初三数学画图题尺规作图全部类型
你还真别看不起初中的耻归做图题，耻归做图题，如果真想难为你的话，你中考这五分真别想要。为啥呢？耻归做图题，记住，这句话是对初中几何的性质的极致考验。 首先，他的五种基本耻归做图里面对角平分线性质，对中中垂线的性质，对吧？ 起码是这两点，你得明白啊。做角平分线的时候，做垂直平分线的时候，你得明白吧？对，做等角等线段啊，这基本上都是属于全等三角形的判定，你得明白吧？好，接下来他能怎么出题？ 让你做菱形，你要不要明白？菱形的性质？让你做平行四边形，矩形、正方形，他们的性质一样吗？不一样吧，做等腰直角三角形，等腰三角形，等边三角形， 你是不是得会吧？做三线合一，你是不得清楚吧？做隐形员，隐形隐形员的特点是什么，你是不是得清晰吧？然后让你去平分四边形的就是特殊四边形的面积，那你知道是不是要经过对角线的焦点 o 是不是他可以任何形式出现，让你去做一个啊？里面有一个点啊？做等面，用等面积法去做这个，也做，找到那个点，你是不是笑？要知道这个时候是要让你做平行线了， 对吧？很多学生不知道的，知道吧，他里面甚至可以把压轴题的思想融入进去，明白吧？或者是让你去做一个三十度， 三十度怎么去做啊？不只是做角平分线哦，你是不是得利用塞引三十度等于二分之一去截 垂直截等二分之一的线段，二二倍的线段，因为你要做一个有三十度的直角三角形出来，如果要让你做一个根号二倍的线段长，你是不是要去做等腰直角三角形？他可以以任何形式、任何方式去考你，所以不要小看他。
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03:22查看AI文稿AI文稿徐州中考二模尺规作图解析大家好，今天给大家讲解一下今天刚考过的二模真题压轴两道题。那二十七题是个尺规作图题目，这道题目呢？呃，难度并不是很大，我们一块来看一下。首先第一个，他是点 p， 在 园内过 p， 做一条直线 l， 使得直线 被圆 o 所截的弦被 p 平分。那换个角度考虑就是 p 是 我们弦的什么呢？中点，那在圆中是中点，中点这个信息考的就是垂平面，所以呢，我们可以直接怎么样呢？ 先连接我们的 o p， 然后呢，过 p 点做什么呢？做我们的一条垂线就可以了， 相当于是做垂线。那怎么做垂线呢？我们直接相当于是 p 点，是已知的过 p 点做垂直，那就相当于是我们比如说把这条线延长， 用圆规画一个弧截等长做，比如说我们 ab 这两个点，对吧？第一步，先交于这两点，截取相同的长度，然后呢，做 ab 的 垂直平分线， 这样的弦就可以搞定，这是做垂线的一个思路。那第二个呢，同样是在我们的 圆 o 外有一个点 q， 使得什么呢？做一个点 q， 做过点 q， 做条直线，使得该直线被圆 o 所截的弦与一中的弦相等。那弦相等其实本质上是什么呢？本质上在圆中弦相等所对应的弧也是相等的， 对吧？那甚至说呢，弦相同的话呢，弦心距的长度也是一样的。所以呢，我们倒推的逻辑应该考虑 o p 的 长度应该是等于什么呢？等于这边的一个长度做垂直， 那换一个角度考虑，它们俩长度是一样的，既然是一样的话，就应该是一个圆，以 o 为圆心做一个圆，那这个圆呢？这个点，比如说我们标一个 m 点，就应该是 m 点，和我们的 q 点相连，是个垂线，那么就应该是切线，所以呢，分析完之后，倒退完结束之后，就相当于是过 q 点做圆 o 的 一条切线，所以呢，怎么做？ 应该是以第一步，以 o 为圆心，我们的 p o 为半径，做第一个圆， 做第一个圆。然后呢，利用做切线的一个性质，那切线的性质该怎么做呢？是第二步，第二步，连我们 o q， 把 o q 连起来，以 o q 为圆为直径，以 o q 为直径 做圆，对吧？交于这一点，所以做法是什么呢？做法就应该是先做我们 o q 的 垂直平分线，垂直平分线，然后怎么办呢？以 o 撇点为圆心，做一个圆，交于这个角点 m， 所以 连接 q m 并延长就可以。轨迹一定要做好， 这是道吃亏。做错题目难度并不算很大，相信百分之九十的同学只要去听过我们的课程，了解这个方法，都可以做出来。那接下来我们看看什么呢？看下。
84胖胖数学
19:49查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们就来讲中考数学最后十讲这样一个系列课程的收官之作。最后一讲尺规作图精讲尺规作图可以说是中考数学必考的内容了，还是老规矩，我呢已经把全套的资料给大家备齐了， 大家只需要先获得资料以后再来学习，这样的话学习效率才是最高的。本讲内容啊，分成两部分，第一部分就是尺规作图的基本方法，这个我说一下，一共是讲多少种呢？讲七种基本的方法， 那么中考考到的都是这七种的排列组合。那么第二部分就是尺规作图在中考中的考察了，就是去年的中考原题。 好了，我们先来看第一部分，那么接下来我们看这个基础篇啊，基础篇的话，第一个就是做一条线段，等于已知的线段 a b， 那 么怎么做呢？你要注意的是尺规作图里边这把尺子呢，你要当成没有刻度的尺子，它只能用来连线。 那么画完之后的话，咱们可以点一个点，比如说左边这个点叫点 c， 当然你做的时候一定要用铅笔啊，我找不到铅笔了，那么我们只需要怎么办呢？你截取长度的话，用的是谁？用的是圆规啊？看好了， 圆规是吧，那么就这么长。然后呢到 c 点这保留作图痕迹。好了，这个点 d 啊，就是刚刚画的这条直线上的交点，这样的话不就保证了 c d 等于 ab 吗？好了，做完了， 那么来看另外一个，另外一个的话就是做一个角，等于已知的这个角我先告诉你原理，原理是什么呢？原理事实上就是边边边的三角形全等怎么画？我画到右边吧，右边呢，先画一条边， 没问题。那么画完这条边以后的话，咱们还是比如说这是 abc， 这就写成 c 吧，然后继续哈，现在注意了，我用圆规它这个半径，它是不变的哈，我没有动过它， 这来一下，这来一下，然后焦点分别是多少呢？那左边的焦点你就写成 a m、 a n 呗。那么显然你可以截取这个 a n 的 长度，是不是 a n 的 长度等于接下来的 谁的长度？等于接下来的 cd 的 长度？好，此时 c d 和谁一样长？和我们的 a n 是 一样长的。然后接下来干嘛呀？然后你首先你把这个弧给做出来不就可以了吗？你可以把完整的弧给做出来的，你画长一些没关系的。 那做完这一条之后，咱们再比比长度 m n 吧，左边这个长度看好了啊，这个是 m， 这个是 n， 咱们比一下。哎，长度正好是这么长，哎，稍微有点手抖了，那行吧，点到这不要动，然后呢，它呀， 稍微长一点点， ok 了。那么接下来咱们以点 d 为圆心，以刚才 m n 的 长度为半径，做一条弧，跟原来的弧 是交于哪的？是交于点点 e 的。 那么现在我们就只需要做什么了，只需要 延长 c e 就 可以了。那么在刚才做图的过程中，其实咱们都是保证了什么呢？当然了，这个给他显眼一点，刚才在做图的过程中，我们已经保证了 a n 等于 cd。 然后呢，你再顺便连接一下 d e， d e 的 长度和左边这个图里头 他这个 m n 的 长度其实是怎么样的？是一样长的，然后他也一样长， 是不是？然后根据边边边的三角形全懂，你说此时的角 a 是 否等于角 c？ 当然等于了，好了，做完了，那么再来看，一定要把基础的先学好。那么接下来就是第三个， 你能不能做出来 ab 的 中垂线啊？能呀，其实你找中点和做中垂线，它的方法是完完全全一模一样的，你只需要以点 a 为圆心，以点 b 为圆心，然后以大于二分之一的 ab 的 长度为半径 做弧，或者说你把完整的圆做出来也行，咱们就做弧就行了，然后你看半径是没有变的。 好，上面这个焦点，咱们比如说就写成 m 点，然后下边这个焦点呢，就写成 n 点，因为刚才半径没有变，所以 m a 等于 mb， 然后 na 等于 nb， 所以 点 m 点 n 都在 ab 的 重垂线上，两个不同点，当然就把这个唯一的重垂线给做出来了，你看这不就结束了吗？这就是保留做错痕迹。那么我们继续来看哪一个呢？ 第四个，第四个的话是谁是做出已知角的角平分线？他的道理我也告诉你，是边边边的全等，来吧，做出已知角的角平分线需要怎么处理啊？看好了，看好了，我们只需要这样 来，半径始终都是没有变的啊，继续好，半径也是始终没有变，从始至终都是一个半径， 长度是没有改变过的，当然了，这一边咱们再画的长一些。好，那么刚才的过程中啊，咱们标一下点，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 然后呢，这个焦点咱们写成点 p 吧。那么连接 ap 之后，其实你要想拿满分，你这个时候只用做出 ap 这条射线来，你告诉他，如图， ap 就是 角平分线了，但原因的话，咱们也大概说一下，为什么呀？ 原因很简单呀，因为刚才你半径都没有变的，半径没有变不就代表 a c 还有 a， b 还有 b， p 还有 c， p 的 长度都一样，中间还是个公边，你说边边边上下 a， c， p 和 ab p 是 不是全等？所以角一都就等于角二了，清楚了吧。好，这就没什么问题了。