年级下册青岛版图形与几何
大家好，我是你们的老朋友蛋蛋，今天我来讲这道烧脑数学题。用木条做一个长方形框架，长三十二厘米，宽二十四厘米，如果把它拉成一个平行四边形，面积相差了 一百九十二平方厘米，拉成了平行四边形的高的长度有几种可能，分别是多少厘米？首先我们先来第一种假设，有两种可能啊，第一种来这个长，他不变的，按住这个长， 然后他宽变矮了，长方形，然后变成平行四边形， 这个这个长，这个长是不变的，但是宽肯定就是变矮了，也就成了他们的高了。我拿这个道具来演示一下， 首先这是那个长方形吧，虽然是个正方形，俩长方形，把这个长按住，然后宽变了，这样子的话，他这个长没变，但是 他宽也就是平行四边形的高，他变矮了。这么理解的话，我们就好做多了。嗯，先来 第一种情况，他是宽面矮，那么相差了一百九十二平方厘米，你看他相差了，也就相当于那块手机画一个图，他是 他是这样子的，那我说这一块可以补到这一块来，那么这一块就擦掉了去，那么说的话就是他这一块就是一九二 一百九十二平方厘米，下面这一块我们不知道，但是上面那一块知道了，相差了一百九十二平方厘米吗？ 所以嘛，他是那个长不变，我们知道他的面积，知道这块的面积，他是个长方形，知道这块的面积，知道他这块长，那么我们就要求宽，求宽的话，那么就是一百九十二除以那个长吗？ 也就是一九二除以三十二，等于呃六 厘米，然后就是你看这块知道了，然后这块知道了求这块是不是就好算了？也就是用整体减去这个六， 所以就是二十四减六等于十八十八厘米。然后我们第一种假设完成了，那么来第二种假设， 这种情况吧，就把下面这条绿边看成是那个宽，然后把这个呃白边看白边和成边看作是那个宽， 这样说的话就是他那个长变了，但是宽没变，差不多画个图 也就相当于哎哎哎哎哎哎 一样的套路，这边还是平移到这边来。 ok， 那 么说的话，我们知道了这一块是三十二，我们要求 这一块啊，当然这一块是那个一九二，我们要求这一块，然后吧还得求这一块， 然后他就一样的套路，只不过他是哪边不动除哪边。第一种就是知道这个长要求这边这个宽，要求长的这么一短短部分， 那么也一样的套路。一九二除以二十四等于等于八 一九厘米，三十二减八等于二十四厘米。答，有两种可能，分别是 呃，十八厘米和二十四厘米。嗯，我们就是把按照那个求它面积的方式给他移一下子，然后 中间不是有一道差距吗？然后按照那道差距除以那条不动的边，然后吧去 求那颗小的边，然后吧就拿那条整个的大边再去剪去那个小边就变成了比较长的那条边，就是我们的答案了。好了，这就是我今天要讲的这道题了，我们下期再见，拜拜。
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好，这个特别容易错啊，孩子们到现在有时候还搞混，一个是长度，一个是面积，一个是体积，他们单位之间的进率， 对吧？那立方厘米和立方分米，它们之间径率为一千，也就是一立方分米等于一千立方厘米，一立方米等于一千立方分米啊，一定要牢记啊。那么再来说一下长方体和正方体的体积，如何计算？ 长方体体积等于长乘宽乘高，而正方体体积等于能长乘，能长乘能长，那所有的体积都等于底面积乘高 啊。 ok， 好 了，孩子们，那么接下来再说一下容积和容积单位。容积是指什么？是指物体可以容纳物体的体积，就是一个容器啊，就是一个容器可以容纳物体体积的大小 就是容积。那么容积单位常用都有什么呢？哎，常用的单位有升与毫升啊，升与毫升， 那么他们的关系，一生其实相当于是一立方分米，而一毫升就相当于是一立方厘米，一立方分米等于一千立方厘米，那么由此就知道了，一生等于一千毫升。 ok， 好 了，孩子们，我们接下来来做几道小练习吧，教给你们了。好，我们来看第一题哈！ 第一题填空题说一个正方体的棱长和是四十八厘米，那它的表面积是多少平方厘米呢？那么它的体积又是多少立方厘米呢？ 哎，他的棱长又是正方体，所有的棱长是一样长的，所以四十八除以十二等于四，这是一个棱长。求表面积，那就是棱长乘棱长，再乘以六，所以四乘四乘以六等于九十六， 他的体积呢？等于棱长的三次方，也就是四的三次方是六十四。 好看。第二个，把一长四厘米，宽二厘米，高六厘米的长方体结成两个长方体，这两个长方体的表面积增加的和最大是多少？最小是多少？ 好，我们把一个长方体结成两个表面积，会增加两个结面，对不对？两个横截面，那要想让它增加的最大，那么横截面最大越好， 那就挑最大的，最大的是不应该是四乘六四六二十四一个面，再乘以二，那就是四十八，那最小呢？ 最小的话，那我就找最小的那个面是二乘四二四得八两个，所以是十六， ok 了吗？好。第三题，零点八四立方等于多少升？ a， 声是不相当于是立方分米的大小，所以呢，一立方等于一千立方分米，那由立方变成立方分米是扩大一千倍乘以一千，结果为八百四十。 这立方厘米和立方分米进率是也是一千，低单位化，高单位除以进率一千，所以六十除以一千，结果为零点零六。 做对了吗？好，我们接下来继续判断。说，一个水瓶中装满水水的体积就是水瓶的体积，对不对？ 对的是不是？嗯，那你就错了，这是错的。为什么呢？这水的体积相当于是水平的容积， 那如果说水平体积的话，是不应该从外边来测，而你的水是从内部的，所以这两个要区分开。好，继续看第三题，一个棱长之和为七十二厘米，长宽高的和是多少？ 哎，棱长总和就是四个长，四个宽，四个高，那我只要用七十二除以四，那就是长加宽加高，七十二除以四等于十八厘米， 好了吗？来，我们继续第四题。一个蓄水池长十二点五米，宽八米，深两米，现在要求这个蓄水池的占地面积有多大？哎，孩子们占地面积是在求什么呢？ a， 求他的底面积对不对？他站立面积实际上就底面积，底面积等于长乘宽，那就是十二点五乘以八，结果为一百平方米， 好看。第二问，如果在他的内壁全部贴上瓷砖，那么贴瓷砖的面积是多大？求他的什么呢？ 表面积，但这个表面积是无盖的，对不对？你游泳池盖上盖，那就危险了，所以他是无盖的。怎么求？ 两个侧面，两个前后面再加一个底面，所以来这是底面，加上十二点五乘二是它的前面， 八乘二是他的左面，最后再乘以二，最后算的结果为一百八十二平方米，你算对了吗？好，我们再来看第三题。第三题让你求的是这个蓄水池的容积是多少， 那要求溶解，实际上就是求从内部测他的体积就可以了，那长宽和深都有了，那就是长乘宽乘深就等于二百平方米， 你做对了吗？好， ok， 好 了，孩子们，那么这部分内容咱们就讲到这里了，有任何的问题及时查漏补缺。我们下道学数学五年级下册的学习课程，我是李晨燕老师， 这讲内容呢，我们来继续复习咱们这个学期所学到的有关图形与几何的部分。那这个位置里边呢？我们主要是复习一下确定位置， 哎，就是给你个物体或者是一个目标，我们如何来确定他所在的位置呢？哎，送大家几句话哈，这几句话其实就囊括了我们所要复习的内容，第一句话说表示位置有绝招，一组数据把位标，这种数据指的是， 哎，特别好竖对，是不是？我们用竖对确定位置，那这个竖对你要注意，左竖为列，右为行， 左面这个竖是表示列，右面这个竖表示的是行，哎，列先行后都可以，但是注意这两个是不可以调换的。 一列一行一括号，逗号分隔标明了，就是一列 一行加一括号，中间有逗号隔开。哎，前面这个就是告诉我们竖对确定位置里边的重要关键信息。那么再看后边， 确定位置很简单，首先确定观测点，那要注意你是站在哪个位置来观测的，那找准方向和距离，看清晰叙述，别混乱 啊，一定要找准了方向，他所在的方向是在什么方向上，是在什么样的角度上，两地之间的距离是多少？ ok， 其实你看这些一说完，好像似乎我们已经把要复习的内容已经特别清楚了，来，接下来我们详细的复习一下 那竖对的含义。比如说我们这里有一个排列的一些点，那么这些点里面其中有一个蓝点，蓝点所在的位置用竖对怎么表示呢？ 哎，特别好哈，我们看它是在第一列、第二列，第三列，第一行、第二行，所以用竖对三二来表示。 但在具体情境中，我们如果用竖对来表示物体位置的时候，一定记得第一个数表示的是他第几列，第二个数表示他第几行，这个千万不要混淆了。 