辽宁省初中圆类型大题可打印
什么是一个三角函数和圆结合的问题啊？第一问切线，那个问人人都说简单，但是这道题的切线证明方法很特殊，我们一般都是什么连半径吗？对不对？圆心，什么连切点连半径？那这道题他并没有什么给我说什么 bc， 他跟圆的交点，所以我这道题只能用定义法来求。那定义什么？是不是圆点到这条线的距离等于 d， d 等于二时，它相切啊？所以这道题的做法是做 o 什么 o m 垂直于 b c 于 m， 我 现在要证 o m 等于谁 o a， 这样才能是切线。那好了，那这道题 o m 为什么等于 o a 呢？ 正什么？全等吧。这个是不是这个模型啊？角分线什么判定定里的模型？因为什么角一等于角，二 o a 什么垂直于 a c， o m 垂直于 c m， 所以 我们直接可得 o a 等于 o m， 那 这样的话，什么 o m 就是 什么 o m 就是 什么半径的吧，对不对？ 那我们 o m 如果是半径的话，它这距离正好等于什么半径，所以说是切线。这是第一问啊，第一问，第二问啊，第二个，我们看一下给了什么这道题，第二问，给了个什么 b 的 等于二， 然后 a c o 等于什么？二比三。那遇到这种情况我们要干什么？设参数 a c o 设它为二，什么二 x， 这是三 x， 我 们现在还要找跟 a c o 相同的什么角吧，那正好角对称，它这个也是二 x， 也是三 x 了。 半径相等，我们把能用 x 表示的线段都表出来，到这算是做完一步最重要的。这里个三角函数干什么？还给了我们一个什么信息，我要利用 b 的 等于二来什么？做等量关系吧，求出 x 的 值才能求面积。那这道题我们看看怎么求 x 的 值？ 找等量关系啊，用什么勾五定里或者三角函数？那我们现在一切的问题都指向这个 b m 怎么求？对不对？那我们就看在这里角 b 作为一个角，它的什么？ 它既在什么三 r t 三角形，什么角？ b 既在 r t 三角形 obm 里，也在什么 r t 三角形，什么 abc 里。 所以说这个角的什么值可以表示出来啊，现在 o m 比上 b o 是 什么值？是对比斜是 sin 值吧？ sin 角 b 等于什么？等于什么？ o m 比上 ob， 在 abc 里面它等于谁？等于 a？ c 比上什么 b c 对 不对？那我们就在这里把 o 这些东西啊， o m 全用 x 给表示出来。 o m 是 二 x， o b 呢？是什么？二加二 x ac 是 三 x bc 我 不知道，是已知求的，那我们这里面可以看出来什么啊？他比他等于什么？二比二 x 比上二加 x 等于什么？三 x 比 bc。 这里我们要用一个什么根底的性质分子比分子是不是等于什么？ 分母比分母，也就是二 x 比三 x 等于谁？二加上二 x 比上 bc， 那 这里就可以约分了。 x 最后求得等于几？ x 最后求得我可以算一下啊啊，二倍的什么 bc 等于 六加上什么？六 x， 那 bc 就 等于什么？三加上三 x 吧。这里 bc 要求出来之后，我们再代代进哪里 带进 b 啊？ b b c 是 不等于 b m 加 c， m 等于三加三 x， 这里 c m 已经是三 x 了，那 b m 我 直接解出来等于几三， 再用什么？这里面的勾股定律，什么三的平方加上 b、 o、 c 里面这个勾股定律，三的平方加二 x 括号 y 平方等于什么？二加上二 x 括号 y 平方。 接个人把什么 x 求出来，那半径我们就求出来了，这题就结束了。我们既可以利用三角函数值来解这道题，也可以用什么有直角有直角三角形的三角函数值必然也有什么相似。我们也可以说什么三角形 b、 o、 m 相似，三角形 b、 c、 a。 这是一个什么反 a 字形吗？反 a 字形相似也能导出来如下值。
粉丝4416获赞6.3万
相关视频
01:37查看AI文稿AI文稿中考数学的二十一题语文，如果你现在还不会的话，我这里有一个非常好用的一个方法，针对于括号一啊，这里边同行的老师也可以稍微借鉴一下。呃，什么方法呢？就是说，首先你得弄懂这个语文括号一所要考的知识点其实的非常少。 一个是同弧所对的圆周角相等，其实就是倒角，那么第二个知识点就是同角和等角的余角相等，那第三个知识点就是同一个圆中，它的半径是相等的，那么，呃，等边对等角，它所对应的角也是相等的。 这三个知识点你全会了之后，然后下一个我们要做的是什么吗？我们要做的是拿出来中考的真题，然后我们斜几道，斜几道的这个括号一，必须你 第一步要完全听懂，完全听懂的话，嗯，正常来说你找老师给你讲也可以，或者是你自己看答案。针对于我的学生，我是，呃，比如说这一节课我给他讲四道或者是五道，然后中考的专题的科二一， 接下来往下来怎么办呢？第二节课孩子过来的时候，我让他给我讲，第一节课是我在对他说出，我在对对他说出，我说出完之后，其实可能他泄露的不是很好，然后第二节课过来他给我讲， 因为我们知道这个几何题啊，就是真的背不下来，所以他给我讲的时候，他如果能讲明白的话，说明他这个题 ok 了。但是我给他讲完这四道题和五道题，他可能是只有一两道题，他会的，没关系，无所谓。下节课再来的时候再继续给我讲。 通常情况下，如果这个孩子可以连续的给我讲对他写过的十道题，那么他圆的括号一基本上就可以了。 ok 了啊，这里我针对的不是成绩特别好的孩子啊，是这个圆的括号一不会的孩子完全可以按这个方法来练，一段时间之后你圆括号一肯定是会的。
90关关解数学
06:29查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，咱们现在接着来讲解这道题第二问的第三种方法。咱们这个圆非常好啊，它包含了好多好多知识点，那么第一问第一问呢？如果有些知识点忘了，大家可以翻看前面的视频。第一问，它让咱们证明 c f 是 角平分线，也就是说这个角是四十五度，咱们能证明出来。 呃，然后第二问，通过弧 a， c 等于弧二倍的弧 bc 可以 推出特殊角度来，就是角，呃，角 a o c 等于一百二十度，这样可以推出角 c， o d 等于六十度，那么可以推出等边三角形，那么等边三角形出现一些特殊长度就会出现了， 也就是说我可以知道 o c 等于 o， b 等于 b 的 等于二，当然这个根据特殊角六十度还有这个已知条件， c 的 推出来的。这个咱们在前面的视频里都有讲述，现在这里就不再继续讲述了。 前边求 cf 的 长度是把这个不规则的线段，我给他分成两部分，我要不就过 a 向他做个垂线段，分成两部分去求。 那么现在求这个呃 cf 的 长度呢？我的思路是用呃截长补短的方法，其实也可以用做旋转的方法。这题要如果讲方法，他还有第四种方法， 咱就把第三种方法和第四种方法归结为一个题去讲。那么也就是说我现在是把 cf 放在一个三角形里，放在这个 cfm 这个三角形里，我要想办法证明他是等腰直角三角形。 这题解决了，那这个题我听说，那你怎么能知道这样去做呢？那有啥技巧在里边呢？实际上他跟圆就是那个倒角这个问题，圆内接四边形，对角互补， 内接四边形对角互补，就是这个时刻在影响咱们倒角。那你看我做这个辅助线啊，我是延长的线段 c b 使它至 m， 使 b m 等于 ac。 大家看，因为从，呃，咱们第一问就可以证明出来，这个线段 a f 是 等于 b f 的， 那我验上它，然后我就看到了我这个角，你看我这红笔，这个小红弧加上这个叉得一百八，这个叉加上这个小红弧得一百八，所以说也就是由 那个一百八十度倒角可以导出角 c a f 等于角。