大连中考二模数学23题过程
这个题啊，既考察了我们几何问题，又考察了我们这种图像拼音变化的问题啊，是目前咱们新中考的一个方向， 刚刚考完呢，大连市二模二十三题，好多小孩啊，很闹心，感觉出题人太难为我们了，特别是我们这个第一问，这个解析式啊，就很闹心， 后边算了一大堆比值，也很闹心。其实孩儿们啊，解析式那个确实啊，有点复杂，但这块求的是比值这个事，咱们根本不用算 x 的 值， 最终东西都能约掉，哎，很好算。那么下面咱们具体来看一下啊。这个如图抛物线啊，给了我们这个与 y 轴交点，然后说与 x 轴的 y 轴交点，分别是点 x， 点 b， 点 c， 点 m 段 m 的 抛物线上，且满足的是这个式子， 然后直线 o c 和直线 ab， 它相交于点 h。 首先我们 o c 这条直线也是知道啊， y 等于 x， 为啥？因为它的横坐标和纵坐标相等啊，这不都是 m 吗？哎， y 等于 x， 然后第一个让我们求 b 点坐标及 m 的 值， b 点坐标简单啊， s 得零，然后 y 就 能算出来了，零度号三，这白给分的是吧。然后第一问，他没让我们求解的式，他让我们求这个 m 的 值， m m 咋求啊？ m 在 抛物线上，那肯定带到抛物线里去啊，带到抛物线里边就是 m， 它等于 am 方加 bm 加三， 然后边还有一个 a m 方那个式子，等我把那式子整理一下啊， a m 方加 b m， 然后加 m 减六，它得零，对不？哦，这都有，这个 a m 方加 b m。 哦，这个我好像知道了，也就是说，等我把这式子整理一下，把 m 写在这， 然后你上下一减，你上下一减，是不是刚好就把 a m 方和 b m 方这俩式给约掉了？哎，就这个式子减，这个式子三减， m 加六是不得 m， 哎，所以这样我们算出来，二 m 的 九 m 等于二分之九。这道题啊，敌方确实好像没见过这样式的，额外也抛物线还给了一个方程，完了，最后，哎，我们还需要约定是吧，有点整体这种校园的思想啊。好，那么 m 的 值二分之九， 这个搞定啊，下一个 a 点坐标是六到零，然后让我们去抛线解析式，你这不相当于是经过了这两个点吗？一个是二分之九到二分之九，完，一个是六到零啊，那把这两个点带下去呗。 啊，带来啊，六到零，零等于六六三十六 a 加上六 b， 然后加上一个三，完了，二分之九到二分之九，二分之九等于四分之八十一 a 加上二分之九 b， 然后加上个三 啊，把这个二分之九先拿过来，这个三是二分之六，二分之六减二分之九等于负的二分之三啊。这边是零，先是把下面的十字化简给它，同时乘个呃，乘个四啊，乘四，然后八是一 a 加上二九于十八 b 啊，然后减去六。哎，所以孩们啊，为什么老师没约你看啊，这块你给他同时除掉个三，你看变成啥了？呃，零等于二十七 a 加上一个六 b， 然后减去个二。 我为啥没那啥呢？没把上面约分呢？就是因为我给他画成统一的不就行了吗？你看，这是六 b， 这是六 b 啊，往上下你做个叉不就把 b 约掉了吗？这个式子和这个式做叉，三十六 a 减二十七， a 是 九 a， 然后六 b 六 b 约了啊，三减负二五，然后得零， 那么 a 他 就等于负的九分之五，所以啊，我们这块啊，算出了这个 a 的 值， y 等于负九分之五 x 方，那 b 就 好做了，你把 b 再往往这里带， 往最简单的里边带。哪个里边简单呢？好像都不简单，是吧？往往这里带吧。负九分之五乘以三十六等于负的二十加六， b 加三等于二 啊，完了，六 b 减十七得零， b 等于六分之十七，哎，这块再加上一个六分之十七 x， 然后再加上个三。这抛线解式啊，六乘十的话是六十，然后七九六十三啊，一九得九，九加六的话一十五，一百五十三，那这超过二了是吧？对，准时候肯定超过二了，然后这个 他给的这个范围没超过二啊，你就知道这个事就行啊，对称轴是超过二了，这个数老师也没约分啊。好，咱们往下来啊， 说过点 p 做 s o 垂线 p 啊，我们假设 p 在 这吧，他没超过那个对称轴是吧？过点 p 做 s o 垂线，这是 p 点，然后做 s o 垂线与直线 o c 相交于点 e 与直线 o， c 相交于点 e， 呃，与直线 a、 b 相交于点 f 相交点 f， 呃，将三角形 p c， e 的 面积， p c， e 的 面积，呃，与三角形 p a、 b 的 面积分别记为这个完，两三根面积的比值等于四分之九减二分之一 啊，完了，求 p e 比 p f。 孩儿们，这都说的是个啥呀？ 整了好多陌生的字母是吧？那其实啊，如果说 p 的 这个横坐标是 e 的 话，你纵坐标是不是都能表示啊？这个咱们都先不管，咱们先考虑点其他的，考虑什么呢？ 这个 p e c 的 面积，它当然咋求 p e c 的 面积，它是不是等于 p e 乘以？哎，这个高是吧？这个高， 这个横度标是二分之九，这个横度标是 e， 那 你这高是不是就是二分之九减去我们那个横度标 e， 对 吧？底乘高除二，这就是三角形 p e c 的 面积 p e 当底，然后我们那个二分之九减一是高，然后五十二。啊，它比上我们哪个三角形 p a b p a b， 孩儿们，这不水平关系乘以前垂高吗？你 p a b 的 面积，它不就是 p f 乘以这个 o a 吗？ 啊，我，我再解释一下为什么这个事啊？假如说你把这块设为 p h， 你 这个 p a b 这个三角形我刚才是没连在你心里自己知道咋回事啊？它是不是等于 p f b 乘以 p f a 这俩面积的和，是吧？加在一起， 那你 p f b， 你 是不是 p f 乘以 o h 除二，然后 p f a， 你 是不是 p f 乘以 a h 除二？ 哎，所以它就会变成了 p f。 一个是乘以 o h 除以二，然后 p f 再乘以 a h 除以二，那变成啥了？这变成二分之一变 p f 乘以 o h 加 a h p 公式，那你不就是 o h 加上 a h 的 啥呀？是不得 a o， 哎，所以它就是比上二分之一倍的 p f 乘以 a o a o a o 常知道啊， a o 是 不是六啊？ 然后它等于啥呀？等于四分之九减去个二分之一， 而这里边这个二和这个二我们是不能约掉，最终求的就是 p e 比成 p f， 哎，那这个六我们是不是能乘过来？没毛病，是不是？乘能乘过来， 但是孩们先别乘，你看看这个二分之九减 e， 四分之九减二分之一 e 呀，你这个四分之九，我能不能写成这样的二分之九减 e， 就是把这个块你给它提个二分之一出去，你提个二分之一，是不是这样式的了？然后咔嚓一下，它就约掉了， 对不？然后你把这个六乘过来，你六乘过来乘二分之一是不是三？然后左边是不就剩的就是个 p e， 它比成一个 p f， 这就完事了。所以 p 比 p f 的 值啊，那就是等于三。所以说啊，这一问，我们根本不需要把这个它的长度用那个含义去表示出来，然后最后把那个小一再求出来，这个不需要啊， 约掉了啊，看了吗？孩们约掉了，下面我们来看最后一问啊，最后一问是我们这个平行四边形跟抛物线结合问题，并且啊，这个还是动的，然后求这个焦点问题啊。来，我们接着来看一下， 这还是啊，刚才那个抛物线是求完了，是不变的，完了，还有那个什么这些点坐标 c， 点 a， 点坐标什么都是不变的。然后说那啥点 q， 它从点 c 出发， 从点 c 出发，沿着折线 c h 还有 h a， 沿着这个折线运动，运动到点 a 呢，停止， 然后以 o b o q 为边做平四，以 o b o q q 在 这上边啊，在这个 c h 和 h a 上运动啊，为边做平四，而且这个平四啊，它都给你确定了是 b o q h， 那 h 在 那上面啊， b o q h， 它在这个折线上动，对吧？ 设 q 的 横度标是 d 小 d 啊，当这个 b o q n b o q n 这个平四，呃，内部 不含边界啊，这个平行四边形内部的抛物线从左向右是下降的。这句话好好理解啊，平行四边形，它内部包着抛物线的某一段，然后这某一段呢？从左向右是下降的。哎，让你求得的范围， 哎呀，我也不知道那个对的范围在哪，咱们就先画一个吧。咱们先假设 q 在 这儿， b o b o q n， 它如果是平四的话， b o q n 是 平四的话，这个长度是不是三？那这个高度是不是也是三？ 哎，那此时我们看啊，我这样好像这个平四它没包着跑步线是吧？没包着，呃，那啥时候是包着了呢？你看啊，你把这个 q 再给它往右一点， 往右一点啊，哎，到这了啊，然后还是一组对边平切相等。 b o， 这是 q， 这是 n， 你 看此时这个平四，它是不是就包着这个抛物线一小段的，而且从左向右是不是减少的？哎，那从刚才没有交点到现在啊，这个平四和抛物线两交点，它是不是给我临界啊？ 那个临界。那啥是临界？就是刚好我们那个 q 在 这，然后 n 在 这个位置，刚好这高度是三，它就是个临界啊。那此时，那我们好求，你就设坐标呗，你设这个临界的时候，那个坐标 啊，横坐标是 d， 那 这个纵坐标它也是 d， 用 q 点呢？在这个直线 y 的 x 上边嘛，然后这个这这块临近的时候，这个 n n 的 横坐标是 d， 纵坐标往抛物线里带呗。负九分之五 d 方加上六分之十七 d， 然后加上三， 然后上减下，刚好是不等于三。上减下负九分之五，对方加上六分之十七对，加上三，减去我们这个对啊，刚好等于三对啊，然后这个三约掉 负九分之五，对方加上六分之十一对，他得零。完了，你 提个得啊，用一至分解法解，负九分之五得加上六分之十一，然后得零，那一个得得零，那肯定舍了。另外一个呢，就是负九分之五得，呃，加上六分之十一，它等于零 十一，除以六等于九分之五。对，六分之十一乘以五分之九等于对，然后我们这块约个分二三，那么十分之三十三， 所以这个当 d 等于十分之三十三的时候，刚好是个临界，然后你再往右一点点就行了啊，所以我们这个 d 的 范围 d 是 大于十分之三十三，然后你不能无限往下大呀，因为他在这个折线上动呢，你不能超过点 c 啊啊，但等于点 c 的 时候是不行，等于点 c， 你 看， 等于点 c 行，它包着这一段可以啊，所以它等于点 c 行，小于等于 c 的 横坐标二分之九。哎，这是咱们第一个范围，孩们啊，先把这个理解了啊，然后我们再理解下一个范围。来，老师，把这个蹭一蹭啊， 下一个范围，我们这个点 q 啊，它就在在下边这块了，在这啊，那还是临界的时候是不？刚好这个长度是三。呃， b， o， q， n， n 刚好是接头的这个抛物线上，对吧？那此时就是我们 n 的 坐标，还是的逗，负九分之五的方逗号六分之十一的，然后加个三，这是我们 n 的 坐标，而此时我们这个 q 的 坐标，它的横坐标也是的。 但纵轴标是不是得带你 ab 这条直线了？ ab 这条直线啊，这是三，这是六 y 等于负二分之一 s 加三，所以它就是负二分之一，对加三。孩们应该能反应过来是不是你这个 啊？直线解式啊，再用两点，那是写过程方法，或者你用这个点正切二分之一，它就等于负二分之一啊，然后上面减下边负九分之五，对方加上六分之十七，对，加上三，减去这个加上二分之一。对，再减三，然后得三， 上面跟下边啊，然后他俩约掉了。负九分之五，对方加上这是六分之十七，这个是六分之三，六分之二十，对，然后等于三， 呃，六分之二十，约个分用六分之二十啊，是三分之十，然后再乘个九吧，乘个九不就去分母了吗？乘个九乘负九吧。 呃，五，对方乘以负九，呃，负九减三十，对，呃，这个乘负九三九二十七，二十七的话挪过来就正的二十七，然后得零，对啊，这个方程 五的方减三十的加二十七等于零，好像一直分解不了。那你就公式法啊，的等于二分之负 b 三十加减刚二下 b， 方减 c， c 方九百减去四五二十 四 a， c 二十乘以二十七，我们在上面算一下子啊，呃，九百减去这个二十乘二十七，呃，二七是四，呃，二二得四五，算一下啊。零 六，然后三三百六十，三百六十，开根号六六三十六六六倍根号十，然后前面是三十加减，然后这块是十，然后用几月份呢？用 只能用二约啊，二约的话是五分之十五加减三倍，根号十。 那我们取的正的还是取负的那个啊？它就是取加的那个，是吧？减不行，因为你那个十五假如减去三倍根号十啊，根号十是三点多乘以三，那是九点多，九点多的话，你这块相当于就是五点多一点，五点多一点除以五就是一点多，你一点多不行啊，你这一点多太小了， 是吧？你取大的那个，所以啊，我们另外一个的范围就是大于啊，五分之 十五减去加上三倍根号十啊，然后他不能无限往下大下去啊，他顶多到 a 这块重合啊，到 a 这块行啊，你再往下来就不行了，因为它的射线是， 所以它小于等于 a 的 横坐标小于等于六啊。最后我们是这两个答案，那么这道题啊，我们建议大连市以外的城市的那个家长把这道题点赞收藏，然后让孩子先做一下，最后听老师的视频讲解。
