武忠严选题基础篇
好了，这分数就得到了，比如说我们来看这样的题，那他说函数 f x 在 负，派到派，等于它等负的展开，试试它，然后计算这个 b 三， 这个呢，我们一看就是周期为二派啊，这个 t 等于二派，那么 l 呢，就等于派这个上展开，那这个时候让你计算 b 三，那我们就直接代公式算就行了啊， 这个 b 三等于什么？这就是个一般的展开，那么 b 三呢，应该等于派分之一，然后这是负派到派 f f 就是 派 x 加 x 平方，然后呢，这条是赛引 n 派 x， 我 们 n 等于谁呀？三，所以是赛引三 x d x， 那 这个呢？大家看你这呢，在要算的时候，注意，这是个对称区间，负派到派，先看奇偶性，大家注意，这是个奇函数， 那这是个偶函数，这俩一乘是奇函数，所以第二项基本就等于零，第一项呢是奇函数，乘奇函数，偶函数，那应该等于一半上的谁啊？二倍，那么所以呢，最后就等于谁，这个派根派消二倍的，然后这就是零到派 x， 赛引谁啊？三 x d x 啊，这是因为两个一乘，这是个奇函数，对乘区间积分等于零，前面这个是偶函数，应该等于一半上的二倍，然后这个要往下算的话，我想大家都知道，应该把这个凑进去啊，这个呢，凑成一个底的 cosine x， 但前面就得有个负三分之一， 然后分布积分，一次就可以算出来，大家可以得到这个答案。是谁啊？三分之二，派好了，这分数就得到了，那么这个呢，实际上就是展开里边的算系数，这样的基本功啊，他还不用你考察你得到的复列级数，他在这个整个区间上收敛到哪里去？这主要是算系数，也是属于展开的问题里边的简单题。
粉丝8824获赞12.5万
相关视频
00:59查看AI文稿AI文稿好，吴老师，三大计算，您建议什么时候我们开始复习或者插入这三大计算？吴老师认为不一定要去专门去处理这件事情，因为我们基础阶段会碰到三大计算，强化阶段也会碰到三大计算， 就是我们要重视三大计算。三大计算是什么？那就是求极限、求导数、求积分，当然这也是我们基础阶段复习的重点。 那么基础阶段呢，就应该把这个三大计算，求极限，求导数，求极端常用的基本方法把它练熟，有些技巧东西，技巧的东西到强化阶段再去突破， 那么这地方不用专门去找一本书来搞这个三大计算，吴老师认为没有这个必要。基础阶段复习一段时间，回过来总结一下三大基本公式。总之，吴老师认为没有必要专门找一本三大计算的书，然后去来搞这个三大计算， 显然没有这个必要，就是我们在基础强化阶段重视这三大计算就行了，不用专门去搞啊。
01:42查看AI文稿AI文稿大家好，今天给大家来一期严选题怎么二刷，然后呃二刷的时间点的这样的一个视频。呃，然后这个二刷呢？我觉得你因为我把一刷的定义就是错题，就是第一次就是呃看解析，看讲解，然后那次定正我就算成 一次一刷，因为我会自己再把它算一遍嘛。然后二刷的话，一般就是我会看大概过个几天，然后会去把它二刷一下。其实大家就像我这样，把这个严选题的错误的题号标在这个 目录这里，然后你二刷的时候啊，你就把你二刷的错题，然后你二刷又错的题标在这里，因为这个钱这是之前刷的，然后我就没有标那个，但是我这是已经二刷完成了，然后这后面就还没有二刷呢，然后这里是这个呃， 标了二刷还是错的题，然后把一些问题也标在旁边了。就是有有兄弟问说要不要继续三刷或者怎么怎么样？我觉得其实你技术阶段没有必要刷那么多， 嗯，刷那么多错题，刷那么多变错题，因为我觉得技术阶段能解决的问题是很有限的，因为我现在进入强化阶段之后，我发现技术阶段获取的知识还是太少 啊，就是有很多内容的话，你其实在基础阶段压根还是解决不了，不管你刷多少遍，这个题目其实对你的提升是有限的，所以我们只要达到一个差不多临界点，能让基础阶段比较熟练的能能开强化的话，我觉得直接开启无脑强化是就可以了 啊。然后刷就是刷错题的话，大家也可以像我这样把这个错题标在这个目录这里，也不需要去额外准备什么错题本，这样子就反正对着这个题目，然后做，再做一遍就可以把答案遮住，这种。
170underwood
00:39查看AI文稿AI文稿老师，做完例题和严小题，不做六六零能进强化吗？可以啊，就是说你这个基础阶段，我们做了例题，做了严小题，直接进强化行不行？可以啊，当然这个地方呢，就是我们吴老师的意思，就是这个六六零他主要是针对选择填空，并且我们现在选择填空分数都八十分了，所以吴老师建议六六零还是应该做。 那么这个时候呢，你也可以强化，后期再来做六六零。但是有同学说我前面没做，我现在要做六六零。六六零题那么多，我哪有那么多时间呢？哎，吴老师给你个建议啊，做一半也非常好啊，效果也非常好。那就这个不要去怎么选呢？啊？你不能说啊，这个会做就做这个，不会做就不做这个不要这样，这个就有代表性，做一半就都做单号，或者都做双号。
02:47查看AI文稿AI文稿不是所有的这个收敛半径的问题，都是用那个求公，求公式，求收敛半径的公式，那个只有在知道这个密级数的系数的时候才能用，你像这个系数不知道，那这个往往就是要用二百二定律。例四是这个问题，他说已知这个密级数 在零，他是收敛的，而在负四是发散的，则这个密级数的收敛域为。实际上呢，大家看这两个密级数系数是一样的， 系数一样，半径就一样，然后呢？就谁不一样？这个中心不一样，这个密切数的中心是在负二，这个密切数中心是在三，所以实际上是一种平移。当然对于这个密切数，你看 sigma n 等于零到无穷，你给的是关于它的条件， a n x 加二 n 次方，那它呢？中心应该是负二。 好了，你现在告诉我零点是收敛的，那好了，那我们看一下，零点是收敛，这是零点，这一点收敛我们能知道什么？根据二维定律，那就以中心为中心做一个对称区间，零，以负二为中心对称，这是谁？负四，那我们就知道在这个范围之内，从这点收敛，在这个范围内就一定收敛，并且是绝对收敛的。 然后你又告诉我复式这点发散，那这个时候根据阿贝尔定律，阿贝尔定律呢？这点一，发散，以装修为中心，往外做推伸曲线，往外做推伸曲线，这个区间在这些地方就都怎么样都是发散的。 好了，人家问的是收敛域，那收敛域是谁啊？那这个是收敛区间，显然是负四。零收敛域呢？要看两个端点，那端点不是，这写的很清楚啊，这负四是发散，零是收敛的，那所以呢？收敛域就是负四零零这个地方呢？是收敛的，那所以零是 b 区间，这就是它的收敛域， 那这是他的收敛域。那有同学说老师这个收敛域是谁，那他呢？实际上是以谁为中心，以三为中心，那大家想他的系数一样，他的收敛半径是一样的，那这个半径是谁？这个半径是呢，正的是二，那半径是二，那这边呢？三加二这边是谁？这边应该是五， 那这个三减去二，这边应该是谁啊？一，所以他的收敛区间应该是一五，但是人家问的是收敛域，那这个时候呢？大家看，你把这个地方呢？你把 x 等于五带进去， 这就是二段次方，然后这呢零带进去是一样的，所以也就知道这个右端点对应这个右端点，所以知道这点收敛，他的左端点就对应这个左端点，这点发散，所以他的收敛域就是谁，那就是这个一，这点是发散的，所以是一五，这点是收敛的。一五，这样一个左开右闭的区间。 大家注意这个地方呢，就是这个知道他的收敛域，这就是用的阿贝尔定律。你像这种，你看你就不好用那个求收来半径，再靠它断点，因为 a n 不知道呀， 所以这种问题一般都得要用谁啊？都得要用阿贝尔定律，不是所有的这个收敛半径的问题，都是用那个求公求公式，求收敛半径的公式，那个只有在知道这个密集数的系数的时候才能用，你像这个系数不知道，那这个往往就是要用阿贝尔定律。好，这是求收敛域半径收敛区间里边一种变化样。
