一次函数三角形存在性问题平行四边形
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13:31查看AI文稿AI文稿今天我们讲平行四边形的存在性，老规矩，看视频之前先暂停一下，把题目通读一遍，最好是自己做一下啊。 那我们看直线 y 等于负二分之一， x 加上一个三，它与这个 x 和 y 轴分别交于 a、 b 两点， a 在这里， b 在这里。那么解析式告诉我们， a 点和 b 点的坐标马上可以出来吧。那么 b 点对应的是三，那么这个 a 呢？ a 的另这个，哎，另这个 y 等于零嘛，可以算出 x 是等于六的啊。 接下来他把这个 c、 b 啊，线段 c、 b 绕着 c 点顺时针旋转九十度，还要把这个 c、 b 旋转，顺时针旋转九十度，得到了一个 c、 d 啊， 并且这个地点正好落在这个直线 ab 的上面啊。那我们看三角形 b、 c、 d， 它是一个什么三角形啊，对吧？ b、 c、 d 旋转啊，旋转九十度，那当然啊，这个 b、 c 还和 c、 d 是相等的，这是一个等腰直角三角形吗？ 他过点地做底翼，和这个 x 垂直，这里有垂直，这里是不是还有垂直啊？一线三垂直的全等是吧？那我们马上可以得到这两三角形，全等，全等，八年级上册已经做烂了，不做了啊。我们看第二题， 将这个 b、 c、 d 三角形沿着 x 轴的正方向啊，正方向就是向右呗，向右平移，得到了这个三角形 b 一撇， c 一撇， d 一撇啊。来，我们看，这是 b、 c、 d 把它向右平移，得到了 b 一撇， c 一撇， d 一撇啊，这样做，这样子平移的，那么并且平移的时候， b 一撇， c、 c 一撇，它正好经过底点啊，然后要求我们 b、 c、 d 三角形平移的距离以及低点的坐标啊。那么 b c、 d 三角形平移的距离是谁？是不是从 c 点平移到 c 一撇点？那也就是要去求 c c 一撇的长度等于多少，对吧？那我们回过头去分析一下吧。那我们第 一问是不是得到了，这是一线三，垂直的全等的，那么全等了之后，边和边相等 b o， 它应该等于 c e 吧？ b o 的长度是三，所以 c e 的长度是不是也是三？那我们假设这个，呃， o c 的长度为 m 吧， 那么底 e 的长度是不是也是 m？ o c 又等于底 e 啊？那么接下来我们这个底点坐标是不可以表示的，那横坐标是 m 加上一个三，纵坐标呢？纵坐标是不是就是 m 啊？ ok， 这个能理解吧？横坐标，纵坐标啊。 呃，那么由于这个地点是不是在这个直线 a b 上面，我们代入就可以得到负二分之一 x 换成 m 加上一个三， 然后再加三等于 m 八，那把这个解一下啊，负二分之一 m 加减去二分之三，再加上二分之六，所以加上二分之三等于 m， 那么移过去就应该等于，呃，二分之三 m 等于 二分之三，所以 m 等于几啊？ m 等于一吧， m 等于一，所以底点的坐标是不是出来了？底点坐标是四到一， ok， 很关键的一个数据啊，底点坐标搞定了，那我们接下来去求这个距离 c 一撇 c 的距离怎么求啊 啊？首先我们看这个 m 求出来了， m 等于一啊，那么 o c 的长度是，别错了， o c 的长度是不是一啊？ o c 的长度是一，那么 o b 的长度是三，然后 c e 的长度是什么？ c e 的长度是三八，这，这第一题已经搞定了啊，上面已经搞定了啊， 那我们接下来看要去求这个 c 撇 c 这段又应该怎么办呢？啊？看一下啊，怎么办？ 其实这里面啊，这里面有平移，平移的话就有平行线嘛，你看这个 b c 和这个 b 一撇 c 什么关系啊？是不平行的，那么只要是平行的，它俩的斜率也就是 k 值肯定是 一样的，对吧？那么对于 bc 直线而言，他的 k 值等于多少？他的 k 值应该是用这个 b o 除以 o c 是吧？ b o 除以 o， c 等于三，那么这是向右下的吧，所以他的斜率应该是负三，对吧？你可以用这个代替系数法做啊。 k 等于负三，那所以现在比一撇 c 撇，他的这个斜率是不是也等于负三啊？所以我们可以收他的解决思维。 y 等于负三乘一个，呃，负三 乘以 x 再加上一个 b 吧，那我们接下来底点是不是在这个 b 撇 c 在上面， b 撇 c 一撇在上面，对吧？那么底点坐标是四到一啊，四到一，那我们是不是又可以代入啊，对吧？又可以代入，那我们可以得到代入，得到负三乘以一个四，再加上一个 b， 他等于一吧，那于是可以得到解到 b 等于多少？ b 是不是等于十三啊？对吧？那所以现在比一撇 c 撇，他的这个解， 提示他应该等于 y 等于负三， x 再加上一个十三吧。结式搞定了，那么他跟我们这 x 的焦点是一撇的坐标，可以搞定吗？那么怎么做？是不是在这里边另，这个 y 等于零啊，可以得到，呃，负三， x 加上十三等于零，觉得 x 等于三分之十三， 那所以 c 撇在这个 x 上对应的数是三分之十三啊，而我们 c 点呢， c 点对应的数是一样，它俩一减是不是就搞定了？所以 c c 撇 他就等于三分之十三，减去一，结果应该等于三分之十，于是我们平移的距离是不也 ok 了，对吧？那么这里啊，我们最关键的是要去求 c 点 c 撇的这个坐标， c 撇坐标，我们把这个 b 撇 c 撇他的结式求出来啊， 那么这个解析式又怎么求呢？它跟我们 b、 c 是平行的，所以它俩的 k 值是相同的，斜率是相同的啊，通过这样 操作啊，那我们来看第三题吧，第三题就涉及到平行四边形的这个存在性啊， 来我们看，他说 p e 点在 y 轴上， p 点在 y 轴上， q 点在直线 a b 上，要去求 c d p q 的一个顶点啊，这个四个顶，四个，四个点作为顶点的平行四边形啊，那么存在，那我们求出 p 点的坐标啊，那么以 c d、 p q、 cdpq 作为一个顶点的四边形， c 点是定点，底点是定点，他们俩坐标是不是之前可以求出来的，对吧？之前我们求出来，这里是一吧，这里是四到一，对吧，他俩是一定的，那么这两个点是定点， 那么 p 一点在这个 y 轴上面运动啊， p 点呢？可能在这里，可能在这里，对吧？那么 q 点在，呃， q 点在 a b 上运动呢？可能在这里，是吧？还可能在下面，是吧？如果你想去 把这个图画出来，是非常困难的啊，非常困难的，那么这里啊，啊，对于这种两栋两定这样的平行四边形的存在性啊问题，那么应该怎么样去做呢？比如这里有个平行四边形，他在一个坐标系里面啊， a、 b、 c、 d 这四个点的坐标都告诉你了，我们来看 x 一 x 三，包括这个 x 二， y x 四，它们之间有什么样的一个联系啊？那对于这个平行四边形而言，它的对角线是互相平分的，是吧？所以 o 点它是 a、 c 的一个什么点，是不是终点呢？ o 点是 a、 c 的终点，那所以现在 o 点的横坐标 x， 它应该等于二分之一 x 一加上 x 三吧，也就是 a 点和 c 点的横坐标之和，再除以二，对吧？那么 他的重则标，重则标，是不是应该等于二分之一，这个 y 一加上一个 y 三呀？对吧？那么同理， o 他为这个比例的 一个终点啊，终点，那么此时这个 x 它就应该等于二分之一 x 二加上 x 四，然后 y 它应该等于二分之一 y 二加上一个 y 四，对吧？这是终点公式公式啊， 那么这个 o 是同一点啊，对吧？那所以这个 x 和 x 是相等的，那也就是二分之 x 一加上 x 三，它等于二分之 x 二加上 x 四，对吧？ 那么这里和这里是不是可以约一下？那可以得到， x 一加上 x 三等于 x 二加上 x 四，也就是 a 点和 c 点的横坐标之和，等于 b 点和 b 点的横坐标之和。那么如果他给你三个点的坐标，让你去求第四个点的横坐标，很简单，对吧？ ok， 那么同理啊，这个 y 一加上一个 y 三，这里啊，他是不是应该等于 y 二加上 y 四啊？这个公式啊，这个公式就是我们处理平行 四边形存在性的一个通用公式啊，尤其是像这样的复杂的拼音，四边形的存在性啊，像这样有两个，两个定点，两个动点啊，这类问题啊，我们就这样来解决啊，那我们看一下啊，如何来破解它。 他说 p 点在这个 y 轴上面， p 点在 y 轴上面，我们就假设这个 p 点的横坐标为零，然后纵坐标为 t 吧，可以吧？ 那么 q 点在这个直线 a b 上，直线 a b 的方程是不是给我们了，对吧？那所以我们可以设这个 q 点的横坐标为 n， 那么众坐标是不是就应该是带进去得到负二分之一 n 再加上一个三吧。什么再加上三？ 那么 c 点和底点是不是也告诉我们了， c 点是一到五零啊，那么这个底点是四到一，对吧？