西城二模数学22题怎么做
北京西城二模，为什么我的学生三分钟就能画出辅助线，而你挠破头苦思冥想十五分钟，也没有任何思路，全是因为你没有掌握方法。大招 九字方针。我发明的这个绝招方法我已经讲了快十年了，每年都能用得上，屡试不爽。所以要想在最后的一个月有所突破，找到一个合适的老师，学一学他的方法。大招绝对是有用的，也可能是孩子最后的希望。现在就行动，还有机会。
粉丝8564获赞1222
相关视频
03:17查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下西城区初三二模的这个圆中核啊，好久没有讲圆中核了，对吧？我们说做圆中核一定要特别的丝滑，对吧？这个题我在 上周六周日，就是昨天和前天，对吧？给初三的给初三班的学生讲课的时候讲过这个题啊，这个题可以口算， 我觉得大家如果要是考试中能够看出来第二问的这个思路，这题可能是两分钟，但是如果你要是在考场没有看出来，就可能两种情况，第一个就是课上没有认真听，第二个可能听了，然后课下给忘了，在考场上就是没有想起来咱们讲过的东西啊。这题可以瞬秒的啊， 我先把它给连接起来，再把它给连接起来，这是第一问的思路啊，第二问他说的是过点。第一，做一个垂直， 过点 d， 做一个垂直，然后与什么呢？与 ab， 对 吧？往这个地方交于点 n， 这个地方是有一个 m， 呃，然后呢？我们直接开始看第二吧，它说的是 c f 等于三倍的 a f， 所以 说我假设 a f 是 x， 这是一个三 x， 我 们在课上是不是讲过这个二级结论， 对吧？还告诉你们在哪个地方讲的呢？大家来看一下啊，昨天的那个课，我瞅样啊，我把这个讲义给找出来， 就是担心学生在考场上用不到，知道吧，这就比较尴尬，是不是在在这个地方啊？ 初三的一模在这， 我们在课上是讲过这个东西的啊，这不在这快速出思路的是不等于它。所以说这个新城区的模考题的这个圆中，不就是一分钟两分钟吗？直接秒了，对吧？我们可以怎么写 x 乘以 ab 啊？不对， x 乘以 x 加 ab， ab 是 四等于什么？等于个九 x 方，所以 x 加四等于个九 x， 那 么 x 等于二分之一，它等于二分之一，这地方不就是二分之三吗？ 这个地方是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径半径的话是二分之五，对不对？这个地方半径是 b n， 求得是 b n， 因为这是有一个垂直，所以说我们只需要跳角，这个角一等于角二靠近角一等于个靠近角二靠近角一等于几？是不等于三比五等于二比上一个 o n o n 呢？等于个三分之十，所以 b n 等于个三分之十，减二等于个三分之四。 考场上大概大概就是需要两分钟就可以写出来啊。当然这个二级结论的话是告诉你们快速出思路，因为我们圆轴和是需要快速出思路的，然后你们写一下过程就行。怎么写过程是不连接一下就行了，连接完之后有一个三角形相似。啊，好，这个题我讲到这里。
38数学张老师
05:35查看AI文稿AI文稿各位同学好，我们来看二零二六年四十二中二模卷的第二十二题啊。第二十二题，几何给了一个矩形 a， b， c、 d 对 角线 a、 c 和 b d 交了一个点 o， 然后我们的 c、 e 呢，是平分了这个角 a、 c、 b 的， 就是这里的角一和角二是相等的。嗯，我在下面这个图放大一点给你写啊， 因为那个图确实太小了，角一等于角二。好，然后呢？呃，他又说了， d、 f 是 垂直于我们的这个 c、 e 的， 就这里有一个直角啊，这是一个垂直符号啊。 呃， d、 f 和 c、 e 垂直，这里有个直角啊。好，那第一小题让你证明 c、 h、 g 等于我们的 c、 f、 g， 其实就是证明角四等于角五， 那在这里面，这不是典型的角平分线加一个这个。呃，垂直吗？你要注意，三线合一不能直接反推等腰啊。 啊，那我们这里用了跟答案一样的，我们用的全等，就我们怎么证明角五等于角四？你不能说由三线合一得这个 g 点为中点。不行啊，那你用全等的话，就是三角形 c、 h、 g 会全等于三角形的 c、 g、 f， 哪里来的条件啊？角一，角二公共边，以及这个垂直，所以是 s a s， 那 就导致角四等于角五啊。 好，第二小题，第二小题还是这个图，它让你证明我们的 o、 h 这一条边等于二分之一的 b、 f， 那 这一条做辅助线啊，二分之一的 b、 f， 各位同学，你能联想到什么？ 是不是中点二分之一嘛？因为你是水平的，所以我们完完全全可以联想到中位线。那这一题辅助线是过点 o 来做一个 o p 平行于我们的 b c， 因为 o 点为中点，而我们 o p 又平行于 b f e， 中点加 e 平行，是不是推中位线啊？ 所以 o p 会等于二分之一的 b f 啊？啊？然后接下来呢？这个等于二分之一 b f， 我 怎么去证明 o h 等于二分之一 b f 呢？那我只要证明 o p 和 o h 相等不就行了吗？ 永远无缘无没有无缘无故的上一问啊，你的这个平行可以导致角三是不是等于角四啊？角四等于角五，角五的对零角是角六 a， 所以 三和六是相等的，那就导致我们的这个 o p 和 o h 相等都占了整个 b f 的 一半啊。 好，第三小题，第三小题说在矩形 a b c d 当中交 a d 于这个点，呃， f， 哦， a e 平分啊，就现在是换了一个啊，这是还是一个矩形啊？然后我现在 a e 是 平分，就是我跟你重新写了九一等于九二，然后 b h 是 垂直于我们的这个 a c， 这里有个垂直，如果这个矩形的长和宽之比，它是四比七，求这个 f b 和 f g 的 这个比值， 那么我们这个是不是所谓的交叉型比例啊？交叉型比例我在之前就跟大家讲了，你要想方设法构造一个八字形相似，当然你这样构造九一九二不就用不到了吗？ 呃，所以我们这个怎么构造呢？我们用数值的来构造，来做一个 g m 平行于 ab， 那 么这一组八字形相似，我们要的这个 ab 比上一个 g m 好。 ab 比 g m 为什么跟角平分线挂钩啊？因为角一等于角二，两直线平行，我们的这个内错角相等又等于角三，所以导致 ga 和 g m 不 就相等吗？ ga 会等于 g m 啊？ 好，然后接下来这里的一个相似来，你看啊，题目要的 b f 比上一个 f g 被你转为了 ab 比上一个 g m， 因为等腰， ab 比 g m 又被你转化为的 ab 比上一个 ag， 对 不对？好， ab 比上 ag， 你 有没有发现，就是我们的这个角四的上影值倒过来啊，它是斜边比上一个这一条 直角边，角四又等于谁啊？角四加角六等于九十啊，角五加上一个角六等于九十啊，对吧？所以角四和角五是不是相等的，我只给大家写的分析啊， 那我要三角四，其实不就是要三角五吗？哎，你在这里面你看啊，这里是四只七，斜边勾股定力立马就出来了，是不是根号六十五啊？ 所以我们要的这个，呃， ag 比上一个 ab 呢？你可以用相似啊，我用的三角函数啊，它是三角四分之一，就是三角五分之一，那么就应该是等于 ac 比上对面的这个 ab， 所以 结果应该是四分之，刚好六十五 啊。那其实最后一道题就是三步走嘛，第一步做平行推这个蹬腰，第二步用 a 字啊，这个八字形相似，把它转化为 ab 比 g m， 然后又到了 ab 比 ag。 第三步呢，就用到三角形的 abg 和三角形的 abc 相似啊， 所以你可以用三角函数，你也可以用我在旁边给你写啊，或者是你可以用什么呢？相似三角形的 a b g 会相似于这个三角形的 a c a c b 啊？啊，那题目你刚刚不是说想要 ab 比 ag 吗？ ab 和 ag 刚好是自己比自己， 它会等于 a c 比上一个这个 a b 其实就是跟我们三角函数做法一样的啊，好，那这个是四十二中的二模点二十二题。
13小顾老师吖
01:57查看AI文稿AI文稿西城二模今天的原宗考点其实挺标准的，为什么说够标准呢？因为它比较贴合中考的考点啊，必须明确这样说，但是你说它有难度吗？其实难度系数我觉得还没有达到中考的难度。我们接下来来看一下这道题，他说 ab 是 直径，还是要去做条件反射？看到直径想什么？我不多说了，然后告诉我们是过点 c 做直线 e、 f 分 别交 b、 d、 b a 延长线于点 e 和点 f， 且 e、 f 等于 b f， 那 因为 e、 f 等于 b f， 所以 对应两个底角等，这先给它表示出来， c b， e 等于的是四十五度，因为它是一个圆周角，所以我们说过，看到圆周角要看它所对的弧是谁？弧 c d， 那 弧 c、 d 有 没有它所对的圆心角呢？没有，所以构造连 o c 连 o d， 那 这个角就是九十。好，第一问让我们正切线很好，正因为我知道这是九十，又因为 o d 等于 o b， 所以 这两个底角也等，那它们两个等了之后就会出现平行，所以 o d 和 e、 f 平行，这就是九十。所以结束。第一问结束了，很快啊。 好，来看第二问。第二问说做 m n 做好了， m n 垂直于它，那，因为这是垂直，这也是垂直，所以相似，三角形就出来了。谁 f c o 和三角形 f m、 n 这两个三角形形成 a 字相似， 那因为题目当中给了我一个比例关系，所以我可以用设参的方式， a f 等于 a， 那 c、 f 就是 三 a， 那 因为又告诉我 ab 是 四， ab 是 直径，直径是四，所以半径是二，这是二，这也是二。这个直角三角形里面三边长就都有了，而 且是含有未知数 a 的， 那我就可以利用勾股定律求出 a， a 的 长等于二分之一，白求出来。求完了之后， a 的 长是二分之一，所以 m f 的 长就有了。因为 c， m， d， o 这个是一个什么形？正方形，所以 m f， 它的长就是二分之七， 这是二分之七，这是二分之三，所以两个相似三角形的比例关系就有了。所以 m n 的 长也能求出来，等于三分之十四。 m n 出来了，那 d n 就 出来了，等于的是三分之八。好，那 o， d 是 二，这是三分之八，所以 o， n 的 长就出来了。 o， n 等于三分之十，三分之十有了，减去 o b 的 长， o， b 等于的是半径，也就是二，所以它答案是三分之四。结束了， 到了吧，我们只需要识别出来一个 a 字相似，然后利用勾股定律，包括他对应的相似线段成比例就出来了。所以我觉得他考的还挺好的啊，比如说有勾股，有相似，如果你不用相似，你用三角函数也可以，但是他的难度我觉得没有达到。好，那我们就先说这么多，拜拜。
193绝对值老师
04:13查看AI文稿AI文稿ok， 好， 同学们，好啊，那接下来给大家讲一下咱们刚刚结束的啊，今天刚结束的这个西城的初三二模这个几何综合，好吧，然后这个题他还是一个手拉手加一个斜面中线啊，整体上来说，整体来说的话，老师认为难度 上壳啊，没有那么难哈。呃，首先这个 abc 是 一个等腰三角形，然后角 b 是 一个阿尔法，对不对？然后你就记住啊，这阿尔法和二阿尔法这种东西的话，一般出现如一般如果同时出现的话，基本上就跟手拉手是挂钩的 对不对？要不然的话，他就需要咱们直接去构造一个以二阿尔法为顶角的两个等腰三角形去构造手拉手，要不然的话，那咱们就得去考虑对不对，比如说这个半角模型，通过半角模型，然后再去推这个手拉手，这样， 好吧，然后第一问咱直接过来啊，然后第二问说这个呃 c d 旋转了， c d 旋转二阿尔法到这对不对？说明这个角是一个二阿尔法，然后这个角也是一个二阿尔法，对不对？那这个这当大家看到这个角是二阿尔法，这个角是二阿尔法的时候，应该能够遇上一个事，就是这四个点是一个共圆的， 对不对？因为这个角加这个角是等于一百八十度的，对吧？所以这个圆内接四边形才对角互补嘛，所以这四个点是共圆的，你别管它用的上用不上，但是咱得意识到有这个事，好吧，然后继续呃，说是表示这个 a c 跟 呃 b d 和 e f 的 一个关系，同志们啊，就是这个第一个图啊，咱们之前应该很强调一句话，叫什么呢？叫我卡住的时候一定要去看已知和前面提车，那这个已知包括什么呢？已知和前面提车包括什么呢？第一个包含文字性的信息，第二个包含图像性的信息， 所以第一个图如果这么画，而且这块你知道的是一个直角的话，第二个，第二个，第二个第二题的时候，老师上来啥都没干，直接把这个直角给他做出来了 啊，直接延长之后变成了一个直角，对不对？那我我也不知道这块是不是直角，我就根据我的 d 问的图，第二个我就想这么去干，对不对？这是咱们一个需要干的一个事啊，然后我们接着往下看啊？ 呃，然后我们知道，然后 d 问当中我们可以得到 b、 d 和 a、 c 是 一个二倍关系，对不对？那 a、 c 和 b、 k 我 们看着也像一个二倍关系，对不对？然后 b、 d 是 这个，然后 d、 k 和 e、 e、 f 看着还像相等，那基本上这个结论也就出来了， 对不对？那就是 b、 d 加上个 d、 k 等于二倍的这个 a、 c， 那 也就是这个 b、 d 加上个 e、 f 等于二倍的 a、 c， 对 不对？那基本就这样了。所以到这儿的话，你只要去证明 e、 f 等于 d、 k， 那 e、 f 等于 d、 k 的 话，两边不在一个参数型，那肯定优先去通过全等，全等的话，那我肯定要把 c、 f 连上，对不对？因为这俩参数型看着很，看着很像嘛，对不对？然后连上之后我去正 啊，我去正，这个时候我们还有几种里面有一句话叫什么呢？叫我要改变我的辅助线去输方式，然后让我的辅助线 啊，因为辅助线是给我提供引条件的，然后让辅助线给我提供的这个引条件是我需要的这个条件，那我需要正这个特写，你和这个特写你是全等，对不对？那我直接就去目前我的条件有哪些？有这个边等于这个边， 对不对？其次有这个角等于这个角，为什么呢？因为这个角加这等于一百八，所以这角加这角等于一百八，因为这角加这角一百八，所以这个角等于这个角，对不对？ 然后其次的话，我啊，没有了，那就知道这个角一个边，对不对？那我直接干嘛？我直接延长，延长这个 b d， 对 不对？延长 b d， 然后使 d k 等于 e f， 这样的话，我一个边加一个角，再加一个边 s a s， 这样三角形是不是就全等了， 对不对？然后圈等之后逐过我去再正。这个是直角嘛？这个是直角，然后这仨边相等嘛，对不对？然后很好正啊，很好正啊。这个角是阿尔法，我们是知道的，然后我知道这个三角形和这个三角形是全等的，那这个角 对不对？这个角和这个角应该就是这个，呃，相等的，这个角是二阿尔法，那这个角也是一个二阿尔法，对不对？然后这个边等于这个边，所以这个角是九十度减阿尔法，那这个角是阿尔法，那这个角自动就是九十度了， 对不对？那这个角是九十度减阿尔法，这是二阿尔法，那这个也是九十度减阿尔法，那 a c 就 等于 a k 了，所以我的这个 a 点就是我的阿尔特尔去前面中线了，前面中点了，对不对？那我要正的这个答案它不就出来了吗？ 好吧，这个就是咱们西城啊，西城处在二摩的这个几宗。好吧，整体来说的话也是够到一个手拉手加一个前面中线，他还是非常气，跟咱们中考的这个趋势还是非常像啊，还是非常趋近的啊。
