武汉五调18题圆锥曲线怎么做

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  蝴蝶模型用三角代换不一定是最快的哦#高中数学 #高中数学叶老师 #圆锥曲线不联立 #高中数学思维

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  蝴蝶模型用三角代换去解一定是最快的吗？我看不见得。如果说他这个定点在 y 轴上的蝴蝶模型用三角代换去算，其实是非常不好算的。这个我替大家试过了，你会发现参数间的关系很复杂，带进去会更加复杂， 对不对？所以说在这种情况下，我们该怎么办呢？这个时候我们就应该用队友试，那队友试的核心是什么？坐标互相表示，他其实跟那个三角代换是一个道理， 但是三角代换在 y 轴上的这种，它参数间关系会复杂，队友是会相对简单一些。那接下去可能有人要问了，到底用谁去表示谁呢？是用 ab 表示 cd 还是用 cd 表达 ab 呢？ 在我看来，我们应该用未知关系的点去表达已知关系的点。什么叫做未知关系的点？就像 c d， 你 不是要证明 c d 横过定点吗？那 c d 就是 属于未知关系的点。什么是已知关系的点呢？就比如说 ab， 因为他这边提到斜率为二，对不对？ 那这样子你 ab 之间的这个关系已经知道了，你 cd 给他表示进去对不对？那你是不是就可以求出 cd 间的关系了？就是这层逻辑，这应该是相关点法的一个思路。好， 那你做了这些铺垫完之后，我们就开整了，队友事先整起来，队友是他存在的同构，所以说我们先写一组，这里我坐标先标一下。好，那你 a、 c、 r 的 话就是 s 一 s 三 y y 三间的关系，这个我就直接写了， 这里我们用平方点带这个我带大家推一遍，你这样子算完之后，你会发现中间这里就抵掉了，抵掉完之后整个柿子就会变成多少。负的二分之五倍的 x 一 加上 x 三，推导过程我就差了。那你推完了这个以后，我现在马上用这个 x 三外三表达 x 一， 万一这里的我们其实还是要把这个队友是解出来，解他们就好像解二元一次方程组一样，比如说我这里 解出来是两倍的 x 三外一等于负的二分之一， x 三减二分之九 x 一 嘛，下面这个也是通利，那你如果说要用 x 三外三表示 x 一 外一，那你要从这个式子开刀对不对？你要把 x 一 的项提出来，在这里的话，我就可以得到 x 一 等于 负九倍的 s 三，除以四倍的外三加一。再把这个关系带到第一个石子去，我们就可以得到外一的二十减外三。这一串下来好，表达完了这层关系后，我们把它圈起来，这个关系等一下一定要用的，那你可以同理可得呗。 你得到了这一层关系以后，你给他带到斜率的表达式里面，带进去我们就得到这样一串关系，你发现他的下标都是互换的 对不对？就是结构他都一样，所以在这种情况下他会消掉特别多的象，大家千万不要害怕。好，算到这里完以后，你大胆展开，你就可以得到这样一个式子，上面全部消掉了，下面正好是有这种 cd 两点式的感觉，那此时你发现 cd 两点式就出来了， 最终的话就是多少，就是 a 四， y 三减去 y 四，加上四分之一的 a 三减 a 四，那么我们的 c d 就 过负的八分之九，负的四分之一。好，这题就结束，这就是一个很典型的队友式例题，希望大家都能学会。 ok， 谢谢各位。

  471福州叶老师高中数学（其余均为冒充）
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  2026武汉三调第18题（圆锥曲线） #武汉三调 #武汉三调数学 #圆锥曲线

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  我们来看一下武汉三调的第十八题，这个题呢，是一个圆对曲线问题，首先告诉我们这样一个曲线与直线的交点是 a， 然后过点 a 呢，做垂线，与它这个曲线交于另外一个点 b。 好， p 是 ab 的 中点，又给了一个点 q 的 坐标， 那么第一问呢，就是一个让求点 a 的 坐标的这种问题，那这种呢，我们直接连立就行了。好，连立这个方程，把它同侧分母得到的是一减 t 乘上 x 方，加上 t 倍的外方等于 t 乘以减 t， 那么直线呢，可以画成 y 等于一减 x， 然后代入连立就可以了。好，这个呢，我们画出来之后，立马就发现它是一个完全平方，四，就可以写成 x， 减 t 的 平方等于零，这样的话，就知道它这里呢，应该是 x 等于 t， 那 y 呢，就等于减 t 了， 所以点 e 的 坐标很容易写出来，是 t 斗一点 t。 好， 这是第一问，也是非常简单的，这一问算是送分啊。好，然后第二问，第二问，这个呢，是让我们找的 pa 加 p， q 为定值。那如果按照我们常规的思路的话。 好，首先怎么样得到呃，这样一个点 p 的 坐标呢？好，可能就连立 a 的。 呃，好，连立就过 a 的 直线，对吧？好，与 l 垂直，那么斜率呢，就应该是正一了。 好，可以写出结合这个 t 都一减 t， 对 吧？可以写出这个直线的方程，然后与曲线去连立，连立之后呢，就可以得到点 b 的 坐标，然后按照中点坐标公式，就可以求出点 p 的 坐标。好，这是更加常规的方法。 好，那这里呢，如果大家对我们这个钟点弦的这个结论比较熟悉的话，那应该很容易知道了。好，应该是 k a b 乘上 k o p， 应该是等于这里是椭圆。好，那么它应该等于负的 a 方分之 b 方。 好，那如果大家知道这个结论的话，这个很明显就可以知道，呃， o p 的 斜率就可以找到了，对吧？好，就应该是负的一减 t， 所以 就 t 分 之 t 减 e。 好，当然我这里前面也是推导了一遍这样一个过程啊，就是说我们可以设 a 点， b 点好，然后 p 点都设出来，然后把 a 点 b 点呢？好，他们满足的这个椭圆的方程写上 好，然后做插法，就是我们的点插法好，一次减二次，得到这个式子，然后呢，左边写出斜对的形式，右边呢变出这个中点的形式， 这样的话，左边就是 k a b 好， 等于 t 分 之 t 减一，乘上这里的 y x 零比上 y 零好，这个等于，那么就知道 y 零比 x 零是等于 t 分 之 t 减一，也就是说 k o p 等于 t 分 之 t 减一， 所以 o p 的 方程呢，就有了，那么这个 o p 的 呃方程知道之后呢，就可以和 ab 的 方程连立好，这样的话就可以得出点 p 的 坐标了。好，这个呃， ab 的 方程就是斜率为正一嘛， 好，与 l 垂直，斜率为正一，所以就是 y 等于 x 加上一减二 t， 这样得到点 p 的 坐标之后呢，那我们要证的是 pa 和 p q 的 核是定值，所以把它们各自表示出来， 其中 pa， pa 它这个斜对是正一嘛，就在 ab 上斜对是正一，所以呢，可以直接就是根号二倍的，他们横着边的叉，所以说二 t 方减 t， 再减去 t， 好， 得到的这个，那我们想着要把这个绝对值要去掉。好， t 呢是零到一，这是题目中给的，所以这里呢，我们就知道 t 方减 t 当然是小于零的，那么这里这个 pa 呢，就等于二倍根号二倍的 t 减地方了。好，因为 t 减 t 方是大于零的 好，相应的 p q 我 们也要表示出来，好，就是 p 点是这个，然后 q 点呢，是八分之一到八分之一，所以我们直接写 p q 的 平方的话，就这样的， 然后可以展开，展开之后呢，有四次象，有，呃，这样的三次象，然后平方向好，还有一次象，还有这样的常数象， 那这个最终化成什么呢？这里有一个运算的一个技巧，就是说我们待会要把这个 p q 开根号，如果它们加起来是定值的话，那么当然好，它开根号之后是可以和我们这个 p a 的， 这里的这个四字的 t 中是要约掉的，也就是说 好，这个约掉之后呢，呃，是没有 t 的， 所以这个配平方你就可以结合这个来配了，就是说一个是，呃，八倍的 t 的 四次方，他呢就应该是二次项的平方，所以很明显就是二倍根号 t 方刚好和这里的负的二倍根号的地方可以约掉，对吧？ 好，然后呢一次项我们是不是就知道了，应该是负的二倍根号 t 好 刚好和这个可以约掉，那长数项呢？长数项你就想着这应该是这一项的，呃，是长数项的平方，所以就写成根号三十二，也就是四倍根号二分之五括号的平方。 好，这一定是对的。呃，然后呢，呃，如果你想验证的话，可以验证一下其他的项，对吧？包括我们三次项平方向一次向，对吧？看一下是不是对的。 好，验证对了之后，那 pk 我 们开根号，开根号还是要考虑括号里面的正负的，我们刚才说了 t 方减 t 是 小于零的，那 t 方减 t 呢？它是大于等于负四分之一的，因为在二分之一处取的最小值嘛，所以是大于等于负四分之一小于零， 那所以乘上一个二倍根号二之后呢，就大于等于呃负的四分之二倍根号二。呃，这样的话，我们就知道加上一个四倍根号二分之五呢，是大于零的，所以 p k 就 等于这样一个式子。好，最终一定是能约掉了吗？所以开出来一定是这样的。 好，那么呃，我们注意观察 pa 加 p q 是 不是就可以把 t 全部约掉，最终得到的就是四倍根号二，也就是我们八分之五倍的根号二。 好，这就是我们 p a 加 p q 等于八分之五微根号二。好，这就最终的答案了。然后第三问，第三问这里说的是，呃好，我们来看一下题目，他说是否存在某条直线使得呢？以 p q 为直径的圆是与这条直线相切的， 好让我们求出这个直线方程，那当然我们先呃假设他存在，对吧？好，这个呢？呃，如果大家能够画出一些特殊的情况，应该还是能够把这个呃好与圆相切的，这条直线应该大致能看出来这是怎么回事，对吧？ 好，那如果我们单纯的从上面的计算的结果来看的话，就是说，首先你这个 p q 为直径，那么他们的中点 c 啊，就是圆心，所以我们写出 c 点的坐标，就是 t 方减二分之 t 加十六分之一，对吧？后面也一样中坐标， 那么呃，如果 p q 直径的话，是二分之 p q 就 应该是它的呃半径了， p q 我 们前面也表示出来了，所以就可以写出二分之 p q 是 这样的， 那如果存在这样的直线，是不就是啊？比如我们设成 a x 加 b， y 加 c 等于零，然后呃，所以就代入，然后呃比上根号一方加比方就点到直线的距离嘛，要等于我们这里的半径等于上面这个设置。 好，那现在这个呃是否是呃存在这样的呢？我们可以看一下，就是你这个要观察一下，就如果呃没有通过这个特殊的情况找到这个直线的话，还是要观察一下的。 就是说我们这里这个二分之 p q， 也就是 r， 他 是根号二 t 方减根号二 t， 也就是说他们两个的系数是互相反数的， 而上面呢是 t 方减二分之 t， t 方减二分之三 t， 所以 我们可以观察到，如果他俩相加，一个是二 t 方，一个是负二 t， 所以 也是互相反数的，所以我们就想 好，如果让 ab 好， 这里 ab 的 系数应该是一样的，对吧？好，我们可以试一下，让 ab 的 都等于一的时候， 然后这里呢，他加起来就是二 t 方减二 t， 然后再加上好，这是十六分之十，也就是八分之五， 好，再加上八分之五，呃，那我们再比上根号一方加比方，就比上根号二，对吧？我们可以看一下，这个时候呢，好，应该刚好是对的，对吧？这个二负二好，除以根号二之后都变成根号二 t 方减去根号二 t， 然后再加上八分之五也除以根号二，就这个， 所以刚好是对的。那么就观察到这个应该是 a 等于 b 等于一， c 等于零的时候，是满足我们这个假设的，也就是说存在 x 加 y 等于零与圆相切。 好，这这种方法大家如果能够画出一些特殊情况下的这个圆，然后呢就应该是能够先把它这个直线给拆出来的。好，如果从这个结果来看的话，就要注意观察他们这些刚才我们说的这些巧合的地方。 好，这是我们呃这个第三问。好，这个可以作为第二问第三问的一种方法。那另外的方法呢？其实就是考察了这个题的出题背景。好，我们可以看一下，就是说根据我们刚才 上一种方法写出来的，就是你点屁满足两个方程，一个是我们写的 o p 的 这个方程吧，一个就是 ab 的 方程，那这两个方程呢？我们注意观察到它里面都有参数 t， 所以你这个 p 的 坐标 x 到 y 满足的这个曲线的呃方程呢？其实我们可以通过消参，也就是说呃把这个参数 t 给消掉。好，这样的话就可以求出点 p 它满足的这个轨迹方程了。好，这也是我们说的这个交轨法求轨迹方程嘛。 好，消去 t 这个单怎么消都可以，对吧？你可以把呃下面这里个 t 表示出来带到上面，也可以说把上面这个呃用 y b x， 然后表示出 t 带到下面。都可以。啊，我这是 呃把这里的呃上面这个方程 y 比 x 不 就等于 t 分 之 t 减一是一，减去 t 分 之一，对吧？接着把 t 表示出来，然后代入到下面这个方程，这样的话就把 t 消掉了， t 消掉之后呢，把这里的 x y 满足的关系是表示出来，就是 x y 的 平方等于 x 加 y。 好，这个呢？好，如果大家对我们这个抛物线好，它的方程这个形式上比较熟悉的话，应该能想到，比如抛物线的方程， y 方等于二 p x， 或者说 x 方等于二 p y， 是 不是就类似这样的一个形式，对吧？好，当然其实它是旋转之后的这个抛物线啊， 好，那么我们具体来看的话，可以通过 p q 的 这样一个呃，这个，呃长度来去看，对吧？因为 q 点八分之一的八分之一，它肯定不是平白无故给出来的，对吧？好，所以我们表示出 p q 的 平方，好，这里呢？ x 减八分之一的平方， y 减八分之一的平方， 好，这里都没有用 t 来表示，所以呢，你唯一能用的就是 x y 的 平方等于 x 加 y， 那 我们把这个展开之后， 有 x 方加外方减去四分之一， x 加 y， 再加上三十二分之一，那我们，呃，接着呢，好，就可以想着你这里的 x 加 y 可以 保留，对吧？那 x 方加外方怎么办呢？好， x 方加外方，我们可以利用 x 加 y 的 平方和 x 减 y 的 平方 来表示出来，对吧？就他们两个相加，再除以二就行了。然后这样的话， x 加 y， 我 们保留，那 x 减 y 的 平方，是不就立马可以换成 x 加 y 了？这样其实就得到一个关于 x 加 y 的 一个二次的次值，对吧？就是二分之一倍的 x 加 y 的 平方。 好，这个变成 x 加 y 之后呢？可后面的四分之一倍的 x 加 y 再加三次二分之一。 那这个我们提出二分之一之后呢，其实就能看出来了，因为他的系数是一，他的系数呢，是二分之一，他的系数是。呃，这个提出二分之一之后是十六分之一，刚好是四分之一的平方吗？所以刚好是符合完全平方式的。好，就写成二分之一倍的 x 加 y 加十分之一。 所以 p q 我 们开根号吗？这不就绝对值 x 加 y 加四分之一，比上根号二。好，这样就把 p q 就 表示出来了。 好， p q 表示出来之后呢？这个形式其实很明显就是一个点到直线的距离的这个形式啊。好，这不 p q 就是 什么呢？就是 p 点到直线， x 加 y 加四分之一等于零的距离。 好，那么呃，我们，呃，其实就把它转化成这个到直线的距离了，对吧？这个其实也就符合我们一开始说的这样一个背景，就是说它是一个抛物线就到定点的距离，等于到定直线的距离吗？ 只不过这个定点是八分之一到八分之一，然后定值线呢？是 x 加 y 加四分之一，不是我们的标准方程的形式。 好，那我们接着来看这个第二问的问题，就是 pa 加 p q 嘛，那 pa 是 垂直于 l 的， 对吧？虽然说 pa 是 ab 的 中点这样来的，但是我们知道 pa 是 垂直于 l 的， 所以你这个 p 点到 a 点的距离是不是相当于是就是 p a 这一次长度呢？就相当于是 p 点到 l， 也就是我们刚才那个 x 加 y 等于一，也就是 x 加 y 减一等于零它的距离， 那然后 p q 呢？是我们这个呃点到 x 加 y 加四分之一等于零的距离，很明显这是两个平行线，那一个是到呃上面这个直线的距离，一个到下面这个直线的距离。好，所以我们这个 p a 加 p q 就 应该是两个平行线间的距离。 好，对应的就是四分之一，减去负一就加上一比上根号二，和刚才算的结果是一样的。 好，这其实就是我们这个题呃设计的一个背景啊，是这样子旋转之后的抛物线。好，那如果我们了解这个背景呢？第三个其实就更好做了，就是说，呃，首先我画了一个这种我们比较熟悉的这种标准形式的图像，这样的抛物线焦点是 f 点是 f 的 长度等于什么呢？我们到准线的距离是不是等于呃他的这个横坐标，呃加上二分之 p， 好，这是呃，我们可以通过这个呃抛物线它这个焦点的好，这样的呃抛物线它的定义对吧？相当于就 p f 到焦点的距离，等于到垂线的具体。 然后那我们从 p f 的 中点往外轴做垂线，是不是就是这个中微线？相当于梯形到中微线，上面是 x 零，下面是二分之 p， 所以 这个呢，是 x 零加二分之 p 除以二。 而我们刚才这个 p f 呢，好，也是等于 x 零加二分之 p， 所以 这个就应该是等于 p f 的 一半。这样的话，我们就知道， 好，如果是以 p f 为直径的圆，是和相应的这个 y 轴是相切的。好，那我们对应旋转之后的图像，是不相当于 这个 x 加 y 加四分之一等于零呢？是他的准线，八分之一到八分之一是他的焦点。好，所以他们两个从焦点到准线的距离，这个是他们这个轴，对吧？好，是我们抛线，呃，关于这条直线对称的这样一个轴，然后那这里做他们这个线段的垂直平分线， 是不是应该是 y 等于负 x， 因为他们的中点刚好这个做垂线刚好经过这个圆点零零嘛， 零零，呃，所以好过零零的这个直线 y 等于负 x， 好， 刚好是他们的这个垂直平分线。 好，那这样的话，其实就对应我们这个左边这个图像的 y 轴了，对吧？好，所以大家结合呃，旋转之前的图像和旋转之后的图像去对比的话，就能够发现啊，这条直线就应该是 y 等于负 x， 也就是 x 加 y 等于零。 好，那接下来我们再说明理由的时候呢，因为你这里还是要用到 p q 的 长度。 p q 的 长度，呃，是直径嘛？ p q 我 们表示成这样，所以呢，我们要把这个 呃圆心也就 p q 的 终点就写成二分之 x 加十六分之一，二分之外加十六分之一，那这个圆心到这个直线直线，我们已经通过它这个题目的背景已经猜出来了，对吧？是 x 加 y 等于零，它这个距离 好，那点到直线的距离公式，好，直接把这个点代入，是不就是二分之 x 加二分之 y， 然后加上八分之一，然后绝对值比上根号二， 那这样的话，把这个上面的二提出来，不就是二倍？根号二分之这个，那很明显我们和 p q 这对比的话，当然它就等于二分之一倍的 p q 了，那我们就也就知道好，这个直线呢， x 加 y 等于零，就是与 p q 为直径的圆是相切的。好，这样的话也就可以挣出来了。 好，就第一问，呃，我们刚才讲的这个，呃，就是一个连力，然后二三问呢，我们讲了相当于是两种方法的吧。 好，第一种呢，相对来说比较常规的方法。然后第二种呢？是，呃，更加好接近它这个题命题的背景，这样一个方法可能大家不太容易想得到啊。

  46张老师高中数学课堂
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  圆锥曲线考前必刷 掌握这个思路，高考圆锥曲线直接拿满分#高中数学 #数学思维 #高考倒计时 #学霸秘籍 #创作灵感

