济南数学中考模拟卷三角函数为空调
各位同学好，今天我们来看一下济南市中考必考的三角函数应用。题中说入图是以学校平面是一图展板一、学习小组想要测量这个展板 最高点到地面的高度，它们绘制了图二所示的展板侧面表面图，测得 a、 b 是 一百二十厘米， b、 d 是 八十厘米，角 a、 b、 d， 这是一个直角九十度，角 b、 d、 q 等于六十度。 底面四边形 e、 f、 p、 q 为矩形， e、 f 是 五厘米。看完题目一定要注意要求结果精确到一厘米， 那第一位，让我们求此时转本点 b 到地面 p、 f 的 距离。因为题目中已知 底座四边形 e、 f、 p、 q 为矩形， e、 f 为五厘米，所以我们只需要过点 b 往 q、 e 所在的直线做垂线 b、 h 求出 b、 h， 然后再加上 e、 f 就是 此时点 b 到地面 p、 f 的 距离。 已知角 b、 d、 q 等于六十度，所以 c。 角 b、 d、 q 等于 c。 六十度等于 b、 h 比上 b、 e 等于 b， h 比上八十等于二分之括号三。所以点 b 到地面 p、 f 的 距离就是 b、 h 加上 e、 f 算结果进去了一厘米。接下来再看第二文。该小组调查时发现展板偏低，不方便阅读，所以他们想可以增大角 a、 b、 d。 当角 abd 从九十度增大到一百零五度后，展板最高点 a 到地面的高度增加了多少。因为点 b 到地面的距离是一个定值，所以我们只需要求出 ab 之间的高度差，就可以求出 角度变化前后高度增加了多少。 因为角 b、 d、 q 等于六十度，所以角 m、 b、 d 一定永远等于六十度。当角 a、 b、 d 等于九十度时，角 abm 就 等于三十度， 所以在这个三十、六十、九十的直角三角形中， a、 m 就 等于二分之一， ab 就 等于六十。 当角 a、 b、 d 增大到一百零五度后，角 abm 就 变成了四十五度。此时三角形 abm 就是 一个等腰直角三角形， 这时候 a、 m 就 等于 ab， 除以改号二，就等于六十倍改号二。所以 粘板最高点 a 到地面的高度增加了六十倍，根号二减去六十，然后计算结果精确到一厘米就可以了。
粉丝724获赞3459
相关视频
10:45查看AI文稿AI文稿好，今天来光速讲解一下，参考部分区二模的二十四，好吧，嗯，考完之后感觉这个卷子非常简单吧，但是依旧错了不少基础啊，好，来看吧。嗯， o a 等于 o b 等于二， 这是一百二十度，然后呢， a 的 坐标咱知道，一百二十度的三角形，一比一比根号三吧，二倍根号三，所以说二倍根号三零，这没啥问题， b 的 坐标也很好，求做个垂线根号三一，没问题。 好，然后看第二问吧，开始折叠了点 p 是 o a 上一个动点，然后做这个垂直， 然后呢，说沿着这个直线折叠， 重叠面积部分为 s， 然后这个这个 o p 是 t， 然后他第一问，让咱求这个四边形面积的这个表解析式，对吧？好，大家分析一下这四边形面积的解析式，咱怎么求呢？ 嗯，他是咱的初步思路，就是用这个大的三角形减去这个小的三角形。好吧，那怎么去实现呢？ 发现这个大的三角形，它全等，就等于底下这个三角形，这俩全等，所以说面积相等。然后呢，上面这个咱可以通过导边过来，明显这也是一个九十、三十六十的一个 三角形，对吧？知道三角形，好，那咱有思路了，咱就先来算一下吧，先算一下底下这个吧， s 三角形 o q p 就 等于什么呢？嗯， 先这么写吧，因为 o b 等于 o a 啊，等于 b a， 且角 o b a 等于一百二，所以角 o 等于三十度，所以啊，又因为啊， l 垂直于 o b， 所以 o p 等于二分之，应该 q p 等于二分之一， o p 等于二分之 t， 所以 我就直接写了 a 三角形 o q p 等于， 嗯，二分之根号三乘四分之 t 方，就是八分之根号三 t 方。好，然后呢？然后因为全等，所以这个 s 三角形 o 撇 q， p 也等于八分之根号三 t 方， 好吧，这个没问题，然后咱看上面这个怎么打？嗯，咱们先把角度说明吧，因为 o 撇等于角 o 等于三十度，且角 o 撇 bc 等于一百八减，角 o b， o b a 等于六十啊，所以角 o 撇 c， b 等于九十度。然后又因为这个 o 撇 b 等于什么呢？啊？咱知道这是， 这是多少啊？这是二分之一 t， 这是二分之根号三 t， 那 所以说整个的全等过来，就是根号三 t， 然后 o b 减去二，所以说 o 撇 b 就等于根号三 t 减去二，好吧，然后再通过它求 bc， 嗯，所以 bc 等于它的一半，等于二分之根号三 t 减二，然后呢，再通过这个面积公式，对吧？ s 三角形 b， c o 撇等于 这个二倍二分之根号三乘上四根号三 t 减二的完全平方， 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方，然后最后把它俩的面积相减一下，是不就可以了？所以说最后的 s 就 等于八分之根号三根号三 t 减二的完全平方， 用去化简这个式子是不就可以了？好，然后看看 t 的 取值范围吧，要让它成为一个四边形，那怎么看呢？首先咱可以想象到，就是这样，肯定是一个临界点， 对吧？当点 p 在 这的时候啊，这么一一一做垂直，然后一折过去，刚好等于这，刚好这个 o 落在这的时候，为啥这是一个那个点呢？因为你再往上，再往上折，他就出去了，对吧？就变成四边形了，好，那这块等于多少呢？ 那好算啊，这是二，这是一啊，然后这是三分之根号三，这就是三分之二倍根号三， 所以说咱 t 它是要大于三分之二倍根号三，没问题吧？再看最小值呢？最小值也很好找啊，最大最大值也很好找啊，就当这个 l 它这样的时候，对吧？这样的话折，这样的话折过来， 哎，它就是一个三角形了，对吧？那这会等于多少呢？ t 明显，这是二，呃，这是三分之二倍根号三，这就是三分之四倍根号三，对吧？所以它不能到这，因为到这它就三角形，所以说它要小于三分之四倍根号三。好，然后呢？ 嗯，先把 s 再化简一下吧， s 应该等于负的四分之根号三， t 方加上呃，二分之三 t 减去二分之根号三，对，应该是这个， 嗯，然后，然后 t 的 范围也在这，然后看第二个说，当 t 大 于等于二分之一，小于等于三分之五被根号三的时候，求 s 的 取值范围。好，咱们来看一下。呃， 二分之一大概在哪呢？二分之一大概在这，对吧？ 它从这个 t 啊，咱这么看，它从零到多少呢？到咱刚的这是多少？呃，三分之二倍根号三， 它是三角形，就这样，然后呢？三分之二倍根号三到三分之四倍根号三，它是四边形，就是咱们刚第二分解的那个情况， 然后三分之四倍根号三，再到哪呢？再到他到这就是 t 等于二倍根号三的时候， 对，二倍根号三的时候，他是还是变成一个三角形，就这样了，对吧？就是，对， 大概就是，哎，大概就是这样吧，对吧？这么折叠，这个不太好换倒是，对，大概就是这样，然后呢，他这会这个还是个三角形，那么 再来看啊，二分之一它在哪个范围呢？二分之一它大概是零点五，是吧？三分之二被根号三肯定比零点五要大，就说二分之一，这会它还是个三角形，它就大概是在这吧， 然后这是二分之一，这也是二分之一。充电面积是多少呢？二分之一，这是四分之一，那这是四分之根号三，所以说充电面积就是三十二分之根号三，对吧？这是二分之一的时候， 然后慢慢越来越大，越来越大，越来越大，对吧？大到直到这刚好重合，他肯定是越来越大的，这段咱可以不用考虑了。然后呢？嗯，可以用这个四边形的面积公式来求一下。其实为啥呢？因为就是他，当他变到最大的时候， 这一会他肯定也是包含在那个面积公式里头的，对吧？因为他减去那个部分就为零嘛，所以说可以用那个面积公式来囊括一下那个面积公式。咱们给他算一个对称轴吧。负二 a 分 之 b 就 等于 二 a， 负二 a 就是 二分之根号三， b 就是 二分之三，所以它就等于根号三分之三就是根号三嘛。所以说就当 t 等于根号三的时候才最大，那根号三是在哪呢？ 根号三就是 t， 当在这的时候，对吧？然后左垂线，然后这会对，对吧？再对折， 这块数最大，这块面积是多大呢？可以算一下，就是负的四分之根号三乘三，加上二分之三，根号三减二分之根号三，这一块加起来是根号三，对吧？根号三减四分之三根号三，所以说四分之一根号三，这样， 然后他再往后呢？但还是四边形数越来越小，对吧？直到小到这一块， 那到后头包括到后头也是越来越小，所以说也没必要考虑。那你要是觉得如果说就是再去这个缜密一点，就去算一下这一块三分之五倍根号三，大概在这吧， 它总共是二倍根号三，也就三分之六倍根号三，大概这是三分之根号三，然后做垂线。 哎呦，我靠， 对，大概这样充电面就是这一块，对吧？嗯，这得这么折， 大概我就详细的图，我就不画大概充电面就是这一块。那既然这里是三分之根号三，对吧？那这里是多少呢？这是一半，又是六分之根号三， 那他的这个数对角边就是二分之一，对吧？乘一个根号三，所以说他的面积就是二分之一。乘六分之根号三，乘二分之一等于四二十四分之根号三， 对吧？明显是没有这个小的，所以说这个是最小。然后咱刚刚算的那个，嗯，我要算的那个叫四分之根号三，他是最大的，好吧，这道题就解决完了， 比较简单这个折叠，嗯，我感觉和那个比和平的稍微难一点，但是有限，好吧。
146云天😀
