河北单招数学立体几何求二面角的问题
今天我们用六十秒用三 d 技术讲解如何找到高中立体几何二面角，看完直接拿捏！第一种，定义法，最简单最基础，棱上随便找个点，两个平面内分别给棱做垂线， 两条垂线的夹角就是二面角，适合棱清晰，有中点端点的题型。第二种，三垂线法，高考压轴高频，一个面内找点，向另一个面做垂线，连线形成的夹角就是二面角，找不出垂线就用它。 第三种，垂面法，卡点万能法，做一个垂直于棱的平面，平面和两个面产生两条交线，交线夹角就是二面积，棱不规整直接用。第四种，摄影面积法，懒人秒杀法，不用找角，不用画线，原面积摄影面积做笔直鱼弦直，直接出选择 t 填空题最快解题。 第五种，空间向量法，兜底保命法，建作标系求两个平面向量，向量加角算出来判断钝锐二面角直接搞定，大体无脑套用！关注逐梦动画数学，带您轻松拿捏高考！
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04:01查看AI文稿AI文稿你看，昨天教育局都说了，高考是反套路的，立体几何大题的套路是不是空间向量啊？但是我不止一次说过吗？立体几何大题，空间向量法和几何法都得熟练掌握， 因为高考是反套路的，他要给你出那么一道题，用空间向量做起来很复杂，用几何法做起来非常简单，你说你怎么办？ 你比如去年新二卷的这道立体几何大题，用几何法做起来就很简单。我们看题啊，如果我设 a、 d 等于一，哎，那这里面的一可就多了啊。你看这是一，这是一，这是一，这是一，这是一，这是一，这是一。然后 e、 b 应该是等于二。题干说的那个面的二面角六十度应该指的是这个角。 好，现在让你求 d 一 片 c、 b 和 d 一 片 a 一 片 e、 f 的 二面角的余弦。现在问题是这两个面就是一个尖尖的点交在一块，这让我非常的难受， 所以我打算画出他们的交线，于是乎我就延长 e、 f， 延长 e、 c 交于点 o， 再连接 o、 d 一 片，你看这个是不是就是他们的交线了？ 显然这个时候 f、 c 是 中位线嘛，所以 f、 o 也等于十。然后 c、 b 怎么求呢？我们过 c 点啊，做一个平行线，显然它是一个直角三角形，然后这两个直角边都是一，所以 c、 b 是 根号二， 所以 o、 c 当然也是根号二喽。好，又因为 d 一 撇， f、 o 是 个等腰直角三角形，两个腰都是一，所以 o、 d 一 撇是根号二。好了，我们该求的这些边大致都求出来了。然后我们往近处看啊，因为 a 一 撇 d 一 撇垂直于 a 一 撇一， 又因为 a 一 撇 d 一 撇垂直于 e、 b， 所以 a 一 撇 d 一 撇，是不就垂直于平面？ a 一 撇 e、 b。 因此 a 一 撇 d 一 撇就垂直于 a 一 撇 b， 所以 三角形 d 一 撇 a 一 撇 b， 其实它也是个直角三角形。我们再往近处看啊，你看这有个六十度吧，然后这个边是一，这个边是二，这不是一个很典型的三十度吧？然后这个边是一，这个边是二，这不是一个很典型的三十度吧。然后这个边是一，这个边 b 就是 根号三。 刚才说了 d 一 撇 a 一 撇 b， 也是直角三角形啊，所以根据勾股定律吧，就能算出 d 一 撇 b 是 二。好了，我们再往近处看啊，你看 b a 一 撇，刚才证明了是垂直于 a 一 撇 e 的 b a 一 撇又垂直于 a 一 撇 d 一 撇，所以 b a 一 撇 e、 f。 因此你发现没有三角形 o b d 一 片在底面 d 一 片 a 一 片 e、 f 上的投影就是三角形。我现在连 a 一 片 o 就是 三角形 a 一 片 o， d 一 片。好，那根据我那几天讲的空间摄影定律，显然我们要求的这个二面角的余弦， 是不就应该等于三角形 a 一 撇 d 一 撇 o 的 面积？除上三角形 o、 d 一 撇 b 的 面积，我们把三角形 a 一 撇 d 一 撇 o， 给它画到一个平面里面。你看 a 一 撇 d 一 撇 是一， d 撇 o 是 根号二。而 a 撇 o， 因为 a 撇 e、 o 是 个直角三角形，两个直角边分别是一和二，所以 a 撇 o 呢，就是根号。 你看，三个边都出来了，这个三角形的面积是不是就很好求了？再看三角形 o、 d 撇 b， 我 们再把它画出来。 你看 d 撇 b 刚才求出是二 o， d 撇是根号，二 o b 求出是二倍根二。哎，它的面积是不是也很容易求？好的，你们自己求啊。求出来两个面积一作比就是根号七分之一，所以我们要求的这个二面角的正弦 就等于根号下一减，根号七分之一的平方，七分之根号下四十二。好的，搞定了。
2830数学高分老曹
10:41查看AI文稿AI文稿立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。
6.6万加数
09:08查看AI文稿AI文稿本视频纯手工打造，耗时四百六十六分钟，带你一口气学会二面角外接球模型，记住口诀，球心垂直交外心能的半场找勾股，先收藏再观看，下次遇到直接秒杀！不废话，我们直接开始 今天的内容，他的难度是非常高的，因为这样的一个命题，如果大家从网上看到一些公式，比如说二面角万能公式，好在我的观念当中，这个公式就是 不太好的一个公式，因为我们本质上是要理解这个方法为什么行，比如说当你理解了这个方法为什么行之后，二零二五年的那个高考例题几何题就可以快速做掉， 用几何法可以做到，那是不是相当于举一反三的一个过程？大家认真听我说，那首先这个模型它的应用场景是面面垂直，包含给二面角，我想求到外界球直径或者外界球半径，我就用这个方法就可以了。 那我们从头来，那首先我先边标边 p a、 b、 c， 这里面发现 p a c 侧面和底面是垂直的，我们快速的给他找到一下他的球心的位置， 那我们先画一个外接球，球心我就标定在这里，其实我也不知道他在哪，但是我知道一件事情，这个球心投在面上投影叫什么？叫做三角形的外心，他一定会投在三角形的外心，这个外心就是外接圆心。换句话说，比如说我想投在上面，这个 o e 大 概投在什么位置上呢？我们先画一下， 哎，大概就在这个位置上。那么 o 二投在底面投在什么位置呢？大概投在这个位置上。你说老师我不知道他在什么位置上，我告诉大家这个 o 一 o 二就在这个圆面给大家稍微画一下，就在这个圆面 他的一个什么上，他的一个外心上面，那他也在这个圆面的这个圆形上，这个圆形就是三角形的外心。那这个我在后续讲练习题的时候，再跟大家具体的做描述。那继续呢？我就可以找到二，找到二之后，我们接下来要向交线做垂直， 上交线做垂直之后呢？根据叫什么叫垂径定律，这个垂直垂完之后一定是它的终点，所以 o e 二做这个 a c 的 垂线，它也会在终点，所以它们一定会垂一点，那这样的话有什么好处？是不是二面角就暴露出来了？那最后一步我们连接这个 o h， 换句话说，整个 这个题目当中，我们只要把 o h 算出来，这题就完事了，为什么呢？因为大家可以想象 o c 是 什么，那么 o c， o c 是 不是整个求的 r？ 那 我是不是可以用 h c 和 o h 做一个勾股定律，就可以直接得到 r 是 谁？ 好，那么入座时我们列一个勾股定律，这个勾股定律其实它就是在这个面当中的一个勾股定律，我们只要把这个面给它搞透彻是不就可以了？ 那关键的难点来了，我们要解什么？要解 o h o h 怎么解？我们来把这个面给它画出来，是不是这样？那这个体头于它的这个二面角是九十度啊，所以它画起来非常简单，它是一个正方形， 为什么正方形？因为 o 一 h 和这个 o 二 h 它是什么？它是定值，对不对？它俩是相等的，因为它两个面是全等的，它两面都是正三角形，对不对？ 那我们简单来算一下 o h 吧，我们发现题干当中所给的这个二面角，它其实是九十度，就是我标的 o e h 和 o。 那 么大家呢，如果对这二面角不理解的话，可以进我的粉丝群，我给大家之前录过视频，也可以看我往期作品二面角的讲解， 那继续，那么 o h 可以 简单的代数运算，这里给大家稍微说一下，其实它的难度就在于我所有的题目在算 o h， 其实都是通过 o e h 和 o 二 h 来计算出来的。 那有同学说，老师，那你为什么不算 o o 一， 因为 o o 一 本身是球心到面的距离，这个过程是难以表述的，包括 o o 二，他也是难以表述的，但是 o e h 是 定的，因为你的外心到你棱的距离是不是一定好求的一个问题。那这里就是沈老师给大家讲的方法， 还是由我给大家来高度的总结一下该模型的应用。这个模型我管它叫做二面角模型，在任何题目当中，大家但凡遇见二面角，直接去找他球心的位置，当我们找到铰定好球心的位置之后，我们向两个面分别做线面垂直， 垂到的地方我们标为 o 一 和 o 二，向棱做垂直，那么这样我们设这个点为 h， 就 一定会有一个非常好看的三角形， 这个三角形呢，其实是一个两个直角三角形拼成一块的这么一个图形，我们来一起勾勒一下。好在这样的一个小小的 图形当中，我们管这个形状叫做正形，因为它两个角度都是直角，在这样的一个形状当中，我们可以快速的求解出哪些变量呢？这里给大家标注一下。首先 o 一 h 是 非常好求的， o 二 h 也是非常好求的，那么这两个为什么他好求？因为他是头在面上到棱的距离， 外心到棱的距离，大家记住了吗？第二件事情还有什么东西？就是 o 一 h o 二，它是二面角，所以我们所有的题目只知道这三个信息就足够了，但我们知道这三个变量的时候，大家只需要去求解 o h 就 可以了。 当我们无论你用什么手段，当你解除 o h 之后，你回头再和我们的边一连，也就是这条边，那么在我这里的 oc 是 什么？大家可以发现 oc 其实它就是半径， 那么 oc 和 o h 做一个勾股定律，就一定可以把 oc 给它计算出来，也就是说 o c 的 平方，它就一定等于 o h 的 平方加二分之 l 的 平方，也就是在这个三角形当中，这里面是直角，我们只要通过这个边和这个边的勾股定律就可以说 o c， 那 o c 是 什么？ o c 其实它就是 r， 所以 公式来了。 这里陈老师给大家打了三个感叹号，希望大家一定要理解整个的做题过程，并且了解到 o e h 和 o r h 他 到底怎么算的，然后再知道为什么 o r h o e 他 是二面角。最后这个勾股定律，那一定要把它背下来好不好？ 好的以上的二面模型给大家讲到这里，我来大家练习一道题目来具体实战一下。好图呢，陈老师给大家讲解一下，首先 你说老师你叽里咕噜画了这么多图形是干什么的？那沈老师逐个给大家破解开来。首先在三角形 a、 b、 c、 d 当中，我们仔细读题，读到了一个叫做二面角的条件，那么在这二面角的条件下，他就一定是用沈老师刚才教大家这个模型 好，那模型有两个关键点，第一个关键点大家一定要快速的理解出来 o e 是 谁，这个球心，他到楞的距离。那你说老师你画的这个图形到底是什么意思？接下来我给大家解释一下我画的这个图形。 第一步先找球心，球心向两个面做垂直，那么垂足，再到这个棱的距离，那这个三角形你把它解出来，你将来去算 o e， 你 把 o e 算出来。接下来用我们老师教的这个核心公式叫 o e 的 平方，加上一个半边的 平方等于什么？等于 r 的 平方，这个就是核心公式。换句话说，在整个题目当中，大家只需要把 o e 解出来，这个题呢应该就结束了。那关键是在这个算术当中，哪些可解，哪些不可解呢？根据沈老师的笔记， m e 可解， n e 可解， 还有什么课题？是不是他给的这个二面角好？ m e n 六十度好以上的沈老师认为是非常好求解的东西，那沈老师大家一步一步求解，那先在这个 ab 岛的这个三角形当中，我们来做一些文章，沈老师把它平移一下，好在 ab 岛当中， 我们发现 o 点投在这个面的 ab 道当中，他投的是什么位置呢？大家会发现他投的位置应该叫做外心对不对？那外心就是 m 点，那 m 点到底在图像当中哪了哪里？我们把 ab 道的边标一标，这个边是根三， 这个边呢是三，这个边呢是二倍根三，所以他是个直角三型，那么这个外心 m 点就在斜边中线上，那接下来我要算外心到棱的距离，到谁的距离，那简单来说就是 b 道的距离， 这个距离呢？我们来一起来算一下。那 b 岛简单列一个勾股定律，那 m e 算出来应该是等于个二分之根号三。 继续，那我们有了 m e 之后，相当于在这个图形当中的这条边算出来了，那么接下来是不是还缺这颗边？ 那么还是同样的道理，我们先投在这个 b c 岛上的 n 点， n 点到棱的距离是多少？那是不是就是个正三角形？那么正三角形我们知道边长乘上二分之三，乘上一个三分之一就可以了，所以 a 的 长度等于二分之二三。 我们发现这个题是一个非常有意思的图形，在这个题当中它是一个标准的对称的图形，那换句话说，这个半角应该是三十度，那我们想求到 o e 是 不是直接就秒掉了？那么 o e 等于二分之二十三，除以一个 cosine 三十度， 这样的结果就可以直接秒掉 o e， o e 算出结果等于一，那因此当我有了 o e 之后，我再用我刚才教大家的半边长公式，是不就可以快速秒掉结果？我们一起来列一个勾股定律，所以 r 就 等于根号加 o e 的 平方，加 e 的 平方是沈老师刚才给大家总结那个核心关键公式， 所以可以算出来 r 等于二分之根号十三。综上我们算一下 s， s 等于四派二方，所以它等于十三派。那么这个题沈老师给大家讲到这里， 希望大家把该搞懂的问题搞懂，尤其这个方法背景下的这个模型。关注我一键三连，沈老师会在粉丝群当中给大家带来更多的练习题，以及相应的标准过程的笔记解答，大家有任何问题呢可以跟我沟通，我是数学沈老师，带大家快速通关数学。
206本质数学沈老师
01:22查看AI文稿AI文稿鬼密二面角包会的哈喽，大家今天分享一个几何法找二面角的万能套路，记住一个口诀，两锤一连三步就能快速把二面角找出来。在做之前，我们需要明确一件事， 我们找二面角，首先要把角做出来，这不是一句废话，准确画出辅助线，构造三角形，二面角问题就解决一半了。我们只需要选择一个点，构造两条垂线，再连接垂足就可以了。 比如我们看这道题，求二面角 a、 c、 p、 b 等于弦值。口诀是两垂一连，已知点 b 到平面 p、 a、 c 的 距离是一，也就是从 b 点向平面 p a、 c 做垂线，这段距离是一，这里已经有一个垂线了，下一个垂线以 o 为起点，向棱 p、 c 做垂线，连接 b、 m， 这个角就是二面角的平面角。 我们再来看这道题，求二面角 b、 p、 c、 a 的 余弦值，还是用两垂一连的方法。第一步，我们先考虑是选 a 还是选 b 点做垂直。题目里给了 p、 a 垂直于圆索在平面，平面 p、 a、 c 垂直于底面 abc， 这里明显是 b 点做垂直更方便。第二个，垂直，我们从垂足 d 往棱 pc 去做， 连接 b、 e， 这个角就是二面角的平面角。二零二二年新高考一卷，求二面角 a、 b、 d、 c 的 余弦值。大家可以思考一下，是从 a 点往平面 b、 d、 c 做垂直比较好，还是从 c 点往平面 a、 b、 d 做比较好？ 接二面角问题还有非常多方法，主播觉得三垂线定力两垂一连是最实用的，大家有什么其他好的方法，欢迎分享在评论区，这期视频就到这里了，拜拜。
8547阿弥豆腐
