杭州二中空间几何题
之前发过了六份杭州二中的高一下周测试卷，这是第七套，但这一套不是标准十九题的试卷，而是一份二十七题的拔尖训练题，包含高一上学期函数拔尖题，所以很适合期末考试，覆盖高一上下两个学期的尖子生使用。这份练习单选择题从第三题开始就没有简单题， 从第三题到第七题全是高一下空间几何的压轴小题题型，第八题往后都是高一上的函数压轴难题多，选择题和填空题也是空间几何和函数压轴题交叉解答，题中则以三角函数解、三角形和函数心定义综合压轴题为主，难度极大。
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00:50查看AI文稿AI文稿这是杭州二中高一下第五套周练数学卷，开始以空间几何为核心了。大家可以从咱们发的周练一开始，逐步来体会名校给学生准备的题优质在哪里。这份试卷虽然以空间几何为核心，但把前面所学章节页都带上了，避免出现前面学后面忘的现象。单选前五题均为纯基础送分题，第六题是平面向量核心中档题。 第七题和第八题都是空间几何，有一定难度。第七题需要较好的空间想象能力。第八题则与平面坐标系结合，三道多选择题，无难题，填空压轴。第十四题稍微难点，是十分经典的球类问题 解答题，延续行二周练的一贯风格，计算量都较大。第十六题是三角函数与解三角形的实际应用题，属于高一下必考题型。第十七题是空间几何初步与高一上的基本不等式深度结合。第十八题属于解三角形的常规题，中上难度，但很侧重三角函数计算。第十九题是三角函数的新定义压轴题，难度和计算量均较大。
227高考升学家长圈
03:32查看AI文稿AI文稿浙江杭州、温州绍兴等第七所学校的联考卷啊，难度比较适中。第八题考的是一道圆和直线之间的关系，一道解析几何的问题。第十题考的是个竖列问题，它只是一个等比数的，考虑一下单调性，还处理一下四值就可以了。第十四题是一道几何问题，平面几何问题。 第八题，这是一个半圆，找准圆心的位置，有一条动直线，但是过定点要读得出来这个半圆的圆心，那么这条动直线它是横过定点，负二到零，斜率是负 n 分 之一， 然后呢，要求它的距离，这个是关键要点，距离为一，至少是两点，距离为一，然后负二六零的一条动直线，它是旋转的过程。那么第一种情况呢，就是当 k 小 于零的时候，他们传过去，那要求的话，应该是这个距离。临界状态，我们只算临界状态，这个临界状态的话，这个距离是一，那根据勾股定律的话， 二倍根号六，也就是因为这条线的长度是五吗？这条线的长度是二倍根号六，所以可以轻而易举的得到这个临界状态的话， m 是 大于等于二倍根号六的。那第二种情况， k 大 于零的时候，也就是 m 小 于零的时候，那么这条线从上面穿过去，这个临界状态应该是这条边等于一， 这条边的话是三三比一，比二倍根号二，那也可以轻松的解决这个临界状态啊。 m 的 值是小于 等于负二倍根号二的，就是直接就是呃直角三角形勾股啊，就是转换一下它的斜率就可以得到，选项应该是 d 啊，就尽量用呃简单的手法去解决，但你也可以用距离公式，也可以用距离公式，但是距离公式本身就是用购物厅推出来的嘛，很多公司都是初衷的手段推出来，我在只要解决这些简单公式，距离公式等等的初衷的一些勾股法，勾股定律啊，或者说简单的直角三角形关系相似啊，三角函数去解决。 十一题呢，一定给出了一条向量，我们现在求和全是问的是吧？ s m s m 的 求和的话呢，这里呢，简单的等比求和这个家伙小于一肯定是没问题的，所以选项呢，是肯定是对的，那这个是指呢？ 等到递增呢？这条是指的话，就应该大于等于零，大于零才对，他也没有说 m 不 相等，那这个应该大于等于零才对。因为 c d 选项我们都看到它全都是一减去 s m 加 n 或者 s m 减去 s m 这样的，所以我们直接就写出来， 一减去 s n， 它就等于。那这里很明显的倾向于把二分之一提出来，因为很明显有一个二分之一在这里啊，析出二的 n 之三分之一加三，三的 n 之三分之一 g d 选项有点像，但是你不能直接说他们 c d 是 直接说他矛盾了，然后就说两个只能选一个，但是呢， c 选项还是比较好判断的，为什么呢？因为这个 c 选项啊，你完全可以取特殊值， m 等于一， n 等于二，然后把它带进去，你就会发现它是错的啊，已经矛盾了，所以 c 就 已经错了啊。如果你很勇敢的判断出来 a 啊，把 d 给选上，答案就是 a d， 那 d 选项我们这里看一下选项，这里左边也可以写成是， 右边的话应该是二分之一，那就提出来四分之一了，四分之一的 m 次方加上三分之一的 n m 次方，然后再乘以二分之一的 n 次方加上三分之一的 n 次方，那左右都有明显有二分之一的 n 次方，二分之一的 n 次方，那我建议的话呢，就是说想写的舒服也好看点啊，大胆的不妨可以设二分之一的 n 次方 等于 t m， 然后二分之一的 n 次方就等于 t n， 三分之一的 n 次方呢，等于 u n 直接用左减右，左减右通分一下四分之 u 因子分解的。那这里的话呢，同号啊，同号，所以呢就大于零了。但是 a d 第十题呢，真的可以说是一道比较好做一点题目，但是建议呢，就是用一下基本不等式好做一点。这个的话，他说有一个周长二十四的矩形沿着 a、 c 呢，把 a c b 给折下来，有个 p 点，他问这个 a d p 的 面积最大值，这里的话呢，我就建议这个是 x， 这个是 y， 这样子的话呢，直接求 x y 的 最大值了。 这条的话呢，十二减 x 是 十二减 x 减 y， 我 们就得到 x 的 平方加 y 的 平方，等于十二减 x 减 y， 十二减 x 减 y 的 平方。对称的后面用基本不等式就比较好记，基本不等式，我们把斜边 x 加 y 大 于等于二倍根号 x y， 求谁呢就保留谁，另一个就把它换掉啊，我是这么做的，求谁就保留谁，另一个就把它换掉。因为我们求的是 x y 的 坠子，这个把它换掉，这个把它换掉的话，那就是直接就到这里来，大于等于二十四倍的根号 x y， 那就可以让根号 x y 等于 t， 这关于 t 的 一个幺二四不等式，二四不等式解出来， t 小 于等于十二，减去六倍根号二，然后再把 t 翻给算出来是一百零八，减去七十二倍根号二，不是特别漂亮的结果，但是比较好验 x 等于 y 的 时候他就去追值，因为我们用的是基本不等式。
60吕小胜
03:11查看AI文稿AI文稿这是一个最近考的一个三省联考的一个卷子，十四题啊，就是江苏、浙江、湖南三个省分转的学校啊，南师大附中，杭州二中和长沙长郡中学一起联考的题目。这卷子呢，是南师大附中出的，然后这个十四题难度可以说是最近的模拟考当中各个地方的模拟考当中难度比较大的一个十四题啊，作为十四题来讲， 为什么这么说呢？因为这道题的层次非常复杂，完全可以到这两部分来做，而且这两部分的前期几乎是没有的，可以说一道题拆成两个小部分来做，前半部分我们要根据这两个条件呢， abc 等比数列以及啊这一条三角函数的关系式，解出这个三角形是一个等边三角形。就单单是这一部分，已经可以单独作为一道大题啊，十五题或者十六题的解答题的第一问来做了，而且可能比一般的十五题，十六题的第一问还要复杂一点点了。这两个关系是连立起来，解出角 b 等于六十度啊，还要解出呢， a 等于 c 啊，从而得到它是一个呃六十度的等腰三角形，得到它是一个等边三角形。就单单是这一点，都已经可以作为解答题的第一问， 一点都不过分。那其实这一道题是真正的亮点呢，是在第二部分啊，第二部分呢，它是把向量问题转化成一个几何问题啊，可以把向量问题转化成几何问题，也可以用解析啊代数的方法去做间隔期。那么这个第二问呢，就确实是非常有这个平时模拟考或者说高考的那个小题的味道里面有一些填空题啊， 如果说前半部分确实是一个大题第一问的感觉，那么后半部分呢，它就是一个填空题，所以我们把这个研究重点放在后半部分，因为后半部分呢，它在大题里面考的可能性不太大，因为像这种把向量转化成几何问题来做的， 非常有这种高考小题的味道在里面。