嗯， f b m， 你 看这俩角相等了，然后呢？ a f 还等于 b f， 这是咱们第一问就导出来的，然后我做辅助线还做的是 a c 等于 b m， 这不就是典型的边角边正全等 吗？那么也就是我可以证明出三角形 a c f 全等于三角形。呃，这个 b m f， 这是边角边， 那这俩三角形全等之后，我就可以推出 fm 是 等于 cf 的， 记住 fm 不 一定和 a f 共线啊，这个咱们做浮线也不是这样做，咱是连接它。那现在 cf 的 长度等于 fm 了， 我还能推出来两个角度是相等的，也就是说这个角度，嗯，这个我用蓝色标记吧， 这个蓝色的角度等于这个蓝色的角度，这是全等推出来的，而且这俩蓝色角度加这个角一度得九十度。哎，我把他叫角二，他叫角三吧，也就是说有角二加上角一等于角三加上角一等于九十度，我进而还可以推出来角二是等于角三的。 你看我就我就这个这块，这块讲的那个啥了啊？讲讲讲。失误了，不应该是应，应该有角二等于角三，反过来推他是相等的这一块啊。推他相等？这句话说错了啊， 我拿红笔改吧。就是由角由全等可以推出角二等于角三了吗？我进而可以推出角二减角一等于角三减角一等于九十度。那么也就是说啥呢？说明我知道这个角 c 角 c f m 等于九十度， 那么它既然等于九十度了。呃，而且我又知道这两个边是相等的，我就可以推出三角形。 c f m 是 等腰直角，你看那等腰直角三角形， 它竟然是等腰直角三角形。所以说我这个往这写啊， c f 就 等于 c m 比上根号二，那 c m 又得谁呢？ c m c m 是 等于 c b 加上 b m 的。 看好啊，那 c b 的 长度咱刚才知道已经是二了， b m 的 长度和 ac 的 长度是一样的，也能求到二倍根号三，所以说它上面应该是 c f 等于二，加上二倍根号三比它根号二。现在分子分母同时乘以根号二，给他分母有理化，咱就可以求出 c f 等于根号六，加上根号二。 哎，这个方法也非常好。呃，就是说这一个圆的证明题，我讲了四个视频，这四个视频大家挨着去看，从头到尾反复看。 呃，还是那句话，把这个题做出来，不是目的，是真正给他研究透彻他用了哪些知识点。那你像咱们这个题，我现在把这个页面清理一下，然后给大家总结一下啊。那么第一个题用的知识点呢，就是圆周角和圆心角的关系，圆周角和那个圆心角， 这样可以求出是角平分线。那么第二个题用的知识点呢？它根据弧长我能求出特殊角来，就 是每一步都是有用的，大家不要忽略这些已知，之所以有些证明题咱们做不出来，就是有些已知你没用好，那么特殊角推出来之后，就有特殊的三角形出现， 那么特殊三角形出现，然后长度咱们就能解决了，然后再分析求 c f， 他 不能用相似，那么我我第一种方法和第二种方法就是把它截成两段线段， 那么截成两段线段也是基于四十五度角的基础上啊，四十五度角。那么第三种方法呢？就是咱那个截长补短法，就是其实我是用的补短的方法啊， 我是那个延长 c b 至 m， 使这个 b m 等于 a c。 当然这个题 大家看啊，这个题我还可以用旋转的方式都可以做啊，旋转的方式也是可以做这题的，就是比如说我把那三角形 a f c 绕 f 绕 f， 顺时针转九十度， 我也能得到这个三角形，但是你要是用旋转的方式吧，咱们转完之后，你要挣这个 cbm 贡献，你要能挣它贡献，这是可以挣的啊。所以说这个题第二小问要是说细分方法，他会有四种方法，咱们现在只讲了三种非常好的题，大家反复多看一下啊。
27盘锦数学海红老师
02:35查看AI文稿AI文稿大连二模刚刚考完，那么二模最惊艳到我们的是这个二十二题真是不符合常规出题方式。你看啊，我们正常的辽宁省二十二题都应该是一个几何大题，他咔嚓上了一个圆，本身我们正常一卷里面都会有圆，就一道题 咔嚓整了两个圆，而且替换的是我们以前那个几何综合大题的一个过程啊，这个点不正常啊，咱们辽宁省没怎么考过试， 这南方的是以这种啊圆作为加州题，包括我们哈尔滨啊，以前这么考把圆试的贼难。你这中考我觉得大概率他肯定不是这个方向啊啊，这孩子太不适应了，并且你这个改他也不是一时的，这个直接改，直接改他不可能出现啊。 那么咱们具体说下这套卷啊，这里卷里边需要咱们做的这题从老师给你调出来了，四五七，八十五，二十一，二十二，二十三， 那么这个四五啊，也不是特别难，主要是给这种基础不太好的小孩让他们做个提示，你这些题要不会的话，那你中考之前你就准备就不到位啊，包括你这个七和八，这都给我们中中等偏下的小孩去帮这个知识点帮他们减一减啊，赶紧把它做出来啊，有问题你赶紧对应知识点，把这知识点巩固了解决了。 前十道题不能超过十分钟，甚至是你加上前十五道题啊，这五道题你也不能超过十五分钟，你就得把它全做对啊，当然了，这是对于我们这个成绩比较好的小孩，成绩不好的，不太好的小孩啊，就这前五道题，前十五道题 有二十分钟你得做出来啊，就，而且而且不能出错，只要但凡出错了，就咱们证明咱还是基础是有问题的，你这十五题根本达不到一二题的难度，多简单呢啊，定区间定轴啊，求最大值，最小值，你这根本达不到十五题的难度啊，太简单了，十六题， 十七题，十八题，十九题都白给分的啊，这都比咱们正常考试的都还要简单。你这题八级小孩也会做呀，你这个题你给一个啊，九上的小孩，基础不好的小孩才能把它都做对呀啊，然后剩下的我们这个 三角函数应用啊，这也白给分的，偏简单啊，完了，二十一题是个圆，这道题不太好做啊。然后这个老师之后会录视频讲解啊，包括二十二题这种比较偏点的题，老师的视频讲解。 然后二十三题比较正常啊，是这种二三数综合类问题啊，前面有代笔综合，后边这种有图像拼音变化，然后是这个平四出没出这个范围，这种题出的啊，比较好 啊。最后总结一下呢，咱们家长啊，其他城市家长想要做这套卷精华的细题的话，那么老师给你挑好了，咱们这个留言，大力按摩这些题去做，并且压轴题老师会录制视频讲解。
90佟老师思维
04:50查看AI文稿AI文稿我们再回顾一下圆的题型啊，首先我们看到这个圆的题呢，哎，要先想一下题干上给了我什么东西，然后我能得到什么东西，就比如说，如果给我半径相等的话，我们能得到等腰底角相等，然后圆的内接四边形对角是互补的，然后同弧或等弧所对的圆周角相等， 还有直径所对的圆周角等于九十度，对吧？就是这些最基本的知识点啊，你就是必须得牢牢记在心里头，然后你一定要想着用啊，如图，在三角形 a、 b c 当中，角 a c b 等于九十度啊，那咱们标一下，这个是九十 o 点， 是啊， a c 上面的一个点以 o c 为半径，然后怎么怎么地，这 o 就是 圆心，对吧？哎，连接 c d， 它做了这个垂直啊，是 e f 垂直 c d 这个位置是垂直的，垂足是 g， 还告诉我这个边长相的，那给他点颜色瞧瞧，这个 c e 是 这条线是吧？哎呀，换个颜色啊，这个 c e 是 红色的这条线，然后等于 d g， 还告诉我，哎，换个绿色的， e g 等于 e f 啊， e g 等于 e f。 哎呀妈呀，这 一眼就看得出来了，我们要证哪两个三角形全等啊，是不应该是这个三角形和这个三角形，它俩全等啊，对吧？哎，三角形 c e f 全等于三角形的 e g 判定方式呢？是 s a s。 第一个问，想要让我去求 a b 是 圆 o 的 切线，那么我们首先要先连接半径对吧？我们先把这个 o 的 连上， 连完 o 对 之后呢？哎，我们要正垂直，那垂直咋正呢？