好，那么接下来我们再来看一下用竖对表示物体具体的情境中物体所在的位置的方法。嗯，刚刚其实已经说了，对不对？哎，给出了 表示物体的平面图的位置的竖对，那么我们看竖对的两个竖表示的是哪一列，哪一行，行和列的交叉点就是物体所在的位置或者是区域， 对吧？我们根据竖对，我们能找到它所在的位置。 ok， 那 我们根据竖对找在方格中的位置也是一样的，比如说，比如说小强 他呢？哎，所在的位置用竖对三二表示，在方格中我们就找对应的，哎。三在这里也是表示列， 那对应的横是二在这里，所以他们俩的交叉点，那就是我们小强所在的位置， 所以找那个横和列的交叉点。 ok， 那 给出表示物体在平面上的位置的竖对，我们看到竖对的两个数表示是哪一行，哪一列，行和列的交叉处就是物体所在的位置或者是区域， 咱们已经强调过了，是不是？所以孩子们在做的时候也不要搞混了啊。那接下来我们根据方向和距离来确定位置可不可以呢？ 哎，当然也是可以的，首先咱们说过了，我首先要确定一个观测点对不对？哎，比如说我们在这个图里边，你把哪作为观测点？比如说我以学校还是书店还是电厂，一定要确定好观测点。对，那么找到了观测点之后，再找准方向， 确定角度，再测量出观测点与被观测点之间的距离，那我们就可以计算出这个长度， 那你根据什么呢？根据有一个比例尺，这里边没有哈，有的题里边会有一个比例尺，叫一厘米代表二百米，或者是一厘米代表四百米，他都会告诉你你要计算出实际的距离，这道题里边他没有，他直接告诉你是六百米， 那不用计算，更简单一点是不是？嗯，然后根据方向和距离能够准确的描述出物体所在的位置， ok 吗？好哈，这是我们提到的这个，接下来我们来做几道小练习，进行一个巩固和加深哈。来，孩子们请看第一题， 观察下图，并填空来观察图，然后再来看看问题是什么？好，自己先做一下，完成了吗？ 我们一起看哈。那这个里边呢？他问的是如果学校的位置是二一，那么少年宫等等，每一个位置让你标出来，我相信孩子们都没有问题的。 那这个标的时候需要注意，我们要根据位置来写竖对，他那个点在哪里，对不对？先写列，再写行。好，那么接下来问的是少年宫。来咱们看看少年宫， 少年宫在这里，他是在第四列第四行，所以少年宫用竖对四四表示。那还有问小明家的位置，嗯，小明家在这里， 他是在第七列第四行，所以用竖对七四表示。 那再看图书馆，图书馆在这里，它是在第八列第二行，所以用竖对八二表示。那么再来看公园，公园所在的位置在这里，它是在第 五列第五行，所以用竖对五五表示。那邮局所在的位置，邮局在哪里？哦，在这里，它是在第二列第七行，所以用竖对二七表示。好，孩子们都没有问题了吧。 接下来我们再来看一下第二问，说星期天小明的活动路线是，哎，七四四四五五二七七八，小明是从哪出发的？经过了哪里，最后到达了哪里呢？那根据我们这个信息来填一填吧。 ok， 孩子们都完成了吗？确定这个的时候呢，我们需要根据数对找出对应的位置，那我们就知道他在哪一个， 哎，哪一个位置出发的了，还是少年宫还是邮局等等。好，我们一起看哈。刚刚其实咱们已经标出来的数对七四代表的是 第七列第四行，所以他代表的是小明家，所以他是从小明是从家里出发的。途径哪里呢？四四五五和二七，来四四 少年宫对吧？先到少年宫，然后呢？哎，五五五五是，哎，到公园，所以呢？然后再到二七，二七是邮局，最后到达哪里？七八七八，到达商场， ok 吗？哎，这就是通过数对我可以找到位置，那你告诉他，他在图上的位置，我可以用数对表示出来，对吧？ ok， 好， 那么接下来我们再来看一下第二题，孩子们先看题，自己先做一下。 ok， 我 们一起看，从以中心广场为观测点来告诉我们的观测点，观测点在中心广场， 哎，中心广场就相当于，你好，你就在中心广场，你就立在中心广场，开始去看，对不对？看什么呢？说，商店的位置是在哪偏哪多少度的方向上？商店，哎，商店在这里，商店在这里，它是在 北偏西的方向上，多少度呢？哎，这个度数需要我们用量角器来量一量，对不对？哎，你对着你的屏幕上可以量一下啊，所以我发现他是在北偏 c， 是 吧？哎，我们在确定位置时候来给个思路哈。说，以中心广场为观测点，先确定商店、学校、音乐厅分别是在中心广场的那个方向上，用量角器量出它的角度， 再确定他们与学校之间的距离是多少，然后再把方向距离结合起来来确定位置。 ok， 好， 那么接下来咱们看啊，商店所在的位置应该是在中心广场的北偏西，多少度呢？测量的角度是 二十度，那么距离中心广场距离呢？还是一样的，我们要测出这段的长度，每段长你看一厘米，代表的是一千米，所以需要测出那个长度来，那这个长度我们测出来的是一厘米，正好就是一千米。 来，再看看学校所在的位置，是学校哎，学校在这里，那学校的位置是在南偏 东对不对？哎，有同学说了东偏南，但通常我们会以南北为主啊，南北偏东西，所以是南偏东多少度呢？哎，测出来是六十度， 那距离中心广场的距离呢？还是要测出他们俩之间的长度，算出实际距离。再说是两千米，也就是两厘米的距离。音乐厅所在的位置，音乐厅在这，那就是南偏西 多少度呢？还是量角器去测啊，一共是二十五度的方向距离呢，我发现是一千米。 ok， 好， 所以这个需要大家测量，测量的时候一定要注意一下啊，不要测错了哈，有同学量角器用的还 不是特别的精准哈，不会量的，一定要让家长或者是老师再好好教一下我们测量的方式。 ok 了好了哈，孩子们，那么我们今天内容咱们就复习到。
2姜题通
11:20查看AI文稿AI文稿朋友们，你们好，这里是同步小学数学二年级下册的学习课程，我是小卢老师，我们今天要学习的是总复习图形与几何，哎，我们一起来看一看哈。 首先我们一起复习一下数与代数板块当中的毫米、分米、千米的一个认识，其实主要就是学习什么呀？哎，认识分米、毫米、千米以及他们之间的一个单位换算。 那我们一起来看看他们之间的这个单位有什么样的一个关系呢？那就是一千米他是会等于一千米的，这个好记，对吧？ 那一米呢？是等于十分米，一分米等于十厘米，一厘米等于十毫米，他们之间的净率通通都是为十， 大单位变成小单位要加一个零，小单位变成大单位要去掉一个零，记得这是相邻单位之间的。好，那这一个是米分米、厘米、毫米之间他们的一个关系的，我们一起来看一下这个单位换算啊， 他说的是五千米等于多少米呢？哎，我们知道他是等于五千米，对吧？而下面这里边呢，三千米等于多少千米呢？三千米，这些都是比较简单，对吧？而下面这里边的话呢，你来看一下 七十五厘米等于多少毫米？哎，我们说了这个一厘米是等于十毫米的，两厘米是等于二十毫米，那七十五厘米那就是会等于七百五十毫米， 同时大单位变小单位，它是干嘛呀？哎，是会添加一个零，对吧？好，那这里边的话呢，八分米等于多少厘米？我们知道一分米等于十厘米，两分米等于二十厘米，八分米那就等于八十厘米， 现在这里边一百一十毫米等于多少厘米？因为我们知道十厘米是等于一厘米的，也就说一厘米等于十毫米。 那现在这里边的话呢，你看一下，一百一十毫米当中的话呢，它有十一个十毫米，所以呢，它是等于十一厘米的，或者说小单位换成大单位。哎，你看一下，它们是相邻的，对吧？所以呢，去掉一个零，它就变成十一了。 六十分米等于多少米？我们知道一米等于十分米的，那六十分米当中的话呢，他有六个十分米，那也就是等于六米小单位换成大单位，去掉一个零，这是相邻的部分。 好，那么继续来看一下，在括号里边填上合适的单位。那你看一下啊，他说的是一块橡皮呢，有哪个呀？有毫米 厘米，分米米、千米，对吧？在这里边的话呢，他橡皮的这个厚度是十二什么呢？大约是这么的厚，那你看看啊，是填什么呢？是十二 毫米呢？还是十二厘米还是十二分米那些呢？你看分米和米这些是肯定不可能的了，太大了，对吧？那厘米呢， 我们说了一厘米是一个手指的这个宽度，那十二厘米的话呢，就十二根手指这个宽度还是挺长的，对吧？所以我们的这个橡皮叉的话呢，没有厚这么多，所以呢是十二 毫米，也就是十二张银行卡的厚度。一支钢笔长十四什么呢？十四米，十四分米是不可能的了，对吧？那是十四毫米还是十四厘米呢？哎，我们说了， 钢笔的长度大约就是这么长左右，对吧？啊？