初一下册几何数学飞镖内角分线
这是一道七下期中考试的压轴，整体得分率不到百分之十，今天薇薇老师带你用飞镖模型了解出答案，一起来看。 b p。 平分角 a、 b、 d 这两个相等的小角，我们标记为 r 法 c p。 平分角 a、 c、 d 这两个相等的小角，我们标记为 b 塔。题目告诉我们，角 a 等于七十度， 角 d 等于二十度，让我们去求角 p 的 度数是多少。薇薇老师已经整理出了几何辅助线构造的核心方法，包括三角形与平行线的四大类型和十五种配套题型。孩子练完考试直接拿满分，需要的家长我发您一份。 这道题的核心考点呢，那就是飞镖模型和角平分线的综合运用，所以我们先来回顾一下三角形当中的飞镖模型。那什么是飞镖模型呢？ 简单的说，飞镖模型的实质就是一个凹似变形，因为它的形状酷似飞镖，所以我们把它称作飞镖模型，有的时候呢，也称作燕尾模型。 它有一个非常重要的结论，那就是凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们把它表示为角 b、 o、 c 等于角 a， 加角 b， 再加角 c。 如何证明这个结论呢？很简单，利用转化的思想，把这个四边形转化为三角形，因此我们连接 a、 o 并延长， 这样我们就把这个四边形分割成了左右两个三角形。对于左边这个三角形 a、 o、 b 来说，这个角一呢，是它的一个外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以角一 等于 r 加上角 b。 同样的道理，对于这个三角形 a、 o、 c 来说，角二也是它的外角，因此呢，角二也等于与它不相邻的两个内角之和，所以角二就等于 bit 加上角 c。 然后我们把这两个式子给它连立起来，直接把两个等式相加，这样角一加角二就等于 r 加 bit， 再加角 b， 再加角 c。 而角一加角二呢，刚好就是我们的角 b、 o、 c。 角 r 加 bit 呢，也就是我们的角 a， 所以角 b、 o、 c 就 等于角 a 加角 b， 再加角 c， 也就是凹进去的这个角等于另外三个角之合。有了这个飞镖模型的结论，我们回到刚才那道题当中，在这个图形中呢，有两条角分线 b、 p， 平分角 a、 c、 d， 所以 这两个角我们把它记为 b。 塔 角 a 等于七十度，角 d 等于二十度。让我们去求这两条角分线所形成的夹角角 p 的 度数是多少。 在这个图形中呢，很明显，我们能看出它有两个飞镖模型。第一个飞镖模型 a、 b、 d、 c， 我 们把它抽象出来，这里的凹进去的角角 a、 c、 d 就 对应着我们的二倍贝塔，这个角 a、 b、 d 呢，也就对应着我们的二倍 r 法。 那么凹进去的这个角等于另外三个角之合，所以我们可以把它表示为二倍倍，它大于二倍阿尔法加上角 a， 再加角 b， 我 们把它记为一式。那么这里边呢，还有一个飞镖模型，那就是 p、 b、 d、 c， 我 们仍然把它抽象出来，这里的角 p、 b、 d 呢，就对应着我们的阿尔法。 所以在这个飞镖模型当中，它也有一个等量关系，那就是 bet 等于 r 加上角屁，再加角 d。 哎，回到题目当中，题目中给出了我们角 a 和角 d 的 度数，要我们去求角屁的度数，那很明显就是要去寻找角 a、 角 d 和角屁这三个角之间的关系。因此呢，我们就要想办法 消掉这里的阿尔法和贝塔。要消掉阿尔法，贝塔，所以我们把二四等四的左右两边给它扩大两倍，这样就有二倍的贝塔等于二倍的阿尔法，加上二倍角屁， 再加上二倍的角 d， 我 们把它记为三四。要消掉阿尔法和贝塔，直接把一四和三四相减， 我们就可以得到等式的左边和左边相减，等于零等式的右边和右边相减 r 和 b， 它就被抵消掉了，那也就剩下角 a 加角 d， 再减去二倍的角 p， 减去二倍的角 d， 所以呢，一项就可以得到二倍的角 p 等于角 a 减角 d， 那 么角 p 呢，自然也就等于角 a 减角 d 的 一半。 所以我们来总结一下这两条角分线所形成的这个加角角 p， 它就等于角 a 和角 d 它们两个角之差的一半。 而题目中告诉我们，角 a 等于七十度，角 d 等于二十度，它们之间的差是五十度，五十度的一半，自然角 p 也就等于二十五度。同学们，你学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！
