样， c 坐标减 p 坐标， p， d 向量 d 坐标减 p 坐标，然后它俩相乘，跟平面向量是一样的，横乘横加纵乘纵加 z 乘 z 等于这个东西。然后紧接着同学们重点赋值，赋值在这里有两个要求，第一个你 x、 y、 z 不 能同时为零，第二个我们只能负两个字母的，不能负三个字母的。 老师再说一遍， x、 y、 z 不 能同时为零，负两个字母的不能负仨字母的。啥意思？在这里我们两个式子，你只能负第一行，不能负第二行。 在这里赋值的时候，我们要让这个值尽可能的简单，让这个等式成立就行，尽量别出现分数。那所以在这里我们令 y 等于二，解得 z 等于幺三，带入到第三个式子里，解得 x 等于零，这是赋值，非常非常简单。 那么最后一步就是带入公式去求就完事了，大家把这个公式务必记起来，直线跟平面所成角，大家记住，这是正弦值，正弦是 sine， 分子是两直线向量跟法向量相乘，分母是两个向量的绝对值相乘。向量的绝对值的那个做法跟那个平面向量也是一样的，根号下横坐标的平方加纵坐标的平方加 z 坐标的平方。 二面角的话，两个平面所成角是余弦值，余弦值在这里分子是两个向量相乘，分子是两个向量的绝对值相乘。好吧，大家一定要记住，向量相乘，二面角是向量的绝对值相乘。好吧，大家一定要区分好， 那抵最后一个还有个点到面的距离，这个公式等于啥呢？这个东西，首先第一件事，我们这个点 a 跟这个面内随便一个点连线，假如说这里就是二 b 组成一个向量，分子是跟法向量相乘，分母就一个法向量绝对值。 当然了，你这个点不一定非得点点 b， 我 点 c 跟点 a 连在一起也是可以的，所以这个公式也可以是这样的， 也不一定是点 c， 点 d 也是可以的，我写成这个样子也是完全 ok 的， 大家放一万个心啊，最终你无论用哪个，最终结果都是一样的，就这个点到平面距离稍微特殊一点，别的都一样。 所以大家一定要把这些公式都记住，以及这个做题步骤大家要完善，尤其是第二步斜点坐标以及间系的时候，一定一定要把底面的平面大图给它做出来，一是要画大，二是要画标准。
1383芒果街上的咖啡厅
07:45查看AI文稿AI文稿接下来继续给大家说二零二七版必刷一百讲一书的啊，二六各章的对比。今天接着我们说第九章立体几何和空间向量的部分。 那么这套书如果说你手上有二六版，很多同学都在问，说二七版变化大不大啊？要不要重新再买啊？其实总体来讲，前面可以刷一刷前面的视频啊，给大家把章节目录给大家做了，都详细的对比了啊，总体变化，这是基础加中档版啊，就是常规版还没有 对比，后面会陆续发，就是变化不是特别大。如果说你有旧版，没必要买新版啊，就这里面有部分的当前目录的增减和个别提的这个修正啊，这是基础家中档版啊，如果说你手上有二六的啊，就没必要买新版，如果说有二五版，建议还是买新版，因为它里边提跟二五的对比来讲，肯定是修改的要多一些的啊。 好，这是呃总体目录的情况，接下来我们对照第九张，看看每一张的例题的变化啊。第九张例题几何的部分。第八张数列，第七张前面已经对了啊，可以翻之前的视频。 第九张例题几何空间向量啊，我们从呃例题类型题对比来看啊，这讲的这例题啊，这没有变化的啊， 比如例题二，我们可以看一下啊，新课标一卷啊，也没有这个例题二是有变化，例题二是江苏卷没变化。第三也是新课标一卷没有变化，全部假卷， 最起码在第一模块一里面，前面的几个例题是没有太大变化的啊，例五也没有变，例六变化不大。第二节规则几何体的结构计算，三星级的球的解密研究。新课标二卷也是没有变化的， 变式没有变，例二也没有变。然后看变式一，新课标一卷也没有变，变式二也没有变化。全国假卷看一下啊，有的是有增加的啊，来看一下啊，这个变式二 有的可能会增加一道题或两道题。反思总结，变式二，变式二是没有变化啊，多了一个例三，应该是 多了一个例三，这是增加的。这右边是二七版啊，然后例四例四顺序应该就不一样了啊。 例四也不一样啊，就是类情景题研究。情景题研究啊，就是在第一个模呃，模块里面增加了，相当于加了两道题。例题情景研究。新高考一卷，这也不一样，这是有差别的啊，有差别的，就这节的例题是有部分变化的， 看下例六对不对啊。新课标三，例六是对的，顺序上，顺序上有变化。增加了一道题， 增加了一道题啊，新高考一啊，好，没有太大变化啊。这个变化不大，变化也也不大啊，变化不大，接下来看第三节啊，增加的例题啊，增加的例题七，应该是第第三节的部分，我们看一下啊，类型一， 看一下，提亮的变化啊。嗯，外外接球的长方体的模型，它没有变。变式，变式也没有变 啊。第二第二也是一样的，没有变。外接球的圆柱模型第三第三也没有变，也是一样的 啊。我看一下变式一啊，变式一也没有变，变式二，变式二也没有。变式二也一样。变式二也一样啊，没有变变式二，一样 啊。外接球的圆锥圆锥模型例四也是一样的啊。对，也一样，变式也一样。变式二，新课标二卷也一样的。第三节都是一样的啊。