二重积分黎曼和定义
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01:05查看AI文稿AI文稿每天一个高数知识点，期末保证不挂科。看这块弯曲阴影边是弯的面积，怎么精确算定积分？先把它拼出来，把 a 到 b 切成很多小段，每段宽度叫德尔塔 x， 每段竖一个矩形高度，取曲线上的 f x 下划线 i 宽成高就是一小块面积。 把这些小面积相加，就是黎曼河希格玛。 f x 下划线 i 乘德尔塔 x。 矩形越窄，漏掉的边角越少，锯齿越贴近曲线。当矩形数量 n 越来越大，德尔塔 x 越来越小，如果总面积逼进一个固定数，这个极限就叫定积分。 所以定积分不是神秘公式，而是无限细分厚的面积。连续函数下取左端、右端或中点，高度会有差别，但切得足够细。最终答案一样。 现实里，速度、时间图像下的面积就是路程。每个小矩形是一小段时间里的近似路程，全部加起来就从近似走向精确。记住，黎曼和是拼图过程，定积分是极限。答案。看到积分号先想，无数个小矩形正在拼出面积。
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06:19查看AI文稿AI文稿注意看，这是欧拉这塔函数，它非常的有名，因为它就是后来折磨全世界的黎曼猜想的原型函数。在这个函数中，如果我们取 s 为二，那么就是所有自然数的平方导数和这个极数非常的有名，它被命名为巴塞尔问题。 一七三五年，年仅二十八岁的欧拉同学因为解决了这一问题而一战封神。他计算出这个极数有一个精确的收敛值，也就是 pad 平方除以六。 有了这个精确值，我们马上就可以计算出二的倍数在 theta 函数中的值。比如 theta 四就是 pi 的 四次方除以九十， theta 六就是 pi 的 六次方除以九百四十五。嗯，不错不错，这个 theta 函数看上去也没什么难度嘛，不过慢着点， theta 三呢？ theta 三也就是所有自然数的立方导数和欧拉并没有给出它的精确值。 于是乎，其他数学家们全都傻了眼。咋办呢？没有办法，当大家要计算这特三的时候，你没有看错，他们只好把自然数的立方倒数真的一项一项老老实实的往后加。然而，事情并没有那么简单，我们仅仅是计算到小数点后，五位数字就需要计算一百万项， 这怎么搞呢？欧拉同学，你不能丢下我们不管啊。 本视频归属于合集微积分之美，这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。这本书专注于硬核数学科普，他将由机械工业出版手出版，会在今年上半年正式发布。这里先做一个预告， 好让我们继续。有粉丝问，你这一集怎么拖了这么久，都快一个月了都。嗨，五一出去玩把脚摔伤了，所以多休息了几天，你脚摔伤了，又不影响打字起来干活。哎，好吧， 我们回到 java 三这个数字上来啊，这个数值呢，在数学史上其实也相当的有名，它被称为阿佩里常数，因为呢，在一九七八年，有法国数学家阿佩里证明了它是一个无理数。这里应该是约等于啊， 我们来对比一下啊。 要证明 java 二是一个无理数，其实很简单， 因为欧拉证明呢， theta 二就等于 pi 的 平方除以六，因为 pi 是 一个无理数，那么 theta 二也必然就是一个无理数。但是 theta 三呢， data 三可就没有那么简单。来，让我们一起来看看问题出在哪。我们已经知道， data 三的原始计数长成这个样子，它的收敛速度相当的慢，比如我们需要十万次计算才刚刚得到这样一个数值，这让我们很难搞清楚它的性质。 所以无论是要证明他的无理性，还是要计算他的数值，我们都需要找到他的另外一个表达式。然而，从欧拉给出 zeta 二的精确值之后，差不多有一百年时间，人们并不知道 zeta 三到底有没有其他的表达式。 直到一八五九年，德国戈亭根大学的年轻讲师黎曼在图书馆中翻到一本书，书名叫做积分学原理，作者就是我们的欧拉大神。欧拉在这本书里给出了一个公式，他长成这样 没错了，这个就是大名鼎鼎的欧拉伽玛函数，它其实就是阶层计算的解析式，一般来说，我们计算的阶层都是整数，比如三的阶层就是这样，四的阶层呢，就是这样，等等等等。但如果我们要计算二点五的阶层呢？根号二的阶层呢？派的阶层呢？那么我们就需要用到伽玛函数了， 比如派的阶层就约等于七点一八八。当年黎曼看到这个公式的第一感觉，其实跟我们普通人是一样的，不是 阶乘，是整数计算。你这个积分式跟整数有个毛线关系啊，但你要说完全没关系吧，人家那可是欧拉啊。不行，让我们来仔细找一找这个积分式跟整数的关系。 于是黎曼想了一个办法，嗯，让我们用换元法来强行把整数植入到积分公式里面去。我们引入一个表示正整数的符号 n， 用换元法让 t 等于 n， x， 给他求个导 移一下项，这样 d t 就 等于 n， d x 好 带入到原积分公式里面去， 展开一下，把两个 n 的 指数合并一下，最终就变成了这样。到了这一步，我们把伽马函数由对 t 积分换成了对 x 积分，同时强行植入了一个正整数 n， 因为现在是针对 x 积分，我们可以把跟 x 无关的项提到积分号外面来，变成了这样 一下象。哎，有那么点意思了，我们把整数象完全独立了出来，而且把这个倒数的形式一看就会让人联想起什么。联想起啥呢？欧拉 z 的 函数啊。欧拉 z 的 函数不就是把所有这种形式的导数加在一起吗？ 嗯，让我们用大 sigma 符号来表示连加。那么现在我们两边都求无穷连加式，很显然，左边就等于欧拉 z 的 函数了， 那右边呢？因为我们已经知道，当 s 大 于一的时候，左边是收敛的，那么右边当然也得收敛啊。于是我们就可以大胆的把大 c 个码换一个位置写成这个样子。 注意了，这个极数如果展开其实是这个样子的，它其实呢就是一个等比速列求和。等比速列求和在公比小于一的时候，其实是有公式的，它长成这个样子， 所以括号里这个极数套用公式就成了这样。为了看起来方便，我们在分子分母上同时乘以一的 x 方，于是括号里就变成了这样。 所以最终我们得到了这一个函数的积分表达式，这个式子可以直接扩展到整个负数域，它也就成了后来的黎曼猜想的基础函数，被称为黎曼这一套函数。 好了，本期是上一集黎曼猜想的续篇，我们用黎曼本人的思路从头推导了一遍黎曼 zeta 函数。好了，我们下期再见！拜拜！
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12:00查看AI文稿AI文稿人类是如何通过五种积分的发展，一步步的深化了对无穷求和的理解？没错，并且把数学分析应用到了越来越复杂的物理问题当中，这五种积分的发展真的非常的有意思，那我们就直接开始吧。好的，咱们先来说说这个黎曼积分他的漏洞，就这个迪丽克雷函数 在离曼积分下到底出现了什么问题？离曼积分呢？它其实就是把定义域切分成很多小区间，然后用这些小矩形的面积和去逼近这个曲线下的面积。 那这个迪利克雷函数呢？他是在有理数点上等于一，无理数点上等于零，然后他每一段小区间内不管多小都同时存在有理数和无理数，所以他的上和始终是一，下和始终是零，这两个永远都不相等，所以这个离曼积分就没有办法定义。 看来离曼积分确实有局限啊。那勒贝格积分他是怎么通过改变求和的方式解决了离曼积分解决不了的一些问题的？勒贝格他其实是不再竖着去切这个函数的定义域了，他是横着切， 就是他把值域划分成了一段一段的，然后把所有函数值落在这个范围内的对应的自变量的集合的测度求出来，再用这个测度去乘上函数值，最后把这些东西都加起来， 用这种方式就可以绕过很多黎曼积分里面的一些复杂的间断点的问题哦，这种方式确实很巧妙啊。然后勒贝格积分它的这个表达是这样的，就是积分符号 a d m u 等于 sigma a k， m u， a k， 然后这里面的 a k 就是 函数值等于 a k 的 那些自变量的集合，然后 m u a k 就是 这个集合的勒贝格测度， 哦，就相当于一种广义的长度。既然勒贝格积分这么好，那我们就来聊聊勒贝格的这个理论带来的深远影响吧。嗯，他是怎么一针见血的就解决了迪里克雷函数的可基性问题的？其实就是因为勒贝格他是用侧度来做的嘛，所以他就会发现有理数级的侧度是零， 无理数集的测度是一。哦，那这个迪利克雷函数，他在勒贝格积分下面就变成了一乘以有理数集的测度，零，加上零乘以无理数集的测度，一结果就是零，所以他一下就把这个黎曼积分的这个难题就给化解了。这确实很厉害啊， 那勒贝格积分它还有哪些让分析学和量子力学发生了天翻地覆的变化的这种成就呢？勒贝泽的这个理论里面有一个很厉害的东西，叫做控制收敛定律，就是你不需要一致收敛，你只需要有一个可积函数把它们控制住，你就可以随便的交换极限和积分的顺序。 嗯，然后这个就极大地简化了很多极限和积分运算的这个条件，这听起来就感觉分析学一下就顺滑了很多。对，然后另一个就是，呃，勒贝格空间里面的 l 二空间，它是完倍的，就是里面的任何科西系列都是收敛的， 这个就非常重要了，因为这个是量子力学里面太空间也就希尔伯特空间的一个数学基础。嗯，如果没有这个勒贝格积分的话，整个量子力学的数学框架就会崩塌掉，这真是太重要了。那我们接下来要聊的就是这个斯蒂尔切斯积分和一般测度 这个斯蒂尔切斯积分它是怎么做到能够处理密度函数不连续的这种情况呢？其实斯蒂尔切斯积分它就是相当于在积分的时候用了一把不均匀的尺子， 哦，它是可以根据一个函数记来改变这个积分区间上的度量，那这样的话，它就不光可以处理连续的分布，它连那种离散的点质量，嗯，或者说一些更奇怪的分布，它都可以统一的来进行一个计算， 哦，那是不是说这个概率论里面的期望值的计算就变得非常统一了？没错没错，因为，呃，期望值它其实本质上就是一个勒贝克斯特斯积分，嗯， 所以他就把离散型的和连续型的随机变量的期望都统一到了同一个框架下面，哦，对，然后测度他也被分成了三种，绝对连续的、纯点的和奇异连续的。比如说正态分布，他就是绝对连续的，然后掷骰子他就是一个纯点的测度， 嗯，还有一些像康托奇这种就是奇异连续的，它都可以统一的处理这个伊藤积分和随机微积分啊。布朗运动的路径为什么会给传统的微积分带来这么大的挑战？布朗运动的这个轨迹啊，它是处处连续，但是处处不可微的，嗯，然后它的斜率是无穷大，并且它的变差是无界的， 所以你根本就没有办法用传统的那种 steer 积分的方式来定义它。听起来就是处处都是锯齿，根本就没有办法做切像了。 是的，然后更让人吃惊的是，在随机微积分里面， dbt 的 平方竟然等于 dt。 嗯，这个是跟经典的微积分完全不一样的，因为经典的微积分里面， dx 的 平方是直接可以忽略掉的，但是在随机微积分里面，这个二阶项是会一直存在的 哦，这个就彻底的改变了整个计算的规则。腾积分他在定义的时候，为什么一定要用这种非预知性的踩样？这是因为一腾积分他要求你只能用区间的左端点来做踩样。嗯，就是你在做积分的时候，你只能用已经发生的信息，你不能去看未来 哦。如果你用了比如说中点来做彩样，像斯特拉托诺为其积分，那样它就会产生一个 t 除以二的偏差。原来不同的彩样点会带来这么大的差异啊。对啊，然后一层积分，它的这个基本的无穷小量 d b t 的 平方是等于 dt 的， 这个是跟经典的微积分里面， d x 的 平方等于零是完全不一样的。嗯，所以这个一层积分，它的这个列式法则等于零是完全不一样的。嗯，所以这个一层积分，它的这个列式法则等于零是完全不一样的。所以这个一层积分它的这个列式项。 哦，这个就是为什么在 black ghost 期权定价公式里面，关键的那一项就是这个二阶偏导向，它是直接依赖于一藤积分的。明白了那费曼路径积分这个东西， 它是怎么能够把所有可能的粒子的轨迹都考虑进来，然后在数学上又怎么来表示这样一个无穷维的积分， 在量子离学的路径积分表述里面，一个例子是可以同时走过所有可能的路径的，然后它最终的这个量子正负是要把所有这些路径的贡献都加起来。它的这个数学形式是这样的，就是 x b t b 对 x a t a 的 这个概率符是等于路径积分 d x t， 然后 e 的 i s x t 除以 h 八这样的一个形式哦，然后这里面的这个 d x t 是 一个 无穷为路径空间上的一个测度，然后每一个路径它都有一个象位因子，是这个 e 的 i s 除以 h 八。那这么多路径，为什么我们在现实生活当中看到的这个例子，它好像就是走了一条确定的轨迹呢？这是因为当你考虑这个经典极限，也就是 h 八趋于零的时候， 只有那些满足最小作用量原理的路径，他们的相位是稳定的，不会被抵消掉 哦。其他的那些非经典的路径，因为他们的相位都是高频正荡的，所以他们就都互相抵消掉了，所以最终剩下的就是我们看到的经典的轨迹。原来如此啊，那这个费曼卡茨公式到底是通过什么样的方式把这个看起来非常抽象的量子力学的路径积分和这个概率论联系到一起的呢？ 费曼卡茨公式其实它建立了这样的一个桥梁，就是欧吉里德空间的路径积分，它是等于关于维纳侧度的勒贝格积分，嗯，然后它又等于布朗运动的期望值 这样的一个关系。所以它其实是把量子熵学里面的一些问题转化成了概率论里面的一些问题来进行处理，听起来好像是通过一个什么变换， 把这个本来很难处理的积分变成了一个我们比较熟悉的东西，对，没错，这个技巧就是所谓的维克转动，嗯，就是你把时间 t 换成负 i 涛 这样的一个虚时间，嗯，然后你原来的那个震荡的函数 e 的 i s 除以 h 八，就会变成一个衰减的函数 e 的 负 se 除以 h 八，哦，然后这样的话，就把你原来的这个量子熵学里面的问题转化成了一个在随机过程里面有严格定义的一个布朗运动的期望值，嗯， 然后通过这样的一个方式，就可以用概率论的工具来严格的处理你原来的这个无穷维的积分，哦，然后这个也在量子力学和偏微分方程之间建立了一个非常深刻的联系。哇，这个操作真的是太妙了，那我们下面就来看看这个 五大积分的统一的观点，嗯，这个怎么看？这五种积分，其实他们就是积分、背机函数和测度这三要素的不同的组合，其实可以把这五种积分都统一成一个终极的方程，就是积分等于背机函数乘以测度， 然后只不过是每一种积分它的这三个要素的选择不一样，比如说离曼积分，它就是定义在一个 b 区间上的，然后背机函数是要求连续或者是分段连续的测度，就是我们平常说的长度 dx 哦，然后乐贝格积分，它就把这个空间推广到了可测空间， 然后背接函数是变成了可测函数，测度也变成了一个抽象的一般的测度，所以这就是为什么这个勒贝格积分，它可以覆盖这么多看起来千变万化的这种积分的类型。是的，然后再到后面的这个 steerchess 积分，它的测度就变成了由另外一个函数诱导出来的一个权重。 然后一藤积分，它就是定义在一个概率空间上面，背接函数是一个适应过程，侧度是这个布朗运动的增量 d b t， 然后再到路径积分，它就是空间，是一个无穷维的路径空间，背接函数是一个相位因子或者是一个衰减因子，侧度是这个维纳侧度 d x t。 哦，你看，就是这样的一个框架，就把五大积分都统一进来了。这五种积分它们分别在物理世界当中最独特的应用场景和意义是什么？比如说离曼积分，它就是用来处理经典物理里面的一些宏观的量， 像求面积、求做工、求位宜，嗯，这些东西都是要求函数是比较光滑的。然后诺贝格积分，它是在量子理学里面用来给这个量子态做归一化的哦，然后它是希尔伯特空间 l 二空间的基石 哦，所以不同的积分其实就是打开不同世界的钥匙。对，然后 steerchess 积分，它是可以把离散的和连续的概率分布都统一起来，所以它是在物理学里面处理一些混合的，或者说有一些点质量的这种分布的时候是非常有用的。 嗯，然后一藤积分，它是专门用来处理金融里面的这个期权定价，或者说随机过程这种带有噪声的 不可倒的这种运动的。然后路径积分它是在量子场论里面用来计算这个传播子配分函数，还有散射阵符的一个核心的工具哦，它是能够展现出这种 宇宙最底层的这种叠加的特性的。这五种积分的发展到底是怎样揭释了人类对于无穷求和这个概念不断加深的理解，然后又和这个物理世界之间产生了怎样的深刻的联系的？其实这五种积分他们并不是说各自为战的一些数学技巧， 他们其实是人类对于无穷求和这一件事情的不断的深入的追问，然后每一步的进展其实都是为了要回答物理世界给我们出的这些非常深刻的难题。 所以说数学和物理其实是在这种互相激发中共同进步的，没错没错，就是物理的现象不断的在挑战我们的数学工具，然后我们的数学的发展又反过来让我们对于物理世界有了全新的认识，嗯，这背后其实是一条贯穿了百年的 非常隐秘但是又非常强大的一条思想的主线。对，今天我们其实就是这样顺着这五大积分的这个发展的脉络，看到了数学和物理是如何你追我赶的，不断的突破人类的认知的编。
4576北游知
10:49查看AI文稿AI文稿今天我们来聊一个在数学分析里面非常重要的一个话题啊，就是黎曼积分的达布刻画。对，然后我们会从几何直观出发，带大家走进用却界来描述积分的这样的一个严谨的分析的世界。没错， 这个其实是积分理论里面非常核心的一块内容。对，那我们就开始吧，我们首先要聊的呢是古老的问题与双向逼近策略 啊，这个东西其实大家在学微积分的时候都见过，就是怎么用内接矩形和外接矩形来夹逼出一个曲线下的面积，对吧？嗯，你能先给大家说一说这个双向逼境的思路吗？当然可以，就是想象有一个曲线，然后我们想要计算它和 x 轴之间的面积， 那我们就可以用一系列的内接矩形把它框在里面，然后再用一系列的外接矩形把它包在外面。对，那这个时候曲线下的真实面积就一定是大于所有内接矩形的面积之和，同时又小于所有外接矩形的面积之和。 那是不是说只要不断的去细化这些矩形，让他们的宽度越来越小，这两个核就会越来越靠近真实的面积？对，就是这个意思，当我们把这些矩形的宽度不断的缩小，一直到这个内接矩形的面积和外接矩形的面积 最终汇合了，那这个共同的极限值就是我们要求的曲线下的面积。明白了，然后我们要聊的是离散化工具分割与分辨率。 对，那在这个积分的逼近过程当中，这个区间的分割和这些子区间的长度，还有这个所谓的分辨率到底扮演了一个什么样的角色？其实这个分割就是在我们要积分的这个区间里面插入一些分点，然后把这个区间分成几个小的子区间， 那每一个子区间我们就用这个 delta i 来表示，它的长度就是 delta c 等于 x i 减去， x i 减一。嗯，然后这个分辨率呢？它是所有子区间长度里面的最大值，我们用 p 来表示， 那这个 p 越小就意味着你这个分割越来越细，嗯，那你对这个函数的逼近就会越来越精确了解了。 紧接着我们要说的就是怎么消除任意性，构建达布河，对吧？嗯，你跟你讲一讲达布上河和达布下河到底是怎么定义的？然后它们分别跟我们这个外接矩形和内接矩形的面积有什么关系？问题，其实达布上河就是把每个子区间上面的函数的最大值作为这个矩形的高， 然后把所有这些外接矩形的面积都加起来，就得到了达布上和。用 u f p 来表示。那达布下和呢？就是用每个子区间上的函数的最小值来作为这个矩形的高， 然后把所有的内接矩形的面积加起来，就是达布下和。用 l f p 表示，那达布上和是不是永远都不会小于达布下和？对，因为每个子区间上面的最小值密肯定是小于等于最大值密的， 所以无论怎么分割下和 l f p 都不可能超过上和 u f p。 行，我还有一个问题，就是关于这个提高分辨率 分割的加细，嗯，就是你在原有的这些分点基础上插入一些新的分点，会怎么影响达不上和和？达不下和。如果我们在原来的分割 p 的 基础上，再插入一些新的分点，得到一个更细的分割屁撇， 然后这个时候下核是不会减少的，上核是不会增加的哦，就是 l f p 小 于等于 l f p 撇， 然后 u f p 撇是小于等于 u f p， 也就说加细之后，这两个核之间的这个差距会变小吗？没错没错，而且这个时候我们的分辨率会变得更高嘛，就是 p 会变小，然后我们就可以捕捉到更多函数的细节， 对，那上下和之间的这个误差空间就会被压缩。 ok， 我 还有个问题啊，就是关于这个单调性定理和这个夹逼机制。呃，那我想问一下，就是说 不断地去加细这个分割，那达步上和达步下合，它们是怎么被夹逼的？然后这个东西又是怎么让误差越来越小的？其实就是当我们不断地去加细这个分割的时候，下合它会单调递增，上合会单调递减，然后呢，下合永远都不会超过上合， 就是 l f p 小 于等于 l f p 小 于等于 u f p 哦，所以这个时候它们就会被夹逼， 然后这个误差就会随着分割的加细而越来越小。明白了，下面咱们要聊的是这个分离性就是任意分割的一个较量。嗯，那对于任意的两个分割，它们的下颌和上颌之间到底有一个什么样的大小关系？事实上，对于任意的两个分割， p 一 和 p 二， p 一 的下和永远都不会超过 p 二的上和。哦，就是 l f p 一 永远小于等于 u f p 二。这个性质有什么特别的推论吗？对，这个就说明 所有的下合组成的集合是有上界的，然后所有的上合组成的集合是有下界的，嗯，所以最激进的内接矩形的面积都不可能超过最保守的外接矩形的面积。然后我们要讨论的是这个极限边界上积分和下积分， 那上积分和下积分到底是怎么用这些达不和来定义的？然后他们之间又有什么基本的关系？是这样的， 上积分其实就是所有的达步下合的集合的上确记，然后下积分就是所有的达步上合的集合的下确记，嗯，然后上积分我们就记作从 a 到 b 积分 f， 下积分就记作从 a 到 b 上横线积分 f， 那他们两个之间的基本关系就是上积分永远是大于等于下积分的。好，我还有一个问题啊，就是达不可及性的定义和判别准则，嗯，就是到底达不是怎么用上积分和下积分来定义函数可积的？然后这个判别准则它的数学表达和几何意义又是什么？ 函数 f 在 a 到 b 上可积的，然后这个时候我们就把这个共同的值称为 f， 在 a 到 b 上的积分 记作从 a 到 b 积分 f x d x。 哎，那这个用 epsilon 语言来叙述的这个可积的判别准则到底是什么意思呢？其实它的意思就是说，对于任意一个大于零的 epsilon， 我 们都可以找到一个分割 p， 使得这个上和减去下和小于 epsilon。 哦，那这个在几何上面的解释就是，只要我们把这个分割做得足够细，那这个上下矩形的面积之差， 这个灰色的部分就可以被我们压缩到要多少有多少。懂了，那接下来我们就来看看为什么要引入达布刻画，对吧？就是这个达布的定义和传统的黎曼的定义到底在形式上、验证的难度上，包括应用的场景上面有哪些本质的不同？ 然后这个达布的定义到底在理论推导上面有什么优势？离曼积分它的定义是要对这个区间进行分割之后，然后在每一个小区间里面任意的取一个点做合适的极限。那这个达布积分呢？它其实也是分割， 但是它是用每一个小区间上的函数的上确界和下确界来作合，然后再取极限。 哦，那就是说离慢积分你要去验证它可基性的话，你要考虑所有的取点的方式，但是达步积分你只要找到一组分割，让这个上下和的差很小就可以了，是吧？是的是的，所以离慢积分一般就是在 数值计算或者是说在概念引入的时候用的比较多。但是达步积分因为他把这个任意取点的不确定性 变成了一个确界，嗯，所以他在理论证明当中会非常的好用，是一个非常有力的理论分析的工具。 ok， 那 离曼可及和达不可及他们到底是不是一回事？然后这个夹逼定律在他们的等价性的证明当中到底扮演了一个什么样的角色？事实上离曼可及和达不可及是完全等价的， 就是一个函数，它是离慢可积的，当前仅当它是达不可及的。哦，那这个证明的关键就在于，对于任意的一个分割，我们都有这个下和小于等于离慢和小于等于上和， 然后如果这个下和和上和的极限是相等的话，那由夹逼定律我们就可以知道离慢和也是趋于这个共同的极限。明白了，下面咱们要聊的是哪些函数是可积的？就是可积的充分条件。 呃，比如说像连续函数、单调函数，或者是说有有限个间断点的函数，为什么它们一定是可积的？ 然后它们可积的证明的思路，或者说它们的几何直观到底有什么差别？其实连续函数肯定是可积的，因为它在 b 区间上面是一致连续的， 所以我们可以让他的每一个小区间上面的阵幅都很小。嗯，那这样的话，他的这个 w 上和 w 下和的差就可以任意小。哦，那单调函数呢？他如果有间断点怎么办？单调函数的话，即使他有间断点，但是他的这个间断点的个数是有限的， 然后我们可以把这些间断点都用长度很小的小区间给它包起来，那剩下的那些区间上面函数都是连续的， 所以它也是可积的。懂了，那比如说这个函数它有很多很多的间断点，嗯，那我们还可以用什么办法来判断它是不是可积的？然后这个达布的这套理论在高维的情况下是不是也能用？这个时候我们就可以用勒贝泽的思路 就是我们用这个区间的振幅 omega i 等于 m i 减密来衡量它的不连续的程度。那如果这个函数它的间断点虽然很多，但是这些间断点能够被一些小区间覆盖， 然后这些小区间的长度之合可以任意小，并且函数在剩下的区间上面是有界的，嗯，那这个函数就是可积的。哎，那这个达布的这种逼近的办法在重积分里面会有什么优势吗？有的，就是达布的这种内外逼近的思想在重积分里面会比黎曼和要直观， 然后也更容易去处理一些高危的问题。好的，我们最后要总结一下啊，就是这个达布刻画到底是怎么体现这种化繁为简的数学美学的？其实达布刻画它不仅仅是一个计算的工具，它更重要的是把极限的问题转化成了一个集合和确界的问题。 哦，所以它是一种思维的艺术，它体现了数学当中的那种简洁和深刻。对，今天我们从这个举行逼近的几何直观一路走到了这个答不和与可激性的严格的定义， 然后中间我们其实一直都在体会怎么用确戒和夹逼的思想把这个积分变得既严谨又优雅。 ok， 那 么这一期播课的内容就到这里了，然后感谢大家的收听，我们下次再见。