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04:14查看AI文稿AI文稿这类题堪称初一下的几何填选压轴王，同时啊，也是高频考点，为什么呢？第一，他考察了飞镖模型这么一个几何模型， 第二，他考察了用方程思维解决几何问题。别急，好，今天就用最简单方法，不教大招，不教口诀，教你如何把不规则的飞镖模型转化成方程问题，学会以后不管怎么考，考场直接拿分。好，我们来看题目。 首先这个题呢，给了一个平分，平分来分享第一个观点啊，来请大家记笔记，见角分就射圆， 射未知数啊，就射圆的意思，所以说呢，我们可以把 md 这个角分线设它是 x x， 把 cd 这个角分线设它是 y 和 y 好 不好？然后给到的是我们的角 a 和角 n 的 度数，问你角 d 的 度数。好，这里面我们科普第二个知识点就是飞镖模型 啊，今年春节的贺岁党电影我还没看啊，但是听说也是跟这个标有关系。来，你今天把这个模型看会， 好，送大家免费去看。好，开玩笑，来看一下什么叫飞镖模型哈，飞镖模型的本质是一个凹进去的四边形，然后呢，我们的结论是什么？是一个角，两个角，三个角 等于三个角的和，哎，等于角一角二，角三 等于角一角二角三。好，为什么？给大家科普一下啊？首先我们这条辅助线延长，它 这里写个四，看仔细喽，请问角一加角二是不是外角等于角四？你看这里是不是有个外角的存在，是不等一加二就等于角四，对吧？然后呢，四加三角四加角三是不是等于这个外角是我们的这个屁股这个角， 你看四加三是不等于这个角，对吧？好，等于我们的屁股这个角。好吧，那你现在整体代换一下，你会发现一加二， 一加二是不是换成了角四？所以说答案就是角一加角二加角三等于屁股这个角。 ok， 这就是我们的飞镖模型，那你有了这个模型的帮忙，你看一下你怎么列方程来，先往大了去看，这里是不是个飞镖， 是不是个飞镖，对吧？屁股是不是在这儿呢？好，所以我们可以列一个方程是什么？请大家一起帮我列一下是什么？就是角 a 加这个角，角 n 再加二 x 等于这个屁股是不是二 y， 这是第一个方程，对不对？好，那我要跟 d 扯上关系啊，我再找一个飞镖， 我从来不鼓励大家每学一个题就记一个模型，记个口诀。那你记的口诀模型也太多了，是吧？这个绿色的飞镖你看是什么感觉？就是这个角加 d 就是 我们的再加 n 啊，就是我们的角，这个是 d， 再加这个 d 加这个 n， 角 n 再加我们的这个 x， 是 不等于这个屁股，是不就是个 y， 能理解吧？那现在我注意，我要求谁啊？各位，我求的是不是就是角 d 等于几，对不对？那怎么办？怎么办？ 我谁不要啊？我这个 x 和 y 不要啊，对不对？所以说我把它乘二倍，哎，换个颜色啊，它乘二倍，它乘二倍，它乘二倍，它乘二倍。等式两边同时乘二，可以吧？然后它减它 y 减 y， x 减 x 是 都没了，来，你看啊，它减它是什么？我写啊，二倍的角 d 减角 a， 然后他减他是两个 n， 一个 n， 是 不是再加上一个 n， 等于他减他，他减他就是零，对不对？所以说来二倍的角 d 等于角 a 挪过来减角 n， 也就是四十减十是三十，角 d 是 十五。结束， 各位，你看你学会了吗？就是用方程思想解决的是几何模型，但你不需要死记硬背。结论，你只要知道基本款就可以。然后在复杂途中找到基本款， 列出两个式子来，你是不要 x， 不要 y， 所以 你要想方设法利用消元的思想把它们消掉。各位，这么一个复杂的飞镖模型，方程思想结合的题，你学会了吗？
