一次函数八下数学试卷150分
八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个大难点就是一次函数了，而且函数这块一定会在我们中考最后一道亚洲大题当中出现，二次，一次和几何结合在一起就有点难度了。 今天这个视频呢，老师带领大家把一次函数指向性质的基础复习清楚，把平移、旋转相应的性质搞透。 那有关于一次函数，这里啊，老师也给大家总结了每年必考的易错真题三十题。如果咱们孩子现在做一次函数的时候，这些图像性质的题目还经常出错，家长们一定要打印出来，帮助孩子逐个题型的落实和掌握。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。说一次函数 y n k x 加 b 的 图像向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度 所得的图像对应的解析式仍然是 y 的 k s 加 b， 让你求 k 的 值。那这种题目咱们解析其实就是两句口诀儿，叫做上加下减哎，左加右减 哎，上加下减，其实针对谁？针对的是那个长竖向 b， 左加右减针对的是谁？是那个自变量 s。 所以 你在左加右减的时候，必须把 x 关上进 b 去加减哎，比如说加减 m 的 单位长度，平移 m 的 单位长度，看见了吗？下面呢，咱们就按照这个准则去来平移一下这个图像。原来呢，是 y 等于 k， x 再加 b 向左平移两个单位长度，看 哎，把 x 关上，关起，进 b， 左加右减，加上多少？两个单位长度对不对？向上平三个单位长度是不是在 b 的 基础上往上啊，加上三个单位长度，这就是我们对应平移之后的函数解析式了。 把它展开，那不就是 k x 再加二， k 再加 b 加上三个吗？对不对？这是平移之后的新的解析式，它和平移后的这个 y 等于 k， x 加 b， 解析式 仍然是一致的，这是不是平移之后的解析式？所以两个解析式咱们放在一起对应相等就可以了。你看这都是 k、 s， 那 对照相等不就说明这两部分相等吗？这两部分相等，他们就成一条线了吗？解析式不就是一样的吗？ 所以我们就有二 k 加上 b 加上三等于 b， 消灭 b 之后，我们就有二 k 加三等于零， k 的 值直接可以求出来是负的二分之三了。那所以以后遇到这种题，咱们通过两句口诀，上加下减长，竖向左加右减次变量就可以轻松搞定了。
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06:04查看AI文稿AI文稿尖子生本都在悄悄用的一次函数大招，居然这么好用，不用列方程，只用瞪眼法，就能直接写出一次函数的表达式来。今天林老师就教会你这五种一次函数的常用解析式，只要你学会了，轻松成为一次函数的高手， 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高练习，拿去给孩子巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。依次函数一共有五种表达方法，而我们的课本里呢，只有第一种， 其他四种隐藏款课本里面没有出现。那么今天呢，一个视频给你讲明白。先来看第一种，第一种呢，是我们课本里面的， 如果知道了斜率 k 和截距 b， 那 么它的表达式我们就可以写成 y 等于 k， x 加 b。 举个例子，例如说斜率 k 等于二，而截距 b 等于三，那么它的表达式呢，就会变成 y 等于二， x 加三。 那么这种方法呢，因为你有了斜率，也有了截距，所以它有一个名字叫做斜截式。第二，如果我们知道了一个点的坐标加上斜率 k， 那 么如何直接写出它的表达式呢？ 这个时候啊，林老师要教会你一个公式，叫做 k 的 几何意义。那么我们在函数里面， k 呢，可以写成 delta y， 比上 delta x 这个公式任何时候都能用，那是什么意思呢？它指的就是这个 delta y 呢，指的是 y 的 差，所以你可以把它写成我们的表达式里面的 y， 减去这个第一个点的坐标 y 一， 然后呢，去除于这个 x， 减去这个 a 点的坐标 x 一 好，然后就写完了，把头和尾我们把它连在一起，把这个 x 减 x 一 移过来，就直接写出来，它表达是 y 减去 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一。 