八年级下册沪科版数学多边形公式总结

多边形、三角形是边数最少的多边形。多边形还包括四边形、 五边形、六边形等等，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形。 多边形按形状可分为两类，凸多边形和凹多边形。形如其名，每个角都是向外突出的多边形，为凸多边形，而如果其中有一个角向内凹陷，就为凹多边形了。 不过，在初中阶段，我们提到的多边形默认为凸多边形、凹多边形。可以先洗洗睡了。 对于一个多边形， a、 b、 c、 d、 e 点 a、 b、 c、 d、 e 是 多边形的顶点线段， a、 b、 b、 c、 c、 d、 d、 e、 e、 a 是 多边形的五条边，故此多边形为五边形， 角 abc 角 b、 c、 d 角 c、 d、 e 角 d e、 a 角 e、 a、 b 是 这个五边形的内角。大家能够发现一个多边形的顶点数，边数、内角数是相同的， 如果连接不相邻的两个顶点得到的线段，我们称之为这个多边形的对角线。那么对于一个 n 边形，其对角线有多少条呢？感觉智商不够用了吧，乱画是得不出结果的， 我们不妨先考虑一个简单点的问题，从一个顶点出发，可以画出多少条对角线呢？ n 边形有 n 个顶点，除了他自己和相连的两个顶点，其他所有顶点与之相连，都可以得到一条对角线， 那么显然可以得到 n 减三条对角线。既然由一个顶点出发，可以得到 n 减三条对角线。 n 边形有 n 个顶点，那么 n 边形一共有 n 乘以 n 减三条对角线。哼哼，高兴的太早了！ 遵循刚才的思路，若有一条对角线 p、 q 在 计算由 p 点引出对角线条数的时候包含了它， 在计算由 q 点引出对角线条数的时候，也包含了它。也就是说被重复计算了一次。既然每条对角线都被重复计算，那么我们在 n 乘以 n 减三的基础上除以二，就得到了对角线的正确条数。 一个 n 边形的对角线条数为二分之 n 乘以 n 减三。像这种个边相等，个角也相等的多边形叫做正多边形、正三角形、正方形、正五边形、正六边形。由于其规则的外形，使他们在生活中有更多的露脸机会。 正三角形的标志牌、正方形的地板砖。正五边形和正六边形的完美组合，成就了这世界最伟大的运动项目。 一个正多边形的边数如果越来越多量变，则会引起质变。当边数无穷大的时候，正多边形则会完成质的飞跃， 变身为圆。这种极限化的转变在初中数学中有多次体现，聪明的各位多多留意，多多思考吧！

我们蚌埠市八年级用的互课版，目前正在上多边形，我们互课版的八年级下册，整个整本书里面两张最重要的一张是一元二次方程，一张是我们的多边形，就正在上的， 那对于一元二次方程，它其实没有多说多难的题目，它就第一个它的解法，解法有三种，因式分解配方，还有我们的公式法有三种方法，还有就是根的判别式，用德亚塔大于零有什么呀？等于零有什么？小于零有根有什么关系？还有根与系数的 关系，这个是其实他没有多难的题目，我们不需要搞多难的题目，他因为他大量的都是计算，卡卡计算，你只要计算没有问题，基本上细心一点都不会有什么问题的。后面就是我们四边形，他的 两平行四边形、矩形、菱形、正方形，他的性质和判定定律特别多，尤其这个判定定律，每一个 多边形的判定力全部要烂熟于心，因为他有的时候证明题他会考，你，让你求这个四边形是个平行四边形，那你就用他的判定力，他只要满足平行四边形三个判定力的其中一个，就能证明他是平行四边形。那 还有其他的，他会参考着我们的三角形的中位线，他会考三角形的中位线，还有我们的动点问题，还有我们的最值问题， 还有就是我们的折叠问题，他考的比较多，有时候他会联系勾勾定律，还有就是全等去考，就考的比较复杂。四边形这一张有的时候还需要做辅助线。四边形这一张他是几何里面最难的，一元二次方程是我们代数里面最难的，所以八下有两个单元，一元二次方程和 多边形，这一张一定要好好学，你像一元二次方程，它是贯穿于整个初中的方程组的，你中考必考的，这个是肯定必考的，你像我们的多边形也是多边形， 它缠杂的折叠问题，还有哎，三角形的中线求最值动点，这个一直都是我们中考所考的，就是必考的题型， 所以说这两张一定要好好去学，把那个现在不上到四边形吗？把四边形放在心上，多把书上的定力，还有的例题，客户细题，多做一做，多去总结一下每一个判定定力，他之间有什么关系？你像 矩形，他有平行四边形所有的心值，他只需要有一个角等于九十度，那就可以判定他举行，继续举行，就像我们长方形 把那个差不多，还有菱形，菱形只要他是平行四边形，他满足一组对边相等，他就是菱形。还有我们的正方形跟菱形的判定力也有一点像，但是他还有一点的区别，所以自己要去多掌握，多看一看。好吧，大家一起加油！

八年级数学的四边形最值题是不是让孩子愁坏了？上课听懂了做题就莽丢分哗哗的。别慌，这款人教八下数学，四边形矩形菱形正方形最值专题来了， 二十六年教研沉淀，五十三页全是高频考点加 step by step 解析，每个题型都拆解的明明白白，孩子一看就会 有。电子版，不懂下单找客服打印版直接邮寄到家，省得你自己打印麻烦。左下方小黄车赶紧拍，部分地区不包邮，早用早提分别让孩子在几何上栽跟头。

八年级下册平行四边形专项训练，直击四边形重难点，聚焦八年级下册核心考点，梳理二十三个高频知识点，二十六个必会提分点， 从多边形、内角和到平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质判定，再到中位线定离、直线动点的难点， 精选针对性例题并配详细解析。专项练习加综合训练结合，帮学生理清知识脉络，吃透易错点，高效提升答题能力，轻松攻克平行四边形考点。

互科版的五星学霸，八年级下册互科我也会七下八下。都说互科的话，我觉得很简单，五星学霸证书你如果要用， 只把握十九张就可以了。因为从中考的角度来说，很多东西中考考的是比较简单的，比如说他前面的这一二次根式、一元二次方程。中考对你的考察就是最基本的计算，这个班上百分之九十人都能学会啊，是考察计算二次根式和方程。 说到勾股定力呢，这个我之前在人教版学过，其实我觉得勾股没有必要这么大张旗鼓分这么多细的专题，有点浪费时间，大家可能中午把重点把握一下，专题期就是多勾股，双勾股方程，这个很多孩子就不太会 的是十四到十九，如果孩子之前几何学的不好，那么这个可以去复习一下。如果之前几何学的很好，这个板块我建议也可以跳过了 也可以跳过。勾股定你，他就是一个工具，中考他不会在勾股，特别为难大家，那当然不排除少部分地方他会在中考的填空压轴去考悬图。勾股和相似，那就确实就难度很大了。你平常做再多题，也有可能在中考 在这个题上，在填空压轴的那个勾股题上面摘掉。所以说勾股其实是不值得花特别多的时间去去弄的。整个八下的妇科版五星学霸，我推荐的是十九张四边形，原则上我推荐这个四边形章节所有的专题， 因为四边形的几何学好了，你整个初中的几何应该不会有太大的问题了。那整个四边形章节从专题一一直到专题三十一，这三十个专题我都是非常推荐的， 也就是说如果说你是互科版的八下，你要用五星学霸这个教材前面的那些计算，不用去死磕二次根式，什么应用二次方程中考考都特别简单， 难的就在于几何。你就把四边形这个章节三十一个专题认真去突破一下，时间有限的情况下，优先做这个板块，只做四五星的。好吧，这是对互科版的八下五星学霸的一个整体这个资料的推荐。