那么继续再来看接下来的哪个图呢？ 好，看到了吧，这个图他说的是过已知直线上的一个点，做出垂线。来吧，来吧，看好了，咱们以点 a 为圆心做一个圆， 其实你只用做圆的一部分，左边有个交点，右边根直线也有一个交点，然后左边这个交点，比如说咱们既为点 b， 右边这个交点既为点 c， 那 接下来做中垂线不就够了吗？是吧？你做出 bc 的 中垂线，那剩下应该就不用多说什么了吧？我直接把这个作图痕迹给大家 表示出来看好了。这这然后呢？以点 b 为圆心，半径不变的啊。 那么此时，比如说上边这个焦点是 m 点，然后下面这个焦点是点 n， 那 么你的直尺没有刻度的直尺就有用了。那只需要干嘛了？只需要连接 m n。 好 了，这不就是过点 a 把这条垂线做出来了吗？那么还有，如果点 a 在 哪？ 如果点 a 在 外部呢？看第六个，如果点 a 在 外部的话，就会形成这样一个情况。呃，哦，现在是点屁啊，过直线 l y 的 点屁做他的垂线怎么做？来吧，我就先不提示了，我直接告诉你，这样， 你以点 p 为圆心做弧，左边跟直线 l 交于一点，右边跟直线 l 呢？也交于一点，是不是？那继续保持不变啊？左边这个焦点继续了，搬进我从始至终其实都没有变过的， 然后左边这个焦点以它为圆来，刚才一不小心啊，我把这个做出来有点好，对，现在可以了。 好，然后呢，半径千万不要变，手不要抖，那不就做完了吗？因为刚才在做的过程中，你半径始终不变，你可以保证 p a 是 等于 p b 的， 然后并且都等于 a q 和 b q， 那 么此时 p q 是 不是就是 ab 的 中垂线？实际上 p q 就是 垂直于直线 l 的？ 那最后一步的话，你只需要保留做错痕迹，连接 p q 这条直线，告诉他 p q 这条垂线就做出来了。那当然了，还是跟垂直有关的，还是用了一下小小的中垂线的这样一个性质。那么最后一个的话，就跟平行有关了，咱们不要光会做这样一个垂线，还得会做平行线。 那么平行线怎么去做呢？考虑一下最后一个，我们可以这么来处理，方法很多啊，因为什么呢？平行线它可以内错角相等，所以平行互补不好做啊。那就用相等也可以同位角是吧？要么同位角，要么内错角。 来吧，咱们随便寻找一个点 n 在 原来的直线 l 上，比如说寻找完这个点 n 之后的话，此时我们这个角一， 它是不是一个固定的呀？那肯定是一个固定的，值嘛？那于是呢，我们只需要过点屁哎，把它另外一个方向上的内错角给画出来就行了，这个套路是固定的，所以我就给大家说了，好，这是有的，没问题吧？ 好，这也是有的，那我们过点屁，半径不变做出来， 那么做完之后还有一条，你还是利用边边边吧。其实刚才我写到这的话，大家应该都清楚了，比如说这是 a， 这是 b， 然后你还得怎么样，你还得让，哎，我知道了，所以我接下来我量一下这个 a b 的 长度，这不就是圆规的作用了吗？ 对，就是这么长了，那么接下来我就做好了。刚才在画的过程中啊， 我们已经能够保证什么 ab 是 等于 qm 了。对啊，你连接一下 qm， 其实连不连 qm 都行，你要是想得满分的话，这个时候你直接保留作图痕迹，然后 做出直线 pm 来就行。因为刚才的话，你根据边边边已经能够保证谁了，已经能够保证角一等于角二了，角一等等于角二啊，你说图中的 pm 是 不是平行于 l 的？ 好了，这不就把平行线做出来了吗？ 那么接下来咱们做一个中考原题吧，是关于作图的啊，这个尺规作图真的很重要，做一下哪道题呢？看一下这道题，这是去年的哪的青岛的原题，他怎么说的？他说如图， 点 d 他 是在哪的？看清楚了，点 d 是 在角 a o b 的 内部，他挺有意思，他是做一个等腰三角形， o c 等于 o e， 但是啊，你还得怎么样？点 c 是 在射线 o e 上， 然后点 e 呢？是在射线 o b 上，你还必须保证谁点 d 在 什么上面，点 d 必须正好在这个 c e 上面，这就有难度了，你要只做等腰三角形，特别简单，但是怎样能够保证这个点 d 在 c e 上面呢？ 这个时候它的综合性就很强了。这道题我相信去年应该有不少同学丢了分，我告诉你怎么做，我们这么来处理，首先，反正是个等腰三角形， o c 等于 o e 嘛，我做不出来。等腰三角形，我做不出来这个 o c 等于 o e。 但是呢，我可以做一个 o m 等于 o n 啊， 这个还是相当轻松的，对吧？那么这种情况下，我就直接连接了，看好了，连接这个 m n， 好， 这个是 m， 这个是 n， 反正这个 o m 是 等于 o n 的， o m 等于 o n， o c 等于 o e。 嗨，你应该知道我的意思了吧？事实上，我想说的是，这个 c e 你 做完之后是平行于 m n 的， 因为都是等腰三角形嘛， 所以它俩是平行的啊，它的底角相等，对不对？你比如说这个地方，你把 c e 做出来，是吧？那平行怎么做？平行的话我跟你说呀，来吧，我们只需要连接一下 m d， 当然你要非要连接这个 n d 也行，没问题。 那么接下来我们只需要构造这个角一等于另外一个内错角，角二就行了。过点地向上做一个角二，跟角一相等，那样的话，平行线不就做出来了吗？所以，于是呢，怎么做？来吧，就是做相等的角这样一个固定的套路了， 这个就不多说了，直接来，咱们是以 m 点为圆心， 做了这一段弧，是吧？然后我以点 d 为圆心呢，我也把这段弧给做出来。那么做完之后的话，行了，那么接下来的话，咱们就需要让这个 p q 的 长度正好等于图中的这个 h i 的 长度了，是吧？你看啊，这个 i 点怎么确定下来？就是这样确定下来的呀， 来，继续做弧，做完了，这就是我们要的这样一个点 i， 是 不是那么点 i 有 了？哎，那么我们只需要连接做出这个直线 d i 来就可以了吧？ 好了，上边就是点 e， 下边呢就是点 f。 刚才你看咱们第一步是什么？先做出等腰三角形 o m 等于 o n 来， 然后再做出 m n 平行于 e f 来。哎，连接 m d， 通过角一角二内错角相等，做完平行就够了。所以你看，你不仅要会做垂直，还得会做平行才可以啊， 这是利益行。刚刚讲的题呢，都是告诉你怎么去保留作图痕迹，用尺规作图的方法把这个具体的图形给画出来。 那么现在变了，就是先告诉你尺规作图的过程，然后问一些问题，比如说这道题它是怎么回事的呢？首先告诉你图中这个 b a c 这样一个角度是三十度， b a c 这三个点都在同一个圆圆 o 上， o 点是圆心。 然后又怎么说？他说分别以点 a 点 b 为圆心，以大于二分之一的 a b。 呃，它的长度为半径作弧，两弧交于 m n， 那 么此时直线 m n 是 谁呀？ 直线 m n 实际上它就是 ab 的 垂直平分线，或者叫中垂线，这是一个意思。那既然做完这个的话，接下来他问什么？他说的是让你求一下图中谁的角度啊？让你求一下图中 a o e 的 角度， 那 a o e 的 话，也许不太好求，但是 a b e 很好求，为什么？因为 a o e 他是圆心角啊，同弧所对的圆周角，那你说是不是存在这样一个二倍的关系？所以我们只需要求出来 a、 b、 e 就 行了。 a、 b、 e 请你告诉我是等于多长的？这个太好算了啊，我们只需要怎么算？你看，因为 d、 a 是 等于什么的？是等于 谁的等于 d、 b 的 吗？为什么 d、 a 等于 d、 b 啊？因为你点 d 是 在中垂线上的，所以中垂线上的点到两个端点距离相等，它俩相等的话，所以就可以得出来角 b、 a、 d 是 等于角 d、 b、 a 的， 它都是等于多少度啊？ 它都是等于三十度的。哎，原来最终答案等于二乘三十度啊，是不是 a、 b、 e 和谁呢？ a、 b， e 和 d b a 这不同一个角吗？所以最终答案是六十度，选 c 就 可以了。 那么再来看一道题，济南去年的中考卷题也是吃亏作图，你先看第一部分是干嘛呢？第一部分是在 c、 a、 c、 b 上分别截取 c、 m， 它，然后 c m 等于 c n 啊，好，然后呢，以 m 和 n 为圆心，大于二分之一的 m， n 为半径作弧，这不就是做角盆盆线吗？然后延长 co 之后啊，跟 ab 交于点 d， 所以 图中我们的角一和角二是相等的，所以它是告诉你什么圈一，这个步骤就是告诉你 cd 平分角 a、 c、 b。 行了，我们看圈二，圈二的话，它是分别以点 c 和点 d 为圆心，以大于二分之一的 c、 d 为半径。这不就是哦，交于 p、 q 两点，那此时 p、 q 不 就是中垂线吗？咱们说清楚谁是中垂线啊？ p、 q 它就是 c、 d 这条线段的中垂线。然后呢，这个中垂线分别交于什么点啊？这个中垂线跟 c、 b 交于 f， 然后呢？跟 c a 交于点 e， 那 么现在好了，既然有中垂线，你说中垂线最重要的是什么？中垂线最重要的特点就是中垂线上的点到 线段，两段点距离相等啊，所以当我连接这个 d e 之后的话，它只需要连接 d e 啊。对于这道题，那么此时根据中垂线的点到线段，两段点距离相等， 那么做完这些之后够了吗？还不够，角一等于角二吧？对啊，然后那继续了，角一等于角三吧。所以为什么角一等于角三啊？