粉丝8003获赞2.1万
相关视频
19:38查看AI文稿AI文稿同学们大家好，接下来给大家讲一下大连二模的第二十三题。首先这道题呢，又回归了二次函数，然后这道题也是本套试卷中 啊最难的一道题，尤其是这个计算量比较复杂，对于很多学生而言，可能做到这个第一问呢，就有点感觉，还有到扩二第一问的时候，算完这个表达式呢，可能都会有点压力，这个数呢比较不正常。 然后还有这个科二科三呢，其实很多都是计算跟计算能力相关，所以呢，中考考察什么呢？咱们这些基本能力，尤其是计算能力，还一些理解题目，这道题本质上来讲 理解题不难，但是计算量确实比较复杂，你要耐着心，并且冷静下来做这道题还是有可能能做出来的。具体呢，我们来看这道题，如图，抛物线 y 等于 ax 方加 b， x 加三跟 x 轴 y 轴呢，分别交于 ab 两点 点 c， m 到 m 也在抛物线上，且满足这个 a， m 方加 b 加一，括号 m 减六等于零。这个看上去呢，可能就会把很多同学吓到，直线 o， c 与 ab 交于点 h， 第一个求点 b 坐标以及 m 的 值，那点 b 比较简单嘛，所以直接零， x 等于零， y 等于三，所以这个点 b 坐标零度三。那么 m 呢，是只需要带进去吧， x 等于 m， 那 y 就 也就是 m 就 等于 am 方加 b， m 加三，然后呢，再满足写到后面来， 等于 m， 然后呢，接着满足 am 方加上 b 加一，括号 m 减六等于零。然后呢，我们来结合一下这个圈一圈二，解方程组吗？圈一，把这个 m 给它挪过来，就是加上括号 b 减一， m 加三等于零啊，圈三，然后用圈二减圈三， a m 方抵消了上减下，那就是二 m 嘛，负六减三，那就是负九等于零，所以能九求出来， m 等于二分之九，所以这样的话，这第一个就搞定了，那么 c 的 坐标就是二分之九到二分之九， 好，第二个给了 a 的 坐标，那给了 a， 我 们看啊，写在这， a 的 坐标是六斗零， b 的 坐标零斗三，那我把它带进去吧。 还有 c 的 坐标二分之九都二分之九。那首先这条直线是不是出来了？ y 等于 x， 那 这条直线呢？ y 等于负二分之一， x 加三， 然后把点带进去， a 点带进去，那就是三十六， a 加六， b 加三等于零，错啊。 其次，把这个二分之九带进去，二分之九的话，平方就是四分之八十一，四分之八十一， a 加上二分之九， b 再加三等于二分之九。 好，这样的话呢，我们把这个 a 和 b 呢给它算一下，嗯，这个算出来， a 就 等于负的九分之五， b 呢等于六分之十七。 那很多同学算到这一步呢，可能就有点怀疑人生，我们只需要确定我们算的数没有错，然后呢，中间当然你要检查一下，发现你没有算错，那就没问题，所以这个 y 就 等于 负九分之五， x 平方加上六分之十七， x 加三。你要是不放心的话，咱们可以完全可以把另外一个数 带进去，你可以把六到零带进去，或者你把二分之九到二十九带进去，检验一遍，发现没问题，这是圈一。 然后我们来看圈二点 p， e 到 f 在 抛物线上，然后呢，给了个这玩意点， e 的 范围是零到二，所以呢，既然我们已经把抛物线求出来了，那我们得大概知道一下这个顶点 顶点是多少。那对称轴 先算一下啊，对称轴，那就是直线 x 等于负二， a 分 之 b， 那 就是 负二乘一个负的九分之五，这个六分之十，然后呢，下面是九分之十，那就等于六分之十七乘一个十分之九吧，那结果呢，就是 这个六和九约调，下面是二，上面是三，也就是二十分之五十一，这条线二十分之五十一，嗯，对准轴是比二大的吧，那现在他说点 e 的 范围是零到二，说明这个 横坐标是在对称轴的左侧， y 轴到对称轴左侧之间，大概呢，就这段范围还没到对称轴。接着我们再看过，点 p 做 x 轴垂线过，点 p 做 x 轴垂线。 然后呢，分别看啊，分别交直线 o、 c， 点 e、 a、 b， 点 f， 这个下面是点 e， 这个是点 f， 那 当然也有可能跑到 h 的 右边来。我们这里面先算一下 h 的 坐标， h 的 坐标那就是 负二分之一， x 加三等于 x， 那 么算出来 x 正好等于二吧，那也就意味着正好这条线不会超过 h 啊，不会超过 h。 确定 好，这个时候我们再接着看，将三角形 pce， 三角形 pce 连上与三角形 pab， p a 也连上， 这两个三角形的面积分别记作这两个三角形 s， p， c， e 以及 s 三角形 p a、 b。 现在呢，给了它们的比例等于这一大坨， 求 p e 比 p f。 那 么首先我们来研究一下这两个三角形 p c， e 和 p a、 b 这两个三角形。首先我们要知道三角形的面积都可以用二分之一水平宽乘前垂高， 那也就意味着我们这里面可以把三角形 p c、 e 的 面积给它表示出来吧。呃，点 p 的 坐标，横坐标 e， 纵坐标负的九分之五 e 平方加上六分之十七， e 加三。然后呢点 f， 红坐标是 e， 纵坐标就是负二分之一 e 加三，这个 e 呢，红坐标 e 纵坐标也是 e 吧。 所以首先 p c e， 那 就等于二分之一底乘高啊，直接二分之一 p e 啊，乘以 c， 也就是横坐标二分之九减 p 的 横坐标 e， 这是 p c， e 好， p a b 同样的二分之一水平宽， ab 的 水平宽是六铅垂高是 p f。 然后呢，我们把它带进来啊。这里面同学们在刚开始做的时候呢，很多同学会把 p g， p f 算出来，没问题，我们可以算出来，带进去算，但是呢，也可以不带去算啊，你算的过程不影响， 可能就是多多费点时间。那我们看这两个比例，也就是二分之一 p e， 然后呢，乘以二分之九减 e， 比上二分之一乘以六乘以 p e， 等于这个给它通分一下啊。四分之九减二分之一，也就减了四分之二一，九减二一。那大家喊这种情况下来，二分之一约掉吧。下面是 p f， 然后这个二分之九 e， 二分之九减 e 和九减二 e 是 不是正好约掉乘二，后面是两倍，然后这个六两边同乘六，所以呢， p e 比 p f 就 等于几， 正好等于上面六约完剩二为四，也就等于三约掉正好等于三 啊。当然这题啊，刚刚说了，同学们在做的过程中，我可能会把这个 p e 给算出来， p e 呢，等于动作标上减下，那就等于负的九分之五 e 平方，加上六分之十一 e 再加三。 然后呢， p f 同样的算出来，等于负的九分之五一平方，嗯，加六分之十七，减二分之一，也就加六分之三吧，等于负的二分之一，加六分之三，加六分之二十，加三分之十一。 当然你把这个带进去算也是一样的，只不过这个算出来可能让同学们心里面压力会比较大，但是你认真研究一下这个，把后面化成 这个空分之后，把二分之九减一和九减二正好能约掉。所以呢，我们就没必要 把这个展开去算，就算你把它算出来之后，你肯定也不可能展开去算，正好发现它能约掉，所以这个也考察同学们的心理压力， 这个算出来也是一个整数。三、接下来我们看圈三点 q， 从 c 出发，沿着折线 c h h a 运动到点 a 停止， 以 o b o q 为邻边构造平行四边形 b o q n 设点 q 的 横坐标为 d， 在 平行四边形内部不含边界，这个抛物线从左到右下降， 求点 d 的 曲率范围。我们看一下这个点 q 呢，是在两条线段上的，一是 c h， 一 是 h a， 所以 我们看当它在 c h 上运动的时候， 就这样吧，然后以这个去构造平行四边形。第一种情况是这样的，这是 q， 这是 n， 然后呢，它要求的是在这个平行四边形内部，就这一段吧，是下降的图像， 是下降的图像。好，当然它我们研究一下 q 从 c 往下走，这个图形，它会 平行四边形慢慢慢慢的从这开始慢慢慢慢变小了，所以呢，临界状态就这个点 n 呢，正好落在抛物线上的时候，此时平行四边形内部就没有所谓的下降，所以呢，这就是临界状态。 好，这第一种情况，而第二种情况，如果这个 q 在 a h 上，对吧？那么我们看啊，这个平行四边形从这开始慢慢慢慢往下往右走吧，所以呢，某一个时刻，临界状态是不是正好落在这临界状态？ 点 n 同样的正好落在 c 啊，点 n 正好落在抛物线上，这个时候呢，没有，那么当它走到某一个位置，过了这个临界点，我们看这种情况下， 在它内部的抛物线是不还是下降的，这是 n， 这是 q， 所以呢，我们只需要干嘛？只需要找到这个两个零件位置，那第一个零件位置在这儿，标过其他颜色了 这个，然后这个零件位置在这儿， 所以我们只需要把这两个零件位置算一下就可以了。好，第一种情况， 第一个这个点 q 在 c h 上吧，所以点 q， 我 们可以记作 d 斗 d， 那 么点 n 就是 d 斗 d 加三， 因为 o b 等于三， d 斗 d 加三。所以第一种情况就是当 q 在 o c 上时，点 n 落在毫伏线上， n 在 后线上， 我们只要带进去 d 加三，就是红坐标是 d 带进去， 这个负九分之五 d 平方加上六分之十七 d 再加三，正好等于 d 加三。 那我们来解一下这个负的九分之五 d 平方加上六分之十一， d 等于零吧。把 d 提出来，负九分之五 d 加六分之十一等于零，所以算出来 d 一 等于零，这个就是舍去吧， 在圆内那个位置，第二个第二，那就是负的九分之五 d 加六分之十一，等于零吧，那九分之十五，九分之五 d 等于六分之十一，这个 d 呢，就等于六分之十一，乘以一个五分之九，也就等于十分之三三， 所以呢，这个位置的时候， d 正好等于十分之三十三，那么大家看什么时候会有呢？这个时候 d 是 不是大于十分之三十三，取不到等号？取到等号的时候，正好这个 零点，这个平行四边形就和抛物线有一个交点吧，此时不包含啊，他说了不含边界，所以取不到等号，那后面呢？正好再点 c， 也就是二分之九 二，零九是可以取得等号，所以这是第一段。好，接下来我们算第二段。这个当 q 在 h a 上时，上面不是 o c， n 应该是 h c， 这是 h a。 呃，此时我们看一下点 q 的 坐标，那就是 d 负二分之一 d 加三，那点 n 的 坐标 d 负二分之一 d 加三，再加三吗？加六。同样的，这个时候点 n 在 抛物线上吗？只需要带进去算 负的九分之五 d 平方加上六分之十一 d 啊，六分之十七 d 再加三等于二分之一 d 负二分之一 d 负二分之一 d 加三加六。 ok， 那 我们代进去算，这个就是负的九分之五 d 平方负二分之一，移过来加上六分之三吗？也就是六分之二十三分之十 d， 然后把六移过来，减三等于零，两边同时乘以 负的负九，咱们同时负九五地方减三十 d， 然后加二十七等于零。好， d 就 等于 d 一 啊二 a 分 之，也就十分之负 b 加减根号，下 一个是减 b 方，减四 a c， b 方呢是九百，减去五百四，三百六，三百六呢就是六倍根号十，那就是减六倍根号十。约 我们先把这个 d 送出来， 所以呢，这样的话求出来 d 一 就等于五分之十五，减三倍根号十， 以及 d 二等于五分之十五，加上三倍根号十。好，具体我们来看一下，这个 落的上面是不是同样有两个，那我们取右边这个吧，左边一个，右边一个，我们取右边这个，所以呢左边这个舍去，那么求出来这个 d 的 范围就是大于五分之十五， 加上三倍根号十，小于等于 a 的 坐标横坐标六，所以这样的话呢，就是通上两个答案，这一个和这个 这样的话就是这道题。现在回过头来看一下这道题，你要理解它其实挺简单的，但是整个过程中就是计算挺麻烦的，这个计算可能在圈一的时候 就会把很多同学吓住，所以呢，这个对于同学们的心理压力还是挺大的，如果你能够冷静的坚持做下来，那这题还是相对来说难度不大的，所以呢，回过头来看中考更多的是考察同学们的基础能力。 好，这个呢就讲到这啊。