那么此时他要我们去看平行四边形，那我们又有一个方法啊，一个特 特别重要的点要分类讨论，那么这里分类讨论，你可以尝试去画一下这些图啊，特别难画，你不知道这一点在哪里啊？而且啊，很你要去先画图的话，很容易很容易遗漏啊，一定会遗漏啊， 那我们看一下有什么样的方法呢？我们的分类讨论方法是研究他的对角线啊，对角线，以他的对角线作为一个出发点，那比如我们第一种啊，如果是个 c d 为对角线啊， c b 为对角线， 那么 c d 为对角线的话呢？我们根据刚才的这个公式的， x 一加上 x 三等于 x， 二加 x 四，那我们是不是可以列出一个方程啊，对吧？ c d 啊， c d 的两个 x 相加啊，那就是一加四，对吧？ 一加四等于这个 p q 啊，它俩的相加，是吧？所以 n 加上零，对吧？那么同理，呃，还 还有这个零加一应该等于 t 加上这个，这个什么后面，是吧？那么零加一等于 t 加上啊， t 应该减去二分之一， n 再加上一个三啊，那么此时这是一个二元一次方程组，是吧？那我们可以把这个 n 解出来， n 减出来应该等于多少？ n 应该等于五吧，那么代进去啊，代进去我们可以得到 t， 这里是二分之负二分之五，再加上一个二分之六，得到二分之一，所以 t 应该等于，呃，二分之一啊， t 等于二分之一，看一下啊，验证一下 n 二分之五， 对了啊， t 等于二分之一，那么所，所以此时这个 p 点的坐标是不是已经出来了？ p 点坐标，它横坐标为零，纵坐标为二分之一啊，然后 q 点啊， q 点，它的横坐标为 n 就是五，纵坐标应该是 负啊，中坐标应该是二分之负，二分之五加二分之三啊，二分之一，对吧？那么所以我们把这个图第一个图啊，就给你画一下，那么其实不用画图的，包括 q 点坐标都不用求，对吧？我们把这个图大概画一下吧，零到二分之一大概是在这里，是吧？然后 q 呢？ q 是五到二分之一，是不是就在这里啊？那么所以现在啊，我们是研究的什么 c d 为对角线，是不是大概是这个样子啊，对吧？所以大概是这个样子啊， 那么此时我们看，这是平行四边形啊，这里是对角线啊，对角线，这里是 p 点，这里是 q 点，对吧？ 啊，这是第一种分类啊，我们以 cd 作为一个对角线，是吧？还有第二种吧，是吧？第二种，那么如果是 cp 作为一个对角线呢？ cp 作为对角线，那么这个 c 和 p 相联系，是吧？那么所以就是一加零， 它应该等于呃，底和 q 连线，那么等于四加上 n， 对吧？还有一个，呃，什么零加，零加 t 吧， c p 嘛，零加上 t， 它应该等于 零加 t， 它等于什么？一加一减去二分之一 n 再加上一个三，是吧？那么此时我们可以解答， n 等于多少？ n 是不是应该等于负三啊，是吧？ n 等于负三， n 等于负三带进去，那么这里就是二分之三加上二分之六，二分之九啊，所以 t 应该等于二分之十一啊，验证啊， n 等于负三， n 等于负三，那么这里二分之三，二分之六， 二分之十一啊， t 等于二分之十一，那么这个 c 点啊，呃， c p 作为一个对角线，那么 n 和 t 都求出来了，那么现在我们来看这个 p 点的坐标啊， p 点坐标是不是应该是零到二分之十一，对吧？零到二十分之一 q 点的，哎， q 点不用求，是吧？这个图你们就自己画一下吧，是吧？对应的这个 cp 为对角线的图，你们可以自己画一下啊，尝试一下，我刚才来画一下，还有一个第三种吧，第三种，那么我们看一下， cd 完了， cp 完了，是不是还有 cq 啊，对吧？还有 cq， 如果这个 cq 做一个对角线啊， c q 周围都要想，那么 c 和 q 是联系的，所以，那么 e 加上 n， 它应该等于什么呀？四加上零吧， 四加零。那么接下来还有一个什么呀？还有个 y 值，那么还有零减去二分之一 n 加上一个三，等于这个一加上 t 吧，对吧？那么此时我们又可以解得啊，解得 n 它是等于三的， n 等于三 t 值啊， 应该等于二分之一啊，二分之一，所以现在这个 p 点的坐标是不是也有了？ p 点是零 t 嘛，所以零到二分之一，对吧？零到二分之一，呃，那么 q 点坐标自己去求，嗯，这个对应的图形大概什么样子？自己去画。好吧，那我们这里简单做一个小结吧， 那么处理这样的平行四边形的存在性啊，对于复杂的，那也就是做成这样了，两定两动啊，就这样，那么你把这两个点 动的这两个点坐标给他设出来，然后他们这个坐标啊，根据我们刚才这个平行四边形存在性的这个公式啊，公式可以建立方程组来解决。 那么当然呢，简单的平行四边形的存在性，比如三个点都给你了，那要求四个点呢，是不是直接套公式或者用平移啊？用平移的知识也可以把它求出来，是吧？还有最简单的平行四边形存在性的话，那就应该是直接用平行四边形的判定呢，可能用的最多的是应该是 两组要一组对边分，平行且相等啊，像这样的去去做就完了，那么剩下的题目你们就自己做下。好吧，我们这一题就讲到这里。
946老锅数学6789
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735小嘎咕老师
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11:20查看AI文稿AI文稿平行四边形与一次函数平行四边形存在性问题，一般三定一动采用画图法，两定两动采用顶点配对法，两条对角线的两个端点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。 同学们，我们来看一下青阳区的这个期末地铁平行四边形存在性的问题啊。这个地方呢，它是一个 比较重要的一个考点，难度相对来说也较大，就是平行四边形在坐标系上中的一个存在性啊，一个存在性。那么这个呢，我们等一下讲第三问的时候，我把相关的内容跟同学们梳理一下。第一、二小问呢，比较简单，相对来说，我们来看这个题， 他说在平面直角坐标中，直线 l 一 y 等于的是 y， 等于的是二分之三 x 加上 m， 然后呢，与 a 二相交于点 a， a 点坐标呢，是负二负三，那他们不难发现，你把负二负三带进去，就可以求出 m 的 值了，对不对？你看三带进去的话就是六，所以说 m 肯定等于六， 所以这个地方其实我们就可以直接算出来了，就是六，所以对于第一小题的话， m 我 们就搞定了，就是六。那还有一个小问是求 a 二的表达式， a 二表达式只知道 a 点，我们继续往后看， a 与 x 轴相交于四度零，那这个点呢，就是四度零， 四勾零啊，与 y 轴相交一点 b， 那 这个四勾零的话，那我们 l 二也可以求出来了，为什么呢？因为他知道了 a 点和 c 点，对吧？两点确定一条直线，设 y 点， k， x 加 b 带进去就可以求出来了。这里呢，我们就求一下，不难求出来，如果你没有求出的话， y 应该等于的是 三减零，负六，负的二分之一 x 加二，负的二分之 x 加二， 对吧？所以第一小问呢，相对来说呢，比较容易啊。然后他后面说了与 y 轴相交一点 b， 其实从这个图我们可以知道 b 点就是零逗二，因为 a 二表达是知道过 b、 d 的 中点， e 搭点呢，就是零逗六嘛， 那一点呢，就是零度四嘛，因为它是 b 大 的中点，所以说读完题之后，第一小题呢，就可以轻松拿捏啊。我们直接看第二小题，第二小题他说 p 点呢在 l 一 上， p 点在直线 l 一 上，然后呢， p、 b、 c， 那 么就是这个图形的面积 l 一 的面表达式，我们知道了 y 等于多少呢？我们刚刚写了的二分之三 x 加六 加六， d 点坐标呢是零斗六，这个点的坐标呢是零斗四， b 点坐标呢？零斗二，零斗二。那现在他说 p 点是在 l 一 上求 p、 b、 c 的 面积， c 点坐标我们也是知道的，是四斗零， 对，四度零。那么现在我们要求 p、 b、 c 的 面积，要求 p、 b、 c 的 面积，我们看该怎么去求啊？当然 l 二表老师我们也是知道的啊，它是 y 等于多少呢？ y 等于的是 负的二分之一 x 加二，负的二分之一 x 加二，好，负二分之一 x 加二。那现在我们要求 p、 b、 c 的 面积。 同学们知道在坐标系当中的面积问题啊，我们常用的其实就是前垂法的一个应用啊，前垂法的一个应用，所以说你在这个地方求 p、 b、 c 的 面积， p 点坐标，我们都知道肯定是它设出来的，因为 b、 c 坐标肯定要就要把它设出来，设成多少呢？你不妨就把它设成 a 度 二分之三， a 加六加六，那么这个时候同学们就不难知道你要求什么呢？ p b c 的 面积， 那么可以怎么做呢？我们就可以过 p 点做 y 轴的平行线，或者做做 x 轴的平行线，这个时候把它转换成两个面积的和差。问题用铅垂思想来求解，怎么做呢？