693北游知
05:47查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来聊聊测度论的核心成就，勒贝格积分以及他带来的极限理论范式转移。要理解勒贝格积分，我们可以先和大家熟悉的黎曼积分做个对比。 离曼积分的思路是对函数的定义域进行垂直切割，这种方式很容易被函数的局部震荡影响，无法处理高度无序的函数。而勒贝格积分则是对函数的值域进行水平分层，利用侧度收集具有相同函数值的集合，完美包容无序。 形象地说，离曼积分像是不分类的清点一堆硬币，而勒贝格积分则是先按面值归类，再乘以各面值的数量。 贝格积分的构建就像盖一座大厦，一共分为三步，第一步，以非负简单函数的积分为基十。第二步，通过简单函数猎取上确界，无限逼近非负可测函数。第三步，对一般可测函数进行正负步拆解，实现绝对可积的完倍形态。 我们先看第一步，非负简单函数的积分，它的定义非常直接，就是把每个区间的函数值乘以对应区间的侧度，再全部加起来。 这里有个关键约定，零乘以无穷等于零。也就是说，即使定义域测度无穷，只要函数值为零，他对积分的贡献就严格为零。 这种积分满足线性单标性，也支持在某个子集上积分。第二步，我们用简单函数来逼近非负可测函数。勒贝格积分的定义核心就是取所有小于等于原函数的非负简单函数积分的上确界， 这个过程的逻辑支撑是简单函数逼近定律。从这里我们还能推出马尔可夫不等式，它的几何解读是高度为 lambada 的 矩形阴影部分的面积必然被包裹在整个函数下方。 第三步，我们处理一般的可测函数，我们可以把任何函数拆成正部和负部，正部就是函数大于零的部分，腹部就是函数小于零的部分。这样一来，原函数就等于正部减负部，函数的绝对值就等于正部加负部。 对应的勒贝格积分就是正部的积分减去腹部的积分。这里有个完倍的代价，就是必须满足绝对可积，也就是正部和腹部的积分都得是有限的，这等价于函数绝对值的积分有限。满足这个条件，我们就称这个函数属于 linc 空间。勒贝格积分的构建就完成了。 勒贝格积分的一大优势就是严格包容了常易离曼积分。有一个重要的勒贝格判据，一个函数离曼可积，当前仅当他的不连续典集是零策集。最经典的例子就是迪利克雷函数 有理数为一，无理数为零。从离曼的视角看，他处处不连续，根本无法积分。但从勒贝格的视角看，有理数集合的侧度为零，积分结果就是零。 这里有个微妙的边界。需要注意，勒贝格积分本质上是绝对积分，它拒绝条件收敛，也就是说它要求函数的正面积和负面积都必须是有限的。最经典的例子就是 since 除以 x， 从零到无穷的积分。 离曼积分中正负波峰相互抵消，条件收敛到派除以二，但勒贝格积分必须检验它的绝对值，加上绝对值后，面积会发散到无穷，所以这个函数不是勒贝格可积的。 有了勒贝格积分，我们就能处理极限和积分交换顺序的问题了。第一个核心定律是单调收敛定律，他说的是当非负函数列单调递增时，极限可以无条件穿透积分号。这个定律的关键推论是逐项积分定律， 它可以把积分和无穷极数求和，直接交换，无需考虑一致收敛。第二个核心工具是法图引理，它处理的是质量逃逸到无穷的问题。法图引理告诉我们，非负函数列下极限的积分小于等于积分的下极限， 为什么不能取等号呢？我们看个反例，每个矩形的面积横为一，但矩形越来越窄，最终函数在每一点都趋近于零，先积分后极限得到一，先极限后积分得到零，这就是因为面积在向 y 轴无限挤压的过程中逃逸了。 第三个也是最强大的工具是控制收敛定力。他的核心机制是不需要单调性，只要存在一个绝对可击的控制函数，能压住所有震荡的函数列， 积分号就能和极限直接交换。他的证明也很巧妙，构造一个非负序列，然后应用法图引理，就能逼出函数列与极限函数差的积分趋近于零。 我们来快速对比一下这三大极限定律。单调收敛定律要求非负且递增，结论是积分和极限可以完全交换。法图引理只要求非负，结论是一个下极限不等式控制收敛定律要求存在可积的控制函数，结论也是完全交换。 勒贝格积分的一个终极成就就是实现了连续与离散的统一。如果在自然数级上赋予技术测度，那么勒贝格积分就完美等价于无穷极数求和 单调收敛定律对应非负极数的逐项求和法图引理对应非负序列的下极限不等式控制收敛定律则对应威尔斯特拉斯 m 判别法 测度论彻底打破了连续与离散的壁垒。最后我们来看一个极致应用，用控制收敛定力合法穿透积分号求导。 比如这个经典的积分问题，我们想对它求导，只要找到一个可积的控制函数，就能放心的把求导算子和积分号交换顺序，把复杂的积分问题转化为简单的长不一分方程，轻松解除结果。
264技术野望AI
06:09查看AI文稿AI文稿来算一下这两个迪丽克雷积分，第一个上引 n 加二分之一乘以 x， 再除以上引二分之 x， 在 零的换上积分是 pi。 第二个就是我们更加熟悉的零到正无穷上对上引 x 比 x 反常积分之后，结果是二分之 pi。 这里的第二个好像式子特别简单，但是不知道从哪里下手，所以我们先来看第一个。 一有 sine n 加二分之一乘以 x， 这在哪里见过？是不是在求 k 从一加到 n cosine k x 求和的时候见过？ 通过乘以二被 sine 二分之 x 进行激化和差列向相交， 其中出现了 sin n 加二分之一乘以二字，但是还多了这一个，这一个正好是分母的二分之一倍，所以再把它加上二分之一， 而且这里的分母还没有二，所以这里变成一，这里的二倍。 接下来在左右两边积分这一个无穷极数。看起来积分不好积，但因为里面的式子很简单，是 cosine k x， 而且 cosine k x 可以 看作是一乘以 cosine k x 一 和 cosine k x 都是在正数函数系中的，所以 一乘以它在积分过后是零，只留下左边的常数。 第二，既然得到了第一个值派，那第二个十二分之派应该是和第一个的一半去作对比。我们先把这个反常积分改写成正常定积分的极限， 这是第一步。接下来我们就需要把它和它进行联系，是不是？首先不一样的 x， n 加二分之一 x 多了系数。其次，不一样的这里是 u， 这里是 pi。 我 们首先通过换元把它变成一样的，都变成 sine n 加二分之一乘以 t， 这里有 n 加二分之一 t 这里也有，所以相交 这样形式就和它差不多，尤其是分子的形式，但是积分线依然不一样。 但是我们能想啊，这里的 u 其实是我们自己给引进的一个变量，我们想让 u 得几就等，就让 u 得几，只要能让 u 趋向于正无穷就行。我们想让它得 pi， 所以 u 比上 n 加二分之一的 pi， 推出 u 就是 n 加二分之一乘以派，那当 n 趋向无穷， u 当然是趋向无穷的，所以它可以变成 n 趋向无穷。零到派 到了这里，我们是想把它跟它的一半进行对比，所以我们要分析的是什么呢？应该要分析的是零到派上，这个可以提出来，里面是二倍 sin 二分之 x 分 之一，再减去 x 分 之一，整体乘以 sin n 加二分之一 x， 我 们要说明的是它趋向于零。是否趋向于零，我们要看什么？我们要看它是否可积，因为如果它可积，根据贝塞尔不等式的第二个推论，把它乘以 sin n 加二分之一 x 之后再积分，极限就是零， 不只是零到派，副派到零也是同理。所以我们只需前面有画横线的这一个可击， 他在其他地方都是可击的，派出也没有问题。派出带入这里是二分之一，这里是派分之一，也是一个固定的数值，只有一个点有问题。答理 就是零，零处没定义，当然是没定义，分母是绝对不能为零的，但是我们可以想，没定义它并不影响可不可及，我们要管的是它是否有极限。现在最终问题就转化成了，它在零处是否有极限， 我们在这里求一下吧。它在零处的极限通分， 这里是 sin 二分之 x， x 趋向于零正好满足，并且是乘法，可以用等价无穷小。这里变成了二分之 x， 乘以 x 之后，分母是 x 平方， 接下来分子分母是不是零比零形，所以我必达到现在。如果大家知道这个 e 减去 cosine 幺分之 x 的 等价无穷小公式可以用，因为它本身，虽然它是一个多项式，但是它本身就是那个等价无穷小的公式啊，所以 把它看做整体是可以用的。是二分之一乘以二分之 x 平方，那分子次数比分母高，趋向于零，取小头，最后结果零 有了，它是零。它趋向于零，说明一定可积，那一定可积说明它趋向于零。它趋向于零，就说明这一个和它的二分之一是极限相同的，那就可以推出来它就是二分之派。 总结一下，第一个主要是用的列项相消，第二个呢，作差对比，和一个已知的类似积分进行对比，感谢大家的收看！
271小阿文数学
17:29查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天给大家讲的是二七版一千八百题第八张基础篇填空题。首先填空题第一题很明显是二重积分求极限求和问题，那么我们按步骤来写一下， 那就是首先看 sigma 符号顶上的这个最大值，看出来它一共分了多少份。我们默认 i 是 x 的 下角标， 阶是 y 的 相角标，所以看 x 分 了多少份，就看 i 是 从几到几。从一到 n， 说明 x 方向分了 n 份，同理， y 的 方向分了二 n 份，所以 积分域一共分了二 n 平方份。我们接下来就要取适当的 x， i 和 y 阶，很明显这个地方 n 方乘上 i 阶，所以说 x 我 们取的是 n 分 之 i， y， y 接取的应该是 n 分 之接。如果没有前面这一项，只有后面这一项，其实我们取这个 n 分 之接或者是 n 分 之派接都是比较方便的。但前面有这个，所以我就是按 n 分 之接取的 y i， 所以 这个极限它如果要写成二重积分的话，那它的被积函数应该是 f x i y i， 那 就对应写一下，应该是 x i 乘 y 结，再乘塞乘 y 结，然后这塞也来个平方，这就是化成二重积分之后，它的被积函数。 接下来我们定一下积分的上下线，下线是 i 取一的时候，上线是 i 和 j 都取最大的时候。然后我们分别取极限，就得到了 x 和 y 的 上下线。首先 i 等于 j 等于一， 那么这个时候有 x 一 等于 y 等于 n 分 之一，那么在 n 趋向于正无穷的时候，这个结果应该是零，所以说 x 和 y 的 下限都是零。 再来看 h 最大值是 n 阶梯，最大应该是二 n， 所以 x 最大是 x， n 等于 n 分 之， n 等于一 y 二， n 是 y 的 最大值，等于 n 分 之二， n 等于二。 说明如果我要是写极限，把它改写成一个二重积分，这个二重积分的下限应该是零到一 dx， 然后零到二 f dy 应该写成这个样子。接下来就是对比一下系数，那么这个系数是怎么对比出来的？看一下求和符号和极限号中间的这个东西，是不是这个二重积分对应的卑级区域分割成的每个小面积，那我们算一下小面积等于多少？ 每一份小面积应该是积分的总区域 s d， 它的面积除以一共分了二 n 方四，那么这个面积我们发现它是一个矩形的区间， 所以面积应该是二减零，乘上一减零除以二 n 方，所以每个小面积 n 方分之一，所以这个小面积应该承在哪？应该承在求和符号 f 前面，代表这个小面积，那这个和这个地方位置是一样的，说明我们不用调平系数， 按理给的这个极限是刚好就是这个二乘积分，所以我们正常算这个二乘积分就可以了。 i 应该等于零到一 d x， 我们看这个编辑函数，发现它是 x 和 y， 可以 分离变量的，那我就把 x 放在 d x 这个位置，其他位置放在 d y 这块，就是 y 乘三元方派 y。 现在我们来看一下， 先对这个 y 积分怎么积完，里面有一个三元方，里面的柿子我们动不了了，所以其他出现 y 的 地方我都乘一个派，乘完派的结果就是我前面再补一个派平方分之一，同时我要把 y 整体换圆成 t， 派完换成 t。 现在我们看一下这个积分，我们是有切入点的，但是上下线只有常数没有 x， 说明我先对 y 积完了之后一定是一个常数，这个常数是不影响 x 这个后积的，也就是说累计积分其实是两个单独的定积分相乘，那我可以再换元，这一步，先把 x 的 这个积分给算出来， 算完的结果应该是二分之一，再乘刚才派的系数派平方分之一，结果应该是二派方分之一。零到换元之后，二变成二派，并且函数变成 t 乘方， t d t 变成这样。我们说如果是 t 乘 f 三 a t， 我 们想把这个 t 扔到积分符号外面，有个前提，那就积分上限线得是零到派，现在是零到二派，所以我们有定积分那块的经验。 我们应该再做一步换元，把这个积分域给拉到对称，或者是它的上限为派，所以我再重新换元，把 t 减派换成 u， 结果应该是二派方分之一。负派到派， t 变成 u 加派三，应该是三， u 加派不变名，又因为有平方，所以符号被吃掉了，结果就是三方 u t 和 u 前面的符号是一致的，所以 d u。 现在我们来看被接函数，如果把这个括号乘开的话，结果应该是一个积函数乘偶函数，所以这一项对应的应该是个积函数，积函数在对称区间干脆就没了，结果等于零， 所以最后就只剩下这个偶函数方 u 乘这个派，这个派和前面的系数合并在一起，结果应该是二派分之一，然后积零偶倍 区间折成一半系数，补一个二倍倍结函数是三 a 方 u d u， 又因为这个倍结函数它是关于二分之 pi 对 称的， 所以这个积分又可以化为 pi 分 之一乘二倍的零到二分之 pi。 三 a 方 u d u 这个结果用点火公式算完，就是 i 二，也就是四分之 pi， 所以 最终的结果应该是这个位置的 pi 分 之二乘 四分之派，结果应该是等于二分之一的。填空题第二题让我们改变积分次序，没让我们计算，所以我就简单的画一个图就可以。 y 大 于等于零，小于等于一， x 大 于等于根号 y 小 于等于根号下二减 y 方左侧。如果画成等号，它应该是一个开口向上的抛物线， 右侧是一个圆心在圆点处半径为根号二的一个圆。同时 x 本身是大于根号 y 的 y， 根号 y 是 大于等于零的，说明 x 大 于等于零，所以这个圆我们取的应该是一个右半圆。又因为 y 取的是正号，所以这个圆应该是四分之一圆，只在第一项线出现的这么一个板。现在我把圆和抛物线同时画在同一个图里面来 x， 注意这个地方 x 是 比根号 y 要大的，说明是在这个抛线的右侧这一侧和圆内，所以积分区域应该是这一小块。换积分次序原来是先 x 后 y， 所以 现在我们应该是先 y 后 x。 我 们背一下口诀，后积先定线 定的这个线应该是 x 的 范围，那我们找 x 等于什么和 x 等于什么，把这个积分区间扩起来，所以是这两条线零到根号二 d x， 但是线内画条线，我在画数值向上 y 的 范围，这根线的时候，我发现在这个位置，我们交根抛物线， 如果在右侧的话，我交的是这个圆的曲线，所以我不能把积分区间笼统的写为零到根号。二 d x， 我 应该在圆和抛物线的交点处把这个区域拆成两个，那么圆和抛物线的交点是为一，所以分为零到一 d x， 现在画线的时候是这么画交的。抛物线我们要写，上下线的时候，我们要写 y 的 范围，也就是 y 等于什么关于 x 的 表达式，那先交的是 x 轴， x 就 等于 y 就 等于零，后交抛物线， y 等于 x 平方， 再加上一到根号二 d x f dy， 这个时候上下线我要写关于 x 的 表达式，并且是下线为零，上线为圆，上线这个圆，我们写表达式的时候就是把 y 给分解出来， 反解的结果是根号下二减 x 平方。我们看一下三题第三题，它这个背记函数一看关于 x 超级复杂，对 y 是 好记的，所以我们应该是先 y 后 x 个积分域，我们在之前选择题的时候见过好几次，这个积分域非常简单，它就是一个下三角， 这个位置大家如果摸不准是下三角还是上三角，大家可以穿线穿一下，这个范围写的是 x 的 范围，所以 x 范围应该是从左往右走的，那先交的是下线，后交的上线是这个一，所以是下三角，那我换一下顺序，后极先定线零到一 d x， 现在画条线，现在我们是对 y 结，所以这个线内的这个线应该是从下往上画的，先交零，后交 x， 背接函数是根号下一加 x 六次方分之 y， 我 对 y 积分的时候，这个大根号分之一是个场数， 所以被接函数其实只有 y， 那 接完的结果应该是二分之一 y 平方，也就是零到一根号下一加上 x 六次方分之一乘二分之一 y 平方带入上下线， y 等于零和 y 等于 x， 也就是这个上下线，我只能带到这里面来，带不到这个表达式里带完的结果对 x 积一下分，所以被接函数现在就变成了根号下一加 x 六次方分之 x 的 平方前面有个系数二分之一 d x， 那现在我可以把 x 平方凑为分，凑到 d 的 后面去出现 d x 的 立方，这样的话，我就可以把 x 的 六次方看成 x 的 立方，在基础之上再平方。 所以我写一写这个过程，结果应该是零到一 x 的 立方比上根号下一加上 x 的 立方整体的完全平方。但是我凑为分的时候，其实是多凑了一个三这样一个倍数，所以我应该除回去，和前面二分之一的系数结合在一起，应该是六分之一倍。现在这个倍积函数 就是我们以前背公式背的 a 方加上 x 平方开根号儿分之一，结果应该是 long x 立方加上根号下一加 x 六次方， 代入上下限零和一算完，最后的结果应该是六分之一背的 long 一 加根号。二。填空题第四题和刚才的思路是一样的，这个背积函数在它现有的这个积分顺序里是非常难积的，也就是说 e 的 x 分 之 a 这个东西我们是非常难记，甚至可以说是记不太出来，所以我们要选择积什么积？ e 的 负 a 的 x 方，也就是这个地方 a 的 y 方，把负 x 分 之 e 看成一个常数，所以我们要先对 y 进行积分， 先 y 后 x。 那 我们看一下这个积分域是什么？积分域有 x 等于 y 和 x 等于根号 y， 所以 应该是一三肖线角平分线与抛物线的结合，画完应该是这个狗，它俩交点是一后极，先令线零到一 d x 线内画条线， 我现在积的是 y 的 范围，所以从下往上画，先交的是这根抛物线。抛物线我们要写成 y 等于什么 x 的 形式， 所以下面写 x 平方上线交交的是这一条直线，写成 y 等于 x。 被记函数 e 的 负 x 分 之 y， 四方看成累计积分。我先对 y 积，那么 x 看成常数，也就是负 x 分 之一，就是 y 前面的倍数， 所以我记完的结果应该是零到一 e 的 负 x 分 之 y 代入上下线， y 等于 x 方和 y 等于 x， 但前面我要补补 y 前面这个系数的倒数，也就是负 x。 最后再 dx 化简一下，结果应该是负的零到一 x 乘 e 的 负一四方减 e 的 负 x 四方 d x。 那 我们在减号处把这两个积分拆开，第一个积分应该是负一分之一，零到一 x d x。 第二个积分是正的， 这两个符号抵消零到一 x e 的 负 x d x。 后面这个积分有两种办法，一个就是老老实实的用分布积分把 e 的 负 x 凑一分凑进去。 第二种做法就是我们非常熟悉，就是 e 的 x 方或者 e 的 负 x 方乘一个一元的函数，它结果一定是这种形式的，所以我们只需要把这个系数的什么的凑一凑，很容易就能凑出来。 所以最终的结果是，负的二亿分之一减去 x 加一倍的 e 的 负 x 方，带入上下线零和一， 结果应该是一减二亿分之五。成功题第五题还是先画积分的背积区域， x 的 范围是零到中无穷，说明这个右半侧全是。再看 y 的 范围， y 的 范围是有这个 y 大 于 x， 那说明就是这根线往上上线有没有，没有无穷。所以就只是把右半侧全部这个区域把下面给抹掉，剩的是上面开放的无限区域。这个区域地是个无限的区域。跟刚才一样，还是先换序再做， 先 x 后 y， 后基先定线，那 y 是 无穷 y 的 范围。我画两条平行线， 要把这个积分区域给挡住，发现没有上限，所以 y 的 范围零到正无穷 d y， 再看 x 的 范围， x 横着穿线， 下线是 x 等于零，上限它不是无穷。虽然说这个区域是无穷，但是这根线也是无穷大的，你这么穿一定会穿到这个线里出来， 所以上限应该是 y 背接函数 x 乘 e 的 负 y 方 d x， 那 我先对 x 积分的时候， e 的 负 y 方就是一个常数，只对 x 积分，结果就应该是二分之一倍零到正无穷 x 平方代入上下限， x 等于零和 x 等于 y， 再乘 e 的 负 y 方 d y， 结果就是二分之一倍的零到正无穷 e 的 负 y 方乘 y 方 d y。 我 们以前学的出现这个零到正无穷 e 的 负 x 次方，再乘上一个 x 的 多少次方 d x 这种形式就是一个伽马函数，但现在 e 的 负后面是一个 y 平方，所以我们先换一下圆，看看能不能凑上伽马函数， 也就是换元。我把这个 y 平方整体令成 t， 那 么积分区域 a 本身是零到正无穷，它平方完了之后，范围应该还是零到正无穷，所以这个积分换元的结果应该是二分之一倍的零到正无穷。 e 的 负 t 次方成 t， d， y 就 要变， 那 y 等于根号 t， 所以 d y 应该等于二倍根号 t 分 之一 dt。 化简一下，最后的结果应该等于四分之一倍的零到正无穷，根号 t 乘一的负 t dt， 它确实是个伽马函数， 应该是四分之一倍的伽马二分之一加一，因为这个根号 t， 我 可以把它看成 t 的 二分之一次方，所以进一步化简。我们知道 a 倍的伽马 a 应该等于伽马 a 加一， 所以我们往回写的话，这个东西就应该化简成四分之一乘二分之一倍的伽马二分之一。伽马二分之一我们是背的结论，结果应该是根号派，也就是结果八分之根号派。填空题第六题最后一道题看题干给了我们一个方程， 方程里面还有 f 以及关于 f 的 二重积分，现在让我们求 f 这个函数，我们见过好多种类型题了，我们从第一张就开始见这种题，什么题？就是一个 f， 他 给你一个关于 f 的 方程， 左边是 f， 右侧是关于 f 的 极限定积分，以至于现在的二重积分。那我们要知道，不管是关于 f 的 啥，这些东西算完了一定是一个数， 所以我们就把这个数给设出来， d f x y， d c 个码，结果是大 a， 那 我们只需要构建一个关于大 a 的 方程，最后把大 a 给解出来就可以。 那现在基于这个方程，如果想出现大 a， 那 就是等式，左右两侧同时在大地这个积分区域上进行二重积分， 所以我们会得到一个方程，那就是左边大 a 等于 d， x， y 加大 a， d、 c 个码，那么我们从加号处拆成两个二重积分，那么第一个二重积分就是 d， x， y， d， c 个码。后面这个被积函数由于是一个常数，所以我可以把常数提到外面来， 然后被积函数就剩一了，那一就是这个积分区域的面积 s， d。 现在我们来画一下这个积分域， 积分域是 y 等于零，也就是 x 轴， x 等于一竖线以及 y 等 x 方一个抛物线所围成的平面区域，那么我现在把这个抛物线给大家画出来，这是抛物线，这是 x 等于一，这是 y 等于零，所以加出来的应该是一个取变三角形，是它的积分域，那么这个积分域的面积 其实我们可以用定积分来解决，所以大 a 他 就应该等于积分域零到一 d x， 然后再积 y， y 是 从下往上的，所以先交写下限零，后交写上限 x 平方 x， y， d， y， 再加上 a 位的定积分，写一下零到一 x 平方 d， x， 所以 这个先算一下累计积分。我对 y 积的时候， x 看成常数 零到一 x， 我 先写出来对 y 积，结果应该是二分之一 y 平方，代入上下限零和 x 平方，结果应该是二分之一 x 的 四次方，再和前面的 x 合并，结果应该是二分之一 x 的 五次方 d x 再加上这个非常好记， 记完结果应该是三分之一，乘了前面的 a 就是 三分之 a， 前面这个积分也是非常好记，结果应该是六分之一，再前再乘前面的二分之一，结果是十二分之一加三分之 a。 现在我们把 a 反解出来， a 反解完的结果是八分之一， 现在他问我们 f x 是 什么， f x 表达是在这是吧？未知的只有这个大 a 不知道，现在大 a 求出来了，所以 f x 表达是应该是 x 乘 y 加八分之一。记得点赞关注哦！
