西城数学二模8题怎么做
这条视频给大家分享北京西城的按摩，然后刚刚下课呢，就赶紧要给大家来分享，因为今天的课程也是上到现在，那我们就先分享啊，这条视频，就先分享这个选择压轴和带棕，那么下条视频呢，我给大家分享一个专门的几棕，就是原棕再加这个几何综合啊，就二十七题。 那么我们首先来看这个第八题，我看了一下就是，呃，大家可能很少有老师去分享这个选择压轴，那么我就作为这个先例，给大家分享一下这个题目的一个做题方法，希望能够让大家在整个考试当中啊，第一能够快速的选出答案，第二能够去积累一下这个题目的一个做题方法。那首先我们来看这个题目啊， 这个题我就不读了，它是一个正六边形，它第一个问题问我们的是线段 o b o m 的 最大值是二，那这个题目我们来画画图，比如说在这， 在这你会发现在这的时候是不是 b 要在这的时候要大？好，那么继续往这走，是不是又开始变，又开始从这开始变小，然后到垂直的时候最小，再开始变大，是吧？到 a 的 时候最大，但他不可能到 a 最最大的就是什么？就是在点 b 的 时候就是二，所以你在考场之上判断出第一个之后，第二个一定错，你答案就已经锁定在百分之五十了，就是 a 和 b 一定有一个是对的。那么再看第三个，第四个，一般来讲出题的顺序是我们的 这个，呃，第三个都会比较简单，就是第一个最简单，第二个，第三个，然后第四个是这样的，那么第三个我们只需要判断一个点，它是一个不等式，所以我们只需要判断一个点就行了。什么呢？就是 k 一定不能等于零，那么我们就判断一下 k 能不能等于根号三，如果说 k 等于根号三，那么第三个错，第四个就对了，在考场上就能快速去做，那么我们来看一下能不能等，当然可以在这的时候， 是吧？我们能知道啊，他在这的时候就是等于根号三，没错吧？ m 在 点 b 的 时候是不是点 b， 坐标是不是一斗根三，所以 k 的 话是不是有一乘根三， 所以说这个是对的，所以根三是可取的，而并不是说不能取，所以你这个就一定错，答案就直接选择 b 选项，在考场上就直接走了啊，就这么做的，能理解吧。那么现在我们怎么去判断这个题目呢？我来给大家再做一个这个详细的分享，我希望大家能够去啊，真的去把知识点掌握的更清楚。好吧，那你看第二个， 第二个你怎么做呢？你看，我们知道的是，假如是这样的，他说做垂直，对吧？做垂直的话，我们就做垂直，那只能是这样的， ok， 好， 只能是这样子做垂直，对吧？呃，这是 m， 然后这是 m 片，因为你 ab 和 d e 是 平行的，所以说你，你这是垂直，那自然这也是垂直，没问题吧？那么你就知道了，这一定是垂直， 能理解吧。同学可能会说，老师，这个为什么是垂直？你看啊，这个是垂直，然后这个是六十度至三十度，没错吧？然后呢，我们还能知道的是，这是一，这是根三，所以这是三十度吧， 所以这就是九十度，能理解吧？就这么做的，所以这个面积就自然就出来了多少？呃，你知道的是，这是二，对吧？这是根三，所以整个就二倍根三至二，二倍根三乘以二，所以面积是根号三，就是当垂直的时候，这个面积是根号二，那个二二倍根三，对吧？ 面当垂直的时候，面积是二倍根三。那么，呃，如果不是垂直，我随便找一个点，比如说我在这，我找的最特殊，当然 m 不 可能在这，如果 m 在 这，那么我们就知道了，这是 m， 这是 m 撇，是吧？那么所以它的面积是多少， 我们就知道了。应该是，这是根三啊，不是，这是，呃，这是一，这是二倍根三，所以这个三角形面积多少？这三角面积就是根号三，所以他虽然不可能在这，但是你往这就是无限接近于这个， 让它的外值等于零，是不是它基本上是接近于根号三，或者比根号三那个就是相差不大的，对吧？所以这个垂直的时候并不是最小值，因为还有根号三的，所以这一定是错的，能理解吧？好，那么再看第四个，第四个怎么去判断呢？同学们， 很简单，我们直接来看，他说了 o m 等于 o n， 那 么只能是干什么？只能是让它在这里， 并且 n 在 上， m 在 下，对吧？然后你就知道了，如果 o m 等于 o n 好做，垂直一定是在这个垂直，这个，这个 o g 的 左右两侧，这个没有问题吧？所以我们就知道的是什么？就是这两个三角形一定是全等的，一定是全等的，所以你就知道这点是 ab 的 中点中点坐标公式， 那么点 a 是 二斗零，点 b 是 一斗根三，所以这个点 g 的 横坐标是不是点 n 的 横坐标加点 m 横坐标是不是就是三？没错吧，所以说这个也是对的啊， 好，这就是这道题，我就已经给大家详细讲完了啊，这是这个选择压轴啊，在考场上怎么做，在现在啊，你做完之后怎么去做，我都给你讲清楚了，我希望的是你能够真正的把这个题目在考场上的方法，以及包括考完之后的方法都能够掌握住，这样的话你能够在考场上做的更快一些。 那么接下来我们来看一下这个带宗啊，这个题目呢，我就给大家把这个呃，这个带宗也给大家讲一下。首先第一问没有任何问题，我跟大家说在做第一问的时候呢，应该是把这个直接都写完，什么呢？就是他有两个点，一个是点 a 是 多少，是 负一斗零，那点 b 的 话，在他的这个右边就是三 a 斗零，因为 a 大 于零，所以就就是这个点 b， 对 不对？那么你这样做的话，那第一问你就知道了， a 这个点 b 坐标是三斗零，所以 ab 就 应该是四。 第一问呢，一定是我们一个快速去得分的题目啊。那么第二问，呃，他说的是交抛物线于点 m， 那 我就知道了，可以把这个点的这个呃这个 m 点去写出来，对吧？ m 点多少是 t 到，这个是，呃， 直接写吧，就是 t 方加上一减三 a 乘以 t 再减三 a， 是 这样吧，我就不化简了，因为，呃，这样的话更快捷。那么你要求点 n 是 不是得求出 b 左边那点 d 呢？是不是零到负三 a？ 好，那么 b d 是 不是就可以求出解析式， y 等于 x 减三 a， 对 吧？那么你就知道点 n 坐标了，点 n 坐标是 t 到 t 减三 a， ok， 那 么这个时候你是不是就可以表示出来这个谁呢？这个 m n 的 距离应该是等于什么？最终化简完之后是 t 方减去三 a t， ok， 好 了，那接下来我们就是流水线的一个呃，操作是令它等于零，所以是 t 一 等于零， t 二等于三 a， ok， 那 这个图是不是就可以画出来了？ 是这样吧，好，这是零，这是三 a， 也就是说点 b 在 三 a 这儿，对吧？这点 b， 然后 呢，这对称轴是多少？二分之三 a， 好 了，那么我们再来看，它说 b e 的 长度逐渐增大，它从二开始，那这个它的长度要增大，但是这个 m n 的 距离要随它长度的增大，先变小再变大，是不是出的非常有意思？你不能挑出任何的毛病啊，你不能说跟你原来做的没关系，但是又不太一样， 对吧？所以我觉得他出的还是可以的。这道题非常不错，那么我们就知道了。那，呃，点这个二有没有可能在这？ 有没有可能在这二一定在零的右侧吧。那有没有可能在这？有可能吗？我们来看一看，如果是这样的话，他应该从哪运动？ 它应该是 b e 的 长度，你要知道永远都变大，所以它只能往左运动，对吧？那往左运动是不是 m n 先变小再变大？没毛病，是吧？所以就知道了，应该是二分之三 a 是 大于二的，能不能等于二？能，为啥？因为你等于二的时候，你这还没动呢，你 e 在 这，对吧？你还没动呢，你但凡 e 开始动，你只能往左动，因为它有增大嘛，所以只能往左动， 所以说就是符合 t e 的， 所以 a 是 大于等于三分之四的。那么你再看 a 那 个二有没有可能在这？ 二有没有可能在这？不可能。为什么？如果在这的话，它是先干嘛？先增大就是 m n 的 值，先增大再变小，那有没有可能在这？ 不可能。为什么？如果它在这的话，是不是？呃，虽然它在增大啊？虽然它在增大，你会发现这个 m n 只有增大，没有减小，所以这道题就只有这一个结果，是不是非常非常的这个简单，但是又一定会难倒一波人，所以说这道题咱们一定要认真总结。
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08:33查看AI文稿AI文稿跟着辅导走数学不用愁。今天我们来讲一下二零二六年北京西城高三二模数学题的第十五题。这个题考察的是关于填空压轴题，我们来看一下题干。在物理实验当中，相互垂直的两个简斜振动的频率比为简单整数比， 然后有这样的一条曲线， x 方，再加四倍的 y 的 四次方，再减去四倍的 y 的 平方等于零。第一问点 p x， y 是 曲线 c 上的一点， x 的 角值小于一， y 的 角值也小于一， ok， 圈一看怎么正通过这个式子， 也就是意味着 x 的 平方应该等于，这是四外方，再减去四 y 的 四次方， ok， 右边我提一个四外方出来，一减去 y 的 平方是它。 那很显然，咱们知道 x 方是大于等于零的，意味着右边这是四外方，再乘以一减，外方也是大于等于零的。那是不是意味着一减外方 大于零，那对应的 y 方小于等于一，那 y 的 绝对值小于等于一， ok， 它没毛病。再看 x 呢？ 它 x 的 平方，这是均均值不等式，它是不是应该是小于等于？这是四，乘以二分之 外方，再加上一再减去外方就是不等式？约掉约掉，这是不应该是？嗯，扩前方 等于一，所以 x 的 平方是不是也是小于等于一的？那这样的话， x 的 绝对值不是小于一吗？所以这样的话，圈一是对的。 再看一下圈，他说 c 上两个点的距离的最大值是根号六，再复制一份， 那我就设它上面的点坐标是点 p x， y 设这个距离为 d， 那 地方是不是应该等于 x 方，再加 y 方，对吧？好，然后再继续。那刚才咱们求出来， x 方等于谁呢？ x 方等于这个式子， 把它再到这里边来，然后再加上 y 方，这不是关于 y 方的一元二次吗？所以这就是 y 方在乘以括号里边的五减去 四外方，这是它，它应该是小于等于十六分之二十五的， ok 吧？这个其实也是可以用咱们的这个均等式去处理，它小于等于十六分之二十五，那这样的话， d 的 最大值 是不应该是根号下？它应该是二分之五啊？他说最大值是根号六，不等于根号六吧，所以这样画圈二是不对的。 再来看一下 x 三，再复制一份啊， 它是曲线 c 所围成的区域的面积是小于三的，很显然，这个曲线它应该是关于 x 的 对称，关于 y 的 对称。那 ok， 我 可以怎么办？我只研究第一项线的部分，然后面积再乘以四，是不就 ok 了？ ok， 好， 那这样的话我们来具体处理一下。刚才咱们知道只研究第一项线 第一象限的时候，刚才咱们可以写出来， x 方应该是等于 四外方在乘以括号里边一减外方，那 x 两边分别开根号， x 是 不应该等于二外，再乘以根号下一减外方，对吧？好， ok， 那 我们就把 y 分 别讨论一下。嗯，第一种情况， 当 y 是 大于等于零，小于等于二分之一的时候， 那是不是意味着一减 y 方，所以它指定是小于等于一的， 那根号下它也是小一的，那二 y 乘以它是不是应该小于等于二 y 左边谁谁呢？ x 吧。所以 x 小 于等于二 y， 也就意味着 y 应该大于等于二分之一 x， ok， 来画图，嗯， 这是 y 等于二分之一 x， 对 吧？它应该在它上方，那在它上方的话，对应的 零到二分之一的时候， 那它类似这样的一个图， ok 吧？那这样的话，它的面积 s 一 是不是应该小于等于二分之一？ 这一零二分之一乘以一，再乘以二分之一等于四分之一。 s 一 是小于等于四分之一的。好，再看，当 y 如果是大于等于二分之一小于一的时候， 它是不是应该是在这个句型 的内部？那这样的话，它的 s 二是应该是小于二分之一，再乘以一等于二分之一。 那这样的话，在第一项线的面积是不应该是小于四分之一，再加二分之一等于四分之三。然后呢？总的面积呢？ s 总 是不是应该小于四乘以四分之三，它是小于三的，对吧？所以这样的话，圈三应该是正确的。好，接下来看一下圈四，再负一份 圈四，这个就简单很多了。圈四他说过圆点直线是不是 y 等于 k x 啊？ 然后刚才咱们找到这个 x 方应该是等于四外方在乘以括号里边呢，这是一减去外方。 ok， 咱们把它带到里边去， 这变成 x 的 平方等于四括号里边的 k x 的 方，再乘以一减去 k x 扩减方，对吧？然后都有 x 方全部移到左边来， x 方后边应该是四 k 方， 四 k 应该是四次方。嗯，四 k 四次方， x 方再减去四 k 方， 再加一等于零。好，那这样的话，再继续就看它有几个解呗。这东西是不是至多有两个解？ 那至多有两个解的话，那意味着什么东西啊？意味着该直线和这个曲线 c 至多有几个交点啊？是不是还有零到零呢？所以应该是最多有 三个公共点，所以这样的话圈三。嗯，圈四是对的，所以综合答案的应该是一三四。这样的话这题就解了，一定要通过先看门至好。这是第十五题的讲解。