你看，如果说我过 p 点做 y 轴的平行线， 比如说这个点，我们把它叫做 g 点，这个时候你就不难可以把 p b c 的 面积转化成 p g c 和 p g b 这两个面积之差。而 g 点的坐标呢，我们也是可以求得出来的，因为它和 p 点的横坐标是相同的，它就等于 a。 逗什么呢？ 负的二分之一， a 加二，这就是几点的坐标，那这样的话， p g c 的 面积就是二分之一 p g 来乘以 c 到 p g 的 距离，而 p g 是 平行 y 轴的，所以 c 到 p g 的 距离其实就是 c 和 p 横坐标之间的距离。同样的， p g， b 的 面积呢，就是二分之一 p g 乘以 b 到 p g 的 距离，就是 b 点 到 p 点横坐标之间的距离，那么这个时候你又转换成坐标了，这就是前推法的一个运用啊，一个应用。当然你也可以过 p 点做什么呢？ x 做的平行线， 那这个时候呢，他比如说交于这个点，那这个点的坐标，你也可以用 p 点的坐标表示，他的面积就等于二分之一，最大长度来就是，比如说这个是 m， 如果说你是这样做的啊，那么他就等于二分，就是 p b m 的 面积加 p c m 的 面积， 而这两个图形的面积，它就可以用 pm 作为底边。所以切磋法的恒心其实就是它过某个顶点做 x 轴或者 y 轴的平行线，用坐标来进行表示，它的面积起到一个非常怎么样呢？减面的一个作用， 所以这个题呢，我们就这样来做吧。但是同学们要注意 p g 的 长度，你在表示的时候，它是平行 y 轴的重做标志差，但是你要注意哦，我们 p 点如果跑到了上面，如果跑到了上面，比如说我们用蓝色的 p b， c 的 面积， p b， c 的 面积， p 点如果跑到了上面，我们是过 p 点做什么呢？做 y 轴的平行线，这个时候 g 点在这个位置， 这个时候 p g 的 长度就应该是 p 点的中轴标，减 g 的 中轴标，而如果说 p 点在 g 的 下方的话，那么就是什么呢？ g 点的中轴标减 g 的 中轴标。所以说你在表示 p g 长度的时候，一定要注意加个确认值，因为 p 和 g 的 位置关系不确定啊，所以这就是这一个小题。第二小题，我们就可以这样来做啊， 这样来做有提，我们可以令 p 点坐标，为什么呢？ a 到二分之三， a 加六加六 set 这个坐标，然后过 p 做什么呢？做 p g 平行于 y 轴交 l 二，余什么呢？余记，余记。那么这是第一步。 第二题，第一步，那么交它于 g 之后，则我们就不难推出 x p 肯定是等于 x g 的， 进而可以推出 g 的 坐标，就是 a 等于负的二分之一， a 加上什么呢？二， 对吧？ g 的 坐标就可以求出来了， g 的 坐标求出来之后，我们就不能得到 p g 的 长，因为等一下我们要用 p g 的 长就等于绝对值，两个相减就是二分之三， a 加六，减掉负的二分之一， a 加二， 实际上它就等于多少呢？二分之三 a 加二分之一 a， 实际上就是二 a 再来加上一个四， 对吧？所以这就是 p g 的 长。第二步，我们就来表示这个三角形的面积，所以 s 三角形 a p b c， 它的面积就可以表示成三角形 p c g 减掉三角形 p b g 这两个三角形面积之差， 而这个三角形面积就等于二分之一 p g。 再来乘以什么呢？ c 到 p g 的 距离， c 到 p g 的 距离就是 c 和 p 横坐标之间的距离，它就应该等于的。是 我们这样来写嘛，我多写一步嘛，我怕他们理解不到，因为这实质上它其实就是 b 和 c 横， b 和 c 横坐标之间的距离啊，实质上就是 b 和 c 横坐标之间的距离。这段长度你看嘛，这里做了垂下来，实际上就是这一段，高就是这一段， 比如说这是 h 一， 那么 b 到 p g 的 距离呢？就是这一段，实际上就是 h 二。同学们不难发现， h 一 且 h 二实际上就是 bc 横坐标之间的一个距离啊，其实就是 oc 啊，其实就是 oc 啊，所以说就等于二分之一 p g 来乘以 h 一， 减掉二分之一 p g 来乘以 h 二，所以它就等于二分之一 p g 来乘以 h 一， 减 h 二， h 一 减 h 二，其实就是什么呢？ o c 啊，就是 o c， 所以 说就等于二分之一 p g 乘以什么呢？ o c。 得到这个之后，我们把它写在这边啊，所以说我们就可以得到二分之一乘以绝对值二， a 加四再来乘以 o c o c 很 明显长度是四，乘以个四，它就等于多少呢？等于六 等于六，那么这个时候我们就不能把 a 给求出来了， a 就 等于我们一起来求一下二和它约了。所以说就是 a 加二等于二分之三，二分之三减二就是负的二分之一， 二分之三，负二分之三减二就是负二分之七。所以说 a 有 两个答案，其实从图上可以看得出来， 我们的 a 呀，其实就是有两个对不对？一个呢？ p 在 g 的 下方，一个 p 在 g 的 上方啊，所以这个时候我们进而可以得到 p 点坐标，其中一个点的坐标呢，就是负的二分之一 都多少？我们来算一下，就是二分之三乘以负二分之一，再加一个六，这里就是负的四分之三，再加一个四分之二十四，就是四分之二十一，对吧？ 对的，或者是 p 列坐标是负的二分之七，负的二分之七带进去的话，就是负的四分之二十一， 再加上一个六，四分之三。所以这个题大家就求解出来了， p 列坐标就搞定，这个呢，我们是用牵扯法来做的，当然同学们也可以怎么样呢？讨论就是 p 在 g 的 下方， p 在 g 的 上方两种情况，或者 p 在 a 的 上方，分两种情况去讨论， 对吧？求结也是可以的，但是牵扯法啊，同学们一定要记住，它是我们常见的一种方法，他们必须要非常，如果你熟练的话，直接可以写成二分之一 p， g 乘以 o c 就 可以了。
26指上名师
29:26查看AI文稿AI文稿一个视频搞定一次函数，整个初中数学所考察的所有考点都在这里，我们今天一次性通关，听完这期一次函数，彻底搞懂，准备好了吗？七个考点，我们现在开讲。 好，那么首先来看一下第一个，也就是图像与系数啊，就是我们给出一个一次函数，那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢？就是你要知道，给出一个一次函数，对吧？他的 k b 啊，对于函数图像有什么影响？嗯，好，现在问题来了，你可以推出 k b 的 正负， 请问另外一个意思是， y 等于 k， x 减 k， 它的图像大致是以下中的哪一个？那首先我们知道，因为图像从左往右是下降的，所以我们知道这个 k 呢，它一定是个负数， 你与 y 轴交于正半轴，因此我们知道呢？哎，你这个 b 一定是正的，但这个题呢？因为你这个 b， 他 根本就不考，他只有什么？只有 k， 对 吧？ k 是 一个负数，所以我们知道你前面这个系数呢，一定是负的， 对吧？那你这个 b 是 负 k， 你 不要觉得是 k 啊，这个负 k， 我 们知道啊， k 是 负的嘛，所以这个负 k 呢，它就是正的 o， 也就是你所谓的依次向的系数负的，所以你整个图像，也就是你如果画出来草图，应该长长什么样子？ 负的，所以从左往右是下降的，对吧？但你与外周交于正半周，与外周交于正半周，从左往右是下降的，所以你会发现选哪一个？ b 不 对吧？ c 不 对吧？ d， 你 从头往右下降，但是你交于怎么样呢？交于负半轴了，对吧？所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项，但这个题你会发现，我个人觉得啊， 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏，你比方，如果是我的话，我可能会画一个这个，再画一个什么的， 画一个像这种，对吧？嗯，这个是一，这个呢？哎，这是一，这是二，对吧？你觉得哪个对？好像你用这个正负极判断，好像每个都可以，对吧？但你要知道，其实我们这个一函数，你仔细观察一下，如果你令 y 等于零，也是求它与 x 轴的交点，有办法你移过去呢， 我们可以求出来，对吧？你这个移过来，负 k， x 等于负 k x 等于 x 等于，就这个一次函数，它与 x 轴，对吧？交点的横坐标百分百是一，那这里面标出来了，所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好，接下来我们再看第二个啊，就是用待定系数法求我们的一次函数。好，那么首先我们给出一个一次函数，嗯， 当 x 在 一到三之间的时候呢？我们的 y 是 二到六之间，那么请问 m 的 值等于多少？我告诉你，这个题呢，分两类同学。