01:42查看AI文稿AI文稿各位济南初三的考生，注意一下中考数学的第十九题，三角函数应用题，想拿满分呢，这几点一定要刻在脑子里。这道题啊，看着是三角函数，其实难点根本不在于计算， 而在于你能否把生活的场景转化成这种数学的模型。像去年我们考的这个滑梯问题，二四年考的站台问题，二三年考的碰头问题，很多孩子呢，不是不会算，是根本看不懂题。 今年啊，大概率会考这种方案类型的题，难度呢会稍微降低。而解题的核心就在于两个直角三角形一定存在共边或者等边的转换辅助线呢，一般是最常规的考法， 就是横平竖直的这种。这里有几个极易丢分的细节啊，第一啊，你千万别口算，所有的式子呢，你要完整的写出来，不要提前化简啊，最后再去统一做计算，做做约等。 第二，一定要记得去证明这种矩形或者说是平行线，按间距离相等，这个是一分的固定的猜分点。 第三，看清题目要求精确位数是第一位保留还是第二位保留，你千万这个点别搞混了。 最后一步呢，就是千万别忘了写答写单位啊，每年都有很多孩子去栽在这一份上，中考啊，一分千人，这个细节千万别丢！
00:15
08:42
01:31查看AI文稿AI文稿这是一道在中考可能会出现在二十五题位的解答题，其实难度很小，我在做的时候可能也就是计算花了一点时间，整个推导过程是很顺的，但我发现学生在做的时候没有这么快，所以我们还是讲一下第二问的思路，要正， a， c 是 切线，那肯定是连欧德政权等，这个是没有任何问题的。 在第二问之中，他给了我们 ab 的 长，给了我们角， b 是 六十度，此时咱知道是有两个直角的，让我们求圆的半径，这很明显就是我们要通过这个六十度的三角函数去推导。 比如说我们设这里为 r， c o 就是 r， 那 ob 就 可以用含 r 的 式子来表示出来，也就是结合三十六十度的二比一比根号三快速推导，那这个 r 对 应的就是根号三， r 除根号三乘二，三分之二倍的根号三， 也就是 bc， 现在我们用二加三分之二倍的根号三二表示出来了。其次， ab 的 长是知道的，它对应的就是和 bc 是 二比一，那也就意味着 bc 的 长度还可以用根号三加二分之根号三来表示。那以上两个式子连立同除即可进行求减。 那当然还有的学生是卡在哪的，我就非常觉得可笑了，到现在了，他们不会分母有理化，这个就不属于老师能教的范畴了，就基础知识过弱。 ok， 分享完这个思路，大家就会发现，中考的二十五题的题位 一般是中等生都能百分百拿分的题目，所以大家最近要保持一下你的刷题量，保持手感，在中考中又快又好的把它做出来，再见！
35理科的王
05:24查看AI文稿AI文稿好，我们接着上一个视频来看第三问啊，那这个图啊，我们图一定要再画，为什么？他的条件不一样了，条件不一样了，所以我一再强调，各位同学画图的时候要注意啊，画出来注意，那么第三问呢？ 如果你第二问会做了，那你第三问也就会了，因为依然是通过角，通过一个角，通过一个角去求，他已经给你了，你看啊，给你了，如果你第二问还不会求的话，你， 你就去看看我之前的视频，我已经讲过了啊，如果你第二问不会求，你看看第三问，它给你提示了啊，也就是说我们这里它用天性角 b、 a、 e 等于 x， 它就是让你用这个三角函数值去表达各个什么， 别人呢，然后去找他们的关系。所以我们来看第三位，他给了一个条件，就说这两个三角形面积之比啊，一比二，那这两个三角形我们来看他什么关系呢？这两个三角形是共底一底， 对吧？共底，当然他们两个边呢， a 一 和 b 一 相等，所以这里有两种做法，那要么我们就共底，第一找高，找两条高，要么呢？因为他们两个的底边相等，我们就去什么分别做他的， 做好垂线啊，这里做一个啊，然后呢，这里延长，这里做一个，那很显然呢，这个，这个做这个高，我们，我们 我们会发现放辅助线就比较多，而我们如果以 d 为底，它线程就有一个高，因为 a 一 垂直于 c， d 啊，它现成有一个高，那我们就只用做一个高过 b 点做 b， h 垂直 c， d 于 h， 那 实际上我们就根据它们面积的关系比，就能知道它们的什么边之比，长度之比，也是一比二， 我们根据第一问的这种啊，第二问的经验，那我们就设一个边为 t， 设一个边为 t， 设谁呢？ 射谁呢？注意，我们无论是倒角还是用射边的方式都射那个关系户最多的啊，因为我们后面的表达就更顺畅。这你就非常容易想到射 a 一 等于 t， 因为 a 一 等于 b 一 啊，对吧？所以这两个都是 t， 然后这里有一个 x 啊，那这样我的 e f 是 不是 用 t x 表示出来了？ af 是 不是同样的啊？上上一位已经讲过了这个技巧 啊，已经讲了这项技巧，也就是说我们用 t 和 x 把所有的边都表示出来，这个问题不就解决了吗？啊，不就解决了吗？对不对？好，那根据面积的 b， 我 们就得到 b h 啊， b h， 嗯，好，那接下来怎么办呢？ 我们能把剩下能表达的继续表达啊，继续表达，那还有什么呢？这里还要想到一组相似 a e f， a， e f 和谁呢？和 b h f 啊，这非常显然的，这个什么八字，而且是什么平行八字，平行八字，对吧？正八字啊，就我们所谓的，那你把它表示出来，对不对？那同样的啊， 我是，我是没有上帝视角，不知道哪条哪左边有，最终对我解体用，把三条三左边全写出来。那怎，那写出来以后怎么把每个都都标记出去？用 t 和 x 把它标标标标记上，那我们这里就能看得出来， h f 就 能写出来了， h f 就 能写出来。哎，注意 af 也可以啊，因为 f 在 这里，所以 b f 也写得出来了，是不是？所以我们的目的就是用 t 和 x 把所有的相关的边表示出来啊。你表示出来，那当然不要，你还有很多边哈。那也不是，不是继续表啊，表示出来，那我们一定是边走边看。那坐到这里以后呢？那我们再去看， 除了这个相似关系还有没有其他的关系，特别是我们已经表达出来的这一边啊？如果有，那我们就动手再做一做啊。那就是这里啊，看这里，这里有一个直角，对不对？直角就勾股定律啊。那我们把这个勾股定律算一下嘛。啊？ h e 的 平方加 b e 的 平方等于 b e 的 平方，好，那我们把它带进去啊，对吧？ h e 呢？等于 h f 加 e f 啊，那所有的带进去，你看， 发现就剩一个 t 就 约掉了，对不对？ t 约掉了，只剩 x 了，最后 x 切出来等于， 哎，三分之杠三啊，三分之杠三，这个写的有点像二了啊。
18徐老师的数学课
11:03查看AI文稿AI文稿欢迎同学们来到阿特老师数学课堂，我是数学老师，阿特老师正式开始之前呢，还是希望同学们给老师点点赞，点点关注可以吧？好，我们看这道题啊，这一道三角函数相关问题，而且呢，考察的点还是比较多的，来，我们先跟老师读一下题， 假设 f x 等于二倍的 sine omega x 乘以 cos omega， 二倍的 cos omega， 是 不是也就是这个 sine 二倍的 omega x， 是不是？同学们对不对？然后我们再看，再加上一个二倍的，怎么着？根号三乘一个 cosine omega s 平方，减去根号三，哎，我是不是可以把这个根号三给它提出来，是不是？然后提出来之后你会发现它变成根号三倍的二倍的 cosine omega x 平方，然后再减去一个一，而里面是不是也就是 cosine 二倍的 omega x， 它也就等于根号三倍的 cosine 二倍的 omega x 吧。是不是一条对称轴是 s 等于四分之 pi， 并且在零到十二分之 pi 上有唯一零点问 omega 的 最小值 来，其实我们第一步呢，要先把这个 f x 就是 能化简变形，合成一个式子，就给它合成一个式子，然后呢，再把这个 s 等于四分之派和零十二分之派这个点给它结合起来是不就行了呀？我们先解决第一步啊，看能不能对这个式子进行变形 好，通过我们刚才分析，我们知道 f x 它等于什么，是不是又等于这个 sine 二倍的 omega x， 然后呢，后面再加上一个根号三倍的 cosine 二倍的 omega x 吧， 是不是？好，我们看啊，紧接着我们就可以用辅助角公式，然后前面是一，然后这个位置是根号三。其实说到这是吧，跟同学说个比较有意思的事啊，就说我们过去啊，就原先上学的时候，有的老师会把辅助角公式叫什么叫做万能公式，为什么万能呢？因为提出来之后，哎，就变成一个了， 就觉得这个很万能，所以叫万能。所以说有的时候我这么觉得吧，就这些数学给他用这个方法的名称啊，等等的。嗯，我觉得没有太必要，只要是我们在正式考试的时候能给他写出来就行，叫什么无所谓啊。好，我们用辅助公式来，前面第一个 sin 二倍的 omega s 前面系数是一，而 cosine 二倍的 omega s 前面系数是不是根号三，是不是？然后呢，我提出一个一的平方，再加上根号三的平方也是三，也就等于根号四，是不是二？相当于我要提出来是不是二啊，也就是二倍的，怎么着？二分之一倍的 sine， 二倍的 omega s， 再加上一个二分之根号三倍的 omega s 吧， 是不是？然后你看这个是 sine 来，那么这个二分之一我可不可以尽量写成 cosine 的 形式？好，它是不是有变成二倍的 sine 等号 二倍的 omega s 乘一个来二分之一，是不是 cosine 三分之 pi 啊，对不对？然后再加上一个 cosine 二倍的 omega s， 而这个二分之二是不是也就是 sine 三分之 pi 啊，也就是 sine 六十度，是不是二根幺三？好， cos 加 cosine， 它是不是又变成了二倍的 sine？ 好， cosine 加 cosine 里面也就是二倍的 omega s， 再加上一个 三分之 pi 吧，是不是？