10:09查看AI文稿AI文稿好，立体几何的题型是多种多样的啊，那有没有可能考这样一个三棱台的问题啊？好，我们来拭目以待啊！ 看这道第十七题啊，这里边呢， abac 是 垂直的啊，这个位置是个直角啊，然后呢， ab 等于 ac， 那 是等腰直角三角形，并且这两个边长都是三啊，然后这个三倍的 ab 等于三，那 ab 就是 一啊， 好，上下两面都是等腰直角三角形，那 a 一 在底面的投影为 g 啊，是三角形的重心。好，那这里面实际上投影的话，就代表 a g 是 垂直底面 abc 的， ok， 然后这里面证明 b e b c c e 垂直 abc， 那 就是前面这个面跟底面是垂直的， 证明面面垂直，要证明一个面上的一条线与另一个平面垂直的，那这里边很容易发现啊，其实我们要把这个 a g 连上啊，并且延长交 b c 点 d 啊， 那我只要证明这里面这个 a d 跟这个前面这个面垂直就可以了，因为它是等腰值，所以说这个 a d 呢，已经垂直于 bc 了。 我再找一条线跟 a d 垂直啊，在前面这个面找一条线跟 a d 垂直，那这个题呢，就正出来了，那这个辅助线要怎么去做呢？实际上也非常简单，因为等腰三角形，我们就喜欢取底边的中点，取 b c 的 中点啊， m 点给他连上，然后连接 m d， ok， 连完之后呢，我们只要证明这个 a e m d g 是 一个平四就可以了啊， 那这里面它能不能是个平四呢？这个 a e m 能看出来它是二分之根号吧，因为底下这个 b e、 c e， 我 写一下 b e， c e， 它是一个根号二，所以说 a m 应该是 a e、 m 应该是二分之根号二， 同样我们可以写出这个 a、 d 的 长， a、 d 的 长应该二分之三倍根号二。然后呢，这个 g、 d 呢？ 它是重心啊，到顶点和到底边距离和到底边的这个点的距离的比是二比一啊，所以说占三分之一，那它确实是二分之二，所以说这个 a、 e、 m 跟这个 g、 d 啊，肯定是相等，然后呢，再说明它俩平行就可以了。 那这个呢，我们可以由线面平行的推论去看啊，也就是说这里边 a、 d 跟上面这个面是平行的，然后这个 a、 d 还在这个面 a、 e、 m， d， a 上，所以呢，这条线就跟这个交线是平行的啊，那这样的话平且相等，所以它是平四啊，然后这个位置是直角，所以说这里面 a、 d 就 垂直于 m d 啊， a d 还垂直于 bc， 所以 它就垂于前面这个面啊，这个是整体的思路啊，我们来简单写下步骤 证明。第一问，那我们先把这里边的边长求一下， 那这里面很容易求出来什么呢？求出这个 a、 d 啊，是等于二分之三倍根号二的，然后这个 g、 d 啊，应该等于三分之一倍的 a d 等于二分之根号二，然后这个 am 它也是等于二分之根号二的， 那这时候呢，这个 a、 m 就 跟这个 g、 d 就 已经相等了，我们证明这个平行就可以了。然后我们再说这个 a、 d 啊，它是平行于面 a、 e、 b， e、 c 的 啊，再加上什么条件呢？这个 a、 d 呢？还在面 a、 b、 c 上， 然后再说两面相交啊，哎，不对，不是在这个面上， 嗯，在这个 a d， m a 一 这个面上， 嗯，然后再说两个面相交就可以了。这个面 a a 一 m d 交这个面 a， b， c 啊，等于 am， 所以 说这个 a d 啊，就平行于 am， ok， am am， 那这个平行再加上这个 g， d 啊，是等于 a e， m 的 啊，所以呢，就会得到它这个平四啊，所以这个 a e， m d， g 啊，这个四边形，它是个平四啊， 然后再加上这个 a g 是 垂直于垂直于 d 的， 或者说垂直面 abc 啊， 嗯，所以它是个矩形，它是个矩形，我就不写了。所以呢，这里边就会得到 a， d， 它是垂直于这个 m d 的， 嗯，那 a d 垂直于 m d， a d 还垂直于 bc 啊，然后 bc 交 m d， a d 啊，所以呢，我们可以推出来这个 a d 啊，是垂直于前面这个面的 b， e， b， c， c 啊，然后再加上 a d 在 这个面 abc 上，所以就可以推出面面垂直啊。 好，第一问呢，就挣出来了，主要是做好辅助线，看第二问。第二问呢，他说若直线 a 一 与底面所成的角是四分之派啊，我们把这个没用的擦掉， 那我们把这个 a g 连上，还要连这条线，那这里边呢，给出了先面角，这个是四分之 pi， 那 说明什么？说明 a 一 g c 一 是一个等腰直角三角形，那刚才我们求出这个是 二分之三根根号三，这这二分之三根根号，这应该占根号二，所以这也是根号二，所以说 a 一 g 是 根号二。然后他说 b 一 b c， c 一 与 abba 一 a 一 加角啊，那就是前面这个面跟左边这个面所成的二边角， 嗯，好，那这个呢，就间隙做就可以了，这个细呢，也非常好建啊，因为你已经有面边垂直了，也就是说刚刚我们这个地点，这个中点，我们就可以以它为圆心与为圆点间隙啊。哎，这样，这个是 x 轴，那这个呢？就是 y 轴， 这个呢就是这种，然后剩下就是间隙标点啊，把点标出来就 ok 了，看看需要谁啊？呃，这里边前面这个面 的发向量呢，是不用求的，直接就是 y 轴跟 y 轴平行的线就可以了。所以说呢，咱们设这个 b、 c、 c 的 发向量 为 n 一 啊，它应该等于零一零，哎，这样一个指啊，直接就可以看出来。嗯， 然后我们只要求另外一个平面就可以了。那这里面我们需要表示哪几个点呢？需要用到 b、 b 一 和 a 啊。那我们先把 a 点坐标写上， a 点是在 y 轴上，所以说是零，这个应该是二分之三倍根号二零啊，这是 a 点，然后这个 b 点坐标，它是在 y 轴的负半轴啊，那这个应该是负的二分之三倍根号二， 所以说负的二分之三倍根号二，然后零零，这是 b 点，然后再把 b 点标出来， 那 b 一 点呢？它这个往下做一个垂线啊，它这个是负的二分之根号二啊。横向的就是负二分之根号二，然后 y 坐标是零， z 坐标是高度是根号二。好，这样就够用了，我们来表示这个 b a 向量 好，那就是二分之三倍根号二，二分之三倍根号二零。那这个呢，我们可以用谁算呢？同时除以一个这个二分之三倍根号二幺幺零，可以用这个幺幺零来替换这个向量来进行计算。 好，那我们再找下一个，就是 b b、 e， 那就是根号二零，根号二啊，这么一个东西。嗯，那我们来求它的发向量，那这个呢，要多写一下步骤，那咱们设这个第二个面的发向量，就是 n 二，我就不写了， 那这个呢，我就直接写结果了，那写下步骤吧，就是说这个 n 二点乘 b a 等于零， n 二点乘 b b e 等于零，然后得到两个方程，那我们就简单写一下，写一下吧， 零，然后呢，这个是 x 加 z 等于零啊，所以说直接可以求出这个 n 二， 这个就是一负一负一啊，完事啊，两个发型料都知道了，直接口塞 n 一 n 二加个绝对值，然后考试写全了，数量机比上磨床机 好，那这个呢？有绝对值，上面就是一了，然后呢，这个是刚好三，所以最后的结果应该是三分之三。最后下一个结论啊，所以二边角啊，什么什么什么的二边角的余弦值啊，三分之三。 好，这是这样的一个第十七题啊，立底几何关于三棱台的一个形式，好，你学会了吗？
32武数甲
02:16查看AI文稿AI文稿我爱学习，学习使我妈快乐，我妈快乐，我全家都快乐。我们来看立体几何的第二个重难点，空间角，我们来看立体二杠三。题目介绍 九章算术中的一种空间几何体，这个几何体满足这些特征， e、 f 跟 ab 平行， ab 等于二。这些数量关系还有未知关系，我们在图上标注出来， b、 c 跟 e、 f 都等于一，这两个三角形都是正三角形。题目告诉我们几形， 所以我们可以知道这两个三角形边长都是为一的。题目让我们求的是两个边的夹角，我们把这两个边标出来， b、 c、 l 在 这里 a、 b、 c、 d 是 底面，让我们求这两个边的夹角，也就是二边角。那碰到这种求二边角的，也要做一个边在另一个边上的投影，所以我们就要过 f 做底面， a、 b、 c、 d 的 高垂直，我们给它记为 o， 然后再往 o 做 b、 c 的 垂线垂直，我们记为 h， 我 们再把 f、 h 连起来折， f、 h 会垂直于 b、 c， 这我们可以通过三垂线定力去证明。因为我们是往底面做垂直，所以 f、 o 会垂直于 o、 h， 那 我们现在要求的二边角 就是这个角，我们给它记为 r 啊。一样的，我们要求二面角的三角函数值，我们就要在直角三角形 f、 o、 h 中进行求解，所以我们只要把这个三角形研究清楚，就可以通过 e、 f 跟 ab 平行， ab 等于 二， e、 f 等于一，我们容易得到， o， h 会等于二分之一，又通过正三角形 变长为一，会不会容易得到， f， h 会等于二分之根号三，我们要求的一弦值扣三，阿瓦会等于 o h。 比上 f h， 我 们分别带进来进行化简，可以得到等于三分之根号三，所以答案选的是 a。
15数理扫地僧
22:29
04:32查看AI文稿AI文稿来，我们来看一道例题，几何啊，如图所示的话呢，圆锥 p o， 它的母线 p a 长的话呢，是等于 根号十啊，并且这个 p c 也是根号十啊，它俩很明显就是一样的，里面半径的话呢，是二啊，然后三角形 o a c 的 话呢，是一个等边三角形啊，然后让你去求第一步啊，第一步比较简单，求它的侧面积和体积啊， s 侧的话等于什么？ 呃，对于它而言的话呢，是不是直接等于 pi 二 l 啊，对吧？来二是不是底下的二 l 是 不是就根号十？所以就是谁 pi 乘上个二，乘上个根号十，也就是等于二倍根号十倍的 pi 啊，当然 这是平方厘米啊，然后体积的话去求什么？你看啊，这里边这等于根号十， p b 是 不是也等于根号十啊？那所以我们可不可以先求一下 p o 啊，这个三角形就是 p o b 这啊， p o b 这， 这是垂直的，然后 o b 的 话呢，是二，这是根号十啊，所以是不是我们先求一下这个高啊，就这个 p o 啊，那很明显 p o 等于什么？ p o 是 不等于勾股定律吧， 斜边的平方是不是十，减去个底下这个边是不是四？所以 p o 等于几？是不是根号六啊， 对吧？那既然求出来它了，这是一个圆锥对吧？来圆锥的话呢， v 等于什么？ v 是 不是等于三分之一乘上个 s 底，再乘上个高 h 啊？来代一下，是不是三分之一乘上个底？面积是谁？是不是派二方，对吧？ pi 乘二的平方，然后再乘个 h， 是 不是根号六啊，对吧？然后，所以最后算出来的话呢，是什么？是不是三分之四倍根号六 pi 啊，当然此是因为是体积了，是立方厘米， 这是第一问啊，第二问的话呢，求二面角它的正切值 p 啊，公共边是 a c， 然后这个 o 啊，这里边有几个点是什么？你看 pa 和 pc 是 不是相等的，对吧？那所以这个 pa c 是 个啥？ p a c 是 个啥？是不是等于二三角形啊？并且这个 a c 你 要注意一下，人家告诉你了，是等边三角形，这个 a c 是 几？是不是也是二？因为它要跟半径是一样的啊， 所以的话呢，这是二，这是根号十，这也是根号十啊，然后的话呢，还有哪呢？哈？呃，对于它而言，呃，你做个它， 这是中点，这取个大啊，这个 p a， 这个 p 大 啊， p 大 怎么样？ p 大 是不是肯定要垂直于 a c 的 呀？呀？ p 大 肯定要垂直， a c 等于三角形嘛？这还是中点啊，然后的话呢，你再注意一下，这啊，就这个三角形里边啊，这个是大，这个 o 大 怎么样？ o 大 是不是依然是垂直于它？因为它是等边三角形，它是中点，对吧？那所以其实最后我们要求的这个正切值求谁去了？ 这是 p， 这是大，这是 o 啊，这是垂直，其实我们最后求的就是这块，来，我告诉你，就是这块 啊，这个的正切值是不是要求一个它 po， 我 们是不是知道了 po 等于几？是不是根号六啊？ 对吗？然后这个大 o 是 几？嗯，大 o 在， 是不是在这里边呢？这个边长的话呢，来，这是二，这也是二，这整体的事，这是不是一样来，所以这个 o d 的 话呢，是不是根号是三来，所以 tangent 角 p 大 o 啊， 等于谁？是不是对边比上谁？是不是邻边啊？也就是根号六，比上个根号二来等于几？是不是根号三？哎 啊对对，这是根号三啊，是不是根号二啊？对吧？最后答案就是它。
16教数学的孙老师
10:23查看AI文稿AI文稿ok， 那 么我们今天一块去看一下二面角部分的题型总结。二面角部分呢，我们这块介绍四种方法，第一个方法就是利用定义法 求解二面角。首先我们得了解到什么是二面角，二面角顾名思义，我们是两个半平面的加角，那比如说我们在这做一个二面角出来， 此时呢，假设我这边有个平面阿尔法，这是这个平面贝塔，阿尔法交贝塔等于 l， 那 么什么叫做二面角的平面角的大小？首先得知道这二面角的平面角是什么， 那非常简单，我们只需要在两个半平面中去做交线的垂线，比如说在 beta 里面，我们找到一条线做交线 l 的 垂线，假设呢，此时这个线是 a 线，与这个交线交于点 o， 我 们过这个点 o， 再在 alpha 里面找到条线做交线的垂线，比如说是 b， 此时的话呢，我 a 跟 b 之间这个直线之间形成这个夹角，就叫做二面角的平面角啊。那么这个 c 塔二面角的曲值范围我们知道了，因为它是半平面的夹角，所以呢，二面角的范围为零到一百八十度之间。 但是呢，此时我们要注意的是，如果是两个平面的夹角，因为我们的平面是无限延伸的，他伸长下去，这边延展开，所以呢，两个平面的夹角，我们取的他们之间这个锐角。所以呢，这个大家在学的时候一定要注意区分啊，我们的平面的夹角为 多少？零到二分之派，那个这个这个零到二分之派的必选，这个要搞清楚。然后再一个呢，就是老师刚讲的这个二面角的平面角，大家一定要搞清楚，那么第一种类型的题目就是我们利用定义法直接去求解这二面角了，比如说我们在这个题中一块去看一下这类方法应该如何去求解，并且我们总结一下这类题目的一个常见的做题套路。 第一个呢，告诉我们， abcd 等于 a， a 等于 a， a 一 等于一个四，也就是说他的这个边长呢为四， 二面角 a 一 b、 d、 c、 e 的 余弦值等于多少？我们要求解一个二面角，首先呢，我要去第一步要干嘛？就要去找到二面角的交线，如果我们用定义法去做，我要去找到它的交线啊， 这个交线很简单，就是 b、 d。 然后呢，我分别要干嘛？要去在找到在两个平面中去找到垂直于交线的线就行。 此时我在这个 a、 e、 b、 d 中找到垂直交线线，你发现呢？ a、 e、 d 是 不是等于 a、 e、 b？ 它是个等腰三角，所以此时的话它的垂线我们只需要去找到 b、 d 的 中点，我们连接，假设这个点是 o 连接 a、 o， 那 我们知道了 a、 o 一定垂直 b、 d。 同理，我们在 c、 e、 b、 d 中，我们发现它也是个等腰三角形， 因为我们的 c、 b、 e 是 不是等于一个 c、 d， 它都是这个面的角线，四、四他们都是一个四倍根二，四倍根二完了之后，我们连接 ceo， 它也是垂直于这个交线的，那所以此时我是找到了这个二面角的平面角，这二面角的平面角我们确定出来，实际上就是我们的这个 a、 e、 o、 c、 e 了， 所以我们可以得到角 a、 e、 o、 c、 e 为这个二面角 a、 e、 b d 杠 c、 e 的平面角，知道它的平面角之后呢？第三步就是我们要去进行求解了，对吧？我们第三步要求解的时候，常常用到的就是我们的正余弦定理，要求一些边长， 或者我们的这个勾股定理都是比较常用的，所以在这你发现我们此时要算这个二面的平面角，我们只需要算它的边长是不是就可以了？在这建议给大家教一个方法，如果大家不太熟悉，我们可以干嘛把这个角给它画出来？画到平面中去算它的边长是不是比较好看？因为有的题目它确实比较麻烦，所以呢，画出来我们会得到 有的题目的图不太好看的情况，你把它画出来，你算 a、 e、 o， 你 算 a、 e、 o 和 c o， 发现我们知道了这个是四四四倍根二，所以它的一半是二倍根二，二倍根二， a、 e、 b 是 提掉线，是不是四倍根二？所以呢，是不是知道了 a、 e、 o 了， 如果还是觉得不太好看，我们也可以干嘛把这个 a、 e、 d、 b 呢？给它画出来，对吧？ a、 d、 b， 它画出来长这样，它是一个等腰的嘛？ a e、 d b a e b 等于 a e、 d 等于四倍的根二，这是一个四倍的根二。我们要算算的是不是就 a o， a o 很 简单，你知道这是二倍根二，你说 a、 e、 o 是 不是就很简单？