2026西城二模数学新定义
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04:17查看AI文稿AI文稿我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！
107北京张老师（数学）
11:14查看AI文稿AI文稿西城二妹的新定义有点意思，定义里面竟然带核，比划快，带出稳，新定义还能提智商！大家好，我是老谢，我接下来给大家讲一下新鲜出炉的西城二妹的新定义。 这道新定义有点意思，为啥呢？因为他的定义里面竟然带核。好在啊，老谢在二零一九年中考以后，专门为带核的新定义写了一句诗，叫定义带核找锤足 啊！如果你找垂足，你会发现这道题会非常简单了啊。另外呢，这道题第二个的时候一定要注意前提确认，以及全面细致有序动。还有就是线段如果遇上圆环必有坑，一定要全面细致有序动 啊。另外呢，以圆为背景的题目，其实找轨迹呢，有一个快捷方式，咱们第三个会讲啊，包括一定要全面细致有序动。好，首先呢，我们先看一下定义啊，各位， 咱们随便画了一个 ab 这个弧，他说等腰三角形，那咱们就以 a 为圆心是吧？画个圆，以 b 为圆心，画个圆，画两个蓝圆， 那么蓝圆上的这些点只要连一下 a， 他 就能组成一个。哎，等腰三角形当然还要注意别是三点共线啊，但是这道题基本上用不上啊。那么另外，怎么叫定一带弧找垂足呢？各位，因为他要求这个三角形要把整个裂弧全包上， 你啊，如果听了我的定一带弧找垂足，各位同学，你就直接让点 a 当垂足，啥概念呢？让点 a 当垂足，画一个切线。 各位啊，咱们先看看其中一个圆吧啊，这个圆别在这捣乱了，然后同理，你再让点 b 当垂足，画一个切线。 各位，你会发现，首先因为等腰三角形，所以点 p 一定得在这个蓝圆上，但是在蓝圆上都行吗？你比如，如果蓝圆上在这呢， 你会发现这样的话，连一下这个三角形，这个绿色三角形，哎，他就不能把整个裂弧 a b 全包在里边了。 嗯，所以大家看啊，这时候你会发现，我教给你的这两个垂足，让点 a 当垂足做两条切线就起作用了。什么作用呢？你会发现这个点就是个临界点， 哎，你会发现，如果它连一下点 a 点 b， 你 会发现当点 p， 在 这时候，这个三角形，这个裂弧 a b 正好在三角形 p a b 里边， 包括在这时候，你会发现也没问题，哎，各位看了吗？然后呢，在这的时候也没问题，但是如果在这，你会发现点 p， 如果在这，你会发现这段裂弧又包不进去了，又跑到三角形外边了。所以各位，你有没有发现， 因为等于三角形，我们马上画个圆，当然还有一个以 b 为圆心的圆啊。然后呢，再一个就是，如果你学会了老习的这个经验，定义带弧找垂足，你马上以 a 当垂足做个切线，以 b 当垂足做个切线，你会发现点 p 的 轨迹就是这对，哎，这个定义咱们就大概明白了 啊。 ok， 那 是所有的这个弦都有这一段吗？哎，我们看一个特殊情况，各位，如果，哎，这个弦这么长， 你做了这两个垂足以后，你会发现正好就这个点啊，有一种临界情况，你会发现，除了这个点，别的地方都不行 啊。你比如，如果在这这样的话，如果点屁啊，这是点 b， 如果点屁在这里，你会发现这一段又没有在三角形里边了，对不对？所以你会发现，哎，当这个时候这种情况下是一个什么情况呢？你会很容易发现这种情况，这个紫色的是一个等边三角形， 这是六十度，这是九十度，这就是一百二十度，所以当这个弦的圆心角是一百二十度的时候，正好有一个点 啊，如果它超过一百二十度，各位请看，你们可以暂停一下啊，你会发现啊，在这个圆上，在这个蓝圆上，你会发现没有一个点可以了 啊，也就是当这个弦超过一百二十度就不行了， ok， 这对定义的解读啊，然后呢，正好命题老师挺善良，他怕你看不出来一百二十度，他还提醒你啊，其实这道题最后也没怎么用上一百二十度啊，然后提醒你什么呢？你会发现 df， 这个它正好是一个圆心角一百二十度的 啊，所以 df 是 正好可以， e 就 不可以了啊。 ok， 这是第一问， 第二问呢，哎，也有点意思。各位，按照我刚才讲的，你们如果把一个根号二的弦随便画出来，各位，你看，咱们画的一个红色的这个啊，就是根号二的一个弦，然后你用我刚才的那个方法，然后呢， 把比如说，呃，这个点 a 画出来啊，然后点 b， 在 这里咱们随便点一个点啊，有人说，老师，这个弦 a b， 你 怎么画那么巧啊？各位啊，我想告诉大家，以圆为背景的轨迹， 其实从圆心往哪个方向看，都是正方向，你只需要画了一种情况。然后呢，你看啊，根据咱们刚才定义的解读，是不是就是以 a 为圆心的时候，就是这个等腰三角形以 a 为顶点的时候，你有没有发现这段弧 它就是可以是点 p 的 轨迹啊。那么同时呢，你会发现，在 a b 这个弦跟着转的时候， a b 这个弦可以不在这里，在跟着转的时候，你会发现这个紫色的圆也会跟着转，但是这个紫色的圆离圆心最近的距离， 各位你可以算一算啊，你会发现这个长度是一，因为这个 a b 的 啊，这个长度是根号二，所以这个以 a 为圆心这个半径啊，这个圆半径也是根号二，所以你会发现，哎，这正好是根号三， 所以它离圆心最近的距离是根号三。你算一算，你会发现这个最近的距离啊，最远的距离是根号五。所以当 ab 在 转的过程中，你会发现，这个点它到圆心的距离永远是根号三，而这个点到圆心的距离永远是根号五。