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01:27查看AI文稿AI文稿刚下课，最近也刚好进入期末复习阶段了，初一下必考的一种题型，就集合板块的求角度的题啊，就从学生的上课情况来看，很多娃娃在这一块他做的不是很好。那求角度的题主要是分两种， 一种是不需要设未知数可以直接推出来的，一种是需要设未知数内方程求出来的角度。不管是哪一种，孩子他卡住的原因就是他不知道从哪些方面去推角度， 所以我们就必须要给孩子讲清楚，要倒角的话，应该从哪些知识点和哪些等量关系上面来推。第一个就是我们三角形的内角和哪怕其中有一个角你设了一个 x， 比如另一个角是三十度，那最后一个角利用一百八的内角和为一百五十度减 x。 第二个方面 就三角形的外角定力，那这里呢，就是一定需要给孩子分清楚什么是三角形的外角，因为有的孩子他找不到三角形的外角在哪里。第三个就是平角，当两个角或三个角组成一个平角的时候，利用它们的和为一百八十度去推到角的度数。 第四种关系就是平行角，利用平行线有同位角相等，内错角相等，还有同方内角互补这些关系去推角的度数。 那当然还有一种是利用对顶角相等的关系，那这四种就主要是我们在导角的度数当中会用到的一些知识和关系。你得先跟孩子讲清楚这些导角的方式，他才知道怎么去推出一个角的度数。
14佳儿数学
12:51查看AI文稿AI文稿三十天初中数学提升计划第二天飞镖模型精讲来了基础结论加变形式题，一次性讲透，学会就能搞定同类压轴小题。那么首先什么是飞镖模型呢？就是形如这样子的 o 四变形，我们将它称为飞镖模型。想必我们有一样的疑惑，为什么叫它飞镖模型呢？一起来看它们长得像不像？很像的啊，有地区呢，也叫飞镖模型，我们可以称之为燕尾模型，哎，像一个大雁的尾巴，也可以称之为燕尾， 无论它叫什么模型，它的结论是不变的。那么有关于这个模型里面的角度关系是怎样的结论呢？好在这里如何去证明角 b 等于角 a、 加角 b 加角 c。 老师给大家细讲了三种考试会考到的证明方法，稍后我们对比来看这三种方法哪一种最简变？ 首先第一种我们利用的是三角形的内角和即在三角形 a、 b、 c 当中，角 a 加大角 b 加大角 c 等于一百八。好，老师拆开这个小角，角一，角二，这个小角称为角三角四，所以我们直接得到结论，角 a、 加角一，加角二， 加角三，加角四等于一百八十度。同样的，我们也可以在这个小三角形 b、 c、 d 当中也可以得到三角形的内角和一百八，即角 d 加角二，加角四等于一百八。我们现在得到了两个等量关系，好了，把这两个等量关系，我们来整理一下式子一，减去式子二，看我们得到了什么呢？ 角二减角二，角四减角四一百八，减一百八，所以我们就得到了角 a、 加角一，加角三减角 d 等于零度。继续来整理，把这个负角 d 移到右面，所以我们直接得结论，角 d 等于角 a， 加角一，加角三。我们用的两个三角形的内角和是一百八，从而推出来了飞镖模型的结论。接下来我想简单一些，或者是说我不想用三角形的内角和我可以怎么用呢？我们可以来延长 b、 d。 交 a、 c 于点 e。 哎，我们就发现了这里有一个三角形，那么这个角 d、 e、 c 就是 这个三角形的外角，所以就得到了角 d、 e、 c 等于角 a 加角 b。 那么同样的，我们又发现了让我们所求的这个角 d， 这个角 d， 它不就是三角形 c、 d、 e 的 外角吗？我们又得了角 c、 d、 b 就 等于角 d、 e、 c。 加角 c。 好 了，两个式子来整理一下，我们就可以直接得到结论，角 b、 d、 c 就 等于角 a 加角 b 加角 c。 