七下轴对称几何图形
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07:50查看AI文稿AI文稿将军驿马一定是我们初一下册考频最高但得分极低的一类几何动点压轴题，尤其将军驿马当中的求最大值问题模型， 可以说百分之九十五的孩子都拿不到分来。同学们，今天徐老师带你用一道题彻底通透这类模型的解决方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉我们， ab 等于 ac 等于五啊，这两边等于五。然后呢， b a c 这个大小等于一百一十度，好小角， b a d 呢，它等于二十五度，那么 p 点呢？正好又为 a d 上的一个 动点。好题目最后求的是这两边 p b 减去 p c 这两个边相减的绝对值的最大值应该等于多少？ 徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典真题，优中选优奖练结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。 好来，同学们，哎，我们一起来分析下这道题。好，那么这道题呢，主要考察了我们将军一马所有模型当中最特殊的一类模型， 叫做最大值问题模型。来，我们先来简单回顾下这个模型的构造方法和技巧。好吧，大家看第二个图哈，它是这样去说的， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点在定直线 l 上动，那么这个模型问的是什么？ 当 p 点这个动点在什么地方？我们的 a p 减 b p 两个边之差的绝对值呢？正好有最大值。那这个模型呢，其实非常简单哈，我们来构造一下， 首先你去连接 b 点和 a 点这两个定点，并且给他延长，延长之后呢，和这个定直线交于我们的 p e 点，那么这个时候 p e 点就是我们的最大值，那为什么呢？我们来证明一下哈，我们知道 p 点是直线 l 上的动点，我们先去假设，如果 p 点不在 p e 点，它会怎么样呢？那我们随便选个点，就说 p 点在这个地方来，它会怎么样呢？大家看一下哈，这个时候你看 最开始 b a、 p 三点共线，如果 p 点选在这个位置，我们的 b、 a、 p 三个点不共线，正好构成一个三角形来，有了三角形两边之差， 想要什么？三角形的三边关系，两边之合大于第三边，两边之差小于第三边，对吧？你看，当如果我们的 a、 b p 三点不共线，这两个边之差，我们的 a p 减去 b p， 它的绝对值呢？哎，应该什么是小于我们的第三边 ab 的， 那能不能够等于 ab 呢？大家思考一下，可以正好当这三个点共线，你看大边减去。小编，如果三点共线正好呢，就等于我们的 ab， 等于这两个定点的距离，对吧？所以呢，这两个边相减的绝对值呢，应该是小于或 等于 ab 的， 那么它的最大值呢，就应该正好等于 ab， 哎，就等于这两个定点的距离，大家听懂了吗？好，有了这个模型做铺垫之后来看这道题，那就非常简单了，好，我们说，哎，看题目说 p 点正好在 a d 上动啊， p 点是动点 好，求 b p 减去 p c 这两个边之差的绝对值，它的最大值 应该为多少？那么我们先去观察一下这个奇和这个模型之间有什么关联度，好吧，那么这个模型呢，看我们的 p a 减 p b， 这两个边都在定直线 l 的 上方，所以呢，我说这两个边应该是同侧线段，对吧？但是这个题呢，你看，这个是定直线 c， b 在 左边， c， c 在 右边，哎，你会发现哈，哎，他们俩什么应该是异侧的，哎，这个是同侧，这个是异侧，那怎么办呢？我应该把异侧转化为我们的同侧，怎么转化呢？ 做轴对称，对吧？过定点向定直线做对称点。来，这里的定点是两个，一个是 b 点，一个是我们的 c 点，那我们到底应该选择谁呢？啊？这道题都可以两个方法，好吧，你选 b 也可以，你选 c 也可以，那我就选 b 吧。好，选 b 来，我过 b 点向它做 对称点来，过 b 点向它做对称点。 好，这个点是我们的 s 点，看 b 和 s 关于 a d 是 什么对称的，那么这个时候呢，我就会把 p b 给它对应到的 ps， 所以 接下来连接 ps， 哎，就变成这两个边之差的 最大值，哎，而且这两个边呢，都在定直线 a d 的 右侧，同侧嘛，对吧？所以接下来就非常简单了，根据这个模型，接下来我们连接这两个 定点，对吧？和这个定直线相交，那么这里面是连接 cs 和 ad 相交，没问题吧？好，我把这个叉了哈，我们下面要写过程了，哎，我连接 cs 和定直线相交，哎，再把定直线延延长， 哎，我们的焦点，哎，这个焦点就是我们的最大值点 p 点，你看到没有？好，那么这个时候呢？呃，我们的 p b 就 等于我们的 ps， 对 吧？你看，那就是哪个就是我们的大边，哎，减去我们的小编， 剩下呢，就等于我们这两个定点的距离是不就出来了吗？好，你看，所以呢，我们就得到，哎，我们的最大值就等于 c s， 那 怎么去求这个 c s 呢？ 大家思考一下啊，怎么去求这个 c s， 那 么我们要求边，一定是要把这个边放到我们的特殊三角形当中，利用我们的特殊角去解三角形。 那么现在 c s 在 p s c 当中，很明显这个三角形不是我们的特殊三角形，对吧？它没有三十度，六十度，也没有十五度，那怎么办呢？来，回到我们的已知条件，题目告诉我们，这个边为五，这个边也是为五。来，角度出来了啊，那么 b a d 这个角是等于 二十五度，这个角 b a c 呢？等于一百一，那这个角就是一百一，减去二十五度，对吧？等于是八十五度，你看，没有，那么我要把这个边包含在一个特殊三角形当中。哎，我的 b 和 s 又是关于 a p 是 对称的， 而且你还会发现这两个角相减正好有一个特殊角，是不是六十度，那怎么办呢？我需要在八十五度里面去截取一个二十五度，所以呢，来，接下来哈，我连接 s， 连接 s， 你 看它们俩对称的，它是二十五，它也是二十五，八十五减二十五，哎，这个角正好为 六十度，是不是算了来，所以角我们的 s a c 就 应该等于六十度。好，接下来看，这个时候我的 c s 正好包含在了 a s c 当中，大家可以猜测一下，这个三角形应该是个什么特殊三角形， 非常明显了吗？正三角形我们证明一下。首先已经有个六十度了，还需要证明一个等腰三角形来，那么证明这个边和这个边相等非常好。正啊，你看这个边为五，这个边为五，因为它们俩是对称的，所以我的 ab 就 等于 a， s 也是为几也是为五，这个边也是为五，所以呢，等腰加六十度应该就是我们的等边三角形，所以来三角形 a s， c 应该。为什么正 三角形数出来了，那么 c s 正好是正三角形的一条边，所以来我们的 c s 就 应该等于五，所以最终答案应该等于五。这道将军一马的最大正分题，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路！
1064攀攀讲思维
