对勾函数图像（y=x+1/x）
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03:32查看AI文稿AI文稿来，所有同学抬头看黑板啊，今天给大家讲两类超级重要的函数图像，书上没有讲，但考试特别爱考，号称是函数界的玄冥二老。先来看第一个对勾函数， 什么叫对勾函数？我先跟你们说一下，长成 y i 等于 ax 加 x 分 之 b 这种形式，它的图像像个对勾，但是在画之前啊，我先要给你们画一个东西，这个东西叫渐进线，我是用虚线画的啊，大家看一下， 这条线呢，是 y i 等于 ax， 其实就是左边这一部分，为什么要对勾函数？看这里， 他长成这个样子哎，像不像是一个对勾？那左边呢？也一样哎，因为这个 g 函数图像关于原点中心对称。 那接下来我要说这个对勾函数，这个点是多少呢？这个点其实是基本不等式成立的时候。来，你看，当 x 大 于零的时候， ax 加 x 分 之 b， 它是大于等于两倍的根号下，它俩相乘的时候，也就是 ab， 这就是最小值。当前仅当它俩相等时，等号成立。那你 ax 等于 x 分 之 b， 那 我可以算出 x 等于根号下 a 分 之 b 哦，这个数就是根号下 a 分 之 b。 当然了，那这个点呢，就是负的根号下 a 分 之 b。 现在啊，这个图像我清楚了，这个地方，我要跟你说一说，为什么会有这条渐近线，你们思考一下啊， 当 x 趋于正无穷时，这个时候 x 分 之 b， 这个数基本上就趋近于零了，对不对？它基本上趋近于零了，但是呢，它整体还是比 ax 还要大一点，所以你会发现这个图像无限的贴近于渐近线，却不能相交。 好，那 x 趋于正无穷，你会分析？ x 趋于零，你会分析吗？ x 趋近于零的时候来， ax 趋近于零，那 x 分 之 b 呢？它是个正无穷，你比如说 x 是 零点，零零零一， 那它一算是不是就很大了？所以图像大概长成这个样子，你会了这个以外，他的好兄弟，飘带函数，你也要会记这个飘带函数。注意啊，这里是加， 这里是减。图像长什么样子呢？也有条接近线来，请看这里， 这条线是 y 等于 ax 没变，但是区别在哪里？先看单调性，当 x 大 于零的时候， ax 分 函数， x 分 之 b 减函数。那也想减呢？ 增函数是吧？明白了哦，这个函数在令到正无穷上是单增的哦，它大概长这个样子，回无限贴近于 y i 等于 x， 但是呢，又比 y i 等于 ax 要小一点。为什么你减了一个正数呀， 对不对？又因为他是奇函数，那左边呢？哎，长成这个样子。当然了，为什么在零时趋于富无穷，在正无穷时趋于正无穷，你分析下极限就可以了。这两类一定给我记好啊。
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07:59查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎收看数学王子特训营，我是魏老师，我们今天来看高中数学很重要的一个函数啊，叫做对勾函数，也叫对号函数。长什么样子呢？就长这个样子， f x 等于 x 加 s 为之一， 很多题都是由他变形得出来的啊，所以这个插座很重要，经常考到啊。 现在这个提示让我们证明这个函数的摘掉性在零到一上是递减，在一到中的情况是递增的啊，那拍到还是摘掉性？我们通常有这几种方法啊，第一就是定义法，第一，定义法， 那定义法的步骤，首先是射圆，就是取两个数啊，在定义上取两个数，然后第二做叉，射圆之后做叉，做函数值的叉啊，然后做叉， 接下来就要变形，那变形的目的是为了判断这个符号啊，就是定号 符号出来，那么结论就出来了，这是我们利用定义法来证明的啊，这是我们的五步法。那我们 到了高二还会求学一个知识点，就是倒函数，我们还可以求倒了，利用求倒啊，倒函数，如果大一点零的话，说明原函数再到递增啊，倒函数小一点零的话，就可以推出来原函数，再到递减。 然后第三，我们还可以根据函数的图像啊，当我们知道函数的图像的话，那肯定也知道函数代代性了，对吧？这是一般简单的函数，我们通常有这几种方法啊，还有一种是复合函数的，复合函数代代性，那么就重增一减啊为主。今天主要从定义法 求导来说一下这个题啊。