八年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来学习多边形及其外角和，那么多边形的外角和是多少度呢？如何来求一个多边形的外角和呢？ 带着问题继续学习今天的内容。首先呢，我们一起来探究探究多边形的外角和，请同学们看看这幅图， 在五边形的每个顶点的地方呢，各取一个外角，那么这些外角的核呢？就叫做五边形的外角核。 什么是外角核？也就是在多边形的每个点点的地方，然后呢，取一个外角，那么这些外角的核就叫做多边形的外角核。 他什么，那么外角和外角和就是取一个点的一个顶点的一个外角，然后把它加起来啊，那么任意一个外角和和它相邻的一个内角有什么关系啊？ 他什么？看看这个角一和角 b、 a、 e 有 什么关系呢？其实他们是互补的对吧？他们是互补的，因为他们相加等于一百八十度，所以他们互补。 那么五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少度啊？ 那么是不是一百八十度乘五呢？一百八十度乘五对吧？所以啊，五乘一百八十度是不是等等于九百度？也就是一个外角和他的内角加起来是不是就等于一百八十度？ 而这里有五组，是不是一百八十度乘五就等于九百度？这个理解了吧。 好，那么这五个平角和五个和与这五边形的内角和外角和有什么关系呢？这五个平角一百八十度的角啊，与这五边形的内角和外角和有什么关系呢？ 那么内角和加上外角和是不是就等于五个平角的和，对吧？内角和 加上外角和是不等于九百度？一百八十乘以五等于九百度，对吧？五边形的外角和等于五个平角，减去五边形的内角和，对不对？ 那么外角和是不是就等于五个平角，也就是一百八十度？乘五也就是九百度。九百度减去这五个内角的和，是不是就得到了五个外角的和呢？ 也就是五乘一百八十度，减去五乘二，那么他有多少个三角形呢？五减二个三角形，是不是三个三角形可以分成三个三角形乘以一百八十度，也就是五百四十度。 那么九百度减去五百四十度是不等于三百六十度，对吧？那么就等于三百六十度吧。 那么我们得出结论，五边形的外角和就等于三百六十度。五边形的外角和等于三百六十度。 根据我们刚才所用的这种方法，我们是不是也可以推广到我们后面的多边形的外角和它的求法呢？ 好，我们来填填这个表，从三角形开始，然后往多边形推多边形进行推广来看。三边形的内角和呢是一百八十度，那么外角和呢？ 同志们，外角和呢？三个一百八十度，减去一百八十度，是吧？三个一百八十度。五百四十度，减去一百八十度等于多少度啊？三百六十度，三百六十度。 那么四边形的内角和呢？四边形的内角和是不是三百六十度？ 为什么是三百六十度啊？四减去二就等于两个三角形，两个三角形，两个一百八十度，是不是就是三百六十度？ 那么外角和呢？是四个一百八十度。四个一百八十度就是七百二十度。七百二十度减去三百六十度等于多少度？等于三百六十度。 好，五边形。五边形的话可分成多少个三角形呐？有一个点点啊，像其他各点点引出对角线， 然后分的分能够分成多少个三角形呐？是不是？五减去二可以分成三个三角形。三个三角形是不是三个一百八十度？他的内角和就是五百四十度。 他们的外角和呢？三百六十度。六边形呢？各分成几个三角？四个三角形。四个一百八十度。七百二十度。那么外角和呢？也是三百六十度。八边形呢？各分成多少个三角形呢？ 啊？可以分成八减二，等于六个三角形。六个一百八十度。一千零八十度，他的外角和还是三百六十度。十边形呢？是一千四百四十度，他的外角和也是三百六十度。 通过这个表格，你发现了什么规律？无论这个多边形是个多少多少条边 啊，有多少个内角，反正他的外角和都是三百六十度，是吧？多边形呐，每增加一条边，内角和呢就增加了一百八十度，这是上节课我们所学习的。 那么多边形的外角和都是三百六十度，他始终是不变的，反正是三百六十度，是吧？而多边形多一条边就多一百八十度。要记住了啊，五边形是五百四十度。六边形呢，多一百八十度。多了一条边多一百八十度就是七百二十度。 七边形呢？比啊，多了一条边，比六边形多了一条边就多了一百八十度。也就是 啊，七边形就是七百二十度，加一百八十度就是八百度，对吧？八百度啊，多一条边，内角和就增加一百八十度，因为它多了一个三角形，多分割成了一个三角形，对吧？好了， 看这个题目，在 m 边形的角呢，就叫做 m 边形的外角和 啊，我们推广。然后呢，得出外角和的概念，在 m 边形的每个顶点各取一个外角，这些外角的和就叫做 m 边形的外角和。 请同学们思考， m 边形的外角和又是多少呢？ m 边形的外角和，它也是三百六十度。 n 边形的外角和等于 n 个平角减去 n 边形的内角和等于多少度啊？等于 n 乘一百八十度，减去 n 减二的差乘一百八十度，等于三百六十度， 始终是不变的。随你是一个几边形，反正他的外角和都是三百六十度，始终不变啊， n 边形的外角和等于三百六十度，要记住了啊，那么外角和呢，它是无边与边数无关的， 内角和才与边数有关。好回想正多边形的性质，正多边形的性质啊，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么呢？同志们，四边形，正四边形的话，就是 要么是正方形，要么是长方形，对吧？哦，正方形对吧？正方形。那么正方形，你说他的啊，每个内角是多少？是九十度，那么每个外角呢，也是九十度 啊，看看每个内角的度数，每个内角的度数，内角的度数啊，只要先求出它内角有多少啊，是内角和是多少。 n 角乘一百八十度，然后除以 n 个角，就得到了平均每个角是多少度吧， 是吧，因为他的每个内角都是相等的，这是正 n 边形。正多边形，是吧？啊， n 角乘一百八十度 除以 n 个角啊，那么每个外角的度数呢？每个外角的度数呢？同志们，他有多少个外角？你只要把它的外角和除以 他的外角的个数，对吧？三百六十度除以 n， 因为他的外角和始终不变都是三百六十度，所以啊，这除以 n 个角， n 个外角有 n 有 多少个内角就有多少个外角啊。 那么请他这么练一练，若一个正多边形的内角啊，内角是一百二十度，正多边形的一个内角是一百二十度，那么这是一个正几边形呢？ 它什么是个正极边形呢？那么我们就知道了，二 n 减二乘一百八十 等于它的内角和，然后再除以 n， 对 吧？我们可以得到了解这个方程，得到了它是个六边形。这个六边形 啊，好，已知多，已知多边形的每个外角都是四十五度， 每个外角是四十五度，那么他的一个内角是不是一百三十五度呢？是吧？则这个正多边形是个几几边形呢？那我也可以根据刚才的公式上面的这个公式来求出 他的这个三百六十度除以四十五度，是不是得到了他是个几边形？三百六十五除以四十五是个几边形呢？啊？啊，是个五八四十四八三十二，是个八边形，是吧？正八边形 要写正八边形啊，因为它的每个外角都是相等的。好来做做题目，多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用。 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的两倍，内角和是外角和的两倍，求这个多边形的边数，但是呢，这个我们可以用方程来解啊，设这个多边形的边数为 n 啊，多边形的边数为 n， 那 么我先求出它的内角和啊， n 减去二括号乘一百八十度除以啊，在这里呢，除以多少？三百六十度， 除以三百六十度等于二，对吧？啊，因为它的内角和等于 n 减二乘一百八十度啊，说多边形的外角和等于三百六十度啊。 呃，这个内角和是不是就是七百二十度呢？因为内角和是外角和的三三百六十度的两倍啊，它是不是七百二十度？所以说 n 减 n 减二的差乘一百八十度等于七百二十度，是吗？ 等于七百二十度，我们解的 n 等于六，所以说他就是一个六边形啊，这个多边形的边数为六边形，所以啊，我们要把这个公式给搞熟练啊， 好，地铁。二，你这一个多边形的每个内角与外角的比是七比二，外角哦，内角与外角的比是七比二， 内角与外角的比是七比二，求这个多边形的边数。同学们，我们可以用第一种方法，设这个多边形的内角为七 x， 外角为二 x， 对 吧？ 而这个二 x 等于三百六十度吧，是吧？二 x 等于三百六十度吧，七 x 加上二 x 等于一百八十度啊，等于一百八十度。 哦，他一个外角和一个内角啊，对吧，所以我们就可以求出这个 x 是 多少 啊，因为啊，内角和一个外角他们是互补的，所以说他们加起来等于一百八十度，所以解的 x 等于二十， x 等于二十，那么你说一个内角是多少度啊？ 啊？内角是不是一百四十度，外角呢？二、二得四四十度，对吧？一百四十度的四十度 啊，每个外角是四十度。同学们，四十度，这个外角和是三百六十度啊。三百六十度除以四十度，是不是他就有九个 外角呢？有九个外角是不是九边形呢？是吗？三百六十度除以四十度等于九，所以它是个九边形，这个多边形是个九边形 啊，好，还有其他方法来解吗？这种方法是很容易理解的方法啊。我们设这个多边形，它的边数为 n， 我 们可以根据题得到 它的一个外角，一个内角是多少，一个外角是多少，对吧？嗯，一百八十乘 n 减二的差 b 三百六十等于七比二，由此我们解的 n 等于九边形啊，这其实就是用比例来解的，这个多边形就是个九边形 啊。再看这个题目，如图，在一个正五边形的 a、 b、 c、 d、 e 中间连接 b、 e， 求 b、 e、 d 的 度数， b、 e、 d 的 度数。 哎，同学们，其实它就是正五边形的内角，减去一个一百八十度吧， 就剩下来的是这个梯形的它的内角和，是吧？内角和，那么再求出每一个内角是多少度， 然后我们就知道了，因为啊， b、 e、 d 和 e、 b、 c 它们是相等的，是吧？又提一得角， a 等于角， a、 e、 d 等于五，减二乘一百八十度除以五个角等于一百零八度，所以说这个正五边形的每个角是一百零八度啊。 好，那么我们用五百四十度减去这个，减去这个一百八十度，是不等于三百六十度哦，这个梯形就是三百六十度， 三百六十度减去两个一百零八度，二百一十六度，是吧？三百六十度减去 二百一十六度，是吧？啊，那么是不是求的再除以二，是不是求的每个角是三十六度，所以角 b、 e、 d 等于角 a、 e、 d 减去角 a、 e、 b 等于去一百零八，减去 三十六度等于七十二度。好，再看第一题，这是链接中考的题目啊，中考中间可能会出这样的题目， 你这一个凸多边形的内角和是外角和的四倍，内角和是外角和的四倍，也就是三百六十度的四倍，对吧？啊，既然是三百六十度的四倍，同学们，你说外角和是多少？三百六十度乘以四 啊，是为一千四百四十度， n 减二乘一百八十度等于一千四百四十度，然后我们可以求出 n 等于多少啊，是它为 n， n 边形呢， n 减二乘一百八十等于四乘三百六十度吧， 减的 n 等于十，因此这个多边形它就是个十边形啊。选择 a， 好。 第二题，若一个六边形的每个内角呢，都是 x 度， 六边形的每个内角都是 x 度啊，这 x 值为多少？既然是六边形的话，六减去二， 六减去二等于多少等于四。四乘以一百八十等于七百二十，七百二十除以六等于多少等于 c， 一 百二十 啊，七百二十除以六，是不是等于一百二十呀？啊，一百二十度，好。第三题，若多边形的每个内角都是一百四十度，每个内角都是一百四十度啊，则这个多边形的边数为多少 啊，那么这个题目的话，这个题目的话，我们只要把根据外角也可以求啊，每个内角是一百四十度，你想想 他的外角一个外角是多少度，是不是四十度？一百八十减去一百四十等于四十度。三百六十除以四十是不等于九边形，是吗？他就是个九边形。 好啦，基础巩固题多。当多边形的边数增加的时候，他的内角和也随着增加。这肯定对的呀，增加一条边，他的内角和就增加一百八十度。 好。第二，当多边形的边数增加时，它的外角和也随着增加。错误，它的外角和是不变的，始终是三百六十度。 第三，三角形的外角和与八边形的外角和相等，这是正确的，是吧？无论你是多少条边，外角和与边数无关。 第二，一个多边形的每一个外角都是三十六度，在这个多边形的边数是多少？是十边形，是吧？三百六十除以三十六是不等于十边形啊。 好，如图所示。小华呢，从 a 出发，沿着直线向前行进十米，然后向左转二十四度， 那么他的外角是二十四度吧，再沿着直线前进几米，又向左行驶二十四度。照这样下去，他第一次回到出发点 a 时，他走的路程一共是多少？我们只要看他是多少边形，就走了多少个十米吧， 对吧？就可以求出他的周长出来。三百六十除以二十四，你说他有多少个内，多少个内角，有多少个外角，有多少个外角，他这个多就是个多，多少个多边形，对吧？ 三百六十除以二十四等于一十一十几啊，三十六除以二十四啊，一十五边形，一十五边形，那么一十五乘十等于多少？一十五乘十等于一百五十等于一百五十米。 好，第四题，一个多边形从一个顶点可引对角线三条，引对角线引三条出来了嘞， 则这个多边形的内角等于多少？引三条，一条，两条，三条。那么它就分成了几个三角形呢？它就分成了四个三角形。 四个三角形是多少啊？啊，是三个三角形引三条对角线，三个三角形五百四十度一百八乘一百一百八乘三，对吧？等于五百四十度。 好了，能力提升题，一个多边形的内角和为一千八百度，内角和是一千八百度嘞。 截去一个角之后求得到的多边形的内角和。那么你要截掉一个角有三种截法吧，是吧？那么他有三种方法。我们首先来求求他是个多边多少条边的多边形。 一百八十乘以 n 减二的差等于一千八百度，等于 n 等于一十二条边，它是个十二边形。 那么十二边形的话，同学们啊，那么我们就看看呀，截有三种截法吧。圆多边形是十二条边，对吧？啊，因为一个多边形截去一个角之后，边数可能减一 啊，可能不变，也有可能加一，对吧，所以说有三种情况，所以说他有可能是十一变形，有可能是十二变形，有可能是十三变形。如果是十一变形，十一减去二乘一百八十， 是吧？啊，八九七百二十，对吧？哦，有一千六百二十度的，有一千八百度，也有一千九百八十度的一千九百八十度的。 啊，好啦，拓展探索题，如图，求角一角二角三角四角五角六角七角八角七这七个角相加的度数， 那么同学们，这个的话怎么来求呢？有的是在三角形中，有的是在四边形中，有的 是在哦，他们有的是相互在相互的这个不同的图形中间，是吧？如图 啊，看看，我们把这里连接起来，连接起来，那么他就变成那个五边形，是吧？一二三四五五边形，那么这个五边形， 这个角八，角八加角五，就得到了五边形的其中的一个，对吧？那么角九加角六是不是五边形中的一个角，是吧？啊？角三加角四，角三加上角四就等于角八加角九吧， 啊，角三加角四就等于角八加上角九，啊， 为什么呀？因为这是两个三角形呢，两个三角形和它的对角是相等的呀，是吧？对，顶角是相等的，所以说角三加角四是不是等于角角八加角九呢？ 是吧？好，我们把它一步一步的转移到求求其他角的方法，对吧？把角加角三加角四，再转移到了角八和角九这里来了， 这是转移的方法，转化的方法，对吧？啊，所以角一加角二，角三加到角七的话，同志们，是不是这角一加角二加角八加角九，加角五，角六，角六，角七， 是吧？那么现在就相当于求一个五五边形的内角和了，是吧？是不是他是五边形的，是吧？就等于五边形的内角和等于五百四十度，五百四十度，同志们，其实方法也非常的好嘞，这也做出来一条辅助线 啊。好了，回顾我们这两节课所学的内容，我们学习了多边形的内角和 啊，多边的内角和。首先我们学习了内角和的计算公式，把它分割成由一个顶点向他的对边引出若干条对角线，分成若干个三角形，那么若干个三角形的内角和啊，那么就是 五。这个多边形的内角和是吧？啊， n 减二乘一百八十度是吧？ n 必须大于或等于三 啊的整数。一边数增加一条内角和就增加一百八十度。第二，内角和是一百八十度的整数倍。这个内角和的特点啊，那么外角和呢，它是始终不变的，都是三百六十度。 多边形的外角和等于三百六十度。特别要注意，内角和外角和与边数无关。 正多边形他什么，那么他的内角就等于多少？ n 角乘一百八十度，除以 n 角边 n 个角，那么外角呢？一个外角的度数呢？就等于三百六十度，除以 n 个外角就得到了每个外角的度数吧。 最后老师布置几个题目，考考大家，打开书到我们的课后练习，在练习中选出几个题目做一做，在配套的练习册中选出一本来做一做。我们今天这节课就上到这里，同学们再见！

