大连中考一模最后一道几何题
我们现在来看一道立体几何的压轴小题，也就是多选题的最后一道题十一题。那么这道题里边咱们说到的点有三个点，第一个就是求距离之和最小的问题，第二个呢是求结面问题的，我们还有一个是照证明平行， 其实这个相当于说我们选项里边的 d a 选项是证明平行或者垂直的在几何体中，线和面或者说线和线的位置关系的问题。首先我们先来看一下 a 选项，对于一个正方体，边长是棱长是一的正方体 p q 分 别是中点，然后 c e， d e 上存在一点 m， 使得 a m 是 和 b e p q 这个面是平行的， 那对于第一个知识点，咱们要正线和面平行，那我们要知道了，线和面内的一条直线平行，或者是说我们要找到了这条直线所在的平面和已知平面平行的，那么这个时候 就能得到 a m 和这个平面是平行的，那由这个图形中咱们看一下 p q b e 这个平面 p q 是 中点， 我们现在来看一下，他说 m 是 在水上 c d 上，那我们要想过 a 和这个面平行的线，那我们可以想到会连接 ac， 那 这个时候我们就知道了 ac 和 m 脸上，咱不管是在哪一点上，那我们就能看出来 am 不 可能是和这个面是平行的 哦，这是第一个点平行关系的，我们可以直接排除掉了。然后第二个点呢，在水道的是 b e 加上 d e 的 最小值， 那是不是核最小问题？那么呢，咱在立体几何里面出现核最小的问题，通常是把这个界面给它展开到同一条同一个平面内的，那咱们先看一下 b 点，然后是 d 还有 e， 那 咱先看 e 是 在谁上动的呢？在 p q 上动的， 然后 b 一， 那我们先把 b、 d 连上，那 d， e， e 是 在它上动的，然后第二个点我们要求的是 b e、 e， 那 咱先看， 那把这个点也连上。如果我们的 e 不是 在 b d 和 p q 的 交点，也就是不是 p q 中点的情况下的，那这个时候呢，我们涉及到了就是斜线段的问题，那也就相当于说我们把这两个面给它展开成同一个平面内， 这个时候呢，要让 d、 e、 b、 e 在 同一条直线上，那这个时候就是最小值，那这个我们就能知道了。二、 b 选项可以直接来算了，在同一个平面里面来求就行。然后我们再来看 c 选项， c 选项呢，是过一条直线去做一个平面，和已知平面是平行的， 然后我们要求界面面积是多少，那和已知直线平行的这个平面，那我们要找两个平面平行的话，就能得到了。线和面平行，刚才老师说过了，那咱现在看一下 a、 e、 c， e 是 和 p、 q 是 平行的， 嗯，那现在咱们看过它的平面，我就可以再做一个和 p q 平行的，这个直线在 a、 b、 c、 d 这个平面里边，所以我们可以取中点连接，这个点是 m， 这个点有 m 了，咱们设成是 n， 这个点，再设成是 h， 那我们就把 n、 h 连上，然后再把 c、 e、 h 连上。那现在咱们就看到了 a、 e， n 是 和 b、 e、 q 平行的，然后同理我们知道了 b、 e、 p 和 c、 e、 h 是 平行的，所以这两面就平行了， 那这样的话我们就能知道了，这个面里的啊，过这条直线的平面和这平面就平行了，那我要求的就是这个等腰梯形的面积， 那这个呢？大家可以作为结论直接来记，如果我的棱长是 a 的 话，那么这个等腰梯形的面积就是八分之九 a 方，那对于这道题来说， a 是 一，所以答案直接是八分之九，那我们的 c 选项也对了，然后我们再来看四 d 选项， 四 d 选项呢，是用一个过 p q 的 这个平面去截它的外接球，那首先第一个知识点，正方体的外接球的半径，那我们就直接可以写了，应该是体对角线的一半，所以是二分之根号。三，第一个点，然后第二个点呢，咱说过一个 一条直线的平面去截球，那我们要求截面面积的最小值，那咱们这里边就要知道了，它正好是以谁呢？以 p q 的 中点为圆心的小圆， 这个时候它的界面面积是最小的，那实际上我要求的就是球心这个点到谁到 p q 中点的距离，那我们设为是 d， 这个时候我们把 d 解出来了，那小 r 就 变成什么，就是根号下大 r 方，减地方就是小 r 方。 所以对于这道题来说呢，咱们又会设到一个点，因为它是一个正方体，所以这个外接球的球心是特别好找的，我们可以把它连上， 这个球心的点，咱们看到了，正好是体对角线的交点，这就是球心 o， 我 要求的是刚才说了是要求到 p q 中点就是距离 d， 那 我们就可以把这个点，刚才咱说这个点是 e 的 话，我们可以把 o e 连上，那 o e 就是 我们要求的 d， 那 在这里边呢？因为是长方形，然后呢 o 还是中点，这个计算是特别好算的，直接就可以求出 d 来了，那我这个小 r 就 知道了。 所以这道题主要的点就在于什么时候结面面积是最小的，就是过球心做这个弦的垂线，也就是说以 p q 的 中点为圆心的时候，这个时候结面面积最小，所以我们也能算出来四 d 就是 对的。那这道题咱就睡到了 距离最小问题，要把它展开到同一个平面内。第二个结面问题，我们要求结面面积，第三个用结面去结球，什么时候结面面积最小，就是以这个线段的中点为圆心的时候是最小的，那我们这道题就可以算出来了。
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133【辽宁】智囊团初阶数学
08:01查看AI文稿AI文稿再来看一下二十三题，二十三题呢，他是放了一个几何的纯正压轴题。其实这道题我们来先来看一下分值，第一问占三分，第二问的圈一两分，第二问的圈二四分，圈三四分。 那我们简单看一下，其实整个题目最重要的内容还是考察了倒角问题，所以大连 的考试题型和考试范围都喜欢偏向于倒角，那么倒角也会在后来的中考里面也是重点考察的一个方向趋势。所以在后续一模到中考的这一段时间里面，大家一定要重视起来在几何压轴题这部分的倒角内容。 我们先来看一下第一问是非常简单的啊，去证明这个等腰三角形的这两个小三角形全等，这个就不重点进行讲解了。我们来看一下第二问，第二问呢，其实是圈二圈三卡住了大部分的同学，那简单看一下圈一圈一其实就是给了我们两个角度的条件，也就是 都跟角 a、 c、 f 相关，对不对？所以我们来看一下这道题。我把角 a、 c、 f 作为角 a， 那么我这些角啊，都可以用角 alpha， 那 我这些角 b、 a、 d 和角 a、 e、 d 是 不都可以用 alpha 表示出来再进行倒角？所以第一问就不进行系统的讲解了啊。我们来看一下第二圈二圈二呢，这里出现了 g 是 b、 f 的 中点好，中点问题，其实是寒假我们在进行中点问题进行复习的时候，它是分为了四种做题方法，第一种是等腰三角，等腰三角形的三线合一， 第三个是背长中线，第四个是中位线，所以一看到中点就要往这四个方向去想， 这四个方向也就是我们在上课的时候疯狂去提问，看到一个知识点，我们要想哪些做题方法，只有做这些做题方法想的特别熟练，那你在做题的时候才有抓手，才有思路，不容易漏情况啊， 不容易漏你的思路这种。那我们来看一下，这是中点，这是 b f 的 中点。首先我们来看 b f， 在 这里， b f 它不是直角三角形的斜边， 对不对？然后你说老师不我们刚刚正出来一个直角吗？但是 b f 这里不构成直角三角形，所以斜中这个事情我们不考虑。我们再来看等腰三角形三线合一的这个小思想， b f 它好像不作为等腰三角形的底边，对不对？好，那这个方向我也不去思考， 那么背长中线呢？背长中线在这里作图的话，可能会比较复杂，所以这个我们先放一放，但是我们先看后面这个中位线，中位线的话也就是两个中点 去连接构造一个平行且等于二分之一第三条边的这么一个啊，线段对不对？那这道题我们先来看啊， 这个 a b c 它首先是一个大的等腰三角形，所以它的底边中点它是非常有特点的，那我们这里取 m， 也就连接下 g m 之后，我们发现啊，这里构造了一个中位线，我们来看，在 b c f 这个三角形里， g m 是 不应该等于二分之一 c f 对 不对？那我现在是要把 a j 转化一下。 好来，我取了这个等腰三角形底边中点之后啊，千万不要停，我连接一下这里，我们是不是就构造了一个直角三角形，对不对？好，因为第一问啊，证明出来这个圈一，证明出来 b a c 是 一个直角等腰直角三角形， 所以我们可以把更多的角用阿尔法表示出来。来，跟着老师的思路，我们一起来标一下， 那么角 f c b 这里是不就是四十五减 alpha 没问题吧？很好啊，那你说老师这个角也是四十五减 alpha， 这可不是啊，因为你这个圈二的时候， f 还不在 a m 这条线上，所以这个 f b c 和 f c b 这两个角是不一样的啊。 然后再来看，我们来把已知的角都标注一下，因为这两条线平行，对不对？中位线嘛，所以这个角它也是四十五减 alpha， 那 上面这个 a m g 它是不就是四十五加 alpha 跟上了吗？很好啊，然后 这个大角是不是都可以表示出来，哎，对，所以这一部分他就等于他的一半九十度减二。阿尔法，哎，我们能够发现这两个是什么绝配角吧？对不对啊？他俩只要一出现的话，是不是就出现在一个等腰三角形里？也就是说我们能够证明 a g m 是 一个等腰三角形， 所以我们看到从圈一开始其实就有一点点倒角的小迹象显现了，那么圈二它是很明显的一个倒角问题，也就是通过中点引出中位线， 再通过中位线的平行以及倒角内容构造出一个绝配角，这样的话就会显现出一个等腰三角形。那么 a j 这条线段我自然而然的是不是就转换到了 am， 也就是让我们的 am 和 ac 进行比较，那是不是就是根二分之一 再进行互化一下就行了，对吧？好，来，我们来再看第三问，第三问它其实是在第二问的基础上添加了一点儿，那我们先把第二问先给它补全啊，把第二问的一些小条件补全，还是中位线， 对不对？只不过这个 f 现在是在 a m 上，是不是我们轻而易举的就可以得到 b f c 其实也是一个等腰三角形， 对不对？那这个时候看啊，刚刚这个角是不是四十五减 alpha， 这是 alpha， 那 么刚刚我们得到的这个不是定角的 fbc 就 定下来了，就是四十五减 alpha， 这也是四十五减 alpha。 哎，我发现更多的等腰三角形解线了，对不对？ 现在我要求的是 a c 的 长度，那通过上一问求 a c 的 话，等腰直角三角形，我是不可以求 am am 好 像是在这个三角形刚刚得到了 a g m 是 等腰三角形吧，对不对啊？很好啊，我们来看，我们先把一些角能用到的角写一下， 这是九十度减二阿尔法，那这个呢？是四十五加阿尔法，这里跟上了啊。来，再看这个角， f g m， 这里是不是一个外角，放大一下，它是不是应该等于 g b m 加上 g m b， 你 发现没有？是不是？九十度减二 r 法，这里是不是出现了一个子母形相似，也就是三角形 a g m 相似于三角形 g m f， 现在出现子母形相似，我们是不是通过我们的式子可以写出来 g m 的 平方， g m 是 作为我们的公共边吧， 对不对？ g m 的 平方其实等于 m f 乘上 aj， aj， 这里是不是就相当于 am？ 好， 来，我们来看一下，那么 m f 是 不是就可以用 aj 表示出来？那我们这里设一个未知数吧，我要求 a c， 那 我就设 b m 为 x， 所以 a m 为 x， 那 mc 为 x， a c 为根二 x， 也就是最后我算出来的 x 乘根二，也就是我的 ac 的 长度，对不对？很好啊，那我这时候 a m a j 都为 x， 题目已知 b f 为二， c f 也为二，那么我这个 g m 就 已知了，就是一。我现在代题一方等于 m f， 不知道放这放着乘上 am， 也就是 x， 所以 我 m f 就 可以用 x 表示出来，也就是 x 分 之一。那我现在的主要问题是不是要求 x 了？那我现在是不是就可以放到 b f m 这个直角三角形 b f m 中解得 x？ 好， 来，我们再来回顾一下这个二十三题。二十三题呢，重点考察内容就是倒角。我们发现其实在后来的话，中考的命题模式里面，它的去模型化是比较呃明显的，我们不是要一定的去背一些什么模型，而是更多的要去分析 这个几何。当出现了这种中点、中位线等腰三角形，我们如何去发掘它的一些做题方法和思路，这才是最主要的，尤其是倒角，在后续的练习中，一定要引起大家的重视啊。
15:17查看AI文稿AI文稿想跟你们分享一下第六题，因为我讲完之后你就知道为什么了。我在讲第六题之前，我们要讲一讲我们面对几何题，看他是在让你求什么，对，求线段长度的，求 线段长度的思路我们之前讲过，因为马上就要考试了，我们还要再讲一下，再系统的去讲一下。之前我说求线段的长度我分两种，一种是计算类的，一种是转化类的。 你要非常明确的，这两种分别代表着两种题型，它是沈阳题型偏多一些，当然之前考试的 就是计算吗？他也不是，这里面跟图形有关。沈阳出的题按照以前的那个题型来说的话，比较喜欢出翻折，对，旋转 翻折，这不就翻折吗？啊？翻折，旋转为主，翻折，旋转为主的基本上是以四边形为基本图形的比较多， 那它翻折旋转之后，比如说我们翻折或者旋转有边等，有角等，有垂直平分线翻折嘛，旋转有边等，有角等，所以它把很多东西都给你放在图里面了， 需要你从图中去寻找一些有用的已知条件，然后以计算为主要的 手段来去解决问题。中间有没有全等？有全等，但是有全等的基本上就是从途中你能找到的或者简单的辅助线，他肯定不是以全等构造为主的，所以这个是沈阳偏计算类的。 所以拿到一道题的时候，你注意观察翻折旋转还是怎么样的。而大连的题型很长时间几何题目就两个，基本同学考的特别多，三角形和正方形，就他俩 甚至三角形更多，特别喜欢三角形，尤其干区的。就你们现在出题的教育员额外呢？喜欢三角形， 那转化我们就涉及到的两种转化，一种是性质转化， 一种是构造全等转化。性质转化比如说我们中卫线，比如说我们斜边中线等于斜边的一半。我们一模考试就是先通过中卫线，你转化了个边，然后倒角出的等腰， 它没让你算，就是转化。然后我们一大连啊，辽宁省第一次辽宁省统考的时候，那二十二题就是斜边中线的，斜边一半的反正， 然后进行转化，它是俯视计算全等分两种，一种是倒角构造全等，另外一个是基本的模型构造全等，比如说手拉手啊，一线三等角啊等等。 通过全等构造，模型全等完了之后，通过导角模型构造全等，然后转化边。你要搞明白，我们转化和计算 转化，它只能把现有的一些边经过简单的关系转化到别的边，得到了这个长度，所以很多的时候转化并不够。 你想想你一模里面的二十三题的最后一个门，对，他不是光通过性质倒个角你就完事了，你还得用计算进行辅助辅助计算，那辅助计算当中我们是不是就应该有勾股定律计算了 解三角形计算了，三角函数计算了。有同学说，老师你这解三角形和勾股定律是一回事，不是一回事， 他俩一定不是一回事。我们一会下道题第六题就让你区分好什么是解三角形计算，什么是勾股定律计算，他俩真的完全不一样。 所以我们这很多的时候勾完全等之后，你得知道，老师我就说勾到全等我都不用计算，不是，是我辅以计算来得到最后的结果，但是一定不是以计算为主的。 好，那么我们这原理给你说完了之后，下面就让你看一道典型的大连考题是什么样子的，有全等，有计算，我们怎么分析？就是这道第六题，而且让你区分好什么是解三角形的计算，以及什么是勾股定律的计算。 在三角形 a、 b、 c 中，三角形为主体的 d、 b 等于 d， c 有 一个小等腰， c、 d、 e 六十度，马上把它画出来，非常标准的画出来角， b、 d、 e 等于二倍的 a、 c、 d 二倍角。那不用想了，设参数倒角吧，那 b、 d、 e 这是二倍的算法， a、 d 等于三， d、 e 等于五。好，到这儿，那第一步入手点，三五，我不看等腰能出来的等边，对等角，剩下的六十度现在也不管，那就是参数到角，这是个等腰，我肯定先找这俩角， 因为你一次性要导出来两个相同的角，绝配角吧。二、 r 法加六十两个角，是不是应该是六十减 r， 六十减 r， 六十减 r， 哎，我不导了，我看到了什么了？ 关于倒角这个东西，很多同学现在听过一门考试之后，你应该听了好多，倒角，倒角，倒角，但是有个东西叫适可而止，就是我什么时候结束，难道我要把所有的角都表示出来吗？并不是的，当你倒角一倒到了一个特殊角， 特殊角分两种，一种是具体的度数，三十四十五，六十一百二，一百五，一百三十五，这特殊的具体的度数，这是导完。哎，我找到了，我可以暂停一下。第二，什么叫特殊角？ 找到了一个绝配角，我就可以停一下了，是不？我就可以构造等腰，或者延长，或者构造全等了？那这里面我突然发现了一个六十度。 