好，我们来举个例子，例如说 k 等于二，然后这个 x 呢，它等于一，这个 y 它等于二，那么结果会怎么样呢？你看，我们带进去直接变成了 y 减去二，等于 k 是 二，那就是二倍的 x 减一，然后化解就直接得到解析式啦。这种方法呢，由于我们是知道了一个点加上斜率，所以它有个专门的名字叫做点斜式。好，那这是第二种，第三种情况，如果你知道的是两点坐标，该如何写它的表达式呢？ 我们课本里的方法是待定系数法，但是呢，你需要去解方程，那今天林老师教给你的方法是直接套的，具体怎么做呢？你看好了啊，首先我们的依据还是这个 k 等于 delta y， 比上 delta x 这个 k 的 几何意义？记住，这个公式任何时候都能用好，接下来我们来构造它， 你看 delta y 就是 指 y 的 差，所以呢，我们可以写出 y 减 y 一 啊，然后呢， delta x 是 指 x 的 差，我们可以写出 x 减 x 一 出来。 然后呢，再看到我们的已知条件里面，我们知道的是两个点，所以我也可以直接用两个点来写出 y 出来啊，所以我们直接写出 y 一 减 y 二，然后呢， delta x， 我 们就用 x 一 减 x 二就搞定了。 好，接下来我们做点小小的变形，我们把这个 y 一 减 y 二，因为它是常数，和这个 x 减 x 一 呢，我们交换一下位置，就可以得到一个全新的表达式了， 就变成了 y 减 y 一 除以，把这个 y 一 减 y 二放下来， y 一 减 y 二等于 x 减 x 一 除以 x 一 减 x 二。 搞定好。来举个例子，例如说 a 点的坐标 x 是 二， y 是 四，然后呢，这个 b 的 坐标呢？ x 是 负一，然后 y 呢是负二？好，我们直接套这个公式，看能得到什么结果。直接写出， y 减去 y 一， 那就是四咯啊。 y 减四除以 y 一 减 y 二，那就是四减去负二，那就是四加二好，然后呢， x 减 x 一， 那就是 x 减二。米上 x 一 减 x 二，那就是二减去负一啊，那就二加一 好，然后去化简，就直接出答案了。这种知道两个点直接写出解析式的方法呢，也有一个专门的名词，叫做两点式。 第四种情况，如果给你两个截距，就像这个直线一样，给你一个 x 轴的截距 a 和 y 轴的截距 b， 那 么我们可以直接套公式， x 除以 a， 加上 y 除以 b 等于一， 这个公式就是鼎鼎大名的截距式。给你举个例子，例如说 a 是 二， b 是 负三，那么我们代进去，可以直接得到 x 除以二，加上 y 除以负三，等于一。 搞定。这些公式虽然好用，但是有注意事项，那就是当分母出现参数的时候呢，我们一定要记得这些分母是不能为零的，就像这个结句式， a 和 b 不 能为零。还有前面咱们的两点是， y 一 减 y 二作为分母， x 一 减 x 二作为分母，都不能为零。那有没有一个六边形的公式没有这些限制的呢？ 有，还真有啊！所以我们今天的终极 boss 就是 这个通用表达式，那么一切的一次函数到最后都能化成这个式子？ a x 加 b， y 加 c 等于零， 这个式子没有任何限制，堪称六边形战士请膜拜！好，我们总结一下，如果知道斜率 k 和截距 b， 那 么可以写成 y 等于 k， 我 们可以写成这个点斜式。 如果知道两个点的坐标，我们可以写成这个两点式。如果知道两个截距，我们可以写成截距式，但是要注意这里呢，你分母不能为零。最后六边形占是 a x 加 b， y 加 c 等于零，这个就是我们依次函数的全部表达式，你都学会了吗？
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02:47查看AI文稿AI文稿e 三数中考重点题咱们也来看，给出了 e 三数， y 等于 ax 减 a 加一，这里边有 a， 这里边有 a， 那 咱这咱们都知道，给你点了以后，在这个图像上，所以说赶紧想到两个字，咱们是不是涉及到反代啊，对不对？那解题过程咱们也来看一下的解。第一个 把咱们说的这个负的二分之一都是三，带入到这个 y 等于 ax 减去 a 倍的加一中，得到 咱们的负的二分之一， a 减去 a 再加一的话，是不等于三呢，对吧？所以说咱们通过这个解得的话， a 的 话等于负的三分之四。第一问完事，那对于第二问，给出了一个当 x 大 于等于一，小于等于二 来第二问，咱们来看一下，这是两问啊，所以说不能用第一问的啊，因为现在 a 不 等于零，所以说咱们是不是应该分类讨论呢？