其实我的第一个想法，你连接 o 对 了之后，他不是半径吗？ oc 不 也是半径吗？马上得到底角相等是不？你可以先标注上，然后再有一个。我们刚才如果正全等的话，我们是能得到对应边相等和对应角相等的，那这里头就是对应角呗，我们可以标一个角一和角二，可不可以？ 好，全等三角形对应角相等，哎，那么我们这个是角三，这个是角四，可以吧？ 那么我们能得到哎，角一等于角二，然后角三还等于角四。这个角三等于角四是通过什么得到的呀？通过 o d 等于 o c， 所以 得到的对不对？好，那么我们发现一和二相等，三和四相等，二加四 是不等于九十度啊？哎，当然了，你在写过程的时候，你是不是都得把这都写上啊？因为垂直随九十度，因为垂直随九十度，对吧？然后这个还告诉我角 a c b 等于九十度，这些你都可以写上啊。二加四是九十，然后一等于二，三等于四，所以角一加上角三就也等于 九十度，对吧？哎，所以 o d 和 ab 垂直，然后你自己在写过程证明切线的时候一定要写什么？又，因为 o d 是， 哎，圆 o 的 半径啊，这个半径也很重要，必须要写啊。然后所以 ab 是 圆 o 的 斜线，对吧？哎，必须得垂直加半径啊。这个第一个问白给的，我们看一下，第二个问 第二个问呢？体盖上告诉我 b c 的 长度是四，然后告诉我一个塞引 a 等于五分之四，是吧？我们把刚才那个 o d 再重新连一遍啊，这个已经是垂直的了，体盖上告诉我垂直，那这就是平行的，对不对？哎，然后塞引 a 是 五分之四的话，我们能得到的是对应边是谁比谁啊？应该是对比斜，对吧？对比斜啊，题干上告诉我一个，这个是四的话，那 a、 b 就 出来了， a、 b 是 不是应该是五啊？因为我们在啊， a、 b、 c 这个直角三角形当中， b、 c 和 ab 的 比 对吧，也等于啊，五分之四，所以说我们得到 a、 b 是 五，那这个是直角三角形的话，这个 a、 c 就是 三呗，它应该是三四五啊，而且这里头呢，很明显有相似啊，一个斜交形的相似哪个呢？这个三角形是吧，你用相似也行，用三角函数都可以啊。 那三角形 a、 d、 o 和三角形 a、 b、 c 是 不是很明显的相似啊？因为我们在 a 等于五分之四，它是在不同的直角三角形当中的，那么我们写下对应边乘比例啊，是不是 o、 d 比上 b、 c 就 应该等于 o、 a 比上 ab 啊？我们代入一下啊，我们可以设一下啊， 因为在 a 五分之四，所以设这个是四 a， 这个是五 a 可不可以啊？那这个就是三 a 呗。啊，我们就可以代入 o、 d 是 四 a， 然后 b、 c 的 长度就是四，然后 o、 a 的 长度是五 a， 然后比上的是 ab， 是 吧？哎， ab 是 五，你这么去求也是可以的，你看我们这个方法是用相似，然后你还可以用老师刚才的三角函数，是吧？哎，三角 a 啊，应该等于 b， c 比上 ab 等于四，比上 ab 等于五分之四呗。 哎，得到这个 ab 是 五是不都可以啊？将四次函数用一个就行。好，我们求完了这个长度之后呢，我们再看你怎么去求那个小 a 的 值呢？因为最后让我求的是半径啊，半径和我们这个小 a 到底有什么关系呢？ 你有没有发现刚才我们的半径相等 o 对 o c， 那 这是不是四 a 啊？哎，这个就直接出来了，是不非常简单啊，我们能得到这个 ac 是 a o 加上 o c， 那 么 a o c 等于 o c 是 四 a， 那 就等于九 a 呗。这个九 a 就是 三啊 啊，勾股定底三四五，所以这个 a 就 等于三分之一，它让我觉得是半径 r 啊， r 就 应该等于四 a 等于 o d， 所以 答案三分之四啊，这道题答案是三分之四。
02:42查看AI文稿AI文稿这个也是一道考试的真题啊。呃，当时有好多同学一下子都蒙住了啊，因为第二个问没见过这样的，我们看一下这道题， 如图，在三角形 a、 b、 c 当中，角 c 等于九十度啊，画一下，九十点，对呢，在 a、 b 边上以 b 对 为直径。其实我们看到直径了之后，哎，马上就想到连接对 e， 然后直角对吧？直径所对的圆周角等于九十度，你可以连上，用铅笔连， 然后还告诉我一个平分，哎呦，出现了角平分线呢，好，那你一定要想到什么东西呢？角平分线加平行线是可以想等腰三角形的。第一个呢，让我正 a、 c 是 圆 o 的 切线，如果正 a、 c 的 话，我们就直接把 o e 连上， 圆心和切点相连啊。连完了之后呢，因为 o b 和 o e 是 相等的，所以底角相等，再加上角平分线，这个就是角分线加平行线，想等腰三角形，对吧？哎，这个应该是一个等腰三角形，它是倒过来推的啊， 我们的这道题呢，是给你等腰，然后给你角平分线，让你去往回推平行啊，这个是通过 内错角了，对不对？好，那么因为我们角 c 是 九十，所以这块就垂直呗，哎，白给的。第一个问好，我们看一下，第二个问，这个 o、 b 的 长度为二，是半径等于二，然后 a、 e 的 长度是四，是吧？标注一下，现在呢，它画了一个，哎，这个三角形， 然后你一定要看清楚题啊，有的时候他画图不是所有的条件都没用的，有同学一看啊，什么谁为半径，什么怎么画弧，教谁点谁啊，根本就不看了，然后直接去求，一点思路都没有，你一定要看清楚啊，他告诉我了，是 o b 的 长度为半径画的弧，也就是说我们这个 a f 的 长度也是半径二，对吧？ 哎，那他现在让我去求阴影的面积，那我很清楚的知道啊，这个阴影的面积是，哎，可以用三角形 a、 o e 的 面积减去两个扇形的面积，但主要是我们不知道这两个扇形呢面积，这个圆心角分别是多少，对不对？具体度数是不知道的， 有的同学比较尖一点啊，我们直接设哎三十和六十，但是你用三十和六十来算，最终的结果是对的，但是它肯定是会扣分的，对吧？哎，其实这道题它啥意思呢？它想把我们这个啊部分的扇形给它移到这，为什么要特意强调一下，哎，以 o b 的 长度为半径画弧呢？就是我们可以把这两个半径拼到一起， 哎，也就是说它本身的，比如说角一和角 a， 这个角一和角 a 的 和是不就应该等于九十度啊？哎，那把这个扇形拿到这的话，哎，我们就可以直接拼成一个九十度，看到了吗？也就是说，哎，两个空白部分的扇形拼到一起，就是一个四分之一圆啊，那么我们就比如说这个位置是 h 的 话，那就是减去这个扇形 啊， o e h， 对 不对？哎，那么我们应该等于什么呢？直接代数就可以了， a o e 的 话，就应该是二乘四除以二，底升高除以二。扇形的面积公式三百六十分之 n pi r 方啊，其实就是四分之一元啊，算完之后等于四减 pi。
