几何模型初中版2026正版
胡不归问题堪称初中几何的终极压轴王，就像这道题啊，不仅求最值，而且还带系数，就是非常考验孩子们对模型的理解能力。与此同时呢，还有系数的处理能力，还有辅助线的构造添加能力，很多同学算到崩溃，第一步都不知道怎么写。 别慌，老师，今天啊，一条视频带你彻底学透胡不归。好，我们来看题啊，这类型的题啊，基本上老师已经讲的非常的熟练了啊，大家一搜就能搜到，但我今天再给大家梳理一遍。首先呢，我们要看一下，拿到题目先看问题 哦，线段和的最小值，你脑子里面想到了什么？模型两个，第一个胡不归，第二个阿是圆，很多孩子临到中考一模前了还分不清，不可以啊，胡不归呢，一定要注意，它的动点在直线上， 像这个题， p 点是线段上，那不就直线的一部分吗？是不是阿是圆的动点呢？在圆上， 这是它们最本质的区别。好，它们的相似点我们也能总结，就是系数 小与一，就这里这个五分之三的系数小与一。好吧，其中呢，我们阿式圆，大家可以关注一下我们以往作品或者以后会发啊，阿式圆的系数呢，是相似比好吧，然后呢，弧不规的系数是三角函数， 他的转化思路是完全不一样的，能明白， ok？ 当然，今天呢，我们不展开去讲阿是圆，大家可以关注老师的作品，我们以后去讲啊，今天重点去讲胡不归。好，那我们接下来继续看，既然你都知道是胡不归了，对不对？那关键就是怎么处理。首先呢，常考的系数有这么几个， 二分之一、二分之根号二以及二分之根号三。初三的娃一定知道二分之一代表什么？代表的是三十度。 二分之根号二呢？ sin 四十五度，二分之根号三呢？ sin 六十度， ok， 这是常见的三角函数，对不对？就比如说啊，我现在给你翻译三十度，请问大家这里是三十度，这里是直角，请问你现在告诉我，现在这个 pa 比上，我们的 pb 等于多少？是 pa 比上 pb 就 等于 sin 多少？三十度等于二分之一嘛， 能理解。好，这就是二分之一的来源啊。好，那问题来了，那请问题干中可不是这么给的呀，题干中是二，五分之三，那又是什么呢？好跟大家说啊。还有一些不太常考的点，就是一些非二分之一、二分之二、二分之三这种东西，比如说这里的五分之三， 他是一些普通角度，但这个角度呢？大家别担心，老师我可没背过塞应谁等于五分之三？记住不要怕，一定是先去找直角三角形就可以了。你比如说我问大家，他告诉你这里是三，这里是四，你告诉我那个五分之三怎么找？ 很简单呀，连接对角线是不是？这里就是勾股定律，是不是五？它是五，你告诉我，这个角的阿尔法就出来了，是不就是我们的三比五就是五分之三， 所以这个角的正弦值就是五分之三。那么因为你是矩形平行的，所以这个角是不是也是五分之三？能理解我的意思吗？好，然后你再去转化哦，五分之三乘以 p d 啊，它怎么转化？是 p d 在 这个地方 对不对？五分之三乘以 p d， 那 这个角不是五分之三吗？对不对？那我向下作垂喽，可不可以？可以，但你会发现，比如说啊，这是 pm 啊，你看各位， pm 比上我的 p d 是 不是等于 sine？ 这个阿尔法是不是就是五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d 行不行？非常的完美，是吧？ pm 是 不等于五分之三倍的 p d。 那 这个题又变成什么了？它就变成了 p b 加上什么？你看 p b 加上 pm 能理解吗？那 p b 加 pm 这个点也不固定呀，所以说这种折线的问题， p b 加 pm， 你 想到了什么？这不就是咱们最基础的将军印码吗？所以这个题你就是把它给它翻折上去就可以了，对吧？顺带你把这个 r 法也给它翻折上去，这里就是 r 法， 能理解吗？然后把它延长上去，给它构造一个直角造型来，大家现在请看，我把这个笔记擦掉啊，你可以回去截图，大家现在请看，我现在重新的去给他做一遍，就是连接它， 这里是阿尔法，这里也是阿尔法，对不对？然后呢？现在我这里做一个角，也是阿尔法，把它又延长，找一个直角造型， 对不对？好，那大家现在想想，是不是继续那一个什么？对，反正一个 sine alpha， sine alpha 是 不就是我们的三比五，对吧？就这里的是不是三四，这里是五，所以这个 sine alpha 它和它是相等的呀，是不是也是啊？这个五分之三， ok， 它是五分之三，那么 p d 乘以它是不是就这里作高， 对吧？就是我们的 p 什么 pm 吧，是不是？好，那现在这个问题是不是就很清晰了？你看 p b 加上这里是垂直， pm 什么时候最短？因为 p 点是上面随便走的呀，你想想， p 点跑在这是 p m， 如果啊，是粉色，这里是不是也是一样的 p b 加上 pm， 对 吧？如果 p 点跑在这里， pm 是 这样子的，是不也就是 p b 加上 pm？ 好， 请问什么时候最短？这是垂线哦，什么？很显然，答案就是 点到这条直线的所有距离当中，这条线是最短的，那这个才是我们真正的 p 点，你求的是 pb 加 pm 是 不就可以了，对不对？好，我们来写一下过程啊，最后再教大家怎么去求，求的反而是简单的好不好？来过程怎么办呢？就是首先连接我们的啊， bd 好， 然后呢，因为角啊，这个 dcb 等于九十度，对吧？然后呢， cd 等于三， cd 等于四 啊，勾股定律，所以说 b d 等于根号下三的平方加四的平方，也就是五，我要出现这个五分之三嘛，对不对啊？所以说我们的角啊， d， b， c 等于角， a， d， b 等于阿尔法，那么 sine， 阿尔法 就等于我们的 c， d 比上我们的 b， d， 也就是三比五不就出来了吗？好，那我们要保证这两个角相等可以干嘛？是不是相对？我把这个象形给它翻上去，对不对？那就是延长 b a 至 n， 使得什么呀？使得我们的 a， n 等于 ab 连接我们的 n d 好， 然后呢， e 正，这个比较简单啊， e 正，三角形 a， d， n 全等于三角形 a， d， n 和 a d， b 是 全等的，所以说角 a， d， n 也等于 r 法，对吧？然后呢，紧接着我们就是把那个辅助线做出来，对吧？过 p 做啊，我们的 pm 绿色这根啊，垂直于我们的 d n 交 a d 于 p 点。 ok， 你 要懂这原理，你才能懂我这个过程在干嘛，对不对？因为这个角现在不是阿尔法吗？对不对？好，你就说，所以在这啊，所以我们可以得到我们的。呃，这个 find 阿尔法 等于五分之三，又等于谁呢？我不是说这里做了条垂线吗？就是 pm 比上 pd， 那 所以说 pm 就 等于五分之三倍的 pd， 所以我们的 p b 加上我们的五分之三倍的 p d 就 等于 p b 加上我们的 pm， 这不是 pm 吗？对不对？好，当 p b m 共线的时候，其实就是这种情况下，对吧？此时 有最小值。好，最后一步是最简单的，就是求，怎么去求？来，我给大家把这个擦掉。啊，怎么去求它？我把它延长，这里是我们的 n， 然后连接，然后这里做一条高，对吧？这是我们的 m， 这是我们真正的 p， 对 吧？怎么去求？这个 pb 加 pm？ 