02:08查看AI文稿AI文稿北京中考数学的选择压轴题很看重技巧，因为从二零二三年开始，这道题型就改成了从一系列结论中选出正确结论序号的这种形式，这种形式就有很强的推理技巧存在。 出题老师在出题的过程中也会考虑到学生可以使用技巧，因此有些选项故意设置的比较难，而我们可以绕开它。如果你没有使用技巧，很容易产生浪费时间的现象。以西城二模的这道选择压轴题为例，我们看一看。首先第一个 结论是比较容易判断的，我们通过观察 m 点，从 a 点运动到 b 点，再运动到这个外轴上交点，这个过程中间这条线 o b 最长，也就是 m 和 b 重合，此时比较容易算出来它是长度为二，因此第一个结论正确。此时我们要结合选项了，这是我们讲的常用技巧， e 优先结合选项。因为通过观察选项，我们发现一和三、一和四是搭配的，没有和二进行搭配， 二不用看就知道 b 错，然后三和四不要着急，从三开始，我们经常讲你要去选那个比较容易下手的选项开始观察可得。三是反比例函数问题。大部分同学对于反比例函数，它的熟悉度不如纯几何，因此我们可以优先从四 入手观察四这个选项。第一个 d 大 于 b， 说明啊 m 点不可能在这一段，否则它的坐标就比 n 高好，那因此 o m 和 o n 都只能在 a b 上， o m 又等于 o n， 说明什么？找到对称轴，一个是 o n， 一个是 o m， 他 俩必然对称，只有这样才能够满足他俩相等。由此我们就可以得出这两个点他俩的纵坐标相加 等于中间的这个点 p 的 纵坐标二倍，他俩的横坐标相加等于中间这个点 p 的 横坐标的二倍，而这个 p 点的坐标很容易判断， 它的横坐标是二分之三，因此 m 和 n 的 横坐标之合就是三四是对的。由此我们快速选出本题答案为 b。 这就是我们常讲的常用技巧，一是优先选择易判断的结论，二是结合选项进行判断。 类似的技巧在我们的元东带东、几东新定义中都大量出现，大家只有把这些技巧掌握了，在考试中才能更好更快的做出这些题。
25北京初数程老板
05:25查看AI文稿AI文稿a 二零二六届西城高三二模圆锥曲线压轴体 等基问题，很多同学不具备等基变换的思想，一同疯狂计算，结果壮志未酬。事实上，这两个三角形 b p n 和 b p f 它们是共底，要证明它们等高。也就是说， n 点到 b p 的 距离与 f 点到 b p 的 距离相等， 要计算两个点线距离，当然计算的有点大，因此面积的割补很有必要。高考嘛，考一点初中知识很合理，高中初中不脱节吗？好，我们具体来看。 第一问很简单，椭圆的方程。第二问，我们将 b p 延长与 n f 交一个点 t， 刚才我们要证明 n 到这个之间的距离与 f 到之间距离相等，其实就是证明 n t 等于 tf。 现在我们用等级变换的思想，如果能够证明 t 是 n f 中点，那么 n pt 与 f pt 这两个三角形等底共高，而 ntb 与 f t b 这两个三角形同样是等底共高的，这两组三角形一减，不就是题目中那两个三角形面积相等吗？ 哎！于是我们通过等级变换，设那条直线与 x 轴交于点 t， 横截式取点力带入销元整理，由判别式大于零。两根和两根基。注意到，这个两根和与两根基显然有一个简单的关系，这个关系后面一定会用到 对于 b p 的 直线方程。另外，等于零就可以求出 t 点坐标， 经过简单的代入计算，可以得到 t 就是 n f 中点。由刚才那两组三角形面相等作叉，可得到所求的这两三角形面相等问题解决。 当然，我们还可以有另外一种思想，把刚才的 a p 延长交于 b f 与 q， 如果 p 是 a q 的 中点，那么这个三角形和右边这三角形又是等底共高的，下面这个三角形和这个三角形等底共高， 把这个这个加起来，等于这个加这个，就是这两个三角形面积相等。哎，这是把原来两个大三角形分割。于是呢，我们有这样的正法， 把那个焦点交到 q， 仍然是横截式，支取连力，带入消元，整理两根和两根基， 把那个点求出来，证明它是终点，然后两组面积相等，它们的差，当然面积相等 好。其实对于这道题而言，它的高等几何背景是，调和线数平行截终点，极点，极限 过极点。做一条直线，与椭圆交于两个点，与极限交一个点，加上极点。本身四个点，调和点列，现在再找一个点与调和点列四个点，得到调和线数四条直线， 现在第五条直线与其中一条平行，那么与剩下三条相交。哎，中间这个点就是另外两个点的中点， 这是高等几何的背景。调和线数平行截中点。看一看我们这几年的北京高考题。二零二零年， b 是 p， q 的 中点，二零二二年， d 是 mn 的 中点，二零二四年， h 是 b， d 的 终点。好，对于等级变换，如果题目当中出现两个三角形的面相等，我们要从变换的思想或者它们共底等高，或者分割拼补。 当然，他的高等级和背景是调和线数平行。接重点。好，这是我们高考数学考前视频更新计划，欢迎关注分享！二零二六高考，我们创造辉煌！
267北京高考数学吴老师
07:28查看AI文稿AI文稿好了，我们一起来看二零二六年西城二模的第十七题，三角函数的问题。做到三角函数的题，首先有一个原则，你需要将三角函数转化为 a 倍的 sin， omega， x 加上斐的形式。 那如何将题目的已知算式变成你想要的形式呢？我们往往会用到三角函数的化简公式。化简公式一共有三种啊，第一种叫做两角和差公式， 第二种叫做二倍角公式，第三种叫做辅助角公式。大多数的题目，三个方法都会使用到， 那除了这三个以外，还有一个前提的公式叫做诱导公式。所谓的既变偶不变符号看象限，那如果你不记得诱导公式也没关系，因为 所有的诱导公式你都可以通过和差公式来得到。好的，那我们接下来看它的第一问。题目是要求函数的最小正周期，那我们就进行转换， 那首先会发现这里面有二分之派加派，典型的既变偶不变符号，看相线，这是一倍，所以它是基数倍，那正弦就变为弦，而它们的符号刚好一样，所以可以直接转化为 cosine， 那 就写成了 cosine 二 x， cosine phi 加上 cosine 二 x sine phi， 那 屏幕前聪明的你应该能够看出来，这就是一个典型的三 q q 三的形式，两角和差公式的反用，所以可以合并得到 sine 二 x 加上 phi。 那 如果题目问的是什么，它的最小正周期怎么做？还是一个公式周期？它等于二 pi 除以 omega 欧米伽在这里是二，所以二派除以二等于派，那第一问的五分轻松拿到最小正周期为派。好了，那我们接下来看他的第二问。第二问就是我们最近几年典型新高考的问题，题目会给你一二三三个条件，那你要从中进行选择，这里的选就是个大问题了， 如果说的复杂一点，那你会怎么做？你需要去判断一二三，谁对谁不对，当你在判断谁对谁不对的时候，别人都已经做到第十八题、十九题了。所以我们有一些原则， 那是用根据什么来呢？首先三个条件里面肯定有一些你觉得看起来会更简单一些的，那我们第一优先用简单的，那简单如果错了，那非常倒霉，那你可能需要选第二个或者第三个，那这里谁比较简单？一个是直接告诉你相等的两个点， 一个是告诉你性质，还有一个是性质，那毫无疑问，带点肯定是远远比函数的性质要简单，所以这里我们优先选第一个， 那我们选第一个来做做看选条件。一两个函数相等，那就只需要把十二分之 pi 和四分之 pi 给带入就行，那得到的是 sine， 六分之 pi 加 sine， 它就等于 sine， 二分之派加派。那问屏幕前你一个问题，两个正弦想要相等，这两个角要满足什么条件？你可以点一下暂停键，思考十秒钟。 很多人会想到的是，哎，那很简单啊，两个正弦相等，那这两个角就相等，所以写出的他们的第一个算式，六分之派加派等于二分之派加派，那这就是第一个陷阱， 不一定是两个角，因为我们叫做任意角。你还可以相等的，就是上转三百六十度又回来了，所以相等的情况应该在后面加上一个，加三百六，加 kpi， 那 pi 和 pi 底角很明显，左边和右边也不可能相等，所以这种情况他无解。 那除了两个角相等在一起，正弦会相等，有没有另外的情况是？有的，还可以，一个在左边，一个在右边。三十度和一百五十度叫互补，那这时候你就写出了你的第二个想法，叫相加得一百八， 那这个时候同样还是有陷阱，任意角什么，你除了可以是一百八，你还可以继续多一个三百六，多一个三百六，所以后面补上一个二 k 派等于零，那这里我们就会解出对应的派，那解出派等于六分之派加 k 派。 好，是两个角相加互补的，一个角加另外一个角互补。哎，这里应该写派好，那我们最后解出来是六分之派加 k 派， 那得到了这个之后呢？大部分的时候角度都应该是比较小的，有规定是负九十到九十，所以那 far 只有唯一的一个值，所以 far 只能等于六分之派。加上代入元函数，那就得到了原来的函数，就应该是等于 三引啊。二 x 加上六分之派，那接下来题目的问题就会更简单了，他问的是函数的最大值和最小值。分三步走，第一步，看函数它的 x 的 定义域，那定义域是属于零到二分之派的。接下来第二步，你就可以求出整体的范围， 那整体二 x 加六分之派的范围就属于六分之派到六分之七派。那第三步，结合图像出答案， 那画一个图像，你会发现它是一个波浪线，从圆点开始，而我们要的是图像的六分之派到六分之七派这一段，那毫无疑问什么时候最大在一的时候， 什么时候最小在六分之七派的时候，那我们就可以去写算式了。那第三步就是那所以当我们的一个整体等于二分之派的时候，就有最大至一，这个整体等于最小，呃，六分之七派的时候就会最小直角负二分之一。 接下来我们说一下为什么条件二是不能选的？在第一问当中，我们已经得到了周期是派，那周期是派的话呢？就表示我们这个波浪线，它这里就是二分之派，就是在上面，对吧？二分之派就是在下面，或者也可以理解为 它单调递减的这一段就应该是二分之派，单调递增的这一段也是二分之派。而题目给的这个是三分之派到派中间间隔的三分之二派个单位，它是大于二分之派的， 所以肯定是远远超过的一个完整的减区间或者增区间。所以条件二一定是不对的 啊。条件三其实跟条件一差不多，但是很多人可能不认识偶函数，那根据这个条件你就可以得到的是偶函数左右对称，那也就意味着 f x 加六分之 pi， 它就等于 f 负 x 加六分之 pi。 同样的也可以解出对应的 f 也是一样的答案，那最后求出来的最大值最小值也是相同的。 好的，我们最后总结一下，那这道题能够选的是一和三啊，不能选的是二，最终的答案是最大值为一，最小值为负二分之一。 那下次再遇到这种像条件的大题，你要去选择的时候，一定是优先用你认为简单的，这样你能够快速做出来，哪怕他是不对的，你也可以排除掉。那在今年西城二模考试的题目当中呢？你选的是条件几呢？可以在评论区告诉我。那关注我，每天我们学习一个数学知识点。
23北京数学陈老师
