八年级下几何48种几何模型
八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三！一、平行线角平分线七、中点四边形模型 十四、对角互补型十五、鸡爪模型 失误最短路径问题圆柱长方体完整版分享！
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04:18查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们今天学习正方形常见十大模型，第三个模型，同行张等角。好，那么关于这个后面的资料我们老师都已经给大家准备好了，大家评论区扣出六六六就可以领取了。 好，我们来看这个类型的，这个题的模型是形容正方形啊，一是外面一个点给出 b、 e、 d 九十度，那第一个要求正 e、 c 平分这个九十度啊，我们要怎么做？那平分这个九十度，也就是要证明是四十五度， 你要证明他是四十五度，那就要证明四十五度就出现在等腰直角三角形，那么呢我们这个做法就是做垂直和这边延长线相交 a 区。好，那么这里我们就要想证明他是四十五度， 想证明是四十五度，那就是要证明 e、 c、 h 是 等腰直角啊，那么也是我们想正边相等，那于是我们就可以想着看能不能够边锁在三角形全等啊。第一步我们想正三角形全等。 好，我们找一下条件，这个全等有一个是正方形的边相等，正方形边相等，那么都有九十度的情况下，角一和角三是相等，那还缺少一个条件，那么题末单独给的这个条件也要用，是吧？也要用，那么由此的话我们就可以得到这个对角是互补的 啊，这个也就跟上一个模型对角互补有关，它都是联系的。好，那我们说这个对角互补，那他就一定会和他的角相等角相等，那于是角边角就全懂了。 第一个是 e、 d、 c 会全等 h b c 啊，全等之后我们就有 e c 等于 h c， 所以 e c h 为等腰直角，那么就有九十度了 啊，就有四十五度啊，就证明了第一位好，第二位啊，等腰直角之后，第二位 b e 加上 e d， b 一 加 e d， 那 这里有全等的话， e d 就 直接变成了 b h， 再加 e d， 也就是 e h， 它是等腰直角，所以自然就是根号二倍啊，左边相加呢，就是 e h， 它就等于根号二的 e c， 这是第二问好，第三问， 第三问看数据，给了一 d 是 一，给了 a 一 是二倍，根号二求 b 一 的长， b 一 好，那么相当于它给的是一个这样子的图形里面，在这个里面，所以我们要做也是跟它有，跟它，跟题目给的数据要有关，那么这里我们就通过 做一个垂直，和 a 一 垂直， 做一个和 a 一 垂直啊，那么我如果可以的话，那么数据就可以过来全等之后，那这里我们要证哪一个全等呢？那就是 a e d 跟这个有关，全等 a f b 这两个能不能全等啊？那么这两个全等我们也要找一下条件， 条件有哪些？首先正方形的边长是有的，边长有，然后因为垂直，所以这两个锐角是相等，标角二和角四， 那么还有哪个角是相等的，或说边有没有了，我们再看一下啊。第三个的其他的边啊，这两个边，这是我们需要的，肯定没有相等啊，这两个边我们也是不知道，那就找角啊， 那钝角有没有可能相等？有没有思路啊？那另外一个角有没有思路能相等呢？哎，我们看着另外一个角，我们就会发现它存在一个八字形啊，因为这里有垂直，八字形里面有垂直，那这个角就是相等的，所以这里有 这个角呢？角五和这个角角六就相等了。那这里我们就可以证 a e d 全等 af， 所以 那么 a e 就 等于 af 了。那这里就是我们想要的 a e f 为等腰直角， 又一个等腰直角三角形了。好，那等腰直角之后，我们的数据就好算了啊，那 e f 五就等于根号二倍的 a e 也就等于四， b f 等于 e d 就是 一，那结果 b e 就是 相加了 啊，就是结果就是五。好，那么也就是说在这个同旁加等角里面，我们最重要的结论是什么？两个全等啊，一个是这一边和这一边的全等，然后得出一个等腰直角三角形，另外就是它对应在左边做垂直，也可以有个全等，然后也可以得出一个等腰直角三角形。好，收藏，点赞，关注，考试前多看几遍。
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它是全等的呀。好，全等完之后，你会发现我做对应边的高，也就这个 c m 和这个 c n， 这叫对应边的高角相等了，对应边高相等的胎角对在角平面线上了，为什么呀？因为一个点到两边的距离相等念那，所以这个点 b 在 角平面线上，所以我就正完第三个了。好，接着居气，然后第四个，第四个说，这个 c g 呀和 c f 相等，这个怎么正啊？ c g 和 c f 相等，你会发现 这个 c b 呀，是不是等于 c a 呀？ a， 然后呢，这个角四啊，是不等于角五啊？ 还有什么呢？就这两个角是不都等于六十度啊？那所以我所形成这个紫的三角形跟这个红的三角形是不就全等了？全等完之后，这个 c j 是 不跟 c f 就 相等了，我就完事了。好，所以我第四位证完了，然后再看第五个，第五个说的呀， 哎，第五个他说这个角是等边三行，那肯定的，因为 c j 等于 c f 嘛，这个角六十度啊，所以这它也等边嘛？好，第六个等边之后，它就是六十啊，那所以它是六十，那所以它和它就是内错角 a， 所以 说 g f 就 和 b e 就 平行了嘛，所以就正完了。 好，接下来咱们继续讲。模型是三倍长中线，模型也倍长中线呢，就是我把一个三角形当一个中线进行倍长，哎，有中点可倍长，然后倍长之后出八字嘛， 因为我把这个 a d， 哎，背长到了 d e， 然后 d e， b e 呢？又等于 d c， 所以 说你会发现我这两个三角形，它是不是就全等了？因为还有个对顶讲的，对吧？全等完之后，哎，我第三步就正完了， 然后呢，你就会发现，全等完之后，这个 a c 跟 b e， 它是不是就相等啊？哎，跟这个 b a c 跟 b e 相等之后，而然后呢，它这个 a， 这个这个角是不是角 d a c 相等，所以说 b e 和 a c 是 不就平行了？ 当中一组对边平行且相等四边形，那就是平行四边形，所以我这第二个月转化了，对吧？哎，然后咱们再继续看，哎，因为这个 a c 啊，这个等于 b e， 哎，所以你会发现 a b 加上 a c， 其实就是 a b 加上 b e， a b 加上 b e 是 不是大于二倍的 a d 啊？三角形的三边关系，然后再把二除过去，我是不是第一个就挣完了？好，接下来再站在更高的层面看，这个倍长中线，其实就是倍长中线就是倍长，所有共中点的线段，所有过中点的线段，我都可以倍长。比如说 a， 我 把 e、 d， a 倍长，我是不是形成这么一个八字结构？ 然后呢？我把 e、 d 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？然后我把 em 再倍长，是不是形成这么一个八字结构？哎，然后我就可以看到这个倍长中线的作用了。好，接下来继续咱们看第十次平行线中点模型， 也就是如果有一条平行线，然后呢？中间出现了一个中点，就 e f 之中点 o， 然后有中点有平行，那么轻轻延长就能行。好，你只要延长，你就跟 n、 q、 o、 q 相等吗？所以我是不是又形成这么一个八字结构？ 好，八的结构它就是全等的了。好，这些详细的证明过程。好，接，咱们继续看雨伞模型。雨伞模型就是如，如果 a、 p 是 这个角 b、 a、 c 的 角平线，然后又告诉你个垂直， 哎，既垂直又是角平线，那么它肯定就是中线了，也就是这个 a、 o 是 不是三线合一当中一个非常重要的一条线，那么把它放到哪个三线，哪个三线就等幺，然后我只需要把 b、 o 延长到这儿，你又发现这个 a、 b o 和 a d o 全等，为什么呀？哎，因为你可以正这个 a、 b、 o 和 a d o 全等嘛。 哎，签单完之后让 a、 b 就 等于 a d 了，同时 o， b， e、 d 就 等于 o d 了，因为它是个中线嘛。哎，这是详细的证明过程。好，接下来咱们继续好看模型十六，这个非常非常重要，叫半角模型， 半角模型就正方形当中本来九十度，它非得出得四十五，哎，那疼，那么它就是半角了。好，第一个结论，这个 b e 加 d f 等于 f， 怎么去证呢？哎，咱说你把这个 a、 d、 f 呀，把它旋转，哎，旋转到 a、 b、 g， 好，你又翻 a、 b 和 a、 d 相等，所以肯定能转了，是吧？转完之后，然后你又发现，哎，这个红角，哎，我这个角，你是不是就转这来了？ 哎，然后呢，这个红角加这个直角是不是 e？ 是 不是九四十五度？所以这个红角加这个直角是不是也是四十五度？这个是不就四十五？哎，这个是不四十五， 然后 a e 又等于 a e， 你 这个 af 又等于 ag， 那 所以所形成的这个三角形 a、 e、 f 和这个 a g、 e 是 不就全等了？去吧。啊，全等完之后，也就是说我现在费了很大力气证明了这个 黄的和这个粒都是全等的，全等完之后，你这个 b e 加 d f， 你 这个 b e a b e 加 d f 是 不就变成了 b e 加这个 g b 了？那它和 e、 f 呢？绝对相等啊，因为刚我不正勾了嘛，是吧？第二个， 他说 a b e， 这个 a b e， 这个三角形的面积和这个 a、 d、 f 的 面积，它这个相加是不是就等于这个黄的这个黄的面积和这个绿的面积，它就绝对相等了，对吧？好看。第三个， 好，第三个说这个周长，这个周长很有意思啊。这个，呃， c c、 f 的 周长，你翻这个 e、 f 这个边呢？是不是摊成了 e f 和这个 f d， 把它分成这两个线段了？ a， 再加上本身就有个 c e 和 c f， 那 所以 a， 这个 c、 e、 f 的 周长是不是就等于二倍的边长啊？好，我就挣完了， 好，家人们继续来看 a， 说第二个结论，说这个第二个，然后 a e 平分角 b e f， 这个很简单，因为咱们刚刚正过了嘛，这个，这个，这个红的和这个绿的是不是全等？全等完之后，这个角一是不是等于角二？那所以角一等，角一等于角二等完呢？那我这个 e a 不 就是角平行线吗？ 同理，我这个角三跟角四是不也能正相等？相等完之后，这个 fa 是 不是也是角平行 a？ 所以 我就把它记住就行了呀，还继续继续第四个， 第四个来，这个 a h， 哎，这个如果出现半角模型，哎，我往这个 e、 f 做个高，这个 a、 b 相等了呀。啊，这儿咱们当看上一上一个模型啊， 咱们说刚刚我已经说了呀，这个绿的和这个黄的是不是相等？相等全等完之后，它对应边是不是也相等 啊？对应边就是，哎，比如 e f 对 应边上的高，那跟这个 a b 对 应边上的高，跟这个这个 a b 这个高是不是相等？那所以 a b 和这个 a h 是 不是就相等了？ 那所以这个 a b 和 a h 是 不是就相等了？那我就挣完了呀？是吧？看第五个，而第五个呢？他说的是，如果说我把这个 a、 b、 d a 连起来，连起来之后我会发现这个 b m 的 平方和这个 d n 的 平方 a 就 等于这个 m n 的 平方，也就这个结论，这该怎么挣啊？ 来，我还是我把这个，呃，这个三角形 a、 d、 n 转过来，转到 a、 b g， 因为 a b 和 a d 相等，嘴肯定能转过来，转过来之后你会发现还是那个问题，欸，刚刚这个红的欸，加上这个紫的是不是四十五度？而这红的被转哪去了？红的被转这来了，所以这儿是个四十五度，这儿也是个四十五度。 四十五的话，用 a m 等于 a m， 然后 an 的 等于 ag， 所以 所形成的这个啊， agm 和这个 an m， 它是不是圈，等圈等完之后，你这 m n 转哪去了呀？ m n 是 不是转到 g m 了呀？ m n 转 g m 去了，然后这个 d n 转哪去了？ d n d n 是 不是转这儿来了啊？转这儿来了，所以再加上这个是四十五，这个是不是也角 g b m， 这个是不是九十度啊？这个九十度的话，那所以这个 b m 方也加上 b g b 方就肯定等于 g m 方嘛， 哎，然后呢？哎，我，所以我就挣完了嘛。说啊，这就想起了一个证明过程。好，家人们看第十七个模型叫斜适应定律。什么叫斜适应定律呢？这个咱们在初中经常遇到，也就是说， 哎，他告诉你，角 b a p 等于角 b c， 哎，角 b a p， 哎，等于角 b c a 等于这个角。你有发现，因为角 b 等于角 b， 所以 说 a 可以 轻易地得到这个 b a g a 是 不是和这个大的 b c a 它就相似？相似完之后你会发现这个 b a， 哎，对应的谁啊？对应的是不是 b c？ 然后呢？这个 b p 定的谁？ bp 定的是不是 b a？ 哎，然后对面乘比例，然后我再交叉相乘吗？ 交叉相乘是不？ b a 方就等于 b p 乘以 b c 了，所以我可以这个奇面。这个斜式影定律就是，如果说两个三角形相似，并且共边，共谁啊？共 b a 共 b a， 共谁是一平方，那共 b a 的 话就是 b a 方等于 b p 乘 b c， 这跟式影定律是不很像，所以起了个名字叫斜式影定律吗？ 好，接下来咱们一口气讲完将军引马的十种考法。好，第一种啊，什么？什么叫将军引马呢？说有两个定点，也分布在河的两侧，其中这个河上呢， l 上有一个动点。屁，那让你去求 p a 加上 p b 的 最小值，这种叫将军引马问题。好，咱们看一下， 那什么时候最小呢？你又发现这种比较好做，直接把 a b 相连， a b 相连之后，哎，与热核相交于点 p 点，那这若 p a 加上 p b 绝对最小，对吧？好，看。模型二，那如果说两个 a 和 b 两个定点在核的同侧，这个 p 点还在合上，这个手仍然让你去求 p a 加上 p b 最小值，这该怎么办？哎，你又发现 p a 加上 p b， 你 可以代替你把 b 点关于和对上它 b 撇，这时候 p b 是 不就永远等于 p b 撇了？那所以 p a 加 p b 就 变成了 p a 加上 p b 撇的问题。 p a 加上 p b 撇什么最小啊？哎，咱们说刚刚你讲过了，直接相连呢？直接相连就是最小值？好，那这个 p 点就在这里，最小值呢？就是 a b 撇。好，所以我就求完了。大家来看 模型三，模型三的形容有个角 a o b， p 点为角 a o b 内的一个定动点，一个定点，那 o a 和 o b 上有两个动点 m n， 但求 p m n 的 周长最小值 y， 你 发现 p m 的 周长是不就是 p m 加上 p n 再加 m n 呢？其中 p m 可以 替代我只要把 p 关于 o a 对 称到 p 一， p m 是 不就等于 p e m？ 好， 我 p 关于 o b 对 称到 p 二，那你 p n 是 不就等于 p 二 n， 那 所以这个就换成了这个了。好，再加上 m n， 你 会发现 p e m 加 m n 再加 n， p 二什么最小啊？是不把 p 一 和 p 二直接相连最小啊？好，所以这个时候你就知道了，最小值就是 p e a p 一 p 二。 好，那再来看模型四，模型四呢，是心如有，还是一个角，其用 m n 两个定点，其用 o a 和 o b 上有两个动点 p q， 让你去求这个周长四边形的， 而周长最小值，你看这个四边形是不是还是跟咱们刚刚讲那个同理的，它是不是 m n a 加上一个 pm， 再加上一个 q n 再加上一个 p q 的 问题？ 你又发现我这个 m n 绝对是没有办法动的 pm 是 不是可以有？把 m 关于 o n 对 称到 m 撇儿，那是不就是 pm 撇儿了？ 好，再加上你 q n q n， 你 是不是可以把 n 关于 o b 对 称到 n 撇儿，那 q n 是 不是就是 q n 撇儿， 再加上 a p q 被这个时候你突然发现了，跟我刚刚处理那个一模一样了，是吧？也就说这三个相加 a p 撇， m a 加 p q 再加 q n 撇是不是最小？是不直接相连？最小 直接相连，这个时候 p 点在这儿， a q 点在这儿，所以它的最小值就是它肯定大于等于 m n a 再加上一个 m 撇 n 撇，这就它最小值。好，接下来咱们来看 m n， 看一下模型五。模型五呢，是形容 a p 点还是角内的一个定点？ o a 和 o b 上两个动点 m 和 n， 但是按去求的不一样了，求的是 pm 加上 m n 的 最小值好，还是你发现我只要把 p 关于 o n 对 成到 p 撇儿，你这个 pm 是 不永远等于 p 撇 m 了？类似于 pm 加 m n 是 不等于 p 撇 m 加 m n 了。 那 p p m 加上 m n 是 不就直接相连？那 p p n 呢？哎，就是 p p n 最小， p p n， 你 犯 p p n 的 线段很多碳去求最小值，最小值是不就让 p p r n 垂直于 o b 啊？所以最小值就是 p p n 垂直的时候它最小。好看。模型六，模型六它就变了，变了一个花样了。 是有两条河， a l 一 和 l 二，其中它平行河的宽呢？是 p q， 它是不动的，这个时候让你去求 a p a， 让你去求 a p 加上 p q 再加 q b， 什么是最小的问题？这个时候比较固定啊，咱这个做法还是 你就想，我就把这个定点 a 向前推进。河宽。什么叫河宽呢？就是 a a 撇儿等于 p q， 为什么呢？因为这个时候你发现它们相等且平行的，这个是不就都平次边形了？哈？平次边形的话，那你想想，我 ap 是 不就等于 a 撇 q？ ap 是 不等于 a 撇 q 好，那我 a p 加上 p q 是 不就是 a 撇 q 加上 p q 再加上 q b 了，对吧？我 a 撇 q p q 可以 念，这个是不能变的，这个是个和宽，对吧？能变的是谁啊？ a 撇 q， a 撇 q a 加上 q b 什么最小啊？是不直接相连最小直接相连 a q 点就在这儿 好，所以它就大于等于 a 撇 b 直接相连 a 撇 b 再加上 p q 好， 这个是详细的证明过程，它就是这么做的。好，记下再看。那如果我辨认这种程度， a a 和 b 在 和的同侧，刚刚是异侧在和同侧了，那这个时候还是按求求 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题。 这什么最小？这个时候是一样的了，你把 a p， 我 a p 怎么办呢？你把 a p 是 不等于 a p 啊？ 那你 a p 加上 p， q 加上 q b 的 问题，是不又变成了 a 撇 p 加上一个？哎，这，这儿，这儿， a 撇 p 加上 p， q 加上 q b 问题了，这跟他们刚刚讲的没啥区别。它怎么做呢？它只需要把 a 撇推进 a 撇撇推进什么？推进 p q 的 长度，这个是不又个平次边写 平行四边形 a 内，你发现 a 一 撇儿 p， a 一 撇儿 p， 是 不是就变成了 a 一 撇儿 q， a 撇儿 q， a 撇儿 q 加上 q b， 再这样 p q 有 没有问题？这俩什么时候最最小啊？那就是把这个 a 撇撇儿跟 b 相连啊， q 就 在这儿，是吧？最小值是不是就 a 撇撇儿 b， a 加上一个 p q 啊？ 哎，咱们要学会类比。接着再看将军与马，还有一种不止和的最小值问题，他就说让你去求差的最小值问题啊，这个更简单， 哎，比如说 a 和 b， a 是 两个定点，在和的同侧， p 呢，是在 l 上一个动点，第一个让你去求 p， a 减 p， b 什么最小？嗯，最小？那就是零呗。哎，零的时候就让我让 p a 等于 p b 啊，这种情况怎么就能实现了呢？做 a b 的 垂直平分线呢？ 垂直平分线相交于 l 一 点 p， 哎，我就搞定了嘛。是啊，看模型二、模型九， a 模型九是同样 a， b 是 在和的同侧两个定点 p 呢，是合上一个动点 p， a 减 p， b 的 最大值。最大值是什么？最大呢？你发现这是不是一个三角形？ p a 减 p b 是 不是属于是两边之差？两边之差是不小于 a b， 我 又没有说它可以形成三角形，不形成的时候是不共线的时候，刚好等于 a b 啊。 所以当 a b 直接延长 a 交于这个点， p 就是 咱们求的那个 p 点，这时候你发现 p a a 减 p b 不 就是 a b 吗？所以最大值就是 a b 了， a 我 就搞定了。 好，再来看。哎，这个时候它如果 a b 叉的时候， a b 分 布在核的两侧都是定点， a p 点是合上一个动点还是 p a 减 p b 什么最大？哎，我怎么搞？我搞不定啊，这时候怎么办？你只需要把 b 把这个 b a 关于这核对正过几对，它要 b 平啊。 你发现这个 p a 减 p b 的 问题，哎， p b 撇是不永远等于 p b 啊？哎，那是不就 p a 减 p b 撇 p b 撇的问题了？这个是不跟咱们刚刚讲的模型九又一样了，小 e 等于什么呀？小 e 等于 ab 撇， 哎，那有 p 在 哪？把这个 ab 撇相连吗？让这个 p a b 撇三点共线的时候最大呀？是啊，哎，那我就把所有的将军马模型讲完了，你学会了没有？ 好，接下来咱们来看模型十九海盗埋榜模型，也叫逆旋转相似来看下这种模型特点。第一个，它形容的是两个等腰直角三角形再进行旋转，比如说三角形 a d c， 这个是个等腰直角三角。再来看三角 c b e， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转啊。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连下来之后，取它终点 f， 一 旦取点 f 终点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相挨之后呢？ f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也只四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个 a 三角形是不也是等腰直角三型？也是它垂直的？好，你看一下这个红的和这个紫的，是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是叫左手啊？ e 数也是左手， p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好，那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，相等完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了， pe 等于 d q 也有两个拉数线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢， f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下， f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二坡罗墨迹的模型，也叫坡式模型，哎，这它是由三个模型 衍生的。咱们来看第一个模型，垂直垫中点什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b、 e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b、 c 和 d b、 e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转。旋转的话，它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个要是直角，那么把 m b 进延长，延长了之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b， a b d 边相等。第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。哎，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把啊 b n 它进行延长，延长了之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后，大家看一下我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再这样它都垂直，那所以所形成的这两个三角形小的三角形 d、 q， n 和 a p n 是 不全等。全等完之后，那你 n、 a 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 大家看一下，这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是？咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个 c、 e 等于二位的 b、 n、 c、 e， 你 看一下，给我把这个擦掉。 好，那重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 me 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ me 呢？ me 一 线三垂直， me 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b two 嘛。 啊？ b p 就 等于 b n 减去 np， b two 等于呢？ b n 加上 q n 这两个相加一定等于二倍 b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直还是 a b c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转了之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿是垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p b 径延长到这儿，肯定垂直。 好，那看一下，这个为什么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造全等，就是构造平行四边形。平行四边形的话，这个角 b e m 加上这个角 c b e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a b d a b d 加上 a b d 加上这个 c b 是 不是也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等， a 这两个直角应该相等。好，这样再看这两个直角相等，那我给我换一个颜色， 那我看一下我这个 b e、 m e 是 不和 bc 相等？刚刚全等，是吧？ 那 bc 呢？又和 b a 相等，那所以这个 b a 是 不是和 m e 相等？那我在这一封，这一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？ 好，我就证完了。全等完之后。好，全等完之后，接下来看非常关键的。全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一 a， 这角二吧，用刚 b 二，角二，这儿是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，那个角二加角三，这也也是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了， 对吧？而这第一个结论就是垂直好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好，正吧，刚刚我说了，我这个三角形钢刀不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这里是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，哎，就是说我这个 a p 等于二二， a d 等于二倍的 b p a d， 咱们刚输了，全等， a d 这个三角形和这个三角形刚，不是正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不是就是 b p 的 二倍？所以说我就证完了，哎，就是二倍啊。好，那接下再看 最终的破罗模型的模型，演下定例，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形， 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直。那么如果说我其中这儿是垂直的，这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的颇治定力。好，咱们来正一下，为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？对啊，这是角 e 在 这儿呢，角 e 是 不是在这儿呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角 e， 这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是在这儿呢？为什么呀？因为同弧 cd 所对的这个角 e 是 不是相等啊？ 所以其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等，相等完之后， f m 是 不等于 f a， f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点，好，看一下，我这个角在哪呢？我这个角 a 是 不在这儿呢？ 为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不是相等？再来看，我这个红角是不是在这呢？因为他们同时加上这个角，都是九十度吗？对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加周角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢？ 好，那这两个红角是不是相等？相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d， 那 c f 是 终点，所以我就正完了，好，大家学会了没有？趴下再看第三个 模型，二十一，哎，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你个三角形 a， 制药伞形 abc， 角 c 九十度 a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 pc 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过 p 点做这边一个垂直，哎，因为角平分定里 f d 是 不是等于 i， 这个 p d 是 不是等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊，好，那见了带锯看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不是也是 x， 那 它是不是就是八减 x 啊？所以你所形成的这个算式是不是叫勾股定律啊？ 勾股定律以后解出 x 是 不？解出 x 之后我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速的解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 pb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊，哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对啊，直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三对吧。