所以各位你会发现，其实 如果让这个弦 a b 转一圈啊，各位，我换个颜色啊看看，哎，你会发现，就是这段弧啊，就是这段弧，这段弧它的轨迹就是这样一个圆环 啊。 ok， 轨迹明白了，咱们再看，这是一条什么线呢？首先必要大于零，其实这道题大于零啊，明天老师给你降低难度了，毕竟是第二问。另外它它的斜率是一，咱们让它全面吸了去动，但是请注意是线段 g h， 我 告诉大家啊，线段遇上圆环必有坑，你一定要全面吸了去动。 大家，哎，从上到下全面吸水运动，在这种情况下，各位你会发现就是一个临界情况，然后这个时候呢，因为这个绿圆，它的半径是根号五，所以这个点的动作标就是根号十，所以 b 是 小于等于根号十。 然后请注意，别以为小于等于根号十，大于零就行了啊。你再走走走，走到这的时候，你会发现，各位，咱们问的是线段啊，各位，人家问的是线段 g， 所以你会发现这是线段 g h， 你 在这个这个线再往下一点，请问这个线段 g h 和这个圆环还有交点吗？没有交点，这种情况下，哎，因为这个成色的圆，它的半径是根号三，所以大于等于根号三。各位，这就是第二问的答案啊，你可以再回顾回顾，我们接下来要讲第三问了，各位， 第三问。首先，第三问这句话可能有歧义，有的人说，尤且仅有两个弦 m n 的 关联点，这是两个弦 m n 还是两个关联点呢？有的同学可能在考场就会有歧义了，按照老谢啊，一个很重要的技术叫视角分析法， 哎，我们站在主角的视角，你看这道题，什么是主角呢？他说， m n 是 圆 o 的 一条弦，就是整个第三文。这个故事是站在 m n 先有个 m n， 人家说，哎，这道题啊，我跟你们说啊，有一个弦 m n， 它的长度是一，所以这个弦 m n 就是 某一条弦。 然后这个故事从 m n 的 视角开始的， m n 确定了，然后再看看这个时候，哎，这个 y 等于一条蓝线上有没有 m n 的 两个关联点，各位能理解吗？ 所以呢，是两个关联点，而不是两个弦啊。 ok， 按照我刚才对定义的解读，各位同学，你们能画出来这种情况吗？就是我们还是先随便画了一个这个红色的这个弦 m n 等于一， 并且我们发现特别巧，按照我刚才定义的解读，哎，各位，你会发现这个时候呢？哎，它的关联点就是这个橙色的弧和这个橙色的， 这个时候你会发现，哎，正好在外等一上，有这两个点，这种情况是可以的啊，这种情况是可以的， 然后呢，各位，我给你们画个动图啊，然后也就是说咱们干那种情况可以，然后在 m n 转的过程中，他对应的关联点，你看啊，就是这两个紫色的叉子，你就知道他什么情况，和这个红线 y 等于一， 有两个焦点，有两个焦点就符合 t。 各位啊，另外请注意，像暂停的这种情况下，有一个焦点也不行，所以一定要全面、细致、有序动。 ok， 各位，这是一种情况，我们知道他在转的过程中， 然后呢？哎，他是有复合题的，然后呢？但是转到正好过这一个点的时候，要排除这个点，咋回事呢？各位，你有没有发现这个粉色是一个菱形啊， 因为以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，以这个点为圆心，这个半径等于这个半径，它是个菱形，菱形。这个时候的点 k， 他正好是这个蓝色的啊，这个线段的中点，而这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，所以中点的纵坐标就是二分之一，所以这二分之一要 pass 啊，然后最后转到这种情况，有时候老师，这种情况怎么一下子找到呢？各位还记得一开始的起始状态吗？一开始的起始状态，这个绿线 它就过 n 的 切线，过 n 的 切线，这个时候正好它和哎这个关联点的轨迹正好有俩交点，只不过我们转到绿线正好就变成 y 等一了，也就是点 n 正好是这个切点了。 各位，这个时候你可以算一算，很好算啊，因为这个时候 omn 是 一个等边三角形，所以呢，这个角是三十度 啊。各位，你会发现，或者说这个时候点 m， 它的纵坐标是二分之一，这个点是一个中位线，所以这个长度也是四分之一，所以 k 是 四分之三。所以这道题的答案就是 k 啊，大于等于咱们刚才一开始的答案。一个是四分之根号三啊， k 呢，大于等于四分之根号三，小于二分之一或啊，哎， k 大 于二分之一，小于等于四分之三。 对啊，这道题你体会体会看看。通过这道题跟老谢对心地一吐诗啊，我这个心地一吐诗可以解决所有的心地的题，通过这道题可以好好体会体会这四句诗怎么帮你解这道题了。
80谢全民双提数学
24:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。
33栗子老师教数学
01:12查看AI文稿AI文稿整个卷子我认为他的结构出的特别合理，就是非常适合大家中考之前的热身，这个二模完全起到了自己中考前热身的这个作用。 然后第二件事就是大家一定要注意看这几个题，二十四、二十五、二十六，还有二十八题，二十四题是什么？二十四题是圆，二十五题是函数图像操作，二十六题是什么？二十六题是代宗，二十八题是新定义。 如果这四道题，这个这些有孩子一分没得，那你一定要注意这个孩子两件事。第一个就是他中考前这一个月一定要总结方法了， 你不可能一分都不得，因为这四道题是极其具有高度高度总结的方法论的，你只要有方法，有套路，你不可能一分都不得，这是第一个，第二个，那如果是平时孩子还不错，但这次一分都没得，一定是心态出了问题， 所以心态很重要，很关键，所以大家一定要在考试的这如果家长不行，那就找老师帮他疏导，心态的疏导特别重要，如果这次有孩子这四道题一分没得，那就是心态的问题， 所以你一定要找老家长，不行就找老师帮助他疏导，这件事很关键，我就强调一遍啊，所以最后这个二模怎么说呢？嗯，大家认认真真的去好好做一做，别浪费，他出的真是不错。
