最近看了 b 岛的视频,了解到了韦伯费希纳定律,也就是我们的主观感受,屁啊,与我们的刺激强度,也就是现实世界中这个物理量对应,我们这种刺激的强度是成对数的关系的。 所以也就是啊, b 岛那个视频里头谈的我们,比如说假设啊,我们是从零到八十岁,我们能活到八十岁, 如果按对数的曲线去看我们整个一生的话,我们的中点并不是四十岁啊,我们的中点,比如我们这画一个零到一,假设是零到一,一对应的是八十,那其中呢?就是零点五,也就是一除以二二分之一处,哎,对应的是十八岁, 也就是我们这个红色的这个面积啊,和这个黑色这个面积,就是带给我们这种时间的感受啊,这种时间量是一样的, 就是我们的生命的终点,其实不是四十岁啊,其实十八岁,十八岁就已经过了生命的终点了。这也就意味着,当我们的生命陷入重复,我们的感知就趋近于对数化,当我们趋近于对数化,我们对时间的感知啊,这种感受就会加速, 这时间感就会逐渐加速,会加速的很快,所以让我们的人生陷入时间感加速,也就是感知对数化的一个很大的原因。就是什么 我们在重复我们的生活,我们在重复我们的体验,也就是我们落入了一个对数的一个循环之中,那么我们如何跳脱出对数的人生? 我们的感知对数化的一个大前提就是我们的生命陷入了重复,所以我们需要了解一下,重复的时候到底发生了什么?这是一张图,它的横轴是情境的熟悉度,竖轴是感知的强度。我们用黑线代表我们对时间啊,这是时间的感知,我们的红线代表我们对信息的这一个密度的感知。 当我们做一件啊,不熟悉的事情时,就是一件新鲜的事情时,也就是我们情境的熟悉度啊,很低的时候,我们对信息的感知是很强烈,也就是他这个新的事物,一个新的事情,对于我们来说,这个信息密度很大,就他有很多未知的量,这个新鲜感特别强, 哎!这时候我们的注意力大多数都集中在对信息的感知上,所以我们对信息的感知强度非常强,我们对时间的感知强度非常弱,几乎就感觉不到时间,就是很沉浸式的那种感觉。 哎!之后随着我们的情境的熟悉度,也就对这个事情上,哎,我们逐渐去熟悉了,慢慢的去熟悉了啊,我们上升了我们对这个事情,这里这个事物的周围环境的一个熟悉的程度, 慢慢我们的信息,哎,信息密度,我们能感知到的就是更更多新鲜的东西,减少了,开始减少,慢慢减少。哎,这时候你发现了什么?我们从这减少了以后,我们大脑的资源不再需要那么多啊,就调动那么多资源来了解,或者是来解读这些信息, 从而多余的一种认知资源。我们大脑中的认知资源转向去了啊,去关注时间, 我们开始关注时间的变化了,我们认为突然感觉啊,我感觉时间好像飞逝啊,我们好像没有做什么事情,这个时间过得非常非常快, 所以,哎,也就是重复我们会导致我们的信息密度,感受到信息密度降低啊,多余的注意力关注到了时间,使得我们感知到时间在飞速的流逝, 所以我们人生的对数化来源于啊,我们对时间的感知,这个更强烈了,对时间的流逝感觉更强烈了。但是我们要注意到一个问题啊,时间,哎,他的自然属性应该是一个高维度的,哎,也就是说什么,也就是我们感知到的时间, 我们不应该能感受到这个时间,因为我们属于在一个三维的时间,对吧?我们是不可能是感知到一个时间的变化,我们是感知不到的,对,我们只能是啊,对一个物体,对一个物体的物理量啊,这个感知强度很深。