来，咱们继续看模型。二十二， 矩形翻折模型好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二、角三，然后第二个结论和第三个角，咱们看。 当你折叠时候，咱们记住折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，但这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d、 e 等于 df。 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e、 b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应变相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种，这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，应发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等。所以说 e、 a 是 不等于 e c 啊？ e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e， a， c 等于角， e c 也就成立的只有角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等，这儿有个直角，所以说这个三角形 f b c 和 a f e 是 不是又全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a c 上，然后就以结语把 a、 d， f 折到了 a， e f， 这如你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c e 等于 a c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a d 数跑到 a e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不都等于 a c 减去个 a e 也等于 a c 减去 a d 啊？所以这个决定成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c f 的是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c， d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了，这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠说像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个地点对应点折掉了 g， 这个 g 刚好是 ef， 是 它中间那个折痕。这个时候你要看一下 a j 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边相等对应边，是不就是 a d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a j， 你 这个时候你发现 a， j 是 不就等于 a， d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看被这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a， e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所在的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折对对角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽衔图模型赵爽衔图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型好，进来看一下，说在正方形 a、 b， c、 d， 哎，内部，然后在 a、 b， b， c， d， d， a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e， h， g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c， f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两个直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样？它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 e f 是 不是就等于 g， f 啊？同理也等于 f， e 也等于 h g， 所以 这个就成个正方形了，所以我就正完了，是吧？这是详细的一个证明过程。我再来看二四 风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖给好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就这个地方是三尺， 那你一看发现，哎，这种咱们用勾股定力结建方程，比如说咱们说折断后的那个高度是 a x， 也就这一段是 x， a 总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎，由竖的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定力，用它有个直角，对吧？你这 x 方加三方， a 就 等于十减 x 方，然后追截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹竖轴形是勾股定力的一个应用。再看 出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型，什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？你就这一段 a b 出水三尺，用它漏在水面上三尺嘛？ 然后接下来一风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢，它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 晚上后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。哎，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x 值， 那发现 p b 是 不等于 p c， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a， 它是不是加上 a c 方就等于 p c 方，是吧？ p a 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢这个 p c 呢？就是 x 加三呢？所以直接解得 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看，我想二十六、三七八和五七八模型，这个非常非常重要。有时候咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛？一个赛线三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形，为什么呢？咱们可以尝试一下， 诶，比如说有这么一个三角形，等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a、 d 勾股定律， a、 d 就是 四根，四倍根，三四 b 跟三。好，你再看 e、 d 这个 b、 d 是 不是四？ b、 d 是 四的话，这是三，那这是不就是个一，这就是个一。所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形，这是四 b 跟三，这是一，所以勾股定律是不是直接可以求出 a e 啊？ a e， 你 求完之后发现 a、 e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满炭足够的敏感，它们一旦一拼就是一个等变三角形。 好备好，咱们继续进来看蚂蚁爬行模型，哎，这也是勾股定律，那块经常会导出蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，去把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面儿，翻成平面儿之后，诶，这边儿就是个 b， 这边儿就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方就是这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖儿这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和 s， 让 b 和 c 也延长一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样的。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀，比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就 a 一个长方， a 一个长的棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看有的之后呢，他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀，是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆的周长？圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面 a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话，也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去行了？他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就说你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜，这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路程最短，哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形，就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值，该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的一叫什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型 好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇，然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就是 最短，什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b。 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续讲 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a、 d、 c、 d 面积就就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方？ a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论，第二个结论，它的面积 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不是二分之一的 b d 乘以 a 啊？下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊？我把二分之一 b e 提出出来， a 加 c， 那 是不就二分子力的 a c 乘 b d 啊？所以我就求完了。 好，咱们继续看模型二十九，叫终点四边形的模型。什么叫终点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m n， p q 是 这个任意四边形的一个中点， 它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，哎，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b d 的 一半，然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等？ m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形啊，对吧？好，第二个，像这种的，这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行界等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 科，这个 n p 是 不是就平行且且相等？那所以它是不是还是个平次边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n， m n 是 不是平行等于 ac 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 ac 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不是就跟 p q 平行且相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么叫以要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了。 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形就是个菱形 耶，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等，是不意味着它和它相等啊？本来一个平四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看。如果对角线垂直且相等四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个拼四边形，对吧？