我们我过往的做非常多这样的题啊，有我们有机会把这样的类似这样的题呢，可以来给大家去练一下。类似的这种题其实蛮多的，前面的连理这两个条件，把它求出来，它是一个等变造型的，我们这就不多说了。我们看后半部分，我们先把这个等变造型画出来，标上去 abc， 然后它的边长是二，然后他说呢，在 ab 上面有一个点 t 点，我们随便标一下，这里有个 t 点，他说什么满足这条式子的 t 点恰好有两个，问 t 的 取式范围先写一下，把 t b， 我 们说小小小 t 啊，小字母 t， 可以 把它单独的移到右边去，变成 t， 减去 t 方除以八。意思就是满足 t， b 等于 t， c 等于一个常数的 t 点有两个， 那这点怎么办呢？如果敏感一点的可能能看得出来，如果把 t、 b、 c 看成一个三角形的话，那是不是 t、 b、 c 可以 用几何等式转化它？这道题如果把它想用几何的方法做的话，就要把 t、 b、 c 转化成几何等式，所以我们会取什么，我们才会想到去取什么？取 b、 c 的 中点，假设 b、 c 的 中点是 m 点，中点 m， 那 么根据几何等式啊， t b 乘以 t c， 它就等于什么 t m 减去一， 意思就是说这道题是 t 点，要找到 t 点的两个 t 点呢？满足的了 t m 的 平方是一个值，那怎么办？根据对称，我们先做过什么？先过 m 点做一条垂线过来。 ab t 点是不是在这条线上面游走？ 根据对称性呢？ t 点呢？在这边和在这边，比如说随便取个 t 一 和这边取个 t 二，只要呢，它是对称的，那么 t e m 呢？就会等于 t m t m， 对 吧？所以如果要有两个 t 点，满足的了 t m 的 平方是一样的，那么它在 b a 上面游走的时候呢？最多呢，也只能在这一段上面走了，就等变向型，等腰向型这一段上面走。那么其实我们不用管这个 t m 能够取的范围，那么这个 t m 的 长度，它能够取的范围应该是什么？ 一条是这个最长的情况下是 b m， 一 条是这个。假设这个是 h 点直角的情况下， tm 的 取值范围呢，就是要大于等于什么 m h 小 于等于什么 mb， 所以 tm 的 平方呢，就大于等于四分之三，小于等于什么？小于等于什么？一，因为加边的长度是一，根据这一个，再把它怎么样带进去 这条式子里面，再带进去什么，这条式子里面就能求出什么 t 的 范围是多少， t 的 范围是多少，就是这样。
38吕小胜
14:44查看AI文稿AI文稿接下来讲一下技校联考的十十一题啊，这十一题难度比较高，嗯，首先条呃，题目的条件呢？我不再读了， a 和 b 呢，其实本质上是一回事儿，呃， c 道，呃，各玩各的，那么其实一共就三个选项，那么我们来聊一聊怎么做啊？首先，嗯， 它这个内切球啊，怎么用呢？其实就是 i 点到 a c 的 距离和 i 点到 b c 的 距离是一样的，那么如果说，呃，你呢？就是， 嗯，这样做个平面，那么事实上这个平面呢，也就是，呃，叫做叫做这个平面嘛，对不对？好，那么我们要注意到，嗯， i 点 啊，啊，或者说啊，我们 i 点延伸到 e 点，好的， e 点啊。然后呢， dot c 组成的平面，或者说确定平面 组成平面， e 到 c 好 了，那这个平面有什么特征呢？就把这个二面角给平分了，那么我们说，呃，二维平面上呢，是角平分线，那么我们这个三维上我们就知道平分面好了。那么平方面是有什么特征呢？平分面上的点到， 呃，这两个面的距离应该是相等的，所以呢，我们就能意识到，呃，意识到就是 i e 点啊， 如果到这个 b c 道，嗯，这样好了，我干脆就用这个来表述，叫 d e 杠 b c 道， 等于 d e 杠 a c 道，可以吧？啊，那么，呃，又什么又 e 为中点， 呃，最好还是要说明一下谁的中立啊？意为 ab 中立， 就这意味着什么呢？一点到底面的距离和 a 点到地面的距离，是啊，两倍关系。同样的 b 点，一点到这个面， a c 道的距离和 b 点到 a c 道的距离是两倍关系。所以呢，我们就知道 d a 杠 bc 道呢，将会等于 d 啊， b 杠 a c 道啊，有这样个关系，好，那么由这个之后呢？向右什么呢？右，嗯， v a 杠 b c 道 等于 v b 杠 a c 道啊，就是体积相等的，那么高右相等，那只能什么呢？ d 面积相等，所以 s 三角形 b c 道 等于 s 三角形 a c 到，那么如果我们这两个面积都把 c 到当地，那么 a 到 c 到距离和 b 到 c 到距离就相等了。好，所以呢啊， d a 杠 c 道等于 d b 杠 c 道好，那么至此呢， a 选项正确，那么事实上这道题目呢啊，你说 a 选项他送送不送分呢？不送分的多少？这个这个这个 a 选项和 b 选项的选出来还是有点难度的，实际上，那么 a 选到这， 接下来我们再来讲一下 c 选项，那么 c 选项呢，其实比较有难度的，它需要借助一个圆柱体来说明，那么我们来聊聊如何入手啊， 通过 a 选项我们就知道， a 点到 c 道的距离等于 b 点到 c 道的距离，那么同样的，如果我们 c 点，如果我们 c 点到这个到 ab 的 距离 来做个垂线和多点到 a b 的 距离，其实也是相等的，因为 a b 和 c 到，从 d 位上来说，它们是等价的，所以我们写上啊，由 a 之 c， d 到 ab 距离 也相等，那么我们接下来进一步操作啊，那么首先呢，就是我们做 c 选项就是道证明题啊，证明 c 刀是呃下正 e f 为 a b c 刀公垂线。那么事实上，我其实就是把答案的方法解说一下啊。 好，那么首先我们所谓的距离，我们要过点 c 和点 d 呢，做 a b 的 射影啊，射 c 到在 a b 上的 肾分别为 c 撇倒撇，那么我们图上就是这样子的体现了。好，那么这个时候呢，由刚刚我所做的铺垫，我们就知道， c c 撇呢，等于倒撇吧。好，那么有了这个之后呢，我们可以认为 顾客认为什么呢？就是 c 到在以 a b 为轴， 然后呢， c c 撇为半径的圆柱面上 啊，我们可以这样认为了，好，那么有了这个之后呢，过 c 撇倒撇的中点，接下来就是要继续做辅助线了，那么这里的 e f 呢，我其实不应该这么快的去把它画上去啊，往这里标记一个 f 也撇，那么 接下来我们怎么样去把这个嗯点 f 给搞出来啊？嗯，这样写过 c 撇倒撇的这个中点 f 一 撇过 c 撇倒撇，中点 f 一 撇做平面 与轴 a b 呢，垂直 好，并且呢，呃，这个平面呢？显然啊，啊，其实就整个平面就过这个 a f 这个平面，这样子做这样一个平面嘛，对吧，做这样个平面，这个平面啊，该平面 平分 c 到，故该平面 过 f 点，对吧？好，那么当我们说清楚这个以后呢，嗯， 我们就知道啊，接下来的证明呢，就比较简单了啊，其实前面的这些中工作呢，不过是准备工作，那么有这个之后呢，我们写上啊，呃，再做一些投影啊，比如说，嗯， 射 c 刀在下底面 的 投影，为啊，这个 c 也到，那么显然啊，这个 c c 呢，就会垂直底面了啊，那么写上 u， 再连一下啊，连 c 也到啊，取 c 也到终点 g， 好， 然后呢，连底 g， 那 在这里的话，我长话短说了， f g 平行且等于二分之一的 c， c 也同样的 f 一 撇倒一撇呢，平行且等于二分之一的 c c 也，所以呢，我们就知道 f g 呢，平行且等于 f 一 撇倒一撇好，所以呢，我们就知道，呃，这个 f 一 撇 f g， d 一 撇呢，为平行四边形 好，所以呢，我们就知道 f f 一 撇呢，是平行 d 一 撇 g 的， 那么右 d 一 撇 g 呢，垂直？ 首先 d 一 撇 g 啊，垂直 c， c 到 d 一 撇 g 呢，还垂直 c， c 加上 c 到呢，等于 c 一， 所以呢，我们就有，嗯，第一撇肌呢，垂直面啊， c 也 c 到，所以呢，第一撇肌呢，垂直 c 道好，那么所以呢，谁也垂直 c 道，就 f 也撇， f 呢，也垂直 c 道了。