南京联合体二模数学答案评分标准

两个体二模数学部分难题讲解，先看填空押注十六题，在平行四边形的顶点，分别在这个三角形的边上，让你去求这个平行四边形和这个三角形面积之比的最大值，那么我们很基础的把它俩面积呢表示出来。 底乘以高是平行四边形的面积，那我肯定优先考虑用 a d， 因为 a d 跟这个三角形的话，它构成一个 a 字形，所以就是 a d 乘以这下面的这条小的高 h 一， 比上二分之一的 三角形的底 f g 乘以这条三角形的这个高 h 二，那这样的话，我们把它稍微转化处理一下，利用 a 字形这个都比较容易， a d 比 f g 就 等于这一段比上 h 二，对不对？那这一段就是 h 二减 h 一， 所以得到这样的一个式子呢，都不难，大部分学生都可以得到。那问题是接下来很多学生看到这样的式子不知道如何去处理了， 那么实际上在这里啊，我们可以有好几种不同的思考。首先如果程度好一些的学生呢，可以观察到，我直接令 h 一 比上 h 二啊， 就等于 a， 这样的话，二，先不管它最后乘以二就可以了。那么这样的话，这一连串的它是不是就等于一减去 a 乘以 a， 也就说相当于让你去求这个一减 a 乘以 a 的 最大值，最后再把它乘以个二，那么这个不是太简单了吗？这样的话，你可以给它转化成一个二次函数去求对不对？它就是负 a 平方加 a， 那么你套四 a 分 之 c， c 减 b 平方也可以，你直接把它 a 等于负二， a 分 之 b 算一下，那就是把这个 a 啊等于二分之一带入进去，就是负四分之一，加上二分之一，那就等于四分之一，四分之一，不要忘记乘以我们前面的二，那就等于二分之一，所以这样的话，答案就可以给它得到是二分之一，这是一种理解。 那有些同学说，我不一定能够想到 h 一 比 h 二令它等于 a， 那 怎么办呢？也可以办，你想象一下，这个题目对于这个三角形 e、 f、 g 是 没有任何限制要求的，也可以办，你想象一下这个题目，对于这个三角形 e、 f、 g 是 随便画， 你只要画好了之后，它这个平行四边形的面积和它的面积之比的最大值啊，肯定是可以求出来，肯定是不会变的，要不然题目就不会这样出了，对不对？那既然是这样的话，如果你看多个字母不舒服，你就不妨把 h 二呀，你随便让它取等于多少，这样的话舒服吧。 我就让 h 二等于二，等于三，等于四，等于五，随便等于什么东西，那你看它就会变成什么东西。我就假设 h 二，我让它等于三，好的，那这个东西是不是就变成了二乘以三减 h 一 除以三乘以这个 h 一 除以三， 那不就得到了一个这样的东西了吗？那这不还是一个关于 h 一 的一个二次函数的问题吗？那同样的用四分之 c c 减 b 平方把它求出来，那答案是一模一样的，对不对？你这样去一求，跟刚才不是一样的吗？这个就变成了一减去这个三分之 h 一 乘以一个三分之 h 一， 那一样的求出来是一模一样的，所以我如果看的不舒服， 我就把它看做一个数字，因为他肯定不会受我这个数字的影响，对不对？还有一种方法，既然这个题目和这个三角形的形状以及这个三角形的边长没有任何关系，那同学想象一下，我是不是就可以用特殊情况法，我干脆比这个还要特殊。我不搞这么多复杂的情况了， 我直接就让这个三角形 e f g 变成一个什么三角形呢？你可以让它变成等边，你也可以让它变成等腰直角，那是不是变成等腰直角会更简单？所以我干脆就让这个三角形啊， e f g 直接就变成这样一个等腰直角三角形，你想象一下它答案肯定不会变，对不对？因为它对这个三角形的形状没有任何要求，那我就让 e f g 是 一个等腰直角三角形，不妨就设它的边长为二。 那么你在这当中去画一个平行四边形，实际上也就是画个矩形嘛，就是这个三角形的面积，我已经给他定下来了，他就是二分之一乘以二乘以二，对不对？你要求这个比值的最大值，是不是就相当于求上面这个四边形的面积最大值，是不是就求这个矩形的面积最大值？那你要求这个矩形的面积最大值。这个以前我们做这种题目呢，太简单了，不就是它的长和宽相等的时候吗？那长和宽相等的时候，就是它是一， 它这个面积是二，那就是一标，也可以得到答案。