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  圆锥曲线小题，大家在做的时候告诉大家两个非常重要的经验，第一个画图，第二个定义，咱们一起来看看这道题目。先给大家让开截个屏 来看题目，已知 f 一 f 二是椭圆的左右焦点， p 和 q 都在这个椭圆上，并且有这样一个向量的关系，两个角相加是二分之派。咱们把这两个角画一下， f 一 p f 二 以及 f 二 q f 一 这两个角相加对应的是九十度，问离心率是多少？ 这个题拿到了之后呢，我们来看一下，重点是在这个向量上，两倍的 f 一 p 等于三倍的 f 二 q， 这说明了什么？ 说明这两条线应该是平行的关系，并且有一个长度的比例。那么你看到了这两条线，大家注意啊， f 一 f 二是焦点，而 p f 一 和 p f 二相加应该是二 a， 那如果这两条线是平行的，那么大家想一下，我把 q f 二延长，如果它跟椭圆交于一个点，这个点叫做屁撇，那么这两条线是平行的， 是不是就说明了 p f 一 这个线段和 f 二屁撇这个线段应该是平行且相等的，这是根据椭圆的对称性得到的。所以有了这个重要的性质，我们就可以再把 f 一 屁撇连线。大家来看啊，这两个角相加是九十度，根据对称性，屁就是屁撇， 所以这两个角相加也是九十度，那么说明这个地方是一个直角。那接着再来有了长度的比例，咱们就见比设 k， 所以 我们设 p f 一 是三 k， 那 么 f 二 q 对 应的就是二 k， 那 就会得到 f 二 p 撇儿 是三 k， f 一 屁撇，根据椭圆的定义，它就是二 a 减去三 k， 然后我们再来看 f 一 q f 二 q 应该相加，也是定义二 a， 所以 f 一 q， 那 就是二 a 减去二 k， 所以 根据定义，我们就找到了 q f 一 屁撇，这个三角形里面的三边，根据直角可以列勾股， 所以二 a 减三 k 的 平方，再加上二 a 减二 k 的 平方，就等于五 k 的 平方，也就是二十五 k 方。咱们开始整理，这个地方对应的应该是四 a 方加四 a 方，八 a 方 减去二十 k 乘 a k 的 平方左边对应的应该是九加四等于十三，这边有个二十五，所以减过来就是减十二 k 方等于零。然后我们把系数约一下，二 a 方减去五 a k， 再减去三 k 方等于零。所以因式分解，二 a 加上 k， 再乘以 a 减去三 k 应该等于零。那整理前面不可能是零，只可能 a 等于三 k， 所以 我们得到了 a 等于三 k， 那 大家来看，二 a 减三 k， 那 不也是三 k 吗？而这条线也是三 k， 这说明什么？ 说明屁片一定在外轴上，那对应的屁也一定在外轴上，说明屁对应的坐标就是零 b。 所以 咱们再接着把这个图稍微的修改一下， 我们再把图修改之后，我们发现这个地方是一个直角，这个直角三角形的三条边分别是三 k、 四 k、 五 k， 所以 这个角 cosine p 撇就是三比五， 而我们要的离心率是 c 比 a， c 就是 这一段， a 就是 这一段，那不就是这个角的正弦值吗？而这个角正好是角 p 的 一半，所以它就等于一减去两倍的 泛以二分之屁撇的平方，而这个东西就是离心率，所以它就等于一减去二倍的一方，它等于五分之三，解得 e 等于五分之根号五， 所以这道题的答案就是五分之根号五。对于这道题目来说，大家只要能够画图，并且在做的过程中联系椭圆定义这个题的思路还是非常容易的，所以这两点大家在做小题的时候一定要注意。

  352高中数学-李钰提分课堂
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  《高考数学》5. 圆锥曲线 | 高频知识点总结 #高考 #高中数学 #期末闪学

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  同学们大家好，欢迎来到我们今天的第五节的课堂，今天我们要攻克的就是高中数学理分值高，我们综合性强，而且高考年年必考的一大重难点，圆锥曲线，那椭圆，双曲线，抛物线，这是我们三大曲线的高考大题的常驻嘉宾， 既考基础题，又考咱们的大题，还会结合直线的连力、斜长面积最值，定点定值去出一些综合的题。而且咱们很多同学一看到圆锥曲线就头疼，觉得计算量又大，思路又复杂， 但是别担心咱们圆锥曲线啊，只是咱们计算量大，但其实整个过程其实有模板有套路，是有我们的步骤分的。所以这节课呢，我们就从考点出发，咱们把定义性质，答题方法咱们一次性讲明白， 然后我们能够做把典型题的分拿下来，所以我们接下来就正式进入第五节的学习。圆锥曲线。 首先呢，我们本节课是分成了四个板块的，呃，就是椭圆，双曲线，抛物线，然后还有他们的一些大体的通用性质，那选填呃，经常考一些咱们的，嗯， 椭圆呀，双曲线抛物线的标准方程，离心率、渐近线啊，交点啊，准线啊这些，那大体呢，就是常考直线和连力，通常有伟大定力，定点定直线量垂直这些。 所以接下来咱们就先来学习一下基础的椭圆双曲线抛物线的一些基本的性质。首先呢，第一个重点就是椭圆，椭圆有两个定义，都是咱们解体的核心依据。首先第一个定义就是平面内两个 定点 f 一 和 f 二，它的距离之和是一个长数二 a， 注意是距离之和长数为二 a 的 一个 轨迹。这里啊，一定要记住这个二 a 和二 c c 的 交点圆点到交点的距离啊，一定要记住椭圆是 a 大 于 c 的 轨迹。然后我们存在两个定点叫焦点是 f 一 f 二，我们来看一下下面这两个图， 这个就是 f 一 f 二就是交点，然后它的定点就相当于是在椭圆上运动嘛，那么 p 点的轨迹呢，就首先是 p f 一 加 p f 二是等于二 a， 那 么在这种情况下， p 点运动的轨迹是椭圆，同样这个也是 p f 一 加 p f 二的和是等于二 a， 那 么它运动的轨迹就是一个椭圆。 一定要注意距离和必须要大于焦距，等于焦距的时候是线段，小于焦距的时候是没有轨迹的。那第二个定义呢，就是平面内到一个交点 f 的 距离与到对应准选 l 的 距离的之比为 e， 这个 e 后面我们又学到叫做离心率， 而且这个 e 啊，它是有范围的，是零到一嘛，那这个其实也就是，呃，这个离心率是等于我们 p f 的 距离比上 d。 那 这个定义呢，在我们选填里面是特别好用的，经常呢我们把斜着的线段转化成数值水平的距离，能够大幅度的去简化这个计算量。 那接下来我们看一下这个标准方程，如果我们的这个交点在 x 轴的情况下，中间应该是用 嗯，椭圆，首先就是中间都是加号，如果他交点在 x 轴的情况下，他是 x 方比 a 方加，外方比 b 方等于一，这里 ab 都是大于零的。然后关键参数就是我们在椭圆里面最距离最大的一条边是 a 边，所以有 a 方等于 b 方加 c 方，然后快速判断，就是当 x 方的分母大，交点就是在 x 上，就是我们的 第一个图，然后第二个图交点在外轴上，就是我们的第二个图，那它呢？是你看这个 a 方是在外方底下的，那就是外方分母大，那焦点就在我们的外轴上，然后他的那个参数也是，不管你是在 x 轴上还是在外轴上，我们最大的一条边都是 a。 那 接下来就是我们的一些几何性质。首先我们呃圆锥曲线里面最重要的一个就是离心率，那椭圆的离心公式呢？就是用 一等于 c 比 a， 因为我们这里说了椭圆里面他最大的边是 a， 所以 说 c 比 a 一定是一个大于零小于的数，所以我们椭圆的离心率就是在零到一中间。这个是我们选择题里面，如果是椭圆让你去求离心率的话，可以先根据范围排出几个选项， 而且这个一啊越小越圆，那越大呢，他就是越扁的。第二个呢，就是我们的准线方程，如果 x 在 焦点上， x 轴交点在 x 轴的话，那它的一个准线是 x 等于正负 c 分 之 a 方，那同样我们交点在外轴上的话，那 y 的 准线也是正负 c 分 之 a 方。所以其实不管是交点在 x 轴上还是在 y 轴上，我们的准线方程都是相等的。 那第三个呢，就是这个交点三角形，这是我们的一个高频考点。又说椭圆上的一个屁点与交点组成的三角形叫做交点三角形。我们做一个简单的图，就假设这是一个在 x 交点，在 x 轴上的椭圆， 这是他的两个焦点，然后这里是 p 点，那么这个三角形 f 一 p f 二就是一个焦点。三角形那通常有 p f 一 加 p f 二是等于 二 a 的， 然后 f 一 f 二是我们的焦距是二 c， 因为这本身就是我们前面所学的一个 椭圆的一个第一定律嘛，那不第一定义嘛？然后第二个面积，其实大家记一下，因为考试的时候，特别是选择和填空里面，如果你记会这个公式，做题是非常快的，就是这个面积公式啊，也就是三角形， 嗯， f 一 p f 二的面积是等于 b 方程探井塔二分之 c 塔，这个 c 塔呢？就是 这个角度是可以直接用的。比如说如果题目告诉你这个 f 角 f 一 p f 二是等于六十度，那你直接就可以带进去，算出咱们这个三角形的面积来， 这是用起来非常方便的。然后那我们来看一下椭圆的一道例题，已知椭圆它是给了你这样一个交点在 x 轴上的， 是的，然后它的左右焦点分别是 f 一、 f 二，且过 f 一 垂直于 x 轴的直线，交于椭圆与 ab 两点，然后三角形 abf 二为等边三角形。问你椭圆的离心率，我们先简单来画个草图，这是我们的一个 x 轴 y 轴，然后它焦点是在我们的 x 轴上，那么应该是一个 这样子的椭圆。好，画完之后，然后，呃，他过 f 一 做垂直，做垂直于 x 轴的直线，指这样一个直线，然后指 ab， 并且三角形 abf 二， 它是一个等边三角形，并且，嗯，三角形 abf 二， 他是一个等边三角形，那等边三角形的话，那就是他们三条边是相等的，并且咱们角度也知道了。 然后由于他这个 ab 两点是关于我们 x 轴对称的，所以咱们这个 af 一 和 bf 一 距离是相等的，然后这里是三十度的角边相等，三十度角的话，如果我们假设 af 一 是 x， 而且这是垂直的，那么 af 二呢，就是 二 x， 然后中间呢就是根号三 x， 对 吧？这是我们一个特殊三角形的一个边长知道之后，但是由于啊，他过的是 f 一 f 二两个交点，所以我们根据椭圆的一些几何性质，我们有知道 a f e 加上 a f 二，它应该是等于二 a 的， 然后呢，我们中间 f 一 f 二，它是我们的焦距是等于二 c 的， 所以我们用这样的性质来准确算一下， a f 一 是等于 x， 然后 a f 二呢是二 x， 然后它就等于二 a 就 等于三 x， 那 二 c 呢？焦距呢？是根号三 x， 所以 e 它是等于我们的 c， 比上 a， 这里 c 等于二分之根号三 x， 那 a 呢？是等于二分之三 x， 那 比一下就结果是等于三分之根号三的。我们检验一下，椭圆的离心率应该是大于零小于一，那三分之根号三 就是在这个区间内，所以我们这个至少离心率是算对了，应该选择是 a 选项。其实你发现求离心率啊，它本质上就是先求我们的斜长，然后再用我们的几何条件建立等式，最后我们去转化为离心率求解就行了。 所以选择填选择题里面的一个呃，远锥曲线的性质 应用还是比较简单的，我们来看第二个部分，就是双曲线的部分，那双曲线呢，也是有两个定义的，我们来看一下平面内两个定点， f 一 f 二的距离之差的就绝对只是二 a 的 轨迹就叫双曲线，和刚刚前面的 椭圆不一样，椭圆前面说的是和是二 a， 现在差变成二 a 了。那第二定义其实是一样的，就是由 p f 的 绝对值比上 d 等于 e， 这个 e 呢，是双曲线的离心率，但是双曲线的离心率啊，它的范围和椭圆的范围不一样，它的范围是 e 大 于一的，这也是我们做选填的一个重要的判断之一。 然后我们来看一下这个角点的位置啊，当然啊，因为前面椭圆角点既可以在 x 轴上，也可以在外轴上，那同样的，双曲线的角点也是可以在 x 轴上，如果是在 x 轴上的话，我们来看一下 他的这样一个啊，标准方程是 s 方比 a 方减去 y 方比 b 方等于一，这里 a 和 b 都是大于零的啊。然后他的关键参数和椭圆其实也不一样，椭圆里面我们最大的边应该是 a， 而我们双曲线里面最大的边是 c， 所以 是有 c 方等于 a 方加 b 方，那快速判断就是，如果 s 方向这里前面是正的话，那么它的交点就是在我们的 x 轴上，如果当 x 方前面向为负数的情况下，那么我们的这个交点 是应该在外轴上，那它的标准方程应该是 y 方比 a 方减去 x 方比 b 方等于一，那个关键参数也是我们的 c 是 最大的，有 c 方等于 a 方加 b 方， 那这是双曲线的一些定义，那同样双曲线也有一些我们的几何性质。首先也是离心率， 这里我们要注意一点，不管是我们的双曲线还是椭圆，他的离心率的一个表达式都是相等的，都是等于 c 比 a， 只不过因为椭圆，我们的 c 是 比 a 变小的，所以离心率是大于零小于一的。而在双曲线中呢，我们的 c 边是最大的边，然后在 c b、 a 的 情况下，他的离心率一定是大于一的，并且我们的这个有一个一越大，咱们开口是越宽的啊。然后还有一个就是渐近方程，我们的椭圆是没有渐近方程，但是我们双曲线有我们的双曲线的渐近方程，他是 长这样的，比如说这是一个嗯交点在 x 轴上的一个双曲线，他是长这样的，比如说这是一个渐近方程呢，就是 这样子的两条线，我们用虚线来表示，这是我们的一个双曲线，它是 y 等于正负 a 分 之 b x 的。 那这里注意一点，不管是焦点是在 x 轴上，还是在 y 轴上，我们的一个嗯渐近线，它的表达式都是相等的，所以这个咱们直接记住就行。然后还有一个重点，就是等轴双曲线，就是当 a 等于 b 的 情况下，这个 e 直接就是 根号二，而且它的渐近线就是等于 y 等于正负 x， 这点大家可以记住，如果考试考到就是发现 a 和 b 是 相等的话，大家直接用就行了，不用去专门的去计算，浪费时间。然后第四个也是我们的交点三角形，那交点三角形呢？同样 和我们前面的呃椭圆的焦点三角形是一样的，就比如说这是一个嗯双曲线，然后他是这样子画的，然后这是我们的焦点 f 一 f 二，然后这里有一个 p 点，那么我们有一个边上关，就是 p f 一 减 p f 二，这里涉及到一个绝对值，因为你不知道这个 p 点是在我们的 左半边还是在我们的右半边，所以我们统用绝对值来表示，它的一个差值是等于二 a。 同样的，对于这个三角形 f 一 p f 二的面积来说，我们其实也是可以有公式可以直接记的，那么这个 c 塔就是这个角 f 一 p f 二，所以这个面积大家这个公式也可以记住，考试出来的话也是可以直接用的，能够节省很多的时间。那这样我们来看一下例题二。 例题二说双曲线 c 的 十轴长是我们虚轴长的一半，问你求离心率，那首先双曲线里面的十轴就是我们的 a， 因为它是相当于嗯，这样子的，呃，双曲线里面这是我们的 f 一 f 二，然后我们这里这里表示的就是我们的十轴的部分，是表示负 a 和 a， 然后虚轴的部分就是我们这里的 负 b 和 b， 所以呢，我们这里十轴长是 a， 虚轴呢，就是我们的 b， 我 们有 a 是 b 的 一半，就是 a 等于 二分之一 b。 问你离心率，这里离心率我们只写出来 e 是 等于 c 比 a 的， 我们首先要知道 c 和 a 的 一个数量关系，他才能够求出来离心率，对吧？那 a 等于二分之一 b， 然后我们这里有 c 方，是等于 a 方加 b 方的，所以我们把 a 就是 关于 b 的 一个式子，带进去之后算一下， a 是 等于二分之一 b 方就等于四分之一 b 的 平方，加上 b 的 平方，它是等于四分之五的平方，那所以因为 c c 肯定是一个正数嘛，它就 c 已经是等于 二分之根号五倍的 b， 这里应该是 b 啊， c 等于二分之根号五 b， 那 么 e 是 等于 c 比 a 的， 那 c 是 等于二分之根号五 b， 那 a 呢？是等于二分之一 b， 那 比一下就等于 根号五，所以选择的是 c 选项。大家发现没有，不管是椭圆还是圆锥曲线啊，它求离心率，它其实就是让你翻来覆去这个找 a 和 b 还有 c 之间的关系，所以大家要有这个灵敏的嗅觉去计算， 这是我们的双曲线，那接下来呢，看我们的抛物线，咱们抛物线呢，它的定义呢，就是在平面内啊，一个定点 f， 我 们这里叫交点与我们的定直线 l， 这个是准确距离相等的点的轨迹，也就是说我们这里有 啊 f p 的 一个值是等于 d， 这个这个也是我们经常在考最值和焦点悬时常用的一个公式，这是我们一个 定义，所以说当我们看到焦点准确距离的时候，优先用定义的转化。那接下来就是关于抛物线，其实咱们抛物线有四种，就是根据他的一个开口方向去判断，当开口朝右的话就是这面，那这个的话他的是方程是 y 方等于二 p x， 这里我们 p 统一的都是大于零的情况下， y 方是等于二 p x， 让我们的交点坐标交点在这是二分之 p， 然后准线方程，这个是我们的准线，是等于负的二分之 p， 然后注意一点啊， 咱们的角点和准象都是二分之屁啊，不是屁啊，因为咱们标准方程里面有一个屁，所以这一点要牢记。那他向左的话，因为左右相反了吗？所以就有一个符号出来了，那如果符号出来的话，那他的一个 交点和准线方程也都带上那个符号了，这是左右。那上下呢？上下的话，其实就是我们 x 和 y 反一下朝上的话，就变成 x 方，等于 二 p y 了，其中我们的交点就去了我们的 y 轴上，就成了零。二分之 p， 那 我们的准线呢？就成了，哎，负的二分之 p， 这里是 y 啊，那同样向下的话，就是我们和向上相反一下， 这里其实我们的抛物线和我们以前学的二次函数其实很像的，我们以前学的二次函数其实是这个样子的。接下来我们看抛物线的一些性质。抛物线里面交半径是什么？我们跟交半径它就是要过交点的一条 线段，比如说这是我们一个开口向 u 的 抛物线，然后这是它的一个交点，那交半径呢？就是一个直线经过了它的交点，然后和我们交我们的一个嗯，抛物线于 ab， 那 这时候我们就称我们的 ab 是 我们的交板径，然后这时候这是我们的 pa， 它的一个线段 的长度是等于我们的这段距离的，然后我们 p b 这段距离呢，也等于我们这段距离，这是我们抛物线一个非常重要也非常特殊的性质，所以我们这里有。 哎，因为他这里的一个点是 x 零和 y 零嘛，所以呢，我们他这个 这一段，也就我们这里的 p f 这一段就等于我们这个横坐标，它的一个值是 x， 然后再加呃，我们 y 轴到准线之间的距离是 二分之 b， 所以 有了这样一个式子，那我们的坐标关系呢？有 x 一 x 二是等于四分之 p 方， y 一 y 二是等于负 p 方，这个是通过我们假设一下， y 是 等于这个直线 l， y 等于 k， x 加 b， 然后与我们的 y 等于二 p， y 方等于二 p x 连立起来之后我们用伟大定律算出来的。这个我们也需要是直接记住，因为选填考出来的话可以直接用，然后包括长度公式，因为我们刚说如果这个 ab 的 长度，因为我们说什么 pa， 它的长度是等于 x 一 加上二分之 p 的， 那 pb 的 长度呢？是等于 x 二加上二分之 p 的， 所以呢， ab 的 长度就等于 pa 加 pb 就 等于 x 一 加 x， 二加 p， 所以 这就是这个公式的由来。然后这个等于二 p 除以三立方 c 塔，这里的 c 塔指的是这个角度， 也可以直接用，但是这个用的频率不太高。然后最后当这个 c 他 等于九十度，就这种直直的下来的话，那他就成了一个正方形了吗？那他的直接，嗯，最短距离呢？他就是一个二 p， 这是抛物线的一些性质。那现在我们来看一下抛物线的这道题，这道题忘了标了，这是一道多选题， 因为我们高考也会考一些多选择题嘛。来看，首先直线是 k x 减， k 过抛物线 e 它的一个交点，并且与该抛物线交于 m n 两点。然后下面 abcd 中说法正确的是来看这个直线 y 等于 k， x 减 k， 哎，我们可以发现它是等于 k 倍的 x 减一，那它过一个定点，它过一零点，那么我们来看一下我们画一个简单的图啊， 首先这个直线是一个一零点，它过这个一零点，然后我发现它不光过一零点，它还过一个交点，而这个东西这个抛物线我们发现它是一个开口向右的， 那开口相用的情况，它的交点就是在 x 轴的正半轴上，我们就发现其实这个呃直线过的一个定点就是我们抛物线的一个 交点，那么相当于这个直线是我们过它的一个交半径， 对不对？哎，就有了这样一个交 m n 两点，那么我们就发现这个交点它的横坐标是等于一的，所以就有二分之 p 是 等于一的，那么就得到了 p 是 等于 二的，所以 a 写上错误， p 等于二的话，那么准线这个哦，原来的这个抛物线就可以写成 y 等于四 x 了，那它的准线呢？应该是等于，哎，就是 x 等于负一，应该是这里 负一，所以 b 选项是正确的。我们再来看 c 选项，以 m n 为直径的圆与定直线相切，其实这里啊要注意一个，嗯， 可以说是称之为一个小的性质吧，因为做的题多了之后，它可以继承我们的二级结论，就是如交半以交半径为直径的圆，它的一个切线一定是过我们的 准线的，所以说其实 c 选项可以是直接是正确的。但是我们现在来给大家去算一下这个是怎么算的，我们就用我们之前说的一种 嗯，连力的方法来看一下，首先我们可以设 m， 它的坐标是 x 一 y 一， 然后 n 的 坐标呢是 x 二 y 二，所以直线 y 等于 k 倍的 x 减一，与咱们的抛物线 y 方等于 x 连立一下就可以得到一个 k 方， x 方减去二， k 方加四，然后被的 x 加上 k 方等于零，那么我们跟这个就是一个啊，二次函数，对吧？那用伟大定律可以得到 x 一 加 x 二是等于 二， k 方加四，除以 k 方， x x 一 乘 x 二，它是等于一的，那这样子得到了一个 m 是 x 一 y 一， n 是 x 二 y 二，那么 m n 的 一个中点呢？ 我们假设这个中点它是等于 d 吧，然后我们 d 点的坐标就是二分之 x 一 加 x 二，二分之 y 一 加 y 二。然后但是由于咱们 m n 是 一个交半径吗？那么刚刚说了 m n， 它的一个距离就能写成 x 一 加 x 二加 p 就 等于，嗯， k 方 分之二， k 方加四，然后加二就等于我们的 k 方分之四， k 方 加四，这是我们 m n 的 长度。那我们中点 d 到准线 x 减一的距离呢？就是等于我们的二分之 x 一 加 x 二加一，也等于我们的四 k 方 加四，但是除以二 k 方，所以啊，我们发现啊，这个嗯 m n 的 距离， 这个 m n 的 距离，它是等于这个 d 到负一这个距离的两倍的。那这样来看的话，这个这个，这个哎，我们都可以是半径的长度，所以我们就发现这个 m n 是 为， 所以说这个应该是以 m n 为直径的圆，是与准线 x 等于负一相切的，所以这个 直线应该是 x a 负一，所以 c 选项也是正确的，所以是 b c。 那 再来看我们的 d 选项， 角 m o n， 也就说要求这个角 m o n， 这个它角为定值，那它是定值吗？哎，它不一定是定值，那为什么我们来看一下，为什么它不是一个定值？ 首先我们来看啊，假设我们的 o m 向量，它是等于 x 一 y， 然后 o n 向量它是等于 x 二 y， 对 吧？那我们来看一下， o m 变成 o n， 这个向量应该是等于 x 一 x 二，加上 y e y 二。那我们刚刚说了，前面这个 x 一 x 二等于四分之 p 方 y 一 y 二是等于负 p 二，我们把 p 等于负一带进去之后，应该是四分之一，加上负一， 应该是等于负的四分之三啊，那这个 o m 点乘 o n 确实是等于负的四分之三啊，那这个 o m 点乘 o n 是 含等于 o m 的 周长， 然后 o n 的 模长乘以 cosine 角 mo n， 它是等于负的四分之三的。那要想它是一个定值的话，那么 cosine 角 mo n 就是 个定值，那么它定值的话，那么模长 o m 的 膜长乘 o n 的 膜长也应该是个定制，但很明显他们的膜长不是定制，因为 x 一 和 y 一 x y 二是在变的，所以我们这里叫 m o n， 它就不是一个定制，所以这道题选择的就是 b 和 c 选项。 那这道题的难度呢？其实就可以放到我们高考的啊，比较后面的位置，比如说选填的第八题和十一题，或者是十二题这个位置，所以大家在做这种题的时候，一定要注意计算， 还有一些连力。接下来呢，就是我们一些大题的通用性质，那就关系到我们大题要怎么做了，那大题如果实在做不到的话，那学了这些我们至少可以拿到很多的不走分。 首先第一个就是直线和圆锥曲线的一个位置关系，那最重要就是我们的连力方程，通常情况下会把连接成一个二次 函数，要么就是用啊那个的他来判定他们是相交的，相切的还是相离的，这是我们第一种方法。那第二种方法就是中弦的问题，也就是点差法， 这个我们考的比较多，那第一步呢，就是设短点，就像我们刚刚那道例题一样，先设 m 和 n 的 短点，然后带入方程相减，最后 去因式分解，然后算出来斜率， k 的 斜率是这个双圈的斜率是这个抛物线的斜率，它是这个大家也可以记忆一下。然后第三个呢，就是定制定点的问题，是我们第二问常见的一些套路，那首先就是先找一个特殊的定制，然后再用 回答定律去证明与参数无关。那定点呢，就是先设一条直线嘛，然后把直线和我们的圆锥曲线连立起来去求定点，那最后就是参数范围，也就是前面连立起来之后得它它有临时相交的，然后或者是有变量约束呀， 那我们一定要记住，因为椭圆它的一个横轴和纵轴它一定是有范围的，横轴的话是负 a 到 a， 纵轴的话就是负 b 到 b， 这个也是可以我们用来判断的。所以说总的来说，咱们圆锥圈大体它的连力连力方程是 必不可少的。那在计算的时候一定要注意，计算要认真，这个要认真，认真再认真。那这节课呢，其实我们主要讲就是椭圆双曲线抛物线的一些，嗯，我们的标准方程离心率， 还有我们的一些角点准线轨迹方程，他们的一些求法。 呃，然后大家一定要注意我们的一些公式的应用，特别是注意咱们的离心率， e 是 等于 c、 b、 a 的， 然后根据这个就可以去判断一些椭圆离心率，双曲线离心率的一些范围，包括大体一定要连立方程，然后 回答定律，然后多记一下二级结论，咱们选填的时候可以加快我们的速度。然后最重要的一点就是我们的计算一定要认真，即使你最后得不出结果，我们也一定要尽可能的拿我们的步骤分。那最后呢，给大家去出了几道题， 然后大家在学完这节课之后可以去做一下，做完之后我们可以和答案核对一下，那么题的答案呢？在那个配套的资料中，评论区就可以观看我们的免费获取方式，那本节课就到这，大家再见。