我们证明，首先我们取值啊，设圆，我们在领导正无穷上网把这两个结合在一块啊，我们设 x 一大于 x 二大于零，那接下来做叉， f x 一减去 f x 二， 那么就等于 x 一加上 x 一分之一减去 x 二减去 x 二分之一，我们对它进行变形啊，直接写吧，就是 x 一减去 x 二，那么这边就变成了一减去个 x 一 x 二分之一了，看这个理解吗？啊？稍微跳了一下啊，又提出来一个 x 一减 x 二， 然后再看 x 一减 x 二，然后后面通分 x 一 x 二 x 一 x 二减去一，变成这个样子。那么现在我们来分析啊，变形变成这个样子，接下来就是定号了， 因为 x 一大于 x 二是大于零的，所以 x 一减去 x 二大于零，然后 x 一 x 二大于零。你看这两部分我们已经判断出来了，主要是不是 x 一 x 二减去一这边的符号我们是不是还不确定啊，对吧？所以我们要对他进行再讨论。 所以若若他在零到一上啊，那么就这样写，若一大于 x 一大于 x 二大于零，就是这两个 都是大于零小于一的，那么此时此时你 x 一 x 二是不是就是小于一啊？ 是不是那小于的话， x 一 x 二减去一，不就小于零吗？那么所以现在这三个三个式子的符号，我们把都判断出来了，那也就是说 x 一减去 x 二乘一个 x 一 x 二分之 x 一 x 二减去一，它是小零的，所以 f x 一是不是就小于 f x 二， 对吧？那你看我们的目标是不是出现了他的符号出来，然后我们的前提是 x 一大于 x 啊，所以 f x 你看等于 x 加 f 分之一，再 在零一上是减函数，因为这是符合减函数的定义吗？对吧？然后同理 这边写了啊，同理可证，就是你稍微再说一下就可以了啊，这边稍微说一下，这边就是 x 一啊， 大于 x 二都是大一的数，嗯，这边就好说了啊，那么同理可证吧。同理可证， f x 在一到正无穷上是增函数，这是我们从定义来出发的啊， 这是从定义法来证明。那么我们顺便也说一下第二求导啊，这是我们高二要求的 高尔雪的求导，那么对于这个函数求导之后是变成了一减 x 平方非之一啊，那么是不是就等于 x 平方非之 x 平方减一，是不是？ 如果让他大龄的话，因为你的定域这边只是零到一啊，所以求出来啊，我们把它延伸一下吧。定域这个函数，定域是 s， 不等于零，我们从 求出来是 x 大于一，或者是 x 小于负一，那么所以 f x 在 你看在一到正无穷上还有负无穷到负一上呆掉递增，那么这边 带到递增的话，那你如果小零的话，是不是就是负一到零啊？但是要分开的啊，他是分开的，就是分别，这边是分别的，不能并在一起啊，这两个一到中无穷带到递增，负无穷到负一上带到递增啊， 那如果这边是小零，这个要注意啊，因为你 x 是不等于零的啊，那么从底可正吧，我们写一下 小于零，那么小于零，我们推出来它是 x 大于负一小于零， 还有一个是大于零小一，因为你取不到零啊，这个要注意啊，所以 f x 在负一到零，还有 零到一上带掉递减，那这是我们求导出发的啊，然后呢把它的图像也画一下啊，那这个函数的图像 当 s 等于一的时候，它有最小值，最小这边是最小值，是二，是零到重工程的时候啊，这是 x， 这边是 y， 然后你这边是负一的话，这边对应的就是负二， 这边对应就是负二，这个样子啊，无限靠距的啊，你这边标一下二，你这边就是负二， 那这就是函数图像啊，你看负一到零上，这边是不是代调递减，然后这边是零到一，也代调递减，因为这个函数是一个基函数啊，所以他的基偶性和代调性都要清楚，定义都要清楚啊， 因为这是很多题的一个变形啊，这个函数叫做对勾函数，我们写一下啊，对勾函数也叫最多，也叫做对号函数啊，因为他的图像像一个对号吗？你看，先看对号啊， 这个题希望大家认真掌握住啊，这个很基础的一道题，但是在高中数学中也经常出现，他会有很多变形啊。 ok， 这道题我们就讲到这里，谢谢大家收看，我们下期再见。