你算出来 o 定律， a、 e、 o 呢，算出来是 一比根，三比二，那就是二倍的根六，那它呢，就是二倍的根六，那同理，我的 ceo 是 不是一个二倍的根六，那么 a、 e、 c 的 话是四倍的根二，所以啊，你要算它的余弦值，是不是用一个余弦定律，那就是说由余弦定律之那 cosine 角 a e o c e 就 等于一个 二倍根六的平方，再加上一个二倍根六的平方，再减去一个四倍根二的平方，比上一个二倍的，他们两个相乘二，乘以二倍根六，再乘一个二倍根六是不就可以了？ 算出来等于我们的三分之一，所以这个余弦值算出来就是三分之一，这个就是我们在用定义法去求解二面角时候的常用的方法呢，希望大家下去呢做好总结。在做到一个二面角的题目的时候，我们看能否直接使用定义，如果能用定义呢？我们就拿定义进行求解就可以了。 ok， 那 么第二个题目也是用定义的方法，那跟 这道题目给大家留做一个练习进行求解就可以了。接下来我们去看他第二种方法，就是利用三垂线法去求解二面角。那么什么是三垂线法？我们一块去看一下什么叫三垂线法，实际上我们只要学习了他的定义去求的话，后面的所有方法都是根据定义去拓展开来的一些方法，比如说我们这个三垂线法， 假设此时我们的阿尔法和贝塔，它的交线是一个 l， 那 么此时我要在平面内任选一点 a， 并且呢过这个点 a 做贝塔的垂线，比如说假设我们此时过点 a 呢做贝塔的垂线， 以贝塔平面交于点 b， 现在我只需要干嘛，我要在贝塔平面中过这个点 b， 做平面交线的垂线就可以了。 做交线的垂线，此时比如说做交线的垂线与交线交一点 o， 此时我们连接 a o， 这样我们就能找到它的平面角， 它的平面角就是我们的 aob， 就是 说我们的角 aob 为平面角。这三垂线法的做法什么原理？可以给大家证明一下。实际上我们刚说了，他都是往定义上去靠的，我要找到关于分别在两个面中找到交线的垂线，那这个的做法很简单，就是利用线面垂直去正道，那也就是说我们过 a 做 a b 垂直于 beta。 正理一下，我们发现我们的 l 是 不是包含于 beta 的， 所以呢，我们会得到 a b 是 垂直于 l 的， 并且此时我们也过了 b 做 l 的 垂线 b o 是 不是也垂直于 l 的？ 又因为 a b 交 b o 等于点的，所以呢，你发现我们的 l 实际上就垂直于这个面 a b o 了已经，那么 l 已经垂直于 a b o 之后呢，你发现 l 一定垂直于 a o， 所以 你直接连接 a o 这个角，就说明它是一个平面角，我们可以说这个 a o 它包含于这个面 a、 b、 o， 所以呢， l 垂直于 a o， 那 也就是说我们的 a o、 b 为二面角的平面角就可以了。那这个东西三垂线垂向，就是证明线面垂直得到了它的定义就可以了。那这个东西在题目中如何去使用？我们一块也去看一下。比如说这道题目告诉我们 v abc d 中底面 abc d 是 一个边长是二的正方形 n， 并且呢，其余侧面都是一个棱长为根五的等腰梯，等腰三角形，求二面角 v a、 d、 c 的 大小。 那我观察一下这道题目，它的描述实际上就是什么啊？我们这个棱锥实际上就是一个正四棱锥，也是让我们先去找到它的交线是 ab， 然后呢，我们过 v 做底面的垂线，因为它是正棱锥，所以呢，我们过 v 做底面的投影的话，实际上就是底面的中心，底面的中心 o， 我 们过 o 去做交线的垂线，那就是说找到 ab 的 中点，比如说是一个 e 连接 o e， 那我们 o e 一定是垂直 ab 的， 所以此时我们直接连接 ve， 所以呢，我们的 ve 即为所求了。根据我们单垂线法，我们的 ve 即为所求了，所以此时我们只需要算它的边长就可以了， 我们算它的大小，那我们也是一样把 v o e 给它画出来，那么这个是 v， 这个是 e， 这个是 o， e o 实际上它就等于一个二分之一倍的边长，因为它的边长是一个二，所以它 e o 就 等于一。 v e 的 长度我们也可以算，因为边长是二，这是一个一，这是一个根五， 因为它侧面都是等腰，所以呢，我们知道了 v e 等于一个二，那让我们算对 v e o 是 不是就可以直接去算了？因为 v o 是 一个直角，所以呢，我们知道了 cosine 角 v e o 就 等于一个零比斜，一比二等于二分之一，所以我们的角 v e o 就 等于六十度。三分之一， 那也就是说这个二面角的大小实际上就是一个六十度。怎么样，是不是用对这个方法之后做的非常简单了？那三垂线吧，老师这边再去讲一个题目，告诉我们，已知矩形 a、 b、 c、 d 的 两边分别是 a b 等于三， a d 等于四，就像我们知道 b d 等于个五 pa 垂直平面 p b， c， d， a， b c d， 并且 pa 等于个五分之四，让我们算二面角的正切值是多少？二面角 a， b d， p a， b d， p 找到它的交线，它的交线是一个 b， d。 过这个 p 点做底面的垂线是 a。 我， 那我现在已经找到了，因为它 p a 垂直底面，所以呢，先过 p 点做底面的垂线，实际上就是 p a 了。第二步，我要去做这个 a 点，过 a 点去做交线的垂线，交点 o 连接 p o， 此时我们这个 p o， a 角 p o， a 即为二面角的平面角，所以呢，我们把 p o， a 也给它拿出来，画到旁边垂直，这是 p， 这是 o， 这是 a， 反了，这是 p， 这是 o， 这是 a。 此时我们也是一样，只需要去算它的长度就可以了。我们知道了， pa 等于五分之四，我们只需要算出来 a o 的 长度不就可以了吗？ a o 的 长度呢？在哪算？就在底面，我们利用一个 等面积法，那也就是说，在这个三角形 abd 中，等面积法 s， 三角形 abd 就 等于一个 二分之一，乘以 ab， 乘以 ad， 还等于一个什么？我们的 b， d 乘以 a， o 乘以二分之一， 所以此时我们会得到三乘四，就等于一个 b， d 乘以一个 a o， b， d 是 一个五，那就是五乘以 a o， 所以呢，我们会得到 a o 就 等于五分之十二， a o 等于五分之十二，所以我们会得到贪婪的角 p o， a 为所求，这个角，它的角 p o， a 就 等于一个 p a 比上一个 a o， 那 就等于五分之四，比上一个五分之十二，就等于三分之一。所以呢，这个题的结果就是三分之一， ok， 我 们只要掌握了正确的方法，拿到对应的题目之后，我们将会直接进行我们的方法就可以了，再做起来就比较简单。 ok， 那 么希望各位同学呢，能够把老师所讲的方法呢，进行体会练习，并且进行掌握。 ok， 那 么我们今天的这个打卡就到这里，有问题的同学呢，下来及时跟老师沟通。
352权老师讲数学
06:47查看AI文稿AI文稿适而不求，不到六分钟秒杀空间向量所有压轴大题！由于 ab 等于 bc 等于二，侧面又是正方形，所以这些边的长度都是等于二的。 但是 a、 c 和 a、 e、 c 一， 它们的长度不是二，需要我们自己去求出来。用勾股定你 b、 f 就 等于根号下二的平方加一的平方， b、 f 是 垂直于 a 一 b 一 的，所以 b、 f 相应的就垂直于 a b， a、 f 用勾股定你就可以算出等于三。 很多同学会理所当然的把值三能柱当成底边，都是等边三角形。但是我们通过刚刚的计算会发现， a、 c 是 等于根号下三个平方减一，也就是二倍根号二 这个地方弄错了，那么这道题你就完蛋了。接下来所有的步骤都是一些基础的运算， 用三边的关系可以看出， ab 和 bc 是 互相垂直的，所以这里我们就可以建立一个墙角模型， 以 ab 为 x 轴， bc 为 y 轴， bbe 为 z 轴，你只要想办法正向量 bf 和向量 d、 e 相乘等于零就可以。但是这里我们并不知道 d 点具体的横坐标，所以你可以把 d 点的横坐标设出来。 第一小问，剩下的步骤请同学们自己完成。接下来我们看第二小问，把两个平面的法向量分别设成 m 向量和 n 向量。 法向量的扩限值越大，二面角的正弦值就越小。 法向量可以直接看出来的，就不用去设。图中我们可以看到这条边，它是垂直于 c 一 c b b 一 这个平面的，因此 法向量 m 我 们就可以直接写成一零零。另一个平面的法向量需要详细的计算，我们先把 d 和 e、 f 设出来， 用法向量 n 去各自乘以，它们两个是等于零的，那么就是 x 乘一减 m， 加上 y 乘一减二， z 等于零， x 乘负一加 y 乘一加 z 乘一等于零。用第一个式子减第二个式子就是一减 m 加一乘 x， y 和 y 消了，减去三倍的 z 等于零。 把负三 z 移向就是二减 m 乘以 x 等于三倍的 z， 这里我们可以直接令它成一个等式，令 x 等于三，令 z 等于二减 m。 所以法向量中 x 和 z 各自是三和二减 m， y 是 等于 x 减 z 的。 化简一下就是 m 加一 乘，法值等于一零零乘。下面这个那就是一乘三加零，除以它们各自的模，第一个的模就是一啊，可以省略不写。下面这个向量的模就是三个平方，九加上 m 加一的平方，加上二减 m， 括号的平方。 化简之后得到 m 为二分之一，也是对称轴的时候，这个式子里面是最小的，分母最小扩塞就越大，那么我们对应的塞值就是最小的。因此 b、 d 为二分之一的时候， m 角的正弦值最小。 第一小问，我们会在下一个视频去讲解几何法，现在我们着重讲第二问。在 a、 d 垂直于 c、 d 的 时候，那么中间这里有一个九十度，我们从这里低点为圆点去做墙角 再次设，而不求将 a、 d 的 长度设成 m， 所以 a 点的坐标就是 m 零零 p， a 是 垂直顶面的，所以 p 点的横坐标跟 a 一 样，也是 m， 但是它的 z 值的坐标为二，已知 a、 c 是 二，所以用勾股利米 c， d 的 长就是用根号下二得平方减去 m 的 平方，将 a， c， p 和 d c、 p 的 法向量各自设成 m 和 n， 先求法向量 m， m 和 a p， a、 c 各自相乘都是等于零的。以前教的十字相乘的那个简单方法在这里失效了，所以我们只能踏踏实实的去算。 第一个式子化简得 z 等于零，第二个式子把 z 等于零带进去，那么就只剩下 y 乘以根号下的四减 m 平方。 负 m x 移向变成正的 m x。 和上面一样的方法，逆 x 为根号下四减 m 的 平方，逆 y 等于 m， 这就是一个恒等式。现在很容易的就求出了向量 m， 然后我们再去求 d、 c、 p 的 反向量，如果可以的话，请大家自己暂停一下，自己计算。 两个法向量的扩增值就是二面角的扩增值，因此它等于根号下一减七分之四十二的平方。 法向量还有可能算出来是负的，所以我们要加一个绝对值，用它和它相乘，再除以根号下面他们各自的模。第一个等于四减 m 平方，加 m 平方，那就根号四， 后面计算。你在一步一步的画简就很简单了，将两边同时平方就是四加 m 平方分之四减 m 平方等于四十九分之七七分之一，那你在交叉相乘等于二十八减七 m 平方， 四加 m 平方乘一就是四加 m 平方。八 m 平方等于二八减四，二十四 m 平方就是三 m 等于正负根号三。因为我们这个原式中 m 是 正数，所以 m 最后只能为根号三。好，今天内容就到这里，我们下一期再见，记得点点关注！
214晔子老师 数学方法
11:36查看AI文稿AI文稿好同学，我们来用这个视频来讲解这个面面角啊，这第二种题型，也就是这个二零二四年的新考好一卷，以已知面面角，求其它，求其它的量。我们直接看题啊， 一个四棱锥， p a 垂直于底面啊，可以从 p a 这见这周，这周就好了，是不是 p a 等于 ac 等于二啊？ bc 等于一， ab 等于根号三。所以说我们把这个底下这个图形给它画出来，好吧， 底下这个图形，也就是 a、 c 等于二， bc 等于一， ab 等于杠三，所以说谁是直角啊？是不是这样是直角啊？对，给它画出来， 对吧？这是 a 啊，这是 b 啊，这是 c， a， a、 b 等于二。然后题就读完了，咱们直接看第一个， a、 d 垂直于 pb， 求证 a、 d 平行于 p、 b、 c。 那 怎么证呢？你是不是要证明线面平啊？证明线面平，我们就要通过证明线线平，是不是？那我这道题你要证 a、 d 平行这个 p、 b、 c， 我 们要从这个 p、 b、 c 里找一条线和 a、 d 平行，那显然我，我一下就看到了 b、 c 是 不是？ 是不是？我如果 a、 d 平行于 b、 c 呢？ a、 d 就 平行这个面了，对不对？那如果 a、 d 平行于 b、 c 呢？ a、 d 应该在哪啊？是不是在这啊？是不是， 对吧？那 a、 d 凭什么？凭什么平行于 bc 呢？是不是？是不是？你就应该想，如果 a、 d 平行于 bc 呢？有什么关系？你看这儿是九十度，你会发现，对不对？所以说如果 a、 d 平行于 bc， 那 这儿就是九十度，那如果说我们把这儿正出是九十度，我们是就就能正出来 a、 d 平行 bc 了，对不对？ 所以我们就要证 a、 d 垂直于 a、 b， 但是，但是恰好你看这道题给了你这么多垂直的关系，那就相当于我们要证出来 a、 d 垂直于 a、 b， 是， 我们就要证线线平，那证线面平，我们线线平，我们就应该想到什么要证线面平，是不是？ 那显然我们要证 a、 d 是 不是看上去垂直于 pa、 b， 这个面对不对？思路就一下就清晰了吗？因为 pa， 因为 pa 垂直于 底面， a、 b、 c、 d， 我 要尽可能地往这个咱们所所想要的 a、 d 上考，是不是所以说 pa 垂直于 a、 d 啊，对不对？所以 pa 垂直于 a、 d， 对 吧？然后又因为 a、 d 垂直于 p、 b， 对 吧？所以说 a、 d 垂直于什么平面啊？这块咱们要少多写一步， 因为你要正 a、 d 垂直于 p p、 a、 b。 最后我们还有一步是什么？是不是这两条你要两条垂直的线，你要相交啊，对不对？也就是 pa 交，又因为 pa 交 p、 b 等于 p， 所以 a、 d 垂直于平面儿， p a、 b， 对 不对？然后你是不是垂直这面儿？我们要想正 a、 d 垂直 a、 b 啊？所以说我们这儿又得写一步，又因为 a、 b， 它是什么？属于这个 p、 a、 b 的， 对不对？平面 p a、 b， 所以 a、 d 垂直于 ab， 对 吧？ a、 d 垂直 ab， 所以 角 d， a、 b 等于九十度，对不对？嗯，九十度，所以现在九十度，你这个九十度可以直接用吗？不可以直接用它，是因为它给了你这些边，它没有给你九十度，是不是？我们要用用一个勾股定律，因为 bc 方加 ab 方等于一，加三等于四，且 ac 方等于四，对不对？所以 bc 方加 ab 方等于 ac 方，这是一个完整的逆用勾股定律的那个过程啊，所以角三角形 abc 是 个九十度，是直角三角形， 角 a、 b、 c 等于九十度，九十度是不是？然后又因为啊，又因为角 a、 b、 c 加角 d， a、 b 等于什么？等于一百八十度，对不对？所以直接落到 a、 d 平行于 bc 就 好了， a、 d 平行于 bc， 然后又，然后你 a、 d 平行于 bc， 你 是不是要想证 a、 d 平行于 p bc 啊？所以说我们要说 bc， 它是属于这个 p bc 这个面的，是不是我们我们再加上这一个条件， bc， 它是属于一个 p， b、 c 这个面的一个 b， c， 它是属于 p、 b、 c， 且 b、 c 处于 p， b、 c， 所以 a、 d 呃， a、 d 平行于平面 p、 d、 c。 我 这块简写了啊，大家就不能简写啊， 不是过了，其实思路你清了，这过程就一一笔而下，咱们就写下来了，思路一定要有思路。好的，我们来看第二问啊，第二问就相当于告诉你这个正弦值，嗯，一个二米角的正弦值，然后你求一个变量，对不对？还告诉你一个条件， a、 d 垂直 dc。 好， 等我们还是把这个图像画出来 哦，这个图画出来也就是 a， b， a， b， b， c 啊， a， b 这样的算式， 对吧？这是个这样的算式，他说 a、 d 垂直于 d， c 啊，这是 a， 这是 b。 那 我现在问你，此时 a、 d 在 这此时三角形 a、 b、 c， d 是 个矩形对吗？ 对吗？