同学们，对不对？相当于原先 f s a， 我 可以化简成为这样形式了， 你看不是像刚才一开始那么一大坨啊，你看一开始那一大坨多恶心呢，对不对？好，我们看，说它的一条对称轴是 s 等于四分之派，我们看就是对于 y 等于 sin x， 它的对称轴是什么？是不是也就是 x 等于二分之派再加上一个 k 派，这是不是它对称轴？是不是？同学们，好，然后我们看啊， 也就意味着这个二看好了，这个二倍的 omega x 加上三分之派，哎，把这个四 s 等于四分之派往里头带，正好对应的，是不是就是二分之派加 k 派啊，对不对？也就可以得到二倍的 omega x， 这个 s 变成四分之派， 再加上一个三分之派，好，它也就等于这个对称轴的这个式子有等于二分之派加上一个 k 派 o 不 ok？ 同学们，没问题吧？好，那么这个式子二倍的 omega 乘以一个四分之 pi， 是 不是也就是二分之 pi 倍的 omega 加上一个三分之 pi 等于二分之 pi， 是 不是再加一个 k pi 啊，是不是，对不对？然后呢，我把三分之 pi 减过去，是不是就可以得到二 pi 的？ 怎么着，这个 pi 我 直接约了吧。行吧，把 pi 约了，是变成二分之一倍的 omega， 然后等于什么？同学们，好，是不是就变成了这个二分之一减去这个三分之一得什么呀？是不是得六分之一啊？就等于六分之一加上一个 k， 对 吧？同学们，是不是就把这个 pi 先给约了， 对吧？两边都有 pi， 我 就把这个 pi 给约了，是不是？可以啊，对不对？然后呢，我再把这个三分之一移过去，二分之减三分之一又得它，所以说我是不是可以得到 omega， 是 不是等于 什么呀？两边同乘以二，是不是就是三分之一，然后呢？再加上一个二 k 啊，对不对？好，这个作为我们一个非常重要的条件啊，有得到 omega 的 取值范围。哎，我用个红框给宽一下，这代表我们已经得到了一个什么呀？一个小结论， 好吧。然后紧接着我们再看一下，说零到十二分之 pi 上有唯一零点 来，我们一开始得到 f s， 是 不是这个式子化简以后得这个式子来？我们看，如果说在零到十二分之派有零点，那我可不可以看一下，当 s 位于零到十二分之派的时候，这个二倍的 omega s 加三分之派，它位于什么位置？可以吧？好，我们看 x 大于零，小于十二分之 pi， 也就可以得到二倍的 omega x 加上一个三分之 pi， 它的范围什么呀？好，这个范围我是不是就可以用？怎么着俄罗斯套娃的方式一层层来？好，先两边通一个二倍 omega， 这就是零小于二倍的 omega s， 然后小于 二倍的 omega 乘以十二分派，也就是六分之 omega 派啊， omega 派，六分之 omega 派啊，两边怎么样？这个式子同时乘以二倍 omega 吧， 对吧？好，然后再加三分之派，也就是三分之派。小于二倍的 omega x 加上三分之派，然后呢？小于六分之 omega 派，然后再加上一个什么呀？ 三分之派，对不对？同学们，是不是？好，所以说最后它也就是大于三分之派，然后呢？小于六分之 omega 派，再加上一个三分之派啊， 我这么说没问题吧？同学们，我这么说没问题吧？好，也就可以得到这个范围啊，也就可以得到这个范围，也可以得到这个范围。然后说呢，我们看，因为这个二倍的 omega x 加三分之 pi， 它是不是整体落在这里面，而我们 y 等于三 x， 你 看啊， 相当于这个二倍的，就对于这个 y 等于 sin x 而言，这个二倍的 omega s 加上这个三分之派，它是不是也就是这里面这个 x 而 s 取的范围？看好了，哎， 从零到最高点，这个位置是二分之派，什么时候到零点呢？哎，这个位置又到派，然后再往下又变成二分之三派，然后再回到零点，是不是也就是二派啊， 对不对？而他的最小值三分之派，三分之派位于二分之派到零之间，哎，所以在这既然有零点的话，是不是也得让这个六分之欧米哥派加三分之派位于派到二分之派范围内， 这样的话，是不是才能保证有唯一的零点，而这个唯一的零点，也就是这个 s 轴的焦点啊，这焦点是派啊，所以你保证这个式子是不是得大于派，小于二派啊，对不对？所以说 我们就可以得到，所以我们就可以得到六分之 omega pi 加上一个三分之 pi， 它是不是也得大于？哎，小于二 pi， 你 要等的话可以吧，等的话也可以啊， 等的话不就恰好？哎，不行啊，因为这是开区间，不能等，不能等。我这个说错了，不能等。 好，因为你要你这个位置是这边是等于这个二派，可以吧？哎，等于这个二派是可以的，因为这个十二分之派这个取不到，如果说这个位置真是等于二派了，它小于二派是不是也可以啊？各位同学们好，然后我们对这个式子进行化简啊，看一下这个 omega 它的一个值啊，哎，我们看啊， 得到这个范围来，我们就写一下，嗯，两边同时减去三分之派吧，也就变成了三分之二派，小于六分之，我们一个派小于等于，好，这个二派是不是也就是三分之六？三分之六减去三分之派是不是得三分之五派啊， 对不对？好，这个派我全给消掉。两边同时乘以个六，所以可以得到 omega 是 不是大于六？乘以三分之二，是不是就是四小于等于这边六是不是就是十？所以说， omega 的 范围是不是大于四小于等于十啊？ 可以吧，同学们是不是可以得到这个式子吧，对不对？然后呢，我们也知道，这个 omega 是 不是等于三分之一加二？ k 来这个红色的，老师画这个红色这个式子，别忘了，你得保证这个 omega 等于三分之一加二， k 是 不是得位于这个四到十之间？ 然后我们看 omega 的 最小值，对不对？好，我们看这个 k 是 来源 k， 它是什么呀？ k 是 不是属于整数啊？就是零一二三四距离是整数，我们看，当 k 等于一时， 我们一个等于什么呀？ k 等于一，一也就是二，对吧？二加上三分之一 等于什么呀？三分之得什么？同学们是不是得到了三分之七呀？三分之七，哎，不在这个范围内，所以不行。然后我们再 k 等于二呢？ 那么 omega 是 不是等于三分之一，然后呢？再加一个四，对不对？你看这个四加三分之一是不是肯定位于这个范围之内啊，对不对？所以说四加三分之一是不是得四？是不是三分之十二？三分之十二加上三分之一是不是就是三分之十三？ 所以说 omega 它的最小值是不应该是三分之十三，对不对？是不是？所以说你不能够直接写四啊？直接写四那就错了，因为这个 omega 还得满足这个式子呢，这两个式子得同时满足。 所以说最后结果是不是有选 a 得三分之十三啊？在 k 等于的时候，我们一个去的最小值。好吧，这就是我们这个题，这就我们这个题来，同学们可以关注一下老师啊，后续相关系列的问题，老师还会继续在这上面进行更新，对吧？
07:41查看AI文稿AI文稿看一下这个十六题啊，十六题，这个是三角函数的直角。呃，那个实际应用啊，解直角三角形啊，这种题啊也是我们中考的就常考题啊，老朋友了算。是啊，这里主要是对这个羊角啊，福角啊这些 东西的一些理解，还有就是一定要在直角三角形里面解，你看这些东西其实题是都给你提了，怎么塞引啊，扩散啊，摊角的，这就只能在直角三角形里面才有。好吧， 这个我提醒一点点啊，做这种题的时候就是一定在直角三角形里面，嗯，做，然后去套这个三角函数，然后最后最重要的就是把它算准确，不要算错。很多同学他不是不会算，他是算错，不会算的同学就是不会找桥梁啊，桥梁很重要啊，找桥梁 就是他这个相当于一个咱们在证明题里面找的那个就是等量代换，那那种感觉啊，找等量代换，找桥梁。我们来看一下这个题怎么做， 他说前面说什么活动啊，怎么？你管他什么活动？你不管什么车，你看有一个围巾车下来就 ab 的， 东门的就就这个车， ab， 那 最后不是求 ab 吗？对吧？西门有一笔 测这个东西就是要求的，就是要求 ab， 他 说如图，主要是把图读懂。无人机从西门 a 处垂直垂直上升，对吧？他倒到这里，那垂直就垂直了，他不垂直吗？对吧？在哎，这个 c 处测的，东门 b 的 俯角为三十度，你看这个题，他这个角为三十度，其实他已经很人性了，他告诉了你也。 呃，在途中已经告诉你哪个角，如果是我出题，我是不会告诉你这个的，让你从图里面自己找啊，这个题，但是每年成都中考他都告诉了，所以说无形当中减轻了压力。 ab 方向沿 ab 方向飞行六十米，到达地主量，它是平行的哈，它是沿这个 ab 方向飞飞行啊，再垂直上去，然后这个是六十六十米啊，到达地，也就说你要从已知得到一些 c、 d 是 不等于六十米啊，对吧？ c、 d 这个等于六十米，他说在 d 处测的西门的俯角六十三点，你看这个就是他要这个俯角就角 d 嘛，角 d 等于六十三点四啊，对吧， 对吧？这个度好，这，这个角，这个 b、 c、 d 等于三十度，对吧？我，我其实不喜欢写这种数，我喜欢标标字母角一，角二，这个角，对吧？你应该等于多少？你应该明白的哈， 我们来看一下这个 ab 方向，继续读，他说这个等于六十三，六十三点四度哈，没有了，就求这个了哈，你看， 如果在不添加辅助线的情况下，你要在直角三角形，对吧？应该是直角，就 r、 t 三角形哈，注意所有的点，那只有这两个角是直角， c、 d 肯定是。 ab 是 平行的，对吧？它是 水平飞行的，对吧？这个 ab 方向啊，飞的沿 ab 方向它是平行的，这个你就告诉我 c、 d 和 ab 它是平行的，这个东西要搞明白，好，对吧？我们来看一下，已知的是 c、 d， 对 吧？ c、 d 等于六十米，我们要求的是 ab 来，在这个三角形，在 r、 d 三角形 a、 c、 d 中 是不是角 c d a a 这个角 d， 角 d 嘛，就是角 d， 是 不是等于六十三点四， 对吧？ cd 我是 知道的，是在这个直角弦上求 ac， 可是不是可以用正切啊，对吧？这些什么正切啊，正弦啊，余弦对吧？你的脑子里面要有啊，我在这边都写了哈，如果你是，呃，同学，对吧？你是学生啊，我讲这些东西的时候，你能想到山影是不是对边比斜边就是 正弦，鱼弦就是 cosine 是 斜边啊，临边比上斜边那个正切是对边比上临边。如果你是家长的话，对吧？你就你可以 拿着这个字典问一下同学，你问他三引扩散引碳量体，他所对应的是什么，你可以考察一下他，如果你自己学生，你自己这我说这个问题的时候，脑子里面想一想，这些东西还有些特殊角，对吧？这些特殊角是多少？我讲我讲过塑形结合，直接可以把这些角全部给他， 那个就是算出来，不用去死记硬背，在这里我就就不讲了，因为时间关系啊，同学们可以自己去看一看哈，对吧？ 好，我们来看一下这个在三角形 r t 三角，如果后面有同学留言说这个不太会了，就记不住这个的时候我会出，我可以出一期视频给他专门讲一下。这个怎么记啊，很简单啊，不需要死记硬背，再用竖形结合啊。 好，我们回到这个题字，回到这个题啊，这个是竖直角，我写这里啊，在二 d 三角形中，你看有这个。如果说 a、 c 比上 c、 d 是 不是就正确？就不贪江题，那是不是应该等于贪江题角？这个贪江题写都一样，把这个擦掉吧，这写的不太好， 是不是应该等 a c 比上 c、 d 是 不是等于贪江题角 d？ 贪江题角 d 就是 贪江题。六十三点四度 弹性力有十三度，是不是等于二，对吧？这个都有了，那也就是说 ac 和 cd， 那 所以说你要把这个 ac 求的等于 cd 乘以二 啊， cd 乘以这个，它这个弹性力角 d 吧，还是写原式 cd 是 不是六十再乘以二，是不是一百二十米？哎，有些同学问呢，哎，为什么？哎，老师为什么要先求这个 cd 啊，对吧？我说过，在直角三角形里面，我们来把这个东西为什么不求其他的要求 ac 啊，对吧？我说过在直角三角形里面，我们不求其他的要求 ac。 哈， 我说过，解直角三角形，首先第一必须在直角三角形边，直角三角形，在这个如果再不做辅助线的情况下，就只有这两点，这两个三角形 a、 c、 d， r、 d 三角形 a、 c、 d， 一个是 r、 d 三角形 c、 a、 b， 对 吧？就 a、 c、 b 嘛，或者是 c、 a、 b 都无所谓，就这个，这这这这这这两个三角形，直角三角形，而椅子给的是 c、 d， 很 明显 c、 d 只能在这个三角形里出现， 而这两 r、 d 三角形 a、 c、 d 和 r d 三角形 a、 c、 b， 它是不就是通过桥梁 a、 c 来实现了？没，两个都有 a、 c， 对 吧？所以说只要从在 c、 d 里面自然的把 通过 r、 d 三角形 a、 c、 d， 通过 c、 d 把这个 a、 c 算出来，那再通过三角形，再这样三角形 c， 那 个 a、 c、 b 当中就 c、 a、 b 算出来，对吧？这个角多少度？是不是三十度？ 为什么？ c、 d？ 我 刚才说了 c、 d 是 平行于 ab 的， 对吧？内错角，这两个角是内错角关系，对，也就是说角 b， 其实它也等于三三十度，对吧？我们再来，有了刚才的分析，我们再分析，再再，三角形 r c 三角形 c a b 中， 对吧？在 r c 三角形 ab 中， c a 就 a c 嘛，比上 ab 它是不是也是弹性角 b 啊？ 刚才我说说了，它将你角 b， 是 不是它将你三十度，对吧？那所以说我写在这里，那这个我们要求的 ab 不 就等于 c a 除以它将你角 b 吗？ c a a c， 刚才算了一百二十米， 它将你角度就是它将你三十度，它将你三十度，是多少？是不是三分之二三啊？同学们，对吧？其实在我在这里写了，对，三分之二三，一百二除以三分之二三，同学们搞不清楚，是慢慢算，除以除以一个数等于乘以这个数的倒数，对吧？乘以这个对吧？一百二 加三分之三，不就是一百二倍加三吗？是吧？加三带进去，一百二乘以一点七三，答案，答案 一算，这里就是二百零七点六，最后的答案是单位带上啊。考试的时候算这个是很简单的，一定记住啊，算，算的时候就是 他就是一定在直角三角形里面，大家要从这个题的这个挖掘他背后出题的内容啊。死想啊，为什么是我刚才讲了这些东西啊？考试的时候一定首先抓住再怎么找到直角三角形，然后去找桥梁， 就两点，一找直角二，直角三角形二找桥梁，桥梁一算啊，代入精确，他说零点一米就多少，把它算清楚啊，不要算错啊。好，这个题就在这里，其实挺简单的。
16小王150
08:50查看AI文稿AI文稿大家好啊，今天呢，我们来讲的知识点叫做巧记三角函数， 那么今天的课程呢，主要适用于初学三角函数，以及经常啊对三角函数呢记有点混淆的同学。那么今天呢，我们将通过一些小技巧啊，把这个知识点呢啊，狠狠地记在大家的脑海里好， 那么在初学这个三角函数的时候呢，我们会遇见以下三个比较重要的概念啊，第一个概念呢，叫做正弦，英文读作 sine。 第二个呢，叫做余弦啊，英文读作 cosine， 不 读作 cos 啊，我知道有些同学呢，非常喜欢 cos 啊，又唱又跳的对吧？ 好，最后一个呢，读作正切啊，正切，英文读作 tangent， tangent。 那 我知道大家刚学这个知识点的时候呢，肯定有点烦恼啊，这里面都什么东西啊，又酸又苦酸又 tangent， 又正又愚又咸还切，对不对？那怎么样去记忆它呢？那大家在初二的时候肯定学过一个定理啊，那个定理呢，非常的有名啊，叫勾股定理， 勾五丁里面有非常著名的话啊，是我们这个古时候的中国人啊，说的勾三股四弦五啊，这个弦五，那大家可以发现啊，这个弦五呢，它是跟这个五搭配的，它就是最大的那个，对不对？所以呢，在我们的这个呃，古代呢，这个弦其实带的是什么东西呢？ 它指的是最长的一条斜边啊，最长一条斜边，所以如果我们发现有一个词汇里面出现了这个弦这个字，那意味着什么？意味着待会必定会出现斜边啊，斜边。那同学说这个正什么意思呢啊？这个正呢，就指的是正对着的， 所以我们这个正弦它就是一个角，它正对着的边和斜边之间的比例啊，和斜边之间的比例。那么这个余是什么意思呢？ 余呢，就是相邻的意思，所以余弦组合起来的话，就是一个角，它相邻的边 啊，和他斜边之间的比例啊。记住没有，如果在我们的中文字里面出现弦这个字，哎，就是指的是斜边，正就是正对着，余就是相邻的，所以这边的正切。正切指的是什么？首先第一个 哎，他没有弦这个字，说明没有斜边，两个都是直角边。然后第一个出现的字是什么字啊？正切，那就是正对着的边啊，比上我们的领边好吧， 好，那么现在呢，我们以我们的这个角 a 角 a 为例，我们的这个 sign a， 它指的就是我们角 a 的 对边，那角 a 的 对边是哪条边？看啊，这是角 a 啊，它所对的这条边 是不是我们的这个 bc 边？对不对？然后这个斜边呢，就是最长的那条边，那就是我们的 ab 边啊，所以这个三 a 就是 对 bc 边，比上 ab 边啊， 好。那么这个余弦呢？我们依旧用 cos， 用这个 a 来表示 cosine a 啊，它指的是邻边比上斜边，那么这个 a 相邻的这条边是不是我们的这个 a c 这条边？ 斜边的话啊，就是最长的边，那就是 ab 这条边。好作为一个正切啊，正切， 正切呢啊，就是角的对边比零边啊，这个角所对的这个角 a 所对的边，就是我们的 b c 这条边啊，相邻的这个边啊，就是我们的 a c 这条边啊， 那我们可以发现啊，如果我们把这个 c a 和我们的口算 a 一 除，就会发生 bc 边，除以 ab 边啊，然后呢？除以 ac 边，除以 ab 边， 我们把除变成以后，就会发现，它就会等于， 哎，我们把 a b 一 约啊，它是不是就等于我们的 b c 比上 a c 是 不是正好就等于我们的这个天井 a a？ 恭喜你，发现了一个盲点， 在我们的三角函数中啊，我们只要拿我们的正弦除以我们的余弦，哎，我们就会得到我们的正切啊，正切啊，这是一个比较重要的定义啊，重要的定义 啊，那么在我们日常用三角函数的时候呢，最常用的啊，其实是我们三角函数特殊角啊，主要是这三个啊，我们的 sine 三十度啊，四十五度啊，还有六十度，这是我们的特殊角啊，那么在考试的时候呢，我建议大家最好还记一下十五度和七十五度啊，那大家可以查一下，查阅一下资料啊，他们到底是多少，因为考试的时候概率会用到，好吧，好， 那么我这边呢，以这个六十度的角为例啊，六十度的角为例， 好，大家看啊，六十度角是这个角。 sine， 六十度啊，指的是对边比上斜边啊， sine 指的是正弦啊，对边比斜边， 那么就是对边是 bc 这条边啊，斜边是 ab 这条边，那就是二分之根号三啊。好，接下来口 sine 六十度， 口三，六十度指的是余弦啊，相邻啊，和我们斜边之间的比，那么相邻边是 a c， 斜边是 ab， 所以 就是二分之一好， tangent， tangent 带指的是我们的正切啊，它指的是对边比上零边啊，那六十度所对的边是 b c 这条边， 相邻的边是 a c 条边啊，所以是根号三啊，根号三，好， 嗯，那你可以是说那这个没有记忆技巧啊。好，那如果大家把这个三十度还有四十五度用同样的方法标清楚以后，会得到这样一个表格，大家观察一下这个这些表格啊，它有什么特点？ 有什么特点？哎，大家有没有发现，对于 sine 的 这一栏，它们的分母是不是都是二， 然后它们的分子是从根号一，根号二，根号三，慢慢地扩大的，也就是一二三一二三。而 cosine 这一栏， 它是不是是从分母依旧是二，但是分子从根号三到根号二到根号一，是不是慢慢的在降低啊，对不对？变成三二一。 而最后一栏 tangent 是 不是似乎没有什么技巧？但是我们刚刚不是说过了吗， sine 除一口 sine 就 等于 tangent， 所以 我们只要把前面的这两个均音的相除，就会得到最后一栏。 哎，就是这么简单，那我们的口诀就是什么呢？我们的口诀就是 一二三三二一，两个一除。我们把 sine， cosine， tangent， 还有三十度，四十五度，六十度，按按照这样的方式书写以后，就会得到一二三 三二一，两个一除，两个一除，两个一除。那么考试的时候呢，大家就可以列这样一个表格啊，保证就不会错啊。当然了，有同学说这个技巧比较烦，我直接看图也可以去记忆啊，这也是一种记忆技巧， 那么我希望呢，大家能掌握这些，记记这些技巧啊，好好的去面对考试。好，今天的知识点就讲到这里了啊，大家记得点赞收藏一下。