第一种情况， a 大 于零时，那一定要写成一句话， y 随 x 的 增大而增大， 那此时的话，当 x 等于二十， y 有 什么值啊？ y 有 最大值啊，对吧？最大值，因为为啥会有这种情况？那咱们画一个解析式呗，对不对？ a 大 零是在他的话，那随着增大增大，那最大值肯定是二呗，因为二是不在最最右右边的，对不对？那他图像大概咱们画的过程中，他可能是啊，他可能是这个 a 大 于零，可能是这种情况，那现在一个是负一在这，一个是二在这，那你发现哪个大呀？肯定是咱们说的这个二要大呀，对不对？越往右去越大嘛，对吧？所以说此时的话，那就是当二的最大值，则 二等于一个二， a 减 a 加一的 a 的 话等于一个一的值，这是第一种情况。第二种情况， a 小 于零时，正好的相反呢？ y 所以 增大而 减小，一定要记住，不是减小而减小啊，那就是此时当 a 等于多少啊？负一时， y 有 最什么值啊？ y 有 最大值， y 有 最大值多少啊？你往里边带呗，对吧？那此时的话，同样也是咱们说的这个 二等于一个二，这个该多少啊？等于一的吗？对不对？所以说这样应该等于一个负的 二分之一。那综上咱们 a 有 几种情况来表示了两个种情况啊，对吧？ a 等于一个负的二分之一，或者是咱们说的 a 等于一个一。
36老奚数理化
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5343初中数学林老师
10:43查看AI文稿AI文稿hello， hello， 今天呢，王老师给大家带来一期特别的视频，什么视频呢？是八下以及中考常考的题型，也是重点，非常重点是一次函数里边的什么一次函数与不等式，还有二元一次方程组的关系。 今天呢，一次性给大家利用数形结合的思想去给它搞明白。记住，以后一考一次函数一定要记得画图。好吧，画了图以后才能够解出答案了。看第一个， 如果图一是直线 y 等于 k s 加 b 的 图像，他说当 x 什么的时候 y 等于零，通过图像看什么时候为零，什么时候 y 为零。我就问你们一次函数是怎么形成的？ 当时你们学长短与变量，以及一次一次学函数图像的时候怎么画出的函数图像，是不是有无数个点去组成的？这些点又怎么确定的？是因为你知道点的坐标了，所以才能才能在平面直角坐标系上画出来， 对不对？那现在 y 为零，老铁， y 为零，所以这条直线上是纵坐标为零，你就找纵坐标为零的点呗，哪个纵坐标为零？ 纵坐标为零在哪家轴上？横轴上纵坐标都为零吗？所以 x 等于几等于一时纵坐标不是为零吗？那他后面又问，当 x 什么的时候纵坐标是大于零的呢？你看 他说找纵坐标大于零吧，那纵坐标大于零说明怎么了？是不是？其他点的坐标咋了？但纵坐标是不是在横轴的上面对不对？这图像上哪些点的坐标 在横轴的上面？是不是从一的这半部分呀？对不对？那这半部分点你看是不是这样子落下来了？这些点 x 有 什么特征呢？ 是不是都比一什么的？横坐标都比，你看都比一，什么都比一小吧，所以小于一什么对不对？所以做这种题你要干嘛？需要描一描，明白了没？那什么时候 y 小 于零呢？重坐标小于零呢？ 在图像上看是在外在 x 的 什么下边吧？沿着这方图像，你看在 x 的 时候，下方的点是这样的，对不对？一是当 x 等于一的时候，在 x 轴上嘛，对不对？那这边你看，你落下来一定要记住，这道题一定要做 x 垂线才能看到横坐标。 发现和坐标都比一什么比一大吗？这个 s 大 于一。十会了没？很简单吧，那再看下一个呢？说当 x 什么的时候， k x 加 b 小 于二。哎呦， k x 加 b 小 于二。老铁， k x 加 b 是 谁？ y 等于 k x 加 b 是 不是 y 啊？ y 小 于二是说明让什么让点的，什么重坐标小于二吧？那点的重坐标小于二，说明比二什么？ 在二的哪？在二的下边吧。那看图里边哪个纵坐标是二？这个点的纵坐标是几？是不是二？那在二的下边是什么？这这半部分下面就都在二的下边呀， 对不对？纵坐标是都比二小，对吧？那说明咋了？它的横坐标有什么特点呢？你看都在零的哪边？都在零的右边吗？是不是 x 大 于零时？那什么时候纵坐标大于二呢？在二的什么上边吗？在二的上边不就完事了吗？ 对不对？纵坐标在二的上边，哪个部分超过二了？是这部分超过二了？这部分的横坐标有什么特点？都在零的哪边左边吗？这不小于零。 所以这种做这种题干嘛？你要先干嘛？分为几步法？你看第一步干嘛呢？