因为对角线垂直，对二垂直的话，它就垂直了。用对角线相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了。所以说它既是矩形，又是菱形，那么它就是个正方形了。 大家看，凡是十字架模型，这在正方形那儿会正常出现，说在正方形内部，哎，有这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么我也结论就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f 只要垂直，文中 b e 和 b f 它相等，为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b、 e， 它是全等的，哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？俩直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 上再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以跳全等了，是吧？加角 b 全等，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线 a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 动成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的吗？全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？ 好，他说这种，哎，比如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要正这个三角形和这边的三角形全等就行，对吧？还是全等，全等就仍然相等嘛？那还有一种是吗？非常极端的就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是你只需要正它 和他这两个三角形全等，全等完之后，哎，他就又成立了。所以记住，正是正方仪内部，如果说有垂直，那叫必相等，俩如果相等也必垂直，所以这两个是互逆的。好，朋友们，好，咱们看一下模型三十一，梯子模型。什么叫梯子模型呢？就形容在这么一个墙上，他跟地面是垂直的那么一个墙。 哎，然后呢， a 和 b 在 墙上滑动，也就是 a 和 b 是 动点，那么啊，让你求，首先 o q a a b 有 个中点 q， 然后让你去求 o c 什么时候最大， o c 什么最大？好，咱们结论就是当 o q c 它共线的时候， o c 最大。好，咱们求一下为什么这样吧，首先看一下，在三角形 a o b 当中，因为 a o b 是 直角，那所以说咱们由斜边中线理论， a q 是 中点，所以 o q 是 中线，由斜边中线理论可以得到 o q 直接是二分之一 a b 好 几下再看，那你在三角形 b q c 这个 之中，然后由勾股定律可以得到 c， q 是 不等于 q， b 方加上 c， b 方开根。好，那么 q b 是 不就等于二分之一的 a b 啊？所以就二分之一的 a b 扣入平方，加上 c， b 方开根。 也就说，哎，你把谁呢？哎，你把 q c 也求出来了。好，接下来看一下最关键的一步，最关键的一步，咱们在三角形 o q c 当中是不有个三边关系啊？什么三边关系呢？ o q 加上 q c 是 不是大于 o c 啊？两边之隔大于第三边，它没有说 o q c 必须三角形，所以说可以是等于圆，等于就知道了。那这个 o q 是 不就是二分之一的 a b？ 那你的 q c 呢？ q c 是 不就刚我求的这个根号 a， 你 加上这个，那 c 是 不是大于等于 o c？ 所以 o c 是 不是小于等于它啊？也就是说那 o c 最大值小于等于它， o c 最大值是不是就 o c 等于 a b， 再加上后边这串， 哎，也就是说 o q c 贡献的时候， o c 最大值就是这个后边这一串。好，那么咱们接下来继续 看模型。三十二，对角互补模型。什么叫对角互补模型呢？首先他形容的是对角是互补的，比如说，哎，九十度，九十度，这两个九十度，那么对角是不互补啊，相应的，我这两个角是不是也互补啊？这两个角是不也互补啊？好，互补之后和进来的，咱们看一下。 那么 a d 等于 a c 啊，它结论就是第一、第二、第三。好，咱们证明一下。哎，为什么这三个结论成立？首先咱们要进行旋转，怎么旋转呢？你把这个 a、 b、 d， 把 a、 b、 d 旋转到 d、 c、 e， 它为什么能够完全旋转过来呢？首先第一个就是因为 d、 a 等于 d， c， a， d、 a 等于 d、 c。 第二个，因为咱们杠出的这个角 a 和这边这个角 c 又互补的，所以你这个角 a 转到这完全是个平角，所以转过来之后没有任何的问题。好，那我们看一下，转完之后，那咱们就好多了。那第一个，他说 结论， bc 加上 ab， 你 这个 bc 加上 ab， 此时 ab 是 不就是 ce 啊？所以 bc 加上 ab 是 不就是 be 啊？是吧？就是 be， 你 这个 be 看一下，因为它是一个直角，那 be 是 不就等于根号二倍的 bd 啊？ 所以第一个结论我就证完了，好，看一下。哎，这是详细了一个证明过程。好，咱们看第二个结论，说 a、 b、 c、 d 的 面积被求下 a、 b、 c、 d 的 面积，它为什么就等于二分之一的 b、 d 方呢？好，那当然，接下来咱们继续， 你会发现所谓的他说的这 a、 b、 c、 d 面积，因为我已经把 a、 b、 d 转到了 d、 c、 e 了，所以 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 a、 b、 d、 e 的 面积？我 b、 d、 e 的 面积，我这是九十度。好，我在求的时候，你想一下，因为 d、 b 是 不等于 d、 e 啊？因为 d、 b 转到了 d、 e， 是 吧？这两个边是相等的，所以说这个象形的面积就是二分之一的 a、 d、 b 是 不乘以 d、 e 啊。 然后呢，你这个 d、 e、 u 等于 d、 b， 那 是不就二分之一的 b 地方啊？好，我就挣完了呀，对吧？那接下来咱们继续，咱们继续看第三个结论， 也就说 b、 d 是 角平分线，这更简单了， b、 d 为什么角平分线呢？我说了，你把 a、 b、 d 已经转到了谁呢？转到了 d、 c、 e 啊，这两个角平行相等啊， 这两角相等，因为什么呢？因为 a 这个是个直角， d、 b 等于 d、 e， 所以 是等腰直角。这个红的是不等于这个紫的呀？那所以这个红的是不跟这个紫的也相等，所以说它就是角平行线了， b、 d 就是 角平行线了，所以第三个这轮位就正完了啊，这就是详细的证明过程。好，继续 对角互补。还有一种就是六十度和一百二十度，也就是他是六十度，他是一百二十度，他们是互补的。那所以你别忘了这个角互补，是不？这两个角也互补啊，好，互补之后再来看他。还有个就是 a、 d， a、 d 等于 d、 c， 跟刚了填一样，那所以说 a 第一个结论，第二个结论，第三个结论，咱们接着开始整，它的道理都是差不多的。好，首先咱们还是咱们把 abd 进行旋转，你用反欧把 a、 b、 d 旋转，是不是完全能够转到 d、 c、 e 啊？是吧？为什么能够转到呢？第一个，你的 d、 a 是 不等于 d、 c？ 第二个，你它和它是不互补， 他和他互补的话，那你想一下，那我这个这个角不就转到这儿了吗？这两个不也是互补吗？所以说他就是大平角，所以转过来完全没有任何问题哈，是不跟刚刚那个没有什么区别，对吧？转过来之后，接着咱们开去正，那第一个结论， bc 加上 ab， bc 加上 ab， 是 不就 bc 加上 ce 啊？ 那么 b c 加上 a b 是 不就是 b e 啊？ b e、 b e， 你 会发现咱说它是六十度，它这个转完之后，给这个角加上这个角是不是一百二？那所以这个角加对角是不是也是一百二？那咱们就输了，那也就是说我现在， 哎，现在也就是说我这个三角形，是不是这是一百二十度的一个等腰三角形？等腰三角形，咱们说一百二十度等腰三角形，那我这个 b、 e 这个边就等于多少三倍的 b、 d， 所以 证完了第一个结论，对吧？第二个结论， a、 b、 c、 d 的 面积，咱们说 a、 b、 c、 d 的 面积是不是就是三角形 b、 d、 e 的 面积啊？对吧？因为转过来了嘛， b、 d、 e 的 面积等于什么呢？等于二分之一的 b、 e 是 不是乘以个高？那高谁呢？你可以做一下做这个这个高嘛，因为它等二直角上面是一百二，这是不是就是三十三十度三九，这是 dm 吧？那三十度化，所以 dm 是 不等于二分之一的 b、 d， 所以， 哎，二分之一的 b e 乘以 dm 就 等于二分之一的 b e， 你 算 dm 是 不等于二分之一的 b d 啊？ b d 是 吧？那所以你看一下接下来二分之一，这个 b、 e 是 不是等于咱说等于根号三倍的 b、 d， 对 吧？等于根号三倍的 b、 d 再乘以二分之一的 b、 d， 你 就发现了，这俩相乘不就是四分之根三吗？这个 b、 d 乘 b、 d 不 就 b、 d 平方吗？所以我就挣完了。好，这就是第二个结论， 这都是详细的一些证明过程啊，大家一会可以看，接下来咱们看，我把这擦掉，咱们继续，咱们继续来证第三个结论。第三个结论就是说明，哎，为什么这个 b、 d 就 又是角平分线了呢？那这个肯定难了，单说，因为只有两个角相等，对吧？ 然后呢，这个角是由谁转来的？这个角是不由他转过来的呀，所以说，哎，这三个小赤背都相等了，所以第三位就正完了，对吧？好，咱们接下来继续 一百八十度转对角互补的模型，还有一个，也就是这样，一百二在这儿，六十在这儿，是不是也互补啊？这样的话，它也是，你道理是一样的啊，它是把这个三角形，然后呢转到这个三角形， 嘿，转完之后咱们解要去说明一下啊。首先第一个 o d 加上 o e 是 不是在这儿呢？所以 o d 加 o e 是 不是就是 o b 啊？这儿是不是就是 o b？ 为什么 o b 等于 o c 呢？很简单呀，因为你这个上面是六十度啊，上面六十度的话，你又意味着我这儿是不是六十度？这儿六度的话，你撞了之后， a， 我 这个 c、 o 和这个 c 比，是不就全部相等六十度，所以它是个等边呢？那等边的话，那我 o b 就 等于 o c 了，我第一给撞完了，哎。第二个， a、 b、 c、 d 的 面积， a、 b、 c、 d 的 面积，是不是就是三角形 c、 o、 f 的 面积，对吧？哎，就是三角形 c、 o、 f 的 面积，也就是，哎，咱们刚刚说的这个 c、 o、 f， 哎，这个三角形的一个面积，反而等边塞形的面积，公式是四分之根三倍的 边长平方也就是四分之根三倍的边长，边长不就是什么呀？ b、 d 边长不就是 b， 在 这儿应错了，而是 b o， b o， 边长不就是 b o 吗？所以就是 a、 b、 o 的 平方。 好，那所以绕角面积也就正满了。第三个角点， c、 d 等于 c e， c、 d 等于 c e， 而 c、 d 为什么等于 c、 e 呢？这个咱们看一下，也很简单， a、 c、 d， 咱们刚输了， 我这个三角形，哎，是不是撞到了这个三角形，那你会发现 c、 d 跟谁相等啊？ c、 d 是 不是就在 c、 e 呢？ 验 c、 d 撞到了 c、 e、 z、 i， 我 就结束了，对吧？好，接下来，好，咱们来看第四个，哎，咱们杠住，对角互补，哎，都是九十加九十，六，十加一百二，这儿来一个更普通的阿尔法，加上一百八减阿尔法 是它操作是一样的，也是把这个 a、 b、 d， 然后进行旋转，旋转到什么呀？旋转到 d， c、 e， 咱们刚刚都这么操作的，对吧？旋转完之后，所以第一个结论，第二个结论，第三个结论全部成立啊，这儿就不再讲了，因为下边有详细的一个结论，大家可以看一看。 好，接下来咱们看一下模型三十三，奔驰模型。为什么要奔驰模型啊？你看这个图形像不像个奔驰？它对不起啊？对啊，所以跟姓名叫奔驰模型好，奔驰模型，它有些什么定律呢？它就其实形容在三角形 a、 b、 c 还是个等边三角形 a、 b、 c 当中，如果告诉你 p、 h 是 三， 而 p b 呢，是四啊， p c 呢是五，然后呢？ a、 p、 b 就 这个角，它等于一百五十度，一百五十度好，但去正啊，它是结论，结论是它一百五十度。第二个结论就什么呀？就 a、 b、 c 的 面积等于四分之根，三倍的 ab 平方，等于这个 等于它，哎，为什么呢？好，记着，咱们挨个去正，旋转。第一个就是正，这个 a、 p、 b 是 一百五十度的问题，这个怎么正呢？哎，记住，旋转，旋转，怎么旋转呢？我们可以这么着旋转，你把 a、 p、 c， 把 a、 p、 c 来进行转， a、 p、 c 转到哪呢？逆时针转来，转到这个地方，装这个地方。为什么这儿能完全转过来？因为 a、 c 等于 ab 嘛，等边在行，完全贴合嘛，对吧？所以在转的过程当中，还转到 a、 p 是 不是就等于 a、 d 啊？ a、 p 等于 a、 d。 好， 接下来看啊，见证奇迹的时刻，你在转的过程当中，这个红角是不是转这来啊？ 好，接下来再看。我这有个直角，这个红角加这个直角是不是六十？那所以这个红角加这个角是不是也是六十度？所以这个角是不是六十度啊？ d 角六度，所以你会发现，本来 a、 d 是 等于 ap 的， 这个是六十度，那所以这个呢？这个是不是什么三角形啊？这是个等边三角形，非常的漂亮。对，它就是个等边，等边的话，三三，那这是不也是个三呢？这是三，咱们刚说了，这是个四，对吧？ p、 c 是 个五，这五转哪去了？五转这来了，所以三、四、五，太棒了，这就是九十度，这是六十度，六十度加九十度，多少啊？一百五十度啊， 对吧？所以我就挣完了，哎，又挣完了，好，咱们在这再清晰的表示一下，哎，就说这个角，咱们刚挣出来是六十度，这个角是九十度，所以是一百五十度。那第一个教练就结束了。 好，第二个结论， a、 b、 c 的 面积， a、 b、 c 面积，它是个等边三型，然后等边三面积公式等于四分之根三倍的 a、 b 平方，也就是现在你要求出什么呀？求出 a、 b 的 平方，给我表示出来就行了。好，咱们刚说了，这是一百五十度，这是一百五十度，这是多少？这是不是三十度？三十度，这是不是四，这是四的话，这是几， 这是几？哎，一半啊，三十度，这不就是二吗？这呢二倍根三呢？二倍根三，所以这是三，那所以整个这一条是不是三？加上一个二倍根三，这是二，然后这是做的垂直勾股定律，直接求入 ab 是 吧？好，直接求取 ab， 然后这是具体的证明过程， ab 的 平方最终就求出来了，它是这个东西，那所以算形 abc 面积等于四分之三 ab 平方，然后把它一带入，就是它啊，这是一个详细证明过程，大家可以再详细的看一看。 好，接下来。哎，咱们发现刚刚旋转的时候，咱们旋转是不是 a、 p、 c 转到 a、 d、 b 啊？那其实这种奔驰模型有好多种转法，有好多种转法。哎，比如说，你说我就想把它转，我就想转它，行不行？ 行啊？它怎么转啊？你把它转的时候，转到你把 b、 d 是 不是转这来了呀？那是就转成这个样子了吧， 它直接转是转这儿，这也能解决问题啊，咱这儿用了一个非常好的技巧，就是等边向量的面积公式，等于四分之根三倍的边角平方，那这个怎么正呢？很简单，等边向量 a， 如果边上是 a 的 话，这儿是不值个三十度， 这儿三十度，这个呢？哎，这个是六十度，所以这儿是 a 的 话，这儿是不是就二分之根三 a， 那 面积等于二分之根三二分之一，哎，底儿乘以高，二分之根三 a， 所以 一乘是不是四分之根三 a 方，这个是需要记住的啊。四等边赛一面进攻是等于四分之根三倍的，哎，边上平方。
3866数学思维阳老师
25:47查看AI文稿AI文稿几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？
337喜欢数学的张张张张
