太原二模数学15题过程
大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。
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02:51查看AI文稿AI文稿同学们好，一起来看一下太原二模的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。 根据题中的已知信息，角 b 是 四十五度， a、 b 等于三倍，根号二，于是你过点 a 做了高，得到了一个等腰直角三角形，并且得到了这些边的数据。而整个 b、 c 是 九，那么你又得到了 g、 c 等于六， 于是又得到了 a、 c 的 长度，而 a、 d 等于二倍的 c、 d， 于是又得到了 a、 d 和 c、 d 的 长度， 最终目标是求 d、 f。 所以 你想到了将 d、 f 构建在相似三角形或直角三角形中，其中一种方法就是可以或点 d 去做 b、 c 边上的高， 这样就得到了一个小三角形 d、 k、 f。 咱们只要能知道这个三角形的两个直角边，就能求出来 d、 f 的 长度。根据题中一比二的那个信息，咱们能得到 d、 k 的 长度，因为这两三角形是相似的， a、 g、 c 和 d、 k、 c 相似，比为一比三，所以 d、 k 的 长度等于一。 目前还有一个重要的信息没有使用，就是 de 等于 da， 那 说明 da 是 一个等腰三角形，而等腰三角形能给咱们提供的无非就是腰相等、底角相等，还有三线合一，咱们这里可以借用底角相等来解决问题。 这两底角怎么分别能表示为阿尔法加四十五度，但这里是把角 c 记为阿尔法，那么角 e、 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 一个外角角 b 是 四十五度，角 c 是 阿尔法，所以这里角 e、 a、 d 就是 阿尔法加四十五度， 那么角 e 也是 r 加四十五度。利用内角和，咱们就能表示出来这个等腰三角形的顶角就是九十度减二 r 法，那么它的对顶角 c、 d、 f 也是九十度减二 r 法。 然后在三角形 d i 在 三角形 d、 k、 c 中利用锐角互余，就能表示出来 k、 d、 f 的 长度。 拿九十度减 alpha， 再减这个 c、 d、 f， 得到的就是 k， d、 f 恰好也是 alpha， 说明这个小三角形 d、 k、 f 它的三边之底也应该是一比二比根号五。而目前已经知道 d、 k 是 一了， 所以就可以顺利地求出来 d、 f 的 长度为二分之根号五。 这边左下角有针对二零二六年的中高模拟卷，有需要的同学可以点击了解一下。
161李亮老师
04:43查看AI文稿AI文稿二零二六太原市第二次模拟考试，那么这份卷子，尤其看到十五题，呵，看到他，我仿佛看到了我们的模考最初的样子啊，太原市的出题老师终于回归了初心啊，再次回到了我们常规的一些数据组，不再用一些奇怪的数据，是让我们去算去了。好，这道题出的啊， 非常的典型，那么就是我们的通信通法啊，各种各样的方法可能都会有。来，陈老师永远给你讲两个核心思路，第一，平行产生的相似三角形。第二，解直角三角形 啊，那么这道题里面由于它出现了这个特殊角，所以一二三组模型马上直接秒啊！来，角 b 四十五度角 ab 的 长度是三倍根号二 啊，那么 bc 的 全长是一个九点， d 是 a， c 上一点有一个 a， d 和 dc 的 二比一比例关系，点 e 在 b a 的 延长线上连接了 e、 d， 并延长交 bc 与点 f， 若 d e 等于 d a 好， 则 d、 f 的 长为多少？来，先看快速的方法啊，看到了四十五度，看到了三倍根号二，来过点 a 向下做垂直，马上这边咱们有三倍根号二嘛，四十五度角，则这边是三和三 九减三，这个长度 h、 c 的 长度应该是个六啊，有了六之后，马上能看到啊，这个角尔法角他对应的三边比例关系，三比六是一比二比刚好五的比例关系。 那么这个时候的角一，他作为外角出现，外角等于不相邻两的角和角一等于四十五度加尔法。 同学们，角一再加上一个角就是九十度，那角一本身是四十五度加尔法，再加贝塔等于九十度，是不是尔法加贝塔等于另一个四十五度？ 那就说明尔法是一比二比根号五的情况下，那贝塔肯定是一比三比根号十。所以其实角一是谁？角一就是一三根号十的大锐角 来等腰三角形，直接三线合一往下做垂直来，垂直过来，给个点 g。 好， 我们能看到这个 a、 c 的 全长应该是个三倍根号五，根据二比一的比例关系，这边应该是二倍根号五。好，那这边也是二倍根号五。 dc 的 长度为根号五，这个角 e、 d、 a 他是一三杠十的二倍，那一三杠十的二倍肯定是三四五的小锐角，所以直接来过点 f 做垂直，给一个 n 点来，左边三角形三四五，右边三角形一二根号五。 设 n、 f 的 长度为三 x， 则 n、 d 的 长度是四 x， 则 n、 c 的 长度是六 x。 直接十 x 等于根号五， x 等于十分之根号五。我们要求的 d、 f 是 五 x， 五 x 等于二分之根号五。搞定 啊！所以这道题的话，其实前面的一堆东西，只要你对于特殊角的关系是熟悉的话，能够立马瞬间判断出来啊，这个三四五和一二根号一下就出来了。方法二，还是平行线出相似来过 点 d 做平行线。为什么过他做平行线呢？因为我想把这个二比一的比例关系得用起来，所以来这边给一个点 g 啊，直接九二比一的比例关系二比三，所以这应该是一个六。 同理，三倍根号二过来二比三，那么这是二倍根号二，这是根号二。好了啊， 再接下来四十五度角直接平移上来，这边也是四十五度角过点 d 做垂直，既能出三线合一，又能把四十五度角放进直角三角形中去， 显然斜边长为六的话，那么这个 d h 啊，到这 g h 长度应该是一个三倍根号二，减去二倍根号二，这是根号二，那么这也是根号二。我们看到这个 h d 的 长度显然还是三倍根号二 啊，那么因为它跟这个 h g 相等啊，所以 e、 d 的 长度你看又求出来了，对吧？一比三比根号十，二倍根号五。 好，那这个时候直接看 e j 比 j b 等于 e d 比 d、 f， 这不就出来了吗？ 所以上半截是根号二，根号二，二倍根号二，四倍根号二比下面的根号二，四比一的比例关系，所以二倍根号乘以四分之一等于二分之根号啊！ d f 搞定。其他方法欢迎大家评论区留言。
956陈进步讲数学
07:49查看AI文稿AI文稿学数学难吗？一点都不难。大家好，我是布纳纳，布纳老师，今天呢，咱们来看一下上午刚刚讲过的太原市二模的填空压轴题，也就是第十五题 啊。首先这道题呢，还是给大家分享两种不同的办法啊。第一种办法呢就是常规办法，那这种常规办法呢，它是具有一些难度的啊，就是可能大家在这个辅助线的构造方面啊，不一定能想得到，或者说需要大家有比较深厚的功底才行啊，有大量的这个练习的基础。 那第二种办法呢，就是利用咱们刚刚讲过或者讲过好多遍的这个特殊角来进行解决啊，那这个就可以很轻松啊，也相对快速的把它算出来。 那如果还不知道这种方法的这些同学呢，大家一定要在最后一个月要抓紧了啊。呃，来，咱们来看具体来看一下这道题啊。首先讲第一种最基础的办法啊，去构造平行构造相似的办法来进行解决， 第一个的话，角 b 等于给了个角 b 等于四十五度啊，然后 ab 等于三倍根号二，然后 bc 等于九啊，所首先看到这两个条件啊，大家有感觉的同学，或者是说做的比较多的同学就应该能知道，这个 a c 就 能求出来了啊，怎么求呢？过点 a 做垂线啊，你得把四十五度放在三角形里边， 这样三角形里边，那这样的话就可以得到这两条边分别为三，那右边这个就是一啊，一二根号五的三角形，所以 a c 的 整个长呢，就是 三倍根号五。呃，接下来呢，又给了 a d 等于二倍的 dc 呢，所以说 a d 的 长就是二倍根号五，然后 dc 的 长就是根号五啊，那这个长度就得到了，然后点 e 在 b a 的 延长线上连接 e、 d 并延长交于点 f， d， e 等于 d a， d e 等于 d a 的 话呢，这也是二倍根号五了。 好，目前来说的话题里面的这些长度咱们就都标出来了，那接下来，呃，要进行分析的就是这个 d、 f 的 长度，对吧？那要放要求 d、 f 的 长度，一般来说得把它放在这个直角三角形里边啊，那第一个俯仰法就是放在直角三角形里边 好放吗？或者说好做垂线吗？啊？目前看起来好像不太好做啊，过点地往下做，或者往往这上面做都不太好去进行。那接下来呢，咱们再来分分析一下题里边的这些关键的信息，还有哪些没用啊？第一个就是四十五度啊，刚才稍微的用了一下，那第二个呢，就是这个两倍的关系啊， 这两倍的关系又应该怎么用呢？首先大家要注意啊，虽然说刚才这两个长度已经求出来了，但是这种线段的比例关系，在给你求长度的同时，可能还会带来一个比例关系，就是相似比， 也就是说咱们在这很有可能去需要你去构造一些相似三要素啊，比如说做一些平行线啊，比如过点 a 座，或者说过点 d 座啊，或者是过点 c 这样做啊，这做平行线的方法也有很多种，大家都可以去尝试一下啊，但是这个方法之间呢，也存在优劣性。嗯， 那究竟应该怎么做辅助线呢？别着急，咱们再来看题里面还有一个条件，就是 d e 等于 d a， 也就是说这是一个等腰三角形，这个等腰三角形的条件也要关键的要利用到啊。那看到等腰三角形 最先想到的，或者说大家十有八九都要做一条辅助线，就做这个垂直，对吧？比如说这个垂足了，那这个垂足了，那这个三角形啊，这两个三角形能不能求解呢？求解不出来，条件没有啊， 所以接下来大家就要结合刚才咱们分析过的东西啊，第一个就是二比一的相似，另一个就是四十五度啊，这三个条件结合起来，那怎么做平行线是最好的呢？过点 d 做这个 bc 的 水平的这样的一条平行线，为什么这样去做呢？因为首先第一个可以把这个四十五度转换的上面啊，这得到一个四十五度。 另外一个的话，咱们也可以利用刚才那个二比一的这个比例关系啊。呃，咱们知道这个 a d 和 dc 的 比例关系是二比一，所以说的话呢，呃，这个 a d 和 a c 的 比就是二比三啊，也就是说这两个三角形的相似，比呢，他就应该是二比三，所以 n d 的 长度就可以求出来他是六了。 n d 的 长度是六，那咱们就知道 m n 的 长度，这是一个等腰直角三角形，所以它就是三倍根号二了，那咱们刚才知道这个 a b 的 长是三倍根号二， m n 的 长也是三倍根号二，哎，所以说这个 b n 和 a n 和 a m 的 长应该是一样的，那它俩都等于多少呢？这个能不能进行一个计算呢？ 啊？也是可以的，咱们可以利用刚才的这个相似的关系啊，刚才这个比例关系是二比三的比例关系，而整个这一部分呢，就是二倍根号二， 所以这个 b、 n 的 长就是根号二啊，这是二倍根号二。