04:17查看AI文稿AI文稿我们北京初三的家长们，这份西城二模的题呢，昨天刚刚考完，难度呢体来说比一模要大，非常值得大家来做一做。题目呢，灵活，尤其是中等的解答题，框架不变，但增加了灵活度，让孩子吃透它， 能更清楚的了解中考的方向。咱们一起猜一猜它的重点。首先，选择题，基础题稳拿分，压轴题考察更加灵活。前七道题目整体的考点非常常规， 基础扎实的话，整体没有什么难度，争取全对。压轴题目比较灵活，考察了反比例与图形结合的问题，这是竖形结合的这个思想， 这是用代数式表示坐标，这也是我们平时反复重点强调的，孩子只能想到这里，思路还是很清晰的。 填空题，整体来说以基础为主，压轴题呢，很有难度。呃面几道以基础为主，数题呢，是重点结合，了解直角、三角形以及相似模型，稳稳当当就可以。压轴题的强度很大， 阅读量不小，在阅读这块设置了阻力。同时呢，综合性非常强，涉及到整数解问题，分类讨论，考试的时候可以先放一放这个题回来再做，但在平时的练习中，非常值得好好来深究一下。 解答题的前五道基础分必须拿满，保护好我们的基本盘，题型整体稳定，没有什么新的变化，这部分七部分千万不要丢分。十七题的实数计算注意符号和运算顺序。十八题，不等式组用竖轴表示，解集时需需要注意空心和实心。 十九题，分式化简的求值，代入数值，一定要务必注意代入数值的问题。二十题，四边形综合，这个题没有辅助线，正常解直角三角形就可以了。二十一题考察了二元一次方程组的实际应用，找对等量关系，列好方程，整体难度适中。 接下来咱们来聊一聊中间三道的中档解难题，但是增加了一些细节，在某些地方使了一些暗劲。 首先依次函数综合，依旧是考察直线的旋转，尤其注意旋转一圈的情况，但注意在取焦点这块，出现了参数正常，表示带入直线，求出临界位置，解个方程就好，结合图像分析焦点的位置，树形结合，这是关键。 接下来统计综合问题，整体重规重矩，还是考察了平均数和中位数，信息藏在表格和柱状图里，结论得结合数据来说，注意规则的递进关系。 圆综合核心是解直角三角形与相似，整体的架构不变，这是这是我们课上重点强调的，用到了平行的 a 字相似，但是今年的圆综合计算量明显增大。同时这道题解这道题解方程的时候用到了一元二次方程， 难度不大，但整体更加灵活，计算的时候千万不要着急，一步一步来。接下来说说最后三道的压轴题，是我们冲高分的关键，都是高频考点。 袋鼠综合考增减性结合绝对值的长度问题，还是要构造新函数，注意找临界的位置。今年呢，袋鼠综合注重增减性与对称性，这个比大小的结合。西城二模，这个题紧贴北京中考的风格，平时练过同类题目的话，上手不难。 几何综合，西乘二模考察了旋转，旋转，西乘二模考察了旋转等线段共端点可旋转，尤其是 c d 等于 c e。 还有这个二阿尔法是个非常明显的突破口，倒角是关键。这个题比西乘一模的几何的难度要更平和一些。 最后就是压轴的新定义，多动态轨迹问题，定义中有核。那九年北京中考的这个新定义，大家可以拿来看一看，很巧妙。第三问也很有特点，尤其是求坐标，要灵活运用几何的性质，能做到这的同学耐心拆解条件就能找到思路。 总的来说，西城二模这套试卷整体难度不小，要难于西城的一模，不是西城的考生，也非常值得大家拿出一百二十分钟当成考试来做一做。孩子考完可以好好分析一下，哪些题目是稳拿分的，哪些题目思路卡壳的，针对性的查漏补缺比刷新题更重要。 需要试卷和答案的家长瞧，西城二模我发给你，让孩子对着错题琢磨，一步一个脚印补漏洞，各位加油！
109北京张老师（数学）
24:47查看AI文稿AI文稿哈喽，朋友们好，我是栗子老师，那么接下来呢，我们给大家也来解析一下昨天结束的啊，西城区初三二模的新定义压轴体啊，当然今年的这个新定义压轴体呢，从定义上来讲呢，还是一个非常经典的点类新定义 啊，那名词只要是点类性定义，咱们都能乐呵呵的把点的轨迹找出来，是吧？所以点在哪啊？当然，整道题目来讲呢，我觉得第一定义呢，不太难分析，但计算上面呢，稍微有一点点复杂啊，看一下 他说在坐标 c 当中，对于一个半径为一的圆 o 和它的一条弦，任意的啊，满足点 p 是 三角形 a b p 以 a b 为腰的等腰三角形。 审题别审错了啊， ab 为幺啊，那么并且列弧 ab 上所有的点均在 abp 这个三角形上或者三角形的内部，那么我们就称啊点 p 为关联点啊。当然同样道理啊，咱们先不着急解题啊， 其实这道题目呢，我们把定义拆解完了呢，剩下来的其实就毫无难呃，就是唯一的难度就是最后的计算。好，我们先来看一下， 在这呢，咱们也给大家手搓一下这个版本啊，也就是说，我随便给同学们画出一个圆啊，这个就是圆 o， 我 也随便给同学们画出其中的一条弦，他叫 a， 他 叫 b， 那 我们现在问同学们，请问你能否找出弦 ab 的 所有的关联点？ 好，那我们想关联点是什么呢？第一要满足啊，以 a b 为腰的这样三角形，当然就是什么两元一线，也就是说，同学们，首先啊，要明确，就是这个点 p， 要么就是 a p 等于 ab 啊，要么就是 b， p 等于 ab， 对 吧？也就是说你得点 p 在 哪呢？以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，或者以 b 为圆心， ab 为半径的圆，当然那个特殊位置要去掉啊。 好，那么这是一个第二个的话呢，他说裂谷 ab 上所有的点都在三角形 ab 的 内部及边上， 这个猎虎啊，要在它的内部及边界上面。其实大家看到这个呢，大体上就能够感知的到，什么叫做在三角形 app 的 内部啊。那么极限情形一定是什么？ 相切，对吧？一定是相切，当然这个点屁咱们知道肯定在元外啊，元 o 的 外部，你可能不可能跑到里面来是吧？你屁点跑到里面来，那怎么画都画出来。 所以你要把 ab 这一段列弧横定包在 abp 的 内部及边界上面。那么同学们想一下它的临界情形是什么？好，我们也就是说可以做以 a 为切点，做出一条切线 啊，以 b 为切点，再做出一条切线。 嗯，好，那么注意，假定两条切线的切点，我们随便标个点吧。好吧，呃， m 点好了， 那么同学们要注意，这个我随便画的啊，同学们要注意，如果你做出来了两条切线，那么大家看哪一个区域是点屁可能存在的区域，哪个区域 啊？那么很显然就是这块区域。为什么？因为切线，如你以这条线为例，应该在这一条线的右上，右右上方，对吧？ 那有时候老师能不能跑这来呢？比方说点 p 在 这行不行呢？不行啊，这样你一连的话， p b 这个一条线不就是与这一段裂弧怎么样啊，相交了吗？他就不能包含在里面了啊，所以极限情形呢，肯定就是 ab 为切点。 好，那因此，呃，你找到这个点行不行啊？其实他就是完全相切也行，对吧？切点就是 ab 也可以啊， 好，那么当然在这个点这条线上行不行啊？这个也可以，你你连一下看看是吧？啊，完全满足要求啊。好，所以我们知道就是所有的点屁首先在哪呢？所有的点屁首先是要在这个区域当中 及两条切线的形成的这个呃相，呃这个重合的区域，对吧？就点 m 的 这个上方的区域啊，这部分区域是点 p 能够存在的， 当然还要满足以 ab 为幺的等腰三角形，所以我们刚刚也讲了有可能呢会产生什么以 b 为圆心， ab 为半径的一个圆。 好，那么也要以 a 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然我这个，哎呀，我这个图画的稍微有点不，不太 以 b 为圆心， ab 为半径的圆啊，当然这个应该变稍微大一点，我因为我这个手搓呢，肯定不不不，是很精确，同学们呢，自己可以拿啊，这个什么尺尺量角器啊，等等啊，这个圆规啊，去做图啊，那我也再复制一个， 也有可能呢，是以呃 a 为圆心画的对吧？好，那么这样一来同学们就清楚了，那么请问所有的呃关联点在哪里啊？就应该是在呃这一段圆弧，两段圆弧，对吧？两段圆弧，一段圆弧在这， 还一段圆弧在这，能理解吧？好，有人说，老师，为什么呀，为什么一定要在这两段圆弧上面啊？我们再次解释一下啊。 第一个以 ab 为腰，就是以 a 为圆心， ab 的 长为半径画圆， b 为圆心， ab 的 长为半径画圆，所以点 p 应该是在这两个绿色圆上啊，当然一些特殊位置除外啊，比方说 b 点呢，肯定要刨除掉是吧？就 p 点跟 b 点重合，肯定不满足。 第二个呢，我们也强调过，就是要保证裂弧 ab 上所有的点都要在三角形的内部及边界，一定是在这一块，就是点 m 为分界的这个区域当中。 好，所以点既在这，又要在两个绿色圆上，所以重叠的部分就是这段圆弧跟这段圆弧。但 同学们也都知道啊，这个如果说这个图形是个对称图形的话，其实两边圆弧的长是什么啊？是一样的对吧？是一样的啊，好，那么因此我们通过简单的拆解就能够画出所有的关联点。好，我们再重复一下，所有的关联点在哪里 啊？第一，做出啊，这个弦为切点啊，把这个弦的端点为切点，做两条切线啊。第二，以弦的端点为圆心，弦长为半径，做两个圆， 那么形成的重叠的区域就是这段圆弧和这段圆弧，即为我们所要的 啊。好，那么因此这道题目呢，就拆解完了。当然剩下来的第一个问题呢，其实咱们就不多说了好吧，因为第一个问题太简单了，同学们自己呢，简单画个图就出来了啊，答案应该是 d f 和 e f， 这个咱们就不多说了啊。 啊， d f 和 e f， 那 么我们着重的来说一下第二题，第二题，你看这个考法，他说啊，嗯， y 等于 x 加 b， 当然 b 大 于零与 x 轴 y 轴分别交于 g h， 如果 g h 上存在的圆 o 的 某条长度为根号二的弦的关联点， 那很明显，对吧？那么存在就是有就可以了，所以只要保证线段 g h 与所有的关联点有重叠，或者说有交点即可，对不对 啊？ g h 是 一条线段，并且这条线我们也说了，它非常特殊，一定会产生多少啊？四十五度角，对不对？好，那么我们再来解释一下，因为同学们要知道长度为根号二的弦有多少条啊， 无数条，那我们刚刚已经说了，只要你随便定一条弦，你就能发现它形成的关联点是两段圆弧， 当然这一条弦的长度是定的情况下，这条弦可以随便转，也就等价于将整个两段圆弧也是绕着点 o 来转，对不对？ 好，我们解释一下啊，只要这条弦的位置定的长度定的，那么它所对应的关联点是两段圆弧 啊，是两段圆弧，那么因此呢，当我们的弦因为它长度定，但是弦可以在圆上旋转，对不对？ 那么导致它所有的关联点两段圆弧呢，也应该绕着点 o 来旋转，当然我们刚刚也解释了，它肯定是个对称图形啊，那么也就是说旋转之后最小的半径在这，最大的半径可能在这，对吧？我们讲可能啊， 好，那么因此大家就知道，应该最后所有的关联点，只要长度定的话，最后的关联点应该是一个圆环啊，应该是一个圆环，对吧？同学们能理解这意思吧，应该是圆环，因为两段圆弧分别绕着点 o 在 转吗？ 好啊，当然这个我们都已经拆解过了，所以其实这个定义有了之后呢，剩下来的呢，其实很简单，我呢给大家呢，用一个具体的图来看一下啊。好，所以同学们来感受一下。 好，我在这呢，就是我先随便定了一条弦， e f 是 根号二啊。嗯，这样呢，我们就先确定一下，就随便我画了一条弦， e f， 它就是根号二。 好，这洛基能理解啊。好，然后呢，呃，接下来呢，就是我这个明确了之后呢， 好，我们就想能够画出它的关联点吧。好，怎么画的呀？分别以 f 点为切点做切线，圆的切线，以 e 点为切点做圆的切线。好，形成的这个焦点在焦点的右上方的部分，就这个黄色区域， 即为点屁，能够存在的区域，这是第一步啊，就是这个在什么包含在内部的时候啊，当然边界是可以取的啊。黄色区，呃，边界是可以取的， 那么当然了，再以 f 点为圆心， f e 的 长为半径。好，我们画出来了一个圆啊，就是这个 f 点为圆心啊，他的长为半径画了一个圆，就这个圆 啊，当然也以 e 为圆心， f e 的 长为半径呢，我们也可以画一个圆啊，当然我在这也也给大家画一下啊。好，我们就在这个当中再给大家画一步啊。所以同学们会发现 这个圆和，呃，以，呃， f 为圆心啊，根号二为半径啊形成的圆 啊，以及以 e 为圆心，根号二为半径的圆。就这两个蓝色的圆与黄色区域的公共部分。哪呢？就是这一段弧，对吧？看得出来吧，这一段弧啊，以及啊， m n 这一段弧啊，以及 m n 这一段弧 是我们所要的，对吧？是我们所要的，但这个只是我们定了一个弦长为根号二的弦，就是 e f 的 长度为根号二，我们只是定了一个，那么同学们要知道，当弦长，呃，定的情况下， e f 可以 在整个圆上怎么样啊？旋转，对吧？ 所以导致呢，这两段圆弧啊，一就是这一段弧啊，和这段弧呢，就是 m n， 这段弧跟这段弧呢，应该怎么样啊？绕着圆 o 来转，刚刚我们也解释了，它本身是个对称图形啊，所以我们就知道，最小的半径是什么呢？就是 以 o 为圆心， o m 的 长为半径。最大的半径是什么呢？就是以 o 为圆心， o n 的 长为半径。好，同学们就清楚，那么我们在这里面呢，这个所有形成的， 呃，就是关联点在哪里呢？所有的关联点就是以 o 为圆心 o， 哎， o 呃， o m 为半径 的一个圆，就是这个红色小圆，以及以 o 为圆心， o n 为半径啊，形成的一个圆 啊，就是这个红色的大圆。那么这两个圆形成的圆环及边界啊，肯定都是能满足要求的，就是所有的关联点在哪？就在这个里面，是吧？就在两个红色圆之间，当然这个红色圆半径好求吗？ 好求啊，为什么？因为 em 的 长是多少啊？根号二就 e 为圆心， e f 根号二， em 根号二 要 m， e 刚好二， o e 是 一， o m 是 刚好三，所以小圆半径是刚好三，大圆半径呢，同样道理，对吧？这个稍微算一下，这一段呢， e n 的 长呢？还是根号二是不是？当然你做垂线的话呢，这个就是一，一，所以就是二一， o n 的 长呢？根号五啊。 那么因此在我们第二问当中，所有的关联点就是在以 o 为圆心，根号三为半径的红色圆，以及根号五为半径的红色圆形成的圆环的内部及边界。 现在我们要保证 h g 跟它有交点就行了，线段 h g 有 交点，当然了， b 要大于零啊，所以最小的情形在哪里啊？ 啊，就是因为它刚好夹角四十五度啊， h g 刚好在红色小圆，此时的 b 等于多少呢？ b 等于根号三，对吧？ b 等于根号三，当然能取啊，边界是有意义的是吧？ 好，那么最大最大最大跟外面的圆怎么样啊？相切啊，当然半径根号五， o h 是 长呢，根号十啊，因为这个夹角是四十五度啊，直线于 x 处加角四十五度，所以呢，这个特殊的直角三角形 o h 去掉根号十，也就 b 的 去掉根号十 好，那么因此在这种情况下呢，我们就能够轻松的算出来了是吧？好，那么也就是小 b 的 范围应该是大于等于根号三，小于等于根号十啊，也就 ok 了 啊。那么其实最后这个问题呢，算法上面来讲呢，是一致的啊，就是最后这一道题目的算法，跟前面的这个第二问的算法是一样的， 你看，它又来了， m n 等于是上面一条弦， m n 的 长等于一，是不是能够找出所有的关 联点，对吧？是不是能够找出所有的关联点？所有关联点是什么？那肯定当然也是圆环了啊，但我们知道就是只要定一个 m n， 那 其实它就能够产生两条弧，对不对？