数学22题解题技巧太原二模

尘埃落定，二零二六年太原市二模二十二题，我们来好好看一下这道题到底该怎么理解啊？ 呃，其实这道题最早呢，是在二五年，我发的一份资料上就有同类型的题目，当时呢就有很多同学在问啊，这个题是怎么去理解？一九年湖北十堰的中考题就有他的一个最早的一个原题型， 那我们来看这道题，说问题情境。随着旅游热度的上涨，来山西的游客日渐增多啊，且客房入住量也随之增加，巴拉巴拉巴拉，总共有一百二十间客房，那么来看到这啊，房价 第一天，第二天，第三天，第四天、第五天，然后分别是价格在变化，住房人数在变化，但是同学们他是一个乱序的。其实从去年的这个太原市模考的时候呢，我们的教员老师就提过啊，我们在给数据的时候呢，以往都是按照正常的顺序，比如从小到大排列， 那么其实完全可以是乱序排列，乱序排列之后，需要你重新自己排列顺序，然后再去找到他们的关系，所以这你需要重新捋一下 啊，一百六，然后呢，一百七，一百八，一百九，两百对应下数据，那这样的话我们就能看出来，来自变量，每增加十 音，变量要减少六，那么我们就应该能看出来，它的 k 值应该等于负的十分之六，也就是负的五分之三。建立模型， 酒店经理发现入住房间数、营收金额都随着每日房价的变化而变化，设每日房价为 x 元，每间客房入住为 y 间啊，那么日日营收金额为 z 元，其中 x、 y、 z 均为正整数，且 一百六小于等于 x 小 于等于二百四。根据表所提供的信息，解决下列问题，好。第一，客房入住人数 y 是 房价的什么函数？能看到自变量每增加时因变量固定减少一个六，说明它是一个正常的一次函数。 那么接下来要写出 y 与 x 之间的函数关系式，那么显然应该是 y 等于负的五分之三， x 再加 b。 我 们随便带一组数字进去，比如说我把二百和九十六带进来， 来，九十六等于负的五分之三乘以二百，再加上 b， 算出来 b 应该等于一个二百一十六， 好，搞定。所以 y 等于负的五分之三， x 再加二百一十六。那么第二问，当该酒店客房日营收金额 z 最大时，求这一天的房价。 好，那这里的话也很简单，来，第二问啊，文字去数我们就不多说了。来， z 应该等于 x 乘 y 对 吧？单价乘数量等于 负的五分之三， x 再加二百一十六，再乘以 x， 整理之后变成了负的五分之三， x 的 平方再加二百一十六， x 给它做配方， 负的五分之三提走 x， 平方减去，这是一个三百六十， x 再加一次项系数一半的平方下来是一个三二四零零。好，这边应该再减三二四零零，乘以负的五分之三，最后结果应该是加 一九四四零。好，整理之后，负的五分之三， x 减去一百八十的平方，再加一九四四零。那么这个时候我们就要去分析了啊，来，因为负的五分之三小于零 z 为 x 的 二次函数。同时呢，这还有一定要把自变量的取值范围取在了一百六到二百四， 又有一百六十小于等于 x 小 于等于二百四十，这三点都一定要说全。所以再说，当 x 等于一百八十十啊， z 有 最大值为一九四四零。好了啊，就第二问就搞定。那么这道题最关键的它是第三问啊！这个第三问，几乎是我觉得全太阳市也没有几个同学可能能直接做对了。为了吸引顾客， 酒店决定为入住房客赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品成本为 m 元，那 m 小 于等于二十， 已知每间入住客房的固定成本为三十块钱。若酒店希望在房价不超两百的时候，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本 m 的 取之范围，好，他给了你日毛利润等于日营收金额减固定成本，再减礼品总成本。好，那么来， 那这个时候呢，我们就可以去设它的日毛利润为 w， w 等于什么呢？ w 等于日营收金额，我们刚才已经写过了，就是这个 z 好， 再减去固定总成本。 一间客房的固定成本是三十，那我们有外间客房，对吧？所以是三十 y 好， 再减去一个。一间客房的礼品成本是 m， 那 么外间客房就是 m y 好。整理化简之后，我们得到的式子应该是负的五分之三 x 平方再加二百一十六 x 减去三十倍的负五分之三 x 再加二百一十六，再减去 m 倍的负的五分之三 x 再加二百一十六，给他做化简化到最简之后，应该是负的五分之三 x 平方加上二百三十四，再加上五分之三 m， 再乘 x 减去一个 六四八零，再加上二百一十六 m。 那 么同学们得到这个式子之后，我们已经知道了日毛利润的函数了，我们要求什么呢？日毛利润能随着房价的增大而增大，就要看他的 增减区间啊，增减范围，所以你要去找他的对称轴啊。所以来负的二 a， 分 之 b 等于好，负的二乘 负的五分之三，分之二百三十四，再加上五分之三 m， 那 么给这个式子画到最简是一百九十五，再加上二分之一 m。 注意啊， 正常情况咱们应该考虑开口向下的一个二次函数对称轴在一百九十五再加二分之 m， 要让二百之前啊，房价不超过二百二百之前，日毛利润随着房价的增大而增大，所以 二百应该在一百九十五加二分之一 m 的 左边啊。但是这道题是这样吗？正常按照这个去解的话，解出来就应该是十小于等于 m 小 于等于二十了 啊。但是同学们你要注意，这道题里面有个很重要的信息，叫做其中 x y 均为正整数 来，咱们考虑到这一点，我们能够看到 y 和 x 是 有直接关系的，负的五分之三 x 再加二百一十六，对吧？ 就是要让 y 是 整数， x 必须是五的倍数，那这个 x 的 取值要是五的倍数的话，在二百之前就是一百九， 一百九十五，二百他只能取这样的整数点，也就是一百九十五到二百之间，这个 x 是 没有取值的。那么我们为了要让音变量随着自变量的增大而增大，也就是说只要让二百的函数值比一百九十五的函数值大就可以了，这个时候 如果左边是一百九十五的函数值大就可以了，这个时候如果左边是一百九十七点五的位置， 现在一百九十五和两百的函数值是不是应该对称相等？所以其实我只要让对称轴在一百九十七点五以右，对称轴比一百九十七点五更大，让二百离的 对称轴更近啊，让一百九十五离的对称轴更远，那么这样的话，就会使得二百的函数值肯定比一百九十五的函数值大， 这就已经能够保证在二百之前，随着自变量的增加。因变量要增加，所以同学们我们不需要去考虑说对称轴以右，它这个函数是下降的，因为函数对于一百九十五到二百之间，它是没有任何曲值的， 他是一个三点型的函数。所以最后这个题应该是一百九十五加二分之一 m 让这个对称轴大于一百九十七点五就行了，这样的话，解出来 m 应该大于五，所以啊，最终 m 的 取值范围是五小于 m 小 于等于二十。 好，那在这呢，还可能有些同学有细节上的不明白，我再给大家再来详细解释一下。就是你要明白一件事，这个函数的 x 取值，只要保证它是整数就行， y 的 取值要让整数的话，那么 x 就 得是五的倍数。同时对于 m 的 取值， m 的 取值对 x 和对 y 没有任何的影响， 无论 m 怎么取，都不会对 y 和 x 产生直接关联。 m 只跟一个东西有关系， m 跟谁有关系呢？ m 只跟对称轴有关系，而对于这个函数来说，对称轴是不是整数，其实无所谓 啊，对称轴可以不需要是整数，也就是说随着 m 的 变化，这个函数可能会出现，比如说 这是一百九十五，这是两百，对吧？哎，这是两百零五，好，对称轴在这，那对称轴再往左移，那我们又会变成了，哎，这是两百，这是两百零五，哎，这是一百九十五， 好，继续对称轴变化，看函数图像又能变成了来，这是两百，哎，这是一百九十五，好，这又是一百九。随着 m 的 改变，其实这个函数的 对称轴的位置在改变，所以你会发现，最终我们只需要让两百的函数值比一百九十五大，那么就已经满足了 啊，这个随着自变量增大，应变量要增大，那么至于 m 的 去值， m 从五到二十之间，每一个数字都能去。

hello 同学们，今天给大家讲一道上午刚刚考完的二零二六山西中考太原市二模的二十二题二次函数的实际应用。下面我们来看一下这道题目。 随着旅游热度上涨，来山西的游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加。某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大利润。经过前期调研，获得了下表信息， 建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化。设每日房价为 x 元， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 其中 x、 y、 z 均为正整数，且 x 大 于等于一百六，小于等于二百四，然后注意日营收金额等于房价乘客房入住数。 接下来我们来看一下第一问，客房入住数外间是房价 x 元每间的什么函数？也就是 y 是 x 什么函数？咱们来观察一下， x 一 百六， 一百七，一百八，一百九，二百。也就是说房价是越来越多的，是十元。 然后客房的入住数由最初的一百二十间，然后开始减少到一百一十四间，减少六间，然后又减少到了一百零八间，又减少六间，然后又减少六间，变成一百零二，又减少六间，变成了九十六。 所以我们会发现 x 每增加几， y 就 对应的是减少几，所以它满足的是一次函数。 然后接下来我们求一下这个一次函数的关系式， y 等于的是，那我们刚才发现房价每涨十元，那么对应的客房入住数就减少的是六间，所以我们很容易求出 k 就 等于的是负的。 根据 x 一 减 x 二分之， y 一 减二，可以求出 k 是 负的，五分之三是负的，十分之六约分就是负的五分之三，然后 x 再加 b， 那么这个时候我们把第一天的房间数以及房价带进去，就可以得到一百二十，就等于负的五分之三乘一百六，再加 b 五和一百六，约分，剩下三十二，三十二乘三就是九十六，就得到了一百二，就等于负的九十六加 b 了，所以可以求出 b 等于的是一百二加九十六，也就是二百一十六。 所以我们就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式，即为 y 等于负的五分之三， x 再加上二百一十六。好，这是第一小问， 那么接下来我们来看第二小问，当该酒店客房日营收金额 z 元最大时，求这一天客房的房价，也就是求 x 等于的是多少。那我们通过刚才的关系式，就是日 营收金额等于房价和客房入住数，所以日营收金额 z 就 等于的是房价。我们刚才已经知道了，它表示的是 x， 然后乘客房入住数，也就是我们刚才求出来的 y， 所以 乘起来呢，就是 x 乘上一次函数表达是负的五分之三， x 加二百一十六， 所以我们就可以化简求得是负的五分之三， x 的 平方加二百一十六， x 通过观察就得到了 z 是 关于 x 的 一个二次函数，而 a 等于的是负的五分之三，它又是小于零的，所以抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， 所以来我们计算 x 就 行了。那 x 等于的是负的二 a 分 之 b， 那 就等于负的二乘负五分之三， b 是 二百一十六， 负负得正，二乘五分之三是五分之六，也就是二百一十六，除以五分之六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘五，那就等于的是一百八十。 好，这样我们就求出了那么对应的这一天的客房的房价在对称轴处取得最大值是一百八。但是这个时候我们要注意， 题目当中给了我们房价的取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四，所以我们观察到这个时候对称轴在这个范围内，所以在对称轴处取得最大值是符合题目要求的，所以这一空的答案 x 等于的是一百八。 好，这是第二小问。那么接下来我们继续来看第三小问。为吸引顾客，酒店决定入住客房赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本价为 m 元，并且告诉我们这个成本价是要小于等于二十。 已知每间入住客房的固定成本含保洁、水电等为三十元，这是每间的，这是每份礼品的成本。若酒店希望在房价不超过两百元时，也就是 x 小 于等于二百的时候， 日毛利润仍能够随着房价的增大而增大，也就是直接写出礼品 成本 m 的 一个去值范围。大家注意注意的事项，日毛利润等于的是日营收金额。日营收金额咱们来可以看一下前面我们求过的日营收金额是什么？日营收金额就是我们刚刚所求出来的这个 z， 也就是这个二次函数的表达式。 好，咱们来写下 z， 然后减去固定总成本，固定成本的话，咱们来看每间客房的固定成本是三十元，而现在我们对应的是有 y 间客房，那就是说明是三十 y 啊，减去三十 y， 然后礼品的总成本，每份礼品的成本是 m 元，所以外间客房那么每间客房赠送一份，那么就是 m y 了。 好，这个时候我们可以去设一下，这个日毛利润是 w 元，对，设它，从而我们就可以得到一个关于日毛利润的一个关系式， 咱们来一起算一下，那就是 w 等于的是 z， 我 们刚刚算出来是负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后减去三十 y， 我 们刚刚也求出来了，是负的五分之三 x 加二百一十六， 所以负的三十乘上负的五分之三 x， 加上二百一十六，然后再减去 m， 乘上负的五分之三 x， 加二百一十六。好，这个时候咱们先来把关于 w 的 这个关系式先化解一下，负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后负负得正，那就是加他俩约分，剩下六人就是十八 x， 然后再减去二百一十六，乘上一个三十，这个最后结果算出来的是六千四百八十。 好，这个化解完，然后化解最后一个负负得正，那就是加五分之三 m x， 然后减去二百一十六。 好，我们进行合并二次项负的五分之三 x 平方一次项是这三项，我们合并完二百一十六，加十八 x， 那 就是二百三十四， 然后再加上五分之三 m 获注 x， 然后减去六千四百八十，再减去二百一十六 l 观察我们会发现日毛利润 w， 它是关于我们的房价 x 的 一个二次函数， 所以要想这个二次函数随着房价的增大而增大，那这个时候我们观察到这个二次函数的抛物线开口是向下的，这是对称轴 x 等于多少，咱们暂时间不知道。要想 w 随 x 的 增大而增大，那这个时候我们的对应的房价必须应该在对称轴的左侧， 也就是要小于对称轴。而通过题目我们分析， x 小 于等于二百，而前面给了我们 x 的 取值范围是大于等于一百六十，小于等于二百四十，所以结合这两个的 x 的 范围，也就是房价的范围，我们可以得到 x 是 大于等于一百六， 小于等于二百的，也就是说这个曲值范围要在我们对称轴的左边的时候就能够满足 w 随 x 的 增大而增大，所以这个时候我们只需要求一下这个抛物线的对称轴即可了。那 x 就 等于的是负的二 a 分 之 b， 我们来计算一下，负的二乘 a 是 负的五分之三， b 的 话就是我们刚才算出来的二百三十四加上五分之三 m。 好，负负得正化简，那就是二百三十四加上五分之三 m， 握住横上一个六分之五即可，然后我们分配二百三十四乘六分之五，然后再加上五分之三 m 乘六分之五， 好继续化解。二百三十四乘上六分之五，这个可以约分咔，约掉一个十一，这个是一个三十九，三十九乘五，又是一个一百九十五， 然后后面的话约分就得到了，是一个加二分之一 m。 好， 我们就求出来这个抛物线的对称轴就是一百九十五加上二分之一 m， 所以我们只要让这个范围在这个对称轴的左侧，也就是说对称轴一百九十五加上二分之一 m 要大于等于这个范围的最大值，也就是大于等于二百即可。满足日毛利润随房价的增大而增， 来解下这个不等式，二分之一 m 就 大于等于一项等于五，然后 m 就 大于等于的是十了。 但是这个时候大家不要轻易的把这个 m 的 取值范围写上，因为题目当中还有一个限制条件，这 m 是 小于等于二十的，所以综上所述，我们就得到了 m 的 范围是大于等于十，小于等于二十。好，这就是这个题的最后答案。 那么其实这个题的话，整体的思路的话也不是太难啊，尤其是前两万基本上就是送分题。 第二问也没有让大家去求这个日营收金额的最大值，所以这个计算量也不只是求一下对称轴即可。而最后一问的话，相当于还是我们的老问题了，构造一个新的二次函数，有关新二次函数的一些最值了，或者是一些范围的问题， 所以这个题大家应该是解起来比较容易就行了。呃，注意计算细心点即可。好，以上就是我们这个题目的讲解，大家可以把它积累起来。

今天一起看一下这个太原二模的这道二十二题，又是一道销售利润问题，来看题目随着旅游热度怎么样？然后他说一共有客房一百二十间， 酒店经理计划调整房价，为了获得最大利润，经过前期调研获得数据，第一天一百六，客房一百二十这个表格，然后人家发现随着 入住房间间数、营收、营业额都随着每日的房价而变化。他现在说每日房价设为 x， 房间数设为 y， 日营收营日营收金额为 z， 然后 x、 y、 z 均为正整数啊，均为正整数。 现在说了个日营收金额等于房价乘以客房人数。咱们先看第一问，客房人数，弯和房价之间符合什么样的函数？我们怎么区别这几个函数呢？反比例函数是 x 乘弯是不等于定值。反比例 一次函数随着 x 增大，弯再减小是一个有规律的，要不增大解增大，而要不增大减小是有规律的。二次函数是不出现我们的弯相等时 x 不 同，那从这个图上来看， x 弯为定值不是，所以把反比例排除，没有弯为定值，不选二次，有可能是一次，所以设一次函数，那就是 y 等于个 k， x 是 不加 b， 你随便带第一贴和第二贴的，如果带第一贴的话，就一百六十个 k， 加上 b 等于一百二，带第二贴的话是二百个 k， 加上个 b 等于 九十六。连立方成组带电系数法算下来，然后 x， k 等于的是负的五分之三，我们的 b 等于的是二百一十六，所以你的解析式就变成 y 等于的是负五分之三，个 x 加二百一十六，这是第一问，再看第二问， 第二问说的是什么了？为了呃营收金额 z 最大时求这一天的房价。日营收金额是什么意思呢？是不等于房价乘以客房总数， 所以 z 就 等于的是 x y 吧，那就是 x 乘以负五分之三个 x， 加上二百一十六， 来去括号。去括号的话是一个开口，负五分之三 x 方，加上二百一十六个 x 八，它是一个开口向下的二次函数，在哪取最大呢？是不在对称轴上取最大，对称轴算下个 一百八，负二分之一百八，然后一百八是不恰好在一百六到一百二百四之间的吧，所以在一百八十房价最大，人家只问你房价，没有问你房间数，所以算出 x 即可。接下来看第三问。第三问说的是 为了吸引供客，酒店决定送特色礼品，每节客房赠送一份，每份礼品成本是 m 元，一节就要 m 块钱，然后每节成本还有固定成本是三十块钱，其实这两个成本加到一起就是个 m 加三十， 然后他说了个毛利润增大而增大，那你得知道毛利润是什么？所以我如果设毛利润为 w 的 话，那我肯定是把用营收额减去 固定成本礼品总成本。营收额呢，是负的五分之三个 x 方，加上二百一十六个 x。 第二问，刚才算了，那减去谁呢？一间房的成本是 m 加三十，那现在不是有弯间房，所以你得再乘一个 弯，街坊负五分之三个 x， 加上个二百一十六，把这括号拆开以后，得到一个新的二次函数，负五分之三 x 方，加上五分之三 m， 加上二百四三十四个 x， 然后再减去个 m 加上三十二百一十六乘以来现现在人家说了房价不超过二百一， 然后毛巾利润还能随着房价增大，那日毛利润还能随着房价的增大而在增大，那我们随着房价在增大而增大，他首先是个二次函数，是开口向下的 对不对？所以他要想随着房在房价增大而在增大，那我房价这个价格应该是在这个对称轴的什么边呢？是吧？ 左边儿对不对？而你房价最多才是二百块钱了，相当于我对称轴要不等于二百，要不是不就比二百是不得大呢吧。所以我们找一下对称轴，对称轴等于负二 a 分 之 b， 化解下来是六分之三 m 加幺幺七零， 也就是这个六分之三 m 加幺幺七零是不得大于等于二百才可以呢吧，才能保证你的房价增大，你的日毛利润也在增大。所以解出这个方程算出 m 是 大于等于十， 但是题目中说了毛巾利润最大是吧？二二十，那个不是每份礼品 m 最大是小于二十的，所以这是不要小于等于 二十，这就是我们最后 m 的 范围，这就是我们太原二模的这个销售利润问题，对比五月份的，呃，对比五月那个名校模拟这道题也简单，但是两道题都考察的是二次函数的图像性质。