所以当我们感知到时间的时候, 我们是把时间它本身的一个自然的属性啊,它这个自然属性,我们把这个自然的高维度属性给它降为了我们人为的,降为了我们人为的干扰了这个过程, 所以我们感觉到时间,哎,当我们感觉到时间的时候,我们就感觉到我们的人生的时间发生了一个飞速的一个变化, 因为我们歪曲了时间,我们歪解了时间,我们人为的干预了这个自然的一个进程,从而时间就从它本身的一个自然的属性被我们降为到了一个物质的属性,我们把它当成一个物质一样,把它当成一个工具一样, 所以当我们认为时间是物质,时间是一个我的时间啊,你的时间,当我们这么去称呼时间的时候,时间,哎,我们就被时间所奴役了,也就是所说的啊,我们人被物所役, 对吧?也就是被一些就就可以,你可以理解,就是我的金钱,你的金钱啊,被那个钱所困住了。 所以当我们把时间歪解了,变成物质性的同时,我们的人生就会并入对数化,也会进入一种非常会飞逝的一种程度,所以将时间恢复其自然属性,也就是我们跳出对数的人生的一个答案。这个答案呢,我们可以在我们传统文化中中庸去找, 这个中庸里头有句话叫,故天之生物,必因其财而睹焉,故灾者复之啊。翻译过来就是前两句话就叫,呃,宇宙 支持每一个生物,每一个生命去极致的发挥其独特的材质,这个独特材质啊,我们现在社会对它有一个命名啊,我们喜欢称它为天赋,这个材质就是我们喜欢称它为个天赋, 哎,故,所以呢,哎,你去栽培你的天赋的人啊,这个宇宙,也就是这个大自然,也就是这个世界,它会帮助你去推动它, 哎,他会帮助你,推动他,帮助你跟一个很大的一个助力,哎,但你不按照你的自己的一个路径,一个天赋点去走的话,哎,那就是轻者富之,也就是你会事倍功半,哎,你会走向失败,也就是你会落入对数的人生。 这个天赋点呢?啊,他,其实我们中庸啊,其实他,他描述的就是一个,他是一个天赋的路线, 也就是我们这个天赋路线,他就是对数的,既然我们的天赋路线是对数的,所以我们也就与原来的一个对数级的感受相对静止了,我们相对静止了,我们就感受不到时间,或者说是我们的时间感,哎,就会感觉到很弱很弱, 就我们会持续的持续到就是进入一个心流的状态,一个很享受的状态。呃, 一般按照这条路径走的人啊,啊,就是按照他自己的天赋走的人,我们习惯他叫他就是天才,对吧?我们习惯称他们为天才, 你可以发现啊,这些天才比如说一些物理学家呀,或者是一些运动能力很强的一些人啊,他们所表现出来的一个特性是不同的, 所以之所以他们能达到一个很高的强度啊,他们就是因为走了这条路线,走了一个对数级的路线, 他们也会享受其中。哎,自然他们表现出来的就是层次,就是他也不是层次不齐,就是表现出来的一个模式,一个方式,他们擅长的点各不相同,但是他们都到达了一个众人难以企及的高度, 所以我们也有这条路径,找到这条路径就是跳出对出人生的一个关键点,因为这条路径你的信息是永远不满足的,你永远是在创造事情,而不是就是只是陷在一个生命的重复之中。
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这正如你在年龄小的时候,对一年的时间变化感觉更漫长。当我八岁上小学二年级的时候,这一年足足占据了我人生的八分之一啊!他在感觉上就会留下更长的回忆。 但到三十岁同样增加一年,无非只是又一个忙碌的三十分之一罢了,就感觉转瞬即逝。你越长大,一年在你生命中占的比例越小,你就觉得时间越过越快。 所以我们对世界的感受,感受的其实不是外界变化的绝对值,而是变化的相对比例。按照这个规律,假设你活到八十岁,那你生命的终点当然是四十岁。但假设你四岁开始有记忆,在你的对数感觉里,生命的终点其实是十八岁。 八十岁。回首往事,你会觉得过了十八,人生的一半已经结束了。多么令人感伤啊!