而且这个弧长呢，你肯定能够算得出来啊，因为它非常特殊嘛， m n 的 长等于一嘛？ 好， k 呢，是 m n 的 中点，如果直线上面尤其只有两个弦 m n 的 关联点，也就是说在你 m n 旋转的过程当中，保证 y 等于一，这条线直线 于两条弧，就是形成的两条弧，尤其仅有两个焦点就行了，对不对？尤其仅有两个焦点就可以了，好，那在这边注意一下， m n 的 长定的，但是位置不定，也就是说你只要确定一个 m n， 你 只要确定一个 m n， 你 就必然， 你确定一个 m n， 你 就必然会有这个一个咱们所谓的呃呃，两段弧，对吧？哎，有两段弧，好，那么你再有一个 m n 的 位置，你又有两段弧， 我们现在要求是这两段弧与 y 等于一，尤其只有两个焦点，两个不同的焦点就可以了，对吧？好，那么当然我们在这呢，也结合这个图像呢，给同学们具体来看一下啊，大家也感受一下。 好，那么大家看，我在这呢，还是提前给大家把图做出来了，这个图同学们能理解，因为 m 的 长等于一啊， k 点呢，是它的终点啊。 好，那么现在呢，我们首先以 m 点为切点，做一条切线，以 n 点为切点，做一条圆 o 的 切线，那么两条切线交于这个点，我们假定称之为点 q， 只要在点 q 的 这个黄色区域形成的黄色区域 指第一步，对吧？第二步，以 m 为圆心， e 为半径，就 m n 的 长为半径，画一段弧，哎，你发现与黄色区域产生了一段弧，我们假定这段弧就叫做 k t 弧啊， k t 弧， 好，那么当然以 n 为圆心， e 为半径，会产生一条弧，我们另外一条弧呢，我们就假定称为 e f 弧啊，那么因此同学们就知道啊，同 学们清楚，呃，就是我们在这里面呢，能够产生两段弧啊，一段弧呢，在这是吧，一段弧呢，在这就是 e f 这一段弧，还有一段弧呢，就是 k t 弧， 好，但注意啊，我现在要的是什么呢？我要的是 y 等于一这条直线与两段弧有两个不同的焦点，即刻有两个不同的焦点， 一定注意一下，这个点太特殊了，就是两段弧呢，你，你会发现这两段弧啊，一定会产生什么呢？一定会产生两个，呃，会产生一个焦点啊，这两段弧呢，一定会产生一个焦点，就是这个点啊，这个点太特殊了，因为，呃， 这段弧，呃，我们说 k t 这一段弧与这个对应的 e f 这一段弧，这是任意 m n 在 任意位置情况下能产生的两段弧，那我要保证的是两段弧与绿色直线呢，有两个不同的交点，但你注意，这个点呢， 就是 k t 弧跟 e f 弧呢，还有个共同点，那么这个特殊位置要去掉啊。当然接下来就是什么呢？就是定向分析，对吧？同学们也都知道，如果 m 特别低，就是 m n 特别矮的时候呢，这两段弧呢，肯定也特别低，那么 m n 比较高的时候呢啊，这两段弧的位置也相对比较高，对吧？这个可以直观理解啊， 好，那么因此呢，我们知道特别低的时候肯定是不满足的，那么稍微高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点，高一点。好，那么在这个时候呢，大家会发现，我们假定 m 在 n 的 上方啊，高一点的时候呢， kt 这一段弧啊， kt 这一段弧啊，肯定跟绿色线先能产生交点，那么你只要在保证第二段 e f 这一段弧呢，能产生交点就行了，是吧？那么在这里注意一下啊，因为我们前面就给大家解释过了， m n 的 长非常特殊的情况下呢，这个 kt 这一段弧呢，也非常特殊 啊，这个 k m、 t 这个角刚好是九十度角。当然我们简单解释一下，为什么啊，以 m 为圆心， e 为半径，我们画了个圆，就是这个蓝色的圆，就是 k t 弧，是在蓝色圆上面的。 好，那么大家都知道，就是这条线呢，是切线，这条线呢也是切线，那么因为 o m n 边长都为一啊，所以它是一个什么三角形呢？ 等边三角形，我们用一个最特殊的情形来看，就是 n 点在 x 轴上， m 点在这儿，这个时候大家会发现这条红色线呢，是竖直线，那么这条线呢，与 x 轴的夹角呢，应该刚好是三十度啊，刚好三十度， 所以如果你以 m 为圆心， e 为半径画圆，那么要跟竖直线相交，那么这一段弧对应的圆心角刚好是多少呢啊？刚好就是一百二十度， 刚好就是一百二十度，当然这个 n m t 这个角呢，又是三十度，对吧？这个很容易看啊。好，所以 k m t 这个角呢，就是九十度角，就九十度角，所以其实这两段弧啊，一个 k t 弧，一个 e f 弧是什么呢？ k t 弧就是以 m 为圆心， e 为半径的九十度角所对应的弧啊，那么当然 e f 弧呢，就是以 n 为圆心啊，然后九十度圆心角所对的弧，要，当然半径也为 e 啊，所以你要知道这个数值呢，它其实是很特殊的啊，好，我们继续跟大家说，刚刚就是这个，就是，其实相当于是第一临界情形了，为什么呢？因为你要保证 这个，呃， m 稍微高一点的时候呢？这个 k t 这一段弧呢？我们刚刚解释过，一定率先跟这个直线有交点，你只需要保证 e f 跟它产生临界值，对吧？当然， e f 能产生临界值，就是 e 点的坐标。纵坐标点为几啊？点为一啊， e 点纵坐标点为一， 所以 n 点。因为 n e 的 长为一啊，所以 n 点在 x 轴上的时候刚好满足要求，就是我们画的特殊情形，但这个时候 k 的 纵坐标好求吗？ 好求，因为这个时候 n 点在 x 轴上，所以 o、 m、 n 等边， m 点的纵坐标四分之刚好三， k 点是它中点，所以，呃，第一个 t 的 零，呃，这个第一个零界值呢？就是 k 的 这个纵坐标呢？它的零界值呢？呃，这个应该是二分之刚好三的一半，四分之刚好三，对吧？在四分之刚好三的时候，你会发现 e f 这一段弧啊，咱们再强调一下， e f 这一段弧 刚好与绿色直线相切，而 k d 这段弧早就已经跟直线有交点了，所以这个肯定是 ok 的 啊。好，那么当 m 点继续转动的时候，这个时候啊， k t 继续升高， e f 呢？也继续升高，对吧？那么当然，这个时候呢，看起来肯定是怎么样啊？能够满足要求的 啊？能够满足要求，因为 e 继续升高这一段弧， e f 这一段弧在这儿，就是啊，后面会产生焦点， k t 也一直有焦点，但注意一个临界情形，啥时候呢？就是 k t 弧跟 e f 弧的焦点刚好落在 y 等于 e， 那 么在这个上面它就不满足要求了，因为此时是同一个点，所以这个地方的坑点就在于这个临界值要去掉啊，当然这个临界值很好算，为什么呢？因为 这个圆跟这个圆的交点，一个是，呃，就是这个交点，还有一个点呢，是 o 点，所以其实呢， ok， 还有这个点是什么呢？三点是共线的， 当然其实是一个什么图形呢？就是一个菱形啊，就是一个菱形，因为它这个图形非常特殊啊，而且也很对称，对吧？所以其实相当于 o 跟这个点呢交点呢，是一个什么呢？ 是一个，呃，就是关于 m n 对 称的点啊，关于 m n 对 称的点，因为它其实是一条什么呢？公共弦，两个圆的公共弦啊，好，当然因为 o 点到 k 点的距离刚好三嘛，所以也就是说，此时其实 k 点到， 呃， k 点就应该是 o 点跟这个点跟这个焦点的什么中点，对吧？当然此时呢，它的纵坐标肯定是一喽，用在外的一上，所以 k 的 纵坐标是多少呢？二分之一。 那么注意， k 等于二分之一的时候是不满足的啊，因为它此时只有一个焦点啊，只有一个焦点好，所以大于等于四分之根三，小于二分之一，好，那么继续移动呢，我们知道肯定就可以了，是吧？肯定就可以了啊， 那么，呃，当然大家也清楚，你继续移动的时候呢，这边肯定能产生两个焦点，那么到哪一种情形呢？好， 因为你 m 点呢，就是最高，最高纵坐标其实就是一了，他也不可能更高了，对吧？ m 点纵坐标就是一，当然在这种情况下，同学们检验一下满足不满足， 满足就是 m 点最高，最高纵坐标就是一。这种也满足啊，因为你会发现， t 点和 f 点就刚好分别在 y 等于一上，这种也是满足的。 好。当然你算一下此时的 k 点，那也就说 m 点跑到 y 轴上啊，这个也很好办，对吧？所以 n 点的纵坐标就是二分之一， k 点呢，是 m， n 的 中点，所以 k 点的纵坐标呢？是啊， k 跟 n 的 一半，是吧？四分之三啊，四分之三。 好，所以从二分之一到四分之三啊，等于四分之三的时候，也可以，因为那个 k 最大，最大就是这个到这了，是吧？如果你 m 点最高，最高到这了， 如果你越过这个位置之后呢，你发现他还行吗？不行了，此时两段弧在上方，看得见吧，两段弧在上方，那他就不满足要求。当然在右边的情况呢，实际上是对称的啊，就纵坐标对称的，你不用管了。 好，所以最终啊，我们的这个，嗯，要求呢，就是在第一零件什么时候呢？就是点 n 刚好在 x 轴上的时候，此时啊， e、 f 与 y 等于一相切。第二零件呢，就是把这个交点的位置要排除掉， k 等于二分之一排除掉。 第三零件呢，就是 m 点最高最高。跑到一的时候，发现他刚好是满足的，此时的 k 值呢，等于四分之三是满足的。当然跑到左边去呢，对称图形啊，你就不用管他了啊，对称图形就不管他了。 好啊，那么因此这个呢，我们也就分析完了，所以最终呢，他这个 k 的 取值呢，是，第一零件大于等于四分之三，当然小于二分之一，或者是从二分之一小于小于 k， 小 于等于四分之三， 二分之一小于 k， 小 于等于四分之三啊，好，那么最终呢，也就算完了。当然， 坦率讲呢，就这道题目最后的运算呢，稍微复杂一点，但你说这个题型有什么复杂的呢？没有啊，它主要还是一个点类新定义，只要抓住点类新定义的处理技巧，基本上都还是比较好处理的。好啊，所以这个题目呢，我们就给大家解析到这里啊。
32栗子老师教数学
07:36查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，继续来看一下二六年 陕西二模的二十二题，这道小题怎么样？同学们，简单哎， 模仿咱们的土豆问题啊，这个题，同样的套路，同样的操作题的话呢，老师就不给大家多读了，这个题目就很常规的操作， 呃，紧接着第一题对吧？问，你是几次函数，求求关系式。第二小题呢，哎，二次函数配配方。第三小题呢，直接写答案，引入一个参数，很常规很常规的题目，我们一起来欣赏一下啊！ let's go！ 这个题的话呢，首先第一题， 客房入住数，你注意啊，在题上，老师有个习惯，我一定把它标成我的 x 和 y， 就是 你要把一个信息对它进行数学化。同志们，这个真的很重要啊，是房价 x 标上什么函数呢？ 一次反比例还是二次？怎么看？同学们，注意一次函数啊，那就是一百七，我升到了一百八， x 增加了十， y 就 减少了六，你看是不是均匀变化的，我们再找一组数据，一百九升到了二百， 加了十，哎，那这个 y 呢，就减少了六，两组数据足够让你有一个定心丸了。同学们，没毛病啊，这就是一次函数，并且我们还知道单位变化率呢， x 每增加十， y 就 减少六，这单位变化率就是一个十，负的十分之六，也就是负的五分之三， 好负五分之三 x 再加上一个什么样的数呢？就需要大家，如果是正儿八经的话，同学们，你要写过程，就需要大家把一组数据带进去，如果是老师，我会把 x 等于二百， y 等于九十六这组比较简单的数据带进去，那最终可以算出来 啊，这就应该是二百一十六，你可以再带一组数据验证一下，这是我们做题时候的好方法。同学们啊，比如你再把一百六逗一百二带进去，确保咱做的是对的。 第二小题，一日营业额最大的时候，那这个 z 等于什么呢？ z 就 等于 x 乘上一个 y， 所以 化简之后，负五分之三， x 平方加二百一十六 x， 接下来呢，他问 z 最大，那很明显，同学们就需要进行一个配方的处理，负五分之，负五分之三提出来，括号里就是 x 平方减多少， 嗯，减去一个二百一十六乘以三分之五。你口算也行，手算也不差，同学们，中考不会因为你口算就给你多加两分的 啊。二百一十六除以三七十二，七十二乘以五呢，是个三百六减三百六十， x 配得配个多少？得配一百八十的平方，那就得再减一个一百八十的平方，这就是配方的原则啊，不能让式子的大小发生变化。 好，接下来就是负的五分之三， x 减一百八，括起来的平方。注意，外面还有一串数据呢，是加上一百八十 呃的平方乘上一个五分之三，也就是结果等于负的五分之三， x 减一百八十的平方，再加上一个多少呢？你可以算一下，应该是一万九千四百四十。 那继续呢？接下来过程得仔细啊，因为负五分之三小于零，得把这个情况说清楚，证明二次函数抛物线的开口向下是有最大值的 啊，解释清楚，所以当 x 等于一百八十的时候，营业额 z 有 最大值。说到这就可以了，题上问的只有 x， 不是 营业值是多少啊？同学们，到了第三小题这里呢，把题读完，你就明白这个题是啥意思了。好，公式已经给我们了， p 代表日毛利润等于营业额 z 减去什么固定的总成本？礼品总成本。大家读完题之后，一定要明白，这个礼品是跟什么绑定的，跟房间数， 这个什么固定成本也是跟房间数绑定的。所以我们可以这样去理解，你每开一间房，固定的支出成本就有一个三十加 m， 然后再去乘上一个 y。 好同志们，很多同学会感觉有点难，我们一起来看一看啊！ z 是 负五分之三， x 的 平方加上二百一十六， x 再减去 三十加 m 倍的，这个 y 是 个多少呢？ y 是 一个负的五分之三， x 加上二百一十六。接下来大家注意，你要去读题， 他说在房价不超过二百的时候，就说 x 小 于等于二百的时候，我希望 i hope that 啊，我希望什么嘞？毛利润能够随着房价的增大而增大。同学们，这个二次函数啊，开口一定是向下的， 那么我希望你的对称轴怎么样？同学们，你的对称轴能比二百小吗？我问问大家。不行啊，你必须保证你的对称轴至少至少都得有二百 啊！你的对称轴可以是二百零一，可以是二百零二，对吧？但绝对不能比二百小。你比二百小，你还能怎么保证？我在这个比如说啊，咱不说零到 二百了，一百六十到二百的环节当中，你怎么保证我外随 x 增大而增大呢？其实就是这个意思啊，对称轴是要大于等于二百的， 同学们，因此整个小题只和对称轴有关，那也就是说，负二 a 分 之 b 只和一个二次函数里面的 a 和 b 有 关。 所以这个题啊，你不用理他太多啊，负五分之三 x 方二次项系数先搞定，那么一次项系数都有谁呢？你稍微整理一下，加上一个二百一十六。好，你看啊，把系数乘起来，负的三十乘以负的五分之三是正十八， 负的 m 乘以负的五分之三是加上一个五分之三 m 背的 x。 够了够了，这个题直接写答案，不要往后算了， 负二 a 分 之 b。 同志们，咱们对号入座，结果就是负的啊，来最前面来个负的啊，二 a 负的五分之六分之 b， 那 是二百三十四，加上五分之三 m， 最终要求他干嘛呢？大于等于二百。同志们，这个地方老师跟他说一下怎么算。 首先，负号和负号呢，抵消了，咱不说了，接下来注意哦，我是要对左边的分数进行一个分数基本性质的运用，分子分母同时乘上一个五，一千一百七十，加上三 m， 比上一个 比上一个六啊，大于等于两百，最终算出来，三 m 大 于等于三十， m 大 于等于十。结合题上所说这个范围，同学们，你发现这个题有意思啊， m 是 小于等于二十的， 所以你说 m 的 最终范围大于等于十，小于等于二十，这个题就搞定了吗？拜了个拜，下个视频不见不散！