说，老师，六十度，你有什么惊讶的？六十度你还不惊讶吗？六十度跟你看到四十五度是不是一样的？四十五度的时候想等腰指，等腰指里面要么手拉手，要么是一线三等角，全等。那六十度呢？六十度对你来说，脑袋里面第一反应肯定是 六十度。三十度，两个一，三十度，六十度，直角三角形。第二，等边三角形。 如果这一个六十度还不引起你注意，这还有一个六十度，那必然有等边了啊。那再说一声，老师，我不信，我不，我不服，我不信啊，这，这六十度，我，这， 我要解三角形。解三，解三角形，你够吗？一个五，一个六十度就解三角形了，有吗？不够吧？老师，我这有六十度，六十度，这一个三还是一部分，你能解吗？解不了。好，到目前为止，我解三角形行不通，所以不是以计算为主的。那下一步你就要往脑袋想，我肯定是够到全等了， 要么就性质转化。这里面有中域线吗？有终点吗？什么都没有，所以没有性质转化，就是构造全等。所以你老老实实以这个六十度，我要构造一个等边三角形。说，老师，为什么要以这个六十度构造等边？因为这边有个五， 构造完了之后，你稍微看一眼就会发现， o， 我 好像还有点什么东西，你发现什么了吗？ 这是个等边之后，这个角是多少度了？六十度，两个六十度怎么了？ 共顶点了吧？两个六十度，共顶点，你不能往手拉手上面想。那你构造全等，我现在 c m 等于 c d 了， 一个边等一个角，我是不是转化成了一边一角构造全等来观察一边角的三角形里面，三角形 c e m r f c m 是 不是 c e m， 另外一个是三角形 c a d。 我 要怎么构造？在 c a 上面截一个边等于 c e 可以 吗？ 我说老师，不对啊，有可能是在 c e 大， 在 c e 上面截个 c a。 好 来，你看我在这截一个 c n 等于 c a， 你 看它俩全等吗？这这个这，这都钝角了，你这截完之后能看它一样吗？啊？是不是不一样？所以你要 你就算你想在 c e 上面，你你你是不是也得补一个？完了，跟人形状基本上一样了吧？所以我想在这截一个，因为为什么要截？因为你这 d a 等于三，所以我在这截一个 结， c n 等于 c e， 三角形 c e m 全等于三角形 c d n。 边角边全等。我们构造全等了， 构造了，全等了。我们之前和大家说过，说关于全等，你从初二就接触了，如果我们时间长的话，你就我们老说这句话，就是构造全等不重要，说又不重要了，对，它不重要。 全等不是我们的目的，我们的目的是通过全等想得到点什么东西，你得问自己。所以这是很多人构造全等完了这个通病。全等完了，完了完了，我说挣完了，我也不管了啊，拿出一个条件，比如说挣完全等 角 m， 这是多少度？六十等于它六十。完了，完了，没有用，除了这六十之外，我们还有你这个大角 是不是等于这个大角？角 c， e， m 等于角 c， n， d， 这大角我不要，我要想要的是什么？两个邻补角。角 c， e， d 等于角 d， n， a 等于什么？六十度加阿尔法 啊，这个角是六十度加 r 法，哎，角 a 是 多少？这是六十度减 r 法。 a， c， b 是 六十角 a 是 不是也是六十度加 r 等于角 a， 所以 d， a 等于 d， n 等于三，三 等于 em 等于三，三三三。 dm 等于 dc 等于 cm， 等于八八、八。 我现在坐到这，坐到这，这是什么？我刚才你想想，我刚才前面给你分析那一大堆东西，我刚才是不是说我们要通过构造全等进行变得转化， 而边的转化他只能部分计算，那这里面我们要求的这个 a、 c 很 明显，通过转化我们根本求不了，我求出来了，求出来了谁了？求出来 em， d， n， c， d， c， m， 这都是八，所以转化 结束到此结束，下面开始辅助与辅助计算了，因为转换已经没有用了，我要开始真正的计算了。好，来观察计算。先找特殊角所在三角形 六十度，哎，刚才这五，你刚才说说。解三角形有一个特殊角，一个边不够，现在另一个边出没出来。 解三角形 d， e， c。 先找特殊角所在的三角形 d， e， c， 这是六十，这是五，这是八。你有两个选择，你可以选择过 e 做垂直，可以选择过 c 做垂直，都用这六十度，你选择谁？ 为什么会要选择呢？你不俩不都一样吗？为什么要选择？因为你如果过 e 做垂直， 这是 k， 你 告诉我 d， k 是 多少？对，它是个分数。如果你过 c 做垂直 来，你告诉我 d， k 是 多少？哪个简单？四四倍刚好。三五一，四十八，一，四十九，七七。 你刚才过这边做垂直，二分之五，二分之五被杠上，三八，二分之十六，二分之十一，二分之五被杠上，三二分之十一，好算吗？ 好不好算？好看不好算，看到了吗？所以我这有选择的啊，通过解三角形求出来了，我的 c， e 等于 c， n 等于七了， 它等于七，它等于八，它等于三，它等于三。求 a、 c 的 长度。 刚才我跟你们说了，我说计算里面解三角形和勾股定律不一样，你说这里面解三角形里面有没有勾股定律？有，它俩不一样。好，下面我们要用勾股定律的方法了。 勾股定律？什么方法？三三七八求 a、 c 勾股定律。怎么求？等腰三角形过点 d 做一个垂直， d， h 垂直，那么勾股 d， h， 呃，不不， d， h 垂直之后， a， h 等于 n， h 等于 x， 而 t 三角形 a， d、 h 当中， d、 h 的 平方等于 a， d 方九减 x 方 r， t 三角形 d， h， c 当中， d、 h 的 平方等于。这是几？是不是？八六十四减去七加 x 的 平方。双勾股定律，它俩相等了。 九减 x 方，六十四减四十四， x 减 x 方消掉移过来十四 x 等于， 是不是？十五减九六， x 等于七分之二，所以 a、 c 等于两个 x， 七分之四加七，七分之 七就是七分之三，我写七分之二，七分之六加七，四十九加六，五十五，七分之五十五，最终求完。
04:27查看AI文稿AI文稿今天是大连一模考试的第二天，我们先来浏览一下整个试卷的试题难易程度，以及呃，部分大题后面两个压轴题的分值分布情况。先简单浏览一下试卷，我看了一下啊， 呃，一到十呢，考的还是比较简单的。那第七题，这里出现了方差，他没有在后面的概率题中出现，而是一个简单的选择题的形式出现，所以说对大家来说挺友好的，挺简单。那第十题呢，出现了一个几何动点，这也是大连常考的一种动态分析问题。嗯，是需要根据 图二这个二次函数的图像去分析正方形 a、 b， c， d 这个边长的长度，对吧？好，那根据图像呢，我们就能得到， 呃， a e 是 x， 那 么 ab 是 一，因为 x 等于零的时候，这个面积为零嘛，对不对？那就是一减 x， 根据这些条件再去进行做题即可，还是挺简单的。 再来看一下十五题，十五题考得也相对来说比较简单。第一，他没有涉及到动情况分析问题分情况讨论，而是求一个固定长度的线段的问题，对不对？所以在这里给大家列举一下，他是使规作图和相似进行了相结合，进行了考察。 那么十六题的计算也相对来说比较简单。十七题也还不错，考到了二次函数的增长率问题啊，一元二次方程的增长率。看一下第十九题。第十九题呢，这里可能会出现部分细节扣分问题，也就是第二问 出现的函数表达式。注意，一定是 s 与 t 的 表达式，就不会得分了啊，这个一定要注意。 那二十题呢，考察的第一问和第二问其实都是考察了一个圆周角相等，那他们对应的同乎也是相等的，其实这一个圆周角的考察在鞍山一模也会涉及到，在第一问倒角的时候， 后续呢，我们会把这个图给贴出来。鞍山一模也是考察了圆周角相等，嗯，很多同学就是卡在了圆周角，不知道去没看出来，所以导致那道题二十 一题的这个圆的题就卡住了。然后我们再来看一下二十一题，二十一题是反比例函数的实际应用啊，的一个相结合，那这里呢，也是存在一点扣分的点，也就是第一问 注意一定写的是小 f 与 l 之间的表达式，而不是 x 与 y， 所以 简单的来看这张试卷的一到二十一题的基础，但是细节点部分扣分的点也是挺多的，有很多的坑，比如 s 与 t 的 这个关系式， f 与 l 的 函数表达式，一定要注意 看清题目所求，那我们再来看一下后面的二十二十三题。二十二十三题，尽管是大连的一模考试，给他调换了位置，二十二题考察的这个二次函数的计算，二十三题考察的几何，但是无伤大雅。我们先来看二十二题， 二十二题呢，首先我们打眼一看，其实没有涉及到新定义，也没有分情况讨论问题，只是第一问还是很简单，涉及到计算。第二问呢，那么就是要把 d e 这个解析式表达出来，通过这个题目所给条件， d e 等于二分之一 b， d 啊，那这样去把这个 d e 的 这个解析式求出来，再去判断 a 是 否在这个直线上，一定要注意写清，当 x 等于负三时，哎，代入 y， 哎， y 等于通过计算啊，把你这个 d e 的 这个解析式算出来之后，把负三带进去看看 y 是 否等于零，然后再去说明啊， a 点这个点的纵坐标和算出来的这个纵坐标是不是相等，所以点 a 在 直线 d， e 上。第三题呢，这里占五分的分值， 这个也是比较简单的一个横平竖直的线段嘛，对吧？好，那我们在这简单标一下， m 其实是在这， p 点是在这，这是 q n g m p 和 q n g， 它其实是两条平行于 y 轴的线段，所以就是把它们的横坐标，纵坐标表示出来，嗯， pm 就是 它们的横纵坐标之差， q， n 这条线段其实就是它们的纵坐标之差。 e g 这条小线段呢，我们是通过勾股定律去把它表示出来， 所以对于大部分同学来说，嗯，计算情况较好的，那我们能够得到的是 x 一 与 x 二的这个数量关系是完全没有问题的，可能会在这个十二分里面会扣一到两分，嗯，就也就是关于这个 x 一 的取值范围。
13:36查看AI文稿AI文稿咱们大连市的一模考试哈，刚刚结束，然后数学卷也是先出炉哈，这个抛物线相对来说比较简单哈，所以放在了二十二题的位置。二十三题呢，很多同学都反映说卡在了括号二的圈二和圈三哈，那咱今天重点就看一看这个圈二和圈三到底是什么情况啊？ 那通过这个咱们平时的讲解，能不能在考场上顺利的把这个科二和科三给拿下来啊？好，咱们来看一下题， 那主题看给了我们 ab 和 ac 是 相等的，别忘了标呼呼呼相等。这个咱们在平时做题过程当中经常提示大家啊，就是等腰三角形的等边对等角啊，这个等角千万不要忽略了啊， 然后还给了个 b、 d 等于的是 c、 e 啊，第一问，你也正全等了，就是大的等式上边套个小的等式，你看这个三角形是等幺，这里边这个也是等幺吗？啊，就这个事。 然后咱们来看空二，空二的题上给了啥呢？给了两个角度的信息，那么这里边你看都是跟 acf 相关，所以我们在倒角的时候，你就直接设 acf 是 alpha 就 可以了啊，设它是 alpha， 那所以角 b、 a、 d 就 应该等于的是二 f 减四十五度，所以这是二 f 减四十五度，那你看两边是一样的，所以它也是二 f 减四十五度， 那给了我们 a、 e、 d 等于二倍的 acf， 所以 a、 e、 d 应该等于二 alpha 里边是三角形，这也是二 alpha， 三角内角和这是一百八十度，再减去四 alpha， 妥了，三个角向下得九十度，那么圈一顺利拿下啊。 所以说这道题啊，括号一就一次，简单的全等直接证就行了，括号二倒个角，轻轻松松拿下，我觉得也没问题啊。咱们来看一下圈 圈怎么说的呢？圈是在这个基础上加了一个新的条件。什么条件？ g 是 b f 的 终点啊，蓝色的单品，蓝色单品终点呢？这个东西啊，咱们老生常谈了哈，从初二下开始，因为初二下一结束，咱们初中三年的四个终点模型都都整完了。 然后咱们在复习过程当中呢，也经常跟大家说中点这个事啊，那你看中点都有几个内容，第一个被长中线， 第二个中位线，第三个直角三角形斜边，中线的斜边棒， 这是直角，如果这是中点的双撇，双撇双撇，第四个等腰三角形底边如果有中点的话，怎么呢？四个字，三心合一，那就这玩意呗。啊？然后他让我们求的是啥？他让我们求的是 aj 比上 ac， 对 吧？你要有一个直观上的感受，一看 aj 等于 ac， 他 肯定不能相等的，他也好像不是整数倍的那种感觉， 那么既然不是整的，被他求比值的话，那就肯定是数，那到底是什么数呢？咱们一直都在强调说几何题，所有的几何题他一定是前面的疑问，对后续的疑问是有影响的， 对吧？所有的出题都不是说扣一或者圈一，随随便便给你的内容，然后让你正好正吧，给你两分得了，就为了给你给分？不是，他一定是对后续的题有引导和指引作用的。那你说这个 b、 a、 c 等于九十度有啥用？ 那不就是告诉你三角形 abc 是 一个等腰直角三角形的，那你想到等腰直角三角形两个事，第一个等腰直角三角形跟边跟直相关的，一比一，比根号二。那你还不知道往根号二上扣吗？ 对吧？一看 a c 和 aj 好 像吗？好像，真是高二倍的感觉。那你猜是不也能猜出来这个答案，对吧？这是第一个，第二个是。那你说等腰三角形，那常规辅助线是啥？不就是做啥三线合一吗？ 是吧？那怎么做三千合一呢？你就正常做垂呗，做完垂以后，你看原本有一个中点，我做完以后又来一个中点，俩中点能干嘛？俩中点一连必出中心， 我就连上，这是我们常规的操作。好，那么咱们来看看哈。那我知道这个想正， a c 比上 aj 等于根号 比一。在图里边我知道 a c 比上这来个 h， h 等于根号二比一。那这句话不就是让我们证 aj 等于 h 吗？ 想证 aj 等于 h， 你 看蓝色的三角形，明显它应该是个等腰三角形，从路遥可见，它也应该是等腰。那怎么办？就倒角呗。那你别忘刚有中位线，中位线的性质是两条线互相平行， 切数量上是二分之一，那么我们要倒角肯定用平行了，所以这个小角是原本这是四十五度，四十五度再减去阿尔法，所以他也是。啥四十五度减阿尔法，整个这做垂了吗？对吧？三线合一九十吗？所以上面角四十五度加上阿尔法，你看这是一个 一百八减四 r 都没擦呢，对吧？里边的三角形说了是一个等腰三角形，一做垂三线合一，所以它是啥？它是九十度再减去二 r， 那 三角形内角你看一百八 减九十度减二， r 减四十五度加 r 剩啥？四十五度再加上 r， ok， 那 么这个三角等不等腰，等腰全都挣出来了 啊，就这么一个思路啊，那终点呢？你看哈，一定要往这个咱们平时引导这个方向上想哈，那有人就想偏了，说背长中线，你说往这面背，往那边背，你背长中线，不行的话，你得赶紧转换思路哈，这考试时候一定要灵活。 好，接着咱们来看一看圈三哈，那么圈三啊，这个每年的这个几个题啊，其实方法是特别多的哈，那有些方法比较优秀，有些方法就比较麻烦哈，咱们今天简单的剪两个哈， 他首先说在圈的条件下，是 b f 等于 c， f 等于二的时候呢，咱们画个图哈，那么 b f 等于 c f 就 意味着里边的三角形 b f， c 也是一个等腰三角形，所以这道题新的图就是啥三个等腰三角套在一起啊， 这个 f 应该落在了刚刚的 a h 上，然后这面是终点吗？在二的条件下吗？随这啥呀？ d， 那 这么连这面应该也是啥也是终点，这啥呀？ e， 因为你看我画的大三角形 abc， 等腰， 中间的这个瘦的这个 a， d 一 等腰，矮胖的这个 b， f， c 也是啥，也是等腰，三个点在套在一起，两边一定是嘎嘎对称的啊，然后给啥了呢？给 b f 等于 c， f 等于二，那么这是一，这是一，这也是一， 那咱看这道题怎么处理？那先讲我觉得是最优秀的一个方法啊，这是个终点， 中间怎么想呢？中间我还是想，哎呀，这个中间怎么用？变成中线应该是不行，只要三角形斜面中线，哎，这把应该是有可以连这一次哈。但这道题暂时还没用到这个啊，下一个方法讲，那我如果用继续中线呢？我直接向 fh 做垂，这样的话可以构造出一个 a 形。相似 啊，我画的这两个三角形相似啊，三角形 f、 g 就 来个 p 啊。 p 是 相似于三角形 f、 b、 h 的 两个三角形，既然相似的话，这是一份，这就几分 两份。因为大三角形是等于正三角形，所以 h 和 b h 都相等，所以 h 有 几分两份。上一问，正的 aj 和 h 相等，你看哈，环环相扣，它也是啥？两份？ ok 了，你看两份， 一份还九十，谁不知道通过三角函数反推，这是三十。这啥？这六十度，那你看上面的图，三十度在这呢，他对应的是啥？对应的是九十度减二，阿尔法等于三十度，所以阿尔法等于三十度呗。谁是阿尔法？ acf 是 阿尔法三十度， 这是四十五度，这还是二。那么你想求它的话，这不就是我们在讲求线段长的推移方法里边的很重要的方法叫啥？解三角形，你看三角形 a、 f、 c 拿出来， 它的特征是三十四十五，还有个二，那么它支两个角和一个边，这个三角形直接可解， 对吧？啊，或者说织两个边，一个角，这个三角也可解，叫解三角形。