所以这个题目不一定非要用这种方法 一步一步的去给它算出来。你掌握这道题，它有个核心的点在于这个笔直一定不会受三角形的形状的变化而改变它的结果，那么我就可以不妨让它为一个等腰直角三角形，我只要让它为等腰直角三角形，那么这道题就非常非常好做了。二十五题， 如图， a、 b、 c、 d 是 两条弦， a、 b 和 c、 d 平行，那么平行的话就会有大量的角相等，那显然就是让我们去证明这样的两个角是相等的， 那这两个角我们都可以倒角，把它建立起跟其他角的关系，这个角显然和这个角是相等的，因为平行所以内错角相等，那么这两个角刚好都是弧 a、 c 所对的圆周角，所以这样的话就角 a 就 等于角 d， 角 b 也等于角 d， 那 么角 a 和角 b 就 相等了， pa 和 pb 就 相等了。第二个，当 b 点是弧 a、 d 中点时， 在第一问就这个大前提的基础之下，又增加一个 b 式弧 a、 d 的 中点，那么这里面角相等的就更多了。我们先看要证的内容，要证这样的一个乘积式，那显然它就是让我们去证明三角形 a、 b、 p 和三角形 a、 b、 d 它俩是不是有相似的关系，如果它俩相似，那我们就能证明到这样的一个乘积式，那我们来看 a、 b、 p 就是 我们第一问证来的这个等腰三角形，它是不是和 a、 b、 d 相似，所以首先我们把 b、 d 要给它连起来， 这样的话我们看，因为弧 a、 b 等于弧 b、 d， 这是额外增加的条件，那显然我就可以得到这个角，它也跟这个角全部都相等，它也是圈圈，那这样的话，这就是一个子母形相似，对吧？或者说这就是两个共底角的等腰三角形，那么显然相似，那能挣到它俩相似，就能挣到这样的一个乘积式。第二问，若 a、 b 告诉你等于四， c、 d 告诉你等于五，则圆 o 的 半径，那么这个是四，这个是五。在原来的平行的基础之上，我们很快就可以得到这是一个正八字形，对不对？那它就会有一组对应的比例关系。 同时上一小问又让我们证明了这样的一个乘积式，所以根据这两组成积式啊，我们很快优先可以想到。利用第一问的结论，那么 ab 的 平方就是四的平方，十六就等于 ap 乘以 ad， 把这个八字形当中呢，这个四比五呢，他又应该等于 ap 比上 pd， 这样的话，我们不妨就设这个 ap 啊，为四 k， 那 么这个就是五 k， ad 呢，就是九 k， 所以 三十六 k 的 平方就等于十六，那么 k 就 等于六分之四，也就三分之二， k 等于三分之二的话，那这样的话，你看，我们就可以把这个 ad 给它求出来了，它是九 k， 三分之二乘以九就是六， pd 又等于四， 这就相当于什么？相当于 ab 等于四， ab 等于四， ad 等于六。一个三角形如果三条边长都求出来了，那么求它外接圆的半径，我们之前已经做过无数次了，对不对？而且这还是一个特殊的等腰三角形，所以我们把图形简化一下， 我们知道了这个 ab 等于四， b、 d 等于四， ad 等于六之后，就相当于求这个等腰三角形的外接圆，那么你把无关的东西可以给它删掉，自己重新画一个图，或者说你看着舒服的话，直接连起来就可以了。那么这里面最常见的辅助线我们就两种，把 o、 b 直接给他连起来，连接 o、 d， 我 们就可以得到一个重要的三角形， 这样的话我们在这个三角形当中就可以用勾股定米给它求出来，那么因为这是四，这条是六，那么下面一半就是三三，那么这个 b h 呢就是根号十六减九就是根号七，所以这个 o h 呢就等于半径减，根号七， 这个 h d 呢就等于三，这个 o、 d 呢是半径，所以直接就是半径的平方就等于半径减。根号七，括号的平方加上九， 这样的话把它解出来，那就是等于 r 的 平方减二倍，根号七， r 加七加九就是加十六，这样的话 r 的 平方给它消掉，那么两倍根号七， r 就 等于十六， r 就 等于八，除以根号七就等于七分之八倍根号七， 答案就是七分之八倍根号七，这是常见的一种方法，就回到这样一个三角形当中去，利用勾股定，那么我们也可以考虑直接给 bo 延长，延长之后交于一点连接 e、 d， 在 这样的个 r t 三角形 b、 d， e 当中，直接利用三角形 b、 e、 d 和这个三角形相似，也可以得到，对不对？