依然是太原市二模的试卷，我们来看二十二题这道二次函数解模题。这道题答案给出的最后一个是 m， 是 大于等于十，小于等于二十。张老师认为这道题的答案应该是有点问题， 他的正确答案应该是 m 大 于九，小于等于二十。这道题和金元出版的中考仿真预测卷里面第一套里面的二十二题基本一样，有兴趣的同学可以拿那套卷子来再对标去练习一下这种类型的题目， 我们一起来读下题。随着这个旅游热度上涨，来山西的游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加。某古镇特色酒店有房间是一百二十间，酒店经营计划调整房价，已获取最大利润。经过前期的调研，获得如下信息， 有五天，每一天房价有一个值，客房入住的这个间数也有一个对应的值。然后建立模型，酒店经理发现入住房间数、 营收金额都随着房价的变化而变化，所以自变量就是这个房价。 假设每日的房价为 x 元，客房入住的间数是 y， 日盈收金额是 z 元，并且 x、 y、 z 均为正整数，且这个 x， 也就说这个房价的范围是一百六到二百四之间。以上是所有的信息。 第一，用客房入住间数 y 是 房价 x 的 总量的函数，那就是看这个表格，房价其实是 x， 客房入住数是 y， 那我们来看，一百六的时候是一百二十，一百七的时候是幺幺四，一百八的时候是幺零八。所以这个应该很明显，可以得出来，他应该是均匀变化的，一百二变到这个幺幺四是减了个六，然后一百六变到一百七是加了个十， 一百七到一百八也是加了个十，然后幺幺四到幺零八也是减了个六。所以我们先把它判断出来，应该是一个一次函数， 那 y 和 x 的 函数关系式是一次函数之后，那么斜解式就简单了， k 应该等于纵减，纵除以横减横，我们用幺幺四减去幺二零等于负六除以幺七零减去一百六，所以是除了个十，所以 k 等于负的五分之三， 所以这个 y 可以 写成负的五分之三 x， 然后再加上一个 b， 那 接下来我们随便带一个值，那我们带一下这个两百逗号九十六吧，因为这个数看起来整一点，那九十六就等于负的五分之三乘以两百，再加上个 b 约下分，这应该是四十，所以是负的一百二十加九十六。所以 b 的 结果应该是一百二十加九十六，所以等于二百一十六。 所以第一问，减一是我们写出来 y 等于负的五分之三， x 加二百一十六。第二问让我们求日盈收金额 z 的 最大值。那第二问，我们先得把这个 z 给它表达出来，日盈收的这个金额就等于单价乘以数量，单价的话是这个 x， 所以 z 应该等于 x 乘以数量房间的这个间数。第一问已经算过了，是负的五分之三， x 加了个二百一十六，这是 z 的 表达式， 而 z 呢，很明显是个二次函数，所以接下来二次函数配方求最值即可。我们把负的五分之三给它提出来，是负的五分之三倍的 x， 再乘以括号里面应该是 x 减去减去二百一十六，提取了个负的五分之三，所以除以它，那么乘以负的三分之五，约减分应该是 七十二，再乘以个五的话是三百六十，这个地方是三百六十。写到这样正常的话，应该是配方求最值就行了。但这明显是个焦点式，所以我们直接来写， 等于负的五分之三乘以 x 减去一百八十括号的平方，然后再加了个谁，那接下来把 x 等于一百八十往上一步的这个式子面带进去，就是负的五分之三乘以一百八十，再乘一个负的一百八十， 然后一百八乘一百八，结果应该是三二四零零，再乘一个五分之三，我们约一下风，我们约一下就是五六三十 五四五是二十，所以是八零，所以是六四八零乘一个三，结果应该等于零三八二十四三四一十四，三六一十八，所以是一九，所以加的应该是一九四四零。 此时这个抛物线是开口向下，对称轴是一百八十，一百八十，他正好在这个一百六到二百四之间。 当然这个写过程的时候要有些文字说明，对称轴是在这个区间内的，所以它的最大值其实就是在顶点处取的。 让我们求的是这一天的客房的房价，所以这个结果就是 x 等于一百八十的时候，这个日营收金额应该是最大的。第三问，为吸引顾客，酒店决定为入住客房赠送当地的特色礼品， 每间客房赠送一份，每份的礼品成本是 m 元， m 是 小于等于二十，一间客房固定成本是三十元， 酒店希望在房价不超过二百元，也就说 x 是 小于等于两百。接着前面的这个条件， x 应该是还要大于等于一百六十。 在这个范围内，毛利润仍能随着房价的增大而增大。直接写出礼品成本的取之范围，我们先把这个毛利润给他表达出来，假设是 w， w 等于日营收金额减去固定总成本，减去礼品的总成本，所以简单理解，其实就是收入减去这个成本就是它的这个毛利润。这个 y 是 入住的房间数，其实就是数量，所以应该是 y 数量 乘以一间的这个价格，其实就是 x 再减去 m， 再减去成本三十，其实就是这样一个式子。然后我们写 y 是 负的五分之三倍的 x， 加了个二百一十六，括起来乘以 x 减 m 减三十，减去的是 m 加三十。然后把这一个含餐的二次函数，我们接下来化成一个一般式，它的结果应该是， 二次项就是负的五分之三 x 方一次项就是负的五分之三乘以负的括号里面 m 加三十，所以是正的五分之三倍的 m 加三十，这是一个系数。 还有个系数是二百一十六 x， 所以 加了个二百一十六整体倍的 x， 这个其实就是一次项。 把它稍作化解之后，五分之三乘进来就是五分之三 m 加上五分之三乘三十，就是十八。二百一十六加十八，应该是二百三十四， 所以一次项的系数应该是二百三十四，加上五分之三 m 再乘一个 x 乘数项就是二百一十六乘以负的括号里面这个东西，所以是减二百一十六倍的 m 加三十，这就化成了一般式。我们再来找他的对称轴， x 应该等于负的二 a， 其实就是负的五分之六分之 b 就是 二三四，加了个五分之三 m 化简之后的结果应该是一百九十五加了个二分之 m。 然后我们把这个含餐的二次函数的基本信息再描述一下，它是开口式向下的对称轴是 x 等于一百九十五加了个二分之 m， 现在要求是在一百六到两百之间的时候，它是增大而增大。所以正常的写法应该只需要让这个两百跑到对称轴的左侧即可，跑到这个左侧这个位置，它就是增大而增大。但这题目说了，这个 x 作为单价，它是个整数， 那整数呢？应该直接写小于等于这个两百，应该是不对的。如果对称轴左侧有个点是幺九九， 右侧有个点是两百，那么对称轴在一个特殊位置就是一百九十九点五的时候，这个特殊位置的时候，这个函数应该在一百六到两百之间是先增大，然后到了一百九十九，两百的时候就是不增不减，这个是不符合题的， 所以我们只需要让这个对称轴一百九十五加二分之 m， 他 靠近两百即可。也就是说相对于幺九九来说的话，他更靠近两百，那么对称轴应该就是大于 一百九十九点五即可。这样一画的话，那么从一百六到两百，整个其实就是增大而增大的过程。 由这个式子我们解出了 m 应该是 m 大 于九，小于等于二十。 但是参考答案给我们给出了的是 m 大 于等于十，小于等于二十，他的这个算法应该是让这个对称轴，也就是一百九十五加二分之 m 大 于等于 这个两百了，张老师认为这个稍微有点问题，当然如果你有其他的不同的思考的方式，或者不同的想法，评论区我们一起来交流一下。今天晚上九点半，张老师在直播间全程直播这套试卷的整个的一个内容。

hello 同学们大家好啊，今天上午大家刚考完的这个二模这个题啊一考完就有很多同学问我这这套题啊， 第一，整个这套题的难度还是挺大的，二十一题，二十三题难度也挺大，二十二题计算量也很大。然后这里面我要挑一个二十二题给大家重点讲一下，因为这个题有歧义很多同学都过来问啊。二十二题， 呃，看一下这个二次函数的，呃压轴题二十二题这个二次函数压轴题前两小问是没有啥疑问的啊，它给了一些数据啊， x 指的是，哎房价也就是这个啊， y 指的是 根据房价不一样它对应的各方人数这个时候你会发现它是个均匀变化的啊，均匀变化的，所以你只要带两个点进去就能求出它的依次函数的解析式啊，它是依次函数 好吧你自己去算一下啊他是一次函数怎么判断他是一次函数呢？你看啊，从一百六涨到两百涨了四十但是客方人数就少了多少少了二十四涨四十少了二十四所以涨十他就少了六， 对不对？现在它降价时又多了六这不刚好是均匀变化的吗对不对？从一百七涨到一百八也是少了六这就是个均匀变化均匀变化它就是依次函数啊，找其中两个点带进去求解析式就可以了啊。解析式求出来是 y 等于负的五分之三， x 加上二百一十六。 好吧，这个可以自己去算一算啊，随便带两个点进去就能行。然后第二小问 第二小问求金额最大金额等于什么呀啊金额肯定是呃你入驻的价钱乘以入驻的间数嘛，也就是 x 乘以 y 嘛， x 是 负的五分之三， x 加上二百一十六嘛。乘 y 是 这个嘛，再乘个 x 就 这个，所以它是个二次函数。 二次函数？那问你，呃什么时候最大？二次函数求最大那肯定就是在顶点的时候吗？当然一般过程你要写成这个配方法写吗？负的五分之三， 这个 x 方加上二百一十六 x 等于负的五分之三，括号 x 方减去三百六十 x 配一个一百八十的平方再减一百八十的平方啊，等于负的五分之三括号 x 减一百八的平方， 哎，再加上五分之三乘以一百八的平方，五分之三乘一百八的平方。哎呀，自己去算一下好吧。一百八乘一百八再这个除五除以五乘以三 啊，也就是一万九千四百四十啊，所以最终是负的五分之三，括号 x 减一百八十的平方加上一万九千四百四十。前两问大家肯定是要写的啊，当 x 等于一百八十的时候 啊， y 就 会等于什么一万九千最大啊啊，这个这个时候不叫 y 叫 z 啊， z 叫最大啊， z 最大就是一万九千四百四十啊。这个时候 i 他 求的是什么？他求的是这一天客房的房价，那就是一百八啊，求的是 x 那 就是一百八。写一百八就行啊。这个 day 还没浪求啊。所以写不写后面无所谓啊，一百八要写主要是这个第三问哈。第三问 尤其是这个平时学的比较好的孩子啊，考虑的比较多啊啊我说实话考虑的比较多是 应该的啊，是严谨的，实际上是这个题目出的不是很严谨，我们一起来看一下这个题啊。这个题怎么做的呢？呃，他说酒店为了这个当地厕所要送一份礼品，然后还要去除固定成本三十块钱。呃，问， 毛利率啊，仍能随房价的增大而增大，在不超过两百的时候，那假设啊，设毛利 论啊，为 w 啊， w 毛利润等于什么呢？等于每天赚的嘛，每天赚的就是今天的这个房价 x 减去成本三十，再减去送的礼品的成本 m 再乘以 啊，此时它的，呃，住房的这个房间的数量，对吧？也就是 y 负的五分之三， x 加上二百一十六啊。这个时候其实我教过大家，这个不要用这个展开，用顶点式。呃，太麻烦了，太麻烦了。我们这个时候用焦点式啊，提一个负的五分之三，前面不变啊， x 减三十减 m， 后面是 x 减去 啊，三百六，所以顶点很明显啊，开口朝下啊，它的焦点啊，焦点是它的焦点，一个是三百六，一个是三十加 m， 所以 对称轴。是啊，对称轴就可以直接看出来啊，对称轴 就是相加除以二啊，就是 x 等于三百九十加 m 除以二 啊，这是对冲轴。那这个接下来看什么呢？看这个啊，接下来看这个，各位，他要满足，在房价 也就是 x 不 超过两百元的时候，毛利润能随着房价的增大而增大而正常，是什么考虑的啊？很多同学可能会这么考虑啊，这个是对冲轴， x 等于二分之三百九十加 m 啊，我只要让两百在哪里啊？在左边就可以，是不是两百在左边就可以？这个时候随的 x 增大啊， 它这个毛利率永远会 y x 增大增大，所以只需要列个两百小于等于二分之三百九十加 m 就 可以，是不是这个样子？注意这个啊，我觉得是错的啊，是错的，标准答案应该就是以这个思路来写的啊。 用两百小于等于这个，为什么我觉得是错的呢？因为我们之前做过两道，对吧？我也给大家讲过两道这个题。呃，他这么做有个前提。什么前提？就是这个 x 啊，就是哪个点都取得到，每个点都取得到 啊，什么意思呢？他可以取整数，取分数，取小数啊，每个点都能取得到啊，这样的话，他就满足了 这个东西，那就 ok 了。但是这个题有问题啊。什么问题呢？他给了一个 x， y z 均为整数，均为整数，这个有个什么问题呢？你比如说我先考虑 x 为整数哈，各位， 我先教大家考虑一下 x 为整数，因为上次我给大家讲过一个题，就是 x 为整数的题，我记得我也录了视频啊，大家可以回头翻主页上翻一翻啊。 x 如果是整数，所以指示的这个二次函数 啊，它就不是一个连续的二次函数，它就是由一些整横坐标为整数的点组成的啊，能不能理解这个意思啊？就是这些点组成的，所以如果你要满足它增大的增大，你两百在右边一点点也可以，这个时候让一百九十九在左边。 这个能不能理解我的意思，当一百九十九大概在左边啊，因为你从一百九十九到两百啊，中间一个点没隔。为什么呢？因为你要满足 x 为整数，所以只要满足一百九十九，对的这个横坐标比两百 x 等于两百对的这个横坐标啊，对的这个重坐标要小就行。能不能理解这意思？这个时候只要取一九九和两百的平均数， 一九九和两百的平均数也就是一九九点五啊，让这个一九九点五在对称轴的左边就可以了，就二分之三百九十加 m 啊，左边的话呢，就大于一九九点五，那此时能不能去等呢？不能啊，如果这两个点的中点啊，也就是平均数中点，如果等于一九九点五的话， 那会干嘛呢？那会导致一个东西就是一九九和两百啊，它对的 y 啊，它是相等的，相等的它就不是增大而增大，所以一定是大于，不能去等，这个时候你就会列出来三百九十加 m 大 于一，这个三九九， ok 的 啊，一九九点五，三九九，哎，对， m 就 会大于九， m 就 会大于九，对吧？我看的有问我的同学，他写的是 m 大 于九 啊，小于二十，说老师我写的是这个，呃，跟标准答案写的不一样啊，能不能给分啊？注意，如果你到了你写了这个的话，你写的这个的话，我觉得啊，就是你 至少把上次我讲的这个题听懂了啊，但是这个也不是最严谨的，为什么呢？因为他这个题太坑了啊，我感觉他改卷老师出题的时候他注意自己 出题，老师出题的时候都没想到这个东西啊，就是 x、 y z 均为整数， x y z 均为整数，要保证 y 为整数， x 一定得是五的倍数呀，能不能理解？如果你要保证 z 是 整数，只要 x 和 y 都是整数就行了吗？你要保证 y 是 整数，那 x 一定得是五的倍数呀，那 x 得是五的倍数。它 小于等于两百的时候，它就不是一九九和两百了。它分开的点两百都多少我不知道 啊，但两百斗多少？前面这个点就不是一九九斗起了，而是一九五斗多少了。能不能理解这意思？所以他这个题啊，出的我感觉有点坑啊，有点坑，从他的标准答案来看的话，老师都没 考虑到这个问题。他们，好吧，一九九点五，如果在这里，两百在这里，同样的道理啊，就是找他俩的平均数，平均数应该是一九七点五，你只要让这个一九七点五在最正轴的左边就行，所以是二分之三百九十加 m 大 于 这个。看一下啊，最近有大于一九七点五，也就三百九十加 m 要大于三九五啊，所以 m 要大于五。 m 要大于五 啊，得保证这个，保证这个，然后又要小于等于二十，所以合起来是 m 大 于五，小于等于二十啊，我是这么理解了哈，如果你要最严谨最严谨的话，应该是这么去写的。但是哈，但是，就是 如果这么考的话，我就觉得这个题太难了啊，对大家来讲太难了，几乎很少有同学去呃，考虑的到。 好吧，能考虑到那个大于九，小于这个二十小于等于二十的都已经很不容易了好吧， 所以这个题啊，就是大家就是参考一下就行啊，参考一下就行。

二零二六年太原市二模第二十二题。那么这道题我们整体上思路是比较简单的，首先前两问就非常简单，第一问的话，你通过表格就能看出它是一个一字函数啊，然后这个解析式自己稍算一下就可以了， y 等于负的五分之三， x 加上二百一十六。那第二问的话，基础好一点的，对字母和数字比较敏感的同学来说也非常的简单。那么我们直接就找到 z， 它是 已经收的金额，金额的话等于我们的数量乘以房间的间数，因此的话， x 代表的房间的单价。 又说错了。 二零二六年太原市二模第二十二题。二十二题整体的话一二题难度比较比较小，那么第三题， 二零二六年太原市二模第二十二题。那么这道题的话整体难度不算大， 特别是一二问比较简单，如果你一二问都还不清楚，还掌握不了，那么赶紧联系陈老师，陈老师用最简单最快的方法帮你突破二参数一二问，那么第三问的话，真的需要你的基础非常扎实才能够突破。那么我们首先来看 第一二问，第一一问，那这个关系肯定是一次函数喽啊，大家分析数据就可以得到，这个解析式应该是 y 等于负的五分之三， x 加上二百一十六。第二问，他说 让我们求一日营收金额 z 的 最大值，那我先得求出 z 吧， z 的 话应该是房间的房价再乘以房间的，呃，入住的人数啊，入住的间数对吧？入住的间数和单价一乘，那不就是我们的总的营收金额吗？ 所以的话，我们把它乘到一块，就是 z 乘负的五分之三 x 加上二百一十六 啊，最后把它整理一下，可以得到一个顶点式，负的五分之三 x 五分之三乘括号 x 减去一百八十二平方，加上一万九千 四百四十。好，那我们通过这个式子立刻就能够看到它的最值，而且它的最值看到这个自变量的取值范围，一百八十是在它要求的这个范围内才可以是它的最值啊。 啊，它是大于等于一百六十，小于等于二百四十的，因此最大值就是幺九四四零。看第三问， 第三问，它冒出来一个新的量，那么这个新的量呢？ 叫做毛利润，那毛利润我们可以用 w 表示啊，公式也告诉你了，日营收金额减去固定总成本，减去礼品总成本啊，那我们可以把这个解析式给它列出来啊， 负五分之三 x 方加二百一十六。你要是如果连这个都不会的话，同学们，那你这个二字还是问题大了，你接下来估计也看不懂了啊， 我们只讲能够，只讲给能够听懂的同学去听啊。那接着 再把它整理成一般式，拆一下括号啊，我的五分之三 x 方加上二百一十六 x 加上五分之三 m， x 加上十八 x 减去二百一十六 m 减去六四八零。好，那这个时候的话有两个重要已知条件，第一，房价是不能超过二百的。第二个，毛利润 随房价的增大而增大这个条件哈，大家记住啊，这个条件是相对来说这个题最大、最难度最大的一个地方啊，因为这个题很多同学看完，即使是你们班学习最好的学霸，看完这个问题的话，他都认为这个的意思，也就是说对乘轴 应该是在二百的右侧，也就是二百小于对乘轴的值即可啊。因为同学们知道哈，这个二次函数， 二次函数开口向下的话，对称轴左侧就是外旋增大而增大，也就是说只要我能够保证我这些函数值都在对称轴的左侧就可以了。这是第一个情况啊，因此的话，我们根据第一个情况的思路的话，也就是说，呃，二百比我们的对称轴小就行了， 小于等于也可以啊，二百小于等于负的二分之 b， 那 么第二个情况是什么呢？第二个情况就是有可能二百啊，我画一个图啊，同学们，第二个情况 有可能二百在右边，但是二百的对称点在左边，对吧？我把它的对称点 x 一 求出来，那它必须比一百九十五对应的值大就可以了啊，因为这里的话， y 必须取整数，你 y 和 x 的 关系啊，大家看啊， y 和 x 关系的话是这个关系式，那这里的话，我们必须让 y 取整数的话，意思意味着你这个 x 只能取五的倍数，那如果只能取五的倍数的话，那他如果最大取到二百，那么二百旁边的一个数字应该是一百九十五，那这个位置就是一百九十五的位置， 那我如果让二百对应的函数值比一百九十五对应的函数值大，这也是可以的。那这里就涉及到一个新的公式啊，老师，这里讲一个新的公式，这个公式就是对称轴的对称轴的公式啊，如果这两个点是关于 s 轴对称的话，同学们记住啊， 记住，我们这里可以简单的求出 x 一 应该是二倍的负的二 a 分 之 b， 直接去减二百就可以了啊。 我们先求出对称轴，对称轴设为 t 啊， t 等于负的二 a 分 之 b 啊，直接代公式算进去， 该是一百九十五加上二分之一 m。 那 第一种情况，二百小于等于一百九十五加上二分之一 m， 解得我们的 m 应该是大于等于十。好，第二个情况，抛物线的开口应该是朝下了啊，啊，仍然是朝下，但是呢，这时候二百可以在对称轴的右侧， 二百在对称轴的右侧，我们算出二百对称点来，二百对称点坐标 x 一， 应该是一百九十啊，这个地方的话，公式啊，直接用公式去算就可以了。嗯， 两倍的对乘轴，也就是二倍的一百九十五加二分之一 m 减去啊， 两倍的对乘轴减去二百啊，所以算出来的话，这个地方应该是一百九十。一百九十 加 m 是 x 一 的这个位置的横坐标，我们只要让 x 一 的横坐标比一百九十五大就可以了，因为离二百最近的一个整数是一百九十五， 那你二百和一百九十五比较起来，只要你二百对应的函数值比一百九十五大就行了。而二百的对称点在左侧呀，对称点只要在一百九十五上方就可以，所以的话，一百九十加 m 大 于 一百九十五就可以了，所以 m 整体的话大于五啊。综上所述， 我们的 m 大 于五，小于等于二十。 好了，同学们，制作长视频不易，如果您觉得我讲的对你有用的话，请点赞转发！

