太原市二模数学讲解完过程
二零二六太原市第二次模拟考试，那么这份卷子，尤其看到十五题，呵，看到他，我仿佛看到了我们的模考最初的样子啊，太原市的出题老师终于回归了初心啊，再次回到了我们常规的一些数据组，不再用一些奇怪的数据，是让我们去算去了。好，这道题出的啊， 非常的典型，那么就是我们的通信通法啊，各种各样的方法可能都会有。来，陈老师永远给你讲两个核心思路，第一，平行产生的相似三角形。第二，解直角三角形 啊，那么这道题里面由于它出现了这个特殊角，所以一二三组模型马上直接秒啊！来，角 b 四十五度角 ab 的 长度是三倍根号二 啊，那么 bc 的 全长是一个九点， d 是 a， c 上一点有一个 a， d 和 dc 的 二比一比例关系，点 e 在 b a 的 延长线上连接了 e、 d， 并延长交 bc 与点 f， 若 d e 等于 d a 好， 则 d、 f 的 长为多少？来，先看快速的方法啊，看到了四十五度，看到了三倍根号二，来过点 a 向下做垂直，马上这边咱们有三倍根号二嘛，四十五度角，则这边是三和三 九减三，这个长度 h、 c 的 长度应该是个六啊，有了六之后，马上能看到啊，这个角尔法角他对应的三边比例关系，三比六是一比二比刚好五的比例关系。 那么这个时候的角一，他作为外角出现，外角等于不相邻两的角和角一等于四十五度加尔法。 同学们，角一再加上一个角就是九十度，那角一本身是四十五度加尔法，再加贝塔等于九十度，是不是尔法加贝塔等于另一个四十五度？ 那就说明尔法是一比二比根号五的情况下，那贝塔肯定是一比三比根号十。所以其实角一是谁？角一就是一三根号十的大锐角 来等腰三角形，直接三线合一往下做垂直来，垂直过来，给个点 g。 好， 我们能看到这个 a、 c 的 全长应该是个三倍根号五，根据二比一的比例关系，这边应该是二倍根号五。好，那这边也是二倍根号五。 dc 的 长度为根号五，这个角 e、 d、 a 他是一三杠十的二倍，那一三杠十的二倍肯定是三四五的小锐角，所以直接来过点 f 做垂直，给一个 n 点来，左边三角形三四五，右边三角形一二根号五。 设 n、 f 的 长度为三 x， 则 n、 d 的 长度是四 x， 则 n、 c 的 长度是六 x。 直接十 x 等于根号五， x 等于十分之根号五。我们要求的 d、 f 是 五 x， 五 x 等于二分之根号五。搞定 啊！所以这道题的话，其实前面的一堆东西，只要你对于特殊角的关系是熟悉的话，能够立马瞬间判断出来啊，这个三四五和一二根号一下就出来了。方法二，还是平行线出相似来过 点 d 做平行线。为什么过他做平行线呢？因为我想把这个二比一的比例关系得用起来，所以来这边给一个点 g 啊，直接九二比一的比例关系二比三，所以这应该是一个六。 同理，三倍根号二过来二比三，那么这是二倍根号二，这是根号二。好了啊， 再接下来四十五度角直接平移上来，这边也是四十五度角过点 d 做垂直，既能出三线合一，又能把四十五度角放进直角三角形中去， 显然斜边长为六的话，那么这个 d h 啊，到这 g h 长度应该是一个三倍根号二，减去二倍根号二，这是根号二，那么这也是根号二。我们看到这个 h d 的 长度显然还是三倍根号二 啊，那么因为它跟这个 h g 相等啊，所以 e、 d 的 长度你看又求出来了，对吧？一比三比根号十，二倍根号五。 好，那这个时候直接看 e j 比 j b 等于 e d 比 d、 f， 这不就出来了吗？ 所以上半截是根号二，根号二，二倍根号二，四倍根号二比下面的根号二，四比一的比例关系，所以二倍根号乘以四分之一等于二分之根号啊！ d f 搞定。其他方法欢迎大家评论区留言。
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35:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们来看一下二零二六年太原市二模重点题目讲解，在这里呢，我重点讲解第十题，十五题、二十一题，二十二题、二十三题，那么请同学们呢， 重点听一下第十五题，二十二题的第三问，尤其是二十二题的第三问啊。呃，然后呢，二十三题你也可以重点听一下。好，我们先来看一下第十题，这个其实没有什么太多说的哈，就是讲的这个， 只要那个平移，那么在这里请同学们注意一下，如果说你我们的什么以及这次的考试题目里面都出现了这样的一个平面直角坐标系的这样那种新题型啊，嗯，所以你要注意下，如果最近做这种题目不是太理想的话，那你要找一点这种题目做一下 啊，把三角形这个 a， b， c 啊，呃，沿着这个啊， x 轴的正半轴向正方向啊，沿着正半轴来进行平移， a 点坐标告诉我们了是负三斗零，那么所以在还还告诉我们平移之后的那个 f 点的坐标呢， f 点坐标是我们的 a 斗 b， g 点的坐标呢，是我们的 c 斗 d， 这个呢，就是说你就算是你不会做的话，你也应该能排除出来选项哈。首先第一个，你要知道 b 和 d 的 关系，它俩是互为相反数，所以相加为零，所以 a 和 c 是 不对的，所以在 b 和 d 里面去选，那 b 和 d 里面去选呢？比较特别的就是你看 a 等于 c 等于三，和 a 等于 c 小 于三 啊，那这个 a 是 什么东西呢？你要知道 a 就是 我们的这一角的长度， bf 的 这个长其实就是我们的平移距离啊，他说的，他说这个一点在三角形内部啊，一点在三角形内部，说明这个平移距离应该小于三。哈，这第四题， 第十五题啊，当我拿到这个题目的时候，我看到这个里面有一个四十五度，有一个根号二的时候，其实我可能就隐隐约约想到了啊，可能一二三四五模型能行 啊，就我看见这两个条件的时候，我估计就一二三四五模型能行啊，那你们要注意啊，同学们在第十五题的时候看到四十五度啊，我们想到等腰值和一二三四五模型 啊，自己加三数模型是什么啊？不知道同学你自己去搜一下。好吧，那题目上告诉我们的角 b 呢，等于四十五度，告诉我们的 ab 的 长呢，等于三倍根号二，告诉我们的 bc 的 长呢，等于我们的九，那这样一来的话呢，我们的 ac 的 长马上就要能求出来，要求 ac 的 长呢，我们做一个高 a h， 那 么得到 b h 等于三， a h 也等于三，那么 h c 就 等于六，看见没有，一比二， 哎，一比二比根号，我看啊，一比二比根号五，一比二比根号五， 所以我们的 a c 的 长呢， a c 的 长就多少， a， c 的 长就是三倍根号五啊， a c 的 长就是三倍根号五。而题目当中又紧跟的告诉你，他说 a d 呢，等于二倍的 dc， 相当于 d 点，四点是一个靠下的三等分点，所以我们的 a d 的 长就等于二倍根号五啊， dc 的 长呢，也等于啊，就等于根号五了， 所以这样一来，我们这些场子求出来了啊。然后呢，题目当中还告诉我们了， d 一 是等于 d a 的， d 一 等于 d a， 那 说明它也是等于二倍根号五，所以在这里我们发现了一比二比根号五，说明 c 这个角是多少度啊？ c 这个角是我们的二十六点五度 啊， c 这个角是二十六点五度，那么这样一来的话，这个里面所有的角度都能求得出来，题目当中让我们去求 d f 的 长，题目当中让我们去求 d f 的 长，那么的目标是什么呢？啊？那么怎么做呢 啊？同学们，这个告诉我们 d a 等于 d 一 了，这是三项合一，对不对？三项合一，我们可以考虑做垂直吧， 可以考虑做垂直吧，其实做完垂直之后啊，我们这方标个字母 m， 做完垂直之后，我们就能把 am 和 m 一 都能求出来，这怎么求的？同学们， 呃，我们的角 c 是 二十六点五度，角 b 是 四十五度，所以我们 a e， a c 这个角度，我们就知道 啊，一 a c 这个度数呢，是我们的这个啊，一 a c 这个度数啊，是我们的这个，呃，四十五度加上二十六点五度，那所以我们的 m， d， a 这个角的度数我们就知道了，是多少呢？ 啊？是我们的，呃，这个十八点五度，而十八点五度的上面比例关系是多少呢？是一 比三比根号十，看见没有？所以这样一来，我们的 am 的 长就求出来了， am 长等于多少呢？等于二倍的根号五，比上一个根号十正好就等于根号二啊，所以我们的 m 一 呢，也等于根号二 啊，这些长度你求出来了，那你老是求第一啊，你还没求第一啊，好这个地方呢啊，我觉得其实方法上来讲还是挺挺挺挺好理解的哈，因为题目当中很重要的突破口就是 a、 d 等于二倍的 d、 c， 这是个比例关系，这个比例关系我们做什么呢？我们做一个平行， 做一个水平线 啊，做一个水平线，我们这个地方标一个 n， 那 做完这个水平线你会发现啊，呃，做完这个水平线之后，我们的 a、 n、 d 呢，也是等于四十五度呀， a、 n、 d 也是等于四十五度，说明 m、 n、 d 是 一个点二值二上行。 是一个点二值二上行啊，而且我们刚刚也求了这个 am 了啊，包括我们这个 m、 n 呢，也是三倍的根号二， 对吧？啊，所以这个里面我们就可以利用我们的这个 a 字形的这个比例，就是 e、 b 以上，我们的。呃， e、 n 以上，我们的 n、 b， e、 n 以上，我们的 n、 b 就 等于 e、 d 以上， d、 f、 d、 f 就 求出来。而 e、 n 的 长是多少呢？ e、 n 的 长就是三倍根号二加根号二，是四倍的根号二。嗯？ e、 b 呢？ e、 b 呢？啊？ e、 b 这好求啊啊，因为我们的 a、 n 也能知道，因为我们的 mb 是 三倍根号二，而我们刚刚求了 m， a 是 根号二，所以 a、 n 呢，就多少？ a， n 就是 二倍的根号二，而我们的 a、 b 呢，是三倍的根号二，所以我们的 b、 n 呢，就是根号二 啊，根号。你不要觉得说，老师你这个好复杂，同学们，这个计算没有没有量哈，只有计算没有量，没有计算量啊，然后 e、 d 是 多少呢 啊？ e、 d， e、 d 是 我们的二倍的根号五，那除以我们的 d、 f， 那 所以我们的 d、 f 就 出来了，等于二倍的根号五，除以个四就等于二分之根号五，当你知道这一些关系之后啊，那你可以衍生出来的方法就太多了啊，那衍生出来的方法就太多了 啊，我们在这里也可以干嘛呢？也可以做了这个三线合一之后啊，延伸出来的方法就很多了哈，我们也可以这里做完这个三线合一之后，我们在这里再做一个垂直 啊，用这个解，只要上学的这个思想呢，来解决我们的 d f 啊，这是一点问题都没有的，这是一点问题都没有的，用完用完这个锤子之后，你会发现啊，你会你你，你，这个地方也是可以去求吗？啊，这里面的每一条长都能求得出来 啊， d c。 知道我们在这里呢，我们可以把 m c 呀， d m 呀这些都能求得出来，当然也可以过一点往下做垂线，这都是可以的啊，这个地方 a 这方做垂线之后啊，所以思路就有蛮多了哈，思路就有蛮多了，你不要觉得老师你在这里写了一大坨啊，真的是计算没有量哈， 所以这个呢，我觉得在应试状态之下，嗯，我觉得是完全可以出来的，当然呢，这个地方我也可以给大家提一点。嗯，你这个地方呢，你可以看一下，你学过一个东西叫飞鱼模型。没有 啊，飞鱼模型胡乱做平行啊， 当然我在这里我就不拓展讲了哈，我给你把飞翼模型给你放这，你不清楚的同学你截个屏好吧。啊，这就是这个飞翼模型，就是这个飞翼模型，你看这俩图是不一样啊，看见没啊？看这俩图完全一样，看见没？ 这俩图完全一样，然后做的辅助线里面有这样的一个辅助线，看见没？鲱鱼模型胡乱做平行，所以衍生出来的很多很多方法衍生出来很多很多方法。这好好， 那个你可以截个屏啊，你可以截个屏，你可以去了解一下啊。当然我们这一届初三没有给大家讲过哈，没有给大家讲啊，这后面下一届就可以可以讲，放到我们相似里面去讲。 好，第二是议题呢，这个我其他的不想说了，有第一问，第二问没有什么说的，我重点就是想说一下第三问， 因为我们在。呃，我们在五一的时候啊，因为当时上课人比较少，呃，就是给同学们去答疑的时候，有同学讲述这种材料阅读题不知道怎么做， 当时我就把二零一六年考的那个阿金彼得哲学给大家拿出来给大家说了一下，说，哎，这种，嗯，这一类型的材料阅读题怎么做？这种类型的材料阅读题就是题目怎么说，我怎么做，题目怎么说，我怎么做。 那这道题目你看一下第三问是怎么说的呢？你，你这个里面有很多同学可能被这个最短路线给搞晕了 啊，你就按照我们图二教你的这个方法去做就可以了。它是不是把我们的 a 点和对称中心 o 一 连，然后呢？做这个对称对不对？但在这里我们的正方形没有，没有，没有星啊？刚才是计算没有亮，现在这里是啊，没有星。 正方形的对称中心是很好的，很好做的嘛，啊，一个圆，一个正方形，所以呢，我们只需要把我们的 a c 和我们的 b d 一 连，那这个点就是我们的 o， 就是 我们的圆里面那个点，然后呢，我们需要做的事情就是什么呢？把我们的 c o 一 连，然后呢？加倍一延长 啊，加倍延长。当然我这个地方是水手画的哈，那这个地方就是 p 一 撇儿点，然后呢？然后呢？我们再把这个 p 一 撇儿和 q 一 连，然后做这个 p 一 撇儿 q 的 垂直平分线 啊，做垂直平分线做垂直平分线，然后呢？和它相交于 一个点啊，相交于这个点，那当然和这个这个点不，不在同一个地方啊，不一定在同一个地方，因为这是我随手画的哈。呃，这我随手画的，还是给大家适当画的，适当的画的标准一点。我先把这个垂直平面线画出来啊，大概应该是在这个下边这个位置 啊，划出的屏幕线，然后这个点就是我们要的。呃，这个什么点？ q 到 n， 这个点就是我们的 n 点，然后再过 n 点连，这个对，正中心啊，移过来 啊，相交这个点就是我们的 m 点，所以我们再把这个图连起来啊，这个图连起来就长这个样子， 所以你说，嗯，老师，我这个为啥你不需要为你，当你通过第一问和第二问，你可能隐隐约约知道也知道是为啥了 啊，在这里你就仿照我们的图二去画就可以了，仿照我们的图二去画，当然呢，图二是要在你在第二问里面用此个做的方式把它画出来之后，你才会画。第三问的 好，所以这个地方注意下，就是纯纯的造猫画虎，纯纯的说造猫画虎 啊，你不能多想你不能多想啊。好，这是第二十一题，二十二题计算量稍微大一点点。当然呢，这道题目呢，我一问，第二问不讲，但是我第二问，我想提一句， 写哪一句？同学们，你注意刁文的问法，我上课时候专门给大家讲了，我们说什么呀？他让我们求这个收费金额最大时的房价是多少？最大时有没有让你去求最大值？ 没有啊，那有很多同学，他算完之后，他把这个一百八，他就带到这个里面去，把这个最大值算出来，你算它做什么呢？所以在这种题目当中，你一定要搞清楚题目让你求的是什么东西，他没有让你去求那个最大值，只是问你最大时那个自变量 x 等于多少， 对吧？肯定有同学就把这个一百八带上去，哐呲哐呲一顿算啦他，他这个算完之后，觉得老师这个计算量好大呀！同学，你做的是无用功，你没有人证读题 啊。在上上课的时候专门给大家强调这个问题，有的时候是最大值，有的时候是最大十啊，再给大家写一遍，最大十和最大值 不一样的，你自己去体会啊。当然呢，我的方法，我就是这样去，我就是这样去写的哈，我是用这种方法去写的，去求这个最值的。在这里我们说一定要注意自变量的取值范围，因为我们这个对正轴必须在这个 取值范围里边的时候，我们才能说在这个对正轴这个地方取的最大值 啊，所以，所以，所以你们要注意一下啊，这个范围必须得带啊，这个范围必须得带啊。那么关键是要讲的是什么呢？关键是要讲的是我们的第三问。 第三问好，我不先讲一下第三问的考点考的是啥？同学们，这就是我在寒假课的这个版书哈，你看我通知，通知找了半天，我把寒假课的版书找出来了， 我平时也不拍照，都是助教拍的啊。我突然间发现，哎，我讲这次的时候，这个版书居然是我拍的，要是助教拍的，我就下不下来了啊，照片都过期了。那是正好是我拍的。所以，你如果不懂这道题目怎么做的？同学，来，你把这两道题目做了， 这两道母题，你把它做了，你截个屏，你看下你会不会做这种题目。 这是我们讲述什么典型的动轴动区间问题。动轴动区间里面，在我们初中会考到的只有两种，一个叫动轴定区间，一个叫定轴动区间，大多数常考的就是动轴定区间。那这种题目，所以同学们注意一下。 好，那我们来看具体来讲是什么意思。他说酒店为了为入住客人啊，客房赠送当地的特色礼品，每间房赠送一份，每份礼品的成本为 m 元 m 小 于二十，这里面自己有个范围，已知已知每间人每间啊，每间入住客房的固定成本，他有个固定成本为三十块钱。呃，酒店希望在房价不超过二百块钱的时候，房价是什么？房价就是这个地方的 x 自变量， 那说明这个地方有一个隐含条件，就是 x 不 超过，就是小于等于二百。说日毛利润仍随房价的增大而增。 直接写出礼品成本 m 的 范围。请问龙提醒你了，日毛利润怎么算？好，我们说日毛利润为 w 等于多少？等于日营收金额，日营收金额是我们的第二个，里面的东西 有多少呢？负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x。 好， 减，固定总成本，减礼品总成本，固定总成本。每间房呢？ 多少间房？多少间房？就是我们这个第一问里面那个空口啊。第一问里面那个空口，所以呢是多少呢？是负的五分之三 x 加上二百一十六， 乘以每间房有个三十块钱的成本，对不对？每间房还有一个 m 的 成本，就是礼品的成本，我把它加到一块了，加上一个 m， 这个你们懂， 所以这个就是我们的后面这两个成本。好，这个整理一下， w 等于多少呢？ w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百一十六 x 加上五分之三 m， x 加上十八 x 减去二百一十六 m 减去六四八零。好，整理一下， w 等于负的五分之三 x 的 方加上二百啊，二百一十六，加上个十八是二百三十四， 加上一个五分之三 m， x 减去个二百一十六 m 减去个六四八零。好，它要求什么？它要求 x 在 小于等于二百这个范围内的时候 不超过二百块钱吗？在这个范围的时候，我们的 w 应该随着 x 的 增大而增 啊。我们说一定要借助图像来看来，这是一个什么图像？这是一个开口向下的一个二次函数，但是是，呃，对称轴，不确定在哪里， 但是我现在范围是知道的，我现在需要啊，就是要求同学们要求 x 小 于等于二百的时候， w 要随 x 的 增大而增大，从图像上来看就应该是向上的一个范围，向上的一种情况，那我们来看，所以我们这个时候把图像画出来啊，我们先画这个范围， x 小 于等于二百，就是这个范围， 意思是什么呢？意思就是说 x 在 这个范围内的时候，我的图像都要怎么办？都要往上跑，都要往上跑。那你想一个二次函数在这个范围里面的时候，它的图像要往上跑，那具体是什么情况？ 具体什么情况？我们说我就让这个二次函数对准轴从左往右来调整，你看在这边的时候，你看一下满不满足啊？行不行啊？不行吧？因为你在 x 在 零到二百这个范围内的时候，你是往下逃的， 你是往下跑的，所以这种情况不行，这种情况不行来临界状态是什么呢？临界状态我们看一下，正好等于这个时候，行不行？你看这个二字函数画出来成这个样子 行不行呢？也不行，因为在这个范围的时候也是往下跑的。那再看，如果我现在对准轴正好在零到二百之间的这个范围呢？我画一个，你看一下 行不行呢？你会发现在零到二百这个范围的时候，他图像有往上跑的这部分，看见没？也有往下跑的那部分，说明这也不行。那所以极端情况是什么呢？极端情况就正好对应轴就是二百的时候， 那你看图像满不满足呢？哎，你就会发现正好这个图像在零到二百这个范围内，就是往上跑的，没有往下跑的部分，那我对准轴在二百的右边行不行呢？那你来看图像画出来大概长这个样子。 图像画出来大概长这个样子啊，画的就比较长了啊。图像画出来大概长这个样子啊。重新在这画个图吧， 零到二百这个范围，我的对准轴现在在二百右边。那你看图样画出来大概长这样，那你会发现在零到二百这个范围，它就是往下走。那所以这样呢，我们就知道了，我们的对正轴应该怎么样呢？对正轴应该在二百或者是二百的右边就可以了， 所以对正轴是大于等于二百的，那我们来求对正轴，对正轴 任意角 x 等于负的二乘以 a 负的五分之三 b， 也就是二百三十四加上五分之三 m， 它应该怎么样？它应该大于等于二百，然后再去算它就行了。 那所以呢，这个是我们的啊，符号和符号就没了啊。那就是二百三十四加上一个五分之三 m 大 于等于，嗯，二百乘以。嗯，二百乘一个多少乘一个五分之六。 好，呃，计算过程，计算过程挪出来，那就是二百三十四加上五分之三 m 大 于等于。呃，二百四， 那就是五分之三 m 大 于等于二百四，减二百三十四就是六，所以 m 大 于等于十。好，这是 m 的 下限，你看，那你答这个方法行不行？不行啊，因为题目当中有一个 m 小 于等于二十，所以我们最后这个方法就是 m 大 于等于十，小于等于二十。 典型的什么题目？嗯，动轴定曲线啊， 当然，没学过的同学啊，你现在补还来得及啊。没学过的同学，你现在补还来得及啊。来补。怎么补？就通过这两道题目来补啊。通过这两道题目来补啊。 好，你截个屏，把这恶补一下，好吧。嗯，有啥不懂的可以再私信我哈。然后我们再来看第二十三题， 二十三题题目当中告诉我们一个平行四边形啊，长边是短边的二倍，然后呢，又找了一个长边的一个中点，然后做这个平行第一问，让我们证明这个 a、 b、 e、 o 的 形状啊，是个菱形啊，这没啥说的啊。 好，我们看第二问，在第一问的基础之上，把我们的 d、 e 一 连和我们的 ab 呢延长线相交于点 f， 然后再连接到我们的 c、 f， 然后再把 a、 e 一 连延长和我们的 c、 f 相交。有点记，那我们判断什么呢？判断这个 a、 e 和 e、 g 的 数量关系好，这个数量关系呢？嗯，你可能猜不好猜啊，你猜不好猜，尤其是不会的同学啊，我们说猜不好猜啊，那你就拿圆规去卡一下拿圆规去卡一下，嗯， 让我们来看一下，在这里我们怎么来做呢？怎么来做呢？呃，又到处都是重点哈，而且这个地方形成了个八字形的，全等哈，这些都要清楚啊，这些都要清楚，那么我们要把这个图形里面的关系呢？我们把它整清楚啊，先把这个图形里面的关系整清楚， 因为我们的 a、 b、 e、 o 和我们的 o、 e、 c、 d 都是菱形，都是菱形，那么我们看一下啊，这可以标一下，都是 a 啊，没问题啊，这都是 a， 这都是 a 啊， 啊，这都是 a， 然后呢， 你有没有发现这个地方有啥啊？而且是个菱形啊，菱形叉角等于叉角，菱形圈角等于圈角，说明这个地方是个九十度，这个地方是个九十度，所以呢，看见这个九十度呢，可以联想到我们做一下，连一下我们的 o c， 连项目都 c， 这个地方我们标个 a、 b， c， d， e 啊，标个 m 吧。那么我们发现啊，这个时候，你看，你也要知道，我们的 e f 呢，和我们的 e d 呢，也是相等的，而这个地方呢，又是个呃对角线，所以呢，这个地方有个关系啊，有个关系， 有关系是 e m 等于 m 一 啊，等于，然后呢，我们的 e f 是 它的二倍， e f 是 它的二倍，那所以我们得到了我们的这个地方也是个垂直的，所以我们的 e g 啊，和我们的这个 m， 和我们这个 mc 的 比，我们是知道的哈。哎，这个地方，这个图有点小哈，大家给大家说一下吧，因为本身确实也不难哈，我不知道哪些同学在反映这道题目难嘛？啊， 当然有其他方法啊，我们先讲一下这个方法。呃，我们这样吧，我们说这个是 a， 这个是 a， 这个是二 a， 看见没有？那所以我们的 e g 和 e c 的 比就是多少呢？啊，就是我们的二比三嘛，是不是二比三，而呃，不叫 mc 啊，不叫 e c， 叫 mc 啊， e g 和 mc 的 比 十二比三，而 m c 又等于什么？ m c 是 不是又等于我们的 o m， 对 吧？而这个地方呢，因为是个呃平行四边形啊，这个 a e c o 可以 去简单的说明一下，平行四边形，所以得到我们的 a e 就 等于我们的谁啊，等于我们的 o c 啊，啊，这个地方啊，你要知道，我们的 m c 又等于我们的 o m 啊， m c 等于 o m， 那 么所以我们的 e g 比上谁呢？比上我们的这个 o c 就 相当于等于二比六， 而 oc 又等于谁呢？ oc 又等于我们的 a 一， 那就得到了 eg 比上我们的 a 一 等于多少呢？等于二比六，也就是等于一比三啊，所以呢，我们就要知道哈，我们这个地方的 a 一 是等于三倍的 eg 的。 好，这是这个方法啊，这是这个方法，当然呢，参考答案呢，你们看了之后呢？参考答案的方法也挺好的啊，参考答案的方法就是把我们这个 o e 啊 e 延长， 先交这个地方，我们说个这个 n 吧，那就说这个 n， 那 这个时候我们要知道哦，我们的这个， 我们看一下我们的这个比例关系啊，看一下这个比例关系 啊，因为我们的 b 一 和我们的 e c 是 相等的，而我们的这个 o n 呢，又和我们的这个 a f 呢是平行的，所以呢，这个 e n 呢是个中线， e n 是 个中线，那所以呢，这角是一份的话，这个就是二份， 而我们的我们刚刚正八字形的时候，我们又知道我们的 b f 的是等于我们的 cd， 也等于我们的 ab 的， 所以这个也是二份， 对吧？ 啊？然后再去求我们的 a e 和我们的 e g 的 比，那是多少？看能不能反应过来哈，看能不能反应过来 呃， e n 和 a f 的 比是一比四，那么所以 e g 和 e a 的 比就多少呢？就是一一三啊，这方法导一下比例啊，这方法导一下比例啊，过程，看你怎么样去写哈，如果不会写过程的，你看一下那个参考答案的过程来参考答案的过程 啊，其实通过这个比例我们得到是什么呢？我们得到是 e g 和我们的 g a 的 比是一比四，然后再倒这个比例一比三，再倒这个比例一比三。好吧，我们重点看一下这个最后一页哈，重点看一下最后一页 最后一位啊，说这个还是在图前面图的基础之上叠加了一个特殊条件，你看，正好我们这个星期上课的时候啊，正好我们这个星期上课的时候也是有这样的一个题目，也是有这样的一道题目，呃，同学们都要去构图，我说可以不用构图，我说可以不用构图 啊，当然这道题目呢，也可以不用构图，因为首先第一个幅二给到我们这个图和这个 c d g 为直角上，行，你看， 那我们说第一个 c 点这个角是个直角，是吧？挺像，对不对？非常像。而我们刚才我们其实要知道，就是说我们中间这个地方啊，是一个九十度啊，刚才我讲方法一的时候讲了，叉叉角等于叉叉角，圈角等于圈角，所以叉加圈等于九十度，所以这地方是个九十度。 而我们的这个 c d 呢，和我们的这个 a f 呢，又是个九十度，所以这地方有个啥呀？这地方有个什么？这地方有个射线点， 同时你还要观察到同学们，我们的 e、 f 等于 d f， 这个地方又是个垂直的，那说明这个地方不光有个摄影机里还有个什么，还有个帧型， 其实 af、 g、 d 是 帧型，就这个图形呢，在变化过程当中，我们这个 g f 呀，和这个 g、 d 是 相等的，我们的 a f 呀，和我们的 ad 也是相等的，所以这个地方是个啊，帧型 啊，为什么要这么讲？一会我们在第二种情况里面，我们要知道哈，第二种情况你们要知道，所以当我们知道这个地方有这样的一个摄影地理和这样的一个帧型的时候， 和这样那个帧型的时候，我们这个题目就比较好做了啊，这地方摄影地理，而我们在第一问里面，我们知道，我们知道 eg 和我们 a 一 的比是一比三 啊，那么我们就知道了，我们 e、 f 的 比是多少？射线定律， e、 f 的 方等于什么呢？等于我们的 e、 g 乘以我们的 a、 e， 所以 它的比是根号三， 而 e、 f 和我们的 e、 d 是 相等的，也是根号三，所以我们的 d 一 比上，我们的 a、 e 就 等于多少呢？呃， 这正好就等于我们的啊，三分之根号三，三分之根号，这第一种情况，我们的角 e、 c、 g 等于九十度啊，所以这个图不需要画 好，那这种情况呢？正常来讲是可以做得出来。然后第二种情况就是说，呃，我们还有个角 g， 或者说角 d 等于九十度，对不对？有的同学就考虑，老师这个图我怎么构造啊？我的图怎么构造？第二个就是我们的角 d、 g、 c 等于九十度，我的图怎么构造？ 其实你在这个地方，你可以理解为我们利用的是平行四边形的不稳定性来构图， 它不是我们大家理解的说有个点在运动啊，有个点通过通过什么旋转在运动，通过折叠在运动，而这个地方是因为什么呢？它们的比例关系存在，然后因为这个四边形，平行四边形 a、 b、 c、 d， 它一个的一个不稳定性 啊，他可以往下，那可以往往往左边压，就压成了。我现在这个图他也可以往右边压啊，形成另外一个图，所以通过这个平行四边形的不稳定性啊，来出来的这样一种图形 啊。当然呢，就是说如果你知道了这样的一些关系之后 啊，有构图也是可以的，但是构图你就要考虑到这是个平行四边形的不稳定性，那么我们啊，把这个平行四边形 a、 b、 c、 d 往左边压到无限的这个窄的时候，我们这个图就构造出来了， e、 g、 c 等于九十度， 那在这个过程当中，我们还知道九十度的关系仍然存在，一比三的关系仍然存在， 一比三的关系仍然存在，真形的关系仍然存在，那就是说我们的 d、 g 和我们的 f、 g 是 相等的，那这个时候你有没有发现我们的 d、 g、 c 等于九十度，说这个地方也是个九十度，说明我们的 d、 g、 f 是 个等腰直角上弦，而 e 点又是个中点，所以正好这个地方是两个等腰直角上弦， 那所以 e、 g 就 等于了谁啊？等于了 e、 d 啊，它也是一分，所以这样一来，你看没有计算量，所以 d 一 比上我们的 a 一 就等于多少，一比三，零比三 啊，没有计算量，就是说你需要把这个图弄清楚，当然呢，你就在我们这个题目，在这个原图上面，我们也是可以去处理的，只要你知道了这些关系之后，你在这个图上啊，这个时候这个角点九十度，这个角点九十度，那说明在这个点上知道，行吧啦吧啦是一样的 啊， c 压的啊，所以同学们注意一下，那第三种情况，就是我们 g 这个地方这个角是个九十度，当然呢，你可以通过 把这个平行四边形向左压去勾个图，向右压去勾个图，那么你就会发现这个 d 这个角啊，是不可能是九十度的啊， d 这个角啊，它不可能是九十度 啊，你比如你可以画一个向右的一个图，大概给它大概画一个 啊，你可以，你可以这样画一个，你可你看一下趋势， 你看一下趋势，你看向右的时候，我们的这个 c 这个地方这个角，它变成钝角更大了啊， 而往左再去再压的话，你就会发现 d， g、 c 就 变成钝角，所以 d 这方角啊，它不可能是个九十度啊。 好，这个就是我们的这个太原市二模的这个题目，那么其实呢，这个我觉得哈，嗯， 你不会做这个二十三题的，这个第三的时候也是可以，也是一定要把答案猜上去啊，吸取一下我们什么那次考试的这个经验嘛，你当时有可能猜对答案了，就说不要空，不要空，哪怕画出来我的第二个图之后，我拿 元哥去卡一下，我也我我我卡，观察不出来这个图形，我在这个动点过程当中，我没有找到固定不变的这种啊，线段关系和角度关系这种几何关系的时候啊，我去卡一下，大概差不多我也能猜啊，好，同学们，再见。
5西山老孟
09:48查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下我们的这个二模的这个填空题的十五题，首先呢，它给了我们这个角 b 是 四十五度，那这个角 b 四十五度，它的这个角就非常的关键了， 就是说它是一个特殊角，那么特殊角的四十五度，我们一般情况下就是要把这个四十五度去放在我们的直角三角形当中，所以根据这个条件我们就可以，而且它还给了我们 a， b 是 三倍根号二， 那么这个时候呢，我们就可以把通过做辅助线，把角 b 放在直角三角形当中，那就是过点 a 做 a m 垂直于 bc， 那这样的话，我们就可以根据，嗯，等腰直角三角形一比一比根号二来，嗯，得到 am 等于 b m 等于三， am 等于 b m 等于三。那知道了这个以后，接下来我们再看，它又告诉了我们 bc 是 九，那么 bc 是 九，我们知道了 b m， 那 我们就可以得到 c m， c m 就 等于 b c 减 b m， 也就是九减三等于六， 嗯，那这样的话 c m 就 求出来了，那 c m 求出来以后，我们就会发现 ac 我 们就可以直接求了。 ac 它也是在直角三角形当中的，那 ac 呢？就等于的是根号下的 am 的 平方加上 cm 的 平方 等于的是，嗯，根号下的三的平方加上六的平方， 嗯，等于的是三倍根号五，那 ac 求出来三倍根号五以后，那我们就可以根据这个条件把 ad 和 cd 求出来了，因为他说 ad 等于二倍的 cd， 那 说明呢，我们是把 ac 平均分成了三份， ad 占了两份， cd 占了一份，所以 ad 等于的是二倍根号五， cd 等于的是根号五。 好，这就是我们根据条件把能求的我们都求出来了啊。把能求的都求出来以后呢？接下来他问的是求 d、 f 的 长，那么一般情况下，他给了两条边的比的话，我们是构造相似的，这不是他给了 a、 d 和 c、 d 的， 嗯，这个 比了，那我们构造相似，我们一般可以构造那个八字相似，比如说我们可以过点 a 做 a、 n 平行于 bc， 那 这样的话这个三角形和这个三角形相似，我们这不是自然而然就可以把 d、 f 求出来吗？但是通过观察我们会发现 c、 f 的 长我们并不知道， 对吧？那 c、 f 的 长并不知道，我们这两个三角形相似，我们只知道 a、 d 和 c、 d， 其他边完全不知道，而且通过我们大大概的去观察一下，它也并不好求，所以说这个方法就 不能用了，舍弃掉了，那么我们就赶紧另外想办法啊。那另外想办法，我们再看它还有一个条件， 还有一个条件呢？它是 a、 d 和 e、 d 相等， a、 d 和 e、 d 相等，那等边对等角，这个是肯定知道的，对吧？嗯，那除了等边对等角，还有其他的，嗯， 用处没有。那么首先我们看啊，这个地方相当于是一个三角形的外角，它等于角 b 加角 c， 那 这个时候如果我在这再做一条辅助线 垂直，这记为 n， 那 我们会发现这是四十五度，那这个角它也是四十五度，那这就相当于是这个角 a、 e、 d， 它也是四十五度，我把这个地方记为角一，那么所以我们就可以得到，我们先根据角 e、 a、 c， 它等于的是四十五度加角 c， 而同样的道理，我们的角 d， e、 a， 它是等于四十五度加角一，而这两个角本身就是相等的，因为等边对等角，那由此我们就可以得到角一和角 c 相等，那角一和角 c、 e 相等的话，我们就可以构造相似了啊。 因为它都有两个直角，角 e 和角 c 又相相等，那所以我们就可以得到相似。所以三角形 e、 f、 n 相似于三角形 c， a， m。 