  57期末闪学
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  【抖音独家】高考百日百课|圆锥曲线硬解定理学会爽拿分 #2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #高考百日百课 #赵礼显数学 @抖音校园 @DOU+小助手 @抖音作者助手 @抖音小助手

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  高考圆锥曲线题，百分之九十的同学都在尝试用硬解定律强攻解析，又快又准，考场上简直爽翻天。但双曲线中为何要把 b 方变成负 b 方？这个转换让不少同学卡了壳。别急，今天显哥彻底讲透它！我已加入抖音，抖音精选高考应援联盟， 欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百科。哈喽，各位同学大家好，我们今天给大家讲解一下圆锥曲线的应解定律。那首先应解定律是干什么的？应解定律就是直线和椭圆 连立完之后，是让你算伟大定律的时候，让你算弦长的时候，让你算面积的时候。这些本质上都是出现伟大定律。只要出现伟大定律，我们就喜欢用应解定律， 当然他的形式是非常多的，你只要背一款就可以了，听懂了吗？没必要都背啊，本质上是一样的。所以呢，我们给他背这么一个款， a 方分之 x 方再加上一个 b 方分之外方等于个一，然后呢， a x 再加上一个 b， y 再加上一个 c， 等于个零。 所以我们一般情况下，是不是连利的时候是这样的，比如我们通过算出它等一个多少 x， 比如 k， x 再加上一个 m 吧，是不是带进去整理成一个关于 x 的 方程 对不对？然后等于零，然后再算 x 一 加二， x 一 乘二，再算 d， 它对不对？在现在呢，我们先背伟大的，再反过来写方程，我们可以先空一行， ok， 那 么一般情况下，我们连累的都是消掉 y， 留的 x， 所以 我们先写 x 一 加十二，听清楚怎么背的啊？ x 一 加 x 二，听清楚，所有伟大定义的分母都是这样的， a 方乘以大 a 方，加上 b 方乘以大 b 方。如果是双曲线，背法是一模一样的，如果是双曲线的话，把这个地方改成负 b 方，就是 a 方乘以大 a 方加上负 b 方乘以大 b 方。 听明白了，那这就说明椭圆和双曲线的一节定律是一套，就把所有的 b 方改成负 b 方，就是双曲线的。你背的是位子，不是背的字母，不是背单词 abandon， abandon， abandon 不是 这样的。背位子，这个地方的 a 方呢？也不是真正的 a 方是位子，这地方是二，这地方是四。 这个椭圆的 a 方，真正的 a 方是四，但是我们背的是位置，它乘以它方，加上它乘以它方。听明白了，所有的字母都是位置关系，所以伟大的分母就应该是 a 方乘一个 a 方，再加上一个 b 方乘一个 b 方。 听明白了，然后分子是什么呢？分子的话就是求 x 一 加 x 二的时候，我们就把 y 划掉，还剩三个数， a 方 a、 c 这三个数相乘的负两倍，当然没有为什么硬解定律，硬解定律就是硬解出来的，然后我们人为的给他加了一个思路而已，没有道理，就是硬算出来，死记背，把外划掉，还剩三个数，三个数相乘的负两倍，也说负两倍的 a 方 a c。 听明白了，如果没有背懂，我再给你背一遍。 y 一 加 y 二的背法和 x 一 加 x 二的背法是一毛一样的。首先，伟大定律的分母都是一模一样的， a 方 a 方，再加上一个 b 方 b 方， 所以算 y 加 y 的 时候怎么办呢？我们把 x 划掉，把 x 划掉的话，还剩三个数，有个 b 方，有个 b， 有 个 c， 这三个数相乘的负两倍， 是不是和刚才一样的？把 x 划掉，三个数相乘的负两倍，当然就是负两倍的 b 方。 bc， 听到现在的你是不是感觉到，哎呦，我还是算吧，怎么这么难背？ 再次强调一下，当你背过之后，你不知道有多么的爽，一定要背啊，一定要背 x 一 乘 x 二，怎么背呢？大家可以看一下。首先伟大的音的分母都是一模一样的，不用背了， a 方 a 方， 再加上一个 b 方 b 方，只要是和 x 有 关的伟大定义，他永远都有 a 方，所以这呢有个 a 方，括号大 c 方，减去分母的一部分。由于这呢有个 a 方了，我们减后面的啊，减不带 a 方的，说白了就是减后面的，对不对？减去一个 b 方， b 方 会了不，这就是 x 一 乘二十二，如果你没背过，再给你背一遍，那么它的 y 一 乘一个 y 二背法和 x 一 乘二十二的背法是一样的。那么首先分母还是一样的，就是 a 方 a 方，再加上一个 b 方 b 方， ok 啊，加上一个 b 方， b 方看到了， 那么它的分子是什么呢？在外的伟大定律，它都有个 b 方，所以我们就写个 b 方，括号大 c 方，这个直线的 c 啊，减分母的一部分，由于这条有 b 了，减的就不能带 b 了，所以只能减前面的，也就是说减去一个 a 方， a 方， ok， 我 不知道你背过了没有，当你背过了伟大定律，不要忘了，它是负的 a 分 之 b， 它是 a 分 之 c， 所以 这个方程就出来了，那就不用硬算了，就是 a 方 a 方再加上一个 b 方 b 方 x 方， 由于它是负的 a 分 之 b， 再加上一个两倍的 a 方 a c x， 再加上一个 a 方，括号 c 方，减去一个 b 方 b 方等于个零。 当然我们高考当中考频非常高的是交叉的伟大定律，就是 x 一 y 二，再加上一个 x 二 y 一。 当然他具体怎么算出来的，他是需要把它带到直线里边。怎么带到直线里边呢？就是把 y 等于 k， x 加 m 带进去，整理成关于 x 的 伟大定律再带进去。 那么他的背法是什么样的呢？就应该是这个样子的，看清楚，他的背法和前面的背法不一样， 分母是一样的， x 一 y 二加 x 二 y 一。 为什么背它？就是因为高考考的多呗。啊，不需要算了呗，因为算还需要把它带进去。伟大定律好麻烦。它的背法是这四个位置的数 相乘的两倍，不是负两倍。再说一遍，先说 s 一 加十二，是把 y 划掉三个数相乘的两倍啊， y 加 y 同理。哎，他这个地方是这四个位置的数相乘的两倍，也就说两倍的 a 方 b 方大 a 大 b， 两倍的 a 方 b 方大 a 大 b。 听明白我在说什么了吗？哎，使劲背，没有道理啊，那它的单它是什么呢？只要连立完之后，你是正射直线，它的单它是四倍的 a 方 b 方大 b 方括号 c 方减分母 弦长公式我今天就不先写了啊，哎，你不用先背弦长公式，它弦长公式里边也是伟大定律嘛，你只要会背伟大定律就可以了。 好，你可能没有听的特别的明白，傻乎乎的，你还是没学会怎么办？教你一下啊，我们通过具体的数来给大家讲解一下。假设随便一个数啊，比如最常用的四分之 x 方加上一个，三分之 y 方等于个一，然后呢， y 等一个 k， x 加 m 连立， 是不是你连累的时候往往都是 y 等于 k， s 加 m， 看清楚连累方程， y 等于 k， s 加 m 的 时候，我们当然啊，要消掉 y， 留到 x， 我 先写 x 一 加十二，看清楚有多快啊。 x 一 加十二怎么背呢？首先，伟大定律的分母是四， 这是 a 方已经平方了，四乘以 k 方加上一个三乘负一方，也就说四 k 方再加上一个三，那么 x 加二十二怎么办呢？我把外划掉，把外划掉，还剩三个数，这三个数相乘的负两倍没有。为什么？四 km 负两倍，好像掐指一算，负八 km 多，简单 会了不。然后 x 一 乘二十二等于什么呢？ x 一 乘二十二，就应该分母是一毛一样，四 k 方加三， 看到了吗？然后呢，有个 a 方四倍的括号， m 方就相当于这个地方大 c 方啊， a， x 加 b， y 加 c 嘛，大 c 方减分母的一部分，减几呢？减后面的那个数，当然就减三。 那你写出 x 一 加 x 二， x 一 乘二，你会发现这是负的 a 分 之 b， 这是 a 分 之 c， 所以 这个连列的方程就写出来了，不用不用算吧。哎，所以圆锥曲线的计算量也没有那么的大啊，有的题很大，但大部分题还是可以的。再加上一个四倍的括号， m 方减三，然后等一个零 会了吧。然后这时候呢，我们再算 y 一 加 y 二的背法是一毛一样的。来，再给你来一遍， 四 k 方加三，我们把求 y 吗？把 x 划掉，还剩三个数，三负一 m 系数啊，三个数相乘好像是负三 m 得负两倍，只要算加的。把 x 划掉，三个数相乘的负两倍，负两倍的话就是六 m。 然后呢？ y 乘 y 怎么办呢？ y 乘 y， 它就应该等于个四 k 方加三，对不对？那么只要 y 的 伟大定律，它都有 b 方， b 方是三，括号 m 方就大 c 方减分母的一部分，减前面四 k 方， 然后交叉的 x 一 y 二，再加上一个 x 二 y 一。 那很多同学说什么时候用这个呢？ 圆锥曲线是翻译加计算，当你在翻译圆锥曲线解答题的条件中翻译出来的他，那当然就可以用了。我们很多考试题都可以翻译成他，所以他考的非常多。那么我们整理一下，就应该等一个什么呢？四 k 方加三， 四 k 方加三，四个数相乘，一个数两个数三个数四个数相乘了两倍 四。三 k 负一，四个数相乘的两倍，四个数相乘好像是负十二 k， 它的两倍是负的二十四 k。 会了不，那不就出来了吗？它的 d， 它是什么呢？它的 d， 它就应该是四倍的 a 方 b 方， 四倍的 a 方 b 方，括号分母四 k 方加三，减去个大 c 方，这就 d 它。我不知道你背过了没有， 当然有很多同学说，哎，我们老师讲的时候老讲反射直线，反射直线和正射直线，它的 d 它有区别，其他没区别。比如我再给你背一遍，背一个双曲线的四分之 x 方，减去一个三分之外方，等于个一。我们把这个直线写成 x 减 t， y 减 m 等于零， 这个直线是反射的，需要注意的是，反射直线如果正常去算的话，是 x 等于个 t， y 加 m， 你 带进去是把 x 削掉了，也就是说连立之后， 你削的是 x， 你 留的是 y。 听明白了，所以这时候你写伟大定律，你先写 y 一 加 y， 你 看看是不是一毛一样。位置四乘以一方， 加上这辆是负三乘以一个负梯方，四乘以一方就是四，再加上一个负三乘以一个负梯方。四减三梯方被位置，所以是一毛一样吗？再说一遍，你还没听懂，他乘以他方加上不是三，因为它是双曲线。 把椭圆当中的 b 方改成负 b 方，是负三乘以它方，你把这个 b 方想成负三，你别钻牛角尖。 b 方怎么能等于负三？难道有虚数吗？背位置不是背字母，负三乘以负梯方，就它。 那么 y 加 y 怎么办呢？把 x 划掉，三个数负三，负 t 负 m， 三个数相乘的负两倍，三个数相乘当然是负的三 tm 了。负三负 t 负 m， 三个数相乘肯定是负的负两倍，负两倍就是六 tm。 嗯，明白了，所以 y 加 y 就 背够了呗。那么 y 一 乘 y 是 什么呢？ y 一 乘 y 分 母是一毛一样的，就应该等于个四减三体方。你马上就要错了，只要带 y 的 都有 b 方，所以这辆就应该是 b 方，是负三 乘以括号里边大 c 方 m 方减分母的一部分。由于它这辆有负三了，减前面的这个数减四， 所以这就是 y 乘二。那你写出它来之后，连立的方程就出来了，就是四减三 t 方，然后外方，然后减去个六 t m y， 然后呢，再减去三倍的 m 方，减四等于个零， 那所以不需要算嘛？不需要算，都是背下来的。然后呢，你比如再算 x 一 加 x 二， x 一 加二，背法一毛一样。来，再来一遍，分母是一样的，四减三 t 方。 分子的话，我们应该把外化掉。三个数，四一负 m， 三个数相乘的负两倍，那就应该是八 m 负四，一 m 负两倍，就应该是八 m， 那 不就搞定了吗？ 再算 x 一 乘二十二，看清楚，那就应该等于一个四减三 t 方， a 方是四括号大 c 方减分母的一部分，这呢，马上就要错了，再次说一遍，看着啊， 这是 a 方在 x 的 伟大定律。前面都是 a 方， a 方乘以括号里边的大 c 方，减去分母的一部分，这呢有四，这呢有四减，后面的不是减三 t 方。很多同学这呢写错了，他确实容易错，是减去负三 t 方，加三 t 方，减这个数，减这个数，就加 交叉的 x 一 y 二，再加上一个 x 二， y 一 等于什么？等于一个四减三 t 方，这时候他是四个位置 三是负三啊，双曲线四个数位置相乘的两倍，也就是说四负三一负 t， 他的两倍不是负两倍啊，所以这个数显然是正的。好，我再看一遍，算错了，没有？四个数相乘负十二， 然后呢，乘以一，再乘以负 t， 那 就十二 t 的 两倍二十四 t， 听懂吗？这不就完了吗？需要注意，它的 d， 它不一样了，它的 d， 它就应该等于个四倍的 a 方， b 方， b 方是负三。由于你是反射直线，这个 d 它需要乘大 a 方，这个地方容易错。再说一遍，正射直线的 d， 它这点乘以大 a 方，这地方是容易错的。 正射直线和反射直线的 dart 背法不一样，有一点点区别，其他的背法都是一样的。这就是赫赫有名，超级重要的应解定律。

  1243赵礼显数学
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  【逐题精讲】2026辽宁名校联盟五月联考最后一卷数学（18题圆锥曲线）经典的面积问题，多思考，少计算学会计算技巧很重要～#名校联盟最后一卷 #辽宁名校联盟四模 #2026高考 #高考守护者 #抖音精选高考应援联盟