77露露哥数学
01:29查看AI文稿AI文稿二种积分啊，你必须会做，要不然后边的三种积分，曲线积分跟曲面积分啊，你都做不出来。朋友们大家好，我是宋浩宋老师。那么高数下的难度比高数上要难很多，那么今天给大家带来的是这套高效的备考八小时的高数下期末速通课。 那这个题还不错，倒是用到了它的这个解法含义哈，那么它的积分区域是个 x 方加外方小一等 a 方，它其实就是一个圆啊，圆面。那么这个地方啊，它的这个被积函数呢，是一个 z 等于根下 a 方减 x 方减外方，两边同时平方是一个 x 方加外方加 z 方等于 a 方，所以这是一个球面啊，这个球面， 因为这是等于正的根弦，所以它其实是一个上半球面，所以这个图呢，大概是这个样子的啊，是一个上半球面啊，上半球面，这样，它的积分区域啊，刚好是这个圆，刚好是这个圆，所以呢，就是在这个积分区域之上，对，这个圆面求这个积分，就刚好是上半球体的体积。 因为刚才咱不是讲二重积分的解法含义，这不是这个吗？不在这吗？它的解法含义呢，就是以这个函数为顶，以这个 d 为底的那个体积，所以刚好是这个上半球体的体积。球的体积正常的话是个三分之四 pi r 的 三次方，因为上半球嘛，就是三分之二 pi a 的 三次方，对吧？正常的话就是这个体积， 那他不是说等于派吗？他这个体积，这不说了等于派吗？所以派跟派消掉，就是 a 的 三次方等于二分之三吗？所以 a 就 等于三次根下二分之三不就行了吗？对不对？这个答案是选 d， 点击下方小黄车，八小时高效的备考这个课，宋老师和大家一起搞定期末考试。
4301考研数学宋浩
01:54查看AI文稿AI文稿二重积分的定义可以解决这样子两个 sigma 符号的极限问题， n 趋向也无穷， i 从一加到 n， j 从一也加到 n， n 平方，加上 i 平方，乘以 n 加 j 分 之 n。 第一，大家要想二重积分那一个可爱因子是谁？是 n 平方分之一，所以想到提出 n 平方分之一， 提出来之后，这里是一加 i 比 n 的 平方，这里一加这比 n， i 比 n 和这比 n， 这两个都是在零和一之间的，其实是在 n 分 之一和一之间的，但是因为 n 趋向于无穷，所以，嗯， n 分 之一也就看成零了。 在 d 上，一加上有范围的整体平方，所以一加 x 平方，再乘以一加 y， d 呢？ x y x 属于零到一， y 也属于零到一， 这里它们的区间是不相关的，没有 y 大 于 x 这一类的关系式。这里呢，也是不相关的，可以分成一加 x 平方分之一和一加 y 分 之一，这就说明可以直接把它写成定积分之积， 之前这类表示累积积分，但是现在就是定积分，求完再做积。 这是 operator 代入四分之派，这一个是啊， line 一 加 y， 零代入是零，一代入是 line 二，四分之派被 line 二。感谢大家的收看。
117小阿文数学![二重积分的概念与性质[高数下册9] #高等数学 #大学数学 #二重积分](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/dbf2b0616af9ed795d85200428360366~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2103872400&x-signature=Mcok5w0eu1vKmAVs4xsw22oI8Ns%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=20260904172154D5E9E058DB1D0B4D0541)
17:04查看AI文稿AI文稿大家好，终于讲到了二重积分了啊，这节课咱们先来介绍一下二重积分的基本概念，还有一些性质，先来看吧，再介绍这个二重积分。之前呢，到了这个，下次肯定是要还要学这个三重积分，对吧？二重积分，三重积分，有没有一重积分的？其实也有 一重积分，主要是对于什么函数，对于这种一元函数来说的，对于他进行积分，他的名字不叫一重积分啊，叫定积分，懂了吧？这就是定积分。咱们先回顾一下定积分的概念，上次就已经学完了。嗯，正常来理解的话，定积分主要是用来表示 曲变梯形的面积的，他这个曲变梯形的话，其实就是说哪个区变梯形啊？首先呢，这条红色的曲线啊，这条红色的曲线，他就是 y 等于 fx 这条曲线了。咱要求的是什么呢？ x 等于 a 和 x 等于 b， 还有 x 轴所围成的这样一个区别。梯形的面积，怎么来求这个面积呢？其实也好说，咱们可以啊，把什么把这样一个 a 到 b 这样一段分成无穷无穷段，对吧？每一段的长度呢，分别是达尔塔 x 一，达尔塔 x 二，一直到达尔塔 xn 分成了 n 段， 然后当这个栏目的屈均于零的时候，这个栏目的指的是他最宽的都屈均于零了，那么此时 n 肯定是趋均于无穷了，其实相当于什么？相当于把这样一段无穷分了，对吧？这个就是电积分。然后呢，然后你一段一段来求吗？ 当这个每一段变得特别小的时候，我们这一部分几乎就可以近似成一个什么，几乎就可以近似成这样一个矩形的面积了， 那把无穷的举行的面积加起来，最后呢，就是定积分他这样一个几何意义了，理解我的意思吧，所以说定积分他就是这样来定义的。怎么定义啊？ 当这个 m 的曲君零的时候，实际上相当于分成了 n 段。曲军无穷的时候，就是把这样一段啊， a 到 b 之间平均或者不平均分也行，分成了无数段啊，无数段。然后呢， 所有的小的矩形的面积之和，就相当于区别题型的面积和，他就是这样来定义的， 其中这个写法呢，他就是定积分的写法， a 和 b 分别成为积分下线和积分上线，那么 a 到 b 呢，称为这样一个积分区间 fx 背积函数，然后这个 fx dx 这个整体其实就是背积表达式啊。嗯，另外你需要知道 好的是定积分也叫做离曼积分了，他这样一个写法呢，也叫做离曼合，或者说积分合。后边这个就不用多说了啊。那么介绍完了定积分的意义之后呢，接下来我就要下一个结论了。如果说定积分是用来求区别梯形的面积的话，那么 二重积分就是用来求什么？就是用来求曲顶注体的体积的。什么叫曲顶注体呢？其实这个二重积分我们主要研究的是二元函数 xy， 其实前头应该写成 z 了啊，二元函数。 那么二元函数的话，你看了有一个去顶注体，他的下底面呢，是一个闭合的这样一个平面，他都是在 xoy 这样一个平面上的，这是他下底面是平的啊，是平的这样一个区域，我们把这个区域呢记成 d， 他是一个平面区域啊， 然后他的侧面呢？侧面啊，然后你做无数条母线，这个侧面都跟 xoy 这个平面呢，是干嘛？是垂直的，或者说跟这种呢，是平行的，比如说这是其中一条母线吧，他跟这种呢就是平行的， 他的顶呢，就是这样一个曲面了。其中你要注意的是 f、 x、 y， 也就是说 z 的值是大于等于零的，如果小于等于零的话，我们可能求的不是曲顶柱体求出来的那样一个二乘积分，反而是曲顶柱体体积的相反数了。所以呢，先领他大于等于零， 一定要注意是一个连续函数啊。接下来我们就讨论一下如何求这样一个图中曲顶注体的体积。怎么求呢？还是无限分？首先比如说这样一个地吧，这样一个平面，这样一个小的区域，我们可以用无数条曲线 啊，无数条曲线把它分成了什么？分成了很多很多个小的 b 区域，然后这些 b 区域呢？比如说有 n 个，嗯，打着它一打着它二打着它 n 啊，一共有这么多个，然后分别以这些小的 b 区的边界为准，现 也就是说垂直于 xoy 这个平面，向上做了这样一个注体。当你这样一个什么，当你分出来的这样一个小块，特别特别，都特别特别小的时候，实际上因为是连续函数们，这样一个原来的去顶注体啊，阴影部分的去顶注体就 变成了什么？就变成了平顶柱体，也就是说上下底面都是平行的，那这个时候的话，只需要底面积成高，就是他的体积了，能理解这个意思吧？你看，哦，原来是这个概念啊，那我们把什么把这 n 个体积都加起来，最后 不就近似的可以得到什么可以得到总的这样一个曲顶注体的体积吗？就这样一个道理了，我们接下来呢，如果让什么，如果让 n 个小的 b 区的最大直径都曲径整，什么叫最大直径？什么叫直径呢？ 直径实际上就指的是这样一个小的臂区里头，他最远的两个点的这样一个距离，这个呢就到就叫最大直径了，你最大的直径都曲均于零，所以每一块呢都曲均于零， 当这个咱们的区域零的时候，他意味着什么？其实他意味着这样一个区域里头分出来无数个小块，懂吧？无数个小块，然后呢把这无数个小块啊， 求一下极限，他这样一个体积的和求一下极限这个极限呢？我想说的是他就是屈顶注体的体积，原来这个二重积分是用来表 是曲顶猪蹄的体积的呀，这就是二重积分的几何意义，现在呢，我们来给二重积分做一下定义，定义呢，就是这么说的，首先 fx 这样一个二元函数，他就是有界 b 区域上的有界函数，你看了啊，有界 b 区域上的有界函数是连续的， 然后将 b 区域 n 任意分为 n 个小的 b 区域啊，达尔特一，一直到达尔特 n， 然后还有什么呀？还有啊，其实这个小的字母的话是小 c 个码啊，他读错 c 个码，然后打扰他， i 表示第二个小的 b 区域 也表示他的面积，然后在每个打扰他爱上任去一个点，因为你最终的话，他这个打扰他爱每一个区域会特别特别小，实际上这个点的话也 会怎么样呢？实际上他这样一个点所对应的函数值也会变化的越来越小，他实际上最终就会变成一个定值的，也就是说原来的小的去顶柱体变成了一个平顶的柱体。懂，懂我的意思吧？那这一部分的话，就相当于第二个小的 注体的体积了。那我们把无数个这样的注体都加起来，最终是什么呀？最终就得到了这样一个体积了，实际上这就是定义了二重积分。然后现在呢？看了啊，什么时候 当各个小的 b 区域他直径的最大之栏目的都区域于零的时候，你区域最大的那个区域他都区域于零了，那表明咱们分出来几乎是无数个这样一个区域是对不对？而且这个时候他这个和的极限总存在，而且于 b 区域 d 的分 法还有什么？还有他这样一个每一个区域里头，他这样一个曲把，点的曲把是没有关系的，就他最终他这样一个极限啊？哪个极限呢？就这个极限。那我们就把这样一个极限 记做什么？记做二元函数在 b 区域地上的二重积分，二重积分有专门的记法，那一重积分我们就写这样一个符号就行了。那二重积分写两个符号呗， 这个 d 就代表积分区域，那这个 fx 就代表被记的这样一个二人函数。那这样一个 d c 个码代表什么？代表被记的这样一个区域。那么他们的名字代表什么呢？看了啊，名字分别都是这样来记的。 背肌函数吧，背肌表达是吧啊， d c 个码成为面积元素吧，然后 xy 叫做积分变量，那么 d 叫什么？ d 就叫做那样一个积分的区域啊，那总体这个部分叫什么 呢？叫积分盒，然后如果是定积分的话，就叫，也叫做这个黎曼盒当区域。哦，当这个答案的 i 这样一个区域，他是怎样分出来的？他是通过平行于坐标轴，也就是说平行于 x 轴和外轴这样来划分的，比如说这就是 x 啊，这就是 x 轴啊， 然后这就是外轴，这就是这样一个积分区域。我们把这样一个平面图呢给画出来，那么这个区积分区域刚才是任意来分的，斜着来分，或者随便怎么分都行。现在呢，我们分法变成了哦，平行于 x 轴和外轴这样来分。 如果你是这样去无穷分的话，最终会得到，那肯定是这样的呀，当你分的越多，那这样一个小的矩形就越多，对吧？每一部分都可以近似的看成这样一个矩形，那矩形的面积，那我懂了。所以如果分 变成了平行于坐标轴的直线网去划分的时候，我们这样后边本来应该写的是 d c 个码吧，现在 c 个码就可以写成 d x d y 这样一个微圆的乘积了。这个呢，是后边常用的儿童记分的记法。记住了啊，原来只需要平行于坐标轴直线网去划分的时候，就可以写成这种形式了， 其中 dxd 二呢，称为直角坐标系中的面积元素。我们再往后看，现在看了啊，他是这么说的，他说呢， 有一个什么呀？有一个平面薄板，这个平面薄板的话，他的密度是不均匀的啊，他是不均匀的， 但是他这个密度的话，你要注意的是啊，每一个对应的 xy 的这样一个位置，比如说这样一个位置啊，他所对应的密度都是给你写出来的，然后呢，请你用二重积分表达他的质量， 这个呢，咱们分几步走就行。第一步的话还是划分吧，把它划分成几个区域，很多很多个区域，打扰他一，然后打扰他二，一直到打扰他 nn， 可能是非常非常大的啊，这第一步， 那第二步的话，我们先求一下什么呢？求一下每一个小部分啊，因为你这个打扰他最终会特别特别小的，每一个区域特别小， 每一个区域特别小的话，我们只需要记什么成这样一个 u， 什么 ux i y i， 这个 x i y i 是在对应的那样一个小的区域内部任意取的一个点，这个没问题吧？这个呢就是 m i 了， 那 m i 就指的是 di 和区域他所对应的质量，总的质量，那我们接下来把这 n 个质量都加起来。第三步，求和，对吧？ 求和的话就是 i 等于一，一直到 n， 然后呢，把所有的质量加起来，那其实就是打二他，然后再来一个 u x i， 然后外挨。那最后一步的话，懂了吧？要取极限了吧？什么极限啊？当每一块小的区域，他的直径趋均于零的时候，那此事不就写成了二乘积分吗？这就是二乘积分的定义啊。那所以呢，写这是积分区域吧， 然后现在不是 f 了，是 ufsy， 这是背积函数吧，然后 d c 个码，这是什么呀？这是这样一个背积的区域，这是这样一个积分的面积元素，懂了吧？ 好了，这就写完了，最后呢，写这个形式就可以，我们继续来往后啊，讲完了二重积分的定义以后呢，有几个性质需要掌纹？第一个就是线球运算的性质啊， 孩和贝特的话是两个数字，那最后的话加减是可以拆出来的，如果这写的减号，那后边这也写成减号就行了，这没什么可说的啊。第二个性质的话是这样，如果说 b 区被分成有限个 部分的 b 区域，比如说原来我这个 b 区域呢，是长这个样子，后来呢，分成了左边是第一，右边是第二，那完全可以把每一部分分别加起来就行了啊，分成了两部分再往后啊，第三个，第三个的话就是说他是均匀的 每一部分呢，原来你求的是什么？原来他的意思是求曲顶柱体的体积。现在你每一部分的高都等于什么呀？哦，你每一部分的他这样一个高都是等于一的，都是一个长寿就变成了一个哦，平顶柱体了，对吧？你竟然变成了一个平顶柱体， 而且每一部分的高都是什么都是一，所以我只需要体积等于什么，体积就等于这样一个底面积，底面积再乘什么再乘一就可以了，就这样一个道理啊，这也没啥可说的。继续来看性质四， 这个第四个的话是这个道理，如果 f 在某一个区域上啊，横小约等于 g， 那么他的积分也是横小约等于的，这个也没啥可说的啊，从定义也可以看出来，然后后边的话有这样一个绝对值的不等式，知道就行了。 还有什么呢？还有性质五，性质五的话，你要知道的是这个 m 和大 m 分别是什么？ 分别是这个 i 二元函数 f 在区域地上的最小值和最大值。这个算是一个戒指定理的啊。那有了戒指定理以后，还有二重积分的中指定理，那中指定理是由什么？是由这个戒指定理是可以推出来的， 你只需要通过这样一个性质舞的这样一个戒指，定离左两边同除这样一个面积就行了。详细的话咱就不多说，知道就行啊。然后现在呢，咱们来做一个题，如何使得二成积分达到最大值？你要注意啊，如果 他这个画圈里头是复数的话，那最后你求出来的二重积分他也是复数的啊，所以我们只需要保证他这个里头永远是正数的部分就行了。也就是说 z 等于一，减去 x 方，减去三万方，我们要求他大于等于零吧， 那大于等于零的话，这个积分区域其实是好求的，相当于 x 方加上三外方小于等于一，这是一个什么区域啊？哦，这是一个椭圆的内部，如果你看不出来的话，我写成 x 方比上一，再加上外方 比上三分之一等于一，这是一个椭圆吧。那小于等于一不就是椭圆的内部吗？然后这个区域呢，就表达出来了，但是你写这个区域的时候，咱们最好写上集合的形式，这么一写就行了啊， x 逗号 y 啊，满足这样一个要求， 然后其中 xy 呢，属于任意识数，但是必须满足这样一个要求啊。好了，这就结束了，懂了吧？这个就是满足要求的这样一个积分区域了。继续来看例三啊，例三的话，我们先画一下这个图吧， 这个图的话是一个三角形的区域啊。首先这个三角形区域的话，我们看一下这三个点啊，零逗号一，零逗号一的话，在这呢，然后比如说他是点 a， 点 b， 还有点 c， 这就是点 a 的位置。哦，这就是积分区域啊。然后让你比较他俩的大小，他俩大小怎么比啊？ 好说，首先你看好了啊，在这样一个区域里头，我们看啊， x 加 y 等于 t， 我们先得求一下 x 加 y 这个范围吧，其实也就是 t 的范围， 这个其实相当于负 x 加 t， 求这个 t 斜率的范围。那你可以线性规划画一下。什么呀？画一条这样的线嘛，斜率是负一，比如说这就是这条线， 他这个跟外轴的总结句呢，就是这个 t 了，那显然你必须得跟这个阴影部分有焦点的话，所以说 t 其实也就是谁的范围呢？也就是 x 加 y 的范围， 他肯定是在几到几之间，在这个一到二之间，这个是没啥问题的。 x 加 y 啊，他肯定是在一到二之间，这个应该是 b 区间啊，我们写上。嗯，一到二之间，那他在一到二之间的话，所以老按 x y， 他应该在哪啊？ 他应该是在零到几之间哦，他应该是在零到老按二之间，老按二的话，他是小于一的啊，这个东西肯定比一小，因为他小于老按一小于一嘛，比一小。 那既然如此的话，所以捞按 x 加 y 干嘛呀？捞按 x 加 y， 他减去捞按 x 加 y 这个整体的平方，你减去这样一个整体的平方。哎，究竟是正数还是负数？看不出来，看不出来。你把捞 n x 加 y 这个整体提出来啊，提出来之后的话，这个括号里头就变成了一一减去捞 n x。 我懂了，有点懂他的意思了。 一减去一个肯定比一小的数字正数吧，这也是正数吧，所以是大约 等于零的。大于等于零的意思不就相当于什么？所以我们就得出来这样一个结论，不就相当于这个捞 n x 加 y， 它是大于大于等于吧，捞 n x 加 y 的 平方的吗？所以说这两个二重积分什么关系？这两个二重积分也是大于等于的关系。就结束了。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见！
2122会放羊的教书匠