呃，光说到这儿呢，其实你可能会感觉，嗯，还是有点奇怪啊，那么这里呢，只不过先证明了什么呢？就是 c 道的这个有了这里以后啊，说明 f f 一 撇呢，是这个 a、 b 和 c 道的 公垂线。 这里我好好说明一下啊，弓垂线其实只要和 a、 b 和 c 刀垂直就可以了没，还没有说这个弓垂线，呃，一定经过，一定是 e 和 f 了。那么接下来还再补充一下啊，一定要想清楚，弓垂线只不过跟 a、 b 和 c 刀垂直而已。那么现在呢，我们起码知道什么呢？就是 f， 嗯，呃，记 a， b c 刀攻捶 线能过 f 了。那我就问一个问题啊，如果我把 ab 和 c 的 位置互换一下，同理，再来一次，就是这边放 c 刀，这边我放 ab， 我 们是不是可以证明出 ab 和 c 的 公垂线就会过点 e 了啊？那么像同理啊， a b 和 c 刀公垂线就会过 e， 好， 那么所以呢， e f 为 a， b c 刀公垂线 好，那么 c 选项难的是构思啊，这构思很有难度对不对？好，这样讲一下倒选项，最后再讲一下倒选项。 倒选比较简单啊，我们只要考虑一个问题就可以了，就是你去让 b c 的 公垂面去跟 e f 交上去就可以了。你要只你只要自己比划一下， b c 和 e f 是 意面直线， b c 的 公垂面， b 和 e f 有 交叠， 嗯，甚至答案里面呢，虽然说它有证明啊，但其实你不证也没关系啊，你自己标记，我们换个颜色啊，标记一个点 o 好 了。那么 o a 和 o c 呢？会会相等啊，高选项我写上面吧， 做 b c 中垂面阿尔法交 e f 于 o， 则 o a 等于 o c， 这显然的事情。那此外呢，我们还可以怎么操作呢啊，我们还知道由 c 选项，我们还知道 o b 是 不是等于 o a 啊？ 啊，然后呢， o c 是 不是又等于 o 道啊？因为我们 c 选项知道这个 e f 呢，是 ab 的 垂直平分线啊，所以呢， o a 等于 o b， 同样的 o c 等于 o 道，那这四个一起来呢？我们就知道 o a 等于 o b 等于 o c 等于 o 道。所以呢，四面体 abc 的 外接球形一直在 e f 上啊，所以道选项也是正确的。 所以本题的话，我们选 a c 到，那么本期就讲到这儿结束了。
36杭城浪子
18:30查看AI文稿AI文稿学军的这个高三的周考，嗯，这个周考算算是非常难的捷径了，那难度肯定是吊打航二的，你们那个周考不行啊。 呃，第一小题，他让你求 c r 那 个 c r 的 轨迹啊，就这个双曲线，那这个双曲线其实很明显， e 就 等于二嘛，对不对？那么一定要一定要小心啊，这个 e 等于二的这个双曲线呢，他有很多额外的兴趣 啊，就是主要是一个这个角的两倍关系，这个角和这个角两倍关系这个性质，但是很多同学是不了解的，那么这道题目的第一小题，我们不讲，就这个曲线二的一，我们也不讲，但是我们可以把它当已知境，以 m 为直径的圆的过点 a 啊，就这个当已知条件 啊，我就不啰嗦了，证明起来非常简单啊，这个是已知的，我们再把题目看一下啊，就是仔细的读一下题啊。他说，嗯， 以 f 二啊，若 f 二为曲线 c 二，那 c 二就是这个双曲线嘛，对吧？ c 二 右脚底 f。 然后他说，啊，过 f 的 直线，与 c 二交于 m n 两点，我找一下 m 和 n， 那 m 和 n 找到了吧？ n 在 第二项线， 他说以 m n 为直径的圆是否经过点 a， 那 其实你也真要做，你自己连一搞一个数量记就拉倒了，那么斜率记等于负一也行啊，去验证一下就拉倒了，那的确是的啊，那么我们就把它当成条件。好，接下来就来看二啊，主要来看二，他说，以 m n 为直径的圆 与曲线 c 二第一象限的交点为 q， 以 m n 为直径的圆呢， 与曲线 c 二在第一项线的焦点呢，是点 q， q 跟 m 呢，不准重合，也就是说有个新的焦点呗，好证明 m 呢恰好是三角形 a 也 q f 的 这个内心嘛，那么我们来聊一下怎么个处理啊？ 首先呢，你要意识到，对这个三角形来说啊， 嗯，对这个三角形来说，它呢，肯定是这个角和这个角有两两倍关系的。 如果说啊， m m 点，因为它要你正的命题，当然是个真命题，要你正的命题是真命题，意味着什么呢？ m f 呢，肯定是平分了这个角 q f a 的。 好吧，那么当你知道了这个以后啊， 当你知道了这个以后，你就要意识到，呃，这个 m f 呢和这条准线，这条准线自己去算的，要交出来一个点 e， 这个点 e 可以 自行标记啊， 标记好了之后呢，你应该说 q e a 点的三点是共线的，也就是说这里有个二级结论在这个二级结论要要有前提的，就是 前提就是 q a e f 有 这样的三角形，然后呢， a e q 呢？和准线交于点 e， 然后呢是 e f e f 这个，呃， 连起来啊，连起来。那么这样好了，我先把那个二级结论呢，先给你们证明一下，免得你看的云里雾里的啊。那么我先证一下最基本的二级结论，先把它拎下来啊， 首先啊，左顶点是 a， 右焦点是 f， 连一下，再连一下，那么我们呢，自己画一条准线， 这里要求 x 方除以 a 方减去比方分之外方呢等一个一，这里呢，我就标这个点 p， 这个离心率 e 啊，等于二，我们来看，离心率 e 等于二， a 和 c 会满足这样的关系啊，它就等于一个 a， 分 之 c 嘛， c 就 会等于二 a， 这就意味着 a 点的作 a 点的坐标，我们把它标记为负 a 零， f 点的坐标，我们就把它标记为二 a， 多号零。那么这条准线 x 等于 c 分 之 a 方会变成什么样子？会变成 a 方除上一个二， a 等于二分之 a， 那么二分之 a 的 意义是什么？我们会发现，这两个一加除个二，恰好是二分之 a 吧。这就意味着这样一件事啊，就是这条线呢，实际上是垂直平分的 a e f， 这条线段，也就这条是垂直平分线，有这样一个特征。 好，当我们知道了这个以后呢啊，我们呢，我们也要说清楚，我们到底要证什么啊，来写上证明 角 p a， f 呢？等，等于应该是它的两倍啊，等于角 p f a， 那 么由于我刚刚已经说明了这样一件事啊，就是这条这个呢，垂直平分的这条线段，我们不妨把 准线和 a 和 p 的 交点记为 f 啊，记为 e 啊，连接一下 e f， 那么我们很容易意识到这个角，如果我标记为 c， 那 这个角也是 c 的 吧，对不对？如果我想要证明这个关系的话，我只要证明什么呢？我只要证明 ef 平分这个 p f a 也就可以了吧。那写上只要证 ef 呢， 平分角 p f a 了。好，那么这个是否容易呢啊，其实也不难，因为我们可以借助第二定律， 那么我们不妨过点 p 呢，做准线的垂线垂足也标记一下 h， 那 么包括这个点啊，我们也标记一下，我们标记为 g。 如果我想要正 ef 平分角 p f a 呀，我们写上不妨正。 我们用角平分线定义的逆定义来正，不妨正 p e， 除上这个 e a 啊， 等于 p f 除上 af。 那 么写上注意到 三角形 p h， e 相似于三角形 a 也记 e， 则则什么呢？就是 p e 比上 a 也 e， 那 么 p e 的 话，转成接下来它哪一条呢？就用 p h， 当然要用 p h 啊，以及 a 也 g， 因为 p h 也罢， a 级也罢，都算曲线上的点到准线的距离吧，其实这段也算的对不对？那么我们可以怎么写 p h 呢？实际上是等于啊两，就是说啊，它应该是等于二分之一的 p f 吧，这图画的不够好啊， 二分之一的 p f， 而 a g 呢，就是二分之一的 a f。 好， 它需要一下二分之一啊，那么 p f 和 a f 了。好，那这样的话，我们就得证了吧。得证， 那么知道这个之后，我们回过头来说这个问题啊，嗯，就是说， 一开始就这幅图，我画的太，就是太标准了，其实一开始你知道的是什么，我们再来辨认一下，就我一开始知道有这样一个圆了，对不对？ 