19初中数学 敖老师
11:13查看AI文稿AI文稿大家好，我是家园老师，今天分享二零二六大连中考二模的二十三题， 我们来看。第一问，求点 b 的 坐标，点 b 是 抛物线与 y 轴的交点，那么令 x 等于零， y 就 等于三，于是点 b 的 坐标就是零。三 好，为了求 m 的 值，要看点 c 的 横纵坐标都是 m， 它在抛物线上，那必须要往抛物线里代入，那就可以得到的是 a， m 的 平方加上 b， m 加三等于 m， 这是一个关于 m 的 等式， 题目中还给了一个关于 m 的 等式，把它俩进行啊合并处理， a m 方加上，把这个括号去掉，也就是 b， m 再加 m， 再减六，就等于零。我们对比一下 啊，等式的右边是零，我们可以把上面这个等式进行移向变形，把 m 从等号的右边移到等号的左边，那么也就是减 m 等于零，这样非常明显，这两个方程可以减法， 可以减法就可以消掉 a m 的 平方，还有 b， m， 我 们用下边减上边，也就是二， m 减九等于零，那么二 m 就 等于九，于是 m 就 等于二分之九，我们求出了 m 等于二分之九， 那么于是点 c 的 坐标呢，就是二分之九，二分之九，然后呢，第二本增加的点 a 的 坐标呢，是六斗零，它们俩都在抛物线上，于是带入抛物线就能得到方程组， 也就是二分之九，等于的是四分之八十一， a 加上二分之九， b， 然后再加三，另一个呢，就是零等于三十六， a 加上六， b 再加三，那么消元 啊，就可以求出 a 和 b， 在 这里直接公布一下结果， a 是 负的九分之五， b 呢是六分之十七， 这样的话，解去式就可以解决了，是 y 等于负的九分之五， x 的 平方加上六分之十七， x 再加三。继续来看圈二，点 a 的 坐标是六度零。 第一问，我们求出的点 b 的 坐标呢？是零度三，以及点 c 的 坐标是二分之九，二分之九。 然后动点皮是在抛物线上，它的横坐标大于零，小于二，大致就在啊 b 的 右上方这个位置。那么接下来是过点 b 做 x 轴的垂线，我们垂下来垂在 x 轴上，交 o c 呢，于点 e 交直线 a b 于点 f。 好， 继续求的是三角形 p c， e， 我 们把这样式 p c， e 给画出来。 三角形 p c， e 啊，于三角形 p a、 b， 我 们把 p a、 b 给画出来 p a、 b， 它们俩的面积比。面积比是一个式子，四分之九减去二分之一一，求的是 p e， p f 的 比。那么这道题用的是整体思想，我们把这俩面积列出来。 三角形 p c， e 的 底啊，是 p e 好， 它的高呢，就是点 c 到 p e 的 距离，也就是二分之九，减去点 p 的 横坐标 e， 那 么也就是高是二分之九，减去 e， 然后底乘高，再乘以二分之一。 好，那么继续比上三角形 p a、 b 的 面积。三角形 p a， b 的 面积。我们要这样来看，用 p f 将三角形 p a、 b 分 成两部分，右侧的呢是三角形 p f a， 它的底是 p f 啊，高呢是这个 ak， 高是 ak， 然后除以二，再加上左侧部分是三角形 p f b， 它的底呢也是 p f。 高呢是 ok， 高是 ok， 然后除以二，它们俩合起来，我们就可以将 p f 提出来啊，然后乘以 ak， ak 加 ak 加 ak， 也就是 o a， 也就是六，也就是 p f 乘以六除以二。 好的，那么再往这里放三角形， p a b 的 面积也就相当于是 p f 乘以六，再乘以个二分之一，那么这俩面积的比，它等于的是 四分之九，减去二分之一 e。 这个代数式下面就是化解好二分之一和二分之一可以约掉。那么整体思想， p e 比上 p f， pe 比上 p f， 就 等于右侧的是四分之九，减去二分之一除以这部分就是六分之二分之九减一，也就是乘以它的倒数，那么就用它来乘以 啊。二分之九减一分之六，六乘以四分之二十七，六乘以二分之一是减去再 e， 然后用它呢？再除以这个二分之九减一。非常明显，二分之二十七是二分之九的三倍，减三一是减一的三倍，于是结果就能等于三。前面我们已经得到了 abc 的 坐标以及抛物线的解析式。 接下来圈三点 q， 它从 c 出发，点 q 从 c 出发，沿着两段，一段是 c h 啊，另一段是 h a， 我 们现在研究 c h， 那 么 不管点 q 在 哪里，都以 o b 和 o q 为邻边做平行四边形好，我们来画平行四边形，叫做 b o， 然后呢是 q n 好，那么利用平行四边形对边平行斜相等，我们可以知道 q n 的 长度就等于 o b 等于三。 要求是在平行四边形内部的抛物线必须是下降趋势，现在的位置平行四边形内部的抛物线就是下降趋势 好，那么随着点 q 的 运动，这个平行边形会缩小，那么当缩到 q 点落在抛物线上的时候，这个时候它内部就已经没有抛物线了，也就不满足了，所以我们接下来要计算的就是这个时候点 q 的 横做比较低， 点 q 不 管在哪里，横坐标都是 d， 于是呢，点 n 的 横坐标也是 d。 点 q 是 在 o c 上可以轻松得到， o c 的 解析式是 y 等于 x， 于是点 q 的 纵坐标呢，它也是 d， 那么点 n 的 坐标呢，就是 d 加三，所以将 d d 加三代入到抛物线，就可以得到的是 d 加三等于负的九分之五 d 的 平方加上六分之十七 d， 然后再加三解这个方程 啊，在这里直接公布答案。我们能知道 d 的 值，它是等于十分之三十三好，那么看图像，也就是说，当 d 是 十分之三十三的时候，矩形是现在这个大小，那么它内部就没有抛物线了。所以说 d 的 取值范围，第一个就应该是它大于十分之三十三，同时要小于等于二分之九，在这个范围内都满足。 平行四边形内部的抛物线是下降的。下面来看，当点 q 位于 a h 上时， 那么由于 a h 所在的线呢，是 ab， 我 们先要求出来的是 ab 的 解析式是负的二分之一 x 加三好，那么点 q 的 横坐标呢，它是 d， 纵坐标就始终是负的二分之一 d 加三 好，我们再来画这个平行四边形，那么当点 q 与 a 重合时啊，我们把它画出来就是 b o q n， 这时你会发现在平行四边形内部的抛物线恰好是下降趋势，所以这是满足的。所以说那么 d 的 曲值范围的一段就应该是 d 小 于等于六好，那么我们继续看， 当点 q 在 a h 之间的时候，会导致这个平行四边形呢，它在变化，我们再画一个叫 b o， q， n， 这时候你会发现 啊，你会发现这个摁离抛物线越来越近了，这个时候呢，平行四面形内部的抛物线还仍然处于下降趋势，还是满足的，但是你会发现，当摁到达抛物线的时候啊，那么就不满足了，那我们再来画一种，大约是这样的， 大约是这样，那我们就需要求出来，当点摁落在抛物线上时，这个时候 d 的 值 好，那么再看 q 和 n， 它们俩的千锤距离始终是和 o b 相等，等于三，于是就可以知道点 n 的 坐标呢，就是 d 逗号，负的二分之一， d 加三，再加三，也就是加六， 于是呢，把这个点带到这个跑线解析式里去，就能得到的是负的二分之一 d 加六， 等于啊，负的九分之五， d 的 平方加上的是六分之十七， d 再加三。那么解这个啊方程就能得到的是 d 的 值。在这里直接公布一下答案， 也就是五分之十五，加减三倍的根号下十。当 d 的 值在这里取加号的时候，就是图上的这个位置， 如果取减号的话，这个数非常小，它应该是在左侧这个位置，也就是抛物线和直线 a b 它们俩之间的铅垂线段等于三，有两个位置，一个是在这里，另一个是在这里 啊，那么所以呢，把这个位置给舍去，所以啊，最终的结果， d 的 取值范围就应该是大于五分之十五，加上三倍的根号加十，然后且小于等于六，你学会了吗？下次再见。
10:36查看AI文稿AI文稿大连刚刚结束的这个二模考试，咱们先说下这个试卷的难度啊，整体他的难度其实并不大，如果纯以难度就是会不会来说的话，他的难度其实是低于大连的一模的，因为大连的一模的几何压轴确实是太难了，但是这次二模他得分率其实可能跟一模就孩子们得分率是差不多的， 甚至比一模的得分率还要低，那主要的原因是一模的得分率是因为不会，然后二模的得分率低是因为算不完，他时间不够。 那这回二模的话，前面的题就是本身就计算量比较大，然后到二十二题这个几何压轴的时候，这个题的难度是比较低的，它的难度是比一模要小了很多，但是有个情况是很容易漏解的，基本大部分孩子可能能拿到十分左右，如果几何比较好，能拿能拿到十分以上，甚至接近满分。 然后二十三题，这个是二十三题的答案啊，大家可以去对一下。然后二十三题的话，就是难度的话，比一模那个 二次函数是要难一些的，但是计算量是比那个一模难了，就大了非常非常多。这回的从第二问的圈一这个函数解析上， 我就敢说，很多学生这个函数解析就已经算错了，那这里的数确实太难算了。然后到第二问，第三问更是第二问，有的同学就硬算，你硬算，你能不能算出来？不知道，我没算，反正我一看这个式子我就头皮发麻。这里面你需要把它给转化一下，你要转化完你就发现它是一个很好算的。然后第三问 也是计算量比较大的，所以这回孩子们得分低的主要原因就是时间不够，或者就是计算出错。然后咱们今天主要看下这个二十三题是怎么分析的，咱们直接看这里最后一问的函数解，直接看这个倒数第二问的函数解析式啊，这里面咱们求完的函数解析式是 y 等于负的九分之五， x 方加上六分之十七， x 加三，很多同学这块他就已经算错了，然后咱们看接着怎么分析，他说 p 是 x 轴上一点，然后与直线 o c 相交于点 e， 与 ab 相交于点 f， 那 其实我们就这有一点一个问题，就 p 既然在这个二次函数上， 那它是不是有可能是这样的？ p 是 在这，对吧？所以我们就首先你要确定一下这个点 p， 它和这对称轴做下比较，这里的二次函数对称轴咱们直接求下就行，你求完之后你发现它是比二大的，所以点 p 一定是在对称轴的左侧， 那过点 p 做完之后还有一个点，一个问题就是点 p 做完这个垂，它说与 o c 交于点 e， 与 ab 交于点 f， 那 么 e 和 f 到底是在 h 的 左面还是右面， 大家可以求去啊。求完之后，这里点 h 的 坐标正好就是二，所以点 e 一定是在线段 o h 上，那这个就纯计算了，咱们就不说了。然后咱们看啊，那这个面积，那三角形的面积，咱是不是都要转， 就都要转化成边长的问题，那这里的这个面积 pce 咱是不是就要给它变成二分之一铅垂高和水平宽的一个问题，那我们看这个 pce 该怎么表示？ 有同学就到这就灵机一动，哎，就开始正常算了。我先把点 p 坐标表示出来，再把点 e 坐标表示出来，然后我求这个 p c、 e 的 面积，用 e 表示， 然后再表示点 f 坐标，再表示这个 p a、 b 的 面积，然后继续去用 e 表示。那你发现这个式子太长了，根本没法算，所以咱们换另一个方式啊你，你发现这里它正好是要 p e 比 p f 吧？那 p e 和 p f 是 不是正好是这俩面积里的铅垂钩？所以你表示面积的时候，你不需要去求 p e 和 p f 的 值， 你只需要把 p e 和 p f， 你 用这个 p e、 p f 代替就行。所以这里三角形 p c、 e 的 面积比上三角形 p a、 b 的 面积， 那 p c、 e 咱是不是二分之一铅垂高的水平宽？它的铅垂高是二分之一的 p e 乘以水平宽，水平宽的话，是不是就是 c 向 p e 做高？那这一段它的高是不是就是 c e 和 p 的 横坐标之差？就是二分之九减 e， 然后再比上后面呢？再比上底下的二分之一铅垂高。这回 p a、 b 的 铅垂高是不就是这里的 p f， 然后再乘以 a、 b 的 横坐标之差就是六，然后它等于四分之九减去二分之一。