2026安阳中考二模数学难吗
评一下今天上午安阳的奥莫试卷，聊聊这个试卷好与不好的地方啊。好，先说第七题啊，这个第七题是要用到物理学的知识，知识相考相似，要用到物理学的知识，但他没有在题中给出来，也就说对于没有物理基础的这道题是没法做的啊。这道题应该是要给出的好， 这个里面第九题，这个第九题考的很新，我们在网格中的计算还是比较常见的，但是一般在网格中会去考跟这个，呃三角函数相关的，这个是考的是基于 网格的一个相似啊，挺新颖的。这个利益挺新的啊。第十题经典的一千三垂直啊，很好，挺好的一道题啊，跟规律探索结合在一起。第九、第十质量挺高的。然后接着是，呃，第十五题啊，这个这个十五题其实放在这里不合适啊，这个十五题基本上是口算就可以算出来， 这个计算很简单，分类也很清楚，也就说这个题不是一个合格的亚洲的题啊。 呃，然后，呃，这里面第十八题考了一个，呃，四边形的判定，考了一个尺规作图，但就是因为这道题挤占了圆的题，导致了这个试卷中其实是没有圆的题的，这点我认为也是不好的。 呃。然后，呃，接着我们来看啊，这个应用题出的挺好的。这个应用题的第一问是个分式方程，第二问没有在考传统的这个啊，跟不等式的结合，而是两个方案去作比较，你可以去分类讨论，也可以去画出函数图像，结合图像去都行啊，挺新的 啊。二十二题很常规，二十三题，二十三题，第一问，第二问都很简单啊，第三问要用到圆的思想，也就说整个试卷好的地方是有几道题出的挺细腻的，然后不好的地方是有这么几个，第一个是第七题，他没有交代背景， 第二个是啊，没有考圆的题，圆的解答题啊。第三个是这个试卷没有特别难的题，那就会导致，嗯，它区温度可能会拉的不明显啊，起不到区分的这个这个目的。
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那我们现在先做一下这个 d c 为幺的情况， d c 为幺的话，那么它是根号，那么这个边是不是也是根号，对不对？因为它满足了一个啊，这个时候就出现了这个角，等于这个角，对吧？ 加这个角九十度，这个角加这个角也是九十度，所以下面这个的话也是个等腰线，也是个等腰线，所以我们能知道这个边也是一个根号二， 他让我们求的是 bc 啊，所以说第一个答案是不是出现了，对吧？二倍根二，还有一个一啊，斜边是一个二倍根号二啊，因为一个直角边是一个一，所以说我们可以利用勾股定，就可以求出 bc bc 啊，这就是八减一再开方，是不就是一个 啊？根号七，对不对？第一种情况比较简单，第二种情况怎么去找呢？第二种情况就是我刚说这个以什么呢？以 a c 为幺啊，以 a c 为幺。好，我们看一下这个以 a c 为幺，以 a c 为幺的，一个一个一个一个等腰三角形啊，然后呢？那这个时候的话，嗯，那我们仍然在这个图中去画，好吧， 以 a c 为幺，来，我把这个角 a c 为幺， 当然我仍然是标记这个什么呢？标记这个点 d 啊，好，这个边啊，以 a c 为幺啊， 以 a c 为幺，当然这个啊， a 为顶点，这个肯定是 a 为顶点，不可能是 c 为顶点啊，因为这个边是一个根号二啊，仍然是根号二， a c 为幺，那么这个边是不也是一对吧，这个边也是一啊， 这边是一个等腰三角形啊，这边也是个等腰三角形啊，那么那意味着这个角就等于这个角，这时候我们要找一下角之间的关系啊，因为我们说解一个奇的话，解一到几个奇的话，无非就是边的形，边的这个角键，还有角的这个角键啊， 好一一啊，那么这俩角相等啊，那下面的话，必定必定会出现一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的话，那肯定是一个，这个边也是一个二，对不对？也是一个二啊， 那就意味着这个角等于这个角，对不对？如果我们设这个角的 r 法，这个角就是 r r 这个角是不是也是 r r， 这个时候你会发现啊，三 r 法就等于什么呢？来我们观察一下 a c 为幺，对吧？ a c 为幺没问题啊。 嗯，好像画的这个图不太合理，对不对？画的图不太合理啊？那这样的话，我们说这样的话是不是就分不出来啊？分不出来它是一个什么呢？分不出来啊，那我们重新画下图吧。好吧， 这样的话是不是满啊？我们先说一下这种情况吧，这种情况为什么我把它排除掉了呢？因为，因为很明显是不满足要求的，为什么呢？因为 f 啊，就是 f， 再加上二 f 等于等于九十度啊，所以说这个时候你会发现 f 就 等于三十度， 而三十度的话，这个时候你会发现三十度所在之腰边等于斜边一半，这个边应该是一个二，但是我们现在画出的情况是一加根二，所以这种情况就把它排除了啊，那我们再画一种情况， 另外一种情况，那这个时候我们说这个，呃什么呢？这个线就不可能是这个线了啊，不可能，这个线就是不可能是从直角零点划出一个线，那应该是存什么呢？ a 这个点划出一个线啊， a 这个点划出一个线，对吧？ 就通过我们的一这个一帆去构造啊，这个时候你会发现啊，来先把这个 ab 边先连一下吧。假设就这种情况 仍然是以 a c 为腰啊，就是这个时候以 a 为圆心啊，以 a c 长为半径来做出来一个什么呢？做出来一个圆弧啊，这个时候我们截出来这个边是一个一，这个边是一啊，对吧？这个边是一， 这个边是个一啊，那这个时候我们会发现啊，当然，当然他可能是这种情况，也可能是这种情况，就是我们现在画的是和刚刚情况一样的，所以说我不可能在这边截，那这时候以就以 a， 从 a 来引出一条线，对吧？