02:16查看AI文稿AI文稿啊，五老高等数学辅导讲义，然后这个严选题啊，第二章这里，第二章这里，其实我做挺难受的，呃，就是我觉得我已经就是学会了，但是做题目的时候还出现了很多问题啊，我经过总结呢，我觉得，呃，主要可能会出现这些问题吧。 首先啊，还是我说的嘛，这个后面这个微风中指定律的证明题，这里这里我真的是有点惨不忍睹，因为我感觉我当时做那个例题都已经搞的还可以了，然后我才敢来做这些，但是后来发现我基本上 呃，就是他最简单的那种构造，然后我都想不出来，所以我就直接崩溃了，然后我就直接看他讲，然后答案我抄了一遍。 啊，前面呢，就是啊，往前讲呢，其实也是会有一些问题，但是总体来说可能是那种还是有一些细节没有长，没有搞好吧，然后会有一些呃错误。对， 嗯，要说多难的话，其实还好。呃，但是他毕竟因为这本严选题是强化题型嘛，他肯定也是有难度。但是这一张的话，我觉得如果你做的比较烂也没有关系，因为，呃，其实包括我在内的，然后有一些其他朋友也都跟我反映，就是他们这一张做的没有那么好。 我觉得是很正常，因为到了微分这里，他本来第一个内容也比较多，然后有的时候定义呢，他也会考的比较细致啊，考研他也很喜欢考，所以我觉得错错的多很正常，嗯，所以大家没有必要焦虑。对，然后我觉得就是 第二章才真正的展示出这个严选题他的这个全部实力，我觉得他真的是一本蛮好的学习册，就是有的时候你明明学这个知识点，你感觉自己学的还不错，但是一到真正检测了你就会发现漏洞还是很多，我们只要在考前能把这些漏洞补齐都是蛮好的。 对，这张就这样。然后就是如果你五月份进入强化阶段，然后觉得这个严命题他非常简单。呃，就是尤，尤其是微分这里，如果你觉得他特别简单，因为微分这里我觉得比较难嘛。 如果你觉得特别简单，做的特别顺的话，我觉得啊，可能可能严命题不太适合你，然后你就可以直接去做更难的题型了啊。
445underwood
06:20查看AI文稿AI文稿命题，这四个命题里面，真命题的个数到底有几个？第一个，他说 x 去向无穷， f 去向 a， 那 么这个时候 n 去向无穷， f， n 就 去向 a， 那 么大家注意，这个是函数极限， x 去向正无穷，它以 a 为极限，那实际上几何上看的话，那这个时候注意 f， 这是 f x， x 向下无穷，它取下 a， 那 实际上呢？也就是说这个是 a 啊，但 x 无限增加，那这个 f x 和 a 要多近有多近，注意，这是函数，这实际上是个竖列，竖列就是个整标函数啊。那你注意，刚才人家 x 是 取任意大于零的任意式数，这个呢， n 就 只取谁一二 啊？那这就是 n， 所以呢，这个 f 的 一，实际上就这点的值， f 二就这点的值， f n 就 这点值。 那么大家注意， x 以任意方式取向无穷大的取向 a， 你 是个特殊，当然取向 a， 所以 这个一看就是对的。任意当然可以推特殊， 但是反过来呢，这个极限单元 a 能推出这个极限单元 a 吗？那么这个极限单元 a， 你 只能说整数点上取向 a， 那 别点上，你管不了呀，所以这个特殊当然不能推，一般这肯定是错的。然后下面呢，啊，那大家注意看， x 趋向 x 零， f 以 a 为极限，那 n 趋向无穷的时候， x n 又趋向 x 零，那有同学说，那当然这个对啊， 那你看 n 趋向无穷，你这个不是趋向于 x 零吗？你趋向 x 零，那这个当然就趋向 a 啊，这个就对啊，是不是？所以说这个对就是经典的错误，标准的零分。 但这个呢，很多同学很觉得这个是对的，但是这个是错的，错在哪里？这就是想强调一下，我们复习数学的时候一定要注意，这概念一定是要理解到位，要理解准确。 好，那我们来看一下啊， x 就 像 x 点 f， 以 a 为极限，那通俗的讲， x 无限靠近 x 点 f 和 a 要多接近有多接近，严格的数学也表述是对任意给的一组，大家从在德尔塔当 x 满足这个关系， f 减 a 的 绝对值小与不减。 那么大家注意，这个时候一定要注意这个地方有个大于零，大于零就是去星领域啊，就是去星领域里边的函数值， 那么和 a 要多接近有多接近。那么所以我们经常说啊， x 趋向 x 零， f 也有极限啊，我们经常说 x 趋向于 x 零， f x 趋向于 a， 但是这两都是趋向，这两是有区别的，区别在哪里？那你要注意看，这地方是个大于零，所以 x 是 趋向 x 零，但是 x 不 等于 x 零，因为这有大于零。看到没有？这有没有大于零？没有啊。所以这个 f x， 它可以趋向 a， 它也可以等于 a， 它也可以横等于 a， 它可以有些点上等于 a， 有 些点上趋向 a， 所以 这两个趋向是不一样的，就是这个字面呢，是趋向 x 零，而不等于 x 零，那这个 f x 呢？趋向 a， 它是可以趋向 a， 也可以等于 a， 总之这个地方是不一样的。那在这就要注意了，那你注意你这个 x， 就是 说这个那 x 的 虚线 x 零不等于 x 零，那么所以呢，这个极限等于 a， 那 那个函数他就说就是这这个极限。我们经常讲的就是 a x 虚线 x 零的时候，他在这一带的极限 与谁啊？与 f x 零无关，就是因为这个大于零，也就说我们研究极限是研究 x 趋向零，而不等 x 零。零极点的变化趋势跟你那点有没有定义，有定义，函数值等于多少毫无关系。那么大家注意，你看我们不是熟悉这个极限吗？ x 趋向于零的时候，三 x 比 x 极限等于谁？一，实际上大家看这个函数在零点就没有定义，但是内在照样可以有极限，是因为我们这个 x 是 趋向零，但是不等于零，它是临近点的变化趋势呀， 所以那点没定义，那点极限照样可以存在。但是我们经常举这个例子，我们说你看那这个，那我们老板说 x 去向零的时候，塞盈 x 塞盈 x 分 之一，比上 x 塞盈 x 分 之一，极限等于一。 那经常有同学说，老师，这个极限等于一，他为什么等于一？他说，老师你看这个，虽然后面不存在无穷小，成语接变无穷小，这个趋向零啊，那这个里边这个也趋向零啊， 所以这个极限等于一啊，为什么呢？因为你 x 趋向零，这个趋向零，这个极限等于一，这个理由成立吗？我们说说这个极限等于一，就是经典的错误，原因是什么？那你注意这个 x 是 自变呢，它是趋向零，但是还有一个它不等于零。 