中考作图题技巧大全
今天我们来讲一下中考当中无刻度直尺作图的基本考法，总共给大家讲七种类型。第一个做中线，如图，我们要做中线 c、 d， 那 就是取 ab 的 中点，那我们可以把 ab 所在的这个矩形的另一条对角线连出来，两条对角线的交点 d 就是 中点， 然后再连接 c、 d 即可。或者是我们直接连接这个小格子的对角线，那么这个焦点 d 也是中点，然后连接这个 c、 d。 第二个我们看做角平分线，如图，我们来做角 abc 的 平分线。通过第一个例子，我们知道做中线是非常简单的，而等腰三角形的底边上的中线和顶角的平分线是合一的，所以这时候我们可以考虑 以角 b 为顶角，就是把三角形 abc 给它变形成一个等腰三角形， 那就是使得角 b 的 两个邻边是相等的，那么这个 ab 的 长呢？它是三乘四的这个直角三角形的斜边，所以这个斜边长是五，而 bc 的 长度是四，所以我们只要把 bc 往前再延长一个， 延长到这个 d 点，这时候 b、 d 的 长度也是五，然后再连接 a、 d， 那 么此时 a、 b、 d 就是 一个等腰三角形了。 a、 d 是 底边，那我们取底边上的中点，这里就直接取到是这个 e 点，然后再连接 b、 e， 那 么这个 b、 e 就是 角 abc 的 平分线。第三个我们看做垂线，如图，我们做 a、 d 垂直 bc 交 bc 于点 d， 那 么这时候我们只要过 a 点去做一条和 bc 等长的线段即可。因为 bc 它是这样一乘五的这个直角三角形的斜边，那我们只要过 a 点，也去做一个一乘五的直角三角形的斜边， 但是这样的线段有很多，比如说这样是的，然后这样也是的，那你可以观察一下到底是哪一条是和 b、 c 垂直的，那显然是我们做的这条 a、 e， 它和 b、 c 等长，并且是垂直 ab 的。 那有的同学可能会问，为什么这样做一定是垂直的？这个理由很简单， a、 e， 它也是这个一乘五的这个三角形的对角线。那么图中这两个虚线画出来的三角形应该是全等的， 那么角 b， 它就等于角 e， 我 们假设这个角 e 是 阿尔法，角 b 是 阿尔法，那么这里是九十度，所以这个角它就是九十度减阿尔法，九十度减阿尔法加这个阿尔法又等于九十度，所以这个地方就是九十度。 所以我们过一个点做这个已知线段的垂线，我们只要过这个点做一条和它等长的线段即可。 第四个我们来看做中垂线，如图，我们做 a、 b 的 中垂线，我们知道一条线段，它的中垂线肯定是经过这个线段中点的，那我们只要再去找一个点到这个 a 到 b 的 距离相等，然后再把这个点和 o 连起来，这就是中垂线了。 那要找到这个点的话，我们可以以 ab 为边做一个正方形，正方形的这个对角线交点到 a 到 b 距离相等。或者是我们直接以 ab 为边做一个正方形，然后把正方形另外一个边的这个中点取到，然后跟 o 连起来，这也是 ab 的 中垂线。 如图，我们以 ab 为边，先来构造一个正方形，然后再去取 ab 的 中点，这里直接能看出来是这个 c 点，然后再把 ab 对 边的中点找到 d 点，再连接这个 cd 并延长，那么这个就是 ab 的 中垂线， 或者是将这个对角线连起来，那么这个交点 o 跟 c 连起来 就是 ab 的 中垂线，那么有时候可能这个格子画正方形画不下，那我们这里可以构造一个等腰直角三角形，以 ab 作为这个直角边， 然后去做出一个等腰直角三角形，那么这个角 b、 a、 c 是 九十度，然后我们取这个 ab 的 中点 d， 然后这时候如果你这个中垂线做出来的话，它这个跟 b、 c 的 这个焦点应该也是中点，所以我们这时候就直接取 b、 c 的 中点，那就是把这个对角线连一下， 然后这个 e 点是 b、 c 的 这个中点，然后将这个 d e 连起来并延长， 那么这个 d e 就是 ab 的 中垂线。然后还有第三个方法，我们可以先去做一条和这个 ab 垂直的线段，比如说这里过 a 点去做一条和 ab 等长的，然后垂直 ab 的 线段，然后把 ab 的 中点找到地点， 接下来我们只要将这个 a、 c 这条线段平移到经过这个地点的位置，这样就可以确定出 ab 的 中垂线了。 那么假设 a 点平移到 d 点的位置，那是向下平移两格，向左平移了半格，那么 c 点也向下平移两格，向左平移半格，但是这个半格这个地方我们不能用，直接用尺子得出来，所以我们可以连一下这个对角线， 把这个中点找到，那么 c 的 对应点就是这个 e， 然后再连接 d 并延长，这个就是 ab 的 中垂线。 第五个我们看做点关于直线的对称点，如图，我们做点 a， 关于 bc 的 对称点 a 撇，我们知道对称点它是要过 a 点先做 bc 的 这个垂线， 然后 a 到这个 bc 的 距离和这个对称点到 bc 的 这个距离应该是相等的，这样才能确定出这个对称点 a 撇， 那我们先过 a 点来做垂线，就是过 a 点做一条和 bc 等长的线，这个 bc 它是一乘四的这个三角形的对角线，那我们这个 a 点也往 bc 垂直的这个方向去画一条 和 bc 等长的线段 a d， 然后我们再去找到一个 a 撇时的 a 撇到这个 bc 的 距离和 a 到 bc 的 这个距离相等， 这时候可以利用平行线之间的距离处处相等来画。我们可以过这个 a 点去画一条线，它和 bc 平行，因为这个 b 点它到 a 点的位置相当于是向上两格，向右一格，那么这个 c 点也向上两格，向右一格。我们确定出这样一个点， e 连接这个 a e， 那 么 a e 到 b c 的 位置就是向左一格，向下两格。然后接下来我们再把 b c 也向右一格，向下两格，这时候 b 的 对应点就是 fc 的 对应点就是 g， 然后再把这个 f g 连起来， 这时候 f g 和 a d 的 这个交点就是 a 撇。第六个，我们看一下这个比例分割， 假设让我们在 a b 上去取一点 p， 使得 a p 比 b p 等于二比三，那么这时候就利用八字相似来实现。这个 a 点呢，它向左 画两格，然后 b 呢向右画三格，然后再把这两点连起来，这样得到的两个三角形的相似比就是二比三，然后这个交点就是我们要找的 p 点。 最后一个我们看作等角，比如说让我们在 p q 上去取一点 m， 然后使得角 a m p 等于角 b m q， 那 这里实际上就是相当于是光的反射，这个入射角要等于反射角， 那我们先做 a 点，关于这个 p q 的 对称点 a 撇，然后再连接 a 撇 b a 撇 b 和 p q 的 交点就是 m， 然后再连接 am， 这时候角 a m p， 它是等于角 a p m p 的， 角 a p m p 又等于角 b m q， 所以 这样的话，角 am p 就 等于角 b m q 了。 好，那么以上就是我们讲的无刻度直尺作图的七种基本考法了。
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16:35查看AI文稿AI文稿二零二六届中考生注意了，从这节课开始，中考物理专题冲刺课程正式开讲，全程无废话，每节课都能带你拿下至少一种中考必考的题型， 只要你认真听，每节课都能提分。大家好，我是 p g， 一个专带差生逆袭的物理老师。点个关注，咱们直接开始。那么第一节课呢，我们来讲的是力学的作图，那么我们这节课包含受力分析啊，杠杆作图，还有滑轮的绕线问题。 好，首先我们来看题型一力的示意图。首先第一题说如图所示啊，小球被挡住了，静止在光滑鞋面上。哎，什么叫光滑呢？一定要注意它是无摩擦力啊，没有摩擦， 那请画出小球受到的重力和挡板受到的压力啊。那我们知道这里边画两个力，一个是小球受到的重心，那重力作用在几何？重心 啊，然后呢，方向注意叫做竖直向下，那怎么叫竖直向下呢？注意，是跟水平线垂直才叫竖直啊，跟鞋面没关系，所以就往竖直方向画啊，再画一个箭头，然后标上打 g 就 可以了，这样我们的重力就完事了。 那关于重力呢，必须主要强调的是方向注意竖直向下是跟水平方向垂直。好，接下来你要看他挡板受到的压力，谁的谁受到的是挡板，所以我们的重点一定注意不要画在物体上，应该画在挡板上啊，我们要画在接触面。 那么压力的特点是什么呢？是跟接触面垂直啊，你看这两个力方向不一样，竖直是跟水平垂直啊，就是跟接触面垂直，所以这个水平向右， 然后标一个 f 压，哎，这样我这个重力和压力就都搞定了。