大家去想， 你刚才是不是正过全等了，是不是？这是阿尔法，这是也是阿尔法，然后这里是垂直，垂直求一条高用什么？对，求高用面积，所以说你会发现，因为你全等，刚才不是说这里一正，他们是全等的吗？对不对？全等以后你是几？五，那我这里是不是也是五， 对不对？然后这里是几呢？你这里是三，我这里是三，对不对？这里是几呢？这里是几？是不是四，对不对？所以说你会发现三角形的面积怎么求？三角形？我们的 b、 n、 d 二分之一，我们的 b n 乘以，我们的 a、 d 就是二分之一，乘以 b， n 是 六，乘以 a， d 是 四，也等于二分之一的谁是不是他乘以他，对不对？好，就是二分之一，我们的 d n 乘以我们的 b m， 对 吧？ d， n 是 几呢？所以说 b m 就 出来了呗。 b m 就是 二十四，除以 d， n 是 五，对吧？勾股定力五， 你最后答案就是它，所以最小值为五分之二十四，求这条高就行了。好吧，就是这条，你现在看到这条高， ok， 就是 整个题啊，我从逻辑练出发，告诉你最小值两种思考，紧接着就是五分之三，怎么去构造，对吧？靠我们的什么？靠我们的直角三角形，哎，三四五去构造，这里是阿尔法，这里是阿尔法，然后你再去构造一个阿尔法， 对吧？想方设法把五分之几三倍的 p d 构造出来，一开始是往下构造嘛，对不对？但是他加他，你想这没法做呀，一定要把他在像将军一样翻上去，对吧？求他加他的最小值，然后最后求值的时候用面积问题把它求出来。各位你听懂了吗？赶紧点赞收藏！
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03:09查看AI文稿AI文稿这个探照灯模型啊，我觉得还是有必要跟大家讲一下的，因为我发现还是有一些同学不太会。 那首先我们为什么要叫他探照灯模型呢？是因为有人觉得这个形状看起来像一个探照灯一样，所以就给他取了这么一个名字。 不过呢，这也就是听起来觉得挺新鲜的，相比之下，我还是更喜欢叫他定角定高模型，因为这个名字更符合他的本质。 由于这两个角对角互补，所以这四个点是共圆的。那根据圆周角定律，我们可以知道这两个角是相等的，看定角出现了， 然后因为这个三角形是固定的，所以它这一条边上的高也是固定的。看定高出现了， 好，关键点来了，为什么一定要去做这一个三角形的外接圆呢？因为这一个角是定角，而我们要求的是他所对的这条线段的最小值。如果我们把它放在一个圆里的话，那这就变成了一个求弦长最小值的问题了。 而由于这个圆周角是定角，所以它的圆心角也是定角。因为这是一个等腰三角形，所以求底边长度最小值的问题，也就变成了求腰长最小值的问题了，也就是求这个外接圆半径的最小值了。 所以现在你明白为什么一定要做外接圆了吗？好，接下来我们把题目的数据补上。 四边形 a、 b、 c、 d 是 一个矩形， ab 的 长度是六， ad 的 长度是八， e 点和 f 点是两个动点，并且 af 和 ef 是 垂直的。然后让我们求 g、 f 的 最小值，所以也就是求半径的最小值了。 这里我们应该过 o 点向 g f 做一个垂线，这样一来，这两个小角就都等于 alpha 了。因为 alpha 的 正切值等于四分之三， 所以我们令 f n 的 长度等于三 a， o n 的 长度等于四 a， 那 半径 of 的 长度就是五 a 了，所以 o a 的 长度也是五 a。 可以看到 o a 加 o n 显然是大于等于 a h 的。 当前仅当 n 点运动到 h 点的时候，才能取到最小值。 然后我们整理一下，也就得到了 g f 是 大于等于三分之二倍的 a h 的， 至于 a h 的 长度，我们可以用等面积法来求。最后我们把 a h 的 值带上去就行了，算出来 g f 的 最小值应该是五分之十六。 好了，不知道看完这个视频之后，你有没有学会定角定高这个模型呢？虽然说他就是一个死模型， 但你说他会不会考呢？他还是可能会考的，毕竟去年连云港就考到了。这道题我之前也讲过。所以说呀，还是那句话，多学一点东西总归是好的。
1.2万五星几何兔
32:30查看AI文稿AI文稿今天我们学习的是二零二六中考几何压轴串讲之全等相似多模型综合。今天我们讲的是全等相似多模型综合，那么我们今天讲到的模型呢，都是大家如果你要去参加中考，就是必须必须要特别特别熟悉的模型了，然后呢，我不会对这些模型做过多的解释了，应该 属于就是要去参加中考前的这些基本功了，我只是给大家再过一下，让大家知道是有哪些以及相关的构造有哪些好吧。首先由平行线带来的第一组由平行线带来的，基本上你看到了平行线就一定要想相似了，那么这里有的相似就是 a 字 八字， a 字八字，那么以及你要会构造做平行线构造相似啊，同时呢，你还会做平行线造相似，做平行造相似，哎，比如说这个造相似怎么造呢？ 呃，我在一个三角形当中，比如说这，给你个比例翻点，这是 a， 这是 a， 你 造相似的方法一般来说就是两个，你要么过这个点做个平行，这就是造 a 字，要么你连这两个点把它捅出去，这就是造八字。 哎，这就是造八字，要么过，要么捅啊，你就记住这两个词，要么过这个点做平行，要么把它捅出去，这就是 a 字与八字的构造。那么比较特别的，你当你看到了平行线间夹着比例关系，这是 a， 这是三 a， 那 没毛病，那你肯定是要把它捅出去了，只要是平行线夹着 捅出去，就是，这是已有平行，你就捅就行了。来明确一下 a 字八字最基本的相似模型，以及最基本的 a 字八字构造啊，这都是你要参加中考，这都是要非常非常熟的东西，这可以说几乎是必然会遇见的必考内容啊。自己画啊，你千万不要光听啊， 就是随着马哥你一起画。那么与 a 八相对的还有一组就是第二类，就是反 a， 反八，反 a 八，反 a 八什么意思？你看 a 字八字，这是这是阿尔法，这是阿尔法，就叫正 a， 那 么如果是反过来，这个角是阿尔法，这个角是阿尔法，这就是反 a， 那 么反 a。 还有一种常见的情形，长这样，就是这个角和这个角相等，这是阿尔法，这是阿尔法，这也是反 a， 那 么反八长什么样呢？就是这样， 这两个角相等，这是反八。反 a 八，这是第二组啊，除了正 a， 由平线带来的正 a 八，那么最常见的就是反 a 八，正 a 八，反 a 八。那么第三组呢？就是一线三等角、三垂直以及一线三等角，特殊的情况就是三垂直。 好，我们来看一下什么是一线三等角，一根线上戳三个一样的角，这个阿尔法，这个阿尔法，这个阿尔法。 如果这三个角相等，那么这两个三角形相似。不解释啊，今天没有时间去解释这些，你要参加中考，这是你必会的，好吧，一线三等角，这两个三角形相似，那么对于一线三等角来说，比较常见的情景就是这三个角都是多少度？九十度，那么当这些 r 发角是九十度的时候，就会出现三垂直， 三垂直，那么三垂直的本质其实就是三个角就可以导互于正相似，三个直角就可以导互于正相似。阿尔法。贝塔互于，贝塔和他互于，他也是阿尔法，阿尔法和他互于，他也是贝塔，那么这阿尔法、阿尔法、贝塔、贝塔相等就相似。 