138崔亮数学
04:03查看AI文稿AI文稿截止到今天，大部分地区的二模已经考完了，综合来看，西城区是最接近中考难度的，海淀区、粤南、朝阳区过于简单，我重点给大家解读一下海淀、西城、朝阳三个区的数学试卷。这三个区前一到二十五题都比较常规，除了西城区的填空压轴题，大部分的题的难度都和中考持平或略低于中考难度， 尤其是原宗这道题上都是低于中考难度的。因此前一到二十五题没有太多我们需要关注的重点，就会落到后三道题上。先来看二十六题，海淀的第二十六题带中还是很难的，它的考点是我们平时反复在讲的，考点就是画图、分类、讨论、对称性等等。 但是这道题它的分类情况特别多，而且里面涉及到了比较多的计算以及大量的易错点，尤其是等号的取舍， 所以这个题在考场上有限的时间范围内难度是比较大的。再加上海淀区今年整张卷子比较难，时间又非常紧张，所以这个题的难度进一步被加大了。 那么大家可以在自己训练的时候重点看一看，你能在多长时间范围内比较完整的把它给写完，这个很重要。好，再来说一下系统的带动是比较常规的，最接近二零二五年北京中考的原题，那大家可以对于这个水平比较中等的同学来说，拿这个题作为标杆，去对照 整个带动的掌握情况是比较合理的。再来说一下朝阳这个二模，这道带动啊难度很大，但是他和海淀区啊走了另外一个不同的方向，就是他并不是我们平时讲的比较多的那些常规考点加大了难度，而是出了一个比较偏的方向，偏向于理解， 偏向于新定义的理解。这个题不作为大家重点关注的题，因为我觉得确实出的有点太偏了。再来看二十七题，这个题的三区难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。西城和中考的难度最接近。海淀的这道几宗题啊，一方面是它本身出的比较难， 还有一个方面，他重点考察了终点。而很多初三的同学现阶段练的特别多的都是旋转。因为二五年北京中考核心是旋转，所以很多同学对终点问题又有点忽略。我们在呃最后最后的冲刺课中，会重点提到终点问题，为什么？ 不仅是因为海淀二模考了，更重要的是从二二年开始，二三二四这三年几宗终点都是中考中绝对的重点， 所以它不能因为二五年啊，没有放在终点上就忽略它的重要性。当然，这道题其实是有多种做法的，每一种做法都会围绕终点作为核心。西城的这道几宗题呢，它确实就是以二五年中考作为重点参考的一种题型了。它核心考察的 这个旋转呢，我们一直在强调的就是七字口诀、旋转、线段、带圈等。除此之外呢，它还有一个难点，也是大部分几宗题容易设置的一个卡点，就是倒角问题。对于倒角不熟练的同学，重点要研究下这道题。 朝阳二模的几栋没啥可说的啊，就两个字，简单。二十八题，难度依然是海淀大于西城，大于朝阳。为什么这么说？因为对于大部分同学来说啊，新定义主要就是看前两问，第一问一般呢就是送分题，只要时间充裕，大部分同学都能做出来。核心是看第二小问，海淀二模的这道 题的第二小问难度跳跃就非常大，所以很难得到第二小问的这个分值，一下就把整体难度抬上去了。而西城二模的呢，他的梯度设置的就比较合理，所以也是最接近中考的。对于二模以前两问为目标分数的同学来说， 重点可以做下西城这道题，如果你是想奔着满分去的，或者九十五加的同学，你可以重点去挑战一下海淀区这道题。朝阳的这道二模题啊，我真是觉得有点这个，为啥这么说啊？因为这个过于简单了，而且不仅是第一小问过于简单， 第二小问呢，也过于简单，并且到了第二小问，他都和新定义的后半段没有关联。这种出题确实有点匪夷所思了，不知道为什么会出成这样的状态。所以也引出一句话啊，就是 在中考的最后阶段，大家肯定会大量的去刷二模题，但并不是每道二模题都适合你去重点对待，一定要选对合适的题。除了二模题以外呢，还有就是往年的中考题也很重要， 所以我们最后的冲刺啊，一定是既围绕合适的二模和一模题，又围绕往年经典的中考题，甚至是往年一些特别特别重要的一模二模题，选对题真的非常非常重要。
65北京初数程老板
08:33查看AI文稿AI文稿跟着辅导走数学不用愁。今天我们来讲一下二零二六年北京西城高三二模数学题的第十五题。这个题考察的是关于填空压轴题，我们来看一下题干。在物理实验当中，相互垂直的两个简斜振动的频率比为简单整数比， 然后有这样的一条曲线， x 方，再加四倍的 y 的 四次方，再减去四倍的 y 的 平方等于零。第一问点 p x， y 是 曲线 c 上的一点， x 的 角值小于一， y 的 角值也小于一， ok， 圈一看怎么正通过这个式子， 也就是意味着 x 的 平方应该等于，这是四外方，再减去四 y 的 四次方， ok， 右边我提一个四外方出来，一减去 y 的 平方是它。 那很显然，咱们知道 x 方是大于等于零的，意味着右边这是四外方，再乘以一减，外方也是大于等于零的。那是不是意味着一减外方 大于零，那对应的 y 方小于等于一，那 y 的 绝对值小于等于一， ok， 它没毛病。再看 x 呢？ 它 x 的 平方，这是均均值不等式，它是不是应该是小于等于？