05:11查看AI文稿AI文稿刚考完的沈阳市，刚刚考完的大连市二模啊，这个圆这个题孩子可能有点不太适应这个啊，考察我们圆里边的综合知识。那么孩们记住一个事啊，圆这个综合题你要不会的话，就从圆的最基本的知识出发，什么直径所对圆中角啊， 还有这个铜箍所对圆中角，圆心角啊，从这个基本知识去思考问题，就比如说我们这道题啊，说 ab 是 圆的这个直径， 那你马上就得想到直径所的圆的角九十度，哎，这个有没有用你不管，现在标出来啊，万一有用呢，而且大概率都是有用的啊。 然后 c 和对是圆上两个点给了我们这个角二倍关系角 c 的 b 等于二倍的角 ab 的 也就是这个角，如果是 r 法的话，它是不是有两个 r 法，哎，这没毛病，是吧。 接着来说连接 ac 和 bc， ac 还有我们这个啊， bc， 然后第一问，让我们证 c 的， 它等于我们这个 b 的， 证明你俩相等，那你第一反应可能是啊，想证两个相等，然后你证明这两个圆心角相等，就是证明的 o c 和的 o b 相等， 但你发现你想挣这两个点相等啊，你这个阿尔法啊，阿尔法这事啊，好像都用不上，是吧孩们，所以现在这可能孩就卡住了。 那么啊，别着急，孩们题干中啊，圆这个知识如果说偏难一点点的话，证明我们后边的题就偏简单了。然后这个啊题其实还不是真的很难， 他就是你从三角形的角度去出发呢，你如果想挣两条边上相等，你是不是可以挣两个 d 角相等啊？哎，那怎么挣这两个 d 角？这个得 bc 和得 cd 相等呢？你也不知道，但是你就可以从我们圆的最基本知识出发呀，同弧所对的圆周角是相等的， 同一个弧 a 得，它对的这个角 ab 得和 ac 得，那这块就是 r 法，那这个位置是不是九十减 r 法了？哎，你只要证明我们这个 d bc 也是九十减 r 法就 ok 了。 还有弧 bc 所对的这个圆周角二 r 法，那它也是二 r 法上同一个弧所对的圆周角相等，然后这块是不是就是九十减二 r 法啊？是，没毛病啊，哎，这就够了，九十减二 r 法加 r 法是不是就九十减 r 法了？ 你看这两个 d 角是不就相等了？哎，所以我们这个 d 它就等于了我们这个 d b。 第一问搞定啊！ 下面我们来看第二位啊，如图二， e 是 这个 ab 上一点，而且给了我们这个角 a e 对， a e 对 这个角，我们给它设为小叉啊，等于我们这个 c b 对， 哎，这个我们设为小叉啊， 这两角相等，然后若这个 ab 长是等于四啊，直径给了是四，那半径就是二， 然后 bc 长是根号十五， bc 长根号十五，然后这个长是四，那很明显你购物定底能求出 a c 的 长啊，对吧？四的平方十六，减去根号五的那个平方，根号十五，平方十五而一，那 a c 长就是一，对吧。然后他让我们求的是 b 的 长， 这个 b e 咋求呢？好像没有啥思路， 但是我们知道第一问的时候我们挣了这两个边相等，不知道有没有用啊？第一问的时候挣了 b e， 哎呀， b e 呀，我看着它好像跟这个 a c 界面好像是相等的，是不？或者说你说这两个叉这个角相等的时候咋用呢？ 哎，这道题的灵魂就是，你先把 a 得连上，为啥我连 a 得？首先啊，如果这个是叉，那么这个撇和我们这个叉就互补，因为圆内接四边形对角互补。 哎，这个事你心里有数，那么这个位置它也是一个撇，因为这是个零补角，哎，所以这个撇等于了这个撇，然后我们 d c， 它等于了我们这个 d b， 然后刚才我们是不是还证明我们这块这是 alpha， 然后这块也是 alpha， 你 看刚才第一问，所以俩三十全等了，看了吗？ d b e 和 d c a 俩三十全等， 对 c 等于对 b， alpha 等于 alpha 啊，还有这个撇等于这个撇，也就是说他额外给我们这个角啊，怎么去用？一个是用它的零补角相等，一个是用圆内接四边形对角互补，然后是等角所对的补角相等，咔嚓，整个全等， 然后这个长度就是一了搞定。所以总结一下这道题，孩们啊，没有想象中那么难啊， 咱们辽宁这块啊，语文一般不会难为孩子，那么孩子万一考试时候给孩子卡住了啊，就从语文的最基本的知识出发，不要慌，稳住，一定能做出来。
124佟老师思维
02:24查看AI文稿AI文稿咱们今天讲解的是一道有关圆的切线的证明和求扇形面积的题，难度比较小。 呃，还是几何读题，咱们关键要抓住这个题的关键点，然后再学会举一反三。就是你把跟他有关的知识同时都想到这个题，就迎刃而解了。其实有些时候难题简单，题的思考方式是一样的，所谓的难题他只是比较综合，也是有一些简单知识点 呃，罗列出来的。比如说像这个读一下没有问题， c b 的 等于 c b， c b 的是这个角， c b 是 这个角，你看这俩角度相等了，而且 见着直径想垂直，也就是说如果题不会做，就使劲去扣，已知就可以了。那么这个角是九十度，那就很明显， 这个角是九十度的话，那这个弧加这个小叉就得九十。同理， c b d 加小叉也得九十。第一步就正出切线了，大家详细步骤我没写啊，咱们正切线要一定步骤。所以说，首先呃那个呃，要读明白这俩角相等的含义，读明白它是直径的含义， 虽然比较简单，但是这是原理最基础最基础的方式啊。第二个连接欧的，我用实线连了啊。角 c 以 b 的 三十度，那要见着三十度的话，就有好多已知条件在里边。他的三十度圆轴角，这是六十度，就是圆形角，也就是说咱可以推出来这个角 b o 的 六十度， a b 等于四半径，你都得二呗。然后呃，三角形 o b 的 还是个等边三角形，让你求扇形 o b 的 面积，那要想求扇形的面积，咱们只需要记住面积公式就行了。三百六十分之 n pi r 方，那么这个呃， n 呢？是六十度 派， r 呢是二的平方。你看这题就特别简单啊。呃，这是说圆里证明是比较基础的一道题，就是咱们在做圆的题的时候，圆里边，比如说见着直径想垂直，然后证明切线的话是倒，那个角是九十度， 然后见着圆轴角想圆形角。其实圆里的倒角问题，我之所以讲这个题，我就想给大家解释一下倒角问题啊。圆里的倒角，第一个是同弧或等弧， 同弧或等弧所对的圆心圆周的关系，圆心圆周角的关系，这是一个。第二个直径所对的圆周角是九十度，直径所对的圆周角等于九十度啊，这些都是咱们必学会的知识点。好，这道题讲解到这里。
15盘锦数学海红老师
02:42查看AI文稿AI文稿离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破分值较高的地方。比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。 第二问，会有五个常考的类型，前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形， 这道题是正切线和扇形面积。前面说了想正切线固定方法之一就是连圆心，所以连接 o、 c。 题目给了角 b、 a、 c， 那 我们就从它入手。 它和角 b、 o、 c 是 同弧所对的周角和新角的关系，所以角 b、 o、 c 等于九十度，而 b、 d 和 c、 e 平行，所以有同旁内角互补得到角 o、 c、 e 也等于九十度。第一问，四分拿下，知道固定方法是不是很简单？ 第二问，求阴影面积，一眼就可以看出阴影部分不规则，所以不能直接求满，就要用割补法转换成梯形面积，减扇形面积。 关于阴影面积怎么求，我在前几期中做了专题，可以去那边再学习强化。回到这道题前面，我们已经知道扇形 b、 o、 c 的 半径和圆心角，接下来就要找到梯形的面积。 梯形面积公式没有忘吧，是不是关键就是这个？下底还不知道，所以目标就出来了，来看看怎么计算。因为平行，所以有同位角，相等 角，一的正切值就等于二，那遇到三角函数，前面在固定套路里面就说了需要结合直角三角形，所以辅助线也就有了过点 b 做 b， f 垂直于 e c。 在直角三角形 e f b 中， b f 等于 r 等于二。再利用正切值得到 e f 的 长度，把线段长和角度带入公式计算。第二问六分拿下。同样是固定方法，在指引解析思路 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。
75老严数学补差