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23北京数学陈老师
09:07查看AI文稿AI文稿通州启东如东的奥摩的适应性考试呢，就已经考完了，那我们来看一下这个数学的卷子，一到九题呢，咱们就不多讲了，还是比较简单的题。 第十题呢，有些同学拿到这个就不会做了，那还有一些同学他的基础是比较扎实的，然后平时课堂上也比较认真的，那这个题呢，应该是没什么问题的啊，我们来看一下这个题。首先这个 a b m 等于九十度，还告诉我们的是，关键的两个信息是 a p 和 b c 是 二比一的关系点， d 呢，又是 p q 的 中点啊，出现了中点，有比例二比一，而且呢它们两个是平行的，那你首先想到的是什么？相似，那么我们这个里面，哎，可以给它干嘛？连接 a p 给它延长出去，把这个 a b 也延长出去，它们相交于点 h， 那 么这个里面 b c 比上一个 a p 是 一比二，那这个时候 b 点，也就是点 b 是 a h 的 中点点 c 呢，是 p h 的 终点，哎，出现终点，看到终点，那我们就会想到，哎，出现终点的知识点，我们初中学的，一个是背长中线，第二个是我们的直角三角形斜边上的中线，第三个就是我们的中位线。有多个终点的时候，我们也会想到中位线，那很显然 c 点是 p h 的 终点， d 点 点 d 呢是 p q 的 终点，那这两个结合起来，我们把这个 h q 给它连接起来，我们就发现 c d 是 三角形 p h q 的 中位线，那这个理时候，我们把 c d 就 转化成两倍的 c d 就 等于 h q 就 等于二 y 啊，所以 h q 就是 二 y， a q 的 话是 x， 那 又因为这个 b 呢？点 b a h 的 中点， b q 呢？又是垂直于 a h， 那 咱们很容易得到。 哎，这个垂直平分线了啊， a q 就 等于 h q， 所以 x 应该是等于二 y 的 啊。那么这个里面，我们再把这个等量的关系带到 a b、 c、 d 里，我们横线就可以得到 dog 啊，得到 dog。 那 有些同学说，老师我有的时候看到第十题我好紧张，然后这么复杂，我想不到这些知识点， 该怎么办呢？那么这个里面老师再教你一个方法啊，叫做特殊指法，结合我们间隙里面去做啊，特殊指法，因为它这个代数的值不变的，那我们分别把 x 和 y 分 别给它算出来，用特殊的点给它算出来就可以了。那我们讲一下第二种方法。好，我们先给它建一个系，先给它建一个系， 假设我们 a 点是零二，那么这个 c 点是一零，因为 b c 和 a p 是 一比二的，所以 p 点是 二二啊。用 q 点的话，因为是 b q 是 大于 a p 的， 所以这个 q 点的话要呃大一些。假如说是四零啊，都可以的，任意的二 d 点是它的终点，那么我们两点的 中点公式就可以得到，它是三一，那这个时候 a q 是 就等于 x 的， 它就等于根号下四的平方，加二的平方等于根号二十， cd 等于 y， 就 等于根号下三减一，括号平方，加一的平方等于根号五， 这是它在第一个的位置，那我们再找第二的位置。假如说啊，我们看一下这里的动点， a 点是定的， c， q， d p 都是动的，那这里很简单，通过等量关系，我们看到 p 点就是四二好，那 q 点也是动的，假如说它现在是八零，随便举个例子啊，现在 d 点是多少了？六一，好，来这里再看我们的 a、 q、 x 是 多少呢？根号下八的平方再加上一个二的平方，根号下八的平方加二的平方等于根号六十八， cd 等于 y 等于根号下 六减二括号平方再加上一个一的平方，就等于根号十七。那我们再把这两组数据分别代入到 a、 b、 c、 d， 我 看一下这每组数据有没有变化，那这个很显然是应该是 d 是 不变的，我们验证一下 d， 第一组情况下， 它这里面 x 平方加 y 平方比上一个 x， y 就 等于根号二十，括号平方加根号五，括号平方比上根号二十乘以根号五，我们就可以得到二分之五。好，第二组我们带进去，它会得到根号下六十八，括号平方加根号十七，括号平方比上根号六十八乘以根号十七，也是等于 二分之五。所以这里面还是选多个啊，两种方法，当你没有思路的时候，这个特殊执法呢，是我们选择题特有的一种方法，我可以通过最快的方法，在没有思路情况下，我可以通过特殊组，用 最快最快的方法结束正确的答案。我们再往下看，我们填空题里面其实没有多少的难度来看十五题里面啊，它是旋转过去，而且这两个三角形肯定是全等的，那也是一眼就可以看出它是一线三直角的一个模型， 对吧？我们再用其他的结合其他的一些相似的一些方法，就可以把这个第十五题给它做出来了，第十六题的话，它考的一个是 k 的 几何意义，第二个是求 c、 b 和 c、 e 之间的比值，那比值的话肯定是通过相似嘛，我们的十六题 图当中没有现成的相似图形，那这个里面我们往下做两个垂直就有相似了啊啊，所以这个里面我们就不多讲了，那接下来看一下大题目是 二十四题，其实也不是非常的难啊，你只要在平时课上认真听的这种题对你来说应该也都是没有什么难度的啊，我们来看一下第七，呃，我们来看一下它们的给的已知条件。首先角 c 是 九十度， d、 e 呢是垂直于 b、 d 的。 然后还有一个是这个三角形，它翻折过来，翻折过来呢，这两个三角形就是全等的，全等的话，它对应的角和对应的边都是相等的。我们来看一下第一问，它要求的是必定是平分角 c、 d、 f， 那 就是角之间的关系，那它翻折我们就会得到角之间的关系是什么？ 这个角一跟角二是相等的，角一等于角二，那又因为这个角二加角三它等于九十度，角一跟角四相加也等于九十度， 所以我们可以通过等角的余角是相等的，所以角三等于角四，那么我们就可以得到 d、 b 平分角 c、 d、 f。 第一问就结束了，第二问，我们要求证的是 b、 d、 c 三角形 b、 d、 c 和三角形 b、 d、 e 相似，那我们拿到题目之前，我们先看相似的话，现有的已知条件是什么？很显然，这里现有的已知条件是角 c 和角 e、 d、 b 是 等于九十度的，也就是说这两个三角形已经有一个角相等了， 那我们可以不可以通过再去找一个三角相等，可以通过 a、 a 来证它们两个三角形相似呢？而且它还给你另外一个条件是什么？ e、 f 平行于 b、 c， 这两个直线平行的话，我们很显然可以得到 e、 f、 b 和角 c， b、 f 相加是一百八，因为找同旁内角互补， 那你会发现，在往下思考的过程当中，单单用这两个三，两个角同旁内角互补，你是不是证不出另外一个三角形的另外一个角相等？所以你果断地放弃 这个 a 级条件是不好思考的，那么那么我们就打住，我们再思考其他的，那么现存的没有，我肯定是要添辅助线。我把 e、 f 延长出去，交了一个 a、 c 与 d h， 那 我会发现， 因为 h、 f 是 平行于 b、 c 的， 所以角 a、 h、 f 就 等于角 c 等于九十度，就是这个九十度，因为你延长出去以后，跟翻折的又有关系了，对不对？那翻折里面的话，首先 a、 e 跟 e、 f 是 相等的，角 a 跟角 e、 f、 d 是 相等的，再加上一个对顶角 a、 e 等于 e、 f， 角 a 等于角 e、 f、 d， 再加上一个对角，那么我们这两个三角形是全等的，是不是？那我们就会得到角 e、 q、 f 等于角 a、 h、 e 等于九十度。哎，这个角等于九十度，我就会得到什么呀？角二加角五也等于九十度， 那我们角二加角三也等于九十度呀。这里面我们又用到同角的一角相，角三等于角五，那第一问里面，我们可以得到角三等于角四，等量代换一下，角四等于角五， 所以这两个要求的三角形相似的。两个三角形里面，两个角是不是相等了？两个角相等以后就可以整出它们相似了，所以第二问里面也不是特别的广。第三问里面告诉我们的 a、 c 等于八， b、 c 等于六，还告诉我们 b、 d、 f 是 一个等腰三角形， 看到只告诉你一个三角形是一个等腰三角形，脑子里面又打打个零了是不是？那它这个里面哪个是顶点呢？所以这里面是不是出现分类讨论了？第一种情况，以 b 为顶点，所以 b、 d 是 不是等于 b、 f。 第二种情况，以 d 为顶点 d， b 等于 d f。 第三种情况是 f 为顶点 f、 b 等于 f d。 好，现在要求的是 c、 d， 我 们求什么射什么 c、 d 等于 a， 那 么 a、 d 就 等于八减 a， 因为是翻折过来的 a、 d， 它是等于 d、 f 的， 所以 d、 f 也等于八减 a。 我 们在第二问的时候已经正到角 d、 q、 e 是 九十度角， c 也是九十度。还有第一问 d、 b 是 角平分线，我们很显然 得到三角形 b、 c、 d 和三角形 b、 q、 d 是 全等的，那么这个里面我会推出 c、 d 等于 d q， d、 q 也是等于 a 的， 那我们还可以得出 f、 q 就 等于八减二 a 还有一个两个三角形全等 b、 c 是 等于 b、 q 的， 等于六。 好，那我们在三角形 r、 t 三角形 b、 c、 d 当中，我们就会用勾股定律会得出 b、 d 就 等于根号下六的平方加 a 的 平方。 同样的，在 r、 t 三角形 b、 f、 q 当中， b、 f 就 等于根号下六的平方加八减二 a 括号平方。把三个边都求出来以后，那我们来看一下这个里面三种情况是不是都可以求啦？那我们来只分析第一种， 第二第三种自己去做来。 b、 d 等于 b、 f， 我 就可以得到六平方加 a 平方 k 根号等于根号，下六平方加八减二 a 括号平方，再进行计算就可以得出 c、 d 是 多少了。记得点赞关注我哦！
152数理cp小课堂
04:17查看AI文稿AI文稿我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！