这个方法呢，我们是利用了两次三角形的外角得到的。同样有同学说了，老师我不延长 b、 d， 我 延长 c、 d， ok 吗？是一样的 延长 c、 d 的 话，我们的这幅图也一样，角 b f、 c 等于角 a 加角 c。 那 么这个大角 d 呢？它就等于角 b 加角 f。 我 们最终也可以推出来角 d 等于角 a、 b、 c 的 和第三个方法也是我们用的最多也是最简洁的方法，直接连接 a、 d 并延长，我们发现了这条虚线，这条延长线将角 d 分 成了两部分， 角一和角二。角一他做的是左边三角形的外角，所以角一直接等于角三加角 b， 角二做的是右边三角形的外角，所以他可以直接写成等于角四加角 c。 那 么我们来整理一下角 d 等于角一加角二，角一呢，他等于的是角三加角 b， 角二呢，它等于的是角四加角 c， 所以 继续来整理角三加角四，这不就是大角 a 吗？我们也可以得到最后的结论，无论你用这三个结论当中的哪个结论，我们都可以证明飞镖模型。接下来我们来看飞镖模型的拓展模型多了一条线段， b e、 b、 e 做的是大角 b 的 角平分线 c， e 做的是大角 c 的 角平分线。所以我们就直接可以得到结论，阿尔法和阿尔法相等，同理，贝塔和贝塔是相等的，那么此时这个角 a、 角 e 和角 d 有 怎样的数量关系呢？这里存在一个飞镖模型，那么在这个飞镖模型当中，角 e 直接套结论等于角 a 加阿尔法加贝塔。 同样的，下面这里也是一个小飞镖，所以我们就可以直接得结论，角 d 等于角 e 加阿尔法加贝塔。 所以我们来看一下式子一和式子二，发现这两个式子里面都有 alpha 加贝塔，所以我们来看式子一里面的 alpha 加贝塔就等于角 e 减角 a。 式子二里的 alpha 加贝塔，它等于角 d 减角 e。 来，你来整理一下减角 e， 移向移到左边，所以我们就得到了最后的结论，即二角 e 等于角 a 加角 d。 这个呢，就是关于角平分线与飞镖模型的一个模型结合。接下来我们就先来练一下有关于飞镖模型六类练习题的第一类 基础飞镖，基础飞镖的题型我们都可以直接秒杀出答案来，让我们求阿尔法熟悉的不能再熟悉了吧，直接阿尔法就等于角 a 加角 c 加角 b。 所以 这个题的答案老师就不再讲了， 来看一下第二题，让我们求的是角 b o c 的 度数 b o c。 好， 我们就可以发现这里又存在了一个飞镖模型，角 b o c 就 等于小角 b 加小角 c 加小角 a。 好 巧呀，三个角的度数都有，直接求和我们就能出答案来。下一题， 下一题让我们求的是角 c 的 度数，它也是基础飞镖。没有设计难题，我们就可以发现角 a、 角 b、 角 c 和角 d 之间的数量关系，即角 c 等于角 d 减角 a 减角 b。 好 了，直接把数据往里一带即可。来再看一下这道题，这道题它也是一道基础飞镖， 只不过呢，这个九十度的角啊，是通过垂直告诉我们的，已知这里是二十七，这里的度数有，然后让我们去求角 b 的 度数， 那么角 b 它就等于九十减二十七，减角 d 的 二十。接下来第二类三角板与飞镖，这就涉及到了一部分，重合来将一幅三角板如图放置，求角一的度数来，我们要看一下这幅图里面它的飞镖在哪里呢？ 飞镖模型在这里，所以我们就要得来得结论啊，结论就是这个角是个九十度的角，等于三十度加角一加这个角角， 那么现在就来了，这个阿尔法是多少度的角呢？我们不难可以发现，阿尔法和他是对顶角，这里是一个三角板九十度，所以我们就可以发现这是一个等腰直角，阿尔法等于四十五度， 所以让我们求的角一的度数，在黄色的飞镖当中，直接来得角一就等于九十减四十五度，减去三十度，我们就轻松的搞定了。哎，下一道题还是关于三角板拼成，如图所示，角 c 等于三十度，角 e 等于四十五度。