那虽然这个题难度并不大，但是细节一定要把握好啊，重力作用在重心方向，竖直向下，而压力是作用在接触面与水平与接触面，它是垂直关系。 好，接下来看第二题，如图所示啊，用细线把小球挂在墙上，用力的视角表示小球受到的重力和绳子对小球的拉力，以及墙对小球的支持力。 好了，那已经都指向明确了，那我们一个来画啊，那这三个力呢？重力最简单，我们就一重二弹三摩擦，那这个顺序呢？一般我们是这样的，一重 二弹啊，三摩擦力，哎，基本上所有老师都这么教，其实为啥要这么教呢？因为摩擦力啊，是最烦人，所以放最后，重力呢，最白痴，所以放在最前面，哎，这回你懂了吧， 然后再知道，哎，这个弹力怎么样呢？弹力是包括压力啊，啊，支持力啊，绳子拉力啊等等，这些都是弹力啊，皮筋就不写了。好，那接下来我们来实操啊，一重重力，哎，他让我画重力，那重力竖直向下不用说， 然后注意绳子对小球的拉力肯定作用点在小球上，那可以画在这，也可以画在这，我们一般习惯画在重心，所以呢，咱就沿着绳子方向，注意，绳子的拉力一定是沿着绳子方向的啊，这就是咱们绳子的拉力 f 拉。 那最后呢？还有说强对小球的支持力，那肯定也是啊，作用在球上呢，咱也画在重心上，那支持力注意也属于弹力运动，所以他垂直接触面，所以水平向右。 哎，这个咱就把它完事了啊，这个叫什么？它叫支持力，那你看这仨力咱也把它搞完了。那为了避免啊丢失啊，咱们一般有个顺序啊，你了解一下啊，但是这道题已经告诉你了，重力、拉力还有这个支持力啊。好，接下来看第三题， 他说青，呃，青神竹编啊，第二届国家非物质文化遗产代表性项目，是流传于四川省眉山市青神县的一种古老的民间工艺。哎呀妈，这个这这这名很长啊，不知道有没有你家啊。 然后如图示，竹蜻蜓放在支点 o 处经折，那画出竹蜻蜓的受力图了。那受力受力图什么意思吗？这个时候你要分析了啊，要根据他的状态来分析哎，他受到力的情况， 那你看他静止在这是不是应该受力平衡啊？所以你就按照我们刚才说的顺序先画重力。哎，这边说啊，重力往下啊，竖直向下， 那你说咱这个竹精灵怎么受重力，他没动呢啊，他应该有一个跟重力等大反向的力，其实这个力也就是咱这个支持支持的东西给他向上的一个支持力。 哎，你看这两个力能不能让他平衡啊？可以啊，所以咱们这个蜻蜓受到力就是重力和支持力，别的没了啊，不要再想其他了。 好，接下来我们进行提醒。二啊杠杆的作图，相信呢，同学们对这个杠杆啊，应该是更加恐惧一些，来，我们整他啊。 好，如图是古代劳动人民用这个局。这啊，急水啊，这是什么题啊，不说了啊，请画出杠杆上 a 点受到的拉力 f 一 解力臂 l 一 啊， 那你看啊，我们说这个 a 点受到拉力，拉力怎么样？沿着绳方向吗？坐在 a 点，那就竖直向下啊，直接来，不是竖直向下啊，沿着绳方向啊，你看 f 一 拿下， 那接下来我们画这个利弊怎么办呢？注意利弊啊，什么叫利弊？利弊就是点到线的什么啊？距离啊，点到线的距离，就这玩意叫利弊。那点是什么点呢？点叫做指点线，叫什么线呢？叫利的作用线 啊。例子，中线距离是啥玩意呢？距离就是垂线断啊，咱们简单写一下啊，这玩意就是利弊了。那你讲这我根本听不懂，我老师老给我讲，我也听不懂，哎，我给你实操，你就完了啊。首先咱们找支点，谁支点呢？你给了 o 了，那拿下了，你看第一个字解决了， 然后力的作用线啥意思啊？就是力所在的直线，他就是这个力呢，有的时候不够长，你看我们就把它延长啊，你往哪边延长都行啊，只要注意延长线都是虚线啊，就力所在的直线，叫力的作用线也。拿下， 然后接下来说点到线的距离。那数学你讲没讲点到线的距离啊？能讲了吧，比如这有个点，这有一条线，怎么做距离啊？那从这个点做这个线的垂线呗，对不对？然后这个这个这个不就是咱们的这个点到线的距离吗？ 啊？那利弊怎么办啊？注意从 o 点向利的作用线做垂线啊，从 o 点做垂线，做垂啊，做垂 啊，垂直。然后为了证明他是利弊呢，我们可以标两个双箭头，然后呢标上咱们的 l 一， 这样的利弊就画完了。 当然还有一种画法呢，叫大括号的方式啊，这里边我不跟你纠结那个，我相信那个不是关键啊，你都会啊，然后呢，我给你教的这种方法是绝对正确的啊，就是就是，这种双箭头的画法，我个人非常喜欢哎，希望你也喜欢。好吧， 但是实际上两种画法都有各的优点和缺点啊，咱不要争啊，不要生气，不要着急啊。好了，所以第一个搞定 好第五题，那这道题呢，稍微难那么一丢丢，他说翘起大石头啊，以 o 为支点，架好杠杆， 如图所示，在 a 点用最小的力啊，让我们这个力的视角怎么样？你想到最小啊，根据杠杆的特点，他力臂就要怎么样啊，最长，哎，这就是咱们要干的。 那怎么样他利弊最长呢？有人老师我会呀，你看我这个往下用力敲，哎，这个不就完事了吗，这样肯定省力啊，利弊又长了，是不是？我们把这个时候的利弊我们不妨画出来啊，从支点向他做垂线， 哎，你看，这个是此时的利弊，咱叫 l e。 好， 接下来 p 再给你找一个，我跟你说，真正的最长的我怎么做呢？我垂直于这个杠杆啊， o a， 哎，咱们也叫 f 啊，咱们 f 撇吧。然后我如果做他的垂线怎么办呢？从做利弊怎么办呢？从 o 点向他向做垂线，就这里就是变成利弊了 啊，这里变成利弊了。来，你看这个三角形中，来来问我告诉你啊，这个蓝色的边和红色边谁长？来，告诉我，蓝色还是红色？来，三二一，那必须蓝色。为什么斜边大于折边？因为你是垂直， 也说明咱们这个 o v 是 更长的，对吧？所以咱们要做 o v 的 垂线，也就是这个力才是咱们要画的力的示意图，那其他没用的哎，你就可以把它擦掉了。好吧， 那这里边呢，皮皮给大家强调一下啊，怎么叫画最小力？其实就力臂最长，那一般的就是做垂线，那有一般的就二般的，来，咱们看看二般的啊，好，第六题，图贾斯自行车的手闸，其中 a、 b、 o 部分可视为一种杠杆， 其简化式意图如图，以 o a 支点 f 二为主力。请在图中画出第一个作用在 a 点最小的动力 f 一 和力臂 l 一。 阻力啊， f 二的力臂 l 二。 那有人说，老师，你这刚才都讲过了，最小力怎么又来了呢？注意，这个不一样啊，这个杆子你看它是个弯的，怎么办？这个时候你不能再直接做垂线了，怎么办呢？注意，第一步，先连线，连接咱们的 o a 啊，连接 o a， 那 这时候你再做它的垂线，往哪垂呢？你要稍微判断一下，往上还是往下呢？啊，这个是个难点啊，一定注意了，往上往下是个难点，为什么？你看啊， 比如现在这个 f 二是往这个方向拉，那杆子呢？这个地方肯定往下转，对吧？绕着这个点转，那这个边呢，就往上转，怎么让它不往上转静止呢？哎，咱这里就往下， 所以注意啊，所以咱这个力就应该往下方用啊，往下方用，这个就是我们的 f 一。 当然有人，老师，我不太懂你为什么这样转来转去，那我告诉你啊，本质就是你这两个力要使杠杆静止才可以。你看这个 f 二的作用应该是让这个杠杆往下转， 那由于杠杆绕着它转的时候，这边就自然往上，怎么让它不往上，它静止下来，那这个力就得往下。好吧，这块有一点点难理解啊，同学们要尽量啊，把它理解到位，不然这考试你就吃亏了啊。好，我再重新画一下这个力啊，我们是怎样最小力呢？ 第一步，先连接 o a， 什么时候才用呢？注意是这种弯杆啊，弯杆先连接 o a， 然后干什么呢？做 o a 的 垂线 啊，做 o a 的 垂线，然后这个力就是我们最小的力了啊，那总结一下最小力三步，第一步，连接 o a， 也就是支点和力的作用点。第二步，怎么办呢啊？做垂线 啊，做连线的这皮线。第三步，咱们要判断一下方向问题啊，你到底往上还是往下，目的是干什么呢？一定要让这个杠杆能够保持静止，而不是转圈啊，因为静止才是杠杆的这个平衡状态啊，证明 f 一 f 二是动力和阻力。 好了，这里标个 f 一， 当然没画完啊，这只是动力，然后还有一个力臂呢，叫做 l 一， 咱们直接在这条线就可以了，因为刚好它是垂直的， 然后双箭头 l 一， 直接拿下，好接下来阻力的力臂。 l 二呢？啊，这个就比较简单了啊，我们直接从支点向力的纵线做垂线啊，直接过来做垂， 然后双箭头 l 二。那这里边呢，必须给大家强调啊，我这里边没办法用尺啊，大家做图肯定要尺规做图的啊，越完美越好啊，在中考最后阶段，你一定把自己的规范性放在第一位，而不是说你做了多少题，你做一个就会一个，而且呢，就把它干对，这样才行。 