这个视频我们来讲一道八下，同学在学一次函数单元一定会碰到的一个难点题型，是一次函数跟实际应用的结合，像这种题型的话呢，百分之九十五的同学思路都是不清晰的，但其实这种题型只要三步核心思路就可以非常轻松的解出来了， 那这个视频花三分钟来带大家梳理这三步核心思路，像以后这类型的实际应用都能够轻松解出来。好，那还有更多一次函数单元的一个重点题型， 我都整理到了这份一三二四的专项练习里面，可以拿去练习巩固好。我们来看一下这个题目特征哈。题目特征的话呢，首先会给出一些信息 啊，通常来说都会有 ab 两款呢，或者加一两 d 啊之类的这种信息哈。然后的话呢，是给出了一些进价跟售价给出表格的信息，并且设出了这个书包的个数是 x， 并且后面一堆东西好。然后最后的话呢，就问 怎么样才能获得最大利润，然后去求最大利润。如果是像运费那些的话呢，就是最低运费，然后去求最低运费。好，那这种的话，其实相当于是一次函数跟实际应用结合中的最值问题，也就是要用一次函数，然后去结合到实际应用去求最值 好。这边来看一下这个核心解析思路哈，其实解析思路非常的简单，就是三步，第一步的话呢，是要先去求自变量，也就是 x 啊，通常是 x 的 一个取值范围， 然后第二步的话去求函数解析式，第三步去根据自量取值范围去求对值就可以。为什么是这样子哈？我们来看到去掉这个实际应用之外，我们来看到一次函数什么时候是有对值的呀？一次函数，比方说哈，如果是这样子，一个 k 大 于零的一个 函数的话，那它是没有最大最小值的，对吧？因为是一条直线吗？然后是没有最大最小值的，所以如果说要取入这个函数的最值的话，其实这个 x 的 话，它就需要有一个取值范围，比方说这个 x， 这个是 x 一， 这个是 x 二， 是这个取值范围是在 x 一 到 x 二之间，那对应的话，也就是图像就是这段， 那什么时候有最值啊？很明显就是这个点嘛，对吧？也就是 x 等于 x 二的时候是有最值的， ok， 所以 为什么需要有这个 x 的 取值范围？就是为了取到直线变成一个线段，这样子才能够去求最值。那同样的，当这个，呃，一次函数它是 k 小 于零的情况下， 它也是一条直线，所以的话呢，也是需要说，哎，这个有一个曲值范围在这里，它才能变成一个线段， 然后才能有最大值和最小值。所以的话呢，套到实际应用里面，那我们需要找到的元素就是第一个是 x 的 曲值范围。曲值范围的话呢，会根据题意会有实际意义跟题目限定两种。什么是实际意义呢？比方说书包，书包它个数 它是要大于等于零的，对吧？这个就实际意义嘛，然后题目限定是什么意思呢？比方说题目中这里的话，能看到哈，如果勾进这两种书包的总费用不超过 一万八千元，也就是小于等于嘛？这里的话就会出现一个不等式， ok， 那 这里的话就会得出，综合去得出 x 的 一个取值范围 好了。第二个呢，求函数的解析式，那也就是根据题意去得出，我们看到哈要获取最大利润，也就是去找这个最大利润跟这个 x 之间的关系嘛。这边题目已经设了是 w， 哈利润是 w， 那 也就是去找 w 跟 x 之间的函数关系， 那然后再在这个取值范围内去求最值就可以了啊，就是这样子的思路。那我们结合到这道题来讲解好。第一步的话呢，先去求这个数量的取值范围，首先实际意义，实际意义的话就是这个书包的个数是 x， 那 这个 a 是 x 的 话， b， 也就是我们看到哈一共是四百个吗？ b 的 话就是四百减 x 吗？ ok， 实际 e 的 话，也就是 s 代等于零，四百减 s 代等于零，对吧？然后再看到题目限定，题目限定的话，也就是刚才说了购进两种书包的总费用不超过一万八，总费用在哪里啊？也就这一项嘛，就进价嘛，对吧？所以的话就是 a 的 费用加上 b 的 费用 小于等于一万八就可以了。所以第三个不等式，也就是四十七 x 加上三十七乘上书包的，呃，那个 b 书包的个数也四百减 x， 然后是小于等于一万八， 那就可以了。好，那这里的话就可以去列出这个不等式组，然后去解出来，那解出来的 x 是 大于等于零，然后是小于等于三百二十。好，第一步就做完了， 就求这个自变量取这个方面吗？第二步是求这个函数解析式，我们看到哈，最后是要求这个利润最大，所以的话呢，是要去找利润跟 x 之间的关系。题目已经设出来了，利润是 w 了，所以的话，也就是要去求 w 跟 x 的 关系嘛， 总利润，总利润也就是 a 的 利润加上 b 的 利润， a 的 利润是什么呢？也就是 a 的 个数乘上它一个的利润就可以了吗？ a 一个的利润，也就是它售价减去进价六十五减四十七，这是 a 一个的利润，再乘上 a 的 个数，也就是乘上 x 好， 然后再加上 b 的 利润， b 一个的利润是五十，减去三十七，然后再乘上 b 的 个数，也就是四百减 x， 好，那这个就是 b 的 利润， a 利润加 b 的 利润就是总利润，然后化简这个函数。解析式，等于五 x 加五千二， 好，那第三步的话，就是根据这个取值范围，然后去呃求这个最值就可以了吗？来，我们看到这个函数，它的图像大概是怎么样的？大概是这样子一个图像，对吧？所以的话呢， 它 k 是 大于零的，所以是一个，呃，就是倾斜向上的这样子一个图像， k 大 于零的情况下，所以是 w 是 随着 x 的 一个增大而增大了，所以我们看到也就是零到三百二十， 是这一段，对吧？那什么时候 w 最大值啊？很明显，这个 w 最大值就是当这 x 等于三百二十的时候吗？ 所以带进去，带进这个解析式里面去，就可以求出 w 最大值六千八百，那就可以了， 好，同学们可以做好笔记，像这种一函数求最值，问题都是这三步。核心解析思路可以点赞，保存，反复学习，那像这些属于课内的重难点内容以及课外的拓展内容，我都整理到了我的系统视频里面，如果说有需要了解和试听，可以在下方留下这三版本。