那我们看这里啊，咱能得到啥？这两个数可以约掉，所以你会发现，这里的 p e 比 p f 是 不就等于咱把六乘过来？六乘以四分之九减去二分之一一， 再比上这个二分之九减一。你发现他们俩是不是正好差了个二分之一的关系？所以这俩式子约没正好剩六乘以二分之一，因为他俩约没正好是个二分之一， 所以六乘二分之一就等于三，那最后答案就是三。你发现如果要这样算，它其实就比较简单了，如果你要把 pe 和 p f 表示出来，那这个式子就特别长了。 然后咱们看这里的第三问啊，第三问，他说现在点 c 从 q 从 c 出发，那我们这里是不是首先就要分第一种情况， q 在 c h 上，然后第二种情况， q 就是 在 a h 上， 那我们先把这里需要求的几个先求出来。首先我们这里是不是要求这个 o c 的 函数解析式，求完它是 y 等于 x， 然后 ab 的 函数解析式是 y 等于负的二分之一， x 加三 点 h 的 坐标是二十二。我们看啊，当点 q 刚开始出发的时候，他说 o b q n 是 个平行四边形，那这个平行四边形是不是长成这样了？ 你发现不管点 q 在 c h 上哪？咱先看 q 在 c h 上的时候，不管点 q 在 c h 哪一块，是不是始终都有这个 q n 是 等于 o b 的 等于三，所以他是不是就这个平行四边形？那现在他说在这个平行四边形内部 是下降的图形，下降指的是不是在对称轴右侧的部分，那我们看当点 q 刚开始出发，正好在 c 上的时候， 这里面的图像，平行四边形里的图像是不是就这一段？它是不就是 y 四 x 增大减小的？但是有一个问题，我们怎么能知道这个点到底是在对称轴左面还是右面，对不对？所以你需要判断一下它到底在对称轴左面还是右面，为什么要判断？因为它有可能出现这种情况呢？就是我给大家画一下啊，比如说这是 c， 你这时候你画完之后，实际上他有可能顶点在这，那这时候里面是不就先是增大增大，再增大减小，这种情况是不就不符合提议了？所以咱们需要先去比较一下这个点， 那我们就先把这里的 c， 我 设这个点是当点 q 在 c 上的时候，我设这，这是 m， 咱是不是先把这个 m 坐标求出来？那点 c 的 坐标是不是就二分之九？所以这个点 m 的 坐标是不是就二分之九？ 豆，你是不是需要再加上三，因为 o b 是 三， c m 是 不是也是三，所以这就是二分之十五，那咱们是不是就能求出这个 b m 的 减解式？首先咱们先把 b m 求出来， b m 求完之后，它是不是就是 y 等于二， y 等于 x， 加三， 对吧？你把它和这个二次函数连立，咱们是不是要判断一下这个点的坐标？你把它与这个二次函数就是原二次函数，我就不写了。连立之后，咱们求出来，这里 x 的 值是等于十分之 三十三这个数，所以这个点的横坐标是十分之三十三。那原来这个二次函数的顶点我写这啊，它的顶点的横坐标是二十分之五十一，那十分之三十三是三点几，二分之五十一是二点几，所以这个点 这个点我设这为 p 吧，那这个点 p 它是不是在顶点的右侧的？它是在对称轴的右侧的。哎，别设点 p 了，我记得有个有个 p， 设这是 n， 有 n 也不行，设这是 e 吧？ 那所以现在刚开始的时候，这里是就已经包括是从大减小的部分，所以刚开始的时候就可以。那接下来当 q 逐渐运动的时候，它是往这跑，那始终 q n 是 不是都是在这个平行线内部的？ 那你发现刚开始运动的时候，比如说跑到这来这个 q n， 这时候这平行圆形内部是不是就有一段这样的？也是外侧增大减小的也符合，那继续减小是不就有一个这一段了，对吧？那一直减小到哪不符合？减小到这块到这的时候， 当 q 跑到这 n 是 在这，这时候这个平行四边形内部是不就没有抛物线了？所以到这是不就不符合了？那也就说这时候的 d 就是 大于十分之三十三，因为到十分之三十三这块的时候，就现在我画图了，这种情况里边是没有抛物线的，因为题里说了不包含面积， 那还可以小于最初时那个二分之九。那你看啊，最刚开始二分之九的时候，他是不是在这现在这个情况，那里面的抛线是不是也是外测增大减小的？所以可以等于二分之九？也就是说第一种情况是这个咱们就完事了。然后再来看第二种情况，当点 p， 当点 q 跑到 h 型的时候，比如点 q 跑到这，咱们看当点 q 是 在这的时候，那这个平行四边形是不是这样的，对吧？咱们通过画图也能看出来，这时候的哎，当点 q 是 在 a h 上的时候啊， 那此时这个平行四边形是不是就长成这样了？咱们通过画图也能判断出来，这个 n 肯定是在抛线的里面的，不会跑到抛线的外面， 那此时你看刚开始的时候是不是没有，里面就没有抛物线，是不符合定义的，那接下来他就逐渐增大呗，往这动，往这动，这里面是不是也没有？一直到什么时候开始有抛物线？是不是就是正好这个点 n 落在这个抛物线上的时候，就这种情况？再接下来 是不是才开始里面会包含抛物线是这种情况的？那咱们就看当点 n 恰好落在抛物线的时候，他在点坐标呗。那这时候咱点 q 坐标，可以表示横坐标是 d， 纵坐标是不就是 ab 的 解析式是负的二分之一 d 加三，那么是不就能推出此时点 n 的 这个坐标？ 横坐标是 b， 它的纵坐标是不在 q 的 基础上，加三就是负的二分之一 b 加六。那此时当点 n 正好落在二次函数的时候，咱们把点 n 往二次函数里一带，是不就能求出这里 d 的 这个值？那此时咱们求完这个 d 是 三加减五分之三倍的根号十，那到底是加还是减？那这种情况很明显，是不是三加五分之三倍根号十，不是三减五分之三倍根号十，所以这时候就是三加上五分之三倍根号十。 那我们再继续看啊，那从现在开始有说明是不是就 d 大 于三，加上五分之三倍正好使比它大的时候是不是就符合题了？我给大家画一下，大的时候是不是就这样的在这，对吧？那接下来再继续增大它是什么样的？我把这个擦掉啊，再继续增大是不是就跑到这了？ 他是不是里面也是符合的这种？那一直到什么时候？一直到点 q 跑到 a 上的时候是不是就完事了？因为他是在 h a 上吗？所以就是小于等于最后点 a 的 和数比较六，最后答案就是这两个。
00:33查看AI文稿AI文稿大连这次的二模数学真给学生们上压力了，开考前都说我这一次一定要一雪前耻，考完直接投降。前二十题没有任何难度，从二十一题开始，有一部分孩子全卡在圆上了，本来下雨天考试就困，计算量又大，老多学生没答完题了。二十二题就是硬算圆的引入，也是提供等长线段，而不是去考圆的知识。 这三题，这个函数压轴，没有一模难，就看你能不能算的完了。从这一次数学二模也能看出来中考的答题思路，在快速答完基础题之后，一定要留出充足的时间去计算，计算的准确率必须得高。这套数学二模卷的考点以及试卷分析我都给大家准备好了，回数学二模，把题和答案都拿走。
66大连升学指南
05:20查看AI文稿AI文稿刚刚拿到这个大连市第二次模拟考试的数学试卷啊，然后呢，我也做完了这套试卷。然后呢，我首先说一下整体的结论，我认为这套试卷的难度没有大连市一模的难度要大， 但是很多学生都说这套试卷比一模还要难，但具体什么原因导致的呢啊？首先咱们看这个填空选择，它其实难度并不大，考的都很常规很基础。 这玩意这些题的话，好学生你应该十分钟就能做完了吧， 不好的学生半个小时内也能做完了吧，是不是？那你看下写答题的那个十六，十七十八，十九，二十，是不是都是挺常规的基础题？ 是不是倒是挺常规的基础题？其实我认为十六题这两道题出的不太好啊，他把他考了一个整式的计算，还考了一个分式的计算，我觉得不能这么考啊。 然后呢，十七、十八十八题，这个数其实你得犹豫半天，因为你算出这二分之七十五，你可能违背你的常识啊，可能会格登一下的。 这个第十九题其实就是模仿去年中考的二十题了，是不是他模仿第三，尤其是第三位在模仿这个事呗，还第三位差，模仿那个去年中考的第一问呗。二十题的第一问呗，是不是？ 这题你仔细算一算也没什么难度啊，这二十题更是考的臭死烂够的。那个解三角，三角形嘛，是不是 你做个垂线，做两条垂线就出来了吗？你注意过程的书写啊。二十一题的括号一其实也没啥难度，就是一个纯倒角问题是吧？倒角角相等，然后倒边呗。第二十一题的括号二，他这道题就可能出现难度了啊，因为他涉及到这角 相当的角有挺多的，然后你你还得去算这些线段，然后在复杂的途中，你要碰到相似，而且而且或者是运用到锐角三角函数， 然后实现实现角的转化的同时，然后你可以去解边，对吧？这个 b、 e 等于一，其实不太好算， 这个问开始才算真正意义上的有难度。这个二十一的的括号这种难的圆的，第二问也得会做。然后那个第二十二题其实是 吐槽点比较大的一道题，因为这道题把我们常见那个相切，这个圆的相切放在了这个压轴体几何压轴体的位置上， 然后很多学生就蒙蒙了啊，就瞅这图挺复杂的，又一个三角又一个圆的，指定 难受啊，心里指定难受。那你仔细读一读这个题，他其实并不难。你仔细读这道题，其实并不难。你看第一问，他不就是一个典型的圆的切线的性质吗？ 你导到这个直角直接勾股定力，不就把 b、 c 求出来了吗？那第二个的时候，他这道题他告诉你 b、 e、 c 等于九十度，你就根据那个问题挺近的一行，你能算出这个 c， e 也是九十度， 那 c a 是 定点， c 也是定点，那 e 来回动，那是不是 e？ 有 两种可能性，你图是不是你一定能画出来，你仔细分析分析，然后剩下来不就是倒角，然后 利用全等，例如相似，是不是去解呗，那有什么难度啊？只要你静下心来做这道题，它并不难，甚至是是说你画一遍图的时候，两个图全能解出来， 然后你这个二十三题其实挺常规的一道题，第二问的第二小问，其实它很巧妙啊，但是呢，这道题的唯一一个难点就是数太难算了，结果很不规整，你敢不敢算？是不是？ 预算能力其实挺重要的事。那整个试卷看下来的话，其实考的非常常规啊，常规方法，然后着重预算能力的考察。 然后呢，遇到新题型，你中考的时候也会遇到一些新的题型，那你一定要劝好自己，稳下心来去答， 你别被这题给吓到了。好吧，那祝大家中考。
06:33查看AI文稿AI文稿录制讲解一下大连二门的这个二三 d 二三足啊啊，第一问的 q g h 也不说了啊， 但是这也有难度计数量比较大啊。第二个 p 啊，是抛射线上一点，他的这个一对 f 啊， e 大 零小于二过点 p 做 x 轴垂线。 我现在在在 pro 线上找一点 p 过点 p 做 x 轴的垂线啊，然后与直线 o c 交汇，点 e 与 ab 交汇，点 f， 这是点 e， 这是点 f。 在考场上做图啊，敢做啊，别不敢做。然后将三角形 pce 和三角形 pcb 啊，找三角形 pce， pce 啊和 p a b， 这实际上就考啥，不就考水平的前垂吗，对不对？我们先来观察一下这个 p c e 啊， c 是 定点， p 跟 e 是 动点 啊，好表示啊。用 p 点横坐标，你可以测 p 点横坐标是就给测完了呗。 e 呗， e f p 它的横坐标是都是 e 啊，你要表示他的总数表的话，就是往对应的解释里带呗。 e 在 y 的 x 上， f 在 y 等于负二分之 x 加三上， 这在抛物线上对应代词就可以了，对不对？这都是水平中铅垂，而且别看说这块吓人啊，他就是约能约掉对不？有很多同学看到这都不敢写了，你就根据椅子调下来把面积表出来就可以了，对吧。来这个做了一些详细的解析啊， 大家可以看一下啊， p c， e 就 二分之一 p e 乘以这个高呗，对不对？ c 到 p 的 距离啊，就 x a 减 f， p p e， 咱就啊第二个这个 p a b， 哎，你到这呗，这是 p l 呗，你看你这俩是不是直接做 x 相减，约就约掉了啊，你这个二最后倒出来是二分之九减一，二分之一乘二分之九，四分之九减二分之一呗，然后最后他俩约掉三呗，是不是能理解？可以理解这个事是吧？ 啊，然后第三个，第三个小南啊，这个啊，说 q 从西点出发，嗯，沿着 c h 到 h a 两段呗。 c h h a 啊，这是 a 两招运动，说以 o b o q 做平角形， b q b o q n， 你 看这个符号是不是给了符号，给了说明它这个顺序是确定的。 