他不是说告诉你 a、 d 除以 d、 c 了吗？对吧？肯定会有人这么想对不对？因为因为高考题他就这样诱惑你，是不是有可能他不是矩形啊，因为你相当于 a、 d 除以 d、 c， 我 还可以画出无数多种图形，图形呢？是不是此时这种也算 a、 d 除以 d c 啊？ 对吧？所以说咱们要换一个特殊的，对不对？换一个特殊的才能把这道题解出来。那他让你求 a、 c、 p、 d， 那 我现在问你这个题， a、 c、 p、 d 这几个坐标好表示吗？如果正弦值 通过这个求 ad， 那 是不是相当于我们把 ad 给它设为一个变量，然后带着这个变量算好不好？表示， 如果 a、 d 是 为 a 的 话，那 dc 是 不是也知道？因为这是垂直， ac 是 二，所以这应该是四减一方。说明如果带着 a 算的话， a 的 坐标好表示， d 的 坐标好表示， c 的 坐标好表示。 就差个什么？就差个 p 的 坐标，那 p 的 坐标其实也好表示，因为 p a 是 垂直于底面的，是不是？所以说 p 它只有横坐标和 z 坐标，对吧？所以 p 的 坐标也好表示，对不对？那所以说我们是不是可以直接去间隙啊？那间隙的话，你从哪间？咱们是不是第一步，咱们要从这个底面上找一个线线锤， 对不对？底面上找一个直角，那这个就是底面，你可以从 b 点见，也可以从 d 点见，对不对？对吧？那我觉得这道题应该从 d 点见，为什么？因为他第二问给你了， a、 d 除以 d、 c 啊，咱们说说正话啊，为什么非得从 d 点见，从 b 点见，为啥不行？因为你从 b 点见，你 d 的 坐标好写吗？ 你问自己，从 b 点间隙的话， d 的 坐标好表示吗？是不是不好表示，对不对？所以我们间隙也相当于是个难点，难点就是你该找到从哪间隙，所以我们要这么间隙，是不是建立如图所示，直角坐标系， 对吧？这是 s 轴，这是 y 轴，那这轴呢？我们是不是做一条线， dm 平行于 ap 就 好了，这就是这轴，对不对？然后在这里我给大家讲一下那个 s y 轴的顺序啊。首先你要先把 s y 找出来， 比如说这里是 x， x 和 y 是 逆时针转九十度，那该怎么找 y 呢？你就把这个 s 轴啊， 从逆时针转九十度就是 y， 这就是 y， 是 不是？这样就转九十度就到 y 了，对不对？如果 s 轴在这里，它逆时针转九十度， y 就 在这里，对不对？那我现在问你，如果这是 x， 这块是 x， 那 y 轴应该在哪？是不是由他逆时针转九十度啊？ y 轴是不是就在这里，对不对？这样， 那这这轴就是 s y 的 往上一一就是一延伸就好了。所以现在是不是坐标就非常好写了，对吧？ d 就是 零零零， a 呢？ a 是 a 零零啊， p 呢？啊？ c 呢？啊？ c 是？ 这不是垂直吗？零，根号下四减 a 方零， 这还差个屁屁，不就是零？呃， a 零 pa 长度是多少？是二 a 零二，是不是？这不就写出来了吗？对吧？现在咱们要求它的二面角的正弦值是不是也就 a c p d a c p d a c p c p d 啊？ a c p c p d， 那 怎么办呢？先把这个 a c p 先找出来吧，这个都在这 a 呢，有点难算啊。 a c 是 不是就是负 a 逗号根号下四减 a 方逗号零，然后 a p 是 多少？ a p 就是 零零二，显然它的反向量 n 是 不是与第三项无关？因为这前两项都是零，这与第三项，所以第三项是零，对吧？后面两项是不是我们说过换位置，然后给它其中一个加负号，也就是四减 a 方，然后换位置，换到这个负 a 的 位置，说负 a 换到四减 a， 四减 a 方的位置，然后给其中一个加符号，就给负 a 加符号就好了，是不是这个反 向量，对吧？ a c p d 是 这个，还有一个 c p d 呗。 c p d 啊，就咱们 c p d 好 写，因为 d 是 那个啥， d 是 圆心，对吧？所以 d c 就是 零根号下四减一方多少零？ d p 呢？ d p 是 不是就是 a 零二是不是也非常好写？是不是与这个中间这项无关啊？所以 n 二是不是就等于什么？零 是吗？这是零，这个呢？是不是 a 和二换位置二， a 给其中一个加括号， 就这个，他不说让你求这个正弦值吗？对不对？所以说咱们直接用 n 一 a 二加角，是不是只能求出余弦值？所以我们不如说把这个加角先给它表示为正弦值，也就七分之根号四十二，这是正弦值。那这个角对应的余弦值是什么？ 余弦值是不是对应的是七分之根号七啊，对不对？七分之根号七，说明咱们现在求这两个反向的加角，应该是七分之根号七，也就 cos n 一 啊。 n 二等于什么？等于分子是负二乘以就负二倍的根号减四减一方， 这就值，然后比上四减一方加一方，也就是四，然后乘以什么四加一方等于什么？等于七分之根号七，七分之根号七，不就是根号七分之一吗？ 嗯，你看这是根号四，是不是和这个二约掉了，对不对？对不对？所以说就相当于是根号下四减一方等于七分之一啊，根号七分之一， 那我是不是就能猜出来啊？是不是 a 方四加 a 方等于七就好了？四加 a 方等于七， a 方等于三，你看四减 a 方是不是正好等于一，所以 a 方等于三， a 等于正负根号三，显然 a 等于根号三，是不是？解决了？ 好了例题几何我就带大家来练这么多题，然后之前的题也发过，其实你把我讲的这些题你练出来，其实高考就应该没啥问题，因为如果高考考，把这个例题放在前几道基础答题的位置是最好拿分的， 最好拿分了就是你把气建出来，坐标表示出来就非常的好，但是那个二零二四年他就非常的坑。很多同学，我觉得很多同学在考场上是不是都认为这是个矩形 对不对？即使你没认出矩形来，然后很多同学我一想肯定在这 b 这间隙了，你可以去试试在 b 间隙表示地点的坐标， 你看难不难？所以给咱们的启示就是在高考的时候，咱们如果就是你进完系之后，发现有一个点的坐标非常的难表示，那咱们是不是可以换一种方法去解析？比如说在地点就那个难表示的坐标的那点去解析，对不对？ 好吧，好了，例题咱们就到这里，下一次我们出这个概率吧，嗯。
61王同学！
07:57查看AI文稿AI文稿零基础速通空间向量所有考点整体来说分为线面关系和面面关系。线面关系从平行垂直线面的夹角，当一个直线和一个平面内的任意一条直线平行，那么它就平行于这个平面。 当一条直线必须垂直于平面内的两条相交直线，他才可以垂直于这个平面。想想这是为什么？如果他只垂直于一条直线，为什么不能跟这个平面平行呢？ 要求线面的夹角可以过交点画一条虚线，此时这个角就是线面夹角，这条虚线可以在平面内任意的去画，但是必须保证他是锐角， 线面夹角不好直接求出来。为此我们借助向量画出垂直于阿尔法的法，向量设为 m， 此时这个角和线面夹角是互余的关系， 而当法向量的方向朝向下方，此时它们之间的夹角比线面夹角多了九十度。我们用一个详细的表格来分析， 当两个向量的夹角为这个角，它和 serta 加在一起是九十度，而下面这种情况，角阿尔法是等于 serta 加九十度的。 一个项 r 法就是等于九十度减三它，那括号 r 法就是括号九十减三它，即便偶不变符号，看项线，它就等于三三它。 而下面这种情况，括号 r 法是括号三幺它加九十度，最后化简是等于负三幺它的，因为它在第二项线了。 综合分析一下，扩塞尔法视为正数的时候，那塞塞尔塔就是等于它本身。而我们这个扩塞尔法 尔法是钝角，它算出来就等于一个负数，此时塞塞尔塔前面要加个符号，那就相当于塞塞尔塔是等于负扩，塞尔法负负则正，因此我们综合一下，塞塞尔塔永远都是取正数的， 就给阔萨尔法加上一个可爱的绝对值符号，这里注意和后面的二面角区分。 记住，法向量我们还可以证明面面平行，找到阿尔法和贝塔各自的法向量 m、 n， 证明他们两个互相平行就可以，那么举一反三，面面垂直，只要法向量互相垂直即可。 最后求二面角，二面角有锐角跟钝角两种情况。先认识二面角，在两个平面内各自找到垂直于交线的直线。 第一个图中这个角就是二面角，它是一个锐角。第二个图中同样的方法，但是这里的二面角是一个钝角， 我们以右侧这个图详细的说说怎么求二面角做出平面二法和贝塔的法向量。由于各自垂直， 这里就是九十度法向量之间的夹角，也就是这个角和要求的二面角是互补的。 所以求 m 和 n 的 扩散值就是扩散一百八十度。减去 serta 符号看象限，这个等于负扩散 serta， 所以 扩散 serta 就是 等于负扩散。两个发向量。 第一点这里要加符号，第二点，注意他没有改变名称，扩散还是扩散，跟线面夹角不同，一定不要和前面的混淆了。 当法向量 n 朝向下方，此时两个法向量之间的夹角和 serta 就是 相等的关系，所以两个法向量的扩增值就是等于扩增 serta。 看到这里有些同学就有点绕不清楚了，我们来整理一下，其实分两种情况，因为二面角为钝角，那么扩散下它就是等于一个负数， 因此它为正数的时候，要在前面添上一个负号， 就等于负扩散。而它是本身就算出来等于负数，那么扩散斯特就是等于扩散斯特，不需要填负号。 这是因为题目中的二面角本身就是一个钝角，所以扩散斯特一定要等于负数。 那如果二面角是锐角的时候，扩展塞塔就一定为正数，所以两个法向量的扩展值是正数，直接照抄就行，是负数，添上一个负号， 这样你就把它从负数转换成正数了。而二面角，按我们刚刚前面的类型，是一个钝角的时候，它的扩展值一定是负， 那么你算出来原本就是一个负数，直接就让它令它相等。如果是一个正数，填上一个负号，锐角永远为正，钝角永远为负， 这是可以通过图形中观察出来的。再强调一遍，它和线面夹角不同，线面夹角是 c 等于小于直角的绝对值。 第一小问，由于 a 一 垂直于底面， 底面的 a、 b 和 a、 d 又互相垂直，以 a 为圆点建立坐标系，把 x 轴的 y 轴放成一个平面图形， 列出 a、 b、 c、 d 的 坐标下面假角的针线值，就把向量 c、 e 和向量 b、 d、 e 的 法向量求出来，之间以法向量假角为 r 法，那线面的假角乘三，它就是等于可乘 r 法的绝对值。 最后一问，再列出平面 b、 d、 f 的 法向量。二面角的余弦值有法向量的扩森值，算出来之后，再看正 负图中 b、 d、 e 和 b、 d、 f 这两个平面之间加在一起的这个夹角特别像一个锐角， 所以算出来的结果也应该是正数。其实这地方我们不打绝对值也是 ok 的， 只不过 咱们已经肯定了，最后算出来是正数，打一个绝对值总是没有错的。如果你觉得这个二面角是个钝角的话，最后你得到的结果要在前面再加一个负号， 锐角取正，钝角取负。好，今天的内容就到这里，我们下一期再见，记得点点关注。
07:02查看AI文稿AI文稿一个超好理解的方法，带你直接拿下理解几何压轴的二面角问题，当别人还在辛辛苦苦间隙计算的时候，你已经十秒钟把这个题拿下了。三号猫独家总结的办法，一、垂面，二垂直，三连接。核心就是这个一垂面， 直接找一个平面的垂面，在里面做垂直即可。因为二面角是有两个面的，我找一个平面的垂面，在这个垂面里面做一个垂直。好，直接看题，实操一下，保证让你轻轻松松拿下一体几何的二面角压轴体。 看第一题，哎，让求这个二面角 b 杠 f c 一 杠 c 的 余弦值观察一下里面两个平面 b f c 一 以及 f c c， 呃，这个 f c 一 在这是交线，另外两个顶点 b 和 c 分 别在这里。 好，一平面儿，我们先找其中一个平面儿的平面儿，那比如说第一个平面儿，呃，这个二面角的 f c b 它的平面儿，哎，能找到吗？ 不能呀，因为它是这个往后仰的，它这个平面儿不好找嘞。那另外一个是哪个平面呢？哦， f c c e 它的平面儿，哦，太好找了呀！因为题目告诉你了， c c e 是 一个定海神针，是一个垂线，它是不是垂直底面儿呀？ 哎，那这个平面蓝色的平面就和底面垂直了，那所以我就找底面这个垂面。好，第一步，垂面已经找到了，那咱刚刚说了，找一个平面的垂面在里面做垂直，那就在这个垂面 fcb 中做垂直。 过谁做垂直呀？过我的这个二面角的顶点 b 往谁呀？只能往 f c 做垂直了呀。因为 f c b 是 个等边三角形，所以做完垂直之后，哎，这个垂线段，它的垂足肯定落在 f c 的 终点 q 上，那 q b 就 来喽， 最关键的第一步已经完成了，二垂直三连接，意思就是二垂直呀！第二步，我只需要过这个 q 往交线，也就是二面角的这个交线做垂线啊，这么一做，好，假如落在这里，我记为一个 t 三连接连接这个 t b， 哎，漂亮！ 各位小小猫前方高能一句，我要告诉你，这个角 q tb 这个 c t 就是 我要求的二面角了，请把六六六扣在弹幕里。 好，这个截得到流程我也放在这里了，大家可以直接看。那最后我只要求这个 qtb 的 余限制就完事了， 因为 qb 啊，它垂直于 f c 了，我们做的，并且 qb 还垂直于 c c 一， 那么 qb 是 不是就垂直整个平面了？那所以其实这个红色的三角形是个直角三角形哎，角 tqb 是 直角，那么 cos 角 qtb 哎， 就是 q t 除以 q b 了。而根据平面几何的知识，咱很轻松的算出来，等边三角形 i q b 是 根号三，这边等腰直角三角形 q t 是 斜边，这个 f q 再除以根号二，那么就是二分之根，从而非常轻松的算出来。勾股定律，勾一下 i t b 就是 二分之根十四，那 q t 除以 q b， 我 家毛都会散，不就是根七分之一，七分之根七吗？请把 nice 扣在弹幕里！一，水面二垂直三连接，牢记 这个口诀啊，几乎可以把所有的几何法求二面角全部拿下！因为几何法求二面角也是今年高考的一个热点，所以各位同学们呀，不要再老老实实见戏了，赶紧想想几何法是不是也非常快呀， 能拿到满分的证明。过程我也写在这里了，好，拿下系统课，接着再用刚刚的方法来试几道题，因为三花猫说了，它是一个万能的方法，几乎这种二面角的几何法都能用。入座时看第二题，让求二面角 p 杠 b m 杠 d ok， 交线 bm， 两个平面分别是 pbm 和 dbm。 那 第一步找垂面，哎，你说哪个平面的垂面好找啊？很明显，是不是这个底面 dbm 的 垂面，它的垂面就是谁呀？就这个 abd 了，因为题目告诉你了，哎， abd 和 bcd 是 垂直的，第一步就完成了， 那接下来开始操作流程，咱只需要在平面这个 a b d 中做垂线，因为咱的顶点是 p， 所以 应该是过点 p 做垂线，哎，平面 a b d 只有一个 b d 啊，那就往这个 b d 做垂线呗。啊，这一坐舒服了， 好，先给他接一个 q 吧。接着二，垂直做交线的垂线，做 b m 的 垂线，过 q， 哎，那我就做一个 q 大 或者 q t， 哎，垂直 b m。 最后一步，三，连接连接 t p 好， 那么这个二面角很明显就是角 p t q 了。 那最后这一球 tan 的 角 p t q， 也就是 tan 的 c t， 它在这个直角三角形 p q t 中，它不就等于哎 p q 除以 t q 吗？ 那剩下你只要算这两个边上是不是就好了？这我家猫都会算的，自己用这个平面几何知识算一下哈。那最后算完之后，哎，上面是一个二分之根号三，这个 p q， 而 t q 呢，就是一个十四分之三倍根号十一， 那答案五就是三分之根号七。我嘞个骚杠嘞， nice， 请把六六六扣在 w 那既然是万能的，再看一道二零二一年全国卷的一个真题，重点翻一下这句话，二面角 e 杠 bc 杠 d 的 大小，能不能找出来呀？ 哎，刚刚我们说 e 垂面，先找垂面，交线是这个 bc， 那 么有两个面了，一个就是 ebc 啊， ebc 它的垂面不好找呀，这个面是斜的，另外一个是 dbc， 哎，这个面好找， dbc 是 下面这个面，哪个和它垂直呢？题目说了 a b d 和它垂直， 那 abd 和 bc 的 垂直 abd 就是 这个垂面的呀，第一步启动，找完了， ok， 核心在里面做垂直，在这个平面 abd 中，我做一个啊，因为顶点是 e， 那 只能做这个 eq 垂坠 bd 了。 接着二垂直，哎，我们是不是要做这个 q 与交线垂直了呀？所以做一个 qt 垂坠 bc 三连接，直接连接这个 t 和 e， nice， 小 子看好了，这一笔会很帅！连接 t e， 那 么这个二面角就是角 e t q， 题目说了是四十五度，所以这个就是四十五度了，那么这个 e q t 就是 一个等腰直了呀，一比一比根儿 nice！ 翻一晚了，那这个题就迎刃而解了，接下来这些东西都非常的好求，这道题呢，也输入在我的必修系统课中啊，这个方法呢？再比如题的方法以及这个二面角的绝招，都在必修系统课中讲过的。 藏猫讲数学，用最通俗易懂的语言，拿下最难的数学题，带你上大分！最后呢，这个二面角也给大家留了一个小作业，可以做一下，把答案扣在评论区， 需要更多练习题的，在我的 b c r 系统课中，以及更多的方法讲解整个 b、 c、 r 的 系统讲解。