07:57查看AI文稿AI文稿大田家长，我们来看一道沈阳大东区一模圆的综合题目，第一问，切线证明是常规操作，第二问，求阴影部分的面积才是重头戏，我们可以用两个三角形的面积之和减去扇形的面积， 那么这道题目辅助线非常关键，辅助线做不出来，后面都会卡住。我们来看一下这道题目，圆 o 是 三角形 a、 b、 c 的 外接圆 b、 d 是 圆 o 的 直径 b、 a、 c 等于四十五度， 过点 c 做 c、 e 平行于 b、 d 交 ab 的 延长线于点 e。 这个第一问，他让我们证明 c、 e 是 圆 o 的 切线，那我们看到要证明切线，那肯定是要连接半径，连接切点和圆心， 那我们要证明角 oc 等于九十度就可以了。因为角 b、 a、 c 等于四十五度， 那么这个圆周角应该是圆心角的一半，所以这个角 b、 o、 c 它应该是等于九十度的。又因为 c、 e 平行于 b、 d， 那 我们是不是可以得到这个角，它也是等于九十度，那么这个第一问不就完了吗？ 你看是不是非常非常简单，第一问好，我们来看一下第二问，他告诉我们 b、 d 的 长度等于四，那就是说明半径应该是等于二的， a、 b 也是等于二。 让我们求线段 b、 e 和 c、 e 以及弧 bc 所围成的阴影部分的面积，那我们看到这种阴影部分面积，肯定是用这个三角形 e、 b、 c 减去这个角形或者是三角形 e、 c、 b 加上三角形 c、 o、 b 再减去扇形 o、 b、 c 对 不对？因为这个半径是已知的，这个扇形的面积好求，那我们现在要重点去求三角形 e、 c、 b 和三角形 c、 o、 b 的 面积， c、 o、 b 的 面积好求啊，它这个 o、 b 等于 o、 c 啊，都是等于二的，所以说我们重点要求三角形 e、 c、 b 的 面积， 要求面积，那我们要做高啊，所以我们很容易想到过 b 点向 c、 e 做垂线， 设这个垂足为 f 点。那有的学生会说，为什么向 c、 e 做垂线，不像其他地方做垂线呢？你这么做垂线的话，明显这个四边形 c、 o、 b、 f 是 一个正方形嘛，对不对？是一个特殊情况，为什么是正方形呢？ 它现在有三个直角，是一个矩形，又因为 c、 o 等于 o、 b 啊，都是等于二的，所以说这个四边形 c、 o、 b、 f 为正方形， 那我们现在要求 e、 c、 b 的 面积， b、 f 的 长度等于 c、 o 等于半径等于二， 而 c、 f 等于 o、 b 也是等于二的。所以说我们如果能把 e、 f 求出来就好了。 b、 f 知道，那我们要求一下这个角啊，如果这个角知道，它如果是一个特殊角，那么这个 e、 f 不 就可以出来吗？因为 b、 d 是 一条直径， b、 a 等于二， b、 d 等于四，这个 b、 a 等于二，我们是不是没用？ 那我们现在要想办法把 b、 a 用上，而 b、 d 为直径，所以我们很容易想到连接 a、 d， 看到直径，我们要连直角 b、 a 等于二， b、 d 等于四，那我们很容易得到这个角 d 就 等于三十度。直角边都是斜边的一半，所以我们可以得到角 d 等于三十度， 进而我们就可以得到角 a、 c、 b 也是等于三十度角 a、 c、 b 等于角， a、 d、 b 等于三十度，这个角 bc、 f 是 不是等于四十五度？ 正方形的对角线是不是平分这个直角？所以说 b、 c、 f 这个角等于四十五度，那我们是不是可以求出角 e 啊？ 那么角 e， 它应该是等于一百八十度，减去这个角，再减去角 a， 所以 说角 e 等于一百八十度，减去四十五度，减去三十度， 再减去四十五度，那是不是等于六十度啊？那这个角为六十度，那我是不是很容易得出 e、 f 的 长度，对不对？那么这个 e、 f， 它是不是等于 b、 f 乘以幺七三十度，那是不是等于 二？乘以三分之根号三，等于三分之二倍的根号三， 所以 e、 f 的 长度知道，那么这个时候我们可以求出 c、 e 的 长度，它应该是等于 c、 f 加上 e、 f 等于二，加上三分之二倍的根号三，这样我们就可以得到三角形 b、 c、 e 的 面积， 它应该是等于二分之一。 c、 e 再乘以 b、 f 等于二分之一，乘以二，加上三分之二倍的根号三，再乘以二， 等于二，加上三分之二倍的根号三。三角形 c、 o、 b 的 面积，它应该是等于二分之一二的平方， 对不对？二分之一乘以四等于二，那我们再求一下扇形的面积啊，也是扇， 它应该是等于整个圆的四分之一，对不对？整个圆是三百六十度，这个圆心角是九十度，所以说它应该是等于四分之一的圆， 这样我们就可以得到扇形的面积，它应该是四分之一 pi， r 的 平方等于 pi， 所以我们就可以得到 s 阴影部分的面积，它应该是两个三角形的面积，再减去一个扇形的面积，应该是 s 三角形 b， c， e 加上 s 三角形 b o， c 再减去 s 扇， 所以我们就可以得到 a 是 阴影部分的面积，它应该是等于二，加上三分之二倍的根号，三， 再加上二，再减去 pi， 所以 说它应该是等于四，加上三分之二倍的根号，三，再减去 pi。 那么这道题就给大家讲完了。其实这个阴影部分的面积啊，大家转化为三角形的面积之后，再减去扇形的面积，那么这个关键点我们要去求 e f 的 长度，所以说我们要去求角 e， 这个角 e 肯定是一个特殊角。 那么大家如果想要沈阳大东区中考一模试卷的，可以在评论区打沈阳点关注我们，下期视频见！
02:44查看AI文稿AI文稿同学们好，咱们接着上一个视频来讲同样一道题的第二种解法，那么也就是说，通过这一个题，我会给大家讲出三种解题方法了，同样是求圆中一个线段的长度， 呃，大家也就是说，看看这个题，咱们开了眼界了啊。所以说平时孩子们在做题的时候，不拘泥于一种方法，你一种方法思考一个题，你可能下次再遇到跟他不一样的，你就不会思考了。咱们要灵活多变，多个角度去做这道题啊。那比如说现在 这个题，我昨天是我上一个视频是过 a 做的垂线，这个视频呢，我是过 b 做 c f 的 垂线。当然第一个方法和第二种方法，咱们都用的是四十五度角，用特殊角四十五度在做的， 通过咱们已知，咱们求根据已知根据度数啊，这个可以上上一个视频中去看，我知道这个角 a o c 等于一百二十度，角 c o b 等于六十度，也就是说他有一定的特殊性，这个度数，那么一些现在长度求起来就恰而易举了。现在我知道 bc 等于二的话，那么我再根据这个角是四十五度， 我再用直角三角形的特点，我可以求出 c， e 等于 b， e 等于根号二，那么我连上 f b， 同理咱们这个 f b 的 长度也等于 ab 比上根号二，因为咱们上个视频已经证明出来了，三角形 a f b 是 一个等腰直角， 它是等腰直角三角形，那么也就是，呃，因为 ab 等于四嘛，它的二倍根号二，那既然 f b 等于二倍根号二，现在 b e 等于根号二，我在 r t 三角形 f b， 这是 k 吧，这个垂足我用 k 啊， f b k 中 我就可以求出 f k 等于根号下 f b 方减去 b k 方， 那 f b 的 平方等于八。我直接写了啊， b k 方等于二，它等于根号六，你看，所以咱们最终也能求出来 c f 等于 c k 加上 k， f k 是 这个啊垂足的位置， 那 c k 的 长度咱们刚才已经求出来是根号二，然后 f k 是 根号六。也就是说这个视频和上一个视频它俩讲解的方法是一致的，只是做垂线的方式不一样。我这个第一个方法是从 a 做 c f 的 垂线， 我第二题的方法是从 b 点做 c f 的 垂线，他俩都是用了四十五度角这个特殊性，然后用特殊角、特殊长度勾股定律就可以把题做出来了。当然这个第二问要想做出来，咱们一定要依照第一问这个角平分角，平分线， 如果没有第一问，这个四十五度，你做第二问是做不出来的。呃，下一个视频我会接着给大家讲第三种方法，截长不短法。