从 a 来引出一条线， 那这个点就是点 d 啊，这边是一个等腰三角形，这边也是个等腰三角形啊，而这边是一个直角，所以说这边就会发现它是一个等腰直角三角形，所以这个边就是一啊，就这个角是一个四十五度，这个角也是四十五度，那么这边的话就是一个二十二点五度，二十二点五度的一个一个三角形，对吧？ 好，接下来就是解这个三角形就可以了，对不对？那我们解这个 bc 啊，解这个 bc 大家会解吧？嗯，因为这个边就是一个根号二啊，当然这个边是不是也是根号二啊？所以说我们这个时候很轻松可以得到答案，就是一个根号加一啊，所以这个题两个答案根号七啊， 还有一个根号加一啊，对吧？两种情况啊，我们要学习构造，如果说不不合理的话，就要接着把它排除掉啊。 好，接下来我们看这个安阳这个恶魔事件的一个最后一期啊，最后一期其实也是比较简单的啊，也是一道与圆有关的隐形圆一道有关的题啊。好，这个题当然我把它分在，我把它归在什么呢？归在这个定点定长引圆里边啊。 哎，直接找到定点定长引圆啊，这个地方 啊，好，一会看这个题啊，如图一，在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于一， a、 d 等杠三。我们先看这个图一啊， a、 b 是 一， a、 d 是 一个根号三，我写的下面啊，根号三，这个图形非常特殊啊，那这个时候就会出现一个特殊角，对不对？一比根号三别有关系。如果把 a、 c 点起来的话，点 e 是 a、 d 边上的一个洞点 a、 d 边上的一个洞点啊，好，连接 c、 e、 c、 e， 这个时候它出现了两次反折啊，第一次反折是这个三角形和这个三角形全等，对不对？第二次它是将这个什么呢？四边形整体分解下来啊，就是这个大的这两个三角形过程。一个大的四边形分解下来啊，好，我们看第一问啊，如图二所示啊，当第一啊，当什么呢 啊？当第一等多的时候， e 恰好落在什么呢？落在 b 四边上啊，这个 e 啊，我们观察下这个图啊， 什么意思呢？什么意思？那也就是说啊，就是说现在这是第一个，第一次翻折，这个三角形和这个三角形，对不对？那么第二次的话，他把这个三角形翻折啊，那其实这这三角形是不是都是全整的，对不对？这三角形都是全整的啊， 好，让我们求什么呢？让我们求啊，第一等多少时候啊？第一等多少？嗯，这个大家会求吧，因为这个角我们就会出现一个三十度角，三十度角，因为这台这三个角都是相等的啊， 三个角的相等的，对不对？让我们求什么呢？让我们求的是 d、 e 的 上啊，好，这个边是一个一啊，这个边，这个边是一个一，那所以说那个 d e 九， d e 九乘多少呢？ d e 啊，是不就应该是一个一来除以一个杠三，对不对？答案就是一个杠三分之一，就是个三分之一杠三啊。好，这是第一问啊，来第二问， 入图啊，入图三啊，当 g p o 恰好落在 bc 边上的时候啊， 刚是一撇落在极细边上啊，那这个时候让我们求什么呢？让我们求 d e 的 长啊，来观察一下，如果我们把 c e 再连一下的话，这个时候你会发现这四个角是不共同平分了。什么呢？四个角共同平分了这个九十度的一个角啊，一二三四四个角都是相等的关系啊， 那这时候仍然是出现了一个解一个三角形，对不对？那么四个角都来平分这个九十度，所以这个角就是二十二点五度啊，来解一个二十二，二十二点五度的一个直角三角形，对不对？这个边是一个一，让我们解第一会解吧。好，我们把这个图形再放大一点啊， 这边出现了一个二十二点五度啊，出现了一个二十二点五度的这个角的话，这个时候大家想到什么呢？是不是构造一个二倍角关系啊？构造一个二倍，构造一个二倍角，对吧？构造一个二倍角，哎，大约是这种情况吧。好吧， 好，这个角是二十二点五，这个是我做出来，在这个，在这个 c d 边上找一点 m 啊，这个边是个 c， 这个边是个 d 啊，这个边是个 e 啊， 这个时候我们会出现这个角也是二十二点五度，对吧？那这个角就是四十五度啊，这个角也是四十五度啊，所以说这边就出现一个等腰这个三角形啊，我们设第一是一个 x 的 话，那么这个边也是 x， 那 么这个边就是根号 x 啊，那么当然这是个等腰三角形，那么这个边是不是也是根号 x， 对 不对？ 所以说啊， x 再加根号 x 就 应该等于一啊，所以 x 就 应该等于一来除以根号加一啊。在分别的话下，那其实是不是就是一个根号减一对不对 也比较简单啊？这是第二问啊，重点来讲下第三问，第三问的话，我们要学会用，学会用什么呢？学会用这个辅助员来解，帮助我们去解决这个问题啊。在 e 存 d 运动到 a 的 过程中啊， 好，在这个 e 的 运动过程中啊，当 a、 d 撇撇，我们看一下这个图啊，这个图啊， a、 d 撇撇 分别取的最大值和最小值的时候，直接写着 d 的 上啊，这个时候要求最值，我们横的时候就要找动点运动 v c， 而这两个点的定点就是什么呢？一个点是 a 啊，另外一个点就是动点， 对不对？ d 撇撇就是圆，那我们这个时候要考虑一下 d 撇撇的一个运动轨迹啊， d 撇运动轨迹什么呢？好，这个时候我们仍然把 c 撇连一下啊，这个时候你会发现这个边就等于什么呢？ c d 撇啊，也等于 c d 啊，所以这个时候你会发现啊， d 撇的轨迹就是一个 c 位圆心啊，对吧？以以一为半径的一个圆上运动啊，那我们可以把这个圆画出来啊， 哎，就在这个图中画好吧， 它就是这么一个圆上面进行运动啊，好，它在这个圆上运动，当然我们，呃， 因为当 c e 啊，这时候我们当起点的话，就是在这个 g 的 位置开始起点啊，当当这个什么呢？ c e 啊，在这的时候，这个时候你可以再进行翻折一次啊， 分的意思，这个时候你会发现变成了，变成一个这么一个直角三角形，对不对？然后呢再将这个四边形啊，再往下面翻折，这个时候你会发现这是一个几度呢？这是一个六十度角，六十度角，然后接下来我再来个一百二十度角，对不对？再来个一百二十度角， 再来个一百二十度角，所以说应该是到了这边这个位置啊，到了这个位置，所以说他的运动轨迹的话，他就是，呃，非常大的一个，虽然说不是一整个圆，但是他是一个非常接近一整个圆啊，就是三分之二的一个圆，对不对？ 好，它大约到了这个位置啊，大约到，大约到这个位置，对不对？这个 d p p 啊，没有问题吧？没有问题啊，因为这个边是一个一百二十度的一个角，接下来再将它，再将它什么呢？再将它啊，分割下来，分割下来没问题吧？ 再再分折啊，那就变成这种情况，好，这时候让我们求什么呢？ a d 撇，取得最大的最小值啊，那么 a d 撇，这就是一个条件，套条件，对不对？我们观察一下， a d 撇， a d 撇，撇取什么呢？取，取，取最大值的时候，那是不是均匀到这个点，对不对？ d d 撇，均匀到这个点啊？ a d 撇啊， a d 撇，撇起于最小值的时候，那就是这个点，好，我们先看这个最小值吧，最小值，当最小值在这的时候啊，这个时候你会发现这是一个什么呢？六十度，一个角，六十度的话，这个时候又出现了四个角相等， 四个角相等，对不对？六十度来除以四，是不是就出现一个十五度角，对吧？十五度角，那就要仍然来解一个什么呢？十五度角的一个三角形，对吧？十五度角，这个边就是一个 d 啊，这边出现了一个十五度角， 我们找到这个角，十五度啊，这个角是一个直角，这个边就是一个 c， 这个边是一个 d 啊，这个边是一个 e 啊，好，如何解十五度角呢？就是，还是一样的一个思路，对吧？我们仍然去构造出来一个什么呢？构造出来一个等腰三角形啊，好，假设做出来一个这个，这个边等于这个边啊， 这个角是五度，这个角也是五度，那么这个角就变成三十度角，对不对？好，我们设仍然设，嗯，仍然求 d 啊，设 d 是 一个 x 的 话，那么这个边就是一个根号三 x 啊，那么这个边就是二 x， 那 么这个边就是也是一个 x 啊，所以说我们就会发现，二 x 加上根号三， x 就 应该等于一啊，所以说 x 就 应该等于几呢？ x 就 等于一个二加根号三分之一啊，是不是就等于啊？哎，二减根三，对不对？二减根三分母，如画一下二减根三啊，这就是求出了第一的差啊，比较简单啊。第二种情况在哪呢？第二种情况，我们仍然在这个图中去画吧。好吧， a d 撇啊， d 撇撇。在这个地方，这个时候你会发现一共旋转多少度呢？一共旋转了 啊，九十度，在啊，因为这边是一个六十度，六十度啊，这边是一个一百二十度，接下来我是不是再旋转一百二十度，是不是应该到这个点了，对不对？是一个二百四十度的一个角啊？嗯，好，二百四十度的话，接下来我把它除以四，对不对？除以四，除以，除以 这个六十度，那这个时候的话是不是异径在这个点对不对？异径在这个点啊，所以说第一次时长度均应该是多少呢？是不？其中告诉我们一个高三对不对？ 比较简单啊，所以这个题有两个答案，杠三，或者说二件杠三啊，关键就是还是要有画图啊，画出来动力运动轨迹的一个图啊。好， 这个试卷整体来说比较简单啊，有需要这个试卷的朋友可以私信下我，把这个分享给大家啊，这个试卷我就分享这么多，如果说对我的分享有所帮助的话，记得点点关注，点点爱心，谢谢关注，我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。
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01:47查看AI文稿AI文稿同学们，二模即将拉开帷幕，记住核心提分法则，一模找漏洞，二模补漏洞，稳击除抓中档气偏难，这是最快提分路径。冲刺先做三件事，立刻落地。第一，复盘一模错题，分类梳理 粗心失误知识漏洞体型，不会时间失分，精准定位弱点。第二，优先冲刺英语化学物理提分快的科目。第三，砍掉无效刷题，只练必考题型，拒绝偏难怪 全科极速题分重点，照做就能涨分。语文狠抓默写基础，吃透阅读答题套路，背好奋斗成长作文素材，稳拿基础和作文分。 数学死磕一模错题现实练选择填空稳住大题前四道熟记公式步骤，不扣半点基础分。 英语每日复盘单词错题，保持阅读玩行手感，熟背作文模板。物理吃透公式和核心考点，主攻必考题， 规范计算步骤，杜绝无谓丢分。化学熟记方程式和反应现象，攻克酸碱盐金属溶解度。重难点 道法历史精简背诵历史抓时间线关键词道法，紧扣热点分点答题稳得分。 一模查漏二模补齐基础，不丢中档，抓牢难题，少碰错题，重刷现实训练，稳住节奏，全力以赴冲刺到底。二模逆分翻盘，稳稳提分，关注张老师，中考必上岸！
26安阳中高考张老师