那么你注意你这个东西是趋向零没有问题，第一个满足了，第二个满足不满足，你这个 x 乘以 x 分 之一不等于零，这个条件满足不满足不能满足啊，因为大家知，知道这个在零点的任何曲线都有零点，他虽然是整荡的，但是呢，他始终 会有零点，但他不能满足这个条件啊，这个极限等于一，对这个里边这个是趋向零，不等于零，但是你这个不等于零，不能满足，所以说这个极限等于一就是经典的错误。 那问题就来了，你这个极限等于 a， 注意，你这个 x 是 趋向 x 零，但是这个 x 不 能等于 x 零，因为也可能 f x 零就没意义，但这个时候你可注意，这个 x n 是 趋向于 x 零的， 注意，这个时候这个 x n 是 可以等于 x 零的，它也可以横等于 x 零啊，但是它就不能满足这个条件啊，不能满足这个条件，你就不能说这个极限等于 a 啊，也可能这个 f 在 x 零那点就没有定义，这就是细节。然后完了以后看这个啊，它是 n 取下无穷 x n 取下 x 零， f x n 取下 a， 它就取下 a， 你 注意这是特殊点，特殊点它取下 a， 能不能以任意特殊，能不能推出任意呢？当然不能啊，但是特殊点上，它取下 a， 能推出以任意方式取下它，这个极限等于 a， 那 不能啊， 那么所以这个也不对，那么所以呢，这四个里边呢，只有第一个是对的，那么所以正确的个数只有一个。那么这种主要就是看你对数学的概念到底理解到位没理解到位。概念一定是要理解，不是简单的背，就是概念最核心最本质的东西，一定要理解清楚。 让我们上了考场以后，这个选择题是我们的一大障碍，而选择题经常考的就是概念，考的是理论，所以我们复习考研数学的时候，对概念理论 一定要把它弄清楚，就真正要理解它，理解它的要点，理解它的一些细节，理解它的一些核心，而且简单背一个概念，将把题做好，这就是我们基础阶段夫妻的时候特别应该强调的。
1635跟武忠祥老师学高数
05:11查看AI文稿AI文稿很多人以为跟玩武忠祥的高数基础课，把严命题和六六零都刷一遍，强化阶段就稳了。学姐这两年看了太多反例，结论恰恰相反，强化能不能起得来，跟你刷没刷完严命题六六零关系不大，关键是这两本书到底有没有把里面的考点真正吃透。两本书落在一起，七八百道题， 绝大部分人是按页码硬扛着往后翻，最后看着进度条挺漂亮，一上手做题还是卡在同一类点上。学姐是二四年一战一百零八，二五年二战数一一百四十三，二战那年走的就是张宇基础家武忠祥强化深挖细节这条路，严命题六六零都认真打了一遍， 今天这篇不谈感受，只讲操作。严命题在什么阶段用，六六零什么时候配进来，把吴老师讲的东西真正消化掉。面对这些容易卡住的真题和常考知识点， 我开始尝试通过智能型来辅助我的复习。后面我会重点说说智能型是如何帮助我复习的，配合什么样的刷题方法，才能把吴老师讲的东西真正消化掉，以及在五月底这种时间已经偏紧的节点上，怎么少走弯路，把效率打满。严命题这本书的定位，先要搞清楚， 他和高等数学基础篇贴合度最高，是官方指定的配套练习题，整体题目难度适中。意思是听完吴老师高数基础课的一张，立刻就要把这一张的严选题做掉，跟课走，不要攒着具体的做法。吴老师反复强调过，独立做不翻书，一道题超过五分钟，没有思路就做个标记，跳过十道题，一组统一定正，重点不是这道题对错，而是你卡在了哪个地方。 定正过程里没有思路的直接看答案，看懂思路以后不看答案，再做一遍，算完再和答案解析比对。前期要养成好习惯，不要跳步，不要心算，在稿纸上工工整整坐下来。这一关训练的就是计算能力，听课的部分也别指望一遍搞定 一遍过的知识不多，基本上大家要通过两到三遍的学习才能彻底学会。数学本身门槛就在那里，学姐当初最大的教训就是想一次拿下，结果越听越虚。很多人按部就班做严选题，做了半个月，依然觉得题型像见过又像没见过。学姐后来想明白了，问题不在书，在做题角度太单一。严选题里那些题型大多是高等数学基础，偏离经典题 型的延伸和拓展，但严小题本身只给你一种命题角度。这就是为什么强烈建议把严小题和智能型配合着用。智能型做的是把三十年真题和大纲知识点全部拆解成大概六百个考点，每个考点配专门的题目，从各个角度反复练。一张的严小题做完以后，对照智能型的列表，把这一张的薄弱点挂上去， 系统会自动给你出题，他不让你做已经会的题，时间花在刀刃上，比你在一道题上死扛二三十分钟效率高的多。答案是因人而异，因为每个人做的题都不一样。 系统右上角的全程计划里，有零基础的时间表，如果已经完成基础课，需要的时间会少很多。它是一个内你知识点级别的规划，每天一个小问题解决掉，答题能力就向前进一步， 这才是五月这种时间偏紧最该用的工具。六六零这本书虽然挂着基础过关的名字，但难度其实大于严命题。学姐当初就是没看清这一点，刚听完两节高数基础课，就一头扎进六六零，结果做一道卡一道，正确的节奏是跟着吴老师的高数基础课听完一张，先做这一张的严选择题，把这一张的方法体系建起来，再去看六六零重点题， 有经历的同学再把整张题做完，这是分层使用，不是任务清单。第一，要把六六零每一道题当做解答题来做，他的题型只有选择题、填空题，但部分题目的计算量比得上考试中压轴题，按选择题随便糊弄过去，等于这本书白买了。第二，选择题，搞清楚每一个选项这样出的原因， 错的选项为什么错？概念题一定要积累返利，这是必须要练到的。第三，六六零的解析是最精华的地方，要反复多体会里面的思路，没看懂的解析，做好标记，隔天再反复看看，慢一点没关系，一定要看懂。学姐当年最大的浪费就是死磕一道题，硬扛半小时，最后看答案发现是自己根本没见过的命题角度， 知识点没拆细。六六零覆盖的考点大约百分之七十五，遗漏的部分其实就是这两年频频考冷门的刺客地带。二五数一刚考的复利业数二的区域员， 二五年的博松定律，很多老师课上说不会考的命题组偏偏出，所以你不能把希望寄托在某一本习题册上，学姐用智能型把这些薄弱点单独练过一遍，到考场上反而是平时刷的最少的。冷门被命中的多。配合智能型把六六零没覆盖的考点补上去。 很多人到五月这个时间点，最焦虑的是衔接。学姐当年走过两版方案对比下来，给一个比较实在的判断，以吴老师高数基础课为主线的同学，强化阶段直接接武忠祥强化讲义就行， 他本身就是无缝衔接的万金油选手。伍忠祥强化的概念剖析、易错点提醒、题型规范，在主流老师里堪称顶级水平，尤其是中值定里的双中值问题。积分几何应用、多元微分概念这几个板块讲解水平确实优于大多数老师。 积分是重中之重，一元积分计算、凑微分、换元分布拆项没有巧办法，就是练到手熟，你积分算不利索。后面二重积分微分方程全得卡，微分方程每年都送分，没有理由丢分。 多元函数微分学极限连续可微偏导的关系是高频易错点，数一的同学还要补两块。武忠祥在数一专题上的例题全面度和深度不太够，极数部分建议听听其他老师现面积分可以补刷。张宇十八讲的例题。 武忠祥的强化讲义里面相当比例是真题主体，所以听课为主，讲义当框架用就好。张宇基础课一百四十小时，武忠祥强化六十四小时，合起来二百多小时，每天有效听课两小时，要跑一百天，这还没算笔记消化回头重听的时间。如果还要把严小题、六六零强化讲义都刷一遍， 传统方法学完通常需要一个半到两个月一个章节。学姐当时就是靠智能型做精准定位，几天就能集中攻克一个专题，效率远高于泛泛复习。 三十讲一章，听完先去智能型，把对应专题过一遍，比直接啃习题策效率高得多，效果好。最后说几个二六真题里的趋势、重点内容重点考，这点绝不回避。吴老师在研试卷里反复标出来的那些重点题， 绝对不是随便挑的，一定要做透冷门考点也不能忽视。二六说二，考了连续引力的题，知识点很偏，需要你对基本概念足够扎实，计算量大是一个突出特点。很多同学以为数学只要靠思路想明白就行，其实并不是这样，大部分题是要通过计算才得出正确答案的， 平时不自己动手算，考场上一定出大问题。严选题负责把吴老师讲的知识点落到手里。六六零负责拓展命题角度，伍忠祥强化讲义负责深挖细节。知能行负责把你听完课做完题之后还剩下的薄落点精准抓出来。四件事，按节奏来，二期考研不慌！