八年级的同学们大家好，今天这节课呀，我们继续来学习多边形及其内角和。同学们，请你们思考这样一个问题，如图所示，小华呢，从 a 点出发， 沿着直线前进十米，之后左转二十四度，然后再沿直线前进十米，右向左转二十四度， 照这样走下去，他第一次回到出发点 a 的 时候，一共走的路程是多少米，你能够计算出来吗？ 其实啊，这个就涉及到了什么，涉及到了他的内角和的问题，今天我们就来探究这样的问题，多边形的内角和。 那么今天这节课呢，一共有两个学习目标，第一个要能够通过不同方法来探索多边形的内角和与外角和的公式。 第二个学习目标呢，要能够运用多边形的内角和公式和外角和的公式来解决我们生活中的问题。带着两个学习目标进入今天的学习。首先一起来学习如何来求多边形的内角和， 请同学们回顾一下，求四边形的内角和的方法有哪一些呢 啊？比如说，我们可以把一个四边形分成若干个三角形，然后求它的内角和能够分成几个三角形，那么它的内角和就是几个一百八十度，对吧？啊，连接对角线 a c， 那么把这一个四边形分成了两个三角形，那我们知道三角形的内角和呢，是一百八十度，那么两个三角形两个一百八十度是不是三百六十度呢？ 所以四边形分为两个三角形啊，一百八十度乘二等于三百六十度， 那么我们能不能够仿照这种方法来求一求多边形的内角和呢？把一个多边形把它分成若干个三角形呢？ 如果能够分成两个三角形，是两个一百八十度，能够分成三个三角形就是三个一百八十度，对吧？ 啊，我们也仿照求四边形内角和的方法，选一种方法来求五边形呢？六边形的内角和， 你看，由 a 点连接，连接 a， d 啊，连接 a、 c， 把这一个五边形呢分成了三个三角形，那么是不是一百八十度乘三等于五百四十度？ 好。六边形呢？啊，一百八十度乘三等于五百四十度。六边形呢？我们把它分成若干个三角形，六边形分成了四个三角形， 那么啊，一百八十度乘四等于七百二十度，那么我们由特殊然后转化为一般的图形， 有复杂的问题，我们转换为一般的问题，这是我们学习数学的一种方法，一种思维过程。 好，来看看边数，三角形的边数，四边形的边数，五边形的边数，六边形的边数。好， 那么三角形的边数是三条边，四边就四边，是吧？五边就五边，六边就六边图形，三角形啊，这是四边形，五边形，六边形，等等等等啊， n 边形啊， n 边形。 那么我们从多边形的一个顶点引出的对角线的条数有多少条啊？三角形只有零条，那么四边形呢？一条是吧， 那么五边形呢？两条五减三等于二，六边形呢？三条啊，六减三是不是等于三啊？ 那么 n 边形呢？同志们是不是 n 减三条，是吧？可以引出 n 减三条对角线，由一个点点啊，引出的对角线的条数。那么分割的三角形的个数大家还记得吧， 三角形是一个，那么四边形呢？是两个，那么五边形呢？是三个，六边形呢？是四个，同志们，是不是 n 减二呀？是吧？ n 减二个三角形 啊，求三角形的话， n 减二，求由一个顶点到其他顶点引出的对角线的条数是 n 减三， 那么多边形的内角和呢？三角形是一乘一百八十度，那么四边形呢？能够分割成两个三角形，二乘一百八十度，五边形呢？三乘一百八十度， 六边形的四乘一百八十度。多边形的 n 减二乘一百八十度，对吧？ n 减二乘一百八十度。同学们，我们是不是有特殊，然后呢？推到了一般的图形规律方法，多边形 我们可以把它分割成若干个三角形，是吧？分割成三角形来求它的内角和啊，我们这是数水中的转化思想啊。那么分割点与多边形的位置关系是怎样的 啊？顶点，然后边上，内部还有外部。你看看多边形的内角和的公式呢？是 n 减 a， 有多少条边，用边数减去二，再乘一百八十度，是吧？ n 边形的内角和就是 n 减二的差乘一百八十度，就求出了它的内角和，记住这个公式， n 减二的差乘一百八十度 啊！那么我们要注意 m 边形的内角和随边数的增加，那么每增加一条边，他的内角和就增加了一百八十度，他增加了一个三角形，对吧？那么多边形的内角和是一百八十度的整数倍 啊，你看，一乘一百八十，二乘一百八十，三乘一百八十，四乘一百八十。所以说多边形的内角和都是一百八十度的整数倍，这个要记住 好，来做做题目。利用多边形的内角和的公式来求角度或者是边数。一个多边形的内角和比四边形的内角和还多了七百二十度， 还多了七百二十度，说明这个多边形他是多少度？内角和七百二十度是不是加上三百六十度是为一千零八十度，是吧？利用这个多边形的各内角和相等啊，这个多边形的每个内角是多少度 啊？我们只要设这个多边形的边数是 n 呢？是不是 n 减二乘一百八十度等于三百六十度，加七百二十五等于一千八一千零八十度啊，是吧？我们解这个方程，这个一元一次方程，我们是不是就可以得到它的边数呢？ 我们就知道 n 等于多少， n 等于八。那么这个多边形每个内角都是相等的啊，每个内角都是相等的呀！ 啊，那么一千零八十度，一千零八十度，一千零八十度，这里是一千零八十度。那么一千零八十度除以多少呢？我也除以八八，他是个八边形，有八个内角呀， 是吧？是个八边形，有八个内角。所以说一千内角和一千零八十度除以八个角，是不是就得到了每个角是一百三十五度， 同学们，是不是这样的好 b 题啊？已知 m 边形的内角和 啊，等于 m 减二乘一百八十度，对吧？贾同学说 这他的内角和可以取三百六十度，而乙同学说他的内角和也能取六百三十度，加一的说法对吗？若对，求出边数 m， 若不对，说明理由。同志们，乙同学，对是吧？三百六十度除以一百八十度等于二呀， 是吧？六百三十度除以一百八十度等于三，还余九十度，是吧？假的说法对，乙的说法是不对的，因为它的内角和是一百八十度的整数倍， 而六百三十度又不是一百八十度的整数倍呢。六百三十度除以一百八十等于三，还余九十度啊。所以说乙的说法是不对的， 因为六百三十它不是一百八十的整数倍啊。三百六十除以一百八十，加上二等于四。所以说假同学说的 n 呢，其实就是个四边形，其实是个四边形啊。 好。第二，若 n 边形变为 n 加 x 边形，发现内角和增加了三百六十度。 哎。增加了三百六十度，说明它增加了两个三角形呐，是吧？两个一百八十度啊。请列方程的方法确定 x 啊，它多了两个三角形。 好，依据提议，我们可以这样来算， n 加 x 是 不是减去二是吧？那么它可以分割成多少个三角形，再乘一百八十度。 然后呢？减去 n 减二乘一百八十度，是不等于三十六三百六十度，它多了三百六十度，是吧？多了三百六十度啊。那我可以求出 x 等于多少 x 等于二， 所以说 x 值它就等于二了。你看看，其实就是利用了内角和的公式来解这个问题的。 好，根据多平行内角和来完成下列题目，一个多平行的内角和是七百二十度， 多平行的内角和是七百二十度。七百二十除以一百八十啊，就等于四，是吧？四减二是吧啊？ x n 减二， n 减二就等于四除，他是个六边形，是吧？这是 n。 哎，这个。呃，一七百二十除以一百八十 就等于四四，还加二是不等于六边形？这个多边形是数什么？是 c？ 六六条边，它是六边形。好，若一个多边形的边数为八条，边数为八条， 那么这个多边形的内角和是多少？八减二乘一百八十，八减二等于六，六乘一百八十等于多少？一千零八十度选择 c 好， 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和是不是就增加了一个三角形呢？是吧，所以说增加了多少？增加了一百八十度。增加一个三角形是不是增加了一百八十度呢？ 好看，这个图如图，在五边形 a、 b、 c、 d 中间啊，如果这个五边形 a、 b、 c、 d， e 中间，角 c 等于一百度，角 d 等于七十五度。哎，角 e 等于一一百三十五度。 a、 p 呢，是平分的角 a、 p， 平分的角 e、 a 啊， e、 a、 b， 那么 b p 呢？平分了角 a、 b、 c。 求角 p 的 度数，求角 b 的 度数。 我不管它三七二十一啊，我先求出角 a 和角 b 的 度数是多少呀，是吧？啊， 知道了角 a 和角 b 的 度数的话，那么我就知道了角 p、 a、 b 的 度数。知道 p、 b、 a 的 度数，是吧？角 p 的 度数。我再拿点一百八十度减去这两个角，是不是得到了角 p 的 度数呢？是吧？根据五边形内角和等于五百四十度， 是吧？五减着二等于三，三乘一百八十等于五百四十度。有角 c、 角 d、 角 e 的 度数。我们可以求出角 e、 a、 b 加上角 e、 a、 b、 c 的 度数，它们加起来等于多少？ 再根据平分线的定律啊，它们的度数加起来，度数是不是除以二就得到了角 p、 a、 b 加上角 p、 b、 a 的 度数，对吧？ 啊，进一步求角 p 的 度数，那么可以这样来求啊，因为啊，角 e、 e、 a、 b 加上角 a、 b、 c 加上角 c， 加上角 d， 加上角 e， 等于五百四十度。 它们是一个五角形啊，五五五边形是吗？角 c 等于一百度，角 d 等于七十度，角 e 等于一百三十度。五度。我拉了五百四十度，减去角，减去一百，减去七十五，减去一百三十五，就得到了角 e、 a、 b 和角 a、 b、 c 这两个角的和， 是吧？等于二百三十度。再把二百三十度除以二，是吧？因为 a、 p 啊，平分的角 e， a、 b 啊 p p b， p 又平分的角 abc， 所以 说啊，啊， p a、 b 等于二分之 e， a、 b。 同理，可以知道， a、 b， p 等于二分之一 a、 b、 c。 所以 啊，角 p 加上角 p a、 b 加上角 p b， a 等于一百八十度，而角 p 等于一百八十度，减去这两个角，是吧，那么我们知道了 啊，等于多少度啊，角 p 等于多少度啊？等于六十五度。我们这样求出来了，也可以利用他们的这个平分线啊。 啊，那么二百三十度除以二，等于一百一十五度，一百八十减去一百一十五，是不是等于六十五度啊，也等于六十五度啊，好 看，这个形状用形状大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的底板，你知道这是为什么呀？ 因为他们拼成了什么？三百六十度刚好是一个圆满的东西，是吧？你看，可以拼成这样的 啊，可以这样拼接而成，因为他们是拼成了一个三百六十无无间隙的，是吧？三百六十度，没有哪没有哪里相差了一度啊，他是完完全全的一个圆呐， 所以啊，是能够拼成的好，那么学在这里啊，我们呢一起探索了多边形的内角和知道了多边形内角和的公式。 最后啊，老师布置一些题目，考考大家打开书到课后的练习，在练习中呢，选几个题目做一做，在配套的练习册中选一版做一做。我们今天这节课上到这里，同学们再见。