07:21查看AI文稿AI文稿这是一道关于将军一马的天花板级别难度填空压轴题，我敢说百分之九十五的孩子都拿不到分，他的难点之处呢，有两个，第一个，很多同学压根就不会构造辅助线， 第二个难点之处呢，很多同学不会通过倒角求我们的角度关系来，同学们，今天我们一起来分析下这道期末填空压轴整体。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先 a b 和 a c 呢，这两个边相等对吧？它的夹角呢，等于四十度，然后呢， e 点和 f 点分别是两个动点。好题目，最后求的是 b e 加上 e f 再加 c f， 当这三个边之合有最小值的时候哎，最后呢，它求的是我们角度关系角， a b e 这个角应该 等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典真题， 优中选优奖链结合整理成了将军一马专题电子白，需要的家长我发给你一份。好来，同学们，哎，我们一起来分析一下这道题，好，那么这道题呢，他最后求的是 e 再加 e， f 再加 c， f 啊，这三个边之和有最小值的时候啊，让我们求角度 a b， e 应该 等于多少？那么这道题呢，是一道非常典型的将军一马问题对吧？对于将军一马的核心思想呢，我们就是要通过做轴对称， 把这三条边呢转移成首尾顺次连接的折线段之和最小。然后呢，根据两点之间线段最短呢，找到我们的 最小的是没问题吧？好，那么同学们如何去做我们的轴对称呢？方法很简单，过定点向定直线做对称点。来，我们分析一下啊，题目当中 b 点 和 c 点来，分别是这两个定点，对吧？好， e 点和 f 点呢，分别是两个动点，然后呢，这两个动点又正好在这两条定直线上运动，所以呢，题目当中总共有两个定点，两条定直线。那么新的问题来了， 到底应该过哪条定直线？哎，做对称点呢？这是我们的核心思想，对吧？来，我们之前给大家总结过的，哎，定点连接谁，我们就关于谁做 对称点，哎，定点看，比如说 b 点连接的是 e 点，那么 e 点正好在 a c 这条直线上，所以呢，我们应该过 b 点向 a c 做对称，来，我们来试一下哈。好，第一个 过 b 点向我们的 a c 做对称，好，你看这是，比如说这是我们的 来，这个点是我们的 p 点，对吧？哎， b 和 p 关于我们的 a c 是 对称的，那么这个时候你看，我们就可以把 b e 这个边进行一个等量转换，哎，我去，连接 e p 就 相当于把 b e 转移到了 e p， 没问题吧？好，再来第二个哈，那么你看 c 点这个定点，它连接的是 f 点这个动点， f 点又正好在 a b 上啊，定点连接谁就关于谁做对称点来，所以呢，我应该过 c 点向我们的 a b 做对称啊，向 ab 做第二次对称，看到没有？好，这个点呢，就是我们的 m 点，那么 c 和 m 关于 ab 是 对称的，大家看一下，现在题目当中哪个边可以等量转换，很明显就是 cf， 对 吧？哎，我连接 fm， 哎，我们就可以什么把这个 cf 转移到 mf， 好， 什么？再来看，那么本来是要求中间这三条 线段是和最小，转移之后呢，就变成求 m f 加 e f 再加 e p， 哎，这三条首尾相连的折线段是和最小，哎，我们的目的就达到了，好的最后一步呢，两点之间线段最短，来，我直接连接， 哎，连接我们的 m p 就 可以了，看见没有？好，当，这四点共线有最小，那么这个点呢，就是我们的 f 一 点。好，这个点呢，就是我们的 e 点，没问题吧？好，那么 e 点这个动点的位置呢？我们就来找到了啊，在这个位置，好，那最后呢，题目求什么？求我们的 a b e a b e， 我 们来连接一下啊， a b e 就 应该是这个角度 来连接 b e， a b e 就 应该是五这个角度，对吧？那这个角度应该如何去求呢？接下来再回到题目当中的已知条件，哎，题目当中关于角度的条件就只有一个角， a， 哎，这个角等于四十度， 那如何利用这个角度去求这个角度呢？大家思考一下，刚才我们做了两次轴对称，所以呢，我们一定想到通过轴对称去转移角，对吧？你看第一个 b 和 p 关于 a c 对 称，那所以接下来我连接 a p， 对 吧？连接之后来你会发现什么呢？这里面，哎，我们的这个角跟这个角一定是相等的，因为 b 和 p 关于 a c 对 称，那么对应角也是相等的，所以这个角四十度，没问题吧。好，第二次对称 c 和 m， 关于 ab 对 称，来，我再去连接我们的 a m， 连接 a m 之后，那同样这个角跟这个角也是相等的，也是为四十度，对吧？所以你看，就得到角 m a p 就 应该等于三个四十度，得到等于一百 二十度。好，我们再看哈，题目当中还有一个边没有用到，我们的 ab 等于 ac， 大家看一下哈，这个时候我们 a、 m、 p 构成了一个三角形，它的顶角为一百二十度，那么这两个边是什么关系呢？ 它也是相等的，为什么呢？很简单，你看我把 a、 b 设为 a 嘛，那 a、 c 呢？也是为 a。 题目告诉你，它们俩相等，对吧？好，因为 b 和 p 对 称，那么所以 a， b 和 a p 也是相等的，对应边相等于 a。 好， 再来， c 和 m 是对称的，所以 ac 和 am 呢，也是相等的，也为 a 看，所以最后 am 和 ap 应该是相等的。那么 amp。 这个大三角形就应该是一个顶角为一百二十度的等腰三角形是不是出来了？好，接下来， 那这个角出来了，它就应该多少度？三十度，对了吗？来写，因为我们的 am 等于 ap， 所以 角 ap e 一 就应该等于三十度。那么回到我们最后要求的求的是这个角，对吧？其实已经出来了，这两个角 正好是相等的，为什么呢？哎，你看，因为这两个点是对称的，所以这两个三角形。那么看一下啊，我描出来的这两个三角形，它应该什么关系？对称 重合的，那么它既然能够重合，对应角呢，也应该是相等的，它是三十，所以这个角呢，也应该等于三十度。所以最终答案，我们的 a、 b、 e 就 应该等于 三十度。知道双均一码的综合考察题，你听懂了吗？来关注学老师数学满分不迷路！
1200攀攀讲思维
02:54查看AI文稿AI文稿来，就这一组模型用的太多了，我们说角平分线，这里一共有四大名辅助线，今天依依老师用一个视频就带着大家全部讲清楚， 那有关于初中这里的几何模型辅助线，老师给大家做了一个系统的梳理哦，如果咱们孩子现在还没有几何模型思维，证明题还经常写不清楚，过程没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型，逐个模型，配合着老师的视频来带孩子学习。 下面呢，咱们一起来看一看角平分线相关的辅助线该怎么做。老师啊，下面要教给大家一个条件反射的思维，就是遇到题目看到什么样的图，什么样的条件，立马辅助线的想法就出来了，不需要哎去做过多的思考啊。 举个例子啊，比如说这里面遇到角平分线，遇到有一条线垂直于角的另边另外一边，那这个时候立马反应辅助线的做法是干嘛呀？做双垂直，我们直接啊在这里过这一点，再向另外一边做出垂线就行了。 两个三角形全等，而且角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以这里有很多条件可以为我们使用了。这个叫做什么？叫做有一锤，干嘛叫做做双锤？