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08:02查看AI文稿AI文稿首先我们先来看一个实际应用问题，国家电力集团为了利用开发太阳能，计划在西部平台的戈壁上建造一个占地面积达一平方千米的长方形太阳能发电厂。 为了缩减成本，要怎样设计才能使长方形围墙等长与宽之合最短？ 这个实际问题我们能够转化成什么样的数学问题呢？请大家思考一下。谁来回答一下？ 江超，你来说一下啊，这这个题呢，我们可以，我们可以设长为 x， 然后因为占地面积为一，一平方千米，然后宽就是为 x 分 之一， 然后我们再把它转化成函数问题，那他们的和就是 y 等于 x 加 x 分 之一， 然后最小。求最小值的话，我们可以运用均值不等式满，因为他是一个实际问题，满足一证二定，然后，然后通过均值不等式，然后呢求出来，他们当前仅当 x， x 等于 x 分 之 分之一，然后即 x 等于一时，等号成立，它的最小值为二。非常好，请坐，如果我把这个实际应用问题当中的 x 大 于零，变成 x 大 于等于二十，再来求它的最小值，还能不能用刚才所用到的均值不等式呢？不能，为什么不能？ 对当且紧，当 x 等于一是不在这个范围内。好，那对于这样的问题我们怎么办呢？那我们需要 去研究什么啊？那我们就需要去探求这个函数 y 等于 x 加 x 分 之一，它的性质，那我们从什么样的角度去研究一个函数的性质呢？ 嗯，非常好。还有吗？ 对称性还有图像啊，也就是说我们可以从函数的性质与图像入手，那么性质就是刚才同学们说的单调性、基偶性、对称性，这些都是我们学过的性质，那对于一些性 前都是怎么进行研究的？定义，定义，定义，定义，定义法，定义法，可以去探讨函数的单调性，基友性，那定义域怎么办？ 满足这个函数有意义啊，非常好，那请同学们用你们刚才总结的这一些方法来对这个函数的性质进行探究。大家可以看到选项上的问题三 都写完了吗？我们看一下 刘涵云，起来说一下你写的这些性质。嗯，首先是定义域，然后就是使这个函数有意义，那么就是 x 分 之一，它的 x 是 不等于零的，然后定义域就是不穷到零，更上零到更穷。 接着第二个呢？直域，嗯，直域。那你用什么方法探究的？ 用均值不等式啊？用均值不等式求出来的，那具体均值不等式在使用的过程当中要注意什么问题？嗯， x 的 正负值域的范围应该是什么？ 嗯，嗯，正无穷到负二，跟上二到正无穷，二到正无穷。那接下来还有什么性质？嗯，单调性，嗯， 单调性。你用什么方法做的？嗯，定义法，定义法。那对于定义法来说，我们就是要设 x 一， x 二属于零到正无穷啊，你设它属于零到正无穷这个区间，然后呢？然后令 x 一 小于 x 二，嗯，然后 x 就 等于 x 二减 x 一， 嗯， 然后就把它们带带进去，算 dy， 再算 dy， dy 经过化简以后，我们看一下，你就变成了这一个形式了。 呃，我觉得 x， 呃，分母 x 一 乘以 x 二，它是大于零的，然后判断分子的话，呃， x 一 啊啊， x 二减 x 一 也是大于零的，然后最后需要判断 x 一 乘以 x 二减去一，然后它的正负。嗯，然后，呃，我就觉得是可以 分一下，就是 x 一 乘以 x 二大于一和 x 一 乘以 x x 二小于一的两种情况。嗯，那如果 x 一 乘以 x 二大于一，说明它是什么单调性单调递增啊？也就是如果它单调递增的。
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01:39查看AI文稿AI文稿大家好，看这道题，求这个函数的值域。这个函数的表达式是个分式型，分母是一次的，分子是二次的。 当我们把分子上的这个二给它改写成一加一以后，这个分子就是 x 加一的平方，再加上一，那么 y 就等于 x 加一分之， x 加一的平方再加一。 而这个式子我们可以把它拆成两项，也就是 x 加一分之， x 加一的平方，就是 x 加一，再加上 x 加一分之一， 那么我们把这个 x 加一看成一个整体，这就是一个对勾函数。图像就是这样， 长得像个对勾，所以我们把它叫做对勾函数。那么当 x 加一大于零的时候， y 就大于等于二，当 x 加一小于零的时候， y 就小于等于负二， 那么函数的值域就是负无穷到负二，并上二到正无穷。