01:45:18查看AI文稿AI文稿凯哥花了一个半小时的时间刷完了章鱼一千题第十四章的二重积分。说实话，这一张真把我做爽了啊。那我这个地方给大家说几个比较重要的题啊，大家勾一下， 第八题很重要，它涉及到 y 等于三 e、 x 的 反函数，然后翻过来之后，第十三题，十四题、十七题都很不错。然后最后这几个题里面呢，十九题，二十题、二十二题也很不错， 最后两个题真的太简单了，最后两个题两三分钟就做完了。那接下来凯哥就会逐题精讲着二十四个二重积分啊，我大概预计一下，应该是在两个小时之内就能讲完，而且每一个题其实都会讲的非常的详细啊， 说实话，我觉得我的表达能力比较强，所以呢，我即使讲的很详细，我也不会讲很久，懂吗？这二十四个题，我争取在两个小时之内全部讲完，而且我保证每一个学生都能听懂。好吧，都能听懂， ok， 那 我们就开始吧。好，我们先来看到前两个题啊，这两个题都是二重积分比较大小，但是刚好是反过来考的。 例题一呢，是积分区域，是一个确定的，那这个时候就是比较背积函数的大小，背积函数越大，积分值就越大。那反过来这个第二题呢，它刚好是背积函数，是一个确定的，那这个时候比较积分的大小就变成了比较积分区域的大小。能听懂我的意思吧， 所以我们先来看第一题，他说积分区域 d 是 由 x 等于零， y 等于零， x 加 y 分 别等于二分之一和一为乘的区域。好，我已经给你画出来了，就是这一个等腰梯形， 然后呢，这三个积分 i 一、 i 二、 i 三都是在这个阴影部分内，积分只是背积函数。第一个是裸引的七次方里面是 x 加 y， i 二呢是 x 加 y 直接七次方，然后 i 三呢，是 side 的 七次方， x 加 y， 那 我刚才也说了，这个积分区域一定的时候，比较积分的大小就变成了比较背积函数的大小。那现在我们发现这个 x 加 y 反复出现，我们就把 x 加 y 看成一个整体吗？ 那 x 加 y 最小最小就是二分之一，最大最大就是一，那我们就令 x 加 y 就 等于 t， 那 t 的 范围是不是就是二分之一到一？而在这个范围内，我们的裸引是不是都是一个负的？因为裸引一才刚好等于零嘛，所以裸引里面的这个 t 一 旦小于一，是不是整个裸引就是负的？那负数的七次方是不是还是一个负的？那就说明 i 这个积分是个负的哟，对吧？也就说这个时候 螺引 t 它都是小于零的，而我们的 t 的 奇次方以及三引 t 的 奇次方，它是不是至少是一个正的嘛？能听懂吧？而我们又知道，当 t 大 于零的时候，这个三引 t 是 小于 t 的， 对不对？所以螺引 t 小 于零，零小于三引 t， 然后呢，再小于一个 t， 对不对？然后左右两边同时七次方，然后再套一个积分符号，那我们就会得到罗隐的积分是不是就是 i 一， 它是最小的，它比零还要小，对吧？然后呢，它是要小于三隐七次方的积分的，那是不是就是 i 三？而三隐的七次方是小于 t 的 七次方的也就是小于 i 二嘛， 所以 i 一 小于 i 三小于 i 二选什么？这个题选 b 选项秒了。好，再来看到第二题，被积函数是确定的，那我们积分区域分别划一下，第一是一个圆心在圆点，半径为 r 的 一个圆，大概就是这样的一个圆的内部，对不对？然后第二呢，是圆心在圆点，半径是多少？半径是根号二乘一个 r， 对不对？那为了方便画这个半径，我们再来看一下第三是什么？第三是 x 的 绝对值小于等于 r， y 的 绝对值也小于等于 r， 说白了就是 x 和 y 都在负 r 到正 r 之间，那是不是刚好就是这个圆的一个外接正方形啊？ 对不对？而这个外接正方形，它的顶点到圆的的距离，根据勾股定律，是不是刚好就是一比一比根号二，也就是根号二倍的 r， 对 吧？也就是说看清楚喽，这个小圆的半径是 r， 对不对？然后呢，这一个对角线的一半长，是不是刚好就是根号二倍的 r？ 那 我们以圆点为圆心，然后以这一个斜着这条边为半径，再做一个圆， 对不对？相当于又做了一个这个正方形的一个外接圆，这个没问题吧？是不是就是我们的第二，对吧？是不是就是我们的第二？而我们注意到我们的这个倍积函数是一个指数函数，指数函数是一个横正的，所以这个积分区域覆盖的指数函数是一个横正的，所以这个积分我们就能看出来， 是不是小圆要小于正方形，然后要小于大圆，对不对？而小圆对应的是什么？是第一这个区域，那就是 i 一， 这个积分要小于正方形，正方形是不是第三，也就是 i 三这个积分，那要小于 i 二，所以 i 一 小于 i 三小于 i 二，选什么？选 c 选项嘛， 对吧？到这能够听懂的发个一好吧。然后第三题是一个纸老虎啊，你别看是一个什么二乘方，这一看就是一个圆的面积， 而我们后面这个二重积分的积分区域，是不是刚好是一个圆形，在圆点半径为小 r 的 一个圆呐？所以如果你能够从这个二重积分里面制造出一个拍 r 平方，那是不是刚好就可以和前面的分母拍 r 平方约掉，对不对？所以我们是不是自然想到积分中指定里？ 那我们要知道定积分的积分中指定里是什么？是 a 到 b， f， d， x 是 不是在 a、 b 之间，对不对？而且呢，这个 b 减 a 是 什么？是不刚好就是 积分区间的上限减下限，当上限大于下限的时候，上限减下限是不是就是区间的长度，对不对？那二重积分的积分中止定律呢？很简单呐，积分区域低上背极函数，如果是 f、 x、 y、 d 四个嘛，那就应该是区域 s、 d 的 面积，再乘以个 f 可赛 e， 它 对不对？那可算一它在哪了？是不是也是在这个积分区域地里面？同样道理，还有三重积分的积分中值定律是一样的，所以我们回到今天的这个题来，你看这个 r 趋向于零的时候，你的分母是 pi r 平方， 对不对？然后呢，你的分子的这个二重积分，你使用积分中值定律之后，是不是应该是这个区域的面积，那是不是也是 pi r 平方？ 那用完了之后是不是还有乘以 f？ f 里面是什么？是不是可赛一？它是不是相当于就是把被极函数里面的 x 换成可赛，把 y 换成一它，那是不是就得到 e 的 可赛平方减一它平方这么多次方，然后 cosine 里面呢？也是可赛加一它，对吧？而我们的可赛一它既然要属于我们的 积分区域 d， 而这个积分区域 d 是 一个半径为小 r 的 一个圆，而这个小 r 又是趋向于零的，那我们大概画一个示意图吗？ 相当于积分区域是半径为小 r 的 一个圆，但是这个小 r 它的这个半径越来越小，越来越小，那是不是就逼迫着我们的这个可赛和 e 它也往圆点再靠近呢？那我们的可赛和 e 它是不是也是趋向于零的？ 也就是说，表面上我们这个极限符号下面写的是 r 趋向于零，但是呢， r 趋向于零会导致可赛和 e 它都趋向于零。 那我们前面拍 r 平方约掉之后，后面这个式子是不是就是 e 的 零次方再乘以 cosine 零呢？而 e 的 零次方是等于一的， cosine 零也是一，一乘以一是不就等于一？那这个题就选 b 秒了吗？好，我们再来看到第四题，也是送分题， 他说假设区域 d 是 由曲线 y 等于 x 平方减一，这是不是一个开口向上的一个抛物线往下平移了一个单位之后的结果，对吧？是不是这一根曲线，这就是 y 等于 x 平方减一嘛？然， 然后呢，与 y 等于根号下一减 x 平方为乘，那你两边平方，再把右边的负 x 平方挪到左边，那左边不就变成了 x 平方加 y 平方吗？那等号右边是一，那这不就是一个单位圆吗？圆形在圆点，半径为一的一个单位圆，但是因为 y 是 等于正的根号，而不是负的根号，所以它是一个单位圆的上半部分 相当于你的这个积分区域，下半部分由抛物线组成，上半部分由圆组成，对不对？那上下不对称嘛？但是不管是抛物线还是圆，它左右都是对称的，这个没问题吧？对不对？然后他说，则区域低上，这个二重积分的正负 到底是等于零呢？还是与 a 有 关，还是说与 b 有 关，还是说与 ab 都有关？那很明显，这个积分区域既然左右是对称的，那我就看这个被积函数是不是关于 x 的 积函数，如果是的话，那积分就等于零，所以有奇偶性， 那所以有积偶性。从加号处拆开，那就是 a 倍的区域， d 上 x y， d x， d y， 再加上 b 倍的区域， d 上 y 平方， d x， d y， 对 不对？那左右对乘被积函数这个地方的个 x， 它是关于 x 的 积函数，那积分积出来是不是就应该等于零啊？相当于加号前面这个积分等于零了，而 a 乘以零，是不是也是零啊？而加号后面就是 b 倍的多少呢？你看 y 平方的积分， 那 y 平方作为一个正的倍积函数，那是不是这个二重积分接出来肯定是一个正的，但是前面还成了一个 b， 那 就说明 b 如果是大于零的，那整个二重积分就是正的。如果 b 小 于零，整个二重积分就是负的，如果 b 等于零，这个二重积分就等于零吗？对不对？所以这个积分的值就完全取决于 b 的 正负对不对？那这个题应该选什么？是不是与 a 无关，但是与 b 有 关，所以选 c 选项秒了。 接下来的第五题和第六题是完全相同的一类题啊，就是必须交换积分次序。因为我们的第五题背记函数是一个跟 y 相关的很复杂的函数，结果一来就对 y 积分，那记不出来。 第六题背记函数是一个关于 x 的 超级复杂的函数，结果你一来就对 x 积分，那也记不出来。所以这两道题都要交换积分次序。 那换序之前一定一定要先画图啊。你看 x 的 范围在零到一 y 的 范围呢？ y 等于零就是 x 轴嘛，而 y 等于根号 x， 那 是不是两边平放一下，那就是 x 等于 y 平方， x 等于 y 平方，是一个开口向右的一个抛物线，对吧？那大概就是长这个样子嘛。那我们的积分区域是不是这样的一个阴影部分呢？那这个曲线标注一下嘛，它是 y 等于根号 x， 或者你可以写成 x 等于 y 平方， 那你看原来的积分次序是先 y 后 x， 那 我们是不是应该是先 x 后 y， 那 后积先定线，那 y 的 范围是不是应该是零到一啊？所以零到一 d y， 那 x 的 范围是不是应该是从左往右穿线，穿入这个阴影部分的时候，就是 x 的 积分下线，穿出这个阴影部分的时候，就是 x 的 积分上限，那这个曲线 x 是 应该等于 y 平方，那 x 应该等于一嘛？那被加函数 e 的 负二分之 y 平方 d x 看清楚了哟，虽然背极函数没变，但是我积分次序变了。我对 x 积分的时候，这个背极函数不管多复杂，它也是一个关于 y 的 函数， 那对 x 积分的时候，所有关于 y 的 函数都看成长数，那长数对 x 积分是不是相当于就等于这个长数乘以积分区间的上限减下限，那就应该等于零到一这个区间， 一减 y 平方，乘以 e 的 负二分之 y 平方，然后呢？ d y 嘛，然后我们从减号处拆开，拆开之后，你稍微有点常识，你就知道，减号前面这个积分你是算不出来的。零到一这个区间， e 的 负二分之 y 平方 d y 这一个积分呢？如果积分区间是零到正无穷的话，那你能够做出来，但是如果是零到一，零到二，零到三，那就算不出来，那算不出来怎么办呢？那就一定要通过另外一个积分使用分布积分和它抵消， 所以减号后面看清楚喽。零到一这个区间， y 平方 e 的 负二分之 y 平方 d y， 那 分布积分的时候，大家注意一下，其实啊，如果你摁着第一个积分不动，对第二个积分使用分布积分，那可以抵消，那如果你摁着第二个积分不动，对第一个积分使用分布积分，其实也能做出来。那一般来说哪个简单，我们就对哪个 分布积分。那比如说，对于减号后面，如果你想分布积分的话，然后再把指数函数凑进去，再分布积分，很麻烦。 但是呢，我对第一个积分使用分布积分的时候，我就直接分布积分，不要犹豫对不对？所以他使用分布积分就是 d 前面的和 d 后面的乘起来，带上下线，那就是 y， e 的 负二分之 y 平方，带上下线零到一， 对吧？然后呢，再减去零到一这个区间交换位置的积分，交换位置之后， y 跑到前面去了，然后呢， e 的 负二分之 y 平方就跑到 d 后面， 那低后面的东西是不是相当于对这个东西求导，对吧？那指数函数求导是不是还是这个指数函数 e 的 负二分之 y 平方次方？但是根据复合函数求导法则，指数部分本身是不还有求导，那负二分之 y 平方求导是不等于负 y 啊？那刚好这个地方是减号，负负就得正，而这个地方本来就有个 y， 所以 y 乘以 y 就是 y 平方 d y， 你 惊讶的发现，你分布积分之后得到的这一个积分是不是刚好就是减号后面的积分，对不对？所以再减去后面 e 的 负二分之 y 平方 d y， 那就说明这一项和这一项直接抵消了，居然就只等于这两个相乘，带上下线下线零带去就是零，上线一带去就等于一倍的 e 的 负二分之一次方。也就说第五题最后的结果就是 e 的 负二分之一次方。搞定嘛， 好，一模一样的思想。我们再来做第六题，先化积分区域 y 的 范围零到一 x 的 范围呢？下限 x 等于零，那不就是 y 轴吗？对吧？ x 等于零是 y 轴， y 等于零是 x 轴，别背反了。 然后上线 x 等于 y 平方，那说明这个图这个曲线跟上面是一样的呀。但是我们要注意，我们这个第六题的积分区域是这个曲线跟 y 轴围成的面积，对吧？ x 等于零，是 y 轴吗？所以是这一个部分，不信的话，我们来看一下 y 的 范围，零到一就是这一段吗？ x 的 范围是从零到 y 平方，对不对？又不是从 y 平方到一，能听懂吗？对不对？所以我们这个阴影部分积分的话，如果要交换积分次序，那它本来是先 x 后 y， 那 我们就要先 y 后 x， 后机先定线。 x 的 范围是就是这个零到这个地方的一，对吧？ x 的 范围是零到一， y 的 范围就是从下往上穿线穿入，就是这一个开口向右的抛物线。本来是 x 等于 y 平方，但是你要解得 y 等于几啊，对吧？ y 是 不是应该等于根号 x， 所以 积分下线是 y 等于根号 x， 积分上限这个地方是不是应该等于一 好？背记函数其实是不变的，只是呢，这个时候我们变成了对 y 进行积分，对 y 积分的时候，这个背记函数再复杂，它也是关于 x 的 函数，它看成长数，那长数积分就等于这个背记函数乘以上线减下线， 而上线减下线刚好就是一减根号 x， 他 刚好就把背记函数的分母一减根号 x 抵消了，抵消了之后就变成零到一这个区间 x e 的 x 方 d x 好 变成这个样子之后，讲道理的话，本来应该是分不几分，但是大家记住一个结论嘛，就是 x 乘以 e 的 x 方，这个玩意，他求一次倒，前面的 x 就 会变成 x 加一， 对不对，求两次倒就会变成 x 加二，求三次倒就会变成 x 加三。总之，你倒几次，前面的 x 就 加几，后面的指数还是不变，那反过来，如果你积几次分呢，对不对？你积一次分，前面的 x 就 会变成 x 减一，再积一次分，就会变成 x 减二， 对不对？也就说这个玩意直接就等于 x 减一，再乘以 e 的 x 次方，上下线零到一吗？上线一带进去一减一就等于零了，减去下线零带进去零减一就是负一，然后 e 的 零次方是不是一？所以零减去负一，那不就是一吗？相当于我们第六题最后的答案就等于一，能听懂吧。 然后第七题本来是一道选择题，但是凯哥懒得抄选项了啊，我就把它当成一个填空题来讲啊，就是要交换积分次序， y 的 范围是一到 e， x 的 范围是零到 l y， 那 交换积分次序之前，一定一定要先画图啊， 我们用蓝色的笔给大家画啊， y 的 范围一到 e， 这个倒是简单，主要是这个 x 的 范围 x 等于零，就是 y 轴嘛，对吧？然后 x 等于 x 等于 l y， 但是你两边同时去指数， 那 x 等于 y， 看清楚哦，那就变成了 y 等于 e 的 x 方，对吧？这个看着舒服多了。所以我们这个地方划一下 y 等于 e 的 x 方的图像。那我们再看一下积分区域嘛， y 的 范围一到 e， 那 x 等于零的时候， y 刚好等于一啊，对吧？ e 的 零次方刚好等于一嘛，所以这个地方是一。然后呢？再来 x 等于一的时候，这个时候它的高度是不是应该是 e？ 就 这个位置应该是 e， 那我们的积分区域是不是就是这一块蓝色的阴影部分呐，对吧？你看 y 的 范围一到 e， 就是 这一段嘛。 x 的 范围从左往右穿线，是不是先穿入 y 轴，那就是 x 等于零，然后再从这一个曲线穿出，就是 y 等于 e 的 x 方，分解出来 x 等于 y 嘛？现在我要交换积分次序了，那它是先 x 后 y， 我 就先 y 后 x， 那 后积先定线， x 的 范围是不是就是零到一，对吧？然后 d x， y 的 范围是不是从下往上穿线穿入，是不是就是这个 这个指数函数的曲线，那 y 就 应该等于 e 的 x 方，而穿出就是上面这个水平线，是不是高度应该是 e， 对 不对？好，被加函数就是 f 嘛，然后 d y， 所以 x 范围零到一， y 的 范围 e 的 x 方到 e， 就 这么简单，能听懂吗？ 好，我们再来看到第八题啊，第八题是一个重点题哦，打一个五角形啊。这个题本来也是一个选择题啊，但是我懒得抄选项了，还是改成了一个填空题。 他说 x 的 范围是二分之派到六分之五派， y 的 范围是三 x 到一，然后呢？叫我们交换积分次序。那是不是我们就应该先画图，图画出来之后再把它改成先 x 后 y 的 积分， 对不对？那这个地方有一个 y 等于三 x， 我 们就把这个图画大一点啊，待会方便交换积分次序。你看 x 的 范围是二分之派到六分之五派，那 x 等于二分之派，是不是比派要小一点点？比如说就在这个位置，这就是 x 的 范围， 而 y 的 范围呢？是三 x 到一哦，对吧？所以其实积分区域是这一段的啊，积分区域是这一段，是这一块的阴影部分，你千万别连图都画错了好吧，那有些同学画图，他画的是这个三与这个 x 轴围成的这一个阴影部分，那不应该是零到三 x 吗？对吧？那我们这个地方是三 x 到一， 应该是上面这一个阴影部分。好，它是先 y 后 x， 那 我们就先 x 后 y 嘛，那后极先定向 y 的 范围是不是就是从这一个点的高度到一嘛？那这个点的高度是不是就是六分之五派的函数值，对不对？那 sin 六分之五派，如果你觉得不太好算的话，那你就算 sin 六分之派嘛， 对吧？因为六分之五派到 pi 的 距离和六分之派到零的距离是一样的，而又因为我们这个 sin 图像，它是关于二分之派左右轴对称的， 对不对？所以六分之派的这个点的高度和六分之五派这个点的高度是不是应该是一样的？那三影六分之派就是三影三十度，那就应该是二分之一嘛，相当于这一个点，它的高度就是二分之一， 这个点的高度是一，所以后基先定线 y 的 范围，那就是二分之一到一，没得跑了。那 x 的 范围是不是从左往右穿线？那兄弟们大的要来了哟， 从左往右穿线的时候穿出是不是这个数值线？这个数值的这个线，它的积分上限是六分之五派，这个没得跑。问题就是积分下限到底等于几？那这个题的难点就是 x 的 积分下限到底填什么？ 那有的同学说，哎呀，你这个曲线本身是 y 等于 sine x， 那 反过来，它的横坐标 x 不 就应该等于 r 个 sine 吗？对吧？为什么呢？因为 y 等于 sine x， 两边同时取反函数，取 r 个 sine， 那 反解出来 x 不 就是 r sign y 吗？所以很多人就觉得这个地方的积分下限就直接填 r 个 sign y 就 可以了。但不对啊，为什么不对呢？很简单，我们看一下图，我们就知道这个 sign x 它是一个周期函数，对不对？就是当我们固定这个曲线的高度的时候，我们固定纵坐标 y 的 时候，是不是有无数个横坐标 x 跟它对应？比如说我问你一个问题， 就是如果我让你算 alpha sine 二分之一等于几，那你怎么去想？是不是你就去思考 sine 多少是等于二分之一呢？哦， sine 三十度， sine 三十度其实就是 sine 六分之派嘛，所以你这个地方就填六分之派。 但是凯哥刚才才说了，这个 sine 六分之派的这个地方的高度和 sine 六分之五派的高度其实是不是其实是一样的？那你凭什么说 alpha sine 二分之一就等于左边的六分之五派呢？甚至我们这个曲线，我们再你看，我们再画一下， 对不对？然后我们再延伸一下，啊，我们这个，你看这个高度为二分之一的这一条红线，我再延伸一下，他是不是在这个位置还有一个横坐标，那凭什么不能是这个点的横坐标呢？ 听清楚了哦，就是数学家们在几百年前定义这个反正弦函数的时候，他们就已经规定了，就是他们为了避免这种 r 三二分之一算出来有无穷多个值的情况，他们就规定这 这个 arc 二分之一算出来应该等于什么呢？应该等于负二分之派到二分之派这一个单调递增的区间上对应的那个横坐标，能听懂吧？ 也就是说，当我们固定重坐标是二分之一的时候，那么 arc 二分之一等于多少呢？就应该等于在这一段单调递增的曲线上，当高度达到二分之一的时候，对应的这个横坐标。 同样的道理， alpha 三分之一等于多少呢？是不是应该是在这个曲线上高度为三分之一的时候对应的横坐标？同样的道理， alpha 三零呢？是不是也应该是在这一个曲线上高度为零或者重坐标为零的时候对应的那个横坐标？说白了， alpha 三零就应该等于零，而不是等于 pi， 也不是等于二 pi。 那 我们怎么样去表达其他区间上对应的那个横坐标呢？很简单，根据 sine 这个图像的对称性或者说周期性， 你想假如我用一个高度为二分之一的一条水平线，对吧？去切割这一条曲线的时候，我们在零到拍这个区间上是不是就会得到两个点呢？对吧？左边是不是有一个焦点？根据我们刚才反函数的定义，我们就知道这一个点对应的横坐标就是 r 三二分之一， 但是右边这个点呢？数学家规定了，他没有资格写成 r 三二分之一，那它等于几呢？很简单，我们刚才说了对称性 对不对？就是这个曲线呢？ y 等于三 x 的 曲线，它关于二分之派是左右轴对称的，那就说明这一个点对应的横坐标啊，和这个点对应的横坐标是关于二分之派左右对称的，那相当于二分之派就是这两个点的中点， 那什么叫做中点？就是这两个点的坐标加起来除以二，对不对？是不是就应该等于中间的这个二分之派，对吧？那现在左边这个点已经是六分之派了， 那右边这个点假如你不知道等于几啊？假如你不知道等于六分之五派，那你就写一个问号嘛，对吧？这个点对应的横坐标是一个问号，但是它的高度仍然是二分之一，那我这个问号再加上左边的六分之派除以一个二，是不是就是这个问号和这个六分之派对应的横坐标的终点？他是不是应该就是这个对称轴的横坐标？二分之派 分母的二抵消，那这个问号是不是应该等于拍减？六分之派不就是六分之五派吗？对吧？我们是不是就算出来了？那现在我们假设这一个点高度不是二分之一，而是 y， 或者说我们就用高度 y 的 一条水平线去切割去截这个 y 等于三 x 的 这个图像，是不是这个横线与这个周期函数 y 等于三 x 有 无穷多个交点， 对不对？但是啊，我们刚才说了，只有在负二分之派到二分之派这一段上的这一个交点对应的横坐标才有资格写成 x 等于 arc sine y， 对 不对？那么这一个点对应的横坐标是什么呢？很简单，是问号，而这个问号加上左边的 arc sine y， 再除一个二，是不是就是这两个点 的中点？它是不是应该等于二分之派？那把分母的二约掉之后，把一把左边的 r 三以外减到右边去，是不是就得到这个问号？就这个点啊？这个点对应的横坐标就应该是派减去 r 三以外，能听懂我的意思吗？对不对？你直接根据图像的对称性或者周期性就可以了嘛。那同样的道理，如果我要计算的是高度为 y 的 时候，对应的这一个点的横坐标呢？ 那么这个点是不是比这个点要更大了？它对应的横坐标，那这个时候我们就用周期性，对吧？比如说当高度为 y 的 时候，这个点对应的横坐标是 x 三 y， 对 吧？那根据 y 等于三 x 的 周期性，这一段单调递增的区间是不是负二分之派到二分之派这一段单调递增的区间往右平移了？二派个单位，因为二派就是三 x 的 周期嘛。所以如果这个点对应的横坐标是 x 三 y， 那么同样的高度延伸过去，这个点对应的横坐标是不是就应该是二 pi 再加一个 arc sine y 嘛，对吧？所以你记住凯哥的一句话 就是，我们只需要记住，在负二分之 pi 到二分之 pi 这一段上，高度固定为 y 的 时候，对应的横坐标是 arc sine y。 那在其他的位置上对应的横坐标是什么呢？那就要看这个点到底是递减区间还是递增区间。如果是在递减区间上，那么增区间和减区间就要通过对称性来得到这个单调递减区间这一个点对应的横坐标，那如果都是单调递增区间，那你就用周期性，对吧？一增一减就对称性。关于二分派对称， 如果都是真区间，那就用周期性平移就可以了，对吧？说实话，我觉得我已经讲的非常非常的清楚了，听懂了发个一啊，听懂了发个一，然后我们再来看到第九题，好吧，好，我们再来看到第九题。这个第九题考察的其实就是对称性，他说 f x y 等于 f y x， 这是不是叫轮换对称啊， 对不对？而且呢， f x y 还等于 f 负 x， y 是 不是 y 是 不动的？把 x 换成负 x 之后，表达式居然不变，那说明这个二元函数关于 x 这个字母是一个偶函数， 记住哦，如果关于 x 具有基有性，那我们就看积分区域是不是左右对称。如果背极函数关于 y 具有基有性，那我们就看积分区域是不是上下对称，能听懂吧。然后呢，他给这个二重积分呢？ x 的 范围是负二到二， y 的 范围是根号下四减 x 平方到二。我们扫一眼 a、 b、 c、 d 四个选项分别在研究什么东西？ a 选项是不是先对 x 积分，再对 y 积分？那原来这个题是先对 y 后对 x， 所以 a 选项相对于提杠而言，是交换了积分次序的。 而 b 选项呢，是不是还是先对 y 积分，然后后对 x 积分？但是这个地方有个二倍 x 的 范围是零到二了，所以 b 选项没有交换积分次序，但是呢，它用了奇偶性， 而 c、 d 选项是不是就是把直角坐标变成极坐标，对吧？那我们一个一个来分析啊。我们先把题干的这个原来这个积分的积分区域划出来， x 的 范围负二到二，对吧？而 y 的 范围呢？你看 y 等于这个根号下 四减 x 平方，你两边平方，再把右边的 x 挪到左边，不就是 x 平方加 y 平方等于四吗？这是一个圆，心在圆点半径为二的一个圆，所以这是负二，这是二。然后呢，最顶点高度是不是也是二？但是我们注意到这个 y 的 范围不是零到这个根号，而是根号到二， 对吧？你看 y 等于这个根号，是不是就是上半圆 y 等于二，是不是这个水平线？所以咱们的积分区域是不是应该是左边这一块阴影部分，再加上右边这一块阴影部分， z 轴不是圆的内部，而是圆的外部，能听懂吧？好，我们现在来看 a 选项，如果要交换积分次序的话，原来是先 y 后 x， 现在是不是先 x 后 y 后基，先定向 y 的 范围是不是这个地方？