我们用 b d 比上 b e 就 应该等于这个角的 b h 比上 ab， 这样的话 b d 是 四， b e 呢就是我们要求的两倍的半径就应该等于 b h 就是 根号七，比上 ab 就是 四，这样的话我们也可以给它求出来，那么半径就应该等于七分之八倍，根号七也是同样的给它求出来了。二十六题， 已知一次函数 y 等于 mx 加 m， 那 么这个一次函数它显然经过负一零和二次函数 y 等于负 x 减 m 的 平方加一，那么它的顶点坐标就是 m 度一。 第一问，求证二次函数的图像与 xo 总有两个公共点，那么我们注意到它的顶点是 m， 逗号一，就它顶点的纵坐标是一的话，那顶点它一定就在 xo 的 上方，是不是它有可能在第二象限，有可能在 y 轴，有可能在第一象限， 那它开口又是向下的，所以它的图像要么就是这样的，要么就是这样的，要么就是这样的，那它无论如何都会与 xo 有 两个公共点，这样的话，我们可以判断出来， 如果你注意不到这一点，我们也可以直接就把它展开，展开之后呢，让 y 等于零，然后把它的得它算出来，那我们会发现得它也是恒大于零的，也同样的可以得到它有两个公共点。第二个二次函数的图像与 x 的 两个公共点分别为 ab 线段 a， b 与一次函数的图像的公共点为 c。 当 c 是 ab 的 三等分点时，让我们去求 m 的 值。同学在读到这里的时候呢，可能有一点点绕一下直线段 ab 是 在 x 轴上的，而 x 函数我们刚才注意到它一定经过负一零， 就他一定会经过这样的一个点，而他又要与这个 x 轴上的某一条线段有一个公共点，那你想象一下，这样一条直线，他不可能跟这条直线有两个交点，对不对？那言外之意就是这个负一零啊，就是 c 点。所以题目告诉了你这一大串的信息， 目的就是为了告诉你， c 点坐标就是负一零。下一句话是，当 c 是 ab 的 三等问点，那这句话又是什么意思呢？我们注意到 ab 的 长度是可以求出来的， 为什么呢？因为这样的一个二次函数，它相当于可以把它看作是 y 等于负 x 平方加一，左右平移，对不对？它左右平移的过程当中，它与 x 轴交点之间的距离，它是不会变的，那么这个与 x 的 交点之间的距离显然就是二，那你左右平移，它不会变，所以 ab 的 长度实际上就是二。 这样的话，又告诉我 c 点坐标 c 是 定死了，负一零， ab 的 长度又告诉我了，其实就相当于是把这个 a 点、 b 点就给它锁定了，锁定了之后呢，这个长度就可以求出来。但如果你发现不了，这个也没有任何关系，我们就不妨令 y 二等于零给它算出来。 那么负 x 减 m， 括号的平方加一就应该等于零， x 减 m 就 应该等于正负一，所以 x 就 等于 m 加减一。 因为它这里只说三等分点，没有说谁在左谁在右。我不妨就让 a 点是左边， b 点是右边，所以就相当于这样的话，我可以把 a 点、 b 点、 c 点的坐标全部表示出来。 c 点我们刚才说了，它就是负一斗零， 那么 a 点我假设它在左边，它又有两种情况，因为是三等分点，假设 a 点在这里的时候，它是 m 减一到零，那么 b 点在这里，它是 m 加一到零，那么 b 点在这里，它是 m 加一到零。这样的话，你看 ab 的 长度，我们也可以直接给它算出来 ab 的 长度就是 m 加一减去括号， m 减一，它也可以算出来长度是二， 所以无论你 m 等于多少， ab 的 长度是不会变的，对不对？那 ab 的 长度是二，它就是三等分点。所以第一种情况呢，就是这个 ac 的 长度啊，就是三分之二。 第二种情况呢，就是 a c 的 长度啊，就是三分之四。那么 a c 的 长度，我们就用 c 点的坐标减去， a 点的坐标就是负一减去 m 加一就等于负 m， 所以 第一种情况就是负 m 等于三分之二，那 m 就 等于负三分之二，第二种情况就是负 m 等于三分之四，这样的话，第二我们就给他求出来了。第三问，不论 x 为何值，总有 y 大 于 y 二，这个函数值的比大小，它是在两个函数上面。