04:54查看AI文稿AI文稿涉及的这个二模考试已经结束了，然后呢前面给大家分析了这个数学还有物理这个二模卷子，然后今天呢带大家看一下这个英语的卷子， 英语的卷子整体的评价这一次是非常非常简单，这张试卷你像这个听力里边的话，可能最主要需要注意的可能就是最后一个题，主要是这个就是第三节里边这个单词，大家要记清楚，就是你的单词整体掌握， 要掌握的还可以。第二个呢就是我们在做听力的过程当中，要学会这个预审题，需要提醒的基本上都这两点。然后再有一个就是啥呢？要学会去圈一些这个关键词，尤其是时间上，你比如说你去预审题的过程当中，有些这个时间点，你像，比如说像这个第一 题，对吧？他哪个时间？时间怎么表示？你脑子里边要大概有一个想法，比如说这个起点他用这个英语怎么表达，因为他是用英语来说的。然后呢我们继续往下看这个 阅读理解，阅读理解这一块的话， a 篇可能需要注意的就是一个二十四题，二十四题里边的话，你像他主要是一个提取信息的题，像这种题目的话，我们就需要抽象的去看 这个地方需要提醒大家的都是这个 c 选项， c 选项里边的话他就这个作者给这个发明的这个人，他不一定是同一个人啊，这个地方大家区分开就行了。 那 b 篇里边呢？ b 篇里边这个这个需要注意的可能就是第二十七题，二十七题里边他有一个很关键的就是啥呢？就是大家一块去干了啥， 像这个一二三都是大家一块干的，四五明显是这个他自己干的，所以说这个时候大家要区分开，基本上这个题就能选出来。 c 篇这一块的话，大家可以着重关注这一下，第三十二题给这个三十五题，三十二题的话就是这个大家要结合这个上下文， 看一下他具体指代什么东西。然后第三十五题的话，他主要讲的是啥，我们就可以结合这个第一段跟最后一段其实里边是有这个相关的提示信息的，就是说他主要讲的是叶子发黄还有变化的一个这个过程。还有这个 原因，这个是文章的一个主体整体要表达的一个意裁，判断出来之后，基本上三十五题都很容易选出来。然后第一篇的话着重需要看的可能就是一些这个上下文的一个衔接，然后你看一看，就是一个他有没有相关的这个单词，重复出现这个句子里边，底下句子给这个文中，如果有的话， 你就可以去考虑是不是这个选项。这个题整体来说还是比较简单的啊，我们不太详细说了。然后阅读理解这一块的，我的建议是啥呢？我建议大家就是说先去预审题，预审题了之后把五个题先整体看一遍，看完了之后呢，再回头去第一题再看一遍，加强一下印象，然后开始从文章找 正常的像阅读理解的题目，他的出题顺序一般都是从前边往后边逐个要去出题的，只有极个别的情况可能他是穿插到文章里边了。所以说啊，建议大家还是先预审题，再去做这个题目，嗯，不要抱这种侥幸心理啊。 然后第三篇文言填空比较简单，我们不再说了。然后第四部分语篇填空，语篇填空这一块的话，你像这个文中我们考到的像这个考法，我给大家简单说一下，着重可能需要关注的就是一个是实态，还有一个就是这个单复数， 一般因为他涉及到这个名词，还有动词的一个变形，你比如说像这个五十七空，对吧？过去式，然后五十八空最高级，然后六十一空里边的这个被动语态对不对？然后六十二题的话过去分词，然后六十四题的话是单复数，这一块大家注意了，基本上都没有啥问题啊。 再有就是这个第二节这个阅读短文，这个也比较简单，我不再说了。然后是这个不选对话，不选对话里边的话 就是着重需要注意的可能就是第七十五，因为啥嘞？七一七二七三七四，对很多人来说他有一些这个固定的表达方式，然后你像这个七十五这种 就是开放性的题目，反而是很多学生比较头疼的。像这种开放题目的话，如果说你实在想不起来，你就根据大概根据自己的语境表达去写一个感觉 他比较通顺就可以了，大部分都是能拿到分的这个地方就是每年基本上这个就是不选对话里边他都会有一些开放性题。然后最后这个第六书面表达，就是书面表达这一块的话，就是说还是这篇强调了你有这个英语的好的底子的话，你就去可以丰富一些的各种的句式呀， 但是要前提条件上要表达要正确，不要出现一些低级的这个拼写错误。啥？你一出现低级的拼写错误单词基础的单词你都写错了，你立马就拉低了你的文章的整体这个印象，还有印象，所以说只要是表达上没有点啥具体的失误， 把文章的意思表达清楚，先拿到基础缝，然后如果说你的基础很好，你可以利用一些复杂的句式，一些高级的词汇也是可以的。 整体来说就是这个英语。这一次这个二模考试需要我的评价就是非常简单，这一张如果说你像你平常英语比较好，你最起码这张试卷拿到个一百一十五分左右吧， 然后如果说你的基础不是特别好，你要冲一冲一百分，大概英语就是这么一个情况，如果大家在这个中招考试里边能取得这个优异的成绩。
20升学规划周周
01:11查看AI文稿AI文稿家人们，你们是不是也好奇安阳中考的一模和二模到底哪个更难？今天就来给大家说清楚。 其实啊，一模给大家去查了五缺的，它的难度会稍微高一些，因为主要是为了检验大家对基础知识的掌握程度，还会故意设置一些陷阱题， 目的呢，是帮助大家找出知识漏洞，相当于一次全面体检。而二模一般是在二楼复习之后，难度呢，会更贴近中考增题，更注重综合能力的一个考察，是中考的一次的全真模拟。 那他们之间有啥关联呢？一模的成绩能让你清楚自己的薄弱环节，接下来的复习就更有针对性。二模的成绩呢，则能反映你在中考时的一个真实的水平，帮你去调整考试心态和答题节奏。简单来说，一模是插缺补漏， 二模是实战演练，两者都是为了让你在中考时发挥出最好的状态。朋友们，你们觉得自己一模和二模哪个发挥的更好？评论区聊聊你的备考小技巧吧！