二零二六太原市二模的数学试卷分析，那么一摸强调的是知识漏洞以及审题细节。二摸强调什么？强调过程步骤以及知识迁移，那么这一次的二模在咱们全太原市的统一判卷中，特别强调了过程步骤的书写以及标准格式的要求 啊，其中好几道题都扣的非常的细，所以很多同学可能要在过程这要扣一部分分。虽然这份试卷出了一些波折啊，但是瑕不掩瑜，仍然是非常具有代表性和非常具有参考价值一份重要试卷。 本试卷难度明显是高于一摸的，在判卷严的情况下，总体成绩可能会比一摸会更低。十题十四题易错， 那么十五题难度适中，整体计算量比较大，二十二题尤为突出。二十二题那个计算呀，真是费了劲了。十八题的第三问仍然可能暴露你的知识漏洞，那么十七题、二十题、二十一题、二十三题在证明过程上要求严格，细节分可能会扣的比较多。 二十一题的第三问难度适中啊，材料学、阅读理解二十二题第三问得分率估计得再创新低，对吧？我觉得二十二题第三问全太原市 啊，能有那么个位数的几个同学能做出来就不错了。二十三题的第三问其实思维难度还是比较高的，也是不太容易能拿上这个分，所以总体来看，由于二十二题的第三问这个情况比较特殊，所以能够考在一百一十七分以上的同学绝对是凤毛麟角啊。 二十三题的第三问三分，十五题三分，个题过程细节两到三分，一百零八分以上就已经算是很不错了， 尖子生仍然要求一百一十四分以上，那么普通同学要求应该在一百零二分以上，如果你低于九十六分的话，那仍然是有大量明显的知识漏洞啊。呃，有些东西要强调一下。首先第五题强调他的考法 啊，那么第九题强调跨学科的一个情境，第十题也是他的考法，关注十三题，关注跨学科情境，十四题关注知识点的综合。 十八题的第三问也是关注他的考法，二十一题关注考法，二十二题，二十三题关注一下他的考考题方向 啊。好，来，我们挨个看一下每一个题目。其实前这位的选择题仍然是以送分题为主啊。那第一题有理数的绝对值，还是强调读题审题细节？第二题是轴对称图形还是一个审题细节，认真看图就可以了。 第三题，整式密度计算，基本概念和基本公式啊。第四题，三十图。这种题型已经考了一万遍了， 如果还错的话，那真是不长记性了啊，那这个题绝对不许错了啊！如果咱们是第一次模拟考试的话，你错这个题还是情有可原的，但是考了这么多次了，这种题还错，就有点不不可以原谅了。第五题，科学基础法就我刚才所说的， 从我们的学前调研之后，你会发现，第五题科学基础法，以前单考科学基础法，现在呢，在科学基础法的基础上增加了一个计算的内容，所以要关注一下这个计算，很多朋友在这容易计算出错啊。第六题，普通的平行线， 那么平行线及内角和的基本计算，这就不说了，第七题，一个概率，如果第七题错，还是概率的基本概念上有问题好。第八题是圆内角和圆的切线啊，切线长模型基础的角度计算。这个题也是非常简单， 不可以错来。第九题，函数图像。首先这道题融入了跨学科的情境，涉及到了化学知识啊。其次就是审图，图像的理解， 那么这道题容易出错在哪里呢？容易出错在 d 选项上，你仔细看那个图，那个交叉点，其实对应的自变量并不是在三十，而是在三十以前，所以这个题出错的话， 还是你的审题细节上要关注啊。来，第十题特别强调重点，关注好题。那么我们会发现，从学情调研的第十题到我们这个二模的第十题啊，这两道题他都有个共同的特点，他在考什么？考你直角坐标系里面点的，表示 我们中考的第十题很可能也是有类似的方向，他考的是你的代数推理啊。呃，注意平移的概念，注意点的坐标概念细节，注意提 e 啊，提 e 里面的细节，要求点 e 在 内部， 他只说的在内部，那么一定是涉及到了不等式 a、 b 两个选项排掉，那么在 c、 d 两个选项里面去选的时候呢？我们一下就应该看到，点 a 的 坐标是负三，要想在三角形内部，则平行距离不能超过三， 说明这个点 f 和点 g， 它的横坐标不可能超过三，也就是 a 和 c 值要小于三，那么 f 和 g 它两个点关于 x 轴对称，所以它俩的纵坐标应该互为相反数。所以这个题一下就能选出 s、 d 选项啊， 那么这道题如果有错的同学注意，复习的时候呢，一定要关注一下复习坐标的基本概念，对称点的坐标特征， 特殊关系点的坐标特征，比如说同一条数值线上的，同一条水平线上的，他们的点有什么坐标特征啊？那么坐标变换的基本逻辑啊，这个关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，关于圆点对称，它是怎么变换， 还有平移呀，旋转呀，它这个坐标有什么区别啊？还有就是可能会涉及到一些，比如说微四啊，对吧？哎，其他的一些几何变换，那个点的坐标关系啊，还有可能关联方程和不等式去出坐标的问题。 所以这个地方你要错的话，说明你可能一系列的知识点都有漏洞，去把这一系列知识点找出来看一下啊。好，十一题根式化简，这就不用多说了，来十二题还是统计，这个统计出题的考法非常的新，就是用二维直角坐标体现方差和平均数， 那么不光考虑方差和平均数的理解，更考了坐标系里看数据的知识迁移能力 啊。平均数是越大越好，方差是越小越好，这就意味着点的横坐标越大越好，点的纵坐标越小越好，点的位置是越靠右，越靠下越好。 我们来十三题啊，反比例函数，那这道题呢，融入了跨学科情境，所以这道题的难点其实就是理解题，找到对应的自变量和应变量是关键，能应用物理概念反求反比例关系式为基础要求。 所以这道题的关键是列出来函数关系式，你现在看出来 f 和速度满足反比函数关系，那 f 等于 m 比上 v， 那 这个时候你就知道了，当啊 v 等于三的时候， f 等于二十，求出来它的 m 值，然后再翻回去带 啊另一个 f 等于四十时候的位置。那么关于反比函数性质，它在第一象限自变量越大，应变量则越小。好来第十四题，很多同学说第十四题有错，那第十四题它其实是一个综合性比较强的题，既考了弧长的计算，又考了多边形的基本概念， 那么五边形的内角度数要熟悉，那不光是五边形，相关联的六边形、八边形啊，这些特殊的多边形，它的内角是多少度， 你一定要去熟悉，还有胡常公式和原理要熟，不光要会公式，要知道这个公式怎么来的，它的原理是啥，我为什么这么求？为什么底下是一百八，不是三百六？来第三，理解题易分清楚所求的长度到底是谁。 那这道题很多同学错，也是因为没有分清楚他到底要是求哪个长度，或者说哪些长度 啊，两个弧长以及四个线段长加起来是他的总周长好，最后就是注意计算啊，这个计算容易出错。十五题相似三角形，注意一下，这个是常规题型，难度适中啊，基本的思路要有，之前咱们已经讲过的视频了，就不多说了。 两大思路解，只要三角形和三角形啊。这个角这个题里面呢，能用到了一二三四五模型，但是是要灵活运用一二三四五模型，所以需要用到特殊角的关系啊，要学会灵活的变化，不光要会这个基础的一二三四五模型，还有他的鱼角呀，他的补角呀，他都怎么用啊？要会灵活的用 十六题两个计算啊，第一个题是有理说计算，第二题，分式化简。再次强调，分式化简也是我们特别容易考到，而且在中考中计算量相对的比较大，又容易丢分的一项内容，所以分式化简一定要熟练。 那么十七题又是一个基础几何证明，那么在这由于这一次我们的模考一定会判卷比较严格，所以基础几何证明这一定是扣分扣的比较细。 那每一个步骤过程你都要知道这一个步骤我用了哪条定律，他的依据是啥啊？考察基本定律概念的熟悉，考察过程证明的严谨逻辑 啊，一定一定要知道，我每一步写下来，这一步后面加括号写理由依据的时候，我这一步要写啥， 你如果说不清楚，那就是你的知识点有问题，来十八题统计啊，那第一问，基本统计量的求值种数和中位数 啊。第二问，通过样本估计总体常考的基本题型，注意下计算。第三问，我们可以参考一下循行调研，他还是要去强调对统计量的一个分析 啊，平均数和中位数到底有什么关系？那么这道题里面说啊，一半以上的学生进行了表彰，所以他应该参考的是中位数，中位数不代表平均数啊，那我们从题里面能看出来，其实这个 呃，平均数是要比中位数要低的，所以你要看的是他的中位数。十九题，二元一次方程组合不等式的一个应用题，这个题就没有什么太多，说的非常简单，非常常规啊，注意下最后答案的取整是一个常规题型，不去做 来二十题来，这道题要强调详细，要去说一下。首先这道题又是一个跟我们前几年的考法稍有不同，就是平面上去让你去求长度的问题，那么在平面上求长度问题注意一下参考学习调研啊。那关注辅助线的表述方法， 关注你做完辅助线之后，一定要去说有体意可得，谁谁谁是矩形，然后再去说巴拉巴拉啥 啊，那么或者说你如果做的不是这个矩形的辅助线，你做的过点地向上的垂线的话，那你要说清楚谁和谁之间具有平行的关系啊，还是有垂直的关系啊，这个一定一定要表述完整，表述清楚。 其实整个这道题，从几何图形的角度来说，考法还是比较常规的啊，几何模行为背靠背的变形图，计算量呢，也算适中。那我们看一下这个题的评分标准，最上面大家看到啊，有题亦可知，四边形 a g h、 c 是 矩形，这必须要有。 其次，再往下我们要去用三角函数去推的时候，一定要去说在直角三角形谁谁谁中哪个角是九十度，然后摊进他谁谁谁，先说式子等于谁比谁 再出啊，比如说这个 d j 又等于谁比上摊进了谁，谁比上塞应谁，谁比上扩散应谁等等， 再然后带入数据，最后一定要分清楚你是约等于还是等于啊，一定要分清楚你是约等于还是等于，因为贪定他六十八点二度，本身他带的就是一个约等于的数字，所以在这一定是用约等号，那么底下 再去表示 d h 的 时候，也是整个过程中一定要强调直角，说清楚哪个直角三角形，说清楚整个的格式细节要完整。 最后求完了以后一定要看一下你在答的时候，人家题中是距离约为多少，你那个约写没写，没有写约还是要扣分的 啊。那再一次还要强调这个单位的问题，整个过程中我们最后一步写上单位就可以了啊，过程中可以不用加单位，或者说你要加就是全加啊，要么就是全不用加啊， ok， 但是你再去写那个由题可知的部分，那个地方是要加一下单位的， 那这道题的话，我们这次会判卷会非常严格，所以很多同学在这有书写不规范的是要在这扣分的那，但是恰恰是我们现在应该去把这个东西重视起来，这样才能避免你在中考的时候丢这个分啊。好，二十一题，材料型阅读理解题，我觉得这个题也是 出的非常好，尤其是最后一下由圆变方的那一下啊，是非常精彩的一个变化，这道题对于阅读能力和理解能力都有很高的要求。那么第三问，由圆变方，强调知识的真正理解和知识的迁移，绝对是个好题。 那么第一问强调知识的原理理解，注意证明的时候每个步骤的依据一定要知道依据，知道依据即为理解原理，只能说出来过程不清楚每一个步骤的依据，那就是原理概念不清。 第二问，应用方法，方法当然不为一啊，那么但是要注意下点的位置，你既可以去做点 a 的 对称点，其实也可以去做点 b 的 对称点啊。那么这个垂直平分线呢？会跟原有两处交点，你从每一处交点都可以去做这条直径。好， 那最终一定要看一下，你去标点 p 和点 q 要相等的，你别标完了以后发现 a p 和 b q 不 相等了，那就 肯定是要扣分的。第三问，由圆变方啊，本质为圆和方，同是双对称图形。什么意思？既是轴对称又是中心对称啊？迁移后我们看看六边形和八边形是不是也能同理可得， 对吧。但是正三边形和正五边形是不是不行啊？因为他们只能是，呃，这个轴对称，不能是中心对称啊。那么整个过程中，一，注意找几何中心，也就是对角线交点出它的几何中心。 二、找对称点的位置啊，连接 p o， 再延长去截取对称点位置啊。三、做垂直平分线，四标清楚啊， m 和两个点， 那么最后注意下 m 的 位置，不要标反了啊，难度适中啊。那么这道题对于课标的能力要求体现是非常好的。一道题来，二十二题啊，二十二题，我们之前讲了完整的这个视频了，大家可以看一下。这个视频 好呃，仍然是一道非几何型函数建模问题。我觉得从最近的几次考试来看， 我仍然是觉得今年考非几何型的概率会相对大一些。我只是猜测啊，今年考那个非几何的概率要大一点。好，那么一二问，题型相对来说，注意一下第二问，分析最大值要三个要素，要说全，第一，负的五分之三小于零。第二， z 是 x 的 二次函数。 第三，呃，自变量的曲折范围，这几个一定要说全，因为少了一个都不行。好，第三问，虽然是有一些波折，但是不影响这个题最终能够成为一个非常经典的变形题目。 那通过这个题将同类的自变量取整问题就是可以一次性给他看透啊，最终结果一定要注意理解为什么对称轴要与一百九十七点五作比较啊，进而理解这个因变量随着自变量增大而增大到底是一个什么概念。 好了，有问题同学可以去翻回头去看一下二十二题的视频讲解来，二十三题结合综合问题，那这道题你看，既不是旋转，又不是折叠，再一次强调了动点产生的图形构造问题。那么在模拟考试，他考的是我们动点产生的直角三角形构造，那同学们 有没有可能在我们中考的时候考动点产生的等腰三角形构造？进而等腰三角形构造是不是可能把等腰三角形变成菱形，变成矩形？第一问，强调定律的清晰，逻辑的完整。第二问，重点在于终点怎么应用， 你要去找比例关系，一定是要去找相似的。那终点三件事一定要记牢，中卫线、斜边中线、八字全等，你看到终点永远去想这三个东西，那这道题里面既用到了八字全等，因为平行线间夹中点必出八字全等。第二， 有 o e 延长 b 出中位线，所以你看有这两个基本思路，你这道题就不会错，也不会浪费太多时间。那么第三问，要学会分析直角构造有几种情况，每种情况是否能够成立，不成立又是为什么 啊？不要执着于一定要把这个图画出来，你才能求解。很多同学在这第三问做不出来的原因就是想不出来这个图怎么画 啊？其实我也想不出来，你要让我直接就画那个图，我也困难，但是你要去想就是我满足他是直角的情况下会怎样，对吧？点 c 位直角顶点时候，这个图会怎样？点 j 位直角顶点时候，这个图又会怎样？他能产生哪些后续的结论 啊，这才是解决问题的关键。而且你在做题的时候，同学们不要去关注整个图形的变化，因为这个的题典型的就是图非常复杂，线段非常多，你一旦去关注整个图形的变化的话，你就很费劲， 你要去学会只看一条边，一个点，一个角会产生怎么样的变化，题目越复杂，越要学会用减法去看本质，要把一些无关条件都去掉啊。最后一问，切记想复杂。最近的一些模拟考试啊，我们体现出来一个特点， 今年在各种考中反复出现，抛开现象看本质，其实求值并不困难，困难的在于分析清楚他的情况 啊。好了，那么最后我觉得这份卷子还是有很多我们可以去重点参考和借鉴的地方。关于重点题型，大家看一下后面的这个表格。

太原的二模数学刚刚考完，整体的变化是什么？他的备考方向又是什么？一个视频给大家讲清楚。首先，整体的变化，今年二模整体的难度是要略高于中考的，而且题型的灵活度也有所提高。第一，基础题部分不再简单化， 不再是死记硬背，而是需要大家结合生活，结合实际情况来考察大家的一个理解能力，以及大家对一些概念性的东西，对知识本质的理解。 第二，对于中档题型来说，它的综合性变强了，代数几何揉在一起来考，重思维重方法，不再是单一的知识点套公式。第三，压轴题的考察非常的贴近中考命题趋势，考察方向就是重能力轻套路。 二十三题，特殊的四边形加上几何变换。二十二题，结合生活实际来进行函数建模应用题 备考的方向，第一，需要搭深挖双击，稳拿百分之七十左右的基础分课本的概念公式、基本运算、几何性质以及统计概率题反复练，保证一到十四题，十六到十九题，稳拿七十五分。第二， 中档题型重点练各种的几何图形以及函数本身的性质和应用，有竖形结合的思想，以及三角函数部分，要学会拆题建模找方法。 第三，压轴部分，其实我们山西的压轴题、几何压轴题就只有两道，十五题和二十三题，十五题掌握两种最高频的方法， 解三角形以及构造相似。解三角形，它的标志就是存在特殊角，相似的标志存在等分点。当然，如果大家能够掌握一些大招方法，比如说没事定里角平分线定理的话，也会提高大家做对的概率， 也可以从通信通法的角度出发，其实这道题它就是对特殊条件的转化。比如说大家看到角平分线，要想到四大模型，想到角分线定理， 看到终点要想到它的一般化的解决方式，背长或者说构造中位线，或者说等。腰三角形里出现中点，想到三线合一直角三角形里出现中点，想到斜中半。二十三题核心掌握，旋转、平移、折叠，也就是三大变换，它的本质， 旋转的本质是什么？出等、腰、出全等，以及大家对旋转角的理解，折叠的本质，出全等出角平分线出中垂线， 平移的本质，出全等出平次。最后一问，一般情况下，他都会额外添加一个特殊条件，我们的突破口通常就是从这个特殊条件入手的。 总而言之，山西的中考数学要考高分，必须要做到基础题不丢分，中档题要吃透，压轴题要敢写，记得点赞关注哦！

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，继续来看一下二六年 陕西二模的二十二题，这道小题怎么样？同学们，简单哎， 模仿咱们的土豆问题啊，这个题，同样的套路，同样的操作题的话呢，老师就不给大家多读了，这个题目就很常规的操作， 呃，紧接着第一题对吧？问，你是几次函数，求求关系式。第二小题呢，哎，二次函数配配方。第三小题呢，直接写答案，引入一个参数，很常规很常规的题目，我们一起来欣赏一下啊！ let's go！ 这个题的话呢，首先第一题， 客房入住数，你注意啊，在题上，老师有个习惯，我一定把它标成我的 x 和 y， 就是 你要把一个信息对它进行数学化。同志们，这个真的很重要啊，是房价 x 标上什么函数呢？ 一次反比例还是二次？怎么看？同学们，注意一次函数啊，那就是一百七，我升到了一百八， x 增加了十， y 就 减少了六，你看是不是均匀变化的，我们再找一组数据，一百九升到了二百， 加了十，哎，那这个 y 呢，就减少了六，两组数据足够让你有一个定心丸了。同学们，没毛病啊，这就是一次函数，并且我们还知道单位变化率呢， x 每增加十， y 就 减少六，这单位变化率就是一个十，负的十分之六，也就是负的五分之三， 好负五分之三 x 再加上一个什么样的数呢？就需要大家，如果是正儿八经的话，同学们，你要写过程，就需要大家把一组数据带进去，如果是老师，我会把 x 等于二百， y 等于九十六这组比较简单的数据带进去，那最终可以算出来 啊，这就应该是二百一十六，你可以再带一组数据验证一下，这是我们做题时候的好方法。同学们啊，比如你再把一百六逗一百二带进去，确保咱做的是对的。 第二小题，一日营业额最大的时候，那这个 z 等于什么呢？ z 就 等于 x 乘上一个 y， 所以 化简之后，负五分之三， x 平方加二百一十六 x， 接下来呢，他问 z 最大，那很明显，同学们就需要进行一个配方的处理，负五分之，负五分之三提出来，括号里就是 x 平方减多少， 嗯，减去一个二百一十六乘以三分之五。你口算也行，手算也不差，同学们，中考不会因为你口算就给你多加两分的 啊。二百一十六除以三七十二，七十二乘以五呢，是个三百六减三百六十， x 配得配个多少？得配一百八十的平方，那就得再减一个一百八十的平方，这就是配方的原则啊，不能让式子的大小发生变化。 好，接下来就是负的五分之三， x 减一百八，括起来的平方。注意，外面还有一串数据呢，是加上一百八十 呃的平方乘上一个五分之三，也就是结果等于负的五分之三， x 减一百八十的平方，再加上一个多少呢？你可以算一下，应该是一万九千四百四十。 那继续呢？接下来过程得仔细啊，因为负五分之三小于零，得把这个情况说清楚，证明二次函数抛物线的开口向下是有最大值的 啊，解释清楚，所以当 x 等于一百八十的时候，营业额 z 有 最大值。说到这就可以了，题上问的只有 x， 不是 营业值是多少啊？同学们，到了第三小题这里呢，把题读完，你就明白这个题是啥意思了。好，公式已经给我们了， p 代表日毛利润等于营业额 z 减去什么固定的总成本？礼品总成本。大家读完题之后，一定要明白，这个礼品是跟什么绑定的，跟房间数， 这个什么固定成本也是跟房间数绑定的。所以我们可以这样去理解，你每开一间房，固定的支出成本就有一个三十加 m， 然后再去乘上一个 y。 好同志们，很多同学会感觉有点难，我们一起来看一看啊！ z 是 负五分之三， x 的 平方加上二百一十六， x 再减去 三十加 m 倍的，这个 y 是 个多少呢？ y 是 一个负的五分之三， x 加上二百一十六。接下来大家注意，你要去读题， 他说在房价不超过二百的时候，就说 x 小 于等于二百的时候，我希望 i hope that 啊，我希望什么嘞？毛利润能够随着房价的增大而增大。同学们，这个二次函数啊，开口一定是向下的， 那么我希望你的对称轴怎么样？同学们，你的对称轴能比二百小吗？我问问大家。不行啊，你必须保证你的对称轴至少至少都得有二百 啊！你的对称轴可以是二百零一，可以是二百零二，对吧？但绝对不能比二百小。你比二百小，你还能怎么保证？我在这个比如说啊，咱不说零到 二百了，一百六十到二百的环节当中，你怎么保证我外随 x 增大而增大呢？其实就是这个意思啊，对称轴是要大于等于二百的， 同学们，因此整个小题只和对称轴有关，那也就是说，负二 a 分 之 b 只和一个二次函数里面的 a 和 b 有 关。 所以这个题啊，你不用理他太多啊，负五分之三 x 方二次项系数先搞定，那么一次项系数都有谁呢？你稍微整理一下，加上一个二百一十六。好，你看啊，把系数乘起来，负的三十乘以负的五分之三是正十八， 负的 m 乘以负的五分之三是加上一个五分之三 m 背的 x。 够了够了，这个题直接写答案，不要往后算了， 负二 a 分 之 b。 同志们，咱们对号入座，结果就是负的啊，来最前面来个负的啊，二 a 负的五分之六分之 b， 那 是二百三十四，加上五分之三 m， 最终要求他干嘛呢？大于等于二百。同志们，这个地方老师跟他说一下怎么算。 首先，负号和负号呢，抵消了，咱不说了，接下来注意哦，我是要对左边的分数进行一个分数基本性质的运用，分子分母同时乘上一个五，一千一百七十，加上三 m， 比上一个 比上一个六啊，大于等于两百，最终算出来，三 m 大 于等于三十， m 大 于等于十。结合题上所说这个范围，同学们，你发现这个题有意思啊， m 是 小于等于二十的， 所以你说 m 的 最终范围大于等于十，小于等于二十，这个题就搞定了吗？拜了个拜，下个视频不见不散！