再往上这也是根号二啊，那由三线合一又可以得到 m、 e 的 长也是根号二，所以整个这条边的长度合起来应该是根号二，根号二，二倍根号二，根号二啊，合起来应该是五倍根号二了啊，好，我把这个条件擦掉， 有整个这条边的长度，他应该是一个五倍根号二啊，那最后 d、 f 的 这个长度能不能求呢？能，因为这样的话也可以放在一组相似的三角形里边啊，咱们知道这个上下的这个比的话，这应该是 五倍根号二啊，比上上边这一部分是四倍根号二，也就是说右边的这个 e、 d 占四份， d、 f 占一份，所以是四比一，那用二倍根号五乘四分之一，等于二分之根号五，所以 d、 f 的 长就求解了。 但是这种方法呢，就需要大家进行一些分析，或者说具有一些这个呃，这个做题的经验啊，还有对于这些相似的构造呀，这些会 理解深刻一些啊。大家可能能想到这些辅助线的做法，那有没有更轻松的办法呢？有，咱们来具体的来用特殊角来解一下啊。刚才呢，已经分析出来了，过点 a 是 往下做了一个垂线啊， ab 是 三倍根号，这 b， 比如说这是 h 吧啊，那这是三，这是三，然后右边这是六，所以这斜边这是二倍根号五，这是根号五啊。那大家发现右边这个三角形，它是一个什么三角形呢？是一个一二根号五的三角形，所以这个角 c 的 度数，咱们就知道他应该是等于五十二度的，呃，这个五十三度的一半啊，应该是等于二十六点五度， 二十六点五度啊，那这个是标出来了，那咱们要求这个 d、 f 的 长度，那还得在首先想到的就是放在这个三角形 d、 f、 c 里边进行分析，那这个三角形里边有没有其他的角或者其他的长度还能再得得一些的呢？是有的，咱们再往这个图里边再标一标， 标一标就有了啊，别忘了刚才这是个等腰三角形啊，所以这个也是个二倍根号五，所以说这个上面这个角度也可以标了啊，这个角呢，是下面这个大三角形的外角啊，因为左边这是四十五度，所以四十五加二十六点五度，他应该是等于七十一点五度，所以这个角 e， 这也是一个七十一点五度。 好，接下来这个 d、 f、 c 这个角度呢，也可以求出来，因为它是这个左边这个三角形的外角啊，它的度数就等于等于四十五度，加上七十一点五度，那它就是七十一点五，加上四十五五啊六，然后就是一百一十六点五度， 呃，这个角度呢，就是一百一十六点五度啊，那角 d 啊，就是 f、 f、 d、 c 这个度数咱们也可以求了啊，这两个加起来就是，呃，一百四十三度啊， 他俩加起来是一百四十三度，那所以这个角呢，就是三十七度。哎，三十七度三角形，咱们也知道他很特殊，他是三四五的直角三角形，所以这个题就可以进行求解了啊，包含三十七度是三四五，包含二十六点五度是一二，根号五，所以过点 f 往下做垂线， 这个垂完之后呢，咱们就可以知道这个上面这个三角形是三四五啊，比如说这是三 x， 这个就是四 x， 斜边呢就是五 x。 好， 下边呢是一二，根号五呢，一份是三 x， 那 所以两份这就是六 x， 那 这样的话合起来整个就是十 x， 也就是说根号五对应的是十 x， 那 么一份就是根号五除以十， 然后最后咱们要求的是五份啊，那所以直接拿根号五除以十再乘五，也就是根号五乘二分之一就可以了，答案就是二分之根号五。 这种办法呢，对于大家而言，这个思维压力，或者是说这种对于大家基础能力或者辅助线的构造的这个要求呢，就会相对的低一些了啊，大家就可以利用这个特殊角的办法把它解出来，不知道大家在考场上有没有把它算对啊？关注我不丹老师，帮你解决所有数学问题。
106不难老师
04:36查看AI文稿AI文稿二零二六太原市二模数学第十五题首先我们来看这道题他给了哪些条件，第一个条件，角 b 等于四十五度。第二个条件， ab 等于三倍，根号二， bc 等于九。第三个条件，他给了 ad 等于二倍的 dc， ad 是 两份， dc 是 一份。 最后一个条件， d， e 等于 d， a， 最后让你求 d、 f 的 长。当我们看到第一个条件角 b 等于四十五度的时候，想到什么呀？等腰直角三角形， 所以大部分同学都可以想到过点 a 做 a g 垂直于 bc， 这样就构造了等腰直角三角形，就可以得到 a， g 等于 b， g 等于三啊，因为它是一比一，比根号二还可以得到角 b， a、 g 等于四十五度，给了 b， c 等于九，紧接着就可以求出来 c， g 就 等于九减三等于六，那么求出来 a g 和 c g 的 长，紧接着就可以求出来 a c 啊，也是 r t 三角形 a、 c、 g 中 a、 c 的 长就可以根据勾股定律求出来，也就是说它等于根号下 a g 方加 c g 方就等于三倍。根号五，第三个条件， a， d 等于二倍的 d， c， 哎，它给的是两个线段之间的这个数量关系， 我们也可以想联想到相似，对吧？最后他让你求 d、 f 的 长，那么我们可以联系相似去解决 它给的这个 cd 和 ad 的 这个数量关系，我们就容容易想到，哎，去构造相似，构造什么相似呢？构造 a 字形相似，也就说我们可以过点 a 做这个 a、 h 平行 e、 f， 它就可以得到三角形 c， d、 f 相似于三角形 c， a、 h 可以 得到 d， f 比 a h 等于谁呀？ c， d 比 a c， c， d 是 一份， a， c 是 三份，直接可以得到它是一比三，所以我们只要求出来 a、 h 的 长，就可以求出来 d、 f 的 长，那么 a、 h 如何去求呢？我们还有一个条件没有用，那就是 d e 等于 d a 好，那么 d e 等于 d a， 我 们想到了什么？等腰三角形的三线合一，等边对等角，比如说我们利用等边对等角，我们可以得到角 e 等于角 eac， 我 们又知道角 eac 是 三角形 a b、 c 的 外角，也就它等于角 b 加角 c 好，角 b 呢是四十五度，角 c 呢，我们比如说说它是而法吧，那么它就等于四十五度加而法，所以这两个底角都是四十五度加而法， 再结合两直线平行，可以得到同位角相等，也就是说可以得到这个角 b a、 h 等于角 e， 是 吧？也等，也就是等于四十五度加而法， 这样的话，我们就角 b， a、 h 呢，又等于角 b a g 加角 g a h， 也就是说角 g a、 h 等于 r 法，角 g， a、 h 和角 c 就 相等了，又又可以得到 一对三角形，相似谁呢？那就是三角形 g， a、 h 相似于 三角形 g c， a 可以 得到 a h 比上 c a， 哎，等于 a g 比 c g 就 可以求出来 a h 等于 二分之三倍根号五。最后我们再把 a、 h 带回去，刚才相似比是一比三的这个比例式中就可以得到 df， 就 等于二分之根号五， 所以正确答案是二分之根号五。最后我们再总结一下，看到四十五度，我们要想到等腰直角三角形以及边角关系，根据勾股定力去求出来一些应用的线线段。当我们看到等腰三角形的时候，我们要想到什么？等边对等角三线合一， 哎，当我们看到两条线段的数量关系的时候，可以联想到相似，最后构造相似，根据相似去求出 e、 f 的 长。
39初数张老师
11:07查看AI文稿AI文稿每天一道题，轻松学数学，各位同学们大家好，今天我们一起来看一下刚刚考过的太原市二模的第十五题。首先如图，三角形 abc 中角 b 是 四十五度。好，我们先标好角 b 四十五度， a， b 是 三倍根号二， bc 是 九点， d 是 a， c 上的一点，且 a、 d 等于二倍的 d， c。 好， 我们首先看到了这个四十五度以后啊，我们肯定会画一个辅助线，这是我们的突破口哈，所以呢，我们过点 a 去做 bc 的 垂线啊，把它分成了一个四十五度的等腰三角形， 所以呢， am 就是 三， bm 也是三，那么 mc 就 变成六了，对吧？好， mc 就 等于六。 好，又，因为我们 ad 和我们 dc 的 关系是二倍关系，所以我们现在可以算出来， ac 是 三倍根号五，所以 ad 就是 二倍根号五， c、 d 就是 根号五。好了，那么继续往后读题点， e 是 在 b、 c 的 延长线上连接 e、 d， 那 么且 d， e 等于 d a， 那 么这也是一个二倍根号五，它是一个等腰三角形。 好了，这就是我们所有的条件。问， d、 f 等于几啊？先说我们如果看到这个题上的数据，我们首先要想到的是要使用 特殊角的方法，那么他有没有特殊角呢？当然有了，对吧？我们除了能够看到一比一比根号二的这个数量关系以外，还看到了一个什么 三比六，那就是一比二吧，那一比二的特殊角就是二十六点五度。 好，遇到特殊角，那我们首先需要把这道题当中的所有有关于角度能求的都求出来哈。好，那我们来看一下这个等腰三角形的角度， d， a、 e 多少度？那这个又是四十五度加二十六点五度，好，七十一点五度， 所以角 e 也是七十一点五度，好。通过等腰三角形，两个角是七十一点五度，所以可以很快的得出来角 e、 d、 a 的 度数就是三十七度。 好，为了方便我们后面计算啊，所以因为看到了等腰三角形，我做一下三线，好，那每一个都是十八点五度，那也就是一比三的关系，对吧？一比三比根号十好，所以二倍根号五。我算一下，除以根号十，正好是根号二 好，那么 n、 d 的 长度就是三倍根号二好， n、 e 也是根号二好。其，此时这个题我们其实早就能做完了哈，我们把这个对顶角三十七度用好了，那么关于底下 d、 f、 c 这个三角形 两个特殊角了，是不是可以去列一个方程了？好，我现在使用放大镜啊，我把这个三角形给大家放大了， 好，这个是 d、 f、 c， 好， 这是三十七度，这个是二十六点五度，所以过点 f 去做 d、 c 的 垂线， 好，那我们可以去设一个未知数啊，三十七度所对的边是三倍的关系，所以我设是三 a 好， 四 a， 所以 这个是我来一个 g 啊，那 g、 c 的 长度就应该是一比二的关系，那么他就应该是六 a， 好，所以我们可以很快算一下啊，四 a 加六 a 等于根号五，哎，我们可以把 a 解出来啊， a 就 等于十分之根号五 好。最后的问题问的是 df， 那 df 在 这块是五 a， 所以 df 就 等于五乘上十分之根号五，所以答案就是二分之根号五 好，那我们这个题就是利用好了我们特殊角，把它解完的。好，我们接下来再来看第二种方法。那么我们学校里呢，老师呢，讲了很多种关于定比分点做平行的方法啊， 因为题目当中出现了这个二比一的关系，所以一定会用到相似三角形。好了，那怎么做呢？把前面条件我先都标好了哈，接下来我可以过点 a 去做 e f 的 平行线 啊，当然也可以过点 b 啊，去做 e d 的 平行线。哎，也可以，也可以过点 d 去做 bc 的 平行线， 也可以过点 c 去做 e f 平行线，方法太多了。好吧，那么李老师给大家先演示几种哈，比如说我就过点 a 去做 e f 的 平行线吧。当然同学们也可以将自己的方法我们写在评论区啊。好比如我教于点 m， 那么这样做完以后，我们来找找相似三角形吧。好，三角形 a b m 和 e b f 相似，这是一个。