22:57查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们，我们今天讲上三道圆锥曲线的题目，分别是今年海淀区高三的二模题以及今年 西城区的二模题，还有就是我找了一道和这两道比较类似的一道题，朝阳区二零二四年的高三一模。我把这三道题讲一讲，因为这三道题考的都是 远离曲线几何关系的转化问题，所以说我们静下来慢慢把这三道题研究透彻，预计今年高考有可能会这么考，对吧？他考的是比较不错的，所以说难度也不低， 对于同学的转化和预算能力要求也不要求也极高。所以说我们先从头到尾讲讲这个题。先从先从海淀开始，然后我先 把这个图给它画过来吧，对吧？这个图我就不画了啊，你将就看一下，没有必要去画了，浪费时间。 ok， 来我们看一下啊， 这这个图， ok， 第一问的话，他是不是说了三四三一啊， x 方 比上三加上 y 方等于一，我就不说了，然后他说点 a 是 零负一，过点 a 的 一条直线和椭圆，另外一个点交于点 d， 对 不对？然后 d 关于 x 的 对称点是 e， 然后呢，他说这个 a e 直线和 过点 d 平行于 x 轴的一条直线交于点 n， 对 不对？然后他让我求谁的面积呢？求 d， e， n 的 面积和 a m， e 的 面积，让我求这两个三角形的面积之比是等于三的，从而求 a、 d 的 斜率。 那所以说我们先看一下啊，这个三角形是不是超级好求，对不对？这个直角三角形的 d， n 的 长和 d， e 的 长，从而我们再通过，如果你想要求这个小三角形的话，是不是不太好求吧，对不对？我可以用这个大的三角形的面积减去这个小的三角形面积。为什么我会想到用这个大的三角形减去这个小三角形呢？那是因为他这个地方有一个公共边， 对吧？他有个公共边，那你要是这个边是不是既可以用在 d n 上啊？ d e n 这个三角形上，也可以用在这个大的三角形上， 对不对？所以说我先拿着它去求，因为 a m e 这个小三角形的面积太难求了，对吧？所以说我用这个大的三角形，它当底第一，当底谁当高？是不是 a 到这个 第一的距离当高？说白了这个高就是地点的横坐标，对不对？然后我再减去这个小三角形的面积是高，那 m 到第一的距离是不是 d 的 横坐标，减去 m 的 横坐标就是他们的高喽，没错吧？所以说我们先一步一步做，首先我们先去求 d 点的 坐标， d 点坐标这个操作我们用过了，应该用了好多次了吧，对不对？因为你以这个直线射出来，已知一个点的坐标，通过连立方程维达定律求另外一个点的坐标， 没问题吧？所以说这个题的话，我先假设这个直线应该是 y 等于 k x 减一，当然直线有可能斜率不存在，我就不分析了，对吧？所以说这个地方先去来一个连力，也就是说他是 x 方，比上三加上个 y 方等于一，这是 k， x 减去 y 再减一等于零，所以说 x d 加零吧，是不是等于三 k 方再加一，然后呢？它就等于三 k 负一的负两倍，六 k 啊，六 k 啊，搞定。然后呢？再来看一下 x 写错了，应该是负一乘一个 y， d， 不， 那就变成了 三 k 方加一。 y 的 话是一括起来的，一减去分母的一部分，减去三 k 方。所以说 d 点的坐标搞定了吧？他是不是六 k 比上三 k 方加一，逗， 三 k 方减一，比上三 k 方加一，对不对？从而一点的坐标，那就六 k 比上三 k 方加一，逗号一减去三 k 方，再比上三 k 方 加一吧。所以说这个地方它的 l a n 是 不是也被我算出来了，对不对？来，你看一下啊， k a n 你的写，先求 k a e， k a e 的 斜率，应该是一减去三 k 方，再比上三 k 方加一，再加上一吧。一的话，我通分三 k 方加一，分之三 k 方加一，然后再比上几，那当然再比上六 k 比上三 k 方加一呗。那所以说 k a e 的 斜率是不是拿下了，对不对？那就等于多少了？那是不等于六 k 分 之二等于三 k 分 之一。所以说 l a e 的 方程 是不是也搞定了？那就变成了 y 等于三 k 分 之一， x 再减一，然后我再令谁， 我再令它的 y 等于它吧。三 k 方减一，比上三 k 方加一，然后再令 y 等于三 k 方减一，比上三 k 方加一。 所以说三 k 分 之一乘以 x n 了，不对吧？就等于三 k 方减一，比上三 k 方加一，再加上一，因为一，我给它移过去了， 对不对？我给他移过去了，就变成三 k 方加一，比上三 k 方加一。所以在这里应该是 x n 等于多少？是不是等于 十八 k 的 三次方比上三 k 方加一喽？ n 点坐标搞定了，那所以说我现在这个面积是不是就可以求出来了，对吧？ d， e 的 长度是不是两倍的它 加绝对值啊？所以说三角形 d， e， n 的 面积就是二分之一，乘以 d， e 的 长度，然后呢，再去乘以 d， n 的 长度吧，对不对？所以说这个地方我们再看啊，三角形 a， m， e 呢？它是不等于二分之一 d， e 的 长度，再去乘以谁乘以 d 的 长度吧， 对不对？乘以 x d 的 长度就是 d 点的纵坐标，横坐标，说错了啊，横坐标。然后呢，再减去二分之一 d， e 去乘以这个高吧，也就是说用这个大的三角形减去这个小的三角形，就是三角形 a， m， e， d， e 的 话，他这个高的话，是不是 d 点的横坐标减去 m 的 横坐标，那说白了 x， d 的 绝对值减去 x m 的 坐标就可以了吧？所以说这个东东是不是可以提出二分之一 d， e 来？ 你提出二分之一个 d， e， 那 这里边你合并的话，是不是 x m 的 横坐标喽？ x， m 的 横坐标。然后又因为他说了三角形 d， e， n 的 面积等于三倍的三角形 a， e， m 的 面积，所以说你再看这 d， e， n 是 不是都有二分之一 d， e， a， m， e 是 不是也有二分之一 d， e？ 所以 说在这个位置， d， n 的 长度就是三倍的 x， m 的 长度， 对不对？那 d， n 的 长度是几？那当然用 n 的 坐标减去 d 的 横坐标喽，所以说十八 k 的 三次方减去 d 的 横坐标喽。所以说十八 k 的 绝对值不 再比上三 k 方加一，因为三 k 方加一是正的，不需要加绝对值了，它等于三倍的 x m， x m 的 话，你是不是令这个直线它的 y 等于零，那所以说它的 x 是 不等于 k 分 之一， 因此它是 k 分 之一，那么它也得加绝对值啊。 k 的 绝对值分之三，所以说我现在是不是交叉相乘十八 k， 等一下啊？ 约个分吧，给他约个三，对不对？两边约个三的话，这个地方就是一了，然后这个地方就变成六喽，然后这个地方就变成二了呗，所以说就变成了六 k 的 四次方减去二 k 方加绝对值， 对不对？等于三 k 方加一，所以说他俩有可能互为相反数，也有可能是相等的，对不对？因此当六 k 的 四次方减去二 k 方 等于三 k 方加一的时候，所以说我是不是推出来了六 k 的 四次方减去三 k 方，嗯， 应该是减 k 方吧，对吧？减去五 k 方，没错吧？再减去一等于零嘛？一六一一负的。所以说我推出来的是不是 k 方减一，然后来了个六 k 方 加一吧，等于零，所以说 k 方等于一，对吧？ k 就 等于正负一， 这是他还有第二种情况，对不对？也就是说这个三 k 方加一等于二 k 方减去六 k 的 四次方，就说明他们互为相反数了，互为相反数的话，那就等于六 k 的 四次方 再加上 k 的 平方，再加一等于零。舍掉，不可能吧，对不对？它都大于等于零了，再加一怎么可能会等于零呢？不会，对吧？所以说综上 k 的 值是正负一。搞定， 明白了吧？ k 的 知识正负一啊。结束了，然后这是他们，然后我们再看西城的，西城区的这个题的话，我感觉也是比较，怎么说呢，你只要想透彻他就不难。好，我们先看第一问是三二对不对？第一问是 x 方比上三加上个 y 方比上二等于一。这个图的话，我们大家一起画一下吧，然后带着它。你看一下啊，这是那个椭圆，搞定，哎， 爆化是吧？他这个地方是个负三零呦，负三零在外边呢，他这个地方左边是根三吗？ ok， 将就看啊，然后这个位置是不是 n 点？ 是负三零吧，所以说他过这个点，那他是过 x 的 点，我当然要反射了，过 x 轴上点反射啊，这是过了，他会和椭圆交于 a 点以及 b 点， 然后他说过 a 做 ap， ap 是 谁啊？这个地方是不是 m f 垂直于 m f 于点 p 吧？过 a 做 ap 垂直于这些 m f 于点 p， m f 在 哪？这不就是 m f 吗？ 对吧？所以说这是 f 负一零，这就是 m， 他 说过 a 点做 m f 垂直于点 p 在 这个地方，对不对？所以说这个地方就是垂直的，然后呢？这个位置是个 p 点， 对不对？然后呢？他说 bpn， bpn， 我 用绿色去画 bpn u 不好看，是吧？将就看这个三角形的面积和 bpm。 说错了， bpf， bpf 的 面积， 对吧？它们的面积是相等的，让我们证明它们的面积相等。让我证明面积相等。你看，你再看，你再看朝阳，二零二四年的朝阳，他说他们的面积相等， 明白吧？其实考的都是差不多的，所以说你把这几道题好好的去总结总结啊，总结总结， ok， 好 看一下啊。他让我证明这两个三角形，谁啊？就是这个三角形 和这个三角形是相等的。那你是不是看到了有一个公共边 p b， 不 对，不对，有个公共边 p b， 也就是说 我 n 到 p b 的 距离等于 f 到 p b 的 距离，不就可以了吗？明白吧？ n 到 b p 的 距离 和我 f 到 b p 的 距离相等就可以了。所以说我先去写它不是经过 n 点的一条直线交图圆于 ab 吗？我先去设 a 点，坐标是 x 一 y 二，那么 p 点的坐标是负一 y 一 不 片坐标。然后我给教大家写一个直线啊，两点式，直线两点式。假设 a 是 x 一 外一， b 是 x 二外二，所以说我 lab 的 方程怎么写呢？我通过直线两点式去写，我可以一步写出来。所以说你考试的时候可以怎么写？ 你写上。因为 b 点坐标写上， p 点坐标写上，所以说由直线的两点式可得。两点式。怎么写呢？来看好啊，他俩相减 y 一 减 y 二去乘以 x， 加上他俩相减 x 二减 x 一， 去乘一个 y， 明白吧？最后呢，等于什么呢？他俩相乘减去，他俩相乘，也就是说等于 x 二 y 一 减去 x 一 y 二，明白了吧？我再说一遍啊，纵坐标，先是纵坐标相减去乘以 x， 加上横坐标相减去乘以 y， 最后 他俩相乘减去，他俩相乘，会了吧？哎，如果你不会，你就可以一步一步做，先通过他俩求斜率，然后再点斜，然后再画成一半式，我就直接写的。然后呢，我再教你大家怎么背啊， y 相减去乘以 x， x 相减去乘以 y， 必须是这么转， 明白了吧？他俩相乘 x， 他 俩相乘以 y， 最后他俩相乘，再减去他俩相乘就可以了，对吧？所以说我们先看啊， 因为 b 点的坐标是 x 二 y 二不， p 点的坐标是不是负一 y 一 喽？所以说由直线 的两点是。你看我这么写的啊，两点是对吧？ l b p 的 直线方程是 y 二减 y 一 括起来去乘以 x， 加上负一减去它的话，那是不是相当于减负一减去 x 二吗？不就相当于一加上 x 二去乘一个 y 喽， 对不对？等于什么？它两相乘减去它两相乘就等于负外二减去 x 二外一， 明白了吧？这个直线我就一笔写出来了。我再说一遍，他俩相减去乘以 x， 再加上他俩相减负一减 x 二去乘以个 y， 把符号提出来，明白了吧？最后他俩相乘是负二减，他俩相乘一笔写出来了。所以说，我现在是不是 l b p 稍稍一化减，就是 y 二减 y 一 的 x 减去这个地方应该是 x 二加一去乘一个 y， 不 再加上 x 二， y 一 再加 y 二，等于零搞定。所以说我稍稍一化减就可就可以了啊。然后我给他往上挪一下，这个直线就一笔写出来了，你考场上就节约了你的计算时间， 容错率就会减小了。所以说再看啊，那我现在是不是需要去求 n 到 b p 的 距离？看到了吧？ n 到 b p 的 距离以及 f 到 b p 的 距离是不是相等的就可以了。