718三花猫讲数学
09:02查看AI文稿AI文稿同学们好，我是教中职数学的曾老师，这个视频呢，我来讲一下二零二三年的这个立体几何的大题来，我们看到题目已知四棱锥啊， p a， b， c， d 这个图在这下面啊，四边形 a， b， c， d 为这个矩形啊， 这矩形的话，那么它四个角都是直角，而且呢，它还会是一个平行四边形嘛，啊，还有对边平行且相等啊，然后呢， e 呢？为这个 pa 的 中点啊，那么 pe 呢，就会等于这个 a e 了啊。第一问，那你证明这个直线 p c 平行于这个平面呢？ e， b， d， 那么你要证明这个线面平行啊，我们的思路是转换到这个线线平行上去吗？啊，根据这个直线与平面平行的这个判定定律啊，我们要找到平面 e， b， d 上一条直线与 p c 啊平行， 那么看到这个位置哈，看到这两个啊， p c 呢？在这里， e， b， d 在 这里啊，我们来看一下啊，怎么找到这个平面上的直线与这个 p c 平行， 这里这三个边啊啊， b， e 和这个 e d 还有这个 b， d 呢，明显不可能跟我们 p c 这个平行了吗？啊，那么这时候呢，我们肯定要构造这个啊，辅助线了 啊，那么这个辅助线怎么去找啊，你看到这个点 e 是 不是中点啊，那么这里面我们应该要再找到一个中点， 那么想要这里啊， b， e 呢？还有这个 e d 是 不可能的嘛，你找他们终点，你连接的话，怎么可能啊，与这个 pc 平行啊，那么这里只能找到这个 b d 的 终点了，假设是 f， 那 么就连接这个 e f 啊，这个 e f 会不会跟那个 pc 平行呢啊，这里我们来看一下，哎，再连接这个 a c 啊，这个 a c 肯定也会经过这个 f 嘛，啊， 看到在这个三角形啊 p a c 中，你看 p a 的 中点是不是这个点 e a c 的 中点呢，是这个 f， 那 么我们可以由这个啊中位线定律呢去证明这个啊， p c 呢会平行 e f 啊，那么这个 e f 呢，就是我们这个目标了嘛，那么第一问就已经啊分析差不多了，我们来写一下啊，第一问呢啊，证明 啊，这里我们构造了辅助线啊，这时候呢，我们把这些点还有连接线啊，先说明一下啊，这个啊，连接这个 a c 啊，这个中点 f 就 在这里嘛，啊，是 a c 与 b d 的 中点啊，取这个 a c 与 b d 的 中点 啊，为 f 连接这个啊， e f， 那 么这里啊，辅助线就构造好了啊，那么这里用中位线定理啊，在这个三角形 p a c 中呢点 e 和 f 呢，分别为 pa 和 a c 的 中点，由这个中位线定里得呢， 这个 p c 呢，就会平行这个 e f 啊，那么这时候呢，哎，我们找到这直线了是吧，那么就要用这个线面平行的这个判定定律啊，我们呢啊，因为这个 e f 呢，在这个平面 e b d 上，而我们这个 p c 啊，不在这个平面 e b d 上，所以呢， p c 啊，会平行这个平面 e b d 啊，第一位呢，就是这样子啊，这里我们要学习一下怎么找这个这个辅助线啊， 这里呢，如果我们无法在这个平面上一眼看到这个平行线的话，我们这个辅助线呢，就需要去盯着这个中点啊，中点，你这个中点的位置很重要啊， 假如你找到另外一个中点，那么此时中位线定力是我们常考的一个啊，一个方法啊，找这个平行线吗？啊，那么这道题呢，就迎刃而解了哈， 接着我们看到第二位，我们把这个图呢这边擦一下，看到这个第二位呢，若这个 pa 呢，是垂直啊，整个这个底面 a， b， c， d 的 啊， 那么这个 pa 就 会垂直这个平面上任意一条直线了嘛，且呢 pa 等于两倍的 ab， 那 题杠上呢，我们已经说了，这个点 e 是 中点嘛，那么 pe 等于这个 a， e 是 吧，现在又是这个 pa 等于两倍的 ab， 那 么这三条边啊， 加上这个 ab， 这三个边啊，都是相等的了，让你求这个二面角啊一一，然后是 b、 c， d 啊，那么是这两个啊，半平面的一个二面角，要求一下啊，那么我们要在这两个啊半平面内呢找各找到一个直线啊，与这个 b、 c 垂直，而且呢，他们要相交于同一个点啊啊， 既然底面是一个矩形，那么这个 d、 d 啊，是不是会垂直这个 bc 啊？ d d 垂直这个 bc， 那么这个 c、 d 呢，就是下面这个半平面的吗？这是找到一个啊，那么上面这个半平面啊， e， b， c 这里面呢，怎么找到这个直线呢，与这个 b、 c 垂直啊。看到，既然我题目给了这个 pa 是 垂直整个底面的， 那么我 pa 是 不是啊，会垂直这个 bc 啊，加上这个 a、 b 是 不是也会垂直 bc， a， b 也会垂直 bc， 那 么根据这两个点呢，我们可以证明啊， bc 是 垂直这个平面啊， p、 a、 b 的 嘛，这里面，哎，有没有一条直线，你看到没有，这个 b e 是 不是就是上面这个半平面上一条直线 啊，那么这里可以进一步证明啊，那么这样子我们就找到了啊，一个是 b e， 一个是 c d 啊，但是呢，你看到啊，这两个啊，它们与这个 bc 的 交点呢？在这啊，一个是这 啊，一个是这啊，不是一个啊，不是一个公共点的啊，那么这时候呢，我们就要把这个平移一下嘛，啊，你这里呢啊，平移这个 c d 更合适嘛啊？把这个 c d 呢，你看到是矩形的话，那么这个 c d 是 不是会平行这个 ab 啊？ 啊？ cd 平行 ab， 那 么啊，此时呢，哎，他们不就在一个这个公共点上了吗？ b e 在 这，那么这个二面角的一个平面角呢，就是这个叫 abe 了吗？好了，第二问就分析好了吗？接着我们来写一下啊，把这个这上面的擦一下啊，我们看一下，写一下第二问，怎么写这个过程。 第二问呢，我们可以先证明这个 bc 呢，垂直这个 b e 啊，这里我们写一下啊，因为这个 pa 呢，垂直平面 abcd 啊，又这个 bc 在 这个平面上， 那么 pa 就 会垂直这个 bc 嘛，然后因为这个四边形呢， abcd 啊，是矩形 啊，那么这里我们可以提两个，因为下一个这个半平面呢，我们要提到这个 c d 也垂直 bc 嘛，还有这个 ab 是 不是这里面 ab 我 们本来就要提的啊，那么 ab 呢，就会垂直 bc， 还有一个是 c d 也会垂直 bc 啊，这两个提一下，然后呢，因为这个 pa 还有这个 ab 啊，都是这个平面 pa 上的嘛，点呢，它们是相交直线啊， 相加一点 a， 所以 这里面证明了这个 b c 垂直这个啊，平面这个 p a b 啊，然后这里再提一个啊，我们要证明这个 b e 嘛，啊，然后呢，因为这个 b e 啊，就在我们这个平面上，在这个平面 p a b 上， 所以呢，这里面呢啊， bc 就 会垂直这个 b e 了，接着呢，我们要把这个下面这个半平面啊，这个 c d 不是 垂直这个啊， bc 啊，相交于点 c 吗？啊，我们要把它平移过来啊，啊，这里平移到这个平行线呢，是 ab 啊，然后写一下已知呢， 这个 ab 是 平行且等于这个 cd 的 嘛，所以这里我们可以说这个 ab 是 平行且等于这个 cd 的 嘛，所以呢，角 a b e 呢？是这个二面角 e， b c d 的 啊，这个一个平面角，那么这个二面角的大小到底是多少呢？我们一开始也说过啊，这个三个线段嘛啊， p e 还有这个 a e， 还有这个 ab， 是 不是三个都是啊，相等的嘛，那么这里 a e 是 等于这个 ab 的 嘛啊， 而且呢 pa 不是 垂直整个底面吗？那不也会垂直这个 ab 吗？啊，所以呢，这里面一个直角加上啊两个直角边是相等的， 那么哎，这个角 a b e 那 就只能等于四十五度了吗？那么接下来写一下啊，我把这里啊擦掉，我们来写一下。接下来怎么写啊？ 其实我们在前面证明这个 pa 垂直这个 bc 的 时候呢啊，我们可以顺带证明这个垂直 ab 啊，嗯，但是呢，你你写的时候如果说来不及这个返回去你也想不到的话，那么就在这下面继续写啊，这里也可以写啊， e 正， 你可以很简单的证明到嘛一阵这里面呢啊， p a 呢，也指这个啊， a b 即呢角这个啊 b a e 等于九十度嘛。 又这个 p a 等于二 a b， 且呢点 e 为这个啊， p a 的 中点。所以啊，这里面我们可以得到啊， a e 是 等于 ab 的 嘛。最后呢，我们就可以下结论了嘛，所以呢角这个 a b e 啊，就等于这个四十五度了。
88中职数学曾老师
02:47查看AI文稿AI文稿这是杭州学军中学最近考试的一道关于外接球的题，用这个公式可以做出，而且我相信很多人都见过这个公式。记住一个公式不是我的目的，更重要的是能够推导出来。 假设一个球有两个圆结面，并且这两个圆结面相交于线段 ab， o 一 o 二分别为圆心， m 为线段 ab 的 中点。过 o 一 o 二分别做垂直于圆面的两条直线相交于点 o， 这个点 o 就是 球心。再连接 o 一 m o r m， 得到一个四边形。根据球和圆的对称性可知这四点共面，再画出这个四边形的两条对角线。假设线段 ab 的 长度为 l 角， o e m o r 等于阿尔法 o e m 的 长度即为 m o r， m 的 长度即为 n。 在 三角形 o e m o r 中，根据余弦定理，很容易得到 o e o r 的 平方等于这个。 又因为四边形 o o 一 m o 二，它是由共斜边的两个直角三角形组合而成，所以这四个点共圆，圆心就为 o m 的 中点。也就是说， o m 为这个四边形外接圆的直径。 很显然，三角形 o 一 m o 二，它的外接圆的直径就是 o m。 根据正弦定律， o 一 o 二比上三阿法等于两倍的 r y， 也就是等于 o m， 所以 o m 的 平方和 o 一 o 二的平方就联系起来了。最后再连接 o b， o 是 球心， b 是 球面上的点，所以 o b 的 长度就等于 r。 又因为 ab 垂直于这个四边形所在的平面， 所以 ab 垂直于 o m， 因此三角形 o m b 为直角三角形。根据勾股定律， o b 的 平方等于 o m 的 平方加 m b 的 平方， 所以最后就有了这个公式，这个公式被称为单交线双距离异夹角公式。 单交线是指这两个圆所交的线段，双距离指两个圆的圆心到这条线段的距离。一夹角是指这两个圆所在的平面对着球心的这个角， 而这两个圆就是外接圆。掌握了这个公式的来龙去脉之后，再做这个题是不是就非常简单了呢。
51浙大段誉数学
12:40查看AI文稿AI文稿很多同学都被这道立体几何的题所难住，那么今天我们来看一下这道题到底难在哪？对于这道题而言的话，第一问的话，主要考察的是立体几何和解三角形的一些综合的应用，也就是说在立体几何里边呢，我们要时常把立体的图形平面化，在某些三角形在这个平面区域里去处理问题。那时常我们要关注就是余弦定律 五公里这样的东西呗。那第一问呢，主要是计算量比较大，做了一些翻折，所以我们要考虑不同的平面，它难点在这。而第二问的话，是一个动点的问题，或者叫不定点的问题吧，就这个 m 点的位置是不确定的。那之前我们也总做这种题啊，就 m 点在某一个线段上去运动啊，或者说它这个线段上，但具体的点不知道。 一般来说呢，就用最常规的方法去设一下 m 点的这个呃向量即可，比如说 m 点在 pc 上，那你可以设 pm 等于 number 的 倍的 pc， 或者 cm 等于 number 的 倍的 c p 都可以啊，那这道题也是一样的。然后通过这样的东西呢，按照题里给这个点乘等于 三的这样的一个式子，去把 m 的 刚才我们说的设的那个 number 求出来，那最终解这个东西就是一个常规方法了。好了，我们一起来揭秘一下这道题到底哪儿比较难， 来我们通读一下这道题啊，题底给出了 a d 是 平行于 b c 的 啊，我们看下底面是一个平行，也用到了最近比较常见的一个折叠的问题啊，它做了一个折叠，那我预测这次高考的立体几何呢？有可能，很有可能也出一个折叠的问题， 那他又给出了这个角 b， a、 d 等于四十五度，那你看，四十五度肯定不能白给你啊，基本上给你四十五度呢，就要给你一个等腰直角三角形，又给了 a b 等于二， b 杠二。你看这个数据， 这个数据就是一个非常大的指向性，给了你二倍根号二，给了这有个四十五度，很明显的就想给你什么二二二倍根号这样东西嘛，就给了我们 b c 等于一， a d 等于七啊，整个 a d， 这是七 h， 点 满足 a h 等于七分之二倍的 a d， 那 也就是说 a、 h 是 它的七分之二呗。那你看，这就是二啊，这有个四十五度，然后这边有二，这个二倍根号二。你先来个余弦定律呗，就先于弦后后勾股，对吧？是这种题的一个基本想法，先用余弦定律，通过 a h 的 二， ab 的 二倍根号二角 a 的 四十五度求出 b h 等于二，通过 b h 等于二，我们去推 a h 的 平方加 b h 的 平方等于 ab 的 平方，进而推出角 a、 h， b 是 九十度。 这是一个非常常见非常套路性的东西啊，我们稍微简单写一下啊，因为过程太多了， a h 得二， ab 等于二倍根号二，然后再来个角 a 等于四十五度，先推 b h 等于二，进而 b、 h 是 垂直于 ad 的， 先于后勾 区间里加勾五里，这样就推出一个垂直嘛，对吧？这个数据给的其实非常明显，虽然题目里给的条件很多啊，就会有点乱，但是这个条件会特别的明显，数据也会特别的显著啊。我们继续看，他说将这个 uh b 沿着 b h 翻折至 p h b 一 翻折，翻折之后我们要记住啊，我说这个可能可能会考翻折的问题， 大家只要记住在折痕的两侧的相对关系是不变的，那折痕左侧和折痕右侧的这个位置关系可能会发生变化，就单独每一侧不变，然后对应的可能会有一些变化。那其实给出 p c 等于三，给出这样一个数据， p c 等于等于三， e 呢，是它的一个终点，然后 m 是 p c 上一点，这呢 m 正 p d 垂直 phc， 那 你看这个里边，这个 m 点在第一份可能就没有用，因为你看 跟 m 有 关的都在这边，然后一点呢，大概率上也没有用，对吧？你碰到一点终点的时候，你脑子里第一个想法就是他有没有可能是一个做平行的时候，他给你的终点，你去连另外一个终点，或者做垂直的时候，可能有没有可能是一个等腰，等腰里出现了一个底边终点，对吧？这样的东西。那这个题你看 c d 跟 p h c 就 跟这就没有关系。如果可以的话，在考场上我建议大家可以重新画一个图，将没有关系的线，或者你可能想思考一些问问题的时候， 一个图像会限制你的思考，有些东西会限制你，所以你如果没有用的，你确定没有用的，你把它删掉，重新画一个图，让你的思维更简洁一些。那你看，我们要正 c d 垂直于平面， p h c 我 们倒推啊，我们就推的时候一定是倒推，我想正 c d 垂直于 面， p h c 就 一定是想证 c h 垂直于 p h c 面里的两条相交直线对不对？一定是 c d 垂直于某根线， c d 垂直于某根线，那么你要去找到底哪根线呢？首先你看 p h c 里一共有多少根线，对吧？然后再看都有哪些线跟条件紧密相连，它是有关系的， 你说这根线它一点条件都没有，你说你怎么用它，你根本就用不了。先尽量找那些有关系的，然后大胆的去假设，去试探。你看 c d 和 p h c， 目前 p h c 里边有四根线， p h c 和 pc 以及 h m h m 明显就是没有用的嘛，对吧？