那么怎么办呢？把这个特殊角放到这样三角当中，所以我做垂三十度，所以这边是斜边。一半一一钩骨，一比刚好，三比二刚好。三。这面一比一比刚好，这也是一。所以答案是啊，根号三加一。 这个方法是我自认为哈是最优秀的一个方法哈，非常好。但是呢，有的时候这个辅助线呢，你会说，老师，这个辅助线我确实想不到啊。那确实，这个考试的时候，因为电光火石之间呢，你可能想不到这个辅助线，那么咱们看看下一个方法，你是否能想到哈，我觉得这个你应该能想到， 好，咱们把它擦一擦啊。 那么这个方法为什么能想到呢？因为这个方法和上一个方法是环环相扣的哈，是扣在一起的哈。各位，你看哈，你会不会这么想，考试的时候 上一问，这个 aj 和 jh 肯定是连了 h， 然后这连上了，那么这是一，这是一，这是没有问题的，对吧？因为这里用到了一个中点的直角三角形，斜面中线的斜面一半， 然后呢，一和一，你看这个三角形，它也是啥呢？它也是一个等腰三角形，并且底角怎么的相等，所以三角形 a， 哎，这这这是这啊， a j h 就 相似于三角形 j h f， 你 看其实都弧线没变， 只不过是把 f 落到了 a h 上，一就是就这么一点小变化图格都没变啊，所以这个只要三两个三角形相似，是特别容易能看到的哈。那么 a j 大 三角幺比上小三角形 j h 就 等于小大三角形底 j h 比上小三点 h f。 我 们设 a j 为 x 的 话， x 比一等于一比一 h f， 那 交叉相乘，我得到 h f 的 啥？ h f 的 x 分 之一，所以这啥 x 分 之一， 那么 a j 上一位已经证了 a j 等于 h h 等于 b h， 所以 b h 等于啥？ x， 那 妥了， r t 三角形 b h f， 这不就是直角三角形，它就三边都有了，一个是 x 分 之一，一个是 x， 一个是二， 这时候就不管那套了，直接勾股就完事了呗。 x 分 之一的平方加上 x 平方等于二的平方，所以 x 方分之一加上 x 方等于四。 那这时候有人就麻了，说，哎呦我的妈呀，麻爪了啊，蒙了，说，老师麻了，这 s 方这玩意我不会处理。不会处理？咋不会处理啊？你不会整体代换吗？这直接就变成了 y 分 之一加上 y 等于四啊。 去分母乘以 y， 所以 得到的是一，加上 y 的 平方等于四， y， 所以 y 的 平方减二，整体的平方等于的是三，所以 y 减二等于正负，根号三， 对吧？那 y 等于啥呢？根号三再加上二，为啥等于根号三加二就正常取吗？是吧？好，那么 y 等于根号三加二，那 y 是 啥？ x 方等于啥？根号三加二。那么我要求的 x 等于啥？就等于根号下根号三加上二，根号里边投根号， 然后你要求的是 a c， a c 是 x 吗？不是，是根号二 x， 所以 你再乘个根号二，对吧？等于的是根号下二倍，根号三再加上四，你不会就扔，这就完事了， 对吧？根号里边套根号，他已经做到最极限了，对吧？那你最后结果分给我扣两分，给我扣三分，我认了，但是大部分分我都能拿出来，对吧？我都能拿下。这个我觉得是大伙啊，在这个考试的过程当中，这个电温火石之间啊，是可以做到的程度啊。那么根号里边套根号，不是说我们处理不了，我们可以处理， 对吧？无非就是把根号里边这个整体变成一个完全平方公式呗。那你看完全平方公式是首平方加尾平方加上二倍的首尾， 对吧？那么也就意味着首平方加尾平方等于几啊？二，二倍的首尾等于二，等于根号三。那我就变成二倍的根号下四分之三呗。这不正好吗？ 那你就知道了，首乘尾等于根号下四分之三，首平方加尾平方等于二，那就是相当于肯定是一个根号乘以一个根号， 然后里边的数相乘得四分之三。相加得啥呀？二，那你说是几啊？那我就可以想啊，那相加得二，我就一个二分之三，一个二分之一行不行？咱们算一下哈，他俩相乘的根号下四分之三， 他俩的平方相等 r ok 了。所以 x 实际上等于的是根号下二分之三整体的。呃，加上 根号下二分之一整体的平方，对吧？那他不是最减的那个二次根式，你得化减是不是？那相当于二分之根号六，再加上二分之根号二，整体的平方再开根号， 这是 x 啊，那 x 就 算出来了呗。 x 等于啥？二分之根号六，加上二分之根号二。那么我们要求的 a c 根号二， x 再算一下等于啥？等于根号三，再加上一啊。 我觉得到这步的话啊，是通过你的思路是可以处理的了的。那后面就得是有一点这个计算能力和做题经验在这了啊。
34满分数学高老师
07:16查看AI文稿AI文稿沈阳市中考数学一模今天刚刚考完，那这回的一模卷它整体都是偏简单的，一到二十一题百得分不说，二十二二十三的难度也是基本上是低于中考难度的，所以孩子们做起来会比较顺心啊。但是大家要注意，就中考的话，那这回的难度应该是比这回的一模是要难一些的， 但是他这个一模是能反映出一个中考的一个特点，因为咱们中考不是说你一模二模考什么呢？你中考就考什么一模二模，他出题的目的只是为了让你知道你自己哪块是有问题的。其次他是有一个导向的，是指的是这个东西是可考的。 但是如果你会分你分析了各个地区一模和二模的，你就会发现今年辽宁省各地区的几何压轴考的尤其多的是倒角， 倒角加上一边一角构造，再加上解三角形，是这三个东西结合到一起去的，那你就要知道每个东西你都常见的方法是什么。那倒角的话，咱们常见的方法就是设阿尔法这个顶点，设等腰三角形的顶点。其次就像 比较一些复杂的，像二八角的辅助线，然后公顶双等腰，公腰双等腰，还有公腰三等腰这三个倒角的基本型。然后其次就是边角构造，边角构造好多地区一模二模都考了，这个几何压轴跟边角构造有关系的，比如说像这回的沈阳，还有像上次的这个鞍山，都会有边角构造。 那边角构造是非常重要的一个辅助线啊，它的特点就是只要出现角和角的邻边相等，那它特殊的情况就是一边角互余勾选等， 那对于解三角形，咱们常用的就是直角三角形、解三角形，那直角三角形里常用的解三角形的四种情况，两边一角、两角一边啊，一边一角，这种情况你都要知道。其次就是跟求边长有关系的，那解三角形算是一个，还有一个就是勾股方程。 勾股方程咱们应用的频率是非常多的，当你发现出现直角象形，并且你能用未知数表示出边长的时候，那这题大概率就是跟勾股定律方程是有关系的，你要么考虑是单勾股方程，要么考虑双勾股方程， 那除了这个，那也有跟平行相似有关系，因为经常我发现这回的一模、二模好多地区他出了是有涉及到边比例的关系，那同一直线两个边之比， 那咱们一定是构造 a 字这种的 a 字，或者是构造这种的八字相似，那这个就是反映出来的中考数学几何压轴的重点。那咱们接下来详细看一下这里的题啊。一二问比较简单，咱们就不说了，咱们直接只看这个第三问， 我们看这里第三问，第三问。现在说当这个 a、 b、 c 等于一百二，那根据已知条件 a、 b、 c 和 a、 d、 c 互补，所以这个 a、 d、 c 这个角是不是六十，那就说明这个 a、 c、 d 是 不是一个等边，因为已知给的是不是有这个 a、 d 和 d、 c 相等，那现在 a、 c、 d 等边，那这个 c、 d、 f 是 它翻折过来的，所以它是不是也是等边的， 那咱们得到这些边相等。其次我们再看他现在要求这个角 b 之一的度数括号二里，我们是不是倒了一个一边角互相等，那这里咱们通过括号一是不能证出这两个点角是相等的， 那你看这两个点角相等，并且它们俩的一组邻边这个 ac 和 c、 f 是 不相等。这里面就涉及到我刚才说的一边角相等，咱们就让角的另一边相等。所以我只要在 ab 上取一点 m， 使这里的 a、 m 等于 c、 e， 咱是不就能得到三角形 a、 m、 c 全等于三角形 c、 e、 f 全等之后，你是不是就能得到这俩算式是全等对边对角相等的？那你看这里现在 b、 c、 m， 它是不相当于一个等腰了。因为你构造完 a、 m 等于 a、 e 之后，是不就能推出这里的 b、 m 和 bc 相等？ 所以 bme、 bmc 现在是个一百二十等三角形，那这里的角咱是不是就要推一下？所以你发现这个角 a、 m、 c 是 不是就变成了一百五十度？那 a、 m、 c 是 一百五十度，所以它的这个对应的角 c、 e、 f 是 不是也是一百五十度？ 就说明角 c、 e、 f 一 百五，它是一百五，那它的邻补角这个角 b、 e、 g 是 不就变成了三十度？那现在这个角三十，那角 g、 b、 e 是 六十，所以是不就能推出这里的角 b、 g、 e 是 等于九十度？那第一个完事之后得到九十度，你再看第二本，他说 ab 是 八，那现在 ab 是 八，是不就能发现 ab 和 b、 e 都是八？因为题里给的是这两个边相等，那现在 b、 e 也是八，是不就有 b、 g 是 四， g、 e 是 四倍根三这些边都是咱可以求的，那现在想求 b、 c， 你 看想求 b、 c 的 话，这里面你发现这里面这个角 g c f 是 不是给你的是一百五十度，它是一百五十度，那这个角你看啊，我给你画一下角， g c f 一 百五 角 f e c 也是一百五，所以是不出现了一组子母形相似，就三角形 f e c 是 不相似于三角形 f g c 的， 那子母形相似，咱首先一定是用它的那个结论，对吧？重合边的平方等于共线的这两边之积 f e 乘以 f g， 那你能得到这个之后你看但这里哪些边你可以表示？你要求 b c， 那 咱们就把 b c 设成一个 x， 所以 这里的 c e 你 现在是不就知道了？这块 c e， 我 就写这啊， c e 现在是不就是八减 x， 那 c e 是 八点 x， 你 还能表示谁？那这里 b m 是 不是也是 x c m 是 不是就根号三 x？ 那 咱们刚才圈一这个全等 c m 是 不是等于这里的 e f， 所以 e f 是 不是也根号三 x？ 哎，那你就发现此时这个 g f 是 不是就是根号三 x 加四百零三， 那你现在 g f 知道了，那咱们是不是可以往这里带了？所以 f c 方是不是就等于 e f， 那 e f 咱现在是不也表示完了？是根号三 x， 再乘以 f g f g 是 不就根号三 x 再加上四倍根三？ 你发现你能表示出 f c 方，那 f c 是 什么？ f c 是 不是这个等边三角形 a c d 和 f c d 这两个边长？也就是说这个边长是不是等于 a c 方？ 那所以你看啊，在 a c 所在这个三角形 a c b 里面，这三边是不都已经用 x 表示出来了？ 边用 x 表示出来了，这里还有一个特殊角一百二，是不就是咱们说解三角形里的那个情况？所以咱们接下来就是解三角形的思路呗， 做这个特殊角一百二，它的零补角六十，做这个特殊角所对的高，解三角形思路就都是一样的了，肯定是做这个特殊角所对的高做一个 a p 垂直，那所以这里的 b p 是 不是等于二分之一的 a b 是 等于四的， 然后 a p 就是 四倍根三，那你现在你在三角形 a p c 里面说，也能表示出这个斜边 a c 方是等于 a p 方加上 p c 方，那这里 a p 方是四倍根三的平方是四十八，再加上 p c 方就是四加 x 的 平方， 所以这两个 a c 方是不是相等的，也就是说明现在是能得到这个式的根号三 x 等于根号三 x 加四倍根三，然后等于这个四十八，加上四加 x 平方，有这个是不就可以解出 x 的 值了？ 所以你看这里运用了倒角，其次是一边角不等，然后是子母形相似解三角形。
04:02查看AI文稿AI文稿只要这道题我不会，我一个字都不写。呃，这套叫二十三。我再跟大家说一个很可爱的事，自己回去看一看孩子下答题卡之后，大家一定要看一件事。还有什么事呢？您看看他答题卡二十二、二十三怎么答的？ 不是说他答的对错与否，而是看他二问三问有没有字。什么意思？有一批孩子，哎呀，太可爱了，我打初一就这么教育他们，但是一直教育了三年就不写。只要这道题我不会，我一个字都不写。 你要知道，中考中的确会有因为今年题目难易而产生的现象，导致了这道题会有一种东西叫可酌情给分。 写出来什么什么东西之后，我们允许酌情给分。是我想酌情，我酌哪啊？你那个卷白的，你给我个让我酌情的点好不？ 每一年中考都有方法分，有步骤分，有算出来某个数的分，但是你啥都没有。我真心话，把我的学生拎出来一半，你判他那个验草纸，我能给他加三分。他那个验草纸好多东西都是对的呀，我都恨不得给他验草纸撕了，但是没有用。所以您回去一定要看一下有多少，比如说这个几何的。第二问， 我倒角步骤都没有，我倒完角之后，倒角的东西我一个都不往上写的。那这道题沿用的是什么模型呢？沿用的是一个中位线的小棋子模型。哎， abj 直接在这截一条中位线上去。小棋子模型。整个题呢，我提供了六种做法，但六种做法里面呢，分为四大类， 因为我对一些题多解的概念跟有的老师不太一样，我感觉属于同类型的辅线，我就给他归大成一种就可以了啊。这道题的第三问，我还告诉大家，因为现在我看到有些孩子在听， 你们一定要记住一句话，辽宁省出题，因为有这样一个出题要求，你一道题你听到最后你只有一个解，或者只有两种方式，两到三种时间去解。你这道题出的不合格，有老师会骂你，暗戳戳的骂你，恨不得举报你，举报你，你出题人你背锅，你教员你背责， 他敢那么出呢？不，他不敢。所以他这道题同一道题，你像去年的辽宁省中考，能总结出来将近三十种做法，为什么我们要总结这些做法？我一定要留一条后路，那条后路叫什么？ 叫？这道题一定可以通过导度数解三角形硬记。而我想问问你们在座的同学们，自己问问你们班大神，这道题保准有人把它的具体度数给我干出来，而你们大多数同学没有， 你们根本都没想到，这题竟然会有具体度数。我还就跟你们说，正常这种题都会出具体度数来。我给大家提供个思路啊，连接 g e 则 g e 是 三角形， a 答 e 的 中位线， a g e 等边所有的具体度数都有。拿着这个回去就直接告诉孩子，你能不能照这个给我导出来。 这道题的原样模型来自于哪，大家可能都没看出来，右上角这道题我知道下边有学生，你们来告我说，右上角那道题哪来的？是哪年哪届哪一块出的？好样的，我听见你摸到了哈，好事，好事，特别好，你能认得这道题，你过关了？ 这俩题是完全同样的五题，这道题去年二零二五年大连市一模，你把这个拎出来问孩子，孩子告诉我说，这题我好像见过，但我记不住，那我想说，那这孩子可能有点事，是吧？ 这道题你们仔细去想一下，我如果沿用第二个的做法，我是不是应该在这建立个钟锤连接？ g h 是 不是等值里边凑了一个等幺，这个里面是直角里边凑了一个等幺，他无非就是把直角给他改成等值了而已吧。构建了一个二倍角，构建了一个绝配角，对不对？在右下角的部分呢，我拿出来一个非常有意思的东西，这个东西啊，正经几何我就直接圈了，我说这个东西来自于正经几何， 书也不我出的，我占人工不好啊。大连市教练员罗老师出品啊，我推荐。最后的一段时间，如果大家想要这个啊，图片的话，我尽量拍过去，因为几盒绝配角二倍角，您为这买一整本书不知道吗？ 啊，你要，要的话，我把绝配角这几张给您拍过去，也就四五页纸，我推荐你们在中考之前把绝配角做明白啊，因为无论如何，这个都还是一个重点知识内容。绝配角这几张纸啊，到最后可以管我要。