你看 y 最低最低就是零， y 最高最高就是二，所以 d y y 的 范围就是零到二，所以外层的区间是对的。 那再来内层区间呢？对， x 积分的时候，是不是要从左往右穿线？从左往右穿线，对吧？那明显要分成左右两个阴影部分嘛，所以它内层积分是不是分成了两个积分，对不对？这个没问题， 我们先来看左边这个积分，你从左往右穿线的时候，穿入就是 x 的 下线，穿出就是 x 的 上限，那左边这个阴影部分穿入就是 x 等于负二，这个也没问题， 只要没问题了，我们就打个勾再来穿出呢？而我们要知道，在写这个积分上下线的时候，如果你这个地方是 d x， 那 我们的上下线是不是应该写 x 等于多少 y 啊？对吧？那穿出的这一条线，你就不能再写什么 y 等于根号下四减 x 平方，而是要从这个 等式里面把 x 等于多少解出来，那是不是把 y 平方减到右边去，再两边开方，那 x 是 不是应该是正负根号下四减 y 平方，对吧？那什么时候是正的根号呢？那就是 x 大 于零的时候，什么时候是负的根号呢？就是 x 小 于零的时候，说白了就是右半圆啊，就是这个圆吗？ 中间有一条对称轴吗？那右半圆就是 x 等于正的根号，左半圆就是 x 等于负的根号。现在你在算左边这个阴影部分，从左往右穿线的时候，那你穿出的这个曲线是从左半圆穿出的，所以你的 x 是 应该等于负的根号下四角 y 平方，所以这个地方的积分上限 a 也是对的，对吧？那再来看到后面这一段，上 后面这一段，你看他穿入就是右半圆穿入，穿出呢，就是 x 等于二，所以这个地方上线 x 等于二，这是没问题的，但是下线错了呀，功亏一篑，对吧？他穿入是从这一个弧线穿入进去的， 对不对？所以这个时候 x 应该等于正的根号下四角 y 平方，所以这个地方有一个符号在根号外面，所以他是不是就错了，所以导致整个 a 就 错了嘛？ 我们再来看到 b 选项， b 选项这个地方有个二倍，那很明显用了一下对称性，对吧？我们刚才说了， f x y 等于 f 负 x y， 把 x 换成负 x， 表达式不变，说明被积函数关于 x 是 个偶函数，而我们的积分区域是不是刚好左右两个阴影部分是对称的， 所以整个阴影部分的积分是不是确实应该等于二倍？右边这个阴影部分的积分，对吧？所以就是二倍， x 的 范围就是零到二嘛，而且我们没有交换积分次序。哦，那这个时候我们的那层积分的积分线是不是不应该变，对吧？原来积分上限是二，我现在也应该是二， 原来积分下限是根号下四减 x 平方，我现在是不是也应该是根号下四减 x 平方？但是我们定睛一看，我发现，哎，这个地方怎么写的是根号下四减 y 平方，那是不是就不对了呀？ 能听懂吧？对吧？就是你的内层积分是对 y 积分，对 y 积分的时候，你的积分上下线是不应该写 y 等于多少 x， 倒 y 等于多少 x， 能听懂吧？ 所以你的上下线应该是 x 的 函数，而不应该还出现 y， 能听懂吧？所以你的这个积分下限就是这里 y 错了，你改成 x 的 话，那 b 就 对了，所以 b 现在也排除，那就只能在 c d 里面选，那是不是就是要用极坐标？ 而无论是 c 还是 d， 怎么有一个四倍呢？哦，那是因为我们这个题啊，它除了有基偶对称性，还有轮换对称性，对不对？就是整个这两个阴影部分的积分，先通过 x 的 基偶性把它转化成右边这个阴影部分的二倍， 对吧？而右边这一个阴影部分，它是不是又是关于 y 等于 x 这个对称轴？就是第一向下角平分线，是不是也是对称的，对吧？就是就是，你看这一个阴影部分 和这一个硬部分是，是不是也是对称的，所以它就只需要计算这一个部分啊。完了，我不小心把左上角这个地方也描黑了，就是我用手给你遮住，对吧？用手给你遮住，那你相当于就只需要计算这一个部分， 对吧？这一个黑色部分的积分算出来之后，再乘以一个四是不就可以了？所以我们 c d 选项这个地方是不是有一个四倍？ 那极坐标一般都是先 r 后 c 它嘛？那无论是 c 还是 d， 是 不是都是先对 r 积分，后对 c 它积分？那怎么确定 c 它的范围是不是其实就是让这个极轴的正半轴逆时针旋转？当这个轴逆时针旋转的过程中，什么时候刚接触到这个阴影部分，我们就记录下这个时候对应的 c 它值，这个时候就是 c 它的积分下限， 然后什么时候当这个轴旋转到刚要离开这个阴影部分的时候，咱们就记录下这个时候的 set 值，就这就是我们的积分上限，对吧？而现在这个阴影部分是不是刚好这一个位置就跟 x 轴就是相交的， 对不对？所以你还没开始逆时针旋转呢，是不是就已经在这个阴影部分里面了？所以 set 的 范围下限是不是就是零？而我们的积分上限是不显然就应该是 set 等于四十五度的时候，对吧？就是逆时针旋转旋转到第一向下的角平分线的时候，是不是刚好就要离开这个阴影部分了？ 所以 c 它的范围应该是零到四分之二，而不是零到什么 r 的 弹性的二分之一，对吧？所以通过 c 它的范围，我们都应该知道这个题应该选 c 选项嘛， 对吧？但是我们为了严谨，对吧？我们为了对自己高要求，我们再来看一下它内层的这个 r 的 范围到底对不对？那怎么确定 r 的 范围呢？很简单，我们从极点出发，引一条射线，对吧？穿入这个阴影部分的时候就是我们的积分下限， 穿出这个硬部分的时候就是 r 的 积分上限，那什么时候穿入吗？是不是其实就是从这个圆穿入的，那圆的半径就是二了，对吧？所以 r 的 下线就是二，所以这个地方是二是对的，对吧？好，它的积分上限呢？很简单，是不是穿出是从这个数直线穿出的，这个数直线的直角坐标方程是 x 等于二， 而直角坐标跟极坐标之间的转换关系是 x 等于 r， cosine， 对 吧？然后呢，要等于二，那你把左边的 cosine 除到右边去，那 cosine 分 之一是不是就是 second？ 那 么我们就解得 x 等于二，这个直角坐标变到极坐标的话， r 就 应该等于二倍 second set， 对 吧？所以 r 的 范围就是二到二倍 second set， 对 吧？这不就是我们的积分区间吗？ c 的 积分区间对的吗？所以这个题就选 c， 没任何毛病，听懂的发个一啊。好吧，听懂的发个一。 好，接下来这三个题呢，就是纯计算题了啊，而且计算过程都很短，非常简单啊。第十题，他说曲线 l 是 r 等于 sine 三 sine 它的范围是零到三分之派，他说区域 d 是 由 l 围成的区域，叫我们求这样一个二乘积分。那首先我们要先画图嘛，你看，这是 x 轴，这是 y 轴， 我们的 r 其实本质上就是这个曲线上的点到这个极点零零的距离，对不对？所以我们这个地方人家要规定这个 c 它在零到三分之派，因为这样的话三 c， 它这个整体就在零到派，在零到派里面，三引才是一个正的，这个时候 r 才是一个正的， 对不对？当 c 它等于零的时候，是不是相当于这个曲线最开始的时候，刚好就在这个极点处？因为 c 它等于零的时候， r 等于零，就代表曲线上的点到极点的距离是零，那不就是极点本身吗？ 那随着 sine 它的增大，那这个 sine 是 不是单调递增的，对吧？增到什么时候为止呢？是不是增到当 sine 等于六分之 pi 的 时候， 因为 sine 等于六分之 pi， 三 sine 它这个整体就是二分之 pi， sine 二分之 pi 是 不是取到最大值就等于一了，对不对？所以六分之 pi 是 不是刚好就是三十度？那就把整个第一向下三等分嘛？这是三十度，这是六十度，对吧？当 sine 等于零的时候，它是零， sine 等于六分之 pi 的 时候达到最大值。 然后当 c 它从六分之派到三分之派的时候，三一里面的三 c 它是不是就从二分之派到派，这个时候整个三引是不是单调递减的？它从一一直递减到零嘛？所以它这一段上是不是应该是单调递减的？ 而且我们这一条直线，如果它是 c， 它等于三分之派的话，那说明这个直线刚好与这个曲线是不是应该是相切的？那咱们的积分区域 d 他 说了嘛？是由 l 围成的区域，是不是就是像一个叶子一样的形状，对吧？就是这个阴影部分里面嘛，所以我们直接使用极坐标啊，对吧？我们 c， 它的范围就是题干说的零到三分之派， 那么 r 的 范围呢？就是从极点出发往外引射线，对吧？穿入的时候就是 r 的 下线，那明显就是零吗？为什么是零？因为我们这个地方这个阴影部分，它的左边这个顶点是不是刚好就在极点出？ 所以我从极点引引射线的话，是不是它根本就没有所谓的穿出？因为极点本身刚好就是这个顶点，对吧？所以这个射线一来就在这个阴影部分里面，所以 r 的 下线是零， 那穿出那是不是永远都是从这个叶子的边界线穿出的？那是不是 r 等于 sin 三 c， 它那背接函数，你要知道极坐标 x 平方加 y 平方是不是就等于 r 平方？ r 平方再开发是不是就是 r？ 但是直角坐标转化成极坐标的时候，是不是要再乘一个 r， 之后再 d r， 所以 就变成 r 平方？ d r 嘛？那是不是也很简单呐？那就是零到三分之派这个区间， r 平方积分，那就是三分之一， r 立方带上下线，那就是 sin 立方，然后三 c， 它 d c 塔，三英里面现在都是三 c 塔，但是 d 后面就只有一个 c 塔，所以我就要补一个三倍，前面再乘一个三分之一，而前面已经有一个三分之一了，所以三分之一乘三分之一，是不是就应该是九分之一，所以是九分之一倍，然后呢？零到，你看，我们把三英里面的三 c 塔和 d 后面的三 c 塔看成一个整体，那么 c 塔的范围如果是零到三分之派，三 c 塔这个整体的范围是不是就应该是零到派，然后 sin 三次方 t d t 嘛？对不对？而我们又知道 sine 或者跟 sine 相关的函数，它关于二分之 pi 是 左右轴对称的，所以根据几何意义？那你既然左右轴对称，关于二分之 pi， 那 么零到 pi 上的面积是不应该等于二倍零到二分之 pi 的 面积， 对不对？所以九分之一被照抄，并且呢，把零到 pi 写成二倍零到二分之 pi， 然后背接函数 sin 三次方 t d t， 那 么这一个正在画波浪线，或者说白了就是点火公式嘛。 那三次方的积分是不是应该就是三二一对吧？相当于前面的九分之一乘以二，我们照抄，然后呢，这个三次方的积分就是三分之二，再乘一个一， 对不对？那我们化解一下，那分母三九二十七分子二乘二等于四，那其实也没办法化解啊，这个题就等于二十七分之四能听懂吧。 然后再来看到第十一题啊，他说积分区域 d 是 在第一项线内，在两条抛物线之间的区域，第一条抛物线要低一点，是 y 等于四倍 x 平方，第二条抛物线要高一点，是九倍 x 平方，对吧？假如四倍就是这样的，他低一点， 九倍就是这样的高一点。而且你发现没有，这两条抛物线是无限延伸的，那这两条抛物线之间的区域是不就是这一个无限延伸的一个无界区域啊，对吧？这一长条他无限延伸的，然后呢，叫我们求这样一个二重积分，那很明显，这个二重积分应该先对 x 积分吗？ 因为这个背积函数只有一个 x， 它积起来比较方便。如果你先对 y 积分的话，那 e 的 负 y 平方对 y 积分积出来，等于啥都不知道，对不对？所以我们就锁定先 x 后 y， 那 后积先顶线啊， y 的 范围是不是就从这个最低点的 y 坐标一直到最高点的 y 坐标，而没有最高点它是无限延伸的，所以 y 的 范围是零到正无穷， 对不对？然后 d y， 而 x 范围就是从左往右穿线，对吧？穿入就是 x 的 下线，穿出就是 x 的 上线，而我们穿入是不是其实是从这个更高的这个抛物线穿入的？ 更高的这个抛物线是 y 等于九倍 x 平方，那你要从它这个表达式里面反解出 x 等于几，是不是要把九除到左边再开方？所以 x 的 积分下限是根号下九分之 y 积分上限是什么呢？是从这一个更低的 y 等于四 x 平方里面把 x 解出来，所以把四除到左边再开放，那就是根号下四分之 y 嘛，对吧？被积函数呢，就是这的 x 乘以的负 y 平方，然后 d x。 记住哦，对， x 积分这个 e 的 负 y 平方次方，看成长数提出去，那就是零到正无穷 e 的 负 y 平方次方，然后 x 积分就是二分之一 x 平方，带上下线，对吧？根号平方减去根号平方，是不是根号和平方就抵消了？那就变成四分之 y 减九分之 y， 通一下分四分之一倍，减九分之一倍，那不就是 分母四九三十六，对吧？然后分子是不是九减四就等于五这么多倍的 y， 然后 d y 吗？好，这一个积分呢？我们先把长细数提出来，什么二分之一倍啊，三十六分之五倍都提出来，那么 y 先凑到 d 后面去，变成二分之一倍 d y 平方， 而指数部分是负 y 平方， d 后面是 y 平方，所以要在 d 后面再补一个负一倍，前面要乘一个负一，对吧？负负才得正，才叫横等变形。 现在把负 y 平方看成一个整体，比如说看成 u， 那 么 e 的 u 次方低 u 积分是不是 e 的 u 次方，所以这个时候就是 e 的 负 y 平方，次方带上下线，下线是 y 等于零，上线是 y， 趋向于正无穷，对吧？那么你看这一个式子，我把前面的系数遮住，这一个式子带上限进去就是 e 的 负无穷次方，那时候就是零， 带下线进去就是一的零次方就是一，所以整个式子带上下线之后就是零减一，是不是就是负一？刚好这个算出来的负一和前面这个负一抵消了。那相当于这个题最后的答案就是，二分之一乘三十六分之五，再乘二分之一，那分子是不是五吗？而分母呢？二乘以三十六，那就是七十二，七十二，再乘一个二，那不就是一百四十四吗？ 对吧？相当于第十一题最后的答案就是一百四十四分之五就搞定了。好，我们再来看到第十二题啊，也是一个很简单的题， 他说积分区域 d 是 一个圆，是 x 减 a 的 平方加 y 平方小于等于 a 平方，这是一个圆心在 a 零，半径为 a 的 一个圆，而且人家限制了 y 大 于等于零，那就只有上半部分嘛，上半圆。 然后教我们计算根号下四， a 平方减 x 平方减 y 平方的积分，那积分区域既然跟圆有关，那我们直接锁定用极坐标，那用极坐标一般都是先对 r 积分，后对 c 叉积分，后积先递减，递减的范围是不是就是 x 轴正半轴逆时针旋转， 对不对？转入这个阴影部分就是塞他的下线，转出这个阴影部分就是塞他的上限，那很明显塞他的范围是这个零到二分之二吗？第一象限 对吧？然后 r 的 范围呢？是不是从原点出发引射线，对吧？穿入就是 r 的 下线，那是不是就是零了，对吧？因为他一直在这个阴影部分里面嘛，所以 r 就 等于零，那穿出呢？是不是永远都是从这个圆的边界穿出的？但是呢，我们现在给的这个圆的方程，是不是直角坐标系下的这个圆的方程？那我们就把这个括号打开， x 减 a 的 平方，括号打开之后，是不是 x 平方减二 x 再加 a 平方，那么左边的 a 平方和右边的 a 平方就抵消，那左边的一次项是不是负二倍 ax， 那 把它挪到右边，那相当于这一个圆。化简之后就是 x 平方加外平方要小于等于二 a x， 那 这个时候我们把它画成极坐标的话，是不是要令 x 等于 r cosine， 然后 y 等于 r cosine， 带进去之后，左边 x 平方加 a 平方，是不是就是 r 平方， 对不对？然后右边二 a x， 那 不就是二 a r cosine theta 吗？那左两边把 r 约掉，对吧？那就得到 r 等于二 a cosine theta， 这就是我们这一个圆的方程在极坐标下的表现形式，就是二 a cosine theta， 对 不对？背极函数很简单哦，就是根号下，你看四 a 平方照抄减去 x 平方加 a 平方，是不是就是 r 平方？但是别忘了还有个 r d r 对不对？好，接下来这个积分怎么算？根号里面是平方，而外面刚好单了一个 r 的 一次方，那我们就把 r 凑到 d 后面去，变成二分之一被 d r 平方，但是根号里面的 r 平方前面有个负号，所以我们就在 d 后面 把那个 r 平方前面也添一个负号，所以前面是不是要补一个负一倍啊？而且我们注意到根号里面负 r 平方还加了一个常数四倍 a 平方，而在积分的时候在 d 后面加减任意常数，是不是不会改变积分值？所以现在 d 后面本来只是负的 r 平方，那我是不是可以平白无故加一个四 a 平方？ 那现在根号里面也是四 a 平方减 r 平方，那我是不是可以把这个四 a 平方减 r 平方看成一个整体？比如说看成 u， 而这个根号是不是可以看成二分之一次方？那 u 的 二分之一次方再对 u 积分是不是积出来应该是三分之二倍 u 的 二分之三次方，这个大家学不定，积分应该比较熟练了吧，对不对？所以整个这个积分外层的这个零到二分之拍我们不动， 内层的这个积分对 r 积分之后就是三分之二倍，然后四 a 平方减 r 平方，这个整体的二分之三次方， 大家记住嘛？二分之一次方积分接出来就是三分之二倍，这个整体的二分之三次方带上下线，下线就是 r 等于零上线。兄弟们，我确实写不下了，我打个箭头过来啊，这个地方的上限应该是 r 等于二 a 二 a 倍，扩散一下他，对吧？好，上下线带完了之后，最后这个地方还有个 d c， 他 没有写，实在写不下了。好，这个时候凯哥干脆拿一张新的超高纸啊，我们来算，这个空白不够啊。那我们这个第十二题啊，这个积分就等于，你看 负二分之一，再乘以三分之二分子分母把二约掉，那系数就是负三分之一倍。然后呢？零到二分之派，你看这一个式子，把上线二 a cosine 它带进去之后，那是不是就应该是四 a 平方减去，你看 这个 r 平方，就是二 a 这个整体的平方，也就是四 a 平方，再乘以一个 cosine 平方再减去，把下限 r 等于零带去，那就是四 a 平方的二分之三次方。那 二分之三次方是不是可以看成先二分之一次方，再三次方，那四 a 平方，先二分之一次方就会变成二 a 二 a 再三次方，是不就是八 a 立方？好，扩回来，最后 d c 它。 你看我们这个地方有公因式四 a 平方可以提出来，那四 a 平方的二分之三次方是不刚好就是我们刚才算的八 a 立方，对吧？所以有一个八 a 立方。但是我们注意到这个小括号里面提了一个四 a 平方，三平方的二分之三次方是不是就是三三次方？ 所以减号前面就还剩一个 sin 立方 sine， 而减号后面我们干脆把八 a 立方当成归一式提出来，对吧？提出来之后，那是不是减号后面就只剩一个一 扩回来再 d sine， 那 接下来就送分了呀，对吧？这个积分是不是特别简单？你看我们这个八倍 a 立方，把它提出去，那就是负的三分之八 a 立方，对不对？然后从这个减号处拆开减号前面 三引立方在零到二分之派七分，是不可以用点火公式，对吧？或者瓦氏公式，那是不是三分之二乘一个一，然后减号后面一再零到二分之派七分，那不就是二分之派吗？当然，我们可以把这个符号拿到中括号里面去，把它 写成三分之八 a 立方，再乘以个二分之派减三分之二，是不是也是可以的？没毛病。也就是说，这个第十二题最后的这个结果就是三分之八 a 立方乘以个二分之派减去三分之二，搞定。好吧，听懂了发个一啊，听懂了发个一。 好，接下来第十三题啊，这个题我想问一下章鱼老师，就是你为什么要把它放在基础篇呢？就这个题的计算量以及它的综合性，完全就是强化篇的难度。真的啊，不信我们来试一下。我这一页都做不完这一个题啊，至少要两页。 你看他说平面区域 d 是 由曲线与直线以及 y 轴围成的，然后让我们求这个 x 平方加 y 平方的这个二重积分。 背接函数倒是简单，主要就是积分区域嘛。那这个曲线到底长什么样呢？我们左两边平方把根号去掉，那是不是就变成了 y 平方等于三减三 x 平方，那把右边的三 x 平方挪到左边去，再除以一个三，那我们就得到什么？就得到 x 平方加上三分之 y 平方要等于一嘛， 对不对？这是不是我们高中数学学的一个椭圆呐？而且是长半轴在 y 轴上的一个椭圆，所以我们大概画一下，这是 x 轴， 这是 y 轴，对吧？长半轴在 y 轴嘛，因为 y 平方下面的系数比 x 平方下面的系数一要更大，所以它是一个竖轴的椭圆，而不是一个横轴的椭圆。然后 y 等于根号三 x， 是 不是相当于倾斜角？那个角度就应该是六十度，对 吧？ y 等于 x， 是 四十五度嘛，对吧？ y 等于三分之根号三 x 就是 三十度， y 等于根号三 x， 是 不是就是六十度，对吧？就是这样的一个直线啊，这样的一个直线，而且与 y 轴为成，不是，与 y 轴为成，是不是？左边这个小一点的这一个阴影部分， 对不对？那无论积分区域是圆还是椭圆，我们是不是都可以用极坐标嘛？那只要用极坐标，那么 set 它的范围就很简单呐，那就是从这一条边对应的 set 值到这个 y 轴正半轴对应的 set 值，那不就是六十度到九十度吗？那就是三分之派到二分之派。所以 set 的 范围三分之派 到二分之派。重点就是这个 r 的 范围，从圆点或者极点出发，往这个阴影部分引射线，那很明显就是零嘛，穿出就是 r 的 上限， 那是不是在这个阴影部分里面，你穿的时候永远都是从这个椭圆的边界线穿出的，而这个椭圆的方程，它在直角坐标系下，是这个方程，对吧？那它在极坐标系下呢？很简单，我们把右边的三 x 平方挪到左边，那左边就是三 x 平方加 y 平方，右边就等于三嘛？ 现在你把 x 等于 r cosine， 然后把 y 等于 r cosine 带进去，对吧？那左边这个地方会出现一个 r 平方，然后 y 平方里面也会出现一个 r 平方，把等号左边的公因式 r 平方往左提，提了之后等号左边就变成 r 平方，乘以一个三倍 cosine 平方，再加上一个一倍的 sin 平方，是不是要等于右边的三啊？对吧？所以我们为了把 r 解出来，是不是就把等号左边这个三角函数除到右边去再开方，对不对？所以我们的 r 积分上限就是根号下，很复杂哟，这个分子就是三嘛，分母就是这个三倍 cosine 平方，再加一个 sin 平方，那么零到这个根号是不是就是我们这个 r 的 范围，对不对？好，倍积函数 x 平方加 y 平方就是 r 平方，但是别忘了，直角坐标转化成极坐标，要再乘一个 r 之后再 dr， 所以 就变成 r 三次方，然后 dr 了， 然后 r 三次方积分就是四分之一， r 四次方，把四分之一被提出来，然后外层的这个三分之派到二分之派，你不去动它，然后呢， r 的 四次方带上下限， 下线带去零的四次方就是零，就不用管了。而上线根号的四次方，那是不相当于就是根号里面的东西在平方，对吧？那分子三平方以下就是九 分母平方以下就是三倍 cosine 平方，再加一个 sine 平方这个整体的平方，然后呢，再 dc 它， 而我们把分子的九提出去，那系数就变成四分之九倍。那凯哥在全称版里面强调过很多遍，只要这个背极函数的三角函数里面，你把 sin 换成负 cosine， 同时把 cosine 换成负 cosine， 你 发现背极函数居然不变的话，那么一定就可以去凑低贪界的 si 塔。 怎么才能凑出 d theta 呢？那就是要在 d theta 前面补一个 second 的 平方，对吧？ second 的 平方凑到 d 后面去，不就是 d theta 了吗？所以我们这一个积分分子分母同时除以一个 cosine 的 四次方，对吧？那除了之后看清楚了哟， 你看除了 cosine 四次方之后，分子就变成 second 的 四次方了，对吧？而 second 的 四次方是不是可以看成 second 的 平方乘以 second 的 平方，其中一个 second 的 平方凑到 d 后面去，变成 d 摊减 t， 那 是不是分子还剩一个 second 的 平方，那这个 second 的 平方就写成一加上 贪加的平方，这个没毛病吧？