好， 得到了相似以后，我们会发现，首先观察我们的这个 a， c， a， m， 我 们观察到这个 c， a， m 的 这个三角形，它的两条直角边 a m 比上 c m， 它等于的是三比六，也就是一比二的关系， 那这样的话，同样的道理我们就可以得到。嗯，我们就知道 f n 比上 e， n， 它这两条直角边的关系，它也是一比二。好，知道了这个以后，接下来我们再看哈。嗯，我们知道了这些以后，那接下来问题是 d f 我 们依旧没有 出来，那么我们可以再一次地做一个辅助线，我们把这个位置记为是 d j 垂直于 bc， 那么这样的话，你做垂直以后，我们会发现它的这个是 a 字模型，这不是 a， c， m， d， c， g， 这俩三角形可以又相似，三角形 a， c， m 相似于三角形 d， c， g， 那 这俩三角形一相似，我们就发现，我们就可以找了哈。首先 a c 比 d， c 等于 a， m 比 d， j 等于 c， m 比 c j， 那 么 a c 我 们知道是三倍，根号五 c， d， 它是根号五。好，它们的比例关系我们就出来了啊。然后 am 是 三，那 d j 我 们不知道。再来 c m 是 六， c j 不知道。好，那么这样的话，我们就根据它的三倍根号五比五，我们可以知道它们的相似比是三，那么相似比是三，我们就可以得到 d j 呢？就等于一， c g 就 等于二。好， d g 是 一了啊，这个 d g 是 一。有了以后，如果我们知道了 g f， 那 这个三角形 d f 是 不就可以求了，那么 g f 怎么求呢？那这样的话，还有一个 a 字三角形，就是三角形 e n f 相似于三角形 d g f， 哈，那它俩一相似，我们就可以得到 e n 比 d g， 嗯，还是一样的，我们的 e n 比 n f， e n 比 n f 是， 嗯，二比一的关系，那同样的道理，我们的 d f 和 g f 呢，它也是二倍的关系。那 d j 是 一了，那我们就可以得到 g f 呢？它就是 二分之一， g f 就是 二分之一，因为它的两条直角边 e n 和 f n， 它的两条直角边是一比二的关系，那所以我们的 d j 和 j f， 它也是一比二的关系，而 d j 是 一，所以 j f 是 二分之一，那 j f 是 二分之一，那这样的话， d f 我 们就可以求了，就是根号下的一方加二分之一的平方，嗯， 等于的是二分之根号五，这样的话，我们就把 d f 求出来了哈。这个题它，嗯，稍微会复杂一点啊，因为它的辅助线会多一些，而且用我们之前常规的做平行的那个 八字三角形相似的话，它没办法正，所以我们反复用到了这个四十五度角。所以在呃做题过程当中，一旦它出现了比较特殊的角的时候呢，我们就要 用到了啊，就要把它放在呃直角三角形当中去用了哈，好，这就是我们的这道题。
24:09查看AI文稿AI文稿大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。
29婉男
02:51查看AI文稿AI文稿同学们好，一起来看一下太原二模的第十五题。不了解题目的同学可以先暂停阅读一下题目。 根据题中的已知信息，角 b 是 四十五度， a、 b 等于三倍，根号二，于是你过点 a 做了高，得到了一个等腰直角三角形，并且得到了这些边的数据。而整个 b、 c 是 九，那么你又得到了 g、 c 等于六， 于是又得到了 a、 c 的 长度，而 a、 d 等于二倍的 c、 d， 于是又得到了 a、 d 和 c、 d 的 长度， 最终目标是求 d、 f。 所以 你想到了将 d、 f 构建在相似三角形或直角三角形中，其中一种方法就是可以或点 d 去做 b、 c 边上的高， 这样就得到了一个小三角形 d、 k、 f。 咱们只要能知道这个三角形的两个直角边，就能求出来 d、 f 的 长度。根据题中一比二的那个信息，咱们能得到 d、 k 的 长度，因为这两三角形是相似的， a、 g、 c 和 d、 k、 c 相似，比为一比三，所以 d、 k 的 长度等于一。 目前还有一个重要的信息没有使用，就是 de 等于 da， 那 说明 da 是 一个等腰三角形，而等腰三角形能给咱们提供的无非就是腰相等、底角相等，还有三线合一，咱们这里可以借用底角相等来解决问题。 这两底角怎么分别能表示为阿尔法加四十五度，但这里是把角 c 记为阿尔法，那么角 e、 a、 d 就是 三角形 a、 b、 c 的 一个外角角 b 是 四十五度，角 c 是 阿尔法，所以这里角 e、 a、 d 就是 阿尔法加四十五度， 那么角 e 也是 r 加四十五度。利用内角和，咱们就能表示出来这个等腰三角形的顶角就是九十度减二 r 法，那么它的对顶角 c、 d、 f 也是九十度减二 r 法。 然后在三角形 d i 在 三角形 d、 k、 c 中利用锐角互余，就能表示出来 k、 d、 f 的 长度。 拿九十度减 alpha， 再减这个 c、 d、 f， 得到的就是 k， d、 f 恰好也是 alpha， 说明这个小三角形 d、 k、 f 它的三边之底也应该是一比二比根号五。而目前已经知道 d、 k 是 一了， 所以就可以顺利地求出来 d、 f 的 长度为二分之根号五。 这边左下角有针对二零二六年的中高模拟卷，有需要的同学可以点击了解一下。
164李亮老师
10:38查看AI文稿AI文稿二零二六山西中考前，太原市的最后一次的官方考试，市二模十五题，这对于我们还有二十来天就参加中考的同学们，绝对是太原市教研送给大家的一份大礼，没有之一。 对于我们同学几何题困惑已久啊，那这道题呢，不仅可以帮你扫除知识盲点，帮你疏理解题思路，这道题是真正可以让我们同学在考前有所突破的题目， 所以，果然还是上天有好生之德，现在啊，就看你这份大礼能不能接得住了。 可是每次碰到这种好题，我都会有些追追不完，一是因为视频长度有限啊，怕讲不出这道题的精髓。 二呢，是怕我们同学一看说，这题，我知道，我知道，答案我都会啊！可是考场上他不是说给你钥匙让你去开门，而是你要先找到钥匙。几何题啊，他考场上是不会有原题的，他多少种变化啊， 所以还是我那句话，答案不重要，解析不重要，分析问题的方法如果你掌握，才能真正让你在考场上无往不利，所以大礼就在这，现在就看这份礼物你能不能接得住了。 先看题，如图，已知三角形 abc 中角 b 是 四十五度， ab 等于三倍，根号二 bc 等于九点 d 是 a， c 上的一点 a， d 等于二倍的 dc 点 e 在 b， a 的 延长线上连接 e、 d 并延长交 b， c 边于点 f， 若 d， e 等于 d a， 则 d、 f 的 长为多少？条件清楚，那接下来我们一步一步按照思路去分析 d， 大家要注意，这是不变的东西啊，这是永远不变的东西。思路一， 首先就是从条件出发，我们看现有的条件可以推导出哪些固定的结论，注意，我说的是固定的结论，而这些固定的结论如果你不知道，那就是你的知识盲点， 你一定要抓紧这二十天的时间去逐一把它攻破。那我们先看啊，从条件出发。 abc 这个三角形当中有两边和一角，这个三角形是可以把它分割成两个直角三角形 分别求解的。如果这个你不知道，你一定要注意，这个是一定得知道的，这个是一定要考的，一定会得，会的啊，不仅十五题会，二十三题也会。 那么我们做 a、 g 垂直于 bc， 在 左边的这个直角三角形当中，四十五度所对应的三边比是一比根号二，所以它的两个直角边都是三。 因为 bc 等于九，而 b g 等于三，所以 g、 c 等于九，减三就是六。 我们看右侧的直角三角形当中， a、 g 等于三， g、 c 等于六，那么这是一个一比二，所以 a、 c 的 长度是三倍的根号五，就一比二比根号五，所以它的小锐角我可以用一个 r 法给它标记出来，因为这个角所对应的三边比已经有了。而因为 a、 d 等于二倍的 dc， 所以 三倍的根号五，我们可以把它按比分配得到。 a、 d 的 长度是二倍根号五， dc 长度是根号五， 所以 ed 的 长度和 ad 的 长度都是二倍的根号五， 你还能得到什么结论？因为他是等腰三角形，所以两角相等，对不对？还有其他结论吗？哼，就是目前为止没有了， 那目前为止再往后坐就要分，就要分分岔路了，注意分岔路到底往哪个方向去走，这个时候如果没有目标，你就会很尴尬，所以你要看清楚他的目标在哪，所以这个时候要怎么样？ 我们要从问题出发，这就是固定的思路啊，永远是这样的，我们看 题目当中所问的边 d、 f， 它所在的三角形是不是 d、 f、 c， 而这个三角形 d、 c 长度我们知道，角 c， 我 们知道是角 r， 法 又知道一边一角，那是不是我要还知道一角？所以这个问题就变成了，我要寻找角度，哈，寻找寻找角度， 那所以呢？在所以在 a、 b、 c 三角形当中，角 b 四十五度，这个角是角而法，那它的外角我可以表示出来吧，它就是四十五度加而法，所以这个角是不是也是四十五度加而法。 在三角形 e、 b、 e、 f 当中，这两个角都知道，所以一百八十度去减掉四十五度，再减掉四十五度加而法 的和等于一百八十度减掉四十五度减掉四十五度减掉而法等于九十度减而法。 所以这个角的角度我们知道了，就是它九十度减而法。如果把它放在直角三角形当中， 我们可以给他做一个 d h 啊，可以给他做一个 d h， 那 么在三角形 d、 h、 f 当中，他就是九十度减而法。而另外一个锐角是不是就是而法？所以 两角一边，我们可以把它射出来了啊，可以把它射出来了。耳法对应的是一份，林边是两份，斜边是根号五份。 耳法对应的是两份，那么它的林边对应的就是四份，它的斜边对应的就是二倍的根号五份， 所以数量根号五所对应的分数是二倍根号五，我们要求的是根号五，那劣势就是根号五去乘个二倍，根号五分之，根号五约分 等于二分之根号五，得解。从条件出发，我们分析到三角形 a、 b、 c 是 过 a 点做 b、 c 的 垂线，把它分成了居于两边的两侧型的双直角三角形。而对于从问题出发的时候，我们分析到需要 把三角形 d、 f、 c 转化成一个同侧型的双直角三角形，如果这两个当中你就知道该干嘛了，对吧？ 你说这个点两侧型的常考，这老考了，但是这个不常考，但是这个题他就出现了，所以你说是不是上天送给我们的礼物 哈？好，我们再接着看。接下来是有一些效外的东西在里面啊，就在三角形 a、 d、 e 当中，这是个等腰三角形，它的两个底角我们都知道，所以呢，我们可以把顶角给它求出来。 那么一百八十度去减掉两个四十五度加尔法，他等于多少呢？等于一百八十度去减掉九十度，再减掉二尔法，那就等于九十度减二尔法。那九十度减二尔法又是什么？ 就如果你接触到一些效外的东西，一二三四五模型你就能够看出来，因为在一二三四五模型当中，尔法加贝塔 的两倍是九十度，也就是阿尔法加二贝塔等于九十度，那是不是九十度减阿尔法就是二贝塔呢？所以这个角他是二贝塔，那二贝塔所对应的三边比是不是就是 三比四比五？我们放大来看， b、 c 是 根号五，这个角二倍，它所对应的是三比四比五，所以我们过 f 点把它分成 左，分成左右两个双直角三角形，这个角是 f， 这个角是二倍，它二倍，它对应的三边比，我们说是三比四， 比五，而而法对应的三边比是一比二，那这是三，这是不就是六啊？所以根号五对应的分数就是四加六，就是十， 那么要求的 df 又出来了，等于根号五乘个四加六分之五，哎，就是 就是二分之一，那就是二分之更好。那当然啊，这个就比较拓展了，这个是一个校外的东西，叫做一二三四五模型，有兴趣的同学你也可以看一看。但是这个模型的话呢，也不是一下子可以了解的， 我的建议是我们同学先掌握在内的方法就是至少两侧形的双直角三角形和同侧形的双直角三角形。你看包括使用一二三四五模型之后，这个我们同样是把三角形 d、 f、 c 分 成了 两，分成了两侧形的双直角三角形，我们来去解它的，对吧？啊？这是它不变的东西，好角的，我们就讲这么多。
210『大包分享』
12:38查看AI文稿AI文稿呃，同学们好，今天我们讲一下太原二模的第二十三题，综合与探讨。我们来先看一下题，把展开展题 好，读完题之后呢，我们来跟着一起老师看一下来。已知四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于二倍的 a、 b， 也就是说这个长度是 a、 b 的 几倍，两倍，这是一份 a、 d 是 几分，两份好， e 是 bc 的 中点，那么 b， e 和 e、 c 就是 相等的关系， 过点 e 做 a、 b 的 平行线，交 a、 d 与点 o， 也就是说 a、 b 和 o， e 是 平行的关系，那判断四边形 a、 b、 e、 o 的 形状，那么很明显这是一个什么形？这就是一个菱形，对不对？菱形，那怎么正呢？我们可以看一下， 因为这是个平行四边形，所以说 a、 d 和 b、 c 什么关系？是平行的关系，所以说两组分别平行的四边形是平行四边形，所以我们可以正出 a、 b、 e、 o 是 平行四边形，那我们只需要再证明一组邻边相等是不是就可以了？好，因为这是平行四边形，所因为 a、 d、 a、 b、 c、 d 是 平行四边形，所以我们得到 a、 d 和 b、 c 是 相等的，然后 a、 d 又等于 ab 的 两倍，是不是二倍的 ab， 那 么 bc 就 等于二倍的 ab， e 为中点，所以 b、 e 就 等于二分之一的 bc， 然后 ab 也等于二分之一的 bc， 所以 得到 ab 和 b、 e 是 相等的，直接证明它是菱形。第一个相对来说比较简单，来我们看第二个， 在除一的基础上呢，我们连接 d、 e， 把这个 d、 e 呢是连接了，连接 d、 e 呢，并且延长交于什么 a、 b 于点什么 f 连接什么 a， 又延长 a、 b 交于什么点 f， 好， 这里这里，然后呢又连接什么 c， f， 连接什么 c、 e？ 交于什么 b， f， c 于点 j， 最后让你求什么 a、 e 与 e、 j 的 什么 比值关系，是吧？这个关系数量关系，也就是一个比值关系，这个关系呢我们可以看一下这道题呢，并没有考察折叠，也没有考察什么旋转，但它很明显是一个十五题的， 呃，一个考察的类型，就是我们常有时候求一些比值，这里面有一些干扰的东西啊，比如这些部分，其实我们可以看到它是一个比较干扰的效果，我们可以把这个图形呢，相对来说呢构造的比较简单一点，比如说我们把这个图呢，来，我们把这个图画的稍微细一点，这样这样的话看好，我们把这个三角形 延长好，这样我们把这个最后我们再延长一个这个放大，然后我们把这个放大 好，这个时候呢我们就可以把这个字母标下，这是 a， 这是 b、 f、 g， e， 好， c， 好， 这之后呢我们把这个图呢这样子把它呢挖出来，对不对？挖完之后我们可以移动一下， 好，移动一下，我们旋转一下，是不是我们会看到一个很明显的是一个什么形？三角形的所谓的交叉形式的图形啊？是不是这样？三角形交叉形式的图形好，这种图形的话，那我们很明显我们会怎么去做呢？我们见到这种交叉类型的图形，比如说三角形这种交叉的图形类似于这样子交叉， 对吧？交叉，那辅助线一般我们怎么做？我们就可以直接过什么等风点，做的什么平行线， 这就是一组什么 a 字相似，是不是？哎， a 字相似，同样，这有勾到位置吗？ a 字相似，来了，两对 a 相似，那就可以求出我们所谓的一些线段长呀，线段笔直的东西。好，无论怎么交叉是不都可以的，哪怕这三角形这么交叉， 哎，这样行，这也是交叉形式，是不是都可以？好，那这样子之后，我们把这个题呢，直接做的比较简单一点，对不对？那我们看到这个图中我们放大对不对？我们可以直接什么过点 e 做 f、 c 的 平行线，交于点什么？点 h， 这交于点 h， 那 这里构造出什么？两对 a 字什么相似？因为有平行，这一对 a 字相似，这里有一对什么 a 字 相似，对不对？ a 字相似好， a 字相似，看好，那这地方我们可以什么？很明显，这是一个终点吗？那我先先这样子看好，这，先把这个正一下，这，这一对什么八字？什么八字全等， 因为什么？因为 b 啊 be 等于 e， c 是 中点，对不对？这两个是平行位，这个角等于，这个角是不是对顶角，所以这两个三角形全等。我们得到 d， c 和 b、 f 是 相等的，所以得到 ab 和 b、 f 是 相等的。 又因为什么？只乘出两项子，因为这个叫什么平行，这是中点，所以这是中中点。好，那我们就得到什么？得到 b， h 比上 h， f 就 等于 b， e 比上 e、 c 是 不等于一比一的关系啊，一比一的关系。又因为 a、 b 和 b、 f 是 相等的，直接得到 b， a、 h 比 h、 f 就是 多少三比一。好，那我们得到，因为就 a、 h 比上 h、 f， 就 等于 a、 e 比上什么 e、 j 也是三比，什么三比一？ 这就是平行线分线段成比例的推论。好，我们直接得到结论，也就是说得到我们第一论就是 a e 就 等于三倍的什么 e、 g。 好， 那我们这个这个字母线一做，这个答案就出来了。当然我们还可以什么？只要是平行线是不就可以了？那我们可以什么过？点 e 做什么？做点 e 做 b、 a、 f 的 什么线？平行线，也就是说把这个 o、 e 什么延长过来，因为平行线延长之后，我们是不是也能一样得到两组？什么？ 是不是啊？这一组 a 字相似，这是不是还有一组什么 a 字相似？好，那这时候因为什么这个是 e， 这个是中位线，所以我们得到这条边比这个边是不是一比二的关系？因为这个和这个相等，我们又得到这个边比这个边是一比四，同样他比他就等于 j e 比上 j a， 也就是一比四的关系，那就得到了，他是三份，他就是一份。