因为等边对等角啊，然后继续， 又因为角一等于角二，这是圈一做图的过程得出来的，所以传递一下我们图中角谁，这个角二是等于角三的？角二等于角三，角二，角三是什么角？它是内错角相等吧，内错角相等， 两直线平行吧，所以图中就得出来了， d e 是 平行于 bc 的， 平行不就是得相似吗？三角形 a d e， 它是相似于三角形 abc 的， 那么接下来就肯定可以出答案了。那行吧，我们先来看什么？ 先来看一下此时咱们的 a d 比上 ab， 一个是四，一个是六啊， 因为这个题目中是告诉你的嘛，这个长度，那么继续了，它还等，这其实就是相似比啊，四比六，它还等于 d e 再比上 bc 吧。那 bc 的 长度知道吗？知道的啊，实际上就是四比六等于 bc。 bc 是 谁？ bc 是 三倍根号二。那太好了，所以我们可以很快算出来 d e 的 长度，它是等于多少的？它是等于二倍根号二的。行，把 d e 算出来了。 那么算完 d e 之后的话，我想告诉你的是，你这个 c e 和 d e 不是 相等啊，他就都等于二倍根号二倍。那于是最终结果已经出来了，谁还是等于四比六啊？其实还有什么？还有 a e 比上 a c， 它也是等于四比六的。二比三嘛，其实也就相当于 a e。 再来一个 a e 加上 c e 吧。但是 c e 长度咱们已经知道了，咱们直接把这个 c e 写成二倍根号二，它等于 四比六，所以最终咱们 a e 可以 算出来 a e 等于多少，它是等于四倍根号二的。所以这道题的答案就是四倍根号二。那么应该学会了啊，一定要记得领取资料之后，然后再来学习，这样效率最高。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下节课再见！
1039会放羊的教书匠
03:12查看AI文稿AI文稿大家好，今天再分享一道尺规。注，图题如图，将矩形纸片 a、 b、 c、 d 折叠，使得点 b 落在对角线 b、 d 上，点 b 的 对应点即为点 e， 点 a 的 对应点即为 f。 折痕与边 a、 d、 b、 c 分 别交于 g、 h。 当折痕 g、 h 在 某一位置时，能使 c、 f 三点在同一直线上。请用无刻度的直尺和圆规在图中作出 折痕 g、 h 保留注图痕迹，不写做法。那首先我们把这个草图画出来，现在研究一下这个草图有什么性质。因为这个纸片呢，沿着 g、 f 翻折， 所以说根据折叠的性质啊，这个角 h e， c 等于角 h， e、 f 等于九十度，这是垂直的， g h 是 垂直平分比 e 的， 那既然 g、 h 垂直平分 b， 那 么这两个角就是相等的，我们记为角一和角二，那角二和这个角是互余的，记为角三， 角一和这个角角四也是互余的。等角的与角相等，那说明角三就等于角四了。 c、 e 就 等于 c、 d。 我们如果那这时候啊，我们就可以把一点确定了，怎么确定呢？就是以 c 为圆心， c、 d 成为半径，画圆跟 b、 d 的 焦点就是这个。一点一点确定了， 那么 b、 e 就是 确定的。 g、 h 是 垂直平分 b、 e 的， 那折痕 g、 h 我 们就可以做出来了。所以说第一步就是以 c 为圆心， cd 长为半径，画一个圆和，这时候和 b、 d 交于点 e， 然后我们做 b、 e 的 垂直平分线， 那这个 g、 h 我 们就做出来了。那这这道作图题就做出来了。 如果连接 h e， 然后再连接 c、 e， 并延长在 c、 e 的 延长线上，截取一点 e、 f 是 等于 a、 b 的 连接 g、 f， 这就是这个矩形纸片呐。翻折之后 b 点就落到这个 e 点， c、 e、 f 三点共线。
02:34查看AI文稿AI文稿各位济南中考的家长选择题第九题啊，使规做图，看着简单，确是孩子极易丢分的隐形坑。今天呢，咱们把底层考点彻底讲透。 这道题官方考纲核心锁定两类啊，做图，第一呢绞平分线啊，第二个就是垂直平分线，很多孩子死记啊，做图的这个过程，忽略了核心的这个逻辑。嗯， 所有尺规作图的这个底层原理，本质上就是通过啊，构造等线段，推倒三角形全等啊，最终呢，实现这个定位目标直线 孩子只背过程，不理解原理啊，题型一变呢，就会立刻出错，这是很多孩子这类型嗯，频繁失分的根源。 结合近两年全省及本济南本地命题的趋势，考题呢啊，新增加了尺规作矩的这种考法，但是它的核心依旧是构造相等的线段啊，本质上是没有改变的， 但对孩子的这个审题的这种能力，嗯，是要求更高的，尤其是注意济南本地的这个特色的。这种命题的陷阱啊，就是两线合一型 哦。何为两线合一型呢？题干要求做垂直平分线，结合题型的特殊条件啊，了解这种平分线的属性，这是本地命题人最热衷设置的易错点，孩子如果稍不留意呢，就会掉进命题的陷阱里。 很多家长认为这道题是选择的倒数第二题啊，难度一定特别高。其实不是啊，受限于这个考点的本身呢，题目不会设置，非常难，但是呢，他会在出题的形式上去做创新，就是结合的条件会更加灵活。 所以，建议孩子在做题的时候，一定要去一个字一个字去审题啊，去圈画关键条件，如果考场出现卡科，一定要通过排除法进行一个逻辑验证。 呃，我们进行保底拿分哈。中考一分一操场看着是不太起眼的。第九题其实也是区分孩子基础扎实与否的，这个分水岭，家长一定要提醒孩子吃透原理啊，千万不要机械性的刷题。
20济南初高数学
07:27查看AI文稿AI文稿大家好，今天分享一道尺规助除题，这道题是今年的沿成一亩的二十六题，我们只讲这道题的最后一小问，是在正方形中做出一个最大的半圆， 做一个作图体。一般的分析步骤时，首先做出草图第二步分析其性质特点，第三步根据这个性质特点呢进行此为作图。 那这道题是在正方形里面做一个最大的半圆，如果这个半圆三和这个三条边相切， 也可能这个半圆呐跟两条边相切就是斜放的，显然第二种情况比第一种情况这个半圆更大，所以说我们研究第二种情况。我们把这个正方形的对角线一连， 根据对称形 m 跟 b、 d 是 平行的，跟 a、 c 是 垂直的。 设这个半圆的这个圆心为 o 撇，就是我们要把这个 o 撇跟这个半圆的半径做出找出来。设，我们可以设这个正方形的边长为 a， 这个半圆的半径为二。我们就首先第一个思路就是要找到半径跟 a 之间的数量关系，那如何找呢？可以过 o p 点做 d、 c 的 垂线， 那么这个 o、 p、 e 也是二。 那么因为 a、 c 是 对角线，所以说这个角 d、 a、 c 和角 a c、 d 它都是四十五度，那么三角形 o p、 a、 m 和三角形 o p、 e、 c 也都是等腰直角，三角形 o p、 a 也是二 o p c， 它就是根号二二了。 a、 c 的 长度就可以表示为 r 加上根号二 r， a、 c 又是这个正方形的对角线，那也是等于根号二 a 的， 所以说 r 加上根号二 r 等于根号二 a， 那就可以得到二与 a 之间的关系。那现在我们就根据二跟 a 之间的关系做出这个半圆，如何做呢？因为这里面含有根号二， 我们想到正方形的对角线 a c， 我 们把 a c 连起来，它的半，它的边长是 a， a c 就是 根号二 a， 如果以 c 为圆心， a 为半径 画一个圆，那么跟 a c 有 一个交点， e， a， c 是 根号二 a c， e 是 a， 那 么 a 的 长度就是等于根号二减 e a 呢？ 下面我们需要就是在这个上面找到这个 o p 点，就是这个半圆的圆心，使 a o 撇是等于这个半径的。那怎么做呢？这里面又出现了一个根号啊，我们还是应该把它放在等腰直角三角形中， 呃，可以这样放，就是在 a d 上截取一段是等于二倍的 a e 的， 那 a m 是 等于二倍的 a， 这个圆呐，和这个 a c 有 一个交点， o p a o p， 它就应该就是等于 半径的，就是等于半径。为什么呢？我们把 m o p 连起来，并延长交于 ab 与 m， 因为这个还是四十五度啊， 这个 a m 是 纸巾，那么这也是垂直的 三角形 o p a m， 它就是等腰直角三角形， a m 是 等于二倍的根号二减一再乘以 a， 所以 说 a o p 就是 等于 这个半径。那然后下面我们只有以 o p 为圆心， o p m 为半径画半圆，这样半圆我们就做出来了。而这种方法的关键是找到这个半圆的半径与 正方形边长之间的关系，根据这个关系，我们做出这个半圆。 我们再来分析一下这个图形，这是 r， 这也是 r， 这也是 r， 说明 a 这个点 a 也是在这个圆 o 撇上，如果连接这个 a 三角形， o 撇 a e， 它就是等腰，呃，等腰三角形，那么 这个角是二十二点五度，这个角也是二十二点五度，这个角也是二十二点五度，那所以说 a、 e 也是平分角 d， a、 c 的， 也就是一点是角 d， a、 c 的 平分线与 c、 d 的 交点，那一点还是这个半圆与 c、 d 的 切点， 那由此我们就可以得到画这个最大半圆的另外一种方法。这种方法更简单，就是做角 d， a、 c 的 平分线， 然后与 cd 有 一个交点， e 点过点 e 做 cd 的 垂线， 与 a、 c 有 一个交点，这个交点就是 o p 点 o p， e 就是 这个半圆的半径，然后我们以 o p 为圆心， o p， e 为半径，画这个半圆与这个 a、 d 跟 b、 c 有 两个交点 m n， 然后我们把 m n 一 连， 那这时候这个半圆就做出来了，那这种方法更简单。