继续第二种， 第二种，当给你角平分线没有垂直，这个时候垂的是什么？没有垂边，垂的是中间，叫做角平分线怎么样？垂中间，垂中间怎么样？直接做延长啊，做延长，这个时候延长下来之后，两个三角形又是全等的， 所以通过一和二你会发现，我无论是做双垂还是做圆长，本质上我是要构造上下两个一模一样的三角形，像照镜子一样把小镜子摆在这折下来，就是我们辅助线的做法。 哎，按照这个道理，你能不能看看第三个？如果这个时候没有垂直，既不垂两边，又不垂中间，这个时候辅助线该怎么做呢？ 哦，这里面我们叫做无垂直，怎么样叫做做截取啊？怎么截取呢？我们只需要截一段线段的长度，它俩相等就可以了。 这是角平分线吗？对不对？它俩相等是不是？所以在这儿我们就有这两个三角形，怎么样？是全等的 s a s 就 可以判断出来了，所以本质上还是一样，照镜子翻折轴对称形的全等就出来了。 最后一种角平分线的辅助线叫做角分平等，腰成角平分线，再加上平行线有两线平行，内错角相等，所以这出等腰三角形对应边角关系就可以为我们使用了。 所以有关角平分线常见的四大辅助线，咱们今天就都总结出来了。那你所有的结论和原理记清楚了吗？
373依依老师初中数学
10:23查看AI文稿AI文稿将军驿马一定是我们初一下期末考试当中的绝对拉分神器，尤其将军驿马当中的两定两动模型，可以说百分之九十五以上的孩子都拿到分，他的难点之处呢，有两个，第一个很多同学不会构造辅图线， 第二个难点呢，很多同学不会倒角，求角度关系来，同学们，今天薛老师带你用一道题彻底通透将军驿马当中的两定两动的所有构造方法和技巧。好吧，来，我们先来一起读下题。 题目是这样说的，首先告诉 abc， 这个三角形呢，它是一个等腰直角三角形，那这个角呢，是九十度，这个角呢是四十五度对吧？然后 ab 和 ac 呢，两个边也是相等的。好，接下来告诉 d 和 e 分 别为两个定点哎，它是定点， 它呢也是定点好， m 点和 n 点呢，分别是 a， c 和 bc 上的两个双动点。好，题目最后求的是 这四个点所围成的这个四边形，当它周长有最小的时候。那么最后呢，题目求的是角度关系哈，就是 d n m 这个角， 再加上角 e m n 这个角啊，这两个角度之合应该等于多少？徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典题型， 优中选优，奖链结合整理成了将军驿马专题电子版，需要的家长我发给你一份。好来，同学们哎，我们一起来分 析一下这道题哈，那么这道题呢，主要考察了我们将军驿马模型当中的两定两动模型。来，朋友们，我们先来简单回顾一下哈，这个模型的构造方法和技巧，好吧，打开第二图哈，那么这个模型呢，是这样做的，首先 a 点和 b 点呢，是两个定点， m 点和 n 点呢，分别是直线 l 一 和 l 二上的两个动点，那么这个模型呢，最后求的是 这两个动点分别在什么地方啊？我们的 ab 加 am， 再加 m， n 再加 nb， 来这四条边之合呢，正好有最小值。那么来，首先呢，我们先去观察一下哈，这四条边里面谁的长度不会有任何变化哎，我们称之为叫做定长线段， 那很明显，这里面就应该是我们的 a b， 对 吧，因为 a 点和 b 点是我们的定点，所以这个长度呢，它是一个定长，那就很很简单了哈，所以接下来我们只用去求这三条动边之河的最小 a b， 我 们就不用看了， 只用把这三个动边之合的最小值求出来，再去加上我们的定长线段 a b， 那 么这个时候呢，我们四条边之合就一定有我们的最小值，对吧？同学们，好，那么如何去求这三个边之合最小呢？ 方法很简单，通过做轴对称，把这三条边呢转移成这样的，我们叫做首尾顺次连接的折线段之合， 对吧？然后根据两点之间线段最短，找到我们的最小值，来，我们一起来转一下哈，那么 方法就是过定点向定直线做对称点来，定点是 a 点， b 点有两个定点，定直线呢，也有两个 l 一 和 l 二，那么问题的关键就是有两个定点，有两条定直线，那我到底应该是谁关于谁做对称点呢 啊，方法其实很简单啊，口诀就是定点连接谁，我们就关于谁做对称点，来，我们看一下啊，比如说定点 a， 它连接的是 m， m 点呢，在 l 一 上，所以 a 点这个定点应该关于直线 l 一 做好 b 点，这个定点呢，连接的是 n 点， n 点正好在我们的 l 二上，所以呢， b 点应该关于 l 二做对称点，听懂了吗？好，来我们来试一下啊。 那么这个时候呢，我先过 a， 关于 l 一 做对称，这个就是我们的细点。好，再过 b 向我们的 l 二 也做对称。好，这个点呢，是我们的 q 点，对吧？好，做了对称以后呢，我们的边就可以转移了，对吧？我们的 am 转移成了我们的 m p， 这两个相等，好，再来，然后呢，我们的 n、 b 就 转移成了我们的 n、 q， 哎，他和他相等，你看，本来是要求中间这三条线段之和最小，转移之后呢，就变成求他加他 加他，哎，这三条首尾顺次连接的折线段之和最小。那最后一步当 p 点， m 点， n 点， q 点，四点共线，哎，应该正好有我们的最小值，所以最后一步两点之间线段最短，我直接，哎连接我们的 c q， 那 么这个点呢，就是我们的 m 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点，对吧？那我们这段路径也就出来了哈。 从 a 点来，先到我们的 m 一 点，好，再从 m 一 点呢到我们的 n 一 点，再从 n 一 点回到我们的 b 点，对吧？好，再从 b 点到 a 点，那么这个四边形的周长就一定是最小的。好，有了这个模型作铺垫之后来这个题就非常简单了。 那么题目说的什么？来我们看一下题目，告诉我们 d 点和 e 点分别是两个定点好， m 点在 a、 c 上动， n 点在 b、 c 上动，他说这个四边形的周长 最小的时候啊，对吧？他求的是角度，我们的 d， n， m 这个角加上我们的角 e， m， n 这两个角之和应该等多少，对吧？来，首先这两个点是动的呀， 我要求这两个角度之合，我先把这两个动点先给它固定下来，对吧？先把最小值点给它确定下来，所以呢，我们用将军一马呢，先把最小值给它找到，哎，过定点向定直线作对成点带， 它是定点，它也是定点好，定直线呢，一个是 a c， 一个是 bc， 对 吧？两个定点，两条定直线，到底应该是谁？关于谁做呢？ 定点连接谁就关于谁做。看 d 连接 n， n 在 bc 上，所以呢？ d 关于 bc 作对称，好， e 点连接 m， m 在 我们的 a、 c 上，所以呢， e 点关于 a， c 作对称，对吧？好，来，我们先把对称点给他，找到第一个 d 关于 bc 作 对称，好，这个是我们的 p 点，那么 e 在 关于 a、 c 做对称，看到没有哎，因为这里面它正好是九十度啊，这个角是九十度，西木告诉我们哈，等腰值嘛。那所以呢，我直接延长 e a 就 可以了，我们来延长 e a 啊，到我们的这个是我们的 q 点啊， q 点，哎，使这两个边相同，对吧？它就是对称点啊。好，那接下来呢？哎，连接这两个点，对吧？两点之间线段 注意的完啊。