那第看第四节， 第四节也一样的，类型一，类型二，一题一致啊。例题三，海南卷，这也是海南卷便是多面体的洁面问题。例四也一样， 例五一样，例六也一样啊，只有一前面的两道题的变化微调啊。所以说，如果说你你看，这是跟大家对比的第第第九章的第模块一，模块二来看一下啊。模块二， 找平行四边形的例题截选。北京卷也一样的啊，类型二也一样啊，固定的运用啊，整体啊，来看一下。类型三，类型三也是一样的。例题，这一致的，没有变化，对吧？例五例五也一样的。 第二节垂直关系先面的逆行思路， 你看啊，第九张类型题，线面垂直的逆推思路，逆推思路是是有不一样的内容的啊，看这第二节是吧。第二节看下第二节啊。啊，第二节啊。例，类型一也是一样的啊，刚才没看清楚。包括新高考一卷节选， 这个是有。呃，这个新高考一卷节选也一样，一样，全部假卷，假卷也一致的啊，就没有变化啊。变十二， 浙江卷，浙江卷截选浙江浙江啊，一样，像我已卷已卷一样。第四第四也一样。第三小节空间点线面的位置关系， 看看这个一 b， 所以 有没有变化啊。例一例二，例三，多选保持一致的。模块二也是一样的啊。模块三，空间向量应用看一下。例题，空间向量的计算保持一致的啊，没有变化。 多选也没有变化，没有变化。第二小节共面和肌底的判断啊，共面肌底的判定，这个判定的话，例三也是一样的。例三也一样的啊，包括例四多选，第二小节， 第二小节的类型一类型一类型一也是一样的啊，没有变化。 这么对下来的话，其实真的变化不是特别大，所以最起码基础中档版这一部分变化不是特别大的啊，你看第三节，我们逐个对一下，前面已经对了那么多张了， 没有变化啊，一致的，保持一致的第三小节， 第三小节我看看，稍等。模块四 第三小，第二小节，没有第三小节啊，第三小节，这左边是二六版啊，第三小节例题多选是一样，对吧？解析的部分 我们看一下，它有汇总综合的部分，这一致的啊，第三小节第四班第四节有个综合提升啊，综合提升，空间角的计算，综合小题也也一样， 一至三棱锥的解析，一二第三，古代数学九章算数第四也是一样的，这没有变化。 第九章总体来看啊，多选多选也是一致的，没有变化。接下来就剩下第十章解析几何，我们下一节视频来去对比 啊，建议大家直接入手新版，如果说手上没有二六版的话啊，以上就是必刷一百奖二零二七版的内容啊，如果说想一轮复习的，可以结合着一束的这套书，点下面链接。
14杜知书学长
12:49查看AI文稿AI文稿hello， everybody， 我是 神奇小猪。 我们在学习平面向量的时候，学过一个非常好用的方法叫间隙。我们可以通过建立一个相互垂直的二维的平面直角坐标系，把一个向量的问题转化成一个坐标运算。 那现在如果我们想研究空间向量，如果还像以前一样，咱建立个平面直角坐标系够不够用呢？不够！一个二维的平面空间，我们用两个垂直的坐标轴来表示。那当然三维空间咱就得用三个相互垂直的坐标轴去建立一个空间直角坐标系。 看好喽，直角直角意味着这三个坐标轴相互之间的关系必须得是垂直的垂直垂直垂直，这个空间几何体得是个正方体或者长方体，咱才能这么建。所以在间隙的过程当中，很多东西容易犯的一个错误就是有的宝贝啥也不管，他看到一个角就想往上冲，他随便建。 对于一个普通的三棱锥来说，如果人家没说这是两两垂直的，绝对不能这么间隙，这么间隙的话一分都没有。那么回到刚才那页， 我们就拿最简单正方题来说，三个坐标轴我已经画好了。那有同学想问，这三坐标轴谁是 x， 谁是 y， 谁是 z 呢？咱是不是随便把这 x、 y、 z 进行排列组合，在这怎么写全都合理呢？不是。 就像我们平面直角坐标系一样，我们一般是把水平的这个当成 x 轴，竖直的这个当成 y 轴，我们平时几乎很少说把它俩调换个位置啊，我偏把这个当成 x， 把这个当成 y， 你 这么画多奇怪啊。所以平面直角坐标系有顺序，空间直角坐标系 x、 y、 z 之间也有顺序。 我们先把其中一个轴当成 z 轴。当然理论上你选谁当 z 其实都行，但是我们习惯于把这种数值的轴当成 z 轴，那下面的问题，它俩谁是 x， 谁是 y 呢？想确定这个问题，这得需要我们的右手，我觉得这个结合实际可能更好讲一点。所以我们来到我家的厨房， 两个筷子分别代表着 x 轴和 y 轴，这个 z 轴没用筷子，因为筷子立不住，所以我就用牙刷来代替。大家将就看一下。第一步，我们拿出右手，把大拇指摆在和 z 轴同方向上，然后把四指转动九十度，握拳。在我们四指旋转九十度的过程当中，九十度很重要哦， 四指先碰到的轴叫 x 轴，后碰到的轴叫 y 轴。这个顺序不能乱啊。当然，如果有宝贝不小心把这个轴当成了 z 轴，那 x y 怎么来看呢？还是拿出右手大拇指指向 z 轴，然后四指握拳，旋转九十度的过程当中，我发现先经过了第一个轴 叫 x 轴，后经过这个轴叫 y 轴。大家会了吗？举个例子喽，现在如果是个长方形，这个长度分别是二比 比、一比一，那如果我想间系的话，当然以哪个点为圆点都可以了。