那我们比比，是不是差不多就是有十四根手指的长度差不多，对吧？ 好，那所以这里边呢是十四厘米，而下面这里边的话呢，是一根旗杆，高九什么呢？高九米哎，这个比较好填，对吧？ 好，那我们继续来看一下数与代数板块当中的解决问题。那解决什么问题呢？就是乘加乘减的混合运算和除加除减的一个混合运算， 那就是在含有乘除法，又有加法或者减法的这个算式当中呢。哎，我们记得是先算乘除，再算加或者是减哈， 那密切来看一下，这个题说的是每个南瓜是七元钱，每个西瓜的这个价钱呢，是比南瓜的两倍少四元呢。那你来看一下啊，这里边南瓜是一个七元的， 西瓜是南瓜的两倍少四元。那我把南瓜当成一份西瓜，是不是就是有两份呢？也就是说是有两个七，两个七是多少元呢？二乘七， 但是说是哎，比他的两倍还要少四元，说明我还要再减一个四，那等于多少呢？我们说在一个算式当中的话呢，又有乘又有减的时候，先算乘法二七十四十四，再减四等于十，单位元，对吧？ 所以呢，我们把答语写上，答，每个西瓜十元就可以了。那么继续来看一下这一个题，说的是李老师买了一套茶具，哎，如这个图所示， 好，那茶壶呢？每把是十八元哎，这个是十八元的，四个杯子一共是要二十 八元的，那一把茶壶比一个杯子贵多少元呢？我要看这个一把茶壶比一个杯子贵多少元的话呢？我首先得要知道什么呀，哎，一个杯子的价钱， 四个杯子是二十八元，一个杯子是多少元呢？哎，也就是二十八去除以四等于七元。 好，那你来看看一个杯子的价钱，就是七元钱，那一把茶壶是十八元，茶壶比杯子要贵多少元呢？也就是求它们之间的差，那就是十八减七等于十一单位元。 好，那我们把答语写上，答，一把茶壶比一个杯子贵十一元就可以了哈。 好，那么继续来看一下图形与几何板块当中的图形与减拼。那首先的话呢，就是会学习了，有认识长方形、正方形，对吧？对于长方形和正方形而言的话呢，就是长方形，他有四条边好，那四条边当中的话呢，对边相等 好，而且四个角呢，都是直角来的。正方形呢，他也是有四条边，四条边呢是都相等的，角呢，也一样是四个直角，这是他们的一个特点。然后呢拼一拼，主要就是认识七巧板及其特征。 那么一起来看一下，说的是数一数，填一填，这里边的话呢，说的是四边形有多少个？五边形多少个？六边形多少个，对吧？那么来看看啊，四边形有多少个呢？我们首先每个都标一标， 这里边的话呢，有一二三四四条边，所以它是一个四边形来的，我写这一个作为标记一下，这个也是四边形，四边形。好，那我们再来看看，这里边呢，你看这个也是四边形，有一二三四，对吧？那这个也是四边形。 好，那这个呢是有一二三四五六。好。是六边形，五边形。这是六边形。五边形。六边形。 这是五边形。五边形。这个是六边形，这个是四边形，这个是四边形。下面的和上面一样都是四边形来的，所以我们标出来过后，我们就可以来看看四边形的有多少个呢？ 一二三四五六七八九十十一十二，好，那是有十二个，五边形有多少个呢？ 一二三四五六好是有六个，六边形有多少个呢？一二三四好是有四个，也就做完了。 那么继续来看一下这个图形与几何板块当中的观察物体，也就是观察物体它各方面观察时候的一个形状特点，对吧？以及观察立体图形， 那也就是从不同方向观察物体和立体图形的一个全貌来的。那我们一起来看一下。这一个题说的是看图填一填，在括号里填前上或者是右，那我们来看一看啊，在对于这个图形当中的话呢，你看它下面是一个 正方体，而这个上面是一个球体，正方体的话呢，我们不管是从上下左右前后来看，它都是一个正方形来的，而球体的话呢，我不管是通过哪一个方向来看，它都是一个圆形，对吧？ 所以呢，从前面来看的话呢，它是一个正方形啊，上面是一个圆形，也就是这个图形或者是这个图形，因为这两个图形是一样的，对吧？所以呢，我随便写一个啊，这也是前面可以吧？ 好，那我们来看看这个前面看了，那上面呢，上面就是从上面往下看，从上面往下看的话呢，上面这里边他肯定是能够看出一个圆形的， 而这个大的话呢，是看成一个正方形，所以呢，也就是这一个图也是上面了，而这个呢，也就是从右面看了啊，右面看了和前面看的是一样的，那这个题我们也就做完了， 那么接着再来看一下统计板块数据的一个收集，那在对于数据的一个收集来说的话呢，主要就是学习了有统计图和统计表， 统计图的话呢，他就是可以直观的比较出哪种物体最多，哪种物体最少，而统计表的话呢，就是可以看出各种物体的一个具体数量，这是他们的一个区别。 那么一起来看一下，这个题说的是班竞选劳动小能手，结果如下，你看一下啊， 王强他是有三个政，然后呢外加这一点，对吧？那李平他是有这么多的，林立他是有这么多的，他说把结果整理在下表当中，我们看一下王强他究竟有多少票呢？这个呢是用政字 来数数的，对吧？那我们看看，我们说一个正字代表的是为五票，好，那这也是代表五票，那这个也代表五票，那这个是多少票呢？我们来看看。一二三啊，这是三票，所以合在一起是为多少票呢？你看五加五是十，十加五等于十五，十，五加三等于 十八，所以王强他是有十八票的。而这一个李平呢，你看一下，这里边是有五票，这里边是有两票，合在一起是有七票， 灵力呢，他是有一二三，只有三票，我们也就统计出来了。好的，我们今天的这个课程呢，就学习到这了，小朋友们再见。
3姜题通
02:43查看AI文稿AI文稿今天我们研究一个初中常见的几何模型，直角旋转模型描述角 e、 o、 f 等于九十度顶点。在等腰直角三角形 abc 斜边的中点 o 上， 该模型可以得到哪些结论呢？首先连接 o、 b， 因为三角形 abc 是 等腰直角三角形 点 o 是 斜边 a、 c 的 中点。根据三线合一，可以得到 b、 o。 垂直于 a、 c、 b、 o。 平分角 abc。 实际上， b、 o。 把等腰直角三角形 abc 分 成了两个等腰直角三角形 aob 和 cob。 所以 o、 a 等于 o、 b。 角 o、 a、 e 等于角 obf 等于四十五度。 我们还能发现，角 a、 o、 e 加角 b、 o、 e 等于九十度。角 b、 o、 f 加角 b、 o、 e 也等于九十度，所以角 a、 o、 e 等于角 b、 o、 f。 在这些条件下，根据角边角可以证明三角形 a、 o、 e 全等于三角形 bo、 f。 同样的方法还可以得到三角形 c、 o、 f 全等于三角形 bo、 e。 所以 a、 e 等于 b、 f， c、 f 等于 b e， b、 e 加 b， f 等于 a， e 加 c， f 等于 ab， 也等于 bc。 我 们还可以研究四边形 b、 f、 o、 e 和三角形 abc 面积之间的关系。 b、 o 把四边形 b、 f、 o、 e 分 成两个三角形， 三角形 o、 b、 f 全等于三角形 o、 a、 e。 两者面积相等，因此四边形 b、 f、 o、 e 的 面积就转化成三角形 a、 o、 b 的 面积。 三角形 a、 o、 b 的 面积是三角形 a、 b、 c 面积的一半，因此四边形 b、 f、 o、 e 的 面积等于三角形 a、 b、 c 面积的一半。 绿色字体部分就是我们常用的结论，希望同学们熟记。
28数学叔