107北京张老师（数学）
01:57查看AI文稿AI文稿西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。
193绝对值老师
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.7万亮亮巧解数学
06:36查看AI文稿AI文稿c 乘二模的代数综合，从难度上来看呢，并不大，只需要分析参数与二之间的一个相对位置关系，这道题呢就解决掉了，是一个非常常规的增减型问题。 各位家长同学大家好，我们一起来看一下二零二六年 c 乘二模的代数综合啊。读到解析式，我们要有一个意识，这个以解析式呢，可以进行因式分解，进而我们可以得到点 a 是 负一斗零，点 b 是 三一斗零，这个呢比较基础，大家呢稍微注意一下 呃，然后告诉我们说与 y 轴交于点 d， 那 点 d 的 坐标呢，咱们也可以把它给求出来，零到五负三 a。 第一个告诉我们，当 a 等于一的时候，直接带入到这两个点，然后我们会发现 ab 等于四，这个对大家来说呢，是非常简单的，咱们在这里呢就不做过多的赘述了。 第二个我们来读一下这道题，看一看有哪些量是需要我们稍微注意的啊。他告诉我们过点 e 做 x 轴，垂线交抛物线于点 m， 所以 对于大家来说，这个 m 点的坐标应该是轻轻松松，老生常谈的问题， 直线 b、 d 与点 n， 我 们会发现呢，你读完题目之后并不知道 b、 d 的 解析式，但是在前期咱们已经解决掉了，点 b 的 坐标是三 a 斗零，点 d 的 坐标是零斗负三 a， 所以 b、 d 的 解析式应该是 x 减去三 a， 这样的话呢，点 n 的 坐标咱们也就出来了。 好，我们接下来呢，可以感受到，他在里面说的是 m 点与 n 点之间的距离，随着 b、 e 的 怎么着怎么着怎么着，对吧？所以我们要解决的是什么？ m n 的 这个长度问题，那这也是我们非常经典的，也是现在大家一直在练的问题，我们把这个式子呢放在一块加个绝对值，对吧？最后呢我们就能得到 m n 呢，它应该是 绝对值位，绝对值里的 t 方减去三 a t， 这一点呢，大家稍微注意一下啊。好，那接下来我们看一下，有哪一个点会让大家产生疑问呢？就是在这点， e 从二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 沿 x 轴的某个方向，就相当于我们要进一步的去进行分类讨论，可以向左运动，可以向右运动，他只要满足其中之一就好了， 这个和西城一模的存在性问题啊，还是蛮像的啊，对吧？从二斗零，那么最大的问题是什么？就是这个二斗零，他到底在哪？对于很多学生来说是不清楚的，所以这道题的关键点就是解决二斗零，你只要把二斗零分析清楚了，那这道题咱们就解决了， 他说的是什么呢？嗯， m n 随着 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 绝对范围。好，那我们现在呢把这个 新函数图像呢也画出来了，画了三个图，点了三个位置，大家来看一下啊，因为点 e 呢是二到零，他一定在零的右侧，那零的右侧，我们关于终结性呢，会有三个位置， 第一个位置呢是这一段，第二个位置呢是这一段，第三个位置呢是这一段，那我们就把这个 e 放在这三个位置逐个分析就可以了。 在这里大家还需要注意一个地方啊，就是 e 呢，他是从 b， 他 是从这个二度零出发的，我们就假设一点，一出使的位置就是二度零，然后呢，让 e 去运动就好了，对吧？所以你看啊，如果点 e 在 三 a 的 右侧，他的出使， 那这个时候 e 从二度零向右运动，各位，你会发现他的图像是不是呃， m n 一 直随着这个 b e 长度的增大而增大？哎，有人说，老师， b 在 哪呢？哎，注意了啊， b 在 这，对吧？注意了， b 在 这，那你会发现，当 e 向这个方向运动的时候， m n 会随着他的增大而增大，对吧？ b e 在 增大， m n 呢，是不是也在增大的？所以他往这个方向运动绝对不行。 好，那我们现在来思考一下，当你在呃 b 的 外侧时，如果你向内部运动的话，当我们这个 e 往这个运动的话，你会发现这个 b e， 他 说的是 b 长度的增大，你会发现此时 b e 的 长度是不是先变小了，那说明这个时候他也不满足题目要求。第一种情况，直接 pass ok 吧。第二个情况，我们来看一下，来明确一下，点 b 是 三 a， 对 吧？点 b 是 三 a， 我 们来看看这第二种情况行不行。 点 e 在 这，那如果说点 e 往这个方向运动的话，哎，你会发现他俩之间的一个距离是不是在在这个地方，是不是在变小？所以说点 e 往这个方向运动是不是不行的？那如果点 e 往这个方向运动的话，好，点 e 如果往这个方向运动，那我们会发现 b e 的 长度确实在变大， 他满足第一个 b e 的 长度呢在变大，嗯， b e 的 长度呢在变大，感受一下 b e 的 长度在变大，但是我们会发现，此时 m n 呢，在这个从这个地方运动的时候，一开始这个地方也在变大，后来呢，在变小，他就是先变大 后变小，而我们题目中说的是先变小后变大，所以他不论是向右这个方向不行，向左这个方向他也不行，所以他不论是向右这个方向他也不行。所以第二种情况咱们也 pass 掉了，我们来看一下第三个， 第三个注意了，点 e 在 哪呢？点 e 在 这个位置，那这个时候我们已经知道了啊，他向左运动这个方向一定是不行的，因为他向左运动 b， e 在 减小，对吧？如果你向左运动的话，这个 b 的 长度是这样，哎，一开始这么长，然后来这么长，然后后来这么长，哎呀，后来这么 后来这么长啊，再后来这么再后来这么长，对吧？这个 b 在 变小，那他肯定不行，那我们就只能干嘛呢？我们就只能向右运动，感受一下。向右运动之后呢，我们会发现，哎，这个时候 b 是 不是在变大？你看 b 一 再往这， 再往这，再往这再变大，那一开始的时候我们会发现他是在变小的，后来呢？是不是在变大的？哎，先变小后变大，对吧？他是满足咱们的题目要求的， 所以在这里呢，我们会发现点 e 呀，他只要符合这样的一个要求就行了，就是 e 点在对称轴的左边，那也就是二分之三 a， 他 要大于我们所说的二 啊，二分之三 a 要大于我们所说的二，他说的是从点 e 啊，从这个地方开始运动，向左能不能去等呢？哎，我们会发现，此时呢，他也是可以去等号的， 对吧？那最后呢，我们就算出来 a 呢，应该是大于等于三分之四，那这样的话呢，这道题就结束了，所以说七乘二摩的代数综合呀，是非常简单的啊，也希望这个视频呢可以帮助大家更好的理解我们在后续做题的时候，一定要注意参 与数之间的分类讨论啊，这个东西才是我们代宗的最核心的内容，所以说这道题虽然不是很难，但是非常的好。
118程木其
21:55查看AI文稿AI文稿题目读也读不懂，算也算不出啊，这是很多同学在昨天考完西城区出现二模之后对于填空压轴题的一个最直观的反馈。 当然我们今天呢也给大家呢来深度的拆解一下这道题目啊。这道题目确实啊有几个难点，首先第一个就是读题上面呢这个信息量太多了啊，有点迷惑人，看一下啊， 他说啊，某商店共有 a 种不同型号的口罩，每种型号的口罩呢都有红白蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格五十，白色的 m， 蓝色的呢 n 哎，这里面已经出现了三个变量了啊。 第一有 a 种不同型号的口罩。哎呀，其实大家理解这个什么叫 a 种不同型号的口罩啊，你就可以理解 a 种不同品牌嘛是吧啊有有什么这种品牌那种品牌啊，我们总共有 a 种不同的品牌，你要理解型号很麻烦的话啊 啊，但是呢呃，这个每一个颜色的价格呢是一样的啊，白色的是五十块啊，然后呃，那个红色的五十块，白色的呢 m 蓝色的呢 n 好， 并且呢 m 跟 n 呢是变量满足哎，六十六到七十四之间 m n m n 都是整数啊， 都是整数。那好，他说甲乙丙三家公司呢各买一包每种型号的口罩，你就想把每个品牌全都买一遍啊， 每个品牌都要买一包，并且对于每种型号的口罩三家公司选择的颜色各不相同啊，你这个甲买了白色，那么一根丙就一个要分红色跟蓝色对吧？好，结账的时候呢，总共花了一千二和一千四 好，第一个呢，我想呢还是相对来说比较容易处理一些啊，但在这里面呢，大家读完了之后，你会发现，从这个提干给我们的信息的角度上来讲，有几个部分的信息啊， 啊，有四个部分信息，第一有 a 种不同型号的口罩， a 是 多少不知道。第二，每种型号不同颜色的单价是多少，我们也不清楚，对吧？呃，然后呢，这个 m 跟 n 具体是多少，那么这两个变量不清楚 好。第三就是我们只知道他们最终结算所花的总的价格，实际上也并不清楚哪一家买了多少种颜色的，什么这种口罩，那种口罩都不清楚，所以呢，大家读完了之后呢，就一个字啊，就一个感觉乱啊，就是信息太多了，搞不清楚在哪里。 好，我们想一下啊，如果你把型号理解成品牌的话呢，就是从第一种品牌总共有 a 种品牌， 它们呢分成了这个红色的，白色的，蓝色的，总共三种，并且每种的单价五十 m n， 对 吧？好，那么大体上呢，我们可以简单的列一个小小的表格，辅助我们来理解一下啊，辅助我们来理解一下，好，并且每一种型号呢，每个人每家对应的颜色呢，可能呢是不一样的， 所以呢，我在这呢提前跟大家说一下，就是如果同学们觉得说老师我对于这种信息量非常大的问题呢，我处理起来我感觉非常的困难，那么咱们呢， 可以简单的呢，画一个表格，辅助同学们来理解啊，我们画一个表格，方便大家来理解啊，大家感受一下啊。 好，那么在这里面呢，就是第一种型号的，第二种型号的，一直到第 a 种型号的。好，那么并且呢，呃，每一种型号呢，都具有红呃， 白和蓝三种不同的颜色。好，我们假定这个呢就是红色的啊， 然后呢，这个就是白色的，然后呢，这个呢就是蓝色的，并且每一种单价是不一样的啊，红色的五十，白色的 m， 对 吧？红色的是五十啊，白色的是 m， 蓝色的呢是 n。 好， 大概呢就是这样的一张表格，可以辅助我们去理解，但当然 最终剪辑的时候不一定要用的到它，但是我们自己呢要清楚啊。好，现在呢，呃，我们并不清。呃，然后呢三家公司呢？就对于同一种型号颜色各不相同， 比如说啊，我们就对于甲，呃，甲而言，假如说甲在一号一第一种型号的口罩当中他选择了红色，那么乙跟丙啊，就不可能选红色，对吧？假如说这是假的，但是你也可以画出乙和丙的啊，无所谓啊， 那么也就是说在这里面呢，我们也可以通过勾啊圈啊来表示，但大家也知道，我这么每举呢，主要是为了方便同学们理解，并不是只是为了解题啊。好，那么接下来我们来看一下具体的问题啊。第一个问题， 他说如果 m 等于六十九， n 等于七十一，这个我们太清楚了，对吧？啊，对于第一种型号的口罩，肯定有一个人买嘛，有一家公司买嘛，谁买无所谓啊，那么他问 a 等于多少 啊，就是总共有多少种不同型号的口罩，那我们知道每一种型号的口罩总共被买了几次啊？三次，因为它有三种颜色嘛， 对吧？第一种型号的口罩其实被买了三次，因为就是甲乙丙，那可能各有一个啊，各有一种对不对？比如说甲买了它，那乙买它，丙就买它好，所以你会发现在这个表格当中就是甲乙丙随便排啊，随便排 好。