02:32查看AI文稿AI文稿内黄线二零二六初三二模成绩已经公布了，各位家长有没有发现一个很准的现象，很多二模考砸的初三孩子，最后中考都是能够逆风翻盘、超常发挥的。家里边有初三考生的，赶紧在评论区给孩子刷一波超常发挥。 接下来的干货认真听完。能够帮孩子稳住最后的冲刺的张老师，做了这么多年的一个升学规划，我很负责任的告诉大家，二模失利根本不是坏事，是你中考前难得的翻盘机遇。大家一定要记住，初中三年，只有中考能最终定孩子的升学去向。 平时所有的周测、月考、模拟考，包括关键的二模，都不看排名，不定输赢。这些模拟考试的核心作用，就是帮孩子精准排查知识漏洞，把隐藏的问题全部暴露出来。 一直模考高分，你做题顺风顺水就一定稳妥吗？其实不一定，考试太顺利，孩子很容易心态浮躁，盲目觉得自己知识点全部都掌握了， 那些基础短板易错畸形，一知半解的知识点会被漂亮的分数掩盖掉，孩子带着一堆隐患去上考场，中考风险反而会更高。但二摩翻车刚好是能够破局的。刺眼的错题、不理想的分数，能直接打醒浮躁的孩子，让他看清自己的真实学情 基础不扎实，解析思路出错，做题初心节奏混乱，所有问题都会在二模事件上暴露无疑，这正是中考前最好的查漏补缺机会。 考前不怕出错，就怕浑然不知自己的问题，抓紧最后的冲刺时间，逐一攻克二模暴露的短板，改掉丢分坏习惯，扼实自己的薄落模块，孩子的应试水平会快速的提升。 最后，跟所有出散的孩子说句心里话，如果你因为二模成绩焦虑、失落，甚至自我怀疑，真的完全没必要带了这么多届的中考生，我太清楚了，中考难度普遍低于各地的模考， 模考爱出一些拔高题、创新创新题、拉分题，而中考主打基础常规的题型，几乎没有什么偏题怪题。你只要稳住心态，沉下心来补漏洞、抓基础， 绝大多数同学都是能够正常发挥，甚至逆袭提升提升的。最后，祝愿屏幕前每一位努力拼搏的初三学子，都能够不负付出，超常发挥，金榜题名，顺利考上自己心仪的高中！
101张志高｜内黄中高考提升
10:09查看AI文稿AI文稿咱设计二模呢已经结束了，然后呢我手里边拿的是咱社旗的二模的数学试卷，然后呢这两天我也做了一下，今天呢带大家看一下这张试卷它整体的一个难度，还有说就是一些需要重点关注的一个题，大家可以等试卷发下来以后呢，再认真看一看，提醒大家一点是啥呢？第一个就是说 二模呢，更核心的目的还是帮大家去做一个查漏补缺，我们要从试卷上能找到自己的问题，争取呢在中考前还有二十多天能解决一个是一个，你多解决一个，考场上你都少拾来一点问题。这个第一点，第二点呢， 也有家长咨询这个最近一段你像这个孩子他做哪些题比较好？我可以给大家存几个维度啊，简单说一下，第一个呢，你像这个以前的这些真题可以简单做一做。 第二呢就是你像咱河南省，因为统一命题可以河南省各地的这个模拟卷上一些比较典型的题呢，大家可以做一做。再有就是你像一些大品牌的，像这个天兴的，对吧？天兴的卷子还有一些这个出的考前的这个 预测卷，也可以有选择性的简单做一点。然后呢我们接下来具体来看一张这张卷子，这张卷子呢，你像这个整体的难度来说，难度说实话不是特别大，可能二模呢也更多的想给学生们就是增强一点这个信心。所以说整体的难度除了这个 第二十三题之外，二十三题的第三个可能略微有一点难度，他需要这个分类讨论，还有这个第十五题分类讨论，但是这两种题他的分类讨论这个点其实 都不是特别难考虑到。然后呢，你像我们看一下前边这些题啊，选择题的前十个题来说啊，着重需要关注的可能就是第七题，这个里边他涉及到的中卫线跟这个菱形的面积一个计算，这一块大家需要注意一下。然后呢 第九题，第九题的话，他涉及到一个就是等腰三角形的三线合一，还有一个就是坐标的一个平移，这块大家需要关注一下。第十题主要考察的是一个三角形的相似，其实就是一个三垂直的一个结构，然后构成了相似之后呢，我们通过这个相似找到 变量，还有那个 ab 的 长度给这个函数之间的关系，然后代入就可以解出来了，这是一种方式，也可以利用这个求解析式的方式去找，也是可以的啊。 然后第二大题，填空题里边，像这个第十一、第十二都是比较简单的啊。第十三题是一个不等式，这个题也不是特别难，也比较简单。第十四题要考察的是这个 圆周角也比较简单。第十五题呢，这个题其实这个分类讨论的两个方面是比较容易找到的，你像它基本上涉及到这个 o p 跟这个 a c 平行，要么就是在 o 上边它可以平行，要么在下边可以平行， 然后在上边的时候，这个根号三这个值是比较容易解出来，但是我们要注意就是说这个 p 点，它这个位置刚好都在 b c 上，这个你要判断出来 起点在 o 点上方的时候呢，像这个位置我们要能找到它这个角的关系，然后的话去做一个截直角三角形的一个过程，基本上这个直角求出来整体的难度不是特别大，并且它这个分类讨论的两个角度很容易考虑到。 然后看一下解答题，解答题这第十六题，这个计算主要还是稍微细心一点，基本上没啥问题。第十七题呢，它里边涉及到一个平均数， 然后这个地方可能需要注意，就是那个方差，我们要理解方差的含义，他从某种维度上来讲，他是说这个值的一个利散程度就是他的稳定，你也可以理解为他的稳定性，就是他利散程度越小越集中，他的方差会越小。这个方差的这个含义我们要理解透彻， 这个是不需要直接去算了啊，你要算这个题都麻烦了，然后根据图像都直接能判断出来的这个是，然后呢第二万里边基本上根据他的这个平均数，还有这个就是方差的值，就能直接判断出来他的哪个波动小啊， 以那个平均值比较大，然后再往后边是这个第十八题，第十八题呢，咋说呢？这个题中规中矩，主要的就是说我们要找到几个坐标求值的一个顺序，其实前边的一万、二万、三万已经给你做出来一个简单的引导了，我们就是先算 b， 跟你 b 算出来 c 和 d 的 坐标， 然后算出来 c 的 坐标了之后呢，可以求出来这个反比例函数的解析式，求出来反比例函数的解析式了之后，这个时候我们可以啥把 a 点带进去，求出来 a 点坐标， a 点坐标出来以后，你就可以求这个直线 ab 的 这个函数解析式了， 整体的过程一问给二问还是比较简单，第三问求这种这个异形图形的这个面积就是阴影部分的面积。