复合版八下数学到底难在哪？安徽八年级下学期数学成绩为什么容易掉下来？今天这个视频一次性给你讲清楚，为期末考试做好准备。 其实真正拉开孩子分数差距的就两大核心板块。先说第一个，就是一元二次方程，你可能会说，前面不是还有二次根式吗？那个说白了其实就是一个计算工具而已，考的就是化简、加减、乘除这些基本操作， 你只要盯紧背开放数非复性这个坑，多做几道计算题，基本上就没什么问题了，完全没必要去钻偏题、怪题、难题。但一元二次方程可就不一样了，它是整个初中代数的重中之重，像配方法、求根公式、因式分解 根的判别式、伟大定的含餐问题，还有利润增长率这些应用，全都是中考的必考考点。这一张你要是学的不扎实，后面学二次函数的时候基本上就听不懂了。 再说说第二个板块，四边形八下几何的重点就是四边形。但这一张的难点不在于单纯的去记性质和判定，而在于综合性的考察。他会怎么考呢？ 他会把我们之前学过的一次函数三角形全都拉过来一起考，什么动点问题、最值问题、折叠问题，全都给四边形揉在一起，题型特别灵活。很多孩子学到这，数学成绩直接就断崖式的下滑了。就比如说这几张八下期末无效联考的试卷， 选择压轴、填空压轴，还有最后一题，压轴题考的全都是特殊平行四边形。你把这几张试卷做一做，就知道户口本八下到底难在哪了。