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  来啊，咱们今天还是更这个二零二六年名校联盟的五月联考的最后一卷啊，也是名校联盟的四模啊，咱们今天更这个十八题 啊，来，开始，那我们先读题啊，这一个椭圆啊，告诉你了，这个焦点是在 a 轴上，然后告诉你这个椭圆上有四点，其中有三点 啊，是在椭圆上，那么这种题，这是一道老的高考题啊，至于是一几年的啊，我忘了是一几年的了啊，那么一样的一个题型，那么给你四个点，告诉你有其中三点，那么这种题怎么办？一定不要挨个往里带啊，那不累死了吗？对吧？一定要先找对称的， p 三和 p 四是对称的，他俩是关于 y 轴对称，有时候有一个点呢，在这一个点在这，那么既然这两个点是关于 y 轴对称的，又由于椭圆的对称性，要么这两个点就都在椭圆上，要么这两个点就都不在椭圆上，不可能一个在一个不在，而他说有三点都在，所以说这两个点是肯定都在的 啊，这两个点是肯定都在的，那么既然这两个点都在，那么 p 四啊，它是一斗三分之二六，而 p 一 呢，是一斗一，它们横坐标相同， 那么椭圆来说，它就不可能啊，在横坐标相同的情况下，重坐标一个经过一，然后还能经过这个三分之二六，这是绝对不可能的， 所以说 p 一 点肯定不在，所以说你要通过一定的逻辑判断来确定啊，其实是这三个点在啊，那么我们就随便了，我们就可以把 p 二啊和 p 三啊往这个椭圆方程里一带啊，这题就完事了，是吧？那所以说带一下 啊，那么第一个呢，那就是这个 b 方分之一呗，是吧，带这个 p 二，哎，有的说 b 方是等于一的，带第一个，然后呢，这个 p 二带上去，然后 p 三带上去，或者 p 四带上去，那就应该等于的，是啊， a 方分之一啊，再加上 b 方分之，这是三分之二呗，啊，又等于一啊，所以说通过 b 等于一，那么 a 就 非常容易的就解出来了啊，那么解完之后呢，得到的这个图二方程就是三分之 x 方加 y 方等于一， 然后再看这个第二问啊，第二问，他说 c 一 点的左焦点啊，是这个过这个 c 一 点的左焦点，做了一条啊，不垂直于 y 轴的啊，不垂直于 y 轴的一个弦 a b 啊，做一条直线 a b， 然后呢， a 点是在 a 轴上方， 然后呢，得点是 a b 的 终点啊，出现终点了，那么这个时候脑子里边就得把点叉法就现在挂在脑子里， 然后它的啊，是 a b 中点，然后直线 o 的， 你看，这不直线 o 的， 因此 k o 的 乘以 k a b 等于负 a 方分之 b 方， 这一定得就得在脑子里边先闪现出来了，是吧，然后呢，他说这个直线 o 的 啊，啊，这这条直线又交于一个双曲线，这个双曲线呢，就相当于是把这个椭圆的加号变减号了， 是吧？哎，交于啊， m 点和 n 点，那当然了，这个双曲线呢，他们这个实轴和这个椭圆的长轴啊，肯定是相同的啊，所以说就这么画呗，啊，就这么画啊，然后呢，他说交于 m 点和 n 点，他第一个小问啊，问，你的是四边形 a m b o 啊， a m b o 能不能成为一个平行四边形？那么若能啊，求此时 a b 的 直线方程， ok， 那 么现在呢，怎么能够证明这是一个平行四边形呢？那我们就得想平行四边形性质，对吧？ 那么在圆圈曲线里边儿最常应用的平那个平行四边形性质就是对角线互相平分。当然了，你也可以认为啊，是有什么 a m 平行于 o b， 而且呢， a o 呢，还平行于 b m， 那 么你发现你要是这么做的话，那这道题的计算量太大了，对吧？你要正两组对边相互平行 啊，计算量太大了，或者你去挣这个弦长相等，那计算量更大，是吧？所以说最好挣的是啥？哎，就是的点啊，正好平分了 a b 跟 o m 呗， 对不对？那么既然你能确定这个了，而且呢， a b， 然后呢，这个点是中点点的，然后呢，它这个直线方程还是 o d 做的，那肯定得利用点差法啊，这就这就是我们想这道题啊，比较朴素的这种想法，对吧？那么直线 a b， 我 们可以先设一下， 是吧？那直线 a b 可以 先设一下，那直线 a b 它是过这个左焦点 f 一 的，所以说，那我们肯定是要给它设成 x 等于 m y 加 n 的 形式， 那么第二问的第一小问，那么直线 a b 的 方程啊，我们就应该给它设成啊， x 等于 m y 减根号二呗，对不对？ ok， 然后呢，根据这个点差法，我们是不能够知道 o d 的 这个直线斜率啊，是吧？哎，不 o d 啊，对， o d 就是 o m 啊，所以说 k o m 啊，乘以这个 k a b， 那 么这道题里边的 k a b 应该是 m 分 之一啊，对吧？ m 分 之一，它是斜率的倒数啊， 我说它是这个 m， 那 个 k 是 m 的 倒数，然后呢，再等于负的三分之一，当然这个得正啊，简单正一下啊，我相信这玩意大家都应该都会了啊，所以说 k o m 它应该等于负的三分之 m 啊。有时候 k o m 的 直线斜率我们也知道了，那么 k o m 的 直线斜率知道的话，那这道题可以怎么做呢？哎，我们可以先求对点坐标嘛， 对吧？得点的坐标，因为你 a b 的 直线方程也有了， o， d 的 直线方程也有了，求它俩的焦点，不就得点坐标吗？那得点坐标，因为得点还是 o m 的 终点，所以说 m 的 坐标就能表达出来了。然后我们再把 m 点的坐标带入到双曲线方程里边儿，这样的话，我们就把此时此刻的这个 m 的 值求出来了， 求出来了， ab 不 就完事了吗？就这么简单点事，那把 ab 的 直线方程就写出来啊，所以说我们可以连立啊，这是怎么说呢？这应该是法一吧，是吧？啊，我管这个叫法一啊。 ok， 那 我们就两条直线方程连立呗。第一条直线就是 x 等于 m， y 减根号二啊。第二条直线就是 y 等于负三 m 倍的 x， 对吧？就等它俩连立，那么这一个连立，这就是啊，负的 m 分 之三的 y 呗，是吧，那么就应该等于 m y 减根号二啊，就在这， 然后呢，合并一下，那就是这是 m 加上 m 分 之三倍的 y 啊，就应该等于根号二呗。所以说 y 值就算出来了。这个 y 值是什么呀？是 y 得的值，对吧？ y 得的值，你这一通分变成 m 分 之 m 方加三，你一通分，那就是 m 方加三分之 啊，根号二 m 啊，这就是 y 得，那既然 y 得求出来了，你再把这个 y 得带到这个方程里边，就把 x 算出来了，那么 x 就 应该等于这是 啊，除一个 m 呗，对不对？那不就相当于是 m 加 m 方加三分之负的三倍根号二啊，这就是啊， x 二 y， 那 么既然 x 二 y 算出来了，那么 m 的 方程就是把它俩都乘以二， 对吧？ m 的 这个坐标，那就是 m 方加三分之负六倍根号二到啊， m 方加三分之二倍，根号二 m， 对 吧？那么既然 m 一定是在双曲线上，那么我就可以把这个带到双曲线方程里，那这个双曲线方程呢？是多少呢？是三分之 x 方减去 y 方等于一， 对不对？那么这个就带进去，那就是，呃，算一下，那就相当于是 带进去，那就是，这就是 m 方加三的平方，分之啊，二十四呗，对不对？减去这边是 m 方加三的平方分之八 m 方， 对不？哎，带进去啊，见一啊，就等于这个，然后这个就可以挪那边去，那这边就变成二十四，减去八 m 的 平方，等于啊， m 方加三的平方，那就打开，打开，那就是 m 方的 m 四次方，再加上六 m 方啊，再加九， 然后就合成了一个 m 四次方啊，加上十四 m 方再减去十五，哎，等于零，那很明显这个能十字相乘啊，对吧？ m 方加十五乘以 m 方减一等于零啊，又因为这个 m 方肯定是正的，所以说 m 方啊， m 就 应该等于正负一呗，对吧？ m 就 等于正负一，那因此 ab 的 直线方程，那就是 x 等于正负， y 减根号二啊，就等于它。你看这直线方程非常好算。当然这道题啊，我说这是法一呢，就是用两条直线 啊，去连立，就是用两条直线去连立，求点对，当然这道题点对，还可以怎么做呀？你也可以拿 a b 的 直线方程跟椭圆方程连立， 那么连利完之后，得用二分之 x 一 加 x 二，或者是二分之 y 一 加 y 二啊，得到特点的重做表，然后再算，其实也是可以的，是不是？那我们简单写一下吧，是吧，那么法二换个色啊， 对吧？反二，我们可以怎么的？我们可以连立啊，那么连立的话，那就是，哎呀啊，连立，椭圆方程是它那么一个，是这个，对吧？那么一个通分，那就应该变成 x 方加三， y 方减三等于零，然后跟这个直线方程 x 等于 m， y 减根号二啊，对吧？这直线方程在这， 那他俩连立，那他俩连立呢？话呢？那就是这一乘完之后，一一合并同类项， m 方加三倍的 y 方啊，减去这是二倍，根号二 m y 啊，再减一等于零，所以说通过它呢，我能得到 y 一 加 y 二啊，应该是等于 啊，把符号删掉， m 方加三分之二倍，根号二 m， 然后 y 一 乘 y 二， 那就等于 m 方加三分之负一，对吧？那你看这不正好吗？你再除，把它再除以二，这不就正好跟我们算的这个 y 得一样吗，对吧？你看除以二不就是根号二 m 了吗？所以说，然后接下来你再 x 得，只不过这个你再算 x 得的话呢，你只能带到这个方程里了 啊， x 等于 m i 减根号二里啊，然后再算 x， 那 但是最后答案都是一样啊，这不就殊途同归了吗？也就是说唯一的区别就是啥？就是你这个点 对啊，点对的坐标啊，就是你这个点对的坐标，到底是用两条直线连立算的，还是你用直线跟椭圆连立算的啊？就这点区别啊，对吧？那么我觉得肯定是相比之下，肯定是直线跟椭圆连立算的啊，因为都是一次的嘛， 但是大差不差啊。 ok 啊，咱们再看这个第二问，第二问他说的这个这个四边形呗，对吧？就是 a m b n 啊，这个四边形的这个面积怎么算？ 哎，那么这个面积怎么算？它也不，它也是不规则的一个四边形，是吧，它也不是什么平行四边形或者啥的。所以说这种题啊，那么就得怎么办呢？你看，我已经求出来 a b 了，就是 a b 的 直线方程了，而且呢，我已经把点 m 坐标都求出来了，那点 m 点坐标求出来那 n 点坐标？不，它俩是互为相反数的， 横坐标中那边都是，所以说我们这就对吧，点到直线距离呗。哎，那么我们既然有有连力了，对吧？应该有连力的话，那我们就可以用 a b 啊，跟它连力，我们就可以求出来 a b 前长，然后呢，再求点 m 到这条直线的距离，然后再求点 n 到这条直线的距离 就完事了。而点 m 到这条直线距离和点到这条直线距离，你求一个就行了，对吧？因为他俩的这个点是横坐标和纵坐标都是互相关数的，那中间是可以这个约的啊，如果大家之前做过这种题的话啊，那这种题就非常好算了。 ok 啊，那咱们看这个第二问啊，第二小问啊， 那么第二小问我们就可以啊，直接求 a b 的 这个，直接求 a b 的 这个，这个这个弦长呗。啊，那 a b 的 弦长就应该等于根号下 啊，一加 m 方乘以 y 一 减 y 二，因为我已经连立成了 y 的 二次函数，对吧？所以说我用到的都是 y 呀，所以说这块呢，就是一加 m 方乘以啊，这个 y 一 减 y 二啊，那如果你用的是这个 x 的 话，那就是一加 k 方啊，比上 x 一 减 x 二 啊，它俩完全等价啊，这无所谓。 ok， 那 往里带呗，对吧？那么这就是一加 m 方，然后 y 一 减 y 二的平方， 对吧？那么一平方了之后，分母就变成了平方，然后呢，分子也平方啊，那就变成了八 m 方，然后呢，再减去四倍的啊， y 一 乘 y 二，那么有个符号就变成加，对吧？加四倍，然后还得通分呢，也就是说加四 m 方，再加一个十二呗。 所以说，你看上面正好是十二倍的 m 方，加一，再加啊， m， 十二倍的 m 方再加十二，那么十二也能提出来，所以该等于二倍根号三，然后 m 方加一跟 m 方加一又变，就根号就直接抵消掉了，那么就这个啊，就是等于它，所以说你看这个弦长非常好算， 对吧？哎，这就是它的斜长啊，对吧？然后呢，咱们有斜长了，我们再求 m 点到这条直线的距离，对吧？到 a b 这条直线的距离，那么 a b 的 直线呢？是 x 等于 m y 啊，那我得写成一般式，是吧？那么直线方程写成一般式就是 x 在 这呢啊， 啊，那么 x 减去 m y 加根号二等于零啊，那也就是说这个点 m ok， 那 么点 m 这个坐标呢？首先记住了，这个点 m 坐标你是不能把这个往里带的，因为那是第一问是平行四边形的时候啊，那得点坐标乘以二，就是 m 点坐标，现在不是了 啊，所以说那 m 点坐标呢？你怎么做呢？你只能通过直线方程跟这个双曲线连力啊，得到这个 m 点坐标，但是现在别着急，就是我们还是一样，就是你不做到最后的时候，你就能用未知数表达，你就用未知数表达，你不要着急上来就把这个 x m 点的横坐标中轴要往里带， 因为有的时候你在大量的计算之后，你会发现这个很多的，这个参数就很多的这个式子是可以消的， 那你消了的话，你直接就开始往里带，那可能你多了一些没有意义的预算，然后还让这个柿子变得很难，这就是怎么能够在这个大的 算就是大的这个思路的不变的前提下，还能够一定程度的减少预算，那就是多用未知数，少把这些，就是虽然说我们已经知道他可以用别的方式表达，用其他的柿子去表达一个参数，那么我们也要 坚持把这个参数用到最后，然后再给它带进去啊这样，然后再把那个大的音式再给它带进去。就像这道题啊，你这个 m 的 坐标对吧？你这个 x m 和 y m， 你 是可以通过这个直线跟这个双曲线连立，直接得到 x m 和 y m 等于啥啥的， 用一个含有 m 的 设置表达，但是没有必要上来就直接带，你就一定要化解到最后你再把 x m， y m 再往里带，这才可，这才 ok 啊，我觉得我应该是说明白了啊， ok， 那 我们就先算这个 m 点到这条直线的距离，对吧？点 m 到这条直线的距离啊，写一下啊， m 到啊，这个 lab， 对 吧？的距离， 我现在呢，就用 x m 逗 y m 来表达，对吧？啊，那么的一啊，管它叫的一啊，那它就应该等于这底下肯定是根号下 m 方加一了啊，那上面呢，就是 x m 减去 m 倍的 y m 啊，再加上个根号二吗？ 对不？不用它吗？啊，然后再表达这个 n 点啊，到这个的距离，我就不写了啊。的二， 它得二应该等于啥呀？就应该等于根号下啊， m 方加一，因为啊，这个 n 点的坐标跟 m 点的坐标，横坐标，纵坐标全是互为相反数的，所以说它一定是等于啥呢？应该等于负的 x m 加上 m 倍的 y m 啊，再加根号二，这绝对值，那肯定等于这个。 然后接下来啊，我们可以把 x m 和 y m 换一下子，这都是没有问题的，对吧？哎，我先不用带这个 m 啊， 就不用带这个 x m， 那 因为啊，这个直线肯定是在这个直线方程里的，所以说我就可以啊，也在也在这条直线方程，哎，带这条直线方程好算啊，带底下这个直线方程好算，对吧，所以说我就可以把这个 y m 写成负三分之 m 位的 x m 啊，所以说这个式就变成啥了， 这应该就是一加三分之，那就是三分之三加 m 方啊。倍的啊，这么多倍的 x m， 然后加上根号二啊，然后呢，这个呢，就应该是等于负的啊，这就是啊，根号下 m 方加一分之这，是啊， 啊，这么写吧，这应该是根号二减，是吧？啊，那就应该写成绝对值，根号二减去这个啊，三分之三加 m 方倍的 x m 啊， 是不就等于它？ ok， 然后接下来我们就可以写这个这个这个面积了啊，面积该等于啥？等于二分之一倍的 a b 弦长再乘以得一加得二嘛，对吧？哎， 那么就应该等于，这就带进去二分之一 a b 的 弦长在这啊，二倍根号三乘以 m 方加三分之 m 方加一啊，然后呢，接下来就得一加得二，那么记住了，由于啊，这两个点是分裂在这条直线啊，这两个点是分裂在这条直线的两端的，所以说你在去绝对值的时候，一个是 那个不变的，另外一个肯定是变为互为相反数的啊，这是一定的，因为它在两端，那现行规划啊，当然可以直接用啊，所以它应该等于啥啊？整体的绝对值啊，根号下 m 方加一，然后假如说上面我们去绝对值，就直接的那个直接抄啊，那就是三分之 m 方加三 啊，被 x m 加上根号二，那么底下的这个去绝对值就得调过来写了，那就是相当于是加上三分之 m 方加三被的 x m， 再减一个根号二啊，再加绝对值， 那么加根号二，减根号二，约掉了，所以说，你看这个 m 方根号下 m 方减一啊，你只能跟这个约了啊，但是约一半是吧，还能剩一个，还能剩一个根号下 m 方加一 啊，然后呢，这个三分之啊， m 方加三， m 方加三，约掉了啊，这也约掉了，是不是？哎，所以说，你看这个算完之后，这二二也约掉了，所以说剩啥了？分子剩一个根号，三倍的 根号下啊， m 方加一啊，因为这地方是根号啊，对吧？我约掉了一个之后，这个还剩一个根号下的啊， m 方加一，是不是？然后呢？还剩一个啥？还剩一个，这是三分之一，然后呢？被的 x m， 当然这有两个相加，这两个玩意一模一样，相加，那就还得乘个二， 那么呢，我们好好写一下，那应该是三分之二倍，根号三啊，根号下 m 方加一啊，再乘一个 x m， 哎，这个时候我们再把 x m 往里带 啊，你不要带那么早，带那么早，全都白写一对啊，白写一堆啊。 ok， 那 怎么做这个 x m 呢？那就得用这条直线 o m， 这条直线跟双曲线连立了，得到的是这个 m， 对 吧？哎，那么连立一下，那么这个直线方程 啊，我就搁搁这写了啊，直线方程呢，是这个 y 等于这个负的三分之 m x， 那 么双曲线方程是 x 方减去三， y 方减三等于零 啊，那么这个式子往里一带的话，对吧，那就变成三倍的啊，九分之 m 方呗，那就相当于是 x 方减去三分之 m 方，它就应该等于三， 那么这个就应该是 x 方，就应该等于啊，三减 m 方分之九呗，对吧？因此 x 就 应该等于啊，三比上，根号下三减 m 方。哎，那么会发现，这个里边也能得到 m 方的取值范围 啊， m 方本身一定是大于等于零的，而且它一定得小于三呐，是不是？哎，这是 m 的 取数， m 方的取数范围。 ok， 那 我们得到这个了，因此我，而且我还得到了 x m 的 值，那把这个值往里带呗，那就应该等于三分之二倍根号三，然后呢，再乘以一个根号下 m 方加一， 然后再乘以一个根号下三减 m 方，再分之三，因此三三约掉啊，三三约掉了之后还剩啥了？就剩这个二 倍，哎呀啊，就剩这个二倍根号三，然后这两个都带根号，那就都放根号里边，对吧？那就是三减 m 方分之， m 方加一，那么 这是二次比二次，对吧？这是一个大分式求值域的问题，那么二次比二次肯定要这个分离常数，所以说我要凑一个减三，因为它原来是加一啊，所以说减三加四呗，啊，所以说就变成了二倍根号三啊，根号下， 这是三减 m 方分之四，对吧？再减个一， 就等于这个 ok。 然后呢，又因为啊，我们看这个 m 方啊，它的取范围是在零到三之间，所以说 m 方在零到三之间是递增的，它由于它前面有个减号，所以说它是递减，那么它整个呢，又变成了一个分式，所以说它是递增，递增减一，还是递增 加个根号也递增，也就是说这个式子啊，就是这样递增的，也就是说他在零处取得最小值，在三处取得最大值啊，所以说，那么 s 的 取值范围，这道题是不让我求取值范围啊？对，你看，让我求的是这个三角形啊，这个四边形面积的取值范围 啊，所以说它的取值范围就应该属于，那我们把这个零带进去啊，零这块带进去的时候是中括号，是吧？是能取到，那带进去，那就是三分之四减一，那就是三分之一开根号，那就是三分之根号三， 那么根号三跟根号三相乘，等于三跟底下约了，那就是二，对吧？最小值就是二啊，而当 m 趋近于三的时候，那它趋近于三的时候，你会发现这是正无穷啊，那个不， 这是那个无穷无限，趋近于零的四除以它就是正无穷，正无穷减一还是正无穷，猜根号也是正无穷，所以说啊，到正无穷啊 就完事了。所以说这道题啊，是一个非常朴实而且非常标准的一个圆锥曲线的题啊，计算量呢？啊，怎么说呢？对于高考题来说啊，计算量属于中等 偏多一些一点点，所以说大家对于这个计算量是要有能力算对的，那么其中也包含着一一部分 啊，大家要对这个题啊，这个我们带计算的时候的一些方法，就比如说像这个 x m， 你 不要着急上来就把这个 x m 变成，就是把这个 x m 等于它上来就往里带，你上来往里带是没有意义的， 它又不参与运算，然后你带着它一直写，然后你还要考虑它通分这些那些的问题没有意义，是不是？所以说我们能通过一种啊，就是比较 呃高效的一种书写方式，一定程度上的能够减少一小部分的计算量，那能减少点就减少点呗，对不对？ ok 啊，那么这就是十八题啊，那咱们下个视频见，拜拜。