22盘锦数学海红老师
03:29查看AI文稿AI文稿这期视频咱们接着讲圆的证明和性质，那么圆的性质与证明在中考中是必考题型，它比较灵活，通常第一问难度不大，但是知识点也比较综合。咱们在读类似几何证明的时候，就要把题意读懂，不放过每个已知条件。 比如说 r t 三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度，那么如果圆周角得九十度，就像咱们全是了，它所对的弦是直径，所以说可以推出来 ab 是 直径， 你看那么接下来外接圆，然后这些都可以，他说得一等于得 c， 那 么这两个边相等，立马想到这俩底角相等，见着等边推等角，这句话很重要啊，切线 c 的 过点 c 做 abc， 外接圆的，切线 c 的 见着切线连半径想垂直。所以说这里边还有存在一个垂直，就是我如果设圆心为 o 的 话，就是 o， c 的是九十度， o， c 的是九十度。那么现在他让咱们求证 c f 平分 a c b， 要想求 c f 平分 a c b， 咱们可以求出来角 a c f 等于角 b c f， 这是最直接的想法， 也可以呢，求出来角 a o f 就是 圆心角 a o f 等于角 b o f 都是可以的，那就看咱们从哪个角度入手了。当然有可能还有其他的想法啊。如果这是在以前三角形全等证明中，咱们可能需要向角的两边做垂线了， 那现在看这个条件，既然得一等于得 c 的 话，这俩底角是相等的，这俩底角相等，然后对顶点又相等，所以说角得 c e 等于角，得 e c 等于角 o e f， 这是咱们一连串导出来的，然后他说切线了才能推九十度啊，也就是说我就可以推出来 这个角一，这小角等于角二，这小角就是，原因是什么？就是 o a 是 o f 呀， o f 是 等于 o c 的， 所以咱可以推出来角一等于角二的， 那么又因为这些个角都相等，他们现在还得九十度，所以说我就可以推出来角二，加上角 o e f 得九十度，那么也就是极角 f o e 等于九十度， 这角不单叫角，它还叫圆心角。圆心角得九十度了，我就反而可以推出来这个角 a、 o f 也等于九十度，那圆心角各自得九十度，它们所对的圆周角就相等它俩相等了，我就可以推出来角 a、 c f 等于角的 c f， 然后我就可以推出 c f 是 角平分线。你看，咱们也就是说，呃，没通过这个直接推，但是我通过圆周圆那个圆心角相等，我进而推出他们所对的圆周角相等。这题考了这样的一个知识点， 当然这题也可以纯导角，导出角 a、 c f 和角 b c f 相等啊，就是用九十度导角就行了，那么这个呃方法都可以，也就说这是第一种方法，第二种方法，我现在讲的是第二种方法，如果要想用第一种方法的话，咱们还得用那个 o a 等于 o c， 然后这样可以推出这个底角角 o a c 等于角 oc a， 然后再根据九十度导出来，也可以导出来角 a c e 等于角 b c e 啊，也是可以的， 所以说大家看做这种几何题，呃，就是方式方法不为宜。呃，虽然他们的目标都一致，但是咱在推导过程中，可以用不同的角度去推出同样一道题。
18盘锦数学海红老师
01:32查看AI文稿AI文稿辽宁中考数学第十五题怎么样才能得分？那么除了这个七八年一些几何的常规的训练之外，呃，到现在还有一个多月就要中考了，那么我们怎么样临时报佛奖呢？有以下两种类型题一定要练，一种是引元，一种是挂豆啊。那具体应该怎么样去练？首先你得明白这个挂豆怎么样去做， 其实他都有一些模板跟套路，其实他跟我们学习这个，呃，文科就是，然后他的一些学习的方法差不多少，直接往里套 就够了，因为我们初中这数学考的又不是非常难啊。瓜豆，我们找这个四五道题，然后进行这个一个解答，解答之后，这四五道题要把它抄在一张纸上，抄在一张纸上了之后，然后同学们一定要把这几道题弄明白了，弄明白了之后，然后就不用进行其他一些训练了。在我们写正题的时候，碰到瓜豆的题，如果你觉得不太熟，那你就把这道题 这几道题拿出来看一看啊。一道题我们写一遍，那只是刚刚入门，多写几遍之后，你才能理解它这个题的解析的方法跟思路啊。然后呢，引元的类型稍微来说有一点多，引元的一共有四种模型，定点、定长、 定角、定弦。然后呢，还有这个四点公园，还有直径所对的角是是这个九十度，对吧？然后这几类题型也是一样，你写两道，写两道，还是把它们放到一个纸上，然后这样的话方便你以后看啊。 呃，只要进行这两类题型的常规呃，练习之后，然后基本上十五题，如果他考的很难的话就可以解决了。其实我们 中考数学他这个趋势就像去年的那个第十五题，都是非常简单的，这两类题型都没用到。我说如果要是考了的话，然后你会瓜豆跟演员，那么你这个十五题基本上也是手拿把枪了，同学们加油哦。
36关关解数学
01:31查看AI文稿AI文稿这是一道在中考可能会出现在二十五题位的解答题，其实难度很小，我在做的时候可能也就是计算花了一点时间，整个推导过程是很顺的，但我发现学生在做的时候没有这么快，所以我们还是讲一下第二问的思路，要正， a， c 是 切线，那肯定是连欧德政权等，这个是没有任何问题的。 在第二问之中，他给了我们 ab 的 长，给了我们角， b 是 六十度，此时咱知道是有两个直角的，让我们求圆的半径，这很明显就是我们要通过这个六十度的三角函数去推导。 比如说我们设这里为 r， c o 就是 r， 那 ob 就 可以用含 r 的 式子来表示出来，也就是结合三十六十度的二比一比根号三快速推导，那这个 r 对 应的就是根号三， r 除根号三乘二，三分之二倍的根号三， 也就是 bc， 现在我们用二加三分之二倍的根号三二表示出来了。其次， ab 的 长是知道的，它对应的就是和 bc 是 二比一，那也就意味着 bc 的 长度还可以用根号三加二分之根号三来表示。那以上两个式子连立同除即可进行求减。 那当然还有的学生是卡在哪的，我就非常觉得可笑了，到现在了，他们不会分母有理化，这个就不属于老师能教的范畴了，就基础知识过弱。 ok， 分享完这个思路，大家就会发现，中考的二十五题的题位 一般是中等生都能百分百拿分的题目，所以大家最近要保持一下你的刷题量，保持手感，在中考中又快又好的把它做出来，再见！
35理科的王
00:29查看AI文稿AI文稿沈阳家长一定要给孩子们练一练期中这次月考数学的压轴题，核心考点完全平方至二求二，以及平行线、辅助线的模型和辅助线的添加。这两个考点还会在你未来的考试中反复出现，包括即将开始的期中考试， 不多练还会丢分。所以阿荣老师特意针对这两个题型给家长们举一反三，整理了同类型题试卷的原题答案，加上这两道精选压轴的拓展题都准备好了，还没领到的家长在评论区给阿荣老师留言，我一并打包发给您！
194数学阿润老师（和平）