好，我们只要构造出平行线，弄出两对相等的线，这道题的俯卧撑就做出来了。操，这是我们的第二问。好，我们来看下第三问吧。第三问 来，第三个说什么？若以 c、 d、 j 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出 d e 比上 a e 的 一个值。好，这个值的时候，我们在考试的时候呢，这有一个辅助备用图啊，备用图， 备用图之后，我们看到这种结论的时候，一般呢，第一道结论，我们可以直接参考这个图二。好，我们在图二的基础上直接开始画图好不好？好画，我们可以什么？ d？ 三角形？ c、 d、 j， 那 我们把它连接这个 d j 吧，连接 d j 好， 连接 d j 之后呢，我们就会知道，实际上这是一个分类讨论对不对？我们可以分别什么以角 c， 是 不是还有什么角 d 和角 j？ 就是 三个各位顶点的时候是吧？各是一个三角形，分三种情况，但这样就很明显，这个 c 是 不是看着像一个直角三角形吧，我们就假设它是直角三角形 啊，我们就连接之后，我们假设这一种情况，我们讨论一下。好在这之后呢，我们要知道，考试的时候看到这个题的时候，有一些结论是可以直接用的，因为这里我们刚才上一题已经证明过 a e 和 e g 的 关系，多少是一比三的关系，所以我们可以设什么 设这个 e g 是 多少 x 对 不对？那么 a e 是 多少 g x a e 就是 三个 x。 设完之后，好，又因为 dc 是 什么？ dc 和 af 是 平行的关系，所以我们得到 af， 这也是什么角？直角两直线平行同旁内角互补，好这直角，所以这个角也是多少也是直角，好也是直角。在这个里面我们来看一下这里有一个什么斑，这地方 因为 a o 和 o d 相等的， o e 也是相等的，就是斜中半的逆定律。当然我们在去年中考的二十三题的第三问，哦，第二问也正过这个，所以很明显知道这个很习惯。这个角是什么关系？是直角，那这是直角，那么这个 a、 e、 f 也是直角，那么这四角是不是都是直角的关系啊？这就是直角的关系啊， 这是直角。哎，那我们知道这里是什么？这是一个直角三角形，是不是？这是一个直角三角形，这又是一个什么？它的高，那我们就得到什么？那这个三角形是不是和这个三角形什么关系？它就是相似的关系，相似的关系呢？我们把相似笔写出来就可以了。好，那我们就得到 f e 是 不是比上 a e f e 比 a e 是 不是就等于我们的 e j 啊？对不对？我们的 e j 比上什么 e j， 比上我们的 f e， 什么 e f？ 好？ e f 也如我们这个 f e 和 e f 一 样的，也就得到 e f 的 平方，就等于 a e 乘以多少 e j。 好， a e 刚才我们已经设了它是三个 x， 对 不对？ e j 是 多少？是 x， 那 我们得到 e f 的 平方，就等于三 x 的 平方，那么 e f 就 等于多少 e f 就 等于根号三倍的 x。 负值。舍掉。好，负的就舍掉，那我就得到了 e f 是 根号三，多少 x？ 好， 当然之后呢，我们又刚才在第第二位的时候已经正过了，是吧？正过这一条边，因为这个 b f 和 a b 是 相等的，对不对？因为 a o 又和 a o 和 o d 也相等，所以得到这个 a f 和 a d 是 相等的，那这两个是相等的情况下，那就是一个。什么？这是高，那就是 等腰。什么？这是一个等腰直角的啊，这是一个等于三角形，这是一个高，所以这是 e， 是 终点啊。当然我们就知道 e d 也是根号三，多少根号三 x。 当然我们也可以根据前面说的两个，这两个是全等了，是不是正果全等，也可以直接得到这个结论就可以了。好，那我们就写结论就可以了。好，那我们就解到 d e， 那 d e 比上我们的 a e， d e 是 多少？算出来就是我们的和，就是根号三多少 x， 比上 a e 三个 x， 最后他们的答案就是 根号三比三，也就说第一个值，它的值就是三分之根号三。好，到时候我们把第一个结论就挣出来了。好，我们来看第二个。 第二个呢？我们要画图的时候，可能也可以，就是比较猜吧，就是会猜一下，那我们怎么呢？我可以画一个稍微扁一点的图吧，只要我满足这个相等就可以了，我满足一条这个边和这个边相等，对不对？相等的一个菱形，我们画一下，画出这样的一个平行边形 完之后，我们只要满足这个是相等就可以了。好，所以我们把字母标一下，这是 a， 这是什么？ o， 这是 d， 好， 这是 b， 然后我们的连接，然后继续跟刚才一样连接什么？ d o， 然后我们继续往上延长到这来，延长到这，延长到这到这时候我们把这个延长一下， 好，到这之后这是什么？这是个点 f 呀？魔法，然后把 f c 连接 f c 连接之后，然后 a 什么穿过 e 点，然后交于什么 l， c 于什么点？ g， 然后我们连接什么？ d g。 好， 连接 d g 连接 d g 之后，我们的这是一个什么？我们交 g， 是 不是 g？ 以 g 为顶点的直角三角形。好，这是一个直角三角形。好，到了之后呢？还是刚刚才一样，我们继续设 x， 这是多少？也是 x 一 比三的关系，那么 a e 是 一定几 x， a e 是 一定是三个 x， 同样刚才我们也知道这一条边和这条边什么关系？它是相等的关系，对吧？它是相等的，然后这个角呢？是直角， 我们这画的不太标准，这是直角，这时候也是直角，对不对？这个不变的，这也是直角，这个是直角。然后呢？刚才也得到什么？这两个边什么关系？相等的，那这角是直角，那就是一个等腰，什么直角？ 三角形，这个确定之后，也就说 f， 这个，这个啊，直角形，那么这个角就是多少度，这个角就是四十五度，那就是说 e， 这是 x 的 话，那么这个 d e 是 多少？也是 x， 是 不是 d， e 是 x， 那 我们的第二个答案就是 d e 比上 a， e 就等于 x 比上三个 x， 所以 答案就是多少三分之一，所以它的值就是三分之一。好，我们得到了第二个答案。好，第三个呢？我们看到是以，有可能我们已经知道了以 g 为顶点的这样子，以 c 为顶点的这样造型，那我们考虑以 d 为这样造型吧。好，我们继续假设，还是以这第二个图案，我们以 d 画一个， 随意画一下，画完之后呢，我们假设这个是什么？这是一个直角，那么这个点 g 是 不是在这里，对不对？点 g 交于什么？点 g 在 这里。好，点 g 在 这里， a 一 点线在这里，但是我们看到图，这个点 g 一定是在这个平行边，什么内部？对，内部， 这个点是什么？在外部，这是相矛盾的，对吧？两个是矛盾，所以说这种情况下什么是不存在的，是吧？不存在。好，不存在，所以说这种情况不存在，所以我们只能知道两种情况。第一，以点 c 为顶点，以点 j 为顶点，就是我们这个图啊， 这个这个题有两个答案，三分之根号三和一。好，这道题呢，我们就讲到这里。
4兴兴老师
06:50查看AI文稿AI文稿我们还是从问题出发来倒推这个，解出来 df 所需要的条件， 不难发现 df 所在的这条线段 e f 上还有 e、 d 的 长度，是一个二倍的根号五。 也就是说如果我能知道 e d 和 d f 的 比的话，我们也可以求出来 d f 的 长度，对吧？所以要求线段比，我们得建立一个相似，我们可以过 e 点做一个 f c 的 平行线， 然后延长 a c， 好 比说相交于点 h， 我 们把 df 设为 x， 那 它的对应边是二倍根号五，那 dc 的 长度是根号五，它的对应边 就是 h， d 是 多少呢？我们可以表示出来，根号五去乘上一个 x 分 之二倍的根号五， 因为这是一个二倍根号五，所以 h a 的 长度我就可以表示成根号五，乘上一个 x 分 之二倍的根号五，去减掉二倍的根号五。问题在 h a 我 可以表示出来，那么 a c 呢？我们也知道，但是 ab 知道， a e 却不知道碰到这种情况应该如何处理。所以你一定要知道，从问题出发，我们要找的是条件，就是他缺少什么样的条件，这是处理问题的基本思路， 这也是永远不变的东西。那所以整个的问题就转化成了，我要求 a e 的 长度， 而 a e 是 在三角形 a d e 这个等腰三角形当中的底边，那要求底边怎么办？一般情况下我们会给它做一个 三线合一，我们可以过地点做 a e 的 垂线段，教他这个 a e 与点 i， 要先把这个直角三角形给解掉，而且直角三角形你得知道一边一角或者是两边那角，其实我们在上一条视频当中已经讲过了，这个角我们知道 它是四十五度加而法，也就是说这个角其实是 b， 它那就是它是一个一比三比根号十的 这样一个三边笔，而二倍根号五，它对应的是一个根号十，我们当然可以把 ai 给它求出来。问题是我如果这样去求，实际上用的是三角函数的方法，况且还是用的是一二三四五模型，所以我们能不能再还是用相似，我们可以去尝试。我们不难发现 d 点，它是在已知的 a、 c 这条线段当中， a、 d 是 d、 c 的 两倍，所以如果我过 c 点也向 a、 e 去做一条垂线的话，它两个是不是就是相似的？ 并且相似比是不是就是 a d 比上 a、 c， 它是一个二比三？那么问题就又转化了，我要求它 实际上就得求他，但我要求他又相当于求他，所以你想这个题的思路，他是得多么的连绵不绝，跟一个山脉一样，所以这绝对是体现解析思路的一道好题。 但是也不难看出来，从相似的这个角度去解他，他的难度是比较大的，那要求他怎么办？那我得看他所在的三角形是不是跟这个三角形是相似的，是正好还是个反义相似，反义相似可以， 而你看到 bc 边是九，这是个四十五度，其实他的长度你也可以直接求出来，那就是 一比一，比根号二，那就是九。乘上一个根号二分之一，就是二分之九倍的根号二。再利用这两个三角形相似比是一个二比三，那我就求出来了，它的长度 就是一个二分之九倍的根号二。去乘一个三分之二，那就是一个三倍的根号二， 所以 d i 的 长度有 a i 的 长度，我们就可以求出来，那就是 a i 等于二倍的根号五的平方，去减掉三倍的根号二的平方，再开放等于 二十，去减掉一个十八等于根号二。所以 a i 的 长度是根号二， 而 a e 的 长度是不是就是二倍的根号二？ a e 的 长度标在这就是二倍的根号二，那么这样一组比例关系式，我们就把它补全了。根号五 比上一个它的对应边是三倍的根号五，等于这个是二倍的根号二，比上它对应边三倍的根号二，那解了它就可以了。 x 等于二分之根号五，同样也能把它解出来。 这个题争议的地方也是在这里，因为一般情况下，相似和三角函数两个，你如果求难度 差不多就可以了，就怎么跟大家去解释这个事情。你好比说这边走相似这条路，这边是一个三角函数的路，那我这个 a 点过来之后，发现走三角函数是比较近的，从这走比较近，从这走就特别远，特别的绕， 那这也是这道题相对来说比较争议的一个地方，但是也正是因为它相似比较远， 所以他更加体现了我们说怎么样从问题出发，一步一步去推导去解析的 这个体现出思路的这样一个过程。所以说如果在考场当中，你在利用相似解析的时候，你会发现我这相似解析怎么要求的东西这么多，你不妨尝试一下使用三角函数去去解析， 你不能说我一条胡同走到黑，当然我们说正常的情况下的考题，他不会偏的这么严重，他至少好比说偏一点，你好比说这样一个不会让你偏差太大。所以这个题 a 了，我们去反思，就是 反思我们去构建思路的过程。相似的方法不止这一个，还有其他的，但是限于视频内容 我就不多说了。但是不论你用哪种相似的方法去做，你都绕不开我要把 a、 e 去求出来，或者把 f、 c 去把它求出来。好，关注大宝老师中考数学不迷路。
43『大包分享』
22:57查看AI文稿AI文稿二零二六太原二模十五题和二十三题压轴金角这两道题的话，十五题相对来说难度中规中矩，二十三题要更难想一点， 接下来我们来看一下这两个题。十五题已知三角形 a、 b、 c 中角 b 等于四十五度， a、 b 等于三倍根号二， b、 c 等于九。 读到这里你会发现给的三个条件正好就是一个三角形的两边一角， 这里自然就要想到几三角形，我们可以得到更多的信息，所以这里选择过 a 点做 bc 的 垂线，左边是一个等腰直角三角形，那一比一比根号二，两个直角边都是三， 右边九减三等于六，所以能看到这是一个一比二比根号五的三角形，所以这个小角比较特殊。同时呢，还能求出 a、 c 的 长是三倍根号，就是我们从这三个条件得到的更多的信息。 题中还给了 a、 d 等于两倍的 dc， 这个地方上是二比一，那么三倍根号五就可以写成 a、 d。 二倍根号五和 cd 是 根号五。 继续 e 在 b、 a 延长线上连接 e、 d， 并延长 bc 交于点 f， 然后 d， e 等于 d， a， d、 e 也是二倍根号五。 这个题到此就结束了，所以图中所标出来的信息就是这个题条件整理以后的样子。最后求一下 df 的 长。 从大方向上来考虑的话，这个题应该得有两个最基本的思路，一个是解三角形，因为题中给出的四十五度以及我们通过解三角形发现这里有一个阿尔法一比二比更好的特殊角，所以解三角形是一个很好的思路。 第二个思路就是比例问题，因为 a、 d 等于二 d、 c 本质上这个条件就是在传递一种比例的信息，所以这个题只要围绕这两个思路去做就够了。 最后还有一个特征， a、 d 等于 d、 e， 这是一个等腰三角形，那看到等腰三角形，我们还可以考虑三线合一， 基本就是这么多想法，我们最后把它整理整理，这个题就做出来了。来，先以第一个大的思路去做解三角形，最直观的解法就是三角形 d、 c、 f， 目前来看的话，有一个一比二比根号五的角和根号五一条边，一边一角已知还差一些边或者角，那这个题我们就可以尝试去寻找其他的边和角。 比较简单的想法就是我们可以通过二倍角模型，还有一二三四五模型快速推得一些角。 由于这个题中有阿尔法一比二比一个号四十五度，那么很容易联想到可能存在一比三比更耗时的角，那么在三角形 a、 b、 c 中，根据外角的话，角 e、 a、 c 就 等于阿尔法加四十五度， 所以在一二三四五模型加持下，那么角 e、 a、 c 就是 一比三比更耗时的角， 这个正切值应该等于三。而另一边，由于是等腰三角形，底角是一比三比根号时的角，那么顶角就应该是一比三比根号时小锐角的二倍， 那再根据二倍角模型，一比三比根号时的小锐角翻倍以后就是三四五的小锐角，所以 tangent 角 a、 d、 e 就 应该等于 三比四，这样的话我们就可以得到角 f、 d、 c， 它的正切也是三比四。那你要解的这个三角形 d、 c、 f 其实就是两角一边，已知了，接下来只需要做垂线即可。过 f 点向 d、 c 做垂线， 上半部分是一个三四五，下半部分是一个一比二比根号五，那我们就可以设这条垂线段长是三 x， 那 这个就是四 x， 所求的 df 就是 五 x， 然后这是一比二比根号五，它就应该等于六 x， 一 共是四 x 加六 x 等于根号五，因此 x 就 等于根号五除以十，然后我们要求的 df 等于五 x， 所以给十分之根号五乘上一个五就可以了。最后答案就是二分之根号，这就是第一个思路， 其中用到的模型会偏多一点。一定会有同学问，那如果我们没有学过这些模型，因为学校老师可能就没讲过，没有学过这个模型，那我能不能用这个方法去求解三角形？ 只不过我们在思考的时候可能只一至了一角一边，对吧？少一些边或者少一些角，没关系，少的部分我们可以通过三角函数的定义去求解， 你想求某个角的三角函数，你只需要把这个角放在 rt 三角形中就可以了，你去求这个 rt 三角形的三个边长， 这样也能反过来求三角函数，所以我们来看一下啊，不用一二三四五，不用二倍角模型如何去解三角形？ 首先我们想求这个角 a 处的三角函数，那我就应该把这个角 a 放到一个 r t 三角形中，然后去求它的三边吗？这个题比较好求的一种方式是过 c 点 向 a、 e 做垂线，因为这样做垂线能把四十五度这个条件给它利用起来。那么在这样一个三角形中，分二直角，斜边是九，那直角边就可以除了是二分之九倍根号二， 这个边长也是二分之九倍根号二，然后减去这里的三倍根号二上面的部分就是二分之三倍根号二。我们就可以看到这个三角形三边二分之三倍根号二，二分之九倍根号二，那就是 一比三的一个状态，所以这个三角形就可以定下来，它是一比三比根号的三角形。当然了，定得到这个角的正切就是三比一， 所以 tangent 角 e、 a、 c 就 等于三，这就是我们通过三角函数的定义去求 e、 a、 c 的， 求出来以后，再回头看这个等腰三角形，它的底角已知正切是三，然后两条边一只，两边一角一只，就可以解这个三角形了。所以我们可以选择直接过地点向它做垂线， 垂线一做，这是三线合一，他是一比三比根号十的三角形，所以用二倍根号直接除以根号值就是这段的长，这个结果等于根号二，那三线合一，上半部分也是根号二， 因此 a、 e 长度整个就应该等于二倍根号二。现在就可以进一步去解三角形了解谁呢？不是刚才那个小不点了，我们可以换一下解三角形 b、 e、 f。 在三角形 b、 e、 f 中有一个角是四十五度， e 处的角和 a 处这个角是一样的，它都是一比三比根号时的大锐角，还有一条边，五倍根号二是已知的两角，一边已知就可以解三角形了。 