好吧，那么这是我们说这是 y 三垂直啊， y 三垂直是在外面的，还可以在里面，你看，如果 啊，如果这有一个直角，哎，这里面来根线，那么这来一个垂直，这来一个垂直，这也会有相似。本质原理还是一样的，就是有直角就可以导弧于正向四， 这叫 y 三，为什么叫 y 三呢？因为这个三垂直是在这个直角的外面，这叫内三啊，因为这组相似是在里面， 外三与内三。总的来说，你学了三垂直，你应该记住的就是但凡出现多个直角，就应该倒库于正等角，有了等角很有可能就会有相似 来。那么还有常见构造，你比如说，哎，当我看到了这，你就看到孤单直角，就应该想三垂直，对吧？或者呢？哎，你看到这样的孤单直角，你应该想着构造三垂直，或者呢，你看到了一个直角， 里面来了一根线，已经有一个直角了，那我还是应该想三垂直，你看三垂直的构造啊，接下来我们说构造三垂直的构造， 看这些线，哎，你看孤单直角三垂直，这也是孤零零一个直角三垂直，哎，那么这一个直角，这已经有了，那我这再来一个，这都是三垂直的构造，就会会造成这些三角形都是三垂直的相似。 那我们今天要练习的是什么呢？我们今天要练习的就是把这些模型综合起来，放到题目当中，哎，咱们去玩一玩，用它们来帮助我们解决 线段比例啊，线段表示啊，因为相似最核心的就是能够帮我们处理线段比例，线段的表示。那我再给大家多说两句啊，就是有了相似可以干什么？两种用比例的方法。再多强调一句啊，两种用比例的方法，第一种就是， 这是 a， 这是二 a， 那 么这是三，这是几？这两个三角形相似啊，这两个三角形相似六，这是利用什么？这是利用相似笔好，那么还有一种，还有一种看好了， 这是 a， 这是二 a， 这是根号五。 a， 这个是 r 法，而这一边呢， 这是根号五来，这是几，这个也是二法。教这两个三角形相似，你会发现这次我们用的是什么呢？这次用的第二种叫做自己比， 什么叫自己比？你这个三角形。既然一号三角形和二号三角形相似，那么一号三角形的三边比就是二号三角形的三边比，他是一比二比根号五，他也是一比二比根号五， 对吧？所以它乘以二得它，它乘以根号五得它，这叫利用自己比。你有了相似以后，你怎么用相似？你要么就是利用相似比对应边值比，要么就是它的三边比就等于它的三边比， 这就是用相似的两种方法，而只是随便画两个相似三角形啊。我们讲了如何找模型，如何用相似，好了，来看题吧，他说当这条线等分了这个绿色四边形面积的时候，哎，我们要求什么呢？要求 a d 的 上。在我们讲今天的题目的过程当中啊，大家就是把握住两点， 第一去感受模型的发现，第二去感受模型是如何帮助我们处理线段长的，好吧，就是这两点，好，来我们来读题啊，他告诉我们什么呢？告诉我们这个 a d 转到了 a 撇 d， 那 么这两条蓝色线段相等，又做了一个垂线 啊，又做了一个垂线之后呢？再来就是这是垂直，这也是垂直啊。然后告诉我们这个角，这个角 r 法的正切值是一比二，告诉我们这条边是八啊。还有说这条黄线等分了这个四边形面积。 最后让我们求 a d 的 场，就是求这条蓝线的场。首先这道题直角就特别多，有没有发现这道题直角特别多，在直角特别多的情况下，我们是不是就可以看鱼角？直角特别多，我就可以看鱼角，你会发现这个是阿尔法，那这个是贝塔 啊，这个也贝塔。好啊，这九十度，这九十度，那你会发现，首先这个三角形和大三角形它肯定没啥，说这 a 字相似，对吧？再来这个贝塔，这个也贝塔， 对吧？这九十度，那这个也是阿尔法，那么这个三角形和这个三角形它就是一个反八相似，同时呢，这个大三角形和它也相似。 所以这里你首先观察一下这里面所有的三角形，因为直角很多，所以这些锐角都是互余的，都是相等的，所以呢，导致这里面所有的三角形都相似啊。比如说这两条平行线带来 a 字相似， 这有反八相似。这个小三角形和大三角形其实又是个反 a 相似。 a 字八字反 a， 反正它全相似。你如果一倒角发现它全相似，这里面所有的直角三角形全相似，全是直角，三角形全相似。好了，最关键的一个条件就是这条黄线等分这个绿色四边形的面积， 黄线等分绿色四边形的面积。来，我们来想一想啊，这个等分面积这个条件怎么用的？其实我就是要利用这个等分面积这个条件，写出来一个等式嘛， 斜出来一个等式，哎，那么等式最后呢？我如果表示了这些面积后，就可以得方程了。你比如说等分面积，我翻译一下，等分面积它的本质就是 s 一 等于 s， 二等于二分之一， s， e、 d， b、 c。 好，那么接下来我如果能够把这些面积表示出来，我就会得到什么？得到等式，等式最后就可以解方程，那么表示面积最关键的是要干什么？等分面积就 s 一 等于 s， 二等于四边形面积的一半，那么接下来我就要去表示，那么这三个面积到底表示谁呢？你待会把线段长表示出来以后，那么这些面积哪个好？表示，表示哪个 好？那么表示面积的核心，其实你会发现，就是表示什么？表示边，表示线段，所以呢，我们就得感受一下这些线段，哎，到底该怎么表示？来，这个角的正切值是二，那我们就知道这条线段是八，它的正切值这条线段四，这是已知的， 对不对？好，再来这个角的正切值是二，那我就可以看，在这个小三角形当中，我可以设这条线段是 a， 这条线段二 a 啊，这条线段 a， 这条线段二 a 一 比二嘛，然后再来 a， d 和 a 撇 d 又相等，所以 a 撇 d 也是二 a， 那 么这也是 a。 好，这是最基础的，我用了一个正切值，把小三角形和大三角形，哎，小三角形设大三角形四，算出来。好，再来，那么这是 a， 这是二 a， 我 就可以算上是根号为，好，再下来我就可以表示哪个三角形里面的东西了， 哎，你看这个角度是阿尔法，那么这是二 a， 他 两个的比，哎，是不是因为应该和他完全，这都是全等，这都不只是相似的，这是二 a 呢？这也是 a。 好，那么这条线段是 a 的 话，那么这条线段就是，这是二 a， 这是 a， 这是八减三 a， 好， 还有这一段我也可以表出来，这是八减二 a， 对 吧？好，再来，那还有什么可以表示呢？我为了表示这个 s 一 或者 s 二的面积，那我肯定还需要这些线段，那这个三角形和它又相似，这是一个一比二比根号的三角形，所以这一条线段它其实就是 a 除以多少 e， f 是 a 除以多少。这个三角形短直角边、长直角边，斜边的比是一比二比根号五，这斜边是 a， 短直角边应该是多少，短直角边就是根号五。 好，那么这两条线段比又是一比二，那这就是根号五分之二 a， 这些线段我们利用什么？利用这两个三角形相似，一比二比根号五，哎，那我就由它是 a， 它除以根号五，再乘以二，这三条线段就都有了，这就是我们利用相似，我们把这里面所有的线段都表示了。好，那接下来我们说表示线段是为了表示面积，来观察一下 s 一 和 s 二， 现在你感受一下 s 一 和 s 二，哪一个更容易表示？ s 一 显然更容易表示。这个 s 一， 我要怎么表示呢？我肯定不会表示它了，大的三角形和小的三角形，我做个叉是不是就是 s 一， 所以这个 s 一 就可以表示成什么呢？ s 一 就可以用 s 三角形 a 撇 d， c 减 s 三角形 a 撇 e， f， 这就是 s 一， 对吧？我用大的把小的减掉，大的很好，算二分之一，二分之一乘以底乘以高，乘以 a 乘以二 a， 那 么减小三角形 二分之一乘以根号五分之 a， 再乘以根号五分之二 a， 好， 这就是 s 一， 那么这是 s 一。 我们把 s 一 表示出来以后，那么 s 二和这两个我选一个，那你会发现这个大的梯形的面积太容易表示了， 梯形的面积就是二分之一至二分之一梯形的面积啊，梯形面积是二分之一，上底加下底乘以高，上底加下底乘以高，就是 a 加四， a 加四乘以高乘以八减二 a。 好 了，那么这样的话，你会发现这就是四边形面积的一半。好了，那么 s 一 等于四边形面积的一半，我们就得到了一个关于 a 的 方程。解这个方程整个问题就结束了， 那么把这个方程解出来以后，你就会得到 a， 得到 a 以后，最后再乘以二就会得到 a d。 解方程我就不讲了啊，就非常简单的一个方程，那么最后的答案就是十三分之八倍，根号下六十五啊。解方程我就不讲了啊， a 撇 d g 啊，这写错了， a 撇 d g 啊， a 撇 d g。 那 么这道题我们来讲一讲它的这个几个关键点啊。 第一个关键点就是对于等分面积的处理，这道题的第一个关键点是等分面积，如何处理等分面积？它其实就是给了你一个面积关系，你把这几个相关的面积关系摆到这，你看哪个面积好表示，你把它表示出来，它最终是帮助我们得方程的， 这就是等分面积的处理。以后看到不是这道题所有的等分面积都一样，他无非就是告诉你有两部分面积相等，等于二分之一的 s 总面积， 你就把这两个相等的面积以及总面积摆到这，你看哪个面积好，表示就表示哪个，你表示完了以后就会得到方程，这是第一。那么第二呢， 就是注意用相似去表示线段长啊，相似表示线段长，处理线段长，这里面要核心的就是这个三角形，这个三角形，这个三角形，它们都相似，所以呢，它们的比例关系我们都是已知的。这道题用的是相似比还是自己比？ 这道题我们核心用的是自己笔，这个三角形的自己笔转到这个三角形，自己笔转到这个三角形，自己笔就结束了。一个是等分面积的处理， 一个是利用相似表示线段啊，核心用的是自己笔，所以通过学习这道题一以后要会处理等分面积，对吧？等分面积无非就是给你一个面积关系，用线段长把面积关系表示出来，就会得方程，这是第一，第二呢啊，注意 就是用相似表示线段的方法好来看第二题，第二题能不能看出来它考的是个什么？相似？八字相似，哎，捅八字捅哪个点？统一点，非常好。这里面的关键词是哪个？关键词是这个？ a d 平行于 bc， 兄弟们， a d 平行于 bc， 你 有平行 是不是就应该想 a 字八字，这没问题吧？有评价，你是不是应该想 a 八，然后他告诉我们这条线段是六，这条线段是八，那相当于我知道 ab 就是 十吗？这是直角吗？这 ab 就是 十吗？十减六呢？这条线段是四吗？ 对不对？好，我拿到了这条线段是四以后，我拿到这条线段是四以后，最后人家要求这个点 df 这段距离， d f 这段距离，我现在要直接求，显然没法求。那怎么办呢？你还要看到平行线间夹了一个比例关系，四比六，这是不是平行夹比例？这我给你画到这，你这么看，你就更能看得清楚一些。平行线，然后呢？这是一个 四比六啊，然后呢？这你看这四比六怎么用？你是不是显然就把这个捅出来？把这个捅出来是不是造成一个二比三的相似？这就是平行加比例造相似，平行加比例造八字， 对吧？好了，那我就把一点捅出去，一点捅出去，哎，那你会发现这两个三角形就构成一组八字相似， 相似比是多少呢？啊？你可以看自己比，他的自己比是六和六，他的自己比就是四和四，所以这条线段就是四。那么接下来这是第一步，第一步，我造个相似，造个八字相似，得到了 a g 的 长来。第二步，我要求 d f， 我 要求 d f。 你 观察一下，我们刚才造完以后，除了得到这组相似以外， 是不是还得到了一个以 f 为交叉点的八字，就是这个八字，而这个八字现在 什么知道？我们知道相似比是二比一，你会发现这是六，这是十二，那么相似比是不是就二比一？所以第二，我们再用一个以 f 为交叉点， f 为焦点的八字 相似比是多少？相似比就是一比二嘛，相似比是一比二，那你会发现，那我设这段线段是 x， 这 d f 就是 二 x， 那 么 x 加二 x 三 x 就 等于六，所以二 x 就 等于四，所以就等于 df， 所以做个答案， d f 就是 四结束。哎，这就是干什么？就是首先你有平行，你得想 a 八，然后呢，你再观察一下平行线间假比例关系，你把它捅出去就造八字。注意， 捅出去以后，一般来说你造的可能都不止一个，为什么都不止一个呢？平行线间有几个交叉点，就最少有两个八字，你现在有两个交叉点，平行线间有两个交叉点，最少有两个八字，这个八字有相似比，先用，用完以后再用个 f 结束， 这就是平行加比例造八字，这就是感受一下平行线带来的八字构造。好再来好来看看这个题，这个题他说什么？说这两个都是角分线，然后呢，这九十度，这九十度，这是一个梯形啊，把这条线段转过来啊。最后呢，让我们求什么？就是告诉我们这条线段是二 啊，他俩的比是根号五，最后要求 a d 的 长。首先当你看到双角分线的时候，两个角分线为什么要给你双角分线？一般来说，双角分线意味着这里看和差，和差定值，那么双角分线一半啊，两个一半也是定值，你看一下这两个角的和差是不是定值， 一定要去这么想，为什么是这么说呢？因为当出现双角分线的时候，如果原本和差是定值，那么双角分线一半和差也是定值，他就是这么编的。题，当出现了双角分线，那意味着什么？ 意味着可能如果原本的和差是个定的，那么双角分线之后一半的和差也是定的。和差吗？就是加起来吗？来，那么这两个角的和是定的还是差是定的吗？因为这两个同旁内角互补，他俩加起来是一百八， 他俩加起来，也就是说两个阿尔法加两个贝塔等于一百八十度，那么阿尔法加贝塔是不是就等于九十， 对吧？因为同旁内角互补，两个阿尔法加两个贝塔一百八，一个阿尔法加一个贝塔九十，那么这就是九十度。因为这个角加这个角互余，那么这就是九十度，这就是你看到双角分线以后该有的意识。而这个角分线呢？还有第二个玩法，你看啊， 当你看这个角分线上的点，因为我们角分线，你看角分线还有第二个角分线，如果你看到了一边造垂直， 那你是不是一定要去看一看另外一边再造垂直，就会得到权能，对不对？来，你看这条角分线上的点，已经向他的角的一边做了垂直， 那我是不是就应该顺手再由意向谁去做垂线？我是不是应该再由意向 c、 d 去做垂线？ 一旦做完垂线，那你会发现这两条垂线段是不一定是相等的，这两个三角形也一定是全等的。那么同样的道理，这个 e h 不 光等于 e a， 这个 e h 不 光等于 e a， 还等于谁？ e h 等于 e b， 因为这条线也是角平分线，他往这边做了垂直，还往这边做了垂直，这两个垂线段长肯定也相等，还等于 e b， 好， 那么这样的话，我其实得到了 e a 等于 e b 这个点， e 它是一个终点， 这就是角分线做垂直造全等，哎，我就得到了这个等于这个等于这个，这都相等，还等于这个。