这个 m 在 哪都不知道，你用怎么用，用不了。 然后你这种相交的一般是会用的，就 c d 和 uh c h 的 垂直一般是要有的，因为这个共面的垂直是好正的呀。所以我先假设有个 c h， 然后另外就是 pc 和这个 p h 了，目前看起来都有可能因为 pc 给了我们一个长度， c 长度也没给，对吧？你如果能求出 cd 和 p d， 那 可能勾股就完事了。你换换个思路，倒着想就是 cd 如果垂直于平面的话，就一定垂直于平面里的所有直线，它让你正垂直就一定垂直，也就是说 cd 跟 p h。 呃， h c h m pc 的 垂直一定是成立的，只不过条件有没有而已， 也没有多瞎写，他就有可能是 p c， 对 吧？当然也有可能是 p h， 因为这道题 p h 是 一个什么折过来的东西，它的长度也是一直的，它是一个什么是一个二，这个位置我就有点不确定，那你就边做边看，这可能是 p h e 或是 p c 啊，这两个东西都有可能，就我们做试探，咱们一家人来正吧， 先正一下，我们先往下推一推吧。刚才我是不是推出了一个直角啊？推完直角以后还能推出这个啊？梯梯给这个平行 a、 d 和 c、 d 的 平行。如果我 b h 垂直于 a、 d 的 话，那 b、 h 是 不是也垂直于 b、 c 呀？ b h 垂直于 b、 c 的 话，那我在这个 b、 c、 h 这个三角形里边，是不是可以求出 h、 c 的 长度来？我接着蓝色这个往后写啊，这是我们的猜想，那 r、 t 三角形 b、 h、 c， 我 就可以推出 h、 c 的 长度。 b h 刚才我们推出等于二，这是二，那这是二，然后那个是一呢？ h c 就 应该等于根号五。 考试的时候你要把过程完善一下，我们现在再理思路， h c 等于根号五以后，那么你看 h c 和这个 h、 d 还有 c、 d 这个位置会形成一个三角形，而且我其实知道是直角三角形，所以我们要想办法把这个位置去处理一下。 h、 d 的 长度是五， 那么在三角形，我们把这条，把这个图形拿出来啊。 h、 b、 c、 d 这个这个图形给拿出来，这是一个一，这是一个二，这是 b， 这是 c， 然后这边是一个五，这是 h， 这是 d， 这样的一个关系。平面画一下，那你看对于它而言，这个角，这个角，这是根号五， 这个角的正弦与弦是不是都是已知的？好，来正弦吧，它的正弦是不是一比根号五，它的正弦如果是一比根号五的话，这边是垂直嘛，对吧？ h b、 h 和 hd 是 垂直的，那这个角的余弦是不是也是一比根号五？五分之根号五，对吧？那这个角的余弦我们知道，这个角余弦知道以后， h c 和 h d 的 长度我们知道 c d 的 长度是不是就可求了？ 还是跟刚才一样，一个余加一个勾？先利用 r t 三角形 h b c 求一个角 b c 的 正弦， 然后互余的角是 c h d， 那 就进而得出了 c h d 的 余弦，对吧？互余的两个角，它的塞等它的口嘛，那就知道 cosine 是 五分之根号五。 那通过余弦定理是不是就可以把哎 cd 求出来？ cd 的 平方等于 h c 的 平方加 h d 的 平方，这个减去二倍的 h c 乘 h d 乘以。呃， cosine 它嘛，把 cd 求出来，那 cd 如果求出来以后，那这个位置 是不是就可以勾股定律了？三边已知就勾股呗，那勾股的话就把这个直角就挣出来了。这么个节奏啊，我们大概理一下思路，呃，用 rt 三角形 hbc 中求出塞引角 bhc 等于口塞引角 chd。 然后在三角形 hcd 中先来个余弦去求出 cd 的 长，再来个勾股去正出 hc， 垂直 cd， hcd 都行。垂直 cd 这条路径是不是已经走通了？那这条路径如果走通了的话，那 cd 的 长度相当于已经 求出来了，那其实 c 的 长度求出来的时候，我们其实第一个想法是往哪走啊？往 p c 上走， p d 这个长度我们是目前是没法求的，对不对？ p d 没法求，你想要想要求 p d 的 话，你得正 p h 垂直底面，这样的话， p h d 这个位置是个直角三角形才能求 p d， 但如果能正出 p h 垂直底面的话，那么 p h 就 垂直于 c d 了。 所以说这个地方我们应该就不用再去求跟 p c 有 关的这个东西了，所以我们可以看出来，这个位置应该大概率上就是正 p h。 我 如果能正出 p h 垂直于底面 a、 d、 c、 d， 这就可以了， 看看怎么正 p h 垂直于底面 a、 b、 c、 d 来。刚才我们正出了 h c 的 根号五来看，三角形 p h c 里边，三角形 p h c 里边的话， p h 等于二， h c 的 根号五 p c 呢？提提给了三二的平方加，根号五平方加 等于三的平方嘛。所以直接三角形 e、 h c 直接勾股就可以了， p h 的 平方加上 h c 的 平方等于 p c 的 平方。好了，勾股搞定，接而证出 p h 垂直 h c。 一 条线结束，那再来一条线就可以成线面了呗。那再来一条线的话，我们的 a h 是 垂直于 h b 的， 这是我们刚才证出来的。 那么 a h 如果垂直 h b 的 话， p h 是 不是也就垂直于 h b 了？因为它是一个翻折过来的，在它原来这个图形的相对关系肯定不变呢。那 p h 垂直 h b 也正出来了，它俩放在一起，是不是正出了？ p h 垂直于整个底面 a、 b、 c、 d， 进而正出 p h 垂直 c d。 两天都够了，这条件也出来了，那也就最终我们的 c d 垂直 c d 就 够了。那我们来看综合去看这道题啊，对这道题而言，你看第一问里边儿真的考了。你看第一问里边儿，你想一想， 我们在去年全国一卷和全国二卷的时候，都考了三角函数，我们知道三角和数列一直有个二者，就是二选一的，这样的一个一个选择吗？大概率上啊，大概二选一的一个选择。那如果上一年已经考察完了 三角的相关内容，那第二年是不可能对三角内容就要弱一点，就大概率会考察数列的内容，对吧？当然我们说大概率不能说百分之百啊，尤其是二卷的话，如果考三角可能会考九三角， 那么就不考了，就不可能在大体里再出现就是 a 型 a 位的三角 m 加 f 那 个东西了。那如果说三角我还想出点题怎么办呢？我可不可以就给他放到立体几何里边， 在里边多考一些余弦，定正弦，定一些，推一些倒角推角的一些东西，甚至在立体几何里给你加点什么中线、角纹线，让你用三角的东西去处理也不是不可能啊。也可以啊，把这个题更丰富一点，所以说这个要重点去看一下，我觉得它还是 很重要的啊，还是很重要的。好了，这是第一问，其实这道题第一问比较比第二问要难啊，第二问还好，第二问其实主要就是算数就可以了，慢慢算就行了。所以第二问我们简单的一说啊，立体几何还要注意一个点是什么呀？字要小点写啊， 过程可能会比较多，计算量可能会比较大，所以说计算务必要认真，因为数学呢，是按照你的进程给分的，就是你算到一个什么样的数值能给你一个 这样的分数，而不是说你写出公式就给你个分数，如果你第一个数就算错了，好了，不好意思，那后边跟这个数有关的所有数据你都算错了，那么所有的分你都没有了，公式写的再对，套路用的再六都没有用啊。来看第二个说，让我们求一下 b b m 的 正弦值，我们只要能表示点坐标，后面带公式就不说了，是吧？来看一下吧。 如果想去表示点坐标，就先要间隙嘛，就要先正三垂直嘛，那我们已经证出了 p h 垂直于底面了是吧？然后 b h 又跟 a、 d 是 垂直的，所以我一定是以 h 点为坐标原点， h b 向量， h d 向量和 hp 向量分别是 x、 y、 z 轴，肯定这样间隙的嘛，间隙非常的明确，这道题间隙基本上没有太多的 考虑的部分，你就往这建就行了，对吧？你不要拿 h a 和 h b 去建，因为你主要表达表达点在哪啊？对不对？在右侧，你尽量希望我们需要的点在轴上，不在轴上就希望它是正的，这样减少自己一些计算上的一些失误，把这个细建完以后在这建。那你看这几个点啊，一点坐标能表示吧。当然了，一是终点嘛，一点坐标肯定是能表示的， h 点坐标呢？ h 在 哪？坐标原点呢？太行了， b 点坐标呢？在 x 轴上也太好了，那唯一的一个点坐标就是什么 m 的 不好表示，我们只要能把 m 的 坐标表示出来，那后边就一马平川了，对不对？就都简单了。那 m 点的话，在 pc 上我之前说的这个不定点的一个非常非常非常 标准的设法，就是设 cm 向量，等于咱们的被的 cp 向量，因为 c 和 p 的 坐标都能表示，那最终我的 m 坐标一定能解得出来。那最终我的 m 坐标一定能解得出来。 这个位置我们怎么去表示 b m 和 c e 呢？你看 c e 坐标是很好表示的，对吧？ c e 一定是一个完全已知好表示的坐标，然后 b m 坐标呢？不要用它，用它去拆，直接拆 m 坐标的那个栏目的啊，用那个向量的加法，我们的 b m 向量，你用 b c 加 c m 去表示 bcbc 也太好了，你看一眼就看出来了，对吧？零一零嘛，加上 cm 这个带蓝的这个式子，把它就整体这个东西就表示出来了，然后再利用题的给的 bm 乘以 c e 等于三，进而去求解蓝的坐标，对吧？那蓝的就求出来了，蓝的如果能求得出来的话，后边不就都结束了吗？求二面角的正弦值， 那就先把这两个面的法向量一求，对吧？求完法向量以后，然后点成比模，成点成比模成，求的是两个向量的夹角的余弦值。那这个位置我多说一句啊， 对于二面角而言的话，二面角而言，它的乘角可能是锐角，也可能是钝角，我们在求点乘比魔乘的时候，求的是向量的乘角， 那那点乘比魔乘之后，得到的可能是正的，可能是负的，那这两个东西完正或者负都不一定代表这个二面角啊，它的二面角要么是相等的，要么是这个互补的一个关系。所以说一般来说，我们需要去观察观察这个二面角到底是锐角还是钝角啊？他也没有告诉你有没有那个能通过图像去看出来是钝还是锐， 如果是锐角就达那个正数，如果是钝角达那个负数。当然这时候我们说都是什么值啊？都是余弦值，但是呢，我们一般的情况下又怕你这个有误解，怕你这个钝角或者锐角看错了。那你看他会给你个什么样的形式呢？他把余弦给你改成正弦，对吧？那也就说这个地方不管你求的是正的还是负的，你就改成正弦的时候，是不是一定都是正的呀？因为留到一百八十度，它正弦值都是正的。 对，这个题第二问还是相对比较常规啊。而且第一问随时都正，正好的情况下间隙一点都不复杂，只是有一个小小的动点问题。啊，我觉得这个题还是相对比较常规的，一问结合三角有点难，第二问很常规，非常好，同学一定要加紧的去练一下这道题。
94轻松数学
04:05查看AI文稿AI文稿好的，我们来看一下，求二米角范围最直问题啊，八十中学的最后一卷啊。首先复习一下二米角的那个方呃，知识点，定义法啊，定义法，然后是三垂线法， 各种图形的熟悉啊，还有摄影面积啊，有的叫投影法，都一样的。呃，也就是说他没有画出完整的三角形也是可以的啊，就是这个三角形投在下面，这个也是 ok 的， 还有这种 好，然后就是有延长线法和补能法啊，就是做平行线也好，延长线也好啊，都是可以的。再就是纯面法，纯面法 以及向量法，其实还有公式法啊，方法是比较多的。好，来，我们来看一下这个题啊，底面正方形 a b 是 二倍根号二， a p p c p a p c 相等，那正方形对角线互相平分嘛，这是一个信息。第二， o 是 a c 中点等腰三角形三线合一，那我们就知道 o p e 和 a c 垂直， b d 和 a c 垂直， a c 垂直于面 p b d， 那 d 我 们就结束了。 首先通过线线垂直啊，就是中位线和正方形对角线互相垂直得到线线垂直， 通过线线垂直得到线面垂直， a c 垂直于 p b d， a c 就 垂直于面 a， b， c， d 啊，第一问就结束了。三线合一和正方形的角线来整垂直， 然后线线垂直到线面，一定是两条相交直线啊，然后线面垂直再到面面垂直啊，这是一个基本功的问题。好，我们主要是说第二问啊，第二问哎，他说 d o p d o p d o p 这个角 c， 它， 它是动的，它要求撇 b 撇 b 这个侧面和底面的 二面角的范围最重问题，那我们其实可以理解成什么三角形， a， p， c 沿着 a c 旋转，对吧？旋转的过程中 这个撇 b 和底面的夹角问题，那我们还是用的间隙啊，几个法其实也可以啊，这个间隙比较快。那么说这个题是因为好多娃射的时候不不知道怎么射，我们其实主要说的是 o p， 它是，它是定值啊，因为 p c 是 根号五嘛，然后 o c 是 二，那么 o p 就是 以以 o 为圆形， o p 为半径画圆弧啊， 那么另这个角为 c 塔， p， o d 为 c 塔，我们就可以间隙啊。好把 o d， o a 点和 a 点分别写出来啊，就是 o d， o a 是 x 轴， y 轴垂直于它的这个 c 轴， 那么关键是 p 点， p 是 x 的 口三引， y 是 零， c 是 三引啊，因为它是一一乘， 那么再把 b， a， b， p 写出来去。呃， abcd 的 发向量好说啊，直接就是零零一，那么现在就是 n 二， 就是这个 a、 b， a， b， p 的 发向量啊，把它求出来，它是负一负一啊，这上面一带嘛，一负一，这个可以口算，那这边就是负的三引分子就是口算，加二刚好消掉啊，这个可以口算，得到第二个面的发向量。 那么我们现在需要的是范围最值的问题，我们令 cosine 加二，比上负的 cosine r 等于 t， 然后再用辅助角公式它整理出来是根号 t 方加一， cosine sine sine 加 f 等于负二， 那因为 cosine sine sine 加 f， 它的范围是负一到一，绝对值小于等于几啊？求出 t 方的范围是大于等于三， t 方的范围。知道，那我们要求的这个 cosine 夹角啊，二面角 哎，因为之前我用三余弦讲过一次，所以这个是伽马，用伽马表示的这个二面角，那就是 n 一 乘以 n 二，他和他相乘就是 t， 下面就是这个是一，这个是一加一加 t 方啊，换元了。 哎，我把 t 方式放哪去了？哦？在，在这里，在这里好带进去。因为 t 方分之二加一，它是一到三分之五，你开出来是五分之，刚好十五到一。啊，这个就结束了。