6嘻嘻嘻
03:25查看AI文稿AI文稿错完了再注意这样做，这就是经典的错误，那为什么错了？这个的收敛半径二是什么啊？那这个时候呢，注意，这呢是二 n 减一次方，这是只有基数项， 那么只有基数项这种呢？这个球收了半径还能不能用公式啊？当然也有的书上呢，就这种只有基次项这种呢，或者只有偶次项这种呢？叫缺项， 他们就说公式不能直接用，是不能直接用，那所以怎么办？就把这个 x 二 n 减一次方盖上，直接用常数项的笔直跟着做，可以，他那个写起来有啰嗦。 那我们说趋向的这种呢，也能用公式，只不过用的时候注意一点就可以了。那怎么用啊？现在你就确定一下到底是用哪一个啊？是用那个后向比前向还是他开 n 方呢啊？我们认为还是跟刚才是类似的问题，还是用这个比较方便，就是 n 趋向无穷，那这呢开 n 方就是绝对值， n 绝对值开 n 方比较方便， 那在这呢，我们来看一下，我们这个应该写成谁啊？ n 趋向无穷，这开 n 方根号里边呢，本来应该带绝对值，但是上面是正的，但是下面呢是可正可负的。 那你注意我把这个地方呢，我这是不是可以把负三的 n 次方提到外面，提到外面以后里边剩下一个谁？那这个我可以在这写一下啊，上面呢，上面这个正的，我直接写 n， 然后呢这个负三的 n 次方提到这个外面来以后，不是要取绝对值吗？这个负三 n 次方一取绝对值，它不是就成了三的 n 次方， 但是呢，这个负三 n 次方提走以后，这里边剩下一个谁剩下一个一，加上负的三分之二的 n 次方， 所以这个就不用写绝对值了，绝对值在这已经用过了，本来这提出来是负三 n 次方，负三 n 次方的绝对值就等于三的 n 次方，绝对值里边呢，负三分之二 n 次方，这个加一，这个是正的呀。啊，所以这步很关键啊，还是把底数绝对值大的提出来好了。那这样的话，大家看这个极限就很快能算出来，你看 n 趋向无穷上面呢，就写成 n 开 n 方，底下呢， 这个三就开出来了，然后这又开 n 方，根号里边是谁？一加上负的三分之二的 n 次方，那么大家注意这个极限是一，刚才说是个基本极限，你注意这个呢，底数的绝对小于，这个是小于零，那这是一的零次方，因为开 n 方是 n 分 之一一的零次方，这是一，所以最后得到这是三分之一，这是谁？这是我们入， 那有同学说好了，那入等于三分之一，那收了半径等于谁？收了半径不是就是入分之一，那就等于三呀，做完了再注意这样做，这就是经典的错误， 那为什么错了啊？如果这要是 x n 次方，你就对了，那人家不是 x n 次方，人家是谁啊？二 n 减一啊，这就叫做缺项，所以这也就是说缺项的不能用公式的原因就在这，但是怎么做就对了呢？那我说你这样写就对了，按照过去算出来应该是三，但是现在呢，就不是三，应该是根号三，这就对了，就按照过去的方法算出来，这地方呢，开个平方就对了。 那同学就问了，老师，为什么呀？那你注意这个地方如果是 x 的 二 n 次方的话，也是这样子，算出来以后开方就对了，这个和这个就差一个 x， 我 们以它为例，那为什么要开方呢？哎，那你这样子实际上呢？这个 x 的 二 n 次方就可以看作 x 平方的 n 次方哦，所以 你算出这个三，他应该是平方的半径，所以也就是这个应该小于三，但是大家注意由这个 x 平方绝对值小于什么？绝对值是要小于根号三啊， 所以就是以后这种缺项，我们常见的要么是只有偶次项，要么只有奇次项，能不能用过去公式可以用，但是注意按照过去公式算出这个值以后，一定要注意要开方，不管你是缺偶次项，缺奇次项都可以这样处理。但是这个地方开方切记不能忘记啊，有很多东西就用公式就忘记了这个开方，这是最容易犯的经典的错误，所以这点特别注意，那我们就可以 对于这个题来讲，就是我们算受力半径，我们用的是 a n 绝对值开方，那这个呢？如果你要用 a n 加一 b， a n 跟刚才例子一样，比这个要繁琐的多，所以你看我们第一道题是两个方法都用了，但是我们有经验，以后我们做这种题就谁简单用谁。
01:48查看AI文稿AI文稿考研数学跟哪个老师都能拿满分，但是一定要找到适合你的老师，对一些数学基础比较差的同学，那么我只想老师一定是最适合你的。对于我们学生来说，跟吴老师最好的地方就是 所有的内容都是循序渐进来展开的。在基础阶段，大家学习的重点就是对基本概念有个基本认识，那么吴老课程最好的地方就是不会带入太多不该学的东西。在课程中会重点讲解基本概念怎么去理解，以及在解析过程中怎么去应用这些基本概念。而且吴老师会充分考虑我们学生的学习情况， 一些比较难的章节会有侧重的进行讲解，这才符合我们基础交叉，学生的考情定能掌握全部知识，又能在第一遍复习的时候减轻学习压力。在用书方面，直接推荐大家使用高等数学基础篇， 同时在配套的基础应用题里面，吴老师挑选了一些质量高且难度适中的题型，帮助大家充分巩固自己所学的知识点。而且在每个章节中，吴老师也从高等基础过关六十题中选出相应题目作为辅助题库。 在强化阶段，为什么都说吴老的强化高数辅导讲义是精华，是因为吴老不仅会重新讲解基本概念，而且比技术阶段讲的更加通透，更加详细深入。不只是复述定义，而是从定义、定义公式的来龙去脉、使用条件和一撮边界层层拆解，帮助大家把模糊的知识点完全理解明白。 最重要的是，无论是课程还是讲义，都有许多高质量且难度适中的题型帮助大家进行巩固训练。这些题型都是吴老在历年真题的基础上，原创了一些经典题型，同时还有一题多解的形式，帮助大家充分认识真题的答题规律。 习力测方面，推荐大家直接使用圆演题即可。圆演题上面的题目都是高度契合吴老课上的讲解思路，每张题目与课程讲义、知识点一一对应，而且考点分类和题型侧重都是与吴老强调过的重点、方法、技巧相统一。 课上讲什么，我们永远提就练什么，巩固效果极强。最后，我看到挂上吴老师的强化书已经有现货了，在这边的评论区里，主播抽几本书给几个幸运儿。
57跑个不停