好，那这个时候既然我们知道这些线段都相等了，我就应该干什么了，哎，我就应该射了吗？那我肯定把它射出来，我就射，这是 a， 那么这也是 a 啊，那这是 a 啊，这还是 a， 对 吧？ a a a a， 然后呢，人家要告诉我们， ab 等于根号五倍的 bf， ab 是 多少？ ab 是 二 a 等于根号五倍的 bf， 所以 这就是二 a， 再除以根号五嘛， 对吧？你看它是它的根号五倍，这是二 a， 这是二 a， 除以根号五，那么 bf 也就表示出来了。 这是一开始我们对条件的解读啊，包括双角分线，包括向两边做垂线，包括呢？这些相等的线段，我把它设出来。好，那么最终这道题要求的是 a d， 要求 a d， 要求 a d， 这显然是放一个三垂直里面去求，没问题吧？ 当你得到这个是九十度的时候，你要求 a d， 显然是放到这个三垂直里去求，这个三垂直太明显了，对吧？为什么一定是放到这个三垂直呢？因为你会发现，你要放上面这个直角三角形，啥条件也没有，所有的条件几乎都集中在下面来，那么这一下呢？我们从哪入手去求呢？大家觉得这里面目前 最关键的三角形是哪个三角形？这个三角形是已知条件目前最多的三角形，那我肯定从这入手了， 锁定这个三角形，那这个三角形是一个等腰三角形，你要想用这个已知条件，你怎么办？三线合一，第三步就是等腰三角形，三线合一，等腰三合一。注意，为什么在这个想到要在这个等腰上去做三合一呢？因为这个这个等腰三角形条件太多了，我一旦做完三合一，哎，那你会发现，这就是根号五分之 a， 这也是根号五分之 a。 好 了，那这个直角三角形，它的三边比就是一比二，比根号五。看斜边和短直角边的比是根号五比一嘛？根号比一，我给你画一下，它其实就是 一比二，比根号五的三角形，它是它的根号五倍，它是它的根号五倍，那这就是根号五分之二 a。 来，再来，我现在知道了这个三角形的三边笔了，然后呢，我就想办法要找跟他相似的三角形，这是九十度，这是九十度。来，看好了，这一个九十，这两个九十，大家能想到啥？再往下，我得到了这个三角形三边笔，我肯定要想办法用它，一个九十，两个九十，大家想到啥？内三垂直，为什么说内三垂直？来，我给你在这画一下，看，这是九十度， 拉了一个条线，这是九十度，哎，那自然，我在这再来个九十度，这是不是就是内三垂直？所以呢，我一定是过哪个点向下做个垂线，过 f， 我 再向下做个垂线，一旦做完垂线，哎，那你会发现这两个绿色的三角形就构成了内三垂直。内三垂直意味着这个三角形的三边比也是一比二，比根号五， 所以他是二， a 除以五，然后他是他的二倍，这就是五分之 四。 a 看，一比二比更好。五，因为这两个三角形相似，用一次自己比，所以第四步是内三垂直，对吧？内三垂直就是这两个绿色三角形相似，他是一比二比更好，五，他也是一比二比更好。五。 好了，到这呢，我们都表示出来这么多线段了，来，能不能带上这个二，来把这个 a 算一算。你这次应该观察了，这么多线段都有了，看一下 能不能列出相似。这又有一个 a 字了，看，这两条线又是平行线，哎，那么这一个平行线就会出现一个 a 字，就是 f h 平行于 e， b 会有一个 a 字。第五步， f h 平行于 e， b 就 会有一个 a 字， 对不对啊？就是这个 a 字，这个 a 字我用 fh 比 e， b 就是 五分之二， a 比 a 就 等于二，比 a 加二，这个 a 字就有二，比 a 加二就等于五分之二。 a 比 a， 来看一下这个比例关系很好算，我可以算出来， a 等于三， a 等于三呢？整个问题都结束了，来，我们来观察一下，最后 a 等于三的话，那这就是二，这就是五分之六。 五分之六，这是二，就是五分之六，可以算出来这条线段是五分之八，这条线段是五分之十二，那么 a 等于三的话，二， a 就 等于六，这都是三，这也是三 好。那么最后再 y 三垂直，这个 y 三垂直，你在那这条边我就可以算出来是四好。最后第六步，第六步就是 y 三垂直，大的三垂直大三垂直就是 a， d 比三就等于三，比四， a d 就 等于四分之九。结束，所以这道题总共有六步，把这道题搞定。来吧，兄弟们，你看我们用了哪六步呢？第一步，我们想到了双角分线，这得九十度，就得大三垂直。这是第一步，双角分线和差定值得九十度。第二步， 看到了角分线，向一边做垂线，我再向另外一边做垂线，那么你会发现这些都是全等的啊，这两个全等，这两个全等导致他和他相等，他和他相等，导致这两条线段的相等得到，这是终点，这是第二步。 第三步，在这个三角形内等腰三合一，这是第三步。好，第四步，内三垂直，内三垂直得线段长。然后呢？第五步， a 字。第六步，大三垂直。来，我来说一下，五分之二是怎么来的？看他是他的根号五倍，你用他除以根号五，就得到他 内三垂直。一般怎么想到？来，我再给你画一下内三垂直。一般怎么想到，当你看到了这有一个直角，这里面拉了一根线，那么这有垂直，那么你可以。你看啊，你这种时候造内三，你可以这么造，这是内三垂直。 你还可以怎么造啊？你还可以这么造，这也是内三垂直。总的来说，你只要有三个直角，可以倒覆于正相似就行。好吧，这就是内三垂直。怎么想的？来，我来说一下啊，就是这道题啊，其实你单看任何一步都不难，都非常简单，但是你把它揉在一起，就需要你对这些东西特别特别的怎么样？ 就像你对，哎，比如说双脚分线啊，脚分线造拳等呀，等腰三线合一啊，内三垂直啊，还有这个平线带来的 a 字啊，还有最后的大三垂直，如果你把它揉在一起，你就需要你对这些东西特别特别的熟，所以这就是基本功的熟练度， 这就是这两年中考的考核方向，他不会考核你什么天马行空，然后特别特别复杂的什么模型，不会的，这两年中考很少考到那些东西。 这两年中考这就是最常见的题型，就是他很复杂，他揉了很多东西，单看任何一个都不难揉在一块考你基本功，我跟你说，你不需要做太多的题，你把这道题给我做十遍，你去感受一下， 把它做十遍，就是你要把题目真的做透，让这些本事长在你的脑子里，而不是你贪刷很多，这不需要刷很多题，真的，我们整个孩子们，你说缺不缺练题？他们题量都太多了，他们是做题太多了。来，我们再来今天最后一道题，二零二二年安徽的一个题，这是一个正方形，这是一个正方形， 然后呢？这是一个等值，哎，这里面有一个等值，这是一个等值，然后给这做个垂线，做完垂线把它延长出来，最后求这个角度， 那么这道题大家一眼看过去就应该看到什么，这很明显一个大的三垂直吗？而且这个三垂直人家说什么？ 因为这里面是一个等腰直角三角形，所以这个大的三垂直是一个什么样的三垂直？这个大的三垂直相似比是多少？ 因为这是一个等腰直角三角形，这个大的三垂直相似比是多少？这是个全等，这是个一比一，对吧？好了，最终人家要让我们问这个角度，问这个角度，大家有啥想法？ 你是不是猜都猜他是四十五度啊？所以你其实就是要证什么？就是要证明这两条线段相等，那我们来观察一下我们现在已有的等量。