朋友们好，我们来一起分享一下刚刚结束的太原市二模考试数学卷。这张卷子的整体出的还是比较好的， 一是从题型的新颖度，二他已经已经反常识了，就是里面很多东西啊，要么回归课本，要么他出，其的这种场景已经有了新的创新性的改变， 对吧？而且呢，这这个卷子里面的十五题和二十三题出的都非常的好，还是一样反套路，反模型。好吧，我们一道一道来讲解一下这套卷子。看第一题， 衡量手机信号强弱最准确的指标即参考信号接收功率。他说其数值范围呢，通常在负五十和负一百三之间，绝对值越小，信号越强。那么下列四部手机的参考信号接收功率中， 其中信号最强的是最强，就要绝对值最小，它的绝对值是七十二，它的绝对值是七十八，它的绝对值是八十三，它的绝对值是九十六，很明显，七十二最小。所以第一题应该选择 a 选项。 第二题他说的是文字上方的部分是轴对称，图形的式轴对称，肯定选 a 了，对吧？这个对号不对称，这个人的左右两边不对称，这个也不是轴对称， a 轴对称，他的对称轴，要么是他，要么是他，对吧？哎，这是第二题，我们直接选择 a 选项 看第三题，这是课本上的知识点，对不对？我们在讲密的乘方的时候的一个公式，已知 m、 n 均为正整数，计算它的结果是多少。 括号里面是 x 乘以 x 一 直乘 x 乘多少个呢？ m 个 x 相乘，那就是 x 的 m 次方，括号的 n 次方，那就是逆的乘方，底数不变，指数相乘，所以这题应该选择二 b 选项。 第四题，如图是时间小组利用三 d 打印技术制作的多功能支架及其主视图，其左视图正确的是 正面是这样，左是要从这边看了，对吧？所以我们后面这个你看主图告诉我们这个比较低，所以我们从左边看的话，其实看不到后面这个的，那就是虚线，对吧？两条线和这条线都是虚线啊，还有这条线它都是虚的，所以有两条虚线，直接选二 b 选项就好了。我们再来看第五题，科学计数法。 某人工智能超算中心每秒可处理数据二点五乘以十的六次方条，若该中心持续运行三千六百秒，则这段时间内能处理的数据量用科学计数法表示。为什么 一秒可以处理这么多条？那就是二点五乘以十的六次方，再乘上一个三千六百秒，三千六就是三点六乘以十的三次方。好，那就是二点五乘上一个什么乘上一个三点六 再乘以十的一个九次方。好了，那二点五乘以三点六，就是二点五乘以四，再乘以零点九 再乘以十的九次方，这是十，这就是九乘以十的九次方。所以这题应该选择 c 选项。当然，我们可以直接排除掉 a 选项和 b 选项的原因是因为科学计数法是 a 乘以十的 n 次方，对 a 的 要求是大于等于一小于十的，所以可以直接排除 ab 选项。 我们再来看第六题。如图，将含三十度角的直角三角板 a、 b、 c 啊放到这个位置， 和长方形直角按如图方式摆放在同一平面内，其中角 b 是 九十度，角 c 呢是三十度。然后呢，他告诉我说，三角板的边 ab 与 ac 与直角的一条边，两个交点分别为点 d、 点 e。 阿尔法等于五十度，这个角是五十度，所以通过外角的定义，我们知道这个角就是二十度，以为这个角也是二十度，你让我觉得是 a、 d、 e 的 度数，很明显，这是一个铅笔猪蹄模型， 对吧？那就用九十减二十等于七十，所以对顶角就是七十度，选四 d 就 可以了。再来看第七题， 已知某一事件发生的概率是二分之一，下列说法正确的是，又回归课本了。做一百次重复实验，该事件一定会发生五十次，这就不叫二分之一了，这就百分之百了。其实这个 a 的 选项和这个 c 选项说法是一致的， 两次重复实验中，该事件必定发生一次，那也是百分之百的概率，那不叫百分之五十了，对吧？两次就一定发生，一定发生的概率就是百分之百。 b 选项，第一次实验，该事件没发生，第二次实验该事件一定会发生，也错了，概率这个东西就不能说一定这两个字对不对好。第四， b 选项，重复多次实验，该事件发生的频率稳定在百分之五十左右，选四 d 就 好了。 第八题，如图，点 p 是 圆 o 外一点 pc 与 p b 与圆 o 相切于点 bc 既然是切点，那我们就知道肯定是要连接切点和圆心，对吧？那它肯定是垂直的关系嘛。所以我们直接连接这个 o、 b 好， 这个地方必然是垂直，那这个地方必然也是垂直。 ac 是 圆 o 的 直径，然后 a 连接 ab 角， a 等于六十五度，这个角是六十五度，那意味着这个角也是六十五度。 原因是因为 o a 等于 o， b 六十五，六十五就一百三，所以这个角就是五十度。你现在问我角屁的度数，那就是五十度， 为什么呢？因为这个角是九十度，这个角也是九十度。那么我们知道四边形 o、 c、 p、 d 对 角互补，那既然对角互补的话，角屁加这个角一百八，这个角加这个角也是一百八，同一个角的补角是相等的关系，所以角屁就等于五十度。 这是第八题。我们再来看第九题，一道化学题对不对？主要就是考你图像啊， 溶解度的问题我就不读题了啊。如图是氧化钠和氧化碳酸钠的溶解度曲线。根据图像下列说法，正确的是。 a， 碳酸钠的溶解度随温度的升高而增大，很明显过了这一块就不是了，所以 a 肯定错误。 b 二十摄氏度时，氧化钠的溶解度大于碳酸钠的溶解度，比较溶解度肯定要受温度，对吧？化学里面的质点二十摄氏度时，应该是氧化钠大于碳酸钠溶解度，没毛病，所以 b 选项正确。 c 选项氧化钠的溶解度随温度升高而显著增大。我们都知道氧化钠的溶解度受温度影响变化不明显，对吧？ 四、 d 铝化钠和碳酸钠的溶解度相同时，温度为三十摄氏度。好，它俩的焦点代表它们溶解度相同，但是这个肯定没到三十，这才是三十呀，所以它也是错的。所以这道题选择二 b 选项到目前为止还没有出现难题哦！ 第十题，如图，平面直角坐标系中，三角形 a、 b、 c 的 顶点 a 在 x 轴的负半轴上，顶点 b、 c 在 y 轴上，且与关于 x 轴对称，将三角形 a、 b、 c 沿 x 轴正方向平移 点 a、 b、 c 的 对应点分别是 e、 f、 g。 已知点 a 的 坐标是负三代号零点 f、 g 的 坐标分别为 a 逗号 b 和 c 逗号 d。 因为我们知道 f、 g 肯定是关于 x 轴对称的，所以它们的横坐标一定一样，也就意味着 a 肯定等于 c， 那 它们的纵坐标肯定互为相反数，所以 b 加 d 肯定等于零。所以呢，我们肯定在 b、 d 里面选，那 a、 c 是 不是就错了？ 好了，那 a 等于 c 到底是是等于三呢？还是小于三呢？这考的又是八年级的平移的问题吗？对不对？因为 a 点和 e 点是对应点，所以 a、 e 就是 平移的距离，那明显是小于三的，因为你告诉我了， e 点是三角形 a、 b、 c 的 内部， o、 a 的 长度才是三，那 a、 e 肯定是比三要小的，那就意味着这节的长度也是平移距离，它也小于三，所以它们的横坐标都比三小。这个题可选择四、 d 选项，这就是十道选择题，一点难度都没有，可以说几乎都没有考到九年级的知识啊同学， 对不对？来，我们继续看十一题，将二次根式根号十二化为最减二次根式四倍四乘以三，那就是二倍的根号三。看十二题，如图，是八年级一班甲、乙、丙、丁四位同学抛石星球十次训练成绩的方差与平均数。 哎，这个题出的比较好，我以前我们都是列表法，还这个用了一个数轴来给你表示啊，用坐标系来给你表示。 他说若要从中选一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最适合的是哪位同学？注意，同学们，你要结合实际情况去看，他说的是体测项目友谊赛，那肯定是平均数越高成绩越好，这点是没问题的吧，对不对？ 大家要注意。之前有一次考过一道题，说的是这个数据里面给的是发芽的这个时间长短，当我们是希望种子发芽时间短一点，让他尽快成长，所以那个时候平均数越高，反而说明他发芽的越慢， 所以还不选他。所以你一定要结合场景去选题，并不是每道题里面都是平均数越高就越要选平均数， 对吧？这里面是体测的，那体测成绩，当然平均数越高，成绩越高了，所以我们看横轴上给的是平均数，那甲乙丙丁，那肯定是丁和丙的平均数是一样的，对吧？所以都比甲乙大，那肯定在他俩里面选 平均数相同的情况下，当然就是方差了，选方差越小，数据肯定越稳定，也就成绩越稳定，所以肯定选丙同学了吗？毫无疑问，对吧？好，这是十二题。我们再看十三题， 他说无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率啊，保持恒定，牵引力 f 与速度 v 满足反比例函数关系，那就意味着 f 乘以 v 应该是个定值。 已知某无人机驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为三米每秒的时候， v 等于三， 牵引力 f 等于 v， 应该等于六十，所以 f 等于 v 分 之六十，这就是它的反比例函数关系式， 它为保证耕地的效果，牵引力 f 不 能低于四十牵牛。那拖拉机的速度 v 最大值是多少？甭管它的增减性了，直接让速度等于四十带进去。答案是，不就是二分之三呀， 对不对？他没问你的增减性，那你没必要嘛，你直接写个二分之三就好了。好吧，这就是十三题。再来看十四题，回头以线段 a、 b 为边，在其两侧做正五边形，分别以 a、 b 为圆心， ab 的 长度为半径作弧 c、 d 和弧 e、 f 得到扇形 c、 a、 d 和 b、 e、 f 两个正五边形组成一个轴对称图形，其中点 c、 d、 e、 f 均为五边形的顶点。告诉你， ab 的 长度等于四，则这个轴对称图形的周长是多少？ 首先你得搞明白，周长就是外围的这些，这两个弧和一、二、三、四这四条边长的总和，对吧？那我们知道正五边形的边长可能都相等，所以他俩就是四四，他俩也是四四，也就说我们像是八，啊，不，不，是八十六，对吧？ 四个四，它就十六十六，加上两个弧长，这两个弧肯定是一样的，原因是因为什么呢？这个角一百零八，这个角一百零八，所以这个角就是一百四十四，对吧？用一百零八乘以二，二百一十六， 三百六减去二百一十六，这是四，这五减一也是四，一百四十四度，所以它的圆心角就是一百四十四度。那求它的弧长那是不是一百四十四？比上一个二 pi 再乘以 r 呀，它的 r 就是 四嘛， 对吧？这是一个弧长，但是他有两个，再乘以二，加起来就可以了。好吧，来，我们来约分一下吧，那这就是四和四，给它消掉，这就变成了九十，对不对？那就是九十分之四乘以幺四四 pi。 好 了，那九十的话，我们不妨这样， 给他再除以二，给他再除以二是四十五，对不对？然后再来四十五，里面还有个九，所以再来呢，就是九，乘上一个五分之二，再乘以十二，再乘以 pi 九和九，九和削掉一个三，这变成一个四，再削掉一个三，这变再变一个四，然后二四得八四八三十二，那就是五分之三十二派， 所以最后答案就是他十六加上五分之三十二派，他没有单位，所以我们连括号都不需要带，答案直接就是他就可以了。好吧，这就是第十四题。接下来我们再来看一下这个十五题。很明显，看到这个图一定能想到没念牢词典里， 既然你能想到美尼尔词，那就一定可以用美尼尔词来解好我们这个题呢，给大家我能看到的两种方法，好吧，一种计算量稍微大一点，一种计算量就少一点，就是美尼尔词了。来，先用美尼尔词来讲，好吧， 把美尼尔词放在这吧。啊，好，我们来看一下题，他说如图，已知三角形 a、 b、 c 中角臂呢，是一个四十五度，我们换一个 角， b 是 四十五度，然后呢， ab 的 长度等于三倍的根号二， bc 等于九。边读题边说， ab 等于三倍的根号二，角 b 等于四十五度。所以特殊角放在直角三角形里面一定会过点 a 做他的垂线。 好，我们垂线一做之后，假如这是点 p 吧。好吧，那根据一比一比根号二，他的长度就是三，他的长度也是三， pc 的 长度当然也就是六了， 所以这一节的长度如果是六的话呢，就是一比二比根号五，所以 a、 c 的 长度就是二倍的根号五吧，对不对啊？不是三倍的根号五，说错了啊，三倍的根号五 好，然后点 d 是 a， c 上一点，并且 a、 d 等于二倍的 c， d， a， d 等于二倍的 c、 d， 它被点 d 分 成了一比二份，那这个长度就是根号五，这个长度就是二倍的根号五，所以这个呢，我们就不要了，好吧，根号五和二倍的根号五， 然后点 e， 在 b、 a 的 延长线上连接 e、 d， 并延长交 b、 c 于点 f， 然后告诉你 d， e 等于 d， a， d， e 的 长度也等于二倍的根号，则 d、 f 的 长度是多少？ 好，我们求到这，把这个给擦掉了啊，我们看到明显它是一个梅尼劳斯定律，对不对？那我们在想嘛，如果是梅尼劳斯，你让我求 d、 f， 那 最后肯定回到了 e 点上去了，所以我们就从 e 点出发，写上就是 e， a 比上一个 ab， 乘上一个 ac 啊，不是乘上一个 bc 啊，因为它是一个长 bc 比上一个 c， f 再乘上一个 d， f 比上一个 e， d， 是 不是应该等于一啊，对不对？哎， e、 a 长度是多少？暂时不知道。 ab 长度虽然知道 bc 呢，知道 cf 又不知道 df 也不知道 e、 d 知道。哎，你发现这里面没法求啊，对不对？没法求，那怎么办呢？好，它不能求的原因就是因为未知向量太多了。有的同学说，老师，你不是说了吗，一个不行，再来一个。对，我们要再来一个，你看，我在写， 如果我们倒着来，从 c 点开始，那就是 c， f 比上 b， f 乘上 be 比上 a， e 再乘上 a， d 比上 d， c 等于一。 哎，你再看这个呢？ c、 f 不 知， b、 f 不 知。也就说，如果我设一个未知数，那它俩都可以表示出来，对不对？ b、 e 不知， a、 e 已知， a， d 比 d， c 一 比二，而二比一也也已知。所以这个相对于他来说，好像字母未知数没有那么多了，对不对？但是你发现了，反正不管怎么说，至少这里面有三条线段未知。你比方说 a、 e 不 知， cf 不 知， df 不 知，这三条线段不知，那门尼劳斯肯定暂时不能用，所以我们至少要求出这三条线段中的一条才能来用门尼劳斯吧， 对不对？那如何来求呢？求哪条线的最好求呢？那很明显， a、 e、 d 这个里面是最容易求解的，为什么呢？因为它比较特殊。三角形 a、 e、 d 是 一个等腰三角形，而且它们的腰长。知道， 也就是说，看到等腰三角形，你一定会考虑去做高，如果我们做了高了，来，我们把它移过来。如果我过点 d 做了 a、 e 边的垂线，那这个肯定是终点。假如这是 m， 如果我能求出 am， 自然 a 也就出来了， a、 e 出来，你就翻一连串东西就能解决了， 对不对？好，那怎么办呢？ am 如何来求呢？直角三角形 a、 d 知道，我只要知道这个角圈的三角函数值是不就可以了， 对不对？那这个角圈的三角函数值该怎么求啊？怎么办呢？哎，你看好这个四十五度啊，同学，你别以为你用过一次了就没用了，四十五度要放在直角三角形里面，所以这个时候看我的辅助线该怎么做。我们直接过点 c 再去做他边上的垂线 啊，做他边上的垂线。好，这假如，这是假如，这是 c m 吧，我就写成 m， 这个地方是垂直，那同学们， m b c 就是 一个等腰直角三角形， b c 的 长度是九，所以 c m 的 长度我们是不是就求出来了？九九除以根号二，那就是二分之九倍的根号二。好了， c m 知道， a c 也知道，那 a m 的 长度，或者说没必要求 a m， 我 们是不是就知道角圈的正弦值了， 对不对？那正弦值是多少呢？来，那就是 sine， 角圈儿应该等于一个二分之九倍的根号二，比上一个三倍的根号五吧。应该等于 c m 的 长度，比上 a c 的 长度，那就是一个二分之九倍的根号二。乘上一个 三分之根号三倍的根号五分之一，消掉，消掉，那就是一个十分之根号十吧，没写错吧？我看，啊，十分之三倍的根号十啊，用消掉，上面有个三根号，五分之根号五。对，十分之三倍的根号十， 十分之三倍的更好使。说明什么？正弦值知道了，对吧？正弦值知道了，那我们，嗯，我们就是要求它的。哦，这也行，正弦值知道就行了。来，正弦值知道，我们就可以求了，然后把它擦掉了，啊，这就没用了， 把它擦掉，然后把这个 m 也擦掉，它也没用了。然后我们再回到刚才我们那个垂线上，去过点 d 做它的垂线了，对不对 啊？做他的垂线，好，这样正是那个 m。 来，我们求一下这个 dm 的 长度， 那正弦值知道了，是三分之十倍的。十分之三倍的根号十，那意味着 md 比上一个二倍的根号五，应该等于十分之三倍的根号十，所以我们是不是就把 md 给它求出来了？多少看一下。 十分之三倍的根号十，乘上一个二倍的根号五，消掉，消掉，这是一个五，对不对？这是一个五，然后五十是五倍的根号二，那就是十五倍的根号二，比上一个五等于三倍的根号二，所以 md 的 长度是三倍的根号二，也就意味着 am 的 长度，我们也就求出来了， 二倍的根号五，平方是二十，三倍的根号二是十八，所以这个长度就是根号二，那这个长度也就是根号二。同学们，好了， a e 只要出来，现在美尼尔老师就可以用了，现在美尼尔老师就可以出来。你看二倍的根号二，三倍的根号二。短短长短 短短，对吧？哎，或者是短短长短短短。好了，我们这个时候就可以求 c f， 就 可以求它了。你看 c f， 不知道我们讲 c f 是 x， 那 b f 是 不是就九减 x， 对吧？比上 b e、 b e 长度有多少？这三倍的根号二加二倍的根号二是五倍的根号二。比上 a e， a e 是 二倍的根号二，再乘上 a d 比上 c d 是 二比一等于一，所以 x 比上九减 x， 乘上一个五比一 等于一，那这边就是一比五吧。啊，我把它直接写过来，它就等于一比五，所以五 x 等于九减 x， 那 就是六， x 等于九， x 等于一个多少？二分之三，对吧？ x 等于二分之三。好了，那就 c f 的 长度是二分之三， 这节二分之三出来了， c、 f 知道， a， e 知道呢，就会再带到这里面去，是不是什么都解决了，对吧？ e a b a， 嗯嗯， e， a 比上 a， b， bc 比上 c， f。 好 了，完事了同学， 完事了，带到第一个式子里面去， e、 a 是 多少？ e， a 是 二倍的，根号二， ab 的 长度是三倍的根号二乘上一个 bc， bc 是 九。比上一个 c f， c， f 是 二分之三，再乘上一个 df， 要求的比上一个 e， d， e， d 的 长度是根号二倍的根号五 等于一。好了， df 是 不是就串了？消掉，消掉，然后这就是三分之二乘上一个啊，九除以它，那就乘上一个九，再乘一个三分之二吧，对不对？然后再乘上一个二倍的根号五分之 df 等于个一。 我再看一遍啊，九除，九除以三分之二，九乘以九除以 f 乘以三分之二。消掉，消掉是六啊，对着没毛病啊， 这消掉三六，消掉四，四，消掉是二，然后根号五分之二倍的 d， f 就 等于一，所以 d、 f 就 等于一个二分之根号五。答案就出来了，好吧，这就是二分之根号五。这我们用什么方法？就用我们枚尼劳斯， 实际上我们就是为了求这个三角函数值，角圈的三角函数值就可以把 a、 e 求出来了。好吧，这是第一种方法，我们再来看第二种方法。第二种方法呢，就是直接用相似就好了，其实也不是太难， 你比方说我给大家说过哈，我们仅现在二零二五年的中考前夕就给大家说过，因为那年就发生改变了。这个题里面的条件有个 a， d 比上 c、 d 等于个二比一，这样一个条件非常重要，当然我们把刚才那个数据给它求出来，这是三倍的根号二，对吧？啊？ 然后这个是二倍的根号五，这是根号五，这也是二倍的根号，我们先把它写上，然后我跟大家说过，只要看到这样的一条线段被它交点相分割，然后狭有比例关系，是二比一。那这个时候我们肯定要想到八字相似。好，我们不妨过点 a， 直接做一个 b、 c 的 平行线， 做 b、 c 的 平行线，比方说做完平行线之后呢，这个点呢？我给它标成点 p 吧。好吧，这个长度是二倍的根号，我先写上啊，点 p， 然后你会发现三角形 a、 p、 d 和三角形 c、 f、 d 应该是相似的关系，相似比肯定是二比一，对吧？那我们就可以设这个长度，如果是 x， 那 这个长度是不是就是二 x， 对吧？那这个长度要是 y， 这个长度是不是就是二 y 啊？没毛病吧？好了，那现在你会发现，其实 e、 p 的 长度就等于什么了， e、 p 的 长度等于二倍的根号五，减去一个二 y， 所以 这里面有两组相似， 哪两种相似呀？就首先有个 a 字相似，三角形 e、 a、 p 相似，有三角形 e、 b、 f， 还有一个八字相似，八字相似我们也用过，那我们就直接把这个 s 相似的相似笔给它写出来，那相似笔是几呢？那是不就是二倍的根号五？减二 y， 比上一个什么呢？ 比上一个，我看它比上它，那就是二倍的根号五啊。再加个三 y 呢？就是加一个 y， 对吧？等于相似比，是不是等于 a p 比上 b、 f 呀？对吧？ a p 比上 b f， a p 是 不是二 x， b f 是 不是就是九减 x？ 好 了，这是不是关于 x y 的 第一个方程啊，对不对？那我们还能再找到一个方程来，你看勾股定力，刚才这个长度 我们知道，假如这是 q 的 话，这些长度是三，这些长度也是三，对不对？来，我们再继续过点 p， 再做它的垂线， 完了以后，我们知道这个长度就是二 x， 假如这是 k， 好 吧，这个长度就是二 x， 那 k f 的 长度我们是不是就表示出来了， k f 的 长度是不是应该是一个？我看应该是，这是六，减去一个三 x 吧，对吧？因为这个 q c 的 长度就是六，然后六减去三 x 好了，然后这个长度是三，所以你会发现，在直角三角形 p k f 中，根据勾固定理，我们可以得到三的平方，加上一个六减三 x 的 平方，就等于三 y 括号的平方。好了，第二 个式子就出来了，关于 x y 的 二元二次方程组啊，你不要跟我说你不会解，肯定可以解啊。第一个式子就可以导出 x y 之间的关系，然后直接带到第二个里面去，变成了一个字母的谓关于 y 的 一个一元二次方程，然后求解就完事了， 好吧，所以这就是第二种方法，这个计算量稍微大那么一丢丢，但是也还好啊，不算太大。好吧，大家可以自己算一下，这就是十五 t， 我 们再往下看，十六 t， 第一个负三的绝对值就是三。第二个一减七等于负六，负六乘以五，六分之五减五就好了，减去二分之一的负二次方，二分之一的负一次方是二，再减去一个四，所以答案就是负六。 这个先同分，那就是 a 减三分之， a 加一，乘一个 a 减三，再减一个 a 减三分之， a 方减一，中括号除以它就乘以它的倒数，这就是 a 减三的平方。好，括号里面 a 减三分之， a 方减二， a 减三， 减 a 方再加一，那就是一个。我直接算了啊，括号里面 a 减三分之，这个，这个负二， a 减二。好， 那这个就是 a 减三分之负二。括号 a 加一，乘上一个 a 加一分之 a 减三的平方。消掉，消掉消掉消掉，它就是负二倍的括号， a 减三，它就六减二 a 就 可以了。这是十六题，你再来看十七题 后头已知三角形 a、 b、 c 中点， d 是 b、 c 边的中点，所以 b、 d 等于 c、 d 连结 a、 d， e 点是 a、 d 上一点，并且告诉你 e、 b 等于 e、 c， 再加上 e、 d 等于 e、 d 边边边两个三角形全等式判断 线段 a、 b 和线段 a、 c 的 数量关系，那肯定就是相等了嘛，对吧？ a、 b 等于 a、 c 好， 要证明 a、 b 等于 a、 c 也好说。你比方说我们刚才通过边边边已经证明了三角形全等，那全等之后，这个角是不是直角，这个角是不也就直角了？既是终点又是什么？ 就是这个垂线，那三角形 a、 b、 d 和三角形 a、 c、 d 是 不是也再次通过边角边得到全等就可以了？好吧，过程呢？我简单写一下吧。啊，简单写一下吧。呃，这个，因为 d 为 bc 中点， 所以 b、 d 等于 c， d 因为 b、 e 等于 c、 e， 然后 e、 d 等于 e、 d， 所以 三角形 b、 e、 d 全等于三角形 c、 e、 d， 对 吧？所以角 b、 d、 e 等于角 c、 d、 e， 然后在三角形 a、 d、 b 与三角形 a、 d、 c 中，这三这两个三角形里面， b、 d 等于 c、 d， 角 b、 d、 a 等于角 c、 d、 a， 然后一个 a、 d 等于 a、 d， 所以 三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 d， 所以 ab 等于 ac 就 可以了。好，这第十七题我们再看十八题， 图呢，我就就题，我就不读了，反正是从七年级学生中随机抽取了这么四十名学生进行阅读素养的测评，满分之二十分，将测评小组呢分成了五组啊，每组都是含最小值，不含最大值。 在第十七大于等于十七小于十八组的这十个数据为他，其他各组的数据均无重复。第一问，他说四十名同学阅读素养测评成绩分析数据表，统计表， 那肯定让你求中数和中位数了，平均数已经知道了，那种数就是出现次数最多的那个数。他已经说了，其他各组的数据均无重复，也就是他没有再出现任何一个多次出现的数据， 那只有十七到十八的这个数据里面出现了重复的。那我们看下哪个出现最多？十七点八，十七点八，十一点八出现了三次，十七点九出现了两次，十七点六，十七点六出现两次，所以明显是十七点八，所以 a 就 等于十七点八， b 是 中位数，中位数。我们知道中位数指的是四十名同学的中间那个数，对吧？那四十名可能知道是二十和二十一的平均数，应该是偶数吗？所以第二十从小到大六加七十三个数，十三，那 再加十是二十三，所以二十二十一都在十七十八这里面去，对吧？所以从小到大来找就可以了啊。这十三了，我们找一下十四吧，那十七点二，最小的第十四个数，第十五个数就是他了， 对吧？这十五个数，十七点三，完了，就十七点六了。这十六个数，十六点数六完，十七点七，十八， 十九，二十二，十一，啊不， 这是二十一，对吧？二十二，二十一还是十七点八，所以加起来除以啊，依然是十七点八。 好，若将阅读素养测评得分不低于十七分化为良好，由此可估计该校七年级共四百名学生中，阅读数量达到良好等级的约有多少人。 那就是用四百乘以，我们总共抽取了四十个人，看这四十个人里面有多少个人是不低于十七分的，不低于十七分呢？就这三个，十加九加八，那就是二十七， 二十七好，消掉，消掉呢，就是二百七十，所以这个答案就是二百七就可以了。第三问，学校对数据进行分析以后啊，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰。小王 说，我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能收到表彰。他的分析合理吗？啊？肯定是不合理的， 对不对？我们看一下数据，我们已经知道了，中位数就是十七点八，也就说只有当你的分数大于等于十七点八的时候，你才有可能获得表彰。你说你的分数比平均数高，平均数是一十七点六五，十七点六明显小于十七点八， 所以不一定是十七点八，对吧？你十七点六五，也有可能十七点八呢，所以他的分析是不合理的。好吧，这就是十七题。十八题，我们再看十九题。 山西流利这门东方古法记忆某文创店主从厂家购买了五个流利小马摆件和三个流利笔架摆件，共花费八百七十元。他的同伴购买两个流利小马摆件和三个流利笔架摆件，共花费五百一十元。 求流利小马摆件和流利笔架摆件的单价，我就简单的设为指数了。求流利小马呢？流利小马的摆件单价是 x， 玻璃笔架的摆件单价是 y。 根据题我们可以得到，来五 x 加上一个三 y 应该是等于个八百七十的。第二个是不是可以得出二 x 加上一个三 y 等于五百一十呀？那这两个取方程组解得 x 等于多少， y 等于多少就可以了。好，它来一做减法，是不是三 x 就 等于一个三百六，所以 x 应该等于一百二，当 x 等于一百二的时候，就二百四，二百四，这是一个零七二百七，那将就是一个九十就可以了。好吧， 来，那就最终你们自己答一下，我就不答了。好吧，自己答一下。第二问。该店主发现啊，这两种摆件都很畅销，他准备用五千元购入流利小马摆件和波利流利笔架摆件，共五十个销售， 他最多可以购入流利小马摆件多少个？那么杰舍他最多可以购入流利马摆件 m 格，那这个摆件要是 m 格的话，那笔架的摆件 是不是五十减 m 个呀？对不对？那根据题可得一个不等式，那就是琉璃小马的摆件单价是多少来着？ x 是 一百二，就是一百二十 m 加上一个什么，加上一个九十倍的括号五十减 m， 这是不总共要花的钱，备用金是五千元，不能超过五千，那就小于等于五千就可以了。两边同除以这个这个这个同除以几啊？同除以十吧。十二 m 加上九，括号五十 减去一个九， m 小 于等于五百，所以三 m 小 于等于五十， m 小 于等于三分之五十， 三分之五十多少呢？五十除以三一三得三，二十三六一十八，二十十六点六六记六六六啊，不能超过十点六六，那就是十六个就好了，到不了十七个，所以最多可以买十六个啊，最多可以买十六个摆件。这十九题我们再看二十题， 如图，一是街角公园的俯视图，已知街角公园 p 一 零两段互相垂直的小路 a、 c 与 ab， 其中呢路段 a、 c 的 长为一百二十米， 路段 ab 的 长是五十三米。接到 ef 平行于小路 ac 点 d 表示接到 ef 上的一盏灯。然后时间小组同学呢，利用测角仪器测的角， b、 d、 e 这个角度数是六十八点二度， c、 d、 f 的 度数是五十六点三度。根据上述测量结果，求出小路 ac 与 ef 之间的距离。 好要求两个平行线之间的距离，那肯定是要做垂线了，所以我们不妨过点 c， 直接做一条它的垂线下来，这是一个，我们再过点 b 或者延长 a、 b 就 可以了，对不对？延长 a、 b 交 e、 f， 我 们不妨把它设成 m， 把它设成 n 就 可以了。好，我们来看一看，该如何来求呢？你要设的，你要求的是全长，对吧？所以我们不妨设 c、 n 的 长度就是 x， c 要是 x 的 话，那 d n 是 不就表示出来了？ d n 的 长度就等于 x 比上一个它减去五十六点三度。好，那它要是 x， 这节也就是 x 了，它是五十三，所以这节的长度就是 x 减去一个五十三，所以我们是不是就能表示出 md 的 长度了？ m e 的 长度是不就是 x 减去五十三，比上一个它减去六十八点三度啊，六十八点二度啊。 好啦，那 d n 加 m， d 是 不就是 a c 等于一百二啊？所以式子就出来了，就是 x 比上一个 time 五十六点三，加上 x 减五十三，比上一个 time 六十八点二，它就等于一个 a， c 也就等于一百二十。代入数字 x 比上一个 find 五十六点三十一点五，加上一个 x 减五十三，比上 find 六十八点二，二点五，等于个一百二十。好，两边同乘以一点五，二点五就变成了二点五。 x 加上一点五， x 减去一个五十三，乘以一点五是多少？ 三，五十五，五五二十五，二十六，一三得三，一五得五，五九七七十九点五，就等于一个一百二十，乘上一个一点五，再乘上一个二点五。好，那这边就是一个四 x 减去七十九点五，就等于一个 来一百二十，我们先给它乘上一个四四，给它乘到里边是不是十四乘一个四乘以二点五是十十乘以三十是三百三百乘以一点五，是四百五，等于四百五，所以四 x 就 等于个九二五点五。 我看啊，九过来，五加七是十二五，五百二十九点五，没毛病，所以减到 x 多少呢？ 五百二十九点五，比上一个四一四得四，一二得二三四一十二。上一个九，二四得八，一点五点三四一十二，三十 七，那就是精确到一米，那就是一百三十二就可以了啊。有约等于 x， 约等于一百三十二米就完事了。好吧，这就是二十题，我们再来看二十一题， 从现在开始，慢慢就有难度了啊。在平面几何中，我们经常要需要根据条件用尺规做出满足特定几何关系的图形。下面介绍一个有趣的作图问题，已知如图。一点 a b 是 圆 o y 的 两个点 a b o 三点不共线，且 o a 不 等于 ob， 求作圆 o 的 直径 p q， 使得 a p 等于 b q。 为解决这个问题呢，我们先画出了目标图形的草图。探索方法，如图案，假设直径 p q 已经做出了，且满足 a p 等于 b q。 接触草图，可以发现，做图的关键是确定直径端点 q 或者是 p 在 圆上的位置， 由圆的对称性。想到什么呢？想到直径 p q 两个端点，关于圆 o 对 称，圆心 o 对 称。对此，因此啊，可以做点 a 关于圆 o 的 对称，点 a 撇。 然后这就上就是一个八字全等，对吧？只要确定点 q 啊，使得 a 撇 q 等于 a p， 然后再做一个 b q 等于 b q， 那 就可以得到 a p 等于 b q 了， 对吧？哎，这个逻辑给的非常简单了啊，已经很明确了。第一问，他说由思路梳理中的分析过程，可得点 a 与点 a 撇。关于点 o 对 称，且 p q 为圆 o 的 直径。根据上述条件，借助图案说明， 当 a 撇 q 等于 b q 时， a p 确实等于 b q。 为什么这个样子啊，就是因为八字全等，它等于它，它等于它对菱角相等，所以它俩全等。全等之后， a p 等于 a 撇 q， 因为 a 撇 q 等于 b p 便是 b q， 所以 a p 就 等于 b q 了。 这个过程我就不写了，谁都能得分，非常简单。第二个，在图一中完成作图，要求只归作图，保留作图痕迹，不写做法，写出一种符合要求的 p 直径 p q 即可。好了，那这个简单，他已经把方法告诉你了。怎么做？来，我们自己把图放在这。 首先第一问，他说了要先做什么？ a 点，关于 o 点的对称点。所以呢，我们这个时候怎么样连接 a o？ 我 们直接连接 a o。 等一下啊，调整一下。好吧， 就这样啊，我们连接 a o， 然后呢？齿轮作图啊，我把这个几何齿轮作图拿出来。齿轮作图，哎，这什么啊？几何？ sorry 啊。等一下，齿轮在这连接 a o， 然后呢，我们用圆规来以点 o 为圆心， 然后找到，哎，这干嘛呢？撤回，这样啊，到这儿来，然后我连出它，连出它，好，然后我们再转回来，在这截它一个长度出来，哎，一截，这个 a 撇是不是就出来了， 对吧？ a 撇出来了。好了，我们要找到，在圆上找到一个点，使得 q a 撇等于 q b， q a 撇等于 q b， 那 这个时候我们是不是应该干什么？应该需要找到什么？找到这个 a 撇 b 的 垂直平分线，对吧？ a 撇 b 的 垂直平分线，所以我们这个时候直接连接 a 撇 b 就 可以了。来，把 a 撇 b 点。我这个呢，做图尽量尽量按尺规的方法给大家做，做的仔细一点啊。 来呦，稍微转一点点， 差不多了，就它了啊，我们连接 a 撇 b， 好， 然后再过点 a 撇，还有点 b， 对 吧？哎呀，可以啊，这可以啊，这可以没问题。画一个弧，然后这边也得画一个弧，对吧？在这边也得画，因为做垂直平分线啊， 我在这也画一个弧，然后再以点 b 为圆心，同样的长度，我一般就再去画一个弧来在这， 然后在这边来啊，在这边再画一个弧好了，然后连接这两个弧，连接这两个弧 好了。 ok， 那 它跟这个圆的交点，这是不是我们要找到点 q， 对 吧？那此时是不是 a 撇 q 就 等于 b q 啊，对不对？你让我求的是什么？我再看一遍啊，让人家让我们找到，找到要求符合指定的 p q， 所以 我们这个时候再连接什么？再连接圆心就可以了。再连接 q 和圆心，找到 p 点就完事了，好吧，找到 p 点， a 过了，对吧？ 再来一点，差不多了，就这了啊，找到 p 点，好，这就是我们要找的 p 点， 此时就满足 a p 等于什么？等于 b q， 没毛病啊，这就是我们要做的图，非常简单，对吧？好了，这是这个题，我们再来看第三小，问，他说如图三有一个正方形，我把这个正方形给它截出来，放大一点啊，方便我们做图。 有个正方形养殖场 a、 b、 c、 d 点 p q 表示养殖场外的两个饲料存放点。 现在呢，想要在养殖场内规划一条笔直的通道， m n、 m n 均在养殖场的边界上，若通道 m n 平分养殖场的面积， 这个很重要啊，有那么一条直线平分 a、 b、 c、 d 的 面积。那这还有什么好说的呢？同学，这一定要怎么样？先连接对角线啊，对吧？正方形嘛，那你直接过正正方形对角线的点， 过正方形，对角线的任意一条直线是不是都可以平分这个正方形，对吧？好，那这个点，假如这这就是正方形的点，只要这条 m n， 只要过这个，只要过这个红色的点，它就一定可以平分这个正方形。 然后呢，且从点 p 到点 m 的 最短距离，最短路线与点 q 到点 n 的 最短路线相等， 朋友们要注意审题，什么叫最短路线？有些同学说垂线段最短，错了，哪有垂线段？这个里面说的是点到点啊，点到点那两点之间当然是线段最短，哪来的垂线段对不对？只有点到直线的距离中，垂线段才是最短的啊。题，一定要理解透了啊，所以找的就是线段啊，说的就是线段。 请在图三中用尺规作图表示通道线段 m n， 然后从饲料存放点到通道端点的最短路线不能经过养殖场内部。好了， 来吧，那就说我们随便找一个你，比方先来说 m 在 这， n 在 这，反正就是 pm 要等于 n q 了， 那 p m n 等于 m n 肯定是过这个什么的，肯定是过这个这个这个正方形的中心的，对不对？好了，那假如是这样子的话，其实还是一个道理嘛，跟刚才原图是一个道理，就先做它的对称点嘛，对不对？我们可以先点 p 先关于这个对称点，给它对称过去就完事了。来， 方法是一模一样的啊，换汤不换药，来，我们先把对称点给它做出来。那怎么做呢？我先把它连一下啊，先连一下就是连接点屁和这个对称中心，然后看尺寸图选归来，然后以这个中心为圆心。 干嘛呢？不让你画，你乱画，哎，又乱画。这样好，然后来吧，截个图出来。 截上了吗？哎，截上了，好，这个截出来了。这什么？这是屁撇，哎，这就是 a， 这就是屁撇。好吧，然后呢？ pm 要等于什么啊？要等于 p 啊，等一下，我看他说的是 p， 点到 m 呢，就是 p m 要等于 q n 了，对不对？ q n 好 了，那这个上面直接找到 n 点就完事了嘛，对不对？所以我们这个时候连接 q p 撇， 连接 q p 撇来，把它连起来， 然后做这个线段的垂直平分线就可以了啊，做这个线段垂直平分线，把它先刮掉，然后以点 q 为圆心， q p 撇长度为半径，或者任意长度把大于二分之一长度为半径。画弧都可以啊，来，画弧吧，管它呢，先画 来，就这了啊，然后这边也给它画一下。干嘛呢？好，重来啊，到这给它画一下。好，再一点， p 撇圆心图案的长度，帮你画弧。这边也是啊， 好，连接起来，把它垂直平面给它连起来。 好，垂直平面一连。那这个点是不是我们找到点 n 啊，对不对？然后再连接 n 点和正方形的中心点交令，你愿意点 m 就 可以了啊， 就跟刚才那个圆是几乎是一毛一样的，对不对？几乎一毛一样啊，好了，那 m 点就出来了。 好，这就是我们要找的 m。 好， 这就是我们要找的 m， 它现在让我们找。什么叫我再看一遍啊？请在图三中用尺规作图，表示通道 m n 的 长度。好了，出来了， m n 完事。好吧，这就是第二十一题，来，我们把它全关掉了啊！ 尺规作图完事了，如图即为所求。好吧，来我们看二十二题。随着旅游社的热热度的上涨，来山西的游客呢，日渐增多，且客房入住数量也随之增加。 某古镇特色酒店有放客房一百二十间，酒店经理计划调整房价以获取最大利润。经过前期调研，获得如下信息，房价和客房入住间数。房价一百六，房价二百，房价一百九，房价一百七，一百八。 客房入住间数啊，这个这个数字，你想他这么写的就是为了故意打乱你的思路，让你看不到他们间的规律。实际上你只需要知道，他们房价之间每每次房价调整都是以十元为标准，你看一百六，一百七，一百八，一百九，二百，是不是都是以十元为标准上涨的对不对？所以你看一下，一百六涨到一百七，房价涨到十， 数量是不是减少了六？一百七涨到一百八，又涨了十，是不是又减少六，对不对？所以他经常是均匀变化，他一定是依次函数关系嘛。 所以我们知道了第一个客房入住数 y 是 房间 x 的 一次函数， y 与 x 的 函数关系式。我们直接设 y 等于 k， x 加 b 直接带进去，当 x 等于一百六的时候呢，就一百六十 k 加 b， y 等于一百二十。 第二个的话就是随便带一个，当 x 等于二百的时候，二百 k 加 b 等于个九十六，所以它的一减呢，就是四十 k 应该等于一个负的二十四， 对吧？这是一个四对负二十四 k 等于四十分之负二十四。好了，那除以除以一个八吧，负三负五分之三，这就是 y 等于负的五分之三， x 加一个 b， 当 x 等于二百的时候，或当 x 等于一百六吧，二百吧，来点这个。 x 等于二百的时候， 负五分之三乘上一个二百，再加一个 b 等于个九十六，消掉消至四十。负一百二加 b 等于九十六，所 b 等于一百二，加九十六等于六一，二百一十六。所以解一式就是 它就是 y 等于负的五分之三， x 加上一个二百一十六就可以了啊。好的，第一小问 来。第二小问，继续往下看。建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随着每日房价的变化而变化，设每日房价为 x 元，客房入住数为 y， 其日日营收金额为 z， 其中 x、 v、 z 均为正整数，其 x 大 等于一百六，小等二百四。根据表格所提供的信息解决下来问题，而且他告诉你日营收金额是等于房价乘以客房入住率的入住数啊。 第二问，当该酒店客房日营业收入 z 最大时，求这一天的客房单价 z， z 是 什么呢？日日营业金额、日营业金额等于房价乘以客房入住数，那就是 x 乘以 y 嘛？房价是 x， 客房入住是 y， 就是 x 的 括号。负五分之三， x 加上二百一十六，所以你发现 z 上是关于 x 的 二次函数，负五分之三， x 方加上二百一十六， x 当 x 等于负，或，你这么写啊，因为负五分之三小于零，所以 z 有 最大值。 当 x 等于负二， a 分 之 b 时，二百一十六乘上一个六分之五消掉，消掉就是三十六乘上一个五五六，三十三，五十五，一百八，对吧？ 对吗？我再看一下啊。六六，三十六，三六十八，二百一十六，就这里，三，五十五，六，三十三，五十五，一百八，没毛病，当 x 等于一百八十元时，它的时候，客房的这个营收最大，对吧？这第二小问，我们再来看第三小问。 为了吸引顾客，酒店决定为未入住客房、未未入住的房客赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本呢是 m 元， m 小 等于二十，以至于每间入住客房的固定成本含保洁费、水电费为三十元， 那他就是每间客房的成本是不是变成了 m 加三十了，对不对？若酒店希望在房价不超过二百元时，日毛利润仍能随着房价的增大而增大，直接写出礼品成本 m 的 取之范围。 日毛利润等于什么呢？等于日营收金额减去固定总成本，再减去礼品总成本。好了，那不妨设日毛利润为 w， 那 就是 w 就 等于什么呢？日营业金额是不是杠上？就是 x 乘上一个负五分之三 x 加上一个二百一十六，这日日营收金额减去固定成本，再减去礼品总成本。那我们知道固定成本和礼品成本，固定成本就是三十元，礼品成本是 m 元，每间客房都要给，所以呢，总共有多少间客房呢？总共就是这么多间客房，就是负 五分之三 x 加上二百一十六间客房，对吧？因为 y 是 客房，入住客房入住数每一间房的成本是多少？三十加 m。 好 了，现在就总共这么多成本，减去这些成本就是它的日毛利润。我们把它整理一下，就是 w 等于负 五分之三 x 方，加上二百一十六 x， 然后这个的话就减去括号。我先把后面的关键词乘一下，三十乘以它， 这是一个负三六一十八，负十八 x 减去五分之三 x m， 然后再加上一个三六一十八，一三得三四一三得六六千四百八，再加上二百一十六 m， 好，那 w 等于负五分之三 x 方，加上二百一十六 x， 加上一个十八 x， 再加一个五分之三 m x 再减去六千四百八，再减去二百一十六 m w 等于什么？来整理一下，负五分之三 x 方，加上二百一十六，加十八是一个二百三十四，再加一个五分之三 m， 括号 x 再减六千四百八， 再减去二百一十六 m。 好， 那这个二次函数就出来了，他说希望房价不超过二百元时，也就是当 x 房价是 x 小 于二百时，毛利润也就 w 随 x 的 增大而增大，那就意味着什么？它的对称轴应该是比二百要大的，对不对？你想一下，它这个函数应该这样子的，那小于等于二百，假如二百都在对称轴左侧，左侧是为增大而增大，所以只要把对称轴求出来就行了。对称轴是不是直线？ x 等于负二 a 分 之 b 加上五分之三 m， 这就是对称轴，它要怎么样？小于等于啊，不是大于等于二百， 对吧？大于等于二百，因为对准轴要在二百的右侧才行啊。好了，那我们就解一下这个 m 就 可以了，来这边正正没了，那就是二百三十四，加上一个五分之三 m， 大 于等于，这是一个 二加二乘一个五分之三，就是五分之六，那就是二百。乘上一个五分之六，那就是二百四，对吧？ 这就是一个二百四，所以就是五分之三。 m 就 大于等于一个六，所以的话消掉消折是二， m 是 不是大于等于十就可以了？但是我们说了， m 是 小于等于二十的，所以最终 m 的 取值范围就是 m 大 于等于十，小于等于二十就可以了。这是二十二题。我们再来看一下最后道题二十三题，如果一、已知平行四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 d 等于二倍的 ab， 比方说这个长度是 a， 这个长度也是 a， 这啊，不还没读完对吧？我们不能这么说啊，来重来， d 点呢？是 b、 c 的 中点啊， e 点是 b， c 的 中点，过点 e 做 a， b 平行于做 a、 b 的 平行线， a、 d 交于点 o， 判断四边形 a、 b、 e、 o 的 形状，并证明你的结论。 那首先呢，你是过点 a 做 ab 的 平行线，过点 e 做 ab 的 平行线，所以他和他平行，他和他平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再加上因为一点是 bc 的 中点，所以他是 a， 他 也是 a， 那 他也是 a。 一 组邻边相等的平行四边形便是菱形，所以第一小问就结束了，菱形 不写个证明过程自己写啊。二、在图一的基础上连结第一，连结第一，这不是第二问，然后并延长连结第一，并延长交射线 a、 b 于点 f， 连结 a、 e， 并延长交线段 c、 f 于点 j， 其条件不变。探求下列问题第一个猜想图二中线段 a、 e 和线段 e、 j 的 数量关系，并说明理由。 我们可以先把数据标一下，因为我们知道 o 和 e 都是中点，他们都是菱形，所以不妨试这个边长是 a， 他 也是 a， 那 他就是 a a a a 这个我们都知道，包括这个是 a， 也知道了，对不对？好，然后我们说了 d e 延长之后，到了 e f， e 和 e f 是 什么关系呢？我们首先一下子就看到了这个三角形 a e f 和 a e d 可能是一个全等的关系，对吧？那怎么正它全等呢？很好，正因为这个里面有一个什么 菱形，菱形的对角线也是角平分线，所以这个是角圈，这个角圈，这个角叉，这个就是角叉呢，意味着圈加叉就是一个九十度。 所以呢同学，如果它是一个九十度呢？意味着它也是九十度，它也是一个九十度，又是九十度， 又是角平分线，我们是不是就可以证明三角形 a、 e f 和 a e d 是 全等的关系？角边角，那全等之后，这个是 r a， 这个是不也就是 r a， 所以 这个长度也是 a， 对 吧？所以三角形 a、 e f 和 a e d 全等之后，我们依然还知道 e f 是 等于 e、 d 的， 对不对？好了， 但是，但是 e f 等于 d 等于是不是 a 呢？这个我们现在是肯定是不知道的，对不对？好了，他现在让我们求的是 a e 和 e j 之间的关系，那明显 a e 和 e j 现在看起来好像联系不起来。但是你别忘了，刚才第一问里面，我们看到这两个菱形应该是全等的，就是因为 e 和 o 都是中点，所以这两个菱形全等。 所以呢，我们就可以把 a、 e 给它转换到了什么 o c 的 位置， e d 转到了 o c 的 位置， a e 和 o c 肯定是相等的，而且菱形的对角线互相垂直，所以这个地方也是一个直角。假如它是点 p， 所以 你会发现两个直角，也就是 e j 平行于 p c， 所以 三角形 e f g 和 p f c 应该是相似的关系，对不对？好，相似之后，你不妨说，我们来给它换一个字母来标吧， 那就意味着菱形的对角线互相垂直且平分。如果这个的长度是 b， 那 这个长度也就是 b， 那 这个是二 b， 那 刚才全等这个时候就是二 b， 所以 你发现它们的相似比，就是 它比上一个，它二比三，所以我们知道了 e j 比上这个 p c 就是 二比三。因为 p c 又等于 o p， 所以 e j 比上 oc 是 不是二比六，那也就是一比三，所以 e j 比上 a e 就是 一比三的关系， 对吧？所以的话， a e 就 等于一个三倍的 e j 就 可以了。这就是第二小问啊。好，我们再来看第三小问， 第三小问说啥呢？他说，若以点 c d j， c d j 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出 d e 比上 a e 的 比值。同学们，光这个比值的考法已经出现了，在今年的考试里面已经至少出现了两次了，一定要把它重点掌握，有可能就是中考的指向标哟！ 好吧，来，我们看第一个图，他说 c d j 为顶点的三角形，那来，我们看像这个图，我们把这个 d j 给它连起来，那这个地方就很像直角，我们不妨就把它当直角看。好了，这个图我们就不做微调了。来， 既然是这样子，这个地方是个直角，你要问什么？你要问 d e， d e 在 哪？ d e 在 这比上谁呢？比上 a e， a e 在 这 d e， b a， 我 们刚才已经知道它是直角了，所以这个角如果是阿尔法，这个角就是阿尔法呀。有人问阿尔法的正切值是多少，对吧？他是阿尔法同学，那这个角是不是就是二倍的阿尔法？ 因为这个角也是阿尔法，这个角也是阿尔法嘛，对吧？都是二倍的，因为这两个，这两个零性是全等的关系嘛。我们还是先把字母标一标，就是线段的长度，不妨换个颜色，这个长度是 a， 这个长度也是 a a a a a a a， 对 吧？然后我们还知道这个边也是 a， 好， 这是标出来的。别忘了，这个地方有个直角一点，刚才是中点，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如果是这样的话，这个长度是 a 呢？因为这个长度也是 a， 这个长度也是 a， 所以 这里面触发了等边三角形，对不对？也就这个角是一个六十度，这还垂直，那这个角不就是三十度吗？那他也就是三十度，所以你要的 d e 比上就是求三十度的正切值。 第一个答案，三分之根号三就出来了。好，我们再来看第二种情况。为什么这个题会出现第二种情况呢？ 就是因为这个菱形，也就是四边形，平行四边形 a b c d， 它是不确定的。一个平行四边形， 对吧？他只能确定你连结 o e 之后，他能是两个菱形，但是因为这个菱形呢？这个什么没确定啊？这个角度没确定，所以他是可以转的，应用四边形的不稳定性，对不对？所以呢，同学们要想确定这个这点，什么时候运动，运动到哪里， 然后地点怎么运动，运动到哪里，什么时候以 c、 d、 j 为顶点的三角形的时候，那你就找特殊的情况，你比方说我把它变成一个矩形的时候呢？ 看我我，我就找特殊的，找特殊的，如果不行，我再微调呗。这就是做图的基本的方法做图的基本的方法，你不要想着我一步就能把它做到位。不太现实啊，不太现实。好， 如果是这个样子来，这就是，哎，这就是 a， b， c， d， e， o。 好 延长 d， e， o， 好 延长 d， e 和 ab 交汇，点 f 和 ab 交于点 f， 嘿，这是 f， 对 吧？然后呢？再连接 f、 c， 然后这个时候什么连接 a， e 和 f， c 交于点 g。 那 你会发现，其实我画完这个图的时候，它是不现实的，因为这个时候，呃，这个 d、 c、 j 不 可能是九十的情况下， d、 j、 c 也不可能是九十度，所以微调方向错了，而且这个角越来越大了，所以我们应该往回调，对吧？不应该把它往这个方向转，应该继续往这个方向转，明白我的意思吧？好，那我们就再来转一下就可以了，就把这个变得扁平一点， 变得扁平一点。你比方说，我就这样啊，我就这样子啊，尽量变得扁平一点来，再来， 就这个样子吧，好吧，差不多吧啊，就这样啊，就这样。然后连接 e 和它 这个，再调整一下，就这个样子。好吧，就这个样子。然后这是 a、 b， c， d， e， o。 然后呢？跟刚才的意思一样，连接 d、 e 并延长和 ab 的 延长线交汇，点 f 交一点 f， 这就是点 f， 然后连接 f c， 嗯，连接 f c， 连接 f c， 然后你再连接 a e， 交 f c 于点 j， 交 f c 于点 j。 好， 这个就点 j， 然后我们连接 d j。 好，那你看这个时候垂直是不是就出来了？这个地方就是直角，对不对？我换个颜色给它标 a j c， d j c 是 九十度，对吧？此时 d j c 是 九十度。好，这种情况下，我们来求一下， d e 比上 a， e 是 几比几？ d e 在 这， a e 在 这。 那。同样，同学们，你别忘了，刚才我们其实我做的徒步标准不重要啊，你只要知道这个是角圈，这个是角圈，这个是角叉，这个是角叉，圈加叉，九十圈加九，所以这个地方还是九十度，所以我们依然要求的是这个角的正切值，阿尔法的正切值， 对不对？哎，依然是要求它的正切值。好，我们来标一标这个数字吧。我画的徒步标准跟我不标准啊，但是你自己要知道我们的要求啥？这个长度是 a， 这个长度就是 a a a a a， 对 吧？然后这个也是 a， 我 刚才看到求的，对吧？这个也是 a 啊，我图不标准啊，但是你知道啥意思就行。 这个地方应该是直角啊，这个地方应该是，这是直角。好，继续，那么的话，那这个长度你看这个地方变成直角了，它是中点，那我们可以标这个长度是 b， 换个颜色啊， 换成黑色吧。这个长度是不就是 b， 这个长度是不就是 b， 对 吧？ 这是直角三角形，斜边上中线等于斜边的一半，因为 a e 比上 e j 是 三倍的关系，所以这是 b， 那 这个长度是不是就是三 b 啊？所以这个角既然是直角，我们要求的是阿尔法的正切值 摊减，他阿尔法是不是等于 b 比上一个三 b 等于一比三啊？所以第二个答案就是一比三就可以了。好吧，这个图要做微调啊，微调一下你就知道它是垂直的时候，应该满足题。好吧，这就是这道题，下课。