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03:04查看AI文稿AI文稿我们来看一道关于一次函数的题目，下列关于函数 y 等于负二分之一， x 加一的结论中，正确的是， 那么对于这样的题目呢，我们根据一次函数的一些相关知识啊，去分析一下每一个选项就可以了。我们先看一项图像，必经过点一零， 那它过不过这个点，我们怎么判断呢？哎，我们可以把这个点里面 x 与 y 对 应的值带入到函数中 啊，看一下它是否一致啊，如果一致呢，就是经过的点啊，也就说这个点在函数的图像上，这里面我们看啊，是 x 为一， y 为零，然后我们把 x 等于一啊，带入 到这个式子中，那代入到这个式子中， y 是 不是等于负二分之一加一啊啊，也就是 x 等于一的时候，负二分之一， x 啊，它就等于负二分之一，那负二分之一加一，它应该等于二分之一， 所以说它过的这个点应该是一二分之一，并不过一零这个点啊，所以 a 项它就不对，我们看一下 b 项，当 x 大 于零时， y 小 于一，那么这里面我们要去画一下啊，它的图像。 这里首先我们知道啊，这个 k 啊，它等于负二分之一啊，也就是小于零的，那它的图像呢，应该是 y 随 x 增大而减小啊，那我们直接把这个 d 项啊给排除掉了。 那在这里面我们看一下啊，当 x 等于什么的时候， y 等于零呢？也就是当 x 等于二的时候啊，那负二分之一乘二就变成负一了，负一加一就是零，也就是说这个点呢是二， 当 x 等于二的时候， y 等于零在 x 轴上，那当 x 等于零的时候呢， y 等于一， 这个点是一，那他过这两个点的直线啊，就应该是这样的，所以说他经过的是一二四项线啊，经过一二四项线， 所以说这个 c 项也不正确。然后我们看一下 b 项，当 x 大 于零时， y 小 于一，那当 x 等于零时啊，是不是 y 等于一啊？就是这个点， 大家来看啊，就是这个点，那么当 x 大 于零的时候，我们可以看到啊， y 的 值变成了怎么样？变成了小于一的值，所以这个正确的一项就是 b 项，这个题目选择 b 项， 对于一次函数类的题目呢，哎，我们主要还是通过它的函数解析式啊，分析它经过哪个点呢？ 还有它经过哪个象限呢？ y 随 x 值的增大是怎样变化的呢？哎，我们主要去看它的解析式中，像 k 的 值啊， b 的 值啊，哎，我们只要搞清楚这些就可以了。如果大家觉得我的视频有帮助，欢迎大家关注，点赞收藏。
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29:16查看AI文稿AI文稿请注意，本视频共计三十分钟，主要讲解的是高中数学三角函数之 y 等于 x， y 等于 cos x 的 图像和性质。自用版仅分享，如有侵权可联系下架视频 哟！大家好，经过这么久的学习，大家对正余弦的掌握已经达到了高，手机从这个视频开始，要进行专家级的修炼，学习正弦函数余弦函数，也就是 y 等于 x， y 等于 cos x。 看到这儿，有同学可能会有点方，之前不都是 sine 阿尔法 cos 阿尔法吗？注意，阿尔法一般表示角，而 x 表示自变量，是个实数，把 x 对 应到 x 弧度的正弦值 one 也是个实数。这种对应关系， y 等于三， x 就是 正弦函数。比如 x 等于三分之派时， y 等于二分之根。三余弦函数也类似，很明显它俩的定域都是 r。 但学习函数可不是只学定域，还要研究直域、单调性、对称性等等。以正常人类的智商，只靠解析式，哪弄得清这么多性质？你来想想，还有什么可以帮我们 get 函数的性质呢？ 选 b， 做出图像函数就木有秘密了。这个视频就要教你如何做正余弦函数的图像。 作图像首先想到的是描点法，但是取哪些点呢？比如 y 等于三， x 零零自然可以，剩下的呢？一三一三一是多大的数？ 怎么样？是不是感觉以正常人类的智商，只用描点法，完全无法驾驭正弦函数的图像？ 所以接下来要教你一种做正弦函数图像的神级方法。所谓函数图像，可以这么理解，就是当自变量 x 变化时，函数值三 x 如何变化？想弄清楚这一点，可以借助单位元， 还需要两个帮手，哎，就狗蛋和小锤吧。单位圆要怎么用呢？首先把狗蛋固定在单位圆上，脚在圆心处，脑袋在圆周上。 别问我为啥狗蛋能这样放在单位圆上，因为洋葱的人设里，狗蛋是万能的呀。 接下来把单位圆想象成一个轮盘，他可以转转动轮盘，让狗蛋的脑袋在一零处，记住这是起始位置，然后逆时针匀速旋转轮盘，每秒转一弧度。 不要怀疑这不是魔术表演，也不会有人拿飞镖扔离。狗蛋这么做的目的是为了弄清楚撒。 x 的 变化趋势，设旋转时间为 x 秒，那狗蛋转过的角就是 x， 弧度 x 有 了，那散 x 在 哪呢？就在狗蛋的脑袋里。这是单位圆，这个角为 x， 那 狗蛋的脑袋，它的坐标就是 cos x， 散 x。 哦，散 x 就是 狗蛋脑袋的纵坐标嘛，弄清它的变化趋势就可以了。 