首先这两个三垂直，那你会发现啊，这一段就和这一段相等，同时呢，哎，我假设这条线段是 a， 这条线段也是 a 啊，那么这个是 b， 那 这个也是 b， 哎，到这以后再怎么办？哎，这是三垂直给我们的 a 等于 ab 等于 b， 还有谁是 b？ 你 会发现你要用到正方形的等量关系吗？用正方形的等量关系，那这是 b， 那 这是不是也是 b？ 这是 b， 这一段是 b， 这是 a， 这就是 b。 减 a， 这全长是 b， 这是 b 减 a 呢？这就是 a 喽。所以你其实只需要怎么样？只需要把三垂直的等量关系和正方形的等量关系放在一块。一考虑啊，你会发现这两条线段相等，所以这个角等于四十五度。 所以呢，这里面最重要的是什么？等量的标设，你如果这道题等量不去看，不标不设，那你肯定废了。还有一个就是三垂直的，三垂直的啊，全等的竖立 三垂直，全等，再来等量，等量，你就表示三垂直的全等，这个不正了啊，这自己正吧，三垂直加上这这两个勾边相等，这肯定全等嘛， 自己正吧。那么我们来看第二问，第二问，他告诉我们什么呢？他告诉我们这个角四十五度，我们已经正过了，他告诉我们 e、 d 是 一，告诉我们这个 dc 是 二倍根号二，最后要求 m、 n 的 长，要求这条线段长。 我们现在先梳理一下关系嘛，那这个是二倍根号二，那这两条线段都是二，这两条线段都是二，我就可以得到谁啊？就可以得到三，就可以得到大正方形的边长，你会发现，那么 e g 就是 三， e g 是 三，那这也是三。大正方形边长是三，那这也是二， 好吧，那这些线段就都出来了。当这些线段都出来了以后，那我如果想求 m n， 你 觉得我就可以先去求谁，那咱是不是就可以先求 dm 呀？ dm， 这是不是有一个很明显的这个，因为平行带来的 a 字相似， 对吧？这个 a 字相似，相似比就是一比三，对吧？相似比是一比三，所以呢，这个 dm 一 口报是多少？一口报就是三分之二，对吧？这就是三分之二。 哎，用这个 a 字，所以第一步，第一步 a 字我就可以得到 dm 等于三分之二， 那这下我一旦有了 dm， 等于三分之二了。来，大家再想一想，我都有了 dm， 等于三分之二了，我现在要求 m n， 我 就不妨去想着求一求，求一求谁了？我有了 dm 等于三分之二，我要求 m n， 我 不妨去求一求谁啊？我是不是求一求 n c 就 可以了？为啥呢？因为你会发现这个 m n 好 像放不到一个合适的三角形， 对不对？但是这个 n c 人家好歹在一个直角三角形里面，是不是好求一点？而且因为他们加起来全长是三嘛，我只要把 n c 求出来就搞定了。哎，我们曲线求国嘛，那如果要求 n c， 大家有啥想法？求 n c， 因为这两条线是不是已经是平行线了？ 这两条线本身就是平行线，那我只需要把它捅出来，哎，把这个延长出来，这底下是不是就出现一个 a 字， 对不对？哎，因为这两个本身已经平行了，对吧？那我只要把它弄出来，是不是就会出现 a 字？ 那我们再看一下，那这个时候呢，我们梳理一下，有什么呢？这是二，那这也是二，对吧？那这个是二，全长是三， f h 就是 一，所以底下这个第二个 a 字的相似比，第二个 a 字的相似比是多少？三比五，非常好。 好相似，比三比五，相似，比三比五，那我就可以列 n c 比上一个一就等于三比五，所以就得到 n c 是 五分之三。 好，那到这不结束了吗？全长是三，这是三分之二，这是五分之三。减完我就可以得到最终的答案， m n 自己减一下就是十五分之二，十六， 整个问题结束。所以这道题是怎么想的呢？这道题看起来要求 m n， 但是 m n 你 要注意它放不进合适三角形，你一定要体会这个字啊，放不进合适三角形，因为 m n 想让它只能放到这个三角形，但这个三角形啥也没有，所以呢，我取线就过 dm 可以 直接放进 a 字， nc 可以 延长出去构造 a 字，把这两个都搞定了，最后 m n 就 搞定了。所以这道题核心除了相似以外，核心还有一个什么意思呢？就是放的意思，如果人家让你求对这条线段不好放，你看一看边上有没有好放的线段。所以呢，你看， 我们一边一边在讲相似，那么但是讲相似的过程当中充斥着飙射、放烈，充斥着最基本的集合习惯。然后呢，今天我们来复盘一下讲的四道题啊，都有哪些东西？看看一下啊？第一道题呢，重点是这个像，这个反八，像，这个 a 字啊，反八反 a 啊， a 字平行线带来的相似，对吧？这是第一道题， 第二道题是是什么？平行线间假比例，八字相似的构造，这是第二道题。来再看第三道题，第三道题就比较多了，有双角分线，有角分线的造权等等样，三合一，内三垂直， 平行线带来的 a 字大的外三垂直，对吧？好，还有最后一道题，最后一道题是什么呢？最后一道题是外三垂直，结合什么呢？结合两个 a 字的使用。最后一道题其实核心讲的是什么？放的意识， m n 不 能放这两条线段好，放好了，这就是多模型综合。我们通过这些题啊，带大家感受一下。首先这些最基本的模型以及构造你必须得会，这，这是必须会的，必须要非常非常熟练的，这是 第二呢，如何利用相似去处理线段长哎，去表示线段，去用自己笔，去用相似笔去把线段表示出来，最后完成计算。好吧，这就是我们讲的，你看，我们昨天讲的是最基本的全等相似，对等量和比例处理的底层思想。 今天呢，我们帮大家过了一下相似多模型的综合今天，当然了，每个模型我没有办法展开给你细说，这是你要去参加中考非常非常要熟练的东西，今天马哥帮你串一串，有问题下来一定要自己去搞定，今天的内容就到这。
3606马哥数学
08:13查看AI文稿AI文稿胡不归，模型问题是初中几何里的重中之重，也是中考高频考点，更是一个难点。就像这道题求最小值的问题，那可是难住了不少的同学，不仅容易卡住啊，而且容易没思路。大家看到啊，别着急，也别担心，今天老师就一条视频带你彻底学懂胡不归。直接来看题， 说，已知 a c 等于六， bc 等于四点， p 是 a c 线段上的动点。接着让我们求 p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的和的最小值是多少？那么这道题目，我们先来看图分析一下。已知一个直角三角形背景之下，两条直角边的长给了一个是四，一个是六点 p， 它是一个动点，哪的动点呢？ 是一条线段上的动点，那 p 在 a c 上动来动去，所以首先我们明确动点在哪？动点在直线上啊，或者说线段上。接着让我们求的这个式子就非常非常的有特点了，要求的是 p b 一个定点定点点 b 和动点之间连成的线段，再加上二分之根号二倍的 pa， pa 是 什么？同样是一个定点点 a 和动点点 p 之间连成的线段，但是注意前面有系数是二分之根号二倍的这样一大类问题。那么见到这类问题，首先很多同学要想到的是 将军印码对不对？哎，那么大家想一想啊，我们学过的求折线段和的最小值问题的将军印码模型考的是什么？ 一条直线上，一条小河上有一个洞点，在河岸的同侧有两个定点，所以这是经典将军印码模型的样子。