那么因此我们对于第一个问题呢，就很简单了，我们知道每一种型号的口罩的总价就是 这么多，是吧？那么每个都被买了三次啊，就是总价就是这么多。然后呢，有 a 种啊，那么最终要等于多少呢？因为他们总共花费是一千二乘以二，再加上一千四好，所以这个呢，算一下啊，这个很好算，是吧？ a 呢，应该等于二十 好。第一个空呢，我相信呢，大家呢都没什么问题。第二个空啊，同学们也知道，其实这东西是干嘛呢？其实这个东西呢，你可以理解成啊，就是一个不定方程，为什么？大家感受一下，他说现在啊，丙购买的口罩包含有三种颜色， 那丙购买的口罩包含三种颜色，就是红、白、蓝，他反正他都买了，那么他说丙用于购买白色跟蓝色口罩，最多一共花多少钱？咱就说如果你在考场上，当然大概率啊，同学们在考场上完全来解这个题目，其实挺麻烦的啊，不太好处理 啊，不太好处理，但是如果你只想猜答案，你说没招了，没招了，那你肯定想嘛，最多最多就多少？一千三百五， 要说为啥啊，因为饼总共花了一千四百元，是吧？饼总共花了一千四百元， 而其中呢，呃，每种颜色都有，所以我们就想你要舍得白色跟口罩啊，白色跟蓝色用的费用最多啊，那我就另白色的什么那个红色的什么最少呗？红色最少要有一个，因为红色口罩的价格是五十万，对不对？红色最少要有一个， 所以那最多就说就是一千三百五，这就是我们讲的叫什么叫理论上的最大值啊。但是呢，理论归理论吗？就考场上你没招了，你就填一个这个啊，当然了，咱们不能没招了是吧，但也得有招啊，所以我们现在只考虑什么呢？只考虑饼， 只考虑饼，那我们知道饼啊，他要购买三种颜色，那我们就假定白色还有呢？蓝色还有呢？这个红色 啊，因为我们知道红色的单价是定的是五十啊，但是白色的单价呢？跟蓝色的单价呢？不知道这是第一个。第二个的话呢，就是我们其实也不清楚到底 a 在 第二问当中等于多少， 大家能理解吗？因为你第一问当中 m 跟 n 定了，所以我知道 a 是 多少，但在第二问当中你知道 a 是 多少吗？啊？这是第一个难点，就是 a 等于多少，并不清楚 第二个。如果我们知道了 a 等于多少，接下来怎么处理呢？啊？那你想一下，就是总共有多少种不同的型号，我们还得处理一下，要使得最多花费多少钱，我们在这里面 m 跟 n 还是不定的。不定方程有什么方法？唯一方法？什么方法 没举法啊？不定方程的整数解问题，唯一方法就是没举法。好，我们先来解释一下，那么 a 呢？其实恒定等于二十，为什么？大家感受啊？ 通过 d 我 们知道我们不管呃，这个最终呃， m 跟 n 是 多少，那么每一种型号的口罩 它都需要啊，呃，花费多少钱呢？就是五十加 m 加 n， 就是 每一种型号的口罩，对吧？当然现在有 a 种型号的口罩，总共呢，还是一千二乘以二，再加上一千四，那么这个数字什么意思？ 反正每一种型号的口罩，呃，所用的总花费就是五十加 m 加 n 啊，并且呢，这个，呃，这个 a 呢，是个整数， m 跟 n 呢，也都是整数，其中它告诉你 m 它是有范围的啊，六十六到七十四之间， 大于等于六十六，小于 n 小 于等于七十四，所以其实 m 加 n 这个值的去除范围就有了，对吧？哎，应该是严格的，大于多少？一百三十二， 就是 m 跟 n， 即使都取到六十六，那他就是一百三十二，当然不能都取到啊。好，那么这个呢，小于多少呢？一百四十八，好注意啊，整数啊，我们刚刚就跟大家强调过了，这是一个非常典型的不定方程的问题啊， 是吧，未知数的个数比方程的个数来的多好，但是呢，是不定方程的整数解问题啊，不定方程的整数解问题，所以方法就是什么媒局法 啊，没举法，咱们在初一的时候其实就讲过这种类型的问题了。好，那么当然 m 跟 n 都是整数，所以其实这里的 m 加 n 再加五十啊，其实他就只有限定的范围，对吧？当然我们说这个范围呢，应该在一百 八十二到一百九十八之间，理论上来说， m 加 n 呢，加五十呢，这个值呢，它能取到一百八十三呢，一百八十四啊，噔噔噔噔，一直到一百九十七， 但别忘了啊，因为后面这个值呢，恒定等于多少呢？三千八，后面这个值恒定等于三千八。所以同学们想一下，看看你这里的 m 加 n 加五十 能取到一百八十三吗？啊，不能啊，因为如果你取到一百八十三，他能被三千八整除吗？不能啊，因为这个是整的， a 也是整的啊，所以其实大家算一下就知道了，这个里面呢， m 加 n 加五十啊，他其实只有唯一的值多少啊？一百九， 只有这个数值可取啊， a 呢，只能等于二十，他只能取到这个数值，他取不到其他的情形了。理由呢，也很简单，就是我们说的他是整数解问题，我们说了整数解问题，你没有什么别的技巧啊，唯一的技巧呢？就是 啊，不断的每取好，只不过呢，这些数字相对比较好看，你比方说你能被三千八整除，对吧？那你还你不能取个一百八十三，一百九十七吧，是吧？那这个有点离谱了啊，有点离谱了 好，现在呢， a 呢，等于二十，我们就知道了，也就是说跟第一问一样，还是有二十种不同的型号。那么现在的问题是，我们要使得花费白蓝的钱最多，接下来怎么样呢？还得枚举，因为你知道白色有多少个啊， 不知道，蓝色买了多少个也不知道，红色买了多少个也不知道，对吧？好，所以我们接下来继续每句，就是如果我们要使得啊，白蓝，他的总价 最高啊，或者说最多，则我们要说的白蓝最多，那么就是红的怎么样呢？红色一定要最少 啊，红色的一定要最少，当然最少为几呢？为一，那我们在这边多说一下啊，红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一，并不是说你现在估算了啊，所以我们令红色为一， 并不是说你到这就结束了，因为你红色为一，你需要检验一下这种情形是否成立啊，这种情形是否成立啊，同学们能理解这意思吧，你要检验一下这种情形是否成立， 因为你，你虽然算出来了 a 等于二十，但是红色为一的情况是成立的吗？能够满足 m 跟 n 取到某些整数，然后呢，白色跟蓝色也能取到某些整数，刚好使得饼花了一千四百块吗？ 啊，所以在这里面呢，很多同学可能算出 a 等于二十之后啊，非常的欣喜说，嗨，太好了，总数二十，红色为一，所以白色跟蓝色总共就是十九啊，然后呢？巴拉巴拉啊，就是，所以呢，一千三百五就拿一千四减掉五十就可以了。好， 这种想法呢，只能说啊，出题上还是算是稍微仁慈了一点啊，那他令这种情形刚好是成立的，那万一不成立呢，是吧？好，我们接下来就要解释一下，理论上来讲，这就是理论上白色跟蓝色能够花费总价最多的情形 啊，对吧？花费最多的情形。好，那我们继续可以令，白色有 x 个，则蓝色 有十九减 x 个有，总数二十啊。好，其实这些部分呢，都是检验，因为你前面算出来 a 的 总数是二十，理论上面来，下面就是， 这叫检验，理论上面来讲呢，就是，呃，总价最高就是一千三百五啊，就是一千三百五，但是这个是理论，我们要检验一下这个理论是否正确啊，接下来的核心是什么？那核心还有什么呢？ 继续列呗，是不是他不告诉你白色的价格是多少 m 吗？是吧？蓝色的价格呢？是这个 n 吗？所以就是 m 个 x 加上 n 个啊，十九减 x， 然后加上五十等于一千四， 就是我们要检验这种情形， m， n， x 是 否都有整数解啊？要检验 m， n、 x 都为 正整数，我们要检验的就是这个事情，就是他们是不是都是有正整数解的好，当然这个还是一个什么方程不定方程问题， 是吧，在这里面呢，你会发现，嗯，这个看起来也很讨厌，为什么呢？ x 是 一个变量，就是我不知道白色有多少个啊，然后呢，这个 n 跟 m 呢，也是变量，但是别忘了哦， m 加 n 是 个定值哦，多少啊？ 呃，一百四对不对？好，我们继续在后面写一下啊， m 加 n 等于多少呢？等于一百四 啊， m 加 n 等于一百四。好，那么在这边呢，我们在旁边啊，给大家呢，稍微来解释一下，因为前面呢，我们算出来了， m 加 n 加五十只能取一百九，也就是 m 加 n 等于一百四。但我们进一步的想要说明一下， m 加 n 等于一百四，看起来呢，是两个变量，但是同学们也要知道， m 跟 n 是 正整数，并且具有大小关系， m 小 于 n 啊，小于等于七十四，它大于等于六十六。好，所以其实在这里面啊，这个本身 m 加 n 等于一百四，本身就是一个不定方程，当然这个不定方程，我们知道它一定是有有限个整数解的 理解吧，就是 m 最小最小取六十六， n 呢就取七十四， m 取六十七，他呢七十三， m 取六十八，他呢取七十二， m 取六十九啊， n 呢取七十一， 它呢取七十一。当然还能继续吗？不能啊，因为你要保证 m 怎么样啊， m 是 小于 n 的 啊，因为你再往下就是什么了，七十七十了，这种情形肯定就不满足了嘛，是吧，七十七十就不满足了啊。 ok， 好， 所以我们知道，其实呢， m 加 n 等于一百四啊，这本身也是一个不定方程，所以呢，它还是没举，那么最终没举完了呢， m 跟 n 呢？只有这些数值对吧？ 好，那么当然我们在这进一步的就可以把它变成为 m 倍的 x， 加上 n 是 多少呢？一百四十，呃，减去 m 倍的十九，减 x 等于一千三百五。好，这还是什么？ 两个变量，那我还是要什么整数解问题，当然在这呢，就可以开始 依次枚举了啊，就可以开始依次枚举了，比如说，因为你在这里面呢，我们就把它变成了单个变量，就是，呃，这个 m 跟 x 啊，所以呢， m 的 值呢，我们只要令啊，接下来继续检验，如果令 m 等于六十六的时候，那么上面的数字变成什么了呢？就变成六十六倍的 x 加上七十四倍的十九，减 x 等于一千三百五。哎，这个时候是不是就变成单变量了，对不对？ 好了，那么因此呢，我们可以稍微算一下，就是六十六倍的 x 加上七十四倍的十九减去 x， 所以 这里面的 x 的 取值呢，可以算一下，是吧，大家就变成了，六十六七十四乘以十九 四九三十六，进三七九六十三，六十六，呃，进六一四七六零一千多少呃，一千四百零六，一千四百零六，减去一千三百五等于六五十六，五十六，前面是八，所以 x 等于七，当然 n 呢，等于七十四。哎，这种情形他就满足要求了，对不对？ 它就满足要求了。当然了，你可以再令 m 等于六十七的时候，行不行呢？好，它就变成了六十七倍的 x， 加上七十三倍的十九，减 x 等于一千三百 五十。好，同学们可以算一下，它没有整数解啊，依次类推， m 等于六十九的时候呢，它呢也是不成立的。 好，所以你会发现，在这种情况下呢，我们至少可以找到满足要求的整数解，即有七个白的，当然了，十二个蓝的，一个红的，使得当 m 等于六十六， n 等于七十四的时候，它是可以满足要求的。 因此，我们的理论最小呃，最大值一千三百五是完全可以成立的啊， 答案呢，就一千三百五。当然，实际上，如果这道题目更严谨一点来说啊，还需要再去论证一下，当你 m 等于六十六， n 等于七十四， x 等于这个七 啊，然后这个呃，蓝色的就是十二红色的一的时候，那么是不是还可以保证 啊，就是甲根乙也能凑出一千二啊，也能凑出一千二。但是说实话啊，就是，其实到这为止呢，我们就没有必要再继续算下去了，因为我们算丙的，这种临界情形呢，已经能够论正，我们把这几个整数解都能找出来了，对吧？其实你没有必要继续论正了。 当然，如果你要严谨一点来讲，还要再论一下甲根乙是否也能满足要求啊，但是这道题目到字为止已经很复杂了，同学们真心讲，已经很复杂了，你还要再继续往下论真，我的天呐，那得论真到什么时候呢，是吧？ 当然这道题目我们说了啊，就如果你要大胆猜想，你说，哎，第二空咱也不会啊，没招了，就猜一个多少，一千三百五啊。 那么多说一句，这道题目呢，跟去年朝阳区初三二模还是一模呀，一个那个排队问题，什么有男生女生跟老师排成了一个什么正方形，其实也是不定方程， 所以我们在这里面呢，核心呢，只想跟大家强调一下，第一个，对于多个信息量的问题呢，同学们可以通过表格辅助自己理解。 那么第二个呢，就是我们对于这种不定方程的问题呢，要不定方程的整数解问题呢？没有什么别的技巧啊，就是不断的去枚举。 那么多个变量呢，我们的核心呢，就是消元，对吧？所以总的来讲就是三个核心的要素，第一，多变多信息量的问题，通过数据表格来辅助理解。第二，不定方程的整数解问题，我们可以通过枚举法。第三， 就是对于多变量的问题，什么 m， n 呐， x， y 啊这种啊，多变量的问题的核心呢，是消原， 找到两个量之间的等量关系，然后呢进行啊，这个消原是吧，那么最终变成单变量求解就可以了啊。好，所以这道题目呢，我们就给大家呢解析到这里啊，我是栗子老师，记得点赞加关注，数学不迷路！