01:24查看AI文稿AI文稿大家好，今天给大家看一下我这个呃，武状元高手纪录片这个严选题的，嗯，他的这个正确错误率，然后我就给大家展示一下吧。然后第一张我的错误率是百分之五十一点三， 然后第二张我的错误率是百分之四十四点四，第四张我的错误率是百分之四十七。第五张我的错误率是 百分之五十。第六张我的错误率是百分之六十六点七，第七张我的错误率是百分之五十。第八张我的错误率是百分之二十。第九张我的错误率是百分之四十一点六七，第十张我的错误率是百分之四十点五四，第十一张我的错误率是百分之 啊四十点四，百分之四十，不是百分之十。然后第十一、第十二张我的错误率是百分之百，因为这张我基本不怎么会，然后我好多都是看的，嗯，看的那个讲解，直接看的讲解， 对，然后所以我这就是我的演选题，然后拍这个视频呢，主要是给自己的基础阶段做个总结吧，然后我的这个基础篇也是 写满了笔记，这个技术也是结束了，但是虽然没有那么圆满，但是我相信强化结束我应该会得到一个更加全面的提升吧。对。
162underwood
04:11查看AI文稿AI文稿这种题在我们过去大学书上有，但是考研卷子多次考，当然初次拿到这种题呢，我们会想，哎，那我把这个积分做出来，带进去再算这个就行了。但是大家注意啊，这种题这样出的时候，这第一个积分百分之九十都是记不出来的，所以大家看，没有前面这个派解的话，那就是我们非常熟悉的记不出来积分 t 分 子三元题， 那怎么办呢？你把这个记出来是去掉这个积分号，但这个记不好记啊，但这是个变上限积分，去掉积分号可以用谁啊？求导数啊？但是人家是让你算一个定积分计算定积分的，哪个方法会出现求导数呢？我们是不是就想到了分布积分， 因为一分布那个地方就会出现求导，所以我们这个是不是直接分布？直接分布以后，因为第二项就是这个求导，如果我们这还有 x， 我 也可以把 x 先凑进去，这个呢就直接分布， 所以这个想法就是这样来的。所以我们拿到这种题的话，方法一就是原式等于直接分布，那这就是 x f x， 然后代零代派，然后减去这两交换位置，这个 x 出来， f 求到，大家这个 f 求到等于谁？ 它求到不是就等于派减 x 分 之赛引 x dx， 然后领导派，这就是分布积分一次我们就得到这个，得到这个以后，大家大家看这个派，派派等于谁？派派，哎，这就是派乘上 f 派， f 派是谁？ f 派就是零派， 然后这是赛引 t， 这呢是谁派？减 t 得 t， 然后这呢是 x， 赛引 x 派减 x d x。 那位同学有问题了，他说，老师啊，你看你，刚才你说这个地方不好算，你到这这个地方不是跟这个地方一样，这照样不好算啊。是的，但是后面呢，也不好算，两项，如果一项好算，一项不好算，那肯定不好算，但是两项都不好算，未必整体不好算。这时候大家看这样的积分 有关系，区间一样，分母函数也一样。哎，那这个时候可注意，我们定积分的值与积分变成用什么记号没关系，所以把这个派常数可以写进去， 这两个积分可以合并啊，一合并就合并成谁啊？零到派，那么下面呢？是派减 x， 上面呢？把三 x 往出一提，大家都有个三 x， 那 边是不是又有一个派减 x， d x， 那 这个上下一消，最后就等于谁零派塞 x 的 积分塞以零派积分等于谁等于二，所以这步很关键，就是把这两个积分合并消去，缝上派减 x。 好，这是解法一，那大家看还有没有其他的方法呢？啊？大家注意，你看我们在这分布的时候出来这个形式，那么出来这个形式的时候，你看注意带零的时候这个等于零， 带零的时候啊，这个也等于零了，看到没有？因为从这个式子看出 f 零等于零，结果带派的时候你俩都不等于零，就出现这个数。哎，咱们就想能不能把零分配一下吗？那带零的时候你俩也有一个等于零，那不是前面就不用算了？但是注意，对 f， 我 们只知道在零点等于零， 所以我们当然希望这个代派等于零，但是你 x 代派不可能等于零，但是这个 x 从哪来的呀？它从 d x 来的，那这能不能让它出来个 x 解派呢？如果这不是 x， 这是 x 解派，代派就等于零了。哎， d x 能不能写成 d 的 x 解派，回文号上面添个常数没有问题啊 啊，所以你看题目一下就变简单了，也就说我们原式就等于谁啊？原式就等于零到派，然后这是 f x， d x 就 等于底的 x 减派， 就这么一个微小的变化，你看一分布，这个时候前面出来是 x 减派 f x， 然后这呢是带领带派减去交换位置这个地方出来的就是 x 减派，然后 f 一 撇 x 就是 派减 x， 再减 x， 这个直接分布出来，就是这样一个式子， 然后代派前面等于零代零，后面等于零没了，然后 x 减派，派减 x， 把括号拉进来一削，最后就直接剩下一个零派塞引的 x， 那 样就得到答案二 啊。大家看这步就非常巧，就是把那个 dx 写成 d 的 x 减派。大家注意这个思想不仅仅在这一个题目里边，其他很多题目里边能用到这个思想，它会给你带来方便。 好，这里边主要还是用了一个分布积分法，所以就是碰到这种带有变上限积分这种定积分的变上限积分定义的函数的定积分，那一个常用的思想就是分布积分，但是怎么用分布积分会来的更方便这个解法二，听了一种新的思想。
896考研数学武忠祥图书小助理
04:42查看AI文稿AI文稿把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态。再来看一个，比如说像这个题，这是第一章的一个题目啊，说给出以下四个极限，其中极限等于 e 的 个数，就是这四个极限，有几个都等于 e， 那 有同学一看，说道，是这都等于 e 啊，应该选它呀。哎，你看这一加 x 分 之一的 x 方，这不是基本极限，这个也等于 e 啊， 那这个也等于一啊，原因是什么原因？他说啊，你凑一下基本极限，那么最后要算这个极限，因为根号一加 x 平方比上 x， 这个等于一啊，所以这个也是一啊。然后这个呢？因为你凑一下那个基本极限，最后就是 x 乘赛引 x 分 之一， x 曲线无穷赛引 x 分 之一，等价于 x 分 之一，所以这个极限就等于一啊，所以我选它呀！ 那么大家注意，选 d 就是 经典的错误，标准的零分，但很多同学会犯这样的错误， 那么大家注意身上这个题正确的答案是谁啊？不是 d 啊，这个是错误的，那么等于意义的呢？身上只有一个 啊，正确答案是 a。 那 么这种题目主要是想强调我们同学平时容易犯的一些经典错误，我们把你容易犯的一些经典的错误消灭在萌芽状态，而不要让你把这种经典错误带到考场上去，那你不是就考不了很好的成绩啊。 那么大家注意这个为什么错呢啊？你可注意，我们基本这些 e 是 这样讲的，那应该是一加 x 的 x 分 之一次方，这个等于 e， 那另外一个，那就是 x 趋向于无穷的时候，那这个时候一加 x 分 之一的 x 次方等于一， 那么它就属于，这两个是对的，这两个呢，看似跟它很像，但是实际上完全不一样，为什么不一样？