这种题大家主要还是啥呢？就是你咋去把它转化成规则的图形， 这一题可以转换成梯形跟那个扇形的面积，对吧？扇形面积这个差，也可以转换成三角形的面积，加上这个正方形面积，再减去一个扇形的面积， 基本上就是说你咋去转化，只要能把它转化成一个规则图形的面积给他求出来。这个题整体来说十八题还是比较简单的，但是这个题大家可以着重去看一看啊。 然后第十九题的话，嗯，需要提醒大家，就是一个吃亏做徒，吃亏做徒的话，这两年其实我觉得考察的概率挺高的，着重就是你像这个常规的吃亏做徒，比如说做角平分线，做这个中垂线，还有这个做等角， 对不对？这些常规的做的做图的方法大家一定要掌握住，吃亏做图的把掌握住，并且要知道他是咋做出来的。有一些你像根据三线选等对不对？有一些的话可以借助于这个，你像这个菱形他的性基本上都能判断出来。这些常规的做图大家一定要掌握，要熟练的掌握， 因为考场上他有时候他不会给你出这简单，但是他再复杂的这种词汇作图，都是通过转化给他分解成这种简单的词汇作图，一些常规的基本图形，然后最终实现这个题目的一个解答， 然后第二问比较简单，这个不再说了。然后第一二十题的话是一个比较常规的一个方程，这个题用的是这个方程组，解是最方便的用方程组。然后第二问的话，主要就是说你用这个一次函数嘛，一次函数，然后在区间内的一个最值的一个问题转化过去之后也比较简单。 然后第二十一题的话，这种题基本上是每年必考的啊，主要其实用到的就是一个截直角三角形，然后就是里边因为涉及到这个值，他比较 有时候他不是常规的数，就不是整数，涉及到小数的时候，你算时候稍微认真一点，然后看好他的让保留的这个位数是多少位，小数点后保留到几位，这个大家一定要注意，要不然的话，如果你真是算对了， 导致这个小数点没有保留对的话，你可能最终会因为这个丢分。然后二十二题呢？这个题也是比较经典的一个题目，第一问非常简单，直接代入之后直接就求出来这个值了， 主要是第二问他是相当于是第三问，其实给大家做了一个简单的引导。第二问的话，他里边涉及到这个，我们可以先求出来 m 的 值，求出来 m 值了之后啊，然后根据他这个 a 点 b 点的这个横坐标，然后求出来纵坐标都可以。然后第三问呢，这个题其实是 一种很典型的一种题目，就是求最值的时候，我们一般都要考虑到就是他这个两侧点的一个高低，以及他这个最最小值是不是这个函数的点点。这个事你像这个题的话都比较简单，首先 第三位他能确定的就是说他这个最小值一定在区间内的，我们需要确定的就是 a 和 b 这个点哪个高哪个低，说白了就是 你这个时候就是要分区间去讨论， m 大 于零小于一的这个中间你要给他劈成两半，因为他中间刚好是把这个对称轴，就是 劈成两半之后，你要看他的对称轴跟这个啥嘞，跟这个直的区间的一个关系，这样子的话你去判断这两个点哪个高哪个低，然后分区间去讨论，分两个区间讨论基本上都可以了。这个题来说，大家一定要就是 找到他分类讨论的依据，这个才是重点，搞出来这个讨论这个临界点了之后呢，然后去分类讨论，然后去解这个值，找到他这个区间内能取到的值，基本上都解决解决了。 然后呢第二十三题，我跟你说这个第二十三题不是很难的，原因是啥呢？就是第二十三题他的第一问，第二问已经给大家了一些这个解决的思路。其实我们通过第一问第二问里边能找到有两个这个边长，通过这个折叠了之后，找到两个边长就是他是相等的。 然后在第三文里边这也是一个非常重要的一个结论，可以直接拿来用的，我们可以通过就是证明了之后把这个结论直接拿来用都可以。然后呢 把第三文里边他的最核心的一个关键点就是第一个我们有角有边，你要去构造直角三角形，通过截直角三角形找到相关边的一个关系，然后呢再通过相似，然后去找到这个边长都可以，也就是说 大概就两个核心的步骤，一个是解这小三形，第二个就是通过三形相似，像这个题的他整体的难度来说其实不是很大，并且呢他这个分类讨论点比较好找，为啥呢？因为他这个一点是在 a d 上，基本上就是要么是在 左侧，要么是在右侧，对吧？你根据两个情况，简单的话图你就能看出来他的焦点是不一样的，焦点不一样的时候，这个时候我们就要去分类讨论，分类讨论了之后求出来两个结果都可以。所以说整体来说，这个二模的试卷来讲， 整体难度不是特别大，我们着重需要关注的题。刚才给大家大概说了一下，就是你像这个第七题， 第九题，第十题，还有这个第十五题，第十八十九第一问，然后第二十一题，还有这个二十二给二十三题，大家下来了之后一定要着重再去看一看， 然后呢通过就是一次模拟考试，去发现自己的问题，然后通过题目去关联到你的知识，还有相关的一个章节，做好这个精准的查漏补缺，最后这一段时间一个要稳耐住。第二个呢要注意自己的学习方法，因为题你做不完的，所以说我们要做一道题，你就要有一道题的收获， 通过这个题目去找到自己相关知识的一些问题，然后针对性的去解决。最后呢一路大家在中考当中取得优异的成绩。
159升学规划周周
01:00查看AI文稿AI文稿哎呀，初三家长注意，二模要是没考好，总考还有没有机会？二模没有考好其实是一件好事，首先，只有考的不好才能够发现自己漏洞，才能够避免总考前的浮躁。其次，我们应该庆幸这不是总考，这场考试也决定不了孩子的未来。 二模的主要目的是为了通过这一轮的总复习去检查复习效果，继续查漏补缺，所以接下来要做的就是在模考中不断的找那些丢分的知识点， 总考前我们把发现的问题全部解决掉，总考才能更有把握。二模成绩不理想的孩子，总考往往能够超常发挥，你总考的成绩将是你初中三年考的最好一次，比你任何一次模拟考试的成绩都会高， 千万不要听别人说的二模考不好，有没有机会啊？大家可以把金榜题名打到评论区，相信自己总考，放平心态去考，只要尽力，都能够考入自己理想的高中。最后，祝愿大家考一全会蒙 a 全对，我是王晓，关注安阳教育圈，读懂安阳教育，做明白家长！