04:57查看AI文稿AI文稿赶紧收藏一个视频带你看完中考几何四十八套模型，收藏起来慢慢看，看完绝对超值！ 中考几何模型一、双中点模型如果 m、 n 分 别为 a、 c 和 b， c 的 中点，不管点 c 如何变化， m n 始终等于二分之一 ab。 因为 m n 等于 mc， mc 是 mc 的 一半， mc 是 mc 的 一半，所以 m n 就 等于 ab 的 一半。中考几何模型二、双角平分线模型 若 o、 m、 o n 分 别为角 a、 o b， 角 p o b 的 平分线，那么角 m o n 始终等于二分之一角 a o b。 当 o p 在 角 a o b 内部的时候，角 m o n 等于角 m o p 加上角 n o b， 而角 m o p 和角 n o b 分 别为角 a o p 和角 p o b 的 一半， 所以角 m o n 相加就等于二分之一。角 a o b 外部的时候，角 m o n 等于角 n o b 减去角 m o p， 角 n o b 等于角 p o b 的 一半，角 m o p 等于角 p o a 的 一半，而 p o b 减去 p o a 正好等于角 a o b， 所以 角 m o n 等于二分之一角 a o b。 中考几何模型三、猪蹄模型若直线 m 平行于直线 n， 则阿尔法加贝塔等于伽马。证明方法非常简单，过点 h 做直线 m 的 平行线。根据平行线的传递性，可证明三条直线互相平行， 此时伽马被分成两个小角，这两个小角分别对应等于阿尔法和贝塔。中考几何模型四、铅笔头模型 模型结论，若直线 m 平行直线 n， 则阿尔法加贝塔再加伽马等于三百六十度。证明如下，过点 h 做直线，与直线 m 互相平行。根据平行线传递性，三条直线彼此平行，再根据两直线平行同旁内角互补， 得到两组互补内角相加总和就是三百六十度。中考几何模型五、鹰嘴模型如图，若直线 m 平行 n， 则角 c 等于角 a、 加角 b。 证明十分简单，只需要延长 a、 c。 根据两直线平行，同位角相等，得到角 b 等于外角，再利用三角形外角定里，外角等于角 a、 加角 b 直接得正。中考几何模型六、八字模型 先看普通版本，角 a、 加角 b 等于一百八十度，减去角 a、 o、 b、 角 c、 加角 d 等于一百八十度，减去角 c o d、 角 a、 o b 和角 c、 o、 d 是 对顶角，角度相等， 所以最终得出角 a、 加角 b 等于角 c、 加角 d。 再看进阶版本，利用普通八字模型结论进行推导即可。中考几何模型七、飞镖模型 普通版结论，角 a、 加角 b、 加角 c 等于外侧大角 d。 证明方法，连接内侧线段并延长外侧大角，分成两个外角，分别套用外角定里即可证明进阶版 就是两个普通飞镖模型叠加，证明思路完全一致。中考几何模型八、 a 字模型一共分为两种，正 a 模型和斜 a 模型。无论哪一种，核心都是三角形相似，对应边长成比例。 正 a 模型上下对应边，依次成比例。斜 a 模型找准对应边角，对应边长同样成比例。 做题务必分清类型，找准对应边，避免出错。中考几何模型九、老鹰抓小鸡模型模型结论，阿尔法加贝塔等于伽马加德尔塔。证明方法，连接内部两点，构造三角形，把阿尔法和贝塔转化为三角形，外角套用外角定理，直接证明 中考几何模型时，夹角高分模型， a、 e 为角平分线， a、 d 为高线，可快速求出两者夹角。当平行线遇见中点，会出现各类经典几何结论， 矩形三折翻折问题，找准线段关系，套用勾股定律即可求解大树折断经典题型， 结合生活场景，求出树木原本高度，蚂蚁爬行最短路径。掌握方法，轻松解题。对角线互相垂直的四边形，中点四边形一定是矩形，对角线相等，中点四边形直接变为菱形正方形。经典结论， e f 垂直 g h 就 一定能推出 e f 等于 g h。 快 速求解线段最值问题，对角互补模型，奔驰模型、飞马点模型全部梳理到位，熟记对应口诀，快速看懂衔接角定理， 一个视频看懂圆密定理全部用法，快速求解线段最直最短距离。中考必考一线三等角相似模型， 三角形相似经过旋转变形衍生各类考题。初中几何所有难题全部来源于各类模型的变形组合。关注我，掌握更多中考几何解析思路！
12张老师-学有方
28:03查看AI文稿AI文稿本视频耗时一年，制作共计一百五十分钟，带你一口气学完初中数学所有几何模型。详细的几何模型目录已发到评论区，本次更新十二个几何模型，时长二十八分钟，先点赞收藏再慢慢看吧！孩子们！ 再咱们来看模型十九海盗埋榜模型也叫逆旋转啊，看下这种模型特点，第一个，它形容的是两个等腰直角三角形，再来看三角 c b， 这个也是等腰直角三角形。 第二个特点就是它共顶点，比如共 c 啊，进行旋转好。第三个，若它另外两个底角也就这个 d， 是 不另外两个底角和 e， 把这另外两个底角相连先来，之后取它中点 f， 一 旦取连 f 中点 f 的 话，那么跟它这个顶点相连，也就是 f b 和 f a 这两个相等。之后呢， f a 和 f b 相等，并且它的夹角是直角，也就是说它所形成三角形 f a b， 它绝对就是个等腰直角三角形。好，接下来咱们就开始证明这个事情。好，首先咱们来看，我就需要把 d a 关于 a 对 称对称到 p， 也就是 d a 是 不是等于 ap 啊？另外我这个 e 点关于 b 对 称到 q， 也就说 e b 是 不等于 b q 啊， 所以你会发现对称完之后呢，这两个角四十五，它也是四十五，那所以它是不就垂直？好，那所形成的这个 c e q， 它是不就是个等腰直角三型？另外 这个角是不四十五，对称完之后，这个角是不也是四十五？所以说所形成的这个也三角形，是不也是等腰直角三型，也是它垂直的好，你看一下这个红的和这个紫是不就叫手拉手模型的全等旋转了？如果不知道手拉手全等旋转，可以看我上一期更新的十八个模型，其中有一个手拉手。 好，那你看一下手拉手模型旋转，那我们那我们看一下锁形的这个 p 是 不是加左手啊？ e 是 不也是左手？ p 和 e 相连是不叫左手拉左手？好，另外再看，那你这个 d 是 不是右手？ q 是 不是右手？那你 d q 相连是不是叫右手线？ 好？那你 d q 和 p e 绝对相等，绝对相等。好，先练完之后，那你再看一下，那我最后，哎，最后再证明一个事情，那你看一下这个 pe， 因为我已经知道了 pe 等于 d q 也有两个拉手线相等， pe af 是 不等于 pe 的 一半，因为 af 是 pe 的 中微线，对吧？然后呢？ f b 是 不等于， 然后 d q 的 一半，因为 f b 也是中微线，所以 fa 和 f b 是 不应该相等。另外咱们还知道拉手线加角等于顶角度数，顶角是直角直角，所以拉手线 d q 和 pe 是 不就垂直啊？那你想一下 f o 和 f b 呢？也垂直啊， 所以我就证完了， f a b 就是 个等腰直腰散型了啊，这个就是一个详细的证明过程。好，接下来咱们继续看模型。十二，破罗摸几的模型，也叫破石模型哎，这它是由三个模型 衍生的，咱们来看第一个模型，垂直变中点，什么意思呢？就是 a b c， 哎，这个 a b c 和这个 d b e， 它叫共顶点旋转啊，等腰直角赞形，共顶点旋转，因为它们是直角。好，另外呢， a、 b， c 和 d b， e 都是等腰直角赞形哎，它共 b 对 应就有旋转，旋转的话它有个特点， 若 m n 垂直于 c e， 也就是若这个角是直角，那么把 m b 进延长，延长完之后所教育 a d 有 点 n， 这个 n 肯定是终点，肯定终点。好，第二个结论就是 c b e 和 a b a b d 边相等，第三个就是 c e 等于二 b 的 b n。 好， 记下，咱们去证明一下。诶，它这几个结论为什么就成立呢？好，记下，咱们看，我只需要把看这第二个图啊，我只需要把啊 b n 进行延长，延长完之后，我做两个垂直， 我让 b q 垂直于这个线，然后让 a p 也垂直于 m n 这个线。好，那接下来去看一下，因为我这儿垂直，所以我所形成的这个， 这是不也垂直？这是不也垂直？那这个是不叫一线三垂直啊，对吧？一线三垂直所形成这个三角形和这个三角形是不就全等啊？好，同样道理，那我所形成的，因为这是垂直的，这是垂直的，这也是垂直的，那我这个是不就也叫一线三垂直啊？ 一线三垂直所行的这个三角形和这个三是不也全等啊？好，全等之后我就好说了，全等之后大家看，非常关键的一个，那我全等完之后，看一下，我这个 bm 跑哪去了？ bm 是 不是等于 ap 啊？这个三弦 bm 跑哪去了？因为这两个蓝的全等 bm 是 不是到了 dq 啊？ 好， ap 等于 dq， 再将它的垂直，那所以所形成的这两个三角形，小的三角形 d q n 和 a p n 是 不是全等？全等完之后，那你 na 肯定等于 n d 啊，那所以我就证完了， n 肯定是终点呢，所以这个是详细的证明过程。好，大家来看。第二个结论就更简单了，它说 c、 b、 e 的 面积和 a、 b、 d 的 面积相等， 再看下这个 c、 b、 e 的 面积是不是分成了一个红的，一个红的和一个蓝的呀？这个红的是不是咱说全等，这个红的是不是就等于 b、 q、 d 啊？ 好，那你看一下，那这两个相加就是不等于这个加上这个呀？这两个相加是不不就是 a、 b、 d 的 面积吧，所以第二个我也就证完了。好，这个是详细的证明过程。好，看，第三个， c e 等于二维的 b n， c e， 你 看一下。哎，我把这个擦掉。 好，他来重新看一下， c e 是 不等于 c m 加上 m e 啊？ c m 等于谁刚刚输了，一线三垂直， c m 是 不等于 b p 啊，对吧？ m e 呢？ m e 一 线三垂直， m e 是 不等于 b n 呢？是啊，所以说 c m 加上 e m 就 等于 b p 加上 b q 嘛。 啊， b p 就 能以 b n 减去 np， b q 等于呢？ b n 加上 q n， 这两个相加一定等于二倍， b n 呢？我就挣完了。 好，接下来看终点变垂直，还是 a b、 c 和 d b 进行共顶点旋转，旋转完之后，他说若 p 是 终点，咱们刚是这儿垂直，对吧？若 p 是 终点，把 p、 b 进行延长，到这儿肯定垂直。 好，那就看一下这个位怎么成立呢？好，咱们接下来换一种征法，咱们把 b p 进行延长， b p 延长到 pm， 也就是倍长中线。 好，咱们说背长中线，他所构造的是不叫全等模型啊？这个我在上一讲也讲过，也就这两个是不叫全等，全等完之后看一下。那你这咱们目的正，这垂直，对吧？这怎么就垂直了呢？好，咱们看， 如果说全等这两个全等完之后给你看一下，那我所形成的，咱说这个四边形是不叫平行四边形啊？咱说被长中线，除了是构造，全等就是构造拼四边形，拼四边形的话，这个角 b、 e、 m 加上这个角 c、 b、 e 是 不一百八， 你会发现，因为这儿垂直，这儿垂直，这个 a、 b、 d、 a、 b、 d 加上 a、 b、 d 加上这个 c、 b 是 不也是一百八？它这个角加上也是一百八，所以我这两个角是不应该相等，哎，这两个直角应该相等。好，就要再看这两个直角相等，那我，哎，我换一个颜色， 那我看一下，我这个 b、 e 是 不和 b、 d 相等，那进来看，这个 m、 e、 m、 e 是 不和 b、 c 相等？刚刚全等，是吧？那 b、 c 呢？又和 b、 a 相等，那所以这个 b、 a 是 不和 m、 e 相等，那我在这儿一封，这儿一封 a， 所以 这个 a、 b、 d， 这个 a、 b、 d 是 不是和这个扇形就全等了呀？好，我就种完了。全等完之后，好，全等完之后，接下来看非常关键的，全等完之后，我这个角在哪呢？我这个角是不就是它？ 好，我这个角一， a， 这角二吧，用钢边角二，这是角一，对吧？这个角一加上角三是九十度，所以它就垂直了，所以我就种完了，对吧？而这第一个结论就是垂直 好看。第二个，哎，那 c、 b、 e 和 a、 b、 d 面积相等，哎，这个也很好正了，刚刚我说了，我这个三角形刚刚不是正了，跟它全等吗？全等完之后再看一下，那我这个三角形不是在这儿呢吗？ 所以我这两个三角形的面积不就相等了吗？是啊，我就证完了。好，这个是详细的证明过程，这个也是详细证明过程。好，接下来咱们再看。哎，第三个，也就是说我这个 ap 等于二，而 a、 d 等于二倍的 bp， a、 d， 咱们刚输了，全等。 a、 d 这个三角形和这个三角形刚不正全等了吗？正完全等之后， a、 d 在 哪嘞？ a、 d 数对应的是 b m， 我 b m 是 不就是 b p 的 二倍？所以说，我就证完了。哎，就是二倍啊。好，那接二，再看 最终的破锣磨几个模型，眼下定力，它在讲什么呢？咱又共你俩旋转，你又发现，如果加一个圆，它就变得很有意思了，也就说 a、 b、 c、 d 是 一个圆，内接四边形。 我这个对角线是互相垂直的，这 b、 d 和 a、 c 互相垂直，互相垂直，那么如果说我其中这儿是垂直的， 这儿垂直的，那我把 e、 m 径延长到这儿，我对 f 绝对是中点，这个就是著名的坡直定点。好，咱们来正一下。为什么呢？好，这个，这很简单的，咱们看一下这个角，我们以为角一吧，角一在哪儿呢？ 角一是不是等于这个角？嗲，这是角一在这呢，角一是不在这呢？哎，再来看，很有意思，立个点，这个角一，这个角一是不是在这呢？为什么呀？因为同弧 c、 d 所对的这个角一和同弧 c、 d 所对这个角一是不相等啊。 所以，其实我就想证明一个事情，我这个角是不和这个角相等。相等完之后， f m 是 不等于 f a？ f m 等于 f a？ 好， 接下来看，我再操作一遍，我再操作另外一个点。好，看一下，我这个角在哪呢？ 我这个角，哎，是不在这呢？为什么呀？因为 ab 所对的弧所对的角，这两个圆周角是不相等。再来看，我这个红角是不在这呢，因为他们同时加上这个角都是九十度吗？ 对吧？这个红角加入一角九十度，这个红角加一角也是九度，所以这个红角在这呢，这个红角对顶角是不在这呢。好，那这两个红角是不相等，相等完之后， f m 是 不等于 f d， f m 等于 f d， f m 又等于 fa， 所以 fa 是 不等于 f d c f 是 终点，所以我就中完了，好，大家学会了没有？他现在再看第三个 模型，二十一啊，叫制药三角形锐角平分线模型。什么意思呢？就是如果说告诉你的三角形 a， 制药三角 a b c， 角 c 九十度， a c 是 六， b c 是 八，那么咱勾股定知道 ab 是 十，对吧？如果 ap 平分角 c ab， 那 么求 p c 的 场一般怎么求啊？ 这种咱们一般就是因为角平分线吗？所以我就过屁点做这边一个垂直，哎，因为角偏定里 f d 是 不是挺等于 i， 这个 p d 是 不是挺等于 p c 啊？这两个是相等的，对吧？相等完之后，接下来我就开始了，因为它是六，它是八。好，这个六 a c 是 不等于 a d 啊，所以 a d 也是六，那这个呢？这个九十四啊，用一共是十吗？是吧？一共是十啊。好，那见了带一句看， 那它是六，它是四，那我只需要，哎，看这边儿啊，那我只需要设它为 x， 那 所以它是不也是 x， 那 它是不就是八减 x 啊？所以你所形成的这个扇形是不叫勾股定律啊？ 勾股定律，然后解除 x 是 不解，出来 x 之后，我 p c 是 不就知道了呀？好，至于正常那个思路，再来看一下非正常思路，那如何快速地解呢？好，它们就这么解， 你会发现这个叫角平分线，对吧？咱们学过一个叫角平分线定律，就如果它是角平分线的话，那么我 a c 比上 ab 就 等于 pc 比上 pb， 这个是一定要记住的。 好，进来看，它不是六，它不是十吗？它是六，它是十，那所以 a c 比上 ab 是 不就六比上十啊，也就多少啊，也就是三比上五， pc 比上 tb 是 三比五，那就是它就是三，它就是五啊。哎，刚好 pc 加上 pb， 刚好就是八呀，所以我直接求出来三，对吧？直接求出来就是三，好，那所以我就整完了，哎，这是三，对吧？ 咱们继续看模型。二十二，矩形翻折模型。好，第一种就折在外，什么意思呢？就是当你折叠的时候，把一部分会折在外部啊。结论一，如果是在外部的话，得角一等于角二，角三，然后第二个结论，可第三个角咱们看。 当你折叠时候，咱们记住，折叠的对应角和对应边相等，这是永远不变的理论。