拉普拉斯变换算子怎么手写
负里页变换搞不定的信号怎么办？我们熟悉负里页变换，它能将信号分解为不同频率的正弦波。但面对这样一个指数增长的信号，负里页积分却不收敛，变换不存在，这该怎么办？负里页变换要求信号绝对可积，也就是能量有限。 对于指数增长这类能量无限的信号，强行分解只会得到震荡发散的频谱，没有意义。我们需要一个新的思路， 关键的想法是给原信号乘上一个指数衰减因子 e 的 负希格玛替次方， 只要希格玛足够大，乘积就会快速衰减，变得可积，然后对这个新信号做负里页变换。相当于在负指数中引入十步，得到的就是拉普拉斯变换。这里 s 是 一个负数，十步控制衰减虚步对应频率。并不是所有希格玛都让积分收敛， 使积分收敛的希格玛范围称为收敛域，简称 roc。 比如对于 e 的 零点五 t 次方，只有当希格玛大于零点五时，衰减才足够快积分收敛。 roc 是 拉普拉斯变换不可或缺的一部分，它决定了变换的唯一性和系统的稳定性。拉普拉斯变换最大的威力在于它能把微分方程变成代数方程，求导变成除以 s。 这让分析复杂的动态系统，比如电路或控制系统变得异常简单，工程师们正是靠它来设计稳定的系统。 拉普拉斯变换将负离子变换推广到了整个负平面，让我们能处理更广泛的信号和系统。它不仅是数学工具，更是洞察系统行为的窗口。下一次遇到不稳定的信号，记得请出拉普拉斯变换来帮忙，试着用拉普拉斯变换分析一个电路吧。
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01:59查看AI文稿AI文稿这题是个综合的 t， t 乘以一得负三 t 方乘以三二 t 的 拉普拉斯变换，这应该怎么做呢？其实这题啊， 无非就是三二 t 乘了一得负三 t 方，再乘以 t 乘以一得负三 t 方是有谓语性质。再乘以 t 是 那个 t 乘以 f t 的 导数性质。微分性质。 注意用微分性质，前面都有个符号，如果这里乘的是偶数个 t， 这边就不用用符号了， 还是别写 f p s 了吧。它进行一个求导，这用的是性质，就关于微分的那个性质， 等于负的 f o s。 求导， f s 是 f t 的 拉普拉斯变换，接下来等于负的里面依然可以用性质是为零性质。三幺二 t 应该是四比上 s 方加上二，二比上 s 方加四，但是这里乘以了一个负三 t， 所以 我们需要将这里的 s 换成 s 加三，用的是另外一个关于这里乘 e 的 负三 t 次方，这个性质是谓语性质， 所以这里是负三，那么我们就需要将这里的 s 变成 s 减去负三，就是 s 加三， 再把这里的 s 换成 s 加三，平方再加四，整体求导。这个倒好，求吧，因为分母求导直接是二倍 s 加三符号，分母得正，分母平方。 所以这题是个挺综合的题，既用到了微分性质，还用到了微移性质，感谢大家的收看！
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01:32查看AI文稿AI文稿用拉普拉斯变换的积分性质来做一道题，求这样一个变相成积分的拉普拉斯变换，积分的拉普拉斯变换就会用到我们学过的积分性质。 这。原来这个式子 i 应该等于 s 分 之 f t， f t 最中间这个， 所以这个 t 乘三幺二 t 就 单独把它算出来就行。这个怎么算呢？又要用到一个性质，这次是倒数性质， 接下来这里的三幺二 t， 这就好办了呀。这是普通的性质， sin omega t， 它的拉 plus 变换是一个小结论来用 omega 比上 s 方加 omega 方， 所以算出来是 s 方加 omega 方，整体平方。 这里还要有一个，嗯，看一下啊，负的二 s omega， 对， 然后这里有个是二，所以把它们换成二分母就是四，这里就是四。对，这里有个符号，所以这边也是有一个符号，在这里， 这边有符号，所以这边就是正的四 s， 再除以 s， 所以 这个 s 就 没了，就是 s 方加四，整体平方分之四。