04:42查看AI文稿AI文稿嗨，同学们，欢迎你来到了六年级下册的最后一个阶段总复习。我们来看图形与几何领域的一个经典题型，叫做带图案的正方题。展开图的问题如图，正方体盒子的外表面上画有三条粗黑线， 将这个正方体的盒子的表面展开。展开图可能是 a、 b、 c 还是 d 呢？ b、 c、 d 四个选项全部都是正方体展开图中的一四一型。所以啊，看展开图是看不出来的。这里呢，我们就需要复习两个很重要的知识点， 还记得如何在展开途中判断相对面吗？第一个口诀是木字对两段字中间隔一个，这两段的面就是相对面。第二个口诀叫做 z 字对手尾， 那以下图色部分的面就是相对面。除此之外，我们还知道了如何确定公共边。确定公共边的时候，我们要找构成直角的时候，我们折成立体图形的时候，就是一条公共边。 比如说这个边和这个边，这个边和这个边，这个边和这个边，还有一个就一行或者是一列连着四个面的时候，两头的两条边是同一条边，好比是 a 和 b， 它们折成立体图形以后就是共的边。 明白这个以后，现在大家在看题中给出的三条粗实线，粗实线一个在上面，一个在前面， 一个在路面，这三个面都是相邻的面， a 选项。根据刚刚的口诀，我们先找木子， 这就是一个横着的木子，木子对两端，所以这个面和这个面是相对面。 给出的正方体中这三条线所在的面都相邻，所以我们要排除 a 选项，因为这两条线并不是在相对面的位置，哎，给出的正方体中，这三个粗实线呀，有三个焦点， 而在 b 选项中，这一条粗实线和另外的这条粗实线，它们并没有公共的焦点，所以 b 选项也可以排除。 b 选项也是同样的道理，大家看，这条粗实线和这条粗实线并没有公共的焦点，所以 c 选项也可以排除。 选项中这两条粗实线倒是有一个交点，但是这一条我们不知道和另外两个线有没有交点，且大家会发现这个正方形离着这两个带有粗实线的正方形距离有点远， 所以我们要想办法让这个面和这两个面靠近。记得我们刚刚说到的公共边吗？这两条边 中间的夹角是九十度，重叠起来以后，这一条边和这一条边是公共边，他们会重合在一起。教大家一个小技巧，在这里有两条公共边， 一条公共边在这个面上，另外一条公共边在这个面上，这样的我们就可以把其中一个正方形 旋转九十度，从而使它靠近我们想靠近的这个面，我们一起来看看吧。现在我们让这个面旋转，从而靠近这个面，这是旋转了第一次， 这是旋转了第二次，现在低选项的图形就被我们旋转成了下面的样子，而在下面的展开图中有两个焦点， 他们又知道这一条和这一条是一个公共边，所以他们在折成立体图形的时候是重合在一起的。既然是重合在一起，说明这个点和这个点在折成立体图形的时候，他们也是重合的点，这样呢，就有了三个重合的点， 同时这三个面又是相邻的不合图中给出的正方体合字的样子，所以这道题展开图应该是 d。 我 们来回顾一下，如何判断带有图案的正方展开图呢？首先前提就是要满足正方体的十一种展开图。 除此之外，我们还要通过找相对面的方法去排除一些选项。排除以后，剩下的选项我们还可以进一步观察打开图上图形的特点。比如说这道题有一个显著的特点，就是他们会出现三个焦点， 所以没有焦点的 b 和 c 选项也被排除了。后一步，如果我们想判断的那个面离其他的面离的距离较远的，我们就可以通过旋转九十度的方法 使展开图带图案的面相邻。通过这四个步骤，我们就可以找到带图案的正方题展开图啦。
144π的旋律
03:21查看AI文稿AI文稿今天我们来讲的是第九单元总复习图形与几何部分。先来看题， 至少要几个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。读到这的时候，很多同学想到的都是四个，四个小正方体可以拼成大正方体。 其实如果我们把这个图画出来，或者是动手摆一摆的话，四个它拼成的图形应该是这样的，它并不是一个正方体，它只是一个特殊的长方体。那接着我们再往上放一层，也就是第二种摆法， 一层四个，第二层也是四个，这样的话它才是一个大正方体。所以第一个填空，至少要 八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。接着来往后看，如果一个小正方体的棱长是五厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？ 一个小正方体，他的如果棱长是五，那拼成大正方体之后，大正方体的棱长是十，那正方体的表面积等于棱长乘棱长乘六， 写算式十乘十乘六，口算出来等于六百，带上单位平方厘米， 所以大正方体的表面积应该是六百平方厘米。关键是要记住，八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体，并且是至少要八个。 今天我们来讲的是第九单元总复习图形与几何部分。先来看题， 至少要几个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。读到这的时候，很多同学想到的都是四个，四个小正方体可以拼成大正方体。 其实如果我们把这个图画出来，或者是动手摆一摆的话，四个它拼成的图形应该是这样的，它并不是一个正方体，它只是一个特殊的长方体。那接着我们再往上放一层，也就是第二种摆法， 一层四个，第二层也是四个，这样的话它才是一个大正方体。所以第一个填空至少要 八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。接着来往后看，如果一个小正方体的棱长是五厘米，那么大正方体的表面积是多少平方厘米？ 一个小正方体，它的如果棱长是五，那拼成大正方体之后，大正方体的棱长是十，那正方体的表面积等于棱长乘棱长乘六， 写算式十乘十乘六，口算出来等于六百，再上单位平方厘米， 所以大正方体的表面积应该是六百平方厘米。关键是要记住，八个同样的小正方体才能拼成一个大正方体，并且是至少要八个。
17数学田老师
03:18查看AI文稿AI文稿今天我们来讲的是第九单元总复习图形与几何部分。先来看题， 一块长方形铁皮，如图，我把图画到了下面，从四个角各切掉一个边长五厘米的正方形。在这个铁皮的四个角，每一个角都是边长五厘米的正方形，然后做成无盖盒子。这个盒子用了多少铁皮，容积有多大？ 如果我们动手折一折之后，把它的四个角剪掉，其实是可以折成一个大概是这个形状的无盖盒子。第一个问题，这个盒子用了多少铁皮，实际上也就是求这个无盖盒子的面积。 我们之前的思维都是无盖盒子，我只要算五个面的面积就行了，知道这个盒子的长宽高，算五个面的面积。但是在这我们同样也可以换一种思路来想，它本来是一个正方体的铁皮，剪掉四个角， 剩下的部分正好做成了这个盒子。那剩下的部分也就是我需要用多少铁皮。先来算这个长方形的面积。长方形的面积长乘宽三十乘二十五减，减掉四个角， 每个角都是边长五厘米的正方形，减五乘五乘四，等于 六百五十平方厘米。现在我们算的是剩余中间的这个铁皮的面积，实际上也就是这个五盖盒子的五个面的面积。这是第一个问题。第二个问题，求它的容积有多大 容积。这个长方形的长本来是三十厘米，减掉一端的五厘米，剩的中间这一段折起来之后，就是这个五盖盒子，他现在的长也就是三十，先减五再减五， 三十减五减五等于二十厘米，那也就是这个无盖盒子它的长是二十厘米，宽 宽本来是二十五厘米，二十五厘米同样也要减掉两个五厘米。二十五减五，减五等于十五厘米，也就是它的宽现在是十五厘米。那再看它的高， 它的高也就是这个正方形折起来的高，正方形的边长是五厘米，所以它的高就是五厘米。那现在这个盒子的长宽高都有了，我们就能算出来它的容积。容积的计算方法和体积的计算方法是一样的，长乘宽乘高， 二十乘十，五乘五等于一千五百 立方厘米。最后写答的时候注意是两个问题。第一个问题，这个盒子用了多少铁皮？这个盒子用了六百五十平方厘米的铁皮，容积是一千五百立方厘米。
22数学田老师
00:29查看AI文稿AI文稿如果你是小学数学老师，正愁图形与几何太抽象，学生学不懂。这条视频可以让你拿到一套动手就能学明白的互动。课间五个模块轴对称发现，让学生拖动观察对称规律。补全图形，自己画出对称的另一半。 平移练习，按方向和格数拖拽完成各补球面积。把不规则图形拼成长方形直接算，最后分数。与平移拖拽拼成长方形直接算，最后动手操作，知识点一遍就通。
167课本里可没这个
00:56查看AI文稿AI文稿我们继续学习图形的运动。第二个知识点，平移。像拉抽屉、拉窗户、拉门都是平移现象，用文字概括就是物体在同一平面上沿直线运动平移，只是物体的位置发生了改变，它的大小和形状都没有改变。就像同学们平时在教室里换位置， 无论是从前排换到后排，还是从左边换到了右边，你的位置发生了变化，但你还是你。落实到题目上，会让同学们画平移及隔后的图形。 图形的平移就是图形上点的平移，可先在图形上标注关键点，按题目要求平移这些点，把平移后的点依次连接起来，再解决不规则图形周长和面积上面。平移也是一个非常好用的方法，通过平移把不规则图形转化成规则图形，这样同学们就可以利用相应的公式来解决图形的周长和面积。这一招学会之后，同学们将受益无穷，不仅解决当下的问题， 五年级图形面积时还可以运用，你可以把它当成对付不规则图形时一个大招。转化思维是同学们数学学习中一个重要的思维，通过学习运用知识，把题目中的不利条件转换成可用的有利条件，这样再也不怕遇到这种题目了，甚至可以发起主动挑战，来一个打一个，简直憨爆了！