哦，这里的度数是正好给我们给反了啊， 可以反我们度数了，角 b 应该等于的是四十五度，角 e 等于三十度。让我们去求角 b、 f、 d、 b、 f、 d。 好， 求这个角角， 我们不能直接求出来这个角，但是我可以发现啊，这个飞镖模型我们求的这个外角是这个角的什么角啊？是这个角的邻补角。我们来看一下这个飞镖模型的这个外角 r 阿尔法，它就等于四十五加三十加九十，所以让我们求的这个角 b、 f、 d， 那 它就等于一百八十度，减去阿尔法，这道题也轻松的搞定了。接下来就是关于第三种类型，我们需要自己去画辅助线构造飞镖，来一起看已知角 b 加角 c 等于九十度， 角 a 等于五十度，角 d 等于四十，则角 a、 e、 d 的 度数。这幅图形当中并没有直接给我们画出飞镖模型，我们需要读完题之后自己去标飞，自己去做辅助线，所以这个题我们需要连接 a、 c， 角 b 加角 c 是 一百八。好，它们两个一百八，角 a 是 五十度，我们可以得到三角形内角和是一百八十度，那么剩的这个角，角一和角二的度数之间得到了角一加角二就等于一百八加五十度，减去三角形 a、 b、 c 的 内角和一百八十度等于五十度。 接下来我们来看一下这个题当中的飞镖在哪里呢？飞镖不就是在这吗？让我们求角 a、 e、 d 的 度数，已知角一加角二好，角 d 的 度数也已知是四十度，所以让我们求的角 a、 e、 d 就 等于五十度加四十度，答案等于九十，轻松的就搞定了。来继续下一道题，这道题让我们求的是角 a、 c、 b、 e 的 度数和大家看一下已知条件，已知这个角角是一百度，这个角角，这个角角是一百三十度， 怎么去求呀？还是需要我们去连接辅助线构造飞镖模型，所以我可以连接 a、 d， 我 们就可以发现啊，右面这里有一个飞镖， 同时左边这里他还是一个飞镖，左边这里还有一个飞镖，所以这道题我们构造出来了两个飞镖模型来，一百三十度等于这些黄色角， 一百度等于这些蓝色角，那么加到一块呢？这个度数和直接出一百三，加上一百度等于二百三十度，我们就轻松的搞定了。接着第四类关于角平分线与飞镖模型。刚才我们一起总结了关于角平分线与飞镖模型的结论，所以在这一幅题里面 告诉我们 b、 e 和 c、 f 分 别是角分线，所以这个题里面的结论就是关于角 a、 角 g 和角 d， 即二角 g 等于角 a 加角 d。 一 起来看题干当中给我们的条件啊，角 d 等于一百四，角 g 等于一百，求角 a， 好， 那这我们不就直接得到了吗？两百度等于 角 a 加一百四，所以直接得角 a 就 等于六十度，我们这一问就可以轻松搞定。如果你不会角分线加飞镖模型，那么这道题你去倒角计算，至少是需要你一分钟记住这个结论，至少老师可以给你省一分钟。继续来下一道题。 已知角 a 加角 b、 c、 d， 它加上它是一百四， b、 o 平分， b、 o 也平分，求角 b、 o、 d 一 样的呀。我们有结论，我们直接来角 b、 o、 d。 两倍的角 b、 o、 d 等于角 a 加角 c， 即一百四十度， 所以直接得角 b、 o、 d 等于七十度，你就轻松搞定。来。接下来就是关于多角飞镖，多角飞镖的这一类题呢，它是作为填空和选择题的高频题型，一起看，如图， 角 a、 b、 c、 d、 e 的 度数和。我们可以发现这是我们的五角星。很多同学碰到这类题的时候，这个图当中的线段如此的多，形成的角度也如此的多，你在倒角可能又用到什么？外角，内角？邻补角，对顶角，倒着倒着头就大了。 这道题用飞镖模型来解答，非常的简单，一起看，老师随便画了一个飞镖，所以得到角 a、 加角 c， 加角 e 等于的是角 e， 那 么题就被我们整理成了角 b、 加角 d、 加角 e。 来整理一下呗。 角 b 在 这里，角 d 在 这里，角 e 的 对零角在这。所以三个绿角的和是什么？ 三角形，内角和一百八十度，所以这道题我们手拿把掐搞定。