而且在这里皮皮老师要强调啊，你看，我已经讲了六道题目了，那如果你真的把它六道题搞定了，那你杠杆的作图和力的受力是一图，大部分就已经拿下了。所以请记住，越是到中考最后阶段，越不要再盲目去刷一些偏题怪题了，这种只能让你紧张，没有信心。 你应该干什么呢？你应该重点放在中考必考题型上，因为你现在不是要去干其他的，你就是应试考试，你不是要成为解题专家，明白，所以中考考什么你就做什么，不考东西啊，干脆一眼都不看，让他上一边去。 那当然，如果你不知道做什么题，在学校也没人带你，完全跟不上学校老师上课的进度。我这里呢，已经为你准备好了中考所有的必考题型，你拿去刷就行了， 而且每道题目都有 p e 老师的详细讲解，二十节课就能让你从不会到彻底逆袭，想逆袭赶紧来，这是最后的机会了啊！好，接下来我们看题型。三，滑轮绕线 好，第一个，小丽学习滑轮之后啊，想利用滑轮组设计一个升降装置，那这小丽疯了是吧，先干这种事，自己把物体调上来啊，请你画出最省力的绕线方式。 那关于绕线以上方式呢？啊，这里边有一些原则啊，我们说怎么能省力呢？其实我们就是说要从动画论开始啊，这是小技巧，从动画论开始啊，注意，我说的一般啊， 而开始是在哪开始呢？注意，这有两个钩子啊，两个钩子只能选一个，如果你上来把两个钩子钩在一起了，那这题你不用做了啊，已经错了啊，两钩选一个，我由于要最省力，所以我选择的是啊动画轮上的钩子，然后怎么样呢啊？要是交替进行啊，上下交替 啊，这个是原则上下交替，你比如我从这个下边这个动画轮开始，那我就往上绕啊，往上绕 好，比如我绕在这里啊，往这绕绕，绕完然后转一圈啊，然后再下来啊，叫交替 下来怎么办呢？来，再上去，你看这个人已拿到，哎，这个时候你看这有几段绳呢？来我们切一下啊切一下 只看动画轮，这有一段两段，三段也是多，这一段呢就是咱们省力的关键啊，所以这道题咱就搞定了啊，注意从动画轮开始上下交替，就这句话掌握好你就完事了。好吧，然后这俩公式千万别勾一起啊，那勾一起你就没了啊。好，接下来再看第八题。 哎，你可以自己试一下啊，这道题稍微分析一下好那个动画的质量。两千个什么意思啊？就二十二十牛呗，对不对？那物体一百牛，那一共就一百二十牛呗，对吧？啊，这一百牛， 然后这二十牛就一百二十牛呗。那绳子最大拉力五十，那最大拉力五十，你两段绳行不行啊？那肯定不行啊，对不对？那我们至少得三段啊，至少得三段对吧？啊？因为啥呢？这里边补充个知识啊，因为这个拉力 f 等于 n 分 之 g 加上 g 动 啊，当然咱们前提是忽略绳重摩擦啊，如果你有绳重摩擦啊，那你可能需要的更大啊。绳重摩擦啊，这个了解一下有啥意思呢？比如这道题啊，你如果一百二十牛的力， 你值两段绳除以二，那你发现你需要用多大？就六十，当然实际还得多啊，因为这道题啊，这道题已经不考虑绳重摩擦了啊，所以就六十牛，所以怎么办呢？我们至少得三段绳。那怎么办就最省力呗，还是从动画了一个勾开始，哎，上面勾不管了 哎，从下就上，从上就下，哎，下来就再上，然后注意画个箭头啊，然后 f 这里再提醒个事啊，你这个轮子不能绕两次啊，比如说再上去再绕一次，无限绕。那你这轮子打结了啊，每个轮的这个轴部分和挂钩只能来一次啊，你不能反复来啊，这样不行。 好，接下来我们今天的最后一道题啊，小明想利用如图所示的滑轮组拉物体沿水平方向向左匀速直线运动。 那最省力的绕线方式。那我已经教你怎么最省力啊，从动画轮开始，谁是动画轮他绑在墙上了，肯定定滑轮，你就动画轮了呗，对吧，然后我们来绕啊， 哎，从动画轮出发，哎，交替动画轮就去绕定滑轮，然后定滑轮就去找动画轮，动画轮就再回来。哎，这样一拉，你看，这个题咱们也搞定了 好了啊，关于这节课的呃，受力的作图问题啊。 pg 讲了什么呢？第一个受力分析啊，然后呢，我讲了这个杠杆的作图，然后也讲了滑轮的绕线问题。 那你一定要反复观看，认真倾听，那中考都逃不脱不了。那如果说中考的难度在哪呢，他就增加一个情境在里边啊，但是基本的方式你掌握了，情境识别了，咱这中考题就拿下了啊。 当然，最后阶段 p g 再次强调啊，时间就最宝贵的，当然我也会尊重小伙伴们的建议，如果大家觉得 p g 讲的还不错，记得点赞三零加关注，我会加速更新。另外就是什么呢？ 大家需要什么内容直接在评论区告诉我啊，直接评论告诉我，你到底是喜欢讲什么呢？我需要听什么呢？这样呢，也方便 p g 老师给大家提供更多的帮助。好了，以上就是本节课的全部内容， p g 物理，咱们下节课再见，中考加油！
2.8万PG物理
07:27查看AI文稿AI文稿大家好，今天分享一道尺规助除题，这道题是今年的沿成一亩的二十六题，我们只讲这道题的最后一小问，是在正方形中做出一个最大的半圆， 做一个作图体。一般的分析步骤时，首先做出草图第二步分析其性质特点，第三步根据这个性质特点呢进行此为作图。 那这道题是在正方形里面做一个最大的半圆，如果这个半圆三和这个三条边相切， 也可能这个半圆呐跟两条边相切就是斜放的，显然第二种情况比第一种情况这个半圆更大，所以说我们研究第二种情况。我们把这个正方形的对角线一连， 根据对称形 m 跟 b、 d 是 平行的，跟 a、 c 是 垂直的。 设这个半圆的这个圆心为 o 撇，就是我们要把这个 o 撇跟这个半圆的半径做出找出来。设，我们可以设这个正方形的边长为 a， 这个半圆的半径为二。我们就首先第一个思路就是要找到半径跟 a 之间的数量关系，那如何找呢？可以过 o p 点做 d、 c 的 垂线， 那么这个 o、 p、 e 也是二。 那么因为 a、 c 是 对角线，所以说这个角 d、 a、 c 和角 a c、 d 它都是四十五度，那么三角形 o p、 a、 m 和三角形 o p、 e、 c 也都是等腰直角，三角形 o p、 a 也是二 o p c， 它就是根号二二了。 a、 c 的 长度就可以表示为 r 加上根号二 r， a、 c 又是这个正方形的对角线，那也是等于根号二 a 的， 所以说 r 加上根号二 r 等于根号二 a， 那就可以得到二与 a 之间的关系。那现在我们就根据二跟 a 之间的关系做出这个半圆，如何做呢？因为这里面含有根号二， 我们想到正方形的对角线 a c， 我 们把 a c 连起来，它的半，它的边长是 a， a c 就是 根号二 a， 如果以 c 为圆心， a 为半径 画一个圆，那么跟 a c 有 一个交点， e， a， c 是 根号二 a c， e 是 a， 那 么 a 的 长度就是等于根号二减 e a 呢？ 下面我们需要就是在这个上面找到这个 o p 点，就是这个半圆的圆心，使 a o 撇是等于这个半径的。那怎么做呢？这里面又出现了一个根号啊，我们还是应该把它放在等腰直角三角形中， 呃，可以这样放，就是在 a d 上截取一段是等于二倍的 a e 的， 那 a m 是 等于二倍的 a， 这个圆呐，和这个 a c 有 一个交点， o p a o p， 它就应该就是等于 半径的，就是等于半径。为什么呢？我们把 m o p 连起来，并延长交于 ab 与 m， 因为这个还是四十五度啊， 这个 a m 是 纸巾，那么这也是垂直的 三角形 o p a m， 它就是等腰直角三角形， a m 是 等于二倍的根号二减一再乘以 a， 所以 说 a o p 就是 等于 这个半径。那然后下面我们只有以 o p 为圆心， o p m 为半径画半圆，这样半圆我们就做出来了。而这种方法的关键是找到这个半圆的半径与 正方形边长之间的关系，根据这个关系，我们做出这个半圆。 我们再来分析一下这个图形，这是 r， 这也是 r， 这也是 r， 说明 a 这个点 a 也是在这个圆 o 撇上，如果连接这个 a 三角形， o 撇 a e， 它就是等腰，呃，等腰三角形，那么 这个角是二十二点五度，这个角也是二十二点五度，这个角也是二十二点五度，那所以说 a、 e 也是平分角 d， a、 c 的， 也就是一点是角 d， a、 c 的 平分线与 c、 d 的 交点，那一点还是这个半圆与 c、 d 的 切点， 那由此我们就可以得到画这个最大半圆的另外一种方法。这种方法更简单，就是做角 d， a、 c 的 平分线， 然后与 cd 有 一个交点， e 点过点 e 做 cd 的 垂线， 与 a、 c 有 一个交点，这个交点就是 o p 点 o p， e 就是 这个半圆的半径，然后我们以 o p 为圆心， o p， e 为半径，画这个半圆与这个 a、 d 跟 b、 c 有 两个交点 m n， 然后我们把 m n 一 连， 那这时候这个半圆就做出来了，那这种方法更简单。