32栗子老师教数学
05:45查看AI文稿AI文稿哈尔滨市松北区二模数学考试技巧第一个是考前准备，考前把圆规都带上， 十九题，双节二十二题，画图二十四题，第二问都有可能考到等间段，必要时咱们拿圆规画图能更标准点。第二，考前备好个小纸条， 在上边写一写，记一记自己容易忽略的一些小知识点，考前看一看 啊，当然不能到待进考场啊，待进考场之前咱们要把它扔了。第三个，发卷以后，没让答题的这三两分钟别一下子就心算出好几道题， 然后一让你拿笔答了，刷刷刷都写上，那不行，你万一算错了呢，是吧？这样咱可以心算两道到三道题，然后让答卷了以后再拿笔挨个重点全画， 不差这三两分钟啊！压轴题能不能扣出来，不差这三两分钟啊！刚才是主要的几个考前，然后考试的具体题型咱们依次说。第一个，实数问题， 看准到底是求倒数还是求向下数。第二个，轴对称图形那道，看好的是既是又是还是是，而不是圈好慢点的。第三个是图的问题， 区分好实线和虚线的意义，他俩有啥区别是吧？简单说，如果那条线真实存在，只是在图形的后边，咱们看不着，不能直接看着的线，这种线咱们要用虚线。 第四个，比例线段那道题，这道题通常要选择正确的或是不正确的，对吧？每个选项都看好了，看好了到底是正确还是不正确，别看错了。第五个，不等式和不等式组那道， 看好人家让天的解集还是整数解，还是整数解的个数或者是其他的。 第六个，双姐提这道，把这个图吧画大点，画标准点，别抠抠搜搜的，画个图没俩字大呢是吧，你画的越标准，做出来的概率就越高。 第七个画图题，呃，有几个冷门的心整懂了，别万一出了咱们整个措手不及是吧。一个是重心三条中线的交点，他与三个顶点的连线平分三角形的面积， 然后是内心三条角平分线的交点，他到三边的距离相等， 外心三条垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等啊。最后还有一个，如果想平分特殊四边形面积的时候， 那么一定找到这个四边形对角线的交点，这条直线一定过这条线的交点，然后再看看还需要过哪条线，一连就可以了。 第八个统计题统计题里边中位数咋算呢？方差公式是啥呀？你考前背一背，别万一出了是吧。 好了，这几个都答完了，以后成亚洲题了。亚洲题看个人的规划啊。呃，不管你是什么段位的孩子，先把前两问 稳稳当当的做对，做完了以后有规划要做。第三问的同学 主研究二十六，但是二十七题第三问至少要留给十五分钟。倒倒边倒倒角，横竖角正切，前轴角正切等等，倒一倒一定是能拿分的 对吧。千万别说我就光顾着扣二十六了，二十七题三分一点都没留。不行，必须要留点时间，去年的松北一模二十七题就比二十六题简单的多，好多同学考完了以后都拍大腿，早知道二十七题这么简单，我先扣二十七啊。 最后总结啊总结，整体总结，答基础题的时候稳一点，一个是一个的，把那个草稿纸好好用着，草稿纸上上边的算式写的工工整整，别因为自己在研草纸上把数给写乱了， 然后把题弄错了啊，争取一道是一道。如果第一遍做题遇到那种做完不保对的，先画上圈，或者说卡了好几分钟没思肚里，你也先画上圈，先做其他的题，把其他能拿分的题都答完了以后反过来重点检查思考。 别慌别慌啊，那个别因为前边的问题来影响整套圈的情绪和节奏啊。 如果前面有男的你没答上，你也别着急，你答的不顺，其他同学也不顺。最后出考场别对答案，别影响下一课，等全部考完了再对。
05:21查看AI文稿AI文稿大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年北京西城二模这道题目，他说在长方形 abcd 中，我们可以简单画一下 ab， c， d 中 ab 为一， ad 为四， e 为 b， c 以上的一点，然后问我们 e a 加 e d 的 绝对值。首先这类方法，如果说大家对这个对平面向量这里不太熟悉的话， 第一种方法，坐标法，我们毕竟是个选择题，它的间隙一般也不会太复杂，只要你能把坐标 准确的见出来，那剩下的这些东西都会变得非常的简单，都可以不用看题就可以直接做了，所以坐标法大家一定要掌握。所以我们来看一下这道题的数值，那我就可以直接以此见 x y， 所以 我就可以写出坐标 b 是 不是零零 c 是 不是就是四零 d 是 四一， a 是 零一。好，关键的一点， e， e 是 多少？ e 是 不是 bc 上的一点呀？那我是不是就可以设为 t 零，同时去满足，由于 e 在 bc 上是吧边 bc 上的一点，所以 t 应该属于啥？是不是应该属于零到四， 这个是我们一个关键的值。好，我们把它的坐标全部写出来了，那你最后让我求一个向量加一个向量的模的最小值，那还不好说吗？我这不就可以把坐标写完之后，向量 e a， 那 就是末减出是吧？ a 减去 e， 那 等于多少呢？ a， 那 就是负 t， 逗号一对吧？ e d 等于 t 减四，四减 t， 末减出啊，一对吧。 现在让我来求 e a 加上 e d， 我是 不可以直接算就好了，那就是负 t 四减二， t 和二，这不就我的向量吗？对吧？它的魔长应该怎么求呢？ 也很好求，那就是四点二， t 的 平方加上二的平方，因此把它打开，那就是四十六减去二，四得八十六， t 再加上四 t 方， 再加上四等于四， t 方减去十六， t 加二十，我是不是可以把一个四提出来呀？就是二倍的根号下， t 方减去四， t 加上五，没问题吧？好，那我就把它给求出来了，那它取什么时候最小呢？这是不是一个二次函数？二次函数我就很熟悉了，所以当 t 等于负的二， a 分 之 b 时， t 等于负的二， a 等于一， b 等于负四，那就是 t 等于二十。而且他是不是满足我的定域啊？零到四是吧？ t 等于二十最小， 取最小值应该等于啥呀？是不是我就带进去算就行。二倍的啊？四减八加五，最终结果是不是减四？一不就是二吗？对吧？我就可以直接求出来， a 最小值就是二。 坐标法，我就可以直接间歇，剩下的就无脑计算就好了，只要你知道计算公式是啥。 好。第二个，对于这项量体，一般都可以用这两种方法，这叫几何的性质，我们来分析一下，他是不是让我们求的是 e a 加上 e d 啊？这个东西我们其实就是我们的平面向量嘛， 如果他俩去相加的话，我们是不是利用平行四边形的性质，哎，我给他做出来，给他做出来这个是不是构成了一个平行四边形呀？ 平行四边形的话，我们有一个性质，是不是？就是，哎，对角线应该是平分的，所以 e a 加 e d 是 不是应该等于的是这个对角线呀？ 因此 e a 加 e d 的 长度应该等于二倍的。取 a d 为中点的话，这是 m， 它应该等于二倍的 e m 的 长度，这个是我们的性质。如果你知道这个性质的话， 那这道题就太好解了。因为取 ad 中点，取 ad 中点为 m， e a 向量加上 ad 向量应该等于二倍的 em 向量。所以我是不是只需要 em 最小就好了？ em 什么最小呢？是不是我的这个问题， 问题就转变成了， e 在 bc 上，在哪个点的时候， e 在 bc 上，什么时候 e m 最小呀？是吧？ e m e m e m 那 太简单了，两条线段之间垂线是不是最短呀？那我 m e 也是 bc 的 终点就行了，是不是？ 所以 e 为 b， c 中点 m e 等于一，这里可以直接给他加上魔，所以 e a 向量加上 e d 向量就等于二了。是不是很快的我知道题答案就行了。 所以如果你知道几何性质，能够快速判别出来，你直接就可以利用这个几何性质直接来得到答案。如果你不知道这个性质，没关系，咱一定能保证这个几何性质直接来得到答案。你可以利用坐标法快速把它求解。 ok。
126北京高考数学_李老师
04:27查看AI文稿AI文稿这条视频给大家分享北京西城二六年五月份的二模集中。呃，这道题目呢，其实有很多同学在考场上也是不能够快速得出他们之间的数量关系的，那么就来看这道题到底应该怎么去做啊？首先我们来看一下第一问，第一问我觉得对于大家来讲应该没有任何的难度，就是一个倒角推边的过程，对吧？ 那怎么去做呢？首先你看到了这个是 a b 的 a c， 所以 是个等幺，然后有阿尔法，所以就是阿尔法，这阿尔法，所以这二阿尔法，这瞬间能够想到的一个事，对吧？然后呢，他说的是这个点一在 a b 上，让我们证明是终点，那怎么证呢？其实我们来看一下这道题目啊， 这是二阿尔法。然后呢，你还能够得到的一个信息是旋转，对吧？那这个是旋转点，所以说你就能够得出来的是这是旋转的二阿尔法，所以你自然就能得到这是九十度， 没错吧？但是同学们一定要注意啊，这个再说终点的时候呢，其实你还是要再去简单说明一下，就这个是等腰，毋庸置疑。那么你还得说一下，这个角是九十度减阿尔法，所以说 ac 又等于 a d， 好 说清楚了吧？就是，呃，你能得到的是 ab 等于 ac， 已知又知道 a c 等于 a d， 所以 d a 是 b d 终点，这是第一问。好，那么再来看第二问，第二问，这个题目当中让我们去找的是谁？你得先去明确这个线段是 a、 c、 b d 和 b e、 f 之间的关系， 那么这个怎么去正呢？我们先不着急去啊，做什么辅助线啊，这个我做出来是为了节省后边的时间，但是我们在做的时候先不着急做辅助线，为什么我们先去看这题目当中的信息啊？我们来看这是二阿尔法，然后呢？这个角也是二阿尔法， 对吧？那你知道的是不是就是这个角加这个角是等于一百八的，那其实你就知道这几点，应该是这个是一个一个四边形，或者大家经常说的是四点共圆，那你就知道其实这个角应该是和这个角相等的，没有问题吧？这是你最最应该快速去反应的，那么你就知道旋转是 c e 等于 cd， ok， 那么我们来看 e、 f 是 不是这样竖着线怎么办？把它转到这个边上，那怎么转呢？构造全等，所以这个时候的辅助线是什么，我跟你说清楚，是你延长 a d 使得 dm 是 等于 e、 f 的， 能明白吧？这样的话是不是就直接得到了一个全等？为啥 这个边等于这个边，这个角等于这个角都是已知的，你又得到一条线段，是不是把 e、 f 转到了这啊？这是我们做的辅助线， dm 等于 e、 f， 然后同学们，我们搞完这个之后，我们要找的是谁？