b o q n， 那 就是顺时针顺序呗，对不对啊？ b o q n 啊，逆逆时针，是啊，这样对吧？所以说确定 n 点位置， n 点它肯定在 q 点上方，也是要作图。嗯，然后 q 点同时要为的在内部啊，什么叫内部啊？ 嗯嗯，这样点画大了，刚才没选中，没选上啊，来我们再来看啊，什么叫内部？你看 阴影部分叫内部，这内部要包括啥呢？是不是要包括这个跑线， 对不对？嗯，那你这，你这个 q 点从哪动啊？是不是从 c 位置开始动啊，对不对？你看这个区域就包括什么，是不是包括了这个跑线，对吧？往下来啊，这样动， 你看这部分呗，从左到右，这个抛物线是下降的呗。那你需要把临界值求出来呗，你第一个临界值就是什么？ q， 是 不是就跟 c 重合的时候，因为 q 从 c 开始啊，对吧？然后他越往这个 c h 这个方向动， 你看这个 q n n 点正好在哪？正好在这个抛物线上的时候呗，对不？你要求均创的话应该这么求啊，这个颜这个轨迹啊，那 咱们可以设一下，我可以设 q 点坐标的，都得，对吧？因为 q 点在这个 y 点 x 上， n 点在抛物线上啊，他俩呢？做的平行嘛， 你这一条线他和 y 轴是平行的，那他俩的横坐标是相同的，摁，就是 d 都分分九往解数里带就可以了，对不？他俩坐标相减等于什么？是不等于 o b？ o b 算得几？得三？所以说是得两两个情况啊，求一个 保留这保留那，另外是一个零舍掉了啊。所以说第一个判为什么呢？得大于十分之三十三，小于等于二分九，可以去等啊，因为他从起点开始啊。第二种情况从哪呀？ q 从哪？是不是从这个？嗯， h 点，哎，往 h 点动对不对？他往 a 这个方向动， 大家来注意看啊，还是什么？是不是还是要求内部啊，对不？你看这内部包不包括 pro 线呢？你看现在这个内部，他不包括 pro 线。我给大家做这个等待演示啊， 这两天生病了，所以说录的慢了啊，你看跑出去往哪是往这来对不对？这个是不是临界点恰好包括呗。那你同样还是把 q 点坐标设出来， n 点坐标设出来，他俩钻叉相减啊，得几啊？得这个三呗，对不？那我们来看一下他的这个轨迹啊， 就哪部分啊？是在是说在内部那部分，是不是这部分， 对吧，能看明白吧？嗯，这部分啊，这部分 同样把 d 点住 left 点住 left， 两做上相减啊，两种情况啊，加减啊，六加讨论一下可以了。这能取到六啊，可以取到六，所以说主要大家还是看一下那个动态演示，看这个动态演示之后呢，你对这个题理解能更清晰一点啊。
40沈阳董老师
04:52查看AI文稿AI文稿大连二模这套试卷当中，几何题仍然是传统的解型思想，如果你解型能力达到一定的程度，这道题简单倒一下角思路，很快就能获得。那么这道题我们应该如何通过解型解决这道题呢？这个视频老李告诉你。 首先这道题的最后一问告诉我们，三角形 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形，并且它的腰长是三圆， a 这个圆它的半径是一， 且点 e 在 圆上，且 a、 c 这个角加上角 b、 a、 c 这个角等于一百八，那么从而我们就可以画出两幅图， 这里的点 e 可以 在这这个时候这两个角都是九十度，相加是一百八的，同时点 e 在 ab 上的时候， e、 a、 c 也是九十，它跟角 b、 a、 c 相加也是一百八。所以这道题一定是有两种情况的， 并且这道题又给了我们这两个角的度数是相等的，那么从而我们会发现这个阿尔法角他正好贪 j 的 值等于三分之一，也就是说我们看到了一个已知角，那么有已知角，我们的想法就是要倒角，但是倒角之前我们要知道， 这道题既然圆的半径是一，那这个边是一，那这个边它也是一，那这两个边一定是相等的，并且这两个角又都是九十度，这两个边也都是三，所以我们看到了一个全等， 这个全等能帮助我们更好的倒角，我们会发现那这个是 r， 这个角也就一定是 r 了呗。同时这个角也就是九十减 r， 那 这个角也就是九十加 r。 首先我们知道这里的 r 的 摊 j 的 值是三分之一，那自然这里的九十减 r 的 摊 j 的 值就一定是三了，对不对？并且对顶角这个角也是 r， 所以 首先我们就看到了，并且这两个角它都属于一直角， 自然 a h 的 长度，两角一边我们可以把它解出来。同样的等腰直角三角形里面还有特殊角四十五度，所以说这个角它是四十五度，那么自然阿尔法是已知角，这个四十五度是已知角，这条边又是三。那么在这个三角形里面，我们通过解三角形也能把这里的 a g 这条边求出来， 求了 a j， 再求了这里的 a h， 那 自然 j h 不 就可以知道了吗？首先我们先解一下三角形 b a j， 我 们会发现四十五度和 alpha 都是一致角，所以我在中间做个垂，我们会发现，根据 alpha 的 摊 j 的 值 x 三 x， 根据四十五度，这个就是 x， 而且一比三比根号十，那这条边就是根号十 x， 从而你会发现四 x 等于三 x 的 话，也就等于四分之三，那这里的 a j 正好是根号十 x， 所以就是四分之三倍的根号十。那 aj 求完了以后呢，我们再去求这里的 a h 就 可以了。我们会发现，由于啊这个角九十加 alpha， 他的补角是九十减 alpha， 所以 我们在做垂的时候一定是要往外做垂的，所以这个垂直我们要向外做， 向外做完垂以后呢，这个角就一定是九十减 alpha 了。根据九十减 alpha 的 值是三，所以我们设这个边为 x， 这个边就是三 x， 我 们再根据 alpha 的 贪婪的值，等于的是三分之一，所以这个就是九 x， 对 不对？那你会发现九 x 减去 x， 刚好也就是这条边是八 x， 那 你就会发现八 x 等于一 x， 也就是八分之一了，同时呢，这是三比九比根号十啊，对不对？所以这条边就应该是三倍根号十 x， 那 x 我 们都知道，那这里的 a h 也就应该是八分之三倍的根号十，有了 a h， 有 了 aj， 那 么自然这道题 j h 的 长度也就是把它们俩相加，对吧？也最后就是八分之九倍的根号十了。带着同样的思想，我们再去做下一种情况，其实一样很简单， 我们会发现当点 e 在 这的时候，你会发现，由于圆的半径都是一吗？所以我们能得到一个对称的全等。 当这两个三角形全等之后，方便我们去倒角，你会发现这个是 r， 那 这个角一定也是 r， 根据全等对称性，这个角它还是 r， 那 从而你会发现这个是 r， 那 这个是九十，那这个角也就应该是九十减 r， 然后我们连减三角形都省了，你会发现这是九十减 r 法，那这个就是九十了呗。所以我们会发现，在这个三角形当中，他一定满足的是一比三比根号十啊，对吧？所以我们用一去除以根号十，就能求出 e h 再乘以三，那也就是 a h 的 边就等于十分之三倍的根号十， 那么有了 a j 减 a h， 也就是说 a j 是 刚才求的四分之三倍根号十， 再减去一个十分之三倍根号十，那这道题我们也就可以轻松解决了，刚好就等于二十分之九倍的根号十，那么这道题轻松搞定，同学们，你掌握了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！
343老李数学（初中）
03:00查看AI文稿AI文稿嗯，大家好，我是沈阳教数学的大鹏，我们今天，嗯，大连二模。嗯，刚考完啊，我们分析一下它的二十二题跟二十三题， 二十二题主要是子母相似，摄影定律和或者是用核磁共振都可以求。嗯，它这道题的话主要的特点是什么呢？就是一个几何新定义。 那么你第一步就是先导角这个圈，圈圈和 r 发都是相等的，你都能导出来才行。那么第一种情况，如果说 e 在 上方的时候，那么这个时候这是怎么求呢？其实你发现没，这个角也四十五加 r 发，所以 h j 等于 h c， 这是一，这是三，那这边是根号十， 由于它是字母相的，它方等于它等它相似比是一比三，对吧？那这个是一比八，所以这整个 h c 是 八分之九倍的 h e c， 那么就是第一个的结果啊，所以第一个答案等于八分之九倍，刚好十。那么第二种情况的话，和是一百八十度，他这几个是一个 e， 那 么当你这个就是 e 点在这个位置时，也就如这个图所示。 嗯，第一种方法就是阿尔法贝特心加是四十五度弹进的，阿尔法一比三，弹进维特一比二，那么可以导到到，哎，二十分之九倍刚好十 也可以，拿谁呢？拿 a j 的 长度减去 a h， 因为 a e c 和 h 是 一个适应定律，字母相似对吧？或者说叫双垂对称都可以，你根据一和三那求高 a h 特别好，求一乘三除根号十，对吧？拿 a j 的 长度减 a h 就 完事啊，因为刚才这个 a j 也特别好求。 嗯，他这个题的话，我觉得不能考，因为他有个什么缺点呢？现在中考二十二四年，二五年的题，他都是图形给你画好了，然后让你自己去倒角解三角形，再用相似，对吧？他自己让你自己独立画图。老沈阳的题型啊，这个题反正整体还行，不是那么难啊。 所以这个题考了这几个知识点啊，这个方法挺多的啊。最后一道题出的特别好，这个是动平行加单调， 呃，第一个他计算就是往里带，第二个的话也是，就是六零和那个二分九，二分九带进去就能求出来了啊。这个的话我最开始还走半步了啊。其实你就直接拿那个 pe 乘上，呃，二分九减 m 再除二，再拿那个 pf 乘上那个六减零再除二。其实一下这个求出等于三了啊。 呃，因为我第一次没有经验嘛，就是有点那个走半步，但是这个后来我就反过来，横线中横线嘛，最后等于三哦。呃，最后一个问的话就是一个轨迹的一个动平行的一个， 呃，单调问题也叫，那么这个题的话特别好，首先的话我先过 b 做一条线，跟那个 b c 平行，因为你这个 b o q n 它这平行四边形，我从 c 杠往前走一点点，你看到没，它在内部的曲线啊。抛物线是单腰递减复合体，直到主要得为止， 那么你就拿直线跟抛线连立，求得点坐标，横坐标十分之三十三。那同样到从 h 往这边走时，你看这个时候绿色的时候和这个 b o 是 平行四边形，内部没有单向递减，但是绿色再往右走一丢，对 o 是 不就可以有单向递减了？ 所以这个时候应该是这个点是二点五啊，把这条线截出求出来，跟抛线连立，求出一点坐标，最后求出这个范围。这个我上周讲的题比他难啊，这个是挺好的一道题。
02:57查看AI文稿AI文稿普兰店的家长们，大家好，今天呢，咱们给大家用我的这个阅读解题法来把二十三题几何压轴给大家讲解一下，看看这个解析的思路，用一种全新的方式来认识这道题， 保证你有收获。好了，咱们先看啊，呃，先看第一题，他说 ax 方加 b， s 加三与 s 轴 y 轴分别交于点 a 和点 b， 那 咱们可以看到这个图啊，交于这两个点，这，这看不出来咋地，是吧？ 嗯，能看出 b 点坐标，因为我们知道啊，这个 c 不 就是这个吗？那就是这个，这个点坐标零三，嗯，没看出别的了。第二个呢，说这个 c 点坐标， c 点坐标 m m m m， 那 么说明这个应该什么呀？ y 等于 k， s 加 b， 这个 k 应该等于一啊，因为这个横纵坐标两个相等，这边还经过原点，是吧？现在还没看到，那先接往下看，他说 am 方加上这个等于零， oc 与直线 ab 相交于 h。 第一个，求 b 点坐标及 m 的 值。 b 点坐标，这，这我们还没没没讲题呢，直接答案就出来了是吧？ b 点坐标出来了， m 的 值，现在我们先就根据前面这段文字来看啊， 没有办法直接求是吧，看，没没没，刚一看好像有点，嗯，怎么说呢，比较不知所措了，不知道怎么办了。那我们一看，仔细看一下，这是不是如果把这个 m， 他 不是符合这个二三数解一式吗？往里边一带， 那是不是把这个 m 就 换到都换成 m 的 时候，这时候就可以解这个方程了啊？这里边看起来有很多的未知数，但实际啊，它都互相都消掉了，我们可以看一下啊，把它带进去，因为 m 在 上面啊，那就是 am 方加上 bm 加三 等于三啊，等于 m， 这是第一个 c 点，在这个上第二个且满足这个呀，那就应该是 am 方加上 b 加一倍的 m 减六等于零。 现在我们可以做叉，一做叉，这个好多都相应的消掉了。比如说这个二减一吧， 他一减没了，他一减必背的 m 没了，剩一个 m， 他 一减应该剩一个负六减负三负九，他一减负 m 一个项，那就变成了什么呀？二 m 等于九， m 等于二分之九。第一个就求解了。