还有呢， a m c 和 d f c 好， 这是一个。好了，那相似比，并且我现在都知道，对吧？先来看这个小的 c d 比上 c a， 它的比是一比三，对吧？好，那 c d 比 d a 就是 一比二了。好，那我现在比如说我设 f c 是 a， 那 m f 就 应该是二 a 的 关系。 好，那我们再来看左面，左面的话， a e 比上 ab 是 二比三，所以 f m 比上 b m 就 也应该是二比三吧。好了，那我现在呢就知道了，这个就是三三 a， 又因为知道 bc 是 九，是不是我们可以把 a 求出来？好了，那我来列一下三 a 加二 a 再加 a 等于九，所以很快 a 就 等于二分之三。好了，我们就做出来了啊，那么问的问题是啊， dmdf， 所以 我首先得先把这个 am 是 不是先求出来？好，那 mf 等于几啊？ 因为三 a 三 a 的 话是 b m 三 a 减啊，咱就先算三 a 吧， 所以是二分之九，那 m n 是 不就知道了？就是二分之九减三，所以二分之六，那还是二分之三，对吧？所以 n m 就是 二分之三。 好，那我现在去求一下 am， 这是一个一比二的关系，所以算出来它是二分之三倍根号五。 好，再根据我们的相似比，是一比三的关系啊，所以 df 我 们就可以求出来了，那就是二分之根号五。好吧，那这个我们就用了两次啊，相似三角形好，再比如说，我们再换一种啊，看看同学们还有没有其他的方法好，我们再来一个。 好，还是这些条件啊？比如说，刚才李老师还说了一下，我还可以过点 c 去做，当然差不多了啊，做一下 b， 做一下 e f 的 平行线吧。 好，咱们这交于点 m， 我 们还是先去找一下这个相似三角形。 好，大家找到了吗？啊，先来看这个大的，对吧，这个大的肯定毫无问题哎，它是相似的，还有没有啊？啊，还有没有相似哎，这个小的也是一个 a 字，相似三角形，所以我现在要干的事情要想求 d f， 肯定是 e f 减去 e d， 哎，这么求， 对吧？好，我们先来看第一种啊，先看这个像素三角形，我们搞出来，因为是二比一的关系嘛，对吧，所以我可以算一下 em 的 长，对吧？因为这个是二，这个是一，所以这个是二，这个是一，所以这是二倍根号二，那我就知道了， em 就是 根号二， 好，它就根号二好，接下来我们再来看，还知道啥？ f c m c 是 不是也能求出来，对吧？因为这是二倍根号五，哎，这个是不是也就可以算出来，所以它是二比三的关系嘛？所以它就是三倍根号五，好，我们把已知能求的都算一下啊，三倍根号五， 好，接下来我们再来看另外一种，我再来看大的啊，我给大家画一下，好，这个大的 a 字三角形， 好，找到了相似比了吗？对吧？是不是在这块啊？我们可以给大家画一下，这是 好，这个是五倍根号三好呢？全场是六倍根号三，所以是一个五比六的一个关系，对吧？所以这是三倍根号五，它占的是六份，那 e f 是 不就能求出来了？所以我先去求一下 e f 的 长度。 好，那就是三倍根号五，乘上六分之五，好，正好我们约一下， 答案就是二分之五倍根号五，对吧？二分之五倍根号五。最后问的是 df 的 长，那么 df 就 应该等于 e f 减去 e d 二分之五倍根号五，再减去二倍根号五，所以正好答案还是一个二分之根号五， 所以也一样，对吧？他们的做题逻辑其实是差不多的，所以接下来同学们可以自行去操作啊，想怎么做怎么做，我只需要定一笔分点去做平行就可以。哎，你比如说我这样做， 对吧？我这样做的话，把这个擦掉了啊，好，那这样做的话，那我可以啊，看一看这个相似三角形也是 ok 的， 对吧？首先这是一个啊， a 字相似三角形，那还有没有啦，对吧？我们可以再找一下， 可以了吗？其实这个就现成的了，一步到位，我发现因为这个可以用特殊角，对吧？这个是可以用我们的特殊角度的啊，因为这是二比，哎，在这块啊，这是二比一的关系，所以这块呢，也可以算一下啊。好，那我把这个也算一下，这个是二倍根号二， 好，那这个就是根号二了，对吧？好，那我们就可以找到了这个相似比了，这是二二倍根号二，二倍根号二，四倍根号二，再比上根号二，对吧？那就是四倍根号二，比上五倍根号二，那还是四比五的关系，那所以这边也是四 比五的关系。好了，所以我们可以很快的求一下 df 乘好，那 df 就 等于二倍根号五， 应该是除以四是不就可以了，算出一份，对吧？所以就是二分之更好。好，也是可以做出来的。好了，同学们，如果你们有更好的方法，可以给李老师打在评论区。好，我们每天一道题，轻松。
16数学Li老师
09:48查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下我们的这个二模的这个填空题的十五题，首先呢，它给了我们这个角 b 是 四十五度，那这个角 b 四十五度，它的这个角就非常的关键了， 就是说它是一个特殊角，那么特殊角的四十五度，我们一般情况下就是要把这个四十五度去放在我们的直角三角形当中，所以根据这个条件我们就可以，而且它还给了我们 a， b 是 三倍根号二， 那么这个时候呢，我们就可以把通过做辅助线，把角 b 放在直角三角形当中，那就是过点 a 做 a m 垂直于 bc， 那这样的话，我们就可以根据，嗯，等腰直角三角形一比一比根号二来，嗯，得到 am 等于 b m 等于三， am 等于 b m 等于三。那知道了这个以后，接下来我们再看，它又告诉了我们 bc 是 九，那么 bc 是 九，我们知道了 b m， 那 我们就可以得到 c m， c m 就 等于 b c 减 b m， 也就是九减三等于六， 嗯，那这样的话 c m 就 求出来了，那 c m 求出来以后，我们就会发现 ac 我 们就可以直接求了。 ac 它也是在直角三角形当中的，那 ac 呢？就等于的是根号下的 am 的 平方加上 cm 的 平方 等于的是，嗯，根号下的三的平方加上六的平方， 嗯，等于的是三倍根号五，那 ac 求出来三倍根号五以后，那我们就可以根据这个条件把 ad 和 cd 求出来了，因为他说 ad 等于二倍的 cd， 那 说明呢，我们是把 ac 平均分成了三份， ad 占了两份， cd 占了一份，所以 ad 等于的是二倍根号五， cd 等于的是根号五。 好，这就是我们根据条件把能求的我们都求出来了啊。把能求的都求出来以后呢？接下来他问的是求 d、 f 的 长，那么一般情况下，他给了两条边的比的话，我们是构造相似的，这不是他给了 a、 d 和 c、 d 的， 嗯，这个 比了，那我们构造相似，我们一般可以构造那个八字相似，比如说我们可以过点 a 做 a、 n 平行于 bc， 那 这样的话这个三角形和这个三角形相似，我们这不是自然而然就可以把 d、 f 求出来吗？但是通过观察我们会发现 c、 f 的 长我们并不知道， 对吧？那 c、 f 的 长并不知道，我们这两个三角形相似，我们只知道 a、 d 和 c、 d， 其他边完全不知道，而且通过我们大大概的去观察一下，它也并不好求，所以说这个方法就 不能用了，舍弃掉了，那么我们就赶紧另外想办法啊。那另外想办法，我们再看它还有一个条件， 还有一个条件呢？它是 a、 d 和 e、 d 相等， a、 d 和 e、 d 相等，那等边对等角，这个是肯定知道的，对吧？嗯，那除了等边对等角，还有其他的，嗯， 用处没有。那么首先我们看啊，这个地方相当于是一个三角形的外角，它等于角 b 加角 c， 那 这个时候如果我在这再做一条辅助线 垂直，这记为 n， 那 我们会发现这是四十五度，那这个角它也是四十五度，那这就相当于是这个角 a、 e、 d， 它也是四十五度，我把这个地方记为角一，那么所以我们就可以得到，我们先根据角 e、 a、 c， 它等于的是四十五度加角 c， 而同样的道理，我们的角 d， e、 a， 它是等于四十五度加角一，而这两个角本身就是相等的，因为等边对等角，那由此我们就可以得到角一和角 c 相等，那角一和角 c、 e 相等的话，我们就可以构造相似了啊。 因为它都有两个直角，角 e 和角 c 又相相等，那所以我们就可以得到相似。所以三角形 e、 f、 n 相似于三角形 c， a， m。 好， 得到了相似以后，我们会发现，首先观察我们的这个 a， c， a， m， 我 们观察到这个 c， a， m 的 这个三角形，它的两条直角边 a m 比上 c m， 它等于的是三比六，也就是一比二的关系， 那这样的话，同样的道理我们就可以得到。嗯，我们就知道 f n 比上 e， n， 它这两条直角边的关系，它也是一比二。好，知道了这个以后，接下来我们再看哈。嗯，我们知道了这些以后，那接下来问题是 d f 我 们依旧没有 出来，那么我们可以再一次地做一个辅助线，我们把这个位置记为是 d j 垂直于 bc， 那么这样的话，你做垂直以后，我们会发现它的这个是 a 字模型，这不是 a， c， m， d， c， g， 这俩三角形可以又相似，三角形 a， c， m 相似于三角形 d， c， g， 那 这俩三角形一相似，我们就发现，我们就可以找了哈。首先 a c 比 d， c 等于 a， m 比 d， j 等于 c， m 比 c j， 那 么 a c 我 们知道是三倍，根号五 c， d， 它是根号五。好，它们的比例关系我们就出来了啊。然后 am 是 三，那 d j 我 们不知道。再来 c m 是 六， c j 不知道。好，那么这样的话，我们就根据它的三倍根号五比五，我们可以知道它们的相似比是三，那么相似比是三，我们就可以得到 d j 呢？就等于一， c g 就 等于二。好， d g 是 一了啊，这个 d g 是 一。有了以后，如果我们知道了 g f， 那 这个三角形 d f 是 不就可以求了，那么 g f 怎么求呢？那这样的话，还有一个 a 字三角形，就是三角形 e n f 相似于三角形 d g f， 哈，那它俩一相似，我们就可以得到 e n 比 d g， 嗯，还是一样的，我们的 e n 比 n f， e n 比 n f 是， 嗯，二比一的关系，那同样的道理，我们的 d f 和 g f 呢，它也是二倍的关系。那 d j 是 一了，那我们就可以得到 g f 呢？它就是 二分之一， g f 就是 二分之一，因为它的两条直角边 e n 和 f n， 它的两条直角边是一比二的关系，那所以我们的 d j 和 j f， 它也是一比二的关系，而 d j 是 一，所以 j f 是 二分之一，那 j f 是 二分之一，那这样的话， d f 我 们就可以求了，就是根号下的一方加二分之一的平方，嗯， 等于的是二分之根号五，这样的话，我们就把 d f 求出来了哈。这个题它，嗯，稍微会复杂一点啊，因为它的辅助线会多一些，而且用我们之前常规的做平行的那个 八字三角形相似的话，它没办法正，所以我们反复用到了这个四十五度角。所以在呃做题过程当中，一旦它出现了比较特殊的角的时候呢，我们就要 用到了啊，就要把它放在呃直角三角形当中去用了哈，好，这就是我们的这道题。