14:46查看AI文稿AI文稿二六高考风向标，求角不见隙，几何法才最快！我们今天讲的几何法求夹角的绝招就是不用，你有很强的空间想象能力，做题速度依然比间隙档要快三倍。期不期待？期待期待。 那我们先来讲一下夹角一共有几大考法，总结过没？总结过哪些考法？第一个考你什么角？ 线线夹角？线？面角？对，这个主要以小题为主，对吧？偶尔大题也会出现啊。第二个叫什么？ 叫线和面的夹角，这个很重要吧，大题经常必考，超级重点，对不对？还有第三个，什么 面？面角，也就是你们经常也会看到的二面夹角，也是出现在大题，当然小题这几年新高大考也会考它。咱们一个一个来说，先说线线角，我先问你第一个问题， 两个直线的夹角的范围是多少你知道吗？一到九十度哎，很好，两个直线的夹角是比零度大， 比九十度小，但是可以取到九十度，没问题吧？没有。那我们在这里讲到的线线角主要说的是意面，直线的夹角 ok 吗？说是意面，那对于这种求意面直线夹角的问题都有哪些方法？你会吗？ 嗯，第一个，你是意面，我们不会，我们会什么面？共面？对啊，所以法意叫什么？平移，叫平移，我们可以通过平移把它平移成共面的，没有问题吧？没有。第二个，还有呢， 很好用，就你发现你平移的时候会出体，不好用了，所以这个招叫做空间，对于弦定力。 还有第三个，你实在实在不会，那你就去间隙吧，就用向量法。 咱们这节课先来说第一个叫做平移，不着急，一个一个来啊，看题，他说在直三棱柱当中，就这个直三棱柱 bca 等于九十度， bca 这个角是九十度，说明这个角也是九十度。 m n 分 别为中点，那 m n 就 为这两个线的中点吗？对不对？然后说 b c c a， c c 一 是相等的， b c c a c c 一 从 c 点发散出来，这三根线是一样的，没问题吧？没有。然后他让你求夹角，从头到尾没有告诉我长度，所以我就想先给他设一个长度，因为他有终点，所以你们打算把这些边长设成多少？ 一也可以。那如果取中点取一半的话，是不是变成二分之一了？对，所以我设成二二二是不都可以？可以来求 b m b m 是 谁？就是这个红线和 an， 就 这个红线的夹角， 它是不叫异面直线的夹角。那异面的问题我们不会，我们第一个方法是通过平移把它变成共面的。 那你告诉胡老师，这两根线平移，谁要么平一根，要么两根，双向奔赴是不都可以？只要让他俩的这顶点是不能接住，是不就够面了？那你告诉我平移的是哪一根线？后面的虚线还是前面的这根线？嗯，平移， 你把这个你看怎么怎么怎么移，移到这，比如说跟他接住可以吧？移哪根线？ 哎？ m b， 我 通过平行移动， m b 是 不是移到这来了？来，那你他俩平行吗？这是你觉得他俩是平行的， 对吧？那是能不能证明他俩平行？如果他俩确实是平行的，那就是求你俩的夹角，说白了就是这个 c 糖，对吧？你可以把它画成虚的啊。我只是为了让你看的更清楚一点，能不能证明他俩是平行的？ 怎么证明终点？对，终点，立马第一时间想到中卫线，这个是不是平行等于他的一半？那他是不是跟这个又是一样的呀？你看这不是一半吗？ 我只要取这个点是终点就可以了，是不？你又平行等于他的一半，所以这两根线平行且相等，他不就平四边形了吗？常规正法吧。平行里面的常规思路，正法对不对？对，好，长度没发生改变吗？用平四去正吗？刚才完全就是这个思路。那求你俩的夹角。那怎么求呢？ 平移之后的操作一般是立马用什么？用余弦定力吗？对，用余弦定力，然后你可以把大家连起来，在一个三角形里面， 把这三根边分别求出来，然后用余弦定力，求下角就完了。思路很简单吧，来，我们带大家去。呃，操作一下这个过程。先求一下 an 吧， an 长度能求出来等于多少吗？ an， 是 不是把它放到直角三角形里面去？是的，是不是这个 a e， n a， 是 不？这个是直角三角形，能看来吗？可以来，这长度是几二二，来这一一，所以这是根号下五 a n， 会了，来，下一个叫谁？ 呃，这个我们给他起个名，叫做 f 吧，好不好？好，来，叫 n f， 告诉我 n f 是 多少？ n f 干啥？ n f 不 会。你是不是可以求 m b 吗？对不对？它不就等于 m b 吗？平移过来的吗？对， m b 是 多少？这个是二勾股定律吗？这一段长度是几？ 这段是几？这段是二二二，这直角，这是二倍的根二，所以他是根号下二，所以根据勾股定律，他是根几根号下二的平方是四根二的平方是二，四加二是六， 对吧？来，下一个叫做 af， af 等于多少？ af， 这是终点吧？是的，终点吧，是的，对吧？你管他中不中点，其实也无所谓了，是放在这个直角三角形里面去求啊，就这个对，能看出来吗？ 这一半是一，这是二，所以他是根号下五，三边的长度都知道了。所以说我在这个三角形里面把你们的夹角设为 c 躺，我去求 cos， 躺不就欧了，来 cos 躺他摆一下吧。求，这个是邻边的平方， 对， an 是 五，我就不摆公式了啊。六，这个六减七，对边的平方是五除以二倍的邻边 an 是 根号下五，还有一个是这个根号下六， 会吧，会干没干没，你俩一约是不是剩三了？所以根号三十分之三会不会多少？划一下？三十分之三倍的根号下三十，能约能约，所以他是十分之根号下三十， 所以这就是属于意念夹角平移里面比较入门的思路了。这道题平移完之后，你看整个都在这个题里面，哎，也好研究长度也好办， 但是不是很多题你通过平移这个长度都好算的，有可能有的题你平移完线之后，这个线出题了，什么叫出题了？他不在这个体内外面来了，那对于这种问题，我们应该怎么做呢？所以 下一个例题我们给大家再升级好不好？好，来看下一道题目，这是一道曾经高考考过的真题，他说平面阿尔法过正方体的顶点 a， 正方体的顶点在这，就有一个平面阿尔法吗？对不对？我们接下来找那个阿尔法是谁啊？他说阿尔法得平行于平面，就是这个面蓝色线连起来，这个面没问题吧？没有，就有一个平面过点 a， 还得跟他平行， 能理解啊，可以来下一个，同时这个 r 法与这个面交于 m， 这个面是哪个面？是底面，对 这个面还得与底面找到交线，而且这个面还与这个面 abbe 一 a 一。 abbe 一 a 一 是哪个面？右侧面。说成人话，你这样看起来清楚一点， 与右侧面是不是交于 n 啊？让你求两根交线所成的角的正弦值。那首先第一件事，你应该把 m n 那 两根交线在哪里先给他找到，对吗？对。 那那个面怎么画呢？会画面才能找交线呀。所以这道题的突破口在哪里？在于首先第一个条件，平行。 说白了你得画一个跟他平行的平面，这个平面可能是而法是这意思吧？是，那你如何画一个跟他平行的平面呢？ 就是我们前面给大家相当于讲过那个平移一个平面吗？如把这个平面进行平移，平移的过程中让他过 a 点，不就有可能是而法吗？面吗？对不对？那如何去平移一个平面呢？ 平移这个面中的两根相交线，对吧？那你选一下吧。一二三，告诉我平移哪两根相交线？ d 一 b 一 c d 一。 首先第一个我觉得平移他比较靠谱，为什么他往下一平移，再往 a 点，这块一平移，是不是就过 a 点了？是的。平移两根相交线吗？对，就可以确定一个新的平面，那个面不就跟他平行了吗？对不对？对，来，把这个往这移，那往这移肯定不行，因为没过 a。 人家说了，这个面最后得过顶点 a a， 那 就往 a 一 点。对啊，往这移是不是出面了？对，出面了怎么办？正方体出面不用担心，大不了就是我再补一个正方体呗， 对不对？你在这个正方体的基础上，自己一定要学会去补。行，我再给你补一个正方体挨着，这基本能力啊，两个正方体落到一块怎么画，上下怎么画，前后怎么画，大家一定要学会画， 补呗。来，我开始带你平移，把这根线平移到这来，有问题没？来，再平移一根线选谁？ 再选一根？选两根香蕉线， c b 一 吧。 c b 一 往哪移？你告诉我。 c b 一 往后面这个面， c b 一 是不是可能往后面这个面移？对，假如移到这了，我问大家行不行啊？来，看题，看题。 那是不是组成了一个平面了啊？对，看题，题要的是这个平面，不就跟他平行了吗？对不对？这个平面与底面的交线为 m， 是 不是这根线为 m 了？ 对，对不对？对对，这个线与右侧面，就原本的这个正方体的右侧面这的交线。请问你平行到这之后，你能够找到与右侧面的交线吗？找不到，你能够尽可能的一眼能看出来是最好的， 对吧？你是不是还得把这个面再延展再去找？对啊，所以我平移它好像不太行。 cd 一 平移谁平移？ cd 一 好平移它往哪移？告诉我。往 a 点移，你得知道把它往哪移啊？很聪明嘛。有人说往 a 点移，有的同学可能会觉得把这直接移到这来， 移到这来之后的效果跟刚才那个效果是一样的呀。是的，跟他交不出来线啊。跟右侧面是不是是尽可能往 a 点移，是不才能跟右侧面有交线？是的。 那你跟我说移到哪了？来？平移这，移到这来了。不行，还得移到 a 点，再往后移，后面再补一个长方，非常好。往后面再补一个正方体或者长方体就可以了。 缺谁补谁吗？对不对？那个面我不给你补完啊，你自己可以补一下。我把那个看，往上一画，那个面大概噔噔噔长这样，就后面还有个正方。这，这是后面那个正方体的右侧面，对不对？他的后面还有一个正方体，能理解不？可以， 他是不是本来在这？我再往后一移，我是不是移到这来了？是的，是不是找到交线了？这两个夹角就是我本道题 m n 所成的角。那你是 m， 这个线是 m， 明白了不？所以这道题最核心的点在在于哪里？在于第一个出题了， 基本的正方体，长方体，三棱柱，对吧？补一个棱柱怎么画？你得会画那个线不是出体了吗？对不对？对哎，第二个，你出体之后你得会找到交线。好，你告诉我他们的夹角是多少度？ 他们的夹角是六十度。为什么？因为都是面对角线。有的时候胡老师把这俩一连，用余弦定力，用刚才的另一。其实你发现哈，你俩的夹角和没有平移之前的夹角是不一样的。 这不夹角不一样的吗？你移到这来了，你移到这来，你夹角变了吗？都是平行移动的吗？夹角没变吧？对，你移到这来，平行移动的倾斜角没变。你平行移动，你的倾斜程度也没变。你俩的夹角是不一样的呀。求你的夹角就可以了，它夹角是多少度？ 这是一个正方题，正方题，这是侧面的对角线吧？对，侧面对角线，侧面对角线，所以这是一个等边三角形，所以说这个夹角是六十度，正弦值是二分之根。三，瞬间秒杀， 简单不简单？对啊，这就是我们今天给大家所讲的线线角。第一个，先问自己能平移吗？如果能，就用余弦定力，如果不能，我们刚才采用了什么平移叫做不行平移，这个不行也好补， 但是呢，如果下一次我们遇到的这两根线，比如说在椎体里面，或者藏在一些不好补的那个体里面，七绕八拐的，你平移也给他凑不到一块，你补也补不到一块，那这个时候你干瞪眼怎么办呢？ 不用怕，所以我们得有备胎的方法，也就是我们今天要给他说的第二个叫做空间余弦定力， 他就是不管图有多恶心，你不用平移，也不用补行，直接可以秒杀出结果的更牛。所以呢，线线角的一二三，这三大方法只是其中的三个招啊。胡老师把立体几何里面的 三大夹角，一共给大家总结提炼出了十一大核心方法，都是高大考特别爱考的，而且每一个方法都给你配套了专项训练， 大家把这十一大题型搞透，那不管是大题还是小题，我相信以后你直接可以拿满分，抓紧时间打印起来，跟着胡老师课，赶紧训练起来吧，好不好？好好下课！
1631老胡模型数学思维
23:29查看AI文稿AI文稿哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，巧筹以盼的计算问题来啦，这个视频我们要学习的是空间中的角度问题，融合平行垂直关系是立体几何综合题的核心考点， 不管是利用传统几何法还是空间向量法，都是高考的高频考点。当然观看视频肯定不够披星的，我为大家准备了配套练习后专题，一个视频带你理清如何利用传统几何法解角度。 接下来让我们开始吧。哈喽同学们，我们来讲一下如何利用几何法去求立体几何当中的角度问题。那在这里呢，首先要知道我们常见的有哪些，常见的，比如说像一面直线所呈角线面角还有二面角，那我们逐一来看一下。首先先来看一面直线所呈角， 那我们说涉及到这种角度问题啊，首先你要先确定它对应的这个取值范围，比如说一面直线所乘角，我们对应的取值范围呢，应该是零到二分之八就零到九十度，但是这里有一个点要去注意，就是它的开 b 区间，我们是怎么去取的？那如果是一面直线所乘角，一定要注意，这里我们是左开右 b， 那 如果说是这个两直线所乘角，那这个时候我们对应的都是 b 区间，为什么这里会有一个区别？这个就涉及到我们一面直线的一个概念， 意面直线的概念，我们说是要满足，既不平行也不相交，所以你会发现啊，我们意面直线不能满足平行，但是如果说你两条意面直线加角为零，那这个时候也就意味着这两条直线是平行的，所以他才是开区间啊，这个地方稍微注意一下，注意一个区分啊就可以了。 那接下来我们来讲一下，一面直线锁成角怎么去求。我们说一面直线锁成角，利用几何法的话，主要就是平移平移至它们两条线在同一个平面上，只不过说我们一般来做的时候，可能大部分情况下都平移至它们相交即可啊，所以这个时候我们一面直线 锁成角，它对应求的方法就是平移至相交，那接下来平移至相交，我们只需要去把 这个两个直线所在的这个三角形啊，在这个三角形当中，我们去解三角形，对应的去解这个角就可以了，可以是利用正弦定米啊，余弦定米啊，都可以把各个边线段给它解出来。好，这是我们一面直线所乘角，然后接下来呢我们再来看线面所乘角， 也就是我们对应的角线面角线面角的话呢，也是一样，要知道它的一个取值范围，它同样也是零到二分之派，但这个时候它就是同时取 b 区间就可以了。因为我们说直线和平面所成角如果是零的话，代表什么呢？直线在平面内，那如果是二分之派，代表直线和平面垂直， 那这个时候我们对应的线面角一定不可能是这个钝角啊，稍微注意一下就可以了。那我们线面角怎么去计算呢？比如说我们现在这里有一个 平面 alpha， 然后呢有一条线，比如说这个是 p， 这个是 a 啊，我们从线上找两个点，那此时我们要算 p a 和底面 alpha 所形成的夹角，那我们说定义法是什么呢？定义就是你过直线上一个点，向平面做垂直过，比如说过 p 做一个垂直下来，垂直为 o 连接 a o， 那 这个时候我们所对应的线面角就是角 p a o 啊，所以这个是我们算线面角的一个办法。那这但是这个方法会有一个限制，就是我们必须是不是得 知道这个三角形 p a o 的 一些条件，比如说你要知道线段长，我才能去算这个加角，对吧？所以这呢就会涉及到我们必须需要去知道 p o 或者 a o 之间的任意一个，然后我们才能去直接去解，那如果说我两个都解不出来，也就是说我这个时候垂足的位置不确定怎么办？那这个地方又涉及到我们之我们在之后距离里面会讲的一个方法，叫利用等体积法去求点到面的距离。 等体积法是一个什么意思？这个我们先简单来说一下，等体积法呢？是我们往往在三轮锥当中啊会用到的一个呃，方法，就是利用三轮锥当中的这个顶点轮换去解点到面的距离。比如说我们现在这里有一个三轮锥， 还是 p 杠 a b c， 那 我们正常来讲，我们说对于三棱锥而言，底面是一个三角形，而你发现它所有的侧面，包括底面都是三角形，那也就意味着我以哪一个面为底面是不是都可以，对吧？也就意味着它顶点也是可以去做轮换的。所以这个时候我想比如说算 a 到面 p b c 的 距离， 我就可以看成是以 a 为顶点， p b c 为底面的三轮锥，它同时这个体积我也可以看成是以 p 为顶点，以底面 a、 b、 c 为底面的一个三。呃，这个三轮锥两个方法，我可以把三轮锥的体积解出来，那这个时候 所有的是所有的这个呃值，你解出来之后，唯一的变量只有 a 到 p、 b、 c 的 距离是不确定的。其也就是说以 a 为顶点的时候，这个对应的高啊 确定，那你一个方程一定是能把高解出来的，所以这也就涉及到啊，这么一个区别，能确定垂足，直接解三角形即可。如果不确定垂足，那我们可以利用等体积法去求线段长度。好，然后接下来最后一个二面角。 二面角的话呢，这个时候也是一样啊，要注意它的一个取值范围， c 塔对应的应该是零到派的 b 区间，那会想为什么二面角的时候，我们想过它的定义，它并不是两个平面所成角， 两平面所成角和它是有区别的啊，两平面所成角它对应的范围就应该是零到二分之派了。 加角这个时候是零到二分之派。为什么会有这么一个区别？是因为二面角我们给的定义是什么？它是两个半平面 所形成的夹角，什么叫做半平面？就是我们正常来讲，面应该是无限延伸的，对不对？但是呢，我们在这里算二面角的时候，我这个面不无限延伸，我只到这个交线为止。比如说像这里，我正常来讲，面应该继续往下，然后呢，这边还有一个面， 它也可以往左往右，但是对二面角而言，到交线为止，到这就没有了啊，所以这个地方稍微去注意一下概念上的一个区分。好，然后接下来我们来讲一下怎么去算这个二面角。那我们说二面角它对应的定义法是在两平面内分别去做交线的垂线，比如说这是 a 面，这是 beta 面， 在两平面内分别去做交线垂线。一个是比如说这个是 a o， 然后呢？这个这边呢是 b 能满足 a o 垂直于交线 l， 然后 b o 垂直于交线 l， 那 这个时候我们就可以说角 a o b 就是 我们要求的二面角，所以第一个方法是做两垂直， 但是做两垂直这个时候我们要尽量去保证看呃满足它的这个垂足是重合的， 如果说你的垂足不重合怎么办？那就转换成了，我可以去呃，相当于算是两个一面直线所成角，所以这个时候若垂足不重合，则去平移，平移至它们重合即可。 好，这个是我们第一个方法做两垂直。那除此之外，我除了做两垂直，我还可以怎么做呢？假如说有一个面内，我就是这个垂直，我就是不好确定，或者说我线段长就是不好解，那我们也有一个办法，你可以去做为单独的一个垂直，也就是我在这个面阿法内找一个垂直 a o， 那 这个时候我就可以给等价去看成变成了 a o 这条线和底面 b 所形成的夹角。所以还有一个方法是只做一个垂直去转换成线面角的问题。 好，这也是一个处理思路啊。