然后呢，有这样一个，有这样一个三角形了，以及一个 m 点吗？是不是？至于我，我们连接这个 m n 和 a 也 q 这个交交出来一个点点意是不是在准线上？其实我们还不知道，听得懂我意思吧，所以现在我们怎么去 把道理说明清楚呢？我们注意到，刚刚做这个问题的时候，我们知道这两条线段呢，实际上应该斜率是互为相反数的吧， 所以我们要知道，如果你证明了 a 也 q 和这个 m 的 斜率互为相反数，那么也就是 a 也 e 和 e f 的 斜率互为相反数，那么这个时候呢？嗯，这两条直线的交点呢，会交在它的中垂线上， 这就是关键啊，这是个突破口。那么我们现在来做一下这个事情最快的方式呢，就是，其实它本质上让你证什么， 是不是一个圆跟曲线交出来有四个焦点，然后这四个焦点呢，会有个对角线，对角线的斜率互为相反数，这其实是一个性质吧，那么我们用曲线线来，正是最快的。我们写下过程啊，我先写一下这个， 呃，先写一下这些直线方程吧。我先设 m n， y 等于 k 一， x 减二，还有呢， a 也 q， y 等于 k 二， x 减去负一啊，因为本题的话，这个点坐标是负一零，这个点坐标是二零啊，我们都知道的，实际上，那么我们设经过 m q， 然后 n a 也得 圆，那我说了，用曲线系 x 方减三分之， y 方减一，加一个 lamb 的， 拿这两条直线乘一下吧。 好，当我们写到这里之后呢，我们知道这个圆是存在的，所以呢，当圆存在的时候，它的 x y 的 系数写上 x y 的 系数，因为你打开了之后，就会有这个交叉项。 x y 的 系数是什么呢？负 lamb 的 k 二，负 lamb 的 k 一 吧。 嗯，好，那么它必须得等于零哇，但是 lamb 是 不是很等于零的？所以只，所以必须是 k 一 加一个 k 二呢，等于零哇， 好，那么当我知道 k 一 加 k 二等于零之后呢，我就知道，就是 a 也 q 和 m n 的 斜率呢，是互为相反数的吧，是不是？那所以呢，我们不妨记 这条 m n 与这个 a 和 q 交点为 e， 则 e 在 a f 的 中垂线上了，对不对？好，那么 这个知道了之后有什么用嘛？对吧？整了半天有什么用？有，有了这个之后呢，我们起码说 m f， 就是 说 m f 现在变成了 e f 嘛，对不对？ e f 平分这个角我们已经有了吧，也就是说 这条视角平分线 m f 起码平分了这个角 a f q， 这个过程可以参考自己的过程去写。那么， 呃，接下来就说我们需要去写这个，嗯，另一条角平分线，因为要正内心的话，只要两条角平分线就够了吧，是不是？那么我们来聊一下，到底选哪个？第一个选择 q m， 第二个选择 am， 在 这里我们选什么呢？我们选 am。 如果你选 a m 呢，也不是一定要强行用 a m， 我 们可以用它的垂跟它垂直那条线。为什么呢？原因很简单， a m 呢，叫内角角平分线，跟它垂直那条线段对你的直线呢，叫做外角角平分线。而且对 对于这这这幅图来说， m 点呢？实际上是内分点， n 点是外分点。那像说内外分点，以前学阿士元的时候讲过吧，有印象吗？ 啊？不知道啊，不想说话，哈哈哈。所以你想要挣内角角平分线，不妨去挣外角角平分线。那问题来了，外角角平分线怎么挣？教你啊，你先去写内角角平分线的结论， a 也 e， 除上一个 a f 等于谁比谁呢？等于 m e 比上这个 m f 啊，看得懂吗？那你，你可能会说啊，老师，你写的是内角平分角平分线的这个结论？是的，我的确写的是内角平分线的结论，你只要把内分点改成外分点就可以了， 这样就不会弄错，是不是很无脑呢？看得懂吗？啊？ a e 比上 a f 等于 n e 比上 n f 啊，这样是比较便捷的，那么写上先正 这个命题吧，可以吧，那么我还是那句话，我们还是要借助什么呢？借助这个第二定义，那么来看看怎么去证啊？首先， a e 和。呃， a e f 呢？我们要先把它们两个要换一下位置， 我们去算什么呢？ a e 比上 n e， 我们做一些辅助线啊，比如说过点 n 做准线的垂线，垂足为 k， 并且标记 n k 的 距离为 d 三。好，并且呢，我们再去。呃，这个点的话，我也标记一下这个点，我也标记一下， 我标记这个点为 h 点吧， h 点啊，就是准线和 x 轴交点，标记为 h 点。那么 a 也 e 等于什么呢？我们再来做一些工，就是辅助工作啊，比如说这个角，我标记为 c， 它这个角也是 c， 它这个角也是 c， 它 这个角和这个角相等，那是因为就垂直平分的缘故吧。等腰三角形啊，这两个角相等，那是因为内错角相等，对不对？好，那我们来接着写啊， a 也 e 和 n e 啊， a 也 e， 显然可以写成什么？可以写成 a 也 h， 除以一个 cosine c 它吧，你可以拿直角边除上正余弦值，就会得到斜边吧。而 n e 呢，我可以写成什么？ n k 除上这个扩散器它吧。 好，那么接下来呢，我们把 a e h 呢写掉啊，不把这个分母写掉啊， n k 也摆摆着摆着不动。好，那么写到这里之后呢，我们可以写什么呢？ 写第二定义了，为什么？因为 a h 是 指 a 的 点，是曲线上的点到准线的距离吧，是不是包括 n k 呢？ n k 的 意义是什么？是指曲线上的点到准线的距离吧，都可以转成第二定义，那么一定要大家一定要记牢，如果你对右准线做垂线，请你把这个点往右焦点去连，对不对？ 你往右准线做垂线，你应该是往右准，往右交点去连吧。好，所以呢，我们就知道 a h 呢，实际上是等于二分之一的 a f 啊，而 n k 呢，又等于二分之一的 n f 啊， 好，我们来化解一下，得到的效果是 a f 呢，等于 n f。 好， 这个时候， 所以呢，正到这里呢，这个命题就成立了吧，是不是？好，所以呢，我们就知道 a n 呢，为角 q a f 的 外角平分线吧， 好，写个右 a e n 呢？垂直 a e m 嘛，是不是 a e n 垂直 a e m， 所以呢， a e m 呢， 就是直接平分角 q a f 啊？好，那么这样的话呢，我们证明了 am 呢，也是角平分线，刚刚 f m 是 角平分线，你把这个过程抄一下就好了。我有，我有说过有前提的，就是你得先证明一下，这条直线 和这条直线交的点意在准线上，这都是前提好不好。那么这样的话呢，我们把整道题给做完了，这就是标准答案的做法，非常的巧妙啊。那么还有别的做法都不太好写，计算量又很大， 怎么说呢，只能在短时间内快速把前面做完，然后非常冷静的把这道题目算完，才能够考高分。这题就讲到这。
407杭城浪子
12:29查看AI文稿AI文稿二零二六高三数学每日一题第五十二天高考题预测专题立体几何动点问题。 同学们好，今天呢，为大家讲解的呢是立体几何呃，专题预测当中的倒数第二个也是动点的问题。但今天讲的呢，杭州的二模的这道动点问题呢，不是特别难，但是我觉得呢，它具有代表性，能够说明问题。 那同学们在解决这类问题的时候呢，以后要按照老师说的方法来对他进行解，其实在动点问题当中呢，嗯，如果说绝大多数同学能够突破的，也就是说简单一点的动点的问题呢，他几乎就是这个点的坐标呢，设起来可能比较麻烦， 同学们呢，不太好设。嗯，那通过这道题呢，同学们应该学会如何来设这个动点的这个坐标的问题， 我们来看一下这个啊，它呢出现在呃位置呢？是第十六题啊。首先呢，我们先来读一下这道题，它是如图啊，正四棱锥 p a， b， c， d 当中 啊，告诉你呢，它的所有的棱长呢，都为啊，都为二点， m 呢，是这个 pc 的 中点。第一问呢，让你证明的是 pc 和 b d m 是 垂直的。那第一问呢，其实我们还是比较好正的，我写在这里， 嗯，如果证明直线跟平面垂直，那你要证明直线跟平面内的两条相交直线垂直， 嗯，那这个 m 点呢？因为是呃， p c 的 中点，那你在这个三角形 p b c 当中啊，这块就简写了啊，那么因为它是应该有 b m 是 垂直于 p c 的。 