  126老林搞数学
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  08:12

  高考预测系列 圆锥曲线大题：定值问题(2)，常考的经典类型题，多年真题和模块都有出现#高考数学 #圆锥曲线大题 #圆锥曲线定值问题 #高考预测

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  高考必考圆锥曲线，今天给大家讲的是定值问题，老规矩，一定要先看题，先自己做，然后再往下看，解析好来看。 圆锥曲线的计算会复杂一些，时间会长，同学们一定要耐着性子去听。并且这是第三个圆锥曲线的视频，一定要从前往后看，不要隔，不要间隔，因为前面有推公式，为后面做铺垫啊。第一问，我不再讲了。第二问，画个图形， 它是一个双曲线啊，双曲线经过点 m 零一这个点，做一个直线 p q 交于 p q， 又经过右焦点，做一个平行线交于 ab， 那就是他俩是平行，斜率是一样的，斜率是一样的。那我在这看到了直线与圆锥曲线相交。同学们，我都不用管这道题，最终他问我啥，他只要直线与圆锥曲线相交了，那我就可以连交判委先写了，写完之后再说。 求啥，我往哪个方向去考虑，如果不会，那连销判委写了也行。好，这个直线和这个直线斜率相等，都是 k， 它又经过了外周上一个点，我就假设这个 p q 的 直线啊，直线 p q 是 y， 等于 k x 加一。 我没有写详细的过程，我写的是分析的过程啊。然后我假设点 p， 坐标是 x 一， 万一吗？你不要往这写，你就直接假设直线 p q 为多少，假设直线 ab 为多少，点 p q 点 a 点 b， 坐标分别是多少，都要写出来。好，这是 x 二 y 二，这是 x 三 y 三，这是 x y 四，该去的东西去数，那直线 ab， 直线 ab 就是 y， 等于 k 倍的 x 减三了，因为经过 x 轴三零这个点用点斜式写 好，接下来分别连立两次，因为是两条直线与圆锥曲线相交，那你就连立两次就行，不要怕麻烦，不要怕麻烦，这类题 也就是麻烦了，如果你搞懂了之后，这个思维上的东西好解决啊。好，我开始连立， y 等于 k， x 加一，我先拿着它跟双选连立，我直接给它乘一个二十吧。 好，我把这个 y 带进去连消判为它定力。 好，整理一下。五减四 k 方倍的二 k 负八 k， x 减四减二十四等于零。 哎，联消我做完了判，但它就等于 b 方六十四 k 方减加上九十六倍的五减四 k 方， b 方减四 a c 嘛，它要大于零，你可以由此解出来 k 的 范围，我把它解了，然后 x 一 加 x 二是等于负的 a 分 之 b， 提示复数，我就可以去掉了。 x 一 乘 x 二是等于 a 分 之 c。 ok， 这是第一次连理，有几条直线与圆锥形相交，有用的到的你都得给它连理一遍，不要怕麻烦。好，该拿它连理了。你多写一步就是多一步的分，多写一步就是多一步的分。 哎，带进去啊， 我直接四 k 方吧。连消整理一下 二次项，二次项给它汇总到一起，二次项汇总到一起，一次项汇总一下，这是多少？负六负六 x， 那 就二十四的 k 方 x 方，然后这是九四九三十六， 减去一个三十六的 k 方减二十等于零，能不能看得到？ 还可以啊，然后德塔德塔，我化简一下啊，四百的 k 方加四百， 一定要慎重，因为一旦有一个地方出问题，它会让整个过程全都白搭了。朋友们一定要慎重， 这一定是大于零的连消判，因为两有两个焦点一定是大于零的，然后 x 三加 x 四是等于多少来着？负的 a 分 之 b， 五减四 k 方，分之负二十四 k 方。 然后 x 三乘以 x 四，是等于五减四 k 方，分之负三十六 k 方，减二十 a 分 之 c， a 分 之 c。 好， 填到这， 不管你会做不会做这种题。看到直线与圆锥曲线相交了，连销判，我就先给他写了分数，该拿的分数都拿到了。好，然后再接下来看看后面的计算。 接下来才是就题论题呢。接下来才是就题论题。他问我啥，我再具体往方向想，他问我这个 m q 乘以 m p 比上一个 ab 是 否为定值？那我算算就行了。 这 m 和 q， m 和 p 的 长，它们只是一条直线上两点间的距离。同学们，两点间的距离。你套这个公式吗？我前面推过啊，前长 他俩横坐标的差的绝对值就行吗？这个望的话，去看圆锥弦的第一个视频，我有推导公式。哎，那对于这道题来说，我要求他俩的长就应该是他俩的横坐标之差，横坐标是零，横坐标是 x 二。你说为啥不选那个纵坐标之差呢？不是还有一个 纵轴标是差的吗？当然也可以选，只是因为它横坐标是零，纵标是一，零肯定比一好算嘛。所以我肯定选简单的嘛，肯定选简单的啊。哎，那这个 m q 的 长 就应该是根号下一加 k 方被的 x 二减去零的绝对值。同样的道理，同样的道理，应该是一加 k 方，因为同一条直线斜率肯定是一样的， 对吗？ ab 的 长，直线 ab 与双双线连立， ab 的 长就应该是等于。哎，这个时候我就可以用直线与圆锥曲线相交求弦长的一个公式了。 根号加一加 k 方，它们斜率都一样啊，所以我还是 k 比上那个根号的它，根号的它 四百 k 方加四百。朋友们，我把那个二十四百提出来，变成二十啊，比上一个 a 的 绝对值，五减四 k 方的绝对值，哎，这时候你看，接近尾声了啊，接近尾声了，比上一个 ab 就等于它和它一乘变成一加 k 方了。然后 x 一 乘 x 的 绝对值， x 一 乘 x 的 绝对值在这就是五减四 k 方的绝对值， 分之二十四，比上一个他，哎，他跟他一乘是变成二十倍的。一加 k 方，比上一个五减四 k 方的绝对值， 最终等于二十四，比上一个二十六，比上都出一个四六比上五五分之六，这就得正了。 比较复杂，我尽可能想起了。大家多体会，多体会每个细节，多体会。

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  04:37

  这道圆锥曲线题，你敢挑战吗？ 🤔#高考数学#圆锥曲线#

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  继续带大家来增长信心，这是一道关于圆锥起曲线的题型，题干上说的是直线 l， x 等于二分之一， m 在 它的右侧， m 到 f 二六零的距离与到 l 的 距离之比十二好，把它曲线求出来，这里正常做。我们把 m 点设成 x 到 y， 然后用两点之间距离公式以及 那个到直线的距离之比等于二。暴力算就可以算出来。过后呢是 x 方减三分之， y 方等于一。需要注意的是，这个地方的话，它有明确的说明， x 是 在 i l 这条直线的右侧， m 点在右侧，所以这儿 x 只有一半，就是双曲线的一半，所以要大于等于一。 好，接下来到第二问， f 是 与 x 轴垂直的直线 l 一 交我们的曲线于 a c 两点，显然这是可以算出来的。过 f 的 直线 l 二呢交曲线于 b 大 两点，四边形 abc 的 面积是十八倍角。三、求 l 二的方程。好，先分析分析这个该怎么去解决。 s abc 大 显然可以直接拆成两部分，一个是 x c 大， 一部分是 x c 大 abc， 这个时候就可以把 a c 作为底， a c 作为底的话，那么就需要算出 a c 的 长。其次，我们还需要把直线 b 大 之间的横坐标差作为高来算出面积，所以它最终等于的是二分之一的 a c， 再乘以一个 x， b 和 x 大 之间的差。 好，有了这个过后，那接下来就很清晰的知道要算哪些东西。一个是 a c 的 长， a c 的 长的话，可以直接算出来。我们把 x 等于二，这个题，它的焦点是二，所以把二带进去，所以 x 等于二。带入 可以推出 y 等于正负。三，继续进一步推出 a c 的 长等于六好， d 已经有了，接下来需要 b 和大的红坐标，这个红坐标呢，我们就可以直接 就可以直接设成 b 点，坐标是 x 一 的 y 一， 大点坐标是 x 二的 y 二，然后接下来设直线 b 的 解析式好，题上说了，直线 l 要与它交于两点，那就不可能和 a c 垂直，所以它的斜率是存在的，所以我们可以直接设 l 二，也就是 b 大 直线 y 等于 k 倍的 x 减二，因为它过了二到零这个定点好，此时连立 化解，化解呢，我们得到三减去 k 方， x 方加上四 k 方 x 再减去四 k 方加三等于零。 好，接下来注意一下，因为有两个交点，而且还要是一元二次方程，因为这样才能保证有两个交点。所以说还要注意三减 k 方不能等于零，也就是 k 不 可以等于正负。根号三好，这是第一个， 第二个德尔塔就不用说了，这个是一定有交点的啊，德尔塔肯定是有交点，但是要保证两个交点啊，所以德尔塔大于零。德尔塔大于零呢，是一定大于零的，因为我们已经把它和那个就是 渐近线平行的情况已经排除了，就是三减 k 方等于零，这种情况排除了。好，得到微答定律， x 一 加 x 二，等于的是 k 方，减三分之四 k 方， x 一 乘 x 二等于 k 方，减三分之四 k 方加三。好，此时我们需要用到 x 一 x 一 和 x 二的差，所以 x 一 减去 x 二的差呢，等于是根号下 x 一 加 x 二的平方，再减去四倍 x 一 x 二带进去暴力算，这个地方的计算并不复杂，很简单的算出来呢的最终化简出来是三减 k 方绝对值分之 六倍，根号下 k 方加一好，把这个表示出来了过后，那这个时候我们就可以得到二分之一乘以六，再乘以一个三减 k 方绝对值分之六倍根号 k 方加一，等于题上说的面积十八倍根号三 好，接下来解得就可以了。草纸上算算出来 k 有 很多答案，一个是 k 方等于三分之十三，或者是 k 方等于二好，又因为 又因为这个地方的话，需要注意的是，这个题他只能与右支交于两个交点，所以是不能有左支的，也就是说 x 一 x 二都是正的，所以两根之合要大于零，两根之积也要大于零好，也就是通过刚才的回答定律一算得到 k 方要大于三， 所以最终我们的 k 方只能等于三分之十三。这里很容易错啊，不然你就会算出来有四个答案，实际上最终只有两个，也就是 k 就 应该等于三分之根号三十九加正负好，有了 k 值，那自然就可以算出它的直线解析式了。

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  13:26

  26武汉五月调考18题 圆曲100题第五十六题 | 武汉五调的圆曲18题，定点问题➕同构问题。帮你彻底掌握转化化归在圆锥曲线中的应用。有同构问题困扰的同学建议尝试一下，会加深你的理解。因为老师第一遍做的时候也没有看出来#西安同城高中数学老师#高三数学 #圆锥曲线 #定点➕同构问题

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  一天一道题，带你通关圆曲线，今天我们看到的是第五十六题，五十六题我们一块去看一下武汉五月调考的十八题，这道题目考察的是我们比较标准的定点和定值问题，那么我们一块去通过这道题目去感受一下圆锥曲线，它最本身的一个转化化规思想与考察。 如果大家能够掌握这种思想，那么做圆锥曲线的大部分题都是同一个思想，只要你在这个题目中体现了你能够知道这个转化化规思想，那这道题目你肯定能够 顺利的写出来。 ok， 我 们今天呢一块去看一下这道题。这道题目第一问告诉我们让我们求曲线 t 的 一个方程，那这个是动点的轨迹方程跟圆结合的，这个呢我们在之前视频中都有所讲到。第二问告诉我们设 r 是 一个零动定点，让我们第一问算 ab 过一个定点， 第二问让我们算这个直线 c d 过一个定点，当 k 零二时，那实际上就是一个定值问题，所以我们先看这个第一问，第一问我们把它的图像给它画出来长这样，它说了这个圆是啊负三斗零，并且呢一个定点是 f 三斗零， 动点 p 呢是圆 e 上的任意点，告诉我们 p f 的 垂直平分线与 p e 交点 q， 设这个套为点 t 的 一个轨，设套为点 q 的 轨迹，让我们曲线求曲线的方程是多少，那这是一个很典型的圆曲线与圆结合的求 动点轨迹方程的问题。那么这类问题的我们的解决的核心办法就是去找定值，这个定值一般是和为定，和定或者基定的形式，这个定值一般是和定或差定的形式， 并且呢这个定值往往来讲就是与圆的半径有相关的一个量，我们在做的时候要多去总结。 当然这种题型在老师之前那个视频中有所讲解，我们会给出所有的逻辑方程的一个求解问题，大家可以往前去翻看老师的主页进行查看。 ok， 那 我们这道题目，我们发现它是一个垂直平分线，垂直平分线上的点到两点的距离相等，因为我们就说可以去写出，因为假如这个线是 l 垂直平分于 p， q 垂直平分于 p f， 那 所以我们能知道的是我们的 q q p 等于 q f， 那 我们先把这个等量关系给他写出来， 完了之后的话呢，一般来讲，题目中都会给我们两个定点，对吧？我们要去找到官员的对称量定点，那也就是说我们要看这个 q 分 别到 q e 和 q f， 它的何为定制还是 q f 定制？那此时我们知道我们发现 q p q， 我 们的 q p 就 等于一个 q e 的 长度，再加上一个 ep 的 长度，所以我们现在能得到的叉是定值，我们的 q f 减去一个 q e， 就 等于一个 q p 的 长度，所以我们把直接把 q f 变成一个 q p， 那 q e 不 就等于一个什么？那就是 q p 减去 e p。 在 这我们可以把 q e 也给它写出来，那所以我们的 q e 的 长度就等于 q p 的 长度减去 e p 的 长度， 那我们知道了 e p 的 长度就是一个四，所以这边呢，我们直接给它写出来，那就是 q p 减去我们的 q p， 再加上一个 e p 的 长度， 那么发现它是不是就等于一个 e p 的 长度？ e p 的 长度我们知道它，它是圆的半径，它等于四，所以我们能得到我们的 q f 减去一个 q e 就 等于一个四，并且呢，这个距离我们要去判断一下，它是要小于两定点之间的距离， e f 的 距离是不等于六，所以呢，我们说这个 q 满足 双曲线的定义，这实际上用的就是我们的定义法去求解的定义法，它如果满足双线定义，则我们就可以直接写出我们的 a， b， c 等于多少，那我们的二 a 就 等于四， 并且呢，我们的二 c 等于个六，所以呢，我们得到了我们的 a 方等于一个四，并且呢， b 方等于一个五， 是不就可以了？所以呢，我们会得到它的方程为 a， 那 就是四分之 x 方减去五分之 y 方等于个一的形式。 ok， 这个就是我们用定义法去求第一问，那么第二问我们一块去看一下，他说了点 r 是 零度二，并且斜率为 k 的 值下，要交 曲线与 ab 两点啊，告诉我们交于曲线 ab 两点能标出来 ab， 并且呢， ar 和 b r 分 别交替于点 cd 两点啊，告诉我们交于 cd 两点，它现在告诉的是，若 ar 和 b r 的 斜率之和为零，让我们直线 a 证明 ab 过一个定点，那这个第二位相对来讲是比较简单， 你直接去连力就可以了。所以呢，对于这种题目，我们至少要写到第二问位置，所以我们一块去写下他的第二问，那第二问的第一个小问位置，如果他有三问，所以呢，我们直接去求解，我们说了设这个直线 l 这个过程大家一定要非常熟悉，因为我们往往在做的后面这个题目时候的时候，时间不会很多，所以 这个过程我们下来一定要去练得非常的熟悉啊，尤其是连利的这个过程，圆圈工具我们要用的非常熟悉才行。先设直线，设点坐标，因为它过跟这个直线未知，所以呢，我们直接设 y 等于 k x 加 m 去好连利呢， y 等于 k x 加上 m 于我们的 双角方程，双角方程我们要写成五 y 平方减去四 y 方等于二十就行，所以呢，我们推出来 y 平方减五倍的 x 平方， 然后呢再加上一个八 km x 平方，八 km x， 然后呢再加上四 m 平方，加上二十等于零。所以此时因为它交两点，我要去判断它的 d r， 它的 d r 等于 b 方的 c c 六十四 k 方 m 平方，然后减去十六倍的四 k 方减五， 再去乘以一个 n 方加五大于零，这样我们就可以写出我们的伟大定律，我们主要的伟大定律， s 一 加 x 二等于负的 a 分 之 b， 四 k 方减五分之八 k m x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c 四 k 方减五分之四 m 平方，加上二十。此时给我们的等量关系呢，我们知道他说 k r， a r 和 b r 的 斜率之和为零，所以呢，此时我们就直接可以写到了，对吧？所以呢， k a r 加上一个 k b r 给它全部转换成韦达定律是不就可以了？比如说 k r 变成了 y 一 减二比上一个 x 一， 加上一个 y 二减二比上一个 x 二，此时的话呢，我们给它全转换成韦达定律是不就行了？ 那出现 y 的， 因为我们得到的是关于 x 的 方程，那出现 y 直接带入到直线中，给它把这个 y 带入直线中去化解，所以呢，我们的 y 一 就给它写成 k 倍的 x 一， 加上一个 k 倍的 x 二加 m 减二，比上一个 x 二就可以了，进行一步通分化简完得到了是二 k 加上一个 x 一 乘 x 二分之减二，乘以 x 一 加 x 二。也就说大家在做这一步的时候，一定要去自己多动手化减化减一下，我们需要把这一步到这一步的这个运算变得非常熟悉才行，不能出错。但是题目中要求我们必须要有这个关系式，因为这个就是你的踩分点，得分点， 俺就把它转换成尾答，完了之后完成未知量的代换，我们拿尾答定完成量的代换，转换啊，转换成了关于 km 的 关系，这样它等于个零，是不是就得到了 km 的 关系了？ 这点大家这点大家呢一定要搞清楚，完了之后我们接着往来看，所以呢，我们接着这句话讲，我们需要把它的尾答定义给它带入进去就行了，就是二 k 加上 m 减二倍的 x 一 加 x 二，我们刚算出来是四 k 方减五分之负的八 km， 再比上一个 i c 乘 x 二，那就是四 k 方减五分之四 m 方加上一个二十，是不是进行一个化简就行了？ 那就是二 k 加上一个 m 减二，再乘一个四 m 方加二十分之负的八 k m 等于零完之后把这个式子进行一个化简通分，那我们会解得的是 m 等于 负的二分之五，是不是就成功了？那么此时我们的 f 值线就变成了 y 等于一个 k， x 减去二分之五，所以此时我们说它的定点为零度负二分之五 就可以了。当然这个题有的同学说可以也用，也可以用平加 x 的， 平加 x 也是可以的，只不过这个题平加 x 的 运算跟这个这个运算 啊没有特别大的差距。所以呢，我们在选择的时候，优先选择使用这种正常的方法，因为大家其实如果你算错了，可能就一分过程分都不会给，所以大家选择时候慎重使用。第三问告诉我们， 当 k 零二的时候，让我们证明直线 c、 d 过定点，那么斜率知道了，我们要算 c d， 那 我要算 c d 的 直线方程。你发现这个题它看起来它这个运算都很复杂，因为你要算， 你要通过 b、 a、 b 的 点去表示 c、 d 的 点，那我们此时去设 c 点坐标是 x 三到 y 三， d 点坐标是 x 四到 y 四，则我们的 a c 直线 y 就 等于一个 k e x 加二，其中呢，我们的 k 一 就等于 y 三减二，比上一个 x 三，那我们此时先去连立这个 a c 直线，用我们的双曲线就 y 等于 k 一， x 加二连立我们的五 x 平方减四， x 四， y 方等于一个二十。 此时的话呢，我们就可以推出来我们的五减四， k 一 的平方乘以一个 x 平方减去十六 k 一 x 再减去一个三十六，等于零。所以呢，我们知道了，我们的 x 三乘以 x a 就 等于一个负的三十六， 再比上一个五减去四 k 一 的平方，那么此时我们需要把 a 点坐标给它，拿 x 三呢给它表示出来，所以呢，我们会发现，负的三十六比上一个五减去四倍的 k 一 k 一 的平方呢，是不是等于个它呀？所以呢，把它带进去， y 三减二，比上一个 x 三的平方， 然后又因为点 c 在 曲线上，所以点 c 满足我们的双曲线方程，那也就是说我们还会得到五 x 五， x 三的平方，减去四倍的 y 三平方也等于二十。所以呢，往这个式子里面再去化简，那么会得到的是 负的三十六倍的 x 三的平方，分给它翻上来，得到了它的分子，变成五倍的 x 三的平方，再加上一个十六倍的 y 三，减去十六。所以这个式子化简出来，我们会得到 x a， 它表示出来是负九倍的 x 三，比上一个四倍的 y 三加一， x a 知道了，所以我们知道了 y a 带入到直线方程中，变成了 y 三减二，比上 x 三，然后再乘以 x a 加二的形式， 所以呢，我们把它转换成变成了四倍的 y 三加一，分之二十减去 y 三，这总是得到了点 a 的 坐标， 所以呢，我们知道了点 a 坐标，点 a 坐标就是负九 x 立方，负九 x 三比上一个四， y 三加一， 然后嘞，二十减去 y 三，比上一个四倍的 y 三加一， a 点坐标知道了，同理，我们是可以得到我们的点 b 坐标， 你点，我们设 b d 直线，那 x 四 y 四分别表示我们的 x b 和 y b 就 行了，那就说表示点 b 坐标。负九倍的 x 四比上一个四， y 一 四， y 四加一，这边是二十减去一个 y 四比上一个四， y 四 加一，这是我们的点 b， 那 么此时点 a 点 b 都知道了，我们可以去设 ab 的 方程， a b 方程此时的斜率是二，所以呢，我们直接设成二倍的 x， 再加上一个 n， 因为此时我们的点 a、 点 b 分 别都满足 a、 b 的 方程，所以呢，我们带入我们点 a 的 坐标，那么会得到的是二十减 y， 三比上一个四 y 三加一 等于一个二乘以 x a， 那 就是负九 x 三比上一个四， y 三加一加 n 啊。然后呢，我们这个是不是可以给它整理 整理出来一个一般式的形式，那就是说我们会得到十八倍的 x， 三减去四 n 加一倍的 y， 再加上一个二十减 n 的 同理，我们是不是就可以代入 b 啊？我们整理可得，那就是十八倍的 x， 四减去四 n 加一倍的 y， 四， 再加上一个二十减 n 等于个零，也算一个同构式，我们表示出来那同构式，所以它最终是不是也可以给它转换成我们的同构？问题，我们要转换成待定系数，那也就是说它们两个相等，所以呢，我们 c、 d 的 方程是不是就可以直接去写出来？ 那我们的直线 c、 d 呢，就为十八 x 减去四 n 加一倍的 y， 再加上二十减一个 n， 所以呢，我们会得到，那就是 十八 x 减 y， 加上一个二十减去 n 倍的四 y 加一等于零。就是说这个是过定点的直线系，我们就给它写出来就行，所以呢，我们会得到它的过的这个定点，不就让它十八 x 减 y 加二十等于零。 还有一个就是让我们的四 y 加一等于零，所以呢，我们算出来 y 等于负的四分之一，并且 x 等于负的八分之九，所以此时 c、 d 过定点为我们的负的八分之九，不，四分之一。 ok， 这个就是我们的这个武汉。 ok， 这个就是我们武汉五月调考的第十八题。 ok， 这个就是我们的五十六题。实际上最后考察的还是我们的定值定点加上一个同过问题。希望大家结合这道题目能够对同过问题有一个新的认识， 那也就是说我们 c、 d 直线都是点 a 和点 b 过定点与双曲线右支交的一个两点，所以它们两个是不是有同直接相同这样一个关系？利用 c、 d 两点，根据 ab 的 关系，我们直接把 c、 d 的 直线给它写出来就行。 ok， 这个就是这道题，有问题的同学下来继续跟他沟通。