也就是说呀，求的是那个 p b 加上 p a 型的 折线端盒的最小值，啥意思啊？一个动点在直线上运动，另外两定移动和它连接，对吧？那么这个线段盒两边都是没有系数的，或者说系数是唯一的，所以这是我们将军密码类型的。 但是这道题目同样求折线段和的最小值，但是其中某条线段前面的系数不为一，那么注意，这就是咱们第二类常见的啊，弧不规问题，也是求折线段和最小值有系数非一的情况。那么第三种呢？我们还有一个叫做阿是圆， 如果说动点在弧圆弧上运动，那么同样求折线段和的最小值就会变成我们的阿是圆问题。好，那我们来看这个弧不规他的解析思路。 既然说呀，我说线段前面的系数它不是一了，有了这个系数该怎么办？这就是解决所有弧不规问题的核心，注意听这里边的核心思路，就是带有系数，当然啊，这个系数我用 k 来表示的话，那么我说现在这个 k 的 取值范围啊， 是零到一之间的啊，如果 k 不是 零到一之间怎么办？方法就是提取系数，让它变成零到一好，默认系数 k 在 零到一之间时，那么这样的 带系数的这个线段，我们就要把它转化成另外一条线段，怎么转化？注意，方法技巧来了，非常简单，就是让我们的 k 去等于一个 sine 法。老师，什么意思？注意看啊，在图形上 定点和动点连接 ap 线段前面带有一个零到一之间的系数，这时候咱们就从定点出发去做一条射线，那么就会和咱们的 pa 啊，这个定动连成的线呢，有一个夹角，这个夹角就是我所说的阿尔法。那现在我的目标是什么？让我的这个代引阿尔法就等于 k， 也就是说等于那个二分之根号二。同学们， 萨因阿尔法等于二分之根号二的话，阿尔法的值你是否会算？当然知道对不对？特殊角三角函数值啊！萨因，我们从三十度四十五度到六十度二分之一，二分之根二，二分之根三，所以萨因阿尔法二分之根号二，阿尔法也就是 四十五度啊，换句话说，这是一个四十五度角。老师，你的目的是在干嘛？注意看啊，此时我过点屁，向你做出的这条射线去做一个垂过屁， 向此射线作垂垂足，比如是 q 点的话，这样呢，我就构造了这样一个绿色的啊，直角三角形 a p q， 请注意看，在此直角三角形中， sin r 法，它等于什么？嗯， 在 r t 三角形 a p q 中，我发现 sin r 法就是对边比上斜边，也就是 p q 比上 p a。 哎，那么这有什么用呢？同学们，我稍稍整理一下，我想要的那个萨因阿尔法乘上 p a， 是 不是就变成了一条线段，也就是 p q 的 长 p q， 就是 萨因阿尔法乘上 p a， 萨因阿尔法就是咱所谓的 k， 看到没有？非一的那个系数啊，零到一之间的这个系数 k， 所以 它就是 k 乘上 p a 呀，所以核心思路就是把带有非一系数的这个多少多少倍的 p a 这样的一个线段转化成一条线段。哪条线段呢？就是咱们现在的 p q， 所以 根据构造的思路是构造啊，构造直角三角形， 使得那个 k 啊，就这个系数零到一之间的系数 k 等于 sin alpha， 利用三角函数 sin alpha 乘上这个斜边 pa， 那 么就等于这条直角边的长。换句话说，把斜边转化到了直角边的位置，那么此时要求的折线断和的最小值变成了什么呀？ 你看现在我们要求的啊， p b 加上二分之根号二倍的 p a， 它的核就变成了 p b 加上 p q， 是 不是变成了它们两个核的最小值就可以了？所以动点 q， 点在哪动呢？在这条射线 a q 上运动定点点 b 变成点到线的距离垂线段最短这五个大字来解决问题啊。所以我过点 p 向这条射线 a q 做垂 追逐，叫做 q 撇，与线段 a c 的 交点就是咱的 p q 撇，它的最小值 就是我图形中的线段 b q 撇的长。接下来的任务只有一个，把 b q 撇这条垂线段长算出来就可以了。阿尔法的角是四十五度，这里我有一个小小的直角三角形，所以此处也是一个阿尔法四十五。 再来对顶角相等，这里还是一个四十五。换句话说，我画粉色阴影的这个直角三角形 b c p 撇是一个等腰值四 四，斜边四倍根号二。还有 a c 长是六六减四，这里是一个二。所以在左侧这个小直角三角形中，根据三边关系，一比一比根号二，所以这条直角边长是根号二。换句话说，这个 b q 撇的长度就是 四倍根二加上根二，所以要求的线段和的最小值也就是五倍根号二，咱们就已经完成了啊。所以总结一下，这是我们经典的胡不归问题。首先遇到模型问题，你要学会识别模型， 什么样的问题会想到用弧不规来解答呢？也就是求折线段和的最小值，并且有一条线段前带有一个非一系数，这个系数我们想方设法的让它在零到一之间，并且动点是在直线上运动的。 ok， 弧不规问题来了，怎么来解决呢？构造直角三角形 打造的是塞隐阿尔法等于这个零到一之间的系数 k， 进而把 k 倍的 pa 这条线段乘上 k 变成了啊，或者转移到了直角边的位置，把折线段和的最小值问题转化成点到线的距离垂线段最短进行计算，你学会了吗？
2121北大超尘老师讲数学
04:31查看AI文稿AI文稿新概念所有的语法考的全量大配套的讲解加刷题就用这本就好了，它是根据每一课新概念所涉及到的语法 先讲，再带孩子大量的做动词，适当形式填空，包括咱们句型，要不就是划线部分提问，要不就是改写句子，还有单向选择翻译虽然是一个简简单单的语法书，但它讲解的跟我们的课标都很接近。 我们课标里在六年级学到的就是变 words 和 word， 然后是单向选择，然后是改写句子，翻译句子，然后涉及到的考点基本上都跟我们学内校内所考试的题型还有考点大量地带我们能力式地把高，因为它很多就是写句子，还有考点 越到后面它讲得越详细，因为并。
12灵海蝶
04:31查看AI文稿AI文稿你永远考不过从七年级就练几何模型的孩子，因为他清楚的知道，一旦在初中养成建模能力，到了高中数学就能扭开窍就是万维的这套初中数学几何模型。 初中四十八个几何模型全含盖，猪蹄模型、八字模型、手拉手模型、飞鱼模型、动点将军银马无不归模型。每个专题先是基础模型精讲，接着是举一反三的拓展模型扫码，还有老师手把手教，孩子一看就懂，学完还有模型巩固练习、 中考真题对接和压轴题练习，让孩子真正掌握模型的硬式答题技巧。搭配这本初中几何辅助线，有方法归纳，有视频讲解。把这套书搞懂了，初中三年的数学就不用愁了，趁假期时间充裕，抓紧给孩子安排起来练一练吧！
11属于你的百货
04:38查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个假期，每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何， 能帮你快速解析的几何模型要趁早掌握，比如说这个三线八角模型、铅笔头模型、八字模型、面尾模型等等，老师在课堂上因为时间的原因不会系统的教，但是考试要考，该怎么办呢？ 可以看看这套万维的初中数学几何模型，它包含了初中常考的六十个模型，学会用模型去解析，千变万化的难题都可以迎刃而解，不理解的还有视频讲解， 手把手带你理解吃透，会举一反三。掌握了这些几何模型，再学会一些辅助线技巧，遇到难题就不用再害怕了，对整个初中阶段的数学成绩提高都是有非常大的帮助的。 and then you！