163数学跃迁
07:58查看AI文稿AI文稿同学们好，今天给大家分享一道非常新颖的三角函数的计算问题。的朋友们啊，这是一个跟咱们平时的三角函数的计算是不一样的， 我们平时的三角函数的计算，他会提供角度，仰角啊或者是俯角啊，然后再提供三角函数值来解决实际问题，但是这个题目没有角度，只有他提供的三角函数值， 咱们观察一下这个题怎么解决的。你们啊，已知这是一个摩天轮的模型，你们啊，这是一个摩天轮的模型， 这个这个摩天轮这个半径呢？是五十，告诉我们了 ob 是 五十，这个摩摩天轮的最下端点 b 处到地面的距离是十，也就是告诉我们了 oc 等于的，是啊，六十了， 还告诉我们 c d 的 长度是八十， c d 的 长度是八十，这里是垂直的。同学们啊，这是垂直的，那么有六十，有八十有垂直，同学们要想什么呀？很显然我们就要想到要连接 o d， 那 o d 等于的就是一百了， o d 等于的就是一百了， 那么有用没用，咱们得首先想到这些东西里面啊，那么这是一个一百，这里又有一个五十，这是切线啊，告诉我们这个 d a 为圆 o 的 切线，一提切线咱们就要连接圆心和切点， 那么这个垂直这里有一个五十，半径是五十，那么这有有五十，有一百，很显然我们就会想到这个角是多少度啊， 显然这个角是啊三十度，那这是五十至一百，所以这个长直角边就是啊五十倍的根号三了， 三十度角的直角三进行中，长直角边是短直角边的根三倍，你也可以根据勾股定律去求知。你们啊，那么熟练之后，咱们应该到初三了，应该熟练的掌握长直角边是短直角边的根三倍。朋友们啊，那是五十倍的根三，咱们独一只条件，顺藤摸瓜能摸到这些东西。 那第一老师第一开始看这个题的时候也是有点纳闷，不知道这些度数从什么地方蹦出来的，也不知道这些度数怎么用， 所以说我尝试了一种方法，没用三角函数，咱看一看能不能解决这个问题。这个题两种方法来讲解。同学们啊，第一种方法咱们就尝试，咱一看不用这个三角函数值怎么解决这个问题？让我们求的是什么呢？求点 a 到地面的距离，那我们就得首先过点 a 向地面做垂直了， 这是 m， 过点 a 向地面做垂直 m， 我 们要求的就是 am 的 长度，显然这里围成的是一个直角梯形。直角梯形要求 am 的 长度，那么很显然还得再切一次，这是在三角函数中经常用的。切成直角三角形和这个矩形，这是字母 n 吧。 过点 o 做 o， n 垂直，那显然 oc 等于六十，那 m n 就 等于的也是啊，六十了。所以说我们要想求 a m 的 长度，只需要来求 a n 的 长度就可以了。我们设 a， n 是 x， 那 么做了这个垂直之后，你们这也是垂直的，那么显然这个角加这个角也是啊，九十度。三角形 a， d， m 啊，这个角加这个角也是啊，九十度。 那么也就是说三角形 o， a， n 和三角形 a， d， m， 这就构造了一个一线三等角的相似三角形， 一线三等角的相似三角形。同学们啊，这里垂直，这里垂直，这里还垂直。在这一条线上，三个相等的角，那三角形 o、 a、 n 和三角形 a、 d、 m， 它俩是相似的， 那么我们挣它俩相似有什么用？就是为了去求这个 x， 它俩相似的比是多少？ 这是五十，斜边是五十，这个 a、 d、 m 的 斜边是五十倍的根号三，所以它们的相似比其实就是它们的三十度，也就是 e 比啊，根号三， 那我设 a n 是 x 了，那 dm 显然就应该是啊，根号三 x 了，这是短直角边与短直角边之比啊。一比根号三，它是 x， 它就是根号三 x， 那 c、 m 就是 八十减根号三 x 了，八十减根号三 x， 那 o n 也是啊， 八十减根号三 x 了这是。这个四边形是矩形，你得提前证一下，对吧啊？解题过程中必须要证明它是矩形，不能直接用啊。 那么 o、 n 等于八十减根号三了，那在这个三角形里边勾股定律，这不就可以了吗？ x 的 平方加上一个八十减根号三， x 的 平方就等于五十的平方了。勾股定律，这个数字看上去有点庞大，是不对吧？ 其实老师动手解过，他那个单二点是可以开出来的，单二点是可以开方的啊。这是一个用公式法来解的方程，不是很难算，不是很难算，很轻松就能找到 x 的 数值，那么找到 x 的 数值加上这个六十，就是我们要找的 am 的 长度了。 这是咱们没用三角函数这样来解决。那么接下来咱们看一看怎么运用人家的三角函数来解决这个问题。接下来咱们再看这个命令啊， 那就没必要再做这些，这个这个垂直就没有必要了，就没有必要再构建一线三等角的地方啊。但是 am 这个垂直咱们还是需要的，因为我们要求的就是 am 的 长度，我们要求的就是 am 的 长度，那这里同学们注意观察了啊。 那么这个这个题目当中，显然这里有三，有一个三角形的三条边都是已知的，也就是 o、 d、 c， 他的三条边都是已知的， o、 a、 d， 他的三条边也都是已知的，那就去观察一下哪个三角形里边的两边之比会出三比四。 哎，我就是观察这个三比四观察出来的，他因为有没有发现哪一个三角，哪一个角的边与边之比会出三比四的这种情况。 o、 b， 是 啊， o、 c 是 六十分的，这是六十，这是八十，这是一百，显着这是六八十，也就是把三四、五同时扩大了两倍，又同时扩大了十倍，也就是把三四、五同时扩大了二倍。所以说 o、 c 比啊， c、 d 就是 一个三比四， 那也就是说这个角一摊着它角一，它就等于六十比八十等于三比四了， 所以角一等于的就约等于一个三十六点八七度了，也就是之前我们是用三角函数去用它的笔直解决问题，而这个题倒过来了，根据笔直去求角的度数，它新颖就新颖到这个地方了。 那么角一知道是三十六点八七度了，那角 a、 d、 m， 他 显然就等于这个三十度加角一了，也就是六十六点八七度，这个六十六点八七度就是这样产生的。答案 出六十六点八七度是要干什么呢？我们不是要求 am 吗？那 am 显然是这个六十六点八七度的对边，我们已知的是他的斜边，所以三 六十六点八七度就约等于对面的那个 a m 比上一个斜边五十倍的根号三，约等于零点九二，所以 a m 的 长度就出来了， 约等于零点九二乘以五十倍的根号三，根号三也提供了近四值。这个题目要求最后精确的小数点。后边一位同学们啊，给你要求就可以去求 a m 的 长度了。实际上用上三角函数非常的简单，比咱们用勾股定律要简单的多。 所以说借助学这个三角函数就是为了求线段的长度。这个题心就心在它是根据笔直去求角的度数，而不是根据角的度数去运用它的笔直解决问题。希望这个题目能够帮到大家。
32初中数学柳老师
03:13查看AI文稿AI文稿我们看到这题直接秒选 b 呀，好， 同学们，今天我们继续来讲数学模拟卷的一，第二题，哦耶，我们看到这题直接秒选 b 呀， b 呀，为什么？哎，不对，我先要把这个表拿开，再来一遍， 为什么呢？章鱼哥，我们看到这三个分别代表了正弦与弦和正切。对，我们来画一个直角坐标系，来主，主要分析一下，然后画一个圆，我来放大一点， 虽然不是很圆，但是不是很重要，你听他扯淡吧。然后这时候画一个角， 这个脚是阿尔法在这个点啊，很经典的放了个屁。 然后呢？因为他脚比较细，这边是 x 轴，这边是 y 轴，一定要标出来，这个画轴的第一步就是要把这两个标出来，然后这个脚往下，那是不是他是 x， 这里就是 y， 这段距离，对吧？这段距离，这段距离是 x， 对 吧？对。然后我们看到正弦呢，它是对边 比上斜边，不等于 y 比上 r， 为什么呢？ r 法对边，是不是这边，这边是 y 比上斜边，这，为什么这个是 r 呢？因为这个是圆的半径，然后就是 y 比上 r， 对 吧？同理，余弦呢，是零边比上 r， 这个角，零边，这边零边，相邻的边对上斜边，是不是这个边？ 二，所以就是 x， 正切，就是对边比上零边，对边 y， 零边 x， 所以 这三个， 这三个数值代表的分别就是。
97芋泥包吃薯条