比如说我以 d 点为圆点，第一个轴，第二个轴，第三个轴。数值这个轴是 z 轴的话，那你小手一比，咱们转九十度的过程当中，先划过这个轴叫 x， 后划过这个轴 y。 那 第一步细件好了，那么在这个三维空间内，他每一个点的坐标都咋求呢？刚开始学的宝贝咱慢慢来，咱先从简单的开始。比如说，如果一个点在其中一个轴上，比如说 a 点，我发现他只在 x 轴上，跟 y 和 z 没关系， 所以 a 点我只需要看他的横坐标就可以了。那三维坐标呢？应该是有三个数呗， a 点的横坐标，我就看看 a 这个点到原点的距离多长。这个长度我们知道，题目中告诉我了，是一 y 轴， z 轴的坐标应该都是零。 嗯，那类似的宝贝们肯定会了，那 c 点坐标，那会不会求？太简单了，它到圆点的距离是二，所以 c 点的 y 坐标应该是二，其余的坐标 都是零。再来一个，嗯，第一点的会不会求？第一点它在 z 轴上，那我只需要去看它的第三个坐标，题目中说这个长度是一，那它 z 轴的值就是一， 别的都是零。那坐标轴上的点你会求了？那我们再来看一看，在两个轴所形成的平面上，这个 b 点怎么来求呢？看，好喽，这个 b 点，它就在这个面上，就相当于这是你家墙角的地面， b 在 地面上， 它的高度是零呗，那自然它 z 轴的值就是一个零，那 x y 的 值，那就是平面直角坐标系的事了呗。如果宝贝们刚开始学的时候看不清也没关系，咱就把这个面重新画出来，画成平面图形。大家来看，这是 d 点， c 点 dc 长度是二， d， a 长度是一，两个坐标轴分别是 x 轴和 y 轴。那大家自己来看这个 b 点坐标，它在 x 轴上的坐标应该跟 a 点坐标是同一个值，这值是一，它 在 y 轴坐标。我要过 b 点做 y 轴的垂线，它的纵坐标跟 c 的 纵坐标是同一个值，这个值是二，因此在这个平面内，它的坐标是一二，那在这个空间直角坐标系内，再加上它的 z 轴的值，它就是一二零。 所以类似的 a 一 我们也可以写喽。这个点在 x、 o、 z 这个平面内，跟 y 没关系，所以它的 y 轴坐标想都不用想，必然是零做 x 轴垂线，这个点在 x 轴的位置应该是长度是一过 z 轴，做垂线这个高度也是一，所以一零一 就是 a 一 点坐标。类似的 c 一 点，太简单了，大家可以自己来练一练。它是零二一，那最后也是最难的一个。如果一个点它既不在坐标轴上，而且它也不在一个基本的一个平面上，它在三维空间里面是一个随意的任意点，我怎么去看呢？ 这 b 点相当于是我把 b 点数值往上提高了一个单位，换句话说，相当于 b 一 点在 x、 o、 y 这个平面内的投影就是点 b。 那 你说我把 d 往上平移一个单位，那只需要把它这个高度值加一不就得了吗？所以 b 一 的值坐标应该写成一二一， 是不是很好理解？那类似的我也可以怎么看呢？我也可以换一个方向。现在我过 b 点做 x、 o、 z 的 投影，那投影投影其实就是做线面垂直，为这么一垂直，这个投影点应该正好是 a 一 点。 所以我如果想把 a 一 点转化到 b 点的时候，相当于我要在 y 轴这个方向把它平移两个单位，那我就把 a 一 点 y 的 值加二，那不就正好是一二一吗？ 当然，这个是一个呃，长方体的例子，这个例子实在是太简单了，真正考试很少考这么简单的。所以今天我拿一道高考题 让大家来练练手。别忘了第一步，先间隙，再求点的坐标。那间隙，咱得先找三个相互垂直的三条线作为坐标轴。那来看题，这道题是二零一九年的高考题，这个这个直四棱柱，它的底面是菱形，哎，注意，底面可不是正方形，而是菱形， 他要干嘛呢？他说 a、 a 一 是四啊，这个高是四，然后呢？ a、 b 是 二，所以底面这个菱形。我发现这个角度 b、 a、 d 如果是六十度的话，底面过于复杂，我可以把它单独拎出来画。 a、 b、 c、 d 这个菱形其实我们特别熟，你这其中一个是六十度，那就意味着这中间对角线如果一连的话，它应该是由等边三角形拼起来的菱形。所以对于这道题来说，有的宝贝一间隙说啊，太简单了。 x 轴、 y 轴、 z 轴对吗？不对， 因为非常明显，你这个角度它是一百二十度，不是九十度，对不对？所以为了确定各个点的坐标，我们第一步间隙的时候，要在这个面内去找直角才行。哪有直角啊，题目中好像没有，白白给我，那就硬着头皮找呗， 你说跟 d、 c 垂直那条线咋画？那我肯定等边三角形三线合一喽，这就是我想要的 x 轴， 还有 y 轴，这个 x 轴如何确定？你其实是把 d 的 终点即为点， g 连接 d、 g， 那 x、 y、 z 三个坐标轴让我们轻松拿下。见完了戏就该找坐标了。比如说，问大家一个小问题吧，你说 b 点坐标，你会不会求呢？ b 点，你在这不好看的话，大家可以在这个平面图形上去看嘛，过 b 点做 x 轴的投影， 那因为这整个边长是二，所以呢，这个长度就是一，它的高应该是根号三。 