为什么宇宙在疯狂膨胀,而生命却能有序生长?为什么世界的表象是乘法的爆炸,而我们感知的节奏却是加法的从容?这一切的答案,藏在数学最冷静的凝视里。对数, 先看我们身处的空间,细胞分裂,一变二,二变四,复利滚动,财富成几何级数增长。在空间的维度里,每一次变化都是基于当下的累积,所以空间的语言注定是惩罚。 现在把问题倒过来问,细胞从一个增长到十六个需要多久?我们不再计算二乘二,乘二乘二,我们只数一二三四。输入是空间的倍数,输出的是时间的步数,这就是倍数。 无论空间如何狂野,时间从不加速,他的语言永远是加法。这边是宇宙最深刻的对称。指数是世界向外扩张的野心, 对数是世界向内收敛的良知。因为有了对数,我们才能在跨越百亿倍的宇宙尺度里找到自己的位置,才能在震耳欲聋的喧嚣中分辨最细微的声响。我们常为指数级的增长而焦虑,却忘了对数教会我们万事万物的真谛, 所有的质变都源于时间的累加。世界或许是指数的,但读懂它的方式永远是对数。有启发吗?更多精彩内容,留言直播吧!


有没有一种可能,你人生的一半,其实早在十八岁那年就过完了。小时候,我们总觉得暑假很长,怎么疯完都过不完。可长大后,春节的烟火味还没散尽,一眨眼,一年大半的时光就悄悄溜走了。钟表时针没走快,日月更替也没变,唯独我们心里的时间, 像被按了快进键,再也找不回从前的慢。其实,这种落差感不是我们情绪内耗,它背后藏着一个很有意思的心理规律。 韦伯定律。早在十九世纪,德国生理学家韦伯就做过一个简单实验,双手拿重物,左手一斤,右手一斤一两, 我们立马能分出差别。可当手上的重物已经拖着五斤时,多一两几乎毫无察觉得差的更多,才能感知到不同人对世界变化的感知。看的不是绝对数量,而是变化的部分在原有总量里占多大比例。 基数越大,我们越难察觉细微改变,这也是时光飞逝最根本的原因。后来有人把这个逻辑套在时间上,一下子就点透了真相。我们走过的人生,就是不断变大的基数。当下的每一天, 每一年都是新增的碎片,能不能真切感受到时光流逝,全看这段日子在人生里的占比。十岁那年,一年是人生的十分之一, 每一天都新鲜饱满,到了二十岁,占比直接减半。等到四十、八十岁,一年的分量微乎其微,恍然间,又是一年 回到开头的问题。若以四岁为清晰记忆起点,八十岁为平均寿命上限。在对数尺度下,十八岁恰好处于这段人生的正中间,意味着四到十八岁的主观体感长度,几乎等同于十八到八十岁的总和, 或许这就是十八岁成为感知分水岭的原有。十八岁前的时光被感官无限拉长,所有第一次都刻在记忆里。十八岁后的岁月慢慢被压缩,几年光景仿佛弹指一瞬。时间本是无形的,全靠记忆帮我们定格痕迹。 心理学里有个新奇效应,从没经历过的新鲜事,大脑会认真编码,好好储存。而日复一日的重复日常,大脑会自动偷懒,草草略过。小时候,我们满眼都是未知,第一次骑车,第一次心动,第一次见识世间种种 新鲜事物,填满生活记忆,密密麻麻,自然觉得岁月悠长。可成年后,生活慢慢闭环了固定的通行路线,一成不变的工作日常,千篇一律的三餐,空闲时间也只是刷着重复的视频,日子单调又雷同,大脑懒得用心记录。一个月一整年, 最后只剩一句轻飘飘的又过去了。说到底,推着时间加速的就两件事,一是谁都扭不过的规律,二是生活重复 慢慢磨钝了我们的感知。而这一点,我们完全可以自己掌控。我们没法阻止变老,但可以给平淡日常加一点小心意,不用刻意折腾大事, 下班换一条陌生小路,回家换一种方式做饭,周末随便去个陌生街巷逛逛就够了。这些细碎的小改变,能打破大脑的惯性偷懒, 给时光留下清晰的记忆刻痕。我们从没想过逆转时间,只是希望往后的日子,哪怕时光走得真切,值得回味。