那么处理这种问题呢？我们比较通用的方法就是给它做差， 让 y 一 减 y 大 于零，它的意思就说，不论 x 为何值，这个 y 一 减 y 一定会大于零。 y 一 减 y 是 什么东西？我们把它减一下，那 y 一 减 y 就 等于 mx 加上 m 减去，这个就是加上 x 减 m， 括号的平方减一，那就等于 x 平方减二， mx 加 mx 就 等于减 mx 加 m， 平方加 m 减一， 这个东西他永远要大于零，也就恒大于零。这个函数值，无论 x 取什么，他都要恒大于零的话，那我只要让他的最小值大于零就可以了，而他的最小值，因为他对 x 没有任何限制，所以他的最小值开口向上求最小值，直接套公式就四， a 分 之四， a c 减 b 的 平方，他应该要大于零， 那么上面把它处理一下，这个四就两边同时乘以四了，上面就变成了三 m 的 平方加四， m 减四，它要大于零，那我们给它十字相乘一下，三 m m 二二负的三平方负四六减二四，所以就相当于是三 m 减二乘以 m 加二要大于零， 这样的话我们就可以给它解出来， m 就是 大于三分之二或 m 小 于负二，这是一种比较快速，比较通用的方法，而且它在这里面没有限制你 x 的 范围，也没有限制你 m 的 范围，对吧？所以求它最小值比较方便。当然你也可以用竖心结合方法也可以。 实际上这条直线一定要比这个二次函数的值大，那你想象一下，我假设先画 m 大 于零的时候，它开口向下，它一定要比它大， 那就说明这个直线和这个二次函数不能有交点，是不是只要它没有交点，那一次函数就一定会比它大？所以同样的，你还可以把它连累之后啊，让得它小于零，也可以把它给算出来，它只要 这种图形满足得它小于零的时候，那它就不会有交点，它不会有交点，那它一次函数就永远会比它大。那这种时候也是一样的，这种时候让它两个图像不能相交，只要它没有交点，那么 y 一 永远就会大一些，而且计算量也不是很大。 二十七题尺规作图的题目告诉你，在直角坐标系中， p 点坐标是零四。第一问呢，是做一个圆 o 一， 使得圆 o 一 过点， p 切与 x o 相切，那么过这个点又与 x o 相切呢？这两个条件没有办法把这个圆确定下来，所以我们画法呢，也有非常多种，那比较常见的呢，直接让 p 点和这个圆点同时切在这两个位置，那这样的话，这个圆是满足题目要求的， 也可以让这样的一个圆与 p 点相切，然后与 x o 切点在这里，这样画的话，也是满足题目要求的。或者呢，我把 p q 一 连 做一条 p q 的 垂直平分线，然后呢，过 q 点呢，再往上做一条垂线，让它交于这个 o e 点，我以 o e 为圆心，以 o e q 为半径，画一个圆，那这样的话，它也符合题目要求，所以第一问的画法比较多。第二个，如图二，直线 l 过点零六，且与 y 轴垂直， 求作一个圆 o 二，使得圆 o 二过点 p， 且与 x 轴直线 l 都相切，就是要与这条直线相切，也要与 x 轴相切，还要过 p 点， 那么你要与这两条平行的线都相切的话，实际上它的半径啊，就确定了它的半径，因为你要到，就你原先要到 l 的 距离和到这个 x 的 距离要相等，那么半径就相当于是等于三。所以实际上它的圆心啊， 它的圆心就在这样的一条线上，圆心在这样一条线上，还要经过 p 点，所以呢，就相当于是 p 点到圆心的距离啊， 假设这是 o 二，它就应该等于三，就这一段等于三的话，那我接下来我们接下来首位做就比较容易了。第一个呢，是我可以做这个零和六的这个中点， 做一条平行线，把这个圆心的这个位置给它，用这条直线确定一下。另外呢，再以 p 为圆心，三为半径跟这条直线，假如这条直线就叫 l 二吧，相交于这个 o 二，那么以 o 二为圆心，以这个 o 二 p 为半径，画一个圆，它就满足题目要求，对不对？同样的，你在这边画一个也是可以的，画一撇，这样的话 这个圆 o 二就画出来了。第二问，是说满足一中条件的圆的圆心坐标，那你看要求这个点的坐标，这刚才我们说了，这个是中点，对不对？所以它的纵坐标呢，很简单，就是三，那么它的横坐标呢？