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01:46查看AI文稿AI文稿拉普拉斯变换还可以用于求长 y 分 方程求解，这样一个长 y 分 方程有二阶导和圆函数， y 零等于零， y 撇零等于有迷感， 有二阶导，还有零阶导，而且我们知道 y 撇零的值就相当于是二一零阶导都有。此时这种导数的系数很全，就可以看到拉普拉斯变换。 先写出通用的表达式。之前有个视频我讲过这个，怎么记？ 这里的导数结数和这里的次数都懒，加在一起等于 n 减一，第一个除外。此时的 n 应该是二，那么就只有三项， 此时就可以把它代入，把这个方程翻译出来。当然代入的时候得左右两边同时取拉普拉斯变换，右边零。取拉普拉斯变换肯定还是零，而它取拉普拉斯变换是我们一个方，乘以 y t 的 拉普拉斯变换是大 y s， 显然我们可以得到这两个是常数，我们就可以把它移到右边去，得到 y s， y 零是零，而 y 撇零是 omega， 所以 移过去了以后是 omega y s 的 omega b s 方加 omega 方。这个我在上一个视频里讲过，它是 sign sign omega t， 那 么我们这里的 y t 就是 sign omega t。 验证一下，零代入是零，导数代入了以后是 omega。 感谢大家的收看。
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03:11查看AI文稿AI文稿来看一下拉普拉斯变换的微分性质， f 撇 t 的 拉普拉斯变换等于 s 乘以拉普拉斯变换，对于 f t 的 再减去 f 零证明一下。 我们要证明这样一个关于拉普拉斯变换的式子，首先我们需要把它表示成积分的形式， 要将导数和圆函数建立联系，我们就可以将它凑到后面去， 因为在记分号里面不那么好把它的键的联系，而错到后面去，就是 dft。 如果用分布记分法记到前面来，一翻转 ft 就 上前面来了。分布积分是在收敛域内的 正无穷，代入之后，这里是负 s 乘正无穷，我刚才说了是收敛于内的，所以就相当于是一的负无穷。次方是零，减去 f 零作为自动加符号。零代入之后，这里是一，这里是 f 零。已经很像了，减去右边积出来负负得正。 现在我们发现这个形式正好就是 f t 的 拉普拉斯变换。 我们左边是证明了，右边还要说一个拓展， 和复历变化的微分性质一样，有一阶导就应该会有 n 阶导，公式比较长，但是也不难记。 其实这是上面的一个拓展，这里还要有 s 的 n， 次方乘以 f s， f s 就是 这里的拉 plus 变化啊，怎么记呢？发现前面有规律，所以先写有 s 的， 最后是减 s 的 n 减 n 次方就是零，次方及一。接下来我们需要往这后面填 f， 直接到零，第一个是 f s， 接下来依次填 f 零 f 撇零 f n 减一就等于零。可以发现规律，这里导数的减数和幂，它们两个永远加在一起，是 n 减一。用它就可以记住，零加 n 减一等于 n 减一， n 减二，加一等于 n 减一，中间都是减号。 还要注意，有些时候拉普拉斯变化里面的那个函数就是 f t， 只需要在零到正无穷开区间上的定义就行，但是我们这里有一大堆，什么 f 零 f 撇零、 f n 减一、阶导零， 一共有一大堆这种关于零数函数值的式子，这些式子会不会不存在呢？其实会，那我们怎么用这个公式把它们视作在零数的极限 算出来，这个极限直接往里带？这件事需要注意的点，感谢大家的关注。
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02:13查看AI文稿AI文稿只在揭示拉普拉斯变幻的奥秘，这是研究微分方程的强大工具。尽管我们在接下来的两章中不会深入探讨拉普拉斯变幻本身，但我们在这里讲述的一切未理解。这一变幻砥砺了心理框架和先觉知识， 使得理解这一变幻变得尽可能简单。这个视频远不只是前沿，尽管他本身就是一堂非常有趣的课，讲述了数学中最著名的方程之一，如何使得解决一个在物理学中普遍使用的方程变得奇特。 在本章及接下来的两章中，主要角色是指数函数。