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02:28查看AI文稿AI文稿初中数学中考有一类题型，孩子是分还是蛮多的，最近看了一下，是哪类问题呢？就是尺规作图，尺规作图考察了孩子的实际动手能力，那么以及对敬意敬礼的深刻认识。而尺规作图常用的五种 必须具备啊，像做已知线段，做一个等角，做一个角的平分线，做线段的垂直平分线，以及过一点做已知线段的垂线，这五个基本作图必须吃透，了解明白，那么才能对接下来的实物作图进行 合理的分析。那么什么做图的解析，主要的这个思路和步骤就是逆向思考，按照已知条件先画出草图，那么根据草图去分析如何才能达成 他的要求，然后再通过已经学到的精益敬礼功力进行这个操作的，那万变不利。其中他主要还是来自刚才讲的五个基本要点。那么目前中考比较常考的有做这个二倍角、三倍角的作图，以及 做面积等分，而面积等分这近来模考属于高频这个热点考察啊，他的主要的思路就是这个 平行之间，平行线之间距离处处相等，也就是我们俗称的拉窗帘这个原理。那么通过线的转化， 再把面积转化后，其实还是落实到中点啊，中点三角形的中位线可以平分三角形的面积，这个主要的这个企业还是不离这个我们学习到的最基本的知识点啊。那还有做切线，切线也是近年来考的比较多的， 做切线也是用的垂直平分线定律啊，所以这个只顾作图，要想把分拿全，那么平时就要多练，多练是一个非常重要的，再一个你要学会逆向思考。 那么第三个一些新颖的这个骑行要进行这个练习下，那么找样他初期的内在命棋这个要求 也就说你掌握几层？第五、五个的基本操作，然后加上你已经学到的几何知识啊，近一近的去推演，然后进行分析，就能快速在考场上把这个分数拿到。
66陈星简易数学
03:32查看AI文稿AI文稿天津的无刻度知识全国最难，没有记 在六乘以六的正方形网格里面，这是个六乘以六的正方形网格，对吧？每个正方形的边呢，都是 e。 好 线段， a b 两个端点都在格点上， a b a b a b a b 都在上面。好按要求完成下列画图，保留画图痕迹，不要只写出画法好。比方这是一个线段 a b 长度段，不知道 在 a b 上找一点 e， 使得 a e 比 b 等于二比三，我觉得大家能找的会找的悄 e。 好 吧， 哎，练了这个东西我觉得有点麻烦，不知道怎么找窍啊。其实无刻度芝士做的非常简单，简单到不敢想象中考里面所有无刻度芝士，比方说第一个你怎么去做中点，你怎么去做等分点？还有第二个做平行怎么做呀？那做垂直怎么做呀？ 还有垂直平分线做等角又该怎么做呢？而你这点指什么？这是第一个等分点，等分点非常简单，不卖关子。你不是二比三吗？你从一个点往这边走，两个单位从一个点往反方向走，三个单位结束， over。 好，你连一下吧。为什么这么说呢？因为你会发现上下两个三角形一定相似吗？相似比几比几呢？相似比就二比三吗？相似比，既然是二比三，所以你会发现那对边的这个边比这个边不也等于二比三吗？所以你这个焦点对吧？就是我们的一点没了，结束 简单不？所以等分点就是我们利用比例来构造它，其实做平行，做垂垂垂平面等角，你们听了你们自己都会好。那接下来我们再来找一下啊。其实我觉得这个题如果是我肯定不这么做，我肯定比方 cosine 二分之五 你找去了，你肯定找不到吧，那我觉得这个题你看看它是一个什么呢？它是今年哈尔滨，大家有没有看到适应性考试 试一性考试就什么呢？哎，首先让你试一下，既然试一，那就难度不可能更大，所以无刻度就是他出的也很简单，二分之根号，我想问一下什么样的角度，他的余弦值是二分之根号，告诉我很明显吧，四十五度是不是？你不要说这个不会啊， 说白了就是构造一个什么呢？构造一个角，对吧？大概这个角四十五度怎么构造？其实很简单，四十五度它往往出现在等腰直角三角形中，所以也就是你要过 a 点，过 b 点，分别构造两个全等的直角三角形来形成三垂直模型吧，对吧？说白就是这个点， 为什么这个点你会发现，那各位同学们，我这么一画你们就明白了，你会发现其实这个点你连一下，你连一下就是的啊，这个角一定四十五度，好吧，这个就是我们的 c 点， 凭什么呢？呃，我跟大家稍微的解释一下啊，你比方说你连一下，你连一下就是你去找一个，怎么样呢？三垂直的 就可以了，大家能看出来吗？但这个蓝线是不需要的，蓝线是我为了画出来辅助大家理解的，是不是？ 这是直角，这是直角，对吧？你是一个一乘以三的直角三角形，我是一个一乘以三的直角三角形，所以咱们这两个直角三角形一定全等，全等完毕之后呢？那剩下我们知道这个边等于这个边 全等之后，我们知道这个角一定是直角，所以它是个等腰直角三角形。因此 c 边呢？就在这里，你这个角呢？就四十五度， 四十五度的三角函数呢？二分之根号结束。好吧？好，那么也就是考试。你你，你这个东西是不需要的，你这个是不需要的，你这个也是不需要的。懂了没有？这些标记，这些标记这都不需要，明白没有？就像这个样子，理解了不？哎，我们就过了啊，过了跟着亮亮无脑学习。
7445理学-亮亮聊思维
09:13查看AI文稿AI文稿大家好，今天再分享一道尺规注图题，这道题是二十四点零南京中考二十六题， 我们看题说如图，一、已知正方形 a、 b、 c、 d、 e、 f 分 别在边 a、 b、 c、 d 上连接 ef 作 g、 h 垂直 ef， 且 g 在 b、 c 上， h 在 c、 d 上。 这道题最简单的方法就是做这个 e、 f 的 垂直平分线，就可以得到 g、 h 了，这是基本的作图。尺规作图也可以在 e、 f 上找到一个恰当的点，过这个点做 做他的垂线。做 ef 的 垂线也可以得到 g、 h， 这是一种方法。第二种方法就是可以在 b、 c 上面找一个恰当的点，记做角 c， g、 h 等于角 d， d、 f、 e 也可以得到 g、 h。 为什么呢？做完角之后啊，我们可以过 h 点和 e 点做这个对边的垂线， 那做垂线之后啊，那么这两个角就是相等的。等角相等，这两个角是对顶角， 那说明这个角跟这个角相等的，而这 e、 n 跟 h、 m 是 垂直的，所以说 e、 f 跟 g、 h 垂直。 做完垂直之后啊，这里面有两个直角三角形，这两个直角三角形还是 全等的，也有 e、 m 跟 h m 都是这个正方形的边长，都等于正方形的边长。原来我们刚刚得到这个这个这两个三角形啊，三个内角都是相等的， 所以说这两个三角形是全的，进而可以得到 e、 f 等于 g、 h， 这是在正方形里面啊。 一呃，就是两条对边上的这个连线段是如果是相互垂直的，那么这两条线段还是相等的。这就是我们初二里面学的这个十字架模型。 我们再看第二小问，说点 p、 q、 r、 s 在 一个正方形的四条边上，请用两种方法， 用两种方法做出点 p 锁在正方形的边，那实际上我们就是要如果能把这个正方形做出来啊，那这个 p 点锁在这个正方形的边，自然而然 就做出来了。那对于这样的做图题呢？他一般的分析的思路是什么呢？第一步，我们把那个草图做出来，然后根据这个图形分析他的性质和特点，再根据性质特点进行尺规做图。 我们假设这个正方形已经做出来了，呃，这个 p q r s 这个四个点在这个正方形的这个边上， 那那我们就思考这个图形有什么性质呢？从什么方面思考呢？一个思路就是根据第一小问，因为第一小问会给我们第二小问提供思路。那看看， 呃，看看这里面有没有能不能利用到十字架模型呢？所以说底部设先把这个 q s 连起来，那怎么出现十字架模型啊？我们过正另外的两个点啊，可以做 ps， q s 的 垂线， 那过 r 点做它的垂线，那这这时候啊，呃， r e 跟 q s 是 相等的，因为题目中给出的这个四个点是确定的点， q s 的 长度是确定的， r 点也是确定的，那垂，那么 r e 这条线段也是确定的，一点也是确定的。 呃，一点能够确定一点，肯定是在这个 a d 边上的， p 点是在 a d 边上的，所以说我们只要连接 p e 就 可以得到 a d 边所在的这条直线， 而 q 点是在 a b 上面的，只要过 q 点做这个 p e 这条线的垂线就可以确定。 a 点过 s 点做 p e 的 垂线就可以得到 d 点， 那 r 点过 r 点做 q a 的 垂线，就可以得到 b 点， 与这个 d s 相交于 c 点，那这时候这个图形就是确定的，这样我们就得到了第一种作图的方法。那第一步连接 q s， 再过 r 点做 q s 的 垂线， 在这个垂线上截取一段 r e 是 等于 q s 的， 然后我们连接 p e， 过 q 点做 p e 的 垂线，过 s 点做 p e 的 垂线，过 r 点做这条线或者这条线的垂线，这样就得到了这个正方形 abcd， 这个正方形就做出来，那么当然 p 点所在的这条边也是可以确定的。这是第一种方法，就是根据第一小问提供的思路，我们就把这个正方形 a、 b、 c、 d 确定了。 