13:52查看AI文稿AI文稿我们一起来看一下今天刚刚考完的这个大力士二模数学哈。这张卷，呃，这张卷整体的难度我觉得是比一模要稍微难一点点的哈。 然后，嗯，我把这个小压轴做了一下，还行，然后我们一起来看一下啊。呃，第十五题的话，就是一个二次函数的问题，比较简单，就是一个开口向上，然后对称轴， 然后这个没有任何变量哈，里仁在这个位置，二在这离对称轴越远的，哎，最大值最小值带进去求出来就是四哈，这是十五题， 其他题都比较常规哈。嗯，十八题考了一个这个二元一次方程组的应用，哎，这个初一下学的也比较经典的哈。然后十九题考了一个一次函数和反比例函数，哎，这个也比较常见啊。 然后二十题考了一个三角函数，然后二十一题的话，这个圆相对来说还是挺简单的哈。第一个问，他让你求边等，那肯定要倒角对不对？你可以设小角为 r 法，这是，嗯，这个是 r 法，这就是阿尔法。 然后呢，我可以把谁连上呢？连不连都行。这个同弧所对，圆周角相等，这个角就是 r 法，哎，这个是 ab 是 直径，直径所对，圆周角是九十度，它是 r 法，这就是九十度减 r 法，这是二 r 法，这是九十度减 r 法。倒角就能倒出来，它是九十度减 r 法。等角对等边， dc 和这个 d、 b， 它就是相等了， 这是二十一题的括号一哈，然后去看括号二，括号二的话，他给了角 a、 e、 d 等于角 cbd， 哎，来看一下角 cbd， 刚才不正好角 cbd 等于这个角吗？ 对不对？然后他说这个角等于它，那你把这个 d a 连上， d a 一 连上的话，同弧所对的圆周角是不是相等？那说明这四个蓝色的角是不是相等？哎，这是一个等腰三角形，这也是一个等腰三角形， 嗯，绕着一个公共顶点，这是不是手拉手全等吧，对不对？所以说这两个三角形他就应该是全等的。那在这个直角三角形中，我知道 ab 是 四，这个是刚好十五，那 ac 长应该是多少？ ac 长是不是应该是一吧？ 哎，所以说一个全等就能得到我的 b 一 长就是一，哈，这是二十一题。然后来看一下二十二题， 二十二题的话，这个题的第一个问的话，他给了 ab 等于 ac 是 一个等腰三角形哈，然后 a d 长给的是一，哎，他说以 a 为圆心， a d 长为半径画圆，这个把圆和这个几何题给它结合到一起哈，我觉得这个还是蛮好的，考的还是挺挺好的哈。 然后呢？说这个延长，然后相切，相切的话，就说明这块是垂直的，哎，那这个长是一，这个是三倍刚，这是三，这是垂直，这是不是二倍杠二啊？那在这个三角形里面，我是不是就可以列勾股定力， 他的平方就等于什么？哎，三方减一方就能得到，他是二倍杠二，然后再在大三角形里面，大直角三角形里面再列个勾股定力， bc 是 不就可以解出来了，对不对？哎，最后 bc 就 等于二倍杠六啊， 这是括号一，然后来看括号二，哈，括号。他说将这个特殊化后，哎，提出如下问题，给它变成九十度了，那你的画图还要沿用第一个哈，就不能用括号一的，嗯，这个是怎么呢？ 依然是点 e 在 这上，然后他俩加一起等于一百八十度。那你看这个角 b a c 是 不是九十度啊？这是九十度，那说明角 c e 是 不是应该也是九十度？他是九十度，这是九十度，哦，给他延长在这上啊，那 e 可能在这边， e 是 不是有可能在左边？所以说 e 有 两种哈，我先画第一种， e 在 这个位置的时候， 然后他又说了什么？他说，呃，并做直线 c e， 这是直线，这也是直线，并做直线 c e 和这个 a g， 哎，相交于点 h， 相交于点 h， 哈，然后让你求 g h 的 长，哎， g 在 这， h 在 这，我给他一延长之后，你就会发现这里边，你看这是不是有等腰直啊， 对不对？哎，这两个角还相等，这块给了角 b a g 看没看到角 b a g 等于角 a b e d。 好， 这个角和这个角是相等的哈，然后你一延长出来，这不就像在这个边和这个边相等，这是直角，这是直角，然后 ab 还等于 ac， 那 这两个三角形是不是相当于是全等的了？他俩一全等的话，那这个角和这个角是不是应该是相等了？ 这就是那个点角，哈，这个就是相等了，哎，然后他一相等之后，我就可以知道很多事情了。 嗯，那比如说这个边是一，这个边是三，这个边肯定是根号十，哎，同理哈。然后现在让你求的是谁场？求的是 j h 场，哎，求这个场。 第一个，我可以先把 a g 长求出来，我怎么去求 a g 长？我知道这个角这个大的 abc 是 不是应该是个等腰值啊？我就它是四十五度，看见四十五度可以往这边做个垂，对不对？做个垂之后，这个是不是应该是个小的等腰值？我就设它是 x， 这个也是 x， 哎。然后你看在这个小三角形 a m g 和 a e c 这里边，这个点角所对的弹键的值是不就是一比三呀？那我就设它是 x x， 这是不是三 x？ 所以 说总长是不是四 x？ 四 x 是 不应该等于我这个三吗？这不一，这是二，四 x 等于三，所以我就可以把 x 解出来，就等于四分之三， 那 x 等于四分之三，这是一比三比，根号十吧。所以说他是不是就应该是 a j 上就应该是四分之三倍，根号十，哎，可以的。然后我再利用右边这个小三角形和这个三角形他俩相似，他俩一相似的话，你去看相似比，是不是应该是他比他， 因为它比它比上它，等于它比上它，等于它比上它，这不还是这个弹性的值吗？所以说是不是应该是一比三，那我就设它是 y， 这是不是三 y， 哎。然后这个三角形和大三角形相似，是不是就应该有它的平方，等于它乘它呀？ 我就可以把这小 y 解出来就是八分之二十。小 y 解出来的话，你可以把 a h 的 乘，实际上是不就是 a g 加 a h， a g 长是刚才求出来的，四分之三倍，刚好十。而我的 a h 是 不是三倍的 y 呀？也就是八分之三倍，刚好十哈，哎，合在一起就是八分之九倍，刚好十，八分之九倍，刚好十哈。这是第一种情况，第二种情况，我把这图画一下，一样的，就是 e 在 这个位置，它说 c e 和 a g 相交于点 h， 我第一个先把 a h 求出来， a h 的 话，你可以用等面积法，对不对？哎，一乘三是不是应该等于刚好十？乘以 a h， 你 就可以把 a h 解出来，就是十分之三倍，刚好十哦， 哎。然后你用 a g 减去 a h， 是 不是 g h， 哎，刚才 a g 也求出来了， a h 也知道一做叉是不是就是二分之九倍刚好十啊？ ok 哈，这道题我觉得整体考的还是挺好的哈。嗯，首先考了你这个画图能力，还考了圆和这个几何结合在一起哈，然后我们来往下看哈。所以说你看这这张卷的正常单独出的这个圆相对来说简单一点，二十二题结合了个圆，哎，他就稍微加了一点点难度哈。 然后我们来看一下这二十三题哈。二十三题的话，他说抛物线这道题，我觉得这个二次函数题是难的哈，难在哪？他的计算量就求这个解释，求完之后的话，你的心里都没有底， 就觉得这个解释跟我们平常练的求解释的数不一样，你做的时候你就很慌哈。呃，要反复检查，把那个点带回去，然后验证一下成不成立啊。他说他抛物线，他与 x 轴、 y 轴分别相交于点 a 和点 b， 哎， c 点在抛物线上，满足这个式子， 那这个 b 点坐标一定是 x， 一定是 x， 等于零去解 y 啊，对不对？ b 点坐标是零到三，然后他让你求小 m 值，第一个你可以把这个 m c 点坐标带回去，得到一个关系。 第二，你把它打开，你可以对应系数相等啊，是不是三减 m 就 等于 m 减六，我的 m 是 不是等于二分之九？ 哎，这个第一个就出来了哈，第二个他说是给点 a 的 坐标，是六斗零两个点，你知道那个 c 点坐标，你还知道这个 a 点坐标，你是不是就可以把这个小 a 小 b 给我解出来了？哎，你解出来这小 a 小 b 竟然是一个是负九分之五，一个是十六分之七，看着就很奇怪哈，但是就是这个答案， 嗯，带回去就是他哈，然后这个圈二哈，非常的具有迷惑性，这个圈二出的我觉得真的挺好的，看着很复杂哈，你做到最后的话，你会发现 还行，还可以算哈，他说过点 p， 我 做 x 轴的垂线与 o， c 交于点 e 与 b， a 交于点 b， a 交于点 f， 大 概这么画，那这三个点他的横坐标可能都是小 e 啊，他给你这个东西就没有让你去求他的意思， 然后他说三角形他的面积和他的面积分别是这个，然后比完之后是这个，这看着好复杂呀，我这我的第一想法是能不能把它表示出来，然后椰汁分解，然后那个约掉一些哈，然后把这小一解出来再带回去， 哎，但是你在算的过程中我尝试了一遍哈，我发现算的过程中他因式分解不了哎，然后后来我一想，那可能不不是这么做哈，那可以怎么办？我看一下这个 pce， 这个三角形，哎，这个 pce 他 肯定是以 pe 为底， c 往这边做垂线为高吧，哎，你这 pe 是 多少 pe？ 不 就是你看他是不给你要求的 pe， 那 这个 c 往这边做高，实际上是不是二分之九减去 e 啊，哎，二分之九减 e 哈，而你看右边这个，你可以给他通分，通分完之后，是不是四分之九减二， e 和这个二分之九减 e， 其实他是可以约掉的哈。 然后你这个 p a b， 这个三角形，哎，这个三角形 p a b， 他 是不是可以以 p f 为底？哎，这不也要你求 p f 吗？是不是？他往这边做垂线为高，他往这边做垂线为高，那是不是就他俩的水平的距离，哎，也就是六哈，也就是六二分之一以 p f 为底，然后做完差就是六， 哎。然后给他表示出来之后，你会发现二分之一，二分之一可以约掉，对不对？而右边这个四分之九减二分之一，其实你可以提出个什么， 你提出一个二分之一好像就会更简单，我不这么提，我提个二分之一看起来会更舒服一点啊。我提二分之一这块是不是就是二分之九减一？这样的话，你二分之九减一是不是直接就约掉了？ 哎，二分之九减一哈，哎，直接约掉了，那左边这个分母剩个六一乘过来，是不就是剩三了？哎，六除以二，剩的是不就是三？ 这个题就很巧妙哈，这个圈二很巧妙哈。然后来看圈三圈三，他说当点 q 从点 a 出发， 点 q 从点 a 出发，哎，沿着折线 c h h a， 那 他肯定分两段，对不对？他说以 o b 和 o q 为边做他这道题的难点在于，他没有让你直接写出， 你还得写过程，对不对？求 d 的 曲值范围哈。那首先我就要去分析一下，当 q 在 这个位置的时候，你要按照顺序哈，他说的是平行四边形， b o q n b 在 这， o 在 这， q 在 这， n 肯定在上面，不可能跑到下面哈，他是 要么你是顺时针，要么逆时针哈。那我就想第一个，我想的是找到什么临界值，这临界值就是当我这个 q n 等于三的时候，这是不是临界情况， 哎，这个时候这条直线肯定是 y 点 x， 我 就说 q 点坐标是 t 对 t， 那 你这个 n 这第一个哈 q 一 n 一 点的坐标一定是这块加个三就是 t 对 t 加三，你把它带进去，能解出两个 t 值， 一个 t 是 零，这肯定要折了，就是这哈，另外一个 t 等于十分之三十三，哎，这是一个界点临界的情况，那我在想他往左还是往右，往哪呢？你如果要是往左，你会发现和他都没有没有这个抛物线吧， 只有你往右，哎，你往右，你看这块是不是就会有抛物线，它是不是就会向下，哎，它就会向下的哈。这个题正常情况下，你要算一下这个 h 点的坐标，你会发现它是在对称轴左边，所以 当你 q 往这边走的时候，它不可能有 y 衰的增大，而增大它都是从左到右都是下降的哈，然后你去看，哎，当它到哪块的时候，当这个 q 和 c 重合的时候，在这块， 哎，你看这里边是不是还是下降呢？而且这个点是能取到的，刚才这个临界的情况，这个取不到，这个连上的话，这里面没有没有二次函数图像，没有抛物线，对不对？所以说就是十分之三十三到二分之九，右边是可以取，等，左边取不到等哈。 然后第二种情况啊，就是在这个 q 点在 h a 上哈， q 点在这块的时候啊，我可以哎列一下， 然后我依然要找借点哈，我就往上做一个平行 y 轴的直线，让这个长度是三，这条直线可求哈，这条直线是 y 的 负二分之一， x 加三，它的坐标就是 t 到负二分之 t 加三上面，那是不是 t 到负二分之 t 加六啊？哎，你把这个点给我带进去， 带进去之后你就会解出两个 t 值，那 t 左边的肯定不要了， t 三减去五分之三倍，刚好十，这个不要， 哎，然后我只要右边这个哈，右边这个，那我现在想知道他和这个二分之九，因为你的 c 点的坐标不是二分之九都有二分之九吗？我要去看这个二分之九和他俩谁大谁小。我做个叉之后，然后你去比较一下，你发现他大于零，他大于零就是说明他比二分之九大呗， 他比二分之九大的话，那他跟刚才那就合不到一起去了，他俩就该分开，哎。到哪块到六，你往下面走，你看你这块，如果 q 跑到这了，哎，你看这是不是可以啊？在他俩之间的这一部分是不是都是 y 衰的增大而减小，从左到右是下降的趋势， 哎，你再往这边就不行了，你再往左边，你左边这块，你看你做平行四边形一组，对边平行且向等，中间没有抛物线肯定不行，哎，那就是这个界点 q 的 情况，往右走可以啊， 你看你这往右走是不是就可以的，这里边就都有，哎，你接着往右走，这个就是临界情况哈，就是当他在这块的时候， 就过 a 点的时候， a 点这块是几是六六又可以取到，所以说分类讨论了，那你要把这两种情况给他综上一下，合到一起就可以了哈。 呃，整体来说，我觉得这个大连二模题考的还是挺好的哈，就是有难度。然后，嗯，也给大家一点点这个得分的空间，就是你把你能力范围内该做对的做对就行了哈。拜拜。关注刘刘丹老师，我们下期再见。