这是四，乘以二分之 外方，再加上一再减去外方就是不等式？约掉约掉，这是不应该是？嗯，扩前方 等于一，所以 x 的 平方是不是也是小于等于一的？那这样的话， x 的 绝对值不是小于一吗？所以这样的话，圈一是对的。 再看一下圈，他说 c 上两个点的距离的最大值是根号六，再复制一份， 那我就设它上面的点坐标是点 p x， y 设这个距离为 d， 那 地方是不是应该等于 x 方，再加 y 方，对吧？好，然后再继续。那刚才咱们求出来， x 方等于谁呢？ x 方等于这个式子， 把它再到这里边来，然后再加上 y 方，这不是关于 y 方的一元二次吗？所以这就是 y 方在乘以括号里边的五减去 四外方，这是它，它应该是小于等于十六分之二十五的， ok 吧？这个其实也是可以用咱们的这个均等式去处理，它小于等于十六分之二十五，那这样的话， d 的 最大值 是不应该是根号下？它应该是二分之五啊？他说最大值是根号六，不等于根号六吧，所以这样画圈二是不对的。 再来看一下 x 三，再复制一份啊， 它是曲线 c 所围成的区域的面积是小于三的，很显然，这个曲线它应该是关于 x 的 对称，关于 y 的 对称。那 ok， 我 可以怎么办？我只研究第一项线的部分，然后面积再乘以四，是不就 ok 了？ ok， 好， 那这样的话我们来具体处理一下。刚才咱们知道只研究第一项线 第一象限的时候，刚才咱们可以写出来， x 方应该是等于 四外方在乘以括号里边一减外方，那 x 两边分别开根号， x 是 不应该等于二外，再乘以根号下一减外方，对吧？好， ok， 那 我们就把 y 分 别讨论一下。嗯，第一种情况， 当 y 是 大于等于零，小于等于二分之一的时候， 那是不是意味着一减 y 方，所以它指定是小于等于一的， 那根号下它也是小一的，那二 y 乘以它是不是应该小于等于二 y 左边谁谁呢？ x 吧。所以 x 小 于等于二 y， 也就意味着 y 应该大于等于二分之一 x， ok， 来画图，嗯， 这是 y 等于二分之一 x， 对 吧？它应该在它上方，那在它上方的话，对应的 零到二分之一的时候， 那它类似这样的一个图， ok 吧？那这样的话，它的面积 s 一 是不是应该小于等于二分之一？ 这一零二分之一乘以一，再乘以二分之一等于四分之一。 s 一 是小于等于四分之一的。好，再看，当 y 如果是大于等于二分之一小于一的时候， 它是不是应该是在这个句型 的内部？那这样的话，它的 s 二是应该是小于二分之一，再乘以一等于二分之一。 那这样的话，在第一项线的面积是不应该是小于四分之一，再加二分之一等于四分之三。然后呢？总的面积呢？ s 总 是不是应该小于四乘以四分之三，它是小于三的，对吧？所以这样的话，圈三应该是正确的。好，接下来看一下圈四，再负一份 圈四，这个就简单很多了。圈四他说过圆点直线是不是 y 等于 k x 啊？ 然后刚才咱们找到这个 x 方应该是等于四外方在乘以括号里边呢，这是一减去外方。 ok， 咱们把它带到里边去， 这变成 x 的 平方等于四括号里边的 k x 的 方，再乘以一减去 k x 扩减方，对吧？然后都有 x 方全部移到左边来， x 方后边应该是四 k 方， 四 k 应该是四次方。嗯，四 k 四次方， x 方再减去四 k 方， 再加一等于零。好，那这样的话，再继续就看它有几个解呗。这东西是不是至多有两个解？ 那至多有两个解的话，那意味着什么东西啊？意味着该直线和这个曲线 c 至多有几个交点啊？是不是还有零到零呢？所以应该是最多有 三个公共点，所以这样的话圈三。嗯，圈四是对的，所以综合答案的应该是一三四。这样的话这题就解了，一定要通过先看门至好。这是第十五题的讲解。
03:06查看AI文稿AI文稿一成二模新定义的极速版，各位啊，你们看看这道题的营养有这些，然后呢，你们可以看一看，我怎么分析这个定义呢？因为是等腰三角形，比如说 a 是 顶点的时候，以 a 为圆心， ab 为半径，画了一个蓝圆， 然后基于我二零一九年根据二零一九年中考题总结的定义，带弧找垂足，我们让 a 当垂足画了这样一条切线，让 b 当垂足，画了这样一条切线。哎，你会发现，当点 p 在 这里的时候，就能够保证让裂弧 ab 上所有的点在三角形 abp 内部 啊， ok， 并且呢，当这个裂弧哎，它的圆心角是一百二十度的时候，临界点超过一百二十度就没有了 啊。然后呢，这个第一位也很简单。第二位呢，各位，我们画出来其中一种情况，以圆为背景的轨迹啊，你往往只需要研究你的这个其中一种情况的轨迹到圆心的距离。各位，你比如说， 咱们按照对定义的解读，我们会发现，当 ab 是 这个红色的这个弦的时候，然后呢，它对应的关联点啊，其中一种情况，这是以 a 为顶点的啊，以 b 为顶点，其实一样，你会发现这个时候这个长度是根号三， 这个长度是根号五。所以呢，如果我们让 ab 这个根号二的弦转一圈，你会发现它划过的痕迹轨迹就是一个圆环， 对啊，就是一个圆环，你看一看，然后呢，你让 y 等于 x 加 b， 从上到下全面吸走去动，这是一个临界情况。答案是，这时候对应的是根号十，注意是线段和圆环，所以这种情况是第二个情况啊，这个时候的 b 是 根号三，所以是从根号三到根号十，因为人家 b 大 于零。 