然后焦点来，这个焦点就是我们的 n 一 点，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有？ p n， m， q 四点共线，哎，我们去把最小值给它找到了，好，找到以后呢，我们再去找我们的角度，这个时候我们的 d n m 应该就是我们的 这个角， d n m 角一啊，这个角好， e m n e m n 这个角来连起来，它应该就是我们的 小二，哎，最后题目呢，求是角一加角二，这两个角之合应该等于多少？那么来接下来回到题目当中已知条件，去找我们角度的条件，画干题目当中角度的条件就只有一个 abc 是 一个等腰值，那么这个角呢？ 四十五度看到没有，只有这个条件哈，所以呢，我要求这两个角是和一定跟这个四十五度呢是有关系的，那么如何来求呢？对吧？首先来观察角一和角二，他是如何产生的角一是因为 d 和 p 关于 bc 对 称 产生了角一，对吧，那么对称以后，你看这里面正好有一组对称相等的角，这个角跟这个角 是不是相等的？我把这两个角呢都设为 x， 可以 吧？啊，你看，就说 x 加 x 加角一正好等于一百八，所以呢，角一我可以用这两个相等的角给他表示出来，同样，那角二呢，也是因为意义。关于 a c 对 称以后，对吧产生的角二，那同样，哎，对称以后呢，我们也有一组对称相等的角，就是这两个角， 这个为 y， 这个呢也是为 y， 对 吧？哎，然后呢，你看，角二同样可以用一百八减去这两个角，得到我们角二，所以接下来我把角一和角二呢先给它表示出来啊，角一就等于一百八， 减去二倍的 x， 好。 角二呢，等于一百八，减去二倍的 y， 好。 题目最后求的是角一加上角二，你看没有？把它们俩相加三百六， 再减去二倍的 x 再加 y， 对 吧？系数都为二啊，提出来，那么接下来你看，一定会用到我们的舍而不求思想，那什么叫舍而不求思想呢？虽然我们这个 x 和 y 给它表示出来了，但是 x 和 y 我 们不用去求， 我们只用把什么这两个相加的整体求出来就可以了啊。这个设而不求思想，那这两个整体之合应该等于多少呢？大家思考一下，接下来难点就是什么转移角了哈，怎么把这两个角去进行个转移啊，能够把它们的之合求出来，大家看一下，这个角为 x 对顶角，这个角呢，也是为 x， 对 吧？同样的这个角为 y 对 顶角呢，这个角也是为 y， 你 看没有？把这两个角转移之后呢，他们正好给它拼凑到了同一个 三角形当中，三角形内角和等于一百八，那这个角呢，我们就知道等于四十五度，你看没有，所以这两个角是合就出来了。 x 加 y 就等于一百八，减去四十五，等于一百三十五度啊，一百三十五度好看，所以这两个角质合出来了，最后往里面带三百六等于二，乘以一百三十五度，就等于三百六， 减去二百七十度，最后答案应该等于九十度，对吧？哎，这道将军一马的两定两动模型的拓展题你听懂了吗？来关注徐老师数学满分，不迷路！
927攀攀讲思维
05:54查看AI文稿AI文稿将军一马一定是七项数学的重点考察内容，今天微微老师带领一道题，彻底掌握将军一马的底层逻辑。我们先来看题，在平面直角坐标系中，直线 m 表示一片草地，直线 n 表示一条河流， m 与 n 的 夹角为三十度， a 点四斗零表示将军的营地。一位将军从 a 点出发，先到草地上的 b 处去木马，再到河边的 c 处去饮马，最后回到 a 点， 问我们 b c 在 什么地方，将军所走的路程最短，并且求出最短路程。魏魏老师结合往年征题，近年中考征题，整理出了出一下将军饮马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习。评论区回复九九九，我发您一份。这道题的核心考点就是将军仪码模型和平面直角坐标系的综合运用，而题目中要我们去求的将军所走路程的最短值，其实就是这个三角形 abc 周长的最小值。 而这个三角形 abc 中， a 点是一个定点， bc 呢是两个洞点，这就是将军仪码模型中的一定两洞模型。 它的核心解析思路就是过定点向定直线做对称点。而我们的定点有 a 点，定直线有两条 m 和 n， 所以 我们需要去做两次轴对称，我们可以先过 a 点去做关于直线 m 的 对称点， 我们把这一个对称点呢记为 p 点，连接 b p， 这样我们就把线段 a b 转移到了线段 p b。 接下来我们再过 a 点去做直线 n 的 对称点，我们把这一个对称点记为 q 点，连接 c q， 这样我们就把线段 a c 转移到了线段扣 c。 我 们原本是要求 a b， b c， c a 这三条线段之和的最小值， 转移了过后，就变成了去求 p b， bc， c 扣这三条首尾相连的线段之和的最小值。那什么时候这三条线段之和最小呢？很明显，那就是当 c、 b、 c 扣四点共线的时候，这三条线段之和最小。那怎么样才能够让这四点共线呢？根据两点之间线段最短，我们可以直接去连接 p q 两个定点， 这个时候 p 扣就会和直线 m n 产生两个交点，这两个交点呢，就是动点 b 点和 c 点真正的位置，我们把它记为 b 一 撇和 c 一 撇，那现在 p b， c 扣四点也就共线了。所以呢，我们的将军 它是从 a 点出发，先到 b 一 撇处去木马，再从 b 一 撇到 c 一 撇处去引马，最后从 c 一 撇回到 a 点。因此呢， 将军所走的这个路程的最小值就是这个三角形 a， b 一 撇， c 一 撇到周长的最小值，也就是线段 p q 的 长度。所以 最后的问题就是去求线段 p q 的 长度，那我们就要把这个线段 p q 去利用它构造特殊的三角形。因为 p 点和 q 点都是 a 点的对称点，并且呢，对称轴 m 和 n 相交于圆点 o 点，所以我们连接 o p o q， 这样就形成了一个新的三角形 o p q。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以 o a 就 应该和 o p 相等， o a 的 长度为四，那么 o p 的 长度也应该为四， o p 等于 o a， 哎，同样的道理， a 点和扣点关于直线 n 对 称，那么 o a 的 长度呢，也应该和 o 扣的长度相等，因此 o 扣也等于四，所以这三条线段的长度都相等。因此呢，这个三角形 o p 扣，它现在是一个等腰三角形，来， 这三条线段的长度都等于四。接下来我们再来看角度，因为 m 与 n 的 夹角为三十度，也就是这一个角呢，为三十度。 而这一个角呢，被我们的 x 轴给分成了两部分，我们就把它记为阿尔法和贝塔，所以阿尔法加贝塔等于三十度。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，它们都等于阿尔法。 同样的道理， a 点和 q 点关于直线 n 对 称，所以这两个打叉的小角也应该相等，它们都等于 b， 它那么这个角 p o， q 也就等于两倍的 r 法加上两倍的 b， 它所以叫 p o 扣，等于二倍。阿尔法加贝塔的和阿尔法加贝塔等于三十度。所以我们的角 p o 扣呢，自然也就等于六十度。那对于一个等腰三角形来说，它有一个夹角为六十度，所以这个三角形 o p 扣，它是一个 正三角形，那正三角形它的三条边的边长都应该相等，因此 p q 的 长度就应该和 o p o q， o a 相等， p q 的 长度就应该等于四。因此，这道题的最终答案呢，也就应该为四。同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！