关于五角星，它这五个角的度数和一定是一百八十度，我们一起看啊，这五角星是这样子，我把这个五角星变形了一下，同样也符合。为什么这里是一个八字模型，所以角 a、 角 b、 角 c 加起来等于这个角，我们可以发现 这个角和它是对顶角，角 d、 加角 e 正好组成了三角形，内角和一百八同样的，这幅图里面 用到的方法是一样的，角 a， 角 b， 角 c 加起来等于它，它的对顶角，在这里加角 d， 加角 e， 组成了三角形。 角和一百八。这幅图老师就不讲了，我们就可以发现，无论这个五角星它长什么形状，那么它的这些角度的和都等于一百八十度。接下来我们看一下这道题，更多的角，它的度数求和求这些角的度数和一样的。我们要去发现飞镖模型，发现了这里是一个飞镖，所以角 b， e f， b， e， f 的 度数和等于角一，我们还可以发现另一组飞镖在这儿，角 g d a a b g， 那 么就等于的是角二，那么剩下来还有哪个角没求呢？还剩角 c 没有求，所以我们来看一下角一的对角，角二的对角加上角 c， 我 们组成了什么图形， 最终组成三角形，所以它的内角和是一百八，如果最终组成的图形是个四边形，那它的内角和就是三百六。一起来看这个题呢，度数和，所以我们来 这里是有一组飞镖，所以我得到这等于的是一百零五度，这是 a， b， f， a， b， f 还剩什么？还剩 c， d， e。 来画一下 c， d， e 也组成的是飞镖， 等于一百零五度，所以答案就等于二乘一百零五度，二百一十度轻松的搞定了。接下来就是我们的最后一类关于八字模型和飞镖模型这样子的一个组合，一起来看一下这两道题啊。我们先看第一题， 地铁告诉我们角 a 等于五十五度，接下来让我们去求这些角的度数和。如果用八字模型我们去做这道题的话，我们就是去构造对零角，我们可以发现这里角一和角二是对零角，所以需要连接 bc， 从而呢把这个小角 d 和小角 e 转移到 这里，那么让我们去求的这个角角角 d 和小角 e 被我们转移走了，就是角 a， 角 b， 角 c， 加上这两个角 a， 加角 b， 加角 c， 加这个角正好是三角形。如果用八字模型我们的方法是这样可以得到内角和是一百八，那么要用飞镖模型我们如何去理解呢？来一起看 这里是一个什么，这里是一个飞镖，所以这个角它的度数就等于角 a， 加角 b， 加角 c， 接下来我们还要再加什么？加角 d， 加角 e， 是 不是加到这啊？ 所以我们就可以直接的得到度数和等于的是中间的三角形，内角和一百八十度也被我们轻松的搞定了。这道题也可以利用八字模型或飞镖模型来解答，这道题我就教给你了，评论区告诉我你的答案。
47初中数学袁老师
01:31查看AI文稿AI文稿这题不会，初中全废，求 a、 b、 c、 d、 e、 f 这六个角相加等于多少度？这六个角我们一个都不知道，那么怎么来求它们的和呢？同学们，我们知道三角形的内角和等于一百八十度，四边形的内角和呢，等于三百六十度。 我们在求这些角度之和的时候，一定要想办法向三角形、四边形或多边形做转化。仔细观察一下这个图形，我们把 b、 f、 f、 c 和这两条线段都连起来看一下，这个图形有三个凸出去的尖角，一个凹进去的角， 这就是初中几何当中常用的飞镖模型。在这个飞镖模型中，凹进去的这个角 d 呢，就等于凸出来的这三个角相加。用到我们这个图形当中，这个角 b 加上这个角 c 加上这个角 f， 就 等于这个角一。角一和这边的这个角二呢，是对顶角，角一呢，又等于角二，所以我们这个角 b 加上角 c 加上角 f， 实际上就等于这个角二。 那我们要求的这些角度的核呢，最终就转化成了角 a 加上角 e 加上角 d， 再加上这个角二。观察一下，这几个角度相加，不就是我们这个四边形的内角核吗？很显然，四边形的内角核就是三百六十度。
41木子老师初中数学