00:59查看AI文稿AI文稿二零二六年辽宁中考数学出题方向基本上确定了啊！今年中考改革第三年了，其实考点挺稳定的，并没有大家想的那么没有方向那么乱。那抓紧这些必考的内容。数学想要考到一百一，并不是触及不到的高度，试卷结构基本上都是 固定套路，十六题肯定是计算，十七题肯定是方程，十八题统计与概率。十九、二十这两年虽然有小的变动， 二五年没考三角函数的大题，但考的依然是一次函数、二次函数应用这些东西。二十一题仍然是圆，后边一个是几个压轴，一个是二次函数。压轴其实也就是考什么，怎么考，基本明确。但是很多家长现在很迷茫，不知道孩子该从哪个方向开始刷题。 我之前专门整理过一份干货的资料，就是把辽宁近三年中考的真题，按题型、按知识点都给他拆分归类了，总结出了九大必考的核心专辑，不用去盲目的刷卷子了。没有领到这份资料，如果各位家长想要，直接评论区留个言，我给大家发过去。
15:17查看AI文稿AI文稿想跟你们分享一下第六题，因为我讲完之后你就知道为什么了。我在讲第六题之前，我们要讲一讲我们面对几何题，看他是在让你求什么，对，求线段长度的，求 线段长度的思路我们之前讲过，因为马上就要考试了，我们还要再讲一下，再系统的去讲一下。之前我说求线段的长度我分两种，一种是计算类的，一种是转化类的。 你要非常明确的，这两种分别代表着两种题型，它是沈阳题型偏多一些，当然之前考试的 就是计算吗？他也不是，这里面跟图形有关。沈阳出的题按照以前的那个题型来说的话，比较喜欢出翻折，对，旋转 翻折，这不就翻折吗？啊？翻折，旋转为主，翻折，旋转为主的基本上是以四边形为基本图形的比较多， 那它翻折旋转之后，比如说我们翻折或者旋转有边等，有角等，有垂直平分线翻折嘛，旋转有边等，有角等，所以它把很多东西都给你放在图里面了， 需要你从图中去寻找一些有用的已知条件，然后以计算为主要的 手段来去解决问题。中间有没有全等？有全等，但是有全等的基本上就是从途中你能找到的或者简单的辅助线，他肯定不是以全等构造为主的，所以这个是沈阳偏计算类的。 所以拿到一道题的时候，你注意观察翻折旋转还是怎么样的。而大连的题型很长时间几何题目就两个，基本同学考的特别多，三角形和正方形，就他俩 甚至三角形更多，特别喜欢三角形，尤其干区的。就你们现在出题的教育员额外呢？喜欢三角形， 那转化我们就涉及到的两种转化，一种是性质转化， 一种是构造全等转化。性质转化比如说我们中卫线，比如说我们斜边中线等于斜边的一半。我们一模考试就是先通过中卫线，你转化了个边，然后倒角出的等腰， 它没让你算，就是转化。然后我们一大连啊，辽宁省第一次辽宁省统考的时候，那二十二题就是斜边中线的，斜边一半的反正， 然后进行转化，它是俯视计算全等分两种，一种是倒角构造全等，另外一个是基本的模型构造全等，比如说手拉手啊，一线三等角啊等等。 通过全等构造，模型全等完了之后，通过导角模型构造全等，然后转化边。你要搞明白，我们转化和计算 转化，它只能把现有的一些边经过简单的关系转化到别的边，得到了这个长度，所以很多的时候转化并不够。 你想想你一模里面的二十三题的最后一个门，对，他不是光通过性质倒个角你就完事了，你还得用计算进行辅助辅助计算，那辅助计算当中我们是不是就应该有勾股定律计算了 解三角形计算了，三角函数计算了。有同学说，老师你这解三角形和勾股定律是一回事，不是一回事， 他俩一定不是一回事。我们一会下道题第六题就让你区分好什么是解三角形计算，什么是勾股定律计算，他俩真的完全不一样。 所以我们这很多的时候勾完全等之后，你得知道，老师我就说勾到全等我都不用计算，不是，是我辅以计算来得到最后的结果，但是一定不是以计算为主的。 好，那么我们这原理给你说完了之后，下面就让你看一道典型的大连考题是什么样子的，有全等，有计算，我们怎么分析？就是这道第六题，而且让你区分好什么是解三角形的计算，以及什么是勾股定律的计算。 在三角形 a、 b、 c 中，三角形为主体的 d、 b 等于 d， c 有 一个小等腰， c、 d、 e 六十度，马上把它画出来，非常标准的画出来角， b、 d、 e 等于二倍的 a、 c、 d 二倍角。那不用想了，设参数倒角吧，那 b、 d、 e 这是二倍的算法， a、 d 等于三， d、 e 等于五。好，到这儿，那第一步入手点，三五，我不看等腰能出来的等边，对等角，剩下的六十度现在也不管，那就是参数到角，这是个等腰，我肯定先找这俩角， 因为你一次性要导出来两个相同的角，绝配角吧。二、 r 法加六十两个角，是不是应该是六十减 r， 六十减 r， 六十减 r， 哎，我不导了，我看到了什么了？ 关于倒角这个东西，很多同学现在听过一门考试之后，你应该听了好多，倒角，倒角，倒角，但是有个东西叫适可而止，就是我什么时候结束，难道我要把所有的角都表示出来吗？并不是的，当你倒角一倒到了一个特殊角， 特殊角分两种，一种是具体的度数，三十四十五，六十一百二，一百五，一百三十五，这特殊的具体的度数，这是导完。哎，我找到了，我可以暂停一下。第二，什么叫特殊角？ 找到了一个绝配角，我就可以停一下了，是不？我就可以构造等腰，或者延长，或者构造全等了？那这里面我突然发现了一个六十度。 说，老师，六十度，你有什么惊讶的？六十度你还不惊讶吗？六十度跟你看到四十五度是不是一样的？四十五度的时候想等腰指，等腰指里面要么手拉手，要么是一线三等角，全等。那六十度呢？六十度对你来说，脑袋里面第一反应肯定是 六十度。三十度，两个一，三十度，六十度，直角三角形。第二，等边三角形。 如果这一个六十度还不引起你注意，这还有一个六十度，那必然有等边了啊。那再说一声，老师，我不信，我不，我不服，我不信啊，这，这六十度，我，这， 我要解三角形。解三，解三角形，你够吗？一个五，一个六十度就解三角形了，有吗？不够吧？老师，我这有六十度，六十度，这一个三还是一部分，你能解吗？解不了。好，到目前为止，我解三角形行不通，所以不是以计算为主的。那下一步你就要往脑袋想，我肯定是够到全等了， 要么就性质转化。这里面有中域线吗？有终点吗？什么都没有，所以没有性质转化，就是构造全等。所以你老老实实以这个六十度，我要构造一个等边三角形。说，老师，为什么要以这个六十度构造等边？因为这边有个五， 构造完了之后，你稍微看一眼就会发现， o， 我 好像还有点什么东西，你发现什么了吗？ 这是个等边之后，这个角是多少度了？六十度，两个六十度怎么了？ 共顶点了吧？两个六十度，共顶点，你不能往手拉手上面想。那你构造全等，我现在 c m 等于 c d 了， 一个边等一个角，我是不是转化成了一边一角构造全等来观察一边角的三角形里面，三角形 c e m r f c m 是 不是 c e m， 另外一个是三角形 c a d。 我 要怎么构造？在 c a 上面截一个边等于 c e 可以 吗？ 我说老师，不对啊，有可能是在 c e 大， 在 c e 上面截个 c a。 好 来，你看我在这截一个 c n 等于 c a， 你 看它俩全等吗？这这个这，这都钝角了，你这截完之后能看它一样吗？啊？是不是不一样？所以你要 你就算你想在 c e 上面，你你你是不是也得补一个？完了，跟人形状基本上一样了吧？所以我想在这截一个，因为为什么要截？因为你这 d a 等于三，所以我在这截一个 结， c n 等于 c e， 三角形 c e m 全等于三角形 c d n。 边角边全等。我们构造全等了， 构造了，全等了。我们之前和大家说过，说关于全等，你从初二就接触了，如果我们时间长的话，你就我们老说这句话，就是构造全等不重要，说又不重要了，对，它不重要。 全等不是我们的目的，我们的目的是通过全等想得到点什么东西，你得问自己。所以这是很多人构造全等完了这个通病。