分母里除了一个 cosine 的 四次方之后，是不是相当于在分母的这个小括号里面除了一个 cosine 平方，那括号里面就变成了三加上一个三平方，除 cosine 平方，那就变成贪加的平方 c， 它外面再平方， 对不对？现在我们把反复出现的贪加的 c 它看成一个整体，那当这个 c 它在三分之派到二分之派的时候，贪加的 c， 它这个整体是不是应该就是根号三到正无穷， 所以就等应该等于四分之九倍，然后根号三到正无穷被积函数就是这个 x 平方，再加一个一，再除以一个三，加上 x 平方，再平方，然后再 d x， 好， 做到这之后，接下来就有两种解法了。第一种解法就是发现分母又是 x 平方加一个常数，那我们是不是可以用三角换元？我们令 x， 你 看我们令这个地方的 x 等于根号三倍 贪间的 t 带进去，是不是可以啊？这是一种方法啊，做到这之后三角还原。那还有一个方法就要用到一个基本的常识了，就是我们单独来算一下 j 这个积分， j 是 什么呢？我们来算不定积分呢，是 a 平方加 x 平方的平方分之一 d x， 我 们来算一下这一个积分怎么算？还是那句话，你可以使用三角换元，你可以令 x 等于 a 倍的贪间的 t， 但是我们这个地方不用三角换元，我们直接对分母降次 分子分母同时乘以一个 a 平方，那是不是相当于外面有一个 a 平方分之一的系数，然后分子一就变成了 a 平方，分母就是 a 平方加 x 平方的平方吗？对不对？然后我们分子是不是可以加一个 x 平方，再减一个 x 平方？从这的减号处拆开 减号前面 a 平方加 x 平方，是不是和分母就约掉了一项？那整个减号前面的倍积函数就是 a 平方加 x 平方再分之一，那它积分是不是就应该是 a 分 之一倍？ arc tangent a 分 之 x， 而减号后面这个积分看清楚了哦，分子本来是 x 平方 对不对？但是我把 x 平方拆成 x 乘以一个 x， 我 把其中一个 x 凑到 d 后面去，变成二分之一倍，然后呢？ d x 平方，对不对？那相当于我们原来这个积分，分子就还剩一个 x 分 母就是 x 平方加 a 平方的平方， 对不对？而我们知道在 d 后面加减任意常数是不会改变这个积分的结果的。现在分母是 x 平方，加了一个 a 平方再平方，那我们在 d 后面也加上一个 a 平方，我们的目的就是把 x 平方加 a 平方看成一个整体。好，重点来了，为什么要把它看成一个整体， 对吧？就是因为分母的次数太高了，分母 x 平方再平方是不是相当于四次方啊？分母的次数太高，我们积分就不太方便，那我们就总希望通过把分母凑到 d 后面去的方法对分母进行降次。比如说当你遇到这种 u 平方分之一 du 的 时候，你把它 凑进去是不是就是负的 du 分 之一，那我们的分母就从 u 平方变成了一次。同样的道理， u 的 三次方分之一 du 对不对？你看三次方分之一是不是可以看成负三次方？负三次方积分是不是就是负二分之一？然后呢？ u 的 负二次方，那负二次方是不是就是 u 平方分之一？所以我们就把分母从 u 的 三次方降低成了 u 的 平方，就是二次方，是不是又降次了？ 所以我们这个地方也是一样的，你把 x 平方加 a 平方看成一个整体，比如说看成 u 那 u 平方分之一积分是不是就是负的 这个 u 分 之一？或者你连着这个负号一起吗？负的 u 平方分之一积分是不是就是 u 分 之一？那是不是相当于对分母这样次了？也就说 就是前面的东西不变，就是 a 平方分之一，然后 a 分 之一 ark 摊减的 a 分 之 x， 这个都不变，然后我们把这个负号和整个分母的平方一起凑到 d 后面去，那就变成正的二分之一倍积分， 那背极函数就只剩分子的 x 了。 d 后面呢？就是 x 平方，这个整体的 e 次方再分之一个一， 对不对？你就对分母进行了降次，对不对？降次之后做到这直接分布积分这个题就做完了。分布积分之后是不是就应该是二分之一倍？这俩相乘，那分子就是 x， 分 母就是 x 平方加 a 平方，然后看清楚了哟，本来我这个地方应该要减去这俩交换位置的积分， 但是我注意到这俩一旦交换位置，被积函数就是 x 平方加 a 平方分之一，那接出来是不是又是这个 a 分 之一？ arc 点的 a 分 之 x， 但是这个地方有个二分之一倍，对吧？所以是不是相当于接下来要写的话，那就是减去二分之一倍， a 分 之一乘以这个 arc 点的， 对不对？那前面本来就有一个一倍，那你再减二分之一倍，一倍减二分之一倍，是不是就是二分之一倍？所以我后面就不再减了，我直接把这个地方改成二分之一倍，没毛病吧，对吧？甚至我们注意到这个地方也有二分之一，这个地方有二分之一，我们把二分之一提出去， 对不对？那前面的系数就是二倍的 a 平方，然后再分之一个一，那里面就是 a 分 之一 r 向量的，再加上 x 平方加 a 平方分之 x， 最后扩回来再加一个任意常数 c， 对 不对？好，做到这了啊，这个不定积分听懂了的发个一。好吧，这个不定积分，听懂了发个一。 那我们要算的这个反常积分跟这个不定积分啊有非常深的关系，我们单独拿一张草稿纸出来啊，你看我们要算的这个积分 i 就等于四分之九倍的，什么呢？你看呢？我们的分子是 x 平方加一，而分母这个地方是 x 平方加三再平方，那我们是不是可以把分子的加一改成什么？改成加三再减二吗？ 对吧？三减二是不是就是一？那从减号处拆开，那减号前面分子分母约掉一个 x 平方加三，那减号前面的倍积函数 就是三，加 x 平方再分之一，那积分之后就是你把三看成根号三的平方，对吧？那就是根号三分之一。 arc 摊减 t， 根号三分之 x 带上下限，根号三到正无穷，这就是减号前面的积分。而减号后面的积分呢？分子是不是有一个二，可以把它提出去，减去二倍？ 看我们把分子的二倍提出来之后，接下来是不是只需要在我们 j 这个不定积分的最后的结果里面，令小 a 等于根号三，然后带上下线的时候，是不是 x 的 下限是积分区间的下限？根号三上限就是 x 趋向于正无穷，是不就 ok 了，对吧？所以把 a 等于根号三带进来， a 平方就是三，那二三得六，那是不是这个地方有一个六分之一倍？ 然后再来是不是 a 分 之一就是根号三分之一，然后 ark 贪间特根号三分之 x， 再加上一个 分子就是 x， 分 母式 x 平方加一个 a 平方，是不就是三？好，扩回来之后带上下线，下线是 x 等于根号三，上线是 x， 趋向于正无穷， 对吧？就没了嘛，然后再扩回来。好，这个时候我们把上下线带一下外面的四分之九倍，照抄上线带去阿根特利的正无穷是不就是二分之派？所以就应该是根号三乘以上线带去二分之派，下线根号三带去阿根特利的一是不就是四分之派呀？ 然后再减去这二乘以六分之一，那不就是三分之一倍吗？对吧？好，剩下的这个地方小框哈，上限带进去是不是又是一个根号三分之一倍，然后阿根廷的正无穷又是二分之二，然后减去下线根号三带进去， 是不是阿根它的一是不是又是四分之派啊？没毛病吧，对吧？这是根号三分之一倍，二分之派减四分之派，然后再来加上这一个式子，上限带去一次函数，除以二次函数，然后 x 又趋向无穷大，极限就一定是零嘛，然后减去下限，根号三带去分子就是根号三分母 三，根号三的平方就是三三，再加一个三，是不是就应该等于六，然后再扩回来？好，兄弟们，做到这，接下来就是小学数学的合并同类项了啊，我再做我就觉得没什么意思了，对吧？ 你自己下去化简一下，最后化简出来的结果就等于八分之根号三再乘一个拍加一，好吧，相当于这个二乘七分。算到最后啊，算到最后它的结果就等于八分之根号三再乘一个拍加一。好吧，所以说我最开始就说了，这个题无论是这个计算量还是复杂程度，其实它都应该放在强化片的， 放在这个基础篇。说实话，他前面的题也比他简单的多，后面的题也比他简单的多，所以第十三题做到一半的时候，连我都怀疑自己做错了，对吧？因为我会觉得基础篇的题应该不会这么复杂，但是后来一看答案还真等于这么多啊，好吧，好兄弟们，十三题就讲完了啊，听懂了的觉得有收获的可以发个一和一料，那我们再讲下一个题，好吧， 接下来第十四题，他考的是轮换对称性，并且凯哥在这个地方提一个很高的观点啊，就是二重积分里面的轮换对称性，他在计算的时候，其实本质上和定积分里面的区间在线公式是一模一样的，懂吗？一模一样的，不信的话我们来试一下。 他说这个积分区域 d 是 x 平方加 y 平方，夹在一到四之间，说白了就是一个半径为一的圆的外部以及半径为二的圆的内部，然后呢，叫我们计算这样一个二重积分，那我们大概画一下图， 是不是其实就是这样一个四分之一圆环，半径是一到二这个区间，那如果你发现这一个圆环呐，它关于这个 y 等于 x 是 轴对称的，那我们就可以用轮换对称性， 那为什么要用呢？听清楚哦，我们这个地方，我们是先通过这个积分区域关于 y 等于 x 对 称，发现它能用轮换对称，那为什么要用呢？那是因为我们这个题的背极函数有一个特点， 就是分母既有 x 也有 y， 而分子的扩散前面只有 x， 它出现了一种失衡的状态，你看这是我们原来的积分嘛？而轮换对称性是什么意思？是不是当你发现积分区域 d 关于 y 等于 x 对 称的时候，你把被极函数的 x 和 y 对 调，得到的新的被极函数的积分 跟原来的积分是一样的，对不对？相当于积分区域还是 d？ 被积函数 x 换成 y， y 换成 x 就 变成了 y， 除以 y 加 x， 括号三页里面也是根号下 y 平方加 x 平方，然后 d x d y， 对 吧？那你要知道，两个东西既然相等的话，那么他们加起来除以二是不是也跟原来相等？这真的跟区间在线没什么区别。所以你看，加起来之后除以个二，那就是相当于前面乘个二分之一。而两个被积函数相加的时候，你就发现分母是一样的，可以提公因子提出来， 扩增也是一样的，也可以提出来，提完了之后刚好就一个只剩 x， 一个只剩 y， 对 吧？那分子的 x 加 y 刚好真的就和分母的 x 加 y 抵消，背极函数就只剩扩增。根号下 x 平发加 y 平发 d x d y 对不对？所以积分区域跟圆有关，背极函数跟 x 平方加 y 平方相关，那是不是直接锁定极坐标，那这个积分就等于二分之一倍。 theta 的 范围 d 上限零到二分之派吗？对吧？ d theta r 的 范围从原点出发，引射线穿入就是 r 的 下限，那就是一，穿出就是 r 的 上限，那就是二，对吧？背极函数 cosine 里面 根号下 x 平方交于平方，那不就是 r 吗？但是直角坐标转换成极坐标，是不是要再乘一个 r， 然后 d r 对 不对？那这个地方零到二分之派 d c 它就是二分之派，再乘以前面的二分之一，那就是四分之派，而剩下的这一个定积分呢？我们直接分布积分，把 cosine 凑到 d 后面去，变成 d 三影，对吧？那就是一到二这个区间， r 乘以一个 d 三影 r 分 布积分，就是这俩相乘以一个 d 三影二减去下线，一旦去就是一倍 sin 一 对不对？然后再减去这俩交换位置的积分，交换位置之后就是 sin 积分。 sin 积分是不是负的 cosine 刚好和这这个积分符号前面的这个减号底下就变成正的 cosine 嘛？那 cosine 带上下线，那就变成了 cosine 二减去 cosine 一 就结束了。这个题最后的答案就这么长啊，懂吗？ 好，听到这之后，重点来了哟，虽然这个题本身讲完了，但是接下来的才是重点。就是有同学可能会说，凯哥，那我这个二重积分学的一般，我没有想到什么轮换对称性，我一来就直接集坐标行不行呢？行， 你一来就集坐标，那你待会在算定积分的时候，就必须要用区间在线公式，而且那个时候你会更加深刻的领悟到，定积分的区间在线就是二重积分的轮换对称，也就说我们这个地方直接另解。 你看，我们一来第一步就是直接用集坐标 set 的 范围零到二分之 pi r 的 范围一到二，被积函数 x 除以 x 加 y， 那 是不是就是 r cosine 除以一个 r， cosine 加 r cosine， 那 是不是分子分母 r 顶销，那就变成了 cosine， 它除以 cosine， 它加 cos theta， 再乘以什么？这个 cos theta 里面是不是就是根号下 r 平方，那就是 r， 然后再乘以一个 r， d r 对 不对？然后呢？我们对 r 积分的时候，是不是 theta 看成常数，那整个 cos theta 除以 sin 加 cos theta， 是 不是可以凑？ 是不是可以拿到这个内乘积分符号外面去？相当于把它变成两个定积分乘起来，第一个定积分就是零到二分之派，然后呢？ cos theta 除以一个 cos theta 加 theta， 对吧？然后 dc 它，然后第二个定积分就是一到二 cosine r 乘以一个 r， 然后 d r， 我 们发现我们第一个解法是不是也出现了这个 r 乘以 cosine， 对 吧？然后再一到二积分，对不对？那第一个解法前面这个位置，它这个积分前面乘的这个系数是不是二分之一倍的二分之派？是不是就是四分之派， 对吧？而这一个积分，这个关于 c， 它的定积分，我告诉你，它就等于四分之派，为什么呢？因为这一个积分如果你使用区间在线， 就是把背极函数的 sine 改成上限加下限减 sine， 是 不是跟原来的积分是相等的？那相当于把这个 sine 改成二分之八减 sine 之后，那根据诱导公式， cosine 二分之八减 sine 就 变成 sine sine sine 二分之八减 sine， sine 就 变成 cosine sine， 那 相当于就是这一个积分和什么积分相等呢？就是把这个背极函数的 sine 跟 cosine 对 调之后， 得到了新的积分，跟原来的积分是相等，那把这两个积分加起来除以一个二，那这个时候你就发现加号前面的积分背积函数是三 y 加 cosine 分 之 cosine 加号后面的积分背积函数是三 y 加 cosine 分 之三 y， 那 这俩一加刚好互补，背积函数就变成一了， 而且前面要乘个二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍嘛，对吧？相当于这一个积分就等于二分之一倍。然后 d c 它 对不对？这一个式子啊？我正在画横线的这个式子，就是上面这个定积分使用了区间在线之后的结果，然后再乘以后面的一到二这个区间， r cosine r， d r， 对 吧？那前面我正在圈的这个式子，是不是刚好又是二分之一乘以二分之派，那是不是又是四分之派？是不是又绕回去了？他和我们第一个解法，用轮换对称之后得到的这个四分之派乘以这个积分是不是一模一样啊， 对不对？那接下来我就不再多说了吗？最后的结果一定是等于四分之派乘以这一串，对不对？所以我们就通过这一个题啊，给大家反映了一个深刻的事实， 就是二重积分里面的轮换对称和定积分里面的区间再现，他在计算过程上真的是几乎没什么区别，甚至他们的几何意义都很像。那这个地方我就不再多说了，因为我在全程班讲的非常非常细啊，这个地方我只是 提一下，好吧，只是提一下这两个东西是相关的， ok， 那 我们就看到下一个题啊，好，接下来第十五题主要考了一个奇偶对称心啊，你看他说区域 d 是 以 y 等于 x 的 绝对值，以及 y 等于一围成了有界，区域 y 等于 x 绝对值，就是一个 v 字形的图像嘛。然后 y 等于一就是一条水平线，是不是围成了一个等腰直角三角形？那这个阴影部分明显是左右对称的，那背极函数如果是关于 x 的 奇函数的话，那那一部分积分就等于零。 现在看一下被积函数是不是中间这一项除以这个分母的话，是不是刚好就是关于 x 的 奇函数？因为分母是关于 x 的 偶函数嘛，但是分子这个地方还有一个单独的 x 的 一次方， 对不对？所以中间这一项积分是不是就应该等于零了？所以通过奇偶性，尤其是奇函数的性质，那就变成了区域低上，对吧？分子 x 平方减 y 平方，分母 x 平方加 y 平方的积分， 对吧？而你看到 x 平方加 y 平方，你是不是可以用极坐标？但是如果你做到这，你还想用一下偶函数的性质，那也可以。这个时候我们的这个背接函数是关于 x 的 偶函数嘛？你把 x 换成负 x 表达是不变，因为都有平方， 对不对？而积分区域刚好又是关于 y 轴左右对称的，那所以整个阴影部分的积分就应该等于二倍的第一象限的这个积分，对不对？所以就是二倍的区域第一上第一就是这个网瞄黑了的这个 三角形吗？好，做到这儿之后，你再用极坐标，那么 c 它的范围就等于多少呢？是不是就是从这个角平分线一直逆时针旋转，旋转到 y 轴正半轴，说白了就是四分之 pi 到二分之 pi， 然后 d c 它而 r 的 范围就是从极点出发引射线， 对吧？你看穿入永远就是在这个阴影部分里面，对吧？它本身就在这个阴影部分里面了，那所以 r 的 下线就是零，而穿出呢？是不是永远都是从这个水平线穿出去的？而这个水平线它的直角坐标 c 下的方程是 y 等于一，但是 y 呢，又等于 r sin 它，所以在极坐标下这个 y 等于一，那 就等价于 r 等于什么呢？是不是把右边的 sin 除到左边？那 r 就 等于 sin 分 之一嘛？好，背积函数分母 x 平方加 y 平方就是 r 平方，而分子无论是 x 平方还是 y 平方，是不是都含有 r 平方？那把 r 平方当成公式提出来，那剩下的就是 cosine 平方减一个 cosine 平方嘛， 对不对？然后不要忘了要急，坐标要再乘一个 r， 然后 d r 那 分子分母 r 平方先约掉，对 r 积分的时候，这个 c 它看成常数提到外面去对不对？那么 r 积分是二分之一，被 r 平方，二分之一刚好和这个二又抵消，所以化简之后还挺简单的，就是四分之派到二分之派，然后呢，这个分子 就是提出去的 cosine 平方减去 cosine 平方，对不对？然后我们刚才说了，这个 r 积分是二分之一， r 平方只是二分之一和二抵消嘛。而 r 平方里带上下线，下线带去是零，但是上线带去是不是会出现一个乘以 cosine 平方分之一？ 那是不是相当于在整个背接函数上除了一个 cosine 平方，然后 d c 它没毛病吧？那从减号处拆开减号前面 cosine 平方除以 cosine 平方，是不就是 cosine 区间不变 square 减的平方，再减去 sine 平方，除 sine 平方，那就是一，然后 d theta 而 square 减的平方的积分大家还会不会算呢？你要知道，一加 square 的 平方是等于 sine 的 平方，那一加 square 减的平方是不应该等于 square sine 的 平方， 对不对？那反过来，那 square 减的平方是不应该等于 square sine 的 平方再减一个一，而后面本来就一个减一，那是不是就减二了，对不对？所以就等于四分之派到二分之派 corsec 的 平方 theta 是 不是要减二再积分？那从减号处拆开减号，前面就是这一项的积分，然后再减去四分之 pi 到二分之 pi， 是 不是二？ d theta， 对 吧？而你要知道，这个贪加的求导是正的 second 平方， cos 加的求导是负的 cosine 的 平方，所以我们这个地方 cosine 的 平方积分应该是负的 cot 减的 sine， 对， 别忘了加符号哦。然后上下线四分之派到二分之派，然后减去是不是二倍？上线减下线，上线减下线二分之派，减四分之派就就是四分之派，再乘以个二，那是不是就是 二分之派，对吧？好，前面这个式子你把上限带进去，一定要记住， cot 减的是 cot， 三引除以三引，所以上限二分之派带进去之后， cot 二分之派分子就直接等于零了， 所以 cosine 的 二分之派就等于零，所以是负的零。减去 cosine 的 四分之派，那是不是就等于一嘛，对吧？因为 cosine 的是 cosine 除以三影，那不管是 cosine 还是三影在四分之派数都是二分之二，所以两个二分之二相除是不是就是一， 对吧？再减去二分之派，那这负负得正，所以就等于正一减去一个二分之派，相当于这个题最后的答案啊。十五题，这个二乘七分，最后的答案就等于一减去二分之派。好吧，听懂了发个一啊，兄弟们，听懂了发个一。 好，接下来第十六题，又是一个极坐标的题啊。背极函数也有 x 平方加 y 平方，然后积分区域也有，那锁定了极坐标嘛？那我们先画一下图， x 平方加 y 平方要等于 y 的 话，那把右边的 y 减到左边，再对 y 配方是不是就是 x 平方加 y 减二分之一，这个整体的平方， 对吧？但是你把左边这个括号打开，是不是左边有常数四分之一，那是不是左边有常数，右边也应该有常数，那右边加一个四分之一吗？而四分之一是不是可以看成二分之一的平方？所以这是一个什么样的圆？ 是不是一个圆心在零二分之一，半径也是二分之一的一个圆？那是不就是我们图里面这个阴影部分嘛？那这个圆心的横坐标就是零嘛，这种坐标就是二分之一，那我们直接使用极坐标，哦，对吧？这个 set 的 范围是不是就是 从 x 轴正半轴开始逆时针旋转，在刚开始旋转的时候就进入到这个阴影部分了，对吧？一直要转到什么呢？掉个头对吧？转到一百八十度的时候，他再转的话，才会离开这个阴影部分，所以 set 的 范围就是零到 pi 嘛， 对吧？而 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线，那你会发现这个起点本身就在这个阴影部分里面，所以 r 的 下限就是零，而它穿出呢？是不是不管怎么穿，它的穿出永远都是从圆周穿出的，而这个圆周的直角坐标系下的方程是 x 平方加 y 平方等于 y， 那它在极坐标系下呢？那就是左边 x 平方，交平方就是 r 平方，而 y 就是 r sin， 对 不对？左边被把 r 约掉，那就是 r 等于 sin theta， 这就是这个原极坐标系下的形式，对不对？所以积分上限就是 r 等于 sign set， 对 吧？ set 的 范围零到 pi， r 的 范围零到 sign set 背极函数就是根号下 e 减去 x 平发，加一平发就是 r 平发，别忘了再乘一个 r d r， 接下来这个积分超简单的，零到 pi， 你 照抄 r 凑到 d 后面去，是不是变成二分之一倍 d r 平发， 但是根号里面的 r 平方前面有个负号，所以我就在 d 后面也补一个负一倍前面是不是要再乘一个负一，这样负负才得正？ 而我们根号里面负 r 平方前面还加了一个一，那我就在 d 后面也加一个一，然后把一减 r 平方看成一个整体，而这个根号是不是就是二分之一次方？我刚才说过，哎，刚才已 经是好久之前了啊，已经是好几个题之前了。这个二分之一次方积分是不应该等于三分之二倍，这个整体的二分之三次方，对吧？带上下线，下线是 r 等于零，上线是 r 等于 sin x 它，然后再 d c 它嘛，对不对？好，这个地方二分之一和这儿的二抵消，然后系数就是负三分之一倍，哦，对吧？负三分之一倍，然后零到拍这个区间。好，你看剩下的这个，我正在划线的这个市镇是不是要带上下线了？ 上下 r 等于三引带进去，一减三引平方就是 cosine 平方，这个地方特别容易错啊， cosine 平方的二分之三次方，是不是相当于把 cosine 平方先开一个方，再三次方 cosine 平方再开方，讲道理应该是 cosine 的 绝对值，对吧？而我们再来看一下 sine 的 范围呢？是零到 pi， 在零到派里面， cosine 还真的是有正有负，它在零到二分之派是正的，二分之派到派是负的，对不对？所以这个地方一减三平方得到的 cosine 平方，它开方之后得到的那个 cosine 的 绝对值，绝对值符号去不掉，对不对？