要先理解图像，这个图像呢，是什么组成的？是由什么组成的？是由无数个点组成的，对不对？ 那些点又怎么确定的呢？是由点的坐标组成的。那说白了，找图像干嘛？就找点的坐标，这不是转换过来了吗？对不对？那找点的坐标的时候记住 一定要找零界点。你看这种题干嘛？先找到是 y 等于零的时候， y 等于零的时候，什么时候等于零呢？ x 等于一的时候，对不对？然后找大于零是在哪？重坐标大于零吧，就在零的上边，重坐标小于零呢，就在零的下边。会了没？就这种题， 然后再看下面第二问路途二当什么的时候， y 等于 y 二， y 一 和 y 二是什么？是不是两条直线？是两个解析式吧，对不对？那两条直线，老铁什么时候相等？ y 一 和 y 二， y 一 什么时候和 y 二相等？你看呗， y 一 是由是由 y 一 上面所有的点组成的，对吧？ y 二是由 y 二上面所有点组成的吧？那它俩如何相等呢？有共同点呀？有公共点啊。什么是有公共点？公共点两条直线。什么是有公共点？公共点不就叫交点吗？对不对？那上面有交点的时候什么有交点呢？那这不有交点吗？ 此时和坐标为几？此时焦点的和坐标 x 为负一嘛，对不对？负一的时候把一等于二都等于几？都等于二嘛，这不就完事了。 他又说什么时候把一小于外二，你看外一和外二是重坐标，对不对？那说白了， y 一 的中数标比 y 二的中数标咋了？小吧？什么时候开始小的呢？说明找到什么小于等于，先找到什么？先找到等于的一个点， 他俩相等什么时候相等呢？在这时候相等对不对？二的时候等于 y 一 等于 y 二的时候等于二，对吧？都等于二的时候，他俩相等吧。那 y 一 比 y 二小呢？说明咋了？他没超过二在二的下，甚至二的什么下边吗？ 这这半部分你看在二的下边的时候，你看 y 一 都比 y 二，咋了？都比 y 二低吗？比 y 二低对不对？那这半部分你看 s 有 什么特点呢？都在负一的哪边右边把 s 大 于负一时大于等于，现在有等于号吗？对不对？那什么时候 y 大 于 y 大 于 y 呢？ 是不是 y 一 的纵坐标比 y 二高呀？比 y 二大呀？在图像上怎么体现呢？ y 一 比 y 二高，但是还要找到什么？找到它们相等的点，临界点， 所以以后记住，这种比大小的干嘛？先找到相等的点，临界点就好找了。 y 一 比 y 二大，对不对？ y 一 比 y 二高，从这你看 什么时候相等呢？都等于二的时候，说明咋了？ y 一 比 y 二大吗？要比比二大吗？对不对？在二的上边，你看这不从这相等点以后， y 一 在这， y 一 永远比 y 二高呀，对不对？所以 x 这半部分有什么特点呢？你看做垂线都在负一的哪边左边吧，小于负一就这么简单啊， 会了吧，这个下一个，他说直线 y 一 和 y 二，对吧？在同一平面，平面直角坐标系中，让你方程组，方程组，什么叫方程组？是不两个方程的公共解对不对？那两个方程的公共解如果放在一次函数或者是坐标里边呢？是什么？ 是两条图像什么？共同满足的一个解吧？共同满足的解，什么时候共同满足？说这个点的坐标既满足一又满足二，说明咋了？ 不就是和上面一道题相等，和上道题一样吗？是什么？他俩交点的时候呀？公共点公共点的坐标怎么了？既在 l 一 上，也在 l 二上， 对不对？以后？所以找方程组的解，通过数形结合，干嘛？就找他俩的交点的横坐标就行，横中坐标就行了。所以这不交点的横坐标吗？ f 等于几负二， y 等于几三，就这么简单。 然后下一步说，让你说这个 k 二 s 比这个 k 一 s 加 b 大， 对不对？说明咋了？这不是吗？ y 二大于 y 一， 你找两个函数的大比较大小的时候要干嘛？找零界点吧，什么时候相等呢？找到我们相等在这轴线呢，对不对？ y 二比 y 一 大，说明咋了？ y 二永远比 y 一 怎么了？高吧？ y 二比 y 一 高，怎么是哪一个呀？ y 二比 y 一 高，这是临界点，对不对？ y 二比 y 一 高，这不是 y 二，这是 y 一 比它高呀，对不对？对吧 对吧？临界点是三吗？说明他怎么了？都大于三吗？对不对？你要生存到临界点，你们这这个应该能懂吧？在三的上面对不对？肯定要考虑三的下上面，你们千万不要这样，考虑 考虑三的下，如果考虑三的下边的话就错了，如果考虑三的右边的话也不行。你要是大于三吗？大于三的话只能是三的上面，对不对？这半部分是三的上面对不对？这半部分不就完事了吗？那这半部分有什么特点呢？ 哎，不不不，我说错了，考虑三的上面的话，你看怎么找怎么找呢？