312安阳教育圈
01:04查看AI文稿AI文稿九年级安阳二模后天，也就是二十六日开考，对于中考的学生来说，二模也是最后一次统考，对于填报志愿非常重要。二模咱们需要注意什么才能有不错的发挥？ 第一，保持平和的心态，将二模视为考前热身和查漏补缺的机会，不过度焦虑，也不盲目轻敌。 第二，不盲目的刷新题或者是偏怪题，重点回归课本和基础和错题。第三，现实训练，找节奏，按中考的时间进行一到两套现实训练，比如去年二模的真题， 合理分配时间，时间分配合理，先易后难。第四点，二模难度通常略高于或更接近中考重点参考县或者是校排名，为中考填报志愿提供依据。预祝同学们逢考必过，加油！
108滑县-王老师（树先生）
04:15查看AI文稿AI文稿社企的九年级本周进行了第二次模拟考试，后续呢给大家出具体的试卷分析。随着中考一天天临近，其实每个人都会心里边非常着急，这个时候其实谁要能稳住心态才是取胜的关键。本次呢，我们先来看一看南阳市区的二模的数学试卷的一个情况， 就是每次分析这个河南各地的这个模拟卷子，都有很多的家长私信想要这个试卷，就是为了方便大家能够更好的拿到这个试卷。我建了一个抖音群，就每次做完一个地方的试卷了，之后呢就会搁群里边给大家分享出来，需要的可以加入 我们。言归正传，南阳二模的这一次这个数学试卷我们分为三部分，今天先看选择题。第一呢考察了数的开放里边的平方根，这个题看着很简单，实际非常容易跳坑，里边有很多人就会算成他这个算数平方根直接选 a。 二呢考察了科学解数法， 这个题目呢算是科学技术法的反向的一个表示，主要是数清楚，有几个零表示清楚就可以了。三是一个跨学科的一个知识，涉及到物理的光的反射和数学当中的平行线的性质，平行线间内错角同外角同或内角之间的几个关系，我们要理解并且能够熟练运用， 同时反向啊，对于平行线一个判定要掌握。四呢是整式的加减乘除和它的指数运算，其中同底数密的乘除运算和密的乘方运算大家一定不要混淆。五呢是正方题的展开图， 因为正方题的展开图它的种类非常非常多，我这里我不建议大家去记，规定的规则就是现场根据这个图形直接去分析，反而不容易出错。 六呢，是一元二次方程它的根的判别。这类题目在河南各地的一本卷子上多次出现，这是必须要掌握的一个知识点， 就是老几元二次方程，它的根的判别式。这个题是可以轻松拿分的。第七题呢，考察了数据分析当中的平均数、中位数、众数和方差，这个地方也是中考必考，一方面我们要牢固掌握它们各自的含义，另一方面呢，平均数、中位数和方差的计算方法也要牢固掌握。 后面大题的部分一般也会出一个这样的一个题目。第八题，考察了坐标系以及图形的旋转和截直角三角形。这个题目如果你能看出来 d 片和 c 片，它是由 d 和 c 分 别照 a 和 b 顺时针旋转出来，根据旋转的特性去截直角三角形，很容易得出来正确答案。就这个题呢，在河南模拟卷当中 其实是第一次见到，是个不太常见的规律探讨题。这种题目其核心就是通过加减乘除的各种运算，找出来结果呈现出来的规律，就可以解题了。这个题目是有一些难度。第十个又是一个宽学科的一个知识的考察， 物理的电路和数学当中函数图像的一个结合。这个题目并不难，但是很多同学拿不到分数的原因大概率是看到这个题目一看那么复杂，直接放弃，就没在思考。 这种题目一是找到变化的这个规律是增大还是减小。第二呢，就是要根据选项去分析他的图像，即便就是当中的有些选项你实在计算不出来，你也可以利用好排除法 就能选出来这个答案。这个题目只有 c 选项需要计算，其他三个选项全部都是可以在函数图像里边直接就看出来。 选择的十个题目当中呢，重点是七八九十这四个题目作为重点，我们必须要理解并且熟练掌握它相关的一个知识点，其他题目基本上可以轻松拿分。 其实每次分析这个试卷呢，我是想通过这个过程给七到九年级的各位同学传达一个什么样的信息呢？那就是学习的这个过程，他不是说你做的题越多，你的成绩越好， 这个看数量，他也看质量，这里的质量其实就是你从看到每一个题目，分析题目的正确答案， 对答案重点的题目呢，去重新梳理的过程，他的卡点，找到题目和知识点之间的关联性，每一步都非常非常重要。尤其是如果你现在还在五六年级，或者是刚进入初中，如果你的数学想突破并且稳定在一百一十分以上，这个分析的过程是必不可少的。 后续呢，为大家更新选择题和答题的一个分析，希望通过这样的分析，对大家能掌握更好的这个学习方法有所启发。
20升学规划周周