07:40查看AI文稿AI文稿初中阶段的耻归做图，他是有通用的窍门的，而且我最近发现好多同学都在用，但依旧有很多同学也做不出来，那这一期呢，我给大家好好说一下关于耻归做图的两个思路。 那首先大家要了解尺规作图要涉及的五种做题的一个底层原理。第一个做一条线段等于已知线段。第二个做一个角等于已知角。第三，做一条线段的垂直平分线。 第四，做一个角的角平分线。第五个就是过直线外或直线上一点，做已知直线或者是线段的一个垂线。 这五个作图方式是基本功，一定得得心应手。其次，关于一些基本几何的性质定力以及逆定力，我们要了然于心，比如说平行线的性质判定等，或散形的性质，角平分线的性质定力，垂直平分线的性质定力以及相似的判定和性质。 还有常见的一些模型，比如说角分线、平行线、 b 数等腰的这种类型的一系列的一个基础框架，那这些都是出现在命题范围内的一些隐藏信息，掌握这些内容就相当于你找到了解析的钥匙口。 在此呢，才是我要说的大家常用的这个窍门，就是假设当题目所要求的这个点或线它存在的情况下， 再以证明题的思维，逆着给他推回去，看能不能推出一些关于五类作图原理的一些基本信息。那这一块一定要将这些性质的逆定力搞清楚，比如说推到最后，我发现要求求的那个点到两端点的距离相等， 这就是中垂线的这个逆定力的考察。那再比如推到最后发现所要求的那个点到两个边的距离相等，那么这个点肯定在这两个边的夹角的角平分线上，那这就是角平分线的逆定力的一个考察。 那接下来我拿近三年的这个中考题进行一个简单的推理，就按照我刚才所说的那个方法，那么我们先从二五年的整体来看 二五年的这个真题，你看他题目告诉你角 a、 o b 等于五十度，那点 c 在 o v 上，现在要要求你在什么 a、 o、 b 的 内部做一个点 p， 使得角 a、 o p 等于二十五度，且 c p 平行于 o b， 那 我们现在假设 c p 平行 o b a o p 等于二十五度。 好，假如这个点 p 存在，那我们就可以根据题目兴趣去推了。题目说角 a o p 等于五十度，那我们得到了角 a、 o p 是 二十五度， 那说明 o p 它肯定是平分了。角 a、 o、 b， 那 在这里那点 p 肯定在角 a、 o、 b 的 角平分线上，那这一块就要求你要做角 a、 o、 b 的 角平分线，那同时还有个条件， c p 平行 o b， 那 c p 平行 o b， 我 们可以根据两平行线的一些性质来去推。比如说两直线平行了，那角 a、 c p 是 不是等于角 a o b， 那 我们就只需要做一个角 a c p 等于角 a、 o b 即可。那做出来这个角之后呢？那么 c 和 那个角相等，那个焦点连线，它就会交那个角平行线，一个点 p， 那 点 p 就 出来了。或者是我可以根据谁， 嗯，两直线平行，导出了这个角 c p o 等于角 b o p 也等于二十五度。哎，通过这样的信息，我发现角 c o p 和角 c p o 它是相等的两个角，那我可以根据 呃那个等号线圈的性质，等角对等边得到了 c o 等于 c p， 那 我们只需要再以 c 为圆心，以 c o 为半径，画个弧，交到刚才你做的角平分线上，那就能做出谁交到这个点点 p。 这是二五年的一个题型，那接下来我们去看二四年的一个题，那二四年的这个中考真题，他要求的是已知直线 l 和 l y、 e 点 a， 请用尺规作图，做一个等腰直角三角形 abc， 他 要求谁点 b 和点 c 都在直线 l 上，请做出一个符合提议的等腰直角三角形。那么根据这个题目的意思，我们就能想得到这个三角形 a、 b、 c 可能有好几个，我们就要去分析一下，假如他这个等腰三角形 a、 b、 c 是 存在的，那就得分析他有几个是直角顶点， 哪几个是直角顶点。那第一个，当角 a、 b、 c 是 九十度的时候， a b 等于 c b 的 情况下，那么就能确定出来。哦，我就可以过点 a 向 l 做一个垂垂线，那就过点向直线 l 做垂线，那么垂足的地方我们确定为角 b， 那么此时此刻再做 a b 等于 b c， 那 不就是做线段等做一个线段等于已知线段吗？那第二个，那我们也可以想角 a、 c、 b 等于九十度，那跟第一个是一样，只不过此时此刻把垂足换为角，换为点 c， 那 再做 a、 c 等于 b c 的 话，还是做一个线段等于已知线段。 那第三个，当角 b a、 c 等于九十度的时候， a、 b 等于 a c 的 情况下，那相当于说直角现在跑到点 a 的 地方了， 那么根据前两种的情况我们可以确定出来，那么把前两种的那个 b 和 c 分 为作为直线上两个点的话，那么就得到了一个大的等腰直角三角形， 这样的话也是可以去处理的啊，就是有三种做图的形式你都可以操作，其中一二都是过点 a 的 直线怎么了？做一个垂直于直线 l 的 那条线，确定到确定出垂足来，再做线段，等于已知线段，就能确定出另两个点来， 那三的做法就可以把一二给他结合起来就能处理。这是我们二四年的中考真题，都是可以根据谁提设条件，我假设他存在的情况下去分析的，逆着去推， 那我们再来看二三年的中考真题，二三年说了，已知锐角三角形 abc， 角 b 等于四十八度，请用直角作图，在三角形 abc 内部做一个点 p， 使得 p b 等于 pc， 角 p b c 等于二十四度， 那我假设 p b 等于 pc， 那 角 p b c 等于二十四度，那这样的情况下，第一个假设的第一个条件， p b 等于 pc， 那 点 p 是 不到两端点的距离相等，那我们就确定这两端点一个是 b， 一个是 c， 那 么点 p 肯定又在这线段 b、 c 的 垂直平分线上， 那还要保证人家这个角 p b、 c 等于二十四度，那我们根据题目条件得到角 a、 b、 c 是 四十八度，那这两个信息明确的看看得出角 a、 b p 或者角 p b c， 它是不是就是角 a b、 c 的 一半， 那也就意味着 b p 是 角 a、 b、 c 的 角平分线，那我们在这里面只需要再做角 a、 b、 c 的 角平面即可， 那么综上两种条件综合情况下，那么点 p 就 在线段的 bc 的 中垂线上以及角 abc 的 角平分线上，那么这两条线的焦点就是我们点 p 所在的位置。 那么以上是三年的这个中考真题的一种分析，都是可以根据先假设那些点或线给它存在， 那存在了之后呢？根据题目的信息逆着推，那我们多多少少都会总结出来关于五大五类做图的一个方法和技巧，那我们就有这样的一个钥匙口，那我们如何去做图，那么根据这些信息就可以再做了。 那以上呢，就是我对这三年来的一个真题的简单的一个分析，希望讲到的这些技巧能够帮助到你。
07:06查看AI文稿AI文稿呃，前两天格致中学啊，期中考试考到了叫无刻度尺作图啊，那今天老师把这块给大家汇总一下。先来看第一种做平行线， 比如说给我们一个 ab 这条直线，然后呢让我们过点 p 去做一个 ab 的 平行线，我们知道平行四边形里头会有平行线，对吧？那所以说我们就去构造一个平行四边形就行。 那平行四边形的判定，有一个是一组对边平行且相等，我们知道格点它是互相平行的，那么我们再取它们相等， 是不是？这就是一个平四边形，那么 p q 就 和 ab 平行，对吧？好，再来看一下第二个做垂线，也就是说过 p 点去做 ab 的 一个垂线，这里头应用的原理呢是十字架模型。 之前老师给大家讲过，在正方形里头，如果这两根线段相等，那么这就是垂直，如果说这是垂直呢？那么他们也相等，对不对？这块能正出一个全等，所以啊，这块我们就去给他做一个啊十字架， 比如说这个 ab 是 已知的一个线段，那么这个三角形啊，是这样的，那么我们以 这个 p 啊水平去找三个格，然后再往下找一个格，那这两个三角形就全等，对吧？然后就能挣出那是一个直角。 再来看一下第三种情况，就是过点 p 做 ab 的 一个中线，那就是找 ab 的 中点， 我们知道矩形的对角线是互相平分的，那所以在这个格点里头，我们只需要去做一个矩形就行，好找到一个这样的一个矩形， 然后我们再把这个对角线给它连接起来。