  78权老师讲数学
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  05:13

  圆锥曲线计算量减半术 快学起来啦#高中数学 #赵礼显数学

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  圆锥曲线计算量减半数来了。其次化连力非常有名，尤其是出现斜率之合之积的时候，你就直接用学会这个方法，你就超过百分之八十的同学了。其次化就是次数是一样的呗，比如四 x 方再加上一个 y 方，再加上一个 x 等于零，这不叫其次四，因为这是二次的，这是二次的，这是一次的。 如果我在这个 x 后面再乘了个一次项，比如乘了个 x 加 y， 它是不是就变成了一次了呢？所以这样就变成了一个其次四。 什么时候用奇次化联例呢？我们通过一道全空间的高考题来给大家讲解。第一问我们不说了，第一问是四分之 x 方再加上一个 y 方等于个一。那第二问他说什么呢？说的是从椭圆的上顶点，我们假设这个上顶点是一个 p， 他 做两条直线， 那这两条直线的斜率之和是负一，这条交于 a， 这条交于 b， 这个直线 ab， 他 过定点，让我们证明 ab 过定点。 那这道题为什么我们想到的其实是反联力？就是出现斜率之积、斜率之和的关系的时候，我们喜欢用这种方法。那么我们把 a 点坐标如果设成 x 一 y， 那 么这时候这个 p 点坐标是零一，那么大家可以看斜率之和是负一，这是条件。 这个直线的斜率是 k 一， 这个直线的斜率是 k 二，斜率之和是负一。大家可以看一下， k 一 是 y 一 减一，比上一个 x 一 减零。 k 二是 y 二减一，比上一个 x 二减零，它等于一。 我不想用伟大定律，我就想如果他是一个根，他是一个根， k 一 加 k 二，他不就是个伟大定律吗？但是一条直线和椭圆连立，他不可能出现 y 减一的形式啊，所以我们需要平移，平移一定要学明白，那就相当于我把椭圆往下平一个单位，目的就是为了把这个 p 点的坐标弄成坐标原点。 其实这个平移非常好，想你又想椭圆的中心就可以了。本来椭圆的中心是零零，现在椭圆的中心往下平移了一个单位，变成了零负一，这个应该是很好理解的。 那大家思考一下，椭圆的中心，你把它想成圆，圆心是零负一，椭圆方程变成什么？是不是变成了四分之 x 方，再加上一个 y 加还是减？在弹幕里边打出来是不是应该是 y 加一的平方？这地方不要相反， 你千万不要想平移是上加下减，显函数平移才是上加下减，你应该想圆心，这是个引函数的形式。这句话你可能听不懂。 想圆心，你比如 x 加一的平方，再加上一个 y 加一的平方，它的圆心是负一负一减去一个数的时候才是圆心，就相当于这个中心，也是一个道理，它应该是加一，实际上就相当于减负一，所以是零负一，千万不要相反。 所以我们把椭圆方程给整理一下，两边同乘以四 x 方，再加上一个四 y 方，再加上一个八 y， 它就等于零。你会发现它根本不是七次四，它是二次的，这是二次的，这是一次的。 所以我需要在后面乘个一次项，我不能随便乘个数，我乘五，这个数字就变了，我只能乘一。所以我们设平移之后的这条直线，就这条直线，它不是平移之后吗？斜的这个是 pa 和 pb， 他 不一定过那个顶点，就这样的，这辆是 pa， 这辆是 pb， 平移之后是这样的。那这时候怎么办呢？大家可以看一下，我们设这个 l 是 mx， 再加上一个 n y 等于个一 m n， 只要不同时为零就可以了。我们为什么这样设直线？因为我想后边乘个一，保持这个四字不变。再往后看就是 x 方加上一个是外方， 再加上一个八 y， 我 乘了个一，一是 mx， 再加上一个 ny， 等于个零。大家目测一下，这是几次方程？ 二次的，二次的，这也是二次的，所以我们把括号打开整理一下，几个外方就应该是四，再加上一个八 n， 外方再加上一个八 m x y 再加上一个 x 方，等于个零。 所以我们两边再同除以 x 方，也就是说四加八 n 同除以一个 x 的 平方，就应该是这个样子的，再加上一个八 m， y 比 x， 再加上一个一，等于个零。 所以到这一步应该你就能够体会到我们什么叫奇数连利了。这时候呢，由于你是拿着这条直线和图案连利的，所以他的连利的方程都是 y 比 x 的 形式。这时候大家思考一下，叠律之合是不是还是负一， 他是不是就变成了 y 一 比 x 一， 再加上一个 y 二比 x 二，知道为什么平移了吧？ 因为这个直线的斜率变成了 y 一 比 x 一， 这条直线的斜率变成了 y 二比 x 二，那就相当于 k 一 加 k 二，就应该是负的 a 分 之 b， 它就应该是等于一个负一，那从而我们就能够算出 m 就 应该等于个 n 加上一个二分之一。符号和符号约掉了，两边通除以八， 所以这条直线就变成了 n 加二分之一个 x， 再加上一个 n 个 y， 它就应该等于一，所以这是一个直线系方程。 那么它过的定点是什么？就应该是 n 倍的 x 加 y， 再加上一个二分之一， x 减一等于零，所以过的定点就是这是等于零，那 x 等于二，那又因为 x 加 y 等于零，那就应该等于负二，这是平移之后的直线 l 所过的定点， 那我们还得平移回去，你刚才往下平移了一个单位，所以原直线你就得往上平移一个单位，平移回去，那就应该是过定点往上平一个单位，当然就过二负一了，所以这就出来了，这就是七次化连力。所以如果你能理解七次化连力的一个思路，其实很简单。

  7235赵礼显思维（胜嘉城）
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  【抖音独家】高考百日百课｜【逐题精讲】2025年高考全国一卷新高考一卷数学真题18题-圆锥曲线：朴实无华，无招胜有招～#高考真题 #新高考一卷数学 #2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #抖音高考百日百课 @抖音校园 @抖音精选官方账号

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  来高考百日百科的试卷主题精讲系列啊，今天咱们还是回归到最根本的东西来， 还是那句话，什么卷都不可能有往年的高考题啊，高考真题有含金量啊，所以说大家马上就要高考了，现在这个市面上的卷太多太多了，一会这个模，那个模，五模六模的，一会又什么最后一套卷， 什么中级押题卷，什么究级猜题卷。哎呀，所以说在这种情况下，大家更要把心沉下来，回到高考的本源上，到底他考什么样的题，考什么难度的题，他们说了都不算， 高考题说了算。所以说全国一卷啊，咱们一定是要更完的。那么十一到十七题呢，咱们之前已经更完了啊，咱们要把剩下的第十八题和第十九题的坑都填上 啊，然后二零二五年的这个全国二卷呢，我去年啊，六月份就已经更完了啊，所以说大家呢，感兴趣的啊，可以去翻一翻 啊，当然我也加入了抖音精选高考应援联盟，里面有很多的高考内容内容，大家可以去啊，抖音精选搜索高考应援联盟，追更我的高考百日百克来，废话不多说，开始啊， 这是一道原则曲线啊，这个原则曲线呢啊，其实都比我们现在做的啊模拟题的原则曲线都要简单 啊，所以说大家不要去着急啊，月亮曲线我不会做，怎么办啊，其实他考察的东西很简单很很质朴的，是吧，来，咱们看啊，他说离心率啊，是三分之二倍，根号二下顶点是 a 啊，右顶点是 b， 他 说 a b 等于根号十，那 a b 的 长度不就相当于是 a 方加 b 方吗？对不对？所以而，而且还告诉你离心率了，这题不就完事了吗？对吧？所以说第一个啊， a 方加 b 方等于十啊，这第一个，第二个啊， 一减去 a 方分之 b 方啊，也就是一方，对吧？应该等于九分之八啊，通过他俩啊，那就把 a 跟 b 都解出来呗，解完之后啊， a 等于三， b 等于一啊，因此这个圆锥曲线啊，他是椭圆。九分之 x 方啊，加 y 方等于一啊，非常简单， 这第一问，然后咱们再看这个第二问。第二问呢，他说有个动点 p 啊，不在 y 轴上，所以说他并没有告诉你这个 p 点在圆锥曲线上， 所以说呀，这个 p 点呢，就随便画啊， p 点随便画完之后呢，他又说 r 点呢，是在这个射箭 a p 上啊，随便点一个啊，点 r， 是 吧？然后呢，他还说啥满足 a p 乘以 ar 等于三。首先呢，这个 a p r 肯定是共线的 啊，这三点肯定贡献啊，所以说这个是 a p 乘以 a r 的 长度啊，是等于三的。那么第一问，他说，如果呀，设点 p 坐标是 m， 逗 n， 让你把 r 点的坐标用 m 和 n 表达出来，这不就是相关点吗？ 所以说这个第二问呢，咱们两种方法啊，第一种方法呢，第一小问，两种方法。第一种方法呢，就是用最直白的方法啊，去解决问题 啊，那最直白的方法是啥呀？就是他所说的这个东西，你表达它就行了。首先 arp 三点共线，那 arp 三点共线的话啊，这个 a 点坐标是零负一，对吧啊，那么这三点共线，我们就可以用两点之间的斜率相等的方式去解决问题， 而且呢，这个点 a 是 已知点，所以说我们要构建哪两个点的斜率相等啊，是不肯定都得带 a 啊，因为 a 是 指到数的啊，所以说你构造一个 ar 等于 a p 啊，这个斜率不就可以了？所以说我们可以先做第一个，对吧？ k ar 等于 k a p 啊，这第一个条件，第二条件就是它们的线段的长度相乘等于三，也就是说啊， a p 乘以 ar 啊，等于三，用这两个方程，我们就能导找到这个 x 零和 y 零，当然，我设这个让你求的这个 r 点啊，叫 l 零。逗， y 零啊，我找到 x 零， y 零与 m n 之间的关系不就完事了吗？对吧？哎， ok， 那 我们通过这两个 那么列下式子呗，那第一个式子，那就是两点之的斜率公式啊， y 零加一啊，比上 x 零嘛，就不写了啊，等于 n 加一啊，比上 m 这第一个，第二个就两点之间的距离，你就写呗，对吧？所以说就是 m 方加上 n 减负一，就是 n 加一的平方啊，再乘以 x 零的平方，加上 y 零加一的平方啊，这个玩意相乘是等于九的 啊，然后呢，我们去解这个方程，那你说老师，这这玩意咋化解呢？这么多未知数啊，那你想啊，你要干啥？你是不要看 x 零等于什么，什么什么这个式子是含 n 的， y 零又等于什么？什么什么这个式子呢，也是含有 m n 的， 就是这样，对不对？所以说这个式子里边，你现在要么留一个 x 零，要么就留一个 y 零，使得这个式子里边只有 x 零啊，与 m n， 或者只有 y 零与 m n， 就 这样，对吧？那这道题往哪个把哪个换成哪个好算呢？那你看， 如果啊，你把这个 y 零换了的话，那是不是它就变成啊， n 分 之 m 分 之 n 加一倍的 x 零，然后再减个一啊，减个一跟后边这加个一正好约掉了。所以这道题啊，我应该把 y 零换了啊，能好算一点是吧？ 因此你就操作呗，啊，就变成了 m 方加上 n 加一的平方，然后呢，再乘以这是 x 零方加上那这个块就可以写成 m 方分之 x 零的平方，加上，那这个块就可以写成 m 方分之 x 零方 倍的 n 加一的平方啊，对吧？哎，等于九就长这样，然后接下来我把这个 l 零换出来就完事了。那么 s 零换出来的话，咱们就先把这个玩意挪过去呗。啊，那就变成了 x 零的平方，加上 x 零的平方，再乘以 m 方分之 n 加一的平方，这边除过去，对吧，那就是 m 方加上 n 加一的平方， 然后呢，这边呢，是能合并同类项的啊，那就变成了啊， m 方分之啊，当然咱们就直接通分了，这是一倍的，所以说就相当于 m 方啊，再加上 n 加一的平方倍的 x 零方 啊，就应该等于它，哎，那么接下来我们再把剩下的这一部分啊，把 x 零单独留在等式左边，那么这样的话，那 x 零啊，就等于啥了 啊，就等于啊， m 方加上 n 加一的平方分之九啊，再乘以一个 m 方加上 n 加一的平方，分之 m 方， 因此，哎，我一开根号 s 零得啥了是吧，那九 m 方就变成三 m 了，然后分母变成啥了，哎，就是 m 方加上 n 加一的平方啊 这种，这个虽说你看起来很麻烦，但是你一算呢，发现还真就不简单，哈哈哈，是吧，确实挺麻烦啊，但是没办法啊，谁让咱啥也没思考呢，就是直接往下列，那肯定就这样， ok， 那 l 零出来了之后啊， x 零出来了之后，那就往里带呗， 对吧，那就相当于啥？ y 加一就应该等于 m 分 之 n 加一倍的 x 零吗？对不对啊？所以说，哎，咱们继续往下算啊， y 零加一啊，就应该等于啊， m 分 之 n 加一倍的 m 方加上 n 加一的平方分之三 m， 然后这 m 约掉了，对吧，然后呢，你这个加加一挪过来就变成减一了，那减一再一通分就完活了呗。 所以说就应该等于啊，分母就是 m 方加上 n 加一的平方分值啊，这上面呢？这是啊，三 n 加三是吧，然后呢，再减去通分啊， m 方再打开减去 n 方减去二， n 减一， 因此啊，这个 y 零方算完了， y 零方算完，这是 m 方加上 n 加一的平方上面合并开同类项啊，负 m 方减 n 方加 n 加二啊，因此，现在呢，我 x 零和 y 零都表达出来了，因此 p 点我是能写出来啊，这个 r 点呢，我是能写出来了的 啊，因此 r 的 坐标就应该是非常的麻烦啊。但是这题呢，就没有任何的思维啊，就是纯算啊，把把这个脑子一撇的话，光剩手哐哐就一顿算就完了啊， ok 啊，这就是 r 的 坐标，这是法一。当然了，我们如果能动一点脑子的话呢，那这道题呢，就会相对来说简单一些，是吧？ ok， 那 你说怎么动呢，很简单呢是吧，比如说法二是吧， 换个色是吧，反二，哎，我们用向量啊，它贡献呐，对不对？哎，可以用向量啊，你看是不是 ar 啊和 ap 向量，这不，它仨，它这两个向量是贡献呐，所以说，我是不是可以写成啊， ar 向量啊， 啊，一定是等于喇么的位的 a p 向量的，对不对啊？那既然这两个向量相等的话，那我们是不是就把 ar 表达出来，对吧？那因此 ar 向量就应该等于啊，还是按照之前我们带的这个未知数，那就等于 s 零啊，逗， y 零加一，那么 a p 呢， 就等于 m 逗， n 加一啊，它俩呢，有两个倍的关系，而且呢，我们还知道什么呢？我们还知道啊， a p 向量的模乘以 ar 向量的模等于三， 那么也就是又因为啊，咱们知道啊，设的啊， ar 是 等于阿拉伯的倍的 a p， 所以 说这个式子是不是就可以写成阿拉伯的倍的 a p 方是吧？哎，阿拉伯的 a p 方向量的模的平方啊，就应该等于三，因此啊，这个阿拉伯等于啥呀？哎， 然后呢，就等于三，比上 ap 的 线段长度的平方啊，那线段长度是啥呀？就是 m 方加上 n 加一的平方，对吧？然后根据这个向量啊，我们能列出来啥呀？哎，横坐标等于线段的横坐标，重坐标等于线段的倍的重坐标啊，所以说一定能得到 x 零啊，就应该等于阿拉伯的倍的 m， 而 y 零加一呢，就应该等于阿拉伯的倍的 n 加一啊，因此这个式子就很好表达了，你把这个阿拉伯往里一带，对吧，那么 x 零不就直接表达出来了吗？所以说就不需要这么多的运算了啊，因此 真的 x 零，它就等于 m 方加上 n 加一的平方，乘以个 m 就 等于三 m， 你看这回多简单呢。如果，哎，那 y 零呢？等于啥？哎，栏么背的，就把这个栏么的带进去，乘一个 n 加一，再减个一就完事了。所以说他就应该等于 啊，栏那个 n 方啊， m 方加上 n 加一的平方分之三， n 加三减去， m 方减 n 减去二， n 减一啊。 所以说一化减这玩意就等于 m 方加上 n 加一的平方分之负， m 方减负， n 方加 n 加二， 你看这个算的多么简练呢，而且没有这么多的运算，哐哐一顿带，是吧？哎，我会啊，这是这个第二问里边的第一小问，然后咱们再看第二小问啊，第二小问，他说啥呀？他说 q 点呢，是 c 上的动点啊，就是有一个点 q 在 这个椭圆上来回动，然后呢， o r 的斜率跟 o p 的 斜率它有倍数关系，是三倍。比如说 o r 的 斜率啊，跟 o p 的 斜率啊，是三倍的关系，然后它让你求 p q 的 最大值，现在 q 点是在这个上换混，对吧？但是 p 点是在哪个 曲线呢？还是直线？它的轨迹我不知道，所以说我就得通过啊，这两个斜率的比例，我们先把 p 点的轨迹搞出来啊， 对不对？那怎么搞就硬算呗，对不？呵，来第二小问，那怎么办？因为他说呀， k o r 等于三倍的 k o p， 那 我们就列呗，那 k o r 是 不就应该用 r 点的这个坐标啊？ y 零减零比上 l 减零啊，就是 y 零比上 x 零， 而 y 零和 x 零搁这呢啊，用它除，以它那么一除的时候，如果分母直接整没了，就剩分子了，对不对？所以说它应该等于啥？就等于负 m 方减 n 方加 n 加二啊，这玩意比上一个三 m， 对 不？ 他说应该等于三倍的 k o p， 那 a p 的， 呃，那个 o p 等于啥呀？是不等于 n b m， 对 吧？ n 减零比上 m 减零嘛，所以说这 mm 约掉了，所以说，你可以把这个玩意全挪过去，那就变成九 n， 然后把这边的式全挪过去，对吧？哎，这边这个化解还是非常简单的， 就等于 m 方啊，加上 n 方加上八， n 减二等于零，这很明显是个圆嘛，对不对？所以说 m 方加上这是 n 加四的平方，那加十六是吧？加十六挪过去，那就应该加十八就等于十八了， 也就是说啊，它是一个啊， p 点的运动轨迹是一个啊，在这个零度负四为圆心啊，零度负四为圆心，然后呢？半径为三倍，根号二的一个圆啊，大概啊，我们可以简单地画一下啊。应该是啊，大概就长这么个样， 对吧？大概啊，画就长这么个样，也就是说，啥意思呢？现在点 p 啊，在这个圆上动， 点 q 呢，在这个椭圆上动。问你，当 q 点和 p 点分别区哪个点的时候，使得这两点的距离最大？ ok， 这又是两个动点之间的距离问题。其实这种题啊，在小题上经常考察，对吧？但是，但大题也是一样做，那怎么做呀？哎，有圆就好办，对吧？哎，我们可以设这个圆心啊，比如说，我们设这个圆心叫点 t 啊，这个圆心叫点 t， 那 么这个 t 的 坐标呢？就是零斗四，对吧？ 哎，零到负四啊，啊，零到负四啊，那么就相当于啊，有圆的话，我们就找圆心就行了。所以说我们只要找哎， q 点到这个圆心 t 啊，什么时候是最大的， 对吧？最大的，然后我再加一个半径啊，这个点就是点 p 了吗？对不对？所以说我们要找的就是 q 点到这个点 t 的 距离最大值，而 q 点呢，是动点在这个椭圆上，那怎么办呢？怎么求他两点之间距离啊，就硬算呗，对不对？所以说怎么办？接下来 令点 q 啊，就叫啊，这叫 x 一 到 y 一 吧，啊，这无所谓啊，对吧？因此我要求的是啥呀？ q t 的 平方，对吧？ q t 方两点之间距离公式就代呗，那就是 x 一 减零的平方，加上 y 减负四，那就是 y 一 加四， 对吧？的平方。那我们接下来，由于啊，这个式子里边 x 和 y， x 一 到 y 一 都是在这个圆锥曲线上的 啊，这是在一个椭圆上的，所以说我是可以把它这个 x 一 逗 y 一 带到椭圆方程里，因此啊， x 一 可以换成 y 一， y 一 也可以换成 x 一， 那对于这道题来说，我应该把谁换了？是不应该把 x 一 换了？因为 x 一 带方，我很换，但如果你换 y 的 话，这不 y 是 不是有一次项啊？ y 有 一次项，你换成 x 的 话，是不得带根号啊， 那这式子就不好解了啊，所以说我要把 x 给换了，对吧？哎，那么一换完，这就变成啥了？九减去，对吧？九倍的 y 一 方，然后再加上后边这个，打开啊， y 一 方加上八， y 一 再加个十六，对吧？因此这个是一个开开口方向下的啊，这个二次函数， 当然，这个二次函数有没有这个 y， 有 没有定域啊？当然有了，对吧？因为你这个点呢，是在这个椭圆上的，所以说你的重坐标只能在负一到正一之间，是吧？哎，只能在负一到正一之间，所以说咱们得写上，对吧？ 啊？ y 属于啊负一到正一， ok， 我 要求的是最大值，这是一个开口方向下的二次函数，对吧？那么它的对称轴是多少啊？是不？对称轴正好是二分之一啊，二分之一在不在负一到一里啊？在，所以说咱们就把这个 y 等于二分之一带进去就行了。 所以说 p q 啊， p t 啊，它的这个平方的最大值啊，就应该把二分之一往里代，那就是负八乘以四分之一，加上八乘以二分之一，再加个二十五，这是负二加四，那就是二十七呗，对吧？二十七。因此啊，这个 p q 啊， p q 的 啊，最大值是不就应该等于 q t 的 最大值，再加上一个半径三倍根号二，对不对？所以说它应该等于这是根号二十七呢，就是三倍根号三，再加上三倍根号二啊。 in c l d， 答案就是三倍根号三加三倍根号二。 所以说，你看这个十八题是不是非常简单，没有任何在思维上的啊？绕啊，没有，就是你只要认认真真地算，踏踏实实地做 啊，这道题都是可以拿到满分的，没有任何问题啊。 ok 啊，咱们下个视频更十九题，拜拜朋友们。