上课 老师好，同学们好，请坐。前面，我们比较完整地研究了三角形，那么现在请同学们回顾一下，我们研究了三角形的哪些内容呢？好，赵欣然， 三角形的定义和三角形的性质。嗯，好，请坐。大家还有没有同学需要补充的？好，你来说， 我们学习了三角形的三边关系以及它的分类。嗯，好，请坐。还有没有需要补充的？好了，你醒了，我们还学习了三角形内的一些重要线段。嗯，好，还有没有同学需要补充的？好， 我们还学习了三角形的应用，以及一些特殊的三角形。嗯，好，请坐。那么综合大家刚才所说的，那我们其实也就是研究了三角形的概念，三角形的性质以及应用。 我们研究了一般三角形之后，我们还研究了特殊的三角形。那么我们是如何探求来获取这些知识的呢？ 好，你来说，我们是通过度娘简拼，观察、证明来获取这些知识的。嗯，好，请坐。那就是说我们对于一些几何知识的获取，我们可能要经历一些观察呀，操作啊，猜想证明来获取这些知识的。 那三角形是我们学习过的简单的封闭的平面几何图形。那接下来如果我们继续研究平面图形的话，你认为我们可能会研究什么图形？ 四边，四边形。那要是边数多一点呢？多边形，多边形，那也有可能是五边形或者是六边形，统称为多边形。那生活中啊，许多物体中都有多边形的形象。 那这张开始我们就来研究多边形。那你认为我们可能会研究多边形的哪些内容呢？ 好，那你讲，我觉得我们会学习多边形的概念、性质和应用。嗯，好，请坐。比如说与三角形的研究路径是类似的，那我们可能会通过哪些方法来获取这些知识呢？ 可能也是用什么观察、操作、猜想、证明是不是。好，我们一起来看一下本章的目录。那这章呢，分为四节内容， 分别是多边形、内角和平行四边形、矩形、菱形、正方形，还有综合与实际多边形的镶嵌。那其实就是两大块一般的多边形以及特殊的多边形。 这节课我们就一起来学习。第一节，多边形内角和 三角形的定义，大家还记得吗？谁能来说一说？好，我合计你试试。 三角形是由三条线段首尾相接的封闭图形。嗯，好，请坐。那这三条线段能不能在同一条直线上？ 不能，那就是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做三角形。那么大家能不能类比三角形的定义，给多边形也下个定义呢？ 好，验开，我认为四边形是由不在同一条直线上的四条线段首尾相接连接而成的封闭图形。 嗯，那多边形呢？多边形就是由 n 条不在同一条直线上的线段首尾相接而连接成的封闭图形。那这个 n 条是指几条？呃，是指它的边数，边数。那可以是哪些数呢？可以是呃大于，呃，大于等于三的 任意数。好，那你先请坐，大家看，老师手里有四条线段这样组成的图形是不是四边形？是，是的，那我给他折叠起来呢， 是不是？那像这样个别不在同一平面内的四边形其实叫做空间四边形。那我们初中阶段呢？只研究平面图形，所以我们要给他加上一个限制条件 是什么？在同一平面内。那因此我们就说是在平面内， 在平面内由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形。好，老师给他记下来。 那么大家考虑一下三角形与多边形是什么关系呢？ 好，你来说说看。 三角形属于多边形。嗯，三角形属于多边形。 那好，你先请坐那三角形，它应该是多边形中边数最少的多边形，是不是？那它也可以认为是最简单的多边。