比如折叠完之后，角二和角一是不对应的呀，再加上因为 ab 平行于 cd， 所以 角二和角三是不是内错角，所以角二、角三、角一全部相等，那这个时候就会出现个等腰，因为角一等于角三，所以 d e 等于 df， 再加，因为折叠的关系， a、 e、 d 是 不由 e、 b 折过来的呀，所以记住 e b 等于 df 等于 d， 也就是第二个结论也就成立了。第三个 f c 等于， 然后 f h， 这也是折叠之后对应边相等， f c 和 f h 相等，所以说就成立了。看第二个结论，有的时候它折叠的时候会折到外部，是折成下边这一桶， 哎，会折到下边这种图形的形式，这种这个数，你要记住，三角形 a、 f、 e 和三角形 c、 b 是 全等的。那怎么回事呢？咱们看一下。因为你折的时候还是对应角相等，那这个角一是不和角二相等啊，因发现角一和角三也相等，又是内侧角，所以角二和角三相等，所以说 e a 是 不等于 e c 啊， e a 等于 c， 所以 第二个结论就成立了啊。第三个， e a， c 等于角， e、 c 也就成立的，也就角二等于角三。看第一个结论，第一个结论你会发现 a， e， a 等于 e c 对 顶角相等这一个直角，所以说这个三角形 f、 b、 c 和 a、 f、 e 是 不就全等了呀？所以我第一个也就正完了。 好，咱们来再看。说折在里，折在里的时候，第一种折叠就是类似于这种图形，就是当你折的时候，把这个 e 点 d 点是对应着 e 的， 然后折到了 a、 c 上，然后就已解决，把 a、 d、 f 折到了 a、 e、 f， 这若你发现有几个结论呢？哎，首先就是 c， e 等于 a， c 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之 后， a、 d 是 跑到 a e 减 a d， 这个是很简单的，因为折完之后， a、 d 是 跑到 a、 e 了呀， a d 等于 a e 的， 所以 你这个 c e， c， e 是 不就等于 a c 减去的？ a， e 也等于 a， c 减去 a d 啊，所以这个结论成立了，是吧？另外， c f， 你 发现 c、 f 等是不等于 c d 减去 e f 呀？因为 c f 本来等于 c d 减去 d f， 你 d f 是 不就等于 e f 呀？所以就等于 c d 减 e f， 所以 这个也就成立了。这个比较简单，对吧？ 可咱们再看，如果你在折叠中像结论四，类似于它制成这种形式，你折完之后，这个 d 点对应点折到了 g， 这个 g 刚好是一百 f 是 它中间那个折。这个时候你要看一下 a g 等于二倍的 a e， 这个怎么回事呢？你看一下，咱们还是折叠对应角相等对应边，相等对应边，是不就是 a， d 和 a g 是 对应边了？ 哎，你 a、 g， 你 这个时候你发现 a， g 是 不就等于 a、 d， 然后就等于二倍的 a， e 啊， 二倍的 ae 了，那所以说，哎，第一个结论成立了。再来看，哎，这个三角形 a， e， g， 这个三是直角三角形，如果 a g 等于二倍 a e 的 话，那你角三是不是等于三十度啊？因为三十度所对的角边等于斜边一半，所以说角三等于三十度。 好，再来看，那你角一是不是等于角二？因为折的对应角相等，所以角一等于角二都等于三十度，所以说我这个第二个结论也就成立了。 好，再来看模型二十三，赵爽贤图模型赵爽贤图模型，也就是说在咱们在科内学的那个啊，这个折的那个模型。好，进来看一下，说在正方形 a、 b、 c、 d 哎，内部，然后在 a、 b、 b、 c、 d、 d、 a 上分别取 e、 f、 g、 h， 然后如果说 be 等于 c， f 等于 g， d 等于 a、 h， 那 么 e、 h、 g， f 就是 个正方形，这个比较简单，是吧？你比如说咱们举举一个例子， be 等于 c f， be 等于 c f， 然后再来看，那你发现这个是直角，这个是直角。好，那再来发现这两条直角呢？那你看一下我这个三角形， 这个三角形是不是和这个三角形它就怎么样，它是不是又全等了呀？哎，全等完之后，那所以 ef 是 不是就等于 f e 也等于 h g， 所以 这个就是个正方形了，所以我就正完了，是吧？这也是详细的一个证明过程。 我再来看二四风吹竖折模型，这个都属于是勾股定律的一种应用啊，这个属于勾股定律的一种应用，咱们在勾股定律那经常遇到这种，哎，应用题， 好，咱们看一下，说什么意思呢？就是 a， 它形容一个竖边好好的被风一刮给折了，折完之后它这个底部距距离这个，呃，这个折的那个地点是三尺，也就是这个地方是三尺。那你还发现哎，这种咱们用勾股定律结建方程。还比如说咱们说折断后的那个 高度是 a x， 也就这一段是 x 比总的高度呢？总个高度 a 就是 十，哎， u 数的高度是十，那么这一段是不就十减 x， 那 所以这个是不会形成的勾股定律，因为它有个直角，对吧？每只 x 方加三方 a 就 等于十减 x 方，然后吹截的 x 就 等于四点五啊，所以风吹数轴形是勾股定律的一个应用。再看出水芙蓉也是购物定，你经常会用到这种模型， 什么意思呢？也就是有这么一块芙蓉，然后呢，它出水三尺，什么意思？就这一段 a b 出水三尺，因为它漏在水面上，三尺嘛， 然后接下来风一吹，把它吹倒了，吹倒之后呢？它，哎，这个风吹花朵起水面就刚好，你这个 b 点就到了 c 了，这个 c 杠跟水面是相齐的， 反向后水面移动六尺，也就是移动一共移动六尺啊，求水深。诶，这个计算好，这个时候你看一下，那我我可以直接设 a a p 为 x， a p 为 x， 值 内发现 p b 是 不等于 pc， 因为它倒了嘛，都等于 x 加加三，所以这段是不是 x 加三？好，那你看一下，因为 a 它是不是加上 a c 方就等于 pc 方，是吧？ pa 就是 x 呀， 然后 a c 呢？ a c 就是 个四啊啊，然后呢？这个 p c 呢？就 x 加三呢？所以直接解的 x 就是 四点五，所以我就解完了，对吧？ 好，再来看魔像，二十六、三七八和五七八魔像这个非常非常重要，犹如咱们在做一些平面几何题的时候，你一定要足够的敏感，比如说你看到三七八就三个边长嘛，一个赛型三个边长是三七八，还有五七八的时候， 你看这两个，你要瞬间想到，其实这两个三角形一拼，刚好就能拼成一个等边，那刚好就能拼成一个八的等边三角形。为什么呢？咱们可以尝试一下 给，比如说有这么一个三角形等边是八八八，然后呢，你会发现我这边做个勾，这儿做个勾，然后因为它是八，它是四，所以直接可以求出 a、 d， 对 吧？ a d 勾股定律， a d 就是 四根，四倍根三四 b 根三。好，你再看 e、 d， 这个 b、 d 是 不是四？ b d 是 四的话，这儿是三，那这儿是不就是个一，这儿就是个一，所以说你在用勾股定律求的时候，你会发现这个三角形这儿是四， b 跟三，这儿是一，所以勾股定律是不直接可以求出 a e 啊， a e， 你 求完之后发现 a e 竟然就是那个七， 所以说看到三七八和五七八模型一定要足够明满，它足够的敏感，它们一旦一拼，就是一个等边三角形 好备好，咱们继续进来看。蚂蚁爬行莫行，哎，这里是勾股定律那块经常会遇到说蚂蚁呢，比如说从这个，哎，一个这个长方体从这开始爬， 我怎么爬，爬爬，爬到 n 距离最短呢？哎，这个时候你要去折开，这样把它给折成个平面图形，哎，比如说第一种折法，这么折， 那折到这种图形，折到这种图形折完之后呢，你会发现，也就相当于是把哪个盖，把那个上盖掀开，是吧？把这个上盖掀开之后，你去求 m n， m n 是 不就是 c 的 方加上 a 加 b 的 平方，也就是这个， 哎，就是 m n 方啊。当然如果说从 m 到 n 不 止这种折法呢？还要怎么折啊？你看 a 和 c， a 和 c 在 一块，也就是说把这个图形向这边翻， 把它翻成平面，翻成平面之后，哎，这边就是个 b， 这边就是 a c 好 a c， 那 所以说在 a 的 方加上 b 的 方，加上 a 加 c 的 方，就等于 m n 的 方，就这样的，那还能怎么折呢？还能就是我把这个盖这么着显开，这么着显开，让 a 和 c 重合， 也让 b 和让 b 和 c 沿成一个线，也就是说 ab 和 c 啊，这儿是 a， 所以 说 b 加 c 的 扩扩入平方，再加 a 的 方，就是 m n 方，就这样了。所以咱们真正你说从 m 到 n 怎么最短呢？你说要比较这三个呀？比较这三个好，哪个最短 啊？但是你要记住有一个技巧，就是说他一般给你三个边，就是 a 一个长方 a b、 c 是 不？他的三个棱长，三个棱长。你啊，你要记住， 你就让最长那个边单独，然后让另外两个边相加，那这个平方就最小了。比如说给了你一个二三四， 他问你那个 a b 的 最小值是吧？或者是 m、 n， 他 那个最小值怎么办呢？你就记住一个开根，你让最大，那那个单独，然后让另外两个边合在一起，哎，这个就没有最小值，就非常的简单。好，大家看，有了之后呢？他在想，哎，这个圆筒， 这个圆筒蚂蚁怎么从 a 爬到这个 b 呢？你需要绕一圈爬，怎么爬呢？还是把它展开展成这么一个矩形，展成矩形之后从这儿就直接爬过去了呀？是吧？直接爬过去了， 然后这边 a 一 a 二，是不就是那个圆的周长，这个是不就是那个圆筒的高，所以说圆的周长，圆筒的高，然后组成一个勾股定，你直接求 a 一 b 就 可以了。好，还有一种就是面， a 怎么到 c 最短？即到 c 最短的话，你就想 c 刚好是在对面，是吧？对面的话也就是说你把它展开展开之后怎么办呀？你走一半啊，这个就是那个圆周长的一半，这个还认得筒的高。勾股定律，组完之后直接求它来一个这个边长就可以了。好，再来看。还有一种， 他说还是蚂蚁吃蜂蜜，咱说蚂蚁吃蜂蜜是不直接过去？行了，他这个不是，他说蚂蚁从 a 沿着外壁爬行，在他那个蜂蜜呢，是在那个桶的里边呢， 在桶的里边，也就是你必须从 a 翻过去这个桶，然后再过去里边去吃到这个蜂蜜。这个时候他说 a 从 a 走到这个桶的边缘，然后再翻过去，这条路上什么最短？哎，这个怎么办呢？哎，这个时候咱们就记住，首先第一个还是把这个桶展开， 把这桶展开之后，它还是这么一个长方形，对不对？长方形就你要知道这个 a 怎么走，这个 a 怎么走？ a 是 不是必须得先到这个桶的边缘呢？因为要不它翻不进去嘛？到桶的边缘之后，然后再在桶里边儿再走到 b， 是 吧？也就是说求的是这一段儿这两个绿线的场，比如这儿是 m 吧，求的是 am a 加上一个 mb， 这两个线段长的最小值该怎么求呢？这就是咱们非常熟悉的要什么将军仪码模型，我在上一讲已经讲过了，将军仪码的模型好，怎么办呢？这两个绿线，我就是把这个 a 沿着这个线给它对称到 a 撇， 然后呢，我 a 撇 m 加上 mb 就 最短。什么最短呢？这样 a 撇 mb， 这三个点共线，我就是 a 撇 b， 好， 我就求完了，对吧？ 咱们继续加 a、 d 二十八个模型叫垂美四边形。什么叫垂美四边形呢？只有个四边形了，它对角线互相垂直，正叫垂美四边形。好，它结论是什么呢？ 结论就是对边的平方和相等，比如 ab 方加上 c 地方， ab 方和 c 地方是不是刚好对着一组对边呢？就等于 ab 方加上 bc 方，就等于 a 地方， a 地方， a 加上 bc 方，好。第二个结论就是它这个面积 a、 b， c 的 面积就是就等于二分之一的 a、 c 乘以 b、 d。 好，怎么去求呢？怎么去求呢？好，咱们看一下。首先咱们看你这个 ab 方，这个 ab 方是不是 a 方加 b 方？是啊， c 地方是不是 c 方加地方 a， 你 会发现，如果说我要是求 bc 方，你 bc 方是不是 a 方加 c 方， a 地方是不是 a 方加地方，你会发现刚好完全相等，所以说这两个的和是不就等于这两个的和我就挣完了，是吧？这是第一个结论。第二个结论，它的面积， 面积的话你要看一下，哎，我这个三角，这个四边形的面积是不是被我分成了三角形了，是吧？也就是说，哎，上边一个三角形，哎，下边一个三角形， 上面这个扇形是不二分之一的 b、 d 乘以 a 啊，下边这个是不二分之一 b， d 乘以 c 啊，我把二分之一 b、 e 提出来， a 加 c， 那 是不就二分之一的 a、 c 乘 b、 d 啊？所以我就求完了。 好的，看模型。二十九，叫中点四边形的模型。什么叫中点四边形呢？就是如果说给你任意一个四边形，然后让你在这个点 m、 n、 p、 q 是 这个任意四边形的一个中点，它四个边的中点，那这个四边形是平四边形，这个咱们的科内也学过，是吧？为什么呢？因为 m n 是 不中微线，它是 b、 d 的 一半， 然后 p q 也是 b 的 一半， b 它妈平行，所以 m n 和 p q 是 不就平行且相等， m n 和 p q 如果说平行且相等的话，那么这个是不就是平四边形了，对吧？好，第二个，像这种的， 这种还是一样，你这个 m q 是 不是平行并且相等于 b d 的 一半？ n p 是 不是又有重围线？ n p 是 不是也是平行且等于 abd 的 一半？那所以说你这个 m q 是 和这个 n p 是 不是就平行且相等？那所以它是不是还是个平四边形，对吧？你像这个也一样， 你这个 m n m n 是 不是平行等于 a c 的 一半？你发现 p q 是 不是也是平行等于 a c 的 一半？那所以你发现这个 m n， 这个 m n 是 不就跟 p q 平行其相等了？所以这是个什么呀？这是个平次边形啊， 对吧？好，咱们再来看。如果说，哎，结论二，如果说对角线垂直的四边形，什么要一必要垂直的，也就说 a c 和 b d 垂直，那这个时候你会发现它这个不仅是个平行四边形了，它还是个什么呀？它还是个矩形，为什么呀？因为这儿就垂直了 一个平行四边形，它有个直角，那么它就变成个矩形了，对吧？好，咱们来看。哎，如果说对角线相等的四边形，那么它就变成个菱形。 哎，什么意思呢？也就是 a c 和 b d 相等， a c 和 b d 相等是不意味着它和它相等啊？本来一个拼四边形，邻边相等，邻边相等，平四边形，它不就是菱形了吗？对吧？ 好，咱们来看，如果对角线垂直且相等的四边形，那它重点四边形就是个正方形了，是吧？那这个时候你发现它本来是一个平行四边形，对吧？因为对角线垂直，第二垂直的话，它就垂直了。用对角相等相等的话，那么这个 m q 是 不等于 m n 了，所以说它既是矩形又是菱形，那么它就是个正方形了。 好的，来看三十十字架模型，这的正方形那儿会正常出现。说在正方形内部， a 有 这么一个点， a e 连接之后， a e 和 b f 它是垂直的，就这样是垂直的， 这是 f b f 垂直之后，那么尾弦呢？就是 a e 等于 b f。 对， 一旦垂直，也就是 a e 和 b f， 只要垂直稳，那么稳，那么 a e 和 b f 它相等。为什么呢？这个就是因为这个三角形 b f、 c 和这个三角形 a、 b e， 它是全等的。哎，这个也比较好正。首先呢，你是直角，我是直角，是吧？里丫直角。另外呢，另外你会发现我这个角是不是和这个角相等啊？ 是啊，再加上 a b 是 不等于 bc 啊？所以它要全等了，主要加角 b 全等了，全等了之后，我就相等了吗？另外的，如果说我动一动我这个 a e， 我 动成这种，动成这样的一条线， a， 然后呢？我这个然，然后 b， 然后 b f 都成这样的一条线，那它也是一样的，因为它也是能够证明这个三角形和这边的三角形它是全等的嘛。全等之后是不仍然是 a e 等于 b f 呀？好，他说这种，哎，例如这种图，这种图也是一样的呀，我只需要证这个 三角形和这边这个三角形全等就行，对吧？还是全等？全等就仍然相等了。那还有一种是蛮非常极端的，就是我这个 a e 和 b f 全部动成这种形式，那这种形式也是，你只需要正它和它这两个三角形全等，全等完之后，哎，它就又成立了。所以记住， 正是正方形内部如果说有垂直，那叫 b 相等来，如果相等也 b 垂直，所以这两个是互逆的。
4978数学思维阳老师