为什么我们越来越觉得一天比一天过得快?想必很多人都看过必倒的对数人生,其实道理很简单,我们大多时候都在重复着一模一样的生活, 大脑会自动把这些重复的日常打包压缩一件,归到那些反复经历的事,在记忆里近乎等于没发生。唯有不重复,新鲜的经历 才会让你对时间有真实的感知。不妨试着换一种生活方式,去一个从没去过的地方走走,学一项从没碰过的小技能,认认真真 投入专属于自己的完整一天。别让重复偷走时光,给生活多添一点新鲜的刻度,时间才会真正被你看见。


话说,有一天,狗达尔在翻阅图书馆的旧资料时,发现了一张古老羊皮纸,上面写着一句神秘的话,给我时间、空间和对数,我就能创造一个宇宙。 哎,这个对树是啥意思呢?难道是一种新的树吗?什么树这么厉害,能跟时间、空间一起创造宇宙啊?狗蛋正琢磨着,羊皮纸突然散发出一阵耀眼的白光。按照这狗血的剧情,显然狗蛋又穿越了。 这一次,狗蛋穿越到了十六世纪的苏格兰,遇到了一个年轻的数学家,名字叫做纳皮尔。纳皮尔兴奋地向狗蛋介绍自己的最新研究。 当今的人们都喜欢研究天文学,但如果想要计算星星的轨道,就要做大量的乘法运算,这些人的数学实在是太差了,乘法计算做的又慢,又容易出错晚, 完全是在浪费时间。我想到了一种解救他们的方法,把乘法画成加法。口袋心想,这人神经病吧,乘法画成加法,三乘五变成五个三相加,这不反而更复杂了吗? 纳培尔看出了狗蛋的疑惑,继续说,把乘法画成加法并不是这样替换,而是要利用我发明的一种新运算来转化。 通过这种运算,每个数都可以计算出一个与他对应的数,叫做他的对数。比如你看四的对数就是二,八的对数就是三,下面这行数就分别是上面这行数的对数。 想要计算两个数的成绩,比如说八乘以十六,我们只需要先分别找到这两个数的对数,也就是 三和四,然后再把这两个对数相加,得到七。接下来只需要找到七这个数作为对数时,他所对应的元数也就是一百二十八,那一百二十八就是成绩了。 这也行啊!狗蛋还在对着两行树发呆,旁边的那片已经开始自言自语了。有了这一套方法,那些算不对乘法的笨蛋就可以用加法替代乘法了,而我只用帮他们计算出每个数的对数,制作成一张大表就可以了。 说完,纳撇的身上散发出更耀眼的白光。没错,按照这狗血的剧情,狗蛋又穿越回来了。跟他一起穿越回来的,还有纳撇写下的这两行数。 那片说的话,乘法为加法的运算真的存在吗?这会不会只是巧合呢? 狗蛋仔细琢磨这两组数字,突然发现一个规律,这些元数都可以写成二的密,那顺手转化下形式呗。 画完之后,这就有了一个惊人的发现,这些对数其实就是每个逆行式里的指数,比如说三十二是二的五次方,那他的对数恰好就是五。 原来纳皮尔所谓的球对出运算,就是把密形式化成他的指数啊。那么根据指数运算的法则,同底数名相乘,底数不变,指数相加, 两个密成绩的对数显然就是他们各自对数的和啊!狗蛋恍然大悟,原来这就是化成为家的原理嘛!通过这场迷之穿越,狗蛋亲眼目睹了对数的诞生。那我们就仔细说说这 一个对数到底是啥。首先,对数不是一种新的数,而是一种新的运算。通俗的说就是求指数运算。对于一个逆形式的数做对数运算,得到的结果就是它的指数。比如那片给的这些数,通过对数运算都画成了各自的指数, 既然是一个运算,那他就该有自己的运算符号,对吧?对出的运算符号就是这样的,读作 log。 不过,用对数运算求指数的时候,还有一点小问题。比如说,对于六十四这个数,它既可以看成是二到六次方,又可以看成是八的平方。 那么我们对六十四做对数运算,得到结果应该是六还是得二呢? 正确答案是 b。 按照不同的底数分情况讨论对一个数做对数运算时,我们先要明确选择底数是多少。比如说,如果以二为底数,那么六十四的对数就是六。但如果以八为底数,六十四的对数就是二, 选择的底数不同,计算出来的对数也不同。因此,在写对数运算的式子时,我们把选取的底数写在落个符号的右下角,这就叫做对数的底数。然后把要计算的这个密,也就是六十四写在对数符号旁边。