同学们好，一起来看一下太原二模数学第二十二题的最后疑问。不了解题目的同学可以先去公众号了解一下题目 问题是，当房价不超过二百时，毛利润随房价的增大而增大。假设这里是它的函数图像，这是对称轴，这是 x 等于二百时候函数的点，那么咱们只需要保证对称轴大于等于二百即可， 这样在二百之前始终是随 x 的 增大而增大。需要注意的是，此时咱们是把 x 当做所有实数去考虑的， x 等于二百的时候是要比 x 等于一百九十九点九九的时候是要大的，这样才能保证它是始终连续的增大而增大。 而日毛利润的函数表达式咱们可以轻松地得到，然后利用对称轴公式和二百得到一个不等式。解出来 m 的 范围应该是大于等于十，而题中说 m 是 小于等于二十的，所以得到的结论应该是大于等于十，小于等于二十。 但是这么做不符合提议，因为题中的要求是 x、 y、 z 均为整数， y 和内的函数是这两， y 要为正整数，那 x 就 不仅要为正整数，还得是五的倍数才可以。 当 x 的 曲值范围变成五的倍数且小于等于二百时，函数图像就不是连续的了，它应该是离散的点。 在这道题中，咱们真正应该考虑的是，在这些离散的点的情况下，要保证 x 等于二百的时候比 x 等于一百九十五的时候大就可以了，那么对称轴就可以在二百的左侧。 你只需要保证 x 等于二百的时候的结果比 x 等于一百九十五的时候的结果大就可以了， 而前面连续的时候，你二百是要比一百九十九点九九九的时候要大。 x 的 范围变了，咱们需要讨论的情况就变了。 根据二次函数的对称性，此时对称轴所在的极限位置应该是一百九十五和二百的正中间，也就是一百九十七点五。 当 x 正好在一百九十七点五的时候， x 等于二百，得到的结果和 x 等于一百九十五得到的结果是相同的。但咱们的要求是在二百之前要增大而增大，所以对称轴应该更靠近二百。 那么咱们得到的不等式就应该是对称轴的式子要大于一百九十七点五。由此解得， m 的 范围应该是大于五。配合上题中已有的信息，最终结论应该是大于五且小于等于二十。 给同学们找了一道类似的题目，感兴趣的同学可以练习一下，会把清晰的图片放在评论区和公众号。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！ hello， 各位同学，最新鲜出炉的啊，咱们山西中考二模数学题的十五题讲解它来了， 这道题咱们怎么做？同学们，可能这是中考前你最后一次有机会逆天改命了，只要你看到大熊老师这个视频，失误题很难对不对？同学们，你会觉得很难，但是只要你用了我的方法，熟记我的套路，这个题目就是百战百胜 啊！因为出题人的心思咱们要摸得准，同志们，高情商做题啊！首先，读到这个题目以后， 在读它之前，我就得明白老师上课说什么关注特殊点，特殊角就是做出本题的关键。那么当你读题的时候，同学们，哎，慢慢的去读，角 b 是 个四十五度特殊角， ab 是 个三倍根号二， bc 是 个九。 那么说到这里，同学们，三角形 abc， 它就是一个可解的三角形。什么叫可解的？它的三个边，三个角我们都能给它解出来 过。点 a 做一条垂线，垂足即为点 g， 那 你说呢？三三，这 g， c 呢？六？所以同志们，我们得到了本题最关键的一个信息，人家角 c 就 不是一般角， 人家是一个一比二比根号五的特殊角。同志们，如果你没找到这个信息，那么你做这个题又会差下一截。 好，紧接着，让我们求谁呀？后面继续读啊，继续读！读到这么一句话，人家让我们求的是 d f 这个地点，你就看吧，特殊不特殊。题上说了，特殊 a， d 的 长度是 c d 的 二倍， 那当然，我们刚才能求出来同学们，一比二比根号五嘛，算出来 a c 等于三倍根号五，但是这都不重要， 重要的是老师曾经说过，我们一定是过特殊点做平行线的构造相似，并且是满足什么呢？满足一箭双雕的构造相似。假如过点地做条平行线，与 b、 c 交于点 h， 我 问大家， 这两个 a 字相似的三角形，相似之比是多少呢？可不是一比二啊，而是一比三，所以他是三倍根号二，那他就来到了一个根号二， 做到这里。好像啊，你比如说这是六，这是三啊，我们都能求出来。做到这里，离求出我们的 d、 f 来，其实就剩下一步了。同志们，求一条线段长度。你记住，就三种套路，第一，相似构造，全等构造直接出。 第二，长线段剪短线段。第三，为它构造直角三角形。在这里，老师选用的是第三种。 你会发现说老师好像离成功很接近了，但是我心中总是有一种隐隐的不安，同志们，对了，有这个不安才对。 最后一步，我们得证明什么？同学们，过点 d， 老师做了一条垂线，我得向你证明，这三角形 d、 h、 i， 它是一个一比一比根号二的三角形，没毛病。但是与此同时，三角形 i、 d、 f， 它就是一个一比二比根号五的。有的说，老师，为什么？ 难道角 i、 d、 f 等于角 c 吗？对，你的直觉很准，你说这个东西从哪里得出来的？同学们，你有没有发现，我们题目当中有一个条件自始至终没用过，就是 d e 等于 d a， 这不用我给你干什么啊，对不对？一定要用，用什么？要么三线合一，要么等角去倒角。 那么在这里，同学们，请看角 a 的 度数，我可以写成四十五加角 c， 角 e 的 度数可以写成四十五加角 c。 那 么顶角的度数呢？就是一九十度减二 c。 包括这个对顶角啊，对顶角，角 c、 d、 f 的 度数就是九十度减二 c。 好外角角 d、 f、 i 的 度数呢，就是一个九十度减角 c。 所以 角 i、 d、 f 就 等于角 c， 而角 c 又是一个特殊角，一比二比根号五，这 d、 i 长度等于一 d、 f 长度之出二分之根号五。 搞定你，学霸同学们你就学吧！最关键的套路和思想老师已经教给你了。这中考的十五题，你还怕个锤子呀？拜了个拜，下个视频不见不散。