我将始终用 e 的 s 乘以 t 来表示这些函数。在这里，我们将 t 视为时间，而 s 只是一个数字，用来确定我们讨论的是哪个具体的指数。 这个视频的一个主要目标是激励使用物理学来说明为什么给 s 自由的取不仅是实数值，还有负数值是有用的。 但等一下把一个复数放入指数中到底是什么意思呢？从 e 的 t 是 他自己的导数这一事实开始， 实际上，你应该将其视为定义数字 e 的 根据。具有其他底数的指数函数的导数将与自身成比例，但 e 是 一个特殊的数字，使得这个比例常数为一。在微积分上，你经常把导数视为图形的斜率。这很好，但并不是唯一的方法。 你应该养成更多灵活思维的习惯。例如，假设你把这看作是告诉你某个点在数轴上的位置随时间变化，那么导数表达式告诉你的是，在每一时刻， 速度向量必须与位置向量相同。更具体来说，因为你知道 e 的 零次方等于一，任何数的零次方都是一。 你还有一个初使条件告诉你从一开始，所以在最初的时刻速度也是一。这意味着它指向右边， 但位置越往右，它移动的就越快。即使你从未听说过函数异的替次方或指数增长这一特性也足以让你直观地感受到它所提供的值，因为它以不断加速的速度增长，令人印象深。
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26:09查看AI文稿AI文稿各位同学你们好，我是 tiger 学长，那么今天给大家讲解自控导学课程，第二节课叫做导学内容一，拉普拉斯变换与逆变换。 那么在我讲解今天这节课之前啊，我们回顾一下上节课的一个内容，那么上节课我们讲过自动控制原理这门课，他研究的重点是放在控制系统性能指标的一个研究， 但是在求取系统稳、准、快这三个性能指标之前，首先要建立这个系统的数学模型， 而矢域的一个微分方程有它的一个局限性，它不好作为控制系统的数学模型来研究控制系统的性能指标。 所以说我们要会一个数学工具叫做拉普拉斯变换，将矢域的一个方程通过拉普拉斯变换将它转变成负数域 s 域的一个代数方程， 用代数方程这个数学模型来研究控制系统的性能指标，那么这个就是今天这节课所讲的一个内容，拉普拉斯变换。那么我们首先来看一下导学框架部分哦， 那么导学框架拉普拉斯变换与逆变换一共分成两节，那么第一节叫做拉普拉斯变换，那么你要知道拉普拉斯变换的定义， 你要知道拉普拉斯变换的一个定义啊，那么第二节呢，叫做拉普拉斯逆变换，拉普拉斯逆变换又叫做拉普拉斯反变换， 那么第一节呢，是给出 f t， 求出大 f s， 第二节呢，是给你大 f s， 让你反求出它的一个 f t 啊，那么我们首先来看第一节啊，第一节拉普拉斯变换 好，那么拉普拉斯变换可以将正弦函数、指数函数等其他时域 t 的 一个代数函数， 从而将复杂的限性常微风方程求解问题转化为简单的复变量 s 的 一个代数方程求解问题， 那么你来思考一下啊，它可以将复杂的限性常微风方程转变成简单的代数方程， 那么这个简单的代数方程，这个数学模型是不是就能更好的来作为控制系统的数学模型来研究它的一个性能指标了啊？那么我们首先来看一下拉普拉斯变换的一个定义啊， 叫设 f t 为时间 t 的 函数，且当 t 小 于零时啊， f t 等于零，则 f t 的 一个拉普拉斯变换定义为，我们来看一下子哦，将 f t 经过一个拉式变换 变成大 f s， 那 么你可以发现啊，对于时域的话，是小写的 f s 啊，所以说我们在自动控制原理啊， 对于实域的，我们一般用小写的符号，对于复数域的，一般用大写的符号，那么你可以发现啊，拉普拉斯变换他的符号啊，这个是拉普拉斯变换的符号， 那么这个拉普拉斯变换的符号，他特别像大写的 l， 对吧？那么它是如何定义的呢？