279vivi老师讲数学
00:47查看AI文稿AI文稿期末考场上的视觉大片来了！就是这道江南春花题，全班正确率竟然不到一半！很多同学一眨眼就选择 a 或者是 b， 三分直接送人。今天教你并列拿分，顺便看看中国古人几何审美有多高级。他们的要求是，是中心对称，不是轴对称。很多人觉得长的规则就是对称。其实中国古人最执着于对称，比如 那是严格的轴对称，左边有什么，右边就有什么。像照镜子一样， a、 c、 d 上下左右都能对折，属于双料冠军，直接排除 b 选项是江南园林的窗门叫风车纹，你找不到一条对称轴，能把它对折，但你只要按住正中心，把图案旋转一百八十度， 看它跟原图完全重合，这就是中心对称。在数学上，这叫守信对称，古人的美学天花板，结果成了现在的期末考点正确答案选 b。 基础题考的不是智商，是概念！点个关注，每天带你！还差一个数学期末地雷，我们下期见！
19:06查看AI文稿AI文稿将军驿马一定是我们初一下册考生最高但得分极低的一类几何动点压轴题，他的难点之处就在于模型种类多，很多同学看到这例题完全无从下手来。同学们，今天徐老师带你用一个视频，彻底通透我们初中阶段常考的将军驿马六大模型， 学完这个视频，将军一马所有辨识题轻松拿下。徐老师已经把初中阶段将军一马涉及到的所有必考九大经典模型当中，每个模型辅助线的构造方法技巧以及证明过程，同时再结合往年考试经典专题， 优中选优，讲练结合整理成了将军一马专题电子版，需要的家长我发领一份，好来，同学们，我们先来看将军一马里面最简单的一个模型，叫做两定一动模型， 这个模型呢，是这样去描述的哈， a 点和 b 点呢，是两个定点， p 点是定直线 l 上的一个 动点，对吧？所以是两定一动。好题目，求什么呢？问的这个 p 点动点在什么地方？我的 a p 加 b p 这两个动线段之和呢？正好有最小值。来，我们先来观察一下哈，这两条线段有什么样的位置关系。 那么首先这个是定直线 l， 那 我们的 a p 和 b p 呢，正好在定直线的上方，对吧？在同一个方向。所以呢，我们说这两条线段呢，叫同侧 线段之和，求最小来什么？只要初中阶段我们遇到求同侧线段之和最小，方法呢？特别简单哈，通过做轴对称，把我们的同侧线段呢转化为我们的 预测线段。那么怎么做呢？哎，过定点向定直线做对称点来定点呢，一个是 a 点，一个是我们的 b 点，那我们都可以哈，随便选一个，那么我们就先选择 b 点做吧，那选 a 这个定点，向定直线 l 做对称点来，这个点呢，就是我们的 s 点，你看 a 和 s 是 关于直线 l 是 对称的，对吧？那么这个时候呢，我的 ap 边就可以什么把它等量的转移到了我的 c s， 那 么这两个边是相等的，没问题吧，因为 a 和 s 对 称的好。你看，这个时候呢，我们就把同侧两个线段转化为了一个上方一个下方 a， 不 就是什么首尾相连的异侧 折线段值和最小吗？那么对啊，我们要求折线段值和最小。方法呢，也只有一个，把折线转化为直线，当 s 点， p 点以及我们的 b 点，三点共线呢，正好有我们的最小值，对吧？来，所以最后一步，两点之间线段 最短，我连接 b s， 那 么这个交点就是我们的 p e 点，那么 p e 点呢，就是我们的最小值点，所以呢，我们最短路径就出来了哈，哎，从 a 点先到我们的 p e 点，好，再从我们的，哎，再从我们的这个 p e 点呢，哎，回到我们的 b 点来，这个 黄色的，哎，实线就是我们的最短路径啊，就是我们的第一个最简单的两定一动，好吧，好，我们再看我们的第二个哈，来，第二个呢，他是一定两动啊，由一个动点呢变成了两个动点，我们先去看图哈， 席木告诉 m 点和 n 点呢，分别是这两条直线上的两个动点，那么 a 点呢，是一个定点，对吧？两动一定好，这个时候呢，他求什么呢？求 amn 和 n 这三个边所围成的三角形周长 最小，那就是这三个边之和最小。我们的 m 点和 n 点应该在什么地方呢？来，一样的哈，先去观察下线段有什么特点，我们的 a， m 和 n 都在这个定直线的下方， 是不同侧。好，同样 m， n 和 a n 呢，也在这个定直线的上方，也是同侧。我们说只要遇到求同侧线段之和最小，来，立马是过定点向定直线做对称点。来这里，定点是 a 点 定直线，一个是上方的 l 一， 一个是下方的 l 二，对吧？那我到底应该关于谁做对称点呢？哎，我们的口诀就是定点连接谁，我们就应该关于谁做对称点。看，首先我的 a 点连接 m 点， 对吧？那么 m 点在 l 一 上，所以呢，如果我要转移 am， 我 就应该过定点 a 向定直线 l 一 做对称点，没问题吧？好，来，下面呢，我先去转移 am， 那 我就应该过 a 点向 l 一 做对称。好，这个点是我们的 系列，那么这个时候呢，我的 am 就 转化为了我们的 m p， 看到没有，把 am 转化为 m p。 好， 记住哈， 定点连接谁，就关于谁做对称点。好，第二个，再去转移 a n， n 点在我们的 l 二上，所以呢，我这个时候应该过 a 点向 l 二， 再做一次对称点，这是我们的 q 点，那么同样，那我的 a n 呢？就转化为了 n q， 对 吧？看好，把中间这三条线段转移成了这样的，首尾顺次连接的折线段是和。注意下， 那什么是最小呢？那要把折线转化为直线，那就是 p、 m、 n 和 q 四点共线，应该有我们的 最小值，对吧？那所以最后一步，连接我们的 p q 两点之间线段最短，好交点，这就是我们的 m 一 点，这个点呢，就是我们的 n 一 点到我们的最短路径就出来了哈，从 a 点先到 n 一 点，再从 n 一 点 啊，从 a 点到 m 一 点，再从 m 一 点到 n 一 点，对吧？好，再从 n 一 点呢，回到 a 点，看，这个时候呢，这个三角形它的周长就应该是最小的。 ok， 好， 这是我们的第二个模型。再来看第三个模型 来，第三个模型呢，跟第二个模型呢有一点像哈，它是一定两动，但是什么是做垂线？我们先看一下哈，它是这样说的， a 点呢？ 来，他是一个定点， m 点是直线上的动点， n 点呢，也是直线上的动点，对吧？都是两个动点，一个定点。但是第二个模型是什么？还要从 n 点到 a 点组成这个三角形周长最小。但第三个模型呢，他没有从 n 到 a 啊，只求 am 在 到 n 点， a m 再加上 mn， 这两个边之合最小。求 m 点和 n 点这两个动点在什么地方？来一样的，先观察啊，这两条线段都在这个定直线的下方， 我们说是什么同侧线段，只要遇到同侧线段来，立马做轴对称，把它转化为异侧。那这里有两个线段哈，一个是 a m， 一个是 mn 啊，我们到底应该转移谁呢？大家思考一下 哎，来，首先呢，我们说是什么过定点向定直线做对称点，所以呢，我们优先去什么选择定点所在直线定点是 a 点， a 点在 am 上，所以呢，我先去什么转移 am， 那 么过定点向定直线，这个是定直线，看到没有？