09:49查看AI文稿AI文稿各位宝贝们好呀，我们今天来讲解一下二零二六年这一套呃，辽审出的冲刺秘诀。好，我们来看一下这个压轴题，二十三题。好，首先先读题，他这里面说这个抛物线与 s 轴的焦点分别为点 a 和点 b， 然后呢，与 y 轴的焦点为点 c， 顶点的坐标是三到四，那么括号一呢，他让我们求 g 的 这个解析式， 很明显，在这道题里面呢，我们就需要把这个顶点带回到这个原式当中去，那么最简单的一种方法呢，就是把这个抛物线呢变成顶点式。好，我们来写一下，这里面应该是 y 等于负四分之一， s 方加上 b， s 加 c， 给他配个方， x 方减二， b 的 平方加 c 加上 b 方，所以说呢，就是各回各家，各找各妈。那么很明显呢，他这个啊，就是我们顶点的横坐标，后面这一坨呢，就应该是顶点的纵坐标啊，所以说我们列一下，二， b 等于三， 然后呢， c 加上 b 方等于四， b 等于二分之三， c 等于四分之七啊，第一道题解决这一块呢，是两分，好，来看一下括号二， 括号二，他说如图一，他说这个 p 点在直线 bc 的 上方，然后呢，三角形 pbc 的 面积为三角形 abc 面积的四分之五，求 p 点坐标。在这这一道题呢，他其实和我们这一次大连市二十二题的括号三考的非常的像， 都是考的是待定系数法，然后呢，这道题他还融合了一个知识点呢，就是牵垂法， 相信千锤法大家应该不陌生了哈，好，那么现在呢，我们先把这个 c 点求一下，这个 c 点的话，其实，呃就是也可以秒了，因为刚才已经把这个 c 求出来了，所以说这个 c 点呢，他就是零到四分之七啊， c 点零到四分之七， 好，那么再来啊，我们把这个 a 点 b 点写一下啊，大家在这个就是中考的时候呢，一定是尽你所能啊，能写到哪写到哪，所以说在这里面啊，我把这个零啊往里面一带，那么 a 点呢，是负一斗零，然后呢 b 点是七斗零， 在这一块的话，这个求点 p 的 坐标，所以说我们现在呢，先把这个我们知道的这个三角形，也就是说三角形 abc 的 面积给它求出来，嗯，三角形 abc 的 面积呢，就应该是底乘高， 底呢是这个 b 点的横坐标，减去 a 点的横坐标是八乘四分之七乘二分之一，结果应该是 十七。好了，那么我们继续啊，我们过这个 p 点，向这个 c d 做一个铅垂，那么这个焦点可以为这个 q 点啊，那么这个 p 点呢？此时呢，我们是在抛物线上，所以说我们用抛物线来表示 p 点坐标，那它就是 m 到啊，负四分之一 m 方，再加上二分之三 m， 再加上四分之七，好，这就是我们 p 点的坐标，好，千锤千锤，我们现在呢，就是以这个 p q 它的长度为这个底儿，然后呢以这个 bc 它的这个长度为高，所以呢，我们还要把这个 p q 的 长度表示出来，在这里面呢，很明显大家能看到啊，这个 q 点，它是在我们这个 c b 上，所以这件事情呢，我们要把这个 l c b 给写出来， l c b， 我 在这里面用点斜式，那么就是 y 等于 k 倍的 x， 那 么大家知道啊，已经是过了点 c， 所以 说是 k， x 加上四分之七，好，那么此时呢，再把我们点 b 带进去，点 b 是 七到零 带一下啊，那就是七 k 加上四分之七等于零，好，七 k 等于负的四分之七， k 等于 负四分之七，乘以七分之一，等于的是负四分之一。 ok， 我 们已经把这个他的斜率解出来了啊， k 等于负四分之一，所以说这条直线呢，应该是负四分之一 x 加上四分之七， 好，表示完 p 点的坐标呢，我们同理也要表示一下 q 点的坐标，因为他们俩呢，都在同一条，是个竖线上，所以说呢， q 点坐标，他的横坐标应该也是 m， 可是它的纵坐标应该符合的是一次函数的解析式，所以是负四分之一 m 加上四分之七。我们现在用大坐标减小坐标啊， 那么就是这个 p q 就 应该等于的是负四分之一 m 方加上二分之三， m 加上四分之七。减去，注意好打括号啊，一会这个符号要变号。 好把，这个不怕步骤多啊，我们就怕算错，已经算到最后道题了啊，就怕步骤算错，所以说能多写尽量不要少写好，约掉约掉 啊，这块是四分之二啊，我看一下啊，这个是四分之六，加上四分之一是四分之七，负的四分之七 m， 好， 这是我们的 p q 把我们的这个 s 三角形 b c p 表示一下， s 三角形 b， c p 呢，它的横长啊，水平的横长就应该是 p 的 横坐标，所以说是七 乘以我们的这个 p q 负四分之一 m 方，再加上四分之七 m， 然后呢，再乘二分之一，就应该等于我们的，它说等于这个三角形 a， b， c 的 四分之五，那么的是乘法，所以说在这里面呢，我们就把这个七再乘一个 四分之五，最后呢能把这个 p 点给它写出来啊，这个 p 点呢能解出来 p 点，第一个点呢是这个 m 一 等于的是二，那么 m 二等于的是五， 当 m 一 等于二的时候呢，我们也是把它往里带一下啊，是二到四分之十五，然后呢 m 二是五的时候，应该是五到三啊，大家往里带一下，计算一下就可以了。 好好，我们来看一下括号三，括号三呢，这里面他说如图二，然后呢连接 o d， e 为这个 o d 的 中点，所以说大家可以先把这个一点求一下啊，这个一点应该是这个二分之三，逗二， 然后呢我们再来看说 m 呢是一点，然后呢做的是 e， o， m， n， 然后呢让这个 dm 加 d n 曲的最小值，然后呢求这个最小值， 好，这个最小值应该是什么呢？大家我看啊，你们在看到这个式子的时候呢，其实就应该反映到这道题考的是什么内容了，这道题呢，它其实考的是一个将近一码，是一个对称问题， 那么这道题呢，他只是单纯的考了一个点的对称啊，说实在的，这道题考的挺简单的，我们历年的中考题呢，他其实更喜欢考的是那种抛物线的对称，然后抛物线对称呢，你还要写出他的全新的一个抛物线的解析式，对于学生来说难度挺大的啊，在这种情况下呢， 是这个啊，将军引马问题，所以说我们可以随便选一个 m 点或者是 n 点对称过去就行啊，点地是不能动的啊，那么这个是 m n 是 这个动点吗？所以说这个， 但是这道题啊，大家知道啊，就是点地不能动，但是我为了这个大家看这个图更加的方便一些啊，我还是选择把这个 m 点就这样对称过去的。 但是你要知道啊，我们对称过去之后呢，要使得我的这个 m 撇和我的 d 点和 n 点是三线合一的，为什么？因为我是最小值吗？最小值肯定是三点共线啊，是三点共线。 好了，那么我们把每个这个坐标先表示一下，他这里面没有给我们任何一个坐标，那么我们就自己设一下呗，他是 t 六零 n 点呢，就应该是 t 加二分之三到二，然后这个 d 点是三到四，这个我们知道给他对称过去怎么对称，是呃过点 d 的 那么一条水平线， 然后我们关于这条水平线去对称 m 撇。好，大家观察一下这个 m 撇的坐标，首先第一件事，他俩这个横坐标肯定是一致的， 好纵坐标呢，你看点 d 距离，我们的这个 s 轴之间距离是四，对不对？那么我们对称过去之后，距离也是四啊，总共加起来就应该是八，所以说它这个坐标应该是 m 撇啊， m 撇应该是 t 逗八， ok 完成。所以呢，现在呢，我们其实是点 d， 然后 m 撇还有 n 点呢，是三点共线啊， 大家不要说这是老师怎么不贡献呀？因为这道题吗，我是直接给他翻过去，其实正正常来讲，他们是应该是翻过去之后，然后他们这个线是这个在同一条直线上的啊，要理解一下这个事情，好把。这个点地点地是三斗四，这个 m 撇， m 撇是这个 t 逗八，这个 n 点呢？ n 点是二分之三加 t。 哎呀，加 t 逗二，好，全部带入啊，把这个直线设为 y 等于 k， x 加 a， 全给它带进去啊，带进去之后呢，它就会变成三， k 加 a 等于四，还有这个 t， k 加 a 等于八，还有这个二分之三加 t， k 加 a 等于二。那么在这里面你可以它是一个三元一次方程，还 ok 啊，所以说 k 等于的是 负四， a 等于的是十六， t 等于二。我们把所有的坐标全都求解出来了，它这里面就是让我们求 m 点的坐标，所以说 m 点坐标是二度零，你学会了吗？
94小尹老师讲数学
05:21查看AI文稿AI文稿好，那我们一起来看一下今天下午刚考完的大连一模的几何压轴题啊，这道题的设计呢，我个人感觉是非常巧妙的，就是它的内部呢，涉及到了典型的二倍角问题， 然后里面的导角环节特别丰富，基本上已经包含了大部分我们学到的知识点。当然我这里采用的解解题方法呢，其实只需要用这个八年级上学期和下学期知识就可以了。 好，那个第一问我就回答正了啊，这个比较简单，就是 b a c， 它是个九十度的一个直角三角形，这个导完角就可以出来了。我们从第二问开始，第二问的下手点应该是我们中考里面经常考的一个终点问题， 遇到终点问题的话，我们要想这个终点问题可能有的一些模型，当然这个图里面需要我们有一定的数量感觉，因为我们的目标是谁呢？是 ag 和 ac， 很 明显 ag 和 ac 没有互相的对应关系， 那所以我们构造的时候，就尽量的需要利用到外壳和它内部的一些环境的一些关系，才能去解解决掉问题。所以我们很自然的啊，就会想到，哎，这是一个等腰三角形， 我们如何去在等腰三角形里面去构造呢？其中一个非常常用的思想叫斜中，引入斜中，也就是斜边中线，那么 我们的 abc 是 个等腰三角形，只需要把 b a 倍长，那么倍长之后的 a 点就依然是终点，跟我们这里的 g 点就互相呼应，这样我们就可以把 a g 转移到 f m 这个中位线的对应关系上去。当然这里肯定还是不够的，因为这个图 abc 是 个非常特殊的一个等腰直角三角形，当我们倍长之后，它就会变成一个更加大的一个什么呢？等腰值？ 哎，好，我们的机会就来了。这样的话， a c 显然会跟我们的这条边斜边 c m 会有关系，它是一比根号的关系。哦，我们再观察一下。哎， ag 显然是 fm 的 一半，于是我们就很容易联想到，我们要去推导一下这两条边 fm 和 mc 是 否有关系。注意，下面精彩的环节就来了，就需要我们去利用这里丰富的导角关系。哎，我们这里可以标注出来， acf 是 小 a， 那 么 a e a e d 是 二 a， 对 吧？继续导角，我们可以导出上面的角， 这里是二 a 减四十五，通过平行移到了这里，二 a 减四十五，注意角 b m c 是 四十五度，我们用四十五减掉这个二 a 减四十五，就能得到一个非常漂亮的九十减二 a。 哦，原来命题人在这里设置了一个绝配角的一个 关系。好，那么经过大量的猜测，以小行星求证之后，我们会发现，原来这里藏了一个 m m c 这个 m f c 这个等腰三角形，于是这道题就破解完了。设 a g 为一， a m f 和 m c 相等是二， 那么 a c 显然根号二，那么显然它俩关系是一比，根号二也是这里我写的化简之后二分之根号二。好，我们再来看圈三，延续第二问的思路， 我们观察到他给了一个特殊的位置关系， b f 等于 f c， 这个也是我们初中课本里面常见的一个位置关系。 同一个底上出现了双等腰，那么双等腰意味着我们的 a 和 f 一定位于 bc 的 垂直平分线上，于是我们一定会把这条线给连上。 哎，那么巧妙的事情就出现了，我们要注意这里面的特殊位置关系。在图二里面，我们发现 mc 其实是跟我们 bc 是 垂直的，那么当你做出 a h 这条垂直平分线的时候，我们会发现 a h 和 mc 一定是平行的关系， 那我们就要注意，在平行中间遇到了图二中的等腰三角形， m f c， 我 们显然会出现角平等角平分线，平行线会出现等腰，但是我们反推一下，已知等腰加平行，那么我们就可以把这个等腰三角形的这个底角 通过平行线转移到这里，就会出现我们非常美妙的角平分线。好了，那么剩余的部分就比较显然了，我们就可以去把 h c 转到 n c 这个位置去跟 m c 对 比一下 啊，非常的美妙。为什么呢？因为 m c 其实就是 bc， 那 么显然 h c， n c 是 m c 的 一半。哦，原来这里藏了一个非常漂亮的三十度，这我相信也是命替人有意为之的。 我们经过简单计算，九十减二， a 等于三十，算出这里的 a 原来是三十度。好，此题得解，为什么呢？因为 abf 这个三角形知道了两个特殊角，小 a 三十，上面的 baf 四十五度，那么 abf 中间的比例就全部出来了， 而 bf 和 fc 又是二口算一下， pf 是 一半，这里是一根号三，四十五度一，所以口算得到我们这里的结果。
144纪博士数学(日常号)
04:45查看AI文稿AI文稿好，大连市初三一模的数学二十三题啊，我们来分享一下这道题的主要思路和逻辑在哪里啊？ 呃，题目中给了一个等腰三角形 a、 b、 c 啊，然后 b、 d 和 c、 e 相等。我们知道 b、 d 和 c、 e 相等呢，它就是左右两边对称的，所以第一问号就可以轻松地搞定啊。第二问号 f 点是三角形内部一个点给了两个角的关系，所以这道题肯定是倒角，肯定是很重要的一点，是吧？ 好，然后这个 b、 e、 d 呢，等于二倍的 a、 c、 f 减四十五度，所以我会设 a、 c、 f 为阿尔法，所以 b、 e、 d 呢，就是四十。呃，二倍的阿尔法，减四十五， 对吧？右边 a、 e、 d 呢，是等于二倍的阿尔法。 ok， 所以 a、 e、 d 这个角是二倍的阿尔法，那这个角也是二倍的阿尔法。而告诉我，这个角，是吧？这个角叫二倍的阿尔法，减去四十五，好，根据外角是吧？这个角叫二倍的阿尔法。减去四十五，好，根据外角是个九十度啊，轻松搞定。 好，那可能这个圈二呢，不见得所有的同学都能做的很顺畅啊。题目中给了一个终点，但不需要你背长中线，为什么？因为 b、 f 的 终点是 j， 对 不对？那已经有了这个终点，这个这个，这个也已经已经已经是终点了，对不对？所以我们没有必要去背长中线啊， 我们需要怎么做呢？那我上课一直在跟孩子们强调，我说等腰直角三角形，它那个斜边中线是无比重要的，对吧？所以如果你把这条斜边中线给做出来的话，那这道题无比简单啊， h 连起来，这和 h 就 会变成两个中点， 是一个中位线的关系，对吧？是一个中位线的关系啊，那我们刚刚第一问，挣了，这个角叫二倍的阿尔法减去，呃，四十五度，对吧？那这个角不四十五吗？所以呢，推出来这个角， 应该是一个九十度减去二倍的 r 法，用四十五再减它，对吧？九十度减二倍的 r 法啊。然后呢，我们知道的是这个角是 r 法，所以这个小角叫四十五度减去 r 法，所以根据中位线，这个角四十五度减去 r 法，我们能推出来这个角， 是吧？好，也就说这个角 a h j 啊，应该是等于九十度再减它，是吧？九度再减它，那就是四十五度加 r。 好，那我们知道九十度减二倍的阿尔法和四十五度加阿尔法叫绝配角，是不是？所以这个角呢？根据内角和也是四十五度啊，加阿尔法，那 a j 和 a h 就 相等了啊，那 a h 和 ac 的 关系就是 a j 和 ac 的 关系啊，等于 a h 比上一个 a c 就 等于一比根号二嘛，对吧？二分之根号二。 ok， 好， 这个圈二搞定啊，圈三，在二的条件下，当 b f 和 c f 相等的时候，当 b f 和 c f 相等的时候，那这个 f 点就一定在我的对称轴上，那这条线我肯定还是要做出来的，对吧？好，我把它连起来 啊，跟第二位的这个弧线是一样的啊， b f 和 c f 长度都是一，那这个 b j 和 j f 都是一，根据斜边中线，这个 j h 长度也是个一，对吧？好，我们说啊，这个 j f h 啊， j f h 是 个等腰三角形，这个底角是不是就这个角， 对吧？然后 agh 也是个这个等腰三角形啊，底角也是这个角啊，底角也是这个角，算是吧。所以这两个等腰三角形呢，很明显形成一个共边反义字相似，共边反义字相似的基本结论基本结论， h g 的 平方等于 h， f 乘上一个 h a， 是 不是？好，所以我就可以设一个 f h 等于 x 啊，那我就能推出来，因为这个 gh 等于一的，是吧？这个 a h 呢，是应该等于 x 分 之一， h 等于 x 分 之一啊，我只需要再解一个三角形就好了啊。在 b f h 这个三角形 b f h 里面是吧？那 x 的 平方加上 b h 和 h 相等， x 分 之一的平方应该是等于啊，等于四是吧？ 好，把 x 平方看成一个整体啊。这个 x 平方呢，你就可以解出来啊。用求根公式， x 平方应该是等于二分之 二分之四，加减二倍，根号三啊。呃，四加减二倍根号三，我这个没有化解啊，但是这个 x 呢，很明显是小的那个是吧？所以你，你这个 x 一定是把这个正的给舍掉，是不是好，舍掉？舍掉正， 那 x 呢？再再开平方就可以了啊。那 x 的 x 我 就先可以先不开平方了啊。为什么？因为 a c 是 不是应该是取倒数了，对不对啊？ a c 应该是等于根号二，乘上一个 a h 啊，乘上一个 x 分 之一，所以把这个取倒数再开平方就可以了啊，就等于根号二，乘上这个家伙的倒数就是四，减去二倍根号三分之二，再开一个根号， 是不是这样？ ok， 好， 分子呢？根号二乘根号二，应该是二分母四减二位，根号三开出来应该是根号三减一。好，再分母右移化变成根号三加一。这个题我们就做完了啊，整体还是一道相对来说难度不大的题目。 ok。
76初老师数学