06:50查看AI文稿AI文稿我们还是从问题出发来倒推这个，解出来 df 所需要的条件， 不难发现 df 所在的这条线段 e f 上还有 e、 d 的 长度，是一个二倍的根号五。 也就是说如果我能知道 e d 和 d f 的 比的话，我们也可以求出来 d f 的 长度，对吧？所以要求线段比，我们得建立一个相似，我们可以过 e 点做一个 f c 的 平行线， 然后延长 a c， 好 比说相交于点 h， 我 们把 df 设为 x， 那 它的对应边是二倍根号五，那 dc 的 长度是根号五，它的对应边 就是 h， d 是 多少呢？我们可以表示出来，根号五去乘上一个 x 分 之二倍的根号五， 因为这是一个二倍根号五，所以 h a 的 长度我就可以表示成根号五，乘上一个 x 分 之二倍的根号五，去减掉二倍的根号五。问题在 h a 我 可以表示出来，那么 a c 呢？我们也知道，但是 ab 知道， a e 却不知道碰到这种情况应该如何处理。所以你一定要知道，从问题出发，我们要找的是条件，就是他缺少什么样的条件，这是处理问题的基本思路， 这也是永远不变的东西。那所以整个的问题就转化成了，我要求 a e 的 长度， 而 a e 是 在三角形 a d e 这个等腰三角形当中的底边，那要求底边怎么办？一般情况下我们会给它做一个 三线合一，我们可以过地点做 a e 的 垂线段，教他这个 a e 与点 i， 要先把这个直角三角形给解掉，而且直角三角形你得知道一边一角或者是两边那角，其实我们在上一条视频当中已经讲过了，这个角我们知道 它是四十五度加而法，也就是说这个角其实是 b， 它那就是它是一个一比三比根号十的 这样一个三边笔，而二倍根号五，它对应的是一个根号十，我们当然可以把 ai 给它求出来。问题是我如果这样去求，实际上用的是三角函数的方法，况且还是用的是一二三四五模型，所以我们能不能再还是用相似，我们可以去尝试。我们不难发现 d 点，它是在已知的 a、 c 这条线段当中， a、 d 是 d、 c 的 两倍，所以如果我过 c 点也向 a、 e 去做一条垂线的话，它两个是不是就是相似的？ 并且相似比是不是就是 a d 比上 a、 c， 它是一个二比三？那么问题就又转化了，我要求它 实际上就得求他，但我要求他又相当于求他，所以你想这个题的思路，他是得多么的连绵不绝，跟一个山脉一样，所以这绝对是体现解析思路的一道好题。 但是也不难看出来，从相似的这个角度去解他，他的难度是比较大的，那要求他怎么办？那我得看他所在的三角形是不是跟这个三角形是相似的，是正好还是个反义相似，反义相似可以， 而你看到 bc 边是九，这是个四十五度，其实他的长度你也可以直接求出来，那就是 一比一，比根号二，那就是九。乘上一个根号二分之一，就是二分之九倍的根号二。再利用这两个三角形相似比是一个二比三，那我就求出来了，它的长度 就是一个二分之九倍的根号二。去乘一个三分之二，那就是一个三倍的根号二， 所以 d i 的 长度有 a i 的 长度，我们就可以求出来，那就是 a i 等于二倍的根号五的平方，去减掉三倍的根号二的平方，再开放等于 二十，去减掉一个十八等于根号二。所以 a i 的 长度是根号二， 而 a e 的 长度是不是就是二倍的根号二？ a e 的 长度标在这就是二倍的根号二，那么这样一组比例关系式，我们就把它补全了。根号五 比上一个它的对应边是三倍的根号五，等于这个是二倍的根号二，比上它对应边三倍的根号二，那解了它就可以了。 x 等于二分之根号五，同样也能把它解出来。 这个题争议的地方也是在这里，因为一般情况下，相似和三角函数两个，你如果求难度 差不多就可以了，就怎么跟大家去解释这个事情。你好比说这边走相似这条路，这边是一个三角函数的路，那我这个 a 点过来之后，发现走三角函数是比较近的，从这走比较近，从这走就特别远，特别的绕， 那这也是这道题相对来说比较争议的一个地方，但是也正是因为它相似比较远， 所以他更加体现了我们说怎么样从问题出发，一步一步去推导去解析的 这个体现出思路的这样一个过程。所以说如果在考场当中，你在利用相似解析的时候，你会发现我这相似解析怎么要求的东西这么多，你不妨尝试一下使用三角函数去去解析， 你不能说我一条胡同走到黑，当然我们说正常的情况下的考题，他不会偏的这么严重，他至少好比说偏一点，你好比说这样一个不会让你偏差太大。所以这个题 a 了，我们去反思，就是 反思我们去构建思路的过程。相似的方法不止这一个，还有其他的，但是限于视频内容 我就不多说了。但是不论你用哪种相似的方法去做，你都绕不开我要把 a、 e 去求出来，或者把 f、 c 去把它求出来。好，关注大宝老师中考数学不迷路。
43『大包分享』
10:38查看AI文稿AI文稿二零二六山西中考前，太原市的最后一次的官方考试，市二模十五题，这对于我们还有二十来天就参加中考的同学们，绝对是太原市教研送给大家的一份大礼，没有之一。 对于我们同学几何题困惑已久啊，那这道题呢，不仅可以帮你扫除知识盲点，帮你疏理解题思路，这道题是真正可以让我们同学在考前有所突破的题目， 所以，果然还是上天有好生之德，现在啊，就看你这份大礼能不能接得住了。 可是每次碰到这种好题，我都会有些追追不完，一是因为视频长度有限啊，怕讲不出这道题的精髓。 二呢，是怕我们同学一看说，这题，我知道，我知道，答案我都会啊！可是考场上他不是说给你钥匙让你去开门，而是你要先找到钥匙。几何题啊，他考场上是不会有原题的，他多少种变化啊， 所以还是我那句话，答案不重要，解析不重要，分析问题的方法如果你掌握，才能真正让你在考场上无往不利，所以大礼就在这，现在就看这份礼物你能不能接得住了。 先看题，如图，已知三角形 abc 中角 b 是 四十五度， ab 等于三倍，根号二 bc 等于九点 d 是 a， c 上的一点 a， d 等于二倍的 dc 点 e 在 b， a 的 延长线上连接 e、 d 并延长交 b， c 边于点 f， 若 d， e 等于 d a， 则 d、 f 的 长为多少？条件清楚，那接下来我们一步一步按照思路去分析 d， 大家要注意，这是不变的东西啊，这是永远不变的东西。思路一， 首先就是从条件出发，我们看现有的条件可以推导出哪些固定的结论，注意，我说的是固定的结论，而这些固定的结论如果你不知道，那就是你的知识盲点， 你一定要抓紧这二十天的时间去逐一把它攻破。那我们先看啊，从条件出发。 abc 这个三角形当中有两边和一角，这个三角形是可以把它分割成两个直角三角形 分别求解的。如果这个你不知道，你一定要注意，这个是一定得知道的，这个是一定要考的，一定会得，会的啊，不仅十五题会，二十三题也会。 那么我们做 a、 g 垂直于 bc， 在 左边的这个直角三角形当中，四十五度所对应的三边比是一比根号二，所以它的两个直角边都是三。 因为 bc 等于九，而 b g 等于三，所以 g、 c 等于九，减三就是六。 我们看右侧的直角三角形当中， a、 g 等于三， g、 c 等于六，那么这是一个一比二，所以 a、 c 的 长度是三倍的根号五，就一比二比根号五，所以它的小锐角我可以用一个 r 法给它标记出来，因为这个角所对应的三边比已经有了。而因为 a、 d 等于二倍的 dc， 所以 三倍的根号五，我们可以把它按比分配得到。 a、 d 的 长度是二倍根号五， dc 长度是根号五， 所以 ed 的 长度和 ad 的 长度都是二倍的根号五， 你还能得到什么结论？因为他是等腰三角形，所以两角相等，对不对？还有其他结论吗？哼，就是目前为止没有了， 那目前为止再往后坐就要分，就要分分岔路了，注意分岔路到底往哪个方向去走，这个时候如果没有目标，你就会很尴尬，所以你要看清楚他的目标在哪，所以这个时候要怎么样？ 我们要从问题出发，这就是固定的思路啊，永远是这样的，我们看 题目当中所问的边 d、 f， 它所在的三角形是不是 d、 f、 c， 而这个三角形 d、 c 长度我们知道，角 c， 我 们知道是角 r， 法 又知道一边一角，那是不是我要还知道一角？所以这个问题就变成了，我要寻找角度，哈，寻找寻找角度， 那所以呢？在所以在 a、 b、 c 三角形当中，角 b 四十五度，这个角是角而法，那它的外角我可以表示出来吧，它就是四十五度加而法，所以这个角是不是也是四十五度加而法。 在三角形 e、 b、 e、 f 当中，这两个角都知道，所以一百八十度去减掉四十五度，再减掉四十五度加而法 的和等于一百八十度减掉四十五度减掉四十五度减掉而法等于九十度减而法。 所以这个角的角度我们知道了，就是它九十度减而法。如果把它放在直角三角形当中， 我们可以给他做一个 d h 啊，可以给他做一个 d h， 那 么在三角形 d、 h、 f 当中，他就是九十度减而法。而另外一个锐角是不是就是而法？所以 两角一边，我们可以把它射出来了啊，可以把它射出来了。耳法对应的是一份，林边是两份，斜边是根号五份。 耳法对应的是两份，那么它的林边对应的就是四份，它的斜边对应的就是二倍的根号五份， 所以数量根号五所对应的分数是二倍根号五，我们要求的是根号五，那劣势就是根号五去乘个二倍，根号五分之，根号五约分 等于二分之根号五，得解。从条件出发，我们分析到三角形 a、 b、 c 是 过 a 点做 b、 c 的 垂线，把它分成了居于两边的两侧型的双直角三角形。而对于从问题出发的时候，我们分析到需要 把三角形 d、 f、 c 转化成一个同侧型的双直角三角形，如果这两个当中你就知道该干嘛了，对吧？ 你说这个点两侧型的常考，这老考了，但是这个不常考，但是这个题他就出现了，所以你说是不是上天送给我们的礼物 哈？好，我们再接着看。接下来是有一些效外的东西在里面啊，就在三角形 a、 d、 e 当中，这是个等腰三角形，它的两个底角我们都知道，所以呢，我们可以把顶角给它求出来。 那么一百八十度去减掉两个四十五度加尔法，他等于多少呢？等于一百八十度去减掉九十度，再减掉二尔法，那就等于九十度减二尔法。那九十度减二尔法又是什么？ 就如果你接触到一些效外的东西，一二三四五模型你就能够看出来，因为在一二三四五模型当中，尔法加贝塔 的两倍是九十度，也就是阿尔法加二贝塔等于九十度，那是不是九十度减阿尔法就是二贝塔呢？所以这个角他是二贝塔，那二贝塔所对应的三边比是不是就是 三比四比五？我们放大来看， b、 c 是 根号五，这个角二倍，它所对应的是三比四比五，所以我们过 f 点把它分成 左，分成左右两个双直角三角形，这个角是 f， 这个角是二倍，它二倍，它对应的三边比，我们说是三比四， 比五，而而法对应的三边比是一比二，那这是三，这是不就是六啊？所以根号五对应的分数就是四加六，就是十， 那么要求的 df 又出来了，等于根号五乘个四加六分之五，哎，就是 就是二分之一，那就是二分之更好。那当然啊，这个就比较拓展了，这个是一个校外的东西，叫做一二三四五模型，有兴趣的同学你也可以看一看。但是这个模型的话呢，也不是一下子可以了解的， 我的建议是我们同学先掌握在内的方法就是至少两侧形的双直角三角形和同侧形的双直角三角形。你看包括使用一二三四五模型之后，这个我们同样是把三角形 d、 f、 c 分 成了 两，分成了两侧形的双直角三角形，我们来去解它的，对吧？啊？这是它不变的东西，好角的，我们就讲这么多。