接下来回到初始位置，开始旋转，拎紧狗蛋的脑袋，观察它的纵坐标 看，从零开始，先变大，增加到一，然后开始减小， 又一次变成零，继续减小，走到负一，再次增大。当口袋转完一圈时，纵坐标又回到零，如果一圈一圈转下去，纵坐标会不断重复零一零，负一零这一变化。 看来这就是三 x 的 变化趋势了。好，口袋已经晕过去了，让他休息一会，总结一下。 x 的 变化趋势就是零一零，负一零，不断重复。现在只差一步就可以做出 y 等于 x 的 图像了。下面该小锤出场了。 刚刚狗蛋在做脑力活动，而小锤要负责体力活动。在外轴处放一个无穷长的幕布，不要问我幕布怎么会无穷长，在洋葱的人设里，狗蛋是万能的吗？ 接下来小锤推着木布沿 x 轴向右匀速运动，速度每秒一单位长度，同时让狗蛋的脑袋投影在木布上。 这样有什么用处呢？举个例子，当木布走到 x 等于三分之派弧度，他脑袋的纵坐标就是三，三分之派等于二分之根三， 此时幕布上的投影三分之盼，二分之根三就是 y 等于三 x 图像上的点。因此，让狗蛋和小锤同时运动，投影经过的路线就表示 y 等于三 x 的 图像了。 好，接下来是激动人心的时刻，轮盘幕布回归初十位置匀速运动，开始记录投影走过的路线。 原来 y 等于三 x 的 图像长这样！虽然只有 x 轴、正半轴这一部分图像，不过已经可以从中观察出正弦函数图像的最大特点了，那就是不断重复周期循环。 这种特点在以前学过的图像里从未出现过。狗蛋的脑袋每转一圈，也就是二派图像就会经历一个周期， 而在 b 区间零到二派这个周期内，就像之前说过的，函数值会从零开始经历零一零负一零。 根据周期循环的特性，选一个周期内的图像，不断复制粘贴，就可以得到 y 等于 x 的 完整图像了。 既然得到了完整图像，那狗蛋和小锤就可以下去休息了。下面来思考一个问题，以后需要正弦函数的图像时要如何做呢？总不能每次都让狗蛋做人肉轮盘吧？ 其实介于周期循环的这一特性，只要做出一个周期，比如零到二派的图像，再复制粘贴，就可以快速得到完整图像了。 那零到二派内的图像又怎么做呢？观察一下，这一部分图像是 s 型，只要做出这五个关键点就可以了，它们分别是，狗蛋转过零 二分之派、派二分之三派，二派时的对应点，相应的坐标是零零二分之派、一派零二分之三派负一二派零。 这五个点很重要，他们就好像手机屏幕的密码锁一样，记住了，他们也就解锁了正弦函数的图像。 做出这五个点，用平滑曲线连接得到一个周期内的图像，再复制粘贴到整个定义域，就是 y 等于三 x 的 图像了。这种作图方法被称为五点作图法。 好，搞定了 y 等于三 x 的 图像，还有 y 等于 cos x 介于狗蛋和小锤已经翻白眼了，所以直接借助 y 等于三 x 的 图像得到 y 等于 cos x 的 图像。 怎么操作呢？很简单，根据诱导公式， cos x 等于 cos x 加二分之 pi， x 加二分之派，把 y 等于三 x 的 图像向左平移，二分之派个单位就是它了，平移一下，这就是 y 等于 cos x 的 图像。 从图上来看， y 等于 cos x， 依然周期循环。而在 b 区间，零到二派内五个关键点则是零一二分之派，零派负一 二分之三， pi 零二 pi 一， 就像一个山谷，记住这个小山谷， y 等于 cos x 的 图像就不难做出了。那现在来考考你，这两个图像，哪个表示 y 等于 x， 哪个表示 y 等于 cos x 呢？ 选 b， 在 b 区间，零到二派内，正弦函数是妖娆的 s 型，余弦函数则是朴实的山谷型，你记住了吗？ 好了，总结一下，这个视频做出了正余弦函数的图像，它们有一个重要特性，周期循环。 基于这个特性，只要做出一个周期内的五个关键点，就可以得到整个函数图像了。有了图像就可以研究性质了，不过这就是下个视频的内容了，拜拜！ hello， 大家好，上个视频中，在狗蛋和小锤天衣无缝的配合下，得到了郑羽选函数的图像， 虽然他俩已经快吐血了，不过在这个视频里，他们仍将发挥不怕苦不怕累的精神，继续帮助我们研究郑羽选函数的性质。这次可是肝火满满，赶紧开始吧！ 首先，正弦函数最独特、最别致、最具代表性的性质就是它们的图像不断重复，周期循环，这种性质被称为函数的周期性。 说到周期性，其实咱们并不陌生，比如一周有七天，一年有四季。 再比如狗蛋每次期末考试后都会挨一顿批。正余弦函数的图像也是一样，周期循环，不过这只是几何特征。 