08:43查看AI文稿AI文稿今天来看一下刚结束的二零二六年安阳二模数学 的选择题。第一题非常基础，零上六度记住正六，那零下六度应该记住负六，就是负数的表达。那第二题，这个几何体的主式图是什么？主式图就是说我们从正面看，我们第一眼看到它，它是一共是三层， 所以说这个 d 肯定不对。然后我们看它一共有三列，这 a 跟 b 不 对，所以说只能选 c。 我 们看第三题科学计数法的表达，科学计数法它要求 a 是 大于等于一小于十，所以说看题目直接 c 和 d 一定是错误的。然后我们可以看一下小数点 在这里移动几位，一位、两位，三位、四位、五位，六位，七位，八位，九位，一共移动九位，所以说这个选 a。 然后我们看第四题基础计算，这个 a， a 选项肯定不对，因为二 a、 b 和负 b 它不是同类项，它不能运算。然后这个里面的初是这个负二的三次方等于负八，这个应该等于负八。 这个 c 是 正确的啊，因为这个负数的偶次方等于正数，所以说它乘它同底中微相乘，底数无限之物相加，等于 a 了五次方做 d 不 对，这个 d 就是 说这是完全平方，它应该是等于 a 了，平方加二 ab 加 b 的 平方 来。第五题，第五题也是非常基础的，他虽然是跨学科，但是这个考察的非常简单，因为这里是一个直角，这是六十度，所以说这是三十度，这边是二十六度，就说让这三个数 相加即可，答案是 d。 那 第六小问让你问，这个 适合全面调查，全面调查就是说首先他是必须要每个人，每个个体都要照顾到，而且要少的时候，我们采用全面调查，这个 b 这个碰撞测试肯定不对，因为你把汽车就都碰坏了，这个 b 肯定不对， c 肯定也不对，因为全国人口 呃太多，这个无法实现 d， 就 说他调查全国这个和 c 的 一个原因就是面太广了，这个无法去实现，他这个适合全面调查。还有一个情况就是如果是全全国人口普查，那就需要全面调查。 然后我们看第七题，第七题也是个跨学科，这个卡动力等于阻力 b 乘以阻力 b， 就是 f 一 乘 r 一， 等于 f 二乘 l 二。然后这里面的题目就是说这个 f 和这个 f， 这个 f 是 来自于它的重力，另一个 f 就 说来自苹果的这个重力， 那个苹果重力，苹果是在这里，苹果在这里，所以说写的公式就是 m 苹果的质量乘以小 g， 再乘以 l e 是 等于秤砣的 m， 秤砣的这个 乘小 g 乘以 r 二二，然后把这个数目都带进去，就 m 苹果它应该是等于两个小 g 约约掉等于 m 乘的质量乘以 r 二，除以 l、 e， 它是等于 这边是二十厘米，然后它是零点五千克，所以应该是二十厘米乘以零点五千克，几米就除以五厘米，最后解后灯 两千克。所以说这个选选 b 八题，第八题就是考察这个圆内接四边形和同弧所对的圆周角和圆心角的关系。首先 b、 a、 d 这边等于一百一十度，然后角 c 和他是圆的尖四边形的对角，所以说他等于七十度， 然后他这个角 c 和这个角 b、 o、 d， 他 们数对了，是同一个弧，所以说这个圆心角是他的两倍，等于一百四十度，所以这个选 d 来。第九题，第九题他是考察了一个相似，他说每个边长是一，然后让你求求 o a， 这个 a、 a、 b 明显就是三， cd 等于四，然后这边是三， a、 d 一 共是等于五， a、 d 是 等于五的。现在是让你求 a、 o， 我 们明显看到 ab 和 cd 是 平行的，所以说这个三角形和这个三角形是相似的，三角形 a、 o、 b 是 相似于三角形 d、 o、 c。 从而我们可以得出来 a、 o 比上 o、 d 是 等于 ab 比上 cd， ab 是 等于三， c、 d 是 等于四，然后是一共是这边是一共，是等于五的。所以说我们可以说设 a、 o 是 x， 所以 说 o、 d 是 五减 x， 所以 说 x 除以五减 x 等于四分之三，求出来 x 是 等于七分之四五的。这个题是选 c 实体，第实体就是一个选旋转的问题，首先看它这个要求，就是三角形 abc 绕 o 逆时针旋转六十度，然后二零二六之后，他这个点 c 对 应的 c 片的坐标是多少？一般我们就先要看一下他这个旋转 一下是六十度，一周是三百六十度，三百六十度除以六十度等于六，就是说六六次是一个轮回，然后二两千零二十六除以六，他是算出来是等于 三百三十七，于是，于是就是说他是三百三十七个轮回，之后又旋转了四次。所以说我们可以先大概找出来这个点 c 的 位置，这个点 c、 c 片的位置就我们可以连接 o、 c， 然后逆时针，所以我们知道他转了在三十七圈之后，他回到原位，然后又旋转了四次，然后他每次是六十，所以说他转到这里是一百八十度，刚好是 三次，然后在这边再旋转一次，转到这里。 就你在呃，不计算这个 o c 的 这个长度的情况下，其实你也可以大概猜出来这个点 c， 它一定是在第三象限和第四象限里面，或者就说在我这个外头上面，所以说这个 c 肯定不对， 这个 d 肯定不对，就是说在 b 和 d 之间。然后这题我们就是说可以算一下这个 o c 的 长度，这个算 o c 的 长度时候，我们是用相似的算法把它算出来， 你可以过 c 做它的垂线，这边是 n， 这边是垂直的，这边是垂直的，然后这是四十五度， 这是三十度啊，这是六十度，所以说这是这边是一百八，减去他俩和，这是七十五度，然后这边是四十五度，这边是三十度，所以说这边也是七十五度，所以说我们可以得到这个三角形 c m a 是 相似于三角形 c n b， 所以 说我们又得出来 c b 是 比上 c a， 他 是等于 c n 比 c m， 然后我们知道这个 c b 和 c a 是 在这个三角形 abc 里面，这是一个直角，这边是六十度，所以说这边比他，他是等于根号三的，然后这个 c m 他 是等于五，所以说 c n 是 等于五倍的根号三， 这边等于五倍的根号三，这边等于五，除以 o c 等于，这样得出这边是六十度，所以说你他转到这里以后又转了一次，他一定是到外头上，所以说这边是十，所以说他的坐标最后是零到负十。
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
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