另外呢，在三角形 pd 当中， pd 呢，等于 dc， 所以 说 dm 呢，也垂直于 pc 啊，所以说 dm 就 垂直于 pc， 那 你会发现有两条相交直线和 pc 垂直了，那这块呢，还需要证明一下，强调一下 bm 和 dm， 它在这个平面 bdm 内，而且它俩是相交的关系。要强调一下， 那通过这个呢，你就能够推出 p c 是 垂直于这个平面 b d m 的。 那第啊，第一个问呢，我们就证明出来了，之后我们第二问呢，是我们这节课主要讲的， 它说呢，现在 q 呢？ q 点 q 点呢？是在这个 ab 上，现在让你求这个平面 p 啊， p d q， 那 我把这个 q 呢连接一下，这个 q 点在这里啊，方便一下，我把这个 q 点坐标呢给它往右侧写一下，比如说这点是 q 点，这样呢，平面能够看得清晰一些，这个是平面 p d p d q 啊，也是这个平面和这个平面呢， b d m 和 b d m 所乘角的余弦值的最大值是是多少？ 那我们，呃，如果用存几何的方法呢，算起来可能比较麻烦，但是我们用向量的方法呢，算起来就比较简单了， 你看啊，这个 p d q， 我 主要求出这个 p d q 和 b d m 这两个平面的发向量就可以。那 b d m 我 们其实能够知道它就是 pc 啊 pc， 所以 说啊，主要求的是 p d q 它的发向量， 那如何来求它的法向量呢？嗯，我们来看一下，就是可以啊，首先建立空间直角坐标系，因为这个它是正四棱棱锥，所以说底面 a b c d 应该是一个矩形。 那我在间隙的时候呢，可以以这个连接 a c 啊，来中点来间隙啊，可以也也可以这样来看，就是以以 d 点为圆心， d a 为 x 轴之后， d c 呢？是为 y 轴之后呢？这块呢？要织出来 啊，那这个呢？它呢为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系啊，那能够写出坐标 d 点坐标呢？应该是零零零 之后 c 点的坐标，因为它的长度呢，应该是为二，这是 x 轴，这是 y 轴，这是这轴。那么 c 点的坐标应该是零，长度为二零二零啊，这是 c 点的坐标啊，之后呢，还有就是呃 p 点的坐标， 呃 p 点的坐标呢？它呃 p 点呢？它时间是从这个呃 a、 c 和 b、 d 的 交点往上平移的，那它的长度是应该是一一啊，长度是一，一根号二。 那这个是怎么来求出来的呢啊，其实非常好求啊，这个一呢，就是说它是由这个中点吗向上平移过来的，有很多空间感差的同学可能不太会求完这 p 点呢，它是由这个， 由这个点啊，由这个点 o 点向上平移过来的。 o 点，它在 a、 b、 c、 d 的 平面内，所以它的长度应该等于 a、 d 的 一半，这个等于 d、 c 一 半，所以它是一一零。向上平移多少呢？这个 o、 o、 p 的 这个长度，它应该是等于根号二的啊，等于根号二的方法是把它放在 p、 o、 a 这个直角三角形当中来对它进行求解啊，给它抽象一下吧。 还是有很多同学呢，可能不太会啊，这是 p， 这是 o， 这是 a。 哎，放在这 p、 o、 a 这个直角三角形当中，求的就是 p、 o 的 长度呗，这个 o、 a 的 长度，它是对角线的一半，所以说它应该是等于啊，根号二。 之后呢， p、 a 呢，它是棱长，它是二，根据勾股定律，它是二，它是根号二，所以是 p o 的 长度也等于根号二，所以 p 点的坐标应该是一，一根号二。呃，还得需要知道。呃， q 点和 m 点的 啊， m 点坐标，其实不知道也可以，因为 pc 就是 它的，那啥就是它的发财量啊。那我们来看一下 q 点坐标。 q 点坐标它不是在 ab 上吗？ ab 上的话，它往 s 上做投影的时候，是不是这个应该是二啊，所以它横坐标应该是二，纵坐标你不知道设为是 t 数字表那个是零啊，应该是零。那么因为第一问呢，这个 pc 它是垂直于平面 bdm 的， 嗯，所以那 pc 向量它呢？就为平面 bdm 的 法向量啊，它的法向量， 那它是它的法向量，那我就把这个 p c 就 求求出来就可以。所以说呢，你就可以设它的这个法向量是 p c， p c 呢？它是等于 啊，用，用这个 c 点减去 p 点是负一，一负根号二，哎， p c 就 求出来了。那紧接着呢，我要求平面 p d q 的 法向量，那设平面 啊， p d q， 它的法向量为简单写了啊，为向量 n， n 呢？我设为是 x， y， z 了，哎，设为是 x， y z。 嗯，那我要求出这个。呃，这个平面两个相交向量，比如说，我先求 d q 啊， q 点坐标减去 d 点的坐标应该是二， t 零啊， d 点坐标零零零啊， d q 知道了，那你再求求 d p， 像那 d p 呢，是等于 d 点啊， p 点减去 d 点应该是等于一，一根号二 啊，那这个 d q 和 d p 我 们就求出来了。求出来的话，法向量我在这边写啊。所以，那你这个法向量，呃，设它的法向量为 n 了， n 呢？这里边设也是 x， y， z 嘛，对不对？所以跟它乘积的零，跟第一个跟 d， q 乘积的零就是二， x 加上 y， t 应该等于零。之后呢，跟 d， p 乘积的零就是 x 加 y 加上根号二 z 是 等于零的， 从而求出 x 的 值， y 的 值， z 的 值，它一定是含有 t 的。 那你比如说你设 x 等于 t 的 话， y 就 等于二，对不对啊？ x 等于 t 啊， y 的 负二， y 的 负二，把 x 等于 t 啊， y 等于负二。代入到第二个式子，能够算出 z， z 的 值呢，等于根号二减去二分之根号二 t 啊，就是硬算的，没有任何技巧。所以， 那这里边呢，这个法向量 n， 它就等于 t 负二和根号二减去二分之根号二 t 啊，这是向量 n， 相当于求完之后呢，就要求这俩平面所成的角了。所以那你记这个这块写一下，既平面呃，既平面 p， d， q 与平面 呃 b， d， m 所成角， 所乘角为 c 它。所以说呢，你先要把这个 cosine c 它写出来，在这边写，那写不下了啊， cosine c 它是不等于啊，这两个法向量乘积就是向量 p c， 一个是它的法向量，还有一个是向量 n， 它俩的乘积再比上 p c 的 膜， 再乘以相的 n 的 模。嗯，整理完之后呢，嗯，等于算完这个结果是横乘横加纵乘纵加竖乘竖，再比上啊，横方加纵方加竖方开根号，都是整理完，这个结果是二比上根号下 二分之三梯方减去二梯，再加上六啊等这个十字，那让你求它最大值， 口塞音，口塞音的最大值。所以说这分母应该是啊，达到了最小值，那最小值它开口方向上肯定对顺轴达到最小值，那你会发现它的对顺轴是 t 等于三分之二十，负的二分之 b 啊，三分之二十，这个口塞 in c， 它应该是最大， 最大呢应该是为二分之根号三，所以说这个最大值就算成二分之根号三了。 呃，之所以选择这道题呢，第一个，我们在处理 q 点坐标的时候，其实，呃，这道题呢，稍微简单一点， 如果稍微麻烦一点的时候，这个 q 点你不知道坐标是什么就写不出来的时候，怎么办呢？可以把它放在封闭图形当中，用其他的向量来表示，比如说这里边你要是想表示 p d 再加上 d q 来表示 啊，就是说你只要把这个 p q 表或者是 d q， 你 表示 d q 的 话，你可以表示的是这个 da 加上 a q 啊，也可以 啊，那有的时候，比如说你这 q 点在 ab 上，你不知道它等于几倍的话，你就可以设这个 a q， 可以 设 a q 等于那么大倍的 ab， 哎，这样设就可以了，所以说就就把那个多个位置数就引入一个位置数了啊。那么这个呢，是关于这个动点稍微简单一点的题，当然说今年呢，有很多的名校呢，都说这个 这个动点呢，他可能会出次压轴，那个，呃，在后边的压轴题的当中呢，老师呢，可能会讲到这个啊动点和这个 啊，圆锥曲线呢，抛物线呢这些等结合在一起出的压轴的问题。这道题呢是稍微简单一点的啊，杭州二模的这个动点问题，那同学们呢，关注老师，明天呢咱们啊就会讲这个郑州一模的这个问题啊，希望同学们呢能够啊， 多关注老师，完了之后呢，给老师点赞，之后呢？有不会的地方可以在评论区问老师。那同学们，这节课我们就讲到这里，同学们，再见。