根据学习单调性和基友性的经验，除了知道图像长什么样，还得给出周期性的代数定义，这样才方便研究更深奥的问题， 那怎么定义呢？所谓周期循环，就是每经过一个周期就会重复，比如一周有七天，七天就是它的周期，每过七天星期几就会重复出现。 函数的周期性也是一样，每过一个周期，函数值就会重复。比如二 pi 是 y， 等于三 x 的 周期自变量，每增加二 pi， 函数值就会重复、重复再重复。 在数学上，通常由大写字母 t 表示周期函数的周期性可以这么描述，当自变量增加 t， 也就是自变量从 x 变为 x 加 t 时，对应的函数值相等， 用符号表示就是 f x 等于 f x 加 t， 这样就得到周期性的标准定义了。 仔细看下，定义基本就是刚说过的东西嘛，还是以 y 等于三 x 为例，凭啥二派是它的周期呢？ 从代数的角度，是因为对于任意的 x， 三 x 加二派都等于三 x， 这就是 f x 加 t 等于 f x 的 含义了。 不过有两点值得注意，第一， t 是 非零常数。非零好理解，总不能说自变量增加零就重复吧。 另外，从非零常数可知， t 可以 是负数，比如还是一周七天往回走，七天也会重复吗？ t 为负数时，就意味着自变量减少时，函数值也会重复。 第二，是一个新概念，最小正周期。这又是啥意思？以正余弦函数为例， t 等于二派是它们的周期，但是它们的图像每经过四派也会重复一次，所以 t 等于四派也是它俩的周期。 类似的， t 等于六派、八派，甚至负二派都是他们的周期。汇总一下，正义学函数的周期是， t 等于二 k 派， k 属于整数，且不等于零。 在所有的周期里， t 等于二派最符合我们对周期的最初的认识，因为它是所有正周期里最小的一个，这就是最小正周期。以后当提到函数的周期时，如果没有特别说明，都指最小正周期。 好，费了这么大劲，终于搞清楚周期性了。所有具有周期性的事物都有一个共同的特点，想研究他们，只要研究清楚一个周期内的情况，就可以知道所有情况了。 下面就顺着这个思路，一起来看看正弦函数的其他性质吧。首先是定域和直域， 定域肯定是 r 值域呢。看看图像，是 b 区间负一到一，因此正余弦函数的最小值和最大值分别是负一和一。那问题来了，他们算什么时候取最值呢？ 先看 y 等于三 x， 从图像上看，他取到最大值的点也是以二派为周期循环的。 先找到一个最大值点，比如 x 等于二分之派，然后不断加二派，也就是 x 等于二分之派，加二 k 派， k 属于整数时， y 等于三 x 取最大值。一 类似的，你来想想， y 等于三 x 取最小值时， x 等于多少呢？ 选 a b 都行。无论是 x 等于负二分之派，还是 x 等于二分之三派，正弦函数都取最小值，然后不要忘了加代表周期循环的二 k 派， 不过习惯上一般选择绝对值小的作为代表，因此答案一般会写成 x 等于负二分之派，加二 k 派， k 属于整数。 打定了 y 等于三 x 的 情况， y 等于 cos， x 也差不多。取最大值可以让 x 等于零，取最小值可以让 x 等于 pi， 再加上二 k， pi 就是 结论了。 弄清楚了最直再说。单调性正余弦函数的图像都是绵延起伏的，有上升有下降，但无论是升是降，都是以二派为周期。 那还是老套路，找到一个完整的增区间和减区间，再加二 k 派，就是所有的增减区间了。 先看 y 等于三 x， 它的一个增区间是 b 区间，负二分之派到二分之派，一个减区间是 b 区间，二分之派到二分之三派。 注意，有同学可能习惯了直接找 b 区间零到二派，但零到二派内没有完整的增区间， 所以这里取了必须接负二分之二到二分之三判，这也是一个完整的周期，选周期时并不一定要从零开始选，具体问题时要灵活分析。 完整的增减区间都有了，下面都加上二 k 派。正弦函数在每一个 b 区间，负二分之派加二 k 派到二分之派加二 k 派， k 属于整数上都递增。 而在每一个 b 区间，二分之派加二 k 派，二分之三派加二 k 派， k 属于整数上都递减。比如 k 等于一时，对应的增减区间就分别是这两个。 同样的 y 等于 cos x， 它的增减区间特别好。选 y， 轴两侧 b 区间零到 pi 减区间， b 区间负派到零增区间加二 k， pi 结论就出现了， 现在就只剩奇偶性和对称性了。奇偶性好说，有了图像一目了然，你自己判断一下吧。 