162大连倍多分刘丹数学
00:59查看AI文稿AI文稿大连二魔力数学卷你是挺调皮啊，刚做完前半段还觉得挺简单，结果后面一看，那上回一模考的知识点，二模你是一道也不出啊，就连压轴的顺序你也是掉了个个啥意思？ 两次模拟所有知识点考的都不一样，你就说中考你啥都可能出呗，瞅瞅你那二十一题，按照国际惯例是不应该考个圆的切线呢，结果你非得整个全等，可到了二十二题，本来应该考全等， 却来了个圆的切线。那周星驰有把古灵精怪枪，完大连二摩非得整个古灵精怪棋呗，压轴还压上大连八百年都不出的分类讨论了类呀，是很容易能找到，但是那个长度啊，是真挺难算呐， 那代数代的方程都消蒙圈了，那多少孩子那数算出来都不敢相信自己算的是真的。虽然说难度不难，但是你这塑形结合加一顿计算， 这题算的是又恶心又闹挺啊。那么整体来说，大连的一模非常的有创意，也代表了今年中考可能考的所有可能性，想要试试的回大连二模，真希望中考的时候数别数这么恶心啊。
712辽宁中高考（东风老师）
08:52查看AI文稿AI文稿大连二模数学的这道函数压轴，让咱们万千小英雄们都丢了分，跟何老师一起看看这道题到底是怎么编的题，难点在哪里？ 拿起笔，咱们一起秒杀它！来来，我们一起来看啊！一入手就能看到 解一式含两个参数，上面有一个点，那咱第一反应就是把点带进去啊。所以你会审完题得到一个方程， am 方，加上 bm 加三等于 m， 关于 abm 方程一个，再往下审又来一个，你到这怎么也能感受到它俩应该是一个方程组吧， 然后没了三个未知数点。 b 是 送分的，他让我们求 m 啊，只要逻辑清晰就可以。很多同学这问卡住不是算的问题，是大家审题的问题，是你审的时候不思考， 读完题回来现想的都没意识到方程组啊。如果你能意识到方程组，那逻辑很简单了，我们要求的是 m， 那 削谁呀？ 消 ab 呗啊，这 am 方， am 方，这 b m， 这 b 加 e m， 打开，这不是 b m 加 m 吗？你还感受不到两式相减吗？ 全约了一元一次方程，没啥说的啊，就算慢一点，一分钟也该做完了啊。第二问点 a 坐标给了求解式啊，一个基本的二元一次方程组， 虽然有一些分数运算，但韩餐很少啊，我觉得算是正常的预算量吧，没啥可说的。圈二圈三，哎，来了，各来了四分。压轴问开始提升难度，前面分别是二分和三分。 呃，圈二，我们看一下这里设值，其实逻辑上也不难啊，点 h 的 坐标很容易求出来，是二到二，而它限制的动点范围就在零到二之间，也就是说就在左边这一段上动。好，那我们找到一个动点， p 做一条铅垂线，上边交点是 f， 下面交点是 e， 横坐标对着小写的 e 啊，来了两个三角形， p e c。 哎呀，带着一根铅垂线啊，又来了一个 p b a。 二函数学新课入门级的铅垂线，求面积，然后人家还把方程给你列好了， 那就往里带呗。这哪有逻辑难度啊，上面的三角形好让我表示面积来二分之一，我肯定以铅垂线 p e 为底， 以谁啊？横坐标之差，这个第一问求完了，二分之九到二分之九，那横向跨度 现成的高就是二分之九，减一分子表示完分母另一个面积。铅垂线求面积呗，二分之一以 p f 为公共底，横向跨度这是六到零，那就是六呗。 说他呀，等于四分之九，减去二分之一，你就算直接看不出来他俩是二倍，你把二乘过去也行，或把二分之一乘进去也都能发现呢。或者你就正常化简也能发现呢， 对不对？正向逻辑，你就画把先，我把二乘进去，那这就是四分之九减二分之一，他俩这不一样吗？就约了啊，这二分之一和六就剩三，你先约分子分母也行啊，这三挪过来就剩三了， 要么你就做逆向推导，逆向推导要求的就是他俩的比值，那这不就是你要的吗？就得三呢？完事了。 表面上算是压轴问，但实际上他中间考的就是一次比值转化，难度不算高啊。我们来到最后一问，出现了动点，出现了动图，分类讨论来了啊，但是讨论的我们看一下啊，首先动点运动的轨迹就在这条折线上 点 q， 而限制条件平行四边形 b o q n 顺序竟然不允许改，那也就是说我们在画图的时候， b o q n n 必须在上边啊，没有其他情况，你只能往上画，而且是一个什么 o b 长度为三， 就是一个固定的长度为三的小线段，你就感觉拿个小木棍把底下的点 q 固定在这个折线轨道上，然后拿它在这划上下划，这种感觉是不是？然后你就看点 n 呗，点 n 落在抛物线上，那就是界点呢？ 上边落一次 n 一， 这就是一个界点，平行线走到下边的时候在这在这，哎，大概这种感觉又落上了 n 二，是不是就这俩节点？然后你想讨论按人家要求不含边界内部我们要讨论的是平行四边这个函数，图像下降啊，你稍往出画一点点，就能感受到里边是下降的， 你往下再画一点点，也能感受到这底下是什么下降的，所以里边都是满足的啊。那我们只需要知道两个什么端点和两个什么界点，而界点咱们说定量运算的事，有的时候说这不好算。点 q 的 横坐标是 d， 两条直线解是心算级别， y 等于 x 和 y 等于负二分之一， x 加三，那表示点 q 的 坐标是很容易的。那点 n 的 坐标，它俩容易表示点 q， 点 n 的 坐标，不过就是向上平移三个单位吗？那 n 也很好表示，那 n 再往抛线回移代入 这一题不就是要解两个一元二次方程吗？没了也不涉及到含差预算，所以从预算的角度来讲，也不算太难。借点很清晰，中间的过程都要，人家还不要求边界，所以我们求的求的取值范围边界就都要 清不清晰，哎，秒杀啊！所以这道题综合来看啊，难度适中，还不算是太难啊。设置的难点就那两个，一个是圈二，我们求比值的时候做了一次转化， 那这个方程都是人家给列的，都不是咱构造的是不是？最后一问，虽然有动态的分类讨论，但是借点很好找，预算量还可以啊， 综合来讲，是一道比较正统的中考级压轴啊。你可以看到，这里边在编题逻辑上，他考察了大量的转化思想，并且植入了这种动点动图的分类讨论啊，中间必须会用到数形结合啊。每一问都考察了咱们的方程思想， 所以用一道题直接就向我们推送和考察了什么四大数形思想。我觉得是很正统的中考级的题目啊， 值得一做啊。然后你说预算这一块，实际上这里核心的就是一个二元一次方程组和两个一元二次方程。在中考压轴这个级别又没有含很多字母的情况下，我觉得就算正常运算量了啊，如果说数复杂一点，也算是初级的复杂运算。 如果这道题你算的时间不够，或者大家答题时间紧张，我觉得还不是预算的问题，大概率是你没有清晰的思考路径，思路来的太慢了啊，审题之后耽误了时间， 所以最后阶段冲刺同学们想突破二次函数这一块啊。呃，我还是强烈推荐大家还是好好看看，我给大家选这二十四道函数压轴啊。 你手里也有很多资源，但是离中考很近的时候啊，这些题型、方向，这些考法、逻辑和思路，你们自己不太好总结 啊，我都给你们总结好了，选出了二十四个，每一道题也都有详细的视频讲解，你自己看一看啊。这个我觉得在考前如果你想突破函数压轴啊，这个平静想把这道题充满的啊。 这个用何老师加二十四道题应该是最快的方式了啊，想进一步了解你就点头像私信我啊。 同学们，保持好冲刺的状态，把你的竞技状态调到最佳啊！保持准度训练，保持套卷训练，保持压轴题的解难训练。记住，不到中考最后一科交卷，咱们一点都不放松。 你今天学的一个点，一种方法，明天都有可能变成三分五分，回来来帮你啊，加油，一起冲刺到最后！
37何阳满分数学
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.8万亮亮巧解数学
05:38查看AI文稿AI文稿大连二模的数学刚刚考完，我也马上做了一下，来跟朋友们分享三件事。第一个，整体的难度预算量到底怎么样？第二个呢，总结一下这后两道压轴有哪些点命题命的特别好 啊。第三个，还是看一下最后阶段咱们孩子该怎么冲刺啊。首先，难度预算量上，我觉得中规中矩， 从几何题的辅助线分类，到他的方程构造，以及二函数里的分类，包括二函数里最后那两个临界点啊，逻辑深度都不是特别深啊，但是不是特别好算，他植入了复杂运算和函数运算，并且在两个问里边都有比较巧妙的变形， 对大家的准度和速度有一定的要求啊，会拉开差距啊。这个具体来看后两个压轴吧，因为前二十一题真的是比较友好，没有任何难点前置，大家踏踏实实做和复习就行了。 后两道大题，首先几盒编的比较好的几个地方，第一个，这个二级条件就特别好，大家审完题有没有发现这个斜中， 如果你审完题第一反应就看到了学生二级条件挖掘的行，审阅能力还可以啊。第二个，考的好的地方，我们的几何终于，终于植入了什么分类讨论， 这个圆都不是亮点，因为圆没有难度啊，但是他终于考了分类啊，这是之前沈阳在动态几何特别爱考的， 我们大连经常考的都是静态的几何啊，有分类讨论特别好，虽然分类不难，但一定会增加它的运算量和书写量，答的慢的同学仍然会吃亏，准度不够的同学更会吃亏啊。 那在分类的时候，分类之后，这里的辅助线逻辑和思路都是基于什么解三角形，大家看到双比例了吗？ 所以这整体编的特别好的地方就是在思路层仍然用双比例去架构等量关系，基于解三角形提供什么方程，用方程思想解决最后的什么线段长度， 还是那套命题逻辑。辽宁一直都不怎么变啊，挺有本地特色的啊。双比例又出现了，一比一比刚好二和什么，一比三比刚好十，跟我给大家预测的比例基本都一样吧啊，还有一比二比刚好，五和三比四比五仍然可以加进去啊，所以今年中考谨防双比例，谨防啊！ 二函数这块我觉得第一问就出的非常好，会让很多同学稍微愣一下啊，吓人，但不咬人，把胆小的给骗走了是不是？我们第一问第一反应就是把这点带进去，带进去你会得到一个三元二次方程组 啊，吓着了。首先只要思路清晰，你要求的是 m， 那 就削 ab 呗，两式一减， m 的 值就出来了。第一个我觉得第一问编的也很好啊，第三问圈，第二问这个圈二，我觉得是编的最好的地方。 求两根线段的比值，虽然给的是临界面积，虽然给的是一个有铅垂线的三角形啊，但是他要的那两根线段比刚好就是啥？ 那 p e 和 p f 不 刚好就是两根千锤线吗？所以这里做了一个巧妙的含参运算，这是啥？ 它直接就能整体求出比值，不用设它俩的坐标，不用上边减下边求解一式 去设这个，呃，千锤线只要那么做的都绕了很远，所以你看它编题编的非常好，这度就够了啊，这度就够了啊，非常好的中考逻辑， 然后圈三圈三命题，呃，难度不高，这个分类啊，大家只要找到这两个临界位置就行了，对不对？上边一个下边一个，因为他就是一个长度固定的铅垂线段平移的事， 把端点卡在线段和抛线上就 ok 了啊。难度不大，有一定的运算量，因为它的解析式都是分数。第二个呢，我觉得植入了运动分类和待机综合这件事很重要，这是特别好的命题点，我觉得也是今年二六年辽宁中考的热点啊，值得一做， 质量非非常高啊，其他城市的同学都可以算一算。然后我们最后看看自己的冲刺，给大家两个建议吧。第一个，从多项提示来看，复杂运算和韩餐抽象运算一定要做专项的训练， 一定会重视，中考一定会重视啊。第二件事，大家不要揪着某个热点题型去练， 从沈阳九区的区模到市二模，到我们大连的一模、二模，到各地的考试，你都能看出来，考察是很全面的。 函数图像运动有分这个分段，函数有函数，焦点有参数，不等式有参数范围，最大值、最小值，待几综合全都有。所以最后这几十天，大家在冲刺的时候，记住，一定要做题型、方法、逻辑的全面训练，而不是揪着某个点使劲去练。 大家不用想那些热点，什么所谓的这个精准方向啊，或某一个小道消息都不靠谱。中考一定是新体，一定是活体啊，一定是有一定难度的啊。如果你最后阶段说老师我这个复杂预算不会练， 或者你不知道这些压轴该怎么做全面的复习和覆盖，或者你想跟着何老师一起把二函数和几何的瓶颈突破。好，你找我，我告诉你怎么整啊，私信我或者是在评论区直接扣一个一，我告诉你怎么干啊，一起加油，最后冲刺开始了。