那这道题难的难点就是用两种方法，所以说我们再思考一下这这个图形，这个正方形已经确定了，那这个图形还有什么性质呢？如果连接 p q， 然后我们 呃以 p q 为直径画一个圆， a 点肯定是在这个圆上的，那以 r s 为直径画一个圆， c 点也是在这个圆上的，连减 a c， 那这时候啊， a c 和这个圆有两个交点， e 点跟 f 点，根据正方形的对角线形成，这对角线是平分一组对角的，那所以说这四个角都是四十五度， 那都是四十五度的话，一点是在这个圆上，那说明一点是这个半圆下面这个半圆 p q 的 中点，那同理 f 点也是这个半圆 q s 的 中点， 那是中点有什么用呢？那中点呢？是不是在这个这个圆的直径就是 p q 的 垂直平分线上啊？ p q 是 两个确定的点，那 e 点是不是也能确定？那同理 f 点也能确定， e 点跟 f 点确定了，那么 a 点跟 c 点也可以确定，那进而这个正方形就可以 确定下来了。这样我们就得到了第二种作图方法，就是连接 p q 和 r s， 以 p q 为直径 画一个圆，然后再做 p q 的 垂直平分线，那么和这个圆就有一个交点，这个我们就确定了一点， 再以 r s 为直径，画一个圆，再做 r s 的 垂直平分线， 那就得到了 f 点，再连接 ef 和这个圆，这两个圆有两个交点，这两个交点就是 a 点跟 c 点，我们再连接 ap， a q， c， r c s， 这样就得到了正方形 a， b， c， d， 这个 a b， c， d 就 确定了。那么当然 p 点所在的这个正方形的边 a， d 我 们就找出来了，那这道题就做出来了，这道题还是很有难度的。
02:03查看AI文稿AI文稿大家好，这里是初中，此规做图一本通配套视频例四十。这个题是以说已知有个线段 a b， 让我们做一个 a b， c 是 一百五十度，哎，那刚才说一百五十度，是不是就就九十加六十， 对吧？好，所以我们先做垂直，再做等边啊，就行了。先把 a b 延长一点， 然后呢过 b 做垂直， 然后再做它的垂直平分线， 然后把它们一连，哎，这是不是就是过 b 做垂直了，哎，九十度有了，好，我们下面接着做等边哈，等边，是不是做一个这样的三角形，这是不是就是六十度了？所以我在这里哈， 圆规一端扎在 b 的 位置啊，然后呢，这边啊任意给他画一道，这里我给他往下一点， 这样能产生焦点。好，这就有一道了，然后呢，把它转到这边，也画一个这边的等边的弧圆规，再放在这个位置， 再画一道，这就是等边了，所以我们把它连起来， 好，这就是一个等边三角形，那等边三角形，这是六十，那这边垂直九十，那加起来，那这个角这就是一百三十五度了，哎，所以给它标上 c， 哎，这就做完了。
14奇文趣味数学
02:15查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，我是周老师，跟着我每天一道题。今天我们来看虹桥二模的第十题，是一个基础题，简单的只会做图，我们一起来读题。如图，在三角形 a、 b、 c 中，按照以下步骤做图，以点 a 为圆心， 适当长为半径画弧，与 a、 b 和 a、 c 相交在了 m 和 n 两点上。这一步，我们得到的是 a， m 等于 a， n 又分别以 m， n 为圆心，大于二分之一 m， n 长为半径画弧，也就 说交在了点 d 处。那我们接着得到的是 n、 d 等于 m d， 所以 这两个三角形全等呀，全等。那我们发现画的其实角平分线吧，也就是这两个叉叉角是相等的， 那我们由圈一圈二得到的是角 c、 a、 b 的 角平分线。再来看圈三，分别以点 a， 点 c 为圆心，大于二分之一， a、 c 长为半径画弧，角在 p、 q 一 连接，所以我们得到的是 a、 c 的 垂直平分线。所以啊，垂直平分线 与 a、 e 相交于点 g 连接 g、 c。 下列结论正确的是，我们看看自己先能得到什么。我们后画的这个 p、 q 是 我们 ac 的 垂直平分线，那 ac 的 垂直平分线由垂直平分线的点到两端点的距离相等，所以我们得到 g c 等于 g， a， g c 等于 g a 的 话，就是红叉叉，红叉叉，那它必然也是叉叉角，对不对？因为等幺 对等角，那这三个角就相等喽，我们来看一下哪一个跟它一样呢？角 a、 c g a c g 蓝色的这个叉叉等于角 b， a、 e 等于红色叉叉。当然喽，所以选择我们的 c 选项，其他的 a、 b、 d 都没有得到它的结论， 因为他需要有一定的前提，并不能保证他是一定正确的。好的，这道题的思路你掌握了吗？欢迎大家在评论区进打卡，中考加油！
13天津周老师
04:40查看AI文稿AI文稿耻归做图题是近两年比较爱考的一个常考题型，也是我们辽宁新中考下的一个考察趋势。那像审核刚结束的这套期末试卷的第十五题，他考察的就是耻归做图问题。那好，那我们一起来看一下这道题啊。 那么先看一下截止到前边这个是到连接 c g 这块吧。啊，那在连接 c g 这块，他主要考察的是做这个角 a c b 的 角平分线， 就其实基本上就是在咱们初成阶段话，你的尺规做图其实就是有两种，第一种的话就是做角平分线， 然后第二种的话其实就是做啥呀？垂直平分线。那所以说的话，我们可以单独的去记一下什么样的这个尺规做图做的是角平分线，什么样的尺规做图他做的是垂直平分线，你把这个给他记住的话，你对应的看到图的话，你立刻就知道他在去做什么。 就比如说像我看到这个图，我根本不需要看它在说什么，我就知道它对应在去做这个 c g 是 这个角的平分线，然后 h i 的 话是一个线段的垂直平分线， 具体是哪条线段的话，我可能还得需要再结合题目去看一下啊，但是一眼就能够看出来他这道题的话是把两个知识点综合在一起去考了，那所以角平分线的话就是这两个角是相等的，然后会发现他俩的和正好是九十度，所以可以确定下来一个角圈的度数肯定是四十五度的啊。 然后看一下提议这个 h i 是 谁的这个角，这个线段垂直平分线，那么会发现它是以 c 跟 g 为圆心啊，那它既然以 c g 为圆心的话，就说明 h i 是 c g 的 线段垂直平分线。 那我说看到线段垂直平分线的话，你要去想线段垂直平分线的知识点。哎，那线段垂直平分线有什么知识点呢？是不是就是线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离是相等的，特别是它只与其中一个端点相连的时候，那不用想，我们辅助线肯定是连接另外一个端点， 那所以你看这个点，这个勾是不是就是这个垂直平分线上的点，然后你会发现它连接了 c 勾，那所以说我的辅助线怎么去做？是不就是可以连接一下这个 g 勾？那所以根据垂直平分线的特征，这个 c 勾跟 g 勾是 相等的，然后所对的这两个角也是相等的，所以说在这块的话也形成了这个两个角圈是四十五度，那所以就意味着勾这块产生的这两个角它是直角。 然后同样道理，这个 k 的 话，它是不是也是这个垂直平分线上的点，然后它去连接了 c k， 那 所以说我们肯定就要把这个 g k 连接出来， 然后这个 c k 跟这个 g k 是 相等的，然后下边这个角也是相等的，都是角圈四十五度，那所以就说明 k 这块所产生的这两个角它也是直角， 然后你会发现这两个三角形都有两个角圈，都还有一个啥呀？公共边。所以这两个三角形是什么三角形啊？它是两个全等的三角形， 所以就意味着这里的 c 勾、 g 勾、 c k、 g k 这四条边的长度都是相等的，比如说这是我们单纯去看角平分线以及这个垂直平分线结合图你得到的这些东西， 然后接下来再去看它给的 c 勾的长，还有 bk 的 长，那如果它是三的话，就意味着这块这四条线段的长度都是三， 然后 bk 的 长度是二，那你会发现它俩的话是集中在一个直角三角形里边的，然后那么所以三个三条边，两条边都是已知的，那自然而然会想到怎么办？勾股定力去求出谁是不是求出这个 b g 的 长，对吧？ 然后看一下它让我们去求的是 a g 的 长，是这条边，那你会发现 a g 的 长在哪？是不是在这个直角三角形 a g 勾当中，然后它有一条边的长度是已知的， 然后我们这道题刚分析完的这个直角三角形，它的三条边都是怎么样？都是已知的，然后这两个三两个直角三角形是啥关系啊？是不很明显，一眼就能看出来它是相似啊？ 因为都有一个直角，然后它俩是平行的，所以这两个角叉是相等的，所以两角的话可以挣出它俩相似，然后我们直接利用对应边乘比例，然后就可以求出这个 a g 的 长了。所以说实际上这道题的话，就是 看似感觉很复杂，约尺规做出来了很多的这个弧，但是实际上你会发现他考察的知识点非常的简单，跟我们以前做的这个填空压轴题相比的话，他的难度真的是并不大啊。那么关注孟老师数学满分不迷路！
18沈阳数学孟老师