10:49查看AI文稿AI文稿同学们好，今天学习的是平行四边形长考模型十字架， 我们可以看到南昌五中二零二四年到二零二五年八年级下期末第二十三题有考场。南昌一中二零二三年至二零二四年八年级下期末第二十三题有考场。 什么是十字架模型？针对我们初二这个阶段，我们可以看到这个图当中，它有一个正方形，有两条线段互相垂直，形如 十字，称为十字架模型。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，我们能看到一点呢，它在线段的 c 这条边上， f 是 在 b、 c 这条边上， 然后并且呢会告诉大家这两条线段它是有垂直的关系的，它会让我们求证这两条线段相等。如图，我们要求证 a、 e 等于 d、 f。 首先在这个图当中，我们能看到它出现垂直，垂直，我们可以想到什么东西？ 垂直，我们可以想到他会有九十度，那我们正常从前往看信息，我们也能看到正方形，正方形一旦出现呢，说明他考正方形有关的性质。也就在这个图当中呢，我们有很多个九十度，比如说这个蓝色角是九十度 方法技巧，多个九十度的时候，他会有什么？他会有角相等，在这个角相等当中呢，因为角二加角三等于九十， 角二加角一也是九十度，所以呢可以得什么？角一是等于角三的同角的与角相等，那我们得到这个角相等用来干什么呢？我们一般来讲得到新的条件，他是为了后面做铺垫的有角相等，我们并且发现这两个角他不在同一个 三角形当中，所以的话呢，它很可能是用来正全等的，那正全等的话呢，它条件够不够呢？在这个图当中我们能看到它其实够的，为什么？因为它本身就有正方形，也是这条这条线段的有角一角一所在的三角形 与角三所在的情况下，还有正方形，它有角，是九十度的情况下， 黄色三角形和这个绿色三角形它会有全等的关系，是由角边角来证明的。在这里的话呢，九十度加九十度其实相当于什么是正方形？当正方形当中碰到线段，它互相有垂直的关系的时候， 就可以得到它们之间线段会相等，其实是因为有全等才得的线段，它的相等也就是可以证出 a e 是 等于得 f 的。 我们来看下一个图形，这个图形当中跟上一个图形有什么相同的地方呢？我们能看到它也是有一个正方形，然后其次呢，它还可以得到什么？就是这两条线段它会有垂直的关系，也就是 he， 它是垂直 于 d f 的， 也就是这个图形跟上个图形它其实很像，但是也有不同地方。在这个背景下呢，我们是否能够证明出一样的结论，也就是 h e 会等于的， f 是 可以的，我们可以 把这个图形转换成我们之前上一个图形，也就是通过平移，我们可以通过平移把线段往上平移 h e 先平移到 a e p， 通过平移的方式，我们再证明什么呢？我们证明 a e p 等于 多 f， h e 等于多 f， 所以主要借用了一个平移，如果往上平移的话，我们可以怎么去写呢？我们可以写过 a 点做 a 一 撇平行 h e， 然后因为 a 一 撇平行 h e， 然后并且呢它本身正方形，所以呢 a h 平行一撇 e， 所以 四边形 a h e e 撇为平行四边形， 所以可以得到 a 一 撇其实是等于 h e 的， 然后通过上一个图形去证明，再加一个等量代换，就可以得到我们 这一问需要得到的一个结果。那我们再把图形稍微进行一个变形，也就是 g 点呢，它不再和得点重合， h 点它也不再跟一点 a 点重合， 这个时候条件还是一致的，有正方形和垂直，请问这两条线段它是否相等？很多同学就反应过来了，它仍然是相等的，我们可以借助上一个图形类似的方法，将这些线段呢进行一些平移，使得 图形变成这种形式，证明红色线段相等，然后再得一些平移之间的转换，得到我们最后想要的结果。这道例题是南昌五中二零二四年 的一个考题真题二十三题，他考的是一个压轴大题。在这个题当中呢，首先我们可以看到的是他出现了正方形，我们刚刚说了什么时候是十字架木形，是当正方形 遇到了垂直的时候，我们可以得到的是这两条线段他会有相等的关系。 好，现在我看到了正方形的这个背景，但是呢，在题目后面给的信当中没有出现垂直，那他是否不是考察十字架模型呢？ 我们看到小明将这个三角形 a b e 沿 a e 翻折，得到另一个三角形，通过翻折我们可以得到他其实有垂直的关系， 所以它满足十字架模型，红色三角形以及黄色三角形，它其实是有全等的关系， a e 等于 b f， 原理就是正方形加上垂直，正方形当中会有九十度， 垂直当中会有九十度，也就是同一个角的与角会相等。这个角相等可以用来干嘛呢？可以用来正全等，正全等以后呢？从而就可以得到我们证明的线段相等。 第二问这个图形呢，较之前发生一些变化，但整体来说呢，还是会出现十字架模型，因为首先第一个它的背景是在正方形的背景下，其次呢，它还涉及到了一个翻折，也就是我们需要的一个 垂直，所以它的核心方法跟我们一开始讲的那个模型是一致的。我们也能发现这道题当中 g 点它并没有跟 a 点进行重合， 需要把它转换成重合的形式去得到。所以将 g e 这条线段我们可以平移到 a 一 撇，从而可以证明出这个四边形它是一个平行四边形。 接下来就可以正常的去证明这个黄色三角形与这个黄色三角形它是有全等的关系。我们再来看一下我们这么做对于这道题的问题是否有帮助。 a g 这条线段以及 c e 这条线段，以及 得 f 这条线段，他们之间的一个数量关系，数量关系最后要得什么呢？其实就是这三条线段最后放在一个等式当中，通过红色的平四边形 a， g， e， e 撇，我们可以将 a g 转 转成一一撇，因为平四边形它对边会相等，并且在几何题当中能够进行转换的，我们都会进行转换，所以可以得到 a g 和另一条线段， a g 和另一条线段它就可以拼在了一起，原本是 a g 和 e c， 由于它转换以后呢， a g 转换成了一一撇，一一撇，加上 e、 c 可以 加在一起，它可以拼成线段一撇 c。 好， 那现在我们可以去研究什么呢？去研究新的这条线段和我们要求这条线段有什么关系？ 当然也就是正图当中两条蓝色线段的关系。我们也知道这种题的核心本质还是在于正方形和垂直，它得到的一个全等得到线段相等，所以黄色三角形全等情况下，我们发现哈， 比如说这条线段是 x 的 情况下，是不是这条线段也是 x， 因为它们两个是全等三角形，黄色三角形、全等三角形的对应线段最后的一个结果就是的 f 的 长度会等于这个正方形的边长减去 x， e 也会等于正方形的边长减去 x， 所以 它们是会有相等的关系， 然后我们把它再变回去，就可以得到 d f 其实是等于 a g 加上 e c 的。 好了，这一老师给大家准备了另一道题，是南昌一中二零二三年到二零二四年的一个真题。第二、三题是一道压轴题， 我们可以利用今天我们学习的方法来进行一个挑战。
00:31查看AI文稿AI文稿八下数学最难的平行四边形三天吃透，逆袭班级前三。八下数学最难的平四边形全部吃透，期末可以躺平了。 八下数学平四边形九个重点模型，模型一，垂美四边形模型模型二，正方形半角模型。模型三，十字架模型。模型四，对角互补模型。模型五，矩形折叠模型。 模型六，梯子模型模型七，中点四边形模型模型八，一线三垂直模型模型九，手拉手模型共九个模型完整版分享！
4猫猫鱼
10:49查看AI文稿AI文稿同学们好，今天学习的是平行四边形常考模型十字架， 我们可以看到南昌五中二零二四年到二零二五年八年级下期末第二十三题有考场。南昌一中二零二三年至二零二四年八年级下期末第二十三题有考场。 什么是十字架模型？针对我们初二这个阶段，我们可以看到这个图当中，他有一个正方形，有两条线段互相垂直，形如 十字，称为十字架模型。如图，在正方形 a、 b、 c、 d 当中，我们能看到一点呢，它在线段的 c 这条边上， f 是 在 b、 c 这条边上， 然后并且呢会告诉大家这两条线段它是有垂直的关系的，它会让我们求证这两条线段相等。如图，我们要求证 a、 e 等于 d、 f。 首先在这个图当中，我们能看到它出现垂直，垂直，我们可以想到什么东西？ 垂直，我们可以想到他会有九十度，那我们正常从前往看信息，我们也能看到正方形，正方形一旦出现呢，说明他考正方形有关的性质。也就在这个图当中呢，我们有很多个九十度，比如说这个蓝色角是九十度 方法技巧，多个九十度的时候，他会有什么？他会有角相等，在这个角相等当中呢，因为角二加角三等于九十， 角二加角一也是九十度，所以呢可以得什么？角一是等于角三的同角的与角相等，那么得到这个角相等用来干什么呢？我们一般来讲得到新的条件，他是为了后面做铺垫的有角相等，我们并且发现这两个角他不在同一个 三角形当中，所以的话呢，它很可能是用来正全等的，那正全等的话呢，它条件够不够呢？在这个图当中，我们能看到它其实够的，为什么？因为它本身就有正方形，也是这条线段的，有角一角一所在的三角形 与角三所在的三角形，在借助正方形有边长相等的情况下，还有正方形，它有角，是九十度的情况下， 黄色三角形和这个绿色三角形它会有全等的关系，是由角边角来证明的。在这里的话呢，九十度加九十度其实相当于什么是正方形？当正方形当中碰到线段，它互相有垂直的关系的时候， 就可以得到它们之间线段会相等，其实是因为有全等才得的线段，它的相等也就是可以证出 a、 e 是 等于得 f 的。 我们来看下一个图形，这个图形当中跟上一个图形有什么相同的地方呢？我们能看到它也是有一个正方形。然后其次呢，它还可以得到什么？就是这两条线段它会有垂直的关系，也就是 he， 它是垂直 与 d f 的， 也就是这个图形跟上个图形它其实很像，但是也有不同地方。在这个背景下呢，我们是否能够证明出一样的结论，也就是 h e 会等于得 f 是 可以的，我们可以 把这个图形转换成我们之前上一个图形，也就是通过平移，我们可以通过平移把线段往上平移 h 一 先平移到 a 一 撇，通过平移的方式，我们再证明什么呢？我们证明 a 一 撇等于 多 f， h 一 等于多 f， 所以主要借用了一个平移，如果往上平移的话，我们可以怎么去写呢？我们可以写过 a 点做 a 一 撇，平行 h e， 然后因为 a 一 撇平行 h e， 然后并且呢它本身正方形，所以呢 a h 平行一撇 e， 所以 四边形 a h e， e 撇为平行四边形， 所以可以得到 a 一 撇其实是等于 h e 的， 然后通过上一个图形去证明，再加一个等量代换，就可以得到我们 这一问需要得到的一个结果。那我们再把图形稍微进行一个变形，也就是 g 点呢，它不再和得点重合， h 点它也不再跟 e 点重， a 点重合， 这个时候条件还是一致的，有正方形和垂直，请问这两条线段它是否相等？很多同学就反应过来了，它仍然是相等的。我们可以借助上一个图形类似的方法，将这些线段呢进行一些平移，使得 图形变成这种形式，证明红色线段相等，然后再得一些平移之间的转换，得到我们最后想要的结果。这道例题是南昌五中二零二四年 的一个考题真题二十三题，他考的是一个压轴大题。在这个题当中呢，首先我们可以看到的是他出现了正方形，我们刚刚说了什么时候是十字架木形，是当正方形 遇到了垂直的时候，我们可以得到的是这两条线段他会有相等的关系。 好，现在我看到了正方形的这个背景，但是呢，在题目后面给的信当中没有出现垂直，那他是否不是考察十字架模型呢？ 我们看到小明将这个三角形 a， b， e 沿 a e 翻折，得到另一个三角形，通过翻折我们可以得到他其实有垂直的关系， 所以它满足十字架模型。红色三角形以及黄色三角形，它其实是有全等的关系， a e 等于 b f， 原理就是正方形加上垂直，正方形当中会有九十度， 垂直当中会有九十度，也就是同一个角的与角会相等。这个角相等可以用来干嘛呢？可以用来正全等，正全等以后呢？从而就可以得到我们证明的线段相等。 第二问这个图形呢，较之前发生一些变化，但整体来说呢，还是会出现十字架模型，因为首先第一个它的背景是在正方形的背景下，其次呢，它还涉及到了一个翻折，也就是我们需要的一个 垂直，所以它的核心方法跟我们一开始讲的那个模型是一致的。我们也能发现这道题当中 g 点它并没有跟 a 点进行重合， 需要把它转换成重合的形式去得到。所以将 g e 这条线段，我们可以平移到 a 一 撇，从而可以证明出这个四边形它是一个平行四边形。 接下来就可以正常的去证明，这个黄色三角形与这个黄色三角形它是有全等的关系。我们再来看一下，我们这么做对于这道题的问题是否有帮助？ a g 这条线段以及 c e 这条线段，以及 得 f 这条线段，他们之间的一个数量关系，数量关系最后要得什么呢？其实就是这三条线段最后放在一个等式当中，通过红色的平四边形 a， g， e、 e 撇，我们可以将 a g 转 转成一一撇，因为平四边形它对边会相等，并且在几何题当中能够进行转换的我们都会进行转换，所以可以得到 a、 g 和另一条线段， a g 和另一条线段它就可以拼在了一起，原本是 a g 和 e、 c， 由于它转换以后呢， a、 g 转换成了一一撇，一一撇，加上 e、 c 可以 加在一起，它可以拼成线段一撇 c。 好， 那现在我们可以去研究什么呢？去研究新的这条线段和我们要求这条线段有什么关系？ 当然也就是正图当中两条蓝色线段的关系。我们也知道这种题的核心本质还是在于正方形和垂直，它得到的一个全等得到线段相等，所以黄色三角形全等情况下，我们发现哈， 比如说这条线段是 x 的 情况下，是不是这条线段也是 x， 因为它们两个是全等三角形，黄色三角形全等三角形的对应线段最后的一个结果就是的 f 的 长度会等于这个正方形的边长减去 x， e 也会等于正方形的边长减去 x， 所以 它们是会有相等的关系， 然后我们把它再变回去，就可以得到 d、 f 其实是等于 a、 g 加上 e、 c 的。 好了，这一老师给大家准备了另一道题，是南昌一中二零二三年到二零二四年的一个真题。第二、三题是一道压轴题， 我们可以利用今天我们学习的方法来进行一个挑战。
02:34查看AI文稿AI文稿几何模型，几何辅助线这两套书有姐妹说不知道该怎么选，一套是实验班的，一套是爱麦斯的，那么今天咱们就根据他们的优缺点做一个对比视频，先从几何模型开始， 这边是艾麦斯的，这边是实验班的，通过目录咱们先去做一下啊，模型数量上面的对比，三角形这一部分呢，是属于我们八上几何的一个重点章节。那么实验班这里面呢，它是一共有十个模型，像里面的 a 字模型、封正模型，在艾麦斯里面它是没有涉及到的，艾麦斯应该是六个模型， 包括后面的全等三角形啊，实验班这边也是比较多一点，还有八下的轴对称将军引马这个模型啊，实验班一共是六个模型， m s 这一块呢，是四个模型，包括 m s 的 拓展模型。在实验班这块呢，它的拓展模型是有九个， 一共加起来是六十八个模型， m s 一 共是四十九个模型。然后我们再看一下它们里面内容啊，像实验班这一本， 它是把像铅笔模型、猪蹄模型这种相似模型放到了一个表里面，通过图形条件还有我们一些推导过程需要做的辅助线，包括最后的结论，在一个表里面就非常清晰的给我们展示出来了。然后整个的推导过程都是有视频讲解的。 爱麦斯它是属于一个模型一个模型的帮我们做推导，比如说猪蹄模型，我们只讲这一个模型，然后推导过程也是有它的视频讲解。实验班在模型这一部分，它还有一个亮点，就是它会有一个叫做拓展模型， 大部分的几何模型书上主要就是这种一级模型，那这种模型呢，相对我们来说就是一些个简单结论，当我们在考试的时候呢，如果遇到了一些个复杂的图形，单用一些简单模型是没有办法让孩子秒出答案的，那么我们可以通过这些个拓展模型的结论，帮孩子快速的解题。 再来咱们说一下后面的练习题啊，爱麦斯呢，它是每道题都是有视频讲解的，嗯，里面呢有选择，有大题上面的，也就说后面的练习题多数是以大的推导题为主的。 实验班的题呢，就是相对来说更全更平均一些，比如说选择题啊，填空题，还有些大题难题，他的选择填空题是没有视频的，然后大题和难题也都配有视频讲解。 再看一下他的答案部分啊，答案部分，他每个步骤用到了哪些结论，给我们标注的也都很详细。再有就是实验班的这本几何模型，他每一个章节后面都有一个阶段性的模型 t o 训练， 整体在题的数量上面来说呢，实验班就会更多一些。同时实验班在解析的思路上面也一直在给孩子做强调，比如说我们先去识别模型，怎么去识别模型，然后套用模型的结论，把结论带入到题里面，按照这个过程去做一道题。
956米妈有力气
00:37查看AI文稿AI文稿八下数学最难的八大最值技巧，全部练会考试逆袭前三八个平行四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点将军引马问题 三，确定轨迹例题 五，旋转构造拳等肺麻点问题七，构造手拉手拳等完整版分享！