b 点在 x 轴上的投影坐标应该是根号三。那 b 点在 y 轴方向上的投影，这个点坐标长度应该是一， 所以 b 点坐标根号三一。哎，但是三维坐标呦，别忘了， b 点在 x o y 这个地面上，它的 z 轴高度是零， b 点咱就轻松搞定。那类似的，如果我问你 a 点怎么求，那求法跟 b 点是一样的呗，只不过它俩的 y 轴坐标，一个是正一，一个是负一而已了。根号三负一， 在三维空间内，根号三负一零，有了 a， 那 你说 a 一 好不好求，你就把它往上拔高四个单位长度，所以它的值应该是根号三负一四。那问个再难一点的问题，这条线段上的中点 n 点坐标，大家怎么求？ 中点中点，中点坐标公式大家是可以用的，因为 d 是 圆点，所以呢，我 d 肯定是零零零。中点坐标公式我给大家放大， x 加 x 除以二，两个端点的平均值是二分之。根号三 y 加 y 除以二是负，二分之一四加零除以二，四和零的平均值就是二，这个坐标就是重点。 n 的 坐标是不是非常好求？ 所以高考题间隙也没那么难嘛，每个点我们都能求，那求完了点的坐标跟我们向量有啥关系啊？平面向量， 它的坐标咋求来着？我们先把起点坐标写出来，再把终点坐标写出来，我随便写一个三五，那向量 a、 b 的 坐标就是用终点坐标减去起点坐标，终点减起点三点一应该是二，终点减起点四减一应该是三。 平面向量，你会求空间向量一模一样。现在我问大家 n b 向量，哎，这是我随便找的哈，他的坐标怎么求？这里面 b 是 中点，所以中点减起点二分之二三， y 坐标中点减起点一减负二分之一应该是二分之三，最后中点减起点负二，这不就一下求完了吗？ 所以现在大家也会间隙了，也会求点坐标了，也会求单个向量的坐标了。一个向量，你搞懂了？那如果出现多个向量之间进行加减数量积的这些运算， 我该怎么算？空间向量平面向量一模一样。第一个，哎，怎么求一个向量的模长来着？向量的模长就是起点到终点两点之间距离嘛。比如说 a 向量模长，我们是根号下它方加它方，这是用勾股定律推出来的，一方加零等于一。 b 向量模长也是根号下，负一方加三方，应该是根号十，那空间向量怎么办？这坐标有三个数，我们也是平方和开根号，一方，零方二方。最后答案，一加四，根号五，换一个 b 向量模长。哎呦，我还会做他方加他方加他方，开根号啊。最后答案， 九加一加啊，根号加十一求模长，这个运算是一样的，加起来也是一样的。我问你 a 加 b 怎么求？我们就用对应相相加负一加一，零零加三三， a 减 b 怎么求？对应项相减一减负一是二，零减三是负三，我们直接上难度啊。问，你这个 a 向量加二， b 向量怎么求？看好喽， a 向量加二倍的，它就相当于是一加二倍的负一算完等于负一。 再来一遍， a 向量加二倍的 b 向量零加二倍的三等于六。再来一遍， a 加二 b， a 加二 b， 二加上二倍的 e， 这应该是四。 第三个数乘运算，你就把一个向量乘一个值，比如说三 a， 那 咱就把 a 向量每个都乘三，那就变成了三零。这个问大家五 b 是 多少，就把 b 向量三个坐标都乘五，太舒服了。 讲完了这些现行运算，咱们做几个小练习，热热身考试，如果真的遇见他们，大家就乐死了。 a 向量给我了， b 向量给我了，他问我，二 a 减三 b， 二 a 减三 b 二倍的一减三倍的一，二 a 减三 b 二倍的负，三减一 减三倍的一，二 a 减三 b 二倍的二减三倍的零。所以三个坐标一算负一负九四，这就是答案。第二题，呃， ab 都给我了，他问我， a 减二 b， 那 我那魔长，那我先把 a 减二 b 是 谁先算出来，二减二倍的三负四， 三减二倍的一，一逗号五减二倍的负四，那应该是五加吧，等于十三，那求魔长好不好？求太好，求了。平方和再开根号，那就是根号下十六加一加十三的平方应该是一百六十九，那就是一百七加十六，等于根号下一百八十六。 第三题，他说平行于这个，呃，向量的单位向量是多少，我们知道你第一，你得先跟它平行，在一个向量已经确定的情况下，你想跟人家平行，你最后写完那个结果，肯定是在它的基础上再乘一个数，进行一个数乘运算，才能实现把这个向量 进行伸缩，那具体伸缩多少？那你得看俩向量长度的倍数，应该是 a 向量的模长，所以 a 向量的模长太好求了，根号下 他方，他方加他方，一加四加一。最后答案是根号六。所以你把人家原来的根号六缩成了单位长度是一，相当于你把原来这么长度除以根号六。因此把这三个值，每个值我都除以根号六，第一个值除以根号六。六分之根号六，第二个值除以根号六，第三个值除以根号六。 那这是不是最后答案呢？注意，人家只说要单位向量，但是人家没说要哪个方向的，这个单位向量可不可以反着画呢？一二，如果正好是反向的，也可以作为答案。所以一定要加上第二个答案。每一个值如果都加负号，那也是正确的呀，可千万别拉了。
160一数儿的课高二