好，第三问呢，各位，你看一看，我根据这定义的解读，哎，我就画出来，就是我让 m n 点 m， 随便在一个情况，就在我最舒适的情况先画一个情况，这个时候发现正好有俩焦点， 所以它是符合提议的啊，然后呢，我让它转一转，各位看看啊，大概是这么转的，也就是说我们， 哎，你看他现在他的关联点，是不是有的时候和红线就有两交点，有的时候就没有啊？大家看，有的时候就一个，有的时候就没有，对不对？当然在转的过程中一定要全面、细致、有序动，哎，你会发现他有一个一个点的时候，这种情况也得排除， 所以呢，哎，我们就求出来，现在的 k 等于四分之根号三，让它往上转，转到这的时候，因为这个点的纵坐标是一，这个点的纵坐标是零，这是一个菱形，所以你会发现这时候 k 等于二分之一，这种情况要排除。 然后呢，当转到这种情况的时候，也就是正好点 n 当垂足，然后呢，你会发现这个时候可以等于四分之三，所以这道题的答案就是 k 小 于等于四分之三，大于等于四分之根号三，且 k 不 等于二分之一啊，你也可以分开写啊。 ok， 这就是这道题的答案啊。
22谢全民双提数学
21:55查看AI文稿AI文稿题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！
32栗子老师教数学
10:47查看AI文稿AI文稿ok， 这个视频跟着红姐我们一起来看一下二六年咱们西城二模的这道集中题。这道题目的难度不是很大，辅助线思路也非常的明显，那接下来我们就一问一问的来看。 先来看第一问，告诉我们 a、 b 等于 a、 c 等腰三角形，角 b 是 r 法。那很显然角 a、 c、 b 这个角也是 r 法，等边对等角，对吧？那接下来 d 是 b、 a 延长线上的一点连接 c、 d 将 c、 d 照着点 c 逆时针旋转二 r 法得到 c、 e， 所以 c、 d、 e 又是一个等腰三角形， 他说一点呢，是在 a、 b 上。第一问，让我们证明 a 是 b、 d 的 中点。那第一问，一般情况下，我们首先先不要想着去做辅助线，我们先进行倒角，倒边看看，试一试。那接下来我们就把能表示的角都表示出来。 那首先，根据三角形 a、 b、 c 是 个等腰三角形，两个底角是二 r 法的话，那当然顶角肯定就是一百八，减去二 r 法，当然这个角就是二 r 法了。其次，三角形 c、 d、 e 是 个等腰三角形，我们也要充分利用它的角度。顶角是二 r 法，两个底角是不是也可求啊？比如说角 d 是 多少呀？ 对，九十度减去 r 法。嗯，那这个时候你就要有一种充分的感知哈，当二 r 法和九十度减 r 法在同一个三角形的时候，这个三角形肯定是等腰三角形了。 哪个三角形？ a、 c、 d。 你 可以利用三角形内角和去求一下这个角 a、 c、 d， 它也是九十度减去 r 法，因为这两个角都表出来了，那很显然它就表示出来了。 好，那现在我们就证明出来了哈，通过倒角是能够证明出来 a、 c、 d 是 个等腰三角形，并且 a、 d 是 等于 a、 c 的， 那 a、 c 又等于 ab 呀？所以我们就正反了。第一问，我们就是通过等腰三角形充分的倒角得到了 a、 d 等于 a、 c， 那 进而等于 ab 了，那 ad 等于 ab 呢？肯定 a 就是 b、 d 的 终点了。这是我们的第一问，接下来我们来看第二问。第二问的核心条件没有发生变化， abc 依然是等腰三角形，所以该标的角依然还存在， c、 d 还是转到了 c、 e 的 位置， d， c、 e 还是二倍的 r 法，只是这个时候 e 点他跑到了 b、 c 的 下方，然后接下来他说 f 在 ab 上， b f、 e 这个角是二 r 法， 让我们用等式表示 a、 c、 b、 d 和 e、 f 之间的数量关系。那很显然，这个题目三条线段离得比较远，我们肯定是需要做辅助线的。怎么样做辅助线呢？当然要从已知条件出发，发现应该哪些题眼，去做什么样的辅助线，你发现了什么样的题眼呀？ 对，我们课上讲过，这里面有一个非常显著的体验，就是绊脚模型它的特征。绊脚模型的特征在红姐的课上讲过，是由共端点的等线段看，以 c 为顶点， cd 是 不是等于 c、 e， 还有共顶点的背半角。从 c 点出发，是不是有一个半角关系？有角， a， c、 b 等于二分之一角， d， c、 e 在 图中都是 r 法。 那有了绊脚模型的特征之后，我们要知道，这个题目的辅助线思路就已经非常明确了，就是绕着顶点转一转，两腰重合关系线。什么意思呢？我们以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形位置， 或者说是只要以 c、 d 为边的三角形，逆时针转到以 c、 e 为边的三角形位置，这个题目两种转法都是可以的，那不妨我们将就将以 c、 e 为边的三角形转到以 c、 d 为边的三角形，是不是只能是 c、 e、 f 呀？在途中， 好，那我们就是将三角形 c、 e、 f 绕着点 c、 d 加上 g 的 位置吧， 好，转到 c、 d、 g 这个位置。那转完之后，我们首先要想这个 a、 d、 g 共线嘛， 这也是在半角模型出现在四边形中我们常考的一个点呀。那你就看题目中有没有对角互补呀。因为你将这个三角转到这个位置，那就说明角 e 和这个角对应相等啊。那角 e 如果和这个角是互补的，那么它俩肯定就是共线了，对不对？ ok， 那 这个二 r 法就用上了哈，这个条件就用上了。因为这个角都是二 r 法，所以它的邻补角这个角是不是一百八减去二 r 法？