全等完了，完了完了，我说挣完了，我也不管了啊，拿出一个条件，比如说挣完全等 角 m， 这是多少度？六十等于它六十。完了，完了，没有用，除了这六十之外，我们还有你这个大角 是不是等于这个大角？角 c， e， m 等于角 c， n， d， 这大角我不要，我要想要的是什么？两个邻补角。角 c， e， d 等于角 d， n， a 等于什么？六十度加阿尔法 啊，这个角是六十度加 r 法，哎，角 a 是 多少？这是六十度减 r 法。 a， c， b 是 六十角 a 是 不是也是六十度加 r 等于角 a， 所以 d， a 等于 d， n 等于三，三 等于 em 等于三，三三三。 dm 等于 dc 等于 cm， 等于八八、八。 我现在坐到这，坐到这，这是什么？我刚才你想想，我刚才前面给你分析那一大堆东西，我刚才是不是说我们要通过构造全等进行变得转化， 而边的转化他只能部分计算，那这里面我们要求的这个 a、 c 很 明显，通过转化我们根本求不了，我求出来了，求出来了谁了？求出来 em， d， n， c， d， c， m， 这都是八，所以转化 结束到此结束，下面开始辅助与辅助计算了，因为转换已经没有用了，我要开始真正的计算了。好，来观察计算。先找特殊角所在三角形 六十度，哎，刚才这五，你刚才说说。解三角形有一个特殊角，一个边不够，现在另一个边出没出来。 解三角形 d， e， c。 先找特殊角所在的三角形 d， e， c， 这是六十，这是五，这是八。你有两个选择，你可以选择过 e 做垂直，可以选择过 c 做垂直，都用这六十度，你选择谁？ 为什么会要选择呢？你不俩不都一样吗？为什么要选择？因为你如果过 e 做垂直， 这是 k， 你 告诉我 d， k 是 多少？对，它是个分数。如果你过 c 做垂直 来，你告诉我 d， k 是 多少？哪个简单？四四倍刚好。三五一，四十八，一，四十九，七七。 你刚才过这边做垂直，二分之五，二分之五被杠上，三八，二分之十六，二分之十一，二分之五被杠上，三二分之十一，好算吗？ 好不好算？好看不好算，看到了吗？所以我这有选择的啊，通过解三角形求出来了，我的 c， e 等于 c， n 等于七了， 它等于七，它等于八，它等于三，它等于三。求 a、 c 的 长度。 刚才我跟你们说了，我说计算里面解三角形和勾股定律不一样，你说这里面解三角形里面有没有勾股定律？有，它俩不一样。好，下面我们要用勾股定律的方法了。 勾股定律？什么方法？三三七八求 a、 c 勾股定律。怎么求？等腰三角形过点 d 做一个垂直， d， h 垂直，那么勾股 d， h， 呃，不不， d， h 垂直之后， a， h 等于 n， h 等于 x， 而 t 三角形 a， d、 h 当中， d、 h 的 平方等于 a， d 方九减 x 方 r， t 三角形 d， h， c 当中， d、 h 的 平方等于。这是几？是不是？八六十四减去七加 x 的 平方。双勾股定律，它俩相等了。 九减 x 方，六十四减四十四， x 减 x 方消掉移过来十四 x 等于， 是不是？十五减九六， x 等于七分之二，所以 a、 c 等于两个 x， 七分之四加七，七分之 七就是七分之三，我写七分之二，七分之六加七，四十九加六，五十五，七分之五十五，最终求完。
03:58查看AI文稿AI文稿沈阳市审核区九年级一门考试二十二题，几乎全军覆没的二十二题，我今天给你来一道辨识。哈喽，大家好，我是博教教育数学张老师，今天我们来看一看这个二十二题的辨识题啊，我们来看一下这个题。首先我先说一下这道题的考点也是隐形的， 但是呢，这个引诱员会结合我们教材以外的，它也是一个定角，叫弦切角定，最终呢，我们要去求两个线段之间的一个比值，我也去找相似。好，我们来看这道题题，题干很简单，给了一个这样的矩形， a， b， c， d， 但是呢，始终是 a， d 和 d， c 啊，是二倍的关系， 然后 e 在 矩形内部先满足角， e， c， d 等于九十度连接 a， e， d， e， 然后让我们去求 a， e 和 d， e 比值的最小，那这个时候我们说这个比值一旦出现说有人，那我，这我咋相似，没有啊，根本就没有相似啊， 对吧？那我们在分析的过程当中，这里边唯独有数量关系，就是 a， d 和 d， c 这样一组关系，虽然长度不确定，但是始终是二比一的一个比例啊，这是一个切入点，我将来能不能说想办法 a， e 和 d， e 能够与这个 a， d， b， c 二比一的这样的关系往一块凑合凑合，那你现在还有一个九十度，很有意思的， 这个九十会让什么相当什么？你虽然在这一个内部，内部运动动点，哎，我们会有一个什么定弦定角，那就可以告诉我们，最起码我们知道点 e 是 在以 d， c 的 中点 o 为圆心的圆上， 那圆上我们再回过头来，你会发现我这里边没有圆的情况下，我也会得到角 e、 c、 d， 如果是 r 法，那么这边就是九十 减 r 法。哎，再来呼吁，这阵是什么 r 法？你就告诉我们，角 a、 d， e 啊，是能够等于角这个，这个不随着点 e 的 改变，它俩是横等的。那好了，那你说我一旦引进圆以后，很有意思的地方是不是非常垂直？我们是不是可以理解为 a、 d 是 这个圆的 切线，那切线以后，那这个角 a 对 e 就 可以称作为什么了？哎，他就叫做弦切角了。那么弦切角跟这个角一定是相等的，这个角我回头一看，他是不是跟着对这个弦也好，还是这个弧的一所的圆角？ 那我是不是有个定律，圆当中真的同一个弧所的圆角都相等，那这时候可不可以顺势把 a、 e 给它沿出来，交于圆上于点我，我会发现，哎， c 和 f 这两角又怎的了？当然和你的角 a 对 e 也怎的了。 太好了，这个线一延出来以后，就形成了一种标准的子母形相似了。发现了吗？三角形 a 对 e 是 能够相似于三角形 a、 f， 那 么它俩一旦相似以后，哎，我可以马上去找 a， e 和对 e， 咱自己自己比自己呗。 a， e 和对 e 在 同一个三角，自己比自己，那就转换成了什么？ a 对 和 对 f， 那 a 对 是最开始那个长度两份，那对 f 现在是什么？是弦呐？那你说想要求最小值，假设它要是固定不变的，对 f 要整的更 大一点，那弦什么时候最大直径呗。那就回到了什么对 c 身上，最终就是 a， e 比上对 e 等于 a， d 比上对 c， 比值为最小值为二。 哎，这是一个我们在我们看到这个审核一模二十二题的之后，那道题几乎没有人得分，可能有些人答对了，可能也是一些非常会或者是蒙对的一种一个一个一个结果。而我们这道题 进行了一个什么呢？哎，我给了你这样一个没有固定长度，也是给笔直，但是给了一个固定角，就这个九度角是我们最常见的隐形杆，直径是九度，这个定律爱在一个变式应用啊。然后这里边我们说这种出现笔直，你到哪都一样，你只要是在初中平面几何，尤其是初三，不学习想思了吗？哎，有笔直你就可以找什么 相似啊，只要你是有比之，咱就可以找相似，对吧？相似有很多，有 a 字形啊，八字形，子母型。这道题里边在圆里边因为有太多相等的角，所以我们更多的倾向呢是用子母形相似，因为在圆里边并不能有那么多的平行线，这得分析好。 那什么时候能够够到 a 字形或八字形呢？就是很多情况在特殊的四边形里面有那种什么交叉线的时候，那么有天然的平行线就会有 a 字或者是八字形啊。这是张老师给大伙以这个二十二题出了这么一个辨析题，让大伙有一个更深入的隐形元的一个了解，去求一个比值的最小值。
86数学狂人张老师