如果你要是刚才是这样找的话就是错了，为什么说错了呢？这样的话就是什么？就是，嗯，虽然是都在三的上面，但咋了？ 我要找什么？找的是对对对应的吧？就是他们在一个范围里边，这个应该能懂吧？就是刚才一模一样，在一个范围里边应该是什么？在三的上面对不对？在三的上面的一个点在一个范围，什么叫在一个范围里边啊？就是在公共点 公共点的同一侧比较，而我刚才是什么，你看 l 一 和 l 三对不对？ l 一 和 l 二他俩如果都在上面的话，这是什么？在公共点的预测了就不行了，所以干嘛？所以你要找的时候一定要认真思考啊，在三的上面对不对？ 外二肯定是在三，要找外二大于三的对不对？外二大于三这部分外二大于三对不对？在三的上面以后外二大于三的话，你看这不是 l 一 就出来了吗？什么时候呢？在负二的左边吗？这个 s 小 于负二就会了吗？ 对不对？如果要是到底变一变呢？如果这改成小于号呢？小于号的话就是什么？外二小于外一对不对？外二小于外一的话，就说明外二在哪？外二在一的外，外二在三的 下边对不对？而外一呢？在三的上边，这样这样不是好找了吗？你要去理解明白不？然后呢？所以这部分是落在哪呢？负二的右边吗？ 对不对？而现在呢，是问的是 k， 二大于 k 就是 y 二大于 y 一， 对不对？大于对吧？是不是在三的上边呀？找理解点。这三的上边， y 二在三的上边，对不对？ y 一 在三的哪 下边吗？这不是他在外，二在三的上边， y 一 在在三的下边。是这半部分符号吗？会了没？你要去理解。好吧，那么今天就到这里了，谢谢大家。古德拜。
46讲数学的王老师
03:10查看AI文稿AI文稿一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？
620初中数学林老师
03:21查看AI文稿AI文稿一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？
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02:52查看AI文稿AI文稿八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？
614初中数学林老师
04:44查看AI文稿AI文稿各位家长注意啦，八下数学求一次函数里面的三角形面积是期末压轴的丢分重灾区，百分之九十的孩子都做错了，因为他们碰到这类题目呢，只会硬算，没有思路，导致白白丢分。今天这个视频就跟你盘点在不同的情况下如何求三角形的面积。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子总结巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，在依次函数的背景下求三角形的面积。一共有这三种情况，先来看第一种， 已知一条直线和两个坐标轴围成了这个红色三角形，然后呢，要求面积，那么这种呢，是最基本的款式，我们需要先求出这个底和高他们的这个长度出来就 ok 了。 那这个点呢，不难得到它是 b 啊，这个截距是 b， 然后这个呢，我们也可以令 y 等于零，得到它的坐标是负的 k 分 之 b， 然后呢，我们用三角形的面积公式， s 等于二分之一底层高，那就是 b 的 绝对值去乘以这个 负的 k 分 之 b 的 绝对值。为什么要加绝对值呢？因为有些时候这个 b 它可能在下面啊，然后呢，这个负的 k 分 之 b 有 可能在这边，所以我们加个绝对值下去呢，就确保它一定是代表线段的长度，从而乘出来这个面积就一定是正数。 好，那接下来我们把绝对值进行一下化解，最后得到二的 k 的 绝对值上面是 b 方啊， 那这个就是这种情况下的面积公式。第二种情况呢，就是两个直线和一个坐标轴围成的情况，那么就像这个三角形一样，你看我们已经把这几个点都先求出来了，那么我们就可以用这个三角形的面积公式， s 等于二分之一，你看 这一段的长度呢，我们要用这个大的这个 x 一 减去这个小的 x 二，也就是右减阻，所以呢，我们可以用这个 x 一 减去 x 二，如果你不知道谁大谁小，我们就加绝对值号，知道吧。然后呢，它的高呢？是这一条高，它其实就是这个 y 的 绝对值，所以呢，它去乘以这个 y 三 的绝对值，那就 ok 了。