210『大包分享』
06:30查看AI文稿AI文稿来吧，伙伴们，太原市中考数学二模的题目已经出炉了，我们来看一下填空题，实物题。这道题的答题方法呢，会有很多种啊，那么在这呢，尤老师着重给大家介绍两种比较巧的方法，其他的方法，比如说过定比分点做平行了，或者是一些利用其他的相似类似的方法去处理都是可行的。 ok， 来我们一起来看一下填空题，食物题题干，我不带大家做过度的解读了，我们直接把有效信息填到图当中，第一个给了角 b 四十五度，然后 ab 呢是三倍，刚好二，还给了 bc 的 总长是一个九，还给了 ad 和 dc 的 比例是二比一，给了 d e 和 d h 长度相等，求 d f。 好了，首先我们先一会再说方法的开端，我们第一步呢，首先大家先过点 a 做上一个 b c 的 垂线， a m 我 们先求其下一些相关长度， a m 等于三， b m 等于三，所以 mc 长度大家能求下是六。 然后借助三角形 a m c 当中的勾股定律，这是一个一比二比根号五的三角形，所以我们可以求出 a d 的 长度等于三倍根号五，结合 a d 比上 dc 二比一，所以我们可以求得 a， d 等于二倍根号五， dc 等于根号五。 好了， d 的 长度和 d a 长度相等都等于二倍根号五。好了，接下来我们把该标的标完之后，开始我们的挑战。第一个方法， 一个方法也可以说是最妙的一个方法，就是我们纯倒角，然后只需要借助一个特殊比例叫一比二比根号五，就完全可以把这道题解决清楚了。来，我们看一下角度怎么去倒腾。 首先我们把角 c 记作一个 r， 然后呢，角 c， a， m 是 一个九十度减去 r， 然后根据三角形外角的关系， e， a， c 的 度数是四十五度角加上阿尔法，那么角 e 呢？是等腰三角形的底角，四十五度角加上阿尔法，再求一下谁呢？放在三角形 b， e、 f 当中，我们求 e、 f， b 这个内角的度数，刚好求下九十度减去阿尔法。 好了，那么要求的 df 附近有一个特殊角，叫九十度减去 r 法，而九十度减 r 本身所在的三角形就是一个一比二比根号的三角形，所以我们九十度减 r 法也是一个特殊角，所以我们大家要求 df 长度，我们直接过点 d 做上一个 bc 的 垂线，我把垂足点记作 n， 我们在这个 d， n 当中直接求一下 d， n 或者 n、 f 的 长度就可以了。来 d， n 垂直于 bc， 记住刚才的 am 也垂直 bc， 我 们可以看到一个平行相似， 平行 a 字相似，那么比例关系很容易得到。 c， d 比上 c， a 是 一比三，所以 d， n 比上 am 也是一比三，而 am 的 长度是三，所以我们可以快速得到 d， n 的 长度，等于一 好了，出来它之后，我们直接放在 r、 t 三角形 d， n， f 当中，直接利用一比二比根号五的比例求解即可。 我们看一下 d， n 的， 它刚好是两份，而我们要求的 d， f 长度刚好是根号五份，所以 d， f 的 长度就出来了，用一除以二，再乘根号五，答案等于二分之根号五，直接快速解答就可以了。 好的，这是我们最快捷也是最妙的一个方法，而且借助的都是我们肠胃的知识点来，接下来我们再看第二个方法， 第二个方法呢源自于就是这道题当中呢出现了一个一比二还四十五度的一些相关关系，很自然的会让大家想到会不会有一二三四五没毛病这个题。我们接下来的方法就是利用一二三四五，然后结合上谁呢？结合上整一个三角形，当中 e， a， e， b， f 也好，出现了有美式三角形， 所以我们第二个方法给大家采用的是一二三四五模型法，加上两次美式定力去处理就可以了。 哎，那么首先第一步呢，我们需要利用这个等腰的特性，见等腰我们可以做底边上的垂线构造三线合一的内容，我们把它记作 n， 然后我们呢开始倒角，我们角 c 是 r 法 角 e， a， c 刚才倒了一下是四十五度角加上阿尔法，所以大家可以利用三角形的角和求 n， d， a 的 度数是四十五度角减去阿尔法。 好了，大家看到了阿尔法的正切值比例是一个一比二，那么四十五度减阿尔法，它的比例就是一比三，所以在 a， n， d 当中 一比三比根号十。哎，我们就可以求一些数据了， a， d 的 长度是二倍根号五，所以呢，由此我们可以求出 a， n 的 长度等于根号二，由于三线合一的性质，我们也可以得到 n， e 等于根号二，所以呢，整一个 a， e 的 长度就是二倍根号二。 好了，这些数据有了之后呢，我们接下来就可以用多次的梅尼老师定义去处理了。首先我们先用 a、 b、 c 这个梅式三角形，它的梅式线呢是 e、 f， 由此我们首先要导一个 b、 f 和 c、 f 的 比例来，我们先看第一组梅尼老师定义，我们从点， a 出发， a， d 比上 dc 乘上 fc， 比上 f， b， 然后再乘上 b， e 比上 e， a 等于一 来我们带进来， a， d 比上 d， c 是 二比一， f， c 比上 f， b， 我 们要求然后 b， e 比上 e， a 刚好是五比二，所以最后等于一，可以求得 f， c 比上 f， b 等于一比五。 好，这是在我们 a、 b、 f 这个媒是三角形当中。接下来我们回到要求的 d、 f 所在的媒是三角形，叫 b， e， f 媒视线是 a、 c。 所以 我们比如说从一点出发，我们来构造媒是定力可以得到的是 e， a 比上 a， b 乘上 b， c 比上 c， f， 再乘上 d， f 比上 d， 结果就等于一 来我们把数据带进来， e、 a 长度呢？比上它是二比三，然后乘上 bc， 比上它是六比一，再乘上 d， f， 要求比上 d， e 是 二倍，根号五等于一，所以直接就把 d、 f 求解出来了，等于二分之根号五。解答完毕了。 好了，这两个方法可以说就是大家所有的方法当中最巧的两种方法，其他的方法当然大家都可以去尝试，还有很多的内容都可以去做。好吧，在这我就着重给大家讲一下这两个技巧性的方法 好了，大家下来之后，可以把这两个方法认认真真的在这个题目当中好好的纠结一下。好了，你学会了吗？关注尤老师学习数学不迷路，满分不是梦！
45游中华讲数学
20:45查看AI文稿AI文稿大家好，我们现在来看一下，嗯，刚结束的这个太原市二模的一到十四体一个简单的分析，然后整个来说这个这次太原二模的话，嗯，总体的一个 题型情况都比较正常，然后题型的话也没有什么太偏太难的，个别个别的地方啊，细节上发生了一些变化。比如说第十题他没有考咱们那个常见的阴影部分的面积啊什么的，他把 圆这块呢放到十四题，这有一个弧长的一个计算，然后总体的这个选择题来说，他这个难度的话，一到五题的话就是一星的难度啊，一颗星他基本上是顺分题，就是最最基础的一些定义啊，运算什么的啊。然后 六题开始到九题吧，就有一点的灵活度，需要计算的计算量也有需要你思考一下才能去选选出正确的答案。然后第十题的话， 第十题的话就是稍稍有一点的综合度了啊，而且有一点点就是给你挖的那个陷阱的意思，就是你不小心会掉到那个他挖的坑里头啊。这个是总共选择题的部分，那填空题的话是 十一十二都是比较简单，十三题的话 需要我们简单的进行一些计算，它是一个反比零函数，在以实际问题为背景下的一个对准问题的计算啊。 然后十四题的话，原理头弧长的计算问题，但是它结合了这个五边形，它比较综合啊，它这里面要涉及到你求弧长的话，会涉及到一些 圆心角啊，半径，需要结合起它具体的背景啊。咱们从第一个来一个个来看一下啊。第一个第一题的话， 第一题它是一个考察一个答案的有理数的绝对值问题，这个很明显啊，很明显这个答案就不用说了，它绝对值越小，然后它的型号越强啊，也就是数字看起来越小的。 然后第二题是他考察的是个轴对称图形，那轴对称图形简单的来说他就是对折起来能重复的图形，这个图形就是轴对称，所以我们不要局限的就认为他只能是横平竖直的去对折的时候 才能是轴对称图形。像正确选项 a 的 话，它是需要沿着这个外框线这个正方形的对角线去对折的话，它才能两边图形的两侧才能完全重合，才是轴对称。然后第三题的话是 密运算，乘方运算，简单的一个结果啊，就是密的本质运算是到底什么 mx m 个 x 的 话，他就是 x 的 m 次方啊，然后他又算了的逆匀算的乘方，匀算到底最后是什么？这个是七年级的时候学的啊。然后第四题的话，第四题他考察了三十图三十图，这里面需要注意的就是 b 和 c 肯定都能一下看出来是 bc， 但是这里头不一样的， b 和 c 就是 实线和虚线条数的区别， b 是 两条虚线， c 是 一虚一实，所以这这个需要我们去学会去判断，一般的这种三十图的选项里头都会 考到这个虚线的问题啊，所以他虚线就是你最后要求的是左视图嘛，对吧？所以要要求的是左视图，那叫他从这个左侧去看过去，左侧看过去的话，他会有挡的地方， 挡的地方比如说这个这条线他是挡的地方，他就是虚线，然后还有另另外一条像这这块的，他从左边这个视角去看，他也是虚线，所以应该是选项 b 两条虚线啊， 所以他主要考察的是这个虚线的识别，至于这样子外观的话，我觉得 一下都能看出来。然后第五题就是啊，你会发现最近几次的考试啊，他这个科学计数法不是单纯的就是直接来一个数字，让你把它表示出来什么，他会融入一个什么简单的一个计算，需要我们简单的进行一个预算以后 得出来的数字，再用正确的科学计数法去表示，所以这儿是你看他写的是每秒可处理数据这么多条，那运行三千六百秒后， 这个最后的处理的数据量用科学计数法表示。所以我们这个先需要我们去计算什么，二点五乘以十的六次方，再乘一个三千六，需要把这个东西算完以后啊，再去选，那最后就是九乘十的九次方条啊。然后那么前面这五道题的话，就是 基本上算是顺分题啊，大家应该一般是没什么问题。然后第六题的话需要你进行一定的几何计算，咱们仔细看一下这个第六题啊，第六题是一个三十度角直角三角板的 a、 b、 c 和一个长方形的直角， 然后摆放出来一个图形里头的一些度数的计算，角 b 等于九十度，这个地方是九十度，然后角 c 是 三十度啊，这是个三十度角的直角板，他们两个分别为，嗯，直尺的一条边交于 d 和 e， 然后告诉角 r、 f 是 五十度，这个是五十度， 然后要求的是 a、 d、 e 的 度数啊，要求的是 a、 d、 e 的 度数。 我们现在的话就是要求这个度数的话，我们要么是把这个三角形 a、 d、 e 中另外两个角的度数算出来，用一百八去减掉，利用内角和一百八啊。再一个要么就是求这个角，对不对？ 