好，所以呢，我应该过 a 点，哎，向这个定直线 做对称啊， a m 呢，给它进行一个转移。好，这是我们的 p 点，转移之后再来下面第二步，哎，我们就可以转一边了，哎，连接 m p， 哎，你看， a m 等于 m p。 好， 现在呢，就变成了我们的异侧的首尾相连的两条折线段之和，最小，对吧？一样的，要让 p 点来， m 点， n 点三点共线， 我们应该有最小值，什么时候能够共线呢？大家思考一下哈。我说，那么说两点之间线段最短吗？我直接来连接 p n， 对 不对呢？大家思考一下来，这个模型最难的地方哈，就是最后一步，到底是不是连接呢？肯定不是哈，为什么呢？因为它是个动点，对吗？ n 点是不确定的，它可以在这， 他也可以在这，如果是两点之间线段最短，那我可以连他呀，也可以连他呀，对吧？我就有无数个点可以连接，那到底谁最短呢？ 你确定不了？所以呢，最后一步哈，这个模型肯定不是连接，应该什么，应该是做垂线，怎么去做呢？大家看一下哈。首先你看，哎，最后这个模型就转换成了一个定点到一条定直线上动吗？ 一个点到一个直线最短，很简单，垂线段最短，对吧？好，来，所以呢，最后一步应该是过定点 p 向这个定直线做 垂线啊，把这个叉留好啊，对称以后，我们就直接可以什么做垂线了，连接过 p 点向它做垂线， 垂足点就是我们的 n 点。好，这个焦点呢，就是我们的 m 一 点，看到没有，那我们最大路径也就出来了哈，从 a 点来，从 a 点到我们的 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点，哎，这两条实线就是我们的最短路径，听懂了吗？啊，这个模型，哈，最后一步一定要搞懂。好，好，下面我们来看下一个模型，哎，下个模型呢，是我们的两定两动啊。第四个模型，哎，它是这样说的，首先 a 点是定点， b 点也是定点。好，我们的 m 点呢和 n 点呢，分别是这两个直线上的两个洞点，对吧？两定两洞好，求的就是什么这个四边形， 它的周长最小应该为多少？那么换句话就说，这四条边里面有谁是定值？什么叫定值呢？就这个线段不会有任何变化的， 很明显应该是 ab 这条线段，因为 ab 这两个点呢是定点，所以呢，这条线段肯定不会变化，所以呢，我要求四条线段之和最小，我只要让这三条线段之和有最小就可以了，对吧，这个呢，我就不用管了，好，怎么求呢？一样的，你看，我要把这三条线段 通过轴对称啊进行转移，转移成这样的，叫做首尾顺次连接的折线段啊，这是异侧的，这个是同侧的，来看哈，我们来怎么转移，哎，一样的，过定点向定直线做对称点，这是我们的核心思想。 那么这里面有两个定点，两条定直线，到底谁关于谁做呢？还记得我们口诀吗？定点连接谁，就关于谁做对称点来定点 a 连接 m 点， m 点正好在这条直线上， 所以呢，哎，我要转移 am， 我 就应该过 a 点来向这条直线做对称，好吧，好，这是我们的 p 点，那么你看我的 am， 哎，就转移成了 m， p 是 不是出来了，好，再去转移 b n， 那 么 n 点在这条直线上，那么所以呢，我应该过 b 点向这条直线作对称。 好，这个是我们的 s 点，看到没有 n b 就 转移成了 n s。 好， 你看这个不用管吧。好，我要求 这三条线段之和转移之后呢，变成了这样，首尾顺次连接的折线段之和最小。好，当什么 p m， n s 四点共线，正好有最小值，那么最后一步就出来哈，两点之间线段 最短，直接连接 ps 啊，来，直接连接 ps， 连接之后呢，来，这个点就是我们的 m 一 点，这个点呢就是我们的 n 一 点， 那最短路径就出来了，我们去连一下哈。哎，把几个点连起来，第一个，先从 a 点到 m 一 点啊，再从 m 一 点到我们的 n 一 点。 好，再从 n 一 点呢，到我们的 b 点啊，再从 b 点回到 a 点。哎，这个四边形，它的周长就应该是最小的。 好吧，这是我们的两并两动，其实很简单哈。好，再来下一个模型，下个模型呢，叫做将军架桥模型，大家看一下，它是这样去说的，首先 ab 两个点呢，是两个定点来，它是定点，它呢也是定点。好， m 点和 n 点呢，分别是两条直线上的 动点，这个也是动点，但是呢，这两个动点，什么叫做联动点，什么叫做联动点呢？就说这两个点，虽然动，它是一起动的啊，一起动，它们俩什么一定是垂直于 这两条直线的，它们俩是平行的嘛，所以一起动，一起往右，一起往左，它们始终是垂直的，对吧？来，所以呢，哎，这里面问哈，这两个联动点， m 点和 n 点在什么地方？ 这三条线段之河正好有最小值，来，让他先去观察一下这三条线段里面有没有定长线段， 一定是有的，正好是这个什么，这个联动点的距离正好等于这两个平行线的距离，对吧？好，所以呢，这个既然是个定值，那我就不用看了，我只用去求这两条线段，因为它是动的嘛，求这两条线段之河最小，再加上这个定值，三条之河也是最小的。 好，那么我们再来看哈，这个时候我们的 am 和我们的 n b 这两条线段，你会发现哈，他们俩要求最小，那么这两条线段它是分开的，哎，我们之前求的这种将军一马的这个 最基本的模型，看到没有？这两条线段是什么共顶点的啊？共顶点的，哎，他们俩是什么 连在一起的？但是呢，这两条线段他是分开的，对吧？那怎么办呢？那我首先第一步要把这两个分开的线段通过转移，让他共顶点连接在一起，对吧？怎么去连接呢？大家看一下哈。首先这两个动点， m 点和 n 点，他们的距离是一个定值， 对吧？有定值要让它共顶点，想要什么呢？平移，来，我把 n 点往上平移 m n 个单位，这个时候 n 点和 m 点不就可以重合吗？对吧？同样，我不能指 n 点移吧，我 b 点呢，也要 往上平移 m n 个单位，哎，一起移啊。好，你看这个时候呢，这个点就是我们的 s 点， n 点和 m 点重合，往上平移 m 跟大位， b 点往上平移 m 跟大位到 s 点，所以这两个线段平行且相等，对吧？好，来，那我再连接 ms， 来连接 ms， 哎，你就会发现什么这两条线段 也是平行且相等，因为呢，它是一个平行四边形，对吧？所以呢，我就把这个线段整体平移到了 m s， 求它们两个最小就变成。求 am 再加 ms， 这两个共顶点的 线段是和最小就达到我们的目的了，对吧？好，什么是最小呢？当 ams 三点共线，那最后一步，两点之间线段最短，连接 a s， 好， 这个点就是我们的 m e 点，对吧？三点共线，那 m 点出来了， n 点呢？也出来了，再过 m 点向下做垂线，这个焦点就是我们的 n e 点。那我们来画下最短路型哈，先从 a 点到 m 点，好，再从 m 点到 n 点，再从 n 点呢到我们的 b 点来，这个 实线的路径就是我们的最短值，听懂了吗？好，这个模型呢，我们总结一下哈，当我们什么遇到这种什么不共端点的线段之和要求最小，而且这两个动点之间呢，又是定长的时候来，我们选择平移，让它共端点， 听懂了吗？好，来最后一个模型哈，叫做将军六马模型。来， a 点和 b 点是两个定点， 这两个是定点好， m 点和 n 点呢？是两个动点，一样的哈，这两个动点是什么？叫做连动点，它们俩一起在这个线段上运动，所以呢，我要保证什么？