第三种情况是我们压轴题里面最常出现的就是任意三直线，就像这个图一样，你看 a、 b、 c 三个点都是在平面直角坐标系里面的任意三点，然后呢，没有坐标轴的参与，没有特殊的情况， 那该如何求面积呢？这个时候啊，就要请出我们今天的主角千锤法公式，它是这么说的， 二分之一乘以水平宽，乘以千垂高，就能得出任意三角形的面积了。那具体怎么做呢啊？我给你解释一下。首先什么叫水平宽，它指的是 从上往下，咱们做一个投影，假设上面有个太阳，然后呢照下来，把整个三角形呢，照在这个 x 轴上，它的影子范围就叫水平宽，那么这里垂直下来会得到 b 点的，这个影子会照到这里来， c 点的影子呢，它也会照到这个位置来，那么这一段 就是它的水平宽，这里呢照下来它是 x 三，这里照下来它是 x 二。好，那么这个铅垂高又是什么东西呢？它指的是啊，这个 a 点呢，往 b、 c 上 去做垂线，然后交 vc 与这个点 d 啊，然后呢这段 a d 就 叫做铅垂高，那具体是怎么回事呢？林老师给你推导一下哈。这个公式的底层逻辑是割补法，我们把这个三角形呢，通过 a、 d 这一个铅垂高，把它割成左右两边的三角形， 然后呢，我们以这个 a、 d 作为底，来看一下左边的这个三角形的面积，我们把这里稍微延长一下，你会发现这边左边的高呢，是不是相当于从 v 点这样做个高过来？ 右边的三角形呢，是不是相当从 c 点往 a、 d 上去做个高，然后不难发现，这一段的高加上这一段的高，是不是就相当于整个底面的这个水平宽呢？ 对不对？所以它就变成了二分之一底乘以这条宽加这条宽的和，也就是我们的二分之一水平宽乘以铅垂高这样一个表达方法。那具体我们可以怎么做呢？你看 水平宽我们可以通过 x 三减 x 二得来，非常简单。那如何求这个铅垂高呢？这个时候你只需要把 b、 c 这两个点的直线求出来， 求完之后呢，你别忘了这个 d 点和 a 点它的 x 是 一样的，只需要把这个 b、 c 求出来，然后令这条直线里面的 d 啊，等于 x 一， 然后就可以求到 y 了，然后来一个 y 一 减 y 二， 就得到它的高了。以上呢，就是我们在一次函数的背景下求三角形面积的三种常用的方法，尤其是最后一种牵垂法，一定要掌握，你学会了吗？
534初中数学林老师
05:27查看AI文稿AI文稿最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？
854初中数学林老师
09:27查看AI文稿AI文稿八年级期末复习这次选举的是二四到二五年桥西区第二十二题。如图，在平面直角坐标系里中，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 图像与 x 轴相交于 a， 负三斗零， b 与 y 轴相交于点， b 与正比例函数 y 等于三分之四， x 相交于点 c， 求 m 的 值。 第一问，因为点 c 第一问点 c 在 外等于三分之四 x 上，所以我们就可以得到三分之四， m 等于四，即 m 等于三嘛。 好，那 m 等于三，所以点 c 的 坐标就是三斗四。好，然后将 a 点坐标负三斗零， c 点坐标三斗四代入 y 等于 k， x 加 b， 我 们可以得到负三， k 加 b 等于零， 三 k 加 b 等于四，所以我们可以解得 k 等于 b 等于，两者相加，是不是就二 b 等于四， b 就 等于二呀？ b 等于二， k 呢？ b 等于二的话， k 是 不是等于三分之二呀？也就是 y 等于三分之二 x 加二，这个考的挺，第一问挺基础的。 好，然后第二本这个，那就 好，第二本让我们求三角形 o、 b， c 的 面积，好，我们可以求出来一提一得，对吧？通过提议我可以得到 这个 b 点坐标应该是一个它，这个是，这个是 y 等于， 这是 y 等于三分之四 x， 这个是 y 等于三分之二， x 加二，所以 b 点坐标就是零到二嘛。 s 三角形 o， b， c 就是 o， b 的 长度乘上 c 的 横坐标，所以就是二分之一 乘二，再乘三，也就是二，也就是三。对不起，对不起，也就是三。好，第一问，第二问，前两问的话，考的挺基础的，对吧？带电系数法求解解式。然后来看这个第三问，重点是第三问， 说点 d 在 x 轴上，并且呢，这个三角形 a、 b、 d 呢？还得是等腰三角形，哎，那让我们直接写出点 d 的 坐标， 所以这考到了什么呀？我们要找等腰，所以我们就看哪条边是等腰呗，哪条边以哪条边为腰。所以这个要用到什么呀？用到两圆，一中垂。 