哎，这个焦点就是 ab 的 一个中点，然后我们去连接 p 和这个中点就行， 那中线会做的话，还有一个就是做垂直平分线，那也就说不但要找他的中点，还要做一个垂直，对不对？那这里啊，我们相当于给他做了一个正方形， 然后呢再用刚才的方法，把正方形的这个边的中点给他找到，这个边的中点也给他找到， 对吧？好，那也就说这个又能证出它是一个矩形，那这块就是一个垂直。好，又是一个终点，那么它就是它的垂直平分线。 好，再来看一下第五种就是做角平分线，这个考的比较多，比如说让我们去做角 abc 的 一个角平分线， 这里头有两个方法，第一个是等腰三角形三线合一，第二种呢是平行线加等腰就能推出一个角平分线。好，我们先来看一下第一种， 它适用的条件呢是你这边格给的不是太多的情况下，我们知道这是一个三角形三，这是四，那就能求出这个边是一个五。 好，我们想去做等腰的话，也就说在这边也找到五个格，那他和他就相等，那么我们一连接 这个蓝色的，他就是一个等腰三角形，那么我们想去找他的角平分线，接下来我们就去找底边的中点就行。中点是不是刚才老师教你了，去找到一个矩形，然后把他的对角线给他连接起来。 好，这样的话这个点它就是底边上的一个中点，我们再把 b 和这个点一连接，它是不是就是中线？然后也是角平分线， 对吧？好，第二种呢，就是我们这边的格比较多的时候，我们可以利用平行线加上一个等腰，然后能推出角分线。 好，我们刚才还知道这个是一个五个格，那么我们往这边再找到五个格，是不就能挣出这个角和这个角是相等的？然后我们又知道隔点之间是互相平行的，那这个圈角又等于这个圈角，那所以这块就是一个角平分线， 对吧？好，再来看一下第六种。 好，这种就是前两天格制考到的，让我们去做一个四十五度，对吧？我们知道正方形的对角线是平分一组对角，而且那个角就是四十五度， 那所以啊，让我们去做一个 abc， 等于一个四十五度，我们去可以去构造啊一个正方形，然后这么一连接，这个角就是一个四十五度，那同样道理呢，在这边也有一个正方形， 对吧？所以说这个角也是一个四十五度。第七种是做角相等， 这是我们物理里头学的入射角等于反射角，在我们数学里头可以利用将军印码，比如说把 a 点给他对称过来，那说明这个角和这个角就相等，这是一组镜面角， 然后这个角又对顶等于他，所以说我们就构造了这两个角相等。好，再来看一下第八种，让我们去把一个线段给他，按照二比三去平分，这个需要用到我们初三的相似， 我们把这个边往这边延长两个格，这边呢是三个格，那上下这两个三角形相似，相似比就是二比三，那所以说这个边和这个边它也是一个二比三， 对吧？好，再来看一下最后一种，就是做对称点，现在 p 点在这，然后 ab 这个线段在这做 p， 关于 ab 的 一个对称点，我们可以去构造一个中位线， 这是两个格，然后我们延长出来，这边也是两个格，然后这边啊是一个矩形的对角线，我们再给他做一个倍长， 那这样的话 b 和 a 就是 p m， n 的 一个中位线，那它和它平行， 而且等于他的一半，对吧？那接下来呢？我们再去 p 点，去做一个他的一个垂线，这个利用的就是我们第二种情况，是不是就能保证这个边和这个边相等？
181大连百鸣数学李老师
09:15查看AI文稿AI文稿呃，今天我们讲无刻度支持在中考做图当中的基本考点，那么在网格当中做做图呢？呃，一般情况下只限于利用格点来做。第一种做中线， 做中线呢，主要是找到这个线段的中点，所以我们利用隔点这个长方形啊，这个长方形 用对角线的焦点是中点，这样就能够找到 a、 b 的 中点或中点连线，那么呃，中线就做好。 第二，我们讲做垂线，如果要过点 c 做 ab 的 垂线呢，我们就先查 ab 所在的这个，呃，长方形呢，是 横一竖一二三四五，横一竖的对角线，所以我们过点西跟他做相反的长方形就可以了，就横五竖一连对角线就可以了， 那么这个横五竖一在这，那么这个连对这个点和点斜连线，那么这样 ab 的 垂线就做好了。 第三，我们讲做角平分线，嗯，呃，做一个角的平分线呢，我们可以借助等腰 等腰三线合一来完成啊。由于 ab 所在的这个边，我们看它正好是 三四五，所以 ab 得五，那么 ab 得五呢，我们从点 b 向右叉五格 啊，然后和这个点 a 连上，那么这样这个三角形就是等腰了，也就是说这个 ab 和这个边都得五。 接下来我们找到这个对角 b 对 边的中点就可以了，那么很明显呢，是这个焦点的位置 啊，也可以利用刚才找中点的方法啊，做矩形连另一个对角线 啊，也能找到，这样过点 b 和这个点连线，这样就是角平分线了。这个是利用等腰的三角一。 第四，做中垂线 啊，中垂线我们想象一下，首先是过中点这个位置，它有一个垂直啊，过中点这个位置， 那么垂直呢，应该是中垂线上所有的点到 a、 b 的 距离都是相等啊，到相等，所以我们再找一个点就可以了。另外一个点呢，那我们可以借助 呃，正方形的对角线呢，是中心来完成。也就是说跟刚才做垂线的方法一样，我们先看 a、 b 所在的格点，是 呃，横以竖四的对角线，我们利用这种格点呢，先做一个正方形，然后把对角线连上， 这样我们就过这个对角线，做这个 ab 的 垂线就可以了。 那我们先先找到 ab 的 中点，因为 ab 所在的是横一竖四的长方形，所以把另一条线连上，就是中点，这样过这两点做个直线就可以了。 也可以呢，呃，只做一个 ab 的 垂线，然后把这两个点连上， 然后分别利用矩形法来找这两个边的终点，一个是找这个边的终点 啊，找这个边的终点找到了。第二也是刚才那个 矩形，把这样的对角线连上，这样啊，过这个这两点也可以。 好，接下来我们讲比例分割。呃，比例分割呢，假如说要把 a、 b 分 成一个二比三的线段， 那么我们可以借助相似来完成。 由于上下平行啊，这两个八字形相似，相似比呢，正好是二比三，这样这两个边的交点 就是分成二比三的点。 那最后我们讲对称点啊，对称点呢，我们可以想象一下， 如果做点 a， 关于 b 起的对称点在这个位置，那么这里点 a 和对称点的连线就是一定垂直 啊，所以我们先画垂直。由于 b、 c 经历的对角线是横五竖一对角线，这样我们从点 a 向下叉五， 横着叉一格啊，这就是做垂线的方法。 垂线画完之后呢，我们在这个上截取相等的线段，就是 a 撇在这个位置，那怎么截取这个相等呢？我们可以利用 平行线间的距离处处相等来完成，也就是说我们首先呢过点 a 画 b， c 的 平行线，是 呃经历的格一样，就可以横五竖一，那就这样，那么 点 a 到点 b 是 向左一，左一下二，所以我们从点 b 向左插一格，向下插两格，就是在这个位置， 点 c 向左插一格，向下插两格，就在这个位置，这样我们这三个线， 这三个线平行，并且它们之间的距离处处相等，这样这两个线的交点啊，就是这个点的位置，就是点 a 对 称点的位置， 所以我们今天一共讲六种类型，所以大家记住在 网格当中作图呢，主要就是利用格点查格来完成，嗯，建议大家呢点赞收藏。
21小高手
03:43查看AI文稿AI文稿来，可能全网的数学老师呢，都不太想讲无刻度咫尺画图的问题，但是我最近的学生问的很多，所以咱们会用几次短视频，咱把这事啊尽量说明白。 今天呢，咱们从最简单的一种来看，就是要找 a、 b 这段线段的中点。我们首先观察，你发现 a 和 b 没有在这个正方形网格的格点上，那这个时候我们该怎么找？对于这种问题，大家翻过头来， 回到数学的本质上想一想，我们这个题目呢，给了你堆网格，给了一堆网格就意味着给了什么？给了平行，那么有了平行，我们的工具就多了一个相似，所以这个问题大家来看，我们就利用相似来解决问题。 我现在不知道 ab 的 中点在哪，但是我可以在 ab 上先找两个点，比如说这个点叫做点 d， 那么有了 c 点和 d 点，你发现 c、 d 都在纵向的隔线上，而且中间隔了几个格呀，一二三四，所以在这条线上找到了这么一个点。这个点我们可以通过全等证明出一定是 c、 d 的 中点， 或者说利用相似也能证明是中点。那这个点呢，咱们叫做点 e， 有 了这几个点之后，大家再看，那么 e 所在的这根纵向的线，实际上就是 c、 d， 再找一个点构成的三角形的中线，那这个点找谁呢？这个无所谓了，你随便找一个点都好，比如说这个点 f， 我们呢再去连接一下 c f， 同时呢再连接一下 d f， 当我们连接之后，你会发现 f e 这根线就是 f、 c、 d 这个三角形的。 