叫 f t 乘以 e 的 负 s t 四方对 dt 在 零到无穷区间经过积分，那么这样的话，我们就可以将时域的转变成负时域的了， 那么你可以发现它拉普拉斯变换，它本质上是不是积分变换呀，它是个积分变换， 是求取积分的过程哦，那么你可以发现啊，四中 s 等于 u 加 t， omega， omega 代表十布， omega 代表虚布嘛，因为我们在负平面，横轴代表十布，纵轴是代表虚布的啊，那么大 f s 呢，叫做 f t 的 一个向量数， 所以说对于复数来说呢，大 f s， 我 们将它叫做象函数，而 f t 啊，为大 f s 的 一个匀函数，所以说对于时域的小 f t 啊，我们将它叫做匀函数。 好，那么这个积分变化呢？涉及到坐标转换啊，你可以记下来啊，叫坐标转换， 那么它是如何通过坐标转换的呢？好，那么时域的话，横坐标是 t 吧， 是不 t 啊，那么重坐标的几啊，是不 f t 啊，那么横坐标和重坐标，它是一个自变量和因变量的关系，那么如果说你通过一个纳式变换 啊，通过一个拉普拉斯变化，那么它就转变成负序的了，那么请问负平面的话，它是什么样子的呢啊？横轴代表十部，重轴代表虚部，所以横轴是代表十部， 重轴是代表虚部的 啊，大 f s， 所以说我们在负平面的话，它的横轴是十部，重轴是虚部，因为大 f s 啊，我们可以通过一个么分解，可以转变成十部加上虚部的形式啊， 那么这个就是一个坐标转换的，由质变量和阴变量关系转变成大 f s， 十部和虚部的关系啊，这块你要特别掌握， 那么我们再紧接着来看哦，叫自动控制原理，我们所研究的信号，这款你可以将它给记下来， 叫自动控制原理，我们所研究的信号都是在有时间响应的时候，他才起作用，如果说没有时间的一个激励的话，他根本就不起作用的哦，那么举例说明啊，我这个 f t 啊，他什么时候起作用啊？ 是不是只有在有时间响应的时候它才起作用啊，代表 t 大 于等于零的话，它才等于 f t， 如果说我 t 小 于零的话，它就为零了，那么举例说明啊，我 f t 啊，等于几呢？等于一啊，我 f t 等于一啊，那么它什么时候起作用呢？你要记下来，叫 t 大 于等于零的话，它为一，而 t 小 于零的话，它就为零了 啊，那么如果说存在时间上的一个延迟啊，来叫时间延迟， 假设我们延迟时间用 t 来表示啊，那么 t 呢？它是大于零的， 如果说我们的信号存在延迟的话，那么它什么时候起作用呢？我们来看一下子哦，叫 f t 减 t， 它什么时候起作用啊？叫 t 大 于等于 t 的 话，为 f t 减 t， 如果说 t 小 于 t 的 话，它就为零啊，那么我们举例说明啊，来，我 f t f t 减 t 等于几呢？等于一哦，好，我 f t 减幺等一的话，那么它什么时候起作用呢？叫 t 大 于等于幺的话，它为一，而 t 小 于幺的话为零哦，那么你可以比较这两个函数图像，那么给大家来画一下子啊，来， 先看 f t 等一啊，那么 f t 等一的话，它的函数图像是这样的，这是 t， 这是 f t， 那 么我们来画一下子啊，来，是不是这样的？ 那么这个就代表我 f t 等于一，它的一个吗？函数图像，那么 f t 减它等于一呢？ f t 减它等于一呢？那么如何画出它的一个函数图像呢？给大家画一下哦。来，横轴是 t 重着的几呢？是不是 f t 减 t 等于一啊？那它存在一个吗？时间上的一个延迟啊，这块假设延迟时间为 t， 那 么是不是这样的？ 这个为一吧，那么你可以发现 f t 等于一和 f t 减 t 等于的话，那么这两个函数图像 函数图像整体的走势是一样的，只不过它存在一个平移关系吧，因为它有个时间的一个延迟，所以说这个函数图像我们只需要通过平移，那么就可以完全重合了啊，这块你要特别掌握啊。 好，那么我们如何通过这个拉普拉斯变换的一个积分变换来得出余函数小 f t， 它的一个项函数大 f s 呢？我们来看一下常用函数常见函数它的一个拉普拉斯变换的求序啊， 叫常见函数拉式变换啊。我们首先来看一下第一个叫做单位节约函数， 那么单位切月函数啊，它的一个表达式是几呢？叫 f t 等于一喽，那么 f t 等于的话，一般来说呢，我们习惯用一括号 t 来表示啊，那么这个就叫做单位切月函数，那么单位切月函数啊， 那么这个 e 啊，什么时候起作用呢？是不是 t 大 于等于零的话，它为一，如果说我 t 啊小于零的话，它就为零啊， 那么我们可以通过纳普拉斯变换的一个吗？