我们要找的是这个 a、 c、 b、 d 之间的关系，那么我们这个时候是不是得到全等以后能得到啥？能得到就是 我们能知道的，就是，呃，这个 b、 d 我 们已经要在这了，对不对？然后这个 a、 c 就是 ab 的， 对吧？ ok， 没问题， 得到这个之后我们再往往下走啊，我们来看一下这个现在的关系能不能得到，你只是把 e、 f 挡在这，对吧？但是你这个 b、 d 和这个 ab 之间的关系你仍然不清楚，这个时候你不要着急，你看一下这个图，是不是就特别像第一问了？所以我连接了这 连接这之后，是不是就相当于是点 f 位置？是相当于是点 e 的 位置？所以你现在要做的就是要证明的是这是个直角，从而你证明直角的意义是什么？证明这个等于这个等于这个 啊，不是等于这个，对吧？没问题吧？ ok， 那 怎么去正呢？你看啊，你已经得到了什么？你得到的是全的，那你能得到就是 c f 是 等于 c m 的， 没问题吧？那么同时你还能知道什么？就是 通过这个全等，我们能得到的是。给大家说一下啊，通过这全等能得到的是，你知道这红色角是二二法，对吧？那么这个角是不是也是二二法？没问题吧？因为你知道的是这个角和 呃，我们的这个角是相等的，没错吧？所以说你就能得到的是二阿尔法这个角度，你得到二阿尔法之后，是不是跟上面这个第一问是完全一样的？就是一个可以倒直角了，没问题吧？那我就不在这去坠树了啊，我们能得到就是这个角，是这个也是，对吧？来， 是不是这二 r 法，是吧？这二 r 法，所以跟第一问是一样了，那我就知道了，什么就是直角，直角之后就能得到什么？ a 是 终点，所以是 ab 等于 am 等于 ac， 是 吧？那你就知道了，这个 bm 是 等于这个 a 二倍的 ac 的， 没错吧？那它等于什么呢？等于我们要求的 b、 d 再加上什么？再加上我们的 e、 f， 这道题就全部整完了，就这么简单，就是你需要的是你看这个题目你要做什么，而不是这个辅助线我就咔咔咔一顿连，这样的话你是根本不可能做出来的。所以你根据我这个思路啊，好好捋顺一下这个题目的辅助线， 他到底是怎么做的，怎么去思考的，然后怎么跟第一问究竟连接的。那这样的话呢？这个题目的起宗其实你也就能够快速搞定。我说句实话啊，这个起宗的难度并不大，但是能做出来的人又有多少呢？那中考就通过这样的题目，能够让大家产生差距，所以说这个题目值得我们思考。
33讲数学的森叔
22:57查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我们今天讲上三道圆锥曲线的题目，分别是今年海淀区高三的二模题以及今年 西城区的二模题，还有就是我找了一道和这两道比较类似的一道题，朝阳区二零二四年的高三一模。我把这三道题讲一讲，因为这三道题考的都是 远离曲线几何关系的转化问题，所以说我们静下来慢慢把这三道题研究透彻，预计今年高考有可能会这么考，对吧？他考的是比较不错的，所以说难度也不低， 对于同学的转化和预算能力要求也不要求也极高。所以说我们先从头到尾讲讲这个题。先从先从海淀开始，然后我先 把这个图给它画过来吧，对吧？这个图我就不画了啊，你将就看一下，没有必要去画了，浪费时间。 ok， 来我们看一下啊， 这这个图， ok， 第一问的话，他是不是说了三四三一啊， x 方 比上三加上 y 方等于一，我就不说了，然后他说点 a 是 零负一，过点 a 的 一条直线和椭圆，另外一个点交于点 d， 对 不对？然后 d 关于 x 的 对称点是 e， 然后呢，他说这个 a e 直线和 过点 d 平行于 x 轴的一条直线交于点 n， 对 不对？然后他让我求谁的面积呢？求 d， e， n 的 面积和 a m， e 的 面积，让我求这两个三角形的面积之比是等于三的，从而求 a、 d 的 斜率。 那所以说我们先看一下啊，这个三角形是不是超级好求，对不对？这个直角三角形的 d， n 的 长和 d， e 的 长，从而我们再通过，如果你想要求这个小三角形的话，是不是不太好求吧，对不对？我可以用这个大的三角形的面积减去这个小的三角形面积。为什么我会想到用这个大的三角形减去这个小三角形呢？那是因为他这个地方有一个公共边， 对吧？他有个公共边，那你要是这个边是不是既可以用在 d n 上啊？ d e n 这个三角形上，也可以用在这个大的三角形上， 对不对？所以说我先拿着它去求，因为 a m e 这个小三角形的面积太难求了，对吧？所以说我用这个大的三角形，它当底第一，当底谁当高？是不是 a 到这个 第一的距离当高？说白了这个高就是地点的横坐标，对不对？然后我再减去这个小三角形的面积是高，那 m 到第一的距离是不是 d 的 横坐标，减去 m 的 横坐标就是他们的高喽，没错吧？所以说我们先一步一步做，首先我们先去求 d 点的 坐标， d 点坐标这个操作我们用过了，应该用了好多次了吧，对不对？因为你以这个直线射出来，已知一个点的坐标，通过连立方程维达定律求另外一个点的坐标， 没问题吧？所以说这个题的话，我先假设这个直线应该是 y 等于 k x 减一，当然直线有可能斜率不存在，我就不分析了，对吧？所以说这个地方先去来一个连力，也就是说他是 x 方，比上三加上个 y 方等于一，这是 k， x 减去 y 再减一等于零，所以说 x d 加零吧，是不是等于三 k 方再加一，然后呢？它就等于三 k 负一的负两倍，六 k 啊，六 k 啊，搞定。然后呢？再来看一下 x 写错了，应该是负一乘一个 y， d， 不， 那就变成了 三 k 方加一。 y 的 话是一括起来的，一减去分母的一部分，减去三 k 方。所以说 d 点的坐标搞定了吧？他是不是六 k 比上三 k 方加一，逗， 三 k 方减一，比上三 k 方加一，对不对？从而一点的坐标，那就六 k 比上三 k 方加一，逗号一减去三 k 方，再比上三 k 方 加一吧。所以说这个地方它的 l a n 是 不是也被我算出来了，对不对？来，你看一下啊， k a n 你的写，先求 k a e， k a e 的 斜率，应该是一减去三 k 方，再比上三 k 方加一，再加上一吧。一的话，我通分三 k 方加一，分之三 k 方加一，然后再比上几，那当然再比上六 k 比上三 k 方加一呗。那所以说 k a e 的 斜率是不是拿下了，对不对？那就等于多少了？那是不等于六 k 分 之二等于三 k 分 之一。所以说 l a e 的 方程 是不是也搞定了？那就变成了 y 等于三 k 分 之一， x 再减一，然后我再令谁， 我再令它的 y 等于它吧。三 k 方减一，比上三 k 方加一，然后再令 y 等于三 k 方减一，比上三 k 方加一。 所以说三 k 分 之一乘以 x n 了，不对吧？就等于三 k 方减一，比上三 k 方加一，再加上一，因为一，我给它移过去了， 对不对？我给他移过去了，就变成三 k 方加一，比上三 k 方加一。所以在这里应该是 x n 等于多少？是不是等于 十八 k 的 三次方比上三 k 方加一喽？ n 点坐标搞定了，那所以说我现在这个面积是不是就可以求出来了，对吧？ d， e 的 长度是不是两倍的它 加绝对值啊？所以说三角形 d， e， n 的 面积就是二分之一，乘以 d， e 的 长度，然后呢，再去乘以 d， n 的 长度吧，对不对？所以说这个地方我们再看啊，三角形 a， m， e 呢？它是不等于二分之一 d， e 的 长度，再去乘以谁乘以 d 的 长度吧， 对不对？乘以 x d 的 长度就是 d 点的纵坐标，横坐标，说错了啊，横坐标。然后呢，再减去二分之一 d， e 去乘以这个高吧，也就是说用这个大的三角形减去这个小的三角形，就是三角形 a， m， e， d， e 的 话，他这个高的话，是不是 d 点的横坐标减去 m 的 横坐标，那说白了 x， d 的 绝对值减去 x m 的 坐标就可以了吧？所以说这个东东是不是可以提出二分之一 d， e 来？ 你提出二分之一个 d， e， 那 这里边你合并的话，是不是 x m 的 横坐标喽？ x， m 的 横坐标。然后又因为他说了三角形 d， e， n 的 面积等于三倍的三角形 a， e， m 的 面积，所以说你再看这 d， e， n 是 不是都有二分之一 d， e， a， m， e 是 不是也有二分之一 d， e？ 所以 说在这个位置， d， n 的 长度就是三倍的 x， m 的 长度， 对不对？那 d， n 的 长度是几？那当然用 n 的 坐标减去 d 的 横坐标喽，所以说十八 k 的 三次方减去 d 的 横坐标喽。所以说十八 k 的 绝对值不 再比上三 k 方加一，因为三 k 方加一是正的，不需要加绝对值了，它等于三倍的 x m， x m 的 话，你是不是令这个直线它的 y 等于零，那所以说它的 x 是 不等于 k 分 之一， 因此它是 k 分 之一，那么它也得加绝对值啊。 k 的 绝对值分之三，所以说我现在是不是交叉相乘十八 k， 等一下啊？ 约个分吧，给他约个三，对不对？两边约个三的话，这个地方就是一了，然后这个地方就变成六喽，然后这个地方就变成二了呗，所以说就变成了六 k 的 四次方减去二 k 方加绝对值， 对不对？等于三 k 方加一，所以说他俩有可能互为相反数，也有可能是相等的，对不对？因此当六 k 的 四次方减去二 k 方 等于三 k 方加一的时候，所以说我是不是推出来了六 k 的 四次方减去三 k 方，嗯， 应该是减 k 方吧，对吧？减去五 k 方，没错吧？再减去一等于零嘛？一六一一负的。所以说我推出来的是不是 k 方减一，然后来了个六 k 方 加一吧，等于零，所以说 k 方等于一，对吧？ k 就 等于正负一， 这是他还有第二种情况，对不对？也就是说这个三 k 方加一等于二 k 方减去六 k 的 四次方，就说明他们互为相反数了，互为相反数的话，那就等于六 k 的 四次方 再加上 k 的 平方，再加一等于零。舍掉，不可能吧，对不对？它都大于等于零了，再加一怎么可能会等于零呢？不会，对吧？所以说综上 k 的 值是正负一。搞定， 明白了吧？ k 的 知识正负一啊。结束了，然后这是他们，然后我们再看西城的，西城区的这个题的话，我感觉也是比较，怎么说呢，你只要想透彻他就不难。好，我们先看第一问是三二对不对？第一问是 x 方比上三加上个 y 方比上二等于一。这个图的话，我们大家一起画一下吧，然后带着它。你看一下啊，这是那个椭圆，搞定，哎， 爆化是吧？他这个地方是个负三零呦，负三零在外边呢，他这个地方左边是根三吗？ ok， 将就看啊，然后这个位置是不是 n 点？ 是负三零吧，所以说他过这个点，那他是过 x 的 点，我当然要反射了，过 x 轴上点反射啊，这是过了，他会和椭圆交于 a 点以及 b 点， 然后他说过 a 做 ap， ap 是 谁啊？这个地方是不是 m f 垂直于 m f 于点 p 吧？过 a 做 ap 垂直于这些 m f 于点 p， m f 在 哪？这不就是 m f 吗？ 对吧？所以说这是 f 负一零，这就是 m， 他 说过 a 点做 m f 垂直于点 p 在 这个地方，对不对？所以说这个地方就是垂直的，然后呢？这个位置是个 p 点， 对不对？然后呢？他说 bpn， bpn， 我 用绿色去画 bpn u 不好看，是吧？