我们看到这个题是泰元二幺二十三，那前两文有一个，第一文非常简单，要证明它是什么，它是个菱形二倍关系，所以说 a、 o 等于 ab， 它是平行四边形，菱边相等的平行四边就是菱形，很快就可以挣出它来了。 那后边这个要求 a、 e 和 e、 g 的 关系还是一样的，你要将 a、 e 和 e、 g 在 一条指向上挣它的关系， 接住什么，就接住的就是平行线。所以我们延长 o、 e 交与点 m 出来，那就是根据相似来证进行证明。这个三角形和大的三角形，这是一个 a 字形，相似一点是准点， 所以说这个 e、 m 它是平行且等于二分之一 b、 f， 而 b f 的 长，它是等于 ab 的 长，所以那那就等于四分之一倍的 ab， 所以 说一点呢，是等于四分之一 ab， 那 么你的这个 e、 j， 它不也就是四分之一倍的 ab 吗？那么这点就是什么？这点呢？ e 点不就是它的刚等分点吗？所以说这个 e、 j 比上 a e， 它就等于一比，或者是 a 一 就等于三倍的一 g， 所以 说很快就给它写出它的关系了。这是第二个，主要是第三个要求的是， 若这个 c、 d、 g 这个三角形为直角三角形，那么 d、 e 和 a、 e 的 比值是多少？那么这个是直角三角形，无非就是三种情况，我们要进行讨论一下， c 点为顶点，它是直角， d 点为直角对不对？ 而 d 点可不可能为直角， d 点是不可能为直角的，因为你 b、 c， 你 不管怎么样移动你的这个 c、 d、 j， 它永远都是一个锐角。 来咱们看一下这个动图，来大家看一下这个图，最近看不管我怎么动，它的 c、 d、 j 角是不是永远都是锐角？ 再看，那什么情况下，咱们再分情况看一下，当 c 点为直角的时候，就这种情况，那 c 是 直角进行求解就行了， 这是一种情况。第二种情况，就当 g 为直角的时候，再把该有的信息带进去，再求它的比例就行。来，咱们再回过题，题里面咱们再看一下，咱们先看一下第一种情况，当这个 c 为直角的时候， 你看一下我们说这个一点还是中点，你看这段长和这段是不是一样长？因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，那么 c、 d 它也等于 e c 的， 因为题里面给了 a、 b 长是等于二分之一的 a 的，是吧？所以这个相等，所以这个三个边都相等，这是不是就是一个等边三角形的？那如果它是等边三角形，那么这个角是多少？那这个角是不是就六十度？所以说它也是一个等边三角形，那你要想求这个 d e 和 a e 的 比值，那 d e 在 这里边， a 在 这个地方，那就是直角三角形里边的三十度，六十度，这个直角三角形里边的角边之比了吗？所以 a 上边的三十度，那就是等于这个 d 一 比上 a， 那 就是等于三分之根号上，这就是第一种解。咱们再看第二种球，当这个地方是九十度的时， 这点为九十度，那么这个位置是不是也是九十度，那这个位置是九十度，那么这个一点是中点，所以说这个 e、 g， 那 么它就是这个直角三角形 d、 j、 f 中的斜边上的中项，那斜边上的中项是不是等于这个斜边一边？所以这个和这段是不是就相同了？而这个地方它是九十度的，所以说它就是个等于二角三角形，所以我们就知道这个 d e 它就等于这个 e j 了。 而我们这 e j 和 a e 的 b 它是一个一比三的关系，所以说这个位置 d e 和 a e 的 b 它也是个一比三， 这是两种解，就给他取出来这个是太远二模的一个。最后一道题，大家有什么样的其他的做题方法都可以分享在咱们的评论区。