26大熊老师讲数学
05:11查看AI文稿AI文稿这道杭州二中高二的期中考试题目特别的难，可以说是一个数形结合的超难题目，大家一起来看一看，关键是如何构造。已知 x y 都是正数， x y 是 等于六的，问这个东西的最大值 条件很简单，两个正数并且乘积是六，那么它可以转化成 y 等于 x 分 之六，也就是一个变形的反比例，只有在第一象限的图。 接着问题就在于这个式子咱们该如何理解后面这个根号，我相信大部分的学生都能理解清楚，它可以理解成 x y 这个点到负三负二的距离， 而前面这个 x 加 y 就 不太好理解了。那如果这两部分咱们都可以理解成点到点的距离，那是不是就可以做一个数形结合了？ 那么关键的问题就变成了，你如何把前面的 x 加 y 也变成一个距离，那么要想把它变成距离公式最简单的，我们先给它构造出来这个距离， 也就是根号下 x 减 a 的 平方，加上 y 减 b 的 平方，这就可以理解成 x y 到 a b 的 距离。那么这个东西跟它如何画等号呢？我们先把它展 开，就变成了根号下 x 方加 y 方减去二 a， x 再减去二 b， y 再加上 a 方，再加上 b 方。 那上面这个东西 x 加 y 怎么就能变成一个这样的结构呢？那肯定是要给它配方，但是你这个式子里面有 x 和 y 这两个的一次项， 所以咱们上面这个式子要想变成下面这种结构，需要再给它多一个常数项，变成一个三项式的完全平方。也就是说这个东西是可以写成 x 加 y， 再加一个 t 的 平方开根号， 那么接着再来看，那么这个东西其实它就是 x y 再加 t 的 绝对值，而 x y 本身都是正数，为了不让这个绝对值的正负影响我们的判断，所以咱们规定这个 t 以 也是正的，那么它就可以写成 x 加 y 再加 t 了。那么当然 x 加 y 就 可以写成 x 加 y 加上 t 再减去 t， 那 么原式我们就变成了 x 加 y， 再加上 t 的 平方开根号，减去根号下这个东西，最后再减一个 t， 就 变成了问它的最大值。接着我们来 化解这个地方，我们要想办法把 ab 和 t 都给它找到，那么整个这个平方以后是 x 方加上 y 方，再加上 t 方加上二 x y， 再加上二 t y。 所以要想让这个式子跟上面这个根号里面的部分完全相等，那就只能出现什么结果呢？ 负二 a 等于二 t， 也就是 x 的 系数要一样，负二 b 也要等于二 t y 的 系数也要一样。常数向 a 方加 b 方要等于 t 方加上二 x y， 用这个关系变成十二。 所以根据这三个等式咱们就知道了， a 等于 b 等于负 t 带入到这个式子里面去，就得到 t 方等于十二，所以 t 等于二倍根号三， 那么 a 和 b 分 别就是负的二倍根号三。那么我们刚才说的这个原式就可以变成根号下 x 加上二倍根号三的平方，再加上 y 加二倍根号三的平方， 减去根号下 x 加三的平方，加上 y 加二的平方，最后再减一个 t， 也就是二倍根号三，然后这两个就可以看成 x y 这个点到某两个点的距离之差，咱们来画图， 这个点对应的应该是负的二倍根号三，负的二倍根号三，假设它叫 b 点，这边对应的应该是负三和负二， 假设它叫 a 点。那么双曲线上的这个点 p 到它俩的距离之差 什么时候最大呢？那当然就是三点共线的时候，这个最大值恰好就是 a b 的 长度，再减去二倍根号三就可以了。而 a b 这两个点咱们都是知道的，直接去算距离，最终答案应该是 五减去四倍根号三。所以这道题目其实难度还是相当大的。数形结合里面这个东西要构造成两点间的距离是非常不好想的一步。
2716高中数学-李钰提分课堂
30:05查看AI文稿AI文稿首先啊，第一小题呢，我们不讲了，直接给出答案啊，增区间，零到正无穷呃，五减区间，直接写上无 减去减。接下来看二呃二呢，其实就它就已经设置了很多的障碍了，就是说这个函数呢，也奇奇怪怪的，对吧？啊，放 x 等于这样一个，然后它说零到 pi 呢，恰有一个奇数点，求正整数 n， 那 本质上让你考察零到 pi 啊，零到二 pi 零到三 pi， 稍微考察一下，估计答案就出来了。那我们按照题目的意思，先来求导， 上倒下不倒减去下倒 上不倒，可以吧？好，当我们写成这个样子之后呢？啊，就是说我们应该重重新列一个函数 h x 等于分子， 那如果说，呃，能不能说直接我令它等于零，然后处理成一个 tangent x 减 x 任意 x 这种形态行不行？也不是不行，我们来，我们来操作一下，看看到底好不好用，好不好使，其实也是效果很好的。我们强提一个 x 分 积以及 cosine x 出来， x 分 积乘上 cosine x， 那 么括号，嗯， tangent x 减去一个 x， 狼也 x 了，我们可以检查一下啊，这个部分乘以它，的确是它吧， 这个部分乘以它呢，也的确是它。那么在这里的话，因为我我相当于墙体的一个和三 x 的 话是拿相除以它，那么 x 等于 k 派加二分之派，代入它不会等于零的，就 x 等于 k 派加二分之派，它不会是极值点，所以你尽管提，没关系啊，这是要说明说清楚的事情。 然后呢，有些区间呢，我就，呃，我是这样考虑的，就是直接竖形结合把它否掉。 我呢，我们来稍微画一下 tangent x 和 x 朗以 x 的 图像，这个还可以作为一个提前的判断，都是有帮助的啊。 我们画一下正切函数的图像， 此外，我们再画一下 x 朗以 x 的 图像，这个是一。 那么其实我们心里要知道大概答案在哪个范围内，就这个可以提前判断。如果你会这样变形的话， 这儿是 pi， 这儿是二。 pi， 其实心里已经有答案了， n 应该等于二，因为你只有一个极点，就只有一个焦点，就这个点是可以的，这里还会有个焦点，你不要再有了。 所以心里已有答案， n 等于二。应该是，那是小题可以这样做，但大题你得论证，那论证的话，就没办法，就没办法去，就是没办法避免。这个详细的说说明了，那么我们这样去说明啊，首先， 呃，注意到 x 大 于零小于一十。 小大于零小于等于一十。我们注意到，呃 ten， 呃，就是说 ten 乘以 x 减去 x 以内， x， 这是个复数，正数减去个复数，它大于等于零吗？是不是？ 所以呢，我们知道我们的 far x 也偏了，实实际上是大于零的啊，大于零，它说它是横正的，就不用管。第一小段讲论证明白了。接下来讲第二小段， x 如果大于一啊，然后呢？小于二分之 plus， 那 么在这段上，我们怎么去说明呢？注意到 t x 呢？是大于 x 的 吧， x 又大于 x， 朗引 x 吧。为什么？因为在这一段上，朗引 x 虽然是正数了，但是这个朗引 x 没到一啊。所以呢，我们可以这样子操作，呃，而且剩下的部分也都是正数，于是我又推出发 x， 结尾的是正数 啊，这样非常轻松。现在做第三段。第三段呢，是二分之 pi 小 于 x， 小 于等于 pi 十。 在这段上，我们清晰地发现正切是个复数。呃，余弦， 因为余弦的象限正负是正负负正，所以呢，这属于第二象限。当然啊，一百八十度不算第二象限啊。那么，但是不得不说，余弦已经是一个负数了。 添一台 x， 减去一个 x， 朗，以 x 啊，正切的象限正负是正负正负，所以负数减去正数要小于零。所以呢，我们还是可以推出否 x 截片呢？ 谈正数啊，这个区间上仍旧没有任何的这个零点导航数，没有任何零点。第四段，我们发现从 pi 到二分之三， pi 上也要有了。 那这个时候呢，我们没办法说自己光看看这个， 就，我们没办法自己光看一看这个，这个正负啊，就搞搞搞不定了嘛。这样子，那怎么办呢？