一类同学说，亮亮，你看一到三的时候，我的值是二到六，所以也就是当 x 等于一的时候，对吧？ y 一定等于二， 以及当你 x 等于三的时候， y 一定等于六。把这两个点带进去，不就结束了吗？嗯，为什么呢？不能这么想，为什么？因为这里面 m 是 正的，而负的，你知不知道？你不知道，所以它的图像有可能像这个样子，有可能像这个样子，对吧？所以它有两种情况啊。亮亮，我早就知道有两种情况， 两种情况对应着两个一函数，所以你答案就有两个，对吧？所以这个题肯定选 c。 如果你这么想，哎，也是错的，那我们怎么去处理呢？首先分类是对的，因为你这里面不知道 m， 对 吧？我的图像是往上而往下的，所以我们考虑第一种情况，当我们图像呢？嗯， m 大 于零， 你整个图像也就是像这样，对吧？上升的。好，那我们知道你一到三的时候，对应的是二到六，所以我们知道啊，也就是像这个样子，那你这个是一，对吧？ 那你这个是三，现在你对应的是二到六，就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢？是六。我画了一个草图啊，所以你会发现这个点的坐标呢，也就是一二吧， 这个点的坐标呢，也就是三六，对不对？好，但你会发现，我们整个一函数里面，它只有一个未知的参数 m， 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去， 你把一二带进去，横坐标一，也是 m 减四， m 等于几呢？等于纵坐标二，对吧？等于纵坐标二，所以你求出来 m 等于几，也就是这边呢，是负三 m 负三， m 等于二，所以求出来 m 等于几呢？你这个求出来， m 等于负的三分之二，对吧？ 好，接下来你把这个点带进去，按理说你 m 应该也等于负三分之二，对吧？好，接下来你把三带进去， 三 m 减四， m 等于几？等于纵坐标等于六，也就是负 m， 对 吧？等于六，所以我们觉得 m 等于几？ o m 等于负六，那就说明什么？说明也就是把这个点带进去呢？ m 等于这么多，把这个点带进去呢？ m 等于负六，那你说你这个一乘以一 y 等于二，当 x 三 y 等于六，你觉得可能吗？ 绝对不可能，对吧？所以第一种情况他是不符合提议的，产生矛盾了，所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢？ m， 小 林，我们这个图像呢？哎，从左往右下降的好，在一到三的时候，你看看一到三，那很明显，一所对应的就更大了，对吧？你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应，你看看，在整个方位里面，我是二到六的，你说明这个点，他的纵坐标是二，以及你这个点的纵坐标呢，是六，对吧？ 嗯，所以也就是你发这个点呢，他是一六，而且你这个点呢，是三二，是不是？那么接下来你会发现，喏，把这个点带进去，也就是 m 呢，减去四 m 等于几？等于六，对吧？ 你这个等于负三 m 负三 m 等于六，所以我们知道，你求出来， m 等于几？ m 等于负二， 那如果你还经过这个点，这个点带进去，你除了 m， 应该也等于负二，对吧？好，你把三二带进去试一下， 三二带进去，也就是三 m 减去了四 m 等于二，你这个求出来，负 m， 负 m 等于二，所以你算出来怎么样？ m 也等于负二，对吧？行不行？行，因此我们知道，也就是 m 呢，它只有一个值，也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定，要分类，但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢，一直傻傻分不清楚，函数到底该怎么拼啊？其实所有的函数呢，大家只需要记住八个字，叫做左加右减，对吧？以及呢？我们上加下减，但你要注意啊，就是你这个左右加减， 它是在 x 上完成的，而我们这个上加下减呢，它是在我们表达式 上面完成的。好，那么接下来买什么意思呢？举个例子，比方说，我们有一个函数，也就是 y 等于二 x， 你 干嘛？你往右移动两个单位，对吧？我们说左加右减，所以你往右移动，你就应该怎么样呢？减二，我在哪减二呢？ 在 x 上面减二，你 x 减二，你这个 x 减二之后， x 就 会变成什么？变成 x 减二， 理解了没有哦，所以整个函数平移之后，它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好，接下来往上移动四个单位，我们说上加下减吧，你往上，所以我们就加，对吧？加式在哪加呢？在表达式上面 往上移动四个单位，所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得， y 等于二， x 减四再加四，所以等于几呢？等于二 x， y 等于二 x， 选哪一个啊？因此你会发现，选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式，它没有任何的计算量，但是你需要去理解，你不理解，你可能都不知道答案怎么来的。好，给出一个一次函数，给出一个一次函数两个。哎，我就把它标一下，好不好？比方说这个一次函数呢，我就把它标成红色的 y 等于 k， x 加 b， 而剩下这一条呢，我就把它标成蓝色的，也就是 y 等于 mx 加上 n， 就 像这种形式。好，就像这样好，其实你会发现，在图形里面，我们可以看出来，二者会有个焦点，而且这个焦点的横坐标呢？是负三。好，请问 那么这个不等式它的解集是什么？那有没有同学说，亮亮，我要把这个，对吧？把这个直线表达式求出来，把这个直线表达式求出来，带进去。哎，我们就构造一个不等式，把这个不等式解出来就可以，如果你这么做就太麻烦，而且很多题目你是求不出表达式了，那该怎么办呢？ 其实你有办法， k x 加 b， 不 就我的外值吗，对吧？而我们右边这个 mx 加 n 呢， 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗？哦，也就是这两个函数，对吧？红色函数小于蓝色函数。大家记住啊，像这种题，你只要记住一句话，叫做焦点左右望，谁大谁在上，你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧？ 哦，焦点的左右就是大家大小的分界点。好，那你会发现红色小于蓝色， 所以红色应该在下面，蓝色图像应该在上方，就在焦点的哪一边，我们整个蓝色在红色图像的上方呢？ 哦，你会发现在焦点的左边，你这个蓝色在红色的下方，那不行，在焦点的右边呢。哦，你会发现， 喏，我的蓝色是不是在上，红色是不是在下，蓝色在红色的上方，所以这一边可以，对吧？所以焦点左右望，哪边满足？右边满足，焦点的右边满足。所以呢，我们的取值范围也就是怎么样？ x 大 于等于注呀，这里有等于号，对吧？就两个一次函数，它们可以怎么样呢？相等，所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好，接下来我们处理一次函数里面的最值问题，那首先给出一个坐标系，有一个菱形， a、 b、 c、 d 菱形，我们知道四边相等，对边平行。好，现在 a、 b 两点呢？它都在 x 轴上面， d 点在外轴上面啊， d 点在这， 嗯，点 c 呢？在第一项键，我们看得出来。好，现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多，那想想 一条直线的表达式告诉我们之后，我们可以求什么呢？首先可以求它以 y 轴的焦点，不就是你后面这个东西吗？对吧？所以 d 点坐标我们知道是零四的，那怎么求 a 点坐标呢？其实很简单，你令整个函数，对吧？ y 等于零， 解这个方程就可以了，所以我们知道也就是三分之四， x 加上四等于负四，所以我们求着 x 等于几等于负三， 也就是我们知道 a 点坐标呢，一定多少？一定是负三零，对吧？我写这里啊，负三零，其实也就是我们知道你这个边是三了，以及我们知道这个边等于几呢，这个边等于四，对吧？就 d 的 总坐标， 所以通过勾股定律，你可以求出来整个边是不是五呀？哎，我们就写在旁边好不好？哎，我们知道零时的边上这个边是五，可不可以？好，那么接下来我们继续往后了。好， 现在 p 是 b 边上一个洞点， p 点在整个对角线上动来动去的。哎，菱形有什么特点啊？好，现在那么 ap 加 o p， 它的最小值 啊，就是 p 点是个洞点，连接 o 点，连接 a 点，对吧？求这两条线段制合的最小值。