04:22查看AI文稿AI文稿这道题我感觉除了出题人，我是领会最深刻的，甚至我感觉出题人都不一定有这么个想法。这道题目啊，是二零二三年到二零二四年就出现了一道题目，但是给了答案，你可以去搜到。现在也没有出现我这种想法，因为我这个题从来就没在网上讲过。来看看这个题目， 空间向量，俩俩之间的夹角均为六十度，膜膜膜全给，又出现了两个向量，分别满足这样的等式。总共出现了五个向量 啊，一般的同学早都懵掉了，学霸坐到这里也基本上全赶这亮红灯了是吧，报警。这个题目考察啥呢？你要是看答案的话，看完之后我只能说，你勉勉强强看懂，但是你根本他不知所欲， 一顿不等式利用下来，最后得到这个结果。行上完全没有理解数字层面的理解，那实际上是解决不了任何问题的。数学的本质是图形啊，数形结合，数形结合。数学是因为先有了形，才有了数。 好吧，来，这个题目真正考拉什么呢？本质就是立体几何的问题啊，我一说这里，简直你下巴都惊掉。怎么讲来，我们构建一个三中立，然后我们给它标上点这里呢？我们将向量变成一个空间的向量，然后使其用有限线段表示， 这样的话，我们就具象化，向量 d， a， 向量 d， b， 向量 d， c 分 别代表小 a、 小 b 和小 c。 好 了，接下来那向量 x， 向量 y， 这个怎么表示呢？一会你就知道了。来，先拆解第一个表达式。这个表达式的拆解怎么去拆呢？看着啊，这个向量小 y， 我 就给它命名为向量 a y 啊，这个有条线段。好了，那接下来这个向量 a y 加上向量啊 d a 再减去向量 d b， 它一合就变成什么呢？向量 b y， 所以 第一个表达式最终做的它。同学，你要是聪明的话，你就会发现，这个立体几何里 ab 是 固定的点， ab 是 固定的点，线段之间的长度呢，通过它描述的也是能够计算出来的，所以这个动点 y 实际上就是 ab 球面上的点 啊。好了，第一个动点歪我们搞定，接下来我们再研究研究啥呢？第二个表达是，这个表达是一亮。同学又蒙了，什么意思呢？同学，你要知道这叫做啥呀？ 投影像亮啊，你不要只会傻傻的磨磨口塞音，不要只会那个那个只能解决一般化的问题，本质是啥呀？像亮的空间投影好了，怎么理理解呢？ 来，我们这个时候啊，把这个向量 d c 啊给他单独拿出来，我们会是第二个图在这里。好了，那向量 x 在 向量 d c 上投影，投影长度应该是多少呢？由于 d c 的 模长是二，所以 d x 投影相等的长度应该是正向的六，所以这个问题怎么去理解呢？来，我们设动点 x 啊，使其满足 d x， 这个向量等于 x， 它俩相乘等于十二，所以动点 x 在 哪里呢？就在一个平面，这个平面，使之 d 点到这个平面的距离刚好等于六 啊，如图所示。哎，这样的话， d x 在 这个 dc， 这个 dc 也是垂直于平面的投影，始终能够满足这样一个等通关系。所以啊，同学，这个时候我们就分析出来了，原来 x 就 在下面这个平面上运动好了，最关键的问题来了，下面来减去向量 x 好 了，我们最终怎么能给它将其合并到一起呢？ 这个时候是向量的减法问题，那我们刚才是 a y 等于小 y， dx 等于向量小 x， 我 给它合在一起啊，那就给它共起点是不是好了？这个时候由于高中的向量是可以自由移动的，所以啊，这个向量 a y 啊，我们就可以给它移动，使之。使之什么呢？使之这个 a 点和 d 点重合 啊，所以好了，那这样的话，我们这个 y 啊，这个动点在哪里呢？就在这个图中所呈现的这样的一个球面上运动 好了，所以整个问题就变成了动点 x 在 底面上运动，动点 y 在 球面上运动，此时好了，向量 y 减去，向量 x 就 变成了动点 x， y 之间的距离啥时候最大呀？同学们啊，啥时候最小啊？那就是 过球心呗，向底面去做垂线，这个垂线段再减去半径呗。所以一个简单的计算，这道题目就搞定了，同学全网首发，你可以看一看这道题目精不精彩。 通过这道题，我也希望你能够真正的理解什么叫做数学知识的串联，你学数学真正的学到了第几个层次？好吧，关注老师。
26:24查看AI文稿AI文稿向量，越早掌握越好的数学核心技能，它能让你在遇到不会的代数或者几何题时，拥有最后一搏的底牌。其实它很简单，今天咱们一个视频把它讲明白。我先随便画一条线， 这是不是一个有大小的量？那我再赋予它一个方向，是不是？这就是一个有大小还有方向的量，这就是向量。那如果再画一个和它大小相同，方向也相同的量， 那如果咱们把它看成向量 a， 把它看成向量 b， 咱们可不可以认为向量 a 就 等于向量 b 啊？大家再看一下定义，是不是它俩大小相同，方向也相同啊？ 我们用起点和终点的方式表示的话，也就是这个点是 a， 这个点是 b， 这个点是 d， 向量 ab 等于向量 c d， 但它们的位置也不同啊。这里其实隐含着一个条件，向量它可以平移，这一点非常重要。我圈一下， 了解了向量的可平移性，那是不是咱们就可以把所有向量的起点移到平面直角坐标系的圆点？