我们得把导函数的分子就这个 h x 拿来用，我们对 x h x 求导它这个 h x 求导还挺好的，我对它求导来前导 后补档，加上后档前补档，减去一个前档后补档，加上一个后档 前补档。哎，我们会发现， 我们的 h x 一 片其实是很好，它可以变成什么呢？它可以变成一个，嗯，叫做三 e x 提取出来。然后呢？是朗 e x 减去一除以 x 的 平方吗？ 别的啊，这个 x 分 之括号 x 呢，这个正好消掉了，还可以设置给你。设置好的，那在这个区间上呢，这是第三项线段，所以这是个复数。我们自己标记一下， 这是个负数，但是第三项线，这个直径很大的 long 肯定是大于它的，这个比一还大，但是这个呢，是零到一的数，所以呢，整整体应该是个负数，整体应该是个负数，所以呢，我就知道 h x 呢，在 pi 到二分之三 pi 呢，应该是单减的。那这个时候我们来考察一下 h pi， h pi 的 值呢？是负，呃，就是朗引 pi 大 于零， h 二分之三， pi 的 值呢？你把二分之三 pi 往里面带的话，就是负负的一，除上 二分之三 pi， 它小于零。所以呢，存在一个 x， 零属于 派到二分之三派。呃，我们可以加一个唯一啊，因为题目要强调这个唯一，这事情啊，我得给他加上去，存在唯一的 x c 属于这个区间了。然后呢，使得， 使得，嗯， h x 零呢，等于零。好，那么光这样呢，还不够啊， n 还不是一定等于二，因为万一啊，我在后面的区间上不再有了，那我这个 n 可以 再更更加大了，是不是？那这个时候我们要考察什么呢？就是， 嗯，我们再管一下第五段啊，就是，嗯， 零小于啊，不对，应该是二分之三 pi 小 于 x 小 于二 pi， 我 们再来管一下发 x 又 p r， 那 么我们先管余弦， 余弦，这是第四项写角，余弦是正数，然后呢，其余弦正负写一下。关键是什么？就是 tangent x 减去 x 两点 x， 这是第四项变角。呃，正负正负啊，负的减正的啊，小于零啊，所以我知道法 x 斜边呢，应该是，嗯，横负的 f x 也偏横负。好吧，那么意味着什么？在这个区间上，它是没有一阶导，没有零点的 f x 一 阶导没有零点。那么接下来我们来看一下第六段啊，就是 x 大 于二派小于，嗯， 二分之五派就够，够我们用了吧。 那么我们其实心里是知道它肯定有极点的嘛，对不对？那直接接线搞一下，拉倒了， x 趋向于二分之五 plus， 我 们的 far x， 嗯，那我们的，我们的 h x， 呃，就，就你自己跑一下，也是结束了的，可以，嗯，怎么跑？ 跑 h x 吧，跑 h x 趋向于二分之五派，这个就没了啊，这个呢，就是上一二分之五派，那么就是五派分之二了，对，五派分之二， 它大于零的，然后 x 趋向于二派的时候， h x 就 趋向，那么你把二排带进去呢？就是，呃， cosine 二排就一啊，那么负二排朗引，负朗引二排了，还小于零的好，所以呢？ h x 在 二派到二分之五派上有零点， 好，所以呢，我我们就知道，由 far x 在 区间零到 n 派上有 唯一极值点 之 n 只能等于二，你 n 没办法等于三，因为二派到二点，五派上有一个零点零几。好，那么这个的这个第二小题就讲到这儿， 接下来讲一下十九题的第三问。这个第三问呢，首先面对这样一个数字呢，我们先呃变一下形啊，写上接正 f x， 嗯，减去无， 然后呢？不等号要反向，为什么？因为，呃，这个是三四项线角，三角呢？是复数啊，这里面同主三小于号改大于号 好，等价于 f x 减去一个 f x 大 于五就可以了。那么我们对 f x 好， 那么在这里啊，有一个问题，就是说如果我们真的把这个函数一定这个整体求到，这玩意做不了，为什么啊？我说一下为什么，就是我们知道 f x 的 这个形态中，它是个分式，而且有指数存在， five x 里面有对数，又有三角，这事干不动了吧，这太复杂了，对不对？事干不了。所以呢，我们的想法就是估计夏季，这策略啊，就是估计夏季， 我们呢给 f x 估计下节估负，给这个负的发 x 也去估计下节，那么两两个下节一加呢，大于五就可以了，那么甚至要需要对 x 分 段，不分段的话一定做不出来。 呃，首先我们先来考察 f x 的 情况，呃，由 一至 f x 呢，在 pi 到二， pi 呢是单增的，我们来我们呢，我们就能发现 f x 呢会大于 f pi， f pi 是 一个整的，结果呢是，呃，把 pi 带到原来节上去啊， pi 的 平方 pi 加上 e 的 负 pi 次方减一，那我们需要对它进行大致的估计啊，那我们要记牢， pi 的 平方呢，你可以把它当成九点九啊，其实九点八六左九点八六这样子，那么你把它当成九点九啊，当成十都可以啊，那么我们就大致估计一下，这个大概是十除上一个三点一四减一吧， 那也就说是十除以二点一四，他应该是大于四的啊，妥妥的大于四，即使这里还加了一点东西，但是这个 e 的 负派次方很小，你可以干脆忽略不计的，那么也就是说这个大于四大于四 啊，这是显然的，那么当我们有了这个之后啊，这是一方面，那么另一方面呢，就是 我们需要去估计呃，这个发发 x 的 情况，那么我们知道由二可知啊， 由二可知道什么呢？就是，呃， h x 在区间派到二派呢，是单调递减的啊。呃，这里的话呢，我其实， 呃，因为我们这儿呢只说了派到二分之三派，那我刚刚的表述是派到二派，所以呢，我们需要去说明一下派到呃，二分之三派到二派的情况。 呃，我简单的补充一下好了。呃，也不用补充了吧， 这个 h x h x 所谓的所谓的 far x 啊，所谓的 far x， 它的正负是和 h x 绑定的啊，所以呢， h x 也是递减的，可以在这里补上啊。那么这样子的话，我们就知道 h x 在 pi 到二分之三 pi 及二分之三 pi 到二 pi 都递减。那么写一下，在 pi 到二 pi 它是单调递减的。那么注意到我们的 h x 的 零点啊，其实是在这个位置， 我们需要对这个零点的卡一下它的界限。首先我们只发现这个零点呢，应该很靠近二分之三 pi， 那 么我们要知道 pi 增加，呃，一百八十度啊，你增加四十五度，要么要么就增加三十度，要么增加六十度啊，这几个数据呢还是相对来说比较好搞的。 在这里呢，我们给它增加六十度，也就是考虑 h 三分之四 pi 啊，就是说到底我就是要把这个零点 x 一 啊给位置给卡卡住啊，就这个零点，因为我要使用它，所以它的范围太大不行，那我要考察 h 三分之四 pi， 那么我们把这个 h x 抄过来，我们会发现 h 三分之四 pi 是 四 pi 分 之三 乘以个负二分之根号三，然后是加上二分之一朗引三分之四 pi 等于一个二分之一 朗引三分之四 pi 减去一个八 pi 分 之三根号三，那么它大于多少呢？大于二分之一乘上一个呃，朗引四减去这个八 pi 分 之三根号三 等于一个朗以二减去这个部分，那朗以二大致是零点七，那我们来估计一下，这个大概是多少？五除上一个二十四， 那你要知道，这个可是小于三分之一的，而朗以二大于零点七，大至零点七呢，就大于零。好，那么 h 二分之三 pi 呢？我们已经算过了，把这个抄过来就好了， 所以呢，我们就知道存在 x 一 啊，刚刚呢，就是我们的范围呢，不够精确啊，我们把这 x 零的范围卡住，所以 x 零呢，属于 三分之四，排到多少呢？就是二分之三排。好，当我们有了这个之后呢，我们来算一下这个，呃， h 发 x 一 啊，这发 x 最小值 就等于发 x 一， 发 x 一 等于什么呢？朗引 x 一 除以三引 x 一。 注意到 x 一 满足哪个设置呢？ x 一 满足的是这个设置，呃， x 零吧，我们用 啊，改一下，用成 x 零， x 零满足的是这个设置，我们写下，也就是说 三 x 零，然后呢是 x 零啊，然后是可三 x 零等于一个 long x， 所以呢，这边就会等于一个。