你看这两个人家都是一的无穷大次方， x 就 像里边指向一，肩膀指向无穷，这也是个一的无穷大次方， 然后呢，这套趋向零，这个和这个是个倒数关系，这个等于一，但是你注意我们这个呢， x 趋向零，这里边是趋向无穷，肩膀是趋向零，这是无穷大的零次方，这个呢， x 趋向无穷的时候，这是个无穷大的零次方，所以它就不是这个类型。看到没有？ 那么事实上大家注意这个极限应该是不存在。因为什么？因为这写的是 x 去向零，那么大家注意你 x 如果从小于零的边去向零，这里边就去向负无穷， 那么大家注意，底数是负的时候，那么很多点上它的定义都没有，所以这个极限应该是不存在， 而这个呢，是一个无穷大的零次方，但是它可以改写，写成谁呀？ x 趋向于正无穷，那么这呢，可以写成 e 的 x 分 之幺幺， e 加 x 这个指数是个无穷比无穷，但是呢，我们知道 me 还是说比这个对数还是趋向无穷速度快，所以这个应该是 e 零方，这个极限应该是一， 这个等于 e， 没有问题啊，这个是等于 e， 这个等于一，这个是不存在，这个也错了，这个为什么错了？那么大家注意，你说有同学也说啊，老师， x 趋向无穷， 这个计算不就是一吗？注意，这是经典的错误啊，因为什么？因为注意 x 如果趋向于正无穷，这个应该等于一，但是呢，如果 x 趋向于负无穷呢？ 根号一加 x 方，这个极限等于负一，所以就不是这个极限等于一啊？为什么等于负一？因为你要做这个的话，那你想你这个地方把平方是不是要开出来？那么平方开出来的时候， x 就 像负，它等于负 x， 所以 这个里边是一加 x 方分之一，这个等于负一， 所以这个呢，如果 x 趋向于正无穷，那么这个时候呢，它应该是趋向 e， 但是如果 x 趋向于负无穷呢？它就 e 的 负一次方，那么所以这个极限应该叫做不存在，而不是极限的 e。 所以这四个极限里边等于一的只有一个，就只有这一个是等于一，这个是不存在，这个也是不存在，而这个呢，他应该等于一，只有这一个是等于一。那你像这种问题，也是我们这个里边反映了很多我们同学容易犯的一些经典的错误， 那么这些呢？我们在基础阶段就应该把这些东西理清楚，因为我们考卷里面也多次考到这些最基本的内容。
145跟武忠祥老师学高数
04:21查看AI文稿AI文稿如果你高数基础阶段是跟了武忠祥老师的一个基础课，并且搭配有刷完吴老师的一个基础严命题，可能有同学也做完了对应的一个六六零那个题目强化，建议还是继续去跟着吴老师的一个强化课，这样整体的一个进度还是比较顺畅的， 而且呢，也不用担心成为我们所说的一个耐听王内容去重复听了。下面我们就是从不同的一个目标分数段啊，去给大家提供一些学习规划上的一个建议。首先呢，目标一百三到一百四十分，那个同学，如果你的严小题整体正确率比较高，六六零的正确率也比较高， 高数基础结束比较早，有可能有的同学已经开始学习现代的一个部分了，那直接去听吴老师的一个强化课，在刷题部分，如果说你时间比较充足，那我建议 可以先去做高数强化的一个严命题，然后搭配着八八零的一个综合篇，包括拓展篇。你初二想去追求高分，还是必须要去做二六二七版高数强化严命题，新版它是删除了不少的一个证明题，高分，你还是不能去放弃这样的一个证明题。 如果说你刷题时间比较紧张，那我建议只做高数强化严命题就可以了，去仔细复盘错题。 对于数一的部分，比如说线面积分，还有极数的一个部分，建议去看一看吴老师强化课对应的专项，他讲的都是比较详细的， 对应的薄弱专题。像呢，比如说像我们证明题比较难的一个部分，像中指定点还有积分不等式，那我们还是去跟着吴老师一个强化课中的一个对应的一个部分去进行一个学习，因为他讲的这些内容都是讲的比较详细的，而且是结合了一些例题，经典的一个例题来去 把这个知识点去讲透。第二个目标，一百一十分到一百三十分，那个同学如果说你的严选整体的正确率一般， 六六零的正确率也比较一般，我们在听吴老师的一个强化课之后刷题，如果说你时间比较充裕，那首先去做八八零的一个基础篇，拓展篇先不用做，再去做 吴老师的一个强化严命题的一部分。如果说你时间比较紧张，那我们还是直接去做高数强化严命题，听完一章的课，你要去做一张的题目，及时去复盘， 吃透高数的一个严选择题，不要再单章去停留太久，这样太耽误时间了。这个数一的一个专题补充的一部分，还是和我说上面说的是一样的，对应我们 一些有难度的一个专题部分，我们还是比如说像中科地理泰勒展开式这样的一个基础的一个证明题，我们至少要拿下像二六年数一难度的一个这样的一个证明题， 或者说你像二五年证明题，我去拿一半分，达到这样的一个程度基本上就可以了。对应的中制定理，还是我们去找一下吴老师的一个强化课中制定理的一个专题部分，来搭配着高数强化研试卷中中制定理基础证明题的一个部分去认真整理一下，应该说这部分就 基本上差不多了。如果说你的目标分数是低于一百三十分，那积分不等式你可以不用看。第三呢是目标分数在九十到一百分的一个同学，那基础课，你比如说如果说你听了五中学老师的课，但是还是做不动严选题， 那下面直接去看强化课。如果说你刷题时间足够了，先去保证回顾六六零那个基础篇，再去二刷基础的严选题， 做不做错的题目，一定要去及时的看讲解，进行复盘并进行整理。我们还是听完一张要做一张的题目证明题呢，只需要去掌握简单的题，还包括有一些题，你只要会做第一问就可以了。我们后续的去展开真题分类的一个训练， 因为真题他确实是最重要的一个题型，这个是你必须要去做的。强化严选题这个讲解呢，我们还是推荐吴忠祥老师搭配的一个视频讲解，他是讲的非常详细的真题的一个讲解，那我们可以包括去看一下吴忠祥老师的一个 真题全解，讲析对应的薄热的一个部分。如果说你觉得中之经理或者说泰勒展开式这些题目比较难，可以先放到后面，我们放到大概十月份这样再去攻，那我们先保证一个基础篇一定要去给他拿下来，一定要去把基础部分要打得非常的牢固。
25老王的锅炉核弹厅
04:02查看AI文稿AI文稿铺上可能找半天找不到了，有同学在考场上急得满头大汗，这个题二零一五年这个数学一和数学三的一道考题，他说假设 f x 定义域，在定义域上导数大于零， 如果对任意一个 x 零属于 i， 曲线外的 f x 在 这里的切线于 x 等于 x 零， g x 轴所用面积是四， f 等于二，求 f 表达式，那这种一看就是几何应用， 那这个时候呢？一般画一个图啊，这个时候就比较方便，但是画图的时候虽然是草图，但是呢，不能随手画，主要特征一定要画对，否则人家说的什么三角形，你在图上可能找半天找不到。有同学在考场急的满头大汗， 那这个谁是主要特征？导数大于零，他就单调增啊，还有人家告诉你 f 零等于二呀，就这点是等于二的，看到没有啊，这点是等于二，然后呢，根据导数大一点，我们知道他应该是单调增的，这就是 y 等于 f x， 然后另外一个非常重要的条件就是 对里面任意一个 x 零那点的切线，那假如说这个呢，是 x 零注意这一点的切线， 过这点做这个曲线的切线。那大家说大家注意切线和 x 等于 x 零， x 等于 x 是 垂直于轴，这条线还有谁啊？ x 轴，这不就围成一个三角形，他说这个三角形的面积是四，所以这一句话就是我们建立这个关系式的最重要的一句话，就这一点的切线和 x 等于 x 零和 x 轴围成三角形，面积是四。 那这个时候大家想，你要表示这个三角形的面积，三角形面积二分之一底乘高，那这个时候呢，你得知道这个高，得知道这个底，所以得求出切点和切线的方程 啊，那这个得求出这个切线的方程，那大家看，这一点表示 y 等于 f x， 在 这点的切线方程是什么？那就是 y 减 y 零， y 零就是 f x 零，然后呢斜率，那这一点的切线的斜率就这点导数啊，然后乘上 x 减 x 零， f x 零，这点的切线方程， 我要表示这个面积，关键是这个身上这个地方这个高，这个好表示就是 f x 零加绝对值。这个底呢，需要知道这点的坐标，然后用 x 零减去这点的坐标，我们才能得到底别的长，那所以呢，这个方程有了以后，要求这点的 x 坐标，另外等于谁 令我们就得到 x 等于它，那这样子可以求出这点的 x 坐标，那这个面积等于谁呀？三角形的面积应该是二分之一的底乘上高， 这个高是谁啊？ f x 零的绝对值，还有同学说 f x 零，这不是大一点，你这是画的大一点，那这个地方也可能小一点，所以这个应该是 f x 零加绝对值。然后呢，这两个一减，大家注意 x 零减它，那么一减的话应该是 f x 零除以 f 一 撇 x 零，但这个地方也应该加绝对值， 这就是二分之一底乘高面积，面积等于四，然后完了以后，注意这个一撇是大于零，所以下面绝对值就不要了，上面呢，刚好两个一乘是平方，绝对值也不用了，所以这样会得到谁啊？二分之一 f 平方 x 零，比上 f 一 点 x 零等于四， 实际上这就已经是个微分方程，因为这个 x 零是任意的，也可以把它改写成 x， 所以 为了大家看起来方便， 我们把这个 f x 零记作 y， 那 这样就得到一个二分之一，上面是外方，底下是外一撇等于四，那就得到二分之一，外方等于四，外一撇。大家注意，这就得到了一个微分方程，这一看就是变量可分离，然后把变量分离开两边一七分，我们会得到负的外分之八等于 x， 加上常数， 然后这个时候如何定常数呢？ f 零等于二，就是 x 等于零的时候， y 等于二，利用 x 等于零的时候， y 等于二，我们立马知道 c 等于负四，那这样的话，我们就可以把这一条曲线的方程求出来，就是 y 等于四，减 x 分 之八， 那这样子这个问题就解决了。大家看，这是维方程的应用题，但它是一个几何的应用题，这种几何的应用题在做的时候，一般都要根据题目的条件画一个草图， 然后想办法利用题目给它调节，建立关系式，就建立为一方方程，最后解出来。但这个草图呢，画的时候要注意，虽然是草图，但是不能随手画，就主主要特征一定要画出来。 谁是主要特征呢？你像这个题导数大于零，那他就单调增，你不能画成单调减，你也不能画成整档的，还有个零点等于二，就这两个主要特征要画对。然后同学呢，随手一画，结果呢？后来在图里边找人家说的三角形，找都找不见了，那急的满头大汗，所以这个一定要养成一个好的习惯，虽然说画草图，但主要特征一定要画对。好。
03:59查看AI文稿AI文稿常用数项技术这部分核心就靠一个问题，那就是链三线的判定，这些选择题也都是靠链三线的判定，但是判定链三线用什么？ 正向技术，五大方法，交错技术，一个方法，这个任意一项技术，一个方法，那么所以一般拿到技术，首先是根据这个类型的技术链三线判定法做判定，如果能做出判定那还好，如果做不出判定呢？不要忘记可以回到定义，还可以回到谁性质，定义和性质是适合所有的技术的链三线的判定。 所以关于常数项的计数，不管从内容上讲，还是从考题上讲，核心就是一个问题面算性的判定啊，是二零一一年的这个数三的考题，他说因为是个数列，所以下列命题正确的是 这个收敛，这个就收敛，这是什么？二 n 减一，二 n， 这是基础项， o 数项，这是加括号。哎，这个就是收敛，加括号一定收敛，这不就是性质吗？所以就直接把密码就得到这个结论是对的， 当然后面这些肯定都不对，但是你要说明它不对，你要用排除法，那这个时候这个收敛，这是谁？二 n 减一二 n， 这是奇偶项，加括号，一个数加括号收敛，能得这个个数收敛吗？不能，经典的反例就是一减一加一加一加一，大家知道他是发散的，但是呢，如果给他加括号，你看 这样加括号，每一项都是这个加括号，号有这个级数，这个算一项，这个算一项。加括号当然收敛，但他自己收敛吗？不收敛啊。好，再来看这个 c， c 是 什么？ c 是 说这个级数收敛的话， 那注意这做了两个动作，二 n 减一，二 n， 这是奇偶项加括号，变成把偶数项加了个负二，那所以是给偶数项加括号二，然后再加括号，那你注意这个结论还对吗？啊？这个结论肯定不对，那举例子，举谁呢？啊？我们可以举这样的例子看，就对这个来讲，那个一减二分之一加三分之一减四分之一， 这个技术当然是受累，因为它是交错技术，满足来宾次的条件。但是这个时候我们来注意这个技术，它的这个技术是谁？ sim 吗？然后这是 u 二 n 减一 减 u 二 n， 那 这个出来是谁？你看他把这呢改这个正符号，把这个呢改加符号，这都变正了，那所以这个出来就是 sigma。 u 二 n 减一，那就是二 n 减一分之一，加上谁二 n 分 之一， 然后 n 从一到无穷，这实际上是谁？就是我们那个一加二分之一加加 n 分 之一，这个极数加个号，但是注意这个是个发散的极数，那么这个正向极数发散就何取？向于正无穷？ 他就像正无穷，你加括号仍然是正无穷，这对正向极数来讲，他如果发散，你加括号仍然是发散。所以你看他本身确实收敛，但是呢，给他的偶数项加符号，再 g 五项加括号，这就是发散。 然后再看下面是倒过来了，他说这个要收敛，原来极数是收敛的，那这是谁啊？这是？哎，这是给这个他说一个极数啊，然后再加括号，这个极数是收敛的，他就推原来这个极数一定是收敛的。 那么实际上呢？大家看一下这个呢，是在原来基数这个基础上也是做了两个动作，这刚好是倒过来，他原来这个收敛就和这个收敛我们说退不出，然后呢，他说这个收敛的时候， 这个原来这个基数就一定是收敛的，那么说这个地方也是不行的，那为什么是不行的呢？实际上呢，这个地方呢，反例也很容易构造啊，很容易构造，那这个怎么来构造这个呢？那就是我们这个地方可以写我们那个原来就是基数收敛，加括号已经收敛， 然后呢，这个加括号，这个收敛，它级数并不一定收敛。那所以我们在这可以写什么？可以写这个级数 u n 要恒等一， 那么 u n 恒等一，这个级数显然是分散的，但是呢，这个你看这个时候 u 二 n 加一减一，这就是一， u 二 n 也是一，然后呢，你加符号，再加括号，这每一项都是零，所以你看这个级数是收敛，但是它这个级数每一项都等于正一，这个还收敛吗？并不收敛，所以这个结论也不对。 但是呢，你注意，实际上对这个题目来讲，你给这三个都举一个反例，那么同学那也不是一件容易的事情，但是直接说明这个对，是不是就来的更方便？所以这就是我们强调的。对这种关于常熟人这种链三线的选择题，我们更提倡用直接法，而不提倡用排除法。因为排除法要说明三个错，往往通常要举三个不同的反例。 不像我们过去那种题目，我们要用排除法，我们可能一个具体的 f 就 把三个排除掉了，现在是排除的一个，举一个反例，举三个反例不是一件容易的事情。好，这是我们要看的这个最后一个例子。