假如这是向量 a， 这个它的终点是 三次，那是不是咱们就可以把向量 a 表示为三次？ 那如果再来一个向量 b， 这个点是一一，那 咱们也就可以把向量 b 表示为一，因为它们的起点都在零零。那现在咱们让这两个向量相加，该怎么办呢？ 我画个图，我从家到学校，再从学校逃课去玩具店，最终在玩具店被我妈抓获，咱们把它看成项链 a， 把它看成项链 b， 行不行？ 那也就相当于我从家到了学习，呃，玩具店把它看成项链 c 行不行？那有同学就说了，我还去学校了呢，但是我妈和项链都只看结果，也就是都只看它的起点和终点， 也就是向量 a 加向量 b， 它就等于向量 c， 我 妈就认为我就去了玩具店，于是我被胖揍了一顿。那现在向量 a 和向量 b 的 起点相同，那怎么办呢？根据向量的可平移性，咱们能不能把向量 a 挪到这里？ 那这是不是又是一个三角形？咱把它补一下， 这是不是向量 a？ 这是不是就是向量 c， 咱把它补全。向量 c 是 不是也就是这个平行四边形的对角线？ 于是我们向量 a 加向量 b 等于向量 c， 这就是三角形法则， 这就是平行四边形法则。那咱们回到刚才的问题，向量 a 加向量 b， 它等于什么？这个图太小了，我再画一遍 向量 a， 咱画大一点，这个点就是三四。向量 b 在 这，它就是一一。那根据向量的可平移性，咱们能不能把它挪过来？ 那这个点是不是也就是一？也就是它这横纵都是一，我画的不太标准，那这项量 a 和向量 b 相加，根据三角形法则，是不是也就是连接它的起点 和终点，这就是向量 c？ 那 同样观察这两个点，从这到这是不是就相当于给他的横纵坐标都加上 一呀？也就是向量 c 等于三加一，也就是四四加一，也就是五四五。 大家观察这个 ab 是 不是也就相当于让三加一，让四加一，也就是它们的横纵坐标分别相加，这就是向量的加法。那一个向量 如果乘以一个常数，比如二怎么办？那也就是给它延长一倍呗，也就是它的横纵坐标同时乘以二呗。那比如这个向量 c 二， c 等于什么？它是不是也就等于八十？这就是向量乘以一个常数。那如果一个向量乘一个向量呢？这点比较复杂。我擦一下， 我们规定向量 a 为 x 一 y 一， 向量 b 为 x 二 y 二，那向量 a 加向量 b 等于什么？它是不是等于 x 一 加 x 二， y 一 加 y 二，这是一个向量。 那喇嘛的贝的向量 a 呢？它就等于喇嘛的贝的 x 一， 喇嘛的贝的 y 一， 它仍然是一个向量。 那向量 a 乘向量 b 是 什么呢？同学们注意，这里一定是个点，它被称为点乘，它就等于 x 一 乘 x 二加 y 一 乘 y 二。同学们注意，这是一个 数，我们称它为向量的数量积或者称为内积， 那它为什么是这个样子？这个有些复杂，同学们可以把它看成人为规定，但其实它如果是个数，它只能长这个样子。 那向量 a 的 平方等于什么？就是把这里的 x 二、 y 二换成 x 一， y 一， 也就等于 x 一 方加 y 一 方。我画个图， 这是向量 a， 把这个三角形补全，这是不是 x 一？ 这是不是就是 y 一？ 那 x 一 的平方加上 y 一 的平方，根据勾股定律，是不是就等于这个斜边的平方？这个斜边是不是就是向量 a 的 长度？咱们把它规定为向量 a 的 模， 这个东西就是表示向量的长度，那也就是说，向量 a 的 平方，它就等于 向量 a 的 模的平方呗。知道了模的定义，剩下的就好办了。那向量 a 乘向量 b 到底等于什么？我画个图，向量 a 在 这，我画长一点， 向量 b 在 这那如果向量 a 等于 x 一 y 一， 向量 b 等于 x 二 y 二，那是不是这就是 y 一？ 从这到这就是 x 一， 这就是 y 二，从这到这就是向量 a 与 x 轴的夹角，咱们令它为阿尔法。向量 b 与 x 轴的夹角，咱们令它为 比特。那向量 a 乘向量 b 是 不是等于 x 一 乘 x 二加 y 一 乘 y 二，那它们四个分别等于什么？ x 一 是不是等于向量 a 的 长度？也就是 a 的 模乘 cosine 尔法 x 二是不是就等于向量 b 的 模乘 cosine b？ 它那 y 一 是不是等于向量 a 的 模乘 sine alpha？ y 二就等于向量 b 的 模乘 sine beta。 我 们把这四个带进去，是不是也就是向量 a 的 模乘向量 b 的 模乘 cosine alpha cosine beta 加 a 向量的模乘 b 向量的模乘 sine alpha， sine beta。 提出一个 a 向量的模， b 向量的模，是不是也就是 中间加号这个样子？ sine alpha， sine beta 加 cosine alpha， cosine beta 是 啥？是不是也就等于向量 a 的 模乘向量 b 的 模， 再乘上 cosine 阿尔法减倍它，那 cosine 阿尔法减倍它是不是就是上面这个图中间的假角习特的 cosine 值？