45平行线
03:56查看AI文稿AI文稿八十二对吧？前后两个面呢？前面和后面呢？长成高，长成高是五八四十左右两个面，怎么求宽成高，所以四五二十来看一看。 我们呢把长方体把它展开，得到了这样子的一个图形，是吧？哎，我们来看一下长方体六个面的面积之合，就是它的表面积。表面积，对了，表面积， 这是我们表面积的定义，但是呢，是不是所有的长方体我们都是求六个面的面积啊？不是，例如我们这一个粉笔盒，我们来看一下，观察一下 它是不是一个长方体。是，但是我们求它表面积的时候，只需要求几个面，五个对吧？五个我们的上面是没有的。好，接下来我们一起来看一看 长方形前后面的面积。刚才诗颖已经讲过，那我们全班来说一说，前后两个面长成高，上下呢？长成宽，左右面宽成高，宽成高，高成宽都可以。那我们呢，刚才说了， 小面积是六个面的面积之合，那你能不能得到长方体表面积的公式呢？能，有没有同学知道，或者呢回忆一下我们之前学到的来李二， 长城宽加长，城高加宽城高的合成二。能不能还有其他同学完整的说一说？好，林子东来， 长方体的表面积等于长乘宽、加长乘高，加宽乘高的和乘以二，嗯，对吗？对，我们长方体的表面积呢，就是来全班齐读长方体的表面积等于长乘宽加 长乘高，加宽乘高的和乘二。 你觉得张老师这样子写对吗？不对，对啊，不对，是吧？我只求了几个面， 三个，我们呢是六个面，所以要从二他的和再乘以二，就是我们长方体的表面积。对啊，长方体的表面积就是等于长城宽加长，城高加宽，高高的合成二。好， 我们来看一下正方体，正方形是特殊的长方形，那么呢，正方体是特殊的长方体吗？是，是，对吧，刚才我们已经讲过。那么呢，正方体的表面积又怎么求，又怎么得到呢？ 还是不是就跟长方体的一样呢？不是，我们呢，正方体的长宽高就是什么呀？棱长怎么求？ 正方体的表面积等于棱长乘棱长乘棱长乘棱长乘四。呃，有同学有疑问了，那全班告诉他好不好， 正方体的表面积等于棱长乘棱长乘六，棱长乘棱长表示的是一个面，一个面，对吧？那我们呢，正方体有几个面？六个面， 六个面，所以呢，我们还必须要乘六，记住了吗？记住了，哎，对，好，我们来看一看正方形的表面积呢，棱长乘棱长乘六。我们再来看长方的体积，与什么有关？正方形呢？我们学了表面，现在我们学习体积， 体积怎么定义，有没有同学知道体积，思考一下，物体所占空间的大小是物体的体积，所占空间的大小就是物体的体积。那我们来。
05:03查看AI文稿AI文稿看一道判断角相等的题，说如图，点 d， 点 d， 在 a、 c 上，点 f 和 g， 分 别在 a、 c 与 b、 c 的 延长线上， c、 e、 c、 e 平分角 a、 c、 b 交 b、 d 于 o。 啊，这是描述了一下这个图。好，我们接下来继继续看啊。且角 e、 o、 d 加角 o、 b、 f 等于一百八十度， e、 o、 d 标出来加 o、 b、 f， 这是等于一百八十度。角 f 等于角 j， 则图中与角 e、 c、 b 相等的角有多少个？ 好？为了好看，为为了看的清楚，我们把这个所求的角标出来，并记为是阿尔法，这样读起来比较好读啊。 e、 c、 b alpha 好 判断。这个图形里边与 alpha 相等的角都有哪些？有多少个？我们逐一来看啊。看，第一个条件说 c、 e， 它平分角 a、 c、 b ce 平分， a、 c、 b 角平分线定里。所以角 a、 c、 e 是 不是就等于平方呀？我们记为一啊，记为角一，然后继续往下看， 它又告诉了 e、 o、 d 加 obf 等于一百八十度， e、 o、 d 我 刚才标出来加它，它俩并不相 a 是 不是？但是我们可以根据对顶角找出 b、 o、 c 是 不是就等于 e、 o、 d， 那 也就说， b、 o、 c 也就是这个角加上这个角，它是等于一百八十度的。它俩又是什么？同旁内角关系？同旁内角和是一百八十度，说明什么？ 是不是 ec 就 可以得出？通过这个条件啊，我们可以求出 ec， 它是平行于 b、 f 的， 这个没问题吧？ 得到平行之后，我们来找一找所有与阿尔法可能相等和相关的一个角啊，它俩平行了。首先找阿尔法的内错角，是不是就是 c、 b、 f 呀？哎，就是这个角，内错角，两只线平行，内错角相等，我们把它记为二。 接着看，现在是角一和角二啊，找出了两个了。再来看，如果和角一、角二相等的角是不是也，那么也就和 alpha， 它是相等的？ e、 c 平行于 b、 f， 所以 角一的同位角是什么？角 f 吧，也就是说角 f 它等于角一等于 f， 那 么我们把这个角记为 t。 三个角。好，已经有三个了。 题中又告告诉了角 f 和角 g 是 相等的，那所以得出来交， g 等于角 f 等于角一等于 f 啊，我们继续啊，现在我们找出四个了，你看答案，它是三四五六，我们看看还还可能有吗？既然角四等于角 f， 角四与角 f 是 什么关系？ 同位角对不对？同位角相等，两直线平行，所以通过这个角 f 和角四相等，我们又可以得出 e、 c 是 平行于 d、 g 的， 这个没问题吧，它俩平行。好，既然它俩平行了，我们看它俩平行，我们还能得出与 alf 相关的吗？哎， alf 和角四已经有了，对吧？ 还有一个是什么？角一吧，你看 e、 c 和 d g 平行，是不是角一有一个内错角啊，是什么？这个吧， 五，也就是角 g d、 c， 它与角一是内错角，所以角五等于角一，角一又等于平方，角五也等于平方。好， 基本上我们把这个图就是图里边能找到的关系都找到了，所以一共是一二三四五啊五个。 而且我们观察一下其他的角，基本上就从图形上看也是跟它也是不相等的。当然这个看不考不靠谱啊，还是我们还是要推推论出来好。这道题选 b 往上。
30:28查看AI文稿AI文稿我们来看下这个压轴题啊，一共是三问，一般来说最后一题的话，他的一二问都会比较简单啊，第一问肯定是能做出来的。 看下将一副直角三角板，一副三角板啊，一副三角板。你要知道，我们的三角板里面有两个，一个是等腰直角三角板，一个是三十度，呃，六十度、九十度的直角板啊。他说， 他说将两个三角板放在同一条直线 a、 b 上，这有个直线 a、 b， 哈，这个是那个等腰直角的，这个是那个三十、六十、九十的，哈。他说角 o n m 等于三十度。找一下 o n m， 啊，这里是三十度， 那这个就是六十度了，这个是那个直角九十度，对吧？它俩的直角放在一起呢，那就这边是直角，它说角 o、 c、 d 等于四十五度。找一下 o、 c、 d， 那 这角是四十五度，这个也是四十五度， 那就算人家不告诉我们，我们根据三角形的形状也可以判断出来啊。一副三角板要记住，四十五、四十五、九十。另一个是三十度，六十度、九十啊。 他说将图一的三角板 o、 c、 d 沿着 a、 b 的 方向平移至图二的位置，这是图一，这是图二。就是说 o n、 m， 这个不要动，把这个三角形平移， 我给他移动，哎，往这边移，对不对？那这条线他就移到了这边，然后像这样 o d 移到了 n、 d 的 位置，然后 o c 移到了 n、 c 的 位置， 对不对？就拿着这个往这边走就好了啊，不要动，往这边走就好了。好，走了之后，他问移移至这个图案的位置，他问的是角 c e、 n， 找下 c e n， c e n， 那 就求这个角， 求这个角，那我就可以看到一个三角形啊，对不对？这不是一个三角形， c， e， n 是 一个三角形，对不对？那我们有疑问，得出这个角，这个角是 o n m， 这个是三十度 啊，它刚才告诉的是 o c， d 等于四十五。那你看这个直角三角板移到这边的话，那这里就是四十五度， 那角他求的角什么？ c e n 角？ c， e n。 