比如这样, 而且呢,给他起了一个新的名字,就叫做真数。在这个式子里,底数是二,真数是六十四,他表示的意思就是,求二的多少次方等于六十四,计算出来结果 也就应该是六。这个式子整体读作 log 以二为抵六十四的对数。当然,这个读法太长太反人类了,所以呢,我们可以简单读为 log 二抵六十四,或者是 log 二六十四。 按照这种书写方法,我们还可以写出以八为底六十四的对数。也就是这样的八写在落到右下角,六十四写在旁边。因为六十四等于八的平方,所以这个结果算出来就等于二。 现在我们已经初步认识了对数,那就来看看对数的标准定义吧。 根据这个定义,当底数是 a, 真数是 n 时, lock a dn 其实就是计算 a 的多少次方等于 n。 来举个具体的例子,比如说唠个二,二分之一这个式子里,底数是二,真数是二分之一。整个式子的意义就是求二的多少次方等于二分之一。 该怎么计算他的值呢?根据定义,只要我们能把二分之一写成以二为底密的形式,那他的指数就是答案。 这就简单了,二分之一等于二的负一次方。所以 love 二,二分之一就等于负一。感谢收看,别忘了点赞、关注、评论!



高中数学里面最滑稽的一个知识,对数,很多同学学了一辈子也没学明白,只要做题永远出错,所以很多同学说他不应该叫对数,应该叫错数。今天我们来讲一讲,到底什么是对数, 长成这个样子,又丑又别扭,来听我分析。我们先看一个例子,二的 x 次方等于八,那么 x 等于三。这很简单, 二的 x 次方等于十六,那么 x 等于四。现在我再换一个,二的 x 次方等于五, x 等于多少, 我们算不出来,但一定会有这么一个数,那怎么办呢?这个时候没办法了,于是我们数学家创造了对数,看好了, 就写成了以二为底,五的对数。我明白了,对数是因为指数运算算不下去而创造的一个东西。 当我们明白了这一切,我们来想一想,这个 x 是 什么?你看二的多少次方是五啊,这一串就代表那个多少。当我们明白了这个道理以后,接下来很多问题迎刃而解。 首先, y 等于 a 的 x 方,这是指数函数,把它变一下形,那 x 就 等于以 a 为底, y 的 对数。这个时候我们注意一下, 你会发现这两个图像呀,它的 y 始终是大于零的,所以这个位置一定要大于零。那这个位置叫什么呢?叫做真数位置,真数一定大于零,而这个 a 和原来的 a 是 一样的。 接下来找几个数感受一下,请看 log, a, a 是 多少? a 的 多少次方是 a。 a 的 一次方, a 的 多少次方是一,那是零。 a 的 多少次方是 a 分 之一,那是负一。 a 的 多少次方是 a 的 n 次方,那是 n, 就 这么简单。还有两个特别常用的,你看以十为底的对数,我们可以简写成是 log x, 以 e 为底的,我们可以简写成 log x, 这样你就知道什么叫对数了。


下面的这个例子将会告诉我们对数的现实意义就是主观选择的代价。假设现在有个袋子装着 n 件食物,小明每隔 t 时间从袋子里随机拿一件食物吃 m 件食物后可以吃饱。 第一种情况,如果小明不挑食,拿到什么吃什么,那吃饱所用的时间自然是 m 乘 t。 第二种情况,如果小明挑食,拿到不喜欢的就放回去,等 t 时间后重新选择,这时候多长时间小明才能够吃饱呢? 我们高中都学习过离散随机变量的分布列,假设小明 d k 次拿到心仪食物所需的时间为 ck, 我们可以计算 ck 的变化量,也就是每一件心仪食物等待时长的分布列如下所示。 进而呢,我们可以计算这个等待时长的期望值,而小明吃饱所用的时间期望就是所有这些等待时长的期望的总和,这个总和的范围位于这样一个对数型区间当中。实际上,稀疏事件中的主动选择一定会带来对数倍数的时间代价,这对于我们组织生产生活是非常有用的一个指导原理。