咱们把它看成习特，也就是把阿尔法减倍它换成习特， 这就是向量内积最重要的公式。有了这个公式，如果咱们想正两条直线互相垂直，是不是只需要它的夹角斜，它等于九十度，那 cosine 九十度是不是等于零？也就只需要它等于零即可。 那如果要这两条直线的夹角是多少度，是不是只需要把它挪过去，求 a 向量乘 b 向量除以 a 向量的膜乘 b 向量的膜就可以了。 另外， cosine 是 不是天然小于等于一，那也就是 a 向量乘 b 向量天然小于等于 a 向量的膜乘 b 向量的膜。 有了这些，我们就可以轻松解决一些代数和几何的问题了。我擦一下，我全擦了。咱们现在来看题。 接下来咱们来看例题。第一题证明柯基不等式，咱们能不能令向量 m 为 ab， 向量 n 为 x y， 那也就是向量 m 乘向量 n 等于向量 m 的 模，乘向量 n 的 模，再乘 cosine 它呗。 那把它们带进去，也就是它就是 a x 加 b y， 那 向量 m 的 模是什么？是不是根号下 a 方加 b 方啊？ 那 n 向量的模是不是就是根号下 x 方加 y 方啊？再乘上 cosine 它，那 cosine 它是不是一个小于等于一的数？那把一个小于等于一的数去掉， 是不是它就变大了？这里就是小于等于那两边同时平方，是不是也就是 a 方加 b 方， x 方加 y 方，大于等于 ax 加 b y， 括号的平方 得正？下面来看第二题。呃，第二题有点多，我擦一下。接下来来看例二。告诉我们， a n 等于 c m， 也就是 a n， 咱们令它为 a， 那么 c m， 它也就是 a。 又告诉我们， a c 等于 b m， 也就是这条，咱们把它看成 b， 那 b m 是 不是也就是 b？ 要我们正角 bpm 等于四十五度，也就是 这个角位，咱们不妨令它为奇它，那咱们是不是只需要找到向量 am 和向量 n b 的 值，让它俩相乘，再除以它俩的模，是不是就等于这个角？奇它的余弦值啊？那咱们能不能把 c 看为零点？ 那么 am 咱能不能找 ac 和 cm 呀？ 那也就是向量 am 等于向量 ac 加向量 c m 呗，也就是向量负 ca 加向量 c m 呗。那负的向量 ca， 咱们先只看 ca 是 不是 ca， 它就等于 零 b， 那 前面还有个符号，是不是就是给它俩都加一个符号，也就是零负 b， 那 再来看 c m， 向量 c m 是 不是就是 a 零啊？它俩相加，是不是也就等于 a 负 b？ 再来看 n b n b 是 不是也不好找？那咱们就找 n c 加 c b 呗， 也就是负 c n 加上 c b， 咱们先看向量 c n， 向量 c n 是 不是就是零 b 减 a 啊？ 那这个符号是不是就是零 a 减 b 啊？那向量 c b 呢？向量 c b 是 不是就是 a 加 b 零，也就等于 a 加 b， a 减 b， 那 让它俩相乘，咱们把它看成向量 m 行不行？ 把它写成向量 n 行不行？也就是向量 m 乘向量 n 除以向量 m 的 模，乘向量 n 的 模呗。它是不是就等于 cosine 奇特呀？往里带呗，也就是 cosine 奇特，它等于 它乘它。也就是 a 方加 ab 减 b， a 加 b 方 a b 再除以根号下 a 方加 b 方乘，根号下 a 加 b， 括号的平方加 a 减 b， 括号的平方，那上面是不是 a 方加 b 方啊？ 那把它打开，是不是里面的正二 a b 和负二 a b 抵消了？也就是根号下 a 方加 b 方乘。根号下 二 a 方加二 b 方。那能不能在这里提出一个根号二，那这里是不是也就是根号下 a 方加 b 方？ 两个根号加 a 方加 b 方相乘，是不是就是 a 方加 b 方，它也就等于 a 方加 b 方。除以根号二倍的 a 方加 b 方，也就等于根号二分之一，等于二分之根号二。那习特是不是就是 四十五度 b 二，搞定，我擦一下， 咱们继续接下来来看 b 三、 告诉我们 m 为 ab 中点， p 为平面内任意一点，还告诉我们 pa 方加 pp 方等于二 pc 方。 让我们求证 pm 垂直于 cm。 这里之前写错了，这题用几何方法有点麻烦，但用向量方法非常简单，让我们求证向量 pm 乘向量 cm 等于零啊。 那咱们不妨把图上的所有点的坐标都标出来，令 c 点坐标为零零。那咱们不妨令这里是小 a， 这里是小 b， 那 b 点的坐标是不是就是 a？ 零， a 点的坐标是不是就是 零 b？ 那 既然 m 为 ab 中点 m 是 不是就是二分之 a， 二分之 b， 那 p 为平面内任意一点，是不是咱们只能令 p 点的坐标为 x y？ 那 咱们看一下向量 pm 和向量 c m 呗。 向量 p m 是 不是等于中点减起点，也就是二分之 a 减 x， 二分之 b 减 y。 再来看 c m 中点减起点，是不是也就是二分之 a， 二分之 b 啊？