所以做法直接选择过 f 点向它做垂线，上面是一比三比根号十的三角形，设这条边是 x， 这个是三 x， 下面是等腰直角三角形，那这条边也是三 x， 一 共四 x 就 等于五倍根号二，所以解得 x 就 等于四分之五倍根号二， 然后再算一比三比根号十， e、 f 就 等于根号十， x 也就等于二分之五倍根号五。 再把 d、 e 减去，就是 b、 f 了。 b、 f 就 等于二分之五倍根号五，减去二倍根号五，最后是二分之根号五， 这就是传统易上减三角形。解的过程中，我们也尽量避开了用一些特殊的模型。当然了，你也可以从相似角度去解这个题，因为核心条件还给了个 a、 d 等于二， d、 c 相当于给出了一个比例。 不过前提还是得像刚才一样，在解三角形过程中，把 a、 e 的 长度算出来是一个二倍根号二，把这个东西求出来，才能进一步往下去相似。就你不去解这个三角形 b、 e、 f 了，我用相似去做， 因为构造型相似，它一定得已知两个比例去求第三个比例。只有这个 a、 d 等于二， d、 c 是 不够的，我们得求出 a、 e 来以后，才能发现这里的比值是三比二，已知两个比例好，剩下的比例就可以求了。所以 d、 e 和 d、 f 的 比例一旦求出来，那么 d、 f 就 能求 了。那我就选择其中的一种平行线来给大家做一遍。我可以选择过 d 点做 b、 e 的 平行线， 这个平行线一做，我们可以看到两个 a 字模型，一个是 b、 c、 a， 然后带了个平行线，还有一个是 e、 b、 f 带了一个平行线。在这两个 a 字模型里面去导比例， dc 比上 a、 c 是 一比三，所以这个地方比上 a、 b 也是一比三，就能快速求出来它的值是根号二， 然后根号二比上五倍，根号二一比五，所以 d、 f 比上 f， e 也是一比五。 这样的话，假设 d、 f 是 x， x 比上 x 加二倍，根号五就等于一比五，那么 x 就 等于 二分值更好。当然了，相似能解的地方，梅尼老师的定义一般就也能解，只不过这里我们要选择两次啊。用两次梅尼老师定义， 第一次是在三角形 a、 b、 c 中，然后以 e、 f 作为媒视线，我们去列一下，应该是 e， a 比 e， b 乘上 e， f 比 f， c 乘 c， d 比 d， a， 这个结果等于一，然后往进代值， e， a 比 e， b 等于二比五， b， f 比 f， c 为值， c， d 比 d， a 是 一比二，这个结果等于一。求得 b， f 比 f， c 就 等于五， 就得到了，这边是五倍，这边是一倍。好，再来一次平面老师。最后是以 b、 f、 e 为三角形，那么这个 a、 c 为内实线， 再列一次，列出来是 e， a 比上 a， b 乘 bc 比 c， f 乘 f， d 比上 d， e， 这个结果等于一。 往其代值 e， a 比 ab 是 二比三，乘上 bc 比 c， f， 这是六了，刚才是五吗？对吧？ bc 整体一比就变成了六，再乘上 f， d 比上一个 d， e 是 二倍，根号五，最后结果等于一，最后得出来 f、 d 的 值也是二分之，根号五。 这就是十五题。大的核心思路是两个极三角形和构造相似。接下来看二、三题。如图，已知平行四边形 a、 b、 c， d 中 a、 d 是 两倍的， a、 b， e 是 bc 的 中点，然后过 e 点又做了个平行线。问你这个四边形的形状， 首先你做的就是平行线，原来也有一份平行线，因此肯定是平行四边形， 那要正菱形的话，还得再加一个菱边上的信息。关键在于 a、 d 是 两倍的 a、 b， 那 a、 b 如果是 a 的 话， a、 d 就是 二 a， bc 也是二 a、 e 点呢？是中点，所以 b、 e 等于 ec 都等于 a， 所以 就会有菱边相等了。 第一问其实难度不大，我们看第二问，在 e 的 基础上，把 d、 e 连接和 a、 b 延长，线交于点 f， 然后再把 a、 e 延长和 c、 f 交于点 g。 这样一幅图， 问的是 a、 e 和 e、 g 的 数量关系。其实我们平时做题看到数量关系，一般来讲绝大多数是相等的， 但现在的 ae 和 e、 g 一 看就不相等，那退而求其次，如果不相等，就要考虑它是不是二倍关系，因为二倍关系很有可能是通过倍长以后变得相等，再去挣两个钱的相等。 但很明显，你连接 o、 b 菱形，对角线互相平分，那这一段和这一段看起来好像还是上面长一点，所以这关系二倍也不是。如果既不是相等，也不是二倍，这个时候我们首选的考虑 他们之间的关系，很有可能就是普通的乘比例，而乘比例这个题的核心工具应该是 相似，所以我们得从相似三角形入手来解这个题。怎么构造相似呢？目前来看， a、 e 和 eg 所处的三角形不太好找，但是我们可以稍微变一下，因为最简单的相似不就是 a 字和八字吗？ 稍微变一下，把 a、 e 移到 o、 c 这个位置，其实这两个线是完全一样的，得到了，这是个平行四边形， 所以 o c 一定是平行且等于 a、 e 的。 而挪到这个地方的好处就在于，此时 o c 和 e、 g 是 平行的，我只需要把 o e 延出去，就可以看到一个 a 字模型的出现。 我要求 eg 和 ae 就是 和 o、 c 的 比例关系，只要把这个 a 字模型的比例搞定就行了。由于 e 点本身是一个中点，你顺势延长 oe 以后和 abf 平行， 那么这就产生了一条中位线，所以这条线其实是 bf 的 一半，如果它是 a， 它就是二 a， 而 b、 f 又是怎么来的呢？它是 b 点经过 e 点延长出去的，也就是平行加中点模型，那这里就会形成一对全等三角形。 所以这个 b、 f 的 长，它其实和 dc 的 长是一样的，和 ab 的 长也是一样 的。于是这样的话， a 字模型的比例就得到解决，这是一比二。当然了， 上比全就是一比三。逆极比上 o c 就 等于一比三，所以数量关系，逆极就等于三分之一的 o、 c， 当然了，也就等于三分之一的 a 一。 这是第二问，可以通过构造 a 字模型的相似得到它们两个的关系。最后来看第三问，若以 c、 d、 g 为底边的三角形，让你写出 d e 比 a e 的 值， 这个题需要我们对条件和结论做一个深度翻译。 c， d、 g 是 直角三角形，在图二中我们连接 d， g， ok， 那 很明显是三种情况吗？ d 处、 g 处、 c 处各自为一次直角不就可以了吗？ 这是三种分类讨论，然后你再对结论去翻译，请直接写出 d e 比 a e 的 值。你从图中来看， d e 比 a e 这个角看的像直角，如果是直角的话，那不就是求这个角的正切值吗？ 它是直角吗？我们可以做一个简单的推导啊，由于左边角阿尔法阿尔法是相等的， 对吧？由于右边其实这个东西也是个菱形，应该能看出来左右两边是全等的嘛。所以这个位置是北塔，这个位置也是北塔，菱形对角线平分对角，因此我们可以看到两个阿尔法加两个北塔是一百八， 那一个阿尔法加一个北塔就是九十嘛，所以剩出来的这个角就是一个九十。 所以这个题要翻译啊，要翻译，最后它求的是 d e 比 a e， 其实求的就是 tangent 尔法。 想明白这一点以后，我们就可以开始做题了。那题中有三种分类， d g c 各是直角，而这个图二中 c 这个角长得本身就挺像直角的，那对于这种题，我们就少画一幅图，直接把 c 当成直角来用图二就好了。 那 c 是 直角能带来哪些特殊的信息？我们要仔细看一看。 c 是 直角，所以平行线之后 f 处也是直角，那你求 tanthan 阿尔法，这个角也是阿尔法，求 f g 比 fa 就 可以了。 而由于这个地方也是直角，所以一个直角三角形斜边上出现了高线了。我们其实比较容易想到一个定律，叫做射影定律，再加上第二问的第一小问，求出来 e g 和 a e 的 关系是一比三，它是 x， 它是三 x。 那这不典型的摄影定律的结论吗？摄影定律有一个推论，两条直角边的平方比等于它们投影在斜边上的线段之比， 那如果用字母去表示的话，就是说 f g 的 平方比上 af 的 平方就等于 eg 比上 ea。 背后的逻辑肯定是相似，只不过用了摄影定律，我们做的更快一点。那 e g 比 e a 是 一比三， 所以 e g 比 a f 就是 根号下三分之一，也就是三分之根号三，而 tanthan 阿尔法正好就是 f g 比 af， 所以 第一个答案就出来了， 三分之更好下。如果你不想用数学推理，那就是用纯粹的相似解题，我们可以证明这个三角形和这个三角形它是相似三角形，所以写相似比 x 比上 e f 就 等于 e f 比上三 x， e f 的 平方就等于三 x 的 平方， e f 就 等于根号三 x， 再点出来， e f 是 根号三 x 还等于它 r 不 也是根号三比三吗？ 一样的，你用相似做肯定是可以的，用任意定理的话，就相当于做的更快，能够秒杀。然后剩下的两种需要我们自己来画图，当角 d 是 直角时，来看看这个图应该怎么画。 如果 d 处这个位置是直角，哎，我们可以清楚的看到角 edc 是 比 gdc 大 的， 而你一旦这个地方是直角，说明 edc 是 一个大于直角的钝角。而菱形对角线平分对角呀，你这个角是钝角了，这个也是钝角，那么它的加起来就会超过一百八。 一个菱形内角超过一百八很显然是不合适的，所以你可以自己尝试着画一画，你就可以发现不断调整原来的 a、 b、 c、 d 的 形状，画着画着你就发现其实 d 处为直角，这种情况是不存在的，也是画不出来的， 所以就只剩下来一种情况，记处为直角。我们要重新更新一下 a、 b、 c、 d 这个平行的形状，原来画的还挺饱满的，对吧？感觉我们可以把它画的再 扁一点，看看会发生什么情况，看能不能把 g 给它压成一个直角。画完以后连接 d、 g 一 看，哎，这个图形中长得还比较像，我们要求不高，接近就可以了。 d， g、 c 接近直角。然后就从这个图中进一步去思考，在 d、 g、 c 为直角时，它整它 r 法应该是多少？好，我们重新整理条件，这个角也是 r 法，这里是直角，这边也是直角。 其实这两个三角形 a、 d， e 和 a、 f， e 就是 一对全的三角形，所以这个 a、 e 其实并不只是垂直于 df 垂直平分线， 那 g 点在垂直平分线上，那自然就有 g， d 等于 g、 f， 再结合这个角是直角直角，所以这边也是直角。因此 d、 g、 f 它就是一个等腰直角三角形。放到上面这里也是四十五度， 到了这儿也是一个等腰直角三角形。结合上一小问， eg 比上 a， e 是 一比三 x 和三 x， 这又是一个等腰直角三角形，所以 d， e 也是 x， 那 因此 type r 就 等于一比三。 第二个答案就是三分之一。这个题就两种情况，叫地是直角，不存在，主要还是画图上稍微难了一点。画出图来以后，在计算推导过程中，相对来说就没有那么难了。今天讲解就到此结束。
116专治压轴的杨老师
08:32查看AI文稿AI文稿对于中考几宗二十三题还没有思路的同学，我们看如何能够打开你的思路，轻轻松松做出一二问。第三问，如何去思考，扭转你的数学思维，让你做第三位更轻松呢？ 好，同学们，跟着我学，跟着芥菜子老师一起来研究我们太原中考数学的压轴题。 我们看这个已知条件呢，说 a、 b、 c、 d 这是一个平行四边形，那么它的性质你心中要清楚，接着又给了一个边的比，这都是二比一的关系，那也就是说这些小段全是一 啊，全是一。再根据中间的这条平行线，你可以得知这个形状应该是一个菱形，这个非常简单。好，同学们，接着来看第二问，让我们猜想线段当中的 a、 e 与 e、 g 之间的数量关系。 我们想哈，所有让你猜想数量关系的时候，你不光要想到这两条直接的线段，还要想到跟它们相等的线段。因此这里我们不仅要知道它是求 a、 e 和 eg 的 数量关系，还可以连接 oc 啊。 其实就问你 oc 和 eg 的 数量关系，为啥要连接 oc？ 因为我们在求这种这种题的过程当中啊，一定要去看平行线，好吧，你会发现这个 eg 抑制这条线其实跟 o、 c 这条线是平行关系，它俩是平行关系的话，这个地方就能够出现相似三角形啊，相似三角形的话， 我们看到，呃，这个位置，我们设它的边长全部都是一一 啊，这这两个三角形 d、 e、 c 和 b、 e、 f 为啥全等呢？ 啊？因为我们的呃，这被长中线啊，其实它本质上是一个被长中线，所以这两个三角形全等全等之后，我们就知道这也是 e 啊啊。接着我们来再导一下 ec 和 o o c， eg 和 oc 之间的数量关系， eg 和 oc 的 数量关系的话，你直接去这么去看的话，不太容易看出来，所以我们这里需要延长一下 o e 啊，延长一下 o e， 延长完 o e 之后， 你延长完 o e 之后，你就可以得到，就这个位置 o e 这个位置是终点嘛？题案给了，这是终点啊，这是终点，这是终点的话，我们就可以得到，说这个 e h e h 这个位置实际上是平行且等于 d c 的 一半的，所以说 e h 这个位置应该是二分之一啊， 它的长应该是二分之一，它的长是二分之一的话啊，当我们在做题的时候，你要设字母啊，设成 x， 然后这边这边就是二分之一 x， 然后接着你再去找相似啊，再去找相似，你会看到三角形 h e g 相似于三角形 h o c 啊，这两个三角形相似的，本质上就等于 h e 比上 h o 啊，就是一比三的关系啊。所以话你就会得到这个 e g 实际上是等于三分之一的 o c 的， 那等于三分之一 o c 就 等于三分之一的 a e 啊。 第二问，第第三小问， c d g 为顶点的三角形，是直角三角形，请直接写出 d e 比 a e 的 值。那么这一问我们在做的时候呢？呃，先来把这个三角形，他说的这三角形，咱们先把它找出来啊， 这个三角形在哪呢？ c d g， 那 不就在这吗？ c d g 啊，画蓝点，这三个点把它连在一块 啊，这个是一个直角三角形，你瞪眼一看啊，这个时候的话，角 c 的 位置很像是一个直角啊，其实，所以这个题，其实这个图形给到你了，那你还要想考虑其他情况啊，还有可能是 啊，角 c、 d、 g 或者是角 d、 g， c 是 九十度，对吧？啊？一共是三种情况，当然是角 c、 d、 g 是 九十度，不太现实，因为它这个是一个菱形的对角线，菱形对角线的话，这个连一半都不到，如果这个角已经是九十的话，那整个角就大于一百八了啊， 那这肯定是错的啊，菱形的对角，他不可能每个角是大于一百八，等于一百的八都不可能，对吧？所以话，这个角 c、 d、 g 的 话，呃，九十度排除掉。因此这个题一共两个情况，第一个是角 d、 c、 g 等于九十度，第二个情况角 d、 g、 c 是 九十度啊，我们从这两个角度去讨论它啊，那么你从第一个角度的话啊，就是我们刚刚做的那个题的这种情况啊，比如说如果你这个角是九十度， 那刚我们说这边啊， d、 c 和 b、 f 啊，这些都相等，我们设它是一，是吧？然后，嗯， d g， e g， e g 这个位置， 呃，你这里是，如果是九十度的话，我们想啊，啊，这个九十度，我们进一步来思考，如果这个位置是九十度，我们导一下其他角啊，你这里是九十度，说明你的 dcf 应该是一个直角三角形，直角三角形的话，应该是斜边上中线等于斜边的一半 啊，所以的话，你的这些位置，这些位置，这这几条线都是相等的，再加上你的 c、 e 本身跟 c、 d 相的，那你这些线都跟 c、 d 一 样，那你就说 d e， c 是 一个等边三角形， d e， c 是 等边三角形的话，你立刻可以得出来角啊。 d c， e 是 六十度， d c， e 是 六十度的话，这个角是六十，那底下这个小角就是三十，对吧？ 然后提高让你求 d e 比 a e 三十度角 r t 三角形出来了，是不是 d e 比 a e a e 在 这 a e 就是 o c 嘛，是不是 d e？ 我， 我先找他俩的一半，可不可以他俩一半，是不是这这条边 啊？我写一下 d f f 点啊， f 点，那不就是啊？ e f 啊，得有 好。那 d e， d e 比 a e， d e 比 a e， 那 不就相当于三十度角 r t 三角形的， 呃，它的对边，三十度角的对边和邻边的比吗？是不是啊？相当于我们的 e k 比上啊？ k c 那 本身就是一个一比根号三的关系啊，所以是三分之根号三， 你就按着这个图去推呗，对吧？这个位置是九十，那什么情况？你这这永远都相等，对吧？这两截永远都相等， 然后，嗯，这是九十，这也是九十呗。等腰直呗，这两个，这两段是相等关系，对吧？然后你这个位置等腰直的话，你可以把这个三角形单独拎出来，一比一比根号二， 然后这个是斜边，这是 g e f d 啊，这是二分之根号二吗？是吧？ 二分之根号二，然后你的这一块 d e 也是二分之根号二，然后你 a g 不是 跟它相等，呃，那个 e g 和 e d 不是 相等吗？它俩相等，然后的话，你看第二问，这有一个铺垫的作用啊，这个第二问你看到就可以了，要不然这个题没法做啊。那你的 d e 比 a e 本质上就是你的。嗯， e g 比 a e 这我题干，我都。
24芥菜籽青少年之家