保证 m n， 它应该是一个 定值啊，定长，对吧？求什么呢？求的是 am， 再加 m n， 再加 b n， 这三条线段之和的最小值应该得多少？来一样的，首先 我们看哈，这个是一个定长线段，不会有任何变化，所以呢，我只要让 a m 和 b n 这两段之合最小就可以了，对吧？啊，又回到刚才一个问题了，那大家看一下 a m 和 b n 它们俩有没有共端点？ 没有哎，因为它们俩是分开的，是不是分开的，但是呢，这两个动点之间的长度呢？又是定长， 怎么办呢呀？平移，对吧？来，我们前面这个模型是上下平移。好，这个呢，就应该是左右平移，让它共断点好来，所以呢，我可以把 a m 往右移，我也可以把 b n 呢往左移啊，只要让这两个点共端点就可以了。好吧，随便你选择。好，那我就选择把 a m 往右移，那么所以 m 点往右移动 m n 的 单位，使 m 点和 n 点重合，那同样我的 a 点来，也要往右拼一 m n 的 单位来，这是我们的 s 点，对吧？好，在连接我们的 s n， 大家看一下，又出来了吗？啊，你看这个边整体移到这来了，哎，就变成了求他加他的最小值， 就变成我们将军印码的第一个模型了，对吧？好，那过定点向定直线做对称点。哎，因为这两条线段是什么？同侧要转化为异侧，所以呢，我可以选择 s 点做，也可以选择过 b 点做，都可以哈。哎，我选择过 s 做 啊，过 s 座啊，过 s 座之后呢？哎，这是我们的 p 列 p 和 s 关于定直线对称，那么这个时候呢，来就把我们的 n s 转换到了我们的 n p， 哎，就变成它 加它最小了，对吧？又是两条首尾相连的折线段之合最小，那么当 p n b 三点共线应该有最小值，所以最后一步，两点之间线段最短，来连接这个连接我们的 b p， 这个交点就是我们的 n e 点， 那么 n 一 点出来了， m 点又出来了呀， n 点再往左平移 m n 的 单位来，这个点就是我们的 m 一 点，对吧？好，来，那么我们的这段路径最后来画一下，从 a 点到 m 一， 好，再从 m 一 到我们的 n 一， 再从 n 一 回到 b 点，这个实线的 路径就是我们的最小值。来，这是我们将军一马常考的六个模型的作图方法，你听懂了吗？来关注徐老师，数学满分不迷路。
3783攀攀讲思维
05:30查看AI文稿AI文稿初中必考三大变分，平移、旋转、轴对称，而其中最常考的就是轴对称问题。黑板上这道题是我们期末必考题型，也是考试中的一道填空压轴题，我们来看一下， 如图，在三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度。好，这个角是九十度， bc 等于六， ac 等于八， a b 等于十。动点 p 在 a b 上运动，不与 ab 重合。关于 p 点啊，这个 p 点啊，关于这个 bc 的 对称点是记作 p 二的 p 点，关于 ac 的 对称点，记作 p 一。 让我们求的是线段 p 一 和 p 二长的最小值。好，既然 p 点关于 bc 的 对称点是 p 二，那我们同学来看一下啊，也就意味着这而垂直的关系，对吧？也就这一段 和这段应该是等长的，也就是 bc 是 p p 二这条线段的垂直平分线，对吧？我们有一句话叫做见中垂连两端 啊，垂直平分线也叫中垂线，叫见中垂连两端， 对吧？ p 和 p 一 是关于 a c 对 称的，所以啊， a c 是 p 和 p 一 这条线段呢？垂直平分线好见中垂，这是中垂线好，也就是 c p 一 应该是等于 c p 的 啊。键中垂连两端，这是线段的两端好， c 点连接 p 一， 再连接 p 好。 同理， c 点连接 p 二，再连接什么 p， 所以 啊，哎，同学们来注意， c p 一 就等于什么 cp， 这条线段和这条线段是相等的。同理， c p 二是等于 cp 的 好，也就是 cp 一 等于 cp 等于 cp 二。 是不是好？比如说老师，那很好求啊，那 p 一 p 二不就是求二倍的 cp 吗？对吧？因为 cp 一 和它相等， cp 二也和它相等，那 p 一 p 二就是求二倍的 cp。 那 在这儿我们就出现一些小的问题，什么呢？ 我们要去证明 p 一 p 二这条线段是经过点 c 的， 也就是 p 一 c p 二三点什么共线？如何证三点共线呢？ 我们去证这个角是一百八十度即可，是吧，因为一百八十度也就证明它是一个什么平角好，我们来看一下根据反折呀，反折对称它的一些基本性质。这个角如果是阿尔法， 它对称过来的话，就相当于把它把这个三角形沿着 a c 是 不是翻折过来，所以这个角是阿尔法，那这个角也是什么阿尔法好。同理，那这个角如果是贝塔， 翻折过来之后，对称过来之后，这个角也是什么贝塔好。又因为角 a c b 啊，等于九十度，也就是阿尔法加上贝塔 等于九十度，所以二倍的 alpha 加上二倍的 beta， 就 应该等于一百八十度，也就这个角是一个平角。所以啊， p 一 c p 二三点 贡献啊，这个非常非常的重要啊，非常的重要，尤其是证明题，一定要去证明三点贡献。你不能说 p 一 p 二的长度就是三二倍的 cp， 是 不是好？因为 p 一 p 二是一条线段，我们要去证明它是经过点 c 的。 好了，那问题就转化了。所以啊，求 p 一 p 二，它的最小值， 就是求二倍的 cp 的 长度，也就求二倍 cp 的 长度，也就是求 cp 的 什么最小值。那 cp 的 最小值怎么求呢？ p 点又是一个什么点？动点啊？ p 是 一个动点， p 在 ab 上运动，求点到这条直线的最短路径，那就是点到线的垂线段最短，好当点 p， 当 p 点运动到这儿， 也就是 c p 和 ab 垂直时， c p 取得最小值。好，那这个最小值该怎么去求呢？我们用什么等级法啊？也就是二分之一，这个三角形的面积也就是二分之一， ac 乘以 bc 是 三角形，面积应该等于二分之一，乘以 ab 的 长 好，而 a c b c， a b 都是知道的，所以我们可以快速求解，两边二分之一都去掉。 a c 乘以 b c， a c 是 八， b c 是 六六八四十八，那么就等于 a b， a b 是 十十倍的什么？ c p 这样解得， c p 就 等于四十八，除以十等于四点八， 而 p 一 p 二的长度是二倍的 c p， c p 是 四点八，二倍的 c p 就 等于九点六，这就是 p 一 p 二长的最小值。你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！