25读万卷书书店
04:33查看AI文稿AI文稿你永远也考不过一个假期每天学一个几何模型的孩子，因为初一下册数学百分之五十都是几何，能帮你快速解析的几何模型要趁早掌握。
20静静是小书虫
01:06查看AI文稿AI文稿阶下开始数学拉开差距的就是几何题，给大家推荐两本非常好的初中的几何书，如果你们家的孩子正在为几何发愁，作为一个多年的数学老师，这两本书呢，我用了好几年了，我觉得没有任何的毛病。他有以下的三个推荐理由，第一个权 就是你能想到的所有的题型模型，这里面全有，七上必考三年九六考的三线八角，七下必考三年三十考的将军印马，八下必考三年三十考的十字架模型。第二个理 由就是这本书呢，他不仅教你说在哪里画条辅助线，更重要的是他教你为什么要在这里画辅助线。做法，一锤线段最短，角内一定点与两边上的动点球最直， 找到定点对称点或对称点做垂线。二，两点之间线段最短，直线上移动点及直线外两定点球最直，做定点对称点或连接两点。第三个理由，这里面的题型也是由易到难的，他也做了分层， 而且每个题型都做了视频讲解，不分版本，全国通用一套可以用三年。链接放在左下角了，大家抓紧时间学起来。
30万紫万红商贸
04:28查看AI文稿AI文稿万维又出了一本神书初中几何模型，为什么说他神呢？初中数学，如果想在两个小时内拿下考试一百二十分的题，一定要学会解析模型，如果每道题都要现场想思路破解，考试还怎么做的玩？真正有远见的父母早都给孩子准备好了这套初中几何模型， 初中三年所有的重点模型都在这了，手拉手模型、十字架模型、胡不归模型、费麻点模型等等，每个模型的结论是什么， 怎么推导出来的，辅助线怎么画，他都详细的罗列了出来，不懂还能扫码看。名师讲解，手把手传授学习大招，不怕孩子学不会。学完模型题还有举一反三练习，把这本书吃透，以后考试做题就像抄答案一样简单，一本能用到中考结束，无论是初一初二夯实基础，还是初三总复习，都很合适，抓紧时间准备起来吧！ 万维又出了一本神书初中几何模型，为什么说它神呢？初中数学，如果想在两个小时内拿下考试一百二十分的题，一定要学会解析模型，如果每道题都要现场。
25欣然姐姐百货
00:40查看AI文稿AI文稿读书的方法没有别的，就是多多读，你永远考不过从七年级就练几何模型的孩子，因为他清楚的知道，一旦在初中养成建模能力，到了高中数学就能脑开窍。就是万维的这套初中数学几何模型。初中四十八个几何模型全含盖，猪蹄模型、八字模型、手拉手模型、飞鱼模型、动点将就，赢马无不归模型。 每个专题先是基础模型精讲，接着是举一反三的拓展模型扫码，还有老师手把手教，孩子一看就懂，学完还有模型巩固练习、中考真题对接和压轴题练习，让孩子真正掌握模型的硬式拿分技巧。搭配这本初中几何辅助线，有方法规范，有视频讲解。把这套书搞懂了，初中三年的数学就不用愁了。趁假期时间充裕，抓紧给孩子安排起来练一练。
0我叫阿呆
04:50查看AI文稿AI文稿初中的数学该怎么学呢？大家可以试一下我手里的这个几何模型加几何辅助线，几何模型呢是教大家啊，三步就可以学会我们的剪题，给初中阶段的数学呢建一个模型啊，只要学会了建模，那么我们在高中的时候数学就可以轻松拿捏。 还有这个几何辅助线，教大家三步添加辅助线内容也是非常好用的，整个初中阶段，从初一到初三，你买这一次就行了，我们还给大家配的有模型变式链，全部都是包含在内的。 初中的数学该怎么学呢？大家可以试一下我手里的这个几何模型加几何辅助线。几何模型呢是教大家啊，三步就可以学会我们的剪题，给初中阶段的数学呢建一个模型，只要学会了建模，那么我们在高中的时候数学就可以轻松拿捏。 还有这个几何辅助线，教大家三步添加辅助线内容，也是非常好用的，整个初中阶段，从初一到初三，你买这一次就行了，我们还给大家配。
00:50查看AI文稿AI文稿读书的方法没有别的，就是多多读。初中几何题卡住，往往是因为辅助线不会画。这套万维的几何辅助线把初中所有辅助线添加方法规划成了十大专题。它的核心是三步法教学，每一步都讲清为什么做、怎么做能得到什么，让孩子真正理解一层逻 辑，而不是死记硬背。比如看到角平分线怎么做，垂线遇到终点怎么背长，都有清晰的引导。书里每个方法都配有图例、 口诀和视频讲解，还设置了分层练习，孩子跟着练能快速掌握规律。搭配。另一本几何模型， 系统梳理了六十个核心解析套路，两本一起用，从识别模型到添加辅助线，形成完整解析闭环，全国通用，初一、初二同步学习，初三复习巩固都适合。如果孩子几何需要提升，可以试试这套书。
0我叫阿呆
04:28查看AI文稿AI文稿好多宝子不知道，几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维告诉你做数学题没思路！好多宝子不知道！好多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维告诉你做数学题没思路！好多宝子不知道！好多宝子不知道！几何模型和几何多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？ 贴心维维告诉你做数学题没思路！好多宝子不知道！好多宝子不知道！好多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维？好多宝子不知道几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维告诉你做数学题没思路！好多宝子不知道！好多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？ 贴心维维告诉你做数学题没思路！毛多宝子不知道！毛多宝子不知道！几何模型和几何毛多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维告诉你做数学题没思路！毛多宝子不知道！毛多宝子不知道！毛多宝子不知道！几何模型和几何辅助线应该怎么选择？贴心维维？
13圆一好物分享
04:27查看AI文稿AI文稿为什么有的孩子做几何题又快又准？因为他们都有模型思维，用腕为几何模型培养孩子几何思维，比如这个将军引马。 为什么有的孩子做几何题又快又准，因为他们都有模型思维，用腕为几何模型培养孩子几何思维，比如这个将军引马。为什么有的孩子做几何题又快又准？因为他们都有 为什么有的孩子做？为什么有的孩子做几何题又快又准，因为他们都有模型思维，用万维几何模型培养孩子几何思维，比如这个将军引马。为什么有的孩子做几何题又快又准，因为他们都有模型思维，用万维几何模型培养孩子几何思维，比如这个将军引马。 为什么有的孩子做几何题又快又准？因为他们都。为什么有的孩子做几何题又快又准，因为他们都有模型思维，用腕为几何模型培养孩子几何思维，比如这个将军引马，为什么有的孩子做几何题又快又准？因为他们都有模型思维，用腕为几何模型培养！
14美不胜收