10:32查看AI文稿AI文稿尘埃落定，二零二六年太原市二模二十二题，我们来好好看一下这道题到底该怎么理解啊？ 呃，其实这道题最早呢，是在二五年，我发的一份资料上就有同类型的题目，当时呢就有很多同学在问啊，这个题是怎么去理解？一九年湖北十堰的中考题就有他的一个最早的一个原题型， 那我们来看这道题，说问题情境。随着旅游热度的上涨，来山西的游客日渐增多啊，且客房入住量也随之增加，巴拉巴拉巴拉，总共有一百二十间客房，那么来看到这啊，房价 第一天，第二天，第三天，第四天、第五天，然后分别是价格在变化，住房人数在变化，但是同学们他是一个乱序的。其实从去年的这个太原市模考的时候呢，我们的教员老师就提过啊，我们在给数据的时候呢，以往都是按照正常的顺序，比如从小到大排列， 那么其实完全可以是乱序排列，乱序排列之后，需要你重新自己排列顺序，然后再去找到他们的关系，所以这你需要重新捋一下 啊，一百六，然后呢，一百七，一百八，一百九，两百对应下数据，那这样的话我们就能看出来，来自变量，每增加十 音，变量要减少六，那么我们就应该能看出来，它的 k 值应该等于负的十分之六，也就是负的五分之三。建立模型， 酒店经理发现入住房间数、营收金额都随着每日房价的变化而变化，设每日房价为 x 元，每间客房入住为 y 间啊，那么日日营收金额为 z 元，其中 x、 y、 z 均为正整数，且 一百六小于等于 x 小 于等于二百四。根据表所提供的信息，解决下列问题，好。第一，客房入住人数 y 是 房价的什么函数？能看到自变量每增加时因变量固定减少一个六，说明它是一个正常的一次函数。 那么接下来要写出 y 与 x 之间的函数关系式，那么显然应该是 y 等于负的五分之三， x 再加 b。 我 们随便带一组数字进去，比如说我把二百和九十六带进来， 来，九十六等于负的五分之三乘以二百，再加上 b， 算出来 b 应该等于一个二百一十六， 好，搞定。所以 y 等于负的五分之三， x 再加二百一十六。那么第二问，当该酒店客房日营收金额 z 最大时，求这一天的房价。 好，那这里的话也很简单，来，第二问啊，文字去数我们就不多说了。来， z 应该等于 x 乘 y 对 吧？单价乘数量等于 负的五分之三， x 再加二百一十六，再乘以 x， 整理之后变成了负的五分之三， x 的 平方再加二百一十六， x 给它做配方， 负的五分之三提走 x， 平方减去，这是一个三百六十， x 再加一次项系数一半的平方下来是一个三二四零零。好，这边应该再减三二四零零，乘以负的五分之三，最后结果应该是加 一九四四零。好，整理之后，负的五分之三， x 减去一百八十的平方，再加一九四四零。那么这个时候我们就要去分析了啊，来，因为负的五分之三小于零 z 为 x 的 二次函数。同时呢，这还有一定要把自变量的取值范围取在了一百六到二百四， 又有一百六十小于等于 x 小 于等于二百四十，这三点都一定要说全。所以再说，当 x 等于一百八十十啊， z 有 最大值为一九四四零。好了啊，就第二问就搞定。那么这道题最关键的它是第三问啊！这个第三问，几乎是我觉得全太阳市也没有几个同学可能能直接做对了。为了吸引顾客， 酒店决定为入住房客赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为 m 元，那 m 小 于等于二十， 已知每间入住客房的固定成本为三十块钱。若酒店希望在房价不超两百的时候，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本 m 的 取之范围，好，他给了你日毛利润等于日营收金额减固定成本，再减礼品总成本。好，那么来， 那这个时候呢，我们就可以去设它的日毛利润为 w， w 等于什么呢？ w 等于日营收金额，我们刚才已经写过了，就是这个 z 好， 再减去固定总成本。 一间客房的固定成本是三十，那我们有外间客房，对吧？所以是三十 y 好， 再减去一个。一间客房的礼品成本是 m， 那 么外间客房就是 m y 好。整理化简之后，我们得到的式子应该是负的五分之三 x 平方再加二百一十六 x 减去三十倍的负五分之三 x 再加二百一十六，再减去 m 倍的负的五分之三 x 再加二百一十六，给他做化简化到最简之后，应该是负的五分之三 x 平方加上二百三十四，再加上五分之三 m， 再乘 x 减去一个 六四八零，再加上二百一十六 m。 那 么同学们得到这个式子之后，我们已经知道了日毛利润的函数了，我们要求什么呢？日毛利润能随着房价的增大而增大，就要看他的 增减区间啊，增减范围，所以你要去找他的对称轴啊。所以来负的二 a， 分 之 b 等于好，负的二乘 负的五分之三，分之二百三十四，再加上五分之三 m， 那 么给这个式子画到最简是一百九十五，再加上二分之一 m。 注意啊， 正常情况咱们应该考虑开口向下的一个二次函数对称轴在一百九十五再加二分之 m， 要让二百之前啊，房价不超过二百二百之前，日毛利润随着房价的增大而增大，所以 二百应该在一百九十五加二分之一 m 的 左边啊。但是这道题是这样吗？正常按照这个去解的话，解出来就应该是十小于等于 m 小 于等于二十了 啊。但是同学们你要注意，这道题里面有个很重要的信息，叫做其中 x y 均为正整数 来，咱们考虑到这一点，我们能够看到 y 和 x 是 有直接关系的，负的五分之三 x 再加二百一十六，对吧？ 就是要让 y 是 整数， x 必须是五的倍数，那这个 x 的 取值要是五的倍数的话，在二百之前就是一百九， 一百九十五，二百他只能取这样的整数点，也就是一百九十五到二百之间，这个 x 是 没有取值的。那么我们为了要让音变量随着自变量的增大而增大，也就是说只要让二百的函数值比一百九十五的函数值大就可以了，这个时候 如果左边是一百九十五的函数值大就可以了，这个时候如果左边是一百九十七点五的位置， 现在一百九十五和两百的函数值是不是应该对称相等？所以其实我只要让对称轴在一百九十七点五以右，对称轴比一百九十七点五更大，让二百离的 对称轴更近啊，让一百九十五离的对称轴更远，那么这样的话，就会使得二百的函数值肯定比一百九十五的函数值大， 这就已经能够保证在二百之前，随着自变量的增加。因变量要增加，所以同学们我们不需要去考虑说对称轴以右，它这个函数是下降的，因为函数对于一百九十五到二百之间，它是没有任何曲值的， 他是一个三点型的函数。所以最后这个题应该是一百九十五加二分之一 m 让这个对称轴大于一百九十七点五就行了，这样的话，解出来 m 应该大于五，所以啊，最终 m 的 取值范围是五小于 m 小 于等于二十。 好，那在这呢，还可能有些同学有细节上的不明白，我再给大家再来详细解释一下。就是你要明白一件事，这个函数的 x 取值，只要保证它是整数就行， y 的 取值要让整数的话，那么 x 就 得是五的倍数。同时对于 m 的 取值， m 的 取值对 x 和对 y 没有任何的影响， 无论 m 怎么取，都不会对 y 和 x 产生直接关联。 m 只跟一个东西有关系， m 跟谁有关系呢？ m 只跟对称轴有关系，而对于这个函数来说，对称轴是不是整数，其实无所谓 啊，对称轴可以不需要是整数，也就是说随着 m 的 变化，这个函数可能会出现，比如说 这是一百九十五，这是两百，对吧？哎，这是两百零五，好，对称轴在这，那对称轴再往左移，那我们又会变成了，哎，这是两百，这是两百零五，哎，这是一百九十五， 好，继续对称轴变化，看函数图像又能变成了来，这是两百，哎，这是一百九十五，好，这又是一百九。随着 m 的 改变，其实这个函数的 对称轴的位置在改变，所以你会发现，最终我们只需要让两百的函数值比一百九十五大，那么就已经满足了 啊，这个随着自变量增大，应变量要增大，那么至于 m 的 去值， m 从五到二十之间，每一个数字都能去。
1010陈进步讲数学
05:52查看AI文稿AI文稿太原市二模数学卷子新鲜出炉，我们要对这套卷子进行一个分析啊，整体来看的话，我个人感觉 出的题目还是有些地方是比较新颖的，这个考察的内容是更加的细致，包括我们的计算量要比我们的审调研还有我们的一模要提高了一些，包括我们的这个二十三题，一个几何变化，它和以往的不一样，它并不是旋转、平移或者折叠了，而是一种 图形的这种，嗯，扭曲的一种变化了。来，具体的我们来一起来看一下吧。来，咱们来先看一下选择题，选择题当中比较不常规的地方啊，就是我们的第三题， 第一题和第二题，他考察的分别是我们对有理数啊，正负数的一个理解，还有一个是轴对称图形的一个变化，轴对称图形 啊，都比较好理解，这两个还比较好拿分。但是对于我们第三题来说的话，拿分还是要动一些脑筋的，因为他考察了我们的乘方运算的本质，很多孩子看到这块多少是有点蒙的，因为在我们的一模还有审调研啊，包括我们往常的一个考试当中， 他通常考的是涉及到我们的整式预算的一个识别，正确与否的一个识别，所以在这的话，可能这个丢分率会稍微的偏高那么一点点。再来看我们的一个第四题，第四题的话，这个题这个图像瞅着有点复杂，但是还比较好识别一些。 第五题是科学计数法啊，现在我发现这个科学计数法的这个位置啊，再往后移，嗯，难度的话，他需要你去计算 啊，多零少零，问题是粗心孩子们的一个小坑了。第六题的话，是我们的一个三角板和我们的平行线的一个倒角，还是比较常规一些的。再有就是我们的第七题就是对概率的一个理解啊，也比较常规，你都还好。第八题是一个圆球角的问题，常规。第九题呢，是对函数图像的一个理解，还是比较常规一些的。 再有就是第十题啊，我觉得这个第十题他把难度给降低下来了。为啥这么说呢？因为往常我们考的考察第十题的内容的话，他是一个呃圆的一个阴影面积吗？啊，或者说是弧长呀，求跟圆有关系的。但是这次的他考察的却是对我们平面直角坐标系当中坐标的一个理解，难度降低。 第十一题考察的平方差和我们的平均数啊，难度不大。 第十三题的话，涉及到反比例函数的一个实际的应用，它不仅要求出来这个反比例的表达式，还要去结合我们的函数图像确定一下函数的一个最大值。 这个放在九年级期末考试当中也是比较常规的一道题目。第十四题的话，它是我们的正五边形，还有我们的圆 嗯的一个结合。如果我的学生他这看到这道题肯定会窃喜，原因就是我让他们背过正五边形，他的角度直接是多少，他直接用上这个角度的话，可以缩短我们的做题的时间，效率就会提高。 十五题他这个难度啊，是是有在上升的，但是对于会做的孩子是能熬出来的，对于不会做的他还是不会做。 十六题都比较常规，第十七题的话啊，不常规了，为什么？因为平常我们十七题经常考察的是我们的四边形呀，或者是作图呀，或者是圆，但是这次呢，他他考察了我们的垂直平分线的一个使用， 十八题也比较常规啊，十八题也常规，不说了，这个第三问呢，给了我们一个经验，就是要积累一下对平均数和中位数他们的作用的一个识别。 十九题就是我们的应用题，考察了二元一次方程组，还有一个简单的不等式。这几次的考试当中，这个应用题我还是比较放心的，因为往年他考察应用题，可能给你来一个一次函数的对值呀，啊，这个孩子们就容易丢分，但是这几次的考试，这个应用题还是比较好拿分的哦。 三角函数在二零二五年的中考当中，他的难度要比这个难度要大一些，因为他的辅助线的画法对特殊角的处理这块难度是放在这了。但是今年二模这个三角函数题目的话， 他这个辅助线还是比较好想的，也就是就是一个设 x 去求边长，计算量还是会大一些的。二十一题的这个材料题我很喜欢，原因就是 难度逐渐递增，并且他的类比思想用的非常的好。在第三问当中，我们把原本的那个圆的图像画成了我们的正方形，但是他没有违背对于轴对称图形的一个使用，所以这道题目作图上边可以沿用我们上一第二问当中对圆的一个处理， 所以类比思想用的还是比较好的。第二十二题，二次函数第一问啊，第一问当中计算量就出来了啊，他要比省调研也好，还是我们的异模的题目当中，这个第一问来说的话，计算还是会重一些的。第一问，第二问来说，呃，可以拿啊，可以拿下来分。第三问，嗯，如何去理解 日利润仍然随着房价的增大而增大的这句话，去确定对称轴和我们 x 的 范围的一个限制，这块是 理解能力偏弱的孩子就不太好拿分了。或者说你前边由于计算量啊，由于花的时间比较多了，你的时间不够了，你想去拿一下二十三题，这块不好拿分，二十三题，这道题很新颖。第一问考察的也比较常规，就是我对我们菱形的一个判定，还比较简单一些。 第二问，终点的用法，如果孩子对终点做辅助线这一块不太擅长的话，那这块想，那么他想的时间会可能长一些。本质上就考察了一个平行线，分线段成比例这件事。 第三问，他的这个作图是平行四边形这种扭的，这种作图方法不同于以往考察的折叠平移，对孩子们在有限的时间里边去搞他的话，确确实实是有难度的。 整体分析完我们这个二模的卷子的话，我觉得他肯定是要比调研那次的卷子难度要大的，但是他并不是我们中考的这个最后的成绩，所以不到最后一刻不要泄尽。
11太原于果数学
09:48查看AI文稿AI文稿学数学难吗？一点都不难。大家好，我是 banana， 不 难老师。今天呢，咱们来看一下上午刚刚考过的太原市二模的最后一道压轴题，也就是第二十三题。 呃，首先这道题呢，第一问是非常简单的，大家根据这个题里边的一些信息就可以直接的推出来啊。然后第二问呢，其实在之前大家做十五题的时候， 经常会见到这种啊，过一个关键点啊，过终点呀啊，或者说过一些等分点，做一些平行线，然后去构造两次相似，求这个比例关系的，所以这个第二问的话，大家有一定的积累啊，应该也是能做出来的。 第三问的话，可能就是需要大家稍微的分类讨论一下，然后，呃，也是利用这个相似的这个比例关系，或者一些一些特殊角的这个关系，就可以进行求解了。 来，咱们来看这最后这道题，已知平行四边形 a、 b、 c、 d 当中已知了 a、 d 等于二倍的 ab， 然后点 e 是 b、 c 的 中点过点 e 做了平行线。然后第一问呢，是让你判断这个 a、 b、 e、 o 的 这个四边形的形状，那从这个图里边看来的话，它应该就是一个菱形了啊，因为平行四边形是很好正的啊。 呃，咱们知道这个 a、 b、 c、 d 是 一个平行四边形啊，所以说，呃，这个上下两条边是平行的，然后又过点 e 做了 ab 的 平行线，所以左右也是平行的，所以他就是个平行四边形啊。然后接下来呢，咱们再呃看一下这个题里边边的这些条件啊，给了 a、 d 等于二倍的 ab， 所以 说，呃， bc 呢，其实也等于二倍的 ab， 而点 e 又是这个 bc 的 中点，所以 bc 呢，又等于二倍的 b e， 那 bc 等于二倍的 b e 又等于二倍的 ab， 所以 ab 就 等于 b e 零边相等，所以这就是一个菱形了。 那做完第一问以后，大家一定要多去思考一考。呃，思考一下啊，分析一下这个题里边有没有值得大家再利用的一些条件或者关键的一些信息呢？有的，因为右边这个三角，右边这个四边形，同样它也是菱形啊， 政法也是同样的，这个我这就不赘述了啊。所以这其实得到两个关键地方啊，题里边说了， e 是 终点， e 和 o， 他 其实都是终点啊，那在第二个里面可能会对大家造成一些呃影响啊。来，咱们来看第二个， 在图一的基础之上，连接 d e 并延长啊，然后再连接 a e 也延长，其实它就是延长了一些对角线，首先把 d e 延长，和 ab 的 这个延长线相交于点 f， 然后又把 a e 延长，和这个 c f 的 这个这条线呢，也相交于点 g。 然后接下来让你研究 a e 和 eg 的 这个数量关系啊。首先从这个图里边看到的这个数量关系肯定不是相等的，那很有可能就是比如说二比一啊，或者三比一这样的这个数数量关系。 那如果不是相等啊，那相等的话，大家可能首先想到的是全等啊，那如果不是相等的话，那大家首先想到的应该是什么？哎，要么就是特殊角啊，要么就是相似，那他俩又不在同一个三角形里边啊，那所以咱们就分析相似就可以了，而在这呢，又得到一个特殊的 条件啊，点 o， 点 e， 这都是终点，对吧？那这既然都是终点的话，那这有没有什么特殊的地方，咱们值得去分析一下的呢？有的，首先平行线夹终点啊，那咱们就可以得到一个八字形的全等，那所以左右这两个三角形，他俩是全等的， 而上下的这两个上面的这两个图形呢，它都是菱形，所以咱们在这可以标一下啊，因为这个题呢，是需要写过程的，所以咱们这就假设一下，比如说它是 x x x， 那 这个也是 x， 那 下边这个，呃，这几条边啊， 这些大家能见到的它其实都是 x， 而 b f， 这呢，它其实也是一个 x 啊，这几条边就都是 x 了。接下来呢，咱们要这个研究 a e 和 e g 的 这个数量关系，那其实就是去给他构造一个包含他俩的 相似就行了啊。那这个大家在十五题当中其实见到过很多了，而且构造相似一般都是出现两组相似啊，大家才能进行求解的，那这怎么办呢？其实最简单做法啊，当然做法不，不一定啊，不，唯一这平行线有很多种做法，那最简单做法，咱们直接把这个 o e 进行延长就可以了， 比如说交，呃，下边为点 m 啊，为什么要延长呢？因为这个 o e 是 平行于下边这条边的，那如果延长出来的话，这个 e m 也平行了，那这样的话就会产生两组相似，这样的一组 a 字形的，还有另一组 a 字形的相似。而结合刚才这个中点来看的话呢，这个 e m 长度就应该是等于 b f 的 一半，所以这个 e m 的 长度应该等于二分之 x。 好， 那接下来这个比例关系就有了，放在这个大的相似里边呢，咱们就可以知道，他俩的相似比应该是二 x 比上二分之 x， 也就是四比一的这个比例关系。那么 a e 和 e g 的 比例关系就应该是等于四减一等于三啊，三比一的这个比例关系了，所以说 a e 他 就应该等于三倍的 e g 啊，那第二位也就解决了。 呃，所以第二个的话，大家其实有一些这些几何分析的基础啊，还是能把它做出来的，他，他其实就是考的这些平线的一些用法啊。好，再看第三问， 若以点 c d g 为顶点的三角形是直角三角形，请写出 d e 和 a e 的 这个比例比例关系啊。 