好，我们可以第一个，我们可以以 a 为圆心， ab 的 长为半径，然后画弧， 画圆。哎，这个时候跟 x 轴相交于两个点，嗯， d， 我 把这个叫第一，这个叫第二。好，第二种情况，我以 b 为圆心， b 为圆心， ab 的 长为半径画弧， 我这个时候跟 b 为圆心，然后这个时候我是不是还会 跟 x 轴相交于两点？我把这个角 第三第四。好，接下来我应该是做 a、 b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴 做 a， b 的 垂直平分线，然后跟 x 轴相交于一点，称之为是 d。 五，哎，这里边的话，这里边的话，这个 a 点，这不是重复了吗？对不对？所以我们不记它啊，所以它应该有四个答案，至少应该是四个答案， 一二三四， 这是第三。 好，我们来求一下啊。啊，我们知道 a 点坐标就是它的，应该是以 a 为圆心，这样去找 ab 长为半径， 应该是有两个嘛。然后第二种情况就是以 b 为圆心， a， b 长为半径，应该也是两个，但是这个跟 a， 这不是重复了吗？ 所以以 a 为圆心， a 点坐标，我们知道它是负三到零， b 点坐标也知道零到二，那这个时候 a、 b 的 长，咱是不是就可以求出来勾股定律吗？ 四加九应该是根号十三，嗯，所以第一他应该是在负三的左侧，负三减根号十三，然后到零第一，第二， 第二在它的右侧，所以它应该是负三加根号十三，然后逗，零。好，然后第三，第三的话它是在这个。嗯，第三的话来看啊，圆心 可以求一下。 第三的话，第三跟这个点 a 是 不是应该是对称的呀？所以第三应该是一个三斗零， 然后还有一个是这个中垂线上这个点，中垂线上这个点，它这是一个垂直， 是一个垂直。 嗯，这个点可以怎么求呢？中垂线上的点到线段两端点都相等， ab 的 中点可以找一下， a 的 坐标有， b 的 坐标有，所以 ab 的 中点 中点坐标负二分之三到负二分之三到二分之一， 所以这个点的坐标就应该是一个负二分之三到一。嗯，然后呢？没有学相似呢？ a b 的 解析式，我们可以求出来， y a b， 它是一个。呃， a b 的 解析式就是三分之二 x 加二嘛。 所以那它的垂直平分线它是三分之二， x 加二，那它的垂直平分线应该是 y 等于负二分之三 x， 然后把这个点对它带进去， 负二分之三， x 负一嘛，然后这应该是减个四分之五， 负二分之三，应该是负四分之六，对不对？嗯，解出来它之后，那我们令 y 等于零， y 等于零的时候，可以解出来， x 应该等于负的六分之五，其实就它稍微不不太好减，第四的话就应该是负六分之五。逗，零， 啥意思？就是我们知道这个，他这是个垂直，所以可以求出来的学率，这个点可以出来，然后这个一次函数可以求出来，求出来之后找焦点，这是两元一中垂在期末里面的考法。
140石家庄讲数学的数学老师😄
03:01查看AI文稿AI文稿八下必选一个就要感化压入难题，一个是平行四边形，另外一个就是一次函数了，而一次函数对应的图像变换、平移旋转又是我们在另年期中期末必考的一项技能，而且在中考当中还会结合着最后一道题，二次函数出综合的压轴大题。 今天啊，一个视频，老师将带大家捋清楚有关一次函数图像变换的几种结论。那有关一次函数这样的图像变换，老师也给大家把历年考过的一错真题做了一个梳理，如果咱们孩子遇到这种题还经常出错，马后家长一定要打印出来， 逐个类形题，带孩子去练习记结论好不好？下面啊，咱们就来一起看看这道题。若依次函数的图像沿着 x 轴平移 n 的 单位长度来这里设置到平移了。平移，它的口诀是什么？ 对了，叫做上加下减谁？对了，就是那个 b 长数项，接下来平移左右，怎么平移啊？还是让左加右减？口诀记住了，左加右减谁啊？ 字变亮是那 s， 而且注意，平移的时候我们还要把它关上禁闭，只平移它。 好，那接下来他又说得到的图像是原图像，关于原点旋转一百八十度得到。关于原点旋转后的图像有什么特点 哦， x 变为它的相反数， y 也变为它的相反数。哎，知道这两个特点和口诀，这道题就容易错了，下面咱们来一起写一写。哎，是不是原图像是 y 等于二， x 减二啊， 它平移 m 的 单位长度，是不是左右平移啊，对不对？所以沿着 x 轴平移，是不是在 x 轴的基础上加减 m 的 单位长度对不对？减二，这是平移之后的图像，把它整理一下，就是二 x 加减二， m 再减二。 接下来得到的图像是关于原点旋转一百八十度得到。咱们得知道这个图像 y 等于二， x 减二。