同学们大家好，这个视频我们来讲一讲多边形的内角和。我们已经认识了三角形、正方形、长方形，这些图形都是多边形的一种， 我们知道三角形的内角和是一百八十度。正方形的四个内角都是直角，他的内角和是三百六十度。 同样，在长方形当中，长方形的四个内角也都是直角，所以长方形的内角角也是三百六十度。那这个四边形的内角角又是多少呢？想要知道这个四边形的内角角，我们可以参考正方形和长方形的内角角。 在正方形当中，正方形的一个对角线把正方形分成了两个三角形，每个三角形的内角角是一百八十度。 在长方形中，长方形的一条对角线也把长方形分成了两个三角形，每个三角形的内角角也都是一百八十度。 同样的，在这个四边形中，一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，且每个三角形的内角角都等于一百八十度， 那这个四边形的内角和也是三百六十度。那么我们再来看一下五边形、六边形和七边形的内角和分别是多少呢？因为三角形的内角角为一百八十度。 在五边形当中，从一点出发的对角线把五边形分成了三个三角形，那么五边形的内角角就是一百八十度乘三，等于五百四十度。在六边形中，从一点出发的对角线把六边形分成了四个三角形， 那么六边形的内角和为一百八十度乘四等于七百二十度。在七边形中，从一点出发的对角线把七边形分成了五个三角形，那么七边形的内角和为一百八十度，乘五等于九百度。从 n 边形的一点出发，将这个 n 边形分成了 n 减二个三角形， 所以 n 边形的内角和就等于 n 减二的正整数。 我们一起来看一下这个题目。小美设计了一个十八边形的图案，这个图案的内角和是多少度呢？解决这个问题，要知道， n 边形的内角和等于 n 减二，锯成一百八十度， 那么十八边形内角和就等于十八减去二，再锯成一百八十度等于二千八百八十度，这道题目就轻松搞定了。 那么我们再来看一下这道题目。小娜想要设计一个内角和为二千零一十五度的多边形图案， 你认为可行吗？理由是什么？还是要知道 n 边形的内角和是等于 n 减二，聚成一百八十度的。题目中的二千零一十五度除以一百八十度，约等于十一点一九。 要注意，边数 n 一定取的是整数，这里的十一点一九不是整数，所以没有内角和为二千零一十五度的多边形，这道题目也轻松搞定了。 简单总结一下这个视频，我们学习了多边形的内角和，多边形的内角和就等于 n 减去二，锯成一百八十度。注意式当中的 n 要取大于等于三的整数，同学们要好好掌握。

八年级下册的五星学霸人教版测评来了，还有很多家长让我测评 北师版和护教版。关注我啊，我发现很多点赞我和收藏的没有关注我，关注我，后面都会更新北师和妇科还有护教。我们先说八下八年级下册五星学霸啊。首先我觉得八下的这个书呢，就比七下要好很多， 因为七下我觉得题目没有那么多难的题，但是八下其实数学就已经很难了。废话不多说，直接来划重点，第一个板块二次根式我只推荐专题七。第二个板块勾股定力，我推荐专题五六七九，章末检测的推荐二十二十一，二十二，主要强调勾股定力的应用。 然后重点来了啊，我们知道八年级下册最难的是四边形的几何和函数，所以我非常喜欢这个八年级下册人教版，他在呃第 二十一点三，特殊的平行四边形，我推荐他所有的章节，从专题十到专题二十五，矩形的折叠问题，一直到正方形的动点问题，这个专题划分的非常的详细，而且我觉得是很有必要。然后就来到了函数章节， 依次喊到前面的部分是相对比较基础的，我觉得没什么好说的后，我特别推荐他在章末检测这个板块推出的专题，我也推荐他所有的专题， 从章末检测专题十一到专题二十五。我们知道整个八年级他的难点，八年级下册数学的难点就在于四边形的几何和一次函数对不对？而我觉得这个五星斜杠，他在特殊的平行四边形专题十到专题二十五，以及函数的二十三张 章末检测专题，十一到二十五这两个板块都总结的非常的细和非常的好。所以说如果你用这两本书，你就重点，如果你要用五星学霸八年级下册，你就重点做我说的 平行四边形章节的大专题和函数的章末检测大专题。注意啊，含函数前面四个简单的章节我是不推荐的，你只做后面章末检测的大专题。好吧，这是我对八下五星学霸的一个测评，整体上其实我还是非常推荐这本教辅，还是很不错的。

八年级家长注意了，孩子数学多边形内角与外角和总丢分公式记混做题没思路，老师讲的听不懂，自己又辅导不了，别愁，这套三十八页人教同步资料来了，包含所有考点加详细解析，把难点掰开揉碎讲，孩子一看就懂， 有电子版随时看，也有打印版直接邮寄到家，左下方小黄车下单，电子版不懂问客服，打印版部分地区不包邮。别让孩子卡在这一块托成绩赶紧抢，晚了就没库存了。

同学们，今天我们来学习八年级下册第六章平行四边形。第一小节平行四边形的性质，对边平行且相等，对角相等对角线互相平分。 第二小节平行四边形的判定，两组对边分别平行分别相等或者一组对边平行且相等的四边形。两组对角分别相等的四边形。对角线互相平分的四边形都是平行四边形。 第三小节三角形的中位线，连接两边中点的线段就是中位线，他平行于第三边，还等于第三边的一半。 第四小节多边形的内角和与外角和内角和是成一百八十度，外角和不管是几边形都是三百六十度。小节平行四边形是特殊的四边形， 它的对边、对角、对角线都有独特的性质。反过来，这些性质也能用来判定一个四边形是不是平行四边形。 三角形中位线的性质很实用，能帮我们快速解决线段长度和位置关系的问题。多边形的内角和与外角和公式也要记牢，方便计算角度哦！