所以说 n 到直线 直线 l b p 的 距离，我假设是第一，明白吧？第一，那所以说我 n 的 坐标是三零吧，也就说我把负三零带进去，负三零啊，负三带进去的话，是不是三万一减去三万二，对不对？再加上 x 二万一，再加万二喽？所以说他们能不能合并下同类象？合并同类象的话，应该是 三万一减二万二加上 x 二，万一，不对不对。所以说我们再照抄一下啊， 他应该是 x 二外一加上三外一减去二外二，搞定。这是上边下边的话，是不是根号下的 a 方加 b 方，根号下的 a 方加 b 方？看一下啊？这个地方是根号下的 y 二减 y 一 的平方，再加上 x 二减去加上一的平方吧。然后呢？你再写上点谁啊？点 f 吧， f 到这个直线 l b p 的 距离是多少？假设是第二，可以吧？我们假设是第二，它等于什么？这个地方的话我往下挪一下啊，往下稍微挪一下，所以说他把负一零带进去，负一零的话，就变成了 y 一 看一下啊，他这个位置是 y 一 减去个 y 二， 然后呢？再加上 x 二， y 一 再加 y 二，不，说白了就是 x 二， y 加上 y 一， 对不对？因为我把负一带进去的话，就是它， 对吧？把负一零带进去，再加上 x 二外一，加外二吗？它和它没了，相当于 x 二外一再加外一， x 二外一， x 二外一再加外一。 over。 然后比上根号下的 a 方 加 b 方吧，是不一样的。那牛老师他俩有没有可能相等啊？ 对吧？他俩怎么可能相等？哈哈，对不对？也就是说你想要证明他俩相等，他俩可能相等吗？他俩不可能相等。为什么？来？看着啊，上边这个分分子，他是不是 x 二， y 加上 y， 再加上两倍的 y 一， 减 y 二喽。 减两倍的 y 二吧，对不对？我把它的三倍的 y 一， 比如说 x 二， y 一 加上 y 一， 再加上两倍的 y 一， 再减去啊，减去啊。两倍的 y 二， 它这个地方是不是 x 二， y 一 再加 y 一， 不，它有可能等于零吗？ y 一 减 y 二有可能等于零吗？不可能啊， y 一 和 y 二，它一定不会是在一条，一定不可能在一条水平线上吧， 对不对？所以说他绝对不可能是零，明白吧？那就说明他们不可能相等。理解我的意思了吧，他们不可能相等啊，所以说我只需要证明他们相加是互为相反数的就可以了。 又因为所以说你看着啊。因为 x 二 y 加上三 y 一， 再减去二 y 二，再加上 x 二 y 一， 对不对？我给他们全部加起来了 看一下。所以说这个东东的话就变成了二倍的 x 二外一呗。再加上几外一，加上四外一， 再减去二外二，所以说它这个地方就等于两倍的外一乘以 x 二 x 二是不是带直线？这个直线我是反射的，是不是 x 等于 t y 减三喽？ 一定要反射啊。所以说这个地方就变成了 t y 二再减三吧。所以说再加上四 y 一， 再减去二 y 二， 所以说它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二，对不对？减去六 y 一， 再加上四 y 一， 再减去二 y 二，它就等于二。 t y 一 乘一个 y 二在干嘛？ 他是不是减去二外一了？减去两倍的 y 一 加 y 二，不对不对，我就看一下他相加等不等于零就可以了，没错吧？所以说你看一下啊， 这是他。呃，我坐到这的话，我们是不是该连力去了？连力反射的连力。 x 方比上二 比上三，加上 y 方比上二，是不等于一喽？等于一，这个直线应该是 x 减去个 t y 再加三等于零吧。所以说 y 一 加 y 二就是三加二 t 方分之二负 t 三负二的多少倍？负二倍的话，那就变成了十二 t 啊？十二 t 啊，这是我有速算方法，然后再来再来， y 一 乘一个 y 二呢？它是不等于三加二 t 方？ 三加二平方 y 一 乘以 y 二的话，是不是二扩写的 m 方九减去分母的一部分，减去三十二，对吧？这是十二。 ok， 带进去。所以说它是不是等于二 t， y 乘以 y 就是 二十四 t， 对 不对？比上三加二 t 方，再减去两倍的，它减去两倍，再减去二十四 t， 不 比上三加二 t 方，所以它就零喽， 对不对？他就是零了。所以说这个题就结束了啊，你好好看一下这个题，我觉得还是比较简单的啊。 ok， 结束。 好，然后我们再看朝阳的这道题，朝阳这道题的话，我们下次继续录吧，这次就录到这两个题。 ok， 讲这些啊，拜拜，我下了啊。
73北京高中数学
05:32查看AI文稿AI文稿看一下这个圆中，这个圆中难度也是不大的，就是我们常考的中规中矩的题型，我相信我的宝贝们应该都没有问题。好，我们来看一下它条件，第一个 a、 b 是 直径，那我们立马就要想到把这个边给他连起来，对不对？好， 然后它 c、 d 都在圆上，且过点 c 作为 e、 f 的 直线，交于 e、 f 两点 o 来了，他告诉我们这条边呢，是等于这条边的等腰三角形，我们干很多事情，比如说边相等，再比如说角相等，对不对？ 好，他又给了我们这个角是四十五度了 a 呀，所以这个时候我们就该去射角传染了，比如说我射这个角是 r 法，那自然而然要正切线。第一问，要证明 e、 f 切线， 我们就要证明这个角是直角，所以就要去感染。那这个角是不是阿尔法？这个角是不是九十度减二法？这个角是不是也是九十度减二法啊？那他有四十五度，咱们是不能得到底角啊，这个角也是四十五度减二法，那么这个角是不是就是多少？ 九十度加 r 法，这是不就是九十度减二 r 法，对吧？好，那么根据我们的外角，这个角是不就是 r 法？所以 r 法加上九十度减 r 法是不就是九十度？对，答案就出来了，那么第一个就非常简单，而且我们把角基本上也传染了，这个角就是九十度减 r 法， 所以在第二问，我们的铺垫也做的很不错的。那么继续他又告诉我们 m n 垂直，那这个时候是让我们自己去做做线。哈，那咱们就做呗。啊，这个垂直，那个垂直刚好跟我们这个线是平行的，对不对啊？然后延长出去 交于他，那这个点假如说他告诉我们了交 n 的 比例关系 什么呢？这个边比上这个边是三比一，那我们就大胆可以射 x 了，这个是三 x， 对 不对？又告诉我们半径是二，因为直径是四，半径是二，很明显的一个勾股定律是不就可以出来了？所以我们的第一步就是用射圆 来进行求边长，即三 x 的 平方加上二的平方，我们算下来 x 是 不是就是二分之一？ 好，那么这个位置是二分之一，这个位置是不是就是二分之三？好，他现在要干什么呢？我们这个边是二，接下来我们要做什么？第一步做出来，第二步是单人节，是传染什么呀？边长吗？ 我们说了 b f， 这是二分之几九，对不对？好，那这边是不是也是二分之九啊？再减去它，所以这边是多少谁知道？是不就是三呐，对不对？ 好，那么这边有了三了以后，我们继续啊，他要求什么？他要求这个位置的 b n， 那 我要求 b n 呢？ 首先他在三角形里面在，但是这个三角形他不是很特殊，所以我们做起来呢，相对没有那么的简单，对吧？所以这个时候我们就要考虑一下把它放在哪里， 那自然而然是把它放在这个大的直角三角形里面，减去我们已经知道的二分之九就好了。说白了我们现在要求什么？ 我们现在是不是要求一下 f n 呐？就是最长的边，对不对？好，那我们要求 f n， 怎么求？就要看他所在的三角形， 那么他在哪个三角形里面自然这个大的。好，那我现在好像还缺点东西。首先我知道这个三角形的三边比值，但是任何一条边我都不清楚，比如说如果我能根据已知条件求出来我想求的 这条边，是吧？那是不是就是最好的了？那怎么求呢？我们说了条件要逐个分析，你目前来看，好像这个四十五度是不是还没有怎么用上？它是一个什么角？它是一个圆 周角，那你应该去找什么角？你是不是应该去找它的圆周角或者圆心角，对不对？所以咱们把这个圆心角给它做出来，那这个角是不是直角？ 那根据这个角也是直角，这个角也是直角，说白了这是个什么？这是个长方形，又根据他这个边跟这个边相等，都是半径都是二，所以他是个什么形？正方形对不对？好，那这个边就是二，那这个边是不是一啊？ 啊？那这个边是一，我们已经得到了，接下来咱们要干嘛？当然是把它放在这个三角形里面去算了。 我们不是说过吗？它的三角形的比值是相等的，或者你可以用 tangent 来算，对不对啊？或者用 sine 去算都可以哈。这个角呢，就等于这个 r r 法，咱们知道啊， hundred， 或者我用什么，我用 sign 吧，我 sign 阿尔法等于刚才的这条边，也就是二分之三比上我们的斜边，也就是二分之五，等于五比三。那同样的，它是不是也可以等于 sign 角 n 呢？ 它是不也就等于我对边二比上这个 o n 啊？就等于三比五呀？所以你这个 o n 是 不是等于三分之十啦？所以你这个 b n 是 不等于三分之十，减去二就等于三分之四啦。 好，所以难度呢？其实没有什么，就是老师说的这三个步骤，大家把你的角你的边想清楚，转化好就没有问题啊。
03:48查看AI文稿AI文稿讲一下西城区初三的这个二模题啊，这个几种题。这个几种题的话，就是猛一看有点眼熟，因为他好像是二二年西城区模考的一个题的一个改编啊，但这个题的话我没有在直播课里面讲，我在录播课里面是讲过这种体型，就是录播课里边的这个题。 二零二二年西城区二摩的这个题和这个题的思路基本上是一样的啊，只不过这个题的话就是他出的是一个死图，没有二法，然后西城二摩这个题呢，出的是一个二法的，就带二法的题，而且西城二摩题是把这个题给把这个图给倒了一下啊。好，我们来看一下西城区这个题 怎么说。 ab 等于 ac， 角 b 等于 alpha， 我 们直接看第二吧。啊，第二个就不讲了。呃，然后人家说的是把 cd 绕着点 c 转了一个 alpha， 所以 说中间是有一个 alpha， 这就是一个半角模型啊，这就是半角模型。 对啊，半角模型一般来说在初二出题频率比较高，还有一个是去年初二的出题率比较高，然后去年好像是大兴区的一模吧，好像是一模还是二模？我忘了啊，还有前年东城的一模吧，好像忘了啊， 这个是去年二五年的，这是二四年的，有兴趣的同学可以练一下这三个题啊，练下这三个题。 好，我们来看一下这个题，他说的是把这个 cd 绕着点 c， 逆时针旋转二二法，得到一个 c e， 点 e 在 他的一个下方啊，然后大家说的是角 b f e 等于二二法，这个角是二二法，然后让你求的是 a c， 还有一个是 b d， 还有一个是 e f， 求它们三个线段之间的关系啊，我们说它这个半角模型，半角模型我们要转吗？对吧？因为这个和这个相加是等于 r， 所以 我们可以把上面这个图给它转下来， 对吧？你给他构造一个三角形全等，当然人家题目当中已经明确告诉你是有一个什么，有一个对角互补，大家能看到不？就这个角和这个角相等，它是有一个对角互补，所以这个角一是等于这个角二的，所以说我们只需要延长 延长这个 f e 到 q， 使得什么呢？使得这个 e q 等于 a d 就 可以了，然后连接什么？连接 c q， 所以 三角形 d a c 全等于三角形 c e q 啊，应该是 d a c 应该是 e q a e q c 这题就结束了啊，到这就结束了，因为我们会发现你这两个小角相加是等于二法，然后呢，把它转到下边，这个角也是二法，所以说这两个线之间是个平行关系啊，它俩之间是个平行，而且我们还能够得到什么？ 它俩之间平行完之后，是不是可以得出这个角是一个 r f， 这个角也是一个 r f， 它是个等腰梯形啊，对不对？它是一个等腰梯形啊，是不是可以得出这个 f a c q 为等腰梯形？ 这题一下子就结束了，所以，对吧，我们能够得出什么呢？ f q 等于 a c， 对 吧？ f q 等于什么？ f q 是 等于 fe 加上一个 e q， 这个 e q 等于什么？ e q 是 等于个 ad， ad 等于什么？ ad 是 等于 b d 减 ac， 因为 ac 等于 ab 嘛，这题就秒了啊，就它是一个 fe 加上一个 b d 减去 ac 等于 ac， 所以 最后的答案就出来了， 对吧？这个题就很快就秒掉了啊。因为它是 alpha， 它也是 alpha， 所以 说它俩平行，然后呢？这个地角是 alpha， 这个地角也是 alpha， 所以 它是一个什么？它这个点上提醒啊，就瞬秒了。好，这个题我讲到这里。
27数学张老师