好，比方说我把这一条边呢，把它标做红边。好，剩下这个 p o 呢，我就把它标做一条蓝边，比方说你是个蓝边， 也是，接下来我们要干嘛？要使得红边加蓝边，两边之隔最小，那很明显它就是一个将军一马问题嘛，我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点，要么做 o 关于 b、 d 对 称点，都可以，但是哪个更简单呢？我们知道 菱形，它是个轴对称图形，对吧？ a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎，所以你会发现，喏，你是对称的，那么根据对称性，我们知道连接 p、 c， 那 么这两条线段一定相等， 所以也就是我只要舍得这一条红边，加上这个蓝边，两边这个最小就可以。那如何最小呢？其实你要知道，屁是一个动点嘛，他就相对从 c 点出发，走走走走，走到 b 地边上再走走走走走，回到 o 点，对吧？ 从 c 点出发到达 o 点，但是你要经过 b、 d， 两点之间线段最短，所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了，对吧？你要经过 b、 d 边上的 p 点，那不就顺手的事吗？所以你会发现，最短路径呢，就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢， o、 c 怎么求呢？ 非常简单，你要注意啊，因为你这个角是直角吗？坐标系哎，你外轴垂直于 ab， 你 这个外轴一定就垂直 dc 了，所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现，喏，在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中，一个直角边五， 剩下一个直角边呢？这个边其实我们刚才标出来了，它是 d 的 中坐标，也就是四，对吧。所以你会发现，通过勾股定律，你的平方 加上怎么样呢？我的平方在开方吧，所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度，对吧？选哪一个？根号四十一所，我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多，但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好， 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊，把甲厂乙厂有些设备呢运到这里，这里，对吧？哎，搞事，现在甲厂有六十台设备，乙厂有四十台。好，写出来。就甲厂呢，总共有六十台，你这个乙厂呢？总共有四十台，对吧？加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢？你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦，我需要七十台哎，你都得给我对吧？好， b、 d 需要三十台。那你想想， a、 d 和 b、 d 总共加在一起，我需要一百台吗？ 我们总共有一百台，而你刚好需要的也是一百台，也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去，对吧？好，现在每台设备的运输费用呢？如表所示，什么意思呢？就是甲运到 a， 每台呢，要七单位，是什么？七百元？甲运到 b 呢啊，每台需要十个单位。乙运到 a 呢，需要十个百元，对吧？ 以运一台设备去 b、 d 呢，要十五个百元啊，就这个意思。好，现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台， x 为整数，你不说我也知道，对吧？好，就是假运往 a、 d， 你 运了怎么样？运了 x 台对吧？好，那我想问一下，请问其他的我们能表示吗？百分百可以表示出来，你是 x 台吗？我们刚才说了， 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去，对吧？我总共六十台，我往 a、 d 用了 x 台，剩下是不是都得用往 b、 d 去啊？用六十减 x 吧，所以你用往 b、 d 的， 甲用往 b 的 一定是六十减 x， 有 这么多台，对吧？所以你会发现哦，甲用往 b、 d 不 就出来吗？ 六十减 x 台，好问题呢，你用 a、 d 的 呢？其实这里面我们都会表示，为什么呢？因为 a、 d 需要七十台嘛，你给我送来了 x 台，所以剩下你需要给我补齐多少台？ 七十减 x， 嗯，就是这个意思啊，它要七十减 x， 需要这么多台，明白了吧？好，接下来 那么这块怎么表示呢？你有两种方法，第一个 b、 d 总共需要三十，你这个乙需要送多少呢？你用三十减去它，哎，你会把三十减去六十减 x， 我 们求出来等于多少？ 等于 x 减三十，这是第一种方法。第二种方法干嘛呢？我乙总共有四十台，我往 a、 d 已经用了这么多，所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊？一台不留嘛，所以你用它减去它，你可以试一下。哎，你用四十减去你，对吧？ 七十减 x， 你 求出来也是 x 减三十 o， 不 管用哪一种方法，你需要的是怎么样？以往 b 运这么多台，所以你想想，以往 a、 d 运的呢？以往 a、 d 运的也就是七十减 x， 以往 b 运的呢？ 以往币运的怎么样？也就是 x 减三十。好，表示完毕之后呢？接下来让我们设计一种调运的运输方案，要使得总运费最低，并求出最低费用是多少。行，我们就利用这个费用呢，我们另他是 y 好 不好？那这个费用怎么表示？ 你假用往 a、 d 总共用了 x 台，每台是七个单位，对吧？哎，你就说七个，你说真讨厌。七百元也是怎么样呢？七 x 加上你用往 b d 呢？哎，每台多少？十个百元，总有这么多台，所以用十乘以它，说白了就是加了十倍的 六十减 x， 加十倍的六十减 x， 让我们再加上什么呢？一样的喏， e 往 a 运了这么多台，每台需要这么多钱，我们乘一下就是整个代数式吧，加上十倍的七十减去 x， 那 最后呢？ 以往币呢？运了这么多台，每台需要这么多钱，所以乘一下就是这个代数式，所以我们加上什么呢？加上十五倍的呢？也就是 x 减三十。好，所以最终我们需要做的干嘛？就是把整个式子，把它给求出来，我们来试一下啊， 等于七 x 加上六百，减去十倍的 x 加上七百，然后减去十 x， 然后怎么样呢？加上十五 x 再减去四百五，等于这么多。 好，所以最终我们求出来等于多少呢？来，我们算一下啊，七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢？ o 总算是正的二 x， 对 吧？好，接下来 六百加七百，一千三，一千三减去，你呢算你最终求出来等于多少？八百五，对吧？哎，最终答案呢，比较简洁，也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好，那问题来了， 你要去求它的最大最小值，你是不是得知道 x 取的范围才可以啊，对吧？你不然怎么求费用呢？ x 等于一百一万，一千负一负一百你都不知道，对吧？那范围怎么求呢？其实这种钓鱼问题，范围非常好求干嘛？你只要使的夹往 a、 d、 b、 d， 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了，对吧？比方说 x 大 于等于零，哎，你要舍得这个东西， x 大 于等于零， 其次呢，你要保证这个东西大于等于零，对吧？也就是六十减 x 大 于等于零，我们就说 x 呢，小等于六十，其次，你这个东西你调用的不能是负数吧， 你最起码得大于等于零，对不对？你大于等于零，七十减 x 大 于等于零，所以 x 怎么样呢？ x 小 等于七十，还有什么你，对吧啊？ x 减三十，你得大于等于零， x 呢？得大于等于三十，所以也就是你会发现 no 同大取大，所以取值范围多少？也就是三十。小等于 x 同小取小，所以呢，小于等于六十。好，这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢？嗯，最小三十嘛，对吧？所以也就是当 x 等于三十的时候，对不对？当 x 等于三十也就怎么样呢？他让我们设计方案 这个班我们直接说啊，就夹往 a 里，对吧？你这个是三十 x 三十嘛？