那有了中线之后，大家再想这个问题啊，我就可以再找一下 f、 c 的 中点，因为 f 和 c 都在格点上，或者说这两个点都在网格上，那它的中点非常好找，直接找到中间这个网格，找到它的焦点即可。 这个点呢，叫做点 m， f， d 的 中点，这就应该是一个点 n， 我 们再把 m n 一 连，那么此时大家注意 m n 这一段线段，它就应该是 f， c， d 这个三角形的中位线，那么 m n 一定平行于 c d， 并且等于 c d 的 一半。同时注意 m 和 n 又在网格上，那么 m n 的 中点一定在这个点上， 这个点咱们叫做点 h， 这个点也找到了，那么再接下来这道题目就要搞定了，我们连接 a 点和 m 点，并且延长。我们连接 b 点和 n 点，并且延长。这个新产生的焦点呢，我们叫做点 q， 我 们此时再连接一下 q 点和 h， 把 q 和 h 连接，并且延长与 c、 d 的 交点，叫做点 o。 那 么大家注意来看， q h， m 和 q o a 一定相似， 那么 q h n 和 q o b 也一定相似。那么同时我又知道了这两段必定是相等的，那么 m h 比上 a o 就 一定等于 q， h 比上 q o 也等于 h， n 比上 o b。 而又知道了 m h 和 h n 相等，那么 o 点就自然是 ab 的 重点了。 那么这个就是咱们说在画无刻度尺尺问题中最核心也是最基础的一种问题。这道题目大家让孩子动笔自己再画一遍，下课。
4053数学赵观察
00:41查看AI文稿AI文稿耻归做主题，就考这五个类型，你把这五个记好，这个题你就能拿满分。咱们西安的这个月考期中、期末考试，包括中考的这个耻归做主题，我给大家说一下，只考这五种类型，你也不用瞎想， 我给大家总结出来了，就这五个，第一个做一条线段，和已知的线段相等。第二个做一个角，和已知角相等，做等角。第三个呢，做某个角的这个角平分线。第四个做一条线段的这个垂直平分线。呃，第五个呢？ 过一点或者去做某条线段的这个垂线，就这五个啊，别的他都不会考。
23唐老师学习方法
03:32查看AI文稿AI文稿天津的无刻度知识全国最难，没有记 在六乘以六的正方形网格里面，这是个六乘以六的正方形网格，对吧？每个正方形的边呢，都是 e。 好 线段， a b 两个端点都在格点上， a b a b a b a b 都在上面。好按要求完成下列画图，保留画图痕迹，不要只写出画法好。比方这是一个线段 a b 长度段，不知道 在 a b 上找一点 e， 使得 a e 比 b 等于二比三，我觉得大家能找的会找的悄 e。 好 吧， 哎，练了这个东西我觉得有点麻烦，不知道怎么找窍啊。其实无刻度芝士做的非常简单，简单到不敢想象中考里面所有无刻度芝士，比方说第一个你怎么去做中点，你怎么去做等分点？还有第二个做平行怎么做呀？那做垂直怎么做呀？ 还有垂直平分线做等角又该怎么做呢？而你这点指什么？这是第一个等分点，等分点非常简单，不卖关子。你不是二比三吗？你从一个点往这边走，两个单位从一个点往反方向走，三个单位结束， over。 好，你连一下吧。为什么这么说呢？因为你会发现上下两个三角形一定相似吗？相似比几比几呢？相似比就二比三吗？相似比，既然是二比三，所以你会发现那对边的这个边比这个边不也等于二比三吗？所以你这个焦点对吧？就是我们的一点没了，结束 简单不？所以等分点就是我们利用比例来构造它，其实做平行，做垂垂垂平面等角，你们听了你们自己都会好。那接下来我们再来找一下啊。其实我觉得这个题如果是我肯定不这么做，我肯定比方 cosine 二分之五 你找去了，你肯定找不到吧，那我觉得这个题你看看它是一个什么呢？它是今年哈尔滨，大家有没有看到适应性考试 试一性考试就什么呢？哎，首先让你试一下，既然试一，那就难度不可能更大，所以无刻度就是他出的也很简单，二分之根号，我想问一下什么样的角度，他的余弦值是二分之根号，告诉我很明显吧，四十五度是不是？你不要说这个不会啊， 说白了就是构造一个什么呢？构造一个角，对吧？大概这个角四十五度怎么构造？其实很简单，四十五度它往往出现在等腰直角三角形中，所以也就是你要过 a 点，过 b 点，分别构造两个全等的直角三角形来形成三垂直模型吧，对吧？说白就是这个点， 为什么这个点你会发现，那各位同学们，我这么一画你们就明白了，你会发现其实这个点你连一下，你连一下就是的啊，这个角一定四十五度，好吧，这个就是我们的 c 点， 凭什么呢？呃，我跟大家稍微的解释一下啊，你比方说你连一下，你连一下就是你去找一个，怎么样呢？三垂直的 就可以了，大家能看出来吗？但这个蓝线是不需要的，蓝线是我为了画出来辅助大家理解的，是不是？ 这是直角，这是直角，对吧？你是一个一乘以三的直角三角形，我是一个一乘以三的直角三角形，所以咱们这两个直角三角形一定全等，全等完毕之后呢？那剩下我们知道这个边等于这个边 全等之后，我们知道这个角一定是直角，所以它是个等腰直角三角形。因此 c 边呢？就在这里，你这个角呢？就四十五度， 四十五度的三角函数呢？二分之根号结束。好吧？好，那么也就是考试。你你，你这个东西是不需要的，你这个是不需要的，你这个也是不需要的。懂了没有？这些标记，这些标记这都不需要，明白没有？就像这个样子，理解了不？哎，我们就过了啊，过了跟着亮亮无脑学习。
7533理学-亮亮聊思维
01:52查看AI文稿AI文稿陕西中考耻归做图题，不管他出任何题，记住只考五个类型， 第一个，做一条线段等于一只线段。第二个，做一个角等于一只角。 第三个，做一条线段的垂直平分线。第四个，做一个角的角平分线。第五个，过直线上或者直线外一点，做已知直线或线段的垂线。 只考这五个事。很多人会在会问，我，如果说这个题他是怎么怎么考，那个题他怎么怎么考，我告诉你，都只考这五个类型。举个例子啊， 比如说是一条公路上，对吧？有两旁边有两棵树，这两棵树是平行的，跟这条公路，然后完了之后在公路上找一点，到这两棵树的距离相等， 是做啥？垂直平分线，对吧？如果是有，有任何一个角，不管是在三角形里面，还是在呃四边形里面，还是在直划一个角，在这个某一个角里面找一点，到这角的两边距离相等，这是做啥角平分线？ 发现没？这都是命题人，出题人没有直接告诉你的，他不是说来做一个角平分线来做一个垂直平分线，不是的， 他是利用了垂直平分线，角平分线的性质，让你倒推要做什么。所以耻归做图题怎么拿到满分？第一五种耻归做图，你哪怕背过，做图步骤必须要背过，再去做这道题。第二个， 深知每一个出题人出题，他想要告诉你，或者是隐含的告诉你，让你作什么图，这道题就能拿满分。
350陕西中考李老师
05:54查看AI文稿AI文稿这是一道中考新题型，学会它，中考便可轻松多拿六分。给出一个无限网格，让我们仅用无刻度尺画出中线、高线以及线段 b f， 让 b f 的 长还要等于二。先来看画中线， 如果你想画中线 a m， 一定要确定边 bc 的 中点，观察发现呢？边 bc 呢，正好是矩形的 一条对角线，那么我们就可以利用矩形对角线的特点，连接矩形的另一条对角线，跟 bc 有 一个交点，矩形的对角线互相平分，那么这个交点呢，就是我们编 bc 的 中点。我们在考试画的时候保持卷面的整洁，你只要连接这个点和这个点，就是它的中点，写上字母 f。 这个时候我们画中线，用你的直尺把点 a 和点 m 做一个连接，这条线呢就是中线 am。 再来看画高线 cp 通过点 c 要向 ab 呢，画一个垂线， 怎么样画垂线呢？我们这个地方是构造的全等三角形，往 ab 上面，我要去画垂线，先把 ab 放到一个横平竖直的 直角三角形里面，看他的边各有几个直角边，这条水平的直角边一共有三个。 这条竖直的直角边呢，一共有两个，那我从点 c 要向 ab 划垂线，我从点 c 去数就可以了。数什么？竖着的两个变成水平的两个，那这个时候我水平呢，分左边和右边两种情况， 其实你可以尝试，有一种情况一定是不合适的，这个地方呢，我们要画的时候只能干什么？向左边数两个，因为你要向这个方向干什么？画垂线 好，竖着的两个变成水平的两个，那水平的三个要变成竖着的三个，向下数数不了三个，所以我们只能干什么？向上数，向上数三个到这个地方， 那这个时候呢，我们找到了这个点，只要把这个点和点 c 做一个连接， 我们得到的这条线和 ab 一定是垂直的，为什么会是垂直的呢？