这里它的半径是三，这里是三，对不对？那么这段也是三，这段是四，所以这段就是一，那么这段就是九减一八，两倍根号二，所以它就是两倍根号二三， 那么这边呢，就是负两倍根号二三。那这这个题目的评分标准是，你写一个写两个，只要不写错都可以拿两分。第三问， 直线 o 过零六 o 与 y 轴的夹角为 alpha， 做一个圆 o 三，使得圆 o 三过点 p， 且与 x o 直线 o 都相切，那么要与这个 l 相切，又要与 x o 相切，所以它这个圆心啊，肯定会在这个角平分线上，我们把它延长之后做它的角平分线，那么假设这个是 l 二。好了，做完角平分线之后，圆心肯定就在 l 二上， 然后我们根据这个位四啊，我们也可以把 o 三的这个圆心的位置给它确定出来，可以做一个圆 o 一， 与小的两边相切，然后把 ap 给它连起来，与这个小圆交于 b、 c 两点，然后分别做 p o 三平行于这个 o e、 c 和 p o 三平行于这个 b o e， 这样的话 o 三的位置我们就可以给它确定出来， 那这样的话，在做这上面这一问的使规做图的时候，对于下面这一问的答案也会有一个比较好的清晰的认识。我们来看一下它下面一问，它说圆心的位置一定有两个，你在画这个图， 那么就阿尔法特别小，这个焦点呢，就会特别靠近 o 点，特别靠近 o 点之后呢，你做一个角平行线，然后画一个这个与这个角的两边相切的圆，然后把这个 a p 连起来，之后呢交于这两个点，然后再分别做这两条平行线，你会发现这个两个 o 三都会在第一象限，它不仅有两个，它还会在角度特别小的时候都会在第一象限，所以实际上呢，你会发现这两个一下子都可以通过作图得到。 然后至于第三个呢，你可以让它 alpha 变大一点，实际上就我们这个图，我们这个图 alpha 就是 画的差不多就大于三十度的，那么它有一个圆心 o 三呢，是跑在第二项线，但是它还有一个圆心，它是仍然在这个呃第一项线的，你可以让它 alpha 逐渐的变大， alpha 不 断的变大的过程当中啊，这个 a 点就会无限的靠近这里， a 点无限的靠近这里之后啊，你会发现这个 p o 三它要平行于 o e c， 这个 o e c 的 角度就不断的会这样倾斜，然后你过 p 点做这个 p o 三平行于它，这个 o 三就会相当于不断的往这样的一个挪动的这个位置，所以这个呢是错误的，它有一个是在 d 相线，有一个是在这个 d 三相线，那么最后一个就是当 r 等于三十度的时候，让你求圆形的坐标等于三十度啊，这个是三十度， 那么这个就是三十度，这个就是六十度，那角平分线就是三十度。角平分线是三十度的话，我们刚才怎么确定圆形的位置？第一个就是它在角平分线上，在角平分线上你这个假角又是三十度，我就可以把这条角平分线的这个直线的解析式给它求出来，那么它就是 y 等于三分之根号三， x 加上二， 这个比较容易求出来，然后同时再根据这个 o 三到 p 点的距离和 o 三到 x 轴的距离，它应该相等，那么 o 三到 p 点的距离，我们不妨就设设 o 三的坐标为 a 三分之根号三， a 加二，这样的话，它到 p 点的距离就是 a 的 平方，加上三分之根号三， a 加二减四的平方， 他就应该等于他的纵坐标的平方，也就是三分之根号三 a 加二的平方。这样的话，我们把这个方程解出来呢，会发现 a 一 呢就等于零， a 二呢就等于三分之八倍根号三，然后 你带你去验证一下呢，当 a 等于零的时候呢，那 y 就 等于二，当 a 等于三分之八倍根号三的时候呢，那 y 就 等于三分之十四，所以这个 d 选项呢，他也是正确的。 这当中除了最后一个需要计算一下其余的三个，其实你可以通过画图的形式大致就可以把它给判断出来了，那我们用图形的形式来演示一下，开始的时候阿法在零到三十度的时候，那么他是有两个的对不对？一个是圆 a， 还有一个是这个圆，那么 他都在第一象限。他是有两个的，都在第一象限随着阿法变大。你看这个圆 a， 他 慢慢的，慢慢的，慢慢的，慢慢的会跑到这个第二象限，但是上面右边的那个圆还在那里，随着他不断的变大，不断的变大，不断的变大，这是他的大致的一个运动情况。