  606老林搞数学
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  高中数学 吃透圆锥曲线解答题九大题型！ #高中数学 #数学思维 #高考 #学霸秘籍

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  请大家务必在考前把这套原地曲线的解答题分析刷完！吃透这九个题型，我用了五天的时间给大家整理了轨迹方程、 动直线、过定点、斜长与面积、取值范围最值等等。我们高考必考的九个题型以及配套的答案解析电子版已经准备好取件码六六六，赶紧下载打印！

  213张老师讲数学思维.
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  18:34

  #高考 #数学备考 圆锥曲线，简单？

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  考押题卷，这是我们讲的第六道题目，对标的是整张试卷的十八题，也就是解答题的倒数第二个。 首先我们来看一下这道题题目很明显是一个圆锥曲线的问题，那先看第一问常规的方程。提问方式，给出条件是好多点和线段成比例，那我们先画一画图， f 一 f 二，一个是负二零，一个是二零，交点在 x 轴上，而且既然漏出两个交点呢，这个曲线基本上不是椭圆就是双曲线。 然后呢，点 q 是 在 f 一 f 二之间运动的，包含端点，同时点 p 满足一个关系叫 p f 一， 比上 q f 一， 呃，等于 p f 二，比上 q f 二还等于二分之根六。让我们找的是曲线 e 的 方程，那么往下 我们可以考虑说是用定义还是解设坐标列等式整理出方程，那我们看一下解设坐标行不行？如果我假设点 p 坐标 x y 啊，点 q 坐标 t 六零去表示上面这个比例关系的话呢，就是两点间距离公式，呃， p f 一 就是 y p f 一， x 加二的方加 y， 方开根号比上 q f 一， t 加二的绝对值 等于根号下 x 减二的方加外方 p f 二比上 q f 二，二减 t 的 绝对值说等于二分之根号六，那么往下就是平方去减了。但我发现因为里面涉及到一个字母 t， 所以 往下 很好想，但不好算。所以这道题我们需要换一个思路，能不能走定义呢？那就是我可不可以得到 p f 一 和 p f 二相加或者相反关系呢？ 那我们来整理一下题目给的这个式子，也就是 p f 一， 把分母去掉它就是二分之根六倍的 q f 一， 同样道理， p f 二，它就是二分之根六倍的 q f 二。 q 虽然会动，但 q f 一 加 q f 二，我们看图也能看出来它是一个定值，所以我们要把这两个式子做一个相加， 我们由一加二式可以得到 p f 一 加 p f 二，等于二分之根六倍的 q f 一 加 q f 二， 也就是二分之根六倍的 f e f 二， f e f 二的长度是四，那做代入的话就是二倍根号六，它刚好大于 f e f 二的长度，也就是四。 所以根据这个关系，在两个定点且到两个定点距离之和大于定值的情况下呢，可以得到点 p 的 轨迹就是一个椭圆，我们先确定轨迹形状，再把它相关的参数 abc 找到， 轨迹为椭圆方程，那就是二。 a 等于二，根六， 二 c 等于四，那就是 a 方是六， c 方是四，自然的 b 方就是二，所以方程 x 方比六加 y 方比二等于一。 这是我们整个的第一问。接着在有方程的基础上，题目呢又说了一些新的说法，那我们需要重新画一个图，所以我们来看第二问， 依然是椭圆左右焦点 f 一 f 二。题目让我分别过两个焦点去做一组平行线跟椭圆本身的焦点呢，一个是 a， 一个是 b， 让我们计算的是四边形 a b f 一 的周长呢，我们来表示一下。这个周长呢，就是 a b 加 b f 二加 a f 一 加 f 一 f 二，这个定值也就是四。里面不知道的是前三项，那么怎么才能有前三项呢？无非需要 解设方程，连立椭圆，写坐标，然后去整理式子。但问题是我解设哪条直线的方程，这里面出现了三条线， a f 一、 b f 二和 ab。 我考虑说题目为什么要强调平行线这个问题，我就想说能不能把这三条线段进行一个转化，因为我要去写两点间距离公式写三遍，这个量太大了，我考虑什么呢？ 找到点 a， 找到坐标原点 o， 连完之后打一个延长线，比如叫 a 撇， 那么根据椭圆本身的对称性，如果我这个时候把 a 撇 f 二连接起来，我们就可以得到它们之间的一个关系，也就是 把这段话描述一下，就是延长 a o 交 e 与点 a 撇有对称性，或者叫有椭圆的对称性。 我们可以得到 a f 一 的长度会刚好等于 a 撇 f 二的长度。 那所以原本的四条线段的和呢，就变成了 a b 加 b f 二加 a 撇 f 二 再加 f f 二的长是四，那么 b f 二加 a 撇 f 二等于几呢？ 还是根据刚才的对称性，因为 a 对 应过来是 a 撇嘛，所以这个地方的 a f 一， a f 二， a f 一 a f 二除了相等之外，它还有一个平行关系。 题目呢，又说 a f 一 也是平行于 b f 二的，那所以三点是共线的，就是点 a 撇，点 b， 点 f 二，三点共线。 在三点共线的前提下呢，这个题目的问题就可以进一步的转化了，也就说我们可以把这个小括号合并成一个整体， 它变成 a b 加 a 撇 d 再加 s。 那 么后面就很清晰啊，我们需要解释一条直线方程。呃， a b 呢？没有什么特点，所以我们需要换一个过交点的直线来解释方程。所以啊，假设 直线 a 撇 d 的 方程， x 等于 m， y 加二，为什么不去设 y 等于 k， x 加 b 呢？因为当斜率为零的时候， 它是不符合要求的，但斜率存在的时候有可能符合提 e， 所以 我们等斜率不存在的时候，有可能去复合题。所以我们假设的是 x 等于 m， y 加二，这样就避免讨论了连力，它和椭圆方程 x 方比六，加 y 方比二等于一，做一个代入整理啊，所以就是 m， y 加二，括号的方 加三，外方等于六。整理一下，整理成标准的样子， m 方加三，外方加四， m， y 减二等于零。 那么写它的伟大定律则， y 一 加 y 二等于负的四， m 比 m 方加三， y 一 乘 y 二等于负二比上 m 方加三。 我们不妨假设这里的点 a 撇是 x 一 y， 点 b 是 x 二 y， 所以 我们可以写第一段长度了。 a b 的 弦长就是根号下 x 一 好， a 撇 b 的 弦长。 x 一 减 x 二的方，加 y 一 减 y 二的方。把 x 用 y 来代替呢，就是 m 方加一倍的根号，乘以根号 y 一 加 y 二的方，减四倍的 y 一 y 二，继续整理。根号 m 方加一，我把它定义的做代入 十六， m 方比上，底下 m 方加三，括号外的平方再减掉四，那就是八。通分的话，就是加八倍的 m 方加三， 继续整理。呃，上面八加十六，二十四，三八二十四，二十四，可以拿出去剩一个根号 m 方加一，根号 m 方加一，根号 m 方加一，底下剩了个 m 方加一，底下根号方出来了， m 方加在五，后面还剩一个根号二十四，也就是二倍根号六， 这就是 a 撇 b 的 长度。同样，我们还需要 a 点坐标，还是根据椭圆的对称性，我们可以得到 a 的 坐标。是负 x 一 负外一，根据点 a 撇来写吗？那进一步我们来写一下 a b 弦长 依然做公式，两点间距离公式啊，那就是负 x 一 减 x 二的方 加负 y 一 减 y 二的方。有这么多符号呢，可以用平方给它消掉，所以变成了 x 一 加 x 二的方加 y 一 加 y 二的方。好处是 y 一 加 y 在 前面的伟大定律是有的，但坏处是 x 一 加 x 二前面是没有的，只能一步一步的去整理。 我们来进一步把它往下写，等于根号下 m 倍的 y 一 加 y 啊，那就是负四 m 方比上 m 方加三，再加一个四。这个式子我们如果通分一下的话，它是几呢？ 后面也做代入啊，后面就是十六 m 方比上 m 方加三，括号 y 的 方， 把它整理出来。呃，前面通分啊，你不通分的话，直接打开平方，这个量很大，通分一下，负四 m 方加四， m 方没了，还剩一个十二十二的平方，是这个一百四十四， 一百四十四加十六 m 方比上 m 方加三括号外的方，再开个根号， 这写不开了，我们调整一下。呃，把一些不太重要的把它省略掉，或者给它缩小一下， 那么我们把它继续整理啊。这个十四一百四，十四和十六是可以提出一个十六的，那就是提走了一个四，跃掉了十六，还剩下 m 方加九，底下把平方开出来了。 所以我们来求一下 ab 加 a 撇 b 的 最大值，那就再加一个四，就是整个周长的最大值吧。 有，因为 a 撇 b 加 ab 等于 二倍的根号六，乘以 m 方加一，比上 m 方加三，加上 四倍的根号， m 方加九，比上 m 方加三。我们可以看到里面出现了大量的 m 方，但有一个例外就是根号，所以我们需要先换元，把这个根号处理掉。我利用 t 等于根号， m 方加九， t 当然是有范围， t 是 根号，那就取决于 m 方的范围。 m 方大于零加九，大于等于九开根号，那就是大于等于三的来整理。 所有的 m 方都用 t 来表示，所以是二倍的根号六。 m 方加三，就是 t 方减六，上面就是 t 方减八，再加四， t 比上后面的这个 t 方减六， 整理一下呢，就是 t 方减六分之二，根号六， t 方加四， t 减十六倍的横和六。像这种很复杂的事情，需要考虑分子有理化的，比如我们先把分子这个梯方的系数二根六给它拿下去啊， 想拿下去的话呢，要补一个分母二根六梯方减六， 然后其他的位置进行修正，从而保持跟原来的一个相等关系。前面括号打开是减十二倍的根六，原来是减十六倍的根六呢，只要再补一个减四根六就可以了，所以二根六就出去了， 再加上四倍的括号， t 减根六，下面有一个 t 方减六，好巧刚好是个平方差，它就变成了二根六加上四比 t 加根号六。整个式子我们要找最大值，所以分母要找最小分母最小取决于 t 的 最小， t 大 于等于三，取倒数呢，就是小于等二根六加上四比三加根号六。分母不允许代根号，那就整体做一个整理， 二倍根号六加上四倍三加根六，再除三方减根六，方还剩三，那么稍加整理，这就是四减， 我们乘的是这个三减根六啊，我们乘的是三减根六，错了个符号， 三减根六比上三，那就是二根六加四，然后减三分之四，二减三分之四，那就是三分之二，所以是四加 三分之二根六，那所以整个的周长的最大值，所以就是大于小于等于四加四就是八， 八加三分之二根六。什么时候取到的等号？那我们验证一下取等号的条件就是 t 等于三的时候，什么时候取等号三呢？当且仅当 t 等于零的时候， t 是 可以等于零的， t 等于零，整个方程是变成了 x 等于二的，也就是当这条直线垂直于 x 轴的时候， 这也是很多特殊情况取得的对值嘛。呃，整道题讲到这就结束了，那我们来回顾一下这道题。首先是它的第一问，虽然是求方程，但求方程的两个思想，要么你总定义去写，呃， 到交点的距离之和，或者到交点的距离之差为定值，也可以解设坐标，通过计算整理得到。但这道题如果你去计算整理，它的计算量却是很大，远不如丁易去做比较好。第二问， 如果你没有想到椭圆的特殊的对身性，去把程度也就是这个地方的 a f 一 的长度变成 a 撇 f 二的长度的话， 整道题基本上就写不下去了。所以如果你能看到这个长度的替换，包括说三点共线的一个平行关系，呃，去写后面的弦长，这就思路就捋清楚了。所以像这种题，它反而就很常规，就紧扣字眼， 就找那些很细小，平时不太注意的题目去考察。所以越到临近高考的时候，越要回归基础，抓基础题，抓那些细小的知识点。那么以上就是我们对于第六题的一个讲解。

  140刘沐lcl
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  05:44

  打破高考信息差，一分钟秒杀一道新高考圆锥曲线题！ #2026高考 #抖音精选高考应援联盟 #高考数学 #学霸秘籍

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  你信不信最后剩下八天时间，你还可以提高五十分？主播揭秘高考信息差视频，累计超过四百 w 人观看过，你的竞争对手都在拼命观看主播的视频，学习主播高考数学幺四七，并考入复旦大学经院，那么今天主播为你带来 圆锥曲线小题的信息差，让你的高考实现逆袭。哎，大家好，今天我要给大家讲的是高考信息差第三期是阿基米的三号型，那么你在任何的教辅书上都看不到我给你总结这么详细的五条结论， 对吧？因为这是我自己总结的，所以你应该是看不到的。来二五届的学生给我的反馈就是，老师你完完全全压中了第十题，第十题全是你讲的结论， 对吧？我两分钟就写完了，最后你看，考了一百三十多，是不是开开心心去九八五大学享受人生了，对吧？那么希望今年将这个好运传授给所有我的粉丝们， ok， 好， 那么话不多说，我们下直接来讲题。 那么首先叫做我们该怎么识别他这个阿吉米的三角形呢？这很重要，就是 ab 处的切线垂直相交于准线，也就这个角， 只要这个角是直角，那么他长这个样子，他就是阿吉米的三角形。注意，要过准线啊，要，要过这个切线啊，要过这个交点， ok， 好， 那么或者题目直接告诉你，他是九十度， 明白。第二个就是只要他是长这个模型，他就 m f 垂直 ab， 这是第二个结论， ok， 那 么第三个结论就是 m 点是他们的终点。好，这也没什么好说的，那第四个结论非常非常重要，二五年新高考一卷就考了，所以真的很厉害。你看 它是个直角三角形，只要是直角三角形，我们根据初中学的摄影定律， m f 的 长度等于这一段，乘以这一段，这是初中学的 m f 的 平方等于这个。哎，这个结论非常重要，我希望你记住，那第五个点，就叫做 切点弦，留一带一。好，你只因为 m 点的坐标我们是可以求出来的，那么 ab 的 方程也可以快速解出来，谁知道切点弦怎么写？是不是 y 乘一个 y 等于一个 p 倍的 x 加 s 零啊？ 我问你，把 ab 的 方程写出来，你是不是什么都知道了，对吧？所以秒了呀。明白，好，那么还有两个结论，那我们一起来看到二零二五年新高考一卷吧。哈，来，还有两个，还有这些结论，我希望你也记一下。就是 af 的 长度是这个， bf 的 长度是这个， a， b 的 长度是它。 ok， 你 可以暂停看一下，我们直接来讲新高考一卷。好，我们来看到二零二五年的新高考一卷。你看题目是不是说了这句话对不对？垂直的相交于准线吗？说明他就是一个阿基米的三角形了，能听懂吗？好，我们来看选项，你看他说 a d 等于 af， 这是不定义， a 肯定对了，对吧？他说 a e 等于 ab， 因为我们知道它是直角，你看这个是直角边，可能跟斜边相等的吗？不可能，因为它是直角，所以它错了。 再来看 c 选项，我刚才是不是教过你，你看你讲这讲塞塔，那么 ab 等于什么？ ab 是 不是等于个二 p 除以一个塞塞塔方，有没有问题？我问你，塞塞塔范围多少？因为塞塔范围是零到一百八，所以塞塞方就是零到，干嘛？是不是零到一啊？ 没问题吧？所以他是不是应该是大于等于二 p 啊？所以二 p 等于二 p 是 不是等于六 p 等于三？我问你，坐 a b c 三的选项你要不要三十秒？是不是三十秒都不到啊？能明白吗？再来，我们再来看 d 选项， 第三怎么做更简单了？好，更简单了。来，因为它是个阿基米的造型，所以你把这个连起来，这角是垂直的，来，假设这角，这个角 c 塔，对不对？你看 a e 乘以个 b e 等于什么？ 根据等面积法，是不是等于个 e f 乘以 a b？ 有 没有问题？等面积嘛，你看，因为垂直嘛，等面积。好，那我问你，我是不是给你总结过 e f 等于什么？哦，老师， e f 的 平方是不是等于 a b 乘啊？不好意思，是不是等于 a f 乘以个 b f， 对 不对？所以呢？所以这个式子可以写成什么？那不就是根号下 a f 乘以个 b f， 然后再乘以 a b 吗？你为什么要这样写？因为我有结论的啊， 对不对？你看 af 等于什么？是不是有个 p 除以一个一减 cosine 塔， bf 等于什么？是不是 p 除以一个一加 cosine 塔， ab 等于什么？ ab 是 不是等于一个二 p 除以一个 cosine 塔方， 是不全是结论？我问你里里面是不是根据平方差公式是一减 cosine 方，开出来是不是就是 cosine 塔？因为很正， ok， 所以 你看最终总结就变成二 p 的 几次方是不是二 p 的 平方，然后再除以一个三 n 的 三次方塞塔对不对？那他是不是应该大于等于一个二 p 的 平方？二 p 的 平方等于多少？是不是就等于个十八， 对不对？所以真的两分钟做完哈，当我的学生真的很幸福，同样当我的粉丝也很幸福，加油。好，我们再来看下一题。好，我们再来看到一道高考题，对吧？那这一题也是非常的经典， 那么首先他告诉我们什么？呃，这个角等于九十度，说明他是阿基米的三角形，他现在让我们求什么？他让我们求这条直线的斜率对不对？好，那么两种方法，第一个，你看 m 点坐标， f 点坐标，是不是都已知对不对？那法一不就做完了？ 你看，法一不就相当于是我们能把它的斜率求出来，因为干嘛？因为他们俩相互垂直啊，那是不是斜率相等等于负一啊，对不对？你看，这就是阿基米的三角形，结论你用上做完了。好，这个垂直是阿基米的三角形的结论啊，它的一个负的二分之一，所以你就能求出 k 应该是等于个二的 相同的一个负一嘛。那有没有反而更快一点呢？背过结论没有， m 点的坐标已知啊，怎么办？大哥，是不是留一带一啊？ ab 方程都写出来，我问你斜率能不知道吗？我再给你讲一遍，什么叫留一带一？ y 乘 y 等于个屁倍的 x 加 x， ok， 然后你把哪个点把这点的坐标带入就可以了，那么就相当于是 y 就 等于个 二 x 减一。天呐，斜率是不是有个二对不对？做着做着都笑出来了， ok 啊，关注主播带你逆袭高考，我们一起冲刺高考。