31:57查看AI文稿AI文稿哈喽各位，前几天呢，我们更新了河南中考数学二一年到二五年关于尺规做图的题目的考察的一个讲解啊。这个视频更新完之后呢，就有很多家长跟学生来问我，我们在做尺规做图的时候呢，经常是通过死记硬背，然后进行一个做图，但是呢，这里头关于什么角平分线，垂直平分线以及垂线，这些尺规做图经常容易做乱 记混，不太能够理解，他为什么要这样去做尺规做图，他为什么这样做出来的图，他就是符合他垂直平分线的要求呢？ 所以呢，我们数学是不太推崇大家去死记硬背的。那么既然大家有这样的问题，我们就专门出一期尺规做图的一个视频，来讲一讲关于尺规做图的一些做图的步骤，它的原理是什么？对它进行一个详细的拆解啊。我们先来看一下初中的五种尺规做图啊，那既然说尺规做图了， 所以我们先把它的工具，你用什么工具在做图呢？先把它的工具了解一下，取规做图用什么呢？顾名思义，直尺和圆规，但是这个直尺呢，跟我们平时用的尺子不一样，有啥不一样点呢？它是一个无刻度的直尺， 那你想这个直尺啊，它没有刻度，所以它不能干嘛？不能测量长度，它只能干啥呢？只能画线，所以这个无刻度的直尺，它就是用来画直线，或者说画射线。 那圆规呢，既然尺尺不能来测量了，所以呢，给他搭配了一个好搭档，圆规，圆规呢，他的任务就是来测量长度，或者说取相等，取长度啊，取个相等的长度，所以他们两个进行一个搭配，一个是画线，一个是取长度， 就可以把我们五种基本指标做图全部给做出来了。那这五种基本指标做图是啥呢？分别都在我们七年级和八年级进行一个学习啊，八年级上册基本上就已经学完了。首先第一个就是做一条线段等于已知线段，这是在七年级学的，对吧？ 第二个呢，是做一个角等于已知角，这是在八年级全等的时候学的，我说我说的年级的版本是人教的版本啊，以人教为主。然后下面呢，这几个其实都是在八年级学的， 他是在全等学的。角平分线呢，也是在全等的时候学的。垂直平分线和垂线呢，他俩是一块学的，都是在我们的轴对称这一张学习的也是八年级上册， 所以我们八年级上册都已经把五种基本指标做图做完了，学完了。然后呢，我们中考的时候，这个是一个必考点，所有的省市的中考卷都在考啊， 所以他一定是一个我们百分百要去学会学透的一个点。那么我们来看一下啊，做一条线段等于一只线段是最简单的一个了，做一个角等于一只角，就是做一个等角，上面是等线段，下面是等角，这两个呢是指归做图的基础， 然后下面是角平分线，那这俩呢，是在全等的时候进行学习的，为什么放在全等呢？一会讲到它的原理的时候你就明白了啊。然后下面两个是垂直平分线和垂线是在我们轴对称的时候学的，因为垂直平分线画的是线段，那么线段它的对称轴就是它的垂直平分线，所以是在这个位置学的。那为什么同时学到了垂线呢？ 你想垂直平分，垂直平分，你画出来垂直平分线，是不是也就意味着你画出来了垂线？是的，所以呢，学完垂直平分线之后，你就知道了垂线怎么画了啊？但是呢，垂线不太一样的是，它是过直线画的垂线段， 过一点做直线的垂线。那这一点在什么位置呢？也就有我们的两种情况了，这个点呢，可以是在线上，也可以是在线外，你可以过直线外一点做这条直线的一个垂线，对吧？ 不管是上一点还是外一点，它的尺规作图的过程完全一模一样啊，我们一会来看一下就知道了。 我们先来看第一种，做一条线段等于已知线段。我们做一条线段 a 撇 b 撇等于已知线段 a b， 所以 先给了我们一个线段 a b。 那 怎么做呢？它的工具就两个，一个直尺，一个圆规。 指尺没有刻度，只能画线。圆规是测量长度的，所以既既然要做线段相等，所以我们需要取相等的长度。取相等这个任务就交给了圆规了。那你取相等的前提，你是不是得先画出来一条线呢？ 那画线这个任务交给谁了呢？交给无刻度的指尺了。所以呢，我们第一步应该是先有了这条线，然后再去这条线上取一个相等的线段，对吧？所以第一步就出来了啊，先做一条射线， 我们先用我们的直尺，虽然它有刻度，但是这个刻度我们也不能用，先用直尺画出来一条射线， 这个射线呢称之为 a 撇 c， 画出来之后呢，就是取长度了啊，我们把圆规取长度用的是圆规，对吧？我们把圆规的两个角呢放到了点 a 和点 b 这里，那么这两个角之间的距离就是 a b 这条线段的长度了，然后把它不动移过来，两个角之间的距离不动啊，移过来，移过来之后， 它一个端一个端点，再点 a， 着另外一个端点呢，进行一个画圆弧。 画圆弧，那它的圆弧的半径是谁啊？是不是就是我们 ab 的 长度？所以呢，第二步是啥？以 a 撇为圆心，谁的长度为半径？ ab 的 长度为半径画圆弧，那么跟我们所画的射线的交点就是我们的点 b 撇，那么此时的 a 撇 b 撇就是等于 ab 的 长度了。 所以我们的第二步就是在射线 a 撇 b 撇上截取 a 撇 b 撇等于 a b， 怎么截呢？用圆规截取就可以了，这就是我们的第一个指规，做图做一条线等于已知线段，用直尺画射线，用圆规取长度， 非常简单啊，只有这两步。然后是第二个就是画相等的角了，等角和等线段是最基础的啊，但是等角呢会稍微麻烦一些，你看他左边的步骤，他虽然麻烦，但是其实过程理解上来说也是很简单的，而且他的原理一会跟你说了之后，你就知道为什么他要这样去做了啊。 我们先来看一下，还是同样的，你既然要做一个角， a 撇 o 撇 b 撇，这是一个 b 撇， a 撇 b 撇等于 aob， 那这个角由谁构成呢？由两条边构成，对吧？两条边张开一定的角度就构成了一个角， 那这两条边的话，我们要去画一个角，首先我们是不是得先确定它一条边的一个位置，然后根据它的一个角度去看它另外一条边在哪里，对吧？所以呢，我们还是第一步先去干啥？画线，先把它其中一条边给它画出来，然后再去确定另外一条边的位置，那么我们第一步也是做一条射线， o 撇 a 撇， 我们来做一条射线 o 撇 a 撇，然后呢就是确定另外一条边的长度了，那另外一条边人家这个假角这么大，那我们是这样画呢？还是这样画呢？还是这样画呢？怎么画呢？我们来一步一步看啊。 第二步呢，是以点 o 为圆心，以它原来的角为顶点为圆心，然后呢任意长或者说适当长为半径做一个弧，那么我们还是用我们的圆规 适当长为半径啊，适当长为半径画一个弧，那么这个弧呢，跟我们的这个角它就会有两个焦点，那这两个焦点分别命名为点 c 和点 d， 然后呢同样的再以我们画的这条射线的 o 撇，这个端点为圆心，相等的长度为半径，其实就是全部就是模仿嘛，相等的长度为半径， 那我们得看一下人家刚刚的长度是多长，对吧？所以还是把圆规放到这，先取一个 o d 的 长度，然后呢把它移过来一个端点，再 o 撇另外一个端点呢，画一个圆弧， 那么这个圆弧呢，就跟我们的 o 撇 a 有 了一个交点，这个交点呢，我们称之为点 c 撇，称之为点 c 撇。 然后呢我们继续，因为你画了这个之后呢，你的另外一条边是这样的还是这样的？还是确定不下来，那怎么办呢？怎么确定是这样还是这样呀？是不是就是 c、 d 这个长度你就可以确定下来了？其实就是这条弦的长度嘛，你这个角相当于是一个圆心角了，你这个圆心角所定的这条弦，它有多长？是不是固定的？ 所以呢，我们下一步是干嘛呢？以 c 撇为圆心，谁的长度为半径？ cd cd 啊， cd cd 的 长度为半径，然后做弧，与我们刚刚的这条弧会有一个交点，所以呢，我们还是用圆规来啊， 用我们的圆规放到了 c 撇儿，放到了 c d 上，放到 c d 上之后呢，再把它移过来，移到 c 撇儿这里，然后进行一个画圆弧， 那么这个圆弧跟我们上一个圆弧呢，就会有一个焦点，这个焦点呢，我们命名为 d 撇儿，然后连接一下 o 撇、 d 撇。 连接完了之后呢，我们的角 连接完了之后呢，这条射线我们命名为 o 撇、 b 撇，然后我们的 a 撇、 o 撇、 b 撇就出现了，对吧？那这里头字母的顺序你都可以自己随意的改变啊， a、 b 颠倒也可以， c、 d 颠倒也可以，只要你的弧画对了就行， 所以它其实就是画了三个圆弧。第一步，先画一条线，打基础射线， o 撇、 a 撇，画完了之后呢，在原来的角上再画一个弧，画一个弧 c、 d， 把这个弧呢移到 你所画的射线上面，就形成了 c 撇、 d 撇。那你这个 c 撇、 d 撇知道了之后，这是第二个弧了，那这个角的张开的角度怎么去确定呢？ 其实就是我们 c、 d 之间的一个距离了，所以呢，我们再以点儿 c 撇为圆心， c、 d 的 长为半径，再做一个弧，那这个弧与我们上一个弧呢，有一个交点，这个交点连接我们的 这个角的顶点就形成了另外一条射线，这另外一条射线就是我们这个角的另外一边了，所以它是这样一个做图的过程啊。那这里头为什么画出来的这个角， a 撇， o 撇 b 撇，就等于这个角了呢？这个字母给你反一下吧，看着怪别扭的， 那它为啥就等于它了呢？这里头呢，需要连接一下 c、 d 和 c 撇 d 撇啊，因为毕竟是以人家的长度为半径做的弧嘛，所以根据我们三次做弧，你看一下左边这个角和右边这个角，这里头两个三角形的关系。 通过我们的第一个做弧，是弧，以 o 为圆心，任意长为半径，换了 c、 d 这个弧，然后呢，同样的以 o 撇为圆心，相等的长度为半径，所以这个长度和这个长度是不是一样的？ o、 c 等于 o、 d， 因为都是半径， o d 撇也是半径， o d 和 o d 撇呢，是相等的，因为这两个弧的半径是相等的，所以根据前两个弧，我们可以得到 o c 等于 o c 撇， o d 撇，其实这四条线段都相等，对吧？ 