将就看这个三角形的面积和 bpm。 说错了， bpf， bpf 的 面积， 对吧？它们的面积是相等的，让我们证明它们的面积相等。让我证明面积相等。你看，你再看，你再看朝阳，二零二四年的朝阳，他说他们的面积相等， 明白吧？其实考的都是差不多的，所以说你把这几道题好好的去总结总结啊，总结总结， ok， 好 看一下啊。他让我证明这两个三角形，谁啊？就是这个三角形 和这个三角形是相等的。那你是不是看到了有一个公共边 p b， 不 对，不对，有个公共边 p b， 也就是说 我 n 到 p b 的 距离等于 f 到 p b 的 距离，不就可以了吗？明白吧？ n 到 b p 的 距离 和我 f 到 b p 的 距离相等就可以了。所以说我先去写它不是经过 n 点的一条直线交图圆于 ab 吗？我先去设 a 点，坐标是 x 一 y 二，那么 p 点的坐标是负一 y 一 不 片坐标。然后我给教大家写一个直线啊，两点式，直线两点式。假设 a 是 x 一 外一， b 是 x 二外二，所以说我 lab 的 方程怎么写呢？我通过直线两点式去写，我可以一步写出来。所以说你考试的时候可以怎么写？ 你写上。因为 b 点坐标写上， p 点坐标写上，所以说由直线的两点式可得。两点式。怎么写呢？来看好啊，他俩相减 y 一 减 y 二去乘以 x， 加上他俩相减 x 二减 x 一， 去乘一个 y， 明白吧？最后呢，等于什么呢？他俩相乘减去，他俩相乘，也就是说等于 x 二 y 一 减去 x 一 y 二，明白了吧？我再说一遍啊，纵坐标，先是纵坐标相减去乘以 x， 加上横坐标相减去乘以 y， 最后 他俩相乘减去，他俩相乘，会了吧？哎，如果你不会，你就可以一步一步做，先通过他俩求斜率，然后再点斜，然后再画成一半式，我就直接写的。然后呢，我再教你大家怎么背啊， y 相减去乘以 x， x 相减去乘以 y， 必须是这么转， 明白了吧？他俩相乘 x， 他 俩相乘以 y， 最后他俩相乘，再减去他俩相乘就可以了，对吧？所以说我们先看啊， 因为 b 点的坐标是 x 二 y 二不， p 点的坐标是不是负一 y 一 喽？所以说由直线 的两点是。你看我这么写的啊，两点是对吧？ l b p 的 直线方程是 y 二减 y 一 括起来去乘以 x， 加上负一减去它的话，那是不是相当于减负一减去 x 二吗？不就相当于一加上 x 二去乘一个 y 喽， 对不对？等于什么？它两相乘减去它两相乘就等于负外二减去 x 二外一， 明白了吧？这个直线我就一笔写出来了。我再说一遍，他俩相减去乘以 x， 再加上他俩相减负一减 x 二去乘以个 y， 把符号提出来，明白了吧？最后他俩相乘是负二减，他俩相乘一笔写出来了。所以说，我现在是不是 l b p 稍稍一化减，就是 y 二减 y 一 的 x 减去这个地方应该是 x 二加一去乘一个 y， 不 再加上 x 二， y 一 再加 y 二，等于零搞定。所以说我稍稍一化减就可就可以了啊。然后我给他往上挪一下，这个直线就一笔写出来了，你考场上就节约了你的计算时间， 容错率就会减小了。所以说再看啊，那我现在是不是需要去求 n 到 b p 的 距离？看到了吧？ n 到 b p 的 距离以及 f 到 b p 的 距离是不是相等的就可以了。所以说 n 到直线 直线 l b p 的 距离，我假设是第一，明白吧？第一，那所以说我 n 的 坐标是三零吧，也就说我把负三零带进去，负三零啊，负三带进去的话，是不是三万一减去三万二，对不对？再加上 x 二万一，再加万二喽？所以说他们能不能合并下同类象？合并同类象的话，应该是 三万一减二万二加上 x 二，万一，不对不对。所以说我们再照抄一下啊， 他应该是 x 二外一加上三外一减去二外二，搞定。这是上边下边的话，是不是根号下的 a 方加 b 方，根号下的 a 方加 b 方？看一下啊？这个地方是根号下的 y 二减 y 一 的平方，再加上 x 二减去加上一的平方吧。然后呢？你再写上点谁啊？点 f 吧， f 到这个直线 l b p 的 距离是多少？假设是第二，可以吧？我们假设是第二，它等于什么？这个地方的话我往下挪一下啊，往下稍微挪一下，所以说他把负一零带进去，负一零的话，就变成了 y 一 看一下啊，他这个位置是 y 一 减去个 y 二， 然后呢？再加上 x 二， y 一 再加 y 二，不，说白了就是 x 二， y 加上 y 一， 对不对？因为我把负一带进去的话，就是它， 对吧？把负一零带进去，再加上 x 二外一，加外二吗？它和它没了，相当于 x 二外一再加外一， x 二外一， x 二外一再加外一。 over。 然后比上根号下的 a 方 加 b 方吧，是不一样的。那牛老师他俩有没有可能相等啊？ 对吧？他俩怎么可能相等？哈哈，对不对？也就是说你想要证明他俩相等，他俩可能相等吗？他俩不可能相等。为什么？来？看着啊，上边这个分分子，他是不是 x 二， y 加上 y， 再加上两倍的 y 一， 减 y 二喽。 减两倍的 y 二吧，对不对？我把它的三倍的 y 一， 比如说 x 二， y 一 加上 y 一， 再加上两倍的 y 一， 再减去啊，减去啊。两倍的 y 二， 它这个地方是不是 x 二， y 一 再加 y 一， 不，它有可能等于零吗？ y 一 减 y 二有可能等于零吗？不可能啊， y 一 和 y 二，它一定不会是在一条，一定不可能在一条水平线上吧， 对不对？所以说他绝对不可能是零，明白吧？那就说明他们不可能相等。理解我的意思了吧，他们不可能相等啊，所以说我只需要证明他们相加是互为相反数的就可以了。 又因为所以说你看着啊。因为 x 二 y 加上三 y 一， 再减去二 y 二，再加上 x 二 y 一， 对不对？我给他们全部加起来了 看一下。所以说这个东东的话就变成了二倍的 x 二外一呗。再加上几外一，加上四外一， 再减去二外二，所以说它这个地方就等于两倍的外一乘以 x 二 x 二是不是带直线？这个直线我是反射的，是不是 x 等于 t y 减三喽？ 一定要反射啊。所以说这个地方就变成了 t y 二再减三吧。所以说再加上四 y 一， 再减去二 y 二， 所以说它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二，对不对？减去六 y 一， 再加上四 y 一， 再减去二 y 二，它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二在干嘛？ 他是不是减去二外一了？减去两倍的 y 一 加 y 二，不对不对，我就看一下他相加等不等于零就可以了，没错吧？所以说你看一下啊， 这是他。呃，我坐到这的话，我们是不是该连力去了？连力反射的连力。 x 方比上二 比上三，加上 y 方比上二，是不等于一喽？等于一，这个直线应该是 x 减去个 t y 再加三等于零吧。所以说 y 一 加 y 二就是三加二 t 方分之二负 t 三负二的多少倍？负二倍的话，那就变成了十二 t 啊？十二 t 啊，这是我有速算方法，然后再来再来， y 一 乘一个 y 二呢？它是不等于三加二 t 方？ 三加二平方 y 一 乘以 y 二的话，是不是二扩写的 m 方九减去分母的一部分，减去三十二，对吧？这是十二。 ok， 带进去。所以说它是不是等于二 t， y 乘以 y 就是 二十四 t， 对 不对？比上三加二 t 方，再减去两倍的，它减去两倍，再减去二十四 t， 不 比上三加二 t 方，所以它就零喽， 对不对？他就是零了。所以说这个题就结束了啊，你好好看一下这个题，我觉得还是比较简单的啊。 ok， 结束。 好，然后我们再看朝阳的这道题，朝阳这道题的话，我们下次继续录吧，这次就录到这两个题。 ok， 讲这些啊，拜拜，我下了啊。
73北京高中数学
07:44查看AI文稿AI文稿西城二模几何的是半角模型，所有准备了手拉手和中点模型的同学，你是不是忽视了这个考点呢？我们今天用一个视频来给大家去说一说，关于西城二模的这个半角模型，我们有什么样的多解思路。首先我们来先读题，他说在三角形 abc 当中， ab 等于 ac 角 b 等于 ar 法，那么就标呗， ab 等于 ac ar 法， ar 法，所以这就是二 ar 法。先都给他标好，然后告诉我们连接 cd， 并且将 cd 绕点 c 逆时针旋转，二 ar 法得到 c e， 这就是二阿尔法，没问题。好，那得到的是谁？是 c e， 所以 你看我这图一里面标好了所有的角，我能知道的啊。然后以及我能得到的线段，第一问让我们去求证点 a 是 b， d 的 终点，那我们会发现看这个图，而且让我证的是点 a 是 终点，是不是也就意味着我可以去证明一下什么 斜边中线这个东西，对吧？好，所以那我接下来怎么用？这是二阿尔法。在一个等腰三角形当中，顶角是阿尔法，所以底角就是九十度减阿尔法，这是阿尔法，所以他们俩相加是九十，那这就是直角，这如果是直角的话，这是阿尔法，这就是九十减阿尔法。所以那我们接下来就可以知道 a， c 等于 a， d 又等于 ab， 所以 点 a 是 中点。结束 能明白，这是我们的第一问，比较简单啊，但是第一问一般情况下来说都会给我们，第二问的话会比较好做。我们来看照这个图， 这个图第二遍说的是什么？告诉我们角 bfe 等于二阿尔法， bfe， 这是二阿尔法，其他条件都不变，然后让我们去证明三条线段之间的关系，分别是 a cef 和 b d， 看起来毫不相关的对不对？那我们能够想到的是什么？证明三条线段关系能够想到的其实就是截长补短的方式， 所以我会想到的是，呃， b d， 对 吧？ e f 和 a c， b d 明显是最长的，但是它又不等于这两条线段相加，肉眼可见，所以呢，这个时候就从我们的猜测结论来说是不符合提议的，没办法去做的。那这个时候我们可以从哪入手？从条件入手，因为我们知道这个角是二阿尔法， 然后这个角是阿尔法，所以他就得到这个角和这个角相加等于阿尔法，看到了吗？所以呢，我能够想到的就是半角模型的思路。半角模型思路是什么？说把它旋转过去好，那这个时候就会出现两个疑问，第一个疑问就是如果这两个角相加等于阿尔法的话，我到底是把下面这个三角形给它旋转上去，还是我把上面的三角形给它旋转下来 好？所以你这个时候就会发现我用的法一就是把上面这个三角形旋转下来的好，那这个时候我还是那个思路啊，我可以把它旋转下来，那他就会变成我法一的位置，我还可以怎么样利用我第一问的思路？第一问思路是找点 a 是 终点，构造一个直角三角形，所以那这个时候我能够想到的就是我把它延长出去， 然后做一个 cp， 让这也是九十度的直角。那接下来就会有一个问题，什么问题呢？我知道辅助线如果借助第一问的条件来说是这样做，但是做完之后我们会发现这个三角形很明显跟这个三角形不全等，所以我要去找构造全等的方式。那怎么找呢？看这个图， c e 等于 cd， 这是二阿尔法， 所以我是不是这个地方也能够找到一个二阿尔法？那我就去连接了 c f。 连接 c f 之后，我要去证明的就是这个三角形和这个三角形全等，如果能够证明，那是不是就会出现这样的结论？好，那现在我讲清楚了所有的方法对不对？好，那我们接下来来看一下条件有哪些？第一个，一条边等于另外一条边，这是一条边等。 其次，第二个，我们可以通过倒角来，怎么倒角这个二阿尔法还没有用呢？