50:56查看AI文稿AI文稿同学们好，我是彭老师，今天我们要讲的是中考必考，也是我们稳稳要拿住的八分题，解直角三角形的应用。 那么在正式开讲前，我也想问大家一个问题，到底为什么叫直角三角形？ 只要把这个底层逻辑弄透了，你才真正懂了这一类题，所以这八分我们必须拿下。为什么呢？因为他自始至终就是我们生活中能见到的模型， 可能有时候你觉得他比较难是吧？根本想不出来，就是在于我们根本就没见过这个模型，你像那之前样卷一上面的垃圾桶是吧？那么接下来我也会带大家一起来做一下我挑选的这六道模拟题， 只要大家跟着我的思路看完，你就会发现，原来这类题就是真正的送分题。那么好，在做题之前，我们要做三个准备，第一个准备就是公式准备， 三角函数的正弦、移弦、正切 这三个东西是我们一定要去记住的，三十三十度，四十五度，六十度，其实大家记这第一排就够了， 二分之一，二分之根号二，二分之根号三，如果你实在记不住，你就二分之根号，一开始记好吗？余弦的话就是跟它倒着走，倒着走，然后正切的话呢，就是正弦 除余弦，所以我们只需要记住第一排就够了。那么什么叫正弦？正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边， 正切是对边比零边好。可能又有同学比较疑惑了，什么叫对边？什么叫斜边？什么又叫零边呢？好，我这里随便画一个三角形， 这里所有的对斜零都是相对我们 这个角而言，比如说题目给出了这个角，是吧？然后他题目下面会给一点点小提示，说某某角的正弦等于多少度，余弦等于多少度。那我们就来看这个角，这个角对面的这条边 跟你看东西一样，对面的这条边叫做对边，相邻的这条直角边叫做邻边，相邻的这条斜边叫做斜边。 啊，不要搞错了，对边邻边都是直角边，斜边就是斜边，这是公式准备。那么第二个准备我们要有一个概念 解，直角三角形，顾名思义，这是一个围绕直角三角形来说的问题， 所以它一定会涉及到什么平行、垂直、 互补这四个概念， 这个我们接下来再说。那最后一个我们要做好计算的准备， 可能有时候这一类题目会涉及到复杂计算， 那还是一个道理，我一直讲的列而不求，求而不算。 好，接下来我们就来看题目。 好，同学们，我们来看到这一道安徽省的模考题，在考场中我们拿到这样一个题目之后，我们第一步要去看它的实物图 啊，你去想一下我现实生活中或者我曾经有没有见过这样一个图，如果见过的话，我就身临其境的去想，我当时在这个环境中我是一个什么样的感觉， 是吧？是不是有这个屋顶啊？有这个柱子啊？啊？有这个桌子，然后我再去把这个实物跟这个什么结构图去一一对应，比如说 这里面有屋顶，那这个 a、 b、 c 就是 它的屋顶啊。 c m， b， n 也不是 b， n 这个点 m 这一条，这个点 n 这一条也就是它的柱子，然后中间这个 e、 d 这一块，那就是它的中间的小桌子，也就是我们下象棋的地方。 好，看完示意图之后，我们再去看它的小括号， 它小括号里面会有限定条件，会有提示东西。比如说这道题，他说精确到零点零一，我们看到就圈起来， 因为有些题目说精确到零点零一，他说精确到零点一，这点要注意。另外一个参考数据，我们看这里，三一五十三， cosine 五十三、 k 九五十三，这里的所有都是围绕五十三来展开的，所以说这一题的主角是五十三度，我们要去找 那最后一个根号三，等于一点七三，也就是说如果我们最后的解答过程中没有出现根号三，那我们大概率是做错了。 好，看完这第二步，我们第三步是去看它的问题，求梁平顶点 a 到地面的距离，先看问题， 再去看条件。好，我这里用绿色的线画出来顶点 a 到地面的距离，也就是要我们来求 a、 d 这一条 线段的距，线段的长度，对吧？求 a、 d， 一 般要我们求一条线段，它不会让我们求完整，它会给出其中的一小段，然后让我们求另一小段。 好，我们来看题目的条件，已知 b、 a、 c 等于一百二十度，这个角等于一百二十度， a、 b 等于 a、 c， 也就是说这个三角形叫做等腰三角形，然后 b、 c 两点到地面的距离相等，说明这个屋顶是平的，不是弯的， 然后 b、 c 两点间的距离为二点八。好，第一个条件，第一个长度条件，也就是我们要做的辅助线水平辅助线，我们要把 b、 c 连起来， 然后太阳光恰好能照在点一处，先不用管它。此时桌面与太阳光桌面形成的夹角为五十三度。好，第二条过一点做平行于水平的线，这是第二条， 然后三点共线，然后要我们去求什么？求 a 的 长，另外还告诉了 d 的 长，对吧？告诉了一段，让我们求 a。 一， 告诉了 e、 d， 让我们求 a。 好， 我们现在来分析 整个一条线段， a、 d 其实被切成了三段。然后题目这个关键角，关键角是在这里，太阳光与桌面形成的夹角是三度， 所以这一题的关键在哪里？点的是 bc， 我 们这个 a d 一定是垂直 bc 的 吧，因为所有的辅助线就是水平和数值，所以这个角一定是垂直。 那垂直，我们知道 b c 这个角叫做 h， 那 就知道 b h 和 c h 的 长，然后开始辐射，通过 b h 的 长， 我们能得出 a h 的 长，通过 b h 的 长，我们也能得出 h e 的 长。那最后 a h 加 h e， 再加上 e d， 就 把 a d 算出来， 那整个过程就是这样。我们来算， 首先是 a h， 这里一百二十度角肯定是被平分成了两个三十度，两个六十度， 一边六十度，一边六十度， b c 被分成了两个一点四，我们要求的是 a h， 我 们已知的是 b h， 我 们可以看到这两条边相对六十度这个角而言，是邻边和对边的存在，所以我们这里要用到 t 角 hundred 六十度。我再回忆一下， hundred 等于对边比零边，也就是这里面的 对边相对面的对面的 b h， 零边旁边的 a h， 所以 我们最后要求的 a h 会等于 b h 去除一个 hundred 六十度，也就是 b h 是 多少？一点四除以六十度。好，这里我为什么不先写成根号三？ 因为我这里写成根号三的话，我就要把它划出来，就是我写成根号三，我就要把分母化简， 然后就要把它算出来，如果在这一步就把它算出来的话，会失去一个精准度。我们先保留好第二个，第二个我们要找到 h 一 同样的道理，这个五十三度是主角，我们一个内错甩上来，是不是甩到这里来？ 我们已知 b h， 我 们要求 h e 这两个角相对这个五十三度角而言，也是对边和邻边的存在。所以我们再来一个 tanger， 五十三度会等于对边比邻边，也就是 h e 比上 b h， 那 最后我们要求的 h e 就 等于 b h 乘以千卷五十三度， d e 知道吧？ d e 它给我们了，等于零点五。那最后我们要求的 a d 就 等于 a h 加 h 一， 再加 d e 就 会等于一点四除以天角六十度，加上 b h 是 多少呢？ b h 也是一点四嘛，一点四乘以一点三三加上 零点五，最后会等于三点二，约等于三点二米。 好吧，这是第一题，我讲的比较细，那我们接着往下看， 同样的道理，拿到这个题目啊，这个题目并没有那么抽象，我们可以直接看问题， 求北门门楼 a。 好，第二个题目，这个图只有一个，那我们直接看参考数据，结果取整数圈起来，参考数据，五十三，五十三，五十三，根号三还是一样。 那我们直接看问题，求北门门楼 a 到古井 d 的 中轴线，这里一个中轴线保持一位中轴线的长度，那我们来看一下中轴线到底是什么呢？ 啊？乱七八糟。从北门 a 出发，先往位于 a 南偏西三十度，他这里直接标了，然后再沿南偏西五十三度， 已知 b 到 c 的 距离为四百长度条件， c 到 d 的 长度为八百长度条件，角度条件。要求 a 到估计 d， 也就是直接是 a、 d 这条的长吧。好，我们依然画出来要求这一条。 我们说所有的辅助线都是横平竖直，对吧？那过 b 点做水平，过 b 点做竖直。 要求 a、 d， 我 们就要把它分成 a h， 把这里分成 c p。 首先我们可以通过这个五十三度，通过 b c 得到 b p， 也就是这里的 h d 这一条。那我们还剩下一条 a h， a h 怎么求？ 减了这个八百，我们能不能先把 c p 求出来，然后用八百去减这个 c p， 得出 p d p d 其实就是 b h 的 长，我们再通过这个三十度的角，通过 b h 再求出 a h 的 长，所以最后 a d 等于 a h 加上 h、 d， 分 为两个步骤。 好，现在开始实施。在这个三角形 b c p 内 点到我们的是一条斜边，相对五十三度角而言，我们要求的是对边和邻边。点斜边求对边，邻边我们要分别用到 sine 和 cosine。 好， 现在来写。 三、以五十三度等于对边比斜边，也就是 c p 比上 b c， 那 我们要求的 c p 就是 b c 乘以三亿五十三度。一样的，先不要去算它，只是把这个数据先给它补齐，也就是四百乘以三亿五十三度。好，第二个 cosine 五十三度会等于零边比斜边， 零边就叫做 b p， 斜边就叫做 b c， 那 么我们要的 b p 就 会等于 b c 乘以 cosine 五十三度， b c 是 多少？也是四百四百乘以 cosine 五十三度。好，准备完毕，可以开始初步计算。 c p 四百乘以三亿五十三度，就是乘以零点八等于三百二十， d p 等于四百乘以 cosine 五十三度，乘以零点六，等于两百四。好，我们来看这里 cp 三百二，总共八百，那给到 p d 是 不是四百八十？那 p d 四百八十， b h 是 不是四百八十？ 好，我们乘胜追击。那这里有一个三十度，我们要求的 a h 是 作为三十度这个角的邻边，我们已知的条件是作为这个三十度角的对边，所以这里我们要用到一个 tangent 三十度 k 卷，三十度等于对边比邻边，也就是 b h 比上 a h， 我 们要求的 a h 就是 等于 b h 除以 ten 三十度，那就是四百八十。去除一个三分之根号三 会等于四百八十。乘以根号三， 那就是四百八十乘以一点七，三会等于多少呢？