定义法来求它的一个向量数大 f s 呐，将单位阶跃函数经过一个纳普拉斯变换，求它的向量数大 f s， 那 么根据定义是不是 ft 是不 f t 乘以一的负 st 次方对 dt 在 零到无穷区间经过积分，那我就问你啊，零到无穷区间我的 f t 是 几啊？ f t 为一吧， 是不是的？好，我 f t 等于的话，将一带入，那么我只要找出积分里面这一块被积函数它的一个吗余函数，然后带入积分上限和积分下限， 那么这样的话，就可以把单位切入函数它的一个项函数大 f s 给求出来这几啊， s 分 之一， 那么这个就是一个单位切入函数通过拉普拉斯变换的定义法求取的，那么这块还是比较简单的，那么在考试过程中呢，我们可以直接拿来用的，那么你要记下来，第一个常用函数叫我 f t 等于单位阶跃函数，那么将它经过一个纳普拉斯变换，它的一个向量数大 f s 啊， 等于几啊？等于 s 分 之一啊，那么考虑下列的一个阶跃函数啊，如果说我 f t 啊等于大 a， 那 么这个大 a 呢？什么时候起作用呢？叫 t 大 于等于零的话，它就为零了，那么式中大 a 呢？为常数， 当大 a 等于的话，那么则叫做单位切位函数，那么这块很容易吧，通过他的一个拉普拉斯变换的定义法， 切位函数他的一个向量数大 f s 啊，等于几啊？等于 s 分 之大 a 啊，那么在考试过程中可以直接运用结论就可以了啊。 好，我们看第二个常用函数叫做指数函数，那么指数函数的话，它的 f t 是 几呢？叫 e 的 负 a t 次方， 那么这块要说一下啊，这个 e 的 负 a t 次方，它什么时候起作用啊？叫 t 大 于等于零的话，是 e 的 负 a t 次方， 如果说我 t 啊小于零的话，他就为零了啊，那么这样的话，我们可以通过拉普拉斯变换的定义法来得出指数函数它的一个向量数大 f s 吧，来将 ft 经过一个拉普拉斯变换 得他的向量数大 f s， 那 么请问在零到无穷区间，我的 f t 值几呢？是 e 的 负 at 四方啊，那 e 的 负 at 四方乘 e 的 负 st 四方对 dt 在 零到无穷区间经过积分，那么我们只需要找出 被积函数他的一个吗余函数，然后带入积分上限和积分下线，那么这样就可以得出指数函数他的一个向量数大 f s 这几呢？ s 加 a 分 之一吧。那么这个在考试过程中，我们可以直接用结论的第二个，我们要记下来哦。啊，如果说 f t 等一的负 a t 四方，那么将它经过一个拉普拉斯变换，那么它的向量数大 f s 啊，等于几啊？等于 s 加 f z， 那 么这块我要特别说明啊，这个 a 啊，可 为实数，也可以为负数啊，也可以为负数， 因为这个大 f s 啊，我们是在负平面来研究的，那么这个 a 的 话，那么它既可以为实数，也可以为负数啊，那么举例说明， 如果说我 f t 等几呢？叫 e 的 负二 t 四方，那么将它经过一个幺幺普拉斯变化，那么它的大 f s 这几啊？ s 加二分之一，那么如果说我 f t 等几呢？ e 的 三 t 四方，那么将它经过一个拉普拉斯变化，它的向量数大 f s 啊，这几啊，是 s 减三分之一，那么它可以为实数，那么它也可以为负数啊，那我 f t 等于几呢？叫 e 的 负括号一加切括号 t 次方， 那么将它经过一个吗？纳普拉斯变换，它的一个向量数大 f s 等于几啊？ s 加一加七分之一啊，那么这块要特别掌握，这个 a 呢，可以为实数，也可以为负数啊，那么你可以把我举的三个例子给记下来就可以了啊， 那么我们紧接着往下看啊，考虑下列指数函数啊，我 f t 等于几呢？大 a 乘以的负 a t 次方，那么将它经过一个拉普拉斯变换很容易啊，我们可以通过拉普拉斯变换的一个定义法，通过定义法就可以得出 f t 等于大 a 乘以的负 a t 次方，它的一个吗？向量数大 f s 这块代表 f t 吧， f t 乘以一的负 s t 四方对 dt 在 零到无穷区间经过积分，那么我们只需要将这个积分给求出来不就可以了吗？是几啊？ s 加 a 分 之大 a， 那么在考试过程中啊，我们可以直接拿来用的哦。所以第二个常用函数，常见函数，指数函数，它的一个拉普拉斯变换的一个表达式，你要将它给记下来 啊，那么再看第三个，好，我们再看第三个，第三个叫做单位脉冲函数， 那么对于单位脉冲函数，他的一个项函数的话，你只需要记下结论，那么证明过程是不需要掌握的。那么单位节约指数函数，他的一个拉普拉斯变换推导，那么这个你可以通过定义法来推导，但是单位脉冲函数的话， 你只需要记下结论就可以了。那么什么叫单位脉冲函数呢？叫我 f t 啊，等于带它 t 啊， f t 啊，等于带它 t， 那 么这个带它 t 啊，它代表什么意思呢？很容易哦叫，如果说我 t 为零的话，那么它就为无穷大， 如果说我 t 不 为零的话，它就为零啊，那么你可以把它的函数图像给画出来啊，是这样的啊， 啊，这是 t， 这是 f t， f t 啊，等于几啊？等于它 t 叫做单位脉冲函数，单位脉冲函数又叫单位冲击函数啊，叫冲击 啊，叫单位冲击函数啊。好了，你可以把它的函数图像给画出来，它只有在 t 为零时为无穷大，其他位置都为零吧，那么这个就是它的一个函数图像。 好，那么这个我们可以通过拉普拉斯变换定义法将单位脉冲函数它的一个向量数大 f s 给读出来，但这一款你只需要记决论，不需要掌握它的一个证明哦，看到 好，对于单位脉冲函数呢，我们可以通过它的一个吗？数学表达式来求求。什么意思啊？ 答案，他 t 等于几啊？等于单位节约，减去单位节约的延迟，比上延迟时间 t 零，那么并针对这个 t 零啊，取极限 t 零啊，小于零， 那么这个就代表单位脉冲函数他的一个吗？函数表达式啊，这个你可以记下来就可以了。记下来啊，记下来就可以了啊， 好了，那么是不是 f t 乘以的负 s t 次方对 t t 在 零到无穷区间经过积分，那么单位脉冲函数这样表达，那么我们可以把极限移到外面去吧，将极限移到外面去，等于这一块 分别对里面这两个积分求取，那么这样的话，再通过取极限就可以得出单位脉冲函数它的一个向量数等于几啊？等于一八， 那么这款你可以记下结论就可以了。证明过程，对于单位脉冲函数的一个证明过程，不需要做过多的一个掌握啊。好了， 好，所以说我们第三个叫做单位脉冲函数，它的一个向量数啊，记结论哦，我 f t 等于大它 t 将它经过一个纳普拉斯变换，它的一个向量数大 f s 等于一啊， 对不对啊？那么我们是不是讲了三个常见函数，单位切位函数、指数函数以及单位脉冲函数，我们通过拉普拉斯变换的定义法来得出它的一个相函数的。好了， 那么你来思考一个问题啊，你不仅要会推导，你还要知道它有什么共性，那有有什么共性啊？我们刚刚说过，单位基数函数，我 f t 啊，等于单位基数函数，那么它的相函数是几呢？ 是不是 s 分 之一啊？那么指数函数 e 的 负 a t 四方将它经过一个纳普拉斯变化，它的几呢？ s 加 a 分 之一啊，如果说是一个单位脉冲函数， f t 是 几呢？打它 t， 将它经过一个纳普拉斯变化，它的一个向量数大 f s 等于一吧。来，那么请问你可以发现啊， f t， f t 为单位阶跃， f t 为指数函数， f t 为单位脉冲函数，那么是不是 f t， 它可以有很多种形式， 但是它的大 fs， 它的大 fs， 是 不是都是一个分子比分母的一个分式形式啊？那么这一的话，对于单位脉冲函数大 fs 等于一的话，你可以写成一比一啊。 看分子分母，分子分母，分子分母，它的分子和分母都是关于 s 的 一个多项式形式，那么是不是我们就找出共性了？ 好，我们 f t 啊，可以为不同形式，但是我们如果说经过一个拉普拉斯的话，它的大 f s 啊，都是一个分子比分母的一个吗？分式形式，那么就变成了一个种子了，是不是我们就可以找出共性了呀？ 所以说啊，你不管什么 f t 函数，我们通过拉普拉斯的话，都可以得出我的大 f s 都是一个分子比分母的分式形式，而且分子和分母都是关于 s 的 一个多项式形式啊，那么我们找出共性，研究共性函数，研究代数函数它的一个嘛性能，进而研究这个控制系统的一个嘛性能指标， 所以这个就解决了为什么我们研究代数函数，代数方程 来研究控制系统的性能指标，因为它存在共性，对吧？