  6393非平凡解_数学提分版
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  07:45

  高考数学典例 圆锥曲线 通过这道题给大家传递2个解题思路：角度差、点差法#高考数学 #圆锥曲线 #点差法#抖音精选#高考互助计划#高考应援联盟@抖音校园

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  来，朋友们看啊，这道题有点难度，咱重点讲第一问和第二问的第一个能把这两个消化就很不错。 来，先看第一问，第一问他就让求离心率，在大题里面很少见，这种第一问让求离心率的题，一般都是给你一个离心率，让你去求方程，他这个求方程跑到第二个了。 呃， y 等于 k， x 加 m， 然后这个 m 又等于零，那不就是一个经过坐标原点的什么函数呀？正比例函数吧。 e 三点，那这是点 a， 这是点 b， 他 说了向量，不是向量，他说 a f f 右焦点， a f 垂直， 是不是这样画？对，然后他问这个角最大的时候离心率为多少？这道题就这个做法，是在你们高二学那个直线和圆的时候，那个模块用过这个方法， 高二的时候这么做，你看啊， a f 垂直于 x 轴点， f 的 坐标是 c 到零点， a 的 坐标是 c 到 a 分 之 b 方，知道为什么吗？二分一半，通净，通净的一半， a 分 之二， b 方的一半就 a 分 之 b 方。那如果点 b 的 坐标我能表示吗？相反，加个方就行。 对，加个符号就行，因为它俩是关于圆点中心对称的。这样，你看这个 ab 的 斜率 k， ab 的 斜率，我怎么表示？我是不是可以用两点表示，一个斜率，它减去它是多少？ a 分 之二 b 方吧。对，它减去它 a 分 之二 b 方，它减去它就是二 c 二和二约调是不是？ ac 分 之 b 方， 它不等于 k 吗？啊？ ab 这个之间的斜率是等于 k， 那 bf 这个之间的斜率呢？二、二 a c 分 之 b 方是零，减它比上它减它，对吗？二 a， c 分 之 b 方。哎，所以呢？ bc， 所以呢？它等于它一半，是不是等于二分之一的 k？ 对， 好，等于二分之一的 k， 你 看接下来我怎么做的？接下来这个点才是重点了。他说当这个角最大的时候，你看这个角最大的时候，我过点 b 做一个水平线，或者做一个 x 轴的平行线， 做一个 x 轴的平行线。我假设这个大角是阿尔法，大角是阿尔法，这个小角是贝塔，那这个 c 塔是不是就等于阿尔法减贝塔， 对吗？这个处理方式只在高二的时候见过，高三考的还并不多。就是因为这道题吸引了，所以我才给它单独拿出来录下来。那两角和夹公式给它展开呗。 一加上一个 tan 二法乘以一个 tan 二倍它，你看啊，这个 r， 我 这是做的水平线呀。那这个 r 二法呢？不就这条直线 ab 的 倾斜角吗？那你 tan 二法呢？不就是它的斜率 k 吗？ 对吗？那这个它的背它呢？是不是 b f 这个直线的斜率了？是不是二分之 k？ 你 把这个 k 啊，二分之 k 啊全都往里面一带，你画下这个式子，看看能多少。 那我画了啊， k 减去一个二分之 k 比上一个 e 加上二分之 k 方吧。 然后分子分母都乘一个二，都乘一个二，就变成了二 k 减 k 是 k， k 比上一个二加 k 方。 这，呃，它的 c 塔倾斜角就这个角度，在零到九十度之间，是单调递增的，单调递增它越大，角度就越大。那我就要求一下它的最大值了。最大值怎么求？ 最大值多少时候一次比二次？最近遇到过好几次了吧。分子分母都除以这个 k 就 行了， k 分 之二啊，大哥。然后下面是 a 加最大等于 他只让我求最大值的时候的离心率，他没有让我求最大值是多少。对，所以我不需要把它最大值给求出来，我只需要知道，当前仅当它和它相等的时候，就当 k 等于根号二的时候， 是不是最大的？对， k 等于根号二，那不是这个东西等于根号二吗？ a c 的 b 方比上 a c 等于根号二， b 方等于 a c 倍的根号二，对吧？ b 方等于 a 方减 c 方等于 a c 倍的根号二。下来怎么求离心率？同时除以 c 方同时除以 b 方 a 方啊，一减一方等于根二解方程求出来那个大于零小于一的 e 就可以了。如果 k 乘以 m 不 等于零，那就是 k 和 m 分 别都不等于零吗？那就直线随便画一条，它不会经过多端圆点就行了。交于 ab 两个点。然后他说 有一个弦直线与圆锥曲线相交了，有一个弦有个中点。同学们，记住我今天说的这句话，遇到弦中点，弦中点点差法。遇到弦中点，考虑点差法，说中点弦弦中点。 来。他告诉咱，他说这个椭圆经过了零到负一这个点，你不就知道这个 b 等于一， b 等于一，那这个椭圆出来应该是 x 方比上 a 方加上一个外方等于一，对吗？现在只有一个未知数了，我只要求了这个 a， 这道题就结束了，看我现在怎么做。我假设 a 的 坐标是 x 一， y 加上 b 的 坐标是 x 二， y 点差法怎么操作？把这两个点分别带进去， x 一 的方比上一个 a 方加上 y 一 方等于一，一个式子 x 二的方比上 a 方，加上 y 二的方等于一两个式子。拿这两个式子做叉，谁减谁都可以听清楚，谁减谁都可以。 那我拿一式减二十吧。嗯，一式减二十，上面减下面是不是得到 a 方分之 x 一 的方减 x 乘以 x 加 x， 可行吗？可以， 加上加上外一乘加加上外一减外二乘以外一加外二等于零。对，等于零等于零。我为了节省空间，朋友们，为了节省空间，我直接在原式上改了，行吗？ 可以吧，我把那 a 方也乘过来吧。我直接在原式上改了啊，斜率出来了，你看懂我这个怎么变形过来没？懂了， ok， 然后朋友们，我把这个 y 一 加 y 二给他除过去，把这个 x 减 x 给他除过来。看清楚啊，把这货除过去，把它除过来。斜率 得到 y 一， 或者是我把它把它除过去。把它除过来，是不是也行？算了，我就除它， 我改变主意，其实都可以。其实都可以把它除过来。得 x 一 减 x 二比上一个 y 一 减 y 二。都可以啊，都可以。等于 y 一 加 y 二比上 x， y 加 y 一 加 x 二乘负 a 方乘一个负 a 方。符号我还写前面吗？ 这是啥？呃，这是 k 分 之一 k a b 的 斜率 k 分 之一吧。对， k 分 之一，后边这玩意负 k 负 k 后面。这你现在看到好像还不是很明显。 出一个二出一个二 c o c， 这不就 x y 零比上 x 零吗？对对对，外零比上 x 零。那你那不就 y 零减零比上 x 零减零吗？这是啥？ k 分 之一，前面还有符号不敢忘。 k o q 可以。好，那就变成 k 分 之一等于负的，这是斜对多少忘求了。九 k 分 之一九 k 分 之一负，九 k 分 之一负多少负负我给它去掉了。再乘一个 a 方 就乘过去 a 方等于九，这就结束了。这就点差法。 ok， 听懂了吗？懂了。

  268张杰杰数学
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  01:55

  硬解定理：圆锥曲线韦达计算终极模板——背下位置，算对一切！ #数学 #高中数学 #高考数学 #赵礼显数学 #硬解定理

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  在高考当中，基本上百分之九十的圆锥题解答题都能够用到应节定律。什么叫应节定律？顾名思义，就是硬解出来的。很多同学在做圆锥曲线的时候老算错，而应节定律我们已经提前算出来了，你直接背下来，考试的时候直接套用，特别爽， 特别容易得分，帮你减少计算失误，提高减题效率，关键是二三十分钟就能够学会，所以应节定律真的非常好用， 强烈建议大家好好去学习。给大家举个例子，应解定律就是直线和椭圆连累完之后，是让你算伟大定律的时候，让你算单调的时候，让你算嫌长的时候，让你算面积的时候，这些本账都是出现伟大定律。只要出现伟大定律，我们就喜欢用应解定律。当然应解定律的形式是非常多的，你只要背一款就可以了。 a 方分之 x 方再加上一个 b 方分之外方等于一 a， x 再加上一个 b， y 再加上一个 c， 等于一个零。所以我们一般情况下，是不是连立的时候是这样的，比如我们通过算出它等一个多少 x， 比如 k x 再加上一个 m 吧，是不是带进去整理成一个关于 x 的 方程，然后等于零，然后再算 x 一 加三， x 一 乘三，再算 d 它。但现在呢，我们先背为 在内，再反过来写方程，我们可以先空一行，那么一般情况下，我们连累的都是消掉外留的 x， 所以 我们先写 x 一 加十二，听清楚。所有伟大定义的分母都是这样的， a 方乘以大 a 方，加上 b 方乘以大 b 方，双曲线背法是一模一样的，如果是双曲线的话，把这个地方改成负 b 方， 就是 a 方乘以大 a 方，加上负 b 方乘以大 b 方。那这就说明椭圆和双曲线的一节定律是一套，就把所有的 b 方改成负 b 方，就是双曲线的。你背的是位置，不是背单词 abandon， abandon， abandon 不是 这样背位置，这个地方的 a 方呢？也不是。真正的 a 方是位置，这地方是二，这地方是四，这个椭圆呢？真正的 a 方是四，但是我们背的是位置，它乘以它方，加上它乘以它方，所有的字母都是位置关系，所以伟大的分母就应该是 a 方乘一个 a 方，再加上一个 b 方乘一个 b 方，然后分子是什么呢？求 x 一 加 x 二的时候， 我们就把外划掉，还剩三个数， a 方， a、 c 这三个数相乘的负两倍，当然没有为什么硬解定律，硬解定律就是硬解出来的，然后我们人为的给他加了一个思路而已，没有道理就是硬算出来，死记背。把外划掉，还剩三个数，三个数相乘的负两倍，也说负两倍的 a 方 a c。 听明白了。

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  圆锥曲线一次性扒透，做题再也不卡壳！#赵礼显数学 #高中数学 #知识分享 #干货分享 #抖音精选

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  原地曲线，每年高考小题他都有一个特别特别简单的题目，就是考椭圆的定义，或者是椭圆 a、 b、 c 之间的关系。所以第一小题你不要搞难的，因为你也记不住，就学基本概念。第二个呢，就是你要会焦点，三角形是考试的重中之重，基本上就是 考什么域线定律或者是面积公式，中位线问题，角平分线问题。第二个解答题你需要会基本的连力思想，如果背 不过，可以去一点一点去算一算。第二个呢，就是常见的一些现场问题啊，面积问题啊，定点问题啊，一定要会翻译这些条件。第三个呢，你可以做一做历年靠身体锻炼一下自己的计算能力，所以你把这些最基本的问题搞定就可以了。

  408赵礼显讲数学
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  10:52

  最后九天带你高效复习一遍圆锥曲线 #高考二轮复习技巧 #新高考备考

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  好，距离高考就剩最后九天了，我们怎么去高效的复习圆锥曲线呢？其实特别简单。好，同学们，你就给我死刷抛物线的题就可以了，花点时间在抛物线的这个多选以及大题上啊，为什么啊？首先第一个， 从近些年这个高考命题规律来看呢，抛物线呢，在多选里面的考察位置是相当是稳定的，我们翻一下近五年的这个新高一卷和新高二卷，连续五年他几乎都出现在多选择题的第二个里面。 然后第二个呢，就是抛物线呢，它比这个椭圆跟双曲线呢，考的会更灵活一点啊，它也更符合我们新高考，对吧，少算多想的一个命题原则。 好，那么根据这两个明确的考察特征呢，我觉得如果你要冲刺个一百一十分或者一百二十分的这个以上目标的话呢，你就必须要拿下，嗯，至少啊，至少他的小题部分你一定要拿下，然后大题如果是压轴，那我们就尽量的去做好前两问就可以了啊。 ok， 首先呢，这道题哈，我们来稍微看一下， 好，根据这道题的训练呢，我们来稍微提升一下这个处理圆锥曲线问题的一个综合能力哈，那这道题它中它是一个抛物线的题，第一问就特别简单哈，考察了个定义，我们稍微去画下图，比如说这个抛物线呢，它的焦点呢，是在 x 轴上， 嗯，画个图哈，然后呢，呃，这上面有个 p 点，有个这个 p 点啊，是四斗 t 好到 f 点的距离呢，是五啊，这不就是定义吗？他到 f 点的距离和他到准线的距离呢，是相同的， 那么因此这个长度也是五了，而这一小段长度呢，正好又是四哈，说明这一小段长度，那不就是一了吗？所以这个准线的方程呢，就是 x 等于负二分之 p， 那就等于负一了啊，所以这个 p 呢，就直接等于二哈，然后我再把这个 p 点呢给他带入，就是，嗯， t 方等于个二 p 乘一个四啊，那就是一十六了，所以这个 t 呢，就会等于四哈。 ok， 第一问搞定 好，第二问其实也是不难的，顺便还考了一下重心哈，那我们同学们可以稍微复一下重心的一些特点，比如说，他在向量里面，我们一般怎么去处理？然后呢，他在我们的呃圆这个几何里面又怎么去处理啊？他在这个圆锥曲线里面呢，又是又去怎么处理了？那这道题很显然哈，他是问你这个 a b 的 斜率为定值了，所以我们就正射直线。 首先由第一问啊，由第一问，我们把这个抛物线呢给它写出来啊，由一，这个抛物线 c 呢，就是 y 方等于一个四 x， 好， 然后呢，这个 p 点就是四斗四，好，我们这个 f 点呢，就是一斗零了。 所以呢，去设这个 ab， 那 就是 y 就 会等于 k x 加 b 哈，现在我们的做目目标是干嘛呀？去把这个 k 给我解出来了，然后这肯定是连利吧。好， y 等于 k x 加 b， 呃， y 方等于四 x， 好， 我直接带入去，把那个 y 给我消掉， 那就是 k 方 x 方加上一个二 kb， 加上 b 方减四 x 等于零啊，那就是 k 方 x 方，好，加上二 k 二 kb x 加上二 kb 减四 x， 然后呢，再加上一个 b 方啊，会等一点。 呃，其实到这一步呢，我们一直还是没有开始去想，是不是这就是考察你的一个计算能力哈。 啊，那其实也是考的非常基础的，我们这个 p a b 的 重心，它在这里吗？重心是什么呀？就三个点的横坐标相加呢，是等于重心的横坐标了。除以三啊。三个点的重作相加除以三是等于重心的重作标，那么我们在这个直线上也就重作标是确定的了。所以呢，我们根据这个回答啊，先把这个 a 点设出来吧，设 a 点为 x 一 y 一， b 点是 x 二 y 好， 所以那两根之隔了。这个不需要动脑筋啊，四减二 kb 好， 负 b 呢？除一个 a 好， 两根之积。 嗯， c 除以 a 啊，好，因此 y 一 加 y 二加上一个。呃， p 点的那个坐标了，它是 p a b 的 重心哈，然后除以三就会等于负三分之四啊。所以 y 一 加 y 就 会等于多少呀？两边同时乘以三嘛，然后把那个四负八了 啊，这个就会等于，嗯，带到直线里面去， k x 一 加上个 k x 二，然后再加上二 b， 呃，所以这个负八就会等于。我看一下 k 乘一个 x 一 x 二，那就是 k， k 下面就是 k 了，那就是四减二 kb， 然后我再加上一个这个二 b 哈，就是二 kb， 你 看，正好二 kb 抵消了，就是 k 分 之四嘛。好，所以你看，负八 k 等于四， k 不 等于负二分之一嘛。 好，因此呢，这个圆明题得正啊，最后记得证明题，你给我写下这句话，好吧，说明你正完了哈。好，这就是我们的这个第二本，你看这道题呢，他其实完全可以出在第十八啊，但是我为什么出他呢？因为这道题啊，他其实并没有想那么难，那从第二问开始，我们就要稍微去想一下了。 第二个看这个条件特别多哈，我们来学学翻译，好吧，我们把这个图呢给它重新画一下，重新画一下，然后呢第一小问的条件呢，也可以稍微用一下它这个直线的斜率呢？我们已经设这个求出来了，而且是负负二分之一了，那就这样的，这个是 a 点，这个是 b 点，然后呢，这个是 p 点，是四。 好，他说什么呢？他说 ab 啊，他与 x 轴交于 q 点，然后中点的话又是 d 点， 呃， p q 的 中点为 r 点，呃过这个 p 去做 t r 的 一个呃，垂线，好交于这个 h 点， 证明这个 h 在 定圆上。你看这个，只要看到圆，我们马上想到什么呢？不就想到圆的定义吗？圆一共有三个定义，首先那个小学学的定义肯定是不会用上的，到一个定点的距离为一个定值，这个大家都知道，那么第二个定义什么呢 啊？他到两个定点之间的夹角啊，是一个定角哦，考考的比较多的是个九十度啊，那其实他为六十度的，为一百二十度，他也是一个，那个圆也是个圆。那么第三第一呢，就是我们课本中提到的啊，是圆的一个定义， 就是到两个定点的距离之比啊，是个定值啊，一般是考第二定考特别多的，特别喜欢出现在我们这个圆锥圆大题里面啊，那么其实你看这个条件特别复杂，我们一一来拆解一下了。首先因为由一， 由于这个 a b 直线呢，就是 y 会等于负二分之一， x 加 b， 好， 那么这个 q 点坐标不就出来了吗？我令这个 y 等于零啊，那就是二分之一就二 b 零了。好，这就是一个嘛，你看，我把它吐出来啊， 把它画一下，这是一个点，然后呢？第二个呢？终点，终点 t 不 也求出来了吗？所以终点 t 啊，但这个其实有点复杂啊，这里要稍微算一下，我再给它稍微算一下啊，不着急写啊。呃，先把这个 x 一 加 x 二给大家算一下，然后呢，再去除一个二， 这个就是，嗯， u k 等于那个二分之一了，四分之一，所以下面就四分之一嘛，然后就是四加上一个这个 b 啊，那么因此，就是，呃，十六加四 b， 然后 y 一 加 y 二， y 加 y 二，好像第一位有啊， y 加 y 二，就是 这个乘以三负八， y 加 y 就是 负八哈，那这个除以二的话，那不就负四了吗？所以这个 t 点中，这个是已知的呀，就是八加二 b， 然后负四嘛。好， t 点也求出来了，你看，这个其实没有多大计算量好，然后他也知道， q 点也知道，那么我们开始算 r 了， r 的 话是，嗯， 这个 p q 的 一个中点啊， p 点有，然后 q 点有， p 是 四四，好，那么因此四加 b 除以，那就是二加 b 了，然后这个是二啊， r 点又出来了 啊，然后呢？最后，哈，最后，既然 r 点也出来了，我们来想，这个 h 点到底是个为什么？会是个圆啊？首先呢，你看一下，我把这个点给它标出来， 这个 p 点，它是个定点吧，你看它到两个定点的距离为九十度，这不九十度吗？而且有个定点呢，还有个定点在哪里呢？我们找不到是不是？那么说明什么呀？说明只有一种情况，那就是，呃， rt， 这个我看一下哈，就是 t r t r， 它就是一个什么，一个过定点的直线嘛，而且你要把这个直线方程求出来，你才知道它过哪个定点啊，所以还有个定点呢，应该是在这个位置，因此我们最后一步就把什么就把 t r 这个方程给我，给我切出来，所以这个 t r 就 会等于好， y 减去个二， 等于 k， k 就是 上面减去个二加 b 啊， 你看这个直线他只有一个参数吗？那么他肯定是过定点了，而怎么去求定点坐标呢？很简单，你把 b 给我提到外面去啊，这里呢，其实很多人不太会算，我们来算一下，好吧。 y 减二，然后这个是六加 b， 一定要把 b 提出来，这个就是六 x 减去个六倍的二加 b， 然后就是六。 y 加 b， 然后减一十二，减一十二，然后减去个六 b 啊，好，然后呢，我们把这个 我看一下啊，减去一十二，减去啊，稍微检查一下，没问题，是不是？然后这个是六 y 啊？把这个提出来，把这个提出来，然后呢？再把这个提出来啊 啊，最后的结果呢？应该是，嗯，化简完油就是 b 倍的，这个 y 减去个八， y 减去八，哈，我这里应该算错了啊， y 减去八，然后加上一个六， y 加上六 x 减二四，等于 好，应该是这个啊啊，这上面是负六，对，这里写错了，负六啊，好，最后结果应该是这个，因此呢，你看，我就让这个 b 消失了。所以 y 不 就等于八吗？所以就过定点 啊， y 就 等于八，然后后面这一串呢，也等于零了，然后带进去啊，那就是，嗯， y 等于八， x 等于负四哈，因此就是负四八这个点 好，然后把这个也给他涂一下，你看，因此，所以这个 h， 我 讲这个点呢，为这个 m 点的话，那就是 h m 他 是会垂直于 hp 的 好，因此这个 h 的 一个轨迹呢，那不就是圆了吗？轨迹为圆啊，他到哪两个定点的这个夹角为九十度呢，一个是负四八，还有一个就是那个 p 点了，四都四了，然后呢，既然是圆的话，你把圆心求出来，因为这两个直线呢就是，嗯，这两个点连线啊，就是我们的直径嘛，所以 原先那就是两个点的一个中点，那就是零六了，而半径的话呢，好，就会等于二分之一的一个 mt 了哈， 好，一个是负四八，一个是四到四哈，然后去用个勾定理，或者用一个两点之间的距离公式两倍的根号，因此呢，圆命题那不就得正了吗？是不是后面计算我算的比较快啊？我们同学呢，这个主要是自己去算一下哈，其实没有多大的计算量， 反而我觉得最后高考的那那一点时间呢？比如说距离高考还有九天，我觉得你提升计算能力的这个可能性不太大了，但是你完全是可以提升自己的思维能力啊，所以呢，多去刷一些这个抛物线的，多选，好吧。

  1522南昌钟老师数学