06:48查看AI文稿AI文稿今天咱们来讲解一下二零二六年大连市数学一模的第二十三题这道几何题。首先框一，让你求的是三角形的全等已知条件已经在图上标好了，是两条红色的线段和两条蓝色的线段相等，已经有一个边相等和一个角相等的 角 b 等于角 c， 它就是通过等腰三角形来证出来的，现在还差一条就是 b， e 等于 c、 d， 那 么已知蓝色的线段相等两条蓝色的线段，再分别加上 d、 e， 是 不是就可以求出第三条边的等了？ 所以最后我们证明全等的方法是 s、 a、 s 边角边证明的。下面我们来看一下第二题，它已知条件是给了你两组角的数量关系。 一般这种情况下，咱们要设一个位置量，方便在图上做表示，那么老师设的是 a、 c、 f 为阿尔法，我们就可以用阿尔法来表示这个 a、 b、 a、 d 和 a、 e、 d， 这个时候我们应该去做辅助线了，那么由括号一，是不是可以得出 a、 d 等于 a、 e， 我们可以去做一个高，因为看到等腰三角形，我们就想到了三线合一，有点 a 往下引了一个垂直交 b、 c 与点 h， 通过这个垂直证明上面这个 d， a、 h 和 e， a、 h 都是九十度减二 r 法。 那么等腰三角形三线合一是不是还适用于外面这个大的 a、 b、 c 这个三角形？我们就可以由此证明出 b、 a、 d， 它是跟 c、 a、 e 相等的，也是阿尔法减四十五度，让你求 b、 a、 c 的 角度，把这个 b、 a、 c， 我 们把它加起来，最后我们发现阿尔法它已经消掉了，得出这个 b， a、 c 等于九十度。 现在我们来讲一下圈二这一问，他给你加了个条件，这个这是终点，那我们再来往下看这道题用什么方法来去求？让你求 a j 和 a、 c 的 比值？用浅蓝色的线在图上已经做了标注了，上一问做的辅助线是不是做了个垂啊？ 等腰三角形，三线合一，那么这个 h 点是不是也是中点？那么两个中点出现了，我们是自然而然就考虑这个中位线的问题对不对？所以这个 j h 是 三角形 b f c 的 中位线，所以 j h 是 平行于 c f 的。 我们上一问是不是还求了个九十度没用啊？九十度放到这个图里我们能得出什么？这个 abc 是 不是等腰直角三角形？ 那么等腰直角三角形，这个 h a、 c 就是 上面这个角，它是不是等于四十五度出现等腰直角三角形了？ a、 c 是 不是 a h c 这个三角形的 斜边是，它的斜边有一个四十五度，那么我们是不是想办法可以找一找 a、 j 和的数量关系，就是这个左边的浅蓝色的线段 和中间的这个 a h 这个高，可以找找他俩的数量关系，通过导角试一试能不能导出来。这上面这个 h a、 c 等于四十五度，下面的这个 a、 c h 也是四十五度，在下面特别小的这个小锐角就是四十五减 r 法， 那么它等于四十五减 r 法。我们刚才是不是求了一个平行出来，是不连带的这个 g h d 也是四十五减 r 法，那么 a h g 它上面的这一个角 a、 h j 是 不是就等于九十度？减去这个四十五减二法，等于四十五加二法度。我们再看左边的这个角， 它是不是等于 j d h 这个角加上这个角三角形的外角，所以它也等于四十五加二法。最后我们发现 a j h 这个三角形，它是一个等腰三角形， a j 等于这个比例就变成了 a a h 比，这个比上这个 a c， 它就是 cos 角 h a c cos 四十五度等于二分之根号二，所以我们 a j 比 a c 的 比值就是二分之根号二。接下来就是最难的圈三了， 那么圈三老师也把已知条件都标上去了，就是 b f 等于 f c 等于二，那么这个这点是不是中点呀？老师把它拆成了两个一标注上了， 咱们再看他让求什么，让你求 a c 的 长度。我们看这个 a c 是 不是我们上一位用到这个特殊的四十五度了， 那么我们这一问，依旧要用到这个四十五度上面，这个 h a c 是 不是等于四十五度？看到特殊角就去想着构建直角三角形，从点 f 做 a c 的 垂直线，交 a c 于点 m， 这就是我们的辅助线。这时候我们再观察，把这个 a c 把它拆成了 am， 加上 am 是 不是跟 m f 是 相等的？它跟 m f 相等的情况下， 我们发现要取的另一个 m c 在 r t 三角形 f m c 中，那么我们这个 f c 是 已知的 fm， 不知道我们的重点是把这个 af 求出来， 只要我们把 af 求出来，是不是后续的这个 ac 都好求了呀？首先我们想求 af， 我 们得观察一下已知条件，我们右侧这个 bf 等于二是不是还没有用上， 那我们就观察一下这个 f h 等于二分之一的 b f b f 等于一，这个已知条件也标上去了， 我们发现框一框二是不是还有一个相等这个条件，这时候我们是不是就找到了这个 a j h 和 j f h。 最后老师对咱们今年一模的最后一道几何题做一个总结。首先去括号一属于是特别基础的内容，这三分属于是大家都应该拿，那么括号二圈一也是一个简单的倒角问题，都是应该拿到，不应该错的。 像圈二他就提升难度了，考的是这个中卫线，像圈三这一问他复杂在哪？通过相似和勾股定律进行一个等式的这一个转换来得出这个线段的长度， 他属于是稍微有一些难度，想要冲刺重点高中的学生应该了解掌握一下。总体来说这道题拿个九分是没有问题的。 接下来还有不到两个月的时间，咱们好好把几何内容复习一下，到中考这个几何问题应该也不会很大。我是数学华南董老师，大家如果想了解更多中考相关的知识，可以关注我私信。
25:37查看AI文稿AI文稿今天我们看这个共幺双等幺的倒角，好多朋友都没听过这个名啊，倒角是咱们几何里的核心，然后有同学就说，老师我都没听过这玩意，那个这玩意能考吗？咱们记住一点啊，初二的考试一定是以初三为导向的，那你初三中考的内容核心重点是什么？你初二能跟他沾边的肯定是要考的。 那这次初三就是辽宁省各个地区的一亩，有好多地方能有一半左右的地区吧，都出现了一个倒角的问题，那倒角里面基本都会涉及到这些，什么二倍角啊，绝配角，然后双等幺的这些。那咱们今天就说这个双等幺的倒角，咱们八下的 那个四边形以及三角形勾股里面都会涉及到倒角这个问题。我们先看啊，这公幺双等幺是什么东西？公幺双等幺指的是两个等幺三角形，他们的幺是共线的时候。比如说你像我下面这两个图里画的 这俩图都是 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 b、 d 也是等腰。比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 这个等腰三角形和 a、 b、 d 这个等腰三角形， 这两个等腰，它们是不是有一组腰？ ab 是 公共边，不是说腰必须是公共的，只要有两个腰是在同一直线就可以。 那这俩等腰三角形腰 ab 是 不是在同一直线上呢？那这时候就属于共腰双等腰，那比如说稍微变陷形，你看第二种，那这个三角形的 e、 f 这个和这个三角形 abc 这俩等腰，它俩的 腰。其中你看的 e 和 ab 是 不是就是在同一直线上呢？那在同一直线的两个腰，那咱们就可以说成是共腰、双等腰， 那这里的结论啊，就是公弦乘等腰里指的是这两个等腰三角形，两个底边所夹的角与不共线的两个腰所夹的角是二倍的关系。你比如说第一个图里面， 第一个图里面，你就像这里看两个底边，那是不就是 bc 和 ad？ 它俩所夹的角是不就这个角 f 延长之后夹的角，这角 f 角 f 就 等于补共线的这两个幺夹角的一半，那补共线的两个幺是不就是 b 的 和 a、 c， 那 就等于这里 bc 的 一半，那咱们就是设未知数倒角就可以。那怎么倒？涉及到等幺三角形，咱倒角的时候，通常常用的方式就是设 顶角为阿尔法，那比如说咱们这里设这个 b， a、 c 是 阿尔法，然后设这里的 ab 的是二倍它，那你看啊，那首先这个角 bc 是 不就等于二阿尔法加上二倍它， 然后那这个角 a、 d、 b 是 不就等于九十减倍它，然后其中这个角，这个等腰三角 a、 b、 c 里的底角，这是不是九十减阿尔法？那所以这个小角是不是九十减阿尔法，再减去二倍它，那利用外角，你看这个角 它是不是等于点和叉之合的？就外角等于不小于两个点合，所以角 f 是 不就等于这个外角九十减 beta， 再减去这个内角九十加上 alpha 加上二 beta 约掉，是不就变成了 beta 加上 alpha， 所以 这个角是 alpha 加 beta， 你 看它是不是等于这个 b、 c 的 一半，就设为数导角，它其实一点不复杂啊，就是图你要知道什么时候你需要去导角就可以了。 然后我们看那共幺双等幺的话，它常考的一个特殊情况，就常考的是一个特殊情况，就是当这共幺双等幺，它不共线的两个幺是共是垂直的时候。比如说你像我下面画这个图里当出现，比如说这里 ab 等于 a、 c， 然后 b 等于 b， 你 看这里面，那咱如果设这个 角 a 是 二法，那所以角 c 是 不是九十减二法？然后这个角 abc 是 不是也是九十减二法？ 然后其中因为这里面他说 b、 e 垂直 a、 c， 你 看是不就是不共线的这两个幺？这里不共线的两个幺是不就是 b、 e 和 a、 c 它俩垂直的时候，那你是不是能发现这个小角 e、 b、 c， 它就是 alpha， 那 这时候咱们没说它是为什么，说它是一边一角互余构成等。此时你看啊，看这个角 a、 b、 c， 它是不等于九十减 alpha， 然后角 e、 b、 c 是 不是等于 r 方，那这两个角是不是互余？那互余的这两个角他们是不是有一组边，是有一组邻边相等，就是 b 的 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以是不是就出现了两个互余的角，他们邻边相等，那咱们就是构造直角方程，全等就行。那就以这两个相等的边为斜边做直角方程，过 d 向下做垂， 过 e 向下做垂，就是我右面这个图里画的。那做完垂之后，你看啊，那这个角是九十减 r 法，所以它的顶角 b、 d、 f 是 不是就是 r 法？那刚才咱们推完这个 e、 b、 c， 这也是 r 法，所以这俩三角形 d、 b、 f 是 不是全等于三角形 e、 b、 g。 这个就是 当两个腰垂直的时候，这个双等腰的一个常见的思路是一边一角互余勾全等。然后我们看下来，看一下接下来的实际例题。 先看这里的第一题啊，比如说他在这个三角形 a、 b、 c 里面，他首先给的是过 b， 做的是 b、 e 垂直这个边。然后我们看他第一问说 a、 b 平行平分 a、 c、 b、 e 的 时候， a、 b 平分，这俩角是不是相等？那这又有垂直 e， 这垂直啊？所以咱是不是首先想到的是 角分线，双垂那个辅助线，所以过 a 做个 m， 那 我们再看后面条件，他说 a 等于 b 是 三十，这个角三十，然后 a、 e 是 三， a、 e 是 三，那这里 am 是 不是也是三？所以 a、 d 是 不是六？然后再看他又给了一个 a、 c 是 七，那我们首先勾股定力，在这个三角形 a、 dm 里，是不是勾股定力能求 d m？ 然后再三角形 a、 c、 m 里勾股定力是不是能求 c、 m 它俩一减，是不是这里的 c、 d 的 长？所以这一问很简单啊。然后咱们看下面这一位，下面这个我们看， 此时他说 a、 b 等于 a、 c， 我 用红色笔把这俩边标下，这俩边相等， a、 b 等于 a、 c， 然后又给了这个角 a、 d、 b 是 四十五度，你看 a、 d、 b 四十五，那要求证这个东西，那我们这里面他啥条件也没有，这还有一个直角，你是不肯定推不出来，所以我们想你先去挡角， 那这里面 a、 b、 c 既然是等腰，那我是不是可以设这个底角是 alpha？ 或者你设这个顶角是 alpha 也行啊？因为这个 b、 a、 d 这个顶角，它里面有两个小角，一个是 b a、 d， 一个是 c a、 d， 所以你要设这个顶点 b、 a、 c 是 r、 r， 它可能不太好求，那咱们就设这个等腰的底角是 r、 r， 那 此时你看这个角 d、 a、 c 是 不就是四十五减 r r， 那 它的对顶角是不也是四十五减 r r， 所以 角 f 在 ab、 a、 e、 f 这个直角三角里，是不就能推出这个角是四十五加 r r， 然后我们再看啊，那这个角，此时这个角 f a、 b f a、 b， 这个角你看 它，我把上面擦掉 f、 a、 b， 它作为外角，是不是等于角 a、 d、 b 这个四十五再加上角 a、 b、 d， 所以 f、 a、 d 是 不也是四十五加 r？ 哎，你发现是不就有此时这个 b、 a、 f 等于角 f 了， 那就说明 b、 a 是 不等于 b、 f， 说明它是个等腰三角形，那你看啊， b、 a 等于 b、 f， 它是个等腰，然后这时候是属于共腰相等，两个腰是共线的， 那这时候我们再继续推，那这时候咱们能得到啥？你会发现此时它的两个不共线的那俩腰 a、 c 和 b、 f 是 不是垂直的？那所以不共线，两腰垂直，咱是不是可以考虑去一边一角互余勾全等，那咱们怎么勾？你看一下 此时这个角，这个顶角，我们看一下这个角 a、 b、 f， 那 在这个等腰三角形 a、 b、 f， 它两个底角都是四十五加 r 法，所以你用内角和一百八减去二倍的四十五加上 r 法，咱是不是能求出它的顶角是九十减二 r， 那这个顶角九十减阿尔法，所以这个角 fbc 是 不就等于九十减阿尔法？同时角 a、 b、 c 是 不等于阿尔法？你发现这两个角互余，他俩的邻边 b、 f 和 ab 还相等，所以咱们就一边角互余过全等，直接过 f 和 a 向下缩水 做两个垂之后，这是 m， 这是 n， 那 我们是不就能推出三角形 f b m 全等于三角形 b a n。 那 我们看此时你要求的这个 b c 等于根号二十倍的 f， 那 b c 是 谁？ b c 是 不是就是二倍的 b n， 对 吧？那 b n 是 不是等于 f m， 所以 就等于二倍的 f m， 那 其中 f d m 它是不是一个等腰直角三角形？因为 d 这块是死数度的， 那所以这个 f m 是 不就等于斜边的二分之根号二倍？也就说二落下来， f m 是 不等于二分之根号二倍的 d f。 因为等腰直角三角形，斜边是直角边，根号二倍吗？那这两个二数约没了，所以就剩 b c 等于根号二倍的 d f。 当然这块啊，你就是等腰直斜边是直角边，根号二倍，咱需要用勾股因子去推一下，这大家都会推，我就不说了。然后咱们再来看这第二题。 第二题，现在在这个等腰三角形 a b c 里面，角 a c b 等于九十，那等腰直角三角形，它的顶角是九十，所以底角是不是都四十五？然后再看给了一个 c q 等于 cp， 那 有 c q 等于 cp， 这俩边相等，你是不是就发现 a c 它是垂直平分，平分 p q 了？那遇到垂直平分线，咱们是不是基本都是要连 a q 了，对吧？你可以先连上，然后他又给了一个 q h 垂直。那我们接下来先说 p a c 是 r 法 p a c alpha， 那 我们倒角呗，要求是 am q， 那 这个角 p a c alpha 设这个外，那这个 p a b 是 不是就变成了四十五减 alpha， 那 角 b 四十五，所以这个角 a p c 是 不是就九十减 alpha？ 那 这里我们还能知道谁？你看，如果设这是 m， 哎，有 m 设这是 n 啊，这焦点是 n， 此时你看这个 a n h 和 q n c 这两直角方形儿， 是不是有一组直角，还有一组对零角相等，所以在另外一组角是不肯定也是相等，也就说这个角 n q c 是 不是就是 alpha？ 这个角是 alpha， 那 我们现在这个 am q 是 不是就利用外角就能知道了？是四十五加 alpha， 这个都很简单啊。然后我们再继续推，那这个角 q a c 是 不是就等于 a p， 那 这个角 q a c 是 不是也是 alpha？ 然后我们再来看，它要求这个 mb 和 p q 顺过一些。那我们先看这里的题啊，此时你看看咱们都能推出什么？你发现这个，这里面你看到一个角没？你如果直接根据已知条件去证呢？你很难证，但是你看啊，这里是不是有一个这个角？ 你看角 m a q， 它是不是等于四十五减 r， 再加 r 是 不等于四十五加 r， 那这四十五加二分是谁？你发现它是不是正好等于 a m q 啊？所以是不就能得到这个 q a 等于 q m， 那 有 q a 等于 q m， 是 不就说明 q a m 是 个等腰？我把这相等边红色的边标一下， 那 q a 等于 q m 之后，它是等腰。那还有什么？你咱们刚才最开始做的辅助线，这连接 a q 是 不也有这个 a q 等于 ap， 所以你发现这个 a p q 是 不是也是一个等腰？哎，那你现在就看这两三角形啊， a q m 和三角形 a p q 是 不是两个等腰？然后一组腰 a q 共线的，另一组腰是垂直的，那一两个腰垂直，咱是不就还是一边一角互余勾全等？ 这里面你就发现这个角 m q p m q b 吧，它是不等于 r 法？然后这个角 a q c 角 a q c， 它是不等于九十减二法，那这两个角互余，同时它俩在邻边 q m 和 q a 是 不相等的，所以以这个相等的边为斜边做直角三角形，直接过 m 向下做个垂，做一个 m e 吧。做完垂之后，咱是不是就有这俩三角形 a q c 全等于三角形 m q e， 对 吧？那全等之后我们再看它要求这个 b q 和呃 mb 和 p q 是 什么关系？