然后呢，最后一个弧，第三个弧是以谁为半径的？ c、 d 为半径，所以你看一下，那么 c、 d 和 c、 d 撇什么关系啊？也是相等的呀，以 c、 d 为半径，产生了 c、 d 撇， 所以它也是相等的。那既然这三条边都相等，也就可以得出来啥了，哪两个三角形什么关系？全等，对吧？三角形 c、 o d 全等于三角形 c 撇 o d， 它的全等的判定方法就是 s s， 所以它为什么画这么多弧呀？因为画弧就会产生半径，半径什么关系呢？半径是相等的，半径相等呢，也就意味着边相等， 所以边相等呢，就可以得到等边，从而证明了全等。所以它的原理就是通过你做图的过程，我得到了线段相等，从而证明出来了全等，所以这两个角相等，这就是它的原理。 然后因为我们只归作图，通常括号里头都会给你写一个什么保留作图痕迹，不写做法，对吧？所以这里头保留作图痕迹的话，保留的是哪一部分呢？给大家看一下啊。这是彩色的线的部分，这个粉色和这个绿色，这个绿色你可以不画，粉色是一定要画的粉色，也就是我们刚刚画的三个弧， 这就是保留这一部分就可以了，因为你画的是弧，不需要画整个圆，其实保留的部分就是你所需要用到的这些弧所形成的焦点， 因为你需要靠焦点去连线啊。这是我们第二个做一个角等于已知角，就是画了三个弧，通过全等证明出来了角相等，这是它的一个原理。然后下面一个呢，是做一个角的平分线，也就是说把这个角呀一分为二，在这个角的内部呢，再画一条射线，让这俩角相等，对吧？那我们来看一下它的步骤是什么呢？ 首先第一步是以点 o 为圆心，因为它做角平分线的话，就是在它本身的图上面去做，不需要另外做图了，所以我们的第一步就不去，不需要再去另外的画线了，对吧？那我们先以点 o 为圆心， 那我们先以点 o 为圆心，然后呢，以适当长为半径进行一个画弧， 那么这个弧呢，就跟我们的这个角的两条边会有一个交点，这个交点呢， o a 的 交点命名为点 m， o b 的 交点命名为点 n， 然后再分别以 m n 为圆心，大于 m 二分之一 m n 的 长为半径做弧。这里头有一个特殊的大于二分之一 m n， 那 你想为什么呢？为什么要这样做弧呀？它上一步做弧的时候，以适当长为半径做弧，然后我们 我们刚刚做一个角等于已知角的时候，是以 c d 的 长为半径做弧。人家的， 那到这呢，出了一个要求，就是以大于二分之一 m n， 你 想想为什么？因为啥它这两个弧啊，要在角的内部交于点 c， 如果说你这一个点，两个点，以这两个点为圆心，它的圆半径非常小，那这两个弧有交点吗？没有， 如果它的半径等于它俩之间的一半呢？相切了大于一半呢，就有相交了两个点了，对吧？所以这就是为什么是以大于二分之一 m n 的 长为半径，就是因为呢，它要有交点，是让这两个弧相交啊，所以我们再来画一下， 我们可以先以 m 为圆心，然后呢，以大于二分之一，大于的话大概在这吧，大于二分之一 m 的 长呢，为半径画一个弧。 然后同样的，我们再来以点 n 为圆心，相等的长度为半径进行一个画弧。 那么画完之后，这个弧呢，它通常会有两个焦点，对吧？其实这两个焦点我们取一个就可以了，因为它还要跟我们的顶点相连接，因为一条线嘛，两点确定一条线，三点当然也没有问题，所以我们把它进行一个连接，它的第三步就是作射线 oc， 它的焦点这个点和这个点你取一个就行。比如说我们取的是这个点，是点 c， 然后我们连接一下 oc， 它是在一条线上的，连接这个点也行，连接这个点也行，都是在一条线上的。那连接完 oc 之后，那这个射线 oc 就是 我们角 a b a o b 的 一个平分线了。那这里头的作图原理又是啥呢？同样的，它也画了三个弧，所以呢，它跟上一个异曲同工之妙， 有弧就有什么半径，就有什么半径相等。所以我们来看一下啊，根据第一个弧 m n 这个弧， 我们可以得到什么 o m 等于 o n， 再根据第二个弧和第三个弧，它要有一个焦点，第二个弧和第三个弧呢？分别以 m n 啊，这里头应该加个逗号，分别以点 m、 点 n 为圆心了，它们的半径呢，是相等的。所以呢，我们可以连接一下 c m 和 c n， 也就是说 c m 和 c n 是 什么关系啊？相等的，因为 c m 和 c n 都是它的半径，以大于二分之一 m n 的 长为半径画弧， c m 和 c n 是 这两个弧的半径，所以它俩也是相等的。那同样的再加上一个啥 o m m c， 还有一个什么 o c 是 个啥？公共边，所以呢，这里头还是用什么来判定的？全等，对吧？所以根据 o m 等于 o n， c m 等于 c n， 这是根据我们作图过程当中的半径相等得到的，然后再根据 o c 等于 o c 这个公共边可以判定谁和谁全等呢？ 三角形 c o、 m 全等于三角形 c o、 n， 所以呢，根据全等的性质对应角相等，所以角 c o m 等于角 c o n 这俩角相等，那不就是平角平分线吗？对吧？ 所以他也是通过我们全等去证明的。所以也就是为什么这两个作图他是放到了我们八年级人教八年级上册的全等这一张去学习，因为他的作图原理是全等，这是我们的作角。那同样的作角呢？你在考试的过程当中也是保留作图痕迹的话，他应该是这个样子的啊，往上移一下，他应该是这样一个样子的， 就是这些彩色的线是我们画出来的线，其实你的这两个弧是可以连在一起的，连不连都可以，中间可以断开，也可以连着啊， 你看一下它所保留的这些弧，其实都是我们过程当中所必要的一些交点点 m 点 n 是 不是留下了，以及最后的交点 c， 这都是一些交点，交点处的弧都会留下来。那后面呢，我们还剩下一个中垂线和垂线，对吧？这俩就简单了，超级简单。 来看一下垂直平分线，也叫做中垂线做线段 a、 b 的 垂直平分线 c、 d 怎么做呢？ 首先呢，第一步是分别以 a、 b 为圆心大于二分之一， a、 b 的 长为半径，这里头这次大于，为什么跟上一个是一样的，为啥大于呢？因为两弧啊，要相交，所以呢要大于二分之一。那我们来画一下， 首先以点 a 为圆心，大于二分之一 a、 b 的 话，在这吧 好画了一个弧，然后呢，我们再把它放到点 b 这里，以相同的半径进行一个做弧，哎呀，那个弧刚刚画的有点小了，把那个弧给它补一下吧。 好，补完之后呢，看一下这两个弧呢，会有两个焦点，两个焦点分别是 c 和 d， 那 么两点确定一条直线，所以做直线 ab 啊，做直线 cd 就 会得到我们的垂直平分线了， 连接 cd， 那 么 cd 这条直线就是我们线段 a、 b 的 垂直平分线了。这种作图方法，它的原理是什么呢？为什么这样做了两个弧之后，有两个焦点，一连线就垂直平分 a、 b 了呢？ 它的原理呢，有很多种解释啊，我们先来一个最正规的，就是教材上是怎么解释的呢？教材上说的是根据我们线段的垂直平分线的一个判定， 也就是与线段两个端点的距离相等的点到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。所以呢，我找到这样的两个点，因为两点确定一条直线， 我找到了点 c 到 a 和 b 的 距离相等，点 d 呢，到 a 和 b 的 距离呢也相等，所以点 c 和点 d 都在 ab 的 垂直平分线上，那么 cd 这条直线就是 ab 的 垂直平分线了，对吧？这就是它的一个原理啊。 那比较斜修的一个方法呢？斜修的原理是啥呢？我们刚刚说角平分线以及做等角的时候，我们连接了半径，根据半径得到的，对吧？那我们这里头也连接一下 a、 c、 b、 c 以及 a、 d、 b、 d， 根据我们的作图过程，半径相等，也就是 a c 等于 a d， b c 等于 b、 d， 同时呢， a、 c 和 b、 d 相等，因为它的这两个弧，它的半径都是以大于二分之一 a、 b 为长度，它是以相等的长度为半径做的两个弧进行了两个交点， 所以呢，根据它的作图过程，我们就得到了 a、 c 等于 b、 c 等于 ad， 等于 b、 d 四条边相等，所以 ad、 bc 是 一个什么四边形？菱形。 所以呢，我们画出来的这个四边形 ad、 bc， 它就是一个菱形了，那菱形的话， ab 是 它的什么对角线？ cd 呢？也是对角线，菱形的对角线什么性质呢？不就是互相垂直且互相平分吗？ 平分垂直，这就是它对角线的性质呀。所以呢，我们也可以用这种斜修的方法来进行一个解释，来进行一个理解啊。当然，最正统的方法还是从人家垂直平分线的一个判定来的，就是与 到线段两个段点距离相等的点在垂直平分线上，所以这两个点到它的距离都相等，那么这两个点都在这条线上，两点确定，一条直线一连接，就是它的垂直平分线了。那你画出来这一条线啊，能顶好几条线，非常厉害。这条线 很多功能，首先它是垂直，你做出来这条线，它是一个高，对吧？是一个垂线，对吧？而且呢，它还平分，也就是说你这个焦点是啥呀？是终点呀， 是终点。所以呢，如果考试的时候让你去画线段 a、 b 的 中点，让你去找到 a、 b 的 中点，你画什么？画垂直平分线？然后呢，让你去做 ab 的 一个垂线，你做什么？做垂直平分线，或者说给了你一个三角形 abc， 让你去做 bc 边上的中线，中线是啥呀？