04:47查看AI文稿AI文稿高等数学的重点或者难点在哪里呢？我们认为在这从大块上讲，就是一元函数的为积分，他既是重点，也是什么，也是难点。因为我们刚才讲了，多元函数的为积分，就是一元函数为积分概念理论方法的一个推广， 所以我们只要把一元函数为积分这个内容搞懂搞透，多元就很容易学。 那么并且呢，大家注意，我们在大学学的时候，我们知道在我们一元和多元相比较，那一元里边有更多的难题，多元本身难题就比较少。那么另外在我们考研的卷子里面啊，整个高等数学考难题的时候，更多的都在一元为积分， 所以一元为积分呢，它是整个高等数学一个基础，也是重点，也是难点。所以从大块上讲，一元为积分应该是我们的核心内容，它是重点，它是难点，应该要多下一点功夫。 好，下面呢，我们从具体内容上讲一些难点。重点是什么？那么大家注意，极限，特别是求极限，当然是个重点，但是这个里边呢，也有难点，就是说如果要出一些比较难的题的话，往往就是这种地推关系定义的数量极限， 所以求极限是重点，但是呢，一旦出这种题，他往往就卷在里面的难题。那么另外一个重点是谁啊？依然还是说导数这个概念，可导性的判定始终是考察的一个重点，那再想的呢，就是微分中值定律。 注意，这个是一个重点，也是一个谁啊？难点啊。注意，我们考研卷子里边出难题出的最多的地方就是微分中值定律的有关证明题。然后呢，我们来看一元函数的积分学，那么这个地方的重点内容是谁啊？一个是电积分，那么另外一个就是电积分的应用， 这地方一般很少出难题，所以我们在这块一元函数的积分学里边，电积分，电积分的应用始终是我们复习的重点。 然后呢，多元函数的微分学，你看一元的极限是重点，是难点，但是多元呢，这些都是了解，因为多元函数极限比一元要复杂的多，而且缺了一个核心方法落笔他，但是他把要求降低了啊，那么这个重点是谁啊？ 注意偏导数的计算，还有这个权威风的概念和可威胁的判定。那么大家注意在一元里边，这个导数概念可导性的判定是重点，但是在多元里边呢，就是权威风的概念和可威胁的判定是重点。 那为什么一元不重点考微分的概念和可微性的判定呢？因为我们知道在一元里边，可导等价与可微，你要问我可微不可微，我只要看可导不可导，但是在多元里边，我们知道可微和可导，它就不等价，所以你看在多元里边，重点往往是靠全微分的概念和可微性的判定。 那么最下来一个基本内容就是谁啊？多元函数的极值和最值，因为整个多元函数的微分学的应用就剩下这个内容。那么再下来呢，这个地方呢，二重积分， 特别是对考初二初三同学，你都要基本上只要求这些内容。那你看初二初三的卷子，每年都有一道十到十二分的一道二重积分计算的大题，所以对初二初三的同学，二重积分计算，年年考，并且有大题当然是重点，那么初一呢， 当然不一定年年要考二重积分，那么但是呢，你初一要考的后面这些内容，所以二重积分对于初一同学也是一个重点。 那么数学一的卷子考多元积分的时候，谁考的更多？对，数学一的卷子，限面积分始终是考察的重点啊，啊，什么二重三重也考，那么积分的应用也考，但是考的更多的是限面积分，所以对于数学一的同学来讲，那这个多元积分学习的重点应该是限面积分， 空间体积及和与下的代数只有数学一要求，并且呢，现在卷子里边一般不专门考，那么所以呢，这段基本内容就讲意上的例题做会，那些题做会就够了。 好，下面看微分方程。微分方程考察的重点是什么？一个就是一阶方程里边的三个可分离变量，其次线圈这三类方程求解的方法， 这是第一个重点，第二呢，就是高阶限性，那么这个高阶限性里边主要是高阶限性长系数，就对我们这个三个卷子来讲，那么一阶方程和高阶限性方程始终是考察的重点，那么再下来呢，就是无穷极数，无穷极数呢，这个长数项极数 也是我们考察的一个重点。而常识上集数这个里边主要考什么？身上主要就考链散性 的判定问题，这对我们说一说三的同学来讲，是一个考察的重点，而密集数呢，也是一个常考的内容。那么密集数呢，主要考什么？身上主要是核的问题， 求和，所以关于这个常数量级数里边的重点就是列式性判定，那么 b 级数重点就是求和，这就是从这个小块上来讲，那么这个重点是什么？难点是什么？
02:16查看AI文稿AI文稿这也是维方方程的一种综合题，这是把维方方程跟谁综合到一起啊？跟求极限综合到一起。我们再来看，比如说该的问题，他说 y 等于 y， x 是 这个方程，这是二阶线形式非。其次，满足这个条件的一个特点，做 x 就 像零的时候，这个极限 当然有一种想法，哎，我能不能把满足这个条件这个特点给它求出来啊？求出来我带到这算极限就行了。但是大家想这个 p 和 q 是 不知道的，所以这个还不是那么好求。 那咋办呢？那我现在看一下这个极限什么类型，我看看用什么方法。 x 去向零分子，显然是去向零分母呢，因为外零等于零，所以分母也去向零。零比零。哎，零比零，我们就想到了谁啊？洛比塔。 所以呢，我们把这个极限拿来以后，注意，它是零比零。首先做个等加代换，老远一加 x 方等于 x 平方，它是零比零。我要想用洛比塔，那这个时候注意，既然你 y 等于 y， x 是 这个方程的解，那这个 y 应该是二阶可导，那我们知道二阶可导，你至少可以用到一阶导数啊，所以可以用一次洛比塔。然后完了以后呢， 大家注意，因为 y 一 撇零仍然等于零，这仍然是零比零，那这个零比零能不能再用洛比塔？如果仅仅二阶可导，那就不能再用了。但是实际上我们说因为 y 等于 y， x， 它满足这个方程， 那我由这个可以知道什么？我可以知道二阶导数还是连续的。那有同学说，你怎么知道二阶导数连续呢？因为他二阶可导，所以外连续，外一撇也连续，这个也连续，所以知道外两撇连续，既然二阶导数连续，用洛贝塔就可以用到出现二阶导数， 那有同学说你这个 y 两撇零等于一，怎么知道的？哎，你看这个把零，你不知道它是几啊？这个把零带进去的这两项都等于零，那这个时候 y 两撇零就等于谁啊？ e 的 零字方等于一，因为二解导数连续，所以这个二解导函数在零点极限 就等于这一点的二阶导数，那么这样做就会得到这个极限等于二，所以大家看，这也是微分方程的一种综合题，这是把微分方程跟谁综合到一起啊？跟求极限综合到一起，你看这种问题呢？这个虽然是求一个跟 f 有 关的极限，那并不是说先解除 f 再求极限， f 不好解， 那所以我们直接求极限，但是一定要充分利用它，是这个方程的解这个条件，最后把这个极限求出来。好，这是我们要看的这个例二十五。那下面呢？我们这个时候正确的选项， c 选项。