距离八年级数学期末考试还有不到三十天了，讲一个四边形的做题小技巧啊，就只要你看见了四边形几何图形上出现了一个角，他单独戳在一个线段上面的话，那么你就要在角两边去做辅助线，构造一个一线三等角。 通常我们八年级上侧一线三垂直考的会比较多，但是我们八年级下侧呢，一线三等角会考察的比较多。中间戳在这个线段上的这个角是多少度，你两边做的辅助线和你横着的这条线的夹角就要多少度，这样就能构造全等了。

你要记住啊，把我们有的题目的重要的结论把它记住，有利于考试的时候提高速度。我们看到八年级数学下册 第十一页纸上的第十二题，如图，在三题 a、 b、 c 中， b、 f 平分角 a、 b、 c 这两个角相等，角一等于这个角二，对吧？ c、 f 平分角 a、 c、 b。 好， 我们看到这个角三等于这个角四， 这两角相等，角 a 等于六十五度，求角 f 的 度数。好，那我们看到这个角 f 就是 角 b、 f、 c， 它实际上等于一百八十度减角一，减角三 啊，一百把它减这个，那么角一呢？等于这个角的一半，所以等于一百八十度减去二分之一角 a、 b、 c， 对 吧？角三呢，是二分之一角 a、 c、 b， 那么所以等于一百八十度减去，把二分之一提出来，然后角 a、 b、 c 加上角 a、 c、 b。 啊，角 a、 b、 c 加角 a、 c、 b， 等于一百八十减角一，所以等于一百八十度减去二分之一，这是多少呢？这个就是一百八十度减角一。好，我们看到一百八十减去二分之一角一。好，我们看到一百八十减二分之一角一。 好，也就是本题的结论，你要给我记住，叫做角 f 等于九十度加二分之一角 a， 这是个公式啊，我们后面还有九十度减二分之一，还有等于二分之一的啊，后面还要继续给您讲到， 那么这样的角 a 等于六十五度，我们看它带进去，那就等于九十度，加上二分之一乘以六十五度，就是三十二点五度，所以等于一百二十二点五度。好，本题的角 f 等于一百二十二点五度，我们看到第十三题， 图中所示的有三个完全相同的正，注意，这正正多边形就是所有的边都相等，所有的角都相等，拼成的无缝隙，无重不重叠的这个一部分，那么很显然这个就是一百二十度，这一百二十度整个是三百六十度， 对吧？那么这一百二十度的话，那么内角一百二十度的话，那么它的外角是六十度，所以它是个六正六平行 啊，这里有平行，有时间的关系就不多说了啊，但是为什么的话呢，您可以通过计算呢，对吧？ n 减二乘以一百八十的内角和除以 n， 呃，每个内角都是一百二十度，对吧？ n 减二乘以一百八十度， 就等于一百二十度乘以 n， 您看呢？ n 乘一百八十度，一百八十度乘以 n 减去一百二十度乘以 n， 呃，减色等于三百六十度，对吧？所以就是六十度乘以 n 等于三百六， n 等于六， 那么正六边形。好，那么画图案，由于时间的关系，咱们就不说了，我们看到第十二页纸上的第十四题， 第十四题说下图中的四边形是同一个四边形，不断的缩小，保持形状不变，那么实际上这四个四边形呢，我们称为叫做相似四边形 啊，相似形啊，相似四边形，那么相似四边形呢？它的边会发生变化，是按照 比例的变化的啊，啊，那么他的角呢？是不会发生变化的。好在题目呢，叫我们标出各个外角，你看 这个外角，这个外角，这个外角，这个外角啊，这样呢，把它标一下哈，我可能多画了一点啊，标清楚这个，这里 这里这里，同样都是这里的啊，三角啊，这个任意多边形的一边与另一边的反向沿线所组成的角啊，刚才所标的就标出来，你看我们做个记号，在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化呢？ 没有发生变化，不发生变化啊，这个角是不变的，但是它的边的长度会发生变化的， 那么如果保持它的形状不变，一直缩小下去，最后是什么形状呢？最后是从一个点出发的啊，从一点出发的四条射线， 四条射线就形成是这样的，就是最后的这两一直缩下去的话，那么他就会形成大概什么样子呢？明明说他就成这里这样来的，对吧？成了这样这样来的，然后成了这里的这样来的， 然后，然后这里呢成这样来的，哎，就成了这样的，最后就缩成那个点啊，缩成那个点了，所以这点形成的这个呢，就是一个直角，那么这直角呢，其实就是三百六十度， 所以因此我们理解为什么多边形的外角弧啊，永远都等于三百六十度，所以叫你用类似的方法来说明。五边形、六边形，不管你几边形，最后这么缩小之后都形成了一个点啊，那么形成的就是一个点，这样为中心的所有角的弧就是一个周角。 好，我们的第十五题，在四边形的四个内角中，最多有几个钝角呢？呃，最多四边形是吧？呃，咱们看到四边形啊，最多最多， 最多。假如说这四边形的四个角都是钝角的话，那四个角直角是九度， 那就是四个角如果都是大于九十度的话，四个角的内角和，四个角的和就大于三百六十度，而四边内角会等于三百六十度，所以四个角都是正角。不可能哎，最多有三个角是正角， 你比如说这个九十一度，这个九十一度，这个九十一度，对吧？这是锐角，这是可能的。那么最多有几个锐角呢？ 咱们假如说最多有四个锐角的话，那四个锐角加起来不就小于三百六度吗？也不行，所以那我们可能是这个八十九度，这个八十九度，这个八十九度，然后这个是钝角，你比如说这样是可以的，所以最多是三个锐角， 最多是三个钝角啊，有时间呢，我刚才嘴巴上跟大家说了一下大概的理由，记得点赞关注哦。

合肥八年级下册、安徽八年级下册数学期末考试就考这四类压轴题，大家一定要重点去复习。第一个是四边形动点对称问题，动点问题和对称问题常常在一起出现， 各个学校基本上都会考，大家一定要去注意将军引马这一个大模型，它包含了一定两动、两定一动、两定两动以及将军六马、将军搭桥等等很多的辨识， 只要大家抓住了做对称这一个核心的动作，多练习，那就不会有问题。第二个是应用二次方程应用题，这个呢是同学们到九年级学二次函数应用题之前最后一个应用题型，也是期末必考题，解题的时候记得使用应用问题的解析，七步法审设找列解验答。 第三个呢，就是四边形的折叠问题，这个考到的概率呢大概是八成，本质上是把四边形和上学期学过的全等三角形进行了紧密的关联。我们期中考试的压轴大题购物定义在期末呢，很少作为这种单独的压轴题去出现， 但是呢，他在这里折叠问题会穿插着去考察你。最后一个题型是每年八年级下期末考试的第二十三题啊，四边形综合大题， 它是绝对的，这种难度压轴，大家一定要熟练去掌握四边形的相关几何模型啊，十字模型、半角模型、对角互补模型，同时上学期学过的一线三垂直、一线三等脚、手拉手等模型也有可能会出场。 这里面四边形常见的辅助线做法要大量的练习，尤其是合肥的同学，大家一定要去重点练习这四类题型。曹老师给大家准备了期末压轴三十题，需要的在评论区留言，沪科版八年级。