让它俩相乘呗， 是不是也就等于四分之 a 方减二分之 a x， 再加上四分之 b 方 减二分之 b y？ 现在就看它是否等于零呗。 咱们再看已知条件 p， a 方是不是就是 x 减零括号的平方加 y 减 b 括号的平方， 再加上 p b 方，也就是 x 减 a 括号的平方加 y 方， 它是不是等于二 pc 方 pc 方是不是就是 x 方加 y 方？还有个二就是二 x 方加二 y 方呗。 都打开， x 方加 y 方减二 b， y 加 b 方加 x 方减二 a， x 加 a 方，再加 y 方，它等于二 x 方，加二 y 方呗， 这是不是二 x 方？那它它和它是不是就抵消了？同理， y 方 y 方，二 y 方抵消了，是不是也就是 a 方减二 a x 加 b 方减二 b y， 它等于零呗？那同学们再观察这两个式子， 是不是它提出一个四分之一就是这个式子呀？那它是不是必然就等于零？咱们是不是得正了？第三搞定。我擦一下 来看第四题，这就是简单的向量运算问题了。先看左边，这是不是就是向量 c b 啊？再给它加个膜呗。那再看右边，能不能把它写成 向量 m b 减向量 m a， 再加向量 m c 减向量 m a 啊？ 那是不是就好办了？它是不是等于向量 ab 加向量 ac， 三条边是不是都出来了？ a b c， 那 向量 ab 加 ac 是 不是就是它？咱把平行四边形补全， 令这个点为 d， 那 a b 加 a c 是 不是就是这样了？ 也就是说 a d 的 膜等于 c b 的 膜呗？也就是它俩长度相等。那什么样的平行四边形，两条对角线相等啊？是不是它必然是一个矩形， 所以角 a 必然是九十度，它必然是一个直角三角形。数学问题第四题搞定！我擦一下， 腾出场子，咱们来看最后一道高考题。第一问，求角 a。 咱们观察这个式子，左边有 c b， 右边有 a， 这是不是一个其次式？ 那咱们能不能用正弦定里边画角？那也就是二 sign c 乘 sign a 乘 cosine b。 加二 sign b 乘 sign a 乘 cosine c， 它等于 根号三 sign a 呗。那这里和这里是不是都有 sign a 啊？那是不是它们就约掉了？ 那这个式子是不是就是二倍的 sign c cosine b 加 sign b cosine c， 它是不是等于根号三？把二挪过去， 也就是二分之根号三，那这是不是也是 sine？ b 加 c 啊？它是不是等于二分之根号三？那让我们求的是角 a 在 一个三角形里，是不是 b 加 c 就 等于 pi 减 a， 那 sine 减 a 是 不是就是负 sine 负 a， 那 sine 又是个奇函数， 那是不是负三？负 a 就 等于三， a 它等于二分之根号三，那它是不是在一个三角形内？它要么等于六十度，要么等于一百二十度？ 同学们，看这个条件， c 大 于 a， 大 边对大角，那 a 是 不是就是小角？所以 a 它只能等于六十度？第一问搞定，再看第二问，咱把这个三角形画出来， 我画的不太标准，这是六十度， a b c 告诉咱们， b 等于二， d 为 bc 中点，那 d 大 概就在这呗，我在上面写，那是不是 它俩是相等的，连接 a， d 六十度沿挡，我把它挪到旁边， a， d 等于根号七，那这些条件怎么用？同学们一定要记住，看到中点，首先就要想到向量，咱们把这个图形补全， 这就是一个平行四边形，那咱们用这个点尾 e 连接 d， e， 因为 d 是 中点，所以 d 一定是两条对角线的交点。那我们是不是就知道向量 ab 加向量 ac 等于向量 a e ab 咱们不知道，咱们令它为 x， a c， 咱们知道 a e 是 不是咱们也知道，这是根号七，这也就是根号七呗。 a e 就是 二倍根号七呗。 但是这些向量它不是长度，那咱们怎么把向量变成长度呢？是不是给它平方啊？ 也就是向量 ab 的 模的平方加二倍，向量 ab 乘向量 ac， 再加向量 ac 的 模的平方等于向量。向量 a 的 模的平方， 它是不是就是 x 方？同学们观察这一项，是不是向量 a， b 乘向量 a、 c， 它等于向量 ab 的 模，乘向量 ac 的 模，再乘 cosine， 它也就它俩的夹角， 那 cosine 它也就 cosine 六十度，等于 cosine 三十度， cosine 三十度是不是就二分之一？二分之一乘二是不是就是一？ 那也就这样呗，也就是 x 方加二， x 加四 等于二倍根号七的平方等于二十八，把它挪过去，也就是 x 方加二， x 减二十四等于零，一一负四六， x 等于四或者负六，因为一个长度它不可能是负数， 所以 x 只能等于四，也就是这里 x 等于四呗。那三角形 a、 b、 c 的 面积是不是就是二分之一？乘四乘二，再乘三六十度？ 这就不用我算了吧，搞定观众们，五年级又是五道数学题。
1444鸣远五年级