你这是三十 x 三十，你这是四十， x 等于三十，你这是零，明白没有？这么去调运，哎，一定是最省钱的。呃，最少的费用多少？把三十带进去， 二乘以三十呢？六十加上八百五，我们求出来等于九百一十，单位怎么样？百元，你是百元，我也答百元啊，好吧。哎，开个玩笑了，就是我们平常这个答题的时候你要写啊，没有这种对吧？哎，九万一千元搞定。 其实像这种题，我个人觉得比较简单，无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好，我们给出一个一次函数，它的图像呢，分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊，交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数，我们可以求出来，就像上一题一样吧， 我们知道 b 点坐标呢，是零三，以及呢？另外等于我们求出 a 点坐标呢，也就是负四零，我们把它标注出来。好，问题来了， 点 c 是 a 点，关于 y 轴的对称点，所以我们知道这个点的坐标呢，也就是四零，好 过 c 点做 y 轴的平行线啊，其实说白就是做 x 轴的垂线，对吧？嗯，交于 d 点，所以我们知道 d 点横坐标也是四，而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四，把四带进去， 你是三再加三的，所以我们知道 d 点坐标是四六的， p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊， 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上，我可以跑到线段 c、 d 的 外面去，对吧？但不能在这啊，在这呢就叫直线 c d 了。好，第一个求地点坐标，我们已经搞定了。 好，接下来我们看第二问啊，就是把整个三角形 a、 d， c 呢？沿着我们 a p 翻一下，对吧？啊？把它翻过去干嘛？使得 c 点 的对应点 c 撇啊？你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上，让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢，你用等面积法可以，你用勾股定点呢，也可以，比方说，通过我们前面这个图，我们知道整个底边是几， 整个底边是八，对吧？哎，整个底边的长度一定是八，而且我们知道，那通过地点坐标，咱们知道这个边的长度是不一定是六，没问题吧？所以我们知道整个斜边一定是十八六，八十吗？你是把这个三角形，对吧？ 哎，你把这个三角形，你把它翻过去，你这个边是八，所以我们知道这个边长度一定也是八，并且你这个角九十度，所以这个角也是直角，说白了他也是个直角三角形。 与此同时，我们知道你整个斜边是十，拿走八个单位，所以这个边是二。好，你让我求 p 点坐标，其实说白了， 它的横坐标几？ c 的 横坐标是四嘛？所以整条直线横坐标都是四，所以我们知道 p 的 横坐标一定是四，我只要求纵坐标 c p 就 可以了，对吧？好，那么此时我们大胆引入未知数，比方说另这个边是 x， 你把它翻过去了，你这个边 x， 所以 我这个边也是 x， 你 整条线段长度是六，所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现，在这个直角三角形中，用勾股定律，你的平方， 也就是 x 平方加上你的平方，对吧？一定等于什么？等于它的平方，也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢，我们可以求出 x 方加上四等于三十，六减十二， x 加上 x 方，对吧？ 好，左右两边我们哐当，哐当也就是十二， x 呢，等于三十二，所以我们求了 x 等于几。除以十二， 也就是除以四，三分之八，哦，也就是 c p 的 长度呢？三分之八，所以我的纵坐标呢，也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好，我们看第三个，如果直线 o p 啊，就是连接 o 点跟 p 点，那 p 点在上面动来动去，比如 p 点，你就在这吧，可不可以？好，你连接一下 o p， 哎，延长，对吧？哎，你会发现二指头会产生一个焦点。好，焦点是我们的 q 点在哪？不知道。 好，当然它呢，不能跟 d 点重合好，是否存在 p 点，它有什么要求呢？你这个 p 点使得 c p q， 哪个 c p q？ 哦，干嘛也是我连一下对吧？我把这个擦掉，哎，我连一下 是吧？ c p q， 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢？如果有，求 q 点坐标，如果没有，请说明理由。好，你其实你想想啊，就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢？它的高是公共的，你过 q 点往这边做垂线好不好？比方这个是 h， 哎，把这个 b 擦掉啊，哎，这个 p 在 这里，明白没有？哎， p 点在这呢，连接 o p， 焦点 q 点。好，你会发现我们这个三角形能看到吗？它的底边是 dp， 它的高是什么呢？ h， 而我们这个钝角三角形，一样的底边呢，是 c p， 高呢？是 h， 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的，相等的，重复的，对吧？所以面积比呢，一定等于底边之比，底边之比，我的面积是你的二倍，说白了，也就是我们知道底边一定是你的二倍， 对吧？就是 c p 等于二倍的 d p， 而大家不要忘了啊，所以你发现面积关系，其实我们可以怎么样呢？把它变成我们的， 哎，线段的比例关系，对吧？哎，你刚才屁点在这，大家不要忘了 d 点坐标，它是四六的，四六就意味着整条线段是六，你把它分成二比一的两部分，所以我们知道整个长度一定是四，明白了没有？ 哎，也就是你这个屁点坐标呢？横坐标是四，对吧？纵坐标呢？还是四？好，那接下来你让我求 q 点坐标， q 点咋求？所以你看把图形，把图形补全，对吧？ q 点差不多在这， 那经过 o 点，经过 p 点，所以它是个正比的函数，对吧？那我想问一下，整个正比的函数大家可以求出来吗？ 那四四，所以我们知道它是 y 等于 x， 没问题吧？求正比的函数，你只需要一个点，四四代均没有问题。好，而我们知道这条直线的表达是多少呢？ 那 y 等于四分之三， x 加上三，所以我们知道知道 p 点坐标， 求出正比的函数，那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧，就是 x 呢，等于四分之三， x 加上三移过去四分之一， x 呢，等于三，所以 x 等于几？ x 等于十二，就是 q 点这个焦点，对吧？ 哎， q 点焦点的横坐标是十二，纵坐标呢？你可以把十二带到这里面去，你可以把十二呢带到这里面去。哎，带这个更快，对吧？所以我们求出 q 点坐标呢，十二，十二。好，那接下来问题来了，你要知道 q 点怎么样？ 它在整个射线 c、 d 上运动，它除了在这条线段上呢，它可以跑到外面去，对吧？那比方说呢？哎，差不多就长这个样子吧，可不可以好？连接 o p， 对 吧？连接 o p 怎么样？它这个与直线 a、 b 的 交点呢？这是我们的 q 点， q 点在这 好干嘛呢？哎，我们连接一下， c p q 是 哪个？ c p q 不 就是这个三角形吗？它的面积等于什么？等于 d p q， d p q 啊，就这个三角形吧，就是我这个大三角形，是你这个小三角形面积的二倍，一样道理呢？你会发现，你过 q 点做垂线，对吧？ 你会发现这个三角形，你把它当做底，它的高是不是这条垂线段一样的？你这个三角形呢？你把 d p 当做底，我的高是不是也是这个垂线段？所以整个大三角形的高是这么多， 你这个钝角三角形，这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的，相等的，完全一样的，所以它们的面积比其实就等于什么呢？就等于它的底边这里，所以就是整个大三角形，它的底边 c p 是你这个小三角形，对吧？哎，它的底边 d p 的 二倍，也就是我是你的二倍。说白了， d 点就是整个 p c 的 中点， d 点坐标，大家不要忘了啊，是四六的好不好？所以你要知道整个是六嘛，所以这个也是六，也就是它的坐标是四十二，那一样道理。 它是一个正比的函数，经过圆点，经过 p 点，所以我们可以非常快速求出来，它是 y 等于三 x， 对 吧？横坐标四带进去，纵坐标是不是十二？ 好，接下来呢？和这条直线产生交点，对吧？这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的，所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢，等于四分之三 x 再加上三，所以把这个移过去，嗯，四分之九倍的 x 呢？等于三，所以我们可以求出 x 等于几， x 等于 三分之四。 o， 也就是干嘛？也就是你这个焦点 q 点，对吧？我们求出来焦点，哎，就是我们第二个 q， 它的横坐标呢？是三分之四的，那纵坐标呢？你可以把三分之四带到这里面去，你可以把三分之四带到这里面去，你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定，也就是最终我们满足条件的 q 点呢，就这两个。好了，一次函数的核心考点就这些，哪块不熟，倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题，赶紧去领取练习起来吧，跟着亮亮无脑学习。