你要求 a、 d、 e， 它这个是个和，它 a、 d、 e 是 个对零角，所以如果这个角求出来，那 a、 d、 e 也算，那这个角你会发现这个地方是个直角， 你能不能看出来？看出来这个地方有我们学过的一个模型，什么模型啊？你看包括这个线和这个直角，然后到这个地方就把从从这儿 开始往这边呢？咱们不看啊，咱们不看，给他放起来，他是不是咱们学过的这个主体模型这个样子啊？这两个线是平行的，然后呢？这个角是九十度，对吧？这个角是九十度，然后这个要求的是这个角，所以我们如果知道这个角的话，那这个也求出来了， 现在的话就转移到求这个角啊，这个角再看他和这边也是个对顶角，所以就这个知道了，他就知道了，那么接着来往后推， 那这够了， r 角是五十度，那五十度可以很明显可以看成是什么，这个角和角 c 的 一个外角，所以五十度等于角 c 加上这个角，角 c 是 三十度，那这个角就是多少度，就是二十度，那转移到这他就是二十，他这二十的话，用猪蹄模型， 这个朝右开口方向的角等于左边这两个角的和，那这个是二十度了，那这个就是多少度啊？就是七十度啊，这个也就是这个地方的角就是七十度，他和所求的 a、 d 是 一个 对顶角，所以最后 a、 d、 e 就是 七十度啊，这里头考察一个平行线常见的一个模型，主体模型。然后第七题是概率问题定义的一个理解啊，他一般以某一事情发生的概率是二分之一，那这个二分之一怎么去理解啊？ 那 a、 a、 b、 c、 d 的 话，这很明显啊，该事件一定会发生五十次，肯定不是第一次没有发生，第二次一定会发生，这也不是啊，这也不确定该事件必定会发生一次，这是一个意思啊， a、 b、 c 其实是一个意思，然后我们回归到概率的 本身的，他是怎么定义概率的就能知道了，他是频率啊，概率是一重复做一个事情，他的频率稳定在多大，那说明这这个事情发生概率就是多少，所以最后是选项 d 啊。第八题是考察了圆， p 是 圆外的一点，然后而且考察这里面什么出现了切线啊？ pc 和 p b 都是切线， a、 c 是 圆 o 的 直径，那这都是常规的圆考察的一个，嗯，点啊，就是点，那考察了圆的直径啊，圆的直径就会想什么 直径所对的圆周角是直角，对吗？还有一个是切线，那切线就是已知的切线，我们肯定是要去找他的半径，去找他的半径，所以我们现在的话，那肯定是 pp 是 他的一个切线， p、 c 也是切线呢， a、 c 已经连起来，所以现在的话我们就会去想先把这个起来，这是 p、 b 的 切线，连起来半径以后，它 o、 b 就 垂直于 p b， 对 吧？然后还有一个就是 a、 c 是 直径，我们会去想着去连这个 b c 啊，连起来它所对的圆周角就是直角， 那这样的话，我们需要的就通过已知条件想到的都给他，把这个辅助线就是水到渠成的就给做出来了。做出来以后咱们先再看他要求的 p 的 度数， 你看这辅助线连完以后， o p 垂直于 p b 对 不对？ o c 垂直于 p c， 这都是两条切线得出来的结论。那这样的话， p b、 o c 这个四边形一组对角是加起来一百八，说明他们 四点是共圆的啊。 p b、 o c 四点共圆，也就是另外一组对角共圆的四边形的任意组对角都是一百八，所以它和角 p 就是 和，就是一百八， 那要求角 p 呢？这个角求出来角 p 就 知道了，这个角又是什么？这个角是不是又等，又是它的 aob 这个三角形的外角，它和它的和就等于角 boc， 那 看再看这个 a 角，这是多少度啊？角 a 是 六十五度，对吧？那 o a 和 o b 又是半径，所以角 b 这个地方也是六十五，那总共这个外角就等于它俩的和的话，就是一百三了，对不对？一百三十度了，那它们和 p 又是互补，那就是五十了啊， 这样的话就是 c 选项就出来了，然后第九题，第九题就是简单的一个图像的理解， 这个题的话他其实难度也啊没那么大，然后仔细看图的话都能选出来。 a 选项是碳酸钠的溶解度随温度的升高而增大，你会发现他是一个曲线有下降的时候，所以他不是一直 增大的，这个就不选二十摄氏度是氧化钠的溶解度大于碳酸钠的溶解度，这个是很明显，是不是二十度的时候，碳酸钠在这，氧化钠在这，所以这个 是正确的。绿化，那的溶解度随温度的升高而显著增大，这个明显是基本上趋近于一条直线，所以他不是显著增大， 这是很明显的错误。绿化，那他和那的溶解度相同的时候，他的温度是三十度，那这个虚线他指的是相同的 一个点，那这个时候他还不到三十度，所以这个是不对的，这个很正，很明显的就能把这个正确选项 b 选项就选出来了啊，其实是很好办排除的，就是你仔细的去看图，就能选对这个图题。 然后第十题，平面坐标系统三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 x 轴负半轴上，顶点 b、 c 在 y 轴上，且关于 x 轴对称，将 a、 b、 c， e， x 轴正方，正半轴方向平移，那说明这道题是以考察的是平移这个知识点啊。我们看到这个平移的话， 我们就会就去想，平移有几个要素啊？平移有两大要素啊，一个是平移的方向，对吧？平移的方向， 再一个是平移的距离啊，平移的这个两个要素要知道了，我们就能知道从什么地方去下手。 abc 的 对应点分别为 e、 f、 g， 那 就是 abc， a 平移到 e 上， b 平移到 f 上， c 平移到 g 点上。所以还要知道 平移过程中每一组对应点它平移的距离是相等的啊，每组对应点平移的距离相等，所以我们来看完以后，它 f、 a、 a 点的坐标是个负三零啊，这个地方是负三零， f、 g 坐标分别为 ab 和 cd， 然后怎么去看这个选项啊？ 你要知道 f、 g 分 别是由 b 点和 c 点平移过去的对应的两个点，原来 b 点和 c 点它是什么？关于这已知条件都说了， b、 c 是 关于 x 轴对称啊， 在外轴上，并且是关于 x 的 对称，那既然是关于 x 的 对称，说明它 ob 和 o c 就是 相等的，而且是一正一负的，一正一负的， 那它平移到 f、 g 这个这个地方的时候，那仍然是关于 x 轴对称，所以它俩的重坐标啊，它俩的重坐标 b、 d 肯定不可能相等，对吧？一个在上面，一个在下面，首先我们可以通过这个， 我们把 a、 c 这两项就排除了，对吧？ a、 c 这两项就排除了，那剩下的测 b、 d、 b、 d 的 话， 那 b 加 d 等于零，这个没问题啊，它关于 x 走对称，它它一正一负加起来，是啊，抵消了。然后 b 和 d 的 区别就是 a， 一个是 a 等于 c 等于三，一个是 a 等于 c 小 于三，这就是考考你什么平移距离， 平移距离的话啊，咱们很明显的是 x 走上的这个啊，从 a 点到 e 点，从 a 点到 e 点的坐标是负三到零，也就 o a 的 长度是个三， 那 o、 a、 e 他 要求的是什么？这有一个细节啊，一定要看，当点 e 在 三角形 a、 b、 c 内部的时候，说明什么？ a、 e 肯定是小于三的，是吧？如果这个 e 点 a、 e 要是大于三的话，那他就跑到外头了，是不是大于三的话，就跑到外头了？因为 o、 a 是 个三吗？所以从这就能确定他是小于三的选项 d 是 正确的啊，这就是前面的一到十题的选择题，咱们接着看填空题， 填空题的话，第一题是要简单的一个二次根式的化简，这个不用说了，这个二维根式我觉得大多数都能一眼都能写出来。然后再看十二题，是考察统计中的一个简单的判定好坏的一个填空题，然后给了四个同学，要 从中选出一名成绩好且发发挥稳定的同学参加最后的比赛。最合适的是什么？ 成绩好且发挥稳定，那成绩好这个首先是他们是从什么地方，从方差和平均数这两个这两个角度去考察，那成绩好的话，首先平均数一定要是好的，对吧？平均数要好，然后发挥稳定的话，就是方差要小的， 那么咱们去咱们去比较，就是他横轴表示的是平均数，重轴是方差，然后那平均数首先要有好的，那 甲乙是在前面啊，在前面，那肯定就把甲乙这个排除了，对吧？剩下就有丙和丁来去判断哪个好，那方差小，方差小就是越低是越小的，所以 丁也排出来，对吧？仔细一下，丙这个就是丙同学最合适参加比赛。这个第十二题，第十三题的话，第十三题是一个考察了我们一个反比例的 表达式的运算啊，他一开始是匀速行驶的，速度是三米，然后前引力是 二十，那首先根据题的话，他这个前引力是和速度是成反比例的关系呢？就是 v v 分 之 k， 先把他正常这个你说这个 k 的 话，就应该等于 f v， 那 f 是 二十， 对吧？ v 是 三，所以这个 k 就是 六十，这样的话我们把这个表达式就能算出来是 f 等于 v 分 之六十。 然后最后问你的是，为保证这个耕地的效果，牵引力 f 不 能低于四十牵牛，然后拖拉机的速度的最大值它不能低于这个。这个地方啊，有一个大小关系是不低于，就是 i， 说明 f 是 大于等于四十， f 大 于等于四十，在这就是它大于等于四十，是吧？反过来推出来就是 v 小 于等于四十分之六十，那换讲一下就是等于二分之三啊，答案就是这就是二分之三啊，这个是十三题， 然后再看十四题啊，十四题刚才一开始就提到了它这个考察一个五边形和圆弧的一个结合， 那要求最后要求什么？他这个对称图形啊，他是由两个五边形和两组弧构成的，那他 啊告了一个边长，五边形的边长是个四后这个轴对称图形的周长，也就是最外圈的这一圈的周长。那你先观察他这个周长是由哪些线条构成的啊？你看会发现他是由 一个边、两个、三个、四个、四条五边形的边长加上两个上下两个圆弧构成。所以我们现在 四条边长的话是四四十六，这个就不用说了啊，十六加上主要是两个弧长，两个弧长要求弧长最关键的就是把它的半截和圆形角确定了，那这个要确定它的圆形角的话， 就要涉及到什么，谈谈就说这个角二 c、 a、 d 要确定它圆形角，因为两个上下两颗是全等的，所以我们算出来一个乘以二就可以了。 求它的圆形角会发现它是和五边形的两个内角加起来是总共是三百六，所以我们这里头又考察了五边正五边形的一个内角的计算啊， 那他五边形的内角和的话，就是五减三乘一百八，他是五百四，这是五边形的内角，那内角和除以五就是一个的，那算下来是一百零八，对吧？一个一百零八，两个就是二百一十六，三百六减去二百一十六，他是算下来是一百四十四，对吧？ 圆心角是一百四十四，那弧长公式的话，就是等于一百八十分之 n， 一 百四十四乘以派，再乘以它的半径就是五边形的边长乘以四，那这样圆一下就算出来啊，分之三十二派，那最后就是十六加 五，分之三十二派，就它的周长啊。好了，这就是前面的一到十四题的一个简单的 说明啊。总的来说这个题还是比较中规中矩的，就是灵活度以及结合实际问题的。这个这个题比较侧重了，就是 灵活性增强了，不光是比较死的，就是概念记住就可以了。比如说像这个第五题这个地方啊，他需要我们去简单的一个计算，而不是说是看到一个科学计数法直接就给你写完。
17婉男