呃，我们把这个部分呢直接代入啊，我们会发现是一除上 x 零， 扩散 x， 当我们写清楚这个范围之后，我们来考察一下这个 x 零的单调性，因为我们这个虽然说是最小值了，但是我们进一步求它的下限，我们只能对这个最小值的范围进行估计一下。 那么我们定义一个函数令 mx 呢，等于 x cosine x 对 mx 求导， mx 也前导后不导，后导前不导。那么在这个范围之下啊，我们就研究的这个范围之下， 我们可以写上我们的范围啊，最好标记一下，提示一下自己这是第三项线段，那么我们呢，可以在这里的话，墙体一个， 墙体一个 x， 扩三 x， 那 你就会发现这边变成了 x， 分 积减去一个 t 型 x， 这是一个扩三， x 是 个复数， 呃，正数减去一个第三项线段，正数减去正数，但是我们可以画一下图像吗？ 这是二分之二排，这是二分之三排， 然后这个样子，这个样子一个是这个样子，那你想想看，在这个，这个，这个应该是很小，这个应该是比根号三要大，对吧？比根号三要大，所以呢，这个是也是个负数啊， 因此呢，整体是个正数，所以呢，我们就知道 mx 呢，在这个区间上， mx 在 这个区间上应该是单单递增的，所以呢，我们就知道 mx 的 范围啊。 呃，我们要想清楚啊，就是说我们要求它最小值的话，要继续求它的 m x 的 话，先大于 m 三分之四排吧，就是负三分之二排，然后对这个取下倒数啊，小于负二排分之三，这就是， 所以呢，我们就知道，嗯，所以我们就知道这个 five x 零啊，小于负二百分之三，这样子的话，我们就暂时估计好了这个 five x 零啊，把 five x 零估计好，那么光做到这儿呢，就是我们可以进一步写一下当前的结论啊，当 x 属于派到二派时，我们有 负发 x 呢，大于三除以二排，可是你要知道这个这个代值是二分之一吧，是不是如果说你直接叠加这个是二分之一，刚刚那个的下界是四合在一起呢？还不够五，说明什么？说明，呃， 说明有一个值太小了，应该是这个值太小了我，所以呢，就是说我们的这个 h x 啊， h x， 呃，递减的话，原函数发 x 先减后增，我画一下发 x 的 图，这是 x 一， 这是 y， 等于 far x， 他先减后增了，但是呢，减的太过头了，所以在这里隔断一下。在这里我们取一个中间值，叫做四分之五 pi， 我 们后续的那一段上应该是够用的，就四分之五 pi 到二 pi 呢，是够用的，这个值还会变大的， 但是前面的话，我们这个值还太小了，所以中间可断一下。但是说这四分之五派这个值怎么来的，那肯定是靠试出来的，因为也没别的值好去使用了。我们来写一下， 当 x 等于四分之五 pi 时，我们的负的 five 四分之五 pi， 它等于负的 朗引四分之五 pi， 三引四分之五 pi 等于一个 朗引四分之五 pi 除以一个二分之根和二。我们知道分母呢，是小于一，整体就大于分子的话，是大于一点二，五乘三点三，肯定也是大于朗引 e 的 啊， 等于一，好，这是一方面。然后 f 四分之五 pi 要估计一下， 它等于四分之五 pi 的 平方，然后是四分之五 pi 加上一的负四分之五 pi 减一啊，那么你只能说大致估计一下，我们来大致估计一下， 二十五除以十六乘一个十，然后呢，是四分之十五减一，等于一个呃，约的二八分之二十五乘一个五，这写上四分之十一，所以这写成 八乘十一分之五百啊，八乘十一分之五百，你会发现它大于五吧，大于五，所以呢，很明显啊，这里的话就大于五 啊，大于，这时候我们就知道可以拿四分之五作为分段，我们来写一写过程， 当 x 属于 pi 到四分之五 pi 时，我们的 f x 减去 f x， 首先在这一段上， f x 直接使用它的下界 四，但是负，呃，就是说这个，你要知道，你的发，你的发 x 呢，是单调递减的，所以它的负发 x 的 话啊，这图像我写错了啊，这应该是负发 x 图像， 所以呢，它的图像呢，应该是，呃，也是减的，也是是减的，那么直接把它下线写出来，它的下线就是一等于五啊，刚刚这边写过的呢，这个一就这么来的。好，那这一方面， 当 x 属于四分之五 pi 到二 pi 时， 我们呢，仍旧考虑的是这个， 那么这次呢，它是大于多少呢？首先我们知道，这呢已经大于五了，所以我们直接写个五，至于负三以 x 呢，它是大于， 刚刚也写过啊，负三也，呃，负发 x 大 于的是这个数据二派分之三无所谓了，只要是个正数就可以了，大于五，那么至此呢，我们就得正了啊，所以呢，综上 啊， f x 减去 long x 除以三， x 大 于五，横乘以。 那么整个题目呢，它需要学生能意识到，第一，这两个肯定是没办法放在一起倒的，估计夏季。那么另一方面就是需要分段， 四分之五，这个零件不太好找，大家也没有太多的勇气去干这种事，那么这就是本题呃，过了。
72杭城浪子
01:46查看AI文稿AI文稿阜阳的家长们最高降三十二分录取浙江理工大学有六次转专业的机会。浙江理工大学以工科为主，理、工、文、经、管、法、教育、艺术多学科协调发展的省重点大学。 二零二五年浙江理工大学三维一体招生计划四百个人，分为理工一类、理工二类和经管人文三个类专业。较为冷门的生化、环材类专业都放在了理工类一里面，二 a 八 b 就 可以过初审。 理工类二既有入门的自动化专业，也有冷门的土木，五 a 五 b 就 可以过初审。尽管人文类是四 a 六 b 过初审，大部分的专业存在较大的降分空间，降分最高的是应用化学专业，降了三十二分， 但文科专业在二零二五年并没有太多的降分空间，最高的只降了十二分。 在校册方面，采用无领导小组讨论面试形式，每个人针对主面材料先进行陈述一分钟，再进行小组讨论十分钟。三一报名总共是一万八千多人都省通过五千八百二十一人校册入围三千两百零四人，平均入围率百分之五十五。 总体来说，浙江理工大学在三维一体招生的热门专业这几年一直在减少，像计算机、电子信息这些热门的专业在二零二五年就没有出现。 但是考虑到他的转专业政策比较宽松，对于想通过三维一体冲刺更高层次院校的同学，二零二六年依然值得报考。浙江理工大学 关注我，我是阜阳本地中高考升学规划机构，如果你也在找专业的分层次的一校一策、一生一方案、小班画、三维一体校测培训机构，联系彭校，帮你做精准的升学方案。
02:30查看AI文稿AI文稿大家好，我是邵老师。呃，初中几何到底应该怎么学？总有不少的家长学生都来问过我，那邵老师，几何到底应该怎么学啊？我是要报一个什么这种模型班去学模型，还是买一套什么大招课 啊？或者是再来点那个写修的什么二级结论啊，什么秒题什么的，咱们今天就好好来聊聊， 到底怎么学这个几何，怎么帮孩子在考场上稳稳拿下几何题的分数。首先，要纠正了一个对初中几何的误区， 就是说，不管是说的什么模型也好啊，呃，大招也好啊，那些听起来很高大上的课程，对孩子能不能学好几何来说都是锦上添花， 是给学的不错的孩子用来培优，用来提升的，绝不是说不学这些题目就做不出来。不是的， 几何的真相是什么？试卷上所有的题，用课本上的定力和性质就足够了，绝对能全部解出来了。其次，不管是辅助线、 平移、旋转轴、对称啊，还有什么坠直动点，这些问题大部分的孩子他能解出来，为什么？他靠的是经验而不是什么灵感。 所以平时要多见识，多做一些几何题啊，有针对性的，根本不存在什么捷径，哪有什么瞬间开窍，掌握多少技巧啊，把题秒了，都是在积累足够经验的前提下，它是自然发生的。 那么这题目去哪里找呢？你其实就是各个单元的检测卷呢，还有一些几何专题的教辅资料啊，很多，要什么有什么，别老纠结选什么材资料，选什么教辅，动手做起来才是最关键的 啊。最后一点，如果孩子如果碰到不会的题该怎么办啊？当然，如果认识我的话，可以直接来问我，对吧？那如果 不认识我的话，或者刚认识我不好意思说，那么孩子思考了十到十五分钟还是做不出来，那你就别硬着继续想了，直接跟着答案学啊，看明白答案，再合上答案，完整的写出这道题的过程啊。最后只看图给自己完整的讲一遍，只要不是对着答案照抄就行。 我是邵老师，关注我，教你更多学科的秘密，记得关注再走哦！