10.5万亮亮巧解数学
06:29查看AI文稿AI文稿如果这些模型在中考中出现，一段视频秒杀就太可惜了，今天带你疏通等腰三角形存在性问题！等腰直角三角形存在性问题，平行四边形存在性问题！ 模型一，等腰三角形存在性问题，如何识别呢？叫做已知两定点与之构成的等腰三角形的动点个数，所以叫做两定一动够等腰。那么什么样的大招可以秒掉呢？叫做两圆一中垂就好了。以 a 为圆心， ab 为半径作圆，就可以得到 等腰三角形。 ab 为半径画圆就可以得到等腰三角形等腰三角形。 如果以 ab 为底做其垂直平分线，又可以得到等腰三角形等腰三角形。所以同学们记住我们的口诀，两圆一直线，如果看到了两定一动勾等腰的时候就引用，但是一定要除去共线点，为什么呀？因为 ab 所在直线 的交点，这两个点可构成三角形哦！我们看一道真实的考题，已知 a 点 b 点 c 在 外，等于 x 上 构成等腰三角形，所以两定一动够等腰。那么以 a 为圆心， a、 b 长为半径画圆。以 b 为圆心， a、 b 长为半径画圆。以 a、 b 为底做其垂直平分线，就可以得到两圆 e 中垂了。得 到两圆 e 中垂之后与 y 等于 x 的 焦点，第一个，第二个、第三个，所以有三个焦点，这道题就快速的秒掉了。二、 b 选项 再来一道，如图，平面直角坐标系中知道了 a、 b 两定 x 轴上去点 c 一 动构成等腰三角形，两定一动够等腰，所以就是两圆一直线，对吧？画两个圆， 画一条中垂线，那么它与 x 轴上的交点就是点 c 了，一个两个，三个，四个，五个，所以这道题哎，应该选 e 五个才对，但是忘记我们应该出去什么点了吗？出去贡献点对不对？所以与 a、 b 所在直线共线的点 m 要出去，所以这道题选四 d 选项四个， 你学会了吗？再来一道，同学们在评论区留下你的做题过程，我们相互对对答案哦！ 模型二，等腰三直角三角形存在性问题，说的就是已知两定构成的等腰值的动点个数， 刚才叫做两圆 a 中垂，那么这种构成等腰值的呢？其实叫做两个正方形，求其顶点和中点，就是答案了。以 a、 b 为边，画一个正方形，再把对角线一连，那么两个顶点再加上一个中点，就是所求的上面有，下面也有，对吧？ 所以这种题一般有六个就可以快速的秒掉，叫做有两定一动画等腰直，那么就是画两个正方形，再把对角线一交，就是两顶点，一中点，就可以快速的秒杀掉。我们看一道真实的考题， 如图，在正方形网格中， ab 是 两格点，所以两定一动等腰直，画正方形啊，在 对角线相交啊，所以一般情况下有六个。我们看一眼这个题，画正方形 求顶点和焦点，是不是标准的四 d 选项做出来了，很快对不对？再看一道下图，四乘四的网格中，每个小正方形的顶点又是格点，如图，在格点上存在点 c， 所以 格点上才是点 c 呢，估计要剔掉一些答案 是以 a、 b 为直角边的等腰值，所以你先别管这个，先把 a、 b 一 连画两个正方形，上面一个，下面一个， 之后把六个点点出来，我们再剔除呗。下面的肯定都要剔掉，因为它不落在格点上。这个点 c 呢，也要剔掉，因为它也不落在格点上。但是还有一个叫做以 a、 b 为直角边构成的等腰值， 所以我们看一下 c 一 和 c 二是不是都满足，都满足，所以是两个，所以这种题并不难背，我们的大招，难的是你能不能准确的剔除一些答案， 这才是重要的。再来看一道模型三，平行四边形存在性问题，又是存在性，那么说明还考动点，我们看一眼怎么考不共线的三个顶点，刚才都是两个，现在变成三个，求与之构成的平行四边形的动点个数，所以三个点怎么求啊？把这三个点连上之后，过 对点做对应边的平行线，过对点做对应边上的平行线，过对点做对应边上的平行线，那么相交的这三个点就是所求的。看一眼是不是这是个平行四边形，这是不是又是一个平行四边形？是不是这还是一个平行四边形？所以 相交线的交点就是所求的答案，一般有三个，就看我们踢掉哪个就好了，所以叫做过三条平行线，找三个交点就是答案了，也是我们的大招。 看一眼真实的考题，如图，在平面直角坐标系中，直线 a、 e、 b、 e 相交于点， p、 d 是 平面内一点，如果以 q、 p、 b、 d 为定点做平行四边形，那么是不是有 q、 p、 b 三个定点求平行四边形，那么是不是就是做平行就好了？ 所以当我们把平行都做出来了之后，是不是所交的点就是答案了，所以一下子就可以得到答三个，很快的，对不对？ 再来看一道大坑题，大坑题在平面直角坐标系中， o 点为圆点，依次函数 y 等于 x， 加三与 x 轴外轴分别交于 a、 b 两点， 使四边形 a、 b、 c、 o 构成平行四边形。那么知道了 a、 b， 知道了 o， 所以 三个定点出来了，那把三个定点分别做对边的平行线， 是不是就交出来了三个点？当我们交出来了这三个点之后，我们看一眼是不是都是想留下的，那就填三就好了，如果又不是呢？那就要踢掉这道题的关键点埋在这了，它给出来了 a、 b、 c、 o 就 给出来了顺序。所以这个三角，这个四边形 是 c、 a、 o、 b， 这个四边形是 a、 b、 c、 o 是 对的，这个四边形是 a、 b、 o、 c 是 不对的。所以答案只有一个，你学会了吗？最后，我就把这一章中所涉及到的重点的模型放在屏幕上，供大家参考。二零二六中考，我们稳扎稳打，下期见！
187韩肇霖｜初中数学
03:19查看AI文稿AI文稿一次函数压轴题，三类情况记忆漏解，学会这个思路，轻松拿满分看题。 y 等于 x 加四与 x， y 轴分别交于 a、 b 两点点， p 在 直线 y 等于 x 上。当三角形 a、 b、 p 为直角，三角形 a、 b、 p 时，求点 p 的 坐标为多少？首先我们需要去求一下 它 y 等于 x 加四与 x 轴 y 轴的交点坐标 ab 两个点。先看 a 点， a 点坐标，它在 x 轴上，说明 y 为零，那把 y 带成零。求 x 等于 x 加四，这样可以求出 x， 它应该等于负四，所以 a 点坐标就应该是负四，逗号零。再看 b 点坐标， b 点坐标，它的 横坐标为零， x 为零，把 x 带成零，零加四，那应该等于四，所以纵坐标为四，应该是零，逗号四。接下来他说三角形 a、 b、 p 为直角，三角形 a、 b p， p 点是在 y 等于 x 这样的一条直线上。要想 它成为直角三角形，那没有说哪个是直角，直角的顶点。所以要分成三种情况，可能 a 为直角，也可能 b 为直角。首先我们说角 a， 它如果角 a 为九十度，说明 a、 p 它应该垂直， ab 角 a 为九十度， ap 垂直 ab。 而题目里面我们知道 ab 它的直线，它的斜率是等于一，而 ap 与 ab 垂直，说明 ap 它的斜率应该为负一。我们可以设 ap 它的直线。解析式， y 等于负 x 加上一个 b， 这时 b 是 多少？我们需要把 a 点负四的号零带入进去， 那就可以得到 y 等于零， x 等于负四，负的负四就是四。四加上 b， 这样可以求出 b， 它应该是等于负四，所以 ap 它直线就应该是 y 等于负 x 减去四求 p 点坐标，因为 ap 和 y 等于 x 这条直线相交，所以连立这两个方程，那就可以求出 p 点的坐标来， 也就是 x， 它应该等于负 x 减四，进而解出二 x， 它应该等于负四，所以 x 应该等于负二。屁点坐标 x 横坐标为负二，坐标也是为负二， y 也等于负二，所以此时 p 一 点的坐标为负二，多少负二。