选 a， 正弦函数的图像关于原点对称，比如这个点，它关于原点的对称点也在图像上。而余弦函数的则关于外轴对称，既有性一清二楚， 想证明也不难。它们的定义域都是 r， 根据诱导公式， sin 负 x 等于负的三 x， 因此正弦函数是奇函数，而 cos 负 x 等于 cos x， 余弦函数是偶函数。 最后是对称线。很容易看出，这两条万面起伏的线都既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称轴有无数条，分别是这些线，而对称中心也有无数个，分别是这些点。 接下来就试着把它们写出来。按照惯例，这一次先看 y 等于 cos 吧， y 等于 cos x 的 一条对称轴是 y 轴，也就是直线 x 等于零， 接下来需要加周期。不过注意，对称轴分布的周期是 pi， 这一点看看图像就清楚了。要是一根筋的还认为是二 pi， 那 狗蛋和小锤可就白吐血了。 因此，它的所有对称轴是直线 x 等于 k 派 k 属于整数。对称中心呢，也很清楚，是二分之派加 k 派零， k 属于整数， 而 y 等于三 x 恰好反过来，它的对称轴是直线 x 等于二分之派加 k 派 k 属于整数。而对称中心是什么呢？ 选 c， 对 称中心分布的最小正周期是 pi， 所以 a 不 对。至于 b 不 写 k 属于整数，可是高中三角函数十宗罪之首，出错的同学下次可要仔细哦！ 性质介绍完毕，总结一下，正余选函数的各种性质都在这张表里。 看到这，很多同学开始发怵了，这要怎么记啊？不怕，想想研究性质的过程，只要记住函数的图像和周期性，先搞定一个周期，再拓展到整个定义域上，这是研究正余弦函数的主线， 牢牢抓住主线，所有性质随时都可以想起来。那这个视频就到这里，拜拜。 众所周知，周期性是一种厉害到爆炸的函数性质，因为有了周期性，比如周期为二吧，你就可以根据一个点算出一串点， 比如知道 f 一 等于八， f 三 f 五， f 七，还有 f 负一， f 负三等等等等，就都是八了吧。周期性简直是作弊神器有没有！ 也正是因为周期性这么厉害，所以出题人通常都不会直接告诉你周期性，而是把周期性隐藏起来，你得自己根据条件推出周期性 这个视频，就来介绍第一类隐藏着周期性的条件来看题， 已知函数 f x 满足 f x 加二等于 f x 分 之一。嗯，一个没怎么遇到过的条件， 还知道 f 一 等于负五，要求 f 一 百二十五和 f 二百五十五，这资本量怎么都这么大呀？按照以往的经验，应该是从条件中可以得出一定的规律。既然都聚透过了，那应该就是周期性了吧。 那就试试看吧。分析一下条件，这个等式可以根据 f x 的 值求出 f x 加二， 已知的函数值就一个 f 一， 让这个式子里的 x 等于一，就能求出 f 三等于负五分之一。 暂时没看出什么来啊，也正常，哪有一次就能找到规律的嘛。再让 x 等于三，求一下 f 五吧，等于负五分之一分之一，也就是负五了。哎，跟 f 一 正好相等， f 五等于 f 一， 哎，等等。难道说 f x 就是 以四为周期的？ f x 加四等于 f x？ 嗯，既然有了想法，那还愣着干什么，赶紧验证一下 f x 加四是不是真的等于 f x 吧。 怎么验证呢？还是用这个式子， x 加四呢？就是 x 加二再加二，所以 f x 加四就等于 f x 加二分之一。 哦， f x 加二呢，就等于 f x 分 之一嘛。因此 f x 加四就等于 f x 分 之一，再分之一。 嗯，求了两次倒数，确实等于 f x。 你 看，这个条件中就隐藏着周期性， 知道了周期为四。再看问题， f 一 百二十五，用一百二十五除以四算一下于一，所以 f 一 百二十五等于 f 一 等于负五， 至于 f 二百五十五呢？同理嘛，二百五十五除以四于三，因此 f 二百五十五等于 f 三。之前算过 f 三等于负五分之一。 做完题再回头来看，其实周期性还是挺显然的嘛。看这个式子，它表示啥意思？自变量每加二函数值就取个倒数，对吧？ 那加两次二呢？取两次倒数，那就是没变嘛，所以每加四就会重复，那四自然就是周期喽。 不过，其实这个条件还是比周期性更厉害一些的。如果只知道 f x 的 周期为四，没有这个式子，那确实还能求出 f 五 f 一 百二十五， 但 f 三和 f 二百五十五呢，就没法求了吧。