这个地方我们构造的两个直角三角形，其实是啊，全等三角形，那么全等三角形对应边相等，这个角的大小和这个角的大小就相等， 而这个角加上旁边的这个角形成九十度，所以他加上这个圈呢也是九十度。三角形内角和一百八，剩下的这个角 也是九十度，那么两个直线呢就会垂直，垂直呢就是高线。我们在考试画的时候呢，这些图形呢，全都不要数的，这个过程你只要 内心的去数，找到那个点就可以了，我们数完以后，最终找到的是这个点， 考试画的时候把这个点描出来，然后用你的直尺把这个点和我们的点 c 用虚线先连起来， 跟它有一个焦点，这个焦点呢就是我们要的 p 垂直符号标上它，让你画的这半段呢描成实线，这样的话高线 c p 我 们就画完了。再看第三个， 让我们在 b c 上面找一点 f， 要让 b f 的 长度变成二。无刻度的直尺怎么画 固定长度的线段呢？我们先观察一下 bc 这条线，它呢正好也在一个横平竖直的 直角三角形里面，水平的这条边是三，竖直的这条边是四，那我们根据勾股定律立马得到 ab 呢，它是一个五， 我想得到一个二的线段，那我们把 bc 只要分成二比三五份，那你两份呢？不就是二吗？我们把线段 bc 呢想分成二比三的两份，这个地方利用我们以前讲的构造八字前的相似就可以了， 点 f 离点 b 呢更近，我们从点 b 这个地方数两个就可以了。水平的数我可以数到这个地方来，从点 c 这个地方记着反方向的去数，它向左，那它呢就向右去数， 数掉三个以后呢？在这个地方我们只要连接就可以了，那么上下形成的两个三角形一定要相似，相似比呢是二比三，那么它和它作为相似比也是二比三，所以这个焦点就是我们需要的那个 点 f， 此时线段 b f 的 长度就等于二，那考试画的时候你怎么去画呢？这些多余的东西同样的通通的不要。 我们找到的点这个地方有一个瞄一下，这个地方有一个瞄一下，这个时候用你的直尺把这两个点做一个连接， 跟 bc 的 交点呢？就是谁啊？我们的 d f， 此时 b f 的 长度就等于二，来学会了没？
104伍斌的数学思维
02:53查看AI文稿AI文稿中考物理化图题十二个类型梳理法线用虚线标，垂直光线用实线中间打箭头。看起来反射角等于入射角，就可以不用量角器。注意，有的时候有标出角的要求啊。反射角入射角指的是光线和法线的夹角 折折，空气斜射入水中，空气斜射玻璃中，都是靠近法线偏折，也就是在空气中的时候。法线哦， 光线离法线是最远的，叫空角。大象和眼睛可以确定褶射光线，光线的箭头要指向眼睛垂直截界面，入射的时候不偏折啊，看要求画什么，如果要求画光路图， 那么你比如说啊，这个界面垂直不褶射，那么到这个界面的时候，他就既要画出反射光线，又要画出褶射光线。要求画的是光路图， 透镜、凸透镜的三条特殊光线，凹透镜的三条特殊光线啊，注意，凹透镜画特殊光线的时候要虚线指向他的虚焦点，要有这个虚线 好，平面镜成像平面镜成像一般我们用的是对称法，对称的辅助线用虚线打垂直符号，像是虚线要用虚线啊，这种光线的反向延长线也是辅助线，也要用虚线啊。我们做发光点的对称点啊， 去找到向点，然后去补上啊，连接他的这个入射点，就找了他的反射光线。 受力分析受力分析要检验状态，看他是否是静止或者匀速。直线要受到平衡力的，比如说这些都属于平衡状态， 都要受到平衡力啊，这两个就没有给出这样的条件。所以第一个就要注意啊，检验他的状态，看你画出来的力是否满足是平衡力，长度和大小要对应这种平衡力的时候啊，你这两个力的长度就要差不多一样，不能太明显的不同啊。 有大小的时候要标出大小，比如说给了重力是三十牛你就标上去，那么浮力是三十牛也要标上去。压力要画在接触面上打垂直啊，看好要求是画哪个力啊，如果他没说，那就是画所有力都要画出来啊。 杠杆，杠杆的力臂是从支点倒立的作用线的垂直距离啊，虚线大括号或者实线双箭头都可以标上字母 l 一 或者 l 二啊。注意动力和阻力是指杠感受的力啊，比如说这个。
39黄冈好物理
01:26查看AI文稿AI文稿咱们陕西中考只会做头题，就五招，不会做的是你们搞懂这个套路，每年他都考就一道分，可是很多孩子一看到就蒙了， 觉得太难了，其实大错特错。这道题呢，说白了就是送分题，因为他翻来覆去就考这五种基础的画法，就是做一条线段等于一只线段。第二种呢，做一个角等于一只角做角平分线。第四个呢，做线段的垂直平分线。 第五种就是过一个点，做已知直线的直线就这五种，你把这五种基本画法要点数，等于把这个题的分拿到一半，那剩一半是啥呢？ 就是思路，好多孩子呢，不会做，是你没搞懂怎么下手，我教你个笨办法，但他很管用，你先想再画哪道题啊？别着急着就动笔，你先根据提议，在你这个脑子里把这个要画的点 或者呢就是线，咱先假设出来，把它当成一个已知的，然后把它翻译成咱们几何里边学过的语言，比如说 题目，他让你找一个点到两边距离相等，那么他肯定在找平分线了呀，这是咱们本市大版初二数学下册第一章就学过的东西。把这个假设的点咱搞清楚，再翻译成上面那五种基本的作图法， 一步步划出来就行了。这五分呢，他就是套路分。你懂了套路，这个五分呢就完了，赶紧练去，别把送分题啊做成十分题。
77鄠邑肉夹馍老师
19:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
1031会放羊的教书匠
11:34查看AI文稿AI文稿刻度尺尺作图是这两年中考考察的新题型，也是各位同学丢分的一个重灾区，如果难度出的稍微再高一点，那得分率会相当的低。 今天的这两道题正好是我们宁夏某个市中考模拟考的原题， 难度呢比平常做的呢是要稍微高一点。这里呢，拿过来给大家做一个讲练。先看第一个，让你画 a、 c 边上的高 b、 d， 那 你画高线无非就是怎么样做一个垂线就可以了，但是你的直尺怎么样没有刻度，直接画不了。 直接画不了的时候，我们常规的也是有方法的，你要通过某个点往某条边上面去画垂线，我们首先呢，需要把这条边放到一个横平竖直的直角三角形里面去， 把它的两条直角边数出来，这是第一步。第二步，你通过哪个点要向它上面去画垂线， 就通过这个点把这两条直角边重新的数一遍就可以了。但这个地方我们数的时候一定要反着来，怎么反着来呢？水平的四个要变成竖直的四个 竖直的你通过点 b 想去数四个向上是不可能了，只有一个你再数呢，就到外面去了。 向下的话也是不可能的，你只能数三个，再数呢也到外面来了。所以我们常规的画法呢，已经不行了。至于我们为什么要这样去数着去画， 如果还有不太明白的，就是在班里上课还是听的有点问题的，你可以好好的看一下前面的作品。 好，那这道题呢，我们常规的方法不行了，那我们怎么样去画它呢？我还是想得分，对吧？这个时候你就去琢磨你无刻度尺画考的其实就是什么， 我觉着他就两个东西吧，第一个就是网格的特性，第二个你的无刻度的直尺只能连谁和谁，那这个谁你怎么找到的？根据什么找到的呢？不就是几何的原理去找到的吗？ 所以他考的呢，就是你把这两个能不能结合起来吧。那现在呢，我们做 a、 c 上面的高，常规的方法已经不行了，我们看看有没有什么几何原理能辅助一下。 我们观察观察这个三角形 ab 这条边，我们可以数出来他的边长是多少， 这不就五个吗？ a、 c 这条边我们刚刚呢放到了一个直角三角形，它的两条直角边，一条是三，另外一条直角边呢是正好，是啊四，所以我勾股定律能算出它的长度呢，也是个五， 那正好是一个特殊的等腰三角形，这是第一个我们要去做高， 对吧？那这个时候呢，我们就可以稍微的想到一个知识点，什么知识点呢？三角形的三条高，它其实是交到一个点的， 如果我能找到这个点，那我把点 b 和这个点连延长，这不就是垂直的吗？ 所以我现在想办法去找这个点吗？你三条高交于一个点，那你这条边上的高不好画，我画另外两条边上的高不就行了吗？ 先来看 ab 这条边上，它的高线呢，特别简单，网格的特性稍微用一下就可以了，这个地方它不就是 ab 上面的高吗？ 所以剩下的就剩个 b、 c 上面的高了，而 b、 c 上面的高，我们发现呢，它又是一个以 b、 c 为底的等腰三角形， 等腰三角形底边上有三线合一，画高线等于在画中线，画中线我只要找 b、 c 的 中点就可以了。中点呢，我们是会找的 矩形对角线的特性吗？所以我只要把这个矩形的另外一条对角线连出来就可以了。