11:38查看AI文稿AI文稿hello 同学们，今天给大家讲一道上午刚刚考完的二零二六山西中考太原市二模的二十二题二次函数的实际应用。下面我们来看一下这道题目。 随着旅游热度上涨，来山西的游客日渐增多，且客房入住数量也随之增加。某古镇特色酒店有客房一百二十间，酒店经理计划调整房价，已获取最大利润。经过前期调研，获得了下表信息， 建立模型，酒店经理发现入住房间数、营收金额都随每日房价的变化而变化。设每日房价为 x 元， 客房入住数为 y， 日营收金额为 z， 其中 x、 y、 z 均为正整数，且 x 大 于等于一百六，小于等于二百四，然后注意日营收金额等于房价乘客房入住数。 接下来我们来看一下第一问，客房入住数外间是房价 x 元每间的什么函数？也就是 y 是 x 什么函数？咱们来观察一下， x 一 百六， 一百七，一百八，一百九，二百。也就是说房价是越来越多的，是十元。 然后客房的入住数由最初的一百二十间，然后开始减少到一百一十四间，减少六间，然后又减少到了一百零八间，又减少六间，然后又减少六间，变成一百零二，又减少六间，变成了九十六。 所以我们会发现 x 每增加几， y 就 对应的是减少几，所以它满足的是一次函数。 然后接下来我们求一下这个一次函数的关系式， y 等于的是，那我们刚才发现房价每涨十元，那么对应的客房入住数就减少的是六间，所以我们很容易求出 k 就 等于的是负的。 根据 x 一 减 x 二分之， y 一 减二，可以求出 k 是 负的，五分之三是负的，十分之六约分就是负的五分之三，然后 x 再加 b， 那么这个时候我们把第一天的房间数以及房价带进去，就可以得到一百二十，就等于负的五分之三乘一百六，再加 b 五和一百六，约分，剩下三十二，三十二乘三就是九十六，就得到了一百二，就等于负的九十六加 b 了，所以可以求出 b 等于的是一百二加九十六，也就是二百一十六。 所以我们就可以求出 y 与 x 之间的函数关系式，即为 y 等于负的五分之三， x 再加上二百一十六。好，这是第一小问， 那么接下来我们来看第二小问，当该酒店客房日营收金额 z 元最大时，求这一天客房的房价，也就是求 x 等于的是多少。那我们通过刚才的关系式，就是日 营收金额等于房价和客房入住数，所以日营收金额 z 就 等于的是房价。我们刚才已经知道了，它表示的是 x， 然后乘客房入住数，也就是我们刚才求出来的 y， 所以 乘起来呢，就是 x 乘上一次函数表达是负的五分之三， x 加二百一十六， 所以我们就可以化简求得是负的五分之三， x 的 平方加二百一十六， x 通过观察就得到了 z 是 关于 x 的 一个二次函数，而 a 等于的是负的五分之三，它又是小于零的，所以抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值， 所以来我们计算 x 就 行了。那 x 等于的是负的二 a 分 之 b， 那 就等于负的二乘负五分之三， b 是 二百一十六， 负负得正，二乘五分之三是五分之六，也就是二百一十六，除以五分之六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘六分之五，约分剩下一和三十六乘五，那就等于的是一百八十。 好，这样我们就求出了那么对应的这一天的客房的房价在对称轴处取得最大值是一百八。但是这个时候我们要注意， 题目当中给了我们房价的取值范围是大于等于一百六，小于等于二百四，所以我们观察到这个时候对称轴在这个范围内，所以在对称轴处取得最大值是符合题目要求的，所以这一空的答案 x 等于的是一百八。 好，这是第二小问。那么接下来我们继续来看第三小问。为吸引顾客，酒店决定入住客房赠送当地的特色礼品，每间客房赠送一份，每份礼品的成本价为 m 元，并且告诉我们这个成本价是要小于等于二十。 已知每间入住客房的固定成本含保洁、水电等为三十元，这是每间的，这是每份礼品的成本。若酒店希望在房价不超过两百元时，也就是 x 小 于等于二百的时候， 日毛利润仍能够随着房价的增大而增大，也就是直接写出礼品 成本 m 的 一个去值范围。大家注意注意的事项，日毛利润等于的是日营收金额。日营收金额咱们来可以看一下前面我们求过的日营收金额是什么？日营收金额就是我们刚刚所求出来的这个 z， 也就是这个二次函数的表达式。 好，咱们来写下 z， 然后减去固定总成本，固定成本的话，咱们来看每间客房的固定成本是三十元，而现在我们对应的是有 y 间客房，那就是说明是三十 y 啊，减去三十 y， 然后礼品的总成本，每份礼品的成本是 m 元，所以外间客房那么每间客房赠送一份，那么就是 m y 了。 好，这个时候我们可以去设一下，这个日毛利润是 w 元，对，设它，从而我们就可以得到一个关于日毛利润的一个关系式， 咱们来一起算一下，那就是 w 等于的是 z， 我 们刚刚算出来是负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后减去三十 y， 我 们刚刚也求出来了，是负的五分之三 x 加二百一十六， 所以负的三十乘上负的五分之三 x， 加上二百一十六，然后再减去 m， 乘上负的五分之三 x， 加二百一十六。好，这个时候咱们先来把关于 w 的 这个关系式先化解一下，负的五分之三 x 的 平方加二百一十六 x， 然后负负得正，那就是加他俩约分，剩下六人就是十八 x， 然后再减去二百一十六，乘上一个三十，这个最后结果算出来的是六千四百八十。 好，这个化解完，然后化解最后一个负负得正，那就是加五分之三 m x， 然后减去二百一十六。 好，我们进行合并二次项负的五分之三 x 平方一次项是这三项，我们合并完二百一十六，加十八 x， 那 就是二百三十四， 然后再加上五分之三 m 获注 x， 然后减去六千四百八十，再减去二百一十六 l 观察我们会发现日毛利润 w， 它是关于我们的房价 x 的 一个二次函数， 所以要想这个二次函数随着房价的增大而增大，那这个时候我们观察到这个二次函数的抛物线开口是向下的，这是对称轴 x 等于多少，咱们暂时间不知道。要想 w 随 x 的 增大而增大，那这个时候我们的对应的房价必须应该在对称轴的左侧， 也就是要小于对称轴。而通过题目我们分析， x 小 于等于二百，而前面给了我们 x 的 取值范围是大于等于一百六十，小于等于二百四十，所以结合这两个的 x 的 范围，也就是房价的范围，我们可以得到 x 是 大于等于一百六， 小于等于二百的，也就是说这个曲值范围要在我们对称轴的左边的时候就能够满足 w 随 x 的 增大而增大，所以这个时候我们只需要求一下这个抛物线的对称轴即可了。那 x 就 等于的是负的二 a 分 之 b， 我们来计算一下，负的二乘 a 是 负的五分之三， b 的 话就是我们刚才算出来的二百三十四加上五分之三 m。 好，负负得正化简，那就是二百三十四加上五分之三 m， 握住横上一个六分之五即可，然后我们分配二百三十四乘六分之五，然后再加上五分之三 m 乘六分之五， 好继续化解。二百三十四乘上六分之五，这个可以约分咔，约掉一个十一，这个是一个三十九，三十九乘五，又是一个一百九十五， 然后后面的话约分就得到了，是一个加二分之一 m。 好， 我们就求出来这个抛物线的对称轴就是一百九十五加上二分之一 m， 所以我们只要让这个范围在这个对称轴的左侧，也就是说对称轴一百九十五加上二分之一 m 要大于等于这个范围的最大值，也就是大于等于二百即可。满足日毛利润随房价的增大而增， 来解下这个不等式，二分之一 m 就 大于等于一项等于五，然后 m 就 大于等于的是十了。 但是这个时候大家不要轻易的把这个 m 的 取值范围写上，因为题目当中还有一个限制条件，这 m 是 小于等于二十的，所以综上所述，我们就得到了 m 的 范围是大于等于十，小于等于二十。好，这就是这个题的最后答案。 那么其实这个题的话，整体的思路的话也不是太难啊，尤其是前两万基本上就是送分题。 第二问也没有让大家去求这个日营收金额的最大值，所以这个计算量也不只是求一下对称轴即可。而最后一问的话，相当于还是我们的老问题了，构造一个新的二次函数，有关新二次函数的一些最值了，或者是一些范围的问题， 所以这个题大家应该是解起来比较容易就行了。呃，注意计算细心点即可。好，以上就是我们这个题目的讲解，大家可以把它积累起来。
57🌈冬天不冷RR
06:55查看AI文稿AI文稿今天下午刚考完的西城二摩的这道几宗题，依然保持着超高的水准，他的第二小问难度比较大，两步走，第一步是我们一直在讲的旋转口诀，第二步是几宗中的难点倒角。接下来我们详细解读一下这道题。第一小问中啊， 他需要用到的是证明角度相等，因为我们很容易可以看到题目中已给了等腰，又让我们证明点 a 是 中点，那自然只要证明 a、 d 等于 a、 c 即可，所以我们的目标就会聚焦到证明三角形 a、 d、 c 是 个等腰三角形，在这个位置，他已经在向我们暗示第二小问了。 我们经常会讲一句话，没有无缘无故的低小问，在己东这道题中，这句话是非常重要的，那我们不去详细解读低小问的具体过程，我们只在讲，当你做完题之后，你要把这道题目中用到的核心给他提炼出来，一、找 a、 c 等于 a、 d， 找等腰。二、倒角 后面我们在做第二小问的时候，会用到它进入第二小问。第二小问呢，读完题之后，我们知道它给了一个 a、 c 和 c、 e 之间旋转了二阿法这么一个旋转关系，这两个线段不仅是旋转，而且旋转的是一个不确定的角度， 非常符合我们经常讲讲的旋转口诀，也就是旋转线段带全等。什么意思？就是我不仅要让这两个线转，我还要让这两个线带着三角形转，比如，比如啊，我找到了 a、 c 这条线带着的一个三角形 a、 c、 d， 我 让他转过来，转过来之后他就会转成这样， 那这就是其中给我们的一种尝试性的辅助线思路，他靠谱吗？看完之后他并不太靠谱。为什么？因为在旋转线段带全等这个思路下，不止一种可能性， 现在我转的是其中一种可能性，我还可能转别的三角形。那我尝试了某一个旋转，我怎么知道它靠谱还是不靠谱呢？要和题目中的已知和所求相结合。比如这道题明确求的是小 a、 小 b 和小 c 这三条线段的关系。 那你看，我们转完之后，小 a 跑在这个位置，小 b 跑在这个位置，小 c 跑在这个位置。这三条线啊，完全没有关联上，和我们的所求没有任何关联， 而和我们的已知关联度只和旋转有关系。那他不是我们的 u 型选项。那怎么办？我刚刚提示了，不止旋转一个三角形啊，我们再去看还有没有可能带其他的三角形旋转呢？哎，连接 c f， 那 c、 e、 f 不 就变成了一个可以跟着 c e 旋转的三角形吗？我们给它延长， 大家转到这个位置来。当我这么一转的时候，我观察一下我们要找的那三条线产生了什么样的变化。 第一个小 a 所在的位置在这个位置，第二个小 b， 第三个小 c， 很 明显他回到了什么状态呢？我们的第一条纹的状态就是小 a 中已经有一部分是等于小 c 的 了，我们只需证明这是一个等腰三角形即可。 好，思路一下就通了。那么接下来我们要做的是什么呢？先不要着急，要把这个旋转线段带全等这个思路转换成比较标准的写法，就是旋转三角形在我们的这个解题中是不能够直接这么表述的，我们往往采用的是延长啊正全等的方式， 所以本题的表达应该是延长 a d g 使得 d g 等于 e、 f。 接下来我们就要去证明这两个三角形全等。 观察可得，已经有两组条件是明确的，一个是 c d 等于 c e， 一个是我们延长的 d、 g 等于 e、 f。 这两条线相等，中间唯独缺一个东西，就是他们的夹角相等，也就是角 f、 e、 c 等于角 gdc。 我 们还缺这个。分析到这个位置，就进入了本题的第一个难点，导角。本题有两个难的导角，这只是其中之一，我们来看看是怎么推导的。我想证明这两个角相等，会发现其中一个角是四边形的内角，而另外一个角是四边形的外角。角 gdc 加上角 fdc 是 等于一百八十度，我只需要证明角 fdc 加上角 f、 d、 c 也等于一百八十度即可。 f、 e、 c 和 f d、 c 同时转换到了四边形内部这两个角，发现不太容易证明它俩相等，那我就会切换到另外一个视角，看另外一组对角是不是相加等于一百八十度呢？观察可得， 角 d、 f、 e 加上角 d、 c、 e 是 等于一百八十度 a， 为什么这两个相加是一百八十度？因为角 d、 f、 e 加上它的补角是 bfe， 而这个 bfe 呢，是本题所给的一个关键条件。二、阿法这个条件我们不用上，肯定是证明不出来本题的，所以这样一来，我们就推导出了 如何去证明这两个角相等。观察和推理的思路是这样一步一步逆着来的，所以写的时候是从下往上写的，本题的第一个难点突破了之后，全等就得以证明，所以三角形 cdf 那第二个点就到哪了呢？就到了，我们如何去证明这个位置是一个大等腰？回顾本题，我们已经得出，哎，这一部分和 这一部分相等了，只要再证明这一部分和这一部分相等，就可以得出 a 加 b 等于二 c 了。所以到这个角 到这个三角形就变成了一个关键了。那我们接下来先看在这个三角形中有什么已知条件呢？哎，看旁边的这个图可以看到这个位置啊，是有一个二倍的阿尔法的，千万不要忽略了它，因为最开始就告诉了我们底边是一个等腰三角形，所以第一步 角 d、 a、 c 等于二倍的 r 法。如果它是个等号三角形，我只要能够证明这两个底角中任何一个等于九十度减 r 法，那另外一个也一定等于九十度减 r 法。所以我要去观察找哪个角去证明它是九十度减 r 法。刚刚的全等就可以帮我们发挥作用， 因为这个全等是一个旋转全等旋转全等意味着什么呢？意味着手拉手模型的出现。 所以本题是两个等腰三角形的旋转啊。一个等腰三角形是这个小的，它的顶角是二倍的阿法。另一个等腰三角形是这个大的，它的顶角也一定是二倍的阿法。所以由此我们可以得出这个角是二倍的阿法。 那这样一来，我就可以得出上面的这个底角是九十度减法。所以他还充分利用了手拉手模型的逆向使用这个关键结论，所以角 f c g 等于二倍打法，角 c g， a 等于九十度减法，把一和二他俩一结合，可以得出 a c 等于 a g， 所以 综上所述，我们就可以得出小 a 加小 b 等于二倍的小 c， 也就是本题的结论就出来了，也就是 b d 加 e f 等于二倍的 a c。 非常好的一道题，值得大家把它认真的记在笔记本上。
74北京初数程老板