好，然后接下来我们对应的呢，还有就是涉及到我们的这个呃三，呃这个三垂线定理的一个应用。三垂线， 这个主主要主的是指，主要指的是什么意思呢？就是假如说我现在这里有一个面，然后呢，我现在过这个面上的任意一个点，向底面阿尔法，呃，向底面贝塔去做一个垂直，假如说这是 p， 我 做一个垂直下来垂足为 o， 那 这个时候我再过 o 向交线做一个垂直 a 点，那么角 p a o 就 一定会是我的二面角，那这个根据是什么原因？这个地方其实会涉及到一个证明，我简单来说一下，就是我们刚才说满足的条件是 p o 垂直于贝塔，然后呢，满足 o a 垂直于交线 l， 那我们现在要去证明的是吗？因为我们说二面角定义应该是在两平面内分别垂直于交线，所以我们接下来要证的应该是 pa 是 垂直于 l 的， 那怎么去证？根据 po 垂直于 beta 面，所以我可以得到 po 垂直于 beta 面上任意一条直线，也就是 po 是 垂直于 oa 的， 同时 oa 又垂直于 l， 所以 我 l 和这个 po 又是有交点的，对吧？ l 和这个，呃，等一下， po 是 垂直于 oa 的 po， 是 啊，对，没问题啊，这个时候我们得到啊，这个时候我们要去给它看成是 p o 垂直于 l 会比较好看啊，给它转换成 l， 好， 那这个时候你就会发现 l 是 不是同时垂直于 o p 也垂直于 o a， 而这两条直线有交点 o 点，所以我就可以转换成 l 是 垂直于面 p o a 的， 那这个时候我们就可以去转换成可以先面垂直性质定理，我就可以得到 l 呢，是垂直于 pa 的， l 垂直于 pa 呢，我就可以满足在两平面内分别有两条垂线垂足于交线，那这两条垂线的夹角就是二面角啊，所以这也是这个性质啊，我们计算方法简单来说一下， 那接下来我们来具体看例题，比如说我们来看一下这个第一道例题，第一道例题是说在一个四轮锥当中，底面为平行边形，没有给图，那这时候我们往往要自己画图哈，然后角 d a、 b 为三分之派，然后给了一些线段比例，好，我们来画一下。 首先呢，这个地方有一个 p d 垂直于底面，所以我们可以先垂呃，先确定 p d 这一点，假如说是 d 点，然后呢，又已知了 p d 是 呃 ab 的 二分之一，所以我们的 ab 和这个 dc 可以 画长一点啊，然后这边是相等，你给它连一下， 就是我们在画图的时候尽量的去保证一点，这个比例看起来比较合理一点啊， 那比如说这个是 a， 这是 b， 这是 c， 好， 然后呢，脚踢 a、 b， 这也是三分之派，然后又已知了线段的比例，线段比例的话，那这里因为是一道小题，所以我们就可以不妨令它分别是一和二，所以我们标一下啊，比如说我们令 p d 等于一， 等于 a， d 等于一，然后呢，这个时候 a、 b 和 c、 d 就 应该是都等于二啊。好，然后接下来我们来看选项，首先 a 选项 p a 垂直于 b、 d， 像这里的话呢，我们可以从验证的角度，或者说你可以从证明的角度都可以，那比如说像这里，如果说我们从验证的角度就是如果 p a 垂直于 b、 d， 那 会发生什么对不对？那你就想 p a 是 垂直于 b、 d 的， 结合提干的条件， p d 垂直于底面，也就线面垂直，其实我们还能再推一个线线垂直，我同样是不是也可以推出来 b、 p、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那如果说这样都要满足，就 a 选项要成立的话，那这两个式子同时发生，我就可以推出来一个条件，就是这个时候我 b、 d 一定会垂直于面 p a、 d， 因为这也是小题，所以我没有严谨的去写这个证明的步骤啊啊，那 b、 d 如果垂直于 p a、 d 又要满足什么呢？这个时候你就会发现，哎，他要满足 b、 d 必须是垂直于 a、 d 的， 那接下来我只需要去变成验证 b、 d 是 不是垂直 a、 d， 我是 不就能确定我这个整个链路上是不是都成立？如果我正出来它确实是垂直，这个链路就是对的，那如果说证明出来它不垂直，那这个链路上的每一项应该都是错的。 所以这个地方我们接下来就验证 b、 d 和 a、 d 是 否垂直，那我怎么去验证呢？我给它放到底面中去解就可以了。比如说像这我们连接 b、 d， 已知这个角是三分之派，又已知两边一和二，那我是不是可以利用弦定力去把第三边解出来？ 或者说像这里，因为他这个边长包括角都比较特别，你会发现，哎，我这边有两倍关系，其中还有个六十度角，如果有九十度，那我就知道另一个角是不一定是三十度，所以你也可以从验证的角度去看，那这个时候如果这个地方是六十度，这个地方是三十度， 那这个时候发现，哎，这边好像确实是垂直的，对吧？正好符合这个关系啊。所以这个时候我们验证出来， b、 d 呢，确实是垂直于 a、 d 的， 所以这个时候呢，确定 b、 d 的 长度是刚好三啊。那这个时候我知道 最终符合这个条件成立，那你往后往前去推，所有的链路应该都是正确，所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项 p b 与底面 a、 b、 c、 d 所成角，那这个就涉及到我们说线面角的一个计算方法， 我们说线面角，根据定义法是从直线上找一个点去做底面的一个垂直，然后接下来我们对应的就转换成这个 p a 这条直啊， p b 这条直线与底面我们做出来的那个投影，这两个线之间所形成的夹角。 好，那来看我们过 p 点向底面做垂直，你会发现，哎，这个垂直其实就是 p d， 对 吧？因为题目说了吗， p、 d 是 垂直于底面的，所以这个时候我们对应的这个线面角，其实就是我们的角 p b、 d。 那接下来解角 p b、 d 怎么解呢？那我们就可以给它放到一个三角形当中，对吧？我们可以放到三角形 p b、 d 的。 呃， p b、 d 当中，由于 p d 垂直于底面，所以我能确定 p d 垂直于 b、 d， 所以 它是一个直角三角形啊。在 r、 t 三角形 p b、 d 中， 那长度都是已知的，这是一，这是根号三，这是二，对吧？这都是我们标过的啊，不对，这个二标的是 b、 c、 d 啊，但 p b 你 用勾股定律也是能算的，对吧？那这个时候你对你的角 p b、 d 自然而然也就可以解了，它解出来呢，确实是六分之派啊，所以 b 选项正确。 再来看 c 选项， e 面直线 ab 与 pc 所形成的这个夹角的余弦值，那我们说 e 面直线所成角，我们要怎么做？平移，对吧？平移至相交啊，所以这个地方呢，我们可以去 把这两条线平移到同一个平面内，或者说平移是相交，那我们平移谁比较好呢？那显然你会发现，由于底面是一个平行四边形，所以我肯定是平移平行四边形更好，所以这个时候我们可以把 ab 平移至 cd 的 位置， 所以这个时候我们对应的 p c 与 ab 所形成夹角，就变成了 cd 与 p c 所形成的夹角。那我想算它们俩夹角，我就可以怎么办？我可以放到三角形 p d， c 当中，那也是一样的， p d 垂直于底面，所以 p d 垂直于 c d， 那 这个三角形它也是一个直角三角形。在 r t 三角形 p c， d 当中，已知的线段有 p d 等于一， 然后呢， c d 等于二，所以斜边我也能算，对吧？那这个时候斜边我们解出来的话，应该是 p c 等于根号五，那你接下来要算这个余弦，自然也就可以算了。所以 cosine 角 p c， d 啊，就应该等于二，比上根号五，所以解出来应该是五分之二倍根号五，所以 c 选项错误。再来看 d 选项， d 选项，这二面角呢，相对来说计算会比较复杂，这个其实用空间向量会更简单，放在这里用几何法的话呢，这个推导的步骤可能会比较麻烦，但是 我们这一次稍微讲一下思路，就是我们说二面角用定义法做，应该是在两平面内分别做交线的垂线，对不对？那这里的话，它对应的两平面应该分别是 p a b 和 p b、 c 这两个面， 那我们只需要分别去过 a、 c 两点去做 pp 的 垂足，而垂线，那这个时候你可能解出来，万一垂足不重合， 如果不重合呢？这个时候我们就把其中一个线段去做一个平移，平移之后再解三角形就可以了。那这里呢，我们简单讲一下思路，因为这个计算量可能比较大，这里呢，我把这个步骤提前写下来了，然后呢，你可以自己先尝试去做一下，然后来核对一下，看这个步骤啊是否正确。 好，然后接下来我们再来看第二道例题。第二道例题呢，相对来讲会比较简单一点，因为它这个图是正方体，比较规整，而且给了图唯一可能稍微麻烦一点，就涉及到这个动点问题，但是每个问题我们一样可以来分析。 首先来看正方体棱长为一，然后 e 呢，是这个棱 c、 d 上对应的点。首先 a 选项三轮锥 a 一 杠 ab 一 e 的 这个体积为定值。好，那首先就要回忆一下我们说三轮锥的体积怎么去进行计算，我们说三轮锥的体积公式应该是三分之一底面积再乘以高，对吧？那你会发现啊，如果说这个我们按照以 a 一 为这个顶点的话， 一点一直在运动，所以我会发现 a、 b， e、 e 这个三角形面积在变，同时 a 到这个面的距离是不是也在变？两个变量我并不能确定，对吧？那这里考什么呢？这也就考到涉及到三轮锥，你要注一定要记住一个点，它是可以轮换顶点，轮换顶点也就涉及到等体积， 所以看似让我们去算 a 一 杠 a b e 的 这个体积，我实际上可以去给它转换。转换成什么呢？转换成以 e 为顶点，为什么以 e 为顶点？因为以 e 为顶点，这个时候你的底面是谁？是 a a， 呃，这个 a a 一 b 一， 对吧？那这个时候我能保证它的底面是一个固定的三角形，也就是相当于我把其中一个量定下来了，唯一的变量只是点到面的距离啊，所以这个地方我们去给它转换，转换成 v e 杠 a e a b 一。 那这个时候我可以确定的是 a 一 a b 一， 这个底面积是定值，那接下来我只需要去验证一点到这个面的距离是不是为定值就可以了，那这个我们会发现它显示一个定值，为什么呢？是因为这个时候我能确定 c d 是 平行于面， a a 一 b 一 b 的， 这个的话你可以直接去根据这个呃线面平行的判定定领角去正因为 c、 d 是 平行于 a b e 嘛啊？所以线面平行，线面平行，它就会涉及到一个结论，线上的任意一个点到面上的距离均相等，所以这里我可以确定 点到面的距离为定值，顶面面积也是定值，所以这个三棱锥的体积一定是一个定值，所以这个地方涉及到一个转换，所以 a 选项正确。再来看 b 选项 e b 一 垂直于 a d 一， 那也是一样。我们的处理思路，你可以选择是去呃这个检验它是否正确，或者说你可以考虑我直接怎么去正， 那像这里呢？ e、 b 一 和 a、 d 一 的这个垂直，我们可以把这个线画出来啊，这个是 a、 d 一， 这个是 e、 b 一。 好，那他俩垂直怎么去看呢？那这个时候我们会想，由于 e 是 一个动点，所以我直接观察肯定不好观察，所以这个时候我们要把这个动点去转换成一个定 固定的一个直线或者一个面的问题。那显然 e 是 动点，我没办法找到定直线，但是我可以确定 b、 e、 e 这个线是不是一定会在一个固定的平面内，它一定会在以 b、 e 和 c、 d 这两这三个点构成的平面内，所以也就是 e、 b、 e 在 面 b 一、 c、 d 上。好，那接下来我是不是只要证明 a、 d 一 垂直于这个面，我就能确定 a、 d 一定垂直于面对任意一条直线，显然就一定会垂直于 b 一。 好，那接下来怎么去证明 a、 d 一 垂直于这个面？那我们对应的你可以把这个面做一个延展，对吧？因为这个面我们目前的话画出来应该是这么一个面啊。 b 一 c、 e、 c、 d， 那 这个时候显然这个面我是可以给它补到 a、 e、 b、 e 上，所以这个面和 a、 e、 b、 e、 c、 d 它是同一个面，所以接下来就变成了即 证明 a、 d、 e 垂直面 a、 e、 b、 e、 c、 d， 那 这个好不好证？那它显然就好证了，对不对？哎，这个时候我可以去证明 a、 d、 e 呢，这个时候是垂直于，根据对角线垂直于 a、 e、 d， 那同时我再根据 a、 d 一 是垂直于这个 a、 a 一 b 一 的， 那显然我就可以得到了，对吧？那 a 一， 呃，这个 a d 一 垂直， a 一 b 一 是怎么来的？根据 a b 一 垂直于侧面得来的啊？下面垂直，所以这个地方我们能挣出来，它对应确实满足 a d 一 垂直于这个面，那它垂直面上任意直线，所以 b 选项就成立的。 再来看 c 选项，二面角 e 杠 a 一 b 一 杠 a 的 二面角的这个大小为四分之派，那还是一样的问题，这涉及到一个面的拓展等价面的一个问题。 e 杠 a 一 b 一， 那这个时候其中两个面分别是 a e b e e 和 a e b e a e 好，那这个时候这两个面所形成的这个夹角呢？我们按照之前逻辑，我们是说过两面上分别去做交线的一个垂线，对吧？但这里呢，我们为了方便去判断，所以这个面呢，我们其实是可以去给它 扩展一下的。我们这里看似是 a e b e， 但实际上我是不是可以给它延展成面 这一往下写啊？它对应的可以看成是面 a 一 b 一 c d， 因为 e 是 在 c d 上运动的嘛。那同理， a 一 b 一 a， 我 是不是也可以给它补全它的面？我其实是可以去说成 a 一 b 一 ab， 呃，准确来讲应该是 b a b a 啊，他俩这应该要有顺序，所以接下来是不是就变成解这两面所形成的夹角，那你就会发现这两面他都是一个矩形，那我要做交线，垂线其实就是两个棱，所以他这个时候交线是 a 一 b 一， 那我对应的垂线在哪呢？可以直接找这个 d a 一 和 a a 一， 那也就是这两条都是垂线，那垂线所形成的夹角就是我对应的二面角，那这两条垂线的夹角是多少？显然在正方形内，对角线和我直角边所形成夹啊，和这个正方形的边所形成夹角是四分之派啊，所以 c 选项是正确的。 在这里的最简单的办法就是你把这个面呢给他补全，补全之后你就会相对来说好看很多。再来看 d 选项， 例选项问，存在某个点 e， 使得 a e 与底面所形成夹角为六十度。好，首先我们先不管 e 点到底在哪个位置，我们说对于线面角你要去处理，我们说是过线上一点向底面做垂直，对吧？那这个时候 e 呢？是在底面上， 所以我们选择从 a 一 向底面做垂直，那这个时候我就会发现我过 a 一 向底面做垂直，其实就是 a e a， 所以 我们现在要求的角其实就是哪个角，就是角 a e e a 这个角，所以这个时候啊，它对应的所乘角角 a e e a， 那这个时候由于 e 在 运动，所以你接下来是不是可以去求临界的情况？比如说当 e 点在 d 点的时候，这个时候就变成了我们刚才讲的正方形的对角线和正方形的边数形成夹角，这个时候临界值是四分之派。 然后接下来你就想当我的 e 离它越来越远，也就是越来越靠近 c 的 时候，我们模拟一下这个画画法，或者说你可以多画几个情况来找一下规律，你会发现这个角加角是不是只会越来越小？所以这个时候我们对应的你会发现啊，它在 d 点的时候应该取到加角最大，在 c 点的时候取到加角最小，那在 c 点加角最小是多少呢？我们也可以算一下啊，我把这个给它挪过来一点。 好，那这个时候我们只需要去解线段长就可以了。对于 a c 来讲呢，是根号二，然后这边是一，这边是根号三，所以这个时候这个夹角你就能解了，对吧？这个夹角对应的是正切值的话，应该是 二分之根号二，具体的这个角是不是一个特殊角啊？所以我们不用表示，但我知道这个角是不一定比四分之 pi 小， 而四分之 pi 是 不是显得又比六十度小？我最大都小于六十度，也就意味着我不可能取到六十度，所以 d 选项是错误的，所以这道题答案应该选 abc。 那所以这就是我们借着这两道例题呢，就相当于把我们角度问题一些比较常见的处理，我们都稍微来说一下。但是像做这种题呢，最主要肯定还是要去结合图像，通过大量的练习，你才能去巩固这些方法。
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