所以这个地方减号前面就是 cosine 它绝对值的三次方， 没问题吧？再减一个下限 r 等于零带进去，一减零就是一，一的二分之三次方，是不还是一，然后扩回来递塞它？这个地方特别特别重要，好吧，你要知道，如果没有绝对值的话，看清楚哦。如果没有绝对值的话， cosine 三次方是不是也是有正有负的， 对不对？那么我们把 cosine 的 图像画出来，那 cosine 的 三次方大概也是这个图像嘛，对不对？那么它在零到拍上你做积分的话，是不是零到二分之拍的正面积和二分之拍到拍的负面积，是不是刚好是这个大小相等，但是一正一负就抵消了？ 但是你这个地方加的绝对值，那是不是相当于从图像上来说，你就把下面的翻到上面去了，对吧？那左边是不是也是正面积，右边也是正面积， 对不对？那他在零到派上的积分是应该等于二倍零到二分之派的积分才对啊，能听懂我的意思吧，对不对？所以如果听清楚哦，如果没有绝对值，那这个 cosine 的 三次方在零到派积分就等于零，那如果有绝对值呢？那就应该等于负的三分之二倍， 对吧？本来是负三分之一倍，但是呢，左边零到二分之派的积分应该是相等的，而不是互为相反数，所以三分之一倍就变成三分之二倍。然后呢，零到二分之派这个区间， 那在零到二分之派这个区间里面， cosine 是 一个横正的，所以绝对值自动就去掉，就是 cosine 三次方再减一个，一括起来再 d c 它嘛，对不对？那这个时候负三分之二被照抄减号，前面 cosine 三次方再零到二分之派积分，是不就是点火公式或者瓦利士公式？那就是三分之二乘一个一， 再减去一，再零到二分之派积分，那就是二分之派嘛，对不对？那负三分之二乘以三分之二，那就是负的九分之四，然后负三分之二乘以负的二分之派，分子分母二二约掉，然后负负得正，那就是三分之派。所以这个十六题最后的答案就是三分之派减去一个九分之四。 再来看到第十七题啊，他的积分区域是 y 夹在 x 立方到一之间， x 在 负一到一之间，对吧？你看 x 负一到一，我们先标出来，那 y 等于 x 立方，是一个中心对称的函数，它是一个基函数，而 y 等于一呢？假如高度就是这样的吧， 对吧？那我们的积分区域再来看一下哦， x 要在负一和一之间对不对？ y 要在这个立方，这个曲线和一之间，那相当于我们的积分区域，就是这样一个区域啊，就是长成这个样子啊，歪歪扭扭扭的，你看 能能看懂吗？就是我们的积分区域是这一块，对不对？然后我们要计算一个非常抽象的积分，这个背集函数里面居然还有一个未知的函数， f x。 说实话，兄弟们，这个题你让凯哥来做的话，如果这是一个填空题，选择题，我直接给你拆零， 为什么呢？因为题干都没有告诉你 f x 的 表达式，所以它怎么可能算出来是一个具体的值啊，对吧？那就说明无论 f x 取多少，它的值都不变，那我就直接取 f x 等于零，对吧？那 f 负 x 也是零，那零加零就是零，那背接函数就是零，那积分就是零， 所以我做选择填空题真的非常非常的快。好吧，那如果这是一个大题，我们应该怎么做呢？很简单，你就要猜测这个题应该跟奇偶性相关，为什么呢？因为我们这出现了 f x， 而后面马上出现了 f 负 x， 那 这两个同时出现，你自然会想到奇偶性。所以呢，我们就检验一下整个这个中括号里面， 它是不是关于 x 的 一元函数，那我们就把 g x 就 另成这个中括号，看它有没有奇偶性。就是 x 加一乘以 f x， 再加一个 x 减一乘以 f 负 x， 那 我们把 x 变成负 x， 得到的 g 负 x 是 不是应该是负 x 加一，然后 f 负 x， 然后你看这这个地方本来应该是加上负 x 减一，但是两个地方都有符号，把符号提出来，那就是减去 x 加一， 然后 f 里面本来是负 x， 你 把 x 换成负 x 之后，反而 f 里面就变成正 x 了，对不对？然后我们对比一下这两排的式子，对比一下七 x 和 g 负 x， 我 们发现诶， g x 里面有 x 加一 f x， 然后 g 负 x 里面也有 x 加一 f x， 但是前面多了一个符号，对吧？然后再来 g x 后面有一个 x 减一 f 负 x， 而 g 负 x 里面是不是你把这个式子里面提一个负号出来，那是不是变成负的 x 减一倍的 f 负 x， 那 就说明，果然这个 g 负 x 真的 就等于上面第一排的相反数，也就是负的 g x， 那 就说明这个 g x 是 一个什么呢？是一个奇函数， 对吧？它关于 x 是 一个奇函数，而后面乘的这个乖三引 y 呢？是不是也是关于 y 的 一个奇函数？ 也就是说整个这个被积函数虽然是一个二元函数，但是它是一个关于 x 的 积函数，乘以一个关于 y 的 积函数。所以你是不是忍不住想用奇偶性？但是要想在二重积分里面用奇偶性，是不是除了看被积函数的奇偶性之外，还要看积分区域是不是左右对称，或者是不是上下对称， 对吧？如果左右对称，背极函数关于 x 是 极函数，积分就等于零。如果是上下对称，背极函数关于 y 是 极函数，积分就等于零。而你现在这一个阴影部分，是不是既不左右对称，也不上下对称，那就很尴尬。那这个时候一定要注意做辅助线，就是我们初中数学学平面几何的时候老是添辅助线， 对吧？我们就这样，就是我们把第一项线里面 y 等于 x 立方这个图像镜像翻折到第二项线去，相对于我第二项线，用这个蓝色的笔啊画的这一条线就是我人为添加的一个辅助线， 这一个蓝色的线就把整个积分区域分割成了两部分，第一部分就是这一个阴影部分，假设他用第一表示， 对吧？然后呢第二个部分就是什么呢？就是我下面这个黑色的印部分，假如用第二表示，那这个时候我们发现，虽然整个大的积分区域既不上下对称，也不左右对称，但是我一旦添了一个辅助线之后，那么蓝色的这个积分区域是不是就左右对称了？而这个 左边这个黑色的这个积分区域是不是就上下对称了？所以我们在算整个积分的时候，我们就把积分区域 d， 你 看我们把积分区域 d 拆成区域 d 一 上的积分，再加上区域 d 二上的积分。 当我们计算 d 一 上的积分的时候，我们就注意到 d 一 是左右对称的，所以我就只需要看这个背记函数是不关于 x 的 奇函数就行了。果然背记函数是 g， x 乘以一个三 y， 对吧？ g x 是 不关于 x 是 奇函数，那这个积分是不是就应该等于零？再来我们计算第二这个区域的积分的时候，是不是就是这个黑色的硬部分，它是不是上下对称？那被积函数就看关于 y 是 不是奇函数，那 被积函数三 y 确实关于 y 是 奇函数啊，对不对？所以积分又等于零，所以这一个积分就应该等于零加零，是不是就是零啊？ 这就是第十七题的最后答案啊，你看，凯哥之前说过，直接猜答案是不要猜零啊，因为这个题没告诉你 f x 表达式，但是要能算的话，除非这个结果跟 f x 没关。既然没关，我就假设一个特殊情况， f x 等于零，那积分计算就是零。 那如果是大题的话，那我就分割积分区域，分别在不同的区域上找到对称性，然后再用基友性，是不是也就是零加零等于零，能听懂吧？好，接下来第十八题真的太简单了啊，所以并不是说题目越靠后就越难啊，这个十八题比前面的很多题都简单 看，他叫我们计算一个累计积分， y 的 范围就是零到一 x 的 范围，稍微复杂一点。那我们画一下图吗？你看下线 x 等于 y， 说白了就是一三象限的角平分线吗？ 然后上线 x 等于这个根号，是不是看着不太舒服？那你两边平方去掉根号，左边就是 x 平方，然后右边就是二 y 减去 y 平方，那他明显就是一个圆吗？那如果把右边的二 y 减去 y 平方，是不是应该等于多少？是不是应该等于一？ 这是一个圆心在零一这个点，半径为一的一个圆，所以你看这个地方是零零，然后呢，圆心在零一，刚好半径又是一，所以是不是这样的一个圆呢？ 对不对？好，我们来重新看一下积分区域， y 的 范围，零到一 y 等于零，就是 x o y 等于就是这条线，所以积分区域在这两个水平线之间，然后呢， x 的 范围呢？ x 等于 y 是 这一条线， x 等于这个根号是右半圆，那说白了哦，这个图虽然画的很大，但是咱们的积分区域很小，是右下角的这一个阴影部分， 对吧？那既然是圆的一部分，背极函数又出现了平方和，那我们是不是可以用极坐标？那 c 它的范围是不是就是 c， 它等于零，一直到到到到，对吧？转到多少呢？转到这个角平分线，那是不是其实 c 它范围就是零到四分之派， 而 r 的 范围呢？从极点出发，往阴影部分引射线穿入就是零， r 等于零，对吧？本身这个极点就在这个阴影部分里面，而穿出呢，是 x 平方加平方等于二 y， 那你把 x 等于 r cosine， y 等于 r sine 带进去，左边就是 r 平方，右边就是二 r sine， 那 你把 r 约掉之后，左边还剩一个 r， 右边就剩一个二倍 sine， 所以 这一个圆在极质极坐标系下的方程就是 r 等于二倍 sine， 所以 我们的上限就是二倍 sign 它，对吧？被解函数超简单， x 平方加一平方就是 r 平方，再开发式就是 r， 然后根号里面是四减 r 平方，然后别忘了极坐标要再乘一个 r， 之后再 d r 就是 因为乘了这个 r， 那 直接分子分母把 r 约掉， 那背接函数就是根号下四减 r 平方，再分之一，你把这个四看成二的平方，那直接套了个反正弦的那个公式，相当于整个这个五二的积分呐，对吧？对， r 积分积出来是不是就应该是 r 集合二分之 r， 所以 外层积分就是零到四分之 pi， 内层就是 ark sign 二分之多少呢？本来应该是 r 小 r， 对 吧？然后带上下线零到二倍 sign 塞它下线零带进去， r sign 零就是零，就不用管了。上限带进去呢？这个地方本来是 r 了 r 把上线二塞它带进去，那二倍哦，二倍 sign 塞它带进去，那二和二抵消，对吧？而在零到四分之 派这一段上， arg sin 和 sin 是 互为反函数的，是不是又抵消？那被加函数就只有一个 c 叉了，那 d c 叉那不就顺分了吗？ c 叉积分是二分之一， c 叉平方再上下线零到四分之派，下线零带去是零，上限四分之派带去，那就是十六分之派平方。再乘一个二分之一，那就是三十二分之一倍派平方。这个第十八题最后的结果就是，三十二分之一倍的派平方，没问题吧？ 然后这个第十九题最后的结果就是，三十二分之一倍的派平方，没问题吧？然后这个第十九题啊，我给学数一数三的同学说一下 这个十九题，这个二重积分，它其实就很像我们这个概率密度函数，你看，就是它让我们计算的是 f x y 这个二元函数的一个二重积分嘛。 然后呢？它的积分区域 d 看清楚了哦，是一个无界区域哦。 x 平方加 y 平方，不是小于等于二 x， 而是大于等于二 x， 它相当于是在一个圆的外部，对吧？这个圆是不是？你把这个二 x 挪到左边，那就是 x 减一的平方加 y 平方，要等于一， 对不对？那就相当于是大于等于一嘛。所以是一个圆心在一零，对吧？圆心在一零半径为一的一个圆的外部，而不是内部， 相当于这个圆外面，这个无穷大无界的区域是不是就是它的积分区域？但是我们注意到这个背积函数 f、 x、 y， 它在很多地方都是等于零的，只在一块上不等于零，那就是 x 范围一到二， y 的 范围，零到 x 的 时候，这个背积函数是 y， 对 吧？你看 x 等于一到二，那就是这一个竖线到这一个竖线之间， 然后 y 的 范围零到 x， 那 y 等于零，就是 x 轴嘛，对吧？然后呢？ y 等于 x， 就是 角平分线第一向下的角平分线，对不对？所以我们再来看一下这个范围哦， x 在 一到二， y 的 范围在零到 x， 那 说白了就是在这个直角梯形里面来，跟着我的笔尖来看， 是不是就是在这个直角梯形里面，对不对？我们这个被积函数才等于 y， 而在其余部分都是零，但是对于我们的积分而言，是不是你只在这个圆的外部才能积分， 对吧？你的积分区域是圆的外部，而不是内部，那现在我们是不是同时要考虑这个背记函数以及积分区域，对不对？所以你既要在这个直角梯形里面，又要在这个圆的外面，那不就是这一块阴影部分吗？ 那么就是这一块，我描黑的这个阴影部分，为什么只有这一块呢？很简单，跟着我的笔尖来看啊，假如在这一个位置，跟着我的笔尖来看，假如在这一个位置，他在积分区域里面，因为他在这个圆的外部，他在积分区域里面，但是呢，他不在这个直角梯形里面，导致背极函数等于零，积分就等于零， 那么同样道理，在这个位置，这个位置是不是都是在积分区域里面？但是背极函数是零，那比如说我再除一个点，假如这个点在这， 或者这个点在这，在这，是它根本就不在积分区域里面，因为积分区域是圆的外部，对不对？所以你既要考虑在积分区域里，又要考虑背极函数是一个正的，那就只有这一个阴影部分，对吧？真的很像那个概率统计里面密度函数， 对不对？好，那么我们这个积分如果用极坐标的话， set 它的范围呢？来看清楚了哟， x 轴正半轴逆时针旋转，是不是转入这个阴影部分的时候，就是 set 的 下限 刚好这个地方，你看 x 等于二，就是这个圆的这个切线，所以这个正半轴刚要开始旋转的时候，它就进入到这个阴影部分了，所以 set 的 范围下线是零，上限就是这个角平分线嘛，就是四分之派，这是 set 的 范围。 而 r 的 范围呢？从极点出发往外引射线，你不管怎么射穿入的时候都是从这个圆上穿入的，而这个圆的方程是 x 平方加 y 平方等于二 x， 那极坐标系下 x 平方交平方就是 r 平方，右边是二 r cosine sine， 它把 r 约掉，那积分下限就是 r 等于多少？ r 等于二倍 cosine sine， 它哟，对不对？如果等号右边是二 y 的 话，那就是二倍 cosine， 如果右边是二 x， 那 就是二倍 cosine， 那 积分上限是不是从这个竖线穿出的？ 那么你这个 r， 这个引的这个射线，是不是永远从这个 x 等于二，所以解的 r 是 等于 cosine 分 之二的， 对不对？这就是我们的积分区间嘛。 set 的 范围零到四分之二， r 的 范围二倍 cosine 到二除 cosine 之间，对不对？好，背接函数这个时候本来应该是 y， 但是你用了极坐标，那就应该是 r sine sine sine 它，而且还要再乘一个 r， 再 d r， 而且别忘了对 r 积分的时候 set 看成长数，所以把这儿的 set 它挪到外面去，对不对？那就是零到四分之派这个区间 set 它提出来，然后 r 平方积分是三分之一 r 立方，然后带上下线，上线立方一下之后就是八除以 cosine 立方， 然后下限立方一下，就是八倍的 cosine 立方，然后再 d c 它，对吧？而我们注意到这个括号里面全都是跟 cosine 相关的，那刚好外面还有一个 sin， 那 把 sin 凑到 d 后面去，不就变成负的 d cosine 了吗？所以提一个符号出来，这有个三分之一倍，然后这个小括号里面有八倍八倍，所以就直接提一个负的三分之八倍，对吧？然后呢， 把这个三引凑到 d 后面去之后，记住哦， d 后面就变成 cosine 了。那我们干脆把处处都出现的 cosine 看成一个整体，比如说我们在这个等号上写一下，我们令 cosine 它等于 t 嘛， 对不对？那这个 c， 它在零到四分之派的时候，这个 t 的 范围就是 cosine 零，也就是一到 cosine 四分之派，就是二分之根号二，那我可以写成根号二分之一吗？ 对不对？好背接函数看清楚了呦，这个三引已经没了，他被凑到 d 后面去之后，并且把 cos 换成 t， 所以 这个地方就应该是 d， t 背接函数这个地方三分之一也提出去了，八也提出去了，那不就是与这个 t 的 三次方分之一再减去一个 t 的 三次方吗？ 对吧？这就变成一个逆函数的积分，是不是非常的简单？好，接下来这个积分我觉得太简单了，就不用算了吧，对吧？ t 立方分之一是不是可以看成 t 的 负三次方， 对吧？ t 的 负三次方积分是不是负二分之一倍 t 的 负二次方，然后这个地方三次方积分就是四分之一倍 t 的 四次方，然后再再上下线，我就不再算了啊，最后算出来合并同类项之后的结果就等于六分之五， 因为这个积分多项式的积分太简单了，对吧？有点无聊啊，我们就赶紧讲下一个题，好吧，好，接下来第二十题非常的精彩啊，大家可以打一个五角星，他说假设区域 d 是 x 加 y 等于一画出来，那小于等于一，是不是在这个直线的左下方， 而且 x 大 于的余零， y 大 于的余零，那就是第一项线嘛，说白了就是这个阴影部分。这个等腰直角三角形，他教我们求这么复杂一个二重积分， 凯哥在全程班里面强调了很多遍，就是极坐标的应用范围非常广，并不是非得要看到什么圆呐，或者跟圆相关的才能用极坐标。对于这种三角形的积分区域，其实有的时候也可以试一下极坐标，因为如果你想用直角坐标的话，不管是先对 x 还是先对 y， 都很难，积分对不对？所以我们用极坐标赌一把， 我们 set 它的范围是不是就是整个第一象限？ set 它就是零到二分之派，这个没问题吧？而 r 的 范围呢，就是从原点或者极点出发往外引射线穿入，就是 r 等于零穿出就有意思了。 你 x 加 y 等于一，那不就是 r cosine 加 r cosine 等于一吗？你把 r 提出来，那就是 r 乘以一个 cosine 加 cosine 等于一。记住啊，我接下来 cosine cosine cosine 它，不然的话写的太麻烦了。 所以我们把这个式子里面的 r 解出来， r 是 不是就是 sine 加 cosine 分 之一？所以这就是我们的积分上限嘛。然后 背极函数呢？你看分母根号里面， x 乘 y， 那 就是 r 乘以 cosine， 再乘一个 r 乘以 sine， 那 根号里面就有 r 平方了， r 平方再开发，那不就是 r 吗？那根号里面就只剩一个 sine 乘以 cosine， 而分子呢？是不是 e 的 负的 r cosine 加 r sine 是 不可以提一个 r 出来，那剩下的就是 cosine 加 cosine， 对不对？然后呢，极坐标是不是还要再乘一个 r， 之后再 d r 刚好分子的 r 和分母的 r 就 抵消了？而且你要记住，这儿的 s 和 c 是 sine sine sine sine sine， 那 对 r 积分的时候，这个分母是不是关于 sine 的 函数，它是不可以提到外面去？ 那内层积分是不是相当于就只有这个指数函数积分了？但是这个指数函数它不是 e 的 r 次方，而是在 r 前面还成了个系数，就是负的 sine 加 cosine 倍，对吧？所以我在 d 的 后面啊，这个 r 前面也乘以一个负的 sine 加 cosine， 那 前面是不是要补一个负的 sine 加 cosine 分 之一啊？相当于就是，什么意思呢？就是负一倍， 然后零到二分之派照抄，然后这个根号下 sine 乘 cosine 分 之一，我们也照抄，那是不是还要乘一个 sine 加 cosine 分 之一，对吧？这个地方补了个负号，然后再补一个 sine 加 cosine 分 之一，那这样的话，我们的 d 后面是不是相当于就是负的 sine 加 cosine 这个整体再乘一个 r， 对不对？那是不是就可以把 d 后面的东西和这个 e 的 指数上面的这个东西看成一个整体？比如说看成 u， 那 么 e 的 u 次方 d u 积分是不是就是 e 的 u 次方再带上下线嘛？对吧？那就是 e 的 负的 r 乘以 sine 加 cosine， 然后带上下线，下线是 r 等于零，上线是 r 等于 sin 加 cosine 分 之一，最后再递减它，好，我们把上下限带进去，上限带去 r 等于这个 sin 加 cosine 分 之一，那它是不是刚好和后面的 sin 加 cosine 抵消，那就只剩 e 的 负一次方，减去下限带去，那就是 e 的 零次方，那不就是一吗？然后递减它， 对不对？而 e 的 负一次方是一分之一，一分之一减一，是不是刚好是一个负的？是一个小于零的，而前面刚好有个负数负号，对吧？那就把它变成一减一分之一，然后接下来零到二分之二，这个时候我们就把 s 和 c 这两个字母给它还原成 sine sine 它 cosine sine 它就好看一点，那是不是就是根号下 sine sine 它 乘以 cosine sine 它，对吧？然后分之一个一，再乘以一个一 d sine， 它， 那这一个积分刚好就是我今天中午的每日一题。我已经把这个题讲过了，所以我接下来打一个响指，我们就跳转到今天的每日一题，然后呢，把那个每日一题听完之后，我们再回过头来看这个题，好吧，就是我剧透一下， 就是这一个积分在每日一题里面算过了，他是等于派的，所以最后的结果就等于前面的一减一分之一，再乘一个派就结束了。那至于他为什么等于派，我们现在马上来看啊。 所以说这个题咱们的第一步仍然是想去凑 d 摊减 t， 那 我们是不是需要构造一个十二根平方 x d x， 如何把十二根平方凑到 d 后面去？ 为此呢，我们分子分母同时除以一个 cosine 平方，那分子是不是如愿以偿的就出现了十二根平方 x， 而分母你要除以 cosine 平方的话，那你先在第一个小括号里面除以一个 cosine x 的 一次方，那就变成了贪减的 x， 再加一个一， 然后这个根号要除以 cosine x 的 话，那是不是相当于根号里面除了一个 cosine 平方，对不对？那根号里面不就变成 sine 除以 cosine， 那 不就是 tangent 了吗？ 对吧？这是不是非常完美啊？那么我们把分子的 x 平方凑到 d 后面去，是不是就是 d tangent？ 那 再把所有的 tangent x 看成一个整体，比如说把它看成 t， 那么换元必换线，上线对上线，下线对下线。当 x 在 零到二分之派的时候，我们的贪界的 x 是 在零到正无穷啊，对吧？那背记函数分子就是一分母，就是 t 加一，再乘以一个根号 t d t， 那 这不就是一个送分题了吗？我们直接根号换元令，根号 t 等于 u， 就 可以把根号消掉， t 就 等于 u 平方，那么带进去 u 的 范围也是零到正无穷， t 加一就变成了 u 平方，加一根号 t 就是 u， 而 d t 呢，是不就是 d u 平方，也就是二 u d u 嘛，对不对？我们分子分母把 u 约掉，那把二提出去，那一加 u 平方分之一积分，那就是 ark 贪间的 u 带上下限零到正无穷，带上限进去 ark 贪间的零是不是就是零？所以二乘以二分之派，那就是派，搞定嘛？ 好，接下来第二十一题，普普通通的一个题啊。积分区域是一个圆心在一零半径为一的一个圆，对吧？那我们可以使用极坐标嘛？而且我们注意到这个背极函数不管关于 x 还是关于 y， 都是偶函数，所以我们在用极坐标之前，其实可以先用一下奇偶性。 你这个积分区域是不是关于 x 轴上下至少是对称的，所以我们就只需要算上面这个阴影部分的积分，然后再乘一个二就可以了，对不对？所以我们把这个阴影部分假如称为第一的话，那么 i 这个积分本来是区域 d 上的积分，那是不可以写成二倍区域 d 上的积分。 而在 d 这个区域上，我们 c， 它的范围就是零到二分之派，然后 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线穿入就是 r 等于零，穿出呢，就是这个上半圆。 那这个圆的方程在直角坐标线里面是什么？是不是 x 平方？你看把这个框打开，是不是应该是减二 x 再加一，那么左两边的一就可以抵消，然后把左边的减二 x 挪到右边，那左边就只剩 x 平方加 y 平方，那右边是不是就是二 x？ 