02:27查看AI文稿AI文稿来，我们看二模的十五题，暂停屏幕，先读题。这道题一题多解，方法很多，咱们为了快速出视频，就说一种方法，想到啥说啥啊。 角 b 四十五度， ab 三倍，根号二，立刻过 a 点做 ag 垂直 bc， 把三四十五度放在了等幺二七三角形中，这是三，这就是三。由于人家说 bc 总长是九，那么 g、 c 长度就是六，所以你要重点关注角 c， 它就是一个一比二比根号五的 直角三角形的小锐角。再观察，人家又说了个 a、 d 等于 d， e 对 不对？所以这个等腰三角形，两底角相等， 这个 e、 a、 d 的 底角它的组成我们观察一下，由外角是不是角 b 加角 c 加出来的，所以这个角 e、 a、 d 的 组成是由一个四十五度角加一个一比二比根号五的小锐角组成的。 明白这个事之后，那角 e 是 不是也是由一比二比根号五的小锐角组成和四十五度加出来的？ 所以这个思维就是我们这道题的突破口。过一点，如果我们做一个垂线段，比如说叫 em， 那 么左边这个角肯定是四十五度，右边这个角自然就是一比二比根号五的那个小锐角，他和角 c 是 等大的。这条信息太重要了，说明右半了。这个 emf 直角三角形自身比就是一个一比二比根号五。好的，那你要求 df 的 长，那 df 这条边不是跟 ef 共线吗？ 所以我们赶紧过 d 点，也做一个 d h 垂直 bc， 那 这个小小的 r、 t 三角形 d、 h、 f， 他 是不是自然也是一个一比二比根号五的直角三角形？没有问题吧？再看题中有一个重要的信号叫 a d 等于二， d c 说明 d 点是个三等分点， a d 比 dc 等于二比一。那么 cd 比 ca 不 就是一比三吗？好的， cd 比 ca 等于由正 a 字，看这形成的这个正 a 字相似。比 dc 比 ca 是 不是就等于 d h 比你的 ag 啊？ d h 比 a g 是 不是也等于一比三？那你 a g 相当于三， d h 它就等于一好， d h 等于一了。由刚才咱说的这一个 r t 三角形 d h f 是 一比二，比根号五，这不就简单了吗？ h f 是 不是就等于 d h 的 一半等于二分之一？ d f 就 等于 h f 的 根号五倍二分之根号五，简简单单搞定。
113太原雷哥五大校教育团队
08:27查看AI文稿AI文稿太原二模第十五题我们说三种方法，题中知道了 a、 d 与等于二倍的 d、 c 知道比例，我们做平行线， 做了平行线，我们就可以知道 a、 d 与 a、 c 的 比是二比三，那么 d、 j 的 长我们就知道了，它等于 六，因为 b、 c 是 九， a、 j 和 b、 j 的 长也知道了 a、 j， 它就等于二倍根二， 那 b、 j 就 等于根二。 我们又知道 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等等腰三角形三线合一，或者我们发现角 b 是 四十五度角， d、 j、 e 也是四十五度见四十五度向等腰直角三角形。所以我们过点底做垂线， 它就有多重作用。 b、 a 长是根二， 那 d、 a 长是六等腰直角三角形，就可以知道 d、 f 的 长， d、 f 的 长就是三倍根二， 那么 a、 f 的 长 就等于根二， g、 f 是 三倍根二， a、 g 是 二倍根二， a、 f 是 根二，那么它就等于 ef 的 场三线合一。 在三角形 ef 地中，利用勾股定律就可以求出 e、 d 的 场是二倍根五， 而 j、 d 平行于 b、 f 利用平行线分线段成比例， e、 j 比 j， b 就 等于 e、 d 比 d、 f， e、 d 知道， e、 j 知道， g、 b 知道，所以 d、 f 的 长就求出来了， d、 f 就 等于二分之根。 这是第一种做法。 第二种做法，我们知道角 b 是 四十五度， 角 c 不知道，那么我们可以设角 c 为 r， 那 么这个角角 d、 a、 e 的 度数就是四十五加 r 了， 那么角 e 的 度数和角跌液度数相等也是四十五加二法 利用三角形内角和定，就可以知道角 d、 f、 b 的 度数是九十减二法 见四十五度构造等腰直角三角形，所以我们过点 a 做 b、 c 边的垂线， 我们就会发现角 c、 a 这个度数也是九十减二法， 这里就出现了相似三角形，而 ab 的 长是三倍根二， 那么 a、 j 等于 b， j 就是 三，那么 c、 j 的 长是六，所以 a、 j、 c 三边 b 为一， b 二 b 根，所以我们这个时候再过点 d 做这四边的垂线， a、 d 是 二倍的 dc， 所以 dc 与 ac 的 比是一比三，那么 d、 h 的 场就可以求出来是一，而三角形 d、 f、 h 和三角形 c、 a、 j 相似，所以一比二， b 跟五，所以就求出了 d、 f 的 场是二分之根五。 方法三、间隙法，我们要求 d、 f 的 长，只需要求出 d 点和 f 点的坐标， 而如图所示，间隙我们知道了 b 点的坐标， a 点的坐标直线 b、 a 的 表达式就有了， 所以我们重点是要求 d 点和 e、 f 点的坐标， 其中知道了 d、 e 的 长和 d、 a 的 长相等，所以我们在这里会可以想到过点 d 做 y 轴的垂线， 过点 e 做 x 轴的垂线，过点 a 做这条轴的垂线。 因为 ad 与 dc 的 比是二比一， ad 与 ac 的 比是二比三，所以就可以求出 d 点的横坐标是四， 二比一，又可以求出 d 点的纵坐标为一，所以 d 点的坐标就有了。其中知道 ad 的 长和 d、 e 的 长相等，而 ad 的 长它是二倍根五，那么 d、 e 的 长也应该是二倍根五， 所以要求一点坐标。我们设一点的横坐标为 x， 因为这里是个等腰直角三角形四十五度，所以这条边也是 x。 利用 e、 d 的 长和 a、 d 的 长相等，所以我们需要这个题，它是 x， 那 么这段的长 d i 的 长就是四减 x， 这一段长是二，这一段长是 x， 所以 e i 的 长就是二加 x， 利用勾股定律就可以求出 x 值为二， 那么它的纵坐标就是五， e d 直线有了，所以 f 点的坐标也就求出来了， 那么就可以求出 d f 的 长。
45zy
06:10查看AI文稿AI文稿今天上午刚刚考完的太原市二模，我们一起来看一下压轴题，张老师先讲十五题，二十三题，其他的好题我们今天晚上直播的时候给大家统一分享十五题，我们一起来读一下题目。 三角形 abc 角 b 是 等于四十五度， ab 的 长是三倍，根号二， bc 的 长是等于九， 那么说明三角形 abc 它是可解的，两条边一个角，所以我们先把这个三角形做一个处理过， a 点向 b， c 做一条垂线段， 垂足是 h 点 a， h 应该是三， b， h 也是三，所以 c、 h 啊就等于六了，那也就说顶点 c 是 这个小角，如果是 r 来表示的话，那么 tan 乘 r 就 等于三比六，也就说一比二。 至此，三角形 abc 中所有的信息我们都就可以清楚了。 ac 的 长应该是三倍，根号五。顶点 a 处的这个角，它其实就是一百八十度，把四十五度减了，再把这个 r 反减了，而且我们看到四十五度，那很明显就是一二三四五模型的一个应用。 d 点是在 a、 c 上的一个点， a， d 比上 d， c 应该是二，所以 a、 d 的 长应该是二倍根号五， c， d 也是根号五。 e 点在 b、 a 的 延长线上， 把 e 和 d 连起来并延长交 b， c 与 f 点， e 和 d， a 是 相同的，那么说明 d， e 也是二倍根号五。所以这道题我们分析的这道花，它出现了各种的特殊角，而且这个角就是一二三四五模型里面的特殊角， 所以法一我们直接来解三角形就行，求的是 d、 f， 我 们把 d、 f 放到三角形 c、 d、 f 中，这个三角形我们来找一找条件，以及 c、 d 的 长应该等于根号五，是确定的。此时三角形 d、 a、 e 它是个等腰，我们把它用一下这个等腰，我们过 d 点向 底边做一条垂线段，垂足是 q 点顶点 a 处的这个外角，他应该等于 r 法加四十五度，而 r 法加四十五度，一、二、三、四模型告诉我，这个角其实就是一比三比根号十的直角，三角形的大角，所以这个小角就是北躺，那他也是北躺， 所以顶铁地处有个二倍塔，那对顶过来也是二倍塔，所以对三角形 c、 d、 f 来说，它还有个二倍塔，而二倍塔其实就是三比四比五的直角，三角形的小锐角。所以三角形 c、 d、 f 啊，它是可接的做法。我们是过 f 点向 c、 d 做一条垂线段， 这个垂足如果是 w 的 话，那么左边的这个三角形是三比四比五的，右边的这个三角形是一比二比根号五的， 所以 f、 w 如果是三分的话，那么 d、 w 应该是四分， c、 w 应该是六分，所以我们得出来十个 x 应该等于根号五，所以 x 等于十分之根号五， 那么要求的 d、 f 他 应该是五分，所以是五乘以十分之根号五，所以这道题的结果应该是二分之根号五。而我们通过构造相似也可以解决这道题，特征是地点是个等分点， 是 a、 c 的 三等分点，然后过这个等分点，像 a、 b 画一条平行线，这个是 w 点。那么此时三角形 f、 d、 w 和三角形 f、 e、 b 是 相似的， 三角形 c、 d、 w 和三角形 c、 a、 b 也是相似的。而且我们知道，在三角形 c、 d、 w 和 c、 a、 b 里面，它的这个相似比，这个是一份，这个是两份，所以它的相似比应该是一比三， 所以 dw 比上 ab 应该也是一比三，所以这一段应该是根号二。让我们求的是 d、 f， 所以 接下来我们来找到 这个 a、 e 的 长，找到了 a、 e 的 长，那么 dw 和 b 的 比值就确定了。在 d、 e 等于 d、 a 等于二倍根号五的情况下，那 d、 f 也就可以搞定了。 这个的做法依然还得用三角形 a、 d 也是个等腰，还是一样，我们要画一个三线和一个线，这个是 h 点，画完之后这个角是四十五度，顶点 c 处依然是这个 r， 所以 顶点 a 数这个角它其实就是九十度。减去北塔，这个小角是北塔， 所以斜边二 x 其实就是二倍根号五。那么我们能得出来 a、 h 的 长应该等于二倍根号十，结果等于根号二， 所以我们得出来 a、 e 的 长应该是二倍根号二，那换句话说， b 的 长应该是五倍根号二， 那所以三角形 f、 d、 w 它是相似于三角形 f、 e、 b 的 相似比是根二比上五倍根号二，所以它的相似比是一比五，所以 d、 f 比上 e、 f 是 一比五。又因为这个 d 的 长是等于二倍根号五， 所以相当于是二比根号五占的是四分，那么 d、 f 的 长应该等于二分之根号五。这是第二个思路，但是还是没有绕开这个通过特殊角来求出一些边的这个过程。法三依然是间隙， 以 b、 c 为 x 轴，与 b、 c 垂直的线为 y 轴，这么建个坐标系之后，我们先把 a、 c 的 解析式可以搞定，它的坐标应该是三度二三， 然后 c 点坐标是九度零，所以 ac 这条线的解析式可以搞定。然后 ef 这条线的解析式，我们也可以把它这样算出来。 顶点 b 处是个四十五度，顶点 e 处这个角，它等于顶点 a 处这个角，它应该等于四十五度。加了个 r 法，所以顶点 f 处的这个角，我们就可以算出来，应该是九十度，减去一个 a 的 长。通过前面的计算，我们知道他是二倍根号，二，这是三倍根号，所以一点坐标也可以把它算出来，应该是五度和五，它的斜率应该是绝对值，是等于二的，又经过二四，现在写的 t 应该是等于负二的，所以斜率知道又知道一点坐标，所以这个解式也可以把它算出来。 然后把 e、 f 和 a、 c 这两根线连立起来，就可以求出 d 点的这个坐标，然后 e、 f 和 bc 的 这个交点就是 f 点，所以只需要利用 y、 e 等于零，把 f 点坐标算出来，也可以用间隙的办法把它搞定。