和我们 bc 的 交点一定是它的中点， 这个时候你用你的直尺把点 a 和这个点做一个连接， 连接完以后，三线合一，得到这个地方一定也是垂直的，所以我们画出来了这个三角形另外两条边上的高，这两条高呢，有一个焦点在这个地方， 三条高都是交于一个点的，所以 a、 c 上面的高一定也经过这个点，它又经过点 b， 那 根据两点确定一条直线，我把点 b 和这条线怎么样连起来， 跟 a、 c 有 一个相交的地方，这个呢，它不就是垂直的了吗？ 好，他让我画的这条线呢，我改成实线，剩下辅助的线全部都是虚线，标上垂直的符号，垂足呢，他说用点 d 表示，那我表示上就可以了。 这是第一问，我们再来看一下第二问，让你画一个线段，既要跟 a、 c 平行，又要保证线段的长度呢，等于三。 那你看画平行这个东西，我们是会的，对吧？平行呢，我们有两种画法，第一种呢，平移就可以了，你看他是某个矩形的对角线，把这个矩形整体移过去就可以了， 这是第一种。第二种呢，我移这个三角形也可以吗？那平移前后的线不就是平行的吗？三角形的对应边平移前后也是平行的吗？ 这是我们画平行线的方法，这个地方他让你去画平行，你就得想清楚，随便画条线，如果平行，那这个地方一定会出现学过的什么知识啊？ 相似的三角形，或者说平行线分线段成比例，一定会出现这个知识， 对吧？这个地方呢，它又要让这条线段的长度等于三，那长度等于三的话，长度有关系的。我们第一问已经算出来这个长度不等于五吗？你不是要相似吗？ 那相似它不就有一个相似比吗？如果有条线段和 a c 的 比值， 它们的比值呢？等于三比五。那现在呢？我已经知道 a c 的 长度就是多少五，所以你画的另外一条线段的长度自动就变成了几啊三吗？ 所以有了平行，对吧？有了 a c 的 长度，它其实就是想让你构造一个相似，让相似比变成三比五，那剩下的线段自动长。就是啊三。怎么构造这个三比五的相似呢？ 来这条边的长度，第一问我也数出来是几啊？是五呀？三比五。那我从点 b 这个地方数三个不就可以了吗？ 不就轻松地数到了这个点吗？接下来我只要过这个点做 a c 的 平行线不就可以了吗？ 过他做 a c 的 平行线。我们刚刚讲我可以平移直角三角形吗？那这个三角形 我要去平移的话，你去盯这两条直角边就可以了，这条直角边肯定竖直的，怎么样？平移到了这个地方，他呢？向右是不是移了几个 两个吗？ 或者说从这个地方平移，不改变线段的长度，它现在的长度是四，你往前数四个不就可以了？我不就数到了这个点吗？ 只要把它哥两个一连得到的这个三角形一定就是前面这个直角三角形平移得到的两条斜边，它跟 a、 c 一定平行， 那这样的话平行线也有了三比五，我在这个地方就得到了三比五，它是三，整个 a、 b 是 五，所以有平行，有三比五的相似三角形了。 我们画的时候保留一个比较干净整洁的卷面，这些复杂的东西怎么样？或者说辅助我理解的东西都怎么样？擦掉，找到了这个点，剩下的找到这个点，两个做一个连接就可以了。 好，把这两个连接完以后和这条边呢有一个交点， 这两个点一个是我们的一一，一个呢就是 f， 因为这个时候形成的这个小三角形和整个大三角形 abc 相似，相似比，在这个地方我已经数掉了三比五， 那你是五，他跟 a、 c 是 三比五，他的长度一定是三。搞定，这就搞定了，画的这一段记着最后的给他干什么，改成实线就可以了，你把它重新的描一遍就行。 当然这个地方呢，我用手直接画掉了，大家用你的直尺连的直直的就可以了。 好，这是今天给大家带来的两道无刻度支持作图，大家一定要认认真真的去听去记， 希望能帮助大家中考的时候多拿六分。如果你还有哪道题有问题需要讲一下，你可以联系我。
796伍斌的数学思维
02:37查看AI文稿AI文稿中考物理做图题就是送分题，会画图就能拿分，这四类做图一定不能丢分！ 第一类，光的反射反射以及平面镜成像做图。光的反射要牢记，三线共面，两角相等法线居中是虚线， 垂直于镜面，别忘了画垂直符号。平面镜成像物体和相关于平面对称相用虚线，物体和相连线要和镜面垂直且距离相等。垂直符号不能忘。光的反射，反射， 光线反射，照射前，箭头指向物体反射照射后离开物体光线，箭头按传播方向标注。人的眼睛是小孔，成像光线只进不出，箭头朝向眼睛。 第二类力学作图。重力的作用点要画在物体的重心位置，并且垂直向下。拉力支持力的作用点可以是接触点，也可以是重心。箭头向外 摩擦力的作用点在两个物体接触面中间方向与物体运动方向相反。压力的作用点在受力物体表面方向垂直于表面，指向物体内部，注意要和重力严格区分。 杠杆做图，先延长画出力的作用线，从支点向作用线做垂直虚线，标注符号 l， 用括号或双箭头表示力臂范围。第三类电学作图。电源导线只连接线柱，线路不能交叉，横平竖直开关连接象限 l， 也就是火线 插座要进三根线，左 n 右 l 上 p e。 第四类磁力作图。磁感线从 n 级出发， 向外画圆弧到 s 级，磁体内部从 s 级到 n 级画直线和圆弧闭合，上下对称，数量相同。小磁针要指向 n 级，与磁感线方向保持一致。 电磁铁作图，右手握住线圈，四指指尖所对方向要对应电流方向，拇指所指方向对应 n 级，两个只要知道一个方向就能判断另一个。最后祝所有中考考生中考必胜！
237大树（BOUGH）老师
03:32查看AI文稿AI文稿一个视频讲透中考无刻度直尺作图。哈喽，大家好，今天晚上讲的是无刻度直尺作图。首先看那个高频考点做对称点的， 这个是不管在武汉的市调还是哪里，还是武汉二零二五年的中考试题中都出现过点关于直线对称的啊，来看一下过点，看这题过点， c 做 ab 的 对称点啊， c 做 ab 的 对称点，那我知道一个点，关于一条直线对称称的这个点肯定在这条 直线的垂线上面。那所以第一步我们要过 c 点，做 ab 的 垂线。垂线怎么做呢？来看一下我们竖格子， ab 是 横四竖三，横着四个，竖着三格，然后我们找 c 过 c 点，找横三竖四，这是横四竖三，找横三竖四的一二三四一二三， 过 c 点了，横三竖四 好，那么 c 的 边缘 a、 b 的 对称点肯定在这条垂线上面。 至于这里怎么做垂线啊，本质是利用相似的横竖，那 a、 b 是 横竖竖三，你找一个横三竖四，那么这两个三角形相似，跟卷边线是全等啊，相似得两个角相等，那所以这里得到垂直线。然后第一步我把做对称的那个步骤写一下，第一步是做垂线， 第二步做对称点，是既要垂直，还要保证相等，那么这一段也就是这一段要等于这一段，那这一段我们不知道在哪里取，怎么办呢？这垂直距离相等我们不好找，我们找斜距离，通过三角形中微线来构造。那么第二步我们是在 a、 b 上取个格点，取个取一个格点。为什么待会取格点，那么看 a、 b 上取格点，取 b 点， 取个隔点，然后对称，我们在对称的直线上取个隔点，并且背长背长，然后过该点做 a、 b 的 平行线。 b 点到他这点，这个被长点是第二步，我写一下第二步是取隔点被长， 第三步什么呢？做平行线分三步，取隔点，被长点做 a、 b 的 平行线，这被长点为 d 点。 那我们看过低点做 ab 的 平线啊，低点到低点是横着左右一两个，下一个 a 点也是右一个，下一个到这里，然后再连接这个点跟低点，那么这个点就是我们要做的对称点。 哎，我解释一下为什么是这样？第一步我们做了垂线之后，那么这你看一下垂线起码保证了这个点，因为一个点关于直线对称的话，那他这个点跟这个对称点连接起来肯定是垂直 a b 的， 然后这主要是保证本句来取个格点，在 a、 b 上取个格点，然后也对称，你看取格点的目的就是为了方便对称，如果随便取个点，你都不知道对称到哪去了。 就是我们勾到这这一段，跟这一段相等，要做平行线，那你看那这个，那这条线，这条线呢？就构成了这条三角形的中位线了，它平行于它，并且 c b 又等于 b、 d， 所以 保证了这一段跟这段平行，并且那这一段的话就是这个三角形的中位线，那它中位线的话，那这一点就保证了，只要这是一点，那就保证了 c e 等于 e f。 好，我们再来看一个例子，过十一点做 a、 b 的 对称点 f， 第一步过十一点做 a、 b 的 垂线，那我们看一下 a b 的 垂线， a b 是 横二一二三四五，横二竖五，那么过十一点找横五竖二，一二三四五五个，两个横五竖二，找到了， 那第二步在对称线 a b 上取个格点，那 b 点很容易找到 b 点，然后被长，被长到了这里点，然后被长点做 a b 的 平行线。啊，这就是平行线，所以对称点，这就是我们要找的对称点 f。
87黄金分割线