在极坐标系下， x 平方交平方就是 r 平方，然后右边二 x 就是 二倍 r cosine， 它那左两边把 r 约掉，那就变成了 r 小 于等于二倍 cosine， 它对不对？所，所以边界方程的话，就是 r 等于二倍 cosine， 它嘛，所以上限就是二倍 cosine， 对 吧？所以 set 的 范围零到二分之 pi， r 的 范围零到二倍 cosine， 那 背极函数，你看 x 平方和三 y 平方里面都会蕴涵着 r 平方，所以我们把 r 平方提出来，然后剩下的提了公式之后，剩下的就是 cosine 平方 sine 减去三倍 sine 平方 sine， 然后极坐标是不是还要再乘一个 r 再 dr 对 不对？所以就把平方改成三次方，然后 dr 嘛，那对 dr 积分的时候，这个东西是关于 r 来说是常数，它可以提到外面去，那就应该等于二倍的， 你看是不是零到二分之派这个区间？把这个东西提到前面去之后，那就是 cosine 平方减去三倍 cosine 平方，对不对？然后 r 三次方积分就是四分之一 r 四次方带下线零的四次方就是零带上限二倍 cosine 的 四次方，四次方，哦，二得四四乘以十六，十六，再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递减它， 所以接下来就很简单了呀。你看四分之十六是不是就是四，再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递减它，所以接下来就很简单了呀，你看四分之十六，是不是就是四再乘以一个 cosine 的 四次方，然后递增区间零到二 二分之派，然后你看我们这 cosine 平方 sine， 再乘以这的 cosine 四次方，那不就是 cosine 六次方 sine 了吗？然后减去三倍，本来是 cosine 平方乘 cosine 四次方，但是我把 cosine 平方写成一减 cosine 平方之后，一乘以这的 cosine 四次方，就是 cosine 四次方吗？ 但是你三平方写成一减 cosine 平方之后，你减号后面的 cosine 平方是不是还要乘以这的 cosine 四次方，对吧？那是不是得到 cosine 的 六次方？那系数是多少？是不是这个地方有个负三，再乘以那个减号的负一倍，是不是就是正三倍，对吧？然后再加上本来这个地方的一倍，那是其实就是四倍啊， 对吧？我不知道你能不能看懂啊？四倍扩乘六次方，减去三倍扩乘四次方，那么接下来使用点火公式，从减号处拆开减号前面四倍提出来，那么六次方积分，那是六五四三二一二分之派，对吧？然后减去减号，后面三提出来，那扩乘四次方积分就是 四三二一二分之派，对不对？好，中括号里面是不是四三二一二分之派是共音式，对吧？这个地方出现了一遍，这个地方又出现了一遍，那就可以把它提出来，那就是八倍四三二一二分之派 提出来之后，整个中括号里面还剩什么呢？是不是剩一个四倍的六分之五，那分子分约掉一个二，那其实就是三分之二乘以五，那就是三分之十，再减去，将后面把这个提出来之后，那就只剩一个三减三是不可以看成减去三分之九啊，对不对？那就结束了呗。你看中括号外面 分子的八和分母的二四得八是不是就抵消了？然后这个三分之十减三分之九是不是就三分之一？三分之一和这个地方分子的三又抵消？那抵完了之后，最后就只剩这个地方的二分之派了。也就说这个第二十一题算了半天，算到最后的结果就是二分之派， 能听懂吗？听懂的发个一啊。好吧，听懂发个一，然后二十二题。宇哥的这个参考答案写的太复杂了，凯哥几排就做完了，但是他写了整整半页。我们来读一遍题啊。 他说积分区域 d 是 x 平方加 y， 平方小于等于 x 加 y， 这应该是一个圆的内部嘛。然后让我们算这个二乘积分，我们画一下图， 我们把这个右边的 x 加 y 挪到左边，然后配方，那不就是 x 减二分之一的平方，加上 y 减二分之一的平方。但是把左边的括号打开，是不是会多了两个常数？四分之一加四分之一，那加起来是不是就是二分之一？那右边是不是也要写一个二分之一，而二分之一是不是二分之根号二的平方？ 所以说咱们这个积分区域是一个圆心在二分之一，二分之一半径是二分之根号二的一个圆，而我们根据勾股定律，这个圆心到这个圆点零零，这个点的距离是不是刚好就是二分之根号二， 对不对？所以我们以二分之一二分之一为圆心，然后呢，以这一条线为半径做一个圆，是不是大概就长这个样子？那这就是我们的积分区域吗？然后我们把这个二乘积分从加号处就只有一个 x， 那 我们是不是可以利用行星公式？ 什么意思呢？就是一个平面图形，它的形心横坐标是不是应该是背极函数为 x 的 二重积分，除以背极函数为一的二重积分，而背极函数为一的二重积分，是不是就是这个阴影部分的面积 s d 对不对？所以当我们要计算被积函数为 x 的 二重积分的时候，我们可以把这个公式反过来用，我们可以把右边的分母这个面积乘到左边，那就得到这一个二重积分，是不是应该等于行星横坐标 x 一 八去乘以积分区域 d， 也就是阴影部分的面积，对不对？这是加号前面就这样处理， 而加号后面被积函数只有一个 y 平方，但是呢，我们这个积分区域这个阴影部分明显是关于 y 等于 x 轴对称的，所以我们可以用轮换对称性， 那 y 平方的积分和 x 平方的积分应该是相等的，但是都不好算，那我们就加起来除以一个二，那就应该等于加上二分之一倍区域 d 上 x 平方加 y 平方 d 四个码。所以说我们加号前面利用形形公式加号后面使用轮换对称性，那分别来算一下 加号前面这个阴影部分的形心，那不就是圆心吗？对吧？圆的形心就是圆心吗？那圆心的横坐标那不就是二分之一吗？然后这个圆的面积就是拍 r 平方， r 就是 二分之二， r 平方就是二分之一，这就是加号前面的积分， 而加号后面二分之一提出来，然后呢，这个阴影部分它是一个圆，那我们积分就直接用极坐标就可以了。那怎么确定 set 的 范围呢？很简单，你看我们这个地方做一条切线 对不对？那是不是从这一个切线逆时针旋转，刚开始旋转是不是就进入到这个阴影部分了？因为他是切线吗？ 那这个切线是不是应该是负的四十五度，对不对？也就是负的四分之派，这是我们的旋转的起点，对不对？然后呢，再再来把这个切线反向延伸一下，你会发现这个切线只要调转一个方向，对吧？相当于再转的话，再逆时针旋转，他就即将要远离这个阴影部分了， 所以负四分之派的基数啊，再加一个派就得到四分之三派，对不对？所以这一个阴影部分它对应的 set 的 范围就是负四分之派到四分之三派。而我们的 r 的 范围呢，就是从极点出发往外引射线 穿入就是 r 的 下限，你发现它永远都在这个阴影部分里面，所以 r 的 下限就是零，穿出就是上限，而穿出永远都是从这个圆上穿出的。而这个圆周的直角坐标系下的方程是不是 x 平方加 y 平方等于 x 加 y， 那 么这个直角坐标系要转化成极坐标，是不是要令 x 等于 r cosine， y 等于 r cosine， 那 左边 x 加 y 就是 r， 乘以一个 sine 加 cosine， 那 你把 r 约掉， 那就得到 r 等于 sine 加 cosine， 这就是我们的积分上限， sine sine， sine， sine sine， 而背极函数你看用轮换对称之后， x 平方加一平方就是 r 平方，然后极坐标是不是还要再乘一个 r d r， 所以 就变成 r 三次方， d r 嘛？ r 三次方积分是不是就是四分之一？ r 四次方带上下线，所以四分之一提出来，然后负四分之派到四分之三派照抄，然后呢？ r 四次方带上下线，那不就是 sine 加 cosine 这个整体的四次方，然后呢？ d c 它吗？那做到这之后又怎么做呢？有同学说四次方这个次数也太高了吧，对吧？也很难算，其实不是的，你千万不要把括号打开。凯哥，这个地方神来之笔啊，我直接用我们高中数学学的辅助角公式， 我把 sine， sine， sine 合成一个角度这一个式子，你把它写成根号二倍， sine sine 加四分之 pi， 那 么外面再套一个四次方之后，根号二的四次方就是二的平方，那是不是就有一个四倍， 然后呢？ sine 上面是不是有一个四次方，然后里面是 sine 加四分之 pi， 而 d 后面本来只有一个 sine 它的，但是我可以加一个四分之 pi， 是 不是不会改变积分值？ 刚好兄弟们，我们的积分下限，我们正愁它不是零呢，正愁它是负四分之派呢。那我们这个地方 c 它后面刚好加的就是四分之派，那我们是不可以把 c 它加四分之派看成一个整体，看成 t， 对 不对？那么这个时候 t 的 范围就变成了零到派，对吧？所以这个积分就变成了四分之派，加上八分之一乘以一个四，那就是二分之一积分区间 t 的 范围，零到派被积函数撒以四次方 t d t 对不对？而你要知道，零到派跟 sign 相关的积分本来就等于二倍，零到二分之派的积分，那这个二倍和二分之一抵消，所以加加号前面就是四分之派，加号后面就是零到二分之派，然后 sign 四次方 t d t， 而这个 sign 四次方的积分，根据瓦里士公式或者点火公式，就是四三二一二分之派，对不对？所以加号后面就是十六分之三倍的派。加号前面的四分之一可以看成多少？可以看成十六分之四倍吗？ 所以十六分之四倍加十六分之三倍。那这个题最后的答案就是十六分之七派，好吧，分子是七派。说实话，凯哥这个方法其实是基本上没有什么计算量的， 最精彩的一步就是把 sine 加 cosine 合变成了根号，二倍的 sine 里面是 sine 加四分之派，那这个时候把 sine 加四分之派看成一个整体，那么积分区间就变成了零到派了，对吧？直接就可以点火公式，是不是非常的精彩？听懂了，发个一。好吧，听懂了，发个一。 然后第二十三题啊，也可以打一个重点标记，虽然这个题不难，但是他的思想非常重要，那就是割补法，这是我们初中甚至小学的时候，在面对一些几何图形就经常用的方法。 你看我们的背接函数，看到这个结构就应该想到极坐标嘛。而我们的积分区域呢，是在这一个圆的内部，对吧？它是小于等于符号，然后呢，在这一个圆的外部，那我们画两个圆呢？ 第一个圆是圆心在圆点半径为 a 的 一个圆，那大概啊，就是这样大的一个圆，然后第二个圆，圆心的横坐标是二分之 a， 中坐标是零，那差不多就是这个位置，半径刚好也是二分之 a， 因为四分之 a 平方可以看成二分之 a 这个整体的平方吗？那是不是这样一个小圆？ 所以咱们真实的积分区域是不是这个大圆的内部以及小圆的外部，它交叉的部分？那说白了就是我正在描阴影部分的这一个 月牙形状的区域，对吧？就是这个月牙形状的区域，那你直接算这个区域的二寸积分，不好算。那我们是不是可以把它看成一个大圆，挖去了中间一个空白的小圆，所以我们用割补法， 对不对？我们假设整个大圆我们用第一表示，然后这个空白部分我们用第二表示，那我们要算的积分 i 是 不是就是大圆第一上的积分减去小圆第二上的积分， 对吧？那对于大圆上的积分，那这是一个标准的一个圆嘛？那我们直接用极坐标 c， 它的范围零到二派 r 的 范围呢？是不是应该就是零到半径，半径就是 a 嘛，对吧？倍积函数 根号下 x 平方，加平方就是 r， 然后再乘一个 r， d r， 所以 就是 r 平方 d r 是 不是 so easy？ 而减号后面呢？这个空白部分，它是一个偏心圆，但是它至少也是一个圆嘛，那我们还是可以用极坐标， 对不对？那这个空白部分，如果你直接用极坐标的话，那 c 它的范围是不是应该是从负二分之派逆时针旋转，转转转转到这个 y 轴正半轴，那是不就是正的二分之派？所以 c 它的范围负二分之派到正二分之派，然后呢， r 的 范围呢？就是从这个极点出发，往这个空白部分这个 小圆里面做射线，对吧？那你不管怎么射，穿入 r 就是 零，对不对？穿出呢？是不是永远从这个小圆的这个边界上穿出的？而这个小圆的方程是什么呢？把这个大于等于先改成等于， 再把左边这个括号这个完全平方打开，那是不是 x 平方？然后呢，是不是减去二倍交叉项，那就是二乘以 x， 再乘以二分之 a， 二和二抵消，那就是减 ax， 再加一个 y 平方，当然这个地方二分之 a 扩着的平方是不是长竖向，那就是四分之 a 平方嘛？和右边的四分之 a 平方是不是可以抵消，那是不就等于零？那你把左边的 a x 挪到右边，那就是 x 平方，加 y 平方等于 a x， 那 左边用极坐标之后就是 r 平方，右边用极坐标就是 a 乘以 r 扩散引，那左两边把 r 约掉，对吧？那这个小圆的极坐标的方程就是 r 等于 a 乘以扩散引在它，对吧？这就是我们的 积分上限，对吧？ a 乘以 cosine theta 背接函数，是不是还是 r 平方？ d r， 那 接下来这两个积分就纯送分了呀？第一个积分注意，外层零到二 pi， d theta 就是 二 pi， 然后内层呢？ r 平方积分就三分之一 r 立方，带上下线，那就是 a 立方， 然后减去这一个式子，对 r 积分的时候，对吧？这个地方是不是三分之一 r 立方带上下线，那就是三分之一倍负二分之派到二分之派，对不对？然后上线的立方减去下线的立方，下线零的立方就是零，上线的立方是不是 a 立方跑到外面来了，然后呢？ cosine 三次方 set it， d set it 对不对？好，减号前面是三分之二拍 a 立方减号后面你看我们这个 cosine 是 一个偶函数，偶函数在对称区间的定积分是不是应该等于二倍零到二分之派的积分，对吧？所以就是减去三分之，本来分子只有一个 a 立方，那用奇偶性之后就变成二倍的 a 立方， 对吧？然后呢，就是零到二分之派，那是不是可以直接点火了？零到二分之派， cosine 三次方的积分是不是就是三分之二再乘一个一？ 那我们提一个公音，是把三分之二 a 立方提出来，看清楚了，减号前面有派，减号后面没有派。哦，所以我们公音是只能提三分之二 a 立方，那减号前面还剩一个派，减号后面还剩一个三分之二，接下来就没法化简了。这就是二十三题最后的答案， 对吧？就是大家有没有一种感觉啊，这个题越做到后面越简单，他并不是说最后一道就最难，甚至可以说这个二十四题是几乎所有的大题里面几乎最简单的一道。你看咱们的积分区域， 超级逆天积分区域就是 x 平方加一平方小于等于一，这个单位圆在第一象限的部分，那我们用极坐标之后，显然 set 它的范围，第一象限零到二分之二， r 的 范围零到一倍积函数就是根号下一减，你看 x 平方加一平方，那就是 r 平方，分母是不是又是 一加 r 平方，然后再乘一个 r d r， 说实话，这居然是最后一个题，我真不相信。你看零到二分之派 d 塞，它就是二分之派，然后把这个 r 凑到 d 后面去，是不是变成二分之一倍 d r 平方，然后我们把 r 平方啊，反复出现的 r 平方， r 平方 d 后面的 r 平方看成一个整体，比如说看成 t， 那么 t 的 范围是不是也就是零到一啊？对吧？因为 r 在 零到一， r 平方是不是也是零到一？那根号里面就是一减 t 除以一加 t， 然后 d t。 接下来两种方法，第一种方法，直接令根号等于一个整体， 对不对？那你是不是可以把根号去掉了？这叫换元法。还有一个方法就是直接分子由利化。凯哥在全职班里面也讲过的啊，你看外面是四分之八，里面呢？ 分子由流化之后，就是分子分母同时乘以分子的那个根号，那分子根号乘根号就抵消了，那就是一减 t， 分 母就是根号下一加 t， 乘以根号下一减 t， 那 用平方差公式，那根号里面就是一减 t 平方 e t， 那 从减号处拆开，减号前面一减 t 平方开方再分之一，那不就是 r 三引 t 吗？对吧？积分之后，所以减号前面就是 r 三以 t， 然后呢？减号后面这个积分怎么算呢？我们就注意到一减 t 平方再开方，我们对这个试着在草稿纸上求一下导， 根号求导是不就是二倍根号分之一，然后根号里面的东西求导是不是负二 t 分 子分母约掉一个二，你惊讶的发现， 负的根号分之 t 居然刚好啊，就是根号求导之后的结果，所以我们把这个负的根号分之 t 凑到 d 后面去，相对于它的积分，是不是积出来就是正的根号下一减 t 平方。我的天呐， 扩回来之后，直接带上下限零到一，所以就等于四分之派的倍的多少，你看上限一带去 r x 一 就是二分之派， 然后呢？根号下一减一反而是零了，然后减去下限零带去 r x， 零是零，然后再减去这个地方，把第二个式子把下限零带去，那就是一，所以最后的结果就是四分之派乘以一个二分之派减一搞定， 对吧？这居然就是我们的最后一道题，是不是 so easy， 超级简单，好做到！这凯哥就花了一个多小时的时间，真的应该不到两个小时啊，就把语歌一千题里面这二十四道二重积分全部讲完了，而且说实话，我真的讲的很爽， 我不知道你们听起来有没有一种行云流水，一气呵成的感觉。好吧，如果有的话，如果听完之后真的觉得学到东西了，给我点个赞，点个关注。好吧， ok， 那 我就下了，拜拜拜拜拜。
2798考研竞赛凯哥
01:35查看AI文稿AI文稿有不少同学被绝对值的二重积分弄得头疼，主播将用几何意义带你彻底拿捏它。我们知道 二重积分相当于求一个曲顶柱体的体积，我们把函数大于零的区域记为低正，小于零的区域记为低负。加绝对值就是把下面的部分翻上去，所以我们可以用两个大于零的部分减去一个整体， 得到的就是加绝对值后的样子。注意，这里的被积函数永远都是 f x y o， 那 聪明的你肯定能想到，还可以用一个整体减去两个小于零的部分。 至于这两种操作如何选择，那就要看题目里哪个区域更方便积分了。我们来看这样一道真题，让我们计算含绝对值的二重积分。首先画出积分区域，这里的 f x y 是 x 方加 y 方减一， 不难看出，在这个红色的扇形离 f x y 小 于零，我们把它记为 d e， 而且它比旁边的绿色区域更方便记分。那么我们果断选择第二种，用一个整体减去两倍负的，然后简单计算一下两个积分，得到答案。 最后我们来总结一下，当地震更好记的时候，我们用两倍正的减去一个整体。当地负更好记的时候，我们用一个整体减去两倍负的。如果地震和地负都不好记的话，那就把卷子撕了吧！哈哈哈哈！本期视频就到这里！
4246咳咳
06:34查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们要聊的是勒贝格测度，一个从我们最熟悉的直觉一步步延伸到无限数学世界的宏大理论。 它的核心就是探索实数连续桶中的体积几何对称性，以及那些颠覆常识的数学备论。我们对体积的直觉都来自那些方方正正的矩形，比如一个盒子的长宽高相乘就能得到它的体积。 但当我们面对现实中那些形状复杂、边缘模糊的集合时，这个简单的方法就失效了。我们的目标就是把这种简单的直觉严格推广到任意维度的空间中去，测量任何可能出现的复杂形状。勒贝格测度解决这个问题的第一步是定义了外侧度， 他的思路非常直观，不管目标集合多复杂，我们都可以用无数个开矩形去覆盖他。然后我们去寻找所有这些覆盖方案中这些矩形体积总和的最小值，也就是下阙界， 这个最小值就被定义为这个集合的外侧度。这本质上是一个寻找最小覆盖体积的几何优化问题。有了外侧度这个工具，我们需要把它升级为一个真正严谨的侧度。这个过程依赖于卡拉西奥多里扩张定律。 简单来说就是从最基础的矩形体积出发，先定义一个预测度，再通过扩张定律把它唯一的推广到更广泛的集合组上，也就是勒贝格可测集。这个过程的关键结果是，勒贝格可测集比我们熟悉的伯雷尔集要多得多，它是伯雷尔集的完备化， 一个好的测度必须能被验证。勒贝格测度满足一个非常重要的性质叫做正则性，意思是任何一个勒贝格可测极都可以从内外两个方向被无限精确的逼近。 从外部看，我们可以用开极去包裹它，找到体积最小的那个。从内部看，我们可以用紧极去填充它，找到体积最大的那个。当内外的结果收敛到同一个值时，我们就得到了这个集合的测度。 勒贝格测度最棒的一点就是他完美继承了我们对空间的直觉，他满足三个关键的几何不变性，第一，平移不变性，把一个几何挪个位置，他的体积不会变。第二，旋转不变性，把他转个方向，体积也不变。 第三，缩放不变性，把它放大或缩小， lambda 被体积就会变成原来的 lambda 的 n 次方倍。 n 是 空间的维度，这些性质让勒贝格测度成为描述现实世界的理想工具。 勒贝格测度不是我们拍脑袋想出来的，它是唯一的。有一个核心定律告诉我们，在 n 为实数空间上，只要你定义的测度满足平移不变性，并且是 sigma 减有限的，那么它本质上就和勒贝格测度是同一个东西，只差一个常数倍数。 从更广阔的视角看，勒贝格测度只是加法群上的哈尔测度，它和群论调和分析完美的结合在了一起。现在我们来看一下集合的家族数，最基础的是矩形和开 b 级，往上是柏雷尔级，再往上是勒贝格可测级。 而所有集合的全体构成了最大的集合族。勒贝格可策集严格多于伯雷尔集，每一个勒贝格可策集都可以表示为一个伯雷尔集和一个零策集的组合。 这种差异的根源在于，零策集的子集也都是勒贝格可策的，这极大地扩充了可策集的范围。说到零策集，就不得不提康托尔三分集， 它的构造过程很有趣，从零到一的区间开始，每次都去掉中间的三分之一，无限重复这个过程。最终剩下的典籍就是康土耳其。 我们算一下去掉的区间总长度，会发现它正好是一，所以剩下的康土耳其的侧度就是零。它像一个布满了无限空洞的尘埃，没有任何内部，但元素个数却和整个实数一样多。康土耳其揭示了一个惊人的事实， 集合的大小有两种完全不同的定义方式，一种是我们说的测度代表他的体积，另一种是基数代表他的元素个数。 这两者是完全独立的概念，比如有理数有无穷多个，但测度为零。康土耳其的元素个数和整个实数一样多，但测度也是零。这打破了我们个数多等于体积大的直觉。康土耳其还催生了一个更反直觉的东西。康土耳其也叫魔鬼楼梯， 这是一个从零到一的连续函数，他几乎处处导数都是零，也就是说，他几乎在所有地方都平着走，但最终却从零上升到了一。这意味着微积分基本定律在这里失效了。他诱导出的是一个集中在零测级上的奇异测度， 这里有一个容易踩的拓扑陷阱，连续的一一映射，也就是同胚，并不一定能保持勒贝格可测性。 我们可以构造一个连续的函数，把一个测度为零的康土耳其拉伸成一个测度为一的几何。这也是为什么在更高级的数学分析中，人们有时更偏爱伯雷尔可测性，因为他在连续映射下是稳定的。 我们刚才说的都是可测级，但实数轴上还存在着不可测级。最经典的例子就是维塔利级，他的构造依赖于选择公里。 我们把实数按差为有理数的关系分成等价类，然后从每个类里挑一个代表圆组成维塔利奇。我们会发现，无论假设它的测度是零还是大于零，都会导致矛盾， 这说明维塔利奇是不可测的。勒贝格测度在这里崩溃了。维塔利奇的存在根源在于我们使用了选择公理。在标准的数学体系 zfc 中，选择公理是被承认的，因此不可测级是无法避免的。 但在一九七零年，数学家索罗维构造了一个模型，在这个模型里，如果我们不使用选择公理，而是假设存在不可达基数，那么实数轴上的每一个子集就都是勒贝格可测的。可以说，选择公理就是那只带来不可测级的幽灵。 选择宫里带来的最著名的备论就是巴拉赫塔斯基备论，他说的是，在三维空间中，一个单位球可以被分解成五个部分，然后只通过旋转和平移，就能重新拼成两个和原来一模一样的单位球。 这就像无中生有一样，体积凭空翻倍。为什么在一维和二维空间里没有这种备论？因为他们的等距群是可合的，阻止了这种备论性的分解。
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