你 f t 单位节约 f t 是 一的负 at 次方指数函数，它没有共性啊， 能听懂了吗？所以我们考试过程啊，你不要说，哎呀，我会求，但是你要找出为什么我们要将它变成代数方程的，为什么？因为代数方程不管什么代数方程，它都有共性， 叫共性。都是一个吗？分子比分母的一个吗？分式形式，而且分子和分母都是关于 s 的 一个吗？多项式形式，都是关于 s 的 一个多项式形式啊。 好了，那么学长根本就没有讲完，那么我们再思考一个问题啊，如果说我元函数 f d 很 复杂，举例啊举例， 如果说我 f t 是 几呢？叫 e 的 负二 t 次方 sin 括号，三 t 减去四分之派。好，如果说我 f t 很 复杂， e 的 负二 t 次方 sin 括号，三 t 减去四分之派括号。 那么虽然你可以通过纳普拉斯变换的定义法来得出它的一个向量数大 f s， 但是你要算很长时间吧， 既有指数函数，又有正弦函数，你要算很长时间的，对不对啊？所以说我们单单通过定义法是可以求取算出简单函数 f t， 它的一个向量数的。 那么如果说对于复杂函数，那么我们如何得出它的一个向量数大 f s 呢？那么这个放在下节课给大家来讲解。好， 我们可以通过纳普拉斯变换的一个定义法，可以求出复杂函数 f t， 它的一个向量数。求取啊， 好，那么我们总结一下今天这节课所讲的一个内容。第一个你要知道拉普拉斯变换的定义，它的一个公式叫 f t 乘以一的负 s t 次方对 dt 在 零到无穷区间经过积分 小 f t 代表原函数，大 f s 代表它的一个嘛？相反数，你要知道单位节约指数函数以及单位脉冲函数它的一个相反数大 f s 表达式。并且你要找出共性， 不管什么 f t， 经过一个拉普拉斯变换，我的大 f s 都是一个分子比分母的一个公式形式，那么这样的话，那么就变成了一个种子啊， 找出共性，这个就解决了。为什么我们代数方程能更好地作为控制系统的数学模型来研究系统的性能指标，因为存在共性。 那么下节课给大家讲解对于复杂余函数小 f d， 得出向量数大 f s 的 一个求解过程。
02:18查看AI文稿AI文稿要的，但更好的思考方式与我想要讲的整体故事相一致。这个故事指向拉布拉斯变换，是将我们刚刚找到的两个不同的复解相加。 当你将这些旋转向量头尾相接时，结果仍然限制在实数线上，实际上，他在数轴上随时间的震荡，看起来像是函数两倍的余弦与同样频率相乘以 t。 现在，你之所以可以这样简单的将两个不同的解相加以得到另一个解，是基于我们方程的一个关键特性，这就是我们所称的向量方程。这意味着，如果你有两个不同的函数来解决它，那么当你将这两个函数相加时，这两个函数的和也能解。这个微分方程 实际上，你拥有比这更多的灵活性。如果你将每一个函数按某个常数缩放，然后将它们相加，那么这个缩放后的和也是方程的一个解。 记住，在解决这样的方程时，我们并不仅仅是在寻找一个函数或两个函数。我们在寻找一整类解决方案，这些解决方案将依赖于初试条件。在这种情况下，当我们尝试我们承认是随机的猜测，而数学返回给我们两个不同的函数时，因为它是现行的。 你可以将每一个函数按某个常数缩放，将它们相加，得到方程的一个有效解。这些缩放系数不一定是实数，它们也可以是负数。这种情况下会影响每个旋转向量的初十角度。 通过调整这两个系数可以得到的所有可能函数的家族就是原始方程的所有可能解的家族， 而这些解大多数是负值函数，但食指解是这些解的一个特例，而你想要哪个解取决于出使条件。例如，如果出使位置是二，出使速度是零，那么通过将这两个系数都设为一，你就得到了一个有效的答案。这基本上意味着 你只是在添加我们之前找到的两个解。如果出使位置有所不同，那么你只需将这两个常数按相同的量缩放即可。 现在迄今为止，如果这被视为复杂指数为何是自然且必要的事情的一个例子，那么你们中的一位可以合理的抱怨这一切都是不必要的复。
77耍耍数学