哎， 在四边形 d、 c、 e、 f 中，这个 d、 c、 e 是 二 r 法， d、 f、 e 是 一百八减二 r 法，它们俩是不是互补呀？那所以说这个角 a、 d、 c 我们记作角 e， 它这个角 e 以及角三角 a、 d、 c 这个角 e 和角 e 是 不是就是对角？所以在这个四边形四边形 d、 c、 e、 f 中， 我们的两组对角都是互补的，对不对？ d、 c、 e、 f 中，我们得到了角 e 加上角 e， 它是等于角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 的， 都等于一百八十度。所以说这个题目呢，很显然 a、 d、 g 就是 共线的了。那因此这个题的辅助线做法呀，我们除了去描述成将这个三角形 c、 e、 f 绕着点 c 顺时针旋转到 c d g 的 位置之外呢，我们还可以有另外一种表述方式，就是利用截长补短的表述， 也是我们常用的表述哈。所以这个题目我用截长不等的表述就是延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 f 一， 所以我们的辅助线就是延长 d g 到，呃，延长 a d 哈， sorry， 延长 a d 到点 g， 使 d g 等于 e f。 当然这个时候再连上 c g 和 c f， 连 c g 和 c f， 那 我们必然可以得到三角形 c、 e、 f 是 全等于三角形 c、 d g 的 判定，定里肯定是 s s， 我 们来找一找哈。首先第一个就是因为角移和角 e 是 互补的，那我们必然可以得到什么呀？ 角移和角三也是互补的呀，所以我们是可以推出来角 e 和角三是对应相等的， 所以这个角 e 和角三对应上的一组对应角相等了，对不对？然后 c d 等于 c e， 这是一组对应边了，再加上我们辅助线做出来的这个，所以这两个三角形全等，那这两个三角形全等，我们必然可以得到第三条边对应相等和另外两组角也是对应相等的，对不对？好，那第三条边是谁呀？ 第三条边是不是就是 c g 和 c f 是 对应相等的哎，是不是出等腰了？ c f g 是 个等腰哎，这个时候你看一看，它是不是就像我们的第一问了， c f g 等腰。来，我们来观察一下，是不是很像啊？ c d、 e 等腰，这里还有个等腰很像第一问，所以它就回归到第一问了，相当于。好，那我们继续来看哈， 那它是等腰的话，接下来这两个角也是对应相等的，这个角和这个角是对应相等的，我们标上哈，那当然，我们因为 c f 等于 c j， 所以 这个角是不是也是叉叉呀？那因此我们是可以判断出来两个叉叉是多少度呀？ 因为 a f 是 a f e 是 一百八减二 r 法，所以一个叉叉，那就是九十度减 r 法， 这个也是九十度减 r 法，没问题不？嗯，它既然回归到第一问了，同学们，那这个角是多少度？在第一问，这个角是不是二 r 法？是三角形 a b c 的 顶角的外角，那再利用三角形 a c g， 它内角和我们是不是也可以快速求出来这个角多少度？哎，这个角也是叉叉，也是九十度减 r 法， 那所以三角形 a c g， 它就是一个等腰三角形，所以我们正完全等之后，接下来就是进行一波导角，这一波导角我们可以得到什么呢？角 g 等于角， a f c 等于角， b f c 还等于啊，这个当然等于九十度减去 r 法，对不对？可以写成二分之一哈， 稍微减，粗略写一下过程，二分之一角 a f、 e 就 等于九十度减去 r 法。然后再利用三角形 a c g 的 内角和， 我们可以求出来角 a c g 也等于九十度减 r 法。好，那现在我们就证明出来什么呢？证明出来我们的 a c 是 等于 a g 的， 那当然也等于 ab 了， 那在这个题目中，还有 e f 是 等于 d j 的， 所以接下来我们就把相等的边在图中标一标，然后帮助我们去找关系好不好？好，我就用绿色来标一标了哈。 来相等的边是谁啊？这个 e、 f， 那 我假设设为是 a 吧，那所以这个 d、 j 就是 a， 那 接下来我如果是 b， a， a、 c 和 a、 g 都是 b， 因为它们三个相等嘛， a， c 也是 b， a， b 也是 b， ok， 那 接下来我们来看看我们要表出的三个线段分别怎么样用 a 和 b 来表出来。首先 a、 c 是 什么？ a， c 就是 b， d， b， d 是 不是就是 b， g 减去 d， g 就是 二 b 减去 a， e、 f 呢？ e， f 就是 a？ ok， 那这个时候我们就得到结论了，也就是 b、 d 应该等于两倍的 a， c 减去 e、 f， 对 不对？ 你看 b， d 等于二， b 减 a 来写一下哈， b， d 等于二， b 减 ab 是 谁？ b 就是 ac 嘛，减去 a， a 是 谁？ a 就是 e、 f， 所以 我们这个结论，或者你写成 b、 d， b、 d 加上 e、 f 等于两倍的 a、 c 也可以。这样我们就把这个题目证明出来了。你看，我们再回过头来想一下这个题目的思路是什么？ 发现绊脚模型的特征，直接利用绊脚模型的常用辅助线做法去帮助我们去解析去。当然里面有一个非常核心的条件，就是这个对角互补的条件，帮助我们去把图形构造出来。接下来就变成我们第一问了。 好在开始的时候红姐也说过，我们也可以向下旋转，当然你也可以尝试将三角形 c、 d， a 旋转到 c、 e 什么的位置，看看能不能解决这个题目呢？也是可以的，那你自己去思考一下吧。