381何阳满分数学
14:18查看AI文稿AI文稿学习一百道压轴题，今天学习的是大连二模几何压轴题，哈喽，大家好，我们今天一起来讲解一下大连市二模的几何压轴题，它的难度没有一模大，主要考察的是解三角形。 那接下来我们一起来看一下。那首先第一个问号非常简单，这里我们就不讲了，主要看一下第二个问号。 那第二个问号的话，首先我们先画图，先确定 e 点的位置，那 e 点的位置根据题干 b， a、 c 加上 e， a， c 等于一百八十度，所以非常好想的就是第一种情况，就是 e 点是在 b a 的 延长线与原 a 的 交点， 那 e 点确定完了之后，再去做直线 c， e 和 g、 h 它们的交点， h 属于此图可画。 那除了这第一种情况之外，还可以有什么情况？就是此题还有一个特殊角 角 b， a、 c， 它是九十度，那它是九十度角， e， a、 c 也是九十度，所以 e、 a、 c 是 九十度的话，我们这个 e 也可以是线段 b、 a 与原 a 的 交点，所以我们还有第二种情况。 那首先我们先来看一下第一种情况，那第一种情况的话题干给了 a、 b、 c， 它是一个等腰值，所以底角是四十五度， 我们先标上，因为这个特殊角我们后面解三角形可能会用上它，所以这里先标上啊，然后还有 a， b 等于 a， c 等的是三， 然后还有半径是一， a， e 等于 a 对 等于一。那标到这了之后，我们就可以发现三角形 a、 b 对 和三角形 a、 c， e 全等 判定，应该是边角边不多说，那全等了之后，我们去推对应边，去推对应角，那首选的是和已知条件和问题有关的边和角， 所以已知条件给了一个角 a b d 等于角 b a g。 点角，所以我们可以把这个点角转移了，可以拽到 角 a c e 啊，那我们这三个点角都相等了之后，我们还是可以去找一找有没有其他的等角，那此时我们可以发现，角 a g c， 它应该是四十五度加点，而我们的角 h c a， 它也是四十五度加点，所以这里面角 g a c a g c 等于的是角 h c a h c 锥啊，等于四十五度加点，而这两个角它是在同一个三角形当中，所以我们就可以得到锥 h， 它等于 h c， 而这个锥 h 的 话是我们要求的，所以我们就转换成去求这个 h c， 那小球 h c 怎么办？我们有两个角度，第一个角度就是找 h c 所在三角形，然后去找相似，第二个角度就是去找它所在的三角形，去解三角形，那此题都能做，我们先来看方法一， 方法一的话就是去找 h c 所在的相似三角形啊，那这个是好解的啊，那 h c 所在三角形 h c a， 那 它的相似三角形呢？啊，是不得有这个点角，还得有 h 角的，所以有这个 h 角的它所在三角形应该是 h a e， 还有 h g c， 那 明显相似的应该是 h a e 啊，有一个公共角，还有一个这个点角，那是不得等于这个 h a e， 而这个 h a e 是 不对顶角，所以它是点 啊，所以我们可以发现啊，这里应该是一个直母形的相似三角形 h c a， 那他俩相似了之后，我们去找对应边乘比例，就应该是 a e 比 a c 等于一比三，那就等于 h e 比 h a 还等于 h a 比 h c 啊，所以我们先设啊，这个 h e 他 是 a， 那 这个 h a 他 就是三 a， 那 他是三 a 了， h a 比上 h c 是 不是也是一比三，所以他就是九 a， 那它如果是九 a 了之后，等量关系出来没啊？出来了吧？我们可以看到这个九 a， 这是 a， 而这个 ec 呢？ ec a 一 比三比根号十，所以我们就可以得到这个九 a， 它等于 a 加 根号十，所以我们就能算出来这个 a， 它等的是八分之根号十，而 a 是 八分之根号十了之后，我们要求的 h c 就是 a 加根号十， 所以这 g h 等于 h c 等于 a 加根号十，那就等于八分之九倍根号十。 那这里还是再次强调一下，看到这个边乘比例的一比三，我们可以方程思想去设他啊， a 和三 a， 那 这是方法一。接下来我们再来看一下方法二，那方法二的话，就是找 h c 所在的三角形去解三角形 啊，解三角形也是我们去求线段长非常重要的一种方法啊，很重要。那 h c 甩角形应该是 h c a， 所以 我们可以解三角形 h c a， 那 看一下它能不能解， 那我们想要解它 h c a 明显有一条边， a c 是 三，然后还有一个角嘛？是不是这个点角？我们找这个角，要么是特殊角，三十度、四十五度、六十度，要么是知道三角函数值的角，那想要知道三角函数值，它就得在直角三角形当中的， 所以这个点角，它在 e a c 这个直角三角形当中，所以它是三分之一的角， 所以它是已知角啊，那还有谁呢？它是三分之一，那 h a c h 还是 a 呢？ 应该是 a 点处，这个点角等于这个点角，它是不是也是三分之一？那它是三分之一，这是度，这是九度角吧，所以这个角是不知道。那有时候这钝角是多少？我也不知道啊，那钝角我们找它的补角 是不是一个补角？是这个三，它俩互为，所以它应该是正斜值，是三的角，那它是三的话，所以 h a c 两个角，一个边可解啊，那这个解三角形我多说一下啊， 那这个解三角形怎么解？我们应该是做垂直，将知道的角都放到直角三角形当中，所以要把这个三分之一，还有这个三都放到直角三角形当中，所以应该是过 h 向 c a 做垂直。 好啊，那做完垂直了之后啊，比如说这是 m， 那 我们这个三分之一是不就是在直角三角形 h m c 当中？而这个三有时候没在呀，这个三我们去找它的对零角， 相当于我们这个钝角 h a c， 它的补角除了这个 c a g， 是 不还有 h a m 啊？说我们找这个对顶啊，它是三，所以这三和三分之一都放到了直角三角形当中，而边长又未知，我们可以方程四角相，先找较小的这个直角三角形啊，我们可以设它是三 m， 它是 m， 然后，呃，再来看这个 hmc， hmc 的 话，正切值是三分之一，所以是三 m 比上 m 加上三，等于一比三吧，所以 m 也能求，所以 hc 就 可以求啊，这里我再不多说了。啊。 啊，那这是解 h a c， 我 再多说一下，我们解三角形的话很重要啊，那刚才解的是 h a c， 那 其实我们还可以解谁呢？我们要求这个 h c， 你 观察一下上边 e c 是 不已知的，所以是不只要求 h e 就 行， 所以我们也可以去找 h e 所在的三角形，所以相当是解三角形 h e a， 那 这个 h e a 能解吗？啊？这里看一下，那 h e a 知道这个点角三分之一，然后还知道 a e， 这里是一啊，那我们还知道什么呢？ 是不还是知道 a e c 这个钝角的补角，这个 e 对 吧？这个 e 的 话，它是在 e a c 这个直角三角形当中，所以它的正切值应该是三，所以三角形 h a e 也可解 啊。然后那这个三角形如何做？垂直？是不和 h a c 一 样，将三分之一和这个三都放到直角三角形当中，所以过谁做呀？所以还是过 h 向 a e 做垂直 啊。然后我们这个三分之一是不是就在这个直角三角形当中，然后这个三是不还是对顶过来？在这个直角三角形当中，剩下的和刚才一样啊？这里不多说了，那这是第一种情况， 那接下来我们再来看一下第二种情况，那第二种情况就是线段与圆的交点，那如何做啊？仿照着上一个问号，我们大多数的时候多种情况都是雷同的，所以上一个问号找到了，三角形 a b 对 全等于三角形 a c e 判定是边角边，那看这个图存在不啊？仍然存在，因为 a 对 等于 a， e 等于一， a b 等于 a c 等于三，还有一个公共角，所以还是边角边全等。那全等了之后呢？仿照了刚才我们还是去推角， 所以这俩点角相等，已知条件等于角 b、 a、 g 啊，这三个点角相等，那这三个点角相等之后，点加圈等于九十度，所以点加圈是九十度，所以这个 h 它就应该是一个直角， 那 h 是 直角，我们就可以发现，这三角形 a、 h、 c 是 不就是一个可解三角形 a、 h、 c 啊，它是直角 a、 c， 这里是三，而这个点角呢，是不是在 a、 e、 c 当中，正切值是三分之一，所以我们就可以求出来这个 a h 一比三比根号十，所以它是三，除以根号十，等于十分之三倍根号十啊，或者说啊， a、 e、 c 斜边上的高利用面积啊，都可以啊，啊，这是它，那 a、 h 求完了之后， 这里要求的是 gh， 那 这个 gh 如何求呢？我们观察一下啊，知道的是 a h， 它和 a h 共线吧，所以我们这个 gh 就 应该是 a 锥减去 a h， 那 这个 a 锥如何求呢？啊？我们可以借助前一种情况， 方法一啊，摇第一种情况，摇第一种情况的话，这个 a 锥，我们可以看到它应该是由 h 锥减去 h a， 而这个 h 锥的话，它是不等于 h c 啊，等于的是八分之九倍，刚好十，刚才算完了啊，而我们这个 h a 呢，是不是三 a， 我 们刚才也算出来这个 a 了吧，所以这个三 a 也知道啊，所以我们的 a 锥， 他就应该是啊 h 锥啊，八分之九倍根号十， 减去那个三 a， a 是 八分之根号十，所以减去八分之三倍根号十，所以就等于四分之三倍根号十啊，这是方法一啊，借助前面问号啊，借助前面的情况，那方法二， 我们要求这个 a 锥啊，你就不怕麻烦？再来一遍，那我们想求这个 a 锥的话，还是可以找 a 锥所在三角形去找相似或者解三角形。那此题我们还是解三角形 a 锥旋转角形应该是 a 锥 b， 所以 我们可以解三角形 a 锥 b， 而 a 锥旋转角形还有 a 锥 c， 所以 我们也可以解三角形 a 锥 c。 那看一下 a 锥 b 啊，能不能挤点儿角，是不等于这个点儿角，所以它是三分之一的角，然后我们还知道 a、 b， 这是三吧，知道一条边， 然后 a， b， c 等腰值有一个四十五度角，所以角边角，两个角，一个边可挤， 那还是将这两个角放到直角三角形当中，所以过锥去做垂直，然后方程思想，对吧？设这是 m 三 m 啊，这是 m 等腰值，所以四 m 等于三是不可以算的，对吧？好不多说啊。 然后 a 锥 c 也是一样的，知道这个角是不是在直角三角 a， e， c 啊， a， h， c 当中，所以这个圈角的正弦值应该是三吧。 啊，所以 a 锥 c 四十五度正切值是三个角，还有 a c 也可解啊，所以怎么做都行，这是 a 锥，那 a 锥求完了之后，所以我们的 h 锥，它就等于 a 锥减 a h， 再减去这个 a h 啊，是十分之三倍，根号十，所以最后的答案等于二十分之九倍，根号十啊，那这是我们此题的答案，那我们本次讲解就到这里了，拜拜。