想求 f 三，必须得用这个式子。所以下回见到这种加急就取倒数的函数，一定要好好珍惜。 如果 f x 加 a 等于 f x 分 之一，那么 f x 加二 a 呢？就等于 f x 吧，这样不光能得到周期是二 a， 而且不管 x 加几个 a 都能求函数值。 除了倒数以外，还有什么条件也隐藏着周期性吗？先思考一下，为啥倒数会隐藏着周期呢？ 是因为算两次倒数就回去了吧？那满足算两次就变回去的运算可确实有不少啊。比如最常见的相反数， 一个数求两次相反数就会变回去吧。因此，如果题目说的是 f x 加 a 等于负 f x 呢？就等于负的 f x 加 a 等于 f x， 同样能得出二 a 是 函数的周期。没跟上的同学点个暂停，看懂了再继续吧。 再比如，把这里的 f x 分 之一改成 f x 分 之二， f x 分 之负一， 总之分之几都可以，只要不是分之零，连续算两次，就像这样，把 b 约掉还是相等的，你看看对不对？ 你要是觉得繁分式看着不爽，也可以这样理解， f x 加 a 等于 f x 分 之 b， 把这个 f x 乘过来，说的就是 f x 加 a 和 f x 相乘，横为 b 嘛。 那用 x 加 a 替代 x， 得到 f x 加二， a 乘以 f x 加 a 也等于 b， 这两个积相等， f x 加 a 不 能等于零，可以约掉，这样就能得到 f x 加二， a 等于 f x 了。 相信你也想到了，把相乘换成相加 f x 加 a， 加上 f x 横为 b， 也能推出 f x 加二， a 和 f x 相等。 这种相加为定值的关系往往会以这种形式出现。现在我们知道了，也能得出周期性。 行了，出道小题考考你。 f x 满足 f x 加五等于二，减去 f x， 那 么谁一定是 f x 的 周期呢？ 选 b 选错的话，就得把前面的内容再学一遍了，过程在这自己看看吧。好了，到这里，隐藏着周期性的第一大类条件就介绍完了， 如果已知 f x 加几与 f x 相加为定值，或者相成为定值，那马上就可以知道周期性了，你学会了吗？好了，就说到这里，更多隐藏着周期性的条件，以后再介绍吧，拜拜！
03:05查看AI文稿AI文稿它是对勾函数的倒数图像，它叫复数对勾函数。昨天视频呢，提到了对勾函数啊，还行啊，没有同学说不会啊，说明大家都认识对勾函数，我挺高兴啊，比上一波学生强。我去年这个时候啊，带了一个中高三同学啊， 说不会用对勾函数，当时给我整的啊，是既无语又无奈啊。今年这本东西不错啊，基础都不错，都认识对勾函数啊。对勾函数的重要程度啊，不亚于六大超越函数， 而且特别好记，只需要记啊，截止点是正负根号 f 就 行。关于求最值啊，求极值啊，看单调性啊，都挺好用，而且还能弥补啊基本不等式无法取等的情况。 对勾函数性价比非常高啊，跟对勾函数相对应记的呢，大家也都认识啊，是飘带函数呃，参数的正负稍微一变啊，图形完全不一样。 不过啊，也挺简单，只需要记飘带函数的零点，也就是对勾函数的极点，正负根号 a n g， 也挺好记啊。因为太简单了啊，所以我之前呢，就没有发视频专门强调。我今天要说什么事呢， 由于这个对勾函数啊太简单，高考针对对勾函数出的题呢，就这耍花样呗，你像这种题啊，能不能看出来是对勾函数的倒数啊？ 这可不一定啊，因为如果大于零的时候是对勾函数倒数，对不对？那么 a 小 于零的话呢，他就是飘带函数的倒数了， 对不对？那么 a 等于零的时候呢，他是不是又成反比的函数了？看看啊，这一个函数变成了三种形式，咱们稳稳当当画图啊，虽然有点慢啊，但是是不肯定能做啊，一般的老师啊，都是这么教的。 但是你们是我的学生啊，既然已经考到了对勾函数的倒数形式，那我直接把图像给你就完了呗。直接就给你直接拿去用啊，更好记几点，正负根号 a。 这里题目要求啊，在 e 的 右侧，要递减。咱看一眼图形，不就是 e 得在极致点右侧吗？那不就是 e 在 大于根号 a 吗？那 a 就 在零到一之间了呗，是不是五秒就出答案呢？那答案就是 a 在 零到一之间， 对不对？对不对？完事了吗？显然呢，你没考虑 a 小 于零的情况啊。别慌啊，再瞅一眼图像， g 函数啊，光圆脸对称呢。显然 a 小 于零的时候，你直接用定义对称法， a 在 负一到零之间了呗，合到一起正负一之间了呗。所以啊，有这个图像十秒钟一道题啊，他是对勾函数的倒数图像，他叫负数对勾函数。