就 等于一百八十度，减个三十度，再减个四十五度啊，就等于一百零五度，因为比较简单哈，等于一百零五度。我们来看下第二问啊， 看第二问，他说将图一中的三角板，这是图一，将这个三角板 绕着点 o 顺时针方向旋转，绕着点 o， 那 就 o 不要动，绕着点 o 不要动，然后顺时针，顺时针是钟表转动的方向，往右边转，顺时针转动，那么 o d， 你 想 o d 这条线，它是不是就会转这来？ o d， 对 不对？那 o c 也是 o c 这条线也是绕着点 o 旋转，那 o c 也是顺时针，顺时针就是往上，那可能 o c 就 转到这来，然后连接 c d。 好， 这就是组成的新的三角形，绕着选。哦，我这画的有点这样啊，等腰直角的吗？旋转旋转，不改变这个三角形的角度和大小。 好，只改变它的位置，不改变它的大小，它的角度都还是正常保留着啊。使一边 o d 落在角 m o n。 的 内部。来，我们看图三就得到这个图了啊， o d， o d 这条线， o d 这条边落在 m o n。 的 内部，然后 o d 恰好平分角 m o n， 你 看啊， m o n 它还是，这不是吗？ m o n 没有动过，它还是那个直角三角形，所以说角 m、 o， n。 这里还是九十度 啊，这里还九十度，不会变的。直角三角板不会变啊，它说 o、 d 恰好平分，角 m、 o， n 平分，那说明这个角等于下面这个角一共九十度。那各四十五度吗？嗯， c、 d 与 c、 d 在 这 c、 d 与 m、 n 相交于点 e。 求角 c、 e、 n 的 对手找 c、 e、 n 这个角啊，求这个角的度数。那瞧这个角度数。我首先它其实这个角有很多种求法哈， 你看这个，这个没有标，这个没有标，它光说 c、 d 与 m、 n 相交于点 e， 那 这个我们可以给他标个 f， 这个点标杆 f。 那 首先我很喜欢用外角定里，那首先我可以看到这个角 c、 e、 n 就是 三角形 e、 f、 d 的 一个外角。看这个三角形 换个颜色啊，蓝色，它是这个三角形的外角，看到吗？它相当于把这个 d、 e 延长啊，这不是外角吗？外角与它不相等于它不相邻，两个内角的和。那就是啊， 相当于把 d、 e 延长之后。这里是不是有一个外角啊？外角等于与他不相邻，两个内角的和。与他相邻的内角是这个，这个与他不相邻。两个内角，一个是角 d， 一个是这个角，所以我的目的角 d 我是 明确知道的哈，是四十五度， 为什么四十五度？因为它是等腰。 o， c、 d 是 等腰直角三角板吗？那这几个角肯定是四十五度，这里还是九十度啊，这里还是九十度。那我们只需要求这个角就行了。那我可以看到这个角和这个角 是对顶角，对吗？那这个角对顶角。我们知道这里这个角 o， n、 m 还是三十度，这不会变的。三角板的角，那又因为 o d 平分角 m， o， n。 刚才说了，这里是九十度，平分的话，这里是四十五度，这里也是四十五度， 那这个角是不是解决了？这个角解决了，那这个角就解决了。所以说角 c， e， n 就 可以求了啊，我写下过程， 红笔写下过程啊，我们可以写这个，写个，他说 c， d， c， d 与 m n 交于点 e。 第二问啊，我们还要写一个，嗯， o， d 与 m， n 交于点 f， 因为他没有告诉我这个点，我写个点 f， 对 吧？因为我要用这个角的，然后写啊， 由题可得，因为它是三角板嘛。直角三角板，由题可得。角 m， o， n 等于九十度，那因为 o， d 平分角 m， o， n， o， d 这条线平分角 m， o， n， 所以 我需要用这个四十五度板，所以角 d， o， n 等于二分之一角 m， o， n 等于四十五度。 d， o， n， d， o， n， 这个角，对吧？四十五度，那嗯， 在三角形 o， f， n 中，角 o， f， n 等于一百八十度。减角 o， n， m， 再减角，这个角叫什么？ d， o， n， 对 吧？ d， o， n， 那 就是一百八十度。减角 o， n， m。 大 题目中告诉我了， o， n， m 是 三十度嘛，对吧？减 三十度，再减四十 d， o， n 四十五度，那就等于一百零五度， 对吧？这里，这里就一百零五度，那么所以它的对顶角，所以角 e， f， d， e， f， d 就 等于角 o， f， n 等于一百零五度， 对吧？那由题我们可得。他说角 o， c， d， o， c， d 是 四十五度，那我们可以由题可得。这个九十度，我们在这里也写上啊，因为要用角 d， 再写个角 d 等于四十五度， 因为是等腰直角三角板嘛，对吧？它四十五度，那么所以角，我们要求角 c， e， n。 等于这个外角等于它不相邻，两个内角的和，一个是角 d， 角 d， 一个是角 e， f， d 就 等于四十五度，加一百零五度，等于一百五十度。解决了 一百五十度，对吧？就你要学会利用有效信息，我是非常用喜欢用三角形的外角 啊，为什么要用外角呢？外角与它不相，等于它不相邻，两个内角的和角的已知了，我只需要求这个角，这个角，那对顶角在这里，那你想平分的话，这两个角度肯定是知道的，那这个角很轻松就能求出来了，对吧？ 所以要善于观察图中啊，善于观察图中的条件，而且第二个你要善于使用外角。 我们再看一下这个第二问，其实这个第二问也有另外一种办法，你看哈，这还是 e， 呃，这是 d， 这是 m 啊，它求 c e m， c， e， n， c， e， n， 这个角， 这个角除了是这个刚才标的 f， 对 吧？这个角除了是三角形 e， f， d 的 外角，同时我们这里也标个啊，如果你用这个外角，这就把这里标个 p， 你 写一句，嗯， o m 与 cd 交于点 p。 好， 这点 p， 那 它同时也是这个三角形 mpe 的 外角啊。我给你放大一点，它这个角同时也是三角形 mpe， 这个三角形的外角， 看到吗？把这个线延长，这也是外角，那外角等于它不相邻，两个内角的和，我们要求的就是哪个角呢？一个是这个角 m， 一个是这个角，那我同样这个角也没有，但他那对顶角是不是在这里啊？我就不具体写过程了，我给你个思路就好了啊。那这里是 因为它是平分，你想啊， o、 d 平分角 m、 o， n 因为是四十五度，这里也是四十五度，那你再想， c、 o、 d 是 不是也是那个三角板呢？那这里应该也是直角，既然这里是四十五，那这块是不是也是四十五度？那又因为它 c、 o、 d 是 一个等腰直角三角板，所以这里也应该是四十五度。 你想四十五，四十五，那这个地方是不是九十度呢？所以这里也是九十度了，对吧？九十度，那就是 角， c、 e、 n 就 等于九十度，再加一个。看啊，九十度，因为它是外角吗？相邻的内角在这，不相邻的就是这两个，这个是九十度，那这个 o、 m、 o， m、 n， 我 们知道他是那个，嗯，这里是三十度，他是三十度，这个 m， 这里是六十度，三十、三十、六十、九十的这个三角形，对不对？所以这里是六十度，那他的九十度加六十度等于一百五十度， 结果是同样的啊，结果是同样的，就是两种思路。我们看下第三问啊，看下第三问，他说将图一还是这个三角板， 嗯， o， c、 d 绕着点 o 按顺时针方向旋转， o， c， d， o， c， d 顺时针还是这样这样转，对吧？钟表转动的方向从左往右转啊，顺时针旋转，在旋转的过程中，当边 b、 o， c， o， c 旋转多少度时， 边 c、 d 恰好能与 m、 n 平行，那我们就来看嘛， o c 旋转多少度？ o， c， 它就这样转， 它往上转嘛，对不对？转 o， c 到这里，那 c、 d 到这里，那么，呃，不是， o、 d 到这里，那 c、 d 它是不是就长这样？长这样，那这个情况下我看起来是不平行的，原先它在这里就不平行，对不对？它到这个角度它还是不平行好，然后继续转， 继续转，那么 o c、 o c 可能在这里，那 o d 继续到这里，这个时候你再连接 c、 d， 是 不是还是不平行啊？不平行来，继续转，继续转，那就转到， 哎呀，画的不好啊， o c 转到这个位置， o d， o d， o o d 转到这个位置，说如果 o c 在 这里的话，那它这样， 哎，我们看起来这样好像是平行的，对不对？