04:16查看AI文稿AI文稿初三二模啊，正在考，我发现就这西城的这个英文的这个 cd 两篇出的真棒啊，跨学科思维啊，不光是看孩子水平分数，他对孩子未来发展都有帮助。先说西城的这个 c 篇， 他把俩学科捏到一起了，什么呢？一个是心理学，一个生物学，他其实话题啊，很普通，说是人呢，应该好好对环境啊，什么生态啊，保护这些啊。你一听这话题很普通吧，可是他的角度不一样，前半段说什么呢？前半段说的是啊，心理学 说人的接触大自然呢，它减压哈，因为是远离工作，远离学习啊，所以呢，焦虑就没了，这典型的心理学方面的知识。后半段说什么呢，哎，就说这生物学了， 说人呢，既然觉得大自然这么重要，对吧，大家伙应该保护大自然，为什么呢？因为人和其他动物植物在同一个 ecosystem 啊，在同一个生态系统里， 大家是相互影响的啊，所以呢，后半段呢，变成了生物学，你看这文章写的就很好啊，提出的很棒啊 啊，这不再是用英语去考学科了，这是用英语仅作为一个工具和载体，让学生通过两个学科对同一个问题进行思考。那这这真正意义上的跨学科思维。 再看这第一篇啊，更有趣，说人呢，为什么喜欢给别人点赞，也喜欢陪别人点赞？那首先呢，也是呢，前半段，后半段俩学科啊，一个是我们说的什么呢啊，心理学，还有一个是我们说的社会学，把他俩给捏在一起， 这心理学说呢，这通过这个 m r i 就是 咱们说的核磁啊，脑电波的核磁这些东西啊，这看着人脑子，发现给别人点赞，脑子是活跃的， 然后啊，被别人点赞，脑子更活跃，哎呀，更激动。于是呢，后半段啊，从社会学角度去分析，说，为什么人会这样呢啊，他人怎么喜欢这个被点赞呢？ 我原来在这个远古时期啊，那时候都是这个穿着兽皮出去打猎的时候说这人呢，怎么样，谁最聪明啊，谁最懂啊，这个人就能成领袖。 所以呢，大家发东西的时候呢，都是希望告诉别人，我懂，我专业，我明白这基金里头刻的 那其他不懂的，那当然想变得跟他一样懂。跟他学呀，那学的前提是什么的，你就得先谢谢人家啊，你谢人家啊，鼓励他，他可能就愿意更多的分享给你，你可能就变得也很懂。 所以呢，这是我们愿意被别人点赞，愿意给别人点赞的一个基因里带的东西。所以你瞧，这篇文章也是英语只是一个工具和在内的东西，所以他强调是跨学科思维， 用这个心理学和社会学，以及像 c 片的那种啊，用这个生物学和心理学两种不同学科的内容去解决同一个问题啊，至少是讨论了同一个问题。 所以啊，这跟西城的高三的二模考试那篇文章非常像，说在 ai 时代下， 学生该怎么学习啊，你获取知识已经变得非常容易了，用个 ai 随便一问，他就告诉你该怎么学习呢，人家说的就很清楚，跨学科思维，既然后取知识这么容易，那你就要从不同的学科去解决同一个问题。 你看这个啊，西城这提出的真是有水平，初三高三啊，都是二模，但是呢，一脉相承啊，内心的这个逻辑是完全一样的，所以对孩子来说怎么办 啊？第一，肯定多做题对吧，你这只有多做题你才能明白啊。第二，什么呢，还是要扩大自己的阅读量啊，骨子里还是培养这种思维。 所以这次西城的这提出的啊，二模真的是让咱们非常的惊艳。那海淀，东城，朝阳都分别怎么样呢？随着考试不断的进行，咱们的陆陆续续呢，给大伙进行分享，加油吧孩子们，多读书。
13哈利波亮
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02:16查看AI文稿AI文稿跟着辅导走数学不用愁，今天我们来讲一下二零二六年北京西城高校二模数学题的第八题。这题考察的是关于充分条件、必要条件相关的问题。我们来看一下题干。已知正方体 w 和平面阿尔法。正方体 w 的 八个顶点当中存在六个到平面阿尔法的距离相等， 是平面阿尔法将正方体 w 分 成体积相等两部分的。什么条件？先画一个正方体， 咱们先看前面能不能推出后边来，就是有六个顶点到平面阿尔法的距离相等， 能不能推出来这个平面 r 法把体积分成两部分呢？不能。来举个例子，取中点、中点、中点、中点， 这四个中点分别是 h 一、 h 二、 h 三、 h 四，这个是平面 r 法。 那到平面阿尔法距离相等的点有六个，六个是谁呢？一个、两个、三个、四个、五个、六个。但这平面阿尔法是不是没有把正方体分成体积相等两个部分？所以这样的话，前边是推不出后边的，再看后边能不能推出前面呢？ 举个例子呗，既然他说平面阿尔法将 w 分 成体积相等两部分，那我就取谁呢？ 取这个平面 这个平面的话，到这个平面距离相等点有几个啊？ 一个、两个、三个、四个，是不是后边也推不出前面来啊？所以这样的话，这题应该是四 d 选项，既不充分也不标，这题就 ok 了，一定要透过现象看本质。
07:20查看AI文稿AI文稿这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。
56讲数学的森叔
04:13查看AI文稿AI文稿ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。