d e 比 a e 好， 仍然是让大家写一个比例关系，那咱们在分析之前呢，还是来分析下这个图啊。首先这道题是不需要写过程的，所以咱们就直接写。呃，这个长度为一一一一一啊，这 几条边呢，都设为一。好，再从这个图里面看看有没有大家能得到的一些关键的信息，后边可以用到。有的啊，因为从 o 出发，大家发现有三条相等的线段。那首先这四点，呃，这三点是 共圆的啊，他应该是在以 o 为圆心的这个圆上，那由此呢，就可以得到啊，这是一个直角，因为直径所对的这个圆周角是九度，或者呢，大家可以用斜中半的这个逆推的这个办法也可以得到啊。 呃，所以这是一个九十度啊，那这个推理的办法就是，这是一个等腰三角形下边，这也是个等腰啊，两个等腰啊，打对勾，两个圈，四个角合起来是九十，他俩合起来就是九十，那这是一个关键地方，这是 垂直的，而且点 e 还是一个关键点，什么点呢？它是一个中点，对吧？也就是说在这这个 a e 呢？其实或者说 a g 呢？其实应该是 d f 的 这个垂直平分线啊。好，接下来 咱们再来看，让你求 d e 和 a e 的 这个比值啊，然后这是 c d g 这个三角形，所以咱们得连接一条线，把这个 d g 连接起来。 好，刚才得到了一个关键的信息，这个 a g 呢，其实是 d f 的 垂直平分线，那所以咱们可以得到 g d 是 等于 g f 的 啊，这永远都是相等的，也就是两个关键信息，这永远都是个九十度，那这两个也是永远都相等的。那接下来咱们站在这个直角三角形的角度去分析这个 d e 和 a e 的 这个比例关系， 那得到这个直角以后，这个直角以后，这个问题其实就好分析了啊，为什么？因为他放在直角三角形里边了，那得到他俩的比例关系，其实我只要能得到某一个角的这个三角函数值就可以了啊，那一般来说的话，他应该是一个 特殊的这个角度啊，那究竟多少度呢？从这个图里边看出来，可能是一个呃，三十、六十、九十的，对吧？但是这个因为他这个直角是不固定的，所以答案不一定唯一，所以咱们站在角的角度来分析，那第一种情况呢，可能是从这个图里边来看的话，这个 c 这更像是一个直角，所以咱们就先让他为直角啊，第一种情况就是角 角 d c g 啊， d c g 他 是等于九十度的啊，那咱们来进行一个分析，如果角 d c g 是 九十度的话，那再结合 呃，刚才这个点 e 是 终点这个条件，那咱们在下边呢，又会发现这有一个斜中半，对吧？也就是说 ec 的 长度和这个 e d 的 长度和 e f 长度，它们三的长度都是一，那都是一的话，大家发现这个大三角形就是一个什么三角形，就是一个等边三角形了，那这样的话三线合一，所以上面这个角它就应该是一个三十度角， 那这样的话， d e 和这个 e g， 呃， d e 和 a e 的 比例关系就可以很快的写出来，他应该等于，呃，太阳三十度啊，等于三分之根号三啊，这第一种情况就快速的得到了啊， 所以这呢就是得结合咱们刚才分析出来的一些条件，比如说直角呀，或者是说这终点呀这些条件进行分析啊。好，接着再来看第二种情况，那可能这这个角， 咱们再来分析一下，上面这个角就是角 c d g 啊，角 c d g 等于九十度啊，那这种情况可不可以呢啊？这种情况从图里边看出来 是有点困难的啊，那咱们来分析一下他行不行的，如果这个角是九十度的话，而上面这是一个菱形，这就是一个钝角了啊，那也就是这个角是大于九十度的，那这钝菱形的对角线呢？它是平分两个， 嗯，分别平分这两个角的，所以说这两个角的话，他各自都是一个钝角，那他俩合起来就应该大于一百八了，那这个 dc 就 撇到外边了啊，那这种情况的话，他就，呃不可以了啊，所以这个就舍掉了。 呃，那这是第二种情况啊，那第三种情况的话，那咱们来分析一下，就是最后的这个角 dgc 啊，角 dgc 等九度，那这种情况， 呃，他给了备用途啊，那所以这个情况的话，他应该是至少有两个的，所以 dgc 是 九十度，这个是成立的。那大家来求一下那两种办法啊，一种办法大家可以凑合的来看这个图，另一种办法呢，也可以在后边重新画一下啊，当然这个自己画出来，这个也不一定标准啊，所以大家其实就可以在这个图里边先看一看， 看一看这个图里边这些关系啊。那首先咱们来看一下啊，如果这个角 d g c 为九十度的话，所以左边这个角呢，它就也变成一个九十度角了。而刚才说过了，这条线 a g 应该是这个 d f 的 垂直平分线，所以说 d g 是 等于 f g 的， 那这个三角形下边这个小三角形，它就是一个等腰三角形了。 而上边这，呃这是个直角，那所以他就变成一个等腰直角造型了，那此时的度数咱们就可以给他标出来，这是一个，呃，这是一个四十五度，而这又垂直，所以 e g 这呢又是三线合一，那那这就是四十五度， 所以此时就可以得到这个 d e g， 它就比较特殊了，它就是一个等腰直角三角形。那咱们现在分析 d e 比 a e， 那 其实就是分析 e g 比 a e 嘛，而咱们刚才已经求过了， a e 和 e g 的 比应该是三比一的比例关系啊，所以说 d e 比上 e a e 它就很简单啊，等于三分之一的这个关系了啊。 呃，所以最后这一问呢，其实就是利用了一些特殊角啊，以及这个斜边中点啊，等腰三角形的这些特征去进行求解的啊。所以这道题呢，其实还是考察大家最基本的这些几何的模型啊，几何的这些定律的一些应用，不知道大家在考场上有没有把它做出来？关注我，布南老师帮你解决所有数学问题。
50不难老师
07:41查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面杠！哈喽，各位同学，终于来到这次二模考试的最后一题，二十三题了， 这道小题我们要做的话呢，一共可以说也是三小问啊，非常经典。第一题，判断四边形的形状，那我们知道啊，这个平行四边形当中呢，还有一个长是宽，我们攒起这么说吧啊，长边是短边的二倍， 那还有 e 点是 b c 的 中点右过点 e 做平行线，那当然了，我们一定得说清楚啊，同学们，你比如说这个，呃，做平行线了，如果说你要用到欧式 a、 d 中点的话呢，是不可以拿来直接用的啊，必须得说明这个平行线分线段成比例的感觉，这才可以啊。 所以这个小题的话呢，我们得注意感受。同志们，首先判断 a、 e、 b、 e、 o 的 形状，那我们知道呢，你最特殊，最特殊也就是个菱形了，怎么证明菱形呢？首先我们看一下，根据题目当中已知的条件， e o 是 平行于 a b 的， a o 是 平行于 b e 的， 所以两组对边分别平行，你首先就是一个 平行四边形嘛，那紧接着呢，离菱形就差一组边相等了。这个也非常简单，由于一点是中点，那么 b e 就 等于 bc 的 一半，而 ab 呢，也等于 bc 的 一半，所以第一问是非常简单的，第二小题它开始上难度了啊，让我们猜想在图二当中， a e 与 e g 的 数量关系。那么同学们，这种题目我们已经见过很多遍了，一般来说，最后一问直接写答案的过程啊，直接写答案的题目直接要用到第一题的结论呐，对吧？ a e 与 e g， 我 们来感受下这种题到底该怎么做？ 在图一的基础上连接 d e 并延长，那么同志们得注意了啊，这 d e 相当于就是这个菱形的短对角线， 连接 a e 并延长的这个 a e 相当于就是菱形的长对角线，这个我们一定要分析清楚，那么只要你连的是长对角线和短对角线这么一连呀，同学们，你会发现这个角注意 o 永远是直角对不对？题目当中也有着大量的中点， o 是 终点， b 是 终点， e 是 终点等等等等这些东西啊，同学们，那么有终点的话呢，我们就知道可能会有，比如说，哎，背长中线的这种旋转型的全等还会有呢？中位线还会有呢，比如说这个像什么与终点相关的啊，各种各样的斜边中线地理都可能有。 那么这个题目当中咱们到底该怎么做？我们首先来感受一下，首先看主人公他要我们找的是 a e 和 e g 之间的数量关系， 那同志们点 e 作为终点的话呢？在这里我们来简单的思考一下，比如说呢，过点 b， 老师在这里做一下啊， c f 的 平行线，假设交 a g 于点 h。 好 了， 那这里我们知道啊，同学们由于点 e 是 中点，很容易得出三角形全等来啊，就是一个一百八十度的旋转型全等，比如我只要做一条平行线，我们就能得到三角形 b e h 一定是全等于三角形 c e g 的， 那如果两个三角形全等的话呢，我们自然也能知道 h e 的 长度就等于 e g 的 长度。 那么换句话来说，由于点 b 是 a f 的 终点，当然了，这个地方肯定同学们就得问了，说老师，这题上也没说呀，你平常就说它是终点呢，这就是需要大家证明的过程。同学们，那比如说在这个题目里头啊，我们会发现， 你看怎么证明它是个，呃，这个，这个终点，呃，其实在这个题当中呢，我觉得方法还是比较多的。同学们啊，比如说呢，这两个三角形，他们肯定也是啊，像这种什么 呃，全等啊。比如说，你看 b e 等于 c e 对 顶角啦，两直线平行的内错角啦，也是类似于这种倍长中线的一百八十度的啊，旋转型的全等。 如果这两三角形全等以后呢？那当然 c d 的 长度就等于 b f 的 长度喽，也等于 ab 长度，所以 b 是 中点嘛，虽然简单好正，但我们一定得说清楚 好，这样一来呢， b 点是中点，那由于平行线分线段成比例啊，所以这 b h 其实就是中位线了吗？大家也知道啊，当然，我们这里用到的还不是 b h， 我 们就知道 a h 的 长度 啊，就应该等于 h g 的 长度，而 h g 的 长度呢，又等于二倍的 e g。 那 其实这样一来，同学们，你想想 a e 是 什么？ a e 就是 a h 加上 h e 等于三倍的 e g， 这样一来，数量关系就有了三比一。那么注意，这个数量关系，同学们，应该在后面的每一种情况当中都是成立的， 大家这个地方得注意啊。那么接下来看第二小题，说，如果 c d g 是 一个直角三角形的话，让我们写出 d e 比上 a e 的 值。还是那句话， 这个地方是直角，同学们，永远存在，永远成立啊。那接着图二呢，我们其实可以更好的分析清楚这个直角，那我把角 c 当成直角顶点，如果 d c g 是 一个九十度的话，接下来怎么办呢？同志们，方法其实很多啊，你要找的是 d e 比上 a e， 那 我们首先来看 好，如果你这边是一个九十度，根据斜边中线定里点， e 是 中点吗？这 d e 的 长度就等于 ec 的 长度，而我们又知道这 ec 的 长度呢，是等于 c d 的 长度的，所以你一看呀，这个三角形就是一个等边三角形了， 那这就简单了，这就是六十度，这就是三十度。你说这短直角边比上长直角边是多少呢？一比根号三，也就是三分之根号三搞定了，那像另外一个图的话呢，可能会相对来说难画一些啊，老师这边也给大家画出来了，当角记为九十度的时候， 当角记为九十度的时候呢，我们依旧可以得到三角形 d g f， 它是一个等腰直角三角形 啊，你说老师他是个直角三角形，我知道等腰从哪来的呢？其实也一样啊，同学们，斜边上的中线等于斜边长度的一半，大家注意啊， 那这个时候呢，你要注意，这是直角，这个地方也是直角，所以说对于这样一个直角啊，对这样一个直角三角形而言的话呢，其实我们很快可以发掘出来啊，他应该是一个等腰直角三角形。那么此时此刻， d e 比上 a e 的 长度就是一比三，就是三分之一 啊。这个题的两个答案是出来了，但是有同学可能会不会好奇啊，说，老师，为什么角 d 在 这里不能是直角顶点呢？大家想想，角 c、 d、 g 能不能是九十度？不可能的，同志们啊，因为我们得明白一个道理，角 a、 d、 c， 他被 d、 e 这条角平分线给他平分开了。角 a、 d、 c 呢？那就是一个钝一个钝角吗？对吧？同学们，如果说你把它角平分开了以后呢？连着角 c、 d、 e， 他 都是永远小于 九十度的啊！同志们，所以这个角 c、 d、 g 的 话呢，应该比九十度还是要再小一些的啊，那不可能是等于九十度的啊！因此，这个题目只有两种情况，两个答案，你 听懂了吗？白来拐本期视频我们就到这里，祝愿大家中考旗开得胜，下个视频不见不散！
06:30查看AI文稿AI文稿来吧，伙伴们，太原市中考数学二模的题目已经出炉了，我们来看一下填空题，实物题。这道题的答题方法呢，会有很多种啊，那么在这呢，尤老师着重给大家介绍两种比较巧的方法，其他的方法，比如说过定比分点做平行了，或者是一些利用其他的相似类似的方法去处理都是可行的。 ok， 来我们一起来看一下填空题，食物题题干，我不带大家做过度的解读了，我们直接把有效信息填到图当中，第一个给了角 b 四十五度，然后 ab 呢是三倍，刚好二，还给了 bc 的 总长是一个九，还给了 ad 和 dc 的 比例是二比一，给了 d e 和 d h 长度相等，求 d f。 好了，首先我们先一会再说方法的开端，我们第一步呢，首先大家先过点 a 做上一个 b c 的 垂线， a m 我 们先求其下一些相关长度， a m 等于三， b m 等于三，所以 mc 长度大家能求下是六。 然后借助三角形 a m c 当中的勾股定律，这是一个一比二比根号五的三角形，所以我们可以求出 a d 的 长度等于三倍根号五，结合 a d 比上 dc 二比一，所以我们可以求得 a， d 等于二倍根号五， dc 等于根号五。 好了， d 的 长度和 d a 长度相等都等于二倍根号五。好了，接下来我们把该标的标完之后，开始我们的挑战。第一个方法， 一个方法也可以说是最妙的一个方法，就是我们纯倒角，然后只需要借助一个特殊比例叫一比二比根号五，就完全可以把这道题解决清楚了。来，我们看一下角度怎么去倒腾。 首先我们把角 c 记作一个 r， 然后呢，角 c， a， m 是 一个九十度减去 r， 然后根据三角形外角的关系， e， a， c 的 度数是四十五度角加上阿尔法，那么角 e 呢？是等腰三角形的底角，四十五度角加上阿尔法，再求一下谁呢？放在三角形 b， e、 f 当中，我们求 e、 f， b 这个内角的度数，刚好求下九十度减去阿尔法。 好了，那么要求的 df 附近有一个特殊角，叫九十度减去 r 法，而九十度减 r 本身所在的三角形就是一个一比二比根号的三角形，所以我们九十度减 r 法也是一个特殊角，所以我们大家要求 df 长度，我们直接过点 d 做上一个 bc 的 垂线，我把垂足点记作 n， 我们在这个 d， n 当中直接求一下 d， n 或者 n、 f 的 长度就可以了。来 d， n 垂直于 bc， 记住刚才的 am 也垂直 bc， 我 们可以看到一个平行相似， 平行 a 字相似，那么比例关系很容易得到。 c， d 比上 c， a 是 一比三，所以 d， n 比上 am 也是一比三，而 am 的 长度是三，所以我们可以快速得到 d， n 的 长度，等于一 好了，出来它之后，我们直接放在 r、 t 三角形 d， n， f 当中，直接利用一比二比根号五的比例求解即可。 我们看一下 d， n 的， 它刚好是两份，而我们要求的 d， f 长度刚好是根号五份，所以 d， f 的 长度就出来了，用一除以二，再乘根号五，答案等于二分之根号五，直接快速解答就可以了。 好的，这是我们最快捷也是最妙的一个方法，而且借助的都是我们肠胃的知识点来，接下来我们再看第二个方法， 第二个方法呢源自于就是这道题当中呢出现了一个一比二还四十五度的一些相关关系，很自然的会让大家想到会不会有一二三四五没毛病这个题。我们接下来的方法就是利用一二三四五，然后结合上谁呢？结合上整一个三角形，当中 e， a， e， b， f 也好，出现了有美式三角形， 所以我们第二个方法给大家采用的是一二三四五模型法，加上两次美式定力去处理就可以了。 哎，那么首先第一步呢，我们需要利用这个等腰的特性，见等腰我们可以做底边上的垂线构造三线合一的内容，我们把它记作 n， 然后我们呢开始倒角，我们角 c 是 r 法 角 e， a， c 刚才倒了一下是四十五度角加上阿尔法，所以大家可以利用三角形的角和求 n， d， a 的 度数是四十五度角减去阿尔法。 好了，大家看到了阿尔法的正切值比例是一个一比二，那么四十五度减阿尔法，它的比例就是一比三，所以在 a， n， d 当中 一比三比根号十。哎，我们就可以求一些数据了， a， d 的 长度是二倍根号五，所以呢，由此我们可以求出 a， n 的 长度等于根号二，由于三线合一的性质，我们也可以得到 n， e 等于根号二，所以呢，整一个 a， e 的 长度就是二倍根号二。 好了，这些数据有了之后呢，我们接下来就可以用多次的梅尼老师定义去处理了。首先我们先用 a、 b、 c 这个梅式三角形，它的梅式线呢是 e、 f， 由此我们首先要导一个 b、 f 和 c、 f 的 比例来，我们先看第一组梅尼老师定义，我们从点， a 出发， a， d 比上 dc 乘上 fc， 比上 f， b， 然后再乘上 b， e 比上 e， a 等于一 来我们带进来， a， d 比上 d， c 是 二比一， f， c 比上 f， b， 我 们要求然后 b， e 比上 e， a 刚好是五比二，所以最后等于一，可以求得 f， c 比上 f， b 等于一比五。 好，这是在我们 a、 b、 f 这个媒是三角形当中。接下来我们回到要求的 d、 f 所在的媒是三角形，叫 b， e， f 媒视线是 a、 c。 所以 我们比如说从一点出发，我们来构造媒是定力可以得到的是 e， a 比上 a， b 乘上 b， c 比上 c， f， 再乘上 d， f 比上 d， 结果就等于一 来我们把数据带进来， e、 a 长度呢？比上它是二比三，然后乘上 bc， 比上它是六比一，再乘上 d， f， 要求比上 d， e 是 二倍，根号五等于一，所以直接就把 d、 f 求解出来了，等于二分之根号五。解答完毕了。 好了，这两个方法可以说就是大家所有的方法当中最巧的两种方法，其他的方法当然大家都可以去尝试，还有很多的内容都可以去做。好吧，在这我就着重给大家讲一下这两个技巧性的方法 好了，大家下来之后，可以把这两个方法认认真真的在这个题目当中好好的纠结一下。好了，你学会了吗？关注尤老师学习数学不迷路，满分不是梦！