273太原初数张老师(优学)
03:28查看AI文稿AI文稿二零二六年太原市二模第十五题，如何快速秒杀好同学们，跟着我来看角， b 是 四十五度， ab 三倍的根号二， bc 长度是九， ad 与 dc 的 比是二比一， d a 等于 d e 这所有的一致条件。首先我们看到四十五度的角，这个位置我们要做一条垂线构造等腰直角三角形固定辅助线， 那么立刻可以导出这个三角形的三边， b h 是 三， a h 是 三，接着我们知道 h c 就 应该是六，再根据这个比值，二比一的一个位置，这个位置肯定是要做一条垂线的啊 啊，那么我们就可以根据 a 字图知道， c 的 k 和 c a、 h 这两个三角形一定是相似的，并且且相似比是一比三的关系，那 c、 k 的 长就应该是二， h， k 的 长应该是六，好，呃，接着我们还可以利用勾股定律求出 d k 的 长，是吧？ d k 的 长应该是 d c 的 长 的平方减去 ck 的 平方，那当然这个位置的话，你会发现 dc 的 长还不知道，那我们先用大的勾股定律把 ac 这条边的长求出来，是三倍的根号五， ac 知道了以后， dc 就 应该是根号五， ad 就 应该是二倍的根号五。好，这两个都知道了之后呢，我们就可以用勾股定律导出 dk 的 长应该是一 啊， d k 对， 就是这个位置啊， d k 的 长是一， d k 的 长是一。出来之后呢，呃，我们就要去找相似跟 d、 k、 f 相似的三角形，跟 d、 k、 f 相似三角形途中没有直接的，因此我们还需要继续倒角，倒角的时候我们先设这个角， c 是 alpha 角， c 是 r 法啊，然后我们就可以用三角形的外角导出角 e、 a 的是角 b 加角 c， 就是 四十五度加 r 法。角 e 跟它等角，所以它也是四十五度加 r 法，所以我们进而可以导得角 a、 d、 e 应该是九十度减去二倍的 r 法 啊。九十度减去二倍的 r 法，那也就是说这个顶角， 这个顶角本身跟我这个顶角是相等的，那就是这个顶角 c、 d、 f 这个位置，也是九十度减去二倍的阿尔法，而九十度减去一倍的阿尔法是角 c， 二倍的阿尔法，说明他旁边的角 k、 d、 f， 这个角。注意啊，大家注意，这个题的难点就在这， 这个小角也是 r 法，说明这个小角也是 r， 那 这个小角也是 r 法的话，那三角形 d、 k、 f 立刻就相似于三角形 a、 h、 c 好，三角形 d、 k、 f 相似于三角形 a、 h、 c 好。 再根据相似比，我们就可以立刻得到 d、 f 的 一个长度。 这道题同学你学会了吗？学会了或者听懂了记得点赞转发！好同学们，你的二模成绩是多少呢？请在评论区告诉我！
23芥菜籽青少年之家
02:00查看AI文稿AI文稿数学压轴题，十五题，你是不会添加辅助线还是不会解？你注意到题中重要的信息了吗？一个是四十五度角，一个是线段二倍关系，还有一个是等腰三角形， 四十五度角需要在直角三角形中被激活，而线段的二倍关系容易想到添加平行线出比例线段或相似三角形，等腰三角形能想到三线合一。 所以，如果这样添加辅助线后，你会做吗？你还有其他办法吗？
28数学白老师
08:46查看AI文稿AI文稿同学们好，我是秦老师。咱们针对二零二六年太原市二模的十五题考点特殊角或者相似构造，咱们来解决一下它。 我们先来审题，如图，已知三角形 a、 b、 c 中角 b 等于四十五度， a、 b 的 长度三倍，根号二， bc 的 长度等于九点， d 是 a、 c 上一点，并且 a、 d 和 d、 c 的 比值是一比二 点， e 是 bc 边延长线上的一点，连接 d、 e 并延长交 bc 边于点 f， 并且 d、 e 和 a、 d 这两条线段是相等的， 折求 d、 f 的 长。那么在这个题中，我们的入手点肯定拿到入手点之后，一定是咱们角 b 的 这个角度是四十五度。那当我们看到四十五度的时候，我们想的想法一定是有两个，第一个想法，过点 a， 想 bc 做垂交于点 m。 第二个想法，让点 a 成为咱们的直角顶点，我们可以以 a 为直角顶点做 am， 垂直于 ab， 是 不是啊？好来，咱们先来第一种，过点 a 做 am， 垂直于 bc。 首先我们根据题页得到 a、 b 的 长度三倍，根号二，则 a、 m 是 三， b、 m 的 长度是不是也是三呀？那则 c、 m 的 长度是不是就是六？那角 c 这个角，角 c 这个角所在三角形的三边比 a、 m、 c， 它是不是就是 tangent 角 c 是 不是就是三比六，是一比二呀？那么我们也不难求出 ac 的 长度肯定是三倍根号五，对吧？那让我们求证的是求 d、 m、 d、 f 的 长 度，那要求 d、 f 的 长度，那我们会怎么去做呢？我会给它构造相似，比如说过点 a 去做 e、 f 的 平行线， 好勾点 a 做 e、 m 的 e、 f 的 平行线，那么构造了平行之后，咱们再利用咱们的特点哈。这个题上还说 d、 e 等于 a d， 那 则两个底角 f 是 不是相等呀？咱们构造的平行，那内同位角相等，角 b、 a、 n 是 不是也就等于角 e 等于 f 呀？对吧？来，我们现在来观察一下哈，这个角 f， 它是三角形， a、 b、 c 的 外角是不是等于四十五度加角 c， 那 么这个角和 f 是 相等的，它是不是也等于四十五度加上角 m、 a、 n 呀？所以我现在就发现到角 m、 a、 n 是 等于咱们角 c 的， 那么所以 tangent 角 m a n 是 不也等于一比二呀？那在这里是不就等于 m n 比上 am 等于一比二，那所以 m n 的 长度是不是就是二分之三？ m n 求出来二分之三，则 a、 n 的 长度一比二比根号五，二分之三倍根号五。好来，我们要正求的是 df。 来吧，孩子们看到，在 d、 f、 c 和 a、 n、 c 这两个三角形中，我是不是看到了 a 字相似呀？所以 d f 比 a、 n 是 不是就等于 d c 比 a c 是 不是就等于一比三？ 所以 a、 n 的 长度我们现在知道二分之三倍根号五，那 d f 是 不是二分之三倍根号五乘上三分之一，二分之根号五？好，这是第一种办法。来，咱们再来看第二种办法哈。 那我们刚才说了，咱们做角 b 是 四十五度，我可可以过点 a 向 bc 做垂，是不是也可以让角 a 这个角 成为咱们的直角顶点呀？那么 ab 的 长度三倍根号二，那所以 am 长是不是也是三倍根号二？那 bm 的 长度是不是就是一比一比根号二，二三等于六，则 cm 这截长是不是就是三呀？好， 题上还说了一个条件，说 c、 d 比上 a、 d 是 不是也是一比二的关系啊？那我现在就可以发现到， c、 d 比 a， c 是 不是就等于 c， m 比 bc 是 不是等于一比三？ 加上这一个公共角角 c 等于角 c， 所以 我们只要去连接 dm， 不 难发现三角形 c， dm 相似于三角形 c、 a、 b 两个三角形相似后，那 dm 自然而然和 ab 所在的线段是不是就是平行的呀？ 那我们相似，所以 dm 比上 ab 是 不是也等于 cm 比 bc 一 比三，那我是不是就求出 dm 的 长度就是根号二？ 好，我们现在知道 dm 的 长度也是根号二，那两直线平行内错角相等，这是九十度呢，所以这是不是也是九十度呀？ d、 m 是 根号二， am 是 三倍根号二，所以一比三比根号十，那 a、 d 是 不是就根号二乘根号十，根号二，十二倍根号五，那它是不是也是二倍根号五呀？ 好，嗯，那我们在求的过程中还有得到的是 a、 d 和 d、 f 相等，这两条线段相等，孩子们肯定会想到一条线是三线合一，那我比如说现在过点 d 去做垂， d、 k 垂直于 a、 e， 我们现在就可以发现到 a、 m、 d、 k 这个四边形是不是就是矩形呀？那 dm 等于根号二，所以 a、 k 的 长度也是根号二，那 k、 e 自然而然也是根号二，对吧？ 那我们现在要求 d、 f 的 长，我会发现到 d、 f、 m 和 e、 f、 b 两个三角形是不是 a 字相似呀？所以咱们要求的 d、 f 的 长，那么就是 d f 比上 e， f 就 等于 d， m 比 b， e 等于根号二比五倍根号二，是不是就一比五的关系啊？那所以咱们就知道 d、 f 就 等于四分之一的 d， e 等于 四分之二倍根号五，约分二分之根号五。好，这是我们前两种方法，那我们第三种方法还有一个特别简单的方法，就是特殊角。 其实我们在做刚才第二种情况的时候，已经发现到了，你过点 a 做 b、 c 的 垂线， ab 三倍根号二，则 am 是 三 b， m 是 三 c， m 是 六 acm 这个三角形的三边比是不是就是一比二比根号五呀？ 所以我算出来 ac 是 三倍根号五。 cd 等于二分之一的 ad， 它俩的比值是一比二，则 cd 的 长度是不是就是根号五？ ad 的 长度是不是就是二倍根号五呀？ 好，那我们知道了，角 c 是 咱们学过的特殊角，一比二比根号五，并且现在角 b 这个角是不是四十五度呀？那我们就可以推理出咱们现在这个角 e、 d、 a 和 c、 d、 f 这两个角度相等， 三边比就是三比四比五。好，我们可以过点 f 去做 c、 d 的 垂线， 当你用特殊角去推出，哎，它的三边比就是三比四比五的时候，那你做垂 会射到，咱们会射 f， k 是 三 x， 那 d k 四 x， d， f 要求的边五 x 角 c 一 比二比根号五，它是三 x， 那 它是不是就是六 x 呀？那么大家就会发现到，十 x 等于 cd 是 根号五， x 是 不是等于十分之根号五？要求的 df 给它乘上个五倍五分之十五乘上十分之根号五，是不是二分之根号五呀？ 好，但是我们学前提条件下特殊角，你的这个特殊角必须要掌握啊，一比二比根号五，一比三比根号十、三比四比五、七比二、十四比二十五、 一比七比五倍根号二，这都是我们讲过的一连串的特殊角，孩子们做对了吗？