65小芋绵绵
00:37查看AI文稿AI文稿八字模型是八年级必考的几何模型，初中几何只需要掌握这六十个几何模型，做题就像抄答案一样简单。 就是这本模型图，了解初中几何。他总结归纳了初中阶段常见必考的六十个几何模型，像八字模型、铅笔头模型、猪蹄模型、手拉手模型等，每个模型的条件公式怎么做，辅助线怎么证明，写的清清楚楚，看不懂扫码可以看名师讲解，后面还有典型例题，及时巩固。 初中几何考来考去就这六十个几何模型，学会这些几何模型，孩子考试遇到了，做题就像抄答案一样简单，快给孩子安排一套吧！
00:28查看AI文稿AI文稿初中数学几何题考来考去就这几十种模型，弄懂了其实一点也不难。推荐这本实验班的初中几何模型，帮助总结初中三年所有常考必考的几何模型， 背马点模型、胡不规模型，每一个模型的公式怎么画，辅助线怎么证明都帮你罗列好了。基础知识弄懂了就是点例剖析，还有分层训练，真体检测巩固，不懂的扫码可以看视频老师讲解，平时还能当查找的工具书，家有初中生的赶紧背起来吧！
00:39查看AI文稿AI文稿中考数学，想在两小时内拿下考试一百二十分的题，一定要学会几何模型解析，如果每道题都要现场想，思路破解很难都做完。建议孩子从初一开始学这六十八个几何模型。初一到初三常考的模型都包含了大体有思路，小题套模型。你看将军印马模型、手拉手模型、八字模型、 胡不归模型、阿式圆模型，每个模型都有模型证明和核心母题，母题解析也很详细，每个模型后面都有实战练习题，巩固所学知识，不明白的还可以扫码看视频讲解。掌握了这些解析模型，摸清楚出题规律，数学几何题也就没那么难了，抓紧练习起来吧！
11:36查看AI文稿AI文稿从今天开始，我们将开启一个新的系列八年级下学期期末高频考点复习。根据近两年南昌各个学校的期末正题分析，有一些题型的考察频率是非常高的，那我们今天第一期要讲的是对角互补模型。 首先我们来看一下这两年在我们南昌市的期末考试当中，有哪些学校考到了对角互补模型。首先是去年南昌市期末考试的第二十题， 以及前年南昌市期末考试的第二十题，二五年南昌二中期末考试的第二十二题，以及南昌县去年期末考试的第二十二题。那这些题目考察的都是我们的一个对角互补模型。 那话不多说，接下来我们就正式进入到对角互补模型的一个学习。那首先我们要搞清楚什么是对角互补模型， 他指的是在我们一个四边形当中存在一组对角是互补的，也就是这两个角的度数加起来等于一百八十度。同时呢，这四边形还会满足对角线，是他的角平分线， 或者有一组邻边相等的情况，就是这种情况。对角互补加角平分线，我们这四道题目当中所有出现的对角互补模型都满足这种情况， 以及第二种第二个特征，对角互补加菱边相等的情况。那同样的这些角互补四边形当中也满足菱边相等，也就是我们图中的绿色的线段。 那从角度上来考虑的话，对角互补模型常考的有两种，一种是九十度加九十度的对角互补，一种是一百二十度加六十度的对角互补。 好，那接下来我们来看怎么样来处理对角互补模型。首先我们来看到第一种情况，对角互补加角平分线的情况。根据题目已知条件，角 a、 o、 b 等于角 d， c、 e 等于九十度。 o， c。 平分角 a、 o、 b。 那 这里就是主对角互补以及我们的角平分线。 那么今天我们要讲的这一种做法呢，是去做双垂，我们过点 c 分 别去做 o、 a、 o、 b 的 垂线垂足为 m 和 n， 那我们就可以得到角 c、 m， d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度。同时根据角平分线的性质定律，角平分线上的点到角两边的距离相等，那么我们也可以得到 c， m 会等于 c、 n。 同时再根据题目给的对两个九十度，我们可以得到四边形 o， d， c、 e。 对 角是互补的， 也就是角 a、 o、 b 加上角 d， c、 e 等于一百八十度。因为四边形内角和三百六，所以我们可以得到这个四边形的另外两个内角，也就是角 o， d， c 加上角 o， e， c 等于一百八十度啊！这里用角一角二来表示， b 加角二等于一百八，那同时我们的角 o、 d， c 和角 a， d， c， 也就是我们角一和角三，它是一一对零补角，角一加角三也等于一百八。根据同角的补角相等，那我们就可以得到角 o， e， c 会等于角 a、 d、 c。 那 现在我们就可以利用这三个条件， c， m 等于 c， n。 角 c， m， d 等于角 c、 n、 e 以及角 o， e， c 等于角 a、 d， c。 这三个条件，正出三角形 c、 m、 d 全等于三角形 c、 n、 e。 那三角形对应边相等，我们就可以证出 c， d 会等于 c， e。 在 第二问当中，我们要证 o d 加 o e 等于根号二倍的 o c。 好，那么在这里我们 o e 可以 把它表示成 o n 加上 n e， 那 在第一问当中，我们证出了三角形 c m， d 全等于三角形 c n e， 那 么 n e 呢？会等于 dm 啊，我们就可以把 n e 给它换成 dm， 那 o d 加上 dm 就是 等于 o m， 所以 o d 加上 o e， 它就会等于 o m 加上 o n， 那我们可以去证到三角形 o c m 和 o c n 的是等腰直角三角形，那 o m 和 o n 都会等于二分之根号二倍的 o c， 那 也就是 o m 加 o n 等于根号二 o c。 所以 第二个结论我们就可以证出来了。那么第三个结论，三角形 o， c， d 的 面积加上三角形 o， c， e 的 面积等于二分之一 o c 的 平方。 那么根据我们第一问证出来的全等，我们就可以把三角形 c， n， e 的 面积给它转移到三角形 c d m 这里，那么我们这个对角互补的四边形的这个面积就可以转化为这个正方形 o m， c n 的 面积， 那正方形的面积等于对角线乘积的一半，而正方形的对角线是相等的，所以它的面积就会等于二分之一 o c 的 平方。这是我们第一种情况，对角互补加角平分线的情况。 那接下来我们来看到第二种情况，对角互补和零边相等的情况。像我们这里给的条件，角 a o b 等于角 d， c e 等于九十度，那这里就是对角互补的情况， 然后再加上 c d 等于 c e 一 组邻边相等，那接下来要我们去正 o c 平分角 a、 o、 b。 要我们去正角平分线， 那我们同样的过点 c 去做 a、 o、 b 的 垂线，垂足分别为 m 和 n， 那 我们就可以得到角 c、 m、 d 会等于角 c、 n、 e 等于九十度，那同时根据这两个九十度的角 a、 o、 b 和 d， c、 e 等于九十，我们就可以得到它们相加等于一百八， 那根据四边形内角和等于三百六十度，我们就可以得到另外一组对角的，是互补的，也就是我们这里的角一和这里的角二， 那同时角 o、 d、 c 加上角 a、 d、 c 是 一组零补角，它们相加也等于一百八十度，就是我们这里的角一和角三，那我们就可以得到角 o、 e、 c 会等于角 a、 d、 c， 也就是角二等于角三。 那么再加上题目给的 c、 d 等于 c、 e 这个条件，我们就可以去正到三角形 c、 d、 m 和三角形 c、 e、 n 全等， 那全等，我们就可以得到 c、 m 会等于 c、 n。 再利用角平分线的判定定律到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，那我们就可以得到 o、 c 会平分角 a、 o、 b。 这个后面的第二、 第二个结论和第三个结论的和我们刚才的正法是一样的啊，我们这里就不再正了，那由此我们可以得到我们这种对角互补四边形的一个做法啊，首先是去做双垂， 接下来再去找边和面积之间的一个关系。好，那接下来我们通过一道例题再来强化一下我们刚才的一个方法啊。我们来看到去年南昌县期末考试的第二十二题， 大家可以先暂停一下，看一下题目。好，那我们可以看到我们这道题目三问都是出现了比较明显的一个对角互补模型啊。我们接下来我们就依次来看一下。接下来我们先来看到第一问， 已知 p、 q 分 别在菱形 a、 b、 c、 d 的 边 b、 c、 c、 d 上滑动，且角 p a、 q 等于角 b。 如图一，若 a、 p 垂直于 bc， 要我们求证 a、 p 等于 a、 q， 那 根据菱形的性质，我们可以得到角 b 和角 b、 c、 d 是 互补的，那同时角 p a、 q 又等于角 b， 那 我们就可以得到角 p a、 q 和角 c 相加等于一百八十度。那也就是我们这个四边形 a、 p、 c、 q， 它是一个对角互补的四边形， 同时菱形的对角线会平分一组对角，那我们连接 a、 c 之后，就可以得到 c、 a 会平分角 b、 c、 d。 这里也就出现了我们刚才所讲的对角互补加角平分线的情况。好，那接下来我们来证明一下。 首先根据平四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 a、 b 平行于 c、 d， c， a 平分角 b、 c、 d 等于一百八十度。 又因为角 p a、 q 等于角 b， 所以 角 p a、 q 加上角 b、 c、 d 等于一百八十度。又因为 a、 p 垂直于 b、 c， 所以 我们就可以得到角 a、 p、 c 会等于角 a、 q、 c 等于九十度， 就可以得到 a、 p 会等于 a、 q。 好， 那这是第一问。接下来我们看到第二问，若 a、 p 与 b、 c 不 垂直，一中的结论还成立吗？ 好，那么它是成立的。好，根据我们刚才的分析， c、 a 会平分角 b、 c、 d， 那 这里就有我们的对角互补加角平分线。所以我们过点 a 去做 双垂，作出 a、 m 垂直于 c， b， a、 n 垂直于 c、 d， 那 么我们就可以得到角 a、 m、 p 等于角 a、 n、 q 等于九十度。同时四边形 a、 b、 c、 d 为菱形，我们可以得到 ab 平行于 c， d， c， a 平分角 b、 c、 d， 那 么我们接着就可以证出 a、 m 等于 a、 n。 利用角平分线的性质定律，那同时 通过倒角，我们又可以去证出我们的角角 a、 q、 c 会等于角 a、 p、 m， 也就是我们这里的角一会等于角。二，因为对角互补，所以角 a、 q、 c 加上角 a、 p、 c 会等于一百八十度。好，那现在我们就可以证出我们三角形 a、 m、 p 和三角形 a、 n、 q 全等，那全等的话，我们就可以得到 a、 p 等于 a、 q， 那这是我们的第二问好，接下来第三问， a、 b 等于四角 b 等于六十度。要我们直接写出这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积。 好，我们同样的是去连接 a、 c， 然后过点 a 去做两边的垂线，那么我们可以正到我们三角形 a、 m、 p 会全等于三角形 a、 n、 q， 那么我们这个四边形 a、 p、 c、 q 的 面积，它就会等于三角形 a、 m、 c 的 面积。加上三角形 a、 n、 c 的 面积， 那因为角 b 等于六十度，它是菱形，所以我们可以得到三角形 a、 b、 c， 它是一个等边三角形。等边三角形，那么 a、 c 的 a、 c 就 会等于 ab 等于四，那根据三十度角所对直角边等于斜边的一半， c、 m 就 会等于二。 在勾股定律可以求出 a、 m 的 长等于两倍的根号三好，所以它 a、 m、 c 的 面积就等于二分之一乘以二乘以两倍的根号三。 好，那同样的 a、 n、 c 也是啊，这里也是六十度，它的面积是跟 a、 m、 c 的 面积相等的，所以我们这里给它乘一个二就可以了，所以最终我们得到这个四边形的面积，它就是四倍的根号三。 好，那这就是我们用双做双锤的方法来解决我们八年级下册常考的对角互补四边形。 那么最后给大家留一道同类型的题目，作为我们这个视频的作业，那这道题来自去年南昌二中教育集团初中部联考八年级下学期期末考试的第二十二题， 大家课后可以认真完成，画出辅助线，写出详细的解题过程。你把你的解答过啊，发在我们的评论区，到时候老师会一一进行解答。
03:45查看AI文稿AI文稿今天一条视频带你学会八种三角形面积公式，以后，看到这些图啊，公式直接往里带。首先第一个呢，就是非常基础的一个三角形底和高啊，如果同学们都很容易得到，那我们毋庸置疑啊，直接去写我们的面积公式， 二分之一的底层高就可以了，比如说题目直接告诉你啊，底呢是一个二，高呢是一个三，那面积轻松算出来就是个三喽，基础面积公式，那我们继续来看第二个，那第二个公式呢，就是我们的寝酒勺公式了，寝酒勺公式啊，它用起来啊，就会比较复杂一点， 函数用的前提呢，也不一样了，这个呢，你得知道三条边啊， a、 b、 c， 比如说你都知道它的长度了，那我们此时啊，这个面积公式就可以用前九勺的面积公式了，公式比较复杂喽，根号下的这里四分之一哎，括号 a 的 平方， b 的 平方，再减去二分之 a 的 平方，加上 b 的 平方，减去 c 的 平方的还平方，然后呢，做这么一个整体，这个公式就比较复杂了。但是呢，你发现只要我知道了三条边，比如说随便给你啊，比如说我给了你一个 二啊，给了你一个三啊，再给了你这边的话，比如说是一个一点八这种特别复杂的数，当你发现其实你常规的方法就算很难，但是我们知道三条边啊， 我们把这个数据往里面一带，虽然公式复杂，但带进去不就直接拿到答案了吗？好，那接下来呢，我们就继续来看第三种面积求法海伦公式啊，它应用的这个前提啊，跟我们的琴九勺公式有点像，当你 a、 b， c 这三条边啊都知道的时候，我们就可以用海伦 公式了，海伦的面积公式是根号下，这个 p 呢，乘一个 p 减 a， 再乘一个 p 减 b， 再乘一个 p 减 c， 那 这个 p 是 什么呢？我们这不是 abc 吗？哪来的 p 呢？ p 是 一个整体思想啊，是等于一个二分之 a 加 b 加 c， 就 这个三角形周长的一半，所以同样啊，我们什么时候用海伦公式，当我三条兵都知道的时候，用海伦公式也可以进行计算的，所以我们继续来看。那第四个呢，就是我们的内切圆公， 内切圆公式适用于当我们有一个三角形的时候，并且呢，有一个内切圆，也就是跟三边啊，都会是相切的，那我们把这个呢画出来啊， 跟三边相切，这就是半径喽，半径喽，半径喽，那我们的面积公式就等于二分之一的 c r， 这里的 c 呢，指的是三角形的周长，那也就是等于二分之一的 a 加 b， 再加 c 再乘以我们的， 那怎么来呢？核心的本质啊，是等面积法，如果呢，知道的同学们可以在评论区说说他怎么去证明的。这是我们的第四个，那第五个呢，是我们的正弦公式，也就是边和角呢，一起沿系在一起，这呢一共有三种形式啊，第一种 s 三角形啊，是等于二分之一 a b 的 三 sin c 啊，第二个呢，是二分之一的 a c sin b， 以及我们第三种是二分之一的 b c sin a， 也就意味着我们这个公式啊，就有边有角了，当你有边有角的条件的时候，我们可以考虑正弦公式。好，那继续我们来看第六个，第六个呢是我们等边三角形面积公式， 这个图形啊，我们在小学，初中乃至高中啊，我们用的非常的多，所以我们面积公式一定要直接给他用起来，选择填充就可以秒杀了。如果呢，这是个等边三角形，边长的是 a， 那 我们的面积直接就是等于四分之根号三 a 的 平方，这个呢你会用上一百次。好，那我们继续来看第七个面积公式。第七个呢是等 幺三角形的面积公式，也就是来了一个等腰啊，这里面的是 a、 b， c， 并且呢顶角啊，是一个特殊的一百二十度假设两条腰啊，我们就假设为 m 嘛。好，那此时这么一个等腰三角形的面积公式啊，就跟我们的等边三角形是很像的，四分之根号三 m 的 平方，这个公式啊，我们也会用到一 百次。那第八种面积公式是牵垂法，牵垂法的话，我们应用的场景啊，就是在我们的平面直角坐标系里面随便来一个 三角形，那这里边呢，分别为 a、 b、 c。 那 么此时呢，各位同学们，直接把面积公式带进去 s， 三角形直接二分之一乘以一个 x c 减去 x b， 再乘以一个 y a 减去一个 y h， 所以 只要三点的坐标，你都知道，这个面积直接套公式就可以了。所以以上呢，就是我们八种三角形面积求三的公式，好好记忆它哦。
83大风二帅讲数学