关于原点旋转一百八十度后到哪了？ 它旋转一百八，它有什么变化趋势啊？哦， y 变成负 y 了， x 变成负 x， 它就变成这样， 再整理一下， y 就 等于二， x 内乘二了。所以旋转一百八十度得到的图像是它，而原来平移之后得到的图像是它，那把它俩对应相等就行了，对不对？所以我们就有正负二， m 减二就等于二， 看到了吗？所以有正负二， m 就 等于四，所以 m 就 等于负二了。爸特别着急，在这一写，俩答案就完。那你不就错了吗？这里 m 是 哪呀？ m 个单位长度他一定是啥？长度是正的，所以平移多少个单位长度？两个单位长度对不对？那左右平移，他才算到加二和减二。那这种题目平移旋转的均相变换，你现在弄明白了吗？
263依依老师讲数学
03:54查看AI文稿AI文稿八项数学一、自然数求表达式最核心的方法就是待定系数法，但是很多的孩子呢，在一开始学待定系数法的时候，没有掌握它的标准步骤和方法，导致常常丢分，还影响了后续小题的得分，非常可惜。 那今天呢，林老师就会给大家展示待定系数法的标准三个步骤，只要把林老师给大家整理的 依次函数十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题， 已知 y 是 关于 x 的 依次函数，且点 a， b 的 坐标都给你了，它都在函数图像上，求这个依次函数的表达式，这种已知两个点要你求表达式，就是最经典的待定系数法的题目。那么它一共分为三个步骤啊，请大家记住， 第一个步骤呢，叫做设框架，第二个步骤带两点，第三个步骤解方程，那我来操作一遍给你看。首先第一步设框架，我们知道一自然数的框架呢，就是 y 等于 k， x 加 b， 这个是它的标准式。然后呢，我们把这两个点分别带进去，就可以得到两个方程， 分别是来把这个零带入 x， 四带入 y， 我 们就可以得到四等于零乘以 k 加 b， 然后呢，再把这个负二和零带进去，那么就是零等于负二， k 加 b。 好， 接下来第三步 解方程，我们把这个方程解一下，就可以得到，这个是零， k 加 b， 所以 b 就 等于四啊， b 等于四， 然后呢，负二 k 移过去变成正二 k， 正二 k 等于四，那 k 就是 二，所以呢，你看 k 和 b 我 们都有了，然后再带回这里面，它的表达式就出来了，我们写一下啊， y 是 等于二， x 加四。好，那这就是第一个小问，我们轻松拿下第二小题， 当 y 大 于等于负一时，求 x 的 取值范围。那么这道题我们需要用画图的方法来辅助解决。咱们先画出一个平面直角坐标系来 好，然后根据第一个问的表达是 y 等于二， x 加四，我们可以画出它的草图来，你看 k 是 大于零的，所以它的图像是往上走的， 然后这个 b 呢，是截距是四，所以它 b 过这个点，四在这里，然后呢，斜率是往上走，所以它大致是长这样子的一个图出来。然后呢，当 y 大 于等于负一在哪里呢？我们不妨假设这个 y， 这个负一它就在这里， 那么此时我们只要把这个负一带进这个表达式，是不是就能求出它对应的 x 在 哪里啊？哎，我们这里先画一个草图来找一下，你看我们这边做个辅助线过来， 对应的这个 x 是 不是在这个位置，这个我们是可以求出来的吗？对吧？把这个 y 等于负一带进去，就可以求出这个 x 出来了，我们求一下啊，我们令 y 等于负一啊，就是这个带进去就可以得到负一，是等于二， x 加四的，所以呢，此时解一下，得到 x 是 等于负的二分之五，把这个四移过去除以二嘛，所以呢，这个地方呢，它其实就是二分之五啊，负的。 好，那接下来我们通过画图就能解决了，你看 y 要大于等于负一，说明 y 要取上面的这个部分，那么对应的这个函数是不是要取这一个线段呢？ 这边这一段对不对？那么你这段过去呢？ y 就 能取到上面了是不是？那么与此同时 x 在 哪里呢？ x 是 不是相当于这个负的二分之五的右边都是符合这个直线的？ 所以呢，我们就由图可知，直接得到 x 呢，就是大于等于负的二分之五，轻松搞定，你学会了吗？
384初中数学林老师
00:25查看AI文稿AI文稿八年级的各位家长注意了哈，在八年级下册，咱们第一次接触函数，那么函数呢？它是整个初高中的主线，那么这个是必须要学好的， 那么期末考试也是以这为重点的，那么于是老师给大家整理了各版本八年级下册期末考试的押题卷，每一道题呢，都有详细的答案解析，不管你是哪个版本，咱们都有回复，期末考试拿去练习。
74许仙讲数学