06:36查看AI文稿AI文稿c 乘二模的代数综合，从难度上来看呢，并不大，只需要分析参数与二之间的一个相对位置关系，这道题呢就解决掉了，是一个非常常规的增减型问题。 各位家长同学大家好，我们一起来看一下二零二六年 c 乘二模的代数综合啊。读到解析式，我们要有一个意识，这个以解析式呢，可以进行因式分解，进而我们可以得到点 a 是 负一斗零，点 b 是 三一斗零，这个呢比较基础，大家呢稍微注意一下 呃，然后告诉我们说与 y 轴交于点 d， 那 点 d 的 坐标呢，咱们也可以把它给求出来，零到五负三 a。 第一个告诉我们，当 a 等于一的时候，直接带入到这两个点，然后我们会发现 ab 等于四，这个对大家来说呢，是非常简单的，咱们在这里呢就不做过多的赘述了。 第二个我们来读一下这道题，看一看有哪些量是需要我们稍微注意的啊。他告诉我们过点 e 做 x 轴，垂线交抛物线于点 m， 所以 对于大家来说，这个 m 点的坐标应该是轻轻松松，老生常谈的问题， 直线 b、 d 与点 n， 我 们会发现呢，你读完题目之后并不知道 b、 d 的 解析式，但是在前期咱们已经解决掉了，点 b 的 坐标是三 a 斗零，点 d 的 坐标是零斗负三 a， 所以 b、 d 的 解析式应该是 x 减去三 a， 这样的话呢，点 n 的 坐标咱们也就出来了。 好，我们接下来呢，可以感受到，他在里面说的是 m 点与 n 点之间的距离，随着 b、 e 的 怎么着怎么着怎么着，对吧？所以我们要解决的是什么？ m n 的 这个长度问题，那这也是我们非常经典的，也是现在大家一直在练的问题，我们把这个式子呢放在一块加个绝对值，对吧？最后呢我们就能得到 m n 呢，它应该是 绝对值位，绝对值里的 t 方减去三 a t， 这一点呢，大家稍微注意一下啊。好，那接下来我们看一下，有哪一个点会让大家产生疑问呢？就是在这点， e 从二到零出发，沿 x 轴的某个方向， 沿 x 轴的某个方向，就相当于我们要进一步的去进行分类讨论，可以向左运动，可以向右运动，他只要满足其中之一就好了， 这个和西城一模的存在性问题啊，还是蛮像的啊，对吧？从二斗零，那么最大的问题是什么？就是这个二斗零，他到底在哪？对于很多学生来说是不清楚的，所以这道题的关键点就是解决二斗零，你只要把二斗零分析清楚了，那这道题咱们就解决了， 他说的是什么呢？嗯， m n 随着 b e 长度的增大，先变小后变大，求 a 的 绝对范围。好，那我们现在呢把这个 新函数图像呢也画出来了，画了三个图，点了三个位置，大家来看一下啊，因为点 e 呢是二到零，他一定在零的右侧，那零的右侧，我们关于终结性呢，会有三个位置， 第一个位置呢是这一段，第二个位置呢是这一段，第三个位置呢是这一段，那我们就把这个 e 放在这三个位置逐个分析就可以了。 在这里大家还需要注意一个地方啊，就是 e 呢，他是从 b， 他 是从这个二度零出发的，我们就假设一点，一出使的位置就是二度零，然后呢，让 e 去运动就好了，对吧？所以你看啊，如果点 e 在 三 a 的 右侧，他的出使， 那这个时候 e 从二度零向右运动，各位，你会发现他的图像是不是呃， m n 一 直随着这个 b e 长度的增大而增大？哎，有人说，老师， b 在 哪呢？哎，注意了啊， b 在 这，对吧？注意了， b 在 这，那你会发现，当 e 向这个方向运动的时候， m n 会随着他的增大而增大，对吧？ b e 在 增大， m n 呢，是不是也在增大的？所以他往这个方向运动绝对不行。 好，那我们现在来思考一下，当你在呃 b 的 外侧时，如果你向内部运动的话，当我们这个 e 往这个运动的话，你会发现这个 b e， 他 说的是 b 长度的增大，你会发现此时 b e 的 长度是不是先变小了，那说明这个时候他也不满足题目要求。第一种情况，直接 pass ok 吧。第二个情况，我们来看一下，来明确一下，点 b 是 三 a， 对 吧？点 b 是 三 a， 我 们来看看这第二种情况行不行。 点 e 在 这，那如果说点 e 往这个方向运动的话，哎，你会发现他俩之间的一个距离是不是在在这个地方，是不是在变小？所以说点 e 往这个方向运动是不是不行的？那如果点 e 往这个方向运动的话，好，点 e 如果往这个方向运动，那我们会发现 b e 的 长度确实在变大， 他满足第一个 b e 的 长度呢在变大，嗯， b e 的 长度呢在变大，感受一下 b e 的 长度在变大，但是我们会发现，此时 m n 呢，在这个从这个地方运动的时候，一开始这个地方也在变大，后来呢，在变小，他就是先变大 后变小，而我们题目中说的是先变小后变大，所以他不论是向右这个方向不行，向左这个方向他也不行，所以他不论是向右这个方向他也不行。所以第二种情况咱们也 pass 掉了，我们来看一下第三个， 第三个注意了，点 e 在 哪呢？点 e 在 这个位置，那这个时候我们已经知道了啊，他向左运动这个方向一定是不行的，因为他向左运动 b， e 在 减小，对吧？如果你向左运动的话，这个 b 的 长度是这样，哎，一开始这么长，然后来这么长，然后后来这么长，哎呀，后来这么 后来这么长啊，再后来这么再后来这么长，对吧？这个 b 在 变小，那他肯定不行，那我们就只能干嘛呢？我们就只能向右运动，感受一下。向右运动之后呢，我们会发现，哎，这个时候 b 是 不是在变大？你看 b 一 再往这， 再往这，再往这再变大，那一开始的时候我们会发现他是在变小的，后来呢？是不是在变大的？哎，先变小后变大，对吧？他是满足咱们的题目要求的， 所以在这里呢，我们会发现点 e 呀，他只要符合这样的一个要求就行了，就是 e 点在对称轴的左边，那也就是二分之三 a， 他 要大于我们所说的二 啊，二分之三 a 要大于我们所说的二，他说的是从点 e 啊，从这个地方开始运动，向左能不能去等呢？哎，我们会发现，此时呢，他也是可以去等号的， 对吧？那最后呢，我们就算出来 a 呢，应该是大于等于三分之四，那这样的话呢，这道题就结束了，所以说七乘二摩的代数综合呀，是非常简单的啊，也希望这个视频呢可以帮助大家更好的理解我们在后续做题的时候，一定要注意参 与数之间的分类讨论啊，这个东西才是我们代宗的最核心的内容，所以说这道题虽然不是很难，但是非常的好。
119程木其
04:27查看AI文稿AI文稿这条视频给大家分享北京西城二六年五月份的二模集中。呃，这道题目呢，其实有很多同学在考场上也是不能够快速得出他们之间的数量关系的，那么就来看这道题到底应该怎么去做啊？首先我们来看一下第一问，第一问我觉得对于大家来讲应该没有任何的难度，就是一个倒角推边的过程，对吧？ 那怎么去做呢？首先你看到了这个是 a b 的 a c， 所以 是个等幺，然后有阿尔法，所以就是阿尔法，这阿尔法，所以这二阿尔法，这瞬间能够想到的一个事，对吧？然后呢，他说的是这个点一在 a b 上，让我们证明是终点，那怎么证呢？其实我们来看一下这道题目啊， 这是二阿尔法。然后呢，你还能够得到的一个信息是旋转，对吧？那这个是旋转点，所以说你就能够得出来的是这是旋转的二阿尔法，所以你自然就能得到这是九十度， 没错吧？但是同学们一定要注意啊，这个再说终点的时候呢，其实你还是要再去简单说明一下，就这个是等腰，毋庸置疑。那么你还得说一下，这个角是九十度减阿尔法，所以说 ac 又等于 a d， 好 说清楚了吧？就是，呃，你能得到的是 ab 等于 ac， 已知又知道 a c 等于 a d， 所以 d a 是 b d 终点，这是第一问。好，那么再来看第二问，第二问，这个题目当中让我们去找的是谁？你得先去明确这个线段是 a、 c、 b d 和 b e、 f 之间的关系， 那么这个怎么去正呢？我们先不着急去啊，做什么辅助线啊，这个我做出来是为了节省后边的时间，但是我们在做的时候先不着急做辅助线，为什么我们先去看这题目当中的信息啊？我们来看这是二阿尔法，然后呢？这个角也是二阿尔法， 对吧？那你知道的是不是就是这个角加这个角是等于一百八的，那其实你就知道这几点，应该是这个是一个一个四边形，或者大家经常说的是四点共圆，那你就知道其实这个角应该是和这个角相等的，没有问题吧？这是你最最应该快速去反应的，那么你就知道旋转是 c e 等于 cd， ok， 那么我们来看 e、 f 是 不是这样竖着线怎么办？把它转到这个边上，那怎么转呢？构造全等，所以这个时候的辅助线是什么，我跟你说清楚，是你延长 a d 使得 dm 是 等于 e、 f 的， 能明白吧？这样的话是不是就直接得到了一个全等？为啥 这个边等于这个边，这个角等于这个角都是已知的，你又得到一条线段，是不是把 e、 f 转到了这啊？这是我们做的辅助线， dm 等于 e、 f， 然后同学们，我们搞完这个之后，我们要找的是谁？我们要找的是这个 a、 c、 b、 d 之间的关系，那么我们这个时候是不是得到全等以后能得到啥？能得到就是 我们能知道的，就是，呃，这个 b、 d 我 们已经要在这了，对不对？然后这个 a、 c 就是 ab 的， 对吧？ ok， 没问题， 得到这个之后我们再往往下走啊，我们来看一下这个现在的关系能不能得到，你只是把 e、 f 挡在这，对吧？但是你这个 b、 d 和这个 ab 之间的关系你仍然不清楚，这个时候你不要着急，你看一下这个图，是不是就特别像第一问了？所以我连接了这 连接这之后，是不是就相当于是点 f 位置？是相当于是点 e 的 位置？所以你现在要做的就是要证明的是这是个直角，从而你证明直角的意义是什么？证明这个等于这个等于这个 啊，不是等于这个，对吧？没问题吧？ ok， 那 怎么去正呢？你看啊，你已经得到了什么？你得到的是全的，那你能得到就是 c f 是 等于 c m 的， 没问题吧？那么同时你还能知道什么？就是 通过这个全等，我们能得到的是。给大家说一下啊，通过这全等能得到的是，你知道这红色角是二二法，对吧？那么这个角是不是也是二二法？没问题吧？因为你知道的是这个角和 呃，我们的这个角是相等的，没错吧？所以说你就能得到的是二阿尔法这个角度，你得到二阿尔法之后，是不是跟上面这个第一问是完全一样的？就是一个可以倒直角了，没问题吧？那我就不在这去坠树了啊，我们能得到就是这个角，是这个也是，对吧？来， 是不是这二 r 法，是吧？这二 r 法，所以跟第一问是一样了，那我就知道了，什么就是直角，直角之后就能得到什么？ a 是 终点，所以是 ab 等于 am 等于 ac， 是 吧？那你就知道了，这个 bm 是 等于这个 a 二倍的 ac 的， 没错吧？那它等于什么呢？等于我们要求的 b、 d 再加上什么？再加上我们的 e、 f， 这道题就全部整完了，就这么简单，就是你需要的是你看这个题目你要做什么，而不是这个辅助线我就咔咔咔一顿连，这样的话你是根本不可能做出来的。所以你根据我这个思路啊，好好捋顺一下这个题目的辅助线， 他到底是怎么做的，怎么去思考的，然后怎么跟第一问究竟连接的。那这样的话呢？这个题目的起宗其实你也就能够快速搞定。我说句实话啊，这个起宗的难度并不大，但是能做出来的人又有多少呢？那中考就通过这样的题目，能够让大家产生差距，所以说这个题目值得我们思考。
33讲数学的森叔
03:00查看AI文稿AI文稿嗯，大家好，我是沈阳教数学的大鹏，我们今天，嗯，大连二模。嗯，刚考完啊，我们分析一下它的二十二题跟二十三题， 二十二题主要是子母相似，摄影定律和或者是用核磁共振都可以求。嗯，它这道题的话主要的特点是什么呢？就是一个几何新定义。 那么你第一步就是先导角这个圈，圈圈和 r 发都是相等的，你都能导出来才行。那么第一种情况，如果说 e 在 上方的时候，那么这个时候这是怎么求呢？其实你发现没，这个角也四十五加 r 发，所以 h j 等于 h c， 这是一，这是三，那这边是根号十， 由于它是字母相的，它方等于它等它相似比是一比三，对吧？那这个是一比八，所以这整个 h c 是 八分之九倍的 h e c， 那么就是第一个的结果啊，所以第一个答案等于八分之九倍，刚好十。那么第二种情况的话，和是一百八十度，他这几个是一个 e， 那 么当你这个就是 e 点在这个位置时，也就如这个图所示。 嗯，第一种方法就是阿尔法贝特心加是四十五度弹进的，阿尔法一比三，弹进维特一比二，那么可以导到到，哎，二十分之九倍刚好十 也可以，拿谁呢？拿 a j 的 长度减去 a h， 因为 a e c 和 h 是 一个适应定律，字母相似对吧？或者说叫双垂对称都可以，你根据一和三那求高 a h 特别好，求一乘三除根号十，对吧？拿 a j 的 长度减 a h 就 完事啊，因为刚才这个 a j 也特别好求。 嗯，他这个题的话，我觉得不能考，因为他有个什么缺点呢？现在中考二十二四年，二五年的题，他都是图形给你画好了，然后让你自己去倒角解三角形，再用相似，对吧？他自己让你自己独立画图。老沈阳的题型啊，这个题反正整体还行，不是那么难啊。 所以这个题考了这几个知识点啊，这个方法挺多的啊。最后一道题出的特别好，这个是动平行加单调， 呃，第一个他计算就是往里带，第二个的话也是，就是六零和那个二分九，二分九带进去就能求出来了啊。这个的话我最开始还走半步了啊。其实你就直接拿那个 pe 乘上，呃，二分九减 m 再除二，再拿那个 pf 乘上那个六减零再除二。其实一下这个求出等于三了啊。 呃，因为我第一次没有经验嘛，就是有点那个走半步，但是这个后来我就反过来，横线中横线嘛，最后等于三哦。呃，最后一个问的话就是一个轨迹的一个动平行的一个， 呃，单调问题也叫，那么这个题的话特别好，首先的话我先过 b 做一条线，跟那个 b c 平行，因为你这个 b o q n 它这平行四边形，我从 c 杠往前走一点点，你看到没，它在内部的曲线啊。抛物线是单腰递减复合体，直到主要得为止， 那么你就拿直线跟抛线连立，求得点坐标，横坐标十分之三十三。那同样到从 h 往这边走时，你看这个时候绿色的时候和这个 b o 是 平行四边形，内部没有单向递减，但是绿色再往右走一丢，对 o 是 不就可以有单向递减了？ 所以这个时候应该是这个点是二点五啊，把这条线截出求出来，跟抛线连立，求出一点坐标，最后求出这个范围。这个我上周讲的题比他难啊，这个是挺好的一道题。