那我们就先找大的，从大的开始， p q 是 不等于二倍的 c q p q 等于二倍的 c q， 那 这个 c q 是 谁？ c q 是 不是等于 m e， 也就说等于二倍的 m e 呗。那 m e b 是 不是一个等腰？直角三分之 m e 是 不是还是等于二分之根号二倍的 mb？ 所以 是不就有 p q 就 等于根号二倍的 mb？ 这个就完事了。 然后我们再来看这个第三题，第三题是前几天大年初三一模的这个几何压轴题得分率非常低啊，但是这里面咱们能用八年级的知识去解决，所以咱们八年级就可以去做这个题。我们来看一下， 首先这里面 ab 等于 ac， 有 ab 等于 ac， 它是个等腰，然后又有 b d 等于 c e， 那 第一问，这俩全等 a b e 和 a c d 很好证， 就这俩全等，那边这俩小的 a b d 和 a c e 是 不是也是全等，这个都很好正啊。然后咱们再来看第二问，第二问的话咱们就需要把这个图给放大了，我把这个图放大一下，咱们看， 我们看第二问，他给的条件，他给了这组角，那给角咱们肯定是需要倒角，对不对？所以那就设这里的这个已知条件，这里的小角 acf 设他是 alpha， 所以 这个 b a、 d 是 不是就变成了二 alpha 减四十五，那边这个 e、 a、 c 是 不是也是二 alpha 减四十五？ 然后那又有了这个 a 一 对等于二倍的 acf， 那 a 一 对是不是就是二 alpha？ 那 咱们利用外角，你是不是就能推出这个二 alpha 减去这个角 e a、 c 是 不是就等于 a c b？ 所以 a、 c、 b 咱是不就能发现它四十五度， a c b 四十五度，那它的这个底角 角 f c b， 这是不就是四十五减 r 法？然后我们再看啊，然后它第一位要求这个 b a、 c 九十，那我们看，那刚才既然我们也能证这俩小的 a、 b、 d 和 a c、 e 全等，是不就有 a d 和 a e 是 相等，它俩相等，所以这个 a d a d、 e 这个角是不就是 r r？ 那这个等腰的顶角是不是一百八减四阿尔法？然后此时你发现这三个角之隔，这三个角就是阿尔法减四十五，再加上一百八减减去四阿尔法，再加上阿尔法减四十五，是不是正好等于九十？所以就说明这里的 b a、 c 是 个九度，得到它九十之后我们再来看下面， 下面他又说，呃，当 g 是 第二本，他说当 g 是 b f 终点的时候给终点，咱们前面终点专题讲过，就终点是特别特别重要的一个专题，在加州题里出现的频率非常高。那跟终点有关系的，咱们是不是等腰三角形，三线合一，直角三角形、斜边中线，还有三线还有一个， 呃，中线背长和中位线，对吧？那我们想这里你该用哪个？首先 g 所在的，它所在的是 b、 f 的 中间，那肯定不是直角三角形，所以三那个这个三角形合一，那你先放弃，然后也没有直角三角形，所以直角三角形先分中线也不行。那接下来就中线、中位线和中线背长呗。如果你把这里的 a、 g 背长过了，你发现 你是能中间被伤，但跟你要求的东西一点关系没有，是吧？所以咱们就考虑构造中微线。那构造中微线的话，咱们说中微线的核心死角是不是有俩？一是你再取一个中点，构造中微线就是什么意思？这样啊，比如说 a、 b、 c 里，然后有一个点， d 是 中点，咱是不是可以再取一个中点 e， 这样你就能连上它，就是中微线。 第二个方式是 abc， 就是 已知这个，比如说 d 是 终点。那现在比如说把这 a、 d 点上，已知 d 是 终点啊，那咱们是不是就可以你在这里找一个点，把这个点当成终点，然后把线段背长。什么意思？就是你可以把这里的 a， 把 a 当成一个兄弟，那你是不是可以把这个 b a 背长，背长之后使这里的 am 等于 ab， 那 咱们再把这个 c、 m 连上，你发现这个 ad 是 不是有中位线了，对吧？那什么时候用第二个呢？第二个的时候好多时候它是有一个基本图的啊，就是这样。嗯，我给大家画一下，比如说是这种的， 有一条线，这种就长得像一个棋一样， a、 b、 c、 d 就 出现这种，就说 d 是 终点，那咱们就可以把 a、 b 背长，你这样去构造一个 中微线的相似，那这里面是不是就是把 b 当成终点？所以中微线的构造核心思路就俩，一是取终点，第二个是你找一个点当成终点，然后把经过这个点的线给背长，然后呢我们看这里，那如果咱们要是再取个终点的话，你想啊， 你既是在 b f 这个线段上的，所以你要找 b f 所所在三角形是不就 b f、 c， 那 你再取一个中点，你取谁？取的是 f c 中点还是 b c 中点？ b c 是 不是作为等腰三角形 abc 底边呢？底边呢？所以咱们是不肯定要取这个底边中，因为你取完之后，那你把 am 点上，是不是也能有等腰三角形三角和一， 所以咱们是连取 b、 c 中点 m， 然后再连接 g m， 此时那是不就有这个 g m 是 平行且等于二分之一 f c 有 平行，所以这个小角 b m g 这块是不就是等于这个角 b、 c、 f 就 平行，同内同位角相等，所以 b、 m、 g 是 不也是四十五减二法？那等幺三角形三角形和一是不有角 a m b 是 等于九十的，那你下面这个小角 b m、 g 是 四十五减二法，所以上面这个角 a、 m、 g 是 不就是四十五加上二法？ 那原来咱们你这样做完之后，这个角 b a、 m 是 不就四十五了？所以减去边上的这个 b a、 d 里面这个小角 d a、 m 是 不就知道了，就变成了九十 减二法吧。那你看九十减二法和四数加二法能组成全配角，它俩一定是能构成等腰三角形的，所以你就推角，推这个角 a m、 g， 那 角盒一推，你发现它也是四数加二法， 哎，你发现了，那现在是不是就有 am 等于 ag， 它是个等腰三角形，你看 am 等于 ag 是 个等腰，然后 am 等于 bm， 这个是不是也是一个等腰， abm 也是等腰，那这俩等腰是不是出现了咱们刚才前面说的共腰双等腰啊？那此时你看啊，你要求 ag 比 ac， 接下来就简单了， ag 比上 a c， 那 ag 是 不是等于 am， 就 变成 am 比 ac， 那 amc 是 不是一个等效值？所以是不就比变成一比根号，最后答案就是二分之根号，这个角是。然后我们再来看这里的第三问啊。 第三问，咱们还是先把这角标上，这些角都一致的，此时它的特殊情况就在于它还是这个终点，对吧？所以咱们还是跟刚才括号一样的。直线，那现在有一个 b f 等于 c f， 那有 b f 等于 c f， 那 是不说明 f 已经在 b、 c 的 垂直平线上，这时候是不就说明 a、 f、 m 这三点一定是共线的，对不对？ 然后我们再看啊，他说 a 求 a、 c 的 长，你先分析已知条件，他给了一个 b f 等于 c f， 那 指着这三边是不是都是一？然后所以这个 f c 是 不就是二？那你看现在这个三角形 b m、 f 是 不是一个直角三角形， 对吧？那这个直角三角形 g 是 斜边中点，所以是不就有直角三角形？斜边中线能斜边一半，那 g m 是 不是也是一？那得到这个之后没有啥用啊？ 你要求 ac， 咱们刚才挣完了 ac 是 不等于根号二倍的 ag 的， 所以你只要求 ag 就 行，那你想求 ag， 只要求这个 am 是 不也可以？那咱们是不是还有这里的 ag 等于 am， am 是 不还等于 bm， 也等于 mc？ 大家都找一下， 那你只要求这几个边里的任意一个是不就可以？那我们看刚才咱们是不是说了，三角形 a m g 是 等腰三角形，这里的 a m b 是 不是也是等腰？这俩等腰是不是属于共腰双等腰？它这个顶点咱刚才求完是九十减二二法，那这个共腰双等腰你有什么用呢？ 你看啊，这组公交车的腰里，其中 g 是 不是中点？所以你过 g 向 a m 做垂，就咱们再继续勾到一个中点 n， 你 可以取一个 f m 中点啊 n， 那 此时这个 g n 是 不是就三角形 f b m 的 中位线，它是不是平行线？等于二分之一的 b m， 它平行线等于二分之一 b m， 所以 n， 这是不是就直角？同时那 g n 等于二分之一 b m， 你 就能得到啥了？ g n， 它和这个 b m 和前面这几个边 a g， a m， m， c 是 不都是相等？所以你发现 g n 等于二分之一 a m， 看不出来什么，对吧？但是 g n 是 不是还等于二分之一的 a g 呢？你发现什么了？ 在这是不是发现这个直角三角形是斜边一半的，所以这里的 g n 是 不就等于二分之一 a c， 那直角边是斜边一半是不就能得到它是一个三十度这个顶点？当然这里顶点三十度你不能直接用啊，你需要去正一下，咱们八年级正法的时候，你可以是再取一个中点，勾到等边都可以， 然后这里面咱得到这个角 g a n 是 三十之后，你看那 g a n 是 不九十减阿尔法，所以这个阿尔法是不就是三十？那现在角 a g n 是 不就是六十度的同时，那这个角 角 f b m， 它是不是等于四十五？减 alpha 就 剩十五度了，那它这个小角 f g n 它的同位角是不是也是十五？那刚才说 a g n 是 六十，所以你就发现这里的 a、 g f 是 不是就是四十五？ 那 alpha 是 三十的话，那这个顶角 g a f 就是 三十，然后同时 f g 是 等于一，那咱们回到最舒适的问题，你需要求 a g 啊，对不对？ 那你看你要求 a g， 此时你在这个三角形 a f g 里面是不已知两个角三十和四十五，以及一个边 g f 两角一边，是不就可以去解三角形了？那解三角形就就做这个特殊角所在的高呗，所以过 f 向它做垂做个 p， 那这里面 f p 是 不就二分之根二， gp 也是二分之根二，那 ap 就是 二分之六呗。所以这里的 ag 是 不就是二分之根二加上二分之六，那这里 a c 等于根号二倍的 ag 是 不就能求出最后的值了？ 所以这里面一定要注重一个倒角啊。然后我们再来看这里第四题。第四题现在说，首先他给了一个四边形 a b c d， 然后 a c 等于 b， c 等于 b d， 咱标一下，画一下 a c 在 这，然后 b c 在 这， 然后还有一个 b d， 哎，你发现他此时是不是也是一个共腰双等腰 b、 d、 c 是 个等腰， abc 是 不也是等腰？ 然后我们再看那 a、 c 垂直 b、 d， 那 这组共幺乘法幺里面已经给了另一组幺不共线的两幺 a、 c 和 b、 d 垂直，对吧？那你再看，它给 ab 是 根号五在第一位，要求这个角是二倍的关系，那我们就设未知数倒角呗。因为设 这个等幺的顶角 b、 d、 b、 c， 这个角是不是九十减二法？它两个底角这时候就是 r 法，这个小角 a、 c、 b 是 不是就变成了九十减二 r 法？ 然后那我们看它是九十减二十法之后你还能求谁？它要求这个 a、 c、 b 是 等于二倍的 a、 b、 d， 那 a、 c、 b 是 九十减二二法，你只要导出这个 a、 b、 d 的 度数来是不就行？ 那这里面是不是有 c、 a 等于 c、 b， 它是个等幺，这个等幺的顶角 a、 c、 b 是 等于九十减二二法，那它的底角角 abc 是 不就等于一百八减九十加上二，再除以二，就剩下四十五加上二法， 那这个角是四十五加 r 法 abc， 那 所以 abd 是 不是就是四十五加 r 法，再减去 r 法就变成了四十五减 r 法？那现在角 abd， 你 看等于四十五减 r 法，角 a、 c、 b 是 等于九十减 r， 所以 是不是就是一个二倍的关系？ 然后我们再继续看看第二个，它要求这个面积，那我们求这个。嗯，那刚才同学们都看出来，这个本身 abc 就是 个等腰，然后 a、 d、 b、 d、 c 也是个等腰，他俩是不是已经符合了共腰、双等腰，然后另一组腰是垂直的，那有朋友说，那我直接就就去做垂直不行，那行啊，这给你看啊，这个角 角 a、 c、 d， 他 是不是等于阿尔法，他的邻边是 a、 c， 还有一个角是 b、 c、 d， 他的角是九十减阿尔法，他的邻边是 b、 c， 这俩边是不就以这俩相等的边为斜边去做直角三角？ 所以你可以过 b 向 c、 d 做个垂，做个 m， 再过 a 向 a、 c 做个垂，做个 n。 好， 你做完之后看看能推出啥来，那是不就有三角形 b、 m、 c 全等于三角形 c、 a、 d？ 那 全等之后跟你要求这个面积有关系吗？你是不是发现没有关系？所以这里面你直接做这公弦数、母弦数，啥也挣不出来， 那啥也挣不出来，咱们先去分析些条件，看看该怎么去做的。我们刚才推完角之后，你看啊，那这里面的话，我们可以导出什么关系来？此时你看这个角 a、 b、 c 是 不等于四十五加二， 然后角 a、 b、 d 是 不等于四十五减二，这组角是互余的，同时 a、 b、 c 的 邻边是 b、 d， 然后 a 啊， abc 的 邻边是 bc， 那 abd 的 邻边是不是 bd？ 那 现在是不是也是满足一组角不余？另一，然后这角的邻边相等，所以咱们以这里的 bc 和 bd 为斜边去做直角三角。所以是不是可以过点 c 向 ab 做个垂， 做个垂之后这是 m， 然后再过点 d 向 a、 b 做个垂，是不还是一边一角互余勾全等？那这时候是不就有三角形 b、 c、 m 全等于三角形 b、 d？ 哎，我没写到对应点上 点 b， 对 应的是点 d， 那 就是 d、 b、 n， 它俩是不全等？全等之后咱是不是能得到这里的 b、 m 是 等于 b， m 是 不等于二分之一， ab 就等于二分之根号五。所以 d、 n 是 不就是二分之根号五？那你看，此时你要求这个 a、 b、 d 的 面积是不直接是二分之一？ 底再乘以高就等于二分之一。 ab 是 根号五，再乘以 d， n 是 二分之根，是不直接就能求出它的面积是四分之五。
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10:29查看AI文稿AI文稿大连今天刚刚考完一模的数学，我看到这个卷的时候，第一反应我都笑了，前面的一到二十一题就费，就前面一到二十一题就很简单很基础，也是白给分的。 然后二十二题做了一个微调整，把二十二题这个二次函数放到这个二十二题位置上。然后二十二题也不难，也没有什么公共点啊，也没有什么特级分，特殊的分析方式，基本上计算不错的吧，这个至少十二分，你能拿到个十一分或者十分，有可能取值范围会取错，但这个问题都不大的。 然后重点来了，到二十三题，二十三题的后两问直接把学生们干废了， 我一个学生直接出考场就跟我哭了。这个孩子平时的分数正常，他是在一百一十五左右的，那基本就代表着这个几何压轴，平时在一百一十五以下的，你想都不用想，根本就做不出来，就后两问根本就做不出来啊， 只有前两问大概能占个四分左右吧，四五分能做出来，也就是说平时一百一十五以下的你甚至再高点一百一十六七的你，这个最后两问都不能做出来，最后两问大概能占个八分九分这样。 所以基本上这个卷的满分就直接给绝大部分百分之九十九以上的孩子，直接满分限制在了一百一十二左右。 所以这个卷子你考不好没有关系啊，你只要能前面基础不错，就是计算不错，你能达到一百零八分就已经很高了，你能达到一百零八，相当于你比如说沈阳的各区的市模，各区的区模或其他地方的，你基本上相当于其他地方的一百一十三到一百一十五分，差不多是这个水平的。 那这里面我们接下来看一下这个到底考了个什么东西。我们直接看这个第二问啊，你看这里的第二问， 他给的这些条件不用想就不用看后面问啥，肯定是涉及到导角的。那导角的话，咱是不是就通常设这个小角 a c f， 我 设这个 a c f 是 alpha， 所以 这里的 b a d 这个角是不就变成了二 alpha 减四十五。 那后面还有一个 a e 得是等于二倍的 a c f， 所以 a e 得这个角是不是二阿尔法？那咱们第一问的话，是能证明出来，前面这个 a b 得和 a、 c、 e 它们俩是全等，这个很好证，就不说了，它俩全等之后，所以这个 e a c 这个角是不是也是二阿尔法减四十五， 那么我们就能推出来在三角形 a 得 e 也是二阿尔法，所以这个顶角 a e 是 不就是一百八减四阿尔法， 它是一百八减四阿尔法。那所以角 bc 是 不就是二阿尔法减四十五，再加上一个二阿尔法减四十五，再加上一个一百八十减四阿尔法，阿尔法越掉就剩下一百八减九十，所以是等于九十五。那第一问，咱们直接正常导角就行，到这都没问题， 从圈二开始难度飙升，基本上就同学们就直接导出来了。那我们看啊，咱导角是不是要把其他的角都导出来？ 对于难题里面倒角的话，很少是有直接就能用上给你的这些一定是咱们自己去倒角。