我们来算一下，四八零一七三 等于八百三十点四， 这是 a h 的 长，那 h d 的 长呢？ h d 的 长就是 b p 的 长， b p 是 二百四，那 h d 也是二百四， 那最后就给了八百三十点四，去加上二百四十会等于一零七零点四， 一零七零点四，我们要的是什么？要的是整数，那就取到一零七零。好吧，那我们接着往下看， 这是一道安徽省的恶魔题，乍一看只有一张图， 另外精确到一米，参考数据，三十三，三十三，三十三，五十三点一，五十三点一，五十，三点一。还是一样，我们直接来看问题 b、 c 两点间的距离为多少米？好，我看到问题，我先把问题勾勒出来，我要求的是这一条好，画完之后我再去找条件。 无人机 a a 处的高度为两百米，那我就想到了第一条辅助线，是从 a 往水平做一条数值垂直线。好，这条代表两百米，那这个点叫 h 点，这条是两百， 在无人机镜头下观测主舞台 b 处的俯角。啊，它这里标了，所以你不用去纠结。当无人机先上升三十米，然后再后退四十米到达低处，也就是说 这一段等于三十，也就是它们的高度差，这一段等于四十，也就是它后退的四十，对吧？四十三十， 观测到 c 处的角为五十三点一度。好，没了，问这一段等于多少度？我们来研究一下。 要求这一段这题大概率去做一个减法， 我干脆把低点这条线给它延的再长一点， 我延到水平来， 也就是说 我们可以通过这个五十三点一角和这个三十三度角分别做两个内错，就得到了这两个角。 得到这两个角之后呢， 我首先有两百，这条边两百是不是跟这个 m n 一 样长了？所以 m n 也是两百，我可以通过五这个五十三点一 度这个角，然后通过这个三十加两百、两百、三十这条边去求出我们的 c n， 然后我又可以通过这个三十三度角和这个两百这条边，我去求出 bh 了， 然后我再通过 c n 去减这一条 h n， 也就是 a m 会求出 c n c h 了，我求出 c h， 我 再用 b h 去减 c h， 是 不是求出 bc 了？ 好，理论，没问题，现在开始实践。 首先第一个我们要求出 c n 来， 相对于这个五十三点一度角而言， c n 是 作为一条零边存在，然后给的条件， d n 是 作为一条对边存在，所以我们要用到 tangent 五十三点一度会等于对边比零边， 也就是 d n 去比上 c n， 所以 c n 会等于 d n 除以天角。五十三点一度， 我们给到这个三十三度角，我们要去求 b h 的 长， b h 是 作为这个角的一条零边，然后给也是给了我们对边， 所以这里同样我们要怎么去做？ tangent 三十三度会等于对边比零边， 也就是 a h 比上 b h， 所以 我们要求的 b h 会等于 a h 除以 tangent 三十三度。 好，现在把它们都求出来。 d n 是 多少？ d n 我 们说 d n 等于 d m 加 m m， 也就是等于三十加两百等于两百三十， 也就是两百三十去除一个 tangent 五十三点一度，也就是一点三三， b h 会等于 a h 除以 h 是 两百除以 tangent 三十三度。 tangent 三十三度零点六五。 好，到这里我们基本上这个题目就已经做出来了，那剩下的就是计算问题，我也不浪费大家太多的时间。我最后再来给大家捋一下，我们要求的是 b c 是 通过 b h 去减掉 c h 得到的， 那其中的 bh 我 们通过这里已经求出来了，我们求 c h 就是 用 c n 去减掉 h n h n 对 我们来说是已知的，给到了四十 c n 呢？我们这里也求出来了。所以最后就是一个计算问题，一定要注意保留精确到米，也就是不要小数。好，我们接着往下面看，加快进度。 好，我们来看到第四题，也是一模题，我们来测试一下刚才的方法啊。我先拿到这个图，我直接开始画辅助线，我要怎么画？来找点竖直，竖直好 水平，水平还有什么需要画的吗？无非就是这几条，然后再来看问题，求点一离地面的高度。点一离地面的高度是哪一条呢？就是这一条，这条绿色的， 它要我们求这一整条，一定会给出其中的一小段啊，不信我们来看 一个矩形， a、 b、 c、 d 表示后备箱，说明这个是后备箱，它可以往下盖，盖下去的话就是 a、 d、 e 翻起来就是 a 一 撇 d、 e 如果翻盖下去，它就能完全吻合，所以 a、 d 是 和 a、 d 一 撇相等的， d 一 撇 e 一 撇是和 d 一 相等的。另外它们这个角度一定都是直角，对吧？来条件角七十度 是谁？ d 一 撇 a、 d 七十度好，而且参考数据里面的也都是七十度，七十度是主角，然后 a、 d 等于一百，那 a、 d 等于一百，是不是告诉我们 a、 d 一 撇也会等于一百呢？ 它们只是位置不一样。条件边 d、 e 长为四十， 第一常为四十，是不是告诉我们第一撇一一撇也等于四十呢？那就这条四十 好，所有条件都给出来了。另外还有个关键的点滴，到地面的距离为一百一，说明要我们求这一整条。 其实已经告诉了下面这一条，要我们去求 e 一 撇 d， 求 e 一 撇 d， 来找到条件边 一百和四十。我们没去用这个一百一，我们待会直接可以加在后面。好，先看到一百，我们能通过这个一百和这个七十去求出谁来 求出谁。你主要要去找的是数值方向的，因为我们要去算数值方向的边，那是不是这一条， 但是我们想最后我们要用到一一撇 d， 其实没有这么长，所以还要去算到这一条。 好，现在来给它们标点，这个叫 h， 这个叫 p， 那 这个叫做， 这个叫 m， 这个叫 n， 要用到四个点， 通过 a d 这里我们先求出 d 一 撇 p 来，再用 d 一 撇 p 去减掉 d 一 撇 h 是 不是就是 ed 的 长， e， d 的 长，我们求的是离地面的高度， e 一 撇 n， 它会等于 e 一 撇 d， 加上这一个一百一。好，我们再来看这里 第一撇 p 怎么去求它在这个三角形内，相对于这个七十度的角是作为一个对边的存在，另外给了我们的条件是斜边，所以会用到 side 七十度等于对边比斜边， 也就是这里的 d 一 撇 p 比上 d 一 撇 a， 对 边比斜边好， d 一 撇 p 处理掉了，我们来看一下 d 一 撇 h 怎么去处理， 那现在就要用到我们刚讲的概念里面的什么互语， 那平行、内错、同旁、同位这些东西，我们知道这个角一定会等于直角，并且我们做的辅助线之间一定是互相垂直的，所以这个等于七十度， 那这个是不是七十度，他加他九十度，他加他等于九十度，所以这个一定是七十度。好，给到七十度是主角，然后来找关系，在这里 d 一 撇 h 是作为七十度的一个零边存在，然后已知的条件四十是作为斜边的存在，所以这里会用到一个 cosine 七十度等于零边，比斜边 零边第一撇 h 斜边第一撇一撇好，最后第一撇 p 就 会等于第一撇 a 塞以七十度 d 一 撇 h 等于 d 一 撇 e 一 撇 cosine 七十度 d 一 撇 a 是 多少？ d 一 撇是一百。 cosine 七十度呢？零点九四 d 一 撇 e 一 撇是多少？四十 cosine 七十度是多少？零点三十好，给它算出来， 算出来之后呢， 用 d 一 撇 p 去减掉 d 一 撇 h， 就 得到了 hp， hp， 也就是我们这里的 e 一 撇 d， hp 也就是 e 一 撇 d， 然后再用 e 一 撇 d 去加上 d n， d n 是 已知的，也就是一百一，那就得到了最后的结果。 好吧，这种题目就是这样，就是这么点东西。好，我们来看第五题， 先看这个图啊，一眼就能看懂这个图，然后参考数据， 参考数据是，二十七，五十五，二十七，五十五，二十七，五十五，两个主角二十七度，五十五度。 问什么桂花树 df 的 长好，问的是 df 的 长，我先把它画出来， df 的 长是这里，我们要求的是这里 来做辅助线。怎么辅助？无非就是找点嘛，一点水平过 f 点水平， 对吧？过一点垂直向下没有了，就这三条啊，已经做不出第四条了是吧？方方正正的，相当于把它框在框子里面一样，等着我们去做。然后来看条件， 负角二十二度，对吧？负角二十七度， f 点的负角二十七度， 然后呢？ c 点的负角。什么叫做负角？什么叫做负角？我想问一下， 如果你这里理解不了，你先理解这个竖顶 f 恰好在一条直线上，且俯角二十七度，这里的二十七是给到这里 说明是从水平往上抬二十七度，叫做它的俯角， 是吧？因为它是在哪里观察，它是在 b 点观察这个角二十七，所以这个角是五十五，放在下面内，错，就是这个角五十五度。 好，条件角，那我们来看条件边 a b 的 总长 二十五， c d 间的距离为八，总共就这两个条件。我要来求 f d， 那 怎么去求呢？ 首先我们来找到第一条条件边二十五， 条件角五十五度，我们可以通过这个五十五度和这个二十五去求到 ca 的 长， 然后再通过 ca 去加上另一个条件边，得到了 d a 的 长， d a 的 长其实就是 e h 的 长， 我们知道了 fh 的 长， 就会得到 bh 的 长，我们知道了 bh 的 长，就能知道 h a 的 长，知道 h a 的 长，就知道了 f d 的 长。好，来，理一遍思路， 先求出 c a 来，好不？这样写，换一种方式表来一个逆推， f d， 它是不是等于这个点叫做 h 啊？它是不等于 h a h a 是 不是等于 b a 减掉 b h b a 已知 b h 这一条，我们是不是通过二十七度的角 和这个 f h 来算？ f h 是 不是就等于 d a？ d a 是 不是又等于 dc 加 c a？ dc 是 已知的， 那最后就是去盯着这个 c a 来求， 好来， c a 在 这个三角形 a b c 内啊，相对于这个五十五度角而言， c a 是 作为一个零边的存在，然后给了条件二十五是作为一个对边的存在，所以这里要用到一个 t 角五十五度等于 对边比上零边，也就是 b a 比上 c a， 那 么我们的 c a 会等于 b a 去除以偏角五十五度。好， c a 求出来了，那 c a 加上 dc 也求出来了， 对吧？那 d a 求出来了， f h 就 知道了， f h 知道了， f h 知道了，那我们怎么去求？ b h 的 长在三角形 b f h 内，相对于这个二十七度角而言， f h 是 邻边的存在， b h 是 对边的存在，所以这里又用到了一个天角二十七度。 填卷二十七度等于对边比邻边等于多少啊？ b h 比上 f h， 所以， 所以 b h 会等于 f h 乘以一个填卷二十七度， 对吧？知道天角二十七度， b a 又是已知的， b a 已知多少呢？ b a 就是 ab 嘛，就是二十五，是不是一下子就出来？那主要是一个，你计算一定要细心，一定要细心。好， 好，我们来看到最后一个山东省泰安市新泰市恶魔又给了我们一个画面啊，依旧忙化吧 依旧忙化。哎，谁可以忙化，无非就是点 b 一 切，点 a 一 切，那还能怎么去切 我，再切我，我无非就是把它延长，把这里补补齐嘛。已经把它框死了，没其他辅助线可做了。来看题目问题，直接看问题，求什么？ 哦，在这里，问题在这，求 c d， 然后求 a， 看数据精确到零点一，二十二，二十二，主角二十二，根号三没用到根号三就错了。好，来看条件， a b 等于四， 斜坡的坡角。坡角是啥玩意？坡角就是给你一个平面，你往上多少度，你这个，你这个边往上多少度，你这个坡就多少度，这叫做坡角，这个叫做坡角，也就是斜坡的坡角。说的其实就是这个角 啊，这个角我同位角同到这里，我同位角内错角再内到这里，对吧？那这些绿色的角都叫做三十度，绿色的角叫三十度，那我那我那我，那我黄色的角是不是叫六十度， 对吧？黄色的角叫做六十度。 来， b、 c 长一点五，这一条边给到我们一点五， 较长数值立柱，然后 c、 e 以水平 c、 d 假角为二十二度，那就说明这个角是二十二度。 好，所有条件摆在这里。我现在要求 cd 的 长，我到底怎么求？那我问你， cd 是 不是等于 bh 啊？ 是吧？因为我做辅助线的时候，我就是如图，过 b 点 平行于水平面的线，过 a 点垂直水平面的线， 是吧？我画的就是方方正正的图形 c、 d 就 等于 b h， 那 b、 h 怎么去求？ b、 h 放在下面这个三角形内是非常好求的。这个绿色的角是三十度，三十度左右直角变为斜边的一半，那这条等于二，那这条等于多少啊？二倍根号三吗？是吧？那 c、 d 不 就是二倍根号三吗？ 这是第一位， 那第二问呢？ a 一 的长，好一样的道理，它给你一条长，它不会让你全部求，它只会让你求一点点。我们要求 a 一 的长， 其实 a、 h 我 们已经知道等于二百，哎，包括什么？ d、 h 不 就是 c、 b 吗？那剩下谁呢？剩下 e、 d， 那 e、 d 的 话，我们所有的目光向它看齐，向三角形 a、 d 看齐。 好在这个三角形内，我们是不是已经知道 c、 d 的 长，已经知道 c、 d 已知 c、 d 求 e、 d， 那 么它们两条边分别作为邻边的存在，所以我们用到 ten 二十二度，等于对边比邻边 等于 e、 d 比上 c、 d 吧。那我们要求的 e、 d， 如果 c、 d 乘以天角二十二度，求出来了， e、 d， 知道我最后 a、 e 是 多少呢？ a、 e 就 等于 a、 h 加 h， d 加上 e、 d 嘛， a、 h 是 多少算出来了？二啊， h、 d 是 多少就是 c、 b 嘛，就是一点五嘛， e、 d 是 多少？ e、 d 你 自己去算一下， c、 d 是 二倍根号二，乘以一个天角二十二度，天角二十二度是多少？ 天角二十二度零点四， 是吧？所以最后就是这么个事，哦，这是二倍根号三，二倍根号三。 好，所以我们通过这六套题的讲解啊，主要是给同学们吃一颗定型丸，这个题目我们一定能够拿满分。 好吧，按照这个步骤来，第一步干嘛啊？有时候出现这种实物图，就去想一想，到底怎么个 是啊，这种实物图怎么个是？然后再来通过它的示意图啊，结构图来去看一看啊，想一想生活中是不是有这种例子。 那第二种呢？没有十亿图 直接给到我们什么？直接给到我们一个这个图，那就简单，是吧？这是第一步。 第二步，我们去看他的参考数据，看他有什么限定条件啊，或者说精确到多少位数，然后看他给的一个三角函数，他给的是什么？多少度多少度，那就是谁是主角嘛，那给的根号三，没出现根号三，那就有问题了 啊，包括有同学会说，哎，老师，最后一题你没写更好三，那这不是更好三， 我只是这里没用那个政权去做嘛。啊？第三步，第三步，我建议同学们先去看问题，先看问题，先看他问的什么？你先去啊， 你先去把那个问题给画出来，你画出来，我说了你他要你求这一条，他一定不会让你全部求，他会让你分成几步去求啊？求几段，然后你去通过那个条件角条件边去延伸扩散，把它求出来 啊，一定要注意计算，特别要注意的是计算问题啊，包括可能会出现一些我们看不懂的东西啊，这时候我们就要去构思了， 那对于之后的一个考点，我有四个方向。 那首先这是第一个，一个机械臂模型啊，我在每个图里面都给同学们 打上了搜图关键词，如果你们想去了解的话，可以去根据这些关键词去搜索啊，这些东西到底长什么样？去过一过眼看一看就行。 好，这是第二个摩天轮啊，我，我不知道他会不会跟这个圆结合在一起，如果他跟圆结合在一起的话，可能会上点难度，他主要是一个动态观测点的一个模型。 那第三个呢？就是高铁座椅小桌板，就是空间折叠，空间折叠的话我们也可以想一想我们平时生活中 我们教室里的空调，空调他有那个夜扇，对吧？那第四个就是连杆运动，连杆运动阅读架，那个折叠台灯 等等等等。好，今天的内容就讲到这里，感谢大家。
1.0万绝杀中考数学～彭老师
00:36查看AI文稿AI文稿二零二六年中考数学必考的压轴大题，源于三角函数综合问题，一共十五道经典题型，都是近三年全国各地考试真题改编而成，每一道都有详细的解析过程和答案，家长替孩子保存下来吧！ 如果你的手机还有电的话，可不可以给老师点个免费的小红心呢？谢谢了，祝您的孩子金榜题名！
03:33查看AI文稿AI文稿好，刚好这里这个十九题也是这样子，其实就是企业三角形，那说明你小子企业三角形不太会是吧？什么是企业三角形啊？你这里有特殊角的时候啊，以及有个别的这个长度就可以了。 你像这里你要去求四边形 a、 b、 c、 d 的 面积，那显然我用这个大的三角形的面积， a、 b、 c、 e， 你 比出来的啊？ b、 c、 e， 我 去减掉 a、 a、 d 是 不是就可以了？这是不是好算一点？ 那么 a、 e、 d 我 们这个长度怎么算来？你现在你的 b、 c 的 长度已经给到了是六厘米了，已经给到是六厘米，是吧？他这里说什么约等于五分之三，五分之四，那其实说白了，这里比值不就是三比四比五吗？好，我这里快速一点啊，那 b、 c 是 六，所以说我们就可以得到这个 e、 c、 e、 c 的 长是多长？是八厘米吧，那么这个整个的斜边 b、 e 的 长呢？就是十厘米。好，呃，那么这个是 哎的呢，我看看啊。哦，那这里好像由于有一点点的问题，是吧？哦，那就没问题了啊，它这个，它这个 a、 d 的 长不给了吗？ a、 d 的 长是三倍，根号二啊，给了一个 a、 d 的 长，那就那就不缺条件了， a、 d 的 长是三倍，根号二。 好，三倍根号。你这里角 a 啊，就是角 e、 a、 d 是 四十五度，因为一百三十五度的补角四十五度，你自己也标了，对，那角 e 是 三十七度，所以说一个四十五度，一个三十七度，两个角度都知道了， a、 d 的 长又知道了，你看这一个三角形当中，对吧？ 一个三十七度啊，一个这里四十五度，两个特殊角就是两个已知角啊，以及是 a、 d 是 三倍根号知道的。那所以说咱们这里就 过这个点 d 呢？向 a、 e 做垂线就行了。做垂线，我们说这个垂足为 h， a、 d 的 长是三倍根号二，那么是不是即刻就得到了 a h 就 等于 d h 就 等于多少啊？等于三嘛？等于三嘛。 那这个是三十七度，这个就多少度，是不是五十三度？五十三度 d， h， 你 现在是三了啊？我们说 tnt 昆明的这个五十三度是等于三分之四啊，昆明五十三度，那这里在三角形 d h、 e 当中呢？也就是等于 h e 比上这个 d h， 那 么你 d h 现在是三，所以说 h e 就是 几啊？是四倍，那 d e 就是 几啊？是五倍，对不对？刚一开始求过了，说这个 c、 e 的 长是八，所以 c、 e 的 长就是三。 那现在就可以了嘛？用大三角形的面积，就是二分之一乘以六，再乘以八，减去小三角形的面积，就小三角形就是三角形 a、 d、 e 啊，那三角形 a、 d、 e 的 面积我可以怎么样？我可以用这个， 我就是二分之一，乘以 a、 e， 对 吧？乘二分之一，乘以 a、 e， 乘以这个 d、 h 呗，也就是二分之一乘以七，乘以七，再乘以三，不就可以了吗？六八四十八就是二十四，减去三七二十一，那就是二分之二十 八，减去二分之二十一，那就是二分之二十七，对吧？二分之二十七就可以了。
15老袁中考数学