第二种情况就应该为角 b， 它应该是九十度，那 b 点为直角，角 b 为九十度的话，我们可以得到 b p， 它应该垂直 ab， 此时我们需要求出 p 二点的坐标，那一样的还是先求出 b p 的 解析式，因为 ab 它应该它的斜率是等于一， 而 b p 和 ab 它俩垂直，所以 b p 它的斜率就应该是负一，并且它又经过了点 b p 与 y 轴的交点，坐标为零，逗号四，所以我们直接可以得到 b p， 它的解析式就应该是 y 等于负 x 加四。 p 二点的坐标是 b p 二与 y 等于 x 这两个直线它的交点，所以连立这两个方程， y 等于 x， 那 就可以得到 x 等于负 x 加四， 所以二 x 等于四， x 就 应该等于二，那 p 二点的横坐标应该为二，纵坐标相应的也为二，所以 p 二点的坐标就应该为二，多号二。第三种情况就为角 p 等于九十度的时候，那也就是要让 a p 垂直， b p 求 p 点的坐标。这里从图上我们可以看到，原点它是在 y 等于 x 这条直线上，当 p 点正好在原点的时候，那 a p 垂直于 b p， 也就是原点和 p 点重合的时候，这个三角形 a o b， 它是一个直角三角形，那 p 点就和原点重合，直接得出 a 三这个点，它就是原点坐标零的话，零。直接看到最终 p 点的坐标应该有三三个答案， p 一 负二，逗号负二， p 二，二逗号二， p 三零，逗号零。这类题型一定要进行分类讨论，数形结合做题会更快，听懂的同学扣六六六。想看更多题型点关注！
03:30查看AI文稿AI文稿这种一次函数和几何综合的大题，一定会在我们八下期末出一道压轴题，那这种题目他解析的方法非常固定，今天啊，依依老师就教大家三步法，轻松搞定这类题目的答案。 那有关于一次函数的综合大题啊，我们常见一共有十大类题型，老师都给大家总结出来了，而且每一类题型它的方法都非常固定， 所以我们现在学题不应该是单单的刷题了，而是应该养成题目题型化的思维，逐个突破，你后面在考试当中遇见这类题目，才能举一反三好不好？下面咱们就来一起看看这道题。 说已知函数，它的图像与 y 轴交于 a 点，这是 y 等于 x 加一啊，那 a 点不就是零一了，对不对？这就是零负一了。好了，依次函数 y 等于 k， x 加 b 过点， b 零负一，哦，这是零负一呗。标图 与 x 轴以及 y 等于 x 加一的图像哦，交于 c 和 d 两点。好了，现在说 d 点的坐标告诉你了，是 e， n， 让你求 n 的 值 来看地点，地点是两个函数图像的焦点。第一个问很简单，由于它既在 y 等于 x 加一上，又在 y 等于 k， x 加 b 上，所以我直接把它带入这个已知的解析式去求 n 就 行了。 所以带进去咱们就有 n 等于一加一也就等于二，所以地点的坐标就是一二了，对不对？哎，第一个问白给分的，咱们就求出来了， 求出来之后呢，咱们去看第二个问，让你求 y 等于 k， x 加 b 的 解析式。由于我们想求这个解析式，得知道两点的坐标，咱在这已知了一个地点，在这已知了一个 b 点，所以直接代入，我们就可以求第二个的函数解析式了， 求出 y 等于三， x 减一就是这个函数的解析式了。接下来我们来看第三个问，也是我这个视频要主要讲解的求四边形 a、 o、 c、 d 的 面积。这个四边形是个不规则的四边形，那该怎么求呢？ 所以在这我们要借助一个方法，叫做割补的方法。哎，咱们要把它分成两部分去求面积，那怎么分呢？你会发现啊，在这这一段已知是一对吧？这一段我能求出来，因为它就是这个函数图像与 x 轴的焦点嘛， 所以我得分三角形的时候，分成两个面积已知的三角形，所以在这啊，我就连接 o、 d 这么去分。 所以第三个问啊， s 四边形 a、 o、 c、 d 的 面积就等于三角形 a、 o、 d 的 面积， a、 o、 d 的 面积是啥呀？二分之一以 a、 o 为底，以谁为高啊？ 以地点横坐标的绝对值为高，是一对不对。同样 c、 o、 d 的 面积怎么求呢？二分之一底乘高，我们可以选择 c、 o 为底。 哎，以地点纵坐标的绝对值为高，那 c、 o 的 长度是多少啊？来在这求一下。哎，我们直接令什么 y 等于零，那三 x 减一等于零， x 求出来，不就等于三分之一了吗？ 所以这一段的长度，它就是三分之一，也就是二分之一乘三分之一，再乘以它的高高，不就是二吗？ 所以我们很容易可以求出最终的答案，就是六分之五，它的面积也就求出来了。所以遇到这种题，咱们一定要巧用面积公式，选择合适的方法再来求解。
1396依依老师da数学
04:41查看AI文稿AI文稿等幺三角形存在性难题，初二和中考都爱考，吃透这三种方法，直接通杀所有考题。大家好，我是最会教孩子思考的米老师。我们来看这道题， 说依次函数 y 等于负二， x 减一和 x 轴 y 轴分别交于 ab 两点，那读到这咱们就能求出 ab 的 坐标，这一点是负一，这一点是负二。 说在 x 轴上有点 p， 让三角形 a， b， p 是 等腰三角形来求点 p 的 坐标。那这类题的两个难点，第一个就是分类讨论， 很多同学在分类这呢容易丢掉情况。那米尔教你一个小技巧啊，你就去揪那个等腰的顶角顶点，当 a 是 顶角顶点的时候，你就揪着点 a 去写啊，就是 ab 等于 ap 就 扯出了两条腰。 那第二个，当 b 是 那个顶角顶点的时候，你就揪着 b 去写 b， a 等于 b， p 又扯出两条腰。 第三种情况，当 p 是 顶角顶点的时候，同样 p a 等于 p， b 扯出两条腰 就无脑。就这三种情况啊，连图都不用看啊，不要按照谁是腰谁是底去分类，讨论的非常乱。 好，我们来看第一种情况， a b 等于 a p， 那 a 它是个定点呐，那 b 长度，这都知道，所以肯定就要以 a 为圆心， a b 为半径去画个圆儿交 x 轴，这里会有一个点 p， e 这边还有一个点 pr。 总结来说就是当这个顶点是定点的时候，我们是通过画圆去定位点 p 的 位置。那接下来的第二个小难点是什么呢？就是在于去求点坐标的方法。 对于第一种情况，那你看半径 ab 都是固定的，我们求一下二，一勾股，它是根号五，那这个时候 ap 自然就等于 ab， 等于根号五，等腰三角形的腰相等， 那 ap 一 它是根号五，所以 ap 一 的坐标就是负二加根号五， p 二是在 a 的 左侧，所以它就是负二减根号五。接下来我们再看第二种情况， b a 等于 b p， 那 这时候 b 它依旧跟刚才一样，也是个定点，所以我们去如何找 p 的 位置，还是过 b 去化以 a b 为半径的圆 儿，那题中的一个焦点呢？它就是 a， 那 这个咱就不要了，哎，继续往这侧画，你会发现这一侧还有一个 p 三，那这个 p 三的坐标怎么来求呢？大家不难发现这种对称的特点，那为什么是对称的呢？当然用的是等腰三角形，三线合一的性质，你这里是垂直的，它自然也是这底边的中点，所以 p 三的坐标就是二斗零。第二种我们用到的方法是三线合一， 那第三个 p a 等于 p b， 你 发现这时候 p 它做不了圆心，因为它都不知道这点在哪，那怎么办呢？ a b 既然是定点， p 到它俩的距离相等，说明 p 在 哪？在它俩的中垂线上，那我们就去做 a b 的 中垂线和 x 轴的那个焦点，就是我们要的那个点 p， 也就是当这个等腰的顶点它不是定点的时候，你去做钟垂，找它的位置，那怎么去求它的坐标呢？根据钟垂线的性质，我们去连上这条线， p 四 b 和 p 四 a 是 相等的， 那在这个小三角形中，我们就可以勾股定律，我们说这个长度是 x， 所以 它的长度就是二减 x， 那 我们 这里就是二减 x， 这条直角边的长度是一，所以在直角三角形 p 四 b 和这个 o 中二减 x 的 平方就等于 x 的 平方，加上一的平方 x 等于四分之三， 所以我们 p 四的坐标是负的啊，在负半轴上负的四分之三，逗零。总结一下，在分类去找这三种情况点 p 位置的时候，我们画图是两圆儿一中垂， 再去求解的时候，通常这种定点的时候比较好求，就用腰相等和三线合一，当这个顶点是动点，我们做钟锤找到它的时候，就用射源加勾股去求它的坐标。数学拔高进阶跟进鸣笛。
105初中math铭迪老师
00:21查看AI文稿AI文稿这种直角三角形存在性问题，分类讨论防漏解。第一步先求出一次函数解析式。第二步，分类讨论，第一种角 a p b 等于九十度，直接看图像， p 点就是一 零。第二种角 b， a p 等于九十度，先求 a p 的 解析式，斜率和 a b 垂直就是负一，再代入 a 点算出解析式。另外等于零， p 点就是三零，学会了扣一。
138大鱼数学