那通过现在这里面你是不是还能导出这个角 bca？ 我 导一下角 bca 是 不就是二 alpha 减去这个顶角 eac， eac 是 二 alpha 减四十五，那就变成加四十五，所以是不是变成 bca 是 等于四十五，就说明 abc 是 个等效值的向量，对吧？或者你直接通过刚才全等也能得到这个 acb 的 等效值， 那得到这个 b、 c、 a 是 四十五度之后，那他的这个小底角是不是就变成了四十五减 r 法？那我们现在这里来看，其他角导不出来了，然后他这里面圈二里给 g 是 终点，那就涉及到一个终点的问题，终点咱们往哪个方向想？ 对于初三来说，终点的话常用的是四个方向，第一个直角三角形斜面中线，那这里 g 也不是等腰的 中点，所以也不考虑怎样算三点合一。第三个就是中线背长，你这里中线背长，他没有任何意义，对吧？所以肯定不考虑中线背长。第四个就是在相似里面经常出现的出现终点构造中卫线，所以这里面咱们通过这个中点想到，哎，我要去构造中卫线，那没有问题啊，咱们构造中卫线，那这里该怎么构造中卫线呢？ 你看咱现在是不是要再去构造一个中点，而且 a、 b、 c 是 个等腰三角形，等腰三角形你要再去构造中点，怎么构造？是不，通常取的是等腰的底边的中点，这样连上之后还能有一个垂直，所以这里面咱们就取 b、 c 的 中点 m 取完 b、 c 中点之后，所以这个 g、 m 是 不就相当于三角形 b、 f、 c 的 中位线，它是平行线，等于二分之一 f c 的 那等腰三角形 a b c 咱们有曲底边中点了，是不还要把 am 连上？是不还能得到一个 am 垂直？ bc 得到之后我们再继续导角，那既然有平行，咱是不能导出角，角 b m g 是 不就等于角 b c f 等于四十五减二法，所以推出来这个角是四十五减二法，得到这四十五减二法又能推啥？咱们刚推完 am 和 bc 垂直， 所以现在这个角 a m g 是 不就知道了，就变成了四十五加上 alpha， 同时咱们连完之后，这个 a m 是 不也平分？ b a c 那 b a c 我 们现在是不也知道了角 b a c 等于四十五度，所以角的 a m 是 不就变成了四十五减去边上那个 b a d 就 减去二 alpha 再加上次数， 所以这个得 a m 是 不是就变成了九十减去阿尔法？那我们看九十减阿尔法和四十五加阿尔法是不是组成一组绝配角，那说明它们俩同时在一个三角形里的时候，一定是出来等腰三角形了。 所以这里面咱是不是就能推出角 a g m 用内角和去导它也变成了四十五加上阿尔法， 是不就说明这里的 ag 是 等于 am？ 那 得到推了一圈角之后才发现 ag 的 am， 所以 ac 那 amc 是 个等效值， ac 是 不是等于根号二倍的 am 就 等于根号二倍的 ag？ 所以 这个第二遍就完事了，大家看就是你只要倒角，你倒完一堆之后才能推出这里边， 这里的核心就是倒角，一定记着今年中考的话，他的很大的概率是有可能会出现倒角以及倒边的问题的，因为大连这边的习惯性出题的方式就是就是喜欢倒角和倒边，那对于现在数学出题很大一部分是以大连这边为主的， 所以大家一定要注意导交导角和导边这个方法的练习。然后我们再来看这里的第三问，第三问说现在在二的条件下，给了一个 b， f 等于 c， f 等于二，那 b f 等于二，说明 b g 和 g f 是 不是都是一？那在二的条件下，那咱们把第二问的那个辅线也画出来， 还是那个 g m 是 个中位线，所以咱们都给他连上现在这样的，那此时因为现在是不是有 f b 等于 f c， 所以 这个 f 是 不是也是在这个 am 上呢？对吧？那怎那这里的辅助线你就可以说做 就是连接 a f， 然后延长 a f 与 b c 交汇 m， 然后去证明一下 m 中点，然后我们看现在这里我们刚才前面是不是导出了 ag 等于 am， 并且设的那些角，我标一下， acf 是 r 法， 底下这是四十五减 r 法，上面这个 b a d 是 二 r 法减四十五，中间这是九十减去 r 法，还有这里的 am g 这个角是不是四十五加 r 法？ 那我们再看啊，现在我们又能得到什么？那在现在这种情况下， g 这个点 f 是 不是在 am 上？我们是不是还能导出其他角？ 那现在既然有 f b 等于 f c， 说明它的两个底角 f b c 这个角是不是等于 f c b 也是四十五减二法，那它是四十五减二法，所以咱们就能推出谁呢？咱们上一问是不是也推出这个 b m g 了，这个小角，这个小角是不是也是四十五减二法？ 所以此时你是不是就发现有这个 g b 等于 g m 是 等于一的？或者你根据直角三角形斜边中线也能得到 g b 等于 g m， 那 我们导完它是一之后，那这个外角角 f g m 是 不是就变成了九十减去二二法？哎，那此时你看得到什么了？ 你在这个三角形 f g m 和三角形 g a m 里面，你发现它们俩是不是都是由九十减阿尔法和四十五加阿尔法组成三角形？所以它俩是不是组成了一个子母形的相似？ 那子母型相似的结论是不就是 g m 方等于 m f 乘以 m a， 那 我们这里面因为有 am 等于 ag， 我 们是不是可以设这个 am 是 x， 那 ac 是 不是根号？二，那我们把这里的 b m 和 m c 是 不是都是 x？ 那 通过这个结论我们是不就能发现，一是等于 x 乘以 f m， 所以 f m 是 不就变成了 x 分 之一？ 那我们想求 a c 是 不是要求这里 x 的 值？那此时你发现在给的这个三角形在三角形 b f m 里面，咱是不是能有一组这个勾股定力方程啊？所以是不是就能在这里列勾股定力方程？二方等于 x 分 之一的 平方，再加上 x 方，那这里面这个式子的话，他比较考验你的那个计算技巧，咱们给他化简一起算一下，化简之后他是 x 四次方减去四， x 方加一等于零。首先能解出 x 方是等于二加根三， x 方等于二加根三，咱是不是要把这个 x 开根号，所以 x 是 不等于根号下二加上根三， 那对于这种根号里面套根号的，咱是不要把这个里面这个根号当成一个完全平方，要把这个根号三变成看成二 a b 的 关系，那看成二 a b 是 不是就需要给它变成二倍根号几？所以这块咱们给它这样变形变成二倍的根号，下四加二倍根三， 那现在上面这个是不就能给它变成一加根三的平方了？下面是二，然后给它发减 x 是 不就等于二分之一加根三，再乘以个根号， 所以这里 x 是 不就是二分之根号二加根号六， x 是 二分之根号加根号二加根号六，所以这里的 ac 是 不就是根号二 x， 那 接下来就正常算就行了。 ac 这个根号二 x， 最后化简完就是一加根三。 这题的难度真是爆表啊，但是这个题做不出来，你不用慌，就考试肯定不会出这个难度的，那这题你反映出来一个东西，就是第一个中考什么都有可能考第二个大连出题以倒角倒边为主，大家一定要注意倒角的这个练习。
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08:15查看AI文稿AI文稿哈喽，各位宝宝们好呀，我们今天呢来讲解一下这个押题卷的第一套的第十题和这个第十五题。好，首先呢，我们先看一下这个第十题， 第十题大家找一下这个关键词就行，因为通常来讲三角函数它给的题干偏长，我们只需要找一些对我们有用的一些关键信息就行。比如说呢，它这里面说 a d 行走一百五十六米， 那就证明这个 a d 呢应该是一百五十六。好，它这个 e 到这个 c 的 阳角是五十九度。好，它也给我们标出来这是五十九度，从这个 c 呢往下是四十五度。好，这块是四十五度， 那么它这里面问我们的是这个 bc 的 高度约为是多少？好， bc， 这是我们要求的， 那么它首先呢，我们这块有个信息，这块呢是这个坡度比是十二比五，那么这个十二比五应该啊，一比十二分五分之十二，那么这个坡度比它应该是什么呢？它其实就是我们这个夹角的 tangent， 也就是对比邻， 所以说这个对边我们过点 d 做个垂，那么这个垂足为 f， d f 比上 fa 是 五比十二，那大家知道这块 d f 呢就是五份，这个 a f 呢就是十二份啊。好，那么大家立马就能反应出来，它这个三角形应该符合的勾股数是五十二十三， 所以说一百五十六，它占十三份，那么我们除一下就知道一份是多少了， 一份应该是十二啊，那么自然而然这个 d f 占五份，所以说 d f 应该是五乘以十二六十，这个 a f 呢是占十二份，那就是一百四十四。 当然啊，大家如果是在这个大题里面啊，你们还是最好写一下这个 t n t c t 等于这个十二分之五，大家把这个好好的写一下啊， 好，我们另外呢，看这道题呢，问我们的是 bc 的 高度，所以呢，我现在呢，过点 e 做垂啊，垂足为 j， 那 也就是 e j 垂直于这个 c b， 我 们把这个大三角形分割成两个规则的直角三角形好了，那么现在呢， 这一块也是六十啊，六十，好，那么他是六十，我们再看还能得到什么信息呢？四十五度角，对吧？四十五度角，大家自然而然知道是一比一比根号二啊，那么现在我们这个 j e 也知道了，是六十， 好，知道 j e 想求 c j 啊，知道这个邻边想求对边，很明显用到的是摊着它啊，所以 c j 比上 j e， 哎，这底下肯定会给我们写这个 c j 比上 j e 是 摊着它五十九度是一点六六， 那就是，呃，摊着它五十九度等于 c j 比上 j e 等于一点六六。 好， c j 就 应该是比上这个六十等于一点六六，我们把这个 c j 求一下，一点六六乘六十，结果应该是九十九点六。我们再把整个 c b 求一下 c b 啊， c b 就 应该是 c j 加上这个 j b， 对 吧？好了，那么它这个题应该等于什么呢？应该等于九十九点六，再加上六十， 再加上六十，结果应该是一百五十九点六。注意，好，这样的题呢，我们啊，一般来讲都会有这个四舍五入，大家看一下，他说精确到一米啊，精确到一米，很明显这道题应该选择的是四 d， 没有问题啊， 好，我们再往后看一下这个十五题，这个十五题，这个十五题呢，首先呢，就是我要说这道题呢，他考的非常的妙，因为他这道题考了个角平分线定理，角平分线定理呢，我在旁边写一下啊， 角平分线定理， 小平原理呢，它是这是一个高中的一个知识点，但是呢，通常来讲，我们初衷在做一些小题的时候，是可以用到这个定理的啊，但是大家在做大题的时候啊，就尽可能的要避免这个 啊，尽可能避免这个知识点，有的初中老师他会讲，然后呢，有的就是上高中的时候呢，他要是你要是不会这个定力呢？你的高中老师还会说，哎呀，你怎么初中老师没有讲，他就会把这个锅甩到你们的初中老师的身上啊，所以说我们还是稍微了解一下这个事情啊。在一个三角形 a、 b、 c 中 一个角平分线 d， 那 么此时呢，如果这个角平分线它是平分这个三角形 b、 a、 c， 那 么我们会出现一定的比例关系，比如说 a、 b 比上 a， c 等于 b， d 比上 d， c 同 同理，它也是什么呢？它是 a， b 比上 b， d 等于 a， c 比上 d， c， 这个定理还是挺好记的啊，大家可以怎么记呢？左比右等于左比右， 当然你可以记左比左等于右比右啊，你想怎么记都可以啊，一会我们就要用到这个角平分线定里。好，我们来看一下题 题，这里面说的是这个 bc 呢，与圆 o 相切于点 b， 然后呢角 a、 c、 b 的 平分线，然后呢交 ab 于点 d， 嗯，在这里面 a、 d 等于五分之十六。大家一看到我们这样的，呃，这样的三角形啊，直径所对的一个三角形，立刻去把它给我连起来，这样我们就会出现一个什么九十度的一个三角形，对我们来说非常有用，那么大家一看到， 哎，这是一个九十度三角形，立刻想到相似，对吧？好了，我们把这个相似写一下啊，那么是三角形 a、 d、 b 相似于三角形 a、 c， b 啊，各比各的啊好，斜边比斜边 a， b 比上 a、 c， 然后呢，直角边比直角边等于 a， d 比上啊，直角边 ab 等于的是这个 b， d 比上的是 c b。 好， 我们接着来看一下啊，就是在前两个式子中呢，我们发现啊，这是 a、 b 比上 a， c 等于 a， d 比上 ab， 所以我呢，我们能写出一个关于 ab 的 式子，那就是 ab 方等于 ab 乘 ac， 对 吧？好了，那么大家来注意一下啊，这里面出现了 ab 方，什么地方还能出现 ab 方呢？很明显是勾股定律，所以呢，在这个 r t 三角形这个 呃 abc 当中呢，那么是不是 ac 方，斜边的平方等于直角边的平方和，对吧？好，我们来写一下， ac 方呢，等于 ab 方，再加上 b， c 方。好， ab 往里代代入一下啊，是 ad 乘以 ac 再加上 bc 方，那么现在所有的这个知识我们都知道，所以我们可以把 a 啊， 这个 ac 求出来啊，把 ac 求出来， ac 应该等的是五，把 ac 求出来之后呢，然后呢，又因为在这个式子里面之中啊，我们 ab 还有关于 ac， 那 么大家也可以把 ab 求出来啊， ab 求出来，它应该是四，所以说，哎，总长是四，那么半径就是二，对吧？ 好，我们继续来看啊，这个时候我们就角平分线定里出现啊，角平分线 这个定已知线， ap 比上 bp 等于 ac 比上 bc， 那 么在这里面我们也知道啊，这个 ac 是 五，呃， bc 还是三是已知的， 所以我们发现这个 ap 比上这个 bp 是 这个五比三，又知道这个 ap 加上 bp 呢？它是总共是四， 所以在这里面呢，你是设方程也好啊，你可以把这个 a p 设为这个五 k， 然后呢这个 b p 设为这个三 k， 那 么就是五 k 加上三 k， 总总共等于四，那么 k 等于的是二分之一，这里面我们想求的是 b p， 呃， b p， 刚才我们把 b p 设为的是三 k， 所以 三乘二分之一等于二分之三，你学会了吗？
35小尹老师讲数学
22:38查看AI文稿AI文稿初中几何理，只要看到共腰双等腰，角度关系基本就被锁死了，抓住这条公共腰，快速推倒角、秒正全等难题瞬间变简单，记得点赞、关注、收藏，反复观看。今天讲的这道题呢，可以说是人见人爱，花见花开的一道题了， 它在各大平台以及各大重点书籍里频频出现，它是去年大连的一模题压轴几何，也是今年辽阳的一模压轴几何。那我们今天来看一下这道题，那这道题呢，网络上有不同的各种讲法以及解法，那我们今天来选一种方法来讲解一下这 道题呢，它总共有三大问，第一问呢，比较简单，它主要属于倒角问题，但第二问呢，也比较简单，这个老师给它删除了。 那么在讲这个圈二的时候呢，市面上的很多老师用过很多种不同的方法，其中比较常用的第一个就是我们经常听到的旋转六法， 也就是以不同的点为旋转中心，将已知图形的各个边和角进行一定的旋转，重新组合来解出这道题。那我们这里不多说第二种方法呢，很多老师用了可解三角形， 而第三种方法呢，很多老师以及同学应用了我们答案当中经常给的一种方法叫想到了相似。 那么今天老师要讲的方法呢，是关于等幺三的一些应用。那么等幺三的应用呢？尤其在我们的大连地区，是频频出现，也是深入了解最多的一个地区。那等幺三的，比如说对称性 共幺双等幺、共底双等幺或共顶三等幺，是大连地区比较常考的题型。那比如说我们二零二五年辽宁省中考几何压轴，其实如果说大连的孩子来做的话，其实有点如鱼得水了， 它看似好像是一个关于几何的旋转思想的题，但实则题中暗藏玄机。那如果说对于共底双等幺学的比较好的孩子，那其实很快就能得到图中的 a n 是 等于 a c 的。 因此呢，很多同学和老师不谋而合，认为这肯定是大连老师出的题。那我们来今天来看一下这道题的解法。我们采用了共腰双等腰的性质。 首先呢，我们先来读一下这道题，先把前面的两问来做一下。如图，在三角形 a、 b、 c 中， c a b c 大 于 a b c 在 ab 上方做一个角 ab 的， 使 ab 的 它是等于一百八十度，减去一个角，再减去一个角。那么通过题中的第一个有效信息关于角的传递的话，我们可以去看一下图中有关的三个角的位置关系。我们来看一下是直接能得到一些角的关系，还是需要我们常用的射弦倒角法。 首先 ab 的 呢，它是这个角， a、 c、 b 是 这个角， abc 是 这个角，很明显，这三个角当中呢，有两个角，它是在一个三角形里面的。那 其实来说我们三角形内角和就是一百八，那所以说我们把这个式子变一下形式的话，其实就是这三个角的和为一百八。那所以说谁加叉和圈等于一百八呢？