那所以说我们就直接画出来这个位置嘛，我们就直接画出来跟这个位置是平行的，那当然了，它这种情况下可以平行，它不是转一周嘛，它要转一周， o d 还得往下转， 然后 oc 也是还得往下转，最后 oc 转一圈要回 oc 从这里转一圈，是不是要回到这里？那所以说 oc 在 哪个位置，它还可能呢？你看啊，继续往下转， o oc 转到这， o d 转到这，你看这种情况下， 这种是不是也有可能是平行的？这样，对吧？所以两种情况，第一种是 o c 和 o d 都在 a、 b 的 上方的时候，这里有种平行，这是第一种情况。第二种情况是当 o c 和 o d 都转到 a、 b 的 下方时候， 从这到这也可能是平行的啊。我们先明白这两种情况，然后再去做看，我给你演示一下啊，他原本是这样放着的，对吧？就是直角顶点对，在一起是这样放着的，然后他说绕着点 a 转，点 o 转， 转左边这个直角板，那就点 o 不要动，点 o 不要动来转，他看点 o 和右边这个都不要动，来转他啊，转，看， 转转，转过来，你看这个时候，这个时候是不是就平行了？这条边和他的这条蓝边是不是平行了？平行了，然后继续这样啊， 因为这个食物他不好压住啊，压住，你看这个时候两个，这个时候两个是不是平行了，然后继续，他要转一圈了吗？你想这个边才到这，对吧？这个边原来是 o c， 这样下来， 这样下来他是在这里，他现在才转到这里，他这个边就认准这条边要转一百八十度，回到自己的位置啊。呃，转三百六十度，转三百六十度，回到自己的位置来看， 转好了，这里是平行的，继续往下转，这就不平行了啊？看这两条边就相交着呢啊，一直转转转，继续往下转，这个时候还相交着呢，对吧？继续 往上放啊，继续转，看看转到这边的时候，转到这边时候是不是也有可能平行呢？所以是两种情况平行啊。 那两种情况看完了之后，然后我们就画是一图啊，画是一图， 图三，我们的第一幅图就当啊，它分两种情况， 一、当三角形 o、 c、 d 在 先，说的是直线 a b， 是 吗？啊？在直线 a b 上方时，这个时候什么呢？ c d 平行 m n 啊？ c d 平行就第一个是在上方的时候，还没有转到下方，在这上方的时候， c d 平行 m n， 然后求的是 o c 转动的角度，你想 o c 原来是不是和 o a 重合着呢？那 o c 现在转到这个位置了，它原来 o c 在 这里，然后现在转到这个位置，它转过的角度其实就求这个角度， 求这个角度，那求这个角度我肯定首先想到的就是啥呢？首先想到就是这里， 对不对？如果我能知道这个角度的话，用一百八十度减这个角度，不就剩下就是这个我们要求的这个 a o c 吗？就是 o c 转过的角度。首先第一个，你要知道 o c 转过的角度是谁， o c 原来与 o a 重合着，现在转到这个角度了，转到转到这个位置了， 那原来和现在位置之间夹角就是它转过的角度啊，这就是我们要求的要求的，那怎么求呢？我知道这里总共是一百八，减去这个东西是不是就它了？那问题是这个东西怎么求呢？我们来看啊，我先给你擦掉 啊，这个东西怎么来求呢？我们知道 c o d， 这是一个三角板，这里永远都是九十度， 那我只要知道这个角度不就好了，对吧？那这个角度怎么办呢？需要用到平行，需要用到平行啊，那我们来看，如果 m n 平行， c d 这个角是永远不会变的啊， c 和 d 都是直角三角板的角，这里是四十五度， 对吧？这里是四十五度的话，那因为它俩平行，你看这是不是一个 f 型， 是不是一个 f 型？那所以这个角 d 和这个角它俩是同一角，这里也是四十五度，那我又知道 o m n 这个三角板是不会变的，这里是三十度，那看外角定里，这里是不是就十五度就解决了，对吗？那我们要写一个啊，嗯， m n 与 m n 与 o d 相交，我们要用这个交点啊，相交与点 p 吧。啊，这里包标个点 p 点 p 啊。因为 c d 平行 m n， 那 么所以角我们的这个角叫 m p o， 对 吧？角 m p o 等于角 d， 对吗？角 d， 那 我们就可以得写由题可得，因为它是等腰直角三角板嘛。由题可得， 角 d 等于四十五度，那么所以角 m p o 也等于四十五度啊。然后再用一下外角定力，看外角，这个角是哪个三角形的外角。看这个大三角形，这个 相当于把 n p 这条线延长了，然后延长线与原来三角形 o p 的 加角，这就是外角，对吧？因因为角 m p o， 这是个外角，等于角，这叫 o n m。 加角这个角叫 p o n， 对 吧？ p o n。 然后我们这道题目告诉我，角 o n m 是 三十度， 角 n o 哎，不是。角 o n m 等于三十度，那么所以角 p o n 就 等于 这四十五角 m p o。 减角 o n m 等于四十五度，等于十五度，对吧？十五度，那就解决了呀。 那所以角 c o b 等于看角 c o b c o b 这个大角等于角 c o d。 再加角 p o n p o n 其实也就是 d o n 是 同一个角哈，就等于。那 c o d， 我 们知道是九十度嘛，对吧？ 直角板的角 c o d 是 直角板的角，加上十五度，等于一百零五度，那那个角 a o c 可求了。所以角 a o c 等于一百八十度，减 角 c o b 等于一百八十度，减一百零五度，等于七十五度啊！所以说这个时候 oc oc 这条线转过的角度，这里就是七十五度， 这是第一种情况啊。第一种情况求完了，然后我们再求第二种情况，就是转到这个三角形已经转到 o b 下方的位置来看第二种情况。第二种情况就是转到我这个位置，就说三角形 o、 c、 d 在 直线 ab 的 下方了啊。 第三，问的第二个，当三角形 c、 o、 d 旋转到 直线 a、 b 下方，是啊，然后这块的时候也是 c、 d 平行 m n 这个 n 被我擦掉了， n 在 这啊，因为 o、 m、 n 始终都是不动的，只转这个 o、 c、 d 啊。 o c、 d， 你 看，原来 o、 d 不是 在这吗？原来 o、 d 不是 在这吗？ 那它往下转转转，如果 o d 到这个位置的话，那 o c 转转转，肯定跟它屁股后面 o c 在 这个位置，对吧？所以你要分清 o c 是 这条， o、 d 是 这一条啊，分清楚，不要弄错了 它。求 o c 转过的角度看， o c 原来和 o a 是 重合的，也就从这开始转的，对不对？转转转转转转，是不是一直转到这个位置？所以我们要求的就是这个角度，这个角度一看，明显比一百八十度还大了， 对吧？那整个圆周是三百六十度，我只要知道这个角就结束了，因为我知道 c、 o、 d 是 那个直角三角板这里永远都是九十度。 那你看三百六十度，减这个九十度，再减这个角，是不就解决了？那问题是这个角是多少度呢？我们得求啊，你看 m、 n 平行 o、 c。 但目前有一个问题， 两条平行线被同一条直线所截，才会有同位角、同旁内角和内错角。但先有个问题啊， m、 n 和 c、 d 之间，这俩平行线之间没有一条完整的线。你看这个线是竖直的，但是这个又是 y 的， 它俩不一定在一条直线上哈，不能保证它俩在一条直线上，那 o， n 和 o d， 这也不在一条直线上，所以说这两条 平行线之间就是 m n 和 c d 之间没有一条完整的直线，就像这种好没有被同一条直线所截，所以我们就考虑来做辅助线哈。我做辅助线，我怎么做呢？我连接 c n， 因为连接 c n 开啊， 所以说在几何当中辅助线很重要，当然他可能还有其他的做法，我只讲这一种啊，剩下的你自己可以去想，就是说连接，反正就是他俩之间要有一条完整的直线啊。我写一个连接 c n， 那 我们来看，连接 c n 之后，我就能找到什么角呢？连接 c， n， 我 能找到一个很明显的同旁内角。看哪个角啊？看，我给你画 u 字，来，先画画 u 字。 哎，这个大角和这个大角是不是一组同胞内角呢？要说那这也不知道啥呀？知道啊，我们来看，知道 连接 c n 连接 c n 之后呢？