各位同学大家好，我是奥术师，今天呢给大家分享一下二五到二六太原二模考试的填空压轴题。来，我们先看题目本身啊，已知三角形 a， b、 c 中角 b 呢等于四十五度，我们先标注一下哈，这个角度呢是四十五度， a、 d 呢等于三倍，根号二， bc 等于的是个九。那我们先知道，这样啊，这个位置呢是一个九点 d 呢是 a、 c 上的一个点，然后 满足 a、 d 比 d， c 等于的是个两倍，对吧？点 e 呢，在 b、 a 的 延长线上连接 e、 d， 然后并延长交 b、 c 于点 f。 若这两条边是一个相等的关系，让求一下这一小段 d、 f 的 长度是多少？ 来，我们先从题目本身出发好，嗯，本身来看的话呢，其中最关键的一个点就是这个地点呢，是个定比分点，对吧？那我们看到了还有四十五度，所以呢，我们先从点 a 向下作垂，先构造一个等腰直角出来就可以知道， bm 的 长度是三， am 的 长度呢也是一个三，一共是九，那说明剩下的这一段 cm 的 长度呢，就等于六， 对吧？这样的话呢，我们就能知道一个什么信息呢，从角度来看的话，我们就能知道 am 比上 cm 的 比值呢是一比二，我们就可以得到呢角， c 的 度数呢是个二十六点五， 这是一比二比根号五的，那言外之意呢，三比六比的就是三倍根号五，所以呢， a、 d 和 c、 d 之间是二比一的关系，我们就可以求得 a、 d 长度为二倍根号五， c、 d 的 长度呢为根号五， d， e 呢又和 a、 d 相等，所以它也是一个二倍根号五，我们就会发现 d a 和 d e 呢，是一个等幺三二型， 同时呢两腰的长度是个二倍根号。那接下来呢，我们通过特殊角的方式啊，就利用倒角来进行，那我就可以知道这个角度呢是外角，它等于四十五度，加上这个二十六点五度，也就是个七十一点五， 同时呢角 e 也是一个七十一点五度，两个加起来呢就是一百四十三，所以我就能知道这个角度是三十七度， 那对顶角过去呢，这个角度呢也是一个三十七度，这时候我们可以干嘛呢？我们就能知道了哈，三十七度的三边被比关系是多少呢？是三比四比五，而他是一比二比根号五，所以呢，我们就可以过点 f 做垂， 对吧？那我们假设这一部分是四 x， 这段是五 x， 这段是三 x， 那 剩下的一段呢是六 x， 那 我就可以得到什么呢？得到了四个 x， 加上这个六个 x 呢，一共是等于这个根号五的，那就可以求得十个 x 是 等于根号五， 而我们要求的 df 呢，它恰恰好等于的是五个 x， 也就它的一半二分之根号五。 这样呢，通过特殊角呢，我们就可以把这个题目呢去求解完成了，对吧？这是四十五度构造过程中的第一种方式，当然四十五度可以的构造方式是，第一种是做他垂，第二种呢就是做自垂，来，我们看第二种方式哈，那我们可以怎么办？我们可以过点 a 向这边做一条垂线， ok， 那 得到呢？这个这个部分呢，是一个九十度，同样的根据刚刚的三倍根号二，那这一段呢，也是一个三倍根号二，所以呢我们就可以求得另外的一部分，假设这个是 n 吧，那 b、 n 的 长度呢？就是一个六， 对吧？那这一段的长度是六，接下来怎么办呢？我们要求的是这个 d、 f、 d 是 一个定比分点，所以我们怎么办？其实我们可以过点 d 做它的平行线，那这时候呢，其实我们连接 d、 n 就 可以了，为什么连接 d、 n 就 可以了呢？我们会发现这个角度是四十五度， 对吧？那这个角度呢，也是一个四十五度，做平行，这个角度呢是四十五度，那这儿呢就可以实现一个垂直的关系， 对不对？那这样的话呢，我们根据刚刚的关系啊，还是这种对应的二比一的一个这段比，这段是二比一，那我们可以得到，那 c、 d 比上 c、 a 呢，就是一比三，同时我们也可以求得这一部分呢，比上这一部分是不是等于一比三？ 那我们同样可以求得一些东西，这个呢就是一个根号二， 再加上 b、 a 和 d、 e 相等，它是一个等腰，那等腰我们肯定是要做三线合一的，对吧？那做完三线合一之后，我们就会发现这个图形呢是一个矩形， 也就意味着什么呢？意味着这一段是根号二，这一段也是一个根号二。那我们说了哈，做完的辅助线一定要用两次，那我们刚刚呢已经用过了一次，第二次怎么用呢？第二次我们会发现 这一条和这条也是一个平行，那这样构成了这样的一个 a 字形的一个相似，对不对？那 d f 比上 e、 d， 它的比值就可以求得，对吧？那 f d 比上 f e 就 等于 b n 比上 b e， 这就可以去进行求结了，对吧？那我们看一看啊，继续往下进行，我们就会发现， d n 的 长度比上这个 b e， 对吧？它就等于什么呢？等于我们要求的 df 比上这个 d。 接下来我们把数据求一求，哈，当然还有一个，这个比值也是一比三比根号十，那就是它的根号十倍，也就是根号二十。换一句话说，这一段是二倍根号五， 这段呢也是一个二倍根号，对吧？把数据代入我们就可以求得了， d， n 是 个根号二， b e 呢是五倍根号二，对不对？ d f 还是那个 d f？ 最后的一个比值是，呃，应该是 e f， 哈，这个地方老师写写错了， 对吧？ e f 这是什么呢？就是 d 是 加上这个二倍根号二，对不对？那一比五的部分我们代入呢？算一下，同样呢可以求得 d f 的 长度是一个二分之根号五， 这呢就是四十五度构造的两种方式，加上特殊角以及什么呢？以及背比关系的一个应用。好，今天呢，我们就分享这么多有需要讲解的部分呢，欢迎大家评论区留言。

太原市二模数学卷子新鲜出炉，我们要对这套卷子进行一个分析啊，整体来看的话，我个人感觉 出的题目还是有些地方是比较新颖的，这个考察的内容是更加的细致，包括我们的计算量要比我们的审调研还有我们的一模要提高了一些，包括我们的这个二十三题，一个几何变化，它和以往的不一样，它并不是旋转、平移或者折叠了，而是一种 图形的这种，嗯，扭曲的一种变化了。来，具体的我们来一起来看一下吧。来，咱们来先看一下选择题，选择题当中比较不常规的地方啊，就是我们的第三题， 第一题和第二题，他考察的分别是我们对有理数啊，正负数的一个理解，还有一个是轴对称图形的一个变化，轴对称图形 啊，都比较好理解，这两个还比较好拿分。但是对于我们第三题来说的话，拿分还是要动一些脑筋的，因为他考察了我们的乘方运算的本质，很多孩子看到这块多少是有点蒙的，因为在我们的一模还有审调研啊，包括我们往常的一个考试当中， 他通常考的是涉及到我们的整式预算的一个识别，正确与否的一个识别，所以在这的话，可能这个丢分率会稍微的偏高那么一点点。再来看我们的一个第四题，第四题的话，这个题这个图像瞅着有点复杂，但是还比较好识别一些。 第五题是科学计数法啊，现在我发现这个科学计数法的这个位置啊，再往后移，嗯，难度的话，他需要你去计算 啊，多零少零，问题是粗心孩子们的一个小坑了。第六题的话，是我们的一个三角板和我们的平行线的一个倒角，还是比较常规一些的。再有就是我们的第七题就是对概率的一个理解啊，也比较常规，你都还好。第八题是一个圆球角的问题，常规。第九题呢，是对函数图像的一个理解，还是比较常规一些的。 再有就是第十题啊，我觉得这个第十题他把难度给降低下来了。为啥这么说呢？因为往常我们考的考察第十题的内容的话，他是一个呃圆的一个阴影面积吗？啊，或者说是弧长呀，求跟圆有关系的。但是这次的他考察的却是对我们平面直角坐标系当中坐标的一个理解，难度降低。 第十一题考察的平方差和我们的平均数啊，难度不大。 第十三题的话，涉及到反比例函数的一个实际的应用，它不仅要求出来这个反比例的表达式，还要去结合我们的函数图像确定一下函数的一个最大值。 这个放在九年级期末考试当中也是比较常规的一道题目。第十四题的话，它是我们的正五边形，还有我们的圆 嗯的一个结合。如果我的学生他这看到这道题肯定会窃喜，原因就是我让他们背过正五边形，他的角度直接是多少，他直接用上这个角度的话，可以缩短我们的做题的时间，效率就会提高。 十五题他这个难度啊，是是有在上升的，但是对于会做的孩子是能熬出来的，对于不会做的他还是不会做。 十六题都比较常规，第十七题的话啊，不常规了，为什么？因为平常我们十七题经常考察的是我们的四边形呀，或者是作图呀，或者是圆，但是这次呢，他他考察了我们的垂直平分线的一个使用， 十八题也比较常规啊，十八题也常规，不说了，这个第三问呢，给了我们一个经验，就是要积累一下对平均数和中位数他们的作用的一个识别。 十九题就是我们的应用题，考察了二元一次方程组，还有一个简单的不等式。这几次的考试当中，这个应用题我还是比较放心的，因为往年他考察应用题，可能给你来一个一次函数的对值呀，啊，这个孩子们就容易丢分，但是这几次的考试，这个应用题还是比较好拿分的哦。 三角函数在二零二五年的中考当中，他的难度要比这个难度要大一些，因为他的辅助线的画法对特殊角的处理这块难度是放在这了。但是今年二模这个三角函数题目的话， 他这个辅助线还是比较好想的，也就是就是一个设 x 去求边长，计算量还是会大一些的。二十一题的这个材料题我很喜欢，原因就是 难度逐渐递增，并且他的类比思想用的非常的好。在第三问当中，我们把原本的那个圆的图像画成了我们的正方形，但是他没有违背对于轴对称图形的一个使用，所以这道题目作图上边可以沿用我们上一第二问当中对圆的一个处理， 所以类比思想用的还是比较好的。第二十二题，二次函数第一问啊，第一问当中计算量就出来了啊，他要比省调研也好，还是我们的异模的题目当中，这个第一问来说的话，计算还是会重一些的。第一问，第二问来说，呃，可以拿啊，可以拿下来分。第三问，嗯，如何去理解 日利润仍然随着房价的增大而增大的这句话，去确定对称轴和我们 x 的 范围的一个限制，这块是 理解能力偏弱的孩子就不太好拿分了。或者说你前边由于计算量啊，由于花的时间比较多了，你的时间不够了，你想去拿一下二十三题，这块不好拿分，二十三题，这道题很新颖。第一问考察的也比较常规，就是我对我们菱形的一个判定，还比较简单一些。 第二问，终点的用法，如果孩子对终点做辅助线这一块不太擅长的话，那这块想，那么他想的时间会可能长一些。本质上就考察了一个平行线，分线段成比例这件事。 第三问，他的这个作图是平行四边形这种扭的，这种作图方法不同于以往考察的折叠平移，对孩子们在有限的时间里边去搞他的话，确确实实是有难度的。 整体分析完我们这个二模的卷子的话，我觉得他肯定是要比调研那次的卷子难度要大的，但是他并不是我们中考的这个最后的成绩，所以不到最后一刻不要泄尽。