当然是我们的角 a， 那所以说这道题其实读完第一个有效条件之后，我们就已经非常明确，我们的角 a 呢，就与我们题中的角 a、 b、 d 是 相等的， 所以说我们的第一问就解答完毕了，角 c a、 b， 也就是我们的角 a 等于角 a b、 d 这个角，所以第一题非常简单，只需要倒角，连射圆都不需要，那我们继续读一下， 且 b、 d 等于 bc 是 等于 b、 d 的， 那我们来再看一下第二问给的条件，如图二，也就是我黑板当中的第二个图，它又增加了一些辅助条件，也就是我们的 a、 c、 b 已经是一个已知角，也就是 a、 c b 是 等于 一百二十度。而且有一个关于线段的已知条件，就是我们的 b、 c 是 等于二倍的 a、 c 的。 那在原体的皮干当中呢，并没有出现具体的线段长度，那这里呢？关于线段的比呢，我们就射圆倒边，那所以说我们就可以假设短的 a、 c 为 小 a， 那 长的 b、 c 就是 二 a， 又因为皮干中给的 b、 d 等于 b c， 所以 说我们的 b、 d 也是 二 a。 而我们都知道，我们数学当中只要出现一百二十度角，那当然就是取它的补角，那所以我们在做题的时候，我们不看问题，其实我们都应该知道，我们的一百二十度的作用就是应该向外延伸，找它的邻补角。那老师这个时候呢，先延长 a、 c， 因为它的已知条件呢，都在我们的右半部分，按理来说我可以向右做延长，延长 a、 c， 我 也可以向左延长，延长 b、 c， 同样的都可以得到六十度。但是我们的任何一条辅助线都是为了我们之后的证明步骤而做准备做辅助的，那所以说我的辅助线的方向就应该向已知条件靠近，所以说我们这块肯定是延长 a c 得到一个角，五角是六十度， 那这个时候呢？老师看到六十度肯定是做大垂，所以过点 b 做一个 a c 延长线的垂线， 我可以假设这个点为点 m， 这是垂直的，老师做的就是垂直。那么这个时候呢？我们发现当 bc 为二 a 的 时候，由于六十度、三十度、九度角的直角三角形，我们知道 c m 它就等于 a， 那这个时候我们发现题中很明显出现了 am， 它是等于 bc 等于 b 的， 而且都等于二 a， 而且在我们的第一问当中，也就是题干给的条件当中呢，已经很明确的指出，我们的第一个证明，也就是我们的角 c、 a、 b 是 等于我们的 ab 的。 那这个时候我们再回过头来看我们的圈一，它让你正的是角 a 得 b 的 度数，我们看一下这个角在哪， 也就是我们的角 a 得 b。 那 对几何比较敏感的孩子，其实当我们标出这些有效条件之后，其实就能猜测出来，我们的角 a 得 b 应该跟老师辅助线当中做的角 m 是 相等的，那我们这个图其实看起来是非常的对称的， 那也就是说我们可以证明两个三角形是全等的，哪两个三角形全等呢？我们来看一下三角形 a、 d， b 和三角形 b m a 当中，这两个三角形当中，很明显第一个三角形的 a、 b、 d， 它已经等于第二个三角形中的 m a、 b， 也就是有一组角对应相等。而根据第一个我们的等式发现第一个三角形中的 b 的 和第二个三角形的 am， 它也是相等的，那所以这又有一组边，而这两个三角形非常巧，它正好又有一组公共边，也就是我们的 ab 和 b a 又是相等的， 所以说这三组条件放一起就得到了两个三角形是全等的，也就是三角形的 a b 全等于三角形 m b a。 那 所以说第一个就得证了，我们的角 a 的 b 和我们的角 m b a 是 一组对应角，那所以说 a 的 b 它也等于九十度，它是等于我们的角 m 的。 所以说括号的第一问呢，也比较简单，我们再看一下第二问。第二问呢，很多老师和同学其实当时都被难住了， 那我们刚才老师说了，我们网络上呢，有很多各种版本的讲法，我们可以去查询一下，网络有的用旋转六法，有的用可解三角形，有的用相似，这三种方法呢是比较常用的，会的同学和老师呢可以在评论区当中把它给它发出来。那我们今天呢，主要讲咱们的重要讲法，也就是共幺、双等幺。 那我们来看一下第二个给了哪些辅助条件，他只给了一个 a c 的 长度是根号十四，也就是我们图中所标注的所有的 a 都是根号十四，那二 a 呢？当然就是二倍根号十四，那我们来标注一下， 顺便呢我们就可以把三十六度角的直角三角形中的 bm 给它求出来，采用勾股定律或三角函数都可以。那我们口算一下，他其实就是根号四十二， 也就是二倍根号十四和根号十四之后勾股定底得出。那根据我们圈一时候所证明出来的三角形全等，那我们可以对应一下， b m 是 跟 a、 d 相等的，所以 a、 d 它也等于根号四十二， 那也就是三角形 a、 m、 b 以及三角形 a、 d、 b， 其实它们的所有边都可以求出来，那因为直角边 b m 等于根号四十二， 直角边 am 是 等于二倍根号十四，那斜边 ab 我 们仍然可以用勾股定米，这里面可以大家自己来算一下，它其实等于二倍根号七，也就是什么呢？根号下 根号四十二的平方，加上二倍根号十四的平方得出来的啊，这个大家口算一下就行。 那我们再来看一下这道题上求的是什么？求的是 c 的， 那这道题呢，其实很明显已经出现了共腰、双等腰，不知道同学们看没看出来，那我们看一下这道题的根基。 我们的第一问虽然简单，同学们都知道没有无缘无故的第一问，我们的第一问的根基就是两个底角相等，也就是我们的 c a、 b 这个图中也一样，角 c a， b 和角 的 b a 这两个黄色的角是相等的。而如果老师把 am 和 b 的 交点设为点 o 的 话，那我们的三角形 o， a、 b 就是 一个等腰三角形。其实这是这道题的根基， 那由于原题当中我们已经很明确给过一个等腰三角形，那它的作用到底是什么呢？那我们的 b、 c 和 b、 c 的 它也是一个等腰三角形。题中出现了两个等腰三角形，除了我们以前常规的一些数学模型，比如说手拉手， 脚拉脚，或者说手拉脚，或者说摩洛莫基多等等等等，考察的也是我们一些关于等腰三角形的常用模型。而等腰三角形呢，还有一些其他的常用技巧，或者说是模型，也就是视频开头老师说的那几个。那今天的这个呢？我们来观察一下它的形态，也就是说三角形 o、 a、 b 和三角形的 b、 c 这两个等腰三角形呢？它们的两个腰是在同一条直线上的，那我们来先说一下什么叫做共腰双等腰。那比如说现在如图所示，我们的三角形 a、 b， 如果等于 a、 c， 这是一个等腰三角形，那如果说 b 的 等于 b、 e， 它也是一个等腰三角形，而且它的一条腰 b 的 和它的一条腰 ab， 居然这两个腰是共线的， 我们就称之为这两个等腰赛，名叫共腰双等腰。那它有哪些常见的结论呢？最常用的有两个，第一个我们不共线的两个腰，也就是 b、 e 和我们的 a、 c 是 不共线的两个腰，那这两个腰的夹角 等于什么呢？等于我们两个等腰四角形底边夹角的二倍底边是谁呢？这个三角形底边是 b 的， 而这个三角形底边是 bc， 它俩现在没相交，我们进行一下延长， 假设这个焦点为 m， 那 也就是我们底边的交角，其实就是角 e、 m、 b 这个角， 这两个角有什么关系呢？刚才老师说了是二倍的关系，也就是角 b、 e、 c， 第一个结论等于二倍的角 m， 这是第一个常用结论。那如何证明这个结论呢？我们都知道关于角度的证明呢？我们可以采用设圆角角，那如果题中出现了等腰三角形，我们可以设等腰三角形 a、 b、 c 的 顶角是 二阿尔法。等腰三角形的 b、 e 的 顶角为二倍，它通过外角定义，我们很快就能求出我们的角 b、 e、 c 是 等于二阿尔法加二倍它， 那如何表示角 m 呢？我们来导推导一下角，那我们的等腰三角形的 b、 e 顶角为二倍，它，那当然它的底角就是一个九十度减倍，它因为互为绝配口算能算出来，那我们的顶角 a 是 二 r 法，那所以底角 a、 b、 c 就是 等于 九十度减 r 法跟二 r 法也互为绝配角，那我们底边的 e、 b、 c 的 这个角， 就可以用整个的九十度减 r 法去减去这个二倍，它，那也就表示成九十度减 r 法减 二倍，它，那。所以说在三角形 e、 b、 m 当中，我们的角的 e、 b 又是一个外角，它等于角 e、 b、 m 加上角 m， 所以 说这两个角都知道了，角 m 就 求出来了，它是等于九十度 减倍，它这个外角减去其中一个内角，也就是九十度减 r 法减二倍，那我把它化减一下，就等于 r 法加倍， 那所以说我们刚才知道角 bc 是 等于二 r 法加二倍，而我们的角 m 呢，就等于 r 法加倍，那所以说我们不难推出角 bc 就 等于二倍的角 m， 这是它的第一个结论， 那我们的第二个结论是什么呢？第二个结论就是，如果当我们不共线的两个腰的夹角为九十度，也就是如果 b、 e 是 垂直于 a、 c 的 夹角为九十度，那我们这里面就会出现一个经常用的一个数学小模型，叫一边一户余构造全等。老师可以在这再画一个简图， 那就是下面老师画了一个图，如果 b、 e 是 垂直 a、 c 的， 那当然我们的两个底边的夹角就是它的一半，也就是变成了四十五度， 而且这里面会出现一边一户余，哪一个一边一户余呢？因为角 abc 等于角 a、 c b， 所以 这两个角是相等的。又因为我们题中出现了 九十度，所以说角 e c b 加上角 e b、 c 是 等于九十度，而且我们的 b 凳是等于 b、 e 的， 那所以说我们出现了一组边，对应相等 b 的是等于 b、 e 的， 而且 b 的 所邻的角的 bc 与我们的 b e 所邻的角 e、 bc 是 互余的。那碰到这个模型呢？我们就知道需要做双垂，所以说我们过点的做一个 b、 c 的 垂线，过点 e 也做一个垂线，所得到的两个直角三角形。假设这个为 p， 这个为 q， 三角形的 p b 就 一定会全等于三角形 b q、 e， 也就是这个结论呢，叫一边一互余，做双垂得全等。 我们言归正传，来看一下我们今天的这道题。那么今天这道题刚才老师说了，首先 o a、 b 是 一个等腰三角形，我们细细地观察一下三角形的 bc， 它也是一个等腰三角形，而且它的腰 b 的 和刚才的第一个三角形的腰 o、 b 是 在同一条直线的，所以说我们肯定符合我们的共腰双等腰。那我们的第一个结论就是他们的 不共线的两个腰的夹角。那我们来找一下不共线的，也就是我们的第一个等腰三的另外一条腰 o a 和我们的另外一个等腰三的另外一条腰 b、 c， 它们两个的夹角叫不共线的两个腰的夹角。皮龙刚好告诉你，它是一个一百二十度， 它等于什么呢？等于底边加角的二倍，那第一个等腰三角的底边就是 a、 b， 而第二个等腰三角的底边就是得 c， 那 这两个边呢？现在不共线，所以说需要进行一下延长，延长得 c， 假设交 a、 b 这条底边为点 p， 那 我们这个时候就可以根据第一个结论得出，由于角 a、 c、 b 等于一百二十度，那所以说我们的角的 p b 是 肯定是等于六十度， 那这个呢，我们可以通过我们刚才讲解的第一个结论的证明方法，射圆倒角来求一下，这里面老师就不再进行讲解了。那我们通过已知它是六十度之后，我们该如何求我们的 c 得呢？ 那我们来看一下，由于整个题当中，其实我们是有出现了直角三角形，三角形 a 得 b 的 三条边全部一直，所以说我可以过点得向底边做一条垂线， 你可以由射影定律，也可以由等积法，我们都可以去求出的 q 的 长，那我们可以用等积法来快速的求解一下我们的的 q 得 q， 它就等于直角三角的两条直角边的乘积，除以斜边根号四十二，乘以我们的二倍根号十四，比上我们的 a、 b、 a、 b 啊，这块有个比物，它应该是等于七倍根号二， 那除以七倍根号二，最后化简结果它等于二倍根号六。这样的话呢，我们就可以通过刚才老师推导出这个六十度的塞盈值，可以求出我们的得 p 的 长。得 p 呢，它就等于我们的得 q 除以塞盈六十度 得 q， 刚才求完是等于二倍根号六， 除以我们的塞六度，也就等于二分之根号三，最后化简完等于四倍根号二。那我们的得 p 求出来了之后，我如果能将 c p 求出来，是不是一相减就能得到我们的 c 得了？那所以说我过点 c， 再做一个垂线， 假设这个点为点 n， 那 这条弧线有什么作用呢？我们不但把六十度放到了一个直角三角形里，我们不要忘了圆体条件，我们的括弧角， 也就是角 c a n， 它也在一个直角三角形里了。而在圆体当中，我们的 d、 b、 a， 它本来就在一个直角三角形里。所以说我们可以通过相等的两个角的三角函数值相等或者相似， 来利用一下我们的条件来求解一下我们的 c n， 也就是我们这两个角的 sin 值。 c a n， 它是等于角 sin 得 b a， 这样的话我们就知道，也就是 c n 比 c a， 它就等于我们的得 a， 比 ab 进行一下代入， c n 是 我们要求的比上 c a 是 几呢？ c a 就是 原始中的那个 a， 也就是根号十四，等于的 a， 谁呢？的 a 是 根号四十二， 比上我们的 a b， 也就是七倍根号二，那我们可以求出 c n， 它就等于根号六， 那这里面我们来标注一下刚才的得 q 呢？我们求完是等于二倍根号六，而我们的 c n 呢？求完是等于根号六， 所以说这里面眼尖的孩子就发现了它其实 c n 就是 三角形得 p q 的 中位线， 那所以说其实点 c 就是 我们得儿 p 的 中点，所以说 c p 和 c d 它们两个是相等的，都等于二分之一的 d p， 那 所以说 c d 它等于二分之一的 d p， 也就等于二分之一乘以 d p。 刚才求完等于四倍根号二， 也就等于二倍根号二，那所以这道题就求出来了。当然也可以通过我们求完的 c n 是 等于根号六， 以及我们的六十度，先求出 c p， 然后用 d p 减去 c p 也是可以的。那么整个这道题呢，那会这个模型的孩子呢，很快就能发现这个六十度的所在，但是不会的孩子呢，肯定就发现不了，这里面其实延长出来是有一个六十度的， 那很多的答案呢，他可能是连接了的 m， 而这个的 m c 这个三角形和 a c b 这两个三角形是相似的，也就是刚才老师说的这个第三种方法相似，但是这个相似其实也是很少有同学能看出来的， 那所以说我们这种题呢，可以通过多种方法来求解。那如果说对这种题有兴趣的孩子呢，可以通过以上的旋转六法， 可减三角形以及相似这三种角度把方法发到评论区。我们今天主要这里面讲了一个思想，叫做共腰双等腰的思想， 也就是两个三角形的一组腰，如果在同一条直线上，那么他们是有两个常用的结论，第一个结论呢，就是不共线的两个腰的夹角是等于底边夹角的二倍。 而第二个呢，就是如果说不共线的两个腰的这个夹角是九十度的时候，除了他的底边夹角是四十五度之外，这里面又蕴涵了一个一边一户余的够全等的思想，这里面也是需要了解的。
228杨杨数学
02:30查看AI文稿AI文稿来，呃，同学们啊，今天讲一个什么事呢？就是几何亚洲题的最后一问，就当你实在是各种办法都想完了。呃，没有没有办法就无路可走的时候，这种情况下在该怎么办啊？ 这种情况下如果你要是说就此放弃，那么你就大错特错了，因为这种情况下你很可能临就是说最后解出来距离他就差最后一点了，那么这一点干什么呢？就是我用一句话总结就是 再用十分钟盯着看，等待你的灵光一现啊，我估计我大概有百分之三十左右的就是几何压轴题的最后一问呢 啊，他不是说靠逻辑推导出来的，就是你把所有的已知条件也处理完了啊，各种辅助线也尝试完了，还是没有找到就是最后解决的办法，这个时候呢，我采用的办法就是我盯着看，而且大脑其实还不是在使劲使劲的去想，有的有一种就是放空的状态， 但是就是在中盯着看的时候大概五到十分钟你会突然之间看出来某一个关键的方法，这种感觉是很奇妙的， 有那么一点灵光一现的感觉啊。我分析是什么呢？就是你没有主动意识的再去思考，但是由于你前面的高强度的二十多分钟的思考你大脑其实还是有他自己在运作还是在运作，他在，他在，他在处理这些信息， 最终他处理这信息之后再加上你盯着看叭一结合把那个最关键的点给他找出来了。 这就是当你的几何亚洲题最后一问实在是看不出来的时候，你不要放弃，你再定着看十分钟啊，你再定着看十分钟，或者是或者说你还有多长时间啊？你就定着看，大概率 会有灵光一现啊。就是，哎，一下就找着那个最关键的点了，哎，他是一种无意识的状态，你也不知道怎么他这个条件就让你看出来了啊。然后这个条件就是解 解决他的最关键的一步啊。所以说我们初中几何呃，压轴题从一开始的第一问第二问都好处理啊。然后第三问读已知条件，处理已知条件，找着关键已知条件， 根据关键已知条件尝试做各种辅助线，如果还没有做出来，再留十分钟，盯着他看，等待灵光一现啊。就是这几套操作流程，你就往上整就完了啊，加油干。
71大连数学滕老师