46游中华讲数学
09:34查看AI文稿AI文稿一起来看一下二六年二模考试的二次函数这个问题啊！第二十二题，问题情境，随着旅游热度上涨，来山西游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加， 某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大的利润啊！经过前期调研，获得如下信息，我们来看一下这个报表，第一列是对应的日期，第二列是对应房价，第三列是对应的客房入住数啊，好，那么建立模型，酒店经理发现， 入住房间数、营收金额都会随每日的房价变化而变化，那这是肯定的，是不是？设每日房价为 x， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 那 么其中 x、 y、 z 均为正整数，那其中呢？ x 的 取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四的。 那根据报表所提供的信息，让你去解决下列问题。后面有个注意事项啊，日营收金额等于房价乘以客房入住数，这也要注意了啊，解决问题第一个啊，第一题啊，客房入住数是房价的什么函数？那么我们观察这个表格啊，从一百六到一百七， 房价上涨十元，他的这个客房入住率会减少六间，那么以此类推，一百七到一百八客，呃，这个房价上涨十元，客房入住率仍然是减少六间，对不对？ 那它这个变化量是一样的，所以它们之间是一次函数关系啊，求 y 和 s 之间的函数关系式，这个就是求一次函数的表达式。那么我们用代定系数法， y 等于 k， x 加 b， 是 吧？然后我们接下来带入两组对应值就可以了，比方说，哎，我可以把一百六十到一百二十带入，把二百到九十六带入， 求解就可以了，是不是？好，那么在这里啊，算出来这个 y 和 x 之间函数关系是为什么呢？哎，我们写一下啊，是 y 等于负五分之三， x 加二百一十六，好，这是 y 和 x 之间的关系。来看第二题啊， 当酒店客房日营收金额 z 最大时，求这一天客房的房价，我们来看一下，前面他有给备注啊，日营收金额等于房价乘以客房入住数，那么房价是 x， 入住数是 y， 所以 x 和 y 的 乘积是不是就是 z 呀？好，所以我们在这里可以写啊， z 等于 x 乘以 y， 那 我用负五分之三 x 加二百一十六代入，是不是啊？ x 乘以负五分之三， x 加二百一十六， 那我们去掉括号等于负五分之三， x 的 平方加二百一十六 x。 好， 那么 z 和 x 它是一个二次函数的关系，而且二次项系数是负的五分之三小于零，开口向下有最大值， 那他在这里说了啊，日营收金额 z 最大时，求这一天客房的房价，也就是让我们去求顶点坐标，对不对？那之前我们讲过啊，去求顶点坐标，两个比较好用的方式是从一般式到顶点式 哎，或者是直接套我们顶点坐标公式就可以了是不是？那么接下来我们将这个一般式啊转化为顶点式， 用配方法啊，将一般式转化为零点式，那在这里老师就不写过程了啊，写出是 y 等于负五分之三倍的 s 减一百八十的，一百八十的平方 加一九四四零，那也就是说在这个二次函数关系中，当 s 等于一百八十的时候， z 最大，最大是一九四四零，是不是？好，那么我们看一下这个一百八十，它是在自变量 s 取决于范围内的对不对？ ok， 所以 它符合实际情境 对不对？好，也就是说，那这一天客房的房价就是一百八十元了。嗯，好，那这个问题咱们就解决了啊。 第三题，为吸引顾客，酒店决定入驻房客啊，赠送当地的特色礼品。每间客房赠送一份，每份礼品的成本是 m 元。在这里， m 是 小于等于二十的啊， 以至于每间入住客房的固定成本啊，还有保洁费啊，水电费这些的，每间呃，客房他的固定成本是三十元。若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大啊。咱们来先看一下这个日毛利润究竟等于什么？ 在这里啊，他给出日毛利润等于日营收金额，就是我们的 z， 是 不是然后减去固定的总成本？大家想啊，一间客房固定成本是三十，而这里客房入住数是多少呀？是不是 y， 所以 我们要减去怎么样？三十 y 还要减去礼品的总成本，那每间客房的礼品支出成本在 m 元，那有外间入住客房是不是就是 m y 呀？ 所以在这里啊，我们可以假设日毛利润是 w w 是 不是等于 z 减去三十万，再减去 m y 呀？哎，所以我们来呃，表示一下，这个 w 啊， w 等于呃 z z， 我 们用前面的这个一般式来代入啊，负五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后再减去三十外啊，三十减去三十外，再减 m y 是 不是就是减去什么呀？三十加上 m 倍的 y， 这也可以理解，是不是每间入住客房它成本有礼品的钱，还有这个固定成本，对不对？好，然后把 y 用含有 s 代数式给它替代啊。 加二百一十六 x， 然后减去三十加 m 乘以 y y 我 们前面已经表示出来了，在这呢，是不是 y 等于负五分之三 x 加二百一十六啊，然后乘以 负五分之三 x 减二百一十六。好，接下来我是不是要整理一下合并同类项吗？是吧？这里，这里有 i 含有 x 的 项，这里也有含有 x 的 项，我们整理一下啊，是负五分之三 x 的 平方，然后再加上什么呢？哎，他俩整理想一想啊，比方说我用这个负的三十负的括号，三十加 m 和负五分之三相乘的话，是负负得正，是不是了啊？是二百一十六啊，然后加上五分之九十 啊，然后还有五分之九十加上三 m， 这个整体的 s， 对 吧？它乘以 s， 然后再减去二百一十六和三十加 m 相乘，对不对？二百一十六乘以三十加 m， 好，我整理成这个样子了，对不对？当然了，你也可以把这个二百一十六呃和五分之九十加三 m 进行通分合并，也可以，或者说我把这个五分之九十转化为，哎，九十除以五写成整数的形式是不是？ 好，都可以啊，那在这里啊，这个负五分之三是二次项系数啊，那这个呢？是一次项系数，后面这个属于常数项了啊， 然后这个是我们的毛利润啊，日毛利润啊。好，接下来我们说啊，看一下他这个问题，就让你直接写出这个礼品成成本 m 的 取值范围。那我们来看一下限制性的条件啊，限制性的条件是什么？在这呢， 若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，那这是不是一个关于二次函数增减性的问题啊？ 那我们想二次函数的增减性，它是在对称轴的左右两侧，增减性是不同的，那这个日毛利润的这个二次函数，它开口向下是吧？开口向下，那么在对称轴的左侧， 它是 w 随着 x 的 增大而增大的，那在对称轴的右侧，它是 w 随 x 的 增大而减小的，那要满足在这个房价也就是 x 啊， 不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大。大家想想看这个二百和对称轴之间怎样的关系？ 思考一下，当这个对称轴只要大于等于二百的时候，只要这个对称轴大于等于二百的时候， 那你看是不是就符合房价在不超过二百元的情况下，它是 w 随着房价的增大而增大的，是不是？哎，所以在这里啊，是对称轴，只要满足大于等于二百就可以了啊。那对称轴，我们回顾对称轴的公式是什么来着？我们换个颜色啊， 对称轴，哎，我们讲对称轴的时候，一定要强调什么呢？直线啊，对称轴是直线， x 等于负二 a 分 之 b， 是 不是了？直线 x 等于负二， a 分 之 b， 那 在这里 a 是 负五分之三， b 是 二百一十六加五分之九十加三 m， 是 不是？我把这个 a 和 b 带进去算一下这个 x， 好， 那么这个对称轴它要满足大于等于二百，是不是？ 所以在这里啊，它是大于等于二百，大家可以带进去算一下这个范围， 那么算下来 m 啊，我们把它俩带进去以后， m 是， 呃，大于等于十的，那结合前面的条件，它给出 m 得小于等于二十，所以在这里啊， m 的 范围得大于等于十，小于等于二十。 好，这个问题我们就解决了啊。
17太原数学郁老师
11:07查看AI文稿AI文稿每天一道题，轻松学数学，各位同学们大家好，今天我们一起来看一下刚刚考过的太原市二模的第十五题。首先如图，三角形 abc 中角 b 是 四十五度。好，我们先标好角 b 四十五度， a， b 是 三倍根号二， bc 是 九点， d 是 a， c 上的一点，且 a、 d 等于二倍的 d， c。 好， 我们首先看到了这个四十五度以后啊，我们肯定会画一个辅助线，这是我们的突破口哈，所以呢，我们过点 a 去做 bc 的 垂线啊，把它分成了一个四十五度的等腰三角形， 所以呢， am 就是 三， bm 也是三，那么 mc 就 变成六了，对吧？好， mc 就 等于六。 好，又，因为我们 ad 和我们 dc 的 关系是二倍关系，所以我们现在可以算出来， ac 是 三倍根号五，所以 ad 就是 二倍根号五， c、 d 就是 根号五。好了，那么继续往后读题点， e 是 在 b、 c 的 延长线上连接 e、 d， 那 么且 d， e 等于 d a， 那 么这也是一个二倍根号五，它是一个等腰三角形。 好了，这就是我们所有的条件。问， d、 f 等于几啊？先说我们如果看到这个题上的数据，我们首先要想到的是要使用 特殊角的方法，那么他有没有特殊角呢？当然有了，对吧？我们除了能够看到一比一比根号二的这个数量关系以外，还看到了一个什么 三比六，那就是一比二吧，那一比二的特殊角就是二十六点五度。 好，遇到特殊角，那我们首先需要把这道题当中的所有有关于角度能求的都求出来哈。好，那我们来看一下这个等腰三角形的角度， d， a、 e 多少度？那这个又是四十五度加二十六点五度，好，七十一点五度， 所以角 e 也是七十一点五度，好。通过等腰三角形，两个角是七十一点五度，所以可以很快的得出来角 e、 d、 a 的 度数就是三十七度。 好，为了方便我们后面计算啊，所以因为看到了等腰三角形，我做一下三线，好，那每一个都是十八点五度，那也就是一比三的关系，对吧？一比三比根号十好，所以二倍根号五。我算一下，除以根号十，正好是根号二 好，那么 n、 d 的 长度就是三倍根号二好， n、 e 也是根号二好。其，此时这个题我们其实早就能做完了哈，我们把这个对顶角三十七度用好了，那么关于底下 d、 f、 c 这个三角形 两个特殊角了，是不是可以去列一个方程了？好，我现在使用放大镜啊，我把这个三角形给大家放大了， 好，这个是 d、 f、 c， 好， 这是三十七度，这个是二十六点五度，所以过点 f 去做 d、 c 的 垂线， 好，那我们可以去设一个未知数啊，三十七度所对的边是三倍的关系，所以我设是三 a 好， 四 a， 所以 这个是我来一个 g 啊，那 g、 c 的 长度就应该是一比二的关系，那么他就应该是六 a， 好，所以我们可以很快算一下啊，四 a 加六 a 等于根号五，哎，我们可以把 a 解出来啊， a 就 等于十分之根号五 好。最后的问题问的是 df， 那 df 在 这块是五 a， 所以 df 就 等于五乘上十分之根号五，所以答案就是二分之根号五 好，那我们这个题就是利用好了我们特殊角，把它解完的。好，我们接下来再来看第二种方法。那么我们学校里呢，老师呢，讲了很多种关于定比分点做平行的方法啊， 因为题目当中出现了这个二比一的关系，所以一定会用到相似三角形。好了，那怎么做呢？把前面条件我先都标好了哈，接下来我可以过点 a 去做 e f 的 平行线 啊，当然也可以过点 b 啊，去做 e d 的 平行线。哎，也可以，也可以过点 d 去做 bc 的 平行线， 也可以过点 c 去做 e f 平行线，方法太多了。好吧，那么李老师给大家先演示几种哈，比如说我就过点 a 去做 e f 的 平行线吧。当然同学们也可以将自己的方法我们写在评论区啊。好比如我教于点 m， 那么这样做完以后，我们来找找相似三角形吧。好，三角形 a b m 和 e b f 相似，这是一个。还有呢， a m c 和 d f c 好， 这是一个。好了，那相似比，并且我现在都知道，对吧？先来看这个小的 c d 比上 c a， 它的比是一比三，对吧？好，那 c d 比 d a 就是 一比二了。好，那我现在比如说我设 f c 是 a， 那 m f 就 应该是二 a 的 关系。 好，那我们再来看左面，左面的话， a e 比上 ab 是 二比三，所以 f m 比上 b m 就 也应该是二比三吧。好了，那我现在呢就知道了，这个就是三三 a， 又因为知道 bc 是 九，是不是我们可以把 a 求出来？好了，那我来列一下三 a 加二 a 再加 a 等于九，所以很快 a 就 等于二分之三。好了，我们就做出来了啊，那么问的问题是啊， dmdf， 所以 我首先得先把这个 am 是 不是先求出来？好，那 mf 等于几啊？ 因为三 a 三 a 的 话是 b m 三 a 减啊，咱就先算三 a 吧， 所以是二分之九，那 m n 是 不就知道了？就是二分之九减三，所以二分之六，那还是二分之三，对吧？所以 n m 就是 二分之三。 好，那我现在去求一下 am， 这是一个一比二的关系，所以算出来它是二分之三倍根号五。 好，再根据我们的相似比，是一比三的关系啊，所以 df 我 们就可以求出来了，那就是二分之根号五。好吧，那这个我们就用了两次啊，相似三角形好，再比如说，我们再换一种啊，看看同学们还有没有其他的方法好，我们再来一个。 好，还是这些条件啊？比如说，刚才李老师还说了一下，我还可以过点 c 去做，当然差不多了啊，做一下 b， 做一下 e f 的 平行线吧。 好，咱们这交于点 m， 我 们还是先去找一下这个相似三角形。 好，大家找到了吗？啊，先来看这个大的，对吧，这个大的肯定毫无问题哎，它是相似的，还有没有啊？啊，还有没有相似哎，这个小的也是一个 a 字，相似三角形，所以我现在要干的事情要想求 d f， 肯定是 e f 减去 e d， 哎，这么求， 对吧？好，我们先来看第一种啊，先看这个像素三角形，我们搞出来，因为是二比一的关系嘛，对吧，所以我可以算一下 em 的 长，对吧？因为这个是二，这个是一，所以这个是二，这个是一，所以这是二倍根号二，那我就知道了， em 就是 根号二， 好，它就根号二好，接下来我们再来看，还知道啥？ f c m c 是 不是也能求出来，对吧？因为这是二倍根号五，哎，这个是不是也就可以算出来，所以它是二比三的关系嘛？所以它就是三倍根号五，好，我们把已知能求的都算一下啊，三倍根号五， 好，接下来我们再来看另外一种，我再来看大的啊，我给大家画一下，好，这个大的 a 字三角形， 好，找到了相似比了吗？对吧？是不是在这块啊？我们可以给大家画一下，这是 好，这个是五倍根号三好呢？全场是六倍根号三，所以是一个五比六的一个关系，对吧？所以这是三倍根号五，它占的是六份，那 e f 是 不就能求出来了？所以我先去求一下 e f 的 长度。 好，那就是三倍根号五，乘上六分之五，好，正好我们约一下， 答案就是二分之五倍根号五，对吧？二分之五倍根号五。最后问的是 df 的 长，那么 df 就 应该等于 e f 减去 e d 二分之五倍根号五，再减去二倍根号五，所以正好答案还是一个二分之根号五， 所以也一样，对吧？他们的做题逻辑其实是差不多的，所以接下来同学们可以自行去操作啊，想怎么做怎么做，我只需要定一笔分点去做平行就可以。哎，你比如说我这样做， 对吧？我这样做的话，把这个擦掉了啊，好，那这样做的话，那我可以啊，看一看这个相似三角形也是 ok 的， 对吧？首先这是一个啊， a 字相似三角形，那还有没有啦，对吧？我们可以再找一下， 可以了吗？其实这个就现成的了，一步到位，我发现因为这个可以用特殊角，对吧？这个是可以用我们的特殊角度的啊，因为这是二比，哎，在这块啊，这是二比一的关系，所以这块呢，也可以算一下啊。好，那我把这个也算一下，这个是二倍根号二， 好，那这个就是根号二了，对吧？好，那我们就可以找到了这个相似比了，这是二二倍根号二，二倍根号二，四倍根号二，再比上根号二，对吧？那就是四倍根号二，比上五倍根号二，那还是四比五的关系，那所以这边也是四 比五的关系。好了，所以我们可以很快的求一下 df 乘好，那 df 就 等于二倍根号五， 应该是除以四是不就可以了，算出一份，对吧？所以就是二分之更好。好，也是可以做出来的。好了，同学们，如果你们有更好的方法，可以给李老师打在评论区。好，我们每天一道题，轻松。
16数学Li老师
17:34查看AI文稿AI文稿二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。
1011陈进步讲数学