03:13查看AI文稿AI文稿走对称必考模型，将军印马坠子问题，一分钟带你轻松秒杀！另外关于走对称十大经典题型汇总全部给大家整理好了，电子版取件码一二三直接找我领。 我们来看一个经典的轴对称求最小值的问题，可以说这个题呢，难倒了百分之九十的同学，那在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 c， b 是 等于九十度， a， c 是 等于六， bc 是 等于八。如果 d 点和 e 点是 bc 和 ab 上的动点， 求 a， d 加上 d， e 的 最小值为多少，那咱们会发现这个 a， d 加上 d、 e 这两段的最小值哈。实际上这一类问题解析的核心在于两个折线的问题，求最小值往往会用到通过轴对称来实现化折为值求最短的思路。 那这个题如何利用到轴对称进行求解，实际上在于如何通过轴对称来实现等量边的转化。那咱们来看这个题呢，给了我们一个角， c 是 一个直角， 等于九十度，那实际上我们会发现点 a 关于 bc 的 对称点应该在它的左侧，我们可以延长 a c， 使得 c， h 是 等于 c a， 那 么也就是 a 点。关于 bc 的 对称点呢，我们记为 h 点， 那我们来连接 d h， 实际上我们会发现，根据轴对称 a、 d 的 长度就可以用 h、 d 的 长度来进行转化。 所以我们原题中要求的 a， d 加上 d， e 的 最小值呢，就可以转化成 d h 加上 d、 e 的 最小值，而 d、 h 再加上 d、 e 的 最小值呢，我们就可以利用两点之间线段最短来进行画折为值。那么最短距离呢？应该是 h e 的 长度，我直接把 h 点和 e 点来进行连接，那 a 点是一个定点，它的对称点， h 点呢，也是一个定点，但是这个体感中， e 点是一个动点， h 点到 e 点的一个距离，我们会发现它有若干条， 那怎么样求出来？ h 点到 e 的 距离最短，实际上就是直线外的一个点，到直线的距离应该是垂线呢，最短，也就是 h e 垂直于 a、 b 的 时候，我们能够求出来 h e 的 最小值， 那这个过程中呢？既然 h e 是 要垂直于 ab 的， 实际上我们就可以把 h e 理解为 ab 边上的高，那我就可以想到等面积法，也就是我把这个题当 b s 来给它进行连接。 那么根据三角形 a、 b、 h 的 面积，我们可以写成二分之一，那么底边 a c 是 等于六，那左边的 c h 也等于六，也就二分之一乘以个八，那么它就应该等于二分之一 ab 的 长度再乘以 h 一， 那在直角三角形中， a c 是 等于六， b c 是 等于八。根据勾股定律，六的平方加八的平方等于 ab 的 平方，那么 ab 呢？应该我们能算出来，它是等于十的，也就是常见的勾股数六八十。那么 ab 的 长度呢？是等于十，我们 写成二分之一乘以十，再乘以 h 一， 我们来去求解等量关系，实际上会发现 h 一 呢，应该是等于九点六，那所以这个题我们要求的 a d 加上 d， e 的 最小值呢，就应该为九点六，你学会了吗？
05:27查看AI文稿AI文稿好，这个视频咱们一起来分析一道七年级下册期中试卷当中的几何压轴题啊。咱们边读题边看图形。 首先第一问相对来说比较简单啊，他告诉咱们得 e 平行 a b， 还告诉咱们角 b 和角 e 相等啊，当然都等于七十度了，哎，这个得 e 平行 a b， 你 可以稍微画一下。哎，这个角 b 等于角 e， 咱们也标注一下，那中国这个平行能得什么呢？哎，能得同旁内角互补，角 e 加上角 b a e 等于一百八十度。 都因为角 b 等于角 e， 所以 咱们这个角 b 加上角 b a e 也等于一百八十度，从而利用同旁的角互补得到 a e 平行于 b c。 这就是咱们第一问， 挺简单的，咱们赶紧看。第二问说线段 a e 沿着直线 a c 进行平移，得到线段 p q。 哎，由平移的性质，咱们可以得到 a e 和 p q， 是 不是就是平行的？ ok， 那 圈一，他让咱们照着图二去做啊，告诉咱们得一垂直于得 q， 其实就是想让你得到角一，得 q 等于九十度，当然咱们角一还等于七十度问题，让咱们求角 q， 哎，你看我现在标注的单弧双弧波浪线，什么时候咱们标标过这三个角呢？ 哎，是在咱们之前讲的那个拐点问题的时候。那解决拐点做平线呀，咱们过点得 做的 f 平行于 a e， 由平移可知 a e 平行于 p q， 所以 我这个的 f 呀，也平行于 p q， 从而我就可以得到单弧双弧波浪线。三个角之间的关系，上边内错角相等，这就是单弧线。下边内错角相等，这就是双弧线，所以我这个角 e 的 q， 它就等于单弧加双弧，角 e 加上角 q， 由垂直可得，这个角 e 的 q 是 九十度，已知角 e 又是七十度，所以角 q 二十度，这就出来了， ok， 圈二圈二，稍微难了一点，为什么呢？这句话 在整个运动过程当中，说明，你得把不同的这个情况给它想全了。存在什么呢？角 q 等于三倍的角 e 得 q， 也就是刚才咱们标的这个双弧线等于三倍的这个波浪线。这图二肯定不合适啊，因为中图二这个波浪线呀，它等于角 q， 加上上面角 e， 那 不可能角 q 等于三倍的角 e 得 q， 说明咱们在备用图当中，得重新画一个跟图二不太一样的图， ok， 咱们在备用图中稍微放大一点， 好，差不多了， ok， 呃，这个 p q 是 从 a e 平移过来的，你先别让它平移那么远，咱们慢慢的一点一点平移，拿着铅笔去画画，尝试尝试，如果这是平移的 p q， 那 么此时有没有可能存在角 q 是 三倍的角 e 的 q a？ 一 观察，确实有这种可能，那咱开始标了单弧双弧波浪线。 解决拐点问题的方法是过拐点做平线，从而这个单弧内错下来，这个双弧内错下来。哎，照着这幅图，我可以写一个结论，角 e d q 等于单弧减双弧角 e 减角 q。 又由于题目告诉我了，角 q 等于三倍的角 e d q， 咱们把最小的角 e d q 设为 x， 那 这个角 e 七十度，已知的角 q 就是 三 x， 从而解出来 x 等于二分之 三十五度啊。所以我让求的这个角 q， 它就是三 x 就是 二分之 一百零五度， ok， 哎，这幅图咱们就处理好了。那除了这种情况还有吗？哎，有同学说，老师没有了，我说怎么就没了？你再往下平移一点点的话，他还是这个结论，往下再平移多的话，成这个结论了，他不满足。角 q 等于三倍的角一到 q， 哎，我说，哎，你说的还挺有道理，但是只能往下平移吗？ 人家是沿着直线去平移，直线没有头啊，你不能光往下平移啊，上边是不是也得考虑考虑？ ok， 从而我就能想到另一种答案，很有可能在这啊，这是咱们的 p 和 q， 单弧、双弧以及波浪线，还是过拐点做一平行线，双弧线可以内错下来，单弧线可内错下来。这时候我这个角 e、 d q 啊， 它等于的是双弧减单弧了，成了角 q 减角 e 了。当然咱们还是把角 e 的 q 设成 x， 那 么角 q 它的三倍三 x， 角 e 是 七十度，哎，解这个方程解出来， x 等于三十五度， 所以我这个角 q， 它等于三 x 等于一百零五度。也就是咱们这道题的第二问的圈二啊，两个答案，一个是二分之一百零五度，或一个是一百零五度， ok， 那 么第三问咱们就简单了。为什么说简单了？图二告诉我，我这个波浪线是不是等于单弧加双弧？ 刚才咱们备用图画的第一幅图啊，我知道，我那个波浪线等于单弧减双弧画的这幅图，我这个波浪线等于角 e、 d、 q， 我 这个波浪线，它有可能等于单弧加上双弧， 还有可能等于单胡减去双胡，还有可能等于双胡减去单胡。这三种不同的答案就 ok 了。好吧，这就是对咱们频线当中的拐点问题的一个综合的应用。 ok， 以上就是对这个题目的分析，你学会了吗？咱们下个视频再见，点关注不迷路。
87不信教不会