08:29查看AI文稿AI文稿各位家长，各位同学，大家好，我是数学吴老师，塘西二模的卷子呢，已经新鲜出炉了，最后的三道大题给大家做一个分析和讲解。 今天这条视频呢，我们先分析一下二十四题圆的综合来看一下这道题。 ab 和 ac 呢，是相等的，那也就是说我们三角形 abc 呢，其实是一个等腰三角形，所以我两个底角相等，立马就能标上 点 o 呢，是在 a、 c 上画了一个圆，经过点 c， 所以 这个点 c 呢，它是在圆。上图这个地方稍微有点偏差，分别与这两条边呢，又有一个焦点，一个是点 d， 一个是啊点 e， 也就是说这个点 d 呢，其实是在圆上， 然后 ab 呢，相与圆相切于点 j 这个地方呢，是一个切点。 当我们做圆的题，看到切点的时候，一定要连圆心， 借切点连半径得垂直嘛，这是我们做题的口诀，所以立马得到这个地方是垂直的， d、 f 和 ab 也是垂直的，所以这个地方呢，也是一个直角。第一小问，让正 d、 f 与圆 o 相切， 要去正切线的时候，我们先要把题看清楚，因为我们的切线呢，分两个类型， 有焦点连半径正垂直就可以了，或者说无焦点做垂直，正半径，你要看是哪个类型的。现在这个点 d 呢，它告诉我们是圆和这条线的交点，所以我们只要连半径正出来 垂直就可以了。好，连完以后，我们想倒这个地方是直角，倒一倒角就可以了。 连完 o、 d 以后，它和它都是半径，所以我这个地方又形成一个等腰，两个底角相等，那么这个地方也可以标一个点， 这边这个直角，我们能得到这个三角形，是一个直角三角形，他是直角三角形的话，两个锐角加起来就是啊，九十度，也就是说我这个地方标的点和圈的和呢，是个九十度， 那这个点加圈是九十度，那这边的这个点加这个圈是不是也是九十？他两个是九十，一百八一减，中间是不是剩个九十？所以我们从点加圈是九十度，立马能得到我们的角 o， 我们的角 o、 d、 f 也等于九十度，它是九十度，我就能说明我们的 d、 f 和 o d 是 垂直的，而 o d 呢，正好是圆的半径，如果一条线和圆的半径垂直，那一定就是切线嘛， 剩下的过程自己理清楚就可以了。我们再来看一下第二小问， a、 c 的 长度呢？给我们的是八，也就这个长度是八， 而一开始它就告诉我是一个等腰三角形，所以你这边是八的话，这边也是个几啊，也是个八， b、 f 是 一，那上面呢，就剩个七了，也就是 a、 f 的 长度就是个七，算阴影部分的面积。在这个地方，阴影部分 也就算这一点点吧，这一点点的面积现在呢特别好算，我们只要用 o、 d、 f 这个直角三角形剪掉里面这个扇形就可以了。 那我们要算这个三角形的面积，先判断一下它是不是等腰直角三角形。直角呢？我们第一问已经正出来了，是不是等腰直就可以了？这个地方是九十，这个地方呢也是个九十，这个地方我们正了九十， 所以我们的四边形 o、 d、 f、 g 三个角是九十矩形，而这条边和这条边都是半径长度相等，有一个四边形是矩形，邻边又相等，那么它一定是啊，正方形。所以我们首先得到第一个结论，就是我们的四边形 o、 d、 f、 g 为正方形， 如果它是正方形的话，那我就能得到这个角肯定是个四十五度。因为正方形的对角线还是角平分线嘛，所以我们现在算阴影部分的面积就特别简单了，我们阴影部分的面积 立马就会变成三角形 o、 d、 f， 它是一个等腰值，只要知道半径的长就可以了，减掉里面的扇形 o、 d、 h 就 可以了。而扇形的圆心角知道了，半径知道就可以了，所以我们现在只要能知道圆的半径就行。 半径我如果把它设成 x， 那 所有的半径的长度都是 x， 所以 这个地方也是个 x， 这个地方也是个 x。 长度标一标，再看看， 整个长的是八，下面有个，一有个 x， 那 上面就剩个八减一，再减 x， 也就是七减 x， a、 g 的 长度就知道了。这边 a、 c 呢，整个的长度呢，也是个八，下面 oc 是 x， 所以 我们的上面剩一个八减 x 呗。标完这个长度，我们求 x 的 方法也会了，这个三角形里面三条边呢，我们都知道了，并且它是一个直角三角形，勾股定力去求长度就可以了。好，我写到这边吧， 所以我们立马就可以得到，换一个颜色吧，这儿七减 x 的 平方加上个 x 方，等于八减 x 方， 然后把这个 x 解出来就可以了。这边呢，七七四十九呗，减掉中间项，二七一十四个 x， 加上一个尾平方，再加尾平方就可以了，这边呢就是八八六十四，减掉中间项十六 x 加个平方。 平方呢，先抵消掉一个吧，这个减十六， x 移过来，那就加十六，这边有减十四加十六，那我加两个 x 就 可以了。平方呢，放到前面吧， 然后六十四移过来就可以了，这边有个四十九，六十四移过来，减掉六十四，那就还欠了十五个，负十五个就可以，立马我就能看出来十字相乘吗？所以我们得到 x 加五乘， x 减三等于零，那我这边就可以得到第一个 x 呢，肯定等于负，那他肯定不行，要舍掉第二个 x 呢？等于三，也就是我们的半径是几是三，搞定， ok 吧？那半径我知道以后，那我三角形 o， d， f 的 面积等腰值两条直角边一乘乘二分之一就可以了。 减掉扇形的面积三百六十分之 n 四十五度 pi r 方，也就是三的平方，前面我算出来是个二分之九，后面三百六十分之四十五，那不就是八分之一吗？ 八分之一乘三的平方是九，那不就是八分之九，然后 pi 写到后面就可以了。好，这是我们圆的这一道题，第一问和第二问的其实难度都不太大 啊，都不太大，我们下个视频呢，来分析一下二十五题二次函数的综合，有想听下一个的，或者说最后几何压轴的，你先关注一下，等我发了以后你就可以看到了。好，拜拜。
41伍斌的数学思维