大家好，我们来现在来看这个太原市二模第十五题啊，嗯，今天一起和大家分享四种方法，我们一个一个来看啊， 先看这个题啊，题是他告诉了什么脚臂等于四十五度，这个地方这个角是四十五度啊，四十五度， 然后 ab 是 三倍根，二， bc 是 九，这个地方是三倍根二， bc 是 九，最下面总的 bc 是 个九， d 是 a， 四上一点 ad 等于二倍的 dc， ad 比上 dc 是 二比一的关系， ed 并延长交 ab 与点 f d e 等于 d a， 这个是告诉我们 是一个等腰三角形，那么求 d f 的 长啊。我们先来去仔细地去看它，这一条件告诉了我们哪些关键的地方啊？第一个关键的条件是什么？角 b 等于四十五度，那看到角 b， 我们首先要就要想去过 a 点呢，就是把角 b 这个四十五度放到等腰直角三角形里啊，那过 a 点的话，我们就可以去考虑做一条垂线，对吧？做一条垂线，然后这个地方做个 g a g， 然后做完垂线以后，我们就会发现 a b 是 三倍根儿，那 a g 和 b g 它都是，那 这个都都能表示出来，那 b c 是 九的话， c g 就是 六，对吧？ c g 就是 六， c g 也能算出来啊， c g 就是 六，再看他啊，函数的第二个关键条件在哪里？第二个关键条件在这啊，第二个关键在这， 这个是 a d 等于二倍 d c， 那 a d 一 般是倍数关系，也就是比例关系，告诉我们这个的话，我们肯定会去想做平行，去解决一些相关的比例线段的 一些关系，去剪线段长啊，所以告诉我们这个就是让我们去想做平行了啊，那第三个关键条件是这啊，这个就是第三个关键条件， e d 等于 d， a， 那 等腰，那看到等腰我们肯定会去做什么？做这个 三线合一嘛，对吧？所以过地点应该是去做一个 a e 的 垂线啊，那然后一做出来，这个地方就是垂直，并且这个星写的 h 点嘛， 并且 a h 等于 e h 啊，它都是中中线垂线角分线，所以这两个角也相等啊，这两个角也相等，我们给它一个角记为 beta 角啊，这个也是 beta 角， 然后这样做完以后，我们再来看一些基础的一些线段，是不还能得出来啊？ a g 是 三， c g 是 六，那它是一比二的关系，也就是 a g c 这个三角形，它是一比二比根五的关系，我们把这个角记为角 r 就是 角 r 所在的 角 alpha 所在的比例是一比选一下啊，一比二比根五，对吧？也就看见它角 alpha 是 个二分之一啊，我们再来看啊，再来看， 看到这个就是题里头这个关键条件，除了能想到过 a 作 g， 就是 把它放到一个啊直角三角形中去，把相关的线段求出来以后，还还能想到什么？ 四十五度，经典的一二三四五的模型里面就会出现四十五度，是不是？所以我们这个题看看能不能用这个一二三四五模型啊？然后这个地方啊，咱们再来看， 那这个角是阿尔法这个四十五度的哈，那这个是他的一个外角，他就等于阿尔法角加四十五度了，是吧？这个这个用为一算角，一标为角一就等于四十五度，加上个阿尔法 四十五度加上个 alpha， 然后 beta 和角一的话，角一加上 beta 又是九十度，所以这两个 我们就能得出来， alpha 加上 beta 它是等于四十五度的啊，那这两个推出来它是四十五度，我们知道的一二三四模型，现在可以再来去给他回顾一下是什么情况，就是如果有一个角的正切值等于二分之一， 另外一个角的正切值等于三分之一，还有一个条件是 alpha 加 beta 等于四十五度，也就是这三个条件，这三个条件呢？ 知知道其中的任何两个都可以推出来第三个，所以我们现在的话，我们就会发现，我们现在知道了它的正切是二分之一，它俩加起来是四十五度，所以我们就能读出来这个 看见他被他就是等于三分之一，都是三角形。 a d h 这个三角，这叫三角形中被他所在他的三边比就是一比三比根十啊，被他所在的三边比就一比根三比上根十。 现在我们看看，如果其中一边知道了，我们三边的话，都能算出来这里面的话，其中的一边 a d， 我 们可以根据你的条件，这个 a d 等于二倍的 d c 啊。 ad 等于二倍的 dc， 就 能算出来它 ad 是 多少， ac 不是 ag 三 c g 六，它不是 三倍根五吗？它由 ad 比上， dc 又是二比一，所以 ad 就是 二倍根五，对吧？然后还有一个条件是 ad 和 d e 相等， d e 也是二倍根五，这是它 基础线段的一些大小啊，我们就都知道了 d c 是 根五，然后我们接下来怎么算呢？算到这儿再再怎么算呢？ 刚才说 a d 知道了，那它是一比三比根五的话，那 a h 等于多少呀？ a h 就 能算出来啊？ a h 在 这个三角形中就能算出来， a 是 算出来是根号下二，那 h e 也是根号二，也就 a e 整个是二倍根二啊。这里面的话我们还能看出来一个什么，它就是 a 的 一个形状， 是不是我们会见到跟那个梅尼老师定理的话是非常符合的，所以我们可以尝试用梅尼老师定理来给他这个，给他写出来。那梅尼老师定理的内容是什么？他就是在一个三角形中，他被 边长被隔点分开的每一条线段的比值乘起来，它是等于一的，具体是怎么值，对于这个来三角形来说，我们就可以看利用 min 老师定义的话，可以用什么？就是 e， a 从一点到这个 a 是 看成是隔点，比上 ab 乘以 b 点到隔点是 c， 看成 c 到 c， f， 再乘以一个 f 到 d 点隔点，然后再 比上 d， e， 它们三个的比例乘起来是等于一，然后我们会发现这里面的话就剩下，嗯， e， a， a， b， b， c， d， e 这些线段都知道了，就是 e， a， e， b， a， b， b， c， d， e 都知道了，就剩下 f， d 和 c， f 不知道，所以我们给它具体代进去以后，我们能得出来什么？得出来一个结论是 d f 比上 c f 等于一个 三分之根五啊，我们利用这个每年劳时定律，可以推出来它俩的一个边的比，推出来它俩一个边的比，我们能有什么用呢？也就是 d f 就 等于三分之根五倍的 c f， df 和 cf 的 一个关系啊，最后要求的就是 df 嘛，所以我们如果把这个 cf 算出来的话， df 也就知道了啊，那现在的话，如果 cf 是 x 的 话， df 就 剩三分之根五 x 了啊， cf 是 x， 那 df 就是 三分之根五 x， 那 这样的话，我们可以到这儿的话，我们再来观察啊，地点 tf， 这个时候我们再去想，如果要是能把它构造一个角三角形，用勾股定律我们也能把这个 tf 算出来啊。我们尝试一下这个地点过来 做一个垂线，做一个垂线啊，做一个垂线以后还会发现它这个做过来是叫个 m 吧， dm 和 a g 它也是平行的，那它的比例的话就是也是 c d 比 d a 不是 一比二吗？所以 c m 比上 mg 也是一比二，对吧？那 c m 就是 二啊， c m 整体整个就是二， c m 就 可以写出来是二， c m 等于二， 然后 dm 和 a g 呢，它是一比三啊，一比三，所以 dm 也就能是一啊， dm 就 能知道是一，那那么在这个 dm c 这个直角三角形里头有同啊 啊，我们可以拆成这两部分啊，在 d m f 这儿也是个直角三角形，我们可以给它表示，因为 m f 的 话可以， m f 可以， 可以用 c m 减去 c f 嘛，对不对？就等于 c m 是 二，减去 c f 是 个 x， 那 m f 是 二点 x， df 的 话是三分之根五 x， dm 的 话又是一，这样在 r t 三角形 dm f 中，我们用勾股定律就可以给它表示出来，就是一方，加上 二减 x 的 平方，就等于 df 的 平方等于九分之五 x 方，这样子列出来一个因元二次方程啊，这样把 x 能解出来， x 最后解出来是一个二分之三， 或者是二分之十五两个值，两个值肯定是只能要一个，为什么？这个二分之十五？大家看看 c f 四的是 x， c f 四的是 x， 对 吧？然后总共总共 c g 才是六嘛？ c f 肯定是小于 c g 的， 所以它这个二分之十五肯定不行啊，肯定不行，它大于六了，大于六就把这个选这个得数就舍掉了，只有二分之三啊， x 等于二分之三了，那 d f 等于三分之五倍三分之根五 x 啊，乘一个三分之根五，乘以二分之三，那不是二分之根五吗？ 最后就是二分之根啊，这是这一种方法比较复杂的一种方法，就是它主要是用哪些东西啊？一二三四五模型，加上勾股定律，再加上 a 字三角形相似三角形啊， c， d， m 和 c、 a g 之间这个地方是 a 字相似。再一个，呃，用了一个， 其实这个每年老师定力啊，不怎么用啊，不怎么用，但是他有时候用起来的话，哎，也还可以，就是也能解决一些问题，所以如果遇上这个特征符合的啊，交叉线的话，我们可以在其他方法找不见的时候，我们可以考虑用这个每年老师定力去剪啊， 这样的话把这个题是这种方法给算出来了。我们现在来看啊，第二种方法啊，第二种方法主要是还是用一二三四五模型以及三线合一角加上这个八字相似啊。我一开始就分析了， a d 等于二倍的 d， c 这个地方 有了比例值，有了比例值的话，我们就会想什么做一个平行去把这个比例线段联联系起来，把它求出来。所以我们现在的话，嗯， 基础的这些辅助线还是要还是一样的啊，一样，就是这个地方需要我们做垂线，这个还是一样的啊，这个 a、 g， 然后包括三线合一这个地方，过 d 点 不定点做一个垂线，然后它的基础线段，这些都一样啊，还是三倍根二、三、三这些都知道。六，然后 a、 c、 a、 d 是 二倍根五啊，然后 d、 e 也是二倍根五， 然后这个地方是根二和这个 h 点，根二和根二啊，然后 c、 d 是 个根五， 就是基础线段还是这些。然后再观察这个，它是告诉了 a、 d 和 d、 c 是 二二比一。所以我们，嗯，这个时候去想，就是做一条平行线。那过什么地方做呢？我们不妨先考虑从 a 点啊做一个 b、 c 的 平行线啊， b、 c 的 平行线，做完 b、 c 的 平行线，咱们这个地方，嗯，标个字母啊，标个 n 吧。嗯，勾 a 做 a、 n 垂平行于 b、 c， 然后这样做出来的话，那么很明显缠上了一个八字相似， a、 d、 n 和 c、 d、 f 这两个相似。而且呢，这里面可以用上咱们的 a、 d 和 d、 c 的 一个二比一的关系。所以我们得出来， a、 n 比上 c、 f， a， n 比上 c， f 也是二比一，是吧？然后 n、 d 比上 d， f 也是二比一，也是二比一，这个地方也是二比一。然后还有一个就是 a、 n 平行于 b， 平行于这个 b、 c、 b、 f 吧，在 a、 e、 b、 f 这个三角形里头，它仍然有是有个比例，它是什么？你看 a 点在这，它上面是二倍根二吗？底下是三倍根，也就 e， a 比上 ab， 它是二比三的关系。到这边的话应该是 e n 比上 n f 啊， e n 比上 n f 也是二比三的关系，那我们就可以设什么？设一个 e n e n 等于二 x e n， 这儿设一个二 x， 然后正好 n f， 它是三份的话，正好上一个比例关系，二比一正好都能用上啊，这个就是二 x 呢？ d f 就是 x， 对 吧？这样就是二 x， 二 x x， 整个 e f， 整个 e f 都能表示出来。对，整个这个 e d 的 话就可以写成多少了， e d 等于四 x， 对 吧？四 x 我 们知道 e、 d 又等于 a， d 是 等于二倍的根号五，所以 x 就是 四分之根五，四四分之二倍根五就是二分之根五啊， 那这个 d f 刚才算 d， f 就是 x， 就 等于二分之根，所以这是一种方法啊，比第一种方法要简单多了。这个做了平行线以后，我们再来看第三种方法啊。第三种方法 还是基础的这个，嗯，把角 b 放到角， b 四十五度放到到腰子角，这个最基础的线段咱们还是不变，然后过 a 做一个 a， g 垂直于 b、 c， 然后三线合一，然后下来的话，我们要这里头还是去考虑这个地方， a、 d 比上 b c 等于二比一，又是这个，这个地方是二比一啊，二比一的关系，那我们可以是不是可以从 d 点，从 d 点就是想用上它，这个比例我们还可以考虑从 d 点，对吧？ d 点考虑做一个 b c 的 平行线， 然后这个地方我们用一个字母 m 表示吧。做了这个平行线以后，那这个四十五度角同一角是不是就可以转移到这了？转移到这以后我们再再去想，如果还是去 把这个四十五度放到一个直角三角形里头啊，我们就会去考虑它这儿是四十五度，那就在想，如果把它放到直角三角形里头的话，需要我们从 d 点做一个 a、 e 这样的一个垂线，是不是这样做出来的话有什么好处呢？把四十五度又构造了一个等腰直角，而且呢，这个垂线就是做到 a、 e 上了，这个三线合一我们也同时用上。就是这个垂线嘛，就是两个用途，一个是让这个 这个地方还是 h 吧， d h m 变成了一个等腰直角，而且 d h 又是 e、 d a 的 三线合一，对吧？三线合一的 d、 h 算出来以后，我们再根据这些比例啊， ab 不是 三倍根二吗？ ab 三倍根二，做了这个 dm 平行 bc 以后， am 比上 mb 就是 二比一，对吧？二比一正好，它 am 就是 二倍根二，底下就是根二， 然后嘞，然后 dm 比上 bc 是 不就是二比三？ bc 是 等于几啊？ bc 是 等于九，那 dm 二比三啊，比上 bc 是 二比三， 所以 dm 就 等于六是吧？ dm 等于六。又在这个 d h m 中，这个角是四十五度角，所以我们就能得到 m h 和 d h 这两条边的长度啊，这两条边的长度分别分别是多少？是不就是三倍根二呀？ m h 等于 d、 h 两条等腰的这个等腰直角三角形腰就是三倍，三倍根二的话，这儿是 am 是 二倍根二，那 a、 h 就是 根二，然后同时这个 h 又是重点，所以这个也是根二就都知道了啊。 d h 是 二倍根二，三倍根二也知道了。 算到这儿的话，我们再看啊，嗯，再看就是这些相关的线段我们都求出来，那 a、 d 和 d、 e 的 话，因为一个根二一个啊， d、 h 的 话是三倍根二，所以 a、 d， a、 d 和 d、 e 的 话就是 二倍根五啊，也算出来了。 d、 e 算出来的话，我们再看它的比例啊，再看它的比例，那 e、 d 比上要求的是 d f， e， d 比上 d f 是 不是就等于这边的 e m 比上 mb 呢？ e、 d 比上 d f 是 不是等于 e m 比上 mb， 那 e、 m 那 边的所有线段不是都求出来了吗？ e、 m 是 不是四倍根二，对吧？你算 m b 是 根二，所以它是四比一，也就是 d f， 它是四分之一 d e， 那 d e 是 二倍根五，乘以二倍根五，就等于二分之根五，这样也把这个 d、 f 啊， d、 f 也算出来。 这是第三种方法啊，我们再来看，还有一个方法啊，就是除了第一种方法感觉有点难以外啊，剩下的计算量稍微小一点。 那我们接着来看这个第四种方法，还是最基础的。这个，嗯，辅助线呢？我们还是得需要啊，过 a 做 a， g 垂对 b， c， 包括 d 过，过 d 做 a， e 垂，线还是三，根据三线合一得出来，所以我们还得用它啊，还得用它， 然后，嗯，续接上第一种方法。第一种方法不是这个角是贝特角吗？这个角是贝特，这个也是贝特，也就这两个角其实是二贝特，对吧？二贝特，当时贝特角是得出来的，它的一个 正确是三，所以我们通过这个我们去以前结合以前做我的题的话，那二贝特 贝特角所在的三角形的三边直角三角形三边比是一比三，那么二贝特，二贝特所在的直角三角形的三边比就应该是三比四比上五，也就这个地方二贝特，那反过来的话，这个地方也是二贝特，对不对？ 我们知道这个角是三比四、比五，然后而这个地方是阿尔法，阿尔法那么第一种方法不是就 计计算的出来他是二分之一嘛。所以这样的话，在 d f c 中啊，要求的是 d f， 所以 我们可以去在这可以去想这个，把这个 d f c 这个三角形去解出来，那解的话怎么解呢？ 这个角所对的是三比四比五啊，所在三角形三边比三比十五，这个是啊，一比二比根五，所以我们这个这个就 能接下来想到什么，需要我们过 f 点做一个 c d 的 垂线，因为这个三边笔的话，它只是正对在直角三角形中啊，做一个垂线做过来， 做一个垂线的话，我们把它叫去 m 点啊，这样的话，在 d m f 和 c m f 中，它两个各自是一个三比四比五，一个 r t 三角形， d m f 是 三比四比五，然后 r t 三角形 c m f 是 一比二比根五，对吧？ 所以我们现在的话可以把这些都假设出来啊，比如说设这个 fm 啊， f m 就 等于三 x， 那 dm 是 不就是四 x， 对 吧？ dm 就是 五 x， 同样的把这个 c f m f 里头也给它设出来， f m 是 三 x， 那 c m 就是 c m 就是 六 x， 对 吧？ c m 就是 六 x， 这样的话，我们你看 c d c d 是 不是可以写成 c m 加上 d m 多少四 x 加上六 x 就是 十倍的 x， 又知道 c d 是 等于多少？十倍的 x 是 等于根五嘛，对吧？十倍的 x 等于根五，这样的话 x 就 等于十分之根。五， 那要求的这个 d f， d f 等于 五， x 就是 五乘以十分之根等于二分之根啊，这样也把 d f 求出来了， 这样的话四种方法就这样啊，分享完了。嗯，这里头关键的就是什么？关键是什么？他这个把四十五五度角构造一个直角三角形，这个是啊，哪个方法都缺不了，都要用啊。还有个三线合一也是用的最多的啊，也是最基础的一个 不足线。所以我们在以后碰到类似的问题的话，就是去想啊，碰见等腰就去想三线合一，碰到比例就去想平行，因为这个方法里头的话，基本上大多数都是通过平行去解出来， 这样的话这道题就这样解完了啊。

雄赳赳气昂昂，数学难题正面杠！哈喽，各位同学，终于来到这次二模考试的最后一题，二十三题了， 这道小题我们要做的话呢，一共可以说也是三小问啊，非常经典。第一题，判断四边形的形状，那我们知道啊，这个平行四边形当中呢，还有一个长是宽，我们攒起这么说吧啊，长边是短边的二倍， 那还有 e 点是 b c 的 中点右过点 e 做平行线，那当然了，我们一定得说清楚啊，同学们，你比如说这个，呃，做平行线了，如果说你要用到欧式 a、 d 中点的话呢，是不可以拿来直接用的啊，必须得说明这个平行线分线段成比例的感觉，这才可以啊。 所以这个小题的话呢，我们得注意感受。同志们，首先判断 a、 e、 b、 e、 o 的 形状，那我们知道呢，你最特殊，最特殊也就是个菱形了，怎么证明菱形呢？首先我们看一下，根据题目当中已知的条件， e o 是 平行于 a b 的， a o 是 平行于 b e 的， 所以两组对边分别平行，你首先就是一个 平行四边形嘛，那紧接着呢，离菱形就差一组边相等了。这个也非常简单，由于一点是中点，那么 b e 就 等于 bc 的 一半，而 ab 呢，也等于 bc 的 一半，所以第一问是非常简单的，第二小题它开始上难度了啊，让我们猜想在图二当中， a e 与 e g 的 数量关系。那么同学们，这种题目我们已经见过很多遍了，一般来说，最后一问直接写答案的过程啊，直接写答案的题目直接要用到第一题的结论呐，对吧？ a e 与 e g， 我 们来感受下这种题到底该怎么做？ 在图一的基础上连接 d e 并延长，那么同志们得注意了啊，这 d e 相当于就是这个菱形的短对角线， 连接 a e 并延长的这个 a e 相当于就是菱形的长对角线，这个我们一定要分析清楚，那么只要你连的是长对角线和短对角线这么一连呀，同学们，你会发现这个角注意 o 永远是直角对不对？题目当中也有着大量的中点， o 是 终点， b 是 终点， e 是 终点等等等等这些东西啊，同学们，那么有终点的话呢，我们就知道可能会有，比如说，哎，背长中线的这种旋转型的全等还会有呢？中位线还会有呢，比如说这个像什么与终点相关的啊，各种各样的斜边中线地理都可能有。 那么这个题目当中咱们到底该怎么做？我们首先来感受一下，首先看主人公他要我们找的是 a e 和 e g 之间的数量关系， 那同志们点 e 作为终点的话呢？在这里我们来简单的思考一下，比如说呢，过点 b， 老师在这里做一下啊， c f 的 平行线，假设交 a g 于点 h。 好 了， 那这里我们知道啊，同学们由于点 e 是 中点，很容易得出三角形全等来啊，就是一个一百八十度的旋转型全等，比如我只要做一条平行线，我们就能得到三角形 b e h 一定是全等于三角形 c e g 的， 那如果两个三角形全等的话呢，我们自然也能知道 h e 的 长度就等于 e g 的 长度。 那么换句话来说，由于点 b 是 a f 的 终点，当然了，这个地方肯定同学们就得问了，说老师，这题上也没说呀，你平常就说它是终点呢，这就是需要大家证明的过程。同学们，那比如说在这个题目里头啊，我们会发现， 你看怎么证明它是个，呃，这个，这个终点，呃，其实在这个题当中呢，我觉得方法还是比较多的。同学们啊，比如说呢，这两个三角形，他们肯定也是啊，像这种什么 呃，全等啊。比如说，你看 b e 等于 c e 对 顶角啦，两直线平行的内错角啦，也是类似于这种倍长中线的一百八十度的啊，旋转型的全等。 如果这两三角形全等以后呢？那当然 c d 的 长度就等于 b f 的 长度喽，也等于 ab 长度，所以 b 是 中点嘛，虽然简单好正，但我们一定得说清楚 好，这样一来呢， b 点是中点，那由于平行线分线段成比例啊，所以这 b h 其实就是中位线了吗？大家也知道啊，当然，我们这里用到的还不是 b h， 我 们就知道 a h 的 长度 啊，就应该等于 h g 的 长度，而 h g 的 长度呢，又等于二倍的 e g。 那 其实这样一来，同学们，你想想 a e 是 什么？ a e 就是 a h 加上 h e 等于三倍的 e g， 这样一来，数量关系就有了三比一。那么注意，这个数量关系，同学们，应该在后面的每一种情况当中都是成立的， 大家这个地方得注意啊。那么接下来看第二小题，说，如果 c d g 是 一个直角三角形的话，让我们写出 d e 比上 a e 的 值。还是那句话， 这个地方是直角，同学们，永远存在，永远成立啊。那接着图二呢，我们其实可以更好的分析清楚这个直角，那我把角 c 当成直角顶点，如果 d c g 是 一个九十度的话，接下来怎么办呢？同志们，方法其实很多啊，你要找的是 d e 比上 a e， 那 我们首先来看 好，如果你这边是一个九十度，根据斜边中线定里点， e 是 中点吗？这 d e 的 长度就等于 ec 的 长度，而我们又知道这 ec 的 长度呢，是等于 c d 的 长度的，所以你一看呀，这个三角形就是一个等边三角形了， 那这就简单了，这就是六十度，这就是三十度。你说这短直角边比上长直角边是多少呢？一比根号三，也就是三分之根号三搞定了，那像另外一个图的话呢，可能会相对来说难画一些啊，老师这边也给大家画出来了，当角记为九十度的时候， 当角记为九十度的时候呢，我们依旧可以得到三角形 d g f， 它是一个等腰直角三角形 啊，你说老师他是个直角三角形，我知道等腰从哪来的呢？其实也一样啊，同学们，斜边上的中线等于斜边长度的一半，大家注意啊， 那这个时候呢，你要注意，这是直角，这个地方也是直角，所以说对于这样一个直角啊，对这样一个直角三角形而言的话呢，其实我们很快可以发掘出来啊，他应该是一个等腰直角三角形。那么此时此刻， d e 比上 a e 的 长度就是一比三，就是三分之一 啊。这个题的两个答案是出来了，但是有同学可能会不会好奇啊，说，老师，为什么角 d 在 这里不能是直角顶点呢？大家想想，角 c、 d、 g 能不能是九十度？不可能的，同志们啊，因为我们得明白一个道理，角 a、 d、 c， 他被 d、 e 这条角平分线给他平分开了。角 a、 d、 c 呢？那就是一个钝一个钝角吗？对吧？同学们，如果说你把它角平分开了以后呢？连着角 c、 d、 e， 他 都是永远小于 九十度的啊！同志们，所以这个角 c、 d、 g 的 话呢，应该比九十度还是要再小一些的啊，那不可能是等于九十度的啊！因此，这个题目只有两种情况，两个答案，你 听懂了吗？白来拐本期视频我们就到这里，祝愿大家中考旗开得胜，下个视频不见不散！