中线不就是确定一个中点吗？ 确定了，中点一连接就是中线了，所以它的关键点还是在中点这里，所以让你画中线，你做的也是垂直平分线，垂直平分线之后，这个焦点就是中点一连接就得到了中线了，所以垂直平分线呀，它真的功能相当多， 让你做中线也是做它，找终点也是做它，做垂线还是做它非常忙碌的一个线，对吧？那我们来看一下，既然做垂线也是做它了，那看一下，那做垂线它是做了一个直线的垂线，并不是做一个线断的垂线，对吧？ 所以呢，这里头跟做垂直平分线有一点点的区别，多了一步就多了一个第一步，下面的两步都是一模一样的啊。我们来看一下做已知直线的垂线，我们刚刚说了，它分成两种，过线外一点还是过线上一点，所以呢，这两种我们也都给大家去画一下。 首先呢，是过线外一点，我们先来看线外一点这种情况啊，过线外一点 c 做直线 ab 的 垂线，因为它现在这个直线 ab 它不是一个线段了，所以你没有办法去确定它的两个端点，然后以这两个端点为圆心做两个弧，对吧？它没有给我们这俩端点，那我们就没有了吗？我们也可以自己画呀， 所以呢，他的第一步来确定这两个端点，以点 c 为圆心，适当长为半径做弧，这个弧呢，跟 a、 b 这条直线交于了点 d 和点 e， 点 d 和点 e 就是 我们刚刚做垂直平分线的点 a 和点 b， 你 就可以把它想象成我做 d、 e 的 一个垂直平分线，来，我们先来做一下啊， 以 c 为圆心，适当长，那这个适当长，因为它要跟 a、 b 有 交点，所以呢，适当长也是有一点点要求的，它起码得大于它到 a、 b 这条线的距离吧，那就在这吧。 好，画完了之后呢，它跟这个圆啊，不，它跟 a、 b 这条线交于了点 d 和点 e， 那 有了这两个焦点之后，你看一下，其实就是做 d、 e 的 一个中垂线吧，是吧？做 d、 e 的 一个中垂线， 然后呢，下面步骤就是做中垂线呀，怎么做呀？以 d 和 e 分 别以点 d 和点 e 为圆心大于二分之一的长度为半径，画两个弧，这两个弧呢，有两个交点，那么我们先把这两个弧画出来，先以点 d 为圆心大于二分之一的 e， 那 就在这吧， 好，这是他的一个画长一点吧，防止刚刚的那种情况再出现。两个弧还没交点呢，画完了之后呢，我们再以点 e 为圆心，以相等的长度为半径画一个弧， 那么这两个弧呢，就会有这两个交点，我们换个颜色啊，有这两个交点，那这两个交点呢？我们使用其中一个就可以了，因为我们还有一个点 c 呢，毕竟人家是要过点 c 做一个垂线，两点确定一条线，所以我们点 c 和另外其中一个交点就可以， 比如说我们点 c 跟这个交点吧，这个点是 f， 然后我们去连接一下 c、 f， 它就是我们所要做的一个垂线了， f 在 这， c 在 这，那么此时的 c、 f 就 垂直于我们的直线 ab， 这是一个直角，那其实也就是我们的 c、 f， 那 其实也就是我们的直线 c、 f 怎么样？是我们 d、 e 的 垂直平分线，对吧？ 所以它跟我们垂直平分线的区别在哪里呢？就是第一步不一样，我们垂直平分线是它是线段的垂直平分线，它是有线段的两个端点的，然后做它的垂直平分线，但是它呢，它是一条直线，所以我们得先去确定两个端点 d 和 e， 所以 是以 c 为圆心，适当长为半径，跟这条直线有两个交点，那么我们做这两个交点所形成的这条线段的垂直平分线，就可以得到这个垂线了，然后这里头呢，需要说的一条线段的垂直平分线就可以得到这个垂线了。然后这里头呢需要说的一下 c、 d 啊， c d 和 c、 e， 为什么他做了 d、 e 的 垂直平分线，他就一定经过点 c 呢？我们知道他做了垂直平分线一定是垂直的，但是为啥他一定经过点 c 呢？因为啊，我们最开始第一步做的这个圆弧导致 c、 d 和 c、 e 是 什么关系呢？相等的，也就是说我们的三角形 c、 d、 e 是 什么三角形呢？ 等腰，对吧？它是一个等腰三角形，有啥性质呀？三线合一呀， 三线合一啊，那你既然做了这个等腰三角形底边上的垂线了，那根据三线合一，他肯定经过他的顶点呀，他是一个中垂线呀，肯定经过他的顶点，对吧？所以这就是他的一个原理啊， 根据一个等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的一个作图，这就是做垂线，那同样的，这是过线外一点，做垂线线上一点呢？一样的道理啊，过线上一点，我们还是需要去确定这条直线上的两个端点，过这两个端点呢，做他的一个垂直平分线，对吧？所以步骤一模一样啊， 一模一样，第一步还是以点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。 点 c 为圆心，适当长为半径做了一个弧。那么这个弧呢，就跟我们的直线 a、 b 会有两个交点， 那这个交点呢？还是一个点 d， 一个是点 e， 点 d 和点 e， 之后呢，再去画 d e 的 一个垂直平分线就可以了，那就是分别以 d e 为圆心，换一个颜色， 分别以 d e 为圆心，大于二分之一， d e 的 长为半径画弧。 然后我们 那么这两个弧呢，它就会有两个焦点，那这两个焦点同样呢，我们也是取其中的一个焦点就可以，比如我们用上面这个焦点把它命名为点 f， 然后连接一下 c f， 连接完了之后呢，这个 c f 这条直线就是我们所做的一个垂线了， 所以此时的 c f 还是我们的 d e 的 啥垂直平分线？ 那刚刚说了，刚刚为什么能够确定它所做的垂直平分线一定经过点 d 呢？我们说了它用了一个等腰三角形三线合一的性质，那在这里呢，是不是也是同样的 在这里呢，我们可以去连接一下 a f 和 e f， 那 f 呢？是这两个蓝色的圆弧的交点，那这两个蓝色的圆弧它是以相等的长度为半径画的，所以 a f 和 e f 还是相等的，那同样的还是三线合一，对吧？既然做了中垂线了， 垂直还是中点，所以他就满足他经过了点 c， 他 经过了点 c 啊，那么这是我们五种尺规作图以及他的作图原理，作图步骤。除此之外呢，在我们的数学的初中课标当中，还有另外的一些尺规作图，就是我们所谓的做三角形，做平行线，做等腰，做直角， 那这些尺规作图，它的本质都是我们五种基本尺规作图，那我们来对号入座一下啊。第一个呢是已知三边，两边及其夹角，两角及其夹边做一个三角形， 这是在学全等的时候，尺规作图做三角形，因为我们全等三边不就是全等的 s s s 吗？然后是 s a s s， 然后是 a s a， 那 这里头无论是边还是角，是不是都是做的相等，做等边，做等角，对吧？所以它的原理是啥呢？ 就是这俩圈，第一种和第二种持规作图，做等线段和做等角是我们做三角形的本质原理。 然后第二个呢是做平行线，你想你做出来的这条线怎么得到它是平行线呢？怎么判定它是平行线呢？也就是说我们平行线的判定是啥呀？有啥 同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同班内角互补，两直线平行，对吧？所以就是说我们如果做出来相等的同位角，或者是相等的内错角，那么我们是不是就可以做出来平行线了？所以平行线呢，它的一个本质是我们的作角相等， 做角相等，做等角、做相等的同位角，做相等的内错角，都可以做出来我们的平行线。然后下面呢是做等腰三角形和直角三角形。等腰三角形的条件是什么呢？知道了底边以及底边上的高，那你想你要做等腰三角形，底边上的高有啥性质呀？ 等腰三角形有啥性质？三线合一，这个性质非常重要啊，一定要记得。所以呢，你既然是做高，他还是啥？还是我们底边的中点，那既然有高，也就是有垂直，又有中点，所以呢他需要做什么？线？有垂直，有终点，也就是我们的，哎，垂直平分线也叫做中垂线， 所以呢，我们做等腰三角形，它的本质是啥？做我们底边的什么垂直平分线？ 你先用做一条线段，等于已知线段，这个把底边做出来，做完底边之后呢，再做底边的垂直平分线，然后在这个垂直平分线上去取跟高线相等的部分，然后连接另外两条边，就会得到我们的等腰三角形了，对吧？ 这是我们等腰三角形啊，然后下面呢还有一个直角三角形，它的所给的条件是一个直角边和一条斜边，让你去做直角三角形。直角三角形最大的特征是什么呢？它有啥直角？ 它有直角，所以直角是什么？垂直，那它的本质呢，就是做垂线，给了你一个直角边和斜边，我们先呢画出来这条直角边。直角边画出来之后呢，以直角边的一个顶点 过直角边的一个顶点，做这个直角边的一个垂线，这是不是就是我们过线上一点做这条线的一个垂线了？ 做完之后呢，我们就得到了它这个垂直，然后呢再去做斜边。斜边怎么做呢？以直角边的另外一个顶点为圆心，斜边的长为半径，画一个圆弧，那么这个圆弧呢，跟我们这条直角边的交点 就是我们另外一个顶点了，然后连接一下，它就是我们的直角三角形，所以它的本质是做垂线， 这是我们通过五种基本指标作图，进行了一些延伸的指标作图的一些内容。啊，做三角形的平行线，那么我们还是以这五种为主，他就是我们的地基，把地基打牢了之后，你往上面盖房子，你盖三角形的房子还是盖平行线的房子，都可以，都没有问题了，就啊。
296橙子老师-初中数学