所以角， 所以角，这个角叫 m n c。 加角，看到吗？ m n， c 这个角再加角 d， c n， d， c， n 是 这个角 d， c， n 就 等于一百八十度。好，两直线平行，同旁内角互补。那我要的是谁呢？我要的是这个和这个啊，这两个很重要，因为我知道这里是三十度，我也知道这里是四十五度， 对吗？所以我要写一个 g 角， g 角我要给它分开 o， n， m。 加角，我要把 m， n， c， m， n， c 分 成两个角，分成 m n o， 也叫 o n m， 因为题目给的是 o n m， 我 们就写 o n m， 加角 o n c， 对 吧？加角 o n， c， 再加。把 d， c， n 也分成两个角，一个角 o， c， d， 它分成了这两个角，它也分两个角，加角 o、 c、 d， 再加角这个 d， c n d， c n 就是 o c d， 再加角 o c n 等于一百八十度。那我们又知道啊，有，我们又知道角，因为角 o、 n、 m 是 三十度，题目告诉我的，然后角 o、 c、 d 是 四十五度，这我们是由题目得的啊，因为它只有三角板嘛， 写不下，往这边写。那么所以你看啊，这个角有了，这个角也有了，所以我就能求出这两个和。所以角， 角 o n c， 加角 o c n 就 等于一百八十度。我写不下了啊，我往这边写啊，减角 o n、 m， 再减角 o、 c、 d， 就 等于一百八。减三十，再减四十五，就相当于减七十五，等于一百零五度。 解决了，就说这两个星星加起来一百零五度，那我是不是就能求出这个角，对不对？我就能求出这个角，那所以角 c、 o、 n 就 等于一百八十度。 减，是不是减它俩的和就可以了？减角 o、 n、 c， 加角 o c、 n 应该写不下了啊，你往前腾一下，让你看不清， 所以，所以角 c、 o、 n 就 等于一百八十度。减，括号。角 o n c， 加角 o c， n， 等于。你看 o n c， 加角 o c， n， 是 不是一百零五，一百八，减一百零，就是七十五度 啊，其实这里是七十五度，其实我都不用求这个角了，这个就可以解决了。你看这个角，呃，那个 o、 c、 o c 走过的角度是不就从这到这，那就一百八十度吗？这里是一百八，再加上这个角就行了，这个角 c、 o n 就 行了。那么继续解斜，所以角， 所以，所以 o c。 你 不要写角 a、 o c 哈，因为我们一般说的 a、 o、 c 是 这个角小于一百八十度那个角，所以我还不能那么写，我们写 o c 旋转的角度， 角度为一百八十度，加上这个角 c、 o、 n 等于一百八十度加七十五度等于 二百五十五度啊，等于二百五十五度，给你做一下分割，因为这写不下了。 先写左边这个，然后到右边二百五十五度。我们刚才第一问算下是一个七十五度，然后后来又算一个二百五十五度，对不对？我们要再写哈。综上所述，如果只要是分类讨论的，最后都写这么一句话，综上所述， 综上所述，嗯， o、 c 旋转 七十五度或二百五十五度时，边 c、 d 恰好与 边 m、 n 平行。就是说，首先你得分析哈它在哪个位置，它压轴题它就是这样的，就是你有时候可能会考虑不周全，或者说你想象不出它在什么位置的时候是平行的哈。 那这个题其实都不用求这个角度，你求也行，会更麻烦一些。我们就不求了。既然这里知道了是七十五度，那一百八加个七十五就是 o c 走过的路程啊，整个的路整过的角度就是 从 o a 到这个位置啊。不要写角 a o c 啊，角 a o c， 因为我们一般说的是小于一百八的这个角，并不是这个角啊。
227绝对值得的数学老师
07:15查看AI文稿AI文稿大家好，我是数学李老师，今天我们讲九点一点二，用坐标描述简单几何图形。几何图形都是有点组成的，坐标可以描述平面内点的位置，进而就可以描述一些几何图形。探求如图，九点一杠六， 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是六。如果以 a 点为圆点， a、 b 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为 y 轴呢？写出正方形的顶点 a、 b、 c、 d 的 坐标， 请另建立一个平面直角坐标系。这时正方形的顶点 a、 b、 c、 d 的 坐标又是什么？大家看一下。显然，这样建立平面直角坐标系是以 a、 d 为 y 轴是最方便的，也就是这个轴为 y 轴是最方便的。 当取一个单位长度代表一时，那顶点 a、 b、 c、 d 的 坐标 a 是 不是就是零？零， 因为边长是六吗？那 b 呢？ b 呢？是不是横坐标是六，纵坐标是不是零？ c 呢？是不是横坐标还是六？纵坐标也是六，那 d 呢？ d 的 横坐标是不是零，纵坐标是六， 所以这 abcd 就 写出来了。 当然，也可以说，以若以 a、 b 为中心， a、 b 的 中点为圆点， a、 b 的 中点也可以为圆点建立，但是 a、 b、 c、 d 的 值就不一样了。 一般的可以建立平面直角坐标系来描述一些简单的几何图形。在用坐标描述简单几何图形时，只需 用坐标描述，这些图形上关键点的位置一定是关键点的位置，就是这刚才这 a、 b、 c、 d 各顶点的位置。这时建立的平面直角坐标系不同，图形上的坐标也不同。你建立的平面直角坐标系不同，坐标一定也不同， 类似的在平面直角坐标系中，有简单几何图形的一些关键点，例如顶点的坐标可以确定这些关键点的位置，进而确定这个简单的几个图形。接下来我们看例二，在平面直角坐标系中，长方形 a、 b、 c、 d 的 顶点 a 为多少？负三二， b 为负三负二， c 为三二， d 为三二，画出长方形 a、 b、 c、 d。 首先看 a 是 负三二是不是横坐标是负三，纵坐标是二，是 a 的 位置 b 呢？ b、 b 是 负三，负二负三，坐标是负二，是这个位置， c 以此类推， d 以此类推，所以就画出了长方形 a、 b、 c、 d 了。 接下来我们看练习题。方格纸上有 a、 b 两个点，若以点 b 为圆点建立平面直角坐标系，则点 a 的 坐标为负二 e。 他 说以 b 为圆点啊， 这是不是一个平面直角坐标系？ x 轴和 y 轴以 b 为圆点，这是 b、 b 为，是不是零零，圆点就是零零， 则 a 的 坐标是负二一，负一负二一，也就是这这点就是 a 的 坐标负二一。 若以 a、 a 为原点建立平面值的坐标系，那 d 的 值，嗯， b 的 值呢？以这个， 这是零点了，相当于对不对？这个相当于零点了，那这个这块是不是 b 就 相当于二 负一，没有问题吧？这是原点了，是不是这个长度？刚才是不是说了这个长度是二，他是因为在这是负二吗？那这头是不是就二，然后这个是二负一，所以说就是选二，负一选 b。 如图，在直角三角形 a、 b、 c 中角 c 等于九十度， a、 c 等于 a， c 等于三， b、 c 等于四。建立平面直角坐标系，写出三角形 a、 b、 c 三个顶点的坐标，所以说我们以 c 为圆点， c， a 为 x 轴， c、 b 为 y， c、 b 为 y 轴， 所以说 c 点的坐标。现在 c 点坐标是不是零零啊？圆点吗？ 它说 a、 c 长是三，那 a 点的坐标呢？ a 是 不是就是三零啊？ b 点呢？ b 点长是四，是不是就是零四 三题，如图是一个角钢的横截面，建立适当的平面直角。坐标系用坐标表示各角钢各点的位置。图中的小正方形边长为十厘米，这边长是十厘米，对吧？ 我们首先可以 这个有很多方式表示啊，都可以啊，答案不是唯一的，大家可以 a 为圆点 圆点， a， b 为 s 轴方向， a、 f 为 y 轴方向。 他说图中小正方形是十厘米，这就表示十厘米，对吧？ ok， a 点是零零点， a 为零零，那 b 呢？大家看一下 b 点， b 点是不是？这是十十二十， b 就是 二十零。 c 点呢？ c 点是不是二十负二十， d 点 十二十，三十，三十负二十一点，一点是三十、 三十十， f 点零十。好，我们就讲完这道题。好的，谢谢大家。