这是阿尔法，这是二阿尔法，所以这个角就是一百八减三阿尔法，那这边就也是一百八减三阿尔法。如果我设为这个角是 beta， 那 这就是三阿尔法减 beta。 好， 那接下来我要去看的是这个角，这个角怎么来的？这个角它是不是就应该等于外角，也就是这 和阿尔法相加得来的，那这是多少呢？这是二阿尔法减贝塔，那再加一个阿尔法，所以这就是三阿尔法减贝塔倒角的能力啊。好，那现在一个角等一条边等，如果我想证明全等，最好用的方式是什么？ 给它构造一条边出来，能理解怎么构造？你看我是不是现在就缺一个 e f 等于 d p， 那 我就让 e f 等于 d p， 所以 我辅助线说的是延长 b d 到点 p， 使 dp 等于 e f。 好， 那这样的话，边角边是不是两个手，两个三角形就形成全等了？手拉手，对吧？两个三角形一旦全等了之后，我就连接一下 cp， 我 接下来只需要证明这是九十就好了。好，那怎么去证呢？我们会发现，当我这样做完之后，因为他们两个全等，所以 cf 等于 cp， 这个是没问题的啊。 cf 等于 cp， 好， 那接下来我又可以知道的是这个角的度数，对吧？那这个角的度数可以怎么去表示出来？那这个角也比较好表示，为什么呢？ cf 等于 cp， 所以 两个底角等， 那这两个底角等，我们又因为全等知道 c fe 等于角屁，所以这三个角都对应相等，那这个大角是一百八减二阿尔法，被平分之后，就是九十度减阿尔法，所以这就是九十减阿尔法，看到了吧？这是九十减阿尔法，这是阿尔法，这不就九十度出来了吗？能理解了啊。好，那接下来我们这了有了一个九十度之后，我们就会发现 b p 是 不是就等于我们的 b d 加上 e f， 它等于二倍的 a c？ 为什么？因为点 a 是 中点就出来了，就延续了第一问的过程，所以呢，我们就会出现 b p， 也就是所谓的 b d 加 e f 等于二倍 a c。 结束了。 好，那刚刚我还说了一个什么半角模型，另外一种旋转方式，那我们去把这种方式也讲一讲啊，这种方式是什么样子的？就是我把这个三角形给它旋转过来，那因为旋转过来，所以这个角就被转移到这来了， 那整个大角二阿尔法就会得到这个角是二阿尔法，那因为上面是阿尔法，所以下面就也是阿尔法。好，这是我第一步倒角。好，那倒完角之后，接下来我要找的是什么？我找他们三个之间的关系，对不对？那这个时候其实比较邪修啊，这个方法为什么这样去说？我们会发现的是，你可以怎么做这个辅助线？ 这个辅助线很多同学可能会选择的方式是，我把 f e 延长到点 p， 是 e p 等于 a d。 好， 那现在一条边等一条边等，一条边等一条边等，我怎么去找角，对吧？我怎么去找它对应的这个角和这个角是对应相等的。 好，我现在找这个二 r r f 有 用吗？其实没有用，对吧？因为边边角不能正全等，所以你要去做倒角啊，这是第一种。第二种你会发现我用的是平行的思路，我过点 c 做了一个 c p 平行于他，那因为这是二 r r f， 所以 这两个角就对应相等了。好，那这是第一个对应相等的。 再来第二个是什么？我们是不是可以根据这样的一个条件得到这条边等于这条边？这题目当中给的已知，对吧？现在一个角一个边了，所以我要么再去证明一下谁 cp 等于 ac， 要么再去找一个角相等就好了。但是我很明显会发现，我没办法用 cp 等于 ac， 因为这是我的结论。对，我只是做做了一个平行。好，所以呢？我最好用的方式是什么？找角， 那怎么去找角？因为我做的是平行呀，所以这如果是二阿尔法的话，这是阿尔法，所以这是不是就也是阿尔法？ 能理解吗？好，这如果是二阿尔法，他加他等于阿尔法，因为他加他等于阿尔法，所以这两个角对应相等。等了，再换一下。好，那现在一个角一条边，一个二阿尔法，一个角一条边，一个二阿尔法，所以这两个三角形角角边形成全等，全等之后就会出现 a d 等于 e p。 好，那接下来因为它们平行，对吧？平行之后这是 r r 发，这也是 r r 发，所以它就是一个等腰梯形。为什么说？很邪修，对吧？我们是不是很久没在几何体当中遇到过等腰梯形了？等腰梯形就说明腰相等，所以 f p 等于 ac 好， 那 f p 又等于谁呢？等于 e f 加 e p 好， 那现在是不是 e f 边我就找到它的关系了，它和 a、 c 的 关系了，对吧？就是 a c 减去 e p 就 等于 e f， 那 e p 又等于谁？等于 ad， 所以 a c 减 ad 等于 ef， b d 呢？ b d 等于 a， b 加 a d， 所以 我们得到的是 b d 等于 a c 加 a d， e f 等于 a c 减 a d。 因为我要保留的是 b d， e f 和 a c 的 关系，不要 a d， 所以 我这两个怎么样？相加？ 相加之后 a、 d 就 消掉了，所以 b d 加 e f 等于二倍， a c 也能做好，但这个证明过程你要给它写清楚啊。好，那这是我们所说的半角模型的思路。除此之外，在证明它的时候，有同学可能会说，老说倒角，倒不明白怎么办？倒不明白怎么办的话，你如果能够知道它们是二倍关系，还有另外一种思路是什么？找终点呀，我让 a 是 终点， c 也是终点，然后我去进行 构造中位线，能理解吧？好，那在我去找完它是终点，它是终点，它们俩是不是平行关系？所以这是阿尔法，这是阿尔法，那是不是 b、 p 和 p、 q 就是 相等的？这是不是等腰三角形？ b p 当中是不是有 b、 d？ 它又等于，它又等于二倍的 a、 c？ 是 不是这个道理？所以我要去证明的就是 d、 p 等于 e、 f 就 好了。那这个时候我再去构造这两个三角形，全等就可以了。那它的证明方式其实和它的证明方式是不太一样的，能理解吧？那这个方法我不讲了啊，因为这个方法可能就是你真的实在没有思路，证不出来的时候，你往我们学过的终点模式当中去靠的这样一个思路。好，那我就先给大家去说这么多。
244绝对值老师
03:17查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。
38数学张老师
06:54查看AI文稿AI文稿分享一个我的教学方法，就是通过多题一解归类，总结出的确定性方法。这个方法最大优点就是快速，能秒杀，同样它的缺点就是纯粹为考试而生。 好，我们就用北京按摩这几道题，比如海淀按摩、朝阳石、景山啊，防晒等。这些题你看似是好几道题，它其实就是一道题， 哎，我们就先看海淀二模这道题。这道题通过读题，我们会发现，题目里边有三角形 r、 t， 三角形 a、 b、 c， 同样还有 r、 t。 三角形 b、 d、 f。 ok， 那 这 r、 t。 三角形在真正考试的时候，它的确定性方法就是 对称，所以你看，把 r、 t。 三角形 a、 b、 c 沿着 a、 c 对 称过来，沿着 a、 b 对 称过来啊，对称到点 p， 同样把 r、 t。 三角形 b、 d、 f 沿着 b、 f 对 称过来，到 q 对 称过来，就有了等腰了。有等腰是不是就应该考虑手拉手了？所以接下来我们就只需要连线 p、 d， 连线 c、 q， 根据手拉手的特点，小大小大啊，纯粹的确定性小，大小大就有三角形 b， p、 d 全等于三角形 bc、 q， 这个很好正啊， s a， s 正完了之后，这个九十度 f 出九十度就出来了，所以这个题就没有了 确定性路径，多听一解的方法。所以接下来，哎，你看朝阳二模这道题与它有什么区别？没有区别，这个题里边都不用读题，就有 r、 t。 三角形 a、 c、 b， 所以 我们优先考虑它的确定性路径。对称 对上到点 p， 纯粹为考试而生，所以手拉手有等腰，有手拉手 看，所以三角形 a、 e、 p 全等于三角形 a、 d、 b 啊，哎，所以这俩角就相当 x x， 同样这个地方是不是做完图之后就有八字啊？所以这个 这俩角就相等，哎，这个地方是不是 x 加 y？ 是 不是？这就是 r alpha？ 然后题目这个角是一百八减 r alpha， 所以 答案就出来了，两个角的数量关系相加一百八直接秒。 所以我说这个方法最大的优点就是快速能秒杀，然后同样它就是为了考试而生啊，我的这个确定性方法就是像这样通过多道题总结出来的统一方法， ok， 这样讲有点不尊重出题人，太快了是吧？太快了， ok， 来，比如说石景山二摩这道题，这道题确实有直角三角形读题，但是你会发现这个地方还有三十度，当然还有下边还有六十度， 有三十度的直角三角形 abc， 那 这种对称必定是 沿着 a c 对 称，这样是不是就出等边了？ ok， 这样就出等边三角形 a b p 了，哎，点 d 处是不是六十度啊？所以肯定考虑手拉手啊，没有比等边再好的手拉，再再简单的手拉，手拉，所以连接一下 a p， a e， 连接 ae， 哎，连接一下 e p， 所以 手拉手是不是就出来了？三角形 a b d 全等于三角形 a p e， 然后，哎，你做完图之后，你有没有发现 c f 和 e p 是 中位线，是不是辅助线做出来它就是中位线了？所以 二倍的 c f 就 等于 e p， 是 不是也就等于 b d 啊？所以你看 b d 和 c f 的 数量关系，读完了对称 r t 三角形， 好吧，哎，你看感觉到了吧，是不是多提意见，直接秒这种题？那你再看房山这道题啊，所以你看到这个题里边有 r t 三角形 a、 b、 c 的 时候，有 r t 三角形 a、 h、 d 的 时候， 所以，乖，不要说我要这样思考，我要那样思维啊。如果是纯粹考试的话，哎，你先对称一下吧，是不是对称一下？哎，我 a h， d 关于 a h 这样对称， ok， 同样 abc， 关于 ac， 这样对称来 好，对称完了，这个点是 p， 这个点是 q， 对 称完了，是不是就有等腰，从而就有手拉手了？所以我再连接一下 b p， 所以 就有三角形 a， b p 全等于三角形 a c a q a q c a q d 啊，手拉手是吧？手拉手，然后他问，这两个边的数量关系啊， c c g 和 h g 的 数量关系，哎，你看完了之后是不是就有中位线？ 就是 g h 平行且等于二分之一， b p 这个东西肯定用得着中位线， 然后他问这两个边的数量关系是不是就倒边了来？假设这是 x， 导出 c g 也是 x 来就行了，哎，所以这是二 x， 所以 这是不是二 x？ 我 们 cd 是 y， 所以 bc 二 x 加 y， ok， 由于这个 gh 是 中位线， gh 是 中位线，所以你瞧，你瞧这个， 这个长度是不是 x 加 y？ 为什么？因为整个 b d 是 二 x 加二 y， 它的中间不就是 x 加 y， 然后 cd 是 x， 所以 c j 是 不是 x， 所以 c j 就 等于 h j 就 拥有了 啊，就四道题啊，简单来说，就四道题，通过这四道题，你会发现，哎，如果 你像我一样关